harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { A } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { A } ) } } \left[ { \frac { 1 } { 6 } } \left( ( \operatorname { t r } \mathbf { A } ) ^ { 3 } - 3 \operatorname { t r } \mathbf { A } \operatorname { t r } \mathbf { A } ^ { 2 } + 2 \operatorname { t r } \mathbf { A } ^ { 3 } \right) \mathbf { I } - { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { A } \left( ( \operatorname { t r } \mathbf { A } ) ^ { 2 } - \operatorname { t r } \mathbf { A } ^ { 2 } \right) + \mathbf { A } ^ { 2 } \operatorname { t r } \mathbf { A } - \mathbf { A } ^ { 3 } \right] .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = } & { { } } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ - \Delta _ { p } \hat { \sigma } _ { e e } ^ { j } ( \mathbf { r } , t ) - ( \Delta _ { p } + \Delta _ { c } ) \hat { \sigma } _ { r r } ^ { j } ( \mathbf { r } , t ) + \frac { \Omega _ { p } } { 2 } \hat { \sigma } _ { e g } ^ { j } ( \mathbf { r } , t ) \right. } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { \kappa ^ { d - 2 } } \sqrt { g } \left[ \ - R + \Lambda + \lambda \kappa ^ { 2 } ~ \widehat { \mathrm { G } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { n } \kappa ^ { 2 n + 2 } \Im _ { n } [ \widehat { R } , \nabla , \Lambda ] \right]
u ( x ) \geq \left( \operatorname* { m i n } _ { | x | = r + 1 , \frac { x } { | x | } \in \Sigma } u ( x ) \right) \left( \frac { r + 1 } { | x | } \right) ^ { \frac { n - 2 s } { 2 } } : = \frac { C _ { 0 } } { | x | ^ { \frac { n - 2 s } { 2 } } } , \quad \quad \forall \, \, x \in \mathcal C _ { 0 , \Sigma } \ \ \mathrm { w i t h } \, \, | x | \geq r + 1 .
L _ { m a s s } = \frac { 1 } { 4 } ( f _ { \mu } f ^ { \mu } ) ^ { \frac { \delta } { 2 \delta - 1 } } - \frac { D \delta } { 2 \delta - 1 } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } f _ { \mu } \partial _ { \nu } f _ { \rho } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { Y } ( t ) \right\rangle } & { { } = \mathbf { A } \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { Y } ( t ) \right\rangle , } \\ { \frac { d } { d t } \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { X } ( t ) \right\rangle } & { { } = \mathbf { C } \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { X } ( t ) \right\rangle + \varepsilon \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { I } ( t ) \right\rangle . } \end{array}
{ \textstyle \bigwedge } ( V ) = { \textstyle \bigwedge } ^ { 0 } ( V ) \oplus { \textstyle \bigwedge } ^ { 1 } ( V ) \oplus { \textstyle \bigwedge } ^ { 2 } ( V ) \oplus \cdots \oplus { \textstyle \bigwedge } ^ { n } ( V )
\begin{array} { r l } & { \quad [ 1 \otimes H _ { i , 1 } , F _ { j } ] - [ 1 \otimes H _ { j , 1 } , F _ { i } ] } \\ & { = _ { j , i + 1 , 1 } + _ { i , j , 2 } + _ { j , i + 1 , 3 } + _ { i , j , 4 } + _ { j , i + 1 , 5 } } \\ & { \quad - _ { j , i , 6 } + _ { j , i + 1 , 6 } + _ { j , i + 1 , 7 } + _ { i , j , 8 } - _ { i , j + 1 , 8 } } \\ & { \quad + _ { i , j , 9 } - _ { j , i , 1 0 } + _ { j , i + 1 , 1 0 } + _ { i , j , 1 1 } + _ { i , j , 1 2 } - _ { i , j + 1 , 1 2 } . } \end{array}
\alpha _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { v _ { n } ^ { N } } { v _ { n } ^ { T } } \right) \in [ 0 , \pi ] , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \theta _ { n } = \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } + \phi ,
