harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { B } - \boldsymbol { u } ^ { B } \| ] \ge } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \frac { 1 } { 6 } N _ { t } ( N _ { t } + 1 ) ( 2 N _ { t } + 1 ) \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & { \quad { \scriptstyle ( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } i ^ { 2 } = \frac { 1 } { 6 } N _ { t } ( N _ { t } + 1 ) ( 2 N _ { t } + 1 ) ) } } \\ { \ge } & { \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } N _ { t } , } \end{array}
\sigma _ { x } \{ [ t _ { 1 } \cos ( q _ { y } b ) + t _ { 3 } \cos ( q _ { x } b ) ] J _ { 0 } ( K _ { y 1 } ) + t _ { 2 } \cos [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 0 } ( K _ { x 1 } ) \}
\begin{array} { r l } { G _ { \v \gamma , 1 } ( t , \varphi ) } & { = \left( 2 \left( \v \gamma ( t , \varphi ) - \v x \right) \cdot \v \gamma _ { t } ( t , \varphi ) \right) ^ { - 1 } = \left( \frac { \partial } { \partial t } R ^ { 2 } ( t , \varphi , \v x ) \right) ^ { - 1 } , } \\ { G _ { \v \gamma , 2 } ( t , \varphi ) } & { = \left( 2 \left( \v \gamma ( t , \varphi ) - \v x \right) \cdot \v \gamma _ { \varphi } ( t , \varphi ) \right) ^ { - 1 } = \left( \frac { \partial } { \partial \varphi } R ^ { 2 } ( t , \varphi , \v x ) \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\mathcal { C } _ { - } = \{ \mathrm { ~ V ~ } ^ { 2 + } , \mathrm { ~ V ~ } ^ { 3 + } , \mathrm { ~ H ~ } ^ { + } , \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } , \mathrm { ~ H ~ S ~ O ~ } _ { 4 } ^ { - } , \mathrm { ~ S ~ O ~ } _ { 4 } ^ { 2 - } \}
x \, w ^ { \pi } ( x , Q ^ { 2 } ) = \left[ x ^ { a } \left( A + B \sqrt { x } + C x \right) \left( \ln \frac { 1 } { x } \right) ^ { b } + s ^ { \alpha } \, \, \mathrm { { e x p } } \left( - E + \sqrt { E ^ { \prime } s ^ { \beta } \ln \frac { 1 } { x } } \right) \right] ( 1 - x ) ^ { D } .
{ \cal Z } _ { \mathrm { G - L } } ^ { \mathrm { 3 D } } = \int { \cal D } A _ { \mu } { \cal D } \theta ^ { \mathrm { s i n g . } } { \cal D } \theta ^ { \mathrm { r e g . } } \exp \left\{ - \int d ^ { 3 } x \left[ \frac { 1 } { 4 q ^ { 2 } } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \theta - A _ { \mu } \right) ^ { 2 } \right] \right\} ,
\begin{array} { c } { { G _ { T } ( z ^ { \prime \prime } ) = G _ { T } ( z _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) G _ { T } ( z _ { s } ( z ^ { \prime } ; u ) ) \, , } } \\ { { { } } } \\ { { G _ { T } ( z ^ { \prime } ) = G _ { T } ( z _ { 1 } ) ^ { - 1 } G _ { T } ( z ) \, , } } \end{array}
E = ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) = \left( \left( \begin{array} { l l l } { C _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { C _ { 1 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { C _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { C _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \right) = \left( \begin{array} { l l } { E ^ { r } } & { 0 } \\ { 0 } & { E ^ { c } } \end{array} \right) .
