harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { x _ { i } } & { = } & { x _ { 0 , i } + a _ { i } \tau \biggl ( \sin { ( \phi _ { 0 } ) } + \frac { \xi \tau } { 4 } \sin { ( 2 \phi _ { 0 } ) } } \\ & { } & { + \frac { \xi ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { 1 2 } \bigl ( \sin { ( 3 \phi _ { 0 } ) } - \sin { ( \phi _ { 0 } ) } \bigl ) } \\ & { } & { + \frac { \xi ^ { 3 } \tau ^ { 3 } } { 9 6 } \bigl ( 3 \sin { ( 4 \phi _ { 0 } ) } - 4 \sin { ( 2 \phi _ { 0 } ) } \bigl ) \biggl ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { T } ( \tilde { t } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( u _ { y i } ( \tilde { t } ) - \langle u _ { y i } ( \tilde { t } ) \rangle \right) \left( u _ { y i } ( 0 ) - \langle u _ { y i } ( 0 ) \rangle \right) , } \\ { C _ { L } ( \tilde { t } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( u _ { x i } ( \tilde { t } ) - \langle u _ { x i } ( \tilde { t } ) \rangle \right) \left( u _ { x i } ( 0 ) - \langle u _ { x i } ( 0 ) \rangle \right) , } \end{array}
\langle Q \Psi _ { n , k } , Q \Psi _ { n , k } \rangle \; + \; \langle Q ^ { \dagger } \Psi _ { n , k } , Q ^ { \dagger } \Psi _ { n , k } \rangle \; \leq \; \varepsilon \Vert \Psi \Vert ^ { 2 } \ ,
\Delta u ( t ) = U _ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ c ~ k ~ } } ( t ) / \big ( \rho _ { 2 } ( t ) \cdot \frac { 4 } { 3 } \pi \cdot ( R _ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ c ~ k ~ } } ( t ) ^ { 3 } - R _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ b ~ b ~ l ~ e ~ } } ( t ) ^ { 3 } ) \big )
\left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } | f ( x ) | ^ { 2 } \, d x \right) \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( \xi - \xi _ { 0 } ) ^ { 2 } \left| { \hat { f } } ( \xi ) \right| ^ { 2 } \, d \xi \right) \geq { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma - \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \\ { \qquad \leq 2 \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r ^ { n + 1 } } & { { } = } & { 2 c _ { 1 } \, r ^ { n } - c _ { 2 } \, r ^ { n - 1 } + \frac { c _ { 3 } \Delta { t } ^ { 2 } } { m } \, f ^ { n } + \frac { c _ { 3 } \Delta { t } } { 2 m } ( \beta ^ { n } + \beta ^ { n + 1 } ) \, , } \end{array}
\xi ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } ) = \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } ( \sigma _ { N _ { 1 } } ^ { 2 } + \beta _ { 1 } ) ( \sigma _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } + \beta _ { 2 } ) } { \sigma _ { X } ^ { 2 } ( \sigma _ { N _ { 1 } } ^ { 2 } + \beta _ { 1 } + \sigma _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } + \beta _ { 2 } ) + ( \sigma _ { N _ { 1 } } ^ { 2 } + \beta _ { 1 } ) ( \sigma _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } + \beta _ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { E _ { 2 \mathrm { ~ D ~ } } ^ { T } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle k _ { \parallel } ^ { - a } k _ { \perp } ^ { b } , } & { \displaystyle k _ { \parallel } \gtrsim k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } , } \\ { \displaystyle k _ { \perp } ^ { - c } k _ { \parallel } ^ { d } , } & { \displaystyle k _ { \parallel } \lesssim k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r _ { \mathrm { T M } } } & { { } = } & { \frac { n _ { 1 } c o s \theta _ { i n } - \sqrt { n _ { 2 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta _ { i n } } } { n _ { 1 } c o s \theta _ { i n } + \sqrt { n _ { 2 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta _ { i n } } } , } \\ { r _ { \mathrm { T E } } } & { { } = } & { \frac { n _ { 2 } c o s \theta _ { i n } - \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 4 } s i n ^ { 2 } \theta _ { i n } / n _ { 2 } ^ { 2 } } } { n _ { 2 } c o s \theta _ { i n } + \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 4 } s i n ^ { 2 } \theta _ { i n } / n _ { 2 } ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { 1 } ( \cdot ) : = C ^ { S _ { 1 } } \frac { \rho ( C ^ { E _ { 1 } } E _ { 1 } + C ^ { E _ { 2 } } E _ { 2 } ) + \alpha ( C ^ { A _ { 1 } } A _ { 1 } + C ^ { A _ { 2 } } A _ { 2 } ) + C ^ { I } I } { \sum _ { h } C ^ { h } h } } \\ & { g _ { 2 } ( \cdot ) : = C ^ { S _ { 2 } } \frac { \rho ( C ^ { E _ { 1 } } E _ { 1 } + C ^ { E _ { 2 } } E _ { 2 } ) + \alpha ( C ^ { A _ { 1 } } A _ { 1 } + C ^ { A _ { 2 } } A _ { 2 } ) + C ^ { I } I } { \sum _ { h } C ^ { h } h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { f } } ( \omega ) } & { { } = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } f ( x ) e ^ { - i \omega \cdot x } \, d x , } \\ { f ( x ) } & { { } = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } { \hat { f } } ( \omega ) e ^ { i \omega \cdot x } \, d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \infty } & { = \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } c _ { i } = \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } ( b ( s ) - b ( 0 ) ) s ^ { n } ( \tilde { f } ( s ) - f ( s ) ) \d s } { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } s ^ { n + 1 } ( f ( s ) - \tilde { f } ( s ) ) \d s } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \frac { \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } b ( s ) ) } L s ^ { n + 1 } ( \tilde { f } ( s ) - f ( s ) ) \d s } { D ( n + 1 ) } } \\ & { \quad + \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \frac { \int _ { \varepsilon } ^ { \infty } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } b ( s ) ) } \big ( ( M + m s ) s ^ { n } \big ) ( \tilde { f } ( s ) - f ( s ) ) \d s } { D ( n + 1 ) } } \\ & { = L + 0 < \infty . } \end{array}
I ( A \! : \! B ) = S ( \rho ^ { A } ) + S ( \rho ^ { B } ) - S ( \rho ^ { A B } ) = S \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | ) \right) + S \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | ) \right) - S \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( | 0 0 \rangle \langle 0 0 | + | 1 1 \rangle \langle 1 1 | ) \right) = \log 2 + \log 2 - \log 2 = \log 2
\mathbf { J } _ { \mu _ { M } } = 2 \mathbf { A } _ { M } \mathrm { d i a g } ( \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } ) , \quad \mathbf { J } _ { \mathbf { r } _ { M } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \partial { \mathbf { a } _ { M } } } { \partial \mathbf { r } _ { M _ { 1 } } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } _ { 1 } } } & { \hdots } & { \frac { \partial { \mathbf { a } _ { M } } } { \partial \mathbf { r } _ { M _ { n } } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } _ { 1 } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { \partial { \mathbf { a } _ { M } } } { \partial \mathbf { r } _ { M _ { 1 } } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } _ { m } } } & { \hdots } & { \frac { \partial { \mathbf { a } _ { M } } } { \partial \mathbf { r } _ { M _ { n } } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } _ { m } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { \xi } { | \xi | } \partial _ { r } \ln ( \tilde { F } _ { - } ^ { 0 } ( t , x , r ) ) | _ { r = | \xi | } - \frac { \xi ^ { \prime } } { | \xi ^ { \prime } | } \partial _ { r } \ln ( \tilde { F } _ { - } ^ { 0 } ( t , x , r ) ) | _ { r = | \xi ^ { \prime } | } \in \mathrm { s p a n } \{ \xi - \xi ^ { \prime } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \Vert X ( t ) - \hat { X } ( t ) \Vert ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { t } d s \; \left\{ f ( X ( s ) , s ; \theta ) - f ( \hat { X } ( s ) , s ; \theta ) \right\} + \int _ { 0 } ^ { t } d B ( s ) \; ( \sigma - \hat { \sigma } ) \bigg \Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \left[ \bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { t } d s \; \left\{ f ( X ( s ) , s ; \theta ) - f ( \hat { X } ( s ) , s ; \theta ) \right\} \bigg \Vert ^ { 2 } \right] + 2 \mathbb { E } \left[ \bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { t } d B ( s ) \; ( \sigma - \hat { \sigma } ) \bigg \Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq 2 t \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t } d s \; \Big \Vert f ( X ( s ) , s ; \theta ) - f ( \hat { X } ( s ) , s ; \theta ) \Big \Vert ^ { 2 } \right] + 2 d _ { x } \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t } d s \; ( \sigma - \hat { \sigma } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq 2 t D ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d s \; \mathbb { E } \left[ \Vert X ( s ) - \hat { X } ( s ) \Vert ^ { 2 } \right] + 2 d _ { x } ( \sigma - \hat { \sigma } ) ^ { 2 } t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z H _ { y } } & { { } = } & { A u _ { 0 } u _ { m } e ^ { i k z } } \\ { Z H _ { z } } & { { } = } & { \left( \frac { m ( i y - x ) } { k r ^ { 2 } } - \frac { i y } { i z - z _ { R } } - \frac { 4 i y } { k w ^ { 2 } } \right) A u _ { 0 } u _ { m } e ^ { i k z } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle - \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } } { r ^ { 3 } } I _ { 2 3 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 3 } \right\rangle _ { M } } & { = \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } ^ { 2 } R ^ { 5 } } { 1 6 a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ b ( \omega - k n ) \bigg [ 2 x \cos 2 \varpi \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) } \\ & { - 2 \cos 4 \varpi \, X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } + ( 1 - x ) \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + ( 1 + x ) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { + 2 x \, a ( \omega - k n ) \bigg [ \sin 2 \varpi \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } + X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) - \sin 4 \varpi \, X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \bigg ] \Bigg \} \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { K } } & { = \mathbf P _ { \mathbf v } ^ { \bot } \mathbf H ( \mathbf v ) \mathbf P _ { \mathbf v } ^ { \bot } } \\ & { = ( \mathbf I _ { n } - \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } ) [ ( m - 1 ) \mathcal S \mathbf v ^ { m - 2 } - \lambda \mathbf I _ { n } ] ( \mathbf I _ { n } - \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } ) } \\ & { = ( \mathbf I _ { n } - \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } ) [ ( m - 1 ) \mathcal S \mathbf v ^ { m - 2 } - \lambda \mathbf I _ { n } - ( m - 2 ) \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } ] } \\ & { = ( m - 1 ) \mathcal S \mathbf v ^ { m - 2 } - \lambda \mathbf I _ { n } - ( m - 2 ) \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } - ( m - 1 ) \mathcal S \mathbf v ^ { m - 2 } \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } + \lambda \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } + ( m - 2 ) \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } } \\ & { = ( m - 1 ) \mathcal S \mathbf v ^ { m - 2 } - \lambda \mathbf I _ { n } - ( m - 1 ) \lambda \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } + \lambda \mathbf v \mathbf v ^ { \mathrm T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { 0 } ^ { \prime } ( r _ { j } ^ { n } ) } & { = c _ { j , 0 } ^ { n } - 4 \lambda ( \gamma _ { 1 3 } + \gamma _ { 1 4 } ) r _ { j } ^ { n } \geq c _ { j , 0 } ^ { n } + 4 \lambda ( \gamma _ { 1 3 } + \gamma _ { 1 4 } ) L ^ { n } h \geq C _ { 0 } - 4 \lambda L h , } \\ { b _ { 1 } ^ { \prime } ( r _ { j + 1 } ^ { n } ) } & { = c _ { j , 1 } ^ { n } - 4 \lambda ( \gamma _ { 2 3 } + \gamma _ { 2 4 } ) r _ { j + 1 } ^ { n } \geq c _ { j , 1 } ^ { n } - 4 \lambda ( \gamma _ { 2 3 } + \gamma _ { 2 4 } ) L ^ { n } h \geq C _ { 1 } - 4 \lambda L h , } \end{array}
\int { \frac { \cot ^ { n } a x \, d x } { \cos ^ { 2 } a x } } = { \frac { 1 } { a ( 1 - n ) } } \tan ^ { 1 - n } a x + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
\sum _ { j } | X _ { k + 1 } ^ { j } - w _ { o b j } | = w _ { o b j } \left[ \sum _ { \{ j ; \epsilon _ { j } \le 0 \} } \frac { \epsilon / 2 } { N _ { o b j } + \epsilon / 2 } + \sum _ { \{ j ; \epsilon _ { j } \ge 0 \} } \frac { | N _ { o b j } \epsilon _ { j } - \epsilon / 2 | } { N _ { o b j } + \epsilon / 2 } \right] .
