harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \Gamma } { \partial \tau } } & { = } & { \left( \frac { \partial } { \partial t } \left( \xi \left( t \right) \circ _ { s } \exp _ { s } \left( \tau \xi \left( t \right) \right) \right) \right) / _ { s } \exp _ { s } \left( \tau \xi \left( t \right) \right) } \\ & { } & { - \left( \Gamma \left( \tau , t \right) \circ _ { s } \left( \xi \left( t \right) \circ _ { s } \exp _ { s } \left( \tau \xi \left( t \right) \right) \right) \right) / _ { s } \exp _ { s } \left( \tau \xi \left( t \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { \partial \xi \left( t \right) } { \partial t } + \left( \xi \left( t \right) \circ _ { s } \frac { \partial } { \partial t } \exp _ { s } \left( \tau \xi \left( t \right) \right) \right) / _ { s } \exp _ { s } \left( \tau \xi \left( t \right) \right) } \\ & { } & { - \Gamma \left( \tau , t \right) \circ _ { \exp _ { s } \left( \tau \xi \left( t \right) \right) s } \xi \left( t \right) } \\ & { = } & { \frac { \partial \xi \left( t \right) } { \partial t } + \left[ \xi \left( t \right) , \Gamma \left( \tau , t \right) \right] ^ { \exp _ { s } \left( \tau \xi \left( t \right) \right) s } . } \end{array}
\delta O = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 1 6 } \delta O _ { i } ^ { 2 } } , \mathrm { \, ~ w h e r e \, ~ } \delta O _ { i } \equiv T \frac { \partial O } { \partial z _ { i } } \approx T \frac { O ( z _ { i } ^ { 0 } + t ) - O ( z _ { i } ^ { 0 } - t ) } { 2 t } ,
\begin{array} { r l } { \langle N _ { 1 } ( t ) c _ { i } ( t ) \rangle } & { { } = D \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } e ^ { - C \lambda _ { i } t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { C \lambda _ { i } \tau } \langle d _ { i } ( \tau ) N _ { 1 } ( t ) \rangle d \tau . } \end{array}
1 \otimes r _ { \dot { J } } ^ { \dot { I } } \otimes \Xi _ { \lambda _ { 2 } } ^ { \lambda _ { 1 } } \left( \bar { \phi } ^ { \rho _ { 1 } } \otimes s ^ { \dot { K } } \otimes \phi ^ { \rho _ { 2 } } \right) = \delta _ { \lambda _ { 2 } } ^ { \rho _ { 2 } } \sum _ { \dot { K } _ { 1 } \dot { K } _ { 2 } = \dot { K } } \delta _ { \dot { J } } ^ { \dot { K } _ { 2 } } \bar { \phi } ^ { \rho _ { 1 } } \otimes s ^ { \dot { K } _ { 1 } \dot { I } } \otimes \phi ^ { \lambda _ { 1 } } .
\sum _ { A , B } \int _ { x } ^ { \infty } d \theta \frac { L _ { A } ^ { > } ( \theta ) } { d \theta } ( \Phi _ { A B } * L _ { A } ^ { > } ) ( \theta ) \simeq \sum _ { A } \int _ { \epsilon _ { A } ^ { > } ( x ) } ^ { \epsilon _ { A } ^ { > } ( \infty ) } d \epsilon _ { A } ^ { > } \frac { \epsilon _ { A } ^ { > } } { ( 1 + e ^ { \epsilon _ { A } ^ { > } } ) } - \sum _ { A } \int _ { x } ^ { \infty } d \theta M _ { A } e ^ { \theta } L _ { A } ^ { > } ( \theta ) .
( \mathrm { v e c } ( \{ \mathsf { u } _ { 1 } , \mathsf { u } _ { 2 } , \mathsf { p } ) _ { n m } \} _ { n , m } , f , c ) \mapsto ( \mathrm { v e c } ( \{ \sum _ { m } ( \mathsf { u } _ { 1 } , \mathsf { u } _ { 2 } , 0 ) _ { n m } T _ { m } ( x _ { 2 , s } ) \} _ { n , s } ) , 0 , 0 )
B = - 3 u _ { x } \partial _ { \rho } P _ { x x } ^ { * } - \frac { \varsigma ^ { 2 } } { \rho } \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } - \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } \partial _ { \rho } P _ { x x } ^ { * } } { \rho } - u _ { x } ^ { 3 } .
