harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { o } } f ( G , o , i ) \right) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } P ( k ) \mathbb { E } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k d } f ( G , o , i ) \big | N _ { o } = k d \right) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } k d P ( k ) \mathbb { E } \left( f ( G , o , 1 ) \big | N _ { o } = k d \right) . } \end{array}
\sigma _ { i j } ( z , m _ { t } ^ { 2 } , s _ { 0 } ) = \int _ { s _ { 0 } } ^ { s - 2 m _ { t } \sqrt { s } } d s _ { 4 } \; e ^ { { \bar { E } } ( s _ { 4 } ) } \; { \frac { d \sigma _ { i j } ^ { ( 0 ) } } { d s _ { 4 } } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P D F } _ { i } ( { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } , r ) } & { { } = } & { \frac { N _ { i } ( { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } , r ) } { \Delta { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } \sum _ { { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } } N _ { i } ( { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } , r ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta \stackrel { \mathrm { g e n . } } { \otimes } \frac { d \mu _ { x _ { 1 } } } { d | \mu _ { x _ { 1 } } | } \, | \mu _ { x _ { 1 } } | = \eta \stackrel { \mathrm { g e n . } } { \otimes } \mu _ { x _ { 1 } } = \mu = \frac { d \mu } { d | \mu | } \, | \mu | = \eta \stackrel { \mathrm { g e n . } } { \otimes } \frac { d \mu } { d | \mu | } ( x _ { 1 } , \cdot ) \, | \mu _ { x _ { 1 } } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \hat { \vec { x } } , \vec { x } _ { T } ) \, } & { { } = \, \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ M ~ A ~ E ~ } } ( \hat { \vec { x } } , \vec { x } _ { T } ) \, + \, \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ S ~ I ~ M ~ } } ( \hat { \vec { x } } , \vec { x } _ { T } ) \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \vec { r } } ( \tau ) } & { { } = } & { { \vec { b } } + { \vec { k } } \tau + { \cal O } ( G ) , \qquad \mathrm { w i t h } \qquad r ( \tau ) \equiv | { \vec { x } } ( \tau ) | = \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } + { \cal O } ( G ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \bigg \| ^ { 2 } } & { \overset { ( a ) } { \leq } \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \nu _ { t } ^ { ( m ) } ] - \nabla h ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \nu _ { t } ^ { ( m ) } ] - \mu _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| \mu _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla h ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \frac { \hat { L } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \mathbb { E } \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { \bar { x } _ { t } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ) + 2 G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 \hat { L } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \mathbb { E } \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } + y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } - y _ { \bar { x } _ { t } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ) + 2 G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 \hat { L } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \bigg ( 1 + 2 \kappa ^ { 2 } \bigg ) \mathbb { E } \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ) + + 2 G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
