harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\boldsymbol { A _ { i s } } ( r , \phi , z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mu _ { r } \mu _ { 0 } N _ { L } I _ { s } r _ { s } ^ { 2 } } { 2 r } \hat { \phi } , } & { ( r > r _ { s } ) } \\ { \frac { \mu _ { r } \mu _ { 0 } N _ { L } I _ { s } r } { 2 } \hat { \phi } , } & { ( r < r _ { s } ) } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { F ^ { ( 1 ) } } e _ { l } , e _ { j } \right\rangle \right| = \left| \alpha ( j ) \right| + \eta \sum _ { l = 1 } ^ { \lfloor \frac { \alpha _ { 1 } ( j ) - 1 } { 2 } \rfloor } \frac { ( \alpha _ { 1 } ( j ) + 1 - 2 l ) 2 ^ { 2 l - 1 } } { ( 2 l ) ! } } \\ { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { F ^ { ( 2 ) } } e _ { l } , e _ { j } \right\rangle \right| = \left| \alpha ( j ) \right| + \eta \left( \alpha _ { 1 } ( j ) + 1 \right) + \eta \sum _ { l = 1 } ^ { \lfloor \frac { \alpha _ { 1 } ( j ) - 1 } { 2 } \rfloor } \frac { ( \alpha _ { 1 } ( j ) + 1 - 2 l ) 2 ^ { 2 l - 1 } } { ( 2 l ) ! } } \\ { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { F ^ { ( 1 ) } } e _ { k } , e _ { l } \right\rangle \right| = \left| \alpha ( k ) \right| + \eta \alpha _ { 1 } ( k ) \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { 2 p - 1 } } { ( 2 p ) ! } = \left| \alpha ( k ) \right| + \eta \alpha _ { 1 } ( k ) \frac { \cosh ( 2 ) - 1 } { 2 } } \\ { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { F ^ { ( 2 ) } } e _ { k } , e _ { l } \right\rangle \right| = \left| \alpha ( k ) \right| + \eta \alpha _ { 1 } ( k ) \left( 1 + \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { 2 p - 1 } } { ( 2 p ) ! } \right) = \left| \alpha ( k ) \right| + \eta \alpha _ { 1 } ( k ) \frac { \cosh ( 2 ) + 1 } { 2 } . } \end{array}
\tilde { x } _ { * } = \epsilon x _ { 1 } ( t ) + x _ { * } = \mathrm { t a n h } \left( w _ { 0 } \cdot m _ { * } + J _ { 0 } ^ { 2 } \chi x _ { * } \, + \, J _ { 0 } \sqrt { q } \tilde { z } + \epsilon J _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, G _ { 1 } ( t ^ { \prime } ) x ( t ^ { \prime } ) \right) + \sigma z
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } \langle B , Z \rangle + T _ { 2 } \langle A , Z \rangle \overset { ( a ) } { \leq } } & { L ( Z , S ^ { * } , D ^ { * } , \lambda ^ { * } ) = \langle D ^ { * } , \mathbf { I } \rangle } \\ { \overset { ( b ) } { = } } & { \langle S ^ { * } - \lambda ^ { * } \mathbf { J } + T _ { 1 } B + T _ { 2 } A , Z ^ { * } \rangle } \\ { \overset { ( c ) } { = } } & { T _ { 1 } \langle B , Z ^ { * } \rangle + T _ { 2 } \langle A , Z ^ { * } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = D \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \prime } } \left( \frac { \tau } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \left( \frac { \tau ^ { \prime } } { s ^ { \prime } } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } d W _ { s } d W _ { s ^ { \prime } } } \end{array}
K _ { x } = K _ { 1 } = i \left. { \frac { \partial { \widehat { B } } ( \varphi , { \hat { \mathbf { e } } } _ { x } ) } { \partial \varphi } } \right| _ { \varphi = 0 } = i { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \, ,
