harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathrm { d i s t } _ { { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } } ( \mathrm { i d } , \varphi ) \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \dot { \gamma } _ { \tau } ( \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( M ) } \mathrm { d } \tau = \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { \varepsilon } - 1 } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } \| v _ { i } ( \cdot , \tau ) \| _ { L ^ { 2 } ( M ) } \mathrm { d } \tau \leq \varepsilon N _ { \varepsilon } , } \end{array}
2 E - E _ { c } = \frac { r _ { + } l } { 2 R } \left[ \left( 2 - \frac { l ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } } k \right) \left( k + \frac { r _ { + } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) ^ { m - 1 } - ( 2 m + 1 ) k + \frac { l ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } } k ^ { 2 } \right] .
S \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { i s o m o r p h i s m ~ c l a s s e s ~ o f ~ t r i p l e s ~ } ( E , P , Q ) \mathrm { ~ w h e r e ~ E ~ i s ~ a n ~ e l l i p t i c ~ c u r v e ~ o v e r ~ S ~ , } } \\ { \mathrm { ~ P ~ , ~ Q ~ a r e ~ s e c t i o n s ~ o f ~ E ~ o v e r ~ S ~ s u c h ~ t h a t ~ M \cdot ~ P = N \cdot ~ Q = 0 ~ ; ~ a n d ~ t h e ~ m a p } } \\ { \mathbf { Z } / M \mathbf { Z } \times \mathbf { Z } / N \mathbf { Z } \rightarrow E , \mathrm { ~ s e n d i n g ~ } ( a , b ) \mapsto a \cdot P + b \cdot Q \mathrm { ~ i s ~ i n j e c t i v e } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { \left| \left( \mathbf { v } ^ { j } \cdot \nabla \xi ^ { j + 1 } , \zeta ^ { j + 1 } \right) \right| } & { \leq c | \zeta ^ { j } | \, | \nabla \xi ^ { j + 1 } | \, | \zeta ^ { j + 1 } | ^ { 1 / 2 } | \nabla \zeta ^ { j + 1 } | ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq c | \zeta ^ { j } | \, | \nabla \xi ^ { j + 1 } | \, | \nabla \zeta ^ { j + 1 } | } \\ & { \leq \frac { \nu } { 8 } | \nabla \zeta ^ { j + 1 } | ^ { 2 } + \frac { c } { \nu } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } | \nabla \xi ^ { j + 1 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad p \circ \pi _ { 1 } \circ ( \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi _ { 0 } } ( i d , T Y \circ \varrho ) \circ X ) } \\ & { = p \circ ( \pi _ { 1 } \circ \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { T \pi } T Y \circ \varrho \circ X ) } \\ & { = p \circ \pi _ { 1 } \circ \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi } p \circ T Y \circ \varrho \circ X } \\ & { = \pi _ { 0 } \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - Y \circ p \circ \varrho \circ X } \\ & { = Y - Y = \xi , } \\ & { \pi _ { 0 } \circ ( \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi _ { 0 } } ( i d , T Y \circ \varrho ) \circ X ) } \\ & { = \pi _ { 0 } \circ \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi } \pi _ { 0 } \circ ( i d , T Y \circ \varrho ) \circ X } \\ & { = p \circ \pi _ { 1 } \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi } X } \\ & { = p \circ T X \circ \varrho \circ Y - _ { \pi } X = X - _ { \pi } X = \xi . } \end{array}
d ( [ L ] \mathbf { v } , [ L ] \mathbf { w } ) ^ { 2 } = ( [ L ] \mathbf { v } - [ L ] \mathbf { w } ) \cdot ( [ L ] \mathbf { v } - [ L ] \mathbf { w } ) = ( [ L ] ( \mathbf { v } - \mathbf { w } ) ) \cdot ( [ L ] ( \mathbf { v } - \mathbf { w } ) ) .
