harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { a } = \mathbf { a } ^ { \prime } + { \dot { \boldsymbol { \omega } } } \times \mathbf { r } ^ { \prime } + 2 { \boldsymbol { \omega } } \times \mathbf { v } ^ { \prime } + { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \mathbf { r } ^ { \prime } ) + \mathbf { A } _ { 0 } ,
y = { \frac { 1 - ( 1 - r ) z } { z r } } \; , \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; t = { \frac { | { \bf p } _ { \bot } | } { r ( m _ { b } + m _ { c } ) } } \; , \; \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \; r = { \frac { m _ { c } } { m _ { b } + m _ { c } } } \; .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { m + 1 } L _ { n } ^ { m } ( a ) L _ { n } ^ { m } ( a ) = \frac { ( n + m ) ! } { n ! } ( 2 n + m + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { K } \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Delta } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } - 2 \delta \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Delta } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \| _ { \mathrm { F } } } & { \leq 3 \rho \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } } \| _ { 1 , 1 } - \rho \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } ^ { c } } \| _ { 1 , 1 } } \\ & { \leq 3 \rho \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } } \| _ { 1 , 1 } , } \end{array}
{ } ^ { ( 1 ) } S ^ { i j k l } u _ { k l } = \frac { 2 S } { 1 5 } u ^ { i j } , \quad { } ^ { ( 2 ) } S ^ { i j k l } u _ { k l } = \frac 1 7 \left( 2 P ^ { i k } u ^ { j } { } _ { k } + 2 P ^ { j k } u ^ { i } { } _ { k } + P ^ { k l } u _ { k l } g ^ { i j } \right) , \quad { } ^ { ( 3 ) } S ^ { i j k l } u _ { k l } = R ^ { i j k l } u _ { k l } ,
\begin{array} { r l } & { T V ^ { a * } ( P ) \mathbb { E } _ { P } \left[ ( \xi _ { t } ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] - V ^ { a * } ( P ) } \\ & { = \mathbb { E } _ { P } \left[ \frac { \left( \sigma ^ { * } ( x ) \right) ^ { 2 } + ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a ^ { * } ( P ) } ( X _ { t } ) ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a ^ { * } ( P ) | X _ { t } ) } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] } \\ & { \ \ \ \ \ + \mathbb { E } _ { P } \left[ \frac { \left( \sigma ^ { a } ( x ) \right) ^ { 2 } + ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | X _ { t } ) } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] } \\ & { \ \ \ \ \ - \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a ^ { * } ( P ) } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) \right) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] } \\ & { \ \ \ \ \ - \mathbb { E } _ { P } \left[ \frac { \left( \sigma ^ { * } ( X _ { t } ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a ^ { * } ( P ) | X _ { t } ) } + \frac { \left( \sigma ^ { a } ( X _ { t } ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X _ { t } ) } + \left( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) \right) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] } \\ & { \xrightarrow { \mathrm { a . s . } } 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \mathbf { u } ( \mathbf { X } + d \mathbf { X } ) } & { = \mathbf { u } ( \mathbf { X } ) + d \mathbf { u } \quad } & { { \mathrm { o r } } } & { \quad u _ { i } ^ { * } = u _ { i } + d u _ { i } } \\ & { \approx \mathbf { u } ( \mathbf { X } ) + \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } \cdot d \mathbf { X } \quad } & { { \mathrm { o r } } } & { \quad u _ { i } ^ { * } \approx u _ { i } + { \frac { \partial u _ { i } } { \partial X _ { J } } } d X _ { J } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { \textbf { C } } } } & { { } = \sum _ { i \in d } \frac { 1 } { 2 } \bigg [ \sum _ { j \in d } e ^ { 2 } n _ { i } ( \mathrm { \textbf { C } } _ { d d } ^ { - 1 } ) _ { i j } \, n _ { j } + \sum _ { k \in g } e \, n _ { i } \, \pmb { \alpha } _ { i k } V _ { k } \bigg ] , } \end{array}
