harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \left[ x ^ { 4 } \right] { \frac { S _ { n } ( x ) } { x } } } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 4 } } } \left( \left( H _ { n } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { 2 } - H _ { n } ^ { ( 4 ) } \right) \qquad \xrightarrow { n \rightarrow \infty } \qquad { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 4 } } } \left( \zeta ( 2 ) ^ { 2 } - \zeta ( 4 ) \right) } \\ & { \qquad \implies \zeta ( 4 ) = { \frac { \pi ^ { 4 } } { 9 0 } } = - 2 \pi ^ { 4 } \cdot [ x ^ { 4 } ] { \frac { \sin ( x ) } { x } } + { \frac { \pi ^ { 4 } } { 3 6 } } } \\ { \left[ x ^ { 6 } \right] { \frac { S _ { n } ( x ) } { x } } } & { = - { \frac { 1 } { 6 \pi ^ { 6 } } } \left( \left( H _ { n } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { 3 } - 2 H _ { n } ^ { ( 2 ) } H _ { n } ^ { ( 4 ) } + 2 H _ { n } ^ { ( 6 ) } \right) \qquad \xrightarrow { n \rightarrow \infty } \qquad { \frac { 1 } { 6 \pi ^ { 6 } } } \left( \zeta ( 2 ) ^ { 3 } - 3 \zeta ( 2 ) \zeta ( 4 ) + 2 \zeta ( 6 ) \right) } \\ & { \qquad \implies \zeta ( 6 ) = { \frac { \pi ^ { 6 } } { 9 4 5 } } = - 3 \cdot \pi ^ { 6 } [ x ^ { 6 } ] { \frac { \sin ( x ) } { x } } - { \frac { 2 } { 3 } } { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } { \frac { \pi ^ { 4 } } { 9 0 } } + { \frac { \pi ^ { 6 } } { 2 1 6 } } , } \end{array} }
\left| \Omega \right\rangle \equiv \left| \overline { { \Psi } } \left( { \bf y } \right) \Psi \left( { \bf 0 } \right) \right\rangle = \overline { { \psi } } \left( { \bf y } \right) \exp \left( { i g \int _ { \bf 0 } ^ { \bf y } { d z ^ { i } A _ { i } \left( z \right) } } \right) \psi \left( { \bf 0 } \right) \left| 0 \right\rangle ,
s = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { t e ^ { i \theta } } & { 0 } & { - i r e ^ { i \theta } } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { i \phi _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { - i r e ^ { i \theta } } & { 0 } & { t e ^ { i \theta } } \\ { e ^ { i \phi _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } } & { { } = C _ { k } | \Uparrow \rangle \langle \Downarrow | | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | + \mathrm { H . c . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( x , y , z ) } & { = } & { U _ { o } \sin { \left( \frac { 2 \pi x } { L } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi y } { L } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi z } { L } \right) } } \\ { v ( x , y , z ) } & { = } & { - U _ { o } \cos { \left( \frac { 2 \pi x } { L } \right) } \sin { \left( \frac { 2 \pi y } { L } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi z } { L } \right) } } \\ { w ( x , y , z ) } & { = } & { 0 } \\ { p ( x , y , z ) } & { = } & { p _ { 0 } + \frac { \rho _ { 0 } U ^ { 2 } } { 1 6 } \left( \cos { \left( \frac { 4 \pi x } { L } \right) } + \cos { \left( \frac { 4 \pi y } { L } \right) } \right) \left( \cos { \left( \frac { 4 \pi z } { L } \right) } + 