harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x ( \alpha ) \circ s ( \alpha ) = } & { z ^ { k } \circ s ^ { k } - ( s ^ { k } \circ \dot { z } + z ^ { k } \circ \dot { s } ) \sin ( \alpha ) + ( s ^ { k } \circ \ddot { z } + z ^ { k } \circ \ddot { s } ) ( 1 - \cos ( \alpha ) ) } \\ & { + \dot { z } \circ \dot { s } \sin ^ { 2 } ( \alpha ) - ( \dot { z } \circ \ddot { s } + \ddot { z } \circ \dot { s } ) \sin ( \alpha ) ( 1 - \cos ( \alpha ) ) } \\ & { + \ddot { z } \circ \ddot { s } ( 1 - \cos ( \alpha ) ) ^ { 2 } } \\ { = } & { z ^ { k } \circ s ^ { k } ( 1 - \sin ( \alpha ) ) + \dot { z } \circ \dot { s } ( \sin ^ { 2 } ( \alpha ) - 2 ( 1 - \cos ( \alpha ) ) ) } \\ & { - ( \dot { z } \circ \ddot { s } + \ddot { z } \circ \dot { s } ) \sin ( \alpha ) ( 1 - \cos ( \alpha ) ) + \ddot { z } \circ \ddot { s } ( 1 - \cos ( \alpha ) ) ^ { 2 } } \\ { = } & { z ^ { k } \circ s ^ { k } ( 1 - \sin ( \alpha ) ) + ( \ddot { z } \circ \ddot { s } - \dot { z } \circ \dot { s } ) ( 1 - \cos ( \alpha ) ) ^ { 2 } } \\ & { - ( \ddot { z } \circ \dot { s } + \dot { z } \circ \ddot { s } ) \sin ( \alpha ) ( 1 - \cos ( \alpha ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \frac { I _ { 1 3 } } { 2 } \sin \theta \cos \theta \, \frac { 1 - \cos 2 w } { r ^ { 3 } } \right\rangle _ { M , \varpi } = } & { { } } & { } \\ { \frac { m _ { 0 } R ^ { 5 } } { 3 2 \mathrm { i } a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \cos \theta \sum _ { k } 2 K ( \omega - k n ) \Big [ \left( ( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } ) ^ { 2 } - ( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } ) ^ { 2 } \right) + \cos \theta \left( 4 ( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } ) ^ { 2 } + ( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } ) ^ { 2 } + ( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } ) ^ { 2 } \right) \Big ] } \end{array}
\Psi ( \theta ) = \left( \begin{array} { l r } { { \psi _ { n , m - 1 } ( \theta ) } } \\ { { \psi _ { n , m } ( \theta ) } } \\ { { \psi _ { n , m - 1 } ( \theta ) } } \\ { { \psi _ { n , m } ( \theta ) } } \\ { { \, \, \, \, \, \, \, \vdots } } \\ { { \psi _ { n , m - 1 } ( \theta ) } } \end{array} \right) _ { ( 2 k + 1 ) \times 1 }
\begin{array} { r l r } & { } & { K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) - \left( \frac { \lambda } { | x - P | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) \geq \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x - P | \cdot | y - P | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \left( \frac { \lambda } { | y - P | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) } \end{array}
F ( x ) = - { \frac { 1 } { 8 } } \ln \left( \left( x ^ { 6 } + 1 5 x ^ { 4 } - 8 0 x ^ { 3 } + 2 7 x ^ { 2 } - 5 2 8 x + 7 8 1 \right) { \sqrt { x ^ { 4 } + 1 0 x ^ { 2 } - 9 6 x - 7 1 } } - \left( x ^ { 8 } + 2 0 x ^ { 6 } - 1 2 8 x ^ { 5 } + 5 4 x ^ { 4 } - 1 4 0 8 x ^ { 3 } + 3 1 2 4 x ^ { 2 } + 1 0 0 0 1 \right) \right) + C .
\left| \phi _ { P _ { 1 } } \phi _ { P _ { 2 } } \cdots \phi _ { P _ { N } } \right| \quad \leftrightarrow \quad a _ { P _ { 1 } } ^ { \dagger } a _ { P _ { 2 } } ^ { \dagger } \cdots a _ { P _ { N } } ^ { \dagger } | - \rangle .
