harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l } { { \Gamma ( P \rightarrow V \gamma ) = \frac { \alpha } { 8 } g _ { V P \gamma } ^ { 2 } \left( \frac { m _ { P } ^ { 2 } - m _ { V } ^ { 2 } } { m _ { P } } \right) ^ { 3 } \ , } } \\ { { \Gamma ( V \rightarrow P \gamma ) = \frac { \alpha } { 2 4 } g _ { V P \gamma } ^ { 2 } \left( \frac { m _ { V } ^ { 2 } - m _ { P } ^ { 2 } } { m _ { V } } \right) ^ { 3 } \ . } } \end{array}
r = \frac { r ^ { * } } { R } , ~ ~ ~ z = \frac { z ^ { * } } { h _ { 0 } } , ~ ~ ~ u _ { r } = \frac { u _ { r } ^ { * } } { \Omega R } , ~ ~ ~ u _ { \theta } = \frac { u _ { \theta } ^ { * } } { \Omega R } , ~ ~ ~ u _ { z } = \frac { u _ { z } ^ { * } } { \Omega h _ { 0 } } , ~ ~ ~ p = \frac { p ^ { * } } { \mu _ { 0 } \Omega R ^ { 2 } / h _ { 0 } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ \mu = \frac { \mu ^ { * } } { \mu _ { 0 } } , ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ t = \Omega t ^ { * } ,
\begin{array} { r l r } { \mu ^ { m } } & { { } = } & { \left\langle ( \sigma _ { n n } - \left\langle \sigma _ { n n } \right\rangle ) ^ { m } \right\rangle \big \vert _ { \mathbf { \Sigma } _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ v ~ } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } = } & { \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } } \\ & { + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { s b } ( \theta , \mathcal { S } _ { s b } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { r s } ^ { \mathrm { ~ s ~ a ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha } D _ { r s } ^ { \alpha } } \\ { f _ { p q } ^ { \mathrm { ~ s ~ a ~ } } } & { { } = h _ { p q } + \sum _ { r s } D _ { r s } ^ { \mathrm { ~ s ~ a ~ } } \left[ ( p q | r s ) - \frac { 1 } { 2 } ( p r | q s ) \right] } \\ { \hat { F } ^ { \mathrm { ~ s ~ a ~ } } } & { { } = \sum _ { p q } f _ { p q } ^ { \mathrm { ~ s ~ a ~ } } \hat { E } _ { p q } } \end{array}
A = 4 \, x _ { m } \, y _ { m } \, z _ { m } \times { \sqrt { { \frac { 1 } { x _ { m } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { y _ { m } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { z _ { m } ^ { 2 } } } } } ,
\begin{array} { r l } { \dot { w } _ { j } ^ { r } } & { { } { = } { - } \delta _ { j } ^ { w r } w _ { j } ^ { r } { + } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { q } \alpha _ { \ell j } ^ { r } w _ { \ell } ^ { k } { - } w _ { j } ^ { r } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { q } \alpha _ { j \ell } ^ { r } { + } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } c _ { j \ell } ^ { w r } ( t ) x _ { \ell } ^ { r } , } \end{array}
\psi ( z , \overline { { z } } ) = - { \frac { \omega _ { 0 } } { 4 } } \left[ z \overline { { z } } - \int ^ { z } S ( z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } - \overline { { \int ^ { z } S ( z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } } } \right]
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } U _ { 1 } } { \mathrm { d } \xi ^ { 2 } } + \frac { \Omega _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( \xi ) } U _ { 1 } = - 2 \frac { \mathrm { d } U _ { 0 } } { \mathrm { d } \xi } .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 2 } ( t _ { * } ; t , t ^ { \prime } ) } & { { } = \langle \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } | e ^ { - \hat { T } _ { * } } ( \hat { H } - E _ { 0 } ) e ^ { \hat { T } _ { * } } | \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
R = \left[ { \frac { 1 } { \left( { \bf q } { \frac { 1 + \xi } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { ( { \bf k } - { \bf q } { \frac { 1 + \xi } { 2 } } ) ^ { 2 } } } \right] + [ \xi \leftrightarrow - \xi ] \ .
