harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \widehat { T } ) } & { = \frac { 4 V _ { \mathrm { c o v } } C _ { x , y } ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { 4 \eta ^ { 2 } T ^ { 2 } ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } { \eta ^ { 2 } V _ { 0 } m ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } \left[ c _ { \mathrm { p e } } + \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \eta T \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right] } \\ & { = \frac { 4 T ^ { 2 } } { V _ { 0 } m } \left[ c _ { \mathrm { p e } } + \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \eta T \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right] : = \sigma _ { T } ^ { 2 } . } \end{array}
T = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } T ^ { a } \otimes T ^ { a } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\mathrm { ~ a _ { \ m u } ^ { h a d } ~ } = { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 3 } } } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \sigma _ { h a d } ^ { 0 } \ K ( s ) = { \frac { m _ { \mu } ^ { 2 } } { 9 } } \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 2 } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ R ( s ) \ K _ { 2 } ( s ) \ { \frac { 1 } { s ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r l r l } & { \textrm { ( P 4 ) } } & { \quad } & { \underset { \mathbf { R } } { \textrm { m a x i m i z e } } \quad } & & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } Y _ { k } \log \left( e ^ { R _ { k } } - 1 \right) } \\ & { } & & { \textrm { s u b j e c t t o } \quad } & & { 0 \leq f _ { i } \left( \mathbf { R } \right) \leq 2 \pi , \quad i = 1 , \dots , M } \end{array}
\begin{array} { r l } { A = ~ } & { { } \epsilon _ { 0 } A _ { 1 1 } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } A _ { 2 0 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } A _ { 2 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } , } \\ { B _ { s } = ~ } & { { } \epsilon _ { 0 } B _ { s , 1 1 } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } B _ { s , 2 0 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } B _ { s , 2 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 5 _ { L } } = C _ { 5 _ { R } } } & { = D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } \sum _ { k \geq 0 } ( D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } ) ^ { k } = \frac { D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } } { 1 - D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } } \mathrm { , } } \\ { C _ { 4 _ { L } } } & { = D _ { \delta _ { L } } C _ { 5 _ { L } } = \frac { D _ { \delta _ { L } } ^ { 2 } D _ { \delta _ { R } } } { 1 - D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } } \mathrm { , } } \\ { C _ { 4 _ { R } } } & { = D _ { \delta _ { R } } C _ { 5 _ { R } } = \frac { D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } ^ { 2 } } { 1 - D _ { \delta _ { L } } D _ { \delta _ { R } } } \mathrm { . } } \end{array}
z _ { k } = \left( \begin{array} { c c } { { E - 2 \cos \left( ( k - 1 ) \frac { 2 \pi } { N } + k _ { x } \right) } } & { { - e ^ { { \mathrm i } k _ { y } } } } \\ { { e ^ { - { \mathrm i } k _ { y } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \cdot z _ { k - 1 }
\begin{array} { r } { | Z _ { p } - Z _ { p ^ { \prime } } | \leq \| \hat { \boldsymbol { F } } _ { p } - \hat { \boldsymbol { F } } _ { p ^ { \prime } } \| _ { L ^ { 1 } } \leq \zeta ( \lambda _ { 2 } ) \| p - p ^ { \prime } \| _ { L ^ { 1 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \exp \{ - ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 } \} \mathrm { d } y . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \omega _ { \varphi } = { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r \, { \frac { \partial \omega _ { \varphi } } { \partial r } } \right) + { \frac { \partial ^ { 2 } \omega _ { \varphi } } { \partial z ^ { 2 } } } - { \frac { \omega _ { \varphi } } { r ^ { 2 } } } = 0 .
