harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x \in \, } & { \mathfrak { g } \longmapsto \Phi _ { 0 } ( x ) = { \mathcal { L } } _ { \varrho ( x ) } \in \mathfrak { X } _ { 0 } ( \wedge ^ { \bullet } T ^ { * } F ) } \\ { x \wedge y \in \wedge ^ { 2 } } & { \mathfrak g \longmapsto \Phi _ { 1 } ( x , y ) = \iota _ { \chi ( x , y ) } \in \mathfrak { X } _ { - 1 } ( \wedge ^ { \bullet } T ^ { * } F ) } \end{array}
\cdot \langle s _ { 1 } . . s _ { k } ^ { \prime } . . | U _ { t } ^ { + } | . . S _ { i } . . S _ { l } . . \rangle \langle . . S _ { i } . . S _ { l } . . | U _ { t } | s _ { 1 } . . s _ { j } . . \rangle ,
\begin{array} { r l r } { \delta \Lambda _ { \mathrm { g c P M } } } & { { } = } & { \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left[ \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \delta { \bf E } + \frac { { \bf u } _ { \mathrm { E } } } { c } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, \delta { \bf B } \right) \right. } \end{array}
\Gamma _ { + } \, C ^ { - 1 } \, \tilde { \Gamma } _ { + } = ( U _ { 3 } + \sum _ { 1 } ^ { 2 } A ^ { ( r ) } U _ { r } A ^ { ( r ) T } ) \, C ^ { - 1 } \, ( U _ { 3 } ^ { - 1 } + \sum _ { 1 } ^ { 2 } A ^ { ( s ) } U _ { s } ^ { - 1 } A ^ { ( s ) T } )
( a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } a _ { 0 } ) _ { b } = ( a _ { 3 } \times b ^ { 3 } ) + ( a _ { 2 } \times b ^ { 2 } ) + ( a _ { 1 } \times b ^ { 1 } ) + ( a _ { 0 } \times b ^ { 0 } )
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \widehat \Gamma _ { j } } \\ { \widehat \gamma _ { j } } \end{array} \right] \sim \mathcal { N } \left( \left[ \begin{array} { l } { \Gamma _ { j } } \\ { \gamma _ { j } } \end{array} \right] \ , \ \left[ \begin{array} { l l } { { \sigma } _ { Y _ { j } } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { { \sigma } _ { X _ { j } } ^ { 2 } } \end{array} \right] \right) , } \end{array}
| \textbf { a } _ { i } - \textbf { a } _ { j } | ^ { 2 } = \textbf { a } _ { i } \cdot \textbf { a } _ { i } + \textbf { a } _ { j } \cdot \textbf { a } _ { j } - 2 ( \textbf { a } _ { i } \cdot \textbf { a } _ { j } )
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } } & { { } = } & { \Lambda \tau _ { z } + v _ { 1 } ( k _ { x } \tau _ { x } + k _ { y } \tau _ { y } ) + v _ { 2 } ( k _ { x } \tau _ { x } - k _ { y } \tau _ { y } ) \sigma _ { z } , } \end{array}
\int e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { \varrho } } \frac { \vec { q } } { \vec { q } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } \vec { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } = i \frac { | \mu | } { 2 \pi } K _ { 1 } ( | \mu | \varrho ) \hat { \varrho } ~ ~ ,
\prod _ { \substack { l , m , n \geq 1 \, l , m \leq n ; \, \operatorname* { g c d } ( l , m , n ) = 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - x ^ { l } y ^ { m } z ^ { n } } \right) ^ { \frac { 1 } { n } } = \exp \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { n } x ^ { l } \right) \left( \sum _ { m = 1 } ^ { n } y ^ { m } \right) \frac { z ^ { n } } { n } \right\}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { m a g } } = } & { \sum _ { \vec { Q } \vec { k } \vec { k } ^ { \prime } } \sum _ { \{ o _ { i } \} \{ s _ { i } \} } - V _ { C } ^ { \{ o _ { i } \} } \big ( \vec { Q } , \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } \big ) \sigma _ { s _ { 0 } s _ { 2 } } ^ { z } \sigma _ { s _ { 1 } s _ { 3 } } ^ { z } } \\ & { c _ { \vec { k } ^ { \prime } + \vec { Q } / 2 , o _ { 2 } s _ { 2 } } ^ { \dag } c _ { \vec { k } + \vec { Q } / 2 , o _ { 0 } s _ { 0 } } ^ { \vphantom { \dag } } c _ { \vec { k } - \vec { Q } / 2 , o _ { 3 } s _ { 3 } } ^ { \dag } c _ { \vec { k } ^ { \prime } - \vec { Q } / 2 , o _ { 1 } s _ { 1 } } ^ { \vphantom { \dag } } } \end{array}
p _ { 1 } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } \rightarrow \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } ) = p _ { 2 } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } ) \alpha ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l o c a l , a } = } & { \textup { H E } \left( \frac { 3 } { 5 6 } \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } + \frac { 5 } { 8 4 } \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) + \frac { 5 } { 1 6 8 } \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } + \right. } \\ & { \ \ \ \ \ \ \left. \frac { 5 } { 8 4 } \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) + \frac { 5 } { 1 6 8 } \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 5 6 } \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } \right) + } \\ & { \textup { H } ^ { 3 } \textup { E } \left( \frac { 1 } { 2 2 4 } \mathcal { B } _ { 1 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } + \frac { 5 \mathcal { B } _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 0 1 6 } \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N } \# \lbrace \lambda _ { i } : \vert \lambda _ { i } \vert > r _ { n } \rbrace = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } F \left( \frac { \varepsilon _ { g } ( x ) } { g _ { n } ( x ) } \right) \mathrm { d } x \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { x \in I _ { p } } 1 \mathrm { d } x = \frac { 4 s _ { n } } { 2 \pi } = \frac { 2 s _ { n } } { \pi } ,
\begin{array} { r l r } { c _ { 0 } } & { = } & { 1 . 2 3 4 0 9 8 0 4 \times 1 0 ^ { - 4 } + i 2 . 0 1 1 5 7 3 1 8 \times 1 0 ^ { - 1 } \, \, ( \mathrm { C f . } \, ( 7 ) ) } \\ { c _ { 1 } } & { = } & { 2 . 3 3 7 4 6 7 1 5 \times 1 0 ^ { - 1 } + i 1 . 6 1 1 3 3 3 3 8 \times 1 0 ^ { - 1 } } \\ { c _ { 2 } } & { = } & { 1 . 2 5 6 8 9 8 1 4 \times 1 0 ^ { - 1 } - i 4 . 0 4 2 2 7 2 5 0 \times 1 0 ^ { - 2 } } \\ { c _ { 3 } } & { = } & { 8 . 9 2 0 8 9 1 7 9 \times 1 0 ^ { - 3 } - i 1 . 8 1 2 9 3 2 1 3 \times 1 0 ^ { - 2 } } \\ { d _ { 1 } } & { = } & { 1 . 1 9 2 3 0 9 8 4 - i 1 . 1 6 4 9 5 9 0 1 } \\ { d _ { 2 } } & { = } & { 8 . 9 4 0 1 5 4 5 0 \times 1 0 ^ { - 2 } - i 1 . 0 7 3 7 2 8 6 7 } \\ { d _ { 3 } } & { = } & { - 1 . 6 8 5 4 7 4 2 9 \times 1 0 ^ { - 1 } - i 2 . 7 0 0 9 6 4 5 1 \times 1 0 ^ { - 1 } } \\ { d _ { 4 } } & { = } & { - 3 . 2 0 9 9 7 5 6 4 \times 1 0 ^ { - 2 } - i 1 . 