harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } ^ { \mathrm { n o s c } } ( q _ { B } ) } & { = } & { \frac { \left| C ^ { ( B ) } \right| ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { D + 2 } } | \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } | ^ { 2 } \mathcal { S } _ { D } \pi \left( 1 - \frac D 2 \right) ( 2 \mu _ { B } ) ^ { 1 + D / 2 } } \\ & { \times } & { \left[ \operatorname { R e } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } \right] \csc \left( \frac { D \pi } { 2 } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \| \mathbf { F } _ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { R } _ { n } - ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \vec { e } _ { 1 } = \frac { \vec { p } _ { k } ^ { \; c m } } { | \vec { p } _ { k } ^ { \; c m } | } \, , } \\ & { } & { \vec { e } _ { 2 } = \frac { \vec { p } _ { k } ^ { \; c m } \times \vec { e } _ { z } } { | \vec { p } _ { k } ^ { \; c m } \times \vec { e } _ { z } | } \, , } \\ & { } & { \vec { e } _ { 3 } = \frac { ( \vec { p } _ { k } ^ { \; c m } \times \vec { e } _ { z } ) \times \vec { p } _ { k } ^ { \; c m } } { | ( \vec { p } _ { k } ^ { \; c m } \times \vec { e } _ { z } ) \times \vec { p } _ { k } ^ { \; c m } | } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \phi ^ { b } ( ( Y ^ { a } ) _ { v _ { q } } ^ { V } ) } & { = \left( \frac { \partial \mu _ { i } ^ { b } } { \partial q ^ { j } } \dot { q } ^ { i } d q ^ { j } + \frac { \partial Z _ { i } } { \partial q ^ { j } } d q ^ { j } + \mu _ { i } ^ { b } d \dot { q } ^ { i } \right) \left( Y ^ { a , k } \frac { \partial } { \partial \dot { q } ^ { k } } \right) } \\ & { = \mu _ { i } ^ { b } Y ^ { a , i } = \mu ^ { b } ( q ) ( Y ^ { a } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d f } { d \varphi } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { \partial } { \partial \varphi } } \left( e ^ { \varphi \cos \theta } \cos ( \varphi \sin \theta ) \right) \, d \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { - a \Delta _ { g } u _ { - } + R _ { g } u _ { - } - S u _ { - } ^ { p - 1 } } & { \leqslant 0 \; \mathrm { i n } \; M , \frac { \partial u _ { - } } { \partial \nu } + \frac { 2 } { p - 2 } h _ { g } u _ { - } \leqslant \theta _ { 1 } u _ { - } \leqslant \frac { 2 } { p - 2 } H u _ { - } ^ { \frac { p } { 2 } } \; \mathrm { o n } \; \partial M } \\ { - a \Delta _ { g } u _ { + } + R _ { g } u _ { + } - S u _ { + } ^ { p - 1 } } & { \geqslant 0 \; \mathrm { i n } \; M , \frac { \partial u _ { + } } { \partial \nu } + \frac { 2 } { p - 2 } h _ { g } u _ { + } \geqslant \theta _ { 2 } u _ { + } \geqslant \frac { 2 } { p - 2 } H u _ { + } ^ { \frac { p } { 2 } } \; \mathrm { o n } \; \partial M } \end{array}
\partial _ { t } f ( \mathrm { S } , t ) = \partial _ { \mathrm { S } } \left[ ( B + C ) \left( \mathrm { S } - \frac { C \mathrm { S } _ { E } + A \bar { u } } { B + C } \right) ( 1 + \mathrm { S } ) f ( \mathrm { S } , t ) + \frac { A ^ { 2 } } { 2 } ( 1 + \mathrm { S } ) ^ { 2 } \partial _ { \mathrm { S } } f ( \mathrm { S } , t ) \right] ,
\zeta _ { 2 } ^ { D } ( s ) = \frac { V \mu ^ { 2 s } ( S ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) ^ { - s + \frac { m - 1 } { 2 } } } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { m - 1 } { 2 } } \Gamma \left( \frac { m - 1 } { 2 } \right) } \left[ ( - 1 ) ^ { - s } \frac { \Gamma \left( \frac { m - 1 } { 2 } \right) \Gamma \left( 1 - s \right) } { \Gamma \left( \frac { m + 1 - 2 s } { 2 } \right) } + \right.
