harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \int D x D \hat { x } D \xi P ( \xi ) \exp \left[ i \int d t \, \hat { x } ( t ) \big [ \partial _ { t } x + x - \mathrm { t a n h } \big ( f ( x ( t ) ) \big ) - \xi ( t ) \big ] \right] } \\ & { = \int D x D \hat { x } \exp \left[ - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \int d t d t ^ { \prime } \, \hat { x } ( t ) C _ { \xi } \hat { x } ( t ^ { \prime } ) + i \int d t \, \hat { x } ( t ) \big [ \partial _ { t } x + x - \mathrm { t a n h } \big ( f ( x ( t ) ) \big ) \big ] \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { L } } ( \tau ) = \frac { 2 ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } } ( 1 - \alpha ) ^ { - \frac { 2 } { \alpha - 1 } } \Gamma \left( \frac { - \alpha D + 3 D + 2 \gamma } { D - D \alpha } \right) } { \Gamma \left( \frac { - \alpha D + 2 D + 2 \gamma } { D - D \alpha } \right) } ( D \tau ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } \qquad \alpha < 1 \ , } \end{array}
N _ { a } ( e ) = \frac { 1 + \frac { 3 1 } { 2 } e ^ { 2 } + \frac { 2 5 5 } { 8 } e ^ { 4 } + \frac { 1 8 5 } { 1 6 } e ^ { 6 } + \frac { 2 5 } { 6 4 } e ^ { 8 } } { ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { 1 5 / 2 } } ,
\begin{array} { r } { \langle P _ { k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \aftergroup \egroup \right) , P _ { l } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \aftergroup \egroup \right) \rangle _ { w } = c _ { k } \delta _ { k l } ~ , \quad \forall P _ { k } , P _ { l } \in \mathbb { P } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { a _ { [ 1 , \infty ] } } \mathbb { F } ( r _ { [ 1 , \infty ] } | s _ { 1 } ) } \\ { = } & { \operatorname* { m a x } _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \Big \{ r ( s _ { 1 } , a _ { 1 } ) + \gamma \lambda _ { 2 } \eta _ { 2 } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } } \Big [ \operatorname* { m a x } _ { a _ { 2 } , \eta _ { 3 } } \Big \{ - \frac { \lambda _ { 2 } } { \alpha _ { 2 } } [ \eta _ { 2 } - r ( s _ { 2 } , a _ { 2 } ) ] _ { + } } \\ & { + ( 1 - \lambda _ { 2 } ) r ( s _ { 2 } , a _ { 2 } ) + \gamma \lambda _ { 3 } \eta _ { 3 } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 3 } } ^ { s _ { 2 } } \Big [ \operatorname* { m a x } _ { a _ { 3 } , \eta _ { 4 } } \Big \{ - \frac { \lambda _ { 3 } } { \alpha _ { 3 } } [ \eta _ { 3 } - r ( s _ { 3 } , a _ { 3 } ) ] _ { + } } \\ & { + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) r ( s _ { 3 } , a _ { 3 } ) + \gamma \lambda _ { 4 } \eta _ { 4 } + \cdots \Big \} \Big ] \Big \} \Big ] \Big \} , } \end{array}
\Phi _ { 0 0 } : = { \frac { 1 } { 2 } } R _ { a b } l ^ { a } l ^ { b } \, , \quad \Phi _ { 1 1 } : = { \frac { 1 } { 4 } } R _ { a b } ( \, l ^ { a } n ^ { b } + m ^ { a } { \bar { m } } ^ { b } ) \, , \quad \Phi _ { 2 2 } : = { \frac { 1 } { 2 } } R _ { a b } n ^ { a } n ^ { b } \, , \quad \Lambda : = { \frac { R } { 2 4 } } \, ;
\begin{array} { r l } { I _ { 2 a } ^ { ( 1 ) } } & { { } = 2 4 0 i D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int d \Omega _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x y l _ { E } ^ { D - 1 } ( l _ { E } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } } \end{array}
\mathbf { F } _ { k } = \frac { 1 } { \rho _ { 0 } h _ { k } } ( { \boldsymbol { \tau } } _ { k - 1 / 2 } - { \boldsymbol { \tau } } _ { k + 1 / 2 } ) - \nabla \cdot \nu _ { 4 } \nabla ( \nabla ^ { 2 } { \bf u } )
