harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\psi ( x _ { 1 } ) = ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } \int d ^ { 3 } p _ { 1 } ( m / E _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } [ b _ { p _ { 1 } r _ { 1 } } u ^ { r _ { 1 } } ( p _ { 1 } ) e ^ { i x _ { 1 } . p _ { 1 } } + d _ { p _ { 1 } r _ { 1 } } ^ { * } v ^ { r _ { 1 } } ( p _ { 1 } ) e ^ { - i x _ { 1 } . p _ { 1 } } ] ;
+ \sqrt { f _ { 1 } f _ { 5 } } ( \frac { 1 } { 1 - K } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } ) + \sqrt { \frac { f _ { 1 } } { f _ { 5 } } } ( d x _ { 5 } ^ { 2 } + \, c d o t s \ + d x _ { 8 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { j _ { n } \Ddot { \phi } _ { n } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 1 } ( u _ { n } ^ { ( 2 ) } - u _ { n } ^ { ( 1 ) } ) - \beta _ { 2 1 } ( u _ { n - 1 } ^ { ( 2 ) } - u _ { n } ^ { ( 1 ) } ) - \alpha _ { 2 2 } ( \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } - \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } ) - \beta _ { 2 2 } ( \phi _ { n - 1 } ^ { ( 2 ) } - \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } ) = 0 } \end{array}
\theta ^ { \prime } - \theta = \theta _ { F } = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { T _ { x x } + i T _ { x y } } { T _ { x x } - i T _ { x y } } \right] = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { T _ { + } } { T _ { - } } \right] \, ,
\delta _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \chi _ { 0 } < C _ { T } , } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\pi _ { ( F , f _ { 0 } ) } ( B ( f _ { 1 } ) B ( f _ { 2 } ) ) = T _ { F } ( - 1 ) \pi _ { ( F , - f _ { 0 } ) } ( B ( f _ { 1 } ) B ( f _ { 2 } ) ) T _ { F } ( - 1 ) .
\tilde { x } _ { 2 1 } \equiv \sqrt { x _ { 2 1 } ^ { 2 } - A L x _ { 2 1 } \left( \cos 2 \theta - \frac { A L } { 4 x _ { 2 1 } } \right) } = x _ { 2 1 } \sqrt { \sin ^ { 2 } 2 \theta + \left( \cos 2 \theta - \frac { A } { E _ { 2 1 } } \right) ^ { 2 } } ,
{ \cal C } _ { k } ( \eta ) \simeq c _ { 1 } ( k ) \biggl [ - \frac { \eta } { \eta _ { 1 } } \biggr ] ^ { \sqrt { 3 } + \frac { 1 } { 2 } } + c _ { 2 } ( k ) \biggl [ - \frac { \eta } { \eta _ { 1 } } \biggr ] ^ { - \sqrt { 3 } + \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { E _ { y } ^ { \mathrm { l o c } } } & { \left( y = 0 , z = - h \right) = } \\ { = 2 j } & { E _ { \mathrm { i n } } \sin { \left( k h \right) } - j \frac { \eta \omega } { 2 } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { H _ { 1 } ^ { \left( 2 \right) } \left( n k \Lambda \right) } { n \Lambda } } \\ & { + j \frac { \eta c } { 2 \Lambda } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \beta _ { m } e ^ { - 2 j \beta _ { m } h } } \end{array}
w ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = \frac { k ! } { k _ { 1 } ! \; k _ { 2 } ! } \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { k _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { k _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { x ( t ) } & { { } = A \cdot \cos ( 2 \pi f t + \varphi ) } \\ { y ( t ) } & { { } = A \cdot \sin ( 2 \pi f t + \varphi ) = A \cdot \cos \left( 2 \pi f t + \varphi - { \frac { \pi } { 2 } } \right) } \end{array}
\frac { \partial E } { \partial f _ { n } ^ { \prime } } = s \frac { \partial E } { \partial f _ { n } } - \frac { s } { \left\Vert f ^ { \prime } \right\Vert ^ { 2 } } \sum _ { m } \frac { \partial E } { \partial f _ { m } } f _ { m } ^ { \prime } \sum _ { \lambda } S _ { n \lambda } f _ { \lambda } ^ { \prime } \, .