\begin{array} { r c l } { { \delta _ { i } x ^ { \alpha } } } & { { = 0 } } & { { = \displaystyle \frac { 1 } { i \hbar } [ x ^ { \alpha } , L _ { i } ^ { \mu } \circ p _ { \mu } ] } } \\ { { \delta _ { i } x ^ { \mu } } } & { { = L _ { i } ^ { \mu } } } & { { = \displaystyle \frac { 1 } { i \hbar } [ x ^ { \mu } , L _ { i } ^ { \mu } \circ p _ { \mu } ] \, . } } \end{array}
\lambda [ P ( x _ { 1 } ) , P ( x _ { 2 } ) ] = \frac { \sqrt { ( 1 + P ( x _ { 1 } ) ) ( 1 + P ( x _ { 2 } ) ) } + \sqrt { ( 1 - P ( x _ { 1 } ) ) ( 1 - P ( x _ { 2 } ) ) } } { 2 } \nonumber
\begin{array} { r l r } { x } & { { } = } & { x _ { G } + \frac { v _ { c } } { \omega _ { c } } \cos \left( \omega _ { c } t \right) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { y } & { { } = } & { \frac { E } { B } t + \frac { v _ { c } } { \omega _ { c } } \sin \left( \omega _ { c } t \right) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { z } & { { } = } & { v _ { \parallel } t . } \end{array}
\left| \mathbb { E } \left( \tilde { X } _ { 1 } ( s , t ) \tilde { X } _ { 1 } ( u , v ) \right) - \mathbb { E } \left( \tilde { X } _ { 1 } ( s , t ) \tilde { X } _ { 1 } ( u , v ) \right) \right| \le 2 \mathbb { E } | \tilde { M } | \tilde { \rho } ^ { \beta } ( ( s , t , u , v ) , ( s ^ { \prime } , t ^ { \prime } , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) ) .
\frac { p ( x \mid \hat { \theta } _ { S } ( x ) ) } { p ( x \mid \theta _ { t } ) } = \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } \{ \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) - \Delta \chi ^ { 2 } ( \hat { \theta } _ { S } ( x ) \mid x ) \} \big ] \ge \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) - \frac { \epsilon } { 2 } \big ] .
\begin{array} { r l } { \hat { a } ^ { \mathrm { { o u t } } } = } & { ( s _ { 1 1 } + \frac { s _ { 1 2 } s _ { 2 1 } \sqrt { 1 - L } } { e ^ { i \theta _ { 0 } } - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } } ) \hat { a } ^ { \mathrm { i n } } } \\ & { + ( 1 + \frac { s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } } { e ^ { i \theta _ { 0 } } - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } } ) s _ { 1 2 } \sqrt { L } \hat { v } _ { b } , } \\ { \hat { b } ^ { \mathrm { { o u t } } } = } & { \frac { s _ { 2 1 } } { 1 - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } e ^ { - i \theta _ { 0 } } } \hat { a } ^ { \mathrm { i n } } + \frac { s _ { 2 2 } \sqrt { L } } { 1 - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } e ^ { - i \theta _ { 0 } } } \hat { v } _ { b } , } \end{array}
\frac { b _ { 2 y } } { v _ { \mathrm { A } } } = i k d _ { i } \frac { k _ { \parallel } v _ { \mathrm { A } } } { \omega } \left( \frac { k ^ { 2 } \rho _ { \tau } ^ { 2 } - 3 k _ { \parallel } ^ { 2 } d _ { i } ^ { 2 } - 3 k ^ { 2 } d _ { e } ^ { 2 } - \frac { i \eta k ^ { 2 } } { \omega } - 2 k ^ { 2 } \rho _ { \tau } ^ { 2 } ( k _ { \parallel } ^ { 2 } d _ { i } ^ { 2 } + k ^ { 2 } d _ { e } ^ { 2 } ) } { 3 ( k _ { \parallel } ^ { 2 } d _ { i } ^ { 2 } + k ^ { 2 } d _ { e } ^ { 2 } - k ^ { 2 } \rho _ { \tau } ^ { 2 } ) + \frac { i \eta k ^ { 2 } } { \omega } - 2 k ^ { 2 } \rho _ { \tau } ^ { 2 } \frac { i \eta k ^ { 2 } } { \omega } } \right) \frac { b _ { 1 y } ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } }
| \tilde { \varphi } > = N _ { f } e x p \{ - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { x , y } ( \tilde { \phi } _ { x } - \varphi _ { x } ) f _ { x y } ( \tilde { \phi } _ { y } - \varphi _ { y } ) \} \; ,
( \sigma ^ { \alpha } ) ^ { a b } \bigr ( ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ ~ \! c } ^ { b _ { 0 } } \delta _ { a _ { 0 } } ^ { d } + \delta _ { c } ^ { b _ { 0 } } ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ a _ { 0 } } ^ { d } \bigr ) = ( \sigma ^ { \alpha } ) ^ { a b } \bigr ( ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ c } ^ { d } \delta _ { a _ { 0 } } ^ { b _ { 0 } } + \delta _ { c } ^ { d } ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ ~ \! a _ { 0 } } ^ { b _ { 0 } } \bigr ) .
