harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \hat { \sigma } _ { \tau - } ^ { 2 , ( t r ) } = \frac { \pi } { 2 ( \pi - 2 ) K _ { n } } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } h _ { n } ^ { - 1 } \big ( m _ { k , n } - m _ { k - 1 , n } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } _ { \{ | m _ { k , n } - m _ { k - 1 , n } | \le u _ { n } \} } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf p } ( { \bf x } ) = \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf p } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \end{array}
f _ { j } ^ { t + 1 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Delta f _ { i j } ^ { t } \sim \textbf { N } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } f _ { i } ^ { t } { p } _ { i j } ^ { t } \ , \ \sum _ { i = 1 } ^ { N } f _ { i } ^ { t } { p } _ { i j } ^ { t } ( 1 - { p } _ { i j } ^ { t } ) \right) .
\begin{array} { r l } { H _ { T C 2 } } & { = \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \omega _ { x g } \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x ( \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } + \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { \rho } _ { k } ^ { \mathrm { L B } } ( t ) } & { = - \frac { q } { \hbar } E ( t ) \partial _ { k } \boldsymbol { \rho } _ { k } ^ { \mathrm { L B } } ( t ) + \frac { i } { \hbar } [ \boldsymbol { \rho } _ { k } ^ { \mathrm { L B } } ( t ) , { \boldsymbol \epsilon } ( k ) - q E ( t ) { \bf d } ( k ) ] } \\ & { - \frac { \boldsymbol { \rho } _ { \mathrm { d i a g } , k } ^ { \mathrm { L B } } ( t ) - \boldsymbol { \rho } _ { \mathrm { e q } , k } ^ { \mathrm { L B } } } { T _ { 1 } } - \frac { \boldsymbol { \rho } _ { \mathrm { o f f } , k } ^ { \mathrm { L B } } ( t ) } { T _ { 2 } } , } \end{array}
r _ { \alpha , \boldsymbol { \vartheta } , N } = \left[ \frac { \pi } { 2 \, K L ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } = 1 } ^ { L } [ r ( \alpha _ { k } , \boldsymbol { \vartheta } _ { \mathbf { \ell } } , N ) ] ^ { 4 } \sin 2 \alpha _ { k } \right] ^ { 1 / 4 } \, ,
\begin{array} { r l } { \textbf { x } ^ { k } } & { = \underset { \textbf { x } } { \mathrm { a r g m i n } } \: J _ { H Q S } ( \textbf { x } , \textbf { z } ^ { k - 1 } ) = \underset { \textbf { x } } { \mathrm { a r g m i n } } \; f ( \textbf { x } ) + \frac { \rho } { 2 } | | \textbf { z } ^ { k - 1 } - \textbf { x } | | _ { 2 } ^ { 2 } = p r o x _ { \frac { 1 } { \rho } f } ( \textbf { z } ^ { k - 1 } ) } \\ { \textbf { z } ^ { k } } & { = \underset { \textbf { z } } { \mathrm { a r g m i n } } \: J _ { H Q S } ( \textbf { x } ^ { k } , \textbf { z } ) = \underset { \textbf { z } } { \mathrm { a r g m i n } } \; g ( \textbf { z } ) + \frac { \rho } { 2 } | | \textbf { z } - \textbf { x } ^ { k } | | _ { 2 } ^ { 2 } = p r o x _ { \frac { 1 } { \rho } g } ( \textbf { x } ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { { C R } } ( \alpha , W ) = \frac { \overline { G } ( \alpha , \gamma ) } { \overline { G } ( \alpha , \gamma - \frac { 2 W } { \gamma } ) } \frac { \gamma \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu _ { 1 } ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha ) } \left( \frac { \partial } { \partial \mu _ { 1 } } R ( \beta _ { W } ; \mu _ { 1 } , 1 ) \right) d \mu _ { 1 } } { ( \gamma - \frac { 2 W } { \gamma } ) \Gamma ( \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha ) + 1 ) \Gamma ( \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - \frac { W + 2 } { \gamma } ) ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \left( \boldsymbol { \mathcal { A } } \left( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) \right) - \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) \right) \cdot \boldsymbol { w } ( \boldsymbol { x } ) d \Omega = 0 , } \\ & { \int _ { \Gamma } \left( \boldsymbol { \mathcal { B } } \left( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) \right) - \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } ) \right) \cdot \boldsymbol { \bar { w } } ( \boldsymbol { x } ) d \Gamma = 0 , } \end{array} \right.
