harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial \psi } { \partial s } + \frac { \omega _ { \beta } } { c } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } + \frac { F _ { y } ( z , s ) } { E } \frac { \partial \psi } { \partial p _ { y } } + \frac { \omega _ { s } } { c } \frac { \partial \psi } { \partial \phi } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \hat { \theta } _ { 1 } + q \hat { c } _ { 1 } } & { { } = \frac { d } { d \eta } \left( \hat { \theta } _ { 2 } + \frac { q } { L e } \hat { c } _ { 2 } \right) + \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \hat { v } _ { 0 } \hat { p } _ { 1 } + { T } _ { 1 - } + q { Y } _ { 1 - } } \end{array}
H _ { 1 , i j } = R _ { i m } ^ { V } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { m } } + R _ { j m } ^ { V } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { m } } = 2 \delta _ { i j } R _ { \underline { { i } } m } ^ { V } \frac { \partial u _ { \underline { { i } } } } { \partial x _ { m } } + \epsilon _ { i j } \omega _ { Z } R _ { \underline { { i } } \underline { { i } } } ^ { V } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { z _ { \Psi _ { i } \to j } } & { { } = \sum _ { \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } } \Psi ( \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } ) \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ( T _ { i k } ) } \end{array} } \end{array}
\times { \overline { { { | { \cal { M } } ( p \to p _ { 1 } + p _ { 2 } ) | ^ { 2 } } } } } \, ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( p - p _ { 1 } - p _ { 2 } ) \delta ( ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } \neq j , j + 1 } \overline { { \xi _ { j } } } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( s ) ( \mathscr { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } d s \bigg | ^ { 2 } \lesssim \bigg ( \frac { T ^ { 2 } \ell ^ { 2 } } { n ^ { 2 } \theta ( n ) } + \frac { T } { n ^ { 2 } \ell } \bigg ) \| \mathscr { E } _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } . } \end{array}
- { \cal L } _ { \mathrm { \small ~ H i g g s } } = - m _ { 1 2 } ^ { 2 } \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \phi _ { 2 } + \lambda _ { 5 } ( \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } + \lambda _ { 6 } \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \phi _ { 1 } \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \phi _ { 2 } + \lambda _ { 7 } \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \phi _ { 2 } \phi _ { 2 } ^ { \dagger } \phi _ { 2 } + \mathrm { H . c . }
{ \frac { \delta { \hat { \mathbf { r } } } } { \delta t } } = { \dot { \mathbf { r } } } = - \sin ( \theta ) { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { x } } } + \cos ( \theta ) { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { y } } } = { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } }
\mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ , ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } ^ { \prime } = ( 1 + \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \{ \mathrm { ~ D ~ a ~ } , 1 \} ) ^ { 2 } / ( 4 \cdot \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \{ \mathrm { ~ D ~ a ~ } , 1 \} )
\begin{array} { r l } { E _ { y } ^ { \mathrm { M G } } \left( \vec { r } \right) } & { = j \frac { k \omega \eta } { 4 } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \left( k z \right) ^ { 2 } } \left[ H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \left( k | \vec { r } - \vec { r _ { n } ^ { \prime } } | \right) \right] } \\ { H _ { x } ^ { \mathrm { M G } } \left( \vec { r } \right) } & { = - \frac { k \omega } { 4 } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { \partial } { \partial \left( k z \right) } \left[ H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \left( k | \vec { r } - \vec { r _ { n } ^ { \prime } } | \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) | \mathbf { k } ^ { \prime } , \mu ^ { \prime } \rangle } & { { } = { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ^ { \prime } ) } ( \mathbf { k ^ { \prime } } ) | 0 \rangle } \end{array}
\sigma _ { \eta } ^ { 2 } = \left\langle \sigma _ { \delta _ { n } | \epsilon _ { n } } ^ { 2 } \right\rangle \approx \left\langle \left( \left. \frac { \partial \bar { x } _ { n } } { \partial \delta } \right| _ { \delta = 0 } \right) ^ { - 2 } \sigma _ { x _ { n } | \epsilon _ { n } } ^ { 2 } \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \phi _ { 0 } ( \xi ) } & { { } = z _ { 0 } , } \\ { \phi _ { 1 } ( \xi ) } & { { } = z _ { 1 } \xi , } \\ { \phi _ { 2 } ( \xi ) } & { { } = \frac { z _ { 2 } } { 2 } ( 3 \xi ^ { 2 } - 1 ) , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \phi _ { 3 } ( \xi ) } & { { } = \frac { z _ { 3 } } { 2 } ( 5 \xi ^ { 3 } - 3 \xi ) , } \end{array}
E ( \varphi ) = \frac { m ^ { 3 } } { 4 \eta ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } X \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( \nabla \Phi \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \Phi ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \Phi ^ { 3 } + { \frac { \alpha } { 8 } } \Phi ^ { 4 } \right) .
