harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left[ k _ { m } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \frac { 1 } { m } C ^ { - m / 2 } \left( \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } - \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } \right) e _ { n + m } ^ { ( b ) } \qquad ( m > 0 ) , } \\ & { \left[ k _ { m } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - \frac { 1 } { m } C ^ { m / 2 } \left( \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } - \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } \right) f _ { n + m } ^ { ( b ) } \qquad ( m > 0 ) , } \\ & { \left[ l _ { - m } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \frac { 1 } { m } C ^ { m / 2 } \left( \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } - \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } \right) e _ { n + m } ^ { ( b ) } \qquad ( m > 0 ) , } \\ & { \left[ l _ { - m } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - \frac { 1 } { m } C ^ { - m / 2 } \left( \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } - \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } \right) f _ { n + m } ^ { ( b ) } \qquad ( m > 0 ) , } \\ & { \left[ k _ { m } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \left[ k _ { m } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \left[ l _ { - m } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \left[ l _ { - m } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = 0 \qquad ( m < 0 ) , } \\ & { \left[ k _ { m } ^ { ( a ) } , l _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \delta _ { m + n , 0 } \frac { 1 } { m } \left( C ^ { - m } - C ^ { m } \right) \left( \delta _ { m > 0 } \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } + \delta _ { m < 0 } \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } \right) \qquad ( m \neq 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { ( P _ { s } - P _ { 0 } ) } { \rho _ { s } ^ { o } } - \frac { ( P _ { l } - P _ { 0 } ) } { \rho _ { l } ^ { o } } = } & { } & { \frac { q _ { m } ( T _ { m } - T ) } { T _ { m } } } \\ & { } & { - \frac { c _ { l } ^ { p } - c _ { s } ^ { p } } { 2 T _ { m } } ( T _ { m } - T ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \rho _ { l } ^ { o } K _ { l } } ( P _ { l } - P _ { 0 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \rho _ { s } ^ { o } K _ { s } } ( P _ { s } - P _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ & { } & { - \frac { \alpha _ { l } } { \rho _ { l } ^ { o } } ( T _ { m } - T ) ( P _ { l } - P _ { 0 } ) + \frac { \alpha _ { s } } { \rho _ { s } ^ { o } } ( T _ { m } - T ) ( P _ { s } - P _ { 0 } ) . } \end{array}
\times \; \Big \langle \prod _ { b = 1 } ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { b } ^ { \prime } } \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( { x ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) P _ { + } \psi ^ { ( b ) } ( { x ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { b } ^ { \prime } } \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( { y ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) P _ { - } \psi ^ { ( b ) } ( { y ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) \Big \rangle _ { 0 } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial w } { \partial t } ( t , x ) - { \mathcal { D } } [ \, { w } \, ] ( t , x ) } & { \le \frac { \kappa x ^ { 2 s } } { ( x ^ { 2 s } + 2 \kappa t ) ^ { 2 } } - \frac { { { \mathcal { J } } _ { 0 } } ^ { - 1 } } { 2 s } \left[ \frac { 1 } { 2 } - \frac { \kappa t } { x ^ { 2 s } + 2 \kappa t } \right] \frac { 1 } { x ^ { 2 s } } + \frac { { \mathcal { J } } _ { 0 } } { 2 s R ^ { 2 s } } \frac { \kappa t } { x ^ { 2 s } + 2 \kappa t } } \\ & { \le \frac { \kappa x ^ { 2 s } } { ( x ^ { 2 s } + 2 \kappa t ) ^ { 2 } } - \frac { { { \mathcal { J } } _ { 0 } } ^ { - 1 } } { 4 s } \frac { 1 } { x ^ { 2 s } + 2 \kappa t } + \frac { { \mathcal { J } } _ { 0 } } { 2 s R ^ { 2 s } } \frac { \kappa t } { x ^ { 2 s } + 2 \kappa t } } \\ & { \le \frac { 1 } { ( x ^ { 2 s } + 2 \kappa t ) } \left( \kappa - \frac { { { \mathcal { J } } _ { 0 } } ^ { - 1 } } { 4 s } + \frac { { \mathcal { J } } _ { 0 } \kappa t } { 2 s R ^ { 2 s } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { S } } & { { = } } & { { \frac 1 2 \int \frac { d ^ { p + 1 } y } { \Omega _ { p } } \sqrt { - \tilde { g } } \{ - \partial ^ { A } x ^ { 0 } \partial _ { A } x ^ { 0 } + \partial ^ { A } x ^ { i } \partial _ { A } x ^ { j } \delta _ { i j } - 2 \Lambda \} \} } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - \frac 1 2 \int \frac { d ^ { p + 1 } y } { \Omega _ { p } } \sqrt { - \tilde { g } } \tilde { R } . } } \end{array}
\kappa = \frac { \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \eta _ { \alpha \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } - \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \xi _ { \alpha \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { \big ( J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \big ) ^ { 3 / 2 } } ,
\begin{array} { r l } { g _ { l } } & { { } = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { b } | } , } \\ { g _ { r } } & { { } = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } \Omega _ { b } | } , } \\ { g _ { a } } & { { } = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } | } , } \\ { \theta \mp \phi = ( 2 k + } & { { } 1 ) \pi , \quad \theta \neq p \pi , \quad \phi \neq q \pi , } \end{array}
\vert \Phi _ { m } \vert = \left( \frac { 1 2 8 } { 9 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { 2 } { m } \, \frac { V _ { 0 } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { \Omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } .
p = S _ { \tau } ( \tau _ { c } ) = 1 - F _ { \tau } ( \tau _ { c } ) = \frac { \Gamma ( 1 - \alpha , \: \lambda _ { 2 } \tau _ { c } ) } { \Gamma ( 1 - \alpha , \: \lambda _ { 2 } \tau _ { \mathrm { m i n } } ) } .
U _ { j } = 2 h ^ { 2 } \bigg [ \frac { 1 } { V ( 1 ) - V ( 2 ) + \frac { 4 } { { j + 1 } ^ { \alpha } } } + \frac { 1 } { V ( 1 ) - V ( 2 ) + \frac { 4 } { { j - 1 } ^ { \alpha } } } \bigg ] ,
\begin{array} { r l r } { \Delta \Delta E _ { \mathrm { s o l v } } } & { { } = } & { E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ + \ a d a t o m \ w i t h \ s o l v e n t } } - E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ w i t h \ s o l v e n t } } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf { m } } ( { \bf { r } } ) = \frac { D _ { K } } { J } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 , } & { \cos { ( r _ { 0 } D _ { C } / J ) } , } & { - \sin { ( r _ { 0 } D _ { C } / J ) } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \chi } _ { m } ^ { \prime } \Big ( ( { \chi } _ { m } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 3 S _ { m } ^ { \prime } { \chi } _ { m } ^ { \prime } + 3 ( S _ { m } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 1 \Big ) = 0 , } \\ & { \mathcal { L } \Big [ B _ { m } ^ { ( 0 ) } \Big ] \equiv \left( 3 [ S _ { m } ^ { \prime } + \chi _ { m } ^ { \prime } ] ^ { 2 } - 1 \right) B _ { m } ^ { ( 0 ) \prime } + 3 ( S _ { m } ^ { \prime } + \chi _ { m } ^ { \prime } ) ( S _ { m } ^ { \prime \prime } + \chi _ { m } ^ { \prime \prime } ) B _ { m } ^ { ( 0 ) } = 0 , } \\ & { \mathcal { L } \Big [ B _ { m } ^ { ( 1 ) } \Big ] = 3 \left( S _ { m } ^ { \prime } + \chi _ { m } ^ { \prime } \right) B _ { m } ^ { ( 0 ) \prime \prime } + 3 \left( S _ { m } ^ { \prime \prime } + \chi _ { m } ^ { \prime \prime } \right) B _ { m } ^ { ( 0 ) \prime } + \left( S _ { m } ^ { \prime \prime \prime } + \chi _ { m } ^ { \prime \prime \prime } \right) B _ { m } ^ { ( 0 ) } , } \\ & { \begin{array} { r l } { \mathcal { L } \Big [ B _ { m } ^ { ( p ) } \Big ] } & { = 3 \left( S _ { m } ^ { \prime } + \chi _ { m } ^ { \prime } \right) B _ { m } ^ { ( p - 1 ) \prime \prime } + 3 \left( S _ { m } ^ { \prime \prime } + \chi _ { m } ^ { \prime \prime } \right) B _ { m } ^ { ( p - 1 ) \prime } } \\ & { \quad + \left( S _ { m } ^ { \prime \prime \prime } + \chi _ { m } ^ { \prime \prime \prime } \right) B _ { m } ^ { ( p - 1 ) } - B _ { m } ^ { ( p - 2 ) \prime \prime \prime } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } } & { \left( 1 - { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } Y } \right] e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ^ { * } ( z ) + z ) } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad = \beta + \zeta ( 1 - \epsilon ) + \frac { \eta ( y ) } { f _ { \tilde { Y } } ( z ) } , } \end{array}
