harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c } { { \Gamma _ { \rho \nu \lambda } ^ { \left( 2 \right) } ( p _ { 1 , } k _ { 2 } , q _ { 2 } ) = g _ { \rho \nu } ( p _ { 1 } + k _ { 2 } ) _ { \lambda } + g _ { \nu \lambda } ( q _ { 2 } - k _ { 2 } ) _ { \rho } - g _ { \lambda \rho } ( q _ { 2 } + p _ { 1 } ) _ { \nu } } } \\ { { \Gamma _ { \sigma \mu \lambda } ^ { ( 2 ) } ( p _ { 2 } , k _ { 1 } , q _ { 2 } ) = g _ { \mu \sigma } ( p _ { 2 } + k _ { 1 } ) _ { \lambda } - g _ { \mu \lambda } ( k _ { 1 } + q _ { 2 } ) _ { \sigma } + g _ { \lambda \sigma } ( q _ { 2 } - p _ { 2 } ) _ { \mu } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \chi _ { \alpha \beta } } & { = \frac { \partial X _ { \alpha } } { \partial u _ { \beta } } } & { \nu _ { \alpha j } } & { = \frac { \partial X _ { \alpha } } { \partial m _ { j } } } & { \kappa _ { \alpha Q } } & { = \frac { \partial X _ { \alpha } } { \partial K _ { Q } } } \\ { \chi _ { i \beta } } & { = \frac { \partial N _ { i } } { \partial u _ { \beta } } } & { \nu _ { i j } } & { = \frac { \partial N _ { i } } { \partial m _ { j } } } & { \kappa _ { i Q } } & { = \frac { \partial N _ { i } } { \partial K _ { Q } } } \\ { \chi _ { P \beta } } & { = \frac { \partial R _ { P } } { \partial u _ { \beta } } } & { \nu _ { P j } } & { = \frac { \partial R _ { P } } { \partial m _ { j } } } & { \kappa _ { P Q } } & { = \frac { \partial R _ { P } } { \partial K _ { Q } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { + } ( t ) } & { = F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ( F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) + t ) - F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ( F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) ) } \\ & { \geqslant \frac { t \exp ( - F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ( F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) + t ) ) } { \sqrt { 2 \pi F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ( F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) + t ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \Delta _ { S } ( \tau _ { b } ) \in \mathrm { d } v | \Delta _ { S } ( \tau _ { b } ) > 0 , \tau _ { b } = t , S _ { \tau _ { b } - } = u ] } & { = \frac { \mathbb { P } [ S _ { \tau _ { b } - } \in \mathrm { d } u , \Delta _ { S } ( \tau _ { b } ) \in \mathrm { d } v | \Delta _ { S } ( \tau _ { b } ) > 0 , \tau _ { b } = t ] } { \mathbb { P } [ S _ { \tau _ { b } - } \in \mathrm { d } u | \Delta _ { S } ( \tau _ { b } ) > 0 , \tau _ { b } = t ] } } \\ & { = \alpha ( b ( t ) - u ) ^ { \alpha } v ^ { - \alpha - 1 } \mathrm { d } v \quad \mathrm { ~ f o r ~ } v \in ( b ( t ) - u , \infty ) } \end{array}
\left[ - \nabla _ { \widehat { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle { \ x i } ~ } } , D } ^ { 2 } - \widehat { { \mathcal W } } ^ { ( { D } ) } ( \widehat { \mathrm { \boldmath ~ \ x i ~ } } ) \right] \, \widehat { \Phi } ( \widehat { \mathrm { \boldmath ~ \ x i ~ } } ) = \widehat { \eta } \, \widehat { \Phi } ( \widehat { \mathrm { \boldmath ~ \ x i ~ } } ) \; .
\left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 . 7 0 7 } \\ { - 0 . 7 0 7 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right)
J = \left| \frac { \partial ( \mathbf { v } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { v } _ { 2 } ^ { \prime } , \boldsymbol { \omega } _ { 1 } ^ { \prime } , \boldsymbol { \omega } _ { 2 } ^ { \prime } ) } { \partial ( \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 2 } , \boldsymbol { \omega } _ { 1 } , \boldsymbol { \omega } _ { 2 } ) } \right| = \left| \frac { \partial ( \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 2 } , \boldsymbol { \omega } _ { 1 } , \boldsymbol { \omega } _ { 2 } ) } { \partial ( \mathbf { v } _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \mathbf { v } _ { 2 } ^ { \prime \prime } , \boldsymbol { \omega } _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \boldsymbol { \omega } _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) } \right| = \alpha | \beta | ^ { 2 { d _ { r } } / { d _ { t } } } .
