harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { X } ( \mathbf { X } _ { 0 } ; t _ { 0 } ) \sim \frac { 1 } { 4 } ( \alpha \beta - \alpha ^ { 2 } ) \Delta T _ { 0 } ^ { 2 } U \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } A ( t ) ^ { 2 } \, d t \left[ \mathbf { e } _ { x } \left( \frac { a ^ { 2 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 2 } } - \frac { 2 a ^ { 2 } X _ { 0 } ^ { 2 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) + \mathbf { e } _ { y } \left( - \frac { 2 a ^ { 2 } X _ { 0 } Y _ { 0 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) \right] , } \end{array}
u ( x ) = ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { \sqrt { 2 \omega } } \Bigl ( c _ { 2 } ( { \bf { k } } ) e ^ { - i k x } + c _ { 1 } ( { \bf { k } } ) ^ { + } e ^ { i k x } \Bigr ) ,
\frac { { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ( B ^ { + } \to \pi ^ { + } K ^ { 0 } ) } { { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ( B ^ { + } \to K ^ { + } \overline { { { K ^ { 0 } } } } ) } = - R _ { S U ( 3 ) } ^ { 2 } \left[ \frac { \mathrm { B R } ( B ^ { \pm } \to K ^ { \pm } K ) } { \mathrm { B R } ( B ^ { \pm } \to \pi ^ { \pm } K ) } \right] ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { M M } = [ \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M M } + \sigma _ { m } ^ { - 2 } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M N } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M N } ^ { T } ] ^ { - 1 } , } \end{array}
{ \chi } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } n T \le t < ( n + \theta ) T , } \\ { 0 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ( n + \theta ) T \le t < ( n + 1 ) T , } \end{array} \right.
N _ { i } ^ { \mathrm { t h } } ( \Delta m ^ { 2 } , \theta ) = f \int d E _ { \nu } \sigma ( E _ { \nu } ) \, \sum _ { j } \phi _ { j } ( E _ { \nu } ) P _ { j } ( E _ { \nu } , \Delta m ^ { 2 } , \theta ) \int _ { i } d E _ { e } R ( E _ { e } , E _ { e } ^ { \prime } ) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { D { \cal H } } { D t } : = \frac { \partial { \cal H } } { \partial t } + u \cdot \nabla { \cal H } = } & { { } - { \cal H } \nabla \cdot u \, , } \\ { \frac { D u _ { i } } { D t } : = \frac { \partial u ^ { i } } { \partial t } + ( u \cdot \nabla ) u ^ { i } = } & { { } f \epsilon _ { i j } u ^ { j } - g \partial _ { i } { \cal H } \, . } \end{array}
\Pi ( \omega , \vec { q } = 0 , \rho ) = \sum _ { V } \frac { 1 } { g _ { V } ^ { 2 } } \left( \Pi _ { V } ^ { \mathrm { v a c } } ( \omega ^ { 2 } ) - \rho T _ { V N } + \frac { \gamma _ { V } ^ { 2 } ( \omega ; \rho ) \, \omega ^ { 4 } } { \omega ^ { 2 } - \stackrel { \mathrm { o } } { m } _ { V } ^ { 2 } - \Pi _ { V } ^ { \mathrm { v a c } } ( \omega ^ { 2 } ) + \rho \, T _ { V N } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { p B } ^ { \, s } } & { { } \approx } & { \frac { m _ { p } \, \vec { u } _ { p } + m _ { B } \, \vec { u } _ { B } } { m _ { p } + m _ { B } } \, , } \\ { \vec { u } _ { p \alpha } ^ { \, s } } & { { } \approx } & { \frac { m _ { p } \, \vec { u } _ { p } + m _ { \alpha } \, \vec { u } _ { \alpha } } { m _ { p } + m _ { \alpha } } \, , } \\ { \vec { u } _ { B \alpha } ^ { \, s } } & { { } \approx } & { \frac { m _ { B } \, \vec { u } _ { B } + m _ { \alpha } \, \vec { u } _ { \alpha } } { m _ { B } + m _ { \alpha } } \, . } \end{array}
