harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \mathbb { X } _ { 0 } ^ { \alpha , M } \not \subseteq \mathbb { X } _ { 0 } ^ { \epsilon } \right) } & { = \mathbb { P } \left\{ \textrm { t h e r e e x i s t s } x \in \mathbb { X } _ { 0 } ^ { \alpha , M } \textit { s . t . } x \not \in \mathbb { X } _ { 0 } ^ { \epsilon } \right\} , } \\ & { \leq \sum _ { x \in \Xi \backslash \mathbb { X } _ { 0 } ^ { \epsilon } } \mathbb { P } ( x \in \mathbb { X } _ { 0 } ^ { \alpha , M } ) , } \\ & { \leq L \exp \left( - 2 M ( \epsilon - \alpha ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
| V _ { u b } | = . 0 0 4 4 5 ~ ( \frac { \mathrm { B R } ( b \rightarrow X _ { u } \ell \bar { \nu } ) } { 0 . 0 0 2 } \frac { 1 . 5 5 \mathrm { p s } } { \tau ( b ) } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \times ( 1 \pm . 0 2 0 \mathrm { ( Q C D ) } \pm . 0 3 5 \mathrm { ( m _ { b } ) } )
\delta ( T _ { p _ { 3 } } T _ { p _ { 1 } } T _ { p _ { 2 } } ) = \sum _ { p _ { k } } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } ^ { p _ { k } } \delta ( T _ { p _ { 3 } } T _ { p _ { k } } ) = \sum _ { p _ { k } } \delta _ { p _ { 3 } p _ { k } } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } ^ { p _ { k } } | T _ { p _ { k } } | = | T _ { p _ { 3 } } | C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } ^ { p _ { 3 } } \, .
\begin{array} { l l l } { { X _ { i } = \textstyle { \frac { \mu } { 3 } } J _ { i } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ [ J _ { i } , J _ { j } ] = i \epsilon _ { i j k } J _ { k } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ A _ { 0 } = 0 \, , } } \\ { { { } } } & { { { } } } & { { { } } } \\ { { Z _ { 1 } ( t ) = e ^ { - i \frac { \mu } { 6 } t } z _ { 1 } { 1 } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ Z _ { 2 } ( t ) = e ^ { - i \frac { \mu } { 6 } t } z _ { 2 } { 1 } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ Z _ { 3 } ( t ) = e ^ { - i \frac { \mu } { 6 } t } z _ { 3 } { 1 } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r } { C D _ { p } = \frac { ( N _ { i } - N _ { j } ) / ( N _ { i } + N _ { j } ) } { 1 + N _ { k } / ( N _ { i } + N _ { j } ) } = \frac { C D _ { p } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ k ~ } } } { 1 + R _ { k } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \nabla ^ { j } \mathcal { U } _ { j } ( x , t ) ] = \nabla ^ { j } U _ { j } ( x , t ) + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } \nabla _ { j } U _ { j } ( x , t ) \mathbb { E } [ \psi ( x ) ] } \\ & { + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } U _ { j } ( x , t ) \mathbb { E } [ \nabla _ { j } \psi ( x ) ] = \nabla ^ { j } U _ { j } ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = \frac { \eta D _ { A } ^ { 2 } \left( \chi \phi _ { 0 } ^ { 2 } \left( \chi - 2 \chi \phi _ { 0 } + 2 \right) - 1 \right) } { 2 \phi _ { 0 } - 1 } } \\ { b } & { = - \frac { k D _ { A } } { 2 - 4 \phi _ { 0 } } \Bigl [ 2 ( \eta + 1 ) ( \phi _ { 0 } - 1 ) } \\ & { \qquad + ( \eta - 1 ) ( \phi _ { 0 } h \chi ( 1 - 2 \phi _ { 0 } ) + h ) \Bigr ] } \\ { c } & { = k ^ { 