harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { f _ { i } ^ { t + 1 } = ( 1 - P _ { i } ) f _ { i } ^ { t } + e ^ { - \theta C _ { i } ^ { t } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } ^ { t } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f _ { i } ^ { t + 1 } - f _ { i } ^ { t } = - P _ { i } f _ { i } ^ { t } + e ^ { - \theta C _ { i } ^ { t } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } ^ { t } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { B _ { d _ { 0 } } ( 0 ) ^ { c } } Q ( x ) \left| \left\lbrace \psi _ { x } ( x , u _ { n } ( x ) ) u _ { n } ( x ) + ( \mathcal { H } _ { x } ^ { * } ( x , u _ { n } ( x ) ) ) ^ { \frac { b - 1 } { h _ { i } ^ { * } } } \right\rbrace ( u _ { n } ( x ) - u ( x ) ) \right| ^ { l } d x } \\ & { \leq c _ { 1 2 } \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 \} } \left\lbrace \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } Q ( x ) \left( | u _ { n } ( x ) | ^ { ( \psi _ { i } - 1 ) l } + | u _ { n } ( x ) | ^ { ( b - 1 ) l } \right) | u _ { n } ( x ) - u ( x ) | ^ { l } d x \right\rbrace } \\ & { \leq c _ { 1 2 } \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 \} } \left\lbrace \left( \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } Q ( x ) | u _ { n } ( x ) | ^ { \psi _ { i } l } d x \right) ^ { \frac { ( \psi _ { i } - 1 ) } { \psi _ { i } } } \left( \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } Q ( x ) | u _ { n } ( x ) - u ( x ) | ^ { \psi _ { i } l } d x \right) ^ { \frac { 1 } { \psi _ { i } } } \right\rbrace } \\ & { + c _ { 1 2 } \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 \} } \left\lbrace \left( \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } Q ( x ) | u _ { n } ( x ) | ^ { b l } d x \right) ^ { \frac { ( b - 1 ) } { b } } \left( \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } Q ( x ) | u _ { n } ( x ) - u ( x ) | ^ { b l } d x \right) ^ { \frac { 1 } { b } } \right\rbrace } \\ & { \leq c _ { 1 3 } \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 \} } \left\lbrace \| u _ { n } ( x ) - u ( x ) \| _ { L _ { Q } ^ { \psi _ { i } l } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { l } + \| u _ { n } ( x ) - u ( x ) \| _ { L _ { Q } ^ { b l } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { l } \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \displaystyle { \frac { \partial \rho } { \partial t } } } & { + } & { \displaystyle { \frac { \partial \rho V _ { 1 } } { \partial x } } = 0 , } \\ { \displaystyle { \frac { \partial \rho { \bf V } } { \partial t } } } & { + } & { \displaystyle { \frac { \partial \rho V _ { 1 } { \bf V } } { \partial x } } = \rho Q { \bf V } . } \end{array}
- \int _ { \Omega } \nu \frac { \partial \omega ^ { h } } { \partial x } w _ { y } ^ { h } d \Omega + \int _ { \Omega } \omega ^ { h } u _ { x } ^ { h } w _ { y } ^ { h } d \Omega - \int _ { \Omega } \frac { \partial w _ { y } ^ { h } } { \partial y } P ^ { h } d \Omega + \int _ { \Gamma } P ^ { h } w _ { y } ^ { h } d x = \int _ { \omega } f _ { y } w _ { y } ^ { h } d \Omega
\bar { \textbf { R } } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \textbf { R } _ { i } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \bar { \textbf { P } } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \textbf { P } _ { i }
\begin{array} { r l r } { c _ { s } ^ { 2 } - 2 G _ { c } \rho _ { 0 } \exp \left( - \frac { \rho _ { c } } { \rho _ { 0 } } \right) \left( \exp \left( - \frac { \rho _ { c } } { \rho _ { 0 } } \right) - 1 \right) } & { { } = } & { 0 , } \\ { - 2 G _ { c } \exp \left( - \frac { 2 \rho _ { c } } { \rho _ { 0 } } \right) \left( \exp \left( \frac { \rho _ { c } } { \rho _ { 0 } } \right) - 2 \right) } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
e ^ { i \alpha _ { S , L } ^ { \prime } } = e ^ { i \frac { \phi ^ { \prime } - \phi } { 2 } } e ^ { i \alpha _ { S , L } } + O ( [ \tilde { \varepsilon } \pm \delta ] [ \phi ^ { \prime } - \phi ] , [ \phi ^ { \prime } - \phi ] ^ { 2 } ) .
