harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int K _ { 1 1 } G _ { 0 } K _ { 1 1 } \frac { d ^ { 3 } k ^ { \prime } } { \varepsilon _ { k ^ { \prime } } } \sim \int \frac { 1 } { k ^ { \prime } } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \frac { 1 } { k ^ { \prime } } \frac { k ^ { 2 } d k ^ { \prime } } { k ^ { \prime } } = \int ^ { L } \frac { d k ^ { \prime } } { k ^ { 3 } } \propto c o n s t .
\begin{array} { r l } { u _ { n } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } u _ { n } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \kappa _ { 1 1 } ( w ^ { 1 } - w ^ { 1 , W } ) + \kappa _ { 1 2 } u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \kappa _ { 1 3 } u ^ { ( 2 ) } + \kappa _ { 1 4 } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right] , } \\ { \mu _ { 1 } u _ { n n n } ^ { ( 2 ) } + \mu _ { 2 } u _ { n } ^ { ( 2 ) } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \mu _ { 2 } u _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \left[ \kappa _ { 2 1 } ( w ^ { 1 } - w ^ { 1 , W } ) + \kappa _ { 2 2 } u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \kappa _ { 2 3 } u ^ { ( 2 ) } + \kappa _ { 2 4 } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right] , } \end{array}
H _ { i j } = \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } = \left\{ \begin{array} { l l } { n ^ { 2 } / \beta _ { 0 } ^ { 2 } , \quad } & { i = j = 0 } \\ { \left< \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \phi _ { j } ( \mathbf { u } ) \right> , \quad } & { i \ge 1 , j \ge 1 } \\ { 0 , \quad } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r } { U _ { \tau } ^ { [ \phi , \pm ] } ( x , y ) = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \cdots \sum _ { n _ { N } = 0 } ^ { 1 } \sum _ { \sigma \in S _ { N } } D ^ { [ \phi , \pm ] } ( r _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdots r _ { N } ^ { n _ { N } } \sigma ) \widetilde { U } _ { \tau } ( x , r _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdots r _ { N } ^ { n _ { N } } \sigma y ) . } \end{array}
\frac { ( 1 + r _ { \nu } ^ { 2 } ) ( 1 + r _ { \ell } ^ { 2 } ) + ( 1 - r _ { \nu } ^ { 2 } ) ( 1 - r _ { \ell } ^ { 2 } ) \cos 2 \theta _ { L } } { ( 1 + r _ { u } ^ { 2 } ) ( 1 + r _ { d } ^ { 2 } ) + ( 1 - r _ { u } ^ { 2 } ) ( 1 - r _ { d } ^ { 2 } ) \cos 2 \theta _ { C } } = \frac { r _ { \nu } r _ { \ell } } { r _ { u } r _ { d } } \quad .
\begin{array} { r l r } & { \psi _ { D S } } & { = 1 + \frac { \mathcal { F } \cosh { ( \alpha x ) } - \mathcal { F } \sinh { ( \alpha x ) } } { \mathcal { I } \cosh { ( \alpha x ) } + \mathcal { J } \sinh { ( \alpha x ) } } , } \\ & { \psi _ { B S } ^ { ( 1 ) } } & { = c _ { 1 } \psi _ { B S } ^ { ( 2 ) } , ~ ~ ~ ~ \psi _ { B S } ^ { ( 3 ) } = c _ { 2 } \psi _ { B S } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \psi _ { B S } ^ { ( 2 ) } } & { = - \frac { \mathcal { F } \exp { ( \frac { 1 } { 2 } i \alpha ^ { 2 } t ) } } { \mathcal { I } \cosh { ( \alpha x ) } + \mathcal { J } \sinh { ( \alpha x ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } _ { ( P , R ) } ^ { \pi } v ) ( s ) } & { : = \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ R ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathcal { T } _ { ( P , R ) } ^ { * } v } & { : = \operatorname* { m a x } _ { \pi } \mathcal { T } _ { ( P , R ) } ^ { \pi } v . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { F } } \\ { \dot { y } _ { F } } \\ { \omega _ { F } } \end{array} \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 5 3 6 } & { - 0 . 0 0 4 } & { - 0 . 2 0 5 } \\ { 0 . 1 4 4 } & { - 0 . 4 0 7 } & { - 0 . 0 2 7 } \\ { - 0 . 5 2 4 } & { 0 . 0 9 1 } & { 0 . 3 1 8 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 0 } } \\ { \dot { y } _ { 0 } } \\ { \omega _ { 0 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { - 1 1 1 } \\ { 2 3 . 7 } \\ { 3 9 . 4 } \end{array} \right] } & { \mathrm { i f ~ } 0 . 8 9 1 \dot { x } _ { 0 } + 0 . 7 6 3 \dot { y } _ { 0 } + \omega _ { 0 } < 6 0 0 } \\ { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 6 7 4 } & { 0 . 1 0 7 } & { - 0 . 0 0 5 } \\ { 0 . 1 0 3 } & { - 0 . 3 9 0 } & { 0 . 0 1 7 } \\ { - 0 . 1 5 3 } & { 0 . 2 7 7 } & { 1 . 0 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 0 } } \\ { \dot { y } _ { 0 } } \\ { \omega _ { 0 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { - 1 5 4 } \\ { 2 5 . 0 } \\ { - 2 6 7 } \end{array} \right] } & { \mathrm { i f ~ } 0 . 8 9 1 \dot { x } _ { 0 } + 0 . 7 6 3 \dot { y } _ { 0 } + \omega _ { 0 } > 6 0 0 ; } \end{array} \right.
