harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { - ( A _ { h } } & { \phi ^ { n } \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } , \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } ) = \left( \frac { 1 } { \gamma } ( \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } - \Delta _ { h } \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } + \nabla _ { h } \tilde { p } ^ { n + 1 } - \tau _ { v } ^ { n + 1 } ) + A _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \nabla _ { h } \hat { \mathcal { V } } ^ { n + 1 } , \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } \| \nabla _ { h } \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { \gamma } ( \tau _ { v } ^ { n + 1 } , \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } ) + ( A _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \nabla _ { h } \hat { \mathcal { V } } ^ { n + 1 } , \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } ) } \\ { \geq } & { \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } \| \nabla _ { h } \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { \gamma } \| \tau _ { v } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } \cdot \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } - \| \nabla _ { h } \hat { \mathcal { V } } ^ { n + 1 } \| _ { \infty } \cdot \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } \cdot \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } } \\ { \geq } & { \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } \| \nabla _ { h } \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 } { \gamma } \| \tau _ { v } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 \gamma } \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - C \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 \gamma } \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \geq } & { \frac { 3 } { 4 \gamma } \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } \| \nabla _ { h } \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 } { \gamma } \| \tau _ { v } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - C \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b ^ { 0 } } & { { } = { \frac { b ^ { 1 } } { b } } = 1 , } \\ { b ^ { - 1 } } & { { } = { \frac { b ^ { 0 } } { b } } = { \frac { 1 } { b } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { A } ^ { e m b } } & { { } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { A } } h _ { i j } ^ { A A } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } + \dag ! \dag ! \sum _ { q , q ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { A } } \dag ! \dag ! \left[ \mathcal { B } ^ { \dagger } h ^ { B B } \mathcal { B } \right] _ { q q ^ { \prime } } b _ { q } ^ { \dagger } b _ { q ^ { \prime } } \dag } & { + \sum _ { i , q = 1 } ^ { n _ { A } } \left( \left[ h ^ { A B } \mathcal { B } \right] _ { i q } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } b _ { q } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ a ~ c ~ t ~ } } ( \omega ) \underset { \omega \to \infty } { \sim } \frac { 1 6 \pi \sqrt { 2 } } { 3 c \omega ^ { 7 / 2 } } \approx \frac { 0 . 1 7 2 } { \omega ^ { 7 / 2 } } . } \end{array}
s ^ { 2 } ( \Delta t ) = \frac { 1 } { N ( \Delta t ) } \sum _ { \Delta t , i > j } s _ { i j } ^ { 2 } \quad \mathrm { w i t h } \quad s _ { i j } = \frac { | I _ { i } - I _ { j } | } { \sqrt { 2 } }
( 1 + 2 c ^ { - 2 } U - c ^ { - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { d x ^ { j } } { d t } \right) ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \frac { d } { d t } \left( ( 1 + 2 c ^ { - 2 } U - c ^ { - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { d x ^ { j } } { d t } \right) ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { d x ^ { i } } { d t } \right) + \frac { \partial U } { \partial x ^ { i } } = 0
\delta ( b ) ~ = ~ \frac { 1 } { 4 \pi } ~ \int _ { 0 } ^ { \infty } ~ \frac { d t } { t } ~ ( 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } t ) ^ { - N N / 2 } ~ e ^ { - b ^ { 2 } t / 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \cdot \left( B \times J \right) ~ ~ ,
\sigma _ { t o t } \left( { \cal B } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( e _ { i } ^ { 2 } - \bar { e } _ { i } ^ { 2 } \right) + 2 \cdot \sum _ { i = n - r + 1 } ^ { n } \Delta e _ { i } \quad .
