harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\alpha { \cal C } = { \cal F } ( \alpha ( K _ { 0 } ^ { 2 } - K ^ { 2 } ) ) \; \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \; { \cal F } ( 0 ) = 0 \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; { \cal F } ^ { \prime } ( 0 ) = 1
\begin{array} { r l } { \frac { \delta Z [ q ] } { \delta q ( x ) } } & { = \frac { \delta } { \delta q ( x ) } C \left[ \operatorname* { d e t } S \right] ^ { - 1 / 2 } \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } q ^ { \dagger } S ^ { - 1 } q \right\} } \\ & { = C \left[ \operatorname* { d e t } S \right] ^ { - 1 / 2 } \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } q ^ { \dagger } S ^ { - 1 } q \right\} \frac { \delta } { \delta q ( x ) } \frac { 1 } { 2 } q ^ { \dagger } S ^ { - 1 } q } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } Z [ q ] \frac { \delta } { \delta q ( x ) } \int d x ^ { \prime } d x ^ { \prime \prime } \: q ( x ^ { \prime } ) S ^ { - 1 } ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) q ( x ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } Z [ q ] \int d x ^ { \prime } d x ^ { \prime \prime } \: \left[ \delta ( x ^ { \prime } - x ) S ^ { - 1 } ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) q ( x ^ { \prime \prime } ) + q ( x ^ { \prime } ) S ^ { - 1 } ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) \delta ( x ^ { \prime \prime } - x ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } Z [ q ] \left[ \int d x ^ { \prime \prime } \: S ^ { - 1 } ( x , x ^ { \prime \prime } ) q ( x ^ { \prime \prime } ) + \int d x ^ { \prime } \: q ( x ^ { \prime } ) S ^ { - 1 } ( x ^ { \prime } , x ) \right] } \\ & { = Z [ q ] ( S ^ { - 1 } q ) ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ^ { 2 } - 4 \epsilon } & { = ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } ) ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) } \\ & { = ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } + \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( x , y , z , t ) = \mu \Bigg [ } & { 2 \left( \frac { \partial u ( x , y , z , t ) } { \partial x } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { 2 \left( \frac { \partial v ( x , y , z , t ) } { \partial y } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { 2 \left( \frac { \partial w ( x , y , z , t ) } { \partial z } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { \left( \frac { \partial v ( x , y , z , t ) } { \partial x } + \frac { \partial u ( x , y , z , t ) } { \partial y } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { \left( \frac { \partial w ( x , y , z , t ) } { \partial y } + \frac { \partial v ( x , y , z , t ) } { \partial z } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { \left( \frac { \partial u ( x , y , z , t ) } { \partial z } + \frac { \partial w ( x , y , z , t ) } { \partial x } \right) ^ { 2 } \Bigg ] \mathrm { , } } \end{array}
\left| \Psi \right\rangle = \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \left| 0 \right\rangle _ { 1 } \left| 0 \right\rangle _ { 2 } + \alpha _ { 1 } \beta _ { 2 } \left| 0 \right\rangle _ { 1 } \left| 1 \right\rangle _ { 2 } + \beta _ { 1 } \alpha _ { 2 } \left| 1 \right\rangle _ { 1 } \left| 0 \right\rangle _ { 2 } + \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \left| 1 \right\rangle _ { 1 } \left| 1 \right\rangle _ { 2 } \; .
