harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } = a _ { 2 } g ( \xi ) ^ { \frac { \kappa _ { 3 } z _ { 3 } - \kappa _ { 1 } z _ { 1 } } { \kappa _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) + \kappa _ { 3 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) } } h ( \xi ) , \quad C _ { 2 } = a _ { 2 } g ( \xi ) ^ { \frac { \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 2 } } { - \kappa _ { 1 } z _ { 1 } + \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 2 } + \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } } h ( \xi ) , } \\ & { h ( \xi ) = \frac { \left( z _ { 1 } + z _ { 2 } g ( \xi ) \right) ^ { \frac { d _ { 1 } \kappa _ { 2 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 2 } z _ { 2 } \right) } { d _ { 5 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 1 } \right) \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } } } { \left( \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } z _ { 1 } \left( z _ { 3 } - z _ { 1 } \right) + d _ { 2 } z _ { 2 } g ( \xi ) \right) ^ { \frac { - d _ { 3 } ^ { 2 } \mathrm { P e } ^ { 2 } z _ { 2 } d _ { 3 } } { d _ { 1 } d _ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) + \kappa _ { 3 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) \right) } } } , } \\ & { d _ { 1 } = - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } z _ { 2 } + \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) , \quad d _ { 2 } = - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } z _ { 2 } + \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 3 } - z _ { 2 } \right) , } \\ & { d _ { 3 } = - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } z _ { 2 } \left( \kappa _ { 3 } z _ { 3 } - \kappa _ { 1 } z _ { 1 } \right) + \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( \kappa _ { 1 } \left( z _ { 2 } - z _ { 1 } \right) z _ { 3 } + \kappa _ { 3 } z _ { 1 } \left( z _ { 3 } - z _ { 2 } \right) \right) , } \\ & { d _ { 4 } = \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) ^ { 2 } - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } z _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ & { d _ { 5 } = \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \kappa _ { 3 } ^ { 2 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) ^ { 2 } - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
w ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \sim \frac { ( k _ { 1 } ! ) ^ { 2 } \; [ ( 2 k _ { 2 } - 1 ) ! ] ^ { 2 } } { ( k _ { 1 } ! ) ^ { 2 } \; ( 2 k _ { 2 } ) ! } .
\begin{array} { r l } { \tilde { g } _ { \mathrm { f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) } & { { } = - 3 2 ( 4 7 ) \times 1 0 ^ { - 1 3 } \, , } \\ { \delta _ { \Xi _ { 0 } } g _ { \mathrm { f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } } & { { } = - 1 ( 6 4 ) \times 1 0 ^ { - 1 4 } \, . } \end{array}
\operatorname { R e } \left[ \sigma ( \omega ) \right] = \frac { 2 \pi e ^ { 2 } } { 3 m _ { e } ^ { 2 } \omega \Omega } \sum _ { k } w _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } \big [ f ( \epsilon _ { j , k } ) - f ( \epsilon _ { i , k } ) \big ] | \langle { \Psi _ { j , k } | \hat { p } _ { \alpha } | \Psi _ { i , k } } \rangle | ^ { 2 } \delta ( \epsilon _ { i , k } - \epsilon _ { j , k } - \hbar \omega )
\Phi _ { * } \widetilde { S } \sim \Phi _ { * } \left( 2 \varepsilon _ { g } ^ { * } H - \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } E _ { j } - \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } P _ { j } \right) \sim 2 \varepsilon _ { g } ^ { * } H - \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } E _ { j } - \underset { j = 1 } { \overset { 4 } { \sum } } P _ { j } \sim \widetilde { S } ,
{ \cal S } = - { \frac { 1 } { 2 \pi \beta ^ { \prime } } } \int d ^ { 6 } \sigma { \frac { 1 } { 6 ! } } \epsilon ^ { a b c d e f } \partial _ { a } X ^ { M } \partial _ { b } X ^ { N } \partial _ { c } X ^ { P } \partial _ { d } X ^ { Q } \partial _ { e } X ^ { R } \partial _ { f } X ^ { S } A _ { M N P Q R S } .
