harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { a b } = \mathbf { a b } ^ { \mathsf { T } } = { \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { N } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { \cdots } & { b _ { N } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 } b _ { 1 } } & { a _ { 1 } b _ { 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 } b _ { N } } \\ { a _ { 2 } b _ { 1 } } & { a _ { 2 } b _ { 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 } b _ { N } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { N } b _ { 1 } } & { a _ { N } b _ { 2 } } & { \cdots } & { a _ { N } b _ { N } } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial u ^ { * } } { \partial x ^ { * } } + \frac { \partial w ^ { * } } { \partial z ^ { * } } = 0 } \\ & { } & { \frac { \partial u ^ { * } } { \partial t ^ { * } } = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } \frac { \partial p ^ { * } } { \partial x ^ { * } } + \frac { \mu } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } \nabla ^ { 2 } u ^ { * } } \\ & { } & { \frac { \partial w ^ { * } } { \partial t ^ { * } } = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } \frac { \partial p ^ { * } } { \partial z ^ { * } } - \frac { \rho ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } g + \frac { \mu } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } \nabla ^ { 2 } w ^ { * } } \\ & { } & { \frac { \partial \rho ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \left( \frac { d \rho _ { b } ^ { * } } { d z ^ { * } } \right) w ^ { * } = \kappa \nabla ^ { 2 } \rho ^ { * } } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } + T _ { \mathrm { ~ c ~ } } = - 2 T _ { s } - E _ { \mathrm { ~ H ~ } } [ \rho ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ] - \sum _ { \sigma } \int \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) v _ { \mathrm { ~ N ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } }
\langle f \rangle ( \boldsymbol { p } ) = \frac { \beta ^ { 1 + a } } { A \Gamma ( a + 1 ) } \int _ { \eta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { d } \eta \, \eta ^ { 2 + a } \rho ( \eta ) e ^ { - \beta \eta \varepsilon ( \v { p } ) } .
\begin{array} { r } { \frac 1 2 I _ { 1 } z _ { 1 } ^ { 2 } + \frac 1 2 I _ { 2 } z _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 1 2 I _ { 3 } z _ { 3 } ^ { 2 } = E . } \end{array}
E = \sqrt { ( N \tau _ { 2 } L _ { 1 } L _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( k \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } } = N \tau _ { 2 } L _ { 1 } L _ { 2 } + \tau _ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \int \mathrm { T r } \; F ^ { 2 } + \cdots
\begin{array} { r } { \hat { O } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } O _ { c _ { 1 } , c _ { 2 } } ^ { a _ { 1 } ^ { \prime } , a _ { 1 } } O _ { c _ { 2 } , c _ { 3 } } ^ { a _ { 2 } ^ { \prime } , a _ { 2 } } \cdots O _ { c _ { L } , c _ { L + 1 } } ^ { a _ { L } ^ { \prime } , a _ { L } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( - 1 ) ^ { | x | | z | } \omega ( \alpha ( x ) , y \cdot z ) + ( - 1 ) ^ { | y | | x | } \omega ( \alpha ( y ) , z \cdot x ) + ( - 