harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
G ( \vartheta ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d k \, e ^ { i k \vartheta } \frac { \sinh \frac { \pi ( p - 1 ) k } { 2 } } { 2 \sinh \frac { \pi p k } { 2 } \, \cosh \frac { \pi k } { 2 } } \, , \, p = \frac { \pi } { \gamma } - 1
D ^ { \star } \equiv \overline { { D } } _ { 0 } \left( 1 + \frac { E _ { 0 } } { k _ { B } T } \right) = \overline { { D } } _ { 0 } \frac { \chi _ { T } ^ { \mathrm { i d } } } { \chi _ { T } ^ { \star } } ,
\begin{array} { r l } & { \varphi _ { v \omega _ { z } } ( k _ { i } , k _ { j } , y ) : = \Phi _ { v \omega _ { z } } ^ { b _ { x } , b _ { z } } ( k _ { i } , k _ { j } , y ) + \Phi _ { v \omega _ { z } } ^ { b _ { x } , b _ { z } } ( - k _ { i } , k _ { j } , y ) + \Phi _ { v \omega _ { z } } ^ { b _ { x } , b _ { z } } ( - k _ { i } , - k _ { j } , y ) + } \\ & { \Phi _ { v \omega _ { z } } ^ { b _ { x } , b _ { z } } ( k _ { i } , - k _ { j } , y ) , \ i = \left\{ 0 , 1 , 2 , . . . , \frac { N _ { x } } { 2 } + b _ { x } - 1 \right\} , \ j = \left\{ 0 , 1 , 2 , . . . , \frac { N _ { z } } { 2 } + b _ { z } - 1 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 } } & { { } = } & { x _ { 0 } - E _ { 0 } , } \\ { B _ { 0 } } & { { } = } & { \frac { 2 \mathrm { S t } \, u _ { 0 } + x _ { 0 } - E _ { 0 } ( 1 + 4 \mathrm { S t } \, \mu _ { 1 } ) } { \sqrt { 8 \mathrm { S t } - 1 } } . } \end{array}
\tilde { \varphi } _ { \omega _ { 0 } , u _ { 0 } } ^ { i n } ( v , p ) = \int \! d \omega \ e ^ { i \omega u _ { 0 } } { \frac { e ^ { - ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } } { ( { 2 \pi } ) ^ { 1 / 4 } \sigma ^ { 1 / 2 } } } e ^ { - i \omega v } { \tilde { \psi } } _ { \omega } ^ { i n } ( p )
\begin{array} { r } { \widehat { H } _ { I } ^ { 3 } = \, \hbar g _ { 0 } \, \left( a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \, + a _ { 1 } ^ { \dag } a _ { 2 } ^ { \dag } a _ { 3 } ^ { \dag } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { t } } & { { } = m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } , } \\ { \dot { p } _ { t } } & { { } = - V _ { 1 } , } \\ { A _ { t } } & { { } = A _ { 0 } = \operatorname { c o n s t } = i \mathcal { B } , } \\ { \dot { \gamma } _ { t } } & { { } = T ( p _ { t } ) - V _ { 0 } - ( \hbar / 2 ) \operatorname * { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { B } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( P _ { 1 } W ( 0 ) - P _ { - 1 } W ( 0 ) ) ^ { 2 } } { P _ { - 1 } W ( 0 ) } } & { \leq \frac { \delta ^ { 2 + 2 y } W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } \delta ^ { y } } \big ) ^ { 2 } \left( W _ { s } \big ( 0 \mid e _ { 1 } \big ) + W _ { s } \big ( 0 \mid - e _ { 1 } \big ) \right) ^ { 2 } } { ( \frac { 1 - \delta ^ { 1 + y } } { 2 } ) W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } } \big ) W _ { s } \big ( 0 \mid e _ { 1 } \big ) + ( \frac { 1 - \delta ^ { 1 + y } } { 2 } ) W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } } \big ) W _ { s } \big ( 0 \mid - e _ { 1 } \big ) } } \\ & { \leq \frac { 2 \delta ^ { 2 + y } } { 1 - \delta ^ { 1 + y } } \left( W _ { s } \big ( 0 \mid e _ { 1 } \big ) + W _ { s } \big ( 0 \mid - e _ { 1 } \big ) \right) . } \end{array}
\int _ { G } t _ { m n } ^ { ( \rho ) } ( g ) \, d g = \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } P ^ { ( j ) m } P _ { n } ^ { ( j ) } , \qquad P ^ { ( j ) m } = \eta ^ { m } ( w ^ { ( j ) } ) , \quad P _ { n } ^ { ( j ) } = \theta ^ { ( j ) } ( v _ { n } ) .