\mathbf { \Omega } _ { F } : = \frac { 1 } { 2 } F _ { a b } \mathbf { d } q ^ { a } \wedge \mathbf { d } q ^ { b } , \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \mathbf { \Omega } _ { M } : = M _ { a b } \mathbf { d } q ^ { a } \wedge \mathbf { d } v ^ { b } .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta _ { i } } \ell _ { i i } ( 1 ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 2 n + 1 ) \nabla _ { \theta _ { i } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) - 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - C _ { n } ( \theta _ { i } ) ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \nabla _ { \theta _ { i } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 2 n + 1 - 2 \operatorname { E } [ X _ { i , t } ] ) \nabla _ { \theta _ { i } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) . } \end{array}
\langle p , s | K _ { \mu } | p ^ { \prime } , s ^ { \prime } \rangle = 2 m \biggl [ { \tilde { s } } _ { \mu } K _ { A } ( l ^ { 2 } ) + l _ { \mu } l . { \tilde { s } } K _ { P } ( l ^ { 2 } ) \biggr ]
\begin{array} { r l r } { B } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l l l l } { s ^ { 2 } + 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \frac { - 1 } { s } } \\ { - \alpha _ { 2 } } & { s ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } } & { - \beta _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \alpha _ { n - 1 } } & { s ^ { 2 } + \alpha _ { n - 1 } + \beta _ { n - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \alpha _ { n } } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ A ~ C ~ C ~ } = \frac { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ P ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ N ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ P ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ N ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ F ~ P ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ F ~ N ~ } } } , } \\ { \mathrm { ~ T ~ P ~ R ~ } = \frac { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ P ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ P ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ F ~ P ~ } } } , \mathrm { ~ T ~ N ~ R ~ } = \frac { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ N ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ T ~ N ~ } } + N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ F ~ N ~ } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { D } \equiv \sum _ { q = 0 } ^ { + \infty } \sum _ { p = q } ^ { + \infty } b _ { q , p - q } ( - i \partial _ { z } ) ^ { p - q } ( - i \partial _ { X } ) ^ { q } , } \\ & { } & { b _ { q , p - q } \equiv \frac { B _ { q , p - q } \gamma ^ { p / 2 - 1 } } { 2 ^ { p / 2 } | B _ { 0 , 2 } | ^ { ( p - q ) / 2 } | B _ { 2 , 0 } | ^ { q / 2 } } , } \\ & { } & { B _ { q , p - q } \equiv \frac { \tau \omega ^ { ( q , p - q ) } } { q ! ( p - q ) ! ( 2 \pi R ) ^ { p } } , } \\ & { } & { \omega ^ { ( q , p - q ) } \equiv \left. \partial _ { k _ { x } } ^ { q } \partial _ { k _ { z } } ^ { p - q } \omega ( k _ { x } , k _ { z } ) \right| _ { k _ { x 0 } , k _ { z 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( 1 + n _ { 0 } \frac { \lambda ^ { 2 } } { \pi } \right) \nabla _ { \mu } j _ { 5 } ^ { \mu } = \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } F _ { \mu \nu } F _ { \rho \sigma } + \frac { 1 } { 3 8 4 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } R _ { \mu \nu } ^ { \ \ \ \alpha \beta } R _ { \rho \sigma \alpha \beta } \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { { \ell _ { T } = 1 . 2 4 \pm 0 . 0 6 } } & { { ( c _ { T } = ~ 0 . 1 1 3 \pm 0 . 0 2 5 ) } } \\ { { \ell _ { W } = 0 . 6 6 \pm 0 . 0 6 } } & { { ( c _ { W } = - 0 . 3 4 0 \pm 0 . 0 5 8 ) } } \end{array} \right.