R _ { G } ( x , Q ^ { 2 } ) = \left[ \frac { \widetilde { g } _ { A } ( n _ { o } , Q ^ { 2 } ) } { \widetilde { g } _ { N } ( n _ { o } , Q ^ { 2 } ) } \right] ^ { 3 / 2 } \left. [ \frac { \widetilde { g } _ { N } ^ { \prime \prime } ( n _ { o } , Q ^ { 2 } ) } { \widetilde { g } _ { A } ^ { \prime \prime } ( n _ { o } , Q ^ { 2 } ) } \right] ^ { 1 / 2 } ,
{ \bf \tau } ^ { 3 } = 2 a d \eta + ( 2 a ^ { 2 } e ^ { 2 \eta } + 1 ) d a - \chi _ { - 1 } e ^ { 2 \xi } d v + \frac { a } { 2 } \chi _ { - 1 } { \bf \tau } ^ { 8 } ,
\begin{array} { r l } { \Xi _ { z , j } } & { : = ( \tilde { e } _ { j , h } ^ { i , l } / 2 - \tilde { e } _ { j , k } ^ { i , l } ) / \sigma _ { i , l } ( t _ { j } ) - 4 ^ { - 1 } \rho _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) \left( \tilde { e } _ { j , h } ^ { i } / \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t _ { j } ) + \tilde { e } _ { j , h } ^ { l } / \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t _ { j } ) \right) . } \end{array}
E _ { \gamma _ { + } } ^ { \prime } + E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime } = \frac { E _ { \gamma _ { + } } ^ { \prime \prime } \left( 1 + \frac { v } { c } \right) \left( 1 - \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } + \frac { E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime \prime } \left( 1 - \frac { v } { c } \right) \left( 1 + \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } =
G _ { i } ^ { 9 } = 2 ^ { 1 - \zeta } \sum _ { \substack { j \neq i \, j < k } } ( 1 + \lambda \cos \theta _ { i j k } ) ^ { \zeta } e ^ { - \eta [ ( r _ { i j } - r _ { s } ) ^ { 2 } + ( r _ { i k } - r _ { s } ) ^ { 2 } ] } f _ { c } ( r _ { i j } ) f _ { c } ( r _ { i k } )
\begin{array} { r l } { | r _ { n + 2 } | _ { 0 , 0 , 0 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { n + 1 } ^ { \gamma } ( i _ { 0 } ) ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 9 - 6 b } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 1 } } , } \\ { | d _ { i } r _ { n + 2 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { 0 , 0 , 0 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { n + 1 } ^ { \gamma } ( i _ { 0 } ) ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 1 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) } \\ & { - \eta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { W } _ { i - 1 , j } + \beta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { W } _ { i , j } + \beta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { W } _ { i + 1 , j } - \eta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { W } _ { i + 2 , j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \zeta } _ { k } ( i ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y = \tilde { s } _ { k } ( i ) + 1 } ^ { \tilde { s } _ { k } ( i + 1 ) - 1 } \mathbf { 1 } _ { \{ \nu ( y ) = k - 1 \} } - \mathbf { 1 } _ { \{ \nu \left( \tilde { s } _ { k } ( i + 1 ) \right) = k \} } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y = \tilde { s } _ { k } ( i ) + 1 } ^ { \tilde { s } _ { k } ( i + 1 ) } \left( \mathbf { 1 } _ { \{ \nu ( y ) = k - 1 \} } - \mathbf { 1 } _ { \{ \nu ( y ) = k \} } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { c } { \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = \varphi \left. \ \right| _ { \omega _ { 0 } } + \left. \ { \frac { \partial \varphi } { \partial \omega } } \right| _ { \omega _ { 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left. \ { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial \omega ^ { 2 } } } \right| _ { \omega _ { 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) ^ { 2 } \ + \ldots + { \frac { 1 } { p ! } } \left. \ { \frac { \partial ^ { p } \varphi } { \partial \omega ^ { p } } } \right| _ { \omega _ { 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) ^ { p } + \ldots } \end{array} }
