harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Psi ( \bar { \lambda } _ { 1 } , \bar { \lambda } _ { 2 } , \bar { \lambda } _ { 3 } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { 2 \mu _ { k } } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } ( \bar { \lambda } _ { 1 } ^ { \alpha _ { k } } + \bar { \lambda } _ { 2 } ^ { \alpha _ { k } } + \bar { \lambda } _ { 3 } ^ { \alpha _ { k } } - 3 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { 0 } ^ { ( i ) } ( q _ { i } ^ { \prime } ) } & { { } = } & { C ^ { ( i ) } \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } 2 \sqrt { \operatorname { R e } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { { } = } & { \nu _ { x , 0 } J _ { x } + \nu _ { y , 0 } J _ { y } + \frac { e R } { \beta ^ { 2 } \gamma m _ { 0 } c ^ { 2 } } V _ { r f } ( \delta p / p , z ) + C _ { S C } \bar { V } ( x , y , z ) } \\ { C _ { S C } } & { { } = } & { \frac { N _ { p } r _ { p } } { \pi ^ { 1 / 2 } \beta ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } } \\ { \bar { V } ( x , y , z ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \; \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q ) ( 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } + q ) ( 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + q ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \Omega _ { k } } { d \tau } } & { = Q \Omega _ { k } ( - 3 \omega ( \Omega - 2 ) - 3 \Omega + 4 ) , } \\ { \frac { d \Omega } { d \tau } } & { = - 3 Q ( \omega + 1 ) ( \Omega - 1 ) \Omega , } \\ { \frac { d Q } { d \tau } } & { = \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { k } ( 3 \omega ( \Omega - 2 ) + 3 \Omega - 4 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 4 r ^ { 4 } ( r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } \left( { r _ { 0 } } ( 2 r + { r _ { 0 } } ) - 3 r ^ { 2 } e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \right) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( 2 4 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } ( 2 r + { r _ { 0 } } ) \right. \right. } \end{array}
\delta \varphi = T \left( \omega _ { \varphi } - \omega _ { r } \right) \approx 2 \pi \left( { \frac { 3 r _ { \mathrm { { s } } } ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } } \right) = { \frac { 3 \pi m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 L ^ { 2 } } } r _ { \mathrm { { s } } } ^ { 2 }
\tilde { E } _ { N \ell } = { \frac { E ^ { 2 } - M ^ { 2 } } { 2 M } } = \left\{ \begin{array} { c } { { 2 m \omega = \tilde { E } _ { N ( \ell + 1 ) } ^ { + } , } } \\ { { 2 ( m + 1 ) \omega = \tilde { E } _ { N \ell } ^ { - } , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \left( \phi \left( \frac { \xi _ { 3 } } { \varepsilon } \right) \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \varLambda _ { 3 } ( \xi , x ) \wedge \sigma ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , t ) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } \xi _ { 2 } \right) \mathrm { d } \xi _ { 3 } } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } ) \} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 3 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge Q ( \eta , t ; 0 ) \omega ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 3 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge Q ( \eta , t ; s ) F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 3 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge Q ( \eta , t ; s ) \chi _ { \varepsilon } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { H S } _ { \frac { R } { ( \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { n } ) } } ( t ) } & { = ( 1 - t ^ { \deg ( \alpha _ { n } ) } ) \mathrm { H S } _ { \frac { R } { ( \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { n - 1 } ) } } ( t ) } \\ & { = \dots } \\ & { = ( 1 - t ^ { \deg ( \alpha _ { n } ) } ) \cdots ( 1 - t ^ { \deg ( \alpha _ { 1 } ) } ) \mathrm { H S } _ { R } ( t ) } \\ & { = ( 1 - t ^ { \deg ( \alpha _ { n } ) } ) \cdots ( 1 - t ^ { \deg ( \alpha _ { 1 } ) } ) ( 1 - t ) ^ { - n } } \end{array}
E ( N ) = \frac { \int _ { - L _ { x } } ^ { L _ { x } } \int _ { - L _ { y } } ^ { L _ { y } } \int _ { 0 } ^ { T } e ( N ; x , y , t ) \, d t \, d x \, d y } { \int _ { - L _ { x } } ^ { L _ { x } } \int _ { - L _ { y } } ^ { L _ { y } } \int _ { 0 } ^ { T } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) \, d t \, d x \, d y } ,
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \hat { \omega } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta , s } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta , s } , x ) \wedge \hat { F } ( \eta , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + 2 \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left. \frac { \partial } { \partial \eta _ { 2 } } \right| _ { \eta _ { 2 } = 0 } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta , s } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta , s } , x ) \wedge \sigma ( \eta , s ) \right] \mathrm { d } \eta _ { 1 } \mathrm { d } s } \end{array}
\left( - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \{ \nabla , \mathbf { a } \} + U \right) \phi _ { k } = \left( - \mathrm { i } \mathbf { a } \cdot \nabla + \widetilde { U } \right) \phi _ { k } = \omega _ { k k } \phi _ { k } .
