harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { L S _ { 1 1 } \mathbf { \tilde { C } } ^ { ( 0 ) } + \sum _ { j = 0 } ^ { 1 } \exp ( \mathrm { i } q ( 1 - j ) W ) [ L S _ { 1 2 } L \mathbf { \tilde { D } } ^ { ( j ) } - \mathbf { \tilde { C } } ^ { ( j ) } ] } & { = \beta \exp ( - \mathrm { i } q W ) [ \mathbf { A } ^ { - } - L S _ { 1 2 } L \mathbf { B } ^ { - } ] } \\ { S _ { 2 1 } \mathbf { \tilde { C } } ^ { ( 0 ) } + \exp ( \mathrm { i } q W ) [ S _ { 2 2 } L - I ] \mathbf { \tilde { D } } ^ { ( 0 ) } + S _ { 2 2 } L \mathbf { \tilde { D } } ^ { ( 1 ) } } & { = - \beta \exp ( - \mathrm { i } q W ) S _ { 2 2 } L \mathbf { B } ^ { - } , } \end{array}
\frac { \partial { \bf { U } } } { \partial t } = - \nabla \left( { P _ { \mathrm { { M } } } + \frac { 2 } { 3 } K _ { \mathrm { { R } } } } \right) + \frac { ( U ^ { \theta } ) ^ { 2 } } { r } { \bf { e } } _ { r } + { \bf { J } } \times { \bf { B } } + \nu _ { \mathrm { { K } } } \nabla ^ { 2 } { \bf { U } } - \nu _ { \mathrm { { M } } } \nabla ^ { 2 } { \bf { B } } ,
\begin{array} { r l } { \langle \Delta \hat { I } ^ { H } ( { \bf r } , t ) \rangle _ { t _ { 0 } } } & { = \frac { - i } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t ^ { \prime } \, \theta ( t - t ^ { \prime } ) \int _ { \cal V } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } ^ { \prime } \, \langle \left[ \hat { I } ^ { I } ( { \bf r } , t ) , \hat { I } ^ { \mathrm { I } } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right] \rangle _ { t _ { 0 } } \cdot \langle \hat { F } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \rangle _ { t _ { 0 } } } \\ { \langle \Delta \hat { O } ^ { H } ( { \bf r } , t ) \rangle _ { t _ { 0 } } } & { = \frac { - i } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t ^ { \prime } \, \theta ( t - t ^ { \prime } ) \int _ { \cal V } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } ^ { \prime } \, \langle \left[ \hat { O } ^ { I } ( { \bf r } , t ) , \hat { I } ^ { \mathrm { I } } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right] \rangle _ { t _ { 0 } } \cdot \langle \hat { F } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \rangle _ { t _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \mathrm { r } } } & { { } = 0 } \\ { B _ { \varphi } } & { { } = - \frac { B _ { \varphi c } } { ( r / a ) } \sqrt { \left[ 1 - \mathrm { e x p } \left( - \frac { r ^ { 4 } } { a ^ { 4 } } \right) \right] } } \\ { B _ { \mathrm { z } } } & { { } = B _ { \varphi c } \sqrt { \left[ P _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - \frac { \sqrt { \pi } } { a ^ { 2 } } \mathrm { e r f } \left( \frac { r ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right) \right] } \, , } \end{array}
\frac { \partial E _ { P } } { \partial t } = - \nabla \cdot \left[ \boldsymbol { u } \left( E _ { P } + P \right) \right] - \boldsymbol { u } \cdot \nabla \cdot \left( \frac { B ^ { 2 } } { 2 } \overline { { \boldsymbol { I } } } - \boldsymbol { B B } \right)
\frac { \gamma _ { \mathrm { m } } } { \omega _ { \mathrm { f a s t } } } \sim 0 . 0 1 \beta _ { \mathrm { i } } ^ { - 1 } \frac { \lambda _ { \perp } } { \rho _ { \mathrm { i } } } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \gamma _ { \mathrm { f } } } { \omega _ { \mathrm { f a s t } } } \sim 0 . 1 \beta _ { \mathrm { i } } ^ { - 1 / 2 } \frac { \lambda _ { \perp } } { \rho _ { \mathrm { i } } } ,
{ \begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { = s _ { k k } = 0 , } \\ { J _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } s _ { i j } s _ { j i } = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t r } \left( { \boldsymbol { s } } ^ { 2 } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( s _ { 1 } ^ { 2 } + s _ { 2 } ^ { 2 } + s _ { 3 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 6 } } \left[ ( \sigma _ { 1 1 } - \sigma _ { 2 2 } ) ^ { 2 } + ( \sigma _ { 2 2 } - \sigma _ { 3 3 } ) ^ { 2 } + ( \sigma _ { 3 3 } - \sigma _ { 1 1 } ) ^ { 2 } \right] + \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 1 } ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { 6 } } \left[ ( \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( \sigma _ { 3 } - \sigma _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 } } I _ { 1 } ^ { 2 } - I _ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \operatorname { t r } \left( { \boldsymbol { \sigma } } ^ { 2 } \right) - { \frac { 1 } { 3 } } \operatorname { t r } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) ^ { 2 } \right] , } \\ { J _ { 3 } } & { = \operatorname* { d e t } ( s _ { i j } ) } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 } } s _ { i j } s _ { j k } s _ { k i } = { \frac { 1 } { 3 } } { \mathrm { t r } } \left( { \boldsymbol { s } } ^ { 3 } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 } } \left( s _ { 1 } ^ { 3 } + s _ { 2 } ^ { 3 } + s _ { 3 } ^ { 3 } \right) } \\ & { = s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } } \\ & { = { \frac { 2 } { 2 7 } } I _ { 1 } ^ { 3 } - { \frac { 1 } { 3 } } I _ { 1 } I _ { 2 } + I _ { 3 } = { \frac { 1 } { 3 } } \left[ { \mathrm { t r } } ( { \boldsymbol { \sigma } } ^ { 3 } ) - \operatorname { t r } \left( { \boldsymbol { \sigma } } ^ { 2 } \right) \operatorname { t r } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) + { \frac { 2 } { 9 } } \operatorname { t r } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) ^ { 3 } \right] . \, } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( u _ { 0 } ^ { e } ) ^ { L , n + 1 } } & { { } = ( u _ { 0 } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { 0 } \Delta x _ { e } } [ f _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { e } - F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } ] } \\ { ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { L , n + 1 } } & { { } = ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { j } \Delta x _ { e } } [ f _ { j + \frac 1 2 } ^ { e } - f _ { j - \frac 1 2 } ^ { e } ] , \qquad 1 \le j \le N - 1 } \\ { ( u _ { N } ^ { e } ) ^ { L , n + 1 } } & { { } = ( u _ { N } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { N } \Delta x _ { e } } [ F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - f _ { N - \frac { 1 } { 2 } } ^ { e } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \arcsin ( - x ) } & { { } = - \arcsin ( x ) } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( - x ) } & { { } = \pi - \operatorname { a r c c o s } ( x ) } \\ { \arctan ( - x ) } & { { } = - \arctan ( x ) } \\ { \operatorname { a r c c o t } ( - x ) } & { { } = \pi - \operatorname { a r c c o t } ( x ) } \\ { \operatorname { a r c s e c } ( - x ) } & { { } = \pi - \operatorname { a r c s e c } ( x ) } \\ { \operatorname { a r c c s c } ( - x ) } & { { } = - \operatorname { a r c c s c } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { c c } { { { \cal B } { \cal M } { \cal B } ^ { - 1 } = - { \cal M } ^ { \dagger } ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ { \cal B } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) } } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { \overline { T } _ { 3 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 3 2 } \, x \, a ( - k n ) \bigg [ 4 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 3 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \frac { 1 } { 2 } G ^ { l } } { f ^ { l } } + \frac { \frac { 1 } { 2 } G ^ { a } } { f ^ { a } } - \frac { G ^ { l - 1 } } { f ^ { l - 1 } } } & { = } & { \frac { 1 } { f ^ { l - 1 } } \Big ( \frac { 1 } { 2 } G ^ { l } + \frac { 1 } { 2 } G ^ { a } - G ^ { l - 1 } \Big ) + \frac { 1 } { f ^ { a } f ^ { l } f ^ { l - 1 } } \Big ( \frac { 1 } { 2 } ( G ^ { l } - G ^ { a } ) ( f ^ { l - 1 } - f ^ { l } ) f ^ { a } + } \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } G ^ { a } \Big [ ( f ^ { a } - f ^ { l } ) ( f ^ { l - 1 } - f ^ { l } ) - 2 f ^ { l } \Big \{ \frac { 1 } { 2 } f ^ { l } + \frac { 1 } { 2 } f ^ { a } - f ^ { l - 1 } \Big \} \Big ] \Big ) . } \end{array}
u ( R ) = - \frac { \tilde { v } _ { 2 } ( 3 ) } { 1 6 \pi ^ { 7 } R ^ { 4 } } + \frac { \alpha } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \epsilon } - \ln ( \mu R ) + \mathrm { c o n s t } \right) + O ( \epsilon ) .