\emph { v o l } _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( \Delta ( \overline { { D } } ) ) = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \frac { \# \Gamma _ { m } } { m ^ { d } } = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \frac { \emph { d i m } _ { K } ( \overline { { H ^ { 0 } } } ( U , m \overline { { D } } ) ) } { m ^ { d } } = \frac { 1 } { d ! } \cdot \widehat { \emph { v o l } } ( \overline { { D } } )
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { R _ { \tau _ { h } ^ { k - 2 } } } [ \mathbb { I } _ { \{ R _ { \tau _ { h } } > 0 \} } \lambda ^ { \tau _ { h } } ] } & { \le } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } } ] , } & { k = 2 , } \\ { \mathbb { E } _ { \sqrt { h } } [ \mathbb { I } _ { \{ R _ { \tau _ { h } } > 0 \} } \lambda ^ { \tau _ { h } } ] , } & { k > 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \sf T } _ { \mathrm { E M P } } \; \equiv \; \frac { 1 } { 4 \pi } \left( { \sf F } \cdot { \sf F } \; - \; \frac { { \sf g } } { 4 } \; { \sf F } : { \sf F } \right) \; + \; \sum _ { \sigma } \; \left( N _ { \sigma } \mu _ { \sigma } \; u _ { \sigma } u _ { \sigma } \; - \; p _ { \sigma } \, { \sf g } \right) \; \equiv \; { \sf T } _ { \mathrm { E M } } \; + \; { \sf T } _ { \mathrm { P } } ,
\begin{array} { r l } { H \left( t ^ { ( k ) } \right) \left[ w ^ { ( k ) } , x ^ { ( k ) } ; F \right] ^ { - 1 } } & { = \left( I - X _ { 1 } e _ { k } + \left( \frac { 1 } { 2 } H _ { 2 } X _ { 1 } ^ { 2 } - T _ { 2 } \right) e _ { k } ^ { 2 } \right) \left( I + X _ { 1 } e _ { k } + X _ { 2 } e _ { k } ^ { 2 } \right) F ^ { \prime } ( \alpha ) ^ { - 1 } + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) } \\ & { = \left( I - \left( \left( \frac { 1 } { 2 } H _ { 2 } - 1 \right) X _ { 1 } ^ { 2 } - T _ { 2 } + X _ { 2 } \right) e _ { k } ^ { 2 } \right) F ^ { \prime } ( \alpha ) ^ { - 1 } + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) } \\ & { = \left( I - G _ { 2 } e _ { k } ^ { 2 } \right) F ^ { \prime } ( \alpha ) ^ { - 1 } + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) , } \end{array}
A \equiv \frac { \sigma ( - 1 < \cos \theta < - 0 . 1 ) - \sigma ( - 0 . 1 < \cos \theta < 0 . 8 ) } { \sigma ( - 1 < \cos \theta < - 0 . 1 ) + \sigma ( - 0 . 1 < \cos \theta < 0 . 8 ) }
\mathcal { J } ( \mathbf { w } ) : = \int _ { \mathbf { x } } \int _ { v _ { \parallel } } 3 . 5 e ^ { - 2 \mathcal { T } ( \mathbf { x } , v _ { \parallel } , \mathbf { w } ) / t _ { \operatorname* { m a x } } } \, \, f ( \mathbf { x } , v _ { \parallel } ) \, \, d v _ { \parallel } \, d \mathbf { x } .
