harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { \tau = 1 } ^ { m } \mathbb E \left[ \left. \langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle - g _ { T _ { 0 } + \tau , a _ { T _ { 0 } + \tau } } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \le \left( 1 + \sum _ { \tau = 1 } ^ { m - 1 } \lVert \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau + 1 } ^ { \prime } - \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } \right) \mathbb E \left[ \left. \eta _ { m } ^ { - 1 } \ln \frac 1 { \beta _ { m } } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] + e \mathbb E \left[ \left. \sum _ { \tau = 1 } ^ { m } \eta _ { \tau } \lVert \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \quad + \mathbb E \left[ \left. \sum _ { \tau = 1 } ^ { m } \gamma _ { \tau } \left\langle \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } , \frac { \mathbf 1 } { K } \right\rangle \right\vert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \le \left( 1 + \sum _ { \tau = 1 } ^ { m - 1 } \lVert \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau + 1 } ^ { \prime } - \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } \right) \cdot 4 M ^ { 3 } K m ^ { 1 + \frac 2 3 \delta } \cdot \left( 3 \ln m + \ln K \right) } \\ & { \quad + e \frac 1 4 M ^ { - 1 } K ^ { - 1 } m ^ { - 1 - \frac 2 3 \delta } \mathbb E \left[ \left. \sum _ { \tau = 1 } ^ { m } \lVert \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] + \frac 1 4 K ^ { - 1 } m ^ { - 1 - \frac 1 3 \delta } \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } \mathbb E \left[ \left. \sum _ { \tau = 1 } ^ { m } \left\lVert \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } \right\rVert _ { 1 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \le 4 \left( 1 + C _ { V } m ^ { 1 - \delta } \right) \cdot M ^ { 3 } K m ^ { 1 + \frac 2 3 \delta } \cdot \left( 3 \ln m + \ln K \right) } \\ & { \quad + \frac e 4 M ^ { - 1 } K ^ { - 1 } m ^ { - 1 - \frac 2 3 \delta } \mathbb E \left[ \left. \sum _ { \tau = 1 } ^ { m } \lVert \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] + \frac 1 4 K ^ { - 1 } m ^ { - 1 - \frac 1 3 \delta } \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } \mathbb E \left[ \left. \sum _ { \tau = 1 } ^ { m } \left\lVert \mathbf g _ { T _ { 0 } + \tau } \right\rVert _ { 1 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] , } \end{array}
( { W \cdot \hat { \lambda } _ { 1 } } ) ( \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 2 } ) - ( { W \cdot \hat { \lambda } _ { 2 } } ) ( \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 1 } ) = ( W \cdot \mathcal { D } ) ( \hat { \lambda } _ { 1 } \cdot \hat { \mu } _ { 2 } )
\scriptstyle { \begin{array} { l } { \alpha _ { i k } = \left( { \begin{array} { l l l l } { U _ { 4 } / i c } & { 0 } & { 0 } & { i U _ { 1 } / c } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { U _ { 1 } / i c } & { 0 } & { 0 } & { U _ { 4 } / i c } \end{array} } \right) } \\ { U _ { i } = \left( c \sinh { \frac { g \tau } { c } } , \ 0 , 0 , \ i g \cosh { \frac { g \tau } { c } } \right) } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { X _ { i } = \mathbf { f } _ { i } ( t ) + x ^ { \prime \kappa } \alpha _ { \kappa i } ( \tau ) } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { { \begin{array} { r l } { X } & { = { \frac { c ^ { 2 } } { g } } \left( \cosh { \frac { g t } { c } } - 1 \right) + x \cosh { \frac { g t } { c } } } \\ { Y } & { = y } \\ { Z } & { = z } \\ { T } & { = { \frac { c } { g } } \sinh { \frac { g t } { c } } + x { \frac { \sinh { \frac { g t } { c } } } { c } } } \end{array} } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { d s ^ { 2 } = d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } + d z ^ { 2 } - c ^ { 2 } d t ^ { 2 } \left( 1 + g x / c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \phi _ { m _ { 0 } } ( t ) d t : = } & { \; C _ { m _ { 0 } } \, \phi ( t ) \, d t , \quad \mathrm { w h e r e ~ t > 0 ~ a n d } } \\ { C _ { m _ { 0 } } = } & { \; K _ { 0 } \, e ^ { \alpha ( m _ { 0 } - m _ { t r } ) } , } \\ { \phi ( t ) = } & { \; \theta \, t _ { 0 } ^ { \theta } \, \frac { 1 } { t ^ { 1 + \theta } } H ( t - t _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { k } ^ { \mathrm { { z f } } } \left[ l \right] = { \log _ { 2 } } \left( { 1 + \frac { { { { \left| { { \bf { h } } _ { k } ^ { H } \left( { { \bf { \Theta } } \left[ l \right] } \right) { { \bf { w } } _ { k } } \left[ l \right] } \right| } ^ { 2 } } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } \right) , \forall k \in { \cal K } , l \in { \cal L } . } \end{array}
T _ { a _ { 1 } \ldots a _ { s } } ^ { b _ { 1 } \ldots b _ { r } } T _ { b _ { j } } ^ { c _ { 1 } \ldots c _ { m } } = T _ { a _ { 1 } \ldots a _ { s } } ^ { b _ { 1 } \ldots b _ { j - 1 } c _ { 1 } \ldots c _ { m } b _ { j + 1 } \ldots b _ { r } }
\begin{array} { r l } & { R ( \{ \Pi _ { i } \} ) = \operatorname* { m i n } _ { \hat { c } , c _ { 0 } \in [ - 1 , 1 ] } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } | ( c _ { 0 } + \hat { c } \cdot \hat { n } _ { i } ) | } \\ & { R ( \mathrm { s y m } \{ \Pi _ { i } \} ) = \operatorname* { m i n } _ { \hat { c } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } | ( \hat { c } \cdot \hat { n } _ { i } ) | } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { g } } & { { = } } & { { 1 + \sigma ^ { I } T _ { I } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { h } } & { { = } } & { { 1 - \sigma ^ { I } W _ { I } { } ^ { i } M _ { i } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { x ^ { \mu \, \prime } } } & { { = } } & { { x ^ { \mu } + \sigma ^ { I } k _ { ( I ) } { } ^ { \mu } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } \vartheta \Big | _ { \beta = - h ( t ) } } & { = \frac { \xi _ { t } ^ { \mathrm { b } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } + \eta _ { t } ^ { \mathrm { b } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } } { J ^ { \mathrm { b } } } , } \\ { \operatorname { I m } \vartheta \Big | _ { \beta = - h ( t ) } } & { = \frac { \eta _ { t } ^ { \mathrm { b } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } - \xi _ { t } ^ { \mathrm { b } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } } { J ^ { \mathrm { b } } } + h _ { t } , } \end{array} \qquad \qquad J ^ { \mathrm { b } } = ( \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } ) ^ { 2 } + ( \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } ) ^ { 2 } .
I _ { \mathrm { d i a g } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { r } } } \log _ { 2 } \left( 1 + A _ { i i } ^ { 2 } \frac { \Sigma _ { i i } ^ { \mathrm { c } } } { \Sigma _ { i i } ^ { \xi } } \right) \; .
\tau _ { \mathrm { D W } } = \frac { 4 \pi r _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 } \cdot \frac { \mu _ { 5 } } { g } = \frac { | m ^ { 3 } | g ^ { 2 } N ^ { 3 } } { 2 4 \pi } \ .
