harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { C _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \left[ { \cal H } _ { \mathrm { 3 D } } ( { \bf k } ) \right] C _ { { \bf k } } } & { { } \! = \! \sum _ { j _ { z } } \! \left[ \! m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \! \right] \! C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } ^ { \dagger } [ \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } ] C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \partial _ { x } ^ { s } V } & { = - \Big [ \partial _ { x } ^ { s } ( U \partial _ { x } v ^ { k } + u ^ { j } \partial _ { x } V + W \partial _ { z } v ^ { k } + w ^ { j } \partial _ { z } V ) \Big ] d t + \Big [ \partial _ { x } ^ { s } \partial _ { z } ( \sigma ( u ^ { k } ) - \sigma ( u ^ { j } ) ) \Big ] d W } \\ & { = - \Big [ \partial _ { x } ^ { s } ( U \partial _ { x } v ^ { k } + u ^ { j } \partial _ { x } V + W \partial _ { z } v ^ { j } + w ^ { k } \partial _ { z } V ) \Big ] d t + \Big [ \partial _ { x } ^ { s } \partial _ { z } ( \sigma ( u ^ { k } ) - \sigma ( u ^ { j } ) ) \Big ] d W : = A _ { 1 } d t + A _ { 2 } d W , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \partial _ { t } a _ { 0 , h } ( t ) + ( \psi ( p _ { \tilde { m } , h } ) \triangleleft a _ { 0 , h } ) _ { 1 } + ( q _ { 1 , h } \triangleleft a _ { 0 , h } ) _ { 0 } = 0 , } \\ & { i \partial _ { t } a _ { r , h } ( t ) + ( \psi ( p _ { \tilde { m } , h } ) \triangleleft a _ { r , h } ) _ { 1 } + ( q _ { 1 , h } \triangleleft a _ { r , h } ) _ { 0 } = - \sum _ { k + j + l = r + 1 , j \leq r - 1 } ( q _ { k , h } \triangleleft a _ { j , h } ) _ { l } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { c } } } & { = \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } { \mathcal { L } } \, d t = \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } m { \dot { x } } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) \, d t } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } m \omega \left( { \frac { ( x _ { i } ^ { 2 } + x _ { f } ^ { 2 } ) \cos \omega ( t _ { f } - t _ { i } ) - 2 x _ { i } x _ { f } } { \sin \omega ( t _ { f } - t _ { i } ) } } \right) ~ . } \end{array} }
\| y _ { r h } \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) ; H _ { \mathbb { P } } ) } ^ { 2 } \leq c _ { 6 } \| y _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \int _ { 0 } ^ { \infty } \| y _ { r h } ( t ) \| _ { V _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \leq \frac { c _ { 6 } } { \underline { { \nu } } } \| y _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } .
S = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d x ^ { 2 } \sqrt { - g } e ^ { - 2 \phi } \left[ R + 2 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + 2 \lambda ^ { 2 } e ^ { 2 \phi } - \frac { 1 } { 4 } F ^ { 2 } \right] ,
) , a f t e r t r a n s i e n t ( n > 1 7 5 ) , b i f u r c a t i o n c o l l a p s e s t o o n e . F u r t h e r m o r e , 3 - c y c l e i s o p e n e d i n x a t \mu _ { 0 } = 3 . 8 4 , a s i n d i c a t e d i n F i g u r e (
b _ { j k } ^ { ( i ) } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } \left| \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) \right| + b _ { k j } ^ { ( i ) } \epsilon _ { k } \left| c _ { k } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } \left| \Re \left( \lambda _ { k } ^ { ( i ) } \right) \right| \geq \epsilon _ { k } \left| \Re \left( c _ { j } ^ { ( i ) } \bar { c } _ { k } ^ { ( i ) } \left\langle \widehat { e } _ { j } , L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right) \right|
\overline { { \varepsilon } } ( \mathbf { M } , \omega ) = \varepsilon _ { 0 } \left[ \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { r } ( \omega ) } & { - i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { z } } & { i f _ { \mathrm { F } } ( \omega ) M _ { y } } \\ { i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { z } } & { \varepsilon _ { r } ( \omega ) } & { - i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { x } } \\ { - i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { y } } & { i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { x } } & { \varepsilon _ { r } ( \omega ) } \end{array} \right] ,
\sigma _ { \mathrm { q u a d } } ^ { 2 } = \frac { \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } \hat { \Sigma } _ { \mathrm { A C } } } { \eta _ { m } \kappa _ { m } B ^ { 2 } ( P _ { \mathrm { S } } T / N h \nu _ { 0 } ) } = \frac { N ^ { 2 } } { T } c _ { \gamma } \frac { 4 h \nu _ { 0 } } { P _ { \mathrm { S } } } ,
