harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { g } = { \left( \begin{array} { l l l } { I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \beta \cos ^ { 2 } \gamma + I _ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta \sin ^ { 2 } \gamma + I _ { 3 } \cos ^ { 2 } \beta } & { ( I _ { 2 } - I _ { 1 } ) \sin \beta \sin \gamma \cos \gamma } & { I _ { 3 } \cos \beta } \\ { ( I _ { 2 } - I _ { 1 } ) \sin \beta \sin \gamma \cos \gamma } & { I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \gamma + I _ { 2 } \cos ^ { 2 } \gamma } & { 0 } \\ { I _ { 3 } \cos \beta } & { 0 } & { I _ { 3 } } \end{array} \right) } .
\begin{array} { l } { { \cal U } ^ { ( m ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) = { \cal E } ^ { ( m ) } \left[ \rho _ { \mathrm { m i n } } \left[ n ^ { ( m ) } \right] , n ^ { ( m ) } \right] + V _ { \mathrm { n n } } ( { \bf R } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { T } & { = R _ { 2 } ^ { 2 } \, \Gamma + \int \left( { \frac { 1 } { K } } - R _ { 2 } ^ { 2 } \right) \cos \varphi \, d \varphi \, d \lambda } \\ & { = R _ { 2 } ^ { 2 } \, \Gamma + \int \left( { \frac { b ^ { 2 } } { { \bigl ( } 1 - e ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi { \bigr ) } ^ { 2 } } } - R _ { 2 } ^ { 2 } \right) \cos \varphi \, d \varphi \, d \lambda , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \varphi = \bar { A } ( C ) C _ { \alpha } \left[ \tau \sqrt { R T } \left( \frac { \partial _ { \alpha } T } { T } \right) \right] + \bar { B } ( C ) \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) \left[ \tau \partial _ { \beta } u _ { \alpha } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \hat { \rho } _ { 1 } \hat { v } _ { 0 } + \hat { \rho } _ { 0 } \hat { v } _ { 1 } , } \\ { 0 } & { = - \frac { d \hat { p } _ { 1 } } { d \eta } + b ^ { 2 } \nu \frac { d ^ { 2 } \hat { v } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } , } \\ { 0 } & { = \frac { d ^ { 2 } \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } + q \hat { \Lambda } _ { 0 } \hat { \rho } _ { 0 } \hat { c } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 } } , } \\ { 0 } & { = \frac { 1 } { L e } \frac { d ^ { 2 } \hat { c } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } - \hat { \Lambda } _ { 0 } \hat { \rho } _ { 0 } \hat { c } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 } } , } \\ { \hat { p } _ { 1 } } & { = \hat { \rho } _ { 1 } \hat { \theta } _ { 0 } + \hat { \rho } _ { 0 } \hat { \theta } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = ( a + b ) ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } - a ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } - b ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } - \sum _ { 1 \leq i \leq p - 1 } s _ { i } ^ { \mathfrak { g } } ( a , b ) } \\ & { = s ( a + b ) - s ( a ) - s ( b ) - \sum _ { 1 \leq i \leq p - 1 } s _ { i } ^ { \mathfrak { a } } ( a , b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { i j } ^ { l } } & { { } = \mathrm { M L P } _ { 2 } ^ { l } ( h _ { j } ^ { l } ) \left( \pi _ { \mathrm { r b f } } ^ { l } ( \mathbf { d } _ { i j } ) \odot \pi _ { \mathrm { e d g e } } ( f _ { i j } ^ { \mathrm { r x n } } ) \right) , } \end{array}
| \hat { A _ { 1 } } | ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { | \hat { A _ { 1 } } | ( 0 ) e ^ { h ( t ) } \left( 1 + \frac { | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } ( 0 ) } { | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) } \left( \frac { b _ { 0 } } { b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) } \right) \left\{ \left[ 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) \left( 1 - e ^ { 2 t } \right) \right] ^ { 1 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) } { b _ { 0 } } } - 1 \right\} \right) ^ { - 1 / 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \neq b _ { 0 } } \\ { | \hat { A _ { 1 } } | ( 0 ) e ^ { h ( t ) } \left\{ 1 + \frac { | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } ( 0 ) } { | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) } \log \left[ 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) \left( 1 - e ^ { 2 t } \right) \right] \right\} ^ { - 1 / 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) = b _ { 0 } . } \end{array} \right.