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \dot { Q } } _ { i } } & { { } = } & { \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { j \ne 0 } \boldsymbol { P } _ { j } } \\ { \boldsymbol { \dot { V } } _ { i } } & { { } = } & { - G \sum _ { j \neq i , j > 0 } \frac { m _ { j } } { Q _ { i j } ^ { 3 } } \v Q _ { i j } \left( K ( Q _ { i j } ) - Q _ { i j } K ^ { \prime } ( Q _ { i j } ) \right) . } \end{array}
\Psi _ { \bf K } ^ { \textrm { A P S G } } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , . . . , \mathbf { x } _ { N } ) = \widehat { A } \prod _ { P = 1 } ^ { N / 2 } \psi _ { P } ( \mathbf { x } _ { 2 P - 1 } , \mathbf { x } _ { 2 P } ) ,
\displaystyle \xi _ { \mathbf { \varepsilon } } ( Q , \tilde { Q } ) = \xi _ { \mathbf { \varepsilon } } ( Q ^ { \prime } , \tilde { Q } ^ { \prime } ) = \frac { q _ { m + 2 } ( \boldsymbol { p } _ { m + 2 } { \, \scriptstyle { [ \mathfrak { A } _ { \mathbf { \varepsilon } } ] \, } \, } \boldsymbol { p } _ { m + 2 } ) } { \sum _ { { 1 \le i \le m { + } 2 } } q _ { i } ^ { \, 2 } \tau _ { i } } \; .
m _ { 1 } \mathbf { u } _ { 1 } + m _ { 2 } \mathbf { u } _ { 2 } = m _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } + m _ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } = ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) \mathbf { V }
\begin{array} { r } { \vert \underline { H } _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } ( \tau , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) \vert \le C _ { H , \mathbf \nu ^ { \prime } } , \quad \vert \underline { \phi } _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } ( \tau , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) \vert \vert \tau - x _ { 0 } \vert ^ { 1 + \nu _ { 1 } + \nu _ { 4 } + \delta _ { i , 1 } + \delta _ { i , 4 } } \le C _ { \phi , \nu ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \bf k } ( \omega ) } & { { } = | \tilde { g } | ^ { 2 } + | \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { X } | ^ { 2 } , ~ ~ ~ B _ { \bf k } ( \omega ) = | \tilde { g } | ^ { 2 } + | \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { C } | ^ { 2 } , } \\ { D _ { \bf k } ( \omega ) } & { { } = 2 \Re \left[ ( 2 \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { C } - z _ { \bf k } ^ { X } ) \tilde { g } ^ { * } \right] . } \end{array}
\cos \left( { \frac { \pi } { 4 8 } } \right) = \cos \left( 3 . 7 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 3 } } } } } } } }
\hat { R } = d \hat { C } - \hat { C } \wedge \hat { H } _ { 3 } = \hat { R } _ { 2 } \oplus \hat { R } _ { 4 } \oplus \hat { R } _ { 6 } \oplus \hat { R } _ { 8 } \oplus \hat { R } _ { 1 0 } \; ,
{ \bf E } ( { \bf r } , t ) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ { \bf E } ^ { ( 1 ) } ( { \bf r } ) e ^ { - i \omega _ { 1 } t } + { \bf E } ^ { ( 2 ) } ( { \bf r } ) e ^ { - i \omega _ { 2 } t } \right\} \, ,
\sigma _ { z ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { M } \pi _ { k } \sigma _ { k } ^ { 2 } = \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } + 2 \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \frac { \pi _ { k } } { \tau _ { k } } \bar { n } ( \tau _ { k } ) .