{ \psi } _ { F } ^ { D - K } = \left[ \begin{array} { c } { { \sum _ { j , m } \xi _ { m } ^ { j + } T _ { m - } ^ { j } } } \\ { { \sum _ { j , m } \xi _ { m } ^ { j - } T _ { m + } ^ { j } } } \end{array} \right] .
\widehat { U } _ { N } = Q _ { 2 ^ { n } - 1 } Q _ { 2 ^ { n } - 2 } \cdots Q _ { 1 } Q _ { 0 } = \prod _ { i = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } Q _ { 2 ^ { n } - 1 - i } ,
\phi ( x ^ { 5 } ) \ = \ - \, \frac { 3 } { 4 } \, \epsilon \, \log \left( \, \frac { \operatorname { t a n h } \left[ \, \frac { \omega } { 2 } ( x _ { s } - | x ^ { 5 } | ) \, \right] } { \operatorname { t a n h } \left( \frac { \omega x _ { s } } { 2 } \right) } \right) \, + \, d \ ,
< T _ { \mu \nu } ( x ) \, T _ { \rho \sigma } ( 0 ) > = { \frac { 1 } { 4 8 0 \pi ^ { 4 } } \prod } _ { \mu \nu , \rho \sigma } ^ { ( 2 ) } \left( { \frac { c ( g ( x ) ) } { x ^ { 4 } } } \right) + \pi _ { \mu \nu } \pi _ { \rho \sigma } \left( { \frac { f ( \ln x \mu , g ) ) } { x ^ { 4 } } } \right) .
\epsilon d \phi - \frac { \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } } { 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } M ^ { 2 } } \frac { d M } { M } - \frac { \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } } { \gamma r M ^ { 2 } } d S = 0 .
{ \begin{array} { r l } { | \mathbf { g } ^ { \prime } | ^ { 2 } } & { = \rho ^ { 2 } ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \\ { \mathbf { g } ^ { \prime } \cdot \mathbf { g } ^ { \prime \prime } } & { = \rho ^ { 2 } h ^ { \prime } h ^ { \prime \prime } } \\ { | \mathbf { g } ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } } & { = \rho ^ { 2 } \left( ( h ^ { \prime } ) ^ { 4 } + ( h ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { X _ { i , \mathtt { M } } : = \left\{ i = ( \theta , y , z ) : \mathbb { T } ^ { \nu } \mapsto \mathbb { T } ^ { \nu } \times \mathbb { R } ^ { \nu } \times H _ { S ^ { \perp } } : \rho _ { \mathtt { M } } ( z ( \varphi ) ) = z ( \varphi ) \right\} , \quad \rho _ { \mathtt { M } , * } ( i ) : = ( \theta , y , \rho _ { \mathtt { M } } ( z ) ) . } \end{array}
{ \frac { \delta \phi } { \Delta \phi } } = { \frac { H \phi } { M _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } } ( 1 + 6 | \xi | ) ^ { 1 / 2 } \simeq \left( { \frac { 2 \pi \lambda } { 3 } } \right) ^ { 1 / 2 } { \frac { \phi ^ { 3 } } { M _ { \mathrm { p } } ^ { 3 } } } > 1 \ .
