harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I : = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Big | \partial ^ { \alpha } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \Big | | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) \sum _ { | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Big | \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \Big | | \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) \mathbb { P } ( d \omega ) } \\ { = } & { \sum _ { | \alpha | , | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \Omega } \Big | \partial ^ { \alpha } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \Big | \mathbb { P } ( d \omega ) | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) | \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \sum _ { | \alpha | , | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbb { E } \big [ | \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) | \big ] | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) | \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) } \\ { \leq } & { \sum _ { | \alpha | , | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) | \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) } \\ { \leq } & { \Bigg ( \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) \Bigg ) \times \Bigg ( \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } | \mu _ { \alpha } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ) \Bigg ) } \\ { \leq } & { \Big ( \sum _ { | \alpha | \leq 1 } ( | \mu _ { \alpha } ^ { t } | * \sigma _ { \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } } ) ( x ) \Big ) \times \Big ( \sum _ { | \alpha | \leq 1 } ( | \mu _ { \alpha } ^ { t ^ { \prime } } | * \sigma _ { \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } } ) ( x ^ { \prime } ) \Big ) < + \infty . } \end{array}
F _ { \mu \nu } ^ { a } \left( x \right) = \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } \left( x \right) - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a } \left( x \right) + g f ^ { a b c } A _ { \mu } ^ { b } \left( x \right) A _ { \nu } ^ { c } \left( x \right) .
\left( \begin{array} { l } { 1 . 0 0 \pm 0 . 0 6 } \\ { 4 . 2 3 \pm 0 . 0 5 } \\ { 6 . 6 6 \pm 0 . 0 4 } \\ { 4 . 5 5 \pm 0 . 0 5 } \\ { 1 . 2 7 \pm 0 . 0 6 } \end{array} \right)
\delta ( Z ^ { i } + \bigtriangleup ^ { - 1 } \epsilon ^ { i j k } \partial _ { j } \pi _ { k } ) = \delta ( Z ^ { L \, i } ) \delta ( Z ^ { T \, i } + \bigtriangleup ^ { - 1 } \epsilon ^ { i j k } \partial _ { j } \pi _ { k } ) \, .
\begin{array} { r l r } { \hat { T } _ { 1 } } & { { } = } & { \sum _ { a r } t _ { a } ^ { r } ~ \hat { r } ^ { \dagger } \hat { a } } \\ { \hat { T } _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { ( 2 ! ) ^ { 2 } } \sum _ { a b r s } t _ { a b } ^ { r s } ~ \hat { r } ^ { \dagger } \hat { s } ^ { \dagger } \hat { b } \hat { a } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \tilde { \nu } _ { t } } & { + } & { \langle { \bf { u } } \rangle \cdot \nabla \tilde { \nu } _ { t } = c _ { b 1 } f _ { r } \tilde { \Omega } \tilde { \nu } _ { t } - c _ { w 1 } f _ { w } \left[ \frac { \tilde { \nu } _ { t } } { \ell } \right] ^ { 2 } } \\ & { + } & { \frac { 1 } { \sigma } \bigg \{ \nabla \cdot [ ( \nu + \tilde { \nu } _ { t } ) \nabla \tilde { \nu } _ { t } ] + c _ { b 2 } \nabla \tilde { \nu } _ { t } \cdot \nabla \tilde { \nu } _ { t } \bigg \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { { \mathbb R } ^ { n } } S t _ { r _ { j } } ^ { ( \alpha ^ { \prime } ) } ( f _ { j } ) ( x ) g ( x ) d x \right| } & { = \left| \int _ { { \mathbb R } ^ { n } } S t _ { r _ { j } ^ { - 1 } } ^ { ( \alpha ) } ( g ) ( x ) f _ { j } ( x ) d x \right| } \\ & { \le \int _ { { \mathbb R } ^ { n } } \left| S t _ { r _ { j } ^ { - 1 } } ^ { ( \alpha ) } ( g ) ( x ) f _ { j } ( x ) \right| d x } \\ & { \le \| f _ { j } \| _ { p ( \cdot ) ^ { \prime } , q ^ { \prime } } \left\| S t _ { r _ { j } ^ { - 1 } } ^ { ( \alpha ) } ( g ) \right\| _ { p ( \cdot ) , q } } \\ & { \le \left\| S t _ { r _ { j } ^ { - 1 } } ^ { ( \alpha ) } ( g ) \right\| _ { p ( \cdot ) , q } } \\ & { \le \| g \| _ { p ( \cdot ) , q , \alpha } . } \end{array}
\mathrm { T o t a l } \equiv N A _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \gamma _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j < i } ^ { N } J _ { i j } \cos ( \theta _ { i } - \theta _ { j } ) - H A _ { \mathrm { t h } } ^ { n - 2 } \cos ( n \theta _ { i } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ r _ { i } ^ { - \alpha } ] } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { - \alpha } f ( r , i ) d r } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 2 ( \pi \lambda _ { B S } ) ^ { i } } { ( i - 1 ) ! } r ^ { 2 i - 1 - \alpha } e ^ { - \pi \lambda _ { B S } r ^ { 2 } } d r } \\ & { \stackrel { } { = } \frac { ( \pi \lambda _ { B S } ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } } { ( i - 1 ) ! } \int _ { 0 } ^ { \infty } y ^ { \frac { 2 i - \alpha } { 2 } - 1 } e ^ { - y } d y } \\ & { = ( \pi \lambda _ { B S } ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \frac { \Gamma ( i - \frac { \alpha } { 2 } ) } { \Gamma ( i ) } , i > \frac { \alpha } { 2 } . } \end{array}
\sigma \big ( c \bar { c } ( { \bf q } ) \big ) = \int \; \frac { d ^ { 3 } { \bf P } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { q } P ^ { 0 } } \; \sum _ { X } \; \frac { 1 } { { \mathrm { f l u x } } } \; \delta ^ { 4 } ( p _ { i } - X - P ) \; ( 2 \pi ) ^ { 4 } \; | \overline { { { { \cal M } \big ( c \bar { c } ( { \bf q } ) \big ) } } } | ^ { 2 } \; \; .
\epsilon ^ { i j } \left( \begin{array} { l } { { - 2 \delta _ { \kappa } \bar { \theta ^ { 1 } } \gamma _ { \mu \nu } \partial _ { i } \theta ^ { 1 } \bar { \theta ^ { 1 } } \gamma ^ { \mu \rho } \partial _ { j } \theta ^ { 1 } } } \\ { { + \delta _ { \kappa } \bar { \theta ^ { 1 } } \gamma ^ { \mu \rho } \theta ^ { 1 } \partial _ { i } \bar { \theta ^ { 1 } } \gamma _ { \mu \nu } \partial _ { j } \theta ^ { 1 } } } \\ { { + 2 \delta _ { \kappa } \bar { \theta ^ { 2 } } \gamma _ { \mu \nu } \partial _ { i } \theta ^ { 2 } \bar { \theta ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu \rho } \partial _ { j } \theta ^ { 2 } } } \\ { { - \delta _ { \kappa } \bar { \theta ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu \rho } \theta ^ { 2 } \partial _ { i } \bar { \theta ^ { 2 } } \gamma _ { \mu \nu } \partial _ { j } \theta ^ { 2 } } } \end{array} \right) \lambda ^ { \nu } \lambda _ { \rho } .
\begin{array} { r } { \check { \theta } _ { 1 } = { T } _ { 1 + } + \xi b ^ { 2 } \frac { d { T } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } - b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \nu { V } _ { 0 + } ^ { 2 } W \left( 1 + \frac { W } { 2 } \right) . } \end{array}
\overline { { \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { i } } } } = { \frac { 1 } { T } } { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } \int _ { T - t / 2 } ^ { T + t / 2 } U _ { i } d t = { \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } } { \partial x _ { i } } }