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { c } ( x ) } & { = C ^ { o l d } ( x ) - C ^ { n e w } ( x ) } \\ & { = \Sigma _ { p } { W ( | x - x _ { p } | , h ) m _ { p } } - \Sigma _ { q } { W ( | x - x _ { q } | , h ) m _ { q } } } \\ & { = \Sigma _ { p } { W ( | x - x _ { p } | , h ) m _ { p } } - \Sigma _ { q } { W ( | x - x _ { q } | , h ) \Sigma _ { p } { m _ { p } \beta _ { p q } } } } \\ & { = \Sigma _ { p } { m _ { p } [ W ( | x - x _ { p } | , h ) - \Sigma _ { q } { W ( | x - x _ { q } | , h ) \beta _ { p q } } ] } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } = } & { \; 1 8 3 \arctan { \frac { 1 } { 2 3 9 } } + 3 2 \arctan { \frac { 1 } { 1 0 2 3 } } - 6 8 \arctan { \frac { 1 } { 5 8 3 2 } } } \\ & { + 1 2 \arctan { \frac { 1 } { 1 1 3 0 2 1 } } - 1 0 0 \arctan { \frac { 1 } { 6 8 2 6 3 1 8 } } } \\ & { - 1 2 \arctan { \frac { 1 } { 3 3 3 6 6 0 1 9 6 5 0 } } + 1 2 \arctan { \frac { 1 } { 4 3 5 9 9 5 2 2 9 9 2 5 0 3 6 2 6 0 6 8 } } } \end{array} }
i \frac { \partial a _ { j } ^ { \prime } } { \partial \zeta } = \frac { 1 } { 2 m _ { j } } \left( - i \frac { \partial } { \partial \tau } - A _ { j } ^ { ( \tau ) } \right) ^ { 2 } a _ { j } ^ { \prime } + V _ { j } \, a _ { j } ^ { \prime } - C \left( a _ { j + 1 } ^ { \prime } + a _ { j - 1 } ^ { \prime } \right) ,
\begin{array} { r } { Q ( t ) = \left| \int _ { v _ { g } t / 2 - l / 4 } ^ { v _ { g } t / 2 + l / 4 } d z _ { s } e ^ { 2 i \beta z _ { s } } \int _ { S } d x d y \Delta \chi ( x , y , z _ { s } ) | \hat { \psi } | ^ { 2 } ( x , y ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
{ \bf d } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \mathrm { T } } \left[ { \bf K } \left( \theta \right) \lambda _ { k } \left( \theta \right) { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , k } - { \bf F } _ { k } \left( \theta \right) \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { \ln { N } } & { = - \lambda t + \ln { N _ { 0 } } } \\ { \ln { N } - \ln { N _ { 0 } } } & { = - \lambda t } \\ { \ln ( { \frac { N } { N _ { 0 } } } ) } & { = - \lambda t } \\ { \Rightarrow \frac { N } { N _ { 0 } } } & { = e ^ { - \lambda t } } \\ { \Rightarrow N } & { = N _ { 0 } e ^ { - \lambda t } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { w } { t } } } } { 1 - w } } \, d w = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } t ^ { n + 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - u } u ^ { n } \, d u
\left( { \mathcal S } ^ { \prime } \otimes \Lambda ( \mathrm { V i r } ^ { * } \, ) \otimes \Lambda ( \overline { { \mathrm { V i r } } } ^ { * } \, ) \, ; \ Q _ { \mathrm { B R S T } } \, , \ \bar { Q } _ { \mathrm { B R S T } } \right)
\begin{array} { r l } { f ( \boldsymbol { E } + h \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ) } & { { } = \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \right) ^ { - 1 } + \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \right) ^ { - 1 } \left( h t s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \left( \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } + \frac { t } { 2 } [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] \right) \right) \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \left| \mathfrak { a } ( \omega _ { 1 } ) \mathfrak { b } ( \omega _ { 1 } ) - \mathfrak { a } ( \omega _ { 2 } ) \mathfrak { b } ( \omega _ { 2 } ) \right| _ { m + m ^ { \prime } , s , \eta } } { | \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } | } } \\ & { \quad \le _ { \eta , s , m , m ^ { \prime } } | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } + | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } + | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } } \\ & { \quad \le ( | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } + | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } ) ( | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } + | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } ) + ( | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } ) ( | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } + | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } ) . } \end{array}
