harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A ( z ) } & { = F - k _ { \mathrm { B } } T \ln \rho ( z ) = - k _ { \mathrm { B } } T \ln [ Q \ \rho ( z ) ] } \\ & { = - k _ { \mathrm { B } } T \ln \frac { Z } { \Lambda } \frac { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } \ \delta [ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z ] } { Z } } \\ & { = - k _ { \mathrm { B } } T \ln \frac { 1 } { h ^ { 3 N } } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } ( \ensuremath { \mathbf { x } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } \ \delta [ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z ] } \\ & { = - k _ { \mathrm { B } } T \ln Q ^ { \star } ( z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { \mathbb { V } , P } ^ { - } ( \tau ) = } & { \frac { r _ { 2 } ( V _ { \mathbb { Z } } , N ( P ) ) } { \mathrm { V o l } ( \mathrm { G r } _ { 4 } ^ { W ( P ) } V _ { \mathbb { Z } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { 4 \pi i } \int _ { - \overline { { \tau } } } ^ { i \infty } \frac { \iota ( \Theta _ { \mathrm { G r } _ { 4 } ^ { W ( P ) } V _ { \mathbb { Z } } } ( z ) \otimes \Theta _ { \mathrm { G r } _ { 2 , \mathrm { p r i m } } ^ { W ( P ) } V _ { \mathbb { Z } } } ( \tau ) ) } { ( ( z + \tau ) / i ) ^ { 3 / 2 } } d z } \end{array}
\operatorname { r a n k } \left( B _ { n } ^ { ( \rho _ { p } ) } \right) = 2 ^ { n - 1 } - \dim \ker B _ { n } ^ { ( \rho _ { p } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { k = 1 } ^ { p + 1 } \operatorname { r a n k } \left( B _ { n - k } ^ { ( \rho _ { p } ) } \right) \; \mathrm { ~ f o r ~ } n > p , } \\ { 2 ^ { n - 1 } \; \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq n \leq p . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } c _ { 1 } } & { { } = \mathcal { L } [ c _ { 1 } ] + \mathcal { N } _ { \ell } [ c _ { 1 } , c _ { 1 } ] + \mathcal { N } _ { \ell } [ c _ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \operatorname { R e } \bigl ( P _ { 0 } \check { A } ^ { 2 } \bigr ) } & { = - \check { A } P _ { 0 } \check { A } - \operatorname { R e } \bigl ( [ P _ { 0 } , \check { A } ] \check { A } \bigr ) } \\ & { = - ( \rho \nabla \circ \check { A } ) ^ { * } ( \rho \nabla \circ \check { A } ) - { \frac { 1 } { 2 } } \bigl ( [ P _ { 0 } , \check { A } ] \check { A } + \check { A } [ \check { A } , P _ { 0 } ] \bigr ) } \\ & { = - ( \rho \nabla \circ \check { A } ) ^ { * } ( \rho \nabla \circ \check { A } ) - { \frac { 1 } { 2 } } [ [ P _ { 0 } , \check { A } ] , \check { A } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { 3 y } ^ { 1 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ \kappa ~ t ~ ( - \gamma _ { 1 } ~ H + ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 3 y } ^ { 2 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( \gamma _ { 1 } ~ ( ( \gamma + 1 ) ~ t ~ u - v ) ~ E _ { c } + v ^ { 2 } ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( v - \gamma _ { 1 } ~ t ~ u ) ) } \\ { K _ { 3 y } ^ { 3 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ t ~ ( \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( \gamma _ { 1 } ~ v - t ~ u ) - 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ v ~ E _ { c } - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ v ~ E _ { c } + u ^ { 2 } ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ t ~ u ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 3 y } ^ { 4 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ \kappa ~ t ~ ( \gamma _ { 1 } ~ H - ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { n \to \infty } { \operatorname* { l i m s u p } } \; } & { \int _ { \Omega } 2 \left[ \int _ { Q } W ( y , u _ { n } + \mathcal { T } _ { \eta } ( \mathcal { U } _ { \delta _ { n } } u _ { n } - u _ { n } ) ) \; d y \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \nabla u _ { n } | \; d x } \\ & { \leq \underset { n \to \infty } { \operatorname* { l i m s u p } } \; \int _ { \Omega } 2 \left[ \int _ { Q } W ( y , \mathcal { U } _ { \delta _ { n } } u _ { n } ) \; d y \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \nabla u _ { n } | \; d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { k } ^ { \uparrow } ( x ) - \eta _ { k } ^ { \downarrow } ( x ) } & { = \mathbf { 1 } _ { \{ \mathcal { W } _ { k } ( x ) > \mathcal { W } _ { k } ( x - 1 ) \} } - \mathbf { 1 } _ { \{ \mathcal { W } _ { k } ( x ) < \mathcal { W } _ { k } ( x - 1 ) \} } } \\ & { = \mathcal { W } _ { k } ( x ) - \mathcal { W } _ { k } ( x - 1 ) , } \end{array}
\mathbf { r } _ { M _ { k } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { r } _ { M _ { k } } ^ { \prime } } & { \mathrm { i f } \quad \sum _ { f \in \mathrm { f a c e s } } w _ { f } ( \mathbf { r } _ { M _ { k } } ^ { \prime } ) = 4 \pi , } \\ { \underset { \mathbf { r } _ { f } } { \mathrm { a r g m i n } } \lVert \mathbf { r } _ { f } - \mathbf { r } _ { M _ { k } } ^ { \prime } \rVert } & { \mathrm { i f } \quad \sum _ { f \in \mathrm { f a c e s } } w _ { f } ( \mathbf { r } _ { M _ { k } } ^ { \prime } ) = 0 , } \end{array} \right.
\underbrace { \underbrace { \bigotimes \bigotimes \bigotimes \dots \bigotimes } _ { i - t i m e s } ( \underbrace { \bigcirc \bigcirc \dots \bigcirc } _ { q - t i m e s } ) ( \underbrace { \bigcirc \bigcirc \dots \bigcirc } _ { q - t i m e s } ) \dots ( \underbrace { \bigcirc \bigcirc \dots \bigcirc } _ { q - t i m e s } ) } _ { ( m - i ) - { \mathrm { c i r c l e s ~ a n d } } ~ ( m - i ) / q - { \mathrm { p a r t s } } }
\begin{array} { r l } { B _ { n , 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \big ( 3 ^ { n } - ( n + 2 ) 2 ^ { n } + ( n ^ { 2 } + n + 1 ) \big ) , } \\ { B _ { n , 3 } } & { = \frac { 1 } { 6 } \big ( 4 ^ { n } - ( n + 3 ) 3 ^ { n } + 3 ( n ^ { 2 } + 3 n + 4 ) 2 ^ { n - 2 } - ( n ^ { 3 } + 2 n + 1 ) \big ) , \quad \mathrm { a n d } } \\ { B _ { n , 4 } } & { = \frac { 1 } { 2 4 } \big ( 5 ^ { n } - ( n + 4 ) 4 ^ { n } + 2 ( n ^ { 2 } + 5 n + 9 ) 3 ^ { n - 1 } } \\ & { \qquad \quad - ( n ^ { 3 } + 3 n ^ { 2 } + 8 n + 8 ) 2 ^ { n - 1 } + ( n ^ { 4 } - 2 n ^ { 3 } + 5 n ^ { 2 } + 1 ) \big ) . } \end{array}
\boldsymbol { F } _ { \gamma \rightarrow \alpha } ^ { \mathrm { Q 3 } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 + 0 . 1 0 4 6 \lambda } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 + 0 . 1 0 4 6 \lambda } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 - 0 . 2 1 7 3 \lambda } \end{array} \right] , \quad \boldsymbol { F } _ { \gamma \rightarrow \alpha } ^ { \mathrm { G N N } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 + 0 . 1 1 0 9 \lambda } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 + 0 . 1 1 0 9 \lambda } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 - 0 . 2 1 4 5 \lambda } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { c c c c c c c c c } & { \boxed { 1 } } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ & { 5 } & { 6 } & { 7 } & { 8 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ & { 9 } & { 1 0 } & { 1 1 } & { 1 2 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 3 } & { 1 4 } & { 1 5 } & { 1 6 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c c c } & { \boxed { - 4 } } & { - 8 } & { - 1 2 } & { - 5 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ & { - 8 } & { - 1 6 } & { - 2 4 } & { - 9 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 2 } & { - 2 4 } & { - 3 6 } & { - 1 3 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c c c } & { 0 } & { 0 } & { - 4 } & { 8 } & { - 4 } & { 0 } \\ { - 1 / 4 } & { 0 } & { 0 } & { - 8 } & { 1 2 } & { 0 } & { - 4 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c c } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } \\ { - 1 / 4 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 3 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} . } \end{array}
A \mathbf { x } = { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { a } _ { 1 } \cdot \mathbf { x } } \\ { \mathbf { a } _ { 2 } \cdot \mathbf { x } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { a } _ { m } \cdot \mathbf { x } } \end{array} \right] } .