\begin{array} { r } { \int _ { - 1 } ^ { + 1 } { \frac { T _ { i } ( x ) T _ { j } ( x ) } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } = \left\{ \begin{array} { r l r l } { 0 } & { { } \quad } & { i \neq j } & { { } } \\ { \pi / 2 } & { { } \quad } & { i = j \neq 0 } & { { } } \\ { \pi } & { { } \quad } & { i = j = 0 } & { { } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E \left[ Y _ { \tau } ^ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) Y _ { \tau } ^ { j } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] } & { = } & { a ^ { 2 } \left( \frac { \tau } { 2 } \right) ^ { 2 } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - \tau } \left\{ t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right. } \\ & { } & { \left. \left[ \frac { 1 } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } } } - \frac { 1 } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 1 } } - \frac { 1 } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 1 } } + \frac { 1 } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 2 } } \right] \right. } \\ & { } & { \left. + t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right. } \\ & { } & { \left. \left[ - \frac { \tau } { \left( \tau + 1 \right) ^ { m + 1 } } - \frac { \tau } { \left( \tau + 1 \right) ^ { m + 1 } } + \frac { \tau ^ { 2 } } { \left( \tau + 1 \right) ^ { m + 2 } } + \frac { \tau } { \left( \tau + 1 \right) ^ { m + 2 } } + \frac { \tau } { \left( \tau + 1 \right) ^ { m + 2 } } \right] \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 4 } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 1 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) ^ { T } \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 2 } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { r } } & { { } = } & { \left( \frac { \partial _ { r } T _ { D } } { e } \right) \left[ \frac { \delta _ { 1 2 } ^ { D } L _ { 1 1 } ^ { D } + \delta _ { 1 2 } ^ { T } L _ { 1 1 } ^ { T } - 2 \delta _ { 1 2 } ^ { e } L _ { 1 1 } ^ { e } } { L _ { 1 1 } ^ { D } + L _ { 1 1 } ^ { T } + 2 L _ { 1 1 } ^ { e } } \right] \, , } \\ { \frac { \partial _ { r } T _ { D } } { T _ { D } } } & { { } = } & { - ( L _ { 1 1 } ^ { D } ) ^ { - 1 } \left[ \delta _ { 2 2 } ^ { D } - \delta _ { 2 1 } ^ { D } \left( \frac { \delta _ { 1 2 } ^ { D } L _ { 1 1 } ^ { D } + \delta _ { 1 2 } ^ { T } L _ { 1 1 } ^ { T } - 2 \delta _ { 1 2 } ^ { e } L _ { 1 1 } ^ { e } } { L _ { 1 1 } ^ { D } + L _ { 1 1 } ^ { T } + 2 L _ { 1 1 } ^ { e } } \right) \right] ^ { - 1 } \frac { 1 } { r } \int _ { 0 } ^ { r } \mathrm { d } r ^ { \prime } r ^ { \prime } P _ { D } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \boldsymbol { x } _ { 1 } - \boldsymbol { x } _ { 2 } \| \le \gamma \| \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } _ { 1 } ) - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } _ { 2 } ) \| . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { \tau } ^ { [ \theta , \phi , \pm ] } ( x , y ) = \sum _ { n _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { m _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \cdots \sum _ { n _ { N } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { m _ { N } = 0 } ^ { 1 } \sum _ { \sigma \in S _ { N } } D ^ { [ \theta , \phi , \pm ] } ( t _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } r _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } \cdots t _ { N } ^ { n _ { N } } r _ { N } ^ { m _ { N } } \sigma ) \widetilde { U } _ { \tau } ( x , t _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } r _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } \cdots t _ { N } ^ { n _ { N } } r _ { N } ^ { m _ { N } } \sigma y ) . } \end{array}
\int _ { { \cal U } ( { \cal X } ) } g ( { \bf x } ) d { \bf x } = \int _ { { \cal U } ( { \cal X } \cap { \cal Y } ) } \int _ { { \cal U } ( { \cal X } \cap { \cal Y } ^ { \perp } ) } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } g ( \cos \theta { \bf y } + \sin \theta { \bf y } ^ { \prime } ) \cos ^ { \ell - 1 } \theta \sin ^ { d - \ell - 1 } \theta d \theta d { \bf y } ^ { \prime } d { \bf y } .
