harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( \mathrm { A } ) \quad \underbrace { \overbrace { m _ { 1 } < m _ { 2 } } ^ { \mathrm { a t m } } \ll \overbrace { m _ { 3 } < m _ { 4 } } ^ { \mathrm { s u n } } } _ { \mathrm { L S N D } } \, , \qquad ( \mathrm { B } ) \quad \underbrace { \overbrace { m _ { 1 } < m _ { 2 } } ^ { \mathrm { s u n } } \ll \overbrace { m _ { 3 } < m _ { 4 } } ^ { \mathrm { a t m } } } _ { \mathrm { L S N D } } \, .
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } , \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ^ { \dagger } ] } & { { } = \frac { \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } - \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } } { ( \tilde { n } _ { \mathrm { ~ L ~ } } - \tilde { n } _ { a } ) } , } \end{array}
S _ { \mathrm { t h r o u g h p u t } } = { \frac { Q _ { 2 } } { Q _ { 1 } } } = { \frac { \rho _ { 2 } A _ { 2 } T _ { 1 } W _ { 2 } } { \rho _ { 1 } A _ { 1 } T _ { 2 } W _ { 1 } } } = { \frac { \rho _ { 2 } A _ { 2 } } { \rho _ { 1 } A _ { 1 } } } S _ { \mathrm { l a t e n c y } } ,
{ \cal S } _ { G } = \int d ^ { 4 } x d y \sqrt { - G } \left[ 2 M ^ { 3 } \, R \, - \, \Lambda ( y ) \, - \, \sum _ { i } V _ { i } \, \delta ( y - y _ { i } ) \, \frac { \sqrt { - \hat { G } ^ { ( i ) } } } { \sqrt { - G } } \right]
\begin{array} { r l } & { r _ { 1 } : \quad \varnothing \stackrel { 1 } { \longrightarrow } \mathrm { X } _ { 1 } , \quad \quad r _ { 3 } : \quad 2 \mathrm { X } _ { 1 } \stackrel { 1 } { \longrightarrow } \mathrm { X } _ { 1 } , } \\ & { r _ { 2 } : \quad \mathrm { X } _ { 1 } \stackrel { 1 } { \longrightarrow } \varnothing , \quad \quad r _ { 4 } ^ { \prime } : \quad 3 \mathrm { X } _ { 1 } \stackrel { 1 / 2 } { \longrightarrow } 2 \mathrm { X } _ { 1 } , } \end{array}
\nu _ { 0 } = \frac { 4 \sqrt { 2 \pi } } { 5 . 8 8 } \frac { e ^ { 4 } } { ( 4 \pi \epsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } } \frac { \sqrt { m _ { e } } R _ { 0 } n _ { 0 } \lambda } { m _ { i } c _ { s 0 } T _ { e 0 } ^ { 3 / 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \downarrow } ( \phi ^ { \downarrow } ( x _ { j } ) ) - \rho _ { \uparrow } ( \phi _ { \uparrow } ( x _ { j } ) ) } & { \leq \left( \rho ^ { \downarrow } ( \phi ^ { \downarrow } ( e _ { k } ) ) - \nu ^ { \downarrow } ( \lambda _ { k } ) \right) - \left( \rho _ { \uparrow } ( \phi _ { \uparrow } ( e _ { k } ) ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { k } \right) } \\ & { \leq \left( \rho ^ { \downarrow } ( \phi ^ { \downarrow } ( e _ { i } ) ) - \rho _ { \uparrow } ( \phi _ { \uparrow } ( e _ { i } ) ) \right) - \left( \nu ^ { \downarrow } ( \lambda _ { k } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { k } ) \right) } \\ & { \leq \left( \rho ^ { \downarrow } ( \phi ^ { \downarrow } ( e _ { i } ) ) - \rho _ { \uparrow } ( \phi _ { \uparrow } ( e _ { i } ) ) \right) , } \end{array}
T _ { p } ^ { \mu } = \frac { e \, G _ { \mathrm { F } } } { 4 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } } Q _ { p } \sum _ { \ell } \lambda _ { \ell } \, [ R M G _ { p } ( r _ { \ell } ) + L m H _ { p } ( r _ { \ell } ) ] \, i \sigma ^ { \mu \nu } q _ { \nu } \, ,
\begin{array} { r l } { E _ { r } } & { = - \frac { d V } { d r } = \frac { 2 p \mathrm { c o s } \theta } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r ^ { 3 } } } \\ { E _ { \theta } } & { = - \frac { 1 } { r } \frac { d V } { d \theta } = \frac { p \mathrm { s i n } \theta } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r ^ { 3 } } } \\ { E _ { \phi } } & { = \frac { 1 } { r \mathrm { s i n } \theta } \frac { d V } { d \phi } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { y _ { r } ^ { l } } \ } & { C _ { r } ^ { l } ( \hat { x } _ { r } , y _ { r } ^ { l } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { h _ { r } ^ { l } ( \hat { x } _ { r } , y _ { r } ^ { l } ) \leq 0 , } \\ & { C _ { r } ^ { l } ( \hat { x } _ { r } , y _ { r } ^ { l } ) \leq \hat { \pi } _ { r } ^ { l } . } \end{array}
\delta ( s _ { 4 } ) \sum _ { k = 0 } ^ { 2 } \alpha _ { k } \ln ^ { k } \frac { \Delta } { m ^ { 2 } } \rightarrow \Theta ( s _ { 4 } - \Delta ) { \cal A } _ { k } \alpha _ { k } \left| _ { s _ { 4 } = 0 } \right.
