harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { g \left( w - \sqrt { N \lambda } { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol v } _ { j } ^ { T } \right) - g ( w ) } \\ & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { 4 } \frac { g ^ { ( \ell ) } ( w ) } { \ell ! } \left( - \sqrt { N \lambda } { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol v } _ { j } ^ { T } \right) ^ { \ell } + \frac { g ^ { ( 5 ) } \left( w - \theta \sqrt { N \lambda } { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol v } _ { j } ^ { T } \right) } { 5 ! } \left( - \sqrt { N \lambda } { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol v } _ { j } ^ { T } \right) ^ { 5 } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { d { \tilde { s } } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { ( H ^ { 2 } + \theta ^ { 2 } / ( 2 \pi ) ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } [ H ^ { - 1 / 2 } d s _ { 1 , 7 } ^ { 2 } - H ^ { 1 / 2 } d \omega d { \bar { \omega } } ] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \tilde { \lambda } } } } & { { = } } & { { - 2 \pi i / \log { \omega } \, . } } \end{array}
\frac { \displaystyle d N ^ { ( \rho ) } } { \displaystyle d ^ { 3 } k _ { 1 } \, d ^ { 3 } k _ { 2 } \, d ^ { 4 } P } = \int d ^ { 3 } p _ { + } \, d ^ { 3 } p _ { - } ~ \left| A _ { \mathrm { f i } } \left( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; p _ { + } , p _ { - } \right) \right| ^ { 2 } \, \delta ^ { 4 } ( p _ { + } + p _ { - } - P ) \ ,
H ^ { 1 } ( d P _ { 9 } , { \cal O } _ { d P _ { 9 } } ( 6 \sigma | _ { d P _ { 9 } } - F ) ) | _ { c _ { - 3 } } = H ^ { 0 } ( { \cal S } , { \cal O } _ { { \cal S } } ( 1 ) ) ^ { * } .
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } ( \frac { r } 2 , \frac { d - 2 } { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { \mathrm { B } ( \frac 1 2 , \frac { d - 1 } 2 ) } \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 2 - 2 t + c ^ { 2 } ) ^ { r / 2 } \, P _ { 0 } ^ { ( \frac { d - 2 } { 2 } ) } ( t ) ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { = \frac { 1 } { \mathrm { B } ( \frac 1 2 , \frac { d - 1 } 2 ) } \int _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 + c ^ { 2 } - 2 t ) ^ { r / 2 } ( 2 t - t ^ { 2 } ) ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { = \frac { 2 } { \mathrm { B } ( \frac 1 2 , \frac { d - 1 } 2 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 4 + c ^ { 2 } - 4 t ) ^ { r / 2 } ( 4 t - 4 t ^ { 2 } ) ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { = \frac { 2 ^ { d - 2 } ( 4 + c ^ { 2 } ) ^ { r / 2 } } { \mathrm { B } ( \frac 1 2 , \frac { d - 1 } 2 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( 1 - \frac { 4 } { 4 + c ^ { 2 } } t \Big ) ^ { r / 2 } t ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } ( 1 - t ) ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } \mathrm { d } t , } \end{array}
\mathbf { u } _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } = - \nabla p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } + \Theta \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { ( R ^ { 1 } ) , ( R ^ { 2 } ) , ( R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } ) , ( R _ { ( 1 ) } ^ { 2 } ) } \varphi \bigl ( R _ { ( 1 ) } ^ { 1 } R _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \bigr ) \, ( R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \, ( R _ { ( 1 ) } ^ { 2 } ) _ { ( 1 ) } \otimes ( R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } ) _ { ( 2 ) } \, ( R _ { ( 1 ) } ^ { 2 } ) _ { ( 2 ) } } \\ { = \: } & { \sum _ { ( R ^ { 1 } ) , \ldots , ( R ^ { 4 } ) } \varphi \bigl ( R _ { ( 1 ) } ^ { 1 } R _ { ( 1 ) } ^ { 2 } R _ { ( 2 ) } ^ { 3 } R _ { ( 2 ) } ^ { 4 } \bigr ) \, R _ { ( 2 ) } ^ { 2 } R _ { ( 1 ) } ^ { 3 } \otimes R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } R _ { ( 1 ) } ^ { 4 } } \\ { = \: } & { \sum _ { ( R ^ { 1 } ) , ( R ^ { 4 } ) , ( \varphi ) } \varphi _ { ( 1 ) } \bigl ( R _ { ( 1 ) } ^ { 1 } \bigr ) \, \varphi _ { ( 3 ) } \bigl ( R _ { ( 2 ) } ^ { 4 } \bigr ) \, \Phi _ { 0 , 1 } ( \varphi _ { ( 2 ) } ) \otimes R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } R _ { ( 1 ) } ^ { 4 } \in H ^ { \prime } \otimes H . } \end{array}
\rho _ { \kappa } ( \mathbf { G } ) = \int e ^ { - i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } } \chi _ { \kappa } ( \mathbf { r } ) d ^ { 3 } \mathbf { r } = \pi N _ { \kappa } e ^ { - \frac { G ^ { 2 } } { 4 \alpha _ { \kappa } } } \sum _ { k } \left( \begin{array} { l } { l _ { \kappa } } \\ { k } \end{array} \right) \frac { ( \frac { - i G _ { x } } { 2 \alpha _ { \kappa } } ) ^ { l _ { \kappa } - k } \Gamma ( \frac { k + 1 } { 2 } ) } { \alpha _ { \kappa } ^ { ( k + 3 ) / 2 } } .
