harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
p _ { a } ( r , x ) = p _ { a } ( 0 ) - \rho _ { a } \frac { f ^ { 2 } U ^ { 2 } } { 8 d _ { 0 } ^ { 2 } } r ^ { 2 } + \rho _ { a } \frac { f ^ { 2 } U ^ { 2 } } { 2 d _ { 0 } ^ { 2 } } x ^ { 2 } ,
d p \cdot d x = 0 . 5 [ z _ { I } ^ { + } ( \frac { m _ { t b } ^ { 2 } } { z _ { b } ^ { + } } - \frac { m _ { t a } ^ { 2 } } { z _ { a } ^ { + } } ) - \frac { m _ { t I } ^ { 2 } } { z _ { I } ^ { + } } ( z _ { b } ^ { + } - z _ { a } ^ { + } ) + z _ { a } ^ { + } \frac { m _ { t b } ^ { 2 } } { z _ { b } ^ { + } } - \frac { m _ { t a } ^ { 2 } } { z _ { a } ^ { + } } z _ { b } ^ { + } ]
\begin{array} { r l } & { r ( u , t ) { = } \int \sum _ { u ^ { \prime } } h _ { u , u ^ { \prime } } ( t , \tau ) x _ { u ^ { \prime } } ( t - \tau ) d \tau + v _ { u } ( t ) } \\ & { { = } \iint k _ { H } ( u , t ; u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) x ( u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ~ d u ^ { \prime } ~ d t ^ { \prime } + v ( u { , } t ) } \\ & { { = } \iint \sum _ { n { = 1 } } ^ { \infty } \sigma _ { n } \psi _ { n } ( u , t ) \phi _ { n } ( u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \sum _ { n ^ { \prime } { = } 1 } ^ { \infty } x _ { n ^ { \prime } } \phi _ { n ^ { \prime } } ^ { * } ( u { , } t ) ~ d u ^ { \prime } ~ d t ^ { \prime } } \\ & { { + } v ( u , t ) } \\ & { { = } \iint \sum _ { n { = 1 } } ^ { \infty } \sigma _ { n } x _ { n } \psi _ { n } ( u , t ) | \phi _ { n } ( u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } \\ & { { + } \sum _ { n ^ { \prime } { \neq } n } ^ { \infty } \sigma _ { n } x _ { n ^ { \prime } } \phi _ { n } ( u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \phi _ { n ^ { \prime } } ^ { * } ( u { , } t ) ~ d u ^ { \prime } ~ d t ^ { \prime } + v ( u { , } t ) } \\ & { { = } \sum _ { n { = 1 } } ^ { \infty } \sigma _ { n } x _ { n } \psi _ { n } ( u , t ) \delta _ { n n } { + } \sum _ { n ^ { \prime } { \neq } n } ^ { \infty } \sigma _ { n } x _ { n ^ { \prime } } \delta _ { n n ^ { \prime } } + v ( u { , } t ) } \\ & { { = } \sum _ { n { = 1 } } ^ { \infty } s _ { n } \psi _ { n } ( u , t ) + v ( u { , } t ) } \\ & { { = } s ( u { , } t ) + v ( u { , } t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \binom { 5 2 } { 5 } } } & { { } = { \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } } = { \frac { 5 2 ! } { 5 ! ( 5 2 - 5 ) ! } } = { \frac { 5 2 ! } { 5 ! 4 7 ! } } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { t t ^ { - 1 } = 1 = t ^ { - 1 } t ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { t e t ^ { - 1 } = q ^ { 2 } e ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { \Delta ( e ) = e \otimes 1 + t \otimes e ~ , ~ ~ ~ ~ \Delta ( t ) = t \otimes t ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { \epsilon ( e ) = 0 ~ , ~ ~ ~ ~ \epsilon ( t ) = 1 ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { S ( e ) = - t ^ { - 1 } e ~ , ~ ~ ~ ~ S ( t ) = t ^ { - 1 } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle q _ { t } \sqrt { Q } , ( P _ { h } - I ) B \sqrt { Q } \rangle _ { L _ { 2 } ^ { 0 } } } & { \leq \| q _ { t } \sqrt { Q } \| _ { L _ { 2 } ^ { 0 } } \| ( P _ { h } - I ) B \sqrt { Q } \| _ { L _ { 2 } ^ { 0 } } } \\ & { \leq C h \| q _ { t } \sqrt { Q } \| _ { L _ { 2 } ^ { 0 } } \| B \sqrt { Q } \| _ { L _ { 2 , 1 } ^ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } = } & { { } \mathcal { R } ( \pi / 2 , \phi _ { \mathrm { o u t } } ) \mathcal { F } ( T / 4 ) \mathcal { R } ( \pi , \pi ) \mathcal { F } ( T / 2 ) } \end{array}
