harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
w _ { f _ { i } } ( s , \mu ^ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l c } { { \frac { e _ { i } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \left( \log ^ { 2 } \frac { s } { \mu ^ { 2 } } - 3 \log \frac { s } { \mu ^ { 2 } } \right) } } & { { , \; \; \; m _ { i } \ll \mu } } \\ { { \frac { e _ { i } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \left[ \left( \log \frac { s } { m _ { i } ^ { 2 } } - 1 \right) 2 \log \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right. } } \\ { { \left. \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; + \log ^ { 2 } \frac { s } { m _ { i } ^ { 2 } } - 3 \log \frac { s } { m _ { i } ^ { 2 } } \right] } } & { { , \; \; \; \mu \ll m _ { i } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { r ^ { \prime \prime } } & { = } & { \frac { r } { \epsilon } \left( \frac { \vartheta ^ { \prime } } { h } - \frac { \varphi ^ { \prime } } { q } \right) + r \, \vartheta ^ { \prime 2 } + h \, \cos \vartheta \, \varphi ^ { \prime 2 } , } \\ { \vartheta ^ { \prime \prime } } & { = } & { \frac { - 1 } { r } \left( \frac { r ^ { \prime } } { \epsilon \, h } + h \, \sin \vartheta \, \varphi ^ { \prime 2 } + 2 \, r ^ { \prime } \, \vartheta ^ { \prime } \right) , } \\ { \varphi ^ { \prime \prime } } & { = } & { \frac { r \, r ^ { \prime } } { \epsilon \, h ^ { 2 } \, q } - \frac { 2 \, \varphi ^ { \prime } } { h } \, \left( r ^ { \prime } \, \cos \vartheta - r \, \vartheta ^ { \prime } \, \sin \vartheta \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { e r r } } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } > \tau _ { \mathrm { l } } | t _ { 1 } ) } & { = e ^ { - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } + \tau _ { \mathrm { l } } } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } } \\ & { = e ^ { - \frac { k _ { \mathrm { f } } ^ { 0 } } { n _ { \mathrm { e f f } } \, \lambda } \, \log \left( \frac { \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, \left( t _ { 1 } + \tau _ { \mathrm { l } } \right) } \right) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } { \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t _ { 1 } } \right) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { b } ^ { \mathrm { s s } } = \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \gamma _ { \mathrm { o } } ( \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } ) } { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } \cdot \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } } n _ { t h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\vert \sum _ { \tau = 0 } ^ { h } t _ { 2 } \left( k _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \tau \kappa \right) e ^ { i \tau | \kappa | x } \right\vert \, \textnormal { d } x } \\ & { \quad = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\vert \sum _ { \tau = 0 } ^ { h } \left( ( k _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + 2 k _ { 0 } ^ { 1 } \kappa ^ { 1 } \tau + ( \kappa ^ { 1 } ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \right) e ^ { i \tau | \kappa | x } \right\vert \, \textnormal { d } x } \\ & { \quad \leq C R ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\vert \sum _ { \tau = 0 } ^ { h } e ^ { i \tau | \kappa | x } \right\vert \, \textnormal { d } x + C R | \kappa | \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\vert \sum _ { \tau = 0 } ^ { h } \tau e ^ { i \tau | \kappa | x } \right\vert \, \textnormal { d } x + C | \kappa | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\vert \sum _ { \tau = 0 } ^ { h } \tau ^ { 2 } e ^ { i \tau | \kappa | x } \right\vert \, \textnormal { d } x \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | n ( \lambda ) \rangle = \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } & { { } + \lambda \sum _ { k \neq n } \left| k ^ { ( 0 ) } \right\rangle { \frac { \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } { E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } } } + \lambda ^ { 2 } \sum _ { k \neq n } \sum _ { \ell \neq n } \left| k ^ { ( 0 ) } \right\rangle { \frac { \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| \ell ^ { ( 0 ) } \right\rangle \left\langle \ell ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } { \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } \right) \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { \ell } ^ { ( 0 ) } \right) } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Psi ( \mathbf { k } , t ) } & { = ( 2 \pi a ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - a \mathbf { k } \cdot \mathbf { k } / 2 } e ^ { - i E t / \hbar } } \\ & { = ( 2 \pi a ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - a \mathbf { k } \cdot \mathbf { k } / 2 - i ( \hbar ^ { 2 } \mathbf { k } \cdot \mathbf { k } / 2 m ) t / \hbar } } \\ & { = ( 2 \pi a ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - ( a + i \hbar t / m ) \mathbf { k } \cdot \mathbf { k } / 2 } . } \end{array} }
p _ { 1 } = \frac { t _ { 2 } - t _ { 0 } } { t _ { 2 } - t _ { 1 } } \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ p _ { 2 } = \frac { t _ { 0 } - t _ { 1 } } { t _ { 2 } - t _ { 1 } }
\begin{array} { r l } { a _ { i 1 } = } & { { } ( - 1 ) ^ { i } \left[ k _ { 1 } k _ { 2 } - \mathbf { k } _ { 1 } \cdot \mathbf { k } _ { 2 } - \frac { k _ { 1 } + k _ { 2 } } { \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } } \frac { k _ { 1 x } k _ { 2 y } - k _ { 1 y } k _ { 2 x } } { k _ { 1 } k _ { 2 } } \tan \theta _ { m } \right] \tan \theta _ { i } } \\ { a _ { i 2 } = } & { { } ( - 1 ) ^ { i } \frac { 1 } { k _ { i } } \left[ k _ { 1 } k _ { 2 } - \mathbf { k } _ { 1 } \cdot \mathbf { k } _ { 2 } - \frac { k _ { i } } { \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } } \frac { k _ { 1 x } k _ { 2 y } - k _ { 1 y } k _ { 2 x } } { k _ { 1 } k _ { 2 } } \tan \theta _ { m } \right] \tan \theta _ { i } } \\ { a _ { i 3 } = } & { { } ( - 1 ) ^ { i } \frac { k _ { m } } { k _ { i } } \tan \theta _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \vphantom { \bigg ( } } } & { { \begin{array} { c c c } { { \quad H _ { u } ^ { + } } } & { { \quad E ^ { c + } } } & { { } } \end{array} } } \\ { { \widehat { M } _ { l } = \begin{array} { l } { { L ^ { - } } } \\ { { L ^ { - } } } \end{array} } } & { { \left( \begin{array} { c c } { { x H } } & { { 0 } } \\ { { x ^ { k } M } } & { { \rho _ { d } M } } \end{array} \right) } } \end{array}
( \mu \nu | \kappa \lambda ) _ { \mathrm { ~ L ~ R ~ } } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \frac { 4 \pi } { G ^ { 2 } } e ^ { - \frac { G ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } } \rho _ { \mu \nu } ( \mathbf { G } ) \rho _ { \lambda \kappa } ( \mathbf { G } ) ^ { * } d \mathbf { G } ^ { 3 } .
