harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \mathbf { \Gamma } } ( \mathcal { I } ) = - 1 } & { { } , \quad \rho _ { G } ^ { \mathbf { X } } ( \mathcal { I } ) = - 1 \qquad ( 1 a ) , } \\ { \rho _ { G } ^ { \mathbf { \Gamma } } ( \mathcal { I } ) = - 1 } & { { } , \quad \rho _ { G } ^ { \mathbf { X } } ( \mathcal { I } ) = + 1 \qquad ( 1 b ) . } \end{array}
\left( H _ { 0 } + \lambda V \right) \left( \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle + \lambda \left| n ^ { ( 1 ) } \right\rangle + \cdots \right) = \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } + \lambda E _ { n } ^ { ( 1 ) } + \cdots \right) \left( \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle + \lambda \left| n ^ { ( 1 ) } \right\rangle + \cdots \right) .
[ { \bf v } , { \bf v } ^ { \prime } ] = \int _ { \partial D _ { b } } \left( { \pmb \sigma } \{ { \bf v } ^ { \prime } ( { \pmb x } ) \} \cdot { \bf v } ( { \pmb x } ) - { \pmb \sigma } \{ { \bf v } ( { \pmb x } ) \} \cdot { \bf v } ^ { \prime } ( { \pmb x } ) \right) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } )
\quad ( 1 1 ) \qquad \qquad { \frac { d { \mathbf { \bar { u } } } _ { i } } { d t } } + { \frac { 1 } { v _ { i } } } \oint _ { S _ { i } } { \mathbf { f } } \left( { \mathbf { u } } \right) \cdot { \mathbf { n } } \ d S = { \mathbf { 0 } } .
\begin{array} { r l } { ( Q ^ { - 1 } \nabla f + v ) ^ { \top } Q v } & { = - ( \nabla h A h ) ^ { \top } Q v + ( B \nabla f ) ^ { \top } \nabla h ^ { \top } v } \\ & { = - ( \nabla h A h ) ^ { \top } Q v - ( B \nabla f ) ^ { \top } \nabla h ^ { \top } \nabla h A h } \\ & { = ( \nabla h A h ) ^ { \top } Q ( \nabla h A h ) + ( \nabla h A h ) ^ { \top } \nabla f - 2 ( \nabla h B \nabla f ) ^ { \top } ( \nabla h A h ) } \\ & { = \left( ( \nabla h A h ) ^ { \top } Q \nabla h A + \nabla f ^ { \top } \nabla h A - 2 ( \nabla h B \nabla f ) ^ { \top } \nabla h A \right) h \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { C } + \mathrm { O } _ { 2 } } & { \leftrightarrows \mathrm { C O } _ { 2 } , } \\ { \mathrm { C } + 0 . 5 \mathrm { O } _ { 2 } } & { \leftrightarrows \mathrm { C O } , } \\ { \mathrm { C } + 2 \mathrm { H } _ { 2 } } & { \leftrightarrows \mathrm { C H } _ { 4 } , } \\ { \mathrm { H } _ { 2 } + 0 . 5 \mathrm { O } _ { 2 } } & { \leftrightarrows \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { \preceq \| S _ { 2 , n } E _ { 2 , n } S _ { 2 , n } \varphi - S _ { 2 } E _ { 2 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p + 2 } = \| ( S _ { 2 , n } - S _ { 2 } ) ( E _ { 2 } S _ { 2 } \varphi - P _ { n } E _ { 2 } S _ { 2 } \varphi ) \| _ { p + 2 } } \\ & { \preceq \| E _ { 2 } S _ { 2 } \varphi - P _ { n } E _ { 2 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p } \preceq \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \| E _ { 2 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p + 3 } \preceq \frac { 1 } { n } \| \varphi \| _ { p } . } \end{array}
( \hat { Y } _ { 1 : m } - \bar { Y } _ { 1 : m } ) ^ { T } \emph W ( \hat { Y } _ { 1 : m } - \bar { Y } _ { 1 : m } ) = \frac { \chi _ { 0 } } { \varrho _ { 0 } } \left[ \begin{array} { l } { b } \\ { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \emph b } \\ { 0 } \end{array} \right] ^ { T } - \left[ \begin{array} { l l } { \emph A } & { 0 } \end{array} \right] ^ { T } ( S _ { 1 : m } ^ { T } \bar { Y } _ { 1 : m } - \bar { B } _ { 1 : m } ) - ( S _ { 1 : m } ^ { T } \bar { Y } _ { 1 : m } - \bar { B } _ { 1 : m } ) ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { \emph A } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { x _ { 2 } } & { { } = r _ { 2 } + t _ { 2 } ( x _ { 1 } - r _ { 1 } ) } \\ { \vdots } & { { } } \\ { x _ { n - 1 } } & { { } = r _ { n - 1 } + t _ { n - 1 } ( x _ { 1 } - r _ { 1 } ) . } \end{array}
