harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { = \mu _ { 1 } 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 1 } ) + \mu _ { 2 } 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 2 } ) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { r = 1 } ^ { l } \nu _ { r } 2 ^ { \alpha n _ { r } } \left( \delta _ { x } ^ { j } ( w _ { r } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { j } ( w _ { r } ^ { - } ) + \delta _ { x } ^ { j } ( w _ { r } ^ { + } ) ) \right) } \\ & { \phantom { = } - \mu _ { 1 } 2 ^ { n \alpha - 1 } \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( u _ { 1 } ) + \mu _ { 2 } 2 ^ { n \alpha - 1 } \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( u _ { 2 } ) } \\ & { \phantom { = } - \sum _ { r = 1 } ^ { l } \nu _ { r } 2 ^ { \alpha n _ { r } - 1 } \left( \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( w _ { r } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( w _ { r } ^ { - } ) + \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( w _ { r } ^ { + } ) ) \right) } \\ & { \phantom { = } - \mu _ { 1 } 2 ^ { n \alpha - 1 } \delta _ { x _ { 2 } } ^ { j } ( u _ { 1 } ) + \mu _ { 2 } 2 ^ { n \alpha - 1 } \delta _ { x _ { 2 } } ^ { j } ( u _ { 2 } ) } \\ & { \phantom { = } - \sum _ { r = 1 } ^ { l } \nu _ { r } 2 ^ { \alpha n _ { r } - 1 } \left( \delta _ { x _ { 2 } } ^ { j } ( w _ { r } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x _ { 2 } } ^ { j } ( w _ { r } ^ { - } ) + \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( w _ { r } ^ { + } ) ) \right) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbf { A b S o l } ( p ^ { d _ { 1 } } , p ^ { d _ { 2 } } , p ^ { d _ { 3 } } ) | } & { = p ^ { d _ { 2 } } \left( 1 + \sum _ { v = 0 } ^ { d _ { 3 } - 1 } \frac { p ^ { d _ { 3 } - v } - p ^ { d _ { 3 } - v - 1 } } { p ^ { \operatorname* { m a x } \{ 0 , - d _ { 1 } + d _ { 2 } + d _ { 3 } - v \} } } \right) } \\ & { = p ^ { d _ { 2 } } \left( 1 + \sum _ { w = 0 } ^ { d _ { 3 } - 1 } \frac { p ^ { w + 1 } - p ^ { w } } { p ^ { \operatorname* { m a x } \{ 0 , - d _ { 1 } + d _ { 2 } + w + 1 \} } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { n + 1 } } & { { } = x _ { n } - C w _ { n + 1 } \Psi _ { x } ( x _ { n } , y _ { n } ) , } \\ { y _ { n + 1 } } & { { } = y _ { n } - C w _ { n + 1 } \Psi _ { y } ( x _ { n } , y _ { n } ) , } \\ { w _ { n + 1 } } & { { } = \mu \left( w _ { n } + \Psi ( x _ { n } , y _ { n } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { \lambda \to 0 } \mathcal { N } ^ { \lambda } ( \tilde { u } , A _ { 1 } , A _ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m s u p } _ { \lambda \to 0 } \left[ \mathcal { N } ^ { \lambda } ( \tilde { u } , A _ { 1 } \cup A _ { 2 } , A _ { 1 } \cup A _ { 2 } ) - \mathcal { N } ^ { \lambda } ( \tilde { u } , A _ { 1 } , A _ { 1 } ) - \mathcal { N } ^ { \lambda } ( \tilde { u } , A _ { 2 } , A _ { 2 } ) \right] } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \lambda \to 0 } \mathcal { N } ^ { \lambda } ( u , A _ { 1 } , A _ { 2 } ) + C \int _ { \Sigma } | v _ { 1 } - v _ { 2 } | d \mathcal { H } ^ { d } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 2 } { \pi } \left[ a ^ { 2 } ( a ^ { 2 } - 4 ) \arcsin ( 1 / a ) - ( a ^ { 2 } + 2 ) \sqrt { a ^ { 2 } - 1 } \right] } \\ { = \frac { 1 } { \phi ^ { 2 } } \left[ 1 - 4 \phi - \left( \frac { \partial } { \partial \phi } [ \phi Z _ { N } ( \phi ) ] \right) ^ { - 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { L } \mathbb { E } _ { \Lambda _ { 1 } } [ N _ { i } ( T ) ] \cdot \mathrm { K L } ( \nu _ { i } ^ { ( 1 ) } , \nu _ { i } ^ { ( 2 ) } ) \ge \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { E } \in \mathcal { H } _ { T } ^ { \Lambda _ { 1 } } } d \big ( \mathbb { P } _ { \Lambda _ { 1 } } ( \mathcal { E } ) , ~ \mathbb { P } _ { \Lambda _ { 2 } } ( \mathcal { E } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \delta \sigma } _ { i } ( t ) + 2 \sum _ { j } \Gamma _ { i j } \dot { \delta \sigma } _ { j } ( t ) + \sum _ { j } O _ { i j } \delta \sigma _ { j } ( t ) } & { { } \approx 0 , } \end{array}
- \frac { ( m _ { 1 } ^ { \prime } + m _ { 2 } ) ( m _ { 1 } + \omega _ { 1 0 } + m _ { 2 } + \omega _ { 2 0 } ) \xi _ { 2 } } { 1 6 M ^ { \prime } M m _ { 1 } ^ { \prime } \omega _ { 1 0 } \omega _ { 2 0 } } + \frac { ( M ^ { \prime } - M ) \xi _ { 1 } } { 8 M ^ { \prime } M ^ { 2 } \omega _ { 1 0 } } \; ,
\begin{array} { r } { W _ { j } ( \mathbf { q } ) = \frac { \Omega } { 4 m _ { j } } \sum _ { \nu } \int _ { 1 \mathrm { ~ B ~ Z ~ } } \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { | \mathbf { q } \cdot \boldsymbol { \epsilon } _ { \nu , j , \mathbf { k } } | ^ { 2 } } { \omega _ { \nu , \mathbf { k } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \nabla d _ { 0 } \cdot \nabla d _ { 1 / 2 } } & { { } = 0 , } & { \qquad } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) , } \\ { \nabla d _ { 0 } \cdot \nabla d _ { k } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \frac { 1 } { 2 } \leq i \leq k - \frac { 1 } { 2 } , i \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \nabla d _ { i } \cdot \nabla d _ { k - i } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k \geq 1 , \ k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } , } & { \qquad } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) . } \end{array}
W = p P ( z _ { i } ) = p ( z _ { 1 } ^ { 9 } z _ { 4 } ^ { 3 } + z _ { 2 } ^ { 9 } z _ { 4 } ^ { 3 } + z _ { 3 } ^ { 9 } z _ { 4 } ^ { 3 } + z _ { 5 } ^ { 3 } + z _ { 6 } ^ { 3 } ) .
x ^ { \alpha { \dot { \alpha } } } = \left( \begin{array} { c l } { { x ^ { 0 } + y } } & { { x ^ { 1 } - i x ^ { 2 } } } \\ { { x ^ { 1 } + i x ^ { 2 } } } & { { x ^ { 0 } - y } } \end{array} \right)
| \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta , 0 ) , ( \alpha , q ) } ( \ell ) | = | q | ^ { - 2 \Delta _ { \beta } } ( \Im q ) ^ { \Delta _ { \beta } - 2 \Delta _ { \alpha } } \cdot 2 ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } \ell ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \frac { 1 } { 2 } \beta + \alpha - Q ) - 1 } \cdot \frac { 2 } { \gamma } \cdot \overline { G } ( \alpha , \beta ) .