G \left( \tau _ { 2 } + \epsilon _ { 2 } , \tau _ { 1 } - \epsilon _ { 1 } ; \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } \right) = \frac 1 2 | \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } - \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } | - \frac 1 2 \left( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } - \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } \right) - \frac { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } } { \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } }
\overline { { k _ { n n , T } ^ { ( m ) } } } ( a ) = \frac { T } { a + m \langle a \rangle } \bigg [ \langle a ^ { 2 } \rangle + ( m + 1 ) \langle a \rangle a + ( m ^ { 2 } + m - 1 ) \langle a \rangle ^ { 2 } \bigg ] .
\begin{array} { r l } & { B \left( \left( \begin{array} { l } { \xi } \\ { \eta } \\ { \zeta } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { \xi _ { 1 } } \\ { \eta _ { 1 } } \\ { \zeta _ { 1 } } \end{array} \right) \right) } \\ & { = \epsilon \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi _ { x } ( \bar { \xi _ { 1 } } ) _ { x } d x + \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } \bar { \xi _ { 1 } } d x + \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi _ { x } \bar { \xi _ { 1 } } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi \bar { \xi _ { 1 } } d x } \\ & { \quad + \lambda _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } ( \bar { \eta _ { 1 } } ) _ { x } d x + \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } \bar { \eta _ { 1 } } d x + \frac { R \bar { \theta } } { \bar { \rho } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi _ { x } \bar { \eta _ { 1 } } d x + R \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \zeta _ { x } \bar { \eta _ { 1 } } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta \bar { \eta _ { 1 } } d x } \\ & { \quad + \kappa _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \zeta _ { x } ( \bar { \zeta _ { 1 } } ) _ { x } d x + \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \zeta _ { x } \bar { \zeta _ { 1 } } d x + \frac { R \bar { \theta } } { c _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } \bar { \zeta _ { 1 } } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \zeta \bar { \zeta _ { 1 } } d x , } \end{array}
\mathcal { L } _ { h } ( \mathbf { x } ^ { n } , \mathbf { x } ^ { n + 1 } ) = \frac h 2 \mathcal { L } ( \mathbf { x } ^ { n } , \mathbf { u } ^ { n + 1 / 2 } ) + \frac h 2 \mathcal { L } ( \mathbf { x } ^ { n + 1 } , \mathbf { u } ^ { n + 1 / 2 } )
\begin{array} { r l } & { \ensuremath { \mathbb { P } } _ { y } ^ { t , x } ( X _ { s _ { 1 } } ^ { \prime } \in A _ { 1 } , \dots , X _ { s _ { n } } ^ { \prime } \in A _ { n } ) = \ensuremath { \mathbb { P } } _ { y } ^ { t , x } ( X _ { ( t - s _ { 1 } ) - } \in A _ { 1 } , \dots , X _ { ( t - s _ { n } ) - } \in A _ { n } ) } \\ & { = \ensuremath { \mathbb { P } } _ { y } ^ { t , x } ( X _ { ( t - s _ { 1 } ) - } \in A _ { 1 } , \dots , X _ { ( t - s _ { n } ) - } \in A _ { n } , X _ { ( t - s _ { 1 } ) - } = X _ { t - s _ { 1 } } , \dots , X _ { ( t - s _ { n } ) - } = X _ { t - s _ { n } } ) } \\ & { = \ensuremath { \mathbb { P } } _ { y } ^ { t , x } ( X _ { t - s _ { 1 } } \in A _ { 1 } , \dots , X _ { t - s _ { n } } \in A _ { n } , X _ { ( t - s _ { 1 } ) - } = X _ { t - s _ { 1 } } , \dots , X _ { ( t - s _ { n } ) - } = X _ { t - s _ { n } } ) } \\ & { = \ensuremath { \mathbb { P } } _ { y } ^ { t , x } ( X _ { t - s _ { 1 } } \in A _ { 1 } , \dots , X _ { t - s _ { n } } \in A _ { n } ) = \ensuremath { \mathbb { P } } _ { y } ^ { t , x } ( X _ { t - s _ { n } } \in A _ { n } , \dots , X _ { t - s _ { 1 } } \in A _ { 1 } ) } \\ & { = \int _ { A _ { 1 } } \dots \int _ { A _ { n } } \frac { p ( t - s _ { n } , y , z _ { n } ) p ( s _ { n } - s _ { n - 1 } , z _ { n } , z _ { n - 1 } ) \dots p ( s _ { 2 } - s _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 1 } ) p ( s _ { 1 } , z _ { 1 } , x ) } { p ( t , y , x ) } \, d z _ { n } \dots d z _ { 1 } } \\ & { = \int _ { A _ { n } } \dots \int _ { A _ { 1 } } \frac { p ( s _ { 1 } , x , z _ { 1 } ) p ( s _ { 2 } - s _ { 1 } , z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \dots p ( s _ { n } - s _ { n - 1 } , z _ { n - 1 } , z _ { n } ) p ( t - s _ { n } , z _ { n } , y ) } { p ( t , x , y ) } \, d z _ { 1 } \dots d z _ { n } } \\ & { = \ensuremath { \mathbb { P } } _ { x } ^ { t , y } ( X _ { s _ { 1 } } \in A _ { 1 } , \dots , X _ { s _ { n } } \in A _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { k ^ { 2 } \partial _ { \tau } \xi _ { \textbf { k } } ^ { ( 0 ) } - \bar { \rho } _ { i } ^ { 2 } \int \frac { d q _ { u } d q _ { v } } { 2 \pi } ( k _ { u } q _ { v } - k _ { v } q _ { u } ) q ^ { 2 } \big [ \xi _ { \textbf { k } - \textbf { q } } ^ { ( 0 ) } \xi _ { \textbf { q } } ^ { ( 0 ) } \big ] = 0 \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { 4 } \operatorname { S e q I n t } _ { X } A : } & { = \{ a \in A ~ : ~ { \mathrm { ~ w h e n e v e r ~ a ~ s e q u e n c e ~ i n ~ } } X { \mathrm { ~ c o n v e r g e s ~ t o ~ } } a { \mathrm { ~ i n ~ } } ( X , \tau ) , { \mathrm { ~ t h e n ~ t h a t ~ s e q u e n c e ~ i s ~ e v e n t u a l l y ~ i n ~ } } A \} } \\ & { = \{ a \in A ~ : ~ { \mathrm { ~ t h e r e ~ d o e s ~ N O T ~ e x i s t ~ a ~ s e q u e n c e ~ i n ~ } } X \setminus A { \mathrm { ~ t h a t ~ c o n v e r g e s ~ i n ~ } } ( X , \tau ) { \mathrm { ~ t o ~ a ~ p o i n t ~ i n ~ } } A \} } \end{array} }
\begin{array} { r } { \rVert \mathfrak { I } _ { n } \rVert _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \mathcal { G } _ { n } ) } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } , \quad \rVert Z _ { n } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \mathcal { G } _ { n } ) } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } , \mathrm { ~ w h e r e ~ \mathtt { p _ e } = \left\{ \mathtt { p } , b , \mathtt { M } , S _ 0 \right\} ~ ( r e c a l l ~ f r o m ~ ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E ^ { 0 } [ v , \mathbf { A } ] } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } } \{ F _ { \mathrm { C S , p u r e } } ^ { 0 } [ \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } ] + \langle v + \frac { 1 } { 2 } | \mathbf { A } | ^ { 2 } , \rho \rangle + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } \rangle \} } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } } \{ F _ { \mathrm { C S , e n s } } ^ { 0 } [ \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } ] + \langle v + \frac { 1 } { 2 } | \mathbf { A } | ^ { 2 } , \rho \rangle + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } \rangle \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 , 1 } = } & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \left( Y _ { s } ^ { \xi } \right) H \left( Y _ { s } ^ { \xi } , s ; t , x \right) \wedge \hat { \theta } ( \xi , 0 ) \right] \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \left( \overline { { Y _ { s } ^ { \overline { { \xi } } } } } \right) H \left( Y _ { s } ^ { \overline { { \xi } } } , s ; t , x \right) \wedge \hat { \theta } ( \xi , 0 ) \right] \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s } \\ & { - 2 \kappa \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left. \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \right| _ { \xi _ { 2 } = 0 } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \left( Y _ { s } ^ { \xi , \tau } \right) H \left( Y _ { s } ^ { \xi , \tau } , s ; t , x \right) \wedge \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } ) \right] \mathrm { d } \tau \right) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } s } \\ & { + 2 \kappa \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left. \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \right| _ { \xi _ { 2 } = 0 } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \left( \overline { { Y _ { s } ^ { \overline { { \xi } } , \tau } } } \right) H \left( Y _ { s } ^ { \overline { { \xi } } , \tau } , s ; t , x \right) \wedge \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } ) \right] \mathrm { d } \tau \right) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } s . } \end{array}
\left( m _ { ( 0 , 2 ) } ^ { ( p , q ) } \right) ^ { 2 } = { Q _ { 1 } } ^ { 2 } + { Q _ { 2 } } ^ { 2 } + { Q _ { 3 } } ^ { 2 } + { Q _ { 4 } } ^ { 2 } + { P _ { 1 } } ^ { 2 } + { P _ { 2 } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { { \left\| { \boldsymbol { \psi } } _ { k , 1 } \right\| } _ { 2 } } & { \leq \frac { 2 { \delta } ^ { 2 } } { { \tilde { q } } _ { k } { q } _ { k } } \left| { q } _ { k } - { \tilde { q } } _ { k } \right| \left( 1 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { 6 } { \tilde { q } } _ { k } } + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { 6 } { q } _ { k } } \right) \left( 2 { \left\| { \boldsymbol { u } } _ { k } ^ { 1 } \right\| } _ { 2 } + { \tau } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq j \leq 2 } { { \left\| { \boldsymbol { f } } _ { k } ^ { j } \right\| } _ { 2 } } \right) \, , } \\ { { \left\| { \boldsymbol { \psi } } _ { k , 2 } \right\| } _ { 2 } } & { \leq \frac { 2 { \delta } ^ { 2 } } { { \tilde { q } } _ { k } } \left( 1 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { 6 { \tilde { q } } _ { k } } \right) \left( 2 { \left\| { \boldsymbol { \tilde { u } } } _ { k } ^ { 1 } - { \boldsymbol { u } } _ { k } ^ { 1 } \right\| } _ { 2 } + { \tau } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq j \leq 2 } { { \left\| { \boldsymbol { \tilde { f } } } _ { k } ^ { j } - { \boldsymbol { f } } _ { k } ^ { j } \right\| } _ { 2 } } \right) \, . } \end{array}
M _ { S } ^ { e f f } = \left( \frac { \alpha _ { 2 } ( m _ { \tilde { W } } ) } { a _ { 3 } ( m _ { \tilde { g } } ) } \right) ^ { \frac { 2 8 } { 1 9 } } | \mu | \approx \frac { 1 } { 5 } | \mu |
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } } & { { } : = \xi _ { \mathrm { N O B } } ( p _ { m } , T _ { m } , \Delta T ) \, , } \\ { \xi _ { 2 } } & { { } : = \xi _ { \mathrm { N O B } } ( p _ { m } , T _ { m } , \Delta T , \varepsilon _ { 2 k + 1 } ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k = 0 , . . . , 4 \, , } \\ { \xi _ { 3 } } & { { } : = \xi _ { \mathrm { N O B } } ( p _ { m } , T _ { m } , \Delta T , \varepsilon _ { k } ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k = 1 , . . . , 1 0 \, . } \end{array}
\psi _ { d l , h } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } } \left[ \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \delta _ { d 1 } \delta _ { l 1 } \delta _ { h 1 } + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \left( \delta _ { d 2 } \delta _ { l 1 } + \delta _ { d 1 } \delta _ { l 2 } \right) \right] \delta _ { h 2 } \ .
