harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \dot { s } _ { x } } & { = ( \omega _ { B } - 2 \Delta _ { - 1 } \tilde { V } ) s _ { y } } \\ { \dot { s } _ { y } } & { = ( 2 \Delta _ { - 1 } \tilde { V } - \omega _ { B } ) s _ { x } - 2 \Omega _ { - 1 } \tilde { V } s _ { z } } \\ { \dot { s } _ { z } } & { = 2 \Omega _ { - 1 } \tilde { V } s _ { y } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \hat { s } _ { r } ( \boldsymbol k ) } & { = \sum _ { \boldsymbol k _ { 1 } } \hat { \boldsymbol u } _ { r } ( \boldsymbol k - \boldsymbol k _ { 1 } ) \cdot i k _ { 1 } \hat { \boldsymbol u } _ { r } \left( \boldsymbol k _ { 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol k _ { 1 } } \hat { \boldsymbol u } ( \boldsymbol k - \boldsymbol k _ { 1 } ) \cdot i \boldsymbol k _ { 1 } \hat { \boldsymbol u } ( \boldsymbol k _ { 1 } ) \cdot \exp \left( - i ( \boldsymbol k - \boldsymbol k _ { 1 } ) \cdot \boldsymbol r \right) \cdot \exp \left( - i \boldsymbol k _ { 1 } \cdot \boldsymbol r \right) } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol k _ { 1 } } \hat { \boldsymbol u } \left( \boldsymbol k - \boldsymbol k _ { 1 } \right) \cdot i \boldsymbol k _ { 1 } \hat { \boldsymbol u } \left( \boldsymbol k _ { 1 } \right) \exp ( - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r ) } \\ & { = \hat { s } ( \boldsymbol k ) \cdot \exp ( - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r ) . } \end{array}
{ \cal L } _ { Y } = \frac { \sqrt { 2 } } { \vert v _ { \rho } \vert } \, \bar { E } _ { L } ( { \cal O } _ { L } ^ { E } ) ^ { T } { \cal O } _ { L } ^ { e } M ^ { e } \, e _ { L } \rho ^ { + + } + \frac { \sqrt { 2 } } { \vert v _ { \chi } \vert } e ^ { - i \theta _ { \chi } } \bar { e } _ { L } ( { \cal O } _ { L } ^ { e } ) ^ { T } { \cal O } _ { L } ^ { E } M ^ { E } \, E _ { L } L \chi ^ { + + } + H . c . ,
\begin{array} { r l } { H ( F _ { \lambda } ) ( w ) } & { = \nabla ^ { 2 } F _ { \lambda } ( w ) = 2 \lambda _ { 2 } \mathbb { E } [ R R ^ { T } ] - 6 \lambda _ { 3 } \mathbb { E } [ R R ^ { T } \langle R , w \rangle ] + 1 2 \lambda _ { 4 } \mathbb { E } [ R R ^ { T } \langle R , w \rangle ^ { 2 } ] } \\ & { = \mathbb { E } [ ( 2 \lambda _ { 2 } - 6 \lambda _ { 3 } \langle R , w \rangle + 1 2 \lambda _ { 4 } \langle R , w \rangle ^ { 2 } ) R R ^ { T } ] } \\ & { = \mathbb { E } [ 2 \Phi _ { \lambda } ( R , w ) R R ^ { T } ] , } \end{array}
S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x , z ) \equiv S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x , z , c _ { 1 } ) = \sqrt { \eta } \, \mathrm { e } ^ { i \arg ( c _ { 1 } ) } \, S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x , z , 1 )
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 4 } ( x , t ) } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \\ & { \times \left( \frac { 1 - \exp ( - C ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) t ) } { ( C \sigma _ { i } - \frac { k } { \xi } ) ( C ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } } & { : = \xi _ { \mathrm { N O B } } ( p _ { m } , T _ { m } , \Delta T ) \, , } \\ { \xi _ { 2 } } & { : = \xi _ { \mathrm { N O B } } ( p _ { m } , T _ { m } , \Delta T , \varepsilon _ { 2 k + 1 } ) \quad \mathrm { f o r } \quad k = 0 , . . . , 4 \, , } \\ { \xi _ { 3 } } & { : = \xi _ { \mathrm { N O B } } ( p _ { m } , T _ { m } , \Delta T , \varepsilon _ { k } ) \quad \mathrm { f o r } \quad k = 1 , . . . , 1 0 \, . } \end{array}
