harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { G _ { \mu \nu } ^ { \lessgtr ^ { 0 } } ( i \tau ) = } & { { } G _ { \mu \nu , \upuparrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) + G _ { \mu \nu , \downdownarrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { 2 G _ { \mu \nu , \upuparrows } ^ { \lessgtr ^ { R } } ( i \tau ) , } \\ { G _ { \mu \nu } ^ { \lessgtr ^ { x } } ( i \tau ) = } & { { } G _ { \mu \nu , \updownarrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) + G _ { \mu \nu , \downuparrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { 2 G _ { \mu \nu , \updownarrows } ^ { \lessgtr ^ { I } } ( i \tau ) , } \\ { G _ { \mu \nu } ^ { \lessgtr ^ { y } } ( i \tau ) = } & { { } i G _ { \mu \nu , \updownarrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) - i G _ { \mu \nu , \downuparrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { 2 i G _ { \mu \nu , \updownarrows } ^ { \lessgtr ^ { R } } ( i \tau ) , } \\ { G _ { \mu \nu } ^ { \lessgtr ^ { z } } ( i \tau ) = } & { { } G _ { \mu \nu , \upuparrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) - G _ { \mu \nu , \downdownarrows } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) = } & { 2 G _ { \mu \nu , \upuparrows } ^ { \lessgtr ^ { I } } ( i \tau ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \hat { \tau } _ { t } ( w ) - \hat { \tau } _ { t } ( w ^ { \prime } ) \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } ) } & { = \mathrm { V a r } ( \hat { \tau } _ { t } ( w ) \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } ) + \mathrm { V a r } ( \hat { \tau } ( w ^ { \prime } ) \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } ) } \\ & { - 2 \mathrm { C o v } ( \hat { \tau } _ { t } ( w ) , \hat { \tau } _ { t } ( w ^ { \prime } ) \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } ) . } \end{array}
Q _ { j k } ^ { ( i ) } = \frac { \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| ^ { 2 } } { 4 \left| \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) \right| \left| \Re \left( \lambda _ { k } ^ { ( i ) } \right) \right| } \frac { 1 } { b _ { j k } ^ { ( i ) } b _ { k j } ^ { ( i ) } }
\begin{array} { r l } { 2 - \frac { \gamma ^ { \star } + \gamma _ { \star } + \gamma ^ { \star } \gamma _ { \star } } { d } } & { = 2 - \frac { d ( 1 - \alpha _ { \star } ) + d ( 1 - \alpha ^ { \star } ) + d ^ { 2 } ( 1 - \alpha _ { \star } ) ( 1 - \alpha ^ { \star } ) } { d } } \\ & { = 2 - \phi _ { d } ( 1 - \phi _ { d } ( \alpha _ { \star } ) ) - \phi _ { d } ( \alpha _ { \star } ) - d \phi _ { d } ( \alpha _ { \star } ) ( 1 - \alpha _ { \star } ) = R _ { d } ( \alpha _ { \star } ) = \operatorname* { m i n } _ { \alpha \in [ 0 , 1 ] } R _ { d } ( \alpha ) . } \end{array}
n _ { g } = - \frac { k _ { \| } } { k _ { 0 } \cdot \left( \frac { \partial k _ { \bot } } { \partial k _ { \| } } \right) } \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial k _ { \bot } } { \partial k _ { \| } } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { k ( t ) } & { { } \equiv \mathcal { F } ^ { - 1 } \{ \tilde { g } _ { \ell \to x } ( \omega ) \} = b \gamma { \tau _ { \mathrm { c } } } { \tau _ { \mathrm { r } } } \frac { 1 } { { \tau _ { \mathrm { r } } } - { \tau _ { \mathrm { c } } } } \left( e ^ { - t / { \tau _ { \mathrm { r } } } } - e ^ { - t / { \tau _ { \mathrm { c } } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { e r r } _ { k } ( r ) } & { = \mathbf { Q } r ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } - r ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } } \\ & { = \mathbf { Q } [ m ( \mathbf { T } ) ] ^ { - 1 } n ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } - [ m ( \mathbf { A } ) ] ^ { - 1 } n ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } } \\ & { = \mathbf { Q } [ m ( \mathbf { T } ) ] ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \cdot \mathbf { Q } n ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } - [ m ( \mathbf { A } ) ] ^ { - 1 } n ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( L ^ { \vec { p } _ { \theta _ { 0 } } } , L ^ { \vec { p } _ { \theta _ { 1 } } } ) _ { \vartheta , q } \subset ( L ^ { \vec { p } _ { 0 } , \vec { 1 } } , L ^ { \vec { p } _ { 1 } , \vec { 1 } } ) _ { ( 1 - \vartheta ) \theta _ { 0 } + \vartheta \theta _ { 1 } , q } \subset ( L ^ { \vec { p } _ { 0 } , \vec { r } _ { 0 } } , L ^ { \vec { p } _ { 1 } , \vec { r } _ { 1 } } ) _ { ( 1 - \vartheta ) \theta _ { 0 } + \vartheta \theta _ { 1 } , q } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left| \tilde { \phi } _ { \Xi } ( t ) \right\rangle = - \mathrm { i } H _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( t ) \left| \tilde { \phi } _ { \Xi } ( t ) \right\rangle , \quad t \in \left( t _ { m - 1 } , t _ { m } \right) , \quad m > 0 .
