harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { P _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial P } { \partial Z } = \left[ \frac { ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) } { ( h - R _ { 0 } ) ^ { m + 1 } ( h ^ { 2 } ( m ^ { 2 } + 3 m + 2 ) + 2 R _ { 0 } h ( m + 2 ) + 2 R _ { 0 } ^ { 2 } ) } \right] ^ { n } | Q - U _ { s } ( Z ) h ^ { 2 } | ^ { n - 1 } ( Q - U _ { s } ( Z ) h ^ { 2 } ) ~ ~ ~ ~ } \\ { = \left[ \frac { ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) } { h ^ { m + 3 } ( 1 - \nu ) ^ { m + 1 } ( ( m ^ { 2 } + 3 m + 2 ) + 2 \nu ( m + 1 ) + 2 \nu ^ { 2 } ) } \right] ^ { n } | Q - U _ { s } ( Z ) h ^ { 2 } | ^ { n - 1 } ( Q - U _ { s } ( Z ) h ^ { 2 } ) . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \gamma \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left\langle x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \right\rangle } \\ { \leq \ } & { - \gamma \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left( \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) - \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ) \right) - \frac { \gamma \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 } \| x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } - x ( t ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d T _ { c v } } { d t } } & { = \, \frac { 1 } { m _ { c v } c _ { p _ { c v } } } \left( \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { i } } \Dot { m } _ { i n , i } ( h _ { i n , i } - h _ { o u t , i } ) \right] + \Dot { Q } + \Dot { W } _ { e l } \right. } \\ & { \, \left. - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { i } } \left[ h _ { o u t , \; i } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { j } } r _ { i , \; j } \right] \right) } \end{array}
\phi ^ { * } ( t ) = A e ^ { - \delta t ^ { * } } \cos ( \zeta + \omega _ { 0 } t ^ { * } ) \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \delta = \frac { 2 } { \pi } \frac { 1 } { S t } \frac { T _ { \Omega } ^ { * } } { J _ { q } ^ { * } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \omega _ { 0 } = \left( \frac { \pi } { 4 } \frac { 1 } { S t } \frac { T _ { i } ^ { * } } { F _ { q } ^ { * } F _ { p } ^ { * } J _ { q } ^ { * } } - \delta ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l r } { G ( w ; \rho _ { A } ) = \frac { a _ { 0 } } { 2 } } & { + } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \bigg \{ \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \tilde { f } ( m ) } { m } C _ { c o s } ( n , m ) \cos { \bigg ( \frac { 2 \pi n w } { T } \bigg ) } } \\ & { + } & { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \tilde { f } ( m ) } { m } C _ { s i n } ( n , m ) \sin { \bigg ( \frac { 2 \pi n w } { T } \bigg ) } \bigg \} , } \end{array}
\Delta _ { S } ( q , z ^ { \prime } q ^ { \prime } ) = \exp \left( - \int _ { ( z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } ^ { q ^ { 2 } } \frac { d k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \frac { { \overline { { \alpha } } } _ { S } } { 1 - z } \right) .
\tilde { Z } ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } ( \varrho \, ; J ) = \int d \mu _ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } ( \phi ) e ^ { - \frac { 1 } { \hbar } \bigl ( \tilde { L } ^ { \Lambda _ { 0 } , \Lambda _ { 0 } } ( \varrho \, ; \phi ) + \tilde { I } ^ { \Lambda _ { 0 } , \Lambda _ { 0 } } ( \varrho ) \bigr ) + \frac { 1 } { \hbar } \langle \phi , J \rangle } .
