harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } } & { { } = } & { { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } = { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } = { J _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } = 0 , } \\ { { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } } & { { } = } & { p _ { i } h , } \\ { { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } } & { { } = } & { q _ { i } h , } \\ { { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 3 } } & { { } = } & { \frac { { p _ { i } } ^ { 3 } } { 4 } h - 3 p _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( H ) , } \\ { { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { q _ { i } { p _ { i } } ^ { 2 } } { 4 } h - q _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( H ) - 2 p _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( H ) , } \\ { { J _ { i } } _ { 2 } ^ { 1 } } & { { } = } & { \frac { p _ { i } } { 4 } h - 2 q _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( H ) - p _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( H ) , } \\ { { J _ { i } } _ { 3 } ^ { 0 } } & { { } = } & { \frac { q _ { i } } { 4 } h - 3 q _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( H ) , } \end{array}
V _ { 0 } = - \frac { \mu } { r } , \; \alpha = \frac { e L \sin \left( \frac { \theta } { k } \right) } { 1 + e \cos \left( \frac { \theta } { k } \right) } , \; \beta = \frac { 1 } { \lambda } \left( \mu r - \frac { L ^ { 2 } } { 1 + e \cos \left( \frac { \theta } { k } \right) } \right) , \; L = \lambda \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } , \; E = - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \lambda ^ { 2 } } ,
\vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } , t ) = \bar { J } _ { 1 } \vec { J } _ { 1 } ^ { 1 } ( \vec { x } ) g ^ { 1 } ( t ) , \qquad \vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } , t ) = \bar { J } _ { 2 } \vec { J } _ { 2 } ^ { 2 } ( \vec { x } ) g ^ { 2 } ( t ) .
\begin{array} { r l } { \big ( R H S \big ) _ { L _ { * } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } { L _ { * } } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \Big ( b - \frac { 1 } { 4 } \Big ) { L _ { D } ^ { * } } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + b { L _ { D } ^ { * } } S _ { i } S _ { j } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } } \end{array}
\begin{array} { r } { Q = \pi S _ { \Lambda } C ^ { 3 } x \int f \! \left( \! \sqrt { \frac { \omega _ { 2 } } { \omega } } \right) \frac { \omega _ { 2 } } { \sqrt { \omega } } \, \omega _ { 2 } ^ { - 2 x } \omega ^ { - 2 x } ( \omega ^ { x - 1 } - \omega _ { 2 } ^ { x - 1 } ) \, d \omega _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb T ^ { d } } \left\{ \rho _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } | u _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } + 3 ( \rho _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } ) ^ { \gamma } \right\} - \left\{ \rho _ { f } ^ { \varepsilon } | u _ { f } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } + 3 ( \rho _ { f } ^ { \varepsilon } ) ^ { \gamma } \right\} \, d x \le C _ { \varepsilon } \left( \| \rho _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } - \rho _ { f } ^ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } } + \| u _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } - u _ { f } ^ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos z } & { { } = \frac { \sinh r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \, \cos \phi + \sinh r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \, \sin \phi } { \sqrt 2 \, \sqrt { \sinh ^ { 2 } r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \cos ^ { 2 } \phi + \sinh ^ { 2 } r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \sin ^ { 2 } \phi } } , } \\ { \sin z } & { { } = \frac { - \sinh r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \, \cos \phi + \sinh r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \, \sin \phi } { \sqrt 2 \, \sqrt { \sinh ^ { 2 } r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \cos ^ { 2 } \phi + \sinh ^ { 2 } r _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \sin ^ { 2 } \phi } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \frac { d ( - K ( h ) \frac { d h } { d x } ) } { d x } } & { { } = 0 , \qquad } & { x } & { { } \in [ 0 , L ] } \\ { h } & { { } = h _ { 0 } , } & { x } & { { } = 0 } \\ { h } & { { } = h _ { 1 } , } & { x } & { { } = L } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { C } _ { 2 k } ^ { n } } & { \ni } & { x \otimes J _ { 2 } + \frac { \epsilon } { 2 } I _ { k } \otimes ( p \oplus p ^ { \perp } ) + t I _ { k } \otimes ( p ^ { \perp } \oplus p ) + \frac { \epsilon } { 2 } I _ { 2 k } \otimes e + \alpha } \\ & { = } & { ( x + \epsilon I _ { k } \otimes e ) \otimes J _ { 2 } + \delta I _ { k } \otimes ( p \oplus p ^ { \perp } ) + ( t - \frac { \epsilon } { 2 } + r ) I _ { k } \otimes ( p ^ { \perp } \oplus p ) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { D _ { u } ^ { \gamma } } } & { { = } } & { { D _ { u } - d _ { u } l n \: { \tilde { f } } _ { \gamma } } } \\ { { U ^ { \gamma } } } & { { = } } & { { { \tilde { f } } _ { \gamma } U } } \end{array}
{ \cal H } _ { 2 D , \mathrm { r e d } } = \frac { p _ { \phi } ^ { 2 } } { 2 \mu r ^ { 2 } } - \Omega ( t ) p _ { \phi } - \frac { F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \Delta \alpha ( r ) \cos ^ { 2 } \phi ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \bigg ( \frac { \rho \eta _ { t } } { 2 \lambda } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda \eta _ { t } } { 2 \rho } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { t } \| ^ { 2 } \bigg ) } & { \leq \mathbb { E } [ \Phi _ { 0 } - \Phi _ { E } ] + \bigg ( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 1 \lambda L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 3 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } f ( x _ { 0 } ) - f ^ { \ast } + \frac { \rho K } { 6 4 \lambda L ^ { 2 } } \frac { \mathbb { E } \| e _ { 0 } \| ^ { 2 } } { \eta _ { 0 } } + \bigg ( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 1 \lambda L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 3 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } f ( x _ { 0 } ) - f ^ { \ast } + \frac { \sigma ^ { 2 } \rho } { 6 4 \lambda b L ^ { 2 } \eta _ { 0 } } + \bigg ( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 1 \lambda L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 3 } , } \end{array}
{ \frac { \pi } { 4 } } \approx 1 - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - { \frac { 1 } { 7 } } + \cdots + { \frac { \left( - 1 \right) ^ { n - 1 } } { 2 n - 1 } } + { \frac { \left( - 1 \right) ^ { n } } { 4 n + { \frac { 1 ^ { 2 } } { n + { \frac { 2 ^ { 2 } } { 4 n + { \frac { 3 ^ { 2 } } { n + { \frac { 4 ^ { 2 } } { . . . + { \frac { . . . } { . . . + { \frac { n ^ { 2 } } { n \left[ 4 - 3 \left( n { \bmod { 2 } } \right) \right] } } } } } } } } } } } } } }
v _ { \mathrm { x c } } ^ { \sigma } [ { \bf n } ] ( { \bf r } ) = \left. \frac { \delta E _ { \mathrm { x c } } [ { \boldsymbol \rho } ( { \bf r } ) ] } { \delta \rho _ { \sigma } ( { \bf r } ) } \right\vert _ { { \boldsymbol \rho } = { \bf n } } .
F ^ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } , \lambda _ { 5 } \lambda _ { 6 } } F _ { \lambda _ { 1 } ^ { \prime } \lambda _ { 2 } ^ { \prime } , \lambda _ { 3 } ^ { \prime } \lambda _ { 4 } ^ { \prime } , \lambda _ { 5 } ^ { \prime } \lambda _ { 6 } ^ { \prime } } = \left( \delta ( \lambda _ { 1 } ^ { \prime } - \lambda _ { 1 } ) \delta ( \lambda _ { 2 } ^ { \prime } - \lambda _ { 2 } ) , \right.
\mathbf { S } ^ { ( 2 ) } = S _ { c c } ^ { ( 2 ) } \hat { c } ^ { ( 2 ) } \hat { c } ^ { ( 2 ) } + S _ { d d } ^ { ( 2 ) } \hat { d } ^ { ( 2 ) } \hat { d } ^ { ( 2 ) } + S _ { e e } ^ { ( 2 ) } \hat { e } ^ { ( 2 ) } \hat { e } ^ { ( 2 ) } .
E _ { c } = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } \frac { | \mathbb { I } _ { i j a b } | ^ { 2 } } { \varepsilon _ { a } + \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { j } } = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } \frac { | \mathbb { I } _ { i j a b } | ^ { 2 } } { \Delta _ { i j } ^ { a b } } \; ,
\begin{array} { r l } { | \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \partial _ { x } ^ { s _ { 1 } } \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 2 } } S _ { \mathrm { s t e p } , \Upsilon } ( a ) ( \varphi , x , j ) | } & { \le \rVert \Delta _ { 1 2 } ^ { k } f ( \varphi , x , \cdot ) \rVert _ { H ^ { \eta } ( \mathbb { T } ) } \langle j \rangle ^ { - \eta } \le \rVert \Delta _ { 1 2 } ^ { k } f \rVert _ { H ^ { s + \mu ( \nu ) + \eta } ( \mathbb { T } ^ { \nu + 2 } ) } \langle j \rangle ^ { - \eta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Bigg \lbrace \sqrt { 2 } \sin \Big ( \frac { 2 \pi q } { X } x \Big ) , \sqrt { 2 } \cos \Big ( \frac { 2 \pi q } { X } x \Big ) \Bigg \rbrace _ { q \in \mathbb { N } } } \\ & { = \lbrace \bar { \varphi } _ { q } ^ { s } ( x ) , \, \bar { \varphi } _ { q } ^ { c } ( x ) \rbrace _ { q \in \mathbb { N } } \quad \mathrm { w i t h ~ } x \in \ensuremath { \mathscr { X } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { 2 } \| ( \partial _ { t } - 1 ) \omega _ { \tau , k } ( \tilde { t } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { y } \omega _ { \tau , k } ( \tilde { t } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { - \int _ { \tilde { t } } ^ { \tau } \| \partial _ { y } \omega _ { \tau , k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s } \\ & { = \int _ { \tilde { t } } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \mathfrak { R e } } \Big [ ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } \cdot \overline { { ( \partial _ { t } - 1 ) \omega _ { \tau , k } } } \Big ] ( s , y ) d y d s . } \end{array}
{ \cal L ^ { \prime } } = - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { F } _ { \mu \nu } \mathrm { F } ^ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } m _ { A } ^ { 2 } A _ { \mu } A ^ { \mu } + { \cal { L ^ { \prime } } _ { \mathrm { I } } }
\zeta = - \frac { k ^ { 2 } s B _ { 1 } } { 1 2 \ell _ { 0 } ^ { 2 } } \biggl [ 2 7 \omega _ { 1 } \eta + \frac { 4 } { 2 + \omega _ { 1 } \eta } + 4 8 \ln ( - \eta ) \biggr ] + B _ { 2 } .
\mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } + \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } = 4 \left[ \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \right] f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) \, .