\langle A \mid \tilde { H } \mid B \rangle = \langle \tilde { C } P T \, A \mid \tilde { C } P T \, \tilde { H } \left( \tilde { C } P T \right) ^ { - 1 } \tilde { C } P T \mid B \rangle = - a b \langle A \mid \tilde { H } \mid B \rangle
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 } + \frac { x _ { 1 } } { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { g ( x , u ) = \sin ( u ) - x _ { 1 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } u ^ { 2 } \geq 0 \quad \forall u \in U , } \\ & { x \in X = [ - 1 0 0 0 , 1 0 0 0 ] ^ { 2 } } \\ & { U = [ 0 , 2 ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { p } & { { } = { \frac { 5 a c - 2 b ^ { 2 } } { 5 a ^ { 2 } } } } \\ { q } & { { } = { \frac { 2 5 a ^ { 2 } d - 1 5 a b c + 4 b ^ { 3 } } { 2 5 a ^ { 3 } } } } \\ { r } & { { } = { \frac { 1 2 5 a ^ { 3 } e - 5 0 a ^ { 2 } b d + 1 5 a b ^ { 2 } c - 3 b ^ { 4 } } { 1 2 5 a ^ { 4 } } } } \\ { s } & { { } = { \frac { 3 1 2 5 a ^ { 4 } f - 6 2 5 a ^ { 3 } b e + 1 2 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } d - 2 5 a b ^ { 3 } c + 4 b ^ { 5 } } { 3 1 2 5 a ^ { 5 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { \mathrm { O 1 } } = \frac { a } { r _ { 0 } } \sqrt { \frac { \omega \mu _ { 0 } } { 2 \sigma _ { w } } } , \quad R _ { \mathrm { O 2 } } = \frac { b } { r _ { 0 } } \sqrt { \frac { \omega \mu _ { 0 } } { 2 \sigma _ { w } } } . } \\ { R _ { \mathrm { r 1 } } = \eta \frac { \pi } { 6 } ( k a ) ^ { 4 } , \quad R _ { \mathrm { r 2 } } = \eta \frac { \pi } { 6 } ( k b ) ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n } ( c + x ) } & { = \frac { n ! } { 2 \pi i } \ointctrclockwise _ { | z | = \epsilon } \frac { h ( z ) } { z ^ { n + 1 } } \frac { ( z _ { 1 } - z ) ^ { c } ( z _ { 2 } - z ) ^ { c } } { ( z _ { 1 } + z ) ^ { c } ( z _ { 2 } + z ) ^ { c } } \left( \frac { ( z _ { 1 } - z ) ( z _ { 2 } - z ) } { ( z _ { 1 } + z ) ( z _ { 2 } + z ) } \right) ^ { x } d z } \\ & { = \frac { n ! } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma _ { 1 } \cup \Gamma _ { 2 } } \frac { h ( z ) } { z ^ { n + 1 } } \frac { ( z _ { 1 } - z ) ^ { c } ( z _ { 2 } - z ) ^ { c } } { ( z _ { 1 } + z ) ^ { c } ( z _ { 2 } + z ) ^ { c } } \left( \frac { ( z _ { 1 } - z ) ( z _ { 2 } - z ) } { ( z _ { 1 } + z ) ( z _ { 2 } + z ) } \right) ^ { x } d z , } \end{array}
( \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { S } ) \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } = \mathbf { S } ^ { T } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } - \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { V } \bar { \ensuremath { \mathbf { u } } } _ { r } ^ { n } ,
\langle \Delta u \Delta w \vert \{ \theta _ { \Delta u \Delta w } ( i ) < \theta _ { \Delta u \Delta w } < \theta _ { \Delta u \Delta w } ( i ) + d \theta _ { \Delta u \Delta w } \} \rangle = \frac { \sum \Delta u ( i ) \Delta w ( i ) } { N \times d \theta _ { \Delta u \Delta w } } ,
\begin{array} { r l } { u _ { n m } ^ { H G } ( x , y , z ) } & { = C _ { n m } ^ { H G } ( 1 / w ) \mathrm { e x p } [ - i k ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } / 2 R ) ] } \\ & { \times \mathrm { e x p } [ - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } / w ^ { 2 } ) ] \mathrm { e x p } [ - i ( - n + m + 1 ) \psi ] } \\ & { \times H _ { n } ( x \sqrt 2 / w ) H _ { m } ( y \sqrt 2 / w ) \textbf { , } } \end{array}
