harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \tilde { \rho } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } ( \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } ) } & { = ~ \gamma _ { \alpha } , } \\ { \partial _ { t } \mathbf { m } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { m } _ { \alpha } \otimes \mathbf { v } _ { \alpha } \right) - \mathrm { d i v } \mathbf { T } _ { \alpha } - \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathbf { b } _ { \alpha } } & { = ~ \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } , } \\ { \mathbf { T } _ { \alpha } - \mathbf { T } _ { \alpha } ^ { T } } & { = ~ \mathbf { N } _ { \alpha } , } \\ { \partial _ { t } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \epsilon _ { \alpha } + \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 \right) \right) + \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \epsilon _ { \alpha } + \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 \right) \mathbf { v } _ { \alpha } \right) } & { ~ } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \mathbf { v } _ { \alpha } \mathbf { T } _ { \alpha } \right) - \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathbf { b } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \mathbf { q } _ { \alpha } - \tilde { \rho } _ { \alpha } r _ { \alpha } } & { = ~ e _ { \alpha } . } \end{array}
\nabla v _ { S } = \left( \begin{array} { l l l } { \partial _ { 1 } v _ { 1 } ^ { S } } & { \partial _ { 2 } v _ { 1 } ^ { S } } & { \partial _ { 3 } v _ { 1 } ^ { S } } \\ { \partial _ { 1 } v _ { 2 } ^ { S } } & { \partial _ { 2 } v _ { 2 } ^ { S } } & { \partial _ { 3 } v _ { 2 } ^ { S } } \\ { \partial _ { 1 } v _ { 3 } ^ { S } } & { \partial _ { 2 } v _ { 3 } ^ { S } } & { \partial _ { 3 } v _ { 3 } ^ { S } } \end{array} \right) , { \ } \nabla _ { \Gamma } v _ { S } = \left( \begin{array} { l l l } { \partial _ { 1 } ^ { \Gamma } v _ { 1 } ^ { S } } & { \partial _ { 2 } ^ { \Gamma } v _ { 1 } ^ { S } } & { \partial _ { 3 } ^ { \Gamma } v _ { 1 } ^ { S } } \\ { \partial _ { 1 } ^ { \Gamma } v _ { 2 } ^ { S } } & { \partial _ { 2 } ^ { \Gamma } v _ { 2 } ^ { S } } & { \partial _ { 3 } ^ { \Gamma } v _ { 2 } ^ { S } } \\ { \partial _ { 1 } ^ { \Gamma } v _ { 3 } ^ { S } } & { \partial _ { 2 } ^ { \Gamma } v _ { 3 } ^ { S } } & { \partial _ { 3 } ^ { \Gamma } v _ { 3 } ^ { S } } \end{array} \right) .
c _ { 7 } : = 2 \left( \mathcal { N } ( a , b ) { \underline { { \nu } } } ^ { \frac { - 1 } { 2 } } c _ { 6 } + ( N \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq N } \| \mathbf { 1 } _ { O _ { i } } \| _ { H } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } c _ { 6 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 2 \gamma _ { 2 } ( T ) } { \alpha \beta } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { | \theta , \phi \rangle \rangle _ { j } } & { { } \equiv \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \left( e _ { j } ^ { \dag } \cos \frac { \theta } { 2 } + e ^ { i \phi } g _ { j } ^ { \dag } \sin \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { N } | \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overrightarrow { S } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \\ { S _ { 4 } } \\ { S _ { 5 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { \prime \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 5 } ^ { \prime \prime \prime } } \end{array} \right) } \end{array}
U _ { t } = V d i a g \left( \exp \left[ - \frac { 3 ( m _ { b } / w ) ^ { 2 } t } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \right] , 0 , 0 \right) V ^ { - 1 } d i a g ( m _ { t } , 0 , 0 ) ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } = } & { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 1 } / a _ { 1 1 } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \\ { \boldsymbol { B } = } & { \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 1 } } & { b _ { 1 2 } } \\ { b _ { 2 1 } } & { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { b _ { 1 2 } / b _ { 1 1 } } \\ { b _ { 2 1 } } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \textsc { p } \textsc { q } } } & { { } = D _ { \textsc { q } \textsc { p } } ^ { * } , } \\ { d _ { \textsc { p q r s } } } & { { } = d _ { \textsc { q p s r } } ^ { * } = d _ { \textsc { r s p q } } = d _ { \textsc { s r q p } } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , - w } ( - ) = } & { { } \frac { ( \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } ) ^ { 2 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } ^ { 2 } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { L o s s } ( \theta ; x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { 1 } { N \times n } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \{ [ \Tilde { P } _ { i } ^ { m } ( x _ { 2 } , \omega _ { j } ) - \Tilde { P } _ { i } ( x _ { 2 } , \omega _ { j } , \theta ) ] ^ { 2 } } \\ { + [ \Tilde { P } _ { i } ^ { m } ( x _ { 1 } , \omega _ { j } ) - \Tilde { P } _ { i } ( x _ { 1 } , \omega _ { j } , \theta ) ] ^ { 2 } + [ C - \textit { I } ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } C _ { i , \cdot } ) ^ { T } ] ^ { 2 } \} } \end{array}
\mathcal { L } [ \boldsymbol { u } ] = \int _ { \mathbb { B } _ { \alpha } } \left( - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { H } _ { \alpha } } \int _ { \mathbb { H } _ { 3 } } \int _ { \mathbb { B } _ { 3 } } \omega ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) \ \textup { d } x _ { 3 } \textup { d } x _ { 3 } ^ { \prime } \textup { d S } _ { \alpha } + \int _ { \mathbb { B } _ { 3 } } \boldsymbol { b } \cdot \boldsymbol { u } \ \textup { d } x _ { 3 } \right) \textup { d S } _ { \alpha } .
\begin{array} { r l } { \psi _ { 2 , 2 , 1 } } & { \le \sum _ { i + k \ge r , k \ge 2 } \frac { ( i + k ) ^ { r } } { ( i + k ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + k - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { 2 } \bar { \partial } ^ { k - 2 } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i + k \ge r , k \ge 2 } \frac { ( i + k ) ^ { r } } { ( i + k ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + k - r } \partial _ { t } ^ { i + 1 } \bar { \partial } ^ { k - 2 } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad + \sum _ { i + k \ge r - 2 } \frac { ( i + k + 2 ) ^ { r } } { ( i + k + 2 ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k + 2 } \| t ^ { i + k + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { e _ { D _ { A } } = e _ { D _ { A } } ( v _ { A } ) : = \mu _ { A } \vert D ( v _ { A } ) \vert ^ { 2 } + \lambda _ { A } \vert \mathrm { { d i v } } v _ { A } \vert ^ { 2 } , } \\ { e _ { D _ { B } } = e _ { D _ { B } } ( v _ { B } ) : = \mu _ { B } \vert D ( v _ { B } ) \vert ^ { 2 } + \lambda _ { B } \vert { \mathrm { d i v } } v _ { B } \vert ^ { 2 } , } \\ { e _ { D _ { S } } = e _ { D _ { S } } ( v _ { S } ) : = \mu _ { S } \vert D _ { \Gamma } ( v _ { S } ) \vert ^ { 2 } + \lambda _ { S } \vert \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } \vert ^ { 2 } , } \end{array} \right.
W _ { k = 0 } ^ { \beta } = \mathrm { } - \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \frac { { \mathrm { d } } s } { s } \, { \mathrm e } ^ { - s m ^ { 2 } } \Big ( { \mathrm T r } { K } ^ { \beta } ( s ) | _ { k = 0 } - { \mathrm T r } K ( s ) | _ { \phi = 0 } \Big ) \Big | _ { m ^ { 2 } = 0 } .
