harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\nabla \times \nabla \times \mathbf { E } + { \frac { n ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \mathbf { E } = - { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \mathbf { P } ^ { \mathrm { N L } } ,
- \frac { \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } } { \phi _ { 0 } } \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { S \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } } } { k \phi _ { 0 } ^ { 3 } } , } & { \mathrm { f o r ~ } ( \frac { S \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } } } { k \phi _ { 0 } ^ { 3 } } < \mathrm { D a } _ { 0 } ) } \\ { 2 \sqrt { \frac { S \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } } } { k \phi _ { 0 } ^ { 3 } } \mathrm { D a } _ { 0 } } - \mathrm { D a } _ { 0 } , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
r ^ { ( c o r e ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 3 \pi } { 5 \pi + 3 \sqrt { 3 } } \approx 0 . 4 5 0 9 . . . } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \nu \to \infty , \medskip } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { 3 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \nu \to 0 . } \end{array} \right.
\bigl ( 1 - C \varepsilon _ { n - 1 } ^ { 2 \delta } \bigr ) \biggl ( 1 + \frac { 9 a _ { n } ^ { 2 } \varepsilon _ { n } ^ { 4 } } { 8 0 \kappa _ { n } ^ { 2 } } \biggr ) \leq \frac { \kappa _ { n - 1 } } { \kappa _ { n } } \leq \bigl ( 1 + C \varepsilon _ { n - 1 } ^ { 2 \delta } \bigr ) \biggl ( 1 + \frac { 9 a _ { n } ^ { 2 } \varepsilon _ { n } ^ { 4 } } { 8 0 \kappa _ { n } ^ { 2 } } \biggr )
\gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad \gamma ^ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad \gamma ^ { * } = \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \quad .
\begin{array} { r l } & { \Delta ^ { 2 } \zeta _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } - \alpha _ { k } \Delta \zeta _ { n , k } ^ { 0 } + \textrm { W o } ^ { 2 } \Delta \xi _ { 1 , k } ^ { 0 } = 0 , } \\ & { \Delta ^ { 2 } \xi _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } - \alpha _ { k } \Delta \xi _ { n , k } ^ { 0 } - \textrm { W o } ^ { 2 } \Delta \zeta _ { 1 , k } ^ { 0 } = 0 . } \end{array}
\vec { \pi } ( x , y , - z ) = \left( \begin{array} { l l l } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \vec { \pi } ( x , y , z ) .
U \left( \phi ^ { a } , \eta , \xi , \Delta \right) = \frac { e } { 8 } \left( | \phi | ^ { 2 } - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \eta + \xi + \Delta \right) ^ { 2 } \left( \partial _ { k } \phi ^ { a } \right) ^ { 4 }
\varepsilon _ { i j } = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { i j } - \nu ( \sigma _ { k k } \delta _ { i j } - \sigma _ { i j } ) { \big ) } \, ; \qquad { \boldsymbol { \varepsilon } } = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } { \boldsymbol { \sigma } } - \nu ( \operatorname { t r } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) \mathbf { I } - { \boldsymbol { \sigma } } ) { \big ) } = { \frac { 1 + \nu } { E } } { \boldsymbol { \sigma } } - { \frac { \nu } { E } } \operatorname { t r } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) \mathbf { I }
\begin{array} { c } { { \left( { \frac { D } { D x ^ { \mu } } } - i ^ { \frac { p } { 2 } } { \frac { \partial f } { \partial R } } \Gamma ^ { \mu } \prod _ { I = 1 } ^ { p - 1 } \Gamma ^ { I } \right) \Psi _ { + + } = 0 \; \; \; ( \mu = 1 , \ldots , p - 1 ) } } \\ { { \left( { \frac { D } { D y ^ { \mu } } } - i ^ { \frac { q } { 2 } } { \frac { \partial f } { \partial R } } \Gamma ^ { p + \mu } \prod _ { I = 1 } ^ { q - 1 } \Gamma ^ { p + I } \right) \Psi _ { + + } = 0 \; \; \; ( \mu = 1 , \ldots , q - 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { l } \sim } & { ~ \frac { 1 } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \frac { 1 } { \vert \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \left( \frac { \vert \lambda _ { 0 } \vert ^ { 2 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { 0 } } + \frac { \vert \lambda _ { 1 } \vert ^ { 2 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { 1 } } - 2 \frac { \bar { \lambda } _ { 0 } \lambda _ { 1 } } { \bar { \lambda } _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } - 2 \frac { \lambda _ { 0 } \bar { \lambda } _ { 1 } } { \lambda _ { 0 } + \bar { \lambda } _ { 1 } } \right) } \\ { + } & { \frac { 2 } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \times } \\ & { \frac { 1 } { \vert \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \mathrm { R e } \left[ \bar { d } _ { 0 } { \cdot } p _ { 0 } ( \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } ) \bigg ( \frac { \vert \lambda _ { 0 } \vert ^ { 2 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { 0 } } - 2 \frac { \bar { \lambda } _ { 0 } \lambda _ { 1 } } { \bar { \lambda } _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } \bigg ) - \bar { d } _ { 0 } { \cdot } p _ { 1 } ( \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } ) \bigg ( \frac { \vert \lambda _ { 1 } \vert ^ { 2 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { 1 } } - 2 \frac { \lambda _ { 0 } \bar { \lambda } _ { 1 } } { \lambda _ { 0 } + \bar { \lambda } _ { 1 } } \bigg ) \right] } \\ { + } & { \frac { 4 } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \times } \\ & { \frac { 1 } { \vert \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \mathrm { R e } \left[ \sum _ { i > 1 } \bar { d } _ { 0 } { \cdot } p _ { i } \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { i } ( \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } ) \bigg ( \frac { \lambda _ { i } \bar { \lambda } _ { 0 } } { \lambda _ { i } + \lambda _ { 0 } } - \frac { \lambda _ { i } \bar { \lambda } _ { 1 } } { \lambda _ { l } + \bar { \lambda } _ { 1 } } \bigg ) \right] \, , ~ ~ ~ \mathrm { a s } ~ \vert \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } \vert \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { r _ { x p } } \\ { z _ { x p } } \end{array} \right] = - \left[ \begin{array} { l } { 2 a \quad b } \\ { b \quad 2 c } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { d } \\ { e } \end{array} \right]
\ln \Big ( \frac { J } { J _ { 0 } } \Big ) = \frac { E } { E _ { 0 } } = \frac { 1 } { E _ { 0 } } \Big ( E _ { a p } - \frac { V } { h } \frac { q x } { \eta } \ln \Big ( \frac { Q } { Q ^ { * } } + 1 \Big ) \Big )
\mathbf { z } _ { n + 1 } = \mathbf { z } _ { n } + \mathbf { \phi } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; h _ { n } ) + \int _ { 0 } ^ { h _ { n } } e ^ { ( h _ { n } - s ) \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } \left( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } \right) } \sum _ { j = 2 } ^ { p } { \frac { \mathbf { c } _ { n , j } } { j ! } } s ^ { j } \, d s , { \mathrm { ~ w i t h ~ } } \mathbf { c } _ { n , j } = \left( { \frac { d ^ { j + 1 } \mathbf { x } ( t ) } { d t ^ { j + 1 } } } - \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) { \frac { d ^ { j } \mathbf { x } ( t ) } { d t ^ { j } } } \right) \mid _ { t = \mathbf { z } _ { n } } ,
\begin{array} { r l } { \big ( m _ { k , n } - m _ { k - 1 , n } \big ) ^ { 2 } - \big ( \tilde { m } _ { k , n } - \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } \big ) ^ { 2 } } & { = \big ( m _ { k , n } - m _ { k - 1 , n } + \tilde { m } _ { k , n } - \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } \big ) } \\ & { \quad \times \big ( m _ { k , n } - \tilde { m } _ { k , n } + \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } - m _ { k - 1 , n } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { U _ { L } ^ { u } = V ^ { \dagger } ( { \mathbf { 1 } } + \frac { v ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } A _ { L } ^ { u } ) \, , ~ } } & { { U _ { R } ^ { u } = { \mathbf { 1 } } + \frac { v ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } A _ { R } ^ { u } \, , } } \\ { { U _ { L } ^ { d } = { \mathbf { 1 } } + \frac { v ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } A _ { L } ^ { d } \, , } } & { { U _ { R } ^ { d } = { \mathbf { 1 } } + \frac { v ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } A _ { R } ^ { d } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } g ( z ) d _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } z } & { = \operatorname* { s u p } _ { \mathfrak { P } _ { [ c _ { 1 } , c _ { 2 } ] } } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \operatorname* { i n f } _ { z \in \mathbf { F } \cap I } g ( z ) ( S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( z _ { i + 1 } ) - S _ { F } ^ { \alpha } ( z _ { i } ) ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \mathfrak { P } _ { [ c _ { 1 } , c _ { 2 } ] } } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbf { F } \cap I } g ( z ) ( S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( z _ { i + 1 } ) - S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( z _ { i } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \left( - \frac { \Delta E } { k _ { B } T } \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Delta E > 0 } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\cos \psi : = \frac { 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } } { r _ { 1 } r _ { 2 } } = 1 - \frac { 2 x _ { 1 } x _ { 2 } } { r _ { 1 } r _ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ^ { * } } & { = \lambda , } \\ { x _ { k } ^ { * } } & { = \lambda \Big [ 2 \epsilon \Big ( x _ { k - 1 } ^ { * } x _ { k - 1 - g } ^ { * } - \sum _ { i = k } ^ { k + g - 1 } x _ { i } ^ { * } ( x _ { i - 1 - g } ^ { * } - x _ { i - g } ^ { * } ) \Big ) + ( 1 - 2 \epsilon ) ( x _ { k - 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } \Big ] , \mathrm { ~ f o r ~ } k \geq 2 . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { x ^ { 7 1 } - x ^ { 6 9 } - 2 x ^ { 6 8 } - x ^ { 6 7 } + 2 x ^ { 6 6 } + 2 x ^ { 6 5 } + x ^ { 6 4 } - x ^ { 6 3 } - x ^ { 6 2 } - x ^ { 6 1 } - x ^ { 6 0 } } \\ { - x ^ { 5 9 } + 2 x ^ { 5 8 } + 5 x ^ { 5 7 } + 3 x ^ { 5 6 } - 2 x ^ { 5 5 } - 1 0 x ^ { 5 4 } - 3 x ^ { 5 3 } - 2 x ^ { 5 2 } + 6 x ^ { 5 1 } + 6 x ^ { 5 0 } } \\ { + x ^ { 4 9 } + 9 x ^ { 4 8 } - 3 x ^ { 4 7 } - 7 x ^ { 4 6 } - 8 x ^ { 4 5 } - 8 x ^ { 4 4 } + 1 0 x ^ { 4 3 } + 6 x ^ { 4 2 } + 8 x ^ { 4 1 } - 5 x ^ { 4 0 } } \\ { - 1 2 x ^ { 3 9 } + 7 x ^ { 3 8 } - 7 x ^ { 3 7 } + 7 x ^ { 3 6 } + x ^ { 3 5 } - 3 x ^ { 3 4 } + 1 0 x ^ { 3 3 } + x ^ { 3 2 } - 6 x ^ { 3 1 } - 2 x ^ { 3 0 } } \\ { - 1 0 x ^ { 2 9 } - 3 x ^ { 2 8 } + 2 x ^ { 2 7 } + 9 x ^ { 2 6 } - 3 x ^ { 2 5 } + 1 4 x ^ { 2 4 } - 8 x ^ { 2 3 } - 7 x ^ { 2 1 } + 9 x ^ { 2 0 } } \\ { + 3 x ^ { 1 9 } \! - 4 x ^ { 1 8 } \! - 1 0 x ^ { 1 7 } \! - 7 x ^ { 1 6 } \! + 1 2 x ^ { 1 5 } \! + 7 x ^ { 1 4 } \! + 2 x ^ { 1 3 } \! - 1 2 x ^ { 1 2 } \! - 4 x ^ { 1 1 } \! - 2 x ^ { 1 0 } } \\ { + 5 x ^ { 9 } + x ^ { 7 } - 7 x ^ { 6 } + 7 x ^ { 5 } - 4 x ^ { 4 } + 1 2 x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 3 x - 6 \ = \ 0 \quad \quad \quad } \end{array} }
\begin{array} { r l } { - \nabla _ { i } \nabla ^ { i } \varphi + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial t ^ { 2 } } } } & { { } = { \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } } } \\ { - \nabla _ { i } \nabla ^ { i } A ^ { j } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } A ^ { j } } { \partial t ^ { 2 } } } + R _ { i } ^ { j } A ^ { i } } & { { } = \mu _ { 0 } J ^ { j } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial m _ { s } } \Sigma ( N _ { f } ) = 4 \operatorname * { l i m } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d u } { 1 + u ^ { 2 } } \frac { d v } { 1 + v ^ { 2 } } \frac { 1 } { L ^ { 4 } } \ll \rho ( m u ) \rho ( m _ { s } v ) \gg _ { N _ { f } } ^ { c } \! .
