harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Omega ^ { \{ 0 \} } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { c _ { 2 } ^ { \{ S \} } } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \quad \Omega ^ { \{ 1 \} } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 / c _ { 2 } ^ { \{ S \} } } & { 1 / c _ { 2 } ^ { \{ S \} } } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\frac { \Tilde { Z } _ { N } \left( t _ { k } ^ { + } , t _ { k } ^ { - } \right) } { \Tilde { Z } _ { \infty } \left( t _ { k } ^ { + } , t _ { k } ^ { - } \right) } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { m ! } \sum _ { N \leq l _ { 1 } , l _ { 2 } , \dots , l _ { m } } ^ { \infty } \operatorname* { d e t } \left[ \kappa ( l _ { i } , l _ { j } ) \right] _ { i , j = 1 , \dots , m } .
\begin{array} { r } { \| \rho \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \| \rho ( \cdot , t ) \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } \; d t = \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } \left( \| \rho ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } ^ { 2 } + \| { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } ^ { 2 } \right) \; d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta n ( r , \xi , \eta ) = \delta n _ { s } \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 0 } ^ { 2 } ( r ) \cos \left[ k _ { p 0 } \left( \xi + \tilde { k } _ { 0 } ^ { 0 0 } \eta / k _ { L } \right) \right] \, . } \end{array}
{ \times } \int { d ^ { 3 } x \: \mathrm { t r } \Bigl [ ( \partial _ { j } A _ { k } + A _ { j } A _ { k } ) ( \partial _ { i } f \, g - \partial _ { i } g \, f ) + \partial _ { i } ( A _ { j } A _ { k } ) \Bigl ( \frac { 1 } { 1 + \mu } \, f g - \frac { \mu } { 1 + \mu } \, g f \Bigr ) \Bigr ] } .
w _ { m } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } E _ { m } < = E _ { t h r e s h } } \\ { e x p ( { \frac { ( - ( E _ { m } - E _ { t h r e s h } ) } { k _ { B } T } ) } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } E _ { m } > E _ { t h r e s h } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { Y _ { t , n } } & { \leq C \sum _ { x \in { \mathbb { Z } } _ { h } ^ { d } } \left( M ^ { 2 } | D ^ { h } V _ { n - 1 } - D ^ { h } V | ^ { 2 } + M ^ { 2 } | D ^ { - h } V _ { n - 1 } - D ^ { - h } V | ^ { 2 } + \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. | D ^ { h } V _ { n } - D ^ { h } V | ^ { 2 } + | D ^ { - h } V _ { n } - D ^ { - h } V | ^ { 2 } \right) \varphi ( | x | ) \le C \left( M ^ { 2 } G _ { t , n - 1 } ^ { h } + G _ { t , n } ^ { h } \right) , } \end{array}
\tau _ { X } ( y ) = - \frac { \lambda _ { X } } { m _ { X } } \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } S I \; n _ { S , I } ^ { X } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } X \in \{ H , W \} , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \tau _ { G } ( y ) = \beta _ { G } i .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { U n i t a r i t y : } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ R _ { 1 2 } ( \lambda ) R _ { 2 1 } ( - \lambda ) = \rho _ { 0 } ( \lambda ) \rho _ { 0 } ( - \lambda ) \mathrm { I d } _ { 1 } \otimes \mathrm { I d } _ { 2 } } \\ & { } & { \mathrm { P a r i t y ~ ~ i n v a r i a n c e : } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P _ { 1 2 } R _ { 1 2 } ( \lambda ) P _ { 1 2 } = R _ { 1 2 } ( \lambda ) } \\ & { } & { \mathrm { T e m p o r a l ~ ~ i n v a r i a n c e : } ~ ~ ~ R _ { 1 2 } ( \lambda ) ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } = R _ { 1 2 } ( \lambda ) } \\ & { } & { \mathrm { C r o s s i n g ~ ~ s y m m e t r y : } ~ ~ ~ ~ R _ { 1 2 } ( \lambda ) = - V _ { 1 } R _ { 1 2 } ( - 6 - \lambda ) ^ { t _ { 2 } } V _ { 1 } ^ { - 1 } } \end{array}
\frac { G _ { c } f ( \bar { \alpha } ) } { 2 c _ { w } } \left( \frac { w ^ { \prime } ( \phi ) } { 2 \ell } - \ell \nabla ^ { 2 } \phi \right) - \frac { G _ { c } \ell } { 2 c _ { w } } \nabla \phi \nabla f ( \bar { \alpha } ) + g ^ { \prime } ( \phi ) \mathcal { H } = 0
