harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { L _ { F } z ^ { \alpha } } & { = } & { \sum _ { l = 1 } ^ { n } F _ { l } ( z ) \, \alpha _ { l } \, z ^ { ( \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { l - 1 } , \alpha _ { l } - 1 , \alpha _ { l + 1 } , \dots , \alpha _ { n } ) } } \\ & { = } & { \sum _ { l = 1 } ^ { n } \sum _ { \vert \beta \vert \geq 1 } a _ { l , \beta } z ^ { \beta } \, \alpha _ { l } \, z ^ { ( \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { l - 1 } , \alpha _ { l } - 1 , \alpha _ { l + 1 } , \dots , \alpha _ { n } ) } } \\ & { = } & { \sum _ { l = 1 } ^ { n } \alpha _ { l } \left( \sum _ { \left( \beta _ { 1 } , \dots , \beta _ { n } \right) \in \mathbb { N } ^ { n } } a _ { l , \left( \beta _ { 1 } , \dots , \beta _ { n } \right) } z ^ { ( \beta _ { 1 } + \alpha _ { 1 } , \dots , \beta _ { l } + \alpha _ { l } - 1 , \beta _ { l + 1 } + \alpha _ { l + 1 } , \dots , \beta _ { n } + \alpha _ { n } ) } \right) . } \end{array}
P ( x , t ) = \frac { \exp \left( - x ^ { 2 } / [ 2 ( t ^ { \alpha _ { 1 } } - ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } + ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 2 } } ) ] \right) } { \sqrt { 2 \pi \left( t ^ { \alpha _ { 1 } } - ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } + ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 2 } } \right) } } ,
2 t = 2 E \tau ^ { 2 } + \tau \sqrt { m ^ { 2 } + E ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + k ^ { 2 } + 2 E \tau k \cos \theta } + \tau \sqrt { m ^ { 2 } + E ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + k ^ { 2 } - 2 E \tau k \cos \theta } .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { L H S } ^ { t } ( w ^ { * } , z ^ { * } ) : = \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } F ( z ^ { t , e } ) - F ( z ^ { * } ) - \langle \lambda ^ { t + 1 } , z ^ { t + 1 } - z ^ { * } \rangle + \langle A ^ { \top } \tilde { \lambda } ^ { t } , w ^ { t + 1 } - w ^ { * } \rangle , } \\ & { \mathrm { R H S } ^ { t } ( z ^ { * } ) : = \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f ^ { \prime } ( z ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \big ( \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } - \frac { \alpha } { 2 } ) \| z ^ { * } - z ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \| z ^ { * } - z ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } + \langle \tilde { \xi } ^ { t , e } , z ^ { * } - z ^ { t , e } \rangle \Big \} . } \end{array}
\sqrt { 2 } d _ { k } = d _ { k } ^ { 1 } + i \, \mathrm { s i g n } \, ( h ) d _ { k } ^ { 2 } , \; \; \; \sqrt { 2 } \tilde { d } _ { k } = d _ { k } ^ { 1 } - i \, \mathrm { s i g n } \, ( h ) d _ { k } ^ { 2 }
T _ { L } \simeq M _ { 1 } \geq 6 . 2 5 \times 1 0 ^ { 8 } \, \mathrm { G e V } \, { \frac { \eta _ { B 0 } ^ { C M B } } { 1 0 ^ { - 1 0 } } } \stackrel { > } { \sim } 2 . 5 \times 1 0 ^ { 9 } \, \mathrm { G e V } .
