harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( M _ { 0 } c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \sum _ { n } \left( m _ { n } c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = 2 \sum _ { n < k } \left( E _ { n } E _ { k } - c ^ { 2 } \mathbf { p } _ { n } \cdot \mathbf { p } _ { k } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \eta ^ { \prime } } & { = \frac { \eta \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) } { L ( \rho , \theta , \eta ) } \Bigg \{ 3 6 \eta ^ { 5 } \left( 1 - \rho ^ { 2 } \right) ^ { 5 / 2 } + 6 \eta ^ { 2 } \rho ^ { 3 } \left( \rho ^ { 2 } - 1 \right) \cos ( \theta ) ( - \lambda + \cos ( 2 \theta ) ( \lambda + \zeta \epsilon ) + \zeta \epsilon ) } \\ & { + 2 \rho ^ { 5 } \cos ( \theta ) \left( \zeta \cos ^ { 4 } ( \theta ) - 2 \lambda \sin ^ { 4 } ( \theta ) + \epsilon ( 2 \zeta - \lambda ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) \cos ^ { 2 } ( \theta ) \right) + 6 \eta ^ { 3 } \rho ^ { 2 } \left( 1 - \rho ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } ( ( 3 \epsilon + 2 ) \cos ( 2 \theta ) + 3 \epsilon - 2 ) } \\ & { + \eta \rho ^ { 4 } \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } \left( 4 \sin ^ { 4 } ( \theta ) + 5 \cos ^ { 4 } ( \theta ) - 3 \epsilon \sin ^ { 2 } ( 2 \theta ) \right) \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { b _ { 1 2 } } & { { } = \mp a _ { 3 4 } \, , } & { b _ { 1 3 } } & { { } = \pm a _ { 2 4 } \, , } & { b _ { 1 4 } } & { { } = \mp a _ { 2 3 } \, , } \\ { b _ { 2 3 } } & { { } = \mp a _ { 1 4 } \, , } & { b _ { 2 4 } } & { { } = \pm a _ { 1 3 } \, , } & { b _ { 3 4 } } & { { } = \mp a _ { 1 2 } \, , } \end{array}
\widetilde { \varphi } \otimes \varphi _ { f } \quad \mathrm { e t } \quad \widetilde { \psi } \otimes \varphi _ { f } \in A ^ { \bullet } \left( S \times \mathcal { H } \times \mathbf { C } ^ { n } , \mathcal { S } ( M _ { n , 2 } ( \mathbf { A } ) ) \right) ^ { ( \mathrm { G L } _ { n } ( \mathbf { R } ) \times \mathrm { S L } _ { 2 } ( \mathbf { R } ) ) \ltimes \mathbf { C } ^ { n } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } ^ { \mathrm { H H G } } } & { { } = \frac { i } { \hbar } \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { T _ { 0 } } d t e ^ { i ( n + 1 ) \omega _ { 0 } t } \int \frac { d ^ { D } { \bf P } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } { \bf d } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { ( 1 ) } = E ^ { ( 0 ) } + V _ { 1 1 } = 2 + \frac { V _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 1 + \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d \sigma _ { C } ^ { k l } \left( u _ { k l } , \psi \right) } { d \Omega _ { \psi } } } \\ & { \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } \, \left( u _ { k l } ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 \, m _ { e } ^ { 2 } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } \lambda _ { D } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathrm { i } \omega \cdot l - ( d _ { n } ( \omega , j ) - d _ { n } ( \omega , k ) ) | } & { \ge | \mathrm { i } \omega \cdot l - ( d _ { \infty } ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( \omega , k ) ) | - 2 \sum _ { k \ge n + 1 } | r _ { k } | _ { 0 , 0 , 0 } ^ { \operatorname* { s u p } } } \\ & { \overset { , , } \ge 2 \gamma | l | ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | - c _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 9 - 6 b } \sum _ { k \ge n + 1 } N _ { k - 2 } ^ { - \sigma _ { 1 } } } \\ & { \overset { \mathrm { L e m m a ~ } } \ge \gamma | l | ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | \left( 2 - c _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 9 - 8 b } | l | ^ { \tau } \sum _ { k \ge n } N _ { k - 1 } ^ { - \sigma _ { 1 } } \right) . } \end{array}