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 7 } + _ { 6 } + _ { 4 } + _ { 6 } } \\ & { = \delta _ { p , q } \delta ( q > m - n ) \sum _ { x > m - n } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , x } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { p , q } \delta ( q > m - n ) \sum _ { \substack { x \leq m - n } } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta _ { p , q } \sum _ { \substack { x \leq m - n } } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , q } \sum _ { x > m - n } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , x } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = 0 . } \end{array}
{ \bf V } \; = \; \left( \begin{array} { r r r } { { 0 . 9 7 5 2 } } & { { 0 . 2 2 1 1 } } & { { 0 . 0 0 2 5 } } \\ { { - 0 . 2 2 1 1 } } & { { 0 . 9 7 4 6 } } & { { 0 . 0 3 5 5 } } \\ { { 0 . 0 0 5 4 } } & { { - 0 . 0 3 5 2 } } & { { 0 . 9 9 9 4 } } \end{array} \right) \; , \quad { \bf U } \; = \; \left( \begin{array} { r r r } { { 0 . 9 9 9 } } & { { 0 . 0 3 8 } } & { { - 0 . 0 1 2 } } \\ { { - 0 . 0 2 5 } } & { { 0 . 8 3 3 } } & { { 0 . 5 5 2 } } \\ { { 0 . 0 3 1 } } & { { - 0 . 5 5 2 } } & { { 0 . 8 3 4 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { r _ { 0 } = r _ { 0 } ( 0 ) \, e ^ { \left( 1 / 2 \right) \left[ \ln ( r _ { 0 } ( 0 ) / ( 2 r _ { c } ( 0 ) ) \right] ^ { 2 } } \, e ^ { - \left( 1 / 2 \right) \left[ \ln ( r _ { 0 } / ( 2 r _ { c } ) \right] ^ { 2 } } } \\ & { q ( t ) = - r _ { 0 } \dot { r } _ { 0 } = \frac { - r _ { 0 } \dot { r } _ { 0 } ( 0 ) } { \left[ r _ { 0 } / \left( 2 r _ { c } \right) ( 0 ) \right] } \times \exp \left( - \sqrt { \left[ \ln \left( \frac { r _ { 0 } ( 0 ) } { 2 r _ { c } ( 0 ) } \right) \right] ^ { 2 } - \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { r _ { 0 } ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { t = s + \rho + 1 } ^ { e - \rho } \vert \vert \widetilde F _ { t , h } ^ { s , e } ( x ) - \widetilde f _ { t } ^ { s , e } ( x ) \vert \vert _ { L _ { 2 } } \le } & { \operatorname* { m a x } _ { t = s + \rho + 1 } ^ { e - \rho } \widetilde { C } _ { \mathcal { X } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \bigg | \widetilde F _ { t , h } ^ { s , e } ( x ) - \widetilde f _ { t } ^ { s , e } ( x ) \bigg | } \\ { \le } & { 2 \widetilde { C } _ { \mathcal { X } } C \sqrt { \frac { \log T } { h ^ { p } } } + \frac { 2 \widetilde { C } _ { \mathcal { X } } C _ { 1 } \sqrt { p } } { h ^ { p } } + 2 \widetilde { C } _ { \mathcal { X } } C _ { 2 } \sqrt { T } h ^ { r } } \end{array}
\left\langle \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } \right\rangle = \frac { \tilde { \gamma } ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } } + \frac { \left( \gamma g A t \right) ^ { 2 } } { \hslash ^ { 2 } } \frac { e ^ { 2 \mu _ { 1 } } \tilde { \gamma } ^ { 2 } } { \left( 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \left( B _ { t } \right) _ { j k } } & { { } : = d V ^ { \prime \prime } ( q _ { t } ) _ { j k } / d t = \left( \dot { q } _ { t } \right) _ { i } V ^ { \prime \prime \prime } ( q _ { t } ) _ { i j k } } \end{array}
, s a t i s f y i n g s o m e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s ; s e e e . g . \ \cite [ p . ~ 2 7 8 ] { M a c L a n e - c a t e g o r i e s - f o r - t h e - w o r k i n g - m a t h e m a t i c i a n } o r \cite [ P r o p . ~ 4 . 1 . 8 ] { J o h n s o n Y a u - 2 - d i m e n s i o n a l - c a t e g o r i e s } . W e n o w b e g i n t o c o n s t r u c t t h e