I _ { 4 b } ^ { ( n ) } = \frac { - 2 p ^ { 2 } } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n - 1 } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, ,
\partial _ { t } \left( \begin{array} { l } { x ^ { f } } \\ { y ^ { f } } \\ { z ^ { f } } \\ { x ^ { s } } \\ { z ^ { s } } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - R _ { 2 } ^ { f } } & { - \omega _ { z } } & { \omega _ { y } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega _ { z } } & { - R _ { 2 } ^ { f } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \omega _ { y } } & { 0 } & { - R _ { 1 } ^ { f } - R _ { \mathrm { x } } m _ { 0 } ^ { s } } & { 0 } & { R _ { \mathrm { x } } m _ { 0 } ^ { f } } & { m _ { 0 } ^ { f } R _ { 1 } ^ { f } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - R _ { 2 } ^ { s , l } ( R _ { 2 } ^ { s } , \alpha , T _ { \mathrm { R F } } ) } & { \omega _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { R _ { \mathrm { x } } m _ { 0 } ^ { s } } & { - \omega _ { y } } & { - R _ { 1 } ^ { s } - R _ { \mathrm { x } } m _ { 0 } ^ { f } } & { m _ { 0 } ^ { s } R _ { 1 } ^ { s } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x ^ { f } } \\ { y ^ { f } } \\ { z ^ { f } } \\ { x ^ { s } } \\ { z ^ { s } } \\ { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { \beta _ { 0 } = } & { { } \left( \frac { 1 9 } { 1 0 8 } { u } _ { i - 1 } - \frac { 1 9 } { 1 0 8 } { u } _ { i + 1 } + \frac { 3 1 } { 5 4 } { v } _ { i - 1 } - \frac { 2 4 1 } { 2 7 } { v } _ { i } + \frac { 3 1 } { 5 4 } { v } _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 9 } { 4 } { u } _ { i - 1 } - \frac { 9 } { 2 } { u } _ { i } + \frac { 9 } { 4 } { u } _ { i + 1 } + \right. } \\ { \beta _ { 1 } = } & { { } 1 4 4 v _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 3 } { 3 } ( u _ { i - 1 } - u _ { i } + 1 2 v _ { i } ) ^ { 2 } , } \\ { \beta _ { 2 } = } & { { } 1 4 4 v _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 3 } { 3 } ( u _ { i } - u _ { i + 1 } + 1 2 v _ { i } ) ^ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { \mathfrak { D } \equiv d _ { 2 } \left( \hat { S } , S _ { \parallel } ^ { y _ { \mathrm { m i n } } } \right) } & { { } = } & { \operatorname* { m i n } _ { y \in \Lambda } \, \| \hat { S } - S _ { \parallel } ^ { y } \| _ { 2 , \Lambda \times \lbrack 0 , L \rbrack } } \end{array}