\mathcal { L } ^ { n c } = \sum _ { h } \overline { { { \psi } } } _ { h } \gamma ^ { \mu } \left( g _ { L } T _ { L } ^ { 3 } , g _ { R } T _ { R } ^ { 3 } , g \frac { Y } { 2 } \right) \psi _ { h } \left( \begin{array} { c } { { W _ { L } ^ { 3 } } } \\ { { W _ { R } ^ { 3 } } } \\ { { B } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial t ^ { 2 } } - c _ { 0 } ^ { 2 } \Delta \rho = f , } & { \qquad \mathrm { i n ~ } \Omega _ { A } \times ( 0 , T ) , } \\ { c _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \partial \rho } { \partial \mathbf { n } } = 0 , } & { \qquad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { B } \times ( 0 , T ) , } \\ { \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial \rho } { \partial \mathbf { n } } = - \frac { 1 } { Z } \frac { \partial \rho } { \partial t } , } & { \qquad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { Z } \times ( 0 , T ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { - 1 } p _ { 0 | f = f _ { \mathrm { a } } } } & { { } = 0 \rightarrow \beta _ { 0 } p _ { 0 | f = f _ { \mathrm { a } } } = 2 \pi } \\ { \beta _ { - 2 } p _ { 0 | f = f _ { \mathrm { b } } } } & { { } = 0 \rightarrow \beta _ { 0 } p _ { 0 | f = f _ { \mathrm { b } } } = 4 \pi \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( L _ { X } S ) ^ { i j } } & { = ( L _ { X } S ) ( d x ^ { i } , d x ^ { j } ) = X \cdot S ( d x ^ { i } , d x ^ { j } ) - S ( L _ { X } d x ^ { i } , d x ^ { j } ) - S ( d x ^ { i } , L _ { X } d x ^ { j } ) } \\ & { = X ^ { k } \partial _ { k } S ^ { i j } - S ( d ( d x ^ { i } ( X ) ) , d x ^ { j } ) - S ( d x ^ { i } , d ( d x ^ { j } ( X ) ) ) } \\ & { = X ^ { k } \partial _ { k } S ^ { i j } - S ^ { k j } \partial _ { k } X ^ { i } - S ^ { i k } \partial _ { k } X ^ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { i } ~ \mid ~ \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } \sim \mathcal { N } \Big ( \mu ^ { * } ( \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } ) , \sigma ^ { 2 } ( \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } ) \Big ) \qquad \mathrm { f o r ~ i ~ = ~ 1 , ~ 2 , ~ \ldots , ~ \ensuremath { n } ~ . } } \end{array}
\lambda _ { r _ { 1 } \cdots r _ { d } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \prod _ { r \neq r _ { 1 } , \cdots , r _ { d } } s _ { r } } } & { ( r _ { 1 } , \cdots , r _ { d } \; \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ d ~ i ~ s ~ t ~ i ~ n ~ c ~ t ~ } ) } \\ { \quad \quad \; 0 } & { ( \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { \lesssim \sum _ { k = 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { n ^ { 5 - k - k / 2 } } \frac { \mathbb { E } | q _ { 1 2 } | ^ { k } } { \sigma _ { \ell } ^ { k } } + \left( \frac { \sqrt { n \log n } } { n } \right) ^ { 2 + \delta } \left( \frac { \sigma _ { q } } { \sigma _ { \ell } } \right) ^ { 2 + \delta } \log n } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { n } \frac { \sigma _ { q } ^ { 2 } } { n \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } + \log n \left( \frac { ( \log n ) \sigma _ { q } ^ { 2 } } { n \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 2 + \delta } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \alpha \int \mathcal { D } w \, \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, w ( \mathbf { r } ) \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) w ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) - N \ln z [ i w ] \right\} } \\ & { = \alpha \int \mathcal { D } w \, \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) - N \ln z [ i w ] \right\} . } \end{array}