\begin{array} { r l } { u ( r _ { i j } ) } & { { } = t ( r _ { i j } , L _ { u } ) \sum _ { k } a _ { k } r _ { i j } ^ { k } \; , } \\ { \chi ( r _ { i I } ) } & { { } = t ( r _ { i I } , L _ { \chi } ) \sum _ { k } b _ { k } r _ { i I } ^ { k } \; , } \\ { f ( r _ { i j } , r _ { i } , r _ { j } ) } & { { } = t ( r _ { i I } , L _ { f } ) t ( r _ { j I } , L _ { f } ) \sum _ { k , l , m } c _ { k l m } r _ { i j } ^ { k } r _ { i I } ^ { l } r _ { j I } ^ { m } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathscr { R } ^ { \tilde { p } } \left( u _ { i } , \tilde { p } \right) = \left\{ \begin{array} { r l } { V _ { n + 1 } ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) - V _ { n } ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { v e n , P } } - q ^ { \mathrm { a r t , S } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { } \\ { V _ { n + 1 } ^ { \mathrm { r v } } \left( u _ { i } \right) - V _ { n } ^ { \mathrm { r v } } \left( u _ { i } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { v e n , S } } - q ^ { \mathrm { a r t , P } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , P } } \left( p _ { n + 1 } ^ { \mathrm { a r t , P } } - p _ { n } ^ { \mathrm { a r t , P } } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { a r t , P } } - q ^ { \mathrm { p e r , P } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , S } } \left( p _ { n + 1 } ^ { \mathrm { a r t , S } } - p _ { n } ^ { \mathrm { a r t , S } } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { a r t , S } } - q ^ { \mathrm { p e r , S } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { } \\ { C ^ { \mathrm { v e n , S } } \left( p _ { n + 1 } ^ { \mathrm { v e n , S } } - p _ { n } ^ { \mathrm { v e n , S } } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { p e r , S } } - q ^ { \mathrm { a r t , S } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { } \end{array} \right. } \end{array}
\phi ( x ) = \sqrt { \frac { m } { 4 g _ { 2 } \tilde { c } } } \vert x - x _ { o } \vert ^ { - 1 / 2 } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x _ { o } = \frac { m ^ { 2 } - 2 g _ { 2 } \tilde { c } ^ { 2 } } { 8 g _ { 2 } \tilde { c } ^ { 2 } m }
\begin{array} { r l } { n _ { i } ( t ) } & { { } = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \chi _ { i 1 } ^ { R } ( t - \bar { t } ) H _ { 0 } ^ { x } ( \bar { t } ) \mathrm { d } \bar { t } \, , } \\ { \chi _ { 1 1 } ( \omega ) } & { { } = \frac { \tilde { n } _ { 1 } ( \omega ) } { \tilde { H } _ { 0 } ( \omega ) } \, , } \end{array}
W _ { \mathrm { ~ V ~ M ~ } } ( A ) = \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A ^ { i j } \left( \hat { q } _ { - \to + } ^ { i } \, \hat { n } _ { + } ^ { j } + \hat { q } _ { + \to - } ^ { i } \, \hat { n } _ { - } ^ { j } \right) \, ,
\partial _ { \mu } \Psi _ { a } = U _ { e x t } \left( x ^ { \mu } \right) \widetilde { U } _ { i n t } \left( x ^ { \mu } , x ^ { m } \right) \left( \partial _ { \mu } + i m v _ { \mu \alpha } \sigma ^ { \alpha } + i m v _ { \mu c } \sigma ^ { c } \right) \psi _ { a } ^ { r } \psi _ { r } ^ { i n t }
G = e ^ { - 2 | a | \epsilon } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \epsilon x _ { 0 } } \\ { \epsilon x _ { 0 } } & { \epsilon ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } } \end{array} \right] + e ^ { - 2 | a | t ^ { * } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { t ^ { * } x _ { 0 } } \\ { t ^ { * } x _ { 0 } } & { t ^ { * 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { t _ { \mathrm { ~ n ~ l ~ } } ^ { - 1 } \sim k _ { \perp } v _ { E } \sim \rho _ { e } v _ { \mathrm { t h } e } k _ { \perp } ^ { 2 } \bar { \varphi } \sim \Omega _ { e } ( k _ { \perp } \rho _ { e } ) ^ { 2 } \bar { \varphi } . } \end{array}
