harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \overline { { \Omega } } _ { v } | \Phi _ { v } \rangle } & { = } & { \Omega _ { v } ^ { ( 0 , 0 ) } | \Phi _ { v } \rangle + \lambda _ { 2 } \Omega _ { v } ^ { ( 1 , 0 ) } | \Phi _ { v } \rangle + \lambda _ { 3 } \tilde { \Omega } _ { v } ^ { ( 0 , 1 ) } | \Phi _ { v } \rangle } \\ & { } & { + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \Omega _ { v } ^ { ( 1 , 1 ) } | \Phi _ { v } \rangle + \cdots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ^ { \theta } \, } & { = \, N N _ { \theta } ^ { C } ( f ( q ) ^ { C } ) } \\ { L ^ { \theta } \, } & { = \, N N _ { \theta } ^ { L } ( f ( q ) ^ { L } ) } \\ { \dot { a } _ { i } ^ { R } ( t ) \, } & { = \, C _ { i } ^ { \theta } + \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } L _ { i j } ^ { \theta } a _ { j } ^ { R } ( t ) + \displaystyle \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } Q _ { i j k } a _ { j } ^ { R } ( t ) a _ { k } ^ { R } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal N } \left( z \right) } & { \sim } & { \overline { { \alpha } } \Phi _ { \infty } \left( \overline { { \alpha } } \right) \left( 1 - z \right) \left( 1 - \mu _ { \beta } \left( 1 - z \right) \right) } \\ { { \cal D } \left( z \right) } & { \sim } & { \left( 1 - z \right) \left( \overline { { \alpha } } - \alpha \mu _ { \beta } \right) } \\ { \Phi _ { \infty } \left( z \right) } & { \sim } & { C : = \overline { { \alpha } } \Phi _ { \infty } \left( \overline { { \alpha } } \right) / \left( \overline { { \alpha } } - \alpha \mu _ { \beta } \right) = \frac { \Phi _ { \infty } \left( \overline { { \alpha } } \right) } { 1 - \mu _ { \beta } / \mu _ { \delta } } } \end{array}
\phi _ { \mu } ^ { * ( m - 1 ) } ( v ) = \left( \prod _ { j = 1 } ^ { m } c _ { j } ^ { - 1 } \right) \phi _ { ( 1 , \cdots , \mu - 1 , \mu + 1 , \cdots , m ) } ( v ) \qquad ( 1 \le \mu \le m ) .
{ \cal M } _ { \nu } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } s + q ^ { 2 } r - 2 p q t + \epsilon ^ { 2 } u \left( t ^ { 2 } - r s \right) } \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { 2 } a ^ { 2 } \left( r s - t ^ { 2 } \right) } } & { { \epsilon a b \left( q t - p s \right) } } & { { \epsilon a c \left( p t - q r \right) } } \\ { { \epsilon a b \left( q t - p s \right) } } & { { b ^ { 2 } \left( \epsilon ^ { 2 } u s - q ^ { 2 } \right) } } & { { b c \left( p q - \epsilon ^ { 2 } u t \right) } } \\ { { \epsilon a c \left( p t - q r \right) } } & { { b c \left( p q - \epsilon ^ { 2 } u t \right) } } & { { c ^ { 2 } \left( \epsilon ^ { 2 } u r - p ^ { 2 } \right) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathcal S _ { B } \left( m _ { a } \right) } & { { } = } & { \left| \mathcal F \right| , } \\ { \tilde { \phi } } & { { } = } & { \arg \mathcal { F } , } \\ { \mathcal F } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 4 \pi \left| { \boldsymbol B } ( 0 ) \right| } \sum _ { l , m } \mathcal K _ { m , n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \left| \boldsymbol B _ { l , m } ( r ^ { \prime } ) \right| e ^ { - i m _ { a } r ^ { \prime } / c } r ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) - \nabla { \mathcal L } _ { n } ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) , { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \rangle \geq \frac { 2 \alpha } { 3 } \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\Pi _ { \mu \nu \rho \sigma } ^ { \mathrm { \mathrm { G v a c } } } ( p ) \sim \kappa ^ { 2 } \Lambda _ { \mathrm { G v a c } } ^ { 4 } N _ { \mu \nu \rho \sigma } ( p ^ { 2 } ) \sim \frac { \Lambda _ { \mathrm { G v a c } } ^ { 4 } } { M _ { \mathrm { P L } } ^ { 2 } } N _ { \mu \nu \rho \sigma } ( p ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial h _ { t } } { \partial w _ { h } } } & { = \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial w _ { h } } + \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial x _ { t } } \underbrace { \frac { \partial g ( h _ { t - 1 } ) } { \partial h _ { t - 1 } } \frac { \partial h _ { t - 1 } } { \partial w _ { h } } } _ { \frac { \partial x _ { t } } { \partial w _ { h } } } + \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial h _ { t - 1 } } \frac { \partial h _ { t - 1 } } { \partial w _ { h } } \implies } \\ & { = \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial w _ { h } } + \Bigg ( \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial x _ { t } } \frac { \partial g ( h _ { t - 1 } ) } { \partial h _ { t - 1 } } + \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial h _ { t - 1 } } \Bigg ) \frac { \partial h _ { t - 1 } } { \partial w _ { h } } } \end{array}
x ( t ) = \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { t ^ { k } x _ { 0 } ^ { ( k ) } } { k ! } + \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha ) } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { F ( \tau , x ( \tau ) ) } { ( t - \tau ) ^ { 1 - \alpha } } \, d \tau .
\mathcal { W } _ { p n l } = \mathop { \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n + 1 } } _ { i \neq j } \frac { \sigma _ { i j } } { 2 \pi } \int _ { z _ { i j } ^ { m i n } } ^ { z _ { i j } ^ { m a x } } \frac { d \Theta _ { i j } } { d z } d z ,
\eta ( R , Z , t ) \, = \, \eta _ { 0 } ( R , Z ) + \epsilon \eta _ { 1 } ( R , Z ) + \epsilon ^ { 2 } \eta _ { 2 } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) + \mathcal { O } \bigl ( \delta \epsilon + \epsilon ^ { \gamma _ { 3 } } \bigr ) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } } & { { } = 0 = \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) } \end{array}
{ \mathcal { M } } _ { \alpha \beta \mu } ^ { ( a ^ { \prime } ) } = 8 \, g ^ { 2 } \, e \int \frac { d ^ { D } k } { ( 4 \pi ) ^ { D } } \frac { ( k + Q ) _ { \alpha } ( k - Q ) _ { \mu } } { \Delta } ,
\Gamma _ { \mathrm { e f f } } + i \Delta _ { \mathrm { e f f } } = \Gamma _ { 0 } + i \Delta _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \omega _ { D } } { \nu _ { \vec { v } } } - \frac { 3 } { 2 } \frac { ( \Gamma _ { 2 } + i \Delta _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \nu _ { \vec { v } } } \frac { 1 + \alpha } { 2 } \frac { f _ { v ^ { 2 } } } { f _ { D } } ,