\begin{array} { r } { S _ { 2 2 } ^ { q } = { S _ { 2 2 } ^ { t h } } = S _ { 4 4 } ^ { q } = { S _ { 4 4 } ^ { t h } } = \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } , \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad S _ { 2 2 } ^ { s h } = S _ { 4 4 } ^ { s h } = 0 , } \\ { S _ { 3 3 } ^ { q } = S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 1 1 } ^ { t h } + { S _ { 1 1 } ^ { s h } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { X } _ { x } ( x , k ) = \tilde { L } ( x , k ) \tilde { X } ( x , k ) , } & { \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \tilde { X } ( x , k ) \big ( P ( k ) e ^ { \mathcal { L } ( k ) x } \big ) ^ { - 1 } = I , } \\ { \overline { { \tilde { X } _ { x } ^ { A } ( x , \bar { k } ) } } = - \overline { { \tilde { L } ^ { T } ( x , \bar { k } ) } } \, \overline { { \tilde { X } ^ { A } ( x , \bar { k } ) } } , } & { \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \overline { { \tilde { X } ^ { A } ( x , \bar { k } ) } } \big ( \overline { { P ^ { A } ( \bar { k } ) } } e ^ { - \overline { { \mathcal { L } ( \bar { k } ) } } x } \big ) ^ { - 1 } = I . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \xi ^ { \nu } + u ^ { \nu } \cdot \nabla \xi ^ { \nu } = \nu \left( \Delta \xi ^ { \nu } + \frac { 3 } { r } \partial _ { r } \xi ^ { \nu } \right) \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \mathbb { H } , } \\ { u ^ { \nu } = G \ast \omega ^ { \nu } , } \\ { \xi ^ { \nu } | _ { t = 0 } = \xi _ { 0 } ^ { \nu } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { R X } ( \theta , t ) = \ S ( t ) { I _ { 0 } e ^ { - \alpha ( n - 1 ) p } e } ^ { j k _ { 0 } ( n - 1 ) p c o s \theta } U _ { n } ( t ) , \ \ { U _ { n } ( t ) = e } ^ { j \sum _ { m = 1 } ^ { n } \varphi _ { m ( t ) } } = \ \sum _ { u = 1 } ^ { L } { \prod _ { m = 1 } ^ { n } e ^ { - j \varphi _ { m } ^ { u } } H _ { u } ( t ) } \ \ ( 6 ) } \end{array}
\frac { e ^ { - \lambda \epsilon ^ { \prime } T _ { 0 } } - e ^ { - \lambda \epsilon ^ { \prime } T } } { \lambda \epsilon ^ { \prime } } \leq \int _ { - T } ^ { 0 } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t \leq T _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda \epsilon } .
X _ { i } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { U _ { i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ f ( U _ { i } ) < f ( X _ { i } ) , } \\ { X _ { i } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { { \tilde { \epsilon } } _ { K } ^ { \textrm { i m p } } } & { { } \approx } & { - \frac { R ( 1 + K ) } { 2 \pi } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \frac { \nu _ { y } ^ { 2 } f _ { k } } { \nu _ { y } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } } \end{array}
F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } [ F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } + F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } ] - \frac { 1 } { 2 } | a ( x _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ) | [ U _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } - U _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } ]
C N O T ( H \otimes I ) | 0 0 \rangle = { \Bigg ( } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } { \Big ( } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] } \otimes { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \Big ) } { \Bigg ) } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \frac { | 0 0 \rangle + | 1 1 \rangle } { \sqrt { 2 } } }
