harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { H _ { p } ^ { \mathrm { f r e e } } } & { = } & { \int \hbar \omega _ { p } ( k ) a _ { p } ^ { \dagger } ( k ) a _ { p } ( k ) d k , } \\ { H _ { a s } ^ { \mathrm { f r e e } } } & { = } & { \int \hbar \omega _ { a s } ( k ) a _ { a s } ^ { \dagger } ( k ) a _ { a s } ( k ) d k , } \\ { H _ { a c } ^ { \mathrm { f r e e } } } & { = } & { \int \hbar \omega _ { a c } ( q ) b _ { a c } ^ { \dagger } ( q ) b _ { a c } ( q ) d q , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | G _ { C } ( \boldsymbol { x } , t ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) | } & { = | \sum _ { j = 1 } ^ { \tilde { N } } \frac { 1 } { 2 } \tilde { u } _ { j } ( 2 \tilde { \sigma } ( ( \boldsymbol { \tilde { k } } _ { j } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \tilde { k } _ { j } ^ { t } t + \tilde { b _ { j } } ) - 1 ) + \frac { 1 } { 2 } \hat { u } \mathrm { t a n h } ( ( \boldsymbol { \hat { k } } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \hat { k } ^ { t } t + \hat { b } ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) | } \\ & { \le | \tilde { G } _ { J } ( \boldsymbol { x } , t ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) | + \frac { 1 } { 2 } | \hat { u } | | \mathrm { t a n h } ( ( \boldsymbol { \hat { k } } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \hat { k } ^ { t } t + \hat { b } ) - 1 | } \\ & { < \frac { \epsilon } { 2 } + \frac { \epsilon } { 2 } = \epsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } ^ { ( m ) } \equiv ~ } & { { } \mathcal { H } ( m - 1 . 5 ) W ^ { ( m ) } - \delta _ { m , 2 } \nabla \psi \cdot \nabla \zeta + \mathcal { H } ( m - 2 . 5 ) W ^ { ( m - 2 ) } ( \nabla \zeta ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { T } ^ { ( m ) } \equiv ~ } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { m , 2 } ( \nabla \psi ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { H } ( m - 1 . 5 ) \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } W ^ { ( n ) } W ^ { ( m - n ) } + } \end{array}
\frac { P _ { p h } } { t _ { 0 } } = 3 . 3 9 8 \frac { B _ { 0 } } { B _ { p h } } + 3 . 3 5 2 \sqrt { \frac { \rho _ { p h } } { \rho _ { 0 } } } - 2 . 7 0 1 \pm 0 . 5 4 7
\operatorname* { P r } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \mid \mathbf { x } ^ { ( 2 ) } , x _ { 0 } , \mathbf { p } ) = \Gamma \! \left( \sum _ { i = 0 } ^ { m } { x _ { i } } \right) { \frac { ( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { n } { p _ { i } ^ { ( 1 ) } } ) ^ { x _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { m - n } x _ { i } ^ { ( 2 ) } } } { \Gamma ( x _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { m - n } x _ { i } ^ { ( 2 ) } ) } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { ( p _ { i } ^ { ( 1 ) } ) ^ { x _ { i } } } { ( x _ { i } ^ { ( 1 ) } ) ! } } .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { M } _ { J , H ^ { + } } ^ { \mathrm { i n } } ( p ; [ \gamma , w ] ) \times \mathcal { M } _ { J , H ^ { - } } ^ { \mathrm { o u t } } ( [ \gamma , w \# ( - A ) ] ; q ) = ( e v _ { 0 , [ \gamma , w ] } ^ { J , H ^ { + } } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { D } ^ { v } ( p ) ) \times ( e v _ { \infty , [ \gamma , w \# ( - A ) ] } ^ { J , H ^ { - } } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { A } ^ { v } ( q ) ) } \\ & { \qquad \qquad \subset \mathcal { M } _ { J , H ^ { + } } ^ { \mathrm { i n } } ( [ \gamma , w ] ) \times \mathcal { M } _ { J , H ^ { - } } ^ { \mathrm { o u t } } ( [ \gamma , w \# ( - A ) ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \Big [ \big | { \mathcal E } \big ( \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } \setminus { \mathcal R } _ { \mathrm { i n } } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { i n } } , \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } \setminus { \mathcal R } _ { \mathrm { o u t } } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { o u t } } \big ) \big | \, \Big | \, \Xi _ { { \mathcal R } _ { \mathrm { i n } } } \cup \Xi _ { { \mathcal R } _ { \mathrm { o u t } } } , { \mathcal A } _ { \mathrm { r e g u l a r } } ( \eta ) \Big ] } & { = \mathbb E \big [ \big | { \mathcal E } \big ( \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } \setminus { \mathcal R } _ { \mathrm { i n } } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { i n } } , \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } \setminus { \mathcal R } _ { \mathrm { o u t } } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { o u t } } \big ) \big | \big ] } \\ & { \le \mathbb E \big [ \big | { \mathcal E } \big ( \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { i n } } , \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { o u t } } \big ) \big | \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { i j } } & { { } = \tau _ { i j } ^ { N } + \tau _ { i j } ^ { e x } } \\ { \tau _ { i j } ^ { N } } & { { } = \mu \dot { \gamma } _ { i j } – p \delta _ { i j } } \\ { \tau _ { i j } ^ { e x } } & { { } = ( \eta - \mu ) \dot { \gamma } _ { i j } } \end{array}
2 ^ { 3 } 6 ^ { 2 } V ^ { 2 } = \left| \begin{array} { c c c } { { 2 l _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { - l _ { 1 2 } ^ { 2 } + l _ { 1 } ^ { 2 } + l _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { - l _ { 1 3 } ^ { 2 } + l _ { 1 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } } } \\ { { - l _ { 1 2 } ^ { 2 } + l _ { 1 } ^ { 2 } + l _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { 2 l _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { - l _ { 2 3 } ^ { 2 } + l _ { 2 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } } } \\ { { - l _ { 1 3 } ^ { 2 } + l _ { 1 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } } } & { { - l _ { 2 3 } ^ { 2 } + l _ { 2 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } } } & { { 2 l _ { 3 } ^ { 2 } } } \end{array} \right|
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( K _ { 1 } ( k _ { 1 } ) ) f } & { = f ( \ell _ { 1 } , \cos ( k _ { 1 } ) \ell _ { 2 } + 2 \sin ( k _ { 1 } ) \ell _ { 3 } , - 2 ^ { - 1 } \sin ( k _ { 1 } ) \ell _ { 2 } + \cos ( k _ { 1 } ) \ell _ { 3 } ) , } \\ { \rho _ { 0 } ( K _ { 2 } ( k _ { 2 } ) ) f } & { = \exp ( \imath \alpha k _ { 2 } ) f ( \exp ( - \imath k _ { 2 } ) \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } , \ell _ { 3 } ) , } \\ { \rho _ { 0 } ( K _ { 3 } ( k _ { 3 } ) ) f } & { = \exp ( \imath k _ { 3 } ) f ( \ell _ { 1 } , \exp ( - \imath k _ { 3 } ) \ell _ { 3 } , \exp ( - \imath k _ { 3 } ) \ell _ { 4 } ) , } \\ { \rho _ { 0 } ( A _ { 1 } ( a _ { 1 } ) ) f } & { = f ( \ell _ { 1 } , \exp ( a _ { 1 } ) \ell _ { 2 } , \exp ( - a _ { 1 } ) \ell _ { 3 } ) , } \\ { \rho _ { 0 } ( A _ { 3 } ( a _ { 3 } ) ) f } & { = ( \cosh ( a _ { 3 } ) + \sinh ( a _ { 3 } ) \ell _ { 2 } \ell _ { 3 } ) f ( \ell _ { 1 } , \cosh ( a _ { 3 } ) ^ { - 1 } \ell _ { 2 } , \cosh ( a _ { 3 } ) ^ { - 1 } \ell _ { 3 } ) } \\ & { \quad + \sinh ( a _ { 3 } ) ( f ( \ell _ { 1 } , 1 , 1 ) - f ( \ell _ { 1 } , 1 , 0 ) - f ( \ell _ { 1 } , 0 , 1 ) + f ( \ell _ { 1 } , 0 , 0 ) } \\ & { \quad + \operatorname { t a n h } ( a _ { 3 } ) ( f ( \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } , \ell _ { 3 } ) - f ( \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } , 0 ) - f ( \ell _ { 1 } , 0 , \ell _ { 3 } ) + f ( \ell _ { 1 } , 0 , 0 ) ) ) . } \end{array}
