harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l } { \mathbf { f } = \mathbf { p } - \ensuremath { \mathbf { w } } \left( \frac { p _ { 0 } } { w } + m \right) } & { { } , } & { f _ { \parallel } } & { { } = \frac { ( \mathbf { f } \ensuremath { \mathbf { w } } ) } { w } , } & { f ^ { 2 } } & { { } = f _ { \parallel } ^ { 2 } + f _ { \perp \vphantom { \parallel } } ^ { 2 } , } \\ { g _ { \perp \vphantom { \parallel } } = f _ { \perp \vphantom { \parallel } } \sqrt { m v _ { L } / p _ { F } } } & { { } , } & { g _ { \parallel } } & { { } = f _ { \parallel } , } & { g ^ { 2 } } & { { } = g _ { \parallel } ^ { 2 } + g _ { \perp \vphantom { \parallel } } ^ { 2 } . } \end{array}
\nu + M _ { A } = \sqrt { M _ { x } ^ { 2 } + ( \vec { p } _ { 1 } + \vec { q } ) ^ { 2 } } + \sqrt { M ^ { 2 } + \vec { p } _ { 2 } ^ { 2 } } + \sqrt { M _ { A - 2 } ^ { 2 } + \vec { P } _ { A - 2 } ^ { 2 } }
G _ { a , b } : \left\{ \begin{array} { c c } { x _ { 1 } = u _ { 1 } t + a \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { u _ { 2 } } { u _ { 1 } ^ { 3 } } \right) } \, , } & { a ( x _ { 1 } - u _ { 1 } t ) > 0 } \\ { x _ { 2 } = u _ { 2 } t + b \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { u _ { 2 } } { u _ { 1 } } \right) } \, , } & { b ( x _ { 2 } - u _ { 2 } t ) > 0 } \end{array} \right. \, , \qquad a = \pm \, , b = \pm \, .
\begin{array} { r l } { | \mathcal { D } _ { \omega } \mathfrak { p } _ { 2 } | _ { 0 , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \\ { | d _ { i } ( \mathcal { D } _ { \omega } \mathfrak { p } _ { 2 } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { 0 , s , \eta _ { 0 } } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 2 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) , } \\ { | \mathfrak { p } _ { 2 } | _ { 0 , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ { | d _ { i } \mathfrak { p } _ { 2 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { 0 , s , \eta _ { 0 } } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf { L } } = } & { { } \frac 1 { 2 \Delta t } \mathbf { L } ( t ) \cdot ( \mathbf { X } _ { j - 1 } ^ { 0 } - 2 \mathbf { X } _ { j } ^ { 0 } + \mathbf { X } _ { j + 1 } ^ { 0 } ) \mathbf { X } _ { j } ^ { 0 , \top } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \eta ^ { \prime \prime } { } ^ { \mu } } \frac { \partial } { \partial \overline { { { \psi } } } ^ { \prime \prime } } \Omega ( \zeta ^ { \prime \prime } ) = \frac { \partial } { \partial \overline { { { \psi } } } ^ { \prime \prime } } \frac { \partial } { \partial \eta ^ { \prime \prime } { } ^ { \mu } } F ( \zeta ^ { \prime \prime } ) \, ,
\mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \left( I - \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } \right) \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\} \right\}
\begin{array} { r l } { m _ { \infty } ( v ) } & { = \alpha _ { m } ( v ) / \big [ \alpha _ { m } ( v ) + \beta _ { m } ( v ) \big ] , } \\ { \alpha _ { m } ( v ) } & { = 0 . 1 ( v + 3 5 ) / \{ 1 - 0 . 1 \exp [ - ( v + 3 5 ) ] \} , } \\ { \beta _ { m } ( v ) } & { = 4 \exp [ - ( v + 6 0 ) / 1 8 ] , } \\ { \alpha _ { h } ( v ) } & { = 0 . 0 7 \exp [ - ( v + 5 8 ) / 2 0 ] , } \\ { \beta _ { h } ( v ) } & { = 1 / \{ 1 + \exp [ - 0 . 1 ( v + 2 8 ) ] \} , } \\ { \alpha _ { n } ( v ) } & { = 0 . 0 1 ( v + 3 4 ) / \{ 1 - \exp [ - 0 . 1 ( v + 3 4 ) ] \} , } \\ { \beta _ { n } ( v ) } & { = 0 . 1 2 5 \exp [ - ( v + 4 4 ) / 8 0 ] . } \end{array}