\begin{array} { r l } { w ( v _ { i } ) } & { = f ( v _ { i - 1 } ) + f ( v _ { i + 1 } ) + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = 2 n - ( i - 1 ) + 2 n - ( i + 1 ) + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = 4 n - 2 i + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = 4 n - 2 i + \left\{ \begin{array} { l l } { i + ( i - 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 0 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { ( i - 2 ) + i } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 1 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { ( i - 1 ) + i } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 2 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { ( i - 1 ) + ( i + 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 3 ( \bmod ~ 4 ) , \mathrm { ~ a n d ~ } i \ne n } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 n - 1 } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ e v e n } } \\ { 4 n - 2 } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 1 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { 4 n } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 3 ( \bmod ~ 4 ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o n } } ^ { 1 } \right| \mathrm { d } x \mathrm { d } t } & { \leq } & { { \left\| q _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } - R _ { \mathrm { o n } } \right| \mathrm { d } x \mathrm { d } t , } \end{array}
\frac { h _ { m - 1 / 2 } } { { 6 } } \phi _ { m - 1 } + \frac { h _ { m + 1 / 2 } + h _ { m - 1 / 2 } } { { 3 } } \phi _ { m } + \frac { h _ { m + 1 / 2 } } { { 6 } } \phi _ { m + 1 } = \Bar { u } _ { m + \frac { 1 } { 2 } } - \Bar { u } _ { m - \frac { 1 } { 2 } }
\left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { a } & { b } \\ { 0 } & { 1 } & { b } & { c } \\ { 0 } & { 0 } & { \ell } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ell } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l l l l } { \ell } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - a } & { 1 } & { 0 } & { b } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { a } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ell } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { a } & { 0 } \\ { 0 } & { \ell } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \ell } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \quad \mathrm { o r } \quad \left( \begin{array} { l l l l } { \ell } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \ell } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Omega _ { x } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 0 } ) } } & { \approx \sqrt { \frac { 6 P } { \hbar \omega k ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } \tau } } \, \left| \sin \theta ( 5 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) \right| \, , } \\ { \Omega _ { x } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 1 0 } ) } } & { \approx 2 . 7 \sqrt { \frac { 3 P } { \hbar \omega k ^ { 4 } w _ { 0 } ^ { 4 } \tau } } \, \left| \cos \theta ( 1 5 \cos ^ { 2 } \theta - 1 1 ) \right| \, , } \\ { \Omega _ { y } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 1 } ) } } & { \approx 2 . 7 \sqrt { \frac { 3 P } { \hbar \omega k ^ { 4 } w _ { 0 } ^ { 4 } \tau } } \, \left| \cos \theta ( 5 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) \right| \, , } \\ { \Omega _ { y } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 0 } ) } } & { = \Omega _ { y } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 1 0 } ) } = \Omega _ { x } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 1 } ) } \approx 0 \, , } \end{array}
\sigma \left( x _ { \mathrm { B } } , Q ^ { 2 } \right) = \frac { 1 } { \pi } \Im \mathrm { m } \ i \! \int d ^ { 4 } z \, \mathrm { e } ^ { i q \cdot z } \langle N ( p ) | T \left\{ j _ { \mu } ^ { \dagger } ( z ) j _ { \mu } ( 0 ) \right\} | N ( p ) \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \textbf { A . } \, \mathcal { Z } = } & { \tilde { Z } ^ { 0 } \int \delta \left( \left( V o l ( \mathcal { M } ) - V o l ( \mathcal { M } ) \vert _ { \lambda = 0 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { e x p \Bigg [ - R m ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) \Bigg ] \prod _ { l } \left( \frac { 1 } { l } \right) D \left[ l \right] } \end{array}