\rho _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ u ~ s ~ t ~ e ~ r ~ } } \sim v _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ u ~ s ~ t ~ e ~ r ~ } } ^ { 6 } / ( G _ { N } ^ { 3 } \, N _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ u ~ s ~ t ~ e ~ r ~ } } ^ { 2 } \, M _ { \star } ^ { 2 } )
\sqrt { \frac { y \left( u - w \right) } { z \left( u - w \right) + y ^ { 2 } \left( u - v \right) \left( v - w \right) } } + \sqrt { \frac { y \left( v - w \right) + z \left( u - w \right) } { y \left( u - v \right) + y \left( v - w \right) z \left( u - w \right) } } + \sqrt { \frac { z \left( u - w \right) + y \left( u - v \right) } { y \left( v - w \right) + z \left( u - w \right) y \left( u - v \right) } } \ge 3
\begin{array} { r l r } { \hat { L } _ { z } ^ { m } } & { { } = } & { \hbar m \sum _ { \sigma } \left( \hat { a } _ { m \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { m \sigma } - \hat { a } _ { - m \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { - m \sigma } \right) } \end{array}
\Delta \omega \approx \sqrt { \omega _ { r } ^ { 2 } + \Omega _ { v ^ { \prime } } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \frac { \Delta ( \Omega ^ { 2 } ) } { \omega _ { r } ^ { 2 } + \Omega _ { v ^ { \prime } } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 8 } \left( \frac { \Delta ( \Omega ^ { 2 } ) } { \omega _ { r } ^ { 2 } + \Omega _ { v ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { H _ { 0 } [ \Omega ] = \frac { \sqrt { \eta } + \frac { 1 } { \sqrt { \eta } } e ^ { i \Omega \tau } } { 1 + e ^ { i \Omega \tau } } , \quad H _ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] = \frac { 1 / \sqrt { \eta } - \sqrt { \eta } } { 1 + e ^ { i \Omega \tau } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { ( d ! ) ^ { 2 } } ( t + \frac { 1 } { 2 } d ( d + 1 ) ) ^ { d } } & { = \frac { 1 } { ( d ! ) ^ { 2 } } ( \frac { d ^ { 2 } } { 2 } ) ^ { d } ( 1 + \frac { 1 } { d } ( 2 \alpha ( 1 + o ( 1 ) ) + 1 ) ) ^ { d } } \\ & { \leq \frac { 1 } { ( d ! ) ^ { 2 } } ( \frac { d ^ { 2 } } { 2 } ) ^ { d } e ^ { 2 \alpha ( 1 + o ( 1 ) ) + 1 } } \\ & { \sim \frac { ( \frac { d ^ { 2 } } { 2 } ) ^ { d } } { 2 \pi e ^ { - 2 d } d ^ { 2 d + 1 } } e ^ { 2 \alpha + 1 } = \frac { ( \frac { e ^ { 2 } } { 2 } ) ^ { d } } { 2 \pi d } e ^ { 2 \alpha + 1 } , } \end{array}
\partial _ { \tau _ { k } } = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r _ { \infty } - 2 - k } \frac { \underset { m = k + 1 } { \overset { r _ { \infty } - i - 2 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } { 2 ^ { r _ { \infty } - i - k - 2 } ( r _ { \infty } - i - k - 2 ) ! } T _ { 1 } ^ { r _ { \infty } - i - k - 2 } T _ { 2 } ^ { \frac { 2 i - 1 } { 2 } } \partial _ { t _ { \infty , 2 i - 1 } }
\psi ( x ) = \int { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 E _ { p } } } } \sum _ { s } \left( a _ { \mathbf { p } } ^ { s } u ^ { s } ( p ) e ^ { - i p \cdot x } + b _ { \mathbf { p } } ^ { s \dagger } v ^ { s } ( p ) e ^ { i p \cdot x } \right) .