\begin{array} { r l } { \int \sinh ( a x ) \, d x } & { { } = a ^ { - 1 } \cosh ( a x ) + C } \\ { \int \cosh ( a x ) \, d x } & { { } = a ^ { - 1 } \sinh ( a x ) + C } \\ { \int \operatorname { t a n h } ( a x ) \, d x } & { { } = a ^ { - 1 } \ln ( \cosh ( a x ) ) + C } \\ { \int \coth ( a x ) \, d x } & { { } = a ^ { - 1 } \ln ( \sinh ( a x ) ) + C } \\ { \int \operatorname { s e c h } ( a x ) \, d x } & { { } = a ^ { - 1 } \arctan ( \sinh ( a x ) ) + C } \\ { \int \operatorname { c s c h } ( a x ) \, d x } & { { } = a ^ { - 1 } \ln \left( \operatorname { t a n h } \left( { \frac { a x } { 2 } } \right) \right) + C = a ^ { - 1 } \ln \left| \operatorname { c s c h } ( a x ) - \coth ( a x ) \right| + C } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { n } } \equiv \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \pi \in S _ { n } } \mathrm { s i g n } ( \pi ) \gamma ^ { \alpha _ { \pi ( 1 ) } } \gamma ^ { \alpha _ { \pi ( 2 ) } } \cdots \gamma ^ { \alpha _ { \pi ( n ) } } } \end{array}
F _ { u _ { i } } ^ { ( n ) } = \frac { 2 - N } { N - 1 } u _ { i } Q _ { u _ { i } } ^ { ( n ) } + \frac { 1 } { N - 1 } \sum _ { j \neq i } u _ { j } Q _ { u _ { j } } ^ { ( n ) } \, .