\Delta \Phi _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } \approx \sqrt { 2 S _ { \Delta \Phi } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } } \left[ 3 \tau _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ^ { - 1 / 2 } + ( \tau _ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } \tau _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ) ^ { - 1 / 4 } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { d V _ { i } ( t ) } { d t } = 0 } & { { } \Longleftrightarrow ( i _ { e x t } + \gamma ( \bar { v } - V _ { i } ( t ) ) - W _ { i } ( t ) ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } B _ { i j } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } B _ { i j } ( V _ { j } ( t ) - V _ { i } ( t ) ) = 0 } \end{array}
\operatorname* { d e t } \overline { { r _ { 1 , \psi } ^ { i } } } \left( { \operatorname { A r t } } _ { F _ { { \tilde { v } } } } ( \varpi _ { \tilde { v } } ) \right) = \operatorname* { d e t } ( \bar { \rho } _ { \mathfrak { m } } \otimes \overline { { \psi } } ) ( { \operatorname { A r t } } _ { F _ { \tilde { v } } } ( \varpi _ { \tilde { v } } ) ) .
M _ { 0 } ( s ) = \int _ { 0 } ^ { s } w _ { a } ( s ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } s ^ { \prime } , \qquad M _ { 1 } ( s ) = \int _ { 0 } ^ { s } s ^ { \prime } w _ { a } ( s ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } s ^ { \prime } .
\alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 2 \pi } { ( 3 3 - 2 N _ { f } ) \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } } } [ 1 - { \frac { 6 ( 1 5 3 - 1 9 N _ { f } ) { \ln \ln { Q ^ { 2 } / { \Lambda ^ { 2 } } } } } { { ( 3 3 - 2 N _ { f } ) } ^ { 2 } \ln { Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } } } ] ,
< \phi _ { \omega } , \phi _ { \sigma } > = \int _ { \Sigma } \sqrt { h } d ^ { D - 1 } x \left[ ( \omega + \sigma ) \phi _ { \omega } ^ { * } \phi _ { \sigma } + i \phi _ { \omega } ^ { * } a ^ { i } ( \nabla _ { i } + i \sigma a _ { i } ) \phi _ { \sigma } - i ( \nabla _ { i } - i \omega a _ { i } ) \phi _ { \omega } ^ { * } a ^ { i } \phi _ { \sigma } \right] ~ ~ ~ ,
\left\{ \begin{array} { l } { \rho ( \phi ) ( u _ { t } + u \cdot \nabla u ) + \nabla p = \nabla \cdot ( \mu \nabla u - \lambda \nabla \phi \otimes \nabla \phi ) \, , } \\ { \qquad \qquad \nabla \cdot u = 0 \, , } \\ { ( \dot { \phi } = ) \, \phi _ { t } + u \cdot \nabla \phi = \gamma ( \lambda \Delta \phi - \lambda f ^ { \prime } ( \phi ) - \rho ^ { \prime } ( \phi ) \frac { \mid u \mid ^ { 2 } } { 2 } ) \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( ) } & { \Longleftrightarrow \omega ( e _ { k } , ( j - i ) e _ { i + j } ) + \omega ( e _ { j } , ( i - k ) e _ { i + k } ) + \omega ( e _ { i } , ( k - j ) e _ { j + k } ) = 0 } \\ & { \Longleftrightarrow ( j - i ) \lambda _ { k , i + j } + ( i - k ) \lambda _ { j , i + k } + ( k - j ) \lambda _ { i , j + k } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \partial } _ { t } \hat { N } _ { e } + \{ \hat { \phi } , \hat { N } _ { e } \} \; = } & { { } \lambda _ { c } \hat { \Lambda } _ { c } \; + } & { \lambda _ { B } \hat { \Lambda } _ { B e } + \lambda _ { S } \hat { \Lambda } _ { S e } } \\ { \hat { \partial } _ { t } \hat { N } _ { i } + \{ \hat { \phi } _ { i } , \hat { N } _ { i } \} \; = } & { { } } & { \lambda _ { B } \hat { \Lambda } _ { B i } + \lambda _ { S } \hat { \Lambda } _ { S i } } \\ { \frac { 1 } { \tau _ { i } } \left( \Gamma _ { 0 i } - 1 \right) \hat { \phi } = } & { { } \hat { \sigma } } & { } \end{array}
\mathcal { F } _ { a } : = \{ \boldsymbol { a } \in \mathbb { R } ^ { r _ { i + 1 } - d } \mathrm { ~ } | \mathrm { ~ } \widetilde { \Phi } _ { i + 1 } \boldsymbol { a } \in \mathcal { S } ( | | \widetilde { \boldsymbol { a } _ { i } } | | ) \}
\chi ^ { 2 } = \sum _ { i } ^ { N } \frac { ( t _ { 0 } + \tau _ { i j } - t _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \sigma _ { \tau ( j , p _ { i } ) } ^ { 2 } } = \sum _ { i } ^ { N } \frac { ( t _ { 0 } + \tau _ { i j } - t _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { i j } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Vert x _ { k } - \tilde { x } _ { k } \Vert ^ { p } } & { \leq \mathbb { E } \left[ \Vert M _ { k } ( x _ { k - 1 } - \tilde { x } _ { k - 1 } ) \Vert ^ { p } \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \Vert M _ { k } \Vert ^ { p } \right] \mathbb { E } \left[ \Vert x _ { k - 1 } - \tilde { x } _ { k - 1 } \Vert ^ { p } \right] = \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) \mathbb { E } \left[ \Vert x _ { k - 1 } - \tilde { x } _ { k - 1 } \Vert ^ { p } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { d ( A / i ) } = } & { { } \hat { t } _ { d i } \left( \frac { { n _ { i } } _ { 0 } } { { n _ { i } } } \right) ^ { \frac { \gamma _ { i } + 1 } { 2 } } \left( 1 + a _ { \gamma i } \frac { | { u _ { d } } - { u _ { i } } | ^ { 2 } } { c _ { s i } ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac 1 2 } } \\ { \zeta _ { s ( A / i ) } = } & { { } \frac { 1 + \gamma _ { i } + 2 a _ { \gamma i } \hat { w } _ { i } ^ { 2 } } { 2 ( 1 + a _ { \gamma i } \hat { w } _ { i } ^ { 2 } ) } } \\ { \zeta _ { w ( A / i ) } = } & { { } \frac { a _ { \gamma i } \hat { w } _ { i } ^ { 2 } } { 1 + a _ { \gamma i } \hat { w } _ { i } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } & { : = a _ { i , j } ( 1 + \phi _ { i , j } ^ { ( 0 ) } ) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \; \; \mathrm { f o r } \quad i , j = 1 , . . . , n , } \\ { \hat { a } _ { i , j } ^ { ( k + 1 ) } } & { : = \big [ \hat { a } _ { i , j } ^ { ( k ) } - s _ { i , k } \hat { a } _ { k , j } ^ { ( k ) } ( 1 + \theta _ { i , j } ^ { ( k ) } ) \big ] ( 1 + \phi _ { i , j } ^ { ( k ) } ) \quad \mathrm { f o r } \quad i , j = k , . . . , n , \; k = 1 , . . . , n - 1 . } \end{array}
2 \kappa ^ { 2 } S _ { \Phi } = { \frac { \kappa ^ { 2 } N } { 2 \pi g _ { s } } } \, { \frac { 1 } { \sqrt { G _ { \Omega \Omega } } } } \left( { \frac { 3 } { 4 } } { e ^ { 3 \Phi ( r ) / 4 } } \mu _ { 6 } + { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { e ^ { - \Phi ( r ) / 4 } } { V _ { \mathrm { E } } ( r ) } } \mu _ { 2 } \right) \, .