f = \left( { \frac { 1 + { \frac { v _ { \mathrm { r } } } { c } } } { 1 + { \frac { v _ { \mathrm { s } } } { c } } } } \right) f _ { 0 } = \left( 1 + { \frac { v _ { \mathrm { r } } } { c } } \right) \left( { \frac { 1 } { 1 + { \frac { v _ { \mathrm { s } } } { c } } } } \right) f _ { 0 }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla ^ { 2 } U \left( t x + ( 1 - t ) y \right) d t } & { = \left( \int _ { A _ { 1 } } + \int _ { A _ { 2 } } \right) \nabla ^ { 2 } U \left( t x + ( 1 - t ) y \right) d t } \\ & { \succeq \left( - m ( A _ { 1 } ) K I _ { d } \right) + \left( m ( A _ { 2 } ) \kappa _ { 0 } I _ { d } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { { } } & { \hbar \mathrm { e } ^ { i ( m + 1 ) \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m ) ! } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { m } \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | c _ { 0 } | ^ { 2 } } & { \rightarrow } & { \left| \cos \left( \pi \frac { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } { | \Omega _ { \mu } | } \right) - i \frac { 2 \Delta _ { \mathrm { D L S } } } { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } \sin \left( \pi \frac { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } { | \Omega _ { \mu } | } \right) \right| ^ { 2 } | c _ { 0 } | ^ { 2 } , } \\ { | c _ { 1 } | ^ { 2 } } & { \rightarrow } & { \left| \cos \left( \pi \frac { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } { 2 | \Omega _ { \mu } | } \right) - i \frac { \Delta _ { \mathrm { D L S } } } { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } \sin \left( \pi \frac { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } { 2 | \Omega _ { \mu } | } \right) \right| ^ { 2 } | c _ { 1 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\tilde { \cal L } ^ { ( 0 ) } = \pi _ { a } \dot { \sigma } ^ { a } + \Psi \dot { \theta } - \frac { 1 } { 2 } \, { \sigma ^ { \prime } } _ { a } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \, \lambda \, \bigl ( \sigma _ { a } ^ { 2 } - 1 \bigr ) - \frac { 1 } { 2 } \, \pi _ { a } ^ { 2 } + \sigma _ { a } \pi ^ { a } \theta - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { a } ^ { 2 } \theta ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { E ( \delta _ { n } ) } & { \le \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \int _ { t _ { k } ^ { ( n ) } } ^ { t _ { k + 1 } ^ { ( n ) } } \mathbb { E } \left( \Theta ( t ) - \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } K ( t _ { k } ^ { ( n ) } , t _ { i } ^ { ( n ) } ) Y _ { i } ^ { \ast , ( n ) } \right) ^ { 2 } d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ \vert \Theta ( t ) - \zeta ^ { ( n ) } ( t ) \vert ^ { 2 } ] d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } ( 2 ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H \delta _ { 1 } + \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { 1 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 7 } { 4 } \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } + } \\ & { + \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } - \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } + \lambda _ { 3 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 } { 4 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + H \delta _ { 1 } ^ { 3 } + \frac { 3 } { 4 } \delta _ { 1 } ^ { 4 } + \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { { 5 } } & { \langle f , g \rangle _ { { H ^ { k } ( \Omega ) } } } & { = } & { \sum _ { \beta \in \mathbb { N } ^ { m } , \| \beta \| _ { 1 } \leq k } \langle D _ { \beta } f , D _ { \beta } g \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { = } & { \langle \mathfrak { f } , \mathbb { W } _ { m , n , k } \mathfrak { g } \rangle } & \\ & { \langle f , g \rangle _ { { H ^ { k } ( \Omega ) } , * } } & { = } & { \sum _ { \beta \in \mathbb { N } ^ { m } , \| \beta \| _ { 1 } \leq k } \langle D _ { \beta } ^ { * } f , D _ { \beta } ^ { * } g \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { = } & { \langle \mathfrak { f } , \underline { { \mathbb { W } } } _ { m , n , k } \mathfrak { g } \rangle } & \\ & { \langle F , G \rangle _ { { H ^ { - k } ( \Omega ) } } } & { = } & { \sum _ { \beta \in \mathbb { N } ^ { m } , \| \beta \| _ { 1 } \leq k } \langle D _ { \beta } J ^ { * } f , D _ { \beta } J ^ { * } g \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { = } & { \langle \mathfrak { f } , \mathbb { W } _ { m , n , - k } \mathfrak { g } \rangle } & \\ & { \langle F , G \rangle _ { { H ^ { - k } ( \Omega ) } , * } } & { = } & { \sum _ { \beta \in \mathbb { N } ^ { m } , \| \beta \| _ { 1 } \leq k } \langle D _ { \beta } ^ { * } J ^ { * } f , D _ { \beta } ^ { * } J ^ { * } g \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { = } & { \langle \mathfrak { f } , \underline { { \mathbb { W } } } _ { m , n , - k } \mathfrak { g } \rangle \, , } & \end{array}
\textbf { D } ( \textbf { r } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \, \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 v _ { g } } } a ( \omega ) \textbf { D } _ { \omega } ^ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ - ~ i ~ n ~ ( ~ o ~ u ~ t ~ ) ~ } } ( \textbf { r } ) + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \ ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ^ { \prime } } & { { } = x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } ^ { \prime } } & { { } = x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } ^ { \prime } } & { { } = x _ { 3 } \cos i \psi + x _ { 4 } \sin i \psi } \\ { x _ { 4 } ^ { \prime } } & { { } = - x _ { 3 } \sin i \psi + x _ { 4 } \cos i \psi } \\ { \cos i \psi } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - q ^ { 2 } } } } } \end{array}
\zeta _ { f } ( s ) = - ( \varepsilon - 1 ) ^ { 2 } \, \frac { \sin ( \pi s ) } { \pi s } a ^ { 2 s } \, 2 ^ { 4 s - 7 } \, \frac { ( s ^ { 2 } - 3 s + 4 ) \Gamma ( - 2 s + 2 ) } { ( s - 1 ) } ,
\mathcal { E } ^ { ( f ) } ( t _ { 0 } , z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \mathcal { E } _ { [ t _ { 1 } , t _ { 0 } ] } ^ { ( f ) } - \mathcal { E } _ { [ t _ { 2 } , t _ { 0 } ] } ^ { ( f ) } = \frac { 1 } { v } \int _ { v t _ { 0 } - z _ { 2 } } ^ { v t _ { 0 } - z _ { 1 } } d \xi \, I ^ { ( f ) } \left( \xi \right) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { r } = \frac { r } { R } , \quad \tilde { u } _ { r } = \frac { u _ { r } } { R } , \quad \tilde { t } = \frac { t } { T _ { \mathrm { p e } } } , \quad \tilde { p } = \frac { p } { M } , } & { \quad \tilde { \eta } _ { \alpha } = \frac { \eta _ { \alpha } } { \eta _ { o } } , \quad \tilde { k } _ { \alpha } = \frac { k _ { 0 } k _ { r \alpha } } { k _ { 0 } } , \quad } \\ { \tilde { \sigma } _ { r r } = \frac { \sigma _ { r r } } { K } , \quad \tilde { \sigma } _ { \theta \theta } = \frac { \sigma _ { \theta \theta } } { K } , \quad } & { \tilde { \sigma } _ { r r } ^ { \prime } = \frac { \sigma _ { r r } ^ { \prime } } { K } , \quad \tilde { \sigma } _ { \theta \theta } ^ { \prime } = \frac { \sigma _ { \theta \theta } ^ { \prime } } { K } , } \end{array}
d \hat { s } ( \xi ) \oint { d } \hat { s } ( \xi ^ { \prime \prime } ) { \hat { K } _ { D } } ( \xi , \xi ^ { \prime \prime } ) { \delta _ { \rho } } { \hat { G } _ { K } } ( \xi ^ { \prime \prime } , \xi ^ { \prime } ) = - { \frac { \rho ( \xi ) d \hat { s } ( \xi ) } { 2 \oint { d } \hat { s } ( \eta ) } } + { \frac { d \hat { s } ( \xi ) \oint { d } \hat { s } ( \zeta ) \rho ( \zeta ) } { 2 { { \left[ \oint { d } \hat { s } ( \eta ) \right] } ^ { 2 } } } } .