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { \partial ^ { 2 } { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } \partial x ^ { \beta } } } + { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \rho } } { \partial x ^ { \sigma } } } { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \sigma } } { \partial x ^ { \beta } \partial { \bar { x } } ^ { \rho } } } } \\ { = } & { { \frac { \partial x ^ { \sigma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } } { \frac { \partial ^ { 2 } { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial x ^ { \sigma } \partial x ^ { \beta } } } + { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial x ^ { \sigma } } } { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \sigma } } { \partial x ^ { \beta } \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } } } \\ { = } & { { \frac { \partial x ^ { \sigma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } } { \frac { \partial ^ { 2 } { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial x ^ { \beta } \partial x ^ { \sigma } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \sigma } } { \partial x ^ { \beta } \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } } { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial x ^ { \sigma } } } } \\ { = } & { { \frac { \partial } { \partial x ^ { \beta } } } \left( { \frac { \partial x ^ { \sigma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } } { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial x ^ { \sigma } } } \right) } \\ { = } & { { \frac { \partial } { \partial x ^ { \beta } } } \left( { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } } \right) } \\ { = } & { { \frac { \partial } { \partial x ^ { \beta } } } \left( \mathbf { 4 } \right) } \\ { = } & { 0 . } \end{array} }
D \lambda - { \bar { \delta } } \pi = ( \rho \lambda + { \bar { \sigma } } \mu ) + \pi ^ { 2 } + ( \alpha - { \bar { \beta } } ) \pi - \nu { \bar { \kappa } } - ( 3 \varepsilon - { \bar { \varepsilon } } ) \lambda + \Phi _ { 2 0 } \, ,
m _ { R R } \simeq \Omega _ { A } ^ { 1 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { \bar { S } _ { 2 2 } A ^ { 1 2 } } } & { { \bar { S } _ { 2 2 } S ^ { 2 2 } + \bar { \phi } _ { 2 } \phi ^ { 2 } } } & { { \bar { \phi } _ { 2 } } } \\ { { \bar { S } _ { 2 2 } S ^ { 2 2 } + \bar { \phi } _ { 2 } \phi ^ { 2 } } } & { { \bar { A } _ { 1 2 } S ^ { 2 2 } } } & { { \bar { \phi } _ { 1 } + \bar { A } _ { 1 2 } \phi ^ { 2 } } } \\ { { \bar { \phi } _ { 2 } } } & { { \bar { \phi } _ { 1 } + \bar { A } _ { 1 2 } \phi ^ { 2 } } } & { { \bar { A } _ { 1 2 } } } \end{array} \right)
\sigma _ { \mathrm { ~ a ~ v ~ } } = \frac { 4 } { \sqrt { \pi } } \frac { 1 } { \kappa ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \sigma ( k ) k ^ { 2 } e ^ { - k ^ { 2 } / \kappa ^ { 2 } }
{ \cal O } _ { \mathrm { m a g } } = { \frac { g _ { s } } { 4 m _ { Q } } } \, \bar { h } _ { v } \, \sigma _ { \alpha \beta } \, G ^ { \alpha \beta } \, h _ { v } \to - { \frac { g _ { s } } { m _ { Q } } } \, \bar { h } _ { v } \, \vec { S } \! \cdot \! \vec { B } _ { c } \, h _ { v } \, .
\dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) = \left( \begin{array} { l } { \dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ q Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) } \\ { \dot { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ p Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) } \end{array} \right) = \mathbf J _ { 2 n } \nabla _ { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } H ( \ensuremath { \mathbf Ḋ q Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) , \ensuremath { \mathbf Ḋ p Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) , \qquad \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } ( 0 ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) = \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } _ { 0 } ( \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) .
p _ { i , t } ^ { \mathrm { { g , m i n } } } , p _ { i , t } ^ { \mathrm { g , m a x } } , E _ { s , t } ^ { \mathrm { { m i n } } } , E _ { s , t } ^ { \mathrm { m a x } } , p _ { s , t } ^ { \mathrm { { s c , m i n } } } , p _ { s , t } ^ { \mathrm { s c , m a x } } , p _ { s , t } ^ { \mathrm { { s d , m i n } } } , \, p _ { s , t } ^ { \mathrm { s d , m a x } }
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { \mathrm { s p h e r e } } } & { = } & { \left( - 3 x + 6 x ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \mathrm { c u b i c ~ t e r m s } ) \right) \hat { \vec { r } } } \\ & { } & { + \left( - \frac { 3 } { 2 } y + \frac { 3 } { 2 } x y + \mathcal { O } ( \mathrm { c u b i c ~ t e r m s } ) \right) \hat { \vec { \theta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; c , z ) = { } } & { { } { \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( c - a - b ) } { \Gamma ( c - a ) \Gamma ( c - b ) } } { } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; a + b + 1 - c ; 1 - z ) } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { L \to \infty } \tilde { \alpha } \left\{ \begin{array} { l l } { = 0 \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \tilde { g } \leq \tilde { g } _ { \mathrm { ~ c ~ } } } \\ { > 0 \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \tilde { g } > \tilde { g } _ { \mathrm { ~ c ~ } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Vert \mathfrak { m } ^ { n + 1 } ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } } & { \leq 2 \Vert \mathfrak { m } ^ { i n } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \exp \left( 2 \int _ { 0 } ^ { t } \Vert u ^ { n } ( \tau ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m + 1 } } \, \mathrm { d } \tau \right) } \\ & { \leq 2 \Vert \mathfrak { m } ^ { i n } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \exp \left( 2 \sqrt { t } \Vert u ^ { n } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } \right) , } \end{array}
\int f ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) e ^ { i \frac { 1 } { 2 } \langle Q ( \boldsymbol { t } ) \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } \rangle } e ^ { i \langle \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } \rangle } \, d \boldsymbol { x } = \sum _ { l = 1 } ^ { 2 ^ { n } } \int \boldsymbol { 1 } _ { B _ { l } } ( \boldsymbol { t } ) f ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) e ^ { i \frac { 1 } { 2 } \langle Q ( \boldsymbol { t } ) \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } \rangle } e ^ { i \langle \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } \rangle } \, d \boldsymbol { x } .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } f - 4 \tau \leqslant C _ { 1 } \varrho ^ { \alpha } + C _ { 2 } \| P _ { \varrho c _ { j } } g - \mathbb { E } _ { k _ { j } } g \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } + C _ { 2 } \| P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g - P _ { \varrho c _ { j } } g \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } & { } \\ { + \, C _ { 3 } \varrho + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } f \cdot P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g } & { , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( \theta ) = } & { - \frac { 2 \cos ^ { 2 } \theta \sin \theta } { ( c o s \theta + 1 ) ( \sin \theta + 1 ) ^ { 2 } } + } \\ & { + \frac { 2 \cos ^ { 2 } \theta } { ( \cos \theta + 1 ) ( s i n \theta + 1 ) } + } \\ & { + \frac { 2 \cos \theta \sin ^ { 2 } \theta } { ( \cos \theta + 1 ) ^ { 2 } ( \sin \theta + 1 ) } - } \\ & { - \frac { 2 \sin ^ { 2 } \theta } { ( \cos \theta + 1 ) ( \sin \theta + 1 ) } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \overset { ! } { = } \tilde { y } ^ { \prime } } & { = \frac { \omega ^ { \prime } } { c } \gamma _ { 0 } ( y - c t \beta _ { 0 } ) } \\ & { = \tilde { y } - \tilde { t } \tilde { v } _ { y } } \\ { \Rightarrow \tilde { t } ^ { \prime } } & { = \omega ^ { \prime } \gamma _ { 0 } \left( t - \frac { y } { c } \beta _ { 0 } \right) } \\ & { = \tilde { t } - \tilde { y } \tilde { v } _ { y } } \\ & { = \tilde { t } - \tilde { t } \tilde { v } _ { y } ^ { 2 } } \\ & { = \tilde { t } / \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { k ( L , \tau ) = \frac { P ^ { \mathrm { i n } } ( L ) \rho _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( \tau _ { 0 } | L , \tau ) } { R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) } \ . } \end{array}
\langle \rho ^ { \prime } , \kappa ^ { \prime } | \Delta V ( R , \omega , { \bf r } _ { j } ) | \rho , \kappa \rangle = \sum _ { n } \langle \kappa ^ { \prime } | \Delta V ( { \bf R } _ { n } , \omega , { \bf r } _ { j } ) | \kappa \rangle \langle \rho ^ { \prime } | n \rangle \langle n | \rho \rangle .
\Delta f _ { p } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \lambda _ { c } } { \lambda _ { p } } \frac { \Omega _ { R F } } { 2 \pi } = \frac { \lambda _ { c } } { \lambda _ { p } } \frac { \mu } { h } E _ { R F } , } & { i f \, \Delta _ { p } \, i s \, s c a n n e d } \\ { \frac { \Omega _ { R F } } { 2 \pi } = \frac { \mu } { h } E _ { R F } , } & { i f \, \Delta _ { c } \, i s \, s c a n n e d } \end{array} \right. ,
\boldsymbol { i } \hbar \frac { \partial } { \partial t } \boldsymbol { \psi } ( x , t ) = \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } + V _ { F } ( x ) \right) \boldsymbol { \psi } ( x , t )
\{ \Sigma _ { \pm } , \Sigma _ { \pm } \} = \{ \Sigma _ { \pm } , \Sigma _ { \mp } \} = 0 , \quad \{ \Sigma _ { \pm } ^ { \prime } , \Sigma _ { \pm } ^ { \prime } \} = \{ \Sigma _ { \pm } ^ { \prime } , \Sigma _ { \mp } ^ { \prime } \} = 0 ,
\Big [ v _ { 0 } ^ { 2 } \, e ^ { 2 \alpha z } \, \partial _ { z } ^ { 2 } + \alpha \, v _ { 0 } ^ { 2 } \, e ^ { 2 \alpha z } \, \partial _ { z } - \left( \alpha \, k _ { \phi } \, v _ { 0 } ^ { 2 } + k _ { \phi } ^ { 2 } \, v _ { 0 } ^ { 2 } \right) \, e ^ { 2 \alpha z } + 2 \, B \, k _ { \phi } \, v _ { 0 } \, e ^ { \alpha z } - \kappa ^ { 2 } \Big ] \, \chi _ { + } ( z ) = 0 \, ,
\cos \left( \mathrm { ~ q ~ d ~ } \right) = \cos \left( \frac { \omega D } { f _ { d e s } } \right) - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \sin \left( \frac { \omega r D } { f _ { d e s } } \right) \sin \left( \frac { \omega \left( 1 - r \right) D } { f _ { d e s } } \right)
\mathcal { U } ( \pi ^ { * } , \bar { \nu } ( t ) ) - \mathcal { U } ( \bar { \pi } ( t ) , \nu ^ { * } ) \leq B ( \mathcal Q _ { \pi } ( \pi _ { 0 } , \pi ^ { * } ; \kappa B t ) + \mathcal Q _ { \nu } ( \nu _ { 0 } , \nu ^ { * } ; \kappa B t ) ) + \frac { 2 B ^ { 2 } } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } \eta _ { \tau \normalcolor } d \tau d s ,
\begin{array} { r } { \ell _ { \theta _ { * } , s } ^ { ( 1 ) } = O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( n ^ { 1 / 2 } ) , \quad \ell _ { \theta _ { * } , s t } ^ { ( 2 ) } = O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( n ) , \quad \ell _ { \theta _ { * } , s t l } ^ { ( 3 ) } = O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( n ) , \quad \mathrm { f o r ~ } \ s , t , l = 1 , \ldots , d , } \end{array}
k _ { \mathrm { f } } ( t ) = k _ { \mathrm { f } } ^ { 0 } \frac { \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t } \right) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } } { v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } + \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t } \right) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } }
K ( \theta ) = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \prod _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \Gamma \left( k - 1 / 2 + \theta / 2 \pi i \right) \Gamma \left( k - \theta / 2 \pi i \right) } { \Gamma \left( k + 1 / 2 - \theta / 2 \pi i \right) \Gamma \left( k + \theta / 2 \pi i \right) }