\begin{array} { r } { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { \bar { F } ^ { - * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } & { F ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { \bar { F } ^ { + * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } & { F ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mu - 1 } ^ { 1 } \left( A \right) : = \frac { \ker \left( * \left( * \varphi \wedge d _ { A } \cdot \right) : \Omega _ { \mu - 1 } ^ { 1 } \left( \mathrm { a d } P \right) \rightarrow \Omega _ { \mu - 2 } ^ { 1 } \left( \mathrm { a d } P \right) \right) } { \mathrm { i m } \left( d _ { A } : \Omega _ { \mu } ^ { 0 } \left( \mathrm { a d } P \right) \rightarrow \Omega _ { \mu - 1 } ^ { 1 } \left( \mathrm { a d } P \right) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U ( X \otimes I ) U ^ { \dag } } \\ { = } & { \sum _ { i , j } U \big ( | i + 1 \rangle \langle i | \otimes | j \rangle \langle j | \big ) U ^ { \dag } } \\ { = } & { \sum _ { i , j } | N g _ { 1 1 } ( i + 1 ) - N g _ { 1 0 } j \rangle \langle N g _ { 1 1 } i - N g _ { 1 0 } j | \otimes | - N g _ { 0 1 } ( i + 1 ) + N g _ { 0 0 } j \rangle \langle - N g _ { 0 1 } i + N g _ { 0 0 } j | } \\ { = } & { \sum _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } | i ^ { \prime } + N g _ { 1 1 } \rangle \langle i ^ { \prime } | \otimes | j ^ { \prime } - N g _ { 0 1 } \rangle \langle j ^ { \prime } | } \\ { = } & { X ^ { N g _ { 1 1 } } \otimes X ^ { - N g _ { 0 1 } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf { x } } } & { { } = \frac { \mathbf { p } } { | \mathbf { p } | } + \epsilon s \frac { \mathbf { p } \times \dot { \mathbf { p } } } { | \mathbf { p } | ^ { 3 } } , } \\ { \dot { \mathbf { p } } } & { { } = \nabla n ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { - H ( t _ { 0 } ) } } & { \left( X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t _ { 0 } + \varepsilon t ) - X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t _ { 0 } ) \right) } \\ & { = \varepsilon ^ { - H ( t _ { 0 } ) } \left( X _ { d } ( t _ { 0 } + \varepsilon t , H ( t _ { 0 } + \varepsilon t ) ) - X _ { d } ( t _ { 0 } + \varepsilon t , H ( t _ { 0 } ) ) \right) } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { - H ( t _ { 0 } ) } \left( X _ { d } ( t _ { 0 } + \varepsilon t , H ( t _ { 0 } ) ) - X _ { d } ( t _ { 0 } , H ( t _ { 0 } ) ) \right) . } \end{array}
S = T \, \int _ { \Sigma _ { 3 } } d ^ { 3 } \xi \left( \sqrt { g } - \frac { 1 } { 6 } \varepsilon ^ { i j k } \partial _ { i } X ^ { M } \partial _ { j } X ^ { N } \partial _ { k } X ^ { P } A _ { M N P } \right)
\begin{array} { r } { \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + r _ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + r _ { - } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } - \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } } \\ { = c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + c _ { - } ^ { + } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } + c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ~ e ^ { - M \sqrt { n ^ { 2 } \beta ^ { 2 } + \tilde { p } _ { 2 } ^ { 2 } } } = - \frac { 1 } { 2 } ~ e ^ { - M \tilde { p } _ { 2 } } + \sqrt { 2 \pi } ~ [ ~ \frac { 1 } { 2 } ~ F ( 0 ) + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } F ( 2 \pi n ) ] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { \epsilon } _ { c r } \left( t \right) } & { { } = \mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \left( - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { S } _ { i n v } = \left\{ ( \tilde { z } , \tilde { w } ) \in { \bf R } ^ { 2 } ; { \rho } \geq 0 , \; \tilde { z } \geq - \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } - \varepsilon - E _ { 0 } , \; \tilde { w } \leq \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } + \varepsilon \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| g - \widetilde g \| _ { \mathbb H } ^ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( g ^ { \prime } ( t ) ) ^ { 2 } d t - \frac { 1 } { m _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } } ( g ^ { \prime } ( \xi _ { n , i } ) ) ^ { 2 } } \\ & { \le \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } } \int _ { ( i - 1 ) / m _ { n } } ^ { i / m _ { n } } | g ^ { \prime } ( t ) - g ^ { \prime } ( \xi _ { n , i } ) | \cdot | g ^ { \prime } ( t ) + g ^ { \prime } ( \xi _ { n , i } ) | d t } \\ & { \le \frac { C } { m _ { n } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } | g ^ { \prime } ( t ) | d t + \frac { 1 } { m _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } } | g ^ { \prime } ( \xi _ { n , i } ) | \right) = { \cal O } \left( m _ { n } ^ { - 1 } \right) , } \end{array}
\Delta \bar { T } _ { 0 } = \frac { - 0 . 8 8 ( \bar { \delta } _ { 2 } \cos \theta _ { p , 2 } - \bar { \delta } _ { 1 } \cos \theta _ { p , 1 } ) + ( 2 \mathrm { ~ N ~ u ~ } \kappa / A \kappa _ { t } ) \Delta T _ { m } } { 1 + 2 \mathrm { ~ N ~ u ~ } \kappa / A \kappa _ { t } } \ .
