harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { F _ { \left| h _ { \mathrm { F A S } } \right| } \left( \varOmega \right) \approx } & { \Bigg [ \prod _ { n = 1 } ^ { N } \intop _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sum _ { m = 1 } ^ { \epsilon \mathrm { - } \mathrm { r a n k } } u _ { n , m } ^ { 2 } \lambda _ { m } } \exp \left( - \frac { r } { \sum _ { m = 1 } ^ { \epsilon \mathrm { - } \mathrm { r a n k } } u _ { n , m } ^ { 2 } \lambda _ { m } } \right) \left( 1 - Q _ { 1 } \left( \frac { \sqrt { 2 r } } { \Psi } , \frac { \sqrt { 2 } \varOmega } { \Psi } \right) \right) ^ { L } d r \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { L } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { \xi } ^ { \tau } = \beta _ { 1 } ^ { \tau } \cdot g _ { \xi } ^ { \tau - 1 } + \left( 1 - \beta _ { 1 } ^ { \tau } \right) \frac { \partial L ^ { t } } { \partial w _ { \xi } ^ { t } } \ , } \end{array}
V _ { \mathrm { n o i s e } } = \left( \begin{array} { c c } { V _ { \mathrm { Q Q , \, o p t i c a l \, n o i s e } } + V _ { \mathrm { Q Q , \, m e c h a n i c a l \, n o i s e } } } & { V _ { \mathrm { Q _ { \mathrm { { n o i s e } } } \, P _ { \mathrm { { n o i s e } } } } } } \\ { V _ { \mathrm { P _ { \mathrm { { n o i s e } } } \, Q _ { \mathrm { { n o i s e } } } } } } & { V _ { \mathrm { P P , \, o p t i c a l \, n o i s e } } + V _ { \mathrm { P P , \, m e c h a n i c a l \, n o i s e } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \langle \chi _ { \mu } | \chi _ { \nu } \rangle } & { { } \leq N _ { \mu } N _ { \nu } \int x ^ { l _ { \mu } } ( x - | \mathbf { R } _ { \nu } | ) ^ { l _ { \nu } } e ^ { - \alpha _ { \mu } x ^ { 2 } } e ^ { - \alpha _ { \nu } ( x - | \mathbf { R } _ { \nu } | ) ^ { 2 } } e ^ { - \alpha _ { \mu \nu } y ^ { 2 } } e ^ { - \alpha _ { \mu \nu } z ^ { 2 } } d x d y d z } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { z } ( I _ { z } ) } & { \le P ^ { z } \left( \bigcap _ { i = 1 } ^ { M } \{ R [ T ^ { i - 1 } , T ^ { i } ] \cap \gamma ( x _ { i - 1 } , \infty ) = \emptyset \} \right) } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { M } P ^ { z _ { i - 1 } } ( S ^ { z _ { i - 1 } } [ 0 , \tau _ { S ^ { z _ { i - 1 } } } ( B ( z _ { i - 1 } , \delta _ { k } ^ { 1 / 2 } r ) ) ] \cap \gamma ( x _ { i - 1 } , \infty ) = \emptyset ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { R e _ { p } = R e _ { \infty } \frac { \rho } { \mu } | \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { p } | d _ { p } , \ \ \ \ S t = R e _ { \infty } \frac { \rho _ { p } d _ { p } ^ { 2 } } { 1 8 \mu } , \ \ \ \ P r = P r _ { \infty } \frac { \mu c } { k } } \end{array}
\zeta \in \left\{ \zeta ( p , t ) \in C ^ { \infty } \left( \mathbb { R } _ { p } \times [ 0 , T ] \right) : \zeta ( \cdot , t ) \in C _ { c } ^ { \infty } \left( \mathbb { R } _ { p } \right) \ \forall t \in [ 0 , T ] \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \zeta ( \cdot , T ) = 0 \right\} ,
\begin{array} { r } { \xi _ { n 1 } ( \vec { r } ) = \psi _ { n 1 } ( \vec { r } ) - 2 \, \sum _ { n ^ { \prime } } \, S _ { n 1 , n ^ { \prime } \bar { 1 } } ^ { + } \, \psi _ { n ^ { \prime } \bar { 1 } } ( \vec { r } ) \quad , } \end{array}
I _ { 2 } = \frac { 1 2 } { 5 } \sqrt [ [object Object] ] ] { \kappa Q ^ { 5 } } \, R ^ { 1 / 3 } - \frac { 6 } { 3 5 } \sqrt [ [object Object] ] ] { \frac { Q ^ { 7 } } { \kappa } } \, R ^ { - 1 / 3 } \, .