\begin{array} { r l r } { S } & { \leq } & { \frac { 2 | I _ { p } | } { 2 | I _ { p } | - 1 } { \left| { \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } \bigl ( U ( t ) - V ^ { \eta } ( t ) \bigr ) \phi ( t ) \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t } \right| } + \frac { 2 | I _ { p } | } { 2 | I _ { p } | - 1 } { \left| { \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } V ^ { \eta } ( t ) \phi ( t ) \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t } \right| } } \\ & { \leq } & { \frac { 2 | I _ { p } | } { 2 | I _ { p } | - 1 } \varepsilon S + \frac { 2 | I _ { p } | } { 2 | I _ { p } | - 1 } { \left\| { V ^ { \eta } } \right\| } _ { \infty } { \left\| { \varphi } \right\| } _ { \infty } \frac { 1 } { 2 | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } | \Phi ( t ) | \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq } & { \frac { 2 | I _ { p } | } { 2 | I _ { p } | - 1 } \varepsilon S + \frac { p ^ { 2 } + p } { p ^ { 2 } } \frac { 2 | I _ { p } | } { 2 | I _ { p } | - 1 } E _ { \eta } \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } | \Phi ( t ) | \, \mathrm { d } t . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { m } & { - v } \\ { n } & { u } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { m } \\ { n } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \widetilde A _ { t } } & { : = \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { 2 d } } | f ( x ) | ^ { 2 } Q _ { t } ( x , y ) e ^ { | \gamma | ^ { 2 } K _ { t } ^ { * } ( x , y ) } e ^ { Z _ { 1 } ( x ) - \frac { 1 } { 2 } { \ensuremath { \mathbb E } } [ Z _ { 1 } ( x ) ] } \mathrm { d } x \mathrm { d } y , } \\ { A _ { t } ^ { ( 2 ) } } & { : = \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { 2 d } } | f ( x ) | ^ { 2 } Q _ { t } ( x , y ) e ^ { | \gamma | ^ { 2 } K _ { t } ^ { * } ( x , y ) } e ^ { Z _ { 3 } ( x . y ) - \frac { 1 } { 2 } { \ensuremath { \mathbb E } } [ Z _ { 3 } ( x , y ) ] } \mathrm { d } x \mathrm { d } y . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { ^ 1 { \bf c } ^ { M \times 1 } } \\ { ^ 2 { \bf c } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { \vdots } \\ { ^ { L - 1 } { \bf c } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { ^ { L } { \bf c } ^ { M \times 1 } } \end{array} \right) ^ { 2 M ( L - 1 ) \times 1 } = { \cal Y } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { - ^ { 1 } { \bf s } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { - ^ { 2 } { \bf s } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { \vdots } \\ { - { ^ { L - 2 } { \bf s } } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { { ^ L { \bf s } } _ { i n w a r d } ^ { 2 M \times 1 } - { ^ { L - 1 } { \bf s } } ^ { 2 M \times 1 } } \end{array} \right) ^ { 2 M ( L - 1 ) \times 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x P _ { m } ( x ) P _ { \ell } ( x ) } & { = \sum _ { k } C ( k , \ell , m ) x P _ { k } ( x ) } \\ & { = \sum _ { k } C ( k , \ell , m ) [ a _ { k } P _ { k + 1 } ( x ) + b _ { k - 1 } P _ { k - 1 } ( x ) ] } \\ & { = \sum _ { k } [ a _ { k - 1 } C ( k - 1 , \ell , m ) + b _ { k } C ( k + 1 , \ell , m ) ] P _ { k } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } K _ { j } ( t , x ) } & { { } = - \sum _ { k = 1 } ^ { N } \partial _ { x } A _ { H } \left( K _ { \ell } W _ { k \ell } ^ { n } \right) W _ { k j } ^ { n } } \\ { K _ { n } ( t _ { 0 } , x ) } & { { } = X _ { i } ^ { 0 } S _ { i n } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { r } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { - 2 \mu r } \left( 1 2 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } e ^ { 2 \mu { r _ { 0 } } } + 2 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right. \right. } \\ & { \times } & { \left. \left. e ^ { \mu ( r + { r _ { 0 } } ) } \left( 3 \beta r ^ { 3 } + \beta r ^ { 2 } { r _ { 0 } } - 2 4 \alpha r - 3 2 \alpha { r _ { 0 } } \right) + r ^ { 4 } \left( - e ^ { 2 \mu r } \right) \left( 9 \gamma r ^ { 6 } + 6 \gamma r ^ { 5 } { r _ { 0 } } + \gamma r ^ { 4 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } 6 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 3 } \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. 1 2 \beta r ^ { 3 } { r _ { 0 } } + 4 r ^ { 2 } \left( \beta { r _ { 0 } } ^ { 2 } - 9 \alpha \right) - 1 2 0 \alpha r { r _ { 0 } } - 8 4 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right) \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { s < t , t < u } & { \Rightarrow s < u } & { s < t } & { \Rightarrow S s < S t } & & { \Rightarrow s + S t = \mathrm { S } ( s + t ) } \\ { s < t , t < s } & { \Rightarrow } & & { \Rightarrow s < t , s = t , t < s } & & { \Rightarrow t \cdot 0 = 0 } \\ { s < t , t < S s } & { \Rightarrow } & & { \Rightarrow t < S t } & & { \Rightarrow s \cdot S t = ( s \cdot t ) + s } \\ { t < 0 } & { \Rightarrow } & & { \Rightarrow t + 0 = t } \end{array}
\begin{array} { r } { | \partial _ { \varphi } K _ { 1 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { C ^ { 1 + \alpha } ( \mathbb { T } ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \nabla \Phi ( t ) \Vert _ { L ^ { 1 } ( M ) } } & { \ge \int _ { \mathsf { P } } | \partial _ { 2 } \Phi _ { 1 } ( t ) | \, \mathrm { d } x } \\ & { = ( b - a ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \delta } | \partial _ { 2 } \Phi _ { 1 } ( ( ( 1 - \tau ) a + \tau b + \zeta , ( 1 - \tau ) y _ { a } + \tau y _ { b } ) , t ) | \, \mathrm { d } \zeta \mathrm { d } \tau } \\ & { \ge \int _ { \mathsf { K } } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { 2 } \Phi _ { 1 } ( ( ( 1 - \tau ) a + \tau b + \zeta , ( 1 - \tau ) y _ { a } + \tau y _ { b } ) , t ) \, \mathrm { d } \tau \right] \mathrm { d } \zeta } \\ & { \gtrsim \int _ { \mathsf { K } } \Big [ \Phi _ { 1 } ( ( b + \zeta , y _ { b } ) , t ) - \Phi _ { 1 } ( ( a + \zeta , y _ { a } ) , t ) \Big ] \, \mathrm { d } \zeta \gtrsim t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { s t a b } , n } ( \boldsymbol { \sigma } , \boldsymbol { W } ; \boldsymbol { v } ) } & { \lesssim \biggl ( \| \boldsymbol { \sigma } \| ^ { 2 } + \| \boldsymbol { f } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } + \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } \boldsymbol { f } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } \biggr ) ^ { 1 / 2 } \| \boldsymbol { v } \| _ { \boldsymbol { W } , n } . } \end{array}
Z ( M ) = ( 2 \pi \hbar ) ^ { - \frac { 3 + b _ { 1 } - 1 } { 2 } } \int _ { \tilde { X } } V \big ( T ^ { b _ { 1 } } \big ) Z ( M ; \varphi _ { \mathrm { o } } ^ { a } ) \sqrt { g } \, d ^ { 3 } \varphi _ { \mathrm { o } } .
c ( 1 ) \left( e ^ { \gamma ( 1 ) _ { 1 } } + \cdots + e ^ { \gamma ( 1 ) _ { m ( 1 ) } } \right) + \cdots + c ( r ) \left( e ^ { \gamma ( r ) _ { 1 } } + \cdots + e ^ { \gamma ( r ) _ { m ( r ) } } \right) = 0
\| ( u _ { \theta } ) _ { j } \| _ { C ^ { n } ( \Omega ) } \leq 1 6 ^ { L } d ^ { 2 n } ( e ^ { 2 } n ^ { 4 } W ^ { 3 } R ^ { n } \| \sigma \| _ { C ^ { n } ( \Omega ) } ) ^ { n L } .
