harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { 1 } \xrightarrow { \; \; \; \; \; \hat { \mathcal { Q } } _ { 2 } ^ { - 1 } \hat { \mathcal { Q } } _ { 1 } \; \; \; \; \; } \mathcal { H } _ { 2 } } \\ { \hat { \mathcal { Q } } _ { 1 } \searrow \; \; \; \; \; \; \; \swarrow \hat { \mathcal { Q } } _ { 2 } \; \; } \\ { \mathcal { H } _ { \mathrm { f r e e } } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } \end{array}
\Delta _ { N } ( \mathrm { ~ R ~ e ~ } ) = \operatorname* { m i n } _ { \alpha \in \mathbb { R } } \left( \int _ { k _ { 1 } } ^ { k _ { 2 } } | E _ { N } ( k ; \mathrm { ~ R ~ e ~ } ) - \alpha ( \mathrm { ~ R ~ e ~ } ) k ^ { - 5 / 3 } | \, d k \right) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { v _ { 1 x } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { v _ { 1 } \cos ( \theta _ { 1 } - \varphi ) ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) + 2 m _ { 2 } v _ { 2 } \cos ( \theta _ { 2 } - \varphi ) } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } \cos ( \varphi ) + v _ { 1 } \sin ( \theta _ { 1 } - \varphi ) \cos ( \varphi + { \frac { \pi } { 2 } } ) } \\ { v _ { 1 y } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { v _ { 1 } \cos ( \theta _ { 1 } - \varphi ) ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) + 2 m _ { 2 } v _ { 2 } \cos ( \theta _ { 2 } - \varphi ) } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } \sin ( \varphi ) + v _ { 1 } \sin ( \theta _ { 1 } - \varphi ) \sin ( \varphi + { \frac { \pi } { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| { \tilde { W } } f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) \| } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| W f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) - W ^ { * } f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) \| } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| W f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) - { \bar { y } } _ { i } + \varphi ( { \bar { x } } _ { i } ) \| } \\ & { \ge \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| W f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) - { \bar { y } } _ { i } \| - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \varphi ( { \bar { x } } _ { i } ) \| } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d } { d t } + \bar { \nu } k _ { n } ^ { 2 } \right) u _ { n } ^ { < } ( t ) } & { = } & { - i [ a _ { 1 } k _ { n } u _ { n + 1 } ^ { * > } ( t ) u _ { n + 2 } ^ { > } ( t ) } \\ & { } & { + a _ { 2 } k _ { n - 1 } u _ { n - 1 } ^ { * > } ( t ) u _ { n + 1 } ^ { > } ( t ) } \\ & { } & { - a _ { 3 } k _ { n - 2 } u _ { n - 1 } ^ { < } ( t ) u _ { n - 2 } ^ { < } ( t ) ] . } \end{array}
\boxed { \begin{array} { r c l } { \textrm { f o r e a c h n o d e ( i , j ) } } \\ { u u = \frac { 1 } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } ( \mathbf { u } _ { i , j } \cdot \mathbf { u } _ { i , j } ) } \\ { u \cdot c = \frac { \mathbf { c } _ { a } \cdot \mathbf { u } _ { i , j } } { c _ { s } ^ { 2 } } } \\ { f e q = t _ { a } \left( \rho _ { i , j } + \rho _ { 0 } \left( u \cdot c + \frac { 1 } { 2 } ( u \cdot c ) ^ { 2 } - u u \right) \right) } \\ { f n e q = \frac { t _ { a } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } ( c _ { a , \alpha } c _ { a , \beta } - c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \alpha } \beta ) : \Pi _ { \alpha \beta , ( i , j ) } ^ { n e q } } \\ { f _ { a , ( i + c _ { a , x } , j + c _ { a , y } ) } = f e q + ( 1 - \omega ) f n e q } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { n ^ { C , N } ( X _ { t } ) = n ^ { C , N } ( X _ { 0 } ) - \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } ^ { N } \left[ W _ { s o c } \right] n ^ { N , C } ( X _ { s } ) n ^ { N , G } ( X _ { s } ) d s + M _ { t } ^ { N , C } } \\ { n ^ { I , N } ( X _ { t } ) = n ^ { C , N } ( X _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } ^ { N } \left[ W _ { s o c } \right] n ^ { N , C } ( X _ { s } ) n ^ { N , G } ( X _ { s } ) d s + } \\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } ^ { N } \left[ W _ { e c } \right] \cdot \mathbb { E } ^ { N } \left[ U ( W _ { i r r } , n ^ { N , G } ( X _ { s } ) ) \right] n ^ { I , N } ( X _ { s } ) d s + M _ { t } ^ { N , I } } \\ { n ^ { G , N } ( X _ { t } ) = n ^ { G , N } ( X _ { 0 } ) - \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } ^ { N } \left[ W _ { e c } \right] \cdot \mathbb { E } ^ { N } \left[ U ( W _ { i r r } , n ^ { N , G } ( X _ { s } ) ) \right] n ^ { I , N } ( X _ { s } ) d s } \\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + M _ { t } ^ { N , G } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { ( \mathcal { L } _ { \omega ^ { \sharp } } A ) _ { i } = \omega ^ { \alpha } \partial _ { \alpha } A _ { i } + A _ { \alpha } \partial _ { i } \omega ^ { \alpha } , \quad ( \mathcal { L } _ { \omega ^ { \sharp } } A ) _ { a } = \omega ^ { \alpha } \partial _ { \alpha } A _ { a } + A _ { \alpha } \partial _ { a } \omega ^ { \alpha } = \partial _ { a } ( A _ { \alpha } \omega ^ { \alpha } ) } \end{array}
\sigma _ { d } = C _ { 1 } ^ { \prime } \sigma _ { q u a s i } + C _ { 2 } ^ { \prime } \sigma _ { _ { M E C } } + C _ { 3 } ^ { \prime } ( \sigma _ { p \_ n r e s } ^ { s m } + \sigma _ { p \_ \Delta } ^ { s m } ) + P \sigma _ { p \_ 2 } ^ { s m } ,
I _ { \mathrm { e x a c t } } ( D = 4 ) = - V T \operatorname * { l i m } _ { s \rightarrow 0 } { \frac { F _ { + } F _ { - } } { 8 \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \ \tau ^ { s - 1 } e ^ { - \tau m ^ { 2 } } \coth \tau F _ { + } \coth \tau F _ { - } \ ,
\begin{array} { r l } { \zeta f _ { \mathrm { l i q } } } & { { } = ( \alpha - 1 ) H _ { \mathrm { d r y } } \rho _ { \mathrm { l i q } } k _ { B } T \log \left( \frac { \rho _ { \mathrm { s a t } } } { \rho _ { \mathrm { t o t } } - \rho _ { \mathrm { s a t } } } \right) } \end{array}
\alpha D = \frac { 2 + K _ { 0 } ^ { 2 } } { K _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { D ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } } , \quad \Rightarrow \quad T _ { \alpha } = \frac { 2 D \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { H \psi ( x ) = \ominus _ { \mathbb { Y } } \psi ^ { \prime \prime } ( x ) \oplus _ { \mathbb { Y } } U ( x ) \odot _ { \mathbb { Y } } \psi ( x ) = E \odot _ { \mathbb { Y } } \psi ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega _ { s } } \left( - \nabla p + \eta _ { S } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } \right) ~ d \Omega _ { s } = \int _ { \Omega } \left( - \nabla p + \eta _ { S } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } \right) \delta _ { \Omega } ~ d \Omega , } \end{array}
W _ { 1 } ( P _ { r } , P _ { \theta } ) = \underset { \gamma \in \Pi } { \operatorname* { i n f } } \ \underset { ( x , y ) \sim \gamma } { \mathbf { E } } | | x - y | | _ { 1 } = \underset { \gamma } { \operatorname* { i n f } } \ \underset { f , g } { \operatorname* { s u p } } \ \mathcal { L } ( \gamma , f , g )