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ^ { 2 } } & { \| D ^ { 2 } w _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( K _ { R } ^ { \prime } ) } + R ^ { 2 + \eta } [ D ^ { 2 } w _ { 0 } ] _ { C ^ { \eta } ( K _ { R } ^ { \prime } ) } = \| D ^ { 2 } w _ { 0 , R } \| _ { C ^ { \eta } ( K _ { 1 } ^ { \prime } ) } } \\ & { \le C ( \| w _ { 0 , R } \| _ { C ^ { 0 } ( K _ { 1 } ^ { \prime } ) } + \| h _ { 0 , R } \| _ { C ^ { \eta } ( K _ { 1 } ^ { \prime } ) } ) \overset { \le } C ( R ^ { 2 } + R ^ { 2 } \| h _ { 1 , R } \| _ { C ^ { 0 } ( K _ { R } ^ { \prime } ) } + R ^ { 2 + \eta } [ h _ { 1 , R } ] _ { C ^ { \eta } ( K _ { R } ^ { \prime } ) } ) \overset { \le } C R ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sum _ { \mathrm { c y c } } x _ { 1 } } { 2 0 2 0 } } & { \geq ( n - 1 ) ( \sum _ { c y c } \frac { 2 0 2 0 } { x _ { 1 } } ) } \\ { \mathrm { o r } \quad \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { x _ { 1 } } { 2 0 2 0 } } & { \geq ( n - 1 ) ( \sum _ { c y c } \frac { 2 0 2 0 } { x _ { 1 } } ) } \\ { \mathrm { o r } \quad \sum _ { \mathrm { c y c } } \sqrt { x _ { 1 } ^ { \prime } } } & { \geq ( n - 1 ) ( \sum _ { c y c } \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 1 } ^ { \prime } } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { U } _ { t + 1 } = \operatorname* { m i n } _ { \chi _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \upsilon _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \ge 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \phi _ { t } h ( \tau _ { t } ) \le \rho _ { t } ^ { 2 } } \, \, \left( \rho _ { t } ^ { 2 } \hat { U } _ { t } + F ( \chi _ { t } , \nu _ { t } , \zeta _ { t } , \upsilon _ { t } ) \right) \right) \right) \right) \right) \right) } \end{array}
\rho ^ { ( n , k ) } = \mathcal { E } _ { L ^ { \dagger } ( { \mathbf t } ) L ( { \mathbf t } ) } ( \rho ^ { ( n - 1 , k ) } ) , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; \rho ^ { ( 0 , k ) } = | k \rangle \langle k | .
\mathrm { d } ( P ^ { \prime } ) = \underbrace { \mathrm { d } \Pi ^ { 3 } \circ \mathrm { d } T \circ A } _ { = \gamma R v } \circ ( \underbrace { \mathrm { d } \Pi ^ { 1 } \circ \mathrm { d } T \circ A } _ { = \gamma } ) ^ { - 1 } = R \circ v = : v ( F | F ^ { \prime } ) \in L ( V ^ { 1 } , V ^ { 3 } ) .
\lambda _ { N } ( E , h ) = { \frac { \langle A \rangle } { \langle A ^ { 2 / 3 } \rangle } } \, { \frac { \mathrm { u } } { \sigma _ { N N } ( E ) } } = 2 . 4 4 \, { \frac { \mathrm { u } } { \sigma _ { N N } ( E ) } } ~ .
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { 0 } = \frac { 7 + 5 \Omega } { 4 ( \Omega + 3 ) } , } & { { } } & { \gamma = \gamma _ { 0 } + \Bar { \tau } \bigl [ \zeta ( \theta ) - \frac { 2 5 } { 4 } \epsilon ( \theta ) \bigl ] . } \end{array}
\sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } ( x - j h ) ^ { \alpha } \delta _ { h } ( x - j h ) h = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \widetilde { \left( x ^ { \alpha } \delta _ { h } \right) } \left( \frac { 2 \pi k } { h } \right) e ^ { 2 \pi i k \frac { x } { h } } = \left\{ \begin{array} { r l } \end{array} \right.
