harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i a m } ( \mathscr { D } _ { t } ^ { 1 } ) } & { \stackrel { \leq } \xi _ { N ( t ) + 1 } - \xi _ { N ( t ) } \stackrel { \lesssim _ { R _ { 0 } } } \log w ( R _ { l } ) \stackrel { \lesssim _ { R _ { 0 } } } \log R _ { l } , } \\ { \mathrm { d i s t } ( \mathscr { D } _ { t } ^ { 1 } , \mathscr { D } _ { t } ^ { 2 } ) } & { \stackrel { \geq } \| S _ { N ( t ) } \| - O \left( ( \xi _ { N ( t ) + 1 } - \xi _ { N ( t ) } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \stackrel { \geq } \delta ( R _ { l } ) R _ { l } - O \left( ( \log w ( R _ { l } ) ) ^ { 2 } \right) \stackrel { \gtrsim _ { R _ { 0 } } } R _ { l } ( \log R _ { l } ) ^ { - 2 } . } \end{array}
\Phi ^ { 2 } ( x ; \theta , \theta ) = 1 + \frac { \lambda ^ { 2 } } { r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } } \left( 1 - \exp \left( - \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } } { \theta } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( | { \mathcal C } _ { n } ( 0 ) | \ge k , 0 \notin { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } \big ) \le \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( | { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } | \ge k \big ) } & { \le N _ { k } \exp \big ( - c k ^ { \zeta } \big ) = \exp \big ( - ( c / 2 ) k ^ { \zeta } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \sum _ { i } \pi _ { i j } } & { = E _ { j } ^ { \prime } , } \\ { \sum _ { j } \pi _ { i j } } & { = E _ { i } , } \\ { \sum _ { i _ { 1 } } k _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } } & { = E _ { i _ { 2 } } , } & { \sum _ { i _ { 2 } } k _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } } & { = E _ { i _ { 1 } } , } \\ { \sum _ { j _ { 1 } } k _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } } & { = E _ { j _ { 2 } } ^ { \prime } , } & { \sum _ { j _ { 2 } } k _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } } & { = E _ { j _ { 1 } } ^ { \prime } , } \\ { f _ { i } } & { = E _ { i } , } & { f _ { j } } & { = E _ { j } ^ { \prime } } \end{array}
f _ { i j } ^ { \prime } \equiv ( 4 \pi ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, x \, e ^ { - 2 x } I _ { 0 } ( 2 x ) \biggl [ e ^ { - 6 x } I _ { 0 } ( 2 x ) I _ { i } ( 2 x ) I _ { j } ( 2 x ) - { \frac { 1 } { ( 4 \pi x ) ^ { 3 / 2 } } } \biggr ] \, .
\frac { \partial } { \partial \tau } \rho ^ { ( \mathrm { o t h e r } ) } = - \sum _ { \mathcal { F } ^ { \prime } } \rho ^ { ( \mathrm { o t h e r } ) } S _ { \mathcal { F ^ { \prime } } } ^ { ( \mathrm { o t h e r } ) } J _ { \mathcal { F } ^ { \prime } } + \sum _ { \mathcal { F } ^ { \prime } } \rho ^ { ( \mathrm { n e u t r a l } ) } S _ { \mathcal { F } ^ { \prime } \, - 1 } ^ { ( \mathrm { n e u t r a l } ) } J _ { \mathcal { F } ^ { \prime } } ,
