harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { f } ^ { H } S = \lambda _ { 1 } \tilde { f } ^ { H } \; } & { \Leftrightarrow \; x _ { 2 } ^ { T } J ^ { T } S = \lambda _ { 1 } x _ { 2 } ^ { T } J ^ { T } } \\ & { \Leftrightarrow \; x _ { 2 } ^ { T } J ^ { T } S J = \lambda _ { 1 } x _ { 2 } ^ { T } } \\ & { \Leftrightarrow \; x _ { 2 } ^ { T } S ^ { - T } = \lambda _ { 1 } x _ { 2 } ^ { T } \; \Leftrightarrow \; S x _ { 2 } = \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } x _ { 2 } . } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { \tiny { e f f } } } = \frac { 2 \lambda ( k r _ { c } ) ^ { 2 m - 1 } } { ( M r _ { c } ) ^ { 3 m - 1 } M ^ { 2 m - 4 } } \int _ { 0 } ^ { k r _ { c } \pi } d \sigma e ^ { - 4 \sigma } \left( \frac { d y _ { n } } { d \sigma } \right) ^ { 2 m } .
\begin{array} { r l } { \big \| [ U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } , \partial _ { y } ^ { 2 } ] \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( s ) \big ) \big \| _ { L ^ { 2 } } } & { = \big \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \partial _ { y } ^ { 2 } \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( s ) \big ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ( U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( s ) \big ) \big \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \big \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( s ) + 2 U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } + 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } } R _ { \infty } ^ { p } ( \theta ^ { * } ) \right| \leq ( 1 - 2 p ) \left( 2 d ^ { 1 / 2 } r \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { \infty } \rangle ) \right| \right] + 2 d r ^ { 2 } \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { \infty } ) \right| \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { F o r ~ \varsigma > 0 ~ } : \quad \tilde { I } ( \tau , \varsigma ) } & { = } & { + \varsigma \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } e ^ { - \varsigma ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) + e ^ { - \varsigma \tau } \tilde { I } ( 0 , \varsigma ) } \\ { \mathrm { F o r ~ \varsigma < 0 ~ } : \quad \tilde { I } ( \tau , \varsigma ) } & { = } & { - \varsigma \int _ { \tau } ^ { \tau _ { \infty } } d \tau ^ { \prime } e ^ { - \varsigma ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } ^ { \oplus g } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] }
f _ { n } \left( u _ { i } , l ^ { \mathrm { c } } \right) = \left[ E ^ { \mathrm { a } } \left( l ^ { \mathrm { s } } ( u _ { i _ { n } } ) - l _ { n } ^ { \mathrm { c } } \right) - 1 \right] v ^ { \mathrm { 0 } } ,
\begin{array} { r l } { I } & { { } \equiv \langle E _ { x } ^ { 2 } \rangle + \langle E _ { y } ^ { 2 } \rangle } \\ { Q } & { { } \equiv \langle E _ { x } ^ { 2 } \rangle - \langle E _ { y } ^ { 2 } \rangle , } \\ { U } & { { } \equiv \langle E _ { a } ^ { 2 } \rangle - \langle E _ { b } ^ { 2 } \rangle , } \\ { V } & { { } \equiv \langle E _ { r } ^ { 2 } \rangle - \langle E _ { l } ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { j } ^ { \boldsymbol { \alpha } } ( f ) ( \boldsymbol { x } ) : = c _ { n } } \\ { m a t h r m { p } . \mathrm { v } . \ e _ { - \boldsymbol { \alpha } } ( \boldsymbol { x } ) \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \frac { x _ { j } - y _ { j } } { | \boldsymbol { x } - \boldsymbol { y } | ^ { n + 1 } } f ( \boldsymbol { y } ) e _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \boldsymbol { y } ) \, d \boldsymbol { y } , } \end{array}
E _ { \mathrm { K } } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \mathbf { v } _ { i } \cdot \mathbf { v } _ { i } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \left( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } + \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } \right) \cdot \left( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } + \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } \right) ,
