harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { H _ { R o t } = B ( N ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) } \\ & { H _ { S R } = \gamma ( N \cdot S - N _ { z } S _ { z } ) } \\ & { H _ { a S R } = \gamma _ { G } N _ { z } S _ { z } } \\ & { H _ { b _ { F } ( \mathrm { Y b } ) } = b _ { F } ( ^ { 1 7 1 , 1 7 3 } \mathrm { Y b } ) I \cdot S } \\ & { H _ { c ( \mathrm { Y b } ) } = c ( ^ { 1 7 1 , 1 7 3 } \mathrm { Y b } ) ( I _ { z } S _ { z } - \frac { 1 } { 3 } I \cdot S ) } \\ & { H _ { b _ { F } ( \mathrm { H } ) } = b _ { F } ( \mathrm { H } ) I \cdot S } \\ & { H _ { c ( \mathrm { H } ) } = c ( \mathrm { H } ) ( I _ { z } S _ { z } - \frac { 1 } { 3 } I \cdot S ) } \\ & { H _ { Q } = e ^ { 2 } Q q _ { 0 } ( ^ { 1 7 3 } \mathrm { Y b } ) \frac { 3 I _ { z } ^ { 2 } - I ^ { 2 } } { 4 I ( 2 I - 1 ) } } \\ & { H _ { q _ { G } } = - \frac { q _ { G } } { 2 } ( N _ { + } ^ { 2 } e ^ { - i 2 \phi } + N _ { - } ^ { 2 } e ^ { i 2 \phi } ) } \\ & { H _ { p _ { G } } = \frac { p _ { G } } { 2 } ( N _ { + } S _ { + } e ^ { - i 2 \phi } + N _ { - } S _ { - } e ^ { i 2 \phi } ) } \\ & { H _ { S t a r k } = - D _ { \mathrm { \tilde { X } } } \cdot E } \\ & { H _ { Z e e m a n } = g _ { S } \mu _ { B } S _ { Z } B _ { Z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in V } D _ { i i } \, x _ { i } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \sum _ { i \in V } D _ { i i } \cdot \frac { 1 } { D _ { i i } } \sum _ { j \in V } W _ { i j } \, x _ { j } ^ { ( 0 ) } \cdot \left( 1 + \sigma _ { \lambda ; i } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } ^ { \mathrm { T H G } } ( x ) } & { = \mathbf { P } _ { 0 } ^ { \mathrm { T H G } } \bigg ( \frac { E _ { x } ( x ) } { E _ { \omega } ^ { ( 0 ) } } \bigg ) ^ { 3 } , } \\ { \mathbf { P } ^ { \mathrm { S F G } } ( x ) } & { = \mathbf { P } _ { 0 } ^ { \mathrm { S F G } } \frac { E _ { x } ( x ) } { E _ { \omega } ^ { ( 0 ) } } \frac { E _ { z } ( x ) } { E _ { 2 \omega } ^ { ( 0 ) } } e ^ { i \phi ( x ) } , } \end{array}
\Lambda ^ { 0 } \begin{array} { c } { { t = 0 } } \\ { { \longrightarrow } } \\ { { H _ { w } } } \end{array} \bigg ( p \pi \bigg ) _ { \ell } ^ { I } \begin{array} { c } { { H _ { s } } } \\ { { \longrightarrow } } \\ { { \delta _ { \ell } ^ { I } } } \end{array} \bigg ( p \pi \bigg ) _ { \ell } ^ { I } .
{ \prod _ { \bf k } } ^ { 1 / 2 } \delta \left( { \cal E } _ { a , \bf k } ^ { M \mathrm { R } } - { \cal E } _ { a , - \bf k } ^ { M \mathrm { R } } \right) \delta \left( { \cal E } _ { a , \bf k } ^ { M \mathrm { I } } + { \cal E } _ { a , - \bf k } ^ { M \mathrm { I } } \right) .
