harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) > f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - \big ( f _ { 6 } ( c _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } \big ) } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - \left( \frac { \big ( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \big ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } \right) } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \left( 1 - \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } \right) + ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \left( \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } - 1 \right) } \\ { } & { ~ ~ = \big ( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \big ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ > 0 . } \end{array}
{ \vec { B } } = \operatorname { c u r l } { \vec { A } } = \left\{ { \frac { \partial A _ { 3 } } { \partial x _ { 2 } } } - { \frac { \partial A _ { 2 } } { \partial x _ { 3 } } } , { \frac { \partial A _ { 1 } } { \partial x _ { 3 } } } - { \frac { \partial A _ { 3 } } { \partial x _ { 1 } } } , { \frac { \partial A _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } - { \frac { \partial A _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } \right\} , { \mathrm { ~ o r ~ } } \Phi _ { B } = \mathrm { { d } } \mathbf { A } .
u = x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } ^ { \prime } { \sqrt { 4 7 2 9 4 9 4 } } = ( 3 0 0 4 2 6 6 0 7 9 1 4 2 8 1 7 1 3 3 6 5 { \sqrt { 6 0 9 } } + 8 4 1 2 9 5 0 7 6 7 7 8 5 8 3 9 3 2 5 8 { \sqrt { 7 7 6 6 } } ) ^ { 2 }
\int \! \! d ^ { D } x \, \Pi ^ { \prime } ( 0 ) ( - S \, \framebox ( 7 , 7 ) { } _ { _ { E } } S - T \, \framebox ( 7 , 7 ) { } _ { _ { E } } T - U \, \framebox ( 7 , 7 ) { } _ { _ { E } } U ) .
E _ { c h r o m o } = \int \mathrm { d } ^ { 3 } x \mathrm { d } ^ { 3 } y \langle { \cal G } ^ { a } ( { \bf x } ) \rangle _ { c } \langle { \cal G } ^ { b } ( { \bf y } ) \rangle _ { c } \langle a , { \bf x } | \frac { 1 } { 2 { \cal I } } | b , { \bf y } \rangle + \Delta { \hat { E } } _ { T V }
\mathcal M _ { i i } = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ^ { 2 } r _ { i } ^ { - 2 \chi } \int d ^ { 2 } z ( z \bar { z } ) ^ { - \chi } \frac { 1 } { | z - 1 | ^ { 2 } } ,
\hat { \varphi } _ { \mathrm { s l o w - r o l l } } = \frac { 7 6 8 \hat { \pi } } { 3 5 \left( \frac { \tau } { \tau _ { \Theta } } + \frac { 6 0 } { 7 7 } + 2 \hat { \pi } \right) } .
\langle \phi ( x _ { 1 } ) \cdots \phi ( x _ { i } ) \rangle _ { \mathrm { d S } _ { 3 } } \leftrightarrow \langle { \cal { O } } _ { \phi } ( x _ { 1 } ) \cdots { \cal { O } } _ { \phi } ( x _ { i } ) \rangle _ { S ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Pi } _ { E M } } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \left( - \mathbf { E } \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { I } E ^ { 2 } - \mathbf { B } \mathbf { B } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { I } B ^ { 2 } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ a _ { \mathbf { k } \lambda } ( t ) , a _ { \mathbf { k } ^ { \prime } \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \right] } & { = \delta _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } } ^ { 3 } \delta _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } } \\ { \left[ a _ { \mathbf { k } \lambda } ( t ) , a _ { \mathbf { k } ^ { \prime } \lambda ^ { \prime } } ( t ) \right] } & { = \left[ a _ { \mathbf { k } \lambda } ^ { \dagger } ( t ) , a _ { \mathbf { k } ^ { \prime } \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \right] = 0 } \end{array} }
