harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d ( u , v ) } & { { } = \operatorname { a r c o s h } ( 1 + \delta ( u , v ) ) } \\ { \, } & { { } = 2 \ln { \frac { \lVert u - v \rVert + { \sqrt { \lVert u \rVert ^ { 2 } \lVert v \rVert ^ { 2 } - 2 u \cdot v + 1 } } } { \sqrt { ( 1 - \lVert u \rVert ^ { 2 } ) ( 1 - \lVert v \rVert ^ { 2 } ) } } } . } \end{array}
{ \cal L } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 1 , 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 1 , 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 1 , 3 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; { \cal L } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 2 , 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 2 , 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 2 , 3 } } } \end{array} \right) .
C _ { 0 } ( s , m _ { H } ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) = \; \frac { 1 } { ( s - m _ { H } ^ { 2 } ) } \Bigl ( C ( \frac { m _ { H } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } ) - C ( \frac { s } { m ^ { 2 } } ) \Bigr ) \; ,
{ \cal L } _ { Y } ( \nu ^ { c } ) = - \frac { g } { \sqrt { 2 } m _ { W } } \sum _ { \alpha = e , \mu , \tau } a _ { \alpha } \left( \begin{array} { l l } { { \overline { { { \nu _ { \alpha } } } } } } & { { \overline { { { \alpha _ { L } } } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( H ^ { 0 } - i G ^ { 0 } ) } } \\ { { - G ^ { - } } } \end{array} \right) { \overline { { { \nu ^ { c } } } } } + h . c . \ ,
\lambda _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } { \lambda _ { m i n } , \mathrm { ~ i f ~ } \left\| \Delta \textbf { U } \right\| \leq \epsilon _ { 1 } \mathrm { ~ ( u n i f o r m ~ f l o w ) } } \\ { \lambda _ { s } , \mathrm { ~ i f ~ } \left\| \Delta \textbf { U } \right\| > \epsilon _ { 1 } , \left\| \Delta \textbf { G } _ { n } \right\| \leq \epsilon _ { 2 } \mathrm { ~ ( s t e a d y ~ d i s c o n t i n u i t y ) } } \\ { m a x ( \lambda _ { m i n } , \lambda _ { s } ) , \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l r l } { - { \frac { \partial } { \partial x } } \left( { k _ { x } } _ { n , g } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { n , g } } { \partial x } \right) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } ( { k _ { x } } _ { n , g } \tilde { \psi } _ { n , g } ) + { k _ { x } } _ { n , g } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \tilde { \psi } _ { n , g } - \tilde { \psi } _ { n , g } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } { k _ { x } } _ { n , g } \right) } & { } & { { } \textit { a n a l y t i c a l f o r m } } \end{array}
\Lambda = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { e \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { e \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { e ^ { 2 } \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { e \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { e \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { e ^ { 2 } \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } - \partial _ { x } D , O p ( \mathfrak { t } _ { 1 } ) ] } & { = \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } ( O p ( \mathfrak { t } _ { 1 } ) ) - [ \partial _ { x } D , O p ( \mathfrak { t } _ { 1 } ) ] } \\ & { = O p ( \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } \mathfrak { t } _ { 1 } ) - [ \partial _ { x } D , O p ( \mathfrak { t } _ { 1 } ) ] } \\ & { = O p ( \mathfrak { t } ) , } \end{array}
\frac { \partial { \Phi } } { \partial t } - ( D _ { x } \frac { \partial ^ { 2 } { \Phi } } { \partial x ^ { 2 } } + D _ { y } \frac { \partial ^ { 2 } { \Phi } } { \partial y ^ { 2 } } + D _ { z } \frac { \partial ^ { 2 } { \Phi } } { \partial z ^ { 2 } } ) = \frac { { I } } { c } ,
\phi _ { j } ( p _ { j } ) = c _ { j } ^ { u } \log p _ { j } + \frac { 1 } { d _ { 1 } ^ { u } } \left( D _ { u } \, c _ { j } ^ { u } + d _ { 2 } ^ { u } \xi _ { j } \right) \, , \qquad \psi _ { j } ( p _ { j } ) = c _ { j } ^ { v } \log p _ { j } + \frac { 1 } { d _ { 1 } ^ { v } } \left( D _ { v } \, c _ { j } ^ { v } + d _ { 2 } ^ { v } \zeta _ { j } \right) \, ,