\big [ \mathrm { \mathbf { T } } _ { L } ( Y _ { 0 } , \beta , d ) \big ] = \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( \beta d ) } & { \mathrm { j } \frac { 1 } { Y _ { 0 } } \sin ( \beta d ) } \\ { \mathrm { j } Y _ { 0 } \sin ( \beta d ) } & { \cos ( \beta d ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { \mathrm { d } T } = \frac { \mathrm { d } V _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { b i f } } } { \mathrm { d } T } = \Delta V \frac { I _ { T } N _ { T } } { I _ { V } N _ { V } \rho } \frac { \mathrm { d } p _ { T } } { \mathrm { d } T } = \frac { \Delta V } { \Delta T } \frac { I _ { T } N _ { T } } { I _ { V } N _ { V } \rho } p _ { T } ( 1 - p _ { T } ) = \frac { \Delta V } { \Delta T } \frac { I _ { T } N _ { T } \varrho } { I _ { V } N _ { V } \rho } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { I } _ { 1 } + \mathrm { I } _ { 2 } + \mathrm { I } _ { 3 } | } & { \le } & { C \frac { h } { p } \left( 1 + \frac { k h } p \right) \| \boldsymbol { z } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } ) } \| { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { i + 1 } ( 4 ) } { 2 i - 1 } } = { \frac { 4 } { 1 } } - { \frac { 4 } { 3 } } + { \frac { 4 } { 5 } } - { \frac { 4 } { 7 } } + { \frac { 4 } { 9 } } - { \frac { 4 } { 1 1 } } + { \frac { 4 } { 1 3 } } - \cdots = \pi
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { D } } & { = } & { \rho - \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial S } { \partial t } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { = } & { 0 , } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { = } & { - \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } , } \\ { \nabla \times \mathbf { H } } & { = } & { \frac { \partial \mathbf { D } } { \partial t } + \mathbf { j } + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \nabla S . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ s ~ k ~ i ~ - ~ s ~ n ~ o ~ w ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ f ~ o ~ r ~ } S G _ { F | | } = } \\ { \bigg [ \frac { D F T ( S G _ { F | | } ) } { D F T ( \omega _ { x } ) } ; \frac { D F T ( S G _ { F | | } ) } { D F T ( \omega _ { y } ) } ; \frac { D F T ( S G _ { F | | } ) } { D F T ( \omega _ { z } ) } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = m } ^ { n } f ( i ) - \int _ { m } ^ { n } f ( x ) \, d x } & { { } = { \frac { f ( m ) + f ( n ) } { 2 } } + \int _ { m } ^ { n } f ^ { \prime } ( x ) P _ { 1 } ( x ) \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial y } { \partial R } } & { = u _ { 1 } \frac { \partial h _ { 2 1 } } { \partial R } + u _ { 2 } \frac { \partial h _ { 2 2 } } { \partial R } } \\ & { = u _ { 1 } \biggl [ v _ { 1 1 } w _ { 1 1 } \: f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 1 } R + w _ { 2 1 } Z + b _ { 1 } \big ) } \\ & { + v _ { 2 1 } w _ { 1 2 } \: f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 2 } R + w _ { 2 2 } Z + b _ { 2 } \big ) \biggl ] f ^ { \prime } \big ( v _ { 1 1 } h _ { 1 1 } + v _ { 2 1 } h _ { 1 2 } + b _ { 3 } \big ) } \\ & { + u _ { 2 } \biggl [ v _ { 1 2 } w _ { 1 1 } \: f ^ { \prime } \big ( ( w _ { 1 1 } R + w _ { 2 1 } Z + b _ { 1 } \big ) } \\ & { + v _ { 2 2 } w _ { 1 2 } \: f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 2 } R + w _ { 2 2 } Z + b _ { 2 } \big ) \biggl ] f ^ { \prime } \big ( v _ { 1 2 } h _ { 1 1 } + v _ { 2 2 } h _ { 1 2 } + b _ { 4 } \big ) } \\ & { \equiv u _ { 1 } \Big [ v _ { 1 1 } w _ { 1 1 } \: \tilde { h } _ { 1 1 } + v _ { 2 1 } w _ { 1 2 } \: \tilde { h } _ { 1 2 } \Big ] \: \tilde { h } _ { 2 1 } + u _ { 2 } \Big [ v _ { 1 2 } w _ { 1 1 } \: \tilde { h } _ { 1 1 } + v _ { 2 2 } w _ { 1 2 } \: \tilde { h } _ { 1 2 } \Big ] \: \tilde { h } _ { 2 2 } } \end{array}