\begin{array} { r l } { X _ { i } ^ { t } \overline { { C } } _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } - X _ { i } ^ { t } \underbar { C } _ { i } ^ { t } { \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } } } & { = X _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } ( \overline { { C } } _ { i } ^ { t } - \underbar { C } _ { i } ^ { t } ) + X _ { i } ^ { t } \underbar { C } _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } } \\ & { - X _ { i } ^ { t } \underbar { C } _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } - X _ { i } ^ { t } \underbar { C } _ { i } ^ { t } \left( \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } - \underbar { Y } _ { i } ^ { t } \right) } \end{array}
\mathcal { D } _ { \Phi } ( T _ { 1 } ( \mathbf { X } _ { 1 } ) , \dots , \mathbf { X } _ { k } ) = \int _ { \mathbb { I } ^ { q } } c _ { 1 } ( \widetilde { \mathbf { u } } _ { 1 } ) \prod _ { i = 2 } ^ { k } c _ { i } ( \mathbf { u } _ { i } ) \Phi \Bigg ( \frac { c ( \widetilde { \mathbf { u } } _ { 1 } , \mathbf { u } _ { 2 } , \dots , \mathbf { u } _ { k } ) } { c _ { 1 } ( \widetilde { \mathbf { u } } _ { 1 } ) \prod _ { i = 2 } ^ { k } c _ { i } ( \mathbf { u } _ { i } ) } \Bigg ) d \widetilde { \mathbf { u } } = \mathcal { D } _ { \Phi } ( \mathbf { X } _ { 1 } , \dots , \mathbf { X } _ { k } )
\begin{array} { r l r } { \mathbf { R } _ { 4 } \mathbf { R } _ { 4 } ^ { \top } = \mathbf { I } _ { 4 } \, , } & { { } } & { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { R } _ { 4 } ) = 1 \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \alpha , \beta } x = \left\{ \begin{array} { l l } { x \left( 1 + 2 ^ { \alpha } x ^ { \alpha } \right) } & { x \in \left[ 0 , \frac { 1 } { 2 } \right] , } \\ { \exp \left( 2 ^ { \beta } - \left( x - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { - \beta } \right) } & { x \in \left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right] . } \end{array} \right. } \end{array}
\rho ^ { N } \partial _ { t } u ^ { N } + \rho ^ { N } u ^ { N } \cdot \nabla u ^ { N } + \nabla \Tilde { p } ^ { N } - \nu \Delta u ^ { N } = - 2 \Lambda \Im \left( \nabla \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } \right) - 2 \Lambda u ^ { N } \Re \left( \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } \right)
\begin{array} { r l } { \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { 2 } } & { \le _ { s } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { 2 } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } ^ { 2 } + \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } ^ { 2 } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { 2 } } \\ & { \le \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { 2 } \langle k \rangle ^ { 2 \eta _ { 2 } } \langle \xi \rangle ^ { - 2 \eta _ { 2 } } + \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } ^ { 2 } \langle k \rangle ^ { 2 \eta _ { 2 } } \langle \xi \rangle ^ { - 2 \eta _ { 2 } } ( 1 + | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 2 } + 1 } ^ { 2 } ) } \\ & { \le \langle k \rangle ^ { 2 \eta _ { 2 } } \langle \xi \rangle ^ { - 2 \eta _ { 2 } } \left( \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { 2 } + \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } ^ { 2 } | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 2 } + 1 } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \int _ { d } ^ { \tilde { s } _ { 1 } } \ d \tau _ { 2 } \ } & { \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { i } } } \\ & { \le \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \left( \int _ { d } ^ { \frac 1 2 \tilde { s } _ { 1 } } + \int _ { \frac 1 2 \tilde { s } _ { 1 } } ^ { \tilde { s } _ { 1 } } \right) \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { i } } } \\ & { \le \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta { \eta ^ { - \gamma _ { i } } } \frac { c ^ { 1 - \gamma _ { i } } } { \gamma _ { i } } ( 1 + \eta ^ { 2 } ) \exp ( - \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } { 2 5 } \eta ^ { 3 } ) + \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \frac { 2 ^ { 4 } } { \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { 2 ^ { 5 } } \beta \frac 1 { \eta ^ { 2 } } , } \end{array}