1 ) ^ { | z | | y | } \omega ( \alpha ( z ) , x \cdot y ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { | x | | z | } \Psi ( \mathfrak { D } ( \alpha ( x ) ) , y \cdot z ) + ( - 1 ) ^ { | y | | x | } \Psi ( \mathfrak { D } ( \alpha ( y ) ) , z \cdot x ) + ( - 1 ) ^ { | z | | y | } \Psi ( \mathfrak { D } ( \alpha ( z ) ) , x \cdot y ) } \\ { = } & { - ( - 1 ) ^ { | x | | z | } \Psi ( \alpha ( x ) , \mathfrak { D } ( y \cdot z ) ) + ( - 1 ) ^ { | y | | x | } \Psi ( \alpha ( \mathfrak { D } ( y ) ) , z \cdot x ) + ( - 1 ) ^ { | z | | y | } \Psi ( \alpha ( \mathfrak { D } ( z ) ) , x \cdot y ) } \\ { = } & { - ( - 1 ) ^ { | x | | z | } \Psi ( \alpha ( x ) , \mathfrak { D } ( y \cdot z ) ) + ( - 1 ) ^ { | y | | x | } \Psi ( \mathfrak { D } ( y ) \cdot z , \alpha ( x ) ) + ( - 1 ) ^ { | z | | x | } \Psi ( x \cdot y , \alpha ( \mathfrak { D } ( z ) ) ) } \\ { = } & { - ( - 1 ) ^ { | x | | z | } \Psi ( \alpha ( x ) , \mathfrak { D } ( y \cdot z ) ) + ( - 1 ) ^ { | z | | x | } \Psi ( \alpha ( x ) , \mathfrak { D } ( y ) \cdot z ) + ( - 1 ) ^ { | z | | x | } \Psi ( \alpha ( x ) , y \cdot \mathfrak { D } ( z ) ) = 0 . } \end{array}
G _ { \mathtt { A L } } ( t ) : = \Phi ( t ) - \phi ( t ) \Big \{ \frac { \sqrt { n } h ^ { P } \beta } { \nu ^ { \prime } \Sigma \nu } - \frac { 1 } { n h ^ { d + 2 } } \frac { \nu ^ { \prime } \Delta \nu } { \nu ^ { \prime } \Sigma \nu } t - \frac { 1 } { \sqrt { n } 6 ( \nu ^ { \prime } \Sigma \nu ) ^ { 3 } } \Big [ \kappa _ { 1 } ( 2 t ^ { 2 } + 1 ) + \kappa _ { 2 } ( t ^ { 2 } + 1 ) \Big ] \Big \} ,
( { \overline { { \sigma v } } } ) _ { D D } = 2 . 3 3 * 1 0 ^ { - 1 4 } * T ^ { - 2 / 3 } * e ^ { - 1 8 . 7 6 T ^ { - 1 / 3 } } { \frac { { \mathrm { ~ c m } } ^ { 3 } } { \mathrm { s e c } } }
C _ { D _ { \mathrm { i n d u c e d } } } = { \frac { C _ { L } ^ { 2 } } { \pi A \! R } } ( 1 + { \frac { \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } n A _ { n } ^ { 2 } } { A _ { 1 } ^ { 2 } } } ) - { \frac { \pi A \! R { \bar { p } } } { 2 } } A _ { 2 } = { \frac { C _ { L } ^ { 2 } } { \pi A \! R e } } - { \frac { \pi A \! R { \bar { p } } } { 2 } } A _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \log _ { 1 0 } \eta } & { { } = 7 - \frac { 1 1 . 3 \left( T - T _ { V E } \right) \left( \frac { 2 0 6 } { T _ { V E } } \right) } { 3 5 . 9 + \left( T - T _ { V E } \right) \left( \frac { 2 0 6 } { T _ { V E } } \right) } , } \\ { \ln \rho } & { { } = \ln \rho _ { 0 } + 0 . 0 0 1 2 T \left( 1 - \frac { 2 0 6 } { T _ { V E } } \right) + \frac { p } { 1 2 . 8 \times 1 0 ^ { 8 } } , } \end{array}
\psi ( n ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { n \cdot \tau _ { i } ( n ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( i \geq 1 , 0 , 0 ) \smallskip } \\ { \tau _ { k } ( n ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( 0 , 0 , k \geq 1 ) \smallskip } \\ { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau ( n ) } p _ { \ell } \cdot \tau _ { i } ( p _ { \ell } ) \cdot \tau _ { k } ( n / p _ { \ell } ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( i \geq 1 , 0 , k \geq 1 ) . } \end{array} \right.
\eta _ { \mu \nu } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } .
z ^ { * } I z = { \left[ \begin{array} { l l } { { \overline { { a } } } } & { { \overline { { b } } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] } = { \overline { { a } } } a + { \overline { { b } } } b = | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 }
i \langle \phi ( k , \omega ) \; \phi ( - k , - \omega ) \rangle = 1 / \left( - \frac { 2 \pi } { \log ( | k | / \Lambda ) } + \frac { e ^ { 2 } } { \pi } \frac { v _ { F } k ^ { 2 } } { v _ { F } ^ { 2 } k ^ { 2 } - \omega _ { k } ^ { 2 } } \right) \; . \;
\begin{array} { r } { F = \left( \begin{array} { c c } { t ( e ^ { - i \theta L } \beta ^ { L } - 1 ) + g e ^ { i \phi } \beta } & { t ( e ^ { - i \theta L } \beta ^ { - L } - 1 ) + g e ^ { i \phi } \beta ^ { - 1 } } \\ { t ( e ^ { i \theta L } \beta - \beta ^ { L + 1 } ) + g e ^ { - i \phi } \beta ^ { L } } & { t ( e ^ { i \theta L } \beta ^ { - 1 } - \beta ^ { - ( L + 1 ) } ) + g e ^ { - i \phi } \beta ^ { - L } } \end{array} \right) , } \end{array}
J _ { 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d a \int _ { 0 } ^ { 1 } d b \, e ^ { 2 \pi i a ( m - n y ) } e ^ { - 2 \pi i b ( m - n y ) } = J _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \sin ^ { 2 } \pi n y } { \pi ^ { 2 } ( n y - m ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } [ - 2 \mathrm { R i c } ] ( h ) _ { i j } = } & { g ^ { p q } \nabla _ { p } \nabla _ { q } h _ { i j } + \nabla _ { i } \left( \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { j } h _ { p q } - \nabla _ { q } h _ { j p } \right) + \nabla _ { j } \left( \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } h _ { p q } - \nabla _ { q } h _ { i p } \right) + O ( h _ { i j } ) } \\ { = } & { g ^ { p q } \nabla _ { p } \nabla _ { q } h _ { i j } + \nabla _ { i } V _ { j } + \nabla _ { j } V _ { i } + O ( h _ { i j } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } f } { d \theta ^ { 2 } } ( \theta ) = f ( \theta ) \left\{ - 1 + 2 f ( \theta ) ^ { 2 } + ( 2 + \lambda _ { 1 } ) \left[ f ( \theta - \frac { 2 \pi } { 3 } ) ^ { 2 } + f ( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } ) ^ { 2 } \right] \right\} ,
\begin{array} { r l } { - \mathrm { i } \omega P } & { = - \Omega Q - \frac { \Gamma } { 2 } P + \sqrt { \Gamma } P _ { \mathrm { i n } } - 2 \alpha g _ { \mathrm { o m , 0 } } X } \\ { - \mathrm { i } \omega Q } & { = \Omega P - \frac { \Gamma } { 2 } Q + \sqrt { \Gamma } Q _ { \mathrm { i n } } } \\ { 0 } & { = - \frac { \kappa } { 2 } X + \sqrt { \kappa } X _ { \mathrm { i n } } } \\ { 0 } & { = - \frac { \kappa } { 2 } Y - \sqrt { \kappa } Y _ { \mathrm { i n } } - 2 \alpha g _ { \mathrm { o m } , 0 } Q , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi _ { T } = } & { - \textup { d i v } J _ { T } ^ { \textup { r e l } } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) + S _ { T } ^ { \textup { r e l } } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) = \partial _ { t } \big ( g _ { \alpha } \circledast \big ( \textup { d i v } ( m _ { T } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) \nabla \mu _ { T } ) + S _ { T } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) \big ) \big ) . } \end{array}
\langle p | j _ { \mu } | p + k \rangle A ^ { \mu } ( k ) = \bar { \Psi } _ { i n } ( p ) \Biggl ( \gamma _ { \mu } F _ { 1 } ( k ^ { 2 } ) + \frac { i } { 2 } [ \gamma _ { \mu } , \gamma _ { \nu } ] k ^ { \nu } F _ { 2 } ( k ^ { 2 } ) \Biggr ) \Psi _ { i n } ( p + k ) A ^ { \mu } ( k )
{ \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \boldsymbol { \mathrm { v } } _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \oplus } ^ { 2 } R _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } ( \theta ) \sin ^ { 2 } \theta
