harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { c _ { \tiny \mathrm { i n } } ( \textbf x ) = c _ { 0 , \tiny \mathrm { i n } } ( \textbf x ) + \omega c _ { 1 , \tiny \mathrm { i n } } ( \textbf x , \mathbf y ) = c _ { 0 , \tiny \mathrm { i n } } ( \textbf x ) + \omega \left[ \boldsymbol \chi _ { \tiny \mathrm { i n } } ( \mathbf y ) \cdot \left. \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } \right| _ { t = 0 } + \lambda _ { \tiny \mathrm { i n } } ( \mathbf y ) \left. \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } \right| _ { t = 0 } + \overline { c } _ { 1 } ( \mathbf x , t = 0 ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { f } - r _ { g } } & { = \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \right) ^ { \frac 1 2 } \left( \rho _ { f } ^ { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } - \rho _ { g } ^ { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } \right) = \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \right) ^ { \frac 1 2 } \frac { \gamma - 1 } { 2 } ( \rho _ { f } - \rho _ { g } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \theta \rho _ { f } + ( 1 - \theta ) \rho _ { g } \right) ^ { \frac { \gamma - 1 } { 2 } - 1 } d \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( \sigma ) } & { = u _ { 0 } + \sigma , } \\ { x ( \sigma ) } & { = x _ { 0 } + \sigma \left[ \left( 1 - \varepsilon \bar { f } _ { + } ( \sigma ) \right) p _ { x } - \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( \sigma ) p _ { y } \right] , } \\ { y ( \sigma ) } & { = y _ { 0 } + \sigma \left[ \left( 1 + \varepsilon \bar { f } _ { + } ( \sigma ) \right) p _ { y } - \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( \sigma ) p _ { x } \right] , } \\ { v ( \sigma ) } & { = v _ { 0 } - \tilde { p } _ { u 0 } \sigma - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ( p _ { x } ^ { 2 } - p _ { y } ^ { 2 } ) \sigma \bar { f } _ { + } ( \sigma ) - \varepsilon \sigma \bar { f } _ { \times } ( \sigma ) p _ { x } p _ { y } . } \end{array}
\dots \to H _ { q } ( F ) { \overset { i _ { * } } { \to } } H _ { q } ( E ) \to H _ { q - n } ( F ) { \overset { d } { \to } } H _ { q - 1 } ( F ) { \overset { i _ { * } } { \to } } H _ { q - 1 } ( E ) \to H _ { q - n - 1 } ( F ) \to \dots
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { \alpha } ^ { \mathrm { d i a g } } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , m } \left( 1 - e ^ { - r _ { \alpha } ^ { 2 } \left( 1 - \tau _ { x , y } \right) } g _ { x , y } ( 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) \left| m \middle > \middle < m \right| , } \\ & { \Delta _ { \alpha } ^ { \mathrm { c o h } } = - \left( 1 - e ^ { - r _ { \alpha } ^ { 2 } \left( 1 - \tau _ { x , y } \right) } g _ { x , y } \Omega _ { x , y } \right) \left| \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varkappa \Delta \psi _ { m } ( x ) } & { = \varkappa \Delta _ { x _ { 1 } } \sin ( k ( x _ { 1 } - 2 ^ { m } ) ) \sin ( k x _ { 2 } ) \cdots \sin ( k x _ { d } ) } \\ & { + \varkappa \Delta _ { x _ { 2 } } \sin ( k ( x _ { 1 } - 2 ^ { m } ) ) \sin ( k x _ { 2 } ) \cdots \sin ( k x _ { d } ) + \cdots } \\ & { + \varkappa \Delta _ { x _ { d } } \sin ( k ( x _ { 1 } - 2 ^ { m } ) \sin ( k x _ { 2 } ) \cdots \sin ( k x _ { d } ) . } \end{array}