M _ { K K 7 M } = \frac { R _ { 4 } \ldots R _ { 9 } R _ { 1 0 } ^ { 2 } } { ( { } ^ { - } \! \! \! \! \ell _ { \mathrm { P l a n c k } } ^ { ( 1 1 ) } ) ^ { 9 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \xi _ { \mathrm { t o t } } } & { = \xi _ { \mathrm { c h } } + \xi _ { \mathrm { e x } } , } \\ { \xi _ { \mathrm { c h } } } & { : = \frac { 2 ( \bar { n } - \bar { n } _ { \mathrm { e x } } ) } { \tau } = \frac { 2 \eta _ { \mathrm { e f f } } \bar { n } _ { B } } { \tau } , } \\ { \xi _ { \mathrm { e x } } } & { : = \frac { 2 \bar { n } _ { \mathrm { e x } } } { \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x , t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { h _ { l } } & { x \leq x _ { 1 } } \\ { \frac { 4 } { 9 g } \left( \sqrt { g h _ { l } } - \frac { x - x _ { 0 } } { 2 t } \right) ^ { 2 } } & { x _ { 1 } ( t ) < x \leq x _ { 2 } ( t ) } \\ { \frac { c _ { m } ^ { 2 } } { g } } & { x _ { 2 } ( t ) < x \leq x _ { 3 } ( t ) } \\ { h _ { r } } & { x > x _ { 3 } ( t ) } \end{array} \right. \, , } \\ { x _ { 1 } ( t ) } & { = x _ { 0 } - t \sqrt { g h _ { l } } \, , } \\ { x _ { 2 } ( t ) } & { = x _ { 0 } + t ( 2 \sqrt { g h _ { l } } - 3 c _ { m } ) \, , } \\ { x _ { 3 } ( t ) } & { = x _ { 0 } + t \frac { 2 c _ { m } ^ { 2 } ( \sqrt { g h _ { l } } - c _ { m } ) } { c _ { m } ^ { 2 } - g h _ { r } } \, , \quad \mathrm { a n d } } \\ { c _ { m } } & { \mathrm { i s ~ t h e ~ s o l u t i o n ~ t o } - 8 g h _ { r } c _ { m } ^ { 2 } ( \sqrt { g h _ { l } } - c _ { m } ) ^ { 2 } + ( c _ { m } ^ { 2 } - g h _ { r } ) ^ { 2 } ( c _ { m } ^ { 2 } + g h _ { r } ) = 0 \, . } \end{array}
B _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ n ~ } } ( t ) = \frac { a _ { 0 } } { 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \cos ( \omega _ { n } t ) + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } b _ { n } \sin ( \omega _ { n } t ) .
\begin{array} { r l } { w _ { p , q } ^ { t + \Delta t } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( w _ { p , q } ^ { t } + \bar { w } _ { p , q } ^ { t + \Delta t } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \bar { F } _ { p , q } ^ { t + \Delta t } - \bar { F } _ { p - 1 , q } ^ { t + \Delta t } } { h } + \frac { \bar { G } _ { p , q } ^ { t + \Delta t } - \bar { G } _ { p , q - 1 } ^ { t + \Delta t } } { h } \right) \Delta t \, . } \end{array}
g ^ { \mu \nu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } } = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } \Delta } } \left( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } + { \frac { r _ { s } r a ^ { 2 } } { \Sigma } } \sin ^ { 2 } \theta \right) \left( { \frac { \partial } { \partial t } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 2 r _ { s } r a } { c \Sigma \Delta } } { \frac { \partial } { \partial \phi } } { \frac { \partial } { \partial { t } } } - { \frac { 1 } { \Delta \sin ^ { 2 } \theta } } \left( 1 - { \frac { r _ { s } r } { \Sigma } } \right) \left( { \frac { \partial } { \partial \phi } } \right) ^ { 2 } - { \frac { \Delta } { \Sigma } } \left( { \frac { \partial } { \partial r } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { \Sigma } } \left( { \frac { \partial } { \partial \theta } } \right) ^ { 2 }