\delta x _ { i } ( s ) \; = \; ( \partial _ { s } x _ { i } ) ( s ) \delta \widetilde { \gamma } _ { i } [ g ] ( s ) \; \; \; , \; \; \; \delta \varphi _ { i } ( s ) \; = \; ( \partial _ { s } \varphi _ { i } ) ( s ) \delta \widetilde { \gamma } _ { i } [ g ] ( s ) \; \; \;
M ^ { - 1 } ( x ) \; = \; \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } r } \, \left[ \frac { \pi } { 2 } \cos ( \frac { e ^ { 2 } r } { 8 } ) \, + \, \mathrm { c i } ( \frac { e ^ { 2 } r } { 8 } ) \sin ( \frac { e ^ { 2 } r } { 8 } ) \, - \, \mathrm { s i } ( \frac { e ^ { 2 } r } { 8 } ) \cos ( \frac { e ^ { 2 } r } { 8 } ) \right]
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla ^ { 2 } H _ { 2 } ( r , \theta ) - \omega ^ { 2 } H _ { 2 } ( r , \theta ) = 0 , } \\ { \nabla ^ { 2 } H ( r , \theta ) + \omega ^ { 2 } H ( r , \theta ) = H _ { 2 } ( r , \theta ) . } \end{array} \right.
\mathcal { F } _ { m i n } = \Theta \left( \sqrt { \frac { 5 } { 6 } } \tan ^ { - 1 } \left( \sqrt { \frac { 2 1 } { 5 } } \right) - \sqrt { \frac { 7 } { 2 } } \left( \log \left( \frac { 1 2 \Theta } { 1 3 } \right) + 1 \right) \right) .
\textmd { M D } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { P } | x _ { i j k } ^ { \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } } - x _ { i j k } ^ { \mathrm { ~ C ~ E ~ M ~ } } | } { N M P } .
\operatorname * { l i m } _ { k \to 0 } \ \left| { \cal M } _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } } ^ { } ( \gamma \gamma \to q \bar { q } g ) \right| ^ { 2 } \ \to \ { \cal S } ( p , \bar { p } ; k ) \left| { \cal M } _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } } ^ { } ( \gamma \gamma \to q \bar { q } ) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { R _ { l } = { \frac { \Gamma ( \tau \to P \nu _ { \tau } ) } { \Gamma ( P \to l \bar { \nu } _ { l } ) } } { \frac { m _ { \tau } / ( m _ { \tau } ^ { 2 } - m _ { P } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { m _ { P } / ( m _ { P } ^ { 2 } - m _ { l } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = { \frac { g _ { \tau } ^ { 2 } } { g _ { l } ^ { 2 } } } \; . } \end{array}
\beta = \mathrm { d } \rho _ { s } / \mathrm { d } \Omega _ { \mathrm { M W } } = 1 7 \ ( \mathrm { r a d / s } ) ^ { - 1 } \approx 1 . 1 \times 1 0 ^ { - 4 } ( 2 \pi \mathrm { M H z } ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l r } { H _ { \gamma , \mathrm { s u r f } } ^ { \pm } } & { { } = } & { \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } H _ { \gamma , \mathrm { 3 D } } \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } = } & { { } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } \, c _ { i j } [ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ] \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } } \\ { \mu _ { i \setminus j } ^ { t } = } & { { } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } \, c _ { i j } [ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ] \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \mu - \alpha \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \beta + \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \mu + \nu } \sin \left( \left( 2 \mu + \nu - \alpha \right) \pi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon ^ { \mu \nu } A _ { \mu } ^ { 0 } A _ { \nu } ^ { 0 } } & { = } & { A _ { 0 } ^ { 0 } A _ { 1 } ^ { 0 } - A _ { 1 } ^ { 0 } A _ { 0 } ^ { 0 } = 0 } \\ { \epsilon ^ { \mu \nu } A _ { \mu } ^ { 1 } A _ { \nu } ^ { 1 } } & { = } & { A _ { 0 } ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { 1 } - A _ { 1 } ^ { 1 } A _ { 0 } ^ { 1 } = 0 } \\ { \epsilon ^ { \mu \nu } A _ { \mu } ^ { 1 } A _ { \nu } ^ { 0 } } & { = } & { A _ { 0 } ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { 0 } - A _ { 1 } ^ { 1 } A _ { 0 } ^ { 0 } = C } \\ { \epsilon ^ { \mu \nu } A _ { \mu } ^ { 0 } A _ { \nu } ^ { 1 } } & { = } & { A _ { 0 } ^ { 0 } A _ { 1 } ^ { 1 } - A _ { 1 } ^ { 0 } A _ { 0 } ^ { 1 } = - C } \end{array}
Z ( J _ { \mu } , \eta ) = \operatorname * { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \int \exp \{ i S + \int d ^ { 4 } x [ J _ { \mu } ^ { a } ( x ) A _ { \mu } ^ { a } ( x ) + \eta ^ { a } ( x ) \chi ^ { a } ( x ) ] \} d A _ { \mu } d \bar { c } d c d \chi