\begin{array} { r } { Q ^ { T } ( \bar { A } + \mu _ { 0 } \bar { B } ) Q = \left( \begin{array} { l l l } { Q _ { 1 } ^ { T } ( A _ { 1 } + \mu _ { 0 } B _ { 1 } ) Q _ { 1 } } & { 0 _ { p \times s } } & { Q _ { 1 } ^ { T } A _ { 2 } } \\ { 0 _ { s \times p } } & { A _ { 3 } } & { 0 _ { s \times ( r - s ) } } \\ { A _ { 2 } ^ { T } Q _ { 1 } } & { 0 _ { ( r - s ) \times s } } & { 0 _ { ( r - s ) \times ( r - s ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \! \begin{array} { c c c c c c } { \{ \} } & { \! \{ 2 \sim 4 \} \! } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 2 \sim 4 \} } & { \{ \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ \} } \end{array} \! \! \right) \! . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { T o r } _ { i } ^ { R } \left( \bigoplus _ { \alpha } M _ { \alpha } , N \right) } & { \cong \bigoplus _ { \alpha } \operatorname { T o r } _ { i } ^ { R } ( M _ { \alpha } , N ) } \\ { \operatorname { T o r } _ { i } ^ { R } \left( \varinjlim _ { \alpha } M _ { \alpha } , N \right) } & { \cong \varinjlim _ { \alpha } \operatorname { T o r } _ { i } ^ { R } ( M _ { \alpha } , N ) } \end{array} }
m _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } ( 0 ) - m _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } ( 0 ) > \frac { 1 } { 6 } M _ { E _ { e f f } } ^ { 2 } ( 0 ) \left[ 1 - \left( 1 - \frac { Y } { Y _ { f } } \right) ^ { 1 / 4 } \right] + \frac { 3 } { 5 } \left[ 1 - \left( 1 - \frac { Y } { Y _ { f } } \right) ^ { 5 / 7 } \right] \Delta _ { D U } \; .
\begin{array} { r } { \| \mathbf { w } ( t + \Delta t ) \| _ { 2 } \leq O \left( \frac { \| \mathbf { h } ( t ) \| _ { 2 } } { \mu } \right) , \quad \| \nabla \mathbf { w } ( t + \Delta t ) \| _ { 2 } \leq O \left( \frac { \| \mathbf { h } ( t ) \| _ { 2 } } { \sqrt { \mu \nu } } \right) . } \end{array}
L \frac { \textrm { d } ^ { 2 } i _ { C } ( t ) } { \textrm { d } t ^ { 2 } } + \left( R _ { m } ( \varepsilon ) + R _ { c t } \right) \frac { \textrm { d } i _ { C } ( t ) } { \textrm { d } t } + \left( \frac { \textrm { d } R _ { m } ( \varepsilon ) } { \textrm { d } t } + \frac { 1 } { C _ { m } ( \varepsilon ) } \right) i _ { C } ( t ) = L \frac { \textrm { d } ^ { 2 } i ( t ) } { \textrm { d } t ^ { 2 } } + R _ { m } \frac { \textrm { d } i ( t ) } { \textrm { d } t } + \frac { \textrm { d } R _ { m } ( \varepsilon ) } { \textrm { d } t } i ( t ) .