\begin{array} { c } { { G ^ { R } ( x p ) - G ^ { A } ( x p ) = G ^ { > } ( x p ) - G ^ { < } ( x p ) \mathrm { ~ , } \vphantom { \biggl ] } } } \\ { { \Sigma ^ { R } ( x p ) - \Sigma ^ { A } ( x p ) = \Sigma ^ { > } ( x p ) - \Sigma ^ { < } ( x p ) \mathrm { ~ . } } } \end{array}
\int \! \! d ^ { D } \! x _ { 0 } \, \Biggl ( - \frac { 1 } { 4 } { \cal F } _ { \rho \sigma } { \cal F } _ { \rho \sigma } \Biggr ) \; \longrightarrow \; - \delta ^ { a b } ( \delta _ { \mu \nu } k ^ { 2 } - k _ { \mu } k _ { \nu } )
\Pi _ { 3 } ( \omega , \omega ^ { \prime } ) = { \frac { 2 e _ { c } } { m _ { c } } } { \frac { 1 } { \pi ^ { 4 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } d t _ { 2 } e ^ { i \omega t _ { 1 } + i \omega ^ { \prime } t _ { 2 } } \{ { \frac { 1 8 } { ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) ^ { 8 } } } + { \frac { < g _ { s } ^ { 2 } G ^ { 2 } > } { 6 4 ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) ^ { 4 } } } \} \; ,
\begin{array} { r } { f \left( \mathbf { x } , t ; \frac { \partial u } { \partial x _ { 1 } } , \ldots , \frac { \partial u } { \partial x _ { N } } , \frac { \partial u } { \partial t } ; \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } , \ldots , \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { N } } , \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 1 } \partial t } ; \ldots ; \boldsymbol { \lambda } \right) = 0 , \quad \mathbf { x } = \left( x _ { 1 } , \cdots , x _ { N } \right) \in \Omega , \quad t \in [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] , } \end{array}
a _ { 0 } = \frac { e E } { m c \omega } = 8 5 \frac { \lambda } { \mu \mathrm { m } } \left( \frac { I } { 1 0 ^ { 2 2 } ~ \mathrm { W } \mathrm { c m } ^ { - 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } .
+ \frac { m } { m _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 3 } \right) { \cal F } _ { \mu \nu } D _ { \alpha } \varphi _ { \alpha } - \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } + \kappa _ { 3 } \right) \widetilde { { \cal F } } _ { \mu \nu } D _ { \alpha } \widetilde { \varphi } _ { \alpha } \right]
\Delta D _ { u _ { v } } ^ { p } ( z ) = \frac 3 2 [ W _ { S } ^ { ( u / p ) } ( z ) F _ { M } ^ { ( u / d ) } ( z ) - \frac { 1 } { 9 } W _ { V } ^ { ( u / p ) } ( z ) F _ { V } ^ { ( u / d ) } ( z ) ] D _ { d _ { v } } ^ { p } ( z ) ,
{ \mathcal A } _ { c o n } ^ { a } \left( x \right) = - \left( D ^ { \mu } \langle J _ { \mu } \rangle \right) ^ { a } \left( x \right) = \frac i { 4 \pi } \varepsilon _ { \mu \nu } { \mathrm t r } \, t ^ { a } \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } \left( x \right) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \{ a _ { k } \leq \tilde { r } _ { k } \leq b _ { k } \} } \\ { = } & { \mathbb { P } \{ \left( N + 1 - k \right) a _ { k } \leq \sum _ { t = 0 } ^ { N - k } \prod _ { i = 1 } ^ { d } \mathbf { y } _ { t , i } \mathbf { y } _ { t + \alpha _ { k , i } , i } } \\ & { \leq \left( N + 1 - k \right) b _ { k } \} } \\ { = } & { 1 - \mathbb { P } \{ \sum _ { t = 0 } ^ { N - k } \prod _ { i = 1 } ^ { d } \mathbf { y } _ { t , i } \mathbf { y } _ { t + \alpha _ { k , i } , i } \leq \left( N + 1 - k \right) a _ { k } \} } \\ { - } & { \mathbb { P } \{ \sum _ { t = 0 } ^ { N - k } \prod _ { i = 1 } ^ { d } \mathbf { y } _ { t , i } \mathbf { y } _ { t + \alpha _ { k , i } , i } \geq \left( N + 1 - k \right) b _ { k } \} } \\ { \leq } & { 1 - \mathbb { P } \{ \mathbf { y } _ { t , i } \mathbf { y } _ { t + \alpha _ { k , i } , i } \leq a _ { k } , \forall 0 \leq t \leq N - k \} } \\ { - } & { \mathbb { P } \{ \mathbf { y } _ { t , i } \mathbf { y } _ { t + \alpha _ { k , i } , i } \geq b _ { k } , \forall 0 \leq t \leq N - k \} } \\ { = } & { 1 - \left( \mathbb { P } \{ \mathbf { y } _ { t , i } \mathbf { y } _ { t + \alpha _ { k , i } , i } \leq a _ { k } \} \right) ^ { N + 1 - k } } \\ { - } & { \left( \mathbb { P } \{ \mathbf { y } _ { t , i } \mathbf { y } _ { t + \alpha _ { k , i } , i } \geq b _ { k } \} \right) ^ { N + 1 - k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { D _ { 2 } \left( z ; q \right) = \left( z ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } \right) , \; D _ { 3 } \left( z ; q \right) = z \left( z ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } \\ & { } & { D _ { 2 } \left( z ; q \right) = \left( z ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } \right) , \; D _ { 3 } \left( z ; q \right) = z \left( z ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } \\ & { } & { E _ { 2 } \left( z ; q \right) = C _ { 0 } z \ , \; E _ { 3 } \left( z ; q \right) = C _ { 0 } \left( z ^ { 2 } - \left[ \omega _ { 2 } ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } \right] \right) , } \\ & { } & { E _ { 4 } \left( z ; q \right) = C _ { 0 } \left( z ^ { 3 } + b _ { 1 } z \right) , \; E _ { 5 } \left( z ; q \right) = C _ { 0 } \left( z ^ { 4 } + d _ { 2 } z ^ { 2 } + d _ { 0 } \right) . } \end{array}
( M _ { \mathrm { P V } } ) ^ { 3 T _ { G } - \sum T ( R _ { i } ) } \left( \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \right) ^ { T _ { G } } \! \exp \left( - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \right) \, \prod _ { i } \left( Z _ { i } \right) ^ { - T ( R _ { i } ) } = \mathrm { c o n s t } \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { d P _ { \parallel } } { d t } + P _ { \parallel } \nabla \cdot { \bf u } + 2 P _ { \parallel } \left[ { \bf \hat { z } } \left( { \bf \hat { z } } \cdot \nabla \right) \right] \cdot { \bf u } } & { = } & { 0 , } \\ { \frac { d P _ { \perp } } { d t } + 2 P _ { \perp } \nabla \cdot { \bf u } - P _ { \perp } \left[ { \bf \hat { z } } \left( { \bf \hat { z } } \cdot \nabla \right) \right] \cdot { \bf u } } & { = } & { 0 , } \end{array}
P = - \frac { 3 } { 8 } g ^ { 2 } + \rho T \left( 1 - \frac { 2 } { 3 } \frac { \rho T } { g ^ { 2 } } + \frac { 1 6 } { 9 } \left( \frac { \rho T } { g ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 4 5 } { 2 7 } \left( \frac { \rho T } { g ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } + \frac { 1 4 7 2 } { 8 1 } \left( \frac { \rho T } { g ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } + \ldots \right)
U = \left( \begin{array} { c c c } { { u _ { 1 } } } & { { \alpha ^ { * } } } & { { \beta ^ { * } } } \\ { { \alpha } } & { { u _ { 2 } } } & { { \gamma ^ { * } } } \\ { { \beta } } & { { \gamma } } & { { u _ { 3 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { r \le r _ { 0 } } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { q } } \left\| \frac { 1 } { \left\| \chi _ { B ( \cdot , r ) } \right\| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } } \left\| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \chi _ { B ( \cdot , r ) } \right\| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\| _ { L ^ { q } } } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { r \le r _ { 0 } } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { q } } \left\| \frac { 1 } { \left\| \chi _ { B ( \cdot , r ) } \right\| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } } \cdot \left\| \chi _ { B ( \cdot , r ) } \right\| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \chi _ { B ( x _ { 0 } , r + r _ { 0 } ) } \right\| _ { L ^ { q } } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { 0 < r \le r _ { 0 } } r ^ { \frac { n } { \alpha } } ( 1 + \frac { r _ { 0 } } { r } ) ^ { \frac { n } { q } } } \\ & { \lesssim r _ { 0 } ^ { \frac { n } { \alpha } + C _ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { L } } & { = - i ( \mathcal { Z } ^ { * } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } } - \mathcal { Z } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } } ) - \frac { 1 } { 2 } ( m + 1 ) \dot { \mathcal { \alpha } } \rho ^ { 2 } + ( \mathcal { P } ^ { * } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } } + \mathcal { P } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } } ) - \frac { m + 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \alpha ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \right) } \\ & { - { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { m + 1 } { 2 } \rho ^ { 2 } + | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right) - \lambda \left[ \frac { 1 } { 4 } ( m + 2 ) ( m + 1 ) \rho ^ { 4 } + | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 4 } + 2 ( m + 1 ) \rho ^ { 2 } | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right] } \\ & { - \frac { N } { \pi ( m ! ) ^ { 2 } 2 ^ { 2 m + 2 } } \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \left[ ( 2 m ) ! \ln \left( \frac { | C _ { m } | ^ { 2 } } { 4 ^ { m } \sqrt { e } } \right) - \frac { ( m + 1 ) ! } { 2 } + m \Gamma ^ { \prime } ( 2 m + 1 ) + ( 2 m ) ( 2 m ) ! \ln \rho \right] } \\ & { + { \Omega } \left[ i ( \mathcal { P } ^ { * } \mathcal { Z } _ { 0 } - \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } \mathcal { P } ) + m + 2 | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right] - i ( \mathcal { P } ^ { * } \mathcal { Z } _ { 0 } - \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } \mathcal { P } ) - ( | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } + | \mathcal { P } | ^ { 2 } ) , } \end{array}
\frac { \Gamma ( B \to X _ { s } \gamma ) \big | _ { E _ { \gamma } > ( 1 - \delta ) E _ { \gamma } ^ { \mathrm { m a x } } } } { \Gamma ( B \to X _ { c } \, e \, \bar { \nu } ) } = \frac { 6 \alpha } { \pi f ( z ) } \, \left| \frac { V _ { t s } ^ { * } V _ { t b } } { V _ { c b } } \right| ^ { 2 } K _ { \mathrm { N L O } } ( \delta ) \, ,
\bar { \rho } : = \frac { 1 } { | \Omega | } \left( \int _ { \Omega } \left( \psi _ { + } ^ { \prime } \left( \phi _ { h } ^ { n + 1 } \right) + \psi _ { - } ^ { \prime } \left( \phi _ { h } ^ { n } \right) \right) + \int _ { \Omega } \left( f _ { + } ^ { \prime } ( \phi _ { h } ^ { n + 1 } ) g ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } ) + f _ { - } ^ { \prime } ( \phi _ { h } ^ { n } ) g ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } ) \right) \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { L I S ( \sigma | _ { ( \kappa + \alpha A _ { 1 } , \kappa + \alpha A _ { 2 } ] \times ( \kappa + \gamma B _ { 1 } , \kappa + \gamma B _ { 2 } ] } ) } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi _ { A _ { 1 } , A _ { 2 } ; B _ { 1 } , B _ { 2 } } ^ { T _ { 1 } , T _ { 2 } , K _ { 0 } } } \sum _ { l = 1 } ^ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } L I S ( \sigma | _ { [ \kappa + \alpha a _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \alpha c _ { l } ( \Gamma ) ] \times [ \kappa + \gamma b _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \gamma d _ { l } ( \Gamma ) ] } ) . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \textup { r e d } } = } & { { } \textup { H } \left\{ ( \lambda + 2 \mu ) ( \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \prime } + \mathcal { B } _ { 3 } ) ^ { 2 } + \mu ( \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \prime } + \mathcal { B } _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \lambda - 2 \mu ) \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \prime } \mathcal { B } _ { 3 } \right\} / 2 + } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { k } ^ { + } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { i \notin { \cal R } } \xi _ { i } ^ { k } \operatorname { t a n h } ( \beta h _ { i } ^ { + } ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in { \cal R } } \xi _ { j } ^ { k } \frac { p _ { + } ^ { + } - p _ { - } ^ { + } } { p _ { + } ^ { + } + p _ { - } ^ { + } } } \\ { m _ { k } ^ { - } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { i \notin { \cal R } } \xi _ { i } ^ { k } \operatorname { t a n h } ( \beta h _ { i } ^ { - } ) + \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { i \in { \cal R } } \xi _ { i } ^ { k } \frac { \operatorname { t a n h } ( \beta h _ { i } ^ { - } ) - ( p _ { + } ^ { -- } p _ { - } ^ { - } ) } { 1 - \left( p _ { + } ^ { - } + p _ { - } ^ { - } \right) } . } \end{array}
H _ { N L } = \frac { \mathcal { B } M _ { \gamma } ^ { 2 } } { 4 } \left( 1 - \frac { M _ { \gamma } ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 4 } \right) e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 8 } } x _ { 1 } x _ { 2 } \ .