\begin{array} { r } { \mathrm { P } ^ { 2 } \leq 3 \left[ \frac { 9 } { 8 } \frac { \pi ^ { 2 } } { \ln ( 2 0 ) } - 3 \right] \sigma ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { P _ { 1 } P _ { 2 } } { A P _ { 1 } } = \frac { P _ { 2 } P _ { 3 } } { P _ { 1 } P _ { 2 } } = \cdots = \frac { A B } { P _ { p - 1 } B } } \\ & { } & { \Leftrightarrow \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } = \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } = \cdots = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { p } a _ { k } } { a _ { p } } . } \end{array}
U = \left[ \begin{array} { c c c c } { { s , } } & { { c \cos { \theta } , } } & { { i c \sin \theta \cos \zeta , } } & { { c \sin \theta \sin \zeta } } \\ { { - c , } } & { { s \cos \theta , } } & { { i s \sin \theta \cos \zeta , } } & { { s \sin \theta \sin \zeta } } \\ { { 0 , } } & { { - \sin \theta , } } & { { i \cos \theta \cos \zeta , } } & { { \cos \theta \sin \zeta } } \\ { { 0 , } } & { { 0 , } } & { { - i \sin \zeta , } } & { { \cos \zeta } } \end{array} \right] ,
\frac { { \partial } ^ { 2 } { \varphi } } { { \partial } { \tau ^ { 2 } } } + \frac { { \partial } ^ { 2 } { \varphi } } { { \partial } r ^ { 2 } } + \frac { 2 } { r } \frac { { \partial } { \varphi } } { { \partial } r } = \frac { { \partial } V } { { \partial } { \varphi } } \; \; \; ,
{ \cal E } [ A _ { 0 } , A _ { 1 } = 0 ] = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi R } d y \left[ \bigg | \frac { d A _ { 0 } } { d y } \bigg | ^ { 2 } + \frac { \Lambda ^ { 4 } } { g ^ { 2 } } \right] \geq \frac { 2 \pi R \Lambda ^ { 4 } } { g ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { d \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } ( \alpha ; \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { \tau _ { \mathrm { m } } } F _ { n - 1 } [ \alpha ; \eta _ { \mathrm { i i } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ; n ) ] d \tau _ { 1 } . } \end{array}
\vec { c } = \frac { 1 } { \rho \frac { \pi h R ^ { 2 } } { 3 } } \int _ { 0 } ^ { h } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { z R } { h } } \rho \, \left( \begin{array} { l } { r \cos \theta } \\ { r \sin \theta } \\ { z } \end{array} \right) \, r \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } z = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { 3 } { 4 } h } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \textbf { R } = \left[ \begin{array} { l l } { R _ { x x } } & { R _ { x y } } \\ { R _ { y x } } & { R _ { y y } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \, \, \overline { { { u ^ { \, 2 } } } } - \overline { { { u ^ { \prime } } } } ^ { \, 2 } } & { \overline { { { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } } } - \overline { { { u ^ { \prime } } } } \, \overline { { { v ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } } } - \overline { { { u ^ { \prime } } } } \, \overline { { { v ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { v ^ { \, 2 } } } } - \overline { { { v ^ { \prime } } } } ^ { \, 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { l } { { S _ { 2 } = \int { d x ( - 4 \partial _ { \alpha \beta } h _ { \beta \kappa } \partial _ { \kappa \lambda } \partial _ { \lambda \mu } \partial _ { \mu \nu } h _ { \alpha \nu } } - 2 \partial _ { \alpha \beta } h _ { \beta \mu } \partial _ { \kappa \lambda } \partial _ { \kappa \lambda } \partial _ { \mu \nu } h _ { \alpha \nu } } } \\ { { - s ( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \kappa \lambda } \partial _ { \lambda \mu } h _ { \alpha \beta } \partial _ { \mu \nu } \partial _ { \nu \kappa } h _ { \alpha \beta } - \frac { 1 } { 4 } \partial _ { \kappa \lambda } \partial _ { \kappa \lambda } h _ { \alpha \beta } \partial _ { \mu \nu } \partial _ { \mu \nu } h _ { \alpha \beta } ) ) } } \end{array}