2 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb H _ { \mathrm { ~ B ~ } } = \theta \left( R _ { a } - 1 0 0 \right) \, \theta \left( r _ { \mathrm { ~ B ~ } } - R _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ t ~ } } \right) \, \theta \left( a _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } - R _ { \mathrm { ~ A ~ l ~ f ~ v ~ \' ~ e ~ n ~ } } \right) \, \theta \left( R _ { 1 } - 1 \right) \, \theta \left( t _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ i ~ d ~ } } - t _ { \star } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( \{ a , b , c _ { 1 } \} = \triangle , \{ a , b , c _ { 2 } \} = \triangle ) } & { \leq P _ { 1 } ( c _ { 1 } \leftrightarrow b \leftrightarrow a \leftrightarrow c _ { 2 } ) } \\ & { \leq \left( \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } \right) ^ { 3 } \frac { w _ { a } ^ { 2 } w _ { b } ^ { 2 } w _ { c _ { 1 } } w _ { c _ { 2 } } } { \mu ^ { 3 } k ^ { m } n ^ { 3 - m } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \mathcal { J } _ { 1 } ^ { \prime } ( g + \delta g ) - \mathcal { J } _ { 1 } ^ { \prime } ( g ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \leq L _ { 2 } \Vert \delta g \Vert _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ) } , \ g , \delta g \in \mathcal { G } _ { 1 } , } \\ { \Vert \mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( g + \delta g ) - \mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( g ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \leq L _ { 3 } \Vert \delta g \Vert _ { H ^ { 3 } ( 0 , T ) } , \ g , \delta g \in \mathcal { G } _ { 3 } , } \end{array}
\Delta { | \chi _ { \alpha } | } - 2 g ^ { 2 } ( { \vec { \epsilon } } _ { \alpha } \cdot \vec { \mathrm { \boldmath ~ C ~ } } ) { | \chi _ { \alpha } | } - 2 \lambda ( { | \chi _ { \alpha } | } ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) { | \chi _ { \alpha } | } = 0 , \qquad ( \alpha = 1 , 2 , 3 ) .
u \left( x \right) = \left( \begin{array} { c } { { e ^ { - i \varphi } u _ { 1 } \left( r , t \right) } } \\ { { u _ { - 1 } ( r , t ) } } \end{array} \right) \exp i \left[ \left( l - l _ { 0 } \right) \varphi - \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \int \frac { d u ^ { 0 } } { \lambda + g \left( u ^ { 0 } \right) } - \frac { \lambda u ^ { 3 } } { 2 } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { T ( E _ { 1 } ) } & { = 1 6 a ( - E ^ { 1 7 } + E ^ { 2 8 } + E ^ { 3 6 } - E ^ { 4 5 } ) + 1 6 ( 1 - b ) ( E ^ { 1 8 } + E ^ { 2 7 } - E ^ { 3 5 } - E ^ { 4 6 } ) , } \\ { T ( E _ { 2 } ) } & { = 1 6 a ( - E ^ { 1 8 } - E ^ { 2 7 } - E ^ { 3 5 } - E ^ { 4 6 } ) + 1 6 ( 1 - b ) ( - E ^ { 1 7 } + E ^ { 2 8 } - E ^ { 3 6 } + E ^ { 4 5 } ) , } \\ { T ( E _ { 3 } ) } & { = 1 6 a ( - E ^ { 1 6 } + E ^ { 2 5 } - E ^ { 3 7 } + E ^ { 4 8 } ) + 1 6 ( 1 - b ) ( E ^ { 1 5 } + E ^ { 2 6 } + E ^ { 3 8 } + E ^ { 4 8 } ) , } \\ { T ( E _ { 4 } ) } & { = 1 6 a ( E ^ { 1 5 } + E ^ { 2 6 } - E ^ { 4 7 } - E ^ { 3 8 } ) + 1 6 ( 1 - b ) ( E ^ { 1 