\left< \overline { { \mathbf { v } ^ { 2 } ( N \Delta t ) } } \right> \equiv \left< \frac { 1 } { N \Delta t - \Delta t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathbf { v } _ { j } ^ { 2 } \right> \propto N ^ { 2 L + 2 M - 2 } .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ a ~ x ~ i ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ B ~ F ~ P ~ } } ( y , z ) } & { { } = \ensuremath { \mathcal { F } } _ { z } \left\{ \ensuremath { \mathrm { ~ A ~ i ~ } } \left( \frac { z } { z _ { 0 } } \right) \cdot \exp \left( \frac { a z } { z _ { 0 } } \right) \right\} \cdot \ensuremath { \mathcal { F } } _ { z } \left\{ \delta \left( z - \frac { y ^ { 2 } } { 2 r _ { d } } \right) \right\} \cdot \exp \left( - \frac { y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
r ( \xi , \eta ) ~ = ~ f ( \xi _ { 1 2 } ) [ \xi _ { 1 2 } ^ { - 1 } r ^ { + } + \xi _ { 1 2 } r ^ { - } ] ~ , \ \ \ \ L ( \xi ) ~ = ~ { \xi ^ { - 1 } } L ^ { + } + \xi L ^ { - } ,
A _ { n } = \frac { 2 \left( 1 + \Gamma \right) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \left( - \left( n \Omega + \alpha \right) ^ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \left( n \Omega + \alpha \right) \sigma _ { n } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) = A _ { n } ^ { r } + \mathrm { ~ i ~ } A _ { n } ^ { i } \in \mathbb { C }
M _ { R R } ^ { P S } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { 9 } } } & { { \lambda ^ { 7 } } } & { { \lambda ^ { 5 } } } \\ { { \lambda ^ { 7 } } } & { { \lambda ^ { 5 } } } & { { \lambda ^ { 3 . 5 } } } \\ { { \lambda ^ { 5 } } } & { { \lambda ^ { 3 . 5 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \left\| \mu _ { k _ { m } } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { m } } } } & { = \left\| \int _ { \mathcal { X } _ { m } } k _ { m } ( \cdot , x _ { m } ) \mathrm { d } \mathbb { P } _ { m } ( x _ { m } ) \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { m } } } \stackrel { ( e ) } { \le } \int _ { \mathcal { X } _ { m } } \underbrace { \left\| k _ { m } ( \cdot , x _ { m } ) \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { m } } } } _ { \stackrel { ( f ) } { = } \sqrt { k _ { m } ( x _ { m } , x _ { m } ) } \stackrel { ( g ) } { \le } a _ { k _ { m } } } \mathrm { d } \mathbb { P } _ { m } ( x _ { m } ) \le a _ { k _ { m } } , } \\ { \left\| { \tilde { \mu } _ { k _ { M } } } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { M } } } } & { = \left\| { \tilde { \mu } _ { k _ { M } } - \mu _ { k _ { M } } + \mu _ { k _ { M } } } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { M } } } \stackrel { ( h ) } { \le } \left\| { \tilde { \mu } _ { k _ { M } } - \mu _ { k _ { M } } } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { M } } } + \left\| { \mu _ { k _ { M } } } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { M } } } \stackrel { ( i ) } { \le } d _ { k _ { M } } + a _ { k _ { M } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { L ( s ) \leq \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to + \infty } L _ { p } ( s , \lambda ) \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \lambda \to + \infty } L ( s _ { \lambda } ) - \lambda | s - s _ { \lambda } | ^ { p } + \frac { 1 } { \lambda } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \lambda \to + \infty } L ( s _ { \lambda } ) \leq L ( s ) , } \end{array}
\gamma ^ { m } = \gamma _ { 0 } ^ { m } \, \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } + \gamma _ { 1 } ^ { m } \, \left( \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } \right) ^ { 2 } + { \cal O } ( \alpha _ { s } ^ { 3 } )
{ \frac { d v ^ { 2 } } { d t } } = { \frac { d ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) } { d t } } = { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } \cdot \mathbf { v } + \mathbf { v } \cdot { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } = 2 { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } \cdot \mathbf { v } = 2 \mathbf { a } \cdot \mathbf { v }
\begin{array} { r l } { D } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { - \Delta } & { 0 } \\ { 0 } & { N ^ { 2 } } \end{array} \right) , \, \, \, L = N ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \partial _ { x } . } \end{array}
\tilde { \gamma } ^ { 2 } = \frac { 3 6 \tilde { \Delta } - 4 \tilde { \Delta } ^ { 3 } - 2 7 \tilde { \Omega } ^ { 2 } - 9 \tilde { \Delta } \tilde { \Omega } ^ { 2 } } { 3 6 \tilde { \Delta } } .
