harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \left\langle e ^ { - \int d ^ { D } x \, i \widetilde { V } \, \Psi ^ { \dagger } \Psi } \right\rangle } & { { } = } & { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { D } x \, \, \, d ^ { D } x \, ^ { \prime } \, \Psi ^ { \dagger } \left( x \right) \Psi \left( x \right) \left\langle \widetilde { V } \left( x \right) \widetilde { V } \left( x ^ { \prime } \right) \right\rangle \Psi ^ { \dagger } \left( x ^ { \prime } \right) \Psi \left( x ^ { \prime } \right) } } \end{array}
I _ { 1 0 2 } ^ { a b c } = \frac { 2 g f _ { a b c } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } x _ { 1 2 } ^ { 2 } } \left[ [ 2 1 ^ { - } ] \rho _ { 1 } ^ { 2 } + [ 1 2 ^ { - } ] \rho _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ( \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } ) \right] \; .
\xi \rightarrow \infty : \ \ \sigma ^ { 2 } \simeq 4 \xi ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 6 } \cdot \frac { 1 } { \xi ^ { 4 } } { + \cal O } ( 1 / \xi ^ { 6 } ) \right) , \ \, d e l t a ^ { 2 } \simeq 2 \left( 1 - \frac { 1 } { 8 } \cdot \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 1 6 } \cdot \frac { 1 } { \xi ^ { 4 } } + { \cal O } ( 1 / \xi ^ { 6 } ) \right) ,
\begin{array} { r l r } { S } & { { } = } & { \int _ { z _ { i } } ^ { z _ { f } } d z [ \mathcal { L } ( u _ { 1 } , u _ { 1 , z } , u _ { 1 , \tau } , \ldots , z ) - \mathcal { L } ( u _ { 2 } , u _ { 2 , z } , u _ { 2 , \tau } , \ldots , z ) + \mathcal { R } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho \left( d e n s i t y \right) \to h \left( d e p t h \right) } \\ & { { { u } _ { i } } \left( v e l o c i t y \right) \to { { { \bar { u } } } _ { i } } \left( m e a n - v e l o c i t y \right) } \\ & { p \left( p r e s s u r e \right) \to \frac { 1 } { 2 } g \left( { { h } ^ { 2 } } - { { H } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { - } ( \eta , r , } & { { } \theta , \phi ) = \mathcal { A } _ { 0 } \frac { \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } r } { \omega _ { 0 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } e ^ { - r ^ { 2 } / \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Gamma _ { h } } \left[ \left| \partial _ { 2 } v \right| ^ { 2 } - \left| \partial _ { 1 } v \right| ^ { 2 } + k _ { + } ^ { 2 } | v | ^ { 2 } \right] d s } & { \leq 2 k _ { + } \textrm { I m } \int _ { \Gamma _ { h } } \bar { v } \partial _ { 2 } v d s , } \\ { \mathrm { I m } \int _ { \Gamma _ { h } } \overline { { v } } \partial _ { 2 } v d s } & { \geq 0 . } \end{array}
S ^ { v } \left[ \frac { \pi _ { m } ^ { ( \Psi ) } } { s } \right] = \int _ { \mathcal { M } } \frac { 1 } { 2 } \frac { \pi _ { m } ^ { ( \Psi ) } } { s } \hat { M } \frac { \pi _ { m } ^ { ( \Psi ) } } { s } d v o l
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \gamma , \hat { x } _ { 0 } } \operatorname* { m a x } _ { \varphi } \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] + c \mathbf { P } ( U = 1 ) - d \alpha - d \beta ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ ~ } \mathbf { P } ( U = 1 ) > \bar { \kappa } . } \end{array}
\Delta = e ^ { 2 \lambda _ { 1 } } ( \mu _ { 1 } ^ { 2 } + \mu _ { 2 } ^ { 2 } ) + e ^ { 2 \lambda _ { 2 } } \mu _ { 3 } ^ { 2 } + e ^ { 2 \tilde { \lambda } _ { 2 } } \mu _ { 4 } ^ { 2 } .