\begin{array} { r l r l } { - } & { ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } , \quad } & { \mathbf { q } _ { i } } & { \in \big ( - \infty , - ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } \big ) } \\ & { \mathbf { q } _ { i } , \quad } & { \mathbf { q } _ { i } } & { \in \big [ - ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } , ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } ) \big ] } \\ & { ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } , } & { \mathbf { q } _ { i } } & { \in \big ( ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } , \infty \big ) } \end{array}
{ \frac { \partial { \bf b } } { \partial t } } - b _ { 0 } \partial _ { \parallel } { \bf u } + { \bf b } _ { 0 } ( \nabla \cdot { \bf u } ) = ( { \bf b } \cdot \nabla ) { \bf u } - ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf b } - { \bf b } ( \nabla \cdot { \bf u } ) \, ,
\begin{array} { r l } { h _ { 1 } ( \beta _ { k } ) = } & { \frac { 1 6 } { \sigma ^ { 4 } } \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) \left( 2 M _ { F } + \sigma \right) ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } + \frac { 1 6 } { \sigma ^ { 4 } } \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) ( M _ { f } L _ { F } ) ^ { 2 } } \\ & { + \left[ \frac { 3 2 } { \sigma ^ { 4 } } \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) \left( 2 M _ { F } + \sigma \right) M _ { f } L _ { F } - { \alpha } \right] \beta _ { k } , } \end{array}
d s ^ { 2 } = g _ { \mu \nu } d q ^ { \mu } d q ^ { \nu } = R ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + R ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ~ d \phi ^ { 2 } , ~ ~ q ^ { 1 } = \theta , ~ q ^ { 2 } = \phi .
\begin{array} { r l } { | \psi ( \tau ) \rangle = } & { { } \frac { 1 } { 2 ^ { N } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 0 } ^ { N } \sqrt { \binom { N } { k _ { 1 } } \binom { N } { k _ { 2 } } } | k _ { 1 } , k _ { 2 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } ^ { + } } & { { } ( \cos \theta _ { 1 } ^ { + } - \beta n _ { 1 } ) / \eta _ { 1 } - E _ { 1 } ^ { - } ( \cos \theta _ { 1 } ^ { - } + \beta n _ { 1 } ) / \eta _ { 1 } } \end{array}
\Gamma ( D ^ { * + } \rightarrow D ^ { 0 } \pi ^ { + } ) = { \frac { m _ { D } ^ { 2 } \left( E _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } { 1 2 \pi m _ { D ^ { * } } ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } } \left[ \lambda + \left( ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) - \lambda \right) { \frac { \Lambda } { m _ { D } } } \right] ^ { 2 } ,
r \widetilde { F } \left( \beta \right) \approx - \frac { \pi ^ { 4 } } { 4 5 } \frac { r ^ { 4 } } { \beta ^ { 4 } } - \frac { 1 } { 2 4 0 } - \frac { \pi ^ { 2 } \left| \mu _ { e f f } ^ { 2 } \right| } { 1 2 } \frac { r ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } - \frac { 3 \left| \mu _ { e f f } ^ { 2 } \right| } { 1 6 } ,
I ^ { ( 1 ) } = - 8 \pi \alpha \epsilon _ { \lambda \kappa \sigma } \int \! \int _ { S } d S _ { \lambda } ^ { x } \int \! \int _ { S _ { f } } d S _ { \kappa } ^ { y } \, \frac { ( x - y ) _ { \sigma } } { | \overline { { { x } } } - \overline { { { y } } } | ^ { 4 } } \, ,
\varphi _ { I } ( \mathtt { e } _ { I } \otimes \emph { \textsf { A } } _ { I } ) = \varphi _ { I } \Big ( \mu _ { S , T } \big ( ( \mathtt { e } _ { S } \otimes \emph { \textsf { A } } _ { S } ) \otimes ( \mathtt { e } _ { T } \otimes \emph { \textsf { A } } _ { T } ) \big ) \Big ) = \varphi _ { S } ( \mathtt { e } _ { S } \otimes \emph { \textsf { A } } _ { S } ) \star \varphi _ { T } ( \mathtt { e } _ { T } \otimes \emph { \textsf { A } } _ { T } ) .