{ \begin{array} { r l } { M _ { x x } } & { = - D \left( { \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } } + \nu \, { \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = q _ { x 1 } \left( { \frac { x - a } { b } } \right) - \left[ { \frac { 3 y q _ { x 2 } } { b ^ { 3 } \nu _ { b } \cosh ^ { 3 } [ \nu _ { b } ( x - a ) ] } } \right] \times } \\ & { \quad \left[ 6 \sinh ( \nu _ { b } a ) - \sinh [ \nu _ { b } ( 2 x - a ) ] + \sinh [ \nu _ { b } ( 2 x - 3 a ) ] + 8 \sinh [ \nu _ { b } ( x - a ) ] \right] } \\ { M _ { x y } } & { = ( 1 - \nu ) D { \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x \partial y } } } \\ & { = { \frac { q _ { x 2 } } { 2 b } } \left[ 1 - { \frac { 2 + \cosh [ \nu _ { b } ( x - 2 a ) ] - \cosh [ \nu _ { b } x ] } { 2 \cosh ^ { 2 } [ \nu _ { b } ( x - a ) ] } } \right] } \\ { Q _ { z x } } & { = { \frac { \partial M _ { x x } } { \partial x } } - { \frac { \partial M _ { x y } } { \partial y } } } \\ & { = { \frac { q _ { x 1 } } { b } } - \left( { \frac { 3 y q _ { x 2 } } { 2 b ^ { 3 } \cosh ^ { 4 } [ \nu _ { b } ( x - a ) ] } } \right) \times \left[ 3 2 + \cosh [ \nu _ { b } ( 3 x - 2 a ) ] - \cosh [ \nu _ { b } ( 3 x - 4 a ) ] \right. } \\ & { \qquad \left. - 1 6 \cosh [ 2 \nu _ { b } ( x - a ) ] + 2 3 \cosh [ \nu _ { b } ( x - 2 a ) ] - 2 3 \cosh ( \nu _ { b } x ) \right] \, . } \end{array} }
\small \begin{array} { r } { m \frac { \partial ^ { 2 } ( v _ { n + 1 } + v _ { n - 1 } ) } { \partial t ^ { 2 } } = K _ { 2 } ( 2 u _ { n } + v _ { n + 2 } + v _ { n - 2 } - 2 v _ { n + 1 } - 2 v _ { n - 1 } ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \prod _ { p \equiv 3 { \pmod { 4 } } } \left( 1 - { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 / 2 } = 0 . 7 6 4 2 2 3 . . .
r = \left\{ \begin{array} { l l } { { r } ^ { \prime } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \geq { r } ^ { \prime } \geq 1 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Gamma r \Gamma ^ { - 1 } } & { { } = r ^ { - 1 } , } \\ { \mathcal { U } _ { T } r \mathcal { U } _ { T } ^ { - 1 } } & { { } = r ^ { T } , } \\ { \mathcal { U } _ { C } r \mathcal { U } _ { C } ^ { - 1 } } & { { } = ( r ^ { - 1 } ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta r } & { = \frac { E _ { y 0 } } { B } t _ { \mathrm { a c c } } + \frac { 2 ( 1 + \langle Z \rangle ) T q } { \langle m _ { i } \rangle c _ { s } } t _ { \mathrm { a c c } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { E } \left( \infty , 0 , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , 0 , t ^ { \prime } \right) d t ^ { \prime } } \\ & { = v _ { 0 } t _ { \mathrm { a c c } } + \frac { \pi \bar { n } T R _ { \mathrm { e f f } } q } { B ^ { 2 } c _ { s } } . } \end{array}
S _ { \nu _ { 1 } ; \omega _ { 1 } } = \left[ 1 - \frac { i \kappa _ { a e } } { \omega _ { 1 } - \alpha _ { a } } \right] \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 1 } ) \equiv t _ { \omega _ { 1 } } \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 1 } ) ,
A ( k ) = { \frac { 3 k } { 2 0 0 0 0 } } + \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } \left( { \frac { k } { 1 0 0 0 0 } } \right) ^ { 7 } \right) \cos ^ { 6 } \left( { \frac { 4 1 \pi k } { 1 0 0 0 0 } } \right) + { \frac { 1 } { 4 } } \cos ^ { 1 6 } \left( { \frac { 4 1 \pi k } { 1 0 0 0 0 } } \right) \cos ^ { 1 2 } \left( { \frac { \pi k } { 2 0 0 0 0 } } \right) \sin \left( { \frac { 6 \pi k } { 1 0 0 0 0 } } \right) ,
{ \cal H } = { \frac { 1 } { 2 } } p ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } g ( g - 1 ) | \alpha | ^ { 2 } \sum _ { \alpha \in \Delta _ { + } } { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( \alpha \cdot q ) } } .
