harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p _ { X , Y | \hat { U } } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime } | u _ { 0 } ^ { \prime } ) , p _ { X , Y | \hat { U } } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime \prime } | u _ { 0 } ^ { \prime \prime } ) } & { \triangleq p _ { X , Y | U } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime } | u _ { 0 } ) + p _ { X , Y | U } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime \prime } | u _ { 0 } ) } \\ { p _ { X , Y | \hat { U } } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime \prime } | u _ { 0 } ^ { \prime } ) , p _ { X , Y | \hat { U } } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime } | u _ { 0 } ^ { \prime \prime } ) } & { \triangleq 0 , } \\ { p _ { \hat { U } } ( u _ { 0 } ^ { \prime } ) } & { \triangleq p _ { U } ( u _ { 0 } ) \frac { p _ { X , Y | U } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime } | u _ { 0 } ) } { p _ { X , Y | U } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime } | u _ { 0 } ) + p _ { X , Y | U } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime \prime } | u _ { 0 } ) } } \\ { p _ { \hat { U } } ( u _ { 0 } ^ { \prime \prime } ) } & { \triangleq p _ { U } ( u _ { 0 } ) \frac { p _ { X , Y | U } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime \prime } | u _ { 0 } ) } { p _ { X , Y | U } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime } | u _ { 0 } ) + p _ { X , Y | U } ( x _ { 0 } , y ^ { \prime \prime } | u _ { 0 } ) } } \\ { p _ { X , Y , \hat { U } } ( x , y , u ) } & { \triangleq p _ { X , Y , U } ( x , y , u ) , \ \forall ( x , y , u ) \in \mathcal { X } \times \mathcal { Y } \times ( \hat { U } \backslash \{ u _ { 0 } ^ { \prime } , u _ { 0 } ^ { \prime \prime } \} ) } \\ { p _ { X , Y , \hat { U } } ( x , y | u ) } & { \triangleq p _ { X , Y , U } ( x , y | u _ { 0 } ) , \ \forall u \in \{ u _ { 0 } ^ { \prime } , u _ { 0 } ^ { \prime \prime } \} , \forall ( x , y ) \neq ( x _ { 0 } , y ^ { \prime } ) , ( x _ { 0 } , y ^ { \prime \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S } { \mathrm { d } t } = } & { \mu - \beta S I + ( \delta - p \mu - r \mu ) I - q \mu E - \mu S , } \\ { \frac { \mathrm { d } E } { \mathrm { d } t } = } & { \beta S I + p \mu I - ( \theta + \mu - q \mu ) E , } \\ { \frac { \mathrm { d } I } { \mathrm { d } t } = } & { \theta E - ( \delta + \mu - \mu r ) I , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { - g } \, \overline { { R } } = \sqrt { - g } g ^ { \mu \lambda } \bigl ( \partial _ { \kappa } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \kappa } - \partial _ { \mu } \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \lambda } ^ { \kappa } \bigr ) + \sqrt { - g } g ^ { \mu \lambda } \bigl ( \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \rho } ^ { \kappa } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \rho } - \overline { { \Gamma } } _ { \mu \rho } ^ { \kappa } \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \lambda } ^ { \rho } \bigr ) \, . } \end{array}
f _ { p r o b e } ^ { s i m } ( r _ { s i m } , \, \theta _ { s i m } , \, z _ { s i m } ) = \frac { 1 } { w _ { e } \sqrt { \pi } } \cdot e ^ { - \frac { ( r _ { s i m } - r _ { 0 } ) ^ { 2 } } { w _ { e } ^ { 2 } } } \cdot e ^ { - \frac { 2 z _ { s i m } } { p _ { p r o b e } } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { i f } \, \, \, d ( q _ { i } , \, q _ { j } ) \leq R } & { { } : \, P r [ d \big ( h ( q _ { i } ) , \, h ( q _ { j } ) \big ) < S ] \geq p _ { 1 } } \\ { \mathrm { i f } \, \, \, d ( q _ { i } , \, q _ { j } ) > c R } & { { } : \, P r [ d \big ( h ( q _ { i } ) , \, h ( q _ { j } ) \big ) < S ] \leq p _ { 2 } } \end{array}
\int _ { \Omega } [ { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \nabla { \mathbf { w } } - \rho \, \mathbf { b } \cdot \mathbf { w } + \rho \, { \dot { \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { w } ] \, { \mathrm { d V } } = \int _ { \partial \Omega } \mathbf { t } \cdot \mathbf { w } \, { \mathrm { d S } }
