harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { G ( \omega ( \ell , \overline { { \mu } } ) ; \overline { { \mu } } ) = - \frac { 1 } { 2 } \omega ( \ell , \overline { { \mu } } ) ^ { 2 } + O ( \omega ( \overline { { \mu } } , \ell ) ^ { 3 } ) \ ~ ~ ~ ( \omega \to 0 ) } \\ & { G ( \overline { { \chi } } ; \overline { { \mu } } ) = - \frac { h } { 2 } \{ \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \chi } } \} ^ { 2 } + O ( | \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \chi } } | ^ { 3 } ) \ ~ ~ ~ ( \chi \to \beta ( \mu ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { 1 } } & { { } \equiv x _ { \mathrm { h } } ( t _ { \mathrm { f } } / 2 - t _ { 1 } ) + \mathrm { i } \, \Omega ^ { - 1 } { \dot { x } } _ { \mathrm { h } } ( t _ { \mathrm { f } } / 2 - t _ { 1 } ) } \\ { \zeta _ { 2 } } & { { } \equiv x _ { \mathrm { h } } ( t _ { \mathrm { f } } / 2 ) + \mathrm { i } \, \Omega ^ { - 1 } { \dot { x } } _ { \mathrm { h } } ( t _ { \mathrm { f } } / 2 ) } \end{array}
J ^ { \mu } ( x ) = { \frac { 1 } { i } } \sigma ^ { \mu } \psi ( x ) - \kappa \{ \mathrm { t h e ~ h i g h e r ~ o r d e r ~ t e r m s ~ o f ~ \ k a p p a ~ , ~ \ p s i ( x ) ~ a n d ~ } \ \partial \psi ( x ) \}
\dot { \theta } _ { i } ^ { \sigma } = \omega _ { i } ^ { \sigma } + \sum _ { \sigma ^ { \prime } = 1 } ^ { M } \frac { k _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } } { N _ { \sigma ^ { \prime } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \sigma ^ { \prime } } } \sin { \left( \theta _ { j } ^ { \sigma ^ { \prime } } - \theta _ { i } ^ { \sigma } - \beta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \right) } ,
\begin{array} { r } { B = \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \gamma ^ { + } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { + } \cdot \nabla T \, d S \, d z \leq 0 , } \end{array}
\left\langle f ( a _ { \mu } ) g ( A _ { \nu } ^ { m } ) \right\rangle = \left\langle f ( a _ { \mu } ) \right\rangle \left\langle g ( A _ { \mu } ^ { m } ) \right\rangle = f ( a _ { \mu } ) \left\langle g ( A _ { \mu } ^ { m } ) \right\rangle
\begin{array} { r l } { D _ { G } ( m + 1 , m , m , \ldots , m ) } & { = D _ { 4 \times 2 } ( 2 m + 1 , 2 m , 2 m , \ldots , 2 m ) F ( 1 , 0 , 0 , \ldots , 0 ) ^ { 2 } } \\ & { = D _ { 4 } ( 4 m + 1 , 4 m , 4 m , 4 m ) D _ { 4 } ( 1 , 0 , 0 , 0 ) f _ { 0 } ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ^ { 2 } f _ { 1 } ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ^ { 2 } } \\ & { = ( 8 m + 1 ) ^ { 2 } - ( 8 m ) ^ { 2 } } \\ & { = 1 6 m + 1 . } \end{array}
\cot \delta = \cot \pi \nu - { \frac { \Gamma ( 1 + \nu ) ^ { 2 } } { \pi \nu } } \left( { \frac { k \ell } { 2 } } \right) ^ { - 2 \nu } - { \frac { \Gamma ( 1 + \nu ) ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } \left( { \frac { k } { 2 } } \right) ^ { - 2 \nu } \left[ { C } + { \frac { k ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 - \eta ^ { 2 - 2 \nu } } { 2 \pi ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } } - { \frac { \eta ^ { 2 - 2 \nu } - \eta ^ { 2 } } { 2 \pi \nu ( 1 + \nu ) } } \right) \right] .
