harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { o } } & { \propto \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \frac { ( k _ { i } ^ { 2 } - t _ { i } ^ { 2 } ) \hat { x } _ { i } ^ { 2 } + ( t _ { i } ^ { 2 } - k _ { i } ^ { 2 } ) \hat { y } _ { i } ^ { 2 } } { 2 } + 2 t _ { i } k _ { i } \hat { x } _ { i } \hat { y } _ { i } \sin - \phi _ { i } ) } \\ & { \propto \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \frac { ( 2 k _ { i } ^ { 2 } - 1 ) \hat { x } _ { i } ^ { 2 } + ( 1 - 2 k _ { i } ^ { 2 } ) \hat { y } _ { i } ^ { 2 } } { 2 } + 2 k _ { i } \sqrt { 1 - k _ { i } ^ { 2 } } \hat { x } _ { i } \hat { y } _ { i } \sin - \phi _ { i } ) } \end{array}
H _ { \beta \gamma } = \beta \delta _ { \beta , \gamma } , \quad D _ { \beta \gamma } = \delta _ { \beta , \gamma } D _ { \beta } , \quad D _ { \beta } = - i g _ { l } \left( z ( \beta \cdot q ) + \sum _ { \kappa \in \Delta _ { l } , \ \kappa \cdot \beta = 1 } z ( \kappa \cdot q ) \right) ,
\begin{array} { r l } { Q _ { 0 } } & { { } = Q _ { t } , } \\ { P _ { 0 } } & { { } = P _ { t } + t V _ { 2 } ( q _ { t } , Q _ { t } ) \cdot Q _ { t } , } \\ { S _ { 0 } } & { { } = S _ { t } + t V _ { 0 } ( q _ { t } , Q _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathrm { b o t t o m } } ( x , y ) } & { { } = x } \\ { \chi _ { \mathrm { l e f t } } ( x , y ) } & { { } = y } \\ { \chi _ { \mathrm { r i g h t } } ( x , y ) } & { { } = y . } \end{array}
P _ { \sigma } ^ { G G } = \alpha ^ { 2 } x \sigma \left( \frac { 2 ( K ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } e ^ { 2 \gamma \psi } + ( H ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \psi ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) \ , \ \ P _ { H } ^ { G G } = 2 \sigma H K ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial V } = \frac { \partial f ^ { o b j } ( x ) } { \partial V } - \lambda _ { I } ^ { \intercal } Y = \frac { \partial f ^ { o b j } ( x ) } { \partial V } - \lambda _ { V } } \\ & { \mathrm { A t ~ o p t i m a l i t y } \; \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial V ^ { * } } = \frac { \partial f ^ { o b j } } { \partial V ^ { * } } - \lambda _ { V } = 0 \implies \frac { \partial f ^ { o b j } } { \partial V ^ { * } } = \lambda _ { V } ^ { * } } \end{array}
\delta j _ { \vartheta } = \frac { \omega _ { B } } { e ^ { 2 } \tilde { R } } \left( \frac { \alpha _ { 1 } \delta _ { I } } { \tau _ { \mathrm { d i s } } ^ { - 1 } \! + \! \delta _ { I } ^ { - 1 } \tau _ { 2 2 } ^ { - 1 } } \frac { \partial \mu _ { I } } { \partial r } - \frac { 2 T \ln 2 } { v _ { g } ^ { 2 } } u _ { r } \right) \! ,
\underline { { \sigma } } _ { \mu , \varepsilon , n } : S \mapsto S _ { \mu , \varepsilon , n } , P \mapsto P _ { \mu , \varepsilon , n } , ( k + 1 , k ) \mapsto \Omega _ { \mu , \varepsilon , n } ^ { k } , ( k , k + 1 ) \mapsto \Omega _ { \mu , \varepsilon , n } ^ { - k } , ( ( k , k ) , \Lambda ) \mapsto M _ { \mu , \varepsilon , n } ^ { k } ( \Lambda ) .