\hat { H } _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { ( M R ) _ { l j } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { I } M _ { l i } R _ { i j } = \sum _ { i = 1 } ^ { I } \mathbf { 1 } _ { \left\{ i \in \mathcal { P } _ { l } \right\} } \mu _ { j } ^ { * } \mathbf { 1 } _ { \left\{ b ( j ) = i \right\} } = \mu _ { j } ^ { * } \mathbf { 1 } _ { \left\{ b ( j ) \in \mathcal { P } _ { l } \right\} } . } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 4 , 0 , 0 , 1 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } y < 1 . 7 3 2 \left( x - 0 . 1 6 6 7 \right) , } \\ { ( 8 , 7 . 1 4 5 , - 4 . 1 2 5 , 1 1 6 . 8 3 3 3 ) } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\frac { \partial \psi ^ { V } } { \partial E _ { i j } } = 4 \kappa J ^ { 2 } C _ { j i } ^ { - 1 } \left( J ^ { 2 } - 1 \right) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad C _ { i j } = F _ { k i } F _ { k j } .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { V P _ { 2 } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { s } \sum _ { t k l } | s _ { t } ^ { ( 2 ) } \alpha _ { t k } ^ { ( 2 ) } \beta _ { t l } ^ { ( 2 ) } | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \tau } f _ { i } } & { } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { i j } \, f _ { j } - f _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j i } } \\ & { } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( w _ { i j } - \delta _ { i j } \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j i } \right) \, f _ { j } } \\ & { } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } W _ { i j } \, f _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { d } _ { G H \bullet \bullet } \big ( ( E _ { 1 } , d _ { 1 } , x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) , ( E _ { 2 } , d _ { 2 } , x _ { 2 } , x _ { 2 } ^ { \prime } ) \big ) } \\ & { \qquad : = \operatorname* { i n f } \Big \{ d _ { \mathrm { H } } ^ { E } ( \Phi _ { 1 } ( E _ { 1 } ) , \Phi _ { 2 } ( E _ { 2 } ) ) \vee d ( \Phi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) , \Phi _ { 2 } ( x _ { 2 } ) ) \vee d ( \Phi _ { 1 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) , \Phi _ { 2 } ( x _ { 2 } ^ { \prime } ) ) \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( x ( t ) , \eta ) - L ( \xi , \lambda ( t ) ) } & { = \mathcal { O } \big ( \mathrm { e } ^ { - 2 \rho t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { L ( x ( t ) , \eta ) - L ( \xi , \lambda ( t ) ) } & { = \mathcal { O } ( t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - 2 \rho t } ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } . } \end{array}
\ensuremath { \hat { \mathbf { e } } } _ { 2 } = \ensuremath { \hat { \mathbf { e } } } _ { n } \times \ensuremath { \hat { \mathbf { e } } } _ { 1 } / | \ensuremath { \hat { \mathbf { e } } } _ { n } \times \ensuremath { \hat { \mathbf { e } } } _ { 1 } |
\begin{array} { r } { \mu _ { i j j j } ^ { ( 3 ) } ( t ; \omega ) = \frac { 1 } { 8 } \gamma _ { i j j j } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ W ~ M ~ } } ( \omega ) [ F ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ } } ( t ; \omega ) ] ^ { 3 } , } \\ { \mu _ { i j j j } ^ { ( 3 ) } ( t ; 3 \omega ) = \frac { 1 } { 2 4 } \gamma _ { i j j j } ^ { \mathrm { ~ T ~ H ~ G ~ } } ( \omega ) [ F ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ } } ( t ; 3 \omega ) ] ^ { 3 } , } \end{array}
\frac { d x _ { 0 } } { d t } = P _ { 0 } \left[ \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \left( - H ^ { \coth } \left[ \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \right] + C _ { 1 } \right) + \frac { \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \right] .
