harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \rho _ { V } ( s ) - \rho _ { A } ( s ) - s \, F _ { \pi } ^ { 2 } \delta ( s ) \right] \left[ \frac { K _ { 0 } ( \sqrt { s } \tau ) } { \sqrt { s } \tau } + \left( \frac { 2 } { s \tau ^ { 2 } } + 1 \right) K _ { 1 } ( \sqrt { s } \tau ) \right] \, .
I _ { N } ( s ) = { \frac { \sqrt \pi \beta _ { N } } { 2 \Gamma ( s ) } } \sum _ { n = 1 } ^ { \rho _ { N } } { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { 2 ^ { n } } } c _ { 2 n } ^ { N } ( a ^ { 2 } b ) ^ { n + \frac 1 2 - s } \Gamma \left( s - n - \frac 1 2 \right) ,
\begin{array} { r l r l r } { \mathbf { E } } & { { } = } & { 2 \mathrm { { e x p } \left( - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { x } \ } } & { { } + } & { 1 . 5 \left( \frac { 2 e } { | l | } \right) ^ { | l | / 2 } \left( \frac { r } { w _ { 2 } } \right) ^ { | l | } \mathrm { { e x p } \left( - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \mathrm { e x p } ^ { i l \ p h i } \hat { \mathbf { e } } _ { y } , } } \end{array}
R ^ { \mathrm { e f f } } ( t ) = R _ { 0 } \cdot \underbrace { \left( 1 - m \left( h ( t ) \right) \right) } _ { \mathrm { ~ M ~ i ~ t ~ i ~ g ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \cdot \underbrace { s ( t ) } _ { \mathrm { ~ S ~ e ~ a ~ s ~ o ~ n ~ a ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } } \cdot S ( t ) \equiv R _ { t } S ( t ) \, ,
\frac { 1 6 \lambda _ { B } ^ { 2 } Z _ { \phi } \phi _ { \delta } ^ { 2 } } { M _ { 2 } } \int \frac { d ^ { \nu } q } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { A B } \frac { 1 } { M _ { 2 } - A - B } = \frac { 2 \lambda _ { B } } { M _ { 2 } } \left[ I _ { 0 } ( M _ { 1 } ^ { 2 } ) - I _ { 0 } ( M _ { 2 } ^ { 2 } ) \right] + O ( \delta \log \delta ) + R _ { 1 } .
\begin{array} { r } { | r ^ { \frac { s + 1 } { 2 } - \frac { 2 } { p } } \widecheck { \Omega \omega } | _ { p , S _ { 0 } ( { \underline { { u } } } ) } \lesssim | r ^ { \frac { s + 1 } { 2 } - \frac { 2 } { p } } \widecheck { \Omega ^ { \prime } \omega ^ { \prime } } | _ { p , S _ { 0 } ( { \underline { { u } } } ) } + \epsilon _ { 0 } \lesssim \epsilon _ { 0 } . } \end{array}
\psi _ { a , b ; \mathscr { k } } ^ { \pm } ( x ) = x ^ { 2 \mu _ { \pm } } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) } ^ { - \left( \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 2 } \right) } { } _ { 2 } F _ { 1 } \! \left( 2 \mu _ { \pm } + \frac { 1 } { 2 } + \mathscr { k } , 2 \nu _ { a , b } - \frac { 1 } { 2 } - \mathscr { k } ; 1 \pm \frac { 1 } { 2 } ; \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } \right)
\Delta _ { I } = - \frac { 1 } { 9 S ^ { ( 1 ) } } \left[ \begin{array} { c c c } { \left( S ^ { ( 1 ) } B _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \, - \frac { 1 } { 9 S ^ { ( 2 ) } } \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \left( S ^ { ( 2 ) } B _ { 2 2 } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \, - \frac { 1 } { 9 S ^ { ( 3 ) } } \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \left( S ^ { ( 3 ) } B _ { 3 3 } ^ { ( 3 ) } \right) ^ { 2 } } \end{array} \right] \, ,
f ( t ) = c \bigl ( u ( t ) - u _ { \mathrm { ~ v ~ } } ( t _ { 0 } ) \bigr ) e ^ { - \beta ( t - t _ { 0 } ) } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } c \bigl ( u ( t ) - u ( \tau ) \bigr ) \beta e ^ { - \beta ( t - \tau ) } \, \mathrm { ~ d ~ } \tau .