\Delta \psi _ { i } ^ { * } ( t _ { k } ) = \psi _ { i } ^ { * } ( t _ { k } ^ { + } ) - \psi _ { i } ^ { * } ( t _ { k } ^ { - } ) = - \gamma \psi _ { i } ^ { * } ( t _ { k } ^ { - } ) , \ k = 1 , . . . , h , \ i = 1 , . . . , n ,
\begin{array} { r } { \mathcal { \hat { H } } = \epsilon _ { 1 } \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 2 } + t ( \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 2 } + \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 1 } ) } \end{array}
\mathbf { P } _ { M } \left( t \right) = \int d ^ { 3 } r \, \, \, \mathbf { p } _ { M } \left( \mathbf { r } , t \right) = \int d ^ { 3 } r \, \, \, \mathbf { D } \left( \mathbf { r } , t \right) \times \mathbf { B } \left( \mathbf { r } , t \right)
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \sum _ { i } H _ { 1 } ( \boldsymbol { r _ { i } } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } H _ { 2 } ( \boldsymbol { r _ { i } } , \boldsymbol { r _ { j } } ) } \\ { H _ { 1 } ( \boldsymbol { r _ { i } } ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { i } - \sum _ { A } \frac { Z _ { a } } { | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { A } | } + \boldsymbol { E } ( t ) \cdot \boldsymbol { r } _ { i } } \\ { H _ { 2 } ( \boldsymbol { r _ { i } } , \boldsymbol { r _ { j } } ) } & { { } = \frac { 1 } { | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } | } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } _ { E } } & { { } = } & { - s _ { z } g _ { s } \ \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( B _ { c } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } , - B _ { v } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } , B _ { c } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } , - B _ { v } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ) . } \end{array}
( s ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } ) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } }
R ( z = L , t ) = D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 0 } } \big \{ { A _ { 0 } c o s ( \omega t ) \big \} } = A _ { 0 } c o s ( \omega t + \frac { \pi \alpha _ { 0 } } { 2 } ) = A _ { 0 } c o s ( \omega t + \Phi ) ,
{ \begin{array} { r l } { a _ { 0 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to L } { \frac { f ( x ) } { \varphi _ { 0 } ( x ) } } } \\ { a _ { 1 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to L } { \frac { f ( x ) - a _ { 0 } \varphi _ { 0 } ( x ) } { \varphi _ { 1 } ( x ) } } } \\ & { \; \; \vdots } \\ { a _ { N } } & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to L } { \frac { f ( x ) - \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } a _ { n } \varphi _ { n } ( x ) } { \varphi _ { N } ( x ) } } } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { i k } n _ { k } = \left[ - K \alpha T \delta _ { i k } + K u _ { l l } \delta _ { i k } + 2 \mu \left( u _ { i k } - \frac { 1 } { 3 } u _ { l l } \delta _ { i k } \right) \right] n _ { k } = 0 } & { { \mathrm { ~ F ~ r ~ e ~ e ~ p ~ a ~ r ~ t ~ } } } \\ { u _ { k } n _ { k } = 0 } & { { \mathrm { ~ C ~ o ~ n ~ t ~ a ~ c ~ t ~ p ~ a ~ r ~ t ~ } } } \end{array} \right.