\begin{array} { r l r l } { F _ { \mathrm { i n } } ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } F _ { \mathrm { i n } } } { \d \xi ^ { 3 } } } & { { } = - \dot { s } _ { 0 } } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } = 0 , k _ { 2 } = 0 \ldots 0 . 5 , w _ { \{ 3 \} } \quad } & { \mathrm { a n d } \quad k _ { 1 } = 0 . 5 , k _ { 2 } = 0 \ldots 0 . 5 , w _ { \{ 3 \} } , } \\ { k _ { 1 } = 0 \ldots 0 . 5 , k _ { 2 } = 0 , w _ { \{ 3 \} } \quad } & { \mathrm { a n d } \quad k _ { 1 } = 0 \ldots 0 . 5 , k _ { 2 } = 0 . 5 , w _ { \{ 3 \} } , } \\ { k _ { 2 } = 0 , k _ { 3 } = 0 \ldots 0 . 5 , w _ { \{ 1 \} } \quad } & { \mathrm { a n d } \quad k _ { 2 } = 0 . 5 , k _ { 3 } = 0 \ldots 0 . 5 , w _ { \{ 1 \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U ( \mathbf { x } ) = U ( \mathbf { x } _ { 0 } ) + ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) ^ { T } \mathbf { U } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) / 2 , } \\ & { Z = \int d \mathbf { x } \exp \{ - U ( \mathbf { x } ) \} = 2 \frac { ( 2 \pi ) ^ { N / 2 } } { \sqrt { \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { U } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \right) } } e ^ { - U ( \mathbf { x } _ { 0 } ) } , } \end{array}
- \frac { i } { \hbar } \frac { q ^ { 2 } } { 1 + q ^ { 2 } } \; \Bigl [ \; \frac { \{ c , \; \dot { \bar { c } } \} _ { q } } { q ^ { 4 } } + [ \; b , e \; ] _ { q } \; \Bigr ] \; \dot { c } \; ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ,
P \; = \; \left( \begin{array} { c c c c } { { \; 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \; 0 } } & { { \; 1 } } & { { } } \\ { { } } & { { \; 1 } } & { { \; 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { - 1 } } \end{array} \right)
\varepsilon = \frac { 1 } { R ^ { 4 } } \left\{ \left[ - \frac { \pi ^ { 2 } } { 9 0 } + \frac { ( m R ) ^ { 2 } } { 2 4 } - \frac { ( m R ) ^ { 3 } } { 1 2 \pi } + \ldots \right] + \lambda \left[ \frac { 1 } { 1 1 5 2 } - \frac { m R } { 1 9 2 \pi } + \ldots \right] \right\} + \ldots
W \left[ f _ { \ell } ( k , R ) , \phi _ { \ell } ( k ^ { \prime } , R ) \right] = \left( - k \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \nu } F _ { \ell } ( k ) + \left( k ^ { 2 } - k ^ { \prime 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { R } d r \, f _ { \ell } ( k , r ) \phi _ { \ell } ( k ^ { \prime } , r ) \, .
\begin{array} { r l r } { P _ { \lambda } ^ { ( a , b , c , d ) } ( t ^ { \rho ^ { * } } ) } & { = } & { t ^ { ( \rho ^ { * } , \lambda ) } \frac { \Delta ^ { ( a ^ { * } , b ^ { * } , c ^ { * } , d ^ { * } ) } ( t ^ { \rho } ) } { \Delta ^ { ( a ^ { * } , b ^ { * } , c ^ { * } , d ^ { * } ) } ( q ^ { \lambda } t ^ { \rho } ) } , } \\ { P _ { \mu } ^ { ( a ^ { * } , b ^ { * } , c ^ { * } , d ^ { * } ) } ( t ^ { \rho } ) } & { = } & { t ^ { ( \rho , \mu ) } \frac { \Delta ^ { ( a , b , c , d ) } ( t ^ { \rho ^ { * } } ) } { \Delta ^ { ( a , b , c , d ) } ( q ^ { \mu } t ^ { \rho ^ { * } } ) } . } \end{array}
\boldsymbol { x } ( t ) \approx \sum _ { j = 1 } ^ { r } \boldsymbol { \phi _ { j } } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( \omega _ { j } t ) b _ { j } = \boldsymbol { \Phi } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( \boldsymbol { \Omega } t ) \boldsymbol { b } ,
\frac { 1 } { 3 } \mathrm { T r } [ \Tilde { G } _ { i j } ^ { T } ( \vec { r } , \omega ) ] = \frac { \mathrm { e } ^ { - \alpha r } } { 6 \pi \eta r } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { 1 } { 3 } \mathrm { T r } [ \Tilde { G } _ { i j } ^ { L } ( \vec { r } , \omega ) ] = \frac { \lambda ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda r } } { 1 2 \pi \eta r } \, ,
