harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left\langle \mathcal { H } _ { \lambda _ { 4 } } ( \infty , \infty ) \, \mathcal { H } _ { \lambda _ { 3 } } ( 1 , 1 ) \, \mathcal { H } _ { \lambda _ { 2 } } ( 0 , 0 ) \, \mathcal { H } _ { \lambda _ { 1 } } ( \xi , \overline { { \xi } } ) \right\rangle } \\ & { \quad \quad \quad = \int _ { { \frac { Q } { 2 } } ( 1 + i \mathbb { R } ^ { + } ) } { d \lambda } \; \widetilde { C } ( \lambda , \lambda _ { 3 } , \lambda _ { 4 } ) \; e ^ { Q ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } s / 2 } \; \widetilde { C } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , - \lambda ) \left| \mathcal { F } _ { 1 + 6 Q ^ { 2 } , \Delta } \left[ \begin{array} { l l } { \Delta _ { 3 } } & { \Delta _ { 2 } } \\ { \Delta _ { 4 } } & { \Delta _ { 1 } } \end{array} \right] ( \xi ) \right| ^ { 2 } \, , } \end{array}
f ( V ; \lambda , \gamma , k , s ) = \frac { \gamma \left( \frac { 6 } { \pi } \right) ^ { k } e ^ { - \left( \frac { 6 } { \pi } \right) ^ { k } \left( \frac { \mu ^ { 1 - \frac { 3 \gamma } { k } } V ^ { \frac { \gamma } { k } } } { \lambda } \right) ^ { k } } \left( \frac { \mu ^ { 1 - \frac { 3 \gamma } { k } } V ^ { \frac { \gamma } { k } } } { \lambda } \right) ^ { k } } { V } .
r = { \big ( } 1 0 - { \big ( } x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } + x _ { 3 } + 3 x _ { 4 } + \cdots + x _ { 1 1 } + 3 x _ { 1 2 } { \big ) } \, { \bmod { \, } } 1 0 { \big ) } .
\Psi = ( 1 - { \frac { \rho } { 4 } } x ^ { + } x ^ { - } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { e ^ { - { \frac { \theta } { 2 } } } e ^ { \imath v } p ( x ^ { - } ) } } \\ { { e ^ { { \frac { \theta } { 2 } } } e ^ { \imath u } f ( x ^ { + } ) } } \end{array} \right)
\Delta _ { i } = \frac { \sum _ { \sigma } \sum _ { g } w _ { g } ^ { i } | n _ { \sigma } ^ { i } ( \mathbf { r } _ { g } ) - n _ { \sigma } ^ { i , \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( \mathbf { r } _ { g } ^ { i } ) | } { \sum _ { \sigma } \sum _ { g } w _ { g } ^ { i } n _ { \sigma } ^ { i , \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( \mathbf { r } _ { g } ^ { i } ) } ,
\begin{array} { r l } { f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - f ( { x } ^ { t , k } ) \ge \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + ( 1 / ( 2 L ) ) \| \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ { \ge \ } & { ( 1 / ( 2 L ) ) \| \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A = } & { \mathrm { d i a g } ( A _ { 1 } , A _ { 2 } , A _ { 3 } , A _ { 4 } , A _ { 5 } ) , \; C _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes S , } \\ { C _ { 2 } = } & { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes S , \; C _ { 3 } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes S , } \\ { C _ { 4 } = } & { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] \otimes S , \; C _ { 5 } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \otimes S , } \end{array}
a + b = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \, , } & { 1 - \epsilon _ { l } \leq u _ { 1 } \leq e _ { r } } \\ { 1 \, , } & { ( 1 - \epsilon _ { l } \leq u _ { 1 } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \epsilon _ { r } > u _ { 1 } ) } \\ { ~ } & { \mathrm { ~ o ~ r ~ } ( 1 - \epsilon _ { l } > u _ { 1 } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } u _ { 1 } \leq \epsilon _ { r } ) } \\ { 0 \, , } & { 1 - \epsilon _ { l } > u _ { 1 } > e _ { r } } \end{array} \right. \, .
