harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E [ \rho ] } { \partial D _ { i j } } } & { = } & { h _ { i j } + J _ { i j } + \int \underbrace { \frac { \delta E _ { x c } [ \rho ] } { \delta \rho ( r ) } } _ { v ^ { x c } [ \rho ] ( r ) } \frac { \partial \rho ( r ) } { \partial D _ { i j } } d r } \\ & { = } & { h _ { i j } + J [ \rho ] _ { i j } + V ^ { X C } [ \rho ] _ { i j } } \\ & { = } & { F [ \rho ] _ { i j } } \end{array}
\frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega _ { i } } \rho ^ { n + 1 } \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } \, d \Omega - \int _ { \Omega _ { i } } ( \overline { { \mu } } \nabla \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } ) \cdot d \mathbf A = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega _ { i } } \rho ^ { n + 1 } \mathbf v ^ { n + 1 } d \Omega .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { n } } & { { } = \left[ \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \mathbf { g } \left( \gamma _ { \varepsilon } \right) , \mathbf { g } \left( \gamma _ { 2 \varepsilon } \right) , \ldots , \mathbf { g } \left( \gamma _ { n \varepsilon } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \mu - \alpha \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \beta + \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \mu + \nu } \sin \left( \left( 2 \mu + \nu - \alpha \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \mu + \nu } \sin \left( \left( \alpha + \nu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta + \mu + \nu } \sin \left( \left( \beta - \nu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( \mu + \nu \right) } \sin \left( \left( \mu - \alpha \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ( x , \cdot ) } & { { } \in \mathcal { H } _ { x } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \left\langle f , k ( x , \cdot ) \right\rangle _ { \mathcal { H } _ { x } } } & { { } = f ( x ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } \rho _ { 0 } \beta g \bigg | \frac { d C _ { 0 } } { d z } \bigg | h ^ { 2 } \frac { d h } { d t } \approx \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 0 } U _ { \mathrm { c o n v } } ^ { 3 } \, .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) = } & { \mathbb { E } [ h _ { l _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 1 } ) h _ { l _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 1 } ) ] = \mathbb { E } [ ( 2 U _ { d _ { 1 } } - 1 ) ( 2 U _ { d _ { 1 } ^ { \prime } } - 1 ) ( 2 U _ { d _ { 2 } } - 1 ) ( 2 U _ { d _ { 2 } ^ { \prime } } - 1 ) ] } \\ { = } & { I ( l _ { 1 } = l _ { 2 } ) \cdot \mathbb { E } [ ( 2 U _ { d _ { 1 } } - 1 ) ^ { 2 } ] \mathbb { E } [ ( 2 U _ { d _ { 1 } ^ { \prime } } - 1 ) ^ { 2 } ] = \frac { 1 } { 9 } \cdot I ( l _ { 1 } = l _ { 2 } ) , } \\ { \sigma _ { 2 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) = } & { \mathbb { E } [ h _ { l _ { 1 } } ( X _ { [ 2 ] } ) h _ { l _ { 1 } } ( X _ { [ 2 ] } ) ] - 2 \mathbb { E } [ h _ { l _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 1 } ) h _ { l _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 1 } ) ] } \\ { = } & { I ( l _ { 1 } = l _ { 2 } ) - \frac { 2 } { 9 } I ( l _ { 1 } = l _ { 2 } ) = \frac { 7 } { 9 } I ( l _ { 1 } = l _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 1 } \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } f ( x , y ) \ , } \\ { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } g ( x , y ) \ , } \\ { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( \epsilon _ { 1 } ( p - u ) - u v ) \ , } \\ { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \frac { \mathrm { d } v } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( \epsilon _ { 1 } ( x - v ) - u v ) \ } \end{array}
q _ { \lambda } T _ { \lambda } ^ { V \rightarrow P P } = 2 ( k _ { 3 \alpha } k _ { 3 \beta } - k _ { 2 \alpha } k _ { 2 \beta } ) \triangle _ { \alpha \beta } + 2 ( l _ { 3 \alpha } l _ { 3 \beta } - l _ { 2 \alpha } l _ { 2 \beta } ) \triangle _ { \alpha \beta } .