P _ { m } ^ { P } ( s ) = \frac { k _ { p } ( k _ { p } + 1 ) \dots ( k _ { p } + m - 1 ) } { m ! } \left( \frac { \overline { { m } } } { \overline { { m } } + k _ { p } } \right) ^ { m } \left( \frac { k _ { p } } { k _ { p } + \overline { { m } } } \right) ^ { k _ { p } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \delta \alpha } { \alpha } } & { \equiv } & { d _ { \gamma } ^ { ( n ) } ( \kappa \phi ) ^ { n } , } \\ { \frac { \delta m _ { f } } { m _ { f } } } & { \equiv } & { d _ { m _ { f } } ^ { ( n ) } ( \kappa \phi ) ^ { n } , } \\ { \frac { \delta \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } } & { \equiv } & { d _ { g } ^ { ( n ) } ( \kappa \phi ) ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } \star \mathcal { P } _ { m } } & { = } & { \mathcal { Q } _ { m } \star \mathcal { B } _ { m } , } \\ { \mathcal { A } ^ { H } \star \mathcal { Q } _ { m } } & { = } & { \mathcal { P } _ { m } \star \mathcal { B } _ { m } ^ { H } + \vec { \mathcal { R } } _ { m } \star \vec { \mathcal { E } } _ { m } ^ { H } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; E _ { k + 1 } , v _ { h } ) } & { = } & { - ( \boldsymbol { a } _ { y y } ( \theta _ { 5 } ) ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) ^ { 2 } , \nabla v _ { h } ) - 2 ( \boldsymbol { a } _ { y \boldsymbol { z } } ( \theta _ { 5 } ) \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , \nabla v _ { h } ) } \\ & { } & { - ( \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) ^ { T } \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z z } } ( \theta _ { 5 } ) \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , \nabla v _ { h } ) - ( f _ { y y } ( \theta _ { 6 } ) ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) ^ { 2 } , v _ { h } ) } \\ & { } & { - 2 ( f _ { y \boldsymbol { z } } ( \theta _ { 6 } ) \cdot \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , v _ { h } ) } \\ & { } & { - ( \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) ^ { T } f _ { \boldsymbol { z z } } ( \theta _ { 6 } ) \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , v _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v } & { + c _ { 0 } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\vert \nabla ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\vert ^ { 2 } \langle v \rangle ^ { - 3 } \, \mathrm { d } v } \\ & { \leq C \left[ \frac { 1 } { ( \ell - k ) ^ { \gamma } } + \frac { 1 + \ell } { ( \ell - k ) ^ { 1 + \gamma } } + \frac { 1 + \ell + E ^ { \beta _ { 0 } } ( t ) + \ell ^ { 2 } } { ( \ell - k ) ^ { 2 + \gamma } } \right] } \\ & { \qquad \times \left[ \left( \left\| \langle \cdot \rangle ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \nabla ( h _ { k } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L ^ { p } } ^ { p } \right) \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L ^ { p } } ^ { p \left( \frac { q - p - \frac { 2 } { 3 } } { p - 1 } \right) } \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L _ { m } ^ { 1 } } ^ { \frac { 3 } { 2 m } } \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \Pi ( g = e ^ { i X } ) } & { \equiv e ^ { i \pi ( X ) } , } & & { X \in { \mathfrak { g } } , \quad g = e ^ { i X } \in \mathrm { i m } ( \exp ) , } \\ { \Pi ( g = g _ { 1 } g _ { 2 } \cdots g _ { n } ) } & { \equiv \Pi ( g _ { 1 } ) \Pi ( g _ { 2 } ) \cdots \Pi ( g _ { n } ) , } & & { g \notin \mathrm { i m } ( \exp ) , \quad g _ { 1 } , g _ { 2 } , \ldots , g _ { n } \in \mathrm { i m } ( \exp ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { a ( \mathbf { x } , \mathbf { p } , \hbar ) = \sigma \left( \hat { a } \right) = e ^ { - i \left\langle \mathbf { p } , \mathbf { x } \right\rangle / \hbar } \left( \hat { a } e ^ { i \left\langle \mathbf { p } , \mathbf { x } \right\rangle / \hbar } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left| \Phi \right\rangle \! } & { { } \equiv } & { \! \left| \, { \overline { { \Psi } } \left( { \bf y } \right) \Psi \left( { { { \bf y } ^ { \prime } } } \right) } \, \right\rangle } \end{array}
\mathrm { w i t h } \ k _ { + } L \in [ ( n - 1 ) \, \pi , \ n \pi ] \ , \ 1 \leq n < \alpha _ { + } \frac \pi L \quad \mathrm { a n d } \ 2 \, m \, E = \zeta ( k _ { + } ) ^ { 2 } = \zeta ( k _ { - } ) ^ { 2 } \ . \nonumber
\begin{array} { r } { S ( \theta ) = \int d t ~ \frac 1 2 \dot { \theta } ^ { 2 } - \frac { m _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { c } { - 2 \partial _ { y } \epsilon + r \alpha ^ { 2 } u = \frac { \pi \alpha \theta } { 6 \beta } \Psi \left( 2 \beta ( \dot { C } - y / 2 - ( 1 + \epsilon ) ( \partial _ { s } u - 2 \dot { C } \partial _ { y } u ) ) \right) \mathbf { 1 } _ { [ - 1 , 1 ] } ( y ) } \\ { 2 ( 1 + \epsilon ) \partial _ { y } u = \epsilon , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { F _ { x } } & { = b _ { x } \sigma _ { x x } + b _ { y } \tau _ { x y } + b _ { z } \tau _ { x z } } \\ { F _ { y } } & { = b _ { x } \tau _ { y x } + b _ { y } \sigma _ { y y } + b _ { z } \tau _ { y z } } \\ { F _ { z } } & { = b _ { x } \tau _ { z x } + b _ { y } \tau _ { z y } + b _ { z } \sigma _ { z z } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { ( A + c _ { 1 } I ) ^ { \top } P ^ { - 1 } + P ^ { - 1 } ( A + c _ { 1 } I ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } N _ { i } ^ { \top } P ^ { - 1 } N _ { j } k _ { i j } \leq - P ^ { - 1 } B B ^ { \top } P ^ { - 1 } , } \\ & { ( A + c _ { 1 } I ) ^ { \top } Q + Q ( A + c _ { 1 } I ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } N _ { i } ^ { \top } Q N _ { j } k _ { i j } \leq - C ^ { \top } C , } \end{array}
\{ \boldsymbol { { \widehat { y } } } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } } = \operatorname { L a t e n t T o C o o r d } ( \{ \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } } , \{ \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } , i } \} _ { i = 1 } ^ { C } )
{ \begin{array} { r l r l } { \rho ~ \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { F } } ) - \rho _ { 0 } } & { = 0 } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ M a s s } } } \\ { \rho _ { 0 } ~ { \ddot { \mathbf { x } } } - { \boldsymbol { \nabla } } _ { \circ } \cdot { \boldsymbol { P } } ^ { T } - \rho _ { 0 } ~ \mathbf { b } } & { = 0 } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ L i n e a r ~ M o m e n t u m } } } \\ { { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { P } } ^ { T } } & { = { \boldsymbol { P } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ A n g u l a r ~ M o m e n t u m } } } \\ { \rho _ { 0 } ~ { \dot { e } } - { \boldsymbol { P } } ^ { T } : { \dot { \boldsymbol { F } } } + { \boldsymbol { \nabla } } _ { \circ } \cdot \mathbf { q } - \rho _ { 0 } ~ s } & { = 0 } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ E n e r g y . } } } \end{array} }
