harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { T } \{ \exp [ - i \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \mathcal { H } ( t ) ] \} \quad t _ { 2 } > t _ { 1 } } \\ { \Bar { \mathcal { T } } \{ \exp [ - i \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \mathcal { H } ( t ) ] \} \quad t _ { 2 } < t _ { 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { I _ { a , b } = \left( \begin{array} { l } { I _ { b } } \\ { 0 _ { a - b , b } } \end{array} \right) \mathrm { ~ i ~ f ~ } a > b } \\ { I _ { a , b } = I _ { b , a } ^ { \top } \mathrm { ~ i ~ f ~ } a < b } \\ { I _ { a , b } = I _ { a } \mathrm { ~ i ~ f ~ } a = b } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \partial v _ { x } } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial v _ { x } } { \partial x } + v _ { z } \frac { \partial v _ { x } } { \partial z } + \frac { \partial P } { \partial x } - \nu \nabla ^ { 2 } v _ { x } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial v _ { z } } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial v _ { z } } { \partial x } + v _ { z } \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } + \frac { \partial P } { \partial z } - g \alpha T - \nu \nabla ^ { 2 } v _ { z } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge \Big ( i _ { ( \ast \frac { \delta H } { \delta v } ) ^ { \sharp } } d v + d \big ( \mathrm { l i } ( E ( \frac { \delta H } { \delta \Sigma } ) ) \big ) \Big ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Sigma } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta H } { \delta v } ) } \end{array}
m = { \frac { \mathrm { l o g } ( F _ { 2 } ) - \mathrm { l o g } ( F _ { 1 } ) } { \log ( x _ { 2 } ) - \log ( x _ { 1 } ) } } = { \frac { \log ( F _ { 2 } / F _ { 1 } ) } { \log ( x _ { 2 } / x _ { 1 } ) } } ,
\begin{array} { r l r l r } { D _ { X } = \frac { D _ { 0 } } { 1 + \frac { \tilde { X } _ { 1 } } { \tilde { X } _ { 2 } } } ~ , } & { { } } & { \gamma _ { X } = \frac { \mu _ { D } + \mu _ { M } \frac { \tilde { X } _ { 1 } } { \tilde { X } _ { 2 } } } { 1 + \frac { \tilde { X } _ { 1 } } { \tilde { X } _ { 2 } } } ~ , } & { { } } & { H _ { X } = \frac { \beta } { 1 + \frac { \tilde { X } _ { 1 } } { \tilde { X } _ { 2 } } } ~ . } \end{array}
\mathcal { A } = \mathbf { L } ^ { - 1 } \mathbf { K } = \left( \begin{array} { c c c } { \bar { \mathbf { m } } ^ { 1 } } & { \bar { \mathbf { m } } ^ { 2 } } & { \bar { \mathbf { m } } ^ { 3 } } \end{array} \right)
U ( r , \phi , t ) = { \cal H } _ { \mathrm { 2 D } } - \frac { 1 } { 2 } \mu \ ( \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 } \mu \ \Omega ( t ) ^ { 2 } \ r ^ { 2 } + \varepsilon ( r ) - \frac { F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } f ( t ) ^ { 2 } [ \Delta \alpha ( r ) \cos ^ { 2 } \phi + \alpha _ { \bot } ( r ) ] .