\begin{array} { r l r l } { p = } & { \frac { P } { K _ { p } } } & { n = } & { \frac { N } { K _ { n } } } \\ { \gamma = } & { \frac { g } { K _ { p } } } & { \epsilon = } & { a t _ { 0 } } \\ { k ( p ) = } & { R _ { p } ( p K _ { p } ) } & { r _ { n } ( n ) = } & { R _ { n } ( n K _ { n } ) } \\ { \tau = } & { \frac { 1 } { t _ { 0 } c } } & { \tilde { t } = } & { t / t _ { 0 } } \\ { q = } & { \frac { 1 } { d K _ { p } t _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \left| \boldsymbol { \varphi } _ { \beta } - \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } ( \boldsymbol { \varphi } _ { \beta } , \boldsymbol { \psi } _ { \alpha } ) \boldsymbol { \psi } _ { \alpha } \right| \right| = 0 , \quad \beta \in [ 1 : M ] . } \end{array}
0 = \frac { 1 } { m } \frac { \delta S _ { \mathrm { e f f } } } { \delta z _ { \rho } } = - \left[ \frac { d ^ { 2 } z ^ { \rho } } { d \tau ^ { 2 } } + \Gamma _ { \mu \sigma } ^ { \rho } \frac { d z ^ { \mu } } { d \tau } \frac { d z ^ { \sigma } } { d \tau } \right] + \frac { 1 } { m } \frac { \delta \Delta S _ { m } } { \delta z _ { \rho } } ,
\rho ( t , x ) = \frac { 1 } { { ( 4 \pi \beta \frac { t ( T - t ) } { T } } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( V ( z ) + \frac { \| x - z \| ^ { 2 } } { 2 ( T - t ) } + \frac { \| x - y \| ^ { 2 } } { 2 t } ) } } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( V ( \tilde { y } ) + \frac { \| y - \tilde { y } \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } d \tilde { y } } \rho ( 0 , y ) d y d z ,
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 4 } N _ { \mathrm { p a i r } } } { d t d \Omega _ { i } d \Omega _ { s } d \omega _ { s } } = } & { \frac { 8 } { \pi } n _ { i } n _ { s } r _ { i } ^ { 2 } r _ { s } ^ { 2 } \frac { ( \omega _ { p } - \omega _ { s } ) ^ { 3 } \omega _ { s } ^ { 3 } } { c ^ { 6 } } } \\ & { \times \lvert \widetilde { T } _ { i s } ( \vec { r } _ { i } , \omega _ { p } - \omega _ { s } , \vec { e } _ { i } ; \vec { r } _ { s } , \omega _ { s } , \vec { e } _ { s } ) \rvert ^ { 2 } } \end{array}
\partial _ { t } \Omega ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \Omega ( t , \xi ) - \mu _ { 1 } g ( t ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \Omega ( t , \xi ) = C g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \eta ^ { \beta - 1 } \partial _ { \eta } \Omega ( t , \eta ) d \eta + a ( t , \xi )
\small \left\{ \begin{array} { r l } & { \mathrm { s u r f a c e ~ t e n s i o n : } \ \gamma = 1 . 1 3 6 \times 1 0 ^ { - 1 } k g / s ^ { 2 } ; } \\ & { \mathrm { d e n s i t i e s : } \ \rho _ { 1 } = \rho _ { 2 } = 1 2 9 . 7 k g / m ^ { 3 } ; \ ( \mathrm { a m b i e n t ~ f l u i d } \ \rho _ { 1 } , \ \mathrm { d r o p } \ \rho _ { 2 } ) } \\ & { \mathrm { d y n a m i c ~ v i s c o s i t i e s : } } \\ { t e x t { ( a m b i e n t f l u i d ) } \ \mu _ { 1 } = 1 2 . 0 4 8 \times 1 0 ^ { - 4 } k g / ( m \cdot s ) , \quad \mathrm { ( d r o p ) } \ \mu _ { 2 } = 2 \mu _ { 1 } ; } \\ & { \mathrm { p e r m i t t i v i t i e s : } \ \mathrm { ( a m b i e n t ~ f l u i d ) } \ \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 0 } = 8 . 