\Delta n = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { m } \frac { P R ^ { m } } { \gamma _ { \mathrm { r } } ^ { m + 1 } } \left( | \psi _ { \mathrm { t o t } } | ^ { 2 } \right) ^ { m - 1 } \Delta | \psi | ^ { 2 } .
\left< Q \right> _ { \mathrm { I A } } \: \: = \: \: \left[ \, Q _ { 1 } \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { 8 m _ { 1 } ^ { \, 2 } } \right) \, \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \: - \: Q _ { 2 } \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { 8 m _ { 2 } ^ { \, 2 } } \right) \, \frac { m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \, \right]
\frac { \partial U _ { \mathrm { s u r f } } } { \partial L _ { \mathrm { n e c k } } } \propto \frac { \partial U _ { \mathrm { s u r f } } } { \partial n _ { \mathrm { n e c k } } } \propto \left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } } & { , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } } & { , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { \delta } } & { , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial t } - \gamma _ { 1 } \Delta S _ { 1 } = ( \mu - \delta - S _ { 1 } ) S _ { 1 } , } \\ { \nabla S _ { 1 } \cdot \mathbf n = 0 , \quad \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega \times \mathbb R ^ { + } , } \\ { S _ { 1 } ( \mathbf x , 0 ) = S _ { 1 } ^ { 0 } ( \mathbf x ) = \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \bar { \Omega } } n _ { 0 } ( \mathbf x ) . } \end{array} \right.
- \int _ { 0 } ^ { T } \left( W , \partial _ { t } \xi \right) _ { k } d t - \left( W _ { 0 } , \xi _ { 0 } \right) _ { k } = - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \nabla _ { p } \cdot \Phi , f W \xi \nabla _ { p } E \rangle _ { p k } d t - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \Phi , f W \xi \nabla _ { p } \nabla _ { p } E \rangle _ { p k } d t .
a _ { 0 } = - \frac { 6 } { g } \Sigma _ { 3 } + \frac { 6 } { g ^ { 2 } } \left( 2 \Sigma _ { 2 } \Sigma _ { 3 } + 2 \Sigma _ { 3 } \Sigma _ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { M } \frac { a _ { k } \Sigma _ { 3 } a _ { k } ^ { \dagger } + a _ { k } ^ { \dagger } \Sigma _ { 3 } a _ { k } - \Sigma _ { 3 } } { k } \right) + O ( 1 / g ^ { 3 } ) \; .
\begin{array} { r l } { \hat { r } } & { { } = \frac { r } { R _ { 0 } } , } \\ { \hat { z } } & { { } = \frac { z } { L } , } \\ { \hat { v } _ { z } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) } & { { } = \frac { v _ { z } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) } { v _ { z } ^ { * } } , } \\ { \hat { v } _ { r } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) } & { { } = \frac { v _ { r } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) } { v _ { r } ^ { * } } , } \end{array}
- k _ { - 2 } ~ { x _ { \mathrm { ~ \, ~ } } } ^ { 3 } + k _ { + 2 } ~ { x _ { \mathrm { ~ \, ~ } } } ^ { 2 } - k _ { - 1 } ~ x _ { \mathrm { ~ \, ~ } } + k _ { + 1 } \, Q = 0 ,
\begin{array} { r c l } { { \left( \begin{array} { c } { { c _ { Z } } } \\ { { c _ { A } } } \end{array} \right) } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { l r } { { c } } & { { - s } } \\ { { s } } & { { c } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { c _ { 1 } } } \\ { { c _ { 2 } } } \end{array} \right) , } } \\ { { \left( \begin{array} { c } { { \bar { c } _ { Z } } } \\ { { \bar { c } _ { A } } } \end{array} \right) } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { l r } { { c } } & { { - s } } \\ { { s } } & { { c } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \bar { c } _ { 1 } } } \\ { { \bar { c } _ { 2 } } } \end{array} \right) , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \vec { \jmath } } } & { = { \vec { \jmath } } _ { 0 } + { \vec { s } } t , } \\ { { \vec { a } } } & { = { \vec { a } } _ { 0 } + { \vec { \jmath } } _ { 0 } t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { s } } t ^ { 2 } , } \\ { { \vec { v } } } & { = { \vec { v } } _ { 0 } + { \vec { a } } _ { 0 } t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { \jmath } } _ { 0 } t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { s } } t ^ { 3 } , } \\ { { \vec { r } } } & { = { \vec { r } } _ { 0 } + { \vec { v } } _ { 0 } t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { a } } _ { 0 } t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { \jmath } } _ { 0 } t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { s } } t ^ { 4 } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { V } ^ { 2 b } ( R , \theta ) } & { = \sum _ { L } P _ { L } ( \cos \theta ) \times \Big [ V _ { L } ^ { ( 0 ) } ( R ) + \hat { s } _ { 1 } \cdot \hat { s } _ { 2 } V _ { L } ^ { ( 1 2 ) } ( R ) } \\ & { + \hat { s } _ { 1 } \cdot \hat { s } _ { 3 } V _ { L } ^ { ( 1 3 ) } ( R ) + \hat { s } _ { 2 } \cdot \hat { s } _ { 3 } V _ { L } ^ { ( 2 3 ) } ( R ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { \delta _ { i ( j + 3 ) } \lambda _ { i + 1 } \lambda _ { j + 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { i \neq j + 3 } \\ { \lambda _ { j + 4 } \lambda _ { j + 2 } = 0 } & { i = j + 3 } \end{array} \right. } \\ & { \delta _ { i ( j + 2 ) } \lambda _ { i + 1 } \lambda _ { j + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { i \neq j + 2 } \\ { \lambda _ { j + 3 } \lambda _ { j + 1 } = 0 } & { i = j + 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { r , r ^ { \prime } \to \infty } P ( r , t , \Omega ; r ^ { \prime } , t ^ { \prime } , \Omega ^ { \prime } ) = - \frac { r r ^ { \prime } } { l ^ { 2 } } \left[ \cosh \frac { t - t ^ { \prime } } { l } - \cos \Theta \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Big [ ( \widehat { \vartheta } _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } - \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } ) ^ { 4 } \Big ] } & { \leq C n ^ { - 8 } \mathbb { E } [ ( \bar { W } _ { 1 } - \mathbb { E } [ ( \nu ^ { \prime } U _ { 1 2 } ) ^ { 2 } ] ) ^ { 4 } ] + C n ^ { - 4 } \mathbb { E } [ ( \bar { W } _ { 2 } - \mathbb { E } [ ( \mathbb { E } [ \nu ^ { \prime } U _ { 1 2 } | Z _ { 1 } ] ) ^ { 2 } ] ) ^ { 4 } ] } \\ & { \qquad + C n ^ { - 4 } \mathbb { E } [ ( \bar { U } - \mathbb { E } [ \nu ^ { \prime } U _ { 1 2 } ] ) ^ { 4 } ] } \\ & { = O ( n ^ { - 6 } + n ^ { - 8 } h ^ { - d - 8 } ) . } \end{array}
d \sigma ( \boldsymbol { x } _ { i } ) : = w ( \boldsymbol { x } _ { i } ) ^ { - 1 } d \tilde { \rho } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) = \frac { 1 } { \upsilon } \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \phi _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) ^ { 2 } } d \tilde { \rho } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) , \qquad \mathrm { w h e r e ~ } \upsilon : = \frac { \| \boldsymbol { Q } \| _ { F } } { M } .
\begin{array} { r } { \beta = \frac { 2 ^ { - 2 i \omega } \Gamma \left( \frac { 3 } { 4 } - \frac { i \omega } { 2 } \right) ^ { 4 } } { \pi \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - i \omega \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } , \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \right] = \left[ \hat { a } _ { i } , \hat { a } _ { j } \right] = 0 \quad } & { { } \left[ \hat { a } _ { i } , \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \right] = \delta _ { i j } } \end{array}
S _ { H B } ( t = t _ { r h } ) = l _ { P } ^ { - 2 } H _ { R H } R _ { R H } ^ { 3 } = H _ { R H } ^ { - 1 } T _ { R H } ^ { 4 } R _ { R H } ^ { 3 } = ( T _ { R H } / H _ { R H } ) ~ S _ { R H } \gg S _ { R H } \; .