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { = 2 \mathrm { R e } \bigg [ \epsilon \sqrt { \frac { \ell } { 6 } } A ( \zeta , \tau ) e ^ { i ( \ell x - \omega t ) } } \\ & { \qquad \quad \, + \epsilon ^ { 2 } \frac { \ell } { 6 } \Big ( \frac { 1 } { 4 } A ( \zeta , \tau ) ^ { 2 } e ^ { 2 i ( \ell x - \omega t ) } - \frac { 1 } { 2 } | A ( \zeta , \tau ) | ^ { 2 } \Big ) + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } ) \bigg ] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 2 \alpha _ { \tau \tau } } & { = \left( \mu b ^ { 2 } - \nu c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } a ^ { 4 } = 0 , } \\ { 2 \beta _ { \tau \tau } } & { = \left( \lambda a ^ { 2 } - \nu c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } b ^ { 4 } = 0 , } \\ { 2 \gamma _ { \tau \tau } } & { = \left( \lambda a ^ { 2 } - \mu b ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } c ^ { 4 } = 0 , } \end{array} }
\begin{array} { l } { \tau _ { \mathrm { { M S } } } \ \approx \ 1 0 ^ { 1 0 } { \mathrm { y e a r s } } \cdot \left[ { \frac { M } { M _ { \bigodot } } } \right] \cdot \left[ { \frac { L _ { \bigodot } } { L } } \right] \ = \ 1 0 ^ { 1 0 } { \mathrm { y e a r s } } \cdot \left[ { \frac { M } { M _ { \bigodot } } } \right] ^ { - 2 . 5 } } \end{array}
\tilde { \xi } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) = \mathcal { N } \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) e ^ { i [ m ( \tilde { \varphi } - \tilde { \varphi } ^ { \prime } ) ] } e ^ { - i k _ { z } z _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l r } { P _ { i , j } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { s } } \; e ^ { - i \b { p } \cdot \b { s } } \chi _ { i } ( \ensuremath { \mathbf { q } } - \ensuremath { \mathbf { s } } / 2 ) \chi _ { j } ( \ensuremath { \mathbf { q } } + \ensuremath { \mathbf { s } } / 2 ) . } \\ & { = } & { 2 ^ { 3 } \left( \beta _ { i , j } \gamma _ { i , j } \right) ^ { 3 / 4 } e ^ { - \gamma _ { i , j } q ^ { 2 } } e ^ { - \beta _ { i , j } p ^ { 2 } } e ^ { - 2 \ensuremath { \mathrm { i } } \tau _ { i , j } \b { q } \cdot \b { p } } , } \end{array}
m _ { 0 } = \left( \begin{array} { c } { { x } } \\ { { y } } \\ { { z } } \end{array} \right) ( a , b , c ) \longrightarrow m _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { { x _ { 1 } } } \\ { { y _ { 1 } } } \\ { { z _ { 1 } } } \end{array} \right) ( a , b , c ) .
\gamma \Delta \vec { k } _ { l } = \gamma ( \vec { k } _ { l + 1 } - \vec { k } _ { l } ) = \frac { \Lambda _ { l } } { 4 M ^ { 4 } } \vec { n } _ { l } , \, \, \, ( l = 1 , 2 , \dots , L ) , \, \, \, \mathrm { w i t h } \, \, \, \vec { k } _ { L + 1 } = \vec { k } _ { 1 } ,
{ \left( \begin{array} { l } { B } \\ { C } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } \\ { S _ { 2 1 } } & { S _ { 2 2 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { A } \\ { D } \end{array} \right) } .