W _ { q } \approx A \left( \frac { L _ { \mathrm { c o h } } } { \lambda _ { q } } \right) ^ { 2 } \left\{ 1 - \cos \left( \frac { \pi L } { L _ { \mathrm { c o h } } } \right) \exp \left( - \frac { \pi ^ { 2 } L ^ { 2 } } { 1 6 \ln ( 2 ) L _ { \mathrm { b s } } ^ { 2 } } \right) \right\}
\begin{array} { r l r } { \delta \tilde { \Omega } _ { \mathrm { g y r o } } ^ { ( \varphi ) } ( s ) } & { { } = } & { \frac { P _ { 1 2 9 } ( s ) \delta \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( 1 2 9 ) } ( s ) - R P _ { 1 3 1 } ( s ) \delta \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( 1 3 1 ) } ( s ) } { 1 + R } } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigg [ \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { M } } & { \mathbf { Q } } \\ { \mathbf { Q } ^ { * } } & { \mathbf { M } ^ { * } } \end{array} \right) - \omega _ { j } \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { V } } & { \mathbf { W } } \\ { - \mathbf { W } ^ { * } } & { - \mathbf { V } ^ { * } } \end{array} \right) \bigg ] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } _ { Y } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { j } ) } \\ { \mathbf { B } _ { Y } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { j } ) } \end{array} \right] } \\ { = \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { r l } { \mathbf { Z } _ { Y } } & { { } } \\ { \mathbf { - Z } _ { Y } ^ { * } } & { { } } \end{array} } \end{array} \right] , } \end{array}
\sum \frac { 1 } { \omega } \equiv \sum _ { - \infty } ^ { + \infty } \, \! ^ { \prime } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \sim \frac { L } { 2 \pi } 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega ( k ) } \left[ 1 + \frac { 1 } { L } \delta ^ { \prime } ( k ) \right] d k
\left[ C _ { z } ^ { e } \right] ^ { T } \left[ \nabla \right] ^ { T } \left[ \star _ { e } \right] \left[ \nabla \right] \left[ C _ { z } ^ { e } \right] \bar { E } _ { n s } ( t ) = - \left[ C _ { z } ^ { e } \right] ^ { T } \left[ \nabla \right] ^ { T } \bar { G } ( t ) .
\begin{array} { r l } { E _ { x } ( x ) } & { = 2 E _ { \omega } \cos { ( \alpha ) } \cos { \left( k \sin { \alpha } \ x \right) } e ^ { - x ^ { 2 } / w ^ { 2 } } , } \\ { E _ { y } ( x ) } & { = 2 E _ { \omega } \sin { ( \alpha ) } \sin { \left( k \sin { \alpha } \ x \right) } e ^ { - x ^ { 2 } / w ^ { 2 } } , } \\ { E _ { z } ( x ) } & { = E _ { 2 \omega } e ^ { - x ^ { 2 } / w ^ { 2 } } , } \\ { \phi ( x ) } & { = \phi _ { 2 \omega } + 2 k \sin { ( \alpha ) } \ x , } \end{array}
\frac { \widetilde { \omega } ^ { 2 } \left( \frac { \Pi ^ { 9 . 7 4 } + \widetilde { \omega } ^ { 0 . 6 5 } } { \Delta ^ { 5 . 0 2 } } \right) \left( 0 . 1 R _ { T } ^ { 1 . 2 7 } \right) + \beta \left( M ^ { - 1 } \Delta ^ { - 1 } + \beta ^ { 1 . 2 1 } \right) } { \frac { \widetilde { \omega } ^ { 7 } } { R _ { T } ^ { 4 } } 1 4 . 2 M ^ { 2 . 9 6 } \left( M ^ { 1 . 2 4 } + 1 \right) + \widetilde \omega + 5 . 2 \widetilde \omega ^ { - 0 . 3 5 } }
\frac { T _ { m , m - 1 } } { T _ { m + 1 , m } } = \frac { T _ { m , m } } { T _ { m + 1 , m } } = \frac { T _ { m + 1 , m } } { T _ { m + 2 , m } } = \frac { T _ { m + 1 , m } } { T _ { m + 2 , m + 1 } ( 1 - T _ { m + 1 , m } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \langle f ^ { n + 1 } , e ^ { n + 1 } \rangle = } & { \left( - \frac { x _ { n + 1 } - x _ { n } } { h _ { n } } \right) ^ { \top } \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) + y _ { n + 1 } ^ { \top } u ( t _ { n + 1 } ) } \\ & { - \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) ^ { \top } R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { = } & { - \left( ( J - R ) \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) + B u ( t _ { n + 1 } ) \right) ^ { \top } \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ & { + y _ { n + 1 } ^ { \top } u ( t _ { n + 1 } ) - \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) ^ { \top } R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { = } & { \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) ^ { \top } R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) - y _ { n + 1 } ^ { \top } u ( t _ { n + 1 } ) } \\ & { + y _ { n + 1 } ^ { \top } u ( t _ { n + 1 } ) - \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) ^ { \top } R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { = } & { 0 . } \end{array}
I ( x ) = 1 - \ln { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } - \sqrt { 1 - { \frac { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } { x } } } \, \ln { \frac { \sqrt { 1 - { \frac { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } { x } } } + 1 } { \sqrt { 1 - { \frac { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } { x } } } - 1 } } \qquad \mathrm { f o r } \ x < 0 \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { \lambda } = } & { - \lambda \int _ { - \infty } ^ { 0 } w ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( t ) ) \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( t ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( t ) , 0 ) e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t } \\ { = } & { - \lambda \int _ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t \cdot \int _ { T M } w ( y ) \frac { \partial L } { \partial u } ( y , v , 0 ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } _ { \lambda } ^ { x } ( y , v ) . } \end{array}
\mathsf { G } _ { p _ { j } } = \frac { 1 } { { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } } , \qquad \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } = \frac { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } , \qquad \epsilon _ { p _ { j } } = \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) , \qquad \epsilon _ { \psi _ { j } } = 1 \, ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } ^ { \prime } } & { = \mathbf { A } - { \frac { \gamma \varphi } { c ^ { 2 } } } \mathbf { v } + \left( \gamma - 1 \right) \left( \mathbf { A } \cdot \mathbf { \hat { v } } \right) \mathbf { \hat { v } } } \\ { \varphi ^ { \prime } } & { = \gamma \left( \varphi - \mathbf { A } \cdot \mathbf { v } \right) } \end{array} }
{ \cal Z } _ { k } ^ { \chi } = \int _ { 0 } ^ { \frac { 2 \pi } { k } } \, d \chi \, \sqrt { \frac { 2 \beta k } { g ^ { 2 } \phi } } = \frac { 2 \pi } { k } \sqrt { \frac { 2 \beta k } { g ^ { 2 } \phi } }
\tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } ^ { * } = \arg \operatorname* { m a x } _ { \tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } \in \tilde { \mathcal { X } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { e } ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } ) } \left( - \left( \tilde { C } ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } , \tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } ) + \tilde { V } _ { t t ^ { \prime } } ^ { x } ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } ^ { x } ) \right) + \alpha \sqrt { \frac { \ln N ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } ) } { N ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } , \tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } ) } } \right)
\begin{array} { r l } { \theta _ { d } ( t ) = } & { { } \theta _ { \alpha \beta } - ( \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } - \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } ) t } \\ { = } & { { } ( \theta _ { \beta } - \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } t ) - ( \theta _ { \alpha } - \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } t ) } \\ { = } & { { } \int _ { \tau } ^ { t } d t ^ { \prime } [ \delta \mathcal { E } _ { \beta } ( t ^ { \prime } ) - \delta \mathcal { E } _ { \alpha } ( t ^ { \prime } ) ] , } \end{array}
\langle P [ \{ \Phi ^ { ( I ) } \} ] \rangle \; = \; \frac { 1 } { Z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \; \langle \; P [ \{ \Phi ^ { ( I ) } \} ] \; S _ { i n t } [ \{ \Phi ^ { ( I ) } \} ] ^ { n } \; \rangle _ { Q } \; .
s _ { j , k , l _ { 1 } , l _ { 2 } } = \frac { m ! } { j ! \, k ! \, l _ { 1 } ! \, l _ { 2 } ! } \, \left( \pm i \right) ^ { l _ { 1 } + l _ { 2 } } \left( - 1 \right) ^ { l _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { { D } } + \mathbf { k } _ { A F } \cdot \mathbf { { B } } } & { { } = J ^ { 0 } , } \\ { i \mathbf { k } \times \mathbf { { H } } + i \omega \mathbf { { D } } - k _ { A F } ^ { 0 } \mathbf { { B } } - \mathbf { k } _ { A F } \times \mathbf { { E } } } & { { } = \mathbf { { J } } , } \\ { \mathbf { k } \cdot \mathbf { { B } } = 0 , \quad \mathbf { k } \times \mathbf { { E } } - \omega \mathbf { { B } } } & { { } = \bf { 0 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { 0 } + \theta _ { 1 } = \pi \ \textrm { a n d } \ \sin \theta _ { 0 } = - \frac { h } { J } , } & { \forall ( - \frac { h } { J } ) < 1 , } \\ { \theta _ { 0 } = \theta _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 } , } & { \forall ( - \frac { h } { J } ) \ge 1 , } \end{array} \right.