\kappa ( t ) = \frac { 1 - H \left( t - \frac { L _ { g } } { K _ { \mathrm { e l o } } } \right) } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } H \left( t - \frac { l _ { i } } { K _ { \mathrm { e l o } } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } P _ { N } } & { = } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big \{ v _ { 0 } \, ( \hat { n } _ { i } \cdot \vec { \nabla } _ { i } ) \, P _ { N } } \\ & { + } & { \partial _ { \theta _ { i } } \, \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big [ \Gamma \, a _ { i j } \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) \Big ] P _ { N } \Big ) \Big \} \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l } { ^ { ^ { R L } } \mathcal { D } _ { T ^ { - } } ^ { ^ \alpha } \Theta ( y , s ) = A ^ { * } \Theta ( y , s ) - C ^ { * } C \varphi ( s ) , } & { ( y , s ) \in Q _ { T } , \ \alpha \in ] 0 , 1 ] , } \\ { \Theta ( \varsigma , s ) = 0 , } & { ( \varsigma , s ) \in \Sigma _ { T } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow T ^ { - } } \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { ^ { 1 - \alpha } } \Theta ( y , s ) = 0 , } & { y \in \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { T ^ { ( --- ) } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( --- ) } = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ ( \mathbf { A } ^ { - } ) ^ { 3 } ] } { 6 } , } \\ { T ^ { ( + + - ) } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + + - ) } = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ ( \mathbf { A } ^ { + } ) ^ { 2 } \mathbf { A } ^ { - } ] } { 2 } } \end{array}
\delta \psi _ { \mu } = \partial _ { \mu } \epsilon - { \frac { 1 } { 4 } } \omega _ { \mu } ^ { a b } \gamma _ { a b } \epsilon + { \frac { ( - 1 ) ^ { p } } { 8 ( p + 2 ) ! } } e ^ { \phi } F _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { p + 2 } } \gamma ^ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { p + 2 } } \gamma _ { \mu } \epsilon _ { ( p ) } ^ { ' }
{ \boldsymbol { z } } = \boldsymbol { \Psi } ( \boldsymbol { Z } , \varepsilon ) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \boldsymbol { \Psi } ( \boldsymbol { Z } , 0 ) = \boldsymbol { \Phi } ( \boldsymbol { Z } )
\tau _ { 1 , 2 } = - \frac { 1 } { \omega _ { 0 } - \gamma } W _ { 0 , - 1 } \left( - \frac { \omega _ { 0 } - \gamma } { \omega e ^ { \frac { \omega _ { 0 } - \gamma } { \omega _ { 0 } } } } \right) - \frac { 1 } { \omega _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { \# M _ { \varepsilon } ( T ^ { + } ) } & { \le \frac { \| T ^ { + } - ( T ^ { + } ) ^ { 2 } \| _ { p } ^ { p } } { ( \varepsilon - \varepsilon ^ { 2 } ) ^ { p } } = \frac { \| H ^ { + } \| _ { 2 p } ^ { 2 p } } { ( \varepsilon - \varepsilon ^ { 2 } ) ^ { p } } } \\ & { \le \left( { 2 } / { \varepsilon } \right) ^ { p } \sum _ { k \ge 0 } \sum _ { j \in J _ { k } } \| H _ { Q _ { k , j } } \| _ { 2 p } ^ { 2 p } + \left( { 2 } / { \varepsilon } \right) ^ { p } \sum _ { v \in V } \| H _ { R _ { v } } \| _ { 2 p } ^ { 2 p } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { - p } \sum _ { k \ge 0 } \sum _ { j \in J _ { k } } \| T _ { Q _ { k , j } } - T _ { Q _ { k , j } } ^ { 2 } \| _ { p } ^ { p } + \varepsilon ^ { - p } \sum _ { v \in V } \| T _ { R _ { v } } - T _ { R _ { v } } ^ { 2 } \| _ { p } ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ^ { 1 } ( t , y , \delta , u , p ^ { 2 } , q ^ { 2 } , r ^ { 2 } ( \cdot ) , w ^ { 2 } , e _ { i } ) = \ \frac { 1 } { 1 - \kappa _ { 1 } } \delta ^ { 1 - \kappa _ { 1 } } h _ { 1 } ( t , \alpha ( t - ) ) + ( \tilde { p } - a ( t , e _ { i } ) ) - \delta ) p _ { 1 } ^ { 1 } + x _ { 2 } u p _ { 2 } ^ { 1 } } \\ & { \quad - \sigma _ { 1 } ( t , e _ { i } ) q _ { 1 1 } ^ { 1 } + x _ { 2 } \sigma _ { 2 } ( t , e _ { i } ) q _ { 2 2 } ^ { 1 } + x _ { 2 } \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ( t - , e _ { i } , z ) r _ { 2 } ^ { 1 } ( t - , z ) \nu ( d z ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \gamma ^ { i j } ( t ) w _ { 1 } ^ { 1 , j } \mu _ { i j } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d ^ { 2 } f } { d x ^ { 2 } } ( x ) } & { = } & { 2 a + x ( \ldots ) + y ( \ldots ) + 2 T x ( \ldots ) + 2 T y ( \ldots ) - 2 b T ^ { 2 } + T ^ { 2 } x ( \dots ) + T ^ { 2 } y ( \ldots ) , \mathrm { ~ s o ~ } } \\ { \frac { d ^ { 2 } f } { d x ^ { 2 } } ( x ( s ) ) } & { \geq } & { 2 a - x ( s ) C _ { 1 } - c x ( s ) C _ { 2 } - 2 c x ( s ) C _ { 3 } - 2 c ^ { 2 } x ( s ) C _ { 4 } - 2 b c ^ { 2 } - c ^ { 2 } x ( s ) C _ { 5 } - c ^ { 3 } x ( s ) C _ { 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( P ^ { \mathrm { e x } } ) ^ { 2 } u , u \rangle } & { = | | P ^ { \mathrm { e x } } ( u ) | | _ { 0 } ^ { 2 } = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } | | P _ { t } u | | _ { 0 , \mathfrak { S } _ { g } | _ { M _ { t } } } ^ { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { \geq \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \mathrm { l o w } ( t ) ^ { 2 } | | u | | _ { 1 , \mathfrak { S } _ { g } | _ { M _ { t } } , \nabla \otimes \mathrm { i d } } ^ { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { > \frac { 1 } { 4 } \int \mathrm { l o w } ( t ) ^ { 2 } | | u | | _ { 1 , \mathfrak { S } _ { g } | _ { M _ { t } } , \nabla ^ { \mathrm { s u s p } } } ^ { 2 } \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C R { B _ { \theta } } = \frac { 1 } { { 2 \gamma L } } \times } \\ & { \frac { { { \lambda ^ { 2 } } \left[ { { { \left( { \frac { { { D _ { T } } \sin \theta } } { r } } \right) } ^ { 2 } } + \frac { { \pi { D _ { T } } } } { r } \cos \theta \cos 2 \theta - 4 { { ( { { { \cos } ^ { 2 } } \theta \ln \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } + { { \sin } ^ { 2 } } \theta } ) } ^ { 2 } } } \right] } } { { 8 { \pi ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } M ( { \frac { { { \pi D _ { T } } } } { r { \cos \theta } } - 4 { { \ln } ^ { 2 } } \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } } ) { { \cos } ^ { 2 } } \theta } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sqrt { I + n + 1 } \left( R _ { I , n } ^ { * } - \widehat { R } _ { I , n } \right) _ { 2 } } \\ { = } & { \sqrt { I + n + 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) } \\ { = } & { \sqrt { I + n + 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat { f } _ { j , n } \right) } \\ & { + \sqrt { I + n + 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { l , n } ^ { * } - 1 \right) - \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat { f } _ { j , n } \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { l , n } - 1 \right) \right) } \\ & { + \sqrt { I + n + 1 } \sum _ { i = K + 1 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) } \\ { = : } & { B _ { 1 , K , I , n } ^ { * } + B _ { 2 , K , I , n } ^ { * } + B _ { 3 , K , I , n } ^ { * } , } \end{array}
\mathsf { S } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \mathrm { R H S } ( z ^ { * } ) \leq \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 T E \eta ^ { T } } + \frac { 1 } { T E } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f ^ { \prime } ( z ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \langle \tilde { \xi } ^ { t , e } , z ^ { * } - z ^ { t , e } \rangle \Big \} . } \end{array}
S = \int \sqrt { - g } ( - \frac { 1 } { 2 } \epsilon \varphi ^ { 2 } R + \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \varphi \partial _ { \nu } \varphi - \frac { \lambda } { 8 } ( \varphi ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } ) d ^ { 4 } x
\begin{array} { r } { T _ { \mathrm { R a o } } \ge 2 \left\lVert S _ { n } ( \theta _ { 0 } ) \right\rVert _ { H ( \theta _ { 0 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } / 3 \ge 4 [ \left\lVert S ( \theta _ { 0 } ) \right\rVert _ { H ( \theta _ { 0 } ) ^ { - 1 } } - \left\lVert S _ { n } ( \theta _ { 0 } ) - S ( \theta _ { 0 } ) \right\rVert _ { H ( \theta _ { 0 } ) ^ { - 1 } } ] ^ { 2 } / 3 . } \end{array}
\varphi \in C ^ { \infty } ( \overline { { \Omega } } \setminus ( { \Gamma _ { \mathrm { { s o n i c } } } ^ { 5 } } \cup { \Gamma _ { \mathrm { { s o n i c } } } ^ { 6 } } ) ) \cap C ^ { 1 , 1 } ( \overline { { \Omega } } ) ,
