harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { D \textbf { u } } { D t } + \textbf { u } \cdot \nabla \textbf { U } _ { 0 } + \frac { \textrm { P r } } { \textrm { E k } } \hat { \textbf { z } } \times \textbf { u } = - \nabla p + \textrm { P r R a } \theta \hat { \textbf { z } } + \mathrm { ~ P ~ r ~ } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } ,
f _ { \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } } = \mathbb { E } _ { \mathbf { y } _ { 1 } , \mathbf { y } _ { 2 } \sim \textsc { E i g e n F o l d } } \left[ f ( \mathbf { y } _ { 1 } , \mathbf { y } _ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r l } { \| \nabla _ { z } } & { \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } } \\ { \leq } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \beta _ { 1 } \left\| ( P _ { j } ^ { t + 1 } ) ^ { * } \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( u _ { j } ^ { t + 1 } + \frac { \Lambda _ { j } ^ { t } } { \beta _ { 1 } } \right) - ( P _ { j } ^ { t + 1 } ) ^ { * } P _ { j } ^ { t + 1 } z ^ { t + 1 } \right\| _ { 2 } \right] + \beta _ { 2 } \left\| \nabla ^ { \top } \left( v ^ { t + 1 } + \frac { y ^ { t } } { \beta _ { 2 } } \right) + \Delta z ^ { t } \right\| _ { 2 } } \\ { \leq } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \beta _ { 1 } \| \omega ^ { t + 1 } \| _ { \infty } \left( \| u _ { j } ^ { t + 1 } \| _ { 2 } + \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \| \Lambda _ { j } ^ { t } \| _ { 2 } + \| \omega ^ { t + 1 } \| _ { \infty } \| z ^ { t + 1 } \| _ { 2 } \right) \right] } \\ & { + \beta _ { 2 } \left[ \| \nabla \| \left( \| v ^ { t + 1 } \| _ { 2 } + \frac { 1 } { \beta _ { 2 } } \| y ^ { t } \| _ { 2 } \right) + \| \Delta \| \| z ^ { t } \| _ { 2 } \right] . } \end{array}
U _ { \nu } ~ d \nu = \left( { \frac { N \, h \nu } { V } } \right) P _ { \nu } ~ d \nu = { \frac { 4 \pi f h \nu ^ { 3 } } { c ^ { 3 } } } ~ { \frac { 1 } { e ^ { ( h \nu - \mu ) / k _ { \mathrm { { B } } } T } - 1 } } ~ d \nu .
I _ { 3 } + I _ { 4 } = - \ln \left( { \frac { m \rho } { 2 } } \right) - \gamma _ { E } - { \frac { 1 } { 2 } } + { \cal O } ( m ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \ln ^ { 2 } m \rho ) \, ,
\psi _ { i j } ^ { n } - \frac { b _ { 2 0 n } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \psi _ { i j } ^ { 0 } \in ( \mathbb { V } ^ { ( 0 ) } \oplus \mathbb { V } ^ { ( 1 ) } ) ^ { \perp } , \qquad \forall i = 1 , 2 , 3 , \quad n \geq 1 .
( O ^ { \circ } - P _ { 1 } ^ { \; \circ } ) { \scriptstyle { \, [ \mathfrak { A } _ { 0 } { \, + \, } \mathfrak { A } _ { 1 } ] \, } } ( O ^ { \circ } - P _ { 1 } ^ { \; \circ } ) = ( O ^ { \circ } - P _ { i } ^ { \; \circ } ) { \scriptstyle { \, [ \mathfrak { A } _ { 0 } { \, + \, } \mathfrak { A } _ { 1 } ] \, } } ( O ^ { \circ } - P _ { i } ^ { \; \circ } ) , \, 1 { \, \le \, } i { \, \le \, } n { + } 1 \; .