{ { \mathbb { F } } _ { i + 1 / 2 } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \delta \right) = \int _ { { { t } _ { n } } } ^ { { { t } _ { n } } + \delta } { { { F } _ { i + 1 / 2 } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , t \right) } d t
\rho \left( \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla u } \right) = - \boldsymbol { \nabla } p + \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \eta \left[ \boldsymbol { \nabla u } + \boldsymbol { \nabla u ^ { T } } \right] \right) + \boldsymbol { F _ { \sigma } } + \boldsymbol { g } ,
\begin{array} { r l } { \zeta _ { i } ^ { ( n ) } } & { { } = \left( \varepsilon _ { i j k } \xi _ { j } ^ { ( n ) } \tilde { \kappa } _ { k } ^ { ( n ) } \right) _ { \mathrm { n o r m a l i z e } } , } \\ { \sigma _ { i } ^ { ( n ) } } & { { } = \left( \varepsilon _ { i j k } \tilde { \kappa } _ { j } ^ { ( n ) } \zeta _ { j } ^ { ( n ) } \right) _ { \mathrm { n o r m a l i z e } } . } \end{array}
\boldsymbol { \mathsf { A } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( t ) - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \, d \tau = \boldsymbol { \mathsf { A } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( t _ { 0 } ) \, ,
v _ { x } = \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } \bigg ( \frac { z ^ { 2 } } { 2 } - z \zeta - \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } + \zeta \xi \bigg ) + \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \sigma } { \partial x } ( z - \xi ) + H \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial t } - H ^ { 2 } \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial t } .
\begin{array} { r l } { q _ { k + 1 } ( t ) } & { = \int _ { \mathbb { R } } f _ { k } \left( \xi , t - \xi \right) d \xi } \\ & { \underline { { \underline { { x \perp \! \! \! \perp u } } } } \int _ { \mathbb { R } } q _ { k } \left( \frac { \xi } { a ( k ) } \right) p _ { k } \left( t - \xi \right) d \xi } \\ & { \underline { { \underline { { x \perp \! \! \! \perp u } } } } \left( q _ { k } \left( \frac { t } { a ( k ) } \right) * p _ { k } ( t ) \right) ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textrm { d } \rho ( c ( t ) ) } { \textrm { d } t } } & { = \frac { \textrm { d } \rho ( c ( t ) ) } { \textrm { d } c ( t ) } \cdot \frac { \textrm { d } c ( t ) } { \textrm { d } t } } \\ & { = \frac { \textrm { d } c ( t ) } { \textrm { d } t } [ V ( x ( c ( t ) ) , \theta ) \rho ( c ( t ) ) V ( x ( c ( t ) ) , \theta ) ^ { \dagger } } \\ & { - \rho ( c ( t ) ) ] . } \end{array}
g ( \nu , t ) = \frac { \alpha } { r } \, \frac { \nu \omega _ { 0 } ^ { 2 } r + \left( 2 \gamma r + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) \nu ^ { 2 } + \left( r + 2 \gamma \right) \nu ^ { 3 } + \left( \left( r + 2 \gamma \right) \nu + 2 \nu ^ { 2 } + 2 \gamma r - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) t ^ { 2 } + \nu ^ { 4 } + t ^ { 4 } } { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } - t ^ { 2 } + 2 \gamma \, \nu \right) ^ { 2 } + \left( 2 \, \nu + 2 \gamma \right) ^ { 2 } t ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { m _ { e } } & { { } = } & { 6 C _ { L R } } \\ { m _ { u } } & { { } = } & { - 2 C _ { L L } + 3 C _ { L R } + 2 C _ { R R } - W _ { C } } \\ { m _ { d } } & { { } = } & { - 2 C _ { L L } + 3 C _ { L R } + 2 C _ { R R } + W _ { C } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - c \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ( r ( t ) - x _ { 2 } \big ) = \frac { \partial \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 1 } } \Big ( - c x _ { 1 } \big ( r ( t ) - x _ { 2 } \big ) \Big ) + \frac { \partial \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 2 } } \Big ( x _ { 2 } + d ( t ) + s x _ { 1 } \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \b ) \Big ) , } \\ & { b x _ { 2 } + d ( t ) + s \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) = x _ { 2 } + d ( t ) + s x _ { 1 } \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) . } \end{array}