\langle f \rangle _ { \mathrm { c l } } = \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { N } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \cdots \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \mathrm { d } ^ { N } \varphi \, f \, ,
c ( r ) = \frac { 3 \, r } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { i , a } m _ { a } ^ { i } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \theta \, \cosh \theta \, ( L _ { a } ^ { i } ( \theta ) + L _ { a } ^ { i } ( - \theta ) ) \, .
\begin{array} { r l } & { \rho _ { s } ( t ) = \mathrm { t r } _ { B } \left( T _ { \leftarrow } U ( t , t _ { 0 } ) \right. } \\ & { \qquad \mathrm { e x p } \left( - \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } \tau U ( t _ { 0 } , \tau ) H _ { s b , - } ( \tau ) U ( \tau , t _ { 0 } ) \right) } \\ & { \qquad \quad \left. \rho _ { s } ( t _ { 0 } ) \otimes \rho _ { B } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { M } & { : = { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { Q } & { A _ { e q } ^ { T } } \\ { - A _ { e q } } & { 0 } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l } { A ^ { T } } \\ { 0 } \end{array} \right] } } \\ { q } & { : = - { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { Q } & { A _ { e q } ^ { T } } \\ { - A _ { e q } } & { 0 } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l } { c } \\ { b _ { e q } } \end{array} \right] } - b } \end{array} }
z = \gamma \int _ { 0 } ^ { u } \frac { { \bar { B } } ( u ^ { \prime } ) } { { \bar { A } } ( u ^ { \prime } ) } \, d u ^ { \prime } \ , \qquad A ( z ) \equiv { \bar { A } } ( u ( z ) ) \ , \qquad B ( z ) \equiv { \bar { B } } ( u ( z ) ) \ .
\begin{array} { r l } { p _ { g } ( t ) } & { { } = \frac { V _ { g } ( 0 ) } { V _ { \mathrm { r e s } } ( 0 ) - Q t + V _ { b } ( t ) } \left[ p _ { \textrm { a t m } } + \gamma \left( \frac { \pi } { 4 r _ { 0 } } + \frac { 2 } { b } \right) \right] , } \end{array}
\left( { \frac { \partial } { \partial t } + { \bf { U } } \cdot \nabla } \right) \varepsilon = C _ { \varepsilon 1 } \frac { \varepsilon } { K } P _ { K } - C _ { \varepsilon 2 } \frac { \varepsilon } { K } \varepsilon + \nabla \cdot \left( { \frac { \nu _ { \mathrm { { K } } } } { \sigma _ { \mathrm { \ v a r e p s i l o n } } } \nabla \varepsilon } \right) .