\left. \frac { \partial { \cal L } _ { s } } { \partial { \bf q } } \right| _ { ( { \bf 0 } , \dot { \bf q } _ { 0 } ) } = \frac { 1 } { v _ { 0 } } \left( { \bf h } _ { 0 } - \frac { \cos \psi _ { 0 } } { v _ { 0 } } \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial { \bf q } } \right) \, ,
\underset { \bf x } { \mathrm { ~ M ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } } \ F ( { \bf x } ) = \underset { \bf x } { \mathrm { ~ M ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } } \ - \frac { 1 } { 2 } { \bf x } ^ { T } Q { \bf x } - { \bf b } ^ { T } { \bf x }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial } { \partial b } \left\{ I ( u , v ) \right\} } \\ & { = } & { \frac { \partial } { \partial b } \left| \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { j a Z _ { 5 } ( r , \theta ) + j b Z _ { 4 } ( r , \theta ) } e ^ { - j 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta \right| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { \partial } { \partial b } \left[ \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { j [ a Z _ { 5 } ( r , \theta ) + b Z _ { 4 } ( r , \theta ) - 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta \right. } \\ & { } & { \times \left. \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - j [ a Z _ { 5 } ( r , \theta ) + b Z _ { 4 } ( r , \theta ) - 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta \right] } \\ & { = } & { - j \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { j [ a Z _ { 5 } ( r , \theta ) + b Z _ { 4 } ( r , \theta ) - 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } Z _ { 4 } ( r , \theta ) e ^ { - j [ a Z _ { 5 } ( r , \theta ) + b Z _ { 4 } ( r , \theta ) - 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta } \\ & { } & { + \: j \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - j [ a Z _ { 5 } ( r , \theta ) + b Z _ { 4 } ( r , \theta ) - 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } Z _ { 4 } ( r , \theta ) e ^ { j [ a Z _ { 5 } ( r , \theta ) + b Z _ { 4 } ( r , \theta ) - 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta } \\ & { } & \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left( { \frac { 1 } { N } } \log W \right) } & { = { \frac { 1 } { N } } \left( N \log N - \sum _ { i = 1 } ^ { m } N p _ { i } \log ( N p _ { i } ) \right) } \\ & { = \log N - \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } \log ( N p _ { i } ) } \\ & { = \log N - \log N \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } \log p _ { i } } \\ & { = \left( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } \right) \log N - \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } \log p _ { i } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } \log p _ { i } } \\ & { = H ( \mathbf { p } ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol s } _ { \alpha } ( 0 , t ) } & { = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \iiint _ { \Omega _ { L } } \boldsymbol u ( \boldsymbol x , t ) \cdot \left( \nabla \boldsymbol u _ { \alpha } \right) ( \boldsymbol x , t ) d \boldsymbol x } \\ & { = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \iiint _ { \Omega _ { L } } \nabla \cdot \left( \boldsymbol u ( \boldsymbol x , t ) \boldsymbol u _ { \alpha } ( \boldsymbol x , t ) \right) d \boldsymbol x = 0 , } \end{array}
\mathcal { L } ( \{ q , \hat { q } \} _ { r \in R } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \left( \vec { q } _ { r , m , n } - \hat { \vec { q } } _ { r , m , n } \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { r } ^ { 2 } }
\int _ { 0 } ^ { \infty } d r ~ r ^ { \frac { n } { 2 } } ~ ( c ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) ^ { m } ~ J _ { \frac { n - 2 } { 2 } } ( r | p | ) ~ = ~ ( 2 / | p | ) ^ { m + 1 } ~ \frac { c ^ { \frac { n } { 2 } + m } } { \Gamma ( - m ) } ~ K _ { \frac { n } { 2 } + m } ( c | p | ) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) } & { { } = \langle e ^ { - T _ { * } } \mathcal { F } _ { K } e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle + \langle \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\mathrm { ~ A ~ . ~ D ~ . ~ } \ = \ | E _ { e x a c t } - E _ { \mathrm { ~ B ~ S ~ } } | \quad , \quad \mathrm { ~ R ~ . ~ D ~ . ~ } \ = \ \frac { \left| E _ { e x a c t } - E _ { \mathrm { ~ B ~ S ~ } } \right| } { E _ { e x a c t } } \ ,
f _ { { \bf p } _ { \bf k } } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 E _ { \bf k } V } } \, \, e ^ { - i P _ { \bf k } \cdot x } \, , \; \; \; \; \; \; \; ( E _ { \bf k } = \sqrt { p _ { \bf k } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \, ) \, ,