g _ { \textbf { r } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 4 } \langle \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( i ) } \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( j ) } \rangle - \frac { 1 } { 4 } \langle \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( i ) } \rangle \langle \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( j ) } \rangle
\begin{array} { r } { \overline { N } _ { \mathrm { A C } } ( t ) = \frac { 1 } { T } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sqrt { \kappa _ { n } \eta _ { n } } e ^ { i ( \alpha _ { n } - \beta _ { n } ) } A _ { n } B _ { n } e ^ { i 2 \pi n \Delta f _ { r } t } + c . c . \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ \! \! \zeta ^ { l } } & { = - \sum _ { i } \frac { ( \mathrm { R e } \lambda _ { i } ^ { l } ) ^ { 2 } + ( \mathrm { I m } \lambda _ { i } ^ { l } ) ^ { 2 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { i } ^ { l } } \frac { C _ { i i } ^ { l } } { \vert \operatorname* { d e t } T ^ { l } \vert ^ { 2 } } } \\ & { - \sum _ { i \neq j } \frac { 2 \bar { \lambda } _ { i } ^ { l } \lambda _ { j } ^ { l } } { \mathrm { R e } \lambda _ { i } ^ { l } + \mathrm { R e } \lambda _ { j } ^ { l } + i ( \mathrm { I m } \lambda _ { j } ^ { l } - \mathrm { I m } \lambda _ { i } ^ { l } ) } \frac { C _ { i j } ^ { l } } { \vert \operatorname* { d e t } T ^ { l } \vert ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big [ h _ { n } ^ { - 1 } \big ( \tilde { m } _ { k , n } \big ) ^ { 2 } \big ] } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } x \, \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big ( | h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \tilde { m } _ { k , n } | > x \big ) \, d x } \\ & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } x \, \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big ( \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le 1 } B _ { t } > x \big ) \, d x + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } _ { \mathbb { P } } ( 1 ) } \\ & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } x \, \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big ( \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } | B _ { 1 } | > x \big ) \, d x + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } _ { \mathbb { P } } ( 1 ) } \\ & { = \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ^ { 2 } + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } _ { \mathbb { P } } ( 1 ) \, . } \end{array}
R = { \bar { Y } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { y _ { i } } { \pi _ { i } } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { \pi _ { i } } } } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \check { y } } _ { i } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \check { 1 } } _ { i } } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } y _ { i } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } } }
a + b = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \, , } & { 1 - \epsilon _ { l } \leq u _ { l } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } u _ { r } \leq e _ { r } } \\ { 1 \, , } & { ( 1 - \epsilon _ { l } \leq u _ { l } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \epsilon _ { r } < u _ { r } ) } \\ { ~ } & { \mathrm { ~ o ~ r ~ } ( 1 - \epsilon _ { l } > u _ { l } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \epsilon _ { r } \geq u _ { r } ) } \\ { 0 \, , } & { 1 - \epsilon _ { l } > u _ { l } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } u _ { r } > e _ { r } } \end{array} \right.
\; \; \; \; \; + 2 K _ { a } ^ { b } K _ { b } ^ { a } \: s \partial _ { s } \phi ^ { ( 2 ) } + 4 ( K _ { a } ^ { b } K _ { b } ^ { a } ) ^ { 2 } \: s ^ { 3 } \partial _ { s } \phi _ { + } ^ { ( 0 ) } + 4 K _ { c } ^ { a } K _ { a } ^ { b } K _ { b } ^ { c } \: s ^ { 2 } \partial _ { s } \phi ^ { ( 1 ) } .
\begin{array} { r } { \nabla _ { \eta ^ { ( j ) } } ^ { 2 } \widetilde { \Phi } _ { h } ( \eta ^ { ( j ) } , \eta _ { j } ) \nabla _ { \eta ^ { ( j ) } } \partial _ { \eta _ { j } } \widetilde { \Phi } _ { h } = \frac { h ^ { 2 } \tilde { m } ^ { 2 } + | \eta _ { j } | ^ { 2 } } { ( \lvert \eta \rvert ^ { 2 } + h ^ { 2 } \tilde { m } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \nabla _ { \eta ^ { ( j ) } } \partial _ { \eta _ { j } } \widetilde { \Phi } _ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial A _ { p } } { \partial z } } & { { } = i \gamma _ { p } ( 1 - f _ { R } ) ( | A _ { p } | ^ { 2 } A _ { p } + 2 | A _ { s } | ^ { 2 } A _ { p } ) + R _ { p } ( z , t ) } \\ { \frac { \partial A _ { s } } { \partial z } } & { { } = i \gamma _ { s } ( 1 - f _ { R } ) ( | A _ { s } | ^ { 2 } A _ { s } + 2 | A _ { p } | ^ { 2 } A _ { s } ) + R _ { s } ( z , t ) } \end{array}
7 \cdot 2 6 3 7 3 6 2 ^ { 2 } = 2 ^ { 2 } \cdot 7 ^ { 3 } \cdot 1 3 ^ { 2 } \cdot 4 3 ^ { 2 } \cdot 3 3 7 ^ { 2 } = 4 8 6 8 9 7 4 8 2 3 3 3 0 8
\frac { \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta t / 2 } = \alpha \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { n + 1 } } { \partial y ^ { 2 } } \right]
[ \widetilde { p } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { e } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { s } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { \kappa } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } ] : = \left\{ \begin{array} { l l } { [ p _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , e _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , s _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \kappa _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } ] } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { \varepsilon } } \\ { \textbf { 0 } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } } \end{array} \right. .
\begin{array} { l } { { \ell _ { 3 } ^ { + } = \ell ^ { + } , \ell ^ { - } = 0 } } \\ { { \hat { h } = \frac { k ^ { - } } { k } \ell ^ { + } = \frac { \hat { q } } { 2 } } } \\ { { \hat { h } = \hat { h } ^ { \prime } , \hat { q } = \hat { q } ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \int _ { F ^ { \prime } } R _ { F } ^ { f } \, \mathrm { d } \mu \geq \int f \, \mathrm { d } \mu - \varepsilon } \\ { \mathrm { ~ a n d ~ } \; } & { R _ { F } ( x ) \cdot \left( \int f \, \mathrm { d } \mu - \varepsilon \right) \leq R _ { F } ^ { f } ( x ) \leq R _ { F } ( x ) \cdot \left( \int f \, \mathrm { d } \mu + \varepsilon \right) } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } x \in F ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } ( P _ { f _ { \pm 1 } } , P _ { f _ { 0 } } ) } & { \leq n \| f _ { \pm 1 } - f \| _ { L ^ { 2 } [ 0 , 1 ] } ^ { 2 } \exp \Big ( n \| f _ { \pm 1 } - f \| _ { L ^ { 2 } [ 0 , 1 ] } ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \leq n U ^ { 2 } B ^ { 2 + 1 / \beta } \| K \| _ { 2 } ^ { 2 } \exp \big ( C U ^ { 2 } \| K \| _ { 2 } ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
