harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\eta _ { e f f } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \vec { E } _ { g } ( z = L , \tau ) | ^ { 2 } ~ d \tau } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \vec { E } _ { p } ( z = 0 , \tau ) | ^ { 2 } ~ d \tau }
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { I N T } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) | ^ { 2 } d f _ { 1 } d f _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { X } & { { } = } & { \int e ^ { i \int \mathbb { P } \cdot \dot { \mathbb { A } } - { \cal H } ( \mathbb { P } , \mathbb { A } ) ] \, d ^ { \, 4 } x } \, { \cal D } \mathbb { A } _ { T } \, { \cal D } \mathbb { P } \, ; } \\ { { \cal H } } & { { } = } & { { \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } } \left( ( \nabla f ) ^ { 2 } + \mathbb { P } \cdot \mathbb { P } + \mathbb { B } \cdot \mathbb { B } + \mathbb { J } \cdot \mathbb { A } \right) } \end{array}
\begin{array} { c } { { \omega = \mathrm { d } { \bf p } \wedge \mathrm { d } { \bf x } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathrm { d } { \bf p } _ { i } \wedge \mathrm { d } { \bf e } _ { i } , } } \\ { { { \cal H } = { s } \left[ { \bf p } { \bf e } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } { k } _ { i - 1 } { \phi } _ { i - 1 . i } + \frac { { k } _ { N } } { 2 c } ( { \Phi } _ { N . N } - c ^ { 2 } ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } d _ { i j } ( { \bf e } _ { i } { \bf e } _ { j } - \delta _ { i j } ) \right] , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \sum ( \lambda a _ { i } + ( 1 - \lambda ) b _ { i } ) \overline { D } ) } { \mathrm { v o l } ( \sum ( \lambda a _ { i } + ( 1 - \lambda ) b _ { i } ) D ) } } & { \geq \lambda \frac { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \sum a _ { i } \overline { D } ) } { \mathrm { v o l } ( \sum a _ { i } D ) } + ( 1 - \lambda ) \frac { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \sum b _ { i } \overline { D } ) } { \mathrm { v o l } ( \sum b _ { i } D ) } . } \\ & { = \frac { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \sum \lambda a _ { i } \overline { D } ) } { \mathrm { v o l } ( \sum \lambda a _ { i } D ) } + \frac { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \sum ( 1 - \lambda ) b _ { i } \overline { D } ) } { \mathrm { v o l } ( \sum ( 1 - \lambda ) b _ { i } D ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( s _ { i } ( t + 1 ) = 1 \mid , s _ { i } ( t ) = 0 , i \in e \mathrm { ~ w h e r e ~ e ~ i s ~ a ~ s e l e c t e d ~ ( k , l ) ~ e d g e } ) = \frac { b ( l - k ) ^ { 2 } } { l } } \\ { p ( s _ { i } ( t + 1 ) = 0 \mid , s _ { i } ( t ) = 1 , i \in e \mathrm { ~ w h e r e ~ e ~ i s ~ a ~ s e l e c t e d ~ ( k , l ) ~ e d g e } ) = \frac { b k ^ { 2 } } { l } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { z _ { k } = \sum _ { n = 0 } ^ { m _ { k } \; z } \left( - 1 \right) ^ { n } { \binom { m _ { k } \; z } { n } } \exp \left( - \; \frac { g _ { k } \; n \; \theta _ { \mathrm { D C } } \; ( r _ { x } ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { \alpha _ { k } } { 2 } } \; \sigma ^ { 2 } } { P G _ { d M } G _ { u M } } \right) } \\ & { \mathcal { L } _ { I _ { L } } \left( \frac { g _ { k } \; n \; \theta _ { \mathrm { D C } } \; ( r _ { x } ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { \alpha _ { k } } { 2 } } } { P G _ { d M } G _ { u M } } \right) \mathcal { L } _ { I _ { N } } \left( \frac { g _ { k } \; n \; \theta _ { \mathrm { D C } } \; ( r _ { x } ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { \alpha _ { k } } { 2 } } } { P G _ { d M } G _ { u M } } \right) . } \end{array}
2 . 2 \times 1 0 ^ { 1 } \lambda ^ { \frac { 4 } { 3 } } = 2 . 2 \times 1 0 ^ { - 7 } \left( \frac { \lambda } { 1 0 ^ { - 6 } } \right) ^ { \frac { 4 } { 3 } } \gg k ,
\epsilon ^ { 2 } \left( u \frac { \partial c } { \partial x } + v \frac { \partial c } { \partial y } + w \frac { \partial c } { \partial z } \right) = \frac { \epsilon ^ { 2 } } { \mathrm { P e } } \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial x ^ { 2 } } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial z ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { V } _ { 2 } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { 1 } } \leq } & { { } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { B } ^ { \lambda - 1 } ( t , \Phi ( t , \mathcal { A } _ { s , y } ) ) | d ( s , y ) | \mathcal { B } ^ { 1 - \lambda } ( s , y ) d y \right] d s } \end{array}