\begin{array} { r l } { I } & { { } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } g ( k _ { x } , k _ { y } ) e ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } x + k _ { y } y + k _ { z } | z | ) } d k _ { x } d k _ { y } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau \left( \nu , \zeta , \beta , 1 \right) } & { { } = } & { \pi \frac { \sqrt { 4 j _ { \zeta , \beta , 1 } ^ { 2 } - 1 } } { \left\vert \nu \right\vert } } \\ { \tau \left( \nu , \zeta , \beta , 2 \right) } & { { } = } & { 2 \tau + \tau ^ { \left( 2 \right) } \left( j _ { \zeta , \beta , 2 } , \nu \right) , } \\ { \tau \left( \nu , \zeta , \beta , 3 _ { \pm } \right) } & { { } = } & { 2 \tau + \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j _ { \zeta , \beta , 3 _ { \pm } } , \nu \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { U } ^ { ( 3 / 2 ) ^ { n } \mathcal { Y } } - \mathcal { U } ^ { ( 3 / 2 ) ^ { m } \mathcal { Y } } \| _ { \mathbb { H } ^ { \mathcal { Y } } } } & { \leq C \mathcal { Y } ^ { - \mu / 2 } \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { \mu \, m / 2 } \Big ( 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { \frac { \mu } { 2 } ( n - m ) } \Big ) \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla ^ { 2 } \psi } & { { } = } & { - \omega , } \\ { \frac { \partial \omega } { \partial t } + \mathcal { N } \left( \omega , \psi \right) } & { { } = } & { \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 2 } \omega - \chi \omega - f , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau b _ { 0 } \epsilon _ { A 0 } \delta \phi _ { 0 } = \left[ \left( \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \beta _ { 0 } ^ { + } \delta \phi _ { s } ^ { * } \frac { \beta _ { + } } { \tau b _ { + } \epsilon _ { A + } } \delta \phi _ { s } \right] \delta \phi _ { 0 } + \delta \phi _ { - } \ \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ t ~ r ~ i ~ b ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { { } \mathcal { J } \mathcal { M } | \hat { s } _ { 1 , q } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } ^ { \prime } \mathcal { M } \rangle = } \end{array}
\| u _ { N , h } - \overline { u } _ { N , h } \| _ { L ^ { q } ( \Omega ; V ) } + h ^ { - r } \| u _ { N , h } - \overline { u } _ { N , h } \| _ { L ^ { q } ( \Omega ; H ) } \le C h ^ { r } \quad \left\{ \begin{array} { l l } & { \mathrm { f o r ~ q \in [ 1 , \overline { ~ } q ) ~ i f ~ p = 1 ~ , ~ a n d } } \\ & { \mathrm { f o r ~ a n y ~ q \in ~ [ 1 , \infty ) ~ i f ~ p > 1 ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathrm { A _ { + } } = \frac { 2 \gamma _ { m } ^ { + } / \tau _ { m } ^ { + } } { ( \gamma _ { m } ^ { + } + 1 / \tau _ { m } ^ { + } ) ^ { 2 } + ( \omega - \omega _ { m } ^ { + } ) ^ { 2 } } } \\ { + \frac { 2 \gamma _ { e } ^ { + } / \tau _ { e } ^ { + } } { ( \gamma _ { e } ^ { + } + 1 / \tau _ { e } ^ { + } ) ^ { 2 } + ( \omega - \omega _ { e } ^ { + } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\left| H ^ { g } ( \bar { x } , \xi ; t ) - \frac { \xi ^ { 2 } } { 1 - \xi ^ { 2 } } \, E ^ { g } ( \bar { x } , \xi ; t ) \right| \leq \sqrt { \frac { \bar { x } ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } } { 1 - \xi ^ { 2 } } } \; \sqrt { g ( x _ { 1 } ) \; g ( x _ { 2 } ) }