\begin{array} { r l } { R _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } } & { : = \prod _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } \Xi _ { \lambda , r , j } ^ { ( n ) } \left( B ^ { T } P _ { \sigma } \right) = \prod _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } \Xi _ { \lambda , r , j } ^ { ( n ) } \left( \sum _ { p , q } b _ { \sigma ( q ) p } E _ { p q } \right) } \\ & { = \prod _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } M _ { \lambda , r } ( u _ { \lambda j } , u _ { r j } ) = \prod _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( \boldsymbol { 1 } + ( b _ { \sigma ( j ) \lambda } - 1 ) E _ { r r } - b _ { \sigma ( j ) r } E _ { r \lambda } ) . } \end{array}
{ \frac { d { \vec { \kappa } } _ { i } ( \alpha ) } { d \alpha } } = \{ { \vec { \kappa } } _ { i } ( \alpha ) , { \vec { \kappa } } _ { + } ( \alpha ) \cdot { \vec { q } } _ { + } ( \alpha ) \} = - { \frac { { \vec { \kappa } } _ { + } ( \alpha ) } { H _ { M } ( \alpha ) } } H _ { i } ( \alpha ) ,
{ \frac { | \langle K | \overline { { d } } \gamma _ { 5 } s | 0 \rangle | ^ { 2 } } { | \langle K | \overline { { d } } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } s | 0 \rangle | ^ { 2 } } } \simeq { \frac { \langle 0 | \overline { { u } } u | 0 \rangle ^ { 2 } } { M _ { K } ^ { 2 } f _ { K } ^ { 4 } } } \simeq ( { \frac { M _ { K } } { M _ { s } } } ) ^ { 2 } \simeq 1 1 ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { n = 0 \to N - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } | | \nabla \phi _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \left( \beta _ { h } ^ { n + 1 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { ( \Delta t ) ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left| \left| \frac { \nabla ( \phi _ { h } ^ { n + 1 } - \phi _ { h } ^ { n } ) } { ( \Delta t ) ^ { 2 } } \right| \right| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda ( \Delta t ) ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left| \left| \frac { \nabla ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } - \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) } { ( \Delta t ) ^ { 2 } } \right| \right| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + ( \Delta t ) ^ { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left| \left| \frac { ( \beta _ { h } ^ { n + 1 } - \beta _ { h } ^ { n } ) } { ( \Delta t ) ^ { 2 } } \right| \right| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \Delta t \nu \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } | | \nabla \mathbf { v } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \gamma \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } | | \mathbf { M } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \Delta t \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { \Omega } b \left( \phi _ { h } ^ { n } \right) \nabla \mu _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \mu _ { h } ^ { n + 1 } \leq C ( \phi _ { h } ^ { 0 } , \mathbf { F } _ { h } ^ { 0 } , \beta _ { h } ^ { 0 } ) + C . } \end{array}
t ( x ) = x + \int _ { - \infty } ^ { x } d x ^ { \prime } ( { \tilde { L } _ { 1 } ^ { k , k } ( e ^ { x ^ { \prime } } ) } - 1 ) = x + \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } \frac { \tilde { L } _ { 1 } ^ { k , k , d } } { d } e ^ { d x } .
\operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \frac { A _ { \nu } } { r } = \mp 2 \mathrm { i } \nu { \cal A } \, ( \pm \eta ) ^ { \pm \mathrm { i } \nu - 1 } \, \frac { a _ { 0 } H _ { 0 } } { c } \, .
