harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| a _ { n } | | z ^ { n } | = \left| \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } a _ { i } z ^ { i } \right| \leq \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } | a _ { i } z ^ { i } | \leq \operatorname* { m a x } | a _ { i } | \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } | z | ^ { i } = { \frac { | z | ^ { n } - 1 } { | z | - 1 } } \operatorname* { m a x } | a _ { i } | \leq { \frac { | z | ^ { n } } { | z | - 1 } } \operatorname* { m a x } | a _ { i } | .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } ( H _ { t } ^ { * } ) ( Y ) ( g ) } & { = \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } ( H _ { t } ^ { - 1 } ) _ { * } ( Y ) ( g ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } ( H _ { - t } ) _ { * } ( Y ) ( g ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } ( H _ { - t } ) _ { * } \left( Y \left( H _ { - t } ^ { * } ( g ) \right) \right) } \\ & { = \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } \, Y \left( H _ { - t } ^ { * } ( g ) \right) + \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } ( H _ { - t } ) _ { * } ( Y ( g ) ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } Y H _ { - t } ^ { * } ( g ) + \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } H _ { t } ^ { * } ( Y ( g ) ) } \\ & { = - Y X ( g ) + X Y ( g ) = [ X , Y ] ( g ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T ^ { 1 } ( I ) \cdot T ^ { 1 } ( n ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { \tau S } } & { { } = e ^ { \frac { \tau } { 2 } S } e ^ { \frac { \tau } { 2 } S } = e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 1 } + \frac { \tau } { 2 } S _ { 2 } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 2 } + \frac { \tau } { 2 } S _ { 1 } } } \end{array}
{ \cal V } ^ { I } ( \Phi ) = { \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } + { \frac { \mu ^ { 2 } - { \cal M } ^ { 2 } } { 8 \pi } } - { \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } ( { \frac { \mu ^ { 2 } } { { \cal M } ^ { 2 } } } ) ^ { { \frac { \beta ^ { 2 } } { 8 \pi } } } \cos ( \beta \Phi ) \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p _ { i } } { \partial t } = } & { { } - \frac { 1 } { \mathcal { N } } \frac { \partial } { \partial x } \left( \left( I - \gamma x - w \frac { \chi _ { i } ^ { n } } { K ^ { n } + \chi _ { i } ^ { n } } \right) p _ { i } ( x , t ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( x - x _ { i - 2 } ) ^ { 2 } } { 2 h ^ { 3 } } , \quad x \in [ x _ { i - 2 } , x _ { i - 1 } ] , } \\ & { - \frac { 3 ( x - x _ { i - 1 } ) ^ { 2 } } { 2 h ^ { 3 } } + \frac { ( x - x _ { i - 1 } ) } { h ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 h } , \quad x \in [ x _ { i - 1 } , x _ { i } ] , } \\ & { \frac { 3 ( x _ { i + 1 } - x ) ^ { 2 } } { 2 h ^ { 3 } } - \frac { ( x _ { i + 1 } - x ) } { h ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 h } , \quad x \in [ x _ { i } , x _ { i + 1 } ] , } \\ & { - \frac { ( x _ { i + 2 } - x ) ^ { 2 } } { 2 h ^ { 3 } } , \quad x \in [ x _ { i + 1 } , x _ { i + 2 } ] , } \\ & { 0 , \quad \textup { o t h e r w i s e } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { s ( n + 2 ^ { 2 k } ) } & { = s ( n ) + 2 ^ { k } , } & & { \quad 0 \leq n \leq 2 ^ { 2 k - 1 } - 1 , \ k \geq 1 ; } \\ { s ( n + 2 ^ { 2 k } ) } & { = - s ( n ) + 3 \cdot 2 ^ { k } , } & & { \quad 2 ^ { 2 k - 1 } \leq n \leq 2 ^ { 2 k } - 1 , \ k \geq 1 ; } \\ { s ( n + 2 ^ { 2 k + 1 } ) } & { = s ( n ) + 2 ^ { k + 1 } , } & & { \quad 0 \leq n \leq 2 ^ { 2 k } - 1 , \ k \geq 0 ; } \\ { s ( n + 2 ^ { 2 k + 1 } ) } & { = - s ( n ) + 2 ^ { k + 2 } , } & & { \quad 2 ^ { 2 k } \leq n \leq 2 ^ { 2 k + 1 } - 1 , \ k \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { G } } } + \overline { { \mathbf { B } } } } & { \rightarrow \overline { { \mathbf { G } } } + \overline { { \mathbf { B } } } + c _ { 1 } \Big [ 2 \overline { { \Gamma } } _ { [ \kappa \mu ] } ^ { \kappa } P ^ { \mu } + c _ { 1 } ( n - 1 ) P ^ { \lambda } P _ { \lambda } } \\ & { + ( n - 1 ) \big ( g ^ { \mu \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \rho } P _ { \rho } + P _ { \lambda } \partial _ { \nu } g ^ { \nu \lambda } - \frac { 1 } { 2 } P ^ { \nu } g _ { \alpha \beta } \partial _ { \nu } g ^ { \alpha \beta } + \frac { 1 } { 2 } g _ { \alpha \beta } P ^ { \kappa } \partial _ { \kappa } g ^ { \alpha \beta } - \partial _ { \kappa } P ^ { \kappa } ) \Big ] } \\ & { = \overline { { \mathbf { G } } } + \overline { { \mathbf { B } } } + c _ { 1 } \Big [ 2 \Gamma _ { [ \kappa \mu ] } ^ { \kappa } P ^ { \mu } + c _ { 1 } ( n - 1 ) P ^ { \lambda } P _ { \lambda } + ( n - 1 ) \big ( g ^ { \mu \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \rho } P _ { \rho } - \partial ^ { \kappa } P _ { \kappa } ) \Big ] } \\ & { = \overline { { \mathbf { G } } } + \overline { { \mathbf { B } } } + 2 c _ { 1 } \overline { { \Gamma } } _ { [ \kappa \mu ] } ^ { \kappa } P ^ { \mu } + c _ { 1 } ^ { 2 } ( n - 1 ) P ^ { \lambda } P _ { \lambda } + c _ { 1 } ( 1 - n ) \nabla ^ { \mu } P _ { \mu } \, , } \end{array}
\frac { I _ { 1 } ( \gamma _ { 0 } u ) K _ { 0 } ( \gamma _ { 1 } u ) } { I _ { 0 } ( \gamma _ { 0 } u ) K _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } u ) } = - \frac { \varepsilon _ { 1 } \gamma _ { 0 } } { \varepsilon _ { 0 } \gamma _ { 1 } } .
\mathcal { O } _ { ( 0 ) } ( \Gamma _ { ( 0 ) } ) : = \sum _ { q = 0 } ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { K } _ { ( 0 ) } } \operatorname* { s u p } _ { p \in [ 2 , 4 ] } \left| r _ { ( 0 ) } ^ { \frac { s + 1 } { 2 } - \frac { 2 } { p } } ( r _ { ( 0 ) } \nabla ) ^ { q } \Gamma _ { ( 0 ) } \right| _ { p , S _ { ( 0 ) } ( u _ { ( 0 ) } , { \underline { { u } } } ) } ,