\begin{array} { r } { \ddot { R } _ { i k } g _ { k j } = - R _ { i k } \lambda _ { k j } , \quad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ y ~ a ~ r ~ e ~ a ~ c ~ c ~ o ~ m ~ p ~ a ~ n ~ i ~ e ~ d ~ b ~ y ~ t ~ h ~ e ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ t ~ s ~ } ~ R ^ { T } R = { \bf 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \hbar \partial _ { t } \hat { c } _ { \bf k } } & { { } = } & { \left[ \hat { c } _ { \bf k } , \hat { H } _ { S } \right] - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \Gamma _ { \bf k } ^ { C C } ( t - t ^ { \prime } ) \hat { c } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \Gamma _ { \bf k } ^ { C X } ( t - t ^ { \prime } ) \hat { x } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) + \hat { F } _ { \bf k } ^ { C } ( t ) , } \\ { i \hbar \partial _ { t } \hat { x } _ { \bf k } } & { { } = } & { \left[ \hat { x } _ { \bf k } , \hat { H } _ { S } \right] - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \Gamma _ { \bf k } ^ { X X } ( t - t ^ { \prime } ) \hat { x } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \Gamma _ { \bf k } ^ { X C } ( t - t ^ { \prime } ) \hat { c } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) + \hat { F } _ { \bf k } ^ { X } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { q } _ { t } - \bar { p } _ { t } ] \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { p } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } + ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \bar { q } _ { t - 1 } - \bar { p } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ) - \bar { p } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( \bar { q } _ { t - 1 } - \bar { p } _ { t - 1 } \bigg ) + \bigg ( \bar { p } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - \bar { p } _ { t } + ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \bar { p } _ { t - 1 } - \bar { p } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { q } _ { t - 1 } - \bar { p } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { p } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - \bar { p } _ { t } + ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \bar { p } _ { t - 1 } - \bar { p } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { q } _ { t - 1 } - \bar { p } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 1 } { b _ { x } ^ { 2 } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { \xi _ { x } \in \mathcal { B } _ { x } } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| p _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - p _ { t } ^ { ( m ) } + ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( p _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - p _ { t - 1 , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left. Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 , i } ^ { 2 } S _ { T _ { 0 } + \tau , i } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } & { = \mathbb E \left[ \left. Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 , i } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] \cdot \mathbb E \left[ \left. S _ { T _ { 0 } + \tau , i } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le ( Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } + M ^ { 2 } ( \tau - 1 ) ^ { 2 } ) \cdot M ^ { 2 } } \\ & { \le ( ( 2 M m ) ^ { 2 } + M ^ { 2 } m ^ { 2 } ) \cdot M ^ { 2 } } \\ & { = 5 M ^ { 4 } m ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } S _ { 0 } S _ { 0 } + T _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } S _ { 0 } S _ { 0 } + \Big ( \frac { 1 } { 2 } \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 1 } \widetilde { S } _ { 0 } + \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 7 } S _ { 2 } + 4 \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 3 } B _ { 1 } + \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 1 } B _ { 2 } + M _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 2 } \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } S _ { 0 } S _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } \widetilde { S } _ { 0 } \widetilde { S } _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \big ( \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 1 } - E _ { 1 } \widetilde { S } _ { 0 } \big ) \widetilde { S } _ { 0 } + \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 7 } S _ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~ ~ + 4 \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 3 } B _ { 1 } + \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 1 } B _ { 2 } + M _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 2 } } \\ & { = E _ { 1 } S _ { 0 } S _ { 0 } + J _ { 1 } , } \end{array}
Z _ { 1 } Y _ { 2 } Z _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } - s _ { 1 } s _ { 3 } } & { - c _ { 3 } s _ { 1 } - c _ { 1 } c _ { 2 } s _ { 3 } } & { c _ { 1 } s _ { 2 } } \\ { c _ { 1 } s _ { 3 } + c _ { 2 } c _ { 3 } s _ { 1 } } & { c _ { 1 } c _ { 3 } - c _ { 2 } s _ { 1 } s _ { 3 } } & { s _ { 1 } s _ { 2 } } \\ { - c _ { 3 } s _ { 2 } } & { s _ { 2 } s _ { 3 } } & { c _ { 2 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { F _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } , j _ { 5 } } ^ { ( 5 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \pi H _ { 5 , j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } , j _ { 5 } } ^ { ( 4 ) } } { \mathrm { i } \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } j _ { i } \kappa _ { j _ { i } } } } & { \mathrm { ~ i f ~ ( j _ 1 , j _ 2 , j _ 3 , j _ 4 , j _ 5 ) ~ \in ~ \mathcal { A } _ 5 ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( n _ { 1 } , n _ { 2 } | x , B ) = P ( n _ { 1 } | x , B ) \cdot P ( n _ { 2 } | x , B ) = \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } e ^ { - \mu _ { i } } \frac { \mu _ { i } ^ { n _ { i } } } { n _ { i } ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { { } \frac { { \left( q _ { 1 } + w _ { 1 } \right) } ^ { 2 } } { 2 C _ { 1 } } + \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 C _ { 2 } } + \frac { { \left( q _ { 3 } + w _ { 1 } \right) } ^ { 2 } } { 2 C _ { 3 } } } \end{array}
f ( x ) = { \frac { x ^ { 9 } - 2 x ^ { 6 } + 2 x ^ { 5 } - 7 x ^ { 4 } + 1 3 x ^ { 3 } - 1 1 x ^ { 2 } + 1 2 x - 4 } { x ^ { 7 } - 3 x ^ { 6 } + 5 x ^ { 5 } - 7 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } + 3 x - 1 } }
\Lambda ^ { b } = ( M _ { \mathrm { P V } } ) ^ { b } \left( \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { b g ^ { 2 } } \right) ^ { T _ { G } } \! \exp \left( - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \right) \, \prod _ { i } Z _ { i } ^ { - T ( R _ { i } ) } \, ,
\begin{array} { r l } & { J _ { 1 } ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * } , u _ { 2 } ^ { * } ) = \ \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } J _ { 1 } ( y , e _ { i } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ^ { * } ) , } \\ & { J _ { 2 } ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * } , u _ { 2 } ^ { * } ) = \ \operatorname* { s u p } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } J _ { 2 } ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * } , u _ { 2 } ) , } \end{array}
\Theta : = ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \frac { v _ { t h e r m a l } ^ { 3 } } { n _ { 0 } } \left( \begin{array} { l l l } { n _ { 0 } } & { \mathbf { 0 } _ { 1 \times 3 } } & { 0 } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 1 } } & { v _ { t h e r m a l } I _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 1 } } \\ { - T _ { 0 } } & { \mathbf { 0 } _ { 1 \times 3 } } & { \frac { T _ { 0 } } { 3 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { { { \sigma _ { p } } } ( { \partial _ { \epsilon _ { 1 } } \partial _ { \epsilon _ { 2 } } \partial _ { \epsilon _ { 3 } } \Lambda _ { b , h , F } | _ { \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 2 } = \epsilon _ { 3 } = 0 } } ) ( y _ { | } , \eta _ { | } ) = \iota \langle \nu , \eta \rangle _ { g } { \sigma _ { p } } ( R ) ( y _ { | } , \eta _ { | } , y , \eta ) { { \sigma _ { p } } } ( \mathcal { U } _ { 3 } ) ( y , \eta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta g _ { s i , + } ^ { ( 2 ) } } & { { } \simeq } & { \left[ i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { + } } J _ { 0 } J _ { + } \delta \phi _ { + } \delta \phi _ { 0 } ^ { * } - \frac { ( \Lambda _ { 0 } ^ { s } ) ^ { 2 } } { 4 \omega _ { s } \omega _ { + } } J _ { 0 } ^ { 2 } J _ { s } | \delta \phi _ { 0 } | ^ { 2 } \delta \phi _ { s } \right] } \end{array}