- c ( l _ { 0 } , l _ { 1 } ; l _ { 0 } , l _ { 1 } + 1 ) d ( l _ { 0 } , l _ { 1 } + 1 ; l _ { 0 } , l _ { 1 } ) - d ( l _ { 0 } , l _ { 1 } ; l _ { 0 } , l _ { 1 } + 1 ) c ( l _ { 0 } , l _ { 1 } + 1 ; l _ { 0 } , l _ { 1 } ) ] = 0 ,
{ \cal F } ( h ) = - \frac { h ^ { 2 } } { 2 \pi } s _ { \pm } ( \Phi _ { \pm } ) ( \tilde { \alpha } ) = - \frac { h ^ { 2 } } { 2 \pi } \left\{ \sum _ { \ell \geq 0 } y ^ { \ell } { \cal C } _ { \ell } ^ { \pm } s _ { \pm } ( \varphi _ { \ell } ) ( \tilde { \alpha } ) + { \cal C } _ { \mathrm { I R } } ^ { \pm } \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 } { \tilde { \alpha } } } \tilde { \alpha } ^ { 2 \Delta } \right\} ,
m _ { h ^ { 0 } } ^ { 2 } \leq m _ { Z ^ { 0 } } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } 2 \beta + { \frac { 3 } { \pi ^ { 2 } } } { \frac { m _ { t } ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \beta } { v ^ { 2 } } } \left( \log { \frac { m _ { \tilde { t } } } { m _ { t } } } + a ^ { 2 } ( 1 - a ^ { 2 } / 1 2 ) \right)
( \eta ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \vert \eta ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ) = \sum _ { \hbar \omega _ { x } ( n _ { x } + \frac { 1 } { 2 } ) + \hbar \omega _ { y } ( n _ { y } + \frac { 1 } { 2 } ) = E } \psi _ { n _ { x } } ^ { * } ( x _ { 1 } ) \psi _ { n _ { y } } ^ { * } ( y _ { 1 } ) \psi _ { n _ { x } } ( x _ { 2 } ) \psi _ { n _ { y } } ( y _ { 2 } ) \, .
L = L _ { 0 } + L _ { M E } + \mathcal { O } \Big ( \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { i } } \Big ) ^ { 4 } + ( r _ { 2 } \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 4 } \Big ) ,
\big | G _ { \mathrm { W i e n e r } } \big ( \omega \neq \omega _ { n } ^ { \mathrm { p o l e } } \big ) \big | ^ { 2 } \stackrel { \mathrm { S N R } \to \infty } { \sim } \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { - 2 }
\begin{array} { r l } { \rho ( y ) } & { { } = e ^ { - \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } } \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - e ^ { - 2 \beta \hbar \omega } } } \cdot } \end{array}
\sigma ^ { g } ( \nu \bar { \nu } \longrightarrow G _ { K K } ) \simeq 4 \times 1 0 ^ { - 3 3 - \frac { 3 n } { 2 } } 2 ^ { \frac { n } { 2 } } \left( \frac { { m _ { \nu } } } { 1 e V } \right) ^ { \frac { n } { 2 } } \left( \frac { E _ { \nu } } { 1 0 ^ { 2 1 } e V } \right) ^ { \frac { n } { 2 } } \left( \frac { 1 T e V } { { M _ { s } } } \right) ^ { n + 2 } ~ c m ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( \Delta \phi ) = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \Delta \phi } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \Delta \phi } { 2 } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathbb P [ { \cal Y } _ { t + 1 } | E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } , B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } { \mathbb P [ { \cal Y } _ { t + 1 } | B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } = \frac { \mathbb P [ { \cal Y } _ { t + 1 } | E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } , B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } { \mathbb P [ { \cal Y } _ { t + 1 } | B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } . } \end{array}
C ^ { ( k ) } = \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 , 1 } B ^ { ( k ) } } & { a _ { 1 , 2 } B _ { r } ^ { ( k ) } } & { \cdots } & { a _ { 1 , m } B _ { r } ^ { ( k ) } } \\ { a _ { 2 , 1 } B _ { c } ^ { ( k ) } } & { a _ { 2 , 2 } ^ { ( 2 ) } B + ( a _ { 2 , 2 } - a _ { 2 , 2 } ^ { ( 2 ) } ) B _ { f } ^ { ( k ) } } & { \cdots } & { a _ { 2 , m } ^ { ( 2 ) } B + ( a _ { 2 , m } - a _ { 2 , m } ^ { ( 2 ) } ) B _ { f } ^ { ( k ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m , 1 } B _ { c } ^ { ( k ) } } & { a _ { m , 2 } ^ { ( 2 ) } B + ( a _ { m , 2 } - a _ { m , 2 } ^ { ( 2 ) } ) B _ { f } ^ { ( k ) } } & { \cdots } & { a _ { m , m } ^ { ( 2 ) } B + ( a _ { m , m } - a _ { m , m } ^ { ( 2 ) } ) B _ { f } ^ { ( k ) } } \end{array} \right) ,