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { t } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \alpha } \mathbf { x } = \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 1 } \, , } & & { \mathrm { d } s = \| \mathrm { d } \mathbf { x } \| = \| \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 1 } \| \mathrm { d } \alpha = \| \mathbf { t } \| \mathrm { d } \alpha \, . } \end{array}
a ^ { 2 0 } + 1 0 a ^ { 1 8 } c ^ { 2 } + 4 5 a ^ { 1 6 } c ^ { 4 } + 1 6 0 a ^ { 1 5 } b ^ { 2 } c ^ { 3 } + 1 2 0 a ^ { 1 4 } c ^ { 6 } + 3 2 0 a ^ { 1 3 } b ^ { 4 } c ^ { 3 } + 9 6 0 a ^ { 1 3 } b ^ { 2 } c ^ { 5 } + 9 6 0 a ^ { 1 2 } b ^ { 6 } c ^ { 2 } + 1 6 0 0 a ^ { 1 2 } b ^ { 4 } c ^ { 4 } + 2 1 0 a ^ { 1 2 } c ^ { 8 } + 9 6 0 a ^ { 1 1 } b ^ { 8 } c + 2 8 8 0 a ^ { 1 1 } b ^ { 4 } c ^ { 5 } + 2 4 0 0 a ^ { 1 1 } b ^ { 2 } c ^ { 7 } + 2 8 8 0 a ^ { 1 0 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 1 3 7 6 0 a ^ { 1 0 } b ^ { 6 } c ^ { 4 } + 6 4 0 0 a ^ { 1 0 } b ^ { 4 } c ^ { 6 } + 2 5 2 a ^ { 1 0 } c ^ { 1 0 } + 5 7 6 0 a ^ { 9 } b ^ { 1 0 } c + 9 9 2 0 a ^ { 9 } b ^ { 8 } c ^ { 3 } + 7 0 4 0 a ^ { 9 } b ^ { 4 } c ^ { 7 } + 3 2 0 0 a ^ { 9 } b ^ { 2 } c ^ { 9 } + 6 4 0 a ^ { 8 } b ^ { 1 2 } + 2 6 8 8 0 a ^ { 8 } b ^ { 8 } c ^ { 4 } + 4 6 7 2 0 a ^ { 8 } b ^ { 6 } c ^ { 6 } + 9 6 0 0 a ^ { 8 } b ^ { 4 } c ^ { 8 } + 2 1 0 a ^ { 8 } c ^ { 1 2 } + 8 9 6 0 a ^ { 7 } b ^ { 1 2 } c + 6 1 4 4 0 a ^ { 7 } b ^ { 1 0 } c ^ { 3 } + 4 0 3 2 0 a ^ { 7 } b ^ { 8 } c ^ { 5 } + 7 0 4 0 a ^ { 7 } b ^ { 4 } c ^ { 9 } + 2 4 0 0 a ^ { 7 } b ^ { 2 } c ^ { 1 1 } + 3 8 4 0 a ^ { 6 } b ^ { 1 4 } + 2 5 6 0 0 a ^ { 6 } b ^ { 1 2 } c ^ { 2 } + 5 3 1 2 0 a ^ { 6 } b ^ { 8 } c ^ { 6 } + 4 6 7 2 0 a ^ { 6 } b ^ { 6 } c ^ { 8 } + 6 4 0 0 a ^ { 6 } b ^ { 4 } c ^ { 1 0 } + 1 2 0 a ^ { 6 } c ^ { 1 4 } + 4 2 2 4 0 a ^ { 5 } b ^ { 1 2 } c ^ { 3 } + 1 2 3 6 4 8 a ^ { 5 } b ^ { 1 0 } c ^ { 5 } + 4 0 3 2 0 a ^ { 5 } b ^ { 8 } c ^ { 7 } + 2 8 8 0 a ^ { 5 } b ^ { 4 } c ^ { 1 1 } + 9 6 0 a ^ { 5 } b ^ { 2 } c ^ { 1 3 } + 1 2 8 0 a ^ { 4 } b ^ { 1 6 } + 5 7 6 0 0 a ^ { 4 } b ^ { 1 4 } c ^ { 2 } + 6 0 1 6 0 a ^ { 4 } b ^ { 1 2 } c ^ { 4 } + 2 6 8 8 0 a ^ { 4 } b ^ { 8 } c ^ { 8 } + 1 3 7 6 0 a ^ { 4 } b ^ { 6 } c ^ { 1 0 } + 1 6 0 0 a ^ { 4 } b ^ { 4 } c ^ { 1 2 } + 4 5 a ^ { 4 } c ^ { 1 6 } + 1 0 2 4 0 a ^ { 3 } b ^ { 1 6 } c + 4 2 2 4 0 a ^ { 3 } b ^ { 1 2 } c ^ { 5 } + 6 1 4 4 0 a ^ { 3 } b ^ { 1 0 } c ^ { 7 } + 9 9 2 0 a ^ { 3 } b ^ { 8 } c ^ { 9 } + 3 2 0 a ^ { 3 } b ^ { 4 } c ^ { 1 3 } + 1 6 0 a ^ { 3 } b ^ { 2 } c ^ { 1 5 } + 2 3 0 4 0 a ^ { 2 } b ^ { 1 6 } c ^ { 2 } + 5 7 6 0 0 a ^ { 2 } b ^ { 1 4 } c ^ { 4 } + 2 5 6 0 0 a ^ { 2 } b ^ { 1 2 } c ^ { 6 } + 2 8 8 0 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 1 0 } + 9 6 0 a ^ { 2 } b ^ { 6 } c ^ { 1 2 } + 1 0 a ^ { 2 } c ^ { 1 8 } + 1 0 2 4 0 a b ^ { 1 8 } c + 1 0 2 4 0 a b ^ { 1 6 } c ^ { 3 } + 8 9 6 0 a b ^ { 1 2 } c ^ { 7 } + 5 7 6 0 a b ^ { 1 0 } c ^ { 9 } + 9 6 0 a b ^ { 8 } c ^ { 1 1 } + 1 0 2 4 b ^ { 2 0 } + 1 2 8 0 b ^ { 1 6 } c ^ { 4 } + 3 8 4 0 b ^ { 1 4 } c ^ { 6 } + 6 4 0 b ^ { 1 2 } c ^ { 8 } + c ^ { 2 0 }
