harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\phi _ { n , { \mathrm R } } = t _ { n , \mathrm R } - t _ { 0 , \mathrm R } - n \cdot \langle P \rangle _ { \mathrm R } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { i } - { \frac { n } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \psi _ { i }
\Pi ^ { \mu } = d x ^ { \mu } + { \tilde { \Pi } } ^ { \mu } = d x ^ { \mu } + ( 1 / 2 ) ( C \Gamma ^ { \mu } ) _ { \alpha \beta } \theta ^ { \alpha } d \theta ^ { \beta } \quad , \quad \mu = 0 , 1 , \dots , D - 1 \quad .
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { N } ( \boldsymbol { X } ) Z ] _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } & { \leq \frac { C } { | \boldsymbol { X } | _ { * } } \Big ( 1 + \Big ( \frac { \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } { | \boldsymbol { X } _ { * } | } \Big ) ^ { 2 } \Big ) \| Z \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
L _ { G } ( u ) _ { j } ^ { i } = E _ { 0 } + \sum _ { \alpha \neq ( 0 , 0 ) } E _ { \alpha } ( I _ { \alpha } ) _ { j } ^ { i } = \sum _ { k } \phi ( u , z ) _ { k } ^ { i } \phi ^ { - 1 } ( u , z ) _ { j } ^ { k } \partial _ { u } - l \sum _ { k } \partial _ { u } \phi ( u , z ) _ { k } ^ { i } \phi ^ { - 1 } ( u , z ) _ { j } ^ { k } ,
\begin{array} { r l } { _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 1 ; 2 ; - z \right) } & { { } = { \frac { \ln ( 1 + z ) } { z } } } \\ { _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; b ; z ) } & { { } = ( 1 - z ) ^ { - a } , \quad ( \forall b ) } \\ { _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { 3 } { 2 } } ; z ^ { 2 } \right) } & { { } = { \frac { \arcsin ( z ) } { z } } } \\ { \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 3 } } ; { \frac { 3 } { 2 } } ; - { \frac { 2 7 x ^ { 2 } } { 4 } } \right) } & { { } = { \frac { { \sqrt [ [object Object] ] { \frac { 3 x { \sqrt { 3 } } + { \sqrt { 2 7 x ^ { 2 } + 4 } } } { 2 } } } - { \sqrt [ [object Object] ] { \frac { 2 } { 3 x { \sqrt { 3 } } + { \sqrt { 2 7 x ^ { 2 } + 4 } } } } } } { x { \sqrt { 3 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( ( t + g ) \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \mathcal { S } _ { i } ^ { x } } & { = - \sum _ { j \neq i } J _ { i , j } \mathcal { S } _ { i } ^ { z } \mathcal { S } _ { j } ^ { y } d T - \sqrt { \Gamma _ { z } } \mathcal { S } _ { i } ^ { y } d W ^ { z } } \\ { d \mathcal { S } _ { i } ^ { y } } & { = \sum _ { j \neq i } J _ { i , j } \mathcal { S } _ { i } ^ { z } \mathcal { S } _ { j } ^ { x } d T + \sqrt { \Gamma _ { z } } \mathcal { S } _ { i } ^ { x } d W ^ { z } } \\ { d \mathcal { S } _ { i } ^ { z } } & { = \sum _ { j \neq i } J _ { i , j } \left( \mathcal { S } _ { i } ^ { x } \mathcal { S } _ { j } ^ { y } - \mathcal { S } _ { i } ^ { y } \mathcal { S } _ { j } ^ { x } \right) d T . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { Y M } } = - { \frac { 1 } { 4 g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } } } G _ { \mu \nu } ^ { a } G ^ { a \mu \nu } + { \frac { \theta } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } G _ { \mu \nu } ^ { a } { \widetilde G } ^ { a \mu \nu } = - { \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { R e } \left( \tau \left[ G _ { \mu \nu } ^ { a } G ^ { a \mu \nu } + i G _ { \mu \nu } ^ { a } { \widetilde G } ^ { a \mu \nu } \right] \right) ~ .
