harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l l } { { Z = } } & { { \operatorname * { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } ( \frac { \lambda } { 2 \pi } ) ^ { n } \displaystyle \int { \cal D } u { \cal D } \psi { \cal D } \chi \exp ( - \frac { ( s , s ) } { 2 \lambda } - \frac { 1 } { \lambda } g _ { a b } \chi ^ { a } \frac { \partial s ^ { b } } { \partial { u ^ { i } } } \psi ^ { i } + \frac { 1 } { 2 \lambda } G _ { i j a b } \psi ^ { i } \psi ^ { j } \chi ^ { a } \chi ^ { b } ) } } \\ { { ~ = } } & { { \nu ( D ) . } } \end{array}
\Phi ^ { \dag } D _ { i } i \tau _ { 2 } \Phi ^ { * } ( D _ { i } i \tau _ { 2 } \Phi ^ { * } ) ^ { \dag } \Phi = \frac { \nu ^ { 4 } } { 4 } \frac { h ^ { 4 } ( 1 - f ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } ( r ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } & { { } = \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } _ { 0 } , \omega ) \exp { \left( - \int _ { s = 0 } ^ { z } \nabla _ { X _ { s } } \cdot \vec { \bf v } ( \vec { x } _ { s } , \omega ) d \vec { x } _ { s } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - \frac { c _ { i , \mu } ^ { 2 } - 2 c _ { i , \mu } \hat { a } _ { u , \mu , 1 } + \hat { a } _ { u , \mu , 2 } } { 2 R T } } } \\ { = } & { e ^ { - \frac { c _ { i , \mu } ^ { 2 } } { 2 R T } } e ^ { \frac { c _ { i , \mu } } { 2 R T } \hat { a } _ { u , \mu , 1 } } e ^ { - \frac { \hat { a } _ { u , \mu , 2 } } { 2 R T } } } \\ { = } & { e ^ { - \frac { c _ { i , \mu } ^ { 2 } } { 2 R T } } ( \Sigma _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } ( \frac { c _ { i , \mu } } { R T } ) ^ { k } ( \hat { a } _ { u , \mu , 1 } ) ^ { k } ) ( \Sigma _ { k ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( k ^ { \prime } ) ! } ( \frac { - 1 } { R T } ) ^ { k ^ { \prime } } ( \hat { a } _ { u , \mu , 2 } ) ^ { k ^ { \prime } } ) } \\ { = } & { e ^ { - \frac { c _ { i , \mu } ^ { 2 } } { 2 R T } } ( \Sigma _ { k = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { k ! } ( \frac { c _ { i , \mu } } { R T } ) ^ { k } ( \hat { a } _ { u , \mu , 1 } ) ^ { k } ) ( \Sigma _ { k ^ { \prime } = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { ( k ^ { \prime } ) ! } ( \frac { - 1 } { R T } ) ^ { k ^ { \prime } } ( \hat { a } _ { u , \mu , 2 } ) ^ { k ^ { \prime } } ) , } \end{array}
W = P _ { 1 } V _ { 1 } ^ { \gamma } { \frac { V _ { 2 } ^ { 1 - \gamma } - V _ { 1 } ^ { 1 - \gamma } } { 1 - \gamma } } = { \frac { P _ { 2 } V _ { 2 } - P _ { 1 } V _ { 1 } } { 1 - \gamma } } .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { i } \triangleq \mathcal { T } _ { i N _ { h } } \circ \mathcal { T } _ { i N _ { h } - 1 } \circ \cdots \circ \mathcal { T } _ { ( i - 1 ) N _ { h } + 1 } , \ i = 1 , 2 , . . . , N _ { B } , } \\ & { \mathcal { T } _ { i } ( X ) \triangleq \mathcal { F } ( W ^ { [ i ] } X + b ^ { [ i ] } ) , \ i = 1 , 2 , . . . , N _ { B } N _ { h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 2 , D S } ( t , N ) } & { = M _ { T , c } + \sum _ { \omega > 0 } N ^ { - \omega } G _ { \omega , \mathrm { d o m } } } \\ & { = M _ { T , c } + M _ { T , c } N ^ { - \frac 1 2 } \left( \frac { L ( t _ { c } ) \kappa ( t , N ) } { I ( t _ { c } ) } \right) ^ { 1 / 2 } \sum _ { \omega \in \mathbb { N } ^ { * } } \mathrm { C a t } _ { \omega - 1 } \kappa ( t , N ) ^ { \omega - 1 } } \\ & { = M _ { T , c } \left( 1 + N ^ { - \frac 1 2 } \left( \frac { L ( t _ { c } ) } { I ( t _ { c } ) } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { 1 - \sqrt { 1 - 4 \kappa ( t , N ) } } { 2 \kappa ( t , N ) ^ { 1 / 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \mu = 1 } ^ { M } \sigma _ { e g } ^ { n , \mu } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { n } } , } \\ { \sigma _ { e g } ^ { n , \mu } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { \mathbf { k } } S _ { \mathbf { k } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { n } } , } \end{array}
G ^ { ( { \cal Q } ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = \langle { \cal Q } ^ { i _ { 1 } j _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) { \cal Q } ^ { i _ { 2 } j _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) { \cal Q } ^ { i _ { 3 } j _ { 3 } } ( x _ { 3 } ) { \cal Q } ^ { i _ { 4 } j _ { 4 } } ( x _ { 4 } ) \rangle \;
\boldsymbol \sigma ( \rho , \mathscr { E } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ) ) = - p ( \rho , \mathscr { E } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ) ) \mathbf { I } + 2 G ( \rho ) \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } )
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 1 + 6 Q ^ { 2 } , \, \Delta } \left[ \begin{array} { l l } { \Delta _ { 3 } } & { \Delta _ { 2 } } \\ { \Delta _ { 4 } } & { \Delta _ { 1 } } \end{array} \right] ( \xi ) = \xi ^ { \Delta - \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 1 } } \left[ 1 + { \frac { ( \Delta + \Delta _ { 3 } - \Delta _ { 4 } ) ( \Delta + \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 1 } ) } { 2 \Delta } } \, \xi + \cdots \right] \, , } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { p O } } ^ { \mathrm { 2 s t } } ( E ^ { \mathrm { L } } , T ) \! = \! \frac { 2 } { \sqrt { \pi \varepsilon _ { T } ^ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! d E _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { L } } \sqrt { E _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { L } } } e ^ { - E _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { L } } / \varepsilon _ { T } } \, \lambda _ { \mathrm { p O } } ^ { \mathrm { 2 s t } } ( E ) , \ \ \varepsilon _ { T } = k _ { B } T .
P _ { \tau } ( \tau ; \tau _ { \downarrow } , \tau _ { \uparrow } , \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \eta \, \tau ^ { - \alpha } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \tau _ { \downarrow } \leq \tau \leq \tau _ { \uparrow } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\mu _ { k } ^ { \prime \prime } + \biggl \{ k ^ { 2 } \biggl [ \frac { \epsilon _ { 1 } } { 1 + \mathrm { e } ^ { x } } + \frac { \epsilon _ { 3 } \mathrm { e } ^ { x } } { ( 1 + \mathrm { e } ^ { x } ) ^ { 2 } } \biggr ] - ( 1 - 6 \xi ) \frac { \beta ( \beta + 1 ) } { \eta ^ { 2 } } \biggr \} \mu _ { k } = 0 \, ,
\mathrm { t r } \left( e ^ { - t ( { \cal M } ^ { 2 } + A ) } \right) = \mathrm { t r } \left( e ^ { - t { \cal M } ^ { 2 } } \left[ 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } f _ { n } ( t , A ) \right] \right) ,
V = m _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } \bar { H } ^ { 2 } - 2 \mu \bar { H } H + \frac { g ^ { 2 } } { 8 } ( \bar { H } ^ { 2 } - H ^ { 2 } ) ^ { 2 } .