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { - } \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) = } & { } & { - 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n + m } \Psi _ { n } ^ { m - 1 } ( r , \phi , z ) } \\ & { } & { \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { n + m } \frac { a } { 2 } \left( 1 + \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { L _ { n } ^ { m } ( a ) } { L _ { n } ^ { m - 1 } ( a ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { A } , \, \bigl [ \hat { A } , \, \hat { B } \bigr ] \bigr ] } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } ^ { 2 } \hat { \phi } _ { n \nu } ^ { \dagger } . } \end{array}
\begin{array} { r } { X \left( \begin{array} { l } { A _ { \mathrm { L } } ^ { ( 1 ) } } \\ { A _ { \mathrm { T } } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { A _ { \mathrm { L } } ^ { ( N ) } } \\ { A _ { \mathrm { T } } ^ { ( N ) } } \\ { B _ { \mathrm { L } } ^ { ( N ) } } \\ { B _ { \mathrm { T } } ^ { ( N ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
| R | ^ { 2 } = \frac { \pi ^ { 2 } m ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } m ^ { 4 } + M _ { W } ^ { 4 } \sinh ^ { 2 } \pi p a } \approx \frac { m ^ { 4 } } { p ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } } & { ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \triangleq \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 4 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } } { 4 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \mathbf { m } } } \\ & { \quad + \frac { \kappa } { 4 } \sqrt { \left( \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { \mathbf { m } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \mathbf { m } ^ { 2 } } ( \omega _ { N } - \omega _ { C } ) ( \omega _ { C } - \omega _ { S } ) \tan ^ { 2 \mathbf { m } } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 \mathbf { m } } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 } } \\ { \sigma _ { 2 } } \\ { \sigma _ { 3 } } \\ { \sigma _ { 4 } } \\ { \sigma _ { 5 } } \\ { \sigma _ { 6 } } \end{array} \right] } \, = \, { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 2 } } & { C _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { C _ { 1 2 } } & { C _ { 2 2 } } & { C _ { 2 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { C _ { 1 3 } } & { C _ { 2 3 } } & { C _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { C _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { C _ { 5 5 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { C _ { 6 6 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 } } \\ { \varepsilon _ { 2 } } \\ { \varepsilon _ { 3 } } \\ { \varepsilon _ { 4 } } \\ { \varepsilon _ { 5 } } \\ { \varepsilon _ { 6 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \left| Z _ { ( \frac { 2 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 } ] } ^ { 1 ( 2 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| \leqslant \frac { n } { 1 2 } + 3 , } \\ { \left| Z _ { ( \frac { 2 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 } ] } ^ { 1 ( 2 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| \leqslant \frac { n } { 1 2 } + 3 , } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! F \! F ^ { 0 } ( t ^ { \prime } ) \, \, \, = \, \, \, F \! F ( t ^ { \prime } , \gamma = { m _ { e } } ^ { 2 } ) \,
\partial _ { + } J _ { - } ^ { ( s + 1 ) } = \partial _ { - } R _ { + } ^ { ( s - 1 ) } \qquad \mathrm { { a n d } } \qquad \partial _ { - } J _ { + } ^ { ( s + 1 ) } = \partial _ { + } R _ { - } ^ { ( s - 1 ) }
g ^ { - k } ( \omega _ { 1 } \wedge \hdots \wedge \omega _ { k } , \eta _ { 1 } \wedge \hdots \wedge \eta _ { k } ) = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l } { ( \omega _ { 1 } , \eta _ { 1 } ) } & { ( \omega _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } & { \hdots } & \\ { ( \omega _ { 2 } , \eta _ { 1 } ) } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { ( \omega _ { k - 1 } , \eta _ { k } ) } \\ & { \hdots } & { ( \omega _ { k } , \eta _ { k - 1 } ) } & { ( \omega _ { k } , \eta _ { k } ) } \end{array} \right) .