\partial _ { k } p ( i , j ) \partial _ { l } p ( i , j ) = ( \delta _ { j k } - \delta _ { i k } ) ( \delta _ { j l } - \delta _ { i l } ) \mathcal { N } ^ { 2 } I _ { i } ^ { 2 } I _ { j } ^ { 2 } v ^ { 4 } \sin ^ { 2 } ( \phi _ { i } - \phi _ { j } ) ,
\begin{array} { r } { \deg ( \pmb { A } _ { \pmb { \nu } } ) : = \| \pmb { \nu } \| _ { 1 } : = \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal { B } } \deg ( \phi _ { \nu _ { t } } ) \qquad \mathrm { f o r } ~ \pmb { \nu } \in ( \mathbb { N } \times \mathbb { Z } _ { m } ) _ { \mathrm { o r d } } ^ { \mathcal { B } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \exp \left( - \frac { 1 } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } i \right) } & { = } & { \exp \left( - \frac { t ( t - 1 ) } { 2 r } \right) } \\ & { = } & { \exp \left( \frac { t } { 2 r } \right) \exp \left( - \frac { t ^ { 2 } } { 2 r } \right) } \\ & { \leq } & { \sqrt { e } \exp \left( - \frac { t ^ { 2 } } { 2 r } \right) , } \end{array}
U \left( \textbf { r } \right) = \frac { 3 \pi c ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } ^ { 3 } } \left( \frac { \Gamma } { \omega _ { 0 } - \omega } + \frac { \Gamma } { \omega _ { 0 } + \omega } \right) I \left( \textbf { r } \right) ,
\tau _ { i j } ^ { S R * } = \tau _ { i } ^ { S R * } = \tau _ { j } ^ { S R * } = \eta _ { i } \eta _ { j } \frac { 1 + \sqrt { \nu _ { i } / \nu _ { j } } } { \eta _ { i } + \eta _ { j } \sqrt { \nu _ { i } / \nu _ { j } } } \frac { U _ { j } ^ { S } - U _ { i } ^ { S } } { | \overrightarrow { r _ { j } } - \overrightarrow { r _ { i } } | } ,
{ \begin{array} { r l } { c \, \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) } & { = { \hat { \mathbf { z } } } \times \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) } \\ & { = { \left( \begin{array} { l } { - E _ { 0 , y } \cos \left( k z - \omega t + \alpha _ { y } \right) } \\ { { \hphantom { - } } E _ { 0 , x } \cos \left( k z - \omega t + \alpha _ { x } \right) } \\ { 0 } \end{array} \right) } } \\ & { = - E _ { 0 , y } \cos \left( k z - \omega t + \alpha _ { y } \right) { \hat { \mathbf { x } } } \; + \; E _ { 0 , x } \cos \left( k z - \omega t + \alpha _ { x } \right) { \hat { \mathbf { y } } } } \end{array} }
D = \mathrm { d i a g } [ \gamma _ { a } , \gamma _ { a } , \kappa _ { c } , \kappa _ { c } , 0 , \gamma _ { b } ( 2 N _ { b } + 1 ) , \kappa _ { m } ( 2 N _ { m } + 1 ) , \kappa _ { m } ( 2 N _ { m } + 1 ) ]
| \nabla \phi _ { p q } | ^ { e q } = \frac { 4 \phi _ { p q } \left( 1 - \phi _ { p q } \right) } { \epsilon } = \frac { 4 \phi _ { p } \phi _ { q } } { \epsilon \left( \phi _ { p } + \phi _ { q } \right) ^ { 2 } } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 1 \leq p \neq q \leq N .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ^ { A _ { 1 } } \Psi _ { x , 1 } ^ { 3 E } } & { = 0 } \\ { P ^ { A _ { 1 } } \Psi _ { y , 1 } ^ { 3 E } } & { = \Psi _ { y , 1 } ^ { 3 E } } \\ { P ^ { A _ { 1 } } \Psi _ { x } ^ { 1 E } } & { = 0 } \\ { P ^ { A _ { 1 } } \Psi _ { y } ^ { 1 E } } & { = \Psi _ { y } ^ { 1 E } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { r } \frac { d ^ { 2 } ( r \Phi _ { \textrm { I I I } } ( r ) ) } { d r ^ { 2 } } + { \kappa _ { D } } ^ { 2 } \Phi _ { \textrm { I I I } } ( r ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 0 } ^ { \pm } \! } & { = } & { \! n _ { 0 } \pm \frac { \tilde { s } } { s } \, , \ u _ { \tilde { n } ^ { \pm } } = \frac { n s \mp \tilde { s } } { n _ { 0 } ^ { \pm } s \mp \tilde { s } } \, , } \\ { \tilde { s } \! } & { = } & { \! 2 ( \tilde { k } k ^ { \prime } ) \, , \ \tilde { z } _ { \alpha } = \, \frac { 8 m ^ { 2 } } { \tilde { s } - \sigma s } \, \xi \tilde { \xi } \, u \, , } \\ { \tilde { z } ^ { \pm } \! } & { = } & { \! \frac { 8 m ^ { 2 } } { \tilde { s } } \, \tilde { \xi } \sqrt { 1 + \xi ^ { 2 } } \sqrt { u ( u _ { \tilde { n } ^ { \pm } } - u ) } } \end{array}