\mathrm { { d } \it { T } = \frac { | A _ { \mathrm { B } } - A _ { \mathrm { C } } | } { \operatorname* { m a x } ( A _ { \mathrm { B } } , A _ { \mathrm { C } } ) } { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { , } } }
\begin{array} { r l } { \| T ( \kappa ) ( T ( \kappa _ { 0 } ) - z ) ^ { - 1 } \psi \| } & { \leq a \| T ( \kappa _ { 0 } ) ( T ( \kappa _ { 0 } ) - z ) ^ { - 1 } \psi \| + b \| ( T ( \kappa _ { 0 } ) - z ) ^ { - 1 } \psi \| } \\ & { \leq a \| \psi + z ( T ( \kappa _ { 0 } ) - z ) ^ { - 1 } \psi \| + b \| ( T ( \kappa _ { 0 } ) - z ) ^ { - 1 } \psi \| } \\ & { \leq C \| \psi \| . } \end{array}
\begin{array} { r } { H ^ { \prime } ( \hat { \zeta } , \hat { \psi } , \hat { \zeta } ^ { * } , \hat { \psi } ^ { * } ) \equiv H ( \hat { A } , \hat { B } _ { s } , \hat { A } ^ { * } , \hat { B } _ { s } ^ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) P _ { 1 } + V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 3 } ) P _ { 3 } + V ( \mathbf { r } _ { 2 } , \mathbf { r } _ { 3 } ) P _ { 5 } } & { { } \approx } & { V ( d ) \left( P _ { 1 } + P _ { 3 } + P _ { 5 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial \psi / \partial t } & { = \left( \partial \psi / \partial q _ { t } \right) ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } + \left( \partial \psi / \partial p _ { t } \right) ^ { T } \cdot \dot { p } _ { t } } \\ & { + \operatorname * { T r } [ \left( \partial \psi / \partial A _ { t } \right) ^ { T } \cdot \dot { A } _ { t } ] + ( \partial \psi / \partial \gamma _ { t } ) \dot { \gamma } _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \uparrow } ^ { * } u _ { \downarrow } } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { - i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \alpha } ^ { \prime \prime } ( t ) = \boldsymbol { \widetilde { \mathcal { F } } } ( t , \boldsymbol { \alpha } ( t ) ) , \quad t \in I , } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( 0 ) = \boldsymbol { \alpha _ { 0 } } , \quad \boldsymbol { \alpha } ^ { \prime } ( 0 ) = \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { s p i n } } ( \vec { r } ) } & { \propto } & { - \frac { 8 \pi } { 3 } \vec { \sigma } _ { 1 } \! \cdot \! \vec { \sigma } _ { 2 } \, \delta ^ { ( 3 ) } ( \vec { r } ) } \\ & { + } & { { \frac { 1 } { r ^ { 3 } } } \big ( \vec { \sigma } _ { 1 } \! \cdot \! \vec { \sigma } _ { 2 } - 3 ( \vec { \sigma } _ { 1 } \! \cdot \! \hat { r } ) ( \vec { \sigma } _ { 2 } \! \cdot \! \hat { r } ) \big ) \, . } \end{array}
\mathbf { A } _ { M } = \left[ \begin{array} { l l l } { - \frac { \Delta \mathbf { r } _ { 1 1 } } { \Delta r _ { 1 1 } ^ { 3 } } + \frac { \Delta \mathbf { r } _ { 1 0 } } { \Delta r _ { 1 0 } ^ { 3 } } } & { \hdots } & { - \frac { \Delta \mathbf { r } _ { 1 n } } { \Delta r _ { 1 n } ^ { 3 } } + \frac { \Delta \mathbf { r } _ { 1 0 } } { \Delta r _ { 1 0 } ^ { 3 } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { - \frac { \Delta \mathbf { r } _ { m 1 } } { \Delta r _ { m 1 } ^ { 3 } } + \frac { \Delta \mathbf { r } _ { m 0 } } { \Delta r _ { m 0 } ^ { 3 } } } & { \hdots } & { - \frac { \Delta \hat { \mathbf { r } } _ { m n } } { \Delta r _ { m n } ^ { 3 } } + \frac { \Delta \mathbf { r } _ { m 0 } } { \Delta r _ { m 0 } ^ { 3 } } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { a } _ { \mathbf { S } _ { M _ { 0 } } } = - \mu \left[ \begin{array} { l } { \frac { \Delta \mathbf { r } _ { 1 0 } } { \Delta r _ { 1 0 } ^ { 3 } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { \Delta \mathbf { r } _ { m 0 } } { \Delta r _ { m 0 } ^ { 3 } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { W ^ { \prime } [ \tilde { \phi } ] } & { = \frac { 1 } { 2 \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \sum _ { t } ^ { M } \sum _ { t ^ { \prime } } ^ { M } \sum _ { i } ^ { N _ { t } } \sum _ { j } ^ { N _ { t ^ { \prime } } } \chi _ { t t ^ { \prime } } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) \phi _ { j } ( \mathbf { r } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \sum _ { t } ^ { M } \sum _ { t ^ { \prime } } ^ { M } \sum _ { i } ^ { N _ { t } } \sum _ { j } ^ { N _ { t ^ { \prime } } } \chi _ { t t ^ { \prime } } \left( \frac { \mathrm { e } ^ { - \vert \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { i } ^ { t } \vert ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right) \left( \frac { \mathrm { e } ^ { - \vert \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { j } ^ { t ^ { \prime } } \vert ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 3 } \sigma ^ { 6 } \phi _ { 0 } } \sum _ { t } ^ { M } \sum _ { t ^ { \prime } } ^ { M } \sum _ { i } ^ { N _ { t } } \sum _ { j } ^ { N _ { t ^ { \prime } } } \chi _ { t t ^ { \prime } } \mathrm { e } ^ { - \vert \mathbf { R } _ { i } ^ { t } - \mathbf { R } _ { j } ^ { t ^ { \prime } } \vert ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \mathrm { e } ^ { - \vert \mathbf { r } - \mathbf { P } \vert ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 3 / 2 } \sigma ^ { 3 } \phi _ { 0 } } \sum _ { t } ^ { M } \sum _ { t ^ { \prime } } ^ { M } \sum _ { i } ^ { N _ { t } } \sum _ { j } ^ { N _ { t ^ { \prime } } } \chi _ { t t ^ { \prime } } \mathrm { e } ^ { - \vert \mathbf { R } _ { i } ^ { t } - \mathbf { R } _ { j } ^ { t ^ { \prime } } \vert ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { : = \sum _ { \alpha } \sum _ { \beta \neq \alpha } \log 2 \pi \omega | \mathbf x _ { \alpha } - \mathbf x _ { \beta } | ^ { 2 } } \\ & { \approx \frac { N } { \pi r _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { \alpha } \iint _ { | \mathbf x | < r _ { c } } \log 2 \pi \omega | \mathbf x _ { \alpha } - \mathbf x | ^ { 2 } d ^ { 2 } \mathbf x } \\ & { = 2 N ^ { 2 } \left( \log \sqrt { 2 \pi \omega } \, r _ { c } - \frac { 1 } { 4 } \right) + N , } \end{array}
\boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { v } = \left[ \begin{array} { c c c c c c } { G _ { 1 , 1 } ^ { \boldsymbol { u v } } } & { \cdots } & { G _ { 1 , \delta } ^ { \boldsymbol { u v } } } & { O } & { \cdots } & { O } \\ { \vdots } & & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { G _ { \lambda , 1 } ^ { \boldsymbol { u v } } } & { \cdots } & { G _ { \lambda , \delta } ^ { \boldsymbol { u v } } } & { O } & { \cdots } & { O } \\ { O } & { \cdots } & { O } & { O } & { \cdots } & { O } \\ { \vdots } & & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { O } & { \cdots } & { O } & { O } & { \cdots } & { O } \end{array} \right]
W _ { j i } = \left\{ \begin{array} { r l r } { \sum _ { n \in \mathcal { V } _ { a } } Q _ { n } ( t _ { j } , t _ { i } ) } & { { } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad i \leq j < N _ { t } } \\ { 1 - \sum _ { k = i } ^ { N _ { t } - 1 } W _ { k i } } & { { } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad j = N _ { t } } \end{array} \right.