8 5 4 \times 1 0 ^ { - 1 2 } F / m , \quad \mathrm { ( d r o p ) } \ \epsilon _ { 2 } = 8 . 1 \epsilon _ { 0 } ; } \\ & { \mathrm { s t a t i c ~ c o n t a c t ~ a n g l e : } } \\ { t h e t a _ { s } = 7 5 ^ { 0 } \ \mathrm { ( m e a s u r e d ~ o n ~ t h e ~ d r o p ~ s i d e ) } ; } \\ & { \mathrm { m o d e l ~ p a r a m e t e r s : } } \\ { e t a = 0 . 0 0 7 L _ { 0 } , \quad \lambda = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \gamma \eta , \quad \gamma _ { 1 } = 5 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 1 } } , \quad \Delta t = 1 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 1 } } { \epsilon _ { 0 } V _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } h _ { e } \| J _ { 1 } \left( p _ { h } \right) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } } } \\ & { } & { \lesssim C _ { 2 } \Big ( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| R _ { 1 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } h _ { e } ^ { 2 } \| R _ { 2 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } + \left\| ( \boldsymbol { u } , p ) - ( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } ) \right\| _ { \mathrm { D G } } ^ { 2 } \Big ) , } \end{array}
\left( \Pi _ { \mathrm { V } a a } ^ { ( 1 ) } - \Pi _ { \mathrm { A } a a } ^ { ( 1 ) } - \Pi _ { \mathrm { A } a a } ^ { ( 0 ) } \right) ( q ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d s ~ { \frac { ( \rho _ { \mathrm { V } a a } ^ { ( 1 ) } - \rho _ { \mathrm { A } a a } ^ { ( 1 ) } - \rho _ { \mathrm { A } a a } ^ { ( 0 ) } ) ( s ) } { s - q ^ { 2 } - i \epsilon } } \ \ .
= \frac { 1 } { P ( x _ { 6 } = 1 ) } \sum _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 } , x _ { 7 } , x _ { 8 } , x _ { 9 } } P ( x _ { 1 } ) P ( x _ { 2 } ) P ( x _ { 3 } ) P ( x _ { 4 } | x _ { 2 } , x _ { 3 } ) P ( x _ { 5 } | x _ { 1 } ) P ( x _ { 6 } = 1 | x _ { 3 } ) P ( x _ { 7 } | x _ { 5 } , x _ { 6 } = 1 ) P ( x _ { 8 } | x _ { 4 } ) P ( x _ { 9 } | x _ { 5 } ) P ( y = 1 | x _ { 7 } , x _ { 8 } , x _ { 9 } )
\hat { u } _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \displaystyle \frac { n } { 1 + n } \frac { 1 } { | \hat { \nabla } \hat { p } | ^ { 2 } \hat { \kappa } ^ { \frac { 1 } { n } } } \left[ \left( | \hat { \nabla } \hat { p } | \hat { H } - \hat { \tau } _ { y } \right) ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } - \left( | \hat { \nabla } \hat { p } | \vert \hat { z } \vert - \hat { \tau } _ { y } \right) ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } \right] \frac { \partial \hat { p } } { \partial \hat { s } } } & { \mathrm { i f f } \quad \vert \hat { z } \vert > \displaystyle \frac { \hat { \tau } _ { y } } { | \hat { \nabla } \hat { p } | } , } \\ { \displaystyle - \frac { n } { 1 + n } \frac { 1 } { | \hat { \nabla } \hat { p } | ^ { 2 } \hat { \kappa } ^ { \frac { 1 } { n } } } \left( | \hat { \nabla } \hat { p } | \hat { H } - \hat { \tau } _ { y } \right) ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } \frac { \partial \hat { p } } { \partial \hat { s } } } & { \mathrm { i f f } \quad \vert \hat { z } \vert \leqslant \displaystyle \frac { \hat { \tau } _ { y } } { | \hat { \nabla } \hat { p } | } , } \end{array} \right.