\sigma _ { z } \frac { 2 } { 3 \hbar \omega } \{ 6 J _ { 0 } ( K _ { y 2 } ) J _ { 1 } ( K _ { y 1 } ) [ t _ { 2 } J _ { 1 } ( K _ { x 1 } ) J _ { 1 } ( K _ { x 2 } ) ( t _ { 1 } \cos ( q _ { x } b ) - t _ { 3 } \cos ( q _ { y } b ) ) \cos ( \varphi _ { x 2 } - \varphi _ { y 1 } ) + ( t _ { 1 } ^ { 2 } - t _ { 3 } ^ { 2 } )
{ \cal L } _ { S _ { a } C Z W } = + \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \frac { \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } { \cos \theta _ { W } } ( U _ { a 1 } ^ { S } \sin \beta - U _ { a 2 } ^ { S } \cos \beta ) Z ^ { \mu } W _ { \mu } ^ { + } C ^ { - } S _ { a } + \mathrm { h . c . } ;
\begin{array} { r } { p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( r ) = \int _ { r } ^ { \infty } \Theta ( \tilde { r } ) \frac { \partial p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( \tilde { r } ) } { \partial \tilde { r } } \, d \tilde { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } [ _ { 0 } ^ { C } \mathcal { D } _ { \theta } ^ { \beta } f ( \theta ) ] } & { = \mathcal { M } [ _ { 0 } \mathcal { D } _ { \theta } ^ { - ( n - \beta ) } h ( \theta ) ] } \\ & { = \frac { 1 - J ( s ) - ( n - \beta ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } H ( J ( s ) + ( n + \beta ) ) } \\ & { = \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) - n + \beta ) ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } \bigg \{ \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( 1 - ( J ( s ) + n - \beta ) + k ) } { \Gamma ( 1 - ( J ( s ) + n - \beta ) ) } \bigg [ ( D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - k - 1 } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { ( J ( s ) + n - \beta ) - k - 1 } \bigg ] _ { 0 } ^ { \infty } } \\ & { + \frac { \Gamma ( 1 - ( J ( s ) + n - \beta ) + n ) } { \Gamma ( J ( s ) + n - \beta - n ) } M ( ( J ( s ) + n - \beta ) - n ) \bigg \} } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) - n + \beta + k ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } \bigg [ ( D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - k - 1 } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) + n - \beta - k - 1 } \bigg ] _ { 0 } ^ { \infty } } \\ & { + \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) - \beta ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } M ( J ( s ) - \beta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { k + 1 } } & { { } = \frac { q _ { k } + \sigma ( A \widetilde { x } _ { k } - y ) } { 1 + \sigma } , } \\ { x _ { k + 1 } } & { { } = \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ x ~ } _ { R , \lambda \tau } \left( x _ { k } - \tau A ^ { * } q _ { k + 1 } \right) , } \\ { \widetilde { x } _ { k + 1 } } & { { } = x _ { k + 1 } + \alpha ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \psi } = \int _ { x _ { \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { \mathrm { m a x } } } \psi ( s ) d s = ( x _ { \mathrm { m a x } } - x _ { \mathrm { m i n } } ) + c \left( a + b \right) \, . } \end{array}
\textstyle | \Psi \rangle : = \sum _ { s _ { 1 } , \dotsc , s _ { L } } \langle 0 | \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } \hat { A } _ { 2 } ^ { s _ { 2 } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } | 0 \rangle \, | s _ { 1 } , s _ { 2 } , \dotsc , s _ { L } \rangle \quad \in \ ( \mathbb { C } ^ { d } ) ^ { \otimes L } .