\rho ( t ) = \left( \mathcal { U ^ { \dag } \circ E } \right) [ \rho _ { 0 } ] = \sum _ { k } \tilde { E } _ { k } \rho _ { 0 } \tilde { E } _ { k } ^ { \dag } = \sum _ { k } E _ { k } \rho ^ { * } E _ { k } ^ { \dag } ,
\Gamma ^ { ( 1 ) } = \int d ^ { 3 } x \left( f ^ { ( 0 ) } u ^ { 4 } + f ^ { ( 2 ) } u ^ { 3 } \left[ \psi ^ { 2 } \right] + f ^ { ( 4 ) } u ^ { 2 } \left[ \psi ^ { 4 } \right] + f ^ { ( 6 ) } u \left[ \psi ^ { 6 } \right] + f ^ { ( 8 ) } \left[ \psi ^ { 8 } \right] \right) ,
\begin{array} { c } { { \langle 0 | j _ { \mu } ^ { B ^ { \ast } } ( 0 ) | B ^ { \ast } ( p ) \rangle = f _ { B ^ { \ast } } \, m _ { B ^ { \ast } } \, \epsilon _ { \mu } \, , } } \\ { { \langle 0 | j ^ { B } ( 0 ) | B ( p ) \rangle = f _ { B } { \frac { m _ { B } ^ { 2 } } { m _ { b } + m _ { d } } } \, , } } \end{array}
Q _ { \beta } = r ^ { 1 / 2 } Q _ { \beta } ^ { 0 } + r ^ { - 1 } ( \widehat { Q } _ { \beta } ^ { 1 } r \frac { \partial } { \partial r } + Q _ { \beta } ^ { 1 } ) + r ^ { - 5 / 2 } Q _ { \beta } ^ { 2 } + \ldots
\begin{array} { r l } { \log \left( \frac { X _ { \mathrm { F e O } _ { 1 . 5 } } ^ { \mathrm { m o l } } } { X _ { \mathrm { F e O } } ^ { \mathrm { m o l } } } \right) } & { { } = a \log f _ { O _ { 2 } } + b + \frac { c } { T } - \frac { \Delta C _ { p } } { R \ln ( 1 0 ) } \left[ 1 - \frac { T _ { 0 } } { T } - \ln \left( \frac { T } { T _ { 0 } } \right) \right] - \frac { \int _ { P _ { 0 } } ^ { P } \Delta V d p } { R T \ln ( 1 0 ) } } \end{array}
A ( p _ { 2 } ^ { 2 } , p _ { 3 } ^ { 2 } ; p _ { 1 } ^ { 2 } ) = { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \left\{ - ( p _ { 2 } p _ { 3 } ) Z _ { 2 2 2 } + Z _ { 2 0 0 } - p _ { 1 } ^ { 2 } H \right\} ,
\frac { ( M _ { H } - 2 E _ { \gamma } ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } { 2 ( M _ { H } - 2 E _ { \gamma } ) } \le k _ { 0 } \le \frac { M _ { H } ^ { 2 } + k ^ { 2 } } { 2 M _ { H } } .