m _ { a _ { 1 } ^ { \prime } , \tilde { s } \tilde { s } } ^ { 2 } - m _ { \varphi ^ { \prime } } ^ { 2 } \simeq \frac 3 2 \left( m _ { \sigma ^ { \prime } , \tilde { s } \tilde { s } } ^ { 2 } - m _ { ( \eta ) ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } } & { { } = u _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } + \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) w _ { i } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 } - \left\lfloor \frac { w _ { i } } { L _ { i } } - \frac { w _ { i } } { L _ { i + 1 } } + \frac { \sigma _ { w } R _ { i + 1 } } { L _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } \, . } \end{array}
= \; \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { l } } \left( \frac { - 1 } { 2 L } \right) ^ { l } \exp \left( \frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 } e ^ { 2 } \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } p \; \frac { 1 } { p ^ { 2 } + m _ { d } ^ { 2 } } \; \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \; \sin ^ { 2 } ( p _ { 1 } L ) \right)
\begin{array} { r l } { 0 } & { = b _ { 1 } ^ { \mathcal D _ { k G } } ( G ) - b _ { 1 } ^ { \mathcal D _ { k H } } ( H ) + b _ { 1 } ^ { \mathcal D _ { k A } } ( A ) - b _ { 2 } ^ { \mathcal D _ { k G } } ( G ) + b _ { 2 } ^ { \mathcal D _ { k H } } ( H ) } \\ & { = b _ { 1 } ^ { \mathcal D _ { k G } } ( G ) - b _ { 2 } ^ { \mathcal D _ { k G } } ( G ) + b _ { 2 } ^ { \mathcal D _ { k H } } ( H ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) \! = \! \frac { g _ { \mathrm { s } } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \! \int \! \frac { \rho _ { 0 } \left( H _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) \right) - \rho _ { 0 } \left( H _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } + \mathbf { q } ) \right) } { H _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) - H _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } + \mathbf { q } ) + E } \mathrm { d } \mathbf { p } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { { f } _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } , \omega } ^ { \mathrm { ~ M ~ Z ~ I ~ } } = \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ x ~ } } { f } _ { - , \omega } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ ) ~ } } + i \kappa _ { \mathrm { ~ d ~ x ~ } } { f } _ { - , \omega } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 2 ~ ) ~ } } , } \\ { { f } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ } , \omega } ^ { \mathrm { ~ M ~ Z ~ I ~ } } = \left[ i \kappa _ { \mathrm { ~ d ~ x ~ } } { f } _ { - , \omega } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ ) ~ } } + \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ x ~ } } { f } _ { - , \omega } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 2 ~ ) ~ } } \right] e ^ { i \Delta \phi } \ , } \end{array} \right. } \end{array}
- \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } \left( \frac { B _ { x } ^ { 2 } + B _ { y } ^ { 2 } } { 2 } + P \right) + \frac { \partial B _ { x } } { \partial y } \frac { d \psi } { d x _ { 0 } } = 0 .
\begin{array} { r } { N \ge \frac { 3 2 B _ { \mathrm { m a x } } ^ { 4 } C _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 m } } { \varepsilon ^ { 4 } } \log \frac { 2 M } { \delta } = \mathrm { p o l y } \left( \frac { 1 } { \varepsilon } , \ B _ { \mathrm { m a x } } , \ \log \frac { M } { \delta } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Xi C ^ { + } } & { { } = } & { \int _ { { \cal C } ^ { + } } \left( \gamma _ { 1 } E _ { c } ( u + v t ^ { + } ) ~ \frac { d \rho } { d s } - ( \gamma u ( u + v t ^ { + } ) - 2 E _ { c } ) \frac { d \rho u } { d s } - ( \gamma v ( u + v t ^ { + } ) - 2 E _ { c } t ^ { + } ) \frac { d \rho v } { d s } + \gamma _ { 1 } ( u + v t ^ { + } ) \frac { d \rho E } { d s } \right) d s } \\ { \Xi C ^ { - } } & { { } = } & { \int _ { { \cal C } ^ { - } } \left( \gamma _ { 1 } E _ { c } ( u + v t ^ { - } ) ~ \frac { d \rho } { d s } - ( \gamma u ( u + v t ^ { - } ) - 2 E _ { c } ) \frac { d \rho u } { d s } - ( \gamma v ( u + v t ^ { - } ) - 2 E _ { c } t ^ { - } ) \frac { d \rho v } { d s } + \gamma _ { 1 } ( u + v t ^ { - } ) \frac { d \rho E } { d s } \right) d s , } \end{array}