j ^ { c } M _ { a b ; c } = V ^ { \prime } M _ { b a } + \frac { V ^ { \prime \prime } } { V ^ { \prime } } j ^ { c } \left( j _ { b } M _ { a c } - j _ { a } M _ { b c } \right) + j _ { \; ; a } ^ { c } M _ { b c } - j _ { \; ; b } ^ { c } M _ { a c }
\begin{array} { r } { y : = \frac { r \delta \xi _ { r } } { a ^ { 2 } } = \frac { x \delta \xi _ { r } } { a } = - \frac { 1 } { k _ { \parallel } a } \frac { \delta \hat { B } _ { r h } } { B _ { 0 } } \left( y _ { 1 \nu } + \alpha y _ { 2 \nu } \right) , } \end{array}
\varphi _ { \mathrm { c a l } } ( \theta _ { 1 } ; t ) = - k _ { p } ( \eta ) \left( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } ( t ) \right) - \frac { \omega _ { \mathrm { c a l } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = \frac { b _ { 1 } + b _ { 2 } - b _ { 3 } } { 2 } } \\ { x _ { 2 } } & { = \frac { b _ { 1 } - b _ { 2 } + b _ { 3 } } { 2 } } \\ { x _ { 3 } } & { = \frac { - b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } } { 2 } } \\ { x _ { 2 } + x _ { 3 } + x _ { 4 } } & { = b _ { 3 } + b _ { 5 } } \\ { x _ { 5 } + x _ { 6 } } & { = b _ { 4 } - b _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \bar { W } _ { k } ( \sigma ^ { + } , \sigma ^ { - } ) = \left[ \frac 1 { U _ { k } ( \sigma ^ { + } ) + v _ { k } } + \frac 1 { U _ { k } ( \sigma ^ { - } ) + v _ { k } } - \frac 1 { u _ { k - 1 } + v _ { k } } \right] ^ { - 1 } - v _ { k } } } \\ { { U _ { k + 1 } ( z ) = \left[ \frac 1 { U _ { k } ( z ) + v _ { k } } + \frac 1 { u _ { k } + v _ { k } } - \frac 1 { u _ { k - 1 } + v _ { k } } \right] ^ { - 1 } - v _ { k } } } \\ { { u _ { k + 1 } = \left[ \frac 2 { u _ { k } + v _ { k } } - \frac 1 { u _ { k } + v _ { k - 1 } } \right] ^ { - 1 } - v _ { k } } } \end{array}
\sum _ { \substack { P \in \mathcal { R } \, P \subset Q _ { 0 } } } \sigma ( P ) \lesssim \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { \substack { P \in \mathcal { R } \, P \subset Q _ { 0 } } } \iint _ { U _ { P } ^ { * * } } | \nabla u ( X ) | ^ { 2 } \delta ( X ) \, d X \, \lesssim \varepsilon ^ { - 2 } \iint _ { T _ { Q _ { 0 } } ^ { * * } } | \nabla u ( X ) | ^ { 2 } \delta ( X ) \, d X \lesssim \varepsilon ^ { - 2 } \ell ( Q _ { 0 } ) ^ { n } \approx \varepsilon ^ { - 2 } \sigma ( Q _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { T P A } } & { { } = \frac { \int _ { S i } n ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } { \int n ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \Gamma _ { F C } } & { { } = \frac { \int _ { S i } n ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } { \int n ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { V _ { T P A } } & { { } = \frac { \left( \int n ^ { 2 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 2 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } \right) ^ { 2 } } { \int n ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } } \end{array}
\mathbb { P } \left( \mathrm { ~ n ~ o ~ m ~ a ~ r ~ k ~ e ~ x ~ i ~ s ~ t ~ s ~ i ~ n ~ } \left( s _ { 1 } , s _ { 2 } \right) \right) = \exp \left( - \left[ \eta \left( s _ { 2 } \right) - \eta \left( s _ { 1 } \right) \right] \right) .
\sin ^ { 2 } 2 \theta _ { m } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 + \frac { 2 } { \eta } \epsilon \ \ \ \ } } & { { \eta \gg 1 } } \\ { { \eta ^ { 2 } ( 1 + 2 \eta \epsilon ) \ \ \ \ \ } } & { { \eta \ll 1 } } \end{array} \right. .
p ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , z , t ) = g \rho ( \zeta ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) - z ) ; p ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , \zeta ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) , t ) = 0
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } e ^ { ( 1 - \epsilon ) s } \| f _ { 1 } ^ { n + 1 } ( s ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } } & { = \| f _ { 0 } \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + C ( 2 \delta ) ^ { 2 } + C C _ { q } ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \leq \| f _ { 0 } \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \mathbf { e } = \mathcal { F } _ { x } ^ { - 1 } \Bigg ( \mathbf { k ^ { - x } } \mathrm { . * } \underbrace { \left( \mathbf { b } + \Delta v \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \widehat { \mathbf { f } } _ { j k } \right) } _ { \mathcal { F } _ { x } ( - 1 + \int _ { 0 } ^ { 2 0 \pi } f ( x , v , t ) d v ) } \Bigg ) , } & { } & { \mathrm { f o r } } & { } & { \begin{array} { r l } { \mathbf { b } } & { = \mathcal { F } _ { x } ( - [ 1 , \ldots , 1 ] ^ { T } ) \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } } , } \\ { \mathbf { k } _ { k } ^ { - x } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { j = 1 , } \\ { 1 / \mathbf { k } _ { k } ^ { x } } & { j > 1 } \end{array} \right. \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } } , } \\ { \Delta v } & { = 1 6 / N _ { v } . } \end{array} } \end{array}
\Sigma _ { R } ( p ) = - i g ^ { 2 } \int \frac { \bar { d } ^ { D } \! q } { ( p - q ) ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \gamma . q } - \frac { 1 } { \gamma . q } \Sigma _ { R } ( q ) \frac { 1 } { \gamma . q } \right] ,
N _ { \mathrm { s t d } } ( \mathbf { p } _ { j } ^ { * } ) = K ( \mathbf { p } _ { j } ^ { * } , \mathbf { p } _ { j } ^ { * } ) - K ( \mathbf { p } _ { j } ^ { * } , \mathbf { p } _ { 1 : i } ) [ K ( \mathbf { p } _ { 1 : i } , \mathbf { p } _ { 1 : i } ) + \sigma _ { i } ^ { 2 } I ] ^ { - 1 } K ( \mathbf { p } _ { 1 : i } , \mathbf { p } _ { j } ^ { * } ) .
\cos \pi \nu + 1 = \sqrt { \frac { h } { 2 } } \cos ( \frac { h \pi } { 2 } ) ( e ^ { 7 } / 3 2 ) ^ { h / 2 } \simeq \sqrt { \frac { h } { 2 } } e ^ { 1 . 8 h } \cos ( \frac { h \pi } { 2 } )
\begin{array} { r l } { c } & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { 2 m + 2 } } \\ { C e _ { n } } \\ { 0 _ { n } } \end{array} \right] } \\ { Q } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { m \times m } } & { - I _ { m \times m } } & { 0 _ { m \times ( 2 + 2 n ) } } \\ { - I _ { m \times m } } & { I _ { m \times m } } & { 0 _ { m \times ( 2 + 2 n ) } } \\ { 0 _ { ( 2 + 2 n ) \times m } } & { 0 _ { ( 2 + 2 n ) \times m } } & { 0 _ { ( 2 + 2 n ) \times ( 2 + 2 n ) } } \end{array} \right] } \\ { A } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { Z \Phi ^ { T } } & { - Z \Phi ^ { T } } & { Z } & { - Z } & { I _ { n \times n } } & { - I _ { n \times n } } \end{array} \right] } \\ { b } & { = e . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { H } ( n _ { \perp } + ( a , 0 ) L _ { x } , n _ { z } ) } & { { } = } & { \Gamma _ { H } ( n _ { \perp } , n _ { z } ) } \\ { \Gamma _ { H } ( n _ { \perp } + ( 0 , b ) L _ { y } , n _ { z } ) } & { { } = } & { \Gamma _ { H } ( n _ { \perp } , n _ { z } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] } & { \le \left( h ( \mathcal T _ { T } ) ^ { \frac 1 4 } + f ( \mathcal T _ { T } ) \right) ^ { 4 } } \\ & { \le \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } + 2 C _ { W } ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) } \epsilon \mathcal T _ { T } + o ( \mathcal T _ { T } ) , } \end{array}
\frac { d } { d t } \mathcal { E } ( t ) \leq C \left( \mathcal { E } ( t ) ^ { 3 / 2 } + \mathcal { E } ( t ) \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R } w \partial _ { t } \left( \partial _ { x } ^ { 4 } w \right) \ d x .