i S _ { F } ( E , q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = i \left[ S _ { F } ^ { + } ( E , q _ { 1 } , q _ { 2 } ) - S _ { F } ^ { - } ( E , q _ { 1 } , q _ { 2 } ) + S _ { F } ^ { 0 } ( E , q _ { 1 } , q _ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \right) - \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u ^ { * } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u ^ { * } | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( u , ( - \Delta + V + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } ) u \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - \frac { 1 } { 2 } \left( u ^ { * } , ( - \Delta + V + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } ) u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( u _ { \parallel } , ( - \Delta + V + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } ) u _ { \parallel } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \frac { 1 } { 2 } \left( u _ { \perp } , ( - \Delta + V + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } ) u _ { \perp } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 } } \\ { \geq } & { \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 } \left\Vert u _ { \parallel } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \left\Vert u _ { \perp } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 } } \\ { = } & { \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } } { 2 } \left\Vert u _ { \perp } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } . } \end{array}
A _ { \mathrm { t y p } } \equiv \mathrm { ~ \sum ~ } \! \! \! \! \! \! \int _ { P Q } { \frac { \delta _ { p _ { 0 } } } { P ^ { 2 } + M ^ { 2 } } } { \frac { q _ { 0 } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } ( P + Q ) ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } _ { 0 } ( \textbf { K } ) = } & { { } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int e ^ { - R ^ { 2 } / 2 \delta ^ { 2 } } e ^ { - i \textbf { K } \cdot { \textbf { R } } } d ^ { 2 } R , } \\ { = } & { { } \frac { \delta ^ { 2 } } { \pi } e ^ { - K ^ { 2 } \delta ^ { 2 } / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { C ( s ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ^ { \prime } \frac { p _ { b } ( E ^ { \prime } , 0 ) / \Gamma _ { 0 } + } { s / \Gamma _ { 0 } + e ^ { - \beta E ^ { \prime } } } + \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ^ { \prime } \frac { \rho ( E ^ { \prime } ) } { ( s / \Gamma _ { 0 } + e ^ { - \beta E ^ { \prime } } ) s } } { 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ^ { \prime } \frac { \rho ( E ^ { \prime } ) } { s / \Gamma _ { 0 } + e ^ { - \beta E ^ { \prime } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ C ~ } } ( t ) } & { { } = V _ { \mathrm { ~ L ~ } } + ( V _ { \mathrm { ~ S ~ } } - 2 V _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) ( 1 - \exp \left[ - t / R C \right] ) . } \\ { I ( t ) } & { { } = \frac { V _ { \mathrm { ~ S ~ } } - 2 V _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { R } \exp \left[ - t / R C \right] . } \end{array}
\langle ( u , \Psi , \Pi ) | ( u ^ { \prime } , \Psi ^ { \prime } , \Pi ^ { \prime } ) \rangle = \mathrm { R e } \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } } u \overline { { u ^ { \prime } } } \, { \mathrm { d } } x + \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { n } } ( \nabla _ { z } \Psi \cdot \nabla _ { z } \Psi ^ { \prime } + \Pi \Pi ^ { \prime } ) \, { \mathrm { d } } x \, { \mathrm { d } } z .