S ^ { ( i ) } ( \lambda ) = \frac { \alpha _ { R } ^ { 0 } } \pi \frac { ( 1 - \lambda ) } \lambda \{ 2 + [ \frac 2 { \lambda ^ { 2 } } - \frac { 1 + \lambda } \lambda ] \ln \left| 1 - \lambda ^ { 2 } \right| \}
\begin{array} { r l } { q _ { C | C } } & { = \frac { k - 2 } { k - 1 } p _ { C } + \frac { 1 } { k - 1 } , } \\ { q _ { D | C } } & { = \frac { k - 2 } { k - 1 } ( 1 - p _ { C } ) , } \\ { p _ { C D } } & { = \frac { k - 2 } { k - 1 } p _ { C } ( 1 - p _ { C } ) , } \\ { q _ { C | D } } & { = \frac { k - 2 } { k - 1 } p _ { C } , } \\ { q _ { D | D } } & { = 1 - \frac { k - 2 } { k - 1 } p _ { C } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \mathbf n \cdot { \hat { \textbf { D } } } { \hat { \nabla } } { \hat { c } } _ { \varepsilon } = { \hat { k } } ( { \hat { c } } _ { \varepsilon } ^ { a } - \overline { { c } } ^ { a } ) \qquad \hat { \mathbf x } \in { \Gamma } ^ { \varepsilon } } \end{array}
\alpha _ { J } ( \omega ) = \sum _ { n ^ { \prime } J ^ { \prime } } \frac { 2 \omega _ { n ^ { \prime } J ^ { \prime } J } \left| \langle n ^ { \prime } J ^ { \prime } | \hat { \varepsilon } \cdot \mathbf { d } | J \rangle \right| ^ { 2 } } { 3 \hbar \big ( \omega _ { n ^ { \prime } J ^ { \prime } J } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \big ) } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \varphi } ( u ) ( t ) : } & { = \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - s ) A } ( u ( s ) \vee 0 ) d W ( s ) } \\ & { = \Bigl ( \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - s ) A _ { 1 } } ( u _ { 1 } ( s ) \vee 0 ) d W _ { 1 } ( s ) , \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - s ) A _ { 2 } } ( u _ { 2 } ( s ) \vee 0 ) d W _ { 2 } ( s ) , } \\ & { \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - s ) A _ { 3 } } ( u _ { 3 } ( s ) \vee 0 ) d W _ { 3 } ( s ) , \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - s ) A _ { 4 } } ( u _ { 4 } ( s ) \vee 0 ) d W _ { 4 } ( s ) \Bigr ) . } \end{array}
\int ( 1 - e ^ { - \underline { { { k } } } \cdot \underline { { { x } } } _ { 1 } } ) { \frac { d ^ { 2 } k } { k ^ { 2 } } } \ { \frac { \partial x G } { \partial k ^ { 2 } } } = { \frac { \pi } { 4 } } \ x _ { 1 } ^ { 2 } x G ( x , x _ { 1 } ^ { 2 } )
\operatorname * { l i m } _ { p ^ { + } \rightarrow 0 } p ^ { + } \left( T _ { o o } + T _ { o i } + T _ { i i } \right) = \frac { g ^ { 4 } } { 4 \pi m ^ { 2 } q ^ { + } } \ln \frac { \lambda ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \widehat { x _ { m } ^ { 3 } f } ( \xi ) } & { = i \partial _ { \xi _ { m } } \left[ \widehat { x _ { m } ^ { 2 } f } ( \xi ) \right] = i \partial _ { \xi _ { m } } \left[ \frac { 1 } { 2 z } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left( 1 - \frac { ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) ^ { 2 } } { 2 z } \right) E ( \xi , a , z ) \right] } \\ & { = \frac { i } { 2 z } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left[ - 2 \frac { \xi _ { m } + i