D _ { u _ { h } u _ { g } } ^ { j _ { 7 } } ( U _ { 7 } ) D _ { - v _ { h } , - v _ { e } } ^ { j _ { 8 } } ( U _ { 8 } ^ { \dagger } ) D _ { - w _ { f } , - w _ { b } } ^ { j _ { 9 } } ( U _ { 9 } ^ { \dagger } ) D _ { x _ { c } x _ { g } } ^ { j _ { 1 0 } } ( U _ { 1 0 } ) D _ { - y _ { h } , - y _ { d } } ^ { j _ { 1 1 } } ( U _ { 1 1 } ^ { \dagger } ) D _ { z _ { a } z _ { e } } ^ { j _ { 1 2 } } ( U _ { 1 2 } )
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ Q ~ E ~ D ~ } , 1 } ( R ) } & { { } = \frac { 8 \alpha } { 3 \pi } \left( \frac { 1 9 } { 3 0 } - 2 \ln \alpha - \ln k _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ H ~ e ~ } ^ { + } } \right) V _ { \mathrm { ~ D ~ 1 ~ } } ( R ) \ , } \\ { V _ { \mathrm { ~ Q ~ E ~ D ~ } , 2 } ( R ) } & { { } = - \frac { \alpha } { \pi } \left( \frac { 8 9 } { 1 5 } + \frac { 1 4 } { 3 } \ln \alpha \right) V _ { \mathrm { ~ D ~ 2 ~ } } ( R ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { x _ { A } } } & { { } = } & { \frac { \delta + \sqrt { \Delta } } { { 2 \left( { 1 + \delta } \right) } } } \\ { { x _ { B } } } & { { } = } & { \frac { \delta - \sqrt { \Delta } } { { 2 \left( { 1 + \delta } \right) } } } \\ { { x _ { C } } } & { { } = } & { 0 } \end{array}
\langle s _ { z } ( j , t ) \rangle _ { T } = - \frac { \operatorname { t a n h } ( \beta B ) } { 2 } \frac { \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \mathbf { k } } e ^ { - \beta \tilde { E } _ { \mathbf { k } } } \langle \mathbf { k } | n _ { j } | \mathbf { k } \rangle } { \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \mathbf { k } } e ^ { - \beta \tilde { E } _ { \mathbf { k } } } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { E } _ { i } : = } & { \{ \gamma _ { i } ^ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } \mathcal { N } _ { i } ( 1 / C _ { 0 } ^ { i } ) , \mathrm { t h e n ~ e x i t s ~ } \mathcal { N } _ { i } ( 1 / C _ { 0 } ^ { i - 1 } ) \mathrm { ~ a n d ~ t h e n ~ c o m e s ~ b a c k ~ t o ~ \mathcal { N } _ i ( ~ 1 / ~ C _ 0 ^ i ) ~ } \} . } \end{array}
\omega _ { C } < 0 , \qquad \omega _ { N } > 0 , \qquad \omega _ { S } < 0 \qquad \textnormal { a n d } \qquad 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) > \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { u ^ { \mathrm { i n } } } & { < d _ { i } + D _ { i } + f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) + f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { h _ { n + 1 } ^ { ( m ) } } \\ { u _ { n + 1 } ^ { ( m ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { C } _ { 1 } + \frac { 1 } { n + 1 } \mathbf { C } _ { 2 } } & { \frac { 1 } { n + 1 } \mathbf { C } _ { 3 } } \\ { \mathbf { C } _ { 3 } } & { \mathbf { I } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { h _ { n } ^ { ( m ) } } \\ { u _ { n } ^ { ( m ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k \in P _ { F } } | k ^ { 1 } | ^ { 4 } - \sum _ { k \in B _ { F } } | k ^ { 1 } | ^ { 4 } } \\ & { \quad = \frac { L ^ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \, \textnormal { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \pi } \, \textnormal { d } \phi \cos ( \phi ) ^ { 4 } \left( \int _ { 0 } ^ { k _ { F } ( 1 + \epsilon ( \phi , \theta ) ) } r ^ { 6 } \, \textnormal { d } r - \int _ { 0 } ^ { k _ { F } } r ^ { 6 } \, \textnormal { d } r \right) + O ( k _ { F } ^ { 4 } N ^ { 2 / 3 } ) } \\ & { \quad = O ( k _ { F } ^ { 4 } N s ^ { - 1 } ) + O ( k _ { F } ^ { 4 } N ^ { 2 / 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { b } ( t ) } & { { } = 1 - P _ { u } ( 0 ) e ^ { - \Gamma _ { 0 } t } ; } \\ { P _ { u } ( t ) } & { { } = P _ { u } ( 0 ) e ^ { - \Gamma _ { 0 } t } . } \end{array}
\nu _ { 1 } \otimes \omega _ { 1 } \cdot \nu _ { 2 } \otimes \omega _ { 2 } = ( - 1 ) ^ { \partial \omega _ { 1 } \partial \nu _ { 2 } } \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \otimes \omega _ { 1 } \omega _ { 2 }
\beta R _ { 0 } = 0 , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ \beta R _ { 0 } = 1 - \exp \left[ W \left( - \frac { 1 } { 2 \sqrt { e } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \right] \approx 0 . 7 2 ,
\mid { P } _ { 0 } \rangle \: = \: { \mathbf O ^ { - 1 } } \mid \tilde { P } _ { 0 } \rangle \: = \: \exp \left( { \cal W } _ { \nu \rho } ^ { \mu \sigma } { \mathbf a } ^ { \nu } { \mathbf b } _ { \mu } { \mathbf a } ^ { \rho } { \mathbf b } _ { \sigma } \right) \prod _ { \alpha = 0 } ^ { 3 } \, { \mathbf a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \prod _ { \beta = 0 } ^ { 3 } \, { \mathbf b } ^ { \dagger \beta } \, \mid 0 \rangle .
I _ { b } \approx q n _ { 0 } \gamma _ { r } \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { c } } = q N _ { \mathrm { t r } } \Gamma \frac { 2 d ^ { 2 } } { \hbar \epsilon _ { 0 } n _ { \mathrm { a c t } } ^ { 2 } } Q _ { c }
( \Xi ^ { 2 } - 2 ) ( 3 r _ { + } ^ { 4 } - q ^ { 2 } l ^ { 4 } ) ^ { 2 } - 8 ( \Xi ^ { 2 } + 1 ) q ^ { 2 } l ^ { 4 } r _ { + } ^ { 4 } \geq 0 .
\sigma _ { \gamma } ^ { K } = 4 \pi \alpha ^ { 6 } \frac { Z _ { T } ^ { 5 } } { m _ { e } ^ { 2 } } \left[ \frac { k _ { f } } { ( 1 - \varepsilon _ { i } ) ^ { 4 } } \left( \varepsilon _ { i } ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \varepsilon _ { i } + \frac 4 3 - \frac { 2 - \varepsilon _ { i } } { k _ { i } } \ln ( k _ { i } - \varepsilon _ { i } ) \right) \right] \ ,
\hat { \Pi } \equiv \frac { | \Psi | ^ { 2 } } { \gamma \Lambda _ { \alpha } } \hat { G } + \frac { 2 \textit { R e } \left[ \Psi ( \Psi ^ { z } ) ^ { * } \right] } { \gamma \Lambda _ { \alpha } } \left( \hat { H } - \hat { G } \right) ,
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { N } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } , ( 1 ) } + { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \Pi _ { 1 } ^ { \mu \nu } ( p ) = } & { \frac { 2 e ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { [ ( p - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] } \biggl \{ k ^ { \mu } k ^ { \nu } [ 2 ( p - k ) \cdot k - ( p - k ) \cdot p ] + 4 ( p - k ) ^ { \mu } k ^ { \nu } [ 2 k \cdot k - k \cdot p ] + } \\ & { + ( p \cdot k - k \cdot k + m ^ { 2 } ) [ 4 k ^ { \mu } ( p - k ) ^ { \nu } + 4 ( k ^ { 2 } + ( p - k ) ^ { 2 } + 4 ( p - k ) ^ { \mu } k \nu ] - 4 k ^ { \mu } p ^ { \nu } ( p - k ) \cdot k - 4 ( p - k ) ^ { \mu } p ^ { \nu } k \cdot k + } \\ & { + 4 [ k ^ { 2 } + ( p - k ) ^ { 2 } ] [ 2 k ^ { \mu } k ^ { \nu } - p ^ { \mu } k ^ { \nu } - p ^ { \nu } k ^ { \mu } ] \biggr \} , } \end{array}
\frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } R ( x ) ^ { 2 } } \frac { d } { d x } \left[ R ( x ) ^ { 2 } \frac { d } { d x } \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { ( t + t _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | > \frac { L } { 2 } , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | < \frac { L } { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { { } - \bar { f } x \, \tan ( \bar { f } t ) , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { { } - \bar { f } x , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { { } h _ { 0 } \, \sec ( \bar { f } t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| U - U _ { \Delta x } \| _ { \infty } } & { \leq \| u - u _ { \Delta x } \| _ { \infty } + \sqrt { F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \sqrt { \| y - y _ { \Delta x } \| _ { \infty } } } \\ & { \leq \left( 1 + \sqrt { 2 } \right) \sqrt { F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \Delta x ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \sqrt { 2 F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \Delta x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left( 1 + 2 \sqrt { 2 } \right) \sqrt { F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \Delta x ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