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T ^ { 1 } ( S , T ) \cdot T ^ { 1 } ( n ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { M ^ { ( l ) } ( r ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { U _ { 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { U _ { 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { U } _ { 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { U } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } \\ { V _ { 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { V _ { 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { V } _ { 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { V } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } \\ { T _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { T _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { T } _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { T } _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } \\ { T _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { T _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { T } _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { T } _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } \end{array} \right] , } \end{array}
d \tilde { s } _ { 8 } ^ { 2 } = \tilde { g } _ { \alpha \beta } d x ^ { \alpha } d x ^ { \beta } = H _ { 5 } ^ { - 1 } g _ { \alpha \beta } d x ^ { \alpha } d x ^ { \beta } = d x ^ { 2 } + H _ { 5 } ^ { - 1 } d y ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { L o s s _ { R O S M } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { y } _ { i } - y _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { L o s s _ { P B R } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { P } _ { { S c } _ { i } } - P _ { { S c } _ { i } } ) ^ { 2 } } \\ { L o s s _ { G P E } } & { = \frac { \omega _ { 1 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { \textbf { C } } _ { i } - \textbf { C } _ { i } ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { w } _ { i } - w _ { i } ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 3 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { M } - f _ { i } ^ { j } \log ( p ( \hat { f } _ { i } ^ { j } ) ) } \\ { L o s s _ { P h y } } & { = \frac { \omega _ { 4 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \Big ( \frac { \partial \hat { \textbf { C } } _ { i } } { \partial \hat { P } _ { { S c } _ { i } } } \Big ) ^ { T } \mathbb { I } _ { \textbf { C } } - \textbf { D } _ { P _ { { S c } _ { i } } } \textbf { C } _ { i } \Big ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 5 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \Big ( \frac { \partial \hat { w } _ { i } } { \partial \hat { P } _ { { S c } _ { i } } } \Big ) ^ { T } \mathbb { I } _ { w } - \textbf { D } _ { P _ { { S c } _ { i } } } w _ { i } \Big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { V _ { S W } } ( r , \theta ) = } & { V _ { 0 } ( 1 . 4 7 5 \mp 0 . 4 \operatorname { t a n h } [ 6 . 8 ( \theta - \frac { \pi } { 2 } ) \pm ( \frac { 1 5 \pi } { 1 8 0 } + \alpha ) ] ) } \\ & { \times [ \frac { s + 1 } { 2 s } - \frac { s - 1 } { 2 s } \operatorname { t a n h } ( \frac { r - r _ { T S } } { L } ) ] \boldsymbol { e _ { r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \mathcal { I } } } & { { } { } = \frac { j } { \epsilon \omega } \int _ { S ^ { \prime } } \big [ k ^ { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) + \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \nabla G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } , } \end{array}
Y _ { p + 1 , q + 1 } = \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } e ^ { - i x _ { j } \mu _ { p } } e ^ { - i y _ { k } \nu _ { q } } X _ { j + 1 , k + 1 }
\begin{array} { r l } { P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) = } & { Q _ { G C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } + \frac { 1 } { N } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] } \\ & { + Q _ { G C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } + \frac { 1 } { N } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] , } \\ { P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) = } & { Q _ { G C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } - \frac { 1 } { N } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] } \\ & { + Q _ { G C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } - \frac { 1 } { N } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] , } \\ { P ( \rho _ { r } , \rho _ { r } ) = } & { 1 - P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) - P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| x _ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } & { = } & { \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \omega \langle x _ { k } - x ^ { * } , F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \rangle + \omega ^ { 2 } \| F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \omega \langle \hat { x } _ { k } - x ^ { * } , F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \rangle - 2 \omega \gamma \langle F _ { v _ { k - 1 } } ( \hat { x } _ { k - 1 } ) , F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \rangle } \\ & { } & { \quad + \omega ^ { 2 } \| F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \omega \langle \hat { x } _ { k } - x ^ { * } , F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \rangle - \omega \gamma \| F _ { v _ { k - 1 } } ( \hat { x } _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { } & { \quad - \omega ( \gamma - \omega ) \| F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } + \omega \gamma \| F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) - F _ { v _ { k - 1 } } ( \hat { x } _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \Sigma } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) \simeq \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \sqrt { \eta _ { n } \kappa _ { n } } B _ { n } \hat { X } _ { n , m } + \sqrt { \eta _ { n } \kappa _ { n } } A _ { n } \hat { Q } _ { n , m } \right. } \\ & { \left. + \sqrt { \eta _ { n } ( 1 - \kappa _ { n } ) } B _ { n } \hat { X } _ { n , m } ^ { ( e ) } + \sqrt { ( 1 - \eta _ { n } ) \kappa _ { n } } A _ { n } \hat { Q } _ { n , m } ^ { ( f ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \eta ^ { - } ( l - 1 ) \left( a _ { 1 } + \frac { a _ { 3 } } { 2 l + 1 } \right) + \frac { 2 \eta ^ { + } } { 2 l + 1 } ( 1 - B _ { l } ) c _ { 3 } } & { = - T _ { a } ^ { 1 } } \\ { 2 \eta ^ { + } ( l + 2 ) \left( c _ { 1 } - \frac { c _ { 3 } } { 2 l + 1 } \right) + \frac { 2 \eta ^ { - } } { 2 l + 1 } ( 1 - A _ { l } ) a _ { 3 } } & { = - T _ { a } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P } & { { } = } & { \frac { \sqrt { Q ^ { 2 } + U ^ { 2 } } } { I } \; , } \\ { \Phi } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \arctan { \frac { U } { Q } } \; . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { \lambda } } { d t ^ { 2 } } } + { \frac { d x ^ { \lambda } } { d t } } { \frac { d ^ { 2 } t } { d T ^ { 2 } } } \left( { \frac { d T } { d t } } \right) ^ { 2 } = - \Gamma _ { \nu \alpha } ^ { \lambda } { \frac { d x ^ { \nu } } { d t } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d t } } .
