harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
i \hbar { \frac { \partial \psi } { \partial t } } = \left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { \nabla _ { i } ^ { 2 } } { m _ { i } } } + V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \cdots \mathbf { r } _ { N } ) \right) \psi
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S } { \mathrm { d } t } = } & { - \beta g ( I ) S + \mu - \mu S + \alpha R , } \\ { \frac { \mathrm { d } E } { \mathrm { d } t } = } & { \beta g ( I ) S - ( \theta + \mu ) E , } \\ { \frac { \mathrm { d } I } { \mathrm { d } t } = } & { \theta E - ( \gamma + \mu ) I , } \\ { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } t } = } & { \gamma I - ( \alpha + \mu ) R , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left< D _ { \gamma _ { k } } \frac { d } { d t } u _ { k } , \psi _ { n } \right> w _ { n } } \\ & { \overset { \leq } \epsilon \underbrace { c _ { 1 } \sum _ { k , l = 1 } ^ { N _ { 0 } } \tilde { \gamma } _ { k , l } ^ { 2 } \Vert A _ { L _ { l } } \Vert ^ { 2 } \Vert \mathcal { R } _ { N } D _ { \gamma _ { k } } L _ { l } \Vert ^ { 2 } } _ { : = S _ { 2 , N } } \left\Vert \frac { d } { d t } U \right\Vert ^ { 2 } + \frac { N _ { 0 } ^ { 2 } } { \epsilon } \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) ^ { 2 } w _ { n } ^ { 2 } } \end{array}
A _ { 6 } ^ { V } = G _ { 4 , 4 } ^ { 2 , 4 } \left( - 1 \mid \begin{array} { l l l l } { { \frac 1 2 } } & { { \frac 1 2 } } & { { \frac 1 2 } } & { { \frac 1 2 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \equiv 4 \ { \sqrt \pi } \ G _ { 4 , 4 } ^ { 2 , 4 } \left( - 1 \mid \begin{array} { l l l l } { { \frac 1 2 } } & { { \frac 1 2 } } & { { \frac 1 2 } } & { { \frac 1 2 } } \\ { { 0 } } & { { \frac 1 2 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) = 4 A _ { 6 } ^ { I } .
\begin{array} { r l r } { \overline { { u } } _ { j } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { { } = } & { - \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \overline { { \tau } } _ { i j } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { T } } { \partial x _ { j } } \qquad i = 1 , 2 , 3 } \\ { \nabla ^ { 2 } \overline { { p } } } & { { } = } & { - \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { i } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { T } } { \partial x _ { j } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } \approx } & { { } 2 i ^ { n } { \bf C } \exp \{ i [ q _ { 1 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } ] \} } \end{array}
{ \cal T } ~ = ~ \left( \begin{array} { l l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { - 3 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 4 } } & { { 3 } } & { { 8 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { Q } & { \equiv } & { \langle | u | \rangle _ { y , z } = \frac { 1 } { 2 } ( u _ { 2 } h _ { 2 } - u _ { 1 } h _ { 1 } ) \approx - u _ { 1 } h _ { 1 } \approx u _ { 2 } h _ { 2 } \quad \mathrm { u s i n g } \ \ , } \\ { Q _ { m } } & { \equiv } & { \langle \rho u \rangle _ { y , z } \approx \rho _ { 1 } u _ { 1 } h _ { 1 } \approx \rho _ { 2 } u _ { 2 } h _ { 2 } . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \mathbf { E } + \mu \varepsilon \omega ^ { 2 } \mathbf { E } = - i \omega \mu \sigma \mathbf { E } - \left( i \frac { \sigma } { \omega \varepsilon } \frac { \mu \varepsilon } { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } } + \frac { \mu \varepsilon } { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } } - 1 \right) \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf { E } \right) .