s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \sqrt [ 2 \xi ] { \frac { c } { a } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \frac { 1 - \frac { 1 } { \pi } \arctan \sqrt { \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } - 1 } } { \xi } \pi } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \sqrt [ 2 \xi ] { \frac { c } { a } } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { 1 - \frac { 1 } { \pi } \arctan \sqrt { \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } - 1 } } { \xi } \pi } ,
\Phi _ { q } ( t ; x , y ) \, = \, \left( \begin{array} { c c } { { \chi _ { 1 } ( t ; x , y ) } } & { { \chi _ { 2 } ( t ; x , y ) } } \\ { { { \dot { \chi } _ { 1 } ( t ; x , y ) } } } & { { { \dot { \chi } _ { 2 } ( t ; x , y ) } } } \end{array} \right) \, ,
t = \overline { { s } } _ { m } + \frac { l _ { 1 } + r _ { 2 } - p - 1 } { p ^ { m + 1 } } + \frac { p - r _ { 1 } - l _ { 2 } + 1 } { p ^ { m + 2 } } - \sum _ { i = m + 3 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } < \overline { { s } } _ { m } + \frac { l _ { 1 } + r _ { 2 } - p - 1 } { p ^ { m + 1 } } + \frac { p } { p ^ { m + 2 } } = \overline { { s } } _ { m } + \frac { l _ { 1 } + r _ { 2 } - p } { p ^ { m + 1 } } \leq \overline { { s } } _ { m } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \ddot { z } - k ( \dot { z } ^ { 2 } + 1 ) = 0 , \, \textrm { f o r z \geq 0 } , } \\ { \ddot { z } + k ( \dot { z } ^ { 2 } + 1 ) = 0 , \, \textrm { f o r z < 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \widehat { \rho _ { 0 } \vec { u } } - ( \rho _ { 0 } \vec { u } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { { } = - \rho _ { 0 } \nabla \left( \alpha _ { 0 } { p ^ { \prime } } ^ { k } \right) + \mathbf { R } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\displaystyle - \left( \frac { 6 5 } { 2 2 4 } + \frac { 1 1 } { 1 4 0 } \zeta ( 3 ) + \frac { 1 } { 1 6 } \zeta ( 4 ) + \frac { 1 } { 1 2 0 } \zeta ( 5 ) + \frac { 1 } { 5 6 0 } \zeta ( 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 1 2 } \zeta ( 6 ) \right)
V ( \phi ) = \frac { 1 6 } { q ^ { 2 } \varrho ^ { 4 } } \exp ( \frac { \phi } { f _ { \phi } } ) + 2 \pi ^ { 2 } \frac { f _ { a } ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } \exp ( - 2 \frac { \phi } { f _ { \phi } } ) .
{ \widetilde { S } } ( z ) = { \frac { 6 } { ( 1 - 3 z ) } } F \left( { \frac { z } { 1 - 3 z } } \right) + { \frac { 1 8 z } { ( 1 - 3 z ) ^ { 2 } } } F ^ { \prime } \left( { \frac { z } { 1 - 3 z } } \right) + { \frac { 9 z ^ { 2 } } { ( 1 - 3 z ) ^ { 3 } } } F ^ { \prime \prime } \left( { \frac { z } { 1 - 3 z } } \right) + { \frac { z ^ { 3 } } { ( 1 - 3 z ) ^ { 4 } } } F ^ { ( 3 ) } \left( { \frac { z } { 1 - 3 z } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } , 0 ) \right] } & { = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { - u _ { T } } ( 0 , \xi , T , \eta ) \textrm { d } \eta } \\ & { = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , T , \xi ) \textrm { d } \eta } \end{array}