\delta ( p ^ { 2 } ) = \delta _ { 3 } + p ^ { 2 } \biggl ( \frac { 2 e ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \Pi _ { L } ( 0 ) - \frac { e ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \psi ( 0 ) \biggl ) \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { 4 } ( \alpha , \beta ) = \mathrm { e } ^ { \mathbf { S } _ { 4 } } } & { { } = \mathbf { I } _ { 4 } + \sin ( \alpha ) \mathbf { A } + [ 1 - \cos ( \alpha ) ] \mathbf { A } ^ { 2 } } \end{array}
\alpha _ { \mathrm { n e q } } \sim - \frac { 2 } { 3 } \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } \Upsilon ^ { ( s ) } \left( \mathbf { x } , \tau , \tau _ { 1 } \right) \langle \mathbf { u } _ { 0 0 } ^ { \prime } \cdot \mathbf { j } _ { 0 0 } ^ { \prime } \rangle ^ { ( a ) } \left( \mathbf { x } , \tau , \tau _ { 1 } \right) ,
H _ { W } = \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } V _ { u d } V _ { c s } ^ { * } \{ a _ { 1 } ( \bar { s } c ) _ { H } ( \bar { u } d ) _ { H } + a _ { 2 } ( \bar { s } d ) _ { H } ( \bar { u } c ) _ { H } \} + h . c . ,
{ \begin{array} { l l l } { n \tau _ { E } } & { \approx } & { n \cdot R \cdot { \sqrt { \frac { m _ { i } } { k _ { B } T } } } \geq { \frac { 1 2 } { E _ { \mathrm { { c h } } } } } \, { \frac { k _ { \mathrm { { B } } } T } { \langle \sigma v \rangle } } } \\ { n \cdot R } & { \gtrapprox } & { { \frac { 1 2 } { E _ { \mathrm { { c h } } } } } \, { \frac { \left( k _ { \mathrm { { B } } } T \right) ^ { 3 / 2 } } { \langle \sigma v \rangle \cdot m _ { i } ^ { 1 / 2 } } } } \\ { n \cdot R } & { \gtrapprox } & { { \frac { \left( k _ { \mathrm { { B } } } T \right) ^ { 3 / 2 } } { \langle \sigma v \rangle } } { \mathrm { ~ . } } } \end{array} }
\frac { \langle \varphi ^ { 2 } \rangle _ { 0 } } { M _ { 5 } ^ { 3 } } \sim \frac { C _ { 0 } ^ { 2 } \lambda _ { 0 } H ^ { 2 } } { M _ { 5 } ^ { 3 } } \left( \frac { p } { H } \right) ^ { \frac { 3 \Delta + 8 } { \Delta + 2 } } \sim \left. \frac { \langle \varphi _ { 4 } ^ { 2 } \rangle } { M _ { p , e f f } ^ { 2 } } \right\vert _ { t = t _ { p } } .
\begin{array} { r } { J _ { h } ( \underline { { x } } ) = \left( \begin{array} { c c c c } { \prod _ { l = 0 , l \not = 0 } ^ { K } x _ { l } } & { \prod _ { l = 0 , l \not = 1 } ^ { K } x _ { l } } & { \cdots } & { \prod _ { l = 0 , l \not = K } ^ { K } x _ { l } } \\ { 0 } & { \prod _ { l = 1 , l \not = 1 } ^ { K } x _ { l } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { \prod _ { l = K , l \not = K } ^ { K } x _ { l } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { m i n } } ^ { p _ { \mathrm { e c } } \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 3 } ( l ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } } & { \geq n H ( l | E ) _ { \rho } } \\ & { - \sqrt { n } \Delta _ { \mathrm { a e p } } \left( p _ { \mathrm { e c } } \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 3 , d \right) , } \end{array}
\partial _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } p = \sum _ { \mathbf { b \in A } } \sum _ { \mathbf { k \in } \left[ \mathbf { 0 , } \nu \left( \mathbf { b } \right) - \mathbf { 1 } \right] } t _ { \mathbf { b } } ^ { \mathbf { m } } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } H _ { \mathbf { b } } ^ { \mathbf { m } } = t _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } .
R ( \hat { m } ) = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { r ( \hat { m } ) } \end{array} \right] , r ( \hat { m } ) = \left[ \begin{array} { l } { \hat { m } } \\ { - \frac { \left( \hat { m } \times \hat { x } \right) } { \left| | \hat { m } \times \hat { x } \right| | } } \\ { - \hat { m } \times \frac { \left( \hat { m } \times \hat { x } \right) } { \left| | \hat { m } \times \hat { x } \right| | } } \end{array} \right] ,
\left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 1 } u _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { m _ { 1 } u _ { 1 } + m _ { 2 } u _ { 2 } = m _ { 1 } v _ { 1 } + m _ { 2 } v _ { 2 } } \end{array} \right.
\operatorname * { l i m } _ { R _ { P } \rightarrow 0 } f _ { \mu \nu } ( x ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { - B _ { z } ^ { 2 } } } & { { - B _ { y } ^ { 2 } } } & { { - E _ { x } ^ { 2 } } } \\ { { - B _ { z } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { - B _ { x } ^ { 2 } } } & { { - E _ { y } ^ { 2 } } } \\ { { - B _ { y } ^ { 2 } } } & { { - B _ { x } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { - E _ { z } ^ { 2 } } } \\ { { - E _ { x } ^ { 2 } } } & { { - E _ { y } ^ { 2 } } } & { { - E _ { z } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow { } \infty } \left\| \left[ \Delta t { } \mathbf { w } _ { a } \right] ^ { n } \right\| } & { { } \propto \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow { } \infty } \Delta t { } ^ { n } \, \rho \left( \mathbf { w } _ { a } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { w } _ { a } \right) ^ { n / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { R = \frac { g _ { 0 } \overline { { g } } ^ { 2 } \sqrt { \kappa _ { k } } A _ { r } } { | ( \omega _ { r } - \widetilde { \omega } _ { + } ) ( \omega _ { r } - \widetilde { \omega } _ { - } ) | ^ { 2 } } , } \end{array}
F _ { \pi } ^ { 2 } \bar { F } _ { \pi } ^ { ( 4 ) } = 4 ( m _ { \pi } ^ { 2 } + 2 m _ { K } ^ { 2 } ) L _ { 4 } ^ { r } + 4 m _ { \pi } ^ { 2 } L _ { 5 } ^ { r } - 2 \mu _ { \pi } - \mu _ { K }
p = \frac { ( 2 K / k _ { 4 } ^ { 2 } ) a ^ { - 2 } - ( 8 { \cal U } _ { 0 } / \lambda k _ { 4 } ^ { 4 } ) a ^ { - 4 } - \rho - ( \rho ^ { 2 } / \lambda ) } { 1 + \rho / \lambda } .