\begin{array} { r l } { \hat { f } ( \xi ) } & { = \int _ { \mathbb { R } } f ( x ) \cdot e ( - \xi x ) \ d x , \; \; \; g ^ { \vee } ( x ) = \int _ { \mathbb { R } } g ( \xi ) \cdot e ( \xi x ) \ d \xi } \\ { \hat { f } ( \beta ) } & { = \sum _ { n } f ( n ) \cdot e ( - \beta n ) , \; \; \; g ^ { \vee } ( n ) = \int _ { \mathbb { T } } g ( \beta ) \cdot e ( \beta n ) \ d \beta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 } ^ { \prime \prime } } & { { } = - { \frac { \nu } { E } } \sigma _ { 2 } \, , } \\ { \varepsilon _ { 2 } ^ { \prime \prime } } & { { } = { \frac { 1 } { E } } \sigma _ { 2 } \, , } \\ { \varepsilon _ { 3 } ^ { \prime \prime } } & { { } = - { \frac { \nu } { E } } \sigma _ { 2 } \, , } \end{array}
x _ { 1 } \equiv \frac { 2 } { t _ { \beta } ^ { 2 } } ( 2 m _ { 1 } ^ { 2 } + ( \frac { \lambda ^ { 2 } } { \bar { g } ^ { 2 } } ( 1 - c _ { 2 \beta } ) + c _ { 2 \beta } ) M _ { Z } ^ { 2 } )
q \equiv \frac { m ( \delta ) } { m ( \delta = 0 ) } \approx \frac 1 { 1 - \frac { \delta \Delta } { \Omega ^ { 2 } } + \frac { 2 \delta } { \Delta } - \frac { 4 \delta ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } } \: .
{ \begin{array} { r l } { d ^ { n } V } & { = \left| \operatorname* { d e t } { \frac { \partial ( x _ { i } ) } { \partial \left( r , \varphi _ { j } \right) } } \right| d r \, d \varphi _ { 1 } \, d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { n - 1 } } \\ & { = r ^ { n - 1 } \sin ^ { n - 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { n - 3 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { n - 2 } ) \, d r \, d \varphi _ { 1 } \, d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { n - 1 } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { E ( k _ { \parallel } ) \mathrm { d } k _ { \parallel } = E \left[ k _ { \perp } ( k _ { \parallel } ) \right] \frac { \mathrm { d } k _ { \perp } } { \mathrm { d } k _ { \parallel } } \mathrm { d } k _ { \parallel } \propto k _ { \parallel } ^ { - 2 } \mathrm { d } k _ { \parallel } . } \end{array}
P ( \ell ^ { - } \rightarrow W ^ { - } \nu _ { \ell } ) = \frac { 2 G _ { F } m _ { W } m _ { e } ^ { 3 } \chi } { 9 \pi \sqrt { 6 } p _ { 0 } } \exp \biggl ( - \frac { \sqrt { 3 } m _ { W } ^ { 3 } } { \chi m _ { e } ^ { 3 } } \biggr ) , \quad f o r \quad \chi \ll \biggl ( { \frac { m _ { W } } { m _ { e } } } \biggr ) ^ { 3 }
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } ^ { 2 } u - \Delta u + \sin u } & { = f } & & { \quad \mathrm { i n } ~ \Omega \times I , } \\ { u } & { = 0 } & & { \quad \mathrm { o n } ~ \partial \Omega \times I , } \\ { u ( \cdot , 0 ) } & { = u _ { 0 } } & & { \quad \mathrm { i n } ~ \Omega , } \\ { \partial _ { t } u ( \cdot , 0 ) } & { = u _ { 1 } } & & { \quad \mathrm { i n } ~ \Omega , } \end{array} \right.
