harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sigma _ { j } ^ { 2 } = \sigma _ { j } \dot { \sigma _ { j } } } & { = \sigma _ { j } \varepsilon \mathrm { R e } \left( u _ { j } ^ { H } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { d } \mu _ { j } ^ { k } \dot { \Delta } _ { k } \right) v _ { j } \right) } \\ & { = \varepsilon \left( \mathrm { R e } \left\langle \sigma _ { j } \Bar { \mu _ { j } } ^ { d } u _ { j } v _ { j } ^ { H } , \dot { \Delta } _ { d } \right\rangle + \ldots + \mathrm { R e } \left\langle \sigma _ { j } u _ { j } v _ { j } ^ { H } , \dot { \Delta } _ { 0 } \right\rangle \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { l m , \mathrm { ~ T ~ E ~ } } } & { { } = \frac { R _ { l } ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } r } \mathbf { Y } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) } \\ { \mathbf { E } _ { l m , \mathrm { ~ T ~ M ~ } } } & { { } = \frac { c } { k _ { 0 } r } \left[ - \sqrt { l ( l + 1 ) } \frac { R _ { l } ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } r } \mathbf { X } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) + i R _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } r ) \mathbf { Z } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) \right] , } \end{array}
h _ { L } = \sum _ { 1 \leq s \leq M } \sum _ { \beta = 1 } ^ { m } a _ { s } ^ { \beta \dag } a _ { s + 1 } ^ { \beta } + \frac { \lambda } { 2 } \sum _ { 1 \leq s \leq M } ( n _ { s } ^ { 2 } - n _ { s } ) \; , \; \; \; h _ { R } = h _ { L } ^ { \dag }
\exp \left( \left( { \sqrt [ [object Object] ] { \frac { 6 4 } { 9 } } } + o ( 1 ) \right) ( \ln n ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( \ln \ln n ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right) = L _ { n } \left[ { \frac { 1 } { 3 } } , { \sqrt [ [object Object] ] { \frac { 6 4 } { 9 } } } \right]
\begin{array} { r l } & { ( \Hat { \mathcal { T } } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s a } } ^ { \pi } v ) ( s ) = \sum _ { a } \pi ( a | s ) \bigm [ R _ { 0 } ( s , a ) + \alpha _ { s , a } + \beta _ { s , a } \gamma \kappa _ { q } ( v ) + \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \bigm ] , } \\ & { ( \Hat { \mathcal { T } } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s a } } ^ { * } v ) ( s ) = \operatorname* { m a x } _ { a } \bigm [ R _ { 0 } ( s , a ) + \alpha _ { s , a } + \beta _ { s , a } \gamma \kappa _ { q } ( v ) + \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \bigm ] . } \end{array}
a = { \frac { 2 } { 3 } } { \sqrt { - m _ { a } ^ { 2 } + 2 m _ { b } ^ { 2 } + 2 m _ { c } ^ { 2 } } } = { \sqrt { 2 ( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) - 4 m _ { a } ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } - c ^ { 2 } + 2 m _ { b } ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { c ^ { 2 } } { 2 } } - b ^ { 2 } + 2 m _ { c } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } = } & { \alpha _ { 1 } \mathcal { E } _ { p } \left[ ( 1 - \mathcal { X } _ { b } ^ { \prime 2 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { * } + G _ { a b } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { * } ( 1 - \mathrm { i } \mathcal { X } _ { b } ^ { \prime } \alpha _ { 2 } ) \alpha _ { 2 } ^ { * } ) ( - 1 + \mathcal { X } _ { c } ^ { \prime 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 3 } ^ { * } ) + G _ { b c } ^ { 2 } \{ \mathrm { i } \alpha _ { 2 } ^ { * } + \alpha _ { 2 } ( - \mathrm { i } + 2 \mathcal { X } _ { b } ^ { \prime } \alpha _ { 2 } ^ { * } ) \} \right. } \\ & { + \left. \{ - \mathrm { i } \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 3 } ^ { * } ( \mathrm { i } + 2 \mathcal { X } _ { c } ^ { \prime } \alpha _ { 3 } ) \} \right] , } \\ { \mathcal { N } = } & { \left[ G _ { b c } ^ { 2 } ( - \mathrm { i } \alpha _ { 2 } + \mathrm { i } \alpha _ { 2 } ^ { * } + 2 \mathcal { X } _ { b } ^ { \prime } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { * } ) ( \mathrm { i } \alpha _ { 3 } ^ { * } - \mathrm { i } \alpha _ { 3 } + 2 \mathcal { X } _ { c } ^ { \prime } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 3 } ^ { * } ) + G _ { a b } ^ { 4 } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { * } ( - 1 + \mathcal { X } _ { c } ^ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 3 } ^ { * } ) \right. } \\ & { \left. - ( - 1 + \mathcal { X } _ { b } ^ { 2 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { * } ) ( - 1 + \mathcal { X } _ { c } ^ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 3 } ^ { * } ) + G _ { a b } ^ { 2 } ( - \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } ^ { * } + G _ { b c } ^ { 2 } \alpha _ { 3 } ^ { * } ( - \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 1 } ^ { * } ) \alpha _ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { * } \right. } \\ & { \left. + ( \mathcal { X } _ { c } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } ^ { * } + \mathcal { X } _ { c } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } ^ { * } \alpha _ { 3 } ^ { * } + G _ { b c } ^ { 2 } ( 1 + 2 \mathrm { i } \mathcal { X } _ { c } \alpha _ { 3 } ^ { * } ) ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 1 } ^ { * } ) \alpha _ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { * } ) \alpha _ { 3 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( M _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Sigma _ { p } ( M _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \Sigma _ { p } \| } & { = \| ( I - F _ { 2 } ^ { ( k ) } ) \Sigma _ { p } ( I - F _ { 1 } ^ { ( k ) } ) - \Sigma _ { p } \| } \\ & { = \| - F _ { 2 } ^ { ( k ) } \Sigma _ { p } - \Sigma _ { p } F _ { 1 } ^ { ( k ) } + F _ { 2 } ^ { ( k ) } \Sigma _ { p } F _ { 1 } ^ { ( k ) } \| } \\ & { \leq \| A \| ( ( \epsilon _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } + ( \epsilon _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } + ( \epsilon _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } ( \epsilon _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } ) } \\ & { \leq \| A \| ( 4 ( \epsilon ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } + 4 ( \epsilon ^ { ( k ) } ) ^ { 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( U _ { \pi } ) \right] - M \mathbb { E } \! \left[ \pi ( U _ { \pi } ) \right] \right| } & { = \left| \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( U _ { \pi } ) \right] - \sum _ { i = 0 } ^ { M - 1 } \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( Z _ { i } = U _ { \pi } \right) \right| } \\ & { \leq \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \exists 0 \leq t _ { 1 } < t _ { 2 } \leq M - 1 : Z _ { t _ { 1 } } = Z _ { t _ { 2 } } = U _ { \pi } \right) \leq \left( \frac { M } { \delta n } \right) ^ { 2 } \leq \frac { M } { \delta ^ { 3 } n } \cdot M \mathbb { E } \! \left[ \pi ( U _ { \pi } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 3 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } k r _ { g } J _ { 3 } R _ { \oplus } ^ { 3 } \Big \{ ( \vec { s } \cdot \vec { m } ) \big ( 4 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ^ { 2 } + 3 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } - 3 \big ) \Big ( \frac { 1 } { b } \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) - } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ a , b , b , c , c ] ^ { 1 / p } } & { = } & { [ a , b , c , b , c ] ^ { 2 / p } ; } \\ { \mathrm [ a , b , c , c , b ] ^ { 1 / p } } & { = } & { [ a , b , c , b , c ] ^ { - 3 / p } ; } \\ { \mathrm [ a , c , c , b , b ] ^ { 1 / p } } & { = } & { [ a , c , b , c , b ] ^ { 2 / p } ; } \\ { \mathrm [ a , c , b , b , c ] ^ { 1 / p } } & { = } & { - [ a , c , b , c , b ] ^ { - 3 / p } ; } \\ { \mathrm [ a , b , c , b , c ] ^ { 1 / p } } & { = } & { [ a , c , b , c , b ] ^ { 1 / p } ; } \\ { \mathrm [ a , c , b , c , b ] ^ { 5 } } & { = } & { 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { s c } } ( P _ { n } , t _ { n } , \tau _ { n } ) = } & { n \hbar \omega t _ { n } - \int _ { t _ { n } - \tau _ { n } } ^ { t _ { n } } d t ^ { \prime \prime } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } [ P _ { n } + \frac { e } { \hbar } A ( t ^ { \prime \prime } ) ] ^ { 2 } } \\ & { + i ( \Gamma - i \Delta ) \tau _ { n } , } \end{array}
\lambda _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } { \lambda _ { m i n } , \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left\| \Delta \textbf { U } \right\| \leq \epsilon _ { 1 } \mathrm { ~ ( ~ u ~ n ~ i ~ f ~ o ~ r ~ m ~ f ~ l ~ o ~ w ~ ) ~ } } \\ { \lambda _ { s } , \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left\| \Delta \textbf { U } \right\| > \epsilon _ { 1 } , \left\| \Delta \textbf { G } _ { n } \right\| \leq \epsilon _ { 2 } \mathrm { ~ ( ~ s ~ t ~ e ~ a ~ d ~ y ~ d ~ i ~ s ~ c ~ o ~ n ~ t ~ i ~ n ~ u ~ i ~ t ~ y ~ ) ~ } } \\ { m a x ( \lambda _ { m i n } , \lambda _ { s } ) , \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right\}
\begin{array} { l c l } { { ( x _ { a } \star x _ { b } ) _ { \alpha } = \frac { 1 } { \alpha ! } ( \frac { i } { 2 } ) ^ { \alpha } } } & { { \Bigg \{ } } & { { x _ { a } x _ { b } \prod _ { i = 1 } ^ { \alpha } ( \theta ^ { \mu _ { i } \nu _ { i } } \partial _ { \mu _ { i } } \partial _ { \nu _ { i } } ) } } \\ { { } } & { { + } } & { { \sum _ { i = 1 } ^ { \alpha } \Big \{ \theta _ { a b } \prod _ { k \ne i } ( \theta ^ { \mu _ { k } \nu _ { k } } \partial _ { \mu _ { k } } \partial _ { \nu _ { k } } ) } } \\ { { } } & { { + } } & { { x _ { a } { \theta ^ { \mu _ { i } } \, _ { b } } \prod _ { j \ne i } ( \theta ^ { \mu _ { j } \nu _ { j } } \partial _ { \nu _ { j } } ) \prod _ { k } \partial _ { \mu _ { k } } } } \\ { { } } & { { + } } & { { ( x _ { a } \theta ^ { \nu _ { i } } \, _ { b } + x _ { b } \theta ^ { \nu _ { a } } \, _ { a } ) \prod _ { j \ne i } ( \theta ^ { \mu _ { j } \nu _ { j } } \partial _ { \mu _ { j } } ) \prod _ { k } \partial _ { \nu _ { k } } } } \\ { { } } & { { + } } & { { \sum _ { j \ne i } \theta ^ { \nu _ { i } } \, _ { a } \theta ^ { \nu _ { j } } \, _ { b } \prod _ { ( k \ne i , k \ne j ) } ( \theta ^ { \mu _ { k } \nu _ { k } } \partial _ { \mu _ { k } } ) \prod _ { l } \partial _ { \nu _ { l } } } } \\ { { } } & { { + } } & { { \sum _ { j \ne i } \theta _ { a } \, ^ { \nu _ { i } } \theta ^ { \mu _ { j } } \, _ { b } ( \prod _ { l \ne j } \partial _ { \nu _ { l } } ) ( \prod _ { ( k \ne i , k \ne j ) } \theta ^ { \mu _ { k } \nu _ { k } } ) ( \prod _ { m \ne i } \partial _ { \mu _ { m } } ) \Big \} \Bigg \} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { i _ { \mathrm { C } } } & { { } = I _ { \mathrm { S } } \, e ^ { \frac { v _ { \mathrm { B E } } } { V _ { \mathrm { T } } } } \left( 1 + { \frac { V _ { \mathrm { C E } } } { V _ { \mathrm { A } } } } \right) } \\ { \beta _ { \mathrm { F } } } & { { } = \beta _ { { \mathrm { F } } 0 } \left( 1 + { \frac { V _ { \mathrm { C B } } } { V _ { \mathrm { A } } } } \right) } \\ { r _ { \mathrm { o } } } & { { } = { \frac { V _ { \mathrm { A } } } { I _ { \mathrm { C } } } } } \end{array}
A _ { Z Z } = \frac { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { + } - \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { - } } { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { + } + \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { - } } \, \, .