\left[ { \frac { \alpha } { \pi } } \right] _ { 2 } \equiv \alpha ^ { \frac { \mathrm { N } \pi - 1 } { 2 } } { \bmod { \pi } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \exists \eta \in \mathbb { Z } [ i ] : \alpha \equiv \eta ^ { 2 } { \bmod { \pi } } } \\ { - 1 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\left( \begin{array} { l l l l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { a _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { 0 } & { a _ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { a _ { d - 1 } } & { \lambda _ { d } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { s _ { i + 1 } ^ { a ^ { \prime \prime } } } ^ { 2 } } & { { } = \sigma _ { s _ { i + 1 } ^ { a ^ { \prime \prime } } } ^ { 2 } \Big / K + \sum _ { s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } } p ( s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } ) \sigma _ { \mathrm { N S B } } ( s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } ) ^ { 2 } . } \end{array}
| | \widetilde { \Phi } _ { i } \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } - \widetilde { \Phi } _ { i + 1 } \boldsymbol { a } | | _ { \Omega _ { h } } = \sqrt { 2 } | | \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } | | \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } \boldsymbol { a } \in \mathcal { F } _ { a }
\begin{array} { l l } { { ( A ) : } } & { { n > 0 , } } \\ { { ( B ) : } } & { { ( i ) \ k > 0 , \ \mathrm { o r } \ ( i i ) \ k = 0 , \ l > 0 , } } \\ { { ( C ) : } } & { { ( i ) \ k > 0 , \ \mathrm { o r } \ ( i i ) \ k = 0 , \ l > 0 , \ \mathrm { o r } \ ( i i i ) \ k = l = 0 , \ b < 0 \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) = \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { \sqrt { n } } } & { { } \int _ { 0 } ^ { \Theta ^ { \prime } } d \theta ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi } \end{array}
a _ { k , k ^ { \prime } + 1 } ^ { ( n + 1 ) } \gamma ( k ^ { \prime } + 1 ) = \mathbf { 1 } _ { \{ k ^ { \prime } + 1 \geq k \} } q _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } ^ { \prime } , 0 ; u ) g _ { n + 1 , m , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } ^ { \prime } , 0 ; u ) .
R \equiv \left[ \frac { \mathrm { B R } ( B _ { d } ^ { 0 } \to \pi ^ { - } K ^ { + } ) + \mathrm { B R } ( \overline { { { B _ { d } ^ { 0 } } } } \to \pi ^ { + } K ^ { - } ) } { \mathrm { B R } ( B ^ { + } \to \pi ^ { + } K ^ { 0 } ) + \mathrm { B R } ( B ^ { - } \to \pi ^ { - } \overline { { { K ^ { 0 } } } } ) } \right] \frac { \tau _ { B ^ { + } } } { \tau _ { B _ { d } ^ { 0 } } } = 1 - 2 r \cos \delta \cos \gamma + r ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { S [ { \boldsymbol { x } } ( t ) ; \theta ] } & { { } = \theta _ { F } ^ { \mu } \theta _ { F } ^ { \nu } \mathsf { a } _ { \mu \nu } + \theta _ { F } ^ { \mu } \mathsf { b } _ { \mu } + \theta \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { i n d . \ t e r m s } } \\ { W [ { \boldsymbol { x } } ( t ) ; \theta ] } & { { } = - ( \theta _ { F } ^ { \mu } \theta _ { F } ^ { \nu } \mathsf { a } _ { \mu \nu } + \theta _ { F } ^ { \mu } \mathsf { b } _ { \mu } + \mathsf { c } ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { = M _ { 0 , 1 } ( g ( t ) ) \leq N ^ { 1 - \beta } \int _ { ( 0 , \infty ) \times ( 0 , N ) } v ^ { \beta } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a + N ^ { 1 - \tilde { m } } \int _ { ( 0 , \infty ) \times ( N , \infty ) } v ^ { \tilde { m } } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a } \\ & { \leq N ^ { 1 - \beta } M _ { 0 , \beta } ( g ( t ) ) + N ^ { 1 - \tilde { m } } \operatorname* { m a x } \{ M _ { 0 , \tilde { m } } ( g _ { \textup { i n } } ) , C _ { 0 , \tilde { m } } \} . } \end{array}