6 } - E ^ { 2 5 } - E ^ { 3 7 } + E ^ { 4 8 } ) , } \\ { T ( E _ { 5 } ) } & { = 1 6 a ( E ^ { 1 4 } + E ^ { 2 3 } - E ^ { 5 7 } - E ^ { 6 8 } ) + 1 6 ( 1 - b ) ( E ^ { 1 3 } - E ^ { 2 4 } + E ^ { 5 8 } - E ^ { 6 7 } ) , } \\ { T ( E _ { 6 } ) } & { = 1 6 a ( - E ^ { 1 3 } + E ^ { 2 3 } + E ^ { 5 8 } - E ^ { 6 7 } ) + 1 6 ( 1 - b ) ( E ^ { 1 4 } + E ^ { 2 3 } + E ^ { 5 7 } + E ^ { 6 8 } ) , } \\ { T ( E _ { 7 } ) } & { = T ( E _ { 8 } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \left( \frac { d \alpha _ { 1 i } } { d t } ( t ) \varphi _ { i } ( x ) + ( - \frac { k } { \xi } N _ { 1 } ( t ) + \frac { 1 } { \xi } f _ { 1 } ( t ) ) u _ { 1 i } \varphi _ { i } ( x ) \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } - \frac { \gamma } { 3 \mu } h _ { 0 } ^ { 3 } \alpha _ { 1 i } ( t ) \frac { d ^ { 4 } \varphi _ { i } } { d x ^ { 4 } } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { H } } } & { { } = - J _ { 0 } \, e ^ { i t \left[ ( U _ { 0 } - U ) { \mathcal { H } } _ { \textrm { i n t } } + E { \mathcal { H } } _ { \textrm { t i l t } } \right] } \left( \sum _ { j } { b } _ { j } ^ { \dagger } { b } _ { j - 1 } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) e ^ { - i t \left[ ( U _ { 0 } - U ) { \mathcal { H } } _ { \textrm { i n t } } + E { \mathcal { H } } _ { \textrm { t i l t } } \right] } + U { \mathcal { H } } _ { \textrm { i n t } } } \end{array}
\Omega _ { i } ^ { ( 1 / 2 ) } \; \equiv \; - \frac { P _ { i } ^ { ( 1 / 2 ) } } { P _ { 6 } ^ { ( 1 / 2 ) } } \, , \qquad \Omega _ { i } ^ { ( 3 / 2 ) } \; \equiv \; \frac { P _ { i } ^ { ( 3 / 2 ) } } { P _ { 6 } ^ { ( 1 / 2 ) } } \, \big ( 1 - \Omega _ { \eta + \eta ^ { \prime } } \big ) \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { x } _ { ( 0 , i ) } = } & { { } p _ { ( 0 , i ) \to ( 1 , i ) } \tilde { x } _ { ( 1 , i ) } + p _ { ( 0 , i ) \to ( 1 , i + 1 ) } \tilde { x } _ { ( 1 , i + 1 ) } + p _ { ( 0 , i ) \to ( 0 , i - 1 ) } \tilde { x } _ { ( 0 , i - 1 ) } } \end{array}
( Q ( \lambda ) \psi ) ( { \vec { x } } ) = \int d { \vec { t } } \int d { \vec { y } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } R _ { \lambda + \beta _ { i } - 1 } ( t _ { i } , x _ { i } | t _ { i - 1 } y _ { i } ) \psi ( { \vec { y } } ) ~ .
\left( \stackrel { [ 0 , 0 ] } { z } ^ { A } , \stackrel { [ 0 , 0 ] } { z } ^ { A _ { 1 } } \right) , \; \left( \stackrel { [ 1 , 0 ] } { \cal P } _ { 1 a _ { 0 } } , \stackrel { [ 0 , 1 ] } { \cal P } _ { 2 a _ { 0 } } \right) , \; \left( \stackrel { [ 1 , 1 ] } { \lambda } _ { a _ { 0 } } \right) ,
x = 0 . 8 , y = 0 . 5 , \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ S ~ J ~ L ~ } , L ^ { 1 } } \neq \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 1 ~ } } \neq \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 2 ~ } }
\dot { T } _ { 2 } ^ { \dot { A } \dot { B } } ( \Gamma ^ { A } ) ^ { \dot { B } \ddot { A } } - ( \Gamma ^ { A } ) ^ { \dot { A } \ddot { B } } \ddot { T } _ { 2 } ^ { \ddot { B } \ddot { A } } = 0 .
