harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } u ^ { T } \mathbb { E } \big [ S _ { n } S _ { n } ^ { T } \big ] u } & { = \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \big [ \langle N ( u ) \rangle _ { n } \big ] + \frac { 1 } { n a _ { n } ^ { 2 } \mu _ { n } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } \mathbb { E } \big [ \langle M ( u ) \rangle _ { n } \big ] } \\ & { \quad \quad \quad - \frac { 2 } { n a _ { n } \mu _ { n } } \bigg ( \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) \mathbb { E } \big [ \langle M ( u ) , N ( u ) \rangle _ { n } \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg ( \frac { \theta ^ { 2 } ( \xi ) } { 2 } + ( 1 + \xi ^ { 2 } ) P ( \xi ) \bigg ) \Bigg | _ { a - } ^ { b _ { + } } } & { = - \int _ { a } ^ { b } \zeta V ^ { 2 } ( \zeta ) d \zeta , } \\ { \bigg ( \theta ( \xi ) V ( \xi ) \bigg ) \Bigg | _ { a - } ^ { b _ { + } } } & { = - \int _ { a } ^ { b } U ( \xi ) V ( \xi ) d \xi , \ } \\ { \bigg ( \theta ^ { 2 } - \xi \Big ( \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \Big ) ^ { \prime } + P ( \xi ) \bigg ) \Bigg | _ { a - } ^ { b _ { + } } } & { = 0 , } \\ { \theta ( \xi ) \Big | _ { a - } ^ { b _ { + } } } & { = - \int _ { a } ^ { b } U ( \xi ) d \xi , } \end{array}
h _ { t _ { 0 } } ( \tau ) = \frac { 1 } { N } \Sigma _ { n } \frac { \left| \Im \left\{ \tilde { F } _ { n } ( \omega _ { n } , t _ { 0 } - \tau ) \right\} \right| } { \left| \tilde { F } _ { n } ( \omega _ { n } , t _ { 0 } - \tau ) \right| }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { W H } } ( \tau ) } & { = 5 . 3 _ { - 2 . 0 } ^ { + 2 . 2 } \times 1 0 ^ { - 1 6 } / \sqrt { \tau } , } \\ { \sigma _ { \mathrm { F F } } ( \tau ) } & { = 1 . 3 _ { - 0 . 1 } ^ { + 0 . 2 } \times 1 0 ^ { - 1 5 } , } \\ { \sigma _ { \mathrm { R W } } ( \tau ) } & { = 1 . 0 _ { - 0 . 1 } ^ { + 0 . 1 } \times 1 0 ^ { - 1 5 } \sqrt { \tau } , } \end{array}
Y _ { \ell _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } ( \Omega ) Y _ { \ell _ { 2 } } ^ { m _ { 2 } } ( \Omega ) = \sum _ { L , M } { \sqrt { \frac { ( 2 \ell _ { 1 } + 1 ) ( 2 \ell _ { 2 } + 1 ) } { 4 \pi ( 2 L + 1 ) } } } \langle \ell _ { 1 } \, 0 \, \ell _ { 2 } \, 0 | L \, 0 \rangle \langle \ell _ { 1 } \, m _ { 1 } \, \ell _ { 2 } \, m _ { 2 } | L \, M \rangle Y _ { L } ^ { M } ( \Omega )
\mathbf { Q } _ { \mathrm { p a t h 1 } } = \left\{ \left[ \frac { 3 } { 4 } \ \frac { 1 } { 4 } \ 0 \right] , \left[ \frac { 1 } { 2 } \ \frac { 1 } { 2 } \ 0 \right] , \left[ \frac { 1 } { 2 } \ 0 \ 0 \right] , \left[ \frac { 3 } { 4 } \ \frac { 1 } { 4 } \ 0 \right] , \left[ 1 \ 0 \ 0 \right] , \left[ \frac { 1 } { 2 } \ 0 \ 0 \right] \right\}
\mathrm { ~ C ~ H ~ } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) ,