\begin{array} { r l } { | \mathcal { H } [ V _ { i } \cup \{ v \} ] | } & { \geqslant | \mathcal { H } [ V _ { i } ] | \geqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } - 2 7 \varepsilon ^ { 1 / 4 } \right) \left( \frac { n } { 3 } \right) ^ { 3 } } \\ & { \geqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } - 3 6 \varepsilon ^ { 1 / 4 } \right) \left( \left( \frac { 1 } { 3 } + \varepsilon \right) n + 1 \right) ^ { 3 } \geqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } - 3 6 \varepsilon ^ { 1 / 4 } \right) | V _ { i } \cup \{ v \} | ^ { 3 } . } \end{array}
_ { \alpha _ { 1 } . . . . \alpha _ { m } } { } ^ { o u t } \left\langle p _ { 1 } , . . . . , p _ { m } \left| A ( 0 ) \right| p _ { m + 1 } , . . . . , p _ { n } \right\rangle _ { \alpha _ { m + 1 } . . . . \alpha _ { n } } ^ { i n }
\begin{array} { r l r } { c _ { 1 } } & { { } = } & { - \frac { \Omega _ { p } \lambda _ { p } } { 2 \pi } , } \\ { c _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { \lambda _ { p } } { 2 \pi } \left( \tilde { \epsilon } _ { 1 2 } - \frac { 1 } { 8 } \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } } { \tilde { \epsilon } _ { 1 - } } - \frac { 1 } { 8 } \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } } { \tilde { \epsilon } _ { 1 + } } \right) , } \\ { \sigma } & { { } = } & { \sqrt { \frac { k _ { B } T } { m _ { R } } } . } \end{array}
\sum _ { m = 0 } ^ { s - 1 } a _ { g _ { 1 } c v _ { m } e _ { 1 } ^ { - m } d e _ { 1 } ^ { m } } = \sum _ { m = 0 } ^ { s - 1 } \left( a _ { g _ { 1 } c v _ { m } } + a _ { g _ { 1 } e _ { 1 } ^ { - m } d e _ { 1 } ^ { m } } \right) = \sum _ { m = 0 } ^ { s - 1 } a _ { g _ { 1 } e _ { 1 } ^ { - m } d e _ { 1 } ^ { m } } = \frac { s } { | [ d ] | } \sum _ { d ^ { \prime } \in [ d ] } a _ { g _ { 1 } d ^ { \prime } } = 0 .
\begin{array} { r l } { n - 2 \leq \sigma _ { 2 } ( G ) } & { \leq d _ { G } ( u ) + d _ { G } ( v _ { 4 } ) } \\ & { \leq | ( L _ { 1 } \cup L _ { 2 } ) \setminus \{ u \} | + | V ( Q _ { 1 } ) \setminus \{ v _ { 4 } \} | } \\ & { = ( | L _ { 1 } \cup L _ { 2 } | - 1 ) + ( n - | L _ { 1 } \cup L _ { 2 } | - 1 ) } \\ & { = n - 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \lvert a _ { 1 } \rvert + \lvert \frac { \partial a _ { 1 } } { \partial u } \rvert \right) \left( 1 + \lvert p \rvert \right) + \lvert \frac { \partial a _ { 1 } } { \partial x } \rvert + \lvert \tilde { a } \rvert } \\ { = } & { \left( \gamma \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) \lvert p \rvert \right) \left( 1 + \lvert p \rvert \right) + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \lvert \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p ^ { 2 } + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) p - g _ { 0 } ( x ) u \rvert } \\ { \leq } & { \left( \gamma \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) \lvert p \rvert \right) \left( 1 + \lvert p \rvert \right) + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p ^ { 2 } + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \lvert g _ { 0 } ( x ) u \rvert } \\ { \leq } & { \mu ( M , b , \operatorname* { m a x } ( | g _ { 0 } | ) ) \left( 1 + \lvert p \rvert \right) ^ { 2 } . } \end{array}
F ( q ^ { 2 } ) = \frac { F ( 0 ) } { 1 ~ - ~ a _ { F } \left( \frac { q ^ { 2 } } { m _ { B _ { s } } ^ { 2 } } \right) + ~ b _ { F } \left( \frac { q ^ { 2 } } { m _ { B _ { s } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } ~ ,
t _ { k } = 2 \, { \sqrt { \, - { \frac { \, p \, } { 3 } } \; } } \, \cos \left[ { \frac { 1 } { 3 } } \, \operatorname { a r c c o s } \left( { \frac { \, 3 q \, } { 2 p } } \, { \sqrt { { \frac { - 3 \; } { p } } \, } } \right) - { \frac { \, 2 \pi k \, } { 3 } } \right] \qquad { \mathrm { f o r } } ~ k = 0 , 1 , 2 \; .