2 \chi h _ { 0 } ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } F } { d s ^ { 2 } } + 9 F ^ { 2 } + 1 2 \left( 1 - \frac { v _ { 0 } } { c _ { 0 } } \right) F + 1 2 C _ { 1 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } ^ { d } = } & { { } { \overline { { \nu } } _ { \mu } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } \\ { { c } ^ { r } { B _ { 1 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } & { { } { c } ^ { g } { B _ { 2 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + { c } ^ { b } { B _ { 3 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } \\ { \overline { { s ^ { r } } } { B _ { 3 } } { B _ { 2 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } & { { } \overline { { s ^ { g } } } { B _ { 1 } } { B _ { 3 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + \overline { { s ^ { b } } } { B _ { 2 } } { B _ { 1 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } \end{array}
L ^ { 2 } ( { \cal A } _ { \gamma } \times { \cal F } _ { \gamma } ) = \bigoplus _ { \rho _ { e } \in \mathrm { R e p } ( G ) , \; \rho _ { v } \in S } \quad \bigotimes _ { v \in V } \bigl ( \bigotimes _ { t ( e ) = v } \rho _ { e } ^ { * } \otimes \bigotimes _ { s ( e ) = v } \rho _ { e } \otimes \rho _ { v } \bigr )
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ^ { ( i ) } = \left[ \begin{array} { l l l } { \boldsymbol { v } ^ { ( i ) } ( t _ { 0 } ) ^ { * } } & { \cdots } & { \boldsymbol { v } ^ { ( i ) } ( t _ { N _ { t } - 1 } ) ^ { * } } \end{array} \right] ^ { * } , \quad i \in [ 1 : N _ { e } ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { S _ { k } } \operatorname* { m i n } _ { x \in S _ { k } , \| x \| = 1 } ( A x , x ) } & { { } = \lambda _ { k } ^ { \downarrow } , } \\ { \operatorname* { m i n } _ { S _ { k - 1 } } \operatorname* { m a x } _ { x \in S _ { k - 1 } ^ { \perp } , \| x \| = 1 } ( A x , x ) } & { { } = \lambda _ { k } ^ { \downarrow } . } \end{array}
x _ { j } ( t + 1 ) - x _ { i } ( t + 1 ) \leq \frac { | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | \left( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) - \overline { { U _ { i j } ^ { \prime } } } ( t ) + 2 c \right) + c + c + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | \left( \overline { { L _ { j i } ^ { \prime } } } ( t ) - \overline { { U _ { i j } } } ( t ) + 2 c \right) } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | }
\left( \left[ { \alpha } _ { m - n } ^ { \mu } , { \alpha } _ { - s } ^ { \sigma } \right] \left[ { \alpha } _ { n } ^ { \nu } , { \alpha } _ { s - m } ^ { \rho } \right] + \left[ { \alpha } _ { m - n } ^ { \nu } , { \alpha } _ { s - m } ^ { \rho } \right] \left[ { \alpha } _ { n } ^ { \nu } , { \alpha } _ { - s } ^ { \sigma } \right] \right)
\frac { I _ { 3 } } { x _ { 0 } y } - \frac { y I _ { 3 } } { x _ { 0 } ( x _ { 0 } ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } = \frac { x _ { 0 } I _ { 3 } } { y ( x _ { 0 } ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r l r l } { ( v , { \mathcal { H } } _ { T } v ) _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } } & { > 0 } & { \mathrm { f o r ~ } } & { 0 \neq v \in H _ { 0 , } ^ { s } ( 0 , T ) , 0 < s \leq 1 , } \\ { \partial _ { t } { \mathcal { H } } _ { T } v } & { = - { \mathcal { H } } _ { T } ^ { - 1 } \partial _ { t } v \, \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( 0 , T ) } & { \mathrm { f o r ~ } } & { v \in H _ { 0 , } ^ { 1 } ( 0 , T ) } \end{array}
K _ { \mu \nu } ^ { a b } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { i - t h H i g g s } } ( \phi _ { i } ^ { \dag } T _ { i } ^ { \{ a } T _ { i } ^ { b \} } \phi _ { i } ) g _ { \mu \nu } - \frac { m } { e } \epsilon ^ { a b c } \tilde { W } _ { \mu \nu } ^ { c } .
