harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { L _ { f } : = } & { l _ { f , 1 } + \frac { l _ { g , 1 } ( l _ { f , 1 } + M _ { f } ) } { \mu _ { g } } + \frac { l _ { f , 0 } } { \mu _ { g } } ( l _ { g , 2 } + \frac { l _ { g , 1 } l _ { g , 2 } } { \mu _ { g } } ) = \mathcal { O } ( \kappa _ { g } ^ { 3 } ) , } \\ { L _ { y } : = } & { \frac { l _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } = \mathcal { O } ( \kappa _ { g } ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { z \, K } } \sqrt { \frac { A _ { T ^ { 2 } } ^ { \mathrm { ( O M ) } } } { A _ { T ^ { 2 } } ^ { \mathrm { ( b u l k ) } } } } \sim \left( { \frac { l _ { p } } { l _ { g } } } \right) ^ { 3 } \propto { \frac { \alpha ^ { \prime } } { \alpha _ { ( e f f ) } ^ { \prime } } } \, .
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 3 } \int _ { 0 } ^ { x _ { 3 } } d x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 \alpha ^ { \prime } \alpha _ { 1 3 } } ( 1 - x _ { 3 } ) ^ { 2 \alpha ^ { \prime } \alpha _ { 3 4 } } { x _ { 2 } } ^ { 2 \alpha ^ { \prime } \alpha _ { 1 2 } } ( 1 - x _ { 2 } ) ^ { 2 \alpha ^ { \prime } \alpha _ { 2 4 } } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 \alpha ^ { \prime } \alpha _ { 2 3 } } \cdot \left\{ { \kappa ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \atop \lambda ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \mathbb { E } \| \widetilde v _ { r } - \nabla f ( x _ { r - 1 } ) \| ^ { 2 } = } & { \ \sigma _ { 1 } ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } d + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } C _ { 2 } ^ { 2 } d \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \sum _ { r = T ( r ) + 1 } ^ { r } \| x _ { r - 1 } - x _ { r - 2 } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \ \sigma _ { 1 } ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } d + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } C _ { 2 } ^ { 2 } d \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \sum _ { r = T ( r ) } ^ { T ( r ) + T - 1 } \| x _ { r - 1 } - x _ { r - 2 } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \ \sigma _ { 1 } ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } d + T \sigma _ { 2 } ^ { 2 } C _ { 2 } ^ { 2 } d \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \| x _ { r - 1 } - x _ { r - 2 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \boldsymbol { S } } } _ { \mathrm { m a g } } = } & { { } I _ { B 0 , 0 } ^ { L } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( B ^ { L } \right) ^ { 2 } \overline { { \boldsymbol { I } } } - \boldsymbol { B } ^ { L } \boldsymbol { B } ^ { L } \right] } \end{array}
H _ { c } = \int d ^ { 3 } x \left[ \frac { 1 } { 2 } \pi _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } F _ { i j } F ^ { i j } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \{ ( A ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( A ^ { i } ) ^ { 2 } \} - A _ { 0 } \Omega _ { 2 } \right] ,
H ^ { ( 1 ) } ( { \alpha } , { \bf n } ) \, D ^ { \dagger } ( { \bf n } ) \, A ( { \alpha } , { \bf n } ) = D ^ { \dagger } ( { \bf n } ) \, A ( { \alpha } , { \bf n } ) \, H ^ { ( 0 ) } ( { \alpha } , { \bf n } ) ,
\begin{array} { r l } { 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + x ) ^ { 3 } } } & { = \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } \left[ \frac { n ! } { x ( x + 1 ) \cdots ( x + n ) } \right] } \\ & { = \frac { n ! } { x ( x + 1 ) \cdots ( x + n ) } \left( \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 1 } + \cdots + \frac { 1 } { x + n } \right) ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { n ! } { x \cdots ( x + n ) } \left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { ( x + n ) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \left( \frac { | W | } { | V _ { i } | } \right) ^ { q } \frac { | W _ { i } | } { | W | } } & { = \sum _ { i } \sqrt { \frac { | W | } { | V _ { i } | } } \frac { | W _ { i } | } { | W | } } \\ & { = \sum _ { i } \sqrt { \frac { | W _ { i } | } { | V _ { i } | } } \sqrt { \frac { | W _ { i } | } { | W | } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \sqrt { c } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sqrt { \frac { | W _ { i } | } { | W | } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } \leq - \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m i n } \lbrace 1 , \underline { { \alpha } } \rbrace \mathrm { { P r } \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } + 6 4 \mathrm { { P r } \operatorname* { m a x } \lbrace 1 , \underline { { \ a l p h a } } ^ { - 1 } \rbrace | \Omega | \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \, . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q \bar { \Gamma } } & { = \operatorname* { d e t } M - 1 , \qquad \qquad \quad Q \bar { \Lambda } = M \Phi , } \\ { Q V _ { i } ^ { j } } & { = \Gamma \frac { \partial \operatorname* { d e t } M } { \partial M _ { j } ^ { i } } + \mu \Lambda _ { a } ^ { j } \Phi _ { i } ^ { a } , \quad Q R _ { a } ^ { i } = \mu \Lambda _ { a } ^ { j } M _ { j } ^ { i } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( 1 + x ) e ^ { x } } & { = e ^ { x } + x e ^ { x } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } } { n ! } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n + 1 } } { n ! } } = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } } { n ! } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n + 1 } } { n ! } } } \\ & { = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } } { n ! } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } } { ( n - 1 ) ! } } = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { n ! } } + { \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } } \right) x ^ { n } } \\ & { = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { n + 1 } { n ! } } x ^ { n } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { n + 1 } { n ! } } x ^ { n } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathscr { L } = } & { { } D \mathscr { B } + Q \mathscr { B } N + c _ { s } ^ { 2 } N \ln n _ { 0 } + \bigg ( \frac { v _ { | | } ^ { 2 } } { 2 } - \gamma \bigg ) ( N + n _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { c _ { s } ^ { 2 } - v _ { | | } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \left\{ d _ { 0 } , d _ { 1 } \right\} } { \operatorname* { m i n } } } & { \ \frac { 4 } { \sqrt { M } \log _ { 2 } \left( \sqrt { M } N _ { r } \right) } M ^ { \prime } \mathrm { Q } \left( \sqrt { \frac { \beta ^ { 2 } E _ { s } d _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 N _ { 0 } } } \right) + 0 . 5 \tilde { P } _ { e } \left( m \right) , } \\ { \mathrm { s . t . } \; \; } & { \ 2 d _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { M ^ { \prime } \left( 2 M ^ { \prime } + 1 \right) } { 3 } d _ { 1 } ^ { 2 } + 2 M ^ { \prime } d _ { 0 } d _ { 1 } \leq 1 , } \end{array}
\bar { \Delta } _ { [ 2 ] \times [ k ] \times \underline { { { [ N + 2 k ] } } } } \Delta _ { \underline { { { [ N + 2 k ] } } } \times [ k ] \times [ 2 ] } = 1 _ { [ 2 ] \times [ 2 ] } f _ { [ k ] \times [ k ] } ^ { - 1 } ,
\mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } ( S _ { m } , S _ { m } ) ^ { a } - V _ { m } ^ { a } S = i \hbar \Delta ^ { a } S _ { m } \qquad \Longleftrightarrow \qquad \bar { \Delta } _ { m } ^ { a } \, \mathrm { e x p } \{ ( i / \hbar ) S _ { m } \} = 0 ,
\frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { 2 } \dot { \boldsymbol { q } } \cdot \boldsymbol { M } \dot { \boldsymbol { q } } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { q } \cdot \widehat { \boldsymbol { K } } \boldsymbol { q } \right) = - \dot { \boldsymbol { q } } \cdot \boldsymbol { G } \boldsymbol { q } .