\begin{array} { r l } { f _ { x } ( \theta , \phi ) } & { = e _ { \mathrm { f a r } , \theta } ( \theta , \phi ) \cos \theta - e _ { \mathrm { f a r } , \phi } ( \theta , \phi ) { \sin \phi } / { \cos \theta } } \\ { f _ { y } ( \theta , \phi ) } & { = e _ { \mathrm { f a r } , \theta } ( \theta , \phi ) \sin \phi + e _ { \mathrm { f a r } , \phi } ( \theta , \phi ) { \cos \phi } / { \cos \theta } } \end{array}
S _ { 4 } ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = { \frac { \kappa } { 4 \pi } } \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \int d ^ { 3 } x \epsilon ^ { \mu \nu \rho } a _ { \mu } ^ { ( i ) } \partial _ { \nu } b _ { \rho } ^ { ( i ) } +
\widehat { P } _ { k } \check { P } _ { k + 1 } \cdots \check { P } _ { l + 1 } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) = P _ { 1 } \cdots P _ { k } \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } v _ { l + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } v _ { l + 1 } } \end{array} \right) + f _ { k + 1 }
\frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } s } = g ( z ) , \quad \quad \left\{ \begin{array} { l l } { g ^ { ( 1 ) } ( z ) = 1 0 ( z ^ { ( 2 ) } - z ^ { ( 1 ) } ) , } \\ { g ^ { ( 2 ) } ( z ) = z ^ { ( 1 ) } ( 2 8 - z ^ { ( 3 ) } ) - z ^ { ( 2 ) } , } \\ { g ^ { ( 3 ) } ( z ) = z ^ { ( 1 ) } z ^ { ( 2 ) } - \frac { 8 } { 3 } z ^ { ( 3 ) } , } \end{array} \right. \quad \quad G : z ( s ) \mapsto z ( s + \Delta _ { s } ) ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ( \psi ( \omega ) ) ^ { n - k } g ^ { ( k ) } ( z ) } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ( \psi ( \omega ) ) ^ { n - k } \sum _ { \mu = 0 } ^ { k } \binom { k } { \mu } g _ { 1 } ^ { ( \mu ) } ( z ) g _ { 2 } ^ { ( k - \mu ) } ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d s } { d t } } & { { } = } & { - \frac { s f } { \tau _ { 0 } } } \\ { \frac { d f } { d t } } & { { } = } & { \frac { ( s - \beta ) f } { \tau _ { 0 } } } \end{array}
\int x ^ { 2 } \operatorname { a r c s c h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 3 } \operatorname { a r c s c h } ( a x ) } { 3 } } - { \frac { 1 } { 6 a ^ { 3 } } } \operatorname { a r c o t h } { \sqrt { { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } + 1 } } + { \frac { x ^ { 2 } } { 6 a } } { \sqrt { { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } + 1 } } + C
\left\{ \begin{array} { l l } { \pm i \sqrt { z _ { 1 } z _ { 2 } } , \pm \zeta ( T _ { 1 } ) , \pm \overline { { \zeta ( T _ { 1 } ) } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } z _ { 1 } ^ { 2 } - 6 z _ { 1 } z _ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } < 0 } \\ { \pm i \zeta ( T ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } z _ { 1 } ^ { 2 } - 6 z _ { 1 } z _ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } \ge 0 } \end{array} \right.
F _ { \rho _ { 1 } } ^ { G } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { G } = \left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { \bar { \omega } } & { \bar { \omega } } \\ { 1 } & { 2 } & { \omega } \\ { 1 } & { \omega } & { 2 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } & { \mathrm { R b } } & { ( 5 P ) + \hbar \omega ( 3 . 1 \mathrm { { e V } } ) \rightarrow \mathrm { { R b } } ^ { + } + e ( p _ { r } = 0 . 2 a . u . ) , } \\ & { \mathrm { R b } } & { ( 5 S ) + 2 \hbar \omega ( 6 . 2 \mathrm { { e V } } ) \rightarrow { \mathrm { R b } } ^ { + } + e ( p _ { r } = 0 . 3 9 a . u . ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( R _ { L } - S ) f \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \le \| ( \chi _ { \Gamma _ { L } } - \chi _ { E } ) \mathcal { F } ( \chi _ { F } f ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \le | E \Delta \Gamma _ { L } | \| \mathcal { F } ( \chi _ { F } f ) \| _ { \infty } ^ { 2 } } \\ & { \le | E \Delta \Gamma _ { L } | \| \chi _ { F } f \| _ { 1 } ^ { 2 } \le | E \Delta \Gamma _ { L } | | F | \| f \| _ { 2 } ^ { 2 } \xrightarrow { L \to \infty } 0 . } \end{array}
- \frac { 2 \pi } { \varepsilon ^ { 2 } } h _ { e } ^ { 4 } \log { h ^ { \ast } } \leq \ensuremath { \operatorname { O } \left( \frac { { h ^ { \ast } } ^ { 4 } ( \gamma + 1 ) } { \gamma \varepsilon ^ { 2 } } \right) } .