a _ { m } } { 2 z } + \left( - \frac { \xi _ { m } + i a _ { m } } { 2 z } \right) \left( 1 - \frac { ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) ^ { 2 } } { 2 z } \right) \right] E ( \xi , a , z ) } \\ & { = - \frac { i } { 4 z ^ { 2 } } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left( \xi _ { m } + i a _ { m } \right) \left[ 3 - \frac { ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) ^ { 2 } } { 2 z } \right] E ( \xi , a , z ) } \\ & { = - \frac { i } { 4 z ^ { 2 } } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left[ 3 ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) - \frac { ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) ^ { 3 } } { 2 z } \right] E ( \xi , a , z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta } ) \leq } & { \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta _ { 0 } } P _ { t } ^ { \theta } ) + \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } P _ { t } ^ { \theta } , \mu _ { \theta } P _ { t } ^ { \theta } ) \leq \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta _ { 0 } } P _ { t } ^ { \theta } ) + C _ { 0 } e ^ { - \kappa t } \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } , \mu _ { \theta } ) , } \end{array}
\mathbf { F } _ { \lambda } ( \mathbf { r } , \omega ) = 2 ^ { - 1 / 2 } [ \sqrt { \varepsilon ( \mathbf { r } ) } \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) + i \lambda \sqrt { \mu ( \mathbf { r } ) } \mathbf { H } ( \mathbf { r } , \omega ) ]
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { \mathrm { T } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { j } a _ { \mathrm { t o t } , j } ^ { \mathrm { J } } \mathbf { e } _ { j } ^ { + } ( \mathbf { r } _ { \perp } ) \exp ( i \beta _ { j } ( z - z _ { \mathrm { J } } ) ) } \end{array}
\tilde { c } = - \alpha ( 0 ) + \frac { \gamma } { 2 } \ln \delta ^ { 2 } + \frac { \gamma } { 2 } \ln \left( \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right) - { \frac { \gamma } { 2 } } \ln g ~ .
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { j } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cap \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \emptyset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
S _ { \mathrm C } = { \frac { E ( \sigma { _ \phi } ^ { 2 } ) _ { \mathrm C } } { E ( \sigma { _ { \mathrm P } } ^ { 2 } ) _ { \mathrm C } } } = { \frac { N ^ { 2 } } { 2 ( N + 1 ) ^ { 2 } } } ,
\ddot { x } ( t ) + \frac { 2 \left[ \dot { \tau } ( t ) \right] ^ { 2 } - \tau ( t ) \ddot { \tau } ( t ) } { \tau ( t ) \dot { \tau } ( t ) } \dot { x } ( t ) + \frac { \left[ \dot { \tau } ( t ) \right] ^ { 2 } } { \tau ( t ) } \nabla ^ { 2 } f \left( x ( t ) \right) \dot { x } ( t ) + \frac { \dot { \tau } ( t ) ( \dot { \tau } ( t ) + \ddot { \tau } ( t ) ) } { \tau ( t ) } \nabla f \left( x ( t ) \right) = 0 .
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot p \mathbb { I } } & { { } = } & { ( \nabla p ) \mathbb { I } + p ( \nabla \cdot \mathbb { I } ) = \nabla p , } \\ { \nabla \cdot ( \nabla \mathbf { v } ) } & { { } = } & { \Delta \mathbf { v } , } \\ { \nabla \cdot ( \nabla \mathbf { v } ^ { \top } ) } & { { } = } & { \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) = 0 , } \end{array}
B _ { 3 } ^ { 1 } = c _ { 2 } ^ { \prime } ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) / m \, , \quad B _ { 4 } ^ { 1 } = 2 c _ { 2 } ^ { \prime } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) d _ { 6 } ^ { - 1 } \, .