\begin{array} { r l } { G _ { N } ^ { ( m ) } ( q ) } & { = \frac { 1 } { m ! } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } u _ { j } } { 2 \pi i u _ { j } } \cdot \frac { 1 } { m ! } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i v _ { i } } \Bigg \{ \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N } \right] \frac { \prod _ { 1 \leq j < i \leq m } \left| u _ { i } - u _ { j } \right| ^ { 2 } \left| v _ { i } - v _ { j } \right| ^ { 2 } } { \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \left| u _ { i } - v _ { j } \right| ^ { 2 } } } \\ & { \cdot \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } \frac { f \left( q ^ { k } \right) } { \left( 1 - f \left( q ^ { k } \right) \right) } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( v _ { j } ^ { - k } - u _ { j } ^ { - k } \right) \right] \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| \tilde { \boldsymbol { E } } _ { h } - { \boldsymbol { E } } _ { h } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } + \| \tilde { \varphi } _ { h } - \varphi _ { h } \| _ { M _ { p } ( { \cal M } ) } } \\ & { \le } & { C \operatorname* { s u p } _ { 0 \not = \boldsymbol { v } \in { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } \frac { | R ( { \boldsymbol { E } } , \boldsymbol { v } ) | + | 2 k ^ { 2 } ( \varepsilon ( { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } ) , \boldsymbol { v } ) _ { \cal M } | } { \| \boldsymbol { v } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } } } \\ & { \le } & { C \frac { h ^ { \nu - 1 } } { p ^ { s - 1 } } \| { \boldsymbol { E } } \| _ { H ^ { s } ( \Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } ) } + C \, \operatorname* { s u p } _ { 0 \not = \boldsymbol { v } \in { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } \frac { | k ^ { 2 } ( \varepsilon ( { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } ) , \boldsymbol { v } ) _ { \cal M } | } { \| \boldsymbol { v } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } } & { { } = \frac { \left( 6 w _ { 0 } - 1 \right) \left( u _ { i - 2 } + u _ { i + 2 } \right) - 2 \left( 1 8 w _ { 0 } - 1 \right) \left( u _ { i - 1 } - u _ { i + 1 } \right) } { 4 8 w _ { 0 } } , } \\ { D _ { 2 } } & { { } = \frac { \left( 2 w _ { 0 } - 3 \right) \left( u _ { i - 2 } + u _ { i + 2 } \right) - 2 \left( 2 w _ { 0 } + 9 \right) u _ { i } + 1 2 \left( u _ { i - 1 } + u _ { i + 1 } \right) } { 1 6 w _ { 0 } } , } \\ { D _ { 3 } } & { { } = \frac { - u _ { i - 2 } + 2 \left( u _ { i - 1 } - u _ { i + 1 } \right) + u _ { i + 2 } } { 1 2 w _ { 0 } } , } \\ { D _ { 4 } } & { { } = \frac { u _ { i - 2 } - 4 u _ { i - 1 } + 6 u _ { i } - 4 u _ { i + 1 } + u _ { i + 2 } } { 2 4 w _ { 0 } } , } \end{array}
\mathcal { D } ^ { u } = \left\{ ( t _ { i } , x _ { i } , u _ { i } ) , \quad \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ } \quad ( t _ { i } , x _ { i } ) \in \Omega ^ { u } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad u _ { i } : = u ( t _ { i } , x _ { i } ) + \xi _ { u } ( t _ { i } , x _ { i } ) , \, i = 1 . . . N ^ { u } \right\}
\overbrace { { \frac { 1 } { P } } \cdot S \left( { \frac { k } { P } } \right) } ^ { S [ k ] } \, \triangleq \, { \frac { 1 } { P } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } s ( t ) \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { k } { P } } t } \, d t \equiv { \frac { 1 } { P } } \int _ { P } s _ { P } ( t ) \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { k } { P } } t } \, d t
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n } , \mu _ { \infty } ) ] \lesssim } & { \frac 1 n + \sum _ { k \ge 1 } \frac { e ^ { - \frac 1 n \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \mathbb { E } \bigg [ \bigg ( \frac 1 n \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } ( \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) ] ) \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { + \sum _ { k \ge 1 } \frac { e ^ { - \frac 1 n \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \mathbb { E } \bigg [ \bigg ( \frac 1 n \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } ( \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) ] - \mu _ { \infty } ( \phi _ { k } ) ) \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] . } \end{array}
\phi ( { \bf u } ) = \exp \left[ i \, \mu _ { i } u _ { i } - { \frac { 1 } { 2 ! } } \, C _ { i j } \, u _ { i } u _ { j } - \, { \frac { i } { 3 ! } } \, B _ { i j k } \, u _ { i } u _ { j } u _ { k } \right] \, .
\sum _ { \mathrm { c o l , h e l } } | { \cal A } _ { 0 } | ^ { 2 } = \mathrm { s g n } ( s _ { 1 2 } ) 1 6 \mu ^ { 4 \epsilon } g _ { S } ^ { 2 } \left( \frac { y _ { b } } { \sqrt 2 } \right) ^ { 2 } \frac { m _ { h } ^ { 4 } + s _ { 1 2 } ^ { 2 } } { s _ { 1 3 } s _ { 2 3 } } \; .