\operatorname * { d e t } [ - G _ { a b } ] = Z _ { p } ^ { - { \frac { ( p + 1 ) } { 2 } } } \left( 1 - Z _ { p } \sum _ { m = p + 1 } ^ { 9 } v _ { m } ^ { 2 } \right) = Z _ { p } ^ { - { \frac { ( p + 1 ) } { 2 } } } \left( 1 - Z _ { p } v ^ { 2 } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \langle S _ { \mathrm { e r r } } \rangle } & { = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 1 } \, q _ { 1 } ( t _ { 1 } ) \, S _ { \mathrm { e r r } } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } > \tau _ { \mathrm { l } } | t _ { 1 } ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 1 } \, q _ { 1 } ( t _ { 1 } ) \, e ^ { - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } + \tau _ { \mathrm { l } } } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { U = A ^ { 2 } \prod _ { i \in \mathcal { R } _ { 1 } } ( x - \alpha _ { i } ) , \; V = B ^ { 2 } \prod _ { i \in \mathcal { R } _ { 2 } } ( x - \alpha _ { i } ) } \\ { U - V = C ^ { 2 } \prod _ { i \in \mathcal { R } _ { 3 } } ( x - \alpha _ { i } ) , \; U - \kappa V = D ^ { 2 } \prod _ { i \in \mathcal { R } _ { 4 } } ( x - \alpha _ { i } ) } \end{array}
\psi _ { \boldsymbol \theta } ( \mathbf { s } ) = \psi _ { \boldsymbol \theta } ( s _ { 1 } ) \cdot \psi _ { \boldsymbol \theta } ( s _ { 2 } | s _ { 1 } ) \cdot . . . \cdot \psi _ { \boldsymbol \theta } ( s _ { N } | s _ { N - 1 } . . . s _ { 1 } )
( \mathbf { W } ^ { i } - \mathbf { G } ^ { i } ) \cdot ( \mathbf { W } ^ { i } - \mathbf { G } ^ { i } ) - ( \mathbf { W } ^ { 1 } - \mathbf { G } ^ { 1 } ) \cdot ( \mathbf { W } ^ { 1 } - \mathbf { G } ^ { 1 } ) = 0 , \quad i = 2 , \ldots , 5 .
L _ { x _ { 1 } } \times L _ { x _ { 2 } } \times L _ { x _ { 3 } } = 2 0 0 \delta _ { \mathrm { i n } } ^ { * } \times 1 0 \delta _ { \mathrm { i n } } ^ { * } \times 1 5 \delta _ { \mathrm { i n } } ^ { * }
\operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \left( \int _ { r _ { c } ^ { 0 } } ^ { r } \frac { q _ { r } ^ { 0 } ( r ^ { \prime } ) } { \hbar } \mathrm { d } r ^ { \prime } - \frac { q _ { \infty } r } { \hbar } \right) = - \frac { \pi } { 2 } \frac { q _ { \infty } r _ { \mathrm { c } } ^ { 0 } } { \hbar } = - \frac { | m | \pi } { 2 } .
\begin{array} { r } { q = \frac { D _ { 2 } - D _ { 1 } } { 2 } \pm \mathrm { i } \sqrt { D _ { \mathrm { t o t } } \left( D _ { \mathrm { f } } - \frac { D _ { \mathrm { t o t } } } { 4 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { c } { { \displaystyle { u _ { 1 } ^ { [ r ] } \, = \, \left( \frac { \zeta _ { 1 } } { \zeta _ { 0 } } \, - \, \eta _ { 1 } \right) ^ { [ r ] } \, \, , } } } \\ { { \mathrm { } } } \\ { { \displaystyle { \sum _ { s \, = \, 1 } ^ { r } \, u _ { 2 \, s \, + \, 1 } ^ { [ r ] } \, = \, \left( \frac { \zeta _ { 2 } } { \zeta _ { 0 } } \, - \, \eta _ { 1 } \, \frac { \zeta _ { 1 } } { \zeta _ { 0 } } \, + \, \eta _ { 1 } ^ { 2 } \, - \, \eta _ { 2 } \right) ^ { [ r ] } \, \, , } } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { T } d t \frac { \delta } { { \delta s _ { \mu \nu } ( t ) } } \exp ( - \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { T } { d t \dot { x } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } d t \, \omega _ { \mu \nu } \left[ \dot { x } ( t ) \right] \exp ( - \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { T } { d t \dot { x } ^ { 2 } } ) ,
