harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\partial _ { V } P _ { \mathrm { ~ s ~ q ~ } } ( R ^ { * } , V ^ { * } ) = \pi \tau _ { m } R ^ { * } / \vartheta / [ ( \pi \tau _ { m } R ^ { * } ) ^ { 2 } + ( V ^ { * } - v _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ) ^ { 2 } ] > 0
\sigma ^ { q G } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { ( 5 - 3 q ) \beta ^ { q G } } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } q < \frac { 5 } { 3 } } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \frac { 5 } { 3 } \le q < 2 } \\ { U n d e f i n e d } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 2 \le q < 3 } \end{array} \right. .
\left( \mathsf { A } _ { \mathsf { U } , i } ^ { \ell } - \alpha _ { q } \lambda _ { q } \mathsf { M } _ { i } ^ { \ell } \right) K _ { j , \alpha } ^ { i } - \mathsf { M } _ { i } ^ { \ell } K _ { 1 , e _ { q } } ^ { i } R _ { j , \alpha } ^ { q } = \eta _ { j , \alpha } ^ { \ell } , \qquad | \alpha | = j ,
\begin{array} { r } { \nabla \Phi ( x ) = \frac 1 4 \left( \begin{array} { l } { \rho ( x ) } \\ { \hat { \rho } ( x ) } \end{array} \right) + \frac 1 4 \left( \begin{array} { l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } } & { - x _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \phi ( x ) } \\ { \hat { \phi } ( x ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| Z _ { i } \tilde { X } _ { i } - \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 / 2 } { q } \| } \\ & { = } & { \tilde { R } _ { i } - \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 / 2 } Z _ { i } { q } ^ { \top } { \tilde { W } } _ { i } + 2 ^ { - 1 } \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } n ^ { - 1 } \tilde { R } _ { i } ^ { - 1 } \| { q } \| ^ { 2 } } \\ & { } & { - 2 ^ { - 1 } \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } n ^ { - 1 } \tilde { R } _ { i } ^ { - 1 } { q } ^ { \top } { \tilde { W } } _ { i } { \tilde { W } } _ { i } ^ { \top } { q } + O _ { p } ( \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 3 / 2 } ) \, . } \end{array}
\widehat { \Gamma } _ { \mu \nu } ^ { H Z Z } ( Q , p , k ) \ = \ \frac { g _ { w } } { c _ { w } } M _ { Z } \, \Big [ \, \Big ( 1 \, + \, A ( Q ^ { 2 } ) \Big ) \, g _ { \mu \nu } \, + \, B ( Q ^ { 2 } ) \, \frac { k _ { \mu } \, p _ { \nu } } { M _ { Z } ^ { 2 } } \, \Big ] \, ,
\mathsf { f } _ { : , \, j } ^ { n , \star } = \mathsf { A } ^ { v _ { j } } \mathsf { f } _ { : , \, j } ^ { n } \, , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathsf { A } _ { k l } ^ { v } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \alpha ( v ) \, , } & { l = k + \mathrm { n } ( v ) \, , } \\ { \alpha ( v ) \, , } & { l = k + \mathrm { n } ( v ) + 1 \, , } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | \omega _ { \varepsilon } ( { \mathtt A } ) \cdot \ell | } & { \geq | \vec { \omega } _ { \mathtt m } ( \mathtt E ) \cdot \ell | - C \sqrt { \varepsilon } \upsilon ^ { - 1 } | \ell | \geq \frac { \overline { \upsilon } } { | \ell | ^ { \overline { \tau } } } - C \sqrt { \varepsilon } \upsilon ^ { - 1 } | \ell | \geq \frac { \overline { \upsilon } } { 2 | \ell | ^ { \overline { \tau } } } } \end{array}
\mathrm { d i s t } _ { { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } } ( \Phi ( x , t ) , \Phi ( y , t ) ) \geq C t \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad x \in \mathsf { A } ( t ) , \ y \in \mathsf { B } ( t )
\frac { z } { 1 - \exp { ( - z ) } } \, \stackrel { \alpha \ll \beta } { = } \, 1 \, + \, \frac { z } { 2 } \, + \, \frac { z ^ { 2 } } { 1 2 } \, + \, { \cal { O } } ( \alpha ^ { 3 } ) \, .