g _ { a } ^ { ( 1 ) } ( t , \tau ) = \frac { \mathrm { T r } \left[ \hat { a } \exp ( \mathcal { L } \tau ) ( \hat { \rho } ) \hat { a } ^ { \dagger } \right] } { \mathrm { T r } ( \hat { a } \hat { \rho } \hat { a } ^ { \dagger } ) } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { u } _ { p } } { d t } } & { = } & { - \nu _ { p e } \, \left( \vec { u } _ { p } - \vec { b } _ { p p } \right) - \nu _ { p e } \, \left( \vec { u } _ { p } - \vec { b } _ { p B } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { p e } \, \left( \vec { u } _ { p } - \vec { b } _ { p D } \right) - \nu _ { p e } \, \left( \vec { u } _ { p } - \vec { b } _ { p T } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { p e } \, \left( \vec { u } _ { p } - \vec { b } _ { p \alpha } \right) \, , } \\ { \frac { d \vec { u } _ { B } } { d t } } & { = } & { - \nu _ { B e } \, \left( \vec { u } _ { B } - \vec { b } _ { B B } \right) - \nu _ { B e } \, \left( \vec { u } _ { p } - \vec { b } _ { p B } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { B e } \, \left( \vec { u } _ { B } - \vec { b } _ { B D } \right) - \nu _ { B e } \, \left( \vec { u } _ { B } - \vec { b } _ { B T } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { B e } \, \left( \vec { u } _ { B } - \vec { b } _ { B \alpha } \right) \, , } \\ { \frac { d \vec { u } _ { D } } { d t } } & { = } & { - \nu _ { D e } \, \left( \vec { u } _ { D } - \vec { b } _ { D p } \right) - \nu _ { D e } \, \left( \vec { u } _ { D } - \vec { b } _ { D B } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { D e } \, \left( \vec { u } _ { D } - \vec { b } _ { D D } \right) - \nu _ { D e } \, \left( \vec { u } _ { D } - \vec { b } _ { D T } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { D e } \, \left( \vec { u } _ { D } - \vec { b } _ { D \alpha } \right) \, , } \\ { \frac { d \vec { u } _ { T } } { d t } } & { = } & { - \nu _ { T e } \, \left( \vec { u } _ { T } - \vec { b } _ { T p } \right) - \nu _ { T e } \, \left( \vec { u } _ { T } - \vec { b } _ { T B } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { T e } \, \left( \vec { u } _ { T } - \vec { b } _ { T D } \right) - \nu _ { T e } \, \left( \vec { u } _ { T } - \vec { b } _ { T T } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { T e } \, \left( \vec { u } _ { T } - \vec { b } _ { T \alpha } \right) \, , } \\ { \frac { d \vec { u } _ { \alpha } } { d t } } & { = } & { - \nu _ { \alpha e } \, \left( \vec { u } _ { \alpha } - \vec { b } _ { \alpha p } \right) - \nu _ { \alpha e } \, \left( \vec { u } _ { \alpha } - \vec { b } _ { \alpha B } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { \alpha e } \, \left( \vec { u } _ { \alpha } - \vec { b } _ { \alpha D } \right) - \nu _ { \alpha e } \, \left( \vec { u } _ { \alpha } - \vec { b } _ { \alpha T } \right) } \\ & { } & { - \nu _ { \alpha e } \, \left( \vec { u } _ { \alpha } - \vec { b } _ { \alpha \alpha } \right) \, , } \end{array}
U = S ( w _ { 2 } ) S ( w _ { 2 } ^ { - 1 } ) S ( w _ { 3 } ) . . . S ( w _ { N } ) S ( w _ { N } ^ { - 1 } ) = S ( w _ { 1 } ^ { - 1 } ) U ( S ( w _ { N } ^ { - 1 } ) ) ^ { - 1 } =
\begin{array} { r } { - \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \frac { d } { d t } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 ( p + 1 ) } d x = \frac { 8 t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 ( p + 1 ) } d x - \frac { d } { d t } \left[ \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 ( p + 1 ) } d x \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { 2 } } & { { } = \langle \psi _ { 2 } | \hat { L } _ { z _ { 2 } } | \psi _ { 2 } \rangle = \int { \psi _ { 2 } ^ { * } \hat { L } _ { z _ { 2 } } \psi _ { 2 } d x _ { 2 } d y _ { 2 } } = \int { \frac { 1 } { b } \psi _ { 1 } ^ { * } \frac { 1 } { b } \hat { L } _ { z _ { 1 } } \psi _ { 1 } b ^ { 2 } d x _ { 1 } d y _ { 1 } } = \langle \psi _ { 1 } | \hat { L } _ { z _ { 1 } } | \psi _ { 1 } \rangle = l _ { 1 } . } \end{array}
h ( \underline { { { \theta } } } , { \underline { { { z } } } } ) = \prod _ { 1 \le i < j \le n } F ( \theta _ { i j } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { \phi } ( \theta _ { i } - z _ { j } ) \prod _ { 1 \le i < j \le m } \tau ( z _ { i } - z _ { j } )
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { c o m p o n e n t s } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { r e g u l a r } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } ( \eta ) \big ) } & { \ge \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { c o m p o n e n t s } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \big ) - \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( \neg ( { \mathcal A } _ { \mathrm { r e g u l a r } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } ( \eta ) \big ) } \\ & { = \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { c o m p o n e n t s } } ^ { \scriptscriptstyle ( k ) } \big ) - o _ { k } ( 1 ) . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { v ^ { * } } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { B ^ { * } } & { D } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { v } \\ { 0 } \end{array} \right] } = v ^ { * } A v \geq 0 .