\Sigma _ { k , i j } ( t , t ^ { \prime } ) = \Sigma _ { k } ^ { t a d } ( t ) \; \delta ( t - t ^ { \prime } ) \; \delta _ { i j } + \Sigma _ { k } ^ { b u b } ( t , t ^ { \prime } ) \; { \cal P } _ { i j } ( \vec { k } ) ,
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } H _ { i } ( t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } \alpha _ { j , i } H \big ( \rho _ { h i } ^ { ( L ) } ( b _ { i } , t ) , \rho _ { h j } ^ { ( R ) } ( a _ { j } , t ) \big ) = \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { j , i } H \big ( \rho _ { h i } ^ { ( L ) } ( b _ { i } , t ) , \rho _ { h j } ^ { ( R ) } ( a _ { j } , t ) \big ) = \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } H _ { j } ( t ) . } \end{array}
T _ { 1 0 } ^ { m \; k } \; = \frac { \Theta } { 4 \ell _ { P } ^ { 7 } } \, < s _ { K } ^ { a } \; \epsilon ^ { i j k } \epsilon ^ { I J K } \langle W , \xi | \hat { A } _ { a } ^ { m } ( v ) \hat { w } _ { i I \Delta } ( v )
{ \begin{array} { r l } { G _ { 1 } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos ( \theta ) } & { 0 } & { - \sin ( \theta ) } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \sin ( \theta ) } & { 0 } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right] } } \\ & { \approx { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 9 4 8 6 8 } & { 0 } & { - 0 . 3 1 6 2 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 . 3 1 6 2 2 } & { 0 } & { 0 . 9 4 8 6 8 } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { g _ { N } ^ { \infty } ( x , \alpha , \theta ) } & { = \frac { 1 } { \pi x } \Re i e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \theta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \tau e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \theta } \right\} \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \left( \frac { i \tau } { x } \right) ^ { \alpha n } d \tau , \quad x > 0 , } \\ { R _ { N } ^ { \infty } ( x , \alpha , \theta ) } & { = \frac { 1 } { \pi x } \Re i e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \theta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \tau e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \theta } \right\} R _ { N } \left( - \left( \frac { i \tau } { x } \right) ^ { \alpha } \right) d \tau , \quad x > 0 . } \end{array}
- d s ^ { 2 } = d \tilde { x } ^ { \tilde { m } } \tilde { g } _ { \tilde { m } \tilde { n } } d \tilde { x } ^ { \tilde { n } } = \rho ^ { 2 } d x ^ { 2 } + R ^ { 2 } \, \left( \frac { d \rho } \rho \right) ^ { 2 } \, .
Z = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \omega } } \\ { { { \tilde { \omega } } ^ { * } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad { \overline { { Z } } } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { { \omega } ^ { * } } } \\ { { { \tilde { \omega } } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { p _ { v v ^ { \prime } } ( t ) = \langle f _ { v } ^ { \Omega } ( r ) | \frac { d } { d t } f _ { v ^ { \prime } } ^ { \Omega } ( r ) \rangle = \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { v } ^ { \Omega } ( r ) \, \frac { d } { d t } f _ { v ^ { \prime } } ^ { \Omega } ( r ) \, d r } \end{array}
F = \sum _ { i , j } \left| K _ { i } R _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { ( e x p ) } } ( \lambda _ { j } , 2 5 0 ~ \mathrm { K } ) - R _ { t _ { i } + \Delta t _ { i } } ^ { \mathrm { ( T M M ) } } ( \lambda _ { j } , 2 5 0 ~ \mathrm { K } ) \right| ^ { 2 } + \left| K _ { i } ^ { \prime } R _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { ( e x p ) } } ( \lambda _ { j } , 6 ~ \mathrm { K } ) - R _ { t _ { i } + \Delta t _ { i } } ^ { \mathrm { ( T M M ) } } ( \lambda _ { j } , 6 ~ \mathrm { K } ) \right| ^ { 2 } ,
f ( T , m ) \approx \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { T _ { c } } { T } \right) m ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { T _ { c } } { T } \right) ^ { 3 } m ^ { 4 } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg \| ^ { 2 } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \big ( \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \big ) + \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \big ( \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \big ) \bigg \| ^ { 2 } + 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 \underbrace { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } + 2 \underbrace { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } } _ { T _ { 2 } } } \end{array}
Q _ { \epsilon } [ \eta ] \, = \, Q _ { \epsilon } [ \eta _ { 3 } ] + Q _ { \epsilon } [ \eta _ { 4 } ] - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \bigl ( | \nabla \chi _ { 3 } | ^ { 2 } + | \nabla \chi _ { 4 } | ^ { 2 } \bigr ) \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, .