F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { \pi } ( q ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) \int _ { 4 m ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { A _ { 1 } ( t ) } { ( t - \mu ^ { 2 } ) ( t - q ^ { 2 } ) } \, \mathrm { d } t + c \, .
S _ { e f f } = \int \! d ^ { 4 } \! x ~ [ ~ \pi _ { 0 } \dot { A } ^ { 0 } + \pi _ { i } \dot { A } ^ { i } + \pi _ { \rho } \dot { \rho } + B _ { 2 } \dot { N } ^ { 2 } + \overline { { { \cal P } } } _ { i } \dot { \cal C } ^ { i } + \overline { { { \cal C } } } _ { 2 } \dot { \cal P } ^ { 2 } ~ ] - H _ { t o t a l } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathcal M } _ { u } ( \lambda ) \equiv \left( 1 + \frac { \nu D _ { u } } { d _ { 1 } ^ { u } } \right) I + 2 \pi \nu D _ { u } \frac { d _ { 2 } ^ { u } } { d _ { 1 } ^ { u } } \mathrm { K } _ { 1 1 } + 2 \pi \nu \mathcal { G } _ { u , \lambda } \, , \qquad { \mathcal H } _ { u } ( \lambda ) \equiv 2 \pi \nu D _ { v } \frac { d _ { 2 } ^ { u } } { d _ { 1 } ^ { u } } \mathrm { K } _ { 1 2 } \, , } \\ & { } & { { \mathcal H } _ { v } ( \lambda ) \equiv 2 \pi \nu D _ { u } \frac { d _ { 2 } ^ { v } } { d _ { 1 } ^ { v } } \mathrm { K } _ { 2 1 } \, , \qquad { \mathcal M } _ { v } ( \lambda ) \equiv \left( 1 + \frac { \nu D _ { v } } { d _ { 1 } ^ { v } } \right) I + 2 \pi \nu D _ { v } \frac { d _ { 2 } ^ { v } } { d _ { 1 } ^ { v } } \mathrm { K } _ { 2 2 } + 2 \pi \nu \mathcal { G } _ { v , \lambda } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \scriptsize { \textrm { D e e P K S } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] = } & { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \scriptsize { \textrm { b a s e l i n e } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] - \frac { \partial E ^ { \delta } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} , \omega ] } { \partial \varepsilon _ { \alpha \beta } } } \\ { = } & { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \scriptsize { \textrm { b a s e l i n e } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] - \sum _ { I n l m m ^ { \prime } } \frac { \partial E _ { \delta } } { \partial D _ { n l m m ^ { \prime } } ^ { I } } \sum _ { i } \frac { d } { d \varepsilon _ { \alpha \beta } } [ f _ { i } \langle \phi _ { i } | \alpha _ { n l m } ^ { I } \rangle \langle \alpha _ { n l m ^ { \prime } } ^ { I } | \phi _ { i } \rangle ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \mathcal { M } _ { \Theta } f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \leq \big ( \sum _ { | I | = \mathbf { C } } \| \operatorname* { s u p } _ { k \geq \mathbf { C } \cdot \log ^ { 2 } N } | \Xi _ { k } f | \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } + \mathbf { C } \cdot \log N \cdot \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { \leq \mathbf { C } \cdot \big ( \sum _ { | I | = \mathbf { C } } \| \mathcal { F } _ { \Theta } \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } + \mathbf { C } \cdot \log N \cdot \big ( \sum _ { | I | = \mathbf { C } } \| \mathcal { V } _ { \vec { f _ { \Theta } } } ^ { r } \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \mathbf { C } \cdot N ^ { - 1 0 0 } \cdot \big ( \sum _ { | I | = \mathbf { C } } \| M _ { \mathrm { H L } } f \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } + \mathbf { C } \cdot \log N \cdot \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { \qquad \leq \mathbf { C } \cdot \big ( \| \mathcal { F } _ { \Theta } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } + \log N \cdot \| \mathcal { V } _ { \vec { f _ { \Theta } } } ^ { r } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } + N ^ { - 1 0 0 } \cdot \| M _ { \mathrm { H L } } f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } + \log N \cdot \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \big ) } \\ & { \qquad \qquad \leq \mathbf { C } \cdot \log ^ { 2 } N \cdot \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \Delta \Gamma _ { 2 i } ^ { t + 1 } \right| } & { \leq \Gamma _ { 2 i } ^ { t } - \Gamma _ { 2 i } ^ { t } \cdot e ^ { - \gamma _ { 2 } \cdot \frac { 1 5 } { \zeta } \cdot \frac { \log n } { n } } } \\ & { \leq \Gamma _ { 2 i } ^ { t } - \Gamma _ { 2 i } ^ { t } \cdot \left( 1 - 2 \cdot \gamma _ { 2 } \cdot \frac { 1 5 } { \zeta } \cdot \frac { \log n } { n } \right) } \\ & { = \Gamma _ { 2 i } ^ { t } \cdot \gamma _ { 2 } \cdot \frac { 3 0 } { \zeta } \cdot \frac { \log n } { n } \leq \sqrt { \frac { \log n } { b n } } \cdot n ^ { 1 / 8 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } w _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = 0 , } \\ { \frac { \mathrm { d } \tilde { \mu } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = 0 , } \\ { \frac { \mathrm { d } z _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = v _ { z , p } , } \\ { \frac { \mathrm { d } v _ { z , p } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { q _ { p } } { m _ { p } } E _ { z } ( z _ { p } ) - \tilde { \mu } _ { p } \left. \frac { \mathrm { d } B } { \mathrm { d } z } \right| _ { z _ { p } } . } \end{array}
( d ^ { K } [ v _ { 0 } , \dots , \hat { v _ { i } } , \dots , v _ { p } ] , [ v _ { 0 } , \dots , v _ { p } ] ) = ( [ v _ { 0 } , \dots , \hat { v _ { i } } , \dots , v _ { p } ] , \partial ^ { K } [ v _ { 0 } , \dots , v _ { p } ] ) .
\mathcal { D A } = \frac { 1 } { a } \left( \frac { \partial V _ { 2 } } { \partial \omega _ { 2 } ^ { o } } - \frac { \partial V _ { 1 } } { \partial \omega _ { 1 } ^ { o } } \right) \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) + \left( \frac { \partial V _ { 2 } } { \partial r _ { 2 } } + \frac { \partial V _ { 1 } } { \partial r _ { 1 } } \right) \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) .
\sum _ { \alpha } | \tilde { \Psi } _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \tilde { \Psi } _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } | \hat { F } ^ { \mathrm { ~ s ~ a ~ } } | \tilde { \Psi } _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \tilde { \Psi } _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } |
\frac { 1 } { r } \frac { \partial R } { \partial \theta } \sim - \frac { ( r - r _ { 0 } ) } { r } r _ { 0 } ^ { \prime } ( \theta ) \frac { \partial ^ { 2 } R } { \partial r ^ { 2 } } ( r _ { 0 } ( \theta ) , \theta ) + \frac { ( r - r _ { 0 } ( \theta ) ) ^ { 2 } } { 2 r } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \frac { \partial ^ { 2 } R } { \partial r ^ { 2 } } ( r _ { 0 } ( \theta ) , \theta ) \right)
\begin{array} { r l r } { \mathrm { E } [ \hat { Y } _ { \tau } ^ { ( 1 ) } ] } & { { } = } & { 0 , } \\ { \mathrm { E } [ ( \hat { Y } _ { \tau } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } ] } & { { } = } & { \varphi ( \hat { Y } _ { \tau } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } \int _ { r } ^ { \tau } \! \frac { d s } { \varphi ( \hat { Y } _ { s } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } ( s - r + 1 ) ^ { 2 } } , } \\ { \mathrm { E } [ \hat { Y } _ { \tau } ^ { ( 2 ) } ] } & { { } = } & { \frac { \varphi ( \hat { Y } _ { \tau } ^ { ( 0 ) } ) } { 2 } \int _ { r } ^ { \tau } \! \frac { \varphi ^ { \prime \prime } ( \hat { Y } _ { s } ^ { ( 0 ) } ) E [ ( \hat { Y } _ { s } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } ] } { \varphi ( \hat { Y } _ { s } ^ { ( 0 ) } ) ( s - r + 1 ) } \, d s . } \end{array}