\begin{array} { r l } { 0 \leq \widehat { \mathrm { d e g } } ( } & { \pi _ { * } ^ { \prime } ( f ^ { * } ( m \overline { L } ) ) ) - ( \widehat { \mathrm { d e g } } ( \pi _ { * } ( m \overline { L } ) ) + \widehat { \mathrm { d e g } } ( Q ( m \overline { L } ) ) ) } \\ & { \leq \frac { \nu ( \Omega _ { \infty } ) } { 2 } h ^ { 0 } ( X ^ { \prime } , f ^ { * } ( m L ) ) \ln ( h ^ { 0 } ( X ^ { \prime } , f ^ { * } ( m L ) ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \chi ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = A \ F ( \omega _ { 1 } ) F ( \omega _ { 2 } ) F ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } ) , } \\ { F ( \omega ) = \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - 2 i \nu _ { 0 } \omega } . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { N _ { R R E A } ^ { 3 } = N _ { 0 } ( \nu _ { e ^ { - } } + \nu _ { \gamma e ^ { - } } \nu _ { e ^ { - } \gamma } ) ^ { 2 } , } \\ { N _ { \gamma } ^ { 3 } = N _ { 0 } ( ( \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { e ^ { - } } ^ { 2 } + 2 \nu _ { \gamma e ^ { - } } \nu _ { e ^ { - } \gamma } ^ { 2 } \nu _ { e ^ { - } } ) + \nu _ { \gamma e ^ { - } } ^ { 2 } \nu _ { e ^ { - } \gamma } ^ { 3 } ) } \end{array} \right.
G _ { \mathrm { ~ K ~ B ~ } , \xi } ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { 0 } \left( \xi \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \right) / I _ { 0 } ( \xi ) , } & { | x | \leq 1 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\boldsymbol { \sigma } ^ { ( 2 ) } = \frac { 4 a ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } \left[ \Psi _ { 2 , 0 } \mathbf { e } _ { r } \mathbf { e } _ { r } + ( \Psi _ { 1 , 0 } + \Psi _ { 2 , 0 } ) \mathbf { e } _ { \theta } \mathbf { e } _ { \theta } \right]
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ J ^ { i } ( \mathsf { u } ^ { i } , \mathsf { u } ^ { - i \star } ) ] = \mathbb { E } [ f ^ { i } ( 0 , x _ { 0 } ) ] + \sum _ { k \in \mathsf { K } _ { l } } { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \big ( ( \bar { m } _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in - i } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \delta _ { k } ^ { j } ) } \\ & { \quad \times \mathbb { E } [ x _ { k } ] + \bar { n } _ { k } ^ { i i } \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] + \sum _ { j \in - i } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + p _ { k } ^ { i } \big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \in \mathsf { K } _ { l } } A _ { k } ^ { i } \mathbb { E } \big [ \big ( ( u _ { k } ^ { i } - \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] ) - \eta _ { k } ^ { i } ( \bar { x } _ { k } - \mathbb { E } [ x _ { k } ] ) \big ) ^ { 2 } \big ] } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \in \mathsf { K } _ { l } } D _ { k } ^ { i } \big ( \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] - \delta _ { k } ^ { i } \mathbb { E } [ x _ { k } ] - \bar { \delta } _ { k } ^ { i } \big ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E = E _ { 0 } } & { \left( \mathcal { U } _ { n } + \frac { \mathrm { i } \alpha } { \Theta } \left( \sqrt { n + 1 } \mathcal { U } _ { n + 1 } e ^ { - \mathrm { i } \Psi } + \sqrt { n } \mathcal { U } _ { n - 1 } e ^ { \mathrm { i } \Psi } \right) \right) e ^ { \mathrm { i } \omega t } } \\ & { \times \left( 1 + \mathrm { i } \frac { m } { 2 } \left( e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } + e ^ { \mathrm { i } \Omega t } \right) \right) } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } { \left[ \begin{array} { l } { x - x _ { 3 } } \\ { y - y _ { 3 } } \end{array} \right] } \approx { \left[ \begin{array} { l l } { \alpha \left( 1 - ( 1 + 2 x _ { 3 } ) / K \right) } & { - \alpha } \\ { \delta ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } y _ { 3 } } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x - x _ { 3 } } \\ { y - y _ { 3 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \int _ { V } \mathbf { F } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \delta ^ { 3 } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) \mathrm { d } V ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { t _ { 1 } = \sum _ { i , j } ^ { } | \widetilde { E } _ { e x t } ( U _ { j } , x _ { j , i } ) - E _ { s } ( x _ { j , i } ) - \sum _ { k = 1 } ^ { N } V _ { j , k } E _ { k } ( x _ { j , i } ) | ^ { 2 } } \\ { t _ { 2 } = \sum _ { j } ^ { } \bigg | \widetilde { \omega } _ { x } ( U _ { j } , x _ { j } ) - \sqrt { \frac { e D _ { s } ( x _ { j } ) } { M } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { e V _ { j , k } D _ { k } ( x _ { j } ) } { M } } \bigg | ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathcal D } _ { t } ^ { \gamma } h ^ { i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } h ^ { i } ) + q ^ { i } h ^ { i } } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } h ^ { i } ( \cdot , a ^ { + } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } h ^ { j } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } h ^ { i } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } h ^ { i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } h ^ { i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle h ^ { i } ( 0 , \cdot ) } & { = } & { \zeta _ { 1 } ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \| F _ { v } ( x ) - F _ { v } ( y ) \| ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \bigg \| \sum _ { i \in S } \frac { 1 } { p _ { i } } ( F _ { i } ( x ) - F _ { i } ( y ) ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \sum _ { i , j \in S } \bigg \langle \frac { 1 } { n p _ { i } } ( F _ { i } ( x ) - F _ { i } ( y ) ) , \frac { 1 } { n p _ { j } } ( F _ { j } ( x ) - F _ { j } ( y ) ) \bigg \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big \{ \hat { \rho } [ r ^ { \epsilon } ( \beta ) ] \leq \hat { \rho } [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) ] } & { + \Big ( K L ( \hat { \rho } | | \pi ) + \log \Big ( \frac { 1 } { \delta } \Big ) + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) \frac { 1 } { \sqrt { l } } } \\ & { + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \pi \Big [ 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } \Big ] \Big ) \Big \} \geq 1 - \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { J } ( \theta ) } & { = \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \big [ G ( X _ { t _ { 0 } } , \ldots , X _ { t _ { N } } ) \big ] } \\ & { = \; \int _ { { \cal X } ^ { N + 1 } } \int _ { A ^ { N } } G ( x _ { 0 } , \ldots , x _ { N } ) p _ { 0 } ( \mathrm { d } x _ { 0 } ) \prod _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \pi _ { \theta } ( \mathrm { d } a _ { i } | t _ { i } , x _ { i } ) p ( \mathrm { d } x _ { i + 1 } | t _ { i } , x _ { i } , a _ { i } ) } \\ & { = \; \int _ { { \cal X } ^ { N + 1 } } \int _ { A ^ { N } } G ( \boldsymbol { x } ) p _ { 0 } ( \mathrm { d } x _ { 0 } ) \boldsymbol { \rho } _ { \theta } ^ { N } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { a } ) \prod _ { i = 0 } ^ { N - 1 } p ( \mathrm { d } x _ { i + 1 } | t _ { i } , x _ { i } , a _ { i } ) \nu ( \mathrm { d } a _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { X } _ { n , m } } & { { } \equiv \hat { a } _ { n , m } e ^ { i ( \alpha _ { n } - \beta _ { n } ) } + \hat { a } _ { n , - m } ^ { \dagger } e ^ { - i ( \alpha _ { n } - \beta _ { n } ) } \, , } \\ { \hat { Q } _ { n , m } } & { { } \equiv \hat { b } _ { n , n + m } e ^ { - i ( \alpha _ { n } - \beta _ { n } ) } + \hat { b } _ { n , n - m } ^ { \dagger } e ^ { i ( \alpha _ { n } - \beta _ { n } ) } \, , } \end{array}
\left\vert m _ { 1 } c _ { 1 2 } ^ { 2 } c _ { 1 3 } ^ { 2 } e ^ { - i \beta } + m _ { 2 } s _ { 1 2 } ^ { 2 } c _ { 1 3 } ^ { 2 } e ^ { + i \beta } \right\vert \leq m _ { 3 } s _ { 1 3 } ^ { 2 }
Q _ { n m } = E _ { n } - \frac { m ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { e } r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ^ { \prime } } + e \Phi = E _ { n } - \frac { m ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { e } r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ^ { \prime } } + \frac { k e ^ { 2 } } { r }
\gamma ^ { 2 } : = \mathrm { V a r } \{ \lambda _ { k } \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { k } \} \simeq \mathrm { m i n } _ { t = 0 , . . . , K } ( \mathrm { V a r } \{ \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { t } \} ) , \quad \forall k = 0 , . . . , K .