H ^ { 2 } = { \frac { 4 ( | m _ { H } | ^ { 2 } + { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } } | m _ { S } | ^ { 2 } ) } { G ^ { 2 } } } \ \ , \ \ S ^ { 2 } = { \frac { | m _ { S } | ^ { 2 } } { | Q _ { S } ^ { \prime } | ^ { 2 } g ^ { 2 } } } + { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | H ^ { 2 } } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } }
\begin{array} { r l } { \rho _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { { } = \eta _ { X } \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { 2 , \eta _ { X } } \Psi _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \cdots , \mathbf { x } _ { \eta _ { X } } ) \Psi _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } , \cdots , \mathbf { x } _ { \eta _ { X } } ) , } \\ { \Gamma _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) } & { { } = \eta _ { X } ( \eta _ { X } - 1 ) \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { 3 , \eta _ { X } } \Psi _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \mathbf { x } _ { 3 } , \cdots , \mathbf { x } _ { \eta _ { X } } ) \Psi _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 3 } , \cdots , \mathbf { x } _ { \eta _ { X } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { k i n } } ^ { ( 3 ^ { \prime } ) } = \frac { g \, \Omega _ { D } } { ( 2 \pi { \mathcal U } ^ { 2 } ) ^ { D } \, ( 2 D + 4 ) } \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) \, \big [ 2 \big ( \mu - V ( \vec { r } ) \big ) \big ] _ { + } ^ { \frac { D + 2 } { 2 } } } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \frac { { \partial } ^ { 2 } \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 2 } } } } = { \frac { \partial } { \partial \omega } } \left( { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial \omega } } \right) = { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 2 } } \left( \mathrm { 2 } \lambda { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial \lambda } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } \right) } \end{array} }
0 = \overline { { y _ { i } y _ { t } } } \left( \frac { N _ { I } ( 1 - r ) } { N _ { T } } - r - 1 \right) + \overline { { y _ { i } } } \left( \frac { N _ { I } ( r - 1 ) } { N _ { T } } - v _ { I } + 1 \right) + \overline { { y _ { t } } } ( r - v _ { T } + 1 ) + v _ { I } + v _ { T } - 1
\begin{array} { r l } { R _ { 2 } ( \underline { { \theta } } , \delta _ { 2 , c _ { 0 , 2 } , \alpha } ^ { ( \beta ) } ) } & { = E _ { \underline { { \theta } } } \left[ \left( \frac { \delta _ { 2 , c _ { 0 , 2 } , \alpha } ^ { ( \beta ) } ( \underline { { X } } ) } { \theta _ { 2 } } - 1 \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = E _ { \underline { { \theta } } } [ ( c _ { 0 , 2 } Z _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } I _ { ( \frac { \beta } { \lambda c _ { 0 , 2 } } , \infty ) } ( Z ) ] } \\ & { \qquad + E _ { \underline { { \theta } } } \left[ \left( \frac { \alpha \beta } { \lambda } Z _ { 1 } + ( 1 - \alpha ) c _ { 0 , 2 } Z _ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } I _ { ( 0 , \frac { \beta } { \lambda c _ { 0 , 2 } } ) } ( Z ) \right] } \end{array}
\mathbf { U } \boldsymbol { \Lambda } ^ { 1 / 2 } \mathbf { W } _ { n } \boldsymbol { \Lambda } ^ { 1 / 2 } \mathbf { U } ^ { \mathrm { T } } = \sqrt { n } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \left( \mathbf { Z } ^ { ( \ell ) } \left( \mathbf { Z } ^ { ( \ell ) } \right) ^ { \mathrm { T } } \right) - \mathbf { R } \right) \xrightarrow { d } \mathbf { U } \boldsymbol { \Lambda } ^ { 1 / 2 } \mathbf { W } \boldsymbol { \Lambda } ^ { 1 / 2 } \mathbf { U } ^ { \mathrm { T } } ,