\Gamma ( z ) = { \cfrac { e ^ { - 1 } } { 2 + 0 - z + 1 { \cfrac { z - 1 } { 2 + 2 - z + 2 { \cfrac { z - 2 } { 2 + 4 - z + 3 { \cfrac { z - 3 } { 2 + 6 - z + 4 { \cfrac { z - 4 } { 2 + 8 - z + 5 { \cfrac { z - 5 } { 2 + 1 0 - z + \ddots } } } } } } } } } } } } + { \cfrac { e ^ { - 1 } } { z + 0 - { \cfrac { z + 0 } { z + 1 + { \cfrac { 1 } { z + 2 - { \cfrac { z + 1 } { z + 3 + { \cfrac { 2 } { z + 4 - { \cfrac { z + 2 } { z + 5 + { \cfrac { 3 } { z + 6 - \ddots } } } } } } } } } } } } } }
\tilde { x } = \left[ \begin{array} { c } { \sin ( 2 \pi / L x ) } \\ { \cos ( 2 \pi / L x ) } \\ { \sin ( 4 \pi / L x ) } \\ { \cos ( 4 \pi / L x ) } \\ { \sin ( 6 \pi / L x ) } \\ { \cos ( 6 \pi / L x ) } \\ { \sin ( 8 \pi / L x ) } \\ { \cos ( 8 \pi / L x ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { B _ { \gamma , \gamma ^ { \prime } } ( \delta ) ( \underline { { x } } , \underline { { x } } ^ { \prime } ) } & { : = \big ( \mathrm { I n t e g r a l \, k e r n e l \, o f } K _ { 0 } ^ { 2 } \big ) \big ( ( \underline { { x } } + \underline { { x } } ^ { \prime } + \gamma + \gamma ^ { \prime } ) / 2 } \\ & { \qquad + F ( \delta ( \gamma + \gamma ^ { \prime } ) / 2 ) \, , \, \underline { { x } } + \gamma - \underline { { x } } ^ { \prime } - \gamma ^ { \prime } \big ) . } \end{array}
{ \frac { \partial } { \partial s } } G _ { s } = - 2 \operatorname { R i c } ^ { G _ { s } } + { \frac { 2 } { n } } { \frac { \int _ { M } R ^ { G _ { s } } \, d \mu _ { G _ { s } } } { \int _ { M } d \mu _ { G _ { s } } } } G _ { s } .
\begin{array} { r l } & { \rho ^ { n } \xrightarrow { \, \, s \, \, } \rho \quad \mathrm { i n } \, \, C ( [ 0 , T ] ; H ^ { 2 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 3 } ) , } \\ & { u ^ { n } \xrightarrow { \, \, s \, \, } u \quad \mathrm { i n } \, \, C ( [ 0 , T ] ; H ^ { 1 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 2 } ) , } \\ & { u _ { t } ^ { n } \xrightarrow { \, \, s \, \, } u _ { t } \quad \mathrm { i n } \, \, L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ) , } \\ & { \pi ^ { n } \xrightarrow { \, \, s \, \, } \pi \quad \mathrm { i n } \, \, L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ) . } \end{array}
4 \pi \varepsilon a \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \sinh \left( \ln \left( D + { \sqrt { D ^ { 2 } - 1 } } \right) \right) } { \sinh \left( n \ln \left( D + { \sqrt { D ^ { 2 } - 1 } } \right) \right) } }
\begin{array} { r l } { d ^ { 8 } N _ { c } ( \vec { v } _ { i } , \vec { v } _ { o } ) } & { { } = n _ { g } \, d A \, d t \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 3 / 2 } v _ { i } \, \mathrm { c o s } \, \theta _ { i } \, e ^ { - v _ { i } ^ { 2 } \big / 2 \overline { { v } } ^ { 2 } } } \end{array}
{ r _ { B } = { \frac { 1 } { r _ { A } } } = R _ { 9 } ^ { - 1 } R _ { 1 1 } ^ { - 1 / 2 } , \qquad e ^ { - \phi ^ { B } } = r _ { A } e ^ { - \phi ^ { A } } = { \frac { R _ { 9 } } { R _ { 1 1 } } } }
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { 1 } { 4 } \right) \left( r _ { 1 } ( 1 - 1 / ( 4 K _ { 1 } ) ) - \alpha _ { 1 2 } / 4 - \frac { q _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } / 4 } \right) } & { = } & { 0 , } \\ { \left( \frac { 1 } { 4 } \right) \left( r _ { 2 } ( 1 - 1 / ( 4 K _ { 2 } ) ) - \alpha _ { 2 1 } / 4 - \frac { q _ { 2 } } { 1 + a _ { 2 } / 4 } \right) } & { = } & { 0 , } \\ { \frac { c _ { 1 } q _ { 1 } } { 4 + a _ { 1 } } + \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } } { 4 + a _ { 2 } } - \mu - m } & { = } & { 0 . } \end{array}
