harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\textbf { A } ^ { \mathrm { M } } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { A _ { 1 1 1 1 } } & { A _ { 1 1 2 2 } } & { A _ { 1 1 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { A _ { 1 1 2 2 } } & { A _ { 2 2 2 2 } } & { A _ { 2 2 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { A _ { 1 1 3 3 } } & { A _ { 2 2 3 3 } } & { A _ { 3 3 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { A _ { 1 3 1 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { A _ { 2 3 2 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { A _ { 1 2 1 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { { \mathbb E } _ { \mu _ { n } } \left[ \left( \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } f \, \mathrm { \normalfont ~ d } \ensuremath { \mathcal X } _ { t } ^ { n } - \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } P _ { t } ^ { n } f \, \mathrm { \normalfont ~ d } \ensuremath { \mathcal X } _ { 0 } ^ { n } \right) ^ { 2 } \right] \le \frac { 1 } { n ^ { d } } \, \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } f ^ { 2 } \, \mathrm { \normalfont ~ d } m _ { n } \xrightarrow { n \to \infty } 0 \ , } \end{array}
\mathbf { U ^ { u } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { { \frac { - { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } } { \sqrt { \mathbf { 2 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) } } } } } & { { \frac { \mathbf { x ( y ^ { 2 } - i { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } ) } } { { \sqrt { 2 } } { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } } } & { { \frac { \mathbf { y ( x ^ { 2 } + i { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } ) } } { { \sqrt { 2 } } { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } } } \\ { { \frac { - { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } } { \sqrt { \mathbf { 2 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) } } } } } & { { \frac { \mathbf { x ( y ^ { 2 } + i { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } ) } } { { \sqrt { 2 } } { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } } } } } & { { \mathbf { \frac { y ( x ^ { 2 } - i { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } ) } } } { { \sqrt { \bf { 2 } } } { \sqrt { \bf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } { \sqrt { \bf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } } } } \\ { { \frac { \mathbf { x y } } { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } } & { { \mathbf { \frac { y } { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } } } & { { \mathbf { \frac { x } { \sqrt { \mathbf { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } } } \end{array} \right] } .
\int _ { \Omega } ( \rho ^ { N } ( t ^ { N } ) ) ^ { 2 } = \int _ { \Omega } ( \rho _ { 0 } ^ { N } ) ^ { 2 } + 2 \Lambda \Re \int _ { 0 } ^ { t ^ { N } } \int _ { \Omega } \rho ^ { N } \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N }
\overline { { \lambda _ { \xi } } } _ { ( i , j , k ) } = \lambda _ { \xi } \left[ 1 + \left( \frac { \lambda _ { \eta } } { \lambda _ { \xi } } \right) ^ { 0 . 5 } + \left( \frac { \lambda _ { \zeta } } { \lambda _ { \xi } } \right) ^ { 0 . 5 } \right] \, \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { T } } } & { { } = \frac { \hbar f } { 2 \sqrt { N } } \left( \hat { a } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { ~ O ~ D ~ F ~ } } } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \phi _ { \mathrm { ~ O ~ D ~ F ~ } } } \right) \sum _ { i } ^ { N } \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } } \end{array}
\cdots \to \hat { \tau } ^ { - 1 } \mathcal { M } \xrightarrow { f _ { - 1 } } \hat { \tau } ^ { - 1 } \mathcal { R } \xrightarrow { g _ { - 1 } } \hat { \tau } ^ { - 1 } \mathcal { E } \xrightarrow { h _ { - 1 } } M \xrightarrow { f _ { 0 } } R \xrightarrow { g _ { 0 } } E \xrightarrow { h _ { 0 } } \hat { \tau } \mathcal { M } \xrightarrow { f _ { 1 } } \hat { \tau } \mathcal { R } \xrightarrow { g _ { 1 } } \hat { \tau } \mathcal { E } \xrightarrow { h _ { 1 } } \hat { \tau } ^ { 2 } \mathcal { M } \to \cdots .