\begin{array} { r l } { \textup { \texttt { t a i l } } _ { \infty } \big ( u _ { + } ; z _ { 0 } , r , \frac { r } { 2 } \big ) } & { \le c \, \operatorname* { s u p } _ { Q _ { r } ( z _ { 0 } ) } u \ + c \, \big ( \operatorname* { s u p } _ { Q _ { r } ( z _ { 0 } ) } u \big ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } + c \, \left( \frac { r } { R } \right) ^ { \frac { s p } { p - 1 } } \textup { \texttt { t a i l } } ( u _ { - } ; z _ { 0 } , R , r ) } \\ & { \quad + c \, r ^ { \frac { s p } { p - 1 } } \big ( \| u \| _ { L ^ { p } ( Q _ { r } ( z _ { 0 } ) ; \, \nu ) } ^ { \frac { p } { p - 1 } } + \| \mathtt { h } \| _ { L ^ { \infty } ( Q _ { r } ( z _ { 0 } ) ) } ^ { \frac { p } { ( p - 1 ) ^ { 2 } } } + \| u \| _ { L ^ { \gamma } ( Q _ { r } ( z _ { 0 } ) ; \, \nu ) } ^ { \frac { \gamma } { p - 1 } } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { \leq \sum _ { l = 1 } ^ { \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) } \mathsf { o c } _ { 0 } ( \bar { \alpha } \gamma ^ { l } ) + n \sum _ { l \geq \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) } \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } \mathsf { o c } _ { 0 } ( \bar { \alpha } \gamma ^ { l } ) } \\ & { \leq \sum _ { l = 1 } ^ { \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) } { \cal O } \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \bar { \alpha } ^ { 4 } \gamma ^ { 4 l } } \right) + n \sum _ { l \geq \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) } \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } { \cal O } \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \bar { \alpha } ^ { 4 } \gamma ^ { 4 l } } \right) } \\ & { \leq { \cal O } \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \bar { \alpha } ^ { 4 } } \right) \left( \sum _ { l = 1 } ^ { \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) } \frac { 1 } { \gamma ^ { 4 l } } + n \sum _ { l \geq \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) } \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } \frac { 1 } { \gamma ^ { 4 l } } \right) } \\ & { \leq { \cal O } \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 4 } } \right) \left( \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) \cdot \left( \frac { 1 } { \gamma ^ { 4 } } \right) ^ { \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) } + n \left( \frac { q } { p \gamma ^ { 4 } } \right) ^ { \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) } \frac { 1 } { 1 - \frac { q } { p \gamma ^ { 4 } } } \right) } \\ & { = { \cal O } \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 4 } } \, \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) \, n ^ { \log _ { \frac { p } { q } } \left( \frac { 1 } { \gamma ^ { 4 } } \right) } \right) } \\ & { = { \cal O } \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 4 } } \, \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) \, n ^ { 4 \log _ { \frac { q } { p } } \gamma } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \beta } _ { 1 } = \beta _ { 1 } + \beta _ { 3 } \left( \frac { \gamma ^ { 3 } } { \gamma ^ { 1 } } + \frac { 1 } { \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } } \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( \gamma ^ { 1 } ) ^ { 2 } } \partial \gamma ^ { 1 } - \frac { 1 } { \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } } \partial \gamma ^ { 2 } \right) , } \\ & { \tilde { \beta } _ { 2 } = \beta _ { 2 } - \beta _ { 3 } \frac { \gamma ^ { 3 } } { \gamma ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { 1 } { \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } } \partial \gamma ^ { 1 } + \frac { 1 } { ( \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \partial \gamma ^ { 2 } \right) , } \\ & { \tilde { \beta } _ { 3 } = \beta _ { 3 } \frac { \gamma ^ { 1 } } { \gamma ^ { 2 } } . } \end{array}
g ^ { ( c + \Delta ^ { c } ) ( c + \Delta ^ { c } ) c c } = \left( \left( g ^ { ( c + \Delta ^ { c } ) ( c + \Delta ^ { c } ) } \right) ^ { c } + \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } g ^ { ( c + \Delta ^ { c } ) ( c + \Delta ^ { c } ) } ( x ) \right) ^ { c } + \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } g ^ { ( c + \Delta ^ { c } ) ( c + \Delta ^ { c } ) } ( x ) .