\ln 2 = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { 2 ^ { n } n } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { 3 ^ { n } n } } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \partial P ( x ) } { \partial x _ { k } } ( f _ { k } ( x ) + b _ { k } ( x ) p ( x ) ) } \\ & { + P ( x ) ( \partial f ( x ) + p ( x ) \partial b ( x ) + b ( x ) \partial p ( x ) ) } \\ & { + ( \partial f ( x ) + p ( x ) \partial b ( x ) + b ( x ) \partial p ( x ) ) ^ { \top } P ( x ) \preceq - \varepsilon P ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bar { E } _ { 1 } } ( s ) } & { = \frac { { { g _ { n } } ( s ) } } { { \Delta ( s ) } } { { \tilde { E } } _ { 1 } } ( s ) + { e ^ { - { t _ { 0 } } s } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { { { g _ { n - i } } ( s ) } } { { \Delta ( s ) } } ( { { \bar { E } } _ { i } } ( { t _ { 0 } } ) - \tilde { E } ( { t _ { 0 } } ) ) } } \\ & { = \frac { { { g _ { n } } ( s ) } } { { \Delta ( s ) } } { { \tilde { E } } _ { 1 } } ( s ) + { e ^ { - { t _ { 0 } } s } } \sum _ { i = 2 } ^ { n } { \frac { { { g _ { n - i } } ( s ) } } { { \Delta ( s ) } } \tilde { e } _ { i } ( { t _ { 0 } } ) } } \end{array} .
\begin{array} { r l } & { D ( \bar { \rho } _ { A B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \bar { \gamma } _ { A B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) } \\ & { \leq p _ { \mathrm { e c } } ^ { - 1 } \sum _ { f , \hat { \mathbf { s } } , \mathbf { s } } p ( f ) p ( \hat { \mathbf { s } } , \mathbf { s } ) D ( \vert \hat { \mathbf { s } } \rangle _ { A ^ { n } } \langle \hat { \mathbf { s } } \vert , \vert \mathbf { s } \rangle _ { A ^ { n } } \langle \mathbf { s } \vert ) } \\ & { = \sum _ { \hat { \mathbf { s } } \neq \mathbf { s } } \frac { p ( \hat { \mathbf { s } } , \mathbf { s } ) } { p _ { \mathrm { e c } } } } \\ & { = \mathrm { P r o b } ( \hat { \mathbf { s } } \neq \mathbf { s } | T _ { \mathrm { e c } } ) } \\ & { \leq \mathrm { P r o b } ( \hat { \mathbf { l } } \neq \mathbf { l } | T _ { \mathrm { e c } } ) . } \end{array}
\eta _ { A } = 1 + \overline { { { a } } } _ { 1 } \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \pi } + \left( \overline { { { a } } } _ { 2 } - \frac { 5 } { 1 2 } b \overline { { { a } } } _ { 1 } \right) \left( \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \pi } \right) ^ { 2 } \; + \; . . . \; \;
\begin{array} { r } { M _ { t } ^ { N } = M _ { t } ^ { N } ( G _ { N } ^ { \lambda } ) : = \langle \pi _ { t } ^ { N } , G _ { N } ^ { \lambda } \rangle - \langle \pi _ { 0 } ^ { N } , G _ { N } ^ { \lambda } \rangle - \int _ { 0 } ^ { t } \langle \pi _ { s } ^ { N } , L ^ { N } G _ { N } ^ { \lambda } + b G _ { N } ^ { \lambda } \rangle \mathrm { d } s \, . } \end{array}
R ( B ) \! - \! R ( 0 ) \approx \frac { B ^ { 2 } v _ { g } ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ } } \ln p } { 6 \pi c ^ { 2 } P } + \frac { \ln p } { 2 \pi } \delta _ { I } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } \tilde { R } _ { B } \propto \tau _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ } } B ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , s h } } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \bigg ( \sum _ { \gamma } T _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( f _ { \gamma } - f _ { \alpha } ) + M _ { \alpha } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } f _ { \alpha } ^ { 2 } } \\ { - \sum _ { \gamma \delta } \sum _ { \rho \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } f _ { \gamma } f _ { \delta } T r ( s _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { \alpha \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { \alpha \delta } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho ^ { \dagger } } s _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho } ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } b _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 } = - i \int B ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } + \vec { q } / 2 ) b _ { \mathbf 2 } d \vec { k } _ { 2 } , } \\ { \partial _ { t } b _ { \vec { k } - \vec { q } / 2 } ^ { * } = i \int B ^ { * } ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } - \vec { q } / 2 ) b _ { \mathbf 2 } ^ { * } d \vec { k } _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \mathbf D ( \omega ) ] _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } = ( \omega - \omega _ { \lambda } ) \delta _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } + \mathrm { i } \pi [ \mathbf { W } \mathbf { W } ^ { \dagger } ] _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } . } \end{array}
\phi _ { i } ( \tau ) = \big ( \pi _ { i } ^ { \mu } ( \tau ) + \frac i 2 \xi _ { i } ^ { \mu } ( \tau ) \big ) \int { d ^ { 3 } \sigma \rho _ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) \equiv \big ( \pi _ { i } ^ { \mu } ( \tau ) + \frac i 2 \xi _ { i } ^ { \mu } ( \tau ) \big ) { p _ { s } } _ { \mu } } \approx 0 ,
( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } , L } = ( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \phi ( \Delta _ { j } ^ { + } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } , \Delta _ { j } ^ { - } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } )
a _ { 0 } ( Q ^ { 2 } ) \approx a _ { 0 } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \left( 1 + { \frac { \gamma _ { 1 } ^ { S } } { 8 \pi \beta _ { 0 } } } \left( \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) - \alpha _ { s } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \right) + { \cal O } ( \alpha _ { s } ^ { 3 } ) \right)
\begin{array} { r } { \partial _ { t } ( \phi _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } ) + \mathrm { d i v } \left( \phi _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \otimes \mathbf { v } _ { \alpha } \right) = \mathbf { v } _ { \alpha } \grave { \phi } _ { \alpha } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } ( \vec { y } ) = \ } & { { } G _ { 0 } ( u _ { \bot } ( 1 - T _ { 1 } ) y _ { 1 } + ( 1 - u _ { \bot } ) y _ { 2 } + u _ { \bot } T _ { 1 } y _ { 3 } , ( u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) ) ^ { 2 } y _ { 4 } + ( 1 - u _ { \Delta } ) ^ { 2 } y _ { 5 } + ( u _ { \Delta } T _ { 1 } ) ^ { 2 } y _ { 6 } } \end{array}
a _ { 0 } = 0 . 2 1 5 5 7 8 9 5 ; \quad a _ { 1 } = 0 . 4 1 6 6 3 1 5 8 ; \quad a _ { 2 } = 0 . 2 7 7 2 6 3 1 5 8 ; \quad a _ { 3 } = 0 . 0 8 3 5 7 8 9 4 7 ; \quad a _ { 4 } = 0 . 0 0 6 9 4 7 3 6 8 .
\tilde { C } _ { \mu } ^ { \alpha ^ { \prime } } M _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } \tilde { C } ^ { \alpha ^ { \prime } \mu } = \sum _ { ( a ) } \bar { \tilde { \phi } } _ { V } ^ { ( a ) } \left[ - \tilde { g } _ { 3 } \tilde { C } _ { \mu } ^ { \alpha } \frac { \lambda _ { \alpha } } { 2 } - \tilde { g } _ { 1 } ( \tilde { n } + 1 / 3 ) \tilde { B } _ { \mu } \right] ^ { 2 } \tilde { \phi } _ { V } ^ { ( a ) } ,
\begin{array} { r l r } { p ( - H ) } & { { } = } & { - p ( H ) = \frac { \Delta p } { 2 } , } \\ { \psi ( - H ) } & { { } = } & { - \psi ( H ) = \frac { \Delta \psi } { 2 } , } \\ { \rho _ { i } ( - H ) } & { { } = } & { \rho _ { i } ( H ) = \rho _ { 0 } , } \end{array}