\begin{array} { r } { \frac { T _ { \alpha } } 4 \partial _ { x } \mathfrak { a } + \left\{ \mathfrak { d } _ { 0 } , \mathfrak { a } \right\} _ { x } + \sum _ { n = 2 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \left( \frac { 1 } { n ! } \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n } - \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \mathfrak { q } _ { \omega , n - 2 } \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \mathfrak { d } _ { k } + \mathfrak { r } _ { \mathtt { N } _ { \alpha } } , } \end{array}
F _ { V { \mathrm { e x } } } ^ { V _ { 1 } f } ( q ^ { 2 } ) = F _ { A { \mathrm { e x } } } ^ { V _ { 1 } f } ( q ^ { 2 } ) = \frac { i s _ { W } c _ { W } } { e } T _ { V _ { 1 } \rightarrow \bar { f } f } ( q ^ { 2 } ) \; ,
\begin{array} { r l } { { } \Sigma ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = 2 \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } ( - \alpha k _ { 3 } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) + 4 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) + 8 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 3 } \Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime \prime } } R ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime \prime } ) R ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime \prime } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { c } { { \mathcal { E } ( x ) \rightarrow \mathcal { E } ^ { V } ( x ) = \Lambda \mathcal { E } ( \Lambda ^ { - 1 } ( x - a ) ) , } } \\ { { \mathcal { E } ( x ) \rightarrow \mathcal { E } ^ { T S } ( x ) = F ( \Lambda ) \mathcal { E } ( \Lambda ^ { - 1 } ( x - a ) ) , } } \\ { { \mathcal { E } ( x ) \rightarrow \mathcal { E } ^ { S } ( x ) = S ( \Lambda ) \mathcal { E } ( \Lambda ^ { - 1 } ( x - a ) ) , } } \end{array}
f ^ { ( 1 ) } = \int _ { \Gamma - i \infty } ^ { \Gamma + i \infty } \! \left[ \frac { f ^ { ( 1 ) } ( v , 0 ) } { 2 \pi i } + \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } f _ { 0 } ^ { \prime } ( v ) } { k ^ { 2 } } \frac { F ^ { + } ( i s / k ) } { \Xi ^ { + } ( i s / k ) } \right] \! \frac { e ^ { s t } \, d s } { s + i v k } \, ,
c ( \textbf { z } , \textbf { u } , \textbf { v } ; \mu ) = \frac { 1 } { 2 } \, \left[ \int _ { \Omega } ( \textbf { z } \cdot \nabla \textbf { u } ) \textbf { v } \, d \Omega - \int _ { \Omega } ( \textbf { z } \cdot \nabla \textbf { v } ) \textbf { u } \, d \Omega \, \right] .
\begin{array} { r l } & { c _ { i } ^ { t } + c _ { j } ^ { t } \leq 1 , \, \mathrm { { i f } } \, F ( s _ { i } ^ { t } , r _ { i } ^ { t } ; s _ { j } ^ { t } , r _ { j } ^ { t } ) = 1 , \, \forall { \, i , j , t } , } \\ & { e _ { i h } ^ { t } + e _ { j l } ^ { t } \leq 1 , \, { \mathrm { i f } } \, F ( s _ { i h } ^ { t } , r _ { i h } ^ { t } ; s _ { j l } ^ { t } , r _ { j l } ^ { t } ) = 1 , \, \forall { \, i , h , j , l , t } , } \\ & { c _ { i } ^ { t } + e _ { j l } ^ { t } \leq 1 , \, \mathrm { { i f } } \, F \big ( s _ { i } ^ { t } , r _ { i } ^ { t } ; s _ { j l } ^ { t } , r _ { j l } ^ { t } \big ) = 1 , \, \, \forall { \, i , j , l , t } . } \end{array}
T - T _ { R } = \int _ { p _ { 0 } ( z _ { r } ) } ^ { p } \Gamma ( \eta , S , p ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } p ^ { \prime } = \int _ { p _ { 0 } ( z _ { r } ) } ^ { p } \partial \upsilon / \partial \eta ( \eta , S , p ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } p ^ { \prime }
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ T ~ L ~ } } ^ { ( 2 ) } , \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ T ~ C ~ } } ^ { ( 2 ) } , \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ T ~ R ~ } } ^ { ( 2 ) } , \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ M ~ L ~ } } ^ { ( 2 ) } , \dotsc , \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ B ~ R ~ } } ^ { ( 2 ) }
\Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { S E } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) - \Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) = \Gamma ^ { \mathrm { L D O S } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) ,