\begin{array} { r l } { \phi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) - \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { : = - \textstyle \frac { x - x _ { i } } { 2 } a _ { 1 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) \right) , } \\ { \xi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) - \xi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { : = \textstyle \frac { x - x _ { i } } { 2 } b _ { 1 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) \right) , } \\ { X _ { \beta } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) - X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { : = \textstyle \frac { x - x _ { i } } { 2 } c _ { 1 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) \right) , } \end{array}
- \int _ { q _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { q ^ { 2 } } f _ { f } ( m _ { f } ^ { 2 } / y ) d \ln y \simeq - \int _ { m _ { f } ^ { 2 } / q ^ { 2 } } ^ { m _ { f } ^ { 2 } / q _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + c _ { f } y } d \ln y = l n \frac { q _ { 0 } ^ { 2 } + c _ { f } m _ { f } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } + c _ { f } m _ { f } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { \theta , x } ^ { G } ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \int \Omega _ { \theta , x } ^ { G } ( \Delta _ { x } , \theta ) \ d \Delta _ { x } } { \Omega _ { \theta , x } ^ { G } ( 0 , \theta ) } } \\ & { = \sqrt { ( \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } ) + ( \sigma _ { x } ^ { 2 } - \sigma _ { y } ^ { 2 } ) \cos ( \theta ) } \ ; } \\ { \Sigma _ { \theta , y } ^ { G } ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \int \Omega _ { \theta , y } ^ { G } ( \Delta _ { y } , \theta \ ) \ d \Delta _ { y } } { \Omega _ { \theta , y } ^ { G } ( 0 , \theta ) } } \\ & { = \sqrt { ( \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } ) - ( \sigma _ { x } ^ { 2 } - \sigma _ { y } ^ { 2 } ) \cos ( \theta ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \psi _ { n _ { 1 } , s } = \sqrt { n _ { 1 } } \psi _ { n _ { 1 } - 1 , s - 1 } , \thinspace } & { A _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { n _ { 1 } , s } = \sqrt { n _ { 1 } + 1 } \psi _ { n _ { 1 } + 1 , s + 1 } \thinspace , } \\ { A _ { 2 } \psi _ { n _ { 1 } , s } = \sqrt { s - n _ { 1 } } \psi _ { n _ { 1 } , s - 1 } , \thinspace } & { A _ { 2 } ^ { \dagger } \psi _ { n _ { 1 } , s } = \sqrt { s + 1 - n _ { 1 } } \psi _ { n _ { 1 } , s + 1 } \thinspace , } \end{array}
A _ { 4 } = \frac { ( - i \sqrt { 2 } g ^ { 2 } ) ( ( \epsilon _ { 1 } \cdot p _ { 2 } ) \epsilon _ { 2 } - ( p _ { 1 } \cdot \epsilon _ { 2 } ) \epsilon _ { 1 } ) ( ( \epsilon _ { 3 } \cdot p _ { 4 } ) \epsilon _ { 4 } - ( p _ { 3 } \cdot \epsilon _ { 4 } ) \epsilon _ { 3 } ) } { ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } }
\boldsymbol { J } _ { n } = \left( \sum _ { m } \boldsymbol { d } _ { m } ^ { 0 T } \boldsymbol { d } _ { m } ^ { 0 } \right) ^ { - 1 } \left( \sum _ { m } \boldsymbol { d } _ { m } ^ { 0 T } \boldsymbol { d } _ { m } \right) .
