harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { k ^ { - 1 } \omega _ { \mathrm { M S } \pm } = u _ { x } } & { \pm \left( \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } } \right) ^ { 1 / 2 } \Bigg \{ 2 p _ { \perp 0 } + B ^ { 2 } + \hat { b } _ { x } ^ { 2 } ( 2 p _ { \| 0 } - p _ { \perp 0 } ) + T _ { e } \rho _ { 0 } } \\ & { \pm \bigg [ \left( 2 p _ { \perp 0 } + B ^ { 2 } + \hat { b } _ { x } ^ { 2 } ( 2 p _ { \| 0 } - p _ { \perp 0 } ) + T _ { e } \rho _ { 0 } \right) ^ { 2 } + 4 p _ { \perp 0 } ^ { 2 } \hat { b } _ { x } ^ { 2 } ( 1 - \hat { b } _ { x } ^ { 2 } ) } \\ & { \qquad \: \: - 1 2 p _ { \perp 0 } p _ { \| 0 } \hat { b } _ { x } ^ { 2 } ( 2 - \hat { b } _ { x } ^ { 2 } ) + 1 2 p _ { \| 0 } ^ { 2 } \hat { b } _ { x } ^ { 4 } - 1 2 p _ { \| 0 } B ^ { 2 } \hat { b } _ { x } ^ { 2 } \bigg ] ^ { 1 / 2 } \Bigg \} ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { y ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) < x ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) \phi ( x ( s _ { 1 } ) ) , y ^ { \prime } ( s _ { 2 } ) > x ^ { \prime } ( s _ { 2 } ) \phi ( x ( s _ { 2 } ) ) } \\ & { \Rightarrow } & { y ^ { \prime } ( s _ { 2 } ) - y ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) > x ^ { \prime } ( s _ { 2 } ) \phi ( x ( s _ { 2 } ) ) - x ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) \phi ( x ( s _ { 1 } ) ) } \end{array}
\left. V _ { q q g } ( r ; \, p _ { i } ^ { 2 } , \kappa _ { i } ) \right| _ { p _ { i } ^ { 2 } = \mu _ { g q } ^ { 2 } } \; = \; \left. V _ { g g g } ( r ; \, k _ { i } ^ { 2 } , \kappa _ { i } ) \right| _ { k _ { i } ^ { 2 } = \mu _ { g q } ^ { 2 } } \; = \; 1
S = \int d ^ { 3 } x \left[ - \left( \frac { \partial \phi ^ { A } } { \partial x ^ { i } } G _ { A B } [ \phi ] \frac { \partial \phi ^ { B } } { \partial x ^ { j } } \right) + \frac { i } { 2 \kappa } \left| \frac { \partial \phi ^ { A } } { \partial x ^ { i } } \right| \sqrt { G [ \phi ] } R [ \phi ] \right] ,
\begin{array} { r } { { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \kappa \big ( { \bf J } - \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } \big ) ^ { - 1 } { \bf A } { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D ( 0 . 5 c ^ { - 1 } \eta \| p ) \ge \frac { ( p - 0 . 5 c ^ { - 1 } \eta ) ^ { 2 } } { 2 p } \ge 0 . 0 8 8 c ^ { - 1 } \eta , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { { } = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ 0 , L ] } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { 0 } } & { { } = - \frac { \omega } { 2 D } } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { L } } & { { } = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { { } = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ 0 , L ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \Delta { g } _ { \mathrm { n o n - r e l . } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( n s ) = \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \Delta { g } _ { \mathrm { n o n - r e l . } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \b { W _ { c } } } & { \approx \frac { \Delta \omega } { 2 \pi } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \b { \Psi } ( \omega _ { k } ) \b { \Sigma } ( \omega _ { k } ) ^ { 2 } \b { \Psi } ( \omega _ { k } ) ^ { * } } \\ & { = \frac { \Delta \omega } { 2 \pi } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \left[ \sigma _ { 1 k } \b { \psi } _ { 1 k } \ \cdots \ \sigma _ { n k } \b { \psi } _ { n k } \right] \left[ \begin{array} { c } { \sigma _ { 1 k } \b { \psi } _ { 1 k } ^ { * } } \\ { \vdots } \\ { \sigma _ { n k } \b { \psi } _ { n k } ^ { * } } \end{array} \right] } \\ & { = \frac { \Delta \omega } { 2 \pi } \left[ \sigma _ { 1 1 } \b { \psi } _ { 1 1 } \ \cdots \ \sigma _ { n m } \b { \psi } _ { n m } \right] \left[ \begin{array} { c } { \sigma _ { 1 1 } \b { \psi } _ { 1 1 } ^ { * } } \\ { \vdots } \\ { \sigma _ { n m } \b { \psi } _ { n m } ^ { * } } \end{array} \right] \approx \b { L _ { c } } \b { L _ { c } } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { k } ^ { ( \mathrm { U L } , \mathrm { c } ) } = \frac { p _ { k } \left| \mathbb { E } \left\{ \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { D } _ { k } { \mathbf { h } } _ { k } \right\} \right| ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 i \neq k } ^ { K } p _ { i } \mathbb { E } \left\{ | \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { D } _ { k } { \mathbf { h } } _ { i } | ^ { 2 } \right\} + \sigma _ { \mathrm { U L } } ^ { 2 } \mathbb { E } \left\{ \| \mathbf { D } _ { k } \mathbf { v } _ { k } \| ^ { 2 } \right\} } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \int _ { 2 } ^ { \infty } d N W ( N ) N ^ { \alpha } F ( N ) \exp { - \mu N } } { \int _ { 2 } ^ { \infty } d N W ( N ) N ^ { \alpha } \exp { - \mu N } } \to F ( \alpha / \mu ) } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \pi } \mathbb { E } _ { s _ { 0 } , a _ { 0 } , s _ { 1 } , a _ { 1 } , \dots } \left[ \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { t } R ( s _ { t } , a _ { t } ) \right] ,
\begin{array} { r } { \psi _ { 2 } ( x , t ) = \frac { \gamma } { i ^ { \alpha } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } t ^ { \alpha - 1 } { \cal { G } } _ { \alpha , \mu } ^ { ( \alpha ) } ( x - x ^ { \prime } , t - t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega t ^ { \prime } } \psi _ { 1 } ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { O } _ { n , t } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \mathcal { P } _ { - z _ { \mathrm { p r o p } } } \! \left\{ E _ { \mathrm { p r o x } , n } ( \mathbf { r } ) \cdot \exp \left( - i \phi _ { t } ( \mathbf { r } ) \right) \right\} } \end{array}
D V _ { \, \, \, b } ^ { a } = d V _ { \, \, b } ^ { a } + \omega _ { \, \, c } ^ { a } \wedge V _ { \, \, \, b } ^ { c } - ( - 1 ) ^ { p } V _ { \, \, \, c } ^ { a } \wedge \omega _ { \, \, b } ^ { c } .
\Xi _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { 1 } \otimes \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 2 } \otimes \sigma _ { 2 } ) , \quad \Xi _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { 1 } \otimes \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 2 } \otimes \sigma _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r } { \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq \sqrt { 2 } \Big ( \| u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + | k | \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! \| \Phi _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) + } \\ { + 4 \sqrt { 2 } \big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) | k | t C _ { \sigma } ( t ) e ^ { - \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + } \\ { + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \Big \} . } \end{array}
\dot { \vec { k } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { k } = - \left( \begin{array} { r } { \dot { a } / a ^ { 2 } } \\ { \dot { b } / b ^ { 2 } } \\ { \dot { c } / c ^ { 2 } } \end{array} \right) \enspace \enspace \mathrm { a n d } \enspace \enspace \dot { \vec { n } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { n } = \left( \begin{array} { r } { \dot { a } } \\ { \dot { b } } \\ { \dot { c } } \end{array} \right) .
\operatorname* { g c d } \left( { \left\Vert \begin{array} { l l } { a } & { c } \\ { b } & { d } \end{array} \right\Vert } , { \left\Vert \begin{array} { l l } { a } & { e } \\ { b } & { f } \end{array} \right\Vert } \right) = \operatorname* { g c d } \left( { \left\Vert \begin{array} { l l } { a } & { c } \\ { b } & { d } \end{array} \right\Vert } , { \left\Vert \begin{array} { l l } { c } & { e } \\ { d } & { f } \end{array} \right\Vert } \right) = \operatorname* { g c d } \left( { \left\Vert \begin{array} { l l } { a } & { e } \\ { b } & { f } \end{array} \right\Vert } , { \left\Vert \begin{array} { l l } { c } & { e } \\ { d } & { f } \end{array} \right\Vert } \right)
c _ { 0 0 } = c _ { 4 4 } , \qquad c _ { 0 2 } = c _ { 4 2 } , \qquad c _ { 0 4 } = c _ { 4 0 } , \qquad c _ { 2 0 } = c _ { 2 4 } , \qquad c _ { 2 2 } , \qquad c _ { 1 1 } = c _ { 3 3 } , \qquad c _ { 1 3 } = c _ { 3 1 } .
