harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal F } = \frac { \rho { g } \pi { R ^ { 2 } h ^ { 2 } } } { 2 } - 2 \pi { R } \gamma \cos \theta _ { Y } h + \frac { \Delta U } { 2 } \sin \left( \frac { 2 \pi h } { \ell } + \phi \right) .
\begin{array} { l c r } { { \begin{array} { l c } { { } } & { { \begin{array} { c c c c c c } { { X } } & { { h } } & { { c } } & { { X ^ { * } } } & { { h ^ { * } } } & { { c ^ { * } } } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { l } { { X ^ { \mu } } } \\ { { h } } \\ { { c } } \\ { { X _ { \mu } ^ { * } } } \\ { { h ^ { * } } } \\ { { c ^ { * } } } \end{array} } } & { { \left( \begin{array} { l l l l l l } { { * } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { * } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { * } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \end{array} } } & { { \rightarrow } } & { { \begin{array} { l c } { { } } & { { \begin{array} { c c c c c c } { { X } } & { { h ^ { * } } } & { { c } } & { { X ^ { * } } } & { { h } } & { { c ^ { * } } } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { l } { { X ^ { \mu } } } \\ { { h ^ { * } } } \\ { { c } } \\ { { X _ { \mu } ^ { * } } } \\ { { h } } \\ { { c ^ { * } } } \end{array} } } & { { \left( \begin{array} { l l l l l l } { { * } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { * } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { * } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \end{array} } } \end{array} .
\alpha _ { \mu \nu } ( t ) = \sum _ { \rho = 0 } ^ { N } \left\{ \sqrt { \frac { \tilde { \omega } _ { \nu } } { \tilde { \omega } _ { \mu } } } \frac { \eta _ { \mu \rho } \eta _ { \nu \rho } } { 4 \Omega _ { \rho } } \left[ \left( \Omega _ { \rho } + \tilde { \omega } _ { \mu } \right) \mathrm { e } ^ { i \Omega _ { \rho } t } + \left( \Omega _ { \rho } - \tilde { \omega } _ { \mu } \right) \mathrm { e } ^ { - i \Omega _ { \rho } t } \right] + \frac { \eta _ { \mu \rho } \eta _ { \nu \rho } } { 4 \sqrt { \tilde { \omega } _ { \mu } \tilde { \omega } _ { \nu } } } \left[ \left( \omega _ { \mu } + \Omega _ { \rho } \right) \mathrm { e } ^ { i \Omega _ { \rho } t } + \left( \omega _ { \mu } - \Omega _ { \rho } \right) \mathrm { e } ^ { - i \Omega _ { \rho } t } \right] \right\} \; ,
\begin{array} { r l r } { | \tilde { B } \} } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { c } } d \tau ^ { \prime } \mathcal { X } ( \tau ^ { \prime } ) \hat { \kappa } | B ( \tau ^ { \prime } ) \} } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { c } } d \tau ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \prime } } \mathcal { X } ( \tau ^ { \prime } ) | B ( \tau ^ { \prime } ) \} } \\ & { = } & { | \tilde { B } _ { \bf u } \} + | \tilde { B } _ { \bf d } \} . } \end{array}
\times \left\{ f _ { c } \left( \mathbf { k , k } ^ { \prime } \right) \mathcal { N } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) + f _ { s } \left( \mathbf { k , k } ^ { \prime } \right) \mathcal { P } ^ { \prime \prime } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } , t \right) \right\} .