\begin{array} { r l } { z _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 3 } ^ { 2 } + z _ { 4 } ^ { 2 } } & { { } { \mathrm { ( z e r o ~ p a r t ) } } } \\ { z _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 3 } ^ { 2 } - z _ { 4 } ^ { 2 } } & { { } { \mathrm { ( o v a l ) } } } \\ { z _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } - z _ { 3 } ^ { 2 } - z _ { 4 } ^ { 2 } } & { { } { \mathrm { ( r i n g ) } } } \\ { - z _ { 1 } ^ { 2 } - z _ { 2 } ^ { 2 } - z _ { 3 } ^ { 2 } + z _ { 4 } ^ { 2 } } \\ { - z _ { 1 } ^ { 2 } - z _ { 2 } ^ { 2 } - z _ { 3 } ^ { 2 } - z _ { 4 } ^ { 2 } } \end{array}
\left[ \chi ^ { a b } , \chi ^ { c d } \right] \left( M _ { n } ^ { \, \, \, \, \, m } \right) = \left( 1 - \Lambda \right) _ { e f g h } ^ { a b c d } \, \left( \chi ^ { e f } \ast \chi ^ { g h } \right) \left( M _ { n } ^ { \, \, \, \, \, m } \right) = { \mathbf { C } } _ { e f } ^ { a b c d } \chi ^ { e f } \left( M _ { n } ^ { \, \, \, \, \, m } \right) ,
{ \frac { D _ { Q } } { D \ln Q ^ { 2 } } } = { \frac { d } { d \ln Q ^ { 2 } } } - { \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } } C _ { F } \left[ { \frac { 3 } { 2 } } + \int _ { \xi / 2 } ^ { x } { \frac { d y } { y - x - i \epsilon } } + \int _ { - \xi / 2 } ^ { x } { \frac { d y } { y - x - i \epsilon } } \right] \ .
\begin{array} { c } { A _ { a 1 } \equiv 0 _ { a } \times 0 _ { 1 } } \\ { A _ { b 2 } \equiv 0 _ { b } \times 0 _ { 2 } } \end{array} \begin{array} { c } { B _ { a 1 } \equiv 1 _ { a } \times 1 _ { 1 } } \\ { B _ { b 2 } \equiv 1 _ { b } \times 1 _ { 2 } } \end{array} \begin{array} { c } { C _ { a 1 } \equiv 1 _ { a } \times 0 _ { 1 } } \\ { C _ { b 2 } \equiv 1 _ { b } \times 0 _ { 2 } } \end{array} \begin{array} { c } { D _ { a 1 } \equiv 0 _ { a } \times 1 _ { 1 } } \\ { D _ { b 2 } \equiv 0 _ { b } \times 1 _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } } & { = \alpha U _ { G } ^ { 0 } ( r , \phi ) \mathbf { \hat { x } } + \beta U _ { L G } ^ { l } ( r , \phi ) \mathbf { \hat { y } } } \\ & { = U _ { 0 } \left[ \alpha \mathbf { \hat { x } } + \beta \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w } \right) ^ { | l | } L G _ { l } \left( \frac { 2 r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \right) e ^ { \pm i l \phi } \mathbf { \hat { y } } \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { J } } _ { x } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { { \sqrt { 5 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { { \sqrt { 5 } } } & { 0 } & { 2 { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 } & { 0 } & { 2 { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { { \sqrt { 5 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \sqrt { 5 } } } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { { \boldsymbol { J } } _ { y } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { - i { \sqrt { 5 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i { \sqrt { 5 } } } & { 0 } & { - 2 i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { - 3 i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 i } & { 0 } & { - 2 i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { - i { \sqrt { 5 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i { \sqrt { 5 } } } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { { \boldsymbol { J } } _ { z } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 3 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 5 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\Delta = - 1 2 8 p ^ { 2 } r ^ { 4 } + 3 1 2 5 s ^ { 4 } - 7 2 p ^ { 4 } q r s + 5 6 0 p ^ { 2 } q r ^ { 2 } s + 1 6 p ^ { 4 } r ^ { 3 } + 2 5 6 r ^ { 5 } + 1 0 8 p ^ { 5 } s ^ { 2 }