p _ { k } = p _ { \operatorname* { m a x } } \frac { \left( \sqrt { \sum _ { l \in \mathcal { M } _ { k } } \lambda _ { k , l } } \right) ^ { - 1 } \left( \sqrt { \omega _ { k } } \right) ^ { - 1 } } { \operatorname* { m a x } _ { \ell \in \mathcal { M } _ { k } } \sum _ { i \in \mathcal { D } _ { \ell } } \left( \sqrt { \sum _ { l \in \mathcal { M } _ { i } } \lambda _ { i , l } } \right) ^ { - 1 } \sqrt { \omega _ { i } } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { f } } & { \int _ { a } ^ { \infty } H ( x ) d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } \ \ } & { \int _ { a } ^ { \infty } \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { 2 } d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) = \beta , } \\ & { \int _ { a } ^ { \infty } ( x - a ) d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) = \eta , } \\ & { \int _ { a } ^ { \infty } G ( x ) d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) = \Gamma , } \\ & { f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \ \mathrm { e x i s t s ~ a n d ~ i s ~ n o n - d e c r e a s i n g ~ a n d ~ r i g h t - c o n t i n u o u s ~ f o r ~ } x \geq a , } \\ & { - \nu \leq f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \leq 0 \ \mathrm { f o r ~ } x \geq a , } \\ & { f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \rightarrow 0 \ \mathrm { a s } \ x \rightarrow \infty , } \\ & { f ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f _ { + } ^ { \prime } ( t ) d t + \eta \ \mathrm { f o r } \ x \geq a , } \\ & { x f ( x ) , x ^ { 2 } f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \rightarrow 0 \ \mathrm { a s } \ x \rightarrow \infty , } \\ & { \tilde { G } ( x ) f ( x ) , G ( x ) f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \rightarrow 0 \ \mathrm { a s } \ x \rightarrow \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } ^ { \prime } = } & { { } g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { { } x _ { 1 } ^ { \prime } ( ( 1 - x _ { 1 } ^ { \prime } ) ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - x _ { 1 } ^ { \prime } ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) - y _ { 1 } ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { y _ { 1 } } = } & { { } h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { { } y _ { 1 } ( - x _ { 1 } ^ { \prime } ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - y _ { 1 } ( - \epsilon - y _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } + z _ { 1 } ) + ( 1 - y _ { 1 } ) ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { z _ { 1 } } = } & { { } f ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) + g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) + h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { { } x _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon ( - 1 + 2 x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } ) + ( - 1 + x _ { 1 } ^ { \prime } + b x _ { 1 } ^ { \prime } + b y _ { 1 } ) ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) - \beta ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } ) ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( A _ { i } ) = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l } { a _ { 1 } , } & { \ldots , } & { b , } & { \ldots , } & { a _ { n } } \end{array} \right] } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } x _ { j } \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { a _ { 1 } , } & { \ldots , a _ { i - 1 } , } & { a _ { j } , } & { a _ { i + 1 } , } & { \ldots , } & { a _ { n } } \end{array} \right] } = x _ { i } \operatorname* { d e t } ( A )
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq \frac { \underline { { \alpha } } } { \mathrm { { R a } } } \left[ \frac { b } { 8 } - a _ { 0 } C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } ^ { 2 } + \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left( \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) } } { \partial t } = \sum _ { k } \left( \tau _ { k j \sigma } \rho _ { i k } ^ { \left( \sigma \right) } - \tau _ { i k \sigma } \rho _ { k j } ^ { \left( \sigma \right) } \right) + \left( V _ { i \sigma } - V _ { j \sigma } \right) \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) }