\frac { \partial F _ { [ s ] } ^ { \mu \nu } } { \partial x ^ { \mu } } = \frac { \partial F _ { [ e ] } ^ { \mu \nu } } { \partial x ^ { \mu } } * K + F _ { [ e ] } ^ { \mu \nu } * \frac { \partial K } { \partial x ^ { \mu } } = 0
\begin{array} { r l } { H ^ { l a t } \left( M , N _ { r } \right) = } & { { } - \frac { b _ { l a t } ^ { 2 } } { 2 } \log \left( 1 + \frac { N _ { r } } { M } \right) + a _ { l a t } b _ { l a t } \bigg [ \left( M + N _ { r } \right) ^ { 2 } \log \left( 1 + \frac { N _ { r } } { M } \right) - } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } h ^ { \epsilon } = - \frac { 1 } { 2 } \big ( \mathcal { J } ^ { \epsilon } ( \mathcal { J } ^ { \epsilon } h \partial _ { x } \mathcal { J } ^ { \epsilon } h ) + [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } h _ { x } ^ { \epsilon } ] h ^ { \epsilon } - \mathscr { Q } h _ { x } ^ { \epsilon } - \mathcal { J } ^ { \epsilon } \mathcal { J } ^ { \epsilon } h _ { x } ^ { \epsilon } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L _ { O S } } } & { = } & { - i k _ { x } ( U \Delta - U ^ { \prime \prime } ) + \nu _ { T } \Delta ^ { 2 } + 2 \nu _ { T } ^ { \prime } \Delta \mathcal { D } + \nu _ { T } ^ { \prime \prime } ( \mathcal { D } ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { L _ { S Q } } } & { = } & { - i k _ { x } U + \nu _ { T } \Delta + \nu _ { T } ^ { \prime } \mathcal { D } , } \\ { \mathcal { L _ { \theta } } } & { = } & { - i k _ { x } U + \alpha _ { T } \Delta + \alpha _ { T } ^ { \prime } \mathcal { D } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \widetilde Y ( t ) = \sum _ { n = - 1 } ^ { + \infty } \widetilde a _ { n } \, t ^ { n } + ( \ln t ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \widetilde b _ { n } \, t ^ { n } } \, , } \\ { { \displaystyle \widetilde Z ( t ) = \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \widetilde c _ { n } \, t ^ { n } + ( \ln t ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \widetilde d _ { n } \, t ^ { n } } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { C _ { \mu \nu } ( { \bf k } , \omega ) = \omega _ { \mathrm { p d } } ^ { 2 } \left[ \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } + \kappa _ { b } ^ { 2 } } + \cal { D } _ { \mu \nu } ( { \bf k } , \omega ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } = } & { \hbar \, \Delta _ { \mathrm { c } } a ^ { \dagger } a + \frac { \hbar } { 2 } \sum _ { j } \Delta _ { \mathrm { s } } ^ { j } \sigma _ { z } ^ { j } } \\ & { + \hbar \, \sum _ { j } g _ { 0 } \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { - } ^ { j } + \sigma _ { + } ^ { j } a \right) + \mathrm { i } \hbar \, \eta \left( a ^ { \dagger } - a \right) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle e ^ { i \Gamma _ { e f f } ^ { \tilde { f } } [ { \scriptscriptstyle V } ] } = \int [ d \tilde { f } ] [ d \tilde { f } ^ { * } ] e ^ { i \Gamma _ { \tilde { f } } [ { \scriptscriptstyle V } , \tilde { f } ] } } } \end{array}