\frac { \mathrm { d } a _ { \mathrm { s } } ( s ) } { \mathrm { d } \ln s } = - \beta _ { 0 } a _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ( s ) - \beta _ { 1 } a _ { \mathrm { s } } ^ { 3 } ( s ) - \beta _ { 2 } a _ { \mathrm { s } } ^ { 4 } ( s ) - \beta _ { 3 } a _ { \mathrm { s } } ^ { 5 } ( s ) - \dots ,
\begin{array} { r l } { P _ { 0 } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \frac { 1 } { \pi ^ { n } \det \tilde { \Gamma } } \int \mathrm { d } ^ { 2 n } { \delta } e ^ { - \boldsymbol { \delta } ^ { \dagger } ( \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } + \mathbb { I } ) \boldsymbol { \delta } } } \\ & { = \frac { 1 } { \det ( \tilde { \Gamma } + \mathbb { I } ) } . } \end{array}
g ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { \mathrm { 0 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } t < t _ { \mathrm { 0 } } , } \\ { g _ { \mathrm { 0 } } + \frac { g _ { \mathrm { 1 } } - g _ { \mathrm { 0 } } } { 2 } \left( 1 - \cos \left( \frac { \pi ( t - t _ { \mathrm { 0 } } ) } { t _ { \mathrm { L } } } \right) \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } t _ { \mathrm { 0 } } \leq t < t _ { \mathrm { 0 } } + t _ { \mathrm { L } } , } \\ { g _ { \mathrm { 1 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } t \geq t _ { \mathrm { 0 } } + t _ { \mathrm { L } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } } & { = - \frac { 1 } { V } \frac { \partial E } { \partial \epsilon _ { \alpha \beta } } } \\ & { = \sigma _ { \alpha \beta } ^ { T } + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { L } + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { N L } + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { H a r t r e e } } + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { x c } } + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { I I } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \psi } ( t ) = } & { { } \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { A } t } \boldsymbol { \psi } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { A } ( t - \xi ) } \boldsymbol { H } \; \mathrm { d } \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Phi ^ { \tau } ( v ) - \Phi ^ { \tau } ( w ) \| _ { L ^ { 2 } } } & { = \| e ^ { i \tau \Delta } I _ { N } \Phi _ { B } ^ { \tau } ( v ) - e ^ { i \tau \Delta } I _ { N } \Phi _ { B } ^ { \tau } ( w ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \| I _ { N } \Phi _ { B } ^ { \tau } ( v ) - I _ { N } \Phi _ { B } ^ { \tau } ( w ) \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { A } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { e ^ { - 4 g - 2 i k _ { 1 } } + e ^ { 4 g + 2 i k _ { 1 } } } & { - e ^ { - 4 g - 2 i k _ { 1 } } + e ^ { 4 g + 2 i k _ { 1 } } } \\ { - e ^ { - 4 g - 2 i k _ { 1 } } + e ^ { 4 g + 2 i k _ { 1 } } } & { e ^ { - 4 g - 2 i k _ { 1 } } + e ^ { 4 g + 2 i k _ { 1 } } } \end{array} \right] ; } \\ { R _ { B } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { e ^ { - 4 g - 2 i k _ { 1 } } + e ^ { 4 g + 2 i k _ { 1 } } } & { - e ^ { - 4 g - 2 i k _ { 1 } } + e ^ { 4 g + 2 i k _ { 1 } } } \\ { - e ^ { - 4 g - 2 i k _ { 1 } } + e ^ { 4 g + 2 i k _ { 1 } } } & { e ^ { - 4 g - 2 i k _ { 1 } } + e ^ { 4 g + 2 i k _ { 1 } } } \end{array} \right] ; } \\ { T _ { B } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { e ^ { 4 g - 2 i k _ { 2 } } + e ^ { - 4 g + 2 i k _ { 2 } } } & { - e ^ { 4 g - 2 i k _ { 2 } } + e ^ { - 4 g + 2 i k _ { 2 } } } \\ { - e ^ { 4 g - 2 i k _ { 2 } } + e ^ { - 4 g + 2 i k _ { 2 } } } & { e ^ { 4 g - 2 i k _ { 2 } } + e ^ { - 4 g + 2 i k _ { 2 } } } \end{array} \right] ; } \\ { D _ { A } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { e ^ { 4 g - 2 i k _ { 2 } } + e ^ { - 4 g + 2 i k _ { 2 } } } & { - e ^ { 4 g - 2 i k _ { 2 } } + e ^ { - 4 g + 2 i k _ { 2 } } } \\ { - e ^ { 4 g - 2 i k _ { 2 } } + e ^ { - 4 g + 2 i k _ { 2 } } } & { e ^ { 4 g - 2 i k _ { 2 } } + e ^ { - 4 g + 2 i k _ { 2 } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \kappa } { \sqrt { 2 \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } } = \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { 1 } { \sqrt { \cfrac { 2 \left[ D _ { d } ( \kappa ) \kappa - \log d _ { d } ( \kappa ) + \log | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | \right] } { \kappa ^ { 2 } } } } = \frac { d } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \frac { d + 2 } { d - 1 } } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \leq \sqrt { 2 } \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \sqrt { 2 } \frac { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ) } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ & { \leq \sqrt { 2 } \frac { \big \| u _ { \mathrm { i n } , k } + i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \Phi _ { \mathrm { i n } , k } + u _ { t , \mathrm { i n } , k } \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } + } \\ & { + 2 \sqrt { 2 } \big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) | k | \int _ { 0 } ^ { t } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } \frac { \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { = \mathrm { d e v } \{ \varDelta s _ { k } \} , } \\ { E _ { 2 } } & { = \mathrm { d e v } \{ \varDelta r _ { k } \} , } \\ { E _ { 3 } } & { = \mathrm { d e v } \{ \varDelta s _ { k } - \varDelta r _ { k } \} , } \\ { E _ { 4 } } & { = \mathrm { d e v } \{ \varDelta s _ { k } + \varDelta r _ { k } \} , } \end{array}
\frac { v ^ { 2 } ( r ) } { c ^ { 2 } } = \frac { 2 } { x } \cdot \left( 1 + \lambda ^ { 2 } / x ^ { 2 } \right) ^ { - \beta } \simeq \frac { 2 } { x } \cdot \left( 1 - \beta \, \frac { \lambda ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } \, + \, \cdots \right) ,
{ { \varepsilon } _ { L } } \left( { { q } _ { x } } \right) \left[ { { \varphi } _ { i } } \left( { { q } _ { x } } \right) + { { \varphi } _ { L } } \left( { { q } _ { x } } \right) \right] + { { \varepsilon } _ { R } } \left( { { q } _ { x } } \right) { { \varphi } _ { R } } \left( { { q } _ { x } } \right) = \frac { { { q } _ { x } } } { \omega } G \left( q \right) \left[ { { \sigma } _ { R } } - { { \sigma } _ { L } } \right] { { \varphi } _ { { { q } _ { y } } } } \left( 0 \right) ,
t _ { 0 } ^ { x } = t _ { 0 } ^ { y } = 1 . 0 , t _ { s o } ^ { x } = - i t _ { s o } ^ { y } = 0 . 4 , m _ { z } = 0 . 3 , \gamma _ { \downarrow } = 0 . 6 , \vec { K } = \pi / a ( \cos \theta , \sin \theta ) , \theta = 5 0 ^ { \circ }
\hat { \rho } _ { \mathrm { X U Y V Z } } = \sum _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } \rho _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes | u \rangle \otimes \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm Y } \otimes | v \rangle \otimes \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm Z } \right) \hat { \rho } _ { \mathrm { X Y Z } } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes \langle u ^ { ' } | \otimes \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm Y } \otimes \langle v ^ { ' } | \otimes \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm Z } \right)
a _ { \mathrm { c o r r e l a t i o n } } ( x , \tau ) = \frac { e c ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial R ^ { 2 } } \ \int d u \ \frac { \theta \Bigl ( R ^ { 2 } - c ^ { 2 } u ^ { 2 } - c ^ { 2 } ( \alpha - u ) ^ { 2 } \Bigr ) } { \sqrt { R ^ { 2 } - c ^ { 2 } u ^ { 2 } - c ^ { 2 } ( \alpha - u ) ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r l } { \left\vert X _ { i } ^ { t } \overline { { C } } _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } - X _ { i } ^ { t } \underbar { C } _ { i } ^ { t } { \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } } \right\vert } & { \leq X _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } \left\vert \overline { { C } } _ { i } ^ { t } - \underbar { C } _ { i } ^ { t } \right\vert + X _ { i } ^ { t } \underbar { C } _ { i } ^ { t } \left\vert \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } - \underbar { Y } _ { i } ^ { t } \right\vert } \\ & { \leq X _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } \cdot D + 2 X _ { i } ^ { t } \underbar { C } _ { i } ^ { t } \sqrt { \frac { T - t } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) } \\ & { \leq X _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } \left( D + 2 \sqrt { \frac { T - t } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) \right) } \end{array}