\begin{array} { r l r } & { } & { ( d _ { x } d _ { y } f - ( - 1 ) ^ { x y } d _ { y } d _ { x } f ) _ { z } } \\ & { = } & { ( d _ { x } d _ { y } f ) _ { z } - ( - 1 ) ^ { x y } ( d _ { y } d _ { x } f ) _ { z } } \\ & { = } & { d _ { x } ( d _ { y } f ) _ { z } - ( - 1 ) ^ { x ( f + y ) } ( d _ { y } f ) _ { [ x , z ] } - ( - 1 ) ^ { x y } \{ d _ { y } ( d _ { x } f ) _ { z } - ( - 1 ) ^ { y ( f + x ) } ( d _ { x } f ) _ { [ y , z ] } \} } \\ & { = } & { d _ { x } d _ { y } ( f _ { z } ) - ( - 1 ) ^ { y f } d _ { x } f _ { [ y , z ] } - ( - 1 ) ^ { x ( f + y ) } \{ d _ { y } ( f _ { [ x , z ] } ) - ( - 1 ) ^ { y f } f _ { [ y , [ x , z ] ] } \} } \\ & { } & { - ( - 1 ) ^ { x y } d _ { y } d _ { x } ( f _ { z } ) + ( - 1 ) ^ { x y + x f } d _ { y } f _ { [ x , z ] } + ( - 1 ) ^ { f y } \{ d _ { x } ( f _ { [ y , z ] } ) - ( - 1 ) ^ { x f } f _ { [ x , [ y , z ] ] } \} } \\ & { = } & { d _ { x } d _ { y } ( f _ { z } ) - ( - 1 ) ^ { x y } d _ { y } d _ { x } ( f _ { z } ) + ( - 1 ) ^ { y f + x f + x y } f _ { [ y , [ x , z ] ] } - ( - 1 ) ^ { x f + y f } f _ { [ x , [ y , z ] ] } } \\ & { = } & { d _ { [ x , y ] } f _ { z } - ( - 1 ) ^ { ( x + y ) f } f _ { [ [ x , y ] , z ] } } \\ & { = } & { ( d _ { [ x , y ] } f ) _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I } & { \le q ^ { - 2 } | S _ { t } | ^ { - 2 } \sum _ { x \in \mathbb F _ { q } ^ { 2 } } E ( x ) \left( \sum _ { y , y ^ { \prime } \in S _ { t } : y \ne y ^ { \prime } } E ( x + y - y ^ { \prime } ) \right) } \\ & { = q ^ { - 2 } | S _ { t } | ^ { - 2 } \sum _ { x \in \mathbb F _ { q } ^ { 2 } } E ( x ) \left( \sum _ { \mathbf { 0 } \ne u \in \mathbb F _ { q } ^ { 2 } } E ( x + u ) W ( u ) \right) , } \end{array}
W ^ { \prime } = \frac { 1 } { 8 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \left( \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \sum _ { p , q = 1 } ^ { N / 2 } W _ { p q } ^ { ( \ell ) } Q _ { p q \sigma } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { C _ { ( 1 ) } } & { = } & { 2 ( U + \overline { { U } } ) , } \\ { - C _ { ( 2 ) } } & { = } & { U U + \frac { 1 } { 3 } \overline { { U U } } + \frac { 2 } { 3 } \overline { { U } } \, \overline { { U } } + \frac { 8 } { 3 } U \overline { { U } } + \frac { 4 } { 3 } \overline { { \overline { { U } } U } } , } \\ { C _ { ( 3 ) } } & { = } & { \frac { 2 } { 3 } U \overline { { U U } } + \frac { 2 } { 3 } U U \overline { { U } } + \frac { 4 } { 3 } U \overline { { \overline { { U } } U } } + \frac { 2 } { 3 } \overline { { \overline { { U } } \, \overline { { \overline { { U } } \, \overline { { U } } } } } } + \frac { 2 } { 3 } U \overline { { U } } \, \overline { { U } } . } \end{array}