\frac { \Delta \rho g h _ { 0 } ^ { 3 } } { \mu R } \ll \frac { \rho \Omega ^ { 2 } h _ { 0 } ^ { 2 } R } { \mu } ~ ~ ~ ~ \longrightarrow ~ ~ ~ ~ \frac { \Delta \rho } { \rho } \ll \frac { \Omega ^ { 2 } R ^ { 2 } } { g h _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { \pi ^ { * } \omega } & { = \phi ^ { - 1 } \tilde { \omega } = e ^ { \nu } d d ^ { c } e ^ { - \nu } } \\ & { = e ^ { \nu } d ( - e ^ { - \nu } d ^ { c } \nu ) = e ^ { \nu } ( e ^ { - \nu } d \nu \wedge d ^ { c } \nu - e ^ { - \nu } d d ^ { c } \nu ) } \\ & { = d \nu \wedge d ^ { c } \nu - d d ^ { c } \nu = d \nu \wedge d ^ { c } \nu + d ^ { c } d \nu } \\ & { = \pi ^ { * } \theta \wedge \pi ^ { * } ( I \theta ) + d ^ { c } \pi ^ { * } \theta } \\ & { = \pi ^ { * } ( d ^ { c } \theta + \theta \wedge I \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d N _ { \gamma , n } } { d \phi } } & { = } & { - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \eta ( \phi ) } \int _ { 0 } ^ { s _ { n } ( \phi ) } d s ( \phi ) \left\{ J _ { n } ^ { 2 } ( z ) + \right. } \\ & { } & { \left. \frac { 1 } { 2 } \xi ^ { 2 } g ^ { 2 } \left( \frac { \phi } { \Phi } \right) \left[ 2 J _ { n } ^ { 2 } \left( z \right) - J _ { n + 1 } ^ { 2 } \left( z \right) - J _ { n - 1 } ^ { 2 } \left( z \right) \right] \right\} , } \end{array}
\operatorname * { d e t } _ { p } ( - \Delta _ { \mathrm { H d R } } ) = \operatorname * { d e t } _ { p T } ( - \Delta _ { \mathrm { H d R } } ) \times \operatorname * { d e t } _ { ( p - 1 ) T } ( - \Delta _ { \mathrm { H d R } } )
\hat { H } _ { I 1 } = - \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \cdot \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a }
\begin{array} { r l } { \tilde { M } _ { 1 } } & { = \int _ { 0 } ^ { 4 K } \big [ - 4 \sigma k _ { 1 } ^ { 2 } \sqrt { B } \mathsf { c n } ^ { 2 } ( u ) + \sqrt { B } \beta ( 1 - 2 k _ { 1 } ^ { 2 } \mathsf { s n } ^ { 2 } ( u ) ) + \frac { \beta \sigma } { \sqrt { B } } \big ] d u } \\ & { = ( B \beta + \beta \sigma ) \frac { 4 K } { \sqrt { B } } - 1 6 \sigma \sqrt { B } ( E - ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) K ) + 8 \beta \sqrt { B } ( E - K ) } \\ { M _ { 3 } } & { = - ( B + \sigma ) \beta \frac { 4 K } { \sqrt { B } } + \int _ { 0 } ^ { 4 K } \big [ ( 4 k _ { 1 } ^ { 2 } ( \beta - 1 ) \sqrt { B } + \frac { 2 \sigma \beta k _ { 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { B } } ) \mathsf { s n } ^ { 2 } ( u ) - 4 k _ { 1 } ^ { 4 } ( \beta - 1 ) \sqrt { B } \mathsf { s n } ^ { 4 } ( u ) \big ] d u } \\ & { = - ( B + \sigma ) \beta \frac { 4 K } { \sqrt { B } } - 8 ( 2 ( \beta - 1 ) \sqrt { B } + \frac { \sigma \beta } { \sqrt { B } } ) ( E - K ) - \frac { 1 6 ( \beta - 1 ) \sqrt { B } } { 3 } ( - 2 ( 1 + k _ { 1 } ^ { 2 } ) E + ( 2 + k _ { 1 } ^ { 2 } ) K ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { P _ { q } } } & { { } = } & { \sqrt { \left\langle \left( P _ { q } ( t ) - \mu _ { P _ { q } } \right) ^ { 2 } \right\rangle } } \\ { \sigma _ { \Delta \Phi _ { q } } } & { { } = } & { \sqrt { \left\langle \left( \Delta \Phi _ { q } ( t ) - \mu _ { \Delta \Phi _ { q } } \right) ^ { 2 } \right\rangle } . } \end{array}
\textstyle ( \mathcal { S } _ { - n } ) ^ { * } \chi _ { y _ { 1 } } \bar { \mathcal { S } } _ { [ 1 , n ] } ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { \theta ^ { x - x ^ { \prime } } } { ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 2 } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \oint _ { \Gamma _ { \alpha , \beta } } \mathrm { d } w \, \frac { [ \frac { u ( \alpha - u ) } { 1 + \kappa u } ] ^ { M } [ \frac { u ( \beta - u ) } { 1 + \kappa u } ] ^ { n - M } } { [ \frac { w ( \alpha - w ) } { 1 + \kappa w } ] ^ { M } [ \frac { w ( \beta - w ) } { 1 + \kappa w } ] ^ { n - M } } \frac { w ^ { x ^ { \prime } - y _ { 1 } + 2 n } } { u ^ { x - y _ { 1 } + 2 n + 1 } } \frac { 1 } { u - w } \frac { ( 1 + \kappa u ) \psi ( u ) } { ( 1 + \kappa w ) \psi ( w ) } .
\frac { \frac { ( a e - b d ) ( e k - f h ) } { A D } } { \frac { ( b f - e c ) ( d h - g e ) } { B C } } = \frac { \frac { ( a ^ { \prime } e ^ { \prime } - b ^ { \prime } d ^ { \prime } ) ( e ^ { \prime } k ^ { \prime } - f ^ { \prime } h ^ { \prime } ) } { A ^ { \prime } D ^ { \prime } } } { \frac { ( b ^ { \prime } f ^ { \prime } - e ^ { \prime } c ^ { \prime } ) ( d ^ { \prime } h ^ { \prime } - g ^ { \prime } e ^ { \prime } ) } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } }
\lambda _ { u } ^ { ( s ) } C _ { i } ^ { T } + \sum _ { q } \lambda _ { q } ^ { ( s ) } C _ { i , q } ^ { P } = \lambda _ { u } ^ { ( s ) } \tilde { C } _ { i } ^ { T } - \lambda _ { c } ^ { ( s ) } C _ { i } ^ { P } ,
( \nabla u ( s , e ) - \nabla u ( t , e ) ) ^ { 2 } \leq C \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \left( \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) \, d s ^ { \prime } \right) \left( \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) ( \nabla u ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } \, d s ^ { \prime } \right) .
\Gamma _ { \pm } = | \alpha _ { 0 } | ^ { 2 } \left( \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \right) ^ { 2 } \frac { \kappa } { ( \Delta _ { d } \pm \omega _ { z } ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 }
\begin{array} { r l } { { } ^ { ( 0 ) } \langle J , \kappa , m | H ^ { ( 0 ) } | J ^ { \prime } , \kappa ^ { \prime } , m ^ { \prime } \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = \delta _ { J J ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } ( A + B ) J ( J + 1 ) \delta _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } + \left[ C - \frac { 1 } { 2 } ( A + B ) \right] k ^ { 2 } \delta _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } } \end{array}
N _ { \mathrm { e x } } = \sum _ { \mathbf { k } , \alpha } a _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { \dagger } a _ { \mathbf { k } , \alpha } + \sum _ { \mathbf { n } , \alpha } \sigma _ { \mathbf { n } , \alpha } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathbf { n } , \alpha }
\mathcal { C } = \left\{ ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) \in \mathbb { S } ^ { 1 } \times \mathbb { S } ^ { 1 } \ | \quad | \alpha _ { 1 } = \alpha _ { 2 } \mathrm { ~ o r ~ } \ \begin{array} { l } { \! \alpha _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 } } \\ { \! \alpha _ { 2 } \mathrm { ~ a r b i t r a r y } } \end{array} \mathrm { ~ o r ~ } \ \begin{array} { l } { \! \alpha _ { 1 } \mathrm { ~ a r b i t r a r y } } \\ { \! \alpha _ { 2 } = - \frac { \pi } { 2 } } \end{array} \right\}
V ( 0 ; k ) = \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 } \int _ { \theta _ { 0 } } ^ { \pi - \theta _ { 0 } } r E _ { \theta 0 } \, d \theta = V _ { g } ( \omega ) A _ { 0 } ( k ) ( 1 + \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( k ) ) 2 \ln [ \cot ( \theta _ { 0 } / 2 ) ]
n ^ { 3 } = \underbrace { \left( n ^ { 2 } - n + 1 \right) + \left( n ^ { 2 } - n + 1 + 2 \right) + \left( n ^ { 2 } - n + 1 + 4 \right) + \cdots + \left( n ^ { 2 } + n - 1 \right) } _ { n { \mathrm { ~ c o n s e c u t i v e ~ o d d ~ n u m b e r s } } } .