t \equiv t V / L _ { D } , \mathcal { L } _ { x } \equiv \mathcal { L } _ { x } / V ^ { 2 } , D _ { x } \equiv D _ { x } / ( L _ { D } V ) , L _ { I } \equiv L _ { I } / L _ { D } , T _ { I } \equiv T _ { I } / T _ { D }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { W _ { p n } } \\ { \Psi } \end{array} \right) = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { m } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \left( \begin{array} { l } { W _ { p n l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) } \\ { \Psi _ { l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) } \end{array} \right) ~ e ^ { i \Gamma l } , } \end{array}
\gamma = T ^ { 2 } \frac { \pi \omega } { | \vec { k } | } \left[ \frac { 1 } { 3 } \phi ^ { \dagger } \phi + \frac { 1 } { 6 } \left( 1 - \frac { \omega ^ { 2 } } { \vec { k } ^ { 2 } } \right) \vec { A } _ { T } ^ { \dagger } \cdot \vec { A } _ { T } \right]
\begin{array} { r c l } { { \tilde { v } _ { 1 } } } & { { = } } & { { { \frac { V _ { 1 1 } } { B _ { 1 } } } { \frac { c o s ^ { 4 } \alpha } { c o s 2 \alpha } } - { \frac { V _ { 2 2 } } { B _ { 2 } } } { \frac { s i n ^ { 4 } \alpha } { c o s 2 \alpha } } } } \\ { { \tilde { v } _ { 2 } } } & { { = } } & { { - { \frac { V _ { 1 1 } } { B _ { 1 } } } { \frac { s i n ^ { 4 } \alpha } { c o s 2 \alpha } } + { \frac { V _ { 2 2 } } { B _ { 2 } } } { \frac { c o s ^ { 4 } \alpha } { c o s 2 \alpha } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { \left| \partial _ { x _ { i } } G ( x , \xi ) - \partial _ { y _ { i } } G ( y , \xi ) \right| } { | x - y | ^ { \sigma } } \leq C \left( | x - \xi | ^ { - 2 - \sigma } + | y - \xi | ^ { - 2 - \sigma } \right) } \\ & { \frac { \left| \partial _ { x _ { i } } \partial _ { \xi _ { j } } G ( x , \xi ) - \partial _ { y _ { i } } \partial _ { \xi _ { j } } G ( y , \xi ) \right| } { | x - y | ^ { \sigma } } \leq C \left( | x - \xi | ^ { - 3 - \sigma } + | y - \xi | ^ { - 3 - \sigma } \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { + } ^ { 2 } - \lambda _ { - } ^ { 2 } } & { \ge | \nabla Q _ { k } ^ { + } ( x _ { k } ) | ^ { 2 } - | \nabla Q _ { k } ^ { - } ( x _ { k } ) | ^ { 2 } } \\ & { = \alpha _ { k } ^ { 2 } - \beta _ { k } ^ { 2 } + 2 \varepsilon _ { k } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } p - \beta _ { k } ^ { 2 } q ) + o ( \varepsilon _ { k } ) } \\ & { = \lambda _ { + } ^ { 2 } - \lambda _ { - } ^ { 2 } + 2 \varepsilon _ { k } ( \lambda _ { + } ^ { 2 } p - \lambda _ { - } ^ { 2 } q ) + o ( \varepsilon _ { k } ) } \end{array}
| \psi _ { o u t } \rangle = \frac { 2 \pi A } { i \hbar } \int \int d \omega _ { i } d \omega _ { s } \mathcal { F } _ { o u t } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \hat { a _ { i } } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \hat { a _ { s } } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) | 0 \rangle ,
2 \mathbf { S } ( \mathbf { v } ) : \mathbf { S } ( \mathbf { v } ) - \nabla \mathbf { v } : \nabla \mathbf { v } = \nabla \cdot ( \nabla \mathbf { v } \, \mathbf { v } - ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { v } ) + ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \left| \frac { e ^ { - \beta x _ { i } } } { e ^ { - \beta x _ { i } } + e ^ { + \beta x _ { i } } } - \frac { e ^ { - \beta y _ { i } } } { e ^ { - \beta y _ { i } } + e ^ { + \beta y _ { i } } } \right| \geq \frac { c _ { \beta } } { 2 } \sum _ { i } \left| x _ { i } - y _ { i } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { L _ { 1 , l } \geq 2 \sqrt { R } - 2 R ^ { 1 \slash 3 } = 2 \sqrt { R } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ R , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \geq } & { 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } \slash 2 } } \\ & { } & { \times \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \Phi _ { 2 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}