\left\{ K ( \Lambda ) , K ( \bar { \Lambda } ) \right\} ~ = ~ \sum _ { I = 1 } ^ { n _ { 1 } } k _ { I } ^ { 1 } \int _ { \partial D _ { 1 } } \Lambda _ { I } ^ { 1 } d \bar { \Lambda } _ { I } ^ { 1 } ~ + \sum _ { J = 1 } ^ { n _ { 2 } } k _ { J } ^ { 2 } \int _ { \partial D _ { 2 } } \Lambda _ { J } ^ { 2 } d \bar { \Lambda } _ { J } ^ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r } { \widehat { u } _ { j } : = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { T } } u ( x ) e ^ { - \mathrm { i } j x } d x , \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \widehat { f } _ { j } ( l ) : = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \nu + 1 } } \int _ { \mathbb { T } ^ { \nu } } \int _ { \mathbb { T } } f ( \varphi , x ) e ^ { - \mathrm { i } ( l \cdot \varphi + j x ) } d x d \varphi . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } Q _ { j } ^ { i } ( \eta , t ; s ) = - Q _ { k } ^ { i } ( \eta , t ; s ) 1 _ { D } ( X _ { s } ^ { \eta } ) A _ { j } ^ { k } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) , \quad Q _ { j } ^ { i } ( \eta , t ; t ) = \delta _ { i j }
\begin{array} { r l } { \int \partial _ { x } \left( \tilde { c } ( x , t ) \rho _ { 0 } ( x , t ) M ( \tilde { v } \mid x , t ) \right) d \tilde { v } } & { = 0 } \\ { \partial _ { x } \left( \rho _ { 0 } ( x , t ) \int ( \tilde { v } - \varepsilon u _ { p } ( x , t ) ) M ( \tilde { v } \mid x , t ) d \tilde { v } \right) } & { = 0 } \\ { \partial _ { x } \left( \rho _ { 0 } ( x , t ) \left( \varepsilon u _ { p } ( x , t ) - \varepsilon u _ { p } ( x , t ) \right) \right) } & { = 0 } \\ { 0 } & { = 0 . \quad \checkmark } \end{array}
\psi _ { j } ( x ) = \int \frac { d p _ { j } ^ { 1 } } { \sqrt { 4 \pi } p _ { j } ^ { 0 } } \left( a _ { j } ( p ) u _ { j } ( p ) e ^ { - i p _ { j } \cdot x } + a _ { _ { \bar { \jmath } } } ^ { \dagger } ( p ) v _ { j } ( p ) e ^ { i p _ { j } \cdot x } \right) \, , \qquad
\begin{array} { r } { a h y _ { 1 } ^ { 2 } - \left( f y _ { 1 } + g \right) ^ { 2 } y _ { 1 } + b h = 0 , } \\ { f ^ { 2 } y _ { 1 } ^ { 3 } + \left( 2 f g - a h \right) y _ { 1 } ^ { 2 } + g ^ { 2 } y _ { 1 } - b h = 0 , } \\ { y _ { 1 } ^ { 3 } + \underbrace { \frac { 2 f g - a h } { f ^ { 2 } } } _ { A } y _ { 1 } ^ { 2 } + \underbrace { \frac { g ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } } _ { B } y _ { 1 } - \underbrace { \frac { b h } { f ^ { 2 } } } _ { C } = 0 . } \end{array}
E _ { a } \sim \exp \left[ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r , s = 1 } ^ { 3 } \sum _ { I = 1 } ^ { 8 } \sum _ { m , n = - \infty } ^ { \infty } a _ { m ( r ) } ^ { \dagger I } \bar { N } _ { ( m n ) } ^ { ( r s ) } a _ { n ( s ) } ^ { \dagger I } \right]
1 = ( p _ { 1 } + p _ { 2 } + p _ { 3 } ) ^ { 2 } = \frac { ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( p _ { 2 } + p _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( p _ { 3 } + p _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 } + x \geq \frac { 4 x } { 2 } + x = 3 x .