\left[ { \bf V } _ { \mathrm { ~ N ~ M ~ O ~ } } \right] ^ { 2 } = v _ { 0 } ^ { 2 } { \bf H } \left[ \frac { { \bf C } _ { 0 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \right] { \bf H } ^ { T } \, ,
\begin{array} { r l } { \left| \widetilde { \mathcal { K } } _ { g } ( f ) ( \varphi ) \right| } & { \leqslant C \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | | \varphi - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \ \operatorname* { s u p } _ { \varphi \in \mathbb { T } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } | \varphi - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
u = \frac { 1 } { 8 6 4 } \frac { ( E _ { 4 } \widetilde { E } _ { 4 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } - E _ { 6 } \widetilde { E } _ { 6 } } { ( E _ { 4 } \widetilde { E } _ { 4 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } , \, \, v = ( 8 6 4 ) ^ { 2 } \frac { \eta ^ { 2 4 } \widetilde { \eta } ^ { 2 4 } } { ( E _ { 4 } \widetilde { E } _ { 4 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } - E _ { 6 } \widetilde { E } _ { 6 } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } u + \partial _ { y } v } & { { } = 0 , } \\ { u \partial _ { x } u + v \partial _ { y } u } & { { } = - \partial _ { x } p + \delta ^ { 2 } \partial _ { x x } u + \partial _ { y y } u - 2 k \left( \partial _ { y } u \partial _ { x y } u + \delta ^ { 2 } \partial _ { x } v \partial _ { x y } u \right. } \\ { u \partial _ { x } v + v \partial _ { y } v } & { { } = - \delta ^ { - 2 } \partial _ { y } p + \delta ^ { 2 } \partial _ { x x } v + \partial _ { y y } v - 2 k \left( \delta ^ { - 2 } \partial _ { y } u \partial _ { y y } u - 4 \partial _ { x } u \partial _ { y y } v \right. } \end{array}
c _ { k \mathbf { m } } ^ { + } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = c _ { \mathbf { m } } ^ { - } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \qquad k \in \mathbb { N } ^ { * }
| \alpha _ { k } + \beta _ { k } | ^ { 2 } | \alpha _ { p } + \beta _ { p } | ^ { 2 } \simeq \biggl ( 2 ^ { 4 \rho - 6 } ( \rho - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 4 } \frac { \Gamma ( \rho ) ^ { 4 } } { \Gamma ( 3 / 4 ) ^ { 4 } } \sin ^ { 4 } { \frac { \pi } { 8 } } \biggr ) \mu ^ { - 1 } | k \eta _ { 1 } | ^ { - 2 \nu } | p \eta _ { 1 } | ^ { - 2 \rho } .
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( t ) } & { { } = } & { \lambda ( t ) [ m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) ] , } \\ { \dot { \lambda } ( t ) } & { { } = } & { \lambda ( t ) [ 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) ] - b ( \lambda ( t ) - \lambda _ { 0 } ) } \\ { p _ { m } } & { { } = } & { \frac { m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) } { 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) } , } \\ { p _ { \lambda } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { \Gamma ( z ) } } } & { { } = z e ^ { \gamma z } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 + { \frac { z } { n } } \right) e ^ { - { \frac { z } { n } } } } \end{array}