\big ( R H S \big ) _ { L _ { \infty } ^ { \pm } } = \frac { 1 } { 2 } L _ { \infty } ^ { \pm } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \Big ( a - \frac { 1 } { 4 } \Big ) L _ { D } ^ { \infty } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \frac { 1 } { 4 } \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big ( L _ { D } ^ { \infty } - 2 L _ { \infty } ^ { \pm } \big ) \frac { 1 } { \rho } \textbf { \emph { \^ n } } \cdot \mathbf { \nabla } \rho ;
L = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \epsilon ^ { \prime } } } \\ { { 0 } } & { { \rho + \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) m , \; \; \; \; D = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho + \epsilon ^ { \prime } } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) m .
\rho = | \psi \rangle \langle \psi | \to \rho ^ { \prime } = { \frac { | i \rangle \langle i | \psi \rangle \langle \psi | i \rangle \langle i | } { | \langle i | \psi \rangle | ^ { 2 } } } = | i \rangle \langle i | .
\begin{array} { r } { \Bigg ( \underbrace { - \Big ( \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } , \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } \Big ) , - ( n , 0 ) , } _ { \mathrm { r e p e a t s ~ } n - 2 \mathrm { ~ t i m e s } } \cdots , - \Big ( \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } , \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } \Big ) , - \Big ( \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } , \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } + 1 \Big ) , } \\ { \underbrace { - \Big ( \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } , \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } + 2 \Big ) , - ( 1 , 0 ) , \cdots , - \Big ( \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } , \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } + s + 1 \Big ) , - ( s , 0 ) } _ { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq s \leq n - 2 } , \cdots \Bigg ) . } \end{array}
B ( j ) = ( - \tilde { \mu } \pi \triangle ( - \tilde { \rho } ) ) ^ { s _ { - } } \triangle ( 1 + j - m ) \triangle ( 1 + j + m ) s _ { - } \tilde { \rho } ^ { 2 } \triangle ( 1 - s _ { - } ) \triangle ( \tilde { \rho } s _ { - } ) \delta ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { V a r } ( Y _ { 5 } ) \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \sum _ { j k \ell } \big ( \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } ( \beta _ { j } \theta _ { j } ) ^ { 2 } ( \beta _ { k } \theta _ { k } ) ^ { 2 } ( \beta _ { \ell } \theta _ { \ell } ) ^ { 2 } \big ) \theta _ { j } \theta _ { s } \theta _ { k } \theta _ { \ell } \lesssim \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { w _ { j } } ( k ) } & { = \mathbf { w _ { j } } ( k - 1 ) + \eta ( k ) \mathbf { x } ^ { T } ( k ) \mathbf { w _ { j } } ( k - 1 ) [ \mathbf { x } ( k ) - ( \mathbf { x } ^ { T } ( k ) \mathbf { w _ { j } } ( k - 1 ) ) \mathbf { w _ { j } } ( k - 1 ) } \\ & { - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } ( \mathbf { x } ^ { T } ( k ) \mathbf { w _ { i } } ( k - 1 ) ) \mathbf { w _ { i } } ( k - 1 ) ] , \ j = 1 , \ 2 , \ . . . , \ p . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { t } ( t , N 2 ( \bar { \mathbf { x } } ) ) } & { { } = \lambda ( t - N 2 ( \bar { \mathbf { x } } ) ) ^ { 2 } + ( 1 - \lambda ) ( r ( N 2 ( \Bar { \mathbf { x } } ) , N 1 ( \textbf { x } ) ) - 1 ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { z } ^ { \mathrm { a c c } } } & { \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) = H _ { \mathrm { A B } } ( x _ { 0 } ^ { \prime } , x _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \prod _ { i = 1 } ^ { \tau ^ { \prime } / \Delta t - 1 } \widetilde { h } ( x _ { i \Delta t } ^ { \prime } ) } \\ & { \times \operatorname* { m i n } \Biggl \{ 1 , \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { \tau / \Delta t } \exp \bigl \{ - \beta [ U _ { \mathrm { b i a s } } ( r ( x _ { i \Delta t } ) ) ] \bigr \} } { \sum _ { i = 0 } ^ { \tau ^ { \prime } / \Delta t } \exp \bigl \{ - \beta [ U _ { \mathrm { b i a s } } ( r ( x _ { i \Delta t } ^ { \prime } ) ) ] \bigr \} } \Biggr \} } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \delta _ { R } ^ { 0 i } } } \\ { { \phi _ { 1 } ^ { 0 i } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { - s _ { g } ^ { n } } } & { { - c _ { g } ^ { n } } } \\ { { c _ { g } ^ { n } } } & { { - s _ { g } ^ { n } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { G _ { 1 } ^ { 0 } } } \\ { { G _ { 2 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) ,
\ell _ { \mathrm { I E A } } ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } _ { f } ) = \sum _ { i , j } D _ { \mathrm { K L } } \left( \sigma \left( \mathbf { h } ( x _ { i } ^ { ( r ) } ) ^ { \top } \mathbf { h } ( x _ { j } ^ { ( r ) } ) \right) \Big \Vert \sigma \left( \mathbf { h } ( x _ { i } ^ { ( f ) } ) ^ { \top } \mathbf { h } ( x _ { j } ^ { ( f ) } ) \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { \tiny ~ T R S } } H ^ { \mathrm { \tiny ~ T } } ( \textbf { k } ) U _ { \mathrm { \tiny ~ T R S } } ^ { - 1 } } & { = H ( - \textbf { k } ) , } \\ { U _ { \mathrm { \tiny ~ P H S } } H ^ { * } ( \textbf { k } ) U _ { \mathrm { \tiny ~ P H S } } ^ { - 1 } } & { = - H ( - \textbf { k } ) , } \\ { S H ^ { \dag } ( \textbf { k } ) S ^ { - 1 } } & { = - H ( \textbf { k } ) . } \end{array}
\bar { G } _ { j } = \sum _ { j = 1 } \int d \boldsymbol { r } _ { 2 } \psi _ { j } ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) ( r _ { 1 2 } ^ { - 1 } - \hat { K } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } ) ) \mathcal { P } _ { 2 } \phi _ { j } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } )
\frac { d } { d s } \left( \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } } \right) = \frac { \partial ^ { 2 } { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } \partial { \bf q } ^ { T } } \frac { d { \bf q } } { d s } + \frac { \partial ^ { 2 } { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } \partial { \bf p } ^ { T } } \frac { d { \bf p } } { d s } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { J _ { 4 } \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k } \big ( \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 1 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 1 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { 1 } \big ) \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \| } \\ & { + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 2 } ) \big ( \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { 1 } \big ) \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| } \\ { \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) ) \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \mathcal { D } _ { j } ( t ) \, . } \end{array}
\left\{ R _ { 3 , 0 } + R _ { 3 , 3 } \overline { { \zeta } } _ { 3 } + \sum _ { S = L , M , N , Q } R _ { 3 , S } \overline { { \zeta } } _ { 5 , S } \right\} \overline { { { a } } } ^ { 3 }
\left\langle \xi _ { \phi } \left( t \right) \xi _ { \phi } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle \approx \left( \frac { \sigma _ { \mathrm { m e a s } } } { \eta _ { \mathrm { d e t } } \overline { { P } } } \right) ^ { 2 } \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) ,
\begin{array} { r } { \int \displaylimits _ { 0 } ^ { p } \mathbf q ( t ) \cdot \nabla T ( t ) \textrm { d } t = - \frac { 2 \pi \lambda ( \mathbf f ^ { 2 } + \mathbf g ^ { 2 } ) } { \omega ( \tau _ { q } ^ { 4 } \omega ^ { 4 } + 4 ) } ( 2 - \tau _ { q } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { p , q } = c _ { i , i ^ { ' } } ^ { j , j ^ { ' } } } & { = \alpha \frac { ( x _ { i ^ { \prime } } - x _ { i } ) ^ { 2 } } { ( ( x _ { i ^ { ' } } - x _ { i } ) ^ { 2 } + ( y _ { i ^ { ' } } - y _ { i } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { i ^ { ' } , j ^ { ' } } h ^ { 2 } } \\ & { = \alpha \frac { ( i ^ { \prime } - i ) ^ { 2 } } { ( ( i ^ { \prime } - i ) ^ { 2 } + ( j ^ { \prime } - j ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { i ^ { ' } , j ^ { ' } } h . } \end{array}
