harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { 1 } } & { = \{ \mathcal { M } _ { 1 } \} , \quad \mathcal { G } _ { 2 } = \{ \mathcal { M } _ { 2 } \} , \quad \mathcal { G } _ { 3 } = \{ \mathcal { M } _ { 3 } \} , } \\ { \mathcal { G } _ { 4 } } & { = \{ \mathcal { M } _ { 1 } , \mathcal { M } _ { 2 } \} , \quad \mathcal { G } _ { 5 } = \{ \mathcal { M } _ { 1 } , \mathcal { M } _ { 3 } \} , \quad \mathcal { G } _ { 6 } = \{ \mathcal { M } _ { 2 } , \mathcal { M } _ { 3 } \} , } \\ { \mathcal { G } _ { 7 } } & { = \{ \mathcal { M } _ { 1 } , \mathcal { M } _ { 2 } , \mathcal { M } _ { 3 } \} . } \end{array}
T _ { ( \ell _ { 1 } m _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } m _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } m _ { 3 } n _ { 3 } ) } = C _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } ) } \, \left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } \end{array} \right\} ,
\begin{array} { r l r } { r ^ { \mathrm { T M } } } & { = } & { \frac { \varepsilon _ { 1 } ( i \xi _ { n } ) k _ { 3 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) - \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi _ { n } ) k _ { 1 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) } { \varepsilon _ { 1 } ( i \xi _ { n } ) k _ { 3 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) + \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi _ { n } ) k _ { 1 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) } } \\ { r ^ { \mathrm { T E } } } & { = } & { \frac { k _ { 3 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) - k _ { 1 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) } { k _ { 3 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) + k _ { 1 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) } } \end{array}
{ { \gamma } _ { 3 } } = { { \gamma } _ { H i } } , { { \gamma } _ { 1 } } = { { \gamma } _ { 3 } } = \left( 1 - { { \gamma } _ { H i } } \right) \left( 1 - { { \gamma } _ { L o } } \right) / 2 , { { \gamma } _ { 2 } } = \left( 1 - { { \gamma } _ { H i } } \right) { { \gamma } _ { L o } } ,
i \hbar \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } + m c \equiv i \hbar ( \gamma ^ { 0 } \partial _ { 0 } + \gamma ^ { 1 } \partial _ { 1 } + \gamma ^ { 2 } \partial _ { 2 } + \gamma ^ { 3 } \partial _ { 3 } ) + m c { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { l } { { \left[ J _ { n } ^ { \left( i \right) } , J _ { m } ^ { \left( j \right) } \right] = f _ { i j k } J _ { n + m } ^ { \left( k \right) } + g _ { i j } n \delta _ { n , - m } } } \\ { { \left[ L _ { n } , J _ { m } ^ { \left( i \right) } \right] = - m J _ { n + m } ^ { \left( i \right) } } } \\ { { \left\{ G _ { r } , \nu _ { s } ^ { \left( i \right) } \right\} = J _ { r + s } ^ { \left( i \right) } } } \\ { { \left[ L _ { n } , \nu _ { s } ^ { \left( i \right) } \right] = \left( - \frac n 2 - s \right) \nu _ { n + s } ^ { \left( i \right) } } } \\ { { \left[ J _ { n } ^ { \left( i \right) } , \nu _ { s } ^ { \left( j \right) } \right] = t _ { i j l } \nu _ { n + s } ^ { \left( l \right) } } } \\ { { \left\{ \nu _ { s } ^ { \left( i \right) } , \nu _ { r } ^ { \left( j \right) } \right\} = h _ { i j } \delta _ { r , - s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \operatorname { e } ( g ^ { * } E \otimes H ( E ) ) \overset { = } \sum _ { i = 0 } ^ { n } w _ { i } ( g ^ { * } E ) \operatorname { e } ( H ( E ) ) ^ { n - i } = \sum _ { i = 0 } ^ { n } g ^ { * } ( w _ { i } ( E ) ) \operatorname { e } ( H ( E ) ) ^ { n - i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } w _ { i } ( E ) \cdot \operatorname { e } ( H ( E ) ) ^ { n - i } , } \end{array}