G ( R _ { 1 } , R _ { 3 } ; \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) = \int \, d R _ { 2 } G ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ; \beta _ { 1 } ) G ( R _ { 2 } , R _ { 3 } ; \beta _ { 2 } ) \; ,
\pi _ { 0 } \circ \varrho _ { 1 } ^ { \mathrm { l o c } } \varrho _ { 1 / 2 } ^ { \mathrm { l o c } } \cong \pi _ { 1 } \circ \varrho _ { 1 / 2 } ^ { \mathrm { l o c } } \cong \pi _ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } f ^ { \prime } ( x _ { i } ( t ) ) \sum _ { j \neq i } V _ { \sigma _ { i } , \sigma _ { j } } ^ { \prime } ( x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) ) } & { = } & { \frac { 2 g } { N ^ { 2 } } \sum _ { i } \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } f ^ { \prime } ( x _ { i } ( t ) ) \sum _ { j \neq i } \frac { \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma _ { j } ( t ) } } { x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) } } \\ & { = } & { \frac { g } { N ^ { 2 } } \sum _ { i } \sum _ { j \neq i } \frac { f ^ { \prime } ( x _ { i } ( t ) ) - f ^ { \prime } ( x _ { j } ( t ) ) } { x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) } \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } \delta _ { \sigma _ { j } ( t ) , \sigma } \; . } \end{array}
h ( t ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { n ( x _ { k } ) } { x _ { k } } e ^ { - t / x _ { k } } d x , \hat { \nu } ( t ) = \nu _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \hat { z } ( t , x _ { k } ) d x , \frac { \partial z ( t , x _ { k } ) } { \partial t } = - \frac { \hat { z } ( t , x _ { k } ) } { x _ { k } } + \frac { n ( x _ { k } ) } { x _ { k } } \hat { \xi } _ { \hat { \nu } } ^ { \mathrm { P } } ( t ) .
\begin{array} { r l } { ( K ^ { t } k _ { z } ^ { \sigma } ) ( x ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } k _ { z } ^ { \sigma } ( y ) \, \rho _ { t } ( x , d y ) = \sqrt { \frac { c _ { t } } { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } k _ { z } ^ { \sigma } ( y ) \exp \Big [ - c _ { t } ( y - e ^ { - \alpha t } x ) ^ { 2 } \Big ] \, d y } \\ & { = \sqrt { \frac { c _ { t } } { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } k _ { z } ^ { \sigma } ( y ) k _ { e ^ { - \alpha t } x } ^ { \sigma _ { t } } ( y ) \, d y = \sqrt { c _ { t } } \cdot \frac { \sigma \sigma _ { t } } { \sqrt { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { t } ^ { 2 } } } \cdot \exp \left( - \frac { ( z - e ^ { - \alpha t } x ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { t } ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { \sigma } { \sqrt { \sigma ^ { 2 } + 1 / c _ { t } } } \cdot \exp \left( - \frac { ( e ^ { \alpha t } z - x ) ^ { 2 } } { e ^ { 2 \alpha t } ( \sigma ^ { 2 } + 1 / c _ { t } ) } \right) = \tau \cdot k _ { e ^ { \alpha t } z } ^ { \nu } ( x ) . } \end{array}
S _ { E G H } ^ { b o u n d } = - { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { \partial M } \epsilon _ { a b c d } \; ( 2 \theta ^ { a b } \wedge R ^ { c d } - { \frac { 4 } { 3 } } \; \theta ^ { a b } \wedge \theta ^ { a } { } _ { e } \wedge \theta ^ { e b } )
\mathrm { I } = { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } E \left\{ \phi _ { i } ^ { 2 } \right\} = { \frac { \Psi ^ { 2 } } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \left( i - { \frac { i ^ { 2 } } { N } } \right) \, .