\widehat { Q } _ { B } \widehat { \Phi } ( 0 ) = \oint \frac { d z } { 2 \pi i } j _ { B } ( z ) \cdot t \xi c e ^ { - \phi } ( 0 ) \otimes \sigma _ { 3 } \sigma _ { 1 } = - i t \left( \frac { 1 } { 2 } \xi c \partial c e ^ { - \phi } + \eta e ^ { \phi } \right) ( 0 ) \otimes \sigma _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \nabla _ { 2 D } \hat { P } _ { k } ^ { n + 1 } \cdot \nabla _ { 2 D } v + \beta _ { k } ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { P } _ { k } ^ { n + 1 } v = \rho _ { 0 } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \textbf { G } } _ { 2 D , k } \cdot \nabla _ { 2 D } v - i \beta _ { k } \rho _ { 0 } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { G } _ { z , k } v } \end{array}
U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \left( P - \phi \right) } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( 2 \nu S _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } - f _ { s , i } = 0 ,
\begin{array} { c } { 8 0 8 0 1 7 4 2 4 7 9 4 5 1 2 8 7 5 8 8 6 4 5 9 9 0 4 9 6 1 7 1 0 7 5 7 0 0 5 7 5 4 3 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = } \\ { 2 ^ { 4 6 } \cdot 3 ^ { 2 0 } \cdot 5 ^ { 9 } \cdot 7 ^ { 6 } \cdot 1 1 ^ { 2 } \cdot 1 3 ^ { 3 } \cdot 1 7 \cdot 1 9 \cdot 2 3 \cdot 2 9 \cdot 3 1 \cdot 4 1 \cdot 4 7 \cdot 5 9 \cdot 7 1 \ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { h ^ { \mathrm { t h r e e } } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ) } & { \triangleq { \frac { 1 } { a _ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 3 } } h ^ { \mathrm { t w o } } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { m _ { 3 } } { a _ { 3 } } } x _ { 3 } } \, d x _ { 3 } } \\ & { = { \frac { 1 } { a _ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 3 } } d x _ { 3 } { \frac { 1 } { a _ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 2 } } d x _ { 2 } { \frac { 1 } { a _ { 1 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 1 } } d x _ { 1 } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot e ^ { - i 2 \pi \left( { \frac { m _ { 1 } } { a _ { 1 } } } x _ { 1 } + { \frac { m _ { 2 } } { a _ { 2 } } } x _ { 2 } + { \frac { m _ { 3 } } { a _ { 3 } } } x _ { 3 } \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r } { g ( p _ { y } , p _ { z } ) = \sum _ { k , \ell } c _ { k \ell } H _ { k } \left( \frac { p _ { y } } { \sqrt { 2 } } \right) H _ { \ell } \left( \frac { p _ { z } } { \sqrt { 2 } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \rho _ { k } ^ { X } ( t ) } & { { } = \rho _ { \mathrm { e q } } ^ { X } ( k , T ( 0 ) ) - \rho _ { \mathrm { e q } } ^ { X } ( k ( t ) , T ( t ) ) + \int _ { 0 } ^ { t } d t [ \partial _ { t } \rho _ { k } ^ { X } ( t ) ] _ { \mathrm { c o r r } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sqrt { n } \left( \hat { \beta } _ { ( i ) } - \beta _ { ( i ) } ^ { \ast } \right) } & { = } & { - \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } } \\ & { } & { - \left\{ \widehat { \mathfrak { H } } _ { ( i ) } ^ { - 1 } ( \ddot { \beta } _ { ( i ) } ) - \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } ( \ddot { \beta } _ { ( i ) } ) \right\} \frac { 1 } { \sqrt { n } } \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } } \\ & { } & { - \left\{ \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } ( \ddot { \beta } _ { ( i ) } ) - \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } ( \beta _ { ( i ) } ^ { \ast } ) \right\} \frac { 1 } { \sqrt { n } } \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } } \\ & { = } & { \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } + \mathcal { \hat { R } } _ { 1 , i } ( \ddot { \beta } _ { ( i ) } ) + \mathcal { \hat { R } } _ { 2 , i } ( \ddot { \beta } _ { ( i ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x ^ { + } ) ^ { - } } & { = ( x ^ { - } ) ^ { + } = 0 , } \\ { [ x , y ] ^ { + } } & { = \frac { 1 } { 2 } \bigl ( [ x ^ { + } , y ^ { + } ] + [ x ^ { - } , y ^ { - } ] \bigr ) , } \\ { [ x , y ] ^ { - } } & { = \frac { 1 } { 2 } \bigl ( [ x ^ { + } , y ^ { - } ] + [ x ^ { - } , y ^ { + } ] \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { 0 } } & { \equiv } & { \int _ { \omega - \omega _ { M } } ^ { \omega - \omega _ { L } } d \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) \simeq \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) \rightarrow 0 , } \\ { U _ { 1 } } & { \equiv } & { \int _ { \omega - \omega _ { M } } ^ { \omega - \omega _ { L } } d \omega _ { s } \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) \simeq \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega _ { s } \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) } \\ & { \simeq } & { \frac { \pi ^ { 3 / 2 } } { 2 k _ { \perp } ^ { 2 } } \left( \frac { \hat { C } _ { 0 } } { \lvert \epsilon _ { s } \rvert ^ { 2 } } + \chi _ { 0 } \right) k _ { \parallel s } ^ { 2 } v _ { i t } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x , v , t ) \approx } & { { } f _ { 0 } ( x , v , t ) + \varepsilon f _ { 1 } ( x , v , t ) } \\ { = } & { { } \rho ( x , t ) M ( v \mid x , t ) - \frac { 1 } { R _ { c x } ( x , t ) } \partial _ { x } ( c ( x , t ) \rho ( x , t ) M ( v \mid x , t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { z } } & { \simeq \frac { A } { \Gamma \left( \nu + 1 \right) } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu } } \\ { H _ { \rho } } & { \simeq \frac { A a \pi } { 2 \Gamma \left( \nu + 1 \right) d } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { H _ { \phi } } & { \simeq - \frac { i A \pi a } { 2 \Gamma ( \nu + 1 ) d } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { E _ { \rho } } & { \simeq - \frac { A \omega \mu a } { 2 \Gamma ( \nu + 1 ) } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { E _ { \phi } } & { \simeq - \frac { i A \omega \mu a } { 2 \Gamma ( \nu + 1 ) } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \end{array}
+ ( ( \partial _ { 0 } f _ { a } ^ { * } ) ( \partial _ { i } f ^ { a } ) - ( \partial _ { i } f _ { a } ^ { * } ) ( \partial _ { 0 } f ^ { a } ) ) ( f _ { b } ^ { * } \partial _ { j } f ^ { b } - f ^ { b } \partial _ { j } f _ { b } ^ { * } ) ) .
\begin{array} { r l } { \overrightarrow { [ [ a , b ] , c ] } + \mathrm { c y c l . } } & { = \overrightarrow { \left[ \overrightarrow { ( b \cdot a ) ( a \cdot b ) } , c \right] } + \mathrm { c y c l . } = [ a \cdot b , c ] - [ b \cdot a , c ] + \mathrm { c y c l . } } \\ & { = \overrightarrow { ( c \cdot a \cdot b ) ( a \cdot b \cdot c ) } - \overrightarrow { ( c \cdot b \cdot a ) ( b \cdot a \cdot c ) } + \mathrm { c y c l . } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 K } & { = \sum m _ { i } \dot { \varphi } _ { i } ^ { 2 } = m _ { 1 } ( - \alpha _ { 2 } \dot { x } _ { 1 } - m _ { 3 } \dot { x } _ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { 2 } ( \alpha _ { 1 } \dot { x } _ { 1 } - m _ { 3 } \dot { x } _ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { 3 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } \dot { x } _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \mu _ { 1 } u _ { 1 } ^ { 2 } + \mu _ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
