harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i , j \geq 0 } R _ { i } ( x ) S _ { j } ( x ) { \frac { s ^ { i } } { i ! } } { \frac { t ^ { j } } { j ! } } } & { = } & { \sum _ { i , j \geq 0 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { i + j } L _ { i j } ( k ) P _ { k } ( x ) \right) { \frac { s ^ { i } } { i ! } } { \frac { t ^ { j } } { j ! } } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( k ! \sum _ { i , j \geq 0 } { \frac { L _ { i j } ( k ) } { i ! j ! } } s ^ { i } t ^ { j } \right) { \frac { P _ { k } ( x ) } { k ! } } . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { T } } \left\{ \vert \mathcal { S } _ { N } f ( x ) - f ( x ) \vert \right\} } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { T } } \left\{ \vert \mathcal { S } _ { N } ( f - P _ { N } ) ( x ) - ( f ( x ) - P _ { N } ( x ) ) \vert \right\} } \\ & { \leq ( \| S _ { N } \| + 1 ) \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { T } } \{ | f ( x ) - P _ { N } ( x ) | \} \leq c \mathcal { E } _ { N } ( f ) \log ( 1 + N ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { k } ^ { \mathrm { M C } } } & { = \mathbb { E } _ { \Pi } [ O _ { k } ^ { * } ( \sigma ) ( E _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma ) - \mathbb { E } _ { \Pi } [ E _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma ) ] ) ] } \\ { S _ { k k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { M C } } } & { = \mathbb { E } _ { \Pi } [ O _ { k } ^ { * } ( \sigma ) ( O _ { k ^ { \prime } } ( \sigma ) - \mathbb { E } _ { \Pi } [ O _ { k ^ { \prime } } ( \sigma ) ] ) ] . } \end{array}
T ^ { \mu \nu } = \int _ { \mathcal { V } ^ { 3 } } \frac { d ^ { 3 } u } { \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } } u ^ { \mu } u ^ { \nu } f _ { J \mathrm { s } } \left[ 1 + \delta f _ { \mathrm { s } } \right] .
\mathbf { E } = - \nabla \Phi = { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } \ { \frac { 3 ( \mathbf { p } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) { \hat { \mathbf { r } } } - \mathbf { p } } { r ^ { 3 } } } .
{ \tau _ { i j } } = { C _ { 1 } } \left( { { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } | \bar { S } | { { \bar { S } } _ { i j } } } \right) + { C _ { 2 } } \left( { \overline { { u _ { i } ^ { * } u _ { j } ^ { * } } } - \overline { { u _ { i } ^ { * } } } \; \overline { { u _ { j } ^ { * } } } } \right) ,
V _ { 1 } ( \phi ) = \frac { \eta } { R ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \overline { { \Lambda } } } { d \rho } \, 2 \, \rho ^ { 3 } \ln \frac { \rho ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } ( l + \omega ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } ( l + \omega ) ^ { 2 } } + ( l \rightarrow - l )
\Pi ^ { \alpha } = \mathcal { P } _ { + } d \theta ^ { \alpha } \, , \qquad \Pi ^ { \mu } = d x ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } ( C \Gamma ^ { \mu } ) _ { \alpha \beta } \theta ^ { \alpha } \Pi ^ { \beta } \, , \qquad \Pi ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 5 } } = d \varphi ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 5 } } + { \frac { 1 } { 2 } } ( C \Gamma ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 5 } } ) _ { \alpha \beta } \theta ^ { \alpha } \Pi ^ { \beta } \, .
\frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \hat { q } ^ { 2 } - E = - \frac { \hbar ^ { 2 } k k ^ { \prime } } { 2 m } + \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } \hat { q } ^ { 2 } ,
L = \frac { d } { d r } \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { d } { d r } r ^ { 2 } \right) = \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } + \frac { 2 } { r } \frac { d } { d r } - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ; \tau ) : } & { = } & { \| R _ { 1 } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } + h _ { \tau } ^ { 2 } \big ( \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } + \| R _ { 3 } ( \boldsymbol { v } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } \big ) } \\ & { } & { + \sum _ { f \in \partial \tau } h _ { f } \big ( \| J _ { 1 } ( \boldsymbol { q } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ^ { 2 } + \| J _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
\widehat { f } ( x ) = g ( x ) \widehat { d } \bigl ( G ( x ) ; G , F \bigl ) = g ( x ) \Bigl [ 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \widehat { \theta _ { j } } h _ { j } \bigl ( G ( x ) \bigl ) \Bigl ] .
{ \cal F } = J ~ \Delta m _ { 1 2 } ^ { 2 } ~ \Delta m _ { 2 3 } ^ { 2 } ~ \Delta m _ { 1 3 } ^ { 2 } = c _ { 1 3 } ^ { 2 } \, s _ { 1 3 } \, c _ { 1 2 } \, s _ { 1 2 } \, c _ { 2 3 } \, s _ { 2 3 } \, \sin \delta ~ \Delta m _ { 1 2 } ^ { 2 } ~ \Delta m _ { 2 3 } ^ { 2 } ~ \Delta m _ { 1 3 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \sqrt { \sum _ { \mathrm { { C a t a l o g E v e n t s } } } D _ { \mathrm { L } } ^ { - 2 } ( \mathcal { M } _ { c } ) ^ { 2 \alpha } } } & { \gtrapprox 1 . 9 ( D _ { \mathrm { { L } } } ^ { - 1 } ( \mathcal { M } _ { c } ) ^ { \alpha } ) _ { 1 5 0 9 1 4 } } \\ { \therefore \sqrt { \sum _ { \mathrm { C a t a l o g E v e n t s } } a ^ { 2 } } } & { \gtrapprox 1 . 9 \, a _ { 1 5 0 9 1 4 } } \end{array}
\vec { \mathrm { E } } _ { \mathrm { { o u t } } } = \left[ \begin{array} { l } { \vec { \mathcal { E } } _ { 1 , \mathrm { { o u t } } } } \\ { \vec { \mathcal { E } } _ { 2 , \mathrm { { o u t } } } } \end{array} \right] , \, \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { S } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { R } _ { \leftarrow } } & { \mathcal { T } _ { \leftarrow } } \\ { \mathcal { T } _ { \rightarrow } } & { \mathcal { R } _ { \rightarrow } } \end{array} \right] , \, \vec { \mathrm { E } } _ { \mathrm { { i n } } } = \left[ \begin{array} { l } { \vec { \mathcal { E } } _ { 1 , \mathrm { { i n } } } } \\ { \vec { \mathcal { E } } _ { 2 , \mathrm { { i n } } } } \end{array} \right] ,
\int \mathrm { d } [ 2 ] \; \widetilde { \mathcal { V } } _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) \, f _ { \alpha } ( 1 ) \sim \frac { q _ { \alpha } q _ { \beta } } { k _ { D } \sqrt { m _ { \alpha } T _ { \alpha } } } f _ { \alpha } ( 1 ) \, .