{ \mu ( T , n _ { e } ) \; = \; \left( \sqrt { \left( { \frac { 1 } { 2 } } p _ { F } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } T ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } \; + \; { \frac { 1 } { 2 } } p _ { F } ^ { 3 } \right) ^ { 1 / 3 } \; - \; \left( \sqrt { \left( { \frac { 1 } { 2 } } p _ { F } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } T ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } \; - \; { \frac { 1 } { 2 } } p _ { F } ^ { 3 } \right) ^ { 1 / 3 } \; . }
E _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ e ~ } } = \frac { 1 } { 2 \pi V } \sum _ { m \neq 0 , \| m \| \leq L } \frac { \exp ( { - \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } / \beta ^ { 2 } } ) } { m ^ { 2 } } S ^ { 2 } ( m ) ,
\mathrm { ~ \sum ~ } \! \! \! \! \! \! \int _ { K } \equiv \left( { \frac { e ^ { \gamma } \mu ^ { 2 } } { 4 \pi } } \right) ^ { \epsilon } \; T \sum _ { K _ { 0 } = \omega _ { n } } \: \int { \frac { d ^ { 3 - 2 \epsilon } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 - 2 \epsilon } } } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial a ( \theta , t ) } { \partial t } } & { { } = - \frac { \kappa } { 2 } a + i \sum _ { \mu } A ( \mu , t ) D _ { \mathrm { i n t } } ( \mu ) \mathrm { e } ^ { i \theta \mu } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma [ A ] } & { = } & { - \mathrm { \mathrm { T r } \, } \mathrm { l n } \Bigl \lbrack - ( \partial + i e A ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } \Bigr \rbrack = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d T } { T } \, \mathrm { T r } \, \mathrm { e x p } \Bigl \lbrack - T ( - ( \partial + i e A ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \Bigr \rbrack } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d T } { T } \, \, \mathrm { e } ^ { - m ^ { 2 } T } \int _ { x ( 0 ) = x ( T ) } { \cal D } x ( \tau ) \, e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \bigl ( { \frac { 1 } { 4 } } \dot { x } ^ { 2 } + i e \dot { x } \cdot A ( x ( \tau ) ) \bigr ) } } \end{array}
\left( \frac { \mu _ { j } - \frac { i } { 2 } } { \mu _ { j } + \frac { i } { 2 } } \right) ^ { 2 N } \left( \frac { \mu _ { j } - \chi + i \left( \frac 1 2 + \xi \right) } { \mu _ { j } + \chi - i \left( \frac { 1 } { 2 } + \xi \right) } \right) \left( \frac { \mu _ { j } + \chi + i \left( \frac { 1 } { 2 } + \xi \right) } { \mu _ { j } - \chi - i \left( \frac { 1 } { 2 } + \xi \right) } \right) = \prod _ { j \neq \ell = 1 } ^ { M } \left( \frac { \mu _ { j } - \mu _ { \ell } - i } { \mu _ { j } - \mu _ { \ell } + i } \right) \left( \frac { \mu _ { j } + \mu _ { \ell } - i } { \mu _ { j } + \mu _ { \ell } + i } \right) .
\begin{array} { r l } { \gamma + \zeta ( 2 ) } & { { } = \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { \left\lfloor { \sqrt { k } } \right\rfloor ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { k } } \right) } \end{array}
( \mathcal D , \mathcal E ) = \underset { ( \mathcal D , \mathcal E ) } { \mathrm { a r g m i n } } ~ \frac { 1 } { N _ { \mathrm { \scriptsize ~ p o s } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { \scriptsize ~ p o s } } } \| \mathcal D \circ \mathcal E ( \overline { { \boldsymbol X } } _ { \mathrm { \scriptsize ~ p o s } } ^ { ( i ) } ) - \overline { { \boldsymbol X } } _ { \mathrm { \scriptsize ~ p o s } } ^ { ( i ) } \| _ { 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \partial _ { t } \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } + \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } + \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } - \nu ^ { \pm } \Delta \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } + \nabla p _ { k } ^ { \pm } } & { = - \sum _ { j \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } , \frac 1 2 \leq j \leq k - \frac 1 2 } \mathbf { v } _ { j } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { k - j } ^ { \pm } } & { \ } & { \mathrm { i n ~ } \Omega ^ { \pm } , } \\ { \operatorname { d i v } \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } } & { = 0 } & { \ } & { \mathrm { i n ~ } \Omega ^ { \pm } , } \\ { { \mathbf { v } _ { k } ^ { - } | _ { \partial \Omega } } } & { = 0 } & { \ } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { t } - 2 \gamma _ { L } ( \omega ) \right) I _ { \omega } = \frac { 2 } { \partial _ { \omega } \epsilon _ { \omega , R } } \int _ { \omega _ { L } } ^ { \omega _ { M } } d \omega ^ { \prime } V ( \omega , \omega ^ { \prime } ) I _ { \omega ^ { \prime } } I _ { \omega } , } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( E ^ { 2 } \right) = \mathbf { d } _ { R } ^ { 2 } - \mathbf { d } _ { I } ^ { 2 } = 0 , \quad \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( E ^ { 2 } \right) = 2 \mathbf { d } _ { R } \cdot \mathbf { d } _ { I } = 0 .