\begin{array} { r l } & { v _ { j } ^ { \theta } = ( 1 - \theta ) v _ { j } + \theta v _ { j + 1 } , \quad w _ { j } ^ { \theta } = ( 1 - \theta ) w _ { j } + \theta w _ { j + 1 } , } \\ & { V _ { j } ^ { \theta } = ( 1 - \theta ) V ( x _ { j } ) + \theta V ( x _ { j + 1 } ) , \quad 0 \leq \theta \leq 1 , \quad j = 0 , \cdots , N - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H \; = \; } & { \sum _ { n _ { A } , n _ { B } } \big ( M \, | n _ { A } \rangle \langle n _ { A } | \, - \, M \, | n _ { B } \rangle \langle n _ { B } | \big ) \, - \, t \sum _ { \langle n _ { A } , m _ { B } \rangle } \big ( | n _ { A } \rangle \langle m _ { B } | \, + \, | m _ { B } \rangle \langle n _ { A } | \big ) } \\ & { \, - \, t _ { c } \sum _ { \alpha = A , B } \sum _ { \langle \! \langle n _ { \alpha } , m _ { \alpha } \rangle \! \rangle } \big ( e ^ { \imath \phi ( n _ { \alpha } , m _ { \alpha } ) } \, | n _ { \alpha } \rangle \langle m _ { \alpha } | \, + \, e ^ { - \imath \phi ( n _ { \alpha } , m _ { \alpha } ) } \, | m _ { \alpha } \rangle \langle n _ { \alpha } | \big ) } \end{array}
{ \widehat { N _ { { \mathbf { k } } _ { l } } } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } . . . \rangle = n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } . . . \rangle
\Delta t = 1 . 0 0 5 \Delta t _ { \mathrm { ~ C ~ F ~ L ~ } } ^ { \mathrm { b } } = 0 . 9 6 2 4 \Delta t _ { \mathrm { ~ C ~ F ~ L ~ } } ^ { \mathrm { r } } = 0 . 9 6 2 4 \Delta t _ { \mathrm { ~ C ~ F ~ L ~ } } ^ { \mathrm { p } }
\ln J = \lambda \frac { - 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x E B \frac { 1 - \cosh t ( E \pm B ) } { \sinh t E \sinh t B } = \lambda \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \frac { 1 } { 2 } ( E \pm B ) ^ { 2 } + O ( 1 / M ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r } { { \mathfrak { K } } ( { \nu } ) { \mathfrak { K } } ( { \mu } ) = \frac { 1 } { { \nu } - { \mu } } { \mathfrak { K } } ( { \nu } ) \left[ ( { \nu } { \textbf I } - \mathfrak { { A } } ) - ( { \mu } { \textbf I } - \mathfrak { { A } } ) \right] { \mathfrak { K } } ( { \mu } ) = - \frac { 1 } { { \nu } - { \mu } } \left( { \mathfrak { K } } ( { \nu } ) - { \mathfrak { K } } ( { \mu } ) \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( d x _ { k - 1 } | x _ { k } , ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) ) } & { \approx _ { N \uparrow \infty } { \widehat { p } } ( d x _ { k - 1 } | x _ { k } , ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) ) } \\ & { : = { \frac { p ( y _ { k - 1 } | x _ { k - 1 } ) p ( x _ { k } | x _ { k - 1 } ) { \widehat { p } } ( d x _ { k - 1 } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 2 } ) } { \int p ( y _ { k - 1 } | x _ { k - 1 } ^ { \prime } ) ~ p ( x _ { k } | x _ { k - 1 } ^ { \prime } ) { \widehat { p } } ( d x _ { k - 1 } ^ { \prime } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 2 } ) } } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { p ( y _ { k - 1 } | \xi _ { k - 1 } ^ { i } ) p ( x _ { k } | \xi _ { k - 1 } ^ { i } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } p ( y _ { k - 1 } | \xi _ { k - 1 } ^ { j } ) p ( x _ { k } | \xi _ { k - 1 } ^ { j } ) } } \delta _ { \xi _ { k - 1 } ^ { i } } ( d x _ { k - 1 } ) } \end{array} }
\small \mathbb { P } \Bigg \{ R ^ { \epsilon } ( \bar { h } ) \leq \operatorname* { i n f } _ { \hat { \rho } } \Bigg ( \hat { \rho } [ R ^ { \epsilon } ( h ) ] + \Big ( K L ( \hat { \rho } | | \pi ) + \log \Big ( \frac { 1 } { \delta } \Big ) + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) \frac { 2 } { \sqrt { l } } + \frac { 2 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \pi [ 1 + 2 ( L i p ( h ) a ( p , c ) + 1 ) \bar { \alpha } ] \Big ) \Bigg ) \Bigg \} \geq 1 - \delta .