S = \int d t L = \int d t \left[ { \frac { m } { 2 } } ( { \dot { x } } ^ { 2 } + { \dot { y } } ^ { 2 } + { \dot { z } } ^ { 2 } ) - m g z + { \frac { \lambda } { 2 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - R ^ { 2 } ) \right]
\mathrm { T o r } _ { q } ^ { Y } ( { \cal O } _ { S } , \mathrm { T o r } _ { 0 } ^ { X } ( { \cal O } _ { T } , { \cal O } _ { Y } ) ) = \mathrm { T o r } _ { q } ^ { Y } ( { \cal O } _ { S } , { \cal O } _ { W } ) = \Lambda ^ { q } { \cal N } _ { S / Y } ^ { \vee } | _ { W } ,
P _ { i j } ^ { M } = - \int _ { V } \left( R _ { i m } ^ { V } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { m } } + R _ { j m } ^ { V } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { m } } \right) d V + \int _ { V } \left( \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { i m } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { m } } + \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { j m } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { m } } \right) d V ,
I _ { 3 } ^ { s } = \frac { 1 } { q ^ { 2 } } \int \! \frac { d ^ { d - 1 } \vec { k } } { \pi ^ { d / 2 - 1 } } \, \frac { 1 } { ( \vec { k } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { 1 } { - 2 \vec { k } \cdot ( \vec { p } - \vec { p } ^ { \, \prime } ) + t + i 0 } + \frac { 1 } { - 2 \vec { k } \cdot ( \vec { p } - \vec { p } ^ { \, \prime } ) + t - i 0 } \right) ,
L \left( h , h ^ { \prime } \right) = h \, h ^ { 2 } - \frac { 2 a _ { 0 } v _ { 0 } } { b _ { 0 } ^ { 2 } h } + \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { b _ { 0 } ^ { 2 } h ^ { 3 } } + \left( \frac { a _ { 0 } } { b _ { 0 } } \right) ^ { 2 } h \, .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { J } _ { \infty } \big ( ( \gamma , \eta ) , \varphi \big ) } \\ { = } & { \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { 1 } ( p < \bar { \tau } ) ( 1 - \alpha ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { 1 } ( \bar { \tau } \le p \le \bar { \kappa } ) ( 1 - \beta ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] \mathbf { 1 } ( p > \bar { \kappa } ) + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] \mathbf { 1 } ( p < \bar { \tau } ) \alpha } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] \mathbf { 1 } ( \bar { \tau } \le p \le \bar { \kappa } ) \beta + c \mathbf { P } ( U = 1 ) } \\ & { - d \alpha \mathbf { 1 } ( p \ge \bar { \tau } ) - d \beta ( 1 - \mathbf { 1 } ( \bar { \tau } \le p \le \bar { \kappa } ) ) } \\ { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] ( 1 - \alpha ) + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] \alpha } \\ { + c \mathbf { P } ( U = 1 ) - d \beta \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { i f ~ } \mathbf { P } ( U = 1 ) < \bar { \tau } } \\ { \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] ( 1 - \beta ) + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] \beta } \\ { + c \mathbf { P } ( U = 1 ) - d \alpha \qquad \qquad \qquad \mathrm { i f ~ } \bar { \tau } \le \mathbf { P } ( U = 1 ) \le \bar { \kappa } } \\ { \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] + c \mathbf { P } ( U = 1 ) - d \alpha - d \beta , } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \mathrm { i f ~ } \mathbf { P } ( U = 1 ) > \bar { \kappa } } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ { \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} } \right] .
\begin{array} { r l } { J _ { 3 } = } & { \int _ { 1 / 2 + \epsilon - i T } ^ { 1 / 2 + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { \ll } & { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } ( q T ) ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 3 1 6 } { 9 2 } + \epsilon } T ^ { - 1 } } \\ { \ll } & { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } q ^ { \frac { 3 6 2 } { 9 2 } + \epsilon } T ^ { \frac { 2 7 0 } { 9 2 } + \epsilon } . } \end{array}
Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) = F _ { l } ^ { | m | } * P _ { l } ^ { | m | } ( \cos { \theta } ) * \left\{ \begin{array} { l l } { \sin { ( | m | \phi ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ m ~ < ~ 0 ~ } } \\ { 1 / \sqrt { 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ m ~ = ~ 0 ~ } } \\ { \cos { ( m \phi ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ m ~ > ~ 0 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { \log ( 1 - F ( t ) ) } { t ^ { 2 } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { \log \mathbb { P } \left( \, \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } | \, Z _ { \beta } ( b ) \, | \geq t \right) } { t ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { \log \mathbb { P } \left( \, \| \, Z _ { \beta } ( \cdot ) \, \| _ { \infty } \geq t \right) } { t ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \rho _ { \beta } ( b , b ) } . } \end{array}
E _ { 0 } \left( \ell , \mu , e B \right) = - 2 \times \frac { 1 } { 2 } \times \left( \frac { e B L ^ { 2 } } { 2 \pi } \right) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \, \sum _ { \alpha \in \left\{ - 1 , 1 \right\} } \, I _ { n \alpha } ,
\mathcal { S } _ { 1 } = \frac 1 2 \, \left\{ 1 + \operatorname { t a n h } \left[ \chi \left( \frac { 2 \, \mathcal { R } - \mathcal { R } _ { o u t } - \mathcal { R } _ { i n } } { \mathcal { R } _ { o u t } - \mathcal { R } _ { i n } } \right) \right] \right\} ,
\rho _ { m , n } ( t = 0 ) = \frac { e ^ { - \left( \frac { m a } { D } \right) ^ { 2 } } e ^ { - \left( \frac { n a } { D } \right) ^ { 2 } } } { \sum _ { j } e ^ { - 2 \left( \frac { j a } { D } \right) ^ { 2 } } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { q _ { i } + \frac 1 2 \Delta _ { i } + ( 0 , 1 , \dots , a _ { i } / 2 - 1 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 0 ~ } } \\ { \emptyset } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 1 ~ } } \\ { q _ { i } + \frac 1 2 \Delta _ { i } + ( 0 , 1 , \dots , a _ { i } / 2 - 1 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 2 ~ } } \\ { q _ { i } + \frac 1 2 \Delta _ { i } + ( 0 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ r _ i = 3 ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { n } \mathbb E _ { X \times \varepsilon } \left( \big \| B _ { n } \pmb { \varepsilon } ^ { T } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) } & { = } & { \frac { 1 } { n } \mathbb E _ { X } \mathbb E _ { \varepsilon } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } b _ { i j } \varepsilon _ { j } \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n } \mathbb E _ { X } \left[ \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } b _ { i j } ^ { 2 } \mathbb E _ { \varepsilon } ( \varepsilon _ { j } ^ { 2 } ) \right] = \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } \mathbb E _ { X } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big ( \frac { \mu _ { j } ^ { 2 } } { \mu _ { j } ^ { 2 } + \lambda } \Big ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
W \approx \frac { 1 } { r } \left( \frac { \tilde { c } - c } { 1 - c } \right) ^ { n } \left( 1 + \frac { 1 } { \bar { h } } \frac { c ( 1 - \tilde { c } ) } { \tilde { c } ^ { 2 } } \frac { \partial \mu _ { c } } { \partial c } \frac { \partial \bar { h } } { \partial \eta } \right) ,