{ \cal M } _ { \mathrm { 6 ( b ) } } \; = \; - { \frac { \pi \alpha _ { s } } { M ^ { 2 } } } \; \Bigg ( ( 1 - v ^ { 2 } ) { \xi ^ { \prime } } ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \eta ^ { \prime } \cdot \eta ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \xi \; - \; { \frac { 1 } { 2 } } \; ( v ^ { i } v ^ { j } + v ^ { i } v ^ { j } ) { \xi ^ { \prime } } ^ { \dagger } \sigma ^ { i } T ^ { a } \eta ^ { \prime } \; \eta ^ { \dagger } \sigma ^ { j } T ^ { a } \xi \Bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \gamma _ { J } } \eta ( x , y ) } & { = - \int _ { c ( \alpha ) } ^ { 2 \pi - c ( \alpha ) } \log | y _ { + } \left( e ^ { i \theta } \right) | \mathrm d \theta } \\ & { = \int _ { c ( \alpha ) } ^ { 2 \pi - c ( \alpha ) } \log | y _ { - } \left( e ^ { i \theta } \right) | \mathrm d \theta } \\ & { = \int _ { c ( \alpha ) } ^ { 2 \pi - c ( \alpha ) } \log ( | 1 / y _ { - } \left( e ^ { i \theta } \right) | ) \mathrm d ( - \theta ) } \\ & { = \int _ { \gamma _ { J } ^ { \prime } } \eta ( x , y ) . } \end{array}
j _ { p } : L ^ { p } ( \mu ) { \overset { \kappa _ { q } } { \longrightarrow } } L ^ { q } ( \mu ) ^ { * } { \overset { \left( \kappa _ { p } ^ { - 1 } \right) ^ { * } } { \longrightarrow } } L ^ { p } ( \mu ) ^ { * * }
\begin{array} { r l } { p ( \boldsymbol { \lambda } | X _ { i } ) } & { = \int _ { x _ { i } - y _ { i } ( \boldsymbol { \lambda } ) - \epsilon } ^ { x _ { i } - y _ { i } ( \boldsymbol { \lambda } ) + \epsilon } \frac { e ^ { - ( z - \mu ) ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } d z } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e r f } \left( \frac { x _ { i } - y _ { i } ( \boldsymbol { \lambda } ) - \mu + \epsilon } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e r f } \left( \frac { x _ { i } - y _ { i } ( \boldsymbol { \lambda } ) - \mu - \epsilon } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - 2 ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } & { 2 ( x y - w z ) } & { 2 ( x z + w y ) } \\ { 2 ( x y + w z ) } & { 1 - 2 ( x ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } & { 2 ( y z - w x ) } \\ { 2 ( x z - w y ) } & { 2 ( y z + w x ) } & { 1 - 2 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } \end{array} \right] } .
S _ { R S T } = { \frac { N } { 6 } } \left( { \frac { 1 2 } { N } } e ^ { - 2 \phi } + \rho - { \frac { \phi } { 2 } } - { \frac { 1 } { 4 } } \log { \frac { N } { 3 } } - { \frac { 1 } { 4 } } \right) \ .
B ( N , N ^ { \prime } ) : = \int \left( \underset { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } \in \mathbb { Z } / \tilde { N } ^ { \prime } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } G \left( 1 _ { [ N ^ { \prime } ] } ( n ) \cdot \xi _ { N ^ { \prime } , R ^ { \prime } ( m ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) } ^ { s , e } \right) \right) \cdot \left( \underset { ( m , n ) \in \mathbb { Z } / \tilde { N } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } 1 _ { [ N ] } ( n ) \cdot \xi _ { N , R ( m , n ) } \right) d \lambda .