S _ { 0 } : = \{ ( x , y _ { 1 } , \cdots , y _ { l _ { 2 } } ) \in U _ { D } \times { \prod } _ { i = 1 } ^ { l _ { 2 } } { \mathbb { R } } ^ { m _ { l _ { 2 } } ( i ) + 1 } \subset { \mathbb { R } } ^ { n } \times { \prod } _ { i = 1 } ^ { l _ { 2 } } { \mathbb { R } } ^ { m _ { l _ { 2 } } ( i ) + 1 } = { \mathbb { R } } ^ { m + l _ { 2 } } \mid { \prod } _ { j \in { m _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } } ^ { - 1 } ( i ) } ( f _ { j } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) ) - { | | y _ { i } | | } ^ { 2 } = 0 , i \in { \mathbb { N } } _ { l _ { 2 } } \} \subset { \mathbb { R } } ^ { m + l _ { 2 } }
\delta _ { D } { \cal B } ^ { ( t ) } = \frac \ell { 3 2 \pi G } \int _ { | r | = \bar { r } } \stackrel { ( 0 ) } { \cal R } \sqrt { \stackrel { ( 0 ) } { \bf g } } \, \delta \alpha \, d \varphi d t \qquad .
N _ { \mathrm { a x } } ^ { \prime } ( t _ { \mathrm { f i n } } ) = N _ { \mathrm { a x } } ( t _ { \mathrm { f i n } } ) - { \frac { \ell _ { \mathrm { f i n } } } { \ell _ { \mathrm { i n } } } } N _ { \mathrm { a x } } ( t _ { \mathrm { i n } } ) ~ ~ \ .
\begin{array} { r l } { \gamma } & { \in \{ 0 , 0 . 0 0 0 1 ^ { * } , 0 . 0 0 0 5 ^ { * } , 0 . 0 0 1 , 0 . 0 0 5 , 0 . 0 1 , 0 . 0 5 , 0 . 1 ^ { * } \} } \\ { \delta } & { \in \{ 0 . 0 1 ^ { * } , 0 . 1 ^ { * } , 0 . 5 , 0 . 9 , 0 . 9 5 , 0 . 9 9 , 1 \} } \\ { c _ { 0 } } & { \in \{ 0 . 0 2 , 0 . 0 3 , \dots , 0 . 1 9 , 0 . 2 0 , 0 . 3 0 , 0 . 4 0 , 0 . 5 0 \} } \end{array}
\Gamma _ { A ^ { \mu } A ^ { \nu } } ( p , - p ) \equiv \Gamma _ { \mu \nu } ( p , - p ) = ( \eta _ { \mu \nu } - \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } ) \Gamma ^ { T } ( p ^ { 2 } ) + \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \Gamma ^ { L } ( p ^ { 2 } )
v _ { k } \left( i j ; r \right) = \int d r ^ { \prime } \frac { r _ { < } ^ { k } } { r _ { > } ^ { k + 1 } } \left[ P _ { i } ( r ^ { \prime } ) P _ { j } ( r ^ { \prime } ) + Q _ { i } ( r ^ { \prime } ) Q _ { j } ( r ^ { \prime } ) \right] \, ,
| \tilde { G } _ { n } ^ { w } ( \tilde { S } _ { b } ^ { w } ) - G _ { P } ^ { w } ( \hat { S } _ { b } ^ { w } ) | \leq ( \operatorname* { m a x } _ { w } \Delta _ { n , P } ^ { w } ) + ( \operatorname* { m a x } _ { w } g _ { P , \operatorname* { m a x } } ^ { w } ) \, \varepsilon _ { n } ^ { F , P } , \quad b = 1 , \dots , B _ { n } , \quad w = 1 , \dots , W ,
\begin{array} { r l } { N _ { 2 } = \frac { N _ { 1 } r + l _ { 1 } N _ { 2 } - N _ { 1 } r } { l _ { 1 } } } & { = \frac { N - N _ { 1 } r } { l _ { 1 } } } \\ & { \leq \frac { \widetilde { N } - N _ { 1 } r } { l _ { 1 } } } \\ & { < \frac { N + l _ { 1 } l _ { 2 } - N _ { 1 } r } { l _ { 1 } } = \frac { N _ { 1 } r + l _ { 1 } N _ { 2 } + l _ { 1 } l _ { 2 } - N _ { 1 } r } { l _ { 1 } } = N _ { 2 } + l _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { K \Omega \rightarrow 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } | | v _ { n } | | _ { 2 } = \sum _ { n = - K } ^ { K } | | v _ { n } | | _ { 2 } + o ( 1 ) , } \end{array}
\hat { \mathcal { V } } _ { \mathrm { X X } } \phi = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l } { n _ { l } \phi _ { l } ( { \bf x } ) \int { \phi _ { l } ^ { * } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \mathcal { V } _ { \mathrm { e e } } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \phi ( { \bf x } ^ { \prime } ) \ \mathrm { d } { \bf x } ^ { \prime } } } ,
\left( \pi _ { \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) } , V _ { \mathrm { L } } \right) \quad { \mathrm { a n d } } \quad \left( \pi _ { \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) } , V _ { \mathrm { R } } \right)