T ^ { a } \ = \ \frac 1 2 e ^ { c } \wedge e ^ { b } T _ { b c } { } ^ { a } { ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ } R _ { a } { } ^ { b } \ = \ \frac 1 2 e ^ { d } \wedge e ^ { c } R _ { c d a } { } ^ { b } ~ ,
L _ { a } \ = \ A \, L _ { \odot } \, \bigg ( \frac { g _ { a \gamma \gamma } } { 1 0 ^ { - 1 0 } \ \mathrm { G e V } ^ { - 1 } } \bigg ) ^ { 2 } \, \bigg ( \frac { R } { \mathrm { k e V } ^ { - 1 } } \bigg ) ^ { \delta }
{ \bar { o } ^ { ( i , j ) } } ( x ) = \sum _ { o \in O } { \frac { { \exp \left( { \alpha _ { o } ^ { ( i , j ) } } \right) } } { { \sum _ { o ^ { \prime } \in O } { \exp \left( { \alpha _ { o ^ { \prime } } ^ { ( i , j ) } } \right) } } } o ( x ) }
\begin{array} { r l r } { \tilde { w } _ { t } + \widetilde { w w _ { z } } } & { = } & { - k ^ { 2 } \sqrt { \frac { P r } { R a } } \ \widetilde { w } + \tilde { \theta } } \\ { \tilde { \theta } _ { t } + \widetilde { w \theta _ { z } } } & { = } & { - k ^ { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { P r R a } } \widetilde { \theta } + \tilde { w } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathcal { D } } } ( G , G _ { * } ) } & { : = | \lambda ^ { * } - \lambda | \| ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) \| \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| } \\ & { + \| ( \mu , \Sigma ) - ( \mu ^ { * } , \Sigma ^ { * } ) \| \big ( \lambda \| ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) \| + \lambda ^ { * } \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X _ { B _ { 0 } } ^ { \prime } = \frac { \left\langle { { X } _ { B _ { 0 } } } { { X } _ { A } ^ { m } } \right\rangle } { \left\langle { { X } _ { A } ^ { m } } ^ { 2 } \right\rangle } { { X } _ { A } ^ { m } } = \sqrt { \frac { 2 ( V - 1 ) } { V + 1 } } { { X } _ { A } ^ { m } } , } \\ & { P _ { B _ { 0 } } ^ { \prime } = \frac { \left\langle { { P } _ { B _ { 0 } } } { { P } _ { A } ^ { m } } \right\rangle } { \left\langle { { P } _ { A } ^ { m } } ^ { 2 } \right\rangle } { { P } _ { A } ^ { m } } = - \sqrt { \frac { 2 ( V - 1 ) } { V + 1 } } { { P } _ { A } ^ { m } } . } \end{array}
J = \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { F } } ) = \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { V } } ) \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { R } } ) = \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { V } } ) = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } ~ .
d s _ { E } ^ { 2 } = g _ { s } ^ { 1 / 2 } \left[ H ^ { - 5 / 8 } \eta _ { \alpha \beta } d x ^ { \alpha } d x ^ { \beta } + H ^ { 3 / 8 } ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } h _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } ) \right]
\operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \xi } } \quad \frac { 1 } { 2 } \left\| \mathbf { f } ( \boldsymbol { \xi } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , \quad \mathbf { f } ( \boldsymbol { \xi } ) = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { u } } \mathbf { u } ( \boldsymbol { \xi } ) } \\ { \mathbf { y } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { y } } \mathbf { y } ^ { c } ( \boldsymbol { \xi } ) } \\ { \sqrt { \gamma } \, \mathbf { D } \mathbf { y } ^ { c } ( \boldsymbol { \xi } ) } \end{array} \right] ,
V ( r ) = { \frac { A _ { 0 } } { \gamma + 1 } } r ^ { \gamma + 1 } + \left( { \frac { A _ { 1 } } { \gamma } } - { \frac { B } { \gamma ^ { 2 } } } \right) r ^ { \gamma } + { \frac { B } { \gamma } } \ln r + . . .
G _ { 2 } ( 0 ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \frac { 1 } { g ( N - 1 ) w _ { N - 2 } ( \gamma _ { 0 } ) } } \left( \frac { \gamma _ { 0 } } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 - N } \right] ^ { 2 / ( N + 2 ) } .
