harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { - \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \right] + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \widehat { K } _ { j } ^ { * } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , j } \right] + \lambda - \mu _ { i } = 0 } \\ & { \widehat { K } ^ { * T } \mathbf { 1 } - 1 = 0 } \\ & { \mu _ { i } \widehat { K } _ { i } ^ { * } = 0 . } \end{array}
{ \mathbf { v } _ { \mathrm { s } } } = i \, \omega ^ { - 2 } \chi ^ { - 1 } \left( ( c _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \mathbf { k } \, \mathbf { k } + a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \mathbf { k } _ { \scriptscriptstyle \! \perp } \mathbf { k } _ { \scriptscriptstyle \! \perp } ) \, { \boldsymbol { \cdot } } \, { \mathbf { v } _ { \mathrm { c } } } - \omega ^ { 2 } { \mathbf { v } _ { \mathrm { c } } } \right)
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathbf { a } } ( t _ { n + 1 } ) } & { { } = G ( \mathbf { a } ( t _ { n } ) ; \mu ) , } \\ { \mathbf { a } ( t _ { n + 1 } ) } & { { } = \widehat { \mathbf { a } } ( t _ { n + 1 } ) + \mathbf { c } ( t _ { n + 1 } ) . } \end{array}
{ \mathfrak { A } } { \mathfrak { B } } { \mathfrak { C } } { \mathfrak { D } } { \mathfrak { E } } { \mathfrak { F } } { \mathfrak { G } } { \mathfrak { H } } { \mathfrak { I } } { \mathfrak { J } } { \mathfrak { K } } { \mathfrak { L } } { \mathfrak { M } } { \mathfrak { N } } { \mathfrak { O } } { \mathfrak { P } } { \mathfrak { Q } } { \mathfrak { R } } { \mathfrak { S } } { \mathfrak { T } } { \mathfrak { U } } { \mathfrak { V } } { \mathfrak { W } } { \mathfrak { X } } { \mathfrak { Y } } { \mathfrak { Z } }
\begin{array} { r } { \tau b _ { 0 } \epsilon _ { A 0 } \delta \phi _ { 0 } = i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } \beta _ { 0 } ^ { + } \delta \phi _ { s } ^ { * } \delta \phi _ { + } + \delta \phi _ { - } \ \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ t ~ r ~ i ~ b ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { p } _ { B } = - \alpha _ { R B } p _ { R } , \ \ \ p _ { B } = p _ { B 0 } \ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \ t = 0 , \ \ \dot { p } _ { R } = - \alpha _ { B R } p _ { B } , \ \ \ p _ { R } = p _ { R 0 } \ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \ t = 0 , } \end{array}
\gamma ( h ) h _ { x } ^ { 2 } - ( g ( h ) - g ( h _ { e } ) ) = \int _ { h _ { e } } ^ { h } d g + \int _ { h _ { e } } ^ { h } \frac { 1 } { 2 } \frac { \xi ^ { 2 } } { \gamma _ { 0 } } g ^ { \prime } d g ^ { \prime }
\omega _ { i } = \frac { P _ { i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } } { { P _ { i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } } \times \epsilon _ { \gamma , \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } } ,
V _ { e } = \frac { e ^ { 2 y _ { 0 } } \left[ ( 1 6 n ^ { 2 } + 1 6 n + 3 ) e ^ { 4 n y } + 3 2 n ^ { 2 } + 8 0 n - 6 + ( 1 6 n ^ { 2 } + 1 6 n + 3 ) e ^ { - 4 n y } \right] } { 4 ( e ^ { 2 n y } + e ^ { - 2 n y } ) ^ { 2 + \frac { 1 } { n } } } .
T _ { \mathrm { n w } } = \frac { \frac { 4 \lambda _ { \mathrm { g } } } { R } T _ { \mathrm { g } } + h _ { \mathrm { g a s - w a l l } } T _ { \mathrm { w } } } { \frac { 4 \lambda _ { \mathrm { g } } } { R } + h _ { \mathrm { g a s - w a l l } } }
T ^ { \prime } = { \sqrt { 2 } } \{ V 1 \oplus V 2 \oplus V 3 \} = { \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { { \frac { - 1 - e _ { 1 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 - e _ { 1 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - 1 + e _ { 1 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 + e _ { 1 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - e _ { 2 } - e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { e _ { 2 } - e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - e _ { 2 } + e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { e _ { 2 } + e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } \\ { { \frac { - 1 - e _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 - e _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - 1 + e _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 + e _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - e _ { 1 } - e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { e _ { 1 } - e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - e _ { 1 } + e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { e _ { 1 } + e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } \\ { { \frac { - e _ { 1 } - e _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { e _ { 1 } - e _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - e _ { 1 } + e _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { e _ { 1 } + e _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - 1 - e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 - e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - 1 + e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 + e _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} \right) } ;
\begin{array} { r l r } { \mathrm { L i _ { 4 } } \left( \frac { - x } { 1 - x } \right) } & { { } = } & { \ln \left( \frac { x } { 1 - x } \right) \mathrm { L i _ { 3 } } \left( \frac { - x } { 1 - x } \right) - \frac { 1 } { 2 } \ln ^ { 2 } \left( \frac { x } { 1 - x } \right) \mathrm { L i _ { 2 } } \left( \frac { - x } { 1 - x } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \kappa _ { v } ( G ) = \frac { \sum _ { k } \frac { 1 } { k ! } [ ( W ^ { + } ) _ { v v } ^ { k } - ( W ^ { - } ) _ { v v } ^ { k } ] } { \sum _ { k } \frac { 1 } { k ! } [ ( W ^ { + } ) _ { v v } ^ { k } + ( W ^ { - } ) _ { v v } ^ { k } ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { I } { I _ { c } } } & { { } = \frac { ( f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } - f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } + f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } ) ( \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } ) } + \frac { f _ { x x } ^ { \mathrm { n } } \omega _ { x } ^ { 2 } + f _ { y y } ^ { \mathrm { n } } \omega _ { y } ^ { 2 } } { \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { - } } & { = } & { \{ ( x , 0 , z ) : x , z \in ( 0 , 1 ) \} \cup \{ ( 1 , y , z ) : y , z \in ( 0 , 1 ) \} } \\ { \mathrm { a n d ~ } \, \, g ( x , y , z ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { r l } { 0 , } & { ( x , y , z ) \in \Gamma _ { - } ^ { 1 } \equiv \{ ( x , 0 , z ) : x \in ( 0 , 0 . 7 ) , \ z \in ( 0 , 1 ) \} , } \\ { 1 , } & { ( x , y , z ) \in \Gamma _ { - } ^ { 2 } = \Gamma _ { - } \setminus \Gamma _ { - } ^ { 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ u _ { j _ { 1 } } , \dotsc , u _ { j _ { n - 1 } } \} = \left| \begin{array} { l l l l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } & { \cdots } & { x _ { n } } \\ { \frac { \partial u _ { j _ { 1 } } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial u _ { j _ { 1 } } } { \partial x _ { 2 } } } & { \frac { \partial u _ { j _ { 1 } } } { \partial x _ { 3 } } } & & { \frac { \partial u _ { j _ { 1 } } } { \partial x _ { n } } } \\ { \frac { \partial u _ { j _ { 2 } } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial u _ { j _ { 2 } } } { \partial x _ { 2 } } } & { \frac { \partial u _ { j _ { 2 } } } { \partial x _ { 3 } } } & & { \frac { \partial u _ { j _ { 2 } } } { \partial x _ { n } } } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & & { \cdots } \\ { \frac { \partial u _ { j _ { n - 1 } } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial u _ { j _ { n - 1 } } } { \partial x _ { 2 } } } & { \frac { \partial u _ { j _ { n - 1 } } } { \partial x _ { 3 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial u _ { j _ { n - 1 } } } { \partial x _ { n } } } \end{array} \right| . } \end{array}
\bar { q } ( \xi ^ { \prime } ) = f ( \xi ^ { \prime } ) \mathrm { e } ^ { - i \pi { \xi ^ { \prime } } ^ { 2 } / \beta } \quad \mathrm { w i t h } \quad f ( \xi ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { 0 \leq \xi ^ { \prime } < 1 , } \\ { 0 , } & { \xi ^ { \prime } > 1 , } \end{array} \right.
\frac { \partial ^ { 2 } m _ { a } ^ { 2 } } { \partial H _ { 1 } ^ { - } \partial H _ { 2 } ^ { + } } | _ { v e v s } = - \frac { B m _ { a } ^ { 4 } + C m _ { a } ^ { 2 } + D } { \Delta _ { a } } | _ { v e v s } ,
\frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { p e } ^ { 2 } ( Q _ { k i n } - 1 ) \left( \frac { \cos ^ { 2 } \theta _ { + } } { D _ { + } } + \frac { \cos ^ { 2 } \theta _ { - } } { D _ { - } } \right) = 1 ,
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } = } & { \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } + \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | H _ { W } | \tilde { \Psi } _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } } \end{array}
| N ( v ) | \leq c + \sum _ { i = 0 } ^ { i \leq \log _ { a ^ { - 1 } } \log ( n ) } n ^ { a ^ { i } - a ^ { i + 1 } \frac { \alpha } { d + 1 } } \leq c + \log _ { a ^ { - 1 } } \log ( n ) n ^ { 1 - a \frac { \alpha } { d + 1 } }
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { \bar { \Sigma } _ { j k } } & { \tilde { A } _ { j } \bar { x } _ { k } + \tilde { B } _ { j } \bar { u } _ { k } + \tilde { d } _ { j } } \\ { ( \tilde { A } _ { j } \bar { x } _ { k } + \tilde { B } _ { j } \bar { u } _ { k } + \tilde { d } _ { j } ) ^ { \top } } & { I } \end{array} \right] \succeq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { D } { } \mathrm { ~ \boldmath ~ u ~ } { } } { \mathrm { D } { } t } } & { { } = } & { - c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } { } \ln \rho + \mathrm { ~ \boldmath ~ J ~ } { } \times \mathrm { ~ \boldmath ~ B ~ } { } / \rho + \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } { } \cdot ( 2 \rho \nu \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \sf ~ S ~ } ~ } { } ) / \rho + \mathrm { ~ \boldmath ~ f ~ } { } , } \\ { \frac { \partial \mathrm { ~ \boldmath ~ A ~ } { } } { \partial t } } & { { } = } & { \mathrm { ~ \boldmath ~ u ~ } { } \times \mathrm { ~ \boldmath ~ B ~ } { } + \eta \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } { } ^ { 2 } \mathrm { ~ \boldmath ~ A ~ } { } , } \\ { \frac { \mathrm { D } { } \rho } { \mathrm { D } { } t } } & { { } = } & { - \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } { } \cdot ( \rho \mathrm { ~ \boldmath ~ u ~ } { } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } } { \mathrm { d } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { } = \frac { \mathrm { d } } { \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } \left[ \frac { 1 } { \mathrm { d } \tau _ { s } M ( \alpha ) } \right] = - \frac { 1 } { \tau _ { s } } \frac { M ^ { \prime } ( \alpha ) } { \left( M ( \alpha ) \right) ^ { 2 } } \left( \frac { \tau _ { s } } { V _ { s } \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \right) = } \end{array}
\{ \Theta _ { \alpha } ^ { \mu } , \Theta _ { \beta } ^ { \nu } \} \equiv \Delta _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } ~ ~ , ~ ~ \alpha , \beta = 1 , 2 ~ ~ , ~ ~ \Delta _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } \Delta _ { \nu \lambda } ^ { \beta \gamma } = \delta _ { \alpha } ^ { \gamma } \delta _ { \lambda } ^ { \mu } ~ .
I m M _ { 1 2 } ^ { H ^ { 0 } } = \frac { G ^ { 2 } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } f _ { K } ^ { 2 } \tilde { B } _ { K } m _ { K } ( \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } ) ^ { 2 } m _ { c } ^ { 2 } \sum _ { k } ( \frac { 2 \sqrt { 3 } \pi v m _ { K } } { m _ { H _ { k } ^ { 0 } } m _ { c } } ) ^ { 2 } I m ( Y _ { k , 1 2 } ^ { d } ) ^ { 2 }
\bar { \Delta } ( A ; \theta ) : = \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \mu _ { t } ^ { * } - \mu _ { t , A _ { t } } ) , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mu _ { t , a } : = \theta _ { t } ^ { \mathrm { c m } } + \theta _ { t , a } ^ { \mathrm { i d } } , \quad \mu _ { t } ^ { * } : = \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \mu _ { t , a } .
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { h } } ( - d \tau ^ { 2 } + d x _ { 8 } ^ { 2 } + d x _ { 9 } ^ { 2 } ) + \sqrt { h } ( d x _ { 1 } ^ { 2 } + \ \cdots \ + d x _ { 7 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \tilde { \beta } ( \varphi , x ) = - \underbrace { \beta ( \varphi , x ) } _ { = : A _ { 1 } } - \underbrace { \beta _ { x } ( \varphi , x ) \tilde { \beta } ( { \varphi , x } ) } _ { = : A _ { 2 } } - \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \beta _ { x x } ( \varphi , x ) ( \tilde { \beta } ( \varphi , x ) ) ^ { 2 } } _ { = : A _ { 3 } } - \underbrace { ( \tilde { \beta } ( \varphi , x ) ) ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta _ { x x x } ( \varphi , x + s \tilde { \beta } ( \varphi , x ) ) \frac { ( 1 - s ) ^ { 2 } } { 2 ! } d s } _ { = : A _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } } & { f ( \overline { d } , \underline { d } ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } } & { \overline { d } = ( A x - p ) _ { + } , \quad \underline { d } = ( A x - p ) _ { - } , \quad B x \leq c } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { { } = \frac 1 2 ( 5 + 3 C - 1 2 c _ { 3 } ^ { 2 } ) , } \\ { W _ { 2 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { { } = \frac 3 4 \big ( c _ { 3 } ( 2 3 + 5 C - 3 5 c _ { 3 } ^ { 2 } ) - c _ { 1 } c _ { 2 } \big ) , } \\ { W _ { 3 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { { } = \frac 3 4 \big ( c _ { 3 } ( 3 + 3 C - c _ { 3 } ^ { 2 } - 6 c _ { 1 } ^ { 2 } ) - 3 c _ { 1 } c _ { 2 } \big ) . } \end{array}
( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ( { \bf p } - { \bf p } ^ { \prime } ) \delta ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \delta ^ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \bar { n } ( | { \bf p } | ) ( 1 - \bar { n } ( | { \bf p } | ) )
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { S R G M - F T } } ( x , y ) } { \partial x } = \frac { L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { x } - \frac { L ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { x + y } , \quad \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { S R G M - F T } } ( x , y ) } { \partial y } = \frac { L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { y } - \frac { L ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { x + y } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( \xi ^ { k } - \xi ^ { - 1 } , 2 ^ { - 3 } ) } } & { \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \widehat { a _ { - 1 } } \left( \xi ^ { k } - \xi \right) \widehat { a _ { k } } ( \xi ) d \xi } \\ & { = \int _ { B ( \xi ^ { k } - \xi ^ { - 1 } , 2 ^ { - 3 } ) } \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \widehat { a _ { - 1 } } \left( \xi ^ { k } - \xi \right) d \xi d \xi } \\ & { = \int _ { B ( \xi ^ { - 1 } , 2 ^ { - 3 } ) } \left( \eta _ { 1 } - \sqrt { 3 } \eta _ { 2 } \right) \eta _ { \ell } \; \widehat { a _ { - 1 } } ( \eta ) d \eta } \\ & { \quad - 5 \sqrt { 3 } ^ { 2 - \ell } 2 ^ { k - 3 } \int _ { B ( \xi ^ { - 1 } , 2 ^ { - 3 } ) } \left( \eta _ { 1 } - \sqrt { 3 } \eta _ { 2 } \right) \widehat { a _ { - 1 } } ( \eta ) d \eta . } \end{array}
P _ { X } \left( x , t \mid x _ { 0 } , 0 \right) d x = \left\{ \frac { \sqrt { 2 \lambda } } { \sqrt { 2 \pi \left[ 1 - e ^ { - 2 \lambda t } \right] } } e ^ { - \frac { \lambda \left( x - x _ { 0 } e ^ { - \lambda t } \right) ^ { 2 } } { 1 - e ^ { - 2 \lambda t } } } \right\} \int _ { - \infty } ^ { \frac { \sqrt { 2 \lambda } } { \sqrt { 2 ( T - t ) ( e ^ { 2 \lambda t } - 1 ) } } \left( x - x _ { 0 } ^ { e ^ { - \lambda t } } \right) } e ^ { - \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } d s ,
A ( \mathbf { r } _ { 1 } + \Delta \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } + \Delta \mathbf { r } _ { 2 } ) \approx A ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) + \nabla _ { 1 } A ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) \cdot \Delta \mathbf { r } _ { 1 } + \nabla _ { 2 } A ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) \cdot \Delta \mathbf { r } _ { 2 }
2 m _ { 1 } m _ { 2 } ( { \mathrm { c o s h } } ( s _ { 1 } ) { \mathrm { c o s h } } ( s _ { 2 } ) - { \mathrm { s i n h } } ( s _ { 2 } ) { \mathrm { s i n h } } ( s _ { 1 } ) ) = 2 m _ { 1 } m _ { 2 } ( { \mathrm { c o s h } } ( s _ { 3 } ) { \mathrm { c o s h } } ( s _ { 4 } ) - { \mathrm { s i n h } } ( s _ { 4 } ) { \mathrm { s i n h } } ( s _ { 3 } ) )
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { 1 } } & { = \prod _ { j = 1 } ^ { L } \left( \sum _ { a = 1 } ^ { Q - 1 } u _ { a } ( \mathbf { X } _ { j } ) ^ { a } \right) } \\ { \mathbf { U } _ { 2 } } & { = \prod _ { j = 1 } ^ { L } \left( \sum _ { a = 1 } ^ { Q - 1 } v _ { a } ( \mathbf { Z } _ { j } ^ { \dag } \mathbf { Z } _ { j + 1 } ) ^ { a } \right) \, . } \end{array}
h _ { 1 , 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ c _ { 1 3 } ^ { 2 } a ( x ) + \Delta _ { 1 2 } \mp \sqrt { ( \cos 2 \theta _ { 1 2 } \Delta _ { 1 2 } - a c _ { 1 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \Delta _ { 1 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 1 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } - \nu \bigg [ ( 1 + \xi ^ { 2 } ) \theta ^ { \prime } + \xi \theta \bigg ] } & { = G ( \xi ) + \, \, { E _ { 0 } } \big ( \xi \sqrt { 1 + \xi ^ { 2 } } - \xi ^ { 2 } \big ) } \\ { \nu V ^ { \prime \prime } + \frac { 3 \nu \xi - \theta } { 1 + \xi ^ { 2 } } V ^ { \prime } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial \tau } } & { + } & { U _ { j } \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial \xi _ { j } } + \frac { \partial } { \partial \xi _ { j } } u _ { j } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } + \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial \xi _ { i } } - \nu \nabla _ { \xi } ^ { 2 } u _ { i } ^ { \prime } - 2 \epsilon _ { i j \ell } \omega _ { \mathrm { { F } } j } u _ { \ell } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \delta \left( { - u _ { j } ^ { \prime } \frac { \partial U _ { i } } { \partial X _ { j } } - \frac { D u _ { i } ^ { \prime } } { D T } - \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial X _ { i } } - \frac { \partial } { \partial X _ { j } } \left( { u _ { j } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } - \langle { u _ { j } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } \rangle } \right) } \right. \left. { - 2 \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } ^ { \prime } } { \partial X _ { j } \partial \xi _ { j } } } \right) } \\ & { + } & { \delta ^ { 2 } \left( { \nu \nabla _ { X } ^ { 2 } u _ { i } ^ { \prime } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { ~ - ~ } \mu } ^ { R ^ { \star } } } & { { } = \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { \mu } ^ { \star } \cos ( \mu \gamma ^ { \star } ) } \\ { c _ { \mathrm { ~ - ~ } \mu } ^ { I ^ { \star } } } & { { } = - \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { \mu } ^ { \star } \sin ( \mu \gamma ^ { \star } ) } \end{array}
{ \cal E } ^ { s c } \ = \ \sum _ { j } \frac { \mu ^ { 2 s } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \frac { \Gamma ( s + j - 2 ) } { \Gamma ( s + 1 ) } m _ { e } ^ { 4 - 2 ( s + j ) } A _ { j }
\frac { d f } { d \kappa } \; \; \; = \; \; \; - 2 \frac { M _ { c } } { I _ { c } } \left[ 1 + \frac { \delta M } { M c } - \frac { \delta I } { I _ { c } } \right] \; \; \; = \; \; \; - \frac { 2 } { 3 } \; - \; \frac { 1 } { 3 } \varepsilon \ln ( \varepsilon ) \; - \; \varepsilon \; .
E ^ { \mathrm { d a m p i n g } } ( \mathbf { x } _ { j } , t ) = { \frac { E _ { j } ^ { \mathrm { r e t } } ( \mathbf { x } _ { j } , t ) - E _ { j } ^ { \mathrm { a d v } } ( \mathbf { x } _ { j } , t ) } { 2 } } .
\Phi = \phi _ { 0 } - i \tau _ { a } \phi _ { a } = \left( \begin{array} { r r } { { \phi _ { 0 } - i \phi _ { 3 } \, , } } & { { - \phi _ { 2 } - i \phi _ { 1 } } } \\ { { \phi _ { 2 } - i \phi _ { 1 } \, , } } & { { \phi _ { 0 } + i \phi _ { 3 } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ r _ { 2 } ^ { 2 } ] } & { = 2 \varepsilon ^ { 8 } \int _ { \varepsilon ^ { - 3 } } ^ { \varepsilon ^ { - 4 } t } \int _ { \varepsilon ^ { - 3 } } ^ { s } \sum _ { x , x ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ^ { \prime } ) \mathbb { E } \big [ \nabla ^ { + } Z _ { s } ( x ) \nabla ^ { - } Z _ { s } ( x ) \nabla ^ { + } Z _ { r } ( x ^ { \prime } ) \nabla ^ { - } Z _ { r } ( x ^ { \prime } ) \big ] d r d s } \\ & { = 2 \varepsilon ^ { 8 } \int _ { \varepsilon ^ { - 3 } } ^ { \varepsilon ^ { - 4 } t } \int _ { \varepsilon ^ { - 3 } } ^ { s } \sum _ { x , x ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ^ { \prime } ) \mathbb { E } \big [ \nabla ^ { + } Z _ { r } ( x ^ { \prime } ) \nabla ^ { - } Z _ { r } ( x ^ { \prime } ) U ( x , r , s ) \big ] d r d s , } \end{array}
L \left( \ker ( \mathcal { V } _ { i } \stackrel { \mathrm { d } ^ { \mathcal { V } } } { \longrightarrow } \mathcal { V } _ { i + 1 } ) \right) \subseteq \ker ( \mathcal { W } _ { i } \stackrel { \mathrm { d } ^ { \mathcal { W } } } { \longrightarrow } \mathcal { W } _ { i + 1 } ) , \, \; \mathrm { a n d } \, \; L \left( \mathrm { I m } ( \mathcal { V } _ { i - 1 } \stackrel { \mathrm { d } ^ { \mathcal { V } } } { \longrightarrow } \mathcal { V } _ { i } ) \right) \subseteq \mathrm { I m } ( \mathcal { W } _ { i - 1 } \stackrel { \mathrm { d } ^ { \mathcal { W } } } { \longrightarrow } \mathcal { W } _ { i } ) .
I _ { \mathrm { H M } , 1 } ( u ) = \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \lvert \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] - z ( x ) \rvert } { \sqrt { \mathrm { V a r } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] + \mathrm { V a r } [ \epsilon _ { \mathrm { m e a s } , x } ] + \mathrm { V a r } [ \epsilon _ { \mathrm { o t h e r } , x } ] } } : x \in \mathcal { M } ^ { * } \right\} .
\begin{array} { r } { C _ { D } = { } \frac { - \omega ^ { 2 } } { \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } \omega } - \left( \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } x \right) \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } x \right) ^ { 2 } \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) , } \end{array}
F _ { k } ( \eta _ { j } , \beta _ { j } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { t _ { j } ^ { k } \sqrt { 1 + ( \beta _ { j } / 2 ) t _ { j } } } { 1 + \exp ( t _ { j } - \eta _ { j } ) } d t _ { j }
\begin{array} { r l r } { \hat { S } } & { { } = } & { \exp \left[ \sum _ { s = \pm } | 1 _ { s } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { s } ^ { \prime } | \ \sum _ { j } \frac { 1 } { \omega _ { j } } \left( \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle - s w _ { j } ^ { z } \right) \left( \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { b } _ { j } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ^ { \prime } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \varepsilon ^ { 2 } \sum _ { x = 0 } ^ { \infty } [ \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) - \phi ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) ] \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) ^ { 2 } d s , } \\ { R _ { 2 } ^ { \prime } } & { = \varepsilon ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon ^ { - 4 } t } \sum _ { x = 1 } ^ { \infty } \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \nabla ^ { + } Z _ { s } ( x ) \nabla ^ { - } Z _ { s } ( x ) d s , } \\ { R _ { 3 } ^ { \prime } } & { = - \varepsilon ^ { 5 } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon ^ { - 4 } t } \phi _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( 0 ) Z _ { s } ( 0 ) \nabla ^ { + } Z _ { s } ( 0 ) d s , } \\ { R _ { 4 } ^ { \prime } } & { = o ( 1 ) \int _ { 0 } ^ { t } \varepsilon ^ { 2 } \sum _ { x = 0 } ^ { \infty } \phi ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) ^ { 2 } d s . } \end{array}
\sigma ( q ^ { 0 } ) = \frac { 2 \pi } { 3 } \left( \frac { 3 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { m _ { Q } ( \epsilon _ { 0 } m _ { Q } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { ( q ^ { 0 } / \epsilon _ { 0 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } { ( q ^ { 0 } / \epsilon _ { 0 } ) ^ { 5 } } \; .
D ( Q ^ { 2 } ) = { \frac { N _ { c } ^ { 2 } - 1 } { N _ { c } } } \, { \frac { 3 } { 8 } } + { \frac { \pi } { \alpha _ { s } } } \, { \frac { { 2 \, \pi } ^ { 2 } } { N _ { c } } } \, < { { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } \, G G } > { \frac { 1 } { Q ^ { 4 } } } + O ( { \frac { 1 } { Q ^ { 6 } } } )
\begin{array} { r l } { I _ { i , j } } & { { } = \Big ( \psi _ { 0 } ( n _ { i } + \beta + 1 ) - \psi _ { 0 } ( N + K \beta + 2 ) \Big ) \, \cdot \Big ( \psi _ { 0 } ( n _ { j } + \beta + 1 ) - \psi _ { 0 } ( N + K \beta + 2 ) \Big ) - \psi _ { 1 } ( N + K \beta + 2 ) \; ; } \end{array}