harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , T ] } \| u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { r } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } ^ { 2 } } & { + \int _ { 0 } ^ { T } \| u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { r } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } d r } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { T } \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) ) \| _ { H } ^ { 2 } d r . } \end{array}
- \mathbf { D } = - { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 3 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( - x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { 3 } ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 3 } y _ { 3 } + x _ { 1 } y _ { 1 } )
\alpha ( q ^ { 2 } ) = \beta _ { s s } - \beta _ { s } - \frac { \beta _ { s s } \mu _ { s s } ^ { 2 } - \beta _ { s } \mu _ { s } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } + \frac { \beta _ { s s } \mu _ { s s } ^ { 4 } - \beta _ { s } \mu _ { s } ^ { 4 } } { q ^ { 4 } } - . . . .
\eta _ { j , \alpha } ^ { \ell } = \left( \sum _ { r = 1 } ^ { j - 1 } \mathsf { B } ( K _ { j - r } ( \cdot ) , K _ { r } ( \cdot ) ) + \mathsf { M } \sum _ { k = 2 } ^ { j - 1 } D K _ { j - k + 1 } ( \cdot ) [ R _ { k } ( \cdot ) ] \right) _ { \alpha } ^ { \ell } .
\begin{array} { r } { \vartheta _ { 0 } ( D ) ( \textbf { I } ) = \sum _ { k = k _ { 0 } } ^ { 3 } \vartheta _ { 0 } ( D ) \, Q _ { k } ^ { 0 } ( D ) \left[ ( Q _ { k } ^ { u _ { 1 } } \circ T _ { b _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 1 } } ) ( f _ { 1 } ) \, \prod _ { \ell = 2 } ^ { N } ( P _ { k } ^ { u _ { \ell } } \circ T _ { b _ { \ell , k } } ^ { \varphi _ { \ell } } ) ( f _ { \ell } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | | G ^ { h , m } ( t , u ) - G ^ { h , m } ( s , v ) | | _ { H } } \\ & { = | \psi ^ { h , m } ( t , \langle u , e _ { 1 } \rangle _ { H } , . . . , \langle u , e _ { N _ { h } } \rangle _ { H } ) - \psi ^ { h , m } ( s , \langle v , e _ { 1 } \rangle _ { H } , . . . , \langle v , e _ { N _ { h } } \rangle _ { H } ) | } \\ & { \leq L _ { h } \left( | t - s | + | ( \langle u - v , e _ { 1 } \rangle _ { H } , . . . , \langle u - v , e _ { N _ { h } } \rangle _ { H } ) | \right) } \\ & { \leq L _ { h } \left( | t - s | + | | u - v | | _ { H } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { u } = \pm \frac { 1 } { I _ { 1 } } \sqrt { [ 1 - u ] [ ( m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } ) u + m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } ] } . } \end{array}
V _ { + } = { \frac { - e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 } { r } } + { \frac { h ^ { 2 } ( l + 1 ) ( l + 2 ) } { 2 m } } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } + { \frac { e ^ { 4 } m } { 3 2 \pi ^ { 2 } h ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } ( l + 1 ) ^ { 2 } } }
\vec { w } _ { H _ { \mathrm { o b s } } } = \left( \begin{array} { l } { w _ { u } } \\ { w _ { v } } \\ { 0 } \end{array} \right) , \ \vec { \zeta } = \left( \begin{array} { l } { \cos \psi \cos \phi } \\ { \cos \psi \sin \phi } \\ { \sin \psi } \end{array} \right) ,
\boldsymbol { \sigma } ^ { a } = - \rho _ { 0 } \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \langle \mathbf { r } _ { i } \otimes \mathbf { F } _ { i } \rangle = \rho _ { 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left\langle \boldsymbol { \ell } _ { i } \otimes \frac { \partial E } { \partial \boldsymbol { \ell } _ { i } } \right\rangle ,
