harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\, \! \operatorname* { m i n } ( - 2 { \overrightarrow { v _ { r } } } { \overrightarrow { v _ { i } ^ { 0 } } } , - 2 { \overrightarrow { v _ { r } } } { \overrightarrow { v _ { i } ^ { 1 } } } ) = \operatorname* { m a x } ( { \overrightarrow { v _ { r } } } { \overrightarrow { v _ { i } ^ { 0 } } } , { \overrightarrow { v _ { r } } } { \overrightarrow { v _ { i } ^ { 1 } } } )
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( 1 - x - y _ { 1 } - \frac { 1 0 y _ { 2 } } { 1 + 0 . 0 1 x } \right) , } \\ { \dot { y } _ { 1 } } & { = } & { y _ { 1 } \left( 1 - y _ { 1 } - 1 . 5 x - \frac { y _ { 2 } } { 1 + 0 . 0 2 y _ { 1 } } \right) , } \\ { \dot { y } _ { 2 } } & { = } & { y _ { 2 } \left( \frac { 5 x } { 1 + 0 . 0 1 x } + \frac { 0 . 5 y _ { 1 } } { 1 + 0 . 0 2 y _ { 1 } } - 1 - 0 . 1 y _ { 2 } \right) . } \end{array}
g _ { ( r , s ) } ^ { [ k , l ] } = \mathrm { c o n s t . } { \frac { \sin { \frac { \pi r } { l + 2 } } \sin { \frac { \pi s } { k + l + 2 } } } { \sqrt { \sin { \frac { \pi } { l + 2 } } \sin { \frac { \pi } { k + l + 2 } } } } } .
\begin{array} { r l } { 1 } & { = a \left( x - \frac { b } { 2 a } y \right) ^ { 2 } + b \left( x - \frac { b } { 2 a } y \right) y + c y ^ { 2 } } \\ & { = a \left( x ^ { 2 } - \frac { b } { a } x y + \frac { b ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } y ^ { 2 } \right) + b x y - \frac { b ^ { 2 } } { 2 a } y ^ { 2 } + c y ^ { 2 } = a x ^ { 2 } + \left( - \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c \right) y ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m s u p } _ { k \rightarrow \infty } \Phi _ { n _ { k } } ( \theta ) \leq \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \Delta _ { | \overline { v } } E ( h , f _ { n _ { k } } , \theta ) + 1 / n _ { k } = \Delta _ { | \overline { v } } E ( h , f _ { \infty } , \theta ) \leq \operatorname* { s u p } _ { f \in S ( \overline { v } , \theta ) } \Delta _ { | \overline { v } } E ( v , f , \theta ) = \Phi ( \theta ) . } \end{array}
s ( y _ { 3 } , \upsilon , \bar { \upsilon } ) = - 2 \ln \upsilon + \frac { 4 } { ( e ^ { y _ { 3 } } + e ^ { - y _ { 3 } } ) ^ { 2 } } \cdot \frac { \upsilon { \bar { \upsilon } } - { \bar { \upsilon } ^ { 2 } } } { \upsilon ^ { 2 } + { \bar { \upsilon } } ^ { 2 } - \upsilon { \bar { \upsilon } } } + . . . .