\mathbf { X _ { u u } } \cdot \mathbf { \hat { n } } = { \frac { 1 } { | g | ^ { 2 } + 1 } } { \left[ \begin{array} { l } { \operatorname { R e } \left( ( 1 - g ^ { 2 } ) f ^ { \prime } - 2 g f g ^ { \prime } \right) } \\ { \operatorname { R e } \left( ( 1 + g ^ { 2 } ) f ^ { \prime } i + 2 g f g ^ { \prime } i \right) } \\ { \operatorname { R e } \left( 2 g f ^ { \prime } + 2 f g ^ { \prime } \right) } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { \operatorname { R e } \left( 2 g \right) } \\ { \operatorname { R e } \left( - 2 g i \right) } \\ { \operatorname { R e } \left( | g | ^ { 2 } - 1 \right) } \end{array} \right] } = - 2 \operatorname { R e } ( f g ^ { \prime } )
\delta m _ { 0 } ^ { 2 } ( \mathrm { d } + \mathrm { e } ) = \frac { i } { \bar { M } _ { d } ^ { d - 2 } } \langle { \phi ( - p ) } | T _ { \mu \mu } | \phi ( p ) \rangle \sum _ { n } \int _ { k } F _ { n } ( k )
\begin{array} { r l } { 1 - } & { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi \operatorname* { m a x } \{ I _ { n } ^ { \prime \prime \prime } - \mu _ { n } , \mu _ { n } + K \} \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( K + 1 ) } } \left( \frac { e } { K + 1 } \right) ^ { K + 1 } + \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi I _ { n } \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { G ( T , p , \{ \phi _ { k } \} ) } { V } = k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } & { { } \sum _ { i = 0 } ^ { M } \left[ \frac { \phi _ { i } } { \nu _ { i } } \log { \phi _ { i } } + \frac { \omega _ { i } \phi _ { i } } { \nu _ { i } } \right] } \\ { + \frac { 1 } { 2 } } & { { } \sum _ { i = 0 } ^ { M } \sum _ { j = 0 } ^ { M } \chi _ { i j } \phi _ { i } \phi _ { j } + p \, , } \end{array}
\psi _ { a , m n } = - \arctan \left( \mathrm { I m } \frac { \int _ { y _ { 0 } } ^ { y _ { 1 } } \widetilde { a } _ { m n } ^ { \dag } \partial _ { y } \widetilde { a } _ { m n } { \, \mathrm { { d } } } y ) } { k _ { x } \int _ { y _ { 0 } } ^ { y _ { 1 } } | \widetilde { a } _ { m n } | ^ { 2 } { \, \mathrm { { d } } } y } \right) ,
\begin{array} { l l l } { { \lambda _ { 1 } } } & { { = } } & { { < H ( v ) | \bar { h } _ { v } ( i D ) ^ { 2 } h _ { v } | H ( v ) > ~ , } } \\ { { 2 \lambda _ { 2 } ( S _ { Q } \cdot J _ { l } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle - \frac { 1 } { 4 } Z _ { Q } < H ( v ) | \bar { h } _ { v } g \sigma \cdot G h _ { v } | H ( v ) > ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega _ { s } \right) } & { { } = \left( \Omega _ { s s ^ { \prime } } + i \Gamma _ { s s ^ { \prime } } / 2 \right) , } \\ { J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 2 \right) } \left( \omega _ { s ^ { \prime } } \right) } & { { } = \left( \Omega _ { s s ^ { \prime } } - i \Gamma _ { s s ^ { \prime } } / 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 1 , 0 } ( f ) ( U ) } & { = \big \langle f , K _ { U } ^ { H } \big \rangle _ { L _ { 2 } } = \big \langle f , K _ { I d } ^ { H } \circ L _ { U ^ { - 1 } } \big \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ & { = \int _ { \mathcal { U } _ { n } } f ( V ) \, \overline { { K _ { I d } ^ { H } ( U ^ { - 1 } V ) } } \, d V = n \int _ { \mathcal { U } _ { n } } f ( V ) \, \mathrm { t r } ( V ^ { * } U ) \, d V \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \left( G _ { \infty } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { \infty } ( \psi _ { n } ) \right) \right| \, | \nabla \psi _ { 1 } | \leq C | \nabla \psi _ { 1 } | \in L ^ { 1 } ( [ 0 , T ) ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) ) , } \\ & { \left| \left( G _ { q } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { q } ( \psi _ { n } ) \right) \right| \, | \nabla \psi _ { 1 } | \leq C \left( | \psi _ { 1 } | ^ { 2 \alpha } + | \phi | ^ { 2 \alpha } \right) | \nabla \psi _ { 1 } | \in L ^ { q _ { 1 } ^ { \prime } } ( [ 0 , T ) ; L ^ { r _ { 1 } ^ { \prime } } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) ) , } \end{array}