C ^ { ( 2 ) } = \{ - \frac { 1 } { \omega _ { A } } ( \frac { 1 } { \omega _ { C } } f ^ { C A B } \varphi _ { C } + f ^ { \lambda A B } \varphi _ { \lambda } ) + \frac { 1 } { 2 \omega _ { A } \omega _ { B } } f _ { C } ^ { \; A B } \varphi ^ { C } \} ( P _ { A } ^ { a } P _ { B } ^ { b } - P _ { A } ^ { b } P _ { B } ^ { a } ) .
\begin{array} { r l } { \dim _ { H } \{ x \in [ 0 , 1 ) \colon \hat { \nu } ( x ) \ge \hat { \nu } \} } & { \leq \operatorname* { s u p } \left\{ s \Big ( \frac { \nu ^ { 2 } } { ( \nu - \hat { \nu } + \hat { \nu } \varepsilon + \varepsilon ) ( 1 + \nu ) } , { \tau ( i ) } \Big ) \colon \nu \in \mathbb { Q } ^ { + } \right\} } \\ & { \leq s \Big ( \frac { 4 \big ( \hat { \nu } - ( \hat { \nu } + 1 ) \varepsilon \big ) } { \big ( 1 + \hat { \nu } - ( \hat { \nu } + 1 ) \varepsilon \big ) ^ { 2 } } , { \tau ( i ) } \Big ) \rightarrow s \Big ( \frac { 4 \hat { \nu } } { ( 1 + \hat { \nu } ) ^ { 2 } } , { \tau ( i ) } \Big ) } \end{array}
\mathbf { E } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( x , y , 0 ) = ( E _ { x } , E _ { y } , 0 ) \, e ^ { - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } }
V _ { \sigma } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } ^ { \sigma } ( x ) / \lambda _ { m a x } ^ { \sigma } , } & { \lambda _ { m a x } ^ { \sigma } > 0 } \\ { 0 , } & { \lambda _ { m a x } ^ { \sigma } \leq 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { A P F } } & { { } = { \frac { N _ { \mathrm { a t o m s } } V _ { \mathrm { a t o m } } } { V _ { \mathrm { u n i t ~ c e l l } } } } = { \frac { 1 \cdot { \frac { 4 } { 3 } } \pi r ^ { 3 } } { \left( 2 r \right) ^ { 3 } } } } \end{array}
\pi ^ { - { \frac { s } { 2 } } } \Gamma \left( { \frac { s } { 2 } } \right) \zeta ( s ) = { \frac { 1 } { s - 1 } } - { \frac { 1 } { s } } + { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \theta ( i t ) - t ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \right) t ^ { { \frac { s } { 2 } } - 1 } \, \mathrm { d } t + { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 1 } ^ { \infty } { \bigl ( } \theta ( i t ) - 1 { \bigr ) } t ^ { { \frac { s } { 2 } } - 1 } \, \mathrm { d } t .
\underline { { \varrho } } _ { \mathsf { A S } } ( \xi _ { \mathrm { f i n } } ) \left( \begin{array} { l } { \mathfrak { R e } ( 2 \widetilde { \mathsf { a } } ( 0 ) ) } \\ { \mathfrak { I m } ( 2 \widetilde { \mathsf { a } } ( 0 ) ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { D \xi _ { \mathrm { f i n } } } \\ { 0 } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \underline { { \varrho } } _ { \mathsf { A S } } ( \xi _ { \mathrm { f i n } } ) \widetilde { \mathsf { a } } ( k \geq 1 ) = 0 .
\mathcal { L } _ { g c } = \left[ \frac { e } { c } A ( X _ { g c } ) + m V _ { \parallel } \hat { b } ( X _ { g c } ) - \frac { m c } { e } \mu R \right] \boldsymbol { \cdot } d X _ { g c } + \frac { m c } { e } \mu d \Theta - H _ { g c } d t ,
\begin{array} { r } { \vartheta _ { N } ( x ) = \prod _ { k = 1 } ^ { N } \boldsymbol \Gamma \bigl [ \gamma _ { 2 N - k } ^ { ( k - 1 ) } - \mathrm { i } x _ { j } \bigr ] , \qquad \bar { \vartheta } _ { N } ( \bar { x } ) = \prod _ { k = 1 } ^ { N } \boldsymbol \Gamma \bigl [ \bar { \gamma } _ { 2 N - k } ^ { ( k - 1 ) } - \mathrm { i } \bar { x } _ { j } \bigr ] , } \end{array}
\boldsymbol { \Delta } f \ge - ( N - 1 ) \frac { s _ { \frac { K } { N - 1 } , \frac { c } { N - 1 } } ^ { \prime } \circ \left( - f \right) } { s _ { \frac { K } { N - 1 } , \frac { c } { N - 1 } } \circ \left( - f \right) } \quad \mathrm { o n ~ E ~ , ~ } \qquad \boldsymbol { \Delta } f \le ( N - 1 ) \frac { s _ { \frac { K } { N - 1 } , - \frac { c } { N - 1 } } ^ { \prime } \circ f } { s _ { \frac { K } { N - 1 } , - \frac { c } { N - 1 } } \circ f } \quad \mathrm { o n ~ X \setminus ~ \overline { { E } } ~ } \, .