[ p ^ { + } -- u _ { i } -- d _ { j } ] = i \frac { 1 } { \sqrt { 6 } F _ { Q } } V _ { u _ { i } d _ { j } } [ m _ { u _ { i } } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) - m _ { d _ { j } } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) ] ,
\begin{array} { r } { \frac { \rho } { \epsilon } \mathbf { u ^ { \prime } } ^ { * } \cdot \frac { \partial \mathbf { u ^ { \prime } } } { \partial t } = - \nabla \cdot ( p _ { m } ^ { \prime } \mathbf { u ^ { \prime } } ^ { * } ) - \frac { \mu } { \kappa } \mathbf { u ^ { \prime } } ^ { * } \cdot \mathbf { u ^ { \prime } } . } \end{array}
f ( r ) = 1 - \frac { G r ^ { 2 } } { \beta } + \frac { G r ^ { 6 } } { 7 \beta ^ { 2 } q _ { m } ^ { 2 } } - \frac { G r ^ { 1 0 } } { 1 1 \beta ^ { 3 } q _ { m } ^ { 4 } } + { \cal O } ( r ^ { 1 2 } ) ~ ~ ~ ~ r \rightarrow 0 .
r = \frac { 1 } { 2 4 c _ { 0 0 0 } ^ { 2 } } \left[ 1 2 \left( \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial y } \right) ^ { 2 } - 1 2 c _ { 0 0 0 } \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 0 0 } } { \partial y ^ { 2 } } - c _ { 0 0 0 } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 1 0 } } { \partial y ^ { 2 } } \right] ;
\begin{array} { r l r } { a _ { 0 } } & { = } & { 2 1 0 6 0 \; , } \\ { a _ { 1 } } & { = } & { 1 0 9 6 2 \; , } \\ { a _ { 2 } } & { = } & { 6 \left[ 3 1 5 + f _ { 1 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 2 } \right] \; , } \\ { a _ { 3 } } & { = } & { 1 0 8 + f _ { 2 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 2 } \; , } \\ { a _ { 4 } } & { = } & { \frac { k ^ { 2 } } { 2 } \left[ f _ { 3 } ( x ^ { 2 } ) + f _ { 4 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 2 } \right] , } \\ { a _ { 5 } } & { = } & { 3 6 k ^ { 2 } + f _ { 5 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 4 } \; , } \\ { a _ { 6 } } & { = } & { k ^ { 4 } \left[ f _ { 6 } ( x ^ { 2 } ) + f _ { 7 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 2 } \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { R } ( N , i ) } & { \leq \frac { N \omega } { 2 ( 1 - \gamma _ { N } ) } \sum _ { g \geq 1 } g \sum _ { n \geq 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 2 } ^ { n } k \binom { n } { k } \beta _ { N } ^ { k } ( 1 - \beta _ { N } ) ^ { n - k } v _ { g + 1 , n } , } \\ & { \leq \frac { N \omega } { 2 ( 1 - \gamma _ { N } ) } \sum _ { g \geq 1 } g \beta _ { N } \sum _ { n \geq 2 } ^ { \infty } ( n v _ { g + 1 , n } - n ( 1 - \beta _ { N } ) ^ { n - 1 } v _ { g + 1 , n } ) , } \\ & { \leq \frac { N \omega \beta _ { N } ( 1 - p _ { N } ) } { 2 ( 1 - \gamma _ { N } ) } \sum _ { g \geq 1 } g ( ( 2 p _ { N } ) ^ { g } - ( 1 - x _ { N } ) ^ { g } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } \hat { \rho } } { \mathrm { d } t } = - \mathrm { i } [ \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } , \hat { \rho } ] + \sum _ { c \in \{ a , b \} } \mathcal { D } [ \hat { L } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } , c } ] \hat { \rho } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 1 } } & { { } = k _ { 0 } \left( - 1 , 1 , 1 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 3 } } & { { } = k _ { 0 } \left( 1 , 1 , - 1 \right) , } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 2 } } & { { } = k _ { 0 } \left( 1 , - 1 , 1 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 4 } } & { { } = k _ { 0 } \left( - 1 , - 1 , - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { u } ^ { * } } & { = 0 , } \\ { \rho ^ { * } ( \boldsymbol { u } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { u } ^ { * } ) } & { = - \nabla ^ { * } p ^ { * } + \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \tau } ^ { * } , } \end{array}
r _ { S } ( p ) \propto ( p - p _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } ) ^ { \gamma } \, , \quad M _ { \mathrm { ~ b ~ h ~ } } ( p ) \sim ( p - p _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } ) ^ { ( D - 3 ) \gamma } \, ,
\Omega ( \omega ) = I m | ( 1 / \pi ) \sum _ { i , \sigma } [ \langle \Psi _ { 0 } | c _ { i , \sigma } ^ { \dagger } { 1 / ( \omega + E _ { 0 } - { \cal H } _ { B ( M ) } + i \eta ) } c _ { i , \sigma } | \Psi _ { 0 } \rangle - \langle \Psi _ { 0 } | c _ { i , \sigma } { 1 / ( \omega + E _ { 0 } - { \cal H } _ { B ( M ) } + i \eta ) } c _ { i , \sigma } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } \rangle ]
\mathrm { ~ F ~ R ~ C ~ } ( r ) = \frac { \sum _ { i \in R } F _ { 1 } ( r _ { i } ) \cdot F _ { 2 } ( r _ { i } ) * } { \sqrt { \sum _ { i \in R } | F _ { 1 } ( r _ { i } ) | ^ { 2 } \cdot \sum _ { i \in R } | F _ { 2 } ( r _ { i } ) | ^ { 2 } } }
\ensuremath { N _ { v a r } } ^ { 2 } \ensuremath { n _ { s } } \left( a + b + 2 \ensuremath { n _ { p } } + \frac { 3 \ensuremath { n _ { p } } + 2 \ensuremath { n _ { p } } ^ { 2 } + 3 } { \ensuremath { N _ { v a r } } } - \frac { \ensuremath { n _ { p } } ^ { 2 } + \ensuremath { n _ { p } } } { \ensuremath { N _ { v a r } } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 k - n - 1 } } f ( \boldsymbol { s } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) d \boldsymbol { s } _ { 1 , k - 1 } d \boldsymbol { \tilde { s } } _ { 1 , k - n } = \frac { ( \hbar ^ { - 1 } t ) ^ { 2 k - n - 1 } \tau _ { 0 } ^ { n _ { 1 } - 2 k _ { 1 } } } { ( k _ { 1 } - 1 ) ! ( k _ { 1 } - n _ { 1 } ) ! k _ { 2 } ! ( k _ { 2 } - n _ { 2 } ) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { _ 2 F _ { 1 } } ( a , b ; c ; z ) } & { = } & { \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( b - a ) } { \Gamma ( b ) \Gamma ( c - a ) } \big ( - \frac { 1 } { z } \big ) ^ { a } { _ 2 F _ { 1 } } ( a , 1 - c + a ; 1 - b + a ; \frac { 1 } { z } ) } \\ & { } & { + \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( a - b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( c - b ) } \big ( - \frac { 1 } { z } \big ) ^ { b } { _ 2 F _ { 1 } } ( b , 1 - c + b ; 1 - a + b ; \frac { 1 } { z } ) . } \end{array}
C _ { \pm } ^ { \left( d \right) } \left( T \gg \theta _ { \pm } ^ { \left( d \right) } \right) = \left( \frac { k _ { B } } { \hbar } \right) ^ { d } \left[ \frac { \kappa _ { 0 } ^ { \left( d \right) } } { d } \left( \theta _ { \pm } ^ { \left( d \right) } \right) ^ { d } + \frac { \hbar \kappa _ { \pm } ^ { \left( d \right) } } { k _ { B } \left( d - 1 \right) } \left( \theta _ { \pm } ^ { \left( d \right) } \right) ^ { d - 1 } \right] k _ { B } \, .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { 1 } = \sum _ { \gamma _ { 1 } \leq | \gamma | \leq \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) } S _ { \rho } , \quad \Sigma _ { 2 } ( x ) } & { = \sum _ { \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) < | \gamma | < \frac { \kappa _ { 1 } x } { h } } S _ { \rho } , \quad } \\ { \Sigma _ { 3 } ( x ) } & { = \sum _ { \frac { \kappa _ { 1 } x } { h } \leq | \gamma | \leq \frac { \kappa _ { 2 } x } { \tau } } S _ { \rho } , \quad \mathrm { a n d } \quad \Sigma _ { 4 } ( x ) = \sum _ { | \gamma | \geq \frac { \kappa _ { 2 } x } { \tau } } S _ { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { N } _ { 0 } ( x ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) d t } { x ^ { \sigma _ { 0 } } f ( x ) } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { D } _ { 0 } ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { \sigma _ { 0 } } f ( x ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d e t } \left( - \omega \boldsymbol { I } ^ { ( T ) } + k \boldsymbol { A } _ { 0 } ^ { ( T ) } - { \mathrm { i } } \boldsymbol { B } _ { 0 } ^ { ( T ) } \right) = 0 . } \end{array}
w ( r , h ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { \exp \left( - \epsilon r ^ { 2 } / h ^ { 2 } \right) , } & { \quad \mathrm { i f } \quad r \leq h ; } \\ { 0 , } & { \quad \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ C ~ S ~ G ~ L ~ } } } & { { } = \int d ^ { 3 } x \left[ i \hbar \Phi ^ { \dagger } D _ { t } \Phi - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } | D _ { i } \Phi | ^ { 2 } - V ( | \Phi | ^ { 2 } ) \right. } \end{array}
{ \bf ( N 1 ) } \quad \mathrm { A d } \, U ( L ) ( T ( f _ { 1 } \otimes . . . \otimes f _ { n } ) ) = T ( \alpha _ { L } ( f _ { 1 } ) \otimes . . . \otimes \alpha _ { L } ( f _ { n } ) ) , \quad L \in { \cal P } _ { + } ^ { \uparrow } . \nonumber
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \tau ^ { i } \tau ^ { i ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \mathrm { e } ^ { - t } L _ { i } ( t ) L _ { i ^ { \prime } } ( t ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { ( 1 - \tau ) ( 1 - \tau ^ { \prime } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \exp \left( - t \frac { 1 - \tau \tau ^ { \prime } } { ( 1 - \tau ) ( 1 - \tau ^ { \prime } ) } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 1 - \tau \tau ^ { \prime } } \left[ \exp \left( - t \frac { 1 - \tau \tau ^ { \prime } } { ( 1 - \tau ) ( 1 - \tau ^ { \prime } ) } \right) \right] _ { 0 } ^ { \infty } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 1 - \tau \tau ^ { \prime } } } \\ & { = } & { \sum _ { i } ^ { \infty } ( \tau \tau ^ { \prime } ) ^ { i } } \\ & { = } & { \sum _ { i } ^ { \infty } \sum _ { i ^ { \prime } } ^ { \infty } \delta _ { i , i ^ { \prime } } \tau ^ { i } \tau ^ { i ^ { \prime } } . } \end{array}
g ( r ) = \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 f _ { M } } - \frac { f _ { M } \cdot r ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ ~ ~ r \in [ r _ { 0 } \cos ( \vartheta / 2 ) ; r _ { 0 } ] .
\begin{array} { r l } { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { { } = \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, w _ { i j } \, ( 1 - w _ { i j } ) - \big ( 1 - \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \big ) \, w _ { i j } \, ( 1 - w _ { i j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bar { f } } _ { 1 } } & { { } = } & { \hbar k \frac { 1 6 } { 3 } \frac { \delta _ { 1 } s _ { 1 } \, s _ { 2 } \, \, \sin ( 2 \Delta \phi ) } { \left( 8 s _ { 1 } s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) + ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left[ | \sin ( \Delta \phi ) | \sqrt { 2 s _ { 1 } s _ { 2 } } \left( ( 2 s _ { 2 } + 3 s _ { 1 } ) ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) - 8 s _ { 2 } s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) \right) \right. } \\ { { \bar { f } } _ { 2 } } & { { } = } & { \hbar k \frac { 4 } { 3 } \frac { \delta _ { 2 } \, s _ { 1 } \, s _ { 2 } \, \, \sin ( 2 \Delta \phi ) } { \left( 8 s _ { 1 } s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) + ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left[ | \sin ( \Delta \phi ) | \sqrt { 2 s _ { 1 } s _ { 2 } } \left( ( 6 s _ { 2 } + s _ { 1 } ) ( 2 s _ { 2 } - s _ { 1 } ) + 8 s _ { 2 } s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( \Delta \phi ) \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { p } \rho V _ { p } \; \overline { { a } } _ { x , p } ^ { k } \; w _ { x , p } = } & { - \sum _ { p } V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x x , p } ^ { k } \frac { \partial w _ { x , p } } { \partial x } - \sum _ { p } V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x y , p } ^ { k } \frac { \partial w _ { x , p } } { \partial y } } \\ & { - \sum _ { p } A _ { p } \tau _ { x z , p } ^ { k } w _ { x , p } + \sum _ { p } \rho V _ { p } b _ { x , p } ^ { k } \; w _ { x , p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } e _ { i j } \left( \mathbf { x } , \beta \right) } & { { } = \sum _ { I \subseteq \mathcal { N } } c _ { I } ^ { i j } \left( \beta \right) \mathbf { x } _ { I } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { P e } \sum _ { f \sim n b ( P ) } \left( \Bar { \rho } \Bar { c } _ { p } \boldsymbol { \Tilde { V } } \Bar { T } \right) _ { f } \cdot \boldsymbol { \mathcal { S } } _ { f } = \sum _ { f \sim n b ( P ) } \left( \left[ \boldsymbol { \Bar { \Tilde { \kappa } } } \right] ^ { T } \boldsymbol { \nabla } \Bar { T } \right) _ { f } \cdot \boldsymbol { \mathcal { S } } _ { f } + \left( \Bar { \Tilde { Q } } _ { T } \right) _ { P } \cdot \left( \Delta \mathcal { V } \right) _ { P } , } \end{array}
\delta g = \left[ \begin{array} { l } { R _ { x p _ { 1 } } } \\ { Z _ { x p _ { 1 } } } \\ { R _ { x p _ { 2 } } } \\ { Z _ { x p _ { 2 } } } \\ { \psi _ { \bar { s h } _ { i } } - \psi _ { \bar { x p } _ { 1 } } } \\ { \psi _ { \bar { x p } _ { 1 } } - \psi _ { \bar { x p } _ { 2 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { \frac { d \epsilon _ { i } } { d t } } & { { } = } & { ( i ^ { * } + \epsilon _ { i } ) \big ( a \epsilon _ { i } - b \epsilon _ { r } - { \epsilon _ { i } } ^ { 2 } u + \epsilon _ { i } \epsilon _ { r } u \big ) , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \frac { d \epsilon _ { r } } { d t } } & { { } = } & { \left( \epsilon _ { i } \alpha p _ { r } - \epsilon _ { r } l _ { i } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( x ) } & { { } = \sum _ { i } x ^ { \top } { \hat { n } } _ { i } { \hat { n } } _ { i } ^ { \top } x - x ^ { \top } { \hat { n } } _ { i } { \hat { n } } _ { i } ^ { \top } p _ { i } - p _ { i } ^ { \top } { \hat { n } } _ { i } { \hat { n } } _ { i } ^ { \top } x + p _ { i } ^ { \top } { \hat { n } } _ { i } { \hat { n } } _ { i } ^ { \top } p _ { i } } \end{array}
\sum _ { l } e _ { B } ^ { l } = \sum _ { l } \sum _ { j } P _ { l , j } | j \rangle \langle j | = \sum _ { j } ( \sum _ { l } P _ { l , j } ) | j \rangle \langle j | = \sum _ { j } | j \rangle \langle j | = \mathbb { I }
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 0 } } & { : = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , \sharp } ( \varphi ) ) + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 3 } ( \varphi ) + R _ { 6 } ( \varphi ) , } \\ { D _ { 0 } } & { : = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \left( \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \xi ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathfrak { m } _ { \mathfrak { b } } ( \xi ) \right) \right) , } \\ { L _ { 0 } } & { : = \mathcal { L } ^ { 6 } \overset = \omega \cdot \partial _ { \varphi } - D _ { 0 } + \mathcal { R } _ { 0 } , } \end{array}
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } + a _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + 2 \beta } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \mu } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \beta + \mu } \right) \varepsilon \left( t \right) ,