\frac { A _ { 0 } } { A _ { 1 } } \; \equiv \; z e ^ { \mathrm { i } \theta } \; , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \frac { \bar { A } _ { 0 } } { \bar { A } _ { 1 } } \; \equiv \; \bar { z } e ^ { \mathrm { i } \bar { \theta } } \; ,
\begin{array} { r } { { \bf J } _ { \mathrm { 2 D } } ( t ) = - \frac { e } { m } \int d z \int _ { \Omega } \frac { d x d y } { \Omega } \sum _ { b , { \bf k } } ^ { \mathrm { o c c } } u _ { b , { \bf k } } ^ { \dagger } ( { \bf r } , t ) } \\ { \times \left[ - i \hbar \nabla + \hbar { \bf k } + \frac { e } { c } { \bf A } ^ { \mathrm { ( t ) } } ( t ) + \frac { m } { i \hbar } \left[ { \bf r } , \hat { v } _ { \mathrm { N L } } ^ { { { \bf k } + \frac { e } { \hbar c } { \bf A } ^ { \mathrm { ( t ) } } ( t ) } } \right] \right] u _ { b , { \bf k } } ( { \bf r } , t ) , } \end{array}
\mathcal { D } [ \hat { L } ] \hat { \rho } = \hat { L } \hat { \rho } \hat { L } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \hat { L } ^ { \dagger } \hat { L } \hat { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \hat { \rho } \hat { L } ^ { \dagger } \hat { L }
{ \begin{array} { r l } { X } & { = a \cos \omega { \frac { \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta - c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } } { \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } } } , } \\ { Y } & { = b \cos \beta \sin \omega , } \\ { Z } & { = c \sin \beta { \frac { \sqrt { a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \omega + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \omega - c ^ { 2 } } } { \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { f _ { c } \left( \mathbf { k , k } ^ { \prime } \right) } & { { } = } & { \cos \left[ \mathrm { a r g } f \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) - \mathrm { a r g } f \left( \mathbf { k } \right) \right] , } \\ { f _ { s } \left( \mathbf { k , k } ^ { \prime } \right) } & { { } = } & { \sin \left[ \mathrm { a r g } f \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) - \mathrm { a r g } f \left( \mathbf { k } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 T \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t } \rVert _ { 1 } \right] } & { \le \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } + 2 C _ { W } ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) } { 2 \epsilon } \cdot \frac { \mathcal T _ { T } } { T } + \frac { f ( \mathcal T _ { T } ) } { \epsilon T } } \\ & { \le \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } + 2 C _ { W } ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) } { \epsilon } + \frac { f ( 2 T ) } { \epsilon T } } \end{array}
\frac { 1 } { 4 t ^ { 5 } } \partial _ { t } ( t ^ { 3 } \partial _ { t } g ) \partial _ { m } \partial _ { \bar { n } } ( | F w ^ { 2 } | ^ { 2 } ) + 4 \partial _ { m } \partial _ { \bar { n } } g = J _ { m \bar { n } }
\begin{array} { r } { e _ { \mathrm { d i p } } \approx 3 \times 1 0 ^ { 4 7 } \left( \frac { B _ { * } } { 1 0 ^ { 1 5 } \mathrm { ~ G ~ } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { R _ { * } } { 1 0 \mathrm { ~ k ~ m ~ } } \right) ^ { 3 } \mathrm { ~ e ~ r ~ g ~ } . } \end{array}
\delta B = n \alpha _ { n } \int _ { \partial { \cal M } } \! \! \! \! \epsilon _ { a _ { 1 } . . . a _ { 2 n } } \delta \omega ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } } R ^ { a _ { 3 } a _ { 4 } } \! \cdot \! \cdot \! \cdot \! R ^ { a _ { 2 n - 1 } a _ { 2 n } } .
d S ^ { 2 } \approx \left( 1 - { \frac { \ell _ { P } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } - { \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - { \ell _ { P } ^ { 2 } } / { r ^ { 2 } } } } - r ^ { 2 } ( d \Omega ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \Omega d \varphi ^ { 2 } )
G _ { D } ^ { ( n ) } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } , { \bf r ^ { \prime } } ; E ) = \sigma ^ { n } \, \left[ G _ { D } ^ { ( 0 ) } ( { \bf 0 } , { \bf 0 } ; E ) \right] ^ { n - 1 } \, G _ { D } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf 0 } ; E ) \, G _ { D } ^ { ( 0 ) } ( { \bf 0 } , { \bf r } ^ { \prime } ; E ) \; ,
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( B _ { 0 } + \frac { \delta _ { 0 } } { 4 } \bigg ) \log ^ { 2 } { ( n ) } + \bigg ( B _ { 1 } + \frac { \delta _ { 1 } } { 4 } - \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } \log { ( \bar { y } ) } \bigg ) \log ( n ) \quad ~ } & { } \\ { + \bigg ( B _ { 2 } - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \log ( \bar { y } ) \bigg ) \bigg ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) \quad } & { \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \bigg [ \bigg ( A _ { 1 } + \frac { \delta _ { 2 } } { 4 } \bigg ) \log ( n ) + \bigg ( A _ { 2 } - \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } \log ( \bar { y } ) \bigg ) \bigg ] \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) \quad } & { \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array} \right.