F [ \varphi ] = { \frac { \partial ^ { k _ { 1 } } } { \partial x _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } } } \varphi ( x _ { 1 } ) \cdots { \frac { \partial ^ { k _ { n } } } { \partial x _ { n } ^ { k _ { n } } } } \varphi ( x _ { n } )
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { - \frac { \eta _ { y } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { - \frac { \eta _ { y } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \sin \left( \bar { f } t \right) , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { \frac { \eta _ { y } ^ { 2 } } { \bar { f } ^ { 2 } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] + \eta _ { y } y . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ W ~ e ~ } = \frac { \rho _ { g } U _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ^ { 2 } D } { \sigma } , \mathrm { ~ R ~ e ~ } = \frac { \rho _ { g } U _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } D } { \mu _ { g } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) = } & { ~ - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + b \mathbf { n } _ { \alpha } + \nu \Delta \mathbf { u } , } \\ { \frac { \partial b } { \partial t } + \nabla \cdot ( b \mathbf { u } ) = } & { ~ \beta \Delta b - N ^ { 2 } \ ( \mathbf { n } _ { \alpha } \cdot \mathbf { u } ) . } \end{array}
{ { \bar { \psi } } _ { ( 1 ) } ^ { a } } \, \beta _ { a b } \psi _ { ( 2 ) } ^ { b } = { { \bar { \phi } } _ { ( 1 ) } ^ { \dot { K } } } \, \varphi _ { ( 2 ) { \dot { K } } } + { { \bar { \varphi } } _ { ( 1 ) K } } \, \phi _ { ( 2 ) } ^ { K } \, .
\langle \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \tau } { 2 L _ { m } } } \right) \rangle = { \frac { 1 } { \omega _ { 0 } } } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \tau / \omega _ { 0 } } \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \tau } { 2 L _ { m } } } \right) d \tau ,
\begin{array} { r l } { \| u ^ { ( \tau ) } \| _ { L ^ { p } ( 0 , T ; L ^ { p } ( \Omega ) ) } ^ { p } } & { \le C \int _ { 0 } ^ { T } \| u ^ { ( \tau ) } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { p \theta } \| u ^ { ( \tau ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { p ( 1 - \theta ) } \mathrm { d } t } \\ & { \le C \| u ^ { ( \tau ) } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { p ( 1 - \theta ) } \int _ { 0 } ^ { T } \| u ^ { ( \tau ) } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \mathrm { d } t \le C , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta H _ { k E } = - \frac { e } { m } Q _ { k } F _ { 0 E } J _ { k } \delta L _ { k } \sum _ { l , p } \frac { J _ { l } ( \hat { \lambda } _ { k } ) J _ { p } ( \hat { \lambda } _ { k } ) e ^ { - i ( l - p ) ( \theta - \theta _ { 0 r } ) } } { \omega _ { k } - k _ { \parallel } v _ { \parallel } + l \omega _ { t r } } , } \end{array}
{ \frac { \partial f } { \partial t } } + v { \frac { \partial f } { \partial x } } + { \frac { F } { m } } { \frac { \partial f } { \partial v } } = { \frac { \partial f } { \partial t } } \left. { \! \! { \frac { } { } } } \right| _ { \mathrm { c o l l i s i o n } }
\begin{array} { r } { { \cal E } ^ { \mathrm { M B } } = - { \frac { \hbar } { e } } \oint _ { C } \left[ \partial _ { t } { \bf A } ^ { \mathrm { M B } } - { \bf v } _ { 0 } \times ( \nabla \times { \bf A } ^ { \mathrm { M B } } ) \right] \cdot d { \bf r } } \end{array}
M _ { p e a k } ^ { 3 } = 2 . 0 3 \cdot \Gamma _ { p e a k } - 0 . 8 1 \cdot \Gamma _ { p e a k } ^ { 2 } - 1 . 0 2 \cdot \Gamma _ { p e a k } ^ { 3 } + 0 . 5 4 \cdot \Gamma _ { p e a k } ^ { 4 } ~ ~ ,
J _ { q } ( L , r ) = \sum q ^ { X _ { r } ( L ) } \prod _ { i = 1 } ^ { \nu - 2 } \left[ \begin{array} { c } { { n _ { i } + m _ { i } } } \\ { { n _ { i } } } \end{array} \right] _ { q } = \sum q ^ { X _ { r } ( L ) } \prod _ { i = 1 } ^ { \nu - 2 } \left[ \begin{array} { c } { { n _ { i } + \tilde { n } _ { i } - V _ { i , r } } } \\ { { n _ { i } } } \end{array} \right] _ { q } ; \; \; L + r \equiv e v e n \; \;
p ( t ) = H \biggl ( \frac { 1 } { s _ { i } } \sum _ { j \in I ( t ) } W _ { i j } - \theta \biggr ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \mathrm { ~ i ~ f ~ } \frac { 1 } { s _ { i } } \sum _ { j \in I ( t ) } W _ { i j } \geq \theta } \\ { 0 \mathrm { ~ i ~ f ~ } \frac { 1 } { s _ { i } } \sum _ { j \in I ( t ) } W _ { i j } < \theta } \end{array} \right. \, .