k _ { \mathrm { V D E } } ^ { \mathrm { l i g h t / d a r k } } = k _ { \mathrm { V D E , f } } ^ { \mathrm { l i g h t / d a r k } } + k _ { \mathrm { V D E , b } } ^ { \mathrm { l i g h t / d a r k } }
\operatorname { w e a k } = ( i \boldsymbol { k } + \nabla ) \times \tilde { E } _ { z } \cdot \frac { 1 } { \mu } \cdot ( - i \boldsymbol { k } + \nabla ) \times E _ { z } - \tilde { E } _ { z } \frac { \tilde { \mathcal { \varepsilon } } \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } E _ { z } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 1 } } } & { { } = \frac { \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { x _ { 1 } } , } \\ { \frac { \partial \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 2 } } } & { { } = 0 . } \end{array}
{ { b } _ { \operatorname* { m i n } } } = \operatorname* { m a x } ( \frac { { { q } _ { \alpha } } { { q } _ { \beta } } } { 4 \pi { { \varepsilon } _ { 0 } } \mu { { u } ^ { 2 } } } , \ \frac { { { \lambda } _ { d B } } } { 4 \pi } )
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } \quad p _ { 1 } + p _ { 2 } \quad \textrm { s u c h t h a t } } \\ & { \mathbf { C 1 } : p _ { 1 } \geq 0 } \\ & { \mathbf { C 2 } : p _ { 2 } \geq 0 } \\ & { \mathbf { C 3 } : \frac { p _ { 1 } \mid h _ { 1 } + \mathbf { f } ^ { T } \mathbf { \Phi } \mathbf { g } _ { 1 } \mid ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { j } } \| \mathbf { h } _ { \mathrm { j } } ^ { T } + \mathbf { f } ^ { T } \mathbf { \Phi } \mathbf { G } _ { \mathrm { j } } \| ^ { 2 } + p _ { 2 } \mid h _ { 2 } + \mathbf { f } ^ { T } \mathbf { \Phi } \mathbf { g } _ { 2 } \mid ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } \geq T _ { 1 } } \\ & { \mathbf { C 4 } : \frac { p _ { 2 } \mid h _ { 2 } + \mathbf { f } ^ { T } \mathbf { \Phi } \mathbf { g } _ { 2 } \mid ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { j } } \| \mathbf { h } _ { \mathrm { j } } + \mathbf { f } ^ { T } \mathbf { \Phi } \mathbf { G } _ { \mathrm { j } } \| ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } \geq T _ { 2 } } \\ & { \mathbf { C 5 } : 0 \leq \beta _ { n } \leq 1 , \; n = 1 , \cdots , N } \\ & { \mathbf { C 6 } : 0 \leq \theta _ { n } \leq 2 \pi , \; n = 1 , \cdots , N } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi ( \sqrt { \gamma } ) = \tan ^ { - 1 } \left( \sqrt { \gamma } \right) - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { \gamma } } \right) + \phi _ { 0 } , } \\ { \phi ( - \sqrt { \gamma } ) = \tan ^ { - 1 } \left( - \sqrt { \gamma } \right) - \tan ^ { - 1 } \left( - \frac { 1 } { \sqrt { \gamma } } \right) + \phi _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 2 } ( t , \delta , \Omega ) = } & { - \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 \Gamma \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) } \sum _ { l = 1 } ^ { N } \left( \prod _ { k = l + 1 } ^ { N } \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } \tau _ { k } \right) \right) } \\ & { \times \exp \left( - \mathrm { i } \delta \left( t - t _ { l } - \tau _ { l } \right) \right) } \\ & { \times \left( 1 - \exp \left( - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \tau _ { l } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n + 1 , k } } & { { } = P _ { n , k } + \frac { \beta } { \operatorname* { m a x } \left| O _ { n , k } \right| ^ { 2 } } O _ { n } ^ { * } \left( \psi _ { k } - P _ { n , k } \cdot O _ { n } \right) } \\ { O _ { n + 1 , k } } & { { } = \frac { \gamma } { \gamma + 2 \mu \beta } O _ { n , k } + \frac { \beta P _ { n , k } ^ { * } \left( \psi _ { k } - P _ { n , k } \cdot O _ { n , k } \right) + \beta \mu \left( O _ { n , k + 1 } + O _ { n , k - 1 } \right) } { \gamma + 2 \mu \beta } , } \end{array}