W = \frac { 1 } { r } \left[ 1 - \frac { \bar { i } _ { r e d } } { \bar { i } } \left( 1 - c _ { + } \right) \frac { \partial \ln { a _ { + } } } { \partial \ln { c _ { + } } } \right] + \mathcal { O } \left( ( ( 1 - c _ { + } ) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { G _ { \gamma _ { c _ { \tau } } ( t ) } ( x ) = - \int _ { R \mathbb { S } ^ { d - 1 } } \| x - y \| _ { 2 } ^ { r } \, \mathrm { d } \mathcal U _ { R \mathbb { S } ^ { d - 1 } } ( y ) = - R ^ { r } { _ 2 F _ { 1 } } \big ( - \frac { r } { 2 } , \frac { 2 - r - d } { 2 } ; \frac { d } { 2 } ; \frac { \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Re \langle \psi , B \psi \rangle } & { = \Re \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Bar { \psi } B \psi = \Re \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Bar { \psi } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \psi + i u \cdot \nabla \psi + \mu \lvert \psi \rvert ^ { p } \psi \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \lVert \nabla \psi \rVert _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \lvert u \rvert ^ { 2 } \lvert \psi \rvert ^ { 2 } - \Im \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } u \Bar { \psi } \cdot \nabla \psi + \mu \lVert \psi \rVert _ { L _ { x } ^ { p + 2 } } ^ { p + 2 } } \\ & { \ge \mu \lVert \psi \rVert _ { L _ { x } ^ { p + 2 } } ^ { p + 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l l } { { \mathrm { ( A ) } \ } } & { { h _ { 1 } = f _ { 2 } = 2 \ , \ h _ { 2 } = f _ { 1 } = 0 \ : \quad } } & { { N = 8 \ , \ g _ { \mathrm { s } } = 1 \ , \ C = 0 \ ; \nonumber } } \\ { { \mathrm { ( B ) } \ } } & { { h _ { 1 } = 2 \ , \ f _ { 2 } = 4 \ , \ h _ { 2 } = f _ { 1 } = 0 \ : \quad } } & { { N = 0 \ , \ g _ { \mathrm { s } } = \mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \ , \ C = 0 \ ; \nonumber } } \\ { { \mathrm { ( C ) } \ } } & { { h _ { 1 } = - h _ { 2 } = f _ { 1 } = f _ { 2 } = 2 \ : \quad } } & { { N = 0 \ , \ g _ { \mathrm { s } } = 1 \ , \ C = 0 \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int | \Psi | ^ { 4 } \ln \left( \frac { | \Psi | ^ { 2 } } { \sqrt { e } } \right) \, d \vec { r } } & { { } = \frac { N ^ { 2 } } { \pi ( m ! ) ^ { 2 } 2 ^ { 2 m + 2 } } \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \left[ ( 2 m ) ! \ln \left( \frac { | C _ { m } | ^ { 2 } } { 4 ^ { m } \sqrt { e } } \right) - \frac { ( m + 1 ) ! } { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d i s t ( \gamma \cdot [ \widetilde { x } ] , \gamma \cdot [ \widetilde { y } ] ) } & { = } & { d i s t ( \gamma \cdot \widetilde { p } ( \widetilde { x } ) , \gamma \cdot \widetilde { p } ( \widetilde { y } ) ) = d _ { H } ( \gamma \cdot \widetilde { { \mathcal W } } _ { f } ^ { c } ( \widetilde { x } ) , \gamma \cdot \widetilde { { \mathcal W } } _ { f } ^ { c } ( \widetilde { y } ) ) } \\ & { = } & { d _ { H } ( \widetilde { { \mathcal W } } _ { f } ^ { c } ( \gamma \cdot \widetilde { x } ) , \widetilde { { \mathcal W } } _ { f } ^ { c } ( \gamma \cdot \widetilde { y } ) ) = d _ { H } ( \widetilde { { \mathcal W } } _ { f } ^ { c } ( \widetilde { x } ) , \widetilde { { \mathcal W } } _ { f } ^ { c } ( \widetilde { y } ) ) } \\ & { = } & { d i s t ( \widetilde { p } ( \widetilde { x } ) , \widetilde { p } ( \widetilde { y } ) ) = d i s t ( [ \widetilde { x } ] , [ \widetilde { y } ] ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ^ { \epsilon } \left( \tilde { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda \right) ( h _ { n } ) } & { : = \tilde { e } ( t _ { n } + h _ { n } ) \in \mathbb { R } ^ { n _ { x } } } \\ & { = x ( t _ { n } + h _ { n } ) - \tilde { x } _ { \mathrm { a p p r o x } } ( t _ { n } + h _ { n } ) } \\ & { = [ \tilde { G } - \tilde { G } _ { \mathrm { a p p r o x } } ] \left( \tilde { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda \right) ( h _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { \mathrm { e s c } } \sim 6 \times 1 0 ^ { - 4 } \frac { \bar { \varepsilon } ^ { 2 } \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } { \bar { \varepsilon } ^ { 2 } + \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } \left[ \left( 1 - \frac { \bar { \varepsilon } _ { t 0 } ^ { 2 } } { \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } \right) \frac { 1 0 \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } { 1 0 \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } + \bar { \varepsilon } ^ { 2 } } + \frac { \bar { \varepsilon } _ { t 0 } ^ { 2 } } { \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a _ { 1 } ( \theta ) } & { = { \frac { 2 } { \theta } } , } \\ { b _ { 1 } ( \theta ) } & { = 1 , } \\ { a _ { n } ( \theta ) } & { = \left( 1 - { \frac { 4 } { \theta ^ { 2 } } } \right) \, a _ { n - 1 } ( \theta ) + { \frac { 4 } { \theta } } \, b _ { n - 1 } ( \theta ) , } \\ { b _ { n } ( \theta ) } & { = \left( 1 - { \frac { 4 } { \theta ^ { 2 } } } \right) \, b _ { n - 1 } ( \theta ) - { \frac { 4 } { \theta } } \, a _ { n - 1 } ( \theta ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \tau ( 1 ( \rho _ { i } y _ { 1 } ) ^ { 2 } 1 ) } & { = } & { \alpha _ { i } \delta \beta _ { i } ^ { - 1 } , } \\ & { } & \\ { \tau ( y _ { 1 } ( \rho _ { i } y _ { 1 } ) ^ { 2 } y _ { 1 } ) } & { = } & { \beta _ { i } \delta ^ { - 1 } \alpha _ { i } ^ { - 1 } , } \\ & { } & \\ { \tau ( \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } y _ { 1 } ) ^ { 2 } \rho _ { 1 } ) } & { = } & { \alpha _ { i } ^ { - 1 } \beta _ { i } \delta ^ { - 1 } , } \\ & { } & \\ { \tau ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } y _ { 1 } ) ^ { 2 } \rho _ { 1 } y _ { 1 } ) } & { = } & { \beta _ { i } ^ { - 1 } \alpha _ { i } \delta } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { n } ( x , x ) } & { = \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \qquad - \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \; = \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \qquad - [ 1 - \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) ] } \\ & { \; = 2 \, \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { f i r s t - s e r v i n g ~ t e a m ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } ) - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } \left( | \mathscr { F } ^ { \prime } | > \zeta m \right) } & { < \exp ( - \Omega ( m ) ) < \frac { 1 } { 4 } , } \\ { \operatorname* { P r } \left( | \mathscr { F } _ { T } ^ { \prime } | < 2 \theta \zeta m \right) } & { < \exp ( - \Omega ( m ) ) \leqslant \frac { 1 } { 4 n ^ { k } } \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { \operatorname* { P r } \left( | Z ^ { \prime } | > \frac { 4 \zeta m } { t } \right) } & { < \exp ( - \Omega ( m ) ) \leqslant \frac { 1 } { 4 t } . } \end{array}
I \leq 4 c _ { 1 } \exp \left( \frac { - 2 \gamma \delta _ { 1 } + 1 4 ( 2 2 ) v _ { \mathrm { l r } } \log ^ { 3 } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) } { 1 4 v _ { \mathrm { l r } } \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) } \right) .