\left. + ( \delta \alpha _ { 1 } - 2 \alpha _ { 2 } ) \zeta + \left( \delta \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } - \frac { \delta ^ { 3 } \lambda } { \gamma ^ { 2 } } \right) \zeta e ^ { - \delta \zeta } + \frac { \delta \alpha _ { 2 } \zeta ^ { 2 } } { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \left\langle p \frac { \partial H } { \partial p } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { Z _ { p } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } p \frac { \partial H } { \partial p } e ^ { - \beta H } \, d p } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { = \mathcal { L } _ { \mathrm { P D E } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { b o u n d a r y } } , } \\ & { = | | \hat { u } _ { t } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) + \mathcal { A } ( \hat { u } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) ) - \mathcal { S } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathcal { B } ( \hat { u } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) ) | | _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\langle { \hat { x } } ( 0 ) { \hat { x } } ( t ) \rangle = { \mathrm { T r ~ } } e ^ { - \beta { \hat { H } } } { \hat { x } } ( 0 ) { \hat { x } } ( t ) = { \mathrm { T r ~ } } { \hat { x } } ( t ) e ^ { - \beta { \hat { H } } } { \hat { x } } ( 0 ) = { \mathrm { T r ~ } } e ^ { - \beta { \hat { H } } } \underbrace { e ^ { \beta { \hat { H } } } { \hat { x } } ( t ) e ^ { - \beta { \hat { H } } } } _ { { \hat { x } } ( t - i \hbar \beta ) } { \hat { x } } ( 0 ) = \langle { \hat { x } } ( t - i \hbar \beta ) { \hat { x } } ( 0 ) \rangle
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial \eta ^ { * } } { \partial t ^ { * } } = w ^ { * } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) } \\ & { } & { \frac { \partial u ^ { * } } { \partial z ^ { * } } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) + \frac { \partial w ^ { * } } { \partial x ^ { * } } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) = 0 } \\ & { } & { \rho _ { b } ^ { * } ( 0 ) g \eta ^ { * } - p ^ { * } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) + 2 \mu \frac { \partial w ^ { * } } { \partial z ^ { * } } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) - \tau \left( \frac { \partial ^ { 2 } \eta ^ { * } } { \partial ( x ^ { * } ) ^ { 2 } } \right) = 0 } \\ & { } & { \rho ^ { * } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) = 0 } \\ & { } & { u ^ { * } ( x ^ { * } , - H ^ { * } , t ^ { * } ) = w ^ { * } ( x ^ { * } , - H ^ { * } , t ^ { * } ) = \rho ^ { * } ( x ^ { * } , - H , t ^ { * } ) = 0 } \end{array}
\mathrm { F i t t } _ { R ^ { \psi } } ( S e l _ { \Sigma _ { 0 } \cup J _ { v } } ^ { \Sigma _ { 0 } ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H ) _ { R ^ { \psi } } ) = \mathrm { F i t t } _ { R ^ { \psi } } ( S e l _ { \Sigma _ { 0 } \cup J _ { v } } ^ { \Sigma _ { 0 } ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { \psi } ) _ { R ^ { \psi } } ) = ( \psi ( \Theta _ { \Sigma _ { 0 } \cup J _ { v } } ^ { \Sigma _ { 0 } ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { \psi } / F ) ) ) = ( \psi ( \Theta _ { \Sigma _ { 0 } \cup J _ { v } } ^ { \Sigma _ { 0 } ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H / F ) ) ) .
