harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \eta ( \psi ( c _ { j } ) - \psi ( v _ { j } ) ) = } & { \int _ { | v _ { j } | \leq k _ { j } } \eta ( \psi ( 0 ) - \psi ( o _ { j } ) ) + \int _ { | v _ { j } | > k _ { j } } \eta ( \psi ( v _ { j } ) - \psi ( v _ { j } ) ) } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \eta ( \psi ( 0 ) - \psi ( o _ { j } ) ) \to \int _ { \Omega } \eta ( \psi ( 0 ) - \langle \nu _ { x } , \psi \rangle ) . } \end{array}
S = \int _ { R ^ { 3 } } d ^ { 3 } x \left( \frac { 1 } { 4 } F _ { m n } F _ { m n } + \frac { 1 } { 2 } ( { \bar { A } } ^ { i } A _ { i } ) ^ { 2 } + D _ { m } { \bar { A } } ^ { i } D _ { m } A _ { i } \right) .
\begin{array} { r } { F _ { i } ^ { a u x } = R _ { i j } ^ { F U } V _ { j } + R _ { i j } ^ { F \Omega } \omega _ { j } } \\ { T _ { i } ^ { a u x } = R _ { i j } ^ { T U } V _ { j } + R _ { i j } ^ { T \Omega } \omega _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 1 } [ h ] } & { : = ( \Phi _ { 1 } ) ^ { - 1 } \mathcal { L } _ { \omega } \Phi _ { 1 } [ h ] = \mathcal { D } _ { \omega } h - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 1 } [ h ] + R _ { 1 } [ h ] , } \\ { M _ { 1 } [ h ] } & { : = { b } _ { 1 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } h + b _ { 2 } h + \Upsilon _ { { b } _ { 3 } } ^ { \alpha - 3 } h , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } F } & { { } = \rho , } & { \quad } & { { } \quad } \\ { F _ { i } } & { { } = \rho v _ { i } , } & { \quad } & { { } \quad } \\ { F _ { i j } } & { { } = \rho v _ { i } v _ { j } + ( p + \Pi ) \delta _ { i j } + \Pi _ { \langle i j \rangle } , } & { \quad G _ { l l } } & { { } = \rho v ^ { 2 } + 2 \rho e , } \end{array}
M ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { m _ { 0 } m _ { 1 } } & { \frac { x } { \epsilon } < - \ell } \\ { 4 m _ { 0 } \eta { \left( \frac { x } { \epsilon } + \chi \right) } ^ { 2 } } & { \left| \frac { x } { \epsilon } \right| \leq \ell } \\ { m _ { 0 } m _ { 2 } } & { \frac { x } { \epsilon } > \ell } \end{array} \right. \Leftrightarrow m = \left\{ \begin{array} { l l } { m _ { 1 } } & { x < - \ell } \\ { 4 \eta { \left( x + \chi \right) } ^ { 2 } } & { \left| x \right| \leq \ell } \\ { m _ { 2 } } & { x > \ell } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l r } & { n _ { 2 } ^ { \mathrm { o s c } } } & { ( q _ { B } ) - \frac { C _ { 2 } } { q _ { B } ^ { 4 } } = \frac { \left| C ^ { ( A ) } \right| ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { D + 2 } } \frac { 2 ^ { 1 + D } \mathcal { S } _ { D } } { \mu _ { A } ^ { 1 - D } } \left[ \operatorname { R e } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \times } & { | \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q _ { A } ^ { \prime } \ q _ { A } ^ { \prime 1 - D } \ \left( \mathcal { H } ( q _ { A } ^ { \prime } ) - \frac { 4 \mathcal { A } ^ { 2 } } { ( \mathcal { A } + 1 ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { \times } & { \left\{ \cos \left[ 2 s _ { 0 } \log \left( { \frac { q _ { B } } { \sqrt { 2 \mu _ { A } } \kappa _ { 0 } ^ { * } } } \right) \right] \cos \left[ 2 s _ { 0 } \log ( q _ { A } ^ { \prime } ) \right] \right. } \\ & { - } & { \left. \sin \left[ 2 s _ { 0 } \log \left( \frac { q _ { B } } { \sqrt { 2 \mu _ { A } } \kappa _ { 0 } ^ { * } } \right) \right] \sin \left[ 2 s _ { 0 } \log ( { q _ { A } ^ { \prime } ) } \right] \right\} . } \end{array}