t = { \frac { \operatorname { a r c c o s } { \Big ( } { \sqrt { \frac { x } { r } } } { \Big ) } + { \sqrt { { \frac { x } { r } } \ ( 1 - { \frac { x } { r } } ) } } } { \sqrt { 2 \mu } } } \, r ^ { 3 / 2 }
\begin{array} { r c l } { F } & { \equiv } & { \displaystyle { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( \bar { U } _ { r e a l } - \hat { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } d \Omega + \frac { \lambda _ { 2 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( \bar { U } _ { i m } - \hat { U } _ { i m } ) ^ { 2 } d \Omega + \frac { \lambda _ { 3 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( ( \bar { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ) ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } d \Omega } } \\ & & { + \displaystyle { \int _ { \Omega } | \nabla \bar { U } _ { r e a l } | d \Omega + \int _ { \Omega } | \nabla \bar { U } _ { i m } | d \Omega } } \end{array}
\frac { 1 / ( 2 . 4 1 - 1 . 7 9 ) + 0 . 1 / ( 2 . 4 1 - 2 . 0 7 ) } { 1 / ( 1 . 7 9 - 1 . 7 7 ) + 0 . 1 / ( 2 . 0 7 - 1 . 7 7 ) } \approx 0 . 0 3 8
\rho = { \frac { 1 } { 2 } } ( x ^ { 1 + } x ^ { 2 - } + x ^ { 1 - } x ^ { 2 + } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { h } ^ { 1 + } x _ { h } ^ { 2 - } + x _ { h } ^ { 1 - } x _ { h } ^ { 2 + } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { c _ { 1 } ^ { ( - ) } = \frac { \bar { \gamma } ( 1 + i ) a + i \nu b } { 2 \bar { \gamma } } , ~ ~ c _ { 2 } ^ { ( - ) } = \frac { \bar { \gamma } ( 1 - i ) a - i \nu b } { 2 \bar { \gamma } } , } \\ & { } & { c _ { 1 } ^ { ( + ) } = \frac { i \nu ^ { \prime } a + \bar { \gamma } ( 1 - i ) b } { 2 \bar { \gamma } } , ~ ~ c _ { 2 } ^ { ( + ) } = \frac { - i \nu ^ { \prime } a + \bar { \gamma } ( 1 + i ) b } { 2 \bar { \gamma } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \tilde { r } , t ) = } & { { } \; \left( \frac { 1 } { 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \tilde { r } / \alpha } } \right) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( \frac { 2 \sqrt { 2 } } { ( 1 - t ) } \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { \sqrt { \xi } } { 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \xi / \alpha } } \, \mathrm { ~ d ~ } \xi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { \eta } ( t ) } { \hat { \eta } ( 0 ) } = 1 } & { - \frac { \textbf { i } } { \hat { \eta } ( 0 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \exp { ( s _ { n } t ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \Bigg [ \frac { 1 } { s _ { n } | \mathscr { D } ( s _ { n } ) | ^ { \prime } } \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A d j ( \mathscr { D } ( s _ { n } ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s _ { n } ) \Bigg ] - \frac { \textbf { i } } { \hat { \eta } ( 0 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \Bigg [ \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( 0 ) | } \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A d j ( \mathscr { D } ( 0 ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( 0 ) \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 \alpha \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \langle \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) , \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rangle + 4 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + 3 2 \alpha \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 9 + 2 8 \tau ^ { 2 } } { N K } \alpha ^ { 2 } d _ { 2 } ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } \left( 3 6 L _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 0 8 \tau } { 1 - \rho ^ { 2 } } L _ { 2 } ^ { 2 } + 4 L _ { 1 } G ^ { 2 } + 2 L _ { 2 } G \right) } \\ & { + \frac { 4 \alpha ^ { 3 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } ( \frac { 1 4 } { \xi _ { 1 } } + 1 4 \xi _ { 1 } ) ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \left[ c _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { 1 - \rho } + 8 c _ { 1 } ^ { 2 } ( K - 1 ) H ^ { 2 } \right] } \\ & { + 4 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( x - y ) ^ { 2 } } = \sum _ { n } \frac { e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } } { n ! } H _ { n } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { y } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { n } \, , } \end{array}
v _ { m _ { 1 } m _ { 2 } \ldots m _ { n } } ^ { ( n ) } = v _ { m _ { 2 } \ldots m _ { n } m _ { 1 } } ^ { ( n ) } , \; \; \; \; \; \; ( T r \; V ) ^ { \dagger } = T r \; V , \; \; \; \; \; \; v _ { m _ { 1 } \ldots m _ { n } } ^ { ( n ) \; * } = v _ { m _ { n } \ldots m _ { 1 } } ^ { ( n ) }
L = i \overline { { { \psi } } } _ { 0 } ^ { \prime } { \gamma } ^ { \mu } { \partial } _ { \mu } { \psi } _ { 0 } ^ { \prime } + i \overline { { { \psi } } } _ { 0 } ^ { \prime } e ^ { i { t } ^ { a } { \omega } _ { a } } e ^ { - i { t } ^ { b } { \theta } _ { b } } { \gamma } ^ { \mu } \partial _ { \mu } \left( e ^ { i { t } ^ { c } { \theta } _ { c } } e ^ { - i { t } ^ { l } { \omega } _ { l } } \right) { \psi } _ { 0 } ^ { \prime } - m \overline { { { \psi } } } _ { 0 } ^ { \prime } { \psi } _ { 0 } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { C ^ { \prime } ( t ; T ) } & { = C ( t ; T ) + \bar { I } ^ { 2 } ( T ) - \frac { 1 } { T - t } \int _ { 0 } ^ { T - t } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { T - t } \int _ { t } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) } \\ & { = C ( t ; T ) + \bar { I } ^ { 2 } ( T ) - \frac { T } { T - t } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { T - t } \int _ { T - t } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) } \\ & { \qquad - \frac { T } { T - t } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { T - t } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) } \\ & { = C ( t ; T ) - \frac { T + t } { T - t } \bar { I } ^ { 2 } ( T ) + \frac { 1 } { T - t } \int _ { T - t } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { T - t } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) . } \end{array}
\tilde { \partial } _ { \boldsymbol { w } } L = g _ { \boldsymbol { w } } ^ { - 1 } ( t ) \partial _ { Q ( \boldsymbol { w } ) } \cdot \mathbb { I } , \; \; \; \operatorname { w h e r e } \; \; \mathbb { I } : = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \left| N \right| \leq \varepsilon } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \widehat { H } _ { 0 } = \sum _ { k } \hbar \left( \omega _ { a c } ( k ) \widehat { a } _ { k } ^ { \dagger } \widehat { a } _ { k } + \omega _ { o p t } ( k ) \widehat { b } _ { k } ^ { \dagger } \widehat { b } _ { k } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { e , L O } ( E ) = \frac { e ^ { 2 } \sqrt { m ^ { * } } \omega _ { 0 } } { \sqrt { 2 } \hbar } \bigg ( \frac { 1 } { \epsilon _ { \infty } } - \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \bigg ) \textbf { F } ( E , E ^ { \prime } ) \bigg [ N _ { o p } + \frac { 1 } { 2 } \mp \frac { 1 } { 2 } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 4 } ( \tau ) } & { = 1 + 2 4 0 ( q _ { 1 } + q _ { 2 } ) + O \bigl ( q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } , q _ { 1 } q _ { 2 } \bigr ) , } \\ { M _ { 6 } ( \tau ) } & { = 1 - 5 0 4 ( q _ { 1 } + q _ { 2 } ) + O \bigl ( q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } , q _ { 1 } q _ { 2 } \bigr ) , } \\ { M _ { 1 0 } ( \tau ) } & { = \bigl ( q _ { 3 } - 2 + q _ { 3 } ^ { - 1 } \bigr ) q _ { 1 } q _ { 2 } + O ( q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } ) , \qquad \mathrm { a n d } } \\ { M _ { 1 2 } ( \tau ) } & { = \bigl ( q _ { 3 } + 1 0 + q _ { 3 } ^ { - 1 } \bigr ) q _ { 1 } q _ { 2 } + O \bigl ( q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) . } \end{array}
\mathrm { T r } ( w ^ { 2 } + \bar { w } ^ { 2 } ) = 3 2 \pi ^ { 2 } M G , \ \ \ \ \ \mathrm { T r } ( w ^ { 2 } - \bar { w } ^ { 2 } ) = { \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } J G } { l } } ,
f ( { \mathbf { x } } ) = \sum _ { | \alpha | \leq m } { \frac { D ^ { \alpha } f ( { \mathbf { y } } ) } { \alpha ! } } \cdot ( { \mathbf { x } } - { \mathbf { y } } ) ^ { \alpha } + \sum _ { | \alpha | = m } R _ { \alpha } ( { \mathbf { x } } , { \mathbf { y } } ) { \frac { ( { \mathbf { x } } - { \mathbf { y } } ) ^ { \alpha } } { \alpha ! } }
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } | u _ { n + 1 } | ^ { 2 } } & { = } & { \int _ { \Omega } | u _ { n } | ^ { 2 } + h \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \int _ { \Omega } \left[ \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } } } ~ u _ { n , i } + ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \overline { { u _ { n , i } } } \right] } \\ & { } & { + h ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { s } \sum _ { i = 1 } ^ { s } \left( b _ { i } b _ { j } - b _ { i } a _ { i , j } - b _ { j } a _ { j , i } \right) \int _ { \Omega } ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { j } } ) u _ { n , j } } } . } \end{array}
\delta \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left[ \mathbf { P } \cdot { \dot { \mathbf { Q } } } - K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) \right] d t = \delta \int _ { t _ { 1 } + \tau } ^ { t _ { 2 } + \tau } \left[ \mathbf { p } \cdot { \dot { \mathbf { q } } } - H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t + \tau ) \right] d t = 0
\begin{array} { r l } { \Big \lVert \bar { \theta } _ { l + 1 } - \bar { \theta } _ { l } \Big \rVert } & { \le 3 \sqrt { \alpha ^ { 2 } \left( \frac { c _ { 1 } } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \Big \lVert \theta _ { l , k } ^ { ( i ) } - \bar { \theta } _ { l } \Big \rVert \right) ^ { 2 } } + 3 \sqrt { \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } } \\ & { + 3 \sqrt { \alpha ^ { 2 } \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert ^ { 2 } } + \sqrt { 2 \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } } \\ & { \le \frac { 3 \alpha c _ { 1 } } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \Big \lVert \theta _ { l , k } ^ { ( i ) } - \bar { \theta } _ { l } \Big \rVert + 3 \alpha c _ { 1 } \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert + 3 \alpha \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert + 2 \alpha c _ { 1 } \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) . } \end{array}