u _ { \operatorname* { m i n } } = - W _ { 0 } \left[ - \exp \left( \frac { 1 - H _ { \mathrm { L V } } } { \alpha } \right) \right] \, , \quad u _ { \operatorname* { m a x } } = - W _ { - 1 } \left[ - \exp \left( \frac { 1 - H _ { \mathrm { L V } } } { \alpha } \right) \right] \, ,
\{ \zeta = ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } , \dots , \zeta _ { n } ) \in { \mathbb { C } } ^ { n } \mid | \zeta _ { \nu } - z _ { \nu } | \leq r _ { \nu } , { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \nu = 1 , \dots , n \}
v _ { \parallel } - v _ { \parallel f } \simeq - \frac { ( \mu B _ { f } - v _ { \parallel f } u _ { f } ) \left( B / B _ { f } - 1 \right) + Z e \left( \phi _ { \theta } - \phi _ { \theta f } \right) / m } { v _ { \parallel f } + u _ { f } } \sim \epsilon v _ { t }
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { \sigma _ { t } } \left[ \frac { 1 } { n _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( n _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { ( \Omega - 1 ) ^ { 2 } } \right] ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
H _ { l } ( \mathfrak x _ { 0 } ) : = \{ \mathfrak x \in \mathsf { S t } ( \Lambda ) \mid \mathfrak x = \mathfrak u \mathfrak x _ { 0 } \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ s t r i n g ~ } \mathfrak u \} , \ H _ { r } ( \mathfrak x _ { 0 } ) : = \{ \mathfrak x \in \mathsf { S t } ( \Lambda ) \mid \mathfrak x = \mathfrak x _ { 0 } \mathfrak u \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ s t r i n g ~ } \mathfrak u \} .
\mathrm { ~ A ~ m ~ p ~ } ^ { s 1 } = \sqrt { ( \langle \sigma _ { z } \rangle ^ { s 1 } ) ^ { 2 } + ( \langle \sigma _ { y } \rangle ^ { s 1 } \cos \Delta \varphi + \langle \sigma _ { x } \rangle ^ { s 1 } \sin \Delta \varphi ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \prod _ { i = 1 } ^ { N } c _ { i i } } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { N } ( \sigma _ { i } p x _ { i } ^ { p } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } M _ { i k } \frac { x _ { k } } { x _ { i } } ) , } \\ & { = p ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } x _ { i } ^ { p } + p ^ { N - 1 } \prod _ { l = 1 } ^ { N } \prod _ { i \neq j } \sigma _ { i } x _ { i } ^ { p } \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { j l } \frac { x _ { l } } { x _ { j } } + \dots } \\ & { \dots + p \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } x _ { i } ^ { p } \prod _ { j \neq i } \sum _ { l = 1 } ^ { N } M _ { j l } \frac { x _ { l } } { x _ { j } } + \prod _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 1 } ^ { N } M _ { j l } \frac { x _ { l } } { x _ { j } } , } \\ & { = I _ { 0 } + \dots + I _ { N } . } \\ { I _ { N - n } } & { = p ^ { n } \sum _ { i _ { 1 } < i _ { 2 } < . . . < i _ { n } } ^ { N } \prod _ { a \in \{ i _ { n } \} } \sigma _ { a } x _ { a } ^ { p } \prod _ { l \not \in \{ i _ { n } \} } \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { j l } \frac { x _ { l } } { x _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { n _ { \perp } n _ { \perp } } ^ { R } } & { { } = \chi \left( \frac { i \omega \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } - 1 \right) , } \\ { G _ { n _ { \perp } j _ { \| } } ^ { R } } & { { } = \omega k \frac { \sigma \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) - ( 1 + \tau ) \chi v _ { \perp } ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } , } \\ { G _ { j _ { \| } j _ { \| } } ^ { R } } & { { } = - i \omega \frac { ( i \omega - \Gamma ) \Big ( \sigma \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) - ( 1 + \tau ) ^ { 2 } \chi v _ { \perp } ^ { 2 } \Big ) + \tau ^ { 2 } \sigma v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta H } & { = } & { \int d ^ { 3 } r \left[ \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left( \nabla \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \nabla \delta \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \nabla \delta \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \nabla \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right) + \right. } \\ & { } & { \left. + U ( \mathrm { \bf ~ r } ) \left( \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \delta \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \delta \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { d \Phi _ { 5 } = } } & { { ( 2 \pi ) ^ { 6 } } } & { { d \Phi _ { 2 } ( P ; Q _ { V _ { 1 } } , Q _ { V _ { 2 } } ) d \Phi _ { 3 } ( Q _ { V _ { 1 } } ; p _ { 5 } , p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { d \Phi _ { 2 } ( Q _ { V _ { 2 } } ; p _ { 3 } , p _ { 4 } ) d Q _ { V _ { 1 } } ^ { 2 } d Q _ { V _ { 2 } } ^ { 2 } . } } \end{array}
\sigma ^ { D R } ( \varepsilon ) = \frac { \pi } { 4 \varepsilon } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { m o d e s } } \theta ( \hbar \omega _ { i } - \varepsilon ) g _ { i } \sum _ { l l ^ { \prime } \lambda \lambda ^ { \prime } } \left\vert \frac { \partial S _ { l \lambda , l ^ { \prime } \lambda ^ { \prime } } } { \partial { q } _ { i } } \right\vert ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { \dot { Q } _ { \mathrm { F M } } } & { = } & { \alpha _ { \mathrm { T } } \pi r _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } \frac { p \bar { c } _ { \mathrm { g } } } { 2 } \bigg ( \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \bigg ) \bigg ( \frac { T _ { \mathrm { p } } } { T _ { \mathrm { g } } } - 1 \bigg ) } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { F M } } } & { = } & { \alpha _ { \mathrm { M } } \pi r _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( C _ { \mathrm { g } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } \bar { c } _ { \mathrm { p } } ) } \end{array}
I _ { 5 d } ^ { \mathrm { M C S } } = - { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { ( 5 ) } ^ { 2 } } } \int d ^ { 5 } x \; \left( { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { 2 } + { \frac { k } { 6 } } \; A \wedge F \wedge F \right) \ .
\begin{array} { r } { \nabla _ { \! \bot } \widehat { n } = - K = - \kappa _ { 1 } \, \widehat { t } _ { 1 } \otimes \widehat { t } _ { 1 } - \kappa _ { 2 } \, \widehat { t } _ { 2 } \otimes \widehat { t } _ { 2 } . } \end{array}
{ \tilde { g } } { \tilde { g } } \rightarrow ( q { \tilde { \bar { q } } } ) ( { \bar { q } } { \tilde { q } } ) \rightarrow ( q { \bar { q } } { \tilde { N } } _ { 1 } ^ { 0 } ) ( { \bar { q } } q { \tilde { N } } _ { 1 } ^ { 0 } ) \rightarrow
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { \eta } ( t ) } { \hat { \eta } ( 0 ) } = 1 } & { - \frac { \textbf { i } } { \hat { \eta } ( 0 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \exp { ( s _ { n } t ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \Bigg [ \frac { 1 } { s _ { n } | \mathscr { D } ( s _ { n } ) | ^ { \prime } } \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A d j ( \mathscr { D } ( s _ { n } ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s _ { n } ) \Bigg ] } \\ & { - \frac { \textbf { i } } { \hat { \eta } ( 0 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \Bigg [ \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( 0 ) | } \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A d j ( \mathscr { D } ( 0 ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( 0 ) \Bigg ] } \end{array}
m _ { \mathrm { p o l } } = m _ { \overline { { { \mathrm { M S } } } } } ( \mu ) \left( 1 + \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \pi } \, \left\{ \frac { 4 } { 3 } + \ln \frac { \mu ^ { 2 } } { m _ { \overline { { { \mathrm { M S } } } } } ^ { 2 } } \right\} \right) .
