harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \mathcal { E } } _ { C } = { \mathcal { E } } _ { C ^ { \prime } } = - { \frac { d \Phi _ { C ^ { \prime } } } { d t } } = - L { \frac { d I } { d t } } = \oint _ { C } { \boldsymbol { E } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } = \int _ { 1 } ^ { 2 } { \boldsymbol { E } } _ { \mathrm { c o n d u c t o r } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } - \int _ { 1 } ^ { 2 } { \boldsymbol { E } } _ { \mathrm { c e n t e r \ l i n e } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } \ .
\begin{array} { r } { \gamma _ { i , m } ^ { n } ( \omega ) : = \frac { \omega + ( n - m ) \Omega } { \omega + n \Omega } k _ { i , m } \left( k _ { \mathrm { r } } ^ { n } \right) ^ { 2 } , \quad \forall \, - M \leq m \leq M , \, - \infty < n < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { i \nu , j \mu } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ h ~ 1 ~ p ~ } } } & { { } = \left( \epsilon _ { i } - \Omega _ { \nu } \right) \delta _ { i j } \delta _ { \nu \mu } , } \\ { C _ { a \nu , b \mu } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ p ~ 1 ~ h ~ } } } & { { } = \left( \epsilon _ { a } + \Omega _ { \nu } \right) \delta _ { a b } \delta _ { \nu \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { P } ( \mathbf { r } ) = \left( \begin{array} { l l l } { [ \ell _ { 1 } ( \mathbf { r } ) ] ^ { - 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { [ \ell _ { 2 } ( \mathbf { r } ) ] ^ { - 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { [ \ell _ { 3 } ( \mathbf { r } ) ] ^ { - 2 } } \end{array} \right) , \quad \quad } \\ { \ell _ { 1 } ( \mathbf { r } ) \le \ell _ { 2 } ( \mathbf { r } ) \le \ell _ { 3 } ( \mathbf { r } ) , ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { y } } & { { } = \frac { k _ { y } } { \sqrt { k _ { x } \mathrm { R } _ { \lambda } } } = \frac { 2 \pi } { \lambda _ { y } ^ { \ast } } \left( \frac { \nu _ { \infty } ^ { \ast } } { \omega ^ { \ast } } \right) ^ { 1 / 2 } = \mathcal { O } ( 1 ) , } \\ { \kappa _ { z } } & { { } = \frac { k _ { z } } { \sqrt { k _ { x } \mathrm { R } _ { \lambda } } } = \frac { 2 \pi } { \lambda _ { z } ^ { \ast } } \left( \frac { \nu _ { \infty } ^ { \ast } } { \omega ^ { \ast } } \right) ^ { 1 / 2 } = \mathcal { O } ( 1 ) . } \end{array}
\langle S \rangle = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { v _ { H } } } \\ { { 0 } } & { { v _ { H } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
N ( - ) = \sqrt { \frac { | t | } { m ^ { 2 } } } \left( \tilde { B } \tilde { K } ^ { * } + \tilde { B } ^ { * } \tilde { K } \right) \left[ \frac { ( \vec { Q } \vec { S } _ { \perp } ) } { m } \Pi _ { Q } ^ { ( - ) } ( t , k _ { \perp } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { H G _ { n , n } } } & { { } \overset { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , \theta } { \Longrightarrow } \mathrm { H G _ { n , n } } + x _ { 0 } \left( \sqrt { n + 1 } \mathrm { H G _ { n + 1 , n } } - \sqrt { n } \mathrm { H G _ { n - 1 , n } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \chi } _ { \varepsilon } ( x , t ) } & { = - \nu \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } \left( \frac { x _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \left. \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \right| _ { x _ { 2 } = 0 + } u ^ { 1 } ( x , t ) } \\ & { = - \nu \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } \left( \frac { x _ { 2 } } { \varepsilon } \right) A _ { 2 } ^ { 1 } ( ( x _ { 1 } , 0 ) , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { z } } _ { \mathcal { S } } } & { { } = ( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { S } } , \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { C } } ) \sim p ( \mathbf { \boldsymbol { z } } _ { \mathcal { S } } ) } \\ { \mathbf { \boldsymbol { z } } _ { \mathcal { T } } } & { { } = ( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { T } } , \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { C } } ) \sim p ( \mathbf { \boldsymbol { z } } _ { \mathcal { T } } ) , } \end{array}
{ \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } } \mathbf { F } ^ { \dagger } \mathbf { F } = { \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } } \left( \mathbf { E } ^ { 2 } + c ^ { 2 } \mathbf { B } ^ { 2 } \right) + { \frac { 1 } { c } } \mathbf { S } ,
( 7 ) d x = \frac 1 { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } g _ { i } ( x ( \tilde { y } ) ) } d \tilde { y } \, , \qquad \tilde { y } ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } G _ { i } ( x ) \equiv G ( x ) \, ,
\begin{array} { r l } { Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 1 } } & { { } = - \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j - 3 } + \frac { 2 1 } { 1 6 } Q _ { j - 2 } - \frac { 3 5 } { 1 6 } Q _ { j - 1 } + \frac { 3 5 } { 1 6 } Q _ { j } } \\ { Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 1 6 } Q _ { j - 2 } - \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j - 1 } + \frac { 1 5 } { 1 6 } Q _ { j } + \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j + 1 } } \\ { Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 3 } } & { { } = - \frac { 1 } { 1 6 } Q _ { j - 1 } + \frac { 9 } { 1 6 } Q _ { j } + \frac { 9 } { 1 6 } Q _ { j + 1 } + \frac { 1 } { 1 6 } Q _ { j + 2 } } \\ { Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 4 } } & { { } = \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j } + \frac { 1 5 } { 1 6 } Q _ { j + 1 } - \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j + 2 } + \frac { 1 } { 1 6 } Q _ { j + 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { K } _ { \delta } \, g _ { \delta , \gamma } = \tilde { g } _ { \delta , \gamma } \tilde { K } _ { \delta } \, g _ { \delta , \gamma } , \quad \tau _ { - F ( \sqrt { \delta } \gamma ) } \, \mathring { K } _ { \delta } \, \tau _ { F ( \sqrt { \delta } \gamma ) } \, } \\ { g _ { \delta , \gamma } = \tilde { g } _ { \delta , \gamma } \tau _ { - F ( \sqrt { \delta } \gamma ) } \, \mathring { K } _ { \delta } \, \tau _ { F ( \sqrt { \delta } \gamma ) } \, g _ { \delta , \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \operatorname { G a l } ( K / v ) } & { \twoheadrightarrow } & { \operatorname { G a l } ( K _ { w } / k _ { v } ) } \\ { \downarrow } & { } & { \downarrow } \\ { G } & { \twoheadrightarrow } & { G _ { w } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( y ) } & { { } = d _ { 3 3 } \sum _ { m } G _ { m } e ^ { i k _ { m } y } } \\ { G _ { m } } & { { } = \frac { 2 } { m \pi } \sin \left( \frac { m \pi } { 2 } \right) } \\ { k _ { m } } & { { } = \frac { 2 \pi m } { a } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( x , t ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \left[ Q _ { 1 , \nu } ( t ) \sin k _ { \nu } x + Q _ { 2 , \nu } ( t ) \cos k _ { \nu } x \right] } \\ { \pi ( x , t ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \left[ P _ { 1 , \nu } ( t ) \sin k _ { \nu } x + P _ { 2 , \nu } ( t ) \cos k _ { \nu } x \right] } \end{array}