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \frac { \partial L _ { \mathrm { a } } } { \partial \dot { x } _ { 1 } } - \frac { \partial L _ { \mathrm { a } } } { \partial x _ { 1 } } = 2 \left[ \left( \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \frac { \partial L } { \partial \dot { x } _ { 1 } } - \frac { \partial L } { \partial x _ { 1 } } \right) \right] _ { x _ { 2 } = F ( x _ { 1 } ) } = 0 ,
{ \tilde { \cal { E } } } _ { m < 0 } = { \cal { E } } _ { m < 0 } ( B ) - { \cal { E } } ( 0 ) = \frac { B ^ { 2 } } { 2 } + \frac { ( e B ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 2 \pi } g \left( \frac { e B } { m ^ { 2 } } \right) \, ,
\begin{array} { r } { \alpha _ { 1 2 } = \frac { 3 k _ { 1 2 } } { k _ { 1 1 } } \quad \alpha _ { 2 1 } = \frac { k _ { 2 1 } } { 9 n } , \quad \beta _ { 1 2 } = \frac { l _ { 1 2 } } { l _ { 1 1 } } , \quad \beta _ { 2 1 } = \frac { l _ { 2 1 } } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { P e a n u t : } } & { \quad } & { \{ ( x , y ) : x = \sqrt { 3 \cos ^ { 2 } ( s ) + 1 } \cos ( s ) , \ y = \sqrt { 3 \cos ^ { 2 } ( s ) + 1 } \sin ( s ) , \ 0 \le s \le 2 \pi \} , } \\ { { K i t e : } } & { \quad } & { \{ ( x , y ) : x = \cos ( s ) + 0 . 6 5 \cos ( 2 s ) - 0 . 6 5 , \ y = 1 . 5 \sin ( s ) , \ 0 \le s \le 2 \pi \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \textrm { B S } } \hat { a } _ { \xi } ^ { \dagger } V _ { \textrm { B S } } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \hat { a } _ { \xi } ^ { \dagger } + \mathrm { i } \hat { a } _ { \eta } ^ { \dagger } ) } \\ { V _ { \textrm { B S } } \hat { a } _ { \eta } ^ { \dagger } V _ { \textrm { B S } } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \hat { a } _ { \eta } ^ { \dagger } + \mathrm { i } \hat { a } _ { \xi } ^ { \dagger } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { j } _ { \pm } } & { { } = } & { c _ { \pm , \mathrm { i n } } \boldsymbol { u } - \omega _ { \pm } c _ { \pm , \mathrm { i n } } \nabla \mu _ { \pm } , } \\ { \boldsymbol { j } _ { \pm } ^ { \mathrm { s } } } & { { } = } & { \Gamma _ { \pm } \boldsymbol { u } ^ { \mathrm { s } } - \omega _ { \pm } ^ { \mathrm { s } } \Gamma _ { \pm } \nabla ^ { \mathrm { s } } \mu _ { \pm } ^ { \mathrm { s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { L } _ { c } } & { = i \frac { \partial \Phi } { \partial Z } + \zeta _ { 1 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial X ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial Y ^ { 2 } } \right) + \zeta _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \tau ^ { 2 } } } \\ & { + \zeta _ { 3 } \Phi + \zeta _ { 4 } | \Phi | ^ { 2 } \Phi + \zeta _ { 5 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial X ^ { 2 } } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi } \\ & { + \zeta _ { 6 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Y ^ { 2 } } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w ^ { 2 } ) ( t ) } & { = 2 w \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w ) ( t ) - \mathcal { N } _ { \theta } ( t ) w ^ { 2 } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { t } [ w ( s ) - w ( t ) ] ^ { 2 } \frac { d } { d ( t - s ) } \mathcal { N } _ { \theta } ( t - s ) d s , } \\ { \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w ^ { 3 } ) ( t ) } & { = w \bigg [ \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w ^ { 2 } ) ( t ) + w ( t ) \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w ) ( t ) - \mathcal { N } _ { \theta } ( t ) w ^ { 2 } ( t ) \bigg ] } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } [ w ( s ) - w ( t ) ] ^ { 2 } [ w ( s ) + w ( t ) ] \frac { d } { d ( t - s ) } \mathcal { N } _ { \theta } ( t - s ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) = \log | \mathcal { X } _ { 1 } | - \frac { 1 } { | \mathcal { X } _ { 1 } | \cdot | \mathcal { X } _ { 2 , 1 } | } \sum _ { x _ { 1 } \in \mathcal { X } _ { 1 } } \sum _ { x _ { 2 , 1 } \in \mathcal { X } _ { 2 , 1 } } \mathbb { E } _ { Z _ { 1 } } \left[ \log \left( \frac { \sum _ { x _ { 1 } ^ { \prime } \in \mathcal { X } _ { 1 } } \sum _ { x _ { 2 , 1 } ^ { \prime } \in \mathcal { X } _ { 2 , 1 } } e ^ { - | Z _ { 1 } + h _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } + x _ { 2 , 1 } - x _ { 2 , 1 } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } } { \sum _ { x _ { 2 , 1 } ^ { \prime } \in \mathcal { X } _ { 2 , 1 } } e ^ { - | Z _ { 1 } + h _ { 1 } ( x _ { 2 , 1 } - x _ { 2 , 1 } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } } \right) \right] . } \end{array}
\delta \equiv { \frac { \delta m _ { } ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } = \frac { \sqrt { 3 N ^ { \prime } } g } { 2 \pi } \frac { m } { m _ { 0 } } \left( ( 1 - \frac { m _ { \mathrm m } ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } } ) \ln \frac { 2 m + m _ { \mathrm m } } { m _ { m } } - \frac 1 2 - \frac { m _ { \mathrm m } } { 2 m } \right) + O ( g ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { a ( \alpha ) = \frac { 1 } { 2 } } & { ( 1 - \alpha ) + \Biggl ( \frac { 1 } { 1 8 0 ( 1 - \alpha ) } \Bigl ( 4 5 - 1 5 \alpha + 1 5 \alpha ^ { 2 } - 4 5 \alpha ^ { 3 } + 2 0 \alpha ^ { 4 } } \\ & { \quad \mathrm - 4 \alpha \sqrt { 5 } \sqrt { 4 5 - 9 0 \alpha + 9 0 \alpha ^ { 2 } - 7 5 \alpha ^ { 3 } + 5 7 \alpha ^ { 4 } - 2 7 \alpha ^ { 5 } + 5 \alpha ^ { 6 } } \, \Bigr ) \Biggr ) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { \nabla } } _ { a } \biggl ( \underline { { e } } _ { \lambda k } \cdot \underline { { R } } _ { b } \biggr ) } & { { } = \underline { { e } } _ { \lambda k } \biggl ( \underline { { \nabla } } _ { a } \cdot \underline { { R } } _ { b } \biggr ) = \underline { { e } } _ { \lambda k } \, \delta _ { a b } \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } \overline { { \rho } } _ { f } ( p ) } \\ & { = } & { \frac { 2 t } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q \tilde { G } _ { 0 } ( q ) \{ \overline { { \rho } } _ { f } ( p - q ) - \overline { { \rho } } _ { f } ( p ) \} } \\ & { } & { - \sum _ { j = 1 , 2 } \Gamma _ { t } ^ { ( j ) } ( p _ { j } - p ) \overline { { \rho } } _ { f } ( p ) } \\ & { } & { + \sum _ { j = 1 , 2 } \frac { 4 t } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q \tilde { G } _ { 1 } ( q ) \mathrm { s i n c } [ \frac { v t ( p - p _ { j } - q ) } { \hbar } ] \overline { { \rho } } _ { d } ( p - q ) } \end{array}
H ^ { - k } ( \Omega , \mathbb { R } ) : = \overline { { \mathcal { D } ^ { \prime } ( \Omega ) } } ^ { \| \cdot \| _ { H ^ { - k } ( \Omega ) } } \, , \quad \| F \| _ { H ^ { - k } ( \Omega , \mathbb { R } ) } = \operatorname* { s u p } _ { u \in { H ^ { k } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } \frac { | F u | } { \| u \| _ { H ^ { k } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } \, ,
\begin{array} { r l r l r l } { \tilde { F } _ { \xi } ( x , \infty , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = 0 ; } & { ( z \tilde { F } _ { \eta } ) ( x , \infty , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = \frac { X ^ { \perp } } { 2 } ; } & { \tilde { F } _ { p } ( x , \infty , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = - H _ { S } ; } \\ { \tilde { F } _ { \xi \xi } ( x , \infty , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = g ^ { i j } ; } & { ( z \tilde { F } _ { \xi \eta } ) ( x , \infty , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = - \frac { g ^ { i j } X _ { i } } { 2 } ; } & { \tilde { F } _ { \xi p } ( x , \infty , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = 0 ; } \\ { ( z \tilde { F } _ { \eta \eta } ) ( x , \infty , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = 1 ; } & { ( z \tilde { F } _ { \eta p } ) ( x , \infty , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = H _ { S } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ; } & { \tilde { F } _ { p p } ( x , \infty , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = H _ { S } ^ { 2 } - | A _ { S } | ^ { 2 } . } \end{array}