d _ { \alpha } { } ^ { \beta } = \left( \begin{array} { l l } { { { \bf { 1 } } _ { 2 p } } } & { { } } \\ { { } } & { { - { \bf { 1 } } _ { 2 q } } } \end{array} \right) , \qquad \rho ^ { \alpha \beta } = \rho _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { l l l } { { \epsilon } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \epsilon } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } \end{array} \right) . \quad ( \epsilon \equiv i \sigma _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { | \phi _ { n } ^ { \prime } | } & { = \left| \frac { 1 } { n } \phi ^ { \prime } \left( y ^ { \frac { 1 } { n } } \right) y ^ { \frac { 1 } { n } - 1 } \right| \leq \frac { C } { n y } \chi _ { [ ( \frac 1 4 ) ^ { n } , ( \frac 1 { 2 } ) ^ { n } ] } } \\ { | \phi _ { n } ^ { \prime \prime } | } & { = \left| \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } \left( y ^ { \frac { 1 } { n } } \right) y ^ { \frac { 2 } { n } - 2 } + \frac 1 n ( \frac 1 n - 1 ) \phi ^ { \prime } \left( y ^ { \frac { 1 } { n } } \right) y ^ { \frac { 1 } { n } - 2 } \right| \leq \frac { C } { n y ^ { 2 } } \chi _ { [ ( \frac 1 4 ) ^ { n } , ( \frac 1 { 2 } ) ^ { n } ] } . } \end{array}
g _ { \mathrm { A D } } ^ { ( 2 ) } ( 0 , \Delta z ) = \frac { { \langle } I _ { \mathrm { A D } } ( 0 , z + \Delta z ) I _ { \mathrm { A D } } ( 0 , z ) { \rangle } } { { \langle } I _ { \mathrm { A D } } ( 0 , z ) { \rangle } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { A _ { ( \lambda , J , \nabla ) } ^ { \pi } } & { = } & { - J T \nabla _ { R _ { \lambda } } + \frac { T } { 2 } ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) J } \\ & { = } & { - \frac { T } 2 J { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J J - T J { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } - \frac { T } { 2 } J ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) } \\ & { = } & { - \frac { T } 2 { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J - T J { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } - \frac { T } { 2 } J ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) } \\ & { = } & { T \left( - \frac 1 2 { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J - J { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } - \frac { 1 } { 2 } J ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \right) . } \end{array}
M _ { i } ^ { n + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \int _ { \tilde { x } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \tilde { x } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } q _ { p ( i ) } ^ { n } \mathrm { d } x } , \quad \mathrm { i f } \quad p ( i ) = p ( i + 1 ) } \\ { \displaystyle { \int _ { \tilde { x } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { x _ { p ( i ) + \frac { 1 } { 2 } } } q _ { p ( i ) } ^ { n } \mathrm { d } x + \sum _ { m = p ( i ) + 1 } ^ { m < p ( i + 1 ) } M _ { m } ^ { n } } } \\ { + \displaystyle { \int _ { x _ { p ( i + 1 ) - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \tilde { x } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } q _ { p ( i + 1 ) } ^ { n } \mathrm { d } x } , \quad \mathrm { o t h e r w i s e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { N } } & { ( \mathcal { F } ^ { C + 1 } ) \leq \overline { { \rho } } _ { C + 1 } \left( \mathcal { R } _ { N } ( \mathcal { F } ^ { C } ) + \mathcal { R } _ { N } ( \varphi _ { C + 1 } \circ \mathcal { F } _ { C + 1 } ) \right) } \\ & { \leq \overline { { \rho } } _ { C + 1 } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { C } \frac { ( \prod _ { j = k } ^ { C } \overline { { \rho } } _ { j } ) \overline { { \varphi } } _ { k } \tau _ { k } \Lambda _ { k } } { \sqrt { N } } + \overline { { \varphi } } _ { C + 1 } \frac { \tau _ { C + 1 } \Lambda _ { C + 1 } } { \sqrt { N } } \right) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { C + 1 } \frac { ( \prod _ { j = k } ^ { C + 1 } \overline { { \rho } } _ { j } ) \overline { { \varphi } } _ { k } \tau _ { k } \Lambda _ { k } } { \sqrt { N } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { h \in U } \left| \frac { \dot { q } _ { \theta + h } ^ { 2 } ( z ) - \dot { q } _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) } { h } \right| = \operatorname* { s u p } _ { h \in U } \left| \frac { \left[ \dot { q } _ { \theta + h } ( z ) - \dot { q } _ { \theta } ( z ) + \dot { q } _ { \theta } ( z ) \right] ^ { 2 } - \dot { q } _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) } { h } \right| } \\ & { \quad = \operatorname* { s u p } _ { h \in U } \left| \frac { \dot { q } _ { \theta + h } ( z ) - \dot { q } _ { \theta } ( z ) } { h } \left[ \dot { q } _ { \theta + h } ( z ) - \dot { q } _ { \theta } ( z ) \right] + 2 \dot { q } _ { \theta } ( z ) \frac { \dot { q } _ { \theta + h } ( z ) - \dot { q } _ { \theta } ( z ) } { h } \right| } \\ & { \quad \le \operatorname* { s u p } _ { h \in U } \left( e ^ { 2 \alpha } | h | | \dot { D } ( h ) | ^ { 2 } + 2 e ^ { \alpha } | \dot { D } ( h ) | \right) < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( r ) } & { { } = c _ { 3 } \ \lambda ^ { 2 } Y _ { 0 } \left( - \frac { i r } { \lambda } \right) + c _ { 2 } \ \lambda ^ { 2 } \left( I _ { 0 } \left( \frac { r } { \lambda } \right) - 1 \right) + c _ { 1 } \ \log ( r ) + c _ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { { } \equiv \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( O _ { \theta } \overline { { E } } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ) - \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( O _ { \theta } E _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { f a s t } = } & { { } } & { \frac { | k | V _ { S } } { 2 | \cos \theta | } ( \frac { 1 } { 8 } \pi \frac { m _ { e } } { m _ { p } } ) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\widetilde v _ { i } \approx b _ { i i } v _ { i } + \sum _ { j = i - ( n _ { n b } - 1 ) } ^ { i - 1 } b _ { i j } v _ { j } + \sum _ { j = i + 1 } ^ { i + n _ { n b } - 1 } b _ { i j } v _ { j } , \quad i = - 1 , \dots , p M + 1 .
g ^ { \mu \nu } = - ( \varepsilon _ { 5 } ) ^ { \mu } ( \varepsilon _ { 5 } ) ^ { \nu } + ( \varepsilon _ { 1 } ) ^ { \mu } ( \varepsilon _ { 1 } ) ^ { \nu } + ( \varepsilon _ { 2 } ) ^ { \mu } ( \varepsilon _ { 2 } ) ^ { \nu } + \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } k ^ { \mu } k ^ { \nu }
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \frac { - \Delta f ( x _ { t } ; \alpha _ { t } ( v _ { t } - x _ { t } ) ) } { \alpha _ { t } } \leq \frac { f ( x _ { t } ) - f ( x _ { t + 1 } ) } { \alpha _ { t } } + \alpha _ { t } \gamma D ^ { 2 } } \\ { t \operatorname* { m i n } _ { \substack { 0 \leq k \leq { t - 1 } } } \frac { - \Delta f ( x _ { k } ; \alpha _ { k } ( v _ { k } - x _ { k } ) ) } { \alpha _ { k } } } & { \leq \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \frac { - \Delta f ( x _ { k } ; \alpha _ { k } ( v _ { k } - x _ { k } ) ) } { \alpha _ { k } } \leq \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \frac { f ( x _ { k } ) - f ( x _ { k + 1 } ) } { \alpha _ { k } } + \gamma D ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \alpha _ { k } \; . } \end{array}