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { z } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { p q r } S _ { p } \left( \frac { \partial S _ { q } } { \partial x } \frac { \partial S _ { r } } { \partial y } - \frac { \partial S _ { r } } { \partial x } \frac { \partial S _ { q } } { \partial y } \right) } \\ & { = } & { S _ { 1 } \left( \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial x } \frac { \partial S _ { 3 } } { \partial y } - \frac { \partial S _ { 3 } } { \partial x } \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial y } \right) } \\ & { } & { + S _ { 2 } \left( \frac { \partial S _ { 3 } } { \partial x } \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial y } - \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial x } \frac { \partial S _ { 3 } } { \partial y } \right) } \\ & { } & { + S _ { 3 } \left( \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial x } \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial y } - \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial x } \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial y } \right) \, . } \end{array}
\psi _ { c } ^ { ( + ) } = \textstyle { \sqrt { \frac { E + m } { 2 m } } } { \left[ \begin{array} { l } { - i \sigma _ { 2 } \phi ^ { * } } \\ { i \sigma _ { 2 } { \frac { { \vec { \sigma } } ^ { * } \cdot { \vec { p } } } { E + m } } \phi ^ { * } } \end{array} \right] } e ^ { i p \cdot x }
\begin{array} { r l } { \mathscr { S } _ { T } ^ { n } ( f ) - \mathscr { S } _ { 0 } ^ { n } ( f ) } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \mathscr { S } _ { t } ^ { n } \bigg ( \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 2 } } \Delta ^ { n } h _ { n } + \frac { 2 \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \mathscr { D } _ { n } h _ { n } \bigg ) d t } \\ & { \quad + \mathscr { Q } _ { 0 } ^ { n } ( h _ { n } ) - \mathscr { Q } _ { T } ^ { n } ( h _ { n } ) + \frac { 2 \theta ( n ) } { n ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathscr { Q } _ { t } ^ { n } ( \tilde { \mathscr { D } } _ { n } h _ { n } ) d t + o _ { n } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - G _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \hat { \alpha } _ { t + 1 } ) \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } + \hat { \alpha } _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 L _ { g x y } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } / \hat { \alpha } _ { t + 1 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \nu _ { 1 } - \nu _ { 2 } ) \quad } } & { { \quad \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \left( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - 2 \nu _ { 3 } \right) \quad } } & { { \quad \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } + \nu _ { 3 } \right) } } \\ { { e ^ { - } \quad } } & { { \quad \mu ^ { - } \: } } & { { \: \tau ^ { - } } } \end{array} \right)
L ( p _ { \epsilon } , p _ { f } , p _ { \xi } ) = p _ { \epsilon } \Delta \epsilon ^ { 2 } + \frac { p _ { f } } { 3 N } \sum _ { i } | \Delta \mathbf { F } _ { i } | ^ { 2 } + \frac { p _ { \xi } } { 9 } | | \Delta \xi | | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \theta ( x , t ) = } & { { } \frac { x _ { 3 } } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \frac { \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) } { | \xi _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } + | \xi _ { 2 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } + | x _ { 3 } | ^ { 2 } } \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log p ( \mathcal { D } | \theta ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log \mathcal { N } ( X _ { i } | f _ { \mathrm { k e p } } ^ { x } ( \theta , t _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log \mathcal { N } ( Y _ { i } | f _ { \mathrm { k e p } } ^ { y } ( \theta , t _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 1 } } \log \mathcal { N } ( V _ { 1 i } | f _ { \mathrm { k e p } } ^ { v _ { 1 } } ( \theta , \bar { t } _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 2 } } \log \mathcal { N } ( V _ { 2 i } | f _ { \mathrm { k e p } } ^ { v _ { 2 } } ( \theta , \tilde { t } _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) . } \end{array}
M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } = \left( \begin{array} { c c } { M _ { t , 0 0 } ^ { i \setminus j } } & { M _ { t , 0 1 } ^ { i \setminus j } } \\ { M _ { t , 1 0 } ^ { i \setminus j } } & { M _ { t , 1 1 } ^ { i \setminus j } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 0 \right) } & & { \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } \right] p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 0 \right) } \\ { 0 } & & { e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 1 \right) } \end{array} \right)
0 . 0 4 0 8 + 0 . 0 4 6 2 e ^ { - 0 . 0 2 0 7 t } + 0 . 0 8 9 8 e ^ { - 0 . 3 3 9 t } + 0 . 1 9 2 e ^ { - 5 . 1 9 t } + 0 . 6 3 2 e ^ { - 9 2 . 9 t }
\begin{array} { r l } { \mathsf { C } _ { \mathsf { F } } ^ { \theta } } & { = \frac { ( \mathsf { I d } + \alpha \mathsf { F } ) ^ { - 1 } } { \theta } - \frac { 1 - \theta } { \theta } ( \mathsf { I d } + \alpha \mathsf { F } ) ( \mathsf { I d } + \alpha \mathsf { F } ) ^ { - 1 } } \\ & { = \Big ( \frac { \mathsf { I d } } { \theta } - \frac { 1 - \theta } { \theta } ( \mathsf { I d } + \alpha \mathsf { F } ) \Big ) ( \mathsf { I d } + \alpha \mathsf { F } ) ^ { - 1 } = \Big ( \mathsf { I d } - \frac { ( 1 - \theta ) \alpha } { \theta } \mathsf { F } \Big ) \mathsf { J } _ { \alpha \mathsf { F } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , j } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } { f } _ { j } \right) + \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } { f } _ { j } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) } \\ & { = : \left( R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } \right) _ { 1 } + \left( R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } \right) _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 4 } ^ { - } = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ \left[ I + \frac { v _ { n } ^ { 2 } + v _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \right] f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 4 } ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { - ( \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 4 } ^ { e q } - ( - \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 4 } ^ { e q } - } \end{array}
\mathbf { F } ( \psi , \psi ^ { * } , v _ { g } ) : = \left[ \begin{array} { l } { g ( \psi , \psi ^ { * } , v _ { g } ) } \\ { g ^ { * } ( \psi , \psi ^ { * } , v _ { g } ) } \\ { \Re \{ \partial _ { \theta } \psi \} | _ { \theta = \theta _ { m a x } } } \end{array} \right] = 0
2 \pi \alpha ^ { \prime } a T _ { 0 } \int _ { p + 1 } C \wedge \rho ( { \bf x } ) d ^ { 3 } x \wedge \mathrm { e } ^ { 2 \pi \alpha ^ { \prime } { \hat { F } } + B } \wedge \sqrt { \hat { A } ( R _ { T } ) / \hat { A } ( R _ { N } ) } ~ .
\begin{array} { r l } { \frac { d \langle T \rangle } { d t } } & { = \int \frac { d ^ { 3 } r } { N } \left[ n ( \boldsymbol { r } , t ) \frac { \partial T ( \boldsymbol { r } , t ) } { \partial t } + T ( \boldsymbol { r } , t ) \frac { \partial n ( \boldsymbol { r } , t ) } { \partial t } \right] } \\ & { = \left\langle \frac { \partial T } { \partial t } \right\rangle + \sum _ { i } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \left( \frac { \langle r _ { i } ^ { 2 } T \rangle } { \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } - \langle T \rangle \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { e } } & { = D _ { e } \varphi _ { e } + M _ { e } ^ { - 1 } t _ { e , R } \left( \widehat { \varphi } - t _ { e , R } ^ { T } \varphi _ { e } \right) - M _ { e } ^ { - 1 } t _ { e , L } \left( \widehat { \varphi } - t _ { e , L } ^ { T } \varphi _ { e } \right) , } \\ { - D _ { e } q _ { e } } & { = f + M _ { e } ^ { - 1 } t _ { e , R } \left( \widehat { q } - t _ { e , R } ^ { T } q _ { e } \right) - M _ { e } ^ { - 1 } t _ { e , L } \left( \widehat { q } - t _ { e , L } ^ { T } q _ { e } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \! \left[ \left\| \mathbf { x } ^ { t + 1 } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] } & { = p \mathbb { E } _ { \mathbf { q } ^ { t } } \! \left[ \left\| \mathbf { \bar { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] + ( 1 - p ) \left\| \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } , } \end{array}