( X _ { 1 } ^ { k } , \dots , X _ { d } ^ { k } ) = ( F _ { 1 } ^ { - 1 } ( U _ { 1 } ^ { k } ) , \dots , F _ { d } ^ { - 1 } ( U _ { d } ^ { k } ) ) \sim H \; \; ( k = 1 , \dots , n )
\mathcal { F } _ { n } ( x , \eta ) = \bigg [ \frac { \eta ^ { - ( n - 1 ) } } { \prod _ { k = 1 } ^ { n - 1 } F _ { k / n } ( x ) F _ { k / n } ( 1 - x ) } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
\mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } ( \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } , \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } } ) = \frac { \| \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } - \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } } \| } { \| \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } } \| }
H _ { \mathrm { B O } } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { 2 M _ { \alpha } } ( { \mathbf { P } } _ { \alpha } ^ { 2 } - 2 { \mathbf { K } } \cdot { \mathsf { A } } _ { \alpha ; k k } \cdot { \mathbf { P } } _ { \alpha } - \hbar ^ { 2 } G _ { \alpha ; k k } ) + \epsilon _ { k } ( { \mathbf { X } } ) ,
\mathbf { Z } ^ { - 1 } \mathbf { \hat { F } } = \sum _ { n = - N } ^ { N } \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( x _ { n } ) \mathbf { \hat { F } } ( x _ { n } ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( x _ { n } ) \mathbf { \hat { F } } ( x _ { n } )
0 . 1 { \overline { { \mathrm { 1 1 0 T T 0 } } } } = { \frac { \mathrm { 1 1 1 0 T T 0 - 1 } } { \mathrm { 1 1 1 1 1 1 \times 1 T \times 1 0 } } } = { \frac { \mathrm { 1 1 1 0 T T T } } { \mathrm { 1 1 1 1 1 1 \times 1 T 0 } } } = { \frac { \mathrm { 1 1 1 \times 1 0 0 0 T } } { \mathrm { 1 1 1 \times 1 0 0 1 \times 1 T 0 } } } = { \frac { \mathrm { 1 1 1 1 \times 1 T } } { \mathrm { 1 0 0 1 \times 1 T 0 } } } = { \frac { 1 1 1 1 } { 1 0 0 1 0 } } = { \frac { \mathrm { 1 T 1 T } } { \mathrm { 1 T T T 0 } } } = { \frac { 1 0 1 } { \mathrm { 1 T 1 0 } } }
\frac { I ^ { s f } } { I _ { c } } = \frac { ( \frac { m } { m ^ { * } } \omega _ { x } ^ { 2 } - \omega _ { y } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( \frac { m } { m ^ { * } } \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } ) ( \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { Z _ { N _ { s } } } & { { } = \tilde { w } _ { N _ { s } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \mathrm { d } \varepsilon _ { S } \; \Omega _ { N _ { s } } ( \varepsilon _ { S } , \gamma ) e ^ { - \beta E _ { N _ { s } } ( \varepsilon - \varepsilon _ { S } ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } _ { \alpha } = } & { ~ - \hat { m } _ { \alpha } \left( ( \psi _ { \alpha } - \psi _ { N } ) + ( \chi _ { \alpha } - \chi _ { N } ) + ( \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } - \rho _ { N } ^ { - 1 } ) p \right) , } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \mathrm { ~ f o r ~ } \alpha = 1 , \dots , N - 1 , } \\ { \hat { \gamma } _ { N } = } & { ~ - \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , \dots , N - 1 } \hat { \gamma } _ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { h } ^ { 3 } } & { \lesssim c _ { \varepsilon } \, \big [ \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad + \| \omega _ { p } ( h _ { \mathcal { T } } ) ^ { 2 } \, ( 1 + \vert \nabla v _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } + \vert \nabla _ { \! h } e _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } ) \| _ { 1 , \Omega } + \mathrm { o s c } _ { h } ( f , v _ { h } ) \big ] } \\ & { \quad + \varepsilon \, \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbb { W } } ^ { \lambda } = \sum _ { k = 1 } ^ { L } \Big [ \; } & { p _ { + } \big ( \mathrm { e } ^ { + \lambda / L } \hat { \sigma } _ { k + 1 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { k } ^ { - } - \hat { n } _ { k } ( \hat { \mathbb { 1 } } _ { k + 1 } - \hat { n } _ { k + 1 } ) \big ) } \\ { + } & { p _ { - } ( \mathrm { e } ^ { - \lambda / L } \hat { \sigma } _ { k } ^ { + } \hat { \sigma } _ { k + 1 } ^ { - } - \hat { n } _ { k + 1 } ( \hat { \mathbb { 1 } } _ { k } - \hat { n } _ { k } ) \big ) \Big ] \, , } \end{array}
\langle \left( F _ { Q } ( \tau ) F _ { Q } ( s ) \right) _ { \mathrm { s y m } } \rangle _ { \mathrm { e n v } } = \int _ { \omega _ { c } } ^ { \infty } \, d \omega \, r ( \omega ) \, \cos \omega ( \tau - s ) \, \langle 2 n _ { i } ( \omega ) + 1 \rangle _ { \mathrm { e n v } } \, .