\dot { \bar { r } } ( t ) \, = \, \mathcal { O } \Bigl ( \frac { \nu } { r _ { 0 } } \Bigr ) \, , \qquad \dot { \bar { z } } ( t ) \, = \, \frac { \Gamma } { 4 \pi r _ { 0 } } \Bigl ( \log \frac { 1 } { \epsilon ( t ) } + \hat { v } \Bigr ) \Bigl ( 1 + \mathcal { O } \bigl ( \epsilon ( t ) ^ { 2 } \bigr ) \Bigr ) \, ,
A _ { 1 , 2 } = \frac { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } { 2 \theta ^ { 2 } } \left( \gamma \pm \sqrt { \gamma ^ { 2 } - 3 2 \frac { \lambda \theta ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \right) ,
{ \begin{array} { l c l } { K , N } & { = } & { { \mathrm { a s ~ a b o v e } } } \\ { \phi _ { i = 1 \dots K } , { \boldsymbol { \phi } } } & { = } & { { \mathrm { a s ~ a b o v e } } } \\ { z _ { i = 1 \dots N } , x _ { i = 1 \dots N } } & { = } & { { \mathrm { a s ~ a b o v e } } } \\ { \theta _ { i = 1 \dots K } } & { = } & { \{ \mu _ { i = 1 \dots K } , \sigma _ { i = 1 \dots K } ^ { 2 } \} } \\ { \mu _ { i = 1 \dots K } } & { = } & { { \mathrm { m e a n ~ o f ~ c o m p o n e n t ~ } } i } \\ { \sigma _ { i = 1 \dots K } ^ { 2 } } & { = } & { { \mathrm { v a r i a n c e ~ o f ~ c o m p o n e n t ~ } } i } \\ { \mu _ { 0 } , \lambda , \nu , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } & { = } & { { \mathrm { s h a r e d ~ h y p e r p a r a m e t e r s } } } \\ { \mu _ { i = 1 \dots K } } & { \sim } & { { \mathcal { N } } ( \mu _ { 0 } , \lambda \sigma _ { i } ^ { 2 } ) } \\ { \sigma _ { i = 1 \dots K } ^ { 2 } } & { \sim } & { \operatorname { I n v e r s e - G a m m a } ( \nu , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ { { \boldsymbol { \phi } } } & { \sim } & { \operatorname { S y m m e t r i c - D i r i c h l e t } _ { K } ( \beta ) } \\ { z _ { i = 1 \dots N } } & { \sim } & { \operatorname { C a t e g o r i c a l } ( { \boldsymbol { \phi } } ) } \\ { x _ { i = 1 \dots N } } & { \sim } & { { \mathcal { N } } ( \mu _ { z _ { i } } , \sigma _ { z _ { i } } ^ { 2 } ) } \end{array} }
Y = X + { \frac { 1 } { s } } \left( ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) Y - ( z _ { 1 } + z _ { 2 } ) X + { \frac { 1 } { s } } ( z _ { 1 } z _ { 2 } X - p _ { 1 } p _ { 2 } Y ) \right) .
\mathrm { d } \phi \simeq \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { \cdots } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right)
\hat { r } ^ { x } = R _ { x } \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \, \, \, \hat { r } ^ { y } = R _ { y } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \mathrm { , }
\begin{array} { r l } & { d _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { p o t } } ( V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } ) - d _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { p o t } } ( V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } ) } \\ { = } & { | \{ ( v ^ { \prime } , v ) : ( v ^ { \prime } , v ) \in E _ { \mathrm { p o t } } , v ^ { \prime } \notin V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } , v \in V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } \} | } \\ & { - | \{ ( v , v ^ { \prime } ) : ( v , v ^ { \prime } ) \in E _ { \mathrm { p o t } } , v ^ { \prime } \notin V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } , v \in V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } \} | , } \end{array}