{ \mathcal V } ( z , \bar { z } , q ) \, = \, g ^ { 2 } \Bigl [ \left( g _ { i j ^ { \star } } k _ { \Lambda } ^ { i } k _ { \Sigma } ^ { j ^ { \star } } + 4 h _ { u v } k _ { \Lambda } ^ { u } k _ { \Sigma } ^ { v } \right) \bar { L } ^ { \Lambda } L ^ { \Sigma }
\begin{array} { r } { 0 \in \left\{ \begin{array} { l l } { \partial | u _ { j } ^ { \star } | \circ ( | u _ { j } ^ { \star } | - \sqrt { d _ { j } } ) + \Lambda _ { j } ^ { \star } , } & { \mathrm { i f ~ A G M } , } \\ { \partial | u _ { j } ^ { \star } | \circ \left( | u _ { j } ^ { \star } | - \displaystyle \frac { d _ { j } } { | u _ { j } ^ { \star } | } \right) + \Lambda _ { j } ^ { \star } , } & { \mathrm { i f ~ I P M . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x ( t ) } { d t } } & { = \frac { p _ { x } ( t ) } { m } + \frac { \omega _ { c } } { 2 } y ( t ) , } \\ { \frac { d y ( t ) } { d t } } & { = \frac { p _ { y } ( t ) } { m } - \frac { \omega _ { c } } { 2 } x ( t ) , } \\ { \frac { d p _ { x } ( t ) } { d t } } & { = - m \, \omega _ { \perp } ^ { 2 } x ( t ) + \frac { \omega _ { c } } { 2 } p _ { y } ( t ) , } \\ { \frac { d p _ { y } ( t ) } { d t } } & { = - m \, \omega _ { \perp } ^ { 2 } y ( t ) - \frac { \omega _ { c } } { 2 } p _ { x } ( t ) , } \\ { \frac { d z ( t ) } { d t } } & { = \frac { p _ { z } ( t ) } { m } , } \\ { \frac { d p _ { z } ( t ) } { d t } } & { = - m \, \omega _ { z } ^ { 2 } z ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 { ^ L _ { R } } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) } & { = \int d \mathbf { r } _ { 2 } I _ { 1 { ^ L _ { R } } } ( \mathbf { r } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 2 } ) \propto \int d \mathbf { r } _ { 2 } \left| \langle \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } | \tilde { \psi } \rangle \right| ^ { 2 } \left( 1 \mp \frac { 2 l } { \hbar } \operatorname { R e } \frac { \langle \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } | \hat { p } _ { 1 x } | \tilde { \psi } \rangle } { \langle \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } | \tilde { \psi } \rangle } \right) } \\ & { = \int d \mathbf { r } _ { 2 } \left( \langle \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } | \tilde { \psi } \rangle \langle \tilde { \psi } | \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } \rangle \mp \frac { 2 l } { \hbar } \operatorname { R e } \langle \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } | \hat { p } _ { 1 x } | \tilde { \psi } \rangle \langle \tilde { \psi } | \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } \rangle \right) = \langle \mathbf { r } _ { 1 } | \hat { \tilde { \rho } } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 1 } \rangle \left( 1 \mp \frac { 2 l } { \hbar } \operatorname { R e } \frac { \langle \mathbf { r } _ { 1 } | \hat { p } _ { 1 x } \hat { \tilde { \rho } } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 1 } \rangle } { \langle \mathbf { r } _ { 1 } | \hat { \tilde { \rho } } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 1 } \rangle } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \Omega _ { U } = } & { { } \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { 2 ^ { - m } \sum _ { u = 0 } ^ { m } { \binom { m } { u } U ( C ^ { u } ) ^ { T } U C ^ { m - u } } U } , } \\ { = } & { { } \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { 2 ^ { - m } \sum _ { u = 0 } ^ { m } { \binom { m } { u } U ( C ^ { u } ) ^ { T } C ^ { m - u } } U } . } \end{array}