\cot \vartheta _ { s } ( \varphi ) = - \frac { | \nabla \psi | ^ { 2 } } { B } \left( \frac { \mathrm { d } \iota } { \mathrm { d } \psi } ( \varphi - \varphi _ { 0 } ) + \int _ { \varphi _ { 0 } } ^ { \varphi } \frac { \partial D } { \partial \varphi } \mathrm { d } \varphi \right) .
\mathrm { M A } _ { \mathrm { c o m p o u n d } } = { \frac { F _ { \mathrm { o u t 1 } } } { F _ { \mathrm { i n 1 } } } } { \frac { F _ { \mathrm { o u t 2 } } } { F _ { \mathrm { i n 2 } } } } { \frac { F _ { \mathrm { o u t 3 } } } { F _ { \mathrm { i n 3 } } } } \ldots { \frac { F _ { \mathrm { o u t N } } } { F _ { \mathrm { i n N } } } }
\begin{array} { r l r } { r _ { 4 } ^ { \perp } } & { { } = } & { x r _ { 1 } ^ { \perp } + y r _ { 2 } ^ { \perp } + z r _ { 3 } ^ { \perp } } \\ { m _ { 4 } ^ { \perp } } & { { } = } & { x m _ { 1 } ^ { \perp } + y m _ { 2 } ^ { \perp } + z m _ { 3 } ^ { \perp } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( \tau + \tau _ { 1 } ) } & { = \Delta \theta ( \tau + \tau _ { 1 } ) + ( \psi _ { 0 1 } - \delta _ { \theta } \Delta + a \eta ^ { 2 } + 1 ) e ^ { - \tau } - a \eta ^ { 2 } - 1 , } \\ { \theta ( \tau + \tau _ { 1 } ) } & { = \left( \delta _ { \theta } - \frac { \eta } { \Delta } \right) e ^ { - \Delta \tau } + \frac { \eta } { \Delta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \delta r _ { 0 } } { r _ { 0 } } = 1 . 8 \frac { \delta m _ { \pi } } { m _ { \pi } } - 4 . 8 \frac { \delta m _ { N } } { m _ { N } } = 1 . 2 \frac { \delta m _ { \pi } } { m _ { \pi } } \, , } \end{array}
\alpha _ { s } ( \mu _ { f } ) = \alpha _ { s } ( \mu _ { r } ) \left[ 1 + \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { r } ) } { 2 \pi } \frac { \beta _ { 0 } } { 2 } \ln \left( \frac { \mu _ { f } ^ { 2 } } { \mu _ { r } ^ { 2 } } \right) + O ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } \otimes ( \mathbf { B } + \mathbf { C } ) } & { { } = \mathbf { A } \otimes \mathbf { B } + \mathbf { A } \otimes \mathbf { C } , } \\ { ( \mathbf { B } + \mathbf { C } ) \otimes \mathbf { A } } & { { } = \mathbf { B } \otimes \mathbf { A } + \mathbf { C } \otimes \mathbf { A } , } \\ { ( k \mathbf { A } ) \otimes \mathbf { B } } & { { } = \mathbf { A } \otimes ( k \mathbf { B } ) = k ( \mathbf { A } \otimes \mathbf { B } ) , } \\ { ( \mathbf { A } \otimes \mathbf { B } ) \otimes \mathbf { C } } & { { } = \mathbf { A } \otimes ( \mathbf { B } \otimes \mathbf { C } ) , } \\ { \mathbf { A } \otimes \mathbf { 0 } } & { { } = \mathbf { 0 } \otimes \mathbf { A } = \mathbf { 0 } , } \end{array}
\left\{ \phi _ { i } ^ { M } \right\} = \left\{ \phi _ { i } ^ { I M } \right\} _ { i \in I _ { I M } } \cup \left\{ \phi _ { i } ^ { A M } \right\} _ { i \in I _ { A M } } \cup \left\{ \phi _ { i } ^ { V M } \right\} _ { i \in I _ { V M } }