k _ { \beta \alpha } = \mathrm { s d e t } \left[ \begin{array} { c c } { { \partial _ { z } F _ { \beta \alpha } } } & { { \partial _ { z } \Psi _ { \beta \alpha } } } \\ { { \partial _ { \theta } F _ { \beta \alpha } } } & { { \partial _ { \theta } \Psi _ { \beta \alpha } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } [ D _ { \mathrm { L O } } ( Q ^ { 2 } ) ] ( u ) } & { = \frac { 3 2 } { 3 } \bigg ( \frac { Q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } e ^ { C } \bigg ) ^ { - u } \frac { 1 } { 2 - u } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } n } { ( n ^ { 2 } - ( 1 - u ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 3 2 } { 3 } \bigg ( \frac { Q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } e ^ { c } \bigg ) ^ { - u } \frac { 1 } { 2 - u } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 4 ( 1 - u ) } \bigg [ \frac { 1 } { ( n - 1 + u ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( n + 1 - u ) ^ { 2 } } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { i } ( m ) = \frac { 1 } { m } \exp \bigg ( - \frac { ( \log ( m ) - \mu _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { ( y _ { i } - \beta _ { 0 } - \beta _ { 1 } m - \beta _ { 2 } - ( \beta _ { 3 } + \beta _ { 4 } ) x _ { i } - \beta _ { 5 } x _ { i } m ) ^ { 2 } } { 2 \delta ^ { 2 } } - \eta ^ { 2 } m \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ A _ { n } ( t ) ^ { 2 } ] = \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } [ U _ { 0 } ^ { 2 } ] \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } H ( t - s ) e ^ { - \gamma s } \mathrm { d } s \Big ) ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( H ( t - s ) - \gamma e ^ { \gamma s } \int _ { s } ^ { t } H ( t - u ) e ^ { - \gamma u } \mathrm { d } u \Big ) ^ { 2 } \mathrm { d } s . } \end{array}
U ( x ) = \frac { ( m _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { D / 2 - x } } { \Gamma ( D / 2 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; u ^ { D / 2 - 1 } ( 1 - u ) ^ { x - 1 - D / 2 } \tilde { f } ( u ) \ ,
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \left( \Delta u _ { z } + \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { d \rho _ { 0 } } { d z } \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } \right) - g \beta \frac { \partial } { \partial t } \Delta _ { \perp } T = 0 ,
\overline { { E } } = \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } \tilde { u } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } ^ { 2 } + \overline { { p } } - { \tau } _ { x x } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } \tilde { v } - { \tau } _ { x y } ^ { m o d } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } \tilde { w } - { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } - { \tau } _ { x x } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) \tilde { u } - { \tau } _ { x y } ^ { m o d } \tilde { v } - { \tau } _ { x z } ^ { m o d } \tilde { w } + q _ { x } ^ { m o d } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { u _ { n } ^ { ( m + 1 ) } } & { { } = } & { \left[ \cos \beta u _ { n + 1 } ^ { ( m ) } + i \sin \beta v _ { n + 1 } ^ { ( m ) } \right] \exp ( h + i \varphi _ { n } ) } \\ { v _ { n } ^ { ( m + 1 ) } } & { { } = } & { \left[ \cos \beta v _ { n - 1 } ^ { ( m ) } + i \sin \beta u _ { n - 1 } ^ { ( m ) } \right] \exp ( - h + i \varphi _ { n } ) \; \; \; \; \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { 0 } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \omega ) } & { { } = - \frac { 2 } { \hbar } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { f _ { 0 } \left( \boldsymbol { q } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } \right) - f _ { 0 } \left( \boldsymbol { q } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } \right) } { \omega - \frac { \hbar } { m } \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { q } + \imath 0 } \, . } \end{array}
D ^ { a } = \sum _ { b } \frac { \partial T _ { \omega } ^ { a b } } { \partial { x ^ { b } } } = \sum _ { b c } \Big ( \frac { \partial \omega ^ { a c } } { \partial x ^ { b } } \omega _ { \, \, c } ^ { b } + \omega ^ { a c } \frac { \partial \omega _ { \, \, c } ^ { b } } { \partial x ^ { b } } \Big ) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c b } g ^ { a a } \Big ( \frac { \partial \omega _ { c b } } { \partial x ^ { a } } \omega ^ { c b } \Big ) .