\{ u ( x ) , u ( y ) \} _ { 2 } = \left( { \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 3 } } \left( { \frac { \partial } { \partial x } } u + u { \frac { \partial } { \partial x } } \right) \right) \delta ( x - y )
\varphi _ { t } ^ { \mathrm { s } } = \underbrace { \big ( \Phi _ { x } ^ { \mathrm { p h y s } } \, , \, \Phi _ { y } ^ { \mathrm { p h y s } } \big ) \left( \begin{array} { l l } { \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } & { - \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } \\ { \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } & { \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } \end{array} \right) } _ { \displaystyle \big ( \varphi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } \, , \, - \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } \big ) } \left( \begin{array} { l } { - H ^ { \coth } \left[ \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } / J ^ { \mathrm { s } } \right] + C _ { 1 } } \\ { - \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } / J ^ { \mathrm { s } } } \end{array} \right) - \frac { \big ( \varphi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } + \big ( \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } } { 2 J ^ { \mathrm { s } } } - g \eta ^ { \mathrm { s } } + \tau \kappa + C ,
\begin{array} { r l } { r _ { ( i , k ) , ( j , \ell ) } ( x ) } & { = r _ { ( i , k ) , ( j , \ell ) } ( ( L \times M ) _ { ( i , k ) , ( a , b ) } ) } \\ & { = ( L \times M ) _ { ( j , \ell ) , ( a , b ) } } \\ & { = ( L _ { j , a } , M _ { \ell , b } ) } \\ & { = ( u _ { i , j } ( L _ { i , a } ) , v _ { k , \ell } ( M _ { k , b } ) ) } \\ & { = u _ { i , j } \times v _ { k , \ell } ( L _ { i , a } , M _ { k , b } ) } \\ & { = u _ { i , j } \times v _ { k , \ell } ( x ) . } \end{array}
S _ { d - g a u g e } = \int d ^ { d + 1 } x \Phi \frac { \varepsilon ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } . . . a _ { d + 1 } } } { \sqrt { - \gamma } } \partial _ { [ a _ { 1 } } A _ { a _ { 2 } . . . a _ { d + 1 } ] }
k _ { \beta } ( \mathrm { \bf ~ 1 } , e ^ { \varphi ^ { i } T _ { i } } ) = \frac { M } { ( 2 \pi \beta ) ^ { \frac { D } { 2 } } } \sum _ { \nu } \prod _ { \alpha > 0 } \frac { < \varphi + 2 \pi \nu , \alpha > / 2 } { \sin < \varphi + 2 \pi \nu , \alpha > / 2 } e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } < \varphi + 2 \pi \nu , \, \varphi + 2 \pi \nu > }
\hat { H } _ { \mathrm { d } , 0 } = \hbar \omega _ { e } \sum _ { n } \vert e _ { n } \rangle \langle e _ { n } \vert + \sum _ { \mathbf { k } , \mu } \hbar \omega _ { \mathbf { k } , \mu } a _ { \mathbf { k } , \mu } a _ { \mathbf { k } , \mu } ^ { \dagger }
V ( r ) t = { \frac { 1 } { M _ { P f } ^ { 2 + q } } } \int d x ^ { 4 + q } d x ^ { ' 4 + q } T ^ { A B } ( x ) ~ G _ { A B , C D } ( x - x ^ { \prime } ) ~ T ^ { C D } ( x ^ { \prime } ) ~ ,
