harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma } & { = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma } \\ { 1 } & { = \cot \beta \cot \gamma + \cot \gamma \cot \alpha + \cot \alpha \cot \beta } \\ { \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) + \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) + \cot \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } & { = \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) \cot \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } \\ { 1 } & { = \tan \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) \tan \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) + \tan \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) \tan \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) + \tan \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \tan \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) } \\ { \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma } & { = 4 \cos \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \cos \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) \cos \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } \\ { - \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma } & { = 4 \cos \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \sin \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) \sin \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } \\ { \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma } & { = 4 \sin \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \sin \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) \sin \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) + 1 } \\ { - \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma } & { = 4 \sin \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \cos \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) \cos \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) - 1 } \\ { \sin ( 2 \alpha ) + \sin ( 2 \beta ) + \sin ( 2 \gamma ) } & { = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma } \\ { - \sin ( 2 \alpha ) + \sin ( 2 \beta ) + \sin ( 2 \gamma ) } & { = 4 \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma } \\ { \cos ( 2 \alpha ) + \cos ( 2 \beta ) + \cos ( 2 \gamma ) } & { = - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 1 } \\ { - \cos ( 2 \alpha ) + \cos ( 2 \beta ) + \cos ( 2 \gamma ) } & { = - 4 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 } \\ { \sin ^ { 2 } \alpha + \sin ^ { 2 } \beta + \sin ^ { 2 } \gamma } & { = 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 2 } \\ { - \sin ^ { 2 } \alpha + \sin ^ { 2 } \beta + \sin ^ { 2 } \gamma } & { = 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma } \\ { \cos ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \beta + \cos ^ { 2 } \gamma } & { = - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 1 } \\ { - \cos ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \beta + \cos ^ { 2 } \gamma } & { = - 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1 } \\ { \sin ^ { 2 } ( 2 \alpha ) + \sin ^ { 2 } ( 2 \beta ) + \sin ^ { 2 } ( 2 \gamma ) } & { = - 2 \cos ( 2 \alpha ) \cos ( 2 \beta ) \cos ( 2 \gamma ) + 2 } \\ { \cos ^ { 2 } ( 2 \alpha ) + \cos ^ { 2 } ( 2 \beta ) + \cos ^ { 2 } ( 2 \gamma ) } & { = 2 \cos ( 2 \alpha ) \, \cos ( 2 \beta ) \, \cos ( 2 \gamma ) + 1 } \\ { 1 } & { = \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) + \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) + \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) + 2 \sin \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \, \sin \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) \, \sin \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 4 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } k r _ { g } J _ { 4 } R _ { \oplus } ^ { 4 } \Big \{ \Big ( 8 ( \vec { s } \cdot \vec { m } ) ^ { 2 } \big ( ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ^ { 2 } + ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } - 1 \big ) + \big ( ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } - 1 \big ) ^ { 2 } \Big ) \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \Big ( \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { 2 r ^ { 3 } } - \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } \Big ) + } \\ & { + } & { \Big ( 3 ( \vec { s } \cdot \vec { m } ) ^ { 2 } \big ( ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ^ { 2 } + ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } - 1 \big ) + ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } \big ( 3 - 4 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } \big ) \Big ) \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 5 } } + } \\ & { + } & { { \textstyle \frac { 5 } { 2 } } \Big ( \big ( ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ^ { 2 } - ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } \big ) ^ { 2 } - 4 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ^ { 2 } ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } \Big ) b ^ { 2 } \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 7 } } + } \\ & { + } & { 1 0 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) \big ( ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } - ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ^ { 2 } \big ) \frac { b ^ { 3 } } { r ^ { 7 } } + 2 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) \big ( 3 - 7 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } \big ) \frac { b } { r ^ { 5 } } \Big \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ m ~ 2 ~ } } & { { } = \int - \left( \frac { 1 } { n _ { h } } \left( \int ( { \mathbf A } _ { h } - { \mathbf p } ) f _ { h } \mathrm { d } { \mathbf p } \right) \times ( \nabla \times { \mathbf A } _ { h } ) \right) ^ { \top } { \mathbf C } \mathrm { d } { \mathbf x } } \end{array}
H _ { h c } = \frac { h f _ { p } } { 2 } \left( \frac { \Phi ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { S G } ^ { 2 } \Phi } + \frac { N _ { - } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { S G } ^ { 2 } N _ { - } } \right) ,
{ \hat { \Psi } } \ = \ \sum _ { j = | k | - 1 / 2 } ^ { \infty } \sum _ { | m | \le j } [ a _ { k m } ^ { j + } { \hat { D } } _ { k - 1 / 2 , m } ^ { j } a \ + \ a _ { k m } ^ { j - } { \hat { D } } _ { k + 1 / 2 , m } ^ { j } a ^ { * } ] \ \in \ { \hat { \cal S } } _ { k } \ ,
\frac { 1 } { \sqrt { m _ { H ^ { \prime } } m _ { H } } } \langle H ^ { \prime } | \bar { Q } ^ { \prime } \Gamma Q \vert H \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \bar { \Lambda } _ { H ^ { \prime } } \bar { \Lambda } _ { H } } } \langle H _ { v ^ { \prime } } ^ { \prime } \vert J _ { e f f } e ^ { i \int d ^ { 4 } x { \cal L } _ { e f f } } | H _ { v } \rangle .
\begin{array} { r l r } { I ( t | \vec { \tau } ) } & { = } & { \mathbb { E } _ { X } \Big [ \left( \frac { \partial } { \partial t } \ln P ( x | n , \vec { r } , \vec { \tau } , x ) \right) ^ { 2 } \Big ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { X } \Big [ \frac { r _ { k } ^ { 2 } \left( w ^ { 2 } x ^ { 2 } - 2 n w x + n ^ { 2 } \right) } { ( 1 - w ) ^ { 2 } } \Big ] } \\ & { = } & { \frac { r _ { k } ^ { 2 } w ^ { 2 } } { ( 1 - w ) ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { X } \Big [ x ^ { 2 } \Big ] - \frac { 2 n r _ { k } ^ { 2 } w } { ( 1 - w ) ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { X } \Big [ x \Big ] + \frac { n ^ { 2 } r _ { k } ^ { 2 } } { ( 1 - w ) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { r _ { k } ^ { 2 } } { ( 1 - w ) ^ { 2 } } \Bigg [ w ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } x ^ { 2 } \binom { x - 1 } { j - 1 } w ^ { n } ( 1 - w ) ^ { x - n } - 2 n w \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } x \binom { x - 1 } { j - 1 } w ^ { n } ( 1 - w ) ^ { x - n } + n ^ { 2 } \Bigg ] , } \end{array}
d _ { n } ^ { \cal O } ( R ) = \frac { 1 } { n ! } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \int d \theta _ { 1 } \ldots d \theta _ { n } F _ { n , n } ^ { \cal O } ( \theta _ { n } , \ldots , \theta _ { 1 } | \theta _ { 1 } , \ldots , \theta _ { n } ) e ^ { - E _ { n } R } \, \, \,