u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } f = \frac { \partial f } { \partial v } v \nabla _ { \mu } u ^ { \mu } + \frac { \partial f } { \partial \mathfrak { s } } u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \mathfrak { s } + \frac { \partial f } { \partial \mathbb { A } ^ { b } } u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \mathbb { A } ^ { b } \, ,
g _ { 2 } ( \gamma , y , x , x ^ { \prime } ) = \frac { \alpha N _ { c } } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x _ { 0 1 } x _ { 0 1 } ^ { - 1 - \gamma } \int _ { R } \frac { x _ { 0 1 } ^ { 2 } d ^ { 2 } x _ { 2 } } { x _ { 0 2 } ^ { 2 } x _ { 1 2 } ^ { 2 } } n _ { 1 } ( x _ { 1 2 } , y , x ) n _ { 1 } ( x _ { 0 2 } , y , x ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \lambda \stackrel { \nabla } { \boldsymbol { \tau } } + \operatorname* { m a x } \left( 0 , \frac { | \boldsymbol { \tau } _ { \mathrm { d } } | - \tau _ { \mathrm { y } } } { | \boldsymbol { \tau } _ { \mathrm { d } } | } \right) \left( \boldsymbol { \tau } + \frac { \alpha \lambda } { \eta _ { \mathrm { p } } } \boldsymbol { \tau } \cdot \boldsymbol { \tau } \right) = 2 \eta _ { \mathrm { p } } \boldsymbol { D } } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ v ~ } } ^ { 2 } : = \mathrm { v a r } ( \widehat { C } _ { x y } ) \simeq m _ { p } ^ { - 1 } \tau \sigma _ { x } ^ { 4 } \left[ 2 + \sigma _ { z } ^ { 2 } / ( \tau \sigma _ { x } ^ { 2 } ) \right]
\operatorname { R i c } _ { 1 1 } = \mathcal { R } ^ { 2 } { } _ { 1 } ( \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { e } _ { 1 } ) = \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \, \mathcal { R } ^ { 1 } { } _ { 2 } ( \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { e } _ { 2 } ) = \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \, K \, , \qquad \operatorname { R i c } _ { 2 2 } = \mathcal { R } ^ { 1 } { } _ { 2 } ( \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { e } _ { 2 } ) = K \, ,
T = u \Phi _ { 2 } , \ [ \Phi _ { x } , \Phi _ { y } ] = i \epsilon _ { x y } \theta , \ , x , y = 1 , 2 , \ [ \Phi _ { i } , \Phi _ { j } ] = i \theta _ { i j } , \i , j = 3 , \dots , 2 p ,
\begin{array} { r } { G ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { ( G ^ { - 1 } ) ^ { \textrm { R } } } & { ( G ^ { - 1 } ) ^ { \textrm { K } } } \\ { 0 } & { ( G ^ { - 1 } ) ^ { \textrm { A } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } = \frac { 1 } { 2 } \frac { Q ^ { 2 } } { R } + \pi b L a ^ { 2 } = \frac { 4 \mu L Q ^ { 2 } } { \pi a ^ { 4 } } + \pi b L a ^ { 2 } . } \end{array}
S _ { R _ { a } } ( \phi _ { b } ) ( t _ { 2 } ) = \left[ \int _ { a _ { t _ { 1 } } } ^ { \infty } \int _ { a _ { t _ { 1 } } } ^ { \infty } - \int _ { a _ { t _ { 2 } } } ^ { \infty } \int _ { x } ^ { \infty } \right] f ( x ) f ( y ) d y d x .
\begin{array} { r l } { { \bf R } _ { V e } ^ { ( k ) } } & { { } = \, \frac { 1 } { \Delta t } \big \langle \hat { \bf N } _ { V } \, , { \bf U } ^ { ( k ) } - { \bf U } ^ { ( k - 1 ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \, + \big \langle \hat { \bf N } _ { V } ^ { - } \, , \overline { { { \bf F } } } ^ { ( k ) } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf B } _ { V x } \, , { \bf F } _ { 1 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf B } _ { V y } \, , { \bf F } _ { 2 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } } \\ { { \bf R } _ { E e } ^ { ( k ) } } & { { } = \, \big \langle \hat { \bf N } _ { E } \, , { \bf E } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \, - \big \langle \hat { \bf N } _ { E } ^ { - } \, , \overline { { { \bf G } } } ^ { ( k ) } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { E x } \, , { \bf G } _ { 1 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { E y } \, , { \bf G } _ { 2 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = { \bf 0 } \, , } \end{array}
\Gamma _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \left[ \Delta q ( Q ^ { 2 } ) + \Delta \bar { q } ( Q ^ { 2 } ) \right] \, \left( 1 - \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right)
\begin{array} { r l } { \delta \alpha _ { 1 } ^ { \mathrm { Y } } ( \mathrm { i } \omega ) = \, } & { - 2 \sum _ { n \ne 0 } \sum _ { n ^ { \prime } \ne 0 } \frac { \omega _ { n ^ { \prime } } \langle 0 | G ^ { \mathrm { Y } } | n \rangle \langle n | Q _ { 1 0 } | n ^ { \prime } \rangle \langle n ^ { \prime } | Q _ { 1 0 } | 0 \rangle } { \omega _ { n } ( \omega _ { n ^ { \prime } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) } } \\ & { - 2 \sum _ { n \ne 0 } \sum _ { n ^ { \prime } \ne 0 } \frac { ( \omega _ { n } \omega _ { n ^ { \prime } } - \omega ^ { 2 } ) \langle 0 | Q _ { 1 0 } | n \rangle \langle n | \overline { { G ^ { \mathrm { Y } } } } | n ^ { \prime } \rangle \langle n ^ { \prime } | Q _ { 1 0 } | 0 \rangle } { ( \omega _ { n } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ( \omega _ { n ^ { \prime } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) } } \\ & { - 2 \sum _ { n \ne 0 } \sum _ { n ^ { \prime } \ne 0 } \frac { \omega _ { n } \langle 0 | Q _ { 1 0 } | n \rangle \langle n | Q _ { 1 0 } | n ^ { \prime } \rangle \langle n ^ { \prime } | G ^ { \mathrm { Y } } | 0 \rangle } { ( \omega _ { n } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) \omega _ { n ^ { \prime } } } , } \end{array}
\sqrt 2 \biggl ( B _ { \underline { { i } } } ^ { ( 1 ) } \alpha _ { I J } + i B _ { \underline { { i } } } ^ { ( 2 ) } \beta _ { I J } \biggr ) \epsilon ^ { J } = e ^ { - \phi + 3 U } \bigl ( \partial _ { \underline { { i } } } \overline { { V } } \bigr ) \gamma ^ { 0 } \epsilon _ { I } \, .
\begin{array} { r } { a _ { 1 } = U _ { n } A _ { n } + U _ { f } A _ { f } + 0 . 3 3 N V \ + ( \sum { A _ { i } U _ { i } } ) + F _ { R } { \dot { m } } _ { a } C _ { a } T _ { 0 } } \end{array}
\sum _ { B = 1 } ^ { N } \left( \omega ^ { A } { } _ { C B } \, \vartheta ^ { C } - \frac { \mathsf { G } _ { A , B } } { 2 \mathsf { G } _ { A } \sqrt { \mathsf { G } _ { B } } } \, \vartheta ^ { A } \right) \wedge \vartheta ^ { B } = 0 \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ ~ ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ } ~ A ) \, .