v _ { \epsilon } ( s , y ) \geq G _ { 0 } ( s , y ) + \epsilon ^ { \left( \frac { \beta + 1 } { 2 } - \frac { 1 } { p } \right) } G _ { 1 } ( s , y ) + \epsilon ^ { 2 \left( \frac { \beta + 1 } { 2 } - \frac { 1 } { p } \right) } G _ { 2 } ( s , y )
\begin{array} { r l r } { \qquad \rho _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } \! = \! \! } & { { \left[ x - ( 1 - \mu ) \cos { t } \right] } ^ { 2 } + { \left[ y - ( 1 - \mu ) \sin { t } \right] } ^ { 2 } + z ^ { 2 } , } \\ { \qquad \rho _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } \! = \! \! } & { { \left( x + \mu \cos { t } \right) } ^ { 2 } + { \left( y + \mu \sin { t } \right) } ^ { 2 } + z ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I I } & { = \left| \rho _ { f } + \frac 1 3 \left\{ \left( u _ { f } + \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( u _ { f } - \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 3 } \right\} - \rho _ { g } - \frac 1 3 \left\{ \left( u _ { g } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( u _ { g } - \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 3 } \right\} \right| . } \end{array}
\left. \begin{array} { r } { { H ( x , \xi ) } } \\ { { A ( x , \xi ) } } \end{array} \right\} \; \; \equiv \; \; \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \tilde { x } \int _ { - 1 + | \tilde { x } | } ^ { 1 - | \tilde { x } | } d \alpha \, \delta ( x - \tilde { x } - \xi \alpha ) \, f ( \tilde { x } , \alpha ) \; \left\{ \begin{array} { r } { { 1 } } \\ { { \alpha } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { J _ { x } } & { = - \mathrm { i } \hbar \left( - \sin \phi \frac { \partial } { \partial \theta } - \cot \theta \cos \phi \frac { \partial } { \partial \phi } + \csc \theta \cos \phi \frac { \partial } { \partial \chi } \right) , } \\ { J _ { y } } & { = - \mathrm { i } \hbar \frac { \partial } { \partial \phi } , } \\ { J _ { z } } & { = - \mathrm { i } \hbar \left( - \cos \phi \frac { \partial } { \partial \theta } + \cot \theta \sin \phi \frac { \partial } { \partial \phi } - \csc \theta \sin \phi \frac { \partial } { \partial \chi } \right) , } \end{array}
O _ { n + 1 } = O _ { n } + \alpha P ^ { * } \left( \psi - P \cdot O _ { n } \right) + \lambda \, \textrm { d i v } \left( \frac { \nabla O _ { n } } { \sqrt { \left| \nabla O _ { n } \right| ^ { 2 } + \epsilon } } \right) ,
\begin{array} { r l } { m \ddot { \bf r } _ { \mathrm { s i m } } } & { = k _ { p } { \bf e } _ { r } + k _ { i } \int _ { 0 } ^ { t } { \bf e } _ { r } ( \tau ) d \tau + k _ { d } \dot { \bf e } _ { s } = \hat { \bf f } _ { \mathrm { s i m } } } \\ { I \ddot { \theta } _ { \mathrm { s i m } } } & { = l _ { p } { e } _ { \theta } + l _ { i } \int _ { 0 } ^ { t } { e } _ { \theta } ( \tau ) d \tau + l _ { d } \dot { e } _ { \theta } = \hat { T } _ { \mathrm { s i m } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Delta = } & { 2 5 6 a ^ { 3 } e ^ { 3 } - 1 9 2 a ^ { 2 } b d e ^ { 2 } - 1 2 8 a ^ { 2 } c ^ { 2 } e ^ { 2 } + 1 4 4 a ^ { 2 } c d ^ { 2 } e - 2 7 a ^ { 2 } d ^ { 4 } } \\ & { + 1 4 4 a b ^ { 2 } c e ^ { 2 } - 6 a b ^ { 2 } d ^ { 2 } e - 8 0 a b c ^ { 2 } d e + 1 8 a b c d ^ { 3 } + 1 6 a c ^ { 4 } e } \\ & { - 4 a c ^ { 3 } d ^ { 2 } - 2 7 b ^ { 4 } e ^ { 2 } + 1 8 b ^ { 3 } c d e - 4 b ^ { 3 } d ^ { 3 } - 4 b ^ { 2 } c ^ { 3 } e + b ^ { 2 } c ^ { 2 } d ^ { 2 } } \end{array} }