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { q _ { 6 } - q _ { 2 } q _ { 5 } } { 1 + | q _ { 2 } | ^ { 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 1 } , } & & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - \frac { \bar { q } _ { 6 } - \bar { q } _ { 2 } \bar { q } _ { 5 } } { 1 - | q _ { 5 } | ^ { 2 } - | q _ { 6 } | ^ { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 2 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { q _ { 6 } - q _ { 2 } q _ { 5 } } { 1 - | q _ { 5 } | ^ { 2 } - | q _ { 6 } | ^ { 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 3 } , } & & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \frac { \bar { q } _ { 6 } - \bar { q } _ { 2 } \bar { q } _ { 5 } } { 1 + | q _ { 2 } | ^ { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 4 } , } \\ & { e ^ { \pi ( \nu _ { 4 } - 2 \nu _ { 5 } ) \tilde { \sigma } } \mathrm { ~ i f ~ } z \in { \mathbb R } _ { - } , } & & { e ^ { \pi ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) \tilde { \sigma } } \mathrm { ~ i f ~ } z \in { \mathbb R } _ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle L _ { 1 } ( \tau ) L _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } & { = \int _ { 0 } ^ { \mathrm { m i n } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } \left( ( 1 - \alpha ) \gamma s \right) ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \left( \frac { \tau } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \left( \frac { \tau ^ { \prime } } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } d s } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } ) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { 1 - 2 \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { \gamma \left( 1 - 3 \alpha + \beta \right) } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau < \tau ^ { \prime } } \\ { \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } ) ^ { \frac { 1 - 2 \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { \gamma \left( 1 - 3 \alpha + \beta \right) } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau > \tau ^ { \prime } } \\ { \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { 1 - \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { \gamma \left( 1 - 3 \alpha + \beta \right) } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau = \tau ^ { \prime } \ . } \end{array} \right. \qquad \mathrm { a n d } \ \alpha < 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } \Bigl ( \frac { \alpha ( x ) ( I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) ) } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) ) ( I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) ) } d x d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } \Bigl ( \frac { \alpha ( x ) ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) ) ( I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) ) } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) ) ( I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) + 1 ) } \Bigr ) d x d s } \\ { \geqslant } & { \int _ { \mathcal { L } } l n \frac { I _ { 0 } ( x ) + E _ { 0 } ( x ) } { 1 + I _ { 0 } ( x ) + E _ { 0 } ( x ) } d x + \hat { R } t , \quad \forall t \ \geqslant 0 , \forall n \in \mathbb { N } , } \end{array}
{ \cal L } _ { _ { \mathrm { F } } } = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { f } } i { \overline { { \psi } } } ^ { k } \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \psi ^ { k } - i f { \overline { { \psi } } } ^ { k } \Phi \psi ^ { k } \, .