\left\{ \begin{array} { l l } { d S _ { n } ( t , x ) = [ A _ { 1 } S _ { n } ( t , x ) + \Lambda ( x ) - \mu _ { 1 } ( x ) S _ { n } ( t , x ) - \alpha ( x ) \frac { S _ { n } ( t , x ) I _ { n } ( t , x ) } { S _ { n } ( t , x ) + I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) } } \\ { \quad \quad \quad \quad + \beta ( x ) R _ { n } ( t , x ) ] d t + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { a _ { k , 1 } } e _ { k } ( x ) S _ { n } ( t , x ) d B _ { k , 1 } ( t ) , } \\ { d E _ { n } ( t , x ) = [ A _ { 2 } E _ { n } ( t , x ) - \mu _ { 2 } ( x ) E _ { n } ( t , x ) + \alpha ( x ) \frac { S _ { n } ( t , x ) I _ { n } ( t , x ) } { S _ { n } ( t , x ) + I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) } } \\ { \quad \quad \quad \quad - \sigma ( x ) E _ { n } ( t , x ) ] d t + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { a _ { k , 2 } } e _ { k } ( x ) E _ { n } ( t , x ) d B _ { k , 2 } ( t ) , } \\ { d I _ { n } ( t , x ) = [ A _ { 3 } I _ { n } ( t , x ) - \mu _ { 3 } ( x ) I _ { n } ( t , x ) + \sigma ( x ) E _ { n } ( t , x ) - \gamma ( x ) I _ { n } ( t , x ) ] d t } \\ { \quad \quad \quad \quad + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { a _ { k , 3 } } e _ { k } ( x ) I _ { n } ( t , x ) d B _ { k , 3 } ( t ) , } \\ { d R _ { n } ( t , x ) = [ A _ { 4 } R _ { n } ( t , x ) - \mu _ { 4 } ( x ) R _ { n } ( t , x ) + \gamma ( x ) I _ { n } ( t , x ) - \beta ( x ) R _ { n } ( t , x ) ] d t } \\ { \quad \quad \quad \quad + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { a _ { k , 4 } } e _ { k } ( x ) R _ { n } ( t , x ) d B _ { k , 4 } ( t ) , } \\ { S _ { n } ( 0 , x ) = S _ { 0 } ( x ) , E _ { n } ( 0 , x ) = E _ { 0 } ( x ) , I _ { n } ( 0 , x ) = I _ { 0 } ( x ) , R _ { n } ( 0 , x ) = R _ { 0 } ( x ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \lambda _ { k } } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } A _ { 0 j } U _ { j k } = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } A _ { 0 j } e ^ { \frac { 2 \pi i } { N } j k } } \end{array}
X ^ { 2 } = b \left( \begin{array} { c c c c c } { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } \\ { { \ddots } } & { { 0 } } & { { e ^ { i \omega t } } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { \ddots } } & { { e ^ { - i \omega t } } } & { { 0 } } & { { e ^ { i \omega t } } } & { { \ddots } } \\ { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { e ^ { - i \omega t } } } & { { 0 } } & { { \ddots } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } \end{array} \right)
\pi _ { q a } ^ { r } = { \frac { \partial L _ { r e l } } { \partial { \dot { \rho } } _ { q a } ^ { r } } } = \sum _ { b = 1 } ^ { N - 1 } f _ { a b } ( { \dot { \vec { \rho } } } _ { q c } \cdot { \dot { \vec { \rho } } } _ { q d } ) { \dot { \rho } } _ { q b } ^ { r } ,
\begin{array} { r } { \Delta f ( \bar { x } ; \Delta x ) \! = \! - \! \Delta x _ { 1 } \! + \! 2 \left( 2 \bar { x } _ { 1 } \Delta x _ { 1 } \! + \! 2 \bar { x } _ { 2 } \Delta x _ { 2 } \right) \! + \! 1 . 7 5 \left( \left| \bar { x } _ { 1 } ^ { 2 } \! + \! \bar { x } _ { 2 } ^ { 2 } \! - \! 1 \! + \! 2 \bar { x } _ { 1 } \Delta x _ { 1 } \! + \! 2 \bar { x } _ { 2 } \Delta x _ { 2 } \right| \! - \! \left| \bar { x } _ { 1 } ^ { 2 } \! + \! \bar { x } _ { 2 } ^ { 2 } \! - \! 1 \right| \right) \; . } \end{array}