\begin{array} { r l r } { 2 \sin \phi _ { 0 } } & { { } = } & { \sin \phi _ { 1 } , } \\ { \frac { \sin \phi _ { 1 } } { 1 - \cos \phi _ { 1 } } } & { { } = } & { \frac { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi } , } \end{array}
u _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { ~ w ~ p ~ } } , x _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } , t ) = \hat { u } _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } ( x _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } ) \exp ( - \alpha x _ { \mathrm { ~ w ~ p ~ } } + \omega t )
\left\{ \begin{array} { l l } { t a n { \theta } _ { H } } & { = \frac { \left( 1 - k \right) \sqrt { s i n ^ { 2 } \beta + ( k H _ { K } / H _ { S O T } ^ { D L } ) ^ { 2 } } } { k c o s \beta } } \\ { c o s { \varphi } _ { H } } & { = \frac { s i n \beta H _ { S O T } ^ { D L } / H _ { K } } { \sqrt { ( 1 - ( c o s \beta H _ { K } / H _ { S O T } ^ { D L } ) ^ { 2 } + ( s i n \beta H _ { K } / H _ { S O T } ^ { D L } ) ^ { 2 } } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { a } } } & { { } = H \mathbf { w } , } \\ { \hat { \mathbf { a } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { a } } _ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { a } } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \hat { \mathbf { a } } _ { N _ { A } } } \end{array} \right] , H = \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } } & { I + C _ { 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } } \\ { \bar { A } _ { 3 , 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } } & { \bar { A } _ { 3 , 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } - \bar { A } _ { 4 , 0 } } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { \bar { A } _ { 3 , N _ { A } } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } } & { \bar { A } _ { 3 , N _ { A } } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } - \bar { A } _ { 4 , N _ { A } - 1 } } \end{array} \right] , \mathbf { w } = \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( Q ) } \\ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( R ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \lambda _ { 2 } + q _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } ) + q _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ) - \gamma \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle ^ { 2 } q _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ) \right] \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle + \left[ ( 1 - \gamma ) r _ { 2 } ( \lambda _ { 1 } ) - r _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } ) \right] \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle } \\ & { = { \mathcal { S } } ( u _ { 2 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) - \gamma \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta v _ { k } } & { = \frac { 1 } { ( t _ { k } \varepsilon _ { k } ) ^ { 2 } } ( 1 - | v _ { k } | ^ { 2 } ) v _ { k } \quad } & & { \mathrm { i n } \ t _ { k } [ \Omega - x _ { k } ] , } \\ { \langle v _ { k } , h ^ { \perp } \rangle } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \ t _ { k } [ \Gamma - x _ { k } ] , } \\ { \partial _ { n } \langle v _ { k } , h \rangle } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \ t _ { k } [ \Gamma - x _ { k } ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { p } + C _ { i , j } \left[ 1 + \tau D _ { r } i ( i + 1 ) \right] + \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { f } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { p } = 0 . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \tilde { m } _ { Q } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } } } & { { m _ { t } ( - A _ { t } + \lambda \langle \tilde { S } \rangle \cot \beta ) } } \\ { { m _ { t } ( - A _ { t } + \lambda \langle \tilde { S } \rangle \cot \beta ) } } & { { \tilde { m } _ { \bar { T } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> = \frac { 6 } { 6 { G _ { E } ^ { p } } ( 0 ) } \frac { G _ { E } ^ { p } ( q ^ { 2 } ) } { d q ^ { 2 } } \bigg | _ { q ^ { 2 } = 0 } \, . } \end{array}
| \phi _ { s a t , k } | ^ { 2 } = C _ { N L } \frac { \gamma _ { k } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } | _ { m a x } \frac { 1 } { k _ { m a x } } \left( \frac { k _ { y } } { k _ { m a x } } \right) ^ { \alpha }
\begin{array} { r l } & { \hat { t } _ { \tiny { \mathrm { d , m a c r o } } } = \frac { L ^ { 2 } } { D } , \quad \hat { t } _ { \tiny { \mathrm { a , m a c r o } } } = \frac { L } { U } , } \\ & { \hat { t } _ { \tiny { \mathrm { d , m i c r o } } } = \frac { l ^ { 2 } } { D } , \quad \hat { t } _ { \tiny { \mathrm { a , m i c r o } } } = \frac { l } { U } , } \end{array}
D _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } ( x - y ) = \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { - i \cdot 4 ^ { n } g _ { \mu \nu } } { p ^ { 2 + 4 n } } e ^ { - i p \cdot ( x - y ) } \, .
\begin{array} { r l r } { { \cal M } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { k } , \mathbf { q } ) } & { { } = } & { \sum _ { j , l = 1 } ^ { 3 } \varepsilon _ { k j } \varepsilon _ { k l } \left[ \langle w _ { j , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { - } ) | F ( \mathbf { q } ) | { w } _ { l , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { + } ) \rangle \right. } \end{array}
s _ { k } = \pm { \frac { 1 } { 2 \omega } } \sqrt { \left( { \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { 2 } - ( \omega _ { k } ^ { 2 } - ( \omega ^ { 2 } - A _ { 0 } ^ { 2 } ) ) ^ { 2 } }
C = C _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ u ~ r ~ a ~ n ~ t ~ } } = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } _ { \alpha _ { i } , \, j } \left( \frac { \sum _ { f = 1 } ^ { m _ { j } } | \phi _ { f } | ) } { V _ { j } } \right) \Delta t ,
\begin{array} { r l } { p \left( \left\{ \phi _ { k } , \dots \phi _ { k + m - 1 } \right\} | \phi _ { < k } \right) } & { { } = p ( \phi _ { k } | \phi _ { < k } ) \dots p ( \phi _ { k + m - 1 } | \phi _ { < k + m - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \theta _ { e } } { C _ { \theta _ { e } } } } & { = \frac { 1 } { N _ { u } ^ { 2 } } \left( \partial _ { 3 } p + B _ { q } M \right) H _ { u } + \frac { 1 } { N _ { s } ^ { 2 } } \left( \partial _ { 3 } p \right) H _ { s } } \\ & { = \frac { 1 } { N _ { s } ^ { 2 } } \partial _ { 3 } p + \left( \frac { 1 } { N _ { s } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { N _ { u } ^ { 2 } } \right) { \operatorname* { m i n } } _ { 0 } \left( \frac { B _ { \theta _ { e } } C _ { \theta _ { e } } } { C _ { q } } M - \partial _ { 3 } p \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W _ { z _ { 2 2 } , m _ { 2 2 } , z _ { 2 1 } , m _ { 2 1 } } ^ { 2 - \rightarrow + } = N _ { 2 } ( 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { z _ { 2 2 } , m _ { 2 2 } } ^ { 2 2 - } P _ { z _ { 2 1 } , m _ { 2 1 } } ^ { 2 1 - } F _ { z _ { 2 2 } + z _ { 2 1 } , m _ { 2 2 } + m _ { 2 1 } } ^ { 2 } } \\ & { W _ { z _ { 1 1 } , m _ { 1 1 } , z _ { 1 2 } , m _ { 1 2 } } ^ { 1 + \rightarrow - } = N _ { 1 } \rho _ { 1 } ^ { \prime } P _ { z _ { 1 1 } , m _ { 1 1 } } ^ { 1 1 + } P _ { z _ { 1 2 } , m _ { 1 2 } } ^ { 1 2 + } R _ { z _ { 1 1 } + z _ { 1 2 } , m _ { 1 1 } + m _ { 1 2 } } ^ { 1 } } \\ & { W _ { z _ { 2 2 } , m _ { 2 2 } , z _ { 2 1 } , m _ { 2 1 } } ^ { 2 + \rightarrow - } = N _ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { \prime } P _ { z _ { 2 2 } , m _ { 2 2 } } ^ { 2 2 + } P _ { z _ { 2 1 } , m _ { 2 1 } } ^ { 2 1 + } R _ { z _ { 2 2 } + z _ { 2 1 } , m _ { 2 2 } + m _ { 2 1 } } ^ { 2 } } \end{array}
\psi _ { { \bf k } s } ^ { \pm } = \left[ - \gamma ^ { 0 } \left( { \frac { d } { d \tau } } + { \frac { 1 } { 2 \tau } } \right) - i \gamma _ { \bf { { \perp } } } \cdot { \bf { k _ { \perp } } } - i \gamma ^ { 3 } \pi _ { \eta } + m \right] \chi _ { s } { \frac { f _ { { \bf k } s } ^ { \pm } } { \sqrt \tau } } \, .