E _ { 1 , 2 } ^ { 2 } = { \bf p } ^ { 2 } + m ^ { 2 } + \frac { g ^ { 2 } ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) } { 4 } \pm g \sqrt { \lambda _ { 1 } p _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { ( H _ { z } ^ { 3 } ) ^ { 2 } } { 4 } }
\alpha ^ { \prime } = 1 \wedge \left\{ \frac { p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { l } | l , y ) g ^ { \prime } ( u _ { l } ) } { p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { k } | k , y ) g ( u _ { k } ) } | { \bf J } | \, \right\} ,
| \Gamma ( s ) | ^ { 2 } = \frac { P _ { I L } - 1 } { P _ { I L } } = \frac { 0 . 0 0 6 9 s ^ { 8 } + 0 . 0 1 1 8 3 s ^ { 6 } + 0 . 0 0 6 2 5 6 s ^ { 4 } + 0 . 0 0 1 s ^ { 2 } + 0 . 0 0 3 } { 0 . 0 0 6 9 s ^ { 8 } + 0 . 0 1 1 8 3 s ^ { 6 } + 0 . 0 0 6 2 5 6 s ^ { 4 } + 0 . 0 0 1 s ^ { 2 } + 1 . 0 0 3 } .
\left. \frac { d \left( L _ { z } + S _ { z } \right) } { d t } \right| _ { w a v e } = \left( n - \sigma \right) \frac { \pi } { 2 } \iint d J d D \sum _ { l } \left| V _ { \mathbf { N } } \right| ^ { 2 } \mathbf { N } \cdot \partial _ { \mathbf { J } } \left. F \right| _ { P = P _ { l } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { B } } _ { \mathrm { m w } } } & { { } = \beta _ { \mathrm { m w } } ^ { 0 } \mathbf { e } _ { 0 } + \beta _ { \mathrm { m w } } ^ { + } \mathbf { e } _ { + } + \beta _ { \mathrm { m w } } ^ { - } \mathbf { e } _ { - } , } \end{array}
A _ { \mu } ^ { \bot } = \frac { 2 [ 2 M ^ { 2 } k _ { 1 } q + q ^ { 2 } k _ { 1 } p _ { 1 } ] p _ { 2 \mu } - 2 [ 2 M ^ { 2 } k _ { 1 } q - q ^ { 2 } k _ { 1 } p _ { 2 } ] p _ { 1 \mu } + q ^ { 2 } ( q ^ { 2 } - 4 M ^ { 2 } ) k _ { 1 \mu } } { 2 Q _ { \bot } } \ ,
\begin{array} { r } { \hat { a } _ { d e t 2 } = \sqrt { T } \hat { a } _ { \mathrm { L O } } - \sqrt { 1 - T } \sqrt { \eta } \hat { a } _ { 2 / 1 , o u t } ^ { \mathrm { e x t 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { O T ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) : = \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) } C ( \gamma ; \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) } \\ & { \mathrm { f o r ~ } \quad C ( \gamma ; \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) : = \int _ { \Omega ^ { 2 } } \| x ^ { 0 } - x ^ { j } \| ^ { 2 } d \gamma ( x ^ { 0 } , x ^ { j } ) , } \end{array}
H _ { i n t } = ( e A _ { \mu } + g _ { \phi } \phi _ { \mu } ) i ( K ^ { + } \partial ^ { \mu } K ^ { - } - \partial ^ { \mu } K ^ { + } K ^ { - } ) - 2 e g _ { \phi } A ^ { \mu } \phi _ { \mu } K ^ { + } K ^ { - }
\begin{array} { r } { \zeta _ { k } : = \Big ( 1 - \frac { 1 } { c _ { p k } } \partial _ { \theta } \varepsilon _ { k } ( \theta , p _ { k } ) \Big ) \frac { \theta } { p _ { k } } = \frac { 1 } { c _ { p k } r _ { k } } , \ \ k = 1 , 2 . } \end{array}
\hat { \zeta } _ { m _ { j } , m _ { j } ^ { \prime } } = \sum _ { m _ { j } ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { M } \mathrm { s g n } \, ( m _ { j } ^ { \prime \prime } - m _ { j } ) \mathrm { s g n } \, ( m _ { j } ^ { \prime \prime } - m _ { j } ^ { \prime } ) \zeta _ { m _ { j } ^ { \prime \prime } } ,