\begin{array} { r l } { \vec { \mathbf { W } } ( \mathbf { A } , \beta ) } & { { } = \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \mathbf { A } ^ { 2 } + \mathbf { W } ( \mathbf { S } , \beta ) } \\ { \vec { \mathbf { V } } ( \mathbf { A } , \beta ) } & { { } = \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \left( \mathbf { P N } + \mathbf { N P } \right) + \mathbf { V } ( \mathbf { S } , \beta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } & { = \zeta _ { \Delta x , - \infty } ( t ) + \sum _ { k = - \infty } ^ { j - 1 } \zeta _ { k , \xi } ( t ) \left( \hat { \xi } _ { k + 1 } - \hat { \xi } _ { k } \right) } \\ & { = \zeta _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j - 1 } ) + \zeta _ { j - 1 , \xi } ( t ) \left( \hat { \xi } _ { j } - \hat { \xi } _ { j - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { 1 } ^ { ( l ) } ( \zeta , t ) = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) } k ^ { l - 1 } \hat { w } ( x , t , k ) d k = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) } k ^ { l - 1 } ( m ^ { \omega k _ { 4 } } - I ) d k , } \\ & { F _ { 2 } ^ { ( l ) } ( \zeta , t ) = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } k ^ { l - 1 } \hat { w } ( x , t , k ) d k = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } k ^ { l - 1 } ( m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } - I ) d k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 1 } ^ { i j } } & { = \{ \omega \in C _ { \lambda } : \omega ( i ) , \omega ( j ) \notin \{ i , j \} \} , } \\ { \Omega _ { 2 } ^ { i j } } & { = \{ \omega \in C _ { \lambda } : \omega ( i ) = j , \omega ( j ) = i \} , } \\ { \Omega _ { 3 } ^ { i j } } & { = \{ \omega \in C _ { \lambda } : \omega ( i ) = i , \omega ( j ) = j \} , } \\ { \Omega _ { 4 } ^ { i j } } & { = \{ \omega \in C _ { \lambda } : \omega ( i ) = j , \omega ( j ) \neq i \} \cup \{ \omega \in C _ { \lambda } : \omega ( i ) \neq j , \omega ( j ) = i \} , } \\ { \Omega _ { 5 } ^ { i j } } & { = \{ \omega \in C _ { \lambda } : \omega ( i ) = i , \omega ( j ) \neq j \} \cup \{ \omega \in C _ { \lambda } : \omega ( i ) \neq i , \omega ( j ) = j \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { f } ^ { * } \left( \psi \right) \left( x _ { i } \right) } & { = \left\langle K _ { x _ { i } } , T _ { f } ^ { * } \left( \psi \right) \right\rangle _ { \mathscr { H } _ { K } } } \\ & { = \left\langle T _ { f } \left( K _ { x _ { i } } \right) , \psi \right\rangle _ { \mathscr { H } _ { L } } } \\ & { = \left\langle L \left( f \left( x _ { i } \right) , \cdot \right) , \psi \right\rangle _ { \mathscr { H } _ { L } } } \\ & { = \psi \left( f \left( x _ { i } \right) \right) , } \end{array}
C ( x ) = \frac { \lambda _ { 1 } - ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } / 4 ) e ^ { - 2 x } } { [ e ^ { 2 x } - ( \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 } ) e ^ { - 2 x } - \frac { 1 } { 2 } ( \lambda _ { o } + \lambda _ { 1 } ) - \lambda _ { 1 } x ] } ,