\begin{array} { r } { E ( \rho , z ) \approx \left( \frac { n } { \mathcal { M } } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \sin \Theta } d \eta \, \eta J _ { 0 } \left( k \eta \rho \right) e ^ { - i k \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } z } , } \end{array}
\Gamma ( z , t ) = \frac { 2 e ^ { 4 } x _ { a } ^ { 4 } \nu } { \hbar ^ { 4 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } [ ( 2 \omega _ { 0 } - I _ { p } / \hbar ) ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } \langle E ( z , t ) ^ { 2 } \rangle E ( z , t ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { N _ { g } + 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { { } = 1 , \quad \Upsilon _ { N _ { g } + 1 } ^ { ( 2 ) } ( x ) = 0 , } \\ { \Upsilon _ { N _ { g } + 2 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { { } = 0 , \quad \Upsilon _ { N _ { g } + 2 } ^ { ( 2 ) } ( x ) = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \tau } _ { [ i ] } - \widetilde { \tau } _ { [ i ] } ^ { \mathrm { g o o d } } = | ( \widetilde { \tau } _ { [ i ] } ^ { \mathrm { g o o d } } , \widetilde { \tau } _ { [ i ] } ) \cap S ( \tau ) ^ { c } | + | ( \widetilde { \tau } _ { [ i ] } ^ { \mathrm { g o o d } } , \widetilde { \tau } _ { [ i ] } ) \cap S ( \tau ) | + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \rightarrow \infty } P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \left( U _ { \eta } = r _ { 1 } \right) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \rightarrow \infty } \frac { \exp \left( - \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } r _ { 1 } \right) } { Z _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \hat { c } } { d t } } & { { } = } & { ( i \Delta _ { c } + \sum _ { j = x , y } i G _ { j } \hat { q } _ { j } - \kappa ) \hat { c } + \eta + \sqrt { 2 \kappa } \hat { c } _ { i n } , } \\ { \frac { d \hat { q } _ { j } } { d t } } & { { } = } & { \omega _ { j } \hat { p } _ { j } , ( j = x , y ) } \\ { \frac { d \hat { p } _ { j } } { d t } } & { { } = } & { - \omega _ { j } \hat { q } _ { j } + G _ { j } \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } + S _ { j } c o s ( \delta _ { j } t + \phi _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { ( i , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i , j - 1 ) } - \phi ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j - 1 ) } - \phi ^ { ( i + 1 , j ) } + \phi ^ { ( i - 1 , j ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i - 1 , j + 1 ) } } & { = 0 , } \\ { - \phi ^ { ( i + 1 , j ) } + \phi ^ { ( i - 1 , j ) } + \phi ^ { ( i + 2 , j ) } - \phi ^ { ( i , j ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i - 1 , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i + 2 , j + 1 ) } + \phi ^ { ( i , j + 1 ) } } & { = 0 , } \\ { - \phi ^ { ( i , j + 1 ) } + \phi ^ { ( i , j - 1 ) } + \phi ^ { ( i , j + 2 ) } - \phi ^ { ( i , j ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i + 1 , j - 1 ) } - \phi ^ { ( i + 1 , j + 2 ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j ) } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } = } & { - \gamma \frac { \nabla ^ { 2 } ( h + \zeta ) } { \xi _ { h + \zeta } ^ { 3 } } + \xi _ { \zeta } \partial _ { h } f _ { \mathrm { w e t } } } \\ { \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } = } & { - \gamma \frac { \nabla ^ { 2 } ( h + \zeta ) } { \xi _ { h + \zeta } ^ { 3 } } - \nabla \cdot \left[ ( \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ) \frac { \nabla \zeta } { \xi _ { \zeta } } \right] } \\ & { + \xi _ { \zeta } \partial _ { \zeta } ( \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ) + \partial _ { \zeta } g _ { \mathrm { b r u s h } } . } \end{array}