\Phi ( z ) = \pi A i ( z ) , \qquad \Phi _ { 1 } ( z ) = \pi ^ { 2 } \Bigl [ A i ( z ) G i ^ { \prime } ( z ) - A i ^ { \prime } ( z ) G i ( z ) \Bigr ] , \qquad \Phi ^ { \prime } ( z ) = \pi A i ^ { \prime } ( z )
\Psi ( r ) \propto { \frac { e ^ { i k r } } { 4 \pi r } } \iint _ { \mathrm { a p e r t u r e } } E _ { \mathrm { i n c } } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) e ^ { - i ( k _ { x } x ^ { \prime } + k _ { y } y ^ { \prime } ) } \, d x ^ { \prime } \, d y ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { x , \pi , y } \ } & { C ^ { u } ( x _ { [ R ] } , y ^ { u } ) + \sum _ { r \in [ R ] } \pi _ { r } } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { h ^ { u } ( x _ { [ R ] } , y ^ { u } ) \leq 0 , } \\ & { h _ { r } ^ { l } ( x _ { r } , y _ { r } ^ { l } ) \leq 0 , \forall r \in [ R ] , } \\ & { C _ { r } ^ { l } ( x _ { r } , y _ { r } ^ { l } ) \leq \pi _ { r } \leq \overline { { \pi } } _ { r } , \forall r \in [ R ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { q _ { t } ( V ) } & { = - \int _ { \partial V } \mathbf { H } ( x ) \cdot \mathbf { n } ( x ) \, d S } \\ & { = \int _ { \partial V } \mathbf { A } ( x ) \cdot \nabla u ( x ) \cdot \mathbf { n } ( x ) \, d S } \\ & { = \int _ { V } \sum _ { i , j } \partial _ { x _ { i } } { \bigl ( } a _ { i j } ( x ) \partial _ { x _ { j } } u ( x , t ) { \bigr ) } \, d x } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp ( - \beta n _ { i } \omega _ { i } ) = f _ { i } + 1 , } \\ { z _ { i } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } n _ { i } \exp ( - \beta n _ { i } \omega _ { i } ) } \\ { z _ { i } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } n _ { i } ( n _ { i } - 1 ) \exp ( - \beta n _ { i } \omega _ { i } ) } \\ { z _ { i } ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } n _ { i } ( n _ { i } - 1 ) ( n _ { i } - 2 ) \exp ( - \beta n _ { i } \omega _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { n } ^ { \prime } \cdot \sigma ^ { \prime } \cdot t ^ { \prime } = 0 \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \; z ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } h ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) , } \end{array}
Z \; = \; \prod _ { j = 1 } ^ { M } \Gamma _ { \, j } , E \; = \; \prod _ { j = 1 } ^ { M } V _ { \, j } , V _ { \, j } \; = \; \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) _ { \, j } .
\int _ { \Gamma } \ln \left| \frac { \mu + \eta } { \mu - \eta } \right| f ( \mu ) d \mu = \eta , \quad \int _ { \Gamma } \ln \left| \frac { \mu + \eta } { \mu - \eta } \right| v ( \mu ) d \mu = 4 \eta ^ { 3 } .