m ^ { \ast } ( \pmb { \mu } ) = m ( \pmb { \mu } ) + \kappa ( \pmb { \mu } , \pmb { X } ) \pmb { K } _ { y } ^ { - 1 } ( \pmb { y } - m ( \pmb { X } ) ) , \quad \kappa ^ { \ast } ( \pmb { \mu } , \pmb { \mu } ^ { \prime } ) = \kappa ( \pmb { \mu } , \pmb { \mu } ^ { \prime } ) - \kappa ( \pmb { \mu } , \pmb { X } ) K _ { y } ^ { - 1 } \kappa ( \pmb { X } , \pmb { \mu } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \epsilon ( \tau ) = \operatorname* { m a x } _ { k \in [ d ] , m \in [ M ] } \left\{ \frac { \delta _ { R } { \phi \left( \tau - \vartheta _ { k } ^ { m } \right) } } { \sigma \left( \hat { \Omega } ^ { m } \hat { \Sigma } ^ { m } ( \hat { \Omega } ^ { m } ) ^ { \top } \right) _ { k k } ^ { 1 / 2 } } + 2 d e ^ { - c _ { * } n / K } + d e ^ { - c n } + \frac { 6 } { d ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ s ^ { k } \circ \left( \dot { z } - \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } \left( { x } ^ { 0 } - \bar { x } \right) \right) + z ^ { k } \circ \left( \dot { s } - \nu _ { k } \left( s ^ { 0 } - \bar { s } \right) \right) } \\ { = } & { \ z ^ { k } \circ s ^ { k } - \tau _ { k } \nu _ { k } ^ { \tau } s ^ { k } \circ \left( { x } ^ { 0 } - \bar { { x } } \right) - \nu _ { k } z ^ { k } \circ \left( { s } ^ { 0 } - \bar { { s } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { I } ^ { \prime } } & { { } = \sum _ { s \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } \hat { H } _ { s } ^ { d o u b } + \hat { H } _ { s } ^ { d i r } + \hat { H } _ { s } ^ { e x c } } \end{array}
\theta _ { \varphi } = f ^ { \scriptscriptstyle \textup { r e d } } g ^ { \scriptscriptstyle \textup { r e d } } \lambda _ { \varphi } = g ^ { \scriptscriptstyle \textup { r e d } } \sum _ { i = 1 } ^ { \alpha } n _ { i } f _ { 1 } \cdots \widehat { f _ { i } } \cdots f _ { \alpha } \textup { d } f _ { i } - f ^ { \scriptscriptstyle \textup { r e d } } \sum _ { i = 1 } ^ { \beta } m _ { i } g _ { 1 } \cdots \widehat { g _ { i } } \cdots g _ { \beta } \textup { d } g _ { i } .
\begin{array} { r } { \| P _ { \gamma } ^ { + } \gamma _ { n - 1 } P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } ( P _ { \gamma _ { n - 1 } } ^ { + } - P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } ) P _ { \gamma } ^ { + } \| _ { X _ { c } } \leq ( C _ { \kappa , L } ^ { \prime } + C _ { \kappa , L } ^ { \prime \prime } ) \frac { R \alpha _ { c } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } \| \gamma _ { n - 1 } - \gamma _ { n - 2 } \| _ { X _ { c } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { m } ( Q , \pi ^ { \nu } , \pi ^ { \nu } , \infty ) : = \Bigl \{ \gamma \in \mathrm { S L } _ { n } ( \mathbb { Z } [ i ] _ { \pi , \pi ^ { \prime } } ) } & { \cdot \operatorname { d i a g } ( 1 , \pi ^ { \nu } , \dotsc , \pi ^ { \nu } , \pi ^ { \nu } \pi ^ { \nu } ) \cdot \mathrm { S L } _ { n } ( \mathbb { Z } [ i ] _ { \pi , \pi ^ { \prime } } ) : } \\ & { m \gamma \in \mathrm { S L } _ { n } ( \mathbb { Z } [ i ] ) , | \operatorname* { d e t } \gamma | ^ { - \frac { 2 } { n } } \cdot \gamma ^ { * } Q \gamma = Q \Bigr \} , } \end{array}
m _ { G } ^ { 2 } ( \bar { \chi } ) \, = \, \frac { 1 6 B } { \chi _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { \bar { \chi } } { \chi _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left[ 3 \ln \left( \frac { \bar { \chi } } { \chi _ { 0 } } \right) + 1 \right] \, .