{ S _ { L } } \left[ \varphi , \hat { g } \right] = - { \frac { d - 2 6 } { 4 8 \pi } } \int { d ^ { 2 } } \xi \sqrt { \hat { g } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \varphi \hat { \Delta } \varphi + \hat { R } \varphi \right) + { \mu _ { 1 } ^ { 2 } } \int { d ^ { 2 } } \sqrt { \hat { g } } { e ^ { \varphi } } ,
f ( \tau , \bar { \tau } ) = a \tau _ { 2 } ^ { s } + b \tau _ { 2 } ^ { 1 - s } + \sqrt { \tau _ { 2 } } \sum _ { n \ne 0 } a _ { n } K _ { s - 1 / 2 } ( 2 \pi | n | \tau _ { 2 } ) e ^ { 2 \pi i n \tau _ { 1 } }
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 2 ) } = \big ( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ } , \mathrm { ~ L ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ } , \mathrm { ~ C ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ } , \mathrm { ~ R ~ } } ^ { ( 2 ) } \big ) / 3
\sin { \frac { \pi } { 1 5 \times 2 ^ { 3 } } } = { \frac { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { { \sqrt { { \sqrt { 0 . 7 0 3 1 2 5 } } + 1 . 8 7 5 } } + { \sqrt { 0 . 3 1 2 5 } } + 1 . 7 5 } } } } } } { 2 } }
d s ^ { 2 } = G _ { M N } d X ^ { M } d X ^ { N } = \frac { L ^ { 2 } } { 4 } \left[ \left( \frac { d \rho } { \rho } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \rho } g _ { \mu \nu } ( x , \rho ) d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } \right]
t - t _ { i n } = \pm \left( { \frac { 1 } { 2 g } } \right) \int _ { r _ { i n } } ^ { r } \left( { \frac { f ^ { \prime } } { f } } \right) \left( 1 + \cdots \right) ^ { 1 / 2 } d r \approx \pm \left( { \frac { 1 } { 2 g } } \right) \ln | f ( r _ { i n } ) | + \mathrm { c o n s t . }
2 f _ { \pi } ^ { 2 } \; \mu _ { \pi } ^ { 2 } \; = \; - 2 ( m _ { u } + m _ { d } ) \; < \bar { q } q > + \frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } \; ( m _ { u } + m _ { d } ) ^ { 2 } \; \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \; d s ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { P } } ( \omega ) = } & { { } \, \, \frac { \omega ^ { 2 } } { \pi c ^ { 3 } } S ( \omega ) = \frac { \frac { \hbar \omega ^ { 3 } } { \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } } { \exp \left( \beta \hbar \omega \right) - 1 } } \end{array}
\sigma _ { 0 } ^ { B = 0 } = { \frac { \pi ^ { 4 } ( \tilde { \omega } R _ { 0 } ) ^ { 8 } } { 8 \omega ^ { 5 } } } \left\{ 1 - { \frac { 1 } { 6 } } \left( \tilde { \omega } R _ { 0 } \right) ^ { 4 } \log ( \tilde { \omega } \bar { R } _ { 0 } ) + { \frac { 7 } { 7 2 } } ( \tilde { \omega } R _ { 0 } ) ^ { 4 } + \cdots \right\}
\begin{array} { r } { \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 1 } } } ^ { \mathbf { D } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { { b } _ { \tau _ { 1 } } } , 0 } ^ { \mathbf { D } } } \cdot s ^ { \mathbf { D D } } \cdot \left( \ln \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 1 } } } ^ { \mathbf { D } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { { b } _ { \tau _ { 1 } } } , 0 } ^ { \mathbf { D } } } \cdot s ^ { \mathbf { D D } } - \ln \mathbf { C } \right) = \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 1 } } ^ { \mathbf { D } } , j = 4 } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { { b } _ { \tau _ { 1 } } } , 0 } ^ { \mathbf { D } } } \cdot \left( \ln \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 1 } } ^ { \mathbf { D } } , j = 4 } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { { b } _ { \tau _ { 1 } } } , 0 } ^ { \mathbf { D } } } - \ln \mathbf { C } \right) } \\ { = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 1 + \eta \tau _ { 1 } } \ln ( \frac { 1 } { 2 ( 1 + \eta \tau _ { 1 } ) \mathbf { C } _ { 3 } } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 + 2 \eta \tau _ { 1 } } { 1 + \eta \tau _ { 1 } } \ln ( \frac { 1 + \eta \tau _ { 1 } } { 2 ( 1 + \eta \tau _ { 1 } ) \mathbf { C } _ { 4 } } ) } \end{array}
p T r ( Y m ^ { 2 } ) _ { 0 } = - \frac { 5 } { 6 } s i n ^ { 2 } \theta _ { W } c o s 2 \beta M _ { Z } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ( m _ { \tilde { e } _ { i L } } ^ { 2 } + 2 m _ { \tilde { u } _ { i R } } ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 4 } ( m _ { \tilde { e } _ { i R } } ^ { 2 } + m _ { \tilde { d } _ { i R } } ^ { 2 } + m _ { \tilde { d } _ { i L } } ^ { 2 } )
{ \begin{array} { r l } { L ^ { * } u } & { = ( - 1 ) ^ { 2 } D ^ { 2 } [ ( - p ) u ] + ( - 1 ) ^ { 1 } D [ ( - p ^ { \prime } ) u ] + ( - 1 ) ^ { 0 } ( q u ) } \\ & { = - D ^ { 2 } ( p u ) + D ( p ^ { \prime } u ) + q u } \\ & { = - ( p u ) ^ { \prime \prime } + ( p ^ { \prime } u ) ^ { \prime } + q u } \\ & { = - p ^ { \prime \prime } u - 2 p ^ { \prime } u ^ { \prime } - p u ^ { \prime \prime } + p ^ { \prime \prime } u + p ^ { \prime } u ^ { \prime } + q u } \\ & { = - p ^ { \prime } u ^ { \prime } - p u ^ { \prime \prime } + q u } \\ & { = - ( p u ^ { \prime } ) ^ { \prime } + q u } \\ & { = L u } \end{array} }
p = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \frac { 1 + \epsilon _ { B } } { \sqrt { 1 + | \epsilon _ { B } | ^ { 2 } } } } , ~ ~ q = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \frac { 1 - \epsilon _ { B } } { \sqrt { 1 + | \epsilon _ { B } | ^ { 2 } } } } .