P ^ { \mu } P _ { \mu } c ^ { 2 } = W _ { f } ^ { 2 } - p ^ { 2 } c ^ { 2 } = m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 4 } = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) W _ { [ e ] } ^ { \mu \nu } W _ { [ e ] \mu \nu }
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { A } _ { ( n ) } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { A } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq \| \mathbf { A } _ { ( n ) } - ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \| \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { A } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( T \right) _ { 1 , j , k } = \frac { T _ { t } } { 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - 1 ) ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + w ^ { 2 } ) _ { 1 , j , k } } \, } & { \mathrm { a n d } } & { \left( p \right) _ { 1 , j , k } = \frac { 1 } { \gamma } ( T ) _ { 1 , j , k } ^ { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { V a r } \left[ U _ { 2 } - \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \left( U _ { 2 } - U _ { 1 } \right) - \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \left( 2 U _ { 2 } - U _ { 1 } - U _ { 3 } \right) \right] = \left( \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } + \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \lambda _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \langle T e _ { 1 } , T e _ { 1 } \rangle = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( \theta ) } & { \sin ( \theta ) } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { \cos ( \theta ) } \\ { \sin ( \theta ) } \end{array} \right] } = \cos ^ { 2 } ( \theta ) + \sin ^ { 2 } ( \theta ) = 1 } \\ & { \langle T e _ { 1 } , T e _ { 2 } \rangle = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( \theta ) } & { \sin ( \theta ) } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { - \sin ( \theta ) } \\ { \cos ( \theta ) } \end{array} \right] } = \sin ( \theta ) \cos ( \theta ) - \sin ( \theta ) \cos ( \theta ) = 0 } \\ & { \langle T e _ { 2 } , T e _ { 2 } \rangle = { \left[ \begin{array} { l l } { - \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { - \sin ( \theta ) } \\ { \cos ( \theta ) } \end{array} \right] } = \sin ^ { 2 } ( \theta ) + \cos ^ { 2 } ( \theta ) = 1 } \end{array} }
\left\{ j _ { \alpha } ^ { 0 } , j _ { \beta } ^ { 0 } \right\} \approx \left[ 2 \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { m } \cdot j _ { m } ^ { 0 } \; + \left( e m b ^ { * } S _ { \alpha \beta } \left( \Delta \right) \right) _ { r } \cdot \Lambda ^ { r } \right] \cdot \delta \left( \sigma - \sigma ^ { \prime } \right) \quad ,
A _ { + + } = \sum _ { q } \frac { e _ { q } ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d z \, { \frac { 2 z - 1 } { z ( 1 - z ) } } \, \Phi _ { q } ^ { \pi \pi } ( z , \zeta , W ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { P _ { i } } & { { } = \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } - 1 } \binom { N _ { I } - 1 } { m _ { i } } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - 1 - m _ { i } } } \end{array}
F _ { 1 } ( z ) = z ^ { \nu + m + 1 } \frac { J _ { \sigma } ( a \sqrt { z ^ { 2 } + z _ { 1 } ^ { 2 } } ) } { \left( z ^ { 2 } + z _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { \sigma / 2 } } , \quad a > 0
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \left( S ( t ) e ^ { - l t } \right) = \int _ { \mathcal { E } } { m ( Y ( t , x ) ) e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \tilde { r } ( s ) - l } { f ( s ) } \, d s } } d x } = \int _ { \mathcal { E } } { m ( y ) e ^ { \int _ { y } ^ { X ( t , y ) } { \frac { r ( s ) - l } { f ( s ) } \, d s } } d y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \phi _ { \varepsilon , n } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } } & { \leq c ( \delta _ { 0 } ) \ \varepsilon ^ { \frac { 3 } { p } \alpha } , } \\ { \| \nabla _ { x } \phi _ { \varepsilon , n } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } } & { \leq c ( \delta _ { 0 } ) \ \varepsilon ^ { \left( \frac { 3 } { p } - 1 \right) \alpha } . } \end{array}
\Gamma ^ { 5 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 _ { 2 } } } \\ { { 1 _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ; \quad \Gamma ^ { i } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \sigma ^ { i } } } \\ { { - \sigma ^ { i } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ; \quad \Gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 _ { 2 } } } \end{array} \right) ; \quad \Gamma ^ { 4 } = - i \Gamma ^ { 5 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i _ { 2 } } } \\ { { i _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { G _ { r } ( R ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } k ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } R ^ { 2 n - 1 } , \qquad \qquad G _ { i } ( R ) = - \frac { 1 } { 4 \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } k ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! } R ^ { 2 n } . } \end{array}