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { ~ f ~ u ~ l ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ R ~ W ~ A ~ } } } & { { } = } & { \hbar \Omega _ { \mathrm { ~ v ~ } } b ^ { \dagger } b + \hbar \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } + \hbar \tilde { \omega } _ { \mathrm { ~ L ~ } } \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } + \hbar g _ { 0 } \big ( \cos \varphi \cdot \tilde { a } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { E } _ { 1 } } & { \= h _ { 1 } ( x ) \, q _ { 1 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, p _ { 1 } ( x ) \ , } \\ { \widetilde { E } _ { 2 } } & { \= h _ { 1 } ( x ) \, q _ { 2 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, p _ { 2 } ( x ) \ , } \\ { \widetilde { E } _ { 3 } } & { \= h _ { 1 } ( x ) \, q _ { 3 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, p _ { 3 } ( x ) \ , } \end{array}
{ \bar { \Psi } } = ( { \bar { q } } _ { 1 } , { \bar { q } } _ { 2 } , { \bar { q } } _ { 4 } , { \bar { q } } _ { 5 } ; { \bar { q } } _ { 1 } ^ { C } , { \bar { q } } _ { 2 } ^ { C } , { \bar { q } } _ { 4 } ^ { C } , { \bar { q } } _ { 5 } ^ { C } ) .
m _ { 2 } L _ { 2 } ^ { 2 } { \ddot { \theta } } _ { 2 } + m _ { 2 } L _ { 1 } L _ { 2 } { \ddot { \theta } } _ { 1 } \cos ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) + m _ { 2 } L _ { 1 } L _ { 2 } { \ddot { \theta _ { 1 } } } ^ { 2 } \sin ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) = - m _ { 2 } g L _ { 2 } \sin \theta _ { 2 } .
\left| \frac { \partial ^ { k } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial ^ { l } } { \partial t ^ { l } } F ( z ; x , t ) \right| \le \operatorname* { m a x } _ { ( z , x , t ) \in \gamma _ { \varepsilon , \theta } \times [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] \times [ t _ { 1 } , t _ { 2 } ] } \left| \frac { z ^ { l } \phi ^ { \dagger } ( z ) ( \phi ( z ) ) ^ { k } } { z } e ^ { - x \phi ( z ) + t z } \right| ,
\begin{array} { l l } { { { \cal L } _ { \chi } } } & { { = ( 2 \pi R ) { \cal L } _ { 5 } , _ { \chi } = \tilde { g } ^ { M N } ( \partial _ { M } \chi ) ^ { * } ( \partial _ { N } \chi ) - V } } \\ { { } } & { { = e ^ { \sqrt { \frac 2 3 } \kappa \varphi } g ^ { \mu \nu } ( \partial _ { \mu } \chi ) ^ { * } ( \partial _ { \nu } \chi ) - V } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon _ { 1 } \to 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } ( \tilde { \mathfrak { C } } ( a _ { n } ) ^ { 2 k } / ( \varepsilon ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 } n ^ { 1 / 2 } ) + \P ^ { * } ( \mathcal { L } ^ { n } < \varepsilon _ { 1 } n ^ { 1 / 2 } ) + \P ^ { * } ( \mathcal { L } ^ { n } > n ^ { 1 / 2 } / \varepsilon _ { 1 } ) ) = 0
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } n ( t , z ) = \sigma \ \partial _ { z z } ^ { 2 } n ( t , z ) + \left( R ( z ) - \kappa \rho ( t ) \right) n ( t , z ) + \tau \cdot n ( t , z ) \displaystyle \int _ { \mathbb { R } } \frac { n ( t , y ) } { \rho ( t ) } \cdot H ( K ( z - y ) ) \ \mathrm { d y } } \\ { n ( 0 , z ) = n _ { 0 } ( z ) , } \\ { n ( t , z ) > 0 , } \\ { \rho ( t ) = \displaystyle \int _ { \mathbb { R } } n ( t , y ) \ \mathrm { d y } . } \end{array} \right.