\begin{array} { r l } { \Phi } & { : Y \times ( \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) , - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) ) \to Y \times ( - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) ^ { 2 } , \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) ^ { 2 } ) } \\ { \Phi ( s , t ) } & { = ( s , t + \eta ) } \\ { \implies ( \Phi ^ { - 1 } ) _ { * } ( \nu _ { \eta } ) } & { = ( 1 + A ( s ) ) ( \Phi ^ { - 1 } ) _ { * } ( \partial _ { t } ) + B ^ { i } ( s ) ( \Phi ^ { - 1 } ) _ { * } ( \partial _ { s _ { i } } ) } \\ & { = ( 1 + A ( s ) ) \partial _ { t } + B ^ { i } ( s ) ( \partial _ { s _ { i } } + \eta _ { i } \partial _ { t } ) } \\ & { = ( 1 + A ( s ) + B ^ { i } \eta _ { i } ) \partial _ { t } + B ^ { i } ( s ) \partial _ { s _ { i } } } \\ & { = ( 1 + \tilde { A } ( s ) ) \partial _ { t } + B ^ { i } ( s ) \partial _ { s _ { i } } } \\ { | | \tilde { A } ( s ) | | _ { C ^ { 1 , \alpha } ( Y ) } } & { \leq C | | \eta | | _ { C ^ { 2 , \alpha } ( Y ) } ^ { 3 } \leq C | | \eta | | _ { C ^ { 2 , \alpha } ( Y ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { S t } } & { = 4 \pi \int \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } n _ { \vec { k } } n _ { \vec { k } _ { 1 } } n _ { \vec { k } _ { 2 } } n _ { \vec { k } _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { n _ { \vec { k } } } + \frac { 1 } { n _ { \vec { k } _ { 1 } } } - \right. } \\ & { \left. - \frac { 1 } { n _ { \vec { k } _ { 2 } } } - \frac { 1 } { n _ { \vec { k } _ { 3 } } } \right) \delta ( \vec { k } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 3 } ) \times } \\ & { \delta ( \omega _ { k } + \omega _ { k _ { 1 } } - \omega _ { k _ { 2 } } - \omega _ { k _ { 3 } } ) \mathrm d \vec { k } _ { 1 } \mathrm d \vec { k } _ { 2 } \mathrm d \vec { k } _ { 3 } . } \end{array}
S ( T ) = - \frac { \partial F } { \partial T } = \Delta n ^ { 2 } \left( \frac { 3 \zeta ( 3 ) } { 4 \pi ^ { 2 } } t ^ { 2 } - \frac { 7 } { 1 3 5 } t ^ { 3 } + \frac { 8 8 } { 4 7 2 5 } t ^ { 5 } - \frac { 7 3 6 } { 5 5 1 2 5 } t ^ { 7 } + { \cal O } ( t ^ { 9 } ) \right) { . }
w _ { k } ( { \sf t ^ { v } } ; t _ { k - 1 } , t _ { k } ) = \theta ( t _ { k } - t _ { k - 1 } ) \left[ 1 - \exp \Bigl ( - \frac { t _ { k } - t _ { k - 1 } } { { \sf t ^ { v } } } \Bigr ) \right] \exp \Bigl ( - ( k - 1 ) \frac { t _ { k } - t _ { k - 1 } } { { \sf t ^ { v } } } \Bigr ) \, .
\widehat { \mathcal { E } } _ { A _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } } ^ { 2 } \approx \frac { \left\Vert \mathbb { E } ( u ) - \mathbb { E } ( u _ { h } ) \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } } { \left\Vert \mathbb { E } ( u _ { h } ) \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } } + \frac { \mathbb { V } ( u _ { h } ) } { N \left\Vert \mathbb { E } ( u _ { h } ) \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } } = \widehat { \mathcal { E } } _ { \mathrm { ~ B ~ i ~ a ~ s ~ } } ^ { 2 } + \widehat { \mathcal { E } } _ { \mathrm { ~ S ~ t ~ a ~ t ~ } } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { d \theta } { d t } = \frac { - \frac { \pi } { 2 } L D { { c } _ { s } } \left( \frac { { 4 \gamma } } { L P _ { \infty } } \sin \theta - \zeta \right) f \left( \theta \right) + { { J } _ { i n } } } { \frac { \frac { \pi } { 8 } { { L } ^ { 3 } } { { \rho } _ { \infty } } \left( { { P } _ { \infty } } { b } + { { k } _ { B } } T \right) } { \left( 1 + \frac { 4 \gamma } { L { { P } _ { \infty } } } \sin \theta \right) { { P } _ { \infty } } { b } + { { k } _ { B } } T } \left( { { T } _ { 1 } } - { { T } _ { 2 } } \right) } , \, \, \, \mathrm { w i t h } } \\ & { { { T } _ { 1 } } = \frac { 1 + \frac { 4 \gamma } { L { { P } _ { \infty } } } \sin \theta } { { { \left( 1 + \cos \theta \right) } ^ { 2 } } } + \frac { 4 \gamma } { L { { P } _ { \infty } } } \frac { { { \cos } ^ { 3 } } \theta - 3 \cos \theta + 2 } { 3 { { \sin } ^ { 3 } } \theta } \cos \theta , } \\ & { { { T } _ { 2 } } = \frac { \frac { 4 \gamma { b } } { L } \cos \theta \left( 1 + \frac { 4 \gamma } { L { { P } _ { \infty } } } \sin \theta \right) \left( \frac { { { \cos } ^ { 3 } } \theta - 3 \cos \theta + 2 } { 3 { { \sin } ^ { 3 } } \theta } \right) } { \left( 1 + \frac { 4 \gamma } { L { { P } _ { \infty } } } \sin \theta \right) { { P } _ { \infty } } b + { { k } _ { B } } T } . } \end{array}