{ \mathcal { L } } = { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \varphi \partial ^ { \mu } \varphi - { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 0 } ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { i n t } }
\begin{array} { r l r } { { \mathcal N } _ { \star } \left( \frac 2 D X ^ { \top } \boldsymbol { U } \right) } & { \leq } & { \frac 1 { \sqrt L } \left\Vert \frac 2 D X ^ { \top } \boldsymbol { U } \right\Vert _ { \infty } } \\ & { = } & { \frac 1 { \sqrt L } \operatorname* { m a x } _ { m \in [ M ] } \operatorname* { m a x } _ { l \in [ L ] } \left\vert \frac 2 D \sum _ { t = 1 } ^ { T _ { m } } U _ { t } ^ { m } X _ { t - l } ^ { m } \right\vert \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A ) _ { = z } = \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A _ { < z } ) _ { = z } \cup ( A _ { = z } + \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A _ { = 0 } ) ) , } \\ { \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A ^ { \prime } ) _ { = z } = \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A _ { < z } ^ { \prime } ) _ { = z } \cup ( A _ { = z } ^ { \prime } + \ensuremath { \operatorname { F S } } ( A _ { = 0 } ^ { \prime } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { M } } & { \Phi _ { 1 } ( x , t ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x - \int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) G ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { M } u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) F ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { M } u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) G ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } s + \mathsf { R } _ { F } ( t ) - \mathsf { R } _ { G } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 4 } X } & { : = \mathbf { D } _ { 4 } X - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { g } ( X , \mathbf { D } _ { 4 } e _ { 3 } ) e _ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { g } ( X , \mathbf { D } _ { 4 } e _ { 4 } ) e _ { 3 } , } \\ { \nabla _ { 3 } X } & { : = \mathbf { D } _ { 3 } X - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { g } ( X , \mathbf { D } _ { 3 } e _ { 3 } ) e _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { g } ( X , \mathbf { D } _ { 3 } e _ { 4 } ) e _ { 4 } . } \end{array}
{ \bf E } ~ ~ \mathrm { ~ D ~ i ~ a ~ g ~ o ~ n ~ a ~ l ~ m ~ a ~ t ~ r ~ i ~ x ~ o ~ f ~ e ~ i ~ g ~ e ~ n ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ s ~ o ~ f ~ t ~ h ~ e ~ u ~ n ~ p ~ e ~ r ~ t ~ u ~ r ~ b ~ e ~ d ~ s ~ y ~ s ~ t ~ e ~ m ~ }
\frac { W _ { k } ^ { n + m } } { W _ { k } ^ { n } } = \frac { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - m \tau \hat { H } } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { X } \phi ^ { 2 } d \Gamma ( f , f ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \Big ( \mathcal { E } ( \phi \cos ( \lambda f ) , \phi \cos ( \lambda f ) ) + \mathcal { E } ( \phi \sin ( \lambda f ) , \phi \sin ( \lambda f ) ) \Big ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { C } { \lambda ^ { 2 } } \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } \Big ( E ( \phi \cos ( \lambda f ) , r ) + E ( \phi \sin ( \lambda f ) , r ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla F ( \cdot , \nabla v ) } & { = ( \delta + \vert \nabla v \vert ) ^ { \frac { p - 2 } { 2 } } \big ( \frac { \nabla p \otimes \nabla v } { 2 } \ln ( \delta + \vert \nabla v \vert ) + \frac { p - 2 } { 2 } \frac { \nabla \vert \nabla v \vert \otimes \nabla v } { \delta + \vert \nabla v \vert } + \nabla ^ { 2 } v \big ) \quad \mathrm { ~ a . e . \ i n ~ } \Omega \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { L } ^ { \prime } ( \mathbf { v } ) \boldsymbol { \psi } = \frac { \partial } { \partial \epsilon } \Big \rvert _ { \epsilon = 0 } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } ( s _ { 1 } ( \mathbf { S } ( \mathbf { v } + \epsilon \boldsymbol { \psi } ) ) - z ) ^ { 2 } \, d \Omega } \\ & { } & { + \int _ { \Omega } \boldsymbol { \lambda } \cdot \Big ( 2 p _ { 1 } \Delta ( \mathbf { v } + \epsilon \boldsymbol { \psi } ) + \nabla [ \nabla \cdot ( \mathbf { v } + \epsilon \boldsymbol { \psi } ) ] \Big ) \, d \Omega \Big ) . } \end{array}