* \phi = e ^ { 1 2 3 4 } + e ^ { 1 2 5 6 } + e ^ { 3 4 5 6 } + e ^ { 1 3 5 7 } - e ^ { 1 4 6 7 } - e ^ { 2 3 6 7 } - e ^ { 2 4 5 7 } .
{ \mathcal { L } } = - \frac { 1 } { 4 } f _ { \mu \nu } f ^ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi + \frac { g } { 4 } B \phi \epsilon _ { 2 3 \alpha \beta } f ^ { \alpha \beta } .
\left| \mathcal { A } _ { \nu _ { \ell } \to \nu _ { \ell ^ { \prime } } } \right| = \left| \delta _ { { \ell ^ { \prime } } { \ell } } + U _ { { \ell ^ { \prime } } 3 } \, U _ { { \ell } 3 } ^ { * } \left( \mathrm { e } ^ { \textstyle - i \frac { \Delta { m } ^ { 2 } L } { 2 p } } - 1 \right) \right| \; .
\frac { d q } { d x } = \frac { \Delta M } { 4 M _ { i } ^ { 2 } q ( m _ { \pi \pi } ) } \left\{ \left[ M _ { i } ^ { 2 } - ( M _ { f } + m _ { \pi \pi } ) ^ { 2 } \right] ( M _ { f } - m _ { \pi \pi } ) - \left[ M _ { i } ^ { 2 } - ( M _ { f } - m _ { \pi \pi } ) ^ { 2 } \right] ( M _ { f } + m _ { \pi \pi } ) \right\} .
{ \mathrm { S p a n } } \{ \mathbf { v } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { v } _ { k } \} = \left\{ t _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } + \cdots + t _ { k } \mathbf { v } _ { k } : t _ { 1 } , \ldots , t _ { k } \in K \right\} .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \epsilon \frac { \partial } { \partial t _ { 1 } } ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } ) } & { { } + \epsilon \frac { \partial } { \partial r _ { 1 \alpha } } ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } + p ^ { \sigma } ) u _ { \alpha } ^ { \sigma } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { n } _ { n } ^ { 1 } } & { = [ r , r + \rho _ { n } ] \cup [ r + \rho _ { n } , r + 2 \rho _ { n } ] \simeq [ - \rho _ { n } , \rho _ { n } ] } \\ { \mathfrak { n } _ { n } ^ { 2 } } & { = [ r _ { n } - r - 2 \rho _ { n } , r _ { n } - r - \rho _ { n } ] \cup [ r _ { n } - r - \rho _ { n } , r _ { n } - r ] \simeq [ - \rho _ { n } , \rho _ { n } ] . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } } & { \sum _ { s = 1 } ^ { N } f _ { s } ( x _ { s } ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } } & { x _ { s } = z , \quad s = 1 , \ldots , N , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \epsilon } _ { A k } A _ { k } = \sum _ { k _ { 1 } } \left( \Delta _ { 0 } + \chi _ { 0 } \epsilon _ { s } - \frac { \hat { C } _ { 0 } } { \epsilon _ { s } } \right) \lvert A _ { k _ { 1 } } \rvert ^ { 2 } A _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { \mathcal { G } } \sigma _ { \alpha \beta } } & { { } = \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { N S F } } + \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { l i n } } + \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n l i n } } + R _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \mathcal { G } } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { N S F } } } & { { } = - p \left( \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } \right) } \\ { \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { l i n } } } & { { } = - \frac { 2 } { 5 } \left( \partial _ { \beta } q _ { \alpha } + \partial _ { \alpha } q _ { \beta } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } q _ { \gamma } \right) , } \\ { \dot { \sigma } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n l i n } } } & { { } = - \sigma _ { \alpha \beta } \left( \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } \right) - \left( \sigma _ { \alpha \gamma } \partial _ { \gamma } u _ { \beta } + \sigma _ { \beta \gamma } \partial _ { \gamma } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \sigma _ { \mu \nu } \partial _ { \nu } u _ { \mu } \right) . } \end{array}
R = 2 \left( R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { \quad \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } + R _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } + R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } \right) = 6
\mathcal { H } ( \mathcal { O } ( \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } ) ) \simeq - \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } ( X _ { g y } ) } \left| \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } ( X _ { g y } ) \right| ^ { 2 } .