\boldsymbol { u } _ { \mathrm { t } } ( \boldsymbol { x } , t ) = 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N } \tilde { u } _ { n } \cos \left( \boldsymbol { k } _ { n } \cdot \left( \boldsymbol { x } - t \boldsymbol { u } _ { \mathrm { c } } \right) + \psi _ { n } + \omega _ { n } t \right) \boldsymbol { \sigma } _ { n } ,
{ v _ { R } ^ { 3 } } - { \frac { 1 } { 3 } } \left( { 1 + { \frac { 8 T _ { R } } { p _ { R } } } } \right) { v _ { R } ^ { 2 } } + { \frac { 3 } { p _ { R } } } v _ { R } - { \frac { 1 } { p _ { R } } } = 0
\left[ \begin{array} { l } { \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ f ] _ { 1 } ^ { - } } \\ { \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ f ] _ { 1 } ^ { + } } \\ { \vdots } \\ { \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ f ] _ { N } ^ { - } } \\ { \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ f ] _ { N } ^ { + } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { k ^ { n } \cos ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } { \sin ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } } & { } & { } & { } & { } & { \frac { k ^ { n } } { \sin ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \alpha L } } \\ { \frac { k ^ { n } } { \sin ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha L } } & { } & { } & { } & { } & { - \frac { k ^ { n } \cos ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } { \sin ( k ^ { n } \ell _ { N ( N + 1 ) } ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f _ { 1 } ^ { - } } \\ { f _ { 1 } ^ { + } } \\ { \vdots } \\ { f _ { N } ^ { - } } \\ { f _ { N } ^ { + } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \| u - u _ { N } \| _ { L ^ { q } ( \Omega , \mathbb { P } ; V ) } } & { \le C 2 ^ { - N t } \quad \left\{ \begin{array} { l l } & { \mathrm { f o r ~ q \in [ 1 , \overline { ~ } q ) ~ i f ~ p = 1 ~ , } } \\ & { \mathrm { f o r ~ a n y ~ q \in ~ [ 1 , \infty ) ~ i f ~ p > 1 ~ , } } \end{array} \right. } \\ { \| u _ { N } - u _ { N , h } \| _ { L ^ { q } ( \Omega , \mathbb { P } ; V ) } } & { \le C h ^ { r } \, \qquad \left\{ \begin{array} { l l } & { \mathrm { f o r ~ q \in [ 1 , \overline { ~ } q ) ~ i f ~ p = 1 ~ , } } \\ & { \mathrm { f o r ~ a n y ~ q \in ~ [ 1 , \infty ) ~ i f ~ p > 1 ~ , } } \end{array} \right. } \\ { \| u _ { N } - u _ { N , h } \| _ { L ^ { q } ( \Omega , \mathbb { P } ; H ) } } & { \le C h ^ { 2 r } \quad \; \; \; \left\{ \begin{array} { l l } & { \mathrm { f o r ~ q \in [ 1 , \overline { ~ } q ) ~ i f ~ p = 1 ~ , } } \\ & { \mathrm { f o r ~ a n y ~ q \in ~ [ 1 , \infty ) ~ i f ~ p > 1 ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \Delta C _ { t } ^ { * } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \beta _ { t } \frac { S _ { t - 1 } ^ { * } } { N } I _ { t - 1 } ^ { * } ) } \\ { \Delta R c _ { t } ^ { * } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \gamma _ { t } I _ { t - 1 } ^ { * } ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ t ~ = ~ 1 ~ , ~ 2 ~ , ~ \dots ~ , ~ T ~ } } \\ { \Delta \bar { D } _ { t } ^ { w } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \sum _ { s = t - 6 } ^ { t } \nu _ { s } I _ { s - 1 } ^ { * } ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ t ~ = ~ 7 ~ k ~ a ~ n ~ d ~ k ~ = ~ 1 ~ , ~ 2 ~ , ~ \dots ~ } } \\ { \Delta C _ { t } ^ { * } = - \Delta S _ { t } ^ { * } } & { = } & { \Delta I _ { t } ^ { * } + \Delta R c _ { t } ^ { * } + \Delta \bar { D } _ { t } ^ { d } } \end{array}