1 = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi N } \int \frac { k d k } { [ k ^ { 2 } + \Pi _ { 0 0 } ( k , \beta , \tilde { A } _ { 0 } ) ] \sqrt { k ^ { 2 } + \Sigma ^ { 2 } } } \left[ \frac { \sinh \beta \sqrt { k ^ { 2 } + \Sigma ^ { 2 } } } { \cosh \beta \sqrt { k ^ { 2 } + \Sigma ^ { 2 } } + \cos ( e \beta \tilde { A } _ { 0 } / \sqrt { N } ) } \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( R P ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \left\vert \sum _ { j } \sum _ { q \in T _ { j } \cap \mathbb { Z } ^ { 3 } } e ^ { i q u } - \sum _ { j < j ^ { \prime } } \sum _ { q \in T _ { j } \cap T _ { j ^ { \prime } } \cap \mathbb { Z } ^ { 3 } } e ^ { i q u } + \cdots \right\vert \, \textnormal { d } u } \\ & { \leq \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } \sum _ { j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } } \mathcal { L } ( T _ { j _ { 1 } } \cap \ldots \cap T _ { j _ { \ell } } ) . } \end{array}
\dot { \vec { k } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { k } = - \left( \begin{array} { r } { \dot { a } / a ^ { 2 } } \\ { \dot { b } / b ^ { 2 } } \\ { \dot { c } / c ^ { 2 } } \end{array} \right) \enspace \enspace \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \enspace \enspace \dot { \vec { n } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { n } = \left( \begin{array} { r } { \dot { a } } \\ { \dot { b } } \\ { \dot { c } } \end{array} \right) .
( \delta v _ { \mathrm { ~ E ~ M ~ } } ) ^ { 2 } = v _ { \mathrm { ~ E ~ M ~ } } ^ { 2 } - 2 \frac { G \tilde { m } _ { \oplus } } { a _ { \mathrm { ~ \rightmoon ~ } } } \Big ( 1 - \frac { a _ { \mathrm { ~ \rightmoon ~ } } } { r _ { \mathrm { ~ H ~ } , \oplus } } \Big ) \simeq v _ { \mathrm { ~ E ~ M ~ } } ^ { 2 } - ( 1 . 2 ~ \mathrm { k m ~ s } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } .
I _ { C S } [ A ^ { U } ] = I _ { C S } [ A ] + { \cal W } [ U ] - \frac { i } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x \, \epsilon ^ { \alpha \mu \nu } \partial _ { \alpha } \mathrm { T r } [ A _ { \mu } U ^ { - 1 } \partial _ { \nu } U ] ,
\begin{array} { r l } { \frac { g _ { C } ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } , s _ { 2 } } } { g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } & { { } = \frac { \left[ \mathbb { I } - G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) \right] + G _ { C } ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ( \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] } { \left[ \mathbb { I } - G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) \right] + G _ { C } ^ { s _ { 1 } } ( \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] } } \end{array}
\hat { H } _ { p } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { \epsilon _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \epsilon _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \epsilon _ { 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { 1 } } & { = } & { \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } A ( t _ { n + 1 } - \tau ) d \tau } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { h } A ( h - \tau ) d \tau \sim \sum _ { j = - N } ^ { N } \omega _ { j } ^ { 0 } \frac { A ( z _ { j } ^ { 0 } ) } { z _ { j } ^ { 0 } } e ^ { z _ { j } ^ { 0 } h } } \\ { \Phi _ { 2 } } & { = } & { \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } A ( t _ { n + 1 } - \tau ) ( t _ { n + 1 } - \tau ) d \tau } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { h } A ( h - \tau ) \tau d \tau \sim \sum _ { j = - N } ^ { N } \omega _ { j } ^ { 0 } \frac { A ( z _ { j } ^ { 0 } ) } { ( z _ { j } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } e ^ { z _ { j } ^ { 0 } h } . } \end{array}
\mathbf { v } = \operatorname { v e c } \left( ( \mathbf { A X B } ) ^ { \textsf { T } } \right) = \operatorname { v e c } \left( \mathbf { B } ^ { \textsf { T } } \mathbf { X } ^ { \textsf { T } } \mathbf { A } ^ { \textsf { T } } \right) = \left( \mathbf { A } \otimes \mathbf { B } ^ { \textsf { T } } \right) \operatorname { v e c } \left( \mathbf { X ^ { \textsf { T } } } \right) = \left( \mathbf { A } \otimes \mathbf { B } ^ { \textsf { T } } \right) \mathbf { u } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \frac { \delta _ { \beta } \mathcal { F } } { \delta v } \wedge \partial \eta + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) \wedge \partial \phi _ { \partial } + \int _ { \Sigma } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } - \langle d w , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \wedge \partial \Sigma } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } \wedge \partial \eta + \int _ { \partial \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } \wedge \partial \phi _ { \partial } + \int _ { \Sigma } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \partial \Sigma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } { \Omega _ { i i } } - \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j } { \Omega _ { i j } } } \end{array}
D _ { \mathrm { d p } } ^ { i j } = \hbar ^ { 2 } ( \partial _ { i } g \partial _ { j } g ) \operatorname { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \left\langle \delta \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) \delta \hat { X } _ { 1 } ( t ) \right\rangle ,
\alpha _ { E } ^ { e x p } = ( 1 2 . 1 \pm 0 . 8 \pm 0 . 5 ) \times 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { f m } ^ { 3 } , \qquad \beta _ { M } ^ { e x p } = ( 2 . 1 \mp 0 . 8 \mp 0 . 5 ) \times 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { f m } ^ { 3 }
\partial _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( t , p ) = - p ^ { 2 } \bar { C } _ { \kappa } ( t , p ) \int _ { \omega } \frac { \cos ( \omega t ) - 1 } { \omega ^ { 2 } } J _ { \kappa } ( \omega ) \, , \quad J _ { \kappa } ( \omega ) = - \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) \, .