d ( b _ { i j } b _ { i j } ) = ( 2 b _ { i j } \mu _ { i j } + 2 b _ { i j } \gamma _ { i j } + D _ { i j k l } D _ { i j k l } ) d t ^ { \prime } + 2 b _ { i j } D _ { i j k l } \; d W _ { k l } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { \ddot { \bar { x } } } & { = } & { - \frac { c } { m _ { t } } \dot { \bar { x } } + \frac { c _ { t } m d } { B } \dot { \bar { \theta } } \cos \bar { \theta } + \frac { m d } { m _ { t } } \dot { \bar { \theta } } ^ { 2 } \sin \bar { \theta } - \frac { m d } { B } ( \bar { M } - m g d \sin \bar { \theta } - \bar { M } _ { w } ) \cos \bar { \theta } - \frac { m d } { m _ { t } } \Delta \cos \bar { \theta } } \\ { \ddot { \bar { z } } } & { = } & { - \frac { c } { m _ { t } } \dot { \bar { z } } - \frac { c _ { t } m d } { B } \dot { \bar { \theta } } \sin \bar { \theta } - \frac { m d } { m _ { t } } \dot { \bar { \theta } } ^ { 2 } \cos \bar { \theta } - \frac { m d } { B } ( \bar { M } - m g d \sin \bar { \theta } - \bar { M } _ { w } ) \sin \bar { \theta } - \frac { m d } { m _ { t } } \Delta \sin \bar { \theta } } \\ { \ddot { \bar { \theta } } } & { = } & { - \frac { c _ { t } m _ { t } } { B } \dot { \bar { \theta } } + \frac { m _ { t } } { B } ( \bar { M } - m g d \sin \bar { \theta } - \bar { M } _ { w } ) + \Delta } \end{array}
\left( \eta _ { 2 } ^ { ( 2 M , r ) } \right) ^ { 2 } = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { J } } d x \ \big | \psi ^ { ( 2 M + 2 , r + 1 ) } ( x , t _ { \mathrm { f } } ) - \psi ^ { ( 2 M , r ) } ( x , t _ { \mathrm { f } } ) \big | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } _ { A } ( x , z , \gamma ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left\{ ( p - \delta _ { j } z _ { j } ) x _ { j } + z _ { j } a _ { j } ^ { S B , M } ( z ) + \frac 1 2 b _ { j } ^ { S B , M } ( \gamma _ { j } ) ^ { 2 } \gamma _ { j } - g _ { j } ( a ^ { S B , M } ( z ) ) - \phi _ { j } ( b _ { j } ^ { S B , M } ( \gamma _ { j } ) ) \right\} \; . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { m _ { 1 } \rightarrow 0 } \Bigl | \langle ( \bar { \psi } _ { 1 } \psi _ { 1 } \rangle _ { A } | _ { h = 0 } \Bigr | = \operatorname * { l i m } _ { m _ { 2 } \rightarrow 0 } \Bigl | \langle ( \bar { \psi } _ { 2 } \psi _ { 2 } \rangle _ { A } | _ { h = 0 } \Bigr |
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 3 1 2 } } + { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { p } } & { = \sum _ { i \in K } \alpha _ { i } \langle e _ { i } , f _ { p } \rangle = \langle x , f _ { p } \rangle = \sum _ { i \in K } \beta _ { i } \langle f _ { i } , f _ { p } \rangle = \sum _ { i \in K } g _ { i p } ^ { F } \beta _ { i } , \qquad \forall p \in K , } \\ { \mathrm { a n d } \qquad \beta _ { q } } & { = \sum _ { j \in K } \beta _ { j } \langle f _ { j } , e _ { q } \rangle = \langle x , e _ { q } \rangle = \sum _ { j \in K } \alpha _ { j } \langle e _ { j } , e _ { q } \rangle = \sum _ { j \in K } g _ { j q } ^ { E } \alpha _ { j } , \qquad \forall q \in K . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { Y _ { \mathrm { e x p } } = y _ { \mathrm { e x p } } , x _ { \mathrm { c a l } } , z _ { \mathrm { c a l } } } ( \theta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \exp \left[ - \frac { \left( h _ { \mathrm { o b s } } ( x _ { \mathrm { c a l } } , \theta , z _ { \mathrm { c a l } } ) - y _ { \mathrm { e x p } } ( x _ { \mathrm { c a l } } , z _ { \mathrm { c a l } } ) \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \omega _ { \mathrm { P B C } } \left( k _ { 1 } , k _ { y } \right) } { c } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \omega _ { \mathrm { P B C } } \left( k _ { 2 } , k _ { y } \right) } { c } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { = } & { \eta _ { y y } s _ { 0 } ^ { 2 } + \left( \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } \right) k _ { y } ^ { 2 } = \left( \frac { \omega _ { \mathrm { P E C } } \left( s _ { 0 } , k _ { y } \right) } { c } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \mathbf { u } _ { - 1 } } [ T _ { 1 } ] } & { = } & { \frac { \hbar } { 2 } ( 2 r _ { \infty } - 3 ) t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \partial _ { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } [ T _ { 1 } ] + \frac { \hbar } { 2 } ( 2 r _ { \infty } - 5 ) t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 5 } \partial _ { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 5 } } [ T _ { 1 } ] } \\ & { = } & { \frac { \hbar } { 2 } ( 2 r _ { \infty } - 3 ) t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \left( - \frac { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 5 } } { 2 r _ { \infty } - 5 } \frac { ( 2 r _ { \infty } - 5 ) } { ( 2 r _ { \infty } - 3 ) } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { - \frac { 2 r _ { \infty } - 5 } { 2 r _ { \infty } - 3 } } \left( t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \right) ^ { - \frac { 2 r _ { \infty } - 5 } { 2 r _ { \infty } - 3 } - 1 } \right) } \\ & { } & { + \frac { \hbar } { 2 } ( 2 r _ { \infty } - 5 ) t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 5 } \frac { 1 } { 2 r _ { \infty } - 5 } \left( \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \right) ^ { - \frac { 2 r _ { \infty } - 5 } { 2 r _ { \infty } - 3 } } } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
T = d i a g \{ \tilde { q } ^ { ( p - 1 ) ^ { 2 } / 4 - p / 8 } , \tilde { q } ^ { ( p - 2 ) ^ { 2 } / 4 - p / 8 } , \tilde { q } ^ { ( p - 2 ) ^ { 2 } / 4 - p / 8 } , \ldots \tilde { q } ^ { 2 ^ { 2 } / 4 - p / 8 } , \tilde { q } ^ { 2 ^ { 2 } / 4 - p / 8 } , \tilde { q } ^ { 1 ^ { 2 } / 4 - p / 8 } \}
\frac { 1 } { ( \Delta t ) ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } _ { i } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ) } \mathcal { Z } \Bigg | _ { \theta , \tilde { \theta } = 0 } = \langle [ \tilde { \phi } _ { i } ( \tau _ { + } ) + 1 ] \phi _ { i } ( \tau ) \rangle
\begin{array} { r l } { s _ { r } ( x , \widetilde { \mu } _ { r } ) } & { { } = k ( \widetilde { \mu } _ { r } ) \Biggl \{ 1 + \biggl [ \frac { ( x - \widetilde { \mu } _ { r } ) } { 0 . 0 5 } \biggl ] ^ { 2 } \Biggl \} ^ { - 2 . 5 } } \end{array}
{ \frac { D \omega } { D t } } = c _ { \omega _ { 1 } } { \frac { \omega } { k } } P _ { k } - c _ { \omega _ { 2 } } \omega ^ { 2 } + { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left[ ( \nu + { \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { \omega } } } ) { \frac { \partial \omega } { \partial x _ { j } } } \right] + 2 ( 1 - F _ { 1 } ) { \frac { \sigma _ { \omega _ { 2 } } } { \omega } } { \frac { \partial k } { \partial x _ { j } } } { \frac { \partial \omega } { \partial x _ { j } } }
\begin{array} { r } { | \psi _ { L } \rangle = \frac { 2 \pi A } { i \hbar } \iint F ( \omega _ { o } , \omega _ { e } ) | \omega _ { o } \rangle _ { o } | \omega _ { e } \rangle _ { e } d \omega _ { o } d \omega _ { e } . } \end{array}