\bar { M } _ { \mathbf { Q } } \ll _ { \eta } ^ { a v } \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - \frac { n } { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - n } } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - ( n - 1 ) } } & { \dots } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - 1 } } \\ { 1 } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - ( n - 1 ) } } & { \dots } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - 1 } } \\ { \vdots } & { \dots } & { \ddots } & { \dots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { 2 } } & { \dots } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { n } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { V _ { 1 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { V _ { 2 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } ^ { * } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle } \\ { V _ { 3 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { V _ { 4 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle = { \cal C } _ { - n } ^ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| { \mathcal I } ^ { \beta , k } [ p ] ( m , x ; t ) \right| \leq C _ { d , B } . } \\ & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } { \mathbf 1 } _ { m > b > x ^ { 1 } , b > a ^ { 1 } } \frac { e ^ { - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 t } } } { \sqrt { ( 2 \pi t ) ^ { d - 1 } } } N ( p ; s , x _ { 0 } ) . \frac { e ^ { - \frac { ( b - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { ( b - x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 2 } ( t - s ) ^ { 3 } } } \frac { e ^ { - \frac { ( m - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } - \frac { ( m - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 2 } { s ^ { 2 } } } } d a ^ { 1 } d b d s . } \end{array}
u _ { \lambda } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { P } ) u _ { \sigma } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) ^ { * } P _ { \lambda \sigma } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } }
\begin{array} { r l } { \nabla _ { g , a d _ { e } g } ^ { 2 } \, a d _ { e } g } & { = \nabla _ { a d _ { e } g , g } ^ { 2 } \, a d _ { e } g = } \\ & { = ( \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { m _ { d } ^ { 5 } } \cos ^ { 2 } x ^ { 1 } ) \frac { \partial } { x ^ { 1 } } - ( \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { \partial m _ { d } ^ { 5 } } \cos ^ { 2 } x ^ { 1 } ) \frac { \partial } { x ^ { 2 } } , } \end{array}
[ \mathcal F _ { \lambda , \mu } : V ( \nu _ { ( a _ { j } , b _ { j } ) } ) ] _ { q } = \sum _ { s = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ a _ { j } , b _ { j } \} } q ^ { | \mu | - s - j } , \quad \mathrm { ~ f o r ~ } \, \, \nu _ { a _ { j } , b _ { j } } \in \tilde { P } _ { n i n v } ^ { 1 } ( \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } , \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } ) .
V _ { R b } ( t , h ) = V _ { R d } ( t , h ) - \left[ \frac { 4 s ^ { 2 } ( c ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) } { 3 ( 3 - 2 s ^ { 2 } ) } ( \phi ( t ) + \delta _ { \alpha _ { s } } \phi ( t ) ) = 1 . 7 6 \right] \; \; .
\dot { S } _ { \mathrm { i n t } } = \frac { v ^ { 2 } } { D } - \frac { f \ell J } { D } - \frac { v } { D } \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ U ^ { \prime } ( x ) \left( P _ { R } ( x ) - P _ { L } ( x ) \right) ,
\frac { \partial } { \partial \alpha } \int { \cal D } v \; \delta ^ { n } \left( \int v d \tau \right) F _ { q G } [ v , I , \alpha ] = \int { \cal D } v \; \delta ^ { n } \left( \int v d \tau \right) \frac { \partial } { \partial \alpha } F _ { q G } [ v , I , \alpha ] \; .
