harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { c _ { x , 2 } ^ { \textnormal { P e r } } = \frac { 1 } { 8 } , \quad c _ { x , 2 } ^ { \textnormal { D i r } } = \frac { 1 - \log 2 } { 4 } \approx 0 . 0 7 6 7 , \quad c _ { \mathrm { L D A } } ^ { \textnormal { D i r } } = \frac { 3 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 - h ( t ) ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } - 1 \mathrm { d } t + \frac { 3 } { 8 } \approx 0 . 0 6 7 3 , } \\ & { c _ { x , 2 } ^ { \textnormal { N e u } } = \frac { 3 \log 2 - 2 } { 4 } \approx 0 . 0 1 9 9 , \quad c _ { \mathrm { L D A } } ^ { \textnormal { N e u } } = \frac { 3 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + h ( t ) ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } - 1 \mathrm { d } t - \frac { 3 } { 8 } \approx 0 . 0 4 3 0 , } \\ & { c _ { \mathrm { G G A } } ^ { \textnormal { D i r } } ( \bar { \rho } ) = \frac { 1 } { 2 p _ { F } } \int _ { 0 } ^ { \infty } g ^ { \mathrm { G G A } } \biggr ( \bar { \rho } ( 1 - h ( t ) ) , 2 \bar { \rho } p _ { F } | \dot { h } ( t ) | ) \biggl ) \mathrm { d } t , } \\ & { c _ { \mathrm { G G A } } ^ { \textnormal { N e u } } ( \bar { \rho } ) = \frac { 1 } { 2 p _ { F } } \int _ { 0 } ^ { \infty } g ^ { \mathrm { G G A } } \biggr ( \bar { \rho } ( 1 + h ( t ) ) , 2 \bar { \rho } p _ { F } | \dot { h } ( t ) | \biggl ) \mathrm { d } t . } \end{array}
\phi = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { R e } \left[ { \bf \sigma } { \bf n } \cdot { \bf n } \, \, \dot { u } ^ { * } \right] = \frac { \mathrm { i } \omega \mu } { 2 } \mathrm { I m } \left[ \frac { \partial u } { \partial n } u ^ { * } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { 0 \le \Sigma } & { { } \le 1 , } \\ { \Sigma - 2 ( 1 - q ) \le \Delta } & { { } \leq 2 q - \Sigma , } \\ { - \Sigma \le \Delta } & { { } \le \Sigma , } \\ { q - 1 \le \Delta } & { { } \le q , } \end{array}
\vartheta _ { \mathrm { m i n } } ^ { \mathrm { O R } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \quad y < 1 } \\ { \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { 1 } { y } \right) } & { \quad y \geq 1 , } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { c c c c c c } { \frac { 1 } { E } } & { - \frac { \nu } { E } } & { - \frac { \nu } { E } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu } { E } } & { \frac { 1 } { E } } & { - \frac { \nu } { E } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu } { E } } & { - \frac { \nu } { E } } & { \frac { 1 } { E } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 2 \left( \nu + 1 \right) } { E } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 2 \left( \nu + 1 \right) } { E } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 2 \left( \nu + 1 \right) } { E } } \end{array} \right) ,
\frac { 1 } { p _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 } { T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { \mathrm { d } t } - \frac { 1 } { \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } t } .
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = 1 - e ^ { - t / \tau } , } \\ { c _ { 2 } } & { = \left( t + \tau \right) e ^ { - t / \tau } - \tau , } \\ { c _ { 3 } } & { = t - \tau + \tau e ^ { - t / \tau } , } \\ { c _ { 4 } } & { = e ^ { - t / \tau } , } \\ { c _ { 5 } } & { = - \left( t + \tau \right) e ^ { - t / \tau } , } \\ { c _ { 6 } } & { = - \tau e ^ { - t / \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } } & { = - \nu k ^ { 2 } G _ { 0 } - \frac { k } { 2 } \frac { k ^ { 2 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \frac { k ^ { 2 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \, k ^ { 2 } H _ { - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \, k ^ { 2 } H _ { 1 } , } \\ { p H _ { 0 } } & { = - \eta k ^ { 2 } H _ { 0 } - \frac { k } { 2 } \, H _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { 1 } } \\ { p G _ { 1 } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { 1 } + \frac { k } { 2 } \, \frac { 1 - k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } ( - 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } } \\ { p G _ { - 1 } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { - 1 } - \frac { k } { 2 } \, \frac { 1 - k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } - i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } ( - 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } , } \\ { p H _ { 1 } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 1 } - \frac { k } { 2 } \, H _ { 0 } + i B _ { 0 } \, \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } } \\ { p H _ { - 1 } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { 0 } - i B _ { 0 } \, \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { M } ^ { \mathfrak { A } ( \mathsf { e x i t } ) } ( \tau ^ { ( 1 : T ) } ) = } & { ~ \prod _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { P } _ { M } ( \tau ^ { ( t ) } ) \times \prod _ { t = 1 } ^ { T } \prod _ { h = 1 } ^ { H } \pi _ { t , h } ^ { \mathfrak { A } } ( a _ { h } ^ { ( t ) } | \tau ^ { ( 1 : t - 1 ) } , \tau _ { 1 : h } ^ { ( t ) } , o _ { h } ^ { ( t ) } ) = \mathbb { P } _ { M } ^ { \mathfrak { A } } ( \tau ^ { ( 1 : T ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { a , b } ( - b u , u ) = \frac { 2 } { \sqrt { a b } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 - b \left( u + ( 1 - u ) y ^ { 2 } \right) } { \sqrt { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) \left( u + ( 1 - u ) y ^ { 2 } \right) \left( 1 + \frac { b \left( u + ( 1 - u ) y ^ { 2 } \right) } { a } \right) } } d y . } \end{array}
\begin{array} { r } { i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \psi = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) \psi } \end{array}
S \equiv \int _ { - \Delta } ^ { \Delta } \ln \left[ s ( \omega ) \right] d \omega = 2 \Delta \left( \ln \left( \frac { \Theta } { \Delta ^ { 2 } + \Xi ^ { 2 } } \right) + 2 \right) - 4 \Xi \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \Delta } { \Xi } \right)
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \psi ( x , y , t ) } { \partial t } } & { { } = \bigg [ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + V _ { g } ( x , y ) + e V _ { i m a g e } ( x , y ) } \end{array}
\bar { \bf w } = \frac { \partial \tau } { \partial \bar { \bf x } } = \left[ \frac { \partial \tau } { \partial x _ { 1 } } , \frac { \partial \tau } { \partial x _ { 2 } } , \frac { \partial \tau } { \partial x _ { 3 } } \right] ^ { T } \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } h } & { = \nabla \cdot \left[ \frac { h ^ { 3 } } { 3 \eta } \, \nabla \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right] \ \ - \ M \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right] \ + \ U \nabla h } \\ { \partial _ { t } \zeta } & { = \nabla \cdot \left[ D \zeta \, \nabla \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right] \ - \ M \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right] \ + \ U \nabla \zeta , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( \ensuremath { \mathbf d } | \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { N / 2 } \sqrt { | \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { { n } } } } | } } } \exp \Big ( - { \frac { 1 } { 2 } } \| \mathbf f ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) - \ensuremath { \mathbf d } \| _ { \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { { n } } } } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J } & { { } = I / \bar { A } _ { \mathrm { ~ w ~ h ~ i ~ s ~ k ~ e ~ r ~ } } = \frac { ( F \cdot V _ { \mathrm { ~ w ~ h ~ i ~ s ~ k ~ e ~ r ~ } } ) / ( V _ { \mathrm { ~ M ~ } } \cdot t ) } { \bar { A } _ { \mathrm { ~ w ~ h ~ i ~ s ~ k ~ e ~ r ~ } } } } \end{array}
m \simeq \frac { \alpha } { \pi ^ { 2 } } \int d q _ { 3 } d q _ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - r ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } + L ^ { 2 } ( q _ { 3 } ^ { 2 } + q _ { 4 } ^ { 2 } ) } ~ \frac { m } { m ^ { 2 } + ( q _ { 3 } ^ { 2 } + q _ { 4 } ^ { 2 } ) }
\int _ { 0 } ^ { \infty } \int F \left( \widetilde { h } + \frac { 2 } { \gamma } \log \frac { \ell } { L } \right) 2 ^ { - \alpha ^ { 2 } / 2 } \frac { 2 } { \gamma } \frac { \ell ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha + \frac { \beta } { 2 } - Q ) - 1 } } { L ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha + \frac { \beta } { 2 } - Q ) } } P _ { \mathbb H } ( d h ) d \ell = \int \int _ { - \infty } ^ { \infty } F ( \widetilde { h } + c ) 2 ^ { - \alpha ^ { 2 } / 2 } e ^ { ( \alpha + \frac { \beta } { 2 } - Q ) c } d c P _ { \mathbb H } ( d h )
( \widetilde { \mathcal { R } } _ { i } ) _ { j a } = \left\{ \begin{array} { l l } { s ( R _ { i j } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } a = 1 } \\ { s ( R _ { i j } ) X _ { i j } / R _ { i j } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } a = 2 } \\ { s ( R _ { i j } ) Y _ { i j } / R _ { i j } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } a = 3 } \\ { s ( R _ { i j } ) Z _ { i j } / R _ { i j } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } a = 4 } \end{array} \right.
f \ \mathrm { o r } \ f ^ { \prime } \ = \ \frac { G _ { F } m _ { L } m _ { e } } { 2 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } } a b I \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { \nu \nu ^ { \prime } } \right)
d \mathbf { r } = \sum _ { i } { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial u _ { i } } } \, d u _ { i } = \sum _ { i } { \frac { \partial s } { \partial u _ { i } } } { \hat { \mathbf { u } } } _ { i } d u _ { i } = \sum _ { j } { \frac { \partial s } { \partial v _ { j } } } { \hat { \mathbf { v } } } _ { j } \, d v _ { j } = \sum _ { j } { \frac { \partial s } { \partial v _ { j } } } { \hat { \mathbf { v } } } _ { j } \sum _ { i } { \frac { \partial v _ { j } } { \partial u _ { i } } } \, d u _ { i } = \sum _ { i } \sum _ { j } { \frac { \partial s } { \partial v _ { j } } } { \frac { \partial v _ { j } } { \partial u _ { i } } } { \hat { \mathbf { v } } } _ { j } \, d u _ { i } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ } \left( k , t + \Delta _ { t } \right) = \, } & { { } \mathrm { ~ P ~ r ~ } _ { + } \left( k - \Delta _ { N } \right) \mathrm { ~ P ~ } \left( k - \Delta _ { N } , t \right) } \end{array}
A _ { N } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } b d b I _ { - } ( s , b , \xi ) / | 1 - i U ( s , b ) | ^ { 2 } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } b d b I _ { + } ( s , b , \xi ) / | 1 - i U ( s , b ) | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \{ \tilde { J } _ { t , m } : m \in [ \tilde { M } _ { t } ] \} } \\ & { } & { \cap ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + ( t - 1 \slash 2 ) L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + t L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] \cap \mathbb { N } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta , \underline { { u } } \vdash \langle \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ) , g _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ) , ( \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } _ { n + 1 } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ) ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ) \rangle } & { = \langle \alpha ( \delta ) ^ { * } g _ { 1 } ^ { \prime } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ) , \alpha ( \delta ) ^ { * } g _ { 2 } ^ { \prime } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } , \pi _ { 2 } \underline { { u } } ) \rangle } \\ & { = \alpha ( \delta ) ^ { * } \langle g _ { 1 } ^ { \prime } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ) , g _ { 2 } ^ { \prime } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } , \pi _ { 2 } \underline { { u } } ) \rangle } \\ & { \equiv \alpha ( \delta ) ^ { * } g ^ { \Sigma } ( \delta , \underline { { u } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ B ~ O ~ C ~ ( ~ m ~ , ~ 1 ~ ) ~ } } ( f ) } & { { } = \Pi _ { - B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } , B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } } ( f ) m _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ n ~ } } ^ { 2 } T _ { c } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ^ { 2 } ( \pi f T _ { c } ) \tan ^ { 2 } \left( \frac { \pi f T _ { c } } { 2 m } \right) , } \\ { \sigma _ { \mathrm { ~ B ~ O ~ C ~ ( ~ m ~ , ~ 1 ~ ) ~ } } ^ { 2 } } & { { } = m _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ n ~ } } ^ { 2 } \int _ { - B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } } ^ { B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } } T _ { c } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ^ { 2 } ( \pi f T _ { c } ) \tan ^ { 2 } \left( \frac { \pi f T _ { c } } { 2 m } \right) \mathrm { ~ d ~ } f , } \end{array}
\displaystyle { g = g _ { 0 } e ^ { p _ { \varphi } \varphi } e ^ { p _ { t } t } e ^ { - \Gamma _ { 4 5 } \chi } e ^ { ( \Gamma _ { 4 } / 2 - \Gamma _ { 2 4 } ) \sigma } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { 2 } \rho } } ,