\Pi _ { \mathrm { u c } } ^ { ( 1 ) } ( Q ) = \frac { e _ { 4 } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \left( - \frac { 3 \pi ^ { 2 } Q } { 6 4 M _ { c } } + \frac { \sqrt { \pi } Q ^ { 2 } } { 1 5 M _ { c } \Lambda } + \frac { \sqrt { \pi } \Lambda } { 3 M _ { c } } \right) \, ~ ,
\left\{ \begin{array} { l l l l } { \partial _ { t } \rho } & { = d \Delta \rho - \nabla \cdot ( \rho \vec { v } ( \rho ) ) + g ( t , x , \rho ) + f ( t , x , \rho ) , } & { \quad t \geq 0 , \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { q \cdot n } & { = q ^ { 0 } \cdot n , } & { \quad t \geq 0 , \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \\ { \rho ( 0 ) } & { = \rho _ { 0 } , } & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle b , c \rangle } & { = \sum _ { i } b _ { i } c _ { i } } \\ & { = \sum _ { i } \bigl ( ( b _ { i } - a _ { i } ) c _ { i } + a _ { i } c _ { i } \bigr ) } \\ & { \leq \sum _ { i } | b _ { i } - a _ { i } | + \sum _ { i } a _ { i } c _ { i } } \\ & { = \| a - b \| _ { 1 } + \langle a , c \rangle . } \end{array}
\int x d x \int \frac { d O _ { \gamma } } { 4 \pi } = \int d l \int d \gamma , \int d \gamma = \int \frac { d ^ { 3 } p _ { \nu } } { E _ { \nu } } \frac { d ^ { 3 } k } { k _ { 0 } } \frac { \delta ^ { 4 } ( P - p _ { \nu } - k ) } { 2 \pi } .
{ \cal L } _ { \pm } ^ { M W Y } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left[ \mp \dot { \phi } _ { k } \phi _ { k } ^ { \prime } - { \cal G _ { \pm } } \phi _ { k } ^ { 2 } - 2 \phi _ { k } ^ { \prime } \sum _ { m = 1 } ^ { k - 1 } \left( \dot { \phi } _ { m } + { \cal G _ { \pm } } \phi _ { m } ^ { \prime } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \psi _ { x } ^ { ( m + 1 ) } } & { = \phantom { - } \left[ 1 - \alpha - i \delta _ { 0 } + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A | \psi _ { x } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } + B | \psi _ { y } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } \right) \right] \psi _ { x } ^ { ( m ) } + i \, g t _ { \mathrm { R } } C \, { \psi _ { x } ^ { ( m ) } } ^ { * } { \psi _ { y } ^ { ( m ) } } ^ { 2 } + \sqrt { \theta } \, S _ { \mathrm { i n } } \cos \chi , } \\ { \psi _ { y } ^ { ( m + 1 ) } } & { = - \left[ 1 - \alpha - i \left( \delta _ { 0 } - \delta _ { \pi } \right) + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A | \psi _ { y } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } + B | \psi _ { x } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } \right) \right] \psi _ { y } ^ { ( m ) } - i \, g t _ { \mathrm { R } } C \, { \psi _ { y } ^ { ( m ) } } ^ { * } { \psi _ { x } ^ { ( m ) } } ^ { 2 } + \sqrt { \theta } \, S _ { \mathrm { i n } } \sin \chi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } x ( t ) \right] = 2 \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } a ( t ) \right] + \mathbb E \left\| b ( t ) K ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right\| _ { F } ^ { 2 } = 2 \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } a ( t ) \right] + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \mathbb E \left[ b _ { i } ( t ) ^ { \top } b _ { j } ( t ) \right] k _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ t ] \sum _ { i } \bar { \kappa } _ { x } ( v \otimes a _ { i } ) \cdot \bar { \kappa } _ { y } ( a _ { i } ^ { \# } \otimes w ) } & { = \bar { \kappa } _ { x \cdot y } ( v \otimes w ) + \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \bar { \kappa } _ { e ^ { 2 } } \cdot \bar { \kappa } _ { x } ( v ) \cdot \bar { \kappa } _ { y } ( w ) } \\ & { \quad \quad - \frac { 1 } { \chi } \bigl ( \bar { \kappa } _ { e \cdot x } ( v ) \cdot \bar { \kappa } _ { y } ( w ) + \bar { \kappa } _ { x } ( v ) \cdot \bar { \kappa } _ { e \cdot y } ( w ) \bigr ) , } \end{array}
\mathrm { R M S E } = \sqrt { \frac { 1 } { 3 N _ { c } \cdot N } \sum _ { c = 1 } ^ { N _ { c } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \gamma } ( \mathrm { F } _ { \mathrm { s t o } } - \mathrm { F } _ { \mathrm { a v e } } ) ^ { 2 } } ,