\Delta ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \; \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d n } \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \chi N t \bigg | ( \delta _ { \mathrm { s } } / \chi N ) ^ { 2 } \bigg ) \quad \mathrm { i f } \; \delta _ { \mathrm { s } } < \chi N } \\ { \displaystyle \; \frac { 1 } { 2 } \bigg | \mathrm { c n } \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \delta _ { \mathrm { s } } t \bigg | ( \chi N / \delta _ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } \bigg ) \bigg | \quad \mathrm { i f } \; \delta _ { \mathrm { s } } > \chi N } \end{array} \right. .
\begin{array} { l c l } { { a _ { 2 } } } & { { = } } & { { \frac { - 1 } { 6 } u _ { 2 } } } \\ { { a _ { 3 } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 3 } \theta u _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ { { a _ { 4 } } } & { { = } } & { { - \frac { 4 } { 9 } { \theta } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { \prime \prime } + \frac { 7 } { 7 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { { a _ { 5 } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { \frac { 4 } { 9 } { \theta } ^ { 3 } u _ { 2 } ^ { ( 4 ) } - \theta ( \frac { 1 7 } { 1 8 } u _ { 2 } ^ { \prime \prime } u _ { 2 } + \frac { 7 } { 9 } { u _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 9 } u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 2 } } } \end{array}
\frac { a _ { \| } ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } = \frac { 1 + \kappa _ { \| } ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { ( 1 + \kappa _ { \| } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , \quad \frac { a _ { \perp } ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } = 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 1 + \kappa _ { \| } ^ { 2 } }
\mathcal { D } ^ { \partial } = \left\{ ( t _ { i } , x _ { i } , \mathcal { B } ( u _ { i } ) ) , \quad \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ } \quad ( t _ { i } , x _ { i } ) \in \Omega ^ { \partial } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { B } ( u _ { i } ) : = \mathcal { B } ( u ( t _ { i } , x _ { i } ) ) + \xi _ { b } ( t _ { i } , x _ { i } ) , \, i = 1 . . . N ^ { \partial } \right\}
\omega = \frac { 3 } { 5 } , \; \; \alpha = \frac { 1 } { 1 0 } , \; \; \Gamma = \frac { 4 6 1 } { 5 0 0 } , \; \; l = 5 0 0 , \; \; \lambda = \frac { 2 \pi } { l } = \frac { \pi } { 2 5 0 } ,
\phi _ { k } ( r ) = \frac { H _ { 2 k - 1 } ( r / \sqrt { 2 } ) } { 2 ^ { k } \sqrt { ( 2 k - 1 ) ! r / \sqrt { 2 } } } \frac { \exp \left( - r ^ { 2 } / 4 \right) } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 4 } }
P _ { 1 2 } R _ { 1 2 } \equiv \hat { R } _ { 1 2 } \equiv R \, , \ \ \ \hat { R } _ { 2 3 } \equiv R ^ { \prime } \, , \ \ \ R ^ { - 1 } \equiv \overline { { { R } } } \, , \ \ \ q ^ { - 1 } \equiv \bar { q } \, ,
, c o r r e s p o n d i n g t o t h e e n c o d i n g b l o c k d i a g r a m i n F i g u r e \, , w h e r e t h e s o l i d b l a c k c i r c l e s i n d i c a t e a \textit { s p l i t } o f t h e X O R o p e r a t i o n , i . e . , t h e t w o o p e r a n d s o f t h e o r i g i n a l X O R o p e r a t i o n a r e t r a n s m i t t e d t h r o u g h t w o c o p i e s o f c h a n n e l
\begin{array} { r l r } { h ( x , t = 0 ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } y \int _ { - \infty } ^ { 0 } \mathrm { d } t ^ { \prime } P ^ { \mu } ( x , t | y , t ^ { \prime } ) \xi ( y , t ^ { \prime } ) } \\ & { \approx } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } y \int _ { - \frac x \mu } ^ { 0 } \mathrm { d } t ^ { \prime } \, P _ { 0 } ^ { \mu } ( x - y , - t ^ { \prime } ) \xi ( y , t ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } y \int _ { 0 } ^ { \frac x \mu } \mathrm { d } t ^ { \prime } \, P _ { 0 } ^ { \mu } ( x - y , - t ^ { \prime } ) \xi ( y , t ^ { \prime } ) . } \end{array}
H _ { p + 1 } = 1 + { \frac { \mu \sinh ^ { 2 } \delta _ { p + 1 } } { x ^ { D - p - 4 } } } , \ \ \ \ \ \ \ H = 1 + Q | y | , \ \ \ \ \ \ \ f = 1 - { \frac { \mu } { x ^ { D - p - 4 } } } ,
\rho _ { T } ( x ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( U ^ { \prime } ( \rho _ { T } ( x ) ) + \frac { \| x - y \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( U ^ { \prime } ( \rho _ { T } ( z ) ) + \frac { \| z - y \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } d z } \rho _ { 0 } ( y ) d y .