\frac { ( \rho _ { 0 } \vec { u } ) ^ { k + 1 } - \widehat { \rho _ { 0 } \vec { u } } } { \Delta t } = - \rho _ { 0 } \nabla \left( \alpha _ { 0 } { p ^ { \prime } } ^ { k + 1 } - \alpha _ { 0 } { p ^ { \prime } } ^ { k } \right) = - \rho _ { 0 } \nabla \left( \alpha _ { 0 } \delta p \right) ,
\begin{array} { r } { f _ { k } ^ { \theta } = \left\{ \begin{array} { l l l } { \mathcal { A } _ { L } ^ { \theta } ( z ) } & { k = L , } \\ { ( \sigma \circ \mathcal { A } _ { k } ^ { \theta } ) ( z ) } & { 1 \leq k < L . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q \left( F ^ { p } , F ^ { n - p + 1 } \right) } & { { } = 0 , } \\ { Q \left( C \varphi , { \bar { \varphi } } \right) } & { { } > 0 } & { } & { { } { \mathrm { ~ f o r ~ } } \varphi \neq 0 , } \end{array}
r ( t ) = \frac { \sum _ { i , j } ( P _ { i j } ( t ) - \bar { P } ( t ) ) ( P _ { i j } ( 0 ) - \bar { P } ( 0 ) ) } { \sqrt { \sum _ { i , j } ( P _ { i j } ( t ) - \bar { P } ( t ) ) ^ { 2 } ( P _ { i j } ( 0 ) - \bar { P } ( 0 ) ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { U ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] - \beta \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] - \Omega ^ { ( 1 ) } U ^ { ( 1 ) } \right) } \\ & { } & { - \beta \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] - \Omega ^ { ( 2 ) } U ^ { ( 0 ) } \right) } \\ & { } & { + \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] - \Omega ^ { ( 1 ) } \Omega ^ { ( 1 ) } U ^ { ( 0 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { \prime } = } & { \; - \beta S ( I + \alpha Y ) + \delta \varepsilon P , } \\ { I ^ { \prime } = } & { \; \beta S ( I + \alpha Y ) - \gamma _ { 1 } I , } \\ { T ^ { \prime } = } & { \; \gamma _ { 1 } I - \varepsilon T , } \\ { P ^ { \prime } = } & { \; \delta \varepsilon + \varepsilon T ( 1 - \delta ) - \nu \beta P ( I + \alpha Y ) - \delta \varepsilon ( S + I + 2 P + Y ) , } \\ { Y ^ { \prime } = } & { \; \nu \beta P ( I + \alpha Y ) - \gamma _ { 2 } Y . } \end{array}
{ \ddot { t } } + { \frac { 2 } { x } } \, { \dot { x } } \, { \dot { t } } = 0 , \; { \ddot { x } } + x \, { \dot { t } } ^ { 2 } = 0 , \; { \ddot { y } } = 0 , \; { \ddot { z } } = 0
\mathbf H = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \mathbf D \mathbf \Lambda _ { S } ^ { \prime \prime } ( \mathbf \Lambda _ { l } ^ { \prime } ) ^ { - 1 } \mathbf D ^ { T } + \mathbf \Lambda _ { V } ^ { \prime \prime } \mathbf \Lambda _ { U } \, ,
P _ { 1 2 } \left( p \right) G ^ { 2 1 } \left( p \right) - P _ { 2 1 } \left( p \right) G ^ { 1 2 } \left( p \right) = P _ { 1 2 } \left( p \right) \theta \left( p ^ { 0 } \right) - P _ { 2 1 } \left( p \right) \theta \left( - p ^ { 0 } \right) + \left[ P _ { 1 2 } \left( p \right) - P _ { 2 1 } \left( p \right) \right] f \left( p \right)
\begin{array} { r l r } { \mathcal { O } } & { = } & { \mathcal { M } _ { \bf u } \mathcal { U } ( \tau _ { c } ) + \mathcal { M } _ { \bf d } \mathcal { U } ( 0 ) ) } \\ & { = } & { \mathcal { M } _ { \bf u } \left[ \mathcal { L } _ { \bf d } + e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau _ { c } } \right] + \mathcal { M } _ { \bf d } \left[ e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau _ { c } } + \mathcal { L } _ { \bf u } \right] } \\ & { = } & { \mathcal { C } _ { \bf u d } + \mathcal { C } _ { \bf u u } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau _ { c } } + \mathcal { C } _ { \bf