{ \cal A } _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { \, 4 } x \, \hat { \phi } ( x ) \hat { \tau } _ { 3 } \left( \partial ^ { 2 } + { \cal M } _ { \xi } ^ { 2 } ( x ) { \bf P } _ { \xi } ( x ) \right) \hat { \phi } ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { \, 4 } x \, d ^ { \, 4 } y \, \hat { \phi } ( x ) { \bf L } ^ { \prime } ( x , y ) \hat { A } _ { - } \hat { \phi } ( y ) \, .
S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x , z ) = \frac { c _ { 1 } } { \mu _ { \mathrm { m a x } } } \, \int _ { 0 } ^ { L } C ( x - x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z , z ^ { \prime } ) \, \phi _ { 1 } ( z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } .
\sum _ { \nu = 0 } ^ { 3 } \Lambda _ { \nu } ^ { \mu } j ^ { \nu } ( \Lambda ^ { - 1 } x ; y ) = \int \delta ( x - \Lambda y ( t ( t _ { 1 } ) ) ) \frac { d } { d t _ { 1 } } ( \Lambda y ( t ( t _ { 1 } ) ) ) ^ { \mu } d t _ { 1 } .
\begin{array} { r c l } { \sum _ { \tilde { x } _ { 1 } \in h \mathbb Z _ { + } } u _ { d } ( \tilde { x } _ { 1 } , \tilde { x } _ { 2 } ) h = f _ { d } ( \tilde { x } _ { 2 } ) , ~ ~ ~ \sum _ { \tilde { x } _ { 2 } \in h \mathbb Z _ { + } } u _ { d } ( \tilde { x } _ { 1 } , \tilde { x } _ { 2 } ) h = g _ { d } ( \tilde { x } _ { 1 } ) , } \\ { \sum _ { \tilde { x } \in h \mathbb Z _ { + + } } u _ { d } ( \tilde { x } _ { 1 } , \tilde { x } _ { 2 } ) h ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L } { \partial x } - \frac { d } { d t } \, \frac { \partial L } { \partial \dot { x } } } & { = 0 } \\ { \frac { \partial \sqrt { f } } { \partial x } - \frac { d } { d t } \, \frac { \partial \sqrt { f } } { \partial \dot { x } } } & { = 0 } \\ { \frac 1 2 \frac { 1 } { \sqrt { f } } \frac { \partial f } { \partial x } - \frac { d } { d t } \left[ \frac 1 2 \, \frac { 1 } { \sqrt { f } } \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \right] } & { = 0 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { f } } \frac { \partial f } { \partial x } - \left[ \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \, \frac { d } { d t } \, \frac { 1 } { \sqrt { f } } + \frac { 1 } { \sqrt { f } } \, \frac { d } { d t } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \right] } & { = 0 . } \end{array}
\phi _ { 0 } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 4 } x ^ { \prime } \Delta _ { 5 } ( 0 , x ; 0 , x ^ { \prime } ) J ^ { A } ( x ^ { \prime } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 4 } x ^ { \prime } e ^ { - 4 d / l } \Delta _ { 5 } ( 0 , x ; d , x ^ { \prime } ) J ^ { B } ( x ^ { \prime } ) \ .