W _ { q } = U _ { 0 } \left( \frac { 1 } { 3 } k ^ { 4 } z ^ { 4 } + 2 \, \frac { k ^ { 2 } \rho ^ { 2 } z ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } + 2 \frac { \rho ^ { 4 } } { w _ { 0 } ^ { 4 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } - \mathcal { G } x _ { 2 } } & { = \tilde { x } _ { 1 } , } \\ { \mathcal { G } ^ { * } x _ { 1 } + \left( I + \mathcal { R } _ { c l } \right) x _ { 2 } + B _ { 0 } \mathbf { 1 } _ { \zeta } B _ { c } ^ { T } x _ { c } } & { = \tilde { x } _ { 2 } , } \\ { - B _ { c } \mathbf { 1 } _ { \zeta } ^ { * } B _ { 0 } ^ { * } x _ { 2 } + x _ { c } } & { = \tilde { x } _ { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \gamma \in X ( \omega ) } | \overline { { f } } ( \gamma , \alpha ) - \overline { { f } } ( \gamma , \omega ) | } & { = \sum _ { \gamma \in B ( \omega , R + S ) } | \overline { { f } } ( \gamma , \alpha ) - \overline { { f } } ( \gamma , \omega ) | } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to \omega , x \in Y _ { \omega } } \sum _ { \gamma \in B ( \omega , R + S ) } | f ( t _ { \gamma } ( x ) , t _ { \alpha } ( x ) ) - f ( t _ { \gamma } ( x ) , x ) | } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to \omega , x \in Y _ { \omega } } \sum _ { z \in B ( x , R + S ) } | f ( z , t _ { \alpha } ( x ) ) - f ( z , x ) | } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to \omega , x \in Y _ { \omega } } \sum _ { z \in X } | f ( z , t _ { \alpha } ( x ) ) - f ( z , x ) | , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { r } \left( \boldsymbol { \theta } \right) = \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \epsilon \sum _ { k - 1 } ^ { i - 1 } \mathcal { L } _ { r } \left( t _ { k } , \boldsymbol { \theta } \right) \right) \mathcal { L } _ { r } \left( t _ { i } , \boldsymbol { \theta } \right) . } \end{array}
B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } = \left[ \begin{array} { l l } { 4 . 7 6 2 5 1 e + 0 0 } & { 2 . 5 5 3 2 7 e + 0 1 } \\ { 7 . 7 5 6 6 5 e - 0 1 } & { 3 . 7 8 2 1 4 e + 0 0 } \\ { 3 . 6 4 9 9 6 e - 0 1 } & { 1 . 2 6 8 2 1 e + 0 0 } \\ { 2 . 6 5 8 7 5 e - 0 1 } & { 6 . 5 0 0 1 3 e - 0 1 } \\ { 2 . 2 5 3 8 9 e - 0 1 } & { 4 . 1 6 0 5 7 e - 0 1 } \\ { 2 . 0 5 1 6 2 e - 0 1 } & { 3 . 1 1 2 3 1 e - 0 1 } \\ { 1 . 9 2 5 9 2 e - 0 1 } & { 2 . 5 5 5 1 5 e - 0 1 } \\ { 1 . 8 3 2 9 2 e - 0 1 } & { 2 . 2 1 5 3 5 e - 0 1 } \\ { 1 . 7 6 0 9 7 e - 0 1 } & { 1 . 9 9 2 6 6 e - 0 1 } \\ { 1 . 7 0 4 4 8 e - 0 1 } & { 1 . 8 4 9 3 4 e - 0 1 } \\ { 1 . 6 5 9 1 1 e - 0 1 } & { 1 . 7 6 1 1 1 e - 0 1 } \\ { 1 . 6 2 0 5 5 e - 0 1 } & { 1 . 7 0 3 6 6 e - 0 1 } \\ { 1 . 5 8 4 4 9 e - 0 1 } & { 1 . 6 5 2 7 0 e - 0 1 } \\ { 1 . 5 5 0 6 0 e - 0 1 } & { 1 . 5 9 2 3 1 e - 0 1 } \end{array} \right] .
| x _ { 5 } ^ { ( 1 ) } - x _ { 5 } ^ { ( 2 ) } | \simeq \frac { \sqrt { 2 } } { \mu } \left[ \ln ^ { 1 / 2 } \left( \frac { v } { m _ { s } s _ { \theta _ { C } } } \right) - \ln ^ { 1 / 2 } \left( \frac { v } { m _ { s } } \right) \right] \simeq 0 . 4 \mu ^ { - 1 } \, .
\oint _ { S } \mathbf { E } \cdot \mathbf { n } \, d a = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r l } & { 4 \pi q } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { \mathrm { i f ~ q ~ l i e s ~ i n s i d e ~ S } } \\ & { 0 } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { \mathrm { i f ~ q ~ l i e s ~ o u t s i d e ~ S } } \end{array} } \end{array} \right.