{ \begin{array} { r l } { H } & { = { \frac { \dot { a } } { a } } } \\ { H ^ { 2 } } & { = H _ { 0 } ^ { 2 } \left( \Omega _ { 0 , \mathrm { R } } a ^ { - 4 } + \Omega _ { 0 , \mathrm { M } } a ^ { - 3 } + \Omega _ { 0 , k } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , \Lambda } \right) } \\ { H } & { = H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { R } } a ^ { - 4 } + \Omega _ { 0 , \mathrm { M } } a ^ { - 3 } + \Omega _ { 0 , k } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , \Lambda } } } } \\ { { \frac { \dot { a } } { a } } } & { = H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { R } } a ^ { - 4 } + \Omega _ { 0 , \mathrm { M } } a ^ { - 3 } + \Omega _ { 0 , k } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , \Lambda } } } } \\ { { \frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } t } } } & { = H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { R } } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , \mathrm { M } } a ^ { - 1 } + \Omega _ { 0 , k } + \Omega _ { 0 , \Lambda } a ^ { 2 } } } } \\ { \mathrm { d } a } & { = \mathrm { d } t H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { R } } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , \mathrm { M } } a ^ { - 1 } + \Omega _ { 0 , k } + \Omega _ { 0 , \Lambda } a ^ { 2 } } } } \end{array} }
m _ { p } \frac { d U } { d t } = \underbrace { G + F _ { b } } _ { + } + \underbrace { F _ { d } } _ { 0 } + \underbrace { F _ { a } } _ { + } + \underbrace { F _ { h } } _ { + } + \underbrace { F _ { s b } } _ { - } + \underbrace { F _ { s j } } _ { - } < 0 .
f ( S ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / n _ { \mathrm { f p } } } ( \mathbf B \cdot \mathbf n ) ^ { 2 } d \theta d \varphi } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / n _ { \mathrm { f p } } } B ^ { 2 } d \theta d \varphi } + \frac { 1 } { 2 } [ \mathrm { V o l } ( \mathrm { Q F M } ) - \mathrm { V o l } ( S ) ] ^ { 2 } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x } _ { 1 } = x _ { 2 } - a x _ { 1 } ^ { 3 } + b x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 3 } + I , } \\ { \dot { x } _ { 2 } = c - d x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } , } \\ { \dot { x } _ { 3 } = r ( s x _ { 1 } - x _ { \mathrm { R } } ) - x _ { 3 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) } & { { } = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { 1 } \, \frac { \exp [ - i ( k _ { 1 } + i A / B ) ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + A ^ { 2 } / ( 2 B ) + ( B / 2 ) k _ { 1 } ^ { 2 } \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { ( 1 , \pm ) } \! } & { { } = } & { \! - i e N _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \overline { { u } } _ { p ^ { \prime } , s ^ { \prime } } \Big ( \widetilde { \mathcal { M } } _ { n } ^ { \pm } \pm \widetilde { M } _ { n } ^ { \pm } \Big ) v _ { p , s } } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { k } ^ { 2 l + 1 } ( x ) = \frac { \Gamma ( 2 l + 2 + k ) } { ( 2 l + 2 ) \Gamma ( k + 1 ) } \: _ { 1 } F _ { 1 } ( - k , 2 l + 2 , x ) } \end{array}