\mathrm { V a r } ( f ) \equiv \sigma _ { N } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { N - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( f ( { \overline { { \mathbf { x } } } } _ { i } ) - \langle f \rangle \right) ^ { 2 } .
\mathcal { Z } _ { 0 } ( \zeta ) : = { ( 2 \pi \Delta _ { \zeta } ^ { 2 } ) } ^ { - \frac 1 4 } \exp \left[ - \frac { ( \zeta - \zeta _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { \zeta } ^ { 2 } } + \frac i \hbar p _ { 0 } ( \zeta - \zeta _ { 0 } ) \right] ,
S _ { 1 0 } = \int \left( \frac { 1 } { 4 } \, \hat { R } - \frac { 1 } { 2 } \, \partial _ { M } \hat { \phi } \, \partial ^ { M } \hat { \phi } - \frac { 1 } { 1 2 } \, e ^ { - 2 \hat { \phi } } \, \hat { H } _ { M N P } \, \hat { H } ^ { M N P } \right) \sqrt { - \hat { g } } \, d ^ { 1 0 } \hat { x } ,
\Omega ^ { ( \alpha ) } = \Omega _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } + \left[ \left. \frac { \partial F } { \partial \vec { \phi } } \right| _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } \right] ^ { \top } \! \! \cdot \Delta \vec { \phi } ^ { ( \alpha ) } + \left[ \left. \frac { \partial F } { \partial \vec { \epsilon } } \right| _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } \right] ^ { \top } \! \! \cdot \Delta \vec { \epsilon } - \vec { \mu } _ { 0 } ^ { \top } \cdot \Delta \vec { \phi } ^ { ( \alpha ) } - \Delta \vec { \mu } ^ { \top } \! \cdot \vec { \phi } _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } = \Omega _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } + \left[ \left. \frac { \partial F } { \partial \vec { \epsilon } } \right| _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } \right] ^ { \top } \! \! \cdot \Delta \vec { \epsilon } - \Delta \vec { \mu } ^ { \top } \! \cdot \vec { \phi } _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } ,
\begin{array} { r l } { \left\lvert \left\langle \mathbf { g } , \tilde { P } \mathbf { h } \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \right\rvert } & { \leq \left\lvert \left\langle \mathbf { g } , \tilde { \Pi } \mathbf { h } \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \right\rvert + \left\lvert \left\langle \mathbf { g } - \tilde { \Pi } \mathbf { g } , ( \tilde { P } - \tilde { \Pi } ) ( \mathbf { h } - \tilde { \Pi } \mathbf { h } ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \right\rvert } \\ & { \leq \left\lvert \left\langle \mathbf { g } , \tilde { \Pi } \mathbf { h } \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \right\rvert + \lambda ( \tilde { P } ) \left\lVert ( I - \tilde { \Pi } ) \mathbf { g } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \left\lVert ( I - \tilde { \Pi } ) \mathbf { h } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } . } \end{array}
W = \Delta E _ { \mathrm { k } } = E _ { \mathrm { k _ { 2 } } } - E _ { \mathrm { k _ { 1 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } m \left( v _ { 2 } ^ { \, 2 } - v _ { 1 } ^ { \, 2 } \right) \, .
\int _ { 0 } ^ { L } \operatorname* { s u p } _ { x \in \Lambda } \vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x , z ) \vert ^ { 2 } d z > \operatorname* { s u p } _ { x ( \cdot ) \in B ( 0 , L ) } \int _ { 0 } ^ { L } \vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x ( z ) , z ) \vert ^ { 2 } \, d z ,
L _ { 0 } ( [ Z _ { - 1 } , a ] ) = 0 \qquad \forall \, a = Z _ { n } ^ { a _ { n } } \ldots Z _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } \, Z _ { 0 } ^ { a _ { 0 } } \, Z _ { - 1 } ^ { a _ { - 1 } }
\simeq 1 . 2 \times 1 0 ^ { 2 8 } \times \left( \frac { 1 2 0 } { N _ { s p } } \times \frac { 1 \; s e c } { \tau _ { _ { 1 / 2 } } } \right) ^ { 2 / 3 } \; e r g / s .