\mathcal { L } \left( F \right) = \frac { 3 M } { \vert g \vert ^ { 3 } } \left( \frac { \sqrt { 2 g ^ { 2 } F } } { 1 + \sqrt { 2 g ^ { 2 } F } } \right) ^ { \frac { 5 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } & { h ( \mathrm { -- } , 0 ) , \mathrm { ~ o n ~ } D ^ { n } \times 0 \times [ 0 , 1 ] , } & { h , \mathrm { ~ o n ~ } D ^ { n } \times 1 \times [ 0 , 1 ] , } \\ & { h ( \mathrm { -- } , 0 ) , \mathrm { ~ o n ~ } D ^ { n } \times [ 0 , 1 ] \times 0 , } & { h , \mathrm { ~ o n ~ } D ^ { n } \times [ 0 , 1 ] \times 1 . } \end{array}
C _ { \mathrm { T } } ( \tau ) = \frac { c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \, \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) } { \pi ^ { ( d + 1 ) / 2 } } \, \left( a _ { \mathrm { R e } } ^ { 2 } + a _ { \mathrm { I m } } ^ { 2 } \right) ^ { - d / 2 } \, \left[ \cos \left( \tilde { \omega } _ { d } \tau + \varphi ( \tau ) \right) + \frac { 1 } { 2 \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, \sin \left( \tilde { \omega } _ { d } \tau + \varphi ( \tau ) \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { ( 1 + t ) \mathrm { m } ( t , x , \eta ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } } \int _ { \mathbb R \times \mathbb Z ^ { d } } ( 1 - i \partial _ { \tau ^ { \prime } } ) \big ( e ^ { i \tau ^ { \prime } t } \big ) e ^ { i k ^ { \prime } \cdot x } \mathcal { F } _ { t , x } b ( \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } , \eta ) \mathcal { J } ( a ) ( t , x , \eta , \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \mathrm { d } k ^ { \prime } , } \end{array}
\{ \hat { q } _ { a } , \hat { q } _ { b } \} = \{ \hat { p } _ { a } , \hat { p } _ { b } \} = ( 1 / 2 ) \delta _ { a b } , \; \; \; \; \{ \hat { q } _ { a } , \hat { p } _ { b } \} = 0 .
\tilde { \alpha } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } ) ( p ) = ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } ) \circ \alpha ( p ) = \pi _ { 1 } \circ \alpha ( p ) + \pi _ { 2 } \circ \alpha ( p ) = \tilde { \alpha } ( \pi _ { 1 } ) ( p ) + \tilde { \alpha } ( \pi _ { 2 } ) ( p )
\Delta \gamma _ { \perp } ^ { \mu } = \gamma _ { \perp } ^ { \mu } ( 1 - \Delta ) , \qquad \qquad w i t h \ \mathrm { \quad ~ } \gamma _ { \perp } ^ { \mu } = ( 0 , \gamma ^ { 1 } , \gamma ^ { 2 } , 0 )
d s ^ { 2 } = g _ { M N } ^ { 0 } \, d x ^ { M } \otimes d x ^ { N } = \mathrm { e } ^ { 2 \Delta ( y ) } \left( d x ^ { \mu } \otimes d x ^ { \nu } \, \hat { g } _ { \mu \nu } ( x ) + d y ^ { m } \otimes d y ^ { n } \, \hat { g } _ { m n } ( y ) \right) \, .
x ^ { 1 6 } - 1 3 6 x ^ { 1 4 } + 2 3 8 0 x ^ { 1 2 } - 1 2 3 7 6 x ^ { 1 0 } + 2 4 3 1 0 x ^ { 8 } - 1 9 4 4 8 x ^ { 6 } + 6 1 8 8 x ^ { 4 } - 6 8 0 x ^ { 2 } + 1 7 = 0
\begin{array} { r l } & { \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { n } \xi _ { j } = \left( \sqrt { 2 ( n + l ) + 3 } \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } j } ^ { n } - \sqrt { 2 n } \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } j } ^ { n - 1 } \right) + } \\ & { \qquad \qquad + \frac { l } { 2 l + 1 } \left( \sqrt { 2 ( n + l ) + 1 } \psi _ { \langle i _ { 1 } \cdots i _ { l - 1 } } ^ { n } \delta _ { i _ { l } \rangle j } - \sqrt { 2 ( n + 1 ) } \psi _ { \langle i _ { 1 } \cdots i _ { l - 1 } } ^ { n + 1 } \delta _ { i _ { l } \rangle j } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \, \mathrm { d } \hat { Y } _ { t } ^ { i , N } = - ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } ^ { N } * \hat { \rho } _ { t } ^ { N } ) ( \hat { Y } _ { t } ^ { i , N } ) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , \hat { Y } _ { t } ^ { i , N } ) \, \mathrm { d } B _ { t } ^ { i } , \quad \hat { Y } _ { 0 } ^ { i , N } = \hat { X } _ { 0 } ^ { i , N } , \quad i = 1 , \ldots , N , } \\ { \hat { \rho } _ { t } \; \mathrm { i s \, t h e \, d e n s i t y \, o f } \, Y _ { t } ^ { i , N } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l l } { \Phi : } & { \mathbb { C } \setminus \left( \bigcup _ { \alpha \in Y ^ { * } } \sigma ( \mathcal { C } ^ { \alpha } ) \cup W \right) \times \mathbb { C } ^ { * } } & { \longrightarrow } & { \mathbb { C } \times \mathbb { C } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \vec { u } \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb R ^ { d } ) ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) ) } = \operatorname* { m a x } \{ \| \vec { u } \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb R ^ { d } ) ) } , \| \vec { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) ) } \} , } \end{array}
\sum _ { a < n \leq b } \phi ( n ) = \int _ { a } ^ { b } \phi ( x ) \, d x + \int _ { a } ^ { b } \left( \{ x \} - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \phi ^ { \prime } ( x ) \, d x + \left( \{ a \} - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \phi ( a ) - \left( \{ b \} - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \phi ( b ) .