{ \tilde { \tilde { \Omega } } } _ { c - } { } ^ { a b } = \Pi _ { c } { } ^ { d } \; { \tilde { \Omega } } _ { d - } { } ^ { a b } = \Pi _ { c } { } ^ { d } \; \Pi _ { d } { } ^ { e } \; \Omega _ { e - } { } ^ { a b } = \Omega _ { c - } { } ^ { a b } \ .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { M _ { 1 } } & { = \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } + 1 2 c _ { 0 } - 3 c _ { 3 } c _ { 1 } } { 9 } , } \\ { M _ { 2 } } & { = \frac { 2 7 c _ { 1 } ^ { 2 } + 2 c _ { 2 } ^ { 3 } + 2 7 c _ { 3 } ^ { 2 } c _ { 0 } - 7 2 c _ { 2 } c _ { 0 } - 9 c _ { 3 } c _ { 2 } c _ { 1 } } { 5 4 } , } \\ { M _ { 3 } } & { = \left( M _ { 2 } + ( M _ { 2 } ^ { 2 } - M _ { 1 } ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } , } \\ { M _ { 4 } } & { = M _ { 3 } + \frac { M _ { 1 } } { M _ { 3 } } + \frac { c _ { 2 } } { 3 } , } \\ { M _ { 5 } } & { = ( c _ { 3 } ^ { 2 } + 4 ( M _ { 4 } - c _ { 2 } ) ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { M _ { 6 } } & { = \left( ( c _ { 3 } - M _ { 5 } ) ^ { 2 } - 8 \Big ( M _ { 4 } - \frac { c _ { 3 } M _ { 4 } - 2 c _ { 1 } } { M _ { 5 } } \Big ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\bar { x } _ { 3 } = f ( f ( f ( \bar { x } _ { 0 } ) + g ( \bar { x } _ { 0 } ) \Delta a _ { 0 } ) + g ( \bar { x } _ { 1 } ) \Delta a _ { 1 } ) + g ( \bar { x } _ { 2 } ) \Delta a _ { 2 }
\langle x ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime \prime } , \tau ^ { \prime \prime } | p _ { x } ^ { \prime } , p _ { t } ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } \rangle = \exp \{ i p _ { x } ^ { \prime } x ^ { \prime \prime } + i p _ { t } ^ { \prime } t ^ { \prime \prime } \} / [ ( { p _ { x } } ^ { \ 2 } / 2 m ) + { p _ { t } } ^ { \prime } ] ,
\kappa _ { \mathrm { h } } = \frac { g _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } } { \gamma _ { \mathrm { h } } } < \frac { g _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { \gamma _ { \mathrm { c } } } = \kappa _ { \mathrm { c } }
\begin{array} { r l } { H _ { n } [ h _ { n } ] ( 1 ) } & { = - \frac { H _ { n } [ h _ { n } ] ( 1 ) } { 2 n G _ { n } ( 1 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { n + 1 } ( \textnormal { I d } - \sigma _ { \Omega _ { m } } \mathcal { L } _ { n } ^ { \Omega _ { m } } ) ^ { - 1 } [ \mu _ { \Omega _ { m } } ^ { 0 } ( r ) r G _ { n } ( r ) ] d r } \\ & { \qquad + \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { n + 1 } ( \textnormal { I d } - \sigma _ { \Omega _ { m } } \mathcal { L } _ { n } ^ { \Omega _ { m } } ) ^ { - 1 } [ \mu _ { \Omega _ { m } } ^ { 0 } d _ { n } ] ( r ) d r . } \end{array}
S _ { \mu \nu } : = \left( \begin{array} { c } { { G _ { \mu \nu } } } \\ { { E _ { \mu \nu } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { g _ { \mu \nu } } } \\ { { H _ { \mu \nu } } } \end{array} \right) + i \left( \begin{array} { c } { { B _ { \mu \nu } } } \\ { { M _ { \mu \nu } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { d _ { i } ^ { ( k ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y } ~ p ( t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) , } \\ { \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \, u , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y } ~ 1 - p ( t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { l i } ( \mathbf { r } ) } & { = I \left[ S ( \mathbf { r } ) \; \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \mathfrak { M } \cos \left( \mathbf { r } \cdot \mathbf { k } _ { i } + \phi _ { l } \right) \right) \right] \otimes U _ { \mathrm { w f } } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \gamma _ { i } } & { = \arctan { \frac { k _ { x } ^ { i } } { k _ { y } ^ { i } } } , \, L = 2 \pi / \sqrt { { k _ { x } ^ { i } } ^ { 2 } + { k _ { y } ^ { i } } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { i _ { s x } ( \textbf { a } ^ { 1 } , } & { \ldots , \textbf { a } ^ { k } ; y ) : = } \\ & { \log _ { 2 } \frac { \mathcal { P } ( y ) - \mathcal { P } ( y \cap ( \bar { \textbf { a } } ^ { 1 } \cap \ldots \cap \bar { \textbf { a } } ^ { k } ) ) } { 1 - \mathcal { P } ( \bar { \textbf { a } } ^ { 1 } \cap \ldots \cap \bar { \textbf { a } } ^ { k } ) } - \log _ { 2 } \mathcal { P } ( y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { 1 } ( x , p , t ) } { \partial t } = } & { \frac { \partial V _ { 1 } ( x , p ) } { \partial x } \frac { \partial P _ { 1 } ( x , p , t ) } { \partial p } - \frac { p } { m } \frac { \partial P _ { 1 } ( x , p , t ) } { \partial x } } \\ & { + \frac { \Gamma } { \hbar } \Re ( \tilde { f } ( E ( x ) , t ) ) P _ { 0 } ( x , p , t ) - \frac { \Gamma } { \hbar } ( 1 - \Re ( \tilde { f } ( E ( x ) , t ) ) ) P _ { 1 } ( x , p , t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { H } = D S _ { z } ^ { 2 } + \Pi \left( S _ { x } ^ { 2 } - S _ { y } ^ { 2 } \right) + \gamma \mathbf { B } _ { \perp } \cdot \mathbf { S } _ { \perp } + \gamma B _ { z } S _ { z } , } \end{array}
\rho \bigg ( \sum _ { b ^ { \prime } } | b ^ { \prime } \rangle \langle b ^ { \prime } | \bigg ) ( \rho - 1 ) = 0 \implies \sum _ { b ^ { \prime } } \bigg [ \rho | b ^ { \prime } \rangle \langle b ^ { \prime } | ( \rho - 1 ) \bigg ] \implies \sum _ { b ^ { \prime } } \bigg [ b ^ { \prime } \ | b ^ { \prime } \rangle \langle b ^ { \prime } | ( b ^ { \prime } - 1 ) \bigg ] = 0 \implies b ^ { \prime } = 0 ~ ~ ~ \mathrm { o r } ~ ~ ~ b ^ { \prime } = 1 .
\begin{array} { r l } { \langle U \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { 0 } , V \Phi _ { 0 } \rangle } & { = \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { 0 } , U ^ { \dag } V \Phi _ { 0 } \rangle } \\ & { = \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) \langle U \Phi _ { 0 } , V \Phi _ { 0 } \rangle + \sum _ { \alpha \in \Xi ( G ) ^ { c } } \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { 0 } , \Phi _ { \alpha } \rangle \langle X _ { \alpha } U \Phi _ { 0 } , V \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes 3 } } & { \simeq 2 \Sigma ^ { 1 6 , 1 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } \oplus \Sigma ^ { 2 4 , 2 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } , } \\ { \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } } & { \simeq \Sigma ^ { 2 4 , 3 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \Sigma ^ { 4 0 , 6 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } . } \end{array}