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( \left[ \begin{array} { l } { + 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \end{array} \right] \right) } \\ { X _ { 1 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \end{array}
( \mathrm { I m } M _ { 1 2 } ) _ { h ^ { 0 } } = ( \Delta _ { 1 2 } ^ { d } ) ^ { 2 } \frac { f _ { K } ^ { 2 } m _ { K } ^ { 3 } B _ { K } } { 3 \alpha ^ { 2 } N _ { 2 } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { m _ { h _ { i } ^ { 0 } } ^ { 2 } } \left[ K _ { 1 } K _ { 2 } ( { \cal U } _ { 2 i } ^ { 2 } - { \cal U } _ { 3 i } ^ { 2 } ) - ( K _ { 1 } ^ { 2 } - K _ { 2 } ^ { 2 } ) \, { \cal U } _ { 2 i } { \cal U } _ { 3 i } \right]
{ \sf A } _ { 1 } = \displaystyle - 2 \, x \, \Delta \, \int \, d q ^ { 2 } \, { \sf C } \, ( { a _ { 0 } \, V - A _ { 0 } \, g } ) \, X ^ { 2 } \, , \; { \sf A } _ { 2 } = \displaystyle \, x \, \int \, d q ^ { 2 } \, { \sf C } \, { \sf F } \frac { 1 } { m _ { K ^ { * } } \, \sqrt { q ^ { 2 } } } \, X ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r l r } & { \nabla _ { x } f _ { i } + ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { \top } y _ { i } + ( H _ { x } ^ { i } ) ^ { \top } z _ { i } - \kappa _ { i } = 0 , } & { \forall i = 1 , \cdots , N } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \nabla _ { u } f _ { i } + ( G _ { u } ^ { i } ) ^ { \top } y _ { i } + ( H _ { u } ^ { i } ) ^ { \top } z _ { i } \Big ) - \lambda = 0 , } & { \mathrm { ( c o u p l i n g ) } } \\ & { z _ { i } - \nu _ { i } = 0 , } & { \forall i = 1 , \cdots , N } \\ & { g _ { i } ( x _ { i } , u ) = 0 , } & { \forall i = 1 , \cdots , N } \\ & { h _ { i } ( x _ { i } , u ) + s _ { i } = 0 , } & { \forall i = 1 , \cdots , N } \\ & { X _ { i } \kappa _ { i } = 0 , \; ( x _ { i } , \kappa _ { i } ) \geq 0 , } & { \forall i = 1 , \cdots , N } \\ & { S _ { i } \nu _ { i } = 0 , \; ( s _ { i } , \nu _ { i } ) \geq 0 , } & { \forall i = 1 , \cdots , N } \\ & { U \lambda = 0 , \; ( u , \lambda ) \geq 0 , } \end{array}
\rho ( \underset { - } { d } ^ { o b s } | \underset { - } { m } ) = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { n } \operatorname* { d e t } \underset { = } { C } } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( \underset { - } { d } ^ { o b s } - G ( \underset { - } { m } ) ) ^ { T } \underset { = } { C } ^ { - 1 } ( \underset { - } { d } ^ { o b s } - G ( \underset { - } { m } ) ) } .