\begin{array} { r l } & { ( A , \boldsymbol { a } ) \cdot w \cdot ( B , \boldsymbol { b } ) } \\ { = } & { ( A , \boldsymbol { a } ) ( B , \boldsymbol { b } ) ( B , \boldsymbol { b } ) ^ { m - 1 } ( A , \boldsymbol { a } ) ^ { m - 1 } ( A , \boldsymbol { a } ) ( B , \boldsymbol { b } ) } \\ { = } & { ( I , ( 2 I + A ^ { - 1 } + \cdots + A ^ { - ( m - 1 ) } ) ( A \boldsymbol { b } + \boldsymbol { a } ) ) } \\ { = } & { ( I , ( 2 I + A ^ { - 1 } + \cdots + A ^ { - ( m - 1 ) } ) \boldsymbol { x } ) } \\ { = } & { ( I , \left( 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } \right) \boldsymbol { x } _ { V } + \left( 1 + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } \right) \boldsymbol { x } _ { W } ) } \end{array}
{ \cal P } ( { \cal E } ) = \sum _ { \vert \Psi \rangle } \vert { \cal A } ( { \cal E } ) \vert ^ { 2 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime } \, e ^ { - i { \cal E } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } \, { \tilde { G } } \left[ { \tilde { x } } ( \tau ) , { \tilde { x } } ( \tau ^ { \prime } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { H } } & { { } = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { H } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { H } ^ { T _ { 0 } } + \mathsf { K } ^ { h h } \mathsf { D } \mathbb { T } + \mathsf { K } ^ { h \pi } \mathbb { W } , } \\ { \mathbb { S } } & { { } = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { S } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { S } ^ { T _ { 0 } } + \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathsf { D } \mathbb { T } + \mathsf { K } ^ { \pi \pi } \mathbb { W } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 4 , 2 , y y } ^ { \sigma , E S } } & { = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , E S } \frac { 1 } { 2 } v _ { i y } ^ { 2 } v _ { i \alpha } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { \sigma } [ u _ { y } ^ { 2 } ( \lambda _ { x x } + 6 \lambda _ { y y } + u _ { x } ^ { 2 } ) } \\ & { + \lambda _ { y y } ( \lambda _ { x x } + 3 \lambda _ { y y } + u _ { x } ^ { 2 } ) + 4 \lambda _ { x y } u _ { x } u _ { y } + 2 \lambda _ { x y } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 4 } ] , } \end{array} } \end{array}
\mathbf { C } _ { ( l _ { i } , 0 ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , 0 ) } = ( - 1 ) ^ { l _ { i } + l _ { f } + l _ { o } } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , 0 ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , 0 ) }
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle _ { \mathrm { V } } } & { = \exp \Big \{ \frac { \xi } { 8 } \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } \Big [ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \phi _ { 1 } } \, \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \, \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) - \, F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \, \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) \Big \} | \mathrm { v a c } \rangle \, , } \\ & { \mathrm { w h e r e } \quad \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega ) \equiv \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega ) + \hat { a } _ { 3 } ^ { \dagger } ( \omega ) + \mathrm { i } \, \hat { a } _ { 4 } ^ { \dagger } ( \omega ) + \mathrm { i } \, \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega ) \, , } \\ & { \mathrm { a n d } \quad \quad \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega ) \equiv \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega ) + \hat { a } _ { 3 } ^ { \dagger } ( \omega ) - \mathrm { i } \, \hat { a } _ { 4 } ^ { \dagger } ( \omega ) - \mathrm { i } \, \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { u ( \xi , t = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { u ^ { - } + \xi u _ { \xi } ^ { - } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi < 0 , } \\ { u ^ { + } + \xi u _ { \xi } ^ { + } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi \geq 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 5 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 5 , 3 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 5 , 4 } ^ { \{ 2 \} } \right) , \ \Omega _ { 5 , 3 } ^ { \{ 2 \} } = c _ { 5 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 3 } , \ \Omega _ { 5 , 4 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 5 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 4 } } \\ { \Omega _ { 6 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 6 , 3 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 6 , 4 } ^ { \{ 2 \} } \right) , \ \Omega _ { 6 , 3 } ^ { \{ 2 \} } = c _ { 6 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 3 } , \ \Omega _ { 6 , 4 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 6 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 4 } } \\ { \Omega _ { 7 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 7 , 3 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 7 , 4 } ^ { \{ 2 \} } \right) , \ \Omega _ { 7 , 3 } ^ { \{ 2 \} } = c _ { 7 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 3 } , \ \Omega _ { 7 , 4 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 7 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 4 } } \\ { \Omega _ { 8 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 8 , 5 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 8 , 6 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 8 , 7 } ^ { \{ 2 \} } \right) , \ \Omega _ { 8 , 5 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 8 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 5 } , \ \Omega _ { 8 , 6 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 8 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 6 } , \ \Omega _ { 8 , 7 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 8 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 7 } } \\ { \Omega _ { 9 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 9 , 5 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 9 , 6 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 9 , 7 } ^ { \{ 2 \} } \right) , \ \Omega _ { 9 , 5 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 9 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 5 } , \ \Omega _ { 9 , 6 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 9 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 6 } , \ \Omega _ { 9 , 7 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 9 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 7 } } \\ { \Omega _ { 1 0 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 1 0 , 5 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 1 0 , 6 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 1 0 , 7 } ^ { \{ 2 \} } \right) , \ \Omega _ { 1 0 , 5 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 5 } , \ \Omega _ { 1 0 , 6 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 6 } , \ \Omega _ { 1 0 , 7 } ^ { \{ 2 \} } = - c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} \times 2 } \beta _ { 7 } } \\ { \Omega _ { 1 1 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { = - \left( \Omega _ { 1 1 , 8 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 1 1 , 9 } ^ { \{ 2 \} } + \Omega _ { 1 1 , 1 0 } ^ { \{ 2 \} } \right) , \ \Omega _ { 1 1 , 8 } ^ { \{ 2 \} } = \beta _ { 8 } , \ \Omega _ { 1 1 , 9 } ^ { \{ 2 \} } = \beta _ { 9 } , \ \Omega _ { 1 1 , 1 0 } ^ { \{ 2 \} } = \beta _ { 1 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { D } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \mapsto \tilde { D } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } + \lambda ( u m _ { x } + v m _ { y } ) \sigma _ { x } - \lambda ( w m _ { x } + z m _ { y } ) \sigma _ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } ( D _ { i } ) ^ { \lambda _ { i } } \right] } & { \exp ( \sum _ { n = 2 } ^ { 2 k } c _ { F } ^ { ( n ) } m _ { ( n ) } ( \Vec { z } ) ) \Bigr | _ { z _ { 1 } , . . . , z _ { M } = 0 } } \\ & { = \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } ( D _ { i } ) ^ { \lambda _ { i } } \right] \prod _ { t = 1 } ^ { M } \exp ( \sum _ { n = 2 } ^ { 2 k } c _ { F } ^ { ( n ) } ( z _ { t } ^ { n } ) ) \Bigr | _ { z _ { 1 } , . . . , z _ { M } = 0 } . } \end{array}