p ( y ) = p _ { Y | \tilde { X } , \tilde { Y } \in [ 0 , 1 ) } ( y ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( y - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { 1 - u } { \sigma } \right) \right] \, d u } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { 1 - t } { \sigma } \right) \right] ^ { 2 } \, d t } ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 3 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textbf { k } _ { A } } & { { } = \textbf { k } _ { 1 } - \textbf { k } _ { 2 } = \sqrt { 3 } k \mathbf { e } _ { x } } \\ { \Delta \textbf { k } _ { B } } & { { } = \textbf { k } _ { 2 } - \textbf { k } _ { 3 } = - k \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { e } _ { x } + \frac { 3 } { 2 } \mathbf { e } _ { y } \right) } \\ { \Delta \textbf { k } _ { C } } & { { } = \textbf { k } _ { 3 } - \textbf { k } _ { 1 } = k \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { e } _ { x } + \frac { 3 } { 2 } \mathbf { e } _ { y } \right) \ . } \end{array}
H _ { p } = 1 + { \frac { Q _ { p } } { | { \bf x } | ^ { D - p - 4 } } } , \ \ \ \ \Delta _ { p } = { \frac { ( D - 3 ) a _ { p } ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { 2 ( p + 1 ) ( D - p - 4 ) } { D - 3 } } .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { F } ^ { \alpha \alpha , \vec { k } } } & { \boldsymbol { F } ^ { \alpha \beta , \vec { k } } } \\ { \boldsymbol { F } ^ { \beta \alpha , \vec { k } } } & { \boldsymbol { F } ^ { \beta \beta , \vec { k } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { C } ^ { \alpha , \vec { k } } } \\ { \boldsymbol { C } ^ { \beta , \vec { k } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { S } ^ { \vec { k } } } & { \boldsymbol { 0 } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { S } ^ { \vec { k } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { C } ^ { \alpha , \vec { k } } } \\ { \boldsymbol { C } ^ { \beta , \vec { k } } } \end{array} \right) \boldsymbol { \epsilon } ^ { \vec { k } } \quad } \end{array}
\langle P " , \chi " | { \hat { J } } ^ { \mu } ( x ) | P ^ { \prime } \chi ^ { \prime } \rangle = _ { I } \langle P " , \chi _ { I } " | { \hat { J } } _ { I } ^ { \mu } ( x ) | P ^ { \prime } , \chi _ { I } ^ { \prime } \rangle _ { I }
\begin{array} { r } { \mathrm { V } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { t ; 0 } = \exp \left( - \int _ { 0 } ^ { t } \varrho ( \tau , \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { \tau ; 0 } ) \, \mathrm { d } \tau \right) v + \int _ { 0 } ^ { t } \exp \left( - \int _ { \tau } ^ { t } \varrho ( \tau ^ { \prime } , \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { \tau ^ { \prime } ; 0 } ) \, \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \right) E _ { \mathrm { d r a g } } ^ { u , \varrho } ( \tau , \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { \tau ; 0 } ) \, \mathrm { d } \tau , } \end{array}
n _ { i } - \bar { n } _ { i } = \frac { 1 } { 6 } \, g _ { i } \, \tilde { \mu } _ { i } \, T ^ { 2 } = - \epsilon _ { i } \, g _ { i } \, y _ { i } ^ { 2 } \, \frac { \alpha _ { Y } } { 2 \pi } h _ { Y } + \cdots \, ,
\operatorname { E } ( R ^ { M } ) = \operatorname { E } { \big ( } ( \alpha \nu y ) ^ { 1 / 2 } { \big ) } ^ { 2 m } = ( \alpha \nu ) ^ { M / 2 } \operatorname { E } ( y ^ { M / 2 } ) = ( \alpha \nu ) ^ { M / 2 } { \frac { B { \big ( } { \frac { 1 } { 2 } } ( p + M ) , { \frac { 1 } { 2 } } ( \nu - M ) { \big ) } } { B ( { \frac { 1 } { 2 } } p , { \frac { 1 } { 2 } } \nu ) } }
\begin{array} { r l } & { \frac { \xi - \alpha ( \mu ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \tau g ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) } { [ G ( \xi ; \mu ) - G ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) ] ^ { 3 / 2 } } d \tau } \\ & { \le \frac { \xi - \alpha ( \mu ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { c _ { 4 } \tau } { [ ( c _ { 3 } / 2 ) ( \xi - \alpha ( \mu ) ) \tau ] ^ { 3 / 2 } } d \tau = \frac { \sqrt 2 c _ { 4 } \sqrt { \xi - \alpha ( \mu ) } } { c _ { 3 } \sqrt { c _ { 3 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ v \} = } & { { } \ \{ v _ { \bot } ^ { F } , v _ { \bot } ^ { G } , v _ { \bot } ^ { H } , v _ { \Delta } ^ { I } , v _ { \Delta } ^ { J } , v _ { \Delta } ^ { K } , v _ { \Delta } ^ { L 1 } , v _ { \Delta } ^ { L 2 } , v _ { \Delta } ^ { M 1 } , } \end{array}
A _ { 1 } ^ { \left( 0 \right) } = { \frac { { \Phi } } { { 2 \pi r ^ { 2 } } } } x ^ { 2 } , \; A _ { 2 } ^ { \left( 0 \right) } = - { \frac { { \Phi } } { { 2 \pi r ^ { 2 } } } } x ^ { 1 } , \; A _ { 0 } ^ { \left( 0 \right) } = A _ { 3 } ^ { \left( 0 \right) } = 0 , \; r ^ { 2 } = \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } .
\left\{ \begin{array} { l } { \begin{array} { r l } & { \delta \boldsymbol { v } ^ { \prime } = - 0 . 2 5 c h \sum _ { j } \left[ 1 + 0 . 2 \left( \frac { W _ { i j } } { W ( \Delta x , h _ { i } ) } \right) ^ { 4 } \right] { \nabla } W _ { i j } V _ { j } , } \\ & { \delta \boldsymbol { v } = \operatorname* { m i n } \left( 0 . 5 \left| \boldsymbol { v } \right| , \left| \delta \boldsymbol { v } ^ { \prime } \right| \right) \frac { \delta \boldsymbol { v } ^ { \prime } } { \left| \delta \boldsymbol { v } ^ { \prime } \right| } , } \end{array} } \end{array} \right.
E = E _ { 0 } \mathcal { U } _ { n , m } e ^ { \mathrm { i } \omega t } \left( 1 + \mathrm { i } \frac { m } { 2 } \left( e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } + e ^ { \mathrm { i } \Omega t } \right) \right)
J = \lceil \log _ { 2 } \left( \underline { { c } } ^ { - \frac { 2 } { 1 - \delta } } L ^ { { 3 } } \bar { \Psi } ^ { 1 + \frac { 2 r } { 1 - \delta } } \gamma _ { 0 } \varepsilon ^ { - 1 } \right) \rceil \quad \textnormal { a n d } \quad T _ { 0 } = L ^ { \frac { \rho } { 2 } } \left( \underline { { c } } ^ { - ( \frac { 5 } { 4 } - \rho ) \wedge ( 3 \rho ) + \delta } \vee \underline { { c } } ^ { - \frac { 5 } { 2 } - \delta } \right) \bar { \Psi } ^ { 1 + ( 4 - 2 \rho + \delta ) r } \varepsilon ^ { - 2 } .
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \sum _ { i } \psi ( { \bf r } _ { i } ) ~ ~ , } \\ { B } & { { } = } & { e ^ { \beta U ( { \bf r } _ { 1 } , \ldots , { \bf r } _ { N } ) } \sum _ { j } ( { \bf e } _ { t } \cdot \nabla _ { j } ) [ \varphi ( { \bf r } _ { j } ) e ^ { - \beta U ( { \bf r } _ { 1 } , \ldots , { \bf r } _ { N } ) } ] ~ ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \left\Vert \nabla f _ { i } ( x ) - \nabla f ( x ) \right\Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\Vert \nabla f _ { i } ( x ) \right\Vert ^ { 2 } - \left\Vert \nabla f ( x ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\Vert \nabla f _ { i } ( x ) \right\Vert ^ { 2 } \leq 2 L \left( f ( x ) - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ^ { * } \right) . } \end{array}
\Pi ( n ; \varphi \, | \, m ) = \int _ { 0 } ^ { \sin \varphi } { \frac { 1 } { 1 - n t ^ { 2 } } } { \frac { \mathrm { d } t } { \sqrt { \left( 1 - m t ^ { 2 } \right) \left( 1 - t ^ { 2 } \right) } } } .
p _ { L , 1 } = \sum _ { s = 1 } ^ { L } \left\{ g _ { s } \left[ \sum _ { l = \bar { s } + 1 } ^ { s } { \binom { s } { l } } p _ { 0 } ^ { l } ( 1 - p _ { 0 } ) ^ { s - l } + \delta [ \bar { s } - \frac { s } { 2 } ] k { \binom { s } { s / 2 } } p _ { 0 } ^ { \frac { s } { 2 } } ( 1 - p _ { 0 } ) ^ { \frac { s } { 2 } } \right] \right\} \ ,
L _ { k i n , L i o u } = \partial _ { + } X ^ { \mu } \partial _ { - } X ^ { \nu } G _ { \mu \nu } - \frac { 2 7 - 2 6 } { 4 8 \pi } ( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { + } \phi \partial _ { - } \phi - Q \hat { R } \phi + \mu _ { t o t } e ^ { \alpha \phi } ) ,
{ \mathcal L } = \frac { 1 } { 2 } \: \big ( \partial _ { 0 } A _ { 1 } ^ { a } - D _ { 1 } ^ { a b } A _ { 0 } ^ { b } \big ) \, \big ( \partial _ { 0 } A _ { 1 } ^ { a } - D _ { 1 } ^ { a c } A _ { 0 } ^ { c } \big )
\left( f ^ { S , I } \right) _ { T , t } ^ { \mathcal { I } } = \mathbf { 1 } _ { \left\{ I \geq 1 \right\} } \mathrm { e } ^ { - \gamma ( T - t ) } f _ { T , t } ^ { S + 1 , I - 1 } + \mathbf { 1 } _ { \left\{ S + 1 < n _ { \operatorname* { m a x } } \right\} } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \gamma ( T - t ) } ) f _ { T , t } ^ { S + 1 , I } .