\begin{array} { r l } { \langle R _ { c v } ^ { c } \rangle = 2 \sqrt { R ^ { * } } \mathcal { R } _ { c } | P _ { c v } | ^ { 2 } } & { { } \Bigg ( \frac { 1 } { 1 + e ^ { ( E _ { g } - \hbar \omega ) / \sigma } } + } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \hat { \alpha } ( p ) } } \\ { { \hat { \beta } ( p ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { a ( p ) } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \hat { \xi } ( p ) + \left( \begin{array} { c c } { { b ( p ) } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \hat { \eta } ( p )
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } ( \delta ) } & { { } = 4 ( \log _ { 2 } v ) \sqrt { - \log _ { 2 } ( 1 - \sqrt { 1 - \delta ^ { 2 } } ) } } \\ { v } & { { } \leq \sqrt { 2 ^ { - H _ { \operatorname* { m i n } } ( y | \mathbf { E } ) } } + \sqrt { 2 ^ { H _ { \operatorname* { m a x } } ( y | \mathbf { E } ) } } + 1 , } \end{array}
K ^ { ( R ) } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } ) = [ \omega ( - \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ) + \omega ( - \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } ) ] \delta ^ { ( D - 2 ) } ( \vec { q } _ { 1 } - \vec { q } _ { 2 } ) + K _ { r } ^ { ( R ) } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } ) \; ,
f ( n ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ | ~ n ~ | ~ = ~ N ~ / ~ 2 ~ , ~ } } \\ { 0 } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ | ~ n ~ | ~ < ~ N ~ / ~ 2 ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } } & { = \{ | a _ { 0 } - b _ { 0 } | , | a _ { 0 } - b _ { 0 } | + 2 , \dots , a _ { 0 } + b _ { 0 } \} , } \\ { A _ { 2 } ^ { * } } & { = \{ | a _ { 0 } \! + \! \ell _ { 0 } m - b _ { 0 } \! - \! \ell _ { 0 } ^ { \prime } m | , | a _ { 0 } \! + \! \ell _ { 0 } m - b _ { 0 } \! - \! \ell _ { 0 } ^ { \prime } m | + 2 , \dots , a _ { 0 } \! + \! \ell _ { 0 } m + b _ { 0 } \! + \! \ell _ { 0 } ^ { \prime } m \} , } \\ { A _ { m } } & { = \{ a _ { 0 } + b _ { 0 } + m , \dots , a _ { 0 } + b _ { 0 } + \operatorname* { m i n } \{ \ell _ { 0 } , \ell _ { 0 } ^ { \prime } \} m \} \mathrm { ~ i f ~ \ell _ 0 , \ell ' _ 0 > 0 ~ , ~ e l s e ~ A _ m = \emptyset ~ } , } \\ { A _ { m } ^ { * } } & { = \emptyset . } \end{array}
[ \phi _ { i i } ( x ) , \partial _ { - } \phi _ { j j } ( y ) ] _ { x ^ { + } = y ^ { + } } = \frac { i } { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { N } ) \delta _ { i j } \left[ \delta ( x ^ { -- } y ^ { - } ) - \frac { 1 } { 2 L } \right] .