\varPhi _ { j } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathrm { ~ D ~ e ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ } \left( \mathbf { z } _ { j } ^ { i } + d z ; \mathbf { z } _ { - j } ^ { i } \right) - \mathrm { ~ D ~ e ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ } \left( \mathbf { z } ^ { i } \right) , \quad j = 0 , 1 , . . . , 9
\begin{array} { r l } { | Y ^ { * } | } & { = \lceil n / 2 \rceil - | X | } \\ & { = \lceil n / 2 \rceil - | X _ { a } | - | \overline { { X } } _ { a } | } \\ & { \geq 2 \ell - ( \ell - 2 ) - | \overline { { X } } _ { a } | } \\ & { = \ell + 2 - | \overline { { X } } _ { a } | } \\ & { > \ell - | \overline { { X } } _ { a } | } \\ & { = | X ^ { * } | \, . } \end{array}
\mathrm { { Q E } = \ g a m m a _ { \mathrm { r } } / \ g a m m a _ { \mathrm { t o t } } \, \, ; \, \, \ g a m m a _ { \mathrm { t o t } } = \ g a m m a _ { \mathrm { r } } + \ g a m m a _ { \mathrm { n r } } }
{ \begin{array} { r l } { \theta } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \arctan \left( { \frac { 2 b } { a - c } } \right) , \quad \theta \in [ - 4 5 , 4 5 ] , } \\ { \sigma _ { X } ^ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 ( a \cdot \cos ^ { 2 } \theta + 2 b \cdot \cos \theta \sin \theta + c \cdot \sin ^ { 2 } \theta ) } } , } \\ { \sigma _ { Y } ^ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 ( a \cdot \sin ^ { 2 } \theta - 2 b \cdot \cos \theta \sin \theta + c \cdot \cos ^ { 2 } \theta ) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \xi x _ { 3 } + x _ { 4 } x _ { 2 } + f _ { d _ { 1 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + f _ { d _ { 1 } } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } , x _ { 2 } ) = 0 } \\ { \xi x _ { 4 } + x _ { 3 } ^ { \alpha } + g _ { d _ { 2 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + g _ { d _ { 2 } } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } , x _ { 2 } ) = 0 } \end{array}
\left[ \ldots \right] = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \pi ^ { + } \partial \pi ^ { - } ( \partial K _ { 2 } - \partial K _ { 1 } ) - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \pi ^ { - } \partial \pi ^ { + } ( \partial K _ { 2 } + \partial K _ { 1 } ) + \sqrt { 2 } K _ { 1 } \partial \pi ^ { + } \partial \pi ^ { - }
\sigma _ { \lambda } \tau _ { \lambda } = ( \| T \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu _ { \lambda } ^ { 2 } \| D \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } , \; \; \sigma _ { \mu } \tau _ { \mu } = ( \| P \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu _ { \mu } ^ { 2 } \| D \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } .
\Lambda ( n ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \log p } & { { \mathrm { i f ~ } } n = p ^ { k } { \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ p r i m e ~ } } p { \mathrm { ~ a n d ~ i n t e g e r ~ } } k \geq 1 , } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { B \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N / B } ( 1 + n L ) [ 1 + 3 ( \delta _ { n \; \mathrm { m o d } \; s , 0 } ) ] \right) } \\ { = B \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N / B } ( 1 + n L ) + 3 \sum _ { m = 1 } ^ { N / B S } ( 1 + L S ) \right) } \\ { = \frac { N ^ { 2 } L ( S + 3 ) } { 2 B S } + N \left( 2 L + 1 + \frac { 3 } { S } \right) . } \end{array}
\frac { D \omega } { D t } = \frac { \alpha } { \nu _ { t } } \mathcal { P } - \beta \omega ^ { 2 } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \nu + \sigma _ { \omega } \nu _ { t } \right) \frac { \partial \omega } { \partial x _ { j } } \right] + Q _ { \mathrm { ~ S ~ S ~ T ~ } } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { - \nu \int _ { - \infty } ^ { s } \phi ^ { \prime \prime \prime } \phi d x } & { = - \nu \phi ^ { \prime \prime } ( s ) \phi ( s ) + \nu \int _ { - \infty } ^ { s } \phi ^ { \prime \prime } \phi ^ { \prime } d x } \\ & { = - \nu \phi ^ { \prime \prime } ( s ) \phi ( s ) + \frac { \nu } { 2 } \phi ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { < \chi ( { \{ n _ { r } ^ { \prime } \} } _ { 1 } ^ { N } ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 , 0 , 0 , 0 ) \left| \right. \hat { b } _ { r _ { k } } ^ { 1 1 } \chi ( { \{ n _ { r } \} } _ { 1 } ^ { N } ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 , 0 , 0 , 0 ) > = } } \\ { { = < 1 , 1 \mid \hat { b } _ { r _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 1 1 } \cdots \hat { b } _ { r _ { n } ^ { \prime } } ^ { 1 1 } \cdot \hat { b } _ { r _ { k } } ^ { 1 1 } \cdot \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { n } } \cdots \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { 1 } } \mid 1 , 1 > = } } \\ { { = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( - 1 ) ^ { n - k } } } & { { \mathrm { i f ~ n _ { r } = n _ { r } ^ { \prime } ~ f o r ~ r \neq ~ r _ { k } ~ a n d ~ n _ { r _ { k } } ^ { \prime } = 0 ; n _ { r _ { k } } = 1 ~ } , } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } , } } \end{array} \right. } } \\ { { < \chi ( { \{ n _ { r } ^ { \prime } \} } _ { 1 } ^ { N } ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 , 0 , 0 , 0 ) \left| \right. \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { k } } \chi ( { \{ n _ { r } \} } _ { 1 } ^ { N } ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 , 0 , 0 , 0 ) > = } } \\ { { = < 1 , 1 \mid \hat { b } _ { r _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 1 1 } \cdots \hat { b } _ { r _ { n } ^ { \prime } } ^ { 1 1 } \cdot \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { k } } \cdot \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { n } } \cdots \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { 1 } } \mid 1 , 1 > = } } \\ { { = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( - 1 ) ^ { n ^ { \prime } - k ^ { \prime } } } } & { { \mathrm { i f ~ n _ { r } = n _ { r } ^ { \prime } ~ f o r ~ r \neq ~ r _ { k } ~ a n d ~ n _ { r _ { k } } = 0 ; n _ { r _ { k } } ^ { \prime } = 1 ~ } , } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } , } } \end{array} \right. } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { { \mathbf Y } } ( \tau ) } & { { } = \boldsymbol { \mathcal Q } ^ { { \mathrm T } } ( \tau ) ( { \mathbf Y } ( \tau ) - { \mathbf B } ( \tau ) ) } \\ { \widetilde { { \mathbf U } } ( \widetilde { { \mathbf Y } } , \tau ) } & { { } = \boldsymbol { \mathcal Q } ^ { { \mathrm T } } ( \tau ) \left( { \mathbf U } \left( \boldsymbol { \mathcal Q } ( \tau ) \widetilde { { \mathbf Y } } + { \mathbf B } ( \tau ) \right) - \dot { \boldsymbol { \mathcal Q } } ( \tau ) \widetilde { { \mathbf Y } } - \dot { { \mathbf B } } ( \tau ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( B \times [ 0 , s ] ) } & { = \gamma \, c _ { d + 1 , \beta } \, \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { \infty } h ^ { \beta } { \bf 1 } ( f ( v , h ) \in B \times [ 0 , s ] ) \, \mathrm { d } h \mathrm { d } v } \\ & { = \gamma \, c _ { d + 1 , \beta } \, \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { s } h ^ { \beta } { \bf 1 } ( v \in B \times [ - \sqrt { s - h } , \sqrt { s - h } ] ) \, \mathrm { d } h \mathrm { d } v } \\ & { = 2 \gamma \, c _ { d + 1 , \beta } \, \lambda _ { d - 1 } ( B ) \int _ { 0 } ^ { s } h ^ { \beta } \sqrt { s - h } \, \mathrm { d } h } \\ & { = \gamma \, { \frac { \Gamma ( { \frac { d + 1 } { 2 } } + \beta + 1 ) } { \pi ^ { \frac { d } { 2 } } \Gamma ( \beta + { \frac { 3 } { 2 } } ) } } \, \lambda _ { d - 1 } ( B ) { \frac { s ^ { \beta + { \frac { 3 } { 2 } } } } { \beta + { \frac { 3 } { 2 } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ^ { p m } ( r , \theta , \xi , \eta ) } & { { } = \alpha ^ { p m } ( \xi ) \ast \left( \exp [ - i \tilde { k } _ { k } ^ { p m } ( k ) \eta ] \right) _ { \xi } \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { p m } ( r , \theta ) } \\ { \tilde { k } _ { 0 } ^ { p m } / k _ { L } } & { { } = \frac { \omega _ { p 0 } ^ { 2 } } { 2 k _ { L } ^ { 2 } c ^ { 2 } } + ( 2 p + | m | + 1 ) \frac { 2 } { k _ { L } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
N = \int _ { 0 } ^ { k _ { F } } { \frac { d N } { d k } } d k = { \frac { g V } { 6 \pi ^ { 2 } } } k _ { F } ^ { 3 } - { \frac { g S } { 1 6 \pi } } k _ { F } ^ { 2 } + { \frac { g C } { 1 2 \pi ^ { 2 } } } k _ { F }
\mathrm { ~ d ~ o ~ } \big ( X _ { a g g } ^ { ( \tau ) } = x _ { a g g } ^ { ( \tau ) } \big ) : = \sum _ { T = 1 } ^ { \tau } \gamma _ { t - T } \, \mathrm { ~ d ~ o ~ } \big ( X _ { t - T } = x _ { t - T } \big ) , \quad \sum _ { T = 1 } ^ { \tau } \gamma _ { t - T } = 1 .