\begin{array} { r l } { \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) } & { { } + \omega _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ( t ) + \frac { 1 } { 3 \sigma _ { i } ( t ) } \sum _ { j } \left[ \omega _ { j } ^ { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } ( t ) + \dot { \sigma } _ { j } ^ { 2 } ( t ) \right] - \frac { 2 k _ { B } T _ { 0 } } { m \sigma _ { i } ( t ) } \approx - \frac { 2 } { 5 } \frac { { \cal V } _ { \mathrm { h y } } } { N m } \sum _ { j } \frac { \mu _ { i i j j } ( T ( t ) ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \frac { \dot { \sigma } _ { j } ( t ) } { \sigma _ { j } ( t ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( t ) } & { { } = \lambda _ { \perp } \cos \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \sin ( \omega _ { \perp } t ) , } \\ { y ( t ) } & { { } = - \lambda _ { \perp } \sin \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \sin ( \omega _ { \perp } t ) , } \\ { z ( t ) } & { { } = \lambda _ { z } \sin ( \omega _ { z } t ) , } \end{array}
{ \frac { a - b } { a + b } } = { \frac { 2 \sin { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha - \beta \right) \cos { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha + \beta \right) } { 2 \sin { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha + \beta \right) \cos { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha - \beta \right) } } = { \frac { \sin { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha - \beta \right) } { \cos { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha - \beta \right) } } \div { \frac { \sin { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha + \beta \right) } { \cos { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha + \beta \right) } } = { \frac { \tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha - \beta ) \right) } { \tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha + \beta ) \right) } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \sum _ { x ^ { s + 1 : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \sum _ { y ^ { s : T - 1 } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s } } \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) } { \sum _ { x ^ { s : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \sum _ { y ^ { s : T - 1 } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s } } \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) } } \end{array}
m = \left( \begin{array} { c c c c } { { - { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \prime } w _ { e } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } g w _ { e } } } & { { 0 } } & { { - \varepsilon _ { e } } } \\ { { - { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \prime } w _ { \mu } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } g w _ { \mu } } } & { { 0 } } & { { - \varepsilon _ { \mu } } } \\ { { - { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \prime } w _ { \tau } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } g w _ { \tau } } } & { { 0 } } & { { - \varepsilon _ { \tau } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { H } , \, \mathrm { V i T } } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { 1 } k _ { 1 } ^ { 3 } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \sum _ { \pm } \sum _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } } \\ { \times } & { \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | \Gamma _ { 0 } ^ { \mathrm { R } } V | \phi _ { n _ { 3 } } \rangle _ { \mathrm { r e g } } \langle \phi _ { n _ { 3 } } | r _ { i } | \phi _ { a } \rangle } { ( E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } \pm k _ { 1 } ) ( E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) } , } \end{array}
{ \bf x } _ { t + \Delta t } = { \bf x } _ { t } - \frac { \Delta t ^ { 2 } } { m + \mu \Delta t } \nabla F ( { \bf x } _ { t } ) - \frac { \Delta t ^ { 2 } } { m + \mu \Delta t } \phi ( t ) { \bf x } _ { t } + \frac { m } { m + \mu \Delta t } ( { \bf x } _ { t } - { \bf x } _ { t - \Delta t } ) .