5 8 5 7 8 6 3 9 \times 1 0 ^ { - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { { C R } } ( \alpha ) = \frac { \overline { G } ( \alpha , \gamma ) } { \overline { G } ( \alpha , \gamma - \frac { 4 } { \gamma } ) } \frac { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 4 } { \kappa } - 1 } } { ( 1 - \frac { \kappa } { 4 } ) \Gamma ( 1 - \frac { \kappa } { 4 } ) ^ { \frac { 4 } { \kappa } } } \frac { \Gamma ( \frac { 2 \alpha } { \gamma } - \frac { 4 } { \kappa } ) \Gamma ( \frac { 8 } { \kappa } - \frac { 2 \alpha } { \gamma } + 1 ) } { \Gamma ( \frac { 4 } { \kappa } + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { \nu } \delta \bar { T } ^ { 0 \nu } = M _ { 1 1 } \delta \bar { \varepsilon } + M _ { 1 2 } \delta u _ { L } + M _ { 1 3 } \delta u _ { \parallel } = 0 \; , } \\ & { } & { l _ { i } \partial _ { \nu } \delta \bar { T } ^ { i \nu } = M _ { 2 1 } \delta \bar { \varepsilon } + M _ { 2 2 } \delta u _ { L } + M _ { 2 3 } \delta u _ { \parallel } = 0 \; , } \\ & { } & { \frac { \kappa _ { i } } { \kappa } \partial _ { \nu } \delta \bar { T } ^ { i \nu } = M _ { 3 1 } \delta \bar { \varepsilon } + M _ { 3 2 } \delta u _ { L } + M _ { 3 3 } \delta u _ { \parallel } = 0 \; , } \\ & { } & { \omega _ { j } ^ { i } \partial _ { \nu } \delta \bar { T } ^ { j \nu } = \left[ \bar { \lambda } _ { \perp } \Gamma ^ { 2 } + \Gamma + \bar { \eta } _ { \perp } k ^ { 2 } + ( \bar { \eta } _ { l } - \bar { \eta } _ { \perp } ) \bar { k } ^ { 2 } \right] \delta u _ { \perp } ^ { i } = 0 \; , } \end{array}
g _ { 1 } ^ { c } ( x , Q ^ { 2 } ) = { \frac { \alpha _ { s } } { 9 \pi } } \int _ { ( 1 + { \frac { 4 m _ { c } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } ) x } ^ { 1 } { \frac { d w } { w } } \delta g ( w , Q ^ { 2 } ) \delta h ( { \frac { x } { w } } )
K [ x ( s ) , x _ { 0 } ( s ) ; A ] = \left( { \frac { m ^ { 2 } } { 2 i \pi \hbar A } } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( { \frac { i m ^ { 2 } } { 4 \hbar A } } \Sigma ^ { \mu \nu } [ C - C _ { 0 } ] \Sigma _ { \mu \nu } [ C - C _ { 0 } ] \right) \ .
\left\langle \psi _ { 1 , 3 } ^ { \alpha } ( - i ) \psi _ { 1 , 3 } ^ { \alpha } ( - i e ^ { 2 i \pi } ) \right\rangle _ { \mathbb { D } _ { 2 , a } } = \left( 2 i ^ { - 1 / 2 } \right) ^ { - 2 h _ { 1 , 3 } } \left\langle \psi _ { 1 , 3 } ^ { ( a a ) } ( i ^ { 1 / 2 } ) \psi _ { 1 , 3 } ^ { ( a a ) } ( - i ^ { 1 / 2 } ) \right\rangle _ { \mathbb { D } } = 1
\lambda ^ { i } = { \frac { 2 ( D - 2 ) } { \kappa ^ { D - 1 } } } { \frac { 1 } { W } } { \frac { \partial W } { \partial \phi } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } A } \tilde { \eta } _ { - } ^ { i } \ , \qquad \psi _ { r } ^ { i } = - { \frac { 2 ( D - 2 ) } { \kappa ^ { D - 1 } } } \left( { \frac { 1 } { W } } { \frac { \partial W } { \partial \phi } } \right) ^ { 2 } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } A } \tilde { \eta } _ { - } ^ { i } \ , \qquad \psi _ { \mu } ^ { i } = 0 \ .
{ \cal F } _ { \cal A } \equiv - C _ { F } \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \left( \frac { 1 } { 2 } \log ^ { 2 } \frac { m ^ { 2 } } { s } + \log \frac { m ^ { 2 } } { s } \log \frac { \lambda ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right)
\left( \frac { \delta + \epsilon } { x ^ { + } - x ^ { -- } \epsilon + \delta } \right) ^ { \beta } \simeq \left( \frac { \delta } { x ^ { + } - x ^ { - } + \delta } \right) ^ { \beta } + \beta \frac { x ^ { + } - x ^ { - } + 2 \delta } { ( x ^ { + } - x ^ { - } + \delta ) ^ { 2 } } \left( \frac { \delta } { x ^ { + } - x ^ { - } + \delta } \right) ^ { \beta - 1 } \epsilon \; .