\begin{array} { r } { \frac { d } { \sigma } = \frac { 1 + 0 . 2 9 7 7 T ^ { * } } { 1 + 0 . 3 3 1 6 3 T ^ { * } + 1 . 0 4 7 7 \times 1 0 ^ { - 3 } T ^ { * 2 } } , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \rho _ { 0 } \rightarrow \infty } D : = \operatorname * { l i m } _ { \rho _ { 0 } \rightarrow \infty } \left( \nu + | l | - \beta + 2 \beta \, { \frac { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } } \, { \frac { \Phi ( A _ { 1 } + 1 , B _ { 1 } + 1 ; \beta ) } { \Phi ( A _ { 1 } , B _ { 1 } ; \beta ) } } \right) = 0 \, .
\operatorname { E } [ \, \mathbf { x } _ { j } \cdot \varepsilon _ { i } \, ] = { \left[ \begin{array} { l } { \operatorname { E } [ \, { x } _ { j 1 } \cdot \varepsilon _ { i } \, ] } \\ { \operatorname { E } [ \, { x } _ { j 2 } \cdot \varepsilon _ { i } \, ] } \\ { \vdots } \\ { \operatorname { E } [ \, { x } _ { j k } \cdot \varepsilon _ { i } \, ] } \end{array} \right] } = \mathbf { 0 } \quad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } i , j \in n
S = - \frac { 1 } { 4 } \, \int d ^ { 4 } x \, \left[ ( 1 - \frac { 1 } { 2 } \, \theta ^ { \alpha \beta } F _ { \alpha \beta } ) \, F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + 2 \mathrm { T r } \, ( \theta F ^ { 3 } ) - \partial _ { \beta } \left( \theta ^ { \alpha \beta } A _ { \alpha } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } , ( 1 ) , \mathbf { k } } ^ { \nu \mu \alpha \beta } ( \omega ) } & { { } = - \frac { i } { 2 } \sum _ { a , b } \Bigg ( v _ { a b } ^ { \mu } \frac { N _ { 1 , b a } ^ { \nu \alpha \beta } ( \omega ) } { 2 \omega - \epsilon _ { b a } } - \dot { Q } _ { a b } ^ { \nu \mu } \frac { N _ { 2 , b a } ^ { \alpha \beta } ( \omega ) } { 2 \omega - \epsilon _ { b a } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \left[ \begin{array} { l } { u - u _ { r } } \\ { y - y _ { r } } \end{array} \right] \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } \leq 2 \sum _ { k = r + 1 } ^ { n } \frac { \sigma _ { k } } { \sqrt { 1 + \sigma _ { k } ^ { 2 } } } \Bigg ( \left\| \left[ \begin{array} { l } { u } \\ { y } \end{array} \right] \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mathbb E \left[ x ( T ) ^ { \top } Q x ( T ) \right] \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\tilde { P } = ( - ) ^ { l _ { 1 } } \, P ^ { ( 1 ) } - \sum _ { 1 \leq m \leq M } Q ^ { M - m } Q ^ { ( 1 ) } Q ^ { ( m - 1 ) } \quad ( M = \mathrm { ~ \frac { l _ { 1 } } { l _ { 2 } } ~ } )
t _ { \mathrm { s c o r e } } = { \frac { \left( { \widehat { \beta } } - \beta _ { 0 } \right) { \sqrt { n - 2 } } } { \sqrt { \frac { S S R } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - { \bar { x } } \right) ^ { 2 } } } } } .