K _ { 1 : i , i } \gets \arg \operatorname* { m i n } _ { c } \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { a = 1 } ^ { i } \varphi _ { \theta } ^ { a } ( X _ { j } ^ { 0 } ) c _ { a } - \tilde { \varphi } _ { s } ^ { a } ( X _ { j } ^ { \tau } ) \right) ^ { 2 } + \gamma _ { 2 } \sum _ { a = 1 } ^ { i - 1 } c _ { a } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } } & { = \frac { 2 } { 3 } r - \frac { 1 } { 3 } } \\ { c _ { 1 } } & { = \frac { 5 } { 6 } r - \frac { 1 } { 3 } \cdot \frac { 1 } { r } } \\ { c _ { 2 } } & { = \frac { 5 5 } { 2 7 } r + \frac { 2 } { 9 } \cdot \frac { 1 } { r } - \frac { 2 0 } { 2 7 } \cdot \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \\ { r } & { = 5 ^ { - 1 / 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( [ a , b ] ) = } & { f ( a ^ { - 1 } ) + f ( b ^ { - 1 } ) + f ( a ) + f ( b ) + f ^ { ( 1 , 1 ) } ( a ^ { - 1 } , a ) + f ^ { ( 1 , 1 ) } ( b ^ { - 1 } , b ) } \\ & { + f ^ { ( 1 , 1 ) } ( a ^ { - 1 } , b ^ { - 1 } ) + f ^ { ( 1 , 1 ) } ( a ^ { - 1 } , b ) + f ^ { ( 1 , 1 ) } ( a , b ) + f ^ { ( 1 , 1 ) } ( b ^ { - 1 } , a ) . } \end{array}
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ L _ { 0 } ( Y ) \log { ( n ) } + Q _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } L _ { 1 } ( Y ) + } & { { } \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { \chi ^ { n / 2 - 1 } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \bigg [ R _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } M _ { 1 } ( Y ) + \frac { R _ { 1 } ( Y ) } { n } + } & { { } \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \chi ^ { ( n - 1 ) / 2 } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array} \right.
( \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } ) ^ { 4 / 3 } = \left( \frac { 1 + \sigma } { b } - \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } \right) ^ { 4 / 3 } \eta _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { - 1 / 3 } + \frac { H ^ { * } } { c } \left( b \frac { R a } { R a _ { c r } } \right) ^ { - 1 / 3 } .
\begin{array} { r l r } { \langle \theta , \phi | \mathrm { B l o c h } \rangle } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { L } = } & { \theta _ { l } \partial _ { \mu } \left( 2 \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \mu i j } } \partial _ { i } \partial _ { k } \psi \epsilon _ { l k j } \right) + \theta _ { l } \partial _ { \mu } \left( 2 \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \mu t i } } \partial _ { t } \partial _ { k } \psi \epsilon _ { l k i } \right) } \\ & { - \theta _ { l } \partial _ { \mu } \left( \partial _ { \nu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \nu \mu i } } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { l j i } \right) + \theta _ { l } \partial _ { \mu } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { i } \psi ) } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { l j i } \right) } \\ & { + \partial _ { \mu } \left( . . . \right) \delta x _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ( t , z = 0 ) = \sqrt { P _ { 0 } } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } [ ( t - t _ { 0 } ) / T _ { 0 } ] e ^ { - i ( \Delta \omega / 2 ) t } } \\ { + \sqrt { P _ { 0 } } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } [ ( t + t _ { 0 } ) / T _ { 0 } ] e ^ { + i [ ( \Delta \omega / 2 ) t + \Delta \phi ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { n } ^ { [ 1 , 3 ] } } & { = S _ { n } ^ { T } Q _ { n } ^ { [ 1 , 3 ] } = \left[ \begin{array} { l } { \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 1 , 1 ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 \ell } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { i } ^ { [ 1 , 1 ] } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 4 , 1 ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 \ell } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { i } ^ { [ 4 , 1 ] } } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 1 , 2 ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 \ell } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { i } ^ { [ 1 , 2 ] } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 4 , 2 ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 \ell } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { i } ^ { [ 4 , 2 ] } } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 1 , 3 ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 \ell } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { i } ^ { [ 1 , 3 ] } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 4 , 3 ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 \ell } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { i } ^ { [ 4 , 3 ] } } \end{array} \right] } \end{array} \right] ^ { T } \left( \left[ \begin{array} { l } { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \\ { 0 _ { 8 } } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } P _ { \alpha _ { n } } ( \ell ) \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 2 , 1 ] } + P _ { \alpha _ { n } } ( 4 \ell ) . } \end{array}
\frac { T _ { u n c } ^ { ( m ) } } { T _ { c } ^ { ( m ) } } = \frac { \left( m + 1 \right) \langle a \rangle \left( \left( m + 1 \right) \langle a \rangle + \sqrt { ( m ^ { 2 } + 2 m - 3 ) \langle a \rangle ^ { 2 } + 4 \langle a ^ { 2 } \rangle } \right) } { 2 \left( m ( m + 2 ) \langle a \rangle ^ { 2 } + \langle a ^ { 2 } \rangle \right) }
\begin{array} { r l } & { R _ { 2 , \mathrm { d e g } } ^ { \prime } = [ I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) - I ( V ; Y _ { 2 } | S _ { 2 } ) ] ^ { + } + H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } , V ) } \\ & { \overset { ( a ) } { = } H ( V | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) - H ( V | Y _ { 1 } , S _ { 1 } ) + H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } , V ) } \\ & { \overset { ( b ) } { = } H ( Y _ { 1 } , V | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) - H ( V | Y _ { 1 } , S _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) } \\ & { = H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) + I ( V ; S _ { 1 } | Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) } \\ & { = H ( Y _ { 1 } , S _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) - H ( S _ { 1 } | Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } , V ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \scriptsize \dot { x } _ { i } ^ { r } ( t ) = } & { - \delta _ { i } ^ { r } x _ { i } ^ { r } ( t ) + \Big ( ( 1 - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } x _ { i } ^ { \ell } ( t ) ) \times } \\ & { \big ( \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { n } \beta _ { i j } ^ { r } x _ { j } ^ { r } ( t ) + \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { q } \beta _ { i j } ^ { w r } w _ { j } ^ { r } ( t ) \big ) \Big ) , } \end{array}
i \langle \Psi \, \pi ^ { a } ( \mathrm { \bf ~ k } ) | T \{ V _ { \mu } ( x ) , V ^ { \mu } ( 0 ) \} | \Psi \, \pi ^ { b } ( \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime } ) \rangle \simeq { \frac { - i } { f _ { \pi } ^ { 2 } } } \langle \Psi | \left[ Q _ { 5 } ^ { a } , \left[ Q _ { 5 } ^ { b } , T \{ V _ { \mu } ( x ) , V ^ { \mu } ( 0 ) \} \right] \right] | \Psi \rangle ,