\begin{array} { r } { C _ { \phi _ { 2 } } ( \tau ) = \frac { 1 } { \sigma _ { \phi _ { 2 } } ^ { 2 } } \langle ( \phi _ { 2 } ( t ) - \langle \phi _ { 2 } \rangle _ { t } ) ( \phi _ { 2 } ( t + \tau ) - \langle \phi _ { 2 } \rangle _ { t } ) \rangle _ { t } \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l } { ^ { ^ { R L } } \mathcal { D } _ { T ^ { - } } ^ { ^ \alpha } r ( y , s ) = A ^ { * } r ( y , s ) + C ^ { * } z ( s ) , } & { ( y , s ) \in Q _ { T } , \ \alpha \in ] 0 , 1 ] , } \\ { r ( \xi , s ) = 0 , } & { ( \xi , s ) \in \Sigma _ { T } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow T ^ { - } } \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { ^ { 1 - \alpha } } r ( y , s ) = 0 , } & { y \in \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \bar { \upsilon } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } - \frac { \kappa \varepsilon ( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } ) } { 2 \rho } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } , } \\ { \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } : = } & { { } ~ \frac { \kappa } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) - \kappa \varepsilon \Delta \phi , } \\ { \bar { \gamma } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ - m \left( \rho \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } + \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \kappa } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) + \omega p \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r l } { { 9 } \langle S , f ^ { \bullet } \rangle : \, } & { V } & & { \to \, } & & { \mathbb { F } } & & { \quad { \mathrm { ~ a n d ~ } } \quad } & & { \langle T , f _ { \bullet } \rangle : \, } & & { U } & & { \to \, } & & { \mathbb { F } } \\ & { v } & & { \mapsto \, } & & { \langle S , f ^ { v } \rangle } & & { } & & { } & & { u } & & { \mapsto \, } & & { \langle T , f _ { u } \rangle } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \frac { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 \cos \theta } + ( - 2 \cos ( { \theta } / { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta } ) s + 2 s ^ { 2 } , } \\ { I _ { 2 } } & { = \frac { ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 4 } ) ^ { 2 } } { \alpha _ { 2 } \alpha _ { 4 } } = ( \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { 2 } ) \frac { 1 } { s } + \frac { 3 } { 2 } + 2 \cos ( { \theta } / { 2 } ) s + 2 s ^ { 2 } + ( - \frac { 4 } { \sin ( { \theta } / { 2 } ) - \cos ( { \theta } / { 2 } ) } ) s ^ { 3 } , } \\ { I _ { 3 } } & { = \frac { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 4 } ) ^ { 2 } } { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 4 } } = ( - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta ) \frac { 1 } { s } + 2 + ( - \frac { 1 } { \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta } ) s . } \end{array}
( \partial _ { t } + \frac { \boldsymbol { p } } { m _ { e } } \cdot \partial _ { r } ) f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { p } , t ) + q \nabla \phi \cdot \partial _ { \boldsymbol p } f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { p } , t ) = 0 ,
S _ { d i f f } = \frac { 1 } { \sigma } \nabla \cdot ( \eta \nabla \tilde { \nu } ) = \frac { 1 } { \sigma } \left( \eta \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \nu } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } + \frac { \partial \eta } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \tilde { \nu } } { \partial x _ { j } } \right)
\frac { \partial V } { \partial \big ( \sqrt { f } _ { 2 } \, \bar { x } _ { i } \big ) } \frac { \partial \big ( \sqrt { f } _ { 2 } \, \bar { x } _ { i } \big ) } { \partial t } = \frac { \dot { f } _ { 2 } } { 2 f _ { 2 } } \; x _ { i } \frac { \partial V } { \partial x _ { i } } \, .
\mathrm { H y p e r v o l u m e ~ o f ~ t h e ~ a x e s } = \sum _ { n = 1 } ^ { d } { \binom { d } { n } V _ { d } ^ { n } } = \sum _ { n = 1 } ^ { d } { \binom { d } { n } \left( \frac { \epsilon } { 2 } \right) ^ { n } 2 ^ { n - d } \omega _ { d - n } } = \sum _ { n = 1 } ^ { d } { \binom { d } { n } 2 ^ { - d } \omega _ { d - n } \epsilon ^ { n } \, . }