| U _ { 1 2 } | = 0 . 1 4 \sim 0 . 2 8 , \qquad | U _ { 2 3 } | = 0 . 0 3 3 \sim 0 . 4 6 , \qquad | U _ { 1 3 } | = 0 . 0 2 3 \sim 0 . 0 3 2 .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \ell ( \hat { z } , z ^ { * } ) } & { \geq \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \sum _ { i \notin S : z _ { i } ^ { * } = b } \left( G _ { 1 , i , a } ^ { \prime } { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } - G _ { 2 , i } - G _ { 3 , i } \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \sum _ { i \notin S : z _ { i } ^ { * } = b } G _ { 1 , i , a } ^ { \prime } { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \mathbb { E } G _ { 2 , i } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \mathbb { E } H _ { 1 , i } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \mathbb { E } H _ { 2 , i } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \left( \mathbb { E } H _ { 3 , i } + \mathbb { E } H _ { 4 , i } + \mathbb { E } H _ { 5 , i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { n } ^ { + } = \sqrt { n } \underset { \vartheta \in [ 0 , 2 \pi ) } { \operatorname* { s u p } } \left( F _ { n } ( \vartheta ) - F ( \vartheta ) \right) = \sqrt { n } \underset { i = 1 , \ldots , n } { \operatorname* { m a x } } \left( \frac { i } { n } - X _ { i } \right) , } \\ & { D _ { n } ^ { - } = \sqrt { n } \underset { \vartheta \in [ 0 , 2 \pi ) } { \operatorname* { s u p } } \left( F ( \vartheta ) - F _ { n } ( \vartheta ) \right) = \sqrt { n } \underset { i = 1 , \ldots , n } { \operatorname* { m a x } } \left( X _ { i } - \frac { i - 1 } { n } \right) , } \end{array}
f ( y ; \alpha , \beta , a , c ) = { \frac { f ( x ; \alpha , \beta ) } { c - a } } = { \frac { \left( { \frac { y - a } { c - a } } \right) ^ { \alpha - 1 } \left( { \frac { c - y } { c - a } } \right) ^ { \beta - 1 } } { ( c - a ) B ( \alpha , \beta ) } } = { \frac { ( y - a ) ^ { \alpha - 1 } ( c - y ) ^ { \beta - 1 } } { ( c - a ) ^ { \alpha + \beta - 1 } B ( \alpha , \beta ) } } .
\begin{array} { r l } & { \textrm { P r } [ \textrm { E X P } _ { \mathcal { A } , \Pi _ { 3 } } ^ { P r i V } ( m , \mathbf { x } , i , j ) = 1 ] } \\ & { = \textrm { P r } [ \textrm { E X P } _ { \mathcal { A } , \Pi _ { 3 } } ^ { P r i V } ( m , \mathbf { x } , i , j ) = 1 | H C ] \textrm { P r } [ H C ] } \\ & { ~ + \textrm { P r } [ \textrm { E X P } _ { \mathcal { A } , \Pi _ { 3 } } ^ { P r i V } ( m , \mathbf { x } , i , j ) = 1 | H C ^ { c } ] \textrm { P r } [ H C ^ { c } ] } \\ & { \leq \textrm { P r } [ H C ] + \textrm { P r } [ \textrm { E X P } _ { \mathcal { A } , \Pi _ { 3 } } ^ { P r i V } ( m , \mathbf { x } , i , j ) = 1 | H C ^ { c } ] \textrm { P r } [ H C ^ { c } ] } \\ & { \leq \textrm { P r } [ H C ] + \textrm { P r } [ \textrm { E X P } _ { \mathcal { A } , \Pi _ { 1 } } ^ { P r i V } ( m , \mathbf { x } , i , j ) = 1 ] \leq \texttt { n e g l } ( \lambda ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { \mathrm { f f } } ( \kappa , \alpha ) = \operatorname { a r c c o s } ( k _ { z } / k ) = \operatorname { a r c c o s } \bigg ( \sqrt { k _ { \mathrm { g l a s s } } ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } } / k _ { \mathrm { g l a s s } } \bigg ) } \\ { \phi _ { \mathrm { f f } } ( \kappa , \alpha ) = \alpha . } \end{array} \right.