P _ { \mathrm { W } } \approx 1 0 ^ { 8 } \left[ E _ { \mathrm { p } } ^ { \mathrm { { \ m u J } } } ( \lambda _ { 0 } ^ { \mu \mathrm { { m } } } ) ^ { 2 } / ( T ^ { \mathrm { { f s } } } ) ^ { 3 } \right] ^ { 2 }
\Gamma ( n ^ { \prime } , \vec { p } \, ^ { \prime } \vert n , \vec { p } \, ) = \tilde { \Gamma } ( n ^ { \prime } , \vec { p } \, ^ { \prime } \vert n , \vec { p } \, ) + { \frac { 1 } { \beta } } \sum _ { m } \int { \frac { d ^ { 3 } \vec { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } K ( n ^ { \prime } , \vec { p } \, ^ { \prime } \vert m , \vec { q } \, ) \Gamma ( m , \vec { q } \, \vert n , \vec { p } \, ) ,
{ \begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { \varphi \cos \theta } \left( \cos \theta \cos ( \varphi \sin \theta ) - \sin \theta \sin ( \varphi \sin \theta ) \right) \, d \theta } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( e ^ { \varphi \cos \theta } \sin ( \varphi \sin \theta ) , e ^ { \varphi \cos \theta } \cos ( \varphi \sin \theta ) ) \cdot ( - \sin \theta , \cos \theta ) \, d \theta } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathbf { F } ( \mathbf { r } ( \theta ) ) \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } ( \theta ) \, d \theta } \\ { = } & { \oint _ { S ^ { 1 } } \mathbf { F } ( \mathbf { r } ) \cdot d \mathbf { r } = \oint _ { S ^ { 1 } } F _ { 1 } \, d x + F _ { 2 } \, d y , } \end{array} }
m ^ { \nu } \ = \ \frac { { \alpha } _ { W } } { 4 \pi } \frac { M _ { H } ^ { 2 } + 3 M _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \ln \frac { | a | } { | b | } \ \frac { 1 } { A } \ \left( \begin{array} { c c } { { a ^ { 2 } } } & { { a c } } \\ { { a c } } & { { c ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { [ u \, \varphi ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } & { \le \left( \iint _ { \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } ^ { 2 } } | u ( x _ { 1 } ) | ^ { 2 } \, \frac { | \varphi ( y _ { 1 } ) - \varphi ( y _ { 2 } ) | ^ { 2 } } { | x - y | ^ { 2 + 2 \, s } } \, d x \, d y \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { + \left( \iint _ { \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } ^ { 2 } } | \varphi ( y _ { 2 } ) | ^ { 2 } \, \frac { | u ( x _ { 1 } ) - u ( x _ { 2 } ) | ^ { 2 } } { | x - y | ^ { 2 + 2 \, s } } \, d x \, d y \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \beta _ { * } \sim } & { \frac { \langle B _ { l , * } , ( \Delta \hat { \mathcal { B } } ) B _ { r , * } \rangle } { \langle B _ { l , * } , B _ { r , * } \rangle } = - \frac { 1 } { | m | ^ { 2 } + | z | ^ { 2 } | u | ^ { 2 } } \langle E _ { - } ( M \mathcal { S } [ \cdot ] ( \Delta M ) _ { - } ^ { * } ) M M ^ { * } E _ { - } \rangle } \\ { = } & { + \langle E _ { - } M E _ { - } ( \Delta M ) _ { - } ^ { * } \rangle \sim \langle E _ { - } M E _ { - } ( \partial _ { w } M ) _ { - } ^ { * } \rangle ( w _ { 2 } + \bar { w } _ { 1 } ) \, . } \end{array}
J _ { x } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad J _ { y } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad J _ { z } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r c l } { { i \Sigma _ { i j } ( p ) } } & { { = } } & { { \displaystyle i \lambda ^ { 2 } \delta _ { i j } \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } [ f _ { 0 } ( k _ { i } , p ) + f _ { 1 2 } ( k _ { i } , p ) K _ { 1 2 } ] , } } \\ { { i \Sigma _ { 0 0 } ( p ) } } & { { = } } & { { \displaystyle i \lambda ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } [ g _ { 0 } ( k _ { i } , p ) + g _ { 1 } ( k _ { i } , p ) K _ { 1 } + g _ { 1 2 } ( k _ { i } , p ) K _ { 1 2 } ] , } } \end{array}
\lambda _ { a } = P _ { 1 } \, \frac { 1 + P _ { 2 } \, \, u + P _ { 3 } \, \, u ^ { 2 } + P _ { 4 } \, \, u ^ { 3 } } { 1 + P _ { 5 } \, \, u + P _ { 6 } \, \, u ^ { 2 } + P _ { 7 } \, \, u ^ { 3 } + P _ { 8 } \, \, u ^ { 4 } } \, \, \mathrm { g } \, \mathrm { c m } ^ { - 2 } ,
| \Psi _ { z } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left\{ | 0 , 0 , 0 \rangle | \tilde { \Phi } _ { I } \rangle + z ^ { 2 } | 1 , 1 , 0 \rangle | \tilde { \Phi } _ { I I } \rangle + z | 1 , 0 , - 1 \rangle | \tilde { \Phi } _ { I I I } \rangle \right\}
\rho _ { \mathrm { m i n } } ^ { \mathrm { m a x } } = \frac { \sqrt { A _ { + } ^ { 2 } + \left( 1 - A _ { + } ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \gamma } \pm \sqrt { \left( 1 - A _ { + } ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \gamma } } { | A _ { + } | } .