\langle n ( T ) \rangle _ { \mathrm { { B E } } } = \frac { 1 } { e ^ { ( \varepsilon - \mu ) / k _ { B } T } - 1 } \equiv \frac { e ^ { - ( \varepsilon - \mu ) / k _ { B } T } } { 1 - e ^ { - ( \varepsilon - \mu ) / k _ { B } T } } ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = + { \sqrt { z _ { + } } } , } \\ { x _ { 2 } } & { { } = - { \sqrt { z _ { + } } } , } \\ { x _ { 3 } } & { { } = + { \sqrt { z _ { - } } } , } \\ { x _ { 4 } } & { { } = - { \sqrt { z _ { - } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \omega } ^ { ( \epsilon , \epsilon ^ { \prime } ) } ( Z , \zeta , x , x ^ { \prime } ) = } & { \pi ( - 1 ) ^ { \sum _ { k < j } [ \mathrm { i } ( x _ { k } - x _ { j } ) ] } \frac { \zeta ^ { Z - \omega + \mathrm { i } X } } { ( 1 + \zeta ) ^ { 2 ( Z - \omega ) + \mathrm { i } ( X - X ^ { \prime } ) } } \frac { \bar { \zeta } ^ { \bar { Z } - \omega + \mathrm { i } \bar { X } } } { ( 1 + \bar { \zeta } ) ^ { 2 ( \bar { Z } - \omega ) + \mathrm { i } ( \bar { X } - \bar { X } ^ { \prime } ) } } } \\ & { \times \frac { \boldsymbol \Gamma [ 2 Z - 2 \omega ] } { \boldsymbol \Gamma ^ { 2 } [ Z ] } \prod _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \frac { \boldsymbol \Gamma \left[ Z - \omega + \mathrm { i } x _ { k } , Z - \omega - \mathrm { i } x _ { k } ^ { \prime } \right] } { { \boldsymbol \Gamma [ Z , Z ] } } } \\ & { \times \prod _ { k , j = 1 } ^ { N - 1 } \boldsymbol \Gamma [ \mathrm { i } ( x _ { k } - x _ { j } ^ { \prime } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \gamma , f , g ) = { } } & { { } \underset { ( x , y ) \sim \gamma } { \mathbf { E } } | | x - y | | _ { 1 } + \int _ { M } \Big ( P _ { r } ( x ) - \int _ { M } \gamma ( x , y ) d y \Big ) f ( x ) d x } \end{array}
\hat { \sigma } _ { i j } ( \eta , m ^ { 2 } ) = \int _ { z _ { m i n } } ^ { 1 } d z \biggl [ 1 + { \cal H } _ { i j } ( z , \alpha ) \biggr ] \hat { \sigma } _ { i j } ^ { \prime } ( \eta , m ^ { 2 } , z ) .
\begin{array} { r l } & { | J ^ { h } ( G _ { 1 } ) - J ^ { h } ( G _ { 2 } ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq C \left( \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| u _ { t } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { t } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } ^ { 2 } \right] + \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( t , u _ { t } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( t , u _ { t } ^ { G _ { 2 } , h } ) ) \| _ { H } ^ { 2 } \right] \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \cos 2 ( a - c ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { x , y = \pm 1 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } x y \frac { 1 - x \sqrt { 2 } \cos 2 ( a - \phi ) } { 2 } \frac { 1 - y \sqrt { 2 } \cos 2 ( c - \phi + \pi / 2 ) } { 2 } \, d \phi \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { k _ { j } } & { { } = ( j - 1 ) \Delta k \, \, \, ( j \le N / 2 ) } \\ { k _ { j } } & { { } = ( j - 1 - N ) \Delta k \, \, ( j > N / 2 ) } \end{array} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \operatorname { M e d } ( \langle X _ { 1 } , \theta \rangle , \ldots , \langle X _ { N } , \theta \rangle ) \right| } & { \leqslant \left| { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } ( \langle Y _ { 1 } , \theta \rangle , \ldots , \langle Y _ { N } , \theta \rangle ) \right| } \\ & { \qquad + \left| { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } - \varepsilon } ( \langle Y _ { 1 } , \theta \rangle , \ldots , \langle Y _ { N } , \theta \rangle ) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { t } } & { \leq \bar { \alpha } ( \tilde { e } _ { t - 1 } + C _ { 2 } d ^ { 2 } \eta _ { t - 1 } ^ { 2 } + C _ { 3 } d ^ { 2 } { \eta _ { t - 1 } ^ { 2 } } + C _ { 4 } \delta _ { t - 1 } ^ { 2 } ) } \\ & { \leq \bar { \alpha } ( \bar { \alpha } ^ { t - 1 } \tilde { e } _ { 0 } + C _ { 6 } d ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { t - 2 } \bar { \alpha } ^ { t - 1 - k } \eta _ { k } ^ { 2 } + C _ { 6 } d ^ { 2 } \eta _ { t - 1 } ^ { 2 } + C _ { 4 } \delta _ { t - 1 } ^ { 2 } ) } \\ & { \leq \bar { \alpha } ^ { t } \tilde { e } _ { 0 } + C _ { 6 } d ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { \alpha } ^ { t - k } \eta _ { k } ^ { 2 } + \bar { \alpha } C _ { 4 } \delta _ { t - 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\Delta _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } \, i = j } \\ { d _ { i j } } & { \mathrm { i f ~ } \, \Pi _ { i j } \neq 0 } \\ { d _ { j i } } & { \mathrm { i f ~ } \, \Pi _ { i j } = 0 \, \mathrm { a n d } \, \Pi _ { j i } \neq 0 } \\ { D _ { i j } } & { \mathrm { i f ~ } \, \exists \, \Gamma _ { i j } } \\ { D _ { j i } } & { \mathrm { i f ~ } \, \nexists \, \Gamma _ { i j } \, \mathrm { a n d } \, \exists \, \Gamma _ { j i } } \\ { + \infty } & { \mathrm { e l s e w h e r e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | b _ { \mathcal I ^ { * } } - \eta _ { k } | \le \operatorname* { m a x } \{ C _ { 3 } \lambda ^ { 2 } \kappa _ { k } ^ { - 2 } , \rho \} \le } & { C _ { 4 } \log ( T ) \bigg ( \frac { 1 } { h ^ { p } } + T h ^ { 2 r } \bigg ) \kappa _ { k } ^ { - 2 } } \\ { \le } & { C \log ( T ) \bigg ( T ^ { \frac { p } { 2 r + p } } \bigg ) \kappa _ { k } ^ { - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tau = } & { { } - \mathrm { ~ i ~ } \left( \frac { G ^ { \prime } ( 0 ) } { G ( 0 ) } - \sum _ { p _ { \ell } \in \mathrm { ~ i ~ } \mathbb { R } } \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { p _ { \ell } } \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 M } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \right| = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 M } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \operatorname { P } [ X _ { i , t } = k ] \right| } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left| \frac { \partial } { \partial p _ { j } } \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { M } p _ { m } e ^ { - \lambda _ { m } } \frac { \lambda _ { m } ^ { k } } { k ! } \right| + \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left| \frac { \partial } { \partial \lambda _ { j } } \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { M } p _ { m } e ^ { - \lambda _ { m } } \frac { \lambda _ { m } ^ { k } } { k ! } \right| } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left| \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda _ { j } } \frac { \lambda _ { j } ^ { k } } { k ! } \right| + \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left| \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } p _ { j } \left( e ^ { - \lambda _ { j } } \frac { \lambda _ { j } ^ { k - 1 } } { ( k - 1 ) ! } - e ^ { - \lambda _ { j } } \frac { \lambda _ { j } ^ { k } } { k ! } \right) \right| } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left| \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda _ { j } } \frac { \lambda _ { j } ^ { k } } { k ! } \right| + \sum _ { j = 1 } ^ { M } p _ { j } \left| e ^ { - \lambda _ { j } } \frac { \lambda _ { j } ^ { n } } { n ! } \right| } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \dots , M } \frac { 1 } { p _ { m } } \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { M } p _ { j } e ^ { - \lambda _ { j } } \frac { \lambda _ { j } ^ { n } } { n ! } + \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \dots , M } \frac { 1 } { p _ { m } } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] + \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P S } ( D ) : = } & { \, [ \mathrm { m e a n } ( D _ { m } ) , ~ \mathrm { s t d } ( D _ { m } ) , ~ \mathrm { s k } ( D _ { m } ) , ~ \mathrm { k u } ( D _ { m } ) , ~ \mathrm { e p y } ( D _ { m } ) , } \\ & { \quad \mathrm { m e a n } ( D _ { l } ) , ~ \mathrm { s t d } ( D _ { l } ) , ~ \mathrm { s k } ( D _ { l } ) , ~ \mathrm { k u } ( D _ { l } ) , ~ \mathrm { e p y } ( D _ { l } ) , ~ \| G _ { D } \| _ { 1 } ] ^ { \top } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { { U _ { e 1 } } } & { { U _ { e 2 } } } & { { U _ { e 3 } } } \\ { { U _ { \mu 1 } } } & { { U _ { \mu 2 } } } & { { U _ { \mu 3 } } } \\ { { U _ { \tau 1 } } } & { { U _ { \tau 2 } } } & { { U _ { \tau 3 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right) = U _ { \mathrm { M N S } } \left( \begin{array} { l } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right) .