\begin{array} { r l } & { \hat { U } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( v , z ; I ) } \\ & { : = U _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( v , z ; I ) + \sum _ { h = 0 } ^ { g - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { h } C _ { h } \lambda ^ { 1 + 2 h } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 2 + 4 h } } V _ { | I | + 1 } ^ { ( g - 1 - h ) } ( v , z ; I ) \; , } \\ & { \hat { H } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I ) } \\ & { : = H _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I ) + \sum _ { h = 0 } ^ { g - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { h } C _ { h } \lambda ^ { 1 + 2 h } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 2 + 4 h } } M _ { | I | + 1 } ^ { ( g - 1 - h ) } ( x ( v ) ; z ; I ) \; , } \\ & { \hat { P } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) } \\ & { : = P _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) + \sum _ { h = 0 } ^ { g - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { h } C _ { h } \lambda ^ { 1 + 2 h } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 2 + 4 h } } Q _ { | I | + 1 } ^ { ( g - 1 - h ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) \; , } \\ & { \hat { V } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( z , v ; I ) } \\ & { : = V _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( v , z ; I ) - \sum _ { h = 0 } ^ { g } \frac { ( - 1 ) ^ { h } C _ { h } \lambda ^ { 1 + 2 h } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 2 + 4 h } } U _ { | I | + 1 } ^ { ( g - h ) } ( v , z ; I ) \; , } \\ & { \hat { M } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I ) } \\ & { : = M _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I ) - \sum _ { h = 0 } ^ { g } \frac { ( - 1 ) ^ { h } C _ { h } \lambda ^ { 1 + 2 h } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 2 + 4 h } } H _ { | I | + 1 } ^ { ( g - h ) } ( x ( v ) ; z ; I ) \; , } \\ & { \hat { Q } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) } \\ & { : = Q _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) - \sum _ { h = 0 } ^ { g } \frac { ( - 1 ) ^ { h } C _ { h } \lambda ^ { 1 + 2 h } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 2 + 4 h } } P _ { | I | + 1 } ^ { ( g - h ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; I ) } \end{array}
( \psi ^ { 1 } , \psi ^ { 2 } , \psi ^ { 3 } , \psi ^ { 4 } ) \mapsto ( \psi ^ { 3 } , \psi ^ { 1 } , \psi ^ { 2 } , \psi ^ { 4 } ) , \quad ( j ^ { 1 } , j ^ { 2 } , j ^ { 3 } , j ^ { 4 } ) \mapsto ( j ^ { 3 } , j ^ { 1 } , j ^ { 2 } , j ^ { 4 } ) .
~ ~ ~ ~ ~ ~ \beta _ { j } ^ { * } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - c _ { 0 } \log ( n ) + ( 2 . 5 + \cos ( 2 \pi t ) ) , } & { \mathrm { i f } \quad j < \frac { n } { 2 } , } \\ { - c _ { 0 } \log ( n ) + ( 1 . 5 + t / 2 ) , } & { \mathrm { i f } \quad \frac { n } { 2 } \leq j < n , } \\ { 0 } & { \mathrm { i f } \quad j = n , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { 0 } & { < T _ { 1 } = T _ { 1 } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) < \operatorname* { m i n } \Big \{ T , \Big ( \frac { \theta _ { 1 } \Gamma ( 1 + \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) } { \theta _ { 2 } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } } } \Big \} , } \\ { 0 } & { < T _ { 2 } = T _ { 2 } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta ) < \operatorname* { m i n } \Big \{ T , \Big ( \frac { \theta _ { 1 } \Gamma ( 1 + \theta - \theta _ { 2 } ) } { \theta _ { 2 } \Gamma ( 1 + \theta - \theta _ { 1 } ) } \Big ) ^ { \frac { 1 } { \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } } } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { g \left( \tilde { v } _ { m , n + 1 } + \tilde { v } _ { m , n - 1 } \right) + \kappa \left( e ^ { - i n \phi } \tilde { v } _ { m - 1 , n } + e ^ { i n \phi } \tilde { v } _ { m + 1 , n } \right) - \gamma \tilde { v } _ { m , n } = p \delta _ { m , 0 } \delta _ { n , 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } v _ { \beta _ { 1 } } ^ { \prime } \left( \hat { x } \right) } & { = \beta _ { 1 } + \frac { \hat { \alpha } } { 4 } v _ { \beta _ { 1 } } ^ { 2 } ( \hat { x } ) + \eta \hat { x } \left( v _ { \beta _ { 1 } } ( \hat { x } ) - \frac { h } { \eta } \right) - a v _ { \beta _ { 1 } } ( \hat { x } ) , } \\ { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } v _ { \beta _ { 2 } } ^ { \prime } \left( \hat { x } \right) } & { = \beta _ { 2 } + \frac { \hat { \alpha } } { 4 } v _ { \beta _ { 2 } } ^ { 2 } ( \hat { x } ) + \eta \hat { x } \left( v _ { \beta _ { 2 } } ( \hat { x } ) - \frac { h } { \eta } \right) - a v _ { \beta _ { 1 } } ( \hat { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla ^ { 2 } \phi _ { 1 } ( \mathbf { x } ) } & { = \frac { 1 } { \epsilon _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } q _ { k } \delta ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { k } ) } & & { \mathbf { x } \in \Omega _ { 1 } , } \\ { \left( \nabla ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } \right) \phi _ { 2 } ( \mathbf { x } ) } & { = 0 } & & { \mathbf { x } \in \Omega _ { 2 } , } \\ { \phi _ { 1 } ( \mathbf { x } ) } & { = \phi _ { 2 } ( \mathbf { x } ) , } & & { \mathbf { x } \in \Gamma , } \\ { \epsilon _ { 1 } \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } ) } & { = \epsilon _ { 2 } \frac { \partial \phi _ { 2 } } { \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } ) } & & { \mathbf { x } \in \Gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { t \to + \infty } \frac { \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \tilde { g } ( s ) \Gamma ( s ) d s } { \Gamma ( t ) } \ = \ \operatorname* { l i m } _ { t \to + \infty } \frac { \tilde { g } ( t ) } { \mu ( t ) } } \\ { = \ } & { \operatorname* { l i m } _ { t \to + \infty } \left( \frac { 2 \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { 3 } ( t ) - 2 \varepsilon ( t ) \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 ( \alpha - \gamma ) \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) } + \frac { 2 \varepsilon ( t ) \big ( 2 \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ( t ) - \lambda ( t ) \dot { \varepsilon } ( t ) \big ) ^ { 2 } ( a + c \gamma ) \gamma } { \lambda ^ { 2 } ( t ) \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) \left( 2 ( \alpha - \gamma ) \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) \right) } \right) , } \end{array}
Z _ { + } ^ { * } ( \tau ^ { + } ) = - 2 \pi \int { \cal D } R ^ { + } { \cal D } \omega ^ { + } \delta [ \epsilon ( R ^ { \pm } - \dots ) ] e x p ( - \int _ { X } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \tau ^ { + } R _ { \mu \nu } ^ { + a b } R _ { \rho \sigma a b } ^ { + } ) .
F _ { \alpha } = \frac { L _ { \alpha } } { 2 4 \pi D ^ { 2 } \, T _ { \alpha } ^ { 4 } | L i _ { 4 } ( - e ^ { \eta _ { \alpha } } ) | } \: \frac { E ^ { 2 } } { e ^ { E / T _ { \alpha } - \eta _ { \alpha } } \, + \, 1 } \: ,
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { i n f } \left( \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ } \varphi _ { 0 } \right) > \lambda , } \\ { b } & { { } = 2 \operatorname* { s u p } \left( \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ } \varphi _ { 0 } \right) < + \infty , } \end{array}