W _ { 1 } ( \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } , T _ { * } \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) = \delta \left( 1 - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 ( n + 2 ) } \left( \textrm { R i c } _ { x _ { 0 } } ( v , v ) + 2 \textrm { H e s s } _ { x _ { 0 } } V ( v , v ) \right) \right) + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } { B _ { z } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { = \frac { \mu _ { 0 } } { l } \Big ( n I _ { 0 } ( t ) + I _ { \mathrm { H a l l } , 1 } ^ { \varphi } ( t ) + I _ { \mathrm { H a l l } , 2 } ^ { \varphi } ( t ) \Big ) } \\ & { \quad + \mathcal { O } \Big ( \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { i } } \Big ) ^ { 2 } + ( r _ { 2 } \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 3 } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R H S } _ { i j } ^ { \rho } ( \rho _ { \cdot , \cdot } , \mathbf m _ { \cdot , \cdot } , e _ { \cdot , \cdot } ) : = \frac { ( f ^ { \rho } ) _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { x } - ( f ^ { \rho } ) _ { i - \frac 1 2 , j } ^ { x } } { \Delta x } - \frac { ( f ^ { \rho } ) _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { y } - ( f ^ { \rho } ) _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { y } } { \Delta y } } \end{array}
\chi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \theta , \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \chi ( j ( \theta ) , \alpha ) + ( 1 - g ) \, \binom { r + 1 } { 2 } + ( r + 1 ) \, d , } & { \varepsilon = + 1 , } \\ { \displaystyle \chi ( j ( \theta ) , \alpha ) + ( 1 - g ) \, \binom { r } { \, 2 \, } + ( r - 1 ) \, d , } & { \varepsilon = - 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { F ( x ) - x ^ { k - 1 } } & { = \sum _ { n = k } ^ { \infty } x ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j - 1 } \binom { k } { j } F _ { k } ( n - j ) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j - 1 } \binom { k } { j } x ^ { j } \sum _ { n = k } ^ { \infty } F _ { k } ( n - j ) x ^ { n - j } } \\ & { = F ( x ) \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j - 1 } \binom { k } { j } x ^ { j } } \\ & { = F ( x ) \big ( 1 - ( 1 - x ) ^ { k } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert w \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } = \rVert \mathcal { L } _ { \omega } ^ { - 1 } [ g ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le _ { \mathtt { p e } , \mathtt { S } } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert f \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert f \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) , } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \sigma ( e ^ { + } p ) } { d x d Q ^ { 2 } } = \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { Q ^ { 4 } x } \left[ Y _ { + } \, F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) - y ^ { 2 } \, F _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) - Y _ { - } \, x F _ { 3 } ( x , Q ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { u _ { x } ^ { ( d ) } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { | \mathbf { b } | } { 2 \pi } \left[ \arctan \left( \frac { \bar { y } } { \bar { x } } \right) + \frac { \bar { x } \bar { y } } { 2 ( 1 - \nu ) r ^ { 2 } } \right] , } \\ { u _ { y } ^ { ( d ) } ( \mathbf { r } ) } & { = - \frac { | \mathbf { b } | } { 2 \pi } \left[ \frac { ( 1 - 2 \nu ) \log ( r ^ { 2 } ) } { 4 ( 1 - \nu ) } + \frac { \bar { x } ^ { 2 } - \bar { y } ^ { 2 } } { 4 ( 1 - \nu ) r ^ { 2 } } \right] , } \\ { u _ { z } ^ { ( d ) } ( \mathbf { r } ) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( C _ { 1 } \| u _ { i } \| ^ { 2 } + \| w _ { i } \| ^ { 2 } + \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } \right) + C _ { 1 } \eta \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| \nabla u _ { i } \| ^ { 2 } + C _ { 1 } P \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( u _ { i } - u _ { j } ) ^ { 2 } d x } \\ { \leq } & { \, - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } C _ { 1 } \lambda u _ { i } ^ { 4 } - \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right) u _ { i } ^ { 2 } \right) d x + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { C _ { 1 } \sigma ^ { 2 } } { 2 \lambda } - \frac { b } { 2 } \right) \| w _ { i } \| ^ { 2 } - \frac { r } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } } \\ & { + C _ { 1 } m \left( \| \varphi \| | \Omega | ^ { 1 / 2 } + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( ( \lambda + k ) ^ { 2 } + J ^ { 2 } ) | \Omega | \right) + \frac { m c ^ { 2 } } { b } | \Omega | , \quad t \in I _ { m a x } = [ 0 , T _ { m a x } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \mathrm { f o r ~ e a c h ~ } i = 1 , . . . , m , \mathrm { ~ i f ~ } S \in \mathbb { R } _ { + } \mathrm { ~ a n d ~ } u , v \in \mathbb { R } _ { + } ^ { m } , \mathrm { ~ t h e n ~ } } \\ { - \frac { 1 } { y _ { u , i } } \alpha _ { i } ( u , v ) u _ { i } + \beta _ { i } ( u , v ) v _ { i } \le K \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( u _ { i } + v _ { i } ) ^ { r } + 1 \right) . } \end{array} \right.