\begin{array} { r l } { \frac { d y } { d t } } & { { } = b y ( t ) + d ( t ) + s z ( t ) \big ( l r ( t ) - y ( t ) \big ) , } \\ { \frac { d z } { d t } } & { { } = - c z ( t ) \big ( r ( t ) - y ( t ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W _ { a _ { 1 } } = \frac { s - \lambda } { g } + \frac { \lambda } { g } \exp ( - s / \lambda ) } \\ & { W _ { a _ { 0 } } = 1 - \frac { \lambda } { g } - \frac { s } { g } } \\ & { W _ { b } = \frac { 2 \lambda } { g } \left( 1 - \exp ( - s / \lambda ) \right) } \\ & { W _ { c } = \frac { \lambda } { g } \exp ( - s / \lambda ) } \end{array}
\frac { \sigma _ { m _ { e } / m _ { \mu } } } { m _ { e } / m _ { \mu } } \approx \frac { \sigma _ { \nu _ { 1 S - 2 S } } } { \nu _ { 1 S - 2 S } } \cdot \frac { m _ { \mu } } { m _ { e } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \Xi } _ { \alpha , i i ^ { \prime } } ^ { c } } & { = \sum _ { k } e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \overrightarrow { \partial _ { \omega } ^ { e } } ( d _ { T } ^ { A } - d _ { T } ^ { B } ) } A _ { i k \alpha } ( T ) B _ { k \alpha i ^ { \prime } } ( T ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau e ^ { i \omega \tau } g _ { k \alpha } ^ { c } ( t , t ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { k } e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \overrightarrow { \partial _ { \omega } ^ { G } } ( d _ { T } ^ { A } - d _ { T } ^ { B } ) } A _ { i k \alpha } ( T ) B _ { k \alpha i ^ { \prime } } ( T ) \tilde { g } _ { k \alpha } ^ { c } ( T , \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
B U = \left( \begin{array} { l l l l } { \iota ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \iota ^ { \ast } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \iota ^ { \ast } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u _ { E } } \\ { E } \\ { H } \\ { u _ { H } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { F } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\lambda _ { s } \left[ \left( \hat { s } \cdot \hat { r } _ { \mathrm { N a L i } } \right) \left( \hat { s } \cdot \hat { r } _ { \mathrm { N a L i } } \right) - \frac { 1 } { 3 } \hat { s } ^ { 2 } \right]
\mathbf { H } _ { 1 } ^ { \prime } = \int _ { V } \left[ \left( 2 \delta _ { i j } R _ { \underline { { i } } m } ^ { V } \delta _ { \underline { { i } } l } \delta _ { m k } + 2 \delta _ { i j } \zeta _ { \underline { { i } } m k l } \frac { \partial u _ { \underline { { i } } } } { \partial x _ { m } } \right) + \left( \epsilon _ { i j } R _ { \underline { { i } } \underline { { i } } } ^ { V } \Omega _ { k l } + \epsilon _ { i j } \omega _ { Z } \zeta _ { \underline { { i } } \underline { { i } } k l } \right) \right] d V \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { j } \mathbf { e } _ { k } \mathbf { e } _ { l } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { e } ( \theta ) } & { \triangleq \mathbb { P } \Big [ P _ { S } + P _ { I } ^ { \prime } < \theta ^ { \prime } \Big ] = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname { I m } \Big \{ \phi _ { P _ { S _ { \eta = + 1 } } } ( t | n _ { R } , n _ { U } ) \phi _ { P _ { I _ { 2 } } } ( t ) e ^ { - j t \theta ^ { \prime } } \Big \} t ^ { - 1 } d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( R , 1 ) } & { = \left[ \frac { \rho } { 1 - \rho ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \arctan R / r _ { q } } \frac { ( 1 - \rho ^ { 2 } ) \cos \alpha \mathrm { d } ( \cos \alpha ) } { \rho ^ { 2 } + ( 1 - \rho ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } \alpha } \right] ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \rho ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \Bigg [ \ln \left[ \rho ^ { 2 } + ( 1 - \rho ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } \left( \arctan \frac { R } { r _ { q } } \right) \right] \Bigg ] ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \alpha \varepsilon ^ { 2 } - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \mathbf { E } _ { 0 , y } \int _ { 0 } ^ { \widehat \tau ^ { \varepsilon } \wedge N } \mathrm { e } ^ { \frac { \gamma s } { \varepsilon ^ { 2 } } } \, \mathrm { d } s \leq \alpha \varepsilon ^ { 2 } - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { \gamma } \mathbf { E } _ { 0 , y } \mathrm { e } ^ { \frac { \gamma ( \widehat \tau ^ { \varepsilon } \wedge N ) } { \varepsilon ^ { 2 } } } + \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { \gamma } , } \\ { \mathbf { E } _ { 0 , y } \mathrm { e } ^ { \frac { \gamma ( \widehat \tau ^ { \varepsilon } \wedge N ) } { \varepsilon ^ { 2 } } } } & { \leq \frac { 2 \alpha \gamma } { \delta _ { 1 } } + 1 = : A , \quad N \geq 1 , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x g _ { 1 } ^ { \gamma } ( x , Q ^ { 2 } , P ^ { 2 } ) = - \frac { 3 \alpha } { \pi } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { f } } { e _ { i } } ^ { 4 } + { \cal O } ( \alpha _ { s } )
\begin{array} { r } { \hat { y } \left| t _ { 3 } , u _ { 3 } , v _ { 3 } \right\rangle = y \left| t _ { 3 } , u _ { 3 } , v _ { 3 } \right\rangle = y \left| t _ { 3 } , y \right\rangle } \end{array}
\operatorname* { d e t } \left( \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { W } ( L ) } { \partial \psi _ { \Phi } ^ { k } \partial \psi _ { R } ^ { l } } \right) \cdot \frac { ( 2 \pi ) ^ { N } } { \operatorname* { d e t } \left( \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { W } ( L ) } { \partial Y _ { k } \partial r ^ { l } } \right) } = \frac { ( 2 \pi ) ^ { N } \Lambda ^ { N } } { ( 2 \pi \Lambda ) ^ { N } \operatorname* { d e t } \left( \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial Y _ { k } \partial Y _ { l } } \right) } .
\frac { \psi _ { n } ( \rho ) } { \psi _ { n } ^ { ( c ) } ( \rho ) } = \frac { \psi _ { 1 } ( \rho ) } { \psi _ { 1 } ^ { ( c ) } ( \rho ) } + O _ { n } ( 1 0 ^ { - 3 } ) \, ,
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ ( \partial _ { t } + \Delta _ { T , s ^ { \prime } } ^ { \mathbb { R } } ) \rho ( s ^ { \prime } ) \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , s ^ { \prime } ) } \\ & { = - 2 \rho ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ) \partial _ { s ^ { \prime } } \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , s ^ { \prime } ) - \rho ^ { \prime \prime } ( s ^ { \prime } ) \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , s ^ { \prime } ) + \rho ( s ^ { \prime } ) V _ { T , + } ( s ^ { \prime } ) \bar { k } _ { B , 1 } ( t , s , s ^ { \prime } ) . } \end{array}
\partial _ { \mu } j _ { B } ^ { \mu } = \partial _ { \mu } j _ { L } ^ { \mu } = N _ { f } \left( \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } W \widetilde { W } - \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } Y \widetilde { Y } \right)
\begin{array} { r l } { \left\| a \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } } } & { \lesssim \left\| a \right\| _ { H _ { x } ^ { \frac { d } { 2 } + } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \lesssim \operatorname* { m a x } \{ 1 , \varepsilon ^ { 2 p - 2 n - } \} , } \\ { \left\| D _ { x } ^ { j } a \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } } } & { \lesssim \operatorname* { m a x } \{ 1 , \varepsilon ^ { 2 p - 2 n - j - } \} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int \operatorname { a r c s e c } ( x ) \, d x } & { = x \, \operatorname { a r c s e c } ( x ) - \ln \left( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) + C } \\ { \int \operatorname { a r c c s c } ( x ) \, d x } & { = x \, \operatorname { a r c c s c } ( x ) + \ln \left( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) + C } \end{array} }
E _ { z } ^ { ( \omega ) } = E _ { 0 } e ^ { - { \left| { k _ { z } z } \right| } } { \sum _ { \theta = - { \frac { \pi } { 3 } } , { 0 } , { \frac { \pi } { 3 } } } } { \cos \{ k _ { G P _ { s } } [ \cos { ( \theta ) x } + \sin { ( \theta ) } y ] \} }
G _ { i j } ( X ) = \int \ensuremath { \operatorname { d } \! { } ^ { 2 } } k \bar { G } _ { i j } ( k ) e ^ { i k \cdot X } = - \frac { \ell ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \ \int \ensuremath { \operatorname { d } \! { } ^ { 2 } } k \left( \frac { k _ { i } k _ { j } } { k ^ { 2 } + 1 / \ell ^ { 2 } } - \delta _ { i j } \right) e ^ { i k \cdot X } \, .