\Psi _ { \pi } ( x , { \bf k } _ { \perp } ) = \frac { \sqrt { 6 } \, \pi } { f _ { \pi } } \exp \bigg [ - \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } } { 8 \pi f _ { \pi } ^ { 2 } \, x \, ( 1 - x ) } \bigg ] ,
\widetilde { \mathrm { ~ T ~ S ~ E ~ } } = \ln \sqrt { \frac { ( e - v _ { 0 } x _ { c } ) ^ { 2 } + ( 3 - v _ { 0 } y _ { c } ) ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 1 - v _ { 0 } x _ { c } ) ^ { 2 } + ( 1 - v _ { 0 } y _ { c } ) ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } } }
G _ { T } : = \left\{ \mathcal { R } \in \Omega \, : \, \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \left| \nabla \phi _ { L } ( t , e ^ { \prime } ) ( \mathcal { R } ) \right| \leq \frac { ( \ln T ) ^ { \frac { 1 } { r - 2 } } } { 2 C _ { G } } \right\} \bigcap \bigcap _ { k = 0 } ^ { \lfloor N T \rfloor } \left\{ X _ { k } ( y ) \in I _ { T } \right\} .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { E } } , \hat { \mathbf { b } } , \hat { \mathbf { c } } } & { { } = \arg \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { E } , { \mathbf { b } } , { \mathbf { c } } } \mathcal { L } ( { \mathbf { E } } , { \mathbf { b } } , { \mathbf { c } } | { \mathbf { A } } ) } \\ { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } : ~ ~ ~ c _ { d } \geq 0 , \forall d } & { { } = 1 , 2 , . . . , D } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { N } e _ { i d } } & { { } = 0 , \forall d = 1 , 2 , . . . , D } \\ { \big \| { \mathbf { E } } _ { : d } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } = N , \forall d = 1 , 2 , . . . , D } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { I } } _ { 1 } } & { { } = } & { J ^ { - \frac { 2 } { 3 } } I _ { 1 } } \\ { \overline { { I } } _ { 2 } } & { { } = } & { J ^ { - \frac { 4 } { 3 } } I _ { 2 } , } \end{array}
\sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } ( a _ { i } ^ { \nu } - \bar { a } _ { i } ^ { \nu } ) M _ { i j } ^ { \nu } ( a _ { j } ^ { \nu } - \bar { a } _ { j } ^ { \nu } ) + ( a _ { i } ^ { \bar { \nu } } - \bar { a } _ { i } ^ { \bar { \nu } } ) M _ { i j } ^ { \bar { \nu } } ( a _ { j } ^ { \bar { \nu } } - \bar { a } _ { j } ^ { \bar { \nu } } )
( \overline { { \sigma v } } ) _ { D T } ( s ) = 3 . 6 8 \times 1 0 ^ { - 1 8 } T _ { i } ^ { - 2 / 3 } ( s ) \exp ( - 1 9 . 9 4 T _ { i } ^ { - 1 / 3 } ( s ) ) \; \mathrm { ~ m ~ } ^ { 3 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ } ^ { - 1 } ,
I _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { ( 1 - x ) } \frac { 1 } { p ^ { 2 } - \frac { M ^ { 2 } } { x } - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 - x } } \stackrel { \lambda \rightarrow \infty } { \longrightarrow } \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } }
\left| \hat { V } _ { t s } \left( t \right) \right| ^ { 2 } = \left| \hat { V } _ { t s } ^ { 0 } \right| ^ { 2 } - \left( h ^ { 2 } - 1 \right) \left[ \frac { | \hat { V } _ { t b } ^ { 0 } | ^ { 2 } ( 1 - | \hat { V } _ { t b } ^ { 0 } | ^ { 2 } ) } { 1 + \left( h ^ { 2 } - 1 \right) | \hat { V } _ { t b } ^ { 0 } | ^ { 2 } } - \frac { | \hat { V } _ { t d } ^ { 0 } | ^ { 2 } ( 1 - | \hat { V } _ { t d } ^ { 0 } | ^ { 2 } ) } { h ^ { 2 } + \left( 1 - h ^ { 2 } \right) | \hat { V } _ { t d } ^ { 0 } | ^ { 2 } } \right] .