h _ { \mathrm { N F } } = \sum _ { i = s , p } \int d \omega \int _ { \frac { \omega } { c } } ^ { \infty } \frac { k } { 2 \pi ^ { 3 } } d k \frac { \partial } { \partial T } \left( \frac { \hbar \omega } { e ^ { \frac { \hbar \omega } { k _ { B } T } } - 1 } \right) \frac { \mathrm { I m } [ r _ { 3 1 } ^ { i } ] \mathrm { I m } [ r _ { 3 2 } ^ { i } ] e ^ { - 2 \mathrm { I m } [ \gamma _ { 3 } ] d } } { \left| 1 - r _ { 3 1 } ^ { i } r _ { 3 2 } ^ { i } e ^ { 2 i \gamma _ { 3 } d } \right| ^ { 2 } } { , }
\begin{array} { r l } { u _ { \alpha } ^ { h } } & { \to \bar { u } _ { \alpha } - x _ { 3 } \partial _ { x _ { \alpha } } u _ { 3 } , \quad \mathrm { s t r o n g l y ~ i n ~ } L ^ { 1 } ( \Omega ) , \quad \alpha = 1 , 2 , } \\ { u _ { 3 } ^ { h } } & { \to u _ { 3 } , \quad \mathrm { s t r o n g l y ~ i n ~ } L ^ { 1 } ( \Omega ) . } \end{array}
C _ { \textup { T } , \tilde { G } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha , \tilde { G } ) = C _ { \textup { T } , \tilde { G } , \parallel } + \left[ C _ { \textup { T } , \tilde { G } , \perp } - C _ { \textup { T } , \tilde { G } , \parallel } \right] \sin ( \theta ) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { { } = C _ { 1 } \, e ^ { - \pi { \frac { x ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } } } \\ { \therefore { \hat { f } } ( \xi ) } & { { } = \sigma C _ { 1 } \, e ^ { - \pi \sigma ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } } \end{array}
\varepsilon ^ { ( 1 ) } ( \vec { x } ) = \frac { g _ { \varepsilon } \lambda ^ { 2 } } { 4 \pi c \tau _ { S } } \, \frac { \cos ( | \vec { x } - \vec { x } _ { S } | / \lambda ) } { | \vec { x } - \vec { x } _ { S } | } \sum _ { l \, m _ { l } } c _ { l \, m _ { l } } Y _ { l \, m _ { l } } ( \theta , \phi ) \, .
\frac { d \eta } { d z } = \eta \left\lbrace g _ { L } \left[ \frac { \operatorname { t a n h } ( V ) } { \operatorname { t a n h } \left( V _ { 0 } \right) } - 1 \right] + \frac { 4 } { 3 } \epsilon _ { 3 } \left[ \eta _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \operatorname { t a n h } ( V ) } { \operatorname { t a n h } \left( V _ { 0 } \right) } - \eta ^ { 2 } \right] \right\rbrace .
{ \cal C } _ { \mathrm { T e i x e i r a } } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \frac { D q _ { c } } { 2 q _ { s } ( 1 - \widehat { \mathrm { R H } } ) K } \left( - 1 + \sqrt { 1 + \frac { 4 q _ { s } ( 1 - \widehat { \mathrm { R H } } ) K } { D q _ { c } } } \right) ,
Z = { \cal N } \, \int \prod _ { x } \{ \mathrm { d } v _ { \mu } \, \mathrm { d } j ^ { \mu } \, \mathrm { d } j _ { 5 } ^ { \mu } \, \mathrm { d } | h | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \alpha \} \, e ^ { \mathrm { i } \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \, { \cal L } [ v _ { \mu } , j ^ { \mu } , j _ { 5 } ^ { \mu } , | h | , \alpha ] } ,
Z _ { n } ( p ) = a \int _ { x } e ^ { - i p x } { \frac { \delta ^ { ( 2 ) } \Gamma } { \delta \Psi _ { R } ^ { n } ( x ) \delta \bar { \chi } _ { L } ^ { \prime } ( 0 ) } } = a \int _ { x } e ^ { - i p x } { \frac { \delta ^ { ( 2 ) } \Gamma } { \delta \Psi _ { L } ^ { n } ( x ) \delta \bar { \chi } _ { R } ^ { \prime } ( 0 ) } } = a M ( p ) .