\begin{array} { r } { \mathbf { C } _ { 4 } = \left[ - \nabla \cdot ( \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \nabla \times \quad ) + \nabla \cdot ( { \mathbf V } _ { 0 } \times \quad ) \qquad - \nabla \cdot ( { \mathbf B } _ { 0 } \times \quad ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r } & { \begin{array} { r l } & { p _ { 1 } + p _ { 2 } + p _ { 5 } } \\ { = } & { p _ { 1 } + p _ { 4 } + p _ { 6 } } \\ { = } & { p _ { 2 } + p _ { 3 } + p _ { 6 } } \\ { = } & { p _ { 3 } + p _ { 4 } + p _ { 5 } } \end{array} } & & { \Longrightarrow } & { \begin{array} { r l } & { p _ { 1 } - p _ { 3 } } \\ { = } & { p _ { 2 } - p _ { 4 } } \\ { = } & { p _ { 4 } - p _ { 2 } } \\ { = } & { p _ { 6 } - p _ { 5 } } \end{array} } & { } & { \Longrightarrow } & { } & { 2 ( p _ { 2 } - p _ { 4 } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { 2 n } - F ^ { 2 n } } & { { } = ( E - F ) ( E + F ) \prod _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \left( E ^ { 2 } - 2 E F \cos \, { \frac { k \pi } { n } } + F ^ { 2 } \right) } \end{array}
\langle n ^ { \prime } \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } | r _ { q } | n \ell m \rangle = \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } d r R _ { n ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } ^ { * } ( r ) r R _ { n \ell } ( r ) \right) \left( { \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } } \int \sin { ( \theta ) } d \Omega Y _ { \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { * } ( \theta , \phi ) Y _ { 1 q } ( \theta , \phi ) Y _ { \ell m } ( \theta , \phi ) \right)
b _ { \alpha } : = \sum _ { \beta \in I } \langle \alpha , \beta ^ { \vee } \rangle _ { \mathrm { d e r } } \langle \check { \varpi } _ { \beta } , w \mu \rangle _ { \mathrm { d e r } } = \langle \alpha , w \mu \rangle _ { \mathrm { d e r } } - \sum _ { \beta \in \Delta \backslash I } \langle \alpha , \beta ^ { \vee } \rangle _ { \mathrm { d e r } } \langle \check { \varpi } _ { \beta } , w \mu \rangle _ { \mathrm { d e r } } > 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } n _ { S , I } ^ { X } ( t ) } & { = \gamma \left( ( I + 1 ) n _ { S , I + 1 } ^ { X } ( t ) \mathbf { 1 } _ { \left\{ S + I < n _ { \operatorname* { m a x } } \right\} } - I n _ { S , I } ^ { X } ( t ) \right) } \\ & { + \lambda _ { X } \left( ( S + 1 ) ( I - 1 ) n _ { S + 1 , I - 1 } ^ { X } ( t ) \mathbf { 1 } _ { \left\{ I \geq 1 \right\} } - S I n _ { S , I } ^ { X } ( t ) \right) } \\ & { + \Lambda _ { X } ( t ) \left( ( S + 1 ) n _ { S + 1 , I - 1 } ^ { X } ( t ) \mathbf { 1 } _ { \left\{ I \geq 1 \right\} } - S n _ { S , I } ^ { X } ( t ) \right) . } \end{array}
\sigma _ { i j } ^ { k + 1 } = { ( K } _ { \beta } \ - \ \frac { 2 G _ { \beta } } { 3 } ) \left( \frac { 1 } { \Delta t } \right) ^ { \beta } \sum _ { l = 1 } ^ { k + 1 } \varphi _ { l } \epsilon _ { k k } \left( \left( k + 1 - l \right) \Delta t \right) + 2 G _ { \beta } \left( \frac { 1 } { \Delta t } \right) ^ { \beta } \sum _ { l = 1 } ^ { k + 1 } \varphi _ { l } \epsilon _ { i j } ( ( k + 1 \ - \ l ) \Delta t ) ,
\frac { \tau _ { 0 } ( \tau _ { 1 } ^ { { p _ { \psi } - 1 } } - \tau _ { 0 } ^ { { p _ { \psi } - 1 } } ) } { \tau _ { 1 } ^ { p _ { \psi } - 1 } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 0 } ) } \Psi _ { \tau _ { 0 } } ^ { + , i } ( y _ { \mathrm { o l d } } ) \leq \frac { \phi _ { \tau _ { 0 } } ( y _ { \mathrm { o l d } } ) - \phi _ { \tau _ { 1 } } ( y _ { \mathrm { o l d } } ) } { \tau _ { 1 } - \tau _ { 0 } } \leq \frac { \tau _ { 1 } ( \tau _ { 1 } ^ { { p _ { \psi } - 1 } } - \tau _ { 0 } ^ { { p _ { \psi } - 1 } } ) } { \tau _ { 0 } ^ { p _ { \psi } - 1 } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 0 } ) } \Psi _ { \tau _ { 1 } } ^ { - , i } ( y _ { \mathrm { o l d } } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } } & { = \mathbf { U } \mathbf { \Sigma } \mathbf { V } ^ { H } = [ \mathbf { A } _ { r } | \mathbf { A } _ { r } ^ { \perp } ] \mathbf { \Sigma } [ \mathbf { \tilde { A } } _ { t } | \mathbf { \tilde { A } } _ { t } ^ { \perp } ] ^ { H } , } \\ & { = \mathbf { U } \mathbf { \Sigma } \mathbf { \Phi } \mathbf { R } = \mathbf { P } \mathbf { \Phi } \mathbf { R } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { A _ { I } } & { B _ { I } } \\ { C _ { I } } & { D _ { I } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { A _ { S } - B _ { S } ( I _ { m } + D _ { S } ) ^ { - 1 } C _ { S } } & { \sqrt { 2 } B _ { S } ( I _ { m } + D _ { S } ) ^ { - 1 } } \\ { - \sqrt { 2 } ( I _ { m } + D _ { S } ) ^ { - 1 } C _ { S } } & { - ( I _ { m } + D _ { S } ) ^ { - 1 } ( D _ { S } - I _ { m } ) } \end{array} \right] } \end{array}
\overline { { f } } _ { m } ( ( ( S _ { A _ { \ell } } ) ^ { f _ { \ell } } \mathrm { - } P _ { A _ { \ell } } ^ { f _ { \ell } } \mathrm { - n a m e ~ o f \ } x ) _ { 0 } ^ { m - 1 } , ( ( S _ { A _ { \ell + 1 } } ) ^ { f _ { \ell + 1 } } \mathrm { - } P _ { A _ { \ell + 1 } } ^ { f _ { \ell + 1 } } \mathrm { - n a m e ~ o f \ } \theta _ { \ell + 1 } ( x ) ) _ { 0 } ^ { m - 1 } ) < \frac { \varepsilon _ { \ell } } { 5 } .
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { - \widetilde { M } ^ { T } } \\ { \frac 1 2 M - K } & { \frac { 1 } { \epsilon _ { 2 } } V } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \vec { \phi } _ { 1 } } \\ { \vec { \lambda } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \vec { f } } \\ { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\left< \mathbf { f } , \mathbf { g } _ { 1 } \right> _ { \mathscr { M } } = \left< \mathbf { f } , \mathbf { f } \right> _ { \mathscr { M } } - \left< \mathbf { f } , \nabla \phi \right> _ { \mathscr { M } } = \| \mathbf { f } \| _ { \mathscr { M } } ^ { 2 } \geq 0
\begin{array} { c c l } { { \Gamma _ { \mu \beta } ^ { A x i a l } } } & { { = } } & { { C _ { 5 } ^ { A } ( q ^ { 2 } ) g _ { \mu \beta } } } \\ { { } } & { { + } } & { { C _ { 6 } ^ { A } ( q ^ { 2 } ) q _ { \mu } q _ { \beta } / m ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { + } } & { { C _ { 4 } ^ { A } ( q ^ { 2 } ) \left\{ ( p _ { 1 } \cdot q / m ^ { 2 } ) g _ { \mu \beta } + q _ { \beta } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) _ { \mu } / ( 2 m ^ { 2 } ) + q _ { \mu } q _ { \beta } / ( 2 m ^ { 2 } ) \right\} } } \\ { { } } & { { + } } & { { C _ { 3 } ^ { A } ( q ^ { 2 } ) \left\{ ( ( m ^ { \ast } - m ) / m ) g _ { \mu \beta } + q _ { \beta } \gamma _ { \mu } / m \right\} } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \Big ( \| \omega \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla \omega ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \Big ) } \\ { \leq } & { \quad C ( 1 + \sigma T ) ^ { 2 } T ^ { 3 / 2 } \left( \rho \| \partial _ { t } ^ { 2 } \tilde { \hat { u } } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { - 1 / 2 } ( \Gamma _ { \rho } ^ { + } ) ) } + \rho ^ { - 1 } \| \partial _ { t } \tilde { \hat { u } } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { \rho } ^ { + } ) ) } \right) . } \end{array} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A A ^ { \mathrm { T } } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 5 } & { 6 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 4 } \\ { 2 } & { 5 } \\ { 3 } & { 6 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 4 } & { 3 2 } \\ { 3 2 } & { 7 7 } \end{array} \right] } } \\ { \left( A A ^ { \mathrm { T } } \right) ^ { - 1 } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 4 } & { 3 2 } \\ { 3 2 } & { 7 7 } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { 5 4 } } { \left[ \begin{array} { l l } { 7 7 } & { - 3 2 } \\ { - 3 2 } & { 1 4 } \end{array} \right] } } \\ { A ^ { \mathrm { T } } \left( A A ^ { \mathrm { T } } \right) ^ { - 1 } } & { = { \frac { 1 } { 5 4 } } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 4 } \\ { 2 } & { 5 } \\ { 3 } & { 6 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 7 7 } & { - 3 2 } \\ { - 3 2 } & { 1 4 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { 1 8 } } { \left[ \begin{array} { l l } { - 1 7 } & { 8 } \\ { - 2 } & { 2 } \\ { 1 3 } & { - 4 } \end{array} \right] } = A _ { \mathrm { r i g h t } } ^ { - 1 } } \end{array} }