C _ { \alpha \beta } ( x , y ) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { ( M \partial _ { y } \partial _ { x } - m ^ { 2 } T ^ { 2 } ) _ { i j } } } \\ { { - ( M \partial _ { y } \partial _ { x } - m ^ { 2 } T ^ { 2 } ) _ { i j } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\ddot { a } = - 2 { \frac { \dot { a } ^ { 2 } } { a } } + 8 \pi a \left( { \frac { 1 } { 3 a ^ { 2 } } } \left( \vert \nabla \phi \vert ^ { 2 } + \vert \nabla \chi _ { i } \vert ^ { 2 } \right) + { \frac { \lambda } { 4 } } \left( \phi ^ { 2 } - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \chi _ { i } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { R _ { \xi } ^ { - 1 } R _ { x } ^ { - 1 } \tilde { r } _ { e } = \left( 2 \sqrt { 2 \nu \xi } \cos ( \phi _ { 0 } ) - \frac { \xi g \nu } { 2 } , 2 \sqrt { 2 \nu \xi } \sin ( \phi _ { 0 } ) , \xi \right) ^ { \mathrm { T } } . } \end{array}
| \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \; \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) \dots \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { z } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( x \aftergroup \egroup \right) = \sqrt { \frac { \int _ { - \delta / 2 - L _ { \mathcal { B } 2 } } ^ { \delta / 2 + L _ { \mathcal { B } 2 } } \left( \check { \phi } - \phi \right) ^ { 2 } \mathrm { d } z } { \int _ { - \delta / 2 - L _ { \mathcal { B } 2 } } ^ { \delta / 2 + L _ { \mathcal { B } 2 } } \check { \phi } ^ { 2 } \, \mathrm { d } z } } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { A } ^ { ( 2 2 ) } = ~ } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - 2 \operatorname { t a n h } k _ { 0 } h \operatorname { t a n h } 2 k _ { 0 } h \right) k _ { 0 } ^ { 2 } A _ { 1 } B _ { s , 1 } } \\ { \mathcal { N } _ { B } ^ { ( 2 2 ) } = ~ } & { { } \frac { 1 } { 4 } k _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ^ { 2 } k _ { 0 } h ) B _ { s , 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
a n d f o l l o w i n g t h e p r o c e s s d e t a i l e d i n \S w e c a n o b t a i n t h e c y l i n d r i c a l i n v e r s e s t i f f n e s s m a t r i x o f a h e l i c a l l y o r t h o t r o p i c m a t e r i a l i n t e r m s o f
{ \binom { p + r - 1 } { p + r - n } } = { \frac { 1 } { p ! } } \left. { \left( { \frac { d } { d x } } \right) ^ { p } } \right\vert _ { x = 0 } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } { \binom { l + n - 1 } { l } } x ^ { l + n - r } \ ,