\begin{array} { r } { T ( \omega , \tau ) = - \frac { 2 g ^ { 2 } \kappa _ { 1 e } ^ { 2 } } { ( 2 \omega - \lambda _ { 1 } ) ( 2 \omega - \lambda _ { 2 } ) ( \omega - \alpha _ { a } ) ^ { 2 } } e ^ { - i | \tau | ( \alpha _ { a } - \omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle k _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle } & { { } = \binom { N / 2 - 1 } { m - 1 } p _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , } \\ { \langle k _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \rangle } & { { } = \left[ \binom { N } { m - 1 } - \binom { N / 2 - 1 } { m - 1 } \right] p _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { n - 1 } } & { { } = \lambda _ { 1 } + \dots + \lambda _ { n - 1 } = \mathrm { t r } Q = 2 | E | } \\ { q _ { n - 2 } } & { { } = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 3 } + \dots + \lambda _ { n - 2 } \lambda _ { n - 1 } } \\ { q _ { 2 } } & { { } = \lambda _ { 1 } \dots \lambda _ { n - 2 } + \lambda _ { 1 } \dots \lambda _ { n - 3 } \lambda _ { n - 1 } + \dots + \lambda _ { 2 } \dots \lambda _ { n - 1 } } \\ { q _ { 1 } } & { { } = \lambda _ { 1 } \dots \lambda _ { n - 1 } } \end{array}
\Delta ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \gets h \Hat { u } ( X ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ) + \sqrt { 2 \nu } ( B _ { t _ { k + 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } - B _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( j , k ) = } & { { } \ e ^ { - \hat { \nu } \Delta t } S _ { 1 } ( j - 1 , k ) + e ^ { - 2 k \hat { \nu } \Delta t } A _ { 1 } ( j - k ) A _ { 1 } ^ { * } ( j - 2 k ) } \\ { S _ { 2 } ( j , k ) = } & { { } \ e ^ { - \hat { \nu } \Delta t } S _ { 2 } ( j - 1 , k ) + e ^ { - 2 k \hat { \nu } \Delta t } A _ { 2 } ( j - k ) A _ { 2 } ^ { * } ( j - 2 k ) } \\ { S _ { 3 } ( j , k ) = } & { { } \ e ^ { - ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) \Delta t } S _ { 3 } ( j - 1 , k ) + e ^ { - 2 k ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) \Delta t } \hat { A _ { 1 } } ( j - k ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( j - 2 k ) } \\ { S _ { 4 } ( j , k ) = } & { { } \ e ^ { - ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) \Delta t } \bigl [ S _ { 4 } ( j - 1 , k ) + S _ { 3 } ( j - 1 , k ) \bigr ] . } \end{array}
t _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } = - \sum _ { \sigma } \int \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \textbf { r } } \cdot \nabla v _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) d \boldsymbol { \textbf { r } } \, .
\delta F = \frac { 3 } { 2 } \delta \sigma _ { f } + \frac { 3 } { 8 } \delta \sigma _ { f } ^ { 2 } - \delta r + \delta r ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \delta { \dot { r } } ^ { 2 } - \delta \sigma _ { f } \delta r ~ .
