harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { y } & { = c _ { 1 } e ^ { - 2 x } \bigl ( \cos ( - 3 x ) + i \sin ( - 3 x ) \bigr ) + c _ { 2 } e ^ { - 2 x } \bigl ( \cos ( 3 x ) + i \sin ( 3 x ) \bigr ) } \\ & { = e ^ { - 2 x } \Bigl ( c _ { 1 } \bigl ( \cos ( - 3 x ) + i \sin ( - 3 x ) \bigr ) + c _ { 2 } \bigl ( \cos ( 3 x ) + i \sin ( 3 x ) \bigr ) \Bigr ) } \\ & { = e ^ { - 2 x } \Bigl ( c _ { 1 } \bigl ( \cos ( 3 x ) - i \sin ( 3 x ) \bigr ) + c _ { 2 } \bigl ( \cos ( 3 x ) + i \sin ( 3 x ) \bigr ) \Bigr ) } \\ & { = e ^ { - 2 x } \bigl ( c _ { 1 } \cos ( 3 x ) - i c _ { 1 } \sin ( 3 x ) + c _ { 2 } \cos ( 3 x ) + i c _ { 2 } \sin ( 3 x ) \bigr ) } \\ & { = e ^ { - 2 x } \bigl ( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \cos ( 3 x ) + i ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ) \sin ( 3 x ) \bigr ) . } \end{array}
I _ { n } ( n x ) \cong \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n } } ~ \frac { \exp ( n \eta ) } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } } ~ \left[ 1 + o \left( \frac { 1 } { n } \right) \right] ~ ; ~ ~ ~ \eta \equiv \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } + \ln \frac { x } { 1 + \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } ~ ,
\begin{array} { r } { \left( x ^ { \star } , y ^ { \star } \right) = \frac { 1 } { h } \left( x , y \right) , \; t ^ { \star } = \frac { t U _ { m } } { h } , \; \boldsymbol { u } ^ { \star } = \frac { \boldsymbol { u } } { U _ { m } } , \; p ^ { \star } = \frac { p } { \rho U _ { m } ^ { 2 } } , \; \boldsymbol { u } _ { j } ^ { \star } = \frac { \boldsymbol { u } _ { j } } { U _ { m } } , \; p _ { j } ^ { \star } = \frac { p _ { j } } { \rho U _ { m } ^ { 2 } } , \; j = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \theta } { \mathrm { ~ d ~ } t } } & { { } = \dot { \theta } = \omega , } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \omega } { \mathrm { ~ d ~ } t } } & { { } = \dot { \omega } = c _ { 1 } ( \omega ) + c _ { 2 } ( \theta , \omega ) + \Delta P + \epsilon ( \omega ) \xi , } \end{array}
{ \frac { v } { v _ { a } } } = \exp { \bigg [ } { \frac { 2 h } { \pi r } } \tan ^ { - 1 } { \bigg ( } { \big [ } { \sinh ^ { 2 } ( { \frac { \pi \theta r } { 4 h } } ) - \cosh ^ { 2 } ( { \frac { \pi \theta r } { 4 h } } ) \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( { \frac { \pi \gamma r } { 4 h } } ) } { \big ] } ^ { 1 / 2 } { \bigg ) } { \bigg ] }
\begin{array} { r l } { \textbf { E } } & { = - \textrm { g r a d } \varphi \quad ( = ( \textbf { d } \nabla ) \nabla \frac { 1 } { \textbf { R } _ { o } } ) } \\ & { = - \textrm { g r a d } \frac { \textbf { d } \textbf { R } _ { o } } { R _ { o } ^ { 3 } } = - \frac { 1 } { R _ { o } ^ { 3 } } \textrm { g r a d } ( \textbf { d } \textbf { R } _ { o } ) - ( \textbf { d } \textbf { R } _ { o } ) \textrm { g r a d } \frac { 1 } { R _ { o } ^ { 3 } } } \\ & { = - \frac { \textbf { d } } { R _ { o } ^ { 3 } } \nabla \textbf { R } _ { o } - \frac { \textbf { R } _ { o } } { R _ { o } ^ { 3 } } \nabla \textbf { d } - \textbf { d R } _ { o } \nabla \frac { 1 } { R _ { o } ^ { 3 } } } \\ & { = - \frac { \textbf { d } } { R _ { o } ^ { 3 } } - 0 + \frac { 3 \textbf { d R } _ { o } } { R _ { o } ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { 3 ( \textbf { n d } ) \textbf { n } - \textbf { d } } { R _ { o } ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k } \left( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta _ { k } } \right) \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { k } ^ { * } ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { 0 } ^ { * } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { 0 } ^ { * } ) } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ 4 ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon + \mathrm { E r r } _ { p _ { t } ^ { * } } ( \delta _ { t , 1 } ) + \mathrm { E r r } _ { q _ { t } ^ { * } } ( \delta _ { t , 2 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { l } ( r ) } & { : = \operatorname* { i n f } \{ k \geq \eta _ { l - 1 } ( r ) : \| S _ { k } \| > e \| S _ { \eta _ { l - 1 } ( r ) } \| \} } \\ { \theta _ { l } ( r ) } & { : = \operatorname* { i n f } \{ k \geq \eta _ { l - 1 } ( r ) : \| S _ { k } \| \leq \delta ( S _ { \eta _ { l - 1 } ( r ) } ) \| S _ { \eta _ { l - 1 } ( r ) } \| \} . } \end{array}
\alpha ^ { B } = \mu ^ { 2 \varepsilon } \alpha \biggl [ 1 - \frac { \alpha } { \pi } \biggl ( \frac { \beta _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } } { \varepsilon } + \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \frac { \beta _ { 1 } ^ { ( \alpha \alpha _ { s } ) } } { 2 \varepsilon } \biggr ) + \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 2 } \left( \frac { ( \beta _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } ) ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } - \frac { \beta _ { 1 } ^ { ( \alpha ^ { 2 } ) } } { 2 \varepsilon } \right) \biggr ] ,
\psi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } = \sum _ { n _ { 3 } = 0 } ^ { \infty } A _ { n _ { 3 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } \psi _ { n _ { 3 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } .
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { c c c c c c c c } { \boxed { 1 } } & & & { 1 } & { 1 } & & & \\ & { 2 } & { 4 } & { 1 } & & { 1 } & & \\ { 1 } & & { 4 } & { 1 } & & & { 1 } & \\ & { 2 } & { 1 } & & & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c c } { \boxed { 2 } } & { 4 } & { 1 } & & { 1 } & & \\ & { 4 } & & { - 1 } & & { 1 } & \\ { 2 } & { 1 } & & & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c } { \boxed { 8 } } & & { - 2 } & & { 2 } & \\ { - 6 } & { - 2 } & & { - 2 } & & { 2 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c } { \underline { { - 1 6 } } } & { - 1 2 } & { - 1 6 } & { 1 2 } & { 1 6 } \end{array} . } \end{array}
\Psi ( x ) \, = \, \sum _ { \sigma = 0 , \pm 1 } \int { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { 2 \, \omega _ { \vec { p } } } } \Big [ u _ { \sigma } ( \vec { p } \, ) \, a _ { \sigma } ( \vec { p } \, ) \, e ^ { - i p \cdot x } + v _ { \sigma } ( \vec { p } \, ) \, b _ { \sigma } ^ { \dagger } ( \vec { p } \, ) \, e ^ { i p \cdot x } \Bigr ] \quad ,
\mathrm { s n } ( z | 3 ) \approx { \frac { - ( 9 8 5 1 6 2 9 / 2 8 3 6 0 9 2 6 0 ) z ^ { 5 } - ( 5 7 2 7 4 4 / 4 7 2 6 8 2 1 ) z ^ { 3 } + z } { 1 + ( 8 5 9 4 9 0 / 1 5 7 5 6 0 7 ) z ^ { 2 } - ( 5 9 2 2 0 3 5 / 5 6 7 2 1 8 5 2 ) z ^ { 4 } + ( 6 2 5 3 1 5 9 1 / 2 9 7 7 8 9 7 2 3 0 ) z ^ { 6 } } }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \Big ( \| \partial _ { t } ^ { k } u \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \mu _ { 0 } \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 1 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } \Big ) + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } } \\ & { + \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { = \underbrace { \langle \sum _ { 1 \leq j \leq k } C _ { k } ^ { j } \partial _ { t } ^ { j } \varrho ( \varphi ) \partial _ { t } ^ { k - j } u _ { t } , - \partial _ { t } ^ { k } u - \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \rangle } _ { J _ { 1 } } + \underbrace { \langle X _ { k } , - \partial _ { t } ^ { k } u - \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \rangle } _ { J _ { 2 } } } \\ & { + \underbrace { \langle Y _ { k } , - \partial _ { t } ^ { k } \varphi - \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } + \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi \rangle } _ { J _ { 3 } } + \underbrace { \langle \nabla Y _ { k } , - \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \rangle } _ { J _ { 4 } } \, , } \end{array}