\hat { H } _ { \mathrm { S D F } } = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \eta _ { j } \frac { \hbar \Omega } { 2 } ( \hat { a } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \delta t } \mathrm { e } ^ { i \phi _ { \mathrm { m } , j } } + \hat { a } \mathrm { e } ^ { i \delta t } \mathrm { e } ^ { - i \phi _ { \mathrm { m } , j } } ) \hat { \sigma } _ { j } ^ { \phi _ { \mathrm { S } , j } } ,
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } \phi - g \frac { \partial \phi } { \partial z } } & { = 0 \quad \mathrm { a t } \quad z = 0 } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial z } } & { = 0 \quad \mathrm { a t } \quad z = - d } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial z } \Bigr | _ { r = a } } & { = - i \omega ( z + d ) \zeta \cos ( \theta ) } \end{array}
\begin{array} { l } { { \lambda \left( \kappa _ { a d } ^ { S } \epsilon _ { d b c } \alpha _ { c } + \kappa _ { b d } ^ { S } \epsilon _ { d a c } \alpha _ { c } \right) + R \left( \beta _ { a } k _ { b } + \beta _ { b } k _ { a } \right) = 0 } } \\ { { \ \ \lambda R \left( \alpha _ { a } k _ { b } - \alpha _ { b } k _ { a } \right) + \kappa _ { a d } ^ { S } \epsilon _ { d b c } \beta _ { c } - \kappa _ { b d } ^ { S } \epsilon _ { d a c } \beta _ { c } = 0 . } } \end{array}
\langle ( \Delta \alpha ) ^ { 2 } \rangle ^ { 1 / 2 } \simeq 1 . 6 ^ { 0 } \left( \frac { B ( t _ { d e c } ) } { B _ { c } } \right) \left( \frac { \omega _ { M } } { \omega } \right) ^ { 2 } , ~ ~ ~ B _ { c } = 1 0 ^ { - 3 } ~ G a u s s , ~ ~ ~ \omega _ { M } \simeq 3 \times 1 0 ^ { 1 0 } ~ H z
f _ { \mathbf { Z } } \left( \mathbf { z } \right) = \frac { \Gamma \left( \frac { N } { 2 } \right) } { 2 \cdot \pi ^ { \frac { N } { 2 } } \cdot \int _ { 0 } ^ { \infty } \widetilde { r } ^ { N - 1 } \cdot f _ { D L N } \left( \widetilde { r } \right) \ d \widetilde { r } } \cdot f _ { D L N } \left( \lvert \lvert \mathbf { z } \rvert \rvert _ { 2 } \right) = M _ { N } \cdot f _ { D L N } \left( \lvert \lvert \mathbf { z } \rvert \rvert _ { 2 } \right)
\bar { S } \kappa _ { e } \bar { R } = \kappa _ { o } R \bar { R } = \kappa _ { o } + ( 1 + \bar { w } w ) \kappa _ { o } v \bar { v } \, , \quad \sum _ { e > 0 } S _ { e o } \kappa _ { e } w _ { e } = \kappa _ { o } R w _ { e } = \kappa _ { o } v ( 1 + \bar { w } w ) \, .
\varphi _ { i n } = \alpha \varphi _ { o u t } + \beta \varphi _ { o u t } ^ { * } , \qquad \alpha = - i \mathrm { c o s e c } ( \pi \epsilon / 2 ) e ^ { - i \pi \epsilon / 2 } , \qquad \beta = - i \cot ( \pi \epsilon / 2 ) .
f _ { W L } ( \theta ; \mu , c ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i n ( \theta - \mu ) - { \sqrt { c | n | } } \, ( 1 - i \operatorname { s g n } { n } ) } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \left( 1 + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - { \sqrt { c n } } } \cos \left( n ( \theta - \mu ) - { \sqrt { c n } } \, \right) \right)
\frac { \partial \hat { h } } { \partial \hat { t } } + \hat { u } _ { S } \frac { \partial \hat { h } } { \partial \hat { r } } + \frac { \hat { v } _ { S } } { \hat { r } } \frac { \partial \hat { h } } { \partial \theta } = \hat { w } _ { S } .