\frac { g _ { \mu \alpha } M _ { V } ^ { 2 } ( - p _ { 1 } ^ { 2 } ) - p _ { 1 \mu } p _ { 1 \alpha } } { M _ { V } ^ { 2 } ( p _ { 1 } ^ { 2 } ) - p _ { 1 } ^ { 2 } }
{ \mathrm { c o n s t a n t } } = V _ { E } ^ { \prime } ( A ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \delta _ { n } P _ { n } ( \cos \theta ) - G m \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { A ^ { n } } { r _ { 0 } ^ { n + 1 } } } P _ { n } ( \cos \theta )
\begin{array} { r l r } { P _ { n } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) } & { { } = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( B _ { j } ^ { ( 1 ) } a _ { j } - A _ { j } ^ { ( 1 ) } b _ { j } \right) P _ { n - 1 } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) - \lambda _ { n - 1 } P _ { n - 1 } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) } \end{array}
A _ { u t } ( p _ { 1 } ; p _ { 2 } ; p _ { 3 } ; p _ { 4 } ) = - 2 \frac { G _ { 0 } ^ { 2 } } { \alpha ^ { ' } } ( 2 \pi ) ^ { 2 6 } \delta ^ { 2 6 } ( \sum _ { i } p _ { i } ) c o s ( \frac { p _ { 1 } \theta p _ { 4 } + p _ { 2 } \theta p _ { 3 } } { 2 } ) \frac { \Gamma ( - 1 - \alpha ^ { ' } u ) \Gamma ( - 1 - \alpha ^ { ' } t ) } { \Gamma ( 2 + \alpha ^ { ' } s ) }
\begin{array} { r } { \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } = ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } \frac { 2 \zeta _ { 0 } - \zeta _ { n } } { \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf e } _ { p } } & { { } = } & { \frac { k _ { x } k _ { z } } { k k _ { \perp } } \hat { \bf e } _ { x } + \frac { k _ { y } k _ { z } } { k k _ { \perp } } \hat { \bf e } _ { y } - \frac { k _ { \perp } } { k } \hat { \bf e } _ { z } , } \\ { \hat { \bf e } _ { s } } & { { } = } & { - \frac { k _ { y } } { k _ { \perp } } \hat { \bf e } _ { x } + \frac { k _ { x } } { k _ { \perp } } \hat { \bf e } _ { y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { u _ { k } ^ { \star } - u _ { k } ^ { n - 1 } } { \Delta t } + B _ { k } ^ { n - 1 / 2 } } & { { } = - \nabla _ { k } p ^ { \star } + \nu { \nabla } ^ { 2 } \tilde { u } _ { k } + f _ { k } ^ { n - 1 / 2 } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k = 1 , \dots , d , } \\ { { \nabla } ^ { 2 } \varphi } & { { } = - \frac { 1 } { \Delta t } \nabla \cdot \b u ^ { \star } , } \\ { \frac { u _ { k } ^ { n } - u _ { k } ^ { \star } } { \Delta t } } & { { } = - { \nabla } _ { k } \varphi \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k = 1 , \dots , d , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ v _ { i } ( \vec { r \, } ) , v _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { = \epsilon _ { i j k } \, \omega _ { k } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \\ { \{ v _ { i } ( \vec { r \, } ) , \ell _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { = \partial _ { i } \ell _ { j } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \\ { \{ v _ { i } ( \vec { r \, } ) , M _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { = \partial _ { i } M _ { j } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \\ { \{ \ell _ { i } ( \vec { r \, } ) , \ell _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { = \epsilon _ { i j k } \, \ell _ { k } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \\ { \{ \ell _ { i } ( \vec { r \, } ) , M _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { = \epsilon _ { i j k } \, M _ { k } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { F } _ { 3 2 1 } = } & & { ( s _ { 6 } + s _ { 3 1 } + s _ { 4 1 } + s _ { 1 1 1 } ) \otimes 1 } \\ & { } & & { \qquad + ( s _ { 3 } + s _ { 4 } + s _ { 5 } + s _ { 1 1 } + s _ { 2 1 } + s _ { 3 1 } ) \otimes e _ { 1 } } \\ & { } & & { \qquad + ( s _ { 2 } + s _ { 4 } + s _ { 1 1 } + s _ { 2 1 } ) \otimes e _ { 2 } + ( s _ { 1 } + s _ { 2 } + s _ { 3 } ) \otimes e _ { 1 1 } } \\ & { } & & { \qquad + ( s _ { 3 } + s _ { 1 1 } ) \otimes e _ { 3 } + ( 2 s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \otimes e _ { 2 1 } + 1 \otimes e _ { 1 1 1 } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { I m } \big ( \mathrm { K } ^ { k } e ^ { - i \theta _ { A } ^ { k } } \big ) } { \mathcal { A } ^ { k } } = } & { { } ~ \frac { 1 } { 4 } \sum _ { { l } , { l ^ { \prime } } } ( q _ { l } ^ { 2 } + 2 q _ { l } q _ { l ^ { \prime } } ) \frac { \mathcal { A } _ { A } ^ { l , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } , * } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k , * } } \big ( \Delta \theta _ { A } ^ { l } + \Delta \theta _ { A } ^ { l ^ { \prime } } + \Delta \theta _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } } - \Delta \theta _ { A } ^ { k } \big ) g ^ { k , l , l ^ { \prime } } \, , } \\ { \mathrm { R e } ( \mathrm { K } ^ { k } e ^ { - i \theta _ { A } ^ { k } } ) = } & { { } ~ \frac { 1 } { 4 } \sum _ { { l } , { l ^ { \prime } } } ( q _ { l } ^ { 2 } + 2 q _ { l } q _ { l ^ { \prime } } ) \left( \mathcal { A } _ { A } ^ { l , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } , * } \Delta \mathcal { A } _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } } + \mathcal { A } _ { A } ^ { l , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { 1 - { l } - { l ^ { \prime } } , * } \Delta \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } } + \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } , * } \mathcal { A } _ { A } ^ { 1 - { l } - { l ^ { \prime } } , * } \Delta \mathcal { A } _ { A } ^ { l } \right) h ^ { k , l , l ^ { \prime } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \frac { \partial p _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } } & { = - \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \partial p _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \gamma \left( p _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) - p _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) \right) , } \\ { \frac { \partial p _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } } & { = - \left( - v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \partial p _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \gamma \left( p _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) - p _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) \right) . } \end{array}
{ \cal A } _ { \mathrm { N S } } = \frac { T } { 2 \pi } { \frac { 1 } { \sqrt { 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d t } \left( \frac { \pi } { t } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - b ^ { 2 } / ( 2 \alpha ^ { \prime } t ) } \, \left[ \left( { \frac { f _ { 4 } } { f _ { 2 } } } \right) ^ { 8 } - \left( { \frac { f _ { 3 } } { f _ { 2 } } } \right) ^ { 8 } \right] = - { \frac { T } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } } | b | ~ .