\begin{array} { r l } { c ^ { \dagger } c b } & { { } = ( \underbrace { \langle c ^ { \dagger } c \rangle } _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ n ~ } } + \underbrace { c ^ { \dagger } c - \langle c ^ { \dagger } c \rangle } _ { \mathrm { ~ F ~ l ~ u ~ c ~ t ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } ) \cdot b , } \end{array}
\mathcal E = \oint _ { l } \left[ \left( - \nabla \varphi - \frac { \partial \vec { A } } { \partial t } \right) + ( \vec { v } _ { c } \times \vec { B } ) \right] \cdot \vec { d l } = \oint _ { l } \left[ \left( - \frac { \partial \vec { A } } { \partial t } \right) + ( \vec { v } _ { c } \times \vec { B } ) \right] \cdot \vec { d l } .
\omega _ { n } ( { \bf p } ) = \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } \left[ ( n + s ) ^ { 2 } + \frac { g } { 3 } \right] } \qquad ( n = 1 , 2 , \ldots ) .
\sigma \partial _ { \sigma } \check { L } _ { b } ( \sigma ) = \check { L } _ { b } ( \sigma ) - \check { L } _ { b } ( 0 ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \check { L } _ { b } ( 0 ) \in \check { L } _ { b } ( \sigma ) + \rho ^ { 2 } \mathrm { D i f f } _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \rho ^ { 2 } C ^ { \infty } .
\ddot { \delta } + { \frac { 2 \dot { a } } { a } } \dot { \delta } + \left( v _ { s , \mathrm { n e w } } ^ { 2 } { \frac { q ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - 4 \pi G \rho _ { M , \mathrm { n e w } } \right) \delta = 0 ,
\begin{array} { r l } & { f ( x _ { k + 1 } ) + \langle \lambda _ { k } \; , \; F ( x _ { k } ) + \nabla F ( x _ { k } ) \Delta x _ { k + 1 } \rangle + \frac { \rho } { 2 } { \| F ( x _ { k } ) + \nabla F ( x _ { k } ) \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } } } \\ & { \leq f ( x _ { k } ) + \langle \lambda _ { k } \; , \; F ( x _ { k } ) \rangle + \frac { \rho } { 2 } { \| F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } } - \frac { \beta _ { k + 1 } } { 2 } \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \| Q _ { { \tt a t } , R } ( Y _ { 2 } ^ { \prime } ) \| _ { q } ^ { 2 } \right] } & { \leq 2 \mathbb { E } \left[ \| Q _ { { \tt a t } , R } ( Y _ { 2 } ^ { \prime } ) - Y _ { 2 } ^ { \prime } \| _ { q } ^ { 2 } \right] + 2 \mathbb { E } \left[ \| Y _ { 2 } ^ { \prime } \| _ { q } ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \left[ \| Q _ { { \tt a t } , R } ( Y _ { 2 } ^ { \prime } ) - Y _ { 2 } ^ { \prime } \| _ { q } ^ { 2 } \right] + 2 B ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \left[ \| Q _ { { \tt a t } , R } ( Y _ { 2 } ^ { \prime } ) - Y _ { 2 } ^ { \prime } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] + 2 B ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { u ^ { \textnormal { E } } } } = \frac { 1 } { T ^ { \textnormal { E } } } \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { E } } } u ( x , z , t ) \, d t = \frac { c } { T ^ { \textnormal { E } } } \epsilon \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { E } } } \frac { \cosh ( k z + { \alpha } ) } { \sinh { \alpha } } \cos ( k x - \omega t ) \, d t = 0 . } \end{array}