\xi _ { 1 } + \xi _ { 2 } - 1 + \frac { \zeta _ { c } ^ { 2 } } { 2 } \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } + \frac { \zeta _ { c } ^ { 4 } } { 7 2 } \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } \big ( \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } - 1 \big ) = O ( \zeta _ { c } ^ { 6 } ) .
\begin{array} { r } { \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { p } , \tau ) \right> = \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { p } , t ) \right> - \left( t - \tau \right) \frac { \partial } { \partial t } \! \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { p } , t ) \right> + O ( ( t - \tau ) ^ { 2 } ) } \end{array}
\overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } ) = \overline { { \omega } } _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } \left( \boldsymbol { \alpha ^ { \prime } } \right) + \overline { { \omega } } _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } \left( \boldsymbol { \gamma ^ { \prime \prime } } \right) \leq \tilde { \rho } ( C _ { 1 } ) + \tilde { \rho } ( C _ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { { \mathbf B } _ { 0 } = { \mathbf 0 } , \ { \mathbf A } = { \mathbf 0 } , \ f = \frac { 1 } { \pi ^ { \frac { 3 } { 2 } } v _ { T } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { - \frac { | p _ { x } | ^ { 2 } } { v _ { T } ^ { 2 } } - \frac { | p _ { y } | ^ { 2 } } { v _ { T } ^ { 2 } } - \frac { | p _ { z } - 0 . 1 | ^ { 2 } } { v _ { T } ^ { 2 } } } , \, T = 1 , \ v _ { T } = 0 . 1 , } \end{array}
\vec { F } ^ { k } ( \vec { x } , t ) = \nabla \left( \frac { \rho ^ { \zeta } ( \vec { x } , t ) - \rho ^ { \xi } ( \vec { x } , t ) } { \rho ^ { \zeta } ( \vec { x } , t ) + \rho ^ { \xi } ( \vec { x } , t ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { T _ { 1 , 1 } } & { \overset { ( a ) } { \leq } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| p _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - p _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 \bigg ( L ^ { 2 } + \frac { 2 L _ { y ^ { 2 } } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } + \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| u _ { t } ^ { ( m ) } - u _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| \eta \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } + \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \tau ^ { 2 } q _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } \end{array}
\lVert \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } - u _ { 1 } ^ { [ k ] } \rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ) } = \lVert ( \hat { w } _ { 1 } + \hat { g } _ { 1 } ) - ( w _ { 1 } + g _ { 1 } ) \rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ) } \leq \lVert \hat { w } _ { 1 } - w _ { 1 } \rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ) } + \lVert \hat { g } _ { 1 } - g _ { 1 } \rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ) } .
\Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } = 1 . 5 0 \, \mu ^ { 2 } \; , \; \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } = 4 2 5 \, \mu ^ { 2 } \; , \; \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } = 4 2 7 \, \mu ^ { 2 }
\mathcal B ( \mathbb H ) = \mathbb P ( \alpha | \mathbb H ) \, \mathbb P ( \beta | \mathbb H ) \, \mathbb P ( \gamma | \mathbb H ) \, \mathbb P ( \delta _ { u } | \mathbb H ) \, \mathbb P ( \delta _ { d } | \mathbb H ) \, \mathbb P ( \lambda | \mathbb H ) \, \mathbb P ( E _ { R } | \mathbb H ) \, \mathbb P ( R _ { o / r } | \mathbb H )
{ \frac { p ^ { 2 } } { m _ { W } ^ { 2 } } } F _ { W 2 } = - { \frac { 3 g ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } { \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { W } ^ { 2 } } } l o g z .