\Delta = 2 G \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 4 \Delta w } { w ^ { 2 } - 4 \left[ ( | { \bf p } | ^ { 2 } - ( i p _ { 0 } + \delta \mu ) ^ { 2 } ) ( \bar { \mu } ^ { 2 } - | { \bf q } | ^ { 2 } ) + ( { \bf p } \cdot { \bf q } + \bar { \mu } ( i p _ { 0 } + \delta \mu ) ) ^ { 2 } \right] }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) \right\rVert ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\lVert \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rVert ^ { 2 } + \left\langle \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) , \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rangle - \frac { 1 } { 2 } \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rVert ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left\lVert \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rVert ^ { 2 } - \frac { 1 } { \lambda _ { k } } \left\langle y _ { k + 1 } - y _ { k } , \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rangle - \frac { 1 } { 2 } \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rVert ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \left\lVert \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rVert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { x } _ { 7 } } & { = \, \frac { \beta } { x _ { 1 } } \biggl [ - \biggl ( \quad k _ { 1 2 } ( x _ { 6 } - g _ { 1 } ) ( g _ { 1 } - x _ { 7 } ) } \\ & { \, \; - k _ { 1 3 } \frac { ( g _ { 1 } - x _ { 7 } ) ^ { 2 } } { k _ { 0 } x _ { 1 } } \biggr ) } \\ & { \, + \frac { k _ { 9 } ( g _ { 1 } - x _ { 7 } ) } { k _ { 1 5 } k _ { 0 } x _ { 1 } } - \frac { k _ { 9 } ( x _ { 7 } - x _ { 8 } ) } { k _ { 1 4 } + k _ { 1 5 } k _ { 0 } x _ { 1 } } \biggr ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \omega \} \times X \ni ( \omega , \overline { { x _ { 0 } } } ) } & { \sim ( \omega , x _ { 0 } , 0 ) \in \{ \omega \} \times \{ x _ { 0 } \} \times [ 0 , 1 ] , } \\ { \{ \omega x _ { 0 } \} \times Y \ni ( \omega x _ { 0 } , e _ { Y } ) } & { \sim ( \omega , x _ { 0 } , 1 ) \in \{ \omega \} \times \{ x _ { 0 } \} \times [ 0 , 1 ] . } \end{array}
\delta [ B _ { \mu } \dot { y } ^ { \mu } + B _ { \alpha } \dot { \psi } ^ { \alpha } + \lambda ^ { \alpha } \tilde { \chi } _ { \alpha } - \tilde { H } ] = { \frac { d } { d t } } \{ [ B _ { \mu } f ^ { \mu \nu } { \frac { \partial \tilde { \chi } _ { \alpha } } { \partial y ^ { \nu } } } + B _ { \beta } \omega ^ { \beta \rho } { \frac { \partial \tilde { \chi } _ { \alpha } } { \partial \psi ^ { \rho } } } + \tilde { \chi } _ { \alpha } ] \epsilon ^ { \alpha } \} \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { u } ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { V } ) } & { = \mathbf { V } \cdot \left( \partial _ { u } \mathbf { U } - \nabla \times \mathbf { V } \right) , } \\ { \nabla ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { V } ) } & { = \mathbf { V } ( \nabla \cdot \mathbf { U } ) - \mathbf { U } \times \left( \partial _ { u } \mathbf { U } - \nabla \times \mathbf { V } \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { i { \lambda } u ^ { 1 } - c _ { 1 } u _ { x x } ^ { 1 } = f ^ { 2 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { L ^ { 2 } ( 0 , l _ { 1 } ) , } \\ { i { \lambda } \rho z - \alpha v _ { x x } + \gamma \beta p _ { x x } + d _ { 2 } z = \rho f ^ { 4 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { L ^ { 2 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) , } \\ { i { \lambda } \mu q - \beta p _ { x x } + \gamma \beta v _ { x x } = \mu f ^ { 6 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { L ^ { 2 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) , } \\ { i { \lambda } y ^ { 1 } - c _ { 2 } y _ { x x } = f ^ { 8 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { L ^ { 2 } ( l _ { 2 } , L ) . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \theta } } } & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \, L _ { P _ { \theta } } ( \mathbf { y } ) = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \, P _ { \theta } ( \mathbf { y } ) = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \, P ( \mathbf { y } \mid \theta ) } \\ & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \, \prod _ { i = 1 } ^ { n } P ( y _ { i } \mid \theta ) = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \, \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log P ( y _ { i } \mid \theta ) } \\ & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \, \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log P ( y _ { i } \mid \theta ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log P ( y _ { i } \mid \theta _ { 0 } ) \right) = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \, \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \log P ( y _ { i } \mid \theta ) - \log P ( y _ { i } \mid \theta _ { 0 } ) \right) } \\ & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \, \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log { \frac { P ( y _ { i } \mid \theta ) } { P ( y _ { i } \mid \theta _ { 0 } ) } } = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m i n } } } \, \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log { \frac { P ( y _ { i } \mid \theta _ { 0 } ) } { P ( y _ { i } \mid \theta ) } } = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m i n } } } \, { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log { \frac { P ( y _ { i } \mid \theta _ { 0 } ) } { P ( y _ { i } \mid \theta ) } } } \\ & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m i n } } } \, { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } h _ { \theta } ( y _ { i } ) \quad { \underset { n \to \infty } { \longrightarrow } } \quad { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m i n } } } \, E [ h _ { \theta } ( y ) ] } \\ & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m i n } } } \, \int P _ { \theta _ { 0 } } ( y ) h _ { \theta } ( y ) d y = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m i n } } } \, \int P _ { \theta _ { 0 } } ( y ) \log { \frac { P ( y \mid \theta _ { 0 } ) } { P ( y \mid \theta ) } } d y } \\ & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m i n } } } \, D _ { \mathrm { K L } } ( P _ { \theta _ { 0 } } \parallel P _ { \theta } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\vert \int _ { s } ^ { t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla \Phi \cdot \left( A [ f _ { n } ] \nabla f _ { n } - A [ f ] \nabla f \right) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } \tau \right\vert } & { \le \left\vert \int _ { s } ^ { t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla \Phi \cdot A [ f _ { n } - f ] \nabla f _ { n } \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } \tau \right\vert } \\ & { \qquad + \left\vert \int _ { s } ^ { t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla \Phi \cdot A [ f ] \left( \nabla f _ { n } - \nabla f \right) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } \tau \right\vert . } \end{array}