harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
2 T = c ^ { 2 } = \left( { \frac { d s } { d \tau } } \right) ^ { 2 } = g _ { \mu \nu } { \frac { d x ^ { \mu } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } = \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) c ^ { 2 } \left( { \frac { d t } { d \tau } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } } } \left( { \frac { d r } { d \tau } } \right) ^ { 2 } - r ^ { 2 } \left( { \frac { d \varphi } { d \tau } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { \overline { { \operatorname { c r } } } ( G ^ { \prime } , \chi ^ { \prime } ) } { \overline { { \operatorname { c r } } } ( G ^ { \prime } ) } } & { \le \frac { k \left( \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - c _ { 3 } \right) n ^ { 4 } } { \frac { k ( k - 1 ) } { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } n ^ { 4 } + k \left( \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - c _ { 3 } \right) n ^ { 4 } } } \\ & { = \frac { \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - c _ { 3 } } { k \left( \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { k } c _ { 3 } \right) } } \\ & { = \frac { \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { k } c _ { 3 } } { k \left( \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { k } c _ { 3 } \right) } - \frac { c _ { 3 } - \frac { 1 } { k } c _ { 3 } } { k \left( \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { k } c _ { 3 } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { k } - \frac { c _ { 3 } - \frac { 1 } { k } c _ { 3 } } { k \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - c _ { 3 } } } \\ & { = \frac { 1 } { k } - c ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \theta } = \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } _ { { \theta } } \ \mathcal { L } ( \mathcal { M } _ { \theta } ( \mathbf { u b } ^ { i - w : i } , \cdot ) , \mathbf { u b } ^ { i : i + w } ) , } \end{array}
\left( { { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } } \right) + \left( { { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 7 } } } \right) + \left( { { \frac { 1 } { 1 1 } } + { \frac { 1 } { 1 3 } } } \right) + \cdots ,
s ( u = k t ^ { \frac { 1 } { z } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { c o n s t } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ u ~ \gg ~ 1 ~ } ; } \\ { u ^ { 2 \alpha + 1 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ u ~ \ll ~ 1 ~ } . } \end{array} \right.
\delta Z _ { 1 } ^ { L } = - \frac { Q ^ { 2 } e ^ { 2 } \xi } { 8 \pi ^ { 2 } \epsilon } - \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } \epsilon } = \delta Z _ { 2 } ^ { R } , \qquad \delta Z _ { g } = \frac { g ^ { 2 } ( N + 1 ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } \epsilon } - \frac { 3 Q ^ { 2 } e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \epsilon } .
\begin{array} { r l } { ( W _ { 1 } , W _ { 2 } ) } & { { } \sim p _ { W _ { 1 } W _ { 2 } } ( N , w _ { 1 } , w _ { 2 } ) , } \\ { ( C _ { 1 } , C _ { 2 } ) } & { { } \sim p _ { C _ { 1 } C _ { 2 } } ( N , c _ { 1 } , c _ { 2 } ) , } \end{array}
5 . 6 7 \times 1 0 ^ { - 5 } \times 2 . 3 4 \times 1 0 ^ { 2 } \approx 1 3 . 3 \times 1 0 ^ { - 5 + 2 } = 1 3 . 3 \times 1 0 ^ { - 3 } = 1 . 3 3 \times 1 0 ^ { - 2 }
\begin{array} { r l } { 2 r _ { \natural } ( \Gamma \Delta _ { \natural } + \Gamma _ { \natural } \Delta ) - 2 ( r _ { \natural } - M ) \Gamma \Gamma _ { \natural } } & { = 2 r _ { \natural } \Gamma _ { \natural } \Delta - ( r _ { \natural } - M ) \Gamma \Gamma _ { \natural } , } \\ & { = \Gamma _ { \natural } ( P _ { \eta } ( r _ { \natural } ) + 2 r _ { \natural } ( \Delta - \Delta _ { \natural } ) - ( r _ { \natural } - M ) ( \Gamma - \Gamma _ { \natural } ) ) . } \end{array}