( \nabla \delta \boldsymbol { \chi } ) { \bf F } ^ { - 1 } = \delta { \bf F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } { \bf F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } - 1 } + h ( \bar { \xi } ) { \bf F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } ( \delta \xi \textbf { N } ^ { \mathrm { ~ r ~ } } ) { \bf F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } - 1 }
u \in \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \subset \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( D _ { \mathfrak { t } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \subset \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } )
\left( { \frac { \partial } { \partial m _ { b } v ^ { \mu } } } \right) ^ { n } \rightarrow \left( { \frac { \partial y } { \partial m _ { b } v ^ { \mu } } } { \frac { \partial } { \partial y } } \right) ^ { n } \rightarrow \left( { \frac { 2 } { m _ { b } } } ( \hat { k } _ { e \mu } - y v _ { \mu } ) { \frac { \partial } { \partial y } } \right) ^ { n } \mathrel { \mathop { \longrightarrow } ^ { y = 1 } } \left( { \frac { 2 } { m _ { b } } } ( \hat { k } _ { e } - v ) _ { \mu } { \frac { \partial } { \partial y } } \right) ^ { n } \, ,
\begin{array} { r } { | | | \boldsymbol { v } _ { h } | | | _ { h } ^ { 2 } = \| \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { v } _ { h } \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { v } _ { h } \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } + \kappa \| h _ { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } [ [ \boldsymbol { v } _ { h } ] ] \| _ { \mathcal { E } _ { h } } ^ { 2 } , \quad \forall \boldsymbol { v } _ { h } \in ( H ^ { 1 } \left( \mathcal { T } _ { h } \right) ) ^ { 2 } , \kappa > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \gamma , n _ { f } } ^ { c o h } \left( j _ { f } , i _ { 5 } ; \Delta l \right) = \sum _ { i _ { a } } V \left( \prod _ { a = 1 } ^ { 4 } d _ { i _ { a } } \psi _ { i _ { a } } ( \tau _ { f } ) \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { m } } & { \mapsto \sum _ { j = m } ^ { k } s _ { j } \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { s } _ { m } \mapsto \sum _ { j = m } ^ { k } \tilde { s } _ { j } \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ m \in \{ l , \dots , k \} ~ } , } \\ { s _ { m } } & { \mapsto \sum _ { j = m } ^ { m _ { 3 } - 1 } s _ { j } + s _ { k } \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { s } _ { m } \mapsto \sum _ { j = m } ^ { m _ { 3 } - 1 } \tilde { s } _ { j } + \tilde { s } _ { k } \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ m \in \{ m _ 2 , \dots , m _ 3 - 1 \} ~ } , } \\ { s _ { m } } & { \mapsto \sum _ { j = m } ^ { m _ { 2 } - 1 } s _ { j } + s _ { k } \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { s } _ { m } \mapsto \sum _ { j = m } ^ { m _ { 2 } - 1 } \tilde { s } _ { j } + \tilde { s } _ { k } \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ m \in \{ m _ 1 , \dots , m _ 2 - 1 \} ~ } . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \left( \Delta u _ { z } + \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { d \rho _ { 0 } } { d z } \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } \right) - g \beta \chi \Delta _ { \perp } \Delta T + g \alpha \beta \Delta _ { \perp } u _ { z } = 0 .