\displaystyle \boldsymbol { \varphi } = \bigl [ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \bigr ] , \boldsymbol { \phi } = \bigl [ \begin{array} { l l } { 0 . 7 0 } & { 0 . 0 2 } \\ { 0 . 3 0 } & { 0 . 8 0 } \end{array} \bigr ]
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } | q _ { \xi } | ^ { 2 } d \xi } \\ { H _ { 3 } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( | q _ { \xi } | ^ { 4 } - i q _ { \xi } ^ { * } q _ { \xi \xi } ) d \xi } \\ { H _ { 5 } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( - q _ { \xi } ^ { * } q _ { \xi \xi \xi } + 2 | q _ { \xi } | ^ { 6 } - 3 i | q _ { \xi } | ^ { 2 } q _ { \xi } ^ { * } q _ { \xi \xi } ) d \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta _ { 1 } } J ^ { \pi } ( \rho ) = } & { \mathbb { E } _ { s _ { 1 } \sim \rho } \mathbb { E } _ { ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \sim \pi _ { 1 } ( \cdot | s _ { 1 } ) } [ \nabla _ { \theta _ { 1 } } \log \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) Q ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ] } \\ { \nabla _ { \theta _ { 2 } } J ^ { \pi } ( \rho ) = } & { \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \mathbb { E } _ { ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \sim d _ { \rho ^ { \pi } } ^ { \pi } } \mathbb { E } _ { ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \sim \pi _ { 2 } ( \cdot | s _ { t } , \eta _ { t } ) } [ \nabla _ { \theta _ { 2 } } \log \pi _ { 2 } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { A p , B q } } & { = \langle A , p | \hat { H } | B , q \rangle = } \\ & { = \delta _ { A B } ( s _ { p q } E _ { A } + \tilde { h } _ { p q } ) + } \\ & { + W _ { p r } ^ { B A } \tilde { h } _ { r q } + \tilde { h } _ { p r } W _ { r q } ^ { B A } } \\ & { + \delta _ { S _ { A } S _ { B } } [ p q | r s ] Q _ { s r } ^ { B A } + [ p s | r q ] W _ { s r } ^ { B A } + } \\ & { + [ p t | r s ] P _ { t s , q r } ^ { B A } + [ q t | r s ] P _ { p s , t r } ^ { B A } } \end{array}
\left( 1 - { \frac { r _ { 0 } } { r } } \right) { \frac { r } { r _ { 0 } } } { \frac { d } { d r } } \left( r ^ { 2 } { \frac { d f _ { \ell } } { d r } } \right) + \left( 2 \ell + \left( 2 \ell + 1 + i \; { \frac { k } { 2 \pi T _ { H } } } \right) { \frac { r _ { 0 } } { r } } \right) { \frac { r ^ { 2 } } { r _ { 0 } } } \; { \frac { d f _ { \ell } } { d r } } + \ell \left( - \ell + i \; { \frac { k } { 2 \pi T _ { H } } } \right) \; f _ { \ell } = 0
= \psi _ { 1 } ^ { 2 } ( \textbf { X } _ { g y } ) + \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } ( ( \partial _ { 1 } \psi _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \partial _ { 2 } \psi _ { 1 } ) ^ { 2 } ) - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 \pi } \partial _ { 1 } \psi _ { 1 } \partial _ { 2 } \psi _ { 1 } \int d \theta c o s \theta s i n \theta
\begin{array} { r } { \sum _ { c y c } { \frac { \left( b + c \right) \left( c + a \right) } { b a } } + 3 6 - 6 4 \, \sum _ { c y c } { \frac { b a } { \left( b + c \right) \left( c + a \right) } } = \frac { \prod \, ( a + b ) \sum _ { c y c } a ( a - b ) ( a - c ) + \Big [ \sum _ { c y c } c ( a - b ) ^ { 2 } \Big ] ^ { 2 } } { a \, b \, c \, ( a + b ) \, ( b + c ) \, ( c + a ) } \geq 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { B } } & { = { \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } } ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { p } ) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } = { \frac { \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } p _ { 0 } } { 4 \pi c } } ( { \hat { \mathbf { r } } } \times { \hat { \mathbf { z } } } ) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } = - { \frac { \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } p _ { 0 } } { 4 \pi c } } \sin ( \theta ) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } \mathbf { \hat { \phi } } } \\ { \mathbf { E } } & { = c \mathbf { B } \times { \hat { \mathbf { r } } } = - { \frac { \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } p _ { 0 } } { 4 \pi } } \sin ( \theta ) \left( { \hat { \phi } } \times \mathbf { \hat { r } } \right) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } = - { \frac { \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } p _ { 0 } } { 4 \pi } } \sin ( \theta ) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } { \hat { \theta } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { G ( \kappa _ { x } , \kappa _ { z } ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { l = - \frac { \beta _ { x } } { \eta _ { x } } } ^ { \frac { \beta _ { x } } { \eta _ { x } } } \sum _ { m = - \frac { \beta _ { z } } { \eta _ { z } } } ^ { \frac { \beta _ { z } } { \eta _ { z } } } \mathrm { s i n c } \left( 2 \sqrt { \left( \frac { l \eta _ { x } ( N _ { x } - 1 ) } { N _ { x } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { m \eta _ { z } ( N _ { z } - 1 ) } { N _ { z } } \right) ^ { 2 } } \right) e ^ { - j \lambda ( l \eta _ { x } \kappa _ { x } + m \eta _ { z } \kappa _ { z } ) } , } \\ { \kappa _ { x } } & { = - \frac { ( N _ { x } - 1 ) \kappa } { 2 N _ { x } \eta _ { x } } , - \frac { ( N _ { x } - 3 ) \kappa } { 2 N _ { x } \eta _ { x } } , \ldots , \frac { ( N _ { x } - 1 ) \kappa } { 2 N _ { x } \eta _ { x } } , } \\ { \kappa _ { z } } & { = - \frac { ( N _ { z } - 1 ) \kappa } { 2 N _ { z } \eta _ { z } } , - \frac { ( N _ { z } - 3 ) \kappa } { 2 N _ { z } \eta _ { z } } , \ldots , \frac { ( N _ { z } - 1 ) \kappa } { 2 N _ { z } \eta _ { z } } } \end{array}
\mathbf { \Lambda } = \left[ \begin{array} { c c c } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { r } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { \Phi } = \left[ \begin{array} { c c c c } { | } & { | } & & { | } \\ { \mathbf { d } _ { 1 } } & { \mathbf { d } _ { 2 } } & { . . . } & { \mathbf { d } _ { r } } \\ { | } & { | } & & { | } \end{array} \right] , \quad \mathbf { \mathbf { b } } = \left[ \begin{array} { c } { b _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { b _ { r } } \end{array} \right] ,
\left\{ \L _ { R } \frac { \partial } { \partial \L _ { R } } + \beta \frac { \partial } { \partial g } - ( n + \bar { n } ) \gamma _ { \Phi } \right\} \Gamma _ { n , \bar { n } } ^ { \L } \left[ \Phi , \bar { \Phi } \right] = 2 \gamma _ { \Phi } { \cal T } _ { n , \bar { n } } ^ { \L } \left[ \Phi , \bar { \Phi } \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \| C \nabla \log p _ { T - t } ( Y _ { t } ) - \tilde { s } ( T - t , \tilde { Y } _ { t } ) \| } \\ & { \leqslant } & { \| C \nabla \log p _ { T - t } ( Y _ { t } ) - C \nabla \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \| } \\ & { } & { + \| C \nabla \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) - \tilde { s } ( \lfloor t \rfloor , Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \| + \| \tilde { s } ( \lfloor t \rfloor , Y _ { \lfloor t \rfloor } ) - \tilde { s } ( \lfloor t \rfloor , \tilde { Y } _ { \lfloor t \rfloor } ) \| } \\ & { \leqslant } & { \| \nabla _ { U } \log p _ { T - t } ( Y _ { t } ) - \nabla _ { U } \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \| } \\ & { } & { + \| C \nabla \log p _ { T - \lfloor t \rfloor } ( Y _ { \lfloor t \rfloor } ) - \tilde { s } ( \lfloor t \rfloor , Y _ { \lfloor t \rfloor } ) \| + L _ { s } \| Y _ { \lfloor t \rfloor } - \tilde { Y } _ { \lfloor t \rfloor } \| . } \end{array}