\kappa = \frac { k } { m _ { f } } \; \; ; \; \; L ^ { 2 } = \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { m _ { f } ^ { 2 } } = \frac { \left[ T _ { i } ^ { 2 } - T _ { c } ^ { 2 } \right] } { \left[ T _ { c } ^ { 2 } - T _ { f } ^ { 2 } \right] } \; \; ; \; \; \tau = m _ { f } t \; \; ; \; \; \vec { x } = m _ { f } \vec { r }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { 1 } ( \eta , \boldsymbol { \lambda } , \theta ) = \operatorname * { m a x } _ { k } a _ { k } ( t _ { k } ^ { u p } + \frac { v C _ { k } J _ { k } \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { \eta } ) } { f _ { k } } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { k } \Big [ a _ { k } \big ( t _ { k } ^ { u p } p _ { k } ^ { u p } + \zeta _ { k } v C _ { k } J _ { k } \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { \eta } ) f _ { k } ^ { 2 } \big ) - { { E } } _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } \Big ] + \theta ( \eta - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle n _ { a } l _ { a } j _ { a } \| \mathrm { t } ^ { ( 1 ) } \| n _ { b } l _ { b } j _ { b } \rangle = \left( \frac { ( 2 j _ { b } + 1 ) \omega } { \pi c } \right) ^ { 1 / 2 } ( - 1 ) ^ { j _ { a } - 1 / 2 } \left( \begin{array} { c c c } { j _ { a } } & { 1 } & { j _ { b } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } & { 0 } & { - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right) \overline { { M _ { a b } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \pi } _ { a _ { } } } & { { } \approx \Delta t { } \int _ { 0 } ^ { a _ { } } \mathbf { u } _ { b _ { } } ^ { a _ { } - \alpha { } } \mathrm { d } \alpha \, \mathbf { f } _ { b _ { } } + \mathbf { u } _ { b _ { } } ^ { a _ { } } \boldsymbol { \pi } _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { L } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { = \frac { 1 } { 6 } ( - u _ { i - 2 } + 5 u _ { i - 1 } + 2 u _ { i } ) , } \\ { P _ { \mathrm { C } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { = \frac { 1 } { 6 } ( 2 u _ { i - 1 } + 5 u _ { i } - u _ { i + 1 } ) , } \\ { P _ { \mathrm { R } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { = \frac { 1 } { 6 } ( 1 1 u _ { i } - 7 u _ { i + 1 } + 2 u _ { i + 2 } ) , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c } { \chi _ { 1 1 } } & { \chi _ { 1 2 } } & { \chi _ { 1 3 } } \\ { \chi _ { 2 1 } } & { \chi _ { 2 2 } } & { \chi _ { 2 3 } } \\ { \chi _ { 3 1 } } & { \chi _ { 3 2 } } & { \chi _ { 3 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { q _ { 1 } } \\ { q _ { 2 } } \\ { q _ { 3 } } \end{array} \right] = \sigma \left[ \begin{array} { c } { F _ { 1 2 } \left( T _ { 1 } ^ { 4 } - T _ { 2 } ^ { 4 } \right) + F _ { 1 3 } \left( T _ { 1 } ^ { 4 } - T _ { a m b } ^ { 4 } \right) } \\ { F _ { 2 1 } \left( T _ { 2 } ^ { 4 } - T _ { 1 } ^ { 4 } \right) + F _ { 2 3 } \left( T _ { 2 } ^ { 4 } - T _ { a m b } ^ { 4 } \right) } \\ { F _ { 3 1 } \left( T _ { a m b } ^ { 4 } - T _ { 1 } ^ { 4 } \right) + F _ { 3 2 } \left( T _ { a m b } ^ { 4 } - T _ { 2 } ^ { 4 } \right) } \end{array} \right] { , }
{ \cal L } _ { N B I } = ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } g ) ^ { - 2 } ~ \mathrm { T r } ~ \left[ { \cal I } - \sqrt { \operatorname * { d e t } ( \delta _ { a b } { \cal I } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } g F _ { a b } ) } \right] .
Z _ { 1 } ^ { \prime } = e ^ { i \sigma _ { 1 } / ( n - m \theta ) } e ^ { - 2 \pi i n \theta ^ { \prime } Q } , ~ ~ Z _ { 2 } ^ { \prime } = e ^ { 2 \pi i / n } V e ^ { i \sigma _ { 2 } ( 1 - T _ { n - 1 } ) } .