\left( x ^ { ' } \right) _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 3 } { 2 } x _ { i } + 2 x _ { i + 1 } - \frac { 1 } { 2 } x _ { i + 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad i = 1 \mathrm { ~ ( 2 n d ~ o r d e r ~ o n e ~ s i d e d ) } , } \\ { - \frac { 1 } { 4 } x _ { i } - \frac { 5 } { 6 } x _ { i + 1 } + \frac { 3 } { 2 } x _ { i + 2 } - \frac { 1 } { 2 } x _ { i + 3 } + \frac { 1 } { 1 2 } x _ { i + 4 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad i = 2 \mathrm { ~ ( 4 t h ~ o r d e r ~ p a r t i a l l y ~ o n e ~ s i d e d ) } , } \\ { \frac { 2 } { 3 } \left[ x _ { i + 1 } - x _ { i - 1 } \right] - \frac { 1 } { 1 2 } \left[ x _ { i + 2 } - x _ { i - 2 } \right] } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad i = 3 \mathrm { ~ ( 4 t h ~ o r d e r ~ c e n t r a l ) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } ( \| U ( t ) \| ^ { 2 } + \| W ( t ) \| ^ { 2 } + \| R ( t ) \| ^ { 2 } ) + \eta \| \nabla U ( t ) \| ^ { 2 } + b \, \| W ( t ) \| ^ { 2 } + r \| R ( t ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \, \int _ { \Omega } ( f ( u _ { i } , x ) - f ( u _ { j } , x ) ) U \, d x + \int _ { \Omega } [ ( a - \sigma ) U W + q U R ] \, d x } \\ & { \, - \int _ { \Omega } k ( \operatorname { t a n h } ( \rho _ { i } ) u _ { i } - \operatorname { t a n h } ( \rho _ { j } ) u _ { j } ) U ] \, d x - m P \| U ( t ) \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \, \int _ { \Omega } \frac { \partial f } { \partial s } \left( \ell u _ { i } + ( 1 - \ell ) u _ { j } , x \right) U ^ { 2 } \, d x + \int _ { \Omega } [ ( a - \sigma ) U W + q U R ] \, d x } \\ & { \, - k \int _ { \Omega } \left[ \mathrm { s e c h } ^ { 2 } ( \xi \rho _ { i } + ( 1 - \xi ) \rho _ { j } ) R \, u _ { i } U + \operatorname { t a n h } ( \rho _ { j } ) U ^ { 2 } \right] d x - m P \| U ( t ) \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \, \beta \| U \| ^ { 2 } + \int _ { \Omega } [ ( a - \sigma ) U W + q U R ] \, d x - k \int _ { \Omega } R u _ { j } U \, d x + ( k - m P ) \| U \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \alpha ^ { \prime } f _ { 1 } ^ { \prime } } } } & { \approx \overline { { { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } } g _ { 1 } \left( \overline { { \alpha } } , \overline { { \boldsymbol a } } \right) + \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } \right) \left. \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial { a } _ { i } } \right| _ { \overline { { \alpha } } , \overline { { \boldsymbol { a } } } } , } \\ { \overline { { \alpha ^ { \prime } f _ { 2 } ^ { \prime } } } } & { \approx \overline { { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } } g _ { 2 } \left( \overline { { \beta } } , \overline { { \boldsymbol a } } \right) + \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } { { u _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } } \right) \left. \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial { a _ { i } } } \right| _ { \overline { { \beta } } , \overline { { \boldsymbol { a } } } } , } \end{array}
\mathbf { W _ { \mathrm { T T } } } ^ { - 1 } = \mathbf { \Omega _ { \mathrm { T T } } } - \mathbf { \Omega _ { \mathrm { T T } } } \mathbf { \mathcal { M } _ { \mathrm { T T } } } \mathbf { \Omega _ { \mathrm { T T } } } + \left( \mathbf { \Omega _ { \mathrm { T T } } } \mathbf { \mathcal { M } _ { \mathrm { T T } } } \right) ^ { 2 } \mathbf { \Omega _ { \mathrm { T T } } } - \dots
S _ { x } ( \omega ) = \frac { 2 } { \tau } | x ( \omega ) | ^ { 2 } \simeq \frac { 2 } { \tau } \sum _ { n , m = - \infty } ^ { \infty } \bar { x } _ { n } ( w ) \times \bar { x } _ { m } ^ { \mathrm { ~ * ~ } } ( w )
\left[ { \begin{array} { r r r r } { 2 } & { 1 } & { 0 } & { 7 } \\ { 0 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { 0 } & { { \frac { 3 } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} } \right]