\begin{array} { r } { \widehat { \deg } ( \operatorname { g r } ^ { ( n , ( 0 , n \alpha ) ) } , \| \cdot \| _ { \varphi ^ { ( n , ( 0 , n \alpha ) ) } } , \| \cdot \| _ { \eta ^ { ( n , ( 0 , n \alpha ) ) } } ) \leq \widehat { \deg } ( \operatorname { g r } ^ { ( n , n \alpha ) } , \| \cdot \| _ { P ( \varphi ) _ { | E } ^ { ( n , n \alpha ) } } , \| \cdot \| _ { \eta ^ { ( n , n \alpha ) } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } t _ { i } } & { { } = t _ { i } \cdot ( ( \nabla _ { \! \bot } v _ { \sigma } + K v _ { \bot } ) \otimes \widehat { n } - v _ { \sigma } K + \nabla _ { \! \bot } v _ { \bot } \cdot \Pi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { ( 5 , 3 , 2 ) } ( z , q ) } & { - H _ { ( 6 , 3 , 1 ) } ( q z , q ) - H _ { ( 5 , 2 , 3 ) } ( q z , q ) - H _ { ( 4 , 4 , 2 ) } ( q z , q ) + ( 1 - q z ) H _ { ( 6 , 2 , 2 ) } ( q ^ { 2 } z , q ) } \\ & { + ( 1 - q z ) H _ { ( 5 , 4 , 1 ) } ( q ^ { 2 } z , q ) + ( 1 - q z ) H _ { ( 4 , 3 , 3 ) } ( q ^ { 2 } z , q ) - ( 1 - q z ) ( 1 - q ^ { 2 } z ) H _ { ( 5 , 3 , 2 ) } ( q ^ { 3 } z , q ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \cal L } } } & { { = } } & { { \displaystyle ( \partial _ { \mu } \Phi ) ^ { \dagger } \star \partial ^ { \mu } \Phi + \mu ^ { 2 } \Phi ^ { \dagger } \star \Phi - \lambda \Phi ^ { \dagger } \star \Phi \star \Phi ^ { \dagger } \star \Phi . } } \end{array}
\Omega _ { a } \ = \ 2 . 1 \times 1 0 ^ { 7 } h _ { 1 / 2 } ^ { - 2 } \left( { \frac { \mathrm { G e V } } { T _ { 1 } } } \right) \left( \frac { T _ { \gamma } } { 2 . 7 2 \ \mathrm { K } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { A ( T _ { 1 } ) } { F _ { a } } } \right) { \frac { F _ { a } } { M _ { P l } } }
\mathrm { R e } ~ \exp \left( - i \frac { \pi } { 4 } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d x } { \sqrt { x } } \exp ( i x ) = \sqrt { \pi } , \quad \mathrm { R e } ~ \exp \left( - i \frac { \pi } { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d x } { x } \exp ( i x ) = \frac { \pi } { 2 }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { Q } _ { 4 1 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 2 \sigma ^ { 5 } \nu ^ { 2 } } \{ ( 3 \sigma ^ { 6 } - 2 0 \sigma ^ { 4 } - 2 1 \sigma ^ { 2 } + 5 4 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 5 } \kappa ^ { 5 } } \\ { \mathcal { Q } _ { 4 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 2 \sigma ^ { 5 } \nu ^ { 2 } } \{ - ( 3 \sigma ^ { 6 } + 7 \sigma ^ { 4 } - 1 1 \sigma ^ { 2 } + 9 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 5 } \kappa ^ { 5 } } \end{array}
\zeta _ { F } ( 2 | x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \sum _ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) \neq ( 0 , 0 ) ( 0 , - 1 ) ( - 1 , 0 ) ( - 1 , - 1 ) } \left[ ( n _ { 1 } a + x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( n _ { 2 } b + x _ { 2 } ) ^ { 2 } \right] ^ { - 2 }
\left[ \prod _ { k = 2 } ^ { N } \left( i \, \frac { d } { d t } - b _ { k } \right) \right] \left( i \, \frac { d } { d t } + t \right) \psi _ { 1 } ( t ) = \sum _ { j = 2 } ^ { N } a _ { j } ^ { 2 } \prod _ { \substack { k = 2 \, k \ne j } } ^ { N } \left( i \, \frac { d } { d t } - b _ { k } \right) \psi _ { 1 } ( t ) .