H _ { 4 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } , y _ { 2 } ) = - { \frac { 1 } { 3 } } \mathrm { T r } \langle U ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) \Delta _ { \sigma } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; A ) U ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \tilde { \Delta } _ { \sigma } ^ { ( 2 ) } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; - \tilde { A } ) \rangle
e ^ { - ( i / \hbar ) \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) g _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } \left( \begin{array} { c } { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } \\ { \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } } \end{array} \right) e ^ { ( i / \hbar ) \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) g _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } = \left( \begin{array} { c } { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) + \nabla \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } \\ { \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } + q _ { a } \nabla \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { = p _ { 1 } , } \\ { 2 e _ { 2 } } & { = e _ { 1 } p _ { 1 } - p _ { 2 } = p _ { 1 } ^ { 2 } - p _ { 2 } , } \\ { 3 e _ { 3 } } & { = e _ { 2 } p _ { 1 } - e _ { 1 } p _ { 2 } + p _ { 3 } = { \frac { 1 } { 2 } } p _ { 1 } ^ { 3 } - { \frac { 3 } { 2 } } p _ { 1 } p _ { 2 } + p _ { 3 } , } \\ { 4 e _ { 4 } } & { = e _ { 3 } p _ { 1 } - e _ { 2 } p _ { 2 } + e _ { 1 } p _ { 3 } - p _ { 4 } = { \frac { 1 } { 6 } } p _ { 1 } ^ { 4 } - p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } + { \frac { 4 } { 3 } } p _ { 1 } p _ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 } } p _ { 2 } ^ { 2 } - p _ { 4 } , } \end{array} }
\mathrm { } [ \hat { \Phi } ( x ^ { 0 } , x ^ { 1 } ) \, , \, \hat { \Phi } ( x ^ { 0 } , y ^ { 1 } ) ] \, = \, - \frac { i } { 2 } \left\{ \frac { 1 } { i \pi } { \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } } ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { R } \right) \frac { e ^ { \frac { i n \pi } { R } ( x ^ { 1 } - y ^ { 1 } ) } } { \frac { n \pi } { R } } \right\} .
\begin{array} { r l r } { s } & { { } = } & { ( p _ { 1 } + p _ { 3 } ) ^ { 2 } = 4 E ^ { 2 } \mathrm { ~ \ i ~ n ~ c ~ . ~ m ~ . ~ f ~ r ~ a ~ m ~ e ~ } } \\ { t } & { { } = } & { ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } = - ( \mathrm { ~ m ~ o ~ m ~ e ~ n ~ t ~ u ~ m ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ f ~ e ~ r ~ } ) ^ { 2 } } \\ { u } & { { } = } & { ( p _ { 1 } + p _ { 4 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { p } \sim \mathcal { C } ( \kappa , \delta , q ) \bigg [ \rho _ { * } ( \nu _ { 0 } \bar { n } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } \bigg ( \frac { L _ { \chi } \bar { p } _ { e } } { S _ { p } } \bigg ) ^ { 4 } \bigg ] ^ { 1 / 3 } , } \end{array}
B _ { y } + i B _ { x } = - t \frac { B \rho } { \beta ( s ) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { 2 n - 1 } n ! ( n - 1 ) ! c } { ( 2 n - 1 ) ! \sqrt { \beta ( s ) } } \left( \frac { x + i y } { c \sqrt { \beta ( s ) } } \right) ^ { 2 n - 1 }
P ( i \rightarrow f ) = \sum _ { n _ { 1 } , \cdots , n _ { \ell } = 0 } ^ { \infty } \, e ^ { - i m ( n _ { 1 } r _ { 1 } + \cdots + n _ { \ell } r _ { \ell } + D _ { G } / 2 ) ( t _ { f } - t _ { i } ) } \, < \psi _ { f } | n _ { 1 } , \cdots , n _ { \ell } > < n _ { 1 } , \cdots , n _ { \ell } | \psi _ { i } > \ \ \ .