\begin{array} { r l r } { X ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } X ( z ^ { l } ( \theta ) ) e ^ { z ^ { l } ( \theta ) t } \frac { d z ^ { l } } { d \theta } d \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ B \} } & { = - 2 \phi _ { \mathrm { b g } } , } \\ { \{ \delta _ { i } \} } & { = - \frac { 2 \Delta _ { i } \delta } { \Omega ^ { 2 } } , } \\ { \{ B \cdot \delta _ { i } \} } & { = - 2 \phi _ { \delta _ { i } } = 4 \phi _ { \mathrm { b g } } \frac { \Delta _ { i } \delta } { \Omega ^ { 2 } } = \{ B \} \{ \delta _ { i } \} . } \end{array}
\omega _ { \pm } ( k ) = - i \frac { \Gamma } { 2 } \pm \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } \left( \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } + 2 \mu \right) - \left( \frac { \Gamma } { 2 } \right) ^ { 2 } + i 0 ^ { + } }
\begin{array} { r l } { ( \divideontimes ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } + \rho } } z ^ { n - 2 } e ^ { - n \alpha _ { 1 } z } \frac { ( n \alpha _ { 1 } ) ^ { n - 1 } } { \Gamma ( n - 1 ) } \int _ { \hat { \kappa } _ { 1 } \in K ( \epsilon ) } \frac { f _ { \kappa _ { 1 } , n \alpha _ { 1 } } ^ { \mathrm { P a } } ( \hat { \kappa } _ { 1 } ) } { G _ { k } ( z ; n ) ( 1 - C _ { 1 , n } ) } \mathrm { d } \hat { \kappa } _ { 1 } \mathrm { d } z } \\ & { = \mathbb { P } [ \hat { \kappa } _ { 1 } \in K ( \epsilon ) ] \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } + \rho } } \frac { z ^ { n - 2 } e ^ { - n \alpha _ { 1 } z } } { G _ { k } ( z ; n ) ( 1 - C _ { 1 , n } ) } \frac { ( n \alpha _ { 1 } ) ^ { n - 1 } } { \Gamma ( n - 1 ) } \mathrm { d } z . } \end{array}
\hat { G } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \Gamma ( \alpha ) } \left[ e ^ { i \frac { \pi } { 2 } \alpha } x _ { + } ^ { \alpha - 1 } + e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \alpha } x _ { - } ^ { \alpha - 1 } \right]
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } w ( x , t ) + u ( x , t ) \cdot \nabla w ( x , t ) } & { = \nu \Delta w ( x , t ) + f ( x ) } \\ { \nabla \cdot u ( x , t ) = 0 , } & { \quad w ( x , 0 ) = w _ { 0 } ( x ) } \\ { f ( x ) } & { = A \left( \sin \left( 2 \pi ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) \right) + \cos \left( 2 \pi ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) \right) \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { F _ { 1 } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , t ) = \phi ^ { 2 } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , f ^ { 3 } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , t ) , t ) = 0 } } \\ { { F _ { 2 } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , t ) = \phi ^ { 3 } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , f ^ { 3 } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , t ) , t ) = 0 . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { F _ { \mathbf { Z } } \left( \mathbf { z } \right) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \mathbf { z } _ { ( 1 ) } } \cdot \cdot \cdot \int _ { - \infty } ^ { \mathbf { z } _ { ( N ) } } f _ { \mathbf { Z } } \left( \mathbf { \widehat { z } } \right) \ d \mathbf { \widehat { z } } _ { ( N ) } \cdot \cdot \cdot d \mathbf { \widehat { z } } _ { ( 1 ) } } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \mathbf { z } _ { ( 1 ) } } \cdot \cdot \cdot \int _ { - \infty } ^ { \mathbf { z } _ { ( N ) } } M _ { N } \cdot f _ { \mathbf { D L N } } \left( \lvert \lvert \mathbf { z } \rvert \rvert _ { 2 } \right) \ d \mathbf { \widehat { z } } _ { ( N ) } \cdot \cdot \cdot d \mathbf { \widehat { z } } _ { ( 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ( T ) } & { { } = } & { \exp \bigg [ c _ { 1 } + \frac { c _ { 2 } } { T } + c _ { 3 } \ln T + c _ { 4 } T ^ { c _ { 5 } } \bigg ] } \\ { \Rightarrow \frac { \mathrm { d } p ( T ) } { \mathrm { d } T } } & { { } = } & { p ( T ) \bigg ( \frac { - c _ { 2 } } { T ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } } { T } + c _ { 4 } c _ { 5 } T ^ { c _ { 5 } - 1 } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { V I } \approx \frac { 1 } { M _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { s } } \left[ \log \pi ( \boldsymbol { g } _ { \mathbf { \lambda } } ( \boldsymbol { \epsilon } _ { i } ) , \boldsymbol { d } _ { \mathrm { o b s } } ) - \tilde { q } _ { \mathbf { \lambda } } ( \boldsymbol { g } _ { \mathbf { \lambda } } ( \boldsymbol { \epsilon } _ { i } ) ) \right] , } \end{array}
\{ 0 \} = \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { 0 } ) = \ker \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \xrightarrow { \textup { r e s } _ { p } } H ^ { 1 } ( G _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j \colon 2 ^ { j } < 1 / ( | y _ { 1 } | + | z _ { 1 } | ) } ( 2 ^ { j } | y _ { 1 } | ) ^ { \beta _ { 1 } + 1 } ( 2 ^ { j } | z _ { 1 } | ) ^ { \gamma _ { 1 } + 1 } I _ { 1 } } \\ & { + \sum _ { j \colon 2 ^ { j } \ge 1 / ( | y _ { 1 } | + | z _ { 1 } | ) \ge 1 / { ( 2 | y _ { 1 } | ) } } ( 2 ^ { j } | y _ { 1 } | ) ^ { \beta _ { 1 } + 1 - N } ( 2 ^ { j } | z _ { 1 } | ) ^ { \gamma _ { 1 } + 1 } I _ { 1 } } \\ & { + \sum _ { j \colon 2 ^ { j } \ge 1 / ( | y _ { 1 } | + | z _ { 1 } | ) > 1 / { ( 2 | z _ { 1 } | ) } } ( 2 ^ { j } | y _ { 1 } | ) ^ { \beta _ { 1 } + 1 } ( 2 ^ { j } | z _ { 1 } | ) ^ { \gamma _ { 1 } + 1 - N } I _ { 1 } } \\ & { \lesssim \frac { | y _ { 1 } | ^ { \beta _ { 1 } + 1 } | z _ { 1 } | ^ { \gamma _ { 1 } + 1 } } { ( | y _ { 1 } | + | z _ { 1 } | ) ^ { \beta _ { 1 } + \gamma _ { 1 } + 2 } } \frac { | y _ { 2 } | ^ { \beta _ { 2 } + 1 } | z _ { 2 } | ^ { \gamma _ { 2 } + 1 } } { ( | y _ { 2 } | + | z _ { 2 } | ) ^ { \beta _ { 2 } + \gamma _ { 2 } + 2 } } \frac { | y _ { 3 } | ^ { \beta _ { 3 } + 1 } | z _ { 3 } | ^ { \gamma _ { 3 } + 1 } } { [ ( | y _ { 1 } | + | z _ { 1 } | ) ( | y _ { 2 } | + | z _ { 2 } | ) ] ^ { \beta _ { 3 } + \gamma _ { 3 } + 2 } } } \end{array}
E _ { 0 0 } = \frac { 1 } { a ^ { 4 } } \int d t a ^ { 4 } \left( \partial _ { t } \left( \frac { 3 } { 1 6 } \dot { \phi } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 8 } V \right) + \frac { 3 } { 2 } H _ { B } \dot { \phi } ^ { 2 } + \frac { \dot { U } _ { B } } { 4 } \rho \right) .