\displaystyle \frac { 1 - e _ { 1 } - 2 e _ { 2 } + 4 e _ { 1 } e _ { 2 } + 3 e _ { 2 } ^ { 2 } - 6 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 2 } - 2 e _ { 2 } ^ { 3 } + 4 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 3 } } { 2 - e _ { 1 } - 2 e _ { 2 } + 2 e _ { 1 } e _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \dot { \overline { { \mathbf { C } _ { t _ { 0 } } ^ { t } } } } \vert _ { t _ { 0 } } } & { = 2 \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) , } \\ { \dot { \overline { { \mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } } } } \vert _ { t _ { 0 } } } & { = \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla ^ { 2 } \mathbf { f } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla ^ { 2 } \mathbf { f } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { v } \rangle , } \\ { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla ^ { 2 } \mathbf { f } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t _ { 0 } } , \nabla ^ { 2 } \mathbf { f } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \end{array} \right) } \\ { \dot { \overline { { ( _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ^ { - 1 } ) } } } \vert _ { t _ { 0 } } } & { = - \frac { 2 \alpha _ { t _ { 0 } } } { J _ { t _ { 0 } } ^ { 2 } ( \mathbf { p } ) } ( _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) ) ^ { - 1 } + \frac { 2 } { J _ { t _ { 0 } } ^ { 2 } ( \mathbf { p } ) } \mathbf { D } ( \mathbf { p } , t _ { 0 } ) , } \\ & { \mathrm { ~ \quad ~ } \mathbf { D } ( \mathbf { p } , t _ { 0 } ) = \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \rangle } & { - \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \rangle } \\ { - \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \rangle } & { \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { u } \rangle } \end{array} \right) . } \end{array}
W _ { 0 } ^ { 0 } = | \xi | ^ { - 1 } , \qquad W _ { 1 } ^ { 1 } = | \xi | ^ { - 3 } , \qquad W _ { 2 } ^ { 2 } \approx \frac 1 4 | \xi | ^ { - 1 } , \qquad W _ { 3 } ^ { 3 } \approx \frac 9 4 | \xi | ^ { - 3 } , \ldots
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { a } } & { { } = \frac { \mathcal { G } \mu _ { 2 } m _ { 1 } m _ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { 2 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 3 } } \Bigg ( 1 + \frac { p } { 2 } + } \end{array}
{ \cal P } _ { \gamma b } T _ { \delta } E _ { \beta \alpha } ^ { \delta \gamma } T ^ { \alpha \beta \{ a b \} } , \; \; \; \; { \cal P } _ { \gamma b } \{ V _ { \beta } ^ { \gamma } , T _ { \alpha } \} \hat { T } ^ { \alpha \beta } \varepsilon ^ { a b }
\begin{array} { r } { \int \varphi _ { \bf k } \frac { \partial n _ { \bf k } } { \partial t } \, d { \bf k } = 4 \pi \int \frac { \alpha ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } } { \left( \Lambda + p _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \frac { | { \bf p } _ { 2 } \times { \bf k } | ^ { 2 } } { p _ { 2 } ^ { 3 } } n _ { 2 } ^ { 2 } n _ { k } ^ { 2 } \left( \partial _ { \omega } n _ { \omega } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) \left( \partial _ { \omega } \varphi _ { \omega } - \partial _ { \omega _ { 2 } } \varphi _ { \omega _ { 2 } } \right) d p _ { 1 } \, d { \bf k } _ { 2 } \, d { \bf k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { k } ^ { \pm } } & { { } = - \frac { \phi _ { 1 } } { 2 \phi _ { 2 } } \pm \sqrt { \left( \frac { \phi _ { 1 } } { 2 \phi _ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \phi _ { 2 } } [ ( 2 k + 1 ) \pi - \phi _ { 0 } - i | \log \mathcal { A } | ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\lVert g _ { t } ^ { N } - \nabla G ( \omega _ { t } ) \right\rVert \right] } & { \leq O \left( G _ { G } \sqrt { \log K N } \sqrt { \frac { K } { N } } \right) + D \mathbb { E } \left[ | \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } | \right] , } \\ { \mathbb { E } \left[ \left\lVert g _ { t } ^ { N } - \nabla G ( \omega _ { t } ) \right\rVert ^ { 2 } \right] } & { \leq O \left( G _ { G } ^ { 2 } \log ( K N ) \frac { K } { N } \right) + D ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
r = U ^ { 2 } l _ { \mathrm { P } } ^ { 3 } , \ \ \ \ 2 m = U _ { 0 } ^ { 6 } l _ { \mathrm { P } } ^ { 9 } , \ \ \ \l _ { 1 , 2 } = a _ { 1 , 2 } ^ { 2 } l _ { \mathrm { P } } ^ { 3 } \ ,
\langle \widetilde { n } _ { \alpha } ( k ) | n _ { \alpha } ^ { \prime } ( k ) \rangle = \delta _ { n n ^ { \prime } } , \quad \sum _ { n = \pm } | n _ { \alpha } ( k ) \rangle \langle \widetilde { n } _ { \alpha } ( k ) | = 1 , \quad \alpha = 1 , 2 .