\hat { a } _ { p _ { \sigma } } | \Psi _ { N } \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { | \Psi _ { N - 1 } ^ { p } \rangle } & { p \in \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ u ~ p ~ i ~ e ~ d ~ o ~ r ~ b ~ i ~ t ~ a ~ l ~ } } \\ { 0 } & { p \in \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ t ~ u ~ a ~ l ~ o ~ r ~ b ~ i ~ t ~ a ~ l ~ } } \end{array} \right.
P \left( X = \prod _ { i = 1 } ^ { N } s _ { i } \right) = | \Phi \rangle = \sum _ { s _ { 1 } , \ldots , s _ { N } \in \Sigma } P ( X _ { 1 } = s _ { 1 } ; \ldots ; X _ { N } = s _ { N } ) | s _ { 1 } \rangle \otimes \ldots \otimes | s _ { N } \rangle
\begin{array} { r l } { A _ { f f } = } & { \ \alpha \left( I _ { N _ { f } ^ { ( y ) } } \otimes \left( \frac { 1 } { h _ { x } ^ { 2 } } L _ { N _ { f } ^ { ( x ) } } \right) + \left( \frac { 1 } { h _ { y } ^ { 2 } } L _ { N _ { f } ^ { ( y ) } } \right) \otimes I _ { N _ { f } ^ { ( x ) } } \right) + } \\ & { + \beta \left( I _ { N _ { f } ^ { ( y ) } } \otimes \left( \frac { 1 } { 2 h _ { x } } D _ { N _ { f } ^ { ( x ) } } \right) + \left( \frac { 1 } { 2 h _ { y } } D _ { N _ { f } ^ { ( y ) } } \right) \otimes I _ { N _ { f } ^ { ( x ) } } \right) , } \\ { b _ { f f } = } & { [ s _ { 1 , 1 } , s _ { 2 , 1 } , . . . , s _ { N _ { f } ^ { ( x ) } , 1 } , s _ { 1 , 2 } , . . . , s _ { N _ { f } ^ { ( x ) } , N _ { f } ^ { ( y ) } } ] ^ { \mathrm { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta , i , j } ^ { t + 1 } } & { = } & { v _ { \theta , i , j } ^ { t } + F _ { \theta } \Delta t } \\ & { + } & { \nu ( \frac { v _ { \theta , i + 1 , j } ^ { t } - 2 v _ { \theta , i , j } ^ { t } + v _ { \theta , i - 1 , j } ^ { t } } { ( \Delta r ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { v _ { \theta , i , j + 1 } ^ { t } - 2 v _ { \theta , i , j } ^ { t } + v _ { \theta , i , j - 1 } ^ { t } } { ( \Delta \theta ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { v _ { \theta , i + 1 , j } ^ { t } - v _ { \theta , i - 1 , j } ^ { t } } { 2 \Delta r } } \\ & { + } & { \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \frac { v _ { r , i , j + 1 } ^ { t } - v _ { r , i , j - 1 } ^ { t } } { 2 \Delta \theta } - \frac { v _ { \theta , i , j } ^ { t } } { r ^ { 2 } } ) \Delta t - v _ { r , i , j } ^ { t } \frac { v _ { \theta , i + 1 , j } ^ { t } - v _ { \theta , i - 1 , j } ^ { t } } { 2 \Delta r } \Delta t - \frac { v _ { \theta , i , j } ^ { t } } { r } ( \frac { v _ { r , i , j + 1 } ^ { t } - v _ { r , i , j - 1 } ^ { t } } { 2 \Delta \theta } + v _ { r , i , j } ^ { t } ) \Delta t } \end{array}