\it { \Omega } = \mathrm { { } 2 \sin ^ { - 1 } \left( \frac { \it { N \Delta x } } { 2 \it { z } } \right) > \ t h e t a = \mathrm { { } 2 \sin ^ { - 1 } \left( \frac { \ l a m b d a } { 2 \it { \Delta } x } \right) . } }
\begin{array} { r l } { \dot { A } _ { x x } } & { { } = ( - 2 \dot { \epsilon } - \lambda ^ { - 1 } ) A _ { x x } + \lambda ^ { - 1 } } \\ { \dot { A } _ { y y } } & { { } = ( 2 \dot { \epsilon } - \lambda ^ { - 1 } ) A _ { y y } + \lambda ^ { - 1 } , } \end{array}
\langle \hat { t } , \stackrel { \vee } { \phi } \rangle \propto \int d ^ { 3 r - 1 } p ^ { ' } d ^ { 3 v } q ^ { ' } \hat { t } _ { 1 } ^ { [ \mu ] } ( p ^ { ' } ) \hat { t } _ { 2 } ^ { [ \nu ] } ( q ^ { ' } ) \psi _ { [ \mu \nu ] } ( p ^ { ' } , q ^ { ' } ) ,
\begin{array} { r l r } { E ( a _ { 1 } R e ^ { i k ( N - 1 ) } + a _ { 2 } S e ^ { - i k ( N - 1 ) } ) } & { { } = } & { w ( a _ { 1 } S e ^ { i k ( N - 2 ) } + a _ { 2 } R e ^ { - i k ( N - 2 ) } ) + v ( a _ { 1 } S e ^ { i k ( N - 1 ) } + a _ { 2 } R e ^ { - i k ( N - 1 ) } ) . } \\ { E ( a _ { 1 } S e ^ { i k ( N - 1 ) } + a _ { 2 } R e ^ { - i k ( N - 1 ) } ) } & { { } = } & { v ( a _ { 1 } R e ^ { i k ( N - 1 ) } + a _ { 2 } S e ^ { - i k ( N - 1 ) } ) + w ( a _ { 1 } R e ^ { i k N } + a _ { 2 } S e ^ { - i k N } ) . } \end{array}
E _ { t o t } - E _ { t o t } ^ { D F T } = - E _ { x c } + \frac 1 2 \left[ \int _ { - \infty } ^ { \mu } d \omega \omega A ( \omega ) - \sum _ { i } n _ { i } \epsilon _ { i } ^ { D F T } + \sum _ { i } V _ { i } ^ { x c } \right]
\begin{array} { r l } { \log p ( \mathbf { y } | X , \theta ) = } & { { } \underbrace { - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { y } ^ { \top } ( K _ { \theta } ( X , X ) + \sigma _ { y } ^ { 2 } I ) ^ { - 1 } \mathbf { y } } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ c ~ o ~ u ~ r ~ a ~ g ~ e ~ s ~ f ~ i ~ t ~ w ~ i ~ t ~ h ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { V } _ { \varepsilon , \lambda } ( \sigma ) } & { = \mathbb E _ { u , \delta , x } \Bigl ( \prod _ { i \leq n } \prod _ { k \leq \pi _ { i } ( \gamma ) } \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta g _ { i , k , \varepsilon } ) s _ { i , k } \delta _ { i } \bigr ) \Bigr ) \Bigl ( \prod _ { k \leq \pi ( \lambda \gamma / 2 ) } \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \hat { g } _ { k , \varepsilon } ) \hat { s } _ { 1 , k } \hat { s } _ { 2 , k } \bigr ) \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { m } \sim } & { \, \mathrm { B e t a } ( A _ { q } , B _ { q } ) , \, \, m = 1 : \infty , } \\ { b _ { m } \sim } & { \, \mathrm { B e r n o u l l i } ( q _ { m } ) , } \\ { I _ { A } \sim } & { \, \mathrm { G a m m a } ( \alpha _ { A } , \beta _ { A } ) , } \\ { \mathcal { B } \sim } & { \, \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { \mathcal { B } } , \beta _ { \mathcal { B } } \right) , } \\ { \mathbf { \Pi } \sim } & { \, \mathrm { D i r i c h l e t } ( \alpha _ { \Pi } ) , } \\ { s _ { k } ^ { m r } | s _ { k - 1 } ^ { m r } , \mathbf { \Pi } \sim } & { \, \mathrm { C a t e g o r i c a l } ( \pi _ { s _ { k - 1 } ^ { m r } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { z } ^ { i } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { - v _ { s } - v _ { s } W _ { - 1 } \left( - e ^ { - 1 - ( h ^ { i } - z ) / v _ { s } ^ { 2 } } \right) } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad v _ { z } ^ { i } \geq 0 } \\ { - v _ { s } - v _ { s } W _ { 0 } \left( - e ^ { - 1 - ( h ^ { i } - z ) / v _ { s } ^ { 2 } } \right) } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad v _ { z } ^ { i } \leq 0 , } \end{array} \right. } \\ { v _ { x } ^ { i } } & { { } \simeq v _ { \uparrow x } ^ { i } + \frac { v _ { \uparrow z } ^ { i } - v _ { z } ^ { i } } { v _ { s } + v _ { \uparrow z } ^ { i } } [ u _ { x } ( z _ { \uparrow \ast } ^ { i } ) - v _ { \uparrow x } ^ { i } ] , } \end{array}
D / \dot { \gamma } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { r } } & { ( \mathrm { { f r i c t i o n l e s s } } ) } \\ { \eta _ { r } ^ { 1 / 3 } } & { ( \mathrm { { f r i c t i o n a l } } ) } \end{array} \right. ~ .
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \operatorname* { m i n } _ { \{ \zeta _ { g } \} , \{ \beta _ { g } \} , d , S } } & { \quad } & & { S } & & { } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { } & & { , } & { \quad } & { g = 1 , 2 , \ldots , G , } \\ & { } & & { \mathrm { ~ a n d ~ } , } & & { } \\ & { } & & { \zeta _ { g } > 0 , \ 0 < \beta _ { g } < 1 , } & { \quad } & { g = 1 , 2 , \ldots , G , } \\ & { } & & { S > 0 , \ d > 1 . } & & { } \end{array}
\frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial x } = - \frac { \nu _ { o } } { L ^ { 2 } } V , \quad \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial y } = \frac { \nu _ { o } } { L ^ { 2 } } U , \quad \frac { \partial p } { \partial z } = 0 ,
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \ddot { \nu } } = - \omega ^ { 2 } { \cal K } \left( \varrho _ { \mathrm { 0 } } [ \nu ] - \nu \right) } } \\ { ~ ~ } \\ { { \displaystyle \approx - \omega ^ { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { m } v _ { i } g _ { i j } \langle w _ { j } , ( \varrho _ { \mathrm { 0 } } [ \nu ] - \nu ) \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { S ^ { \star } } ( r , \Delta _ { S ^ { \star } } ^ { \mathrm { v } } ) = C \cdot \frac { 9 \cdot \gamma K } { ( ( r - 1 ) \bar { \sigma } ^ { 2 } + \Delta _ { S ^ { \star } } ^ { \mathrm { v } } ) ^ { 2 } } \left( 2 \ln \frac { 1 } { \omega _ { \mathrm { v } } } + \ln \ln _ { + } \frac { 1 } { { \Delta _ { S ^ { \star } } ^ { \mathrm { v } } } ^ { 2 } } + D \right) . } \end{array}
{ \hat { T } } _ { \ \nu } ^ { \mu } [ C ] = { \frac { 1 } { 2 ( p + 1 ) ! } } e ^ { 2 \Phi } G ^ { \mu \lambda \ldots \sigma } G _ { \nu \lambda \ldots \sigma } - { \frac { ( p + 1 ) } { 1 6 } } e ^ { 2 \Phi } { \frac { G ^ { 2 } } { ( p + 2 ) ! } } g _ { \, n u } ^ { \mu } \, .