\begin{array} { r l } { e \psi _ { v } ( s _ { 1 } ( w _ { g } ) ) } & { = e \psi _ { v } ( \sum _ { h \in G _ { v } } ( r ( g ) + 1 - a _ { g ^ { - 1 } , h } ) h ) } \\ & { = e \sum _ { h \in G _ { v } } ( r ( g ) + 1 - a _ { g ^ { - 1 } , h } ) \cdot \sum _ { \Tilde { h } \xrightarrow [ ] h } \Tilde { h } } \\ & { = e \sum _ { \Tilde { h } \in G _ { w } } ( r ( g ) + 1 - a _ { g ^ { - 1 } , h } ) \Tilde { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial } { \partial \rho } \left( \rho \frac { \partial \psi } { \partial \rho } \right) - \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \partial } { i \partial \varphi } - \phi \right) ^ { 2 } + \frac { \mu ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 \hbar ^ { 2 } } \right] \psi } \\ & { - \rho ^ { 2 } \left( \frac { \mu ^ { 2 } \omega _ { c } ^ { 2 } } { 4 \hbar ^ { 2 } } + \frac { \mu ^ { 2 } \Omega \omega _ { c } } { \hbar ^ { 2 } } + \frac { \mu ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \, } { 4 \hbar ^ { 2 } } \right) \psi } \\ & { + \frac { \mu \omega _ { c } } { \hbar } \frac { \partial \psi } { i \partial \varphi } + \frac { 2 \mu \Omega } { \hslash } \frac { \partial \psi } { i \partial \varphi } - \frac { 2 \mu \Omega \phi } { \hslash } \psi - \frac { \mu \omega _ { c } \phi } { \hslash } \psi } \\ & { + \frac { \mu ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } } \psi = - \frac { 2 \mu E } { \hbar ^ { 2 } } \psi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { i } \sin \theta _ { i } } & { { } = n _ { i - 1 } \sin \theta _ { i - 1 } \implies \mu _ { i } ^ { 2 } = 1 - \left( \frac { n _ { i - 1 } } { n _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { 2 } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) + \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } + \gamma ( 2 a + c \gamma ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left( \frac { 2 \dot { \lambda } ( t ) } { \lambda ( t ) } - \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) } { \varepsilon ( t ) } \right) ^ { 2 } } \\ { \leq \ } & { \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { 2 } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) + \gamma ( 2 a + c \gamma ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left( \frac { 2 \dot { \lambda } ( t ) } { \lambda ( t ) } - \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) } { \varepsilon ( t ) } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Delta \tau ( E ) = \tau _ { 1 } ( E ) - \tau _ { 2 } ( E ) = \frac { \partial } { \partial E } \arg \left\{ \frac { D _ { 1 } } { D _ { 2 } } \right\} } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial E } \mathcal { H } \left\{ \ln \left( \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 2 } } \right) \right\} = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { H } \left\{ \frac { \sigma _ { 2 } } { \sigma _ { 1 } } \frac { \partial ( \sigma _ { 1 } / \sigma _ { 2 } ) } { \partial E } \right\} . } \end{array}
\left| B _ { 2 } ^ { \operatorname { L } } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) } \right| \leqslant \frac { n } { 1 8 } \! + \! 2 \! + \! \operatorname* { m a x } \left( \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) } \right| } { 3 } , \operatorname* { m i n } \left( \frac { n } { 1 8 } \! + \! 1 \! - \! \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) } \right| \right) \right) \leqslant \frac { n } { 1 2 } \! + \! 3
p _ { r } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - \Lambda \cdot x _ { a } ) \cdot \left( \sum _ { k \in \mathcal { O } _ { r } } ( \beta _ { k } ^ { 0 } + \Delta _ { r k } \cdot \beta _ { k } ^ { \Delta } ) \right) } & { \mathrm { i f ~ } \: r \in \mathcal { R } _ { a } , a \in \mathcal { A } } \\ { \sum _ { k \in \mathcal { O } _ { r } } ( \beta _ { k } ^ { 0 } + \Delta _ { r k } \cdot \beta _ { k } ^ { \Delta } ) } & { \mathrm { i f ~ } \: r \in \mathcal { R } \setminus \mathcal { R } ^ { D E } } \end{array} \right.