6 . 1 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \, \kappa ^ { 4 / 3 } \, \lambda ^ { 6 1 9 / 6 0 } \, \alpha ^ { - 3 4 } \, \beta ^ { - 5 5 / 4 } \, \gamma ^ { - 3 / 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { A } \mathbf { X } \right] } & { = \mathrm { T r } \left( \mathbf { A } \mathbf { R } \right) } \\ { \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \left( \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { X } \right) \left( \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { A } _ { 2 } \mathbf { X } \right) \right] } & { = \mathrm { T r } \left( \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { R } \left( \mathbf { A } _ { 2 } + \mathbf { A } _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } \right) \mathbf { R } \right) + \mathrm { T r } \left( \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { R } \right) \mathrm { T r } \left( \mathbf { A } _ { 2 } \mathbf { R } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( \theta , \varphi ) \quad = \quad m \sin \theta \left( h _ { x } \cos \varphi + h _ { y } \sin \varphi \right) } \\ & { + m ^ { 2 } \xi _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta \left[ E _ { x } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \varphi + 2 E _ { x } E _ { y } \cos \varphi \sin \varphi + E _ { y } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi \right] } \\ & { + \frac { m ^ { 2 } \xi _ { 2 } } { 2 } \Big [ E ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + 2 \sqrt { 2 } \sin \theta \cos \theta \cos \varphi \left( E _ { y } ^ { 2 } - E _ { x } ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + 4 \sqrt { 2 } E _ { x } E _ { y } \sin \theta \cos \theta \sin \varphi \Big ] . } \end{array} \raisetag { 1 \baselineskip }
w _ { q } = \frac { \alpha _ { q } } { \alpha _ { 0 } + \alpha _ { \mathrm { L } } + \alpha _ { \mathrm { C } } + \alpha _ { \mathrm { R } } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q \in [ \mathrm { 0 , L , C , R } ] .
{ \mathcal { F } } ^ { - 1 } \{ H \} ( t ) = h ( t ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { e ^ { - { \frac { \omega ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } } e ^ { i \omega t } } d \omega = { \frac { \sigma } { 2 { \sqrt { \pi } } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 4 } } \sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } }
I = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \mu ( k ) \, \, k ^ { - 2 } e ^ { - k ^ { 2 } t } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } 4 \pi e ^ { - k _ { 0 } ^ { 2 } t } \frac { 1 } { \beta \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } }
\tau _ { z , 1 } ^ { - } = R e _ { s } ^ { - 1 } \left. \displaystyle \frac { \partial u _ { z } } { \partial r } \right| _ { r _ { 1 } } = R e _ { s } ^ { - 1 } \displaystyle \frac { u _ { z } ( r _ { 1 } ) - u _ { z } ( r _ { i } ) } { r _ { 1 } - r _ { i } } ,