\begin{array} { r l r } { H _ { 0 } = } & { H _ { \mathrm { p h } } + \sum _ { i = \mathrm { A } , \mathrm { B } } \sum _ { x = \mathrm { R } , \mathrm { P } } ( H _ { x , i } + V _ { x , i } ) | x _ { i } \rangle \langle x _ { i } | , } & \\ { V _ { \mathrm { r e a c t } } = } & { \sum _ { i = \mathrm { A , B } } J _ { i } ( | \mathrm { R } _ { i } \rangle \langle \mathrm { P } _ { i } | + | \mathrm { P } _ { i } \rangle \langle \mathrm { R } _ { i } | ) . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \nabla \log f \Vert _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { R } ) } ^ { 2 } } & { \lesssim \int _ { \mathcal { R } } \sum _ { j \geq 1 } \sum _ { k \geq 1 } | \nabla f _ { j } | | \nabla f _ { k } | d x \lesssim \sum _ { j \geq 1 } \sum _ { k \geq 1 } m _ { j } m _ { k } 2 ^ { - | j - k | } \le 3 \Vert \mathfrak { m } \Vert _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
u _ { m \ell } ( r ) : = - w _ { \infty , m \ell } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } ( r ^ { \prime } - 1 ) ^ { - 2 } w _ { \infty , m \ell } ^ { - 2 } ( r ^ { \prime } ) e ^ { i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r ^ { \prime } } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } \left[ \int _ { r ^ { \prime } } ^ { \infty } w _ { \infty , m \ell } ( x ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { x } \frac { y + 1 } { y - 1 } \, d y } F _ { m \ell } ( x ) \, d x \right] \, d r ^ { \prime } ,
\gamma _ { \alpha } ^ { \perp } = g _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { \perp } \gamma _ { \alpha ^ { \prime } } \ , \quad g _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { \perp } = g _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } - \frac { P _ { \alpha ^ { \prime } } } { P ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { \vec { \rho } _ { 1 } } & { = \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } _ { 1 } ~ , } \\ { \vec { \rho } _ { 2 } } & { = \vec { r } _ { 3 } - \vec { R } _ { C M 1 2 } ~ , } \\ { \vec { \rho } _ { C M } } & { = \frac { m _ { 1 } \vec { r } _ { 1 } + m _ { 2 } \vec { r } _ { 2 } + m _ { 3 } \vec { r } _ { 3 } } { M } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \boldsymbol x ) } & { = \int _ { \left[ - \frac M 2 , \frac M 2 \right) ^ { d } } \hat { f } ( \boldsymbol v ) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x } \, \mathrm d \boldsymbol v \approx \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, f ( \boldsymbol x _ { j } ) \int _ { \left[ - \frac M 2 , \frac M 2 \right) ^ { d } } \mathrm e ^ { - 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v ( \boldsymbol x _ { j } - \boldsymbol x ) } \, \mathrm d \boldsymbol v } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, f ( \boldsymbol x _ { j } ) \cdot | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | \, \mathrm { s i n c } ( M \pi ( \boldsymbol x _ { j } - \boldsymbol x ) ) , \quad \boldsymbol x \in \mathbb R ^ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \left\lVert \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\rVert ^ { 2 } \right] \leq } & { \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \right) + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) + \mathcal { O } \left( \mathcal { E } _ { a p p } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \nu _ { m } ( a , b ) - \nu ( a , b ) \right| } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \left( \int _ { [ 0 , 1 ] } | ( C _ { m } - C ) ( \textbf { 1 } , x , \textbf { 1 } ) | d x + \int _ { [ 0 , 1 ] } | ( C _ { m } - C ) ( \textbf { 1 } , x , \textbf { 1 } ) | d x \right) } \\ & { + \int _ { [ 0 , 1 ] } | ( C _ { m } - C ) ( 1 , \dots , x , \dots , x , \dots , 1 ) | d x . } \end{array}
\iiint \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 2 , 1 ) } \left[ \left\vert \frac { \nabla f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \nabla f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } { f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \right\vert + \left\vert \frac { \nabla f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \nabla f _ { s } ( x _ { 2 } - y _ { 1 } ) } { f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) f _ { s } ( x _ { 2 } - y _ { 1 } } \right\vert \right] \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } \, \textnormal { d } y _ { 1 } .