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { z ^ { \nu - 2 m } } { \sinh { ( \pi z ) } } F _ { 1 } ( z ) \bar { J } _ { \nu } ( z ) d z } = A _ { \nu m } ^ { ( 0 ) } \left[ \frac { z F _ { 1 } ( z ) } { \sinh { ( \pi z ) } } \right] + \frac { 2 } { \pi } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { m + k } k ^ { \nu - 2 m } \bar { K } _ { \nu } ( k ) F _ { 1 } ( i k ) ,
Y _ { \Lambda l m } ( \tau , \Omega ) = \sqrt { \frac { \Gamma [ \Lambda + l + 1 ] \Gamma [ - \Lambda + l + 1 ] } { 2 } } \frac { P _ { \Lambda - 1 / 2 } ^ { - l - 1 / 2 } ( i \sinh \tau ) } { \sqrt { i \cosh \tau } } ,
\frac { \partial { \textbf { \textit { u } } } } { \partial t } + ( \textbf { \textit { u } } \cdot \mathbf { \nabla } ) \textbf { \textit { u } } = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { f } } } { \nabla } P + \nu \nabla ^ { 2 } { \textbf { \textit { u } } } + \textbf { \textit { F } } _ { \mathrm { s } } .
\begin{array} { l } { J _ { ( { \dot { q } } _ { \sigma _ { 1 } } , \dots , { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } ) } ^ { T } ( { \dot { q } } _ { 1 } , \dots { \dot { q } } _ { m } ) = \left( \frac { \partial { \dot { q } } _ { j } } { \partial { \dot { q } } _ { \sigma _ { i } } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } = \left( \begin{array} { c c c c } { { \mathbb I } _ { \ell } } & { \dots } & { } & { \dots } \\ { { \mathbb O } _ { ( m - \ell ) \times \ell } } & { \frac { \partial \alpha _ { h + 1 } ^ { ( \sigma ) } } { \partial { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } } } & { \dots } & { \frac { \partial \alpha _ { k } ^ { ( \sigma ) } } { \partial { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } } } \end{array} \right) } \end{array}
Y _ { m , l } ^ { ( N ) } ( t ) = Y _ { m , l } ^ { ( N ) } ( 0 ) + \sum _ { l ^ { \prime } \neq l } \left( \mathcal { P } _ { m } ^ { l ^ { \prime } \rightarrow l } \left( \int _ { 0 } ^ { t } { \alpha _ { m } ^ { l ^ { \prime } \rightarrow l } } ^ { ( N ) } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \right) - \mathcal { P } _ { m } ^ { l \rightarrow l ^ { \prime } } \left( \int _ { 0 } ^ { t } { \alpha _ { m } ^ { l \rightarrow l ^ { \prime } } } ^ { ( N ) } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \right) \right)
\begin{array} { r l } { a _ { i } \frac { \, \mathrm { d } y _ { i } } { \, \mathrm { d } t } } & { { } = - a _ { k } b _ { k } \boldsymbol { \mathcal { X } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \ast } } ^ { j } ( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 1 } ^ { \ast } } ( \boldsymbol { y } ) ) y _ { k } - a _ { j } b _ { j } y _ { j } \boldsymbol { \mathcal { X } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \ast } } ^ { k } ( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 1 } ^ { \ast } } ( \boldsymbol { y } ) ) + c ( a _ { k } - a _ { j } ) y _ { j } y _ { k } - a _ { i } \boldsymbol { \mathcal { X } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \ast } } ^ { i } ( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 1 } ^ { \ast } } ( \boldsymbol { y } ) ) - \nu _ { 0 } a _ { i } ^ { 2 } y _ { i } , } \end{array}
g _ { m } ( \vec { r } , \vec { R } ) = 4 ^ { - m } \, C _ { m } ^ { 2 } \, ( \vec { r } - \vec { R } ) ^ { 2 m } \exp \left[ { - ( \vec { r } - \vec { R } ) ^ { 2 } } / 2 \rho ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } & { \sum _ { y ^ { 2 : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - 1 } } \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T } , x ^ { 2 : T } ) \prod _ { t = 2 } ^ { T } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } } \\ & { = \sum _ { y _ { 2 } = 0 } ^ { 1 } \phi _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } ( y ^ { 2 } , x _ { 2 } ) F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ^ { y _ { 2 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 2 } } } \end{array}
