harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
a _ { 2 n - 1 } ( \mu _ { I } ) \equiv \int _ { 0 } ^ { \mu _ { I } ^ { 2 } } n \ { \frac { d k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } \ \left( { \frac { k ^ { 2 } } { \mu _ { I } ^ { 2 } } } \right) ^ { n } \ a ( k ^ { 2 } )
{ \frac { d \mathbf { P } } { d t } } \propto - { \frac { 3 \beta \mathcal { P } _ { * } } { 4 A ^ { 3 } } } \mathbf { P } ^ { 3 } \qquad \implies \qquad \mathbf { P } = O ( t ^ { - 1 / 2 } ) .
\begin{array} { r } { \lVert T u \rVert _ { \mathrm { X } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , n , s } \lVert u \rVert _ { \mathrm { X } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \mathrm { ~ a n d ~ } \lVert T u \rVert _ { \mathrm { X } ^ { \alpha } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , n , \alpha } \lVert u \rVert _ { \mathrm { X } ^ { \alpha } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \mathrm { , ~ } \, u \in [ \mathrm { X } ^ { s } \cap \mathrm { X } ^ { \alpha } ] ( \mathbb { R } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \mathrm { , ~ } } \end{array}
{ \cal L } ^ { L L } = \frac { g _ { L } ^ { 2 } } { 2 m _ { \chi } ^ { 2 } } ( h _ { 1 1 } ^ { L * } h _ { 2 2 } ^ { L } ) \left[ ( \overline { { { u _ { L } } } } \gamma _ { L } ) ( \overline { { { d _ { L } } } } \gamma ^ { \mu } s _ { L } ) - ( \overline { { { u _ { L } } } } \gamma _ { L } ) ( \overline { { { d _ { L } } } } \gamma ^ { \mu } c _ { L } ) \right] + h . c . ,
\begin{array} { l l l } { \delta _ { 0 } + \mathrm { d i s t } ( A , B ) } & { \leq } & { \mathrm { d i s t } \displaystyle \left( \frac { x _ { n _ { k } } + z _ { n _ { k } } } { 2 } , B \right) \leq \left\| \frac { x _ { n _ { k } } + z _ { n _ { k } } } { 2 } - y _ { n } \right\| } \\ & { \leq } & { \displaystyle \frac { \| x _ { n _ { k } } - y _ { n _ { k } } \| + \| z _ { n _ { k } } - y _ { n _ { k } } \| } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { d p } = m _ { i } + w \int _ { 0 } ^ { \tau _ { D _ { s } } \pi / 4 } d t \frac { \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) } { \sqrt { \pi D _ { s } t } } \frac { c _ { i } } { 1 + \frac { \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) \ell _ { 0 } } { \sqrt { \pi D _ { s } t } D _ { p } } } . } \end{array}
{ H } ^ { \alpha b } = ( 4 , 1 , 2 ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { u _ { H } ^ { R } } } & { { u _ { H } ^ { B } } } & { { u _ { H } ^ { G } } } & { { \nu _ { H } } } \\ { { d _ { H } ^ { R } } } & { { d _ { H } ^ { B } } } & { { d _ { H } ^ { G } } } & { { e _ { H } ^ { - } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \displaystyle \frac { \partial n _ { \vec { k } } } { \partial t } \approx } & { 4 \pi \int n _ { \vec { k } _ { 1 } } n _ { \vec { k } _ { 3 } } \vec { \nabla } _ { \vec { k } } \cdot \left( \vec { q } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } } n _ { \vec { k } } \right) } \\ { \displaystyle } & { \times \delta ( \varOmega ) \mathrm d \vec { k } _ { 1 } \mathrm d \vec { k } _ { 3 } . } \end{array}
\eta = \left[ { \frac { m + 1 } { 2 n } } + { \frac { 3 m ^ { 2 } + 7 m + 6 } { 8 n ^ { 2 } } } + O \left( { \frac { 1 } { n ^ { 3 } } } \right) \right] \tilde { \epsilon } - \left[ { \frac { m + 1 } { 2 n } } + { \frac { 3 ( m + 1 ) ^ { 2 } } { 4 n ^ { 2 } } } + O \left( { \frac { 1 } { n ^ { 3 } } } \right) \right] \tilde { \epsilon } ^ { 2 } + O ( \tilde { \epsilon } ^ { 3 } ) .