- \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } \int \int d ^ { 3 } x \nabla _ { \perp } \boldsymbol { \cdot } F _ { e } ( \textbf { x } ) \left( \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } ( \textbf { x } ) } \nabla _ { \perp } \Psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) \hat { \chi } ( \textbf { x } ) \right) d t d \Omega _ { g y } ,
\begin{array} { r l } { { T } _ { 1 } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l l } { C _ { T } \mathrm { e } ^ { z } - b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { \gamma } ( T _ { b } - 1 ) \big \{ ( \nu - \gamma ) z + \frac { T _ { b } - 1 } { 2 } ( 2 \nu - \gamma ) \mathrm { e } ^ { z } \big \} \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { { T } _ { 1 + } } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \\ { { Y } _ { 1 } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l l } { C _ { Y } \mathrm { e } ^ { L e z } } & { ( z < 0 ) } \\ { 0 } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \end{array}
\rho _ { \mu \nu } ^ { \mathbf { k } _ { \mu } \mathbf { k } _ { \nu } } ( \mathbf { G } ) = \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { \mathbf { r } } e ^ { - i ( \mathbf { G } - \mathbf { k } _ { \mu \nu } ) \cdot \mathbf { r } } \phi _ { \mu } ^ { \mathbf { k } _ { \mu } } ( \mathbf { r } ) \phi _ { \nu } ^ { \mathbf { k } _ { \nu } } ( \mathbf { r } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { a d } _ { ( x ^ { * } ) ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } } ^ { \mathfrak { g } } ( x ) - \bigl ( \mathrm { a d } _ { x ^ { * } } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ^ { p } ( x ) } & { = \big [ a _ { 0 } + \gamma x ^ { * } + \tilde { \lambda } x , x \big ] _ { \mathfrak { g } } - \bigl ( \mathrm { a d } _ { x ^ { * } } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ^ { p - 1 } ( - \lambda x ) } \\ & { = - \lambda \gamma x - ( - 1 ) ^ { p } \lambda ^ { p } x = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D + C ( z E - A ) ^ { - 1 } B } & { = C T ( z S E T - S A T ) ^ { - 1 } S B } \\ & { = D + \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 } } & { C _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { ( z I _ { r } - A _ { f } ) ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { ( z N - I _ { n - r } ) ^ { - 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { B _ { 1 } } \\ { B _ { 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
{ i _ { c } } _ { 2 } = { i _ { c } } _ { 2 } ^ { \prime } , \quad { i _ { c } } _ { 3 } = { i _ { c } } _ { 2 } ^ { \prime \prime } , \quad { i _ { c } } _ { 3 } ^ { \prime } = { i _ { c } } _ { 3 } ^ { \prime \prime } , \quad { i _ { b } } _ { 3 } ^ { \prime } = { i _ { b } } _ { 3 } ^ { \prime \prime } , \quad { i _ { b } } _ { 1 } ^ { \prime } = { i _ { b } } _ { 3 } ^ { \prime \prime \prime } , \quad { i _ { b } } _ { 1 } ^ { \prime \prime } = { i _ { b } } _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime } ,