harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { r _ { 0 } \in [ 0 , r ] } F _ { 1 , Y } ( t , r _ { 0 } ) - F _ { 2 } ( t ) \simeq 2 s _ { \mathrm { e q } } t } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { l l } { r [ \mathcal { E } _ { H } ( v _ { \gamma } ) - \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) ] , } & { v _ { \gamma } \in [ 0 , v _ { d } ) , } \\ { r [ \mathcal { E } _ { H } ( v _ { d } ) \frac { v _ { \gamma } } { v _ { d } } - \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) \frac { v _ { d } + v _ { \gamma } } { 2 v _ { d } } ] , } & { v _ { \gamma } \in [ v _ { d } , \frac { 2 - r } { r } v _ { d } ] } \\ { ( 2 - r ) \mathcal { E } _ { H } ( \frac { r } { 2 - r } v _ { \gamma } ) - \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) , } & { v _ { \gamma } \in ( \frac { 2 - r } { r } v _ { d } , 1 ] } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { m } } & { : = \Bigl ( \prod _ { l \leq q } \prod _ { \ell \leq a _ { l } } \prod _ { i \in C _ { l } ^ { 1 } } \delta _ { l , \ell , i } \Bigr ) \Bigl ( \prod _ { l \leq q } \prod _ { \ell \leq a _ { l } + b } \prod _ { i \le n } \prod _ { k \le \pi _ { i } ( 2 \gamma ) } \big ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta g _ { i , k , \varepsilon } ) \delta _ { l , \ell , i } s _ { m , l , \ell , i , k } \big ) \Bigr ) } \\ & { \qquad \Bigl ( \prod _ { l \leq q } \prod _ { \ell \leq a _ { l } } \prod _ { i \in C _ { \ell } ^ { 2 } } s _ { m , l , \ell , i } \Bigr ) \Bigl ( \prod _ { l \leq q } \prod _ { \ell \leq a _ { l } + b } \prod _ { k \le \pi ( \gamma ) } \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \hat { g } _ { k , \varepsilon } ) { \hat { s } } _ { m , l , \ell , 1 , k } { \hat { s } } _ { m , l , \ell , 2 , k } \bigr ) \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \ensuremath { \mathbb { E } \left[ Z \left( 1 - \exp \left( \phi _ { d } \left( a , Z \right) + b \right) \right) _ { + } \right] } - \ensuremath { \mathbb { E } \left[ Z \left( 1 - \exp \left( b \right) \right) _ { + } \right] } \right\vert } & { \leq \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \vert Z \vert \left\vert \phi _ { d } \left( a , Z \right) \right\vert \right] } } \\ & { \leq \ensuremath { \mathbb { E } \left[ Z ^ { 2 } \right] } ^ { 1 / 2 } \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } \left( a , Z \right) ^ { 2 } \right] } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } \left( a , Z \right) ^ { 2 } \right] } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq C d ^ { - \alpha } \; . } \end{array}
\omega _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \left( \frac { 1 } { 8 } \sin { \theta _ { 2 } } \, d \theta _ { 2 } \wedge d \phi _ { 2 } - \frac { 3 } { 1 6 } \sin ^ { 2 } { \mu } \, \sigma _ { 1 } \wedge \sigma _ { 2 } + \frac { 3 } { 8 } \sin { \mu } \cos \mu \, d \mu \wedge \sigma _ { 3 } \right) .
\begin{array} { r l } & { U _ { + } = U ( \mathbf { x } _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 \epsilon } \left( \delta \mathbf { x } ^ { + } \right) ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { + + } \delta \mathbf { x } ^ { + } + } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac { 1 } { 2 \epsilon } \sum _ { j , j ^ { \prime } = 1 } ^ { N ^ { - } } \mathbf { v } _ { j } ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { -- } \mathbf { v } _ { j ^ { \prime } } y _ { j } y _ { j ^ { \prime } } , } \\ & { U _ { - } = \frac { a } { \epsilon } y _ { 1 } - \frac { 1 } { \epsilon } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { - } } \mathbf { v } _ { j } ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { - + } \delta \mathbf { x } ^ { + } y _ { j } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \ddot { s } + \frac { \partial _ { s } \hat { g } _ { s s } } { 2 \hat { g } _ { s s } } \dot { s } ^ { 2 } + \frac { \partial _ { h } \hat { g } _ { s s } } { 2 \hat { g } _ { s s } } \dot { h } \dot { s } = 0 } \\ { \ddot { h } = 0 } \end{array} \right.
\partial _ { \mu } W _ { ( 0 ) } ( x _ { \mu } ) = \partial _ { \mu } \left( t r \phi ^ { 2 } ( x _ { \mu } ) \right) = 2 t r ( \phi D _ { \mu } \phi ) = - 2 \{ Q _ { W } , t r ( \phi \psi _ { \mu } ) \} ,
\phi _ { c v } ^ { D } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } = \phi _ { c } ^ { D } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } - \phi _ { v } ^ { D } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) }
S ( g ) = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \int d x _ { 1 } ^ { 4 } \cdots d x _ { n } ^ { 4 } \quad T _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ; \hbar ) \quad g ( x _ { 1 } ) \cdots g ( x _ { n } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \epsilon _ { 1 } I } { \Delta _ { \operatorname* { m a x } } } } & { \leq \sum _ { i = k - \Delta T } ^ { k - 1 } \frac { \phi _ { i } \phi _ { i } ^ { \top } } { \Delta _ { \operatorname* { m a x } } } } \\ & { \leq \frac { \lambda } { \kappa } ( 1 + \lambda + \cdots + \lambda ^ { \Delta T - 1 } ) F _ { k - 1 } ^ { - 1 } } \\ & { \leq \frac { \lambda } { \kappa } \frac { \lambda ^ { \Delta T } - 1 } { \lambda - 1 } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } } \end{array}
\sigma _ { i j } ^ { \phantom { } } = \frac { 1 } { J } F _ { i k } ^ { \phantom { } } S _ { k n } ^ { \phantom { } } F _ { j n } ^ { \phantom { } } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad S _ { i j } ^ { \phantom { } } = S _ { i j } ^ { \mathrm { p a s } } + S _ { i j } ^ { \mathrm { a c t } } ,
\frac { \partial A } { \partial t } = - ( \frac { \kappa } { 2 } + i \delta \omega ) A + i \frac { D _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial \varphi ^ { 2 } } + \frac { D _ { 3 } } { 6 } \frac { \partial ^ { 3 } A } { \partial \varphi ^ { 3 } } + i \Gamma \big [ | A | ^ { 2 } + 2 \langle | A | ^ { 2 } \rangle \big ] A + \sqrt { \frac { \kappa _ { \mathrm { e x } } D _ { 1 } P _ { \mathrm { i n } } ( \varphi ) \delta _ { T 4 } } { 2 \pi } } ,
\begin{array} { r } { { \bf B } ( x , z = 0 , t ) = \frac { F } { \pi } \frac { { \bf r _ { 1 } } ( t ) } { r _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) } - \frac { F } { \pi } \frac { { \bf r _ { 2 } } ( t ) } { r _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) } - B _ { 0 } \hat { \bf x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { { } \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \frac { 1 } { \alpha } \ln { \bigg ( 1 + \frac { m ( e ^ { \alpha \tau } - r ) } { f _ { e n d } } \bigg ) } \bigg ( 1 - \frac { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \beta } \ln { \bigg ( 1 + \frac { \beta } { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } \bigg ) } \bigg ) . } \end{array}
\left( a ( f ) \Psi \right) _ { n } ( \vec { x } _ { 1 } . . . . \vec { x } _ { n } ) = \sqrt { n + 1 } \int d ^ { 3 } x \bar { f } ( \vec { x } ) \psi _ { n + 1 } ( \vec { x } , \vec { x } _ { 1 } . . . . \vec { x } _ { n } )
\frac { d M } { d t } = - \frac { \pi } { 2 } L D { { c } _ { s } } \left( \frac { 4 \gamma } { L { { P } _ { \infty } } } \sin \theta - \zeta \right) f \left( \theta \right) + { { J } _ { i n } } , \, \, \, \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ }
\begin{array} { r l } { H [ \rho ] } & { = - \frac 1 2 \Delta + V _ { \mathrm { t o t } } [ \rho ] } \\ { V _ { \mathrm { t o t } } } & { = V _ { \mathrm { n u c l } } + V _ { \mathrm { H x c } } [ \rho ] } \\ { V _ { \mathrm { H x c } } [ \rho ] ( \mathbf r ) } & { = \int \frac { \rho ( \mathbf r ^ { \prime } ) } { | \mathbf r - \mathbf r ^ { \prime } | } d \mathbf r ^ { \prime } + v _ { \mathrm { x c } } ( \rho ( \mathbf r ) ) } \end{array}
\vec { \zeta } = a _ { \mathrm { m o n , i } } \vec { n } _ { \mathrm { i } } + a _ { \mathrm { m o n , j } } \vec { n } _ { \mathrm { j } } - \left( a _ { \mathrm { m o n , i } } \vec { n } _ { \mathrm { i } } \vec { n } _ { \mathrm { c } } - a _ { \mathrm { m o n , j } } \vec { n } _ { \mathrm { c } } \vec { n } _ { \mathrm { i } } \right) \vec { n } _ { \mathrm { c } }
\mathcal { B } _ { m } = \varDelta \gamma \frac { Q _ { o } ^ { 1 / 3 } t ^ { 7 / 9 } } { E ^ { \prime 5 / 9 } \mu ^ { \prime 4 / 9 } } , \quad \mathcal { B } _ { k } = \varDelta \gamma \frac { E ^ { \prime 3 / 5 } Q _ { o } ^ { 3 / 5 } t ^ { 3 / 5 } } { K _ { I c } ^ { 8 / 5 } } .
\begin{array} { r l } { \Re \, \mathbf { Y } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \kappa } \Re \left[ \mathbf { E } ^ { * } \cdot \left( - \mathbf { E } - \mathbf { n } _ { r } \times \left( \mathbf { n } _ { r } \times \mathbf { E } \right) \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbf { l e n } ( \mathrm { e l i a s } _ { \delta } ( n ) ) } } & { = } & { \lfloor \log _ { 2 } ( n ) \rfloor + 2 \lfloor \log _ { 2 } ( 1 + \lfloor \log _ { 2 } ( n ) \rfloor ) \rfloor + 1 \mathrm { ~ b i t s } } \\ & { \leq } & { \log _ { 2 } ( n ) + 2 \log _ { 2 } \log _ { 2 } ( n ) + 3 \mathrm { ~ b i t s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \mathcal { F } \dot { \xi } } & { { } \ge 0 , } \\ { \varpi _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ } } \dot { \mathrm { ~ d ~ } } } & { { } \ge 0 , } \\ { \nabla \mu ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \cdot { \bf M } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ b ~ } } \nabla \mu ^ { \mathrm { ~ e ~ } } } & { { } \ge 0 . } \end{array}
\int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } \left( x , y , \frac { | u ( x ) - u ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) d \mu \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } \left( x , y , \frac { | u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) d \mu < \infty ,
\begin{array} { r } { h _ { 1 } ( \phi ) = \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { J } _ { \phi } ( \mathcal { M } ( \theta ) - \theta ) + ( 1 - \mathcal { J } _ { \phi } ) ( - C \theta ) } \\ { \mathcal { J } _ { \phi } ( \mathcal { M } ( \theta ) - 1 - \psi ) + ( 1 - \mathcal { J } _ { \phi } ) ( - \psi ) } \end{array} \right] . } \end{array}
X _ { A } ^ { m } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( { { X } _ { A } } + \delta { { X } _ { N } } \right) , P _ { A } ^ { m } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( { { P } _ { A } } - \delta { { P } _ { N } } \right) .