\times H _ { _ { N _ { 1 } } } ( \sqrt { \alpha ^ { 1 / 2 } \omega } \, x ) \; H _ { _ { N _ { 2 } } } ( \sqrt { \alpha ^ { 1 / 2 } \omega } \, y ) \; H _ { _ { N _ { 3 } } } ( \sqrt { \alpha ^ { 1 / 2 } \omega } \, z )
\begin{array} { r l } { \frac { \xi ( \vec { D } ( \xi ) ) _ { i } } { W ( \xi ) } ( \overline { { \omega } } ) _ { k } } & { = \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } \mathtt { M } ^ { \alpha + 3 } } { 1 6 ( \alpha + 1 ) } \frac { i _ { \xi } f ( i _ { \xi } , \mathtt { j } _ { i } ) \mathtt { j } _ { i } } { i _ { \xi } | i _ { \xi } | ^ { \alpha - 1 } } \mathtt { j } _ { k } ^ { \alpha } + ( W _ { r , 5 } ( \xi ) ) _ { k } ^ { i } , } \\ { \frac { \xi _ { 1 } ( \vec { D } ( \xi _ { 1 } ) ) _ { i } - \xi _ { 2 } ( \vec { D } ( \xi _ { 2 } ) ) _ { i } } { W ( \xi _ { 1 } ) - W ( \xi _ { 2 } ) } ( \overline { { \omega } } ) _ { k } } & { = \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } \mathtt { M } ^ { \alpha + 3 } } { 1 6 ( \alpha + 1 ) } \frac { \left( i _ { \xi , 1 } f ( i _ { \xi , 1 } , \mathtt { j } _ { i } ) - i _ { \xi , 2 } f ( i _ { \xi , 2 } , \mathtt { j } _ { i } ) \right) \mathtt { j } _ { i } } { \xi _ { 1 } | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } - \xi _ { 2 } | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } } \mathtt { j } _ { k } ^ { \alpha } + ( W _ { r , 6 } ( \xi ) ) _ { k } ^ { i } , } \end{array}
\frac { \hbar W } { S _ { E } } = \sigma \frac { \hbar } { q ^ { 2 } } + \cdots \; \sim \; \frac { \hbar G } { q ^ { 2 } G } \: \simeq \; \biggl ( \frac { L _ { P l a n c k } } { L _ { B H } } \biggr ) ^ { 2 } ,
{ \begin{array} { r l } { p ( x ^ { \prime } , t + \varepsilon ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } x \int _ { - i \infty } ^ { i \infty } { \frac { \mathrm { d } { \tilde { x } } } { 2 \pi i } } \left( 1 + \varepsilon \left[ { \tilde { x } } D _ { 1 } ( x , t ) + { \tilde { x } } ^ { 2 } D _ { 2 } ( x , t ) \right] \right) e ^ { { \tilde { x } } ( x - x ^ { \prime } ) } p ( x , t ) + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } x \int _ { - i \infty } ^ { i \infty } { \frac { \mathrm { d } { \tilde { x } } } { 2 \pi i } } \exp \left( \varepsilon \left[ - { \tilde { x } } { \frac { ( x ^ { \prime } - x ) } { \varepsilon } } + { \tilde { x } } D _ { 1 } ( x , t ) + { \tilde { x } } ^ { 2 } D _ { 2 } ( x , t ) \right] \right) p ( x , t ) + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) . } \end{array} }
\int _ { \mathrm { L S } } d { \bf r } [ { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } \cdot { \bf u } ] = \left\langle { \lvert \bf { [ ( u \cdot \nabla ) u ] \cdot u } \rvert } \right\rangle _ { \mathrm { L S } } = - \int _ { 0 } ^ { k _ { f } } T _ { u } ( k ^ { \prime } ) d k ^ { \prime } = \Pi _ { u } ( k ) .
K _ { l } ( u ) = \left( \begin{array} { l l } { { 2 x _ { 0 } ( q ^ { - 1 } s ^ { - 1 } u - q s u ^ { - 1 } ) \; } } & { { x _ { + } ( q ^ { - 1 } u ^ { 2 } - q u ^ { - 2 } ) } } \\ { { x _ { - } ( q ^ { - 1 } u ^ { 2 } - q u ^ { - 2 } ) \; } } & { { - 2 x _ { 0 } ( s u - s ^ { - 1 } u ^ { - 1 } ) } } \end{array} \right) \, ,
( 1 \times 1 \times 1 2 \times 3 2 ) + ( 1 \times 1 \times 3 2 \times 6 4 ) + ( 1 \times 1 \times 6 4 \times 1 2 8 ) + ( 1 \times 1 \times 1 2 8 \times 5 ) = 1 1 , 2 6 4
\overline { { W } } _ { \mathrm { c } } = \Delta \mathcal { F } _ { \mathrm { c } } = \frac { k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { c } } } { 2 } \ln \frac { k _ { \mathrm { m a x } } } { k _ { \mathrm { m i n } } } .
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } \langle V ( \tau ) , W ( \tau ) \rangle = \langle \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } V ( \tau ) , W ( \tau ) \rangle + \langle V ( \tau ) , \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } W ( \tau ) \rangle } \\ & { = \langle \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle V ( \tau ) , A ( \tau ) \rangle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle V ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle A ( \tau ) , W ( \tau ) \rangle + } \\ & { + \langle V ( \tau ) , \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle W ( \tau ) , A ( \tau ) \rangle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle W ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle A ( \tau ) \rangle = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \tilde { f } _ { x } , T _ { a } ^ { \mathrm { F } } ( \tilde { f } _ { y } ) \right\rangle } & { = \int _ { X _ { n } } \tilde { f } _ { x } T _ { a } ^ { \mathrm { F } } ( \tilde { f } _ { y } ) d m _ { X _ { n } } = \int _ { X _ { n } } f _ { x } T _ { a } ^ { \mathrm { F } } ( \tilde { f } _ { y } ) d m _ { X _ { n } } = \int _ { B _ { X _ { n } } ( x , r _ { 0 } ) } T _ { a } ^ { \mathrm { F } } ( \tilde { f } _ { y } ) d m _ { X _ { n } } } \\ & { = v _ { r _ { 0 } } \cdot ( - v _ { r _ { 0 } } ) = - v _ { r _ { 0 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } \mathcal { E } } & { = } & { - ( \mathcal { P } _ { l } - \mathcal { P } _ { \perp } ) l ^ { \mu } l ^ { \nu } \sigma _ { \mu \nu } - M \mathcal { D } _ { \alpha } l ^ { \alpha } - l ^ { \nu } \mathcal { D } _ { \nu } M - \mathcal { D } _ { \nu } W _ { \perp u } ^ { \nu } - 2 W _ { \perp l } ^ { \nu } l ^ { \alpha } \sigma _ { \alpha \nu } } \\ & { } & { - \pi _ { \perp } ^ { \mu \nu } \sigma _ { \perp \mu \nu } , } \\ { l ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } \mathcal { P } _ { l } } & { = } & { - ( \mathcal { P } _ { l } - \mathcal { P } _ { \perp } ) \mathcal { D } _ { \alpha } l ^ { \alpha } - M \, l ^ { \mu } l ^ { \nu } \sigma _ { \mu \nu } - u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } M - l _ { \nu } W _ { \perp u } ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } u ^ { \nu } - \, l _ { \nu } u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } W _ { \perp u } ^ { \nu } } \\ & { } & { - l _ { \mu } l ^ { \nu } \mathcal { D } _ { \nu } W _ { \perp l } ^ { \mu } - \mathcal { D } _ { \alpha } W _ { \perp l } ^ { \alpha } + \pi _ { \perp } ^ { \nu \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } l _ { \nu } , } \\ { \Xi ^ { \mu \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } \mathcal { P _ { \perp } } } & { = } & { - ( \mathcal { P } _ { l } - \mathcal { P } _ { \perp } ) \, \Xi _ { \nu } ^ { \mu } l ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } l ^ { \nu } - M \, \Xi _ { \nu } ^ { \mu } l ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } u ^ { \nu } - \, M \Xi _ { \nu } ^ { \mu } u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } l ^ { \nu } - \Xi _ { \nu } ^ { \mu } W _ { \perp u } ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } u ^ { \nu } } \\ & { } & { - \Xi _ { \nu } ^ { \mu } u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } W _ { \perp u } ^ { \nu } - W _ { \perp l } ^ { \mu } \mathcal { D } _ { \alpha } l ^ { \alpha } - \Xi _ { \nu } ^ { \mu } W _ { \perp l } ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } l ^ { \nu } - \Xi _ { \nu } ^ { \mu } l ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } W _ { \perp l } ^ { \nu } - \Xi _ { \nu } ^ { \mu } \mathcal { D } _ { \alpha } \pi _ { \perp } ^ { \nu \alpha } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \left( \begin{array} { l l l } { 4 } & { 1 2 } & { - 1 6 } \\ { 1 2 } & { 3 7 } & { - 4 3 } \\ { - 1 6 } & { - 4 3 } & { 9 8 } \end{array} \right) } } & { = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 4 } & { 5 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { 4 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 9 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 1 } & { 5 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\boldsymbol { P _ { j } } = \left( \begin{array} { c c c c } { e ^ { i k _ { j , 1 } d _ { j } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i k _ { j , 2 } d _ { j } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { i k _ { j , 3 } d _ { j } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { i k _ { j , 4 } d _ { j } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { P ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \\ & { = - \left\langle T _ { c } \, \left( \alpha _ { C } ^ { * } + \delta a _ { C } ^ { \dagger } ( \tau _ { 1 } ) \right) \left( \alpha _ { C } + \delta \hat { a } _ { C } ( \tau _ { 1 } ) \right) \right. } \\ & { \qquad \, \, \, \left. \times \left( \alpha _ { C } ^ { * } + \delta a _ { C } ^ { \dagger } ( \tau _ { 2 } ) \right) \left( \alpha _ { C } + \delta a _ { C } ( \tau _ { 2 } ) \right) \right\rangle } \\ & { \approx - i \, \alpha _ { C } ^ { * } \, \alpha _ { C } \bigg ( \mathcal { A } _ { C } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + \mathcal { A } _ { C } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ) \bigg ) } \end{array}
\oint _ { S } \mathbf { B } \cdot \mathrm { { d } } \mathbf { l } = \mu _ { 0 } \oint _ { S } \mathbf { J } \cdot \mathrm { { d } } \mathbf { A } + \mu _ { 0 } \oint _ { S } \mathbf { J } _ { \mathrm { { d } } } \cdot \mathrm { { d } } \mathbf { A } , \,
\mathbf { A } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \mathbf { A } _ { ( 1 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 2 ) } } & { } & { } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , n - 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , n ) } } \\ { \mathbf { A } _ { ( 2 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 2 ) } } & { } & { } & { } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , n - 1 ) } } \\ { \vdots } & { } & { } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { } \\ { \mathbf { A } _ { ( n - 1 , 1 ) } } & { } & { } & { } & { \mathbf { A } _ { ( 2 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 2 ) } } \\ { \mathbf { A } _ { ( n , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( n - 1 , 1 ) } } & { \cdots } & { } & { } & { \mathbf { A } _ { ( 2 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \mathbf { M } ( \mathbf { r } ) \approx - \boldsymbol { \mu } \frac { e k _ { F } } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar } - \frac { e ^ { 2 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } ^ { 2 } } { 1 2 \pi ^ { 3 } \hbar ^ { 2 } } \boldsymbol { \mu } \times \mathbf { I } } \\ { + \frac { e ^ { 2 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } ^ { 4 } } { 6 \pi ^ { 3 } m _ { e } } \left( \frac { \mathbf { I } } { 3 k _ { F } r } - 3 \frac { 3 ( \mathbf { I } \cdot \hat { \mathbf { r } } ) \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { I } } { 8 ( k _ { F } r ) ^ { 3 } } \right) + \mathcal { O } \left( r ^ { 2 } \right) . } \end{array}