v _ { i } = { \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 } & { { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } } 1 / 2 , } \\ { + 1 } & { { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } } 1 / 2 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \Delta \tau _ { J _ { 2 } } } & { = } & { - \int _ { \mathrm { p a t h } } d t \Big [ \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } J _ { 2 } \sin ^ { 2 } i _ { 0 } } { c ^ { 2 } a _ { 0 } ^ { 3 } } \cos 2 ( \omega _ { 0 } + n _ { \tt G P S } t ) \Big ] \simeq } \\ & { \simeq } & { - \sqrt { \frac { G M _ { \oplus } } { a _ { 0 } ^ { 3 } } } \frac { R _ { \oplus } ^ { 2 } J _ { 2 } \sin ^ { 2 } i _ { 0 } } { c ^ { 2 } } \cos [ 2 \omega _ { 0 } + n _ { \tt G P S } ( t + t _ { 0 } ) ] \sin [ n _ { \tt G P S } ( t - t _ { 0 } ) ] , } \end{array}
J _ { L } ^ { 1 , 2 } { \bar { J } } _ { R } ^ { 1 , 2 } , \quad J _ { L } ^ { 3 , 4 } { \bar { J } } _ { R } ^ { 3 , 4 } , \quad J _ { L } ^ { 5 , 6 } { \bar { J } } _ { R } ^ { 5 , 6 } ,
\phi _ { 3 } ^ { ( b r s t ) } = \frac { 1 } { 2 } ( p ^ { 2 } + \gamma ) + \gamma \gamma ^ { i j } [ \partial _ { j } c ^ { 3 } \mu _ { i } ] + ( \partial _ { i } c ^ { i } ) \mu _ { 3 } + \frac { 3 } { 2 } \partial _ { i } c ^ { 3 } \partial _ { j } c ^ { 3 } \mu _ { j } \mu _ { i } + \partial _ { i } ( c ^ { i } \mu _ { 3 } ) .
\Gamma _ { m } \propto L ^ { 4 / 3 } D ^ { 2 / 3 } / \tau , \ \ a _ { m } \propto L ^ { 2 / 3 } D ^ { 1 / 3 } , \mathrm { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a ~ n ~ d ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \Delta z _ { m } \propto L ^ { 2 / 3 } D ^ { 1 / 3 } .
w = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \tilde { w } _ { n } \sin ( n k z ) e ^ { \tilde { \sigma } ( n ) t } + w _ { s } , \quad \theta = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \tilde { \theta } _ { n } \sin ( n k z ) e ^ { \tilde { \sigma } ( n ) t } + \theta _ { s }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi + a \partial _ { x } u } & { = \phantom { A _ { 2 1 } ^ { b } \partial _ { x x } \phi + \, } A _ { 1 2 } ^ { b } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } u + a \partial _ { x } \phi + u \partial _ { x } u } & { = A _ { 2 1 } ^ { b } \partial _ { x x } \phi + A _ { 2 2 } ^ { b } \partial _ { x x } u } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { n } = f _ { P _ { n } } ( t _ { n } , \tau _ { n } ) = \frac { e } { \hbar \tau _ { n } } \int _ { t _ { n } - \tau _ { n } } ^ { t _ { n } } d t ^ { \prime \prime } A ( t ^ { \prime \prime } ) . } \end{array}
B _ { \mathrm { O S } } ^ { ( 2 ) } [ v ^ { ( s ) } , F ^ { + } , \chi _ { - } ] = \alpha _ { 3 } \gamma ^ { 5 } \chi _ { 3 } i \alpha _ { 7 } \gamma ^ { 5 } v ^ { [ \mu } \mathrm { S } ^ { \nu ] } v _ { \mu \nu } ^ { ( s ) } + i \alpha _ { 8 } \gamma ^ { 5 } v ^ { [ \mu } \mathrm { S } ^ { \nu ] } F _ { \mu \nu } ^ { + } + \alpha _ { 9 } \rangle \chi _ { - } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \lVert S ( u ) \rVert _ { - \nu , 2 } } & { \lesssim \lVert \varPhi \rVert _ { \mathcal { V } _ { - \nu } } + \lVert \varPsi \rVert _ { \mathcal { W } _ { - \nu } } + \sum _ { j = 0 } ^ { 3 } \lVert \partial _ { t } ^ { j } P _ { \mathrm { n l } } ( u ) \rVert _ { - \nu , 2 } } \\ & { \lesssim \lVert \varPhi \rVert _ { \mathcal { V } _ { - \nu } } + \lVert \varPsi \rVert _ { \mathcal { W } _ { - \nu } } + \lVert u \rVert _ { - \nu , 2 } ^ { 1 + \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert p - p _ { \ast } \right\vert } & { { } \leq D _ { G } ( \rho , \rho _ { \ast } ) , } \\ { D _ { G } ( \sigma , \sigma _ { \ast } ) } & { { } \leq \frac { 3 } { 2 p } D _ { G } ( \rho , \rho _ { \ast } ) . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { u ( T ) } & { { } = { \frac { \alpha T } { \sqrt { 1 + \left( { \frac { \alpha T } { c } } \right) ^ { 2 } } } } } \\ { X ( T ) } & { { } = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left( { \sqrt { 1 + \left( { \frac { \alpha T } { c } } \right) ^ { 2 } } } - 1 \right) } \\ { c \tau ( T ) } & { { } = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \ln \left( { \sqrt { 1 + \left( { \frac { \alpha T } { c } } \right) ^ { 2 } } } + { \frac { \alpha T } { c } } \right) } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { u ( \tau ) } & { { } = c \operatorname { t a n h } { \frac { \alpha \tau } { c } } } \\ { X ( \tau ) } & { { } = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left( \cosh { \frac { \alpha \tau } { c } } - 1 \right) } \\ { c T ( \tau ) } & { { } = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \sinh { \frac { \alpha \tau } { c } } } \end{array} } } \end{array}
\operatorname { c o r r } ( W _ { s } , W _ { t } ) = { \frac { \operatorname { c o v } ( W _ { s } , W _ { t } ) } { \sigma _ { W _ { s } } \sigma _ { W _ { t } } } } = { \frac { s } { \sqrt { s t } } } = { \sqrt { \frac { s } { t } } } .
{ \begin{array} { r l } { m f ( m ; m _ { 1 } , \ldots , m _ { n } ) } & { = f ( m - 1 ; m _ { 1 } - 1 , \ldots , m _ { n } ) + \cdots + f ( m - n ; m _ { 1 } , \ldots , m _ { n } - 1 ) } \\ { m _ { 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { i ^ { m _ { i } } m _ { i } ! } } + \cdots + n m _ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { i ^ { m _ { i } } m _ { i } ! } } } & { = m \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { i ^ { m _ { i } } m _ { i } ! } } } \end{array} }
{ \left[ \begin{array} { l } { ~ \nu _ { \mathrm { e } } \ \nu _ { \mu } \ \nu _ { \tau } ~ } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { ~ U _ { \mathrm { e } 1 } ~ } & { ~ U _ { \mathrm { e } 2 } ~ } & { ~ U _ { \mathrm { e } 3 } \ U _ { \mu 1 } } & { ~ U _ { \mu 2 } ~ } & { ~ U _ { \mu 3 } \ U _ { \tau 1 } ~ } & { ~ U _ { \tau 2 } ~ } & { ~ U _ { \tau 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { ~ \nu _ { 1 } \ \nu _ { 2 } \ \nu _ { 3 } ~ } \end{array} \right] } ~ .