\left. \frac { \partial ^ { 2 } V _ { e f f } ^ { ( 2 ) } ( T = 0 , \mu , m ) } { \partial m ^ { 2 } } \right| _ { m = m _ { 1 } } = - \frac { 1 } { \pi } \frac { 2 \mu - m ( 0 ) } { m ( 0 ) - \mu } < 0 , \ \mathrm { w h e n } \ \frac { m ( 0 ) } { 2 } < \mu < m ( 0 )
\hat { P } _ { \mu } = ( { P } _ { \mu } ^ { ( 1 ) } + { P } _ { \mu } ^ { ( 2 ) } ) M ^ { - 1 } , \, \, M ^ { 2 } = ( P _ { \mu } ^ { ( 1 ) } + P _ { \mu } ^ { ( 2 ) } ) ( P ^ { ( 1 ) \mu } + P ^ { ( 2 ) \mu } )
\begin{array} { r l } & { \| \nabla f ( w ^ { \prime } ) - \nabla f ( w ) \| = \big \| \mathbb { E } _ { \xi } \big ( \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \big ) \big \| } \\ & { \le \sqrt { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } } \\ & { \le \| w ^ { \prime } - w \| \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { \alpha } + \overline { { K } } _ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \| w ^ { \prime } - w \| \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \Lambda ^ { \alpha } + \overline { { K } } _ { 1 } ( \Gamma ^ { \alpha } + 1 ) \| \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } + \overline { { K } } _ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) , } \end{array}
- \Omega _ { u } ( - u ) \, = \mathrm { i } \, \left( \begin{array} { l l } { { - 1 } } & { { 2 } } \\ { { - 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { l } { { f ^ { ( 1 ) } ( u ) } } \\ { { f ^ { ( 2 ) } ( u ) } } \end{array} \right) = \mathrm { i } \, R \, \Omega _ { u } ( u )
\begin{array} { r l } { \int _ { P _ { o } } ^ { P _ { L } } ( P _ { s } + b ) } & { = \frac { P _ { g , L } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { P _ { g , o } ^ { 2 } } { 2 } + P _ { L } P _ { a } - P _ { o } P _ { a } + P _ { L } b - P _ { o } b } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( P _ { g , L } - P _ { g , o } ) ( P _ { g , L } + P _ { g , o } + 2 P _ { a } + 2 b ) } \end{array}
\left| { \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} } \right| = ( \alpha n + \beta k + \gamma ) \left| { \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { k } \end{array} } \right| + ( \alpha ^ { \prime } n + \beta ^ { \prime } k + \gamma ^ { \prime } ) \left| { \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { k - 1 } \end{array} } \right| + \delta _ { n , 0 } \delta _ { k , 0 } ,
\frac { A _ { + } e ^ { 5 i \alpha _ { + } } + A _ { - } e ^ { 5 i \alpha _ { - } } } { A _ { + } e ^ { i \alpha _ { + } } + A _ { - } e ^ { i \alpha _ { - } } } = \frac { e ^ { 6 i \alpha _ { + } } - e ^ { 6 i \alpha _ { - } } } { e ^ { 2 i \alpha _ { + } } - e ^ { 2 i \alpha _ { - } } } = - \frac { \sin 3 \pi j / 2 } { \sin \pi j / 2 } = - ( 1 + 2 \cos \pi j ) .
\begin{array} { r l } & { \Xi ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( - \lambda _ { y } ) ^ { - q } \eta _ { m q } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } \eta _ { m n } + ( - \lambda _ { y } ) ^ { m } \gamma _ { m m } \quad \forall m , q \neq m , } \\ & { \Xi ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( - \lambda _ { y } ) ^ { - q } \gamma _ { m q } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } \gamma _ { m n } + ( - \lambda _ { y } ) ^ { m } \eta _ { m m } \quad \forall m , q \neq m , } \\ & { \Xi ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( - \lambda _ { y } ) ^ { - m } ( \eta _ { m m } + \gamma _ { m m } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } ( \eta _ { m n } + \gamma _ { m n } ) + ( - \lambda _ { y } ) ^ { m } ( \eta _ { m m } + \gamma _ { m m } ) \quad \forall m , } \end{array}
M _ { l } = 4 \frac { m l _ { 2 1 } m s _ { 2 1 } e ^ { i \delta _ { S } } } { r l _ { 2 1 } ^ { 2 } e ^ { i \delta _ { L } } } , \; M _ { s } = 4 \frac { m l _ { 2 1 } m s _ { 2 1 } e ^ { i \delta _ { L } } } { r s _ { 2 1 } ^ { 2 } e ^ { i \delta _ { S } } } , \; M = \left( \frac { A _ { R } } { A _ { I } } \right) _ { O d d } + \left( \frac { A _ { R } } { A _ { I } } \right) _ { E v e n }
\begin{array} { r } { \mathbf { p } _ { H } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; M \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathbf { p } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathbf { e } _ { H } \; \; \; } \\ { \left[ \begin{array} { l } { p _ { H _ { 1 } } } \\ { p _ { H _ { 2 } } } \\ { p _ { H _ { 3 } } } \\ { p _ { H _ { 4 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { p _ { 2 } } \\ { p _ { 3 } } \\ { p _ { 4 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { e _ { H _ { 1 } } } \\ { e _ { H _ { 2 } } } \\ { e _ { H _ { 3 } } } \\ { e _ { H _ { 4 } } } \end{array} \right] } \end{array}
\frac { D s } { D t } = \frac { p D _ { q } } { \epsilon e _ { s } } \nabla ^ { 2 } q _ { v } - \frac { p } { \epsilon e _ { s } } \frac { L e _ { s } \kappa } { R _ { v } T ^ { 2 } } \nabla ^ { 2 } T - C _ { d } \left( \frac { p } { \epsilon e _ { s } } + \frac { p } { \epsilon e _ { s } } \frac { L ^ { 2 } \epsilon e _ { s } } { p R _ { v } T ^ { 2 } c _ { p } } \right) + \frac { L g } { R _ { v } c _ { p } T ^ { 2 } } w \, .
\sigma _ { i j } ^ { h k } = \big \langle ( I _ { i } - \langle I _ { i } \rangle ) ( I _ { j } - \langle I _ { j } \rangle ) \big \rangle = \langle I _ { i } I _ { j } \rangle - \langle I _ { i } \rangle \langle I _ { j } \rangle
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { L } \left[ ( t + g ) \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } + w _ { j } \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } \right] } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { L } \left[ ( t + g ) \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } + w _ { j } \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } \right] } \\ & { - i \Delta \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } - \hat { c } _ { j \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 \downarrow } ) } \\ & { - i \Delta \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } - \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { x - x ^ { * } } \\ { \nabla f ( x ) } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { - 2 m L I _ { p } } & { ( L + m ) I _ { p } } \\ { ( L + m ) I _ { p } } & { - 2 I _ { p } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x - x ^ { * } } \\ { \nabla f ( x ) } \end{array} \right] \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d \sigma } { d \Omega } } } & { { } = { \frac { m ^ { 4 } \alpha ^ { 2 } } { E _ { C M } ^ { 2 } p ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \theta } } { \Big ( } 4 - 3 \sin ^ { 2 } \theta { \Big ) } } \end{array}
\rho _ { ( x _ { j } + 5 ) e } ( n _ { j + 1 } ) = \rho _ { x _ { j } e } ( n _ { j } ) > 1 \implies \left\{ \begin{array} { c } { \rho _ { ( x _ { j } + 2 ) e } ( n _ { j + 1 } ) = \rho _ { x _ { j } e } ( n _ { j } ) , } \\ { \rho _ { ( x _ { j } + 3 ) e } ( \mathrm { H } _ { \mathcal { F } ( n _ { j + 1 } ) } ^ { 1 } ( K , T ^ { ( m ) } ) ^ { \pm } ) \geq 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { d _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { l } { - \iota _ { q } ^ { u - e _ { 1 } - e _ { 2 } , u - e _ { 1 } } } \\ { \iota _ { q } ^ { u - e _ { 1 } - e _ { 2 } , u - e _ { 2 } } } \end{array} \right] \qquad \mathrm { a n d } \qquad d _ { 1 } = [ \iota _ { q } ^ { u - e _ { 1 } , u } \quad \iota _ { q } ^ { u - e _ { 2 } , u } ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { S _ { \mathrm { l } } = P _ { \mathrm { l } } + \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } P _ { \mathrm { r } } \exp \left( \frac { - L } { \lambda } \right) } \\ { S _ { \mathrm { r } } = \xi \cdot \left[ P _ { \mathrm { r } } + \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } P _ { \mathrm { l } } \exp \left( \frac { - L } { \lambda } \right) \right] \ . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathcal A _ { j } = \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { \xi _ { j } } { 2 } + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \xi _ { j } } , \ \ \ \mathcal A _ { j } ^ { * } = \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { \xi _ { j } } { 2 } - \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \xi _ { j } } , \ \ \ j \in \{ 1 , 2 , 3 \} . } \end{array}
| w _ { 2 } | \in \Big ( 2 \sqrt { \lambda _ { 1 } } , \frac { | \nu _ { 1 } | } { 2 \sqrt { \mu _ { 1 } } } \Big ) , \quad | w _ { 3 } | \in \Big ( \frac { 2 \sqrt { \mu _ { 1 } } | \nu _ { 2 } | } { | k _ { 2 } k _ { 3 } \nu _ { 1 } | } , \frac { | \nu _ { 2 } | } { 2 | k _ { 2 } k _ { 3 } | \sqrt { \lambda _ { 1 } } } \Big ) \cap ( 2 \sqrt { \mu _ { 3 } } , + \infty ) .
\int \! D A D \phi D \psi D \bar { \psi } e ^ { - S } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \psi ( x _ { i } ) \prod _ { j = m + 1 } ^ { 2 m } \bar { \psi } ( x _ { j } ) \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { w } } A _ { \mu _ { k } } ( y _ { k } ) \prod _ { l = 1 } ^ { n _ { h } } \phi ( z _ { l } ) ,
\begin{array} { r l } & { \Big \langle \tilde { u } _ { n _ { k } } ( t ) , \phi \Big \rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \tilde { u } _ { n _ { k } } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n _ { k } } + \tilde { w } _ { n _ { k } } \partial _ { z } \tilde { u } _ { n _ { k } } - \frac 1 { n _ { k } } \Delta \tilde { u } _ { n _ { k } } ) , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } } \\ & { = \Big \langle \tilde { u } _ { n _ { k } } ( 0 ) , \phi \Big \rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) , \phi \Big \rangle d \tilde { W } _ { n _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { ~ f ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { 2 } \left( \begin{array} { l } { \varphi } \\ { \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \\ { 0 } \end{array} \right) = m _ { \mathrm { ~ f ~ } } \left( \begin{array} { l } { B _ { \mathrm { ~ r ~ } , z } \varphi } \\ { B _ { \mathrm { ~ r ~ } , z } \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } + B _ { \mathrm { ~ r ~ } , \perp } } \\ { B _ { \mathrm { ~ r ~ } , \perp } \varphi } \end{array} \right) - \zeta _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \varphi } \\ { \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\bar { \mathbf { u } } \approx \bar { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { p } ) + \mathbf { \omega } \times ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } ) + \mathbf { E } \cdot ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } )
\{ \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } , \, \gamma _ { 0 } \gamma _ { 2 } , \, \gamma _ { 0 } \gamma _ { 3 } , \, \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } , \, \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } , \, \gamma _ { 3 } \gamma _ { 1 } \}
{ \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial t ^ { 2 } } } - c _ { 0 } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \rho = ( \nabla \otimes \nabla ) : \left[ \rho \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } - \sigma + ( p - c _ { 0 } ^ { 2 } \rho ) \mathbb { I } \right] ,
\begin{array} { r l } { A _ { i j } } & { = \frac { \omega _ { i j } ^ { 3 } } { 3 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar c ^ { 3 } ( 2 N _ { i } + 1 ) } S _ { i j } , } \\ { R _ { i j } } & { = \frac { 1 } { 6 \varepsilon _ { 0 } \hbar ^ { 2 } ( 2 N _ { i } + 1 ) } \frac { 2 \hbar \omega _ { i j } ^ { 3 } } { \pi c ^ { 3 } } \frac { 1 } { e ^ { \hbar \omega _ { i j } / k _ { B } T } - 1 } S _ { i j } , } \end{array}
A _ { 1 } ^ { \mathrm { p r } } ( s , s ^ { \prime } ) : = \int _ { K _ { 2 } ^ { 2 } } A ( s , w , s ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) \psi ( w , w ^ { \prime } ) d w \, d w ^ { \prime } \quad \textnormal { a n d } \quad A _ { 2 } ^ { \mathrm { p r } } ( t , t ^ { \prime } ) : = \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } A ( u , t , u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) A _ { 1 } ^ { \mathrm { p r } } ( u , u ^ { \prime } ) d u \, d u ^ { \prime }
\begin{array} { r } { \Omega _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { U P / L P } = \frac { 1 } { 2 } ( \hbar \omega _ { X } + \hbar \omega _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { c } ) \pm \frac { 1 } { 2 } \sqrt { ( \hbar \omega _ { X } - \hbar \omega _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { c } ) ^ { 2 } + 4 C _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { 2 } } } \end{array}
\mathbf { B } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \end{array} \right] }
\left\Vert \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \right\Vert _ { 2 } \leq \left\Vert \mathbf { \Omega } _ { \mathrm { T T } } \right\Vert _ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left\Vert ( \mathbf { \Omega } _ { \mathrm { T T } } \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { T T } } ) ^ { k } \right\Vert _ { 2 }
S _ { -- } ( q _ { 0 } t _ { 0 } , p _ { 1 } t _ { 1 } ) = - p _ { 1 i } \tilde { q } _ { 1 } ^ { i } + \int _ { \gamma _ { 1 } } ( \tilde { p } _ { i } d \tilde { q } ^ { i } - H ( \tilde { q } ( \tau ) , \tilde { p } ( \tau ) ) ) \ d \tau
\mathbf { H } ^ { \prime } \left( \nabla \mathbf { u } \right) : \mathbf { C } = \mathbf { n } \cdot \left( \mathbf { u } ^ { \prime } : \mathbf { C } \right) \otimes \mathbf { R } ^ { V } + \mathbf { n } \cdot \mathbf { u } \otimes \left( \mathbf { R } ^ { V } \right) ^ { \prime } : \mathbf { C } ,
m = 2 \pi R _ { 1 } \times \tilde { R } _ { 7 } \times { \frac { | a _ { D } ( u ) | } { \alpha } } \times { \frac { 1 } { g l _ { s } ^ { 4 } } } = { \frac { R _ { 1 } } { R _ { 1 1 } l _ { s } ^ { 2 } } } { \frac { 2 \pi | a _ { D } ( u ) | } { \alpha } } = { \frac { 1 } { g _ { s } ^ { \prime } l _ { s } ^ { ' 3 } } } { \frac { 2 \pi \tilde { R } _ { 7 } | a ( u ) | } { \alpha } } ,
\frac { d L _ { \gamma \gamma } ^ { L } } { d z } = 2 z k ^ { 2 } \int _ { z ^ { 2 } / x _ { m } } ^ { x _ { m } } \frac { d x } { x } F _ { \gamma / e } ^ { L } ( x , \xi ) F _ { \gamma / e } ^ { L } ( z ^ { 2 } / x , \xi ) \; ,
V _ { Q } ^ { \prime } \, = \, \frac { { \hbar } ^ { 2 } } { 8 M } \left\{ R + \frac { ( \partial _ { a } f ) ( \partial ^ { a } f ) } { 4 M } \left[ 3 g _ { \phantom { 0 } , 0 } ^ { i j } \, g _ { i j , 0 } - { \left( g ^ { i j } \, g _ { i j , 0 } \right) } ^ { 2 } \right] \right\} .
\rho ( \eta ) = \frac { 4 \pi p _ { \mathrm { t h , } \sigma } ^ { 3 } } { \sigma \eta } \left( \ln \frac { \eta _ { \mathrm { m a x , } \sigma } } { \eta } \right) ^ { ( 3 - \sigma ) / \sigma } , \quad \eta _ { \mathrm { m i n } } < \eta < \eta _ { \mathrm { m a x , } \sigma } ,
\begin{array} { r l } & { \exp \left( \frac { d _ { 0 } ^ { 2 } ( z _ { 1 } , y ) } { Q _ { 1 } T _ { 1 } } - \frac { d ^ { 2 } } { Q T } - C _ { 9 } \sqrt { \frac { d ^ { 2 } } { Q T } } - C _ { 9 } \right) } \\ { \ge } & { \exp \left( \frac { 1 } { Q T } \left( 2 ( 1 - 1 0 Q ^ { - \frac 1 2 } ) ^ { 2 } - 0 . 9 \right) d ^ { 2 } - \frac { 3 6 H _ { n } } { Q } - C _ { 1 0 } \right) } \\ { \ge } & { \exp \left( \frac { d ^ { 2 } } { Q T } - \frac { 3 6 H _ { n } } { Q } - C _ { 1 0 } \right) \ge \sqrt { Q } \exp \left( - \frac { 3 6 H _ { n } } { Q } - C _ { 1 0 } \right) \ge 4 \cdot 8 ^ { \frac n 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s } & { { } = } & { \left( p + q \right) ^ { 2 } = \left( p ^ { \prime } + q ^ { \prime } \right) ^ { 2 } = 4 E ^ { 2 } ; } \\ { t } & { { } = } & { \left( p - p ^ { \prime } \right) ^ { 2 } = \left( q ^ { \prime } - q \right) ^ { 2 } = - 4 \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 2 } ; } \\ { u } & { { } = } & { \left( p - q ^ { \prime } \right) ^ { 2 } = \left( p ^ { \prime } - q \right) ^ { 2 } = - 4 \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } } & { { } = \rho _ { s } \mathbf { g } , \ \mathrm { i n } \ \Omega _ { B } } \\ { \mathbf { t } } & { { } = - p _ { w } \mathbf { n } , \ \mathrm { o n } \ \partial _ { E } \Omega _ { B } \cup \partial _ { N } \Omega _ { B } } \end{array}
E _ { 2 } ^ { i , j } ( { \mathcal O } ) : = H ^ { i } ( X _ { K } , { \mathcal V } ^ { j } ) _ { \mathfrak { m } } \Rightarrow \mathbb { H } ^ { i + j } ( X _ { K } , { \mathcal V } _ { \lambda _ { \bar { v } } } \otimes { \mathcal V } _ { \lambda _ { \bar { v } ^ { \prime } } } \otimes { \mathcal V } _ { U } ( \tilde { \lambda } _ { \bar { S } _ { 2 } } ) ) _ { \mathfrak { m } } .
\bar { \mathbf { w } } _ { n , k } = \frac { \left( \sum _ { ( m , j ) } \alpha _ { m , j } \mathbf { h } _ { n , m , j } \mathbf { h } _ { n , m , j } ^ { H } + \mu _ { n } \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } \mathbf { h } _ { n , n , k } } { \left\| \left( \sum _ { ( m , j ) } \alpha _ { m , j } \mathbf { h } _ { n , m , j } \mathbf { h } _ { n , m , j } ^ { H } + \mu _ { n } \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } \mathbf { h } _ { n , n , k } \right\| } .