\mathbb { E } [ \ell ( W , \hat { W } ) ] \geq \sqrt { \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } { 2 \left( 1 + n \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac 3 2 } } } \left( - \frac 2 3 + 1 \right) ^ { \frac 3 2 } = \sqrt { \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } { \left( 1 + n \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac 3 2 } } } \left( \frac { 1 } { 5 4 } \right) ^ { \frac 1 2 }
M ( \mathbf { p } _ { f } ) = - i \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } \left< \psi _ { \mathbf { p } _ { f } } ( t ) \left| U ( t , t ^ { \prime } ) H _ { I } ( t ^ { \prime } ) e ^ { i I _ { p } t ^ { \prime } } \right| \psi _ { 0 } \right> ,
\begin{array} { r l } { \int _ { P _ { s } ( o , t ) } ^ { P _ { s } ( L , t ) } ( P _ { s } + b ) \ d P _ { s } } & { = \int _ { P _ { s } ( o , t ) } ^ { P _ { s } ( L , t ) } ( P _ { g } + P _ { a } + b ) d P _ { s } } \\ & { = \int _ { P _ { s } ( o , t ) } ^ { P _ { s } ( L , t ) } ( P _ { g } + P _ { a } ) d P _ { s } + ( P _ { s , L } - P _ { s , o } ) b } \\ & { = \int _ { P _ { s } ( o , t ) } ^ { P _ { s } ( L , t ) } P _ { g } d P _ { s } + ( P _ { s , L } - P _ { s , o } ) ( b + P _ { a } ) } \\ & { = \int _ { P _ { g } ( o , t ) } ^ { 0 } P _ { g } d P _ { g } - P _ { g } ( b + P _ { a } ) } \\ & { = - \frac { P _ { g } ^ { 2 } } { 2 } - P _ { g } ( b + P _ { a } ) = - \frac { P _ { g } } { 2 } ( P _ { g } + 2 P _ { a } + 2 b ) , } \end{array}
{ \cal U } _ { r e p } \left( r \right) = \left\{ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { 2 } \zeta \left( 1 - \frac { r } { r _ { c } } \right) ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { r \leq r _ { c } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { r > r _ { c } , } \end{array} \right.
{ \frac { n ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { c o r e } } ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { m a x } } = \cos ^ { 2 } \theta _ { c } = 1 - \sin ^ { 2 } \theta _ { c } = 1 - { \frac { n _ { \mathrm { c l a d } } ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { c o r e } } ^ { 2 } } } .
\dot { m } = \frac { 2 \pi R _ { \mathrm { e q } } \, \rho _ { \mathrm { f } } \, D _ { \mathrm { f } } \, \widetilde { \mathrm { S h } } \ln ( 1 + B _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) } { 1 + \widetilde { \mathrm { S h } } \, D _ { \mathrm { f } } \, \delta \, / \, [ \, 2 D _ { \mathrm { s } } \, ( R - \delta ) \, ] } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } s } & { { } = \boldsymbol \nabla \cdot \left( D \, \boldsymbol \nabla s + \Lambda \, s \, \chi _ { s } \boldsymbol \nabla c \right) - k _ { 1 } \, c \, s + k _ { 2 } \, p \, , } \\ { \partial _ { t } p } & { { } = \boldsymbol \nabla \cdot \left( D \, \boldsymbol \nabla p + \Lambda \, p \, \chi _ { p } \boldsymbol \nabla c \right) + k _ { 1 } \, c \, s - k _ { 2 } \, p \, . } \end{array}
g _ { \mathbf x ^ { t } } ( \mathbf x ) = \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { \| \mathbf x - \mathbf x ^ { t } \| ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right\} e _ { 2 } ^ { \top } \mathbf x + \left( 1 - \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { \| \mathbf x - \mathbf x ^ { t } \| ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right\} \right) e _ { 1 } ^ { \top } ( \mathbf x - \mathbf x ^ { t } ) , \quad \textnormal { f o r a l l } t = 0 , 1 , \ldots , T .