\mathrm { P e } = \frac { 1 } { a _ { 1 } } ( \Delta P - a _ { 0 } ) - \frac { a _ { 2 } } { 2 { a _ { 1 } } ^ { 3 } } ( \Delta P - a _ { 0 } ) ^ { 2 } + \frac { 3 { a _ { 2 } } ^ { 2 } - a _ { 1 } a _ { 3 } } { 6 { a _ { 1 } } ^ { 5 } } ( \Delta P - a _ { 0 } ) ^ { 3 } ,
h \sim \displaystyle \frac { \alpha ( \alpha + 1 ) ^ { 2 } E ^ { \frac { 2 \alpha - 1 } { \alpha - 1 } } } { - C ^ { 2 } ( 2 \alpha - 1 ) } \left[ 1 + \frac { C ( 1 - \alpha ) } { \alpha ( \alpha + 1 ) E } \eta \right] ^ { \frac { 2 \alpha - 1 } { \alpha - 1 } } ~ ~ , ~ ~ 0 . 5 < \alpha < 1 ~ , ~ \textrm { a s } \ \eta \to \infty ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { L } } } & { = 1 - \sum _ { j = 0 } ^ { e _ { \mathrm g } + e _ { \mathrm Z } } \binom { n } { j } ( 1 - \rho ) ^ { n - j } \sum _ { i = ( j - e _ { \mathrm g } ) ^ { + } } ^ { j } \binom { j } { i } p _ { \mathrm { Z } } ^ { i } \left( p _ { \mathrm { X } } + p _ { \mathrm { Y } } \right) ^ { j - i } } \\ & { = 1 - \sum _ { j = 0 } ^ { e _ { \mathrm g } + e _ { \mathrm Z } } \binom { n } { j } ( 1 - \rho ) ^ { n - j } \sum _ { i = ( j - e _ { \mathrm g } ) ^ { + } } ^ { j } \binom { j } { i } \, p _ { \mathrm { Z } } ^ { i } \, \left( \rho - p _ { \mathrm { Z } } \right) ^ { j - i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { ( n _ { x } , n _ { z } ) = ( - N _ { x } / 2 , - N _ { z } / 2 ) } ^ { ( N _ { x } / 2 - 1 , N _ { z } / 2 - 1 ) } \check { T } _ { i j } ( k _ { x } , y , k _ { z } ) = 0 . } \end{array}
\Psi _ { k , g _ { I } g g _ { J } ^ { - 1 } } ^ { [ I ] _ { a } [ J ] _ { b } } \ = \ e _ { a } ( g _ { I } ^ { - 1 } ) e _ { b } ( g _ { J } ) \, \Psi _ { k , g } ^ { [ I ] _ { a } [ J ] _ { b } } \ \ .
{ \cal { L } } _ { n o n r e l } ^ { c l a s s } = \psi ^ { * } \left( i \frac { d } { d t } + e A ^ { 0 } \right) \psi - \frac { 1 } { 2 m } | \left( - i \vec { \nabla } - e \vec { A } \right) \psi | ^ { 2 } + \frac { e } { 2 m } B \psi ^ { * } \psi
\begin{array} { r l } { E _ { 0 , 1 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \sum _ { \mu , \nu \neq 0 } \frac { \Delta H _ { 0 \mu } ^ { s c } \, \Delta H _ { \mu \nu } ^ { s c } \, \Delta H _ { \nu 0 } ^ { s c } } { \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \Delta E _ { 0 \nu } ^ { ( e ) } } - \Delta H _ { 0 0 } ^ { s c } \sum _ { \mu \neq 0 } \frac { \vert \Delta H _ { 0 \mu } ^ { s c } \vert ^ { 2 } } { \left( \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \right) ^ { 2 } } = \sum _ { \mu , \nu \neq 0 } \frac { ( 2 \omega _ { c } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, g ^ { 3 } \, x _ { c } ^ { 3 } \, d _ { 0 \mu } \, d _ { \mu \nu } \, d _ { \nu 0 } } { \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \Delta E _ { 0 \nu } ^ { ( e ) } } - \sum _ { \mu \neq 0 } \frac { ( 2 \omega _ { c } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, g ^ { 3 } \, x _ { c } ^ { 3 } \, d _ { 0 0 } \, d _ { 0 \mu } ^ { 2 } } { \left( \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \right) ^ { 2 } } \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } = } & { { } \int _ { A } \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial ( d + p ) } { \partial { \zeta } _ { c } } \right) \epsilon _ { a b } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( 1 6 ( 1 + x ) \right) \left( 1 6 K _ { 2 } ( 1 + y ) \right) \left( r _ { 1 } ( 1 - x ) - \frac { 1 5 r _ { 1 } z } { 1 6 ( 1 + x ) } \right) } \\ & { = } & { 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 1 } x + 