\Gamma _ { a b } ^ { X } = \Big ( R _ { a b } ^ { X } \Big ) _ { B o r n } \cdot \Gamma ^ { B o r n } ( \eta \to \gamma \gamma ) \cdot \Big ( 1 + \frac { \alpha _ { S } C _ { F } } { 2 \pi } \Big ( \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } - 1 0 + \delta k _ { a b } ^ { X } \Big ) \Big )
\begin{array} { r l } & { \hat { \xi } _ { x } = \left( y _ { \eta } z _ { \zeta } - y _ { \zeta } z _ { \eta } \right) , \quad \hat { \xi } _ { y } = \left( z _ { \eta } x _ { \zeta } - z _ { \zeta } x _ { \eta } \right) , \quad \hat { \xi } _ { z } = \left( x _ { \eta } y _ { \zeta } - x _ { \zeta } y _ { \eta } \right) , } \\ & { \hat { \eta } _ { x } = \left( y _ { \zeta } z _ { \xi } - y _ { \xi } z _ { \zeta } \right) , \quad \hat { \eta } _ { y } = \left( z _ { \zeta } x _ { \xi } - z _ { \xi } x _ { \zeta } \right) , \quad \hat { \eta } _ { z } = \left( x _ { \zeta } y _ { \xi } - x _ { \xi } y _ { \zeta } \right) , } \\ & { \hat { \zeta } _ { x } = \left( y _ { \xi } z _ { \eta } - y _ { \eta } z _ { \xi } \right) , \quad \hat { \zeta } _ { y } = \left( z _ { \zeta } x _ { \eta } - z _ { \eta } x _ { \zeta } \right) , \quad \hat { \zeta } _ { z } = \left( x _ { \xi } y _ { \eta } - x _ { \eta } y _ { \xi } \right) . } \end{array}
\mathrm { ~ d ~ i ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ E ~ } } ( \mathbb { E } \left[ \mathcal { F } \right] , \epsilon _ { \mathbf { A } } ) = \mathcal { O } \left( \mathcal { I } ^ { 2 } \log \left[ \frac { \mathcal { I } \| \mathbf { A } \| _ { 1 } \| \mathbf { A } \| _ { \infty } | \vec { a } | _ { \operatorname* { m a x } } } { \epsilon _ { \mathbf { A } } } \right] \right)
\begin{array} { r l } { \bigg [ \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } + ( 1 + \xi ^ { 2 } ) P \bigg ] ^ { \prime } } & { = \nu \bigg [ \xi \theta - ( 1 + \xi ^ { 2 } ) \theta ^ { \prime } \bigg ] ^ { \prime } - \xi V ^ { 2 } } \\ { V ^ { \prime } \theta } & { = \nu \Big [ 3 \xi V ^ { \prime } + ( 1 + \xi ^ { 2 } ) V ^ { \prime \prime } \Big ] } \\ { \bigg [ \theta ^ { 2 } - \xi \Big ( \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \Big ) ^ { \prime } + P \bigg ] ^ { \prime } } & { = \nu \Big [ \xi \theta - \xi ^ { 2 } \theta ^ { \prime } - \xi ( 1 + \xi ^ { 2 } ) \theta ^ { \prime \prime } \Big ] ^ { \prime } } \\ { \theta ^ { \prime } } & { = - U } \end{array}
\nu = \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { K } { 2 ^ { 5 / 2 } \, x ^ { 3 / 4 } } e ^ { - 2 x + 2 \Phi _ { \infty } } ( 1 + . . . . ) \right) \, , \quad x \equiv \mu ( r + r _ { \infty } ) \, .
\frac { \partial } { \partial t } { \hat { \tilde { \rho } } } = - \frac { i } { \hbar } \left[ { \hat { H } } _ { k i n } + { \widehat { \widetilde H } } _ { i n t } + { \widehat { \widetilde W } } , { \hat { \tilde { \rho } } } \right] + { \hat { \Gamma } } \left\{ { \hat { \tilde { \rho } } } \right\} \, .
\begin{array} { r l } & { \| T _ { j } \chi _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus 2 \sqrt n Q } R _ { Q , j } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { p } \lesssim \| \Psi _ { j } ( D ) \chi _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus 2 \sqrt n Q } R _ { Q , j } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { p } } \\ & { \leq \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \Big ( { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus 2 \sqrt n Q } | \check { \Psi } _ { j } ( x - y ) | \sum _ { \tilde { Q } \in \mathcal D _ { j } ( Q ) } | b _ { \tilde { Q } } | \, | \check { \Psi } ^ { \tilde { Q } } ( y ) | \, \mathrm { d } y } \Big ) ^ { p } \, \mathrm { d } x } \\ & { = 2 ^ { j p ( N _ { 2 } - N _ { 1 } + 2 n ) } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \Big ( { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus 2 \sqrt n Q } \sum _ { \tilde { Q } \in \mathcal D _ { j } ( Q ) } | b _ { \tilde { Q } } | 2 ^ { - n k _ { \tilde { Q } } / 2 } \frac { | y - c _ { Q } | ^ { N _ { 2 } - N _ { 1 } } } { \langle 2 ^ { j } ( x - c _ { Q } ) \rangle ^ { N _ { 2 } } } \, \mathrm { d } y } \Big ) ^ { p } \, \mathrm { d } x } \\ & { \lesssim 2 ^ { j p ( N _ { 2 } - N _ { 1 } + 2 n ) } \Big ( { \sum _ { \tilde { Q } \in \mathcal D _ { j } ( Q ) } | b _ { \tilde { Q } } | 2 ^ { - n k _ { \tilde { Q } } / 2 } } \Big ) ^ { p } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \Big ( { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus 2 \sqrt n Q } \frac { | y - c _ { Q } | ^ { N _ { 2 } - N _ { 1 } } } { \langle 2 ^ { j } ( x - c _ { Q } ) \rangle ^ { N _ { 2 } } } \, \mathrm { d } y } \Big ) ^ { p } \, \mathrm { d } x } \\ & { \lesssim 2 ^ { j p ( N _ { 2 } - N _ { 1 } + 2 n ) - j n } 2 ^ { - k _ { Q } p ( n + N _ { 2 } - N _ { 1 } ) } \Big ( { \sum _ { \tilde { Q } \in \mathcal D _ { j } ( Q ) } 2 ^ { k _ { Q } n / p - k _ { \tilde { Q } } n } } \Big ) ^ { p } } \\ & { \lesssim 2 ^ { j p ( N _ { 2 } - N _ { 1 } + 2 n ) - j n } 2 ^ { - k _ { Q } p ( n + N _ { 2 } - N _ { 1 } ) } 2 ^ { n p ( j - k _ { Q } ) } 2 ^ { - j p n } 2 ^ { k _ { Q } n } = 2 ^ { - n ( j - k _ { Q } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { k - 1 } , x _ { k + 1 } , \dots , x _ { t } ) } & { = \int _ { ( 1 - \eta ) \kappa } ^ { \kappa } G ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , y , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } ) \, d y } \\ & { = \sum _ { \ell \ge 0 } G _ { \ell } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } ) \int _ { ( 1 - \eta ) \kappa } ^ { \kappa } ( 1 - y / \kappa ) ^ { \alpha \ell } \, d y } \\ & { = \kappa \sum _ { \ell \ge 0 } \frac { G _ { \ell } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } ) } { \alpha \ell + 1 } \eta ^ { \alpha \ell + 1 } . } \end{array}
{ \delta _ { \rho } } { \partial _ { \gamma } } { \tilde { G } _ { N } ^ { R } } ( \gamma , \tau ) { \Big | _ { \mathrm { \scriptsize ~ \ g a m m a = \ t a u ~ } } } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \dot { \rho } ( \tau ) .