\frac { 1 } { 3 } \Big ( \frac { 1 } { R _ { \mathrm { t o t } } } - U _ { p } \Big ) p \frac { d f _ { \mathrm { p } } } { d p } - \Big ( U _ { p } + \frac { 1 } { 3 } p \frac { d U _ { p } } { d p } \Big ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { P _ { 4 _ { 1 } , \mathcal O , 0 } ( x , q ) } & { = q ^ { 3 / 2 } x ^ { 2 } ( - 1 + q ^ { 3 } x ^ { 2 } ) ( 1 + q x + q ^ { 3 } x ^ { 2 } ) \, , } \\ { P _ { 4 _ { 1 } , \mathcal O , 1 } ( x , q ) } & { = ( - 1 + q x ) ( 1 + q x ) } \\ & { ( 1 + x - q x - q x ^ { 2 } - q ^ { 3 } x ^ { 2 } - q x ^ { 3 } - 2 q ^ { 3 } x ^ { 3 } - q ^ { 5 } x ^ { 3 } - q ^ { 3 } x ^ { 4 } - q ^ { 5 } x ^ { 4 } + q ^ { 4 } x ^ { 5 } - q ^ { 5 } x ^ { 5 } + q ^ { 6 } x ^ { 6 } ) \, , } \\ { P _ { 4 _ { 1 } , \mathcal O , 2 } ( x , q ) } & { = q ^ { 7 / 2 } x ^ { 2 } ( - 1 + q x ^ { 2 } ) ( 1 + x + q x ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \rho } { d t } = } & { { } \rho \left[ \pi _ { C } - ( \rho \pi _ { C } + ( 1 - \rho ) \pi _ { D } ) \right] } \\ { = } & { { } \rho \left[ ( 1 - \rho ) \pi _ { C } - ( 1 - \rho ) \pi _ { D } ) \right] } \\ { = } & { { } \rho ( 1 - \rho ) \left[ \pi _ { C } - \pi _ { D } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \check { \rho } _ { 0 } \check { v } _ { 0 } } & { = 1 , } \\ { 0 } & { = - \frac { 1 } { \gamma } \frac { d \check { p } _ { 0 } } { d \xi } + \frac { 4 } { 3 } P r \frac { d ^ { 2 } \check { v } _ { 0 } } { d \xi ^ { 2 } } , } \\ { 0 } & { = \frac { d ^ { 2 } \check { \theta } _ { 0 } } { d \xi ^ { 2 } } , } \\ { \check { p } _ { 0 } } & { = \check { \rho } _ { 0 } \check { \theta } _ { 0 } . } \end{array}
\cos \alpha = \frac { \cos \theta _ { 2 } } { \cos \theta _ { 1 } } \, , \; \; \; \cosh \gamma = \frac { \sin \theta _ { 2 } } { \cos \theta _ { 1 } } \frac { 1 } { \sin \alpha } \, , \; \; \; \sinh \gamma = \frac { \sin \theta _ { 1 } } { \cos \theta _ { 2 } } \frac { 1 } { \tan \alpha }
{ \cal Z } _ { _ I } = \int D \overline { { { \xi } } } D \xi D \overline { { { \chi } } } D \chi \exp \left\{ i \int d ^ { 2 } x \left[ - i \overline { { { \chi } } } \partial \! \! \! / \chi + i \overline { { { \chi } } } \partial \! \! \! / \gamma ^ { 0 } \partial \! \! \! / \xi - i \overline { { { \xi } } } \partial \! \! \! / \gamma ^ { 0 } \partial \! \! \! / \chi + m \overline { { { \xi } } } \partial \! \! \! / \partial \! \! \! / \xi \right] \right\} .
\mathrm { S y m } _ { \Omega } = \sigma _ { 1 } ^ { \left( j \right) } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } ^ { \left( j \right) } \right) \cup \sigma _ { 2 } ^ { \left( j \right) } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } ^ { \left( j \right) } \right) \cup \cdots \cup \sigma _ { m ^ { \left( j \right) } } ^ { \left( j \right) } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } ^ { \left( j \right) } \right) .