{ \mathcal K } _ { \mathbb { E } _ { X } } \simeq \operatorname { S y m } _ { \mathbb { E } _ { X } } ^ { \bullet } ( { \mathcal E } ^ { \vee } [ 1 ] \otimes _ { { \mathcal O } _ { X } } { \mathcal O } _ { \mathbb { E } _ { X } } ) , \; \; \; \; \; \; \; d ( s ) = s \in \operatorname { S y m } _ { \mathbb { E } _ { X } } ^ { 0 } { \mathcal E } ^ { \vee } [ 1 ] = { \mathcal O } _ { \mathbb { E } _ { X } } \mathrm { ~ f o r ~ } s \in { \mathcal E } ^ { \vee } [ 1 ]
\begin{array} { r l } { H ^ { * } ( I _ { 1 } ) } & { = \sum _ { 2 d \le k _ { 1 } } \frac { \pi _ { q } ^ { * } ( 2 d ) } { q ^ { d } } = H _ { k _ { 1 } } ^ { \mathrm { e v e n } } - \epsilon _ { 1 } , } \\ { H ^ { * } ( I _ { 2 } ) } & { = \sum _ { d \le k _ { 2 } } \frac { ( \pi _ { q } ( d ) - \pi _ { q } ^ { * } ( d ) ) / 2 } { q ^ { d } } = H _ { k _ { 2 } } / 2 - \epsilon _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { F } \cap T _ { C } = \left\{ ( \phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) : \ e ^ { - \zeta ( g ) } \frac { \phi _ { k } ^ { i } } { v _ { f } } \leq e ^ { \zeta ( g ) } \left( \rho _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { \phi _ { k } ^ { i } } { w } \right) \right. } \\ { \left. \& \ e ^ { - \zeta ( g ) } \left( \rho _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { \phi _ { k } ^ { i } } { w } \right) \leq e ^ { \zeta ( g ) } \frac { \phi _ { k } ^ { i } } { v _ { f } } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varsigma = } & { { } \rho _ { 2 } ( w _ { 2 \, x } - u _ { 2 \, z } ) + \big ( \rho _ { 1 } ( w _ { 1 \, x } - u _ { 1 \, z } ) - \rho _ { 2 } ( w _ { 2 \, x } - u _ { 2 \, z } ) \theta ( z - \zeta ( x ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { B ( T ) } { N _ { \mathrm { A } } } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 V } \left( Z _ { 2 } - Z _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \\ { \frac { C ( T ) } { N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } } & { = } & { \frac { \left( Z _ { 2 } - Z _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { V ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 3 V } \left( Z _ { 3 } - 3 Z _ { 2 } Z _ { 1 } + 2 Z _ { 1 } ^ { 3 } \right) } \\ { \frac { D ( T ) } { N _ { \mathrm { A } } ^ { 3 } } } & { = } & { - \frac { Z _ { 4 } - 4 Z _ { 3 } Z _ { 1 } - 3 Z _ { 2 } ^ { 2 } + 1 2 Z _ { 2 } Z _ { 1 } ^ { 2 } - 6 Z _ { 1 } ^ { 4 } } { 8 V } + } \\ & { } & { \frac { 3 ( Z _ { 2 } - Z _ { 1 } ^ { 2 } ) ( Z _ { 3 } - 3 Z _ { 2 } Z _ { 1 } + 2 Z _ { 1 } ^ { 3 } ) } { 2 V ^ { 2 } } - } \\ & { } & { \frac { 5 ( Z _ { 2 } - Z _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } { 2 V ^ { 3 } } , } \end{array}
\bigg \{ U _ { \ell } ( { \boldsymbol { x } } ) \, p _ { m } \bigg ( \frac { 2 t } { t _ { f } } - 1 \bigg ) \, \bigg | \, \ell \in \{ A , B , C \} , \, 0 \leq m \leq m _ { \mathrm { m a x } } \bigg \} ,
\begin{array} { r l } { \hat { V } ^ { 2 b } ( R , \theta ) } & { { } = \sum _ { L } P _ { L } ( \cos \theta ) \times \Big [ V _ { L } ^ { ( 0 ) } ( R ) + \hat { s } _ { 1 } \cdot \hat { s } _ { 2 } V _ { L } ^ { ( 1 2 ) } ( R ) } \end{array}
\operatorname { k } _ { \mu \mu ^ { \prime } } ^ { \lambda } ( \hat { R } A _ { i } , \hat { R } ^ { \prime } A _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } ) = \sum _ { m m ^ { \prime } } D _ { \mu m } ^ { \lambda } ( \hat { R } ) D _ { \mu ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \lambda } ( \hat { R } ^ { \prime } ) \operatorname { k } _ { m m ^ { \prime } } ^ { \lambda } ( A _ { i } , A _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } ) ,
D ^ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda _ { 9 } \sqrt { w _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { 1 0 } \sqrt { w _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 2 } ^ { 2 } } } } \end{array} \right)
{ \dot { y } } _ { 2 } = l \left( { \dot { \theta } } _ { 1 } \sin \theta _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } { \dot { \theta } } _ { 2 } \sin \theta _ { 2 } \right) \quad \rightarrow \quad { \dot { y } } _ { 2 } ^ { 2 } = l ^ { 2 } \left( { \dot { \theta } } _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } + { \dot { \theta } } _ { 1 } { \dot { \theta } } _ { 2 } \sin \theta _ { 1 } \sin \theta _ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } { \dot { \theta } } _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 } \right)
( S _ { n } ^ { a } + i \eta M _ { a b } \tilde { S } _ { - n } ^ { b } ) | B , \eta \rangle = 0 , \qquad ( S _ { n } ^ { \dot { a } } + i \eta M _ { \dot { a } \dot { b } } \tilde { S } _ { - n } ^ { \dot { b } } ) | B , \eta \rangle = 0 .