\widehat { \vartheta } _ { t } = \frac { \alpha + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \hat { S } _ { i , t } } { \alpha + \beta + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \hat { S } _ { i , t } + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \hat { F } _ { i , t } } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { ( \widehat { l } , \widehat { r } ) \setminus \cup _ { k \geq 1 } ( \widehat { a } _ { k } , \widehat { b } _ { k } ) } \widehat { \varphi } ( \widehat { x } ) ^ { 2 } d \widehat { x } } \\ & { \qquad = \int _ { l } ^ { r } \widehat { \varphi } ( \widehat { G } ( \mathbf { s } _ { c } ( x ) ) ) ^ { 2 } d \mathbf { s } _ { c } ( x ) = \int _ { I \setminus H } \widehat { \varphi } ( \widehat { G } ( \mathbf { s } _ { c } ( x ) ) ) ^ { 2 } d \mathbf { s } _ { c } ( x ) } \\ & { \qquad = \int _ { I \setminus H } \widehat { \varphi } ( \mathbf { s } ( x ) ) ) ^ { 2 } d \mathbf { s } _ { c } ( x ) = \int _ { I } \left( \frac { d f ^ { c } } { d \mu ^ { c } } \right) ^ { 2 } d \mu ^ { c } < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { \rho } ^ { * } \Phi _ { n } ^ { h } } & { = R \bar { \theta } \bar { u } \xi _ { n } ^ { h } ( 2 \pi ) + R \bar { \rho } \bar { \theta } \eta _ { n } ^ { h } ( 2 \pi ) = R \bar { \theta } ( \bar { u } \alpha _ { 1 } ^ { n } + \bar { \rho } \alpha _ { 2 } ^ { n } ) = R \bar { \theta } \nu _ { 3 } ^ { n } \alpha _ { 1 } ^ { n } \neq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { A } } & { = \frac { 1 } { 2 \epsilon ^ { 2 } } \frac { \langle B ^ { 2 } \rangle } { \langle N _ { W } \rangle } \bigg [ \bigg \langle \frac { N _ { W } } { B ^ { 2 } } \bigg \rangle - \bigg \langle \frac { B ^ { 2 } } { N _ { W } } \bigg \rangle ^ { - 1 } \bigg ] , } \\ { P _ { B } } & { = \frac { 1 } { 2 \epsilon ^ { 2 } } \frac { \langle B ^ { 2 } \rangle } { \langle N _ { W } \rangle } \bigg [ \frac { \langle N _ { W } \rangle } { \langle B ^ { 2 } \rangle } - \bigg \langle \frac { B ^ { 2 } } { N _ { W } } \bigg \rangle ^ { - 1 } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial \phi _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { { } + \int _ { \Omega _ { n } } ( \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \phi _ { n } ) \varphi _ { i } d \Omega - \int _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { m } } \cdot \widetilde { ( \textbf { u } _ { n } \phi _ { n } ) } \varphi _ { i } d S + \int _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { m } } \cdot \widehat { ( \textbf { u } _ { n } \phi _ { n } ) } \varphi _ { i } d S = } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { q _ { i } + \frac 1 2 \Delta _ { i } + ( 0 , 1 , \dots , a _ { i } / 2 - 1 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 0 ~ } } \\ { q _ { i } + \frac 1 2 \Delta _ { i } + ( 0 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 1 ~ } } \\ { q _ { i } + \frac 1 2 \Delta _ { i } + 1 + ( 0 , 1 , \dots , a _ { i } / 2 - 1 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 2 ~ } } \\ { \emptyset } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 3 ~ } } \end{array} \right.
R _ { 3 } ^ { 0 } \{ X V I I _ { a } ^ { 0 } \} = R _ { 5 } ^ { 0 } \{ X V _ { 1 a } ^ { 0 } \} , \quad \{ X I V _ { a } ^ { 0 } \} = - \, \{ X I V _ { c } ^ { 0 } \} .