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \| \partial _ { s } { \mathcal H } ( s , Y _ { s } ) \| d s < \infty , } \\ & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { A } \| { \mathcal H } ( s , Y _ { s } + f ( s , x ) ) - { \mathcal H } ( s , Y _ { s } ) \| ^ { 2 } \nu ( d s , d x ) < \infty , } \\ & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { A } \| { \mathcal H } ( s , Y _ { s } + f ( s , x ) ) - { \mathcal H } ( s , Y _ { s } ) - \partial _ { y } { \mathcal H } ( s , Y _ { s } ) f ( s , x ) \| \nu ( d s , d x ) < \infty , } \\ & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Lambda } \| { \mathcal H } ( s , Y _ { s - } + k ( s , x ) ) - { \mathcal H } ( s , Y _ { s _ { - } } ) \| N ( d s , d x ) < \infty . } \end{array}
{ \stackrel { 0 } { U } } ^ { \dagger } { \stackrel { 0 } { M } } { \stackrel { 0 } { U } } = { \stackrel { 0 } { M } } _ { d } = M _ { d } = \mathrm { d i a g } ( m _ { 1 } \, , \, m _ { 2 } \, , \, m _ { 3 } \, , \, m _ { 4 } \, , \, m _ { 5 } \, , \, m _ { 6 } ) \; ,
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \left( \rho \nabla \gamma \right) } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { \nabla \gamma \cdot \nabla \phi } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { \nabla \cdot \left( \rho \nabla \phi \right) } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { \left| \nabla \phi \right| ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - \frac { \nabla ^ { 2 } \sqrt { \rho } } { \sqrt { \rho } } + \left| \nabla \gamma \right| ^ { 2 } } & { { } = } & { 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s y m m e t r i c ~ p a r t : ~ } } & { T _ { S } y = - \gamma \Delta y - \frac { 1 } { 2 } ( \operatorname { d i v } \mathbf { \eta } ) y , \quad \forall y \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) , } \\ { \mathrm { s k e w - s y m m e t r i c ~ p a r t : ~ } } & { T _ { S S } y = \mathbf { \eta } \cdot \nabla y + \frac { 1 } { 2 } ( \operatorname { d i v } \mathbf { \eta } ) y , \quad \forall y \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) . } \end{array}
S = \int d ^ { 3 } x \left( \psi ^ { \dagger } \gamma \cdot ( \partial - i A ) \psi + \frac { G } { 2 } ( \psi ^ { \dagger } \psi ) ^ { 2 } + \frac { i } { 4 \pi \alpha } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } \right) \; .
W _ { \mathrm { I I } } = \int _ { \cal F } { \frac { d ^ { 2 } \tau } { 4 \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } ( 2 \pi \tau _ { 2 } ) ^ { - 4 } | \eta ( \tau ) | ^ { - 1 4 } Z _ { \mathrm { I I } } ( \beta ) \quad ,
\left\{ \begin{array} { l l } { p _ { 1 } ( 1 - \nu _ { 1 } ) + p _ { 2 } ( 1 - \nu _ { 2 } ) + \dots + p _ { n } ( 1 - \nu _ { n } ) = \nu _ { 1 } } \\ { p _ { 1 } \nu _ { 1 } + p _ { 2 } ( 1 - \nu _ { 1 } ) + \dots + p _ { n } ( 1 - \nu _ { n - 1 } ) = \nu _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { p _ { 1 } \nu _ { n - 1 } + p _ { 2 } \nu _ { n - 2 } + \dots + p _ { n - 1 } \nu _ { 1 } + p _ { n } ( 1 - \nu _ { 1 } ) = \nu _ { n } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \overline { { f \left( \alpha , a \right) } } } & { { } \approx A _ { 0 0 } + A _ { 1 1 } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } u ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } \right) + A _ { 0 2 } \left( \overline { { { u ^ { \prime } } ^ { 2 } } } - 2 \overline { { u ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } + \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \right) + A _ { 1 2 } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } { u ^ { \prime } } ^ { 2 } } } - 2 \overline { { \alpha ^ { \prime } u ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } + \overline { { \alpha ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