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { c } { s _ { 1 } ^ { \scriptscriptstyle ( \! - \! ) } } \\ { \tilde { s } _ { 2 } ^ { \scriptscriptstyle ( \! - \! ) } } \end{array} \right) = \widehat { B } \left( \begin{array} { c } { s _ { 1 } ^ { \scriptscriptstyle ( \! + \! ) } } \\ { \tilde { s } _ { 2 } ^ { \scriptscriptstyle ( \! + \! ) } } \end{array} \right) + a _ { 1 } | d \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( I ) } & { { } = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } I _ { \sigma ( i ) } ^ { i } = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { \delta } _ { i , \sigma ( i ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { k l } \left( k T _ { i } , u ^ { s } \right) } & { { } \approx } & { \frac { 4 \, m _ { p } \, u ^ { s } } { \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, u _ { k l } } \, , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \, \, \, \, \, [ f _ { 1 } , f _ { 2 } ] _ { * _ { 1 } } ( \xi ) = \sigma _ { 1 } f _ { 1 } ( \xi ) ( \overleftarrow \partial _ { \alpha } \lambda _ { \alpha } \partial _ { \alpha } ) ^ { 3 } f _ { 2 } ( \xi ) + c _ { 1 } ^ { ( n ) } f _ { 1 } ( \xi ) [ \overleftarrow \partial _ { \alpha } ] ^ { n } \varepsilon ^ { [ \alpha ] _ { n } } \varepsilon ^ { [ \beta ] _ { n } } [ \partial _ { \beta } ] ^ { n } f _ { 2 } ( \xi ) + } } \\ { { + c _ { 1 n } \biggl ( f _ { 1 } ( \xi ) ( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \overleftarrow \partial _ { \alpha } \xi ^ { \alpha } ) \varepsilon ^ { [ \beta ] _ { n } } [ \partial _ { \beta } ] ^ { n } f _ { 2 } ( \xi ) - f _ { 1 } ( \xi ) [ \overleftarrow \partial _ { \alpha } ] ^ { n } \varepsilon ^ { [ \alpha ] _ { n } } ( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \xi ^ { \beta } \partial _ { \beta } ) f _ { 2 } ( \xi ) \biggr ) + } } \\ { { + d _ { S } t _ { 1 } ( \xi | f _ { 1 } , f _ { 2 } ) , } } \end{array}
\zeta ( s ) = { \frac { 1 } { s - 1 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n + 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + 1 ) ^ { s - 1 } } }
\begin{array} { r } { f ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) - f ( \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) - \frac { \hat { \rho } } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } \geq - \widehat \lambda _ { t } g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \frac { \hat { \rho } - \rho + \widehat \lambda _ { t } \mu } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \downarrow , t h } = S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \uparrow , t h } = 0 , } \quad { S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \downarrow , t h } = S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow , t h } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S ( X , t ) = - \nabla _ { X } \log p ( X , t ) = - \frac { \nabla _ { X } p ( X , t ) } { p ( X , t ) } } \\ { = } & { \frac { \frac { 1 } { Z } \int \frac { X - X _ { 0 } e ^ { - t / 2 } } { 1 - e ^ { - t } } \exp \Big ( - \frac { \| X - X _ { 0 } e ^ { - t / 2 } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } \Big ) p _ { d a t a } ( X _ { 0 } ) d X _ { 0 } , } { \frac { 1 } { Z } \int \exp \Big ( - \frac { \| X - X _ { 0 } e ^ { - t / 2 } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } \Big ) p _ { d a t a } ( X _ { 0 } ) d X _ { 0 } } } \\ { = } & { E _ { X _ { 0 } } [ \frac { X _ { t } - X _ { 0 } e ^ { - t / 2 } } { 1 - e ^ { - t } } | X _ { t } = X ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X ( T ( \omega _ { 1 } , \dots , \omega _ { k } , Z _ { 1 } , \dots , Z _ { l } ) ) = ( \nabla _ { X } T ) ( \omega _ { 1 } , \dots , \omega _ { k } , Z _ { 1 } , \dots , Z _ { l } ) } \\ & { \qquad \qquad + T ( \nabla _ { X } \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \dots , \omega _ { k } , Z _ { 1 } , \dots , Z _ { l } ) + \ldots + T ( \omega _ { 1 } , \dots , \omega _ { k } , Z _ { 1 } , \dots , Z _ { l - 1 } , \nabla _ { X } Z _ { l } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( z ^ { * } - s - x - y ) ( t ) | } & { \leq | ( z ^ { * } - s - x - y ) ( 0 ) | e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \\ & { \leq \left( z ^ { * } ( 0 ) + | | s ^ { i n } | | + | | x ^ { i n } | | + y ( 0 ) \right) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \\ & { \leq \left( \overline { s } + 2 R + R p ( R ) \tau \right) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \int _ { \Lambda _ { h } } { { u _ { 0 } } { \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial \nu } } - u ^ { \prime } } { \frac { \partial { u _ { 0 } } } { \partial \nu } } \mathrm d \sigma \right\vert } & { \leq { \left\| { { u _ { 0 } } } \right\| _ { { H ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } ( \Lambda _ { h } ) } } { \left\| { { \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial \nu } } } \right\| _ { { H ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } ( \Lambda _ { h } ) } } + { \left\| { u ^ { \prime } } \right\| _ { { L ^ { 2 } } ( \Lambda _ { h } ) } } { \left\| { { \frac { \partial { u _ { 0 } } } { \partial \nu } } } \right\| _ { { L ^ { 2 } } ( \Lambda _ { h } ) } } } \\ & { \leq { \left\| { { u _ { 0 } } } \right\| _ { { H ^ { 1 } } ( \Lambda _ { h } ) } } { \left\| { u ^ { \prime } } \right\| _ { { H ^ { 1 } } ( { Q _ { h } } ) } } + { \left\| { u ^ { \prime } } \right\| _ { { H ^ { 1 } } ( { Q _ { h } } ) } } { \left\| { { \frac { \partial { u _ { 0 } } } { \partial \nu } } } \right\| _ { { L ^ { 2 } } ( \Lambda _ { h } ) } } } \\ & { \leq { \left\| { u ^ { \prime } } \right\| _ { { H ^ { 1 } } ( { Q _ { h } } ) } } \left( { \left\| { { u _ { 0 } } } \right\| _ { { H ^ { 1 } } ( \Lambda _ { h } ) } } + { \left\| { { \frac { \partial { u _ { 0 } } } { \partial \nu } } } \right\| _ { { L ^ { 2 } } \left( \Lambda _ { h } \right) } } \right) } \\ & { \leq 2 \mathcal M \sqrt { 1 + 2 { \tau ^ { 2 } } + { k ^ { 2 } } } \theta _ { 0 } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } { h ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau h } } \leq C _ { 1 0 } \tau { h ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { r } } ( t ) } & { = r _ { d } + ( { \hat { r } } ( 0 ) - r _ { d } ) \cosh \left( \sqrt { \frac { - V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) } { \mu } } t \right) + \frac { { \hat { p } } ( 0 ) } { \sqrt { - \mu V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) } } \sinh \left( \sqrt { \frac { - V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) } { \mu } } t \right) } \end{array}
\mathcal { P } ( y ) = \sum _ { \ell = 1 } \lambda _ { \ell } e ^ { y - \lambda _ { \ell } e ^ { y } } { \bf 1 } \left( { \bf w } _ { \ell } ^ { R } \otimes { \bf w } _ { \ell } ^ { L } \right) { \boldsymbol { \sigma } } _ { \mathcal { S } } ( 0 ) .
q ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = A _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } { \mathcal { F } _ { \alpha \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } P _ { \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) }
\begin{array} { r l } & { { y _ { q , n } ^ { \mathrm { C } } } \left( t \right) = { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } \sum _ { i = 1 } ^ { Q } { \sqrt { { { \tilde { p } } _ { i , n } } } { { \bf { f } } _ { i , n } } { c _ { i , n } } \left( t \right) } + { \omega _ { q , n } ^ { \mathrm { C } } } \left( t \right) } \\ & { = \sqrt { { { \tilde { p } } _ { q , n } } } { { \mathbb E } } \left( { { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } { { \bf { f } } _ { q , n } } } \right) { c _ { q , n } } \left( t \right) + { \zeta _ { q , n } } \left( t \right) + { { \tilde { \zeta } } _ { q , n } } \left( t \right) + { \omega _ { q , n } ^ { \mathrm { C } } } \left( t \right) , } \end{array}
A _ { n r } = { \frac { 4 ( 2 - \delta _ { n 0 } ) } { a ^ { 2 } } } \, \, { \frac { \sinh k _ { n r } ( L + z _ { 0 } ) } { \sinh 2 k _ { n r } L } } \, \, { \frac { J _ { n } ( k _ { n r } \rho _ { 0 } ) } { k _ { n r } [ J _ { n + 1 } ( k _ { n r } a ) ] ^ { 2 } } } .
\pm 1 5 A \sqrt { \alpha M } \, \tau + \mathrm { c o n s t . } = \left( 3 r ^ { 2 } + { 4 r _ { 1 } } r + 8 r _ { 1 } ^ { 2 } \right) \sqrt { r - { r _ { 1 } } } \, , \nonumber \,
\mathbf { r } _ { 1 } = \mathbf { r } _ { 0 } - \alpha _ { 0 } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { 0 } = { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } - { \frac { 7 3 } { 3 3 1 } } { \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 1 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } \approx { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 2 8 1 0 } \\ { 0 . 7 4 9 2 } \end{array} \right] } .
{ \frac { e ^ { - { \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \Delta ^ { 2 } } } } } { \sqrt { 2 \pi } \Delta } } = { \frac { e ^ { \frac { - 4 x ^ { 2 } + 4 ( x _ { 0 } + \lambda - \Gamma \mu ( \sigma ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } ) ) x - 2 ( \sigma ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } ) \Gamma \tau _ { 0 } - ( \lambda + x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \Delta ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) } } } { \sqrt { 2 \pi } \sqrt { \Delta ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } } \; .