\left. \begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) r _ { 0 } + \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) R \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle } & { = \mathcal { E } r _ { 0 } } \\ { \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) _ { \mathfrak { V } } R \Phi _ { 0 } } & { = \mathcal { E } R \Phi _ { 0 } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { x = } & { \frac { \sqrt { 2 \hslash m \omega _ { M } } } { m Z _ { m } } \times } \\ & { \ \left\{ - \sqrt \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { M } } \frac { \gamma _ { + } } { ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } \left( { \mathcal { H } } \left[ \, b _ { a } + \sqrt \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 0 } } \, c _ { a } \right] \right. \right. } \\ & { \quad \left. \left. + { \mathcal { X } } \left[ \sqrt \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 0 } } \, c _ { \phi } + \frac { i \Omega \, b _ { \phi } } { \gamma _ { + } } \right] \right) + f _ { s } + f _ { T } \right\} . } \end{array}
\phi ( t , r , \theta , \varphi _ { 1 } , . . , \varphi _ { d - 3 } ) = \frac { 1 } { r ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } } \sum _ { l } Z _ { l } ( t , r ) Y _ { l 0 . . 0 } ( \theta ) \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { A \times A } W _ { 1 } ( \mu _ { u } , \mu _ { u ^ { \prime } } ) d \Upsilon _ { n } ( u , u ^ { \prime } ) } & { \leq \int _ { A \times A } W _ { 1 } ( \mu _ { u } , \hat { \mu } _ { u } ) d \Upsilon _ { n } ( u , u ^ { \prime } ) + \int _ { A \times A } W _ { 1 } ( \hat { \mu } _ { u } , \hat { \mu } _ { u ^ { \prime } } ) d \Upsilon _ { n } ( u , u ^ { \prime } ) } \\ & { + \int _ { A \times A } W _ { 1 } ( \hat { \mu } _ { u ^ { \prime } } , \mu _ { u ^ { \prime } } ) d \Upsilon _ { n } ( u , u ^ { \prime } ) . } \\ & { \leq \frac { 2 } { 3 } \varepsilon + \int _ { A \times A } W _ { 1 } ( \hat { \mu } _ { u } , \hat { \mu } _ { u ^ { \prime } } ) d \Upsilon _ { n } ( u , u ^ { \prime } ) . } \end{array}
{ \cal E } ^ { ( 1 ) } = - \frac { \langle V \rangle } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } \Gamma \left( \frac { n } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \omega - m ) ( n - 2 ) k ^ { n - 3 } \, d k .
{ \cal M } ^ { 0 } = \left( { \frac { \sqrt { 2 } e \mathrm { \ e } ^ { i \phi _ { \omega } } } { 2 \sin \theta _ { W } } } \right) \bar { u } ( e _ { L } , p ) { \frac { 1 + \gamma ^ { 5 } } { 2 } } v ( \omega , p ^ { \prime } ) \quad .
\quad \eta _ { 0 } = { \frac { 2 } { 3 { \sqrt { \pi } } } } \cdot { \frac { \sqrt { m k _ { B } T } } { \sigma } } = { \frac { 2 } { 3 { \sqrt { \pi } } } } \cdot { \frac { \sqrt { M R T } } { \sigma \cdot N _ { A } } }
\widetilde { H } _ { c } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 4 } ( B _ { i j } - Q _ { i j } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( A _ { i } + \partial _ { i } \theta ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 m ^ { 2 } } F _ { i j } F ^ { i j } - \frac { 1 } { 2 \cdot 3 ! m ^ { 2 } } H _ { i j k } H ^ { i j k } .
W ^ { \left( \mathrm { i } \right) } { \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } \right) } = \left\langle \Omega , \phi _ { { i } _ { 1 } } \left( x _ { { i } _ { 1 } } \right) \phi _ { { i } _ { 2 } } \left( x _ { { i } _ { 2 } } \right) \phi _ { { i } _ { 3 } } \left( x _ { { i } _ { 3 } } \right) \phi _ { { i } _ { 4 } } \left( x _ { { i } _ { 4 } } \right) \Omega \right\rangle ,
B _ { \mathrm { x c } } ( T ) = - \frac { 2 \pi \Lambda ^ { 3 } N _ { \mathrm { A } } } { 2 ^ { 3 / 2 } } \left\langle \exp \left( - \frac { \beta } { P } \sum _ { i = 1 } ^ { P } U _ { 2 } ( | \mathbf { R } _ { i + P } - \mathbf { R } _ { i } | ^ { 2 } ) \right) \right\rangle _ { \mu } .