\left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } - | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } - | - m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } \right) / 2
{ \begin{array} { r l } { \star \varphi } & { = A \, d y \wedge d z - B \, d x \wedge d z + C \, d x \wedge d y , } \\ { d { \star \varphi } } & { = \left( { \frac { \partial A } { \partial x } } + { \frac { \partial B } { \partial y } } + { \frac { \partial C } { \partial z } } \right) d x \wedge d y \wedge d z , } \\ { \star d { \star \varphi } } & { = { \frac { \partial A } { \partial x } } + { \frac { \partial B } { \partial y } } + { \frac { \partial C } { \partial z } } = \operatorname { d i v } \mathbf { F } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { \partial g _ { 1 } } { \partial \theta } / \frac { \partial g _ { 1 } } { \partial U _ { 1 } } = \frac { C _ { 1 } ( U _ { 1 } ) } { C ( \theta ) } , } \\ { \frac { \partial g _ { 2 } } { \partial \theta } / \frac { \partial g _ { 2 } } { \partial U _ { 2 } } = \frac { C _ { 2 } ( U _ { 2 } ) } { C ( \theta ) } . } \end{array}
\mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } = \sqrt { \frac { 1 } { N d } \sum _ { n } ^ { N } \sum _ { m } ^ { d } ( u _ { n m } - \bar { u } _ { m } ) ^ { 2 } } , \quad \bar { u } _ { m } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n m } ,
\begin{array} { r l } { U _ { A D } ^ { \lambda _ { n } / 2 } } & { { } = U _ { I } ^ { { ( n ) } } ~ U _ { F } ^ { { ( n ) } } ~ U _ { I } ^ { { ( n ) } } , } \\ { U _ { I } ^ { { ( n ) } } } & { { } = \exp \left( - i H _ { I } \tau _ { 1 } { ( n ) } \right) , } \\ { U _ { F } ^ { { ( n ) } } } & { { } = \exp \left( - i H _ { F } \tau _ { 2 } { ( n ) } \right) , } \\ { \tau _ { 1 } { ( n ) } } & { { } = \frac { ( 1 - \lambda _ { n } ) \tau _ { 0 } } { 4 } , ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ \tau _ { 2 } { ( n ) } = \frac { \lambda _ { n } \tau _ { 0 } } { 2 } . } \end{array}
V _ { \mathrm { ~ U ~ } } ( r ) = - \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \frac { Z } { r } \int _ { [ 1 , \infty ) } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - 2 \alpha ^ { - 1 } \xi r \right) \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \xi ^ { 2 } } \right) \frac { \sqrt { \xi ^ { 2 } - 1 } } { \xi ^ { 2 } } ~ d \xi
\begin{array} { r l } & { \exp \Bigg \{ \int _ { - \infty } ^ { c } \left( q ( t ; \alpha , \kappa ) + \frac { 2 t } { 3 } - \frac { 2 \alpha } { t } \right) d t + \mathrm { P . V . } \int _ { c } ^ { d } q ( t ; \alpha , \kappa ) \, d t + \int _ { d } ^ { + \infty } q ( t ; \alpha , \kappa ) \, d t \Bigg \} } \\ & { \qquad = \frac { ( - 1 ) ^ { N _ { + } - N _ { - } } \sqrt { \pi } e ^ { \frac { c ^ { 2 } } { 3 } } | c | ^ { - 2 \alpha } 3 ^ { 2 \alpha } ( 1 - \rho ) e ^ { \pi i \alpha } } { 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } - \alpha } \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } - \alpha ) ( 1 - | \rho | ^ { 2 } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } , } \end{array}
{ \bf X } ^ { ( 2 ) } = \left[ \begin{array} { c c c c c c } { x _ { 1 } ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) } & { x _ { 1 } ( t _ { 1 } ) x _ { 2 } ( t _ { 1 } ) } & { \cdots } & { x _ { 2 } ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) } & { \cdots } & { x _ { n } ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) } \\ { x _ { 1 } ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) } & { x _ { 1 } ( t _ { 2 } ) x _ { 2 } ( t _ { 2 } ) } & { \cdots } & { x _ { 2 } ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) } & { \cdots } & { x _ { n } ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { x _ { 1 } ^ { 2 } ( t _ { m } ) } & { x _ { 1 } ( t _ { m } ) x _ { 2 } ( t _ { m } ) } & { \cdots } & { x _ { 2 } ^ { 2 } ( t _ { m } ) } & { \cdots } & { x _ { n } ^ { 2 } ( t _ { m } ) } \end{array} \right] \; .