{ \hat { \pi } } ^ { i } ( \varepsilon ) \simeq m { \frac { ( { \hat { x } } ^ { i } ( \varepsilon ) - { \hat { x } } ^ { i } ( 0 ) ) } { \varepsilon } } + { \frac { e } { 2 } } ( { \hat { x } } ^ { k } ( \varepsilon ) - { \hat { x } } ^ { k } ( 0 ) ) { \hat { F } } ^ { i k } \, .
\begin{array} { r } { \frac { 2 \lambda | y ^ { \prime \prime } | v _ { 0 } ^ { 2 } d x } { 1 + y ^ { 2 } } = \frac { 2 ( T _ { A } + \lambda g y ) | y ^ { \prime \prime } | d x } { 1 + y ^ { 2 } } + 2 \lambda g d x \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } } & { { \mathbb Q } ^ { N } \left( H _ { N } ( [ x _ { 1 } , \infty ) ) = i _ { 1 } , H _ { N } ( [ x _ { 2 } , x _ { 1 } ) ) = i _ { 2 } \cdots , H _ { N } ( [ x _ { k } , x _ { k - 1 } ) ) = i _ { k } \right) } \\ & { = { \mathbb P } \left( H _ { \infty } ( [ x _ { 1 } , \infty ) ) = i _ { 1 } , H _ { \infty } ( [ x _ { 2 } , x _ { 1 } ) ) = i _ { 2 } \cdots , H _ { \infty } ( [ x _ { k } , x _ { k - 1 } ) ) = i _ { k } \right) } \\ & { = \prod _ { j = 1 } ^ { k } { \mathbb P } \left( H _ { \infty } ( [ x _ { j } , x _ { j - 1 } ) = i _ { j } \right) } \\ & { = \prod _ { j = 1 } ^ { k } \frac { { \lambda _ { j } } ^ { i _ { j } } \mathrm { e } ^ { - \lambda _ { j } } } { i _ { j } ! } } \end{array}
\underset { \theta ^ { G } } { \arg \operatorname* { m i n } } \ \underset { \theta ^ { D } } { \arg \operatorname* { m a x } } \ v ( \theta ^ { G } , \theta ^ { D } ) = \underset { \theta ^ { G } } { \arg \operatorname* { m i n } } \ \underset { \theta ^ { D } } { \arg \operatorname* { m a x } } \ \mathbb { E } _ { x \sim p _ { r } } \log \ D ( x ) + \mathbb { E } _ { x \sim p _ { \theta } } \log ( 1 - D ( x ) )
\exp \left( \left( 1 + o ( 1 ) \right) \left( { \frac { 3 2 } { 9 } } \log n \right) ^ { 1 / 3 } \left( \log \log n \right) ^ { 2 / 3 } \right) = L _ { n } \left[ 1 / 3 , ( 3 2 / 9 ) ^ { 1 / 3 } \right]
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } ^ { N } ( t , x ) } & { = \sum _ { \mod { n } \geq N + 1 } a _ { n } P ^ { N } ( n ) e ^ { ( \bar { u } i n - \frac { b \bar { \rho } } { \mu _ { 0 } } ) ( T - t ) } e ^ { i n x } , } \\ { \sigma ^ { N } ( t , x ) } & { = \sum _ { \mod { n } \geq N + 1 } a _ { n } P ^ { N } ( n ) e ^ { \nu _ { n } ^ { h } ( T - t ) } e ^ { i n x } , } \\ { v ^ { N } ( t , x ) } & { = \sum _ { \mod { n } \geq N + 1 } a _ { n } P ^ { N } ( n ) \frac { \nu _ { 2 } ^ { n } - \bar { u } } { \bar { \rho } } e ^ { \nu _ { n } ^ { h } ( T - t ) } e ^ { i n x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { X } } = } & { { } - \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } \left[ G _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) + G _ { b u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) \right] H _ { u b } ^ { ( a ) } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 2 , 3 , 2 ) , \, ( 3 , 4 , 4 ) , \, ( 3 , 1 , 6 ) , \, ( 3 , 2 , 6 ) , \, ( 3 , 3 , 6 ) , \, ( 3 , 4 , 6 ) , } \\ & { ( 5 , 7 , 6 ) , \, ( 5 , 6 , 1 0 ) , \, ( 5 , 7 , 1 0 ) , \, ( 5 , 6 , 1 2 ) , \, ( 5 , 7 , 1 2 ) , \, ( 5 , 4 , 1 2 ) , } \\ & { ( 5 , 5 , 1 2 ) , \, ( 7 , 7 , 1 8 ) , \, ( 7 , 8 , 1 8 ) , \, ( 7 , 9 , 1 8 ) , \, ( 7 , 1 0 , 1 8 ) , \, ( 9 , 1 3 , 2 4 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { \mathrm { r e l } } ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) = \mathrm { m a x } \Bigg \{ \Bigg | \frac { S ( L _ { 1 } ) } { S ( L _ { 2 } ) } - 1 \Bigg | , \Bigg | \frac { S ( L _ { 2 } ) } { S ( L _ { 1 } ) } - 1 \Bigg | \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d p } k ( \mathbf { W } _ { 1 } ^ { [ i ] } , \mathbf { W } _ { 2 } ^ { [ j ] } ; p ) } & { { } = } & { \partial _ { 1 } k \cdot \mathbf { W } _ { 1 , p } ^ { [ i ] } + \partial _ { 2 } k \cdot \mathbf { W } _ { 2 , p } ^ { [ i ] } + \partial _ { 3 } k . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l r } & { 2 U \oplus D _ { 6 } } & & { 2 U \oplus A _ { 6 } } & & { 2 U \oplus 2 A _ { 3 } } & & { 2 U \oplus 3 A _ { 2 } } & & { 2 U \oplus E _ { 6 } } & \\ & { 2 U \oplus D _ { 5 } \oplus A _ { 1 } } & & { 2 U \oplus A _ { 5 } \oplus A _ { 1 } } & & { 2 U \oplus D _ { 4 } \oplus 2 A _ { 1 } } & & { 2 U \oplus 6 A _ { 1 } } & & { 2 U \oplus E _ { 6 } ^ { \prime } ( 3 ) } & \\ & { U \oplus U ( 3 ) \oplus E _ { 6 } ^ { \prime } ( 3 ) } & & { U \oplus U ( 2 ) \oplus 6 A _ { 1 } } & & { 2 U ( 2 ) \oplus 6 A _ { 1 } } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { 4 } } & { { } = \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { R H S } = } & { \frac { 1 } { r } c _ { d } ( i + 1 ) f _ { d } + \frac { r ^ { 2 } - 1 } { r ^ { 2 } } c _ { d } ( i + 1 ) f _ { u } - f _ { d } = \frac { - r + c _ { d } ( i + 1 ) } { r } f _ { d } + \frac { r ^ { 2 } - 1 } { r ^ { 2 } } c _ { d } ( i + 1 ) f _ { u } } \\ { = } & { \frac { c _ { d } ( i ) } { r } f _ { d } + \frac { r ^ { 2 } - 1 } { r ^ { 2 } } c _ { d } ( i + 1 ) f _ { u } } \end{array}
\hat { \mathbf { b } } \hat { \mathbf { b } } = \left( \begin{array} { c c c } { \cos ^ { 2 } \theta } & { \cos \theta \sin \theta } & { 0 } \\ { \sin \theta \cos \theta } & { \sin ^ { 2 } \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { L I S ( \sigma | _ { ( \kappa + \alpha A _ { 1 } , \kappa + \alpha A _ { 2 } ] \times ( \kappa + \gamma B _ { 1 } , \kappa + \gamma B _ { 2 } ] } ) \geq \sum _ { l = 1 } ^ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } t _ { l } } \\ & { = } & { \sum _ { l = 1 } ^ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } L I S ( \sigma | _ { ( \kappa + \alpha x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \alpha x _ { l } ( \Gamma ) ] \times ( \kappa + \gamma y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \gamma y _ { l } ( \Gamma ) ] } ) . } \end{array}
2 \, m _ { B } \, p _ { \mathrm { c m } } = \sqrt { [ m _ { B } ^ { 2 } - ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } ] [ m _ { B } ^ { 2 } - ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) ^ { 2 } ] } .
\mathbf { U } ^ { T } = \frac { \partial E } { \partial \mathbf { Q } } = \left( E _ { \rho } , E _ { \mathbf { m } } , E _ { s } , E _ { \j } \right) = \left( \mu , \mathbf { u } ^ { T } , \theta , \alpha \, \j ^ { T } \right) .
\begin{array} { r } { I { \bf R } _ { i } = I _ { i } { \bf R } _ { i } , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad I ^ { \prime } { \bf R } _ { i } = [ I _ { i } - \mu L ] { \bf R } _ { i } + \mu L ( { \bf z } , { \bf R } _ { i } ) { \bf z } . } \end{array}
\underbrace { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 0 } ( x ) } \\ { a _ { 1 } ( x ) } \\ { \vdots } \\ { a _ { n } ( x ) } \end{array} \right] } _ { \mathbf { a } } : = \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l } { w _ { 0 0 } } & { w _ { 0 1 } } & { \cdots w _ { 0 n } } \\ { w _ { 1 0 } } & { w _ { 1 1 } } & { \cdots w _ { 1 n } } \\ { \vdots } \\ { w _ { n 0 } } & { w _ { n 1 } } & { \cdots w _ { n n } } \end{array} \right] } _ { [ \mathbf { V } ^ { T } ] ^ { - 1 } } \underbrace { \left[ \begin{array} { l } { f ( x _ { 0 } ) } \\ { f ( x _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { f ( x _ { n } ) } \end{array} \right] } _ { \mathbf { f } }
\begin{array} { r l } & { \langle \mathcal { K } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } , \lambda ) , \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle = \langle \mathcal { A } ( t _ { * } ^ { 0 } + r ^ { 0 } + \lambda t _ { * } ^ { \angle } + \lambda r ^ { \angle } ) , \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle + \langle \mathcal { A } ( t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } ) , \Pi _ { \angle } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle } \\ & { = \langle \mathcal { A } ( t _ { * } ^ { 0 } + \lambda t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { 0 } + \lambda r ^ { \angle } ) - \mathcal { A } ( t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } ) , \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle + \langle \mathcal { A } ( t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } ) , \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle = : \mathrm { ( I ) } + \mathrm { ( I I ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y ^ { j } ( t ) = } & { \ b ^ { j } ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) ) d t + \sigma ^ { j } ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) ) d W ( t ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ^ { j } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) , z ) \tilde { N } ( d t , d z ) } \\ & { + \gamma ^ { j } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) d \tilde { \Phi } ( t ) , \qquad t \in [ 0 , T ] , } \\ { Y ^ { j } ( 0 ) = } & { \ y ^ { j } \in \mathbb { R } ^ { N } , \quad j = 1 , 2 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { L } } & { = \mathbf { r } \times \mathbf { p } = \mathbf { r } \times \left( m { \boldsymbol { \omega } } \times \mathbf { r } \right) } \\ & { = m \left( \left( \mathbf { r } \cdot \mathbf { r } \right) { \boldsymbol { \omega } } - \left( \mathbf { r } \cdot { \boldsymbol { \omega } } \right) \mathbf { r } \right) } \\ & { = m r ^ { 2 } { \boldsymbol { \omega } } = I \omega \mathbf { \hat { k } } , } \end{array} }
t _ { k } ( x ) = { \frac { \cos \left( K x - { \frac { 1 } { 2 } } \alpha _ { k } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { m = 0 , m \neq k } ^ { 2 K - 1 } x _ { m } \right) + \sum _ { m = - ( K - 1 ) } ^ { K - 1 } c _ { k } e ^ { i m x } } { 2 ^ { N } \sin ( { \frac { x _ { k } - \alpha _ { k } } { 2 } } ) \prod _ { m = 0 , m \neq k } ^ { 2 K - 1 } \sin ( { \frac { x _ { k } - x _ { m } } { 2 } } ) } } .
\begin{array} { r l } { J } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 2 X _ { 1 } Y _ { 1 } - 1 } & { C _ { 1 } } & { 2 B X _ { 2 } Y _ { 1 } } & { 2 B Y _ { 2 } Y _ { 1 } } \\ { D _ { 1 } } & { - 2 X _ { 1 } Y _ { 1 } - 1 } & { - 2 B X _ { 2 } X _ { 1 } } & { - 2 B Y _ { 2 } X _ { 1 } } \\ { 2 B X _ { 1 } Y _ { 2 } } & { 2 B Y _ { 1 } Y _ { 2 } } & { 2 X _ { 2 } Y _ { 2 } - 1 } & { C _ { 2 } } \\ { - 2 B X _ { 1 } X _ { 2 } } & { - 2 B Y _ { 1 } X _ { 2 } } & { D _ { 2 } } & { - 2 Y _ { 2 } X _ { 2 } - 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\operatorname* { P r } { n _ { f _ { 1 } } + n _ { f _ { 2 } } + n _ { f _ { 3 } } = m } \geqslant \operatorname* { P r } { r _ { 1 } ^ { \prime } = y _ { 1 } , \, r _ { 2 } ^ { \prime } = y _ { 2 } , \, \ldots , r _ { k } ^ { \prime } = y _ { k } , \, s ^ { \prime } = z } = \operatorname* { P r } { s ^ { \prime } = z } \prod _ { 1 \leqslant i \leqslant k } \operatorname* { P r } { r _ { i } ^ { \prime } = y _ { i } } .
\left. M _ { P } ^ { 2 } \right| _ { I } = M _ { * } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi R } \! \! d y \ \sqrt { - g } \ g ^ { 0 0 } = M _ { * } ^ { 3 } \int d y \ n ^ { 2 } = M _ { P } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 2 } { 3 } \pi ^ { 2 } R ^ { 2 } H ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { s } \Big ( V ( \phi ( s , x , u ) ) - V ( x ) \Big ) } & { \leq - c \big ( K ( V ( x ) ) \big ) \frac { 1 } { s } \Big | V _ { i } \big ( \phi _ { i } ( s , x , u ) \big ) - V _ { i } ( x _ { i } ) \Big | } \\ & { = c ( K ( V ( x ) ) ) \frac { 1 } { s } \big ( V _ { i } ( \phi _ { i } ( s , x , u ) ) - V _ { i } ( x _ { i } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } ( A \odot B ) v | = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | \operatorname { t r } ( A D _ { v } B D _ { v } ) | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | \operatorname { t r } ( A D _ { v } D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) D _ { v } ) | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } ( A \odot D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) ) v | } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \| A \odot D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) \| } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , d } | a _ { i i } | \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \| D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) \| } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , d } | a _ { i i } | \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \operatorname* { m a x } \{ \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) ) , - \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) ) \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , d } | a _ { i i } | \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \operatorname* { m a x } \{ \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) ) , \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( D _ { s } ( v ) ( - B ) D _ { s } ( v ) ) \} } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , d } | a _ { i i } | \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } B v | , } \end{array}
\hat { \mathbf { r } } _ { u } = \nabla _ { \mathbf { x _ { 0 } } } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u } , \ \hat { \mathbf { r } } _ { v } = \nabla _ { \mathbf { x _ { 0 } } } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } , \ \mathbf { n } _ { t } = \hat { \mathbf { r } } _ { u } \times \hat { \mathbf { r } } _ { v } / \vert \hat { \mathbf { r } } _ { u } \times \hat { \mathbf { r } } _ { v } \vert ,