\Gamma _ { E T } ( \mathbf { r _ { A } } , \mathbf { r _ { D } } ; \omega _ { D } ) = ( 2 \pi / \hbar ^ { 2 } ) | V _ { d d } ( \mathbf { r _ { A } } , \mathbf { r _ { D } } ; \omega _ { D } ) | ^ { 2 } f _ { D } ( \omega _ { D } ) \sigma _ { A } ( \omega _ { D } ) ,
\begin{array} { r } { \Delta p + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { 3 } \left( { \operatorname* { m i n } } _ { 0 } \, ( ( M - c ) - \partial _ { 3 } p ) \right) = \left[ p ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } { \operatorname* { m i n } } _ { 0 } \, \left( ( M - c ) - p ^ { \prime } \right) \right] ^ { \prime } } \\ { = ( \phi _ { M } \circ \widetilde { \Theta } ) ^ { \prime } = A ^ { \prime } = P V _ { e } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \big ( u _ { t + 1 } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t + 1 } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { 1 } { I } ) \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 6 4 I \tau ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + 3 2 I \tau ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + \frac { 2 \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } } \\ & { \qquad + \bigg ( \frac { 1 2 8 I L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { M } + \frac { 2 5 6 I \tau ^ { 2 } L _ { y ^ { 2 } } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
- z \Theta ( Q ^ { 2 } - q _ { \perp } ^ { 2 } ) \left( { \frac { 8 } { 3 ( 1 - z ) } } - 2 \right) \bar { f } _ { \Sigma } ( x , b _ { \perp } ^ { 2 } , q _ { \perp } ^ { 2 } ) \Bigg \} \; ,
\mathit { \Psi } = - \frac { 1 } { \mathcal { M } } \mathit { \Omega } ^ { 3 } \frac { \partial \mathit { \Pi } _ { f } } { \partial \xi } \; \; \mathrm { f o r } \; \; \xi \in \left( \mathcal { A } , \mathcal { A } + \gamma \right)
\begin{array} { r l r } { w _ { M E } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \ B _ { R } ^ { 2 } \ V _ { R } = \frac { 0 . 1 } { 4 \pi } \ B _ { R } ^ { 2 } \ \frac { B _ { R } } { \sqrt { 4 \pi \rho } } , } \\ { W _ { M E } } & { { } = } & { w _ { M E } \ L _ { R } ^ { 2 } , } \\ { w _ { M E } } & { { } = } & { W _ { M E } / L _ { R } ^ { 2 } = 2 \ W _ { K E } / L _ { R } ^ { 2 } = 2 \ w _ { K E } \ L _ { J } ^ { 2 } / L _ { R } ^ { 2 } , } \end{array}
\rho _ { b } ^ { - } , ~ \rho _ { i , m } ^ { - } , ~ \rho _ { b } ^ { + } , ~ \rho _ { i , m } ^ { + } , ~ \kappa _ { b } ^ { - } , ~ \kappa _ { i , m } ^ { - } , ~ \kappa _ { b } ^ { + } , ~ \kappa _ { i , m } ^ { + } \in \mathbb { C }
t _ { i _ { 1 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \underset { i _ { 0 } \leq k \leq i _ { \textrm { c r o s s } _ { 1 } } } { \textrm { a r g m a x } } p _ { i _ { 0 } , k } , } & { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ u ~ p ~ w ~ a ~ r ~ d ~ - ~ t ~ r ~ e ~ n ~ d ~ } ~ } , } \\ { \underset { { i _ { 0 } \leq k \leq i _ { \textrm { c r o s s } _ { 1 } } } } { \textrm { a r g m i n } } p _ { i _ { 0 } , k } , } & { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ d ~ o ~ w ~ n ~ w ~ a ~ r ~ d ~ - ~ t ~ r ~ e ~ n ~ d ~ } ~ . ~ } } \end{array} \right.