\nonumber \left( \frac { { \cal W } } { { \cal Y } ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } { \cal W } ^ { 2 } } \right) \, \left\{ \frac { \partial { \cal Y } } { \partial P _ { \mu } } \, \frac { \partial N _ { X P } } { \partial X ^ { \mu } } - \frac { \partial { \cal Y } } { \partial X _ { \mu } } \, \frac { \partial N _ { X P } } { \partial P ^ { \mu } } \; + \; 2 \pi \, { \cal W } \left( N _ { X P } - N _ { X P } ^ { 0 } \right) \right\} = 0 \; .
\begin{array} { r l } { N _ { t } ( \rho ) = } & { \sum _ { j , k = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { d ^ { 2 } - 1 } \Omega _ { \mu \nu } ^ { j k } \omega _ { j k } ( t ) F _ { \mu } \rho F _ { \nu } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j , k = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { d ^ { 2 } - 1 } \Omega _ { \mu \nu } ^ { j k } \omega _ { j k } ( t ) F _ { \nu } F _ { \mu } \rho } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j , k = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { d ^ { 2 } - 1 } \Omega _ { \mu \nu } ^ { j k } \omega _ { j k } ( t ) \rho F _ { \nu } F _ { \mu } - i [ K _ { t } , \rho ] , } \end{array}
U _ { \mathrm { s } } \; = \; { \frac { 4 } { 3 n _ { \mathrm { s } } ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { k } d \zeta \, \rho _ { \mathrm { s } } ( \zeta ) ( k ^ { 2 } - \zeta ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 2 } { 3 } } { \frac { d _ { \mathrm { s } } ( k ^ { 2 } ) - p _ { \mathrm { s } } ( k ^ { 2 } ) } { n _ { \mathrm { s } } ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \; .
I _ { n } \{ { A , B } \} = \int d { \bf { k } } \ \int _ { - \infty } ^ { \tau } \! \! \! d \tau _ { 1 } \ k ^ { 2 n } A ( k , { \bf { x } } ; \tau , \tau _ { 1 } , t ) B ( k , { \bf { k } } ; \tau , \tau _ { 1 } , t ) .
\int \left( { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { \alpha ^ { \prime \prime } } { \alpha ^ { 3 / 2 } } } - { \frac { 5 } { 1 6 } } { \frac { { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } { \alpha ^ { 5 / 2 } } } - { \frac { 1 } { 4 x ^ { 2 } \alpha ^ { 1 / 2 } } } \right) \, d x
e _ { v } ^ { 1 } \wedge d \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } ) \big ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } d \big ( e _ { v } ^ { 1 } \wedge \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } ) \big )
\mu ( I _ { n } ) = \sum _ { a _ { n + 1 } , \ldots , a _ { m _ { k + 1 } } } \mu ( I _ { m _ { k + 1 } } ) = \sum \prod _ { j = 1 } ^ { k + 1 } ( q _ { l _ { j } } ) ^ { - 2 \widetilde { s } _ { l _ { j } } } = \prod _ { j = 1 } ^ { k } ( q _ { l _ { j } } ) ^ { - 2 \widetilde { s } _ { l _ { j } } } \cdot \sum ( q _ { l _ { k + 1 } } ) ^ { - 2 \widetilde { s } _ { l _ { k + 1 } } } .
\begin{array} { r l } { \textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial { E } _ { k , \sigma } ^ { i j } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) } & { { } = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { m _ { k , \sigma } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { m _ { k , \sigma } } \Lambda _ { \alpha \beta } ^ { i j } \psi _ { k , \sigma } ^ { ( \beta ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( \alpha ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, . } \end{array}
\hat { a } _ { B D } ( \zeta ) = \frac { e ^ { \pi \vert \zeta \vert / 2 } } { ( e ^ { \pi \vert \zeta \vert } - e ^ { - \pi \vert \zeta \vert } ) ^ { 1 / 2 } } \hat { a } _ { H } ( \zeta ) - \frac { e ^ { - \pi \vert \zeta \vert / 2 } } { ( e ^ { \pi \vert \zeta \vert } - e ^ { - \pi \vert \zeta \vert } ) ^ { 1 / 2 } } \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } ( \zeta ) \, .