\begin{array} { r l } { | I _ { f , 5 } ^ { L , H L } | } & { \leq C \| \mathrm { A } ^ { \mathrm { R } } \widetilde { \varphi _ { 1 } } \| _ { L ^ { 2 } } \| P _ { | k | \geq k _ { M } } \mathring { \mathcal { T } } _ { 1 , D } ^ { - 1 } ( \Omega ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \lambda , 4 } } \| \mathrm { A } P _ { | k | \geq k _ { M } } \Omega \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq C _ { e l l } \langle t \rangle ^ { 2 } \| \mathrm { A } ^ { \mathrm { R } } \widetilde { \varphi _ { 1 } } \| _ { L ^ { 2 } } \| P _ { | k | \geq k _ { M } } f \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \lambda , 6 } } \| \mathrm { A } P _ { | k | \geq k _ { M } } f \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\rho _ { Y , I } \big ( \mathtt { h } \otimes \mu _ { S , T } ( \mathtt { a } \otimes \mathtt { b } ) \big ) = \sum _ { Y _ { 1 } \sqcup Y _ { 2 } = Y } \sum _ { x \in X } \mu _ { Y _ { 1 } \sqcup S , Y _ { 2 } \sqcup T } \big ( \rho _ { Y _ { 1 } , S } ( { \mathtt { h } _ { Y _ { 1 } } } _ { x } \otimes \mathtt { a } ) \otimes \rho _ { Y _ { 2 } , T } ( { \mathtt { h } _ { Y _ { 2 } } } _ { x } \otimes \mathtt { b } ) \big )
{ \bf v _ { \mathrm { b u l k } } } = \frac { \sum _ { i } m _ { i } { \bf v } _ { i } } { \sum _ { i } m _ { i } } = \frac { \sum _ { i } m _ { i } { \bf v } _ { i } } { M } \equiv \langle { \bf v } \rangle = \sum _ { j } \langle v _ { j } \rangle ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \eta } _ { m } = P _ { m } ^ { S } ( \mathbf { u } ) \rightarrow \mathbf { u } \; \; \mathrm { i n } \; \; H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) , } \\ { \boldsymbol { \Sigma } _ { m } = P _ { m } ^ { L , \Sigma } ( \boldsymbol { \Theta } ) \rightarrow \boldsymbol { \Theta } \; \; \mathrm { i n } \; \; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) , } \\ { \boldsymbol { \Gamma } _ { m } = P _ { m } ^ { L , \Sigma } ( \boldsymbol { \Pi } ) \rightarrow \boldsymbol { \Pi } \; \; \mathrm { i n } \; \; H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) , } \\ { \xi _ { m } = P _ { m } ^ { L } ( q ) \rightarrow q , \chi _ { m } = P _ { m } ^ { L } ( r ) \rightarrow r \; \; \mathrm { i n } \; \; H ^ { 1 } ( \Omega ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { L } = } & { \frac { A \sqrt { R ^ { * } } } { \hbar \omega } \Bigg ( \frac { 2 R ^ { * } } { \pi } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \Gamma _ { n } / n ^ { 3 } } { ( \hbar \omega - E _ { g } + \frac { R ^ { * } } { n ^ { 2 } } ) ^ { 2 } + \Gamma _ { n } ^ { 2 } } + } \\ & { \left[ 0 . 5 + \textrm { a r c t a n } \left( \frac { \hbar \omega - E _ { g } } { \Gamma _ { c } } \right) / \pi \right] + } \\ & { \textrm { a r c t a n } \left( \frac { \hbar \omega - E _ { g } - R ^ { * } } { \Gamma _ { c } } \right) \frac { ( \hbar \omega - E _ { g } - R ^ { * } ) } { 5 8 \pi R ^ { * } } - } \\ & { \textrm { a r c t a n } \left( \frac { \hbar \omega - E _ { m } } { \Gamma _ { c } } \right) \left( \frac { \hbar \omega - E _ { m } } { 5 8 \pi R ^ { * } } \right) + } \\ & { \frac { E _ { m } - E _ { g } - R ^ { * } } { 1 1 6 R ^ { * } } - \frac { \Gamma _ { c } } { 1 1 6 \pi R ^ { * } } \times } \\ & { \textrm { l n } \Bigg [ \frac { ( E - E _ { g } - R ^ { * } ) ^ { 2 } + \Gamma _ { c } ^ { 2 } } { ( \hbar \omega - E _ { m } ) ^ { 2 } + \Gamma _ { c } ^ { 2 } } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } { \bf r } \: \left( \sum _ { i } \delta ( { \bf r } - { \bf r } _ { i } ) - \frac { N } { \Lambda } \right) e ^ { 2 } \phi ( r , 0 ) } \\ & { } & { \mathrm - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } { \bf r } \: \sum _ { i } \delta ( { \bf r } - { \bf r } _ { i } ) \: e ^ { 2 } \phi ( | { \bf r } - { \bf r } _ { i } | , 0 ) } \\ & { } & { \mathrm + \alpha \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } { \bf r } \: \left( \sum _ { i } \delta ( { \bf r } - { \bf r } _ { i } ) - \frac { N } { \Lambda } \right) V _ { e x t } ( { \bf r } ) ~ ~ , } \end{array}
\operatorname * { d e t } \left[ \frac { 1 + \gamma _ { 5 } \mathrm { s i g n } { ( H _ { W } ) } } { 2 } \Phi \right] = \operatorname * { d e t } \left[ \frac { 1 + \gamma _ { 5 } \mathrm { s i g n } { ( H _ { W } ) } } { 2 } \right] = | \langle + | - \rangle | ^ { 2 }
A ( p + \frac { q } { 2 } , p - \frac { q } { 2 } ) \: = \: - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \left( \frac { q ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 k ) ! } \sum _ { l = 0 } ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { l } } { 2 k + 2 l + 1 } \: \left( \! \! \begin{array} { c } { { n } } \\ { { l } } \end{array} \! \! \right) \: \left( \frac { q ^ { j } } { 2 } \frac { \partial } { \partial p ^ { j } } \right) ^ { 2 k } T _ { a } ^ { ( n + 1 ) } ( p ) \; \; .