\begin{array} { r l r } { - \frac { P q a _ { z } } { m } } & { { } = } & { P \tilde { \Omega } \frac { R } { n } \left( \frac { r } { R } \right) ^ { n } \cos \left( n \alpha \right) , } \\ { \frac { q ^ { 2 } a _ { z } ^ { 2 } } { 2 m } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } m \tilde { \Omega } ^ { 2 } \frac { R ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \left( \frac { r } { R } \right) ^ { 2 n } \left( 1 + \cos \left( 2 n \alpha \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { D } f ( x , v ) = \langle v , \nabla _ { x } f ( x ) \rangle , } \\ & { \mathcal { L } _ { B } f ( x , v ) = \lambda _ { 1 } ( x , v ) [ f ( x , R ( x ) v ) - f ( x , v ) ] , } \\ & { \mathcal { L } _ { R } f ( x , v ) = \lambda _ { 2 } \! \int \! \! \big ( f ( x , w ) - f ( x , v ) \big ) \nu ( d w ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \small \mathcal { L } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \left( \phi | A \right) = \mathcal { L } \left( \phi , C _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } , y _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } , \vec { \zeta } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } | A \right) . } \end{array}
\mathcal { P } _ { \mathrm { r a d } } ^ { ( \mathrm { p } ) } = - \frac { ( \varepsilon _ { 2 } - \varepsilon _ { 1 } ) } { 2 } E _ { 0 } ^ { 2 } \left[ ( \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } + \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { t } } ) t _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } \right] .
S _ { R ^ { 2 } R ^ { 2 } } = \frac { 2 } { \pi \Gamma } \; \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } } \; \left( \left\langle \bar { s } ^ { 2 } \right\rangle + \left\langle \bar { c } ^ { 2 } \right\rangle \right) ^ { 2 }
\nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } = \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { x _ { 1 } } \chi _ { m , k , { \mathbf { e } } _ { 1 } } ^ { \kappa } } & { \partial _ { x _ { 1 } } \chi _ { m , k , { \mathbf { e } } _ { 2 } } ^ { \kappa } } \\ { \partial _ { x _ { 2 } } \chi _ { m , k , { \mathbf { e } } _ { 1 } } ^ { \kappa } } & { \partial _ { x _ { 2 } } \chi _ { m , k , { \mathbf { e } } _ { 2 } } ^ { \kappa } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { Z ( z ) = C _ { 1 } J _ { 2 \frac { \sqrt { \lambda } } { k } } \left( 2 \sqrt { e ^ { - k | z | } \frac { { m _ { 0 } } } { k ^ { 2 } } } \right) + } \\ { C _ { 2 } J _ { - 2 \frac { \sqrt { \lambda } } { k } } \left( 2 \sqrt { e ^ { - k | z | } \frac { { m _ { 0 } } } { k ^ { 2 } } } \right) , } \end{array}
C _ { \alpha , z } = \sqrt { 3 R T _ { 0 } } [ 0 , 0 , 0 , - 1 , 0 , 0 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , - 1 , 1 , - 1 ] ,
\begin{array} { r l } { \nabla L _ { k } ^ { s } ( x _ { k } ) } & { = J _ { k } ^ { * } \nabla F ( J _ { k } x _ { k } , y - A ( x _ { k } ) + J _ { k } x _ { k } ) + \lambda \nabla R ( x _ { k } ) } \\ & { = J _ { k } ^ { * } \nabla F ( J _ { k } x _ { k } - y + A ( x _ { k } ) - J _ { k } x _ { k } ) + \lambda \nabla R ( x _ { k } ) } \\ & { = J _ { k } ^ { * } \nabla F ( A ( x _ { k } ) - y ) + \lambda \nabla R ( x _ { k } ) } \\ & { = J _ { k } ^ { * } \nabla F ( A ( x _ { k } ) , y ) + \lambda \nabla R ( x _ { k } ) } \\ & { = \nabla L ( x _ { k } ) , } \end{array}