\begin{array} { r l } { a ( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } , l _ { 4 } ) } & { = e ^ { l _ { 1 } } ( e ^ { l _ { 3 } } \cosh ( { l _ { 2 } } ) \cosh ( { l _ { 4 } } ) - e ^ { - l _ { 3 } } \sinh ( { l _ { 2 } } ) \sinh ( { l _ { 4 } } ) ) , } \\ { b ( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } , l _ { 4 } ) } & { = e ^ { l _ { 1 } } ( e ^ { l _ { 3 } } \cosh ( { l _ { 2 } } ) \sinh ( { l _ { 4 } } ) - e ^ { - l _ { 3 } } \sinh ( { l _ { 2 } } ) \cosh ( { l _ { 4 } } ) ) , } \\ { c ( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } , l _ { 4 } ) } & { = e ^ { - l _ { 1 } } ( e ^ { - l _ { 3 } } \cosh ( { l _ { 2 } } ) \sinh ( { l _ { 4 } } ) - e ^ { l _ { 3 } } \sinh ( { l _ { 2 } } ) \cosh ( { l _ { 4 } } ) ) , } \\ { d ( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } , l _ { 4 } ) } & { = e ^ { - l _ { 1 } } ( e ^ { - l _ { 3 } } \cosh ( { l _ { 2 } } ) \cosh ( { l _ { 4 } } ) - e ^ { l _ { 3 } } \sinh ( { l _ { 2 } } ) \sinh ( { l _ { 4 } } ) ) } \end{array}
\wp ( z ; L ) = \wp ( z ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } + \sum _ { n ^ { 2 } + m ^ { 2 } \neq 0 } \left\{ { \frac { 1 } { ( z + m \omega _ { 1 } + n \omega _ { 2 } ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { \left( m \omega _ { 1 } + n \omega _ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \right\}
{ \begin{array} { r l r l r l } { f ( { \mathrm { A l l a n } } ) } & { = 2 0 0 5 , \quad } & { f ( { \mathrm { B r a d } } ) } & { = 2 0 0 7 , \quad } & { f ( { \mathrm { C a r y } } ) } & { = 2 0 0 1 } \\ { f ^ { - 1 } ( 2 0 0 5 ) } & { = { \mathrm { A l l a n } } , \quad } & { f ^ { - 1 } ( 2 0 0 7 ) } & { = { \mathrm { B r a d } } , \quad } & { f ^ { - 1 } ( 2 0 0 1 ) } & { = { \mathrm { C a r y } } } \end{array} }
\operatorname* { l i m s u p } _ { \kappa \to 0 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } } \kappa \bigl | \nabla \theta ^ { \kappa } ( t , x ) \bigr | ^ { 2 } \, d x \, d t > 0 .
U \phi _ { \ell } = 2 \alpha \left( { \tt \frac { 1 } { \bar { z } } } \partial _ { z } \phi _ { \ell } - { \tt \frac { 1 } { z } } \partial _ { \bar { z } } \phi _ { \ell } \right) + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \left( { \tt \frac { 1 } { z } { \tt \frac { 1 } { \bar { z } } } } + { \tt \frac { 1 } { \bar { z } } } { \tt \frac { 1 } { z } } \right) \phi _ { \ell } \, ,
\bigl \| \mathbf { j } _ { m , n } ^ { \kappa } \bigr \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ) } \leq C a _ { m } ^ { 2 } \varepsilon _ { m } ^ { 2 } \biggl ( \frac { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } { \kappa \tau _ { m } } \biggr ) ^ { \! \! n } \, , \qquad \forall n \in \{ 0 , \ldots , N _ { * } \} \, .
h ( t ) \equiv t - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) } { 2 b _ { 0 } } \log \left| 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) \left( 1 - e ^ { 2 t } \right) \right| .
\frac { d ^ { 2 } \sigma ^ { \uparrow \downarrow } } { d Q ^ { 2 } d \nu } - \frac { d ^ { 2 } \sigma ^ { \uparrow \uparrow } } { d Q ^ { 2 } d \nu } = \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } E ^ { 2 } } \left[ m _ { N } ( E + E ^ { \prime } \cos \sigma ) G _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) - Q ^ { 2 } G _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { v _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } & { { } = } & { v _ { 0 } + \frac { \sqrt { 8 } \mu _ { 6 2 6 } ^ { \prime } \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } R _ { \infty } } { \hbar \ensuremath { k _ { 6 2 6 } } } , } \\ { \ensuremath { R _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } & { { } = } & { R _ { \infty } + \frac { \hbar \ensuremath { k _ { 6 2 6 } } v _ { 0 } } { \sqrt { 8 } \mu _ { 6 2 6 } ^ { \prime } \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } } . } \end{array}
T _ { G } ( \omega ) = \frac { T _ { s a m } ( \omega ) } { T _ { s u b } ( \omega ) } = \left| 1 + \frac { e ^ { 2 } } { \pi \hbar ^ { 2 } } \frac { Z _ { 0 } F E _ { F } } { 1 + n _ { S i C } } \frac { i \omega } { \omega ^ { 2 } - \xi \omega _ { p } ^ { 2 } + i \omega / \tau } \right| ^ { - 2 } .