h _ { v } ^ { ( - ) } ( x ) \ = \ e ^ { - i m _ { Q } v { \cdot } x } \ \frac { 1 - v { \slash } } { 2 } \ Q _ { v } ^ { ( - ) } ( x ) = \ \frac { 1 - v { \slash } } { 2 } \ \int \ \frac { d ^ { 3 } { \bf k } } { J } \ \sum _ { r } \ \tilde { b } _ { r } ^ { \dag } ( { \bf k } ) \ v _ { r } ( { \bf k } ) \ e ^ { - i k { \cdot } x }
\bar { I } ( f ; ~ Q _ { 1 } ^ { \prime } , ~ Q _ { 2 } ^ { \prime } , ~ Q _ { 3 } ^ { \prime } ) = I ( f ; ~ - Q _ { 1 } ^ { \prime } , ~ - Q _ { 2 } ^ { \prime } , ~ Q _ { 3 } ^ { \prime } ) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \{ \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) , } & { i = 0 , \cdots , 8 \} = \{ 1 , { u } _ { x } , \frac { { u } _ { x } ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 2 } } , \frac { { u } _ { r } ^ { 2 } } { 2 } - 1 , } \\ & { \frac { { u } _ { x } ^ { 3 } - 3 { u } _ { x } } { \sqrt { 6 } } , \frac { { u } _ { x } ^ { 4 } - 6 { u } _ { x } ^ { 2 } + 3 } { 2 \sqrt { 6 } } , \frac { 1 } { 8 } { u } _ { r } ^ { 4 } - { u } _ { r } ^ { 2 } + 1 , \frac { 1 } { 2 } { u } _ { x } ( { u } _ { r } ^ { 2 } - 1 ) , \frac { ( { u } _ { x } ^ { 2 } - 1 ) ( { u } _ { r } ^ { 2 } - 2 ) } { 2 \sqrt { 2 } } \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { x _ { i } \in \theta _ { 0 } , x _ { i } < 0 } \mathbb { P } ( x _ { i } + B _ { t } - \sqrt { 2 } t \in [ 0 , \infty ) ) \lesssim \sum _ { x _ { i } \in \theta _ { 0 } , x _ { i } < 0 } e ^ { - \frac { ( \sqrt { 2 } t - x _ { i } ) ^ { 2 } } { 4 t } } \lesssim _ { t } \sum _ { x _ { i } \in \theta _ { 0 } , x _ { i } < 0 } e ^ { - \frac { x _ { i } ^ { 2 } } { 4 t } } < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathfrak { a } | _ { \alpha - 1 , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ( 1 + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } ) , \quad \rVert d _ { i } \mathfrak { a } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { \alpha - 1 , s , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( 1 + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } + \Gamma ) n } & { { } = ( - ) ^ { p } \frac { \lambda } { \tilde { \chi } } \tilde { c } _ { \phi } { * \mathrm { d } \tilde { n } } - ( - ) ^ { p } \ell \lambda m ^ { 2 } \tilde { c } _ { \phi } { * \tilde { n } _ { \psi } } } \\ { ( \partial _ { t } + \tilde { \Omega } ) \tilde { n } _ { \psi } } & { { } = - \frac { \lambda } { \chi _ { \ell } } c _ { \phi } { * \mathrm { d } n _ { \ell } } + \ell \frac { \lambda } { \chi } c _ { \phi } { * n } } \\ { * \mathrm { d } { * n } } & { { } = ( - ) ^ { p q + p + q + 1 } \ell n _ { \ell } , } \\ { * \mathrm { d } { * \tilde { n } _ { \psi } } } & { { } = ( - ) ^ { p q } \ell \tilde { n } ~ , } \end{array}
\hat { U } = \prod _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \hat { P } ^ { j } ( - 4 ^ { j } \phi ) \prod _ { j = 0 } ^ { n - 2 } \prod _ { l = 0 } ^ { j - 1 } \hat { P } ^ { j l } ( - 2 ^ { j + l + 1 } \phi ) \prod _ { l = 0 } ^ { n - 2 } \hat { P } ^ { ( n - 1 ) l } ( - 2 ^ { n + l } \phi ) .