\mathbf { p } \cdot { \dot { \mathbf { q } } } - H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) = - \mathbf { Q } \cdot { \dot { \mathbf { P } } } - K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) + { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial t } } + { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial \mathbf { q } } } \cdot { \dot { \mathbf { q } } } + { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial \mathbf { P } } } \cdot { \dot { \mathbf { P } } }
\dot { m } _ { t } = - 2 \mu m _ { t } - \frac { \varphi } { L ^ { 2 } } ( 1 - m _ { t } ^ { 2 } ) \Bigg [ \frac { L - 1 } { 2 } m _ { t } + \frac { L } { 2 } - E ^ { * } \Bigg ] \ .
\begin{array} { r l } { V ( r ) = } & { \frac { \left( 1 - p \right) r ^ { q + 1 } } { \left( q + 1 \right) \left( q + 2 \right) } \left( r - 2 - \left( 1 - r \right) q \right) - \frac { \left( 1 - r \right) ^ { q + 1 } } { \left( q + 1 \right) \left( q + 2 \right) } \left( 1 + \left( q + 1 \right) r \right) + \frac { p \, r \left( r - 2 \right) } { 2 } + \frac { p \left( r - 1 \right) ^ { 2 } \left( 1 - r \right) ^ { q } } { \left( q + 2 \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { \mu \nu } _ { \lambda } = 0 \quad \implies \quad \overline { { \Gamma } } _ { \mu \nu } ^ { \lambda } = \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } - \frac { 1 } { 2 } Q _ { \mu } \delta _ { \nu } ^ { \lambda } \quad \mathrm { o r } \quad \overline { { \Gamma } } _ { \mu \nu } ^ { \lambda } = \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } - \frac { 1 } { 3 } T _ { \mu } \delta _ { \nu } ^ { \lambda } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \epsilon } ( z ) = \mathrm { d i a g } \left( \epsilon _ { t \infty } , \epsilon _ { t \infty } , \epsilon _ { z \infty } \right) \vartheta \left( \frac { d } { 2 } - | z | \right) \vartheta \left( | z | - \frac { \delta } { 2 } \right) + \epsilon _ { 0 } I \left[ \vartheta \left( | z | - \frac { d } { 2 } \right) + \vartheta \left( \frac { \delta } { 2 } - | z | \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \hat { \cal Q } ( g , f ) ( x , y ) - { \cal Q } ( g , f ) ( x , y ) \right| } \\ & { + \left| { \frac { \partial } { \partial y } } \left( \hat { \cal Q } ( g , f ) ( x , y ) - { \cal Q } ( g , f ) ( x , y ) \right) \right| } \\ & { + \left| { \frac { \partial } { \partial y } } \left( \hat { \cal Q } ( g , f ) ( x , y ) - { \cal Q } ( g , f ) ( x , y ) \right) \right| < \epsilon } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { c _ { 1 , j } ^ { o } = c _ { 2 , j } ^ { o } , } & & { c _ { 1 , j } ^ { 1 2 } = c _ { 2 , j } ^ { 1 2 } , } \\ & { c _ { 1 , j } ^ { 3 1 } = c _ { 1 , j } ^ { 2 3 } , } & & { c _ { 2 , j } ^ { 3 1 } = c _ { 2 , j } ^ { 2 3 } , } \\ & { c _ { N _ { \varphi } , j } ^ { 1 2 } = c _ { N _ { \varphi } , j } ^ { 2 3 } , } & & { c _ { N _ { \varphi } - 1 , j } ^ { 1 2 } = c _ { N _ { \varphi } - 1 , j } ^ { 2 3 } , } \\ & { c _ { N _ { \varphi } , j } ^ { o } = c _ { N _ { \varphi } - 1 , j } ^ { o } , } & & { c _ { N _ { \varphi } , j } ^ { 3 1 } = c _ { N _ { \varphi } - 1 , j } ^ { 3 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( g ) \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } Q ( g _ { n } ) } & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \sum _ { x , y \in F _ { n } } | g ( x ) | | g ( y ) | Q ( 1 _ { x } ) ^ { 1 / 2 } Q ( 1 _ { y } ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \left( \sum _ { x \in X } s _ { x } Q ( 1 _ { x } ) ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 } < \varepsilon . } \end{array}
- \frac { H ^ { 3 } } { 1 2 } \frac { d P _ { - 5 / 2 } } { d Z } + \frac { H } { 2 } \frac { d C _ { - 1 / 2 } } { d Z } = - \frac { 1 } { 2 } \mathcal { W } _ { 0 } ,
R _ { k } ^ { ( N _ { f } ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } , M ) \ = \ \operatorname * { d e t } \left[ K _ { N } ^ { ( N _ { f } ) } ( x _ { i } , x _ { j } , M ) \right] _ { i , j = 1 , \ldots , k }
\nu _ { 9 } ^ { * } = \mu _ { m a x , P H } ^ { r e s p } \frac { S _ { D O C } ^ { * } } { K _ { P H , D O C } + S _ { D O C } ^ { * } } \frac { S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } { K _ { P H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } \frac { K _ { P H , I } ^ { i n } } { K _ { P H , I } ^ { i n } + I _ { 0 } } \frac { K _ { M ^ { * } } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M ^ { * } } \psi _ { d _ { P H } } ^ { * }
\operatorname* { P r } [ \theta ] = \operatorname* { P r } [ \gamma ] { \frac { d \gamma } { d \theta } } \propto { \frac { 1 } { \sqrt { ( \sin ^ { 2 } \theta ) ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta ) } } } ~ 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \, .