C ( \gamma ) = \left\langle \frac { \delta T } { T } ( 0 ) \frac { \delta T } { T } ( \gamma ) \right\rangle = \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } \frac { 2 l + 1 } { 4 \pi } C _ { l } P _ { l } ( \cos \gamma ) .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| ( { \cal E } _ { 1 } y ) ( t ) + ( { \cal E } _ { 2 } y ^ { * } ) ( t ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { \mathbb { E } \| { \cal K } _ { i } ( t , g _ { t } + \bar { y } _ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \upsilon _ { i } \, \| g _ { t } + \bar { y } _ { t } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \upsilon _ { i } \lambda _ { 3 } . } \end{array}
D _ { 3 a } = \left( \begin{array} { c } { { s _ { a } } } \\ { { t _ { a } } } \end{array} \right) ^ { \mathrm { T } } \cdot \hat { A } \cdot \left( \begin{array} { c } { { s _ { a } } } \\ { { t _ { a } } } \end{array} \right) + A ^ { \mathrm { T } } \cdot \left( \begin{array} { c } { { s _ { a } } } \\ { { t _ { a } } } \end{array} \right) + A _ { 0 0 } \; ,
E _ { \gamma } \frac { d \Delta \sigma _ { d i r } ^ { L O } } { d ^ { 3 } p _ { \gamma } } = \frac { 1 } { \pi S } \sum _ { i , j } \int _ { V W } ^ { V } \frac { d v } { 1 - v } \int _ { V W / v } ^ { 1 } \Delta f _ { 1 } ^ { i } ( x _ { 1 } , M ^ { 2 } ) \Delta f _ { 2 } ^ { j } ( x _ { 2 } , M ^ { 2 } ) \frac { 1 } { v } \frac { d \Delta \hat { \sigma } _ { i j \rightarrow \gamma } } { d v } \delta ( 1 - w )
{ \cal S } _ { G } = \int _ { C } d t \frac { 1 } { 2 } \left[ \delta \dot { P } ^ { 2 } - \biggl ( \omega _ { P } ^ { 2 } + m ( t ) + 3 \alpha { \cal P } ^ { 2 } ( t ) \biggr ) \delta P ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { [ \Tilde { r } _ { \mathcal Z } ( 1 ) - \Tilde { r } _ { \mathcal Z } ( 0 ) ] ( \phi \wedge \psi ) } & { = 2 \left( \int _ { C _ { 1 } - \gamma _ { 1 } } \log ( h _ { 1 } ) \phi \wedge \psi - \int _ { C - \gamma } \log ( h ) \phi \wedge \psi \right) } \\ & { \quad + 2 \pi i \left( \int _ { \gamma _ { 1 } } ( \phi \psi - \psi \phi ) - \int _ { \gamma } ( \phi \psi - \psi \phi ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { k } ^ { k - 1 } } & { { } = F _ { k - 1 } C _ { k - 1 } F _ { k - 1 } ^ { T } + Q _ { k - 1 } \; . } \\ { Q _ { k - 1 } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \theta _ { 0 } ^ { 2 } t ^ { 2 } \Delta z ^ { 2 } / 3 } & { \theta _ { 0 } ^ { 2 } t ^ { 2 } \Delta z / 2 } \\ { \theta _ { 0 } ^ { 2 } t ^ { 2 } \Delta z / 2 } & { \theta _ { 0 } ^ { 2 } t ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \Delta x } { \partial \bar { \rho } } } & { { } = \frac { 3 \mu _ { E } } { 4 a _ { 0 } } \Delta \beta ^ { * } t _ { m } ^ { 2 } } \\ { \frac { \partial \Delta x } { \partial a _ { 0 } } } & { { } = - \frac { 3 \bar { \rho } \mu _ { E } } { 4 a _ { 0 } ^ { 2 } } \Delta \beta ^ { * } t _ { m } ^ { 2 } } \\ { \frac { \partial \Delta x } { \partial \Delta \beta ^ { * } } } & { { } = \frac { 3 \bar { \rho } \mu _ { E } } { 4 a _ { 0 } } t _ { m } ^ { 2 } } \\ { \frac { \partial \Delta x } { \partial t _ { m } } } & { { } = \frac { 3 \bar { \rho } \mu _ { E } } { 2 a _ { 0 } } \Delta \beta ^ { * } t _ { m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \Phi _ { j } ^ { p } } & { \le \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \left( \Phi _ { j - 1 } + D _ { j } + E _ { j } \right) ^ { p } } \\ & { \le \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \left( \left( 1 + \frac 1 { b _ { i } } \right) \Phi _ { j - 1 } + 2 b _ { i } E _ { j } \right) ^ { p } , } \end{array}