\tilde { G } _ { \alpha \beta } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { v } } \mathbf { p } _ { \beta } \cdot \left[ \begin{array} { c c } { \sigma _ { x } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } & { \sigma _ { x y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \sigma _ { x y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } & { \sigma _ { y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \end{array} \right] \left( \frac { | e _ { j - 1 } | } { 2 } \left[ \begin{array} { c } { n _ { e 1 } } \\ { n _ { e 2 } } \end{array} \right] _ { j - 1 } + \frac { | e _ { j } | } { 2 } \left[ \begin{array} { c } { n _ { e 1 } } \\ { n _ { e 2 } } \end{array} \right] _ { j } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \log | { \cal X } _ { i } ^ { m _ { i } } | = \frac { m _ { i } } { n } \log | { \cal X } _ { i } | \leq R _ { i } , } \\ & { p _ { \mathrm { e } } ( \varphi _ { i } ^ { ( n ) } , \psi _ { i } ^ { ( n ) } | { p } _ { X _ { i } } ^ { n } ) \leq \mathrm { e } ^ { - n ( E _ { i } - \epsilon ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \nu _ { \mathrm { c m } } } { d x _ { m } } \Big | _ { x _ { \mathrm { m a } } } } & { = } & { w _ { 1 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) + 2 x _ { \mathrm { m a } } w _ { 2 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) + 3 x _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } w _ { 3 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) } \\ { \frac { d t _ { \mathrm { c m } } } { d x _ { m } } \Big | _ { x _ { \mathrm { m a } } } } & { = } & { t _ { 1 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) + 2 x _ { \mathrm { m a } } t _ { 2 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) + 3 x _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } t _ { 3 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) . } \end{array}
\cdots \to \hat { \tau } ^ { - 1 } \mathcal { L } \xrightarrow { f _ { - 1 } } \hat { \tau } ^ { - 1 } \mathcal { M } \xrightarrow { g _ { - 1 } } \hat { \tau } ^ { - 1 } \mathcal { E } \xrightarrow { h _ { - 1 } } L \xrightarrow { f _ { 0 } } M \xrightarrow { g _ { 0 } } E \xrightarrow { h _ { 0 } } \hat { \tau } \mathcal { L } \xrightarrow { f _ { 1 } } \hat { \tau } \mathcal { M } \xrightarrow { g _ { 1 } } \hat { \tau } \mathcal { E } \xrightarrow { h _ { 1 } } \hat { \tau } ^ { 2 } \mathcal { L } \to \cdots ,
\mathrm { d } s ^ { 2 } = - \mathrm { d } t ^ { 2 } + a ( t ) ^ { 2 } \, [ 1 + h ( r ) ] \, [ \, \mathrm { d } r ^ { 2 } + \, r ^ { 2 } \, ( \, \mathrm { d } \theta ^ { 2 } + \, \sin ^ { 2 } \theta \, \, \mathrm { d } \phi ^ { 2 } \, ) \, ] \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { q Q } ( z ) = \frac { H _ { \mathrm { h y d } } ^ { 2 } } { 2 \eta } \left[ \frac { l _ { \mathrm { s } } } { H _ { \mathrm { h y d } } } + \frac { z } { H _ { \mathrm { h y d } } } - \frac { z ^ { 2 } } { H _ { \mathrm { h y d } } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
L ^ { 2 } ( G , d g ) \cong \bigoplus _ { \lambda _ { G } , \lambda _ { H } , \lambda _ { H } ^ { \prime } } \overline { { { M } } } _ { \lambda _ { H } } ^ { \lambda _ { G } } \otimes \overline { { { V } } } _ { { \lambda _ { H } } } \otimes M _ { \lambda _ { H } ^ { \prime } } ^ { \lambda _ { G } } \otimes V _ { \lambda _ { H } ^ { \prime } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } y - \nabla \cdot ( \nu ( \omega ) \nabla y ) + a ( t , x ) y + \nabla \cdot ( b ( t ) y ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } u _ { i } ( t ) \mathbf { 1 } _ { O _ { i } } } & { ( t , x ) \in ( t _ { 0 } , \infty ) \times D , } \\ { y = 0 } & { ( t , x ) \in ( t _ { 0 } , \infty ) \times \partial D , } \\ { y ( t _ { 0 } ) = y _ { 0 } ( \omega ) } & { x \in D , } \end{array} \right.