\begin{array} { r l } { \check { \varepsilon } _ { i j } ^ { \mathrm { E V } } } & { = 2 \left< \widetilde { \nu ^ { \mathrm { s g s } } \overline { { s } } _ { i \ell } } ( \tilde { \partial } _ { \ell } \tilde { \overline { { u } } } _ { j } ^ { \prime } ) ^ { * } + \widetilde { \nu ^ { \mathrm { s g s } } \overline { { s } } _ { j \ell } } ( \tilde { \partial } _ { \ell } \tilde { \overline { { u } } } _ { i } ^ { \prime } ) ^ { * } \right> , } \\ { \check { \xi } _ { i j } ^ { \mathrm { A R } } } & { = \left< \tilde { \tau } _ { i \ell } ^ { \mathrm { a n i } } ( \tilde { \partial } _ { \ell } \tilde { \overline { { u } } } _ { j } ^ { \prime } ) ^ { * } + \tilde { \tau } _ { j \ell } ^ { \mathrm { a n i } } ( \tilde { \partial } _ { \ell } \tilde { \overline { { u } } } _ { i } ^ { \prime } ) ^ { * } \right> . } \end{array}
| h _ { 3 } \rangle = ( { \bf P } ^ { \bar { z } } ) ^ { k } \sum _ { n = 0 } ^ { k } \rho ^ { n } \frac { \Gamma ( \frac { D } { 2 } + k - n - 2 ) } { 2 ^ { n } n ! \Gamma ( \frac { D } { 2 } + k - 2 ) } ( { \bf M } ^ { \bar { z } j } { \bf M } ^ { \bar { z } j } ) ^ { n } V _ { 0 } | 0 \rangle _ { 1 } | 0 \rangle _ { 2 } | 0 \rangle _ { 3 } \, ,
\begin{array} { c c } { \boldsymbol { \nabla \cdot E } = k \rho } & { \boldsymbol { \nabla \cdot B } = 0 } \\ { \boldsymbol { \nabla \times { } } \frac { \boldsymbol { E } } { \alpha } = - L _ { e _ { 0 } } \boldsymbol { B } } & { \boldsymbol { \nabla \times B } = \frac { k } { \alpha } \frac { \boldsymbol { J } } { c } + L _ { e _ { 0 } } \frac { \boldsymbol { E } } { \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) } & { = \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge ( G _ { 1 } \vee G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) } \\ & { = G _ { 1 } \vee ( \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) ) \, ( \textrm { b y m o d u l a r i t y o f } \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) ) } \\ & { \leq G _ { 1 } \vee ( \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge G _ { 2 } ) \vee ( \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge G _ { 3 } ) \, ( \textrm { b y n e s t e d - n e s s o f } \{ G _ { 2 } , G _ { 3 } \} ) } \\ & { \leq G _ { 1 } \vee G _ { 1 } \vee G _ { 3 } \, ( \textrm { b y d e f i n i t i o n o f } k ) } \\ & { = G _ { 1 } \vee G _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t } ^ { i } } & { { } = \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( 0 ) Y _ { 0 } ^ { j } + \int _ { 0 } ^ { t } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) \textrm { d } Y _ { s } ^ { j } + \int _ { 0 } ^ { t } Y _ { s } ^ { j } \textrm { d } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) } \end{array}
( \widehat { \mathbf { G } } ^ { 3 } \otimes \widehat { \mathbf { G } } ^ { 2 } \otimes \widehat { \mathbf { M } } ^ { 1 } ) ^ { - 1 } = ( \widehat { \mathbf { G } } ^ { 3 } ) ^ { - 1 } \otimes ( \widehat { \mathbf { G } } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \otimes ( \widehat { \mathbf { M } } ^ { 1 } ) ^ { - 1 } .
\int _ { g } { } _ { \nu \bar { \nu } } \langle O _ { 2 } | \biggl ( \Sigma _ { i , j = 3 } ^ { k } ( g ^ { \dagger } \lambda ^ { [ 1 2 ] } g ) _ { j } ^ { i } ( \nu _ { i } ^ { 3 } { \bar { \nu } } ^ { 4 j } - \nu _ { i } ^ { 4 } { \bar { \nu } } ^ { 3 j } ) \biggr ) ^ { k - 2 } { | O _ { k } \rangle } _ { \nu \bar { \nu } }
\begin{array} { r l } { A } & { { } \xrightarrow { k _ { 1 } } B , } \\ { B + B } & { { } \xrightarrow { k _ { 2 } } C + B , } \\ { B + C } & { { } \xrightarrow { k _ { 3 } } A + C . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \hat { H } } ( q ) = } & { { } \approx \log ( M ) - \log ( k ) + \log ( V _ { B ( _ { , } 1 ) } ) + \frac { d } { M } \sum _ { i = 0 } ^ { M } \log ( d _ { k n n } ( \Tilde { z } _ { i } ) ) } \end{array}
\displaystyle { \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } } { \frac { d ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { i n s t } } } { d \hat { q } ^ { 2 } d y } } = A \, y ^ { 5 } \, { \frac { 5 \hat { q } ^ { 2 } - ( 1 - y ) ( y - \hat { q } ^ { 2 } ) } { ( 1 - y ) ^ { 6 } ( y - \hat { q } ^ { 2 } ) ^ { 5 } } } .