\begin{array} { r l } { m ^ { i j } } & { { } = \phi _ { m } ( f ^ { i } , f ^ { j } , \Vert p ^ { j } - p ^ { i } \Vert _ { 2 } ^ { 2 } , a ^ { i j } ) } \\ { f ^ { i } } & { { } \leftarrow \phi _ { f } ( f ^ { i } , \sum _ { j \in \mathcal { N } ( i ) } m ^ { i j } a ^ { i } ) } \end{array}
h ^ { ( m ) } ( p _ { i } ) \equiv \sum _ { \mathrm { p a i r s } } \int \mathrm { d } p \ a ^ { ( m + 2 ) } ( p _ { 1 } , \dots , p , \dots , - p , \dots , p _ { m } ) { \frac { g K } { p ^ { 2 } } } .
\mathcal { I F } \left( y _ { i } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) = \left[ \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { V } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \right] ^ { - 1 } \mathcal { I F } \left( y _ { i } , \boldsymbol { m } _ { \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right)
\begin{array} { r l } { | \phi \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , d _ { 2 } } } = } & { ~ c _ { 1 } | g g \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , d _ { 2 } } } + c _ { 2 } | g e \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , d _ { 2 } } } } \\ & { ~ + c _ { 3 } | e g \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , d _ { 2 } } } + c _ { 4 } | e e \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , d _ { 2 } } } . } \end{array}
\check { J } ^ { N } ( \theta ) : \theta \mapsto \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbb { E } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { T } - 1 } f ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } ^ { i , \theta } , \check { \mu } _ { t _ { n } } ^ { N , \theta } , \alpha _ { t _ { n } } ( \check { X } _ { t _ { n } } ^ { i , \theta } ; \theta _ { n } ) ) \Delta t + g ( \check { X } _ { T } ^ { i , \theta } , \check { \mu } _ { T } ^ { N , \theta } ) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \delta } \int _ { t _ { n } - \delta / 2 } ^ { t _ { n } + \delta / 2 } d t e ^ { - ( t - s ) / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \alpha } \left[ e ^ { - ( t _ { n } - \delta / 2 - s ) / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } - e ^ { - ( t _ { n } + \delta / 2 - s ) / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } \right] } \\ { \frac { 1 } { \delta } \int _ { s } ^ { t _ { n } + \delta / 2 } d t e ^ { - ( t - s ) / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \alpha } \left[ 1 - e ^ { - ( t _ { n } + \delta / 2 - s ) / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \alpha } } & { \ln ( 2 ) f ( \alpha ) } \\ { = } & { \left( 1 \! - \! \frac { p } { q } \right) \frac { 1 \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \alpha } \frac { - ( 1 \! + \! \alpha ) \! - \! ( 1 \! - \! \alpha ) } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } \! + \! \frac { 2 ( q - p ) ^ { 2 } } { 1 \! + \! ( q \! - \! p ) ^ { 2 } \alpha } } \\ { = } & { - 2 \frac { 1 } { q } \frac { q - p } { 1 - \alpha ^ { 2 } } + 2 \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha } } \\ { = } & { 2 ( q - p ) \left( - \frac { 1 } { q } \frac { 1 } { 1 - \alpha ^ { 2 } } + \frac { q - p } { 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha } \right) } \\ & { \le - 2 ( q - p ) \left( 1 + \frac { p } { q } - q + p \right) } \\ & { = - 2 p ( q - p ) \left( 2 + \frac { 1 } { q } \right) < 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { 1 } = \alpha _ { 1 } ^ { \mathrm { { L F } } } \Delta t / \Delta x , \quad \lambda _ { 2 } = \alpha _ { 2 } ^ { \mathrm { L F } } \Delta t / \Delta y , \quad \lambda = \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } , } \\ & { { \bf \Pi } _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \mp } : = \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \mathbf { U } _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \mp , \mu } , \qquad { \bf \Pi } _ { i , j \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mp } : = \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \mathbf { U } _ { i , j \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , \mp } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \mathcal { H } ( \hat { \pi } _ { t } ^ { N _ { k } } \lVert \pi _ { t } ^ { N _ { k } } ) = - \kappa \int _ { \mathcal { Z } \times \mathcal { Z } } \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } ^ { N _ { k } } , \nu _ { t } ^ { N _ { k } } ; z , \tilde { z } ) d ( \hat { \pi } _ { t } ^ { N _ { k } } - \pi _ { t } ^ { N _ { k } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ^ { ( n ) } } & { { } = \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \frac { 1 } { [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n _ { e } ( \eta , \zeta ) = 8 \pi \sqrt 2 \frac { { m _ { 0 } ^ { 3 } { c ^ { 3 } } } } { { { h ^ { 3 } } } } { \zeta ^ { 3 / 2 } } \left[ { { F _ { 1 / 2 } } \left( { \eta , \zeta } \right) + \left( { \zeta / 2 } \right) { F _ { 3 / 2 } } \left( { \eta , \zeta } \right) } \right] , } \\ & { P _ { e } ( \eta , \zeta ) = \frac { { 1 6 \pi \sqrt 2 } } { 3 } \frac { { m _ { 0 } ^ { 4 } { c ^ { 5 } } } } { { { h ^ { 3 } } } } { \zeta ^ { 5 / 2 } } \left[ { { F _ { 3 / 2 } } \left( { \eta , \zeta } \right) + \left( { \zeta / 2 } \right) { F _ { 5 / 2 } } \left( { \eta , \zeta } \right) } \right] , } \\ & { { U _ { e } } ( \eta , \zeta ) = 8 \pi \sqrt 2 \frac { { m _ { 0 } ^ { 4 } { c ^ { 5 } } } } { { { h ^ { 3 } } } } { \zeta ^ { 5 / 2 } } \left[ { { F _ { 3 / 2 } } \left( { \eta , \zeta } \right) + \zeta { F _ { 5 / 2 } } \left( { \eta , \zeta } \right) } \right] , } \end{array}
x ( k ) = - 2 \pi n \frac { 2 k - 1 } { k ^ { 3 / 2 } } , ~ \varrho ( k ) = 2 \pi n \frac { \sqrt { k - 1 } } { k ^ { 3 / 2 } } , k \geqslant \mathcal { M } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { ~ H ~ O ~ M ~ O ~ } } ( \mathbf { r } ) = \left[ \psi _ { 1 4 } ( \mathbf { r } ) \pm i \psi _ { 1 5 } ( \mathbf { r } ) \right] / \sqrt { 2 } , } \\ { \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { ~ L ~ U ~ M ~ O ~ } } ( \mathbf { r } ) = \left[ \psi _ { 1 6 } ( \mathbf { r } ) \pm i \psi _ { 1 7 } ( \mathbf { r } ) \right] / \sqrt { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } \right\rangle } & { { } = \frac { \sqrt { 1 2 } \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } { \nu } \tilde { M } ( \tilde { \alpha } , u _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ) , } \\ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } \right) } & { { } = \frac { 1 2 \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } \tilde { S } ( \tilde { \alpha } , u _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big [ } & { { } \frac { ( \omega _ { 0 } - H _ { 1 } ) ( \omega _ { 0 } - H _ { 2 } ) ( \omega _ { 0 } - H _ { 3 } ^ { * } ) ( \omega _ { 0 } - H _ { 4 } ^ { * } ) } { ( \Omega - H _ { 1 } - H _ { 4 } ^ { * } ) } } \\ { \times } & { { } \left( \frac { \Omega - H _ { 3 } ^ { * } - H _ { 4 } ^ { * } } { H _ { 1 } - H _ { 3 } ^ { * } } - \frac { \Omega - H _ { 1 } - H _ { 2 } } { H _ { 4 } ^ { * } - H _ { 2 } } \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { u _ { 1 } ( \rho , \theta , z ) = \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } Y _ { 2 m + 1 } \left( \rho \right) \cos \theta \cos \left[ \frac { ( 2 m + 1 ) \pi } h \, z \right] \, , } } \\ { \displaystyle { u _ { 2 } ( \rho , \theta , z ) = \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } Y _ { 2 m + 1 } \left( \rho \right) \sin \theta \cos \left[ \frac { ( 2 m + 1 ) \pi } h \, z \right] \, , } } \\ { \displaystyle { u _ { 3 } ( \rho , \theta , z ) = \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } Z _ { 2 m + 1 } \left( \rho \right) \sin \left[ \frac { ( 2 m + 1 ) \pi } h \, z \right] \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } ( h h _ { x } ) \Lambda ^ { s } h \ d x } & { { } = \int _ { \mathbb R } [ \Lambda ^ { s } , h ] h _ { x } \Lambda ^ { s } h \ d x + \int _ { \mathbb R } h \Lambda ^ { s } h _ { x } \Lambda ^ { s } h \ d x } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { L } } = \mathbf { G } _ { 1 } \mathbf { L } \mathbf { X } ^ { 1 , \top } \mathbf { h } ^ { - 2 } \mathbf { X } ^ { 1 } + \mathbf { G } _ { 2 } \mathbf { L } \mathbf { X } ^ { 1 , \top } \mathbf { h } ^ { - 1 } \mathbf { X } ^ { 1 } + \textrm { \boldmath { g } } \mathbf { u } _ { m } ^ { \top } \mathbf { X } ^ { 1 } \, . } \end{array}
G _ { p q } ^ { \bullet \, ( \mathfrak { N } ) } = - \frac { ( 2 / \pi ) ^ { 1 / 2 } 4 ^ { - ( p + q ) } \, ( 2 p + 2 q - 1 ) ! } { \bigl [ ( 2 p + 1 ) ! \, ( 2 q + 1 ) ! \bigr ] ^ { 1 / 2 } \, ( p + q ) ! } \, \omega ^ { - 1 / 2 }
L _ { a b } = L _ { a c } L _ { c b } ~ + ~ \frac { 2 } { l } \left( L _ { c d } L _ { e f } f ^ { c e a } f ^ { d f b } ~ + ~ L _ { c d } f ^ { c d f } f ^ { d f a } L _ { b e } ~ + ~ L _ { c d } f ^ { c e f } f ^ { d f b } L _ { a e } \right) .
{ \begin{array} { r l } { E [ X ] } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { K } k \operatorname* { P r } ( X = k ) = \sum _ { k = 0 } ^ { K } k { \frac { { \binom { k + r - 1 } { k } } { \binom { N - r - k } { K - k } } } { \binom { N } { K } } } = { \frac { r } { \binom { N } { K } } } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { K } { \frac { ( k + r ) } { r } } { \binom { k + r - 1 } { r - 1 } } { \binom { N - r - k } { K - k } } \right] - r } \\ & { = { \frac { r } { \binom { N } { K } } } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { K } { \binom { k + r } { r } } { \binom { N - r - k } { K - k } } \right] - r = { \frac { r } { \binom { N } { K } } } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { K } { \binom { k + r } { k } } { \binom { N - r - k } { K - k } } \right] - r } \\ & { = { \frac { r } { \binom { N } { K } } } \left[ { \binom { N + 1 } { K } } \right] - r = { \frac { r K } { N - K + 1 } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \beta ^ { 0 } } & { = ( 0 , 0 , \vert 3 , 3 , - 3 , - 3 , \vert 7 , 7 , 7 ) } \\ { \mathfrak { p } } & { = ( 0 , \vert 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , 1 , \vert 2 , - 2 ) } \\ { \mathbf { p a t t } _ { \beta ^ { 0 } } ( \mathfrak { p } ) } & { = ( 0 , \vert 1 , \vert 2 , 2 , - 2 , - 2 , \vert 5 , \vert 4 , \vert 3 ) } \end{array}