\begin{array} { r l } { F ( x ) = e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \sigma _ { 3 } } | x | ^ { - \frac { \alpha } { 2 } \sigma _ { 3 } } } & { \widehat { \mathbf { R } } ( 0 ) \widehat { \mathbf { H } } ( 0 ) \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { r ( z ) } & { 1 } \end{array} \right) z ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } ( z + \sqrt { 2 } ) ^ { ( \alpha + \frac { 1 } { 2 } ) \sigma _ { 3 } } } \\ & { \qquad \qquad \times ( z - \sqrt { 2 } ) ^ { ( \alpha - \frac { 1 } { 2 } ) \sigma _ { 3 } } | x | ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } e ^ { x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) \sigma _ { 3 } } S _ { 1 } ^ { - 1 } E _ { 0 } ^ { - 1 } z ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } | x | ^ { - \frac { \alpha } { 2 } \sigma _ { 3 } } , } \end{array}
\partial _ { p } ^ { \omega } \, G _ { l , s } ^ { \, \alpha } ( \vec { \alpha } , \vec { \lambda } , p _ { 0 , 1 } + i k _ { 0 , 1 } , \underline { { { p } } } _ { 1 } , \ldots , p _ { 0 , n - 1 } + i k _ { 0 , n - 1 } , \underline { { { p } } } _ { n - 1 } )
H = { \frac { 1 } { 2 l } } T ^ { a } \gamma _ { a } + { \frac { 1 } { 4 } } D \kappa ^ { a b } \gamma _ { a b } + { \frac { 1 } { 5 ! } } \bar { F } ^ { a _ { 1 } . . . a _ { 5 } } \gamma _ { a _ { 1 } . . . a _ { 5 } } .
s ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \xi \leqslant - \frac { 2 A } { 1 + A + \sqrt { 1 - A ^ { 2 } } } , } \\ { \frac { \sqrt { 1 - A } } { \sqrt { 1 + A } + \sqrt { 1 - A } } , } & { - \frac { 2 A } { 1 + A + \sqrt { 1 - A ^ { 2 } } } < \xi \leqslant \frac { 2 A } { 1 - A + \sqrt { 1 - A ^ { 2 } } } , } \\ { 0 , } & { \frac { 2 A } { 1 - A + \sqrt { 1 - A ^ { 2 } } } < \xi . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { q _ { a } = \left\{ \begin{array} { l l } { Q } \\ { - ( \ensuremath { \lambda } _ { a } / \ensuremath { \lambda } ) \, Q \, ; } \\ { 0 } \end{array} \right. q _ { o } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } \\ { - ( \ensuremath { \lambda } _ { o } / \ensuremath { \lambda } ) \, Q } \\ { 0 } \end{array} \right. \mathrm { ~ a t } \, \left\{ \begin{array} { l l } { { \bf x } ^ { i } = ( 0 , 0 ) \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ ( S o u r c e ) } } \\ { { \bf x } ^ { p } = ( 1 , 1 ) \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ ( S i n k ) } } \\ { { \bf x } \in \Omega \setminus \{ ( 0 , 0 ) \cup ( 1 , 1 ) \} \, \mathrm { ~ ( E l s e w h e r e ) } } \end{array} \right. , } \end{array}
= \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \right\} + { \mathrm { T r } } \left\{ { \hat { \Pi } } _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \right\} \right\}
\begin{array} { r l } { ( | \mathbf { u } | ^ { 2 } ) _ { \mathrm { c e l l } } = \frac { 1 } { 3 } } & { \left( u _ { i - } ^ { 2 } + u _ { i - } u _ { i + } + u _ { i + } ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + v _ { j - } ^ { 2 } + v _ { j - } v _ { j + } + v _ { j + } ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + w _ { k - } ^ { 2 } + w _ { k - } w _ { k + } + w _ { k + } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } } & { { } S ^ { 2 } I n _ { S , I } ^ { X } - \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } S ( S + 1 ) ( I - 1 ) n _ { S + 1 , I - 1 } ^ { X } \mathbf { 1 } _ { \left\{ I \geq 1 \right\} } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi ( F ^ { \mathbf { a } , n } ) = \big ( \psi ( g ^ { \mathbf { a } , n } ) , \psi ( g ^ { \mathbf { a } , n } ) , - \psi ( g ^ { \mathbf { a } , n } ) , - \psi ( g ^ { \mathbf { a } , n } ) \big ) , } \\ & { \psi ( G ^ { \mathbf { a } , n } ) = \big ( \psi ( s ^ { \mathbf { a } , n } ) , \psi ( s ^ { \mathbf { a } , n } ) , - \psi ( s ^ { \mathbf { a } , n } ) , - \psi ( s ^ { \mathbf { a } , n } ) \big ) . } \end{array}
\mathbf { W } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { T S } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { T E } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { R S } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { R E } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { S T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S E } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { E T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { E R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { E S } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { E E } } } \end{array} \right] .