\begin{array} { r } { \sum _ { b } Z _ { b } e \Gamma _ { b } = 0 \, , } \\ { Q _ { b } = \frac { 1 } { r } \int _ { 0 } ^ { r } \mathrm { d } r ^ { \prime } r ^ { \prime } P _ { b } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { y ^ { \prime \prime } } & { = \frac { 1 6 ( y ^ { \prime } ) ^ { 4 } y ^ { 6 } + 2 2 ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } y ^ { 6 } + 1 2 p ^ { \prime } ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } y ^ { 4 } - 2 ( p ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 y ^ { 6 } + 1 5 p ^ { \prime } y ^ { 4 } - 5 ( p ^ { \prime } ) ^ { 2 } y ^ { 2 } + ( p ^ { \prime } ) ^ { 3 } } { 1 6 y ^ { 5 } ( p ^ { \prime } - y ^ { 2 } ) } , } \\ { p ^ { \prime \prime } } & { = \frac { ( 8 ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } y ^ { 4 } + 1 5 y ^ { 4 } + 1 0 p ^ { \prime } y ^ { 2 } - ( p ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) y ^ { \prime } } { 8 y ^ { 3 } } . } \end{array}
v _ { 1 } = { \frac { 2 } { \gamma + 1 } } D , \quad p _ { 1 } = { \frac { 2 } { \gamma + 1 } } \rho _ { 0 } D ^ { 2 } , \quad \rho _ { 1 } = \rho _ { 0 } { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } }
\langle v ^ { \mu } \rangle = \sqrt { Z _ { 2 } } \, \overline { { { u } } } \, { \frac { 1 } { Z _ { 1 } } } i \gamma ^ { \mu } u \, \sqrt { Z _ { 2 } } = \overline { { { u } } } \, i \gamma ^ { \mu } u
\begin{array} { r l } { D _ { h } \left( x ^ { * } , z _ { k + 1 } \right) } & { = D _ { h } \left( x ^ { * } , x _ { k + 1 } \right) - \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) - \nabla h \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle - D _ { h } \left( z _ { k + 1 } , x _ { k + 1 } \right) } \\ & { \leq D _ { h } \left( x ^ { * } , x _ { k + 1 } \right) - \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) - \nabla h \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \tilde { \xi } _ { n } ^ { \nu } + u ^ { \nu } \cdot \nabla \tilde { \xi } _ { n } ^ { \nu } = \nu \Delta \tilde { \xi } _ { n } ^ { \nu } + \frac { 3 \nu } { r } \tilde { \xi } _ { n } ^ { \nu } + \tilde { g } _ { n } ^ { \nu } , } \\ { \tilde { \xi } _ { n } ^ { \nu } ( 0 , \cdot ) = { \xi } _ { n } ^ { \nu } ( 0 , \cdot ) - { \xi } _ { 0 } ^ { \nu } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \mu , \sigma ^ { 2 } ; \mu _ { 0 } , n _ { 0 } , \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } & { { } = p ( \mu \mid \sigma ^ { 2 } ; \mu _ { 0 } , n _ { 0 } ) \, p ( \sigma ^ { 2 } ; \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } \end{array}
C _ { n } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { c _ { 0 } } & { c _ { - 1 } } & { c _ { - 2 } } & { \cdots } & { c _ { 2 } } & { c _ { 1 } } \\ { c _ { 1 } } & { c _ { 0 } } & { c _ { - 1 } } & { \cdots } & { c _ { 3 } } & { c _ { 2 } } \\ { c _ { 2 } } & { c _ { 1 } } & { c _ { 0 } } & { \cdots } & { c _ { 4 } } & { c _ { 3 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { c _ { - 2 } } & { c _ { - 3 } } & { c _ { - 4 } } & { \cdots } & { c _ { 0 } } & { c _ { - 1 } } \\ { c _ { - 1 } } & { c _ { - 2 } } & { c _ { - 3 } } & { \cdots } & { c _ { 1 } } & { c _ { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { P _ { e , t o t a l } } & { \le \sum _ { i = 1 } ^ { n } P _ { e , i } } \\ & { \le \sum _ { i = 1 } ^ { n } \hat { K } _ { n } 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( \bar { \tau } \| q _ { 0 , \Phi } ^ { \mathrm { m i n } } ) } + 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( 