\Delta m = \frac { 8 \eta m _ { K } } { 3 } \left( \frac { f _ { K } M _ { W } } { s _ { W } M _ { X } } \right) ^ { 2 } \sum _ { i , j } \Gamma _ { i } \Gamma _ { j } \frac { f ( a _ { q _ { i } } ^ { X } ) - f ( a _ { q _ { j } } ^ { X } ) } { a _ { q _ { i } } ^ { X } - a _ { q _ { j } } ^ { X } } ,
{ \cal M } _ { S } = 4 \pi C _ { 2 } \int r ^ { 2 } d r \left( \frac { \sin ^ { 2 } F } { r ^ { 2 } } \right) ^ { \frac 1 2 } \left[ \frac { \sin ^ { 2 } F } { r ^ { 2 } } + F ^ { \prime 2 } \right]
\begin{array} { r l r } { P ^ { \pm } ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) d x } & { = } & { \frac { 1 } { \sigma _ { + } ( t ) } \phi \left( { \frac { x - m _ { + } ( t ) } { \sigma _ { + } ( t ) } } \right) \frac { \Phi \left( x _ { 0 } \frac { \sqrt { 2 \lambda } } { \sigma } e ^ { \lambda t } - \sqrt { e ^ { 2 \lambda t } - 1 } { \frac { [ x - m _ { + } ( t ) ] } { \sigma _ { + } ( t ) } } \right) } { \Phi ( \sqrt { 2 \lambda } x _ { 0 } ) } d x } \\ & { = } & { E S N \left( m _ { + } ( t ) , \sigma _ { + } ^ { 2 } ( t ) , \pm ( \sqrt { e ^ { 2 \lambda t } - 1 } ) , \pm x _ { 0 } \frac { \sqrt { 2 \lambda } } { \sigma } e ^ { \lambda t } \right) d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu } } & { { } = \eta _ { \mu \nu } + h _ { \mu \nu } } \\ { p ^ { \mu } } & { { } = ( \omega _ { 0 } , \omega _ { 0 } , 0 , 0 ) + \delta p ^ { \mu } } \\ { u ^ { \mu } } & { { } = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) + \delta u ^ { \mu } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] \geq \gamma \, E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n ] \qquad ( \gamma > 1 ) \, , } \\ { E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] \leq \gamma \, E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n ] \qquad ( \gamma < 1 ) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \widehat { p } } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) } & { : = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { \left( { \widehat { \xi } } _ { 0 , k } ^ { i } , \cdots , { \widehat { \xi } } _ { 0 , k } ^ { i } \right) } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) ) } \\ & { \approx _ { N \uparrow \infty } p ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) } \\ & { \approx _ { N \uparrow \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { p ( y _ { k } | \xi _ { k , k } ^ { i } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } p ( y _ { k } | \xi _ { k , k } ^ { j } ) } } \delta _ { \left( \xi _ { 0 , k } ^ { i } , \cdots , \xi _ { 0 , k } ^ { i } \right) } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) ) } \\ & { \ } \\ { { \widehat { p } } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } & { : = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { \left( \xi _ { 0 , k } ^ { i } , \cdots , \xi _ { k , k } ^ { i } \right) } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) ) } \\ & { \approx _ { N \uparrow \infty } p ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } \\ & { : = p ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) d x _ { 0 } , \cdots , d x _ { k } } \end{array} }
{ \mathrm { M i n } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f \left( 8 . 0 5 5 0 2 , 9 . 6 6 4 5 9 \right) } & { = - 1 9 . 2 0 8 5 } \\ { f \left( - 8 . 0 5 5 0 2 , 9 . 6 6 4 5 9 \right) } & { = - 1 9 . 2 0 8 5 } \\ { f \left( 8 . 0 5 5 0 2 , - 9 . 6 6 4 5 9 \right) } & { = - 1 9 . 2 0 8 5 } \\ { f \left( - 8 . 0 5 5 0 2 , - 9 . 6 6 4 5 9 \right) } & { = - 1 9 . 2 0 8 5 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { ( E _ { { \theta _ { 0 } } + h } [ \widehat \theta ] - E _ { \theta _ { 0 } } [ \widehat \theta ] ) ^ { 2 } \Big ( \frac { 1 } { h ^ { 2 } ( F ( { \theta _ { 0 } } ) + o ( 1 ) ) } - \frac { 1 } { 4 } \Big ) } & { \leq \operatorname { V a r } _ { \theta _ { 0 } } ( X ) \vee \operatorname { V a r } _ { { \theta _ { 0 } } + h } ( X ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \, \eta _ { 0 } ( \rho ) \, \le \, \frac { \eta _ { * } ( R , Z , t ) } { 1 + \epsilon R } \, \le \, 2 \, \eta _ { 0 } ( \rho ) \, , \qquad \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } \, ,
\hat { x } _ { 1 2 } = x _ { 1 _ { A } } - x _ { 2 _ { A } } + { \frac { 4 i } { ( 1 2 ) } } [ ( 1 ^ { - } 2 ) \theta _ { 1 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 1 } ^ { + } + ( 2 ^ { - } 1 ) \theta _ { 2 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 2 } ^ { + } + \theta _ { 1 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 2 } ^ { + } + \theta _ { 2 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 1 } ^ { + } ]
\begin{array} { r l r } { A ^ { \mu } ( \tau ) } & { { } = } & { a \, [ \varepsilon _ { 1 } ^ { \mu } \cos ( \eta ) + \varepsilon _ { 2 } ^ { \mu } \sin ( \eta ) ] \ , } \\ { \tilde { A } ^ { \mu } ( \tau ) } & { { } = } & { \tilde { a } \, [ \varepsilon _ { 1 } ^ { \mu } \cos ( \tilde { \eta } + \tilde { \eta } _ { \alpha } ) + \sigma \, \varepsilon _ { 2 } ^ { \mu } \sin ( \tilde { \eta } + \tilde { \eta } _ { \alpha } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { | E ( \gamma ) - \mathcal { E } ( \gamma ) | \leq \frac { 5 ( 6 + \pi ) ( R + q ) } { ( 1 - \kappa ( \alpha , c ) ) ^ { 4 } \lambda _ { 0 } ^ { 9 / 2 } ( \alpha , c ) ( 1 - L ( \alpha , c ) ) ^ { 2 } } \frac { \alpha ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } \left( 3 2 \| g - \gamma \| _ { Y } + c \| [ W _ { g - \gamma } , \beta ] \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \, s \; \omega _ { D } ^ { g } \; + \; d \; \omega _ { D - 1 } ^ { g + 1 } \; = \; 0 \; , } } \\ { { s \; \omega _ { D - 1 } ^ { g + 1 } \; + \; d \; \omega _ { D - 2 } ^ { g + 2 } \; = \; 0 \; , } } \\ { { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; . . . . . } } \\ { { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; . . . . . } } \\ { { s \; \omega _ { 1 } ^ { g + D - 1 } \; + \; d \; \omega _ { 0 } ^ { g + D } = \; 0 \; , } } \\ { { s \; \omega _ { 0 } ^ { g + D } = \; 0 \; , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { F ( \omega ) : = F _ { \mathrm { N R } } + F _ { \mathrm { R } } ( \omega ) } \\ & { F _ { \mathrm { N R } } : = F ( a ) - \sum _ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \frac { \alpha ( F , p , - m ) } { ( a - p ) ^ { m } } } \\ & { F _ { \mathrm { R } } ( \omega ) : = \sum _ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \frac { \alpha ( F , p , - m ) } { ( w - p ) ^ { m } } } \end{array} } \end{array}
a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { G } _ { h } \boldsymbol { \Delta } _ { h } \boldsymbol { w } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } ) = ( \boldsymbol { \Delta } _ { h } \boldsymbol { w } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } ) _ { 0 , h } = - a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { w } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } ) , \quad \forall \boldsymbol { w } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } \in \boldsymbol { M } _ { h } ,
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \nabla ^ { 2 } \psi ^ { n + 1 } - \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) \psi ^ { n + 1 } = Q _ { 1 } + \nabla ^ { 2 } Q _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } \left( \Lambda ^ { n } ( { \bf K } ) \right) } & { = \sum _ { { \bf i } _ { 1 } < \cdots < { \bf i } _ { n } } \langle { \bf C } _ { { \bf i } _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { \bf C } _ { { \bf i } _ { n } } | \Lambda ^ { n } ( { \bf K } ) \left( { \bf C } _ { { \bf i } _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { \bf C } _ { { \bf i } _ { n } } \right) \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { { \bf i } _ { 1 } , \cdots , { \bf i } _ { n } = 1 } ^ { ( m , m ^ { \prime } ) } \langle { \bf C } _ { { \bf i } _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { \bf C } _ { { \bf i } _ { n } } | \Lambda ^ { n } ( { \bf K } ) \left( { \bf C } _ { { \bf i } _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { \bf C } _ { { \bf i } _ { n } } \right) \rangle . } \end{array}
\frac { B ( p ^ { 2 } ) } { A ( p ^ { 2 } ) } = p ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sin \left( \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 2 8 } { 3 \pi ^ { 2 } N } - 1 \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \ln \left[ \frac { p A ( 0 ) } { B ( 0 ) } + \delta \right] \right\} \right) ,