\ddot { \zeta } = - 3 \frac { \dot { \alpha } \dot { \zeta } } { \alpha } - \frac { 9 } { 2 } \frac { \dot { \zeta } ^ { 2 } } { \alpha } - \frac { 2 } { F r } - \frac { 1 2 \dot { \zeta } } { \alpha ^ { 2 } R e }
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { X } \mid \mu , \sigma ^ { 2 } ) } & { { } = \left( { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \frac { \mathrm { d } p _ { R M } } { \mathrm { d } t } } \\ { \frac { \mathrm { d } p _ { R I } } { \mathrm { d } t } } \\ { \frac { \mathrm { d } p _ { R } } { \mathrm { d } t } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { - k _ { m } ^ { - } } & { 0 } & { k _ { m } ^ { + } c _ { m } } \\ { 0 } & { - k _ { i } ^ { - } } & { k _ { i } ^ { + } c _ { i } } \\ { k _ { m } ^ { - } } & { k _ { i } ^ { - } } & { - k _ { m } ^ { + } c _ { m } - k _ { i } ^ { + } c _ { i } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { p _ { R M } } \\ { p _ { R I } } \\ { p _ { R } } \end{array} \right]
\Delta p _ { i } ( x , Q ^ { 2 } ) = \Delta p _ { i } ^ { ( 0 ) } ( x ) + \int _ { k _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { W ^ { 2 } } { \frac { d k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } f _ { i } ( x ^ { \prime } = x ( 1 + { \frac { k ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } ) , k ^ { 2 } ) ,
{ \cal { H } } _ { 0 } = \frac { 1 } { 4 } ( { } ^ { * } H ^ { i j } + \frac { 1 } { 2 } P ^ { i j } ) ( { } ^ { * } H _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } P _ { i j } ) - 2 { } ^ { * } H ^ { 0 i } { } ^ { * } H _ { 0 i } ,
\left( | H \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } - | V \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } - | - m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } \right) / 2
\begin{array} { r l r } { \tilde { \dot { Q } } ( 0 ) } & { { } = } & { - i \mu _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { A } } \Bigg ( \sum _ { k = 1 , k \neq m } ^ { N _ { A } } \hat { \mathbf { G } } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { A _ { m } } , \mathbf { r } _ { A _ { k } } , \omega ) \cdot \mathbf { p } _ { { A _ { k } } } ^ { * } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \big ( \omega ( \mathfrak { a s s } _ { r } ( y , x , z ) , \alpha ^ { 2 } ( t ) ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \omega ( ( y \prec x ) \prec \alpha ( z ) - \alpha ( y ) \prec ( x \bullet z ) , \alpha ^ { 2 } ( t ) \big ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \big ( \omega ( ( y \prec x ) \prec \alpha ( z ) , \alpha ^ { 2 } ( t ) ) - \omega ( \alpha ( y ) \prec ( y \bullet z ) , \alpha ^ { 2 } ( t ) \big ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \big ( \omega ( y \prec x , z \cdot t ) - \omega ( \alpha ( y ) \prec \alpha ( \alpha ^ { - 1 } ( x \bullet z ) ) , \alpha ^ { 2 } ( t ) \big ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \big ( \omega ( y \prec \alpha ( \alpha ^ { - 1 } ( x ) ) , \alpha ^ { 2 } ( \alpha ^ { - 2 } ( z \cdot t ) ) ) - \omega ( \alpha ( y ) , \alpha ^ { - 1 } ( x \bullet z ) \cdot t \big ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \big ( \omega ( y , \alpha ^ { - 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 2 } ( z \cdot t ) ) - \omega ( \alpha ( y ) , \alpha ^ { - 1 } ( x \bullet z ) \cdot t ) \big ) } \\ { = } & { - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \big ( \omega ( \alpha ^ { 2 } ( y ) , ( x \cdot z ) \cdot \alpha ( t ) - \alpha ( x ) \cdot ( z \cdot t ) ) ) } \\ { = } & { - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \omega ( \alpha ^ { 2 } ( y ) , a s ( x , z , t ) ) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { z _ { 0 } } d z \ z \left[ { \frac { 3 } { 4 } } d ^ { N P } ( z ) - \ln [ 1 + 3 d ^ { N P } ( z ) ] \right] = { \frac { 1 } { 2 } } z _ { 0 } ^ { 2 } \left[ { \frac { 3 } { 4 } } d ^ { N P } ( z _ { 0 } ) - \ln [ 1 + 3 d ^ { N P } ( z _ { 0 } ) ] \right] ,