J _ { 1 , 1 , 3 } \{ f \} ( \varphi ) = - \frac { \omega _ { N } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbb { K } \{ f \} ( t , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) d t d \varphi ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { 0 a } } & { { } = \ell _ { a A } \mu _ { 0 A } , } \\ { \alpha _ { a b } ( f _ { \omega } ) } & { { } = \ell _ { a A } \ell _ { b B } \alpha _ { A B } ( f _ { \omega } ) , } \\ { \alpha _ { a b , c } ( f _ { \omega } ) } & { { } = \ell _ { a A } \ell _ { b B } \ell _ { c C } \alpha _ { A B , C } ( f _ { \omega } ) , } \end{array}
\psi _ { n \to f } ( z ) = { \frac { 1 } { x } } \left[ C _ { 1 } E _ { 1 } ( x _ { + } ^ { 2 } - x _ { - } ^ { 2 } ) ^ { ( 1 - \sqrt { 1 - \mu } ) / 2 } x ^ { \sqrt { 1 - \mu } } + C _ { 1 } E _ { 2 } ( x _ { + } ^ { 2 } - x _ { - } ^ { 2 } ) ^ { ( 1 + \sqrt { 1 - \mu } ) / 2 } x ^ { - \sqrt { 1 - \mu } } \right] ,
\mathrm { { R a } } \langle T u _ { 2 } \rangle = \mathrm { { R a } } ( \langle u _ { 2 } T - \partial _ { 2 } T \rangle - 1 ) \leq \mathrm { { R a } } \left( ( 1 + \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) \mathrm { { N u } } - 1 \right) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { G ( \omega ) } & { { } = G ( a ) - \sum _ { p _ { \ell } } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p _ { \ell } } } \frac { \alpha ( G , p _ { \ell } , - m ) } { ( a - p _ { \ell } ) ^ { m } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { 0 } ^ { [ 2 ] } = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { ~ \mathbf { B } ^ { * } } & { ~ \mathbf { A } ^ { * } } \end{array} \right) . } \end{array}
Z _ { 0 } ^ { 1 } : = \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( - \infty , \bar { t } ) \} } [ \mathbb { 1 } _ { \{ y \neq \bar { t } \} } a ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 0 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] \quad \mathrm { a n d } \quad Z _ { 1 } ^ { 1 } : = \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( \bar { t } , \infty ) \} } [ \mathbb { 1 } _ { \{ y \neq \bar { t } \} } a ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 1 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] .
f _ { p } = \left( \frac { 1 R _ { \mathrm { S } } } { r _ { \mathrm { S S } } } \right) ^ { 2 } \left| \frac { B _ { r } ( 1 R _ { \mathrm { S } } , \theta _ { \mathrm { p } } , \phi _ { \mathrm { p } } ) } { B _ { r } ( r _ { \mathrm { S S } } , \theta _ { \mathrm { S S } } , \phi _ { \mathrm { S S } } ) } \right| ,
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) = } & { } & { 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n - m } \Psi _ { n } ^ { m + 1 } ( r , \phi , z ) } \\ & { } & { \cdot \left( 1 - \frac { a } { 2 } \frac { 1 } { n - m } \left( 1 + \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { L _ { n } ^ { | m | } ( a ) } { L _ { n } ^ { | m + 1 | } ( a ) } \right) . } \end{array}
h ( y _ { i } ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac { x ^ { 2 } } { [ x ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } [ \exp ( x ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - 1 ] } \; .