M _ { t y p e } ^ { I } = < H _ { t y p e - F } ^ { I } ( r _ { 1 2 } ) + H _ { t y p e - G T } ^ { I } ( r _ { 1 2 } ) { \bf \sigma } _ { 1 2 } + H _ { t y p e - T } ^ { I } ( r _ { 1 2 } ) { S } _ { 1 2 } ) >
\phi _ { \pi } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { f _ { \pi } } { 2 \sqrt { 3 } } x ( 1 - x ) \left\{ 6 + \left[ 3 0 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } - 6 \right] \left( \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \alpha _ { s } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } \right) ^ { d _ { 2 } } \right\} ,
\left| n _ { \mathbf { k } _ { 1 } } \right\rangle \left| n _ { \mathbf { k } _ { 2 } } \right\rangle \left| n _ { \mathbf { k } _ { 3 } } \right\rangle \ldots \equiv \left| n _ { \mathbf { k } _ { 1 } } , n _ { \mathbf { k } _ { 2 } } , n _ { \mathbf { k } _ { 3 } } . . . n _ { \mathbf { k } _ { l } } . . . \right\rangle \equiv \left| \{ n _ { \mathbf { k } } \} \right\rangle
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = \frac { ( q ^ { - 2 ( m - i ) } - 1 ) ( q ^ { - 2 ( w - 1 ) } - q ^ { 2 ( m - i + 1 ) } ) } { ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } } \\ { c _ { 2 } } & { = \frac { ( q ^ { 2 } - q ^ { - 2 ( m - i - 1 ) } ) ( q ^ { - 2 ( w - 1 ) } - q ^ { 4 } ) } { ( 1 - q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { c _ { 3 } } & { = \frac { ( q ^ { - 2 ( i - w ) } - q ^ { 2 ( m - i ) } ) ( 1 - q ^ { 2 ( i - w + 2 ) } ) } { q ^ { 2 } ( 1 - q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { c _ { 4 } } & { = q ^ { 2 } \frac { ( q ^ { - 2 ( m - w ) } - 1 ) ( 1 - q ^ { 2 ( m - w + 1 ) } ) } { ( 1 - q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ m ( x , t , k ) ] _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) + \frac { \omega e _ { 1 } e ^ { \theta _ { 1 2 } ( x , t , k _ { 0 } ) } [ m ( x , t , \omega k _ { 0 } ) ] _ { 3 } } { k - \omega k _ { 0 } } , } \\ & { [ m ( x , t , k ) ] _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) + \frac { e _ { 1 } e ^ { \theta _ { 1 2 } ( x , t , k _ { 0 } ) } [ m ( x , t , k _ { 0 } ) ] _ { 1 } } { k - k _ { 0 } } , } \\ & { [ m ( x , t , k ) ] _ { 3 } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) + \frac { \omega ^ { 2 } e _ { 1 } e ^ { \theta _ { 1 2 } ( x , t , k _ { 0 } ) } [ m ( x , t , \omega ^ { 2 } k _ { 0 } ) ] _ { 2 } } { k - \omega ^ { 2 } k _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \frac { u \left( n \right) } { n } \right] ^ { 2 } } & { = } & { \left( \frac { u ( \dot { N } ) } { \dot { N } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { u ( A ) } { A } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { u ( \alpha _ { \mathrm { M C } } ) } { \alpha _ { \mathrm { M C } } } \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { u ( T ) } { T } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { r _ { \mathrm { p } } - 1 } \frac { u ( r _ { \mathrm { p } } ) } { r _ { \mathrm { p } } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\mathrm { H } ^ { \mathrm { ( R o t ) } } = - \sum _ { k = 1 } \nu _ { i } \, \mathrm { I } _ { i z } + \sum _ { \substack { i < j \, \mathrm { ~ ( ~ H ~ o ~ m ~ o ~ ) ~ } } } J _ { i j } \left( \sum _ { \alpha = x , y , z } \mathrm { I } _ { i \alpha } \cdot \mathrm { I } _ { j \alpha } \right) + \sum _ { \substack { r < s \, \mathrm { ~ ( ~ H ~ e ~ t ~ e ~ r ~ o ~ ) ~ } } } J _ { i j } \left( \sum _ { \alpha = x , y , z } \mathrm { I } _ { i \alpha } \cdot \mathrm { I } _ { j \alpha } \right) .