p _ { 1 , a , b } = - 2 p _ { 0 } ^ { 3 } + 3 p _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { a } { 2 } ( 2 p _ { 0 } ^ { 3 } - 3 p _ { 0 } ^ { 2 } - 3 p + 2 ) ,
G ( t - \tilde { t } ) = { \frac { 1 } { 2 \, \Gamma } } \Bigg [ \mathrm { a s i n h } \mu - \mathrm { a s i n h } \big \{ \mu \, \mathrm { e x p } ( 2 \Gamma ( t - \tilde { t } ) ) \big \} \Bigg ] \, ,
\int \frac { d \vec { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \varphi _ { P } ^ { * } ( \frac { m _ { Q } } { M _ { P } } \vec { P } \, ^ { \prime } + \vec { p } ) ~ \vec { p } ~ \varphi _ { V } ( \vec { p } ) = - \frac { m _ { Q } } { M _ { P } } ~ \frac { \beta _ { V } ^ { 2 } } { 2 \beta _ { P V } ^ { 2 } } F ( t ) \vec { P } \, ^ { \prime } \; ,
\Gamma _ { 1 1 } ^ { 0 } = \frac { \beta \partial _ { 0 } \beta } { \alpha ^ { 2 } } , \ \ \Gamma _ { 0 1 } ^ { 0 } = \frac { \partial _ { 1 } \alpha } { \alpha } , \ \ \Gamma _ { 0 0 } ^ { 0 } = \frac { \partial _ { 0 } \alpha } { \alpha }
\begin{array} { r l } { \overline { { \Lambda } } _ { f } ^ { \beta } ( \mu ) } & { : = \mathbb { E } _ { X \sim \mu } [ \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( X ) ] ~ , } \\ { \widetilde { \Lambda } _ { f } ^ { \beta } ( \mu ) } & { : = \mathbb { W } _ { X \sim \mu } [ \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( X ) ] = \operatorname* { s u p } _ { t > 0 } \, t \cdot \mu ( x : \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( x ) \geq t ) ~ . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { \dot { x } ( t ) + \beta \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) + z ( t ) = 0 , } \\ & { \beta \dot { z } ( t ) + \left( 1 - \alpha \beta \sqrt { \varepsilon ( t ) } \right) \dot { x } ( t ) - \beta \varepsilon ( t ) x ( t ) + z ( t ) = 0 , } \\ & { x ( t _ { 0 } ) = x _ { 0 } , \ z ( t _ { 0 } ) = - \left( \dot { x } ( t _ { 0 } ) + \beta \nabla \Phi _ { \lambda ( t _ { 0 } ) } ( x _ { 0 } ) \right) . } \end{array} \right.
H _ { \mathrm { ~ R ~ D ~ D ~ I ~ } } = - \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \sum _ { i \neq j ; i , j = 1 } ^ { N } \mathbf { P ^ { * } } \cdot \mathbf { G } \left( \mathbf { r } _ { i } , \mathbf { r } _ { j } , \omega _ { 0 } \right) \cdot \mathbf { P } \: \sigma _ { i } ^ { \dagger } \sigma _ { j } ,
\kappa ( e _ { i , j } , e _ { p , q } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 1 } \delta _ { i , q } \delta _ { p , j } + \delta _ { i , j } \delta _ { p , q } } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 \leq i , j \leq m , } \\ { \alpha _ { 2 } \delta _ { i , q } \delta _ { p , j } + \delta _ { i , j } \delta _ { p , q } } & { \mathrm { ~ i f ~ } m + 1 \leq i , j \leq m + n , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { u _ { 0 } } x ( t ) = } & { \frac { ( ( \alpha - 1 ) t u _ { 0 } - x _ { 0 } ) u ( t ) + u _ { 0 } x ( t ) } { 2 H \alpha } } \\ { \partial _ { v _ { 0 } } x ( t ) = } & { \frac { \left( t \left( \alpha \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) + u _ { 0 } ^ { 2 } \right) + u _ { 0 } x _ { 0 } \right) u ( t ) - u _ { 0 } ^ { 2 } x ( t ) } { 2 H \alpha v _ { 0 } } } \\ { \partial _ { x _ { 0 } } x ( t ) = } & { \frac { \left( ( \alpha - 1 ) t \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) + u _ { 0 } x _ { 0 } \right) u ( t ) + \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) x ( t ) } { 2 H x _ { 0 } } } \\ { \partial _ { y _ { 0 } } x ( t ) = } & { 0 } \end{array}
\boldsymbol { \tilde { B } } ^ { \textrm { c l } } = \frac { 1 } { ( 2 c _ { 4 } ) ^ { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { I _ { a } \to c _ { 4 } } \boldsymbol { \mu } _ { q } ^ { \textrm { c l } } \boldsymbol { P } _ { P } \boldsymbol { \mu } _ { p } ^ { \textrm { c l } } \boldsymbol { P } _ { P } .