\sqrt { s _ { 2 } ^ { 0 } } = - \frac { s _ { 3 } + m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sqrt { s _ { 3 } } } + \sqrt { \left( { \frac { s _ { 3 } + m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sqrt { s _ { 3 } } } } \right) ^ { 2 } + ( m _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) } , \quad s _ { 3 } < ( m _ { 2 } - m _ { 1 } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \beta _ { k } } = \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \kappa } \frac { \partial \kappa } { \partial \beta _ { k } } + \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \xi } \frac { \partial \xi } { \partial \beta _ { k } } + \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \zeta } \frac { \partial \zeta } { \partial \beta _ { k } } } \\ & { = \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \kappa } \frac { 2 \beta _ { k } } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } + \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \xi } \frac { 2 \alpha _ { k } } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } + \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \zeta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { g + 1 , 0 } ( H ) } & { = A _ { g , 0 } ( H ) \otimes ^ { K _ { g } } A _ { 1 , 0 } ( H ) \quad \mathrm { w i t h ~ } K _ { g } = \bigl ( \Delta ^ { ( 3 ) } \otimes ( \Delta ^ { ( 3 ) } ) ^ { \odot g } \bigr ) ( R ^ { \prime } ) } \\ { \mathcal { L } _ { g + 1 , 0 } ( H ) } & { = \mathcal { L } _ { g , 0 } ( H ) \otimes ^ { K _ { g } } \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ( H ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { Z } ( z ) - \frac { 1 } { p } | } & { \overset { ( a ) } = | \int _ { 0 } ^ { z } ( f _ { A } ( x ) - \frac { 1 } { p } ) f _ { B } ( z - x ) d x } \\ & { + \int _ { z } ^ { p } ( f _ { A } ( x ) - \frac { 1 } { p } ) f _ { B } ( z + p - x ) d x | } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \int _ { 0 } ^ { z } | f _ { A } ( x ) - \frac { 1 } { p } | f _ { B } ( z - x ) d x } \\ & { + \int _ { z } ^ { p } | f _ { A } ( x ) - \frac { 1 } { p } | f _ { B } ( z + p - x ) d x } \\ & { \overset { ( c ) } \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in [ 0 , p ] } | f _ { A } ( x ) - \frac { 1 } { p } | ( \int _ { 0 } ^ { z } f _ { B } ( z - x ) d x } \\ & { + \int _ { z } ^ { p } f _ { B } ( z + p - x ) d x ) } \\ & { \overset { ( d ) } = \operatorname* { s u p } _ { x \in [ 0 , p ] } | f _ { A } ( x ) - \frac { 1 } { p } | , } \end{array}
{ \cal { M } } _ { n } ( q ^ { 2 } ) \, \equiv \, \bigg ( M ^ { 2 } \, \frac { d } { d q ^ { 2 } } \bigg ) ^ { n } \, \Pi ( q ^ { 2 } ) \, \sim \, M ^ { 2 n } \, \int \frac { d { q ^ { \prime } } ^ { 2 } } { { q ^ { \prime } } ^ { 2 } } \, \frac { { \mathrm { I m } } \Pi ( { q ^ { \prime } } ^ { 2 } ) } { ( { q ^ { \prime } } ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) ^ { n } } \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E _ { \gamma } ^ { c m } } { \partial \theta } } & { { } = } & { { } E _ { \gamma } \frac { \beta \sin { \theta } } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } { } } \\ { * \frac { \partial E _ { \gamma } ^ { c m } } { \partial \beta } } & { { } = } & { { } E _ { \gamma } \frac { \beta - \cos { \theta } } { \left( 1 - \beta ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } { } } \\ { * \frac { \partial E _ { \gamma } ^ { c m } } { \partial E _ { \gamma } } } & { { } = } & { { } \frac { 1 - \beta \cos { \theta } } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { c _ { 2 } } \\ { 0 } & { 2 c _ { 1 } } & { - 2 c _ { 1 } X } \\ { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \langle r ^ { n - 1 } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { 2 c _ { 1 } X + 2 } \end{array} \right) \, \left( \frac { c _ { 3 } \Delta { t } } { 2 m } \right) ^ { 2 } \, \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle \, . } \end{array}
{ \frac { \partial L ( x , y , y ^ { \prime } ) } { \partial y ^ { \prime } } } = { \frac { y ^ { \prime } } { \sqrt { 1 + y ^ { 2 } } } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad { \frac { \partial L ( x , y , y ^ { \prime } ) } { \partial y } } = 0 .
\frac { d \boldsymbol { U } _ { d } } { d t } = \frac { 3 S c } { 4 \pi P e } \int ( \boldsymbol { \tau } \cdot \boldsymbol { n } ) d S - \frac { G a ^ { 2 } S c ^ { 2 } } { P e ^ { 2 } } \boldsymbol { e } _ { z } ,