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } \partial _ { t } { n _ { d } } + \nabla \cdot ( { u _ { d } } { n _ { d } } ) } \\ { 0 = } & { { } m _ { d } { n _ { d } } ( \partial _ { t } { u _ { d } } + { u _ { d } } \cdot \nabla { u _ { d } } ) - { n _ { d } } e Z \nabla \phi } \\ { 0 = } & { { } \partial _ { t } { n _ { i } } + \nabla \cdot ( { u _ { i } } { n _ { i } } ) } \\ { 0 = } & { { } m _ { i } { n _ { i } } ( \partial _ { t } { u _ { i } } + { u _ { i } } \cdot \nabla { u _ { i } } ) + { n _ { i } } e \nabla \phi + m _ { i } c _ { s i } ^ { 2 } \nabla { n _ { i } } } \\ { 0 = } & { { } { n _ { i } } - n _ { e } - Z { n _ { d } } } \\ { 0 = } & { { } \frac { c _ { s e } ^ { 2 } m _ { e } } { \gamma _ { e } } \nabla n _ { e } - n _ { e } e \nabla \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } ^ { * } } \mathbb { E } _ { P } [ r _ { T } ( \pi ) ( P ) ] } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } ^ { * } } \sum _ { b \in [ 2 ] } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { a \in [ 2 ] } \mu ^ { a } ( P ) - \mu ^ { b } ( P ) \right\} \mathbb { P } _ { P } \left( \widehat { a } _ { T } = b \right) } \\ & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \left\{ e \left( \mu ^ { 1 } ( Q _ { \Delta } ) - \mu ^ { 2 } ( Q _ { \Delta } ) \right) \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) + ( 1 - e ) \left( \mu ^ { 2 } ( Q _ { \Delta } ) - \mu ^ { 1 } ( Q _ { \Delta } ) \right) \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) \right\} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \left\{ e \left( \mu ^ { 1 } ( Q _ { \Delta } ) - \mu ( P ^ { \sharp \sharp } ) \right) \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) + ( 1 - e ) \left( \mu ^ { 2 } ( Q _ { \Delta } ) - \mu ( P ^ { \sharp } ) \right) \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) \right\} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \left\{ e \left( \Delta + O ( \Delta ^ { 2 } ) \right) \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) + ( 1 - e ) \left( \Delta + O ( \Delta ^ { 2 } ) \right) \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) \right\} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \left\{ e \Delta \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) + ( 1 - e ) \Delta \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \right\} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \left\{ e \Delta \left( 1 - \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) \right) + ( 1 - e ) \Delta \left( 1 - \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \right\} . } \end{array}
\sqrt { t } ( \hat { \tau } _ { { \small \textsc { { N S W } } } } - \tau _ { { \small \textsc { { N S W } } } } ) { \, \overset { { \, d \, \, } } { \rightarrow } \, } { \mathcal { N } } \allowbreak \big ( 0 , \frac { \sigma _ { \small \textsc { { N S W } } } ^ { 2 } ( 1 ) } { \pi } \allowbreak + \allowbreak \frac { \sigma _ { \small \textsc { { N S W } } } ^ { 2 } ( 0 ) } { ( 1 - \pi ) } \big )
\mu _ { 0 } ^ { 2 } ( \mathbf { p } - \epsilon \nabla _ { \mathbf { p } } \mu _ { 0 } ^ { 2 } ) = \mu _ { 0 } ^ { 2 } ( \mathbf { p } ) - \epsilon \| \nabla _ { \mathbf { p } } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \| ^ { 2 }
\lambda ^ { 2 } = \frac { \omega ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \epsilon _ { r } ( \omega ) = \frac { \omega ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } [ 1 - \beta \epsilon _ { r } ( \omega ) ] \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ( t , m ) } & { \leq { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \Big ( L ( X _ { s } , \alpha ( s , X _ { s } ) ) + \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( X _ { s } ) ) \Big ) d s + \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( X _ { s } ) ) \bigg ] } \\ & { = { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } L ( X _ { s } ^ { i } , \alpha ( s , X _ { s } ^ { i } ) ) + \mathcal { F } ( m _ { \mathbf { X } _ { s } } ^ { n } ) \bigg ) d s + \mathcal { G } ( m _ { \mathbf { X } _ { T } } ^ { n } ) \bigg ] } \\ & { \qquad + \int _ { t } ^ { T } { \mathbb E } [ \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( X _ { s } ) ) - \mathcal { F } ( m _ { \mathbf { X } _ { s } } ^ { n } ) ] d s + { \mathbb E } [ \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( X _ { T } ) ) - \mathcal { G } ( m _ { \mathbf { X } _ { T } } ^ { n } ) ] } \\ & { = \mathcal { V } _ { \mathrm { d i s t } } ^ { n } ( t , m , . . . , m ) + \int _ { t } ^ { T } { \mathbb E } [ \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( X _ { s } ) ) - \mathcal { F } ( m _ { \mathbf { X } _ { s } } ^ { n } ) ] d s + { \mathbb E } [ \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( X _ { T } ) ) - \mathcal { G } ( m _ { \mathbf { X } _ { T } } ^ { n } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda _ { n } ^ { 2 } = I _ { \phi } \left[ \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { A } ^ { 2 } } \big ( 1 - \frac { \omega _ { \ast p i } } { \omega } \big ) + \Lambda _ { c i r } ^ { 2 } + \Lambda _ { t r a } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< E _ { w } \right> } & { { } = } & { \frac { \rho _ { 0 } a ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { \left< Q \right> } & { { } = } & { \frac { \eta _ { 0 } k _ { | | } ^ { 2 } a ^ { 4 } } { 2 4 v _ { A } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - 3 \beta } { 1 - \beta } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \hat { S } } _ { \mathrm { M K K } } } } & { { = } } & { { - { \hat { T } } _ { \mathrm { M K K } } \int d ^ { 7 } \xi \, \, \, | { \hat { k } } | ^ { 2 } \sqrt { | \mathrm { d e t } ( D _ { i } { \hat { X } } ^ { { \hat { \mu } } } D _ { j } { \hat { X } } ^ { { \hat { \nu } } } { \hat { g } } _ { { \hat { \mu } } { \hat { \nu } } } + l _ { p } ^ { 2 } | { \hat { k } } | ^ { - 1 } { \hat { \cal F } _ { i j } } ) | } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \, \, { \frac { 1 } { 7 ! } } \, l _ { p } ^ { 2 } \, { \hat { T } } _ { \mathrm { M K K } } \int d ^ { 7 } \xi \, \, \epsilon ^ { i _ { 1 } \dots i _ { 7 } } \, \, { \hat { \cal K } } _ { i _ { 1 } \dots i _ { 7 } } ^ { ( 7 ) } \, , } } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { v _ { \mathrm { s } } ^ { - N } } \\ { v _ { \mathrm { s } } ^ { 1 - N } } \\ { \vdots } \\ { v _ { \mathrm { s } } ^ { + N } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { g _ { 0 } } & { g _ { - 1 } } & { \cdots } & { g _ { - 2 N } } \\ { g _ { 1 } } & { g _ { 0 } } & { \cdots } & { g _ { 1 - 2 N } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { g _ { 2 N } } & { g _ { 2 N - 1 } } & { \cdots } & { g _ { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { i _ { \mathrm { s } } ^ { - N } } \\ { i _ { \mathrm { s } } ^ { 1 - N } } \\ { \vdots } \\ { i _ { \mathrm { s } } ^ { + N } } \end{array} \right) .
\frac { T - M } { M } \left[ \frac { \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\{ \frac { \left( \ln ( K _ { m ^ { * } } ^ { * } ) - \ln ( K _ { m } ) \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { K } ^ { 2 } } + \frac { \left( \ln ( p _ { m ^ { * } } ^ { * } ) - \ln ( p _ { m } ) \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { p } ^ { 2 } } + \frac { \left( \ln ( \lambda _ { m ^ { * } } ^ { * } ) - \ln ( \lambda _ { m } ) \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { \lambda } ^ { 2 } } \right\} \right) } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \sigma _ { K } \sigma _ { p } \sigma _ { \lambda } \left[ \Phi \left( \ln \lceil \rho N \rceil ; \ln K _ { m } , \sigma _ { K } ^ { 2 } \right) - \Phi \left( \ln \underset { \{ t : z _ { t } = m \} } { \operatorname* { m a x } } C _ { t } ; \ln K _ { m } , \sigma _ { K } ^ { 2 } \right) \right] \left[ \Phi \left( 0 ; \ln p _ { m } , \sigma _ { p } ^ { 2 } \right) - \Phi \left( - \infty ; \ln p _ { m } , \sigma _ { p } ^ { 2 } \right) \right] } \right] ^ { - 1 }
f ( T _ { 1 } , T _ { 3 } ) = { \frac { q _ { 3 } } { q _ { 1 } } } = { \frac { q _ { 2 } q _ { 3 } } { q _ { 1 } q _ { 2 } } } = f ( T _ { 1 } , T _ { 2 } ) f ( T _ { 2 } , T _ { 3 } ) .