a ^ { 7 } + a ^ { 6 } c + 3 a ^ { 5 } c ^ { 2 } + 1 2 a ^ { 4 } b ^ { 2 } c + 3 a ^ { 4 } c ^ { 3 } + 1 2 a ^ { 3 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } + 3 a ^ { 3 } c ^ { 4 } + 2 4 a ^ { 2 } b ^ { 4 } c + 1 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 3 } + 3 a ^ { 2 } c ^ { 5 } + 8 a b ^ { 6 } + 2 4 a b ^ { 4 } c ^ { 2 } + 1 2 a b ^ { 2 } c ^ { 4 } + a c ^ { 6 } + 8 b ^ { 6 } c + c ^ { 7 }
\begin{array} { r l r } { w ^ { \prime } ( u ) } & { = } & { 2 b _ { 2 } ( \delta ) u + \cdots + ( N - 1 ) b _ { N - 1 } ( \delta ) u ^ { N - 2 } + N u ^ { N - 1 } l _ { \delta } ( u , 0 ) , } \\ { w ^ { \prime \prime } ( u ) } & { = } & { 2 b _ { 2 } ( \delta ) + 6 b _ { 3 } ( \delta ) + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) b _ { N - 1 } ( \delta ) u ^ { N - 3 } } \\ & { } & { + N ( N - 1 ) u ^ { N - 2 } l _ { \delta } ( u , 0 ) + 2 N u ^ { N - 1 } ( l _ { \delta } ) _ { u } ( u , 0 ) + u ^ { N } ( l _ { \delta } ) _ { u u } ( u , 0 ) . } \end{array}
E = - { \frac { Z k _ { \mathrm { e } } e ^ { 2 } } { 2 r _ { n } } } = - { \frac { Z ^ { 2 } ( k _ { \mathrm { e } } e ^ { 2 } ) ^ { 2 } m _ { \mathrm { e } } } { 2 \hbar ^ { 2 } n ^ { 2 } } } \approx { \frac { - 1 3 . 6 Z ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } \mathrm { e V }
\begin{array} { r l } { 2 \langle \nabla _ { \nabla u } X , \nabla u \rangle _ { 2 } } & { = h \int _ { D } \bigl ( | \nabla u | ^ { 2 } - \lambda u ^ { 2 } \bigr ) } \\ & { = h \int _ { D } \bigl ( u \Delta u - \lambda u ^ { 2 } \bigr ) + h \int _ { \partial D } u \nabla _ { \nu } u } \\ & { = h \int _ { \partial D } u \nabla _ { \nu } u \le 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l } { \omega ^ { 2 } I _ { r } - C _ { t } ^ { - 1 } } & { C _ { t } ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - C _ { t } ^ { - 1 } } & { - \omega ^ { 2 } I _ { f } + C _ { t } ^ { - 1 } } & { - \omega ^ { 2 } I _ { n } } & { 0 } \\ { - C _ { t } ^ { - 1 } } & { - \omega ^ { 2 } I _ { f } + C _ { t } ^ { - 1 } } & { 0 } & { - \omega ^ { 2 } I _ { b } + C _ { b } ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { - \omega ^ { 2 } } & { \omega ^ { 2 } } & { \omega ^ { 2 } } \end{array} \right] \times } \\ { \left[ \begin{array} { l } { V _ { r } } \\ { V _ { f } } \\ { V _ { n } } \\ { V _ { b } } \end{array} \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { h _ { t } = \sum _ { s \in \mathcal { S } } ( A _ { s } \hat { p } _ { t s } ^ { \mathrm { { e } } } + B _ { s } z _ { t s } ^ { \mathrm { h } } ) } & { \quad \forall ~ t \in \mathcal { T } } \\ & { \underline { { P } } _ { s } z _ { t s } ^ { \mathrm { { h } } } \leq \hat { p } _ { t s } ^ { \mathrm { e } } \leq \overline { { P } } _ { s } z _ { t s } ^ { \mathrm { { h } } } } & { \quad \forall ~ t \in \mathcal { T } , s \in \mathcal { S } } \\ & { z _ { t } ^ { \mathrm { o o } } = \sum _ { s \in \mathcal { S } } z _ { t , s } ^ { \mathrm { { h } } } } & { \quad \forall ~ t \in \mathcal { T } } \\ & { p _ { t } ^ { \mathrm { e } } = \sum _ { s \in \mathcal { S } } \hat { p } _ { t s } ^ { \mathrm { { e } } } } & { \forall ~ t \in \mathcal { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \rho C ( T _ { m , n } ^ { p + 1 } - T _ { m , n } ^ { p } ) } { \Delta t } = } & { { } \kappa \frac { T _ { m + 1 , n } ^ { p } + T _ { m - 1 , n } ^ { p } - 2 T _ { m , n } ^ { p } } { \Delta x ^ { 2 } } + \kappa \frac { T _ { m , n + 1 } ^ { p } + T _ { m , n - 1 } ^ { p } - 2 T _ { m , n } ^ { p } } { \Delta y ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vec { F } ^ { s , p } = \frac { A } { c } \int _ { \nu _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \nu _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { m = M _ { \nu } ^ { - } } ^ { M _ { \nu } ^ { + } } \tilde { I } _ { m } ^ { s , p } ( \nu ) \left( ( 1 - \cos \theta _ { m } ) \; \hat { z } - \sin \theta _ { m } \; \hat { x } \right) \mathrm { d } \nu } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { U U } ( f ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } R _ { U U } ( \tau ) e ^ { - 2 \pi i f \tau } d \tau = g _ { \mathrm { e l } } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \langle \hat { S } _ { y , \mathrm { i n } } \rangle ^ { 2 } \chi ^ { 2 } S _ { z z } ( f ) + \frac { 1 } { 2 } g _ { \mathrm { e l } } ^ { 2 } \eta \cos ^ { 2 } \alpha \langle \hat { S } _ { 0 , \mathrm { i n } } \rangle . } \end{array}
c f ^ { 2 } \left( g _ { 1 } ^ { 2 } \left| s + { \frac { i } { 2 f } } { \tilde { \phi } _ { 2 } } ^ { \dagger } \phi _ { 1 } \right| ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } \left| s - { \frac { i } { 2 f } } { \tilde { \phi } _ { 2 } } ^ { \dagger } \phi _ { 1 } \right| ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \alpha } _ { i n } ( \omega ) } & { { } = \sqrt { \sigma + \bar { n } } \tilde { \zeta } ( \omega ) } \\ { \tilde { \alpha } _ { o u t } ( \omega ) } & { { } = \sqrt { 2 \gamma } \tilde { a } ( \omega ) - \sqrt { \sigma + \bar { n } } \tilde { \zeta } ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ensuremath { \mathcal D } _ { \ell } ( u ) : = \sum _ { \{ x , y \} \in { \ensuremath { \mathbb E } } _ { \ell } } C ( x , y ) \left[ u ( y ) - u ( x ) \right] ^ { 2 } \, , } \\ & { { \ensuremath { \mathbb E } } _ { \ell } : = \bigl \{ \, \{ x , y \} \in { \ensuremath { \mathbb E } } \, : \, x \in { \ensuremath { \mathbb V } } \cap \Lambda _ { \ell } \, , \; y \in { \ensuremath { \mathbb V } } \cap S _ { \ell } , \; x \not = y \bigr \} \, . } \end{array}
B _ { \mu } = m _ { 3 / 2 } [ - 1 - \sqrt { 3 } e ^ { - i \alpha _ { S } } \sin \theta - ( 1 - \frac { \delta _ { G S } } { 2 4 \pi ^ { 2 } Y } ) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - i \alpha _ { T } } \cos \theta ] ,