\begin{array} { r l } { \prod _ { k = 1 } ^ { n } \cos \theta _ { k } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { e \in S } \cos ( e _ { 1 } \theta _ { 1 } + \cdots + e _ { n } \theta _ { n } ) } \end{array}
\bar { y } _ { d i f } ^ { 1 2 } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \bar { y } _ { i \tau } ^ { 2 } - \bar { y } _ { i \tau } ^ { 1 } \right] = \frac { { \left[ x ^ { 2 } ( n \tau ) - x ^ { 1 } ( n \tau ) \right] } - { \left[ x ^ { 2 } ( 0 ) - x ^ { 1 } ( 0 ) \right] } } { n \tau }
\begin{array} { r } { u _ { 1 } ^ { \dagger } = - ( - 1 ) ^ { \chi } g _ { \sigma } ( A ) u _ { 1 } g _ { \sigma } ( B ) ^ { \dagger } } \\ { u _ { 1 } ^ { \dagger } = g _ { R } ( A ) g _ { R } ( B ) g _ { R } ( A ) u _ { 1 } g _ { R } ( B ) ^ { \dagger } g _ { R } ( A ) ^ { \dagger } g _ { R } ( B ) ^ { \dagger } } \\ { u _ { 2 } ^ { = } - ( - 1 ) ^ { \chi } g _ { R } ( B ) g _ { \sigma } ( A ) u _ { 2 } g _ { \sigma } ( B ) ^ { \dagger } g _ { R } ( A ) ^ { \dagger } , } \end{array}
\langle X \, \ell ( p _ { \ell } ) \bar { \nu } ( p _ { \bar { \nu } } ) | \, J _ { h } ^ { \mu } J _ { \ell \mu } \, | B \rangle = \langle X | \, J _ { h } ^ { \mu } \, | B \rangle \langle \ell ( p _ { \ell } ) \bar { \nu } ( p _ { \bar { \nu } } ) | \, J _ { \ell \mu } | 0 \rangle \, \, ,
\begin{array} { r l } { \eta _ { 0 } ( \xi ; U ) = \xi \cdot v , } & { } \\ { \eta _ { 1 } ( \xi ; U ) = \xi \cdot v + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { r ( \rho , \theta ) + m ( \rho , \theta ) } , \quad \eta _ { 2 } ( \xi ; U ) } & { = \xi \cdot v + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { r ( \rho , \theta ) - m ( \rho , \theta ) } , } \\ { \eta _ { 3 } ( \xi ; U ) = \xi \cdot v - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { r ( \rho , \theta ) + m ( \rho , \theta ) } , \quad \eta _ { 4 } ( \xi ; U ) } & { = \xi \cdot v - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { r ( \rho , \theta ) - m ( \rho , \theta ) } , } \end{array}
\mathrm { B I } = \left[ 2 \ln 2 \sum _ { X } \left( \bar { \gamma } _ { \mathrm { X e } } \mathcal { K } _ { X } + \xi _ { \omega _ { \mathrm { c a l } } } \mathcal { Q } _ { X } \right) ^ { 2 } h _ { X } ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } .
\sigma = \frac { \pi \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 3 } } { 3 s } \left[ 1 + \frac { s ( - 1 + 4 s _ { W } ^ { 2 } ) } { 2 c _ { W } ^ { 2 } ( s - M _ { Z } ^ { 2 } ) } + \frac { s ^ { 2 } ( - 1 + 4 s _ { W } ^ { 2 } + 8 s _ { W } ^ { 4 } ) } { 4 c _ { W } ^ { 4 } ( s - M _ { Z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] \; ,
\begin{array} { r } { a = t r a c e \left( { A ^ { T } A } \right) = { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( A _ { i j } \right) ^ { 2 } } } } \\ { b = t r a c e \left( { B ^ { T } B } \right) = { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( B _ { i j } \right) ^ { 2 } } } } \end{array}
\frac { \partial T } { \partial t } \, + \, \left[ \, \frac { a } { c _ { p } \, \rho } \, + \, \frac { a } { c _ { p } \, \rho } \, b \, \xi ( t ) \, \right] \, T \, = \, \frac { a } { c _ { p } \, \rho } \, T _ { 0 } .
\begin{array} { r } { \rho \left( { { \mathbf { X } } , { \mathbf { Y } } ; { u _ { 1 } } , { u _ { 2 } } } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { g = 0 } ^ { { L _ { 1 } } - 1 - { u _ { 1 } } } { \sum _ { i = 0 } ^ { { L _ { 2 } } - 1 - { u _ { 2 } } } { { Y _ { g + { u _ { 1 } } , i + { u _ { 2 } } } } { X _ { g , i } ^ { * } } } } , 0 \leq { u _ { 1 } } < { L _ { 1 } } , } \\ { 0 \leq { u _ { 2 } } < { L _ { 2 } } ; } \\ { \sum _ { g = 0 } ^ { { L _ { 1 } } - 1 - { u _ { 1 } } } { \sum _ { i = 0 } ^ { { L _ { 2 } } - 1 - { u _ { 2 } } } { { Y _ { g + { u _ { 1 } } , i } } { X _ { g , i - { u _ { 2 } } } ^ { * } } } } , 0 < { u _ { 1 } } < { L _ { 1 } } , } \\ { - { L _ { 2 } } < { u _ { 2 } } < 0 ; } \\ { \sum _ { g = 0 } ^ { { L _ { 1 } } - 1 - { u _ { 1 } } } { \sum _ { i = 0 } ^ { { L _ { 2 } } - 1 - { u _ { 2 } } } { { Y _ { g , i } } { X _ { g - u _ { 1 } , i - { u _ { 2 } } } ^ { * } } } } , - { L _ { 1 } } < { u _ { 1 } } < 0 , } \\ { - { L _ { 2 } } < { u _ { 2 } } < 0 ; } \\ { \sum _ { g = 0 } ^ { { L _ { 1 } } - 1 + { u _ { 1 } } } { \sum _ { i = 0 } ^ { { L _ { 2 } } - 1 - { u _ { 2 } } } { { Y _ { g , i + { u _ { 2 } } } } { X _ { g - { u _ { 1 } } , i } ^ { * } } } } , - { L _ { 1 } } < { u _ { 1 } } < 0 , } \\ { 0 < { u _ { 2 } } < { L _ { 2 } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\nu ^ { Z } ( 0 ) = \frac { 1 } { 3 \pi Z _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 2 p } d k \, k ^ { 3 } S _ { i i } ( k ) \frac { \partial f ( \varepsilon ) } { \partial \varepsilon } \frac { \partial \Sigma ( \varepsilon , \theta ) } { \partial \theta }
\left( \begin{array} { l } { c \overline { { t } } } \\ { \overline { { x } } } \\ { \overline { { y } } } \\ { \overline { { z } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { \cosh ( \phi ) } & { - \sinh ( \phi ) } & { 0 } & { 0 } \\ { - \sinh ( \phi ) } & { \cosh ( \phi ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c t } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } C _ { \bf x } } & { { } = } & { { \cal L } \cdot C _ { \bf x } + { \cal Q } \cdot C _ { \bf x } \cdot C _ { \bf x } + { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } , } \\ { \frac { d } { d t } C _ { { \bf x } { \bf x } } } & { { } = } & { \left\lbrace { \cal L } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } + 2 { \cal Q } \cdot C _ { \bf x } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } + { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } \right\rbrace _ { 2 } , } \\ { \frac { d } { d t } C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } } & { { } = } & { \left\lbrace { \cal L } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } + 2 { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } \cdot C _ { { \bf x } } + 2 { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } \right\rbrace _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 2 } ^ { \lambda } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } \right) } & { \equiv \ensuremath { N _ { \mathrm { e } } } ( \ensuremath { N _ { \mathrm { e } } } - 1 ) \sum _ { \sigma _ { 1 } , \cdots , \sigma _ { N } } \int \mathrm { d } \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 3 } \cdots \int \mathrm { d } \ensuremath { \mathbf { r } } _ { N } } \\ & { \qquad \quad \left| \Psi _ { \lambda } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } \sigma _ { 1 } , \, \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } \sigma _ { 2 } , \, \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 3 } \sigma _ { 3 } , \, \cdots , \ensuremath { \mathbf { r } } _ { N } \sigma _ { N } \right) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\mathcal { V } _ { i j } ^ { h k } = 1 - \frac { ( P _ { i j } ^ { h k } ) ^ { \mathrm { ~ I ~ } } } { ( P _ { i j } ^ { h k } ) ^ { \mathrm { ~ D ~ } } } = \frac { - 2 \tau _ { j k } \tau _ { i h } \tau _ { i k } \tau _ { j h } } { \tau _ { j k } ^ { 2 } \tau _ { i h } ^ { 2 } + \tau _ { i k } ^ { 2 } \tau _ { j h } ^ { 2 } } \cos \left( \phi _ { j k } + \phi _ { i h } - \phi _ { i k } - \phi _ { j h } \right)
A _ { 4 } ^ { ( s ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \frac { 1 } { 2 } s - R - 1 + i } ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } s - n - 1 + i } F _ { i } .