\begin{array} { r } { X D _ { s , t } = \sum _ { \{ ( u , v , r , i ) \in \texttt { X t h } ( s ) \} } \sum _ { \{ t ^ { \prime } : t ^ { \mathrm { m i n } } \leq t ^ { \prime } + \delta _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i - 1 } \leq t \} } z _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i - 1 } \quad \forall t = t ^ { \mathrm { m i n } } , . . . , T } \end{array}
k _ { i } ( \mathbf { A } ^ { * } ) = k _ { i } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) + k _ { i } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) = \sum _ { j ( \neq i ) = 1 } ^ { N } p _ { i j } ^ { - } + \sum _ { j ( \neq i ) = 1 } ^ { N } p _ { i j } ^ { + } = \sum _ { j ( \neq i ) = 1 } ^ { N } [ p _ { i j } ^ { - } + p _ { i j } ^ { + } ] = \sum _ { j ( \neq i ) = 1 } ^ { N } p _ { i j }
\psi _ { I I } ( r ) = N _ { I I } { \binom { h _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( i k _ { 0 } r ) } { - { \bf \sigma } \cdot \hat { r } \sqrt { \frac { V _ { 0 } - E } { V _ { 0 } + E } } h _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( i k _ { 0 } r ) } } \chi ^ { ( s ) } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { r s l } } & { \triangleq \left\{ ( \alpha , \beta ) \bigg | 0 = F ( \alpha , \beta ) , ~ \frac { \mathrm { d } \beta } { \mathrm { d } t } = G ( \alpha , \beta ) \right\} \ , } \\ { \sigma _ { r f a } } & { \triangleq \left\{ ( \alpha , \beta ) \bigg | \frac { \mathrm { d } \alpha } { \mathrm { d } \tau } = F ( \alpha , \beta ) , ~ \frac { \mathrm { d } \beta } { \mathrm { d } \tau } = 0 , ~ \tau = t / \epsilon _ { 2 } \right\} \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { O ( t ) } & { { } = \langle \Psi _ { 0 } | e ^ { i \hat { \mathcal { F } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } t } \hat { O } e ^ { - i \hat { \mathcal { F } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } t } | \Psi _ { 0 } \rangle } \end{array}
I _ { n + 1 } : = \left\{ { \begin{array} { l l l } { \left[ a _ { n } , m _ { n } \right] } & & { { \mathrm { i f } } \; m _ { n } \; { \mathrm { i s ~ a n ~ u p p e r ~ b o u n d ~ o f } } \; A } \\ { \left[ m _ { n } , b _ { n } \right] } & & { { \mathrm { i f } } \; m _ { n } \; { \mathrm { i s ~ n o t ~ a n ~ u p p e r ~ b o u n d } } } \end{array} } \right.
U _ { \mathrm { M N S } } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 8 5 1 } } & { { - 0 . 5 2 5 } } & { { - 0 . 0 0 5 6 } } \\ { { 0 . 3 6 2 } } & { { 0 . 5 9 5 } } & { { - 0 . 7 1 8 } } \\ { { - 0 . 3 8 0 } } & { { - 0 . 6 0 9 } } & { { - 0 . 6 9 6 } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { - R \dot { Q } _ { 2 } } & { { } = \frac { Q _ { 1 } } { C } + \frac { R ^ { 2 } } { L } \left( Q _ { 1 } + Q _ { 2 } \right) + R \left( \dot { Q } _ { 1 } + \dot { Q } _ { 2 } \right) \, , } \\ { R \dot { Q } _ { 1 } } & { { } = \frac { R ^ { 2 } } { L } \left( Q _ { 1 } + Q _ { 2 } \right) + R \left( \dot { Q } _ { 1 } + \dot { Q } _ { 2 } \right) \, . } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { L R } } ^ { 0 } ( \mathrm { u n i v e r s a l } ) = a \left( \begin{array} { c c } { { \lambda _ { d } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) + ( b / v _ { N } ) { \cal M } _ { \cal D } ~ ,
{ \begin{array} { r l } { \tau } & { = t \cdot \exp \left( - x ^ { 2 } - 1 . 2 6 5 5 1 2 2 3 + 1 . 0 0 0 0 2 3 6 8 t + 0 . 3 7 4 0 9 1 9 6 t ^ { 2 } + 0 . 0 9 6 7 8 4 1 8 t ^ { 3 } - 0 . 1 8 6 2 8 8 0 6 t ^ { 4 } \right. } \\ & { \left. \qquad \qquad \qquad + 0 . 2 7 8 8 6 8 0 7 t ^ { 5 } - 1 . 1 3 5 2 0 3 9 8 t ^ { 6 } + 1 . 4 8 8 5 1 5 8 7 t ^ { 7 } - 0 . 8 2 2 1 5 2 2 3 t ^ { 8 } + 0 . 1 7 0 8 7 2 7 7 t ^ { 9 } \right) } \end{array} }
\cot \bigg ( \frac { \omega _ { c r } } { c } n L \bigg ) = \frac { \sqrt { n ^ { 2 } + n _ { 0 } ^ { 2 } } } { n } \frac { \cos { \varphi _ { V } } } { \sqrt { | \cos { 2 \varphi _ { V } } | } } .