\begin{array} { r l r } { L C } & { { } \longrightarrow } & { L L \quad \mathrm { \ r a t e : } \ \frac { 1 + b \xi } { 2 } , \qquad \ L C \longrightarrow C C \quad \mathrm { \ r a t e : } \ \frac { 1 - b \xi } { 2 } \ } \\ { R C } & { { } \longrightarrow } & { R R \quad \mathrm { \ r a t e : } \ \frac { 1 + b \xi } { 2 } , \qquad \ R C \longrightarrow C C \quad \mathrm { \ r a t e : } \ \frac { 1 - b \xi } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \iint _ { S } U ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) ( \nabla ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) - G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) ( \nabla ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) U ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \; d \boldsymbol { r ^ { \prime } } } \\ & { = \iint _ { C _ { \epsilon } } U ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) ( \nabla ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) - G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) ( \nabla ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) U ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \; d \boldsymbol { r ^ { \prime } } } \\ & { = U ( \boldsymbol { r } ) } \end{array}
\omega \mathrm { ~ } C _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) = \omega _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) C _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) + ( \frac { v _ { { \bf { q } } } } { V } ) \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) \sum _ { { \bf { k } } ^ { ' } } [ \Lambda _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ( - { \bf { q } } ) C _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ( { \bf { q } } ) + \Lambda _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ( { \bf { q } } ) D _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ^ { * } ( - { \bf { q } } ) ] + \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } )
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { \infty } \left( z \right) } & { { } \sim } & { \left( C _ { 1 } + C _ { 2 } \left( 1 - z / z _ { c } \right) ^ { - a } \right) \frac { \alpha + \overline { { \alpha } } \left( 1 - z _ { c } \right) \Phi _ { \infty } \left( \overline { { \alpha } } z _ { c } \right) } { \alpha + \overline { { \alpha } } \left( 1 - z _ { c } \right) } \sim C _ { 1 } + C _ { 2 } ^ { \prime } \left( 1 - z / z _ { c } \right) ^ { - a } } \\ { \left[ z ^ { x } \right] \Phi _ { \infty } \left( z \right) } & { { } = } & { { \bf P } \left( X _ { \infty } = x \right) \sim C _ { 2 } ^ { \prime } z _ { c } ^ { - x } \cdot x ^ { a - 1 } \frac { 1 } { \Gamma \left( a \right) } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal E ( S _ { n } ) } & { \geq ( 1 - p ) ^ { n - 1 } ( 1 + \mathcal E ( S _ { n } ) ) + p ^ { n - 1 } \cdot 1 + \sum _ { \emptyset \neq T \subsetneq [ n - 1 ] } p ^ { | T | } ( 1 - p ) ^ { n - 1 - | T | } ( n - 1 ) } \\ & { = ( 1 - p ) ^ { n - 1 } ( 1 + \mathcal E ( S _ { n } ) ) + p ^ { n - 1 } + ( 1 - ( 1 - p ) ^ { n - 1 } - p ^ { n - 1 } ) ( n - 1 ) } \\ & { = 1 + ( 1 - p ) ^ { n - 1 } \mathcal E ( S _ { n } ) + ( 1 - ( 1 - p ) ^ { n - 1 } - p ^ { n - 1 } ) ( n - 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \vartheta _ { s } ^ { \varlimsup , \operatorname* { s u p } } = \varlimsup _ { T \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { V \in \mathcal { G } ( s , d ) } \frac { 1 } { T } a _ { 0 , T } ( V ) , \quad \vartheta _ { s } ^ { \varliminf , \operatorname* { s u p } } = \varliminf _ { T \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { V \in \mathcal { G } ( s , d ) } \frac { 1 } { T } a _ { 0 , T } ( V ) . } \end{array}
Z ^ { ( i ) } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = { } _ { i } \langle B | A _ { N W } ^ { ( i ) } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) A _ { S W } ^ { ( i ) } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) | B \rangle _ { i } .