\left( \begin{array} { l } { ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) _ { m } ^ { ( l ) } } \\ { ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) _ { - m } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) : = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { y } _ { l , m } } & { - \mathbf { y } _ { l , - m } } \\ { \mathbf { y } _ { l , - m } } & { \mathbf { y } _ { l , m } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { \mathbf { x } _ { m } ^ { ( l ) } } \\ { \mathbf { x } _ { - m } ^ { ( l ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { { \bf A } ( t ) } & { { } = { \bf e } _ { \mathrm { B D } } ( A _ { 0 } \sin ( \Omega t ) + A _ { 1 } \sin ( n _ { 1 } \Omega t + \phi _ { 1 } ) ) , } \\ { \delta v ( t ) } & { { } = \delta _ { v } \cos ( n _ { 2 } \Omega t + \phi _ { 2 } ) . } \end{array}
\mathbf { c _ { i } } = c \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 , 0 ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i = 0 , } \\ { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , - 1 ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ i = 1 , . . . , 4 , } \\ { ( 1 , 1 ) , ( - 1 , 1 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 1 , - 1 ) , ~ i = 5 , . . . , 8 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { ~ P ~ D ~ } } = } & { { } \langle n _ { c } | \langle n _ { d } | \sum _ { m , n , m ^ { \prime } , n ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } M _ { m , n } ^ { \mathrm { ~ P ~ D ~ } , c } ( t ) M _ { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ P ~ D ~ } , d } ( t ) } \end{array}
= { \frac { e ^ { 4 } } { ( k - k ^ { \prime } ) ^ { 4 } } } \left( { \bar { v } } _ { k ^ { \prime } } \gamma ^ { \mu } v _ { k } \right) \left( { \bar { v } } _ { k } \gamma ^ { \nu } v _ { k ^ { \prime } } \right) \left( { \bar { u } } _ { p } \gamma _ { \mu } u _ { p ^ { \prime } } \right) \left( { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } \gamma _ { \nu } u _ { p } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \partial a _ { 1 } } { \partial u } } & { { } = \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p , } \\ { \frac { \partial \tilde { a } } { \partial p } } & { { } = 2 \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) , } \\ { \frac { \partial \tilde { a } } { \partial u } } & { { } = \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime \prime } ( u ) p ^ { 2 } + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p - g _ { 0 } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { m i n } \quad } & { \sum _ { b \in \cal B } \left[ a _ { b } { ( B _ { b u s , b } \theta ) } ^ { 2 } + b _ { b } B _ { b u s , b } \theta + c _ { b } \right] } \\ { \mathrm { s . t } \quad } & { \underline { { p _ { b } } } \leq B _ { b u s , b } \theta \leq \overline { { p _ { b } } } , \quad \forall b \in \cal B } \\ & { - \underline { { f } } \leq B _ { f } \theta \leq \overline { { f } } } \end{array}
\left( \widehat { Q } _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n + 1 - k , k ) , ( s , i ) } = \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { n } a _ { k , k ^ { \prime } + 1 } ^ { ( n + 1 ) } \gamma ( k ^ { \prime } + 1 ) \left( \widehat { Q } _ { n , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n - k ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) , ( s , i ) } .
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { \lfloor \frac { n - 4 } { 2 } \rfloor , \lceil \frac { n - 4 } { 2 } \rceil } ) ^ { c } \big ) = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 + \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 \big ( \lceil \frac { n - 2 } { 2 } \rceil \lfloor \frac { n - 2 } { 2 } \rfloor \big ) } } { 2 } } } \\ { = } & { ~ \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 + \sqrt { 7 2 n - 6 3 } } { 2 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ e v e n , } } \\ { \mathrm { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 + \sqrt { 7 2 n - 4 7 } } { 2 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ o d d . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { { U = \xi _ { x } \overline { { u } } + \xi _ { y } \overline { { v } } + \xi _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { V = \eta _ { x } \overline { { u } } + \eta _ { y } \overline { { v } } + \eta _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { W = \zeta _ { x } \overline { { u } } + \zeta _ { y } \overline { { v } } + \zeta _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { ~ . ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| \begin{array} { l l l l } { z ^ { \beta _ { 0 } } g _ { 0 } ( z ) } & { z ^ { \beta _ { 1 } } g _ { 1 } ( z ) } & { \cdots } & { z ^ { \beta _ { k } } g _ { k } ( z ) } \\ { \big ( z ^ { \beta _ { 0 } } g _ { 0 } ( z ) \big ) ^ { \prime } } & { \big ( z ^ { \beta _ { 1 } } g _ { 1 } ( z ) \big ) ^ { \prime } } & { \cdots } & { \big ( z ^ { \beta _ { k } } g _ { k } ( z ) \big ) ^ { \prime } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { \big ( z ^ { \beta _ { 0 } } g _ { 0 } ( z ) \big ) ^ { ( k ) } } & { \big ( z ^ { \beta _ { 1 } } g _ { 1 } ( z ) \big ) ^ { ( k ) } } & { \cdots } & { \big ( z ^ { \beta _ { k } } g _ { k } ( z ) \big ) ^ { ( k ) } } \end{array} \right| } \\ & { = } & { \left| \begin{array} { l l l l } { z ^ { \beta _ { 0 } } g _ { 0 } ( z ) } & { z ^ { \beta _ { 1 } } g _ { 1 } ( z ) } & { \cdots } & { z ^ { \beta _ { k } } g _ { k } ( z ) } \\ { z ^ { \beta _ { 0 } - 1 } g _ { 0 1 } ( z ) } & { z ^ { \beta _ { 1 } - 1 } g _ { 1 1 } ( z ) } & { \cdots } & { z ^ { \beta _ { k } - 1 } g _ { k 1 } ( z ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { z ^ { \beta _ { 0 } - k } g _ { 0 k } ( z ) } & { z ^ { \beta _ { 1 } - k } g _ { 1 k } ( z ) } & { \cdots } & { z ^ { \beta _ { k } - k } g _ { k k } ( z ) } \end{array} \right| } \\ & { = } & { z ^ { \sum _ { i = 0 } ^ { k } \beta _ { i } - \frac { k ( k + 1 ) } { 2 } } \cdot \left| \begin{array} { l l l l } { g _ { 0 } ( z ) } & { g _ { 1 } ( z ) } & { \cdots } & { g _ { k } ( z ) } \\ { g _ { 0 1 } ( z ) } & { g _ { 1 1 } ( z ) } & { \cdots } & { g _ { k 1 } ( z ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { g _ { 0 k } ( z ) } & { g _ { 1 k } ( z ) } & { \cdots } & { g _ { k k } ( z ) } \end{array} \right| = : z ^ { \sum _ { i = 0 } ^ { k } \beta _ { i } - \frac { k ( k + 1 ) } { 2 } } G _ { k } ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m i n f } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] = 0 . } \end{array}
\mu _ { F } = \frac { ( \partial _ { x ^ { 1 } } u ^ { 1 } - \partial _ { x ^ { 2 } } u ^ { 2 } ) + i ( \partial _ { x ^ { 1 } } u ^ { 2 } + \partial _ { x ^ { 2 } } u ^ { 1 } ) } { ( \partial _ { x ^ { 1 } } u ^ { 1 } + \partial _ { x ^ { 2 } } u ^ { 2 } ) + i ( \partial _ { x ^ { 1 } } u ^ { 2 } - \partial _ { x ^ { 2 } } u ^ { 1 } ) } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { | \mu _ { N } ( A \times \mathbb { U } ) - \mu _ { N } \mathbb { P } ( A ) | } \\ & { } & { = \bigg | { \frac { 1 } { N } } \bigg ( ( \mu _ { 0 } ( A \times \mathbb { U } ) + \cdots + \mu \mathbb { P } ^ { ( N - 1 ) } ( A ) ) - ( m u _ { 0 } \mathbb { P } ( A ) + \cdots + v \mathbb { P } ^ { N } ( A ) ) \bigg ) \bigg | } \\ & { } & { \leq { \frac { 1 } { N } } | \mu _ { 0 } ( A \times \mathbb { U } ) - \mu _ { 0 } \mathbb { P } ^ { N } ( A ) | \to 0 . } \end{array}
\hat { H } _ { c } = \sum _ { i } ^ { N _ { e } + N _ { n } } \frac { 1 } { 2 m _ { i } } \left( \hat { P } _ { i } - z _ { i } \hat { \mathbf { A } } ( \mathbf { r } _ { i } ) / c \right) ^ { 2 } + \hat { V } + \hat { H } _ { p } ,
\begin{array} { r l } { \langle ( \hat { F } ^ { n } ) ^ { \circ } \rangle } & { { } = \sideset { } { ' } \sum _ { \{ n _ { k } \} } \frac { n ! } { n _ { 1 } ! \cdots n _ { K } ! } \langle \big ( \hat { f } _ { K } ^ { n _ { K } } \cdots \hat { f } _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \big ) ^ { \circ } \rangle } \end{array}