\begin{array} { r l } { P _ { \sigma } B ^ { T } ( R _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } ) ^ { T } } & { = \sum _ { p , q } b _ { \sigma ( q ) p } E _ { p q } \left( \sum _ { r = 1 } ^ { \lambda } E _ { r r } + \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( b _ { \sigma ( j ) \lambda } E _ { r r } - b _ { \sigma ( j ) r } E _ { \lambda r } ) \right) } \\ & { = \sum _ { p } b _ { \sigma ( r ) p } E _ { p r } + \sum _ { p } \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( b _ { \sigma ( r ) p } b _ { \sigma ( j ) \lambda } - b _ { \sigma ( \lambda ) p } b _ { \sigma ( j ) r } ) E _ { p r } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { P ( x , \tilde { p } + u _ { f } ) \tilde { p } = \widetilde { F } ( x , \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } , \Delta u _ { f } , \tilde { p } + u _ { f } , \partial _ { t } ( \tilde { p } + u _ { f } ) ) , } & { \mathrm { o n ~ } M , } \\ { \tilde { p } = 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \partial M , } \\ { \tilde { p } = 0 , } & { \mathrm { f o r ~ } t < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { K ( u , t ) } & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { u } \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( 1 - | R ( u ^ { \prime } / \alpha _ { s } , t ^ { \prime } / \alpha _ { t } ) | ^ { 2 } \Big ) u ^ { \prime } \mathrm d u ^ { \prime } \mathrm d t ^ { \prime } } \\ & { = \pi u ^ { 2 } t - \frac { 2 \pi } { \rho ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { u } \int _ { 0 } ^ { t } | C _ { 0 } ( u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } u ^ { \prime } \mathrm d u ^ { \prime } \mathrm d t ^ { \prime } } \\ & { = \pi u ^ { 2 } t - \frac { \gamma ^ { 2 } \pi ^ { 3 } } { 8 \rho ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 6 } \alpha _ { t } ^ { 6 } } \Big [ e ^ { - 4 \pi \alpha _ { t } t } \Big ( \frac { - 2 \pi \alpha _ { t } t + e ^ { 4 \pi \alpha _ { t } t } - 1 } { 2 \pi \alpha _ { t } } \Big ) } \\ & { - \Big ( \frac { \alpha _ { s } u } { \alpha _ { t } } + \frac { 4 \pi \alpha _ { s } ^ { 2 } u ^ { 2 } } { \alpha _ { t } } \frac { \sinh n t } { 2 n n ! ( n + 1 - ( n + 1 ) ! ) ! } \Big ) J _ { 1 } ( 4 \pi , t ) \Big ] , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { \Lambda _ { 3 } S _ { 6 } } & { x ^ { 8 } } \\ { \Lambda _ { 2 } S _ { 6 } + \Lambda _ { 3 } S _ { 5 } } & { x ^ { 7 } } \\ { \Lambda _ { 1 } S _ { 6 } + \Lambda _ { 2 } S _ { 5 } + \Lambda _ { 3 } S _ { 4 } } & { x ^ { 6 } } \\ { S _ { 6 } + \Lambda _ { 1 } S _ { 5 } + \Lambda _ { 2 } S _ { 4 } + \Lambda _ { 3 } S _ { 3 } } & { x ^ { 5 } } \\ { S _ { 5 } + \Lambda _ { 1 } S _ { 4 } + \Lambda _ { 2 } S _ { 3 } + \Lambda _ { 3 } S _ { 2 } } & { x ^ { 4 } } \\ { S _ { 4 } + \Lambda _ { 1 } S _ { 3 } + \Lambda _ { 2 } S _ { 2 } + \Lambda _ { 3 } S _ { 1 } } & { x ^ { 3 } } \\ { S _ { 3 } + \Lambda _ { 1 } S _ { 2 } + \Lambda _ { 2 } S _ { 1 } } & { x ^ { 2 } } \\ { S _ { 2 } + \Lambda _ { 1 } S _ { 1 } } & { x } \\ { S _ { 1 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { Q _ { 2 } x ^ { 8 } } \\ { Q _ { 1 } x ^ { 7 } } \\ { Q _ { 0 } x ^ { 6 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \Omega _ { 2 } x ^ { 2 } } \\ { \Omega _ { 1 } x } \\ { \Omega _ { 0 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \mathrm { e } ^ { i k \frac { r ^ { 2 } } { 2 q ( z ) } } = \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i \frac { k r ^ { 2 } } { 2 R } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( x , t ) } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { L } } \sum _ { k } \left[ Q _ { k } ( t ) \sin k x + \frac { P _ { k } ( t ) } { v | k | } \cos k x \right] } \\ { \pi ( x , t ) } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { L } } \sum _ { k } \left[ P _ { k } ( t ) \sin k x - v | k | Q _ { k } ( t ) \cos k x \right] \; , \; k = \frac { 2 \pi \nu } { L } \; , \; \nu = \pm 1 , \pm 2 , . . . } \end{array}
\ensuremath { L } _ { \ensuremath { \ell } , \textup { B D M } } ^ { \ensuremath { \Delta t } } \lambda = \ensuremath { L } _ { \ensuremath { \ell } , \textup { R T } } ^ { \ensuremath { \Delta t } } \lambda = \ensuremath { L } _ { \ensuremath { \ell } , \textup { S F H } } ^ { \ensuremath { \Delta t } } \lambda \qquad \mathrm { a n d } \qquad p _ { \ensuremath { \ell } , \textup { B D M } } ^ { \ensuremath { \Delta t } } \lambda = p _ { \ensuremath { \ell } , \textup { R T } } ^ { \ensuremath { \Delta t } } \lambda = p _ { \ensuremath { \ell } , \textup { S F H } } ^ { \ensuremath { \Delta t } } \lambda ,
{ \begin{array} { r l } { f ( x _ { i } , { \boldsymbol { \beta } } ) } & { = f ^ { k } ( x _ { i } , { \boldsymbol { \beta } } ) + \sum _ { j } { \frac { \partial f ( x _ { i } , { \boldsymbol { \beta } } ) } { \partial \beta _ { j } } } \left( \beta _ { j } - { \beta _ { j } } ^ { k } \right) } \\ & { = f ^ { k } ( x _ { i } , { \boldsymbol { \beta } } ) + \sum _ { j } J _ { i j } \, \Delta \beta _ { j } . } \end{array} }
M _ { p - s c a l a r \, \pm } ^ { 2 } ~ = ~ M _ { \pm } ^ { 2 } ~ - ~ { \frac { 3 } { 4 } } \, \alpha \gamma \, \mu \, \widetilde { m } _ { \lambda } \Bigg ( 1 \pm \sqrt { 1 + x } ~ \Bigg ) \Bigg ( 4 ~ \pm ~ { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x } } } ~ \Bigg ) ,
\begin{array} { r l } { F _ { \mathbb { E } _ { \xi } \hat { \psi } _ { t } } ^ { x } ( p _ { t } ) - F _ { \mathbb { E } _ { \xi } \hat { \psi } _ { t } } ^ { x } ( p ) \leq } & { \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p ) + \eta _ { t } \left[ \mathrm { K L } ( p \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( p _ { t } ^ { * } \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) \right] } \\ & { - ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { t } ^ { * } ) + \left[ \lambda _ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { p _ { t } ^ { * } } } \right] \delta _ { t , 1 } + \left[ 4 + \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( p _ { t } ^ { * } ) } { \sqrt { \alpha _ { p _ { t } ^ { * } } } } \right] \sqrt { \delta _ { t , 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( * ) } } & { { } = \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } E ^ { ( m ) } \, , } \\ { \sigma _ { E ^ { ( * ) } } ^ { 2 } } & { { } = \underbrace { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sigma _ { E ^ { ( m ) } } ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ a ~ l ~ e ~ a ~ t ~ o ~ r ~ i ~ c ~ } } + \underbrace { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \left( E ^ { ( m ) } - E ^ { ( * ) } \right) ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ e ~ p ~ i ~ s ~ t ~ e ~ m ~ i ~ c ~ } } \, . } \end{array}
Z _ { \phi } = e ^ { ( f _ { 0 } \tilde { c } - f _ { 1 } ) / \sqrt { 2 } } \left( 1 - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) ^ { - f _ { 0 } / ( 2 \sqrt { 2 D _ { 2 } } ) } ,