\begin{array} { r l } & { { \mathbf B } = ( 1 , 0 , 0 ) + \delta { \mathbf b } , \ \delta { \mathbf b } = ( 0 , - \sin ( 0 . 1 9 6 x ) , \cos ( 0 . 1 9 6 x ) ) , \ f = \frac { 1 } { \pi ^ { \frac { 3 } { 2 } } v _ { T } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { - \frac { | { \mathbf v } - \delta { \mathbf u } | ^ { 2 } } { v _ { T } ^ { 2 } } } , \, \kappa = 1 , } \end{array}
{ \chi _ { \hat { \varepsilon } , \tilde { \mu } } } _ { 3 } = \frac { \sigma _ { 3 \tilde { j } \tilde { i } } \tilde { \varepsilon } ^ { \tilde { b } \tilde { j } } \xi _ { \tilde { b } } \tilde { \mu } ^ { \tilde { i } \tilde { d } } \xi _ { \tilde { d } } \sqrt { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } } { \sqrt { \lvert \tilde { { \varepsilon } } \rvert } } - i \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } \frac { \sigma _ { 3 \tilde { j } \tilde { i } } \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { j } } \tilde { \mu } ^ { \tilde { i } \tilde { d } } \xi _ { \tilde { d } } } { \sqrt { \lvert \tilde { \varepsilon } \rvert } \sqrt { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } } .
\lVert \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \rVert _ { 2 } \leq \frac { | \alpha _ { \mathrm { ~ S ~ } } | } { 1 - \mathcal { C } _ { \mathrm { S } } } \lVert \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \lVert \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \rVert _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( \eta ) } & { = \frac { \partial u _ { \epsilon , \eta } ^ { + } } { \partial \nu _ { \eta } } - \frac { \partial u _ { \epsilon , \eta } ^ { - } } { \partial \nu _ { \eta } } } \\ { F ( \eta ) } & { : = - \frac { 1 } { 4 \sigma _ { 0 } } J _ { Y } ^ { - 1 } [ \mathcal { P } ( \eta ) - 4 \sigma _ { 0 } J _ { Y } ( \eta ) ] = - J _ { Y } ^ { - 1 } ( \tilde { R } _ { Y } ( \eta ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon \dot { \mathcal { D } } ( t ) } & { = \gamma \left[ - \mathcal { D } ( t ) + \Im ( \chi ( \epsilon \mathcal { D } ) ) | \mathcal { E } | ^ { 2 } \right] } \\ & { = \gamma \left[ - \mathcal { D } ( t ) + ( I _ { 0 } + \epsilon I _ { 1 } \mathcal { D } ( t ) ) | \mathcal { E } ( t ) | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi ^ { ( \Theta _ { 1 } , \Omega _ { 1 } ) } ( \{ 1 , 2 \} ) = \{ 1 , 2 \} , \; \Pi ^ { ( \Theta _ { 2 } , \Omega _ { 2 } ) } ( \{ 1 , 2 \} ) = \{ 2 , 3 \} , } \\ { \Pi ^ { ( \Theta _ { 3 } , \Omega _ { 3 } ) } ( \{ 1 , 2 \} ) = \{ 3 , 4 \} , \; \Pi ^ { ( \Theta _ { 4 } , \Omega _ { 4 } ) } ( \{ 1 , 2 \} ) = \{ 1 , 4 \} , } \end{array}
\delta _ { \mathfrak a } ( S ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \operatorname* { m i n } _ { k : \pi _ { a } ( k ) \notin S } \delta _ { \mathfrak a , \pi _ { a } ( k ) } ^ { a } \right) \wedge \left( \operatorname* { m i n } _ { j : \pi _ { b } ( j ) \notin S } \delta _ { \mathfrak a , \pi _ { b } ( j ) } ^ { a } \right) , } & { \ \mathrm { i f ~ } \mathfrak a = \pi _ { a } ( i ) \in S } \\ { \left( \operatorname* { m i n } _ { k : \pi _ { a } ( k ) \notin S } \delta _ { \mathfrak a , \pi _ { a } ( k ) } ^ { b } \right) \wedge \left( \operatorname* { m i n } _ { j : \pi _ { b } ( j ) \notin S } \delta _ { \mathfrak a , \pi _ { b } ( j ) } ^ { b } \right) , } & { \ \mathrm { i f ~ } \mathfrak a = \pi _ { b } ( j ) \in S } \end{array} \right. ;