\begin{array} { r l } & { \| T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u - T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } } \\ & { \le \| T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u - T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } + \| T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u _ { \varepsilon } - T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } + \| T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u _ { \varepsilon } - T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } } \\ & { \le \| u - u _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } + \| T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u _ { \varepsilon } - T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 2 } ( { \mu } ) } + \| u _ { \varepsilon } - u \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } } \\ & { \xrightarrow { r \to \infty } \varepsilon + 0 + \varepsilon \, \, \mathrm { . } } \end{array}
\bar { f } \left( \mathbf { x } \right) = \int _ { \Omega } { f \left( { \mathbf { { x } ^ { \prime } } } \right) G \left( \mathbf { x } - \mathbf { { x } ^ { \prime } } ; \bar { \Delta } \right) d \mathbf { { x } ^ { \prime } } }
\begin{array} { r } { P _ { 1 } ^ { \alpha } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) : = \frac { \partial } { \partial \theta _ { 1 } } 4 ( N + 1 ) R _ { \alpha } ^ { p } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \quad \mathrm { a n d } \quad P _ { 2 } ^ { \alpha } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) : = \frac { \partial } { \partial \theta _ { 2 } } 4 ( N + 1 ) R _ { \alpha } ^ { p } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial } { \partial \rho } } \left( \rho { \frac { \partial f } { \partial \rho } } \right) + { \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \varphi ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial z ^ { 2 } } }
f _ { { m n } _ { s } } = \frac { 1 } { n _ { 0 } \sqrt { m ! } } \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } \, \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } g _ { s } H _ { m } \left( v _ { \parallel } \right) L _ { n } \left( \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } & { f ( \Delta _ { 1 } ) + f ( \Delta _ { 2 } ) + \lambda | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + \lambda | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { - t r ( \Delta _ { 1 } ( \widehat { \Sigma } _ { 1 } - \Sigma _ { 0 1 } ) ) - t r ( \Delta _ { 2 } ( \widehat { \Sigma } _ { 2 } - \Sigma _ { 0 2 } ) ) + \lambda | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + \lambda | | \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
\qquad = a _ { 1 } b _ { 1 } + \langle a _ { 1 } b _ { 2 } , \ a _ { 1 } b _ { 3 } , \ a _ { 1 } b _ { 4 } \rangle + \langle a _ { 2 } b _ { 1 } , \ a _ { 3 } b _ { 1 } , \ a _ { 4 } b _ { 1 } \rangle - \langle a _ { 2 } , \ a _ { 3 } , \ a _ { 4 } \rangle \cdot \langle b _ { 2 } , \ b _ { 3 } , \ b _ { 4 } \rangle + \langle a _ { 2 } , \ a _ { 3 } , \ a _ { 4 } \rangle \times \langle b _ { 2 } , \ b _ { 3 } , \ b _ { 4 } \rangle
\begin{array} { r l r l } { ( \mathcal { M } - \lambda I ) \xi _ { l } } & { { } = \left( 1 - \boldsymbol { r } \boldsymbol { l } ^ { T } \right) \bar { \boldsymbol { l } } , } & { } & { { } \boldsymbol { l } ^ { T } \boldsymbol { \xi } _ { l } = 0 } \\ { \left( \mathcal { M } ^ { T } - \lambda I \right) \xi _ { r } } & { { } = \left( 1 - \boldsymbol { l } \boldsymbol { r } ^ { T } \right) \bar { \boldsymbol { r } } , } & { } & { { } \boldsymbol { r } ^ { T } \xi _ { r } = 0 } \end{array}