\times \exp \left\{ \displaystyle 2 \sum _ { \stackrel { i , j = 1 } { i \neq j } } ^ { 2 M } \sqrt { \displaystyle \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } \xi _ { i } \cdot p _ { j } \partial _ { z _ { i } } G _ { o } ( z _ { i } , z _ { j } ) + \displaystyle \sum _ { \stackrel { i , j = 1 } { i \neq j } } ^ { 2 M } \xi _ { i } \cdot \xi _ { j } \partial _ { z _ { i } } \partial _ { z _ { j } } G _ { o } ( z _ { i } , z _ { j } ) \right\}
\begin{array} { r } { \Vert f ^ { k } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m } ) } + \Vert \mathfrak { m } ^ { k } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) } + \Vert u ^ { k } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) \cap \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } < R _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( t ) = } & { { } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left[ - \frac { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \Omega ^ { 2 } } \right] } \end{array}
c _ { 0 } = - \ln \left( { \frac { 3 K _ { 0 } } { p _ { \mathrm { F G 0 } } } } \right) ~ , ~ ~ p _ { \mathrm { F G 0 } } = a _ { 0 } \left( { \frac { Z } { V _ { 0 } } } \right) ^ { \frac { 5 } { 3 } } ~ , ~ ~ c _ { 2 } = { \frac { 3 } { 2 } } \left( K _ { 0 } ^ { \prime } - 3 \right) - c _ { 0 }
T _ { n n } ^ { ( 2 ) } ( K ) = - \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } F _ { 1 } ( n , k ; \Delta ^ { 2 } = \frac { ( 2 n - 1 ) } { R ^ { 2 } } ) - \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } F _ { 2 } ( n , k ; \Delta ^ { 2 } = \frac { ( 2 n + 1 ) } { R ^ { 2 } } ) ;
\eta _ { \mathrm { d i s l o c a t i o n } } ( T , P , \sigma ) = \eta _ { 0 } \Delta \eta _ { i } \left( \frac { \sigma _ { 0 } } { \sigma } \right) ^ { n _ { i } - 1 } \exp \left( \frac { E _ { a , i } ^ { \prime } + P V _ { i } ^ { \prime } } { R T } - \frac { E _ { a , i } ^ { \prime } } { R T _ { 0 } } \right) ,
\frac { \partial z _ { A } } { \partial z _ { 3 } } = \frac { \partial H } { \partial b _ { A } } = \frac { z _ { A } ( z _ { A } - 1 ) ( z _ { A } - z _ { 3 } ) } { z _ { 3 } ( z _ { 3 } - 1 ) } \left[ 2 b _ { A } - \frac { \mu _ { 1 } } { z _ { A } } - \frac { \mu _ { 2 } } { z _ { A } - 1 } - \frac { \mu _ { 3 } - 1 } { z _ { A } - z _ { 3 } } \right]
\begin{array} { r l } { { \theta } _ { i j } ^ { k l } = \frac { 1 } { 2 } \, \int } & { { } \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \phi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \phi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } \end{array}
\omega _ { n } = \sqrt { \mu ^ { 2 } + { \frac { n ^ { 2 } } { ( \alpha { \prime } p ^ { + } ) ^ { 2 } } } + 2 \, ( 1 + e ^ { 2 U _ { 0 } } ) ^ { - 1 / 2 } \mu \, { \frac { n } { \alpha ^ { \prime } p ^ { + } } } } \ .