\tilde { w } = { \hat { T } _ { k } } w { \hat { T } _ { k } } ^ { - 1 } = - e ^ { - \lambda _ { 0 } ^ { ( k ) } } + 2 \lambda _ { 1 } ^ { ( k ) } ( \hat { L } _ { 0 } - \lambda _ { - 1 } ^ { ( k ) } w ) - \lambda _ { 1 } ^ { ( k ) 2 } e ^ { \lambda _ { 0 } ^ { ( k ) } } ( \hat { L } _ { 1 } + 2 \lambda _ { - 1 } ^ { ( k ) } \hat { L } _ { 0 } - { \lambda _ { - 1 } ^ { ( k ) 2 } } w ) ,
\begin{array} { r c l c l } { \frac { d } { d t } x _ { 1 } } & { = } & { g _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = } & { w _ { 1 1 } l _ { 1 } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) + \ldots + w _ { 1 m } l _ { m } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } \\ { \frac { d } { d t } x _ { 2 } } & { = } & { g _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = } & { w _ { 2 1 } l _ { 1 } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) + \ldots + w _ { 2 m } l _ { m } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } \\ & { \vdots } & \\ { \frac { d } { d t } x _ { n } } & { = } & { g _ { n } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = } & { w _ { n 1 } l _ { 1 } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) + \ldots + w _ { n m } l _ { m } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) , } \end{array}
R _ { N } \; = \; \sum _ { k = 0 } ^ { N } \left( \begin{array} { c } { { N } } \\ { { k } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { N + 2 p } } \\ { { k + p } } \end{array} \right) x _ { 1 } ^ { k } x _ { 2 } ^ { N - k }
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \phi _ { \alpha } \nabla \mu _ { \alpha } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \frac { \phi } { 2 } \nabla \left( \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } - \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \nabla \left( \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } + \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } \right) . } \end{array}
\phi _ { a b , x } ^ { ( 1 ) } = ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) \left| a \middle > \middle < b \right| _ { C } \otimes \left( \sum _ { p , q = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { x } ) ^ { p + q } \left| p p \middle > \middle < q q \right| _ { A _ { 1 } B _ { 1 } } \right) \otimes \left( \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , r } \left| r \middle > \middle < r \right| _ { A _ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l r } { \Psi ( x ) } & { = } & { x ^ { \frac { 1 } { 2 } - \nu + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - 4 \delta \nu + 4 \nu ^ { 2 } } } \times } \\ & { \times } & { _ { 1 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } + E - \frac { \delta ~ \nu } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , 1 + \frac { 1 } { 2 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , - x ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f \in L ^ { 2 } ( \Omega \times [ 0 , T ] ) , \textrm { w h i l e } u ^ { 0 } ( \mu ) \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) \textrm { a n d } \mu = ( \mu _ { 1 } , \cdots , \mu _ { P } ) \in \mathcal { G } \subset \mathbb { R } ^ { P } \textrm { i s t h e p a r a m e t e r , s u c h t h a t } } \\ & { A : \Omega \times \mathcal { G } \to \mathcal { M } _ { d } ( \mathbb { R } ) \textrm { i s m e a s u r a b l e , b o u n d e d , a n d u n i f o r m l y e l l i p t i c . } } \end{array}
L ^ { a i } \sim \epsilon ^ { a b c } \epsilon ^ { i j k } \langle q _ { L } ^ { b j } q _ { L } ^ { c k } \rangle ^ { * } , \quad R ^ { a i } \sim \epsilon ^ { a b c } \epsilon ^ { i j k } \langle q _ { R } ^ { b j } q _ { R } ^ { c k } \rangle ^ { * } , \quad \mathrm { a n d } \quad U = L R ^ { \dag } \quad .