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { { } = } & { V \cos \theta + \gamma ( h ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) , } \\ { \dot { y } } & { { } = } & { V \sin \theta , } \\ { \dot { \theta } } & { { } = } & { \gamma y ( 1 - B \cos 2 \theta ) , } \end{array}
\mathcal { L } _ { Z Z ^ { \prime } } = - \frac { 1 } { 2 } \sin \chi \hat { Z } _ { \mu \nu } ^ { \prime } \hat { B } ^ { \mu \nu } + \delta \hat { M } ^ { 2 } \hat { Z } _ { \mu } ^ { \prime } \hat { Z } ^ { \mu }
R _ { \mu } = [ \phi , \tilde { J } _ { \mu } ] + { \textstyle \frac 1 3 } [ \phi , [ J _ { \mu } , \phi ] ] = [ \phi , \partial _ { \mu } \phi ] + { \textstyle \frac 1 3 } \varepsilon _ { \mu \nu } [ \phi , [ \partial ^ { \nu } \phi , \phi ] ] ,
\begin{array} { r l } & { G ( \chi ( \omega , \mu ) ; \mu ) - G ( z ; \mu ) \leq G ( \beta ( \mu ) ; \mu ) - G ( z ; \mu ) } \\ & { \quad = \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } [ - { g } ( \beta ( \mu ) + s ( z - \beta ( \mu ) ) ; \mu ) ] d s \right) ( z - \beta ( \mu ) ) } \\ & { \quad = \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } [ { g } ( \beta ( \mu ) + s ( z - \beta ( \mu ) ) ; \mu ) - { g } ( \beta ( \mu ) ; \mu ) ] d s \right) ( \beta ( \mu ) - z ) } \\ & { \quad = - \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } s g _ { u } ( \beta ( \mu ) + \tau s ( z - \beta ( \mu ) ) ; \mu ) \ d s d \tau \right) ( \beta ( \mu ) - z ) ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq C _ { 1 } ( \beta ( \mu ) - z ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { i } ^ { n + 1 } + \phi _ { i } ^ { n + 1 } = \rho _ { i } ^ { n } + \phi _ { i } ^ { n } - \Delta t \sum _ { L _ { l } \in \partial \mathcal { C } _ { i } } \frac { | L _ { l } | } { | \mathcal { C } _ { i } | } \frac { c } { 3 \sigma _ { l } } \nabla \phi _ { l } ^ { n + 1 } \vec { n } _ { l } , } \\ & { \rho _ { i } ^ { n + 1 } = \phi _ { i } ^ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } ^ { \tau } V ^ { \tau , h } + H ( t , x , \nabla ^ { h } V ^ { \tau , h } ) = - N h \Delta ^ { h } V ^ { \tau , h } \qquad } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { T } ^ { \prime } , } \\ & { V ^ { \tau , h } ( T , x ) = q ( x ) \qquad } & & { \mathrm { ~ o n ~ } { \mathbb { Z } } _ { h } ^ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { x } } ^ { - 1 } } & { { } = \mathbf { I } - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \mathbf { x } } + \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 2 } \cot \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 2 } \right) \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } } \end{array}
\left( M _ { 2 2 } ^ { ( \nu ) } + M _ { 5 5 } ^ { ( \nu ) } \right) \sqrt { \left( M _ { 2 2 } ^ { ( \nu ) } - M _ { 5 5 } ^ { ( \nu ) } \right) ^ { 2 } + 4 | M _ { 2 5 } ^ { ( \nu ) } | ^ { 2 } } = m _ { \nu _ { 5 } } ^ { 2 } - m _ { \nu _ { 2 } } ^ { 2 } \sim 5 \times 1 0 ^ { - 3 } \; \; \mathrm { e V } ^ { 2 }
\mathbf { U } = \left( \begin{array} { l } { \rho ^ { l } \phi ^ { l } } \\ { \phi ^ { l } } \\ { \rho u _ { i } } \\ { \rho E } \\ { \overline { { V } } _ { e , i j } } \\ { \rho ^ { l } \phi ^ { l } \pi _ { m } ^ { l } } \end{array} \right) , \qquad \mathbf { F } _ { k } ( \mathbf { U } ) = \left( \begin{array} { l } { \rho ^ { l } \phi ^ { l } u _ { k } } \\ { \phi ^ { l } u _ { k } } \\ { \rho u _ { i } u _ { k } - \sigma _ { i k } } \\ { \rho E u _ { k } - \sum _ { i } \sigma _ { i k } u _ { i } } \\ { \overline { { V } } _ { e , i j } u _ { k } - \overline { { V } } _ { e , k j } u _ { i } } \\ { \rho ^ { l } \phi ^ { l } \pi _ { m } ^ { l } u _ { k } } \end{array} \right)
f ( { \boldsymbol { x } } ) = f ( { \boldsymbol { a } } ) + L ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) + h ( { \boldsymbol { x } } ) \lVert { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } \rVert , \qquad \operatorname* { l i m } _ { { \boldsymbol { x } } \to { \boldsymbol { a } } } h ( { \boldsymbol { x } } ) = 0 .