\operatorname * { l i m } _ { \mu \rightarrow 0 } \; \langle \prod _ { j = 1 } ^ { n } : e ^ { i \Phi ( t _ { j } ) } : _ { M } \rangle _ { C ^ { \mu } } \; = \; \left\{ \begin{array} { c c } { { e ^ { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( t _ { i } , C ^ { M } t _ { i } \big ) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } \big ( t _ { i } , C ^ { 0 } t _ { j } \big ) } } } & { { \mathrm { f o r } \; \sum _ { j = 1 } ^ { n } q _ { j } \; = \; 0 } } \\ { { \; } } & { { \; } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { f o r } \; \sum _ { j = 1 } ^ { n } q _ { j } \; \neq \; 0 } } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { F } , \mathcal { G } \} ( f , { \mathbf A } ) } & { = \int f \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta f } , \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta f } \right] _ { x p } \mathrm { d } { \mathbf x } \mathrm { d } { \mathbf p } - \int \frac { 1 } { n } \left( \nabla \times \mathbf { A } + { \mathbf B } _ { 0 } \right) \cdot \left( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta { \mathbf A } } \times \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta { \mathbf A } } \right) \mathrm { d } { \mathbf x } } \\ & { + \int f { \mathbf B } _ { 0 } \cdot \left( \frac { \partial } { \partial { \mathbf p } } \frac { \delta { \mathcal { F } } } { \delta f } \times \frac { \partial } { \partial { \mathbf p } } \frac { \delta { \mathcal { G } } } { \delta f } \right) \mathrm { d } { \mathbf p } \mathrm { d } { \mathbf x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } ( l _ { x } , l _ { y } , m _ { x } , m _ { y } ) = } & { \int \! \! \! \int _ { \Omega _ { \mathrm { R } } ( l _ { x } , l _ { y } ) } \! \! \! A ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { R } } , \phi _ { \mathrm { R } } ) \sin \theta _ { \mathrm { R } } \mathrm { d } \theta _ { \mathrm { R } } \mathrm { d } \phi _ { \mathrm { R } } \times } \\ & { \int \! \! \! \int _ { \Omega _ { \mathrm { S } } ( m _ { x } , m _ { y } ) } \! \! \! A ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { S } } , \phi _ { \mathrm { S } } ) \sin \theta _ { \mathrm { S } } \mathrm { d } \theta _ { \mathrm { S } } \mathrm { d } \phi _ { \mathrm { S } } , } \end{array}
\rho = \left[ { \frac { 1 } { r ^ { 3 } } } \left( 2 r \left( r - b ( r ) \phi ^ { \prime } ( r ) - r b ^ { \prime } ( r ) - b ( r ) + { r } \right) \right) \right] f _ { Q } - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \left( b ( r ) - r \right) f _ { Q } + \frac { f } { 2 } ,
Q _ { \epsilon } [ \eta ] \, = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } | \nabla \eta | ^ { 2 } \, \mathrm { d } X + \int _ { \Omega _ { \epsilon } } ( \nabla W _ { \epsilon } \cdot \nabla \eta ) \eta \, \mathrm { d } X + \int _ { \Omega _ { \epsilon } } V _ { \epsilon } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, ,