p ^ { \underline { { a } } } = { \frac { 1 } { e ( \tau ) } } ( \dot { x } ^ { \underline { { a } } } - i \dot { \bar { \theta } } \Gamma ^ { \underline { { a } } } \theta ) = { \frac { 1 } { e ( \tau ) } } ( \dot { x } ^ { \underline { { a } } } - i \tilde { \psi } \chi ^ { \underline { { a } } } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \tilde { u } ^ { 2 } d x } & { = \int _ { \Omega } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { r } \prod _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { k = 1 } ^ { b } a _ { i j k } P _ { k } ( x _ { j } ) \right) ^ { 2 } d x } \\ & { = \int _ { \Omega } \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { r } \sum _ { i _ { 2 } = 1 } ^ { r } \prod _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { b } \sum _ { k _ { 2 } = 1 } ^ { b } a _ { i _ { 1 } j k _ { 1 } } a _ { i _ { 2 } j k _ { 2 } } P _ { k _ { 1 } } ( x _ { j } ) P _ { k _ { 2 } } ( x _ { j } ) d x } \\ & { = \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { r } \sum _ { i _ { 2 } = 1 } ^ { r } \prod _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { b } \sum _ { k _ { 2 } = 1 } ^ { b } a _ { i _ { 1 } j k _ { 1 } } a _ { i _ { 2 } j k _ { 2 } } I _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } , } \end{array}
[ Q _ { 0 } ( \Phi _ { 0 } ) , \Phi _ { 0 } ] = [ [ Q _ { 0 } , R ] , R ] ^ { L } \mathcal { I } = [ [ Q _ { 0 } , R ] ^ { L } , R ^ { L } ] \mathcal { I } = [ [ Q _ { 0 } ^ { L } , R ^ { L } ] , R ^ { L } ] \mathcal { I } \ .
W = \frac { \Lambda _ { 1 d } ^ { 5 } } { M _ { 1 } } + \frac { \Lambda _ { 2 d } ^ { 5 } } { M _ { 1 } } \pm 2 \frac { ( \Lambda _ { 1 d } ^ { 5 } \Lambda _ { 2 d } ^ { 5 } ) ^ { 1 / 2 } } { M _ { 1 } } ,
\beta _ { l } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( \mathrm { ~ i ~ f ~ \ \ } l = 1 ) } \\ { 1 . 6 9 ^ { l - L } } & { ( \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \omega ^ { - 1 } \simeq \omega _ { 0 } ^ { - 1 } \! \left( 1 - \kappa _ { z } + \kappa _ { z } ^ { 2 } - \frac { \kappa _ { x } ^ { 2 } } { 2 } \right) , \quad { \bf v } _ { g } \simeq c \! \left( 1 - \frac { \kappa _ { x } ^ { 2 } } { 2 } \right) \! \bar { \bf z } + c \left( \kappa _ { x } - \kappa _ { x } \kappa _ { z } \right) \bar { \bf x } \, , } \\ & { \omega ^ { - 1 } { \bf v } _ { g } \simeq \omega _ { 0 } ^ { - 1 } c \left( 1 - \kappa _ { z } + \kappa _ { z } ^ { 2 } - { \kappa _ { x } ^ { 2 } } \right) \bar { \bf z } + \omega _ { 0 } ^ { - 1 } c \left( \kappa _ { x } - 2 \kappa _ { x } \kappa _ { z } \right) \bar { \bf x } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \Phi } { \partial z } } & { { } = } & { \frac { 2 \pi \omega _ { 1 2 } d _ { 1 2 } } { n _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } \hbar c } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } g ( \Delta ) \ d \Delta \ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } P _ { a / g } ( \Delta , t ^ { \prime } , z ) d t ^ { \prime } , } \end{array}
\langle \Phi _ { 1 } \rangle _ { o } = { \binom { 0 } { v _ { 1 } } } \ , \qquad \langle \Phi _ { 2 } \rangle _ { o } = e ^ { i \xi } { \binom { 0 } { v _ { 2 } } } \ , \qquad ( v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } 2 4 6 ^ { 2 } G e V ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l r } { \dot { A } _ { 1 } } & { { } = } & { \sigma _ { 1 } A _ { 1 } + \frac { R a _ { c } ^ { 1 / 4 } } { 2 } A _ { 1 } A _ { 2 } } \\ { \dot { A } _ { 2 } } & { { } = } & { \sigma _ { 2 } A _ { 2 } - \frac { R a _ { c } ^ { 1 / 4 } } { 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pmb { \theta } ^ { k + 1 } } & { = \pmb { \theta } ^ { k } - \eta ^ { k } \nabla _ { \pmb { \theta } } \mathcal { L } _ { M F } ^ { k } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } \\ { \mathbf { w } ^ { k + 1 } } & { = \mathbf { w } ^ { k } + \rho ^ { k } \nabla _ { \mathbf { w } } \mathcal { L } _ { M F } ^ { k } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } _ { k } } & { { } = ( 1 - \lambda ) \hat { \mu } _ { k - 1 } + \lambda \frac { n _ { k } } { \Delta t _ { k } } } \\ { \hat { \sigma } _ { k } ^ { 2 } } & { { } = ( 1 - \lambda ) \hat { \sigma } _ { k - 1 } ^ { 2 } + \lambda \left( \frac { n _ { k } } { \Delta t _ { k } } - \hat { \mu } _ { k - 1 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { i } } { d t } } & { { } = \frac { 1 } { k _ { i } } \sum _ { j \neq i } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, ( x _ { j } - x _ { i } ) \, , } \\ { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon } \Big ( \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, - w _ { i j } \Big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S _ { m } } { \mathrm { d } t } = } & { { } \; q _ { m } - S _ { m } - m r S _ { m } \; , } \\ { \frac { \mathrm { d } G _ { n , i } ^ { \lambda } } { \mathrm { d } t } = } & { { } \; ( i + 1 ) G _ { n , i + 1 } ^ { \lambda } - i G _ { n , i } ^ { \lambda } + ( n - i + 1 ) \lbrace \lambda ( i - 1 ) + \rho \rbrace G _ { n , i - 1 } ^ { \lambda } } \end{array}
\mathbb { P } \Big ( D _ { l } ^ { \prime } \geq \sum _ { i = s _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { s _ { 2 } ^ { \prime } } \frac { W _ { l } } { \mathscr { N } _ { i } } + ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) t \Big | \mathcal { F } _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } \Big ) \leq e ^ { - 2 ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) t ^ { 2 } }
\Tilde { \psi } _ { \mathrm { C L A S S } } ^ { ( n ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } ) = \sum _ { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } } \Tilde { R } _ { \mathrm { o u t } } ^ { ( n ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } )
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } = c _ { \Delta } \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b a t h } } } \left( C _ { k } \hat { S } _ { + } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { - } ^ { ( k ) } + C _ { k } ^ { * } \hat { S } _ { - } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { + } ^ { ( k ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) = \ } & { - 1 6 B _ { 1 } C _ { 1 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } ( Z \alpha ) ^ { 4 } + \frac { 5 1 2 B _ { 1 } C _ { 1 } ^ { 3 / 2 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 3 } ( Z \alpha ) ^ { 5 } } { 9 } } \\ & { - \frac { 1 6 B _ { 1 } C _ { 1 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } ( Z \alpha ) ^ { 6 } } { 3 } \Big [ 2 + 3 0 C _ { 1 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } } \\ & { \left. \quad - 3 \ln ( 2 m _ { \mathrm { e } } Z \alpha \sqrt { C _ { 1 } } ) \right] + \mathcal { O } \left( ( Z \alpha ) ^ { 7 } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \frac { \beta } { 1 + \beta } \left[ \begin{array} { l l l } { { \bf 1 } _ { m } } & { \Phi ^ { T } } & { { \bf 0 } } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { { \bf 1 } _ { m } } & { \Phi ^ { T } } & { { \bf 0 } } \end{array} \right] + \frac { \lambda } { 2 } J J ^ { T } , } \\ { A _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \beta } } { \bf 1 } _ { m } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \beta } } \Phi ^ { T } } & { \sqrt { 1 + \beta } \Psi ( \Phi ) ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } } \\ & { \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \beta } } { \bf 1 } _ { m } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \beta } } \Phi ^ { T } } & { \sqrt { 1 + \beta } \Psi ( \Phi ) ^ { T } } \end{array} \right] , } \\ { A _ { 3 } } & { = \frac { \lambda } { 2 } J J ^ { T } - \beta \left[ \begin{array} { l l l } { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } & { \Psi ( \Phi ) ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } & { \Psi ( \Phi ) ^ { T } } \end{array} \right] . } \end{array}