\vert \psi _ { e } ( t ) \rangle = \sum _ { n } \alpha _ { n } ( t ) \vert e _ { n } \rangle \vert 0 \rangle + \sum _ { \mathbf { k } , \mu } \beta _ { \mathbf { k } , \mu } ( t ) \vert G \rangle \vert 1 _ { \mathbf { k } , \mu } \rangle
\begin{array} { r } { \overline { { \widehat { L } ( t _ { \mathrm { s w } } ) } } = \widehat { L } _ { m } - \frac { \gamma _ { 2 } ^ { m } } { \gamma _ { 1 } ^ { m } } \overline { { \widehat { c } ( t _ { \mathrm { s w } } ) } } \ , } \end{array}
\frac { d N ^ { \mathrm { A A } } } { d y } = \overline { { { n } } } _ { \mathrm { A } } \left[ N ^ { ( q q ) _ { v } ^ { \mathrm { A } _ { p } } - q _ { v } ^ { \mathrm { A } _ { t } } } ( y ) + N ^ { q _ { v } ^ { \mathrm { A } _ { p } } - ( q q ) _ { v } ^ { \mathrm { A } _ { t } } } ( y ) \right] + 2 \ ( \overline { { { n } } } - \overline { { { n } } } _ { \mathrm { A } } ) \ N ^ { q _ { s } - \overline { { { q } } } _ { s } } ( y ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ f _ { \theta } \left( \bar { X } _ { t } \right) ] } & { \le f _ { \theta } ( x ) e ^ { 2 \theta \gamma d L } 1 _ { \{ x \in { \cal C } _ { M } \} } + f _ { \theta } ( x ) e ^ { - \frac { \theta \gamma M } { 4 } } 1 _ { \{ x \in { \cal C } _ { M } ^ { c } \} } } \\ & { \le f _ { \theta } ( x ) e ^ { - \frac { \theta \gamma M } { 4 } } + \operatorname* { s u p } _ { x \in { \cal C } _ { M } } f _ { \theta } ( x ) ( e ^ { 2 \theta \gamma d L } - e ^ { - \frac { \theta \gamma M } { 4 } } ) } \end{array}
\left< \Delta \psi ( r _ { s i d e } , t ) \right> = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } ^ { N } \left( \frac { 1 } { N _ { i } ^ { s i d e } } \sum _ { j } ^ { N _ { i } ^ { s i d e } } | \psi _ { i } - \psi _ { j } | \right)
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega _ { T } } \partial _ { t } u _ { i } \phi d x d t } & { = } & { - \beta \int _ { \Omega _ { T } } \mu _ { i } \phi d x d t - \int _ { \Omega _ { T } } M _ { i } ( u _ { i } ) \nabla \frac { \mu _ { i } } { g _ { i } ( u _ { i } ) } \nabla \frac { \phi } { g _ { i } ( u _ { i } ) } d x d t , } \\ { \mu _ { i } } & { = } & { - \Delta u _ { i } + q ^ { \prime } ( u _ { i } ) + ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { E } _ { n m } = \left( n + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( m - \phi \right) ^ { 2 } + \frac { \mu ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 \hbar ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \hbar } \\ & { \times \sqrt { \omega _ { c } ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + 4 \Omega \omega _ { c } } - \frac { \hbar } { 2 } \left( 2 \Omega + \omega _ { c } \right) \left( m - \phi \right) - \frac { \mu } { 4 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
1 + { \frac { a _ { 1 } \cdots a _ { p } } { b _ { 1 } \cdots b _ { q } \cdot 1 } } { \frac { c z } { d } } + { \frac { a _ { 1 } \cdots a _ { p } } { b _ { 1 } \cdots b _ { q } \cdot 1 } } { \frac { ( a _ { 1 } + 1 ) \cdots ( a _ { p } + 1 ) } { ( b _ { 1 } + 1 ) \cdots ( b _ { q } + 1 ) \cdot 2 } } \left( { \frac { c z } { d } } \right) ^ { 2 } + \cdots