\begin{array} { r l } { 2 \omega \lambda _ { n l } } & { = 2 \omega \bigl \langle \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) \big | \sum _ { \mathfrak { n } = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { \mathfrak { n } } \psi _ { \mathfrak { n } } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { \mathfrak { n } } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) \bigr \rangle } \\ & { = 2 \omega \langle \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) | \Psi _ { \infty } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) \rangle = \langle \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) | H | \Psi _ { \infty } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) \rangle } \\ & { = \bigl \langle \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) \big | H \big | \sum _ { \mathfrak { n } = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { \mathfrak { n } } \psi _ { \mathfrak { n } } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { \mathfrak { n } } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) \bigr \rangle } \\ & { = 2 \lambda _ { n l } ( t _ { n l } + v _ { n l } ) + \langle \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) | \delta _ { \mathrm { { r e g } } } ( \vec { r } _ { 1 2 } ) | \Psi _ { \infty } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) \rangle } \\ & { = 2 \lambda _ { n l } ( t _ { n l } + v _ { n l } ) - \frac { 4 \omega } { \pi ^ { 1 / 2 } } u _ { n l } \, , } \end{array}
\Delta \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } = \overline { { \Omega } } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } + 2 \widetilde { \gamma } \cos ( \theta ) , \qquad \textnormal { i . e . } \qquad \partial _ { \theta } \big [ \sin ( \theta ) \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta ) \big ] = \sin ( \theta ) \Big ( \omega _ { N } \mathbf { 1 } _ { 0 < \theta < \theta _ { 0 } } + \omega _ { S } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { 0 } \leqslant \theta < \pi } \Big ) + \widetilde { \gamma } \sin ( 2 \theta ) .
\operatorname* { m a x } _ { \lambda _ { 0 } ; { \boldsymbol { \lambda } } } \left\{ \sum _ { j = 0 } ^ { n } \lambda _ { j } a _ { j } - \sum _ { k \geq 1 } \exp \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } \lambda _ { j } f _ { j } ( x _ { k } ) \right) \right\} \quad \mathrm { s u b j e c t \; t o : \; \; } { \boldsymbol { \lambda } } \geq \mathbf { 0 }
\psi _ { 1 } = \int d ^ { D } x \left( - \mu _ { 3 a } ^ { ( \varphi ) } \partial ^ { \alpha } \mu _ { 2 \alpha } ^ { a } + \left( \partial ^ { \alpha } \mu _ { 3 \alpha } ^ { a } \right) \mu _ { 2 a } ^ { ( \varphi ) } + \left( \partial ^ { \alpha } A _ { \alpha } ^ { a } \right) \nu _ { 1 a } ^ { ( \varphi ) } - \left( \partial ^ { \alpha } \varphi _ { a } \right) \nu _ { 1 \alpha } ^ { a } \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { \bar { \mu } _ { i } ( x , u ) : = \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( k _ { i } ( x ^ { ( j ) } , x ) + u ^ { ( j ) } u ) \bar { h } _ { i } ^ { ( j ) } } \\ & { \quad \bar { h } _ { i } : = ( K _ { i } + K _ { u } + \sigma _ { y _ { i } } ^ { 2 } I _ { N } ) ^ { - 1 } Y _ { i } \in { \mathbb R } ^ { N } } \\ & { \quad K _ { u } : = \left[ \begin{array} { l l l } { ( u ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } & { \cdots } & { u ^ { ( 1 ) } u ^ { ( N ) } } \\ { \vdots } & { \ddots } \\ { u ^ { ( N ) } u ^ { ( 1 ) } } & { \cdots } & { ( u ^ { ( N ) } ) ^ { 2 } } \end{array} \right] \in { \mathbb R } ^ { N \times N } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { b } ( \vec { r } | s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ) = \int d ^ { 3 } r _ { 0 } G _ { \mathrm { b r i d g e } } ( \vec { 0 } , 0 | \vec { r } _ { 0 } , - t _ { 1 } ; \vec { r } _ { 0 } , t _ { 2 } ) G _ { \mathrm { f r e e } } ( \vec { r } , t _ { 2 } + ( 1 - x _ { s - t _ { 2 } } ) ( s - t _ { 2 } ) | \vec { r } _ { 0 } , t _ { 2 } ) = } \\ { = \frac { 1 } { ( 4 \pi D \tilde { s } _ { b } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ] ) ^ { 3 / 2 } } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { 4 D \tilde { s } _ { b } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ] } \right) , } \end{array}
d s ^ { 2 } = [ 1 + 8 G _ { 0 } \mu \xi ^ { - 1 } \alpha ^ { 2 } ( \phi _ { 0 } ) l n \rho / r _ { 0 } ] [ - d t ^ { 2 } + d z ^ { 2 } + d \rho ^ { 2 } + ( 1 - 8 G _ { 0 } \mu ) \rho ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } ] ,