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { \delta } ^ { s } ( E ) } & { \le \sum _ { n \ge k _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { | H _ { n } | } \mathcal { H } _ { \delta } ^ { s } ( B ( x _ { i } , \lambda _ { n , 1 } ) ) } \\ & { \lesssim \sum _ { n \ge k _ { 0 } } r _ { n } ^ { s } \lambda ^ { n } = \sum _ { n \ge k _ { 0 } } e ^ { n ( \log \lambda - \alpha s ) } . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { l o w e r B o u n d ( H z ) = \operatorname { g } \left( \left( { \frac { \operatorname { f } ( H z ) - s l o } { s h i - s l o } } - 0 . 5 \right) \cdot \left( s h i - s l o \right) + s l o \right) } \\ { h i g h e r B o u n d ( H z ) = \operatorname { g } \left( \left( { \frac { \operatorname { f } ( H z ) - s l o } { s h i - s l o } } + 0 . 5 \right) \cdot \left( s h i - s l o \right) + s l o \right) } \end{array}
{ \cal T } _ { \beta \alpha } ( k , \vec { l } , \delta l ) \ = \ - { \cal N } \, \delta ^ { ( 4 ) } ( k - p ) \ \frac { i } { 2 \pi \delta l ^ { 2 } | \vec { k } | } \, s u m _ { j = 1 } ^ { 2 } \ O _ { j } ^ { \alpha \beta } \ e ^ { - \frac { 1 } { 4 } \, \delta l ^ { 2 } ( | \vec { k } | - q _ { j } ) ^ { 2 } } \ e ^ { i q _ { j } \vec { k } \vec { l } / | \vec { k } | } \ + \ { \cal O } \Big ( \frac { l ^ { 2 } } { \delta l ^ { 4 } | \vec { k } | ^ { 2 } } \, \Big ) \ ,
< \tilde { \mathbf { u } } _ { n } > = \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \tilde { \mathbf { u } } _ { n } \, \mathrm { ~ d ~ } y = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \beta _ { n } } { \xi _ { n } } \nabla \tilde { p } _ { n } , \ \ \ \ \ \ \ \ \beta _ { n } = 1 - \frac { 2 \delta _ { n } } { 1 + \mathrm { ~ i ~ } } \operatorname { t a n h } { \frac { 1 + \mathrm { ~ i ~ } } { 2 \delta _ { n } } } .
\begin{array} { r l } { J _ { Z } ( \lambda , t ) = P ^ { ( \infty } ( \lambda ) J _ { S } ( \lambda , t ) \left( P ^ { ( \infty } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } } & { = P ^ { ( \infty } ( \lambda ) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { 2 t g ( \lambda ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } } \\ & { = I + \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { 2 t g ( \lambda ) } P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { R } } = } & { \Big [ - i ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) \bar { u } _ { + } + \left( ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | \bar { u } _ { + } | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime \prime } \right) v _ { s } - ( v _ { s } ) ^ { 2 } \bar { u } _ { + } ^ { * } - ( \bar { u } _ { + } ) ^ { 2 } v _ { s } ^ { * } \Big ] \bar { u } _ { - } . } \end{array}