x _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } = x _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } + a _ { p } \ e ^ { ( i 2 \pi f _ { p } t ) } e ^ { ( - t / T _ { 2 } ) } e ^ { ( - t \gamma _ { p } - t ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } ) }
0 \leq U ^ { \frac { 1 } { 3 } } \left( 1 + 1 5 ( C \sqrt { \delta } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \right) \leq U ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( 1 ) - \left( C \sqrt { \delta } \right) ^ { \frac 1 3 } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \epsilon \right) } & { = \mathbb { P } \left( \left| \Gamma _ { q } ^ { \mathrm { i n } } \left( \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right) - \Gamma _ { q } ^ { \mathrm { i n } } \left( \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right) \right| \geq \epsilon \right) \stackrel { ( a ) } { \leq } \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| + \left| \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \frac { \epsilon } { L _ { 1 } } \right) } \\ & { \qquad \qquad \stackrel { ( b ) } { \leq } \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \frac { \epsilon } { 2 L _ { 1 } } \right) + \mathbb { P } \left( \left| \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \frac { \epsilon } { 2 L _ { 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { F } ( t ) = } & { { } \sum _ { \alpha \neq \beta \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } | \langle T _ { \alpha } ^ { \beta } | \Psi ( t ) \rangle | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l l } { \Psi : \quad } & { \mathbb { C } \setminus \left( \bigcup _ { \alpha \in Y ^ { * } } \sigma ( \mathcal { C } ^ { \alpha } ) \cup W \right) } & { \longrightarrow } & { \mathbb { C } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \bar { R } [ \pi _ { \boldsymbol { \theta } } ] } & { { } = \left\langle \mathcal { Q } _ { \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } } ( \sigma , \alpha ) \frac { \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma ) } { \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma ) } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { I } ( x ) \mathrel { \mathop : } = \operatorname* { s u p } _ { t \in I } | F ( x , t ) | \leq \mathbf { C } \cdot | F ( x , t _ { I } ) | + \mathbf { C } \cdot \left( \int _ { I } | F ( x , t ) | ^ { 2 } \ d t \right) ^ { 1 / 4 } \cdot \left( \int _ { I } | \partial _ { t } F ( x , t ) | ^ { 2 } \ d t \right) ^ { 1 / 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ \mathrm { M M S E } \sqrt { \tilde { \kappa } _ { m } } ] ^ { - 1 } } \\ & { \equiv \left[ \int d q \left( \frac { \partial \log P _ { q } ( q ) } { \partial \sqrt { \kappa _ { m } } } \right) ^ { 2 } P _ { q } ( q ) \right] ^ { - 1 } } \\ & { \quad + \left[ \int d p \left( \frac { \partial \log P _ { p } ( p ) } { \partial \sqrt { \kappa _ { m } } } \right) ^ { 2 } P _ { p } ( p ) \right] ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { \left| \frac { d \overline { N } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) } { d \sqrt { \kappa _ { m } } } \right| ^ { 2 } } { \mathrm { v a r ~ } \hat { q } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) } + 2 \cdot \frac { \left| \frac { d \mathrm { v a r ~ } \hat { q } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) } { d \sqrt { \kappa _ { m } } } \right| ^ { 2 } } { 2 [ \mathrm { v a r ~ } \hat { q } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) ] ^ { 2 } } } \\ & { \simeq \frac { \left| \frac { d \overline { N } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) } { d \sqrt { \kappa _ { m } } } \right| ^ { 2 } } { \mathrm { v a r ~ } \hat { q } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) } = \frac { \eta _ { m } B _ { m } ^ { 2 } A _ { m } ^ { 2 } } { \mathrm { v a r ~ } \hat { q } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \\ { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \end{array} \right) , } \\ { \mathbf { A } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u v } \rangle } \\ { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v v } \rangle } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { - 0 . 