\bar { m } = { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } + 2 g _ { H } ^ { 2 } } } \left( \frac { m _ { \bar { H } } ^ { 2 } } { M } \right) \qquad m = { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } + 2 g _ { H } ^ { 2 } } } \left( \frac { m _ { H } ^ { 2 } } { M } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ \langle N ( u ) \rangle _ { n } \big ] } & { \sim \bigg ( \frac { \beta } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } n u ^ { T } u - \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { a ^ { 2 } ( \beta + 1 ) ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } ( k + 1 ) ^ { - 2 \beta } ( C _ { 1 } k ^ { 2 a ( \beta + 1 ) } + C _ { 2 } k ^ { 1 + 2 \beta } ) u ^ { T } u } \\ & { \sim \bigg ( \frac { \beta } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } n u ^ { T } u - ( C _ { 1 } n ^ { 1 - 2 ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) } + C _ { 2 } ) u ^ { T } u . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { ( g _ { \delta } ) _ { x } p _ { 1 3 } + ( g _ { \delta } ) _ { y } p _ { 2 3 } } { Z } = - x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ( g _ { \delta } ) _ { x } - x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ( g _ { \delta } ) _ { y } \leq | ( g _ { \delta } ) _ { x } | + | ( g _ { \delta } ) _ { y } | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { r } _ { k } } { d t } } & { { } = } & { \vec { u } _ { k } \, , } \\ { \frac { d \vec { p } _ { k } } { d t } } & { { } = } & { \frac { q _ { k } } { V } \int _ { V } d ^ { 3 } r \, \phi \left( \vec { r } , \vec { r } _ { k } \right) \left[ \vec { E } \left( \vec { r } , t \right) + \vec { u } _ { k } \times \vec { B } \left( \vec { r } , t \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathbb { P } \big ( \mathcal { A } ( \phi ) \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) } { \mathbb { P } \big ( \mathcal { A } ( \phi ) \in Y _ { i j } ^ { l } \big ) } = \frac { \sum _ { \widetilde { \phi } _ { 1 } \in Y _ { i j } ^ { g } } \mathbb { P } \big ( \mathcal { A } ( \phi ) = \widetilde { \phi } _ { 1 } \big ) } { \sum _ { \widetilde { \phi } _ { 2 } \in Y _ { i j } ^ { l } } \mathbb { P } \big ( \mathcal { A } ( \phi ) = \widetilde { \phi } _ { 2 } \big ) } \geq \exp \Big ( ( L - 1 ) ^ { - 1 } \epsilon \Big ) , } \\ & { \frac { \mathbb { P } \big ( \mathcal { A } ( \phi ) \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) } { \mathbb { P } \big ( \mathcal { A } ( \phi ) \in Y _ { i j } ^ { l } \big ) } = \frac { \sum _ { \widetilde { \phi } _ { 1 } \in Y _ { i j } ^ { g } } \mathbb { P } \big ( \mathcal { A } ( \phi ) = \widetilde { \phi } _ { 1 } \big ) } { \sum _ { \widetilde { \phi } _ { 2 } \in Y _ { i j } ^ { l } } \mathbb { P } \big ( \mathcal { A } ( \phi ) = \widetilde { \phi } _ { 2 } \big ) } \leq \exp \Big ( \frac { 2 L - 3 } { L - 1 } \epsilon \Big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( w , n , m , r ) } & { = ( 3 2 , 6 2 4 , 3 9 7 , 3 1 ) } \\ { a } & { = { \textrm { 9 9 0 8 B 0 D F } } _ { 1 6 } } \\ { ( u , d ) } & { = ( 1 1 , { \textrm { F F F F F F F F } } _ { 1 6 } ) } \\ { ( s , b ) } & { = ( 7 , { \textrm { 9 D 2 C 5 6 8 0 } } _ { 1 6 } ) } \\ { ( t , c ) } & { = ( 1 5 , { \textrm { E F C 6 0 0 0 0 } } _ { 1 6 } ) } \\ { l } & { = 1 8 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { T = \Tilde { \Theta } \left( \operatorname* { m a x } \left\{ \log \left( ( \lambda _ { 2 } + 2 ) \epsilon ^ { - 1 } \right) / \log \left( \left( 1 - 2 \lambda _ { 2 } / ( \lambda _ { 2 } + \sqrt { 4 + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right) ^ { - 1 } \right) , \, \, \epsilon ^ { - 1 / J } \right\} \right) } \\ & { M = \Tilde { \Theta } \left( \epsilon ^ { - 2 } \left[ \log \left( \frac { T } { { \delta } } \right) + d \log \left( 1 + L _ { 0 } \sqrt { \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } } \epsilon ^ { - 1 } \right) \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \eta _ { t + 1 } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } } & { = ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } - 2 \gamma _ { t } ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) f _ { t } + 2 ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) } \\ & { \qquad - 2 \gamma _ { t } ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) f _ { t } + ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } + \gamma _ { t } ^ { 2 } ( f _ { t } ) ^ { 2 } } \\ & { = ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } - 2 \gamma _ { t } ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) f _ { t } + 2 ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) } \\ & { \qquad + ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } - \gamma _ { t } f _ { t } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\int _ { \partial \Omega } \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } - \int _ { \Sigma } e _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } = \int _ { \Sigma } e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } - \int _ { \partial \Omega } \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } .
\mathcal { E } ( s ) = \frac { \hat { { \cal V } } _ { \Delta x } ( s ) + \mu ^ { 2 } k ^ { 2 } \, \hat { { \cal V } } _ { \Sigma _ { x } } ( s ) - \hat { { \cal \tilde { S } } } ( s ) } { 2 D / s ^ { 2 } } = 1 \, .
\langle B _ { c } | ( \bar { b } _ { i } b _ { j } ) _ { V - A } ^ { \alpha } ( \bar { c } _ { j } c _ { i } ) _ { V - A } ^ { \beta } | B _ { c } \rangle = f _ { B _ { c } } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } g ^ { \alpha \beta } - q ^ { \alpha } q ^ { \beta } \right)
\lambda _ { k } ^ { \mathrm { a v e } } = \left( \frac { \bar { \beta } c \bar { P } } { 1 3 . 6 M e V } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { N _ { k } L _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } } { s _ { i } ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { I } ( t ) } & { { } = } & { \sum _ { m } \omega _ { m } \hat { a } _ { m } ^ { \dag } \hat { a } _ { m } + \sum _ { i } \Omega _ { i } \Big [ \cos \left( \mu t - \phi _ { i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { d } ( r _ { \varepsilon , \theta } ) } & { \leq \tilde { d } \left( \boldsymbol { h } _ { \varepsilon } ^ { - 1 } ( \r _ { \theta } ) \right) , } \\ & { \stackrel { ( a ) } { < } \theta \tilde { d } \left( \boldsymbol { h } _ { \varepsilon } ^ { - 1 } ( \r _ { 1 } ) \right) + ( 1 - \theta ) \tilde { d } \left( \boldsymbol { h } _ { \varepsilon } ^ { - 1 } ( \r _ { 2 } ) \right) , } \\ & { \stackrel { ( b ) } { = } \theta \bar { d } ( r _ { \varepsilon , 1 } ) + ( 1 - \theta ) \bar { d } ( r _ { \varepsilon , 2 } ) . } \end{array}
^ 1 ( \sigma _ { s } \overline { { \sigma _ { s } ^ { * } } } ) \pi _ { y } ^ { 2 } \left( ^ 1 ( \pi _ { x } \overline { { \pi _ { x } ^ { * } } } ) - { } ^ { 1 } ( \pi _ { y } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) \right)
\begin{array} { r l } & { h _ { i } ^ { - 1 } h _ { i + 2 } ^ { - 1 } \cdots h _ { j - 4 } ^ { - 1 } h _ { j - 2 } h _ { j - 4 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ { = } & { h _ { j - 2 } h _ { j - 4 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } h _ { i + 2 } ^ { - 1 } \cdots h _ { j - 4 } ^ { - 1 } h _ { j - 2 } ^ { - 1 } t _ { j - 1 , j } } \end{array}
S ( g ) = - \frac { \tilde { d } ^ { 2 } - 1 } { 2 r ^ { 2 } } + \frac { \tilde { \Lambda } } { 2 } \ \frac { r ^ { 2 \tilde { d } - 2 } } { ( C _ { 2 } + C _ { 1 } r ^ { 2 \tilde { d } } ) ^ { 2 } } .