I _ { 0 } ( \lambda ) \approx f ( x ^ { 0 } ) e ^ { \lambda S ( x ^ { 0 } ) } \int _ { \mathbf { R } ^ { n } } \exp \left( \lambda \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \mu _ { j } } { 2 } } w _ { j } ^ { 2 } \right) d w = f ( x ^ { 0 } ) e ^ { \lambda S ( x ^ { 0 } ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } \lambda \mu _ { j } y ^ { 2 } } d y .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ x _ { k + 1 } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ A _ { k } x _ { k } + B _ { k } u _ { k } + d _ { k } \right] } \\ & { = \mathbb { E } [ ( \bar { A } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { A } _ { j } q _ { j , k } ) x _ { k } + ( \bar { B } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { B } _ { j } q _ { j , k } ) u _ { k } } \\ & { + \bar { d } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { d } _ { j } q _ { j , k } ] . } \end{array}
\chi _ { a { _ 1 } } ^ { [ i n ] } \cdots _ { a { _ { 2 k - 2 } } } : = \frac { - 2 i } { q ^ { 2 } } q _ { a { _ { 2 k - 1 } } } \partial _ { a { _ { 2 k } } } \chi _ { a { _ 1 } } \cdots _ { a { _ { 2 k } } }
\frac { d \hat { \mathbb { F } } } { d t ^ { \prime } } = - \frac { \partial } { \partial b _ { i j } } \big [ \hat { \mathbb { F } } ( \mu _ { i j } + \gamma _ { i j } ) \big ] + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial b _ { i j } \partial b _ { p q } } ( \hat { \mathbb { F } } D _ { i j k l } D _ { p q k l } )
\begin{array} { r } { \left( \prod _ { i = 1 } ^ { T } \rho _ { i } \right) ^ { - 1 } u _ { T + 1 } ^ { 2 } \le u _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \sigma ^ { 2 } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { T } \rho _ { i } \right) ^ { - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \eta _ { t } ^ { \prime } } ^ { 2 } \left( \prod _ { i = t + 1 } ^ { T } \rho _ { i } \right) + 2 \epsilon \left( \prod _ { i = 1 } ^ { T } \rho _ { i } \right) ^ { - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } u _ { t + 1 } \left( \prod _ { i = t + 1 } ^ { T } \rho _ { i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ) - \gamma _ { k } ( \eta _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { k } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ) - \gamma _ { k } ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) } \\ & { - \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \tau _ { t } \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t - 1 } ) + \eta _ { t } \mathrm { K L } ( p _ { t } \| p _ { t - 1 } ) + \mu _ { t } \iint ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t - 1 } - q _ { t } ) ( y ) d x d y \right] } \\ & { - \gamma _ { k } \iint ( p _ { k } - p _ { k - 1 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { k } - q ) ( y ) d x d y + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \{ ( \tau _ { t } + 2 \tau _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( q ) + \delta _ { t , 2 } ( q ) \right] + ( \eta _ { t } + 2 \eta _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( p ) + \delta _ { t , 2 } ( p ) \right] \} . } \end{array}
{ \frac { _ { 2 } F _ { 1 } ( a + 1 , b ; c + 1 ; z ) } { c _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; c ; z ) } } = { \cfrac { 1 } { c + { \cfrac { ( a - c ) b z } { ( c + 1 ) + { \cfrac { ( b - c - 1 ) ( a + 1 ) z } { ( c + 2 ) + { \cfrac { ( a - c - 1 ) ( b + 1 ) z } { ( c + 3 ) + { \cfrac { ( b - c - 2 ) ( a + 2 ) z } { ( c + 4 ) + \ddots } } } } } } } } } }
\begin{array} { r } { \mathcal { V } \mu ^ { 5 / 2 } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \mathcal { V } ^ { 7 / 5 } \mathcal { P } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } . } \end{array}
\epsilon R _ { i j } ^ { \mathrm { { S M P } } } \simeq \epsilon _ { \mathrm { l i n } } R _ { i j } ^ { \mathrm { { S M P } } } = { \left[ { \left( \frac { r _ { i j } ^ { \mathrm { { S M P } } } } { R _ { i j } ^ { \mathrm { { S T D } } } } - 1 \right) } - Q _ { i } { \left( \frac { r _ { k j } ^ { \mathrm { { S M P } } } } { R _ { k j } ^ { \mathrm { { S T D } } } } - 1 \right) } \right] } \times 1 0 ^ { 4 } .