\begin{array} { r l r } { A ^ { * } \quad = \quad \operatorname* { d e t } ( A ) ( A ^ { - 1 } ) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c c } { | A | _ { 1 1 } } & { - | A | _ { 2 1 } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { n + 1 } | A | _ { n 1 } } \\ { - | A | _ { 1 2 } } & { | A | _ { 2 2 } } & { \hdots } & { ( - 1 ) ^ { n } | A | _ { n 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { ( - 1 ) ^ { n + 1 } | A | _ { 1 n } } & { ( - 1 ) ^ { n } | A | _ { 2 n } } & { \hdots } & { | A | _ { n n } } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { s _ { 1 2 , 2 } ( d \theta _ { \mathrm { t r } } , d \phi _ { \mathrm { t r } } , d \theta _ { \mathrm { b m } } , d \phi _ { \mathrm { b m } } ) } { s _ { 2 1 , 1 } ( 0 , 0 , 0 , 0 ) } = e ^ { - \left( ( D d \theta _ { \mathrm { t r } } - E d \theta _ { \mathrm { b m } } ) ^ { 2 } + ( D d \phi _ { \mathrm { t r } } - E d \phi _ { \mathrm { b m } } ) ^ { 2 } \right) / 2 \theta _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { b } ( \xi ) } & { = \frac { 1 } { \mathrm { i } \xi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } ( ( 2 - \alpha ) y | y | ^ { - \alpha } f ( y ) + | y | ^ { 2 - \alpha } f ^ { \prime } ( y ) e ^ { - \mathrm { i } \xi y } ) d y } \\ & { = - \frac { \mathrm { i } } { \xi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } ( 2 - \alpha ) y | y | ^ { - \alpha } f ( y ) e ^ { - \mathrm { i } \xi y } d y - \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d } { d y } ( | y | ^ { 2 - \alpha } f ^ { \prime } ( y ) ) e ^ { - \mathrm { i } \xi y } d y } \\ & { = : - \frac { \mathrm { i } } { \xi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } ( 2 - \alpha ) y | y | ^ { - \alpha } f ( y ) e ^ { - \mathrm { i } \xi y } d y + \mathfrak { b } _ { 1 } ( \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { m } = \int f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) \int h _ { m } ( \mathbf { r } , \mathcal { E } ) \zeta ^ { T h } ( \mathcal { E } ) ~ d \mathcal { E } ~ d ^ { 3 } r } \\ & { + \int f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) \int h _ { m } ( \mathbf { r } , \mathcal { E } ) \zeta ^ { R a } ( \mathcal { E } ) ~ d \mathcal { E } ~ d ^ { 3 } r + \psi _ { m } + n _ { m } . } \end{array}
\Lambda = \frac { 2 \lambda _ { 0 } \mu ^ { 2 } } { N } \exp \left( 2 - \frac { 2 \pi } { \lambda } \right) \left[ - \left( 1 + \frac { \pi } { 3 } \right) \pm \sqrt { \left( 1 + \frac { \pi } { 3 } \right) ^ { 2 } + 4 } \, \right] .
\begin{array} { r l r } { [ { \mathbb L } _ { i } , { \mathbb L } _ { j } ] } & { = } & { \epsilon _ { i j k } \, { \mathbb L } _ { k } , } \\ { [ { \mathbb L } _ { i } , { \mathbb K } _ { j } ] } & { = } & { \epsilon _ { i j k } \, { \mathbb K } _ { k } , } \\ { [ { \mathbb K } _ { i } , { \mathbb K } _ { j } ] } & { = } & { - \epsilon _ { i j k } \, { \mathbb L } _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { 2 } } & { = \mathrm { V a r } ( \Tilde { h } _ { 2 } ( \xi _ { i } , \xi _ { j } ) ) } \\ & { = g _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho _ { n } ^ { 2 } \log ^ { 2 } ( \rho _ { n } ) - 2 \rho _ { n } ^ { 2 } \log \rho _ { n } + \rho _ { n } ) + g _ { 3 } ^ { 2 } ( 2 \rho _ { n } ^ { 2 } \log \rho _ { n } - 2 \rho _ { n } ^ { 3 } ) + g _ { 2 } \{ \rho _ { n } ^ { 2 } \int g ^ { 2 } ( \xi _ { i } ) \log ^ { 2 } g ( \xi _ { i } ) d \xi _ { i } \} } \\ & { + 4 \rho _ { n } \int g ^ { 2 } ( \xi _ { i } ) \log g ( \xi _ { i } ) d \xi _ { i } + g _ { 4 } \rho _ { n } ^ { 4 } - \{ \rho _ { n } \log \rho _ { n } + 2 \rho _ { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } g ( x ) \log g ( x ) \, d x - \frac { 1 } { \log ( 2 ) } \rho _ { n } - { \cal O } ( \rho _ { n } ^ { 2 } ) \} ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u - u _ { h } \| _ { s } } & { \lesssim h ^ { \gamma } | \log h | ^ { \varphi } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| q - q _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \quad \gamma = \operatorname* { m i n } \{ s , \frac { 1 } { 2 } \} , } \\ { \| u - u _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { \lesssim h ^ { 2 \gamma } | \log h | ^ { 2 \varphi } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| q - q _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi + u \partial _ { x } \phi + a \partial _ { x } u } & { = A _ { 1 1 } \partial _ { x x } \phi + A _ { 1 2 } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } u + a \partial _ { x } \phi + u \partial _ { x } u } & { = A _ { 2 1 } \partial _ { x x } \phi + A _ { 2 2 } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } v + u \partial _ { x } v } & { = A _ { 3 3 } \partial _ { x x } v } \\ { \partial _ { t } s + u \partial _ { x } s } & { = A _ { 4 4 } \partial _ { x x } s } \end{array}
{ \cal D } ( r ) = \frac { \partial } { \partial t } \overline { { ( \delta u ) ^ { 3 } } } = \left( \frac { \partial } { \partial t } u _ { K } ^ { 3 } \right) \left( \overline { { ( \delta u ) ^ { 3 } } } / u _ { K } ^ { 3 } \right) - u _ { K } ^ { 3 } \frac { \partial } { \partial r ^ { * } } \left( \overline { { ( \delta u ^ { * } ) ^ { 3 } } } \right) r ^ { * } \frac { 1 } { \eta } \frac { d \eta } { d t } .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \pi } } \ } & { \Gamma \pi ^ { 1 } + \sum _ { i , t \in \mathcal { D } } ( \pi _ { i t } ^ { 2 } + \pi _ { i t } ^ { 3 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad \ } & { \pi ^ { 1 } \geq \pi _ { i t } ^ { 4 } + \pi _ { i t } ^ { 5 } \quad \forall i , t \in \mathcal { D } } & \\ & { \pi \in \mathbb { R } ^ { + } } \end{array}
\Delta \varphi \approx \frac { 4 M G _ { 2 } e ^ { k R } } { r _ { 0 } } \left( \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 3 } } \right) = \frac { 3 M G _ { 1 } e ^ { - k R } } { r _ { 0 } } .
\mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ t ~ r ~ o ~ l ~ } \stackrel { \mathrm { ~ u ~ n ~ s ~ t ~ e ~ a ~ d ~ y ~ S ~ t ~ o ~ k ~ e ~ s ~ } } { \longrightarrow } \mathrm { ~ f ~ l ~ o ~ w ~ } \stackrel { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } { \longrightarrow } \mathrm { ~ m ~ i ~ x ~ e ~ d ~ s ~ c ~ a ~ l ~ a ~ r ~ } \longrightarrow \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ t ~ f ~ u ~ n ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ } .
{ \begin{array} { r l } { B _ { \lambda , { \mathrm { m a x } } } ( T ) } & { = { \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } ^ { 5 } T ^ { 5 } x ^ { 5 } } { h ^ { 4 } c ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { e ^ { x } - 1 } } } \\ & { \approx 4 . 0 9 6 \times 1 0 ^ { - 6 } { \frac { \mathrm { W } } { { \mathrm { m } } ^ { 2 } \cdot { \mathrm { s r } } } } \times ~ ( T / { \mathrm { K } } ) ^ { 5 } } \end{array} }
\mathcal { C } _ { n } ( t ) = \sum _ { k _ { 1 } } \sum _ { k _ { 2 } } \cdots \sum _ { k _ { r } } \bigg | n ! \bigg \langle \mathcal { S } \prod _ { i = 1 } ^ { r } \hat { A } _ { i } ^ { k _ { i } } \bigg \rangle _ { c } \bigg | , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \sum _ { i = 1 } ^ { r } k _ { i } = n .