\begin{array} { r l } { f ( t ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { a e ^ { \alpha t } \, \, } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t < t _ { o n } , } \\ { a e ^ { \alpha t } + m e ^ { \alpha ( t - t _ { o n } ) } \, \, } & { t _ { o n } < t < t _ { o n } + \tau , } \\ { a e ^ { \alpha t } + \Delta f \, e ^ { \alpha ( t - ( t _ { o n } + \tau ) ) } \, \, } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t > t _ { o n } + \tau , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { e q \delta \rho } { \epsilon _ { 0 } } } & { { } = } & { - \big ( \vec { B } + \delta \vec { B } \big ) \cdot \big ( \nabla \times \delta \vec { v } \big ) + \big ( \langle \vec { v } \rangle + \delta \vec { v } \big ) \cdot \nabla \times \delta \vec { B } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial S _ { j } } { \partial t } = d _ { S _ { j } } \Delta S _ { j } + d _ { S } \sum _ { k \neq j } \left( \frac { L _ { j k } \bar { S } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } S _ { j } \right) - \displaystyle \frac { \beta _ { j } S _ { j } I _ { j } } { S _ { j } + I _ { j } } + \gamma _ { j } I _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , t > 0 , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial I _ { j } } { \partial t } = d _ { I _ { j } } \Delta I _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \neq j } \left( \frac { L _ { j k } \bar { I } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } I _ { j } \right) + \displaystyle \frac { \beta _ { j } S _ { j } I _ { j } } { S _ { j } + I _ { j } } - \gamma _ { j } I _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , t > 0 , j \in \Omega , } \end{array} \right.
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ! } } \left( - \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { j } s ^ { j } } { j } } \operatorname { t r } \left( A ^ { j } \right) \right) ^ { k } \, ,
\frac { 1 } { { \cal Z } _ { \kappa } ( q ^ { 2 } ) } \; \; = \; \; q ^ { 2 } \; \int d W ^ { 2 } \; \frac { \rho _ { \kappa } ( W ^ { 2 } ) } { \left( q ^ { 2 } + R _ { \kappa } ( q ^ { 2 } ) \right) - W ^ { 2 } \, + \, i \epsilon } \; \left[ \frac { } { } \; 1 \; \; - \; \; \frac { g ^ { 2 } \, C _ { G } } { 8 \pi ^ { 4 } } \; I _ { \kappa } ( q ^ { 2 } , W ^ { 2 } ) \; \right] \; .