\Gamma _ { i } = \oint _ { { \cal C } _ { i } } \mathrm { ~ \boldmath ~ u ~ } _ { i } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ r ~ } _ { i } \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathrm { ~ \boldmath ~ r ~ } _ { i } ~ ~ \mathrm { ~ i ~ s ~ a ~ c ~ l ~ o ~ s ~ e ~ d ~ l ~ o ~ o ~ p ~ a ~ b ~ o ~ u ~ t ~ } ~ ~ { \cal C } _ { i } \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } L _ { n } \left( \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 } \right) \left( G _ { 1 n s } \frac { 1 } { d _ { i } } \frac { 2 Z _ { s } } { \tau _ { s } \beta _ { e } } \phi + 2 G _ { 2 n s } d _ { i } B _ { \parallel } \right) } & { = \left( J _ { 0 } ( \alpha _ { s } ) - G _ { 1 0 s } \right) \frac { 1 } { d _ { i } } \frac { 2 Z _ { s } } { \tau _ { s } \beta _ { e } } \phi + \left( v _ { \perp } ^ { 2 } \frac { J _ { 1 } ( \alpha _ { s } ) } { \alpha _ { s } } - 2 G _ { 2 0 s } \right) d _ { i } B _ { \parallel } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { E } } _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { L } } ( \mathbf { r } ) } & { = i \sum _ { \mu } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \mu } } { 2 \epsilon _ { 0 } } } \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ^ { \mathrm { s , L } } ( \mathbf { r } ) a _ { \mathrm { L } \mu } + \mathrm { H . a . } , } \\ { \hat { \mathbf { E } } _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { G } } ( \mathbf { r } ) } & { = i \sum _ { \mu } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \mu } } { 2 \epsilon _ { 0 } } } \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ^ { \mathrm { s , G } } ( \mathbf { r } ) a _ { \mathrm { G } \mu } ^ { \dagger } + \mathrm { H . a . } . , } \end{array}
\Omega _ { \perp A B } = 0 , \; \; \; \; \Omega _ { \parallel A B } \Omega _ { \parallel } \; ^ { A B } = \frac { 2 } { f ^ { 2 } } \frac { ( 1 + H f ( \dot { f } - H f ) ) ^ { 2 } } { 1 - ( \dot { f } - H f ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { | E ( z ) | ^ { 2 } } & { = | E ( 0 ) | ^ { 2 } \, \exp \left( 2 k \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { R e } \left[ \mathcal { Z } ( z ^ { \prime } ) \right] d z ^ { \prime } \right) , } \\ { \mathcal { S } ( z ) } & { = \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } c } \left| E ( z ) \right| ^ { 2 } \mathrm { I m } \left[ \mathcal { Z } ( z ) \right] . } \end{array}
\nabla _ { \theta } J ( \theta ) = \mathbb { E } _ { \tau \sim \pi _ { \theta } } \left[ \sum _ { { t = t _ { 0 } } } ^ { T } \nabla _ { \theta } \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } ( \pi _ { \theta } ( a _ { t } | s _ { t } ) ) R ( \tau ) \right] ~ .
k _ { s } = \frac { \pi E t } { 1 - \nu ^ { 2 } } ( \frac { \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } } { 8 } + \frac { 9 \pi ^ { 4 } z ^ { 2 } } { 2 5 6 R ^ { 2 } } + \frac { t ^ { 2 } } { 1 2 } ( \frac { \pi ^ { 4 } } { 8 R ^ { 2 } } + \frac { 6 } { R ^ { 2 } } ) ) .