\begin{array} { r l } { U _ { i } A _ { i j } V _ { j } ^ { * } + P 2 P _ { i j } } & { = \tilde { U } _ { i } L _ { i } A _ { i j } R _ { j } ^ { * } \tilde { V } _ { j } ^ { * } + \tilde { U } _ { i } \tilde { R } _ { i j } ^ { * } \tilde { V } _ { j } ^ { * } } \\ & { = \tilde { U } _ { i } ( L _ { i } A _ { i j } R _ { j } ^ { * } + \tilde { R } _ { i j } ^ { * } ) \tilde { V } _ { j } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \overline { { { m } } } _ { n 3 } ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { c } { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { s } R } ^ { 2 } \, f o r \, n = 0 , 1 } } \\ { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { b } R } ^ { 2 } \, f o r \, n = 2 , 3 } } \end{array} \right. } } & { { \overline { { { M } } } _ { n 3 } ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { c } { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { s } R } ^ { 2 } \, f o r \, n = 0 } } \\ { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { s } L } ^ { 2 } \, f o r \, n = 1 , 2 } } \\ { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { b } R } ^ { 2 } \, f o r \, n = 3 } } \end{array} \right. . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { r , i , j } ^ { t + 1 } } & { { } = } & { v _ { r , i , j } ^ { t } + \nu ( \frac { v _ { r , i + 1 , j } ^ { t } - 2 v _ { r , i , j } ^ { t } + v _ { r , i - 1 , j } ^ { t } } { ( \Delta r ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { v _ { r , i , j + 1 } ^ { t } - 2 v _ { r , i , j } ^ { t } + v _ { r , i , j - 1 } ^ { t } } { ( \Delta \theta ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { v _ { r , i + 1 , j } ^ { t } - v _ { r , i - 1 , j } ^ { t } } { 2 \Delta r } } \end{array}
\frac { 4 \pi } { 3 } \left( \frac { k _ { \mathrm { m a x } } } { 2 \pi } \right) ^ { 3 } = n ; \quad \Rightarrow \quad q _ { \mathrm { m a x } } = \left( \frac { 9 \pi } { 2 } \right) ^ { 1 / 3 } \simeq 2 . 4 1 8 .
\begin{array} { r l r } { d r ^ { \mu } } & { { } = } & { d r ^ { \prime \mu } + \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } d \phi ^ { \prime } + \varepsilon ( d r _ { 1 } ^ { \prime \mu } ) _ { \phi ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \mathbf { F } _ { R } } w _ { R } ( \phi _ { R } , \mathbf { F } _ { R } ) \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { \frac { 1 8 - 2 p ^ { n } } { p - 1 } } ( 0 , T ; L ^ { \frac { 1 8 - 2 p ^ { n } } { p - 1 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \hookrightarrow L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { x y } } & { { } = } & { \sqrt { ( \sigma _ { x y } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + D _ { T } ^ { 2 } Z } \, , } \\ { \sigma _ { z } } & { { } = } & { \sqrt { ( \sigma _ { z } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + D _ { L } ^ { 2 } Z } \, . } \end{array}
S _ { w o r m } = - 6 \pi ^ { 5 } \int d \rho \big [ { \frac { R ^ { 7 } } { N } } ( \partial _ { \rho } R ) ^ { 2 } + N R ^ { 7 } - { \frac { 1 } { 1 4 4 } } { \frac { R ^ { 9 } } { N } } ( \partial _ { \rho } \phi ) ^ { 2 } - { \frac { Q ^ { 2 } } { \pi ^ { 1 0 } } } { \frac { N } { R ^ { 9 } } } e ^ { - 2 \phi } \big ] .