\eta _ { \scriptscriptstyle \mu } ^ { \scriptscriptstyle { \Xi ^ { * } } } ( x ) = \sqrt { 1 / 3 } \epsilon ^ { a b c } \left[ 2 \left( s ^ { a T } ( x ) C \gamma _ { \mu } u ^ { b } ( x ) \right) s ^ { c } ( x ) + \left( s ^ { a T } ( x ) C \gamma _ { \mu } s ^ { b } ( x ) \right) u ^ { c } ( x ) \right] ,
\begin{array} { r } { \langle A _ { m } ^ { * } ( t ) \delta f _ { m } ( t ) \rangle = - \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } \ e ^ { + i m \Omega _ { d } ( t ^ { \prime } - t ) } \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \langle A _ { m } ^ { * } ( t ) \dot { A } _ { m } ( t ^ { \prime } ) \rangle } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu \langle A _ { m } ^ { * } ( t ) A _ { m } ( t ^ { \prime } ) \rangle } { q B _ { 0 } \gamma } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } . } \end{array}
\Sigma ^ { \prime } ( \mu , \Lambda ; p ) = i Z _ { 1 } ( \mu , \Lambda ) e ^ { 2 } \int ^ { \Lambda } \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \gamma ^ { \lambda } { S } ( \mu ; k ) { \Gamma } ^ { \nu } ( \mu ; k , p ) { D } _ { \lambda \nu } ( \mu ; q ) \: .
\begin{array} { r l } { Y \phi _ { m \ell } ( \tau , 1 ) = } & { \: - \frac { { \mathfrak { h } } _ { m \ell } } { 8 } \left( - \sqrt { \alpha _ { \ell } } + i m - \frac { 1 } { 2 } \right) e ^ { - 2 \log 2 ( \sqrt { \alpha _ { m \ell } } + i m ) } b _ { + , m \ell } ( 1 + \tau ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \sqrt { \alpha _ { m \ell } } - i m } } \\ & { \: - \frac { { \mathfrak { h } } _ { m \ell } } { 8 } \left( + \sqrt { \alpha _ { \ell } } + i m - \frac { 1 } { 2 } \right) e ^ { 2 \log 2 ( \sqrt { \alpha _ { m \ell } } - i m ) } b _ { - , m \ell } ( 1 + \tau ) ^ { \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { \alpha _ { m \ell } } - i m } } \\ & { \: + O ( ( 1 + \tau ) ^ { \frac { 1 - \nu _ { m } } { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { u } _ { h } ^ { \perp } \in \ensuremath { \mathfrak { U } } _ { h } ^ { \perp } : \qquad a ^ { \perp } ( ( \mathfrak { u } _ { h } ^ { \perp } , \mathfrak { e } _ { h } ^ { \perp } ) , ( \delta \mathfrak { u } _ { h } , \delta \mathfrak { v } _ { h } ) ) = L _ { h } ( \delta \mathfrak { v } _ { h } ) \quad \forall ( \delta \mathfrak { u } _ { h } , \delta \mathfrak { v } _ { h } ) \in \ensuremath { \mathfrak { U } } _ { h } ^ { \perp } \times \ensuremath { \mathfrak { V } } _ { h } ^ { \perp } . } \end{array}
\hat { V } _ { \mathrm { a c t i v e } } = \sum _ { \mathbf { t } \mathbf { u } } \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } \hat { E } _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { + } \hat { E } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { + } .
\begin{array} { r l r } { G _ { c } ^ { R } ( \tau ) } & { = } & { - i N _ { c } ( \tau ) \Theta ( \tau ) e ^ { - i ( \epsilon _ { c } + E _ { N } ^ { c o r r } ) \tau } } \\ & { = } & { - i e ^ { C _ { c } ^ { R } ( \tau ) } \Theta ( \tau ) e ^ { - i ( \epsilon _ { c } + E _ { N } ^ { c o r r } ) \tau } } \\ { C _ { c } ^ { R } ( \tau ) } & { = } & { - i \int _ { 0 } ^ { \tau } \langle \Phi | \bar { H } _ { N } ( \tau ^ { \prime } ) | \Phi \rangle d \tau ^ { \prime } . } \end{array}
w _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = A _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } { \mathcal { F } _ { \alpha \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } S _ { a \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) }
{ w } _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } } { 2 W ^ { * } \, p _ { i j } ( z ) } } } & { \textrm { w i t h p r o b a b i l i t y } \quad p _ { i j } ( z ) , } \\ { 0 } & { \textrm { w i t h p r o b a b i l i t y } \quad 1 - p _ { i j } ( z ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { V _ { i } ^ { + } ( t ) } & { = \left\{ j \in V : A _ { i j } = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } | x _ { j } ( t ) - x _ { i } ( t ) | < c \right\} } \\ { U _ { i } ( t ) } & { = \left\{ j \in V : A _ { i j } = - 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \left[ ( 0 < x _ { j } ( t ) - x _ { i } ( t ) < c ) \mathrm { ~ o r ~ } \left( x _ { j } ( t ) = x _ { i } ( t ) \mathrm { ~ a n d ~ } j > i \right) \right] \right\} } \\ { L _ { i } ( t ) } & { = \left\{ j \in V : A _ { i j } = - 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \left[ ( 0 < x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) < c ) \mathrm { ~ o r ~ } \left( x _ { j } ( t ) = x _ { i } ( t ) \mathrm { ~ a n d ~ } i > j \right) \right] \right\} } \end{array}
W _ { i } = \log _ { 1 0 } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n _ { m } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { k } } \frac { 1 } { 4 } ( \omega _ { m ( j ) } ^ { \mathrm { c } } ) ^ { 2 } \Phi _ { i m ( j ) } ^ { \mathrm { p } * } M _ { i i } ^ { \mathrm { p } } \Phi _ { i m ( j ) } ^ { \mathrm { p } } } { n _ { m } n _ { k } } .
\sum _ { l , n } \frac { \mu _ { p - 1 } \lambda ^ { k + n + l } i ^ { k } p ! } { k ! n ! l ! ( p - l ) ! } \partial _ { x ^ { i _ { 1 } } } \ldots \partial _ { x ^ { i _ { n } } } C _ { i _ { 1 } ^ { \prime } \ldots i _ { 2 k } ^ { \prime } j _ { 1 } \ldots j _ { l } [ a _ { l + 1 } \ldots a _ { p } } ^ { 0 } S t r \left( \partial _ { a _ { 1 } } \phi ^ { j _ { 1 } } \ldots \partial _ { a _ { l } ] } \phi ^ { j _ { l } } \phi ^ { i _ { 1 } } \ldots \phi ^ { i _ { n } } \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } \ldots \right)
\begin{array} { r l } { R } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { p > 1 } \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \rho \left( 1 - \left( \frac { 2 \rho } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { p - 1 } { p } } \mathcal { H } _ { p } ^ { \frac { 1 } { p } } ( W , X ^ { n } ) \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { p > 1 } \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \rho \left( 1 - \left( \frac { 2 \rho } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { p - 1 } { p } } \left( \frac { \left( 1 + \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { p } } { 1 + ( 2 - p ) p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 p } } \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { p > 1 } \frac { 1 } { q + 1 } \left( \frac { q } { q + 1 } \right) ^ { q } \left( \left( \frac { 2 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { p - 1 } { p } } \left( \frac { \left( 1 + \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { p } } { 1 + ( 2 - p ) p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 p } } \right) ^ { - \frac { 1 } { q } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( a + b = 2 ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } - 1 = \epsilon \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P ( a + b = 1 ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } = \epsilon \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { 2 - \epsilon _ { l } - \epsilon _ { r } = 1 - \epsilon \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P ( a + b = 0 ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \epsilon _ { l } - \epsilon _ { r } = 1 - \epsilon \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { 0 \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { x } ( x , y , z ) = } & { { } \frac { 4 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ - k _ { 0 } - U _ { 0 } g ( z ) \left( f _ { 1 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { a } ^ { 2 } ( z ) } + f _ { 2 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { b } ^ { 2 } ( z ) } \right) \right] , } \\ { a _ { y } ( x , y , z ) = } & { { } \frac { 4 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ - k _ { 0 } - U _ { 0 } g ( z ) \left( f _ { 1 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { b } ^ { 2 } ( z ) } + f _ { 2 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { a } ^ { 2 } ( z ) } \right) \right] , } \\ { a _ { z } ( x , y , z ) = } & { { } \frac { 4 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ 2 k _ { 0 } + U _ { 0 } g ( z ) \left( f _ { 1 } M _ { 1 } + f _ { 2 } M _ { 2 } \right) + U _ { 0 } N ( z ) \left( f _ { 1 } + f _ { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\lambda _ { \tau } e ^ { i \phi _ { \tau } } = \lambda _ { 3 3 } , \qquad \lambda _ { \mu } e ^ { i \phi _ { \mu } } = \lambda _ { 2 2 } - \epsilon _ { 2 3 } \epsilon _ { 3 2 } \lambda _ { \tau } e ^ { i \phi _ { \tau } } , \qquad \lambda _ { e } e ^ { i \phi _ { e } } = \lambda _ { 1 1 } - \epsilon _ { 1 2 } \epsilon _ { 2 1 } \lambda _ { \mu } e ^ { i \phi _ { \mu } }
\begin{array} { r l r } { \delta s _ { \lambda } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( x ^ { ( 4 ) } - \lambda n x ^ { n - 1 } \right) \delta x \, d t + \ddot { x } ( T ) \delta \dot { x } ( T ) } \\ & { + } & { \left[ \frac { \ddot { x } ^ { 2 } ( T ) } { 2 } - \lambda x ^ { n } ( T ) - \dddot { x } ( T ) \dot { x } ( T ) \right] \delta T \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p o s t } } ^ { \mathrm { \, r s f } } ( \mathrm { R S } ) \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ n ~ } ~ \unboldmath ~ } } _ { \mathrm { R S } } ) } & { { } = ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, r s f } } ( \mathrm { R S } ) \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ n ~ } ~ \unboldmath ~ } } _ { \mathrm { R S } } ) \frac { \gamma - 1 + 2 \, [ M _ { \mathrm { e f f } } ( \mathrm { R S } ) ] ^ { - 2 } } { \gamma + 1 } \; \; \mathrm { a n d } } \\ { ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p o s t } } ^ { \mathrm { \, f s f } } ( \mathrm { F S } ) \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ n ~ } ~ \unboldmath ~ } } _ { \mathrm { F S } } ) } & { { } = ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f s f } } ( \mathrm { F S } ) \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ n ~ } ~ \unboldmath ~ } } _ { \mathrm { F S } } ) \frac { \gamma - 1 + 2 \, [ M _ { \mathrm { e f f } } ( \mathrm { F S } ) ] ^ { - 2 } } { \gamma + 1 } } \end{array}
0 . 3 \mathrm { \ e V ^ { 2 } } \le \delta m ^ { 2 } = { \frac { 0 . 0 3 \mathrm { \ e V ^ { 2 } } } { ( \sin ^ { 2 } 2 \theta ) ^ { 0 . 7 } } } \le 2 . 0 \mathrm { \ e V ^ { 2 } \, . }
I _ { \mathrm { g } } ( \tau ) = ( \operatorname * { d e t } P ^ { + } P ) ^ { 1 / 2 } ( \operatorname * { d e t } \Delta _ { \mathrm { g } } ) ^ { - 1 3 } = e ^ { c ( 2 \mathrm { g } - 2 ) } \left( \frac { d } { d s } Z ( s ) | _ { s = 1 } \right) ^ { - 1 3 } Z ( 2 ) \, ,
D _ { \mu \nu } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } } = \frac { 1 } { V _ { \textrm { F B Z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \textrm { F B Z } } ^ { \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } < \epsilon _ { \textrm { F } } } e ^ { \mathrm { i } \vec { k } \cdot \vec { L } } \left( c _ { \mu i } ^ { \sigma , \vec { k } } ~ c _ { \nu i } ^ { * \sigma ^ { \prime } , \vec { k } } \right) ~ \textrm { d } ^ { 3 } k .