\frac { d \sigma ^ { \mathrm { j e t } } } { d ^ { 2 } { \bf p } _ { \mathrm { T } } d y } = K _ { N } \frac { \alpha _ { s } N _ { \mathrm { c } } } { \pi ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { p _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } } \, \int d ^ { 2 } { \bf q } _ { 1 \mathrm { T } } d ^ { 2 } { \bf q } _ { 2 \mathrm { T } } \, \delta ^ { ( 2 ) } ( { \bf p } _ { \mathrm { \mathrm { T } } } - { \bf q } _ { 1 \mathrm { T } } + { \bf q } _ { 2 \mathrm { T } } ) \, \frac { f ( x _ { 1 } , q _ { 1 } ^ { 2 } ) } { q _ { 1 \mathrm { T } } ^ { 2 } } \, \frac { f ( x _ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } ) } { q _ { 2 \mathrm { T } } ^ { 2 } }
\Big ( A ( f ) \psi \Big ) ^ { n } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = ( n + 1 ) ^ { 1 / 2 } \int d x \overline { { { f ( x ) } } } \psi ^ { n + 1 } ( x , x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } )
\begin{array} { r l r l } { \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } \mathcal { J } _ { 0 s } h _ { s } ^ { \prime } } & { = 0 , } & { \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } v _ { \parallel } \mathcal { J } _ { 0 s } h _ { s } ^ { \prime } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \Gamma ( \omega ) } { 2 \pi N \ell ^ { 2 } } } & { \sim \frac { q ^ { 2 } E ^ { 2 } } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \, \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } p \, \delta \big ( \omega - p \, \omega _ { \mathrm { F } } \big ) } \\ & { \quad \times \bigg | \oint \frac { \mathrm { d } \varphi } { 2 \pi } \cos ( \varphi - \alpha ) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } p f ( \varphi ) } \, f ^ { \prime } ( \varphi ) ^ { 3 / 2 } \bigg | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { U } ^ { ( 1 ) } = \boldsymbol { U } ^ { n } + \Delta t \boldsymbol { R } \left( \boldsymbol { U } ^ { n } \right) } \\ & { \boldsymbol { U } ^ { n + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { U } ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { U } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 2 } \Delta t \boldsymbol { R } \left( \boldsymbol { U } ^ { ( 1 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { A } ^ { + } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { A } } \sum _ { i \in { \cal A } } S _ { i } S _ { i } ^ { + } } \\ { m _ { A } ^ { - } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { A } } \sum _ { i \in { \cal A } } S _ { i } S _ { i } ^ { - } . } \end{array}
V = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac { i } { 2 } \left( \overline { { \psi } } \gamma _ { \nu } \gamma _ { \rho } \right) _ { , \rho } ^ { T } } } & { { \frac { i } { 2 } \left( \overline { { \psi } } \gamma _ { 5 } \gamma _ { \nu } \gamma _ { \rho } \right) _ { , \rho } ^ { T } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \frac { i } { 2 } \gamma _ { \rho } \gamma _ { \nu } \psi _ { , \rho } } } & { { - \frac { i } { 2 } \gamma _ { \rho } \gamma _ { 5 } \gamma _ { \nu } \psi _ { , \rho } } } \\ { { - \left( \gamma _ { \mu } \psi \right) ^ { T } } } & { { - \overline { { \psi } } \gamma _ { \mu } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \left( \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } \psi \right) ^ { T } } } & { { - \overline { { \psi } } \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
D ( p ) = B { \binom { N - 1 } { \mathcal { M } _ { C } - 1 } } p ^ { \mathcal { M } _ { C } - 1 } ( 1 - p ) ^ { N - \mathcal { M } _ { C } } - C + S K ( 1 - p _ { m } ) ^ { K - 1 }