\times \left( e ^ { t _ { m } \partial ^ { 2 } } ( \partial A + A \partial + A A ) e ^ { t _ { m - 1 } \partial ^ { 2 } } ( \partial A + A \partial + A A ) \ldots ( \partial A + A \partial + A A ) e ^ { t _ { 1 } \partial ^ { 2 } } \right) _ { C _ { i } z _ { i } , C _ { i + 1 } z _ { i + 1 } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { e \in \Gamma _ { h } ^ { 0 } } \frac { 1 } { h _ { e } } \Vert [ c _ { h } ^ { n } ] \Vert _ { L ^ { 2 } ( e ) } ^ { 2 } } & { = \sum _ { e \in \Gamma _ { h } ^ { 0 } } \frac { 1 } { h _ { e } } \Vert [ c _ { h } ^ { n } - c ^ { n } ] \Vert _ { L ^ { 2 } ( e ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \Vert \boldsymbol { c } _ { h } ^ { n } - \boldsymbol { c } ^ { n } \Vert _ { 1 , h } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \Vert \boldsymbol { e } _ { c } ^ { n } \Vert _ { 1 , h } ^ { 2 } + \Vert \boldsymbol { \Pi } _ { h } c ^ { n } - \boldsymbol { c } ^ { n } \Vert _ { 1 , h } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \Vert \boldsymbol { e } _ { c } ^ { n } \Vert _ { 1 , h } ^ { 2 } + h ^ { 2 s - 2 } \Vert c ^ { n } \Vert _ { H ^ { s } ( \Omega ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x - \delta ) ^ { + } \leq y } & { \Longleftrightarrow \operatorname* { m a x } ( x - \delta , 0 ) - y \leq 0 } \\ & { \Longleftrightarrow \operatorname* { m a x } ( x - y - \delta , - y ) \leq 0 } \\ & { \Longleftrightarrow x - y - \delta \leq 0 } \\ & { \Longleftrightarrow x - y \leq \delta } \\ & { \Longleftrightarrow ( x - y ) ^ { + } \leq \delta . } \end{array}
2 \Pi _ { 2 } \left( \prod _ { p \mid n ; p \geq 3 } { \frac { p - 1 } { p - 2 } } \right) \int _ { 2 } ^ { n } { \frac { d x } { ( \ln x ) ^ { 2 } } } \approx 2 \Pi _ { 2 } \left( \prod _ { p \mid n ; p \geq 3 } { \frac { p - 1 } { p - 2 } } \right) { \frac { n } { ( \ln n ) ^ { 2 } } }
M _ { a b } \ = \ \frac { 1 } { 2 } ( D _ { 1 b } ^ { 2 } + D _ { a 1 } ^ { 2 } - D _ { a b } ^ { 2 } ) \ = \ ( \mathbf s _ { a } - \mathbf s _ { 1 } ) \cdot ( \mathbf s _ { b } - \mathbf s _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ S ^ { 2 } ] } & { { } = \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \big ( } X _ { i } - { \overline { { X } } } { \big ) } ^ { 2 } \right] = { \frac { n } { n - 1 } } \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \big ( } X _ { i } - { \overline { { X } } } { \big ) } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \mu \Delta \partial _ { t } ^ { k } u + \nabla \partial _ { t } ^ { k } p = } & { U _ { k } ( u , \phi ) \quad \ \textrm { i n } \Omega \, , } \\ { \nabla \cdot \partial _ { t } ^ { k } u = } & { 0 \qquad \qquad \ \textrm { i n } \Omega \, , } \\ { \partial _ { t } ^ { k } u = } & { 0 \qquad \qquad \ \textrm { o n } \partial \Omega \, , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } } & { \left\| ( \mathbf { P o p } / \sum _ { i = 1 } ^ { C } \mathrm { ~ P ~ o ~ p ~ } _ { i } ) N - \mathbf { x } \right\| _ { 1 } + \lambda _ { \mathrm { i n f } } \operatorname* { m a x } \left( 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { C } x _ { i } - N \right) } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } } & { x _ { i } \geq n _ { i } , \quad \forall i \in \mathcal { C } } \end{array}
z ^ { j } p _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } p _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \cdots p _ { n } ^ { k _ { n } } q _ { 1 } ^ { \ell _ { 1 } } q _ { 2 } ^ { \ell _ { 2 } } \cdots q _ { n } ^ { \ell _ { n } } \, \mapsto \, \partial _ { x _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \partial _ { x _ { 2 } } ^ { k _ { 2 } } \cdots \partial _ { x _ { n } } ^ { k _ { n } } x _ { 1 } ^ { \ell _ { 1 } } x _ { 2 } ^ { \ell _ { 2 } } \cdots x _ { n } ^ { \ell _ { n } } ~ .