a \left( n , \mathbf { P } , t \right) = \exp \left[ - i \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \frac { \left( \mathbf { P } + M \mathbf { g } t ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { 2 M \hbar } \right] c \left( n , \mathbf { P } , t \right)
\begin{array} { r } { \frac { d u } { d s } \stackrel { s \to 0 } { \rightarrow } \frac { s \, \alpha \xi ^ { 2 } } { 2 \eta } \int _ { 0 } ^ { \Phi } | \pmb { \Psi } ( \phi ) | ^ { 2 } d \phi . } \end{array}
\mathbf { A } ( \varepsilon ) = \left[ \begin{array} { c c c c } { \phi ( \| \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 1 } \| , \varepsilon ) } & { \phi ( \| \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 2 } \| , \varepsilon ) } & { \dots } & { \phi ( \| \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { n } \| , \varepsilon ) } \\ { \phi ( \| \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 1 } \| , \varepsilon ) } & { \phi ( \| \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 2 } \| , \varepsilon ) } & { \dots } & { \phi ( \| \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { n } \| , \varepsilon ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \phi ( \| \mathbf { x } _ { n } - \mathbf { x } _ { 1 } \| , \varepsilon ) } & { \phi ( \| \mathbf { x } _ { n } - \mathbf { x } _ { 2 } \| , \varepsilon ) } & { \dots } & { \phi ( \| \mathbf { x } _ { n } - \mathbf { x } _ { n } \| , \varepsilon ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r c l } { { \chi ^ { + + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { i \frac { \tau _ { 2 } } { \pi } \, \frac { - n _ { 2 } A _ { \bar { z } } ^ { + - } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) - n _ { 1 } \tau A _ { \bar { z } } ^ { - + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } { n _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \ \ \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \chi ^ { + - } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { i \frac { \tau _ { 2 } } { \pi } \, \frac { + n _ { 2 } A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) - n _ { 1 } \tau A _ { \bar { z } } ^ { -- } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } { n _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \ \ \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \chi ^ { - + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { i \frac { \tau _ { 2 } } { \pi } \, \frac { + n _ { 1 } \tau A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) - n _ { 2 } A _ { \bar { z } } ^ { -- } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } { n _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \ \ \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \chi ^ { -- } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { i \frac { \tau _ { 2 } } { \pi } \, \frac { + n _ { 1 } \tau A _ { \bar { z } } ^ { + - } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) + n _ { 2 } A _ { \bar { z } } ^ { - + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } { n _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \ \ \ , } } \end{array}
y _ { h } ^ { P } ( t _ { n + 1 } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \left\lceil { \alpha } \right\rceil } \frac { t _ { n + 1 } ^ { k } } { k ! } y _ { 0 } ^ { ( k ) } + \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha ) } \sum _ { j = 0 } ^ { n } b _ { j , n + 1 } f ( t _ { j } , y _ { h } ( t _ { j } ) ) .