\begin{array} { r l } { E ^ { \psi } ( { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) - E ^ { \psi } ( { \bf u } ^ { \psi } ) = } & { \left( E ^ { \psi } ( { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) - E ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) \right) + \left( E ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) - E ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { \lambda , \psi } ) \right) } \\ & { + \left( E ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { \lambda , \psi } ) - E ^ { \psi } ( { \bf u } _ { \mathcal { H } } ^ { \psi } ) \right) + \left( E ^ { \psi } ( { \bf u } _ { \mathcal { H } } ^ { \psi } ) - E ^ { \psi } ( { \bf u } ^ { \psi } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { : = f ( \psi _ { x } ^ { \lambda } ) - \sum _ { 0 \le | k | \leq \delta } \lambda ^ { | k | } \, \mathbb { X } _ { 0 } ^ { k } ( \psi ) \, ( - \lambda ^ { - 1 } ) ^ { | k | } \, f ( ( \partial ^ { k } \eta ) _ { x } ^ { \lambda } ) } \\ { A _ { 2 } } & { : = \sum _ { | k | = \delta } \lambda ^ { | k | } \, \mathbb { X } _ { 0 } ^ { k } ( \psi ) \, ( - \lambda ^ { - 1 } ) ^ { | k | } \, f ( ( \partial ^ { k } \eta ) _ { x } ^ { \lambda } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \left( \vec { m } \right) } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \vec { m } } { \partial t } + \nabla \left[ \vec { m } \vec { v } + p _ { \mathrm { t o t } } \cdot I - \frac { \vec { B } \vec { B } } { \mu } \right] } & { = \rho \vec { f } _ { \mathrm { e } } + \vec { f } _ { \mathrm { C } } , } \\ { \frac { \partial e } { \partial t } + \nabla \left[ \left( e + p _ { \mathrm { t o t } } \right) \vec { v } - \frac { \left( \vec { v } \vec { B } \right) \vec { B } } { \mu } \right] } & { = \left( \rho \vec { f } _ { \mathrm { e } } + \vec { f } _ { \mathrm { C } } \right) \vec { v } + Q _ { \mathrm { p } } , } \\ { \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } - \nabla \times \left( \vec { v } \times \vec { B } \right) } & { = 0 . } \end{array}
\widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { ? } ^ { \dagger } , \Delta _ { + } ) \xrightarrow { \textup { r e s } _ { p } ^ { ( / \mathrm { b a l } ) } } { H } ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \, \widehat \otimes \, \mathcal { R } _ { ? } \xrightarrow [ \mathrm { E x p } _ { F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } } ^ { * } ] { \sim } \mathcal { R } _ { ? }
\eta ^ { - } \, \, { \equiv } \, \, 2 ^ { - 1 / 2 } \, \big [ \Sigma \, \, { - } \, \, \big ( \Sigma ^ { 2 } \, \, { - } \, \, 4 \, \textup { d e t } \, V _ { 4 } \big ) ^ { 1 / 2 } \big ] ^ { 1 / 2 }
\dot { \mathbf { X } } _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \, \, \left( - a _ { x } \Omega \sin { \left( \Omega t \right) } \cos \theta + a _ { y } \Omega \cos { \left( \Omega t \right) } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { r } } \\ { \, \, \left( \, \, \, \, a _ { x } \Omega \sin { \left( \Omega t \right) } \sin \theta + a _ { y } \Omega \cos { \left( \Omega t \right) } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { \theta } } \end{array} \right. ,
x \equiv \frac { \rho _ { 1 1 ^ { \prime } } \rho _ { 2 2 ^ { \prime } } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { 1 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } = \frac { 1 - z } 2 ; \ h = n / 2 \! + \! i \nu \! + \! 1 / 2 ; \ \tilde { h } = \! - \! n / 2 \! + \! i \nu \! + \! 1 / 2 ,
m _ { i j } ^ { e } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \phi \: \epsilon ^ { 2 } } } & { { \phi \: \epsilon } } & { { \phi } } \\ { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon } } & { { 1 } } \\ { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) \: \overline { { { v } } } \; ,
= \Phi ^ { 0 , j ^ { \prime } } x _ { c _ { j ^ { \prime \prime } } } + \sum _ { \substack { c _ { 1 } \in \{ 1 , \dots , N \} } } \Phi _ { c _ { 1 } } ^ { 1 , j ^ { \prime } } \eta _ { c _ { 1 } c _ { j ^ { \prime \prime } } } + \dots + \sum _ { \substack { c _ { j } \in \{ 1 , \dots , N \} , \, \forall j \in \{ 1 , \dots , m \} } } \Phi _ { c _ { 1 } \dots c _ { m } } ^ { m , j ^ { \prime } } \eta _ { c _ { 1 } , c _ { 2 } } x _ { c _ { 3 } } \dots x _ { c _ { m - 1 } } \eta _ { c _ { m } c _ { j ^ { \prime \prime } } } .