\begin{array} { r l } { \langle J _ { X } x - J _ { X } y , x - y \rangle } & { \geq \frac { R ^ { 2 } } { 2 \Gamma _ { X } } \delta _ { X } \left( \frac { \| x - y \| _ { X } } { 2 R } \right) , } \\ { \| J _ { X } x - J _ { X } y \| _ { X ^ { * } } } & { \leq \frac { R ^ { 2 } } { 2 \Gamma _ { X } \| x - y \| _ { X } } \sigma _ { X } \left( \frac { 1 6 \Gamma _ { X } \| x - y \| _ { X } } { R } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { K L } ^ { \infty } } & { = \frac { 1 } { 2 } \langle \partial g _ { K L } ^ { \infty } / \partial z _ { 1 } \rvert \rho _ { e q } \lvert \partial g _ { K L } ^ { \infty } / \partial z _ { 1 } \rangle = } \\ & { = \frac { | \xi _ { 1 } | } { \pi } \langle \exp \{ - | \xi _ { 1 } | z _ { 1 } ^ { 2 } \} \rho _ { e q } \rangle = } \\ & { = \frac { | \xi _ { 1 } | } { \pi } \rho _ { e q } ( \mathbf { x } _ { s } ) \langle \exp \{ - \sum _ { j } | \xi _ { j } | z _ { j } ^ { 2 } / 2 \} \rangle , } \end{array}
\lambda _ { i i } ( \alpha , f ) = \left. \left\langle \varphi _ { i } \right\vert \hat { h } ^ { \mathrm { D F T } } + \alpha \hat { v } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } \left\vert \varphi _ { i } \right\rangle \right\vert _ { f _ { i } = f } = \left. \frac { \partial E ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } } { \partial f _ { i } } \right\vert _ { f _ { i } = f }
\begin{array} { r l } { x { \mathbf i } + y { \mathbf j } + z { \mathbf k } = } & { { } x \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) + y \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) + k \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 5 } ^ { 2 } ( r , \theta ) \rangle } & { = \frac { k _ { B } T } { \gamma } \frac { 1 } { \pi } \Big [ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { Z ^ { p } ( \ell _ { c } , 0 , \alpha ) } { 2 K _ { 0 , \alpha } } \psi _ { 0 , \alpha } ^ { 2 } ( r ) } \\ & { + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { Z ^ { p } ( \ell _ { c } , n , \alpha ) } { K _ { n , \alpha } } \psi _ { n , \alpha } ^ { 2 } ( r ) \Big ] . } \end{array}
y _ { c } = \frac { V } { \left( 1 2 M ^ { 3 } \left( \frac { V } { 1 2 M ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 1 2 } \sqrt { - \frac { 6 \Lambda } { M ^ { 3 } } } \right) \right) } \sum _ { i = 2 } ^ { 2 4 } \beta _ { i } y _ { i }
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] g ( x , v ) } & { = \lambda _ { r } \Bigg ( \nu ( v ) \int ( g ( x , R ( x ) y ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) y ) - g ( x , y ) \lambda _ { 1 } ( x , y ) ) d y } \\ & { \quad + \left( \nu ( v ) \int g ( x , y ) d y \right) \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \leqslant s } \| Y _ { r } - \tilde { Y } _ { r } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \lesssim } & { { L _ { s } ^ { \prime } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { r \leqslant t } \| Y _ { r } - \tilde { Y } _ { r } \| ^ { 2 } ] \mathrm { d } t + \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { T - t } ( Y _ { t } ) - \nabla _ { U } \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \| ^ { 2 } ] \mathrm { d } t } \\ & { } & { + \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { U } \log \frac { p _ { T - \lfloor t \rfloor } } { \nu } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) - \tilde { s } ( \lfloor t \rfloor , Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \right\| ^ { 2 } \right] \mathrm { d } t } \\ & { = } & { { L _ { s } ^ { \prime } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { r \leqslant t } \| Y _ { r } - \tilde { Y } _ { r } \| ^ { 2 } ] \mathrm { d } t + \int _ { 0 } ^ { s } B _ { 1 } + B _ { 2 } \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( m + m _ { x } ) \dot { u } - ( m + m _ { y } ) v _ { m } r - x _ { G } m r ^ { 2 } } & { { } = X } \\ { ( m + m _ { y } ) \dot { v } _ { m } + ( m + m _ { x } ) u r + x _ { G } m \dot { r } } & { { } = Y } \\ { ( I _ { z z } + J _ { z z } + x _ { G } ^ { 2 } m ) \dot { r } + x _ { G } m ( \dot { v } _ { m } + u r ) } & { { } = N \enspace . } \end{array}
X _ { a } ^ { i } = \left( \begin{array} { c c } { { X _ { a , 1 1 } ^ { i } } } & { { X _ { a , 1 2 } ^ { i } \nonumber } } \\ { { X _ { a , 2 1 } ^ { i } } } & { { X _ { a , 2 2 } ^ { i } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { C _ { a } ^ { i } + { { \cal O } ( t ) } } } & { { { { \cal O } ( t ^ { \gamma } ) } \nonumber } } \\ { { { { \cal O } ( t ^ { \gamma } ) } } } & { { { \frac { T _ { a } ^ { i } } { s - \mu _ { a } } } } } \end{array} \right) .