\begin{array} { r l } { { x } _ { \tau i } \left[ \sf X \right] } & { = { \u { x } } _ { \u { \tau } } \left[ \sum _ { j \in \mathcal { I } } X _ { j } \boldsymbol { E } _ { j } \right] \cdot \boldsymbol { e } _ { i } } \\ { { U } _ { \tau i } \left[ \sf X \right] } & { = { \u { U } } _ { \u { \tau } } \left[ \sum _ { j \in \mathcal { I } } X _ { j } \boldsymbol { E } _ { j } \right] \cdot \boldsymbol { E } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { m - 1 } ^ { - 1 } \exp \biggl ( - \frac { \varepsilon _ { m - 1 } } { C \varepsilon _ { m } } \bigg ) \leq \varepsilon _ { m - 1 } ^ { - 1 } \exp \bigl ( - c \varepsilon _ { m - 1 } ^ { - ( q - 1 ) } \bigr ) \leq C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 5 0 0 } \, . } \end{array}
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( X ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - { \frac { e ^ { \mu } ( 2 \alpha ) ^ { b } } { b + 1 } } } & { { \mathrm { i f ~ } } \alpha \leq 0 . 5 , } \\ { 1 - { \frac { e ^ { \mu } 2 ^ { - b } } { \alpha ( b - 1 ) } } { \big [ } ( 1 - \alpha ) ^ { ( 1 - b ) } - 1 { \big ] } } & { { \mathrm { i f ~ } } \alpha > 0 . 5 . } \end{array} \right. }
\dot { \mathbf { q } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { - q _ { 1 } } & { - q _ { 2 } } & { - q _ { 3 } } \\ { q _ { 0 } } & { q _ { 3 } } & { - q _ { 2 } } \\ { - q _ { 3 } } & { q _ { 0 } } & { q _ { 1 } } \\ { q _ { 2 } } & { - q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } \end{array} \right] \boldsymbol \omega ,
\begin{array} { r l } { { \eta } ( \tau ) } & { = \eta _ { 0 } , } \\ { { \xi } ( \tau ) } & { = \mathrm { i } \eta _ { 0 } ^ { 3 } \tau + \xi _ { 0 } , } \\ { { z } ( \tau ) } & { = - \eta _ { 0 } ^ { 6 } \tau ^ { 3 } + 3 \mathrm { i } \xi _ { 0 } \eta _ { 0 } ^ { 3 } \tau ^ { 2 } + ( 3 \xi _ { 0 } ^ { 2 } - \eta _ { 0 } ^ { 2 } ) \tau + z _ { 0 } , } \\ { { w } ( \tau ) } & { = \frac { 3 \mathrm { i } \eta _ { 0 } ^ { 8 } } { 4 } \tau ^ { 4 } + 3 \eta _ { 0 } ^ { 5 } \xi _ { 0 } \tau ^ { 3 } + \frac { \mathrm { i } \eta _ { 0 } ^ { 4 } - 9 \mathrm { i } \eta _ { 0 } ^ { 2 } \xi _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \tau ^ { 2 } - ( 2 \eta _ { 0 } \xi _ { 0 } + 3 \mathrm { i } \eta _ { 0 } ^ { 2 } z _ { 0 } ) \tau + w _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| D - n _ { 1 } p _ { 1 } - n _ { 2 } p _ { 2 } \right| \overset { \mathrm { d e f . } } { = } \left\{ C \in \left| D - n _ { 1 } p _ { 1 } \right| , m _ { p _ { 2 } } ( \pi ^ { * } ( C ) - n _ { 1 } E _ { 1 } ) \geq n _ { 2 } \right\} = \left\{ C \in \left| D - n _ { 1 } p _ { 1 } \right| , m _ { p _ { 2 } } ( C ^ { \sharp } ) \geq n _ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } } & { { } = \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ r ~ } } \rangle - \operatorname { T r } [ \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ r ~ } } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \Sigma _ { t } ] / 2 } \\ { V _ { 1 } } & { { } = \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ r ~ } } ^ { \prime } \rangle = v _ { 1 } , } \\ { V _ { 2 } } & { { } = \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ r ~ } } ^ { \prime \prime } \rangle = v _ { 2 } , } \end{array}
\mathrm { ~ F ~ L ~ O ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ O ~ M ~ } } = z _ { s } K \left[ \ensuremath { N _ { v a r } } ^ { 2 } \ensuremath { n _ { s } } \left( a + b + 2 \ensuremath { n _ { p } } + \frac { 3 \ensuremath { n _ { p } } + 2 \ensuremath { n _ { p } } ^ { 2 } + 3 } { \ensuremath { N _ { v a r } } } - \frac { \ensuremath { n _ { p } } ^ { 2 } + \ensuremath { n _ { p } } } { \ensuremath { N _ { v a r } } ^ { 2 } } \right) - \ensuremath { n _ { p } } + \ensuremath { n _ { p } } ^ { 2 } + 3 \ensuremath { n _ { p } } ^ { 3 } \right]