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { = - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + 2 \left[ \left( { \frac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 1 } } } + I _ { 1 } ~ { \frac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 2 } } } \right) { \boldsymbol { B } } - { \frac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] } \\ & { = - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + 2 \left[ \left( { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + I _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } - { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } \cdot { \bar { \boldsymbol { B } } } \right] } \\ & { = - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + \lambda _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 1 } } } ~ \mathbf { n } _ { 1 } \otimes \mathbf { n } _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 2 } } } ~ \mathbf { n } _ { 2 } \otimes \mathbf { n } _ { 2 } + \lambda _ { 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } } ~ \mathbf { n } _ { 3 } \otimes \mathbf { n } _ { 3 } } \end{array} }
\mathbf { M } ^ { D } = M _ { D } \mathbf { R } ^ { D } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) ( \mathbf { R } ^ { D } ) ^ { T } ,
d \widetilde { A } _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } = \left( \frac { M _ { \alpha , i } M _ { \beta , j \ast } M _ { \alpha , k } ^ { \prime } M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } \right) ^ { 1 / 2 } d A _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta }
\rho _ { i } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } = \lambda _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { R 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } a _ { i j } [ 1 - \rho _ { i } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ] \rho _ { j } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ,
\begin{array} { r } { D _ { 1 / \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) ^ { m } } ( p ^ { \boxtimes _ { d } m } ) ( x ) \rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { d } - d x ^ { d - 1 } , } & { \widetilde { a } _ { 2 } ( p ) < \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) ^ { 2 } } \\ { ( x - 1 ) ^ { d } , } & { \widetilde { a } _ { 2 } ( p ) = \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) ^ { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
f _ { m } = 2 \frac { U _ { m + 1 } } { U _ { m } } \Big ( \frac { 2 \pi m _ { e } k _ { B } T } { h ^ { 2 } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \exp \Big ( - \frac { I _ { m } } { k _ { B } T } \Big ) .
{ \begin{array} { r l } { f _ { X } ( x , 1 , \lambda ) } & { = { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { x } } } } \left( \phi ( { \sqrt { x } } - { \sqrt { \lambda } } ) + \phi ( { \sqrt { x } } + { \sqrt { \lambda } } ) \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi x } } } e ^ { - ( x + \lambda ) / 2 } \cosh ( { \sqrt { \lambda x } } ) , } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } ~ E \big ( \psi ( \cdot , t ) \big ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \big [ \frac { 1 } { 2 } | \nabla \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } + V ( \mathbf { x } | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } ) + \frac { \beta } { 2 } | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 4 } \big ] d \mathbf { x } , } \\ & { ~ \mathrm { s . t . } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } d \mathbf { x } = 1 , ~ E \big ( \psi ( \mathbf { x } , t ) \big ) < \infty , } \end{array}
J _ { m n } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { A ^ { 4 } } \eta _ { n m } \Gamma ( \frac { \epsilon } { 2 } ) \int \frac { d x d y d z \delta ( 1 - x - y - z ) } { { ( a _ { 2 } x + a _ { 3 } ( y + z ) - p ^ { 2 } { ( x + y ) } ^ { 2 } ) } ^ { \epsilon / 2 } }
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 1 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 3 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] } { \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 1 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 3 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] } = \frac { \hat { V } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \hat { V } ^ { ( 3 ) } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) } { \hat { V } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \hat { V } ^ { ( 3 ) } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) } } \\ { \displaystyle \frac { \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 2 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 3 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] } { \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 2 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 3 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] } = \frac { \hat { V } ^ { ( 2 ) } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \hat { V } ^ { ( 3 ) } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) } { \hat { V } ^ { ( 2 ) } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \hat { V } ^ { ( 3 ) } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) } } \end{array} \right.