\begin{array} { r l } & { ( [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 2 } ^ { 3 } - [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 1 } ) / \delta \approx \left[ Y _ { 1 } ^ { \delta } - ( \delta / 2 ) ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) X _ { \alpha } ^ { \delta } \right] _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { \approx [ Y _ { 1 } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } - ( \delta / 2 ) ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 2 ) [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } - ( \delta ^ { 2 } / 2 ) ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) _ { y } ( 0 ) X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 ) } \\ & { \approx [ Y _ { 1 } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } - ( \delta / 2 ) ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 0 ) [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } - ( \delta ^ { 2 } / 2 ) ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) _ { y } ( 0 ) X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 ) } \\ & { \approx \delta \left( c _ { 1 } c _ { 2 } X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( c _ { 2 } ) _ { x } X _ { \beta } ^ { \delta } \right) ( 0 ) + ( \delta ^ { 2 } / 2 ) \left( ( ( c _ { 2 } ) _ { x } - ( c _ { 1 } ) _ { y } ) Y _ { 2 } ^ { \delta } - ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) _ { y } X _ { \alpha } ^ { \delta } \right) ( 0 ) } \\ & { + ( \delta ^ { 2 } / 2 ) \left( - \left( c _ { 1 } ( a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } - c _ { 2 } ^ { 2 } ) + c _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) \right) X _ { \beta } ^ { \delta } + ( a _ { 1 } ) _ { y y } \phi ^ { \delta } - ( b _ { 1 } ) _ { y y } \xi ^ { \delta } - ( c _ { 1 } ) _ { y y } X _ { \beta } ^ { \delta } \right) ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { s h o r t } ( t ) } & { { } = 1 } \\ { \implies ( 1 - S ( t _ { e n d } , m ) ) + Z _ { 3 } ^ { - 1 } S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } & { { } = 1 } \\ { \implies Z _ { 3 } ^ { - 1 } } & { { } = \frac { S ( t _ { e n d } , m ) } { S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } . } \end{array}
S ( g ) ^ { - 1 } = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \int d ^ { 4 } x _ { 1 } \ldots d ^ { 4 } x _ { n } \tilde { T } _ { n } ( x _ { 1 } , \ldots x _ { n } ) g ( x _ { 1 } ) \ldots g ( x _ { n } )
\begin{array} { r l } & { \frac { d Z _ { 1 , 1 } ( t ) } { d t } = p _ { 1 , 1 } X _ { 1 , 1 } ( t ) X _ { 2 , 1 } ( t ) - \frac { Z _ { 1 , 1 } ( t ) } { \tau _ { z } } , } \\ & { \frac { d X _ { 1 , 1 } ( t ) } { d t } = q _ { 1 , 1 } Z _ { 1 , 1 } ( t ) X _ { 2 , 2 } ( t ) - \frac { X _ { 1 , 1 } ( t ) } { \tau _ { x } } , } \\ & { \frac { d Z _ { 2 , 1 } ( t ) } { d t } = p _ { 2 , 1 } X _ { b , 1 } X _ { 2 , 1 } ( t ) - \frac { Z _ { 2 , 1 } ( t ) } { \tau _ { z } } , } \\ & { \frac { d X _ { 2 , 1 } ( t ) } { d t } = q _ { 2 , 1 } X _ { b , 2 } Z _ { 2 , 1 } ( t ) - \frac { X _ { 2 , 1 } ( t ) } { \tau _ { x } } , } \\ & { \frac { d Z _ { 2 , 2 } ( t ) } { d t } = p _ { 2 , 2 } X _ { b , 3 } X _ { 2 , 2 } ( t ) - \frac { Z _ { 2 , 2 } ( t ) } { \tau _ { z } } , } \\ & { \frac { d X _ { 2 , 2 } ( t ) } { d t } = q _ { 2 , 2 } X _ { b , 4 } Z _ { 2 , 2 } ( t ) - \frac { X _ { 2 , 2 } ( t ) } { \tau _ { x } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { B ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) = \frac { \left| \left\langle \tilde { \eta } ^ { * } ( \nu _ { 1 } ) \tilde { \eta } ^ { * } ( \nu _ { 2 } ) \tilde { \eta } ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } ) \right\rangle \right| } { \sqrt { \langle | \tilde { \eta } ( \nu _ { 1 } ) \tilde { \eta } ( \nu _ { 2 } ) | ^ { 2 } \rangle \langle | \tilde { \eta } ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } ) | ^ { 2 } \rangle } } \mathrm { \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { 0 } ^ { - 1 } Z ^ { \prime } ( r ) } & { = J _ { 0 } ( R _ { 1 } z _ { 0 } ) Y _ { 0 } ^ { \prime } ( r z _ { 0 } ) - J _ { 0 } ^ { \prime } ( r z _ { 0 } ) Y _ { 0 } ( R _ { 1 } z _ { 0 } ) } \\ & { = - J _ { 0 } ( R _ { 1 } z _ { 0 } ) Y _ { 1 } ( r z _ { 0 } ) + J _ { 1 } ( r z _ { 0 } ) Y _ { 0 } ( R _ { 1 } z _ { 0 } ) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { A } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } J _ { l } ^ { 2 } d r = \frac { 1 } { 2 l } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { A } \frac { 1 } { r } J _ { l - 1 } J _ { l } d r + \int _ { 0 } ^ { A } \frac { 1 } { r } J _ { l + 1 } J _ { l } d r \bigg ] .