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathcal { E } } \mathrm { E M D } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) } & { = F \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \quad \nabla _ { E _ { i } } \mathrm { E M D } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) = F ( x _ { i } ) , } \\ { \quad \nabla _ { x _ { i } } \mathrm { E M D } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) = E _ { i } \nabla F ( x _ { i } ) , } \end{array} \right. } \\ { \nabla _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } \mathrm { E M D } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) } & { = G \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \quad \nabla _ { E _ { j } ^ { \prime } } \mathrm { E M D } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) = G ( y _ { j } ) , } \\ { \quad \nabla _ { y _ { j } } \mathrm { E M D } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) = E _ { j } ^ { \prime } \nabla G ( y _ { j } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \nabla \cdot \bigl ( \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla { \Chi } _ { m , k } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) } \quad } & { } \\ & { = \bigl ( \nabla \cdot \bigl ( \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla { \Chi } _ { m , k } \bigr ) \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } } \\ & { \qquad + \nabla \cdot \bigl ( \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } - \nabla X _ { m - 1 , l _ { k } } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) \bigl ( \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla { \Chi } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left[ \| J u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| J v \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } \right] } \\ { = \ } & { \frac { 4 ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 4 ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } - \frac { 8 \beta p t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x } \\ { \ } & { + \frac { 1 6 \beta t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x - \frac { d } { d t } \left[ \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 0 } } & { \! = \! \left( m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \right) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } , } \\ { T _ { x } } & { \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { x } ^ { \dagger } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , } \\ { T _ { y } } & { \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { y } ^ { \dagger } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ { T _ { z } } & { \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { z } ^ { \dagger } \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k ^ { 2 } \partial _ { \tau } \xi _ { \textbf { k } } ^ { ( n ) } + n ^ { 2 } \left( k ^ { 2 } / \bar { \nu } _ { e i } + \gamma \right) \xi _ { \textbf { k } } ^ { ( n ) } - } \\ & { - \bar { \rho } _ { i } ^ { 2 } \! \! \int \! \! \frac { d q _ { u } d q _ { v } } { 2 \pi } \left( k _ { u } q _ { v } \! - \! k _ { v } q _ { u } \right) q ^ { 2 } \big [ \xi _ { \textbf { k } - \textbf { q } } ^ { ( n ) } \xi _ { \textbf { q } } ^ { ( 0 ) } + \xi _ { \textbf { k } - \textbf { q } } ^ { ( 0 ) } \xi _ { \textbf { q } } ^ { ( n ) } \big ] = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \Big | \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \epsilon ^ { 2 } ( \Delta _ { t } \phi ) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } \Big | \Big | _ { C ^ { \alpha } ( Y ) } } & { = \Big | \Big | \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \epsilon ^ { 2 } ( \Delta _ { 0 } \phi ) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } \Big | \Big | _ { C _ { Y } ^ { \alpha } } + \Big | \Big | \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \epsilon ^ { 2 } ( [ \Delta _ { t } - \Delta _ { 0 } ] \phi ) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } \Big | \Big | _ { C _ { Y } ^ { \alpha } } } \\ & { = O ( \epsilon ^ { 3 - \alpha } ) + O ( \epsilon ^ { 4 - \alpha } ) } \\ & { = O ( \epsilon ^ { 3 - \alpha } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { N - 1 } = - \sum _ { j = 1 } ^ { N - 2 } { \frac { \sin ( \varphi _ { N } - \varphi _ { j } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } } \lambda _ { j } \, , \quad \lambda _ { N } = \sum _ { j = 1 } ^ { N - 2 } { \frac { \sin ( \varphi _ { N - 1 } - \varphi _ { j } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } } \lambda _ { j } \, . } \end{array}
C ( Q ) - 1 \; = \; e ^ { - T \tau ^ { 2 } Q _ { o u t } ^ { 2 } / m } \: { \frac { 1 + Q ^ { 2 } / 4 m ^ { 2 } } { 1 + 5 T ^ { 2 } \tau ^ { 2 } Q ^ { 2 } / 2 m ^ { 2 } } } \; \cos \bigg ( { \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } ( { \frac { 5 T \tau } { 2 } } + { \frac { m \tau } { 2 } } ) \bigg ) ~ ~ ~ .
X _ { n + 1 } = \left\{ \begin{array} { c } { X _ { n } + \beta _ { n + 1 } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } p } \\ { \left( X _ { n } - \delta _ { n + 1 } \right) _ { + } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } q = 1 - p , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l r } { 0 \le } & { { } - \frac { \kappa } { C _ { 1 } } \sqrt { 2 } - ( \kappa + 1 ) \le } & { - \frac { \kappa } { C _ { 1 } } \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } 2 - ( \kappa + 1 ) \le } & { { } \frac { \kappa } { C _ { 1 } } \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } 2 ( Z ( t ) - \frac { 1 } { 2 } ) - ( \kappa + 1 ) \le } & { \frac { \kappa } { C _ { 1 } } \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } 2 - ( \kappa + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q c _ { 1 } - \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 } - \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } + c _ { 2 } + 1 < \frac { q \sigma _ { 1 } } { 2 } + \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } - q c _ { 1 } - q - c _ { 2 } - 1 - } \\ & { - \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } - \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { r } \mathrm { e } ^ { i k _ { n _ { 0 } } \frac { r ^ { 2 } } { 2 R } } = i k _ { n _ { 0 } } \frac { r } { R } \mathrm { e } ^ { i k _ { n _ { 0 } } \frac { r ^ { 2 } } { 2 R } } } \end{array}
c _ { 0 } ( \omega ) = \sum _ { j = 0 } ^ { s _ { \mathrm { m a x } } } \frac { \beta _ { j } [ \mathrm { ~ \bf ~ \underline { ~ } { ~ e ~ } ~ } _ { j } ] _ { 0 } } { \varepsilon _ { j } - i ( \omega - \omega _ { 0 } ) } ,
\partial _ { 3 } f ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } , t ) | _ { x _ { 3 } = x _ { 3 , S } } = \frac { 1 } { 2 } \rho ( { \bf x } _ { S } ) \delta ( { \bf x } _ { H } - { \bf x } _ { H , S } ) { \partial _ { t } } \delta ( t ) .