( \frac 1 2 [ \xi ^ { * } , \xi ] ) ^ { n } = n ! \; \sum _ { i _ { 1 } < \cdots < i _ { n } } \xi _ { i _ { 1 } } ^ { * } \cdots \xi _ { i _ { n } } ^ { * } \xi _ { i _ { 1 } } \cdots \xi _ { i _ { n } } , \; \cdots , ( \frac 1 2 [ \xi ^ { * } , \xi ] ) ^ { p } = p ! \; \xi _ { 1 } ^ { * } \cdots \xi _ { p } ^ { * } \xi _ { 1 } \cdots \xi _ { p } ,
f _ { \mathrm { e x p } } ( l , l _ { \mathrm { m a x } } ) = \left\{ \begin{array} { l r } { 1 , } & { | l | \leq l _ { \mathrm { m a x } } } \\ { e ^ { - ( | l | - l _ { \mathrm { m a x } } ) } , } & { l > l _ { \mathrm { m a x } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \mathrm { A } } ( z ) } & { { } = } & { \boldsymbol { \mathrm { B } } \left( \begin{array} { l l l l } { e ^ { - j \mathrm { C _ { 1 1 } } z } } & { e ^ { - j \mathrm { C _ { 2 2 } } z } } & { \cdots } & { e ^ { - j \mathrm { C } _ { N \! N } z } } \end{array} \right) ^ { \top } , } \\ { \boldsymbol { \mathrm { A } } ( 0 ) } & { { } = } & { \boldsymbol { \mathrm { B } } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right) ^ { \top } . } \end{array}
w ( n ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \mathbb { E } [ k ] } { n - 1 } } u _ { 1 } ^ { * n } ( n - 2 ) , } & { n > 1 , } \\ { u ( 0 ) } & { n = 1 , } \end{array} \right. }
\frac { d f ( \vec { k } \, , t ) } { d t } = - \frac { \pi } { \omega _ { k } } \, \left( \, r ( \omega _ { k } \, , \vec { k } ) \, f ( \vec { k } \, , t ) - r ( - \, \omega _ { k } \, , \vec { k } ) \, ( 1 + f ( \vec { k } \, , t ) ) \, \right) \, .
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { { } = 1 - \frac { \tau } { \Delta t } \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) , } \\ { C _ { 2 } } & { { } = - \tau + \frac { 2 \tau ^ { 2 } } { \Delta t } - e ^ { - \Delta t / \tau } \left( \frac { 2 \tau ^ { 2 } } { \Delta t } + \tau \right) , } \\ { C _ { 3 } } & { { } = \frac 1 2 \Delta t - \tau + \frac { \tau ^ { 2 } } { \Delta t } \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) , } \\ { C _ { 4 } } & { { } = \frac { \tau } { \Delta t } \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) , } \\ { C _ { 5 } } & { { } = \tau e ^ { - \Delta t / \tau } - \frac { \tau ^ { 2 } } { \Delta t } ( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { L } } & { { } = \gamma \sum _ { k = 1 } ^ { D } \left( \sigma _ { - , \mathrm { I } } ^ { ( k ) } \sigma _ { - , \mathrm { I I } } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { 2 } { n } _ { \mathrm { I } } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { 2 } { n } _ { \mathrm { I I } } ^ { ( k ) } \right) - i \sum _ { k = 1 } ^ { D } \Omega \left( \sigma _ { x , \mathrm { I } } ^ { ( k ) } - \sigma _ { x , \mathrm { I I } } ^ { ( k ) } \right) + \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x } ^ { i j k } } & { = \left. \frac { \partial e _ { x } ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial x } \right| _ { x \rightarrow x _ { i } ^ { + } } - \left. \frac { \partial e _ { x } ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial x } \right| _ { x \rightarrow x _ { i } ^ { - } } } \\ & { = - 6 \frac { \phi ^ { i + 1 , j , k } - \phi ^ { i - 1 , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } - 2 \frac { e _ { x } ^ { i + 1 , j , k } + 4 e _ { x } ^ { i , j , k } + e _ { x } ^ { i - 1 , j , k } } { \Delta x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textstyle { \frac 2 \gamma } { k _ { 1 } } * [ { \sinh _ { \gamma } } } & { - { e _ { \alpha + \beta } } * ( ( \alpha + \beta ) { \sinh _ { \gamma } } + \gamma { \cosh _ { \gamma } } ) ] } \\ & { = { k _ { 2 } } * [ { e _ { \alpha + \beta } } * ( \gamma { \sinh _ { \gamma } } + ( \alpha + \beta ) { \cosh _ { \gamma } } ) - { \cosh _ { \gamma } } + e _ { \alpha + \beta } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| { \bf X } ^ { t } - { \bf P } { \bf X } ^ { t } \| ^ { 2 } \leq \mathbb { E } ( \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \lambda ^ { \frac { t - 1 - j } { 2 } } \cdot \lambda ^ { \frac { t - 1 - j } { 2 } } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| ) ^ { 2 } } \\ & { \leq ( \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \lambda ^ { t - 1 - j } ) ( \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \lambda ^ { t - 1 - j } \mathbb { E } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| ^ { 2 } ) } \end{array}
{ \mathbf { R } } _ { 2 } = { \mathbf { R } } _ { 2 } ( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ) , \qquad { \mathbf { R } } _ { 2 } ^ { - 1 } = { \mathbf { R } } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ) ;
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathcal { W } } = } & { { } ( \lambda \textbf { E } + \boldsymbol { \Omega } ) \cdot ( \textbf { Q } + \frac { \textbf { I } } { 2 } ) + ( \textbf { Q } + \frac { \textbf { I } } { 2 } ) \cdot ( \lambda \textbf { E } - \boldsymbol { \Omega } ) - \lambda ( \textbf { Q } + \textbf { I } ) T r ( \textbf { Q } \cdot \textbf { E } ) } \end{array}
\psi _ { e } ( j , x ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } N _ { e } \; e ^ { - i E _ { p } t + i p _ { 3 } z } e ^ { i N \varphi } e ^ { i { \frac { \pi } { 2 } } | l | } \left( \begin{array} { l } { { u } } \\ { { v } } \end{array} \right) ,
( \mathcal { H } _ { 0 } ) _ { i , j } = \sum _ { r = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ i , j \} } \delta _ { r } ^ { ( \nu ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x } x ^ { ( \nu + r ) } \frac { \big ( ( x A ) ^ { i - r } \big ) _ { i , r } } { ( i - r ) ! } \frac { \big ( ( x A ) ^ { j - r } \big ) _ { j , r } } { ( j - r ) ! } d x = \sum _ { r = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ i , j \} } \delta _ { r } ^ { ( \nu ) } \frac { ( A ^ { i - r } ) _ { i , r } } { ( i - r ) ! } \frac { ( A ^ { j - r } ) _ { j , r } } { ( j - r ) ! } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x } x ^ { ( \nu + i + j - r ) } d x .
T _ { 2 } ( x , d _ { x } ) = \alpha ^ { 2 } ( x ^ { 2 } - 1 ) d _ { x } ^ { 2 } + \alpha [ 2 a x ^ { 2 } + \alpha ( 1 + 2 \mu ) x - 2 a ] d _ { x } - 2 \alpha a ( n - \mu ) x
g ^ { 2 } ( M ) = { \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + { \frac { 1 } { 8 \pi } } g _ { 0 } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { \gamma \rho } \ln { \frac { M ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } } } .
\begin{array} { r } { \mathbf { X } ( t ) - \mathbf { X } ( - t _ { 0 } ) = \mathbf { X } ( t ) - \mathbf { X } _ { 0 } = \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { u } ( \mathbf { X } ( \tilde { t } ) , \tilde { t } ) \, d \tilde { t } , } \end{array}
[ \mathcal { G } _ { \sigma _ { 1 } } ( f ) , \mathcal { G } _ { \sigma _ { 2 } } ( f ) - \mathcal { G } _ { \sigma _ { 1 } } ( f ) , . . . , \mathcal { G } _ { \sigma _ { S } } ( f ) - \mathcal { G } _ { \sigma _ { S - 1 } } ( f ) , f - \mathcal { G } _ { \sigma _ { S } } ]