\int _ { \Omega } i _ { h } ( e ^ { \eta _ { h } ( { \boldsymbol x } ) } ) \, \mathrm { d } { \boldsymbol x } \le C ( 1 + \| \nabla \eta _ { h } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) e ^ { \displaystyle \beta _ { \Omega } ^ { 2 } \frac { 1 + \lambda } { 8 \alpha _ { \Omega } } \| \nabla \eta _ { h } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + C _ { \lambda } \| \eta _ { h } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \hbar } \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( \tau ) } } { \partial { ( \omega \tau _ { n } ) } ^ { 2 } } = } & { { } \frac { n } { 2 } [ \frac { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) + \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) } { \omega \tau _ { n } \alpha ( \omega \tau _ { n } ) \beta ( \omega \tau _ { n } ) } + 1 ] \cot [ \omega ( \tau _ { n } - 2 t _ { n } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left. \frac { d w _ { s j k } } { d s } \right| _ { s = 0 } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - f _ { m } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \cdot \left. \left( \frac { d f _ { m } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { t } ) } { d w _ { t j k } } \right) \right| _ { t = 0 } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ ( y _ { i } - f _ { m } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \cdot \sqrt { \lambda _ { m , j } } a _ { j } \sigma ^ { \prime } \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! \frac { x _ { i k } } { \sqrt { d } } \right] } \\ & { = \sqrt { \frac { \lambda _ { m , j } } { d } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ y _ { i } a _ { j } \sigma ^ { \prime } \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! x _ { i k } \right] - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ f _ { m } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) a _ { j } \sigma ^ { \prime } \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! x _ { i k } \right] \right) } \\ & { = - \sqrt { \frac { \lambda _ { m , j } } { d } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ f _ { m } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) a _ { j } \sigma ^ { \prime } \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! x _ { i k } \right] } \\ & { = - \sqrt { \frac { \lambda _ { m , j } } { d } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left( \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { m } \sqrt { \lambda _ { m , j ^ { \prime } } } a _ { j ^ { \prime } } \sigma \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! \right) a _ { j } \sigma ^ { \prime } \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! x _ { i k } \right] } \\ & { = - \sqrt { \frac { \lambda _ { m , j } } { d } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left( \sqrt { \lambda _ { m , j } } a _ { j } \sigma \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! \right) a _ { j } \sigma ^ { \prime } \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! x _ { i k } \right] } \\ & { = - \frac { \lambda _ { m , j } } { \sqrt { d } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i k } \mathbb { E } \left[ \sigma \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! \sigma ^ { \prime } \! \left( \frac { \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } } { \sqrt { d } } \right) \! \right] } \\ & { = - \frac { \lambda _ { m , j } } { \sqrt { d } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i k } g _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { i } ) } \end{array}
\sqrt { n } ( \widehat { \beta } _ { \nu } - \beta ) = \widehat { \mathbb { E } } _ { n } [ ( e _ { i } ( 1 - e _ { i } ) ) ^ { \nu + 1 } Z _ { i } \, Z _ { i } ^ { \prime } ] ^ { - 1 } \sqrt { n } \, \widehat { \mathbb { E } } _ { n } [ ( e _ { i } ( 1 - e _ { i } ) ) ^ { \nu } Z _ { i } \{ ( W _ { i } - e _ { i } ) Y _ { i } - e _ { i } ( 1 - e _ { i } ) Z _ { i } ^ { \prime } \beta \} ]