p _ { j } = \frac { \left| \int \mathrm { d } \theta g _ { j } ^ { * } g _ { \mathrm { N L } } \right| } { \left( \int \mathrm { d } \theta \left| g _ { j } \right| ^ { 2 } \int \mathrm { d } \theta \left| g _ { \mathrm { N L } } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } ,
G _ { u } ^ { \dagger } = ( 1 / \sqrt { 2 } ) \lambda ^ { \alpha _ { u } } A _ { u } ^ { \alpha _ { u } \dagger } = \Psi _ { u } ^ { b \dagger } \Psi _ { u a } ^ { \dagger } - \frac 1 3 E \delta ( a , b ) \Psi _ { u } ^ { b \dagger } \Psi _ { u a } ^ { \dagger } \equiv G _ { u } ^ { \prime \dagger } - \frac 1 3 E \cdot 1 _ { u } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad
\begin{array} { r l } { I _ { n } ^ { 1 , 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = z \rho _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \boldsymbol { Y } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) - \widehat { \rho } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \mathcal { N } ( \boldsymbol { X } ) ( T _ { S } ( \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ) \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) ) _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \\ & { = J ^ { 3 } + J ^ { 4 } + J ^ { 5 } + J ^ { 6 } , } \end{array}
\tilde { \chi } _ { 0 } = N _ { 0 1 } \tilde { B } + N _ { 0 2 } \tilde { W } _ { 3 } + N _ { 0 3 } \tilde { h } _ { 1 } ^ { 0 } + N _ { 0 3 } \tilde { h } _ { 2 } ^ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { T } ( \mathbf { A } ^ { * * } - \widehat { \mathbf { A } } ) \mathbf { x } } & { = - x _ { w } x _ { v } + \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ v \} } x _ { u } x _ { j } } \\ & { = - x _ { w } x _ { v } + x _ { u } x _ { j _ { 0 } } + \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ j _ { 0 } , v \} } x _ { u } x _ { j } . } \end{array}
S _ { I , \theta } = - \frac { \sigma } { 2 } \int \frac { d \nu } { 2 \pi } \int _ { \bar { R } _ { 1 } } ^ { \bar { R } _ { 2 } } d r \tilde { \theta } _ { I } ^ { * } \left[ - \frac { \partial } { \partial r } \gamma ^ { - 1 } r ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial r } - ( \nu ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) \gamma r ^ { 2 } \right] \tilde { \theta } _ { I } \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial } { \partial t } p ( t , y , x ) } & { = \left( E ^ { 0 , 1 } - 1 \right) \left[ x r p ( t , y , x ) \right] + \left( E ^ { - 1 , 1 } - 1 \right) \left[ x \mathrm { a } p ( t , y , x ) \right] + \left( E ^ { - 1 , 2 } - 1 \right) \left[ x ( x - 1 ) \mathrm { b } p ( t , y , x ) \right] \, , } \\ { p ( 0 , y , x ) } & { = p _ { 0 } ( y , x ) \, , } \end{array} \right.
\mathbf y ^ { n + 1 } = \mathbf y ^ { n } + \Delta t \mathbf A \mathbf y ^ { n } \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \frac { y _ { 1 } ^ { n + 1 } } { \sigma _ { 1 } ^ { n } } \right) ^ { r ^ { n } } , } & { y _ { 1 } ^ { n } > \frac { b } { a } y _ { 2 } ^ { n } , } \\ { 1 , } & { y _ { 1 } ^ { n } = \frac { b } { a } y _ { 2 } ^ { n } , } \\ { \left( \frac { y _ { 2 } ^ { n + 1 } } { \sigma _ { 2 } ^ { n } } \right) ^ { r ^ { n } } , } & { y _ { 1 } ^ { n } < \frac { b } { a } y _ { 2 } ^ { n } , } \end{array} \right.