g ^ { ( d ) } ( E ) = g _ { s } \int { \frac { \mathrm { d } ^ { d } \mathbf { k } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } } \delta \left( E - E _ { 0 } - { \frac { \hbar ^ { 2 } | \mathbf { k } | ^ { 2 } } { 2 m } } \right) = g _ { s } \ { \frac { d } { 2 } } \left( { \frac { m } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } } \right) ^ { d / 2 } { \frac { ( E - E _ { 0 } ) ^ { d / 2 - 1 } } { \Gamma ( d / 2 + 1 ) } }
\begin{array} { r l } { e _ { n } } & { : = \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( u - u _ { h } \right) ^ { 2 } ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } , t ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lesssim h ^ { k + 2 } , } \\ { e _ { c } } & { : = \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 } { h _ { i } } \int _ { \tau _ { i } } \left( u - u _ { h } \right) d x \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lesssim h ^ { k + 2 } . } \end{array}
\frac { d \hat { \bf t } } { d s } = \kappa \hat { \bf f } _ { 1 2 } = \kappa \left( ( \hat { \bf f } _ { 1 } \cdot \hat { \bf f } _ { 1 2 } ) \hat { \bf f } _ { 1 } + ( \hat { \bf f } _ { 2 } \cdot \hat { \bf f } _ { 1 2 } ) \hat { \bf f } _ { 2 } \right) \, ,
F _ { P S } = { \frac { 1 } { \sigma } } \int \mathrm { d } ^ { 2 } p _ { T } \, E _ { S } \, { \frac { \mathrm { d } \sigma _ { P S } } { \mathrm { d } ^ { 3 } p } } \approx E _ { S } { \frac { \mathrm { d } n _ { P S } } { \mathrm { d } E _ { S } } } \, .
u _ { 2 n } = v _ { 2 n - 1 } = u ^ { \prime } , ~ ~ v _ { 2 n } = u - \frac { ( \gamma - \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } , ~ ~ u _ { 2 n } = u + \frac { ( \gamma - \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } .
\begin{array} { r l } { H _ { W ^ { \prime \prime } } T H _ { W ^ { \prime } } T H _ { W } T } & { = \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { W ^ { \prime \prime } / 2 } } & { - e ^ { W ^ { \prime \prime } / 2 } } \\ { 0 } & { e ^ { - W ^ { \prime \prime } / 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { W ^ { \prime } / 2 } } & { - e ^ { W ^ { \prime } / 2 } } \\ { 0 } & { e ^ { - W ^ { \prime } / 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { W / 2 } } & { - e ^ { W / 2 } } \\ { 0 } & { e ^ { - W / 2 } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { ( W + W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } } & { - b } \\ { 0 } & { e ^ { - ( W + W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - b } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \bf s _ { i } } \quad - \, \sum _ { i , j < i } J _ { i j } { \bf s } _ { i } \cdot { \bf s } _ { j } = \operatorname* { m i n } _ { \theta _ { i } } \quad - \sum _ { i , j < i } J _ { i j } \cos ( \theta _ { i } - \theta _ { j } ) \quad \mathrm { s u b j e c t } \ \mathrm { t o } \quad \theta _ { i } \in [ 0 , 2 \pi ) ,
\begin{array} { r l } { S _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } } & { = \frac { 1 _ { ( T _ { 1 } , T _ { 2 } , t _ { 1 } - t _ { 2 } ) = 1 } } { T _ { 1 } T _ { 2 } } \left( \sum _ { g \mid k } \frac { 1 } { g } \right) \prod _ { \substack { p \mid T _ { 1 } T _ { 2 } } } \frac { p - 1 } { p } \prod _ { p \nmid T _ { 1 } T _ { 2 } } \frac { p ^ { 2 } - 1 } { p ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 6 \cdot 1 _ { ( T _ { 1 } , T _ { 2 } , t _ { 1 } - t _ { 2 } ) = 1 } } { T _ { 1 } T _ { 2 } \pi ^ { 2 } } \left( \sum _ { g \mid k } \frac { 1 } { g } \right) \prod _ { p \mid T _ { 1 } T _ { 2 } } \frac { p } { p + 1 } } \end{array}
g ( \eta ) = K _ { 0 } \bigg ( \frac { 1 } { \eta } - \frac { 3 } { 2 D } \cdot \eta + \frac { 1 } { 4 D ^ { 2 } } \cdot \eta ^ { 3 } - \frac { 1 } { 1 2 0 D ^ { 3 } } \cdot \eta ^ { 5 } \bigg ) .