\begin{array} { r l } { L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 2 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ 3 g L _ { \, - 2 } ^ { ( 0 ) } - \left( L _ { \, - 1 } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } \right] \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } \\ { \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \frac { 1 } { 2 } \left[ 3 g L _ { \, 2 } ^ { ( 0 ) } - \left( L _ { \, 1 } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { 2 \, L _ { \, - 1 } ^ { ( 0 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 2 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { = \left[ 3 g L _ { \, - 1 } ^ { ( 0 ) } L _ { \, - 2 } ^ { ( 0 ) } - \left( L _ { \, - 1 } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 3 } \right] \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } \\ { 2 \, L _ { \, - 1 } ^ { ( 0 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 2 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { = \left[ 3 g L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, - 2 } ^ { ( 2 ) } - \left( L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 3 } \right] \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } \\ { 2 \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 0 ) } L _ { \, 1 } ^ { ( 2 ) } L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \left[ 3 g L _ { \, 2 } ^ { ( 0 ) } L _ { \, 1 } ^ { ( 0 ) } - \left( L _ { \, 1 } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 3 } \right] } \\ { 2 \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 0 ) } L _ { \, 1 } ^ { ( 2 ) } L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \left[ 3 g L _ { \, 2 } ^ { ( 2 ) } L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } - \left( L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 3 } \right] } \end{array}
{ \bf D } ^ { \mathrm { ~ r ~ } } = \dot { \epsilon } ^ { \mathrm { ~ r ~ } } \textbf { S } ^ { \mathrm { ~ r ~ } } \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \textbf { S } ^ { \mathrm { ~ r ~ } } \overset { \mathrm { ~ d ~ e ~ f ~ } } { = } \textbf { m } _ { \mathrm { ~ r ~ } } \otimes \textbf { m } _ { \mathrm { ~ r ~ } } .
\sigma _ { P } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } \underbrace { \mathbb { E } \left[ R _ { i } - \mathbb { E } [ R _ { i } ] \right] ^ { 2 } } _ { \equiv \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , i \neq j } ^ { n } x _ { i } x _ { j } \underbrace { \mathbb { E } \left[ ( R _ { i } - \mathbb { E } [ R _ { i } ] ) ( R _ { j } - \mathbb { E } [ R _ { j } ] ) \right] } _ { \equiv \sigma _ { i j } }
\begin{array} { r l } { e ^ { \gamma ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } & { \| \partial _ { t } u _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) + \Big ( \frac { 1 2 } { \sigma } \Big ) ^ { 3 } \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \| u _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } + } \\ & { + 6 4 \bigg ( \frac { 1 2 } { \sigma } \bigg ) ^ { 6 } \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } + \Big ( \frac { 1 2 } { \sigma } \Big ) ^ { 3 } \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \int _ { S } \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { \infty } \left| \sum _ { \gamma \in \Gamma _ { \infty } ^ { 2 } \backslash \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \nabla _ { \tau } \phi _ { n _ { 1 } } ^ { 0 } ( \tau ) \big | _ { \gamma \circ \tau } \right| ^ { 2 } d V } { \int _ { S } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left| \sum _ { \gamma \in \Gamma _ { \infty } ^ { 2 } \backslash \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \phi _ { n _ { 1 } } ^ { 0 } ( \tau ) \big | _ { \gamma \circ \tau } \right| ^ { 2 } d V } < 1 0 \lambda .