\Phi _ { 1 } = \phi _ { 1 } + \phi _ { 1 ^ { \prime } } + \frac { \rho _ { w } - \rho _ { o } } { \rho _ { w } + \rho _ { o } } \left[ \, \phi _ { 2 1 } + \phi _ { 2 1 ^ { \prime } } + \phi _ { 2 2 } + \phi _ { 2 2 ^ { \prime } } + F ( r , z ) \right] ,
\begin{array} { r } { m _ { n } \Ddot { u } _ { n } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 1 1 } ( u _ { n } ^ { ( 2 ) } - u _ { n } ^ { ( 1 ) } ) - \beta _ { 1 1 } ( u _ { n - 1 } ^ { ( 2 ) } - u _ { n } ^ { ( 1 ) } ) - \alpha _ { 1 2 } ( \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } - \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } ) - \beta _ { 1 2 } ( \phi _ { n - 1 } ^ { ( 2 ) } - \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \{ T _ { i j } \} _ { ( i j ) \in E } | \mathcal { D } ) } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { Z } ( \mathcal { D } ) } \prod _ { i \in V } \Psi ( \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } ; \mathcal { D } _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { u } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { p q r } S _ { p } \left( \frac { \partial S _ { q } } { \partial v } \frac { \partial S _ { r } } { \partial w } - \frac { \partial S _ { r } } { \partial v } \frac { \partial S _ { q } } { \partial w } \right) } \\ { \Sigma _ { v } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { p q r } S _ { p } \left( \frac { \partial S _ { q } } { \partial w } \frac { \partial S _ { r } } { \partial u } - \frac { \partial S _ { r } } { \partial w } \frac { \partial S _ { q } } { \partial u } \right) } \\ { \Sigma _ { w } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { p q r } S _ { p } \left( \frac { \partial S _ { q } } { \partial u } \frac { \partial S _ { r } } { \partial v } - \frac { \partial S _ { r } } { \partial u } \frac { \partial S _ { q } } { \partial v } \right) \, . } \end{array}
c _ { I , J } ( - 1 ) ^ { | I | } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a } \left( \frac { z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right) ^ { | I | } 2 ! ^ { i _ { 1 } } 3 ! ^ { i _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } } b _ { 3 } ( \delta ) ^ { i _ { 2 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } } \geq 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { k _ { 0 } } \left( \frac { \partial \phi ( \vec { x } _ { z } ) } { \partial x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { \partial z } + \frac { \partial \phi ( \vec { x } _ { z } ) } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { \partial z } \right) } & { = \left( \frac { d x _ { z } } { d z } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d y _ { z } } { d z } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \boldsymbol { \Theta } ( t + 1 ) ) - L ( \boldsymbol { \Theta } ( t ) ) \le ~ } & { \sum _ { j } h _ { j } ^ { F } ( t ) \left( a _ { j } ( t ) - \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } m _ { i j } ( t ) \right) + \sum _ { i } h _ { i } ^ { B } ( t ) \left( \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } m _ { i j } ( t ) - e _ { i } ( t ) \right) } \\ { ~ } & { + \sum _ { i } l _ { i } ( t ) \left( \eta _ { \mathrm { c } } c _ { i } ( t ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } d _ { i } ( t ) \right) + N _ { 1 } + N _ { 2 } + N _ { 3 } } \\ { : = ~ } & { g ( t ) + N _ { 1 } + N _ { 2 } + N _ { 3 } , } \end{array}
{ \bf x } _ { t + 1 } = { \bf x } _ { t } + \Delta t \left[ \alpha ( Q f _ { \mathrm { n o n l i n e a r } } ( { \bf x } _ { t } ) + b ^ { T } ) - \beta ( t ) { \bf x } _ { t } + \gamma ( { \bf x } _ { t } - { \bf x } _ { t - 1 } ) \right] ,