\Phi _ { 1 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { { 0 \atop u ( T ) } } \right) , \; \; \Phi _ { 2 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { { z ( T ) \atop w ( T ) } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { c } \frac { \partial I } { \partial t } + \frac { 1 } { \varepsilon } \vec { \Omega } \cdot \nabla I = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \sigma \left( \frac { 1 } { 4 \pi } \phi - I \right) , } \\ & { \frac { \partial C _ { v } T } { \partial t } = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \sigma \left( \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } I \mathrm { d } \vec { \Omega } - \phi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { M _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { L _ { 0 } ^ { 3 } } d L _ { 0 } - \frac { M _ { 1 } k _ { 1 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 3 } } d L _ { 1 } - \frac { M _ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 2 } ^ { 3 } } d L _ { 2 } + d U _ { 0 1 } + d U _ { 2 } } \\ & { = \frac { 2 M _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { L _ { 0 } ^ { 3 } } d L _ { 0 } - \frac { 2 M _ { 1 } k _ { 1 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 3 } } d L _ { 1 } - \frac { 2 M _ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 2 } ^ { 3 } } d L _ { 2 } } \\ & { + \left( \frac { \partial U _ { 0 1 } } { \partial r _ { 1 } } + \frac { \partial U _ { 2 } } { \partial r _ { 1 } } \right) \left( \frac { \partial r _ { 1 } } { \partial L _ { 1 } } d L _ { 1 } + \frac { \partial r _ { 1 } } { \partial \ell _ { 1 } } d \ell _ { 1 } \right) + \left( \frac { \partial U _ { 0 1 } } { \partial r _ { 0 } } + \frac { \partial U _ { 2 } } { \partial r _ { 0 } } \right) \left( \frac { \partial r _ { 0 } } { \partial L _ { 0 } } d L _ { 0 } + \frac { \partial r _ { 0 } } { \partial \ell _ { 0 } } d \ell _ { 0 } \right) } \\ & { + \frac { \partial U _ { 2 } } { \partial r _ { 2 } } \left( \frac { \partial r _ { 2 } } { \partial L _ { 2 } } d L _ { 2 } + \frac { \partial r _ { 2 } } { \partial \ell _ { 2 } } d \ell _ { 2 } \right) } \end{array}
\frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } \leqslant \frac { b _ { 3 } } { b _ { 1 } } \frac { \sin \frac { \left( 2 \alpha + \gamma - \mu \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \gamma + \mu \right) \pi } { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( 2 \alpha + \gamma - \mu \right) \pi } { 2 } } { \cos \frac { \left( \gamma + \mu \right) \pi } { 2 } } ,
W \gets - ( \theta _ { F } ^ { \mu } \theta _ { F } ^ { \nu } \mathsf { a } _ { \mu \nu } + \theta _ { F } ^ { \mu } \mathsf { b } _ { \mu } + \mathsf { c } ) + ( \theta _ { R } ^ { \mu } \theta _ { R } ^ { \nu } \mathsf { \tilde { a } } _ { \mu \nu } + \theta _ { R } ^ { \mu } \mathsf { \tilde { b } } _ { \mu } + \mathsf { \tilde { c } } )
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( r ) } & { \simeq \frac { 1 } { 2 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ K _ { 0 } ( \kappa r ) - \frac { 3 } { 4 ( \kappa r ) ^ { 2 } } + \frac { 3 K _ { 1 } ( \kappa r ) } { 4 \kappa r } \right] , } \\ { C _ { 2 } ( r ) } & { \simeq \frac { 3 } { 4 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \frac { 1 } { ( \kappa r ) ^ { 2 } } - \frac { K _ { 2 } ( \kappa r ) } { 2 } \right] , } \\ { C _ { 3 } ( r ) } & { \simeq \frac { \mu } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \kappa r K _ { 1 } ( \kappa r ) - 2 K _ { 0 } ( \kappa r ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau \partial _ { t } m _ { 1 } } & { { } = - 2 m _ { 1 } + \frac { 2 } { 3 } \alpha ( 1 - m _ { 2 } ) } \\ { \tau \partial _ { t } m _ { 2 } } & { { } = - 6 m _ { 2 } + \frac { 6 } { 5 } \alpha m _ { 1 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { O \left[ \mathbf { \bar { J } } _ { k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { 1 1 } } & { = } & { O \left[ \mathbf { \bar { J } } _ { k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { 2 2 } = P _ { m a x } , } \\ { O \left[ \mathbf { \bar { J } } _ { k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { 1 2 } } & { = } & { O \left[ \mathbf { \bar { J } } _ { k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { 2 1 } = 0 , } \\ { O \left[ \mathbf { \bar { J } } _ { k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { 1 3 } } & { = } & { O \left[ \mathbf { \bar { J } } _ { k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { 1 3 } = \frac { 1 } { 2 } \tilde { \alpha } _ { k } ^ { r } P _ { m a x } , } \\ { O \left[ \mathbf { \bar { J } } _ { k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { 2 3 } } & { = } & { O \left[ \mathbf { \bar { J } } _ { k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { 3 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \bar { \alpha } _ { k } ^ { r } P _ { m a x } , } \\ { O \left[ \mathbf { \bar { J } } _ { k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { 3 3 } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 } \left( \left| \tilde { \alpha } _ { k } ^ { r } \right| ^ { 2 } + \left| \bar { \alpha } _ { k } ^ { r } \right| ^ { 2 } \right) P _ { m a x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| { \Phi } \| _ { \mathrm { T H } ( \mathrm { d i v } , \partial D ) } = \| { \Phi } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D ) } + \| \nabla _ { \partial D } \cdot { \Phi } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D ) } , } \\ & { \| { \Phi } \| _ { \mathrm { T H } ( \mathrm { c u r l } , \partial D ) } = \| { \Phi } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D ) } + \| \nabla _ { \partial D } \cdot ( { \Phi } \times \nu ) \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D ) } , } \end{array}
( v , w ) \mapsto \frac { | | w | | _ { g _ { 1 } } ^ { 1 / 2 } } { | | v | | _ { g _ { 1 } } ^ { 1 / 2 } } \frac { w / | | w | | _ { g _ { 1 } } + v / | | v | | _ { g _ { 1 } } } { | | w / | | w | | _ { g _ { 1 } } + v / | | v | | _ { g _ { 1 } } | | _ { g _ { 1 } } } \cdot _ { g _ { 1 } } \frac { v } { | | v | | _ { g _ { 1 } } } \cdot _ { g _ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \log \left\lVert E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log d \left\lVert \tilde { \Pi } ( \hat { P } E _ { T } ^ { \theta } ) ^ { n } \tilde { \Pi } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \left\lVert \tilde { \Pi } ( \hat { P } E _ { T } ^ { \theta } ) ^ { n } \tilde { \Pi } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big | \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | } \\ { \le } & { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \vert \vert F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { \le } & { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } O _ { p } ( \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { 2 r } } ) \kappa _ { k } = O _ { p } ( 1 ) } \end{array}
\delta { \cal L } _ { t o t a l } = \omega \left[ J ^ { \mu , a } ( D _ { \mu } c ^ { a } ) - i \overline { { { \eta } } } ^ { a } ( - { \frac { 1 } { 2 } } f ^ { a b c } c ^ { b } c ^ { c } ) + i F ^ { a } \eta ^ { a } + H ^ { \mu } { \frac { \partial { \cal L } _ { t o t a l } } { \partial n ^ { \mu } } } \right]
G _ { 0 } \ = \ \left( \begin{array} { c c c } { { C _ { A } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { C _ { F } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { C _ { F } } } \end{array} \right) .
( 1 - \pi ^ { \mathcal C } ) A _ { E ^ { \mathcal C } , E ^ { \Upsilon } } ( 1 - \pi ^ { \mathcal C } ) = \left( \begin{array} { l l l l } { - \gamma ^ { \Upsilon } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 \gamma ^ { \Upsilon } } & { - 2 \gamma ^ { \Upsilon } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \gamma ^ { \Upsilon } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,
\mathcal { F } _ { \omega } \langle u ^ { 2 } ( t ) \rangle _ { n e q } = T \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \frac { \hat { \chi } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } { ( i \omega ^ { \prime } ) } \hat { S } _ { r } ( \omega , \omega ^ { \prime } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \epsilon \approx 2 . 8 \times 1 0 ^ { - 1 6 } } & { \left( \frac { 1 0 ^ { 1 0 } } { Q _ { 0 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { \xi } { 1 0 0 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { 4 \, \textrm { L } } { V } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 0 . 