d d } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau _ { c } } + \mathcal { C } _ { \bf d u } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) } & { = } & { \sum _ { c } \chi _ { \mathrm { D U N E } , c } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) \; , } \\ { \chi _ { \mathrm { T 2 H K } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) } & { = } & { \sum _ { c } \chi _ { \mathrm { T 2 H K } , c } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) \; , } \\ { \chi _ { \mathrm { D U N E } + \mathrm { T 2 H K } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) } & { = } & { \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) + \chi _ { \mathrm { T 2 H K } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal G } } & { = } & { \{ v \in { \cal P } ( \mathbb { X } \times \mathbb { Y } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } \times \mathbb { U } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } ) : } \\ & { } & { v ( B \times \mathbb { U } ) = \int _ { x , u } \mathbb { P } ( z _ { t + 1 } \in B | z , u ) v ( d z , d u ) , B \in { \cal B } ( \mathbb { X } \times \mathbb { Y } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } \times \mathbb { U } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } ) \} } \end{array}
\left| I _ { x } \cap \mathcal { N } \right| \leq \sum _ { \substack { m \geq 2 \, j \geq 1 \, \nu _ { n } \geq \frac { x } { 2 } } } | \Omega _ { m , n , j } | \leq C ( \varepsilon ) \left( \zeta _ { \rho } ( \sigma _ { \infty } ) - 1 \right) \sum _ { \nu _ { n } \geq \frac { x } { 2 } } \nu _ { n } ^ { - \sigma _ { \infty } } \leq C ( \varepsilon ) \left( \zeta _ { \rho } ( \sigma _ { \infty } ) - 1 \right) \zeta _ { \rho } \left( \frac { \sigma _ { \infty } } { 4 } \right) x ^ { - \frac { 3 \sigma _ { \infty } } { 4 } } .
\Big [ { \frac { M \omega _ { D } } { 2 } } \Big ( - 1 + { \sqrt { 1 + { \frac { ( D - 1 ) Q ^ { 2 } } { 2 ( D - 2 ) M ^ { 2 } } } } } \Big ) \Big ] ^ { \frac { 1 } { D - 2 } } \le a \le \infty .
\begin{array} { r l } { \mathcal F } & { = - 2 \pi ( K + K ^ { \prime } ) \sum _ { m } \left( \sigma _ { m } - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { m } ^ { 2 } \right) \varphi ( z _ { m } ) } \\ & { \quad + \left( K + K ^ { \prime } + 2 K _ { \varphi } \right) \int d ^ { 2 } z | \partial \varphi | ^ { 2 } + \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { i } ^ { 2 } } & { = ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } \underline { { ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) } } \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \underline { { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } \\ & { = \underline { { ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } } } \\ & { = e . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 1 , 2 } ( V _ { \mathrm { t } } ) } & { = \sqrt { \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } ( 0 ) + T _ { 1 , 2 } ( 2 V _ { 0 } V _ { \mathrm { t } } - V _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } ) } } \\ & { \approx \omega _ { 1 , 2 } ( 0 ) + K _ { 1 , 2 } ( 2 V _ { 0 } V _ { \mathrm { t } } - V _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\vec { F } = \left( \begin{array} { l } { r _ { 0 } } \\ { 0 } \\ { 2 z _ { 0 } - H } \end{array} \right) + \frac { v _ { z } } { g } \left( \begin{array} { l } { v _ { x } } \\ { v _ { y } } \\ { v _ { z } } \end{array} \right) .