( \omega ^ { 2 } - { \omega ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \int _ { \theta } ^ { 2 \pi } \! \phi _ { \omega } ^ { L } ( \sigma ) \: \phi _ { \omega ^ { \prime } } ^ { L } ( \sigma ) \, d \sigma + \int _ { \theta } ^ { 2 \pi } \! \partial _ { \sigma } ( \phi _ { \omega ^ { \prime } } ^ { L } ( \sigma ) \: \partial _ { \sigma } \phi _ { \omega } ^ { L } ( \sigma ) - \phi _ { \omega } ^ { L } ( \sigma ) \: \partial _ { \sigma } \phi _ { \omega ^ { \prime } } ^ { L } ( \sigma ) ) \, d \sigma = 0
\begin{array} { r l } { E \; = \; } & { \kappa \pi _ { \rho } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { [ H , D _ { 0 } ] ^ { * } } \\ { [ H , D _ { 0 } ] } & { 0 } \end{array} \right) \pi _ { \rho } ^ { * } } \\ & { \; + \; \pi _ { \rho } ( ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) G _ { \rho } ( D ) [ G _ { \rho } ( D ) , ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) ] \pi _ { \rho } ^ { * } } \\ & { \, + \, \pi _ { \rho } [ ( ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) , G _ { \rho } ( D ) ] ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) G _ { \rho } ( D ) \pi _ { \rho } ^ { * } \; . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = { \frac { \partial } { \partial p } } \left( { \binom { 8 0 } { 4 9 } } p ^ { 4 9 } ( 1 - p ) ^ { 3 1 } \right) ~ , } \\ { 0 } & { = 4 9 p ^ { 4 8 } ( 1 - p ) ^ { 3 1 } - 3 1 p ^ { 4 9 } ( 1 - p ) ^ { 3 0 } } \\ & { = p ^ { 4 8 } ( 1 - p ) ^ { 3 0 } \left[ 4 9 ( 1 - p ) - 3 1 p \right] } \\ & { = p ^ { 4 8 } ( 1 - p ) ^ { 3 0 } \left[ 4 9 - 8 0 p \right] ~ . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ( \boldsymbol { r } ) } & { { } = f _ { 0 } + \boldsymbol { r } \cdot \frac { \partial f } { \partial \vec { r } } , } \\ { g ^ { \ast } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = g _ { 0 } ^ { \ast } + \boldsymbol { r } \cdot \frac { \partial g ^ { \ast } } { \partial \vec { r } } + \frac { \partial g ^ { \ast } } { \partial t } t , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( s L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , n ] \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , s L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash 2 ] } \\ & { } & { \subseteq \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } \cup ( ( 0 , n ] \times ( s L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , s L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash 2 ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( - 1 ) ^ { k } \omega A _ { 0 } \varDelta r _ { k } = } & { { } n _ { \mathrm { j i t t e r } } ( r _ { k } ^ { \prime } ) + n _ { \mathrm { P I } } ( r _ { k } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I m } ( \widetilde { c } ) } & { = \left[ \left( - { \frac { 1 2 } { e ^ { 2 } } } + 2 e ^ { 2 } \right) \sin ( t ) + \left( - { \frac { 9 0 } { e ^ { 6 } } } - { \frac { 4 } { e ^ { 2 } } } \right) \sin ( 3 t ) - \left( { \frac { 3 6 4 0 } { 3 e ^ { 1 0 } } } + { \frac { 5 4 } { e ^ { 6 } } } \right) \sin ( 5 t ) + \cdots \right] } \\ & { + | q | \left[ - \left( { \frac { 1 6 } { 3 } } + { \frac { 2 e ^ { 4 } } { 3 } } \right) \sin ( t ) + { \frac { 5 2 } { e ^ { 4 } } } \sin ( 3 t ) + \left( - { \frac { 1 7 9 2 } { 9 e ^ { 8 } } } + { \frac { 5 2 } { 3 e ^ { 4 } } } \right) \sin ( 5 t ) + \cdots \right] + \cdots \, . } \end{array}
\begin{array} { l } { { J _ { \pm } ^ { \prime } \tilde { \psi } _ { J M } ( { \bf x } ) = \sqrt { [ J \mp M ] _ { q } [ J \pm M + 1 ] _ { q } } \tilde { \psi } _ { J , M \pm 1 } ( { \bf x } ) ~ , } } \\ { { J _ { 3 } ^ { \prime } \tilde { \psi } _ { J M } ( { \bf x } ) = M \tilde { \psi } _ { J M } ( { \bf x } ) ~ . } } \end{array}
1 + 2 \cos x + 2 \cos ( 2 x ) + 2 \cos ( 3 x ) + \cdots + 2 \cos ( n x ) = { \frac { \sin \left( \left( n + { \frac { 1 } { 2 } } \right) x \right) } { \sin \left( { \frac { x } { 2 } } \right) } } .
\mathbf { E } ( \ell ) = \sum _ { \nu = - \infty } ^ { \infty } \frac { i ^ { \nu } } { k _ { \ell } } \left[ c _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { n } _ { \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ) } + d _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { n } _ { \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } \right]
\begin{array} { r l r } { { \xi _ { x } = J \left( y _ { \eta } z _ { \zeta } - y _ { \zeta } z _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } } & { { \xi _ { y } = J \left( z _ { \eta } x _ { \zeta } - z _ { \zeta } x _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } } & { { \xi _ { z } = J \left( x _ { \eta } y _ { \zeta } - x _ { \zeta } y _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } } \\ { { \eta _ { x } = J \left( y _ { \eta } z _ { \xi } - y _ { \xi } z _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } } & { { \eta _ { y } = J \left( z _ { \eta } x _ { \xi } - z _ { \xi } x _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } } & { { \eta _ { z } = J \left( x _ { \eta } y _ { \xi } - x _ { \xi } y _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } } \\ { { \zeta _ { x } = J \left( y _ { \xi } z _ { \eta } - y _ { \eta } z _ { \xi } \right) \, \mathrm { , } } } & { { \zeta _ { y } = J \left( z _ { \xi } x _ { \eta } - z _ { \eta } x _ { \xi } \right) \, \mathrm { , } } } & { { \zeta _ { z } = J \left( x _ { \xi } y _ { \eta } - x _ { \eta } y _ { \xi } \right) \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) } & { = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } ( 4 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( j ) } } + { \zeta ^ { ( k ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( j ) } + \zeta ^ { ( k ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } , } \\ { D ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) } & { = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } ( 3 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( k ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + 2 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( j ) } } + { \zeta ^ { ( k ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - \textbf { \emph { S } } ( b , h ) = - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { m ! ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { h ^ { 2 ( m + 1 ) } } } \big ( { \frac { 1 } { [ ( m + 1 ) ! ] ^ { 2 } } } + { \frac { b } { [ ( m + 2 ) ! ] ^ { 2 } } } \big ) \cdot \Gamma ( m + 3 / 2 , 0 ; b _ { H } ) \cdot { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } } } \\ & { } & { + { \frac { 1 } { 2 h \sqrt { b } } } \big ( I _ { 0 } ( \sqrt { 4 b } ) - 1 \big ) \cdot \exp ( - 2 h \sqrt { b } ) \big ( 1 + { \frac { 1 } { 2 h \sqrt { b } } } \big ) - R ( q = 2 , p = 2 ) } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 2 } & { 1 } & { 4 } & { 3 } \\ { 3 } & { 4 } & { 1 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \end{array} } \qquad \qquad { \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \\ { 2 } & { 1 } & { 4 } & { 3 } \\ { 3 } & { 4 } & { 1 } & { 2 } \end{array} } \qquad \qquad { \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 3 } & { 4 } & { 1 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \\ { 2 } & { 1 } & { 4 } & { 3 } \end{array} } .
{ \bf \cal I } ( t ) = { \bf \cal S } ( t ) \, { \bf \cal I } ^ { B } ( t ) \, { \bf \cal S } ( t ) ^ { T } \ , \quad \mathrm { a n d } \quad { \bf \cal I } _ { p } ( t ) = { \bf \cal S } ( t ) \, { \bf \cal I } _ { p } ^ { B } ( t ) \, { \bf \cal S } ( t ) ^ { T } \ .
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 1 } : \mathbb { Z } / 2 \mathbb { Z } \to { \mathrm { G L } } _ { 2 } ( \mathbb { C } ) } \\ { \rho _ { 1 } ( 1 ) = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } } \end{array} \right. } \qquad \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 2 } : \mathbb { Z } / 3 \mathbb { Z } \to { \mathrm { G L } } _ { 3 } ( \mathbb { C } ) } \\ { \rho _ { 2 } ( 1 ) = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { \omega } \\ { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \omega ^ { 2 } } \end{array} \right) } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { | \operatorname { t r } \big [ O _ { i } \, ( \sigma ( \beta , x ) - \sigma ( \beta , x | _ { \mathcal { S } _ { i } ( r ) } ) ) \big ] | , \, | \operatorname { t r } \big [ O _ { i } \, ( \sigma ( \beta , \hat { Y } _ { i } ( x ) ) - \sigma ( \beta , \hat { Y } _ { i } ( x ) | _ { \mathcal { S } _ { i } ( r ) } ) ) \big ] | \le C _ { 1 } \, e ^ { - \frac { r } { 2 \xi } } \, \| O _ { i } \| _ { \infty } , } \end{array}