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 1 } x y - 2 4 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x z } \\ & { } & { - 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 3 } - 2 4 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x y z - 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 3 } y , } \\ { \dot { y } } & { = } & { y \left( 1 6 ( 1 + x ) \right) \left( 1 6 K _ { 2 } ( 1 + y ) \right) \left( r _ { 2 } ( 1 - y / K _ { 2 } ) - \frac { 5 r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) z } { 1 6 K _ { 2 } ( 1 + y ) } \right) } \\ & { = } & { 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 2 } y + 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 2 } x y + 2 5 6 ( K _ { 2 } - 1 ) r _ { 2 } y ^ { 2 } + 8 0 r _ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) y z } \\ & { } & { + 2 5 6 ( K _ { 2 } - 1 ) r _ { 2 } x y ^ { 2 } + 8 0 r _ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) x y z - 2 5 6 r _ { 2 } y ^ { 3 } - 2 5 6 r _ { 2 } x y ^ { 3 } , } \\ { \dot { z } } & { = } & { z \left( 1 6 ( 1 + x ) \right) \left( 1 6 K _ { 2 } ( 1 + y ) \right) \times } \\ & { } & { \left( \frac { 1 5 c _ { 1 } r _ { 1 } x } { 1 6 ( 1 + x ) } + \frac { 5 r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) y } { 1 6 K _ { 2 } ( 1 + y ) } - \left( \frac { 3 c _ { 1 } r _ { 1 } } { 1 6 } + \frac { r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) } { 1 6 K _ { 2 } } - m \right) - m z \right) } \\ & { = } & { 1 6 ( K _ { 2 } ( - 3 c _ { 1 } r _ { 1 } + 1 6 m - 4 r _ { 2 } ) + r _ { 2 } ) z + 1 6 ( K _ { 2 } ( 1 2 c _ { 1 } r _ { 1 } + 1 6 m - 4 r _ { 2 } ) + r _ { 2 } ) x z } \\ & { } & { + 1 6 ( K _ { 2 } ( 1 6 r _ { 2 } + 1 6 m - 3 c _ { 1 } r _ { 1 } ) - 4 r _ { 2 } ) y z + 1 6 ( K _ { 2 } ( 1 2 c _ { 1 } r _ { 1 } + 1 6 m + 1 6 r _ { 2 } ) - 4 r _ { 2 } ) x y z } \\ & { } & { - 2 5 6 K _ { 2 } m x z ^ { 2 } - 2 5 6 K _ { 2 } m y z ^ { 2 } - 2 5 6 K _ { 2 } m z ^ { 2 } - 2 5 6 K _ { 2 } m x y z ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } ^ { ' } } & { { } = \hat { T } _ { \bf Q } + \hat { T } _ { \bf r } + V _ { \mathrm { c o u l } } ( \{ { { \bf r } _ { j } , { \bf Q } _ { j } } \} ) + \sum _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \Big ( \hat { U } _ { \mathrm { e l } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { e l } } + i \sum _ { u } e \hat { \bf Q } _ { u } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) \Big ) \Big ( \hat { U } _ { \mathrm { e l } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol { \xi } } } \hat { U } _ { \mathrm { e l } } - i \sum _ { u } e \hat { \bf Q } _ { u } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) \Big ) \omega _ { \boldsymbol k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { n } ( \tau ) } & { { } \sim } & { - \left( \frac { m _ { 1 } ^ { n - 1 } \prod _ { j = 2 } ^ { n - 1 } k _ { j } } { k _ { 1 } ^ { n - 2 } \prod _ { j = 2 } ^ { n } m _ { j } } \right) \frac { \tau ^ { 2 n } } { { ( 2 n ) } ! } , \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad \tau \rightarrow 0 ^ { + } } \end{array}
\frac { m _ { t } } { \sqrt { 2 } F _ { t } } \frac { \sqrt { \nu _ { w } ^ { 2 } - F _ { t } ^ { 2 } } } { \nu _ { w } } [ K _ { U R } ^ { t t } K _ { U L } ^ { t t \ast } \bar { t } _ { L } t _ { R } \pi _ { t } ^ { 0 } + K _ { U R } ^ { t c } K _ { U L } ^ { t t \ast } \bar { t } c _ { R } \pi _ { t } ^ { 0 } + h . c . ] ,