y \left( \begin{array} { c } { { t _ { L } } } \\ { { b _ { L } } } \end{array} \right) _ { a } \epsilon _ { a b } \left( \begin{array} { c c } { { H _ { 1 } ^ { 0 } } } & { { H _ { 2 } ^ { + } } } \\ { { H _ { 1 } ^ { - } } } & { { H _ { 2 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) _ { b c } \left( \begin{array} { c } { { - b _ { L } ^ { c } } } \\ { { t _ { L } ^ { c } } } \end{array} \right) _ { c }
\frac { d ^ { 2 } W _ { p e } } { d t d \varepsilon _ { \gamma } } ( \varepsilon _ { \gamma } , \varepsilon _ { e } , \chi _ { e } ) = \frac { \alpha m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \sqrt { 3 } \pi \hbar \varepsilon _ { e } ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( 1 + u ) } \Biggl [ \bigl [ 1 + ( 1 + u ) ^ { 2 } \bigr ] \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } \Bigl ( \frac { 2 u } { 3 \chi _ { e } } \Bigr ) - ( 1 + u ) \int _ { \frac { 2 u } { 3 \chi _ { e } } } ^ { \infty } \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } \bigl ( y \bigr ) d y \Biggr ] ,
M _ { 2 } ( \phi ) = \frac { \sum _ { \mathrm { { i } } } q _ { \mathrm { { i } } } [ ( x _ { \mathrm { { i } } } - x _ { \mathrm { { b } } } ) \cos ( \phi ) + ( y _ { \mathrm { { i } } } - y _ { \mathrm { { b } } } ) \sin ( \phi ) ] ^ { 2 } } { \sum _ { \mathrm { { i } } } q _ { \mathrm { { i } } } } ~ .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { [ c ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } V ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s \right) = 0 , } \\ { \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } s f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } s V ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s \right) } \\ & { = \frac { \gamma \eta } { 2 } c ^ { \prime } ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } V ( s _ { \ast } ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \gamma \eta } { 2 } c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( V ( s _ { \ast } ) - V ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \partial _ { x } f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \varepsilon \gamma \eta ^ { 2 } } { 2 } c ^ { \prime } ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } V ( s _ { \ast } ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \partial _ { x } f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + a \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( H ( \rho ) - s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s . } \end{array} \right. } \end{array}
\delta \psi _ { M } ^ { \pm } = \left[ \nabla _ { M } + ( \Gamma \cdot H _ { 3 } ) _ { M } \right] \epsilon ^ { \pm } + \left[ ( \Gamma \cdot F _ { 2 } ) _ { M } + ( \Gamma \cdot F _ { 4 } ) _ { M } \right] \epsilon ^ { \mp } + \ldots \ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { c } ( v _ { | | } - c _ { g } ) N _ { i } ^ { \prime } + n _ { e , 0 } V _ { e } ^ { \prime } } & { { } = 0 \, , } \\ { ( u _ { | | } - c _ { g } ) N _ { i } ^ { \prime } + n _ { i , 0 } V _ { i } ^ { \prime } } & { { } = 0 \, , } \\ { ( v _ { | | } - c _ { g } ) V _ { e } ^ { \prime } + Z ( u _ { | | } - c _ { g } ) V _ { i } ^ { \prime } + \mathcal { Z } _ { c } \bigg ( \frac { c _ { s , e } ^ { 2 } } { n _ { e , 0 } } + \frac { c _ { s , i } ^ { 2 } } { n _ { i , 0 } } \bigg ) N _ { i } ^ { \prime } } & { { } = - \frac { Z \omega _ { p i } ^ { 2 } m _ { e } n _ { e , 0 } + \omega _ { p e } ^ { 2 } m _ { i } n _ { i , 0 } } { \mu m _ { e } m _ { i } n _ { i , 0 } n _ { e , 0 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } } ( | B _ { w } | ^ { 2 } ) ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { M o d e l 2 } \qquad \Rightarrow \qquad D ( N ) } & { { } = \rho _ { \ast } \left( \frac { \kappa } { 2 \mathrm { ~ e ~ } } \right) ^ { \kappa } \, \frac { 1 } { \ln ^ { \kappa } \frac { N } { N _ { 0 } } } \, , } \end{array}