\frac { \partial F } { \partial t } + \frac { \textbf { B } ^ { * } } { m { B } _ { \parallel } ^ { * } } \boldsymbol { \cdot } \left( m v _ { g y , \parallel } - \frac { e } { c } \left\langle { A } _ { 1 \parallel } \right\rangle \right) \nabla _ { g y } F \,
\begin{array} { r l } { | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } = } & { | | \Delta _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { = } & { | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } + \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
\tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega > \omega _ { 0 } , r , \vee ) = \tilde { S } _ { 2 1 - } ^ { y y } ( \backslash , v _ { g - } ) + \tilde { S } _ { 2 1 + } ^ { y y } ( / , v _ { g + } )
= U ^ { \alpha } \eta _ { \alpha \mu } { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial _ { t } } { c } } \gamma c } & { { \frac { \partial _ { t } } { c } } \gamma { \vec { u } } } \\ { - { \vec { \nabla } } \gamma c } & { - { \vec { \nabla } } \gamma { \vec { u } } } \end{array} \right] } = U ^ { \alpha } { \left[ \begin{array} { l l } { \ { \frac { \partial _ { t } } { c } } \gamma c } & { 0 } \\ { 0 } & { { \vec { \nabla } } \gamma { \vec { u } } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left| \int _ { 0 } ^ { \cdot } \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u _ { n } ) \, d W \right| _ { W ^ { \alpha , p } \left( 0 , T ; \mathcal D _ { s - 1 } \right) } ^ { p } \leq C _ { p } \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { T } \| \sigma ( u _ { n } ) \| _ { L _ { 2 } \left( \mathscr { U } , \mathcal D _ { s - 1 } \right) } ^ { p } \, d t } \\ { \leq } & { C _ { p } \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } 1 + \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ^ { p } \, d t \right] \leq C _ { p } \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } 1 + \| u _ { n } \| _ { \tilde { s } } ^ { p } \, d t \right] < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } ( X ) } & { = \exp \left( \operatorname* { s u p } _ { Q \in \mathbf { P } } \{ \operatorname { \mathbb { E } } _ { Q } [ \log X ] - \alpha ( Q ) \} \right) = \operatorname* { s u p } _ { Q \in \mathbf { P } } \left\{ \exp \left( \operatorname { \mathbb { E } } _ { Q } [ \log X ] - \alpha ( Q ) \right) \right\} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { Q \in \mathbf { P } } \left\{ \tilde { \alpha } ( Q ) \exp ( \operatorname { \mathbb { E } } _ { Q } [ \log X ] ) \right\} , } \end{array}
\mathbf { A } = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 1 } } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 2 } } } { \partial x _ { 1 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { M } } } { \partial x _ { 1 } } } \\ { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 1 } } } { \partial x _ { 2 } } } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 2 } } } { \partial x _ { 2 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { M } } } { \partial x _ { 2 } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 1 } } } { \partial x _ { d } } } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 2 } } } { \partial x _ { d } } } & { \cdots } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { M } } } { \partial x _ { d } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { J _ { l f } ^ { p } } & { = - 3 \mu \partial _ { t } \int d \Omega \frac { p _ { \bot } } { 2 m c } \sin \theta _ { s } \Big ( \cos \varphi _ { s } \sin \varphi _ { p } } \\ & { - \sin \varphi _ { s } \cos \varphi _ { p } \Big ) f _ { l f } } \\ { J _ { l f } ^ { f } } & { = q \int d \Omega \frac { p _ { z } } { m } f _ { l f } } \end{array}
: e ^ { - \frac { a ^ { \dagger } \star a } { \hbar } } : = 1 + ( - \frac { 1 } { \hbar } ) a ^ { \dagger } \star a + \frac { 1 } { 2 ! } ( - \frac { 1 } { \hbar } ) ^ { 2 } a ^ { \dagger } \star a ^ { \dagger } \star a \star a + \cdots .
\operatorname { R i e m } ^ { A } { } _ { B C D } = \mathsf { F } _ { \alpha } { } ^ { A } \, \mathsf { F } _ { B } { } ^ { \beta } \, \mathsf { F } _ { C } { } ^ { \xi } \, \mathsf { F } _ { D } { } ^ { \eta } \, \operatorname { R i e m } ^ { \alpha } { } _ { \beta \xi \eta } \, , \qquad \operatorname { R i c } _ { A B } = \mathsf { F } _ { A } { } ^ { \alpha } \, \mathsf { F } _ { B } { } ^ { \beta } \, \operatorname { R i c } _ { \alpha \beta } \, ,