\int d T \theta ( T ) e ^ { i E T } W ( \Gamma _ { 0 } ) \simeq { \frac { i } { E - V _ { \mathrm { c o u l } } + i \epsilon } } + \int { \frac { d ^ { 3 } { \bf k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { i \, Z ^ { \prime } } { E - V _ { \mathrm { c o u l } } - k + i \epsilon } } + \dots
o _ { k m } ^ { u } = \frac { \sqrt { P ( \mathcal { G } _ { k m } ^ { u } ) P ( \widetilde { \mathcal { T } _ { m } ^ { u } } ) } - \sqrt { P ( \widetilde { \mathcal { G } _ { k m } ^ { u } } ) P ( \mathcal { T } _ { m } ^ { u } ) } } { \sqrt { P ( \mathcal { G } _ { k m } ^ { u } ) P ( \widetilde { \mathcal { T } _ { m } ^ { u } } ) } + \sqrt { P ( \widetilde { \mathcal { G } _ { k m } ^ { u } } ) P ( \mathcal { T } _ { m } ^ { u } ) } }
\begin{array} { r l } { Z _ { k + 1 } ^ { ( i ) } = } & { T _ { i } \left( X _ { k } + h \nabla _ { x } \log \eta ( X _ { k } ) + \sqrt { 2 h } \xi _ { k + 1 } \right) } \\ { = } & { T _ { i } ( X _ { k } ) + ( \nabla _ { x } T _ { i } ( X _ { k } ) ) ^ { \top } \left( h \nabla _ { x } \log \eta ( X _ { k } ) + \sqrt { 2 h } \xi _ { k + 1 } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \left( h \nabla _ { x } \log \eta ( X _ { k } ) + \sqrt { 2 h } \xi _ { k + 1 } \right) ^ { \top } \nabla _ { x } ^ { 2 } T _ { i } \left( h \nabla _ { x } \log \eta ( X _ { k } ) + \sqrt { 2 h } \xi _ { k + 1 } \right) + \mathcal { O } ( h ^ { 3 / 2 } ) } \\ { = } & { Z _ { k } ^ { ( i ) } + h ( \nabla _ { x } T _ { i } ) ^ { \top } \left( \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \pi ( T ( X _ { k } ) ) + \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \operatorname* { d e t } \mathbf { J } _ { T } \right) + \sqrt { 2 h } ( \mathbf { J } _ { T } \xi _ { k + 1 } ) ^ { ( i ) } } \\ & { + h { \xi _ { k + 1 } } ^ { \top } \nabla _ { x } ^ { 2 } T _ { i } \xi _ { k + 1 } + \mathcal { O } ( h ^ { 3 / 2 } ) } \\ { = } & { Z _ { k } ^ { ( i ) } + h ( \mathbf { J } _ { T } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \pi ( Z _ { k } ) ) ^ { ( i ) } + h ( \mathbf { J } _ { T } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \operatorname* { d e t } \mathbf { J } _ { T } ) ^ { ( i ) } + h \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } + \sqrt { 2 h } ( \mathbf { J } _ { T } \xi ^ { m } ) _ { k } } \\ & { + h N _ { k } ^ { ( i ) } + \mathcal { O } ( h ^ { 3 / 2 } ) , } \end{array}
\Theta \; = \; \left\langle { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ) \right\rangle + { \frac { \displaystyle 3 } { \displaystyle m ^ { 2 } } } \left\langle { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 3 } P _ { 0 } ) \right\rangle + { \frac { \displaystyle 4 } { \displaystyle 5 m ^ { 2 } } } \left\langle { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 3 } P _ { 2 } ) \right\rangle .