\Omega = \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } d \hat { q } _ { j } \wedge d \hat { p } _ { j } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p \in \mathcal { R } } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { p } - 1 } d \hat { T } _ { p , k } \wedge d \, \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { w } _ { p , k } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } ) - \sum _ { s = 1 } ^ { n } d X _ { s } \wedge d \, \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { w } _ { s } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } )
\begin{array} { r l } { H ^ { l a t } \left( M , N _ { r } \right) = } & { - \frac { b _ { l a t } ^ { 2 } } { 2 } \log \left( 1 + \frac { N _ { r } } { M } \right) + a _ { l a t } b _ { l a t } \bigg [ \left( M + N _ { r } \right) ^ { 2 } \log \left( 1 + \frac { N _ { r } } { M } \right) - } \\ & { - N _ { r } \left( m + \frac { N _ { r } } { 2 } \right) \bigg ] + \frac { 1 } { 8 } \left( a _ { l a t } ^ { 2 } + \frac { b _ { l a t } A _ { l a t } } { 4 } \right) \bigg [ \left( M + N _ { r } \right) ^ { 4 } - M ^ { 4 } \bigg ] + } \\ & { + \frac { a _ { l a t } A _ { l a t } } { 9 6 } \bigg [ \left( M + N _ { r } \right) ^ { 6 } - M ^ { 6 } \bigg ] + \frac { A _ { l a t } ^ { 2 } } { 3 0 7 2 } \bigg [ \left( M + N _ { r } \right) ^ { 8 } - M ^ { 8 } \bigg ] . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { \nu } } { d T ^ { 2 } } } { \frac { \partial X ^ { \mu } } { \partial x ^ { \nu } } } = - { \frac { d x ^ { \nu } } { d T } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d T } } { \frac { \partial ^ { 2 } X ^ { \mu } } { \partial x ^ { \nu } \partial x ^ { \alpha } } }
\cos \theta _ { 1 , i } = \frac { ( \vec { z } ^ { ( k ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i + 1 } ) } ) \cdot ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i + 1 } ) } ) } { | ( \vec { z } ^ { ( k ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i + 1 } ) } ) | | ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i + 1 } ) } ) | } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i s t } ( x , \mathcal { N } _ { \mathfrak { D } } ( \bar { w } ) ) } & { = \mathrm { d i s t } ( x , ( \partial \sigma _ { \mathfrak D } ) ^ { - 1 } ( \bar { w } ) ) = \mathrm { d i s t } ( x , ( \partial F ) ^ { - 1 } ( 0 ) ) } \\ & { \leq \bar { \kappa } ( \sigma _ { \mathfrak { D } } ( x ) - \sigma _ { \mathfrak { D } } ( \bar { x } ) - \langle \bar { w } , x - \bar { x } \rangle ) ^ { 1 - \frac { 1 } { 1 + \alpha } } \ \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } x \in B ( \bar { x } , \delta ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \partial _ { x } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( d _ { i } ( \mathcal { R } _ { 0 } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } , } \\ { \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( d _ { i } ( \mathcal { R } _ { 0 } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) \partial _ { x } } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { f } } ( \omega ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ A _ { 1 } e ^ { i \omega _ { 1 } t } + A _ { 2 } e ^ { i \omega _ { 2 } t } ] e ^ { - i \omega t } d t } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } A _ { 1 } e ^ { i \omega _ { 1 } t } e ^ { - i \omega t } d t + \int _ { - \infty } ^ { \infty } A _ { 2 } e ^ { i \omega _ { 2 } t } e ^ { - i \omega t } d t } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } A _ { 1 } e ^ { i ( \omega _ { 1 } - \omega ) t } d t + \int _ { - \infty } ^ { \infty } A _ { 2 } e ^ { i ( \omega _ { 2 } - \omega ) t } d t } \end{array} }
{ \langle } \left[ r ( t ) { - } \langle r ( t ) \rangle _ { \xi } \right] ^ { 2 } \rangle _ { \xi } = \frac { D } { { t _ { c } } ^ { 2 } ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } ) ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 - { \mathrm { e } } ^ { - 2 { \lambda _ { 1 } } t } } { 2 { \lambda _ { 1 } } } + \frac { 1 - { \mathrm { e } } ^ { - 2 { \lambda _ { 2 } } t } } { 2 { \lambda _ { 2 } } } - \frac { 2 - 2 { \mathrm { e } } ^ { - { ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) } t } } { { \lambda _ { 1 } } + \lambda _ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \lVert v - \omega \rVert _ { p } } { \partial \omega } = 0 } \\ { \implies } & { \sum _ { s } s i g n ( v ( s ) - \omega ) | v ( s ) - \omega | ^ { p - 1 } = 0 , } \\ { \implies } & { \sum _ { s } s i g n ( v ( s ) - \omega _ { p } ( v ) ) | v ( s ) - \omega _ { q } ( v ) | ^ { p - 1 } = 0 . } \end{array}
P ( z , a _ { R } ) = \frac { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } , ~ \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } : = 1 - e ^ { - 2 a _ { R } ^ { 2 } / w _ { z } ^ { 2 } } ,