\left\{ { r \, R \left[ i \left( { \partial _ { r } + { \frac { 1 } { r } } } \right) \rho _ { 1 } + { \frac { k } { r } } \rho _ { 2 } + \left( { m _ { q } + S \left( r \right) } \right) \rho _ { 3 } + V \left( r \right) \right] \, { \frac { 1 } { r } } \, R ^ { - 1 } } \right\} \Phi _ { k } ( r ) = E _ { 0 } ^ { k } \, \Phi _ { k } ( r ) ,
\begin{array} { r l } { A ( E _ { - } ) } & { { } = \int _ { y _ { 1 } } ^ { 0 } ( \zeta _ { 3 } + q _ { 0 } ) \, \mathrm { d } y - \int _ { y _ { 1 } } ^ { y _ { 2 } } ( \zeta _ { 2 } + q _ { 0 } ) \, \mathrm { d } y + \int _ { - a } ^ { y _ { 2 } } ( \zeta _ { 1 } + q _ { 0 } ) \, \mathrm { d } y } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { p p \beta } ^ { + } } & { = h _ { p p } + \sum _ { r s } D _ { r s } [ ( p p | r s ) - \frac { 1 } { 2 } ( p r | p s ) ] + ( p p | p p ) = - ( \mathrm { E A } ) _ { p } } \\ & { = K _ { p p \alpha } ^ { - } + D _ { p p } [ 2 ( p p | p p ) - ( p p | p p ) ] = - ( \mathrm { I P } ) _ { p } + D _ { p p } ( ( \mathrm { I P } ) _ { p } - ( \mathrm { E A } ) _ { p } ) } \\ & { = - ( \mathrm { I P } ) _ { p } + D _ { p p } \epsilon } \end{array}
* G ^ { - 1 } d G = G ^ { - 1 } \partial _ { 2 } G * ( d x ^ { 2 } ) + G ^ { - 1 } \partial _ { 3 } G * ( d x ^ { 3 } ) = - G ^ { - 1 } \partial _ { 2 } G d x ^ { 2 } + G ^ { - 1 } \partial _ { 3 } G d x ^ { 3 }
\begin{array} { r l r } { \hat { c } _ { i \uparrow } } & { \rightarrow } & { \hat { d } _ { i \uparrow } , \quad \hat { c } _ { i \uparrow } ^ { \dagger } \rightarrow \hat { d } _ { i \uparrow } ^ { \dagger } } \\ { \hat { c } _ { i \downarrow } } & { \rightarrow } & { \hat { d } _ { i \downarrow } ^ { \dagger } ( - 1 ) ^ { i } , \quad \hat { c } _ { i \downarrow } ^ { \dagger } \rightarrow \hat { d } _ { i \downarrow } ( - 1 ) ^ { i } \, , } \end{array}
{ \frac { d \Gamma _ { s l } } { d q ^ { 2 } } } = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } | V _ { i j } | ^ { 2 } K ^ { 3 } M _ { B } ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } } | f _ { + } ( q ^ { 2 } ) | ^ { 2 } , \mathrm { ~ ~ w h e r e }
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { d } { d t } \| ( v ^ { k } - v ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } ( | v ^ { k } | ^ { 2 p } v ^ { k } - | v ^ { j } | ^ { 2 p } v ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { v ^ { k } - v ^ { j } } } ) _ { x } d x } \\ & { } & { + \ 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } ( | v ^ { k } | ^ { p - 1 } | u ^ { k } | ^ { p + 1 } v ^ { k } - | v ^ { j } | ^ { p - 1 } | u ^ { j } | ^ { p + 1 } v ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { v ^ { k } - v ^ { j } } } ) _ { x } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { n } ( t _ { n + 1 } ) \equiv } & { \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \pmb { \mathcal { E } } ( ( t _ { n + 1 } - \tau ) \Omega ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } \tau } \mathrm { d } \tau } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } t _ { n + 1 } } \left\{ \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } [ \omega _ { 0 } + ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } + \Omega ] \Delta t } } { \omega _ { 0 } + ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } + \Omega } \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { \frac { \Omega } { g } } \\ { - \frac { g } { \Omega } } & { 1 } \end{array} \right] + \right. } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left. \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } [ \omega _ { 0 } + ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } - \Omega ] \Delta t } } { \omega _ { 0 } + ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } - \Omega } \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { - \mathrm { i } \frac { \Omega } { g } } \\ { \mathrm { i } \frac { g } { \Omega } } & { 1 } \end{array} \right] \right\} . } \end{array}
z ^ { - 1 } \delta \left( { \frac { y - x } { z } } \right) Y ^ { M } ( u , x ) Y ^ { M } ( v , y ) w - z ^ { - 1 } \delta \left( { \frac { - y + x } { z } } \right) Y ^ { M } ( v , y ) Y ^ { M } ( u , x ) w = y ^ { - 1 } \delta \left( { \frac { x + z } { y } } \right) Y ^ { M } ( Y ( u , z ) v , y ) w .