v _ { \lambda } ( p ) { \bar { u } } _ { \lambda } ( q ) = - \frac { 1 } { 2 } { \frac { 1 } { ( 2 p \, q ) ^ { 1 / 2 } } } \, \left( 1 - \lambda \, \gamma ^ { 5 } \right) p \llap { / } q \llap { / }
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { \mathrm { a d } _ { X _ { i - 2 } } = \lambda _ { i } E _ { i ( i - 1 ) } - \lambda _ { i - 1 } E _ { ( i - 1 ) ( i - 3 ) } = \lambda _ { i } E _ { i ( i - 1 ) } } \\ & { \mathrm { a d } _ { X _ { i - 1 } } = \lambda _ { i + 1 } E _ { ( i + 1 ) i } - \lambda _ { i } E _ { i ( i - 2 ) } } \\ & { \mathrm { a d } _ { X _ { i } } = \lambda _ { i + 2 } E _ { ( i + 2 ) ( i + 1 ) } - \lambda _ { i + 1 } E _ { ( i + 1 ) ( i - 1 ) } = - \lambda _ { i + 1 } E _ { ( i + 1 ) ( i - 1 ) } } \\ & { \mathrm { a d } _ { X _ { i + 1 } } = \lambda _ { i + 3 } E _ { ( i + 3 ) ( i + 2 ) } - \lambda _ { i + 2 } E _ { ( i + 2 ) i } = \lambda _ { i + 3 } E _ { ( i + 3 ) ( i + 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { ( 2 ) } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) } & { { } = 0 , \mathrm { i f } \ \ \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) > r _ { \mathrm { s h o r t } } } \\ { e ^ { ( 3 ) } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) } & { { } = 0 , \mathrm { i f } \ \ \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) > r _ { \mathrm { s h o r t } } \ \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) > r _ { \mathrm { s h o r t } } \ \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { k } , \vec { p } _ { i } ) > r _ { \mathrm { s h o r t } } , } \end{array}
\operatorname { S i m } \big ( \mathbf { T } _ { i } , \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ K ~ } } \big ) = \exp \big ( \mathbf { T } _ { i } \left( \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ K ~ } } \right) ^ { \sf T } \big )
\Gamma _ { \pi \sigma \sigma \pi } ^ { \, i \, \cdot \, \cdot \, j } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = G ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \delta ^ { i j } \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \mathbb { I } _ { \{ \eta \ge k \} } \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { k - 1 } } ] } & { = } & { \mathbb { E } [ \mathbb { I } _ { \{ \eta \ge k - 1 \} } \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { k - 2 } } \mathbb { E } [ \mathbb { I } _ { \{ R _ { \tau _ { h } ^ { k - 1 } } > 0 \} } \lambda ^ { \tau _ { h } \circ \theta ^ { \tau _ { h } ^ { k - 2 } } } | { \mathcal F } _ { \tau _ { h } ^ { k - 2 } } ] ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \mathbb { I } _ { \{ \eta \ge k - 1 \} } \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { k - 2 } } \mathbb { E } _ { R _ { \tau _ { h } ^ { k - 2 } } } [ \mathbb { I } _ { \{ R _ { \tau _ { h } } > 0 \} } \lambda ^ { \tau _ { h } } ] ] . } \end{array}
U = - 2 \sinh \left( { \frac { \varepsilon } { 2 k T } } \right) { \frac { - \cosh \left( { \frac { \varepsilon } { 2 k T } } \right) } { 2 \sinh ^ { 2 } \left( { \frac { \varepsilon } { 2 k T } } \right) } } { \frac { \varepsilon } { 2 } } = { \frac { \varepsilon } { 2 } } \coth \left( { \frac { \varepsilon } { 2 k T } } \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| F _ { h } ^ { * } ( \cdot , z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) - F _ { h } ^ { * } ( \cdot , z ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } & { \lesssim \| F _ { h } ^ { * } ( \cdot , \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) - F _ { h } ^ { * } ( \cdot , z ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \| F _ { h } ^ { * } ( \cdot , z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) - F _ { h } ^ { * } ( \cdot , \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \| F _ { h } ^ { * } ( \cdot , \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) ) - F _ { h } ^ { * } ( \cdot , \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { h } ( \cdot , \nabla u ) ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \| F _ { h } ^ { * } ( \cdot , \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { h } ( \cdot , \nabla u ) - F _ { h } ^ { * } ( \cdot , \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \cdot , \nabla u ) ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) ^ { * } ) _ { \smash { \vert \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } \vert } } , \Omega } ( z _ { h } ^ { \textit { r t } } - \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) } \\ & { \lesssim \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \big ( 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s } ( \nabla u ) \big ) } \\ & { \quad + \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) ^ { * } ) _ { \smash { \vert \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) \vert } } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } \chi _ { c } \partial _ { x } \psi \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } } & { \leq \frac { C } { \mathsf { m } } \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } \Delta ( \chi _ { c } \partial _ { x } \psi ) \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } } \\ & { \leq \frac { C } { \mathsf { m } } \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } [ \Delta , \chi _ { c } ] \partial _ { x } \psi \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } + \frac { C } { \mathsf { m } } \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } F ^ { \prime } ( \psi ) \partial _ { x } \psi \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } } \\ & { \leq \frac { C } { \mathsf { m } } e ^ { \mathsf { m } ( 1 + c ) } \| \partial _ { x } \psi \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } + \frac { C } { \mathsf { m } } \| F ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( \textrm { r a n g } ( \psi ) ) } \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } \chi _ { c } \partial _ { x } \psi \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iota _ { \Phi } ( \phi ) } & { = ( \phi \circ \mathbf { F } ) , } \\ { \iota _ { \boldsymbol { \omega } } ( \boldsymbol { \psi } ) } & { = ( \mathbf { D F } ) ^ { T } ( \boldsymbol { \psi } \circ \mathbf { F } ) , } \\ { \iota _ { \mathbf { u } } ( \mathbf { v } ) } & { = J ( \mathbf { D F } ) ^ { - 1 } ( { \mathbf { v } \circ \mathbf { F } } ) , } \\ { \iota _ { p } ( q ) } & { = J ( q \circ \mathbf { F } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { y _ { i + 1 } ^ { j } } & { = y _ { i } ^ { j } - { \frac { \delta _ { i j } } { q _ { i } } } } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } ^ { j } } & { = ( k _ { 1 } ^ { j } - k _ { 0 } ^ { j } ) + ( k _ { 2 } ^ { j } - k _ { 1 } ^ { j } ) + \cdots + ( k _ { m - 1 } ^ { j } - k _ { m - 2 } ^ { j } ) + ( k _ { m } ^ { j } - k _ { m - 1 } ^ { j } ) } \\ & { = k _ { m } ^ { j } - k _ { 0 } ^ { j } } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } ^ { j } } & { = k _ { m } ^ { j } } \\ { y _ { 1 } ^ { j } } & { = ( k _ { 1 } ^ { j } - k _ { 0 } ^ { j } ) = k _ { 1 } ^ { j } } \\ { y _ { 2 } ^ { j } } & { = y _ { 1 } ^ { j } - { \frac { \delta _ { 1 j } } { q _ { 1 } } } = k _ { 1 } ^ { j } - { \frac { \delta _ { 1 j } } { q _ { 1 } } } } \\ { y _ { 3 } ^ { j } } & { = k _ { 1 } ^ { j } - { \frac { \delta _ { 1 j } } { q _ { 1 } } } - { \frac { \delta _ { 2 j } } { q _ { 2 } } } } \\ & { \vdots } \\ { y _ { i } ^ { j } } & { = k _ { 1 } ^ { j } - \sum _ { r = 1 } ^ { i - 1 } { \frac { \delta _ { r j } } { q _ { r } } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { k _ { 1 } ^ { j } } & { j \geq i } \\ { k _ { 1 } ^ { j } - { \frac { 1 } { q _ { j } } } } & { j \leq i } \end{array} \right. } } \\ { k _ { i } ^ { j } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { i } y _ { m } ^ { j } = { \left\{ \begin{array} { l l } { i \cdot k _ { 1 } ^ { j } } & { j \geq i } \\ { i \cdot k _ { 1 } ^ { j } - { \frac { i - j } { q _ { j } } } } & { j \leq i } \end{array} \right. } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { H _ { \xi } } & { = \sqrt { \left( \frac { \partial x } { \partial \xi } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial y } { \partial \xi } \right) ^ { 2 } } , } \\ { H _ { \phi } } & { = \sqrt { \left( \frac { \partial x } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial y } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \alpha _ { n } ^ { m } , \beta _ { n } ^ { m } , \rho _ { n } ^ { m } \in \mathbb C } \Big \| \tilde { \mathbf { H } } - \big ( \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { 1 } } \sum _ { m = - n } ^ { n } \alpha _ { n } ^ { m } \mathcal { I } _ { n } ^ { m } + \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 2 } } \sum _ { m = - n } ^ { n } \beta _ { n } ^ { m } \mathcal { T } _ { n } ^ { m } + \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 3 } } \sum _ { m = - n } ^ { n } \rho _ { n } ^ { m } \mathcal { N } _ { n } ^ { m } \big ) \Big \| _ { \hat { \Gamma } } .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \epsilon } p _ { w } \log ( w ) d w \geq \int _ { 0 } ^ { \epsilon } C \log ( w ) d w = C ( \epsilon \log ( \epsilon ) - \epsilon ) > - \infty } \\ { I _ { 2 } } & { = \int _ { \epsilon } ^ { \infty } p _ { w } \log ( w ) d w \geq \int _ { \epsilon } ^ { \infty } p _ { w } \left( 1 - \frac { 1 } { w } \right) d w \geq \int _ { \epsilon } ^ { \infty } p _ { w } \left( 1 - \frac { 1 } { \epsilon } \right) d w \geq 1 - \frac { 1 } { \epsilon } > - \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A s y m V a r ( \widetilde { B } _ { k } ) } & { = \cfrac { 2 c \sigma ^ { 2 } } { \big ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } \bigg [ \big ( 4 A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } \\ & { + \cfrac { 5 A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { \big ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( t ) } & { { } = } & { f _ { \parallel } ( t ) + f _ { \perp } ( t ) , } \\ { f _ { \parallel } ( t ) } & { { } = } & { - \biggl \langle Q _ { \parallel } \, \frac { k } { k + \mathcal { H } - \mathcal { E } } \, Q _ { \parallel } \biggr \rangle , } \\ { f _ { \perp } ( t ) } & { { } = } & { - \biggl \langle \vec { Q } _ { \perp } \, \frac { k } { k + \mathcal { H } - \mathcal { E } } \, \vec { Q } _ { \perp } \biggr \rangle , } \end{array}
\hat { H } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { k } ) = \hat { H } _ { \mathrm { m o l } } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { k } ) + \hat { H } _ { \mathrm { c a v } } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { k } ) + \hat { H } _ { \mathrm { c a v - m o l } } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { k } ) ,
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { } & { ( \mathbb I + \Sigma T ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } x } & { = y } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { x } & { \in y + \Sigma T ^ { - 1 } y } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { y } & { \in T ( \Sigma ^ { - 1 } ( x - y ) ) } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { \Sigma ^ { - 1 } x } & { \in \Sigma ^ { - 1 } T ( \Sigma ^ { - 1 } ( x - y ) ) + \Sigma ^ { - 1 } ( x - y ) } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { \Sigma ^ { - 1 } x } & { \in ( \mathbb I + \Sigma ^ { - 1 } T ) ( \Sigma ^ { - 1 } ( x - y ) ) } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { x - y } & { \in \Sigma J _ { \Sigma ^ { - 1 } T } ( \Sigma ^ { - 1 } x ) . } \end{array}