C \left( \hat { x } _ { 1 } \cdot \hat { x } _ { 2 } ; \sigma \right) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } a _ { l } ^ { 2 } P _ { l } \left( \hat { x } _ { 1 } \cdot \hat { x } _ { 2 } \right) e ^ { - ( l + 1 / 2 ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } }
{ \begin{array} { r l } { \gamma + \zeta ( 2 ) } & { = \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { \left\lfloor { \sqrt { k } } \right\rfloor ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { k } } \right) } \\ & { = \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } { \frac { k - \left\lfloor { \sqrt { k } } \right\rfloor ^ { 2 } } { k \left\lfloor { \sqrt { k } } \right\rfloor ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 \cdot 2 } { \frac { k } { k + 2 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 \cdot 2 } { \frac { k } { k + 3 ^ { 2 } } } + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { D } _ { x y } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \\ & { } & { = { \bf 1 } \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) - i \sigma _ { 1 } \cos \left( { \it \Delta \phi } \right) \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ & { } & { - i \sigma _ { 2 } \sin \left( { \it \Delta \phi } \right) \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ & { } & { = \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) { \bf 1 } - i \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \exp ( - i { \it \Delta \phi } ) } \\ { \exp ( + i { \it \Delta \phi } ) } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - B } } \\ { { B } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \dot { V } _ { \mathrm { e v e n } } } } \\ { { \dot { V } _ { \mathrm { o d d } } } } \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array} { c c } { { - { \frac { 1 } { 2 } } B ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } B ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \ddot { V } _ { \mathrm { e v e n } } } } \\ { { \ddot { V } _ { \mathrm { o d d } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \overline { { g } } _ { T } = \frac { g _ { 2 } + g _ { 3 } + g _ { 4 } } { 3 } , \quad \overline { { g } } _ { j } = \frac { g _ { 1 } + g _ { 2 } + g _ { 3 } + g _ { 4 } } { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } ( \varepsilon , r ) = } & { \sqrt 2 \mathcal { Q } _ { 1 } ( \Delta ( \varepsilon , r ) ) \left[ \ln \left( \varepsilon + \lambda ( \Delta ( \varepsilon , r ) ) + \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } + 2 \lambda ( \Delta ( \varepsilon , r ) ) \varepsilon } \right) - \ln \lambda ( \Delta ( \varepsilon , r ) ) \right] } \\ & { \qquad + J ( \Delta ( \varepsilon , r ) , \varepsilon ) , } \end{array}
\bigg | \int _ { 0 } ^ { \tilde { X } \wedge x _ { 1 } } \frac { \Lambda ( d u | \mathbf { A } ) } { S ( u | \mathbf { A } ) G ( u | \mathbf { A } ) } - \int _ { 0 } ^ { \tilde { X } \wedge x _ { 2 } } \frac { \Lambda ( d u | \mathbf { A } ) } { S ( u | \mathbf { A } ) G ( u | \mathbf { A } ) } \bigg | \leq \frac { | S ( x _ { 1 } | \mathbf { A } ) - S ( x _ { 2 } | \mathbf { A } ) | } { \operatorname* { i n f } _ { u \in I } S ( u | \mathbf { A } ) ^ { 2 } G ( u | \mathbf { A } ) }
\partial _ { t } \, S ( t , \vec { x } , \vec { p } ) + \frac { \vec { p } } { m } \cdot \nabla \, S ( t , \vec { x } , \vec { p } ) + \dot { \vec { p } } \cdot \partial _ { \vec { p } } S ( t , \vec { x } , \vec { p } ) = \mathcal { C } \mathrm { e } ^ { - S ( t , \vec { x } , \vec { p } ) } \equiv \mathcal { C } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { \frac { d \hat { c } } { d t } } & { = } & { ( i \Delta _ { c } + \sum _ { j = x , y } i G _ { j } \hat { q } _ { j } - \kappa ) \hat { c } + \eta + \sqrt { 2 \kappa } \hat { c } _ { i n } , } \\ { \frac { d \hat { q } _ { j } } { d t } } & { = } & { \omega _ { j } \hat { p } _ { j } , ( j = x , y ) } \\ { \frac { d \hat { p } _ { j } } { d t } } & { = } & { - \omega _ { j } \hat { q } _ { j } + G _ { j } \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } + S _ { j } c o s ( \delta _ { j } t + \phi _ { j } ) } \\ & { } & { - \gamma _ { j } \hat { p _ { j } } + \hat { F } _ { j } , ( j = x , y ) . } \end{array}