\begin{array} { r l } { f ( \mu ) } & { = ( 2 N + 1 ) a _ { \frac 1 2 } ( \mu ) - a _ { \frac { 1 } { 2 } - \xi _ { - } } ( \mu ) - a _ { \frac { 1 } { 2 } - \xi _ { + } } ( \mu ) , } \\ { a _ { \gamma } ( \mu ) } & { = \frac { 1 } { \pi } \frac { \gamma } { \mu ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { K ( \mu ) } & { = \frac { 1 } { \pi \left( \mu ^ { 2 } + 1 \right) } = a _ { 1 } ( \mu ) } \end{array}
S _ { \chi } \, = \, \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime \prime } } \, d t \left( p _ { i } \dot { q } ^ { i } + \mu _ { a } \dot { \lambda } ^ { a } + i \zeta _ { a } \dot { \eta } ^ { a } + i \zeta ^ { \times } { \! } _ { a } \dot { \eta } ^ { \times a } \, - H \, - i \{ \Omega , \phi \} \right) .
\begin{array} { r l } { I ( \boldsymbol { X } ; Y ) } & { = I ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n } ; Y ) } \\ & { = h ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n } ) - h ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n } | Y ) } \\ & { = \int _ { \mathcal { X } _ { 1 } } \int _ { \mathcal { X } _ { 2 } } \cdots \int _ { \mathcal { X } _ { n } } \int _ { \mathcal { Y } } p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n } , y ) \ln \frac { p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n } , y ) } { p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n } ) p ( y ) } \, d x _ { 1 } d x _ { 2 } \cdots d x _ { n } d y , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { d e t } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \otimes \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \frac { e ^ { - \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | w _ { 1 } - z } \, d \mathbf { w } - \mathrm { I d } \right) = } \\ & { \qquad = \operatorname* { d e t } \left[ ( 2 \pi ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \int _ { \mathbb { R } } \left( \begin{array} { l l l l l } { 2 \pi } & { 2 \pi w _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 2 \pi \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } \\ { 2 \pi w _ { 1 } } & { 2 \pi w _ { 1 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 2 \pi w _ { 1 } \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 \pi } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 \pi } & { 0 } \\ { 2 \pi \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } & { 2 \pi w _ { 1 } \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } & { 0 } & { 0 } & { 2 \pi \frac { w _ { 1 } ^ { 4 } - 2 w _ { 1 } ^ { 2 } + 5 } { 6 } } \end{array} \right) \frac { e ^ { - \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | w _ { 1 } - z } \, d w _ { 1 } - \mathrm { I d } \right] } \\ & { \qquad = \operatorname* { d e t } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { w } & { \frac { w ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } \\ { w } & { w ^ { 2 } } & { w \frac { w ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } \\ { \frac { w ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } & { w \frac { w ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { w ^ { 4 } - 2 w ^ { 2 } + 5 } { 6 } } \end{array} \right) \frac { e ^ { - \frac { w ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | w - z } \, d w - \mathrm { I d } \right] \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } \frac { e ^ { - \frac { w ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | w - z } - 1 \right) ^ { 2 } , } \end{array}
w _ { 1 } ^ { 1 } ( \rho , z ) = w _ { 2 } ^ { 1 } ( \rho , z ) = w _ { 1 } ^ { 2 } ( \rho , z ) = w _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho , z ) = w _ { 3 } ^ { 3 } ( \rho , z ) = 0 \ .