\begin{array} { r l } { p _ { s } ( s ) = \int _ { u _ { \mathrm { m i n } } } ^ { u _ { \mathrm { m a x } } } p _ { s u } ( s , u ) \, d \! u \: } & { \sim \: s ^ { - 1 - \alpha } } \\ { p _ { \bar { u } } ( s ) = \frac { 1 } { p _ { s } ( s ) } \int _ { u _ { \mathrm { m i n } } } ^ { u _ { \mathrm { m a x } } } u \, p _ { s u } ( s , u ) \, d \! u \: } & { \sim \: s ^ { - \beta } } \\ { m ( u ) = \frac { 4 } { 3 } \pi \rho \int _ { s _ { \mathrm { m i n } } } ^ { s _ { \mathrm { m a x } } } s ^ { 3 } p _ { s u } ( s , u ) \, d \! s \: } & { \sim \: u ^ { - 1 - \gamma } } \end{array}
l _ { 2 } = ( \bar { \bar { \boldsymbol { R } } } \bar { \bar { \boldsymbol { I } } } _ { \phi } - \overrightarrow { M D } ) ^ { 2 } + \Bigg \{ \alpha \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { i n } } \bigg ( R _ { i } p _ { i } ^ { \prime } - \frac { f f _ { i } ^ { \prime } } { R _ { i } \mu _ { 0 } } \bigg ) - I _ { P } ^ { m } \Bigg \} ^ { 2 } + c _ { 2 } | \theta | + ( p ^ { \prime } - p ^ { m , G P } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { w ^ { + } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \alpha ^ { + } } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad w ^ { - } = \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { \alpha ^ { - } } \end{array} \right) , } \end{array}
\hat { u } _ { \Lambda } ( \boldsymbol { \xi } ) = \frac { \underset { \mathcal { T } \in \Lambda } { \sum } \hat { u } _ { \mathcal { T } } ( \boldsymbol { \xi } ) } { | \Lambda | } = \frac { \underset { \mathcal { T } \in \Lambda } { \sum } \hat { u } _ { \mathcal { T } } ( \boldsymbol { \xi } ) } { \underset { \mathcal { T } \in \Lambda } { \sum } A _ { \mathcal { T } } } .
S _ { p } ( \ell _ { m } ) = u _ { 0 } ^ { p } \, \frac { \int \big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } x _ { - j } \big ) ^ { p - 1 } d \mu ^ { ( m ) } ( \mathbf { x } _ { \ominus } ) } { \int \big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } x _ { - j } \big ) ^ { - 1 } d \mu ^ { ( m ) } ( \mathbf { x } _ { \ominus } ) } .
\begin{array} { r l } { e _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x ) } & { = \widetilde { e } _ { h } ( \rho , x ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \alpha _ { k } \widetilde { e } _ { h } ( \rho , x _ { k } ) H ( x - x _ { k } ) \widehat { s } _ { k } ( \rho , x - x _ { k } ) } \\ & { \quad + \sum _ { J \in \mathcal { J } _ { N } } \alpha _ { J } H ( x - x _ { j _ { | J | } } ) \widetilde { e } _ { h } ( \rho , x _ { j _ { 1 } } ) \left( \prod _ { l = 1 } ^ { | J | - 1 } \widehat { s } _ { j _ { l } } ( \rho , x _ { j _ { l + 1 } } - x _ { j _ { l } } ) \right) \widehat { s } _ { j _ { | J | } } ( \rho , x - x _ { j _ { | J | } } ) . } \end{array}