\frac { d y } { d s } = \left( \mu + \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \frac { \gamma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } L ^ { 2 } } \left( s - s _ { \mathrm { m i n } } \right) ^ { 2 } } } \right) \frac { \gamma } { \mu L } \left( s - s _ { \mathrm { m i n } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = q r } ^ { n } \mathbb { E } [ ( \xi _ { n , i } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { i - 1 } ] } \\ { = } & { n ^ { - q r } \widetilde \Sigma _ { r } ^ { - 1 } ( q ) \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } \sum _ { i = q r } ^ { n } \sum _ { i _ { t } ^ { ( 1 ) } < i , i _ { t } ^ { ( 2 ) } < i } \mathbb { E } \left[ H _ { q , l _ { 1 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } ^ { ( 1 ) } } , X ^ { \prime } ) H _ { q , l _ { 2 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } ^ { ( 2 ) } } , X _ { i } ) \mid \mathcal { F } _ { i - 1 } \right] } \\ { = } & { n ^ { - q r } \widetilde \Sigma _ { r } ^ { - 1 } ( q ) \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } \sum _ { i = q r } ^ { n } \Bigg ( \sum _ { i _ { t } ^ { ( 1 ) } < i , i _ { t } ^ { ( 2 ) } < i } ^ { ( 1 ) } \mathbb { E } \left[ H _ { q , l _ { 1 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } ^ { ( 1 ) } } , X ^ { \prime } ) H _ { q , l _ { 2 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } ^ { ( 2 ) } } , X ^ { \prime } ) \mid \mathcal { F } _ { i - 1 } \right] } \\ & { + \sum _ { i _ { t } ^ { ( 1 ) } < i , i _ { t } ^ { ( 2 ) } < i } ^ { ( 2 ) } \mathbb { E } \left[ H _ { q , l _ { 1 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } ^ { ( 1 ) } } , X ^ { \prime } ) H _ { q , l _ { 2 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } ^ { ( 2 ) } } , X ^ { \prime } ) \mid \mathcal { F } _ { i - 1 } \right] \Bigg ) } \\ { \overset { \Delta } { = } } & { V _ { n } ^ { ( 1 ) } + V _ { n } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Lambda } _ { \lambda , \ell m k } ^ { ( j ) } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { \mathbf { M } _ { \ell m k } ^ { ( j ) } ( \mathbf { r } ) + \lambda \mathbf { N } _ { \ell m k } ^ { ( j ) } ( \mathbf { r } ) } { \sqrt { 2 } } } \end{array}
I _ { q } ( X ; Y ) = \frac { - 1 } { 2 \bar { q } } \ln \frac { | \Sigma _ { X | Y } \Sigma _ { X } ^ { - 1 } | ^ { \bar { q } } } { | I - \bar { q } ^ { 2 } ( I - \Sigma _ { X | Y } \Sigma _ { X } ^ { - 1 } ) | } \; \; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; \; \bar { q } = 1 - q ,
\begin{array} { r l } { E L B O : L _ { \phi } ( \textbf { y } ) } & { { } = \mathbb { E } _ { q _ { \phi } ( \textbf { x } | \textbf { y } ) } \Big [ \log p ( \textbf { y } , \textbf { x } ) - \log q _ { \phi } ( \textbf { x } | \textbf { y } ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \psi \right\rangle = \sum _ { m , n } c _ { m , n } \left| m , n \right\rangle , } \\ { \left| m , n \right\rangle \equiv \hat { a } ^ { \dagger } \vphantom { a } { } ^ { m } \hat { b } ^ { \dagger } \vphantom { a } { } ^ { n } \left| \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } \right\rangle / \sqrt { m ! n ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big ( R _ { n } ^ { ( k ) } \big ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( x - 1 ) e ^ { - \frac { d x } { n } - \frac { x ^ { 2 } } { 2 n } } \, d x } \\ & { \qquad \mathrm + \mathcal { O } \Big ( \frac { d } { n ^ { 2 } } \cdot \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 3 } e ^ { - \frac { d x } { n } - \frac { x ^ { 2 } } { 2 n } } \, d x \Big ) + \mathcal { O } \Big ( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \cdot \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 4 } e ^ { - \frac { d x } { n } - \frac { x ^ { 2 } } { 2 n } } \, d x \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { l c l c l c l } { { x } } & { { = } } & { { x ( z ) + x ( \bar { z } ) , } } & { { \qquad } } & { { \bar { x } } } & { { = } } & { { \bar { x } ( z ) + \bar { x } ( \bar { z } ) , } } \\ { { C } } & { { = } } & { { C ( z ) , } } & { { \qquad } } & { { \bar { C } } } & { { = } } & { { \bar { C } ( \bar { z } ) , } } \\ { { B } } & { { = } } & { { B ( z ) , } } & { { \qquad } } & { { \bar { B } } } & { { = } } & { { \bar { B } ( \bar { z } ) . } } \end{array}
| S _ { 2 p , n , \beta } ^ { c } | \le { \frac { K ^ { n } \lambda ^ { n } } { n ! } } \sum _ { \{ \underline { \tau } \} , { \cal G } ^ { r _ { m a x } } , { \cal T } } \ \sum _ { \{ { \sigma } \} } ^ { \prime } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \ \big [ \chi _ { i } ( { \sigma } ) \gamma ^ { - ( l _ { i } ^ { 1 } + l _ { i } ^ { 2 } + l _ { i } ^ { 3 } + l _ { i } ^ { 4 } ) / 4 } \big ] \ \prod _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \prod _ { k } \gamma ^ { 2 - e ( G _ { r } ^ { k } ) / 2 } \ .