{ \frac { T _ { 2 } } { Q _ { 5 } } } \sum _ { A = 1 } ^ { Q _ { 2 } Q _ { 5 } } \dot { \chi } _ { A } = { \frac { r _ { 2 } { \dot { f } _ { 1 } } } { \kappa ^ { 2 } } } = Q _ { 2 } T _ { 2 } \dot { f } _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { A ( N ( t ) ) } & { { } = \frac { 2 q _ { 1 } } { q _ { 0 } t _ { R T } } N ( t ) - \left( \frac { 1 } { \tau } - \frac { \ln ( R _ { p l } ) } { t _ { R T } } \right) + \frac { 2 \alpha _ { R S } L } { t _ { R T } } } \\ { G } & { { } = \frac { 2 } { t _ { R T } } \frac { \Delta \Omega } { 4 \pi } } \end{array}
\widetilde { P } _ { l + 1 } \left( \begin{array} { l } { \check { \beta } _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \check { \alpha } _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } \check { v } _ { l + 1 } } \end{array} \right) + f _ { k + 1 } , \ \ \| f _ { k + 1 } \| = \mathcal { O } ( k \kappa ( C ) \tau ) ,
\begin{array} { c } { { S U ( 3 ) _ { c } \otimes S U ( 4 ) _ { L } \otimes U ( 1 ) _ { N } } } \\ { { \downarrow \langle \chi \rangle } } \\ { { S U ( 3 ) _ { c } \otimes S U ( 3 ) _ { L } \otimes U ( 1 ) _ { N ^ { \prime } } } } \\ { { \downarrow \langle \eta ^ { \prime } \rangle } } \\ { { S U ( 3 ) _ { c } \otimes S U ( 2 ) _ { L } \otimes U ( 1 ) _ { N ^ { \prime \prime } } } } \\ { { \downarrow \langle x \rangle } } \\ { { S U ( 3 ) _ { c } \otimes U ( 1 ) _ { e m } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } _ { i } } & { = \frac { 5 \beta } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left( \mathbf { I } - \frac { 2 } { 5 } \, \mu \boldsymbol { \epsilon } \right) \cdot \mathbf { f } _ { i } + \frac { 5 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \ln \frac { | \mathbf { r } _ { i j } + ( 1 - \alpha ) L \mathbf { t } _ { j } | } { | \mathbf { r } _ { i j } - \alpha L \mathbf { t } _ { j } | } \left( \mathbf { I } - \frac { 2 } { 5 } \mu \boldsymbol { \epsilon } \right) + \right. } \\ & { + \left. \, \frac { 3 } { 5 } \left( \frac { ( \mathbf { r } _ { i j } - \alpha L \mathbf { t } _ { j } ) ( \mathbf { r } _ { i j } - \alpha L \mathbf { t } _ { j } ) } { | \mathbf { r } _ { i j } - \alpha L \mathbf { t } _ { j } | ^ { 2 } } - \frac { [ \mathbf { r } _ { i j } + ( 1 - \alpha ) L \mathbf { t } _ { j } ] [ \mathbf { r } _ { i j } + ( 1 - \alpha ) L \mathbf { t } _ { j } ] } { | \mathbf { r } _ { i j } + ( 1 - \alpha ) L \mathbf { t } _ { j } | ^ { 2 } } \right) \right] \cdot \mathbf { f } _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( } & { { } \dot { f } _ { 2 } \, c - f _ { 2 } \, \dot { c } \big ) \, V + f _ { 2 } \, c \, \frac { \partial V } { \partial t } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \dot { f } _ { 2 } \, c \, \sum _ { i } x _ { i } \frac { \partial V } { \partial x _ { i } } } \\ { + \bigg ( } & { { } \dddot { f _ { 2 } } - \frac { 3 \ddot { f } _ { 2 } \, \dot { c } + \dot { f } _ { 2 } \, \ddot { c } } { c } + \frac { 3 \dot { f } _ { 2 } \, \dot { c } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { i } { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } x _ { i } ^ { 2 } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { G } } ^ { I J } } & { : = } & { 2 \tilde { \Pi } ^ { a [ I } Q _ { a } ^ { J ] } , } \\ { \tilde { \mathcal { D } } _ { a } } & { : = } & { 2 \tilde { \Pi } ^ { b I } \partial _ { [ a } Q _ { b ] I } - Q _ { a I } \partial _ { b } \tilde { \Pi } ^ { b I } , } \\ { \tilde { \tilde { \mathcal { H } } } } & { : = } & { - \sigma \tilde { \Pi } ^ { a I } \tilde { \Pi } ^ { b J } R _ { a b I J } + 2 \tilde { \Pi } ^ { a [ I } \tilde { \Pi } ^ { | b | J ] } Q _ { a I } Q _ { b J } } \\ & { } & { + 2 \sigma h ^ { 1 / ( n - 2 ) } \Lambda , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } T _ { c o s } ( t ) d t = f ( 0 ) ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) } & { { } + } & { \frac { 1 } { 2 } f ^ { ( 1 ) } ( 0 ) ( t _ { 2 } ^ { 2 } - t _ { 1 } ^ { 2 } ) } \end{array}
E \frac { d ^ { 3 } \sigma ( D ) } { d ^ { 3 } p } \approx \tilde { f } _ { \cal P P } ( m _ { \bot } ) - \frac { 1 } { ^ 4 \sqrt { s } } \{ \tilde { f } _ { \cal R P } ( m _ { \bot } ) e ^ { y / 2 } + \tilde { f } _ { \cal P R } ( m _ { \bot } ) e ^ { - y / 2 } \} .
k _ { 1 } = 0 . 8 9 8 9 \, k _ { 0 } \ , \quad k _ { 2 } = 0 . 1 1 2 4 \, k _ { 1 } \ , \quad k _ { 3 } = 0 . 8 9 8 9 \, k _ { 2 } \ , \quad k _ { 4 } = 0 . 1 1 2 4 \, k _ { 3 } \ , \ldots
\ln ( \Omega ) = N \cdot \ln ( N ) - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bigg [ g _ { j } \frac { N } { Z } e ^ { \beta E _ { j } } \cdot \ln ( g _ { j } ) \bigg ] - \ln \big ( \frac { N } { Z } \big ) \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bigg [ g _ { j } \frac { N } { Z } e ^ { \beta E _ { j } } \bigg ] - \beta U + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bigg [ \ln ( g _ { j } ) \cdot g _ { j } \frac { N } { Z } e ^ { \beta E _ { j } } \bigg ]
( 1 - \phi ) \big ( \partial _ { t } p _ { f } + { \bf u } \cdot \nabla p _ { f } \big ) + ( p _ { \mathrm { a t m } } + p _ { f } ) \mathrm { d i v } \, { \bf u } = p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) \nabla p _ { f } ) ,
R E ^ { 2 } ( n ) = \frac { \| S t d ( \cdot ) \| ^ { 2 } } { \| T _ { m a t t e r } ( \cdot ) \| ^ { 2 } } = \frac { \sum _ { m \in \mathcal { M } } V a r ( m ) } { \sum _ { m \in \mathcal { M } } T _ { m a t t e r } ( m ) ^ { 2 } } .