\begin{array} { r l r } { b _ { - ( n + 1 ) , 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \mathrm { a d } _ { e _ { 1 } } ^ { n - 1 } \left( [ e _ { 2 } , e _ { 0 } ] - \sigma _ { 3 } [ e _ { 1 } , e _ { 0 } ] \right) - \sum _ { i + j = - ( n + 1 ) } : b _ { i , 1 } b _ { j , 1 } : } \\ { b _ { n + 1 , 2 } } & { = } & { - \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \mathrm { a d } _ { f _ { 1 } } ^ { n - 1 } \left( [ f _ { 2 } , f _ { 0 } ] - \sigma _ { 3 } [ f _ { 1 } , f _ { 0 } ] \right) - \sum _ { i + j = ( n + 1 ) } : b _ { i , 1 } b _ { j , 1 } : , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ^ { 2 } } & { { } = r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } - 2 r _ { 1 } r _ { 2 } \left( \cos \theta _ { 1 } \cos \theta _ { 2 } + \sin \theta _ { 1 } \sin \theta _ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { m a x } [ L _ { \beta } ] = \sum _ { a _ { 1 } } p ( a _ { 1 } ) \ln p ( a _ { 1 } ) + \frac { 1 } { \beta } \mathrm { m a x } \left( \sum _ { a _ { 1 } } p ( a _ { 1 } ) \sum _ { a _ { 2 } b } p ( a _ { 2 } , b ) \ln \sum _ { c } p ^ { \beta } ( a _ { 2 } , c | a _ { 1 } ) p ^ { \beta } ( b | c ) \right) } \\ & { } & \\ & { } & { \leq \sum _ { a _ { 1 } } p ( a _ { 1 } ) \ln p ( a _ { 1 } ) + \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a _ { 1 } } p ( a _ { 1 } ) \mathrm { m a x } \left( \sum _ { a _ { 2 } b } p ( a _ { 2 } , b ) \ln \sum _ { c } p ^ { \beta } ( a _ { 2 } , c | a _ { 1 } ) p ^ { \beta } ( b | c ) \right) . } \end{array}
{ \cal E } \geq \int d ^ { 3 } x \Big [ \pm E _ { i } ^ { a } B _ { i } ^ { a } + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { i } \Big ( \sqrt { - \tilde { g } } \partial ^ { i } \sqrt { g _ { 0 0 } } \Phi ^ { 2 } \Big ) ] .
I = \frac { 1 } { 4 } \epsilon _ { 0 } c \ \frac { T _ { i } } { M ^ { 2 } } \left( | \mathrm { ~ E ~ } _ { S } | ^ { 2 } + | \mathrm { ~ E ~ } _ { R } | ^ { 2 } + 2 | \mathrm { ~ E ~ } _ { S } \mathrm { ~ E ~ } _ { R } | \cos \phi \right) ,
\begin{array} { r l } { F ( \overline { { u } } , \zeta ^ { \prime } ) } & { : = ( \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } ) \zeta _ { x } ^ { \prime } - ( \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } ) \zeta _ { y } ^ { \prime } - \overline { { u } } \zeta _ { x } ^ { \prime } + \partial _ { y } \overline { { [ ( \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } ) \zeta ^ { \prime } ] } } , } \\ { G ( \zeta ^ { \prime } ) } & { : = \partial _ { y } \overline { { [ \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } ] } } . } \end{array}
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { Y } \log { ( n ) } + \bigg ( \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ Q ~ } } } { Y } + \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ R ~ } } } { 2 Y } \log ( 1 + Y ) \qquad \qquad \qquad } & { { } } \\ { - \, \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { Y } \log { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } \bigg ) \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { ( 1 - Y ^ { 2 } ) ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } } & { { } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ R ~ } } } { Y } \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + { \alpha _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } } ) } { ( 1 - Y ^ { 2 } ) ^ { n / 2 + { \alpha _ { 0 } + 1 / 2 } } } } & { { } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array} \right.