1 - \bar { \tau } \| 1 - q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } ) } } \\ & { = n \hat { K } _ { n } 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( \bar { \tau } \| q _ { 0 , \Phi } ^ { \mathrm { m i n } } ) } + n 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( 1 - \bar { \tau } \| 1 - q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } ) } } \\ & { \le n ^ { 2 } 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( \bar { \tau } \| q _ { 0 , \Phi } ^ { \mathrm { m i n } } ) } + n 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( 1 - \bar { \tau } \| 1 - q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } ) } } \end{array}
\Phi _ { r } \left( \gamma _ { \nu } J ^ { \pi } , M _ { J } \right) = \sum _ { i } d _ { i } \left| \begin{array} { l l l } { \phi _ { 1 } ^ { i } ( r _ { 1 } ) } & { \dots } & { \phi _ { N } ^ { i } ( r _ { 1 } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \phi _ { 1 } ^ { i } ( r _ { N } ) } & { \dots } & { \phi _ { N } ^ { i } ( r _ { N } ) } \end{array} \right| ,
H _ { d } ( z ) = { \frac { { \frac { b _ { 0 } K + b _ { 1 } } { a _ { 0 } K + a _ { 1 } } } + { \frac { - b _ { 0 } K + b _ { 1 } } { a _ { 0 } K + a _ { 1 } } } z ^ { - 1 } } { 1 + { \frac { - a _ { 0 } K + a _ { 1 } } { a _ { 0 } K + a _ { 1 } } } z ^ { - 1 } } } .
\mathrm { ~ L ~ o ~ s ~ s ~ } = \frac { 1 } { N _ { P D E } } \sum _ { i } ^ { N _ { P D E } } \left[ \left( \frac { 1 } { \delta + P ^ { \prime } \left( p _ { i } , \xi _ { i } , \tau _ { i } , \mathbf { \lambda } _ { i } \right) } \right) \left( \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 1 + p _ { i } ^ { 2 } } \right) \mathcal { R } _ { i } \right] ^ { 2 } .
\left\| \delta \tilde { g } \right\| _ { \tilde { g } } ^ { 2 } = 2 ( 1 + 2 u ) \int { d ^ { 2 } } \xi \sqrt { \tilde { g } } { { ( \delta \varphi ) } ^ { 2 } } + \int { d ^ { 2 } } \xi \sqrt { \tilde { g } } { \tilde { g } ^ { a c } } { \tilde { g } ^ { b d } } { \tilde { P } _ { a b } } ( \delta \theta ) { \tilde { P } _ { c d } } ( \delta \theta ) .
\big [ \mathscr { D } _ { t , m } ^ { \ell } , \nabla \bigr ] = \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { \ell } \binom { \ell } { \ell ^ { \prime } } \bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m } \bigr ) ^ { \ell ^ { \prime } } ( \nabla ) \mathscr { D } _ { t , m } ^ { \ell - \ell ^ { \prime } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \tilde { \wp } _ { 0 , i } \leq p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } \Biggl \{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { i } , } \\ & { \: \: \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { Q _ { { Z } _ { t } } ( Z _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { R _ { \cal A } + \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z _ { t } | U _ { t } } ( Z _ { t } | U _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \: 2 \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { 1 } { \zeta _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } ) } \Biggr \} . } \end{array}
\kappa ( j , \mathbf { x } ) = k _ { j } \left( \boldsymbol { \nu } _ { j } ^ { + } - \boldsymbol { \nu } _ { j } ^ { - } \right) \mathbf { x } ^ { \boldsymbol { \nu } _ { j } ^ { - } } , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathbf { x } ^ { ( \nu _ { 1 j } ^ { - } , \dots , \nu _ { N j } ^ { - } ) ^ { \top } } : = \prod _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { \nu _ { i j } ^ { - } } .
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { \perp , \parallel } = E _ { 0 } t _ { \perp , \parallel } \left( - \frac { w _ { 2 } \hat { \mathbf { q } } + q \hat { \mathbf { z } } } { n _ { 2 } } \right) \exp \left[ i w _ { 2 } z + i \mathbf { q } \cdot \boldsymbol { \rho } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( { \bf R } , z _ { 1 } ) } & { = \int \frac { d ^ { 2 } { \bf Q } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \bf Q } \cdot { \bf R } + \mathrm { i } q _ { z } ( z _ { 1 } - z _ { 0 } ) } \int d ^ { 2 } { \bf R } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } { \bf Q } \cdot { \bf R } ^ { \prime } } \psi ( { \bf R } ^ { \prime } , z _ { 0 } ) } \\ & { \approx \frac { - \mathrm { i } q _ { 0 } } { 2 \pi \, ( z _ { 1 } - z _ { 0 } ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { 0 } ( z _ { 1 } - z _ { 0 } ) } \int d ^ { 2 } { \bf R } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { 0 } | { \bf R } - { \bf R } ^ { \prime } | ^ { 2 } / 2 ( z _ { 1 } - z _ { 0 } ) } \psi ( { \bf R } ^ { \prime } , z _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ : ~ ~ ~ } ~ ~ ~ } & { { } } \\ { \omega _ { k } } & { { } = 2 \pi f + k \frac { \pi } { L } \beta _ { 0 } c } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { \upsilon s } \left( t \right) } \\ { \varepsilon _ { v c } \left( t \right) } \end{array} \right] } & { { } = \sum _ { k } \frac { q E _ { 0 } } { 2 \gamma _ { 0 } ^ { 3 } m \omega _ { k } } a _ { \left| k \right| } \left[ \mathrm { R } \left( - \tilde { k } \phi _ { \left| k \right| } \right) \right] \left[ \begin{array} { l } { \cos \left( \omega _ { k } t \right) - 1 } \\ { \sin \left( \omega _ { k } t \right) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { v _ { \eta } \frac { \partial \widetilde { \Phi } } { \partial \eta } + \nu _ { w } \widetilde { \Phi } - K _ { w } \left[ \widetilde { \Phi } \right] = 0 , } \\ { \rule { 0 ex } { 1.2 em } \widetilde { \Phi } ( 0 , \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , { \mathfrak { v } } ) = \Phi ( 0 , \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , { \mathfrak { v } } ) - \Phi _ { \infty } ( \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , { \mathfrak { v } } ) \ \ \mathrm { f o r } \ \ v _ { \eta } > 0 , } \\ { \rule { 0 ex } { 2 em } \displaystyle \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } v _ { \eta } \mu _ { w } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , { \mathfrak { v } } ) \widetilde { \Phi } ( 0 , \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } , { \mathfrak { v } } ) \mathrm { d } { \mathfrak { v } } = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { = } & { \hat { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { f s } ) | \mathrm { i n p u t } \rangle } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } \cos \alpha } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } \sin \alpha \ } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha \nu > } & { { } \; \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } } , } \\ { \mathcal { R } _ { 0 } > } & { { } \; 2 \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } + \sqrt { \nu - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \left( 1 - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \right) } \right) . } \end{array}
\hat { S } _ { d - } = \hat { X } _ { 0 } \cdot { [ C X ] } _ { 1 , 0 } ^ { 1 } \cdots { [ C X ] } _ { 1 \dots \bar { \log _ { 2 } { ( N _ { x _ { d } } ) } - 1 } , 0 } ^ { \log _ { 2 } { ( N _ { x _ { d } } ) } - 1 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { 2 } ( f ) } & { : = - \frac { 1 } { 4 } \int _ { \mathbb { T } } f \Lambda ^ { \alpha - 1 } f d \theta + \frac { 1 } { 8 } T _ { \alpha } \int _ { \mathbb { T } } f ^ { 2 } d \theta , } \\ { \mathcal { H } _ { 3 } ( f ) } & { : = \frac { \alpha } { 1 6 } \int _ { \mathbb { T } } f ^ { 2 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } f d \theta - \frac { \alpha } { 4 8 } T _ { \alpha } \int _ { \mathbb { T } } f ^ { 3 } d \theta , } \\ { \mathcal { H } _ { 4 } ( f ) } & { : = - \frac { \alpha ( \alpha + 4 ) } { 1 9 2 } \int _ { \mathbb { T } } f ^ { 3 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } f d \theta - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 5 6 } \int _ { \mathbb { T } } f ^ { 2 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( f ^ { 2 } ) d \theta + \frac { \alpha } { 3 8 4 } \int _ { \mathbb { T } } M _ { 4 } ( f ) ( \theta ) d \theta } \\ & { + \frac { \alpha ( 2 + \alpha ) T _ { \alpha } } { 3 8 4 } \int _ { \mathbb { T } } f ( \theta ) ^ { 4 } d \theta , } \end{array}
\hat { K } _ { g } ( t ) = \left( \begin{array} { l l l l l } { - k ( t ) } & { 0 } & { \hdots } & { \hdots } & { 0 } \\ { k ( t ) } & { - k ( t ) } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { k ( t ) } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { - k ( t ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \hdots } & { 0 } & { k ( t ) } & { - k ( t ) } \end{array} \right) ,
\mathbf { b } ^ { + } = \left[ \begin{array} { l } { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } \left( \Sigma _ { s , j } \phi _ { k , j , L } ^ { ( l ) } + Q _ { k , j , L } \right) + \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } \psi _ { m , k - 1 / 2 , j , L } + \mu _ { m } \psi _ { m , k , j - 1 , R } } \\ { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } \left( \Sigma _ { s , j } \phi _ { k , j , R } ^ { ( l ) } + Q _ { k , j , R } \right) + \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } \psi _ { m , k - 1 / 2 , j , R } } \\ { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } \left( \Sigma _ { s , j } \phi _ { k + 1 / 2 , j , L } ^ { ( l ) } + Q _ { k + 1 / 2 , j , L } \right) + \mu _ { m } \psi _ { m , k + 1 / 2 , j - 1 , R } } \\ { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } \left( \Sigma _ { s , j } \phi _ { k + 1 / 2 , j , R } ^ { ( l ) } + Q _ { k + 1 / 2 , j , R } \right) } \end{array} \right] \; .
\begin{array} { r l } { \Bigl ( 1 - C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \delta } \Bigr ) \kappa _ { m - 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m - 1 } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } & { { } \leq \kappa _ { m } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( q ^ { * } ) ( s , a ) ^ { 2 } } & { = \mathrm { V a r } ( r ( s , a ) + \gamma \operatorname* { m a x } _ { b \in A } q ^ { * } ( S ^ { \prime } , b ) ) } \\ & { = \gamma ^ { 2 } \mathrm { V a r } ( \operatorname* { m a x } _ { b \in A } [ q ^ { * } ( S ^ { \prime } , b ) - \bar { q } ^ { * } ] ) } \\ & { \leq \gamma ^ { 2 } E [ ( \operatorname* { m a x } _ { b \in A } ( q ^ { * } ( S ^ { \prime } , b ) - \bar { q } ^ { * } ) ) ^ { 2 } ] } \\ & { \leq 4 \gamma ^ { 2 } ( m / p ) ^ { 2 } . } \\ & { \leq 4 \gamma ^ { 2 } ( t _ { \mathrm { m i n o r i z e } } ^ { * } + \epsilon ) ^ { 2 } . } \end{array}
\Gamma ^ { 0 } = \tau ^ { 3 } \otimes I _ { 4 } \otimes I _ { 4 } , \quad \Gamma ^ { i } = i \tau ^ { 2 } \otimes \sigma ^ { i } , \quad i = 1 , \dots , 9 , \quad \Gamma _ { 1 1 } = \tau ^ { 1 } \otimes I _ { 4 } \otimes I _ { 4 }
\left( f * g \right) ( \zeta , \bar { \zeta } ) = e ^ { \partial _ { { \bar { \zeta } } } \partial _ { { \zeta ^ { \prime } } } } f ( \zeta , \bar { \zeta } ) g ( \zeta ^ { \prime } , \bar { \zeta ^ { \prime } } ) | _ { \zeta = \zeta ^ { \prime } } .