\begin{array} { r l } { \pi _ { i \leftarrow j } ( s ) = } & { \phi \sum _ { \{ s _ { k } : k \in \partial _ { \nu } ( j ) \backslash i \} } \left[ \prod _ { k \in \partial ( j ) \backslash i } \pi _ { j \leftarrow k } ( s _ { k } ) \right] } \\ & { \ \times \delta \left( s - 1 , \sum _ { k \in \partial ( j ) \backslash i } s _ { k } \right) , } \end{array}
\psi _ { 4 } = \left( b _ { 4 } \; L _ { - 1 } ^ { 4 } + a _ { 4 } \; L _ { - 2 } ^ { 2 } + m _ { 1 } \; L _ { 2 } \; L _ { - 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } \; L _ { - 3 } \; L _ { - 1 } + m _ { 3 } \; L _ { - 4 } \right) \psi ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \log M _ { 0 } } & { = R _ { 0 } ^ { * } + \frac { L _ { 0 } } { \sqrt { n } } - c \frac { \log ( n + 1 ) } { n } , } \\ { \frac { 1 } { n } \log M _ { 1 } } & { = R _ { 1 } ^ { * } + \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } - \frac { \log n } { n } , } \\ { \frac { 1 } { n } \log M _ { 2 } } & { = R _ { 2 } ^ { * } + \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } - \frac { \log n } { n } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \bar { \mathbf { x } } } } & { = \left( \mathbf { C } _ { 1 } ^ { - 1 } + \mathbf { C } _ { 2 } ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } \left( \mathbf { C } _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { C } _ { 2 } ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { 2 } \right) } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 9 9 0 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 . 9 9 0 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 9 9 0 1 } \\ { 0 . 9 9 0 1 } \end{array} \right] } } \end{array} }
\left( n _ { L } \mathbf { I } - \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } \mathbf { w } _ { l } ( \mathbf { w } _ { l } ) ^ { T } \right) \hat { \mathbf { r } } = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } \mathbf { r } _ { l } - ( \mathbf { r } _ { l } \cdot \mathbf { w } _ { l } ) \mathbf { w } _ { l } ,
R = ( 1 + { \frac { 1 } { 2 \beta _ { B I } ^ { 2 } } } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } - { \frac { 1 } { 1 6 \beta _ { B I } ^ { 4 } } } ( F _ { \mu \nu } ^ { a } \tilde { F } ^ { a \mu \nu } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { | T ( z ^ { \hat { k } } ) | } & { \le | \{ x ^ { n } \in \mathfrak { X } ^ { n } : x ^ { n } \mathrm { ~ c o n t a i n s ~ } z ^ { \hat { k } } \} | } \\ & { \le F ( n , \hat { k } , | \mathfrak { X } | ) } \\ & { \le n 2 ^ { n \left[ H _ { b } \left( \frac { \hat { k } } { n } \right) + ( 1 - \frac { \hat { k } } { n } \log ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ) \right] } } \end{array}
= - \frac { 1 } { 2 } f \left( \frac { \ell + r } { 2 } \right) g _ { 0 } \left( \frac { r - \ell } { 2 \gamma } \right) + ~ \gamma \int _ { - ( r - \ell ) / ( 2 \gamma ) } ^ { \infty } f ^ { \prime } ( \ell - \gamma u ) g _ { 0 } ( | u | ) d u