\begin{array} { r l } { { \displaystyle Z _ { N } ( \vartheta ) } } & { { = 2 N \arctan \displaystyle \frac { \sinh \vartheta } { \cosh \Theta } + \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { H } } \chi ( \vartheta - h _ { k } ) - 2 \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { S } } \chi ( \vartheta - y _ { k } ) - } } \\ { { } } & { { - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { C } } \chi ( \vartheta - c _ { k } ) - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { W } } \chi ( \vartheta - w _ { k } ) _ { I I } + } } \\ { { } } & { { + 2 \Im m \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \rho G ( \vartheta - \rho - i \eta ) \log \left( 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( \rho + i \eta ) } \right) + C \: . } } \end{array}
\gamma _ { g } ^ { ( 2 ) } : \quad \quad \rho = g ( \theta ^ { \prime } ) , \quad \theta ^ { \prime } \in [ 0 , \theta _ { m a x } ^ { \prime } ] , \quad \phi ^ { \prime } \in [ 0 , 2 \pi ] , \quad \psi ^ { \prime } = \mathrm { c o n s t } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| \nabla f _ { p } ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f _ { p } ( x _ { k - 2 } ) - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) + \nabla f ( x _ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ \mathbb { E } \| \nabla f _ { p } ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f _ { p } ( x _ { k - 2 } ) - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) + \nabla f ( x _ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ \mathbb { E } \left\| \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla ^ { 2 } f _ { p } ( ( 1 - \theta ) x _ { k - 1 } + \theta x _ { k - 2 } ) ( x _ { k - 1 } - x _ { k - 2 } ) d \theta - \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla ^ { 2 } f ( ( 1 - \theta ) x _ { k - 1 } + \theta x _ { k - 2 } ) ( x _ { k - 1 } - x _ { k - 2 } ) d \theta \right\| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \ \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\| ( \nabla ^ { 2 } f _ { p } ( ( 1 - \theta ) x _ { k - 1 } + \theta x _ { k - 2 } ) - \nabla ^ { 2 } f ( ( 1 - \theta ) x _ { k - 1 } + \theta x _ { k - 2 } ) ) ( x _ { k - 1 } - x _ { k - 2 } ) \right\| ^ { 2 } d \theta } \\ { \leq } & { \ \zeta ^ { 2 } \mathbb { E } \| x _ { k - 1 } - x _ { k - 2 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\nabla \cdot \mathbf { E } = \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } , \nabla \cdot \mathbf { B } = 0 , \nabla \times \mathbf { E } = - \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } , \nabla \times \mathbf { B } = \mu _ { 0 } \left( \mathbf { J } + \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } \right)
\begin{array} { r l } { [ M _ { i j } ] } & { = \mathcal { N } + \mathrm { i } \frac { \mu } { \omega } \left( \begin{array} { l l l } { - ( n _ { 2 } b _ { 2 } + n _ { 3 } b _ { 3 } ) } & { n _ { 1 } b _ { 2 } } & { n _ { 1 } b _ { 3 } } \\ { n _ { 2 } b _ { 1 } } & { - ( n _ { 1 } b _ { 1 } + n _ { 3 } b _ { 3 } ) } & { n _ { 2 } b _ { 3 } } \\ { n _ { 3 } b _ { 1 } } & { n _ { 3 } b _ { 2 } } & { - ( n _ { 1 } b _ { 1 } + n _ { 2 } b _ { 2 } ) } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \mathrm { d e t } ( { \bf 1 } + z T _ { E } ) - \mathrm { d e t } ( { \bf 1 } + z _ { 1 } T _ { E } ) \right| = | z - z _ { 1 } | \left| \frac { \partial \mathrm { d e t } ( { \bf 1 } + x T _ { E } ) } { \partial x } \right| _ { x \in [ \mathrm { m i n } ( z , z _ { 1 } ) , \mathrm { m a x } ( z , z _ { 1 } ) ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { s { k } } \delta \phi _ { \parallel { k } } } & { = - \tau \left( 1 - \Gamma _ { k } \right) \delta \psi _ { k } , } \\ { \omega ^ { 2 } \delta \phi _ { \parallel { k } } } & { = - \left( \omega ^ { 2 } - k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \frac { b _ { k } } { 1 - \Gamma _ { k } } \right) \delta \psi _ { k } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \dot { x } ( t ) } \\ { \ddot { x } ( t ) } \\ { \dot { p } ( t ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { a } { \tau } \nabla ^ { 2 } } & { - \frac { 1 } { \tau } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x ( t ) } \\ { \dot { x } ( t ) } \\ { p ( t ) } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \frac { 1 } { \tau } T _ { p ( t ) } u ( t ) q } \\ { v ( t ) } \end{array} \right] ,
T T S ( n ) = \overline { { \textbf { T } _ { n } } } \textit { , w h e r e } \textbf { T } _ { n } = \{ I C E _ { e d g e } ( e ) \ | \ a \in \textbf { A } , c \in \textbf { C } _ { n , a } ^ { x } , e \in \textbf { P } _ { n , a , c } ^ { x } \}
\begin{array} { r l } { \delta \phi ~ : } & { { } \quad \eta _ { t } + \nabla \! \cdot \! [ ( D + \eta ) \mathbf { u } ] + \nabla \! \cdot \! \left\{ a \nabla ( D ^ { 3 } \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) - b D ^ { 2 } \nabla \eta _ { t } \right\} = 0 \ , } \\ { \delta \mathbf { u } ~ : } & { { } \quad \mathbf { u } - \nabla \phi = 0 \ , } \\ { \delta \eta ~ : } & { { } \quad \frac { 1 } { 2 } | \mathbf { u } | ^ { 2 } - c g \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \eta ) - g \eta - \phi _ { t } + b \nabla \cdot ( D ^ { 2 } \nabla \phi _ { t } ) - \mathbf { u } \cdot \nabla \phi = 0 \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { 1 } = \frac { 4 c _ { 1 } } { 4 - B o } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 a ^ { \sqrt { B o } - 2 } } { \sqrt { B o } \, r ^ { \sqrt { B o } } } \right] , } \\ { g _ { 2 } = \frac { 1 6 c _ { 2 } - 4 a ^ { 2 } c _ { 1 } } { 1 6 - B o } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 4 } } - \frac { 4 a ^ { \sqrt { B o } - 4 } } { \sqrt { B o } \, r ^ { \sqrt { B o } } } \right] , } \\ { g _ { 3 } = - \frac { 1 6 a ^ { 2 } c _ { 2 } } { 3 6 - B o } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 6 } } - \frac { 6 a ^ { \sqrt { B o } - 6 } } { \sqrt { B o } \, r ^ { \sqrt { B o } } } \right] , } \\ { g _ { 4 } = - \frac { \sqrt { B o } \, c _ { 3 } } { 2 } \, r ^ { \sqrt { B o } } \left[ \textrm { l n } ( r / a ) + 1 / \sqrt { B o } \right] , } \\ { g _ { 5 } = - \frac { B o \, a ^ { 2 } c _ { 3 } } { 4 ( \sqrt { B o } + 1 ) r ^ { \sqrt { B o } } } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { \sqrt { B o } + 2 } { \sqrt { B o } \, a ^ { 2 } } \right] , } \\ { c _ { 1 } = \frac { \rho { a } ^ { 2 } } { ( 4 - B o ) \Gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \varphi ( t _ { 1 } , x _ { 1 } ) - \varphi ( t _ { 2 } , x _ { 2 } ) | } & { \le | \varphi ( t _ { 1 } , x _ { 1 } ) - \varphi ( t _ { 2 } , x _ { 1 } ) | + | \varphi ( t _ { 2 } , x _ { 1 } ) - \varphi ( t _ { 2 } , x _ { 2 } ) | } \\ & { \le \left\lVert \partial _ { t } \varphi \right\rVert _ { L ^ { \infty } } | t _ { 1 } - t _ { 2 } | + \left\lVert \nabla \varphi \right\rVert _ { L ^ { \infty } } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | } \\ & { \le \delta ^ { 2 } \left\lVert \partial _ { t } \varphi \right\rVert _ { L ^ { \infty } } + \delta \left\lVert \nabla \varphi \right\rVert _ { L ^ { \infty } } . } \end{array}
\mathrm { N o r m } _ { K [ m ] } ^ { K [ m \ell ] } ( \kappa _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m l } } ^ { ( 6 ) } ) = ( \ell - 1 ) \left( a _ { \ell } ( f ) ^ { 2 } - ( \ell + 1 ) - \frac { 2 ( \ell + 1 ) } { \ell } [ \ell ] \times [ \ell ] + ( \ell + 1 ) [ \ell ] \times [ \ell ] \right) ( \kappa _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m } } ^ { ( 6 ) } ) .