\operatorname* { l i m } _ { s \to k + 1 } \left[ { \frac { \zeta ( s - k ) } { k ! } } \mu ^ { k } + \Gamma ( 1 - s ) ( - \mu ) ^ { s - 1 } \right] = { \frac { \mu ^ { k } } { k ! } } \left[ \sum _ { h = 1 } ^ { k } { \frac { 1 } { h } } - \ln ( - \mu ) \right] ,
\begin{array} { l l } { { \tilde { T } _ { _ { ( 0 ) } x } ^ { x } = c [ \varphi ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } + \left( \frac { A ^ { \prime } } { e } \right) ^ { 2 } + \alpha \Lambda ^ { 2 } ] + s \frac { \varphi ^ { 2 } P ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { P ^ { \prime } } { q r } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } A ^ { 2 } - 2 V } } \\ { { \tilde { T } _ { _ { ( 0 ) } y } ^ { y } = s [ \varphi ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } + \left( \frac { A ^ { \prime } } { e } \right) ^ { 2 } + \alpha \Lambda ^ { 2 } ] + c \frac { \varphi ^ { 2 } P ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { P ^ { \prime } } { q r } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } A ^ { 2 } - 2 V , } } \end{array}
\sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } ^ { \prime } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \mu _ { M _ { 0 } } \geq 0 , } \\ { ( \sqrt { \mu } / \lVert \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } ^ { \prime } \rVert ) \sqrt { \pmb { \mu } } _ { \mathbf { S } _ { M } } ^ { \prime } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \mu _ { M _ { 0 } } < 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( n _ { 3 } ) } & { = - \ln { ( 1 - n _ { 3 } ) } , } \\ { \phi _ { 2 } ( n _ { 3 } ) } & { = \frac { 1 } { 1 - n _ { 3 } } , } \\ { \phi _ { 3 } ( n _ { 3 } ) } & { = \frac { 2 n _ { 3 } + 2 ( 1 - n _ { 3 } ) ^ { 2 } \ln ( 1 - n _ { 3 } ) } { 7 2 \pi n _ { 3 } ^ { 2 } ( 1 - n _ { 3 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p M ( e _ { m ^ { \prime } } ^ { ( j _ { 2 } - 1 ) } , \{ e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , \bar { e } _ { m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } } ^ { ( \bar { j } + 1 ) } \} ) } \\ { = } & { \sum _ { k } - \sqrt { ( 2 \bar { j } - k + 3 ) ( 2 j _ { 1 } - k ) } ( 2 \bar { j } + 2 ) \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } + 1 , k } C _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } } ^ { j _ { 1 } , \bar { j } + 1 , j _ { 1 } + \bar { j } + 1 - k } p M ( e _ { m ^ { \prime } } ^ { ( j _ { 2 } - 1 ) } , e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } } ^ { ( j _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { 2 } , \bar { j } + 1 + \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { 2 } ) } ) } \\ { = } & { \sum _ { k } ( - 1 ) ^ { 2 ( j _ { 1 } + j _ { 2 } ) - k } \sqrt { ( 2 \bar { j } - k + 3 ) ( 2 j _ { 1 } - k ) } ( 2 \bar { j } + 2 ) \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } + 1 , k } \lambda _ { j _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } + \frac { 3 } { 2 } , k } ^ { - 1 } \sqrt { 2 j _ { 1 } ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 \bar { j } + 4 ) ( 2 j _ { 1 } + 2 \bar { j } - 2 k + 3 ) } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } } & { \bar { j } + \frac { 3 } { 2 } } & { j _ { 1 } + \bar { j } + 1 - k } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 } & { j _ { 2 } - 1 } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right\} C _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } } ^ { j _ { 1 } , \bar { j } + 1 , j _ { 1 } + \bar { j } + 1 - k } C _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } , m ^ { \prime } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 1 } + \bar { j } + 1 - k , j _ { 2 } - 1 ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial n _ { a } } { \partial t } - \triangledown \cdot ( D \cdot \triangledown n _ { a } ) - \frac { n _ { a } } { \tau ^ { * } } = 0 } \\ { n _ { a } ( t , r ) | _ { r = R } = 0 } \\ { n _ { a } ( t , r ) | _ { t = 0 } = n _ { I } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l r } { D _ { n } \triangleq \mathrm { X } _ { n } ( \varphi _ { n } ) \ } & { = \cos ( \varphi _ { n } ) \cdot A _ { n } + \sin ( \varphi _ { n } ) \cdot B _ { n } } \\ & { = { \frac { A _ { n } } { \sqrt { A _ { n } ^ { 2 } + B _ { n } ^ { 2 } } } } \cdot A _ { n } + { \frac { B _ { n } } { \sqrt { A _ { n } ^ { 2 } + B _ { n } ^ { 2 } } } } \cdot B _ { n } = { \frac { A _ { n } ^ { 2 } + B _ { n } ^ { 2 } } { \sqrt { A _ { n } ^ { 2 } + B _ { n } ^ { 2 } } } } } & { = { \sqrt { A _ { n } ^ { 2 } + B _ { n } ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r c l } { d \mu _ { p } ^ { ( m + 1 ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { \ominus } ) } & { = } & { \displaystyle \frac { \big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m } \tilde { x } _ { - j } \big ) ^ { p - 1 } } { \int \big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m } \tilde { x } _ { - j } \big ) ^ { - 1 } d \mu ^ { ( m + 1 ) } } \, d \mu ^ { ( m + 1 ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { \ominus } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } } & { { } = ( \tilde { \omega } _ { A } + \tilde { \omega } _ { D _ { 1 } } ) / 2 , } \\ { a _ { 2 } } & { { } = ( \tilde { \omega } _ { A } + \tilde { \omega } _ { D _ { 2 } } ) / 2 , } \\ { a _ { 3 } } & { { } = b _ { 1 } = V _ { 2 } / 2 , } \\ { a _ { 4 } } & { { } = b _ { 2 } = V _ { 1 } / 2 , } \\ { b _ { 3 } } & { { } = - ( \tilde { \omega } _ { D _ { 1 } } + \tilde { \omega } _ { D _ { 2 } } ) / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z _ { n } } & { \leq } & { ( 1 + C h ) ^ { n } z _ { 0 } + C h \left( \| P _ { - 1 } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , D } + h ^ { s } \right) \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( 1 + C h ) ^ { k } } \\ & { \leq } & { e ^ { C n h } z _ { 0 } + C h \left( \| P _ { - 1 } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , D } + h ^ { s } \right) \frac { ( 1 + C h ) ^ { n } } { 1 + C h - 1 } } \\ & { \leq } & { e ^ { C n h } \left( z _ { 0 } + C \left( \| P _ { - 1 } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , D } + h ^ { s } \right) \right) } \\ & { \leq } & { e ^ { C n h } \left( z _ { 0 } + C \left( \| P _ { - 1 } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , \infty } + h ^ { s } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { Y } } _ { m } ^ { \ell } ( \overline { { \upsilon } } , i ) } & { { } = \frac { 1 } { \Delta \varphi } \int \displaylimits _ { \varphi _ { i } - 0 . 5 \Delta \varphi } ^ { \varphi _ { i } + 0 . 5 \Delta \varphi } \hat { Y } _ { m } ^ { \ell } ( C ( \tau , \upsilon _ { 3 } , \upsilon _ { 4 } ) ) d \tau . } \end{array}
M \overset { ^ { ( ) } } { \underset { ^ { ( ) } } { = } } \exp \{ \delta t \, \partial _ { \tau } \} = \exp \{ \frac { S ( \tau , \tau + \delta t ) } { \hbar } \} \overset { \footnotesize ( ) } { = } \exp \{ - \frac { V \delta t } { \hbar } \} \overset { \footnotesize ( ) } { = } \exp \{ - \frac { V } { m c ^ { 2 } } \} .
S = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { 1 0 } } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - G ^ { d u a l } } \left[ e ^ { - { \frac { 6 } { 7 } } \phi } ( { \cal R } ^ { d u a l } + { \frac { 1 6 } { 4 9 } } \partial _ { M } \phi \partial ^ { M } \phi ) - { \frac { 1 } { 4 } } e ^ { { \frac { 6 } { 7 } } \phi } F _ { M N } F ^ { M N } \right] .
\Delta _ { \xi } ( a ) = F \Delta ( a ) F ^ { - 1 } , \quad \; S _ { \xi } ( a ) = u \, S ( a ) u ^ { - 1 } , \quad \; u = \sum _ { i } f _ { i } ^ { ( 1 ) } S ( f _ { i } ^ { ( 2 ) } ) \, \quad \; ( a \in A ) \, .
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l l } { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \cdots } & { M } & { \cdots } & { m } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \cdots } & { m ^ { \prime } } & { \cdots } & { M ^ { \prime } } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { V } _ { 2 } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } } \leq } & { { } \mathbb { E } \left[ \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { B } ^ { \lambda } ( t , \xi ) \left| d ( s , \Phi ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ) \right| \mathcal { B } ^ { - \lambda } ( s , \Phi ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ) d s \right) ^ { p } d \xi \right) ^ { 1 / p } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { \tau } \left( \begin{array} { l } { u } \\ { \beta } \end{array} \right) = - a _ { 1 } ^ { 2 } \Bigl ( - \partial ^ { ( \tau ) } u _ { 1 } \big \vert _ { l ^ { ( 1 ) } } + \overline { { \xi _ { 1 } ^ { ( \tau ) } } } \partial ^ { ( \tau ) } u _ { 1 } \big \vert _ { 0 } \Bigr ) + a _ { 2 } ^ { 2 } \Bigl ( - \partial ^ { ( \tau ) } u _ { 2 } \big \vert _ { 0 } + \overline { { \xi _ { 2 } ^ { ( \tau ) } } } \partial ^ { ( \tau ) } u _ { 2 } \big \vert _ { l ^ { ( 2 ) } } \Bigr ) , } \\ & { \xi _ { 1 } ^ { ( \tau ) } : = \exp \bigl ( - \mathrm { i } ( l ^ { ( 2 ) } + l ^ { ( 3 ) } ) \tau \bigr ) , \quad \xi _ { 2 } ^ { ( \tau ) } : = \exp ( - \mathrm { i } l ^ { ( 2 ) } \tau ) , } \end{array}
( \rho S ) ^ { n + 1 , \ell } = ( \rho S ) ^ { n , \ell } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \left( f _ { \rho S } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - f _ { \rho S } ^ { \ell - \frac { 1 } { 2 } } \right) + \frac { \Delta t } { \Delta x } \left( g _ { \rho S } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - g _ { \rho S } ^ { \ell - \frac { 1 } { 2 } } \right) + \Delta t \, \tilde { \Pi } ^ { \ell } ,