\operatorname { T r } _ { m \times d } \hat { X } ^ { 2 } \stackrel { } { = } \operatorname { T r } _ { m } \hat { R } ^ { 2 } = \operatorname { T r } _ { m \times m } \big ( \operatorname { S w a p } [ \hat { R } \otimes \hat { R } ] \big )
\begin{array} { r l } { \rho _ { { a t m } } ( r ) = \rho _ { { p l } } + \frac { ( \rho _ { { a m b } } - \rho _ { { p l } } ) } { 2 } \Big [ { \operatorname { t a n h } } \Big \{ 9 \Big ( \frac { r } { R _ { P } } - 2 \Big ) \Big \} } & { { } + 1 \Big ] } \\ { { R _ { P } } \leq r \leq { 3 R _ { p } } \thinspace , } \end{array}
S ( \omega ) \equiv \rho _ { 1 1 } R e [ \frac { ( \gamma _ { 2 } + \Gamma _ { 3 2 } - i \delta ) } { ( \Gamma _ { 3 1 } - i \delta ) ( \Gamma _ { 3 2 } - i \delta ) + | G _ { l } | ^ { 2 } } ]
\begin{array} { r l } & { S _ { 2 } \equiv R _ { 2 } | _ { a = b = 1 } = \left( u v - 1 \right) R _ { 1 } , } \\ & { S _ { 3 } \equiv R _ { 3 } | _ { a = b = 1 } = u ^ { 3 } v ^ { 3 } - 4 \, u ^ { 3 } v ^ { 2 } - 4 \, u ^ { 2 } v ^ { 3 } + 1 5 \, u ^ { 2 } v ^ { 2 } + 1 2 \, u ^ { 2 } v + 1 2 \, u \, v ^ { 2 } - 8 5 \, u v + 1 2 5 . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { { C _ { m m } } } & { { C _ { m A } } } & { { C _ { m R } } } \\ { { C _ { m A } } } & { { C _ { A A } } } & { { C _ { A R } } } \\ { { C _ { m R } } } & { { C _ { A R } } } & { { C _ { R R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { { 7 . 2 8 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 7 . 2 4 } } & { { 2 . 5 4 } } \\ { { 0 } } & { { 2 . 5 4 } } & { { 2 3 . 0 3 } } \end{array} \right) ; \qquad \left( \begin{array} { l } { { \overline { { { \delta V _ { m } } } } } } \\ { { \overline { { { \delta V _ { A } } } } } } \\ { { \overline { { { \delta V _ { R } } } } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { - 0 . 0 7 } } \\ { { - 0 . 3 3 } } \\ { { + 0 . 0 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \big ( \| \partial _ { t } ^ { k } u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } \big ) + \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } } \\ { = } & { - \langle \partial _ { t } ^ { k } K _ { u } , \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle \rho ^ { \prime } ( \phi ) \phi _ { t } , | \partial _ { t } ^ { k } u | ^ { 2 } \rangle - \sum _ { 1 \leq j \leq k } C _ { k } ^ { j } \langle \partial _ { t } ^ { j } \rho ( \phi ) \partial _ { t } ^ { k - j } u _ { t } , , \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \rangle \, , } \end{array}
\phi ^ { \mathrm { v d W } } ( r _ { i j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \phi ^ { \mathrm { L J } } ( r _ { i j } ) + ( 1 - \lambda _ { i j } ) \epsilon } & { \quad r _ { i j } \leq 2 ^ { 1 / 6 } \sigma _ { i j } } \\ { \lambda _ { i j } \phi ^ { \mathrm { L J } } ( r _ { i j } ) } & { \quad r _ { i j } > 2 ^ { 1 / 6 } \sigma _ { i j } } \end{array} \right.
{ \cal L } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \eta \dot { A } _ { \alpha } \sigma _ { 3 } ^ { \alpha \beta } \partial A _ { \beta } - \partial A _ { \alpha } \cdot \partial A _ { \alpha } , } } & { { i f D = 4 k + 2 } } \\ { { \eta \dot { A } _ { \alpha } \epsilon ^ { \alpha \beta } \partial A _ { \beta } - \partial A _ { \alpha } \cdot \partial A _ { \alpha } , } } & { { i f D = 4 k } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { W _ { p q r s } ^ { R / I , R / I } = } & { \sum _ { \alpha } d _ { p q \alpha } ^ { R / I } c _ { r s \beta } ^ { R / I } } \\ { e _ { p q r s } = } & { W _ { p q r s } ^ { R , R } - W _ { p q r s } ^ { I , I } } \\ { f _ { p q r s } = } & { W _ { p q r s } ^ { R , I } + W _ { p q r s } ^ { I , R } \; . } \end{array}
V = \left[ \begin{array} { l } { A _ { B } ^ { - 1 } A _ { N } } \\ { - I } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \left[ \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { A } \\ { - A } \end{array} \right] } \\ { - I } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { A } \\ { - A } \\ { - I } \end{array} \right] .