E _ { v a r } ( R ) \, = \, \frac { 4 \, \pi } { 3 } \, V ( \phi _ { + } ) \, R ^ { 3 } \, + \, { \frac { 4 \pi { R ^ { 2 } } { m ^ { 3 } } } { 1 2 \lambda } } \, \left[ 1 + \frac { 9 \, \eta } { 2 } - \frac { 3 \eta } { 2 } \frac { \xi } { R } + \left( \frac { \pi ^ { 2 } - 6 } { 1 2 } + \frac { 3 \pi ^ { 2 } \eta } { 8 } \right) \frac { \xi ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right]
\triangle E _ { n } = \frac { 2 \mu } { \pi } [ \frac { 2 ^ { 4 } e } { g ^ { 2 } ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } ] ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { 4 } { 3 g ^ { 2 } } }
F _ { f } = \frac { C _ { f } Q _ { f } ^ { 2 } } { ( m _ { p } ^ { 2 } / Q _ { f } ^ { 2 } ) ^ { \alpha _ { f } ( 0 ) - 1 } } \left( \frac { Q ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + Q _ { f } ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha _ { f } ( 0 ) } \left( 1 + \frac { Q ^ { 2 } } { Q _ { f \, 1 } ^ { 2 } } \right) ^ { d _ { f } } \left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { \alpha _ { f } ( 0 ) - 1 } .
\Gamma [ \tau , S ] = { \frac { 9 } { \alpha } } \left( \bar { S } S \right) ^ { 1 / 3 } \Big | _ { D } ~ - ~ N _ { c } \left( S - S \ln ( S / \Lambda ^ { 3 } ) \right) \Big | _ { F } + \, \mathrm { h . c . } ~ .
\Big ( \big ( \boldsymbol { u } - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { a } \big ) \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } h - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } h ) + h \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { u } \Big ) \, \mathrm { d } t + \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } h = 0 ,
y ^ { 2 } ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } v _ { k } } { d y ^ { 2 } } + 4 y \epsilon ( \epsilon - \eta ) \frac { d v _ { k } } { d y } + ( y ^ { 2 } - 2 + \epsilon ) v _ { k } = 0
\xi ( \omega ) = Z _ { H } \left[ \frac { 2 } { 1 + \omega } I _ { 3 } ( \Delta _ { H } ) + \left( m + \frac { 2 \Delta _ { H } } { 1 + \omega } \right) I _ { 5 } ( \Delta _ { H } , \Delta _ { H } , \omega ) \right] ~ ~ .
\begin{array} { r l } { _ V \phi _ { j } ^ { i } + \mathcal { G } ^ { < ( \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ) } , \quad } & { E _ { \beta _ { k } } + \mathcal { G } ^ { < ( d ( E _ { \beta _ { k } } ) , \mathbf { 0 } ) } , \quad F _ { \beta _ { k } } + \mathcal { G } ^ { < ( d ( F _ { \beta _ { k } } ) , \mathbf { 0 } ) } , \quad K _ { \mu } + \mathcal { G } ^ { < ( \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ) } } \\ & { \widetilde { E _ { \beta _ { k } } } + \mathcal { G } ^ { < ( \mathbf { 0 } , d ( E _ { \beta _ { k } } ) ) } , \quad \widetilde { F _ { \beta _ { k } } } + \mathcal { G } ^ { < ( \mathbf { 0 } , d ( F _ { \beta _ { k } } ) ) } , \quad \widetilde { K _ { \mu } } + \mathcal { G } ^ { < ( \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ) } } \end{array}
2 \pi \mathcal { F } _ { z ^ { \prime } \rightarrow \eta _ { l } } \big \{ \boldsymbol { \jmath } _ { l } ^ { T } ( z ^ { \prime } ) \big \} = a i ^ { l } l \omega _ { 0 } \frac { \mathrm { J } _ { l } ( \eta _ { l } a ) } { \eta _ { l } a } ,
\left\{ { \frac { D e t ^ { \prime } \left[ - ( d ^ { 2 } / d \tau ^ { 2 } ) + V ^ { \prime \prime } [ x _ { c 1 } ( \tau ) ] \right] } { D e t \left[ - ( d ^ { 2 } / d \tau ^ { 2 } ) + \nu ^ { 2 } \right] } } \right\} ^ { - 1 / 2 } \, s q r t { { \frac { S _ { 1 } } { 2 \pi } } } \ d \tau _ { c }