\kappa _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \zeta _ { x } ^ { \epsilon } ( \bar { \zeta _ { 1 } } ) _ { x } d x + \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \zeta _ { x } ^ { \epsilon } \bar { \zeta _ { 1 } } d x + \frac { R \bar { \theta } } { c _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } ^ { \epsilon } \bar { \zeta _ { 1 } } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \zeta ^ { \epsilon } \bar { \zeta _ { 1 } } d x = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h \bar { \zeta _ { 1 } } d x
\begin{array} { r l } { \mathrm { K } ( L , n ) \to _ { \mathrm { p t } } \mathrm { K } ( M , m ) \to _ { \mathrm { p t } } \mathrm { K } ( N , n + m ) } & { \simeq L \to _ { \mathrm { g r p } } \Omega ^ { n } ( \mathrm { K } ( M , m ) \to _ { \mathrm { p t } } \mathrm { K } ( N , n + m ) ) } \\ & { \simeq L \to _ { \mathrm { g r p } } \mathrm { K } ( M , m ) \to _ { \mathrm { p t } } \Omega ^ { n } \mathrm { K } ( N , m + n ) } \\ & { \simeq L \to _ { \mathrm { g r p } } \mathrm { K } ( M , m ) \to _ { \mathrm { p t } } \mathrm { K } ( N , m ) } \\ & { \simeq L \to _ { \mathrm { g r p } } M \to _ { \mathrm { g r p } } N . } \end{array}
\mathbf { f } \left( { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] } \right) = { \left[ \begin{array} { l } { f _ { 1 } ( x , y ) } \\ { f _ { 2 } ( x , y ) } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } y } \\ { 5 x + \sin y } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x } ^ { 2 } } & { = \int _ { - \infty } ^ { t } d s \int _ { - \infty } ^ { t } d s ^ { \prime } k ( t - s ) k ( t - s ^ { \prime } ) \langle \delta \ell ( s ) \delta \ell ( s ^ { \prime } ) \rangle + \sigma _ { \eta _ { x } } ^ { 2 } , } \\ & { = \sigma _ { x | \eta } ^ { 2 } + \sigma _ { x | L } ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { E ( t ) } { E _ { 0 } } = \frac { \dot { x } ( t ) ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } x ( t ) ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \sigma } \frac { \partial \sigma } { \partial \epsilon } } & { } & { = \frac { 2 ( \epsilon + Q ) ( \epsilon ^ { 2 } + 1 ) - [ { ( \epsilon + Q ) } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ] \cdot 2 \epsilon } { [ { ( \epsilon + Q ) } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ] ( \epsilon ^ { 2 } + 1 ) } } \\ & { } & { = \frac { 2 \left( \epsilon + Q \right) } { { \left( \epsilon + Q \right) } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } - \frac { 2 \epsilon } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( q u _ { i } \rho _ { i } - r \rho _ { i } ^ { 2 } ) \, d x \leq \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \sum _ { i = 1 } ^ { m } u _ { i } ^ { 2 } ( t , x ) \, d x - \frac { r } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } .
q ^ { - \beta } \frac { \prod _ { k = 1 } ^ { 2 l } \phi ( u + ( k - l - \frac 1 2 ) \eta ) } { Q ( u - \eta / 2 ) Q ( u + \eta / 2 ) } = K ( u ) + q ^ { - \beta } \frac { G ( u + \frac { \eta } { 2 } ) } { Q ( u + \frac { \eta } { 2 } ) } - q ^ { \beta } \frac { G ( u - \frac { \eta } { 2 } ) } { Q ( u - \frac { \eta } { 2 } ) } ,
A _ { \mu } \to A _ { \mu } - \frac { i } { e } U ( t , { \bf x } ) ^ { - 1 } \partial _ { \mu } U ( t , { \bf x } ) = A _ { \mu } \to A _ { \mu } + \frac { 1 } { e } \partial _ { \mu } \tilde { \Omega } ( t , { \bf x } ) ,
\mathbf { R } = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { R } ^ { + + } } & { \mathbf { R } ^ { + - } } \\ { \mathbf { R } ^ { - + } } & { \mathbf { R } ^ { -- } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { I } ^ { + } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mathbf { I } ^ { - } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \Phi _ { u } ( x ) ( \tau ) - \Phi _ { u } ( y ) ( \tau ) \| _ { X } } & { \leq \Big \| \int _ { 0 } ^ { \tau } T ( \tau - s ) B _ { 2 } \big ( f ( x ( s ) , u ( s ) ) - f ( y ( s ) , u ( s ) ) \big ) d s \Big \| _ { X } } \\ & { \leq c _ { \tau } \| f ( x ( \cdot ) , u ( \cdot ) ) - f ( y ( \cdot ) , u ( \cdot ) ) \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , \tau ] , V ) } } \\ & { \leq c _ { t } L ( K ) \rho _ { t } ( x , y ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \rho _ { t } ( x , y ) , } \end{array}
Q ( \theta , \varphi , u ) = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } { \bar { \cal S } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d { \bar { r } } ( \log { \bar { r } } ) \frac { \partial } { \partial { \bar { r } } } \Bigl [ { \bar { r } } ^ { 3 } { \cal Y } ( { \bar { r } } , { \bar { \theta } } , { \bar { \varphi } } , { \bar { u } } ) \Bigl | _ { { \bar { u } } = f ^ { * } } \Bigr ] + \; O [ X \times \Re ] \; , \quad
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { K } { \epsilon ^ { m } } \left\{ \frac { \pi } { 2 } \tan \left( \frac { m \pi } { 2 } \right) \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { m - 1 } + \frac { 2 ^ { - m + 3 } } { m - 3 } \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { 2 } + 2 \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { m } + \frac { 2 ^ { - m + 5 } } { m - 5 } \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { 4 } + \frac { 8 } { 3 } \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { m + 2 } + \cdots \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C J } = \mathbf { J } \left( \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { T } \quad \Rightarrow } \\ { \Rightarrow \quad \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C J C } ^ { T } = \mathbf { J C } ^ { T } \left( \mathbf { C } ^ { - 1 } \right) ^ { T } \mathbf { C } ^ { T } = \mathbf { J } \left( \mathbf { C C } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { T } = \mathbf { J C } ^ { T } \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { y } ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \begin{array} { l l } { F x } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x < L / 3 } \\ { \frac { F L } { 3 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } L / 3 \leq x \leq 2 L / 3 } \\ { F ( L - x ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 2 L / 3 < x } \end{array} \right. } \\ { Q _ { z } ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \begin{array} { l l } { F } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x < L / 3 