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial ( \rho \eta ) } { \partial t } } } & { { } + { \frac { \partial ( \rho \eta u ) } { \partial x } } + { \frac { \partial ( \rho \eta v ) } { \partial y } } = 0 , } \\ { { \frac { \partial ( \rho \eta u ) } { \partial t } } } & { { } + { \frac { \partial } { \partial x } } \left( \rho \eta u ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \rho g \eta ^ { 2 } \right) + { \frac { \partial ( \rho \eta u v ) } { \partial y } } = 0 , } \\ { { \frac { \partial ( \rho \eta v ) } { \partial t } } } & { { } + { \frac { \partial ( \rho \eta u v ) } { \partial x } } + { \frac { \partial } { \partial y } } \left( \rho \eta v ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \rho g \eta ^ { 2 } \right) = 0 . } \end{array}
\Pi ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) = \tilde { \alpha } _ { c , \textbf { k } _ { 0 } } \tilde { \alpha } _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } ^ { * } = \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) e ^ { - i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { ~ D ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] }
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ Q _ { n } \Lambda ^ { n } ( T ) Q _ { n } \left( \phi _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \phi _ { n } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } Q _ { n } \Lambda ^ { n } ( T ) \left( \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } } \phi _ { \pi _ { 1 } ( 1 ) } \otimes \cdots \otimes \phi _ { \pi _ { 1 } ( n ) } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } Q _ { n } \left( \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } } T \phi _ { \pi _ { 1 } ( 1 ) } \otimes \cdots \otimes T \phi _ { \pi _ { 1 } ( n ) } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } } T \phi _ { \pi _ { 1 } ( 1 ) } \wedge \cdots \wedge T \phi _ { \pi _ { 1 } ( n ) } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } \sum _ { \pi _ { 2 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } } } \\ & { ~ ~ ~ ~ T \phi _ { \pi _ { 2 } \pi _ { 1 } ( 1 ) } \otimes \cdots \otimes T \phi _ { \pi _ { 2 } \pi _ { 1 } ( n ) } } \\ & { = \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } T \phi _ { \pi ( 1 ) } \otimes \cdots \otimes T \phi _ { \pi ( n ) } } \\ & { = \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } } \\ & { ~ ~ ~ ~ \int _ { a } ^ { b } \int _ { c } ^ { d } K ( x _ { 1 1 } , x _ { 2 1 } , y _ { 1 1 } , y _ { 2 1 } ) \phi _ { \pi ( 1 ) } ( y _ { 1 1 } , y _ { 2 1 } ) \mathrm { d } y _ { 1 1 } \mathrm { d } y _ { 2 1 } \cdots } \\ & { ~ ~ ~ ~ \int _ { a } ^ { b } \int _ { c } ^ { d } K ( x _ { 1 n } , x _ { 2 n } , y _ { 1 n } , y _ { 2 n } ) \phi _ { \pi ( n ) } ( y _ { 1 n } , y _ { 2 n } ) \mathrm { d } y _ { 1 n } \mathrm { d } y _ { 2 n } } \\ & { = \int _ { ( ( a , b ) \times ( c , d ) ) ^ { n } } \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } K ( x _ { 1 1 } , x _ { 2 1 } , y _ { 1 \pi ( 1 ) } , y _ { 2 \pi ( 1 ) } ) \cdots } \\ & { ~ ~ ~ ~ K ( x _ { 1 n } , x _ { 2 n } , y _ { 1 \pi ( n ) } , y _ { 2 \pi ( n ) } ) \phi _ { 1 } ( y _ { 1 1 } , y _ { 2 1 } ) \cdots \phi _ { n } ( y _ { 1 n } , y _ { 2 n } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ \mathrm { d } y _ { 1 1 } \cdots \mathrm { d } y _ { 2 n } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \left( 1 - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) d u d v + \frac { p ( u ) } { r ^ { 2 } } d u ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) ^ { - 2 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } .
R ~ \equiv ~ \frac { \langle J / \psi \rangle } { N _ { c \overline { { { c } } } } ^ { d i r } } ~ \simeq ~ \frac { N _ { J / \psi } ^ { t o t } } { N _ { O } ^ { 2 } / 4 } ~ \sim ~ \frac { 1 } { V } ~ \sim ~ N _ { p } ^ { - 1 } ~ \left( \sqrt { s } \right) ^ { - 1 / 2 } ~ .
\delta \varphi ^ { \prime } = - \partial _ { \mu } \tilde { \partial } _ { + } \chi ^ { \prime \alpha } \, \sigma _ { \alpha \dot { \beta } } ^ { \mu } \bar { \varepsilon } ^ { \prime \dot { \beta } } , \quad \delta \chi ^ { \prime \alpha } = \varepsilon ^ { \prime \alpha } \varphi ^ { \prime } + \bar { \varepsilon } _ { \dot { \beta } } \bar { \sigma } _ { \mu } ^ { \dot { \beta } \alpha } \partial ^ { \mu } f ^ { \prime } , \quad \delta f ^ { \prime } = s \tilde { \partial } _ { + } \chi ^ { \prime \alpha } \varepsilon _ { \alpha }
\begin{array} { r } { \mathbb { P } [ \tilde { \alpha } _ { a } \leq \alpha _ { a } - \eta _ { a } ( \epsilon ) , \mathcal { E } _ { a , N _ { a } ( t ) } ( \epsilon ) ] \leq \mathbb { P } \left[ Z \leq 2 ( n - k ) \left( 1 - \frac { \eta _ { a } ( \epsilon ) } { \alpha _ { a } } + ( k + 1 ) \epsilon ( \alpha _ { a } - \eta _ { a } ( \epsilon ) ) \right) \right] . } \end{array}
c _ { 4 } = 4 \, i \, \pi \, \log \left( \frac { 3 } { 2 } \right) - \frac { 4 } { \varepsilon } \log \left( \frac { 3 } { 2 } \right) + 4 \log ^ { 2 } \left( \frac { 3 } { 2 } \right) - 4 \, \textup { L i } _ { 2 } \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) .
\frac { g _ { \Omega _ { 8 } \pi ^ { + } \pi ^ { - } } } { g _ { \Omega _ { 8 } K ^ { + } K ^ { - } } } = \frac { Q _ { 1 3 } + Q _ { 2 3 } } { Q _ { 1 1 } + Q _ { 2 1 } } .
\frac { P } { ( q \cdot n ) ^ { \beta } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( q \cdot n + i \epsilon ) ^ { \beta } } + ( - 1 ) ^ { \beta } \frac { 1 } { ( - q \cdot n + i \epsilon ) ^ { \beta } } \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { 0 \longrightarrow \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) } \longrightarrow \frac { \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) } } { \textup { r e s } _ { / \mathrm { P a n } } \, ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) } \longrightarrow \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } ^ { - } \, ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) } \longrightarrow 0 } \end{array} } \end{array}
{ \mathcal { C l } } _ { 3 , 1 } ( \mathbb { R } ) = ( 0 , 0 ) \oplus \left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } \right) \oplus [ ( 1 , 0 ) \oplus ( 0 , 1 ) ] \oplus \left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } \right) _ { p } \oplus ( 0 , 0 ) _ { p } ,
H _ { C S M } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \partial _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \beta ( \beta - 1 ) \sum _ { { i , j = 1 } \atop { i \ne j } } ^ { N } \frac { 1 } { ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } } \qquad ,
\mathrm { L o g } _ { \omega _ { \textup { \bf f } } } \, : \, H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \xrightarrow [ \mathrm { L o g } _ { F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } } ] { \sim } \mathbf { D } _ { \mathrm { c r i s } } ( M ) \xrightarrow [ \omega _ { \textup { \bf f } } ] { \sim } \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } \, .