{ \cal { W } } _ { q } = - \frac { 1 } { \omega } \, { \frac { d } { d v } } \log { \frac { \vartheta _ { 1 } ( v ) } { \vartheta _ { 4 } ( v ) } } = - 2 \sqrt { 1 + \eta _ { 0 } ^ { 2 } } \; { \frac { \mathrm { c n } \; \mathrm { d n } } { \mathrm { s n } } } ( 2 v K ( k ) , k ) \; .
h _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = f _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) + n _ { \alpha } ( { \pmb x } ) p _ { \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - \left( n _ { \beta } ( { \pmb x } ) \nabla _ { \alpha } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \beta } _ { n } } + \delta _ { \beta \alpha } n _ { \gamma } ( { \pmb x } ) \nabla _ { \gamma } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \beta } _ { n } } \right)
\frac 1 2 \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \mathcal { F } _ { 2 } f _ { \zeta } \, d \zeta - \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \frac { \overline { { w _ { \zeta } } } \mathcal { F } _ { 1 } } { ( \zeta - \zeta _ { k } ) \overline { { f _ { \zeta } } } } \, d \zeta \longrightarrow - \sum _ { k } \gamma _ { k } \overline { { \mathcal { V } _ { k } ( \Lambda ) } } .
P _ { a } ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { A } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \frac { - \tau _ { p } } { 2 } \leq \tau \leq \frac { \tau _ { p } } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } \, , } \end{array} \right.
G ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } , y _ { 2 } ) _ { \stackrel { { \displaystyle = } } { T \rightarrow \infty } } \eta \sum _ { n } \Phi _ { n } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \overline { { \Phi } } _ { n } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \ ,
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \rVert T ( i _ { 0 } ) [ g ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert g \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert g \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) , } \end{array}
a _ { \nu } ^ { ( N + 2 ) } = \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } b _ { \nu } = \frac { \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } } { \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 1 1 ) } }
\frac { [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { n 0 , 0 0 } } { \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { n ^ { \prime } 0 , 0 0 } } = - \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } M _ { n 0 , n ^ { \prime } 0 } ^ { E * } a _ { n ^ { \prime } 0 } ,
\Tilde { \rho } \left( \frac { \partial \mathbf { \Tilde { u } } } { \partial \Tilde { t } } + \mathbf { \Tilde { u } } \cdot \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { \Tilde { u } } \right) = - \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } \Tilde { p } + O h \left( \beta \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \boldsymbol { \Tilde { \sigma } } _ { s } + \frac { \left( 1 - \beta \right) } { D e } \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \boldsymbol { \Tilde { \sigma } } _ { p } \right) + \Tilde { \kappa } \Tilde { \delta } \mathbf { n } ,
\left[ \left( { \frac { \dot { R } } { R } } \right) ^ { 2 } + \xi _ { + } ^ { 2 } R ^ { - { \frac { 2 } { 3 } } k ^ { 2 } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \left[ \left( { \frac { \dot { R } } { R } } \right) ^ { 2 } + \xi _ { - } ^ { 2 } R ^ { - { \frac { 2 } { 3 } } k ^ { 2 } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = - { \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } { 3 } } [ \lambda ( \phi ) + \rho ] .