\tau _ { R } = \frac { \tau _ { 0 } } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { k _ { B } T _ { c } } { 2 \Delta } \right) ^ { 5 / 2 } \sqrt { \frac { T _ { c } } { T } } e ^ { \Delta / k _ { B } T } = \frac { \tau _ { 0 } } { n _ { q p } } \frac { N _ { 0 } \left( k _ { B } T _ { c } \right) ^ { 3 } } { 2 \Delta ^ { 2 } } ,
f _ { ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = \exp [ \frac { 1 } { 2 } S ^ { t } \Omega S + C ^ { t } S ] \delta _ { \alpha _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \delta _ { \alpha _ { 2 } } ^ { k _ { 2 } }
H ( t ) = ( a l l \; \; \bar { n } - m e d i u m \; \; i n t e r a c t i o n s ) - U _ { n } , \; \; \; \; H _ { n \bar { n } } ( t ) = \epsilon \int d ^ { 3 } x ( \bar { \Psi } _ { \bar { n } } \Psi _ { n } + h . c . ) ,
( { } ^ { ( 3 ) } \bigtriangleup A ) _ { t } = { \frac { \partial ^ { 2 } A _ { t } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { \partial A _ { t } } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } ( { } ^ { ( 2 ) } \bigtriangleup A ) _ { t } ,
\begin{array} { r } { \iint _ { - \pi } ^ { \pi } \Theta ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) \left( \vec { P } ( \theta _ { 1 } ) \times d \vec { P } ( \theta _ { 1 } ) \right) \otimes \left( \vec { P } ( \theta _ { 2 } ) \times d \vec { P } ( \theta _ { 2 } ) \right) } \end{array}
\mathcal { P } ( u , v ) = \{ w _ { n } | n = 0 , \ldots , \ell , w _ { n } \in \mathcal { V } , ( w _ { n } , w _ { n + 1 } ) \in \mathcal { E } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 0 \leq n < \ell , w _ { 0 } = u , w _ { n } = v \} \, .
\begin{array} { r l } { \dot { \Pi } + \frac { 2 \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } } p ^ { ( 0 ) } \partial _ { k } v _ { k } + \frac { 2 \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } ( 1 + \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } ) } \partial _ { k } q _ { k } } & { = - \frac { 1 } { \tau _ { \Pi } } \Pi , } \\ { \dot { \Pi } _ { \langle i j \rangle } + 2 p ^ { ( 0 ) } \partial _ { \langle j } v _ { i \rangle } + \frac { 2 } { 1 + \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } } \partial _ { \langle j } q _ { i \rangle } } & { = - \frac { 1 } { \tau _ { S } } \Pi _ { \langle i j \rangle } , } \\ { \dot { q } _ { i } - \frac { k _ { \mathrm { B } } } { m } T ^ { ( 0 ) } \partial _ { i } p + \frac { k _ { \mathrm { B } } } { m } ( 1 + \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } ) p ^ { ( 0 ) } \partial _ { i } T + \frac { p ^ { ( 0 ) } } { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { k } \left\{ ( p + \Pi ) \delta _ { i k } \Pi _ { \langle i k \rangle } \right\} } & { = - \frac { 1 } { \tau _ { q } } q _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { { S } } } ( t ) = - \nu \, ( \nu + 1 ) \, \frac { | \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } | } { 2 t _ { 0 } ^ { 2 } } \, { \mathrm { s e c h } } ^ { 2 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) , \quad \mathrm { w i t h } \quad \nu = - \frac { 1 } { 2 } + \left( \frac { 1 } { 4 } + 4 \left| \frac { \gamma ^ { \prime \prime } } { \gamma ^ { \prime } } \frac { \beta _ { 2 } ^ { \prime } } { \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } } \right| \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
A _ { n _ { 1 } \to n _ { 2 } } ^ { \mathrm { t r e e } } \propto \sqrt { n _ { 1 } ! } \sqrt { n _ { 2 } ! } e ^ { \frac { 1 } { \lambda } F ^ { \mathrm { t r e e } } ( n _ { 1 } \lambda , n _ { 2 } \lambda ) }
\mathbf { v } = { \hat { v } } ^ { i } \, \mathbf { \hat { e } } _ { i } = \left( \left( R ^ { - 1 } \right) _ { j } ^ { i } { v } ^ { j } \right) \left( \mathbf { e } _ { k } R _ { i } ^ { k } \right) = \left( \left( R ^ { - 1 } \right) _ { j } ^ { i } R _ { i } ^ { k } \right) { v } ^ { j } \mathbf { e } _ { k } = \delta _ { j } ^ { k } { v } ^ { j } \mathbf { e } _ { k } = { v } ^ { k } \, \mathbf { e } _ { k } = { v } ^ { i } \, \mathbf { e } _ { i }
\begin{array} { r l r } { G _ { \perp m } ^ { \prime } ( b ) } & { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } x _ { \perp } ^ { m + 1 } \exp ( - x _ { \perp } ^ { 2 } ) J _ { 0 } \frac { \partial J _ { 0 } } { \partial l } d x _ { \perp } , } \\ { G _ { \perp m } ^ { \prime \prime } ( b ) } & { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } x _ { \perp } ^ { m + 1 } \exp ( - x _ { \perp } ^ { 2 } ) \left( \frac { \partial J _ { 0 } } { \partial l } \right) ^ { 2 } d x _ { \perp } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { 0 \le i _ { 0 } < i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } \le n \atop i _ { k } > k } z ^ { \sum _ { j = 0 } ^ { k } \beta _ { i _ { j } } - \frac { k ( k + 1 ) } { 2 } } \cdot G _ { k } \big ( \beta _ { i _ { 0 } } , \beta _ { i _ { 1 } } , \cdots , \beta _ { i _ { k } } ; g _ { i _ { 0 } } ( z ) , g _ { i _ { 1 } } ( z ) , \cdots g _ { i _ { k } } ( z ) \big ) e _ { i _ { 0 } } \wedge e _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge e _ { i _ { k } } . } \end{array}
{ \it E } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf r } , t ) = \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega } \tilde { \it E } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) u _ { \mathrm { i n } } ( { \bf r } ; { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) e ^ { - i \omega t } = \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega } e ^ { i { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { s a m } } \cdot ( { \bf r } - { \bf r } _ { \mathrm { i n } } ) - i \omega t }
T _ { q g } ^ { A } ( x , x _ { L } ) = \frac { C } { x _ { A } } ( 1 - e ^ { - x _ { L } ^ { 2 } / x _ { A } ^ { 2 } } ) [ f _ { q } ^ { A } ( x + x _ { L } ) \, x _ { T } f _ { g } ^ { N } ( x _ { T } ) + f _ { q } ^ { A } ( x ) ( x _ { L } + x _ { T } ) f _ { g } ^ { N } ( x _ { L } + x _ { T } ) ] \,
\begin{array} { r } { ( p + p _ { * 1 } ) ( p + p _ { * 2 } ) } \\ { = ( p + \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) ( p + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle ) - \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \Delta _ { * } ^ { 2 } } \\ { = ( p + \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) ( \gamma - 1 ) c _ { V } \rho \theta - \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \Delta _ { * } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ( K , N , \Xi , L _ { 1 } , H _ { 2 } ) = } & { H _ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } \left( 3 \beta ^ { 2 } - 2 \right) K ^ { 2 } H _ { 2 } + ( 1 - \beta ^ { 2 } ) K \Xi L _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( 4 - \beta ^ { 2 } \right) N H _ { 2 } } \\ & { + ( \frac { 3 } { 2 } + \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } ) H _ { 2 } ^ { 3 } - ( \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } + 1 ) \frac { H _ { 2 } } { 2 } \left( { L _ { 1 } } ^ { 2 } + { \Xi } ^ { 2 } \right) \; , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { | 0 _ { L } ^ { + } \rangle } & { \equiv | \alpha \rangle + | - \alpha \rangle , } \\ { | 1 _ { L } ^ { + } \rangle } & { \equiv | i \alpha \rangle + | - i \alpha \rangle , } \\ { | 0 _ { L } ^ { - } \rangle } & { \equiv | \alpha \rangle - | - \alpha \rangle , } \\ { | 1 _ { L } ^ { - } \rangle } & { \equiv | i \alpha \rangle - | - i \alpha \rangle . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \varphi ( x ) : = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \varphi _ { i } ( x _ { i } ) , \; \mathrm { ~ w h e r e ~ } \; \varphi _ { i } ( x _ { i } ) : = g _ { i } ( x _ { i } ) - h _ { i } ( x _ { i } ) } \\ { \mathrm { ~ w i t h ~ } \; g _ { i } ( x _ { i } ) : = \frac { 1 } { 2 } x _ { i } ^ { 2 } \; \mathrm { ~ a n d ~ } \; h _ { i } ( x _ { i } ) : = | x _ { i } | + \big | 1 - | x _ { i } | \, \big | . } \end{array}
- { \cal L } _ { m } = \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { B } _ { L } \tilde { W } _ { L } ^ { 0 } \tilde { H } _ { 1 L } ^ { 0 } \tilde { H } _ { 2 L } ^ { 0 } \right) M _ { N } \left( \begin{array} { c } { { \tilde { B } _ { L } } } \\ { { \tilde { W } _ { L } ^ { 0 } } } \\ { { \tilde { H } _ { 1 L } ^ { 0 } } } \\ { { \tilde { H } _ { 2 L } ^ { 0 } } } \end{array} \right) + h . c . ,
\begin{array} { r l } { W \left( \lambda _ { 0 } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) \right] _ { t = - \infty } ^ { t = - t _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) - \pi \right] _ { t = - t _ { 1 } } ^ { t = t _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathbb { E } [ e ( { \bf q } ( t ) ) ] } { \mathbb { E } [ e ( { \bf q } ( 0 ) ) ] } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } R ( r ) \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) \| { \bf M } _ { t } { \bf L } r \boldsymbol { \theta } \| ^ { 2 } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) \bigg / \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } R ( r ) \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) r ^ { 2 } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } R ( r ) r ^ { 2 } d r \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) \| { \bf M } _ { t } { \bf L } \boldsymbol { \theta } \| ^ { 2 } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) \bigg / \int _ { 0 } ^ { \infty } R ( r ) r ^ { 2 } d r \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ & { = \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) \| { \bf M } _ { t } { \bf L } \boldsymbol { \theta } \| ^ { 2 } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) \mathrm { . } } \end{array}
M _ { R L ; L R } ^ { U } ( s ) = \left( \frac { E _ { l } - m _ { l } } { E _ { l } } \cdot \frac { E _ { l } ^ { \prime } - m _ { l } ^ { \prime } } { E _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 + \left( \frac { E _ { l } + m _ { l } } { E _ { l } - m _ { l } } \cdot \frac { E _ { l } ^ { \prime } + m _ { l } ^ { \prime } } { E _ { l } ^ { \prime } - m _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] y ,