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i } } ( \theta \phi ) \cdot d [ D u ] + \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i , r } } ( \theta \phi ) \cdot d [ D u ] = } & { ( - 1 ) ^ { i } \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i } } \theta ( i - T _ { r } u ) \phi \cdot \nu _ { \Sigma _ { i } } \, d \mathcal H ^ { 2 } } \\ & { + ( - 1 ) ^ { i } \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i , r } } \theta ( T _ { r } u - \widetilde { T } _ { r } u ) \phi \cdot \nu _ { i , r } \, d \mathcal H ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \beta _ { 1 } = } & { { } \Gamma ( | a _ { 2 } | ^ { 2 } - | a _ { 1 } | ^ { 2 } ) + \beta _ { 2 } , } \\ { \beta _ { 3 } = } & { { } \Gamma ( | a _ { 2 } | ^ { 2 } - | a _ { 3 } | ^ { 2 } ) + \beta _ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { | \Delta E _ { 2 1 } ^ { \mathrm { t h e o } } - \Delta E _ { 2 1 } ^ { \mathrm { e x p } } | } { \Delta E _ { 2 1 } ^ { \mathrm { e x p } } } + \frac { | \Delta E _ { 3 2 } ^ { \mathrm { t h e o } } - \Delta E _ { 3 2 } ^ { \mathrm { e x p } } | } { \Delta E _ { 3 2 } ^ { \mathrm { e x p } } } \right) } \end{array}
F _ { m } ( 0 ) [ l ] = \frac { 1 } { k } \sum _ { n = 0 } ^ { k - 1 } A _ { m } ( n ) [ l ] = \frac { l ^ { 2 \Delta _ { a } } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 \Delta _ { a } } } g ( a ) N ( l ) \, , \quad a = \frac { m \beta } { k } \, ,
\boldsymbol { \mathcal { B } } ( \boldsymbol { k } , t ) \equiv \frac { 1 } { 2 } \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { k } , t ) \right> - \frac { \tau _ { \eta } } { 2 } \frac { \partial } { \partial t } \! \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { k } , t ) \right> - \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { k } , t ) \right> \frac { \tau _ { \eta } } { 2 } \, \overline { { \eta } } k ^ { 2 }
U ( T , \mu ) = \langle \tilde { H } \rangle = \int d ^ { 3 } x ~ i \partial _ { t } \left[ \langle \bar { \Psi } _ { b } ( \vec { x } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \Psi _ { a } ( \vec { x } , t ) \rangle \gamma _ { b , a } ^ { 0 } \right] _ { \vec { x } ^ { \prime } = \vec { x } ; t = t ^ { \prime } }
\Omega _ { 2 } L _ { 3 } ^ { 2 } + \Omega _ { 3 } L _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \Omega _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } = - \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } \Omega _ { 3 } \big ( \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + \Omega _ { 3 } ^ { 2 } \big ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { i } ^ { t , l } } & { { } = \hat { h } _ { k _ { i } } ^ { t , l + 1 } + \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { i } ^ { l } | } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } ^ { l } } \kappa _ { \Theta _ { l } } ( e _ { i j } ^ { t , l } ) \check { h } _ { j } ^ { t , l } \qquad l = 1 , \, \dots , \, L - 1 } \\ { \hat { h } _ { i } ^ { t , L } } & { { } = \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { i } ^ { L } | } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } ^ { L } } \kappa _ { \Theta _ { L } } ( e _ { i j } ^ { t , L } ) \check { h } _ { j } ^ { t , L } } \end{array}
{ \cal I } _ { m n } ( \vec { k } ) = \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k ^ { 0 } ( \hat { \vec { k } } \cdot \vec { x } - t ) } \, { \cal E } _ { 1 } ^ { m } ( x ) { \cal E } _ { 2 } ^ { n } ( x ) \, .
{ \begin{array} { r l r } { ( r \nleftarrow q ) \nleftarrow p } & { = r ^ { \prime } q \nleftarrow p } & { { \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } } \\ & { = ( r ^ { \prime } q ) ^ { \prime } p } & { { \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } } \\ & { = ( r + q ^ { \prime } ) p } & { { \mathrm { ( D e ~ M o r g a n ' s ~ l a w s ) } } } \\ & { = ( r + r ^ { \prime } q ^ { \prime } ) p } & { { \mathrm { ( A b s o r p t i o n ~ l a w ) } } } \\ & { = r p + r ^ { \prime } q ^ { \prime } p } \\ & { = r p + r ^ { \prime } ( q \nleftarrow p ) } & { { \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } } \\ & { = r p + r \nleftarrow ( q \nleftarrow p ) } & { { \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } } \end{array} }