\begin{array} { r l } { N T K ( \gamma ( \mathbf { x } ) , \gamma ( \mathbf { x ^ { \prime } } ) ) } & { = h ( \gamma ( \mathbf { x } ) ^ { T } \gamma ( \mathbf { x ^ { \prime } } ) ) } \\ & { = h \left( \cos ( 2 \pi \mathbf { B x } ) \cos ( 2 \pi \mathbf { B x ^ { \prime } } ) + \sin ( 2 \pi \mathbf { B x } ) \sin ( 2 \pi \mathbf { B x ^ { \prime } } ) \right) } \\ & { = h ( \cos ( 2 \pi \mathbf { B } ( \mathbf { x } - \mathbf { x ^ { \prime } } ) ) ) } \end{array}
\Delta m _ { D } \bigg | _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { r e s } } = \frac { 1 } { 2 m _ { D } } \sum _ { R } R e ~ \frac { \langle D _ { L } | { \cal H } _ { W } | R \rangle \langle R | { \cal H } _ { W } ^ { \dagger } | D _ { L } \rangle } { m _ { D } ^ { 2 } - m _ { R } ^ { 2 } + i \Gamma _ { R } m _ { D } } \ \ - \ \ ( D _ { L } \to D _ { S } ) \ \ .
{ \hat { a } } _ { i } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } = { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { i } + \delta _ { i j } = { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { i } + { \hat { a } } _ { i } ^ { \bullet } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger \bullet } = \, { \mathopen { : } } \, { \hat { a } } _ { i } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \mathclose { : } } + { \hat { a } } _ { i } ^ { \bullet } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger \bullet }
\Gamma _ { v } = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { 0 , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s d e g r e e } 2 , } \\ { - } & { \zeta _ { \mathfrak n ( v ) } \Omega _ { \mathfrak n ( v ) } , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s d e g r e e } 4 , } \\ { - } & { \zeta _ { \mathfrak n ( v ) } \Omega _ { \mathfrak n ( v ) } + | k | ^ { 2 } , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s o u t - d e g r e e } 2 \textrm { a n d i n - d e g r e e } 1 , } \\ { - } & { \zeta _ { \mathfrak n ( v ) } \Omega _ { \mathfrak n ( v ) } - | k | ^ { 2 } , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s o u t - d e g r e e } 1 \textrm { a n d i n - d e g r e e } 2 . } \end{array} \right.
\sum _ { i } | U _ { { \alpha } i } | ^ { 2 } \leq a _ { \alpha } ^ { 0 } \qquad \mathrm { o r } \qquad \sum _ { i } | U _ { { \alpha } i } | ^ { 2 } \geq 1 - a _ { \alpha } ^ { 0 } \, , \qquad \mathrm { f o r } \qquad \alpha = e , \mu \, .