\begin{array} { r l } { S _ { L } ^ { l } } & { { } = \mathrm { m i n } ( u _ { L } - c _ { L } , u _ { R } - c _ { R } ) } \\ { S _ { L } ^ { s } } & { { } = S ^ { \star } - b _ { L } ^ { \star } } \\ { S ^ { \star } } & { { } = \frac { \rho _ { L } u _ { L } ( S _ { L } ^ { l } - u _ { L } ) - \rho _ { R } u _ { R } ( S _ { R } ^ { l } - u _ { R } ) + \sigma _ { L , 1 1 } - \sigma _ { R , 1 1 } } { \rho _ { L } ( S _ { L } ^ { l } - u _ { L } ) - \rho _ { R } ( S _ { R } ^ { l } - u _ { R } ) } } \\ { S _ { R } ^ { s } } & { { } = S ^ { \star } + b _ { R } ^ { \star } } \\ { S _ { R } ^ { l } } & { { } = \mathrm { m a x } ( u _ { L } + c _ { L } , u _ { R } + c _ { R } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { M } ( \Phi _ { 1 } ( x , t ) - x ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x } & { { } = \int _ { M } u _ { 1 } ( \Phi ( x , t ) , t ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x } \end{array}
\epsilon \, = \, \frac { 2 } { m } \left( - \frac { 1 } { 2 } \delta + i q _ { 3 } + \frac { \left| { \bf q } \right| ^ { 2 } } { 2 m } \right) \, + \, O \left( \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \right)
d g ( X _ { t } , t ) = \frac { \partial g } { \partial X _ { t } } d X _ { t } + \frac { \partial g } { \partial t } d t + \frac { 1 } { 2 } \biggl ( { \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial X _ { t } ^ { 2 } } d X ^ { 2 } + \frac { 2 \partial ^ { 2 } g } { \partial X _ { t } \partial t } d X _ { t } d t + \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial t ^ { 2 } } d t ^ { 2 } } \biggr ) .
\begin{array} { r } { N = - W _ { B } \left[ \begin{array} { l } { \frac { 2 e ^ { - a } } { e ^ { - 2 a } + 1 } \left( \int _ { a } ^ { 0 } e ^ { - P _ { 1 } s } P _ { 1 } y ^ { - } ( s ) \, d s \right) _ { 2 } + \left( \int _ { 0 } ^ { b } e ^ { P _ { 1 } ( b - s ) } P _ { 1 } y ^ { + } ( s ) \, d s \right) _ { 2 } } \\ { \left( \int _ { 0 } ^ { b } e ^ { P _ { 1 } ( b - s ) } P _ { 1 } y ^ { + } ( s ) \, d s \right) _ { 1 } } \\ { - \left( \int _ { 0 } ^ { b } e ^ { P _ { 1 } ( b - s ) } P _ { 1 } y ^ { + } ( s ) \, d s \right) _ { 1 } } \\ { \frac { 2 e ^ { - a } } { e ^ { - 2 a } + 1 } \left( \int _ { a } ^ { 0 } e ^ { - P _ { 1 } s } P _ { 1 } y ^ { - } ( s ) \, d s \right) _ { 2 } - \left( \int _ { 0 } ^ { b } e ^ { P _ { 1 } ( b - s ) } P _ { 1 } y ^ { + } ( s ) \, d s \right) _ { 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
0 = \frac { \delta _ { L } } { \delta C ^ { \alpha a } } \mathbf { S } _ { m } ^ { a } ( \Gamma _ { m } ) = - \mathbf { \tilde { Q } } _ { m } ^ { a } \frac { \delta _ { L } } { \delta C ^ { \alpha a } } \Gamma _ { m } , \qquad 0 = \frac { \delta _ { L } } { \delta C ^ { \alpha a } } \mathbf { D } _ { A } ( \Gamma _ { m } ) = \mathbf { \tilde { Q } } _ { A } \frac { \delta _ { L } } { \delta C ^ { \alpha a } } \Gamma _ { m } .