\begin{array} { r l r } & { } & { \rho _ { \mathrm { t o t } } = \rho _ { \Lambda } + \rho _ { \mathrm { m } } + p _ { \mathrm { m } } + 4 \int _ { r } ^ { \infty } \d u \frac { \rho _ { E } ( u ) } { u } , } \\ & { } & { \rho _ { \lambda } = \rho _ { \Lambda } + p _ { \mathrm { m } } - \rho _ { E } + 4 \int _ { r } ^ { \infty } \d u \frac { \rho _ { E } ( u ) } { u } . } \end{array}
\rho _ { \star } E _ { a } = - g \int _ { z _ { r } } ^ { z } \int _ { z _ { r } } ^ { z ^ { \prime } } \frac { d \rho _ { 0 } } { d z } ( z ^ { \prime \prime } ) \, \mathrm { d } z ^ { \prime \prime } \, \mathrm { d } z ^ { \prime } ,
X _ { L , R } = U _ { L , R } ^ { \dagger } \left( \begin{array} { c c c } { { x ^ { d } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { x ^ { s } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { x ^ { b } } } \end{array} \right) U _ { L , R } \, ,
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \mathrm { ( F W M ) } } ( \omega , \omega _ { \tau } ) } & { { } \sim \sum _ { n } p _ { n } \sum _ { k , u , v } f _ { n u } ( \omega _ { \tau } - \omega _ { n u } ) f _ { k v } ^ { * } ( \omega - \omega _ { k v } ) M _ { n u } ^ { * } M _ { n v } ^ { } M _ { k u } ^ { } M _ { k v } ^ { * } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( k , t ) = } & { { \int _ { { t _ { 0 } } } ^ { t } { { L ^ { - 1 } } \left[ { \frac { { { g _ { n - k - 1 } } ( s ) } } { { \Delta ( s ) } } } e ^ { - \tau s } \right] \delta ( \tilde { e } ( \tau ) ) } d \tau } } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { { d _ { j } } - 1 } { \int _ { { t _ { 0 } } } ^ { t } { { e ^ { - { s _ { j } } ( t - { \tau } ) } } \frac { { { c _ { k + 1 , j , i } } } } { { i ! } } { { ( t - \tau ) } ^ { i } } \delta ( \tilde { e } ( \tau ) ) d \tau } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { e n \partial _ { t t } ^ { 2 } B _ { x } = \partial _ { x y } ^ { 2 } ( P _ { x x } ( \partial _ { x x } ^ { 2 } B _ { y } - \partial _ { x y } ^ { 2 } B _ { x } ) / ( \mu _ { 0 } e n ) } \\ { - \frac { e } { m _ { e } } B _ { y } ( P _ { x x } - P _ { z z } ) ) } \\ { + \partial _ { y y } ^ { 2 } ( P _ { y y } ( \partial _ { x y } ^ { 2 } B _ { y } - \partial _ { y y } ^ { 2 } B _ { x } ) / ( \mu _ { 0 } e n ) - \frac { e } { m _ { e } } B _ { x } ( P _ { z z } - P _ { y y } ) ) } \\ { e n \partial _ { t t } ^ { 2 } B _ { y } = - \partial _ { x x } ^ { 2 } ( P _ { x x } ( \partial _ { x x } ^ { 2 } B _ { y } - \partial _ { x y } ^ { 2 } B _ { x } ) / ( \mu _ { 0 } e n ) } \\ { - \frac { e } { m _ { e } } B _ { y } ( P _ { x x } - P _ { z z } ) ) } \\ { - \partial _ { x y } ^ { 2 } ( P _ { y y } ( \partial _ { x y } ^ { 2 } B _ { y } - \partial _ { y y } ^ { 2 } B _ { x } ) / ( \mu _ { 0 } e n ) - \frac { e } { m _ { e } } B _ { x } ( P _ { z z } - P _ { y y } ) ) } \end{array} \right. } \end{array}
{ \frac { \partial u } { \partial \lambda } } = 2 h c ^ { 2 } \left( { \frac { h c } { k T \lambda ^ { 7 } } } { \frac { e ^ { h c / \lambda k T } } { \left( e ^ { h c / \lambda k T } - 1 \right) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { \lambda ^ { 6 } } } { \frac { 5 } { e ^ { h c / \lambda k T } - 1 } } \right) = 0 ,