\begin{array} { r l } { A _ { \mathrm { D } } ( q ) } & { { } = - 4 q \int _ { 0 } ^ { R } f _ { \mathrm { D } } ( t ) \sin ( q t ) \, \mathrm { d } t \, , } \\ { B _ { \mathrm { D } } ( q ) } & { { } = - 4 q \int _ { 0 } ^ { R } g _ { \mathrm { D } } ( t ) \cos ( q t ) \, \mathrm { d } t \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x _ { k } = \frac { \mathrm { i } n _ { k } } 2 + \nu _ { k } , \qquad x _ { k } ^ { \prime } = \frac { \mathrm { i } n _ { k } ^ { \prime } } 2 + \nu _ { k } ^ { \prime } , \qquad \epsilon _ { k j } = \epsilon _ { k } + \epsilon _ { j } ^ { \prime } , } \\ & { X = \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } x _ { k } , \qquad \mathcal V = \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \nu _ { k } , \qquad N = \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } n _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { b a } } & { { } = \left\langle \Psi _ { b } \left| \left( 1 - \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \hat { H } _ { \textrm { p , I } } \left( t _ { 1 } \right) d t _ { 1 } \right) \right| \Psi _ { a } \right\rangle . } \end{array}
N ( \psi ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { 4 \cos \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { i } t + \psi ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { n } r _ { i } \cosh t } \mathrm { d } \, t .
\begin{array} { r l } { d = } & { \operatorname* { m a x } _ { n _ { R } ( i ) } \bigg \{ N _ { S } ( 1 - \frac { N _ { S } } { T } ) } \\ & { + \operatorname* { m i n } \big \{ ( 1 - \frac { 1 } { K _ { 1 } } ) \frac { N _ { S } ^ { \ast } ( 1 ) N _ { S } } { T } , n _ { R } ( 1 ) \frac { T - N _ { S } } { T } \big \} } \\ & { + \operatorname* { m i n } \big \{ \frac { K _ { 2 } - 1 } { K _ { 1 } K _ { 2 } } \frac { N _ { S } ^ { \ast } ( 2 ) N _ { S } } { T } , n _ { R } ( 2 ) \frac { T - N _ { S } } { T } \big \} \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \operatorname* { m a x } _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } \in \{ 1 , \ldots , N \} } \left\| A _ { i _ { n } } \cdots A _ { i _ { 1 } } \right\| } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \operatorname* { m a x } _ { j _ { 1 } , \ldots , j _ { n } \in \{ 1 , 2 \} } \left\| B _ { j _ { n } } \cdots B _ { j _ { 1 } } \right\| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq m \leq n } \left\| B _ { 1 } ^ { m } B _ { 2 } ^ { n - m } \right\| } \\ & { \leq \left\| \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 M \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { \ell } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \right\| } \\ & { \leq \left\| \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \right\| + \left\| \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 2 M \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { \ell } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \right\| } \\ & { = 1 + \frac { 2 M } { 1 - \lambda } } \end{array}
k T _ { H } = \frac { \hbar c ^ { 3 } } { 8 \pi G } \frac { \sqrt { M ^ { 2 } - n ^ { 2 } e ^ { 2 } / G } } { 2 M ^ { 2 } - n ^ { 2 } e ^ { 2 } / G + 2 M \sqrt { M ^ { 2 } - n ^ { 2 } e ^ { 2 } / G } }
N _ { S } = \left. \frac { d L _ { \gamma \gamma } } { d w } \right| _ { m _ { H } } \frac { 8 \pi ^ { 2 } \Gamma ( H \longrightarrow \gamma \gamma ) B R ( H \longrightarrow b \overline { { { b } } } ) } { m _ { H } ^ { 2 } } ( \hbar c ) ^ { 2 }
\tilde { U } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { \lambda \sin \zeta } } \\ { { - \lambda \sin ^ { 2 } \zeta } } & { { \cos \zeta } } & { { \sin \zeta } } \\ { { - \lambda \sin \zeta \cos \zeta } } & { { - \sin \zeta } } & { { \cos \zeta } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { | \tilde { B } \} } & { = } & { \bigg [ \int _ { 0 } ^ { \tau _ { c } } d \tau ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \prime } } \mathcal { X } ( \tau ^ { \prime } ) \bigg ] | B \} } \\ & { = } & { \left[ \mathcal { X } ( \tau _ { c } ) - \mathcal { X } ( 0 ) \right] | B \} } \\ & { = } & { [ \hat { 1 } - e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau _ { c } } - e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau _ { c } } ] | B \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 7 } ( \iota _ { 7 } ) } & { = Y _ { 8 } - \iota _ { 2 } ^ { 2 } \iota _ { 4 } - \iota _ { 4 } ^ { 2 } + \iota _ { 6 } \iota _ { 2 } , \, \, \mathrm { a n d } } \\ { d _ { 8 } ( L _ { 8 } ) } & { = \beta ( d _ { 7 } ( \iota _ { 7 } ) ) = \beta ( Y _ { 8 } - \iota _ { 2 } ^ { 2 } \iota _ { 4 } - \iota _ { 4 } ^ { 2 } + \iota _ { 6 } \iota _ { 2 } ) = \beta ( Y _ { 8 } ) = N _ { 9 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } } & { { } = \frac { 1 - G } { ( N + 1 ) ( N G + 1 - G ) } + \frac { N G } { N G + 1 - G } p _ { i } ^ { ( N , G ) } , \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 1 , 2 , \dots , N , } \\ { p _ { N + 1 } ^ { ( N + 1 , G ) } } & { { } = \frac { 1 - G } { ( N + 1 ) ( N G + 1 - G ) } . } \end{array}
\nabla b _ { p } \cdot \hat { \bf n } = \frac { g ^ { 2 } \kappa _ { S } \beta ^ { 2 } | \nabla S | ^ { 2 } } { | \nabla b | } \left( \frac { \kappa _ { T } } { \kappa _ { S } } G _ { \rho } ^ { 2 } + \left( \frac { \kappa _ { T } } { \kappa _ { S } } + 1 \right) G _ { \rho } \cos { \theta } + 1 \right)
\begin{array} { r l } { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j - 1 } + [ ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } ] \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j + 1 } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j } } & { { } = \mathbf { 0 } \, , } \\ { - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j } + [ ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } ] \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j + 1 } - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j + 2 } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j + 1 } } & { { } = \mathbf { 0 } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { { 1 3 } } & { ( ( P \land Q ) } & & { \; \lor ( R \land S ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( ( P \lor R ) \land ( P \lor S ) ) } & & { \; \land ( ( Q \lor R ) \land ( Q \lor S ) ) ) } & & { } \\ & { ( ( P \lor Q ) } & & { \; \land ( R \lor S ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( ( P \land R ) \lor ( P \land S ) ) } & & { \; \lor ( ( Q \land R ) \lor ( Q \land S ) ) ) } & & { } \end{array} }
\frac { \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } - \textbf { u } ^ { n } } { \Delta t } + \frac { q ^ { n + 1 } } { q ^ { n + 1 } } { { e x p } ( - \frac { t ^ { n + 1 } } { T } ) } \textbf { u } ^ { n } \cdot \nabla \textbf { u } ^ { n } - \nu \Delta \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } + \nabla p ^ { n } = \textbf { f } ^ { n + 1 } , \ \ \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } | _ { \partial \Omega } = 0 ;
\delta B \vert _ { \Sigma _ { 2 } ^ { i } } = - 2 \epsilon _ { i } { \frac { T _ { 3 } } { T _ { 6 } } } \chi _ { 2 } ^ { 1 } ( N _ { i } ) - 2 \kappa _ { 1 1 } ^ { 2 } T _ { 6 } \chi _ { 2 } ^ { 1 } ( N ^ { \prime } ) \vert _ { \Sigma _ { 2 } ^ { i } } , \ i = 1 , 2 ,
\tilde { D } _ { a 1 } = \widetilde { D A } + \widetilde { D B } + \widetilde { D C } + \widetilde { D D } , \qquad \tilde { D } _ { b 2 } = \widetilde { A D } + \widetilde { B D } + \widetilde { C D } + \widetilde { D D }
\begin{array} { r l } { \sum _ { \tau \in S _ { \mathbf { m } } } D _ { i j } ^ { R } ( \tau ^ { - 1 } \alpha ) D _ { k l } ^ { S } ( \tau ) } & { = \sum _ { a } D _ { a j } ^ { R } ( \alpha ) \sum _ { \tau \in S _ { \mathbf { m } } } D _ { k l } ^ { S } ( \tau ) D _ { i a } ^ { R } ( \tau ^ { - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { a } D _ { a j } ^ { R } ( \alpha ) \frac { \mathbf { m } ! } { d _ { R } } \delta ^ { R S } \delta _ { k a } \delta _ { l i } } \\ & { = \frac { \mathbf { m } ! } { d _ { R } } \delta ^ { R S } D _ { k j } ^ { R } ( \alpha ) \delta _ { l i } \, , } \end{array}
( \mathrm { t o p . ~ i n v . ~ o n ~ { \cal ~ M } _ { d } ^ { C P ^ { N - 1 } } ~ } ) = \sum _ { m = 0 } ^ { d - 1 } \sum _ { \sigma _ { m } \in P _ { m } } ( - 1 ) ^ { l ( \sigma _ { m } ) } N ( \sigma _ { m } ) ( \mathrm { c o n t r i b u t i o n ~ f r o m ~ o n e ~ p a i r ~ l a b e l e d ~ b y ~ \ s i g m a _ { m } ~ } ) .