H _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \, = \, H _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ } } + H _ { \mathrm { ~ q ~ u ~ a ~ d ~ } } \, = \, \mu _ { z } \, B _ { z } \, J _ { z } + \kappa \, J _ { z } ^ { 2 } \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { c \left( g , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } + 2 m \hbar \mathbf { k } , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( \nu , 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) \right) } & { = } & { S _ { g e } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } + \left( 4 m - 1 \right) \hbar \mathbf { k } / 2 \right) } \\ & { } & { \times c \left( e , \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } + \left( 2 m - 1 \right) \hbar \mathbf { k } , T _ { 1 , 2 m - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } ( D _ { i } ) ^ { \lambda _ { i } } \right] \prod _ { t = 1 } ^ { M } } & { \exp \Big ( \sum _ { n = 1 } ^ { 2 k } c _ { F } ^ { ( n ) } ( z _ { j } ^ { n } ) \Big ) \Bigr | _ { z _ { 1 } = . . . z _ { M } = 0 } } \\ { = } & { \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } \Bigg ( [ z ^ { 0 } ] \Big ( \partial + 2 \gamma d + \Big [ ( q - 1 ) \gamma - \frac { 1 } { 2 } \Big ] d ^ { ' } + * _ { g } \Big ) ^ { \lambda _ { i } - 1 } g ( z ) \Bigg ) + O ( \frac { 1 } { M } ) . } \end{array}
F _ { \pm } ( t ) \equiv \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( 1 \pm \cos \phi _ { s } \right) e ^ { + \Delta \Gamma _ { s } t / 2 } + \left( 1 \mp \cos \phi _ { s } \right) e ^ { - \Delta \Gamma _ { s } t / 2 } \right] .
= \left\{ \begin{array} { r r } { { 8 } } & { { [ 1 1 ] _ { \mathrm { C } } , [ 1 1 ] _ { \mathrm { S } } : [ 2 ] _ { \mathrm { C S } } } } \\ { { - { \frac { 8 } { 3 } } } } & { { [ 1 1 ] _ { \mathrm { C } } , [ 2 ] _ { \mathrm { S } } : [ 1 1 ] _ { \mathrm { C S } } } } \end{array} \right. .
H _ { M _ { z } = 1 } ^ { \prime } = ( \rho v k _ { x } \cos \alpha + { \mathcal { B } } _ { { \mathcal { M } } } ) \sigma _ { x } \ + \ \rho v k _ { x } \sin \alpha \sigma _ { y } \ + \ v k _ { y } \sigma _ { z } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial h } { \partial t } + \frac { \partial } { x } \left( ( H + h ) u \right) + \frac { \partial } { \partial y } } & { \left( ( H + h ) v \right) = 0 \ ; } \\ { \frac { \partial u } { \partial \partial t } + u \frac { \partial u } { \partial x } + v \frac { \partial u } { \partial y } - f v = - g \frac { \partial h } { \partial x } - } & { k u + \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } \right) ; } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } + u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } - f v = - g \frac { \partial h } { \partial y } - } & { k v + \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\textbf { r } _ { i } ( t + \delta t ) - \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) = 2 ( \textbf { r } _ { i } ( t ) - \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) ) + \frac { \delta t ^ { 2 } } { m _ { i } } \textbf { f } _ { i } ( t ) ,
R = { \left( \begin{array} { l l l } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } - d ^ { 2 } } & { 2 b c - 2 a d } & { 2 b d + 2 a c } \\ { 2 b c + 2 a d } & { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - d ^ { 2 } } & { 2 c d - 2 a b } \\ { 2 b d - 2 a c } & { 2 c d + 2 a b } & { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } - c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \end{array} \right) } .
\hat { H } / \hbar = \tilde { \omega } _ { c } \hat { c } ^ { \dagger } \hat { c } + \tilde { \omega } _ { m } \hat { m } ^ { \dagger } \hat { m } + ( J - i \Gamma e ^ { i \Theta _ { 1 ( 2 ) } } ) ( \hat { c } ^ { \dagger } \hat { m } + \hat { m } ^ { \dagger } \hat { c } )
d s _ { C F T } ^ { 2 } = \operatorname * { l i m } _ { r \to \infty } \left[ { \frac { l ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } d s _ { n + 2 } ^ { 2 } \right] = - d t ^ { 2 } + l ^ { 2 } \gamma _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } .