harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
p _ { i j } ~ = ~ \mathbb { P } ( \hat { Y } = j | \hat { X } = i ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { j - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { j + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \, d u } { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { i - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - t } { \sigma } \right) \right] \, d t } , ~ ~ i , j \in \mathbb { Z } _ { N } .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { { } = - k _ { f e } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } + k _ { f e } ^ { \prime } C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } } \\ { R _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } } & { { } = k _ { f e } C _ { F e ^ { 2 + } } - C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } ( k _ { f e o h } + k _ { f e } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } ) } \\ { R _ { \mathrm { H } ^ { + } , f e } } & { { } = k _ { f e } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } - C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } ( k _ { f e } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } - k _ { f e o h } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \lambda } { 2 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \frac { \mathrm d t } { \sqrt { ( B _ { 1 } t ^ { 2 } + A _ { 1 } ) ( B _ { 2 } t ^ { 2 } + A _ { 2 } ) } } } & { = \frac { \lambda } { 2 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } \sqrt { - \frac { 1 } { A _ { 2 } B _ { 1 } } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \mathrm d t } { \sqrt { ( 1 - t ^ { 2 } ) \left( 1 - \frac { A _ { 1 } B _ { 2 } } { A _ { 2 } B _ { 1 } } t ^ { 2 } \right) } } } \\ & { = \frac { 4 \lambda } { \sqrt { \left( \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } + 1 \right) ^ { 3 } \left( 3 - \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } \right) } } K \left( \sqrt { \frac { A _ { 1 } B _ { 2 } } { A _ { 2 } B _ { 1 } } } \right) . } \end{array}
\psi _ { \gamma { \bf k } } ^ { + } ( { \bf r } ) = e ^ { i \bf { k } \cdot \bf { r } } + G _ { 0 } ^ { + } ( \varepsilon ) V _ { \gamma } ^ { t } ( \bf { r } ) \psi _ { \gamma \bf { k } } ^ { + } ( \bf { r } ) ,
\sigma \equiv \sigma _ { \mathrm { i } } \equiv \frac { B ^ { 2 } } { 4 \pi n _ { \mathrm { i } } m _ { \mathrm { i } } c ^ { 2 } } \qquad \beta \equiv \beta _ { \mathrm { i } } \equiv \frac { 8 \pi n _ { \mathrm { i } } k T _ { \mathrm { i } } } { B ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r } { \| \nabla _ { x } f ( x _ { 1 } , y ; \xi ) - \nabla _ { x } f ( x _ { 2 } , y ; \xi ) \| \leq L _ { f } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| , \ \| \nabla _ { x } f ( x , y _ { 1 } ; \xi ) - \nabla _ { x } f ( x , y _ { 2 } ; \xi ) \| \leq L _ { f } \| y _ { 1 } - y _ { 2 } \| , } \\ { \| \nabla _ { y } f ( x _ { 1 } , y ; \xi ) - \nabla _ { y } f ( x _ { 2 } , y ; \xi ) \| \leq L _ { f } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| , \ \| \nabla _ { y } f ( x , y _ { 1 } ; \xi ) - \nabla _ { y } f ( x , y _ { 2 } ; \xi ) \| \leq L _ { f } \| y _ { 1 } - y _ { 2 } \| ; } \end{array}
f _ { 2 0 0 } = \left( \begin{array} { c } { 0 . 8 7 3 4 } \\ { - 1 . 4 1 3 1 } \end{array} \right) , f _ { 1 1 0 } = \left( \begin{array} { c } { - 1 . 6 6 6 7 } \\ { 2 . 0 6 8 0 } \end{array} \right) , f _ { 1 0 1 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \frac { 5 0 } { 4 1 } } \end{array} \right) , f _ { 0 1 1 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { - 0 . 3 } \end{array} \right) ,
0 0 g _ { - 2 } , 0 0 g _ { - 1 } , 1 0 g _ { - 1 } , 1 0 g _ { - 2 } , \ldots , 1 0 g _ { 0 } , 1 1 g _ { 0 } , 1 1 g _ { - 1 } , 0 1 g _ { - 1 } , 0 1 g _ { 0 }
\mathbb E \left[ \left. \sqrt { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } + t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] \le \sqrt { \mathbb E \left[ \left. \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } + t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \le \frac { 2 \sqrt { 5 K } } { \sqrt m } \mathbb E \left[ \left. \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } + t - 1 } \rVert _ { 1 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] .