\begin{array} { r } { t = \frac { 2 } { m _ { 3 } I _ { ( 1 - 2 ) } \sin 2 \psi _ { 0 } } \int \frac { d \theta } { \sin \theta } + c ^ { \prime } , } \\ { \varphi = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } t + \varphi _ { 0 } , } \\ { \psi = \psi _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = - \left[ h \left( y \right) h \left( f \left( y \right) \right) \right] _ { x _ { 0 } } ^ { 1 } + \int _ { x _ { 0 } } ^ { 1 } h ^ { \prime } \left( y \right) h \left( f \left( y \right) \right) d y } \\ & { = h ^ { 2 } \left( x _ { 0 } \right) - h \left( f \left( 1 \right) \right) h \left( 1 \right) + I _ { 2 } } \end{array}
\big \langle x \big \vert \, \exp - i \left[ \left( - d _ { x } ^ { 2 } - 4 q p _ { u } x \right) s \right] \, \big \vert x \big \rangle = \left( { \frac { 1 } { ( 4 \pi i s ) ^ { 1 / 2 } } } \right) \; \exp - 4 i \left( q p _ { u } x s + { \frac { 1 } { 3 } } q ^ { 2 } p _ { u } ^ { 2 } s ^ { 3 } \right) .
A _ { \beta , 2 } = { \frac { \pi } { 3 \gamma } } \int _ { \Sigma } \left[ { \frac { 1 } { 6 0 } } ( \gamma ^ { 4 } - 1 ) \breve { \cal P } + ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \left( \frac 1 6 - \xi \right) \breve { R } \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \epsilon \tilde { \beta } G _ { \eta } ( \phi ^ { n } ) \frac { \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } } { \tau } = \tilde { \sigma } \left( \epsilon \nabla \cdot \left( \left( I - \frac { ( \nabla h ) ^ { 2 } } { 1 + | \nabla h | ^ { 2 } } \right) \nabla \phi ^ { n + 1 } \right) - \frac { 1 } { \epsilon } W ^ { \prime } ( \phi ^ { n + 1 } ) \right) } \\ & { } & { + \frac { \tilde { \sigma } G _ { \eta } ( \phi ^ { n } ) } { \int _ { \Omega } \sqrt { 1 + | \nabla h | ^ { 2 } } \, d \Omega } \int _ { \Omega } \frac { \sqrt { 1 + | \nabla h | ^ { 2 } } } { G _ { \eta } ( \phi ^ { n } ) } \left( \frac { 1 } { \epsilon } W ^ { \prime } ( \phi ^ { n } ) - \epsilon \nabla \cdot \left( \left( I - \frac { ( \nabla h ) ^ { 2 } } { 1 + | \nabla h | ^ { 2 } } \right) \nabla \phi ^ { n } \right) \right) \, d \Omega } \\ & { } & { - c \left( \frac { \int _ { \Omega } \sqrt { 1 + | \nabla h | ^ { 2 } } \phi ^ { n } \, d \Omega } { \int _ { \Omega } \sqrt { 1 + | \nabla h | ^ { 2 } } \, d \Omega } - \alpha \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left| \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial z } \frac { P } { m } \right| } & { { } \ll } & { \left| \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial \theta } \Omega _ { - } \right| , } \\ { \left| \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial z } \frac { P } { m } \right| } & { { } \ll } & { \left| \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial \phi } \Omega _ { + } \right| . } \end{array}
S = \int d \tau \left\{ p _ { M } ( \dot { x } ^ { M } + i \theta \gamma ^ { M } \dot { \theta } ) - { \frac { e ( \tau ) } { 2 } } ( p _ { M } p ^ { M } + m ^ { 2 } ) + i m \, \theta \gamma ^ { 2 } \dot { \theta } \right\} ,