E ( n , \alpha ) \simeq E ( n , \alpha , { \cal N } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { \rho = 1 } ^ { N _ { i } + 1 } \alpha ^ { \rho } \sum _ { j = 0 } ^ { \rho + 1 } s _ { j , \rho } ( i ) \ln ^ { j } n + \sum _ { i = 3 } ^ { 7 } \sum _ { \rho = 1 } ^ { N _ { i } + 1 } \alpha ^ { \rho } \sum _ { j = 0 } ^ { \rho } s _ { j , \rho } ( i ) \ln ^ { j } n ,
g ^ { \prime } \ : \ [ z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } , z _ { 4 } , z _ { 5 } ] \rightarrow [ e ^ { 2 \pi i x _ { 1 } } { z _ { 1 } } , e ^ { 2 \pi i x _ { 2 } } { z _ { 2 } } , z _ { 3 } , z _ { 4 } , z _ { 5 } ] .
\begin{array} { r l } { O _ { A } } & { { } = \left( | 1 , 2 \rangle \langle 1 , 2 | + | 2 , 1 \rangle \langle 2 , 1 | \right) \otimes \left| - i k \sqrt { \frac { 1 + \alpha } { 2 } } \right\rangle \langle 0 | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle q w , m ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g ( D + b ) \right\rangle } & { = 0 , \, \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } + \nabla \cdot m \right\rangle } & { = 0 , \, \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , q D \right\rangle + \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle - \left\langle \gamma , f \right\rangle } & { = 0 , \, \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle v , m - u D \right\rangle } & { = 0 , \, \forall v \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { d _ { \mathrm { e f f } } } \cdot \left( \tau ^ { \prime } - d _ { \mathrm { e f f } } / 2 \right) = - \frac { \tau - \frac { d - d _ { \mathrm { e f f } } } { 2 } } { d _ { \mathrm { e f f } } } + \frac { 1 } { 2 } = - \frac { \tau } { d _ { \mathrm { e f f } } } + \frac { d } { 2 d _ { \mathrm { e f f } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { X } ^ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } \bigl [ y \to X ^ { \prime } ( \tau ^ { \prime } ) \bigr ] = \frac { 1 } { p _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( y ) } \times P _ { X } \left[ X ^ { \prime } ( \tau ^ { \prime } ) \right] } \end{array}
\bar { c } _ { i } = \mathbf { v } _ { i } ^ { T } \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } = \mathbf { v } _ { i } ^ { T } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { j } c _ { j } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \bar { \mathbf { v } } _ { i } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { j } c _ { j } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { E } [ q ] = \, N - 1 } \\ & { - 8 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } k ^ { \mu \alpha _ { j } } \, C _ { i j } \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { v _ { i } } - 4 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N - 1 } k ^ { \alpha _ { j } \alpha _ { k } } \, C _ { i j } C _ { i k } \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { v _ { i } } } \\ & { - 4 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N - 1 } k ^ { \mu \alpha _ { j } } k ^ { \mu \alpha _ { k } } \, C _ { i j } C _ { i k } \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { v _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j , k , p = 1 } ^ { N - 1 } k ^ { \mu \alpha _ { j } } k ^ { \alpha _ { k } \alpha _ { p } } \, C _ { i j } C _ { i k } C _ { i p } \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { v _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j , k , p , q = 1 } ^ { N - 1 } k ^ { \alpha _ { j } \alpha _ { k } } k ^ { \alpha _ { p } \alpha _ { q } } \, C _ { i j } C _ { i k } C _ { i p } C _ { i q } \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { v _ { i } ^ { 2 } } \, . } \end{array}