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } L / 3 \leq x \leq 2 L / 3 } \\ { - F } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 2 L / 3 < x } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 5 } ( x , y ) } & { = \frac { x ^ { 1 5 } P _ { 1 0 4 , 2 6 4 0 } ( x , y ) } { ( x + y - x y ) ^ { 2 7 } ( 2 - x - y + x y ) ^ { 2 7 } P _ { 5 , 1 1 } ( x , y ) P _ { 6 , 1 5 } ( x , y ) } } \\ & { \quad - \frac { x ^ { 1 5 } P _ { 1 0 4 , 2 6 3 9 } ( x , y ) } { ( x + y - x y ) ^ { 2 7 } ( 2 - x - y + x y ) ^ { 2 7 } P _ { 5 , 1 1 } ( x , y ) P _ { 6 , 1 5 } ( x , y ) } } \\ & { = - \frac { x ^ { 1 5 } y ^ { 1 5 } P _ { 2 8 , 2 2 5 } ( x , y ) } { ( 2 - x - y + x y ) ^ { 2 7 } P _ { 6 , 1 5 } ( x , y ) } , } \end{array}
{ _ { \mu } \phi _ { l } ^ { k } } \circ _ { x } { _ { \eta } \phi _ { j } ^ { i } } = q ^ { ( \epsilon _ { i } ^ { \mu } , \epsilon _ { k } ^ { \eta } - \epsilon _ { l } ^ { \eta } ) } { _ { \eta } \phi _ { j } ^ { i } } \: \overline { { \star } } \: { _ { \mu } \phi _ { l } ^ { k } } + \sum _ { s = i + 1 } ^ { n } \sum _ { t = 1 } ^ { k - 1 } \beta _ { s t } ^ { i j k l } { _ { \eta } \phi _ { j } ^ { s } } \: \overline { { \star } } \: { _ { \mu } \phi _ { l } ^ { t } }
\lambda _ { \mathrm { ~ A ~ R ~ O ~ M ~ } } \approx \frac { 1 } { \frac { p _ { 1 } } { K \lambda _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ O ~ M ~ } } } + \frac { p _ { 2 } } { z _ { s } K } } \le \frac { z _ { s } K } { p _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { q ( a _ { 1 } + a _ { 2 } , b ) } & { { } = q ( a _ { 1 } , b ) + q ( a _ { 2 } , b ) , } \\ { q ( a , b _ { 1 } + b _ { 2 } ) } & { { } = q ( a , b _ { 1 } ) + q ( a , b _ { 2 } ) , } \\ { q ( a r , b ) } & { { } = q ( a , r b ) . } \end{array}
\operatorname* { P r } _ { \omega \sim \mathcal { M } ( \mathcal { D } ) } \left[ \omega \in S \right] - \delta \le \operatorname* { P r } _ { \omega \sim \mu } [ \omega \in S ] , \; \operatorname* { P r } _ { \omega \sim \nu } [ \omega \in S ] \le \operatorname* { P r } _ { \omega \sim \mathcal { M } ( \mathcal { D } ^ { \prime } ) } \left[ \omega \in S \right] + \delta ,
\begin{array} { r l } { \frac { a _ { 3 1 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 3 } c _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } } & { \ne \frac { 1 } { 6 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 3 1 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 2 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 3 3 } - c _ { 1 } a _ { 3 2 } a _ { 1 1 } - c _ { 1 } a _ { 3 3 } a _ { 2 1 } - c _ { 2 } a _ { 3 3 } a _ { 2 2 } } & { \ne 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Bigg [ \frac { \langle \hat { X } \rangle } { \langle \hat { Y } \rangle } \Bigg ] } & { \approx \frac { \mathbb { E } [ \hat { X } ] } { \mathbb { E } [ \hat { Y } ] } + \frac { \mathbb { E } [ \hat { X } ] \textrm { V a r } [ \hat { Y } ] ^ { 2 } } { \mathcal { N } \mathbb { E } [ \hat { Y } ] ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { \textrm { T r } ( O \rho ^ { m } ) } { \textrm { T r } ( \rho ^ { m } ) } + \frac { \textrm { T r } ( O \rho ^ { m } ) \textrm { V a r } [ \hat { Y } ] ^ { 2 } } { \mathcal { N } \textrm { T r } ( \rho ^ { m } ) ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { \textrm { T r } ( O \rho ^ { m } ) } { \textrm { T r } ( \rho ^ { m } ) } + \frac { \textrm { T r } ( O \rho ^ { m } ) [ 1 - \textrm { T r } ( \rho ^ { m } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } { \mathcal { N } \textrm { T r } ( \rho ^ { m } ) ^ { 3 } } , } \end{array}