\textrm { d } \hat { X } _ { \tau } = [ \frac { ( 1 - p ) ( 2 q - 1 ) } { 1 + \omega } + \frac { p + \omega } { 1 + \omega } \frac { \hat { X } _ { \tau } } { \tau } ] \textrm { d } \tau + \sqrt { \epsilon } \textrm { d } B .
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { P , Q N M } } ^ { \mathrm { c l a s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) \approx 1 + \frac { \Gamma _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { n l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } { \Gamma _ { 0 } ( \omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } \{ \rho _ { A } e _ { A } - p _ { A } ( \rho _ { A } ) \} { \ } d x = \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } \{ \rho _ { A } D _ { t } ^ { A } e _ { A } + ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) \Pi _ { A } \} { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } \{ \rho _ { B } e _ { B } - p _ { B } ( \rho _ { B } ) \} { \ } d x = \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } \{ \rho _ { B } D _ { t } ^ { B } e _ { B } + ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) \Pi _ { B } \} { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } \{ \rho _ { S } e _ { S } - p _ { S } ( \rho _ { S } ) \} { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } = \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } \{ \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } e _ { S } + ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) \Pi _ { S } \} { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } , } \end{array}
R _ { \mathrm { P W } } \equiv \frac { R _ { \nu } - r R _ { \bar { \nu } } } { 1 - r } = \frac { \sigma ( \nu { \cal N } \to \nu X ) - \sigma ( \bar { \nu } { \cal N } \to \bar { \nu } X ) } { \sigma ( \nu { \cal N } \to \ell X ) - \sigma ( \bar { \nu } { \cal N } \to \bar { \ell } X ) } = g _ { L } ^ { 2 } - g _ { R } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { W } } ,
G [ x ( s ) , x _ { 0 } ( s ) ; m ^ { 2 } ] = { \frac { i } { \hbar } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d A \langle x ( s ) | e ^ { i H A / \hbar } | x _ { 0 } ( s ) \rangle = \langle x ( s ) | { \frac { 1 } { H } } | x _ { 0 } ( s ) \rangle \ ,
\begin{array} { r l } & { \{ \bar { \mathcal { F } } , \bar { \mathcal { G } } \} _ { D } ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast \omega ) \wedge \Big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \Big ) } \\ & { + \int _ { \partial \Omega } \Big ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \Big ) \wedge \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } } \\ & { - \int _ { \partial \Omega } \Big ( \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \Sigma } + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \Big ) \wedge \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } . } \end{array}
\widetilde { s } ( \mathbf { r } , t ) = \big ( \mathbf { r } \cdot \widetilde { \mathbf { F } } ( t ) \big ) \, \exp \big ( \mathrm { i } \widetilde { I } _ { p } t \big ) \, \psi _ { 0 } ( \mathbf { r } ) .