L ( \eta , \varphi , X ) = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \eta \partial ^ { \mu } \eta + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \varphi \partial ^ { \mu } \varphi + \partial _ { \mu } X \partial ^ { \mu } X ^ { * } - V ( \eta , \varphi , X ) ,
\psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = \hat { \psi } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ( \Lambda ) , \quad { \bf T } ^ { \mathrm { e } } = \hat { { \bf T } } ^ { \mathrm { e } } ( \Lambda ) , \quad \mu = \hat { \mu } ( \Lambda ) , \quad \boldsymbol { \zeta } = \hat { \boldsymbol { \zeta } } ( \Lambda ) , \quad \mathrm { a n d } \quad { \bf e } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = \hat { { \bf e } } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ( \Lambda ) ,
e _ { 1 } + \frac { p _ { 1 } } { \rho _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( u _ { 1 } - D \right) ^ { 2 } = e _ { 2 } + \frac { p _ { 2 } } { \rho _ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( u _ { 2 } - D \right) ^ { 2 } ,
\tilde { U } _ { \mathrm { U C C S D } } ( \boldsymbol { \theta } ) \equiv C ^ { \dagger } U _ { \mathrm { U C C S D } } ( \boldsymbol { \theta } ) C = \prod _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { o p s } } } e ^ { - i \frac { \theta _ { k } } { 2 } \tilde { O } _ { k } } ,
\begin{array} { r l r l r l } & { ( \overline { { x } } , \overline { { y } } ) = \left( \frac { x } { L } , \frac { y } { H } \right) } & & { \overline { { \Lambda } } = \frac { 1 } { L } \Lambda , } & & { \overline { { h } } = \frac { h } { H } , \overline { { g } } = \frac { g } { H } } \\ & { \overline { { t } } = \frac { \sigma } { L \mu } t , } & & { ( \overline { { u } } , \overline { { v } } ) = \left( \frac { \mu } { \sigma } u , \frac { \mu } { \varepsilon \sigma } v \right) , } & & { \overline { { p } } = \frac { \varepsilon ^ { 2 } L } { \sigma } p , \theta = k \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H = } & { { } } & { \sum _ { n } \left[ \frac { \hbar \Delta } { 2 } \sigma _ { n } ^ { z } + \hbar \omega _ { 0 } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { n } + \hbar \frac { g } { 2 } \sigma _ { n } ^ { x } ( a _ { n } ^ { \dagger } + a _ { n } ) \right] - } \end{array}
U _ { L E P } = U _ { e } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { c c c } { { i c _ { 1 } } } & { { - s _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { c _ { 2 } s _ { 1 } } } & { { - i c _ { 1 } c _ { 2 } } } & { { - s _ { 2 } } } \\ { { s _ { 1 } s _ { 2 } } } & { { - i c _ { 1 } s _ { 2 } } } & { { c _ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { q , \operatorname* { i n f } } ( s ) } & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { T \rightarrow \infty } \# \left\{ \mathrm { e i g e n v a l u e s ~ o f } ~ \Delta _ { T } ~ \mathrm { a c t i n g ~ o n } ~ q \mathrm { - f o r m s ~ i n } ~ \left( 0 , \pi ^ { 2 } s T ^ { - 2 } \right] \right\} } \\ { \Lambda _ { q , \operatorname* { s u p } } ( s ) } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \# \left\{ \mathrm { e i g e n v a l u e s ~ o f } ~ \Delta _ { T } ~ \mathrm { a c t i n g ~ o n } ~ q \mathrm { - f o r m s ~ i n } ~ \left( 0 , \pi ^ { 2 } s T ^ { - 2 } \right] \right\} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { = \underbrace { \underbrace { { \frac { R ^ { 3 } } { 4 } } \cdot \left( { \frac { 3 \left( \mathbf { u } _ { \infty } \cdot \mathbf { x } \right) \cdot \mathbf { x } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 5 } } } - { \frac { \mathbf { u } _ { \infty } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } \right) } _ { \mathrm { c o n s e r v a t i v e : ~ c u r l = 0 , ~ d i v = 0 } } + \underbrace { \mathbf { u } _ { \infty } } _ { \mathrm { f a r - f i e l d } } } _ { \mathrm { T e r m s ~ o f ~ B o u n d a r y - C o n d i t