\begin{array} { r l } { f } & { = \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) ( \dot { g } ( \sigma ) , \dot { A } ( \sigma ) ) = \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } ( \sigma ) , \dot { A } ( \sigma ) ) + \big ( \sigma \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) ( \dot { g } ( \sigma ) , \dot { A } ( \sigma ) ) } \\ & { = \Big ( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) - i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) - \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \check { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) + i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \tilde { \dot { g } } , \tilde { \dot { A } } ) \Big ) } \\ & { \quad + i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) ) + \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \tilde { \dot { g } } ( \sigma ) , \tilde { \dot { A } } ( \sigma ) ) } \\ & { \quad \quad + \frac { i \sigma } { 2 } \Big ( - \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) + \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) ) \Big ) } \\ & { \quad \quad \quad + \frac { i \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) + \big ( \sigma \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) ( \tilde { \dot { g } } + \tilde { \dot { g } } ( \sigma ) , \tilde { \dot { A } } + \tilde { \dot { A } } ( \sigma ) ) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \langle K _ { 0 } \rangle } & { = } & { \displaystyle ( \varkappa + s ) \frac { 1 + \vert \alpha \vert ^ { 2 } } { 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } } \, , } \\ { \langle K _ { \pm } \rangle } & { = } & { \displaystyle \frac { ( \varkappa + s ) } { 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } } \, \alpha _ { \pm } \, , \qquad \alpha _ { + } = \alpha , \, \alpha _ { - } = \bar { \alpha } , \, } \\ { \langle K _ { 1 } \rangle } & { = } & { \displaystyle - ( \varkappa + s ) \frac { \mathrm { I m } \, \alpha } { 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } } \, , } \\ { \langle K _ { 2 } \rangle } & { = } & { \displaystyle ( \varkappa + s ) \frac { \mathrm { R e } \, \alpha } { 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } } \, , } \\ { \Delta K _ { 1 } } & { = } & { \displaystyle \sqrt { \frac { \varkappa + s ( s + 2 \varkappa ) } { 2 } } \frac { \vert 1 - \alpha ^ { 2 } \vert } { 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } } \, , } \\ { \Delta K _ { 2 } } & { = } & { \displaystyle \sqrt { \frac { \varkappa + s ( s + 2 \varkappa ) } { 2 } } \frac { \vert 1 + \alpha ^ { 2 } \vert } { 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \Pi \partial _ { i } \Pi } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \partial _ { i } } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c } { { B _ { i } } } & { { \langle I _ { i } | } } \\ { { | J _ { i } \rangle } } & { { \hat { R } _ { i } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { 4 \pi } { c } \, { \bf j } _ { s } = { \bf e } _ { z } \times \left[ { \bf B } _ { 2 } - { \bf B } _ { 1 } \right] = \left( \chi _ { 2 } - \chi _ { 1 } \right) \, \left[ { \bf e } _ { z } \times { \bf E } \right] \: , } \\ & { 4 \pi \, \rho _ { s } = \varepsilon \, E _ { 2 z } - \varepsilon \, E _ { 1 z } = - \left( \chi _ { 2 } - \chi _ { 1 } \right) \, B _ { z } \: . } \end{array}
{ \; \atop { \mathrm { d e t } \atop { \scriptstyle ( i , j ) } } } \Big ( \frac { 1 } { \tilde { w } _ { i } - \tilde { z } _ { j } } \Big ) = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \frac { \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } ( \tilde { w } _ { i } - \tilde { w } _ { j } ) ( \tilde { z } _ { i } - \tilde { z } _ { j } ) } { \prod _ { i , j = 1 } ^ { n } ( \tilde { w } _ { i } - \tilde { z } _ { j } ) } \; .
A _ { \mu } ^ { a } ~ = ~ \left( \begin{array} { l } { { V ^ { M } { } _ { \mu } } } \\ { { B _ { \mu M } } } \\ { { A ^ { I } { } _ { \mu } } } \end{array} \right) { } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ F _ { \mu \nu } ^ { a } ~ = ~ \left( \begin{array} { l } { { V ^ { M } { } _ { \mu \nu } } } \\ { { H _ { \mu \nu M } } } \\ { { F ^ { I } { } _ { \mu \nu } } } \end{array} \right)
M _ { \lambda } = B \left( - p \cdot q \eta _ { \lambda } ^ { * } + q \cdot \eta ^ { * } p _ { \lambda } \right) + C \left( q \cdot \eta ^ { * } q _ { \lambda } - q ^ { 2 } \eta _ { \lambda } ^ { * } \right) + i \epsilon _ { \lambda \mu \alpha \beta } \eta ^ { \mu * } p ^ { \alpha } q ^ { \beta } D