\begin{array} { r l } { { r } _ { k + 1 } } & { = \frac { 1 } { 1 + \delta t \frac { ( \nabla f ( \theta _ { k } ) , A ^ { - 1 } \nabla f ( \theta _ { k } ) ) } { 2 [ f ( \theta _ { k } ) + C ] } } r _ { k } , } \\ { \theta _ { k + 1 } } & { = \theta _ { k } - \frac { { r } _ { k + 1 } } { \sqrt { f ( \theta _ { k } ) + C } } \delta t A ^ { - 1 } \nabla f ( \theta _ { k } ) . } \end{array}
\{ W _ { k } ( X ) , T ( X ^ { \prime } ) \} = \left( ( \partial W _ { k } ( X ) ) + k W _ { k } ( X ) \partial - ( - 1 ) ^ { | W _ { k } | } \frac { 1 } { 2 } ( D W _ { k } ( X ) ) D \right) \Delta ( X - X ^ { \prime } ) ,
T = 1 + \frac { \sqrt { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { \parallel } ^ { 2 } } } { p _ { \parallel } } \ \ \ ; \ \ \ \ \ p _ { \parallel } = \frac { P \cdotp } { M } \ \ \ ; \ \ \ \ \ q _ { \parallel } = \frac { P \cdot q } { M }
\tilde { \mathbf { K } } = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \kappa } _ { 0 } + \chi - \frac { \gamma _ { 0 } } { 4 m _ { 0 } } \gamma } & { - \chi } \\ { - \chi - \delta \chi } & { \tilde { \kappa } _ { 0 } - \kappa + \chi + \frac { \gamma _ { 0 } } { 4 m _ { 0 } } \gamma } \end{array} \right)
I _ { p k } \left( M _ { p } \right) = \int _ { M _ { p } } ^ { \infty } \, d \omega \, \omega \left( \omega + M _ { p } \right) ^ { - 1 / 2 } \left( \omega - M _ { p } \right) ^ { - 1 / 2 } \left( \omega + \mu \right) ^ { - k } \left( \omega - \mu \right) ^ { k } e ^ { - 2 k \omega } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { E } \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | > R _ { 1 } , t < \tau _ { j } \} } \right] } \\ & { \le 2 \left[ R _ { 1 } e ^ { - \bar { c } \beta ( R _ { 1 } - 3 R / 2 ) ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { - 1 } / 8 } + \int _ { R _ { 1 } } ^ { \infty } e ^ { - \bar { c } \beta ( r - 3 R / 2 ) ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { - 1 } / 8 } d r \right] \mathbb { P } ( E , t < \tau _ { j } ) } \\ & { \le 2 \left( R _ { 1 } + 8 \eta _ { k } \bar { c } ^ { - 1 } \beta ^ { - 1 } ( R _ { 1 } - 3 R / 2 ) ^ { - 1 } \right) e ^ { - \bar { c } \beta ( R _ { 1 } - 3 R / 2 ) ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { - 1 } / 8 } \mathbb { P } ( E , t < \tau _ { j } ) } \\ & { \le 3 R _ { 1 } e ^ { - \bar { c } \beta ( R _ { 1 } - 3 R / 2 ) ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { - 1 } / 8 } \mathbb { P } ( E , t < \tau _ { j } ) . } \end{array}
{ \displaystyle U _ { \mathrm { B O } } ( { \bf R } ) = F _ { \mathrm { K S } } [ \varrho _ { 0 } ] + 2 \mathrm { t r } [ v _ { \mathrm { e x t } } \varrho _ { 0 } ] + v _ { n n } ( { \bf R } ) , }
F _ { \pi } ( q ^ { 2 } ) = 1 - q ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u G ( u ; q ^ { 2 } ) = \sum _ { n } \frac { \tilde { \mu } _ { n } ^ { 2 } { g _ { n } ^ { V } } ^ { 2 } } { \tilde { \mu } _ { n } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } ,
l i m \, _ { Q \rightarrow q } \frac 1 k Q ^ { - N _ { B } } [ Q ^ { - N _ { B } } B ^ { - } , [ Q ^ { - N _ { B } } B ^ { - } , [ . . . . [ Q ^ { - N _ { B } } B ^ { - } , ( B ^ { + } ) ^ { k } ] _ { Q ^ { 2 k } } . . . ] _ { Q ^ { 4 } } ] _ { Q ^ { 2 } } ]
\mathrm { S N R } = \frac { \mathbb { E } [ ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } E _ { i } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } E _ { i } ^ { * } ) ] } { \mathbb { E } [ ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } N _ { i } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } N _ { i } ^ { * } ) ] } \approx N \frac { \mathbb { E } [ E _ { 1 } E _ { 1 } ^ { * } ] } { \mathbb { E } [ N _ { 1 } N _ { 1 } ^ { * } ] }