g _ { + } ^ { 1 } ( z ) = - \frac { 1 } { ( z - v _ { 0 } ) \sqrt { 1 - \frac { 2 } { ( z - v _ { 0 } ) ^ { 2 } } } } \int _ { \pm \infty } ^ { z } \left[ v _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ( z ^ { \prime } - v _ { 0 } ) \sqrt { 1 - \frac { 2 } { ( z ^ { \prime } - v _ { 0 } ) ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { 2 } ( z ^ { \prime } + v _ { 0 } ) \sqrt { 1 - \frac { 2 } { ( z ^ { \prime } + v _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right] d z ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \delta _ { i + 1 } } & { = f _ { 5 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { > f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f _ { W E } ( z ; \lambda ) } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { z ^ { - n } } { 1 - i n / \lambda } } } \\ & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \lambda } { \pi } } \, { \textrm { I m } } ( \Phi ( z , 1 , - i \lambda ) ) - { \frac { 1 } { 2 \pi } } } & { { \mathrm { i f ~ } } z \neq 1 } \\ { { \frac { \lambda } { 1 - e ^ { - 2 \pi \lambda } } } } & { { \mathrm { i f ~ } } z = 1 } \end{array} \right. } } \end{array} }
\eta _ { 5 } ^ { \ast \ast } + \epsilon \left( \dot { \eta } _ { 5 } - 6 \eta _ { 5 } \eta _ { 5 } ^ { \prime } + \eta _ { 5 } ^ { \prime \prime \prime } \right) ^ { \prime } = 0 , \qquad \epsilon = \pm 1 ,
\delta { \cal B } _ { 0 1 } = - \frac { m } { \Delta _ { m , n } ^ { 1 / 2 } } \, \frac { Q _ { 1 } } { r ^ { 6 } } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \delta { \cal C } _ { 0 1 } = - \frac { n } { \Delta _ { m , n } ^ { 1 / 2 } } \, \frac { Q _ { 1 } } { r ^ { 6 } } ~ ~ .
\operatorname* { s u p } _ { \ell \in \mathbb { R } } \left| \widetilde \sigma \sqrt { 2 \pi n } \, { \mathbb { E } } _ { \mathfrak { m } } ( U \circ \phi ^ { n } \, V ( \widetilde S _ { n } ( \overline { { h } } ) - \ell ) \, W ) - e ^ { - \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 n \widetilde \sigma ^ { 2 } } } \, { \mathbb { E } } _ { \mu } ( U ) \, { \mathbb { E } } _ { \mathfrak { m } } ( W ) \int V ( x ) \, \mathrm { d } x \right| = o ( 1 ) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v } & { + c _ { 0 } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\vert \nabla ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\vert ^ { 2 } \langle v \rangle ^ { - 3 } \, \mathrm { d } v } \\ & { \leq C \left[ \frac { 1 } { ( \ell - k ) ^ { \gamma } } + \frac { 1 + \ell } { ( \ell - k ) ^ { 1 + \gamma } } + \frac { 1 + E ^ { \beta _ { 0 } } + \ell + \ell ^ { 2 } } { ( \ell - k ) ^ { 2 + \gamma } } \right] } \\ & { \qquad \times \left[ \left( \left\| \langle \cdot \rangle ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \nabla ( h _ { k } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L ^ { p } } ^ { p } \right) \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L ^ { p } } ^ { p \left( \frac { q - p - \frac { 2 } { 3 } } { p - 1 } \right) } \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L _ { m } ^ { 1 } } ^ { \frac { 5 p - 3 q } { 3 ( p - 1 ) } } \right] , } \end{array}
f _ { 2 0 0 } = \left( \begin{array} { c } { 0 . 8 7 3 4 } \\ { - 0 . 3 6 7 5 } \end{array} \right) , f _ { 1 1 0 } = \left( \begin{array} { c } { - 1 . 6 6 6 7 } \\ { 0 . 5 3 7 9 } \end{array} \right) , f _ { 1 0 1 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \frac { 5 0 } { 4 1 } } \end{array} \right) , f _ { 0 1 1 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { - 0 . 3 } \end{array} \right) ,
\vec { a } = \sqrt { \frac { \mu \omega } { 2 } } \vec { x } + i \sqrt { \frac { 1 } { 2 \mu \omega } } \vec { p } , \qquad \vec { a } ^ { \dag } = \sqrt { \frac { \mu \omega } { 2 } } \vec { x } - i \sqrt { \frac { 1 } { 2 \mu \omega } } \vec { p } ,
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \biggl \| \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \! \! \xi _ { m , k } \tilde { \Chi } _ { m , k } \bigl ( \nabla X _ { m - 1 , l _ { k } } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) \cdot \nabla \bigl ( \nabla \cdot \mathbf { e } _ { m - 1 } \bigr ) \biggr \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } } \qquad } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { \textrm { E } } } & { = } & { \int \! d { \textbf { k } } \ \sigma ( { \textbf { k } } , { \textbf { X } } ; T ) \exp [ - \omega ( k , { \textbf { X } } ; T ) | \tau - \tau | ] } \\ & { = } & { 4 \pi \int _ { k _ { \textrm { C } } } ^ { \infty } \! \! d k \ k ^ { 2 } \sigma _ { 0 } \varepsilon ^ { 2 / 3 } k ^ { - 1 1 / 3 } = 4 \pi \sigma _ { 0 } \int _ { k _ { \textrm { C } } } ^ { \infty } \! \! d k \ \varepsilon ^ { 2 / 3 } k ^ { - 5 / 3 } , } \end{array}
{ \cal B } ^ { r } ( t ) \sim \frac { 1 } { ( \Omega ! ) ^ { 2 } } \left[ \Phi ^ { * } ( t ) \right] ^ { r } \sum _ { s = 0 } ^ { r } { \binom { r } { s } } ( \Omega - s ) ! \left[ \Omega - ( r - s ) \right] ! x ^ { 2 ( r - s ) } \Phi ^ { s } ( t ) \Phi ^ { r - s } ( t - 1 ) \; .