{ \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial t ^ { 2 } } } \approx - \left( i { \frac { 2 m c ^ { 2 } } { \hbar } } { \frac { \partial \phi } { \partial t } } + \left( { \frac { m c ^ { 2 } } { \hbar } } \right) ^ { 2 } \phi \right) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } m c ^ { 2 } t }
\hat { y } _ { t } = \sum _ { i = 1 } ^ { E + 1 } w _ { i } y _ { t _ { i } } ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ~ ~ ~ ~ ~ w _ { i } = \frac { \exp ( - \frac { d _ { i } } { d _ { 1 } } ) } { \sum _ { i } \exp ( - \frac { d _ { i } } { d _ { 1 } } ) }
\mathbf { I } _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \left| \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { r } ) \right| ^ { 2 } \star \nabla \phi ( \mathbf { r } ) \right] ( \mathbf { r } _ { p } )
\begin{array} { r } { \mathcal { R } _ { 1 , i , j } ^ { k _ { 0 } } ( \hbar ) = \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k _ { 0 } + 1 , i , j } } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { 1 } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k _ { 0 } + 1 - i } } \mathcal { E } _ { i , j } ^ { k _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , \iota , \frac { t } { \tau _ { 0 } } ; \hbar ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { 0 } } & { { = } } & { { G _ { a } { } ^ { \mu } - 3 g ^ { 2 } e _ { a } { } ^ { \mu } - 2 T ( \psi ) _ { a } { } ^ { \mu } - 2 \tilde { T } ( A ) _ { a } { } ^ { \mu } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { = } } & { { e ^ { - 1 } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \gamma _ { 5 } \gamma _ { \nu } \left( \hat { \cal D } _ { \rho } + i g A _ { \rho } \sigma ^ { 2 } \right) \psi _ { \sigma } - i \left( \tilde { F } ^ { \mu \nu } + i { } ^ { \star } \tilde { F } ^ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } \right) \sigma ^ { 2 } \psi _ { \nu } \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { 0 } } & { \Big ( A _ { \lambda } ( x ; \lambda ) \eta ^ { - } ( x ; \lambda ) \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( x ; \lambda ) - \mu _ { - } ^ { \prime } ( \lambda ) D ( \lambda ) d x } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \Big ( A _ { \lambda } ( x ; \lambda ) \eta ^ { - } ( x ; \lambda ) \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( x ; 0 ) - \mu _ { + } ^ { \prime } ( \lambda ) D ( \lambda ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ( y ) } & { \le \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { r } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \bigg \{ \prod _ { i \in I _ { 1 } } \big [ 1 - F ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) \big ] \bigg \} \bigg \{ \prod _ { i \in I _ { 2 } } F ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) \bigg \} } \\ & { \quad \bigg \{ \prod _ { i \in I _ { 3 } } { \binom { m _ { i } } { y _ { i } } } F ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) \big [ 1 - F ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) \big ] \bigg \} \phi _ { q } ( u ; 0 , D ( \tau ) ^ { - 1 } ) d u \pi ( \tau ) d \beta d \tau . } \end{array}
\Gamma _ { ( n ) } ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } \Gamma _ { ( m ) } ^ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { m } } \Gamma _ { ( n ) \, \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } ~ = ~ f ( n , m ) \Gamma _ { ( m ) } ^ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { m } }
W _ { X } = ( \eta _ { A } - \mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } m ^ { 2 } ( P _ { + } ) _ { A } ^ { B } \bar { \phi } _ { B } ) \phi ^ { A } - \phi _ { A a } ^ { * } \pi ^ { A a } - \bar { \phi } _ { A } ( \lambda ^ { A } - \mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } m ^ { 2 } ( P _ { - } ) _ { B } ^ { A } \phi ^ { B } ) .
p ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { m } \mid x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } ; \theta ) = \prod _ { i = 1 } ^ { m } { \frac { e ^ { y _ { i } \theta ^ { \prime } x _ { i } } e ^ { - e ^ { \theta ^ { \prime } x _ { i } } } } { y _ { i } ! } } .
{ \bf p r } _ { 0 } \{ \vec { v } ( \tau , x ) \} = \frac { d { \bf T } _ { f } } { d a } [ \vec { f } _ { 0 } , 0 ] ( \tau , x ) \cdot a ( \tau ) + \frac { d { \bf R } _ { f } } { d \alpha } [ \vec { f } _ { 0 } , 0 ] ( \tau , x ) \cdot \alpha ( \tau ) .