W ( \phi ) = \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi } e ^ { \alpha \eta } \left( \frac { \beta } { 2 } \eta ^ { 2 } - \Lambda \right) d \eta = \left. e ^ { \alpha \eta } \left[ \frac { \beta } { 2 } \left( \frac { 2 } { \alpha ^ { 3 } } - \frac { 2 \eta } { \alpha ^ { 2 } } + \frac { \eta ^ { 2 } } { \alpha } \right) - \frac { \Lambda } { \alpha } \right] \right| _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi } .
\int _ { - \infty } ^ { 0 } d x _ { 1 } d x _ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 1 } d t _ { 2 } G _ { N } ( t , x ; t _ { 1 } , x _ { 1 } ) ~ G _ { N } ( t ^ { \prime } , x ^ { \prime } ; t _ { 2 } , x _ { 2 } ) ~ G _ { N } ( t _ { 2 } , x _ { 2 } ; t _ { 1 } , x _ { 1 } )
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { E } ( S ^ { \prime } , \pi _ { i } \circ \tilde { f } _ { i } ^ { - 1 } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { E } ( S , \pi _ { i } ) = - \textrm { R e } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { S } \phi _ { i } \cdot \frac { \mu _ { i } } { 1 - | \mu _ { i } | ^ { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { S } | \phi _ { i } | \cdot \frac { | \mu _ { i } | ^ { 2 } } { 1 - | \mu _ { i } | ^ { 2 } } .
\rho ( \mu ) = \left( { \begin{array} { c c c } { \cos ( { \frac { 2 \pi } { 3 } } ) } & { 0 } & { - \sin ( { \frac { 2 \pi } { 3 } } ) } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \sin ( { \frac { 2 \pi } { 3 } } ) } & { 0 } & { \cos ( { \frac { 2 \pi } { 3 } } ) } \end{array} } \right) , \, \, \, \, \rho ( \nu ) = \left( { \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r l r } { \hat { \sigma } _ { i j } n _ { i } t _ { j } } & { = } & { - \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { \chi } { 2 - \chi } \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { V S } } } \left( \hat { V } _ { i } + \eta ^ { 1 } \hat { q } _ { i } \right) t _ { i } \mathrm { , } } \\ { \hat { q } _ { k } n _ { k } } & { = } & { - \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { \chi } { 2 - \chi } \frac { 4 + \delta } { 2 } \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { T J } } } \left( \mathcal { \hat { T } } + \eta ^ { 1 } \hat { \sigma } _ { i j } n _ { i } n _ { j } \right) \mathrm { . } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { Q < } & { { } \; 1 , } \\ { 1 > \mathcal { R } _ { 0 } > } & { { } \; Q ( 1 - 2 \nu Q ) + \sqrt { 4 \nu Q ^ { 3 } \left( \nu Q - 1 + \frac { 1 } { Q } \right) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \epsilon ) \operatorname* { m a x } \lbrace \alpha _ { - } ^ { - 1 } , \alpha _ { + } ^ { - 1 } , 1 \rbrace \bigg [ ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + ( 2 \alpha _ { + } + \kappa _ { + } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { + } ^ { 2 } + \left( \frac { 5 } { 1 6 } + ( 2 \epsilon ) ^ { - 1 } \right) \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T } & { { } = \frac { 1 } { 2 } m ( \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } + \dot { z } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } I _ { z } \dot { \psi } ^ { 2 } , } \\ { V } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left[ \frac { 1 } { 2 } k ( l _ { i } - l _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] + m g z , } \\ { L } & { { } = T - V . } \end{array}
\mathcal { O } _ { E L } ( \mathfrak { u } _ { 0 } ) : = \bigg \{ \mathfrak { u } ( t ) \ \backslash \ \frac { d \mathfrak { u } } { d t } = \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } ( \mathfrak { u } ) , \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } \in \overline { { \mathcal { S } \mathrm { ~ o ~ l ~ } } } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathfrak { u } ( t _ { 0 } ) = \mathfrak { u } _ { 0 } \bigg \} .