\begin{array} { r l r } { \| e _ { n + 1 } \| _ { H ^ { \sigma } } } & { \leq } & { ( 1 + C h ) z _ { n } + C h \left[ \delta ^ { n + 1 } \| P _ { - 1 } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , D } + \left( z _ { n } + h ^ { s } \right) \sum _ { k = 0 } ^ { n } \delta ^ { n - k } \right] + C h ^ { s + 1 } } \\ & { \leq } & { ( 1 + C h ) z _ { n } + C h \left[ \delta ^ { n + 1 } \| P _ { - 1 } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , D } + \left( z _ { n } + h ^ { s } \right) \frac { 1 } { 1 - \delta } \right] + C h ^ { s + 1 } , } \end{array}
\left\vert \frac { f } { p } \right\vert ^ { 2 } = \frac { ( p _ { 1 } + e _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( p _ { 2 } + e _ { 2 } ) ^ { 2 } } { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } = 1 + 2 \frac { p _ { 1 } e _ { 1 } + p _ { 2 } e _ { 2 } } { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { e _ { 1 } ^ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } } { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { D } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } } & { \hdots } & { 0 } \\ & { \hdots } & \\ { 0 } & { \hdots } & { \frac { 1 } { \kappa _ { n - 1 } } } \end{array} \right] \left( I _ { n - 1 } + \left[ \begin{array} { l } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } c _ { 1 , 0 } } \\ { \hdots } \\ { \kappa _ { n - 1 } z _ { n - 1 } c _ { n - 1 , 0 } } \end{array} \right] \frac { \left[ \begin{array} { l } { \frac { ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { n } ) z _ { 1 } } { \kappa _ { 1 } } , \hdots , \frac { ( \kappa _ { n - 1 } - \kappa _ { n } ) z _ { n - 1 } } { \kappa _ { n - 1 } } } \end{array} \right] } { \kappa _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } - z _ { n } ) z _ { i } c _ { i , 0 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \tau } \left( t \right) } & { = } & { \frac { 1 } { q ^ { q - 1 } } \left( \displaystyle \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left[ \lambda \left( r \right) \right] ^ { \frac { 1 } { q } } d r + t _ { 0 } \right) ^ { q - 1 } \left[ \lambda \left( t \right) \right] ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { = } & { \left[ \tau \left( t \right) \right] ^ { \frac { q - 1 } { q } } \left[ \lambda \left( t \right) \right] ^ { \frac { 1 } { q } } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sqrt { ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) } J ( 2 n + 2 , k ) } & { { } = } & { ( \alpha _ { n } - 1 ) \sqrt { ( 2 n ) ( 2 n - 1 ) } J ( 2 n - 2 , k ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ v B \right] = 0 } \\ & { \left[ n _ { i } v \right] = 0 } \\ & { \left[ n _ { i } m _ { i } v ^ { 2 } + p + \frac { B ^ { 2 } } { 8 \pi } \right] = 0 } \\ & { \left[ n _ { i } m _ { i } v \left( \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } + u + \frac { p + B ^ { 2 } / 8 \pi } { n _ { i } m _ { i } } \right) \right] = 0 \ . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } f = r ^ { - 1 } \partial _ { r } ^ { 2 } ( r f ) + r ^ { - 2 } \left[ ( \sin \theta ) ^ { - 1 } \partial _ { \theta } ( \sin \theta \partial _ { \theta } f ) + ( \sin \theta ) ^ { - 2 } \partial _ { \varphi } ^ { 2 } f \right] \; .
\begin{array} { r l r } & { } & { \, - \, \nabla \cdot \left( \frac { n _ { 0 } } { \partial B \omega _ { c i } } \nabla _ { \perp } \phi \right) = \bar { n } _ { 1 i } - \bar { n } _ { 1 e } } \\ & { } & { \sum _ { s = i , e } \frac { \beta _ { s } } { \rho _ { s } ^ { 2 } } A _ { \| } ^ { \mathrm { ( h ) } } - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } A _ { \| } ^ { \mathrm { ( h ) } } = \mu _ { 0 } \sum _ { s = i , e } \bar { j } _ { \| 1 s } + \nabla _ { \perp } ^ { 2 } A _ { \| } ^ { \mathrm { ( s ) } } } \end{array}
\mathbf { P } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 2 } & { 7 } \\ { 1 } & { 5 } & { 6 } & { 2 } \\ { 3 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 3 } & { 3 } & { 6 } & { 7 } \end{array} \right] }