\rho ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 . 7 8 \times 1 0 ^ { - 3 } ~ \mathrm { ~ g ~ } / \mathrm { ~ c ~ m ~ } ^ { 3 } } & { 0 ~ \mathrm { ~ m ~ m ~ } < x \leq 0 . 1 5 ~ \mathrm { ~ m ~ m ~ } , } \\ { 1 6 . 6 5 \mathrm { ~ g ~ } / ~ \mathrm { ~ c ~ m ~ } ^ { 3 } } & { 0 . 1 5 ~ \mathrm { ~ m ~ m ~ } < x \leq 0 . 3 5 ~ \mathrm { ~ m ~ m ~ } , } \\ { 2 . 2 0 4 \mathrm { ~ g ~ } / ~ \mathrm { ~ c ~ m ~ } ^ { 3 } } & { 0 . 3 5 ~ \mathrm { ~ m ~ m ~ } < x \leq 0 . 6 0 ~ \mathrm { ~ m ~ m ~ } , } \\ { 1 . 7 8 \times 1 0 ^ { - 3 } ~ \mathrm { ~ g ~ } / \mathrm { ~ c ~ m ~ } ^ { 3 } } & { 0 . 6 0 ~ \mathrm { ~ m ~ m ~ } < x \leq 1 ~ \mathrm { ~ m ~ m ~ } , } \end{array} \right.
\delta _ { V } ^ { \mathrm { i r r } } = \sum _ { F = A , B } \frac { m _ { F 0 } ^ { 2 } \partial } { \partial m _ { F 0 } ^ { 2 } } \, \frac { A _ { V V } ( 0 ) } { M _ { V 0 } ^ { 2 } } ,
D \tilde { \Psi } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \tilde { \Psi } _ { 3 1 } } & { \tilde { \Psi } _ { 3 2 } } & { \left( \frac { \lvert \hat { g } \rvert } { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } \right) ^ { - 1 / 4 } } \end{array} \right) , \quad D ( \tilde { \Psi } ^ { \prime } ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \tilde { \Psi } _ { 3 1 } ^ { \prime } } & { \tilde { \Psi } _ { 3 2 } ^ { \prime } } & { \left( \frac { \lvert \hat { g } ^ { \prime } \rvert } { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } \right) ^ { - 1 / 4 } } \end{array} \right)
Q _ { 1 } = \mathrm { d i a g } \left( + { \frac { 1 } { 3 } } , + { \frac { 1 } { 3 } } , + { \frac { 1 } { 3 } } , - { \frac { 1 } { 2 } } , - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \ .
\begin{array} { r l r } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { { } \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 3 } - \, { \mathbb L } _ { 2 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 2 } } & { { } \approx } & { - \, { \mathbb L } _ { 1 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 3 } } & { { } \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 2 } + \, { \mathbb L } _ { 3 } . } \end{array}
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = - 2 5 \left( x _ { 1 } - 2 \right) ^ { 2 } - \left( x _ { 2 } - 2 \right) ^ { 2 } - \left( x _ { 3 } - 1 \right) ^ { 2 } - \left( x _ { 4 } - 4 \right) ^ { 2 } - \left( x _ { 5 } - 1 \right) ^ { 2 } } \\ { f _ { 2 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } x _ { i } ^ { 2 } } \end{array} \right. }
Y = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c c } { { M _ { L } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 { \sqrt { 2 } } g _ { L } v _ { d } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \frac 1 { \sqrt { 2 } } g _ { L } v _ { d } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 { \sqrt { 2 } } g _ { L } \sigma _ { L } } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { M _ { R } } } & { { 0 } } & { { - \frac 1 { \sqrt { 2 } } g _ { R } v _ { d } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 { \sqrt { 2 } } g _ { R } v _ { u } } } & { { \sqrt { 2 } g _ { R } v _ { \Delta _ { R } } } } & { { - \sqrt { 2 } g _ { R } v _ { \delta _ { R } } } } & { { 0 } } & { { - \frac 1 { \sqrt { 2 } } g _ { R } \sigma _ { R } } } \\ { { } } & { { } } & { { M _ { B - L } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \sqrt { 2 } g _ { B - L } v _ { \Delta _ { R } } } } & { { \sqrt { 2 } g _ { B - L } v _ { \delta _ { R } } } } & { { - \frac 1 { \sqrt { 2 } } g _ { B - L } \sigma _ { L } } } & { { \frac 1 { \sqrt { 2 } } g _ { B - L } \sigma _ { R } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { - 2 \mu _ { \phi } ^ { 1 1 } } } & { { 0 } } & { { - \mu _ { \phi } ^ { 1 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { - \mu _ { \phi } ^ { 1 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { e } \sigma _ { R } } } & { { \lambda _ { e } \sigma _ { L } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { - 2 \mu _ { \phi } ^ { 2 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { \nu } \sigma _ { R } } } & { { \lambda _ { \nu } \sigma _ { L } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { \mu _ { \Delta R } } } & { { 0 } } & { { - 2 f _ { R } \sigma _ { R } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { \nu } v _ { u } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - 2 f _ { R } v _ { \Delta _ { R } } } } \end{array} \right) .
C _ { 1 } \frac { | \ell | ^ { 2 } } { R _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { B _ { n \ell } } | u _ { \ell } | ^ { 2 } \ d V \leq \frac { 4 C _ { 1 } } { R _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \int _ { A _ { ( n - 1 ) \ell } } | \nabla u _ { \ell } | ^ { 2 } \ d V + \int _ { A _ { n \ell } } | \nabla u _ { \ell } | ^ { 2 } \ d V + \int _ { A _ { ( n + 1 ) \ell } } | \nabla u _ { \ell } | ^ { 2 } \ d V \right) .
\xi ^ { \prime } : = \theta _ { f _ { 1 } } ^ { - 1 } \circ \cdots \circ \theta _ { f _ { m } } ^ { - 1 } ( \xi _ { n } ) = \theta _ { f _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { - 1 } \circ \cdots \circ \theta _ { f _ { m } ^ { \prime } } ^ { - 1 } \circ \theta _ { f _ { m + 1 } ^ { \prime } } ^ { - 1 } \circ \cdots \circ \theta _ { f _ { m + k } ^ { \prime } } ^ { - 1 } \circ \theta _ { g _ { n + k } ^ { \prime } } \circ \cdots \circ \theta _ { g _ { n + 1 } ^ { \prime } } ( \xi _ { n } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) \xrightarrow { P } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \operatorname* { d e t } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { s } ^ { 0 } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , \beta \Bigr ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { t r } \bigg [ [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { s } , H ( X _ { s - \cdot } ) , \beta \Bigr ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } \Bigl ( X _ { s } , H ( X _ { s - \cdot } ) , \beta _ { 0 } \Bigr ) \bigg ] \, \mathrm { d } s . } \end{array}