\int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \frac { l _ { E } ^ { D - 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 4 n + 2 } } = \frac { \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) \Gamma \big ( 4 n + 2 - \frac { D } { 2 } \big ) } { 2 \Delta ^ { 4 n + 2 - \frac { D } { 2 } } \Gamma ( 4 n + 2 ) } \, \, \, \, \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, \, 0 < D < 8 n + 4 \, .
\begin{array} { r l r } { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] } & { { } = } & { \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } \hat { H } ^ { ( 0 ) } | N \rangle \Big ] } \end{array}
b ^ { [ 3 ] } \circ _ { r ( b \circ b ^ { * } ) } b ^ { [ 3 ] } \equiv \left\{ \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { t ^ { 3 } } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { t ^ { 3 } } & { 0 } \end{array} \right) \right\} = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { t ^ { 3 } } & { 0 } \end{array} \right) ^ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\eta = \left\{ \begin{array} { l l } { \nu ( 1 + \chi + \frac { 1 } { 2 } \chi ^ { 2 } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \tilde { \nu } < 0 } \\ { \nu ( 1 + \chi ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \tilde { \nu } \geq 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \hat { J } _ { z } = \frac { 1 } { 2 } \int d \tau \left[ \hat { S } _ { 1 1 } ( \sigma ) - \hat { S } _ { 3 3 } ( \sigma ) \right] , } \\ & { \hat { J } _ { x } = \frac { 1 } { 2 } \int d \tau \left[ \hat { S } _ { 1 3 } ( \sigma ) + \hat { S } _ { 3 1 } ( \sigma ) \right] , } \\ & { \hat { J } _ { y } = \frac { i } { 2 } \int d \tau \left[ \hat { S } _ { 1 3 } ( \sigma ) - \hat { S } _ { 3 1 } ( \sigma ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \beta } ( \theta ) } & { \equiv - ( { \mathcal { H } } _ { B } ) ^ { \dagger } ( { \mu ^ { * } } ( \theta ) - { \bar { \mu } ^ { * } } ) , } \\ { D _ { \small \textsc { { R E V } } } ( \theta ) } & { \equiv p ^ { * } ( \theta ) - { \small \textsc { { R E V } } } ^ { * } + ( { \bar { \mu } ^ { * } } ) ^ { \top } D _ { \beta } ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { t } \langle b \rangle = } & { { } - ( \gamma _ { c } + i \nu ) \langle b \rangle + N g ^ { * } \langle v ^ { \dagger } c \rangle } \\ { d _ { t } \langle c ^ { \dagger } v \rangle = } & { { } - ( \gamma - i \nu _ { \epsilon } ) \langle c ^ { \dagger } v \rangle + g ^ { * } \langle b ^ { \dagger } \rangle ( 2 \langle c ^ { \dagger } c \rangle - 1 ) } \\ { d _ { t } \langle c ^ { \dagger } c \rangle = } & { { } r ( 1 - \langle c ^ { \dagger } c \rangle ) - ( \gamma _ { n r } + \gamma _ { n l } ) \langle c ^ { \dagger } c \rangle } \\ { d _ { t } \delta \langle b c ^ { \dagger } v \rangle = } & { { } - ( \gamma _ { c } + \gamma - i \Delta \nu ) \delta \langle b c ^ { \dagger } v \rangle } \\ { d _ { t } \delta \langle b ^ { \dagger } b \rangle = } & { { } - 2 \gamma _ { c } \delta \langle b ^ { \dagger } b \rangle + 2 N \Re \left( g \delta \langle b c ^ { \dagger } v \rangle \right) , } \end{array}