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { X } _ { 2 , 1 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 7 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 2 , 2 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 1 0 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) , } \\ & { \mathcal { X } _ { 2 , 3 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 1 2 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 2 , 4 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 9 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm D _ { K } ^ { 2 } ( \mu , \delta _ { - e _ { 1 } } ) = \mathrm D _ { K } ^ { 2 } ( \nu , \delta _ { - e _ { 1 } } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } + \bigl ( \bigl ( 1 + \frac { 1 } { s } \bigr ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \bigr ) ^ { \frac { r } { 2 } } \, \frac { s ^ { r } } { 2 } - \bigl ( \frac { 5 } { 4 } \bigr ) ^ { \frac { r } { 2 } } \, \frac { s ^ { r } } { 4 } , } \\ { \mathrm D _ { K } ^ { 2 } \bigl ( \gamma _ { s } \bigl ( \frac { 1 } { 2 } \bigr ) , \delta _ { - e _ { 1 } } \bigr ) } & { = \frac { 1 } { 2 } + \bigl ( \bigl ( 1 + \frac { 1 } { s } \bigr ) ^ { 2 } \bigr ) ^ { \frac { r } { 2 } } \, \frac { s ^ { r } } { 2 } - \, \frac { s ^ { r } } { 4 } . } \end{array}
( \tilde { \sigma } _ { x } , \tilde { \sigma } _ { y } , \sigma _ { \mathrm { { O D T } } } ) = \sqrt { \frac { k _ { B } T } { m } } ( \frac { 1 } { \Omega _ { x } } , \frac { 1 } { \Omega _ { y } } , \frac { 1 } { \Omega _ { z } } ) = ( 3 . 1 , 1 1 . 0 , 3 . 5 ) ~ \mathrm { { \ m u m } }
\nabla _ { \mathbf { v } } ^ { 2 } \lambda = \left( \begin{array} { c c c } { \displaystyle \frac { \partial ^ { 2 } \lambda } { \partial v _ { 1 } ^ { 2 } } } & { \cdots } & { \displaystyle \frac { \partial ^ { 2 } \lambda } { \partial v _ { 1 } v _ { n } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \displaystyle \frac { \partial ^ { 2 } \lambda } { \partial v _ { n } v _ { 1 } } } & { \cdots } & { \displaystyle \frac { \partial ^ { 2 } \lambda } { \partial v _ { n } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\Gamma _ { 1 } ^ { a } ( \varphi ) \; = \; - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \ln ( - { \hat { \partial } } ^ { 2 } + h ) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \ln ( - { \hat { \partial } } ^ { 2 } + { \tilde { h } } )
\begin{array} { r l } { \| \phi _ { h } ^ { n - 1 } - \phi _ { h } ^ { n } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } } & { \lesssim \, \Delta t \| { w _ { N } } \| _ { L ^ { \infty } ( I _ { n } \times \Omega ) } , } \\ { \| \nabla \phi _ { h } ^ { n - 1 } - \nabla \phi _ { h } ^ { n } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } } & { \lesssim \, \Delta t \left( \| { w _ { N } } \| _ { L ^ { \infty } ( I _ { n } \times \Omega ) } + \| \nabla { w _ { N } } \| _ { L ^ { \infty } ( I _ { n } \times \Omega ) } \right) , \mathrm { ~ f o r ~ } n = 1 , \dots , N . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } , } \\ { \mathbf { a } \wedge \mathbf { b } } & { { } = ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 } \mathbf { e } _ { 2 } = ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { s ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } d \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ { \mathbf { P } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { \mathbf { c } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } d \mathbf { r } ^ { \prime } . } \end{array}