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \frac { ( K - 3 ) \left( q _ { 1 } + 1 \right) } { 4 ( K - 1 ) } - m _ { 2 } - 1 , } \\ { B } & { = } & { \frac { 2 ( K - 3 ) \left( m _ { 2 } + 1 \right) q _ { 1 } - 6 K m _ { 2 } - ( K - 1 ) q _ { 1 } ^ { 2 } + K + 2 m _ { 2 } - 5 } { 8 ( K - 1 ) } , } \\ { C } & { = } & { \frac { ( K - 3 ) m _ { 2 } \left( q _ { 1 } + 1 \right) } { 4 ( K - 1 ) } - \frac { 1 } { 8 } m _ { 2 } q _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { i } = } & { e ^ { - \beta } \left( Q ^ { 0 } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } Q ^ { 1 , t } \right) ^ { D } + \sum _ { n = 0 } ^ { K - 1 } C _ { D } ^ { n } \left( \sum _ { t = 2 } ^ { H } Q ^ { 1 , t } \right) ^ { n } \left( Q ^ { 0 } + Q ^ { 4 , 1 } \right) ^ { D - n } } \\ & { + D Q ^ { 1 , 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { K - 2 } C _ { D - 1 } ^ { n } \left( Q ^ { 5 , 1 } + Q ^ { 2 , 2 } + \sum _ { t = 3 } ^ { H } Q ^ { 1 , t } \right) ^ { n } \left( Q ^ { 0 } + Q ^ { 4 , 1 } \right) ^ { D - 1 - n } } \\ & { + \sum _ { t = 2 } ^ { H } \sum _ { n = 0 } ^ { K - 1 } \sum _ { m = K - n } ^ { D - n } C _ { D } ^ { n } C _ { D - n } ^ { m } \left( \sum _ { s = t + 1 } ^ { H } Q ^ { 1 , s } \right) ^ { n } \left( Q ^ { 5 , t - 1 } + Q ^ { 4 , t } \right) ^ { m } } \\ & { \times \left( Q ^ { 0 } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 1 } Q ^ { 3 , s } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 2 } Q ^ { 5 , s } \right) ^ { D - n - m } + \sum _ { t = 2 } ^ { H } D Q ^ { 2 , t } } \\ & { \times \sum _ { n = 0 } ^ { K - 2 } \sum _ { m = K - 1 - n } ^ { D - 1 - n } C _ { D - 1 } ^ { n } C _ { D - 1 - n } ^ { m } \left( Q ^ { 2 , t + 1 } + \sum _ { s = t + 2 } ^ { H } Q ^ { 1 , s } + Q ^ { 5 , t } \right) ^ { n } } \\ & { \times \left( Q ^ { 5 , t - 1 } + Q ^ { 4 , t } \right) ^ { m } \left( Q ^ { 0 } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 1 } Q ^ { 3 , s } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 2 } Q ^ { 5 , s } \right) ^ { D - 1 - n - m } . } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { x } } & { { = } } & { { \alpha _ { 1 } \displaystyle \frac { \alpha _ { 3 } \pm | | \alpha | | } { ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } { } ^ { 2 } ) } \ , } } \\ { { y } } & { { = } } & { { \displaystyle - \alpha _ { 2 } \frac { \alpha _ { 3 } \pm | | \alpha | | } { ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } ) } \ . } } \end{array}
\kappa _ { \alpha _ { + , j } } = \frac { \tilde { t } } { \tilde { L } } c _ { \alpha _ { + , j } } , \kappa _ { \alpha _ { - , j } } = \frac { \tilde { t } } { \tilde { L } } c _ { \alpha _ { - , j } } , \kappa _ { \beta _ { + , j } } = \frac { \tilde { t } } { \tilde { L } } c _ { \beta _ { + , j } } , \kappa _ { \beta _ { - , j } } = \frac { \tilde { t } } { \tilde { L } } c _ { \beta _ { - , j } }