\begin{array} { r l } { \beta ^ { ( + ) } } & { { } = W _ { k + 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( W _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } B ^ { k + 1 } W _ { k + 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \dagger } W _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \omega } \\ { \beta ^ { ( - ) } } & { { } = W _ { k - 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( W _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D ^ { k - 1 } W _ { k - 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \dagger } W _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \omega \, . } \end{array}
\begin{array} { l } { { ( \mathrm { { B o s e } \oplus { F e r m i \ o s c i l l a t o r s } ) _ { L } ^ { \left( l _ { L } \right) } } } } \\ { { \times ( \mathrm { { B o s e } \oplus { F e r m i \ o s c i l l a t o r s } ) _ { R } ^ { \left( l _ { R } \right) } } } } \\ { { \times \, \, | v a c , \, \, p ^ { \mu } ; \vec { m } , \vec { n } > } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ^ { w } ( \vec { x } , t ^ { n + 1 } , \vec { \omega } ) } & { = \int _ { t ^ { n + 1 } - t _ { p } } ^ { t ^ { n + 1 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } ( t - s ) } - \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } } { 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } } B ( \vec { x } ( s ) , s , \vec { \Omega } ) P _ { s } \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } \mathrm { d } s } \\ & { = C _ { 1 } ( t ^ { n + 1 } ) B ^ { n + 1 } + C _ { 2 } ( t ^ { n + 1 } ) \vec { \Omega } \cdot \nabla B ^ { n + 1 } + C _ { 3 } ( t ^ { n + 1 } ) \partial _ { t } B ^ { n + 1 } + O ( t ^ { 2 } ) . } \end{array}
R _ { \tau } = 1 2 \pi \int _ { 0 } ^ { m _ { \tau } ^ { 2 } } \frac { d s } { m _ { \tau } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { s } { m _ { \tau } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 2 s } { m _ { \tau } ^ { 2 } } \right) I m \Pi _ { 1 } ( s + i \epsilon )
\zeta = \frac { 1 } { 3 } \left[ { I \{ { G _ { b b } , Q _ { u u } } \} - I \{ { G _ { u u } , Q _ { b b } } \} + I \{ { G _ { b u } , Q _ { u b } } \} - I \{ { G _ { u b } , Q _ { b u } } \} } \right] ,
\int \chi _ { n \ell m } ^ { * } ( r ) ~ \chi _ { n ^ { \prime } \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( r ) ~ \operatorname { d } ^ { 3 } r = \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \, \delta _ { m m ^ { \prime } } \, { \frac { ( n + n ^ { \prime } ) ! } { ~ ( \zeta + \zeta ^ { \prime } ) ^ { n + n ^ { \prime } + 1 } } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } = } & { { } C \int e x p \big [ - \big ( S ^ { v } [ \tilde { \pi } _ { m } ^ { ( \Psi ) } ] + \frac { ( \pi ^ { ( s ) } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { s } } + S ^ { m } [ \Psi ^ { ( m ) } ] - S ^ { 0 } \big ) / \hbar \big ] } \end{array}
n _ { p 3 } = - \frac { a _ { 0 p } } { \sigma _ { p } } \phi _ { 3 } + \frac { a _ { 1 p } } { \sigma _ { p } ^ { 2 } } ( 2 \psi \phi _ { 2 } ) - \frac { a _ { 2 p } } { \sigma _ { p } ^ { 3 } } \phi _ { 1 } ^ { 3 } .
\frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \frac { \partial L } { \partial \ddot { h } } + \nabla ^ { 2 } \frac { \partial L } { \partial \nabla ^ { 2 } h } - \frac { d } { d t } \nabla ^ { 2 } \frac { \partial L } { \partial \nabla ^ { 2 } \dot { h } } - \frac { d } { d t } \frac { \partial L } { \partial \dot { h } } - \nabla \frac { \partial L } { \partial \nabla h } + \frac { \partial L } { \partial h } = 0 \quad .
S _ { \alpha \beta } ^ { q } = S _ { \alpha \beta } ^ { \uparrow \uparrow , q } + S _ { \alpha \beta } ^ { \uparrow \downarrow , q } + S _ { \alpha \beta } ^ { \downarrow \uparrow , q } + S _ { \alpha \beta } ^ { \downarrow \downarrow , q } ,
H = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { \nu } x \left[ \Pi ^ { 2 } + ( \nabla \Phi ) ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda \Phi ^ { 4 } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \psi ( x _ { 1 } , \dots x _ { d } , t ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { ( 1 ) } ( x _ { d } - x _ { d } ^ { \prime } , t ) \int _ { - \infty } ^ { ( 1 ) } ( x _ { d - 1 } - x _ { d - 1 } ^ { \prime } , t ) \, \dots } \end{array}
G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = { \frac { h ^ { 1 + \nu + ( p - q ) / 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { ( h - 1 ) \delta } } } \; G _ { h p , \, h q } ^ { \, h m , \, h n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { a _ { 1 } / h , \dots , ( a _ { 1 } + h - 1 ) / h , \dots , a _ { p } / h , \dots , ( a _ { p } + h - 1 ) / h } \\ { b _ { 1 } / h , \dots , ( b _ { 1 } + h - 1 ) / h , \dots , b _ { q } / h , \dots , ( b _ { q } + h - 1 ) / h } \end{array} } \; \right| \, { \frac { z ^ { h } } { h ^ { h ( q - p ) } } } \right) , \quad h \in \mathbb { N } .
\begin{array} { r l } { \Delta { { A _ { \, \mathrm { t g t } } } } ( Q _ { \mathrm { { w e a k } } } ) \sim } & { \Delta { { A _ { \, \mathrm { t g t } } } } ( G 0 ) \times L _ { \mathrm { { t g t } } } \left( \frac { Q _ { \mathrm { { w e a k } } } } { G 0 } \right) \times R _ { \mathrm { w i d t h } } \left( \frac { G 0 } { Q _ { \mathrm { { w e a k } } } } \right) ^ { 2 } } \\ & { \times I _ { \mathrm { b e a m } } \left( \frac { Q _ { \mathrm { { w e a k } } } } { G 0 } \right) \times \nu _ { \mathrm { b e a m } } \left( \frac { Q _ { \mathrm { { w e a k } } } } { G 0 } \right) ^ { - 0 . 4 } \times \dot { m } _ { \mathrm { L H 2 } } \left( \frac { G 0 } { Q _ { \mathrm { { w e a k } } } } \right) , } \end{array}
\mathbf P _ { i = k } \left( d _ { T V } \left( \eta _ { x , i } ^ { ( \omega ) } , \eta _ { n , [ x , i ] } ^ { ( \omega ) } \right) \geq \varepsilon \right) \leq \frac { 8 } { \varepsilon } \sum _ { u \in \mathbb { X } _ { k ^ { \prime } } ^ { ( \omega ) } } p _ { u } ^ { ( \omega ) } \sum _ { v : u v \notin \mathbb { X } _ { n } ^ { ( \omega ) } [ { \mathcal D } _ { k } ] } p _ { v } ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } < \varepsilon .
\begin{array} { r l } { \| \nabla \partial _ { t } ^ { \ell } [ \rho ( \phi ) u _ { t } ] \| ^ { 2 } \lesssim } & { \| \partial _ { t } ^ { \ell } [ \nabla \rho ( \phi ) u _ { t } ] \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } [ \rho ( \phi ) \nabla u _ { t } ] \| ^ { 2 } } \\ { \lesssim } & { \sum _ { a + b = \ell } \| \partial _ { t } ^ { a } \nabla \rho ( \phi ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { b + 1 } u \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } + \sum _ { a + b = \ell } \| \partial _ { t } ^ { a } \rho ( \phi ) \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { b + 1 } u \| ^ { 2 } } \\ { \lesssim } & { \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { 2 } ^ { 4 } ) \| \partial _ { t } ^ { j + 1 } u \| _ { 1 } ^ { 2 } \lesssim ( 1 + \mathbf { E } _ { \ell } ^ { 2 } ( t ) ) \mathbf { E } _ { \ell + 1 } ( t ) \, . } \end{array}
L _ { x } ( x ^ { * } , u ^ { * } ) = { \left[ \begin{array} { l l l } { \left. { \frac { \partial L } { \partial x _ { 1 } } } \right| _ { x = x ^ { * } , u = u ^ { * } } } & { \cdots } & { \left. { \frac { \partial L } { \partial x _ { n } } } \right| _ { x = x ^ { * } , u = u ^ { * } } } \end{array} \right] }
\mathrm { R e } A _ { i } ( \nu , t ) \; = \; A _ { i } ^ { B } ( \nu , t ) \; + \; { \frac { 2 } { \pi } } \; { \mathcal P } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { + \infty } d \nu ^ { \prime } \; { \frac { \nu ^ { \prime } \; \mathrm { I m } _ { s } A _ { i } ( \nu ^ { \prime } , t ) } { \nu ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } } } \; ,
\begin{array} { r l } { R _ { s } } & { = \eta _ { s } \cdot \eta _ { f i l t e r , s } \cdot R _ { S P D C } } \\ { R _ { i } } & { = \eta _ { i } \cdot \eta _ { f i l t e r , i } \cdot R _ { S P D C } } \\ { R _ { s \wedge i } } & { = \eta _ { s } \cdot \eta _ { f i l t e r , s } \cdot \eta _ { i } \cdot \eta _ { f i l t e r , i } \cdot R _ { S P D C } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { { \mathbf c } ( t ) } ( x ) - h _ { \mathbf c } ( x ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \mu } _ { k } ( t ) \lambda _ { k } x ^ { k } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \mu } _ { k } \lambda _ { k } x ^ { k } } \\ & { = \langle a _ { x } , { \mu } ( t ) \rangle - \langle a _ { x } , { \mu } \rangle } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \langle { \mathcal G } a _ { x } , { \mu } ( s ) \rangle d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } { \mathcal A } ( h _ { { \mathbf c } ( s ) } ) ( x ) d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } h _ { L ( { \bf c } ( s ) ) } ( x ) d s , } \end{array}
{ \cal M } _ { s } ^ { \lambda } = \left( - \frac { g _ { W W \gamma } ^ { * } } { s } + \frac { g _ { W W Z } ^ { * } ( v - 2 \lambda a ) } { s - M _ { Z } ^ { 2 } } \right) \times { \cal G } ^ { \lambda } ( s , \theta ) ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { L } x _ { z } ^ { 2 } ( z ) d z } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } c _ { i } ^ { 2 } \Big ( \frac { i \pi } { L } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \geq } & { \Big ( \frac { \pi } { L } \Big ) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } c _ { i } ^ { 2 } } \\ & { = } & { \Big ( \frac { \pi } { L } \Big ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { L } x ^ { 2 } ( z ) d z . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \alpha = \bar { l } - 6 , } } & { { \bar { l } = 2 \bar { l } _ { 1 } + 4 \bar { l } _ { 2 } , } } \\ { { \beta = \bar { l } \, ^ { \prime } + 2 1 , } } & { { \bar { l } \, ^ { \prime } = - 8 \bar { l } _ { 1 } - 1 6 \bar { l } _ { 2 } - 9 \bar { l } _ { 3 } + 1 2 \bar { l } _ { 4 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \rho _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } \star f _ { \alpha } ( \cdot \vert t ) \} ( x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { x } \rho _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( x - u ) f _ { \alpha } ( u \vert t ) \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { x t ^ { - 1 / \alpha } } \rho _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( t ^ { 1 / \alpha } ( x t ^ { - 1 / \alpha } - u ) ) f _ { \alpha } ( u ) \, d u } \\ & { = t ^ { ( \beta - 1 ) / \alpha - \gamma } \int _ { 0 } ^ { x t ^ { - 1 / \alpha } } \rho _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( x t ^ { - 1 / \alpha } - u ) f _ { \alpha } ( u ) \, d u } \\ & { = t ^ { ( \beta - 1 ) / \alpha - \gamma } \{ \rho _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } \star f _ { \alpha } \} ( x t ^ { - 1 / \alpha } ) } \end{array}
[ a _ { 1 } , a _ { 1 } ^ { \dagger } ] = [ 2 \gamma \omega _ { 1 } ( \omega _ { 1 } ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } ) ] ^ { - 1 } , ~ ~ [ a _ { 2 } , a _ { 2 } ^ { \dagger } ] = [ 2 \gamma \omega _ { 2 } ( \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } ) ] ^ { - 1 } , ~ ~ [ a _ { 1 } , a _ { 2 } ^ { \dagger } ] = 0 , ~ ~ [ a _ { 1 } , a _ { 2 } ] = 0 .
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \odot \vec { \theta } _ { t } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } ^ { \prime } \right] } \\ & { \le \mathbb E \left[ L _ { T - 1 } ( 1 + C _ { V } ) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) \sqrt { 8 6 L _ { T - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] } \\ & { \quad + \mathbb E \left[ 8 M T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 4 } \sqrt { 1 + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } + 4 M L _ { T - 1 } \right] } \end{array}
\overline { { \delta \mu ^ { ( r _ { \mathrm { u } } ( \gamma ) ) } } } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { r } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { r } } } 1 0 0 \frac { \mu _ { i , \mathrm { u } } - \mu _ { i , \mathrm { p } } ^ { ( r _ { \mathrm { u } } ( \gamma ) ) } } { \mu _ { i , \mathrm { u } } } .
\mathrm { T r } [ F ^ { \mu \nu } ( p ) ] ~ \mathrm { T r } [ F _ { \mu \nu } ( - p ) ] = \mathrm { T r } [ f ^ { \mu \nu } ( p ) ] ~ \mathrm { T r } [ f _ { \mu \nu } ( - p ) ] = N ~ \mathrm { T r } [ f ^ { \mu \nu } ( p ) ~ f _ { \mu \nu } ( - p ) ] ~ .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) = \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) ^ { 2 } ) + o ( 1 ) , } \\ & { \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) ^ { 2 } ) \rightarrow \infty , } \\ & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) ) ^ { 2 } \overset { p } { \rightarrow } \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
E _ { 0 } = E _ { 0 } ( \rho ) + \ensuremath { \widetilde { \mathcal { E } } } + \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } } \ensuremath { \mathbf { w } } , \quad \, \mathrm { d } E _ { 0 } = \mu \, \mathrm { d } \rho + \ensuremath { \mathbf { w } } \, \mathrm { d } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } } ,
\operatorname * { l i m } _ { R \rightarrow \infty } \left( \Gamma ( 1 + \mu R ) \, W _ { - \mu R , - \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { \mu \tilde { r } ^ { 2 } } { 4 R } \right) \right) = \mu \tilde { r } K _ { 1 } ( \mu \tilde { r } ) ,
C _ { 0 } ( k , q ) = < k , q | \Omega > = \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { A - 1 } C _ { n } ^ { j } ( k , q ) < k ^ { j } , q ^ { j } + l n / A | \phi > \omega ^ { j s } .