{ \mathcal { H } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( { \frac { - \hbar ^ { 2 } \nabla _ { i } ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } } - \sum _ { I = 0 } ^ { N } { \frac { e ^ { 2 } Z } { \left| \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { I } \right| } } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i \neq j } ^ { N } { \frac { e ^ { 2 } } { \left| \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } \right| } } \right)
\begin{array} { r l } { T _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { n } : = } & { \left( \sqrt { 2 ( n + l ) + 3 } \frac { \partial w _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } j } ^ { n } } { \partial x _ { j } } - \sqrt { 2 n } \frac { \partial w _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } j } ^ { n - 1 } } { \partial x _ { j } } \right) } \\ & { \quad + \frac { l } { 2 l + 1 } \left( \sqrt { 2 ( n + l ) + 1 } \frac { \partial w _ { \langle i _ { 1 } \cdots i _ { l - 1 } } ^ { n } } { \partial x _ { i _ { l } \rangle } } - \sqrt { 2 ( n + 1 ) } \frac { \partial w _ { \langle i _ { 1 } \cdots i _ { l - 1 } } ^ { n + 1 } } { \partial x _ { i _ { l } \rangle } } \right) . } \end{array}
\mathbf { Q } _ { j } ^ { n + 1 } = \mathbf { Q } _ { j } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \left( \mathbf { A } _ { j + 1 } ^ { - } \left( \mathbf { Q } _ { j + 1 } ^ { n } - \mathbf { Q } _ { j } ^ { n } \right) + \mathbf { A } _ { j } ^ { + } \left( \mathbf { Q } _ { j } ^ { n } - \mathbf { Q } _ { j - 1 } ^ { n } \right) \right) .
W ^ { \beta } = \mathrm { } - \frac 1 { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } s } { s } \left( { \mathrm { T r } } K ^ { \beta } ( s ) - { \mathrm T r } K ( s ) | _ { \phi = 0 } \right) ,
\overline { { \xi } } _ { k } ^ { \operatorname* { i n f } } = \frac { \mu _ { k } ( B ( z _ { 0 } , D _ { k } - 2 ^ { - k } ) ) } { ( 2 D _ { k } ) ^ { s } } , \quad \overline { { K } } _ { k } = ( 1 + 2 ^ { 1 - k } ) ^ { s } , \quad \overline { { \xi } } _ { k } ^ { \operatorname* { s u p } } = \overline { { K } } _ { k } \overline { { \xi } } _ { k } .
t _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ a ~ k ~ e ~ } } \sim \frac { M _ { \star } } { \dot { M } } \frac { R _ { \star } ^ { 2 } } { R _ { A } ^ { 2 } } = . 2 1 \, \frac { \alpha ^ { 5 / 2 } \, M _ { p l } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 5 / 4 } \, f _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } \, m _ { e } ^ { 2 } \, m _ { p } }
\begin{array} { r } { \mathcal D _ { y } = \frac { 1 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \left\langle [ b _ { y } ( 0 , 0 , 0 ) - b _ { y } ( X _ { 0 } , 0 , 0 ) ] ^ { 2 } \right\rangle . } \end{array}
( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } + a _ { 4 } ^ { 2 } ) ( b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 3 } ^ { 2 } + b _ { 4 } ^ { 2 } ) =
\begin{array} { r l r } { \sigma | e _ { j } ^ { T } ( T _ { Y : \mathit { E } . \mathit { F } } - T _ { Y : \mathit { E } } ) | } & { \leq } & { | \sigma e _ { j } ^ { T } T _ { Y : \mathit { E } } \{ ( 1 - \delta _ { e , 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } - 1 \} | + | \delta _ { e , 1 } ( 1 - \delta _ { e , 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } | } \\ & { \leq } & { C \| Y \| _ { 2 } \{ R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) + R ( Y , X _ { \mathit { F } } ) \} } \end{array}