- \frac { \delta } { \delta \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) } \int d \Omega _ { g y } d t \varepsilon _ { \delta } e \left\langle \psi _ { 1 } \right\rangle F _ { e } = - \frac { e \varepsilon _ { \delta } } { 2 \pi } \frac { \delta } { \delta \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) } \int \int d \theta d ^ { 3 } x d W d t \psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) F _ { e } ( x - \rho ) ,
I _ { 8 } = \int d ^ { 4 } x \int d ^ { 4 } y \sqrt { \hat { g } } \left[ { \frac { 1 } { 1 6 \pi G V } } \left( \hat { R } + V ( \Phi ) + Y _ { u } \right) + { \cal L } _ { D } \right] \, ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i } d _ { i } } & { { } = } & { 3 N - 5 , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ m ~ o ~ l ~ e ~ c ~ u ~ l ~ e ~ s ~ } . } \\ { \sum _ { i } d _ { i } } & { { } = } & { 3 N - 6 , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ n ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ m ~ o ~ l ~ e ~ c ~ u ~ l ~ e ~ s ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { D _ { i } } \cdots \int _ { D _ { i } } p \left( t _ { m } , x _ { 1 } , x _ { 0 } \right) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p \left( t _ { m } , x _ { j } , x _ { j - 1 } \right) d x } \\ & { = \int _ { \rho D _ { i } } \cdots \int _ { \rho D _ { i } } p \left( t _ { m } , \xi _ { 1 } , ( y _ { 0 } ^ { \prime } , z _ { 0 } ^ { \prime } ) \right) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p \left( t _ { m } , \xi _ { j } , \xi _ { j - 1 } \right) d \xi } \\ & { \le \int _ { ( \rho D _ { i } ) ^ { \# } } \cdots \int _ { ( \rho D _ { i } ) ^ { \# } } p \left( t _ { m } , \xi _ { 1 } , ( 0 , z _ { 0 } ^ { \prime } ) \right) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p \left( t _ { m } , \xi _ { j } , \xi _ { j - 1 } \right) d \xi } \\ & { = \int _ { \rho ^ { - 1 } ( ( \rho D _ { i } ) ^ { \# } ) } \cdots \int _ { \rho ^ { - 1 } ( ( \rho D _ { i } ) ^ { \# } ) } p ( t _ { m } , x _ { 1 } , \rho ^ { - 1 } ( 0 , z _ { 0 } ^ { \prime } ) ) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p ( t _ { m } , x _ { j } , x _ { j - 1 } ) d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) ( m _ { x } + \lambda \partial _ { t } m _ { x } ) } & { = A _ { + } \partial _ { x } ^ { 2 } m _ { x } + A _ { - } \partial _ { y } ^ { 2 } m _ { y } , } \\ { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) ( m _ { y } + \lambda \partial _ { t } m _ { y } ) } & { = B _ { + } \partial _ { y } ^ { 2 } m _ { y } + B _ { - } \partial _ { x } ^ { 2 } m _ { x } , } \\ { 0 } & { = \partial _ { x } \partial _ { y } ( C _ { + } m _ { x } + C _ { - } m _ { y } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { j } ( { \bf k } ) \psi _ { j } ( { \bf k } ) = U ( { \bf k } ) \psi _ { j } ( { \bf k } ) = K [ U ^ { * } ( - { \bf k } ) ] ^ { - 1 } K ^ { - 1 } \psi _ { j } ( { \bf k } ) , } \\ { \iff \quad } & { E _ { j } ( { \bf k } ) K ^ { - 1 } \psi _ { j } ( { \bf k } ) = [ U ^ { * } ( - { \bf k } ) ] ^ { - 1 } K ^ { - 1 } \psi _ { j } ( { \bf k } ) , } \\ { \iff \quad } & { E _ { j } ( { \bf k } ) U ^ { * } ( - { \bf k } ) K ^ { - 1 } \psi _ { j } ( { \bf k } ) = K ^ { - 1 } \psi _ { j } ( { \bf k } ) , } \\ { \iff \quad } & { U ( - { \bf k } ) ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } \psi _ { j } ^ { * } ( { \bf k } ) = ( E _ { j } ( { \bf k } ) ^ { * } ) ^ { - 1 } ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } \psi _ { j } ^ { * } ( { \bf k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } H ( \mu , { \mathcal D } _ { n } ^ { W \oplus W ^ { \perp } } | { \mathcal D } _ { n } ^ { W } ) } & { = \frac { 1 } { n } H ( \mu , { \mathcal D } _ { n } ^ { W ^ { \perp } } | { \mathcal D } _ { n } ^ { W } ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } H ( \mu , { \mathcal D } _ { n } | { \mathcal D } _ { n } ^ { W } ) + O ( 1 / n ) } \\ & { \leq \dim ( W ^ { \perp } ) + O _ { R } ( 1 / n ) . } \end{array}