I _ { 5 _ { 2 } } ^ { \mathrm { r o t } } ( n , n ^ { \prime } ) ( q ) = - \frac { 1 } { 2 } h _ { 5 _ { 2 } , n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ( q ^ { - 1 } ) h _ { 5 _ { 2 } , n } ^ { ( 2 ) } ( q ) - h _ { 5 _ { 2 } , n ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( q ^ { - 1 } ) h _ { 5 _ { 2 } , n } ^ { ( 1 ) } ( q ) - \frac { 1 } { 2 } h _ { 5 _ { 2 } , n ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( q ^ { - 1 } ) h _ { 5 _ { 2 } , n } ^ { ( 0 ) } ( q ) \, .
\begin{array} { r } { \overline { { X } } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \overline { { X } } ^ { i } , \quad \widetilde { \overline { { X } } } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \widetilde { \overline { { X } } } ^ { i } , \quad \overline { { \alpha } } _ { s } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha ^ { i } ( s , \overline { { X } } _ { s } ^ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ( \omega , \theta ) } & { = \frac { - \tilde { \sigma } _ { s e } + \tilde { \sigma } _ { s m } } { 1 + \tilde { \sigma } _ { s e } \tilde { \sigma } _ { s m } + \tilde { \sigma } _ { s e } + \tilde { \sigma } _ { s m } } , } \\ { t ( \omega , \theta ) } & { = \frac { 1 - \tilde { \sigma } _ { s e } \tilde { \sigma } _ { s m } } { 1 + \tilde { \sigma } _ { s e } \tilde { \sigma } _ { s m } + \tilde { \sigma } _ { s e } + \tilde { \sigma } _ { s m } } , } \end{array}
( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + \frac { \Phi _ { 1 } } { \Phi _ { 2 } } ( \omega - \Omega ) - \frac { 1 } { \Phi _ { 2 } } [ ( 2 k + 1 ) \pi - \Phi _ { 0 } - i | \log \mathcal { A } | ] = 0 , \quad k \in \mathbb { Z } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \| G _ { 0 } \| \le 4 \big ( \sqrt M + \sqrt N \big ) \right) } & { \ge 1 - \exp ( - M / C ) , } \\ { \mathbb { P } \left( \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( G _ { 0 } ) \ge \varepsilon \big ( \sqrt M - \sqrt { N - 1 } \big ) \right) } & { \ge 1 - ( C \varepsilon ) ^ { M - N + 1 } - \exp ( - M / C ) , } \end{array}
{ \cal T } _ { 1 , 2 } ^ { \mu \nu } = - { \frac { 2 } { \sqrt { - g _ { 1 , 2 } } } } { \frac { \delta ( \sqrt { - g _ { 1 , 2 } } { \cal L } _ { 1 , 2 } ) } { \delta g _ { 1 , 2 \, \mu \nu } } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \bigg | \mathcal { B } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) - \mathcal { B } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) - \int _ { s } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \overrightarrow { \Xi } _ { j } ^ { \varepsilon n } ( r ) \big ) ^ { 2 } \nabla ^ { 1 , n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } r } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d r \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \lesssim \bigg ( \frac { ( t - s ) \varepsilon n } { n } + \frac { ( t - s ) ^ { 2 } n } { ( \varepsilon n ) ^ { 2 } } + \frac { n \beta _ { n } ^ { 2 } } { \varepsilon n } \bigg ) \| \partial _ { x } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { j } = { \frac { \hbar } { m } } { \frac { 1 } { 2 i } } \left( \psi ^ { * } \nabla \psi - \psi \nabla \psi ^ { * } \right) = { \frac { \hbar } { m } } \operatorname { I m } \left( \psi ^ { * } \nabla \psi \right) ,
\delta ^ { 2 } S = \mathrm { T r } \left( - [ \delta B _ { a } , B _ { b } ] [ \delta B _ { a } , B _ { b } ] + ( [ \delta B _ { a } , B _ { a } ] ) ^ { 2 } + 2 i [ \delta B _ { a } , \delta B _ { b } ] F _ { a b } \right) .
\begin{array} { r l } { f _ { \phi } ( \phi ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } \frac { w _ { k } } { \sqrt { 2 \pi \overline { { { \phi _ { k } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } } \exp { \left( - \frac { \left( \phi - \overline { { \phi } } _ { k } \right) ^ { 2 } } { 2 \overline { { { \phi _ { k } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } \right) } . } \end{array}