\phi _ { i j } ( E ) \cong - \frac { \delta m _ { i j } ^ { 2 } } { 2 p _ { 0 } } \, L \, + \, \frac { \delta m _ { i j } ^ { 2 } } { 2 p _ { 0 } ^ { 2 } v _ { 0 } } \, L \, ( E - E _ { i j } ) \, .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { } } & { { } } & { \displaystyle { I _ { 0 } = \int _ { 0 } ^ { \pi } E _ { e n v } ( \rho ^ { \prime } ) \, \sin { \theta } \, M ( \theta ) \, J _ { 0 } ( k r \sin { \theta } ) \, d \theta } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { a ^ { b } = u ^ { a } \nabla _ { a } u ^ { b } } } & { { = { \frac { 1 } { V } } \, \xi ^ { a } \nabla _ { a } \, { \frac { 1 } { V } } \, \xi ^ { b } = { \frac { 1 } { V ^ { 2 } } } \, \xi ^ { a } \nabla _ { a } \, \xi ^ { b } } } \\ { { } } & { { = - { \frac { 1 } { V ^ { 2 } } } \, \xi ^ { a } \nabla ^ { b } \xi _ { a } = { \frac { 1 } { 2 } } \, { \frac { 1 } { V ^ { 2 } } } \, \nabla ^ { b } \left( - \xi ^ { a } \xi _ { a } \right) } } \\ { { } } & { { = { \frac { 1 } { 2 } } \, { \frac { 1 } { V ^ { 2 } } } \, \nabla ^ { b } \, V ^ { 2 } = \nabla ^ { b } \ln V \; , } } \end{array}
s _ { l } \ \mapsto \ \epsilon ^ { H U _ { l } } ( h ) \cdot s _ { l } \quad \quad \Rightarrow \quad \quad c _ { l } \ \mapsto \ \epsilon _ { L } ^ { U _ { l } G } \circ \epsilon ^ { H U _ { l } } \bigl ( h \bigr ) \cdot c _ { l } \cdot \epsilon _ { R } ^ { U _ { l } G } \circ \epsilon ^ { H U _ { l } } \bigl ( h ^ { - 1 } \bigr ) \ \ .
\delta ^ { + } G = \frac { 1 } { 8 } \left( 1 + \frac { 4 m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \right) ( k ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \theta ( k ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } ) \theta ( k _ { 0 } )
\mathcal { C } ^ { y } \simeq - \partial _ { r } R _ { c } ( r , \theta ) \bigr | _ { { \theta = 0 } } = - \partial _ { r } R _ { c } ( r , 0 ) - \partial _ { \theta } R _ { c } ( r , 0 ) \partial _ { r } \theta \bigr | _ { { \theta _ { * } = 0 } }
S _ { p } ( k _ { m } ) = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { A } _ { m } ^ { p } [ u ] d t = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { A } _ { m } ^ { p } [ u ] d t } { \int _ { 0 } ^ { T } d t } .
\dot { \epsilon } _ { \delta \sigma } = \epsilon _ { \delta \sigma } \left[ 3 { \frac { \dot { a } } { a } } ( 1 + w ) + 2 { \frac { \dot { c } } { c } } { \frac { 1 + \epsilon _ { \delta \sigma } } { 1 + \epsilon } } + \left( { \frac { \dot { G } _ { 4 } } { G _ { 4 } } } - 4 { \frac { \dot { c } } { c } } \right) ( 1 + \epsilon _ { \delta \sigma } ) \right] .
\mathrm { C o r } ( D ) = \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } } \left( z _ { n , D } ^ { \prime } - \langle z _ { n , D } ^ { \prime } \rangle \right) \left( y _ { n , D } ^ { \prime } - \langle y _ { n , D } ^ { \prime } \rangle \right) } { \sqrt { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } } \left( z _ { n , D } ^ { \prime } - \langle z _ { n , D } ^ { \prime } \rangle \right) ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } } \left( y _ { n , D } ^ { \prime } - \langle y _ { n , D } ^ { \prime } \rangle \right) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \int _ { \mathcal { A } _ { 3 , k } } L ( K \cap E ) ^ { 2 } d E = \frac { 1 } { 2 } \int _ { S ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { a } L ( K \cap E ) ^ { 2 } \, d t \, d u \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { S ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { a } L ( S _ { R } \cap E ) ^ { 2 } \, d t \, d u \leq } \\ { \frac { 1 } { 2 } \int _ { S ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { a } \left( 2 \pi \sqrt { R ^ { 2 } - ( p ( u ) - t ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } d t \, d u = \int _ { S ^ { 2 } } 2 \pi ^ { 2 } \left( R ^ { 2 } a - \frac { a ^ { 3 } } { 3 } + a ^ { 2 } p ( u ) - a p ( u ) ^ { 2 } \right) \, d u } \end{array}
\mathcal { L } _ { 0 } \rho _ { 0 } = - \nabla \cdot \Big ( \mathbf { F } \rho _ { 0 } \Big ) + \frac { 1 } { 2 } \nabla \cdot \nabla \Big ( \boldsymbol { \Sigma } \boldsymbol { \Sigma } ^ { T } \rho _ { 0 } \Big ) = 0
8 _ { s } = ( ( 1 , 2 ) , ( 1 , 2 ) ) + ( ( 2 , 1 ) , ( 2 , 1 ) ) ~ ~ ~ , ~ ~ ~ 8 _ { c } = ( ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) ) + ( ( 2 , 1 ) , ( 1 , 2 ) )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( W ( 3 , n , m ) ) } & { = | V _ { W ( 3 , n , m ) } ( 1 ) | } \\ & { = - 2 + 2 T _ { n } ( \frac { 2 + m ^ { 2 } } { 2 } ) } \\ & { = - 2 + \left( \frac { 2 + m ^ { 2 } } { 2 } + \sqrt { \left( \frac { 2 + m ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } - 1 } \right) ^ { n } + \left( \frac { 2 + m ^ { 2 } } { 2 } - \sqrt { \left( \frac { 2 + m ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } - 1 } \right) ^ { n } } \\ & { = - 2 + \left( \frac { m + \sqrt { m ^ { 2 } + 4 } } { 2 } \right) ^ { 2 n } + \left( \frac { m - \sqrt { m ^ { 2 } + 4 } } { 2 } \right) ^ { 2 n } } \\ & { = - 2 + L _ { m , 2 n } . } \end{array}
( \frac { \partial ^ { 2 } \rho _ { h } } { \partial t ^ { 2 } } , w _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { A } } ^ { N I } + c _ { 0 } ^ { 2 } ( \nabla \rho _ { h } , \nabla w _ { h } ) _ { \mathcal { T } _ { A } } ^ { N I } = \mathcal { L } _ { h } ( w _ { h } ) \quad \forall w _ { h } \in V _ { A } ,
H _ { 1 , 1 1 } = R _ { 1 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } + R _ { 1 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } + R _ { 1 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } + R _ { 1 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } = 2 \left( R _ { 1 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } + R _ { 1 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { Y ( x ) = \left( \begin{array} { c c c c } { y _ { 1 } ( x ) } & { y _ { 2 } ( x ) } & { x ^ { 3 } \, v _ { 1 } ( x ) } & { x ^ { 3 } \, v _ { 2 } ( x ) } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { y _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } & { \frac { 7 } { 2 } \, x ^ { 2 } \, v _ { 1 } ( x ) + x ^ { 3 } \, v _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { \frac { 1 } { 2 } \, x ^ { 2 } \, v _ { 2 } ( x ) + x ^ { 3 } \, v _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } \\ { 0 } & { 0 } & { x \, u _ { 1 } ( x ) } & { x \, u _ { 2 } ( x ) } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 3 } { 2 } \, u _ { 1 } ( x ) + x \, u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { - \frac { 3 } { 2 } \, u _ { 2 } ( x ) + x \, u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\hat { Q } _ { L , o u t } ^ { } ( \phi ) = \hat { Q } _ { L , i n } ^ { } ( \phi ) + 2 \Gamma _ { S } ^ { } \chi _ { S } ^ { } \cos { ( \phi ) } \hat { X } _ { L , i n } ^ { } + \sqrt { 2 \Gamma _ { S } ^ { } \gamma _ { S } ^ { } } \chi _ { S } ^ { } \cos { ( \phi ) } \hat { \zeta } .
Q _ { 2 } = - \frac { D _ { 3 } E _ { 5 } - E _ { 3 } D _ { 5 } + \left( D _ { 3 } E _ { 4 } - D _ { 4 } E _ { 3 } \right) Q _ { 4 } } { D _ { 2 } E _ { 5 } - E _ { 2 } D _ { 5 } + \left( D _ { 2 } E _ { 4 } - E _ { 2 } D _ { 4 } \right) Q _ { 4 } } \ .
{ \gamma } _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { B e r r y } } = \int _ { 0 } ^ { T } d t \int _ { - \mathrm { L } / 2 } ^ { \mathrm { L } / 2 } d x \dot { A } _ { 1 } ( x , t ) { \cal A } _ { \mathrm { F } } ( x , t ) .
\begin{array} { r l } { \| \Delta u \| ^ { 2 } + \| p \| _ { 1 } ^ { 2 } \leq } & { \frac { 1 } { 2 } c _ { 1 } \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \| \Delta u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } E _ { 0 } ^ { \frac { 5 } { 4 } } ( t ) + \| \nabla \Delta \phi \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } E _ { 0 } ^ { \frac { 5 } { 4 } } ( t ) } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } c _ { 1 } \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \Delta u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla \Delta \phi \| ^ { 2 } + C E _ { 0 } ^ { 5 } ( t ) \, . } \end{array}
I \propto \sum _ { i < j } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } 2 E _ { s } ^ { i } \left( t \right) E _ { s } ^ { j } \left( t \right) \mathrm { d } t \right] + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ E _ { s } ^ { i } \left( t \right) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } t ,
\overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ 2 ] } = \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ 1 ] } + \sum _ { m = N _ { 0 } ^ { [ 2 ] } + 1 } ^ { N _ { 0 } ^ { [ 1 ] } } u _ { [ 2 ] } ^ { m } \left[ \mathbf { P } _ { ( m ) } ^ { [ 2 ] } \right] .
F ^ { 1 / 2 } = \frac { 2 ^ { 1 / 2 } N ^ { 1 / 2 } g _ { s } ( M _ { s } ^ { 2 } A _ { T } ) } { 5 \pi \sqrt { 3 } \, ( 2 \pi ) ^ { 3 } \, ( 1 . 9 1 \times 1 0 ^ { - 5 } ) ( 2 \pi R M _ { s } ) ^ { 6 } } \, .
\boldsymbol { u } ^ { B } = [ ( \boldsymbol { u } _ { 1 } ^ { B } ) ^ { \top } , ( \boldsymbol { u } _ { 2 } ^ { B } ) ^ { \top } , \cdots , ( \boldsymbol { u } _ { N _ { b } } ^ { B } ) ^ { \top } ] ^ { \top }