\begin{array} { r l } { \bar { \lambda } _ { n , i } ^ { * } ( \rho ^ { * } ) } & { { } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda G _ { n , i } ^ { \lambda \; * } ( \rho ^ { * } ) \mathrm { d } \lambda } { \int _ { 0 } ^ { \infty } G _ { n , i } ^ { \lambda \; * } \mathrm { d } \lambda } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ \left. \left| G ( Y _ { k \eta } , a _ { k \eta } ) \right| ^ { 2 } \right| Y _ { k \eta } \right] } & { \le 2 \mathbf { E } \left[ \left. \left| G ( Y _ { k \eta } , a _ { k \eta } ) - \widetilde { G } ( Y _ { k \eta } ) \right| ^ { 2 } \right| Y _ { k \eta } \right] + 2 \left| \widetilde { G } ( Y _ { k \eta } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \le 4 \delta _ { \mathbf { v } , 2 } \left| Y _ { k \eta } \right| ^ { 2 } + 4 \delta _ { \mathbf { v } , 0 } + \left( 4 \left\| \widetilde { G } \right\| _ { \mathbb { M } } + 4 \left( \omega _ { \widetilde { G } } \left( 1 \right) \right) ^ { 2 } \left| Y _ { k \eta } \right| ^ { 2 } \right) } \end{array}
T _ { c } ( p , q , q ^ { \prime } ) = - \frac { e ^ { 2 } g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ i \left[ { \frac { \alpha _ { 1 } ( 2 ( p q ) \alpha _ { 3 } - Q ^ { 2 } ( \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 4 } ) ) + t \alpha _ { 2 } \alpha _ { 4 } } { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 4 } } } - \lambda \, ( m ^ { 2 } - i \epsilon ) \right] \right\} \frac { d \alpha _ { 1 } d \alpha _ { 2 } d \alpha _ { 3 } d \alpha _ { 4 } } { \lambda ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r } { { \left( \begin{array} { c c c c } { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { } \\ { \cdots } & { x } & { \gamma } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \gamma ^ { * } } & { y } & { \cdots } \end{array} \right) } \, , } \end{array}
( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) ^ { n _ { 1 } } \dotsm ( x _ { d } + y _ { d } ) ^ { n _ { d } } = \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { n _ { 1 } } \dotsm \sum _ { k _ { d } = 0 } ^ { n _ { d } } { \binom { n _ { 1 } } { k _ { 1 } } } x _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } y _ { 1 } ^ { n _ { 1 } - k _ { 1 } } \dotsc { \binom { n _ { d } } { k _ { d } } } x _ { d } ^ { k _ { d } } y _ { d } ^ { n _ { d } - k _ { d } } .
\begin{array} { r } { \dot { \overline { { \mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } } } } \vert _ { t _ { 0 } } = \underbrace { \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \\ { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \end{array} \right) } _ { \mathbf { M } ( \mathbf { p } , t _ { 0 } ) } + \underbrace { \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla \mathbf { \Omega } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla \mathbf { \Omega } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \\ { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla \mathbf { \Omega } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla \mathbf { \Omega } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \end{array} \right) } _ { \mathbf { N } ( \mathbf { p } , t _ { 0 } ) } . } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } = \frac { \sqrt { \frac { 1 } { M N _ { 0 } ^ { v } } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 0 } ^ { v } } ( x _ { i , j } - \widetilde { x } _ { i , j } ) ^ { 2 } } } { u _ { i n } } ,
\big | f ( r e ^ { i \theta } ) \big | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 2 f ( r ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \theta ^ { 2 } b ( r ) } , } & { \qquad 0 \leq | \theta | \leq b ( r ) ^ { - 2 / 5 } , } \\ { * [ 2 m m ] 2 f ( r ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } b ( r ) ^ { 1 / 5 } } , } & { \qquad b ( r ) ^ { - 2 / 5 } \leq | \theta | \leq \pi , } \end{array} \right.
\mathcal { A } \= \Theta _ { \alpha } \, I _ { \alpha } \, e ^ { \alpha } \qquad \Longrightarrow \qquad \mathcal { F } \= \Theta _ { \alpha } ^ { \prime } \, I _ { \alpha } \, e ^ { \psi } \wedge e ^ { \alpha } \ - \ ( \Theta _ { \alpha } { - } \Theta _ { \beta } \Theta _ { \gamma } ) \, I _ { \alpha } \, f _ { \ \beta \gamma } ^ { \alpha } \, e ^ { \beta } \wedge e ^ { \gamma } \ .
\mathbf { g } ^ { C } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { g } ^ { D } ( \mathbf { x } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \left[ \overline { { \mathbf { G } } } _ { i } - \mathbf { g } ^ { D } ( \mathbf { x } _ { i } ^ { f } ) \cdot \mathbf { n } _ { i } \right] \mathbf { h } _ { i } ( \mathbf { x } ) .
\begin{array} { r } { b x _ { 2 } + s \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) = x _ { 2 } + s x _ { 1 } \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) , } \end{array}