\begin{array} { r l } { V _ { m } ^ { \mathrm { S C } } ( r , \theta ) } & { = \frac { A _ { 0 , m } ^ { 0 } } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } ^ { 1 / 2 } \left( ( q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } ) ^ { 2 } + ( \frac { q _ { \theta } } { r } ) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 4 } } \frac { 1 } { \sqrt { r | \frac { \partial \mathcal { H } _ { 0 } } { \partial q } \frac { q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } } { q } | } } } \\ & { \; \; \; \times \left( e ^ { \frac { i } { \hbar } \int _ { r _ { \mathrm { c } } } ^ { r } q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } \mathrm { d } r ^ { \prime } + i \frac { \pi } { 4 } } - e ^ { - \frac { i } { \hbar } \int _ { r _ { \mathrm { c } } } ^ { r } q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } \mathrm { d } r ^ { \prime } - i \frac { \pi } { 4 } } \right) } \\ & { \; \; \; \times e ^ { i m \theta } e ^ { \frac { i } { \hbar } \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { \mathrm { c } } } q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } \mathrm { d } r ^ { \prime } - i \frac { \pi } { 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } ( U _ { i } + u _ { i } ) + ( U _ { j } + u _ { j } ) \partial _ { j } ( U _ { i } + u _ { i } ) = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { i } ( P + p ^ { \prime } ) + g + \nu \partial _ { j j } ^ { 2 } ( U _ { i } + u _ { i } ) } \end{array}
{ \frac { d C ( \tau ) } { d \tau } } = \dot { C } = - v _ { 0 } ^ { 2 } \langle \dot { ( \Delta \theta _ { i } ) } \, \mathrm { s i n } ( \Delta \theta _ { i } ) \rangle = - v _ { 0 } ^ { 2 } \langle \dot { \theta } _ { i } ( t + \tau ) \, \mathrm { s i n } ( \Delta \theta _ { i } ) \rangle
\begin{array} { r l } { h ^ { \mathrm { t w o } } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { { } \triangleq { \frac { 1 } { a _ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 2 } } h ^ { \mathrm { o n e } } ( m _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { m _ { 2 } } { a _ { 2 } } } x _ { 2 } } \, d x _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { x } f _ { i } = \frac { 1 } { L ( t ) } \, \partial _ { y } \bar { f } _ { i } \quad \partial _ { t } f _ { i } = \partial _ { t } \bar { f } _ { i } - L ^ { \prime } ( t ) \, y \, \partial _ { x } f _ { i } = \partial _ { t } \bar { f } _ { i } - \frac { L ^ { \prime } ( t ) } { L ( t ) } \, y \, \partial _ { y } \bar { f } _ { i } , \quad \, \textup { d } x = L ( t ) \, \textup { d } y . } \end{array}
\mathrm { T r } ( X _ { w _ { 1 } } X _ { w _ { 2 } } X _ { w _ { 3 } } ) = 2 \epsilon _ { i j k } X _ { w _ { 1 } } ^ { i } X _ { w _ { 2 } } ^ { j } X _ { w _ { 3 } } ^ { k } ,
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ^ { \pm } } & { = \frac { \mathrm { i } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \frac { \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \sigma _ { 0 } } { \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { \pm } } \Bigg \{ \Bigg [ 1 + \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \tau - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \frac { \tau F _ { 1 } } { \sigma _ { 0 } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } \Bigg ] \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) } \\ & { + \Bigg [ \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \tau - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \frac { \tau F _ { 1 } } { \sigma _ { 0 } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } \Bigg ] \delta \hat { \psi } _ { z } \Bigg \} \left( \begin{array} { c } { \delta \hat { \phi } _ { 0 } } \\ { \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { \Omega } \Big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } e _ { \omega } ^ { 1 } \wedge d \ast \big ( ( \ast d e _ { \omega } ^ { 2 } ) \wedge ( \ast \omega ) \big ) + e _ { \omega } ^ { 1 } \wedge d \ast \big ( d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge \ast \omega \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \big [ ( f ^ { * } ( x _ { s } \cup { \mathbf { x } } _ { i } ) - { \mathbf { y } } ) ^ { 2 } \big ] } & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \big [ ( \mathbb { E } [ { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ] - { \mathbf { y } } ) ^ { 2 } \big ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \Big [ \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } } [ ( \mathbb { E } [ { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ] - { \mathbf { y } } ) ^ { 2 } ] \Big ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } [ \mathrm { V a r } ( { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ) ] . } \end{array}
\Psi ( x ) = \exp \left\{ - i \varepsilon x ^ { 0 } \right\} \psi _ { \varepsilon } ^ { ( \zeta ) } \left( x _ { \perp } \right) \, , \; \zeta = \pm 1 , \; x _ { \perp } = \left( 0 , x ^ { 1 } , x ^ { 2 } \right) \, .
\alpha _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { \psi _ { 2 0 } } \Omega ^ { 2 } = \frac { 2 } { \mu l ^ { 2 } e ^ { - \psi _ { 2 0 } } - 1 } | x - 2 \psi _ { 0 } / 3 | ^ { \mu l ^ { 2 } \exp ( - \psi _ { 2 0 } ) - 1 } + c _ { 1 } ,
V \ = \ A _ { i j k } ^ { \prime } \tilde { L } _ { i } \tilde { Q } _ { j } \tilde { D } _ { k } ^ { c } + \frac { 1 } { 2 } A _ { i j k } \tilde { L } _ { i } \tilde { L } _ { j } \tilde { E } _ { k } ^ { c } \, .