\eta _ { i a } \eta _ { j b } R ^ { a } { } _ { m } { } ^ { b } { } _ { n } = R ^ { a } { } _ { i } { } ^ { b } { } _ { j } \eta _ { a m } \eta _ { b n } , \quad \eta _ { a i } R ^ { a } { } _ { j } { } ^ { l } { } _ { k } = \lambda ^ { - 2 } R ^ { - 1 } { } ^ { a } { } _ { i } { } ^ { l } { } _ { k } \eta _ { j a }
\frac { \Delta \Gamma _ { s } } { \Gamma _ { s } } \approx - \, \frac { 3 \pi } { 2 S ( x _ { t } ) } \, \frac { m _ { b } ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \, \frac { \Delta M _ { s } } { \Gamma _ { s } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \textbf { u } } { \partial t } + \textbf { u } \cdot \nabla \textbf { u } + R _ { \Omega } ( \textbf { e } _ { z } \times \textbf { u } ) = - \nabla p + R e _ { s } ^ { - 1 } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } , } \end{array}
A _ { c i r c } = \frac { N _ { + + } - N _ { -- } } { N _ { + + } + N _ { -- } } = \frac { \langle \xi _ { 2 } \rangle + \langle \tilde { \xi } _ { 2 } \rangle } { 1 + \langle \xi _ { 2 } \tilde { \xi } _ { 2 } \rangle } { \cal A } _ { 1 } ,
\begin{array} { r } { A ^ { \alpha , \beta } ( { \bf k } , t ) = \langle \psi _ { \alpha } | \nabla _ { \bf k } \psi _ { \beta } \rangle \cdot d { \bf k } + \langle \psi _ { \alpha } | \nabla _ { t } \psi _ { \beta } \rangle \cdot d t . } \end{array}
G \left( { } _ { \zeta } | { } ^ { \zeta ^ { \prime } } \right) _ { l l ^ { \prime } } = \delta _ { l , l ^ { \prime } } \; g \left( { } _ { \zeta } | { } ^ { \zeta ^ { \prime } } \right) \; , \; \; l = ( p _ { D } , n ) \; , l ^ { \prime } = ( p _ { D } ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) \; ,
\beta _ { \mathrm { E P 3 } } = k _ { 0 } , \Psi _ { \mathrm { E P 3 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ 1 , 0 , - \mathrm { s i g n } \left( \frac { B } { A } \right) \right] ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { H _ { - 3 } ( j ( \tau ) ) ^ { 3 } } & { = j ( \tau ) = q ^ { - 1 } \prod _ { D = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { D } ) ^ { 3 A ( D ^ { 2 } , 3 ) } } \\ & { = \left( q ^ { - \frac { 1 } { 3 } } ( 1 - q ) ^ { - 2 4 8 } ( 1 - q ^ { 2 } ) ^ { 2 6 7 5 2 } ( 1 - q ^ { 3 } ) ^ { 4 0 9 6 2 4 8 } \cdots \right) ^ { 3 } . } \end{array}
E _ { \boldsymbol { k _ { x } } n } ( \boldsymbol { r } ) = u _ { \boldsymbol { k _ { x } } n } ( \boldsymbol { r } ) e ^ { - i \cdot \operatorname { r e a l } \left( \boldsymbol { k _ { x } } \right) \cdot \boldsymbol { r } } \cdot e ^ { \operatorname { i m a g } \left( \boldsymbol { k _ { x } } \right) \cdot \boldsymbol { r } } ,
I ( \phi ) \; = \; \int _ { M ^ { \prime } \times M ^ { \prime } } d ^ { d } { \bf x } d ^ { d } { \bf y } \, \phi _ { 0 } ( { \bf x } ) \, G ( { \bf x } , { \bf y } ) \, \phi _ { 0 } ( { \bf y } ) , \; \; \; \; G ( { \bf x } , { \bf y } ) \; \propto \; \sum _ { \gamma \in \Gamma } \frac { | \gamma ^ { \prime } ( { \bf y } ) | ^ { \Delta } } { | { \bf x } - \gamma { \bf y } | ^ { 2 \Delta } } .
q _ { 1 } ( t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 m _ { 1 } \omega _ { 1 } } } ( e ^ { - i \omega _ { 1 } t } ( c A _ { 1 } ( 0 ) + s A _ { 2 } ( 0 ) ) + e ^ { i \omega _ { 1 } t } ( c A _ { 1 } ( 0 ) + s A _ { 2 } ( 0 ) ) ^ { \dag } ) ,
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { K S } } [ { \boldsymbol \rho } ] = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k , \sigma } f _ { k } ^ { \sigma } \langle \Phi _ { k } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) \vert \nabla ^ { 2 } \vert \Phi _ { k } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) \rangle } \end{array}
\sum _ { j \ge 0 } { \alpha ^ { j } | U _ { N - j } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } } = \alpha ^ { N } \sum _ { j \ge 0 } { \alpha ^ { j - N } | U _ { N - j } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } } = \alpha ^ { N } \left( 1 - \sum _ { j = 0 } ^ { | N | - 1 } { \alpha ^ { j } | U _ { - j } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } } \right) = \alpha ^ { N } - \sum _ { j = 1 } ^ { | N | } { \alpha ^ { N - j } | U _ { j - N } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } } ,
l _ { \dot { Q } } ^ { \dot { P } } s ^ { \dot { J } } = \sum _ { \dot { I } } \sum _ { \dot { J } _ { 1 } \dot { J } _ { 2 } = \dot { J } } \delta _ { \dot { Q } } ^ { \dot { J } _ { 1 } } \delta _ { \dot { I } } ^ { \dot { P } \dot { J } _ { 2 } } s ^ { \dot { I } } .
\varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / i } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / j } ^ { \downarrow } \} ) = \sum _ { k l } W _ { k l } h _ { i } ^ { L \uparrow ( k ) } h _ { j } ^ { L \downarrow ( l ) } ,
\mathbf k ^ { 2 } \hat { u } = \hat { S } - 2 \rho \hat { S } \hat { u } + \rho ^ { 2 } \hat { S } \hat { u } ^ { 2 } , \quad \hat { u } ( \mathbf k ) : = \int d \mathbf x \ e ^ { i \mathbf k \mathbf x } u ( \mathbf x )
\Re \frac { \overline { { { \xi } ^ { ( \tau ) } } } \beta } { | \xi ^ { ( \tau ) } | } = \frac 1 { \varepsilon } | \xi ^ { ( \tau ) } | + \frac { 1 } { 6 } k ^ { 2 } \varepsilon | \xi ^ { ( \tau ) } | ^ { - 1 } \biggl ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } + \biggl ( \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } l ^ { ( 3 ) } } { l ^ { ( 1 ) } } + \frac { a _ { 3 } ^ { 2 } l ^ { ( 1 ) } } { l ^ { ( 3 ) } } \biggr ) \cos \tau \biggr ) + O ( \varepsilon ^ { 3 } ) ,
- a _ { 0 } I _ { a , a } - \sum _ { m = 1 } ^ { N - 1 } a _ { m } \left( S ^ { m } \right) _ { a , a } = c \left( - a _ { 0 } I _ { b , b } - \sum _ { m = 1 } ^ { N - 1 } a _ { m } \left( S ^ { m } \right) _ { b , b } \right)
\begin{array} { r l r } { M _ { \mathrm { t e r r } } } & { = } & { 9 2 \, \frac { \alpha ^ { 3 / 2 } \, m _ { e } ^ { 3 / 4 } \, M _ { p l } ^ { 3 } } { m _ { p } ^ { 1 1 / 4 } } } \\ { \rho _ { \mathrm { r o c k } } } & { = } & { 0 . 1 3 \, \alpha ^ { 3 } \, m _ { e } ^ { 3 } \, m _ { p } } \\ { a _ { \mathrm { t e m p } } } & { = } & { 7 . 6 \, \frac { \lambda ^ { 7 / 4 } \, m _ { p } ^ { 1 / 2 } \, M _ { p l } ^ { 1 / 2 } } { \alpha ^ { 5 } \, m _ { e } ^ { 2 } } } \\ { Q _ { \mathrm { s o l a r } } } & { = } & { 5 . 3 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \frac { \alpha ^ { 7 } \, m _ { e } ^ { 9 / 2 } \, M _ { p l } ^ { 2 } } { m _ { p } ^ { 9 / 2 } } } \\ { t _ { \mathrm { d a y } } } & { = } & { 3 7 6 \, \frac { M _ { p l } } { \alpha ^ { 3 / 2 } \, m _ { e } ^ { 3 / 2 } \, m _ { p } ^ { 1 / 2 } } } \end{array}
\nabla ^ { n - 1 } \mathscr { D } _ { t , m } \nabla \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } = \nabla ^ { n } \mathscr { D } _ { t , m } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } - \nabla ^ { n - 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \nabla \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } \cdot \nabla \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } \aftergroup \egroup \right) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { i } _ { \rho ( \xi ) } \boldsymbol { \omega } } & { = \big ( \mathrm { t r } ( [ E , \xi ] \mathbb { d } A _ { \ell } ) - \mathrm { t r } ( \mathbb { d } E \mathcal { L } _ { \ell } \xi ) + \mathrm { t r } ( [ F _ { \ell } ^ { i } , \xi ] \mathbb { d } { \mathsf { a } } _ { i } ) - \mathrm { t r } ( \mathbb { d } F _ { \ell } ^ { i } \mathcal { D } _ { i } \xi ) \big ) { \boldsymbol { v o l } } _ { \Sigma } } \end{array}
f ( r ) = \frac { \exp ( - \chi _ { \mathrm { m i n } } p _ { O _ { 2 } } r ) - \exp ( - \chi _ { \mathrm { m a x } } p _ { O _ { 2 } } r ) } { r \ln ( \chi _ { \mathrm { m a x } } / \chi _ { \mathrm { m i n } } ) } ,
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { o } } ( v ) \approx } & { { } \frac { v ^ { n \, m } } { f ^ { \ast \, m } \, v ^ { \ast \, n \, m } \, 2 ^ { m } \, \tilde { v } ^ { \frac { m n } { 2 } } + v ^ { n \, m } } } \\ { = } & { { } \frac { v ^ { n \, m } } { f ^ { \ast \, m } \, 2 ^ { m } \, v ^ { \ast \, \frac { n m } { 2 } } \, v ^ { \frac { m n } { 2 } } + v ^ { n \, m } } } \\ { = } & { { } \frac { v ^ { \frac { n m } { 2 } } } { f ^ { \ast \, m } \, 2 ^ { m } \, v ^ { \ast \, \frac { n m } { 2 } } + v ^ { \frac { n m } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \int _ { \tau ( \lambda = 0 ) } ^ { \tau ( \lambda = \lambda _ { D } ) } \! d \tau \big [ h _ { 0 0 , 0 } ^ { \mathrm { ~ P ~ D ~ } } - h _ { 0 0 , 1 } ^ { \mathrm { ~ P ~ D ~ } } \big ] _ { x ^ { \mu } = ( t ( \tau ) , L , 0 , 0 ) } \, . } \end{array}
{ \cal T } _ { 1 2 \to c \bar { c } } \; = \; { \frac { g ^ { 2 } } { 2 m _ { c } } } \; { \bar { v } } ( k _ { 2 } ) \gamma _ { \mu } T ^ { a } u ( k _ { 1 } ) \; L _ { \ i } ^ { \mu } \; \xi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } T ^ { a } \eta ,
\langle { x ^ { \mu } } ^ { \prime \prime } , \tau ^ { \prime \prime } | { p _ { \mu } } ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } \rangle = \exp \{ { i p _ { \mu } } ^ { \prime } { x ^ { \mu } } ^ { \prime \prime } \} / [ p ^ { \ 2 } + m ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r } { \left\| { \mu _ { k } \left( \P \right) - \mu _ { k } \left( \tilde { \mathbb { P } } _ { n ^ { \prime } } \right) } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k } } \leq \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { n } } + \frac { c _ { 2 } } { n ^ { \prime } } + \frac { c _ { 3 } \sqrt { \log ( n ^ { \prime } / \delta ) } } { n ^ { \prime } } \sqrt { \mathcal N _ { X } \left( \frac { 1 2 K ^ { 2 } \log ( n ^ { \prime } / \delta ) } { n ^ { \prime } } \right) } , } \end{array}