\begin{array} { r l } { | k \rangle ^ { ( x ) } } & { { } = e ^ { - i S ^ { y } \pi / 4 } | k \rangle ^ { ( z ) } } \\ { | k \rangle ^ { ( y ) } } & { { } = e ^ { - i S ^ { z } \pi / 4 } e ^ { - i S ^ { y } \pi / 4 } | k \rangle ^ { ( z ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla _ { \! \bot } \widehat { n } } & { = - \kappa _ { 1 } \, \widehat { t } _ { 1 } \otimes \widehat { t } _ { 1 } - \kappa _ { 2 } \, \widehat { t } _ { 2 } \otimes \widehat { t } _ { 2 } , } & { \nabla _ { \! \bot } \widehat { t } _ { i } } & { = \kappa _ { i } \, \widehat { t } _ { i } \otimes \widehat { n } + \mathcal { R } _ { i } ^ { j k } \, \widehat { t } _ { j } \otimes \widehat { t } _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { u _ { x } \rightarrow - \delta r / \delta t } c _ { s } ^ { e + } } & { { } = \frac { \delta r } { \delta t } . } \\ { \operatorname* { l i m } _ { u _ { x } \rightarrow - \delta r / \delta t } c _ { s } ^ { e + } } & { { } = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { u _ { x } \rightarrow \delta r / \delta t } c _ { s } ^ { e - } } & { { } = 0 . } \\ { \operatorname* { l i m } _ { u _ { x } \rightarrow - \delta r / \delta t } c _ { s } ^ { e - } } & { { } = - \frac { \delta r } { \delta t } . } \end{array}
\{ Q _ { A } , Q _ { B } \} = Z _ { A B } = \left( C \Gamma ^ { \widetilde { \mu } _ { 1 } \widetilde { \mu } _ { 2 } } \right) _ { A B } \, Z _ { [ \widetilde { \mu } _ { 1 } \widetilde { \mu } _ { 2 } ] } + \left( C \Gamma ^ { \widetilde { \mu } _ { 1 } \ldots \widetilde { \mu } _ { 6 } } \right) _ { A B } \, Z _ { [ \widetilde { \mu } _ { 1 } \ldots \widetilde { \mu } _ { 6 } ] } \, ,
\mathcal { L } _ { \mathcal { R } } \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { \mathcal { R } } : = \Lambda ( \mathcal { U } _ { \Theta } , \partial _ { x } \mathcal { U } _ { \Theta } ) \odot \mathcal { L } _ { \mathcal { R } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { E } b ( x , u _ { n } ) \, d x } & { = \int _ { E \cap \{ | u _ { n } | < \ell \} } b ( x , u _ { n } ) \, d x + \int _ { E \cap \{ | u _ { n } | \geq \ell \} } b ( x , u _ { n } ) \, d x } \\ & { \leq \int _ { E \cap \{ | u _ { n } | < \ell \} } | b ( x , \ell ) | \, d x + \int _ { E \cap \{ | u _ { n } | \geq \ell \} } \frac { 1 } { | u _ { n } | } | b ( x , u _ { n } ) u _ { n } | \, d x } \\ & { \leq \int _ { E } | b ( x , \ell ) | \, d x + \int _ { \{ | u _ { n } | \geq \ell \} } \frac { 1 } { \ell } | b ( x , u _ { n } ) u _ { n } | \, d x } \\ & { \leq \int _ { E } | b ( x , \ell ) | \, d x + \frac { C } { \ell } < \varepsilon . } \end{array}
T = T _ { z z } = ( \partial _ { z } \phi ) ^ { 2 } + Q \partial _ { z } ^ { 2 } \phi \quad , \quad { \bar { T } } = T _ { { \bar { z } } { \bar { z } } } = ( \partial _ { \bar { z } } \phi ) ^ { 2 } + Q \partial _ { \bar { z } } ^ { 2 } \phi \ .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { k , n \to \infty } \frac { \boldsymbol { \lambda } ( \ell _ { 1 } ^ { n } ( \ell _ { 2 } ^ { k } ) ) } { \sqrt { n k } } = \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } , \quad \textrm { w h i l e , } \quad \operatorname* { l i m } _ { k , n \to \infty } \frac { \boldsymbol { \lambda } ( \ell _ { 2 } ^ { n } ( \ell _ { 1 } ^ { k } ) ) } { \sqrt { n k } } = \frac { 2 } { \pi } . } \end{array}
N _ { c } ( t ) = \Gamma _ { r } \int _ { 0 } ^ { t } N _ { a } ( t ) \mathrm { d } t = N _ { 0 } { \frac { \Gamma _ { r } \tau _ { 7 / 2 } } { \Gamma _ { r } \tau _ { 7 / 2 } + 1 } } \left( 1 - e ^ { - ( \Gamma _ { r } + { \frac { 1 } { \tau _ { 7 / 2 } } } ) t } \right)
\begin{array} { r } { \Psi _ { N , L } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { N } ) = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l } { \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \psi _ { 1 } ( x _ { N } ) } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { \psi _ { N } ( x _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \psi _ { N } ( x _ { N } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ R ~ E ~ } _ { \boldsymbol { x } } ^ { n } : = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { J } \| \boldsymbol { x } _ { j } ^ { n } - \boldsymbol { x } _ { j } ^ { * } \| ^ { 2 } } { \sum _ { j = 1 } ^ { J } \| \boldsymbol { x } _ { j } ^ { * } \| ^ { 2 } } , } \end{array}