\overline { { ( u _ { i } - \overline { { u } } _ { i } ) ( u _ { j } - \overline { { u } } _ { j } ) } } \simeq ( \overline { { u } } _ { i } - \overline { { \overline { { u } } } } _ { i } ) ( \overline { { u } } _ { j } - \overline { { \overline { { u } } } } _ { j } )
\begin{array} { r l } { - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } } & { { } = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } \, , } \\ { - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } } & { { } = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { P } ( \theta \mid y ) } & { \leq 2 e ^ { - n ( D ( \hat { \theta } \| \theta ) - D ( \hat { \theta } \| ( \theta ) ^ { - } ) ) } = 2 e ^ { - n ( D ( \theta - a \| \theta ) - D ( \theta - a \| \theta ^ { - } ) } } \\ & { \leq 2 e ^ { n D ( \theta \| \theta ^ { - } ) - a n C ^ { * } } = 2 e ^ { C - a n C ^ { - } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi : R [ [ x ; \sigma , \delta ] ] } & { \to B [ [ x _ { B } ; \sigma _ { B } , \delta _ { B } ] ] \times C [ [ x _ { C } ; \sigma _ { C } , \delta _ { C } ] ] } \\ { \sum _ { i \geq 0 } r _ { i } x ^ { i } } & { \mapsto \left( \sum _ { i \geq 0 } \pi _ { B } ( r _ { i } ) x _ { B } ^ { i } , \sum _ { i \geq 0 } \pi _ { C } ( r _ { i } ) x _ { C } ^ { i } \right) } \end{array}
x = x _ { 0 } e _ { 0 } + x _ { 1 } e _ { 1 } + x _ { 2 } e _ { 2 } + x _ { 3 } e _ { 3 } + x _ { 4 } e _ { 4 } + x _ { 5 } e _ { 5 } + x _ { 6 } e _ { 6 } + x _ { 7 } e _ { 7 } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb P \left[ \displaystyle \forall _ { m \in [ M ] } \operatorname* { i n f } _ { \boldsymbol { v } _ { m } \in \mathbb R ^ { L } } \left( | \! | X _ { m } \boldsymbol { v } _ { m } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { T _ { m } \sigma ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } 2 \left( | \! | \boldsymbol { v } _ { m } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 } { s _ { m } } | \! | \boldsymbol { v } _ { m } | \! | _ { 1 } ^ { 2 } \right) \right) \geq 0 \right] } \\ & { \geq } & { 1 - 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } e ^ { - \frac { T _ { m } \zeta ^ { 2 } } { 2 } + s _ { m } \operatorname* { m i n } \{ \log L , ~ \log ( 2 1 e L / s _ { m } ) \} } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { 2 } u _ { s } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \epsilon \left( c _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \right) u _ { s } ^ { 3 } \right] \: d x = \frac { 1 } { 2 } \bar { u } _ { s } ^ { 2 } + 2 \sqrt { 2 } \bar { u } _ { s } \sqrt { a _ { s } } + \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } a _ { s } ^ { 3 / 2 } } \\ & { } & { \mathrm + \epsilon \left[ \frac { 1 } { 4 } \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { s } ^ { 3 } + \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } \sqrt { a _ { s } } \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { s } ^ { 2 } + \sqrt { 2 } a _ { s } ^ { 3 / 2 } \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } + 2 c _ { 6 } + \frac { 4 } { 3 } c _ { 7 } \right) \bar { u } _ { s } \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm + \frac { 4 \sqrt { 2 } } { 1 5 } \left( 5 c _ { 6 } + 4 c _ { 7 } \right) a _ { s } ^ { 5 / 2 } \right] . } \end{array}