S = \frac { i } { 8 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d \tau d \sigma ( \tilde { \psi } \hat { \partial } \psi - \phi \hat { \partial } \phi - \rho \hat { \partial } \rho - \eta \hat { \partial } \eta + \theta \hat { \partial } \theta + \xi \hat { \partial } \xi + \chi \hat { \partial } \chi + \sigma _ { i } \hat { \partial } \sigma _ { i } + \sigma _ { i j } \hat { \partial } \sigma _ { i j } ) .
R = { \mathfrak { a } } _ { 1 } \oplus \cdots \oplus { \mathfrak { a } } _ { n } , \quad { \mathfrak { a } } _ { i } { \mathfrak { a } } _ { j } = 0 , i \neq j , \quad { \mathfrak { a } } _ { i } ^ { 2 } \subseteq { \mathfrak { a } } _ { i }
1 0 0 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n = ( 1 0 \uparrow \uparrow \uparrow ) ^ { n - 2 } ( 1 0 \uparrow \uparrow ) ^ { 9 8 } ( 1 0 \uparrow ) ^ { 1 0 0 } 2 . 3
\begin{array} { r l } { { \gamma _ { { \mathrm { p a s s i v e } } } } } & { \! = \! \frac { { P _ { { \mathrm { B S - P } } } ^ { \operatorname* { m a x } } { { \left| { \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \left| { { f _ { n } } } \right| \left| { { g _ { n } } } \right| } } \right| } ^ { 2 } } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } , } \\ { \! \gamma _ { \mathrm { a c t i v e } } } & { \! = \! \frac { { P _ { { \mathrm { B S - A } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } { { \left| { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! { \left| { { f _ { n } } } \right| \left| { { g _ { n } } } \right| } } \right| } ^ { 2 } } } } { { P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } \sigma _ { v } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! { { { \left| { { f _ { n } } } \right| } ^ { 2 } } } \! + \! { \sigma ^ { 2 } } \! \left( { P _ { { \mathrm { B S - A } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! { { { \left| { { g _ { n } } } \right| } ^ { 2 } } \! + \! N \sigma _ { v } ^ { 2 } } } \right) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { c } ^ { b } \int _ { M \times M } \int _ { M } H ( x , t , z , c ) d _ { c } ^ { 4 } ( z , p ) e ^ { - 2 f ( x , t ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { c } ( z ) d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) \, d t } \\ { \le } & { \int _ { c } ^ { b } \int _ { M } \int _ { M } \int _ { M } H ( x , t , z , c ) d _ { c } ^ { 4 } ( z , p ) e ^ { - f ( x , t ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { c } ( z ) d V _ { t } ( y ) \, d t } \\ { \le } & { \int _ { c } ^ { b } \int _ { M } \int _ { M } \left( \frac { 1 - t } { 1 - c } \right) ^ { \frac n 2 } d _ { c } ^ { 4 } ( z , p ) e ^ { - f ( z , c ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { c } ( z ) d V _ { t } ( y ) \, d t } \\ { \le } & { \int _ { c } ^ { b } \int _ { M } \int _ { M } d _ { c } ^ { 4 } ( z , p ) e ^ { - f ( z , c ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { c } ( z ) d V _ { t } ( y ) \, d t < \infty } \end{array}
M _ { 4 } ^ { 1 - l o o p } ( B - , A + , A ^ { \prime } + , B ^ { \prime } + ) = g ^ { 2 } { \frac { C _ { + + } ^ { g g ( 1 ) } ( - p _ { a } , p _ { a ^ { \prime } } ) } { C _ { - + } ^ { g g ( 0 ) } ( - p _ { a } , p _ { a ^ { \prime } } ) } } \, M _ { 4 } ^ { t r e e } ( B - , A - , A ^ { \prime } + , B ^ { \prime } + ) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } p ( \widehat { L } ) } & { { } = f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } p ( \widehat { L } ) + \frac { D ( \widehat { L } ) } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } p ( \widehat { L } ) } \end{array}