A ^ { ( 0 ) } = C > 0 \, , \quad A _ { i } ^ { ( 1 ) } = 0 \, , \quad A _ { i j } ^ { ( 2 ) } = - \frac { C } { l _ { c } ^ { 2 } } \, \delta _ { i j } \, , \quad A _ { i } ^ { ( 3 ) } = 0
{ \frac { d } { d \alpha } } \varphi ( \alpha ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \partial } { \partial \alpha } } \left( { \frac { \alpha } { x ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } } \right) \, d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } d x = \left. - { \frac { x } { x ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } } \right| _ { 0 } ^ { 1 } = - { \frac { 1 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } & { { \beta } _ { 2 } ( ( \varphi \otimes \varphi ) \delta _ { 1 } ( a ) , b _ { 1 } \otimes b _ { 2 } ) = \beta _ { 1 } ( \delta _ { 1 } ( a ) , \varphi ^ { - 1 } ( b _ { 1 } ) \otimes \varphi ^ { - 1 } ( b _ { 2 } ) ) = \beta _ { 1 } ( a , \varphi ^ { - 1 } ( b _ { 1 } ) \varphi ^ { - 1 } ( b _ { 2 } ) ) } \\ & { = \beta _ { 1 } ( a , \varphi ^ { - 1 } ( b _ { 1 } b _ { 2 } ) ) = { \beta } _ { 2 } ( \varphi ( a ) , b _ { 1 } b _ { 2 } ) = { \beta } _ { 2 } ( { \delta } _ { 2 } ( \varphi ( a ) ) , b _ { 1 } \otimes b _ { 2 } ) } \end{array}
\left| S ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) \right| = 2 ^ { 2 ^ { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } } - 2 \times 2 ^ { 2 ^ { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } - 1 ) } } + 2 ^ { 2 ^ { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } - 2 ) } } .
H _ { n m } ^ { H } = E _ { n } ^ { 0 } { \delta } _ { n m } - N _ { 2 D } { \tilde { V } } _ { n m } ^ { e i } + \sum _ { l p q } { { \rho } _ { l l } { \left( c _ { l } ^ { p } \right) } ^ { * } c _ { l } ^ { q } { \tilde { V } } _ { n m p q } ^ { e e } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S } { \mathrm { d } t } } & { = \mu - \bigg ( \beta _ { A } A + \beta _ { I } I \bigg ) S - ( \mu + \nu ) S + \gamma R , } \\ { \frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } t } } & { = \bigg ( \beta _ { A } A + \beta _ { I } I \bigg ) S - ( \alpha + \delta _ { A } + \mu ) A , } \\ { \frac { \mathrm { d } I } { \mathrm { d } t } } & { = \alpha A - ( \delta _ { I } + \mu ) I , } \\ { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } t } } & { = \delta _ { A } A + \delta _ { I } I + \nu S - ( \gamma + \mu ) R , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { x } \cdot \overline { { \overline { { \mathbf { \alpha } } } } } _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } \cdot \sigma _ { x } + \overline { { \overline { { \mathbf { \alpha } } } } } _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } = 0 , } \\ { \sigma _ { z } \cdot \overline { { \overline { { \mathbf { \alpha } } } } } _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } \cdot \sigma _ { z } + \overline { { \overline { { \mathbf { \alpha } } } } } _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } = 0 , } \end{array} \right.
f ( \varepsilon _ { R } ) = \frac { 1 } { \varepsilon _ { R } } \theta \left( { \mit \Lambda } - \varepsilon _ { R } \right) \int _ { \varepsilon _ { R } ^ { 2 } } ^ { { \mit \Lambda } ^ { 2 } } d \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } ^ { 2 } \, \rho _ { \mathrm { P T } } \left( \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } ^ { 2 } \right) + { \cal O } \left( \alpha _ { s } ^ { 2 } \right) .
\varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } + \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \rho \nu \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \rho } P _ { \nu } = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } = 0