a ^ { T } \equiv \sum _ { k = 0 } ^ { N ( a ) } ( - 1 ) ^ { k } D ^ { k } a _ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { N ( a ) } \sum _ { m = k } ^ { N ( a ) } ( - 1 ) ^ { m } { \binom { m } { n } } D ^ { m - k } ( a _ { m } ) D ^ { k } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ^ { L } ( f ) } & { { } = \mathcal { P } _ { x y } \frac { \partial f } { \partial y } + \mathcal { P } _ { y z } \frac { \partial f } { \partial z } \simeq i \mathcal { P } ^ { x y } k _ { y } f , } \\ { \mathcal { C } ^ { L } ( f ) } & { { } = \mathcal { C } ^ { y } \frac { \partial f } { \partial y } + \mathcal { C } ^ { z } \frac { \partial f } { \partial z } \simeq i \mathcal { C } ^ { y } k _ { y } f , } \\ { ( \nabla _ { \perp } ^ { 2 } ) ^ { L } f } & { { } = \mathcal { N } ^ { y y } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } } + \mathcal { N } ^ { y } \frac { \partial f } { \partial y } \simeq - \mathcal { N } ^ { y y } k _ { y } ^ { 2 } f , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert } & { { } \leq \big \vert \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } \left( \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) + \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \right) ( \boldsymbol { x } ) } \end{array}
\Gamma \left( x _ { k } \right) = \Gamma \left( \tilde { x } _ { k } \right) + \left. \frac { \partial \Gamma } { \partial x _ { k } } \right| _ { x _ { k } = \tilde { x } _ { k } } \left( x _ { k } - \tilde { x } _ { k } \right) + o \left( x _ { k } - \tilde { x } _ { k } \right)
[ a _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \xi , \nu ) , a _ { \lambda ^ { \prime \prime } \lambda ^ { \prime \prime \prime } } ^ { \dag } ( \xi ^ { \prime } , \nu ) ] = c _ { \nu } \delta _ { \lambda \lambda ^ { \prime \prime } } \delta _ { \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime \prime } } \frac { \xi ^ { 0 } } { | \xi ^ { 4 } | } \delta ^ { 3 } ( \vec { \xi } - \vec { \xi } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } & { c h ^ { * } ( u ) - \frac { 1 1 } { 1 5 } h ( u ) } \\ & { \geq c h ( u ) - \frac { 1 1 } { 1 5 } h ( u ) - ( \frac { 1 } { 3 } + \frac { 2 } { 1 5 } \times 2 ) r _ { 1 } ( u ) - \frac { 2 } { 1 5 } b ( u ) + \frac { 1 } { 2 } ( r _ { 2 } ( u ) + r _ { 3 } ( v ) ) - \frac { 7 } { 2 6 } t ( u ) + \frac { 1 7 } { 1 3 } } \\ & { \geq c h ( u ) - \frac { 1 1 } { 1 5 } h ( u ) - \frac { 3 } { 5 } r _ { 1 } ( u ) - \frac { 2 } { 1 5 } b ( u ) + \frac { 1 } { 2 } ( r _ { 1 } ( u ) + h ( u ) + b ( u ) + t ( u ) - 1 ) - \frac { 7 } { 2 6 } t ( u ) + \frac { 1 7 } { 1 3 } } \\ & { = d ( u ) - \frac { 7 } { 3 0 } h ( u ) - \frac { 1 } { 1 0 } r _ { 1 } ( u ) + \frac { 1 1 } { 3 0 } b ( u ) + \frac { 3 } { 1 3 } t ( u ) - \frac { 8 3 } { 2 6 } } \\ & { \geq d ( u ) - \frac { 7 } { 3 0 } ( h ( u ) + r _ { 1 } ( u ) ) - \frac { 8 3 } { 2 6 } } \\ & { \geq d ( u ) - \frac { 7 } { 3 0 } \times \frac { d ( u ) } { 2 } - \frac { 8 3 } { 2 6 } } \\ & { > 0 , } \end{array}
\int _ { M } { \frac { \omega ^ { N } } { N ! } } \exp \left( - \rho J _ { X } \right) = \sum _ { m _ { c } } { \frac { \exp \left\{ - \rho J _ { X } \left( m _ { c } \right) \right\} } { \rho ^ { N } D \left( m _ { c } \right) } } \ , \ d H \left( m _ { c } \right) = 0 \ , \ m _ { c } \in M \ ,