d = \frac { \sigma _ { r } ^ { 2 } / \mu _ { r } - 1 } { \sigma _ { r } ^ { 2 } / \mu _ { r } + 1 } = \frac { \sigma _ { r } ^ { 2 } - \mu _ { r } } { \sigma _ { r } ^ { 2 } + \mu _ { r } }
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal D } _ { M } \phi = \Bigl ( \dot { \phi } \cos \theta \cos \psi - \dot { \theta } \sin \psi + i [ A d ( s ^ { - 1 } ) ] _ { a 1 } \bar { \lambda } \sigma _ { a } \lambda \, , } } \\ { { \displaystyle \quad D ^ { i } \phi \cos \theta \cos \psi - D ^ { i } \theta \sin \psi - 2 i [ A d ( s ^ { - 1 } ) ] _ { a 1 } ( \bar { \lambda } \sigma _ { a } ) ^ { i } \, , \quad c . c \ \Bigr ) } } \\ { { \displaystyle { \cal D } _ { M } \theta = \Bigl ( \dot { \theta } \cos \psi + \dot { \phi } \cos \theta \sin \psi + i [ A d ( s ^ { - 1 } ) ] _ { a 2 } \bar { \lambda } \sigma _ { a } \lambda \, , } } \\ { { \displaystyle \quad D ^ { i } \theta \cos \psi + D ^ { i } \phi \cos \theta \sin \psi - 2 i [ A d ( s ^ { - 1 } ) ] _ { a 2 } ( \bar { \lambda } \sigma _ { a } ) ^ { i } \, , \quad c . c \ \Bigr ) } } \\ { { \displaystyle { \cal D } _ { M } \psi = \Bigl ( \dot { \psi } - \dot { \phi } \sin \theta + i [ A d ( s ^ { - 1 } ) ] _ { a 3 } \bar { \lambda } \sigma _ { a } \lambda \, , } } \\ { { \displaystyle \quad D ^ { i } \psi - D ^ { i } \phi \sin \theta - 2 i [ A d ( s ^ { - 1 } ) ] _ { a 3 } ( \bar { \lambda } \sigma _ { a } ) ^ { i } \, , \quad c . c \ \Bigr ) \quad , } } \end{array}
\widehat { L } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi ( x ; \alpha ) \partial ^ { \mu } \phi ( x ; \alpha ) - \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \phi ( x ; \alpha ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \widetilde { \phi } ( x ; \alpha ) \partial ^ { \mu } \widetilde { \phi } ( x ; \alpha ) + \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \widetilde { \phi } ( x ; \alpha ) ^ { 2 } ,
S _ { e f f } = \int d ^ { 4 } x ( \pi _ { i } \dot { A } ^ { i } + \pi _ { 0 } \dot { A } ^ { 0 } + \dot { \cal P } \bar { c } + \dot { c } \bar { \cal P } - { \cal H } _ { 0 } - \{ \Psi , Q _ { B } \} ) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { P } [ \gamma _ { \delta _ { n } } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( \tilde { c } _ { \delta _ { n } } \tilde { d } _ { \delta _ { n } } ) \, | \, \gamma _ { \delta _ { n } } [ 0 , ( t + \tau _ { n } ( s ) ) \wedge T _ { n } ( \epsilon ) ] ] } \\ { = } & { \int _ { h _ { \tau ( s ) , t } ( \tilde { x } ) } ^ { h _ { \tau ( s ) , t } ( \tilde { y } ) } \partial _ { n } P ( z ; h _ { \tau ( s ) , t } ( 0 ) , W _ { \tau ( s ) , t } , h _ { \tau ( s ) , t } \circ h _ { \tau ( s ) } \circ f \circ \varphi ( b ( 0 ) ) , h _ { \tau ( s ) , t } \circ h _ { \tau ( s ) } ( x ) ) | _ { z = w } d w , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - \frac { 1 } { 3 \delta } } \\ { \frac { 1 } { 3 \delta } } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { f ( x , r _ { 1 1 } , v _ { 1 1 } ) } & { = \frac 1 3 x \left( \begin{array} { l } { - 5 \delta ^ { - 1 } r _ { 1 1 } } \\ { 2 \delta - v _ { 1 1 } - \delta ^ { - 1 } r _ { 1 1 } ^ { 2 } \left( 3 + 3 x r _ { 1 1 } + x ^ { 2 } r _ { 1 1 } ^ { 2 } \right) { ( 1 + x r _ { 1 1 } ) ^ { - 3 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \phi = 0 , ~ \mathrm { a n d } ~ \frac { \partial \phi } { \partial \boldsymbol { \mathrm { n } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { [ ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x _ { p } } ) \times \boldsymbol { \mathrm { n } } ] \cdot \boldsymbol { \mathrm { e _ { z } } } } & { \mathrm { o n ~ a i r f o i l } } \\ { 0 } & { \mathrm { o n ~ o u t e r ~ b o u n d a r y } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { \log \Big [ \frac { p _ { \theta _ { * } + \delta _ { n } h } ^ { n } } { p _ { \theta _ { * } } ^ { n } } ( X ^ { n } ) \frac { \pi ( \theta _ { * } + \delta _ { n } h ) } { \pi ( \theta _ { * } ) } \Big ] + \frac { \omega _ { s t } ^ { - 1 } } { 2 } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } - \log 2 w ( h - \xi ) + \delta = r _ { n , 4 } ( h ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { M o i s t u r e ~ C o n s e r v a t i o n : } \quad \frac { \partial q } { \partial t } + { v } \cdot \nabla q } & { = - \frac { q - q _ { \textrm { r e f } } ( T ; { \theta } ) } { \tau _ { q } ( q , T ; { \theta } ) } } \\ { \mathrm { E n e r g y ~ C o n s e r v a t i o n : } \quad \frac { \partial T } { \partial t } + { v } \cdot \nabla T } & { = \frac { T - T _ { \textrm { r e f } } ( q , T ; { \theta } ) } { \tau _ { T } ( q , T ; { \theta } ) } + \cdots \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } + Z E ^ { \varepsilon } \cdot \nabla _ { v } \} F _ { + } ^ { \varepsilon } } & { = \kappa ^ { - 1 } \{ Z ^ { 3 } Q ( F _ { + } ^ { \varepsilon } , F _ { + } ^ { \varepsilon } ) + Z ^ { 2 } Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } , F _ { + } ^ { \varepsilon } ) \} , } \\ { \{ \varepsilon \partial _ { t } + \xi \cdot \nabla _ { x } - E ^ { \varepsilon } \cdot \nabla _ { \xi } \} F _ { - } ^ { \varepsilon } } & { = \kappa ^ { - 1 } \{ Q ( F _ { - } ^ { \varepsilon } , F _ { - } ^ { \varepsilon } ) + Z Q _ { + - } ^ { \varepsilon } ( F _ { + } ^ { \varepsilon } , F _ { - } ^ { \varepsilon } ) \} , } \\ { - \Delta _ { x } \phi ^ { \varepsilon } } & { = 4 \pi ( n _ { + } ^ { \varepsilon } - n _ { - } ^ { \varepsilon } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | Q ^ { \varepsilon } | } & { \lesssim \mathbf { E } _ { 0 , y } | X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | ^ { 3 } + \mathbf { E } _ { 0 , y } | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 3 } + \mathbf { E } _ { 0 , y } | X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | + \mathbf { E } _ { 0 , y } | X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 3 } \leq \frac { \eta } { 3 } \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { k } } & { = } & { \sqrt { \left\langle E _ { k } ^ { 2 } ( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \right\rangle - \left\langle E _ { k } ( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \right\rangle ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { m } { 2 } \sqrt { \langle u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \rangle - \langle u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \rangle ^ { 2 } } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } & { S u b ( 8 , 1 ) } \\ { = } & { ( R S u b \circ ( P _ { 2 } ^ { 2 } , P _ { 1 } ^ { 2 } ) ) \; ( 8 , 1 ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } S u b } \\ { = } & { R S u b ( 1 , 8 ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } \circ , P _ { 2 } ^ { 2 } , P _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \rho ( P _ { 1 } ^ { 1 } , P r e d \circ P _ { 2 } ^ { 3 } ) \; ( S ( 0 ) , 8 ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } R S u b , S } \\ { = } & { ( P r e d \circ P _ { 2 } ^ { 3 } ) \; ( 0 , R S u b ( 0 , 8 ) , 8 ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ c a s e ~ } } \rho ( g , h ) \; ( S ( . . . ) , . . . ) } \\ { = } & { P r e d ( R S u b ( 0 , 8 ) ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } \circ , P _ { 2 } ^ { 3 } } \\ { = } & { P r e d ( \; \rho ( P _ { 1 } ^ { 1 } , P r e d \circ P _ { 2 } ^ { 3 } ) \; ( 0 , 8 ) \; ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } R S u b } \\ { = } & { P r e d ( P _ { 1 } ^ { 1 } ( 8 ) ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ c a s e ~ } } \rho ( g , h ) \; ( 0 , . . . ) } \\ { = } & { P r e d ( 8 ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } P _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { = } & { 7 } & { { \mathrm { ~ b y ~ p r o p e r t y ~ o f ~ } } P r e d . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \phi _ { 1 } = \int _ { 2 4 . 6 \mathrm { ~ e ~ V ~ } } ^ { \infty } \frac { F _ { \nu } } { h \nu } \sigma _ { 1 } ( \nu ) d \nu \approx \frac { F _ { \overline { { \nu } } } } { \overline { { h \nu } } } \sigma _ { 1 } ( \overline { { \nu } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d u _ { 0 } ( \tau ) } { d \tau } } & { = } & { \lambda ^ { 2 } \omega ^ { 2 } u _ { 2 } ( \tau ) , } \\ { \frac { d u _ { 1 } ( \tau ) } { d \tau } } & { = } & { \lambda ^ { 2 } \omega u _ { 2 } ( \tau ) , } \\ { \frac { d u _ { 2 } ( \tau ) } { d \tau } } & { = } & { \lambda ^ { 2 } \omega ^ { 2 } u _ { 0 } ( \tau ) - \omega \lambda ^ { 2 } u _ { 1 } ( \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { g } ^ { \mathrm { K S } } = \operatorname* { m i n } _ { \tau \sigma } E _ { g , \mathrm { K S } } ^ { \tau \sigma } = \operatorname* { m i n } _ { \tau } ( \varepsilon _ { \mathrm { l u } } ^ { \tau } ) - \operatorname* { m a x } _ { \sigma } ( \varepsilon _ { \mathrm { h o } } ^ { \sigma } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \| R _ { 1 } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } } } \\ & { } & { = \| \boldsymbol { q } _ { h } - \mu \nabla \times \boldsymbol { v } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } } \\ & { } & { = \| \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } + \mu \nabla \times ( \boldsymbol { v } _ { H } - \boldsymbol { v } _ { h } ) + \boldsymbol { q } _ { H } - \mu \nabla \times \boldsymbol { v } _ { H } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } } \\ & { } & { \lesssim \| \boldsymbol { q } _ { H } - \nabla \times \boldsymbol { v } _ { H } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } + \| \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } + \| \nabla \times ( \boldsymbol { v } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 h - 2 \frac A B F + ( 1 - F ) A h } & { { } = 0 } \\ { \frac { 1 } { 4 A } \dot { h ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 B } h \dot { F } + F } & { { } = 1 } \end{array}
\mathcal { D } _ { k } = \{ \{ ( t _ { k } ^ { i } , x _ { k } ^ { i } ) , 0 \} _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { f } } , \{ ( 0 , x _ { k } ^ { i } ) , b _ { k } ^ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { b } } \} .