\hat { S } _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } x \sum _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { \dagger } ( x ) \pmb { \sigma } _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } ^ { i } \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( x )
\mathbf { H } = \left( { \begin{array} { c c c c c c c c } { E _ { e l } } & { P _ { z } } & { { \sqrt { 2 } } P _ { z } } & { - { \sqrt { 3 } } P _ { + } } & { 0 } & { { \sqrt { 2 } } P _ { - } } & { P _ { - } } & { 0 } \\ { P _ { z } ^ { \dagger } } & { P + \Delta } & { { \sqrt { 2 } } Q ^ { \dagger } } & { - S ^ { \dagger } / { \sqrt { 2 } } } & { - { \sqrt { 2 } } P _ { + } ^ { \dagger } } & { 0 } & { - { \sqrt { 3 / 2 } } S } & { - { \sqrt { 2 } } R } \\ { E _ { e l } } & { P _ { z } } & { { \sqrt { 2 } } P _ { z } } & { - { \sqrt { 3 } } P _ { + } } & { 0 } & { { \sqrt { 2 } } P _ { - } } & { P _ { - } } & { 0 } \\ { E _ { e l } } & { P _ { z } } & { { \sqrt { 2 } } P _ { z } } & { - { \sqrt { 3 } } P _ { + } } & { 0 } & { { \sqrt { 2 } } P _ { - } } & { P _ { - } } & { 0 } \\ { E _ { e l } } & { P _ { z } } & { { \sqrt { 2 } } P _ { z } } & { - { \sqrt { 3 } } P _ { + } } & { 0 } & { { \sqrt { 2 } } P _ { - } } & { P _ { - } } & { 0 } \\ { E _ { e l } } & { P _ { z } } & { { \sqrt { 2 } } P _ { z } } & { - { \sqrt { 3 } } P _ { + } } & { 0 } & { { \sqrt { 2 } } P _ { - } } & { P _ { - } } & { 0 } \\ { E _ { e l } } & { P _ { z } } & { { \sqrt { 2 } } P _ { z } } & { - { \sqrt { 3 } } P _ { + } } & { 0 } & { { \sqrt { 2 } } P _ { - } } & { P _ { - } } & { 0 } \\ { E _ { e l } } & { P _ { z } } & { { \sqrt { 2 } } P _ { z } } & { - { \sqrt { 3 } } P _ { + } } & { 0 } & { { \sqrt { 2 } } P _ { - } } & { P _ { - } } & { 0 } \end{array} } \right)
v _ { ( \mu _ { i } \tilde { \ell } _ { i } \tilde { m } _ { i } ) } = \sum _ { j } C _ { \mu _ { i } n _ { i } \beta _ { i } \gamma _ { i } } F _ { n _ { i } \beta _ { i } \gamma _ { i } ( \tilde { \ell } _ { i } \tilde { m } _ { i } ) } .
\psi _ { n } ( q ) = \langle q | \psi _ { n } \rangle = \frac { i ^ { n } } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! } } \langle q | H _ { n } \left( \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } \right) | \psi _ { 0 } \rangle .