\gamma _ { + } ( { \bf p } ) = - \frac { e ^ { 2 } } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t ~ \left[ \frac { p _ { 3 } } { { \bf p } ^ { 4 } } p _ { k } \epsilon _ { i j k } + \pi \delta ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) \Delta ( p _ { 3 } ) \epsilon _ { i j 3 } \right] a _ { j } \dot { a } _ { i } .
{ \mathcal L } _ { e f f } \; = \; \frac { h \rho _ { 0 } q } { 2 } \epsilon _ { k l } [ \dot { x } _ { k } ^ { ( 1 ) } x _ { l } ^ { ( 1 ) } - \dot { x } _ { k } ^ { ( 2 ) } x _ { l } ^ { ( 2 ) } ] \, - \, \frac { h ^ { 2 } \rho _ { 0 } q ^ { 2 } } { 2 \pi m } \, \ln | \frac { x ^ { ( 1 ) } - x ^ { ( 2 ) } } { \xi } | \; ,
\cos { \Omega t ^ { \prime } } = \left( e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Omega t ^ { \prime } } + e ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Omega t ^ { \prime } } \right) / 2 = \left( e ^ { \mathrm { ~ i ~ } t } + e ^ { - \mathrm { ~ i ~ } t } \right) / 2
j ^ { - 1 } \geq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq \ell \leq n _ { 1 } ( \mathbb { G } ) } \lVert \mathfrak { D } _ { j } ( x _ { 0 } ) [ \omega _ { \ell } ] ^ { - 1 } D f ( x _ { 0 } ) [ \omega _ { \ell } ] \rVert \geq \mathfrak { C } ^ { - 1 } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq \ell \leq n _ { 1 } ( \mathbb { G } ) } \lvert \mathfrak { D } _ { j } ( x _ { 0 } ) [ \pi _ { 1 } ( \omega _ { \ell } ) ] - D f ( x _ { 0 } ) [ \pi _ { 1 } ( \omega _ { \ell } ) ] \rvert ,
C _ { 0 } = \frac { \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { 2 } ( w _ { i } - w _ { j } ) ^ { 2 } } { \prod _ { i , j = 1 } ^ { n } ( z _ { i } - w _ { j } ) ^ { 2 } } \; .
\left\langle A _ { \tilde { \psi } 3 } ( t + \tau ) A _ { 3 \tilde { \psi } } ( t ) \right\rangle = e ^ { - \gamma _ { 1 } \tau / 2 } \left\langle A _ { \tilde { \psi } \tilde { \psi } } ( t ) \right\rangle
\begin{array} { r l r } { D _ { r } ( G , G _ { * } ) } & { = } & { \lambda \| ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) \| ^ { r } + \lambda ^ { * } \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { r } } \\ & { - } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \lambda , \lambda ^ { * } \right\} \biggr ( \| ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) \| ^ { r } + \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { r } - \| ( \mu , \Sigma ) - ( \mu ^ { * } , \Sigma ^ { * } ) \| ^ { r } \biggr ) } \end{array}