0 0 1 8 } & { 0 . 0 0 5 1 } & { 0 . 0 0 0 5 } \\ { 0 . 0 0 5 1 } & { - 0 . 0 2 6 0 } & { - 0 . 0 1 6 8 } \\ { 0 . 0 0 0 5 } & { - 0 . 0 1 6 8 } & { - 0 . 9 9 9 7 } \end{array} \right] , } \\ { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 8 . 2 4 1 2 } & { - 4 . 1 0 7 9 } \\ { - 8 . 2 4 1 2 } & { 0 } & { 1 . 9 9 6 6 } \\ { 4 . 1 0 7 9 } & { - 1 . 9 9 6 6 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 0 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 . 0 3 6 0 } & { 0 . 4 1 8 7 } & { - 1 . 0 3 4 7 } \\ { 0 . 4 1 8 7 } & { 1 . 9 6 8 0 } & { - 2 . 1 5 3 8 } \\ { - 1 . 0 3 4 7 } & { - 2 . 1 5 3 8 } & { - 3 . 9 9 7 4 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \hat { l } _ { - } \hat { l } _ { + } } { \hbar ^ { 2 } } } & { { } = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \left( - z \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi } + r \partial _ { z } \right) \hbar } \end{array}
[ \hat { \tilde { \mathrm { G } } } _ { \pm } ^ { a } ( n ) , \hat { \tilde { \mathrm { G } } } _ { \pm } ^ { b } ( m ) ] _ { - } = i e _ { \pm } \varepsilon _ { a b c } \hat { \tilde { \mathrm { G } } } _ { \pm } ^ { c } ( n + m ) + i { \alpha } _ { \pm } e _ { \pm } ^ { 3 } \varepsilon _ { a b c } A _ { 1 , \pm } ^ { c } ( n + m ) \pm e _ { \pm } ^ { 2 } n \delta _ { n , - m } \delta ^ { a b } ( 1 \pm \frac { 4 \pi } { 4 \pi } { L } \alpha _ { \pm } ) .
\rho \simeq 1 + \Delta \rho _ { t } = 1 + \frac { 3 \alpha _ { Z } } { 1 6 \pi } \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } = 1 + \frac { 3 \alpha _ { Z } } { 1 6 \pi } t \; \; ,
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { i , \mathrm { i n } } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { e ^ { 2 } c _ { i , \mathrm { i n } } ^ { R } } { \varepsilon _ { \mathrm { i n } } \varepsilon _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T } , } \\ { \kappa _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 2 e ^ { 2 } c _ { \mathrm { o u t } } ^ { \infty } } { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { l } ( a _ { l , 2 } ) ^ { T } \gamma _ { l } ( a _ { l , 2 } ^ { * } ) } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l } } \\ { a _ { l , 2 } ^ { * } + S _ { l + 1 : m } ^ { T } ( b _ { l } \bar { y } _ { 0 } + \bar { y } _ { l } ) } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l } } \\ { a _ { l , 2 } ^ { * } + S _ { l + 1 : m } ^ { T } ( b _ { l } \bar { y } _ { 0 } + \bar { y } _ { l } ) } \end{array} \right] } \\ & { = \beta _ { l } ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] \beta _ { l } } \\ & { = z _ { l } ^ { T } \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] \left( \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] \right) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] z _ { l } } \\ & { = z _ { l } ^ { T } \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } \left( \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } \dots z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] \right) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { z _ { t _ { 1 } } ^ { T } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { z _ { t _ { c } } ^ { T } } \end{array} \right] z _ { l } \leq z _ { l } ^ { T } z _ { l } , } \end{array}
\Pi ^ { n } = \left\{ { \begin{array} { c } { e ^ { i \phi } A _ { 1 } \otimes \cdots \otimes A _ { n } : \forall j \in \left\{ 1 , \ldots , n \right\} A _ { j } \in \Pi , \ \ \phi \in \left\{ 0 , \pi / 2 , \pi , 3 \pi / 2 \right\} } \end{array} } \right\} .