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { H } } } & { { } = } & { \int d \pmb { r } \pmb { \hat { \psi } ^ { \dag } } ( \pmb { r } ) \bigg ( \hat { \mathcal { H } } _ { 0 } + \mathcal { V } _ { L a t } \bigg ) \pmb { \hat { \psi } } ( \pmb { r } ) } \end{array}
\Big \langle : e ^ { i \varphi ( f ) } : _ { M } e ^ { i \varphi ( g ) } : _ { M } \Big \rangle _ { C _ { m = 0 } } \; : = \; \operatorname * { l i m } _ { m \rightarrow 0 } \Big \langle : e ^ { i \varphi ( f ) } : _ { M } e ^ { i \varphi ( g ) } : _ { M } \Big \rangle _ { C _ { m } } \; .
\begin{array} { r l } { p ( \log T ) = } & { N \Big ( 1 - \exp \Big [ - \frac { k _ { 0 \mathrm { f } } } { \dot { F } _ { \mathrm { f } } \beta \chi _ { \mathrm { f } } ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { \beta \chi _ { \mathrm { f } } ^ { \ddag } \kappa _ { \mathrm { f } } g ^ { - 1 } ( \log T ) } \Big ] \Big ) \times } \\ & { \exp \Big [ - \frac { k _ { 0 \mathrm { r } } } { \dot { F } _ { \mathrm { r } } \beta \chi _ { \mathrm { r } } ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { \beta \chi _ { \mathrm { r } } ^ { \ddag } \kappa _ { \xi } ( g ^ { - 1 } ( \log T ) - g ^ { - 1 } ( \log T _ { \mathrm { e q } } ) ) } \Big ] ~ , } \end{array}
\bar { Q } = Q + \pi _ { A } { \cal P } ^ { A } + \pi ^ { \prime } { \cal P } ^ { \prime } + \pi ^ { \prime \prime } { \cal P } ^ { \prime \prime } , ~ ~ ~ \bar { N } _ { g } = N _ { g } - { \frac { i } { 2 } } ( \lambda ^ { \prime } \pi ^ { \prime } + \pi ^ { \prime } \lambda ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { R _ { + + } ( k _ { x } ) } & { \simeq } & { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \right) - i \frac { \pi } { 2 } \left( \frac { 2 } { n _ { 1 } } - \frac { n _ { 2 } } { n _ { \perp } ^ { 2 } } - \frac { n _ { 2 } } { n _ { | | } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } \left( 1 - \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \right) \left( \frac { 1 } { n _ { \perp } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n _ { | | } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } } \\ & { + } & { i \frac { \pi ^ { 3 } } { 3 } \left[ \frac { 1 } { n _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { n _ { \perp } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n _ { | | } ^ { 2 } } \right) - n _ { 2 } \left( \frac { 1 } { n _ { \perp } ^ { 4 } } + \frac { 1 } { n _ { | | } ^ { 4 } } \right) \right] \frac { k _ { x } ^ { 3 } } { K ^ { 3 } } + { \cal O } \left( \frac { k _ { x } ^ { 4 } } { K ^ { 4 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { \infty } ^ { 2 } \Big ( 1 - \big ( \frac { \rho _ { \infty } } { \overline { { \rho } } } \big ) ^ { 2 } \Big ) = \frac { 2 \big ( h ( \overline { { \rho } } ) - h ( \rho _ { \infty } ) \big ) } { c _ { \infty } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\rho = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta \mathrm { S I C } _ { i } ^ { \mathrm { C N N } } \Delta \mathrm { S I C } _ { i } ^ { \mathrm { T r u e } } } { \Vert \Delta \mathrm { S I C } ^ { \mathrm { C N N } } \Vert _ { 2 } \Vert \Delta \mathrm { S I C } ^ { \mathrm { T r u e } } \Vert _ { 2 } } ,
\bar { b } b = v _ { \mu } \bar { b } \gamma ^ { \mu } b + \frac { 1 } { 2 m _ { b } ^ { 2 } } \bar { h } \left[ ( i D ) ^ { 2 } - ( v . i D ) ^ { 2 } - ( i / 2 ) \sigma ^ { \mu \nu } G _ { \mu \nu } \right] h + . . . \; .
u _ { 1 } ( { \mathbf { x } } , 0 ) = e ^ { - x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } } \, , \qquad u _ { 2 } ( { \mathbf { x } } , 0 ) = \exp ^ { - x _ { 1 } ^ { 2 } - 3 x _ { 2 } ^ { 2 } } \, .