i o n } } \; \underbrace { - { \frac { 3 R } { 4 } } \cdot \left( { \frac { \mathbf { u } _ { \infty } } { \| \mathbf { x } \| } } + { \frac { \left( \mathbf { u } _ { \infty } \cdot \mathbf { x } \right) \cdot \mathbf { x } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } \right) } _ { { \mathrm { n o n - c o n s e r v a t i v e : ~ c u r l } } = { \boldsymbol { \omega } } ( \mathbf { x } ) , { \mathrm { ~ d i v = 0 } } } } \\ & { = \left[ { \frac { 3 R ^ { 3 } } { 4 } } { \frac { \mathbf { x \otimes \mathbf { x } } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 5 } } } - { \frac { R ^ { 3 } } { 4 } } { \frac { \mathbb { I } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } - { \frac { 3 R } { 4 } } { \frac { \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } - { \frac { 3 R } { 4 } } { \frac { \mathbb { I } } { \| \mathbf { x } \| } } + \mathbb { I } \right] \cdot \mathbf { u } _ { \infty } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left[ \Omega ( \epsilon , d ) \right] _ { i j } : = } & { \; \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { h ( \epsilon , d _ { i } ) - h ( \epsilon , d _ { j } ) } { d _ { i } - d _ { j } } } & { d _ { i } \neq d _ { j } } \\ { h _ { 2 } ^ { \prime } ( \epsilon , d _ { i } ) } & { d _ { i } = d _ { j } } \end{array} \right. , \quad 1 \leq i , j \leq N , } \\ { \mathcal { D } ( \epsilon , d ) : = } & { \; \mathrm { d i a g } ( h _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon , d _ { 1 } ) , \dots , h _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon , d _ { N } ) ) . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { p e n g u i n } } ^ { 2 l - 2 q } = - { \frac { 2 \alpha ^ { 2 } } { m _ { \tilde { l } } ^ { 2 } } } ~ \left( \delta _ { j i } ^ { l } \right) _ { L L } P _ { 1 } ( x ) \overline { { { l _ { j } } } } \gamma ^ { \mu } P _ { L } l _ { i } ~ \sum _ { q = u , d , s } e _ { q } \overline { { { q } } } \gamma _ { \mu } q + ( L \rightarrow R ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \hbar } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } ( t _ { n } , \tau _ { n } ) } & { { } = n \omega t _ { n } + i \frac { \Gamma } { \hbar \omega } \omega \tau _ { n } } \\ { - \frac { U _ { \mathrm { p } } } { 2 4 \hbar \omega } } & { { } ( \omega \tau _ { n } ) ^ { 3 } [ \frac { ( \omega \tau _ { n } ) ^ { 2 } } { 1 5 } + ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } + \omega \tilde { t } _ { n } ) ^ { 2 } ] , } \end{array}
\delta m _ { B } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 6 \pi ^ { 2 } } m _ { B } f _ { B } ^ { 2 } B _ { B } \eta _ { t } \left| V _ { t b } V _ { t d } ^ { * } \right| ^ { 2 } \left( A _ { W W } + \cot ^ { 2 } \beta A _ { W H } + \cot ^ { 4 } \beta A _ { H H } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { E _ { x } ^ { \left( i \right) } + E _ { x } ^ { \left( r \right) } } & { = } & { E _ { x } ^ { \left( t \right) } , E _ { y } ^ { \left( i \right) } + E _ { y } ^ { \left( r \right) } = E _ { y } ^ { \left( t \right) } } \\ { H _ { x } ^ { \left( i \right) } + H _ { x } ^ { \left( r \right) } } & { = } & { H _ { x } ^ { \left( t \right) } , H _ { y } ^ { \left( i \right) } + H _ { y } ^ { \left( r \right) } = H _ { y } ^ { \left( t \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { C } [ p _ { C } ( t _ { 0 } ) ] = } & { ~ \frac { \int _ { 0 } ^ { p _ { C } ( t _ { 0 } ) } { G ( p _ { C } ) } \, \mathrm { d } p _ { C } } { \int _ { 0 } ^ { 1 } { G ( p _ { C } ) } \, \mathrm { d } p _ { C } } } \\ { = } & { ~ \frac { \left. \left( p _ { C } - \frac { N } { 2 k } \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) k c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b \right\} \delta { p _ { C } } ^ { 2 } \right) \tilde { C } _ { 0 } \right| _ { 0 } ^ { p _ { C } ( t _ { 0 } ) } } { \left. \left( p _ { C } - \frac { N } { 2 k } \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) k c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b \right\} \delta { p _ { C } } ^ { 2 } \right) \tilde { C } _ { 0 } \right| _ { 0 } ^ { 1 } } } \\ { = } & { ~ p _ { C } ( t _ { 0 } ) + p _ { C } ( t _ { 0 } ) [ 1 - p _ { C } ( t _ { 0 } ) ] \frac { \frac { N } { 2 k } \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) k c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b \right\} \delta } { 1 - \frac { N } { 2 k } \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) k c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b \right\} \delta } } \\ { = } & { ~ p _ { C } ( t _ { 0 } ) + \frac { p _ { C } ( t _ { 0 } ) [ 1 - p _ { C } ( t _ { 0 } ) ] } { 2 } N \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b / k \right\} \delta + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { M } } ^ { c e } = M _ { 0 } ^ { c e } \sqrt { 2 } \frac { \mathbf { T } ^ { c e } } { \Vert \mathbf { T } ^ { c e } \Vert _ { F } } \quad } & { ; \quad \mathbf { T } ^ { c e } = \left( \begin{array} { l l l } { \lambda } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda + \mu } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda + \mu } \end{array} \right) , } \\ { { \mathbf { M } } ^ { d f } ( \theta ) = M _ { 0 } ^ { d f } \sqrt { 2 } \mathbf { T } ^ { d f } \quad } & { ; \quad \mathbf { T } ^ { d f } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { s ^ { 2 } } & { - s c } \\ { 0 } & { - s c } & { c ^ { 2 } } \end{array} \right) , } \\ { { \mathbf { M } } ^ { c o } ( \theta ) = M _ { 0 } ^ { c o } \sqrt { 2 } \frac { \mathbf { T } ^ { c o } } { \Vert \mathbf { T } ^ { c o } \Vert _ { F } } \quad } & { ; \quad \mathbf { T } ^ { c o } = \left( \begin{array} { l l l } { \lambda + \mu } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda + c ^ { 2 } \mu } & { s c \mu } \\ { 0 } & { s c \mu } & { \lambda + s ^ { 2 } \mu } \end{array} \right) , } \\ { { \mathbf { M } } ^ { t c } = M _ { 0 } ^ { t c } \sqrt { 2 } \frac { \mathbf { T } ^ { t c } } { \Vert \mathbf { T } ^ { t c } \Vert _ { F } } \quad } & { ; \quad \mathbf { T } ^ { t c } = \left( \begin{array} { l l l } { \lambda + 2 \mu } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nu ( \{ V \, | \, | V / 2 V | = 8 ^ { k } \} ) = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { 8 ^ { - k ^ { 2 } / 4 - k } ( 1 - 8 ^ { - 2 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { k / 2 } ( 1 - 8 ^ { - i } ) ^ { - 2 } { \prod _ { i = 2 } ^ { \infty } ( 1 - 8 ^ { - i } ) } } & { \textrm { i f k e v e n } } \\ { 2 \cdot 8 ^ { - ( k ^ { 2 } + 3 ) / 4 - k } { \prod _ { i = 1 } ^ { ( k + 1 ) / 2 } ( 1 - 8 ^ { - i } ) ^ { - 1 } } { \prod _ { i = 1 } ^ { ( k - 1 ) / 2 } ( 1 - 8 ^ { - i } ) ^ { - 1 } } { \prod _ { i = 1 } ^ { \infty } ( 1 - 8 ^ { - i } ) } } & { \textrm { i f k o d d . } } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \partial v _ { ( n ) } ^ { i } } { \partial x ^ { k } } \longrightarrow \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \beta } } \frac { \partial v _ { ( n ) } ^ { \alpha } } { \partial x ^ { \beta } } = \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \beta } } \frac { \partial \xi ^ { \rho } } { \partial x ^ { \beta } } \frac { \partial v _ { ( n ) } ^ { \alpha } } { \partial \xi ^ { \rho } } .
\frac { | \kappa _ { 2 } | ^ { 2 } | \kappa _ { 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { | \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } } + \frac { | \kappa _ { 1 } | ^ { 2 } | \kappa _ { 2 } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { | \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } } - | \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } | ^ { 2 } = K ^ { ( 0 ) } ( \kappa _ { 1 } ^ { \prime } , \kappa _ { 2 } ^ { \prime } , \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } ) ,