S = - T _ { p - 1 } \int d ^ { p } \sigma \sqrt { - \operatorname * { d e t } ( \mathcal { G } _ { \alpha \beta } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } \mathcal { F } _ { \alpha \beta } ) } + \mu _ { p - 1 } \int C \wedge e ^ { 2 \pi \alpha ^ { \prime } \mathcal { F } } .
\frac { 1 } { 2 } f ^ { \prime \prime } ( 3 - D ) - \frac { 1 } { 2 } f \frac { s ^ { \prime \prime } } { s } + f ^ { \prime } \frac { s ^ { \prime } } { s } \frac { ( 3 - D ) } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } f \left( \frac { s ^ { \prime } } { s } \right) ^ { 2 } - f \left( \frac { f ^ { \prime } } { f } \right) ^ { 2 } \left( \frac { D ^ { 2 } - 9 D + 1 8 } { 8 } \right) = - \alpha ^ { 2 } f \frac { ( D - 2 ) ^ { 2 } + ( D - 2 ) } { 8 }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \mathcal { I } ( \mathbf { x } ) d \mathbf { x } = - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } _ { 0 } ) } \left[ \alpha ( \mathbf { X } ) \right] \mathrm { T r } \left( \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { H } \right) - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } _ { 0 } ) } \left[ \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { X } \alpha \left( \mathbf { X } \right) \right] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \alpha ^ { \prime } ( \mathbf { X } ) \right] \mathrm { T r } \left( \left( \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } - \mathbf { R } ^ { - 1 } \right) \mathbf { H } \right) + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } \mathbf { R } ^ { - 1 } + \mathbf { D } \right) \mathbf { X } \alpha ^ { \prime } ( \mathbf { X } ) \right] . } \end{array}
V = { \frac { d } { 2 } } F ^ { \prime } ( 0 ) \epsilon _ { s c } ( \sigma _ { i } ) _ { s { l } } \left\{ ( { \bf \hat { x } } \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \ t a u ~ } } ) _ { c a } [ - { \frac { 1 } { 2 } } \tau _ { i } + \hat { x } _ { i } { \bf \hat { x } } \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \ t a u ~ } } ] _ { a b } ( { \bf \hat { x } } \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \ t a u ~ } } ) _ { b d } \right\} \epsilon _ { { l } d } + \cdot \cdot \cdot .