{ \frac { \left( { \frac { \partial P } { \partial T } } \right) _ { S } } { \left( { \frac { \partial V } { \partial T } } \right) _ { S } } } = \left( { \frac { \partial P } { \partial T } } \right) _ { S } \left( { \frac { \partial T } { \partial V } } \right) _ { S } = \left( { \frac { \partial P } { \partial V } } \right) _ { S }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { i , j } \mu _ { i , j } ^ { \prime } - \lambda _ { i , j } ^ { \prime } \mu _ { i , j } } & { = T \left( \frac { x _ { 3 } / x _ { 2 } , x _ { 2 } x _ { 3 } u } { x _ { 1 } / x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 } u } \right) T \left( \frac { x _ { 4 } / x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 4 } u } { x _ { 2 } / x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 2 } u } \right) - T \left( \frac { x _ { 4 } / x _ { 2 } , x _ { 2 } x _ { 4 } u } { x _ { 1 } / x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 } u } \right) T \left( \frac { x _ { 3 } / x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 3 } u } { x _ { 2 } / x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 2 } u } \right) } \\ & { = \frac { \Phi ( x _ { 4 } ) } { T \left( x _ { 1 } / x _ { 2 } , x _ { 2 } / x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 2 } u , x _ { 1 } x _ { 2 } u \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { x } = } & { \, \, - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sin ( \omega \, \pi \, x ) \, \cos ( \omega \, \pi \, y ) \, \sin ( \sqrt { 2 } \, \omega \, \pi \, t ) , } \\ { H _ { y } = } & { \, \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \cos ( \omega \, \pi \, x ) \, \sin ( \omega \, \pi \, y ) \, \sin ( \sqrt { 2 } \, \omega \, \pi \, t ) , } \\ { E _ { z } = } & { \, \, \sin ( \omega \, \pi \, x ) \, \sin ( \omega \, \pi \, y ) \, \cos ( \sqrt { 2 } \, \omega \, \pi \, t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ A _ { i } , A _ { j } \} w = \{ A _ { i } ^ { \dagger } , A _ { j } ^ { \dagger } \} w = 0 , \quad \{ A _ { i } , A _ { j } ^ { \dagger } \} w = \delta _ { i j } w , \; \forall w \in \mathbb { C } \otimes \mathbb { S } . } \end{array}
\left| \prod _ { l = 1 } ^ { d } v _ { l } ^ { ( l ) } + \sum _ { I \neq \sigma \in \mathcal { P } _ { d } } ( - 1 ) ^ { \operatorname { s g n } ( \sigma ) } \prod _ { l = 1 } ^ { d } v _ { \sigma ( l ) } ^ { ( l ) } \right| = \prod _ { l = 1 } ^ { d } \left| v _ { l } ^ { ( l ) } \right| = \prod _ { l = 1 } ^ { d } \big \Vert \mathbf { v } ^ { ( l ) } \big \Vert \neq 0
\begin{array} { r l r } { r \partial _ { r } \Psi _ { n } ^ { m } } & { { } } & { = \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m ) ! } } a ^ { m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \end{array}
{ \frac { d } { d \tau } } { \frac { \partial { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } { \partial { \dot { x } } ^ { \lambda } } } = { \frac { \partial { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } { \partial x ^ { \lambda } } }
V ^ { 2 } ( r ) \equiv { \frac { \Delta ( r ) } { R ^ { 2 } ( r ) } } \left\{ \frac { \lambda } { R ^ { 2 } ( r ) } + \frac { 1 } { R ( r ) } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } r } \left[ \frac { \Delta ( r ) } { R ^ { 2 } ( r ) } \frac { \mathrm { d } R ( r ) } { \mathrm { d } r } \right] - \frac { m ^ { 2 } a ^ { 2 } } { R ^ { 6 } ( r ) } \left( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } + 2 \mu r \cosh 2 \beta \right) \right\} .