\begin{array} { r l } { h _ { m , n } ( x ) = } & { { } \frac { \alpha ^ { m } } { ( m - 1 ) ! } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { n - m } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } t ^ { m - 1 } e ^ { \omega ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } - \left( \frac { t } { \sqrt { 2 } \sigma _ { n - m } } - \omega \right) ^ { 2 } } d t , } \end{array}
\hat { f } ^ { G } ( \mu _ { l } , p _ { l } ) - f ( \mu _ { l } , p _ { l } ) = \underbrace { \frac { - p _ { l } ( N _ { l } - \lambda ( p _ { l } ) T _ { k } ) } { T _ { k } } } _ { E _ { 1 } } + \underbrace { \frac { 1 } { ( 1 - 2 \alpha ) T _ { k } } \int _ { \alpha T _ { k } } ^ { ( 1 - \alpha ) T _ { k } } ( \hat { W } _ { l } ( t ) - w _ { l } ) d t } _ { E _ { 2 } } .
S _ { k } = - \frac { 1 } { 2 } C _ { T } ^ { \prime } A _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } \left( 2 \overline { { { u _ { \mathrm { ~ d ~ } , x } ^ { 2 } } } } \overline { { u } } _ { \mathrm { ~ d ~ } , x } + \overline { { { u _ { \mathrm { ~ d ~ } , x } ^ { 3 } } } } \right) \frac { \gamma _ { j , l } } { V _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } } .
\tilde { V } [ \tilde { m } ] = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { \bar { u } } - \frac { 1 } { 2 \mu } ( \vec { \nabla } \bar { u } ) ^ { 2 } - \bar { \lambda } - ( \vec { s } - \vec { \nu } ) \cdot \vec { \nabla } \bar { u } + \mu \vec { \nu } \left( \vec { s } - \frac { \vec { \nu } } { 2 } \right)
\begin{array} { r l r } { T _ { c o s } ( t ) = f ( 0 ) + f ^ { ( 1 ) } ( 0 ) t } & { { } + } & { \bigg ( \frac { 1 } { 2 } f ^ { ( 2 ) } ( 0 ) - 2 f ( 0 ) \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) t ^ { 2 } } \end{array}
\int _ { \mathbb { B } } \int _ { \mathbb { H } } \frac { c } { | \boldsymbol { \xi } | ^ { b } } ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { J } ) ^ { 2 } \textup { d V d V } ^ { \prime } \sim \delta ^ { - ( 4 - b + d ) - b + 2 ( 1 + n ) + d } = \delta ^ { 2 ( n - 1 ) } ,
\begin{array} { r l } { d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) } & { = \mathrm { i } \left( - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \alpha } ( j ) + j \frac { T _ { \alpha } } { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } j \mathfrak { F } _ { \alpha - 1 } ( \omega , j ) \right. } \\ & { \left. \ + \left( \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) \lambda _ { \alpha } ( j ) + j \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) \right) \right) + r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) , \mathrm { ~ i f ~ j \in ~ S ^ \perp ~ } } \end{array}
\sigma ^ { - 1 } : \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbf { H } _ { R } ^ { 1 ( n ) } ; \quad \sigma ^ { - 1 } ( \mathbf { u } ) = ( \tau ( \mathbf { u } ) , \, \mathbf { x } ( \mathbf { u } ) ) = \left( R { \frac { R ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } } { R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } } } , \, { \frac { 2 R ^ { 2 } \mathbf { u } } { R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } } } \right) .
c _ { 0 } ( \xi ) = a \left( D ^ { 2 } \xi ^ { 4 } + ( \mu + \beta i _ { e } ) D \xi ^ { 2 } + \beta i _ { e } ( \mu + \nu ) + \beta i _ { e } \mu p ^ { \prime } ( i _ { e } ) \widehat { Q } _ { s p a c e } ( \xi ) \right) .
\langle \Lambda \rangle = \frac { \int _ { \Omega } \left( { | { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma + } } | ^ { 2 } - { | { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma - } } | ^ { 2 } \right) \; d \Omega } { \int _ { \Omega } \left( { | { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma + } } | ^ { 2 } + { | { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma - } } | ^ { 2 } \right) \; d \Omega } .
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \to \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbb { R } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\delta V _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ S ~ D ~ T ~ Q ~ , ~ v ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ V ~ T ~ Z ~ } } ( R ) = V _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ S ~ D ~ T ~ Q ~ , ~ v ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ V ~ T ~ Z ~ } } ( R ) - V _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ S ~ D ~ T ~ , ~ v ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ C ~ V ~ Z ~ } } ( R ) \, ,