\sigma ( M ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { 3 / 4 } } & { f o r N < N ^ { \prime } \propto ( p - p _ { c } ) ^ { 2 } } \\ { N ^ { 1 / 2 } ( p - p _ { c } ) ^ { - 1 / 2 } } & { f o r N > N ^ { \prime } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } ( t ) } & { { } = \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } e ^ { - i ( \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } - \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { r _ { s } \to 0 } \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) \to } & { { } ( \bar { f } - 1 ) \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { U } + ( 2 - \bar { f } ) \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { P } } \\ { = } & { { } \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { U } + ( 2 - \bar { f } ) [ \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { P } - \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { U } ] } \end{array}
\nabla \times \left( \mathbf { v } \times \mathbf { F } \right) = ( \nabla \cdot \mathbf { F } + \mathbf { F } \cdot \nabla ) \mathbf { v } - ( \nabla \cdot \mathbf { v } + \mathbf { v } \cdot \nabla ) \mathbf { F } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \zeta } ^ { ( 2 ) } } & { = ( - 1 , \cos \theta , \sin \theta \sin \varphi , - \sin \theta \cos \varphi ) , } \\ { \hat { \zeta } ^ { ( 3 ) } } & { = ( - 1 , \cos \theta , - \sin \theta \sin \varphi , \sin \theta \cos \varphi ) , } \\ { \hat { \zeta } ^ { ( 4 ) } } & { = ( - 1 , \cos \theta , \sin \theta \cos \varphi , \sin \theta \sin \varphi ) . } \end{array}
\delta A _ { \mu \nu } = \epsilon _ { \nu } ^ { * } \psi _ { \mu } - \epsilon _ { \mu } \psi _ { \nu } ^ { * } \, \delta \psi _ { \mu } = i \epsilon _ { \nu } A _ { \mu \nu } \, \delta \psi _ { \mu } ^ { * } = i \epsilon _ { \nu } ^ { * } A _ { \nu \mu } \,
\sum _ { | \alpha | \le 1 } \bigl | \partial ^ { \alpha } \bigl ( \eta _ { * } - \eta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } \bigr ) ( R , Z , t ) \bigr | \, \le \, C \bigl ( \epsilon \delta + \epsilon ^ { 3 } \beta _ { \epsilon } \bigr ) \, ( 1 + \rho ) ^ { N } e ^ { - \rho ^ { 2 } / 4 } \, , \qquad \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 0 } } \, ,
\widetilde { \Pi } _ { x ^ { p } y ^ { q } z ^ { r } } ^ { ' } = \sum _ { i } { \left( c _ { i , x } - u _ { x } \right) } ^ { p } { \left( c _ { i , y } - u _ { y } \right) } ^ { q } { \left( c _ { i , z } - u _ { z } \right) } ^ { r } f _ { \alpha } ^ { ' } .
W = \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } H _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } V _ { \alpha + 1 , \alpha ^ { \prime } } D _ { \alpha + 1 , \alpha ^ { \prime } + 1 } - \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } H _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } + 1 } V _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } D _ { \alpha + 1 , \alpha ^ { \prime } + 1 } .
\delta \mathcal { P } _ { a } ^ { ( 1 ) } = - \pi _ { a } ^ { 0 } , \; \delta \mathcal { P } _ { a } = \partial _ { i } B _ { a } ^ { 0 i } , \; \delta P _ { a } ^ { ( 1 ) i } = p _ { a } ^ { i } , \; \delta P _ { a } ^ { i } = - \partial ^ { i } \varphi _ { a } ,
\mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } = 4 \left[ \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \right] f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) \, ,
T _ { \alpha \beta } = \frac { 2 } { { \sqrt { - g } } } \frac { { \delta S } } { { \delta g ^ { \alpha \beta } } } = - \frac { 2 K ^ { - 3 } } { { g _ { 0 } ^ { 2 } } } A _ { \alpha \beta } ( \widetilde \phi ^ { 2 } ) - \frac { 2 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } C _ { \alpha \beta } .
c \not \in \left\lbrace \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } , \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } \right\rbrace ,