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \| f \| _ { q } ^ { p } d s \right] \leq C t \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| V ^ { ( n - 1 ) } \| _ { p } ^ { p } \right] + C t \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| V ^ { ( n ) } \| _ { p } ^ { p } \right] , } \\ & { \mathbb E \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \| g \| _ { \mathbb L ^ { p } } ^ { p } d s \right] \leq C t \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| V ^ { ( n - 1 ) } \| _ { p } ^ { p } \right] + C t \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| V ^ { ( n ) } \| _ { p } ^ { p } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { y \in M } \operatorname* { s u p } _ { x ^ { \prime } \in B } | { ^ { t } u } ( y ) ( x ^ { \prime } ) | } & { = \operatorname* { s u p } _ { y \in M } \operatorname* { s u p } _ { x ^ { \prime } \in B } | u ( x ^ { \prime } ) ( y ) | = \operatorname* { s u p } _ { x ^ { \prime } \in B } \operatorname* { s u p } _ { y \in M } | u ( x ^ { \prime } ) ( y ) | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { x ^ { \prime } \in B } \operatorname* { s u p } _ { y \in M } | { ^ { \mathrm { t } } ( { ^ { t } u } ) } ( x ^ { \prime } ) ( y ) | } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \Delta ) } & { = \frac { \exp \left( - \frac { ( \sqrt { \Delta ^ { 2 } - J ^ { 2 } } - \omega _ { e g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { D } ^ { 2 } } \right) + \exp \left( - \frac { ( \sqrt { \Delta ^ { 2 } - J ^ { 2 } } + \omega _ { e g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { D } ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { 4 \pi } \sigma _ { D } \Delta ^ { - 1 } \sqrt { \Delta ^ { 2 } - J ^ { 2 } } } . } \end{array}
E ( { \bf a } , { \bf b } ) = \prod _ { p = 1 } ^ { n } \, { \frac { E _ { p } ( a _ { p } , b _ { p } ) } { ( a _ { p } + b _ { p } ) } } \, \left[ 1 - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \, B _ { i j k } \, C _ { i j } ^ { - 1 } \, { \frac { F _ { k } ( a _ { k } , b _ { k } ) } { E _ { k } ( a _ { k } , b _ { k } ) } } \right] \, .
\sigma ( P 1 , P 2 ) \sim \sum _ { i j } \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } f _ { i / 1 } ( x _ { 1 } , \mu _ { F } ^ { 2 } ) f _ { j / 2 } ( x _ { 1 } , \mu _ { F } ^ { 2 } ) \hat { \sigma } _ { i j } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) , s / \mu ^ { 2 } , s / \mu _ { F } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { H } } _ { \mathrm { t r a n s } } ( t ) = \frac { \hbar } { 2 } \sum _ { n } } & { } & { \Omega _ { 1 , n } ( t ) \vert i _ { n } \rangle \langle g _ { n } \vert + \Omega _ { 2 , n } ( t ) \vert r _ { n } \rangle \langle i _ { n } \vert } \\ & { } & { + \Omega _ { 3 , n } ( t ) \vert r _ { n } \rangle \langle e _ { n } \vert + h . c . } \end{array}
\rho \triangleq \bigotimes _ { \vec { i } } \left( \frac { 1 } { 2 ^ { R } } \left( I _ { B _ { ( \vec { i } , \vec { j } ^ { * } ) } } + \frac { 1 } { | S _ { ( \vec { i } , \vec { j } ^ { * } ) } | } \sum _ { Q \in S _ { ( \vec { i } , \vec { j } ^ { * } ) } } ( - 1 ) ^ { \delta _ { \{ \alpha _ { Q } < 0 \} } } Q _ { B _ { ( \vec { i } , \vec { j } ^ { * } ) } } \right) \right) \bigotimes _ { \ell \in B _ { \vec { j } ^ { * } } ^ { \prime } } \frac { I _ { \ell } } { 2 } \triangleq \bigotimes _ { \vec { i } } \rho _ { \vec { i } } \bigotimes _ { \ell \in B _ { \vec { j } ^ { * } } ^ { \prime } } \frac { I _ { \ell } } { 2 } ,
\begin{array} { r l } { N ^ { 3 \omega } \approx } & { { } \left( \frac { 7 } { 4 5 } \right) ^ { 2 } \frac { \alpha ^ { 4 } } { m _ { e } ^ { 8 } } \frac { 2 ^ { 7 } \sqrt { 3 } } { \pi ^ { 2 } } \frac { \omega W ^ { 3 } } { \tau ^ { 3 } w _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { \tilde { H } _ { 1 } } { H } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sin \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 4 } \right) \sin \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) } \end{array}