\begin{array} { r l } { | F _ { q _ { 2 } } ( \boldsymbol { x } ) | } & { = | \ln \langle \boldsymbol { s } ^ { [ q _ { 2 } ] } , \exp ( - r B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { n } ) \rangle | } \\ & { = - \ln \sum _ { m \in \mathcal { M } ( 2 , 1 ) ^ { c } } s _ { m } ^ { [ q _ { 2 } ] } \exp ( - r ( B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { n } ) _ { m } ) } \\ & { \ge c _ { 3 } r - \ln \sum _ { m \in \mathcal { M } ( 2 , 1 ) ^ { c } } s _ { m } ^ { [ q _ { 2 } ] } } \\ & { = c _ { 3 } r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \mathbb { P } ( \operatorname* { m a x } _ { i } Y _ { i } > t ) } & { \le \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \mathbb { P } ( \operatorname* { m a x } _ { i } Y _ { i } > t ) d t + \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } \sum _ { i } 2 \exp \left\{ - \frac { c } { K ^ { 2 } } t ^ { 2 } ( 1 + \log i ) \right\} d t } \\ & { \le \sqrt { \frac { 2 } { c } } K + \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } \sum _ { i } 2 \exp \left\{ - \frac { c } { K ^ { 2 } } t ^ { 2 } \right\} i ^ { - c t ^ { 2 } / K ^ { 2 } } d t } \\ & { \le \sqrt { \frac { 2 } { c } } K + \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { i } 2 \exp \left\{ - \frac { c } { K ^ { 2 } } t ^ { 2 } \right\} i ^ { - 2 } d t } \\ & { = \frac { \sqrt { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } \sqrt { \pi } } { 6 } } { \sqrt { c } } K } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ^ { * } ( \kappa _ { c , w _ { 1 } \cdots w _ { r } } ) } & { = ( Y \times \pi ^ { Y } ) _ { ! } ( ( 1 \times c ( T _ { \pi ^ { Y } } E ^ { \theta \times Y } ) ) \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { r } ( w _ { i } \times 1 + 1 \times \ell ^ { * } ( w _ { i } ) ) ) } \\ & { = \sum _ { I \sqcup J = \{ 1 , 2 , \ldots , r \} } w _ { I } \times \kappa _ { c , w _ { J } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { j } = \sum _ { i } \mathbf { A } _ { i j } ^ { d } ( \mathbf { A } _ { i j } ^ { d } - 2 b _ { i } ) } \\ { w _ { j k } = 2 \sum _ { i } \mathbf { A } _ { i j } ^ { d } \mathbf { A } _ { i k } ^ { d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { M } } & { { } = N _ { e q } ( \psi ) \bigg ( \frac { m } { 2 \pi T _ { e q } ( \psi ) } \bigg ) ^ { 3 / 2 } \exp { \bigg ( - \frac { H } { T _ { e q } ( \psi ) } \bigg ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \mathrm { e f f } , 2 2 } = D _ { 5 5 } ^ { 0 } + D _ { 5 5 } ^ { \mathrm { p e r t } } + \sum _ { l = 1 , 2 , 3 , 6 } \frac { D _ { 5 l } ^ { \mathrm { p e r t } } D _ { l 5 } ^ { \mathrm { p e r t } } } { \omega _ { 4 } ^ { 2 } - \omega _ { l } ^ { 2 } } , } \end{array}
( \phi , \phi ^ { a } , \phi ^ { a b } , \phi ^ { a b c } , \ldots ) = ( \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } , \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } ^ { a } + \phi _ { 1 } ^ { a } \phi _ { 2 } , \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } ^ { a b } + \phi _ { 1 } ^ { a } \phi _ { 2 } ^ { b } + \phi _ { 1 } ^ { a b } \phi _ { 2 } , \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } ^ { a b c } + \ldots , \ldots )
\begin{array} { r c l } { { Y } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 } z ^ { - 2 } ( x + y + 2 \prod _ { i = 1 } ^ { n } z _ { i } ) } } \\ { { X } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 } z ^ { - 1 } ( x - y ) } } \\ { { Z } } & { { = } } & { { z ^ { 2 } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { { { a } ^ { 2 } } } { c _ { 0 , u } ^ { 2 } } { { \ddot { u } } _ { n } } } & { { } = } & { \left( { { u } _ { n + 1 } } + { { u } _ { n - 1 } } - 2 { { u } _ { n } } \right) + \frac { 1 } { 4 } a \left( \theta _ { n + 1 } ^ { 2 } - \theta _ { n - 1 } ^ { 2 } \right) } \\ { \frac { { { a } ^ { 2 } } } { c _ { 0 , u } ^ { 2 } { { \gamma } ^ { 2 } } } { { { \ddot { \theta } } } _ { n } } } & { { } = } & { - { { K } _ { \theta } } \left( { { \theta } _ { n - 1 } } + { { \theta } _ { n + 1 } } + 4 { { \theta } _ { n } } \right) - \frac { 2 } { a } { { \theta } _ { n } } \left( { { u } _ { n + 1 } } - { { u } _ { n - 1 } } \right) } \end{array}