E _ { n , \alpha , \theta } = 2 \hbar w \left( 1 - \left( \frac { m w \theta } { 2 \hbar } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( n + \frac { \left| \alpha \right| + 1 } { 2 } \right) - \frac { m \theta w ^ { 2 } \alpha } { 2 } .
\begin{array} { r } { d x _ { t } = - \tau _ { x } ^ { - 1 } \partial _ { x } U ( x _ { t } , s _ { t } ) d t + \sqrt { 2 T _ { x } \tau _ { x } ^ { - 1 } } d W _ { t } ^ { x } , } \\ { d s _ { t } = - \tau _ { s } ^ { - 1 } \partial _ { s } V ( s _ { t } ) d t + \sqrt { 2 T _ { s } \tau _ { s } ^ { - 1 } } d W _ { t } ^ { s } \, , } \end{array}
\Delta S _ { \mathrm { s y s t e m } } = \Delta S _ { \mathrm { c o m p e n s a t e d } } + \Delta S _ { \mathrm { u n c o m p e n s a t e d } } \, \, \, \, { \mathrm { w i t h } } \, \, \, \, \Delta S _ { \mathrm { c o m p e n s a t e d } } = - \Delta S _ { \mathrm { s u r r o u n d i n g s } } .
( a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 2 } , \ldots ) + ( b _ { 0 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , \ldots ) = ( a _ { 0 } + b _ { 0 } , a _ { 1 } + b _ { 1 } , a _ { 2 } + b _ { 2 } , \ldots )
\begin{array} { r } { \delta \phi _ { \mathrm { ~ d ~ f ~ } } ^ { o p t } = \delta \phi _ { \mathrm { ~ s ~ g ~ } } ^ { o p t } = \delta \phi _ { \mathrm { ~ S ~ I ~ L ~ } } = \frac { \sqrt { 1 - l _ { a } } + \sqrt { 1 - l _ { b } } } { 2 \sqrt { ( 1 - l _ { a } ) ( 1 - l _ { b } ) N } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \phi } \left[ \left( \operatorname* { m a x } _ { D _ { 1 } , D _ { 2 } , D _ { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ d ~ . ~ } } ( \phi , D _ { i } ) \right) + \gamma \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathcal { L } _ { F M } ( \phi , D _ { i } ) \right] } \end{array}
( { \cal H } _ { 1 } \oplus { \cal H } _ { 2 } , \pi _ { 1 } \oplus \pi _ { 2 } , \sqrt { \lambda _ { 1 } } | \Omega _ { 1 } \rangle \oplus \sqrt { \lambda _ { 2 } } | \Omega _ { 2 } \rangle ) .
( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 1 } = - M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , \quad \boldsymbol { v } _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \Delta ( 0 , \eta - \tilde { B } _ { 0 } B _ { 0 } , i B _ { 0 } + i \nu \tilde { B } _ { 0 } ) ^ { T }
\begin{array} { r c l l } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( s ^ { 2 \nu } + \kappa \xi ^ { 2 } ) \widehat { \mathcal { F } \{ \psi _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } = \kappa \partial _ { x x } \widehat { \mathcal { F } \{ \psi _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } , } \\ { \widehat { \mathcal { F } \{ \psi _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } ( - a , s , \xi ) = 0 , } \\ { \partial _ { x } \widehat { \mathcal { F } \{ \psi _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } = \partial _ { x } \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } - \partial _ { x } \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } , } \end{array} \right. } \end{array} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \begin{array} { r c l l } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( s ^ { 2 \nu } + \kappa \xi ^ { 2 } ) \widehat { \mathcal { F } \{ \psi _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } = \kappa \partial _ { x x } \widehat { \mathcal { F } \{ \psi _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } , } \\ { \partial _ { x } \widehat { \mathcal { F } \{ \psi _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } = \partial _ { x } \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } - \partial _ { x } \widehat { \mathcal { F } \{ u _ { 1 } \} } ^ { ( k ) } , } \\ { \widehat { \mathcal { F } \{ \psi _ { 2 } \} } ^ { ( k ) } ( b , s , \xi ) = 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { K ( r , t ) = \alpha \int _ { k _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { k _ { \operatorname* { m a x } } } k ^ { - 5 / 3 } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ( k r ) e ^ { - t / \tau ( k ) } d k , } \end{array}
\sigma _ { x | \eta } ^ { 2 } - \langle \delta x ( 0 ) \delta \ell ( \tau ) \rangle ^ { 2 } / \sigma _ { \ell } ^ { 2 } = \int _ { - \infty } ^ { 0 } d s \int _ { - \infty } ^ { 0 } d s ^ { \prime } k ( - s ) k ( - s ^ { \prime } ) \left( \langle \delta \ell ( s ) \delta \ell ( s ^ { \prime } ) \rangle - \frac { \langle \delta \ell ( \tau ) \delta \ell ( s ^ { \prime } ) \rangle \langle \delta \ell ( \tau ) \delta \ell ( s ) \rangle } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } \right) ,
e _ { \hat { 0 } } ^ { \; \; \mu } e _ { \alpha } ^ { \; \; \nu } \left. \frac { \partial \Gamma _ { R } } { \partial b ^ { \mu \nu } } \right| _ { g _ { \mu \nu } } = { \bar { e } } _ { \alpha } ^ { \; \; i } { e } _ { \hat { 0 } } ^ { \; \; 0 } a \frac { \partial \Gamma _ { R } } { \partial w ^ { i } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { d \eta } { d z } = \frac { \left( \eta _ { m } ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \right) } { \eta _ { m } } \left\{ - g _ { L } \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right) + \frac { ( g _ { 0 } + g _ { L } ) \eta } { \pi \eta _ { m } } J _ { 1 } ( \eta ) \right. } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \left. - 4 \epsilon _ { 3 } \eta _ { m } ^ { 2 } \left[ \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right) - \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right] \right\} , } \end{array}
t = \frac { \mu L } { W } \int _ { \eta _ { 0 } } ^ { \eta } \mathrm { d } \eta ^ { \prime } \ \frac { \exp [ - 2 \lambda ( \eta ^ { \prime } ) ] } { C _ { 3 2 } ( \eta ^ { \prime } ) + s C _ { 3 3 } ( \eta ^ { \prime } ) }
\langle \hat { F } _ { j } ( t ) \hat { F } _ { j } ( \acute { t } ) \rangle = \frac { \gamma _ { j } } { 2 \pi \omega _ { j } } \int d \omega e ^ { - i \omega ( t - \acute { t } ) } [ 1 + c o t h ( \frac { \hbar \omega } { 2 k _ { B } T } ) ] , ( j = x , y )
\begin{array} { r } { v _ { \beta } ( x ) \ge \left[ \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { 2 \beta } { \sigma } - \frac { \sigma h } { \eta } \right) \exp \left\{ \frac { \sigma ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 4 \eta } \right\} \sqrt { \frac { \pi } { \eta } } - \left( r + \frac { h } { \eta } \right) \right] \exp \left\{ \frac { \eta } { \sigma ^ { 2 } } x ^ { 2 } + a x \right\} + \frac { h } { \eta } , \quad x > x _ { 0 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { p _ { n } } } } & { \geq \sum _ { n = 6 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { p _ { n } } } } \\ & { \geq \sum _ { n = 6 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n \log n + n \log \log n } } } \\ & { \geq \sum _ { n = 6 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 n \log n } } = \infty } \end{array} }
\rho _ { \mu \nu } ( \mathbf { G } ) \sim \frac { \Omega } { N } \sum _ { n } ^ { N } e ^ { - i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } _ { n } } \phi _ { \mu } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { n } ) \phi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { n } ) ,