\begin{array} { r l } { \ } & { \partial _ { s } \left[ S ^ { \mu } ( \mathbf { k } , t , s ) - \omega t \right] = 0 } \\ { \Leftrightarrow \ } & { \partial _ { s } \left\{ \int _ { s } ^ { t } \left[ \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } + \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } - \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } \right\} = 0 } \\ { \Leftrightarrow \ } & { - \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , s \right) } - \mathbf { F } \left( s \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , s \right) } - \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } \partial _ { s } \kappa ( \textbf { k } , t , s ) = 0 } \\ { \Leftrightarrow \ } & { \left[ \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , s \right) } + \mathbf { F } ( s ) \cdot \textbf { D } _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } \right] = 0 , } \\ { \ } & { \partial _ { t } \left[ S ^ { \mu } ( \mathbf { k } , t , s ) - \omega t \right] = 0 } \\ { \Leftrightarrow \ } & { \partial _ { t } \left\{ \int _ { s } ^ { t } \left[ \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } + \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } - \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } \right\} - \omega = 0 } \\ { \Leftrightarrow \ } & { \omega _ { g } ^ { \textbf { k } } + \mathbf { F } \left( t \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \textbf { k } } + \int _ { s } ^ { t } \partial _ { t } \left[ \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } + \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } - \textbf { F } ( t ) \cdot \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } - \omega = 0 } \\ { \Leftrightarrow \ } & { \omega _ { g } ^ { \textbf { k } } + \mathbf { F } \left( t \right) \cdot \left\{ \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \textbf { k } } - \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } + \int _ { s } ^ { t } \nabla _ { \textbf { k } } \left[ \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } + \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } \right\} - \omega = 0 } \\ { \Leftrightarrow \ } & { \omega _ { g } ^ { \textbf { k } } + \mathbf { F } \left( t \right) \cdot \left\{ \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \textbf { k } } - \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } + \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } , t , s ) - \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } \bigg | _ { t ^ { \prime } = s } ^ { t ^ { \prime } = t } \right\} - \omega = 0 } \\ { \Leftrightarrow \ } & { \omega _ { g } ^ { \textbf { k } } + \mathbf { F } \left( t \right) \cdot \left[ \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } , t , s ) + \textbf { D } _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } \right] = \omega . } \end{array}