\begin{array} { r l } { \zeta _ { j , t \xi } ( t ) } & { = U _ { j , \xi } ( t ) , } \\ { U _ { j , t \xi } ( t ) } & { = \frac { 1 } { 2 } V _ { j , \xi } ( t ) , } \\ { V _ { j , \xi } ( t ) } & { = \left( 1 - \alpha \chi _ { \{ t \geq \tau _ { \Delta x } ( \xi ) > 0 \} } \left( \frac 1 2 ( \hat { \xi } _ { j } + \hat { \xi } _ { j + 1 } ) \right) \right) V _ { j , \xi } ( 0 ) , } \\ { H _ { j , t \xi } ( t ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { k _ { j } + 1 , j } ^ { \infty } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { W _ { k _ { j } + 1 , j } , } & { \mathrm { i f } \, d _ { k _ { j } + 1 } = 1 , } \\ { D _ { \rho _ { k _ { j } + 1 } } T _ { t \omega _ { k _ { j } + 1 } } D _ { \rho _ { k _ { j } + 1 } } ^ { - 1 } W _ { k _ { j } + 1 , j } , } & { \mathrm { i f } \, d _ { k _ { j } + 1 } = 2 , } \end{array} \right. } \end{array}
q _ { j } ^ { ( i ) } = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \, \sinh \pi \omega \, f ^ { ( i ) } [ \tilde { D } _ { i \omega } ( k \xi , k \xi _ { j } ) ] - \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { I _ { \omega } ( k \xi _ { 1 } ) I _ { - \omega } ( k \xi _ { 2 } ) } { D _ { \omega } ( k \xi _ { 1 } , k \xi _ { 2 } ) } \frac { F ^ { ( i ) } [ D _ { \omega } ( k \xi , k \xi _ { j } ) ] } { I _ { \omega } ( k \xi _ { j } ) I _ { - \omega } ( k \xi _ { j } ) } ,
s _ { g a u g e } = \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { l l ^ { \prime } } \left( \frac 1 S \frac { d S _ { l } ( t ) } { d t } - ( r _ { b } - r _ { l } ) \right) \frac { A _ { l l ^ { \prime } } ( t ) } { 2 } \left( \frac 1 S \frac { d S _ { l ^ { \prime } } ( t ) } { d t } - ( r _ { b } - r _ { l ^ { \prime } } ) \right) d t \ .
\langle \vec { \eta } , \vec { \epsilon } \rangle = \int d ^ { d } x \sqrt { \operatorname * { d e t } g _ { i j } ^ { \mathrm { p t } } } \ \eta _ { \mu } ^ { * } \ ( g ^ { \mathrm { p t } } ) ^ { \mu \nu } \ \epsilon _ { \nu } .
\begin{array} { r l } { u } & { = \cos ( 2 t ) \sin ( 2 \pi x ) \cos ( 2 \pi y ) } \\ { v } & { = - \cos ( 2 t ) \cos ( 2 \pi x ) \sin ( 2 \pi y ) } \\ { p } & { = \cos ( 2 t ) \sin ( 2 \pi x ) \cos ( 2 \pi y ) } \\ { \phi } & { = - \cos ( 2 t ) \cos ( 2 \pi x ) \sin ( 2 \pi y ) } \\ { c ^ { + } } & { = \cos ( 2 t ) \cos ( 2 \pi x ) \sin ( 2 \pi y ) } \\ { c ^ { - } } & { = \cos ( 2 t ) \sin ( 2 \pi x ) \cos ( 2 \pi y ) } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } = \frac { 3 } { 4 } \Gamma [ \delta _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } ( - \frac { \cos ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } r } + \frac { \sin ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } + \frac { \cos ( i k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } ^ { 3 } r ^ { 3 } } ) } \\ { + \mathbf { \hat { r } } _ { i , j } ^ { \alpha } \mathbf { \hat { r } } _ { i , j } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \frac { \cos ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } r } - 3 \frac { \sin ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } - 3 \frac { \cos ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } ^ { 3 } r ^ { 3 } } ) ] } \\ { \Gamma _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } = \frac { 3 } { 4 } \Gamma [ \delta _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } ( - \frac { \sin ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } r } - \frac { \cos ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } + \frac { \sin ( i k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } ^ { 3 } r ^ { 3 } } ) } \\ { + \mathbf { \hat { r } } _ { i , j } ^ { \alpha } \mathbf { \hat { r } } _ { i , j } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \frac { \sin ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } r } + 3 \frac { \cos ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } - 3 \frac { \sin ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } ^ { 3 } r ^ { 3 } } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } \simeq } & { G _ { F } \left[ \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } + \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 1 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } \right] , } \end{array}
a _ { \kappa , l } ( t = 0 ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { i a _ { X } } & { , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \kappa = \beta \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ l = 0 } \\ { 0 } & { , \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ s ~ } , } \end{array} } \right.