\left( A _ { 1 } , A _ { 2 } \right) = \frac { c } { \hbar } \, ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } ) \, { \cal A } _ { 1 } { \cal A } _ { 2 } \left( \frac { a _ { 2 } H _ { 2 } } { a _ { 1 } H _ { 1 } } \right) ^ { \mathrm { i } \nu _ { 1 } } \cosh ^ { 2 } \zeta \, I _ { 1 2 }
\begin{array} { r } { q _ { \mathrm { e x t } } = q _ { \mathrm { s c a } } + q _ { \mathrm { a b s } } = q _ { \mathrm { e x t } } ( \lambda _ { \mathrm { i n } } , d _ { \mathrm { S } } , m ) \, . } \end{array}
M : = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { M } } \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , y ) \vert \quad \mathrm { a n d } \quad v ^ { 2 } : = \mathbb { E } [ \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { 1 } ) \vert ^ { 2 } ] + 2 \operatorname* { s u p } _ { \ell \geq 1 } \sum _ { k > \ell } \vert \mathbb { E } [ \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { \ell } ) \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { k } ) ] \vert .
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ^ { k } } & { = \mathbf { u } ^ { k - 1 } + \delta \mathbf { u } ^ { k } , } \\ { \mathbf { w } ^ { k } } & { = \mathbf { w } ^ { k - 1 } + \delta \mathbf { w } ^ { k } , } \\ { p ^ { k } } & { = p ^ { k - 1 } + \delta p ^ { k } , } \\ { q ^ { k } } & { = q ^ { k - 1 } + \delta q ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } } & { = \sum _ { i \ne j } \left[ F ( R _ { i j } ) - f ( r _ { i j } ) \right] ^ { 2 } } \\ { \textrm { w h e r e } \qquad f ( r ) } & { = 1 - ( 1 + 2 ^ { a / b } - 1 ) ( r / \sigma ) ^ { a } ) ^ { - b / a } } \\ { \textrm { a n d } \qquad F ( R ) } & { = 1 - ( 1 + 2 ^ { A / B } - 1 ) ( R / \sigma ) ^ { A } ) ^ { - B / A } } \end{array}
- \left( \frac { v _ { s } } { \sqrt { 2 } } \sum _ { a } h _ { a } \overline { { { \nu } } } _ { s R } \nu _ { a L } + \mathrm { h . c . } \right) \; \mathrm { w h e r e } \; \, \langle \phi _ { s } \rangle _ { 0 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { v _ { s } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } ^ { \mathrm { B B M } } ( u ) } & { = \int u , } \\ { J _ { 2 } ^ { \mathrm { B B M } } ( u ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int ( u ^ { 2 } + ( u _ { x } ) ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \int u ( \operatorname { I } - \partial _ { x } ^ { 2 } ) u , } \\ { J _ { 3 } ^ { \mathrm { B B M } } ( u ) } & { = \int ( u + 1 ) ^ { 3 } , } \end{array}
I _ { M _ { 1 } } ^ { * } * _ { r } I _ { M ^ { \prime } } ^ { * } = \sum \zeta _ { M _ { 1 } , M ^ { \prime } } ^ { N } ( v ) I _ { N } ^ { * } , \ I _ { C _ { M _ { 1 } } } ^ { * } * _ { r } I _ { C _ { M ^ { \prime } } } ^ { * } = \sum \zeta _ { C _ { M _ { 1 } } , C _ { M ^ { \prime } } } ^ { N _ { \bullet } } ( v ) I _ { N _ { \bullet } } ^ { * } ,
f _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { M H } = \left\lbrace \begin{array} { l r } { \lambda \bar { q } _ { i } ^ { R } = \lambda \left( q _ { i } ^ { n } + \frac { 1 - c } { 2 } \Delta x \Delta _ { i } \right) } & { \lambda > 0 , } \\ { \lambda \bar { q } _ { i + 1 } ^ { L } = \lambda \left( q _ { i + 1 } ^ { n } - \frac { 1 + c } { 2 } \Delta x \Delta _ { i + 1 } \right) } & { \lambda < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Y _ { 3 b } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { v } \sum _ { i j k \ell s } \big ( \theta _ { i } \beta _ { k } \theta _ { k } \beta _ { \ell } \theta _ { \ell } + \theta _ { \ell } \beta _ { k } \theta _ { k } \beta _ { i } \theta _ { i } + \theta _ { i } \beta _ { s } \theta _ { s } \beta _ { \ell } \theta _ { \ell } + \theta _ { \ell } \beta _ { s } \theta _ { s } \beta _ { i } \theta _ { i } \big ) ^ { 2 } \cdot \mathrm { V a r } ( W _ { s j } W _ { j k } W _ { \ell i } ) } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { v } \sum _ { i j k \ell s } \big ( \theta _ { i } \beta _ { k } \theta _ { k } \beta _ { \ell } \theta _ { \ell } + \theta _ { \ell } \beta _ { k } \theta _ { k } \beta _ { i } \theta _ { i } + \theta _ { i } \beta _ { s } \theta _ { s } \beta _ { \ell } \theta _ { \ell } + \theta _ { \ell } \beta _ { s } \theta _ { s } \beta _ { i } \theta _ { i } \big ) ^ { 2 } \cdot \theta _ { s } \theta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { k } \theta _ { \ell } \theta _ { i } } \\ & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \operatorname* { l i m s u p } _ { \lambda \rightarrow ^ { + } 0 } \Big \{ \mathcal { G } ^ { \lambda } ( s ^ { \lambda } ; A _ { 1 } \sqcup A _ { 2 } ) + \int _ { \{ T \} \times \mathbb { T } ^ { d } \cap ( A _ { 1 } \sqcup A _ { 2 } ) } \Big [ s ^ { \lambda } ( T , z ) g ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s ^ { \lambda } ( T , z ) \big ) \Big ] d z \Big \} } \\ { \leq } & { \ \bar { V } ( s _ { 0 } , g , \bar { s } ; A _ { 1 } ) + \bar { V } ( s _ { 0 } , g , \bar { s } ; A _ { 2 } ) + C r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi } & { { } = ( u ^ { 1 } , \dots , u ^ { n } , y ^ { 1 } , \dots , y ^ { p - n } ) . \quad y _ { 0 } \in V , } \\ { \varphi } & { { } = ( x ^ { 1 } , \dots , x ^ { n } ) , \quad \pi ( y _ { 0 } ) \in U . } \end{array}
\lambda _ { n } = \frac { \sqrt { | \alpha | } } { \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } } } \sqrt { \frac { n } { \omega _ { ( n ) } } } \left[ e ( \alpha ) P _ { n } b _ { - n } + P _ { n } ^ { - 1 } b _ { n } ^ { \dagger } \right] ~ ,
\begin{array} { r } { \rho _ { 1 } \approx \frac { r _ { 1 } ( r _ { 2 } r _ { 3 } - 1 ) + \gamma _ { 1 } ( r _ { 3 } - r _ { 2 } ) } { ( r _ { 2 } r _ { 3 } - 1 ) + r _ { 1 } \gamma _ { 1 } ( r _ { 3 } - r _ { 2 } ) } + 4 \pi i \frac { ( r _ { 1 } ^ { 2 } - 1 ) r _ { 2 } \gamma _ { 1 } ( 2 r _ { 2 } r _ { 3 } - 1 - r _ { 3 } ^ { 2 } ) } { ( ( r _ { 2 } r _ { 3 } - 1 ) + r _ { 1 } \gamma _ { 1 } ( r _ { 3 } - r _ { 2 } ) ) ^ { 2 } } \frac { \Delta z _ { m } } { \lambda } , } \end{array}
\hat { V } _ { 1 } = \frac { \hbar g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x ( \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { - } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { + } ) ; \quad \hat { V } _ { 2 } = \frac { \hbar g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x ( \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { - } + \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { + } ) ,
{ \begin{array} { r l } { \kappa } & { = \kappa _ { 0 } + \left[ \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } \left( \kappa _ { 3 } - T _ { \mathrm { r } } \right) \left( 1 - T _ { \mathrm { r } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right] \left( 1 + T _ { \mathrm { r } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) \left( 0 . 7 - T _ { \mathrm { r } } \right) } \\ { \kappa _ { 0 } } & { = 0 . 3 7 8 8 9 3 + 1 . 4 8 9 7 1 5 3 \, \omega - 0 . 1 7 1 3 1 8 4 8 \, \omega ^ { 2 } + 0 . 0 1 9 6 5 5 4 \, \omega ^ { 3 } } \end{array} }
\left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { { 1 / \sqrt 2 } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } \\ { { - 1 / \sqrt 2 } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 / \sqrt 2 } } & { { 1 / \sqrt 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right] ,