\begin{array} { r l } { E _ { k , n + 1 } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { t } D _ { k , n + 1 } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \leq } & { E _ { k , n + 1 } ( 0 ) + Q _ { k - 1 } \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } E _ { j , n + 1 } ( 0 ) + P _ { k } t } \\ { \leq } & { C _ { k } E _ { \Lambda } ^ { i n } + Q _ { k - 1 } \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } C _ { j } E _ { \Lambda } ^ { i n } + P _ { k } t \quad ( \forall t \in [ 0 , T _ { n + 1 } ^ { k } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 1 , x } ^ { e q } = \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { v _ { i x } } } = \rho { u _ { x } } , } \\ { M _ { 1 , y } ^ { e q } = \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { v _ { i y } } } = \rho { u _ { y } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { x ^ { \prime } } } { \partial t } } & { = } & { \frac { - M _ { x ^ { \prime } } } { T _ { 2 } } - \left[ \left( \gamma \textbf { B } + \omega \hat { z } \right) \times \textbf { M } \right] _ { x ^ { \prime } } , } \\ { \frac { \partial M _ { y ^ { \prime } } } { \partial t } } & { = } & { \frac { - M _ { y ^ { \prime } } } { T _ { 2 } } - \left[ \left( \gamma \textbf { B } + \omega \hat { z } \right) \times \textbf { M } \right] _ { y ^ { \prime } } , } \\ { \frac { \partial M _ { z } } { \partial t } } & { = } & { \frac { - M _ { z } } { T _ { 1 } } - \left[ \left( \gamma \textbf { B } + \omega \hat { z } \right) \times \textbf { M } \right] _ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { A _ { 0 } } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } \left[ v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } \right] = } & { \frac { A _ { 0 } } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } \left[ \sum _ { i \ge 1 } \left( \int _ { K } \left( v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } ( x ) - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( x ) \right) v _ { i } ^ { A _ { 0 } } ( x ) d x \right) v _ { i } ^ { A _ { 0 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { t 0 } } } } & { = \frac { \nabla _ { i } \phi } { \left\| \nabla _ { j } \phi \right\| } , } \\ { \mathrm { e } _ { i } ^ { l \mathrm { 0 } } } & { = \frac { z _ { 0 _ { i } } - \left( z _ { 0 _ { j } } \ \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { { t 0 } } } \right) \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { t 0 } } } { \left\| z _ { 0 _ { i } } - \left( z _ { 0 _ { j } } \ \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { { t 0 } } } \right) \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { t 0 } } \right\| } , } \\ { \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { c 0 } } } } & { = \mathrm { e } _ { i } ^ { l \mathrm { 0 } } \times \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { t 0 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Big ( \Big | \sum _ { j \in J _ { n } } \sum _ { k \in J _ { m } } ( Z ( x _ { j } ^ { n } } & { ) - Z ( x _ { k } ^ { m } ) ) \int _ { I _ { j } ^ { n } \cap I _ { k } ^ { m } } U ( y ) d \mu ( y ) \Big | \Big ) \leq \sum _ { j \in J _ { n } } \sum _ { k \in J _ { m } } \mathbb { E } \Big ( | Z ( x _ { j } ^ { n } ) - Z ( x _ { k } ^ { m } ) | \Big | \int _ { I _ { j } ^ { n } \cap I _ { k } ^ { m } } U ( y ) d \mu ( y ) \Big | \Big ) } \\ & { \leq \sum _ { j \in J _ { n } } \sum _ { k \in J _ { m } } \sqrt { \mathbb { E } ( | Z ( x _ { j } ^ { n } ) - Z ( x _ { k } ^ { m } ) | ^ { 2 } ) } \sqrt { \mathbb { E } \Big ( \Big | \int _ { I _ { j } ^ { n } \cap I _ { k } ^ { m } } U ( y ) d \mu ( y ) \Big | ^ { 2 } \Big ) } } \\ & { = \sum _ { j \in J _ { n } } \sum _ { k \in J _ { m } } \sqrt { C _ { I _ { Z } } ( ( x _ { j } ^ { n } , x _ { k } ^ { m } ) , ( x _ { j } ^ { n } , x _ { k } ^ { m } ) ) } \sqrt { \int _ { I _ { j } ^ { n } \cap I _ { k } ^ { m } } \int _ { I _ { j } ^ { n } \cap I _ { k } ^ { m } } C _ { U } ( y , z ) d \mu ( y ) d \mu ( z ) } , } \end{array}