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x \left( \Delta q ^ { f } ( x , \mu ^ { 2 } ) + \Delta q ^ { \bar { f } } ( x , \mu ^ { 2 } ) \right) = a _ { 1 } ^ { f } ( \mu ^ { 2 } ) \ , \; \; \; \langle P S | \psi _ { f } ^ { \dagger } \sigma _ { j } \psi _ { f } | P S \rangle = 2 a _ { 1 } ^ { f } ( \mu ^ { 2 } ) S _ { j } \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal M _ { i j } } & { { } = \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } \partial _ { j } \alpha _ { 0 } , } \\ { \mathcal N _ { i j } } & { { } = \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } \bar { \partial } _ { j } \alpha _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W _ { j } ^ { ( n ) } ( t ) - R _ { j } ^ { ( n ) } ( t ) \sin ^ { 2 } ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) } \\ & { = \frac { \pi } { 2 n ^ { 2 } } \sin [ n ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) ] \sin [ 2 ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) ] + \frac { \pi } { n ^ { 2 } - n } \sin [ n ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) ] \sin ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) } \\ & { \quad - \frac { \pi } { n ( n - 1 ) ( n + 1 ) } \cos [ ( n - 1 ) ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) ] - \frac { \pi } { n ( n - 2 ) ( n + 2 ) } \cos [ n ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x } [ \log ( | f ( X ) _ { i } | ) \mid | f ( X ) _ { i } | > 0 ] } & { = \int _ { 0 } ^ { \Vert f ( X ) _ { i } \Vert _ { \infty } } \log ( f ) p _ { f } ( f ) \mathrm { d } f } \\ & { = \underbrace { \int _ { 0 } ^ { 1 } \log ( f ) p _ { f } ( f ) \mathrm { d } f } _ { I _ { 1 } } + \underbrace { \int _ { 1 } ^ { \Vert f ( X ) _ { i } \Vert _ { \infty } } \log ( f ) p _ { f } ( f ) \mathrm { d } f } _ { I _ { 2 } } \enspace . } \end{array}
\mathbf { P } _ { \textrm { E M } } = \sum _ { \mathbf { k } , \mu } \hbar \mathbf { k } \left( { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \right) = \sum _ { \mathbf { k } , \mu } \hbar \mathbf { k } N ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) .
f _ { a b } ( \rho , \mu ^ { 2 } , m _ { Q } ^ { 2 } ) = f _ { a b } ^ { ( 0 ) } ( \rho ) + 4 \pi \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) [ f _ { a b } ^ { ( 1 ) } ( \rho ) + \hat { f } _ { a b } ^ { ( 1 ) } ( \rho ) \ln { ( \mu ^ { 2 } / m _ { Q } ^ { 2 } ) } ] \; .
\begin{array} { r } { ( L _ { 2 } , \overline { { \ell } } _ { 2 } ) = ( L _ { 1 } , \overline { { \ell } } _ { 1 } ) + \underline { { \mathrm { d } } } ( Y , \overline { { y } } ) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { L _ { 2 } = L _ { 1 } + \mathrm { d } Y , } \\ { \overline { { \ell } } _ { 2 } = \overline { { \ell } } _ { 1 } + \jmath ^ { * } Y - \mathrm { d } \overline { { y } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \lambda f ^ { 2 } } \int \; d ^ { 4 } X \, \frac { d ^ { 4 } q } { \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } } \left( \varphi ( X ) \right) ^ { 2 } \tilde { \pi } _ { 0 } ( q ) \left[ \partial _ { q } ^ { 2 } + \frac { 4 i \lambda } { q ^ { 2 } - \Sigma ^ { 2 } ( q ) } \right] \tilde { \pi } _ { 0 } ( q ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { s p t } ( \mathcal { M } _ { j } ) \cap K _ { j } \subset \mathbb { B } _ { \epsilon _ { j } } ( \mathrm { s p t } ( \mathcal { M } _ { \infty } ) ) , } & { \ } & { \mathrm { s p t } ( \mathcal { M } _ { \infty } ) \cap K _ { j } \subset \mathbb { B } _ { \epsilon _ { j } } ( \mathrm { s p t } ( \mathcal { M } _ { j } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { 0 1 } : \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) = \alpha ^ { * } ( t ) ~ ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ ~ i \in [ n ] } \\ { \mathrm { ~ v e r s u s ~ } } & { H _ { 1 1 } : \mathrm { T h e r e ~ e x i s t s ~ s o m e } \ i \in [ n ] \ \mathrm { s u c h ~ t h a t } \ \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) \neq \alpha ^ { * } ( t ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l } { ( 1 ) } & { 0 \le a \le \frac { d } { d - 1 } , } \\ { ( 2 ) } & { \frac { d - 2 } { d } a + b + c \le 1 , } \\ { ( 3 ) } & { \frac { d - 2 } { d } a + \left| b - c \right| \le 1 , } \\ { ( 4 ) } & { b + c \ge - \frac { 1 } { d - 1 } , } \\ { ( 5 ) } & { b - \left( d - 1 \right) c \le 1 , } \\ { ( 6 ) } & { c - \left( d - 1 \right) b \le 1 . } \end{array} \right.