\mathcal { O } _ { \beta } \gets \tilde { p } ( \beta ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( \frac { \tilde { H } ( \tau ) + \frac { K } { \mu } } { 1 - \epsilon } - \frac { 1 } { 2 \theta _ { k } } \cdot \frac { \mu } { \mu + 2 \theta _ { k } } \cdot \left( 1 - \tilde { F } _ { k } ( \tau ) \right) \right) - \beta \left( \frac { \tilde { H } ( \tau ) + \frac { K } { \mu } } { 1 - \epsilon } \right)
- 4 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } + 4 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} + \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} - 4 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \}
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( \frac { \cos ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \sin ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 2 } } \right) \left( \omega _ { 1 } \cos ^ { 2 } \beta + \omega _ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta \right) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tan { \frac { \theta } { 2 } } } & { { } = \csc \theta - \cot \theta } \\ { \tan { \frac { \eta + \theta } { 2 } } \! } & { { } = { \frac { \sin \eta + \sin \theta } { \cos \eta + \cos \theta } } } \\ { \tan \left( \! { \frac { \theta } { 2 } } \! + \! { \frac { \pi } { 4 } } \! \right) \! } & { { } = \! \sec \theta \! + \! \tan \theta } \\ { { \sqrt { \frac { 1 - \sin \theta } { 1 + \sin \theta } } } } & { { } = { \frac { | 1 - \tan { \frac { \theta } { 2 } } | } { | 1 + \tan { \frac { \theta } { 2 } } | } } } \\ { \tan { \frac { \theta } { 2 } } \! } & { { } = \! { \frac { \tan \theta } { 1 \! + \! { \sqrt { 1 \! + \! \tan ^ { 2 } \theta } } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } _ { 0 } } | F _ { n , P } ( x ) - F _ { 0 } ( x ) | \rightarrow 0 , \quad \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } _ { 0 } } | G _ { n , P } ^ { w } ( x ) - G _ { P } ^ { w } ( x ) | \rightarrow 0 , \quad \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } _ { 0 } } | Q _ { n , P } ( x ) - Q _ { P } ( x ) | \rightarrow 0 , } \end{array}
\mathcal { H } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ \{ 4 , 8 , a \} , \{ 4 , 6 , b \} , \{ 6 , 7 , a \} , \{ 7 , 8 , b \} \} } & { \mathrm { i f ~ \hat { \varphi } ( 5 ) = 2 ~ , } } \\ { \{ \{ 2 , 7 , a \} , \{ 2 , 8 , b \} , \{ 4 , 7 , b \} , \{ 4 , 8 , a \} \} } & { \mathrm { i f ~ \hat { \varphi } ( 5 ) ~ = ~ 6 ~ , } } \\ { \{ \{ 2 , 6 , a \} , \{ 2 , 8 , b \} , \{ 4 , 6 , b \} , \{ 4 , 8 , a \} \} } & { \mathrm { i f ~ \hat { \varphi } ( 5 ) ~ = ~ 7 ~ , } } \end{array} \right.
\frac { \partial ^ { 2 } F } { ( \partial v ^ { 1 } ) ^ { 2 } } = \phi _ { 1 1 } ^ { m } + \sum _ { A = 2 } ^ { m } [ 2 \phi _ { 1 A } ^ { m } f _ { 1 } ^ { A } + \phi _ { A } ^ { m } f _ { 1 1 } ^ { A } + \sum _ { B = 2 } ^ { m } ( \phi _ { A B } ^ { m } f _ { 1 } ^ { B } ) f _ { 1 } ^ { A } ]
{ S _ { L } ^ { 1 } } \left[ \bar { \phi } , \hat { g } \right] = { \frac { 1 } { 8 \pi } } \int { d ^ { 2 } } \xi \sqrt { \hat { g } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \bar { \phi } \hat { \Delta } \bar { \phi } + { \hat { J } _ { Q } ^ { 1 } } \bar { \phi } \right)
\dim _ { K ( \! ( \delta ) \! ) } \mathbb { H } ^ { n } ( \bar { X } _ { K ( \! ( \delta ) \! ) } ; ( \Omega _ { K ( \! ( \delta ) \! ) , \log } ^ { \bullet } ( k D ) , \nabla _ { \omega } ^ { \delta } ) ) \, = \, \sum _ { p + q = n } \dim _ { K ( \! ( \delta ) \! ) } \mathbb { H } ^ { q } ( \bar { X } _ { K ( \! ( \delta ) \! ) } ; \Omega _ { K ( \! ( \delta ) \! ) , \log } ^ { p } ( k D ) ) .