{ \frac { d U _ { i } } { d t } } = - { \frac { 1 } { \rho } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( { \frac { \partial p } { \partial x } } \right) j \int { \Omega } \phi _ { j } { \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial x } } d \Omega + \nu \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { \Omega } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } \right) \phi _ { j } { \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { i } } { \partial x ^ { 2 } } } d \Omega + \int { \Omega } f _ { x } \phi _ { i } d \Omega
\frac { A } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } x ~ \epsilon ^ { \mu \nu } ~ \partial _ { \mu } \omega _ { \nu } + \frac { B } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } x ~ \epsilon ^ { \mu \nu } ~ \partial _ { \mu } a _ { \nu } = ( 2 - 2 g ) A + \frac { B V } { 2 \pi } = N ,
\begin{array} { r } { { \mathbf 1 } _ { m - u < b < m , a ^ { 1 } < b } \frac { e ^ { - \frac { ( b - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { ( b - m + u ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { a } \| ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { ( m - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } - \frac { ( m - a ^ { 1 } ) } { 4 s } - \frac { \| \tilde { x } _ { 0 } - \tilde { a } \| ^ { 2 } } { 4 s } } } { \sqrt { t - s } \sqrt { 2 \pi ( t - s ) } ^ { d + 1 } \sqrt { 2 \pi s } ^ { d + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { x \in B } \operatorname* { i n f } _ { y \in C } d ( T ( x ) , T ( y ) ) \le \frac { \beta } { ( 1 - 2 \beta ) } [ \operatorname* { s u p } _ { x \in B } \operatorname* { i n f } _ { y \in C } d ( x , T ( y ) ) + \operatorname* { s u p } _ { x \in B } \operatorname* { i n f } _ { y \in C } d ( y , T ( x ) ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { ( G _ { 2 } ^ { \otimes m + 1 } ) ^ { \prime } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = \epsilon \right) } & { = Z \left[ W ( U _ { i } ) | Z ( W ( X _ { j } ) ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } , \mathrm { ~ f o r ~ } f ( m ) + 1 \leq j \leq 2 f ( m ) \right] } \\ & { = Z _ { ( G _ { 2 } ^ { \otimes m } ) ^ { \prime } } \left( U _ { i - f ( m ) } \, | \, Z ( W ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq Z _ { G _ { 2 } ^ { \otimes m } } \left( U _ { i - f ( m ) } \, | \, Z ( W ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } \right) } \\ & { = Z _ { G _ { 2 } ^ { \otimes m + 1 } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = \epsilon \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ 2 \hat { J } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } J ^ { \lambda } ( z - w ) | \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) - \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , w ) | d z \, d w } \\ & { \quad \quad \leq \ 2 \hat { J } \Big ( \int _ { \mathbb { T } ^ { d } \backslash H _ { \tau } ^ { \lambda } } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } \backslash H _ { \tau } ^ { \lambda } } \frac { 4 } { \mathfrak { s } } J ^ { \lambda } ( z - w ) | \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) - \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , w ) | ^ { 2 } \, d z \, d w + 2 \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \int _ { H _ { \tau } ^ { \lambda } } 2 \, \mathfrak { s } \, d z \, d w \Big ) \, d \tau } \\ & { \quad \quad \leq \ \lambda \, C \, X ^ { \lambda } \big ( \hat { s } ( \tau , \cdot ) ; \mathbb { T } ^ { d } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \xi _ { a s } ^ { \dagger } ( t ) b _ { a c } ( t ) \rangle } \\ & { } & { = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i \omega _ { 1 } t } d \omega _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i \omega _ { 2 } t } \frac { i g _ { \mathrm { o m } } \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \langle \bar { \xi } _ { a s } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a s } ( \omega _ { 2 } ) \rangle + \left[ i ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \langle \bar { \xi } _ { a s } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a c } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } { g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 1 } ) ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 2 } ) - i \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 1 } ) \right] } d \omega _ { 2 } } \\ & { } & { = 0 , } \end{array}
\gamma ^ { 0 } = { \left( \begin{array} { l l } { I _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - I _ { 2 } } \end{array} \right) } , \quad \gamma ^ { k } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \sigma ^ { k } } \\ { - \sigma ^ { k } } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \gamma ^ { 5 } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I _ { 2 } } \\ { I _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { A ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { t _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ( t + t _ { 0 } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } - t _ { 0 } \leq t \leq - t _ { 0 } + t _ { \mathrm { ~ s ~ } } , } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } - t _ { 0 } + t _ { \mathrm { ~ s ~ } } \leq t \leq t _ { 0 } - t _ { \mathrm { ~ s ~ } } , } \\ { - \frac { 1 } { t _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ( t - t _ { 0 } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t _ { 0 } - t _ { \mathrm { ~ s ~ } } \leq t \leq t _ { 0 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { F ^ { \mathrm { G a u s s } } = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\mathcal { R } _ { \textrm { n o i s e } } ( x , z ) = \int _ { 0 } ^ { k _ { \textrm { n o i s e } } } \int _ { m _ { \textrm { l o w e s t } } } ^ { m _ { \textrm { n o i s e } } } A _ { \textrm { n o i s e } } \sin ( k x + m z + \phi _ { \textrm { n o i s e } } ( k , m ) ) d m d k ,
\left( \begin{array} { l l } { 1 + q ^ { - 6 } t ^ { 2 } } & { - ( q ^ { - 2 } + q ^ { - 4 } ) t ( \mu _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } + \mu _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } + \mu _ { 1 2 } ^ { ( 3 ) } ) } \\ { - ( q ^ { - 1 } + q ^ { - 3 } + q ^ { - 5 } ) t ( \mu _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } + \mu _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } + \mu _ { 2 1 } ^ { ( 3 ) } ) } & { 1 + q ^ { - 4 } t ^ { 2 } } \end{array} \right) ,
A _ { t } ^ { ( n ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { B _ { t } - \frac { T _ { 1 } - t } { T _ { 1 } - T _ { 0 } } B _ { T _ { 0 } } - \frac { t - T _ { 0 } } { T _ { 1 } - T _ { 0 } } B _ { T _ { 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } t \in [ T _ { 0 } , T _ { 1 } ) , } \\ { B _ { t } - \frac { T _ { 2 } - t } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } B _ { T _ { 1 } } - \frac { t - T _ { 1 } } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } B _ { T _ { 2 } } , } & { \mathrm { i f ~ } t \in [ T _ { 1 } , T _ { 2 } ) , } \\ { \, \vdots } \\ { B _ { t } - \frac { T _ { n } - t } { T _ { n } - T _ { n - 1 } } B _ { T _ { n - 1 } } - \frac { t - T _ { n - 1 } } { T _ { n } - T _ { n - 1 } } B _ { T _ { n } } , } & { \mathrm { i f ~ } t \in [ T _ { n - 1 } , T _ { n } ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { C _ { 2 } = \frac { 8 \mathcal { A } ^ { 2 } } { ( \mathcal { A } + 1 ) ^ { 2 } } \mathcal { S } _ { D } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q _ { A } \, q _ { A } ^ { D - 1 } \lvert \chi ^ { ( A ) } ( q _ { A } ) \rvert ^ { 2 } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \exp ( - X ) \exp ( i \pi H ) } \\ { = } & { \exp \left( { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \right) \exp \left( i \pi { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \right) } \\ { = } & { { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } } \\ { = } & { { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } } \\ { = } & { q . } \end{array} }
v _ { \mathrm { e b e } } ^ { 2 } ( q ) _ { \mathrm { e s t 0 } } = { \frac { 1 } { C - 1 } } \sum _ { a = 1 } ^ { C } \left( { \frac { 1 } { N _ { a } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { a } } q _ { i } ^ { a } - \langle q \rangle _ { \mathrm { e s t } } \right) ^ { 2 } .
B ( \nu ) _ { \mathrm { c o r r } } = \mathfrak { R e } \{ B ( \nu ) \} \, \mathrm { c o s } ( \varphi _ { \nu } ^ { - } ) + \mathfrak { I m } \{ B ( \nu ) \} \, \mathrm { s i n } ( \varphi _ { \nu } ^ { - } ) \, .
\begin{array} { r } { \left( \rho _ { \zeta , p p } ^ { 2 } + \rho _ { \varepsilon , p p } ^ { 2 } + 2 \rho _ { s p } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \left( \rho _ { \zeta , p p } \rho _ { \varepsilon , p p } + \rho _ { s p } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \rho _ { \zeta , p p } - \rho _ { \varepsilon , p p } \right) ^ { 2 } \left[ \left( \rho _ { \zeta , p p } + \rho _ { \varepsilon , p p } \right) ^ { 2 } + 4 \rho _ { s p } ^ { 2 } \right] \: , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 0 } ) } ( \lambda = \pm 1 ) } & { \approx \pm i \, A _ { 0 } \, \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { B , ~ p a r } ) } ( m _ { l } = 0 , \, \lambda = \pm 1 ) \, , } \\ { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 1 0 } ) } ( \lambda = \pm 1 ) } & { \approx \pm 1 . 0 4 A _ { 0 } \, \frac { i } { \sqrt { 2 } } } \\ & { \times \left[ \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { B , ~ p a r } ) } ( m _ { l } = + 1 , \, \lambda = \pm 1 ) \right. } \\ & { \left. \; \; - \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { B , ~ p a r } ) } ( m _ { l } = - 1 , \, \lambda = \pm 1 ) \right] \, , } \\ { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 1 } ) } ( \lambda = \pm 1 ) } & { \approx \pm 1 . 0 4 A _ { 0 } \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ & { \times \left[ \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { B , ~ p a r } ) } ( m _ { l } = + 1 , \, \lambda = \pm 1 ) \right. } \\ & { \left. \; \; + \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { B , ~ p a r } ) } ( m _ { l } = - 1 , \, \lambda = \pm 1 ) \right] \, , } \end{array}
\vec { \Lambda } ^ { m n } \equiv \frac { 1 } { \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } } \left( \tau _ { 2 } \vec { \Lambda } _ { 2 1 } ^ { m n } + \tau _ { 1 } \vec { \Lambda } _ { 1 2 } ^ { m n } \right) , \qquad \bar { \tau } = \frac { \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } { \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { ( \pi _ { C | C } - \pi _ { D | C } ) q _ { C | C } = } & { { } \left\{ - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } [ 1 + ( k - 1 ) q _ { C | C } ] b - \frac { 1 - w _ { I } } { k } [ 1 + ( k - 1 ) q _ { C | D } ] b \right\} } \\ { = } & { { } \left( - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } b \right) \left( \frac { k - 2 } { k - 1 } p _ { C } + \frac { 1 } { k - 1 } \right) . } \end{array}
\rho _ { n } ^ { N } ( t , x ) = \rho _ { 0 } ^ { N } \left( y _ { n } ^ { N } ( t , x ) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \Psi _ { n } ^ { N } \left( \tau , y _ { n } ^ { N } ( t - \tau , x ) \right) d \tau
\begin{array} { r l } { \| f ( A _ { n } ) - f ( A ) \| } & { \le \| f ( A _ { n } ) - p ( A _ { n } ) \| + \| p ( A _ { n } ) - p ( A ) \| + \| p ( A ) - f ( A ) \| } \\ & { = \| f - p \| _ { C ( σ ( A _ { n } ) ) } + \| p ( A _ { n } ) - p ( A ) \| + \| f - p \| _ { C ( σ ( A ) ) } } \\ & { \le 2 \| f - p \| _ { C ( K ) } + \| p ( A _ { n } ) - p ( A ) \| } \\ & { < \epsilon + \| p ( A _ { n } ) - p ( A ) \| } \end{array}