{ \mathsf { G } } _ { \mathtt { C } } = \Big \{ { \small \bigg ( \begin{array} { l l } { 1 } & { v ^ { \mathtt { t } } } \\ { 0 } & { { \mathsf { A } } } \end{array} \bigg ) } \normalsize \ \Big | \ v \in \mathbb { R } ^ { n - 1 } \ , \ { \mathsf { A } } \in { \mathsf { O } } ( n - 1 ) \Big \} \ ,
\left\{ \begin{array} { l } { i \partial _ { t } u + \varphi _ { 0 } ( D ) \, u = T _ { \zeta } \left( v _ { 1 } , \dots , v _ { N } \right) } \\ { i \partial _ { t } v _ { j } + \varphi _ { k } ( D ) \, v _ { j } = 0 , \, \, \, j = 1 , \dots , N } \end{array} \right. \quad \mathrm { w i t h } \quad \left\{ \begin{array} { l } { u ( 0 , x ) = 0 } \\ { v _ { j } ( 0 , x ) = f _ { j } ( x ) , \, \, \, j = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
I _ { k } ^ { \prime } = \xi P \sum _ { i \neq k } \big [ { \bf H } _ { 1 } ^ { H } \big ( \beta _ { \mathrm { I } , k } \mathbf { R } _ { k } { \bf H } _ { 1 } { \bf \Phi } { \bf R } _ { \mathrm { I } , k } + \beta _ { \mathrm { I } , i } \mathbf { R } _ { i } { \bf H } _ { 1 } { \bf \Phi } { \bf R } _ { \mathrm { I } , i } \big ) \big ] _ { n , n } + \sigma _ { k } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \big [ { \bf H } _ { 1 } ^ { H } { \bf H } _ { 1 } { \bf \Phi } { \bf R } _ { \mathrm { I } , j } \big ] _ { n , n }
\operatorname* { l i m } _ { r _ { s } \to \infty } \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ D ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) \to - \Delta \epsilon _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } )
U ( { \bf R } ) = \operatorname* { m i n } _ { D ^ { \sigma } } \left\{ E ( { \bf R } , D ) \left\vert \sum _ { \sigma } \mathrm { T r } [ D ^ { \sigma } S ] = N _ { e } \right. \right\} + E _ { \mathrm { r e p } } ( { \bf R } ) .
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { 1 , b a } } & { = } & { \varepsilon _ { 1 , b } - \varepsilon _ { 1 , a } , } \\ { \delta \varepsilon _ { 1 , b a } } & { = } & { \bigg | \frac { \partial \varepsilon _ { 1 , b a } } { \partial r _ { N } } \bigg | \, \delta r _ { N } } \\ & { = } & { \Big | \delta \varepsilon _ { 1 , b } - \delta \varepsilon _ { 1 , a } \Big | , } \end{array}
\frac { \Delta Q _ { x } } { Q _ { x } } \left( \sigma _ { \mathrm { ~ q ~ u ~ a ~ d ~ } } \right) = 1 0 ^ { - 3 } , \enspace \frac { \Delta \xi _ { x } } { \xi _ { x , \mathrm { ~ n ~ a ~ t ~ } } } \left( \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ x ~ t ~ } } \right) = 8 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \enspace ,
\begin{array} { r l } { { \bf B } } & { = B _ { 0 } \hat { \bf z } + ( \hat { \bf x } - i \hat { \bf y } ) B _ { W } e ^ { i \theta } } \\ { { \bf E } } & { = \alpha _ { 1 } ( \hat { \bf x } - i \hat { \bf y } ) B _ { W } e ^ { i \theta } } \\ { { \bf V } _ { e } } & { = v _ { | | } \hat { \bf z } + \alpha _ { 2 } ( \hat { \bf x } - i \hat { \bf y } ) B _ { W } e ^ { i \theta } + c . c . + V \hat { \bf z } } \\ { n } & { = n _ { 0 } + N \, , \qquad \qquad \theta = \omega t - k z \, , } \end{array}
( A A ^ { \prime } ) ^ { 4 } = { \frac { 1 } { \lambda ^ { 4 } { R _ { A } } ^ { 2 } { R _ { B } } ^ { 2 } } } \; { \frac { ( D - R _ { A } + R _ { B } ) ^ { 2 } } { D ^ { 2 } } } \, .
{ \cal D } _ { n k } : = \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 2 } { r } \frac { \partial } { \partial r } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } { \bf I \! L } ^ { 2 } \right) \delta _ { n k } - { \cal M } _ { n k } ^ { 2 }