g _ { k } ( x , u , w ) = g _ ( x , u , w ) = \left\{ \begin{array} { l l } { + 1 0 0 \quad } & { \mathrm { i f ~ } l ( f _ ( x , u , w ) ) = \mathrm { ~ \texttt { T R E E } } } \\ { + \infty } & { \mathrm { i f ~ } \pi _ { h } ( x ) = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } l ( f _ ( x , u , w ) ) = \mathrm { ~ \texttt { F L A G } } } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } l ( f _ ( x , u , w ) ) = \mathrm { ~ \texttt { F R E E } ~ a n d ~ } u = \mathrm { ~ \texttt { H O V E R } } } \\ { + 1 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
- m { \frac { \mathbf { e _ { r } } } { M _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } r ^ { 2 } } } = - m { \frac { \mathbf { e _ { r } } } { M _ { \mathrm { P l } _ { 3 + 1 + \delta } } ^ { 2 + \delta } r ^ { 2 } n ^ { \delta } } }
\vec { \alpha } _ { i } = \vec { e } _ { i } - \vec { e } _ { i + 1 } , \quad \vec { \lambda } _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { i } \vec { e } _ { j } - { \frac { 1 } { n + 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n + 1 } \vec { e } _ { j } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \theta _ { i } \left( t \right) = \omega _ { i } + \frac { K } { \vert V \vert } \sum _ { i = 1 } ^ { \vert V \vert } \sin \left[ \theta _ { j } \left( t \right) - \theta _ { i } \left( t \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { c } { { M _ { A B C } = \frac 1 { 1 2 } ( M ^ { a b } \left( \sigma _ { A B C } \right) _ { b a } + M _ { a b } ( \widetilde { \sigma } _ { A B C } ) ^ { b a } ) } } \\ { { M ^ { a b } = M ^ { A B C } ( \widetilde { \sigma } _ { A B C } ) ^ { a b } \ , \quad M _ { a b } = M ^ { A B C } \left( \sigma _ { A B C } \right) _ { a b } } } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c } { { h _ { 1 } } } & { { h _ { 2 } ^ { \prime } } } & { { h _ { 3 } ^ { \prime \prime } } } \\ { { 0 } } & { { h _ { 2 } } } & { { h _ { 3 } ^ { \prime } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { h _ { 3 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { [ c ] } & { \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \leq 2 n _ { \operatorname* { m a x } } , } \\ & { \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \leq 2 n _ { \operatorname* { m a x } } . } \end{array}
\hat { H } _ { g } \widetilde f ( \omega , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { 1 } { \pi } \int d ^ { 2 } x _ { 0 } \frac { | x _ { 1 2 } | ^ { 2 } } { | x _ { 1 0 } | ^ { 2 } | x _ { 2 0 } | ^ { 2 } } \left( \widetilde f ( \omega , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - \widetilde f ( \omega , x _ { 1 } , x _ { 0 } ) - \widetilde f ( \omega , x _ { 0 } , x _ { 2 } ) \right) .
\begin{array} { r l r } { C _ { R , 2 ^ { m } } } & { = } & { 2 + \sum _ { k = 2 } ^ { v _ { 2 } ( R + 1 ) } 2 ^ { k - 2 } + \sum _ { k = v _ { 2 } ( R + 1 ) + 1 } ^ { m } 2 ^ { v _ { 2 } ( R + 1 ) - 1 } = 1 + 2 ^ { v _ { 2 } ( R + 1 ) - 1 } + ( m - v _ { 2 } ( R + 1 ) ) 2 ^ { v _ { 2 } ( R + 1 ) - 1 } } \\ & { = } & { 1 + 2 ^ { v _ { 2 } ( R + 1 ) - 1 } ( 1 + m - v _ { 2 } ( R + 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \tau _ { i } } \mathbb { E } _ { t _ { i } } \mathbb { E } _ { \ell } \frac { e _ { t _ { i } , \ell } ^ { 2 } } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } = } & { \mathbb { E } _ { \tau _ { i } } \sum _ { { t _ { i } } \in \tau _ { i } } \sum _ { g = g _ { 0 } ( { t _ { i } } ) } ^ { n _ { t _ { i } } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { k } \frac { \binom { N _ { t _ { i } } p _ { { t _ { i } } , \ell } } { g } a _ { g , \ell } ^ { t _ { i } } } { \binom { N _ { t _ { i } } } { n _ { t _ { i } } } } \prod _ { s \in \tau _ { i } \setminus \{ t _ { i } \} } \frac { b _ { g } ^ { s } } { \binom { N _ { s } } { n _ { s } } } \Tilde { e } _ { t _ { i } , \ell } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \mathbb { E } _ { \tau _ { i } } \sum _ { { t _ { i } } \in \tau _ { i } } \sum _ { g = g _ { 0 } ( { t _ { i } } ) } ^ { n _ { t _ { i } } } Q _ { \operatorname* { m a x } } ( t _ { i } , g , \tau _ { i } \setminus \{ t _ { i } \} ) \sum _ { \ell = 0 } ^ { k } \Tilde { e } _ { t _ { i } , \ell } ^ { 2 } } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { \tau _ { i } } \sum _ { { t _ { i } } \in \tau _ { i } } \sum _ { g = g _ { 0 } ( { t _ { i } } ) } ^ { n _ { t _ { i } } } Q _ { \operatorname* { m a x } } ( t _ { i } , g , \tau _ { i } \setminus \{ t _ { i } \} ) \| \Tilde { e } _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { \tau _ { i } \in \binom { [ d _ { 1 } ] } { d _ { 0 } } } \frac { 1 } { \binom { d _ { 1 } } { d _ { 0 } } } \sum _ { { t _ { i } } \in \tau _ { i } } \sum _ { g = g _ { 0 } ( { t _ { i } } ) } ^ { n _ { t _ { i } } } Q _ { \operatorname* { m a x } } ( t _ { i } , g , \tau _ { i } \setminus \{ t _ { i } \} ) \| \Tilde { e } _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { t \in [ d _ { 1 } ] } \sum _ { \Tilde { \tau } _ { t , i } \in \binom { [ d _ { 1 } ] \setminus \{ t \} } { d _ { 0 } - 1 } } \sum _ { g = g _ { 0 } ( { t } ) } ^ { n _ { t } } \frac { 1 } { \binom { d _ { 1 } } { d _ { 0 } } } Q _ { \operatorname* { m a x } } ( t , g , \tilde { \tau } _ { t , i } ) \| \tilde { e } _ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \sum _ { t \in [ d _ { 1 } ] } \beta _ { t } \| \tilde { e } _ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\prod _ { b = 1 } ^ { l } \left[ - G _ { 1 2 } \Big ( ( - L , 0 ) , ( L , 0 ) ; \varphi \Big ) G _ { 2 1 } \Big ( ( - L , 0 ) , ( L , 0 ) ; \varphi \Big ) \right] \prod _ { c = l + 1 } ^ { N } G _ { 1 2 } \Big ( ( - L , 0 ) , ( L , 0 ) ; \varphi \Big )
\begin{array} { r l } { N ( \omega _ { a } ) } & { \approx \frac { X _ { a } ^ { 4 } \epsilon ^ { 2 } } { \cos ^ { 4 } ( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } ) } \, , } \\ { S ( \omega _ { a } ) } & { \approx \frac { \beta c X _ { a } \sqrt { 2 \mu _ { 0 } \rho _ { \mathrm { D M } } } \sqrt { \epsilon } } { \sqrt { 2 } \cos ^ { 2 } ( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } ) } \left( 1 + \cos \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) \right) \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { b ^ { - \delta _ { b } ( n ) } \sum _ { k = b ^ { n - 1 } } ^ { b ^ { n } - 1 } { \frac { k } { b ^ { n ( k - b ^ { n - 1 } + 1 ) } } } } & { = b ^ { - \delta _ { b } ( n ) } b ^ { n ( b ^ { n - 1 } - 1 ) } \left( \sum _ { k = b ^ { n - 1 } } ^ { \infty } { \frac { k } { b ^ { n k } } } - \sum _ { k = b ^ { n } } ^ { \infty } { \frac { k } { b ^ { n k } } } \right) } \\ & { = { \frac { b ^ { 2 n - 1 } - b ^ { n - 1 } + 1 } { \left( b ^ { n } - 1 \right) ^ { 2 } } } b ^ { - \delta _ { b } ( n ) } - { \frac { b ^ { 2 n } - b ^ { n } + 1 } { \left( b ^ { n } - 1 \right) ^ { 2 } } } b ^ { - \delta _ { b } ( n + 1 ) } . } \end{array} }