{ \frac { d y } { d x } } = \left. { \frac { d y } { d u } } \right| _ { u = g ( h ( a ) ) } \cdot \left. { \frac { d u } { d v } } \right| _ { v = h ( a ) } \cdot \left. { \frac { d v } { d x } } \right| _ { x = a } ,
I _ { C , { \mathrm { r o d } } } = \iiint _ { Q } \rho \, x ^ { 2 } \, \mathrm { d } V = \int _ { - { \frac { \ell } { 2 } } } ^ { \frac { \ell } { 2 } } \rho \, x ^ { 2 } s \, \mathrm { d } x = \left. \rho s { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right| _ { - { \frac { \ell } { 2 } } } ^ { \frac { \ell } { 2 } } = { \frac { \rho s } { 3 } } \left( { \frac { \ell ^ { 3 } } { 8 } } + { \frac { \ell ^ { 3 } } { 8 } } \right) = { \frac { m \ell ^ { 2 } } { 1 2 } } ,
\rho { \frac { \mathrm { D } \mathbf { u } } { \mathrm { D } t } } = \rho \left( { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } \right) = - \nabla p + \nabla \cdot \left\{ \mu \left[ \nabla \mathbf { u } + ( \nabla \mathbf { u } ) ^ { \mathrm { T } } - { \frac { 2 } { 3 } } ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) \mathbf { I } \right] + \zeta ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) \mathbf { I } \right\} + \rho \mathbf { g } .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathbf { q } , A } = \hat { H } _ { e } + 2 A \sum _ { j = 1 } ^ { N } \textnormal { c o s } \left( \mathbf { q } \cdot \hat { \mathbf { r } } _ { j } \right) \ , } \end{array}
M \sim 1 0 ^ { - 1 } \sqrt { \frac { m _ { a } } { 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { e V } } } \frac { \beta ^ { - 1 } } { 1 0 0 \mathrm { M e V } } \frac { N _ { L } } { 1 0 ^ { - 1 0 } } \mathrm { G a u s s }
\delta _ { F } ( \left[ v \theta ^ { 6 } \right] ) + \delta _ { B } ( \left[ v ^ { 2 } \theta ^ { 4 } \right] ) + v ^ { i } \frac { \partial } { \partial \phi ^ { i } } \left( \epsilon L ^ { ( 4 ) } \theta \right) = 0 ~ ,
\begin{array} { r l } { \Delta q } & { { } \equiv \sqrt { \langle \alpha | \hat { q } ^ { 2 } | \alpha \rangle - \langle \alpha | \hat { q } | \alpha \rangle ^ { 2 } } = \sqrt { \hbar / ( 2 \omega ) } } \\ { \Delta p } & { { } \equiv \sqrt { \langle \alpha | \hat { p } ^ { 2 } | \alpha \rangle - \langle \alpha | \hat { p } | \alpha \rangle ^ { 2 } } = \sqrt { \hbar \omega / 2 } } \end{array}
\mathbb { H } \supset \{ q \in \mathbb { H } : \| q \| = 1 \} \ni w + \mathbf { i } x + \mathbf { j } y + \mathbf { k } z \mapsto { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - 2 y ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } } & { 2 x y - 2 z w } & { 2 x z + 2 y w } \\ { 2 x y + 2 z w } & { 1 - 2 x ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } } & { 2 y z - 2 x w } \\ { 2 x z - 2 y w } & { 2 y z + 2 x w } & { 1 - 2 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } } \end{array} \right] } \in \mathrm { S O } ( 3 ) ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } \partial _ { t } v _ { i } } & { { } = - \partial _ { i } P + \eta _ { i j k \ell } \partial _ { j } \partial _ { \ell } v _ { k } } \\ { \partial _ { i } v _ { i } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { G ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } } & { = } & { \frac { \epsilon ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } \mp \frac { B } { B _ { \phi } } \frac { 4 } { \gamma } \ln \frac { 4 } { 4 - \gamma + 4 \gamma ( X / W ) ^ { 2 } } } \\ & { \mp } & { \frac { I } { 2 I _ { 0 } } \biggl ( \frac { \tan ^ { - 1 } \frac { 2 X } { W } \sqrt { \frac { \gamma } { 4 - \gamma } } } { \tan ^ { - 1 } \sqrt { \frac { \gamma } { 4 - \gamma } } } \pm \mathrm { s g n } ( I ) \biggr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } F = \frac { 1 } { h _ { \sigma } h _ { \tau } h _ { z } } \bigg ( } & { \frac { \partial } { \partial \sigma } \! \left( \frac { h _ { \tau } h _ { z } } { h _ { \sigma } } \frac { \partial F } { \partial \sigma } \right) + } \\ & { \frac { \partial } { \partial \tau } \! \left( \frac { h _ { \sigma } h _ { z } } { h _ { \tau } } \frac { \partial F } { \partial \tau } \right) + \frac { \partial } { \partial z } \! \left( \frac { h _ { \sigma } h _ { \tau } } { h _ { z } } \frac { \partial F } { \partial z } \right) \! \bigg ) . } \end{array}
\Delta E _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ s ~ } } = E _ { \mathrm { ~ s ~ l ~ a ~ b ~ + ~ a ~ d ~ s ~ o ~ r ~ b ~ e ~ d ~ m ~ o ~ l ~ e ~ c ~ u ~ l ~ e ~ } } - E _ { \mathrm { ~ s ~ l ~ a ~ b ~ + ~ f ~ a ~ r ~ a ~ w ~ a ~ y ~ m ~ o ~ l ~ e ~ c ~ u ~ l ~ e ~ } } .