\times e ^ { - { i } [ \tilde { \bf r } ^ { \prime \prime } \times \tilde { \bf r } + \tilde { \bf r } ^ { \prime \prime \prime } \times \tilde { \bf r } ^ { \prime \prime \prime \prime } ] } f ( \tilde { \bf r } ^ { \prime \prime \prime } ) g ( \tilde { \bf r } ^ { \prime \prime \prime \prime } ) h ( \tilde { \bf r } ^ { \prime \prime } ) .
\begin{array} { r l } { Z = } & { ~ x ^ { \top } C _ { j } y } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { p } \sum _ { i \in \Omega _ { * , j } } x ^ { \top } U _ { t , i } \cdot y ^ { \top } U _ { * , i } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { p } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \delta _ { i , j } x ^ { \top } U _ { t , i } \cdot y ^ { \top } U _ { * , i } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \bf u } _ { j } } { \partial t } + \frac { 1 } { V _ { j } } \sum _ { k \in \{ k _ { j } \} } \left[ \Phi _ { j k } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { \partial { \bf f } } { \partial { \bf w } } \right) _ { \! \! i } \! \! \nabla { \bf w } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \right] | { \bf n } _ { T } | = { \bf s } _ { j } + \frac { 1 } { 4 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \nabla \left[ { \bf s } _ { i } - \left( \frac { \partial { \bf u } _ { i } } { \partial t } \right) \right] ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \hbar \left( \begin{array} { l l l l } { \Omega _ { L } } & { \frac { \Omega _ { \mathrm { R F } } \cos \omega _ { \mathrm { R F } } t } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { \mathrm { R F } } \cos \omega _ { \mathrm { R F } } t } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { \mathrm { R F } } \cos \omega _ { \mathrm { R F } } t } { \sqrt { 2 } } } & { - \frac { \Omega _ { R } \cos \omega t } { \sqrt { 3 } } } \\ { 0 } & { \frac { \Omega _ { \mathrm { R F } } \cos \omega _ { \mathrm { R F } } t } { \sqrt { 2 } } } & { - \Omega _ { L } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { \Omega _ { R } \cos \omega t } { \sqrt { 3 } } } & { 0 } & { \omega _ { 0 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } ^ { 2 } } + \left( \tilde { u } _ { 0 } - \frac { 1 } { \tilde { h } _ { 0 } } \frac { \partial \tilde { h } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \right) \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial r } = 0 , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \tilde { r } > 0 , \; 0 < t < 1 ,
| \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ^ { 1 } ) | \le C ( t _ { * * } ^ { 1 } , t _ { * } ^ { 1 } ) \| t _ { * * } ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ,
\begin{array} { r l } { \dot { g } } & { = 2 \delta _ { g _ { b _ { 0 } } } ^ { * } ( t _ { b _ { 0 } , * } \omega _ { b _ { 0 } , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) - 2 [ \delta _ { g _ { b _ { 0 } } } ^ { * } , t _ { b _ { 0 } , * } ] \omega _ { b _ { 0 } , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) + \dot { g } _ { 0 } = 2 \delta _ { g _ { b _ { 0 } } } ^ { * } ( t _ { b _ { 0 } , * } \omega _ { b _ { 0 } , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) + \dot { g } _ { 0 } ^ { \prime } , } \\ { \dot { A } } & { = \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b _ { 0 } } } ( t _ { b _ { 0 } , * } \omega _ { b _ { 0 } , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) ^ { \sharp } + d \big ( t _ { b _ { 0 } , * } \phi _ { b _ { 0 } , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) \big ) - \Big ( \iota _ { \omega _ { b _ { 0 } , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ^ { \sharp } } A _ { b _ { 0 } } + \phi _ { b _ { 0 } , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) \Big ) d t _ { b _ { 0 } , * } + \dot { A } _ { 0 } } \\ & { = \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b _ { 0 } } } ( t _ { b _ { 0 } , * } \omega _ { b _ { 0 } , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) ^ { \sharp } + d \big ( t _ { b _ { 0 } , * } \phi _ { b _ { 0 } , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) \big ) + \dot { A } _ { 0 } ^ { \prime } , } \end{array}
I ( \boldsymbol { q } ) \propto \int _ { t } \left| \int _ { w } \tilde { n } ( \boldsymbol { r } ) e ^ { i ( q _ { x } v _ { p } ) t } e ^ { - i \vec { q } \vec { r } } d \boldsymbol { r } \right| ^ { 2 } d t \propto \left| F T \left( \tilde { n } ( \boldsymbol { r } ) \right) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { M _ { - } ( t , T ) = \mathrm { i } \int _ { t } ^ { t + T } \textrm { d } t ^ { \prime } \Bigl [ t _ { c } ^ { * } a ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) a _ { \mathrm { L O } } ( t ^ { \prime } ) - t _ { c } a _ { \mathrm { L O } } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) a ( t ^ { \prime } ) \Bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { 0 } = \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } F ( b , a ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b - x _ { 0 } ^ { 1 } , a - x _ { 0 } ; t ) d b d a , } \\ & { I _ { m } = \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } \partial _ { m } F ( b , a ) { \mathbf 1 } _ { \{ M _ { s } < b \} } B ^ { 1 } ( X _ { s } ) p _ { W ^ { * 1 } , W } \left( b - X _ { s } ^ { 1 } , a - X _ { s } ; t - s \right) d b d a \right] d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } F ( t , x , T , X ) } { \mathrm { d } t } } & { { } = \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial t } + \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial T } \frac { \partial T } { \partial t } = \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial t } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial T } } \\ { \frac { \mathrm { d } F ( t , x , T , X ) } { \mathrm { d } x } } & { { } = \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial x } + \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial X } \frac { \partial X } { \partial x } = \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial x } + \epsilon \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial X } \; , } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ e ~ } ~ \omega = \frac { l } { r _ { s } } = \frac { l \sqrt { f ( r _ { p } ) } } { r _ { p } } , ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ I ~ m ~ } ~ \omega = - \frac { 2 n + 1 } { 2 \sqrt { 2 } r _ { s } } \sqrt { 2 f ( r _ { p } ) - r _ { p } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( r _ { p } ) } ,
\mathrm { ~ l ~ i ~ } \left( \exp \left[ { \frac { C \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \kappa \rho ) } { \rho } } \right] t \right) = \rho \exp \left[ \frac { C \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \kappa \rho ) } { \rho } - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \kappa \rho ) \right] a ( t ) + C _ { 1 }
1 > \frac { C } { \gamma _ { * } } \left( ( 1 + \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ) ( \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { { L ^ { 2 } } } + \Vert \hat { Z } _ { * } \Vert _ { { L ^ { 2 } } } ) \right) \approx \frac { C } { \gamma _ { * } } \left( ( 1 + \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { { L ^ { 2 } } } ^ { 2 } ) \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { { L ^ { 2 } } } + \frac { \Vert \hat { Z } _ { * } \Vert _ { { L ^ { 2 } } } } { 1 + \Vert \hat { Z } _ { * } \Vert _ { { L ^ { 2 } } } } \right) .