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { \tilde { p } } | \mathbf { \tilde { c } } ) \equiv } & { \, \iint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \Lambda _ { \mathbf { \tilde { p } } } ( \vec { r } ) \Lambda _ { \mathbf { \tilde { c } } } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { \vert \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \vert } . } \end{array}
\alpha = \frac { N } { N + \hat { N } } \quad \quad \Omega _ { \hat { \mathcal { G } } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { I } _ { 3 N } - \frac { \alpha } { N } \mathbf { 1 } _ { N \times N } \otimes \mathbf { I } _ { 3 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { I } _ { d _ { h } N } } \end{array} \right] \quad \quad \omega _ { \hat { \mathcal { G } } } = \left[ \begin{array} { l } { - ( 1 - \alpha ) \mathbf { 1 } _ { N \times 1 } \otimes \mathbf { \hat { x } } _ { a v } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right]
A _ { \phi } = - \left[ \psi / 4 + \psi ^ { 2 } + \psi ( \psi - 4 ) \left[ \varepsilon _ { 2 1 } \cos ( 2 \vartheta - \phi ) + \varepsilon \psi ^ { 3 / 2 } \cos ( 5 \vartheta - 4 \phi ) \right] \right] .
E { \bigl ( } \operatorname { s n } ( u ; k ) ; k { \bigr ) } = \int _ { 0 } ^ { u } \operatorname { d n } ^ { 2 } ( w ; k ) \, \mathrm { d } w = u - k ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { u } \operatorname { s n } ^ { 2 } ( w ; k ) \, \mathrm { d } w = \left( 1 - k ^ { 2 } \right) u + k ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { u } \operatorname { c n } ^ { 2 } ( w ; k ) \, \mathrm { d } w .
H _ { \alpha \alpha } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ [ ~ 2 ~ ] ~ } } = \langle \Psi _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } | \hat { H } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ [ ~ 2 ~ ] ~ } } | \Psi _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } \rangle = E _ { \alpha } ^ { [ 2 ] } = E _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ S ~ S ~ - ~ C ~ A ~ S ~ P ~ T ~ 2 ~ } }
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ s ~ } } = E _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ s ~ o ~ r ~ b ~ e ~ d ~ s ~ l ~ a ~ b ~ } } - E _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ e ~ a ~ n ~ s ~ l ~ a ~ b ~ } } - E _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ a ~ t ~ o ~ m ~ } } . } \end{array}
{ \cal F } ( k ^ { 2 } ) = - \frac { N ^ { 2 } k ^ { 4 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \Psi \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 + e ^ { 2 \lambda } k ^ { 2 } } \right) \, .
\left[ \begin{array} { c c } { { \nu _ { e } } } & { { u } } \\ { { e ^ { - } } } & { { d ^ { \prime } } } \end{array} \right] \; , \qquad \quad \left[ \begin{array} { c c } { { \nu _ { \mu } } } & { { c } } \\ { { \mu ^ { - } } } & { { s ^ { \prime } } } \end{array} \right] \; , \qquad \quad \left[ \begin{array} { c c } { { \nu _ { \tau } } } & { { t } } \\ { { \tau ^ { - } } } & { { b ^ { \prime } } } \end{array} \right] \; ,
( t _ { \pm } ) _ { a b } = \frac { 3 a } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 1 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 2 } } } { { u _ { 1 } } ^ { 3 } } \right) } } + \frac { b } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 2 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 1 } } } { { u _ { 2 } } } \right) } } \pm \sqrt { \Delta _ { a b } } \, .
\mathcal { L } _ { 2 } ( \hat { u } _ { 2 } ) = \frac 1 2 b _ { 2 } ( \hat { u } _ { 2 } , \hat { u } _ { 2 } ) - ( f , \hat { u } _ { 2 } ) _ { 2 } + b _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } , \hat { u } _ { 2 } ) - ( f , \hat { u } _ { 2 } ) _ { 1 } + ( q , \hat { u } _ { 2 } ) _ { L ^ { 2 } ( \Gamma ) } + \frac { \beta _ { N } } { 2 } \lVert \hat { u } _ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } ^ { 2 } ,