5 } { C } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \left( \frac { 1 0 0 \, \mathrm { s } } { t _ { \mathrm { i n t } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { 1 . 3 \, \mathrm { G H z } } { f _ { 0 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { T _ { \mathrm { a m p } } } { 3 \, \mathrm { K } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\, ^ { \ast } \tilde { \Gamma } ( k , k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) \equiv \, ^ { \ast } \tilde { \Gamma } ^ { \mu \nu \lambda \sigma } ( k , k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) \bar { u } _ { \mu } ( k ) \bar { u } _ { \nu } ( k _ { 1 } ) \bar { u } _ { \lambda } ( k _ { 2 } ) \bar { u } _ { \sigma } ( k _ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \lambda _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \lambda _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \lambda _ { 4 } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \lambda _ { 5 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \lambda _ { 6 } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \lambda _ { 7 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \lambda _ { 8 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \hat { J } _ { \pm } ^ { \prime } D _ { M K } ^ { J } } } & { { = } } & { { \sqrt { [ J \mp M ] [ J \pm M - 1 ] } D _ { M \pm 1 , K } ^ { J } ~ , } } \\ { { \hat { J } _ { 3 } ^ { \prime } D _ { M K } ^ { J } } } & { { = } } & { { K D _ { M K } ^ { J } ~ , ~ ~ ~ ~ \hat { J } _ { z } ^ { \prime } D _ { M K } ^ { J } = M D _ { M K } ^ { J } ~ . } } \end{array}
d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + ( q _ { 1 } ^ { 2 } \cosh ^ { 2 } ( t / l ) + q _ { 3 } ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( t / l ) ) | d \theta _ { 1 } + \tau ( t ) d \theta _ { 2 } | ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n + 1 } - \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n } } { s } = - \nabla \cdot ( \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n } \hat { \boldsymbol { U } } _ { 1 } ^ { n + 1 } + \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n } \hat { \boldsymbol { U } } _ { 1 } ^ { n + 1 } ) + \Delta \hat { \mathcal { V } } _ { 1 } ^ { n + 1 } + O ( s ^ { 2 } ) , } \\ & { } & { \hat { \mathcal { V } } _ { 1 } ^ { n + 1 } = \ln ( 1 + \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n + 1 } ) - \ln ( 1 - \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n + 1 } ) - \theta _ { 0 } \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n } - \varepsilon ^ { 2 } \Delta \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n + 1 } , } \\ & { } & { ( - \Delta + I ) \hat { \boldsymbol { U } } _ { 1 } ^ { n + 1 } = - \nabla \hat { P } _ { 1 } ^ { n + 1 } - \gamma ( \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n } \nabla \hat { \mathcal { V } } _ { 1 } ^ { n + 1 } ) + O ( s ^ { 2 } ) , \quad \nabla \cdot \hat { \boldsymbol { U } } _ { 1 } ^ { n + 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { 3 ^ { \prime } } ( \vec { r } ) = g \int ( \mathrm { d } \vec { a } ) \left( \frac { k _ { 3 ^ { \prime } } } { 2 \pi a } \right) ^ { D } J _ { D } ( 2 a \, k _ { 3 ^ { \prime } } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial S } { \partial t } = d _ { S } \Delta S - \displaystyle \frac { \beta ( x ) S I } { S + I } + \gamma ( x ) I , } & { x \in \Omega , t > 0 , \smallskip } \\ { \displaystyle \frac { \partial I } { \partial t } = d _ { I } \Delta I + \displaystyle \frac { \beta ( x ) S I } { S + I } - \gamma ( x ) I , } & { x \in \Omega , t > 0 , \smallskip } \\ { \displaystyle \frac { \partial S } { \partial \nu } = \displaystyle \frac { \partial I } { \partial \nu } = 0 , } & { x \in \partial \Omega , t > 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { 9 6 } { v _ { 2 } - 1 2 } = \frac { 9 6 } { v _ { 2 } } - 4 0 } \\ & { \qquad \implies \frac { 9 6 } { v _ { 2 } - 1 2 } = \frac { 9 6 - 4 0 v _ { 2 } } { v _ { 2 } } } \\ & { \qquad \implies v _ { 2 } \cdot 9 6 = ( v _ { 2 } - 1 2 ) \cdot ( 9 6 - 4 0 v _ { 2 } ) } \\ & { \qquad \implies v _ { 2 } \cdot 9 6 = v _ { 2 } \cdot 9 6 - 4 0 v _ { 2 } ^ { 2 } - 1 1 5 2 - 3 8 0 v _ { 2 } } \\ & { \qquad \implies 0 = - 4 0 v _ { 2 } ^ { 2 } - 3 8 0 v _ { 2 } - 1 1 5 2 } \end{array}