\Gamma _ { F \rightarrow T } \sim ( Y _ { c , \tau } T ) ^ { 4 } \exp \left( - \frac { \phi _ { T } ^ { 2 } } { Y _ { c , \tau } T ^ { 2 } } \right) \sim 1 0 ^ { - 8 } T ^ { 4 } \exp ( - \mathrm { f a c t o r } \times 1 0 ^ { 5 } ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \varphi _ { B } = ^ { t } ( 0 , 0 , 0 ) } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \\ { \varphi _ { A } \cdot n _ { \Gamma } = \varphi _ { B } \cdot n _ { \Gamma } = \varphi _ { S } \cdot n _ { \Gamma } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ( t ) , } \\ { P _ { \Gamma } \varphi _ { A } = P _ { \Gamma } \varphi _ { B } = r P _ { \Gamma } \varphi _ { S } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ( t ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \cos ( t ) } & { { } = \operatorname { R e } ( e ^ { i t } ) = \operatorname { R e } ( \cos ( t ) + i \sin ( t ) ) } \\ { \sin ( t ) } & { { } = \operatorname { I m } ( e ^ { i t } ) = \operatorname { I m } ( \cos ( t ) + i \sin ( t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h } } \left[ R _ { s } ^ { S A } \right] = \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h _ { 0 } } } \left[ \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( \frac { p | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) \right] - \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h _ { 0 } } , \Lambda } \left[ \mathrm { E i } \left( - \frac { | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \Lambda } \right) \right] \mathrm { l o g } _ { 2 } e . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \nabla \cdot \nabla D P ( r , t | r _ { 0 } , t _ { 0 } ) } & { = \nabla \cdot D \nabla P ( r , t | r _ { 0 } , t _ { 0 } ) + \nabla \cdot P ( r , t | r _ { 0 } , t _ { 0 } ) \nabla D } \\ & { = \nabla \cdot D \nabla P ( r , t | r _ { 0 } , t _ { 0 } ) + \nabla \cdot P ( r , t | r _ { 0 } , t _ { 0 } ) { \frac { F ( r ) } { \gamma } } - \nabla \cdot P ( r , t | r _ { 0 } , t _ { 0 } ) D \beta F ( r ) } \end{array} }
\mathbf { M } = \left[ \begin{array} { l l l } { \Omega _ { + + } ^ { 0 } } & { \Omega _ { + - } ^ { 0 } } & { 0 } \\ { \Omega _ { + - } ^ { 0 } } & { \Omega _ { -- } ^ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { z F } & { 1 } & { 0 } \\ { - z F } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - x } \end{array} \right]
g ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { { - 2 \lambda _ { 2 } , } } & { { - 6 \lambda _ { 3 } , } } & { { - 4 \lambda _ { 4 } } } \\ { { - 6 \lambda _ { 3 } , } } & { { 4 \lambda _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ^ { 2 } - 4 \lambda _ { 4 } ) , } } & { { \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } } \\ { { - 4 \lambda _ { 4 } , } } & { { + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } , } } & { { - 2 \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } + \frac 3 4 \lambda _ { 3 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { f _ { i , j } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { = } & { P _ { i , j } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) + P _ { j , i } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) } \\ & { = } & { 2 ^ { 4 } ( \beta _ { i , j } \gamma _ { i , j } ) ^ { 3 / 4 } e ^ { - \gamma _ { i , j } q ^ { 2 } } e ^ { - \beta _ { i , j } p ^ { 2 } } \cos ( 2 \tau _ { i , j } \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pr [ Y = 0 | X = 0 ] } & { { } = 1 - P _ { e } } \\ { \Pr [ Y = 0 | X = 1 ] } & { { } = 0 } \\ { \Pr [ Y = 1 | X = 0 ] } & { { } = 0 } \\ { \Pr [ Y = 1 | X = 1 ] } & { { } = 1 - P _ { e } } \\ { \Pr [ Y = e | X = 0 ] } & { { } = P _ { e } } \\ { \Pr [ Y = e | X = 1 ] } & { { } = P _ { e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } \frac { N _ { l k } ^ { 2 } ( t ) } { D _ { l k } } } & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) } \int _ { [ - 1 ; 1 ] ^ { C } } e ^ { t u \sigma _ { l } } e ^ { - \frac { n \alpha _ { n } } { 2 } ( \sigma _ { l } u - f _ { 0 , l k } ) ^ { 2 } } \underbrace { E _ { 0 } ( e ^ { \varepsilon _ { l k } \sqrt { \alpha _ { n } } ( \sqrt { n \alpha _ { n } } ( \sigma _ { l } u - f _ { 0 , l k } ) - \zeta _ { l } ) } ) } _ { e ^ { \frac { \alpha _ { n } ( \sqrt { n \alpha _ { n } } ( \sigma _ { l } u - f _ { 0 , l k } ) - \zeta _ { l } ) ^ { 2 } } { 2 } } } \varphi ( u ) d u } \\ & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) + \frac { \alpha _ { n } \zeta _ { l } ^ { 2 } } { 2 } } \int _ { [ - 1 ; 1 ] ^ { C } } e ^ { t u \sigma _ { l } } e ^ { - ( 1 - \alpha _ { n } ) \left( \frac { n \alpha _ { n } } { 2 } ( \sigma _ { l } u - f _ { 0 , l k } ) ^ { 2 } \right) } e ^ { - \alpha _ { n } \sqrt { n \alpha _ { n } } \zeta _ { l } ( \sigma _ { l } u - f _ { 0 , l k } ) } d u } \\ & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) + \frac { \zeta _ { l } ^ { 2 } } { 2 } } \int _ { [ - 1 ; 1 ] ^ { C } } e ^ { t u \sigma _ { l } } e ^ { - \alpha _ { n } \sqrt { n \alpha _ { n } } \zeta _ { l } ( \sigma _ { l } u - f _ { 0 , l k } ) } \varphi ( u ) d u } \\ & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) + \frac { \zeta _ { l } ^ { 2 } } { 2 } + \alpha _ { n } \sqrt { n \alpha _ { n } } | \zeta _ { l } f _ { 0 , l k } | } \int _ { [ - 1 ; 1 ] ^ { C } } e ^ { u ( t \sigma _ { l } - \alpha _ { n } \sqrt { n \alpha _ { n } } \zeta _ { l } \sigma _ { l } ) } \varphi ( u ) d u } \\ & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) } \int _ { [ - 1 ; 1 ] ^ { C } } e ^ { u ( t \sigma _ { l } - \alpha _ { n } \sqrt { n \alpha _ { n } } \zeta _ { l } \sigma _ { l } ) } \varphi ( u ) d u , } \end{array}
1 = \int d ^ { 2 } { \bf r } \, | \Psi ( { \bf r } ) | ^ { 2 } = A _ { l } ^ { 2 } \, 2 \pi \kappa ^ { - 2 } \, \left\{ { \mathcal K } _ { i \Theta } ( \kappa a ) + \left( \frac { \kappa } { \tilde { k } } \right) ^ { 2 } \, \left[ \frac { K _ { i \Theta } ( \kappa a ) } { J _ { l } ( \tilde { k } a ) } \right] ^ { 2 } \, { \mathcal J _ { l } } ( \tilde { k } a ) \right\} \; ,
\begin{array} { r l } { H ^ { ( F ) } ( - { \bf k } ) } & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } \! \left\{ \! m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } + 2 { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \cos ( k _ { x } a ) + \cos ( k _ { y } a ) \right] \! \right\} \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { \! + \! t _ { z } \sum _ { j _ { z } } \! \left( \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } + C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \! \right) \! \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sum _ { j _ { z } } \! \left( \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } \! - \! C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \! \right) \! } \\ & { \! - \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { x } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \! - \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { y } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { \! + \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \sum _ { n \in \mathrm { o d d } , n > 0 } \frac { 2 i \lambda _ { | | } { \cal J } _ { n } ^ { 2 } ( A ( z ) a ) } { n \hbar \omega } \sin \left( \frac { n \pi } { 2 } \right) \left\{ - 2 t _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \sin ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { 0 } ] - 2 t _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { 0 } , \gamma _ { y } ] \right. } \\ & { \left. - \lambda _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { y } ] \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| T u \| ^ { 2 } } & { = \| m u _ { 1 } - i ( \partial _ { 1 } - i \partial _ { 2 } ) u _ { 2 } \| ^ { 2 } + \| i ( \partial _ { 1 } + i \partial _ { 2 } ) u _ { 1 } + m u _ { 2 } \| ^ { 2 } } \\ & { = m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } + \| \nabla u \| ^ { 2 } - 2 \Re ( \partial _ { 1 } u _ { 2 } , i \partial _ { 2 } u _ { 2 } ) + 2 \Re ( \partial _ { 1 } u _ { 1 } , i \partial _ { 2 } u _ { 1 } ) } \\ & { \quad - 2 m \Re ( u _ { 1 } , i ( \partial _ { 1 } - i \partial _ { 2 } ) u _ { 2 } ) - 2 m i \Re ( ( \partial _ { 1 } + i \partial _ { 2 } ) u _ { 1 } , u _ { 2 } ) } \\ & { = m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } + \| \nabla u \| ^ { 2 } - 2 \Re ( \partial _ { 1 } u _ { 2 } , i \partial _ { 2 } u _ { 2 } ) + 2 \Re ( \partial _ { 1 } u _ { 1 } , i \partial _ { 2 } u _ { 1 } ) } \\ & { \quad - 2 \Re m i \int _ { 0 } ^ { c } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } | _ { x = \frac { b } { c } y } ^ { x = \frac { y ( b - a ) } { c } + a } d y - 2 \Re m \int _ { 0 } ^ { b } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } | _ { y = 0 } ^ { y = \frac { c x } { b } } d x - 2 \Re m \int _ { b } ^ { a } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } | _ { y = 0 } ^ { y = \frac { c x - a c } { b - a } } d x } \\ & { = m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } + \| \nabla u \| ^ { 2 } - 2 \Re ( \partial _ { 1 } u _ { 2 } , i \partial _ { 2 } u _ { 2 } ) + 2 \Re ( \partial _ { 1 } u _ { 1 } , i \partial _ { 2 } u _ { 1 } ) + m \| u \| _ { O A } ^ { 2 } + m \| u \| _ { O B } ^ { 2 } } \\ & { \quad - 2 \Re m i \int _ { 0 } ^ { c } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } | _ { x = \frac { y ( b - a ) } { c } + a } d y - 2 \Re m \int _ { b } ^ { a } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } | _ { y = \frac { c x - a c } { b - a } } d x } \\ & { = m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } + \| \nabla u \| ^ { 2 } - 2 \Re ( \partial _ { 1 } u _ { 2 } , i \partial _ { 2 } u _ { 2 } ) + 2 \Re ( \partial _ { 1 } u _ { 1 } , i \partial _ { 2 } u _ { 1 } ) + m \| u \| _ { O A } ^ { 2 } + m \| u \| _ { O B } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \int _ { A B } - 2 m \Re i \, n _ { 1 _ { A B } } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } - 2 m \Re \, n _ { 2 _ { A B } } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu } & { = } & { 6 \pi \sqrt { 3 } , \quad \mu _ { \mathrm { C } } = \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } + \mu _ { 3 } , \quad \mu _ { i } = \int _ { r _ { i 1 } } ^ { r _ { i 2 } } m _ { i } \left( r \right) d r , } \\ { r } & { \in } & { \left[ r _ { 1 1 } = 0 , r _ { 1 2 } = 1 \right] , \quad m _ { 1 } \left( r \right) = 3 \pi \sqrt { 3 } - 1 2 r + r ^ { 2 } \left( 3 - \pi / \sqrt { 3 } \right) , } \\ { r } & { \in } & { \left[ r _ { 2 1 } = 1 , r _ { 2 2 } = \sqrt { 3 } \right] , \quad m _ { 2 } \left( r \right) = \pi \sqrt { 3 } \left( r ^ { 2 } + 5 \right) - 9 \sqrt { 4 r ^ { 2 } - 3 } \; . . . } \\ & { } & { \quad \quad . . . \; - 2 \sqrt { 3 } \left( 3 + 2 r ^ { 2 } \right) \arcsin \left( \sqrt { 3 } / 2 r \right) , } \\ { r } & { \in } & { \left[ r _ { 3 1 } = \sqrt { 3 } , r _ { 3 2 } = 2 \right] , \quad m _ { 3 } \left( r \right) = 2 \sqrt { 3 } \left( r ^ { 2 } + 1 2 \right) \arcsin \left( \sqrt { 3 } / r \right) \; . . . } \\ & { } & { \quad \quad . . . \; + 3 0 \sqrt { r ^ { 2 } - 3 } - \left( 8 \pi \sqrt { 3 } + 1 8 \right) - r ^ { 2 } \left( 3 + 2 \pi / \sqrt { 3 } \right) , } \\ { \mu _ { 1 } } & { = } & { 1 0 . 7 2 0 , \quad \mu _ { 2 } = 1 . \, 8 3 7 \, 4 , \quad \mu _ { 3 } = 1 . 1 5 4 \, 7 \times 1 0 ^ { - 2 } , } \end{array}
{ \cal L } _ { V V P } = \frac { G } { \sqrt { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \langle \partial _ { \mu } V _ { \nu } \partial _ { \alpha } V _ { \beta } P \rangle , \qquad { \cal L } _ { V \gamma } = - 4 f ^ { 2 } e g A _ { \mu } \langle Q V ^ { \mu } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) = \rho ( \mathbf { x } , \omega ) - \rho _ { 0 } ( \omega ) } & { { } = \operatorname { I m } \operatorname { T r } \left[ \frac { 1 } { \pi \omega } \left( \mathbb { G } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } , \omega ) - \mathbb { G } _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } , \omega ) \right) \right] } \end{array}