T _ { q , g } ^ { \left( \mu \nu \right) } ( \mu ^ { 2 } ) = T _ { ( q , g ) \pi } ^ { \left( \mu \nu \right) } ( \mu ^ { 2 } , \Lambda _ { \chi } ^ { 2 } ) + T _ { ( q , g ) N } ^ { \left( \mu \nu \right) } ( \mu ^ { 2 } , \Lambda _ { \chi } ^ { 2 } ) + T _ { ( q , g ) \Delta } ^ { \left( \mu \nu \right) } ( \mu ^ { 2 } , \Lambda _ { \chi } ^ { 2 } ) + \cdots \ ,
\sum _ { s = 1 } ^ { n } \Pi _ { i _ { 1 } . . . i _ { m - 1 } s } \frac { \partial \Pi _ { j _ { 1 } \dots j _ { l - 1 } s j _ { l + 1 } \dots j _ { m } } } { \partial x _ { s } } = \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \Pi _ { j _ { 1 } . . . j _ { l - 1 } s j _ { l + 1 } . . . j _ { m } } \frac { \partial \Pi _ { i _ { 1 } . . . i _ { m - 1 } j _ { l } } } { \partial x _ { s } } .
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { r } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbb { R } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \leq \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l r } { v _ { n } } & { = } & { ( e _ { v , p } + ( 1 - e _ { v , p } ) b _ { n } ) , } \\ { ( \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { m } / F ) \cdot v _ { m } ) _ { R _ { m } ^ { \chi } } } & { = } & { \mathrm { F i t t } _ { R _ { m } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \cup J _ { v } } ( H _ { m } ) _ { R _ { m } ^ { \chi } } ^ { - } ) , \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } m \geq n , } \\ { \pi _ { m } ^ { m + 1 } ( \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { m + 1 } / F ) \cdot v _ { m + 1 } ) } & { = } & { ( \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { m } / F ) \cdot v _ { m } ) , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } m \geq n . } \end{array}
\Omega _ { \pm } = \frac { \xi \omega _ { 2 } + \gamma \omega _ { 1 } \pm \sqrt { ( \xi \omega _ { 2 } - \gamma \omega _ { 1 } ) ^ { 2 } + 4 \kappa ^ { 2 } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } } { 2 ( \xi \gamma - \kappa ^ { 2 } ) }
\exists C _ { 1 } , C _ { 2 } > 0 , \quad \forall t \in [ 0 , 1 ] , \quad C _ { 1 } t \leqslant \sin \big ( t \, \mathtt { m } _ { \theta _ { 0 } } ( r ) \big ) \leqslant C _ { 2 } t , \qquad C _ { 1 } t \leqslant \sin \big ( t \, \mathtt { M } _ { \theta _ { 0 } } ( r ) \big ) \leqslant C _ { 2 } t .
M = \sum _ { t } \sum _ { t ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } x \ \textbf { v } _ { t } ( x ) \textbf { v } _ { t ^ { \prime } } ^ { * } ( x ) = \int d ^ { 3 } x \left( \sum _ { t } \textbf { v } _ { t } \right) \cdot \left( \sum _ { t ^ { \prime } } \textbf { v } _ { t ^ { \prime } } \right) ^ { \star }