\lfloor a , b \rfloor = \left\{ \begin{array} { c c } { s _ { a } s _ { a + 1 } \cdots s _ { b } } & { \quad \textrm { i f } \quad b \neq a } \\ { s _ { a } } & { \quad \textrm { i f } \quad b = a } \end{array} \right. \quad \textrm { a n d } \quad \lceil a , b \rceil = \left\{ \begin{array} { c c } { s _ { a } s _ { a - 1 } \cdots s _ { b } } & { \quad \textrm { i f } \quad b \neq a } \\ { s _ { a } } & { \quad \textrm { i f } \quad b = a } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { n l } ( q ) } & { = } & { \frac { 1 } { q } \frac { 2 ^ { l + 2 } } { ( 2 l + 1 ) ! } \left[ \frac { ( n + l ) ! } { ( n - l - 1 ) ! } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { \times \mathrm { R e } \left\{ \sum _ { p = 0 } ^ { l } \frac { i ^ { p - l - 1 } } { ( 2 q ) ^ { p } } \frac { ( l + p ) ! } { p ! ( l - p ) ! } \frac { ( l + 1 - p ) ! } { ( 1 + n - i q n ) ^ { 2 + l - p } \; n ^ { p } } \right. } \\ & { } & { \times \left. _ 2 F _ { 1 } ( l + 2 - p , l - n + 1 , 2 l + 2 , \frac { 2 } { 1 + n - i q n } ) \right\} - \delta _ { n 1 } \delta _ { l 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( Z _ { j } = 1 | \sigma _ { 0 } ) } & { = } & { \mathbb { P } ( b _ { j } \geq i | \sigma _ { 0 } ) = \mathbb { P } ( u _ { j } \leq e ^ { - 2 \beta _ { n } ( i - j ) } | \sigma _ { 0 } ) } \\ & { = } & { e ^ { - 2 \beta _ { n } ( i - \operatorname* { m a x } \{ j , \sigma _ { 0 } ( j ) \} ) _ { + } } \geq e ^ { - 2 \beta _ { n } ( i - j ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \theta } _ { \infty } ^ { * } ( \eta ) : = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \operatorname* { m a x } _ { \tau ^ { \prime } \in L _ { C _ { k } } } \theta ( \tau ^ { \prime } ) = \theta _ { 0 2 } ^ { * } \approx \frac { \eta } { a \eta + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \, \partial _ { \tau } \, \mathrm { l n } N _ { c } ( \tau ) = \langle \Phi | \bar { H } _ { N } ( \tau ) | \Phi \rangle + \langle \Phi | H | \Phi \rangle } \\ & { i \, \partial _ { \tau } \, t _ { i j \dots } ^ { a b \dots } ( \tau ) = \langle \Phi _ { i j \dots } ^ { a b \dots } | \bar { H } _ { N } ( \tau ) | \Phi \rangle , } \end{array}
\frac { 1 } { t } \left( S ( \rho _ { t } ) - S ( \rho _ { k + 1 } ) \right) = - \frac { 1 } { t } \int _ { \Omega } \rho _ { k + 1 } ( x ) \log ( \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } \nabla \psi _ { t } ( x ) ) \, d x .
{ \begin{array} { r c l l } { \operatorname* { m i n } } & { ~ } & { f ( \mathbf { x } ) } & \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { ~ } & { g _ { i } ( \mathbf { x } ) = c _ { i } } & { { \mathrm { f o r ~ } } i = 1 , \ldots , n \quad { \mathrm { E q u a l i t y ~ c o n s t r a i n t s } } } \\ & { ~ } & { h _ { j } ( \mathbf { x } ) \geq d _ { j } } & { { \mathrm { f o r ~ } } j = 1 , \ldots , m \quad { \mathrm { I n e q u a l i t y ~ c o n s t r a i n t s } } } \end{array} }
\frac { \partial z _ { r } } { \partial \theta } = \left( \rho _ { 0 } ^ { \prime } ( z _ { r } ) + \frac { \rho _ { 0 } ( z _ { r } ) g } { c _ { s r } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \rho } { \partial \theta } ( S , \theta , p _ { r } ) = \frac { g \alpha _ { r } } { N _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \eta ( t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { s } } } & { { } \bigg \{ } & { \sum _ { i = 1 } ^ { K } \beta _ { j i } \sin ( i * \omega _ { j } * t ) + \sum _ { i = 1 } ^ { K } \gamma _ { j i } \cos ( i * \omega _ { j } * t ) \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 0 } } & { \colon \quad \overline { 1 } \cdot X _ { 0 } + \overline { 1 } \cdot X _ { 1 } = \overline { c } \cdot X _ { 2 } + ( \overline { b } + \overline { 1 } ) \cdot X _ { 3 } } \\ { r _ { 1 } } & { \colon \quad \overline { 1 } \cdot X _ { 1 } + \overline { 1 } \cdot X _ { 2 } = \overline { 1 } \cdot X _ { 4 } , } \\ { r _ { 2 } } & { \colon \quad \overline { 1 } \cdot X _ { 2 } + \overline { 1 } \cdot X _ { 3 } = 0 , } \\ { r _ { 3 } } & { \colon \quad \overline { 1 } \cdot X _ { 3 } + \overline { 1 } \cdot X _ { 4 } = \overline { 1 } \cdot X _ { 1 } , } \\ { r _ { 4 } } & { \colon \quad \overline { 1 } \cdot X _ { 4 } + \overline { 1 } \cdot X _ { 0 } = \overline { c } \cdot X _ { 2 } + \overline { b } \cdot X _ { 3 } . } \end{array}
M \leq \frac { 4 } { 1 - \frac { \Lambda - E _ { 1 } } { \Lambda - E _ { 0 } } } \log \left( \varepsilon ^ { - 1 } \sqrt { \frac { 1 - \mathcal { F } ( \Upsilon _ { 0 } , \Psi ^ { ( 0 ) } ) } { \mathcal { F } ( \Upsilon _ { 0 } , \Psi ^ { ( 0 ) } ) } } \right)
\mathbb { E } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { i L y \cdot \eta } \, \overline { { \widehat { u _ { \mathrm { i n } } } \big ( \xi - \frac { \eta } { 2 } \big ) } } \widehat { u _ { \mathrm { i n } } } \big ( \xi + \frac { \eta } { 2 } \big ) \, \mathrm { d } \eta \bigg ) \to W _ { 0 } ( y , \xi ) \quad ( \mathrm { a s \ } L \to \infty ) ,
\begin{array} { r l } { W ( \beta ) = \ } & { { } \frac { 2 } { \pi N } \Big [ e ^ { - 2 \lvert \beta - \alpha - \chi \rvert ^ { 2 } } + e ^ { - \lvert \chi \rvert ^ { 2 } } e ^ { - 2 \lvert \beta - \alpha \rvert ^ { 2 } } } \end{array}
| \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , y ) \star h _ { s , x } ( t , y ) | \lesssim \frac { v ^ { \frac { \rho } { \alpha } - 1 } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \left( 1 + \int _ { s } ^ { t } \Vert h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } \Vert b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \mathfrak { L } ( u , s , t , \rho ) \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - u ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] \mathrm { d } u \right) ,
\begin{array} { r l } { f _ { p } \left( \phi _ { p } \right) } & { = ( \alpha _ { p } + \mu _ { p } ) z _ { p } ( \phi _ { p } ) + \gamma c _ { \mathrm { g e l } } s ( \phi _ { p } ) , } \\ { f _ { n } \left( \phi _ { n } \right) } & { = ( \alpha _ { n } + \mu _ { n } ) z _ { n } ( \phi _ { n } ) + \gamma c _ { \mathrm { g e l } } s ( \phi _ { n } ) , } \end{array}
\int _ { a } ^ { b } \left[ { \frac { \partial F } { \partial f } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } { \frac { \partial F } { \partial f ^ { \prime } } } \right] \eta ( x ) \, \mathrm { d } x + \left[ \eta ( x ) { \frac { \partial F } { \partial f ^ { \prime } } } \right] _ { a } ^ { b } = 0 \ .
a _ { \pm } ( t ) = \langle \pm | { \mathcal { U } } _ { t } | 0 \rangle \simeq \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { J t } { \hbar } \right) ^ { 2 } \left[ 1 + 2 e ^ { \pm i \theta } \left( 1 - i \, \frac { U t } { 3 \hbar } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { a _ { \beta } } & { b _ { \beta } } \\ { c _ { \beta } } & { d _ { \beta } } \end{array} \right) } & { = \prod _ { \alpha = 1 } ^ { \beta - 1 } \left( \begin{array} { c c } { \frac { Y _ { \beta } - Y _ { \alpha } } { Y _ { \beta } - Y _ { \alpha } ^ { * } } } & { \phi _ { \alpha } } \\ { \phi _ { \alpha } ^ { * } \frac { Y _ { \beta } - Y _ { \alpha } } { Y _ { \beta } - Y _ { \alpha } ^ { * } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x } } & { = v \left( t \right) \cos \left( \theta \left( t \right) \right) } \\ { \dot { y } } & { = v \left( t \right) \sin \left( \theta \left( t \right) \right) } \\ { \dot { \theta } } & { = k } \\ { \dot { v } } & { = a \left( t \right) } \\ { \dot { a } } & { = j _ { 0 } + j _ { 1 } t + j _ { 2 } \frac { t ^ { 2 } } { 2 } + j _ { 3 } \frac { t ^ { 3 } } { 3 ! } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \dot { \delta } _ { j } } & { { } = \omega _ { j } , } \\ { \tau _ { j } \dot { \omega } _ { j } } & { { } = - \omega _ { j } + \omega ^ { \mathrm { d } } - \kappa _ { j } \left( P _ { j } ^ { \mathrm { e l } } - P _ { j } ^ { \mathrm { d } } \right) , } \\ { \tau _ { j } \dot { E } _ { j } } & { { } = - E _ { j } + E _ { j } ^ { \mathrm { d } } - \chi _ { j } \left( Q _ { j } ^ { \mathrm { e l } } - Q _ { j } ^ { \mathrm { d } } \right) . } \end{array}
{ \cal L } _ { L } ^ { E P F } = \frac { 1 } { 2 } h _ { a b } \left[ R _ { L } ^ { a b } - \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { a b } R _ { L } \right] - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } ( h _ { a b } ^ { 2 } - h ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { M _ { \hat { H } _ { \mathrm { N o r m a l } } ^ { ( n ) } } ( t ) } & { = \mathbb { E } [ e ^ { t \hat { H } _ { \mathrm { N o r m a l } } ^ { ( n ) } } ] = \mathbb { P } [ H _ { \mathrm { N o r m a l } } ^ { ( n ) } \leq 0 ] \cdot e ^ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { t z } \cdot \phi _ { { H } _ { \mathrm { N o r m a l } } ^ { ( n ) } } { ( z ) } \cdot d z } \\ & { = \Phi ( \frac { - \mu } { \sigma } ) + \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { t z + \frac { ( z - \mu ) ^ { 2 } } { - 2 \sigma ^ { 2 } } } d z } \\ & { = \Phi ( \frac { - \mu } { \sigma } ) + e ^ { \mu t + \frac { \sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 } } \left[ 1 - \Phi ( \frac { - \mu } { \sigma } - \sigma t ) \right] } \end{array}
D \theta ( 0 , \varphi _ { t } ( u ) ) : T _ { 0 } \mathbb { R } \oplus T _ { \varphi _ { t } ( u ) } \mathcal { W } _ { t } \to T _ { \varphi _ { t } ( u ) } \Gamma \oplus T _ { \varphi _ { t } ( u ) } \mathcal { W } _ { t }
L _ { e f f } = \int d ^ { 2 } x \; [ ( \partial _ { t } \mid \phi \mid ) ^ { 2 } + ( \partial _ { t } \mid \chi \mid ) ^ { 2 } ] + \delta L _ { e f f } + \kappa \int d ^ { 2 } x \; [ \frac { B _ { 2 } } { q _ { 1 } } \dot { \omega } _ { 1 } + \frac { B _ { 1 } } { q _ { 2 } } \dot { \omega } _ { 2 } ] \; \; .
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } & { { } = - \sum _ { \nu , r } J _ { \nu , r } \left( c _ { \nu , r } ^ { \dagger } c _ { \nu , r + 1 } + c _ { \nu , r + 1 } ^ { \dagger } c _ { \nu , r } \right) } \\ { H _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } } & { { } = \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } a ^ { \dagger } a } \\ { H _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ - ~ c ~ a ~ v ~ } } } & { { } = g ( a + a ^ { \dagger } ) \sum _ { r } \left[ c _ { 2 , r } ^ { \dagger } c _ { 1 , r } + c _ { 1 , r } ^ { \dagger } c _ { 2 , r } \right] , } \end{array}
\frac { \mathrm { { \sc ~ v a r } } _ { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } , \alpha _ { 0 } } \bigl [ \widehat { Z } _ { n } ( \alpha _ { 1 } ) - Z ( \boldsymbol { x } _ { 0 } ) \bigr ] } { \mathrm { { \sc ~ v a r } } _ { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } , \alpha _ { 0 } } \bigl [ \widehat { Z } _ { n } ( \alpha _ { 0 } ) - Z ( \boldsymbol { x } _ { 0 } ) \bigr ] } \stackrel { a . s . } { \longrightarrow } 1
\Phi _ { J _ { 3 } = S / 2 } ^ { J ^ { P } = 1 / 2 ^ { + } } ( q , P ^ { ( 0 ) } ) = \sqrt { 4 \pi } \left( \begin{array} { l } { { f _ { 1 } ( q , P ^ { ( 0 ) } ) \, { \cal Y } _ { 0 S } ^ { 1 / 2 } ( \hat { q } ) } } \\ { { - \frac { | \vec { q } \, | } { M } f _ { 2 } ( q , P ^ { ( 0 ) } ) \, { \cal Y } _ { 1 S } ^ { 1 / 2 } ( \hat { q } ) } } \end{array} \right) .