P _ { 1 , 0 , \psi } ( R , V ) = \frac { 2 \pi \tau _ { m } R } { 1 + ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + V ^ { 2 } - \left\{ 2 V \sin \psi + [ 1 - ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } - V ^ { 2 } ] \cos \psi \right\} } \; \stackrel { \psi \to \pi } { \longrightarrow } \; \pi \tau _ { m } R \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { G } ( \textbf { t } ) } & { = - \left( 1 + A ( \textbf { t } ) \right) ^ { 2 } \int _ { [ 0 , 1 ] } ( N _ { C } + \Gamma ) ( u ^ { t _ { 1 } } , \dots , u ^ { t _ { d } } ) d u } \\ & { + \sum _ { g = 1 } ^ { G } w ^ { ( O _ { g } ) } ( \textbf { t } ) \left( 1 + A ^ { ( O _ { g } ) } ( \textbf { t } ^ { ( O _ { g } ) } ) \right) ^ { 2 } \int _ { [ 0 , 1 ] } ( N _ { C } + \Gamma ) ( \textbf { 1 } , u ^ { t _ { i , 1 } } , \dots , u ^ { t _ { i , d _ { g } } } , \textbf { 1 } ) d u , } \end{array}
\begin{array} { r } { [ E _ { { p } ^ { m } { q } ^ { m } } ^ { m } , E _ { { r } ^ { m ^ { \smash { \prime } } } \! { s } ^ { m ^ { \smash { \prime } } } } ^ { m ^ { \prime } } ] = \delta _ { m m ^ { \prime } } ( \delta _ { q ^ { m } r ^ { m } } E _ { { p } ^ { m } { s } ^ { m } } ^ { m } - \delta _ { p ^ { m } s ^ { m } } E _ { { r } ^ { m } { q } ^ { m } } ^ { m } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 1 0 } ( n ) q ^ { n } = \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } ^ { 5 } } { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 5 } } \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } } { ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } } \pmod 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { a X ( n - p + 1 : n ) - b X ^ { \prime } ( 1 : p ^ { \prime } ) = 0 , } \\ { - b ^ { T } X ( n - p + 1 : n ) + c X ^ { \prime } ( 1 : p ^ { \prime } ) + ( L ^ { \prime } X ^ { \prime } ) ( 1 : p ^ { \prime } ) = \lambda X ^ { \prime } ( 1 : p ^ { \prime } ) , } \\ { ( L ^ { \prime } X ^ { \prime } ) ( p ^ { \prime } + 1 : n ^ { \prime } ) = \lambda X ^ { \prime } ( p ^ { \prime } + 1 : n ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { \epsilon } [ w , \delta \mu ] ( v _ { k } ) } \\ & { = \sum _ { v _ { j } } \, \left( \begin{array} { l } { G _ { 1 } ( v _ { k } , v _ { j } ) \, \delta \mu _ { 1 } ( v _ { j } ) + G _ { 2 } ( v _ { k } , v _ { j } ) \, \delta \mu _ { 2 } ( v _ { j } ) } \\ { G _ { 3 } ( v _ { k } , v _ { j } ) \, \delta \mu _ { 1 } ( v _ { j } ) + G _ { 4 } ( v _ { k } , v _ { j } ) \, \delta \mu _ { 2 } ( v _ { j } ) } \end{array} \right) \, A _ { v _ { j } } , } \end{array}
A _ { K } ^ { N S N S } = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d t } { 2 t } } ( 4 \pi ^ { 2 } t ) ^ { - 5 } { \frac { f _ { 4 } ( e ^ { - 2 \pi t } ) ^ { 8 } } { f _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi t } ) ^ { 8 } } } \, ,
\left\{ \begin{array} { r l } { X ^ { k + 1 } = } & { \frac { 1 } { 1 + \tau } \mathsf { P r o j } _ { + } \left( X ^ { k } + \tau C - \tau \left( y _ { 1 } ^ { k } \mathbf { e } _ { n } ^ { \mathsf { T } } + \mathbf { e } _ { n } ( y _ { 2 } ^ { k } ) ^ { \mathsf { T } } \right) \right) , } \\ { y ^ { k + 1 } = } & { y ^ { k } + \sigma \left( \begin{array} { l } { ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) \mathbf { e } _ { n } } \\ { ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { e } _ { n } } \end{array} \right) - \sigma \mathbf { e } _ { 2 n } . } \end{array} \right.