\mathbf { Q } ( \mathbf { x } , 0 ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { \mathbf { Q } _ { L } } & { \textnormal { i f } } & { x \leq x _ { d } } \\ { \mathbf { Q } _ { R } } & { \textnormal { i f } } & { x > x _ { d } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { - i \omega v _ { r } } & { { } = - i \frac { \omega } { k ^ { 2 } } \mathcal { L } v _ { r } + \nu _ { 4 } ( \mathcal { L } + k ^ { 2 } ) v _ { \phi } , } \\ { - i \omega v _ { \phi } } & { { } = - \nu _ { 4 } ( \mathcal { L } + k ^ { 2 } ) v _ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b , a ; t ) = 2 \frac { 2 b - a ^ { 1 } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { d } t ^ { d + 2 } } } e ^ { - \frac { ( 2 b - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 t } - \sum _ { k = 2 } ^ { d } \frac { ( a ^ { k } ) ^ { 2 } } { 2 t } } { \mathbf 1 } _ { b \geq a _ { + } ^ { 1 } } , ~ ~ \forall ( b , a ) \in { \mathbb R } ^ { d + 1 } , ~ ~ t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { P } } & { = } & { - i \hbar \sum _ { \alpha = a , b } \int d ^ { 3 } r \Psi _ { \alpha } ^ { \dagger } ( \vec { r } ) \vec { \nabla } \Psi _ { \alpha } ( \vec { r } ) } \\ & { = } & { N ^ { ( a ) } \vec { P } ^ { ( a ) } + N ^ { ( b ) } \vec { P } ^ { ( b ) } } \\ { \vec { P } ^ { ( \alpha ) } } & { = } & { - \frac { i \hbar } { N ^ { ( \alpha ) } } \int d ^ { 3 } [ ( \psi _ { \alpha _ { 1 } } ^ { * } ( \vec { r } , t ) + \psi _ { \alpha _ { 2 } } ^ { * } ( \vec { r } , t ) ) \vec { \nabla } ( \psi _ { \alpha _ { 1 } } ( \vec { r } , t ) + \psi _ { \alpha _ { 2 } } ( \vec { r } , t ) ) ] , } \end{array}
\Delta _ { s } T _ { a b c } = i f \bigg \{ \frac { I _ { 0 } } { ( s - \mu ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { I _ { 0 } } { ( s - \mu ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { I _ { 0 } } { ( s - \mu ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \bigg \} ,
c _ { \pm } ^ { 2 } = \frac { | \tilde { \gamma } _ { 1 2 } | ^ { 2 } \left( 1 \pm \sqrt { 1 - 4 \left[ | \tilde { \gamma } _ { 1 2 } | ^ { 2 } + \left( \tilde { \gamma } _ { 1 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \right] } \right) } { 2 \left[ | \tilde { \gamma } _ { 1 2 } | ^ { 2 } + \left( \tilde { \gamma } _ { 1 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \right] } \, .
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \left( A _ { \parallel } - d _ { e } ^ { 2 } u _ { e } \right) + \left[ \phi , A _ { \parallel } - d _ { e } ^ { 2 } u _ { e } \right] - \rho _ { s } ^ { 2 } [ n _ { e } , A _ { \parallel } ] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { \frac { \Delta \beta } { \beta _ { x } } } } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d J _ { x } \int _ { 0 } ^ { \infty } d J _ { y } \frac { \Delta \beta _ { x } } { \beta _ { x } } ( J _ { x } , J _ { y } ) e ^ { - J _ { x } - J _ { y } } } \\ & { \approx } & { 0 . 6 3 3 ~ \frac { \Delta \beta _ { 0 } } { \beta _ { x } } \, . } \end{array}
{ \frac { \cosh ^ { 2 } \tau ( r _ { + } ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) } { ( 1 + \alpha ^ { 2 } l ^ { - 2 } ) ^ { 2 } } } \left( { \frac { ( r _ { + } ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) } { r _ { + } ^ { 2 } } } \cosh ^ { 2 } \tau - ( 1 + \alpha ^ { 2 } l ^ { - 2 } ) \sinh ^ { 2 } \tau \right) ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { l , o u t - w } ( o u t ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { \mathrm { o u t } } ^ { - 1 } A D _ { \mathrm { o u t } } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) } & { = \mathrm { e } ^ { i \tau \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle } f - \frac { i } { 4 } B ^ { \tau } \big [ 2 L _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) + 2 L _ { 2 } ^ { \tau } ( f ) + L _ { 3 } ^ { \tau } ( f ) + L _ { 4 } ^ { \tau } ( f ) } \\ & { \quad + I _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) + 2 I _ { 2 } ^ { \tau } ( f ) \big ] - i \tau ( a t _ { n } + b ) B ^ { \tau } \big ( f + \psi _ { 1 } ( 2 i \tau \partial _ { x } ^ { 2 } ) \overline { { f } } \big ) , } \end{array}
P ( I _ { 0 , n } , I _ { B , n } | \epsilon , \delta , m ^ { * } , c ^ { * } ) \propto \exp \left[ \frac { - [ ( 1 - \epsilon ) I _ { 0 , n } - I _ { B , n } + ( \epsilon - \delta ) m ( \lambda _ { n } - \bar { \lambda } ) + ( \epsilon - \delta ) b + \epsilon C ] ^ { 2 } } { 2 [ ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma _ { B } ^ { 2 } ) ] } \right]
m _ { t } ^ { 0 } = m _ { t } \left[ 1 - \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \Gamma ( 1 + \epsilon ) \left( \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } \right) ^ { \epsilon } \left( \frac { 1 } { \epsilon } + \frac { 4 } { 3 } \right) + { \cal O } ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \right] ,
\sum _ { \sigma = 0 , \pm 1 } \bigg ( u _ { \sigma } ( \vec { p } \, ) \, { \overline { { u } } } _ { \sigma } ( \vec { p } \, ) + v _ { \sigma } ( - \, \vec { p } \, ) \, { \overline { { v } } } _ { \sigma } ( - \, \vec { p } \, ) \bigg ) \, = \, \left( \begin{array} { c c } { { { \cal M } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - { \cal M } } } \end{array} \right) \quad ,
m _ { b } ^ { 0 } - m _ { s } ^ { 0 } + m _ { d } ^ { 0 } = m _ { \tau } ^ { 0 } - m _ { \mu } ^ { 0 } + m _ { e } ^ { 0 } ~ ; ~ ~ m _ { d } ^ { 0 } m _ { s } ^ { 0 } m _ { b } ^ { 0 } = m _ { e } ^ { 0 } m _ { \mu } ^ { 0 } m _ { \tau } ^ { 0 } ~ ~ .
{ \bf H } _ { A B } = \mathrm { D i a g } [ t _ { 1 a e } ^ { \prime } e ^ { i x _ { 1 a e } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 2 } ) \cdot { \bf k } } , t _ { 1 c d } ^ { \prime } e ^ { - i x _ { 1 c d } ( { \bf a } _ { 2 } - { \bf a } _ { 3 } ) \cdot { \bf k } } , t _ { 1 b f } ^ { \prime } e ^ { - i x _ { 1 b f } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 3 } ) \cdot { \bf k } } ] ,
2 \nabla _ { i } \bar { \varepsilon } \gamma ^ { 0 } \sigma ^ { i j } \nabla _ { j } \varepsilon = 2 | \nabla _ { j } \varepsilon | ^ { 2 } - 2 \left| \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \gamma ^ { i } \nabla _ { i } \varepsilon \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \mu } N ^ { \mu } } & { = \dot { n } + n \theta + \nabla _ { \mu } n ^ { \mu } = 0 , } \\ { u _ { \nu } \partial _ { \mu } T ^ { \mu \nu } } & { = \dot { \varepsilon } + \, \left( \varepsilon + P \right) \theta - \pi ^ { \alpha \beta } \sigma _ { \alpha \beta } = 0 , } \\ { \Delta _ { \nu } ^ { \lambda } \partial _ { \mu } T ^ { \mu \nu } } & { = \left( \varepsilon + P \right) \dot { u } ^ { \lambda } - \nabla ^ { \lambda } P - \pi ^ { \lambda \beta } \dot { u } _ { \beta } + \Delta _ { \nu } ^ { \lambda } \nabla _ { \mu } \pi ^ { \mu \nu } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { K } _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { K } _ { 0 } ( x ) + \mathrm { K } _ { 2 } ( x ) \right) , \quad \mathrm { Y } _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { Y } _ { 0 } ( x ) - \mathrm { Y } _ { 2 } ( x ) \right) , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathrm { H } _ { - 1 } ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { \pi x } + \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { H } _ { - 2 } ( x ) - \mathrm { H } _ { 0 } ( x ) \right) . } \end{array}