\begin{array} { r l r } & { } & { Y _ { - 1 } = \left( \epsilon _ { 1 1 } | C _ { - 1 } | ^ { 2 } + 2 \epsilon _ { 1 1 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | C _ { 0 } | ^ { 2 } \right) C _ { - 1 } + \tilde { \epsilon } _ { 0 1 } C _ { 0 } ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { * } , } \\ & { } & { Y _ { 0 } = \left( \epsilon _ { 0 } | C _ { 0 } | ^ { 2 } + 2 \epsilon _ { 0 1 } | C _ { - 1 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } \right) C _ { 0 } + \tilde { \epsilon } _ { 0 1 } ^ { * } ( C _ { 0 } + C _ { 0 } ^ { * } ) C _ { - 1 } C _ { 1 } , } \\ & { } & { Y _ { 1 } = \left( \epsilon _ { 1 1 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } + 2 \epsilon _ { 1 1 } | C _ { - 1 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | C _ { 0 } | ^ { 2 } \right) C _ { 1 } + \tilde { \epsilon } _ { 0 1 } C _ { 0 } ^ { 2 } C _ { - 1 } ^ { * } , } \end{array}
{ \cal Z } _ { \Psi } ~ = ~ \int [ d q ^ { i } d p _ { i } ] [ d \lambda ^ { a } d \pi _ { a } ] [ d { \cal C } ^ { a } d { \overline { { { \cal P } } } } _ { a } ] [ d { \cal P } ^ { a } d { \overline { { { \cal C } } } } _ { a } ] ~ e ^ { i S _ { \Psi } } ~ ,
s _ { \theta } [ n ] \geq \sum _ { j = 1 } ^ { N } n _ { j } ( n _ { j } - \frac { \theta } { \pi } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( n _ { j } - \frac { \theta } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } + \mathrm { c o n s t . }
\delta \varphi \simeq \frac { H } { 2 \pi } \left( \frac { H } { m _ { \mathrm { e f f } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \mu / v ) ^ { ( 3 / 2 ) ( 2 - 4 / 3 ) } ( \mu / v ) ^ { ( 3 / 4 ) ( 4 / 3 ) } \simeq \frac { H } { 3 ^ { 1 / 4 } 2 \pi } \left( \frac { v } { \mu } \right) ^ { 2 } .
\rho ( x - y ) \; : = \; \operatorname * { l i m } _ { \mu \rightarrow 0 } \prod _ { I = 1 } ^ { N } \left\langle : e ^ { - i 2 \sqrt { \pi } \omega ^ { ( I ) } U _ { I a } \Phi ^ { ( I ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( I ) } } : e ^ { + i 2 \sqrt { \pi } \omega ^ { ( I ) } U _ { I a } \Phi ^ { ( I ) } ( y ) } : _ { M ^ { ( I ) } } \right\rangle _ { K _ { I I } ^ { \mu } }
b _ { 1 } ( \epsilon , n ) ~ = ~ b _ { 1 } ( \epsilon , 0 ) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \right) { } ~ + ~ \sum _ { k = 1 } ^ { n } c _ { 1 } ( \epsilon , k - 1 ) \left( \prod _ { i = k } ^ { n } r _ { i } \right)
\chi _ { \mathrm { g l o b a l } } ^ { 2 } = \chi _ { 0 } ^ { 2 } + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } ( a _ { i } - a _ { i } ^ { 0 } ) H _ { i j } ( a _ { j } - a _ { j } ^ { 0 } ) + \ldots
S _ { 4 D } = \int d ^ { 4 } x \int d ^ { 2 } \theta ( y _ { 1 } Q _ { + L } ^ { ( 0 ) } \Phi _ { 1 } ^ { ( 0 ) } Q _ { + R } ^ { c ( 0 ) } + y _ { 2 } Q _ { - L } ^ { ( 0 ) } \Phi _ { 2 } ^ { ( 0 ) } Q _ { - R } ^ { c ( 0 ) } ) + \mathrm { h . c . } ,
C = - \mathrm { i } \, \psi _ { 0 } q _ { 0 } f \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { 0 } ( f + z + R ^ { 2 } / 2 f ) } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( E _ { 0 } / \hbar ) t }
\begin{array} { r } { \frac { { \Delta } ^ { 2 } w \left( { x } _ { i - 1 } \right) } { { h } ^ { 2 } } - { p } \left( 1 + \frac { { h } ^ { 2 } } { 1 2 } { p } \right) w \left( { x } _ { i } \right) = \left( 1 + \frac { { h } ^ { 2 } } { 1 2 } { p } \right) \tilde { v } \left( { x } _ { i } \right) + \frac { { h } ^ { 2 } } { 1 2 } \tilde { v } ^ { \prime \prime } \left( { x } _ { i } \right) + \mathcal { O } \left( { h } ^ { 4 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { L } x _ { z } ^ { 2 } ( z ) d z } & { = } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } c _ { i } c _ { j } \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ^ { < i > } ( z ) \phi _ { z z } ^ { < j > } ( z ) d z } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } c _ { i } c _ { j } \Big ( \frac { j \pi } { L } \Big ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ^ { < i > } ( z ) \phi ^ { < j > } ( z ) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| b _ { T , \mathcal { D } } - b _ { T , N } | _ { \mathcal { D } } \| _ { L ^ { q } ( \Omega ; \mathcal { C } ^ { t } ( \overline { \mathcal { D } } ) ) } } & { \le 2 ^ { N ( t - s + \frac { d } { p } ) + 1 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } 2 ^ { j q _ { 0 } ( t - s + \frac { d } { p } ) \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { q _ { 0 } } } } \\ & { \le 2 ^ { N ( t - s + \frac { d } { p } ) } 2 \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } 2 ^ { j ( t - s + \frac { d } { p } ) \frac { 1 } { 2 } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } + \mathbf { B } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } & { a _ { m 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l l l l } { b _ { 1 1 } } & { b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { b _ { 1 n } } \\ { b _ { 2 1 } } & { b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { b _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { b _ { m 1 } } & { b _ { m 2 } } & { \cdots } & { b _ { m n } } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } + b _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } + b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } + b _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } + b _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } + b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } + b _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } + b _ { m 1 } } & { a _ { m 2 } + b _ { m 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } + b _ { m n } } \end{array} \right] } } \end{array} } \,
\begin{array} { r } { \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) = - \langle z _ { i + 1 } ^ { ( k ) } , x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } \rangle + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } + x _ { i } ^ { ( k ) } - 2 x _ { 0 } ^ { ( k ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } \int _ { \partial V } \left[ \left( \frac { \rho } { B } \frac { d \mathbf { v } } { d t } - \frac { 2 p } { B R _ { m } } \hat { Y } \right) + j _ { \| } \mathbf { b } \right] \cdot \hat { n } d S , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e _ { z } ^ { 2 , 0 } \| _ { \mathcal { V } } ^ { 2 } } & { = - Q ( e _ { z } ^ { 2 , 0 } , \overline { { e _ { z } ^ { 2 , 0 } } } ) } \\ & { = - Q ( e ^ { 2 , 2 } + z N e ^ { 2 , 2 } + \frac { z ^ { 2 } } { 2 } N ^ { 2 } e ^ { 2 , 2 } , e ^ { 2 , 2 } + \overline { { z } } N e ^ { 2 , 2 } + \frac { \overline { { z } } ^ { 2 } } { 2 } N ^ { 2 } e ^ { 2 , 2 } ) } \\ & { = - ( \frac { z ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \overline { { z } } ^ { 2 } } { 2 } - | z | ^ { 2 } ) } \\ & { = 2 \mathrm { I m } ( z ) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal L } _ { \rho \pi \pi } = { \frac { 2 } { g } } \epsilon _ { i j k } \rho _ { i } ^ { \mu } \pi _ { j } \partial _ { \mu } \pi _ { k } + { \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } g f _ { \pi } ^ { 2 } } } [ 4 \pi ^ { 2 } c ^ { 2 } - ( 1 - { \frac { 2 c } { g } } ) ^ { 2 } ] \epsilon _ { i j k } \rho _ { i } ^ { \mu } \partial _ { \nu } \pi _ { j } \partial _ { \mu \nu } \pi _ { k } .