a _ { \nu } ^ { ( N + 2 ) } = \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } b _ { \nu } ^ { ( 1 ) } = \frac { \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } } { \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 1 1 ) } } = 0
\underbrace { \left( m + m _ { i } \frac { 2 \, l ^ { 2 } } { 4 \, l ^ { 2 } - { \left( 2 \, l \cos { \alpha _ { 0 } } - v _ { b } \right) } ^ { 2 } } \right) } _ { m _ { e } ( t ) } \ddot { v } + c \dot { v } + k v = \underbrace { - m _ { i } \frac { 2 \, l ^ { 2 } - \left( 2 \, l \cos { \alpha _ { 0 } } - v _ { b } \right) ^ { 2 } } { 4 \, l ^ { 2 } - { \left( 2 \, l \cos { \alpha _ { 0 } } - v _ { b } \right) } ^ { 2 } } \ddot { v } _ { b } } _ { F _ { e } ( t ) } + F .
\begin{array} { r l r } { P _ { m } ( t ) } & { { } = } & { g _ { m } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { - \gamma _ { m } ( t - \tau ) } \{ \cos \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 4 \omega _ { m } ^ { 2 } - \gamma _ { m } ^ { 2 } } ( t - \tau ) } \end{array}
\boldsymbol { \lambda } _ { k } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { \rho } _ { k } = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } [ g _ { k } ^ { \prime } ( \Omega ) ] ^ { K + 1 } \, \mathrm { d } \Omega = \| g _ { k } ^ { \prime } \| _ { L ^ { K + 1 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ^ { K + 1 } ,
\left. \frac { { \cal V } _ { \mathrm { e f f } } } { N } \right| _ { \mathrm { s p i r } } = \frac { m ^ { 2 } } { 4 \pi } \ln \left( \frac { m ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } \right) + \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } } { 4 \pi } - \frac { 2 } { \beta } \int \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { - \beta \epsilon ( k ) } \right) - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \pi } \ ,
[ J _ { 0 } ^ { k } , \phi ^ { c } ( w ) ] | \Psi ^ { a b } \rangle ~ + ~ \phi ^ { c } ( w ) J _ { 0 } ^ { k } | \Psi ^ { a b } \rangle = w ^ { - \Delta _ { \phi } } C _ { d } ^ { a b , c } f _ { e } ^ { k d } | \phi ^ { e } \rangle ~ + ~ . . .
\Gamma ( \widetilde b \rightarrow \mathrm { j e t } + \mathrm { j e t } ) = \frac { m _ { \widetilde b } } { 2 \pi } \sin ^ { 2 } \theta _ { \widetilde { b } } \sum _ { j < k } | \lambda _ { i j 3 } ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } .
b _ { i j } = \left( \begin{array} { c c c } { { { \frac { 1 9 9 } { 2 5 } } } } & { { { \frac { 2 7 } { 5 } } } } & { { { \frac { 8 8 } { 5 } } } } \\ { { { \frac { 9 } { 5 } } } } & { { 2 5 } } & { { 2 4 } } \\ { { { \frac { 1 1 } { 5 } } } } & { { 9 } } & { { 1 4 } } \end{array} \right) \; ,
d \sigma _ { i , g } ^ { ( s ) } = \frac { 2 } { \pi } C _ { i , g } H N d \Gamma _ { 2 } ( s ^ { \prime } ) ^ { - 1 + \epsilon / 2 } \left( \frac { s ^ { \prime } } { s } \right) ^ { - 1 + \epsilon / 2 } \left[ \frac { 1 } { \epsilon } + 2 \ln \tilde { \beta } + 2 \epsilon \ln ^ { 2 } \tilde { \beta } \right] f _ { i } ^ { g } ( \theta _ { 1 } ) ,