\begin{array} { r } { \overline { { R } } ^ { k , s } = \mathbb { E } \left[ R ^ { k , s } \big | Y ^ { k } \right] \quad \mathrm { ~ s ~ o ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \quad s ^ { k + 1 } = \operatorname * { a r g m a x } _ { s } \; \overline { { R } } ^ { k , s } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { J _ { + } } \\ { J _ { - } } \\ { J _ { z } } \end{array} \right) = \mathrm { i } \varepsilon _ { 0 } \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \omega + \mathrm { i } \gamma - \omega _ { \mathrm { c } } } } & & \\ & { \frac { 1 } { \omega + \mathrm { i } \gamma + \omega _ { \mathrm { c } } } } & \\ & & { \frac { 1 } { \omega + \mathrm { i } \gamma } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { E _ { + } } \\ { E _ { - } } \\ { E _ { z } } \end{array} \right) .
\left. \frac { \partial U _ { 4 } } { \partial v } \right| _ { v = v _ { s } } = - \frac { 1 } { v _ { s } ^ { 3 } } + v _ { s } + \frac { 3 u v _ { s } ^ { 3 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } [ \mathrm { l n } \frac { v _ { s } ^ { 2 } u } { M ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } ] = 0 .
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d m _ { x } } { d t } = - \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } \left[ H _ { \mathrm { 0 } } \cos \beta + H _ { \mathrm { f b } } - H _ { \mathrm { d i p } } \left( 1 - 3 \sin ^ { 2 } \phi \right) \right] m _ { y } - \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } H _ { \mathrm { d i p } } \tilde { m } _ { y } , } \\ { \frac { d m _ { y } } { d t } = \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } \left[ H _ { \mathrm { 0 } } \cos \beta + H _ { \mathrm { f b } } - H _ { \mathrm { d i p } } \left( 1 - 3 \sin ^ { 2 } \phi \right) \right] m _ { x } + \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } H _ { \mathrm { d i p } } \left( 1 - 3 \cos ^ { 2 } \phi \right) \tilde { m } _ { x } + C , } \\ { \frac { d \tilde { m } _ { x } } { d t } = - \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } \left[ H _ { \mathrm { 0 } } \cos \beta + J _ { \mathrm { 0 } } M _ { \mathrm { S } } | k | ^ { 2 } - \tilde { H } _ { \mathrm { d i p } } \left( 1 - 3 \sin ^ { 2 } \phi \right) \right] \tilde { m } _ { y } - \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } \tilde { H } _ { \mathrm { d i p } } m _ { y } , } \\ { \frac { d \tilde { m } _ { y } } { d t } = \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } \left[ H _ { \mathrm { 0 } } \cos \beta + J _ { \mathrm { 0 } } M _ { \mathrm { S } } | k | ^ { 2 } - \tilde { H } _ { \mathrm { d i p } } \left( 1 - 3 \sin ^ { 2 } \phi \right) \right] \tilde { m } _ { x } + \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } \tilde { H } _ { \mathrm { d i p } } \left( 1 - 3 \cos ^ { 2 } \phi \right) m _ { x } + C , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { q = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \hbar c } { ( 2 \pi c ) ^ { 2 } b } \omega ^ { 2 } f ( \omega ) d \omega \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \cos { \phi } d \phi = \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ 2 ~ D ~ } } } { b } T ^ { 3 } { , } } \end{array}