\begin{array} { r l } { \rho _ { M } } & { { } = ( 1 - \alpha _ { \rho } ) \rho _ { L } + \alpha _ { \rho } \rho _ { R } } \\ { u _ { M } } & { { } = ( 1 - \alpha _ { u } ) u _ { L } + \alpha _ { u } u _ { R } } \\ { p _ { M } } & { { } = ( 1 - \alpha _ { p } ) p _ { L } + \alpha _ { p } p _ { R } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \eta } { 1 - \eta } } & { { } = } & { \frac { 4 } { 3 \sqrt { \pi } } ( R _ { \mathrm { \mathrm { s u b } } } - 1 ) \frac { \Gamma ( \kappa + 1 ) } { ( \kappa - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 3 / 2 } \Gamma ( \kappa - \frac { 1 } { 2 } ) } \frac { \xi ^ { 3 } } { \Big [ 1 + \frac { \xi ^ { 2 } } { \kappa - \frac { 3 } { 2 } } \Big ] ^ { \kappa + 1 } } \cdot } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ ( v , \hat { A } ) , \, ( w , \hat { A } ) \bigr ] } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \left\{ \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } v ( \mathbf { x } ) w ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \bigl [ \hat { A } ( \mathbf { x } ) , \, \hat { A } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \bigr ] \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } \right\} \mathrm { d } \mathbf { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } / d t } & { { } = } & { - d c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } / d t } \\ { d c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } / d t } & { { } = } & { - d / d t ( c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } + c _ { e ^ { - } } - c _ { h ^ { + } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \frac { ( ( n + 1 ) ( m + 1 ) + 1 ) ( n m + 1 ) } { ( ( n + 1 ) m + 1 ) ( ( m + 1 ) n + 1 ) } } & { = \log \left( 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } m ^ { 2 } + n ^ { 2 } m + n m ^ { 2 } + 3 n m + n + m + 1 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n ^ { 2 } m ^ { 2 } + n ^ { 2 } m + n m ^ { 2 } + 3 n m + n + m + 1 } + O \left( \frac { 1 } { n ^ { 4 } m ^ { 4 } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n ( n + 1 ) m ( m + 1 ) } + O \left( \frac { 1 } { n ^ { 3 } m ^ { 3 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \b { x } ( t ) - \mathbb { P } \b { x } ( t ) \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \| \b { H } ( i \omega ) \hat { \b { f } } ( \omega ) - \mathbb { P } \b { H } ( i \omega ) \hat { \b { f } } ( \omega ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C ( \Omega _ { t } ^ { \mathbf { c } , \mathbf { d } } , \Omega _ { t ^ { \prime } } ^ { \mathbf { c ^ { \prime } } , \mathbf { d ^ { \prime } } } ) ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \\ & { = \! C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) D E \! + \! C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } - \prod _ { i = 1 } ^ { a } p _ { i } ^ { m _ { i } } , \tau _ { 2 } ) D ^ { \prime } E } \\ & { + C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } , \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { n _ { j } } + \tau _ { 2 } ) D E ^ { \prime \prime } + C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } - \prod _ { i = 1 } ^ { a } p _ { i } ^ { m _ { i } } , \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { n _ { j } } + \tau _ { 2 } ) D ^ { \prime } E ^ { \prime \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { n _ { c } n _ { d } } ( \chi ) \propto \exp \left( - \frac { [ | \chi | - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { a r c c o s } ( \frac { n _ { c } - n _ { d } } { n _ { c } + n _ { d } } ) ] ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { n _ { c } n _ { d } } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\epsilon _ { 1 2 } ^ { \prime } = M _ { 0 } ^ { - 1 } \epsilon _ { 1 } ^ { \dagger } M _ { 0 } \epsilon _ { 2 } - \epsilon _ { 2 } M _ { 0 } ^ { - 1 } \epsilon _ { 1 } ^ { \dagger } M _ { 0 } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { u _ { \tau , \mathrm { ~ b ~ o ~ t ~ } } } { \kappa } \ln \left( \frac { z } { z _ { 0 , \mathrm { ~ b ~ o ~ t ~ } } } \right) , } & { { } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ z \leq z _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } , } \\ { \frac { u _ { \tau , \mathrm { ~ u ~ p ~ } } } { \kappa } \ln \left( \frac { z } { z _ { 0 , \mathrm { ~ u ~ p ~ } } } \right) , } & { { } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ z > z _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } . } \end{array}