+ \frac { m ^ { 2 } - q ^ { 2 } } { 8 q ^ { 2 } } ( \not q + m ) \not q \not e _ { A ^ { \prime } } ^ { * } \biggl [ \left( 2 + \frac { 1 } { C _ { A } C _ { F } } \right) ^ { 2 } I _ { 4 } + \frac { 1 } { C _ { A } ^ { 2 } C _ { F } ^ { 2 } } I _ { 5 } - \frac { 2 } { C _ { A } C _ { F } } \left( 2 + \frac { 1 } { C _ { A } C _ { F } } \right) I _ { 6 } \biggr ] \biggr \} \biggl ) u _ { A }
\left| \frac { B \left( x ^ { i } , v \right) } { a \left( \lambda \right) } \right| = h _ { [ 0 ] } ^ { 2 } h _ { 5 ( 0 ) } ( x ^ { i } ) \left[ \left( \sqrt { | \eta _ { 5 } \left( x ^ { i } , v \right) | } \right) ^ { \ast } \right] ^ { 2 } .
{ L _ { 4 - 6 } } = \sqrt { ( { L _ { 4 - 5 } } ^ { 2 } + { L _ { 5 - 6 } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 4 - 5 } } \cdot { L _ { 5 - 6 } } \cdot \cos ( { A _ { 5 } } ) ) }
\begin{array} { r l } { J _ { \eta , X Y } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { { } = - \sum _ { l } \frac { 4 v _ { 0 } ^ { 2 } } { U - l \Omega } \mathcal { A } _ { \bf e } ^ { ( - l ) } \mathcal { A } _ { - \bf e } ^ { ( - l ) } , } \\ { J _ { \eta , Z } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { { } = - \sum _ { l } \frac { 4 v _ { 0 } ^ { 2 } } { U - l \Omega } | \mathcal { A } _ { \bf e } ^ { ( - l ) } | ^ { 2 } . } \end{array}
+ e ^ { 2 } A _ { \mu } { \frac { \{ - 4 \alpha + 8 g ( 1 - \alpha ) \partial ^ { 2 } ( 2 \alpha ^ { 2 } g - a + a ^ { 2 } g \partial ^ { 2 } ) \} } { ( a g \partial ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } + 4 \alpha ^ { 2 } g ^ { 2 } \partial ^ { 2 } } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } - 4 J _ { \mu } A ^ { \mu } ] .
\widehat { V } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } _ { k } } = V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } \frac { N } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \left( \frac { { B _ { k } } _ { i } - \mathbb { E } ( q _ { B _ { k } } ) } { \sqrt { V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } ) } & { + \frac { \partial ( p ^ { \sigma } \delta _ { \alpha \beta } + \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } u _ { \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } + \frac { \partial ( P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } + U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } } \\ & { = - \frac { \rho ^ { \sigma } } { \tau ^ { \sigma } } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) , } \end{array} } \end{array}
\rho _ { w } ( \mathrm { ~ G ~ r ~ a ~ p ~ h ~ e ~ n ~ e ~ } ) = 3 . 8 1 7 \times 1 0 ^ { 1 9 } \mathrm { ~ m ~ } ^ { - 2 } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \rho _ { w } ( \mathrm { ~ A ~ g ~ ( ~ 1 ~ 1 ~ 1 ~ ) ~ } ) = 1 . 3 8 3 \times 1 0 ^ { 1 9 } \mathrm { ~ m ~ } ^ { - 2 } )
\begin{array} { r l } { \| ( \alpha ^ { f _ { \theta } } , 0 ) \cdot \nabla _ { \theta } u _ { \theta } - F [ u _ { \theta } ] \| _ { 2 } } & { = \| \alpha ^ { f _ { \theta } } \cdot \nabla _ { c } u _ { \theta } - F [ u _ { \theta } ] \| _ { 2 } } \\ & { \le \| \alpha ^ { f _ { \theta } } \cdot \hat { \varphi } - \alpha ^ { f _ { \theta } } \cdot \varphi \| _ { 2 } + \| \alpha ^ { f _ { \theta } } \cdot \varphi - F [ u _ { \theta } ] \| _ { \infty } } \\ & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { m } | \alpha _ { j } ^ { f _ { \theta } } | \| \hat { \varphi } _ { j } - \varphi _ { j } \| _ { 2 } + \frac { \bar { \varepsilon } } { 2 } } \\ & { \le \sqrt { m C _ { 0 } } \cdot \frac { \bar { \varepsilon } } { 2 \sqrt { m C _ { 0 } } } + \frac { \bar { \varepsilon } } { 2 } } \\ & { = \bar { \varepsilon } . } \end{array}