\Gamma = \frac { \int _ { V _ { \mathrm { a c t } } } \epsilon _ { 0 } n _ { \mathrm { a c t } } ^ { 2 } \left| \mathbf { E } ( \mathbf { r } _ { e } ) \right| ^ { 2 } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { e } } { \int _ { V } \epsilon _ { 0 } n ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) \left| \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) \right| ^ { 2 } d ^ { 3 } \mathbf { r } }
\begin{array} { r l } & { ~ s ^ { ( n ) } - \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( n + 1 ) } - \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( n + 2 ) } } \\ { = } & { ~ \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } ( s ^ { ( n ) } - s ^ { ( n + 1 ) } ) + \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } ( s ^ { ( n ) } - s ^ { ( n + 1 ) } + s ^ { ( n + 1 ) } - s ^ { ( n + 2 ) } ) } \\ { = } & { ~ \frac { \mu } { 2 } \left( N p ^ { ( n ) } + \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } N p ^ { ( n + 1 ) } - \frac { 2 k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \right) + \frac { 2 k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \mathcal { O } ( \mu ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \mathcal { A } _ { c l } \mathcal { X } , \mathcal { X } \rangle + \langle \mathcal { X } , \mathcal { A } _ { c l } \mathcal { X } \rangle } \\ { = } & { \langle \mathcal { G } x _ { 2 } , x _ { 1 } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle - \mathcal { G } ^ { * } x _ { 1 } - \mathcal { R } _ { c l } x _ { 2 } , x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ & { + \langle - B _ { 0 } \mathbf { 1 } _ { \zeta } B _ { c } ^ { T } x _ { c } , x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle B _ { c } \mathbf { 1 } _ { \zeta } ^ { * } B _ { 0 } ^ { * } x _ { 2 } , x _ { c } \rangle _ { \mathbb { R } ^ { m } } } \\ & { + \langle x _ { 1 } , \mathcal { G } x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle x _ { 2 } , - \mathcal { G } ^ { * } x _ { 1 } - \mathcal { R } _ { c l } x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ & { + \langle x _ { 2 } , - B _ { 0 } \mathbf { 1 } _ { \zeta } B _ { c } ^ { T } x _ { c } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle x _ { c } , B _ { c } \mathbf { 1 } _ { \zeta } ^ { * } B _ { 0 } ^ { * } x _ { 2 } \rangle _ { \mathbb { R } ^ { m } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | } & { \mathrm { i } \omega - ( d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , k ) ) | } \\ & { \ge | \mathrm { i } \omega - ( d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , k ) ) | - | \left( d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , k ) \right) - \left( d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , k ) \right) | } \\ & { \overset { \because \omega \in \Omega _ { n + 1 } ^ { 2 \gamma } ( i _ { 1 } ) } \ge \gamma | l | ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | - | \left( d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , k ) \right) - \left( d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , k ) \right) | } \\ & { \overset \ge ( \gamma - \delta ) | l | ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | . } \end{array}
\tau _ { j } ^ { R R * } = \frac { 4 } { 3 } \eta _ { j } \frac { U _ { j } ^ { R } - U _ { i j } ^ { R * } } { \Delta r _ { j } } , \quad \mathrm { г д е } \quad \Delta r _ { j } = \frac { \varkappa | \overrightarrow { r _ { j } } - \overrightarrow { r _ { i } } | } { 1 + \varkappa } = \frac { | \overrightarrow { r _ { j } } - \overrightarrow { r _ { i } } | } { 1 + \sqrt { \nu _ { i } / \rho _ { j } } } .