v _ { L } ^ { 2 } \vec { \nabla } ( \vec { \nabla } . \vec { u } _ { k } ^ { \: i j } ) + v _ { s } ^ { 2 } \vec { \nabla } \times \vec { \nabla } \times \vec { u } _ { k } ^ { \: i j } + \Omega _ { i j k } ^ { 2 } \vec { u } _ { k } ^ { \: i j } = 0 .
{ \cal G } ( z , z ^ { \prime } ) \simeq { \frac { 1 } { 4 \pi } } e ^ { f ( z , z ^ { \prime } ) } \int _ { \delta } ^ { \infty } { \frac { d s } { s } } \langle z | e ^ { - s O _ { \Sigma } } | z ^ { \prime } \rangle = - { \frac { 1 } { 4 \pi } } ~ e ^ { f ( z , z ^ { \prime } ) } \langle z | \ln O _ { \Sigma } | z ^ { \prime } \rangle ~ ~ ~ .
A ^ { 1 } \Pi \, - \, X ^ { 1 } \Sigma , \, C ^ { 1 } \Sigma \, - \, A ^ { 1 } \Pi , \, D ^ { 1 } \Delta \, - \, A ^ { 1 } \Pi , \, F ^ { 1 } \Pi \, - \, A ^ { 1 } \Pi , \, G ^ { 1 } \Sigma \, - \, A ^ { 1 } \Pi , \, F ^ { 1 } \Pi \, - \, B ^ { 1 } \Sigma
C ( T _ { \mathrm { e } } ) = \alpha T _ { \mathrm { e } } , ~ ~ ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ ~ ~ \alpha = \frac { 2 \pi } { 3 } \frac { k _ { \mathrm { B } } ^ { 2 } \mu } { ( \hbar v _ { \mathrm { F } } ) ^ { 2 } } ,
T _ { e 2 } - T _ { e 1 } = - \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { 6 } k _ { i 0 } ^ { 2 } k _ { e 1 } \left( \frac { 1 } { ( k _ { D 1 } + k _ { e 1 } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( k _ { D 0 } + k _ { e 1 } ) ^ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r } { \big \vert \langle \big ( G _ { 1 } A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } G _ { 2 } - M ( w _ { 1 } , A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } , w _ { 2 } ) \big ) E _ { - } \rangle \big \vert \prec \frac { 1 } { N \eta } + \frac { 1 } { | e _ { 1 } + e _ { 2 } | + \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } } \cdot \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } } { N \eta ^ { 1 / 2 } } } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { i n } ^ { \dagger } } \\ { \hat { b } _ { i n } ^ { \dagger } } \\ { \hat { c } _ { i n } ^ { \dagger } } \\ { \hat { d } _ { i n } ^ { \dagger } } \end{array} \right) = \mathcal { S } ^ { T } \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { o u t } ^ { \dagger } } \\ { \hat { b } _ { o u t } ^ { \dagger } } \\ { \hat { c } _ { o u t } ^ { \dagger } } \\ { \hat { d } _ { o u t } ^ { \dagger } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { G ( \vec { f } ^ { t } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \theta C _ { i } ^ { t } + \mathrm { l n } ( P _ { i } ^ { t } f _ { i } ^ { t } ) + 1 ] \left[ - P _ { i } ^ { t } f _ { i } ^ { t } + e ^ { - \theta C _ { i } ^ { t } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } ^ { t } f _ { k } ^ { t } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \theta C _ { i } ^ { t } ( f _ { i } ^ { t } ) + \mathrm { l n } ( P _ { i } ^ { t } ( f _ { i } ^ { t } ) f _ { i } ^ { t } ) + 1 ) ( f _ { i } ^ { t + 1 } - f _ { i } ^ { t } ) } \\ & { < 0 . } \end{array}