\begin{array} { r l r } { G ( k , z ) } & { { } = } & { G ^ { + } ( k , z ) + G ^ { - } ( k , z ) } \\ { G ^ { \pm } ( k , z ) } & { { } = } & { \sum _ { n } \frac { | \langle E _ { n } ^ { N \pm 1 } | a _ { k } ^ { \dagger } | E _ { 0 } ^ { N } \rangle | ^ { 2 } } { z - ( \pm ( E _ { n } ^ { N \pm 1 } - E _ { 0 } ^ { N } ) - \mu ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 9 } ^ { - 1 } = v _ { 4 } ^ { ( 1 ) } v _ { 5 } ^ { ( 1 ) } v _ { 6 } ^ { ( 1 ) } , \qquad v _ { 5 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) } \end{array} \right) + v _ { 5 , r } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { v _ { 4 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { c _ { 1 2 , a } e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { c _ { 1 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { 3 2 , a } e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad v _ { 6 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { c _ { 2 1 , a } e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { c _ { 2 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { c _ { 3 1 , a } e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Xi } ^ { ( s ) } \equiv - \frac { c _ { \delta } ^ { ( s ) } } { \hbar ^ { 2 } } \hat { V } _ { s } ^ { \times } \hat { V } _ { s } ^ { \times } + \frac { r _ { 0 } ^ { ( s ) } } { 2 \hbar ^ { 2 } } \hat { V } _ { s } ^ { \circ } \hat { V } _ { s } ^ { \times } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m _ { P _ { S } + P _ { I _ { 1 } } } = P _ { t } \kappa ^ { - 1 } \sum _ { n _ { U } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n _ { R } = 0 } ^ { \infty } p _ { R } ( n _ { R } ) p _ { U } ( n _ { U } ) n _ { R } L ( n _ { U } , n _ { R } ) } \\ & { \sigma _ { P _ { S } + P _ { I _ { 1 } } } ^ { 2 } = P _ { t } ^ { 2 } \kappa ^ { - 2 } \sum _ { n _ { U } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n _ { R } = 0 } ^ { \infty } p _ { R } ( n _ { R } ) p _ { U } ( n _ { U } ) n _ { R } R ( n _ { U } , n _ { R } ) - m _ { P _ { S } + P _ { I _ { 1 } } } ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \operatorname * { d e t } \sum _ { \nu } \left( 2 - u _ { \nu } ^ { 0 } - u _ { \nu } ^ { 0 \dagger } \right) \right\} ^ { ( { - 5 + 1 } ) } \left( \operatorname * { d e t } \left[ - \frac 1 4 \left( u _ { \lambda } ^ { 0 } - u _ { \lambda } ^ { 0 \dagger } \right) ^ { 2 } \right] \right) ^ { 4 } .
\left( \begin{array} { c c } { { a \gamma } } & { { a \delta } } \\ { { b \gamma } } & { { b \delta } } \end{array} \right) \: = \: \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \| \nabla \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k ^ { \ast } } ) \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \frac { 2 \rho \theta } { \rho - \kappa \theta } \Bigg [ \frac { ( \gamma - \kappa + \rho \beta \theta ^ { - 2 } ) D } { K } + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } + \frac { \lambda ( 3 \tau ^ { 2 } + 2 \beta ) \left\{ \frac { ( \gamma - \kappa + \rho \beta \theta ^ { - 2 } ) D } { K } + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \right\} } { \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } - 3 \lambda \tau ^ { 2 } - 2 \lambda \beta } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle a _ { n } ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { 2 B ^ { 2 } n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } e ^ { - 2 A n ^ { 4 } t } } { L _ { x } ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { 2 A n ^ { 4 } \tau } d \tau } \end{array}
A _ { j } = \exp ( - \frac { v _ { d r j } ^ { 2 } } { v _ { t \perp j } ^ { 2 } } ) + \sqrt { \pi } ( \frac { v _ { d r j } } { v _ { t \perp j } } ) \mathrm { e r f c } ( - \frac { v _ { d r j } } { v _ { t \perp j } } )