\left( a _ { o d d } , b _ { o d d } , a _ { e v e n } , b _ { e v e n } , c _ { o d d } , c _ { e v e n } , ( d _ { e v e n } ) _ { 4 } , ( d _ { o d d } ) _ { 0 } , ( d _ { e v e n } ) _ { 1 } , ( d _ { o d d } ) _ { 2 } , ( d _ { e v e n } ) _ { 3 } , ( d _ { o d d } ) _ { 4 } , ( d _ { e v e n } ) _ { 0 } , ( d _ { o d d } ) _ { 1 } , ( d _ { e v e n } ) _ { 2 } , ( d _ { o d d } ) _ { 3 } \right)
\begin{array} { r l r } { V ( t ) } & { \leq } & { V ( 0 ) \mathrm { e } ^ { - c t } + { \frac { \mathrm { e } ^ { c } } { c } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq \tau \leq t } w ^ { 2 } ( 1 , \tau ) } \\ & { \leq } & { V ( 0 ) \mathrm { e } ^ { - c t } + { \frac { \mathrm { e } ^ { c } } { c } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq \tau \leq t } \left( \tilde { \cal U } ( \beta , u ) ( \tau ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\centering \mathrm { M C S R ~ [ \% ] } = \frac { \sum _ { i , j } ^ { N } \left[ \Delta \Delta E _ { i j } ^ { \mathrm { D F T } } \Delta \Delta E _ { i j } ^ { \mathrm { G N N } } > 0 \right] \left[ \lvert \Delta \Delta E _ { i j } ^ { \mathrm { D F T } } \rvert < \mathrm { m a r g i n } \right] } { \sum _ { i , j } ^ { N } \left[ \lvert \Delta \Delta E _ { i j } ^ { \mathrm { D F T } } \rvert < \mathrm { m a r g i n } \right] }
v _ { m n p } ^ { ( 3 ) } = f _ { m q } ^ { ( 2 ) } f _ { q n p } ^ { ( 3 ) } + f _ { p q } ^ { ( 2 ) } f _ { q m n } ^ { ( 3 ) } + f _ { n q } ^ { ( 2 ) } f _ { q p m } ^ { ( 3 ) } + \ldots
\widetilde { \nabla } = \left( \frac { \partial } { \partial t } , \nabla \right) , \qquad \widetilde { \mathbf { F } } = \left( \mathbf { w } , \mathbf { F } ( \mathbf { w } , \nabla \mathbf { w } ) \right) , \qquad \widetilde { \mathbf { B } } ( \mathbf { w } ) = \left( 0 , \mathbf { B } _ { 1 } ( \mathbf { w } ) , \mathbf { B } _ { 2 } ( \mathbf { w } ) , \mathbf { B } _ { 3 } ( \mathbf { w } ) \right) ,
- 1 2 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle { \partial ^ { 2 } } / { \partial Q _ { i } ^ { 2 } } \rangle _ { 0 } ]
\Phi _ { m n } ( r , \theta ) = \frac { 1 } { \mathscr { N } _ { m n } } \mathrm { J } _ { m } ( k _ { m n } r ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m \theta } , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathscr { N } _ { m n } = \big | \mathrm { J } _ { m } ( k _ { m n } ) \big | \sqrt { 1 - \frac { m ^ { 2 } } { k _ { m n } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla \mathbf { v } + ( \nabla \mathbf { v } ) ^ { T } \right) , } \\ { \mathbf { A } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla \mathbf { J } + ( \nabla \mathbf { J } ) ^ { T } \right) , } \\ { \mathbf { B } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { J } \otimes \nabla \phi + \nabla \phi \otimes \mathbf { J } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i } ^ { ( l + 1 ) } } & { = \sum _ { j \in \mathcal { N } ( i ) } f _ { \mathrm { i n t } } \left( h _ { i } ^ { ( l ) } , h _ { j } ^ { ( l ) } , e _ { ( i j ) } \right) , } \\ { h _ { i } ^ { ( l + 1 ) } } & { = f _ { \mathrm { u p d } } \left( h _ { i } ^ { ( l ) } , M _ { i } ^ { ( l + 1 ) } \right) , } \end{array}