\int _ { c v } \! \! \! \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \left( \rho c { \frac { \partial T } { \partial t } } \, \mathrm { d } t \right) \, \mathrm { d } V = \rho c \left( T _ { P } - { T _ { P } } ^ { O } \right) \Delta V
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { \le C _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { t / 2 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \, \Psi ( s , x ) \Psi ( s , x ^ { \prime } ) \Psi ( s , y ) \Psi ( s , y ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \times \iint _ { U ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } z \, \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } \, \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } ( t - s ) } } { 1 \wedge ( t - s ) ^ { d } } e ^ { - \frac { 2 c _ { 1 } } { 3 } \frac { | x - z | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t - s } } f ( z - z ^ { \prime } ) \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } s } } { 1 \wedge s ^ { d } } e ^ { - \frac { 2 c _ { 1 } } { 3 } \frac { | z - y | ^ { 2 } + | z ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { s } } . } \end{array}
{ \cal P } ( 1 2 ) | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ^ { ( 1 ) } \rangle = | \mathbf { x } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { x } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ^ { ( 1 ) } \rangle .
\hat { \mathcal { L } } ^ { o } ( \epsilon _ { k } ) \equiv \hat { \mathcal { L } } ( \hat { \mathbf { w } } ^ { o } ) = \mathcal { L } ^ { o } + \frac { 1 } { 2 } \, \left. \frac { \partial ^ { 2 } \hat { \mathcal { L } } ^ { o } } { \partial \epsilon _ { k } ^ { 2 } } \right| _ { \epsilon _ { k } = 0 } \epsilon _ { k } ^ { 2 } .
\frac { n \Delta f } { f } + \Delta \ln \operatorname* { d e t } h + g ^ { i \bar { j } } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { s _ { j } } } { \partial z ^ { i } \partial \bar { \xi } } + \frac { 1 } { g _ { \xi \bar { \xi } } } g ^ { i \bar { j } } \frac { \partial \bar { s _ { j } } } { \partial z ^ { i } } \frac { \partial g _ { \xi \bar { \xi } } } { \partial \bar { \xi } } = \frac { n } { f } \frac { \partial f } { \partial t } + \frac { n } { f g _ { \xi \bar { \xi } } } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \xi \partial \bar { \xi } } .
\begin{array} { r } { \langle \psi | \psi \rangle = \int _ { ( - \infty ) _ { \mathbb { X } } } ^ { \infty _ { \mathbb { X } } } | \psi ( x ) | ^ { 2 _ { \mathbb { Y } } } { \textrm D } x = 1 _ { \mathbb { Y } } = g _ { \mathbb { Y } } ( 1 ) . } \end{array}
\Delta m _ { K } \equiv m _ { K _ { L } ^ { 0 } } - m _ { K _ { S } ^ { 0 } } = [ ( \mathrm { R e } h _ { 1 2 } ^ { ( D ) } ) ^ { 2 } - ( \mathrm { I m } h _ { 1 2 } ^ { ( D ) } ) ^ { 2 } ] \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } f _ { K } ^ { 2 } } { m _ { K } ( m _ { K } ^ { 2 } - m _ { P } ^ { 2 } ) } \; , \nonumber
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 2 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } k r _ { g } \bigg \{ \Big \{ \Big ( { \cal T } _ { 1 1 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \cos 2 \phi _ { \xi } + 2 { \cal T } _ { 1 2 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } \Big \} \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } - \frac { ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) + } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { t _ { w } } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) \equiv G _ { 0 } e ^ { - \frac { \kappa G _ { 0 } } { \eta _ { 0 } } ( \Gamma _ { 0 } t _ { w } ) ^ { \alpha - 1 } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\ensuremath { \mathbf { M } } \dot { \ensuremath { \mathbf { v } } } + ( \ensuremath { \mathbf { I } } - \ensuremath { \mathbf { J } } ^ { \top } \ensuremath { \mathbf { S } } ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { J } } \ensuremath { \mathbf { M } } ^ { - 1 } ) ( \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { v } } ) \ensuremath { \mathbf { v } } + \ensuremath { \mathbf { A } } \ensuremath { \mathbf { v } } - \ensuremath { \mathbf { f } } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X > n ] ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( n ^ { 2 } \operatorname { P } [ X > n ] ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } n ^ { - 1 } + ( \operatorname { P } [ X > 0 ] ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { 2 } \operatorname { P } [ X > n ] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { - 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 } \\ & { \leq \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( ( n + 1 ) ^ { 3 } - n ^ { 3 } ) \operatorname { P } [ X > n ] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 } \\ & { = c ( \operatorname { E } | X | ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } ( j ) } & { = \left[ ( - 1 ) ^ { j } \omega _ { 0 } - \frac { r ^ { 2 } } { \eta _ { 0 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } \right] \sin \Psi _ { 1 } ( 0 , 0 ) } \\ & { + \frac { \sigma _ { 0 } } { \eta _ { 0 } \sigma _ { \eta } } \left[ \sin \Psi _ { 1 } ( 0 , 1 ) - \frac { 2 r ^ { 2 } \eta } { \sigma _ { \eta } ^ { 2 } \eta _ { 0 } } \cos \Psi ( 0 , 1 ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { g } { f } \right) ^ { \prime } ( x _ { k } + ) - \left( \frac { g } { f } \right) ^ { \prime } ( x _ { k } - ) } & { = \frac { g ^ { \prime } ( x _ { k } + ) f ( x _ { k } ) - f ^ { \prime } ( x _ { k } + ) g ( x _ { k } ) } { f ^ { 2 } ( x _ { k } ) } - \frac { g ^ { \prime } ( x _ { k } - ) f ( x _ { k } ) - f ^ { \prime } ( x _ { k } - ) g ( x _ { k } ) } { f ^ { 2 } ( x _ { k } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { f ^ { 2 } ( x _ { k } ) } \left[ \left( g ^ { \prime } ( x _ { k } + ) - g ^ { \prime } ( x _ { k } - ) \right) f ( x _ { k } ) - g ( x _ { k } ) \left( f ^ { \prime } ( x _ { k } + ) - f ^ { \prime } ( x _ { k } - ) \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { f ^ { 2 } ( x _ { k } ) } \left[ \alpha _ { k } g ( x _ { k } ) f ( x _ { k } ) - \alpha _ { k } g ( x _ { k } ) f ( x _ { k } ) \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { 2 1 } H ^ { 2 } U \mathbf { D } ^ { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } + \sigma _ { 2 2 } H ^ { 2 } U \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } \mathbf { u } + \sigma _ { 2 3 } H ^ { 2 } U \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } } \\ & { + \sigma _ { 2 4 } H ^ { 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } ^ { 2 } \mathbf { u } + \sigma _ { 2 5 } H ^ { 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } + \sigma _ { 2 6 } H ^ { 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } \mathbf { u } } \\ & { + \sigma _ { 2 7 } H ^ { 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } } \\ & { = \frac { H ^ { 2 } U } { 3 } \bigg ( - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { D } ^ { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } + \frac { 1 } { 4 } \mathbf { D } \left( \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad + \frac { 1 } { 4 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } + \frac { 1 } { 4 } \left( \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \right) ^ { 2 } \mathbf { D } - \frac { 1 } { 8 } \left( \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \right) ^ { 3 } \bigg ) \mathbf { u } } \\ & { = \frac { H ^ { 2 } U } { 3 } \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 3 } \mathbf { u } - \frac { H ^ { 2 } U } { 3 } \mathbf { D } ^ { 3 } \mathbf { u } . } \end{array}
B _ { C P } ( K _ { L } \rightarrow \pi ^ { 0 } e ^ { + } e ^ { - } ) \geq \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 2 . 3 \times 1 0 ^ { - 1 2 } } } & { { \mathrm { V M D } } } \\ { { 3 . 4 \times 1 0 ^ { - 1 2 } } } & { { \mathrm { t h r e e - p a r a m e t e r ~ f i t } } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { \hat { w } _ { \mu } ^ { ( k ) } ( s ) } & { = \theta _ { \mu } \hat { u } _ { \mu } ^ { ( k ) } ( x _ { \mu } , s ) + ( 1 - \theta _ { \mu } ) \hat { w } _ { \mu } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) , \textit { f o r } 1 \leq \mu \leq m , } \\ { \hat { w } _ { \iota } ^ { ( k ) } ( s ) } & { = \theta _ { \iota } \hat { u } _ { \iota } ^ { ( k ) } ( x _ { \iota } , s ) + ( 1 - \theta _ { \iota } ) \hat { w } _ { \iota } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) , \textit { f o r } m + 1 \leq \iota \leq 2 m . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { j , i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \phantom { - } \frac 2 3 | \bar { q } _ { i } | \left( 1 + \cos \left( \frac 2 3 \pi - \frac 2 3 \mu _ { \lambda } ( \bar { q } _ { i } ) \right) \right) } & { \quad \phantom { | } \bar { q } _ { i } \phantom { | } > p ( \lambda ) } \\ { \phantom { - } 0 } & { \quad | \bar { q } _ { i } | \leq p ( \lambda ) } \\ { - \frac 2 3 | \bar { q } _ { i } | \left( 1 + \cos \left( \frac 2 3 \pi - \frac 2 3 \mu _ { \lambda } ( \bar { q } _ { i } ) \right) \right) } & { \quad \phantom { | } \bar { q } _ { i } \phantom { | } < - p ( \lambda ) } \end{array} \right. } \end{array}
\langle n \rangle = \frac { 1 } { N N _ { \mathrm { a c t i v e } } } \sum _ { \substack { \mathrm { a c t i v e } \, i \in \mathrm { t r a c k s } } } \left[ ( w l ) \frac { 1 } { v } \right] _ { i } , \quad \langle C \rangle = \frac { 1 } { N N _ { \mathrm { a c t i v e } } } \sum _ { \substack { \mathrm { a c t i v e } \, i \in \mathrm { t r a c k s } } } \left[ ( w l ) \sum _ { j = 1 } ^ { J } \frac { \nu _ { d , j } \Sigma _ { f } } { k \lambda _ { j } } \right] _ { i } ,
\ddot { u } ( k , t ) \, + \, \left[ \, k ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \ddot { \kappa } } { \kappa } } \, - \, { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \dot { \kappa } ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } } \right) \right] \, u ( k , t ) \, = \, 0
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ C ~ S ~ G ~ L ~ } } } & { { } = \int d ^ { 3 } x \left[ i \hbar \Phi ^ { \dagger } D _ { t } \Phi - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left| D _ { i } \Phi \right| ^ { 2 } - V ( | \Phi | ^ { 2 } ) - \frac { \hbar \nu } { 4 \pi } \epsilon ^ { \mu \lambda \kappa } a _ { \mu } \partial _ { \lambda } a _ { \kappa } \right] , } \end{array}
C _ { 1 } ^ { \prime } ( \mu ) \equiv C _ { 1 } ( \mu ) + \frac { 3 } { 2 } \, C _ { 9 } ( \mu ) , \quad C _ { 2 } ^ { \prime } ( \mu ) \equiv C _ { 2 } ( \mu ) + \frac { 3 } { 2 } \, C _ { 1 0 } ( \mu ) ,
\int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } ( t _ { 2 } ) \, \mathrm { d } v + c _ { 0 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\vert \nabla ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\vert ^ { 2 } \left\langle v \right\rangle ^ { - 3 } \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t \le \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } ( t _ { 1 } ) \, \mathrm { d } v + \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } R H S ( t ) \, \mathrm { d } t
\begin{array} { r l } { \dot { a } } & { = - i g \sigma _ { \mathrm { + } } - i \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } c _ { \mathrm { q } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \mathrm { + } } } & { = - i g \sigma _ { \mathrm { z } } a - i \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { z } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \mathrm { z } } } & { = - 2 i g ( a ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { + } } - \sigma _ { \mathrm { - } } a ) + 2 i \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } \left[ - \sigma _ { \mathrm { + } } b _ { \mathrm { k } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } + b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { - } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } \right] , } \\ { \dot { c } _ { \mathrm { q } } } & { = - i g _ { \mathrm { q } } a e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } , } \\ { \dot { b } _ { \mathrm { k } } } & { = - i g _ { \mathrm { k } } \sigma _ { \mathrm { - } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } . } \end{array}
\Gamma _ { f , g } ^ { i } ( t ) = \left( \frac { \alpha } { 4 \pi } T _ { i } ( T _ { i } + 1 ) + \frac { \alpha ^ { \prime } } { 4 \pi } \left( \frac { Y _ { i } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right) t
\begin{array} { r l r } { f _ { u l } } & { = } & { \frac { 4 \pi \nu _ { i } } { 3 c \, r _ { e } \hbar \, g _ { i } ( n _ { i } ^ { \prime } ) } \sum _ { { \bf n } _ { i } , { \bf n } _ { i } ^ { \prime } } \langle \, { \bf n } _ { i } ] \, { \bf M } _ { i } | \, { \bf n } _ { i } ^ { \prime } \, \rangle \cdot \langle \, { \bf n } _ { i } ^ { \prime } \, | { \bf M } _ { i } | \, { \bf n } _ { i } \, \rangle } \\ & { = } & { \frac { 2 \pi \nu _ { i } M _ { i } ^ { 2 } } { 3 c \, r _ { e } \hbar g _ { i } ( n _ { i } ^ { \prime } ) } \sum _ { { \bf n } _ { i } } \langle \, { \bf n } _ { i } \, | \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { i } } n _ { i j } | \, { \bf n } _ { i } \, \rangle } \\ & { = } & { \frac { 2 \pi \nu _ { i } M _ { i } ^ { 2 } } { 3 c \, r _ { e } \hbar \, g _ { i } ( n _ { i } ^ { \prime } ) } \sum _ { { \bf n } _ { i } } n _ { i } } \\ & { = } & { \frac { 2 \pi \nu _ { i } M _ { i } ^ { 2 } n _ { i } g _ { i } ( n _ { i } ) } { 3 c \, r _ { e } \hbar \, g _ { i } ( n _ { i } ^ { \prime } ) } . } \end{array}
V _ { \mathrm { \scriptsize ~ s s } } ( r ) = \Delta E _ { \mathrm { \scriptsize ~ s s } } = \sum _ { n > 0 } \frac { \langle \Phi _ { { \mathbf r } , 0 } | \Delta H _ { \mathrm { \scriptsize ~ s s } } | \Phi _ { { \mathbf r } , n } \rangle \langle \Phi _ { { \mathbf r } , n } | \Delta H _ { \mathrm { \scriptsize ~ s s } } | \Phi _ { { \mathbf r } , 0 } \rangle } { V _ { n } ( r ) - V _ { 0 } ( r ) } ,
\alpha _ { \overline { { { \mathrm { \tiny ~ M S } } } } } ^ { ( N _ { L } ) } ( \mu ) = \alpha _ { \overline { { { \mathrm { \tiny ~ M S } } } } } ^ { ( N _ { L } + 1 ) } ( \mu ) - \frac { 1 } { 3 } \log \left( \frac { \mu } { m ( \mu ) } \right) \frac { \left( \alpha _ { \overline { { { \mathrm { \tiny ~ M S } } } } } ^ { ( N _ { L } + 1 ) } ( \mu ) \right) ^ { 2 } } { \pi }
{ \left( \begin{array} { l } { { A ^ { \prime } } ^ { 0 } } \\ { { A ^ { \prime } } ^ { 1 } } \\ { { A ^ { \prime } } ^ { 2 } } \\ { { A ^ { \prime } } ^ { 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \theta } & { - \sin \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { \sin \theta } & { \cos \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { A ^ { 0 } } \\ { A ^ { 1 } } \\ { A ^ { 2 } } \\ { A ^ { 3 } } \end{array} \right) } \ .
{ J ^ { \prime } } _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { h ^ { 1 , 1 } } M _ { i , j } J _ { j } , \quad { \ell ^ { \prime } } _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { h ^ { 1 , 1 } } ( M ^ { T } ) ^ { - 1 } { } _ { i , j } \ell _ { j } ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \left( \rho v ^ { \alpha } \right) + \nabla _ { \beta } T ^ { \alpha \beta } + \rho \nabla ^ { \alpha } p = \eta K \left( \eta \frac { \sigma } { \rho } \nabla ^ { \alpha } \sigma - 2 \sigma \epsilon _ { \beta } ^ { \alpha } v ^ { \beta } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma } & { { } = } & { \frac { 1 - e ^ { - \nu \Delta t } } { \nu \Delta t } } \\ { A } & { { } = } & { \frac { 1 } { \nu \Delta t } - \frac { e ^ { - \nu \Delta t } } { 1 - e ^ { - \nu \Delta t } } } \\ { \textrm { a n d } \quad B } & { { } = } & { \frac { 1 } { 1 - e ^ { - \nu \Delta t } } - \frac { 1 } { \nu \Delta t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \Sigma _ { \aleph } } C _ { S _ { A } \Sigma _ { A } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } } ^ { S _ { a } \Sigma _ { \aleph } } C _ { S _ { a } \Sigma _ { \aleph } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { S \Sigma } \sum _ { L _ { \aleph } } \frac { 1 } { \Pi _ { L _ { \aleph } } } \langle \Psi _ { \aleph E _ { 1 } } ^ { - } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| \Phi _ { a _ { \alpha } } \rangle \, \delta _ { \ell _ { 2 } \ell _ { \alpha } } \delta ( E - E _ { a } - E _ { 2 } ) \sum _ { M _ { \aleph } M _ { a } } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { L _ { \aleph } M _ { \aleph } } C _ { L _ { a } M _ { a } , \ell _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { L M } C _ { L _ { a } M _ { a } , 1 \nu } ^ { L _ { \aleph } M _ { \aleph } } - } \\ { - } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \Sigma _ { \beth } } C _ { S _ { A } \Sigma _ { A } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { S _ { a } \Sigma _ { \beth } } C _ { S _ { a } \Sigma _ { \beth } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } } ^ { S \Sigma } \sum _ { L _ { \beth } } \frac { 1 } { \Pi _ { L _ { \beth } } } \langle \Psi _ { \beth E _ { 2 } } ^ { - } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| \Phi _ { a _ { \alpha } } \rangle \, \delta _ { \ell _ { 1 } \ell _ { \alpha } } \delta ( E - E _ { a } - E _ { 1 } ) \sum _ { M _ { \beth } M _ { a } } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { L _ { \beth } M _ { \beth } } C _ { L _ { a } M _ { a } , \ell _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { L M } C _ { L _ { a } M _ { a } , 1 \nu } ^ { L _ { \beth } M _ { \beth } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \mathbf { E } \Big [ h ( R _ { \rho ^ { \varepsilon } } ) \Big | \mathscr { F } _ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ] = h ( R _ { \tau ^ { \varepsilon } } ) + b ( y ) \mathbf { E } \Big [ \int _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \rho ^ { \varepsilon } } ( - 2 R _ { s } ^ { \varepsilon } + a _ { + } ^ { \varepsilon } - a _ { - } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s \Big | \mathscr { F } _ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ] - \Sigma ^ { 0 0 } ( y ) \mathbf { E } \Big [ \int _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \rho ^ { \varepsilon } } \, \mathrm { d } s \Big | \mathscr { F } _ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ] } \end{array}
\widehat { \alpha } _ { g _ { 1 } } ( Q ) = \widehat { \alpha } _ { D } ( \overline { { Q } } ^ { * } ) - \widehat { \alpha } _ { D } ^ { 2 } ( \overline { { Q } } ^ { * } ) + \widehat { \alpha } _ { D } ^ { 3 } ( \overline { { Q } } ^ { * } ) + \cdots ,
P _ { \mathrm { a c c } } ( E _ { \mathrm { o l d } } , E _ { \mathrm { n e w } } ) = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { g ( E _ { \mathrm { o l d } } ) } { g ( E _ { \mathrm { n e w } } ) } \right) ,
\begin{array} { r l } & { - \alpha \lVert c ^ { * } \rVert _ { q } ^ { 1 - q } | c _ { i } ^ { * } | ^ { q - 2 } c _ { i } ^ { * } + b _ { i } + \lambda + \theta _ { i } = 0 } \\ { \implies } & { \alpha \lVert c ^ { * } \rVert _ { q } ^ { 1 - q } | c _ { i } ^ { * } | ^ { q - 2 } c _ { i } ^ { * } = b _ { i } + \lambda + \theta _ { i } , \qquad \forall i , \qquad \mathrm { ( r e - a r r a n g i n g ) } } \end{array}
H ^ { \prime } = H _ { T } - 2 \int d x \phi ^ { 2 } n ^ { 2 } T _ { 2 } + \int d x \phi ^ { 2 } \phi ^ { 2 } ( n ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } H ^ { ( p ) }
\begin{array} { r l } { \exp } & { \Big ( - \frac { a _ { \ell } ^ { 2 } } { 4 t } + \frac { 2 } { 3 } [ m _ { \ell } + n - 1 ] ^ { 3 / 2 } - \frac { 2 } { 3 } [ m _ { \ell } - a _ { \ell } ] ^ { 3 / 2 } + O _ { k } ( t ^ { 3 / 2 } \gamma + t \gamma ^ { 2 / 3 } \sqrt { m _ { \ell } + n } ) \Big ) } \\ & { \le \exp \Big ( - \frac { a _ { \ell } ^ { 2 } } { 4 t } + \frac { 2 } { 3 } m _ { \ell } ^ { 3 / 2 } - \frac { 2 } { 3 } [ m _ { \ell } - a _ { \ell } ] ^ { 3 / 2 } + O _ { k } ( t ^ { 3 / 2 } \gamma ) - n \Big ) } \end{array}
I _ { W } ^ { \ast } = \frac { L } { 2 } \int _ { \bf R } d t \int _ { \Sigma } \eta _ { a b } \{ - ^ { ( 2 ) } A ^ { ( + ) a } \wedge ^ { \mathrm { ~ } ( 2 ) } \dot { A } ^ { ( + ) b } + ^ { ( 2 ) } A ^ { ( - ) a } \wedge ^ { \mathrm { ~ } ( 2 ) } \dot { A } ^ { ( - ) b } \} .
\begin{array} { r l } { B } & { = \sqrt { \mathbf { B } \cdot \mathbf { B } } } \\ & { = \sqrt { \left( B _ { 0 } + B _ { \mathrm { s e n s } } ^ { \parallel } \right) ^ { 2 } + \left( B _ { \mathrm { s e n s } } ^ { \perp } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = B _ { 0 } \sqrt { \left( 1 + \frac { B _ { \mathrm { s e n s } } ^ { \parallel } } { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { B _ { \mathrm { s e n s } } ^ { \perp } } { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = B _ { 0 } \sqrt { 1 + 2 \frac { B _ { \mathrm { s e n s } } ^ { \parallel } } { B _ { 0 } } + \left( \frac { B _ { \mathrm { s e n s } } ^ { \parallel } } { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { B _ { \mathrm { s e n s } } ^ { \perp } } { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}