\begin{array} { r l r } { \mathit { t r } _ { \mathit { M b } _ { 1 } } ( f _ { n } ) } & { = } & { x S _ { n - 1 } ( z ) - \frac { \Delta _ { n - 2 } } { \Delta _ { n - 1 } } \mathit { t r } _ { \mathit { M b } _ { 1 } } ( f _ { n - 1 } ) } \\ & { = } & { x S _ { n - 1 } ( z ) - \frac { x } { \Delta _ { n - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 2 } ( - 1 ) ^ { n - 2 + k } S _ { k } ( z ) \Delta _ { k } } \\ & { = } & { \frac { x } { \Delta _ { n - 1 } } S _ { n - 1 } ( z ) \Delta _ { n - 1 } + \frac { x } { \Delta _ { n - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 2 } ( - 1 ) ^ { n - 1 + k } S _ { k } ( z ) \Delta _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathrm { C o v } ( \psi ) ^ { - k } ( \bar { \mathbb { A } } _ { k } ) ^ { T } ) _ { i j } + ( \mathbb { A } _ { k } \mathrm { C o v } ( \psi ) ^ { k } ) _ { i j } = 2 \frac { \epsilon } { L } \delta _ { i j } \, . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \widetilde { G } } \frac { \partial { } \tau _ { i j } } { \partial { } \widetilde { t } } + \frac { 1 } { 2 G } \frac { \tau _ { i j } - \hat { \tau } _ { i j } } { \Delta t } + \frac { \tau _ { i j } } { 2 \mu _ { s } } = - \dot { \lambda } \frac { \partial Q } { \partial \sigma _ { i j } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla _ { i } v _ { j } + \nabla _ { j } v _ { i } - \frac { 2 } { 3 } \nabla _ { k } v _ { k } \right) .
\left( \mathcal { C } _ { 2 \times 2 } ^ { 3 2 } , \mathcal { A P } _ { 2 \times 2 } ^ { 4 \times 4 } , \mathcal { C } _ { 2 \times 2 } ^ { 6 4 } , \mathcal { A P } _ { 2 \times 2 } ^ { 4 \times 4 } , \mathcal { D } ^ { 1 2 8 } , \mathcal { D } ^ { 1 0 } \right)
\mathcal { K } ^ { \mathrm { f a r } } ( r ) = \left( \frac { r } { r _ { d } } \right) ^ { \alpha } \mathrm { e x p } \left[ - \left( \frac { r } { r _ { d } } \right) ^ { \beta } \right] , ~ ~ ~ ~ \mathcal { K } ^ { \mathrm { n e a r } } ( r ) = \gamma ~ \mathrm { e x p } \left[ - \left( \frac { r } { r _ { g } } \right) ^ { \delta } \right]
\begin{array} { r l r } { \theta _ { \epsilon _ { e , f h } \left( a \right) \varphi _ { f , f h } \left( b \right) } ^ { [ f h ] } \varphi _ { f , f h } \left( c \right) } & { = \theta _ { \epsilon _ { e , f h } \left( a \right) \epsilon _ { f , f h } \left( b \right) } ^ { [ f h ] } \epsilon _ { f , f h } \left( c \right) } \\ & { = \theta _ { \epsilon _ { e f , f h } \left( a b \right) } ^ { [ f h ] } \epsilon _ { f , f h } \left( c \right) } & { \mathrm { b y ~ } } \\ & { = \epsilon _ { h , f h } \theta _ { \epsilon _ { e f , h } \left( a b \right) } ^ { [ h ] } \left( c \right) } & { \mathrm { b y ~ } } \\ & { = \varphi _ { h , f h } \theta _ { \epsilon _ { e f , h } \left( a b \right) } ^ { [ h ] } \left( c \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \rho _ { s } ( x ) = A \left( 1 - \left( \frac { \lambda x } { v _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { \gamma } { \lambda } - 1 } \quad , \quad \quad \quad \quad \; - \frac { v _ { 0 } } { \lambda } \leq x \leq + \frac { v _ { 0 } } { \lambda } \; , } \\ & { } & { \rho _ { \pm } ( x ) = \frac { A } { 2 } \, \left( 1 \pm \frac { \lambda x } { v _ { 0 } } \right) ^ { \frac { \gamma } { \lambda } } \left( 1 \mp \frac { \lambda x } { v _ { 0 } } \right) ^ { \frac { \gamma } { \lambda } - 1 } \quad , \quad - \frac { v _ { 0 } } { \lambda } \leq x \leq + \frac { v _ { 0 } } { \lambda } \; , } \end{array}
Z _ { ( a _ { 1 } , m _ { 1 } ) | ( a _ { 2 } , m _ { 2 } ) } ( q ) = \sum _ { ( \ell , m ) } V _ { ( \ell , m ) \; ( a _ { 1 } , m _ { 1 } ) } { } ^ { ( a _ { 2 } , m _ { 2 } ) } \chi _ { ( \ell , m ) } ( q )
\begin{array} { r l } { c _ { s } ^ { \mathrm { e + } } } & { = \frac { u _ { x } + \varsigma \, \sqrt { 2 \, \sqrt { { \left( \frac { u _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } - 1 } } { \sqrt { { \left( \frac { u _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } } , } \\ { c _ { s } ^ { \mathrm { e - } } } & { = \frac { u _ { x } - \varsigma \, \sqrt { 2 \, \sqrt { { \left( \frac { u _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } - 1 } } { \sqrt { { \left( \frac { u _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } } . } \end{array}
\overline { { { \Theta } } } _ { \mu \nu } ^ { a b } = - g _ { \mu \nu } \left[ \left( \nabla _ { \lambda } - i g ( n ^ { c } T ^ { c } ) \overline { { { A } } } _ { \lambda } \right) ^ { 2 } \right] ^ { a b } + i g ( n ^ { c } T ^ { c } ) ^ { a b } \overline { { { F } } } _ { \mu \nu } - \delta ^ { a b } R _ { \mu \nu } .
\operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } x _ { n } : = \operatorname* { i n f } _ { n \geq 0 } \, \operatorname* { s u p } _ { m \geq n } x _ { m } = \operatorname* { i n f } \{ \, \operatorname* { s u p } \{ \, x _ { m } : m \geq n \, \} : n \geq 0 \, \} .
\begin{array} { r l } & { \ddot { e } _ { i } ^ { \ddot { \varepsilon } _ { i } ( u ^ { \prime } v ^ { \prime } u ^ { \prime } v ^ { \prime } u ^ { \prime } v ^ { \prime } ) } ( u ^ { \prime } v ^ { \prime } u ^ { \prime } v ^ { \prime } u ^ { \prime } v ^ { \prime } ) } \\ & { \qquad = \ddot { e } _ { i } ^ { \ddot { \varepsilon } _ { i } ( u ^ { \prime } ) } ( u ^ { \prime } ) \ddot { e } _ { i } ^ { \ddot { \varepsilon } _ { i } ( v ^ { \prime } ) } ( v ^ { \prime } ) \ddot { e } _ { i } ^ { \ddot { \varepsilon } _ { i } ( u ^ { \prime } ) } ( u ^ { \prime } ) \ddot { e } _ { i } ^ { \ddot { \varepsilon } _ { i } ( v ^ { \prime } ) } ( v ^ { \prime } ) \ddot { e } _ { i } ^ { \ddot { \varepsilon } _ { i } ( u ^ { \prime } ) } ( u ^ { \prime } ) \ddot { e } _ { i } ^ { \ddot { \varepsilon } _ { i } ( v ^ { \prime } ) } ( v ^ { \prime } ) . } \end{array}