\begin{array} { r } { \nu T _ { \nu } \left\lVert \nabla u ^ { \nu } ( { \xi ^ { \nu } } ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \le \frac 1 2 \left\lVert u ^ { \nu } ( 0 ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \varepsilon } } K ( \varepsilon ) K ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) = { \frac { 1 } { \varepsilon ( 1 - \varepsilon ^ { 2 } ) } } { \bigl [ } E ( \varepsilon ) K ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) - K ( \varepsilon ) E ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) - ( 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } ) K ( \varepsilon ) K ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) { \bigr ] }
d s ^ { 2 } = - \sqrt { a r } \left( a r + \sqrt { a r } + 1 \right) ^ { 3 / 2 } e ^ { \sqrt { 3 } \arctan \frac { \sqrt { 3 a r } } { 2 + \sqrt { a r } } } d U d V + r ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { A _ { 2 } ^ { \prime } } & { = } & { - 0 . 0 5 4 , \ A _ { 4 } ^ { \prime } = 0 \ \mathrm { f o r \ a \ p u r e } \ E 1 - E 2 \mathrm { \ t r a n s i t i o n \ a n d , } } \\ { A _ { 2 } ^ { \prime } } & { = } & { 0 . 1 7 5 , \ A _ { 4 } ^ { \prime } = 0 \ \mathrm { f o r \ a \ p u r e } \ E 1 - M 1 \mathrm { \ t r a n s i t i o n . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hbar ^ { 2 } \ddot { \check { q } } } & { = } & { \frac { ( 2 \check { q } - 1 ) } { 2 \check { q } ( \check { q } - 1 ) } ( \hbar \dot { \check { q } } ) ^ { 2 } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { t } \dot { \check { q } } + \frac { 2 t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } ( \check { q } - 1 ) } { t ^ { 2 } \check { q } } - \frac { ( t _ { X _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , 0 } - t _ { X _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , 0 } ) ^ { 2 } \check { q } } { 2 t ^ { 2 } ( \check { q } - 1 ) } } \\ & { } & { + 2 \check { q } ( \check { q } - 1 ) ( 2 \check { q } - 1 ) + \frac { 2 \check { q } ( \check { q } - 1 ) } { t } ( 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb P \left[ \textsc { l a z y } \left( \mathcal S , ( \Lambda , \sigma ) \oplus \bigoplus _ { k = 1 } ^ { j - 1 } ( w _ { k } , \tau _ { w _ { k } } ) , w _ { j } , \Gamma \right) = \tau _ { w _ { j } } \right] = \mu _ { w _ { j } } ^ { \left( \Lambda , \sigma ) \oplus \bigoplus _ { k = 1 } ^ { j - 1 } ( w _ { k } , \tau _ { w _ { k } } \right) } ( \tau _ { w _ { j } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k \left( \frac { 1 } { 1 + s _ { i } ( 0 ) } - \frac { 1 } { 1 + \operatorname* { m a x } _ { B _ { \rho ^ { k } ( 0 ) } } s _ { i } ( x ) } \right) } & { \leq k \left( \operatorname* { m a x } _ { B _ { \rho ^ { k } ( 0 ) } } s _ { i } ( x ) - s _ { i } ( 0 ) \right) } \\ & { \leq k \omega ( \rho ^ { k } ) , } \end{array}
i G _ { -- } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ; { \bf k } ) = \theta ( x _ { 0 } - y _ { 0 } ) f _ { 2 } ^ { k } ( x _ { 0 } ) f _ { 1 } ^ { k } ( y _ { 0 } ) + \theta ( y _ { 0 } - x _ { 0 } ) f _ { 1 } ^ { k } ( x _ { 0 } ) f _ { 2 } ^ { k } ( y _ { 0 } )
\begin{array} { r } { \lVert \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rVert _ { \mathrm { B } _ { r , r } ^ { - \frac { 1 } { r } } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \lesssim _ { r , p , s , n } \lVert u \rVert _ { { \dot { \mathrm { H } } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { { \dot { \mathrm { H } } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . } } \end{array}
Z \; = \; \int D \overline { { { q } } } D q \; \mathrm { e x p } \Big \{ i \Big [ \int d ^ { 4 } x \; \bar { q } ( x ) \big ( i \hat { \partial } - m _ { 0 } \big ) q ( x ) \Big ] + i { \S } _ { i n t } \Big \} \, ,
\left\| f \right\| _ { L ^ { \kappa _ { d } } ( \mathbb { T } _ { L } ) } \leq C L ^ { \theta _ { d } } \left\| \nabla f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { \lambda _ { d } ^ { \prime } } ( \mathbb { T } _ { L } ) } ^ { \theta _ { d } } \left\| f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { T } _ { L } ) } ^ { 1 - \theta _ { d } } + C \left\| f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { T } _ { L } ) } .