2 9 c V _ { 2 } = - ( 4 / 3 \pi ^ { 2 } ) [ b _ { 0 } + 2 \gamma _ { E } b _ { 1 } + ( 4 \gamma _ { E } ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } ) b _ { 2 } ] ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l } { a _ { 0 , 0 } } & & { 0 } & & { a _ { 2 , 0 } } & & { 0 } & & { a _ { 4 , 0 } } & { \cdots } & { 0 } & & & { a _ { m - 1 , 0 } } & \\ & { a _ { 0 , 0 } { \bf I } } & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { 1 , 1 } { \bf J } } & & { a _ { 2 , 0 } { \bf I } } & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { 3 , 1 } { \bf J } } & & { \dots } & & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 2 , 1 } { \bf J } } & & { a _ { m - 1 , 0 } { \bf I } } \end{array} \right] \; . } \end{array}
{ \vec { \jmath } } = { \vec { \jmath } } _ { 0 } + { \vec { s } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { c } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { p } } \, t ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { x } ( t + 1 ) } & { { } = \boldsymbol { M } \boldsymbol { x } ( t ) + \boldsymbol { B } \boldsymbol { \xi } ( t ) } \\ { \small { \textit { w i t h } } ~ \boldsymbol { M } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { a } & { \epsilon } & { 0 } \\ { a } & { a } & { 0 } \\ { a } & { 0 } & { a } \end{array} \right) ; } \\ { \boldsymbol { B } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { b } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { b } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { b } \end{array} \right) ; } \\ { \xi _ { i } ( t ) } & { { } \overset { \mathrm { i i d } } { \sim } \mathcal { N } ( 0 , 1 ) , ~ i = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { d } } & { ( t ) \approx \frac { 1 + \xi _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } / 2 } { 2 } \frac { 1 } { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \beta _ { \perp } ^ { 2 } ( 0 ) t } \\ & { + \left( 1 + \frac { \xi _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } { 2 } \right) \left( \frac { 2 } { 3 } \frac { r _ { q } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \xi _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } { \gamma _ { 0 } } t ^ { 2 } + \frac { 8 } { 2 7 } r _ { q } ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 4 } \xi _ { \mathrm { e f f } } ^ { 4 } t ^ { 3 } \right) \, . } \end{array}
f _ { G } ( g ) = \frac { \alpha } { | g | } \left( \frac { \beta \sigma _ { \bar { P } } } { | g | } \right) ^ { \alpha } \frac { e ^ { z ^ { 2 } ( g ) / 4 - \mu _ { \bar { P } } ^ { 2 } / ( 2 \sigma _ { \bar { P } } ^ { 2 } ) } } { \sqrt { 2 \pi } } D _ { - \alpha - 1 } ( z ( g ) ) .
\ensuremath { \frac { \partial s _ { n } } { \partial r _ { c } ^ { k } } } \Bigr | _ { ( \ensuremath { \mathbf { y } } ; \ensuremath { \mathbf { x } } , \boldsymbol { \lambda } , \textbf { l } , \textbf { c } ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } \ensuremath { \frac { \partial \phi } { \partial r _ { c } ^ { k } } } \Bigr | _ { r ( \ensuremath { \mathbf { y } } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \textbf { l } ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } ^ { j } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial r _ { p } ^ { j } \partial r _ { c } ^ { k } } \Bigr | _ { r ( \ensuremath { \mathbf { y } } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \textbf { l } ) } ,