\begin{array} { r l r } { w ( z ) } & { { } \simeq } & { \frac { i a _ { 1 } } { z - x _ { 1 } } + \frac { i a _ { 1 } } { z + x _ { 1 } } + \frac { i a _ { 2 } } { z - x _ { 2 } } + \frac { i a _ { 2 } } { z + x _ { 2 } } + \frac { i a _ { 3 } } { z - x _ { 3 } } + \frac { i a _ { 3 } } { z + x _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { s } _ { i } \right] } & { = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \Biggl \{ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } _ { i } ^ { t } e ^ { - \mathrm { i } s _ { i } ^ { t } \hat { h } _ { i } ^ { t } } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] } \\ & { \qquad \times \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { x _ { k } ^ { t } } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { \nu } _ { i k } \boldsymbol { x } _ { i } \right] e ^ { - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right] \Biggr \} } \\ & { = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \partial i \setminus j } } \Biggl \{ \left[ \prod _ { k \in \partial i \setminus j } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { \nu } _ { i k } \boldsymbol { x } _ { i } \right] \right] \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } _ { i } ^ { t } e ^ { - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \left( s _ { i } ^ { t } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } \right) } \right. } \\ & { \qquad \left. \times \left( \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) \right] \Biggr \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textit { i n f l u e n c e } _ { u p c , w } } & { { } = 0 ; } \\ { \textit { i n f l u e n c e } _ { u p c , b } } & { { } = 0 . 5 \cdot \textit { b l a c k - p e n a l t y } ; } \\ { \textit { i n f l u e n c e } _ { l c , w } } & { { } = 0 . 5 \cdot \textit { l o w e r - c l a s s - p e n a l t y } ; } \\ { \textit { i n f l u e n c e } _ { l c , b } } & { { } = 0 . 5 \cdot \textit { l o w e r - c l a s s - p e n a l t y } + 0 . 5 \cdot \textit { b l a c k - p e n a l t y } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { p } _ { \varphi } \equiv \frac { p _ { \varphi } - m _ { \psi } \cos \theta } { I _ { 2 } \sin \theta } , \qquad U ( \theta , \varphi ) \equiv k _ { 3 } \cos \theta - k _ { 2 } \sin \theta \cos \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Pi _ { u } ( k _ { 0 } ) } & { { } = } & { \Pi _ { u > } ^ { u < } ( k _ { 0 } ) } \\ { \Pi _ { B } ( k _ { 0 } ) } & { { } = } & { \Pi _ { b < } ^ { u < } ( k _ { 0 } ) + \Pi _ { b > } ^ { u < } ( k _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A = } & { \frac { M } { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { M \bar { c } } \left[ \frac { d \bar { c } } { d r } \left( \operatorname { R e a l } \left( \frac { d \hat { v } _ { r } } { d r } \hat { v } _ { r } ^ { * } + \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { \theta } } { \mathrm { d } r } \hat { v } _ { \theta } ^ { * } + \frac { d \hat { v } _ { z } } { d r } \hat { v } _ { z } ^ { * } \right) + \frac { 1 } { r } \left( \frac { d ( r | \hat { u } _ { r } | ^ { 2 } ) } { d r } - | \hat { u } _ { \theta } | ^ { 2 } \right) \right) \right] r d r } \end{array}
[ { L } _ { u ^ { \alpha ( i , j ) } } ] : = \frac { \partial { { L } _ { D } } ^ { ( i , j ) } } { \partial u ^ { \alpha ( i , j ) } } - \Delta _ { 1 } ( \frac { \partial { { L } _ { D } } ^ { ( i - 1 , j ) } } { \partial ( \Delta _ { 1 } u ^ { \alpha ( i - 1 , j ) } ) } ) - \Delta _ { 2 } ( \frac { \partial { { L } _ { D } } ^ { ( i , j - 1 ) } } { \partial ( \Delta _ { 2 } u ^ { \alpha ( i , j - 1 ) } ) } ) ;
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( A _ { d } ) } & { > 2 - ( 1 + b \lambda ^ { 2 } e ^ { - 2 \lambda ^ { 2 } } ) ^ { d } \ge 2 - ( 1 + \frac { c ^ { 3 } \ln d } { ( \ln 2 ) d ^ { \frac { 2 c ^ { 2 } } { \ln 2 } } } ) ^ { d } } \\ & { \ge 2 - ( 1 + \frac { \ln 2 } { c d } ) ^ { d } > 2 - e ^ { \frac { \ln 2 } { c } } = 2 - 2 ^ { 1 / c } \ge \epsilon = q \in ( 0 , 1 ) . } \end{array}