\begin{array} { r l r } & { \operatorname* { m a x } _ { { \tilde { { \Phi } } } } \quad { \mathcal { R } } \{ { \tilde { { \Phi } } } ^ { \mathrm H } { \bf e } \} - \tilde { { \Phi } } ^ { \mathrm H } { \mathbf { F } } \tilde { { \Phi } } } & \\ & { \quad \mathrm { s . t . } \quad { { \tilde { { \Phi } } } } ^ { \mathrm H } { \mathbf { J } } { { \tilde { { \Phi } } } } \leqslant P _ { \mathrm { R I S } } ^ { \mathrm { a c t } } , } \\ & { \quad \quad \quad 2 { \mathcal { R } } \! \left\{ { \tilde { \Phi } } ^ { \mathrm H } \! \left( { \bf r } _ { i } \! + \! { \mathbf { R } } _ { i } { \tilde { \Phi } } ( t ) \! \right) \right\} \! \! \geqslant \! \tilde { P _ { { i } } ^ { ' } } , i \! \in \! \{ 1 , \cdots , K _ { E } \} , } \end{array}
v _ { c } ^ { 3 } \approx g H _ { P } ( \chi _ { X } / \chi _ { \rho } ) v _ { c } \nabla _ { X } \approx g H _ { P } ( \chi _ { X } / \chi _ { \rho } ) ( F _ { X } / \rho X ) \approx F _ { \mathrm { g r a v } } / \rho
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \mu - \sigma ) h _ { \epsilon } ( \sigma ) \right| d \sigma } & { { } \leq | h _ { \epsilon } ( \mu ) | \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \mu - \sigma ) \right| d \sigma + \int _ { - \infty } ^ { \infty } | h _ { \epsilon } ( \sigma ) - h _ { \epsilon } ( \mu ) | | \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \mu - \sigma ) | d \sigma } \end{array}
T _ { q } = \frac { g _ { 3 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi } \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { C _ { \widetilde { \chi ^ { 0 } } } ^ { ( i ) } } { m _ { H _ { i } ^ { 0 } } ^ { 2 } } \sum _ { q = c , b . t } C _ { q } ^ { ( j ) }
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { R } } _ { \mathrm { o p t . } } ( J ) \approx A _ { 1 } ( 2 J + 1 ) ^ { B } } \\ { \hat { \delta } _ { \mathrm { o p t . } } ( J ) \approx A _ { 2 } ( 2 J + A _ { 3 } ) ^ { - B } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { j } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { u _ { j } ^ { n } - \frac { \Delta t } { h _ { j } } \left[ { R e s } _ { j } ^ { n } - s ( x _ { j } , t ^ { n } ) h _ { j } \right] , } \\ { u _ { j } ^ { n + 1 } } & { = } & { \frac { u _ { j } ^ { n } + u _ { j } ^ { ( 1 ) } } { 2 } - \frac { \Delta t } { 2 h _ { j } } \left[ { R e s } _ { j } ^ { ( 1 ) } - s ( x _ { j } , t ^ { n } + \Delta t ) h _ { j } \right] , } \end{array}
\mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { R P } \right) } \left( t \right) = - \frac { 1 } { \rho _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { \xi } } \frac { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \right\vert } \cos \left( \arg \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) - \arg \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) + \xi \pi \right) \mathrm { e } ^ { - \rho _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { c \in \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } \right] \log \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } \right] } & { = \sum _ { c \in \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } \right] \log \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } \right] + \mathbb { E } _ { \mu } \left[ \widetilde { D } _ { c } \right] \log \mathbb { E } _ { \mu } \left[ \widetilde { D } _ { c } \right] } \\ & { \quad - \sum _ { c \in \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } \mathbb { E } _ { \mu } \left[ \widetilde { D } _ { c } \right] \log \mathbb { E } _ { \mu } \left[ \widetilde { D } _ { c } \right] . } \end{array}