- \delta J _ { 1 } \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \Bigl ( \tilde { \eta } \partial _ { R } ( L \eta _ { * } ) + \eta _ { * } \partial _ { R } ( L \tilde { \eta } ) \Bigr ) \, \mathrm { d } X + \mathcal { O } \bigl ( \epsilon \beta _ { \epsilon } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \bigr ) \, ,
Q _ { \gamma } \ = \ { \frac { 2 ^ { n + 3 } \Gamma ( { \frac { n } { 2 } } + 3 ) \Gamma ( { \frac { n } { 2 } } + 4 ) \zeta ( { \frac { n } { 2 } } + 3 ) \zeta ( { \frac { n } { 2 } } + 4 ) } { ( n + 4 ) \pi ^ { 2 } } } { \frac { T ^ { n + 7 } } { M _ { S } ^ { n + 2 } } } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { k } \rangle } & { { } = \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { k } \operatorname { I m } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \rangle - \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { k } \rangle \langle \operatorname { I m } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \rangle } \\ { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { r } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \rangle + \frac { 2 } { \hbar } \langle \operatorname { I m } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \mathbf { r } \rangle - \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { r } \rangle \langle \operatorname { I m } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \rangle } \end{array}
{ \frac { d \sigma } { d p } } \; = \; { \frac { 1 2 \, \alpha ^ { 2 } ( 4 m _ { t } ^ { 2 } ) } { s \, m _ { t } ^ { 2 } } } \, { \textstyle \left( 1 - { \frac { 8 \alpha _ { s } } { 3 \pi } } \right) ^ { 2 } } \left( \, 1 - P _ { e ^ { + } } P _ { e ^ { - } } \, \right) \left( a _ { 1 } \, + \chi a _ { 2 } \right) \Gamma _ { t } \, | \, p \, G ( p , E ) \, | ^ { 2 }
\mathrm { N R M S E } = \frac { \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( i _ { k } - \hat { i } _ { k } ) ^ { 2 } } } { \frac 1 N \sum _ { k = 1 } ^ { N } \hat { i } _ { k } } ,
\begin{array} { r l } { \b { W _ { o } } } & { { } \approx \frac { \Delta \omega } { 2 \pi } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \b { \Phi } ( \omega _ { k } ) \b { \Sigma } ( \omega _ { k } ) ^ { 2 } \b { \Phi } ( \omega _ { k } ) ^ { * } } \end{array}
( \delta m _ { b } ) _ { m _ { c } } ^ { ( 1 ) } \simeq 9 . 1 \, \mathrm { M e V } , \qquad ( \delta m _ { b } ) _ { m _ { c } \to 0 } ^ { ( 1 ) } \simeq 1 0 . 5 \, \mathrm { M e V } , \qquad ( \delta m _ { b } ) _ { m _ { c } \to \infty } ^ { ( 1 ) } \simeq 1 8 . 7 \, \mathrm { M e V } .
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } } & { \, = \, \frac { \nu _ { 1 } ( - \nu _ { 1 } - \nu _ { 2 } + s _ { 3 } ) } { ( \nu _ { 1 } - s _ { 1 } - s _ { 3 } + 2 ) ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - s _ { 1 } - s _ { 2 } - s _ { 3 } + 2 ) } , } \\ { r _ { 2 } } & { \, = \, \frac { \nu _ { 1 } ( 2 \nu _ { 1 } + 2 \nu _ { 2 } - 2 s _ { 1 } - s _ { 2 } - 3 s _ { 3 } + 4 ) - \nu _ { 2 } ( s _ { 1 } + s _ { 3 } - 2 ) + s _ { 3 } ( s _ { 1 } + s _ { 2 } + s _ { 3 } - 3 ) - s _ { 1 } - s _ { 2 } + 2 } { ( \nu _ { 1 } - s _ { 1 } - s _ { 3 } + 2 ) ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - s _ { 1 } - s _ { 2 } - s _ { 3 } + 2 ) } , } \\ { r _ { 3 } } & { \, = \, \frac { \nu _ { 1 } ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - s _ { 3 } ) } { ( \nu _ { 2 } - s _ { 2 } - s _ { 3 } + 1 ) ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - s _ { 1 } - s _ { 2 } - s _ { 3 } + 2 ) } , } \\ { r _ { 4 } } & { \, = \, \frac { \nu _ { 1 } ( - \nu _ { 1 } + s _ { 1 } + s _ { 3 } - 1 ) + \nu _ { 2 } ( \nu _ { 2 } - s _ { 2 } - s _ { 3 } + 1 ) } { ( \nu _ { 2 } - s _ { 2 } - s _ { 3 } + 1 ) ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - s _ { 1 } - s _ { 2 } - s _ { 3 } + 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ f ( t , \eta ( t ) ) - \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { u } + \mathscr { L } ) f ( u , \eta ( u ) ) d u \Big \lvert \mathcal { G } _ { s } \right] } \\ { \ } & { = P _ { t - s } f ( s , \eta ( s ) ) - \int _ { 0 } ^ { s } ( \partial _ { u } + \mathscr { L } ) f ( u , \eta ( u ) ) d u - \int _ { s } ^ { t } P _ { u - s } ( \partial _ { u } + \mathscr { L } ) f ( s , \eta ( s ) ) d u } \\ { \ } & { = P _ { t - s } f ( s , \eta ( s ) ) - \int _ { 0 } ^ { s } ( \partial _ { u } + \mathscr { L } ) f ( u , \eta ( u ) ) d u - \int _ { s } ^ { t } \frac { d } { d u } P _ { u - s } f ( s , \eta ( s ) ) d u } \\ { \ } & { = f ( s , \eta ( s ) ) - \int _ { 0 } ^ { s } ( \partial _ { u } + \mathscr { L } ) f ( u , \eta ( u ) ) d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { t } ] } & { \leq \bigg [ \frac { 9 6 L I ^ { 2 } } { T } + \frac { 2 L } { K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ] ( f ( x _ { 0 } ) - f ^ { \ast } ) + \bigg [ \frac { 7 2 I ^ { 4 } } { b T } + \frac { 3 I ^ { 2 } } { 2 b K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ] \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 1 9 2 ^ { 2 } \times \bigg ( \frac { 4 8 I ^ { 2 } } { T } + \frac { 1 } { K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ) \times \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { 1 } } + \frac { 2 \zeta ^ { 2 } } { 2 1 } \bigg ) \log ( T + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { i } ^ { \prime } \langle x _ { i j } \rangle = \frac { u _ { i j } x _ { i j } } { x _ { i j } ^ { 2 } } = \frac { u _ { i j } } { x _ { i j } } , u _ { i } ^ { \prime \prime } \langle x _ { i j } \rangle = \frac { ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) x _ { i j } ^ { 2 } } { x _ { i j } ^ { 4 } } = \frac { ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) } { x _ { i j } ^ { 2 } } . } \end{array}
g _ { \mu \nu } = \left[ \begin{array} { c c c c } { - ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } & { 0 } & { 0 } & { - \beta } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { r ^ { 2 } } & { 0 } \\ { - \beta } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] .