{ \begin{array} { r l } { \forall C { \Bigl [ } \lnot \exists D \left( C \in D \right) \iff \exists F { \bigl [ } } & { \, \forall y \exists x { \bigl ( } x \in C \land ( x , y ) \in F { \bigr ) } } \\ & { \, \land \, \forall x \forall y \forall z { \bigl ( } \, [ \, ( x , y ) \in F \land ( x , z ) \in F \, ] \implies y = z { \bigr ) } \, { \bigr ] } \, { \Bigr ] } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \delta E _ { 1 - 2 } } & { { } = | \delta E _ { 2 } - \delta E _ { 1 } | = \frac { m _ { e } B } { M } \frac { 3 } { 4 a _ { 0 } } + \frac { \alpha B } { M _ { \gamma } } \frac { 2 } { a _ { 0 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 4 } { \log ^ { [ 1 ] } ( \alpha , 1 ) \log ^ { [ 1 ] } ( 1 , \beta ) } ( - 2 ( \alpha \beta ) ^ { \frac 1 2 } g ^ { [ 3 ] } ( \alpha , \alpha , \beta , \beta ) - K _ { 0 } ( \log ( \beta / \alpha ) ) \cdot \log ^ { [ 2 ] } ( \alpha , 1 , \beta ) ) } \\ & { = \frac { 4 } { \frac { \left( - s t \right) } { \left( e ^ { - s } - 1 \right) \left( e ^ { t } - 1 \right) } } \Bigg ( - 2 e ^ { - \frac { s } { 2 } } e ^ { \frac { t } { 2 } } \frac { 1 } { \left( e ^ { - s } - e ^ { t } \right) ^ { 2 } } \Bigg ( \frac { s } { \left( e ^ { - s } - 1 \right) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { e ^ { - s } - 1 } } \\ & { \quad - \frac { 2 } { e ^ { - s } - e ^ { t } } \left( \frac { e ^ { - s } } { e ^ { - s } - 1 } \left( - s \right) - \frac { e ^ { t } } { e ^ { t } - 1 } t \right) + \frac { - t } { \left( e ^ { t } - 1 \right) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { e ^ { t } - 1 } \Bigg ) } \\ & { \quad - \Bigg ( - \frac { 4 e ^ { \frac { \left( t + s \right) } { 2 } } } { \left( t + s \right) \left( e ^ { \left( t + s \right) } - 1 \right) } + 2 e ^ { \left( \frac { t + s } { 2 } \right) } \left( \frac { \left( e ^ { \left( t + s \right) } + 1 \right) } { \left( e ^ { \left( t + s \right) } - 1 \right) ^ { 2 } } \right) \Bigg ) } \\ & { \quad \cdot \left( \frac { 1 } { e ^ { - s } - e ^ { t } } \left( - \frac { s } { e ^ { - s } - 1 } - \frac { t } { e ^ { t } - 1 } \right) \right) \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { \mathrm { c l } } } & { { } = } & { - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \left[ \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - \sum _ { i < j } \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) } + 2 - 3 ( \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 3 } ) } - 1 ) \right] ~ \mathrm { d } \Omega _ { 3 } } \\ { C _ { \varepsilon , \mathrm { c l } } } & { { } = } & { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 9 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 3 } \int \left[ \left( \frac { \beta | \mathbf { m } _ { 3 } | ^ { 2 } } { 3 } + \Delta \alpha _ { 3 } \right) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - \sum _ { i < j } \Delta \alpha _ { 2 } ( r _ { i j } ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) } - \right. } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \mathrm { d i s t } ( A \times A , B \times B ) } & { = } & { \operatorname* { i n f } \{ d ( ( a , a ^ { \prime } ) , ( b , b ^ { \prime } ) ) : a , a ^ { \prime } \in A , b , b ^ { \prime } \in B \} } \\ & { = } & { \operatorname* { i n f } \{ \rho ( a , b ) + \rho ( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) : a , a ^ { \prime } \in A , b , b ^ { \prime } \in B \} } \\ & { = } & { 2 \operatorname* { i n f } \{ \rho ( a , b ) : a , \in A , b \in B \} = 2 \mathrm { d i s t } ( A , B ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { k } \vec { u } _ { k } ^ { \, 2 } + m _ { l } \vec { u } _ { l } ^ { \, 2 } } & { = } & { \left( m _ { k } + m _ { l } \right) \left( \vec { u } _ { k l } ^ { \, s } \right) ^ { 2 } + m _ { k l } \, \vec { u } _ { k l } ^ { \, 2 } \, , } \\ { f _ { k } \left( \vec { u } _ { k } \right) \, f _ { l } \left( \vec { u } _ { l } \right) } & { = } & { \left( \frac { m _ { k } \, m _ { l } } { \left( 2 \pi \, k _ { B } T \right) ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ & { } & { \times \, \exp \left( - \frac { \left( m _ { k } + m _ { l } \right) \, \left( \vec { u } _ { k l } ^ { \, s } \right) ^ { 2 } } { 2 \, k _ { B } T } \right) } \\ & { } & { \times \, \exp \left( - \frac { m _ { k l } \, \vec { u } _ { k l } ^ { \, 2 } } { 2 \, k _ { B } T } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \partial _ { \xi } ^ { \alpha } a _ { k , 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { = \| \partial _ { \xi } ^ { \alpha } ( \mathcal { F } \big ( \psi _ { 0 } + \cdots + \psi _ { k } ) ) * ( \psi _ { k } ( \xi ) \, a ( \cdot , \xi ) ) ( x ) \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \| \mathcal { F } \big ( \psi _ { 0 } + \cdots + \psi _ { k } ) \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \, \| \partial _ { \xi } ^ { \alpha } ( \psi _ { k } ( \xi ) \, a ( x , \xi ) ) \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \| \partial _ { \xi } ^ { \alpha } ( \psi _ { k } ( \xi ) \, a ( x , \xi ) ) \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim 2 ^ { \frac { - k n } { r } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { v a r } ( { \mathrm { m e a n } } ) } & { { } = \operatorname { v a r } \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } X _ { i } \right) = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \operatorname { v a r } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } X _ { i } \right) } \end{array}
d V = \left( \mu S { \frac { \partial V } { \partial S } } + { \frac { \partial V } { \partial t } } + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } S ^ { 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial S ^ { 2 } } } \right) d t + \sigma S { \frac { \partial V } { \partial S } } \, d W
\begin{array} { r l r l } & { \langle \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] | \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] \rangle \dag } & { \qquad = \sum _ { a = 1 } ^ { B \nu _ { i } } [ \mathcal { R } _ { i } ] _ { a \alpha } \langle \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] | \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] \rangle \dag } & { \qquad = \sum _ { a = 1 } ^ { B \nu _ { i } } [ \mathcal { R } _ { i } ] _ { a \alpha } [ \Delta _ { i } ( \mathbf { 1 } - \Delta _ { i } ) ] _ { a b } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \dag , . } \end{array}
C \left( \boldsymbol x , \dot { \boldsymbol x } , \bar { \boldsymbol { x } } ( s ) \right) : = \sum _ { i , j , k = 1 , 2 } \Gamma _ { k j } ^ { i } \dot { x } ^ { k } \dot { x } ^ { j } \mathbf { e } _ { i }
| \{ c _ { q i } ^ { a } \} , p _ { q } , \cdots , p _ { 1 } , I , k \rangle = \prod _ { a = 1 } ^ { 4 } \prod _ { j = 1 } ^ { N _ { q } } ( P _ { q } ^ { a \dagger j } ) ^ { c _ { q j } ^ { a } } | \{ 0 \} , p _ { q } , \cdots , p _ { 1 } , I , k \rangle ,
r _ { \chi } = \frac { 2 m _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } } { \bar { m } _ { b } ( \mu ) ( \bar { m } _ { u } ( \mu ) + \bar { m } _ { d } ( \mu ) ) } \approx 1 . 1 8 \quad [ \mathrm { a t ~ } \mu = m _ { b } ] .
\begin{array} { r l } { \delta \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { ~ P ~ E ~ } } } & { { } = - \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } \varepsilon _ { i k } p _ { k l m n } S _ { m n } \varepsilon _ { l j } , } \\ { \delta \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { ~ R ~ O ~ } } } & { { } = R _ { i k } \varepsilon _ { k j } - \varepsilon _ { i k } R _ { k j } } \end{array}