\Psi _ { 0 } ( \mathbf { r } ) = \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \mathbf { r } ) \, \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { v } } { \frac { ( x - x _ { j } ) + i ( y - y _ { j } ) } { \sqrt { ( x - x _ { j } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { j } ) ^ { 2 } } } }
\delta _ { 1 } = \operatorname* { m a x } \left( C _ { \mathrm { m a x } } \log ^ { 2 } ( 1 / \epsilon ) , C _ { 4 } , C _ { 5 } , \frac { \operatorname* { m a x } ( 5 9 0 0 , \alpha , 7 ( d + 1 1 ) , \theta ) } { b } \right) ,
\begin{array} { r l } { [ E \cdot \nabla _ { v } , \langle v \rangle ^ { m } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ] F _ { + } } & { = E \cdot \nabla _ { v } ( \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } F _ { + } ) - \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } E \cdot \nabla _ { v } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } F _ { + } } \\ & { \quad \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } E \cdot \nabla _ { v } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } F _ { + } - \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( E \cdot \nabla _ { v } F _ { + } ) } \\ & { = v \cdot E F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , s ) } + \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \nabla _ { v } \cdot ( E \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } F _ { + } - \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( E F _ { + } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ Q \left( \frac { v } { \sigma } \right) \right] ^ { 2 } d v } & { = \frac { 2 \sqrt { 2 } \sigma - 2 \sigma ( 1 - 2 Q ( \sqrt { 2 } / \sigma ) ) + 4 \sqrt { \pi } Q ^ { 2 } ( 1 / \sigma ) - 4 \sqrt { 2 } \sigma e ^ { - 1 / 2 \sigma ^ { 2 } } Q ( 1 / \sigma ) } { 4 \sqrt { \pi } } } \\ & { = \frac { ( \sqrt { 2 } - 1 ) \sigma } { 2 \sqrt { \pi } } + \mathcal { O } ( \exp ( - \gamma ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { R } ( N , i ) } & { \leq \frac { N \omega \gamma _ { N } } { 2 ( 1 - \gamma _ { N } ) } \left( \frac { 2 p _ { N } } { 1 - 2 p _ { N } } - \frac { 1 - x _ { N } } { x _ { N } } \right) } \\ & { \leq \frac { N \omega \gamma _ { N } } { 2 ( 1 - \gamma _ { N } ) ( 1 - 2 p _ { N } ) x _ { N } } \left( x _ { N } + 2 p _ { N } - 1 \right) } \\ & { \leq \frac { N \omega \gamma _ { N } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - \gamma _ { N } ) ( 1 - 2 p _ { N } ) x _ { N } } \frac { 2 b _ { 0 } } { \delta _ { 0 } } \left( \frac { 2 d _ { 0 } } { \lambda _ { 0 } } - 1 \right) + \underset { N \to \infty } { o } ( N ^ { 1 - 2 \alpha } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbb { P } _ { \mathcal { F } } } & { ( \mathfrak { L } _ { \ell } ( 0 ) - \mathfrak { L } _ { \ell } ( t ) > a _ { \ell } ) \mathbf { 1 } ( E \cap D _ { n } ) \| _ { \infty } } \\ & { \le \exp \Big ( - \frac { a _ { \ell } ^ { 2 } } { 4 t } + \frac { 2 } { 3 } m _ { \ell } ^ { 3 / 2 } - \frac { 2 } { 3 } ( m _ { \ell } - a _ { \ell } ) ^ { 3 / 2 } + E ( \mathbf { a } , \mathbf { m } , t ) - n \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { 1 } ( \varphi ) = \frac { 1 } { \rho ( \varphi ) } b _ { 1 } ( \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \omega , \varphi ) ) , \quad d _ { 2 } ( \varphi , x ) = \frac { 1 } { \rho ( \varphi ) } { b } _ { 2 } ( \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \omega , \varphi ) , x ) , \quad d _ { 3 } ( \varphi , x , y ) = \frac { 1 } { \rho ( \varphi ) } b _ { 3 } ( \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \omega , \varphi ) , x , y ) , } \\ & { R _ { 2 } [ h ] = \frac { 1 } { \rho ( \varphi ) } \Phi _ { 2 } ^ { - 1 } R _ { 1 } \Phi _ { 2 } [ h ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \log \Big ( \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \kappa \in S _ { n } : \nu _ { n , \kappa } \in V _ { \delta } } e ^ { - \beta _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \kappa ( i ) - i | } \Big ) \leq \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { M } _ { 0 } } \{ - \theta \tilde { F } ( \mu ) - I ( \mu ) \} } \\ & { } & { = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in V _ { \delta } \cap \mathcal { M } } \{ - \theta F ( \mu ) - I ( \mu ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon _ { 1 } E _ { 1 , \xi } = \epsilon _ { 2 } E _ { 2 , \xi } } \\ { E _ { 1 , \eta } = E _ { 2 , \eta } } \\ { E _ { 1 , \tau } = E _ { 2 , \tau } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { n - j } ^ { ( n ) } | \xi ^ { j } | \le c _ { 1 } \left( \frac { \tau _ { 1 } ^ { \sigma } } { \sigma } + \frac { 1 } { 1 - \alpha } \operatorname* { m a x } _ { 2 \le k \le n } t _ { k } ^ { \alpha } t _ { k - 1 } ^ { \sigma - 2 } \tau _ { k } ^ { 2 - \alpha } \right) , \quad \mathrm { f o r } ~ 1 \le n \le N . } \end{array}
{ _ 3 F _ { 2 } } \left( \left. { - j , j + \alpha , \beta \atop 1 + \alpha , \beta + \epsilon } \right| 1 \right) = \frac { \Gamma ( 1 + \alpha ) } { \Gamma ( 1 + \alpha + j ) } \left\{ \delta _ { j 0 } + \epsilon \Gamma ( j ) \left[ \frac { ( 1 + \alpha - \beta ) _ { j } } { ( \beta ) _ { j } } - ( - 1 ) ^ { j } \right] \right\} + { \cal O } ( \epsilon ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { w _ { n + 1 } } & { = b ( n ) \left( x _ { n } ^ { \prime } - \alpha g _ { n } - x _ { n } \right) + a ( n + 1 ) ( x _ { n + 1 } - x ^ { * } ) } \\ & { = b ( n ) \left( x _ { n } ^ { \prime } - \alpha g _ { n } - x _ { n } \right) + ( a _ { 0 } + a _ { 1 } n + a _ { 1 } ) ( x _ { n } ^ { \prime } - \eta g _ { n } - x ^ { * } ) } \\ & { = w _ { n } + a _ { 1 } ( x _ { n } ^ { \prime } - x ^ { * } ) - ( \alpha b ( n ) + \eta a ( n + 1 ) ) g _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d K _ { h } } { d t } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left< \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { u } _ { h } \right> _ { \Omega _ { h } } } & { { } = - \left< \boldsymbol { u } _ { h } , \widetilde { C } _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } ) \boldsymbol { u } _ { h } \right> - \left< \boldsymbol { u } _ { h } , G _ { h } \boldsymbol { p } _ { h } \right> + \nu \left< \boldsymbol { u } _ { h } , D _ { h } \boldsymbol { u } _ { h } \right> } \end{array}
\begin{array} { c c l } { | \psi _ { \mathrm { p h o } } ^ { m } ( z _ { j } ) \rangle } & { = } & { \mathcal { F T } ^ { - 1 } \left[ \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { a } _ { p } | \psi ^ { m } \rangle \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt N } \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \alpha _ { p } ^ { m } e ^ { i 2 \pi z _ { j } p } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F } { \partial \alpha } } & { = 0 , } \\ { \implies \sin \alpha } & { = \frac { \mu _ { 0 } H _ { 0 } } { 2 M _ { 0 } \left( J + K \right) } , \quad \frac { \mu _ { 0 } H _ { 0 } } { 2 M _ { 0 } \left( J + K \right) } < 1 } \\ { \alpha } & { = \pi / 2 , \quad \frac { \mu _ { 0 } H _ { 0 } } { 2 M _ { 0 } \left( J + K \right) } \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( - \mathbb { I } _ { p \times p } , \mathbb { I } _ { ( M / 2 - p ) \times ( M / 2 - p ) } ) } \\ { \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \mathbb { I } _ { p \times p } , - \mathbb { I } _ { ( M / 2 - p ) \times ( M / 2 - p ) } ) } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}