\Gamma _ { - } = \Gamma ^ { + } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \Gamma ^ { 0 } + \Gamma ^ { 1 1 } \right) = \sqrt { 2 } \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { i \bf { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) = \frac { \lambda } { \alpha } [ C ( s _ { t } , a _ { t } ) - \eta _ { t } ] _ { + } + ( 1 - \lambda ) C ( s _ { t } , a _ { t } ) + \gamma \lambda \eta _ { t + 1 } } \\ & { + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { t + 1 } } ^ { s _ { t } , a _ { t } } \mathbb { E } _ { ( a _ { t + 1 } , \eta _ { t + 2 } ) \sim \pi _ { 2 } } \Big [ \Big \{ \frac { \lambda } { \alpha } [ C ( s _ { t + 1 } , a _ { t + 1 } ) - \eta _ { t + 1 } ] _ { + } + ( 1 - \lambda ) C ( s _ { t + 1 } , a _ { t + 1 } ) + \gamma \lambda \eta _ { t + 2 } + \cdots \Big \} \Big ] } \\ & { = \frac { \lambda } { \alpha } [ C ( s _ { t } , a _ { t } ) - \eta _ { t } ] _ { + } + ( 1 - \lambda ) C ( s _ { t } , a _ { t } ) + \gamma \lambda \eta _ { t + 1 } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { t + 1 } } ^ { s _ { t } , a _ { t } } [ \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t + 1 } , \eta _ { t + 1 } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi _ { A } \rangle } & { { } = \sum _ { I } C _ { I } | \Phi _ { I } ^ { A } \rangle } \\ { | \Psi _ { B } \rangle } & { { } = \sum _ { J } C _ { J } | \Phi _ { J } ^ { B } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { p _ { 1 } } ^ { * } ( t ) } & { = p _ { 1 } ^ { * } D } \\ { \dot { p _ { 2 } } ^ { * } ( t ) } & { = p _ { 1 } ^ { * } b + p _ { 2 } ^ { * } ( D _ { 1 } + z ^ { * } \frac { c } { ( 1 + d y ^ { * } ) ^ { 2 } } - \alpha b ) } \\ & { - p _ { 3 } ^ { * } \beta z ^ { * } \frac { c } { ( 1 + d y ^ { * } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ( \beta \frac { c } { ( 1 + d y ^ { * } ) ^ { 2 } } + \frac { 2 z ^ { * } c d ( 1 + d y ^ { * } ) } { ( 1 + d y ^ { * } ) ^ { 4 } } ) } \\ { \dot { p _ { 3 } } ^ { * } ( t ) } & { = p _ { 2 } ^ { * } \frac { c y ^ { * } } { 1 + d y { * } } + p _ { 3 } ^ { * } ( D _ { 2 } - \beta \frac { c y ^ { * } } { 1 + d y ^ { * } } ) - \frac { c } { 2 ( 1 + d y ^ { * } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { h } = \{ \sigma \in L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) \, | \, \forall K \in \mathcal T _ { h } , \, \sigma _ { | K } \in P _ { 0 } \} , } \\ { \tilde { V } _ { h } = \{ u \in H _ { \star } ^ { 1 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) \, | \, \forall K \in \mathcal T _ { h } , \, u _ { | K } \in P _ { 1 } \} , } \\ { V _ { h } = \{ u \in H ^ { 1 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) \, | \, \forall K \in \mathcal T _ { h } , \, u _ { | K } \in P _ { 1 } \} , } \\ { W _ { h } = \{ p \in L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) \, | \, \forall K \in \mathcal T _ { h } , \, \sigma _ { | K } \in P _ { 1 } \} . } \end{array}