a _ { \mu } \sim \sum _ { \alpha = e \tau } \frac { m _ { \alpha } f _ { \mu \alpha } \xi _ { \alpha } M _ { s \eta \kappa } M _ { \eta \eta \Xi } M _ { \kappa \Xi } ^ { 2 } } { 5 1 2 \pi ^ { 4 } M _ { 0 } ^ { 4 } }
\delta \varphi ^ { 0 } = \left( { \bf b - a } \right) \cdot { \mathbf \varphi , \; \; \; } \delta { \mathbf \varphi } = \left( { \bf a - b } \right) \varphi ^ { 0 } + { \mathbf \varphi } \times \left( { \bf a + b } \right) \nonumber
\frac { 1 } { G ( k , p _ { F } ) } = \frac { 1 } { C _ { 0 } ( \mu , p _ { F } ) + 2 { k ^ { 2 } } C _ { 2 } ( \mu , p _ { F } ) } + \frac { M } { 4 \pi } [ k \ln \frac { p _ { F } - k } { p _ { F } + k } - i \mu \ln \frac { p _ { F } - i \mu } { p _ { F } + i \mu } ] ,
\begin{array} { r l } { | S _ { \phi _ { r } } ( \alpha , \beta - \alpha ) | } & { \le A _ { 5 } ( \eta _ { 1 } , h _ { 5 } ) h _ { 5 } ^ { 1 / 8 } ( \beta - \alpha ) \lambda _ { 5 } ^ { 1 / 3 0 } + B _ { 5 } ( \eta _ { 1 } ) ( \beta - \alpha ) ^ { 7 / 8 } \lambda _ { 5 } ^ { - 1 / 3 0 } } \\ & { < c _ { 1 } a ^ { - 1 7 / 1 0 } ( t r ) ^ { 1 3 / 1 5 } + c _ { 2 } a ^ { - 4 1 / 2 0 } ( t r ) ^ { 1 2 1 / 1 2 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathbb E } [ \ensuremath { Y } \, | \, \ensuremath { X } = \ensuremath { x } ] } & { = \sum _ { z } \, \ensuremath { \mathbb E } [ \ensuremath { Y } \, | \, \ensuremath { Z } ^ { ( 1 ) } = z , \ensuremath { X } = \ensuremath { x } ] \, \ensuremath { \mathbb P } \{ \ensuremath { Z } ^ { ( 1 ) } = z \, | \, \ensuremath { X } = \ensuremath { x } \} } \\ & { = \sum _ { z } \, \ensuremath { \mathbb E } [ \ensuremath { Y } \, | \, \ensuremath { Z } ^ { ( 1 ) } \! \! = z ] \, \ensuremath { \mathbb P } \{ \ensuremath { Z } ^ { ( 1 ) } = z \, | \, \ensuremath { X } = \ensuremath { x } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ^ { ( 2 ) } ( 0 ) = 1 - \frac { 1 } { N _ { s s } } } \\ & { + \frac { \gamma _ { p e } ^ { 2 } S _ { e e } + \gamma _ { p e } \gamma _ { e e } ( 2 S _ { p \, e } ) + ( \gamma _ { p e } \gamma _ { e p } + \gamma _ { p p } \gamma _ { e e } + \gamma _ { e e } ^ { 2 } ) S _ { p p } } { ( \gamma _ { p p } + \gamma _ { e e } ) ( \gamma _ { p e } \gamma _ { e p } + \gamma _ { p p } \gamma _ { e e } ) N _ { s s } ^ { 2 } } , } \end{array}
\prod _ { k = 1 } ^ { \infty } \exp \left[ - 2 k \left( ( a _ { k } ^ { B } a _ { - k } ^ { B } + b _ { k } ^ { B } b _ { - k } ^ { B } ) \frac { 1 + q ^ { 2 k } } { 1 - q ^ { 2 k } } - ( a _ { k } ^ { B } b _ { - k } ^ { B } + b _ { k } ^ { B } a _ { - k } ^ { B } ) \frac { 2 q ^ { k } } { 1 - q ^ { 2 k } } \right) \right] .