{ \begin{array} { r l } & { \operatorname { R e } \left( { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \mathord { \left( A e ^ { i \theta } \cdot e ^ { i \omega t } \right) } } \right) } \\ { = } & { \operatorname { R e } \left( A e ^ { i \theta } \cdot i \omega e ^ { i \omega t } \right) } \\ { = } & { \operatorname { R e } \left( A e ^ { i \theta } \cdot e ^ { i \pi / 2 } \omega e ^ { i \omega t } \right) } \\ { = } & { \operatorname { R e } \left( \omega A e ^ { i ( \theta + \pi / 2 ) } \cdot e ^ { i \omega t } \right) } \\ { = } & { \omega A \cdot \cos \left( \omega t + \theta + { \frac { \pi } { 2 } } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { \ m b { D } } _ { t } q } & { { } = h ^ { - 1 } \big [ \boldsymbol { \nabla } ^ { \perp } \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \big ] _ { \scriptscriptstyle F } + \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } h ^ { - 1 } \sum _ { \scriptscriptstyle i , j = 1 , 2 } \partial _ { x _ { i } } \partial _ { x _ { j } } \big ( \boldsymbol { \nabla } a _ { i j } \times \boldsymbol { u } \big ) \, \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \theta } ^ { y , \textup { M } } \Vert \mu _ { \theta } ^ { y , \bullet } ) = } & { d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \theta , \delta } ^ { y , \textup { J } } \Vert \mu _ { \theta , \delta } ^ { y , \bullet } ) - \int _ { \Theta } d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \delta | \theta } ^ { y , \textup { J } } \Vert \mu _ { \delta } ) \mathrm { d } \mu _ { \theta } ^ { y , \textup { M } } , } \\ { d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \theta } ^ { y , \bullet } \Vert \mu _ { \theta } ^ { y , \textup { M } } ) = } & { d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \theta , \delta } ^ { y , \bullet } \Vert \mu _ { \theta , \delta } ^ { y , \textup { J } } ) - \int _ { \Theta } d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \delta } \Vert \mu _ { \delta | \theta } ^ { y , \textup { J } } ) \mathrm { d } \mu _ { \theta } ^ { y , \bullet } . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { d } } \bar { \mathbf { B } } _ { \alpha i } \mathbf { D } _ { i \beta } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { d } } \frac { 1 } { n _ { v } } \delta _ { i j } d o f _ { j } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \beta } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { d } } \frac { 1 } { n _ { v } } d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) d o f _ { i } ( \mathbf { p } _ { \beta } ) = \mathbf { G } _ { \alpha \beta } .
\begin{array} { r l r } { f } & { = } & { \left( \Lambda _ { ( 0 , 0 ) } ^ { - 1 } \cdot \left( \begin{array} { c } { t _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 0 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 0 , 1 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) \right) ^ { T } \left( \begin{array} { c } { H _ { ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) } } \\ { H _ { ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } } \\ { H _ { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) } } \\ { H _ { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) + \left( \Lambda _ { ( 0 , 1 ) } ^ { - 1 } \cdot \left( \begin{array} { c } { t _ { ( 0 , 1 ) } ^ { ( 0 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 1 ) } ^ { ( 0 , 1 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 1 ) } ^ { ( 1 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 1 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) \right) ^ { T } \left( \begin{array} { c } { H _ { ( 0 , 1 ) , ( 0 , 0 ) } } \\ { H _ { ( 0 , 1 ) , ( 0 , 1 ) } } \\ { H _ { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } } \\ { H _ { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) } \\ & { + } & { \left( \Lambda _ { ( 1 , 0 ) } ^ { - 1 } \cdot \left( \begin{array} { c } { t _ { ( 1 , 0 ) } ^ { ( 0 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 0 ) } ^ { ( 0 , 1 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 0 ) } ^ { ( 1 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) \right) ^ { T } \left( \begin{array} { c } { H _ { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 0 ) } } \\ { H _ { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } } \\ { H _ { ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) } } \\ { H _ { ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) + \left( \Lambda _ { ( 1 , 1 ) } ^ { - 1 } \cdot \left( \begin{array} { c } { t _ { ( 1 , 1 ) } ^ { ( 0 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 1 ) } ^ { ( 0 , 1 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 1 ) } ^ { ( 1 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 1 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) \right) ^ { T } \left( \begin{array} { c } { H _ { ( 1 , 1 ) , ( 0 , 0 ) } } \\ { H _ { ( 1 , 1 ) , ( 0 , 1 ) } } \\ { H _ { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } } \\ { H _ { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) . } \end{array}