\Pi _ { x } \big ( \pmb { \operatorname { { P } } } _ { x } ^ { [ \gamma ] } [ f ] - \Gamma _ { x , y } \pmb { \operatorname { { P } } } _ { y } ^ { [ \gamma ] } [ f ] \big ) ( \psi _ { x } ^ { \lambda } ) = \sum _ { d ( I ) < \gamma } c _ { x , y } ^ { I } \Pi _ { x } \pmb { \eta } ^ { I } ( \psi _ { x } ^ { \lambda } ) = \sum _ { d ( I ) < \gamma } c _ { x , y } ^ { I } \Pi _ { e } \pmb { \eta } ^ { I } ( \psi ^ { \lambda } ) = \sum _ { d ( I ) < \gamma } c _ { x , y } ^ { I } \lambda ^ { d ( I ) } \Pi _ { e } \pmb { \eta } ^ { I } ( \psi ) \ .
\mathrm { I m } \ D ( s ) = - { \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 4 \pi } } G _ { F } m _ { t } ^ { 2 } \mathrm { I m \ } A { \frac { \beta _ { t } } { \beta _ { Z } ^ { 2 } } } \Bigl [ 1 + { \frac { K } { 4 \beta _ { t } \beta _ { Z } } } - ( 1 - { \frac { 8 } { 3 } } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) ^ { 2 } { \frac { K \beta _ { Z } } { 4 \beta _ { t } } } \Bigr ] { \frac { M _ { H } ^ { 2 } } { s } } \; ,
\frac { \partial } { \partial \theta ^ { \alpha } } = \frac { \partial \theta _ { \eta } } { \partial \theta ^ { \alpha } } \frac { \partial } { \partial \theta _ { \eta } } + \frac { \theta _ { \eta } ^ { \prime } } { \partial \theta ^ { \alpha } } \frac { \partial } { \partial \theta _ { \eta ^ { \prime } } } = - \eta _ { \alpha } \frac { \partial } { \partial \theta _ { \eta } } - \eta _ { \alpha } ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial \theta _ { \eta } ^ { \prime } } ,
\Delta \Delta F _ { h y d r a t i o n } = \Delta F _ { h y d r a t i o n } ^ { m e t h a n o l } - \Delta F _ { h y d r a t i o n } ^ { e t h a n e } = \Delta F _ { s o l v a t e d } ^ { m u t a t i o n } - \Delta F _ { v a c u u m } ^ { m u t a t i o n }
\left\{ \begin{array} { r l } { \boldsymbol \rho ^ { \prime } ( t ) } & { = A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) \boldsymbol \rho ( t ) + ( A _ { \mathrm { F } } ( t ) - A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) ) \boldsymbol \rho ( t ) + \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ( t , \boldsymbol \rho ( t ) ) } \\ & { = A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) \boldsymbol \rho ( t ) + \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ^ { k } ( t , \boldsymbol \rho ( t ) ) , } \\ { \boldsymbol \rho ( 0 ) } & { = \boldsymbol \rho _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \, } & { { } = \, \Bigl \{ ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } \, ; \, \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \zeta _ { * } ( R , Z ) ) < \exp \bigl ( \epsilon ^ { - 2 \sigma _ { 1 } } / 4 \bigr ) \Bigr \} \, , } \\ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } \, } & { { } = \, \Bigl \{ ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } \setminus \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \, ; \, \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \Bigr \} \, , } \\ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } \, } & { { } = \, \Bigl \{ ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } \, ; \, \rho > \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \Bigr \} \, . } \end{array}
g _ { Y } = 2 \sqrt { C \left( \frac { 1 + \frac { G ^ { 2 } } { 6 4 C ^ { 2 } } } { 2 + G } \right) } \, \, \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \, \, \, g _ { X } = \frac { 1 } { g _ { Y } ( 1 + 2 / G ) } .
\begin{array} { r l } { { \mathbf V } _ { i \perp } } & { { } = \mathbf { 0 } , } \\ { \Phi } & { { } = { 0 } , } \\ { \boldsymbol { \tau } } & { { } = \mathbf { 0 } , } \\ { \mathbf B } & { { } = \mathbf B _ { 0 } . } \end{array}
\widehat { D } _ { 0 } \pi _ { a } + i \varsigma { \frac { \partial E _ { a } } { \partial \phi _ { i } } } \tau _ { i } - i \overline { { { p } } } ^ { \prime } { \frac { \partial \overline { { { J } } } ^ { a } } { \partial \overline { { { \phi } } } _ { i } } } \overline { { { \tau } } } _ { i } + i E _ { a } \beta - i \overline { { { J } } } ^ { a } \overline { { { \gamma } } } + { \cal O } ( 1 / e ^ { 2 } ) = 0