\begin{array} { r l } { J } & { = \sum _ { i < j } ^ { N _ { \mathrm { e } } } u ( r _ { i j } ) + \sum _ { i } ^ { N _ { \mathrm { e } } } \sum _ { I } ^ { N _ { \mathrm { n } } } \chi ( r _ { i I } ) } \\ & { + \sum _ { i < j } ^ { N _ { \mathrm { e } } } \sum _ { I } ^ { N _ { \mathrm { n } } } f ( r _ { i j } , r _ { i I } , r _ { j I } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { j , k } ^ { \{ F , F , i \} } } & { = c _ { i } ^ { \{ S \} } a _ { j , k } ^ { \{ F \} } , } \\ { a _ { j , \ell } ^ { \{ F , E , i \} } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { s ^ { \{ F \} } } a _ { j , k } ^ { \{ F \} } \omega _ { i , \ell } ( c _ { l } ^ { \{ F \} } ) = \sum _ { l = 1 } ^ { s ^ { \{ F \} } } \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \omega _ { i , \ell } ^ { \{ k \} } a _ { j , l } ^ { \{ F \} } c _ { l } ^ { \{ F \} \times k } , } \\ { a _ { j , \ell } ^ { \{ F , I , i \} } } & { = a _ { j , \ell } ^ { \{ F , E , i \} } = \sum _ { k = 1 } ^ { s ^ { \{ F \} } } b _ { j , k } ^ { \{ F \} } \omega _ { i , \ell } ( c _ { k } ^ { \{ F \} } ) , } \end{array}
\lambda _ { 1 } ( i ) = \frac { 1 } { N _ { b } ( i ) } \sum _ { j \in N _ { b } ( i ) } \left[ \sum _ { m = - 6 } ^ { 6 } \hat { q } _ { 6 m } \hat { q } _ { 6 m } ^ { * } - \sum _ { m = - 4 } ^ { 4 } \hat { q } _ { 4 m } \hat { q } _ { 4 m } ^ { * } \right]
\begin{array} { r l } { ( \lambda + \rho ) ^ { \flat } = \lambda ^ { \prime } + \rho ^ { \prime } } & { = \left( n - 1 + \frac { k } { 2 } , \ldots , \frac { k } { 2 } + 1 , - \frac { k } { 2 } \right) , } \\ { \lambda ^ { \prime } } & { = \left( \frac { k } { 2 } , \ldots , \frac { k } { 2 } , - \frac { k } { 2 } \right) = k \omega _ { n - 1 } ^ { \prime } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { ( \omega _ { l _ { 1 } } + \omega _ { l _ { 2 } } ) ^ { 3 } } } = { \frac { \omega _ { l _ { 1 } } ^ { 3 } - \omega _ { l _ { 2 } } ^ { 3 } - 3 \omega _ { l _ { 1 } } ^ { 2 } \omega _ { l _ { 2 } } + 3 \omega _ { l _ { 1 } } \omega _ { l _ { 2 } } ^ { 2 } } { \left[ ( { \frac { \pi l _ { 1 } } { a } } ) ^ { 2 } - ( { \frac { \pi l _ { 2 } } { a } } ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 } } } ,
\sigma _ { d d } ^ { 2 g } \; \sim \; 2 \int { \frac { d k ^ { 2 } } { k ^ { 4 } } } [ 1 - J _ { 0 } ( k r _ { 1 } ) ] [ 1 - J _ { 0 } ( k r _ { 2 } ) ] \; = \; \operatorname * { m i n } ( r _ { 1 } ^ { 2 } , r _ { 2 } ^ { 2 } ) [ 1 + \ln ( \operatorname * { m a x } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) / \operatorname * { m i n } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) ) ] .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { B } ^ { p } ( \Gamma ) = \left\{ \bigoplus _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathcal { V } _ { i } ^ { p } ( \Gamma ) \right\} \oplus \left\{ \bigoplus _ { j \in \mathcal { J } } \mathcal { E } _ { j } ^ { p } ( \Gamma ) \right\} \oplus \mathcal { C } _ { 1 2 3 } ^ { p } ( \Gamma ) \, , } & { } & { \mathcal { J } = \{ ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) \} \, , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 2 } } { \partial \tilde { r } ^ { 2 } } + \left( \tilde { u } _ { 0 } - \frac { 1 } { \tilde { h } _ { 0 } } \frac { \partial \tilde { h } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \right) \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 2 } } { \partial r } = 0 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \tilde { r } > 0 , \; 0 < t < 1 ,