d ( A , I ) = c { \frac { \sin \left( { \frac { B } { 2 } } \right) } { \cos \left( { \frac { C } { 2 } } \right) } } = b { \frac { \sin \left( { \frac { C } { 2 } } \right) } { \cos \left( { \frac { B } { 2 } } \right) } } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = \hbar \omega _ { 0 } ( 1 + \xi \hat { y } ) \hat { a } _ { c } ^ { \dagger } \hat { a } _ { c } + \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { m \omega _ { m } ^ { 2 } \hat { x } ^ { 2 } } { 2 } + } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) h \rVert _ { H _ { x } ^ { s } } ^ { 2 } \le _ { s } | \mathfrak { b } | _ { m , H _ { x } ^ { s + 2 } , 0 } ^ { 2 } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \left( \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \langle k - j \rangle ^ { - 2 } \langle j \rangle ^ { m } | h _ { j } | \right) ^ { 2 } + | \mathfrak { b } | _ { m , H _ { x } ^ { 2 } , 0 } ^ { 2 } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \left( \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \langle k - j \rangle ^ { - 2 } \langle j \rangle ^ { s + m } | h _ { j } | \right) ^ { 2 } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { x \uparrow e ^ { \theta _ { 1 } } } ( e ^ { \theta _ { 1 } } - x ) \boldsymbol { \varphi } _ { + } ( x , e ^ { \theta _ { 2 } } ) = \chi _ { x } ^ { A } ( e ^ { \theta _ { 1 } } , e ^ { \theta _ { 2 } } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { g } ( e ^ { \theta _ { 1 } } , e ^ { \theta _ { 2 } } ) \boldsymbol { v } ^ { A } ( e ^ { \theta _ { 1 } } , e ^ { \theta _ { 2 } } ) \boldsymbol { u } ^ { A } ( e ^ { \theta _ { 1 } } , e ^ { \theta _ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } { F _ { x } } & { { } = M R \big ( - \frac { g } { R } \sin \alpha - \chi \dot { \theta } ^ { 2 } \sin \theta + ( 1 + \chi \cos \theta ) \ddot { \theta } \, \big ) \, , } \\ { F _ { y } } & { { } = M R \big ( \frac { g } { R } \cos \alpha - \chi \dot { \theta } ^ { 2 } \cos \theta - \chi \ddot { \theta } \sin \theta \big ) \, . } \end{array}
\mathcal { S } _ { T e } = \frac { R _ { 0 } / c _ { s 0 } } { T _ { e 0 } } \left[ \frac { 2 } { 3 } \frac { \mathcal { P } } { n _ { 0 } n } - \frac { 2 } { 3 } n _ { 0 } \left< \sigma v \right> _ { \mathrm { ~ i ~ o ~ n ~ } } \left( E _ { \mathrm { ~ i ~ o ~ n ~ } } + \frac { 3 } { 2 } T _ { e } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { H _ { 8 } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \tau } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau - k } \delta _ { t - \tau + k } ^ { 2 } \leq \sum _ { k = 0 } ^ { \tau } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau } \delta _ { t - \tau + k } ^ { 2 } \leq \sum _ { k = 0 } ^ { \tau } \left( 1 + 2 \alpha h _ { 1 } \tau \right) \delta _ { t - \tau + k } ^ { 2 } \leq 2 \sum _ { k = 0 } ^ { \tau } \delta _ { t - k } ^ { 2 } . } \end{array}
\varepsilon [ u ] ( \mathcal { C } _ { \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) \lesssim \omega ( \delta ) \left( \delta ^ { d \frac { r - 2 } { r } - \alpha \frac { 2 } { q } } + \delta ^ { d \frac { r - 3 } { r } - 1 + \alpha \frac { q - 3 } { q } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { g ( \widetilde { \partial } _ { r } , \widetilde { \partial } _ { r } ) } & { = ( 1 - h _ { 0 } ^ { 2 } ) \left( \frac { \rho ^ { 2 } } { \Delta } \right) } \\ { g ( \widetilde { \partial } _ { r } , \widetilde { \partial } _ { { \widetilde { \tau } } } ) } & { = - h _ { 0 } g ( \widetilde { \partial } _ { r } , \widetilde { \partial } _ { \widetilde { \phi } } ) } & { = a h _ { 0 } \sin ^ { 2 } \theta } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { n } } \boldsymbol { U } _ { n } ^ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } _ { n } \boldsymbol { ) } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \boldsymbol { U } _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) + \frac { 1 } { n } \left. \frac { \partial \boldsymbol { U } _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } { \partial \boldsymbol { \theta } ^ { T } } \right\vert _ { \boldsymbol { \theta = \theta } _ { n } ^ { \ast } } \mathbf { l } \boldsymbol { , }