m _ { \nu } = v | y _ { 0 } | \cos \theta _ { \nu } \, , \qquad \tan ^ { 2 } \! \theta _ { \nu } = \sum _ { n \ge 1 } \frac { v ^ { 2 } | y _ { n } | ^ { 2 } } { m _ { n } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { A ^ { n + 1 } } & { = A ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { ( A u ) ^ { n + 1 } } & { = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \, \partial _ { x } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \, . } \end{array}
T \approx ( m t ^ { 3 ( 1 - \delta ) / 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \left( D _ { 1 } ( k ) \exp \left[ - i \frac { 2 m t ^ { 3 ( 1 - \delta ) / 2 } } { 3 ( 1 - \delta ) } \right] + D _ { 2 } ( k ) \exp \left[ i \frac { 2 m t ^ { 3 ( 1 - \delta ) / 2 } } { 3 ( 1 - \delta ) } \right] \right) ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb { P } } ( N _ { t } \geq 1 ) } & { \leq { \mathbb { P } } ( \operatorname* { m a x } _ { k } | X _ { k } | \geq 9 9 ) } \\ & { = { \mathbb { P } } ( \operatorname* { m a x } _ { k } | X _ { k } | ^ { 2 } \geq 9 9 ^ { 2 } ) } \\ & { = { \mathbb { P } } ( \operatorname* { m a x } _ { k } | \lambda _ { k } | ^ { 2 } > 9 9 ^ { 2 } n ) } \\ & { = { \mathbb { P } } ( \operatorname* { m a x } _ { k } Y _ { k } > 9 9 ^ { 2 } n ) , } \end{array}
E = a _ { 1 } a _ { 2 } \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \; \; D \left( k \right) \mid _ { k _ { 0 } = 0 } \; { \vec { v } } _ { 1 } \cdot \left[ 1 - { \hat { k } } { \hat { k } } \right] \cdot { \vec { v } } _ { 2 } \; \exp \left( i { \vec { k } } \cdot \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) + \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \equiv \{ \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \} = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } \\ & { } & { \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) + \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \equiv \{ \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \} = 0 } \\ & { } & { \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) + \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) = \{ \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \, \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \} = 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( 5 ) \qquad S } & { = 1 6 \pi { \frac { d } { d q ^ { 2 } } } \left[ \Pi _ { 3 3 } ^ { \mathbf { n e w } } ( q ^ { 2 } ) - \Pi _ { 3 Q } ^ { \mathbf { n e w } } ( q ^ { 2 } ) \right] _ { q ^ { 2 } = 0 } } \\ & { = 4 \pi \int { \frac { d m ^ { 2 } } { m ^ { 4 } } } \left[ \sigma _ { V } ^ { 3 } ( m ^ { 2 } ) - \sigma _ { A } ^ { 3 } ( m ^ { 2 } ) \right] ^ { \mathbf { n e w } } ; } \\ { ( 6 ) \qquad T } & { = { \frac { 1 6 \pi } { M _ { Z } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { W } } } \; \left[ \Pi _ { 1 1 } ^ { \mathbf { n e w } } ( 0 ) - \Pi _ { 3 3 } ^ { \mathbf { n e w } } ( 0 ) \right] } \\ & { = { \frac { 4 \pi } { M _ { Z } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { W } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d m ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \left[ \sigma _ { V } ^ { 1 } ( m ^ { 2 } ) + \sigma _ { A } ^ { 1 } ( m ^ { 2 } ) - \sigma _ { V } ^ { 3 } ( m ^ { 2 } ) - \sigma _ { A } ^ { 3 } ( m ^ { 2 } ) \right] ^ { \mathbf { n e w } } , } \end{array} }