- \widetilde g _ { 0 , + - } ^ { - 1 } \Psi _ { + - } = \bigg [ V _ { C o u l . } + \overline { { V } } _ { + - , + - } - \frac { 1 } { 2 } V _ { + - , 0 0 , } \widetilde g _ { 0 , 0 0 } V _ { 0 0 , + - } \bigg ] \Psi _ { + - } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { \phi ^ { * } ( x ) } & { = - \lambda \log \Big ( \int e ^ { ( \psi ^ { * } ( y ) - c ( x , y ) ) / \lambda } \d \nu ( y ) \Big ) } \\ { \psi ^ { * } ( y ) } & { = - \lambda \log \Big ( \int e ^ { ( \phi ^ { * } ( x ) - c ( x , y ) ) / \lambda } \d \mu ( x ) \Big ) } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { { \sigma _ { p } } } ( \mathcal { U } _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ) ( y , \eta ) } \\ { = } & { \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } 2 ( 2 \pi ) ^ { - 3 } { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ) ( y , \eta , q , \zeta ) \mathcal { C } _ { 2 } ( \zeta ^ { ( i ) } , \zeta ^ { ( j ) } , \zeta ^ { ( k ) } , \zeta ^ { ( l ) } ) \prod _ { j = 1 } ^ { 4 } { { \sigma _ { p } } } ( v _ { j } ) ( q , \zeta ^ { ( j ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { H G _ { n , n } } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) } & { \overset { \theta } { \Longrightarrow } \mathrm { H G _ { n , n } } ( \cos \theta x ^ { \prime } + \sin \theta y ^ { \prime } , - \sin \theta x ^ { \prime } + \cos \theta y ^ { \prime } ) } \\ & { \approx \mathrm { H G _ { n , n } } ( x ^ { \prime } + \theta y ^ { \prime } , - \theta x ^ { \prime } + y ^ { \prime } ) } \end{array}
\frac { d } { d t } \varepsilon _ { i } ^ { 2 } ( t ) = \left. \frac { d } { d t } \varepsilon _ { i } ^ { 2 } ( t ) \right| _ { \mathrm { e x t } } + \left. \frac { d } { d t } \varepsilon _ { i } ^ { 2 } ( t ) \right| _ { \mathrm { s c } } + \left. \frac { d } { d t } \varepsilon _ { i } ^ { 2 } ( t ) \right| _ { \mathrm { i r } } \, ,
\begin{array} { r l } { \Tilde { h } \cdot ( f _ { v } ^ { \prime } ( w _ { g } ) ) } & { = \sum _ { \Tilde { g h } \xrightarrow [ ] g h } w _ { \Tilde { g h } } - \sum _ { \Tilde { h } \xrightarrow [ ] h } w _ { \Tilde { h } } + e w _ { \Tilde { 1 } } [ ( a _ { g , h } + k _ { \Tilde { h } } ) - ( a _ { 1 , h } + k _ { \Tilde { h } } ) ] + e _ { g } w _ { \Tilde { 1 } } } \\ & { = \sum _ { \Tilde { g h } \xrightarrow [ ] g h } w _ { \Tilde { g h } } - \sum _ { \Tilde { h } \xrightarrow [ ] h } w _ { \Tilde { h } } + ( e a _ { g , h } - e + e _ { g } ) w _ { \Tilde { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \pi ^ { ( 0 , 0 ) } - \pi ^ { ( 0 , 2 ) } > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { ~ ( - c s ^ { ( 0 , 0 ) } + b s ^ { ( 1 , 0 ) } ) - ( - c s ^ { ( 0 , 2 ) } + b s ^ { ( 1 , 2 ) } ) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { - c ( s ^ { ( 0 , 0 ) } - s ^ { ( 0 , 2 ) } ) + b ( s ^ { ( 1 , 0 ) } - s ^ { ( 1 , 2 ) } ) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { - c ( N p ^ { ( 0 , 0 ) } + N p ^ { ( 0 , 1 ) } - 2 ) } \\ & { + b ( N p ^ { ( 1 , 0 ) } + N p ^ { ( 1 , 1 ) } - 2 ) > 0 \, , } \end{array}
\mathrm { e } ^ { - \mathrm { t r } [ V ( T ) ] } \, \mathrm { d } ^ { n } a \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \frac { 2 } { b _ { j } } ( b _ { j } ) ^ { \beta j } \mathrm { d } b _ { j } = \exp \Big ( - \sum _ { j = 1 } ^ { n } V ( \lambda _ { j } ) \Big ) \big ( n ! \tilde { \zeta } _ { n } ( \beta ) \Delta ( \lambda ) ^ { \beta } \mathrm { d } ^ { n } \lambda \big ) \Big ( c _ { q } ^ { \beta } \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { j } ) ^ { \beta - 1 } \mathrm { d } ^ { n } q \Big ) .
\Tilde { \psi } _ { \mathrm { C L A S S } } ^ { ( n ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } ) = \sum _ { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } } \Tilde { R } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( n ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } )