harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal J } _ { i } = \frac { 1 } { 2 } ( z ^ { \alpha } \sigma _ { \beta \alpha } ^ { i } \frac { \partial } { \partial z ^ { \beta } } - { \bar { z } } ^ { \alpha } \sigma _ { \alpha \beta } ^ { i } \frac { \partial } { \partial { \bar { z } } ^ { \beta } } ) , \; \; { \cal I } _ { i } = - 4 \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \sigma _ { \alpha \beta } ^ { i } \frac { \partial } { \partial z ^ { \beta } } \frac { \partial } { \partial { \bar { z } } ^ { \alpha } } + \frac { \mu \omega ^ { 2 } } { 2 } \sigma _ { \alpha \beta } ^ { i } z ^ { \alpha } { \bar { z } } ^ { \beta } ,
\int _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \mathbf { J } _ { \mu } ^ { N } [ \psi ] n _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } ^ { \mu } \, d V _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \approx \int \, \big ( | \widetilde { \partial } _ { r } \psi | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } | K ^ { \star } \psi | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } | \partial _ { \theta } \psi | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } | \partial _ { \phi } \psi | ^ { 2 } \big ) r ^ { 2 } \sin \theta \, d r \, d \theta \, d \phi \, .
\begin{array} { r l r } & { X _ { 1 } } & { = e ^ { - k _ { e l } \delta t } } \\ & { X _ { 2 } } & { = e ^ { - k _ { e p } \delta t } } \\ & { A _ { 1 } } & { = F \frac { k _ { i n } k ^ { t r a n s } } { v _ { e } } \left[ k _ { e l } ( k _ { e p } - k _ { e l } ) \right] ^ { - 1 } } \\ & { A _ { 2 } } & { = F \frac { k _ { i n } k ^ { t r a n s } } { v _ { e } } \left[ k _ { e p } ( k _ { e p } - k _ { e l } ) \right] ^ { - 1 } } \\ & { B _ { 1 } } & { = ( e ^ { k _ { e l } \tau } - 1 ) A _ { 1 } } \\ & { B _ { 2 } } & { = ( e ^ { k _ { e p } \tau } - 1 ) A _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nu _ { \alpha , i } } & { \geq } & { C \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { - m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } } \left\vert \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert - \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert \right\vert \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { \geq } & { C \int _ { \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert \geq 2 } e ^ { - m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } } \left( \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert - \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert \right) \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { \geq } & { C \int _ { \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert \geq 2 } e ^ { - m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } } \frac { \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert } { 2 } \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { = } & { C \int _ { 2 } ^ { \infty } R ^ { 3 } e ^ { - m _ { \alpha } R ^ { 2 } } \, d R = C \geq C \left( 1 + \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert \right) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \lambda _ { 3 } ( n ) } - 1 } & { = } & { \frac { 3 n - \frac { 1 2 n } { n + 2 } } { 6 n + 1 6 ( 2 n ( n - 1 ) ) ^ { 1 / 2 } + \frac { 6 n } { n + 2 } } = \frac { 3 - \frac { 1 2 } { n + 2 } } { 6 + 1 6 ( \frac { 2 ( n - 1 ) } { n } ) ^ { 1 / 2 } + \frac { 6 } { n + 2 } } } \\ & { > } & { \frac { 3 - \frac { 1 2 } { n + 2 } } { 6 + \frac { 6 8 } 3 + \frac { 6 } { n + 2 } } = \frac { 9 n - 1 8 } { 8 6 n + 1 9 0 } . } \end{array}
A _ { { \cal P } i } ^ { ( \gamma p ) } ( s , t ) = 6 \alpha P _ { p } \, A _ { { \cal P } i } ^ { ( q q ) } ( s / 6 , t ) G _ { { \cal P } i } ^ { p } ( t ) G _ { { \cal P } i } ^ { \gamma } ( t ) , \quad i = 1 , 2 \ ,
\begin{array} { r l } { { \mathcal Q } ( { \bf f } , { \bf g } ; x ) } & { : = { \bf f } ^ { \top } ( { \bf 1 } _ { N } / N ) + { \bf g } ^ { \top } ( { \bf 1 } _ { N } / N ) - \varepsilon ( \mathrm { e } ^ { { \bf f } / \varepsilon } ) ^ { \top } K ( x ) \mathrm { e } ^ { { \bf g } / \varepsilon } } \\ & { \simeq Q ( { \bf f } , { \bf g } ; x ) . } \end{array}
\tau _ { i j } ^ { A } = \tau _ { i j } - \frac { \delta _ { i j } } { 3 } \tau _ { k k } = - 2 C _ { S m a g } ^ { 2 } \overline { { \Delta } } ^ { 2 } | \overline { { S } } | \overline { { S } } _ { i j } ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \sum _ { \eta \in \mathbf { H } \left( M \right) } P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \left( \eta \right) \log \left( P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \left( \eta \right) \right) , } \\ { = } & { { } \log \left( Z _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) + \frac { \beta _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { Z _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } } \left( \sum _ { \eta \in \mathbf { H } \left( M \right) } \exp \left( - \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } U _ { \eta } \right) U _ { \eta } \right) , } \\ { = } & { { } \log \left( Z _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) + \beta _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } U _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } . } \end{array}
1 = \cos ( \frac { { 2 \pi f } _ { L } } { f ( x ) } ) - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \sin ( \frac { { 2 \pi f } _ { L } r } { f ( x ) } ) \sin ( \frac { { 2 \pi f } _ { L } ( 1 - r ) } { f \left( x \right) } )
4 f ^ { 1 4 } 6 s \; ^ { 2 } S _ { 1 / 2 } ( F \! = \! 0 ) \to \; 4 f ^ { 1 3 } 6 s ^ { 2 } \; ^ { 2 } F _ { 7 / 2 } ( F \! = \! 3 )
\begin{array} { r } { \boldsymbol j ( \boldsymbol r , t ) = - \frac { e } { m _ { e } } \sum _ { b } \int _ { \mathrm { B Z } } d \boldsymbol k f _ { b \boldsymbol k } u _ { b \boldsymbol k } ^ { * } ( \boldsymbol r , t ) \boldsymbol v _ { \boldsymbol k } ^ { \mathrm { l o c a l } } ( t ) u _ { b \boldsymbol k } ( \boldsymbol r , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { T P A } } & { = \frac { \int _ { S i } n ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } { \int n ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } \mathrm { , } } \\ { \Gamma _ { F C } } & { = \frac { \int _ { S i } n ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } { \int n ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } \mathrm { , } } \\ { V _ { T P A } } & { = \frac { \left( \int n ^ { 2 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 2 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } \right) ^ { 2 } } { \int n ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 4 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { i { \lambda } u - u ^ { 1 } = f ^ { 1 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { H _ { L } ^ { 1 } ( 0 , l _ { 1 } ) , } \\ { i { \lambda } v - z = f ^ { 3 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { H ^ { 1 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) , } \\ { i { \lambda } p - q = f ^ { 5 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { H _ { \ast } ^ { 1 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) , } \\ { i { \lambda } y - y ^ { 1 } = f ^ { 7 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { H _ { R } ^ { 1 } ( l _ { 2 } , L ) , } \end{array} \right.
y _ { R } ^ { 2 } ( \mu ^ { 2 } ) = y ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 3 } { 2 } \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - 5 \frac { y ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { M ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) .
\left\langle \sum _ { k } q _ { k } { \frac { \partial H } { \partial q _ { k } } } \right\rangle = \left\langle \sum _ { k } p _ { k } { \frac { \partial H } { \partial p _ { k } } } \right\rangle = \left\langle \sum _ { k } p _ { k } { \frac { d q _ { k } } { d t } } \right\rangle = - \left\langle \sum _ { k } q _ { k } { \frac { d p _ { k } } { d t } } \right\rangle ,
\begin{array} { r } { Z = g _ { \mathrm { e v e n } } \sum _ { l _ { 0 } = \mathrm { e v e n } } e ^ { - \frac { \tilde { E } _ { l _ { 0 } } } { \sigma ^ { 2 } } } + g _ { \mathrm { o d d } } \sum _ { l _ { 0 } = \mathrm { o d d } } e ^ { - \frac { \tilde { E } _ { l _ { 0 } } } { \sigma ^ { 2 } } } \, , } \end{array}
{ \frac { T } { T _ { c } } } ~ = ~ { \left( \frac { { \beta } _ { e f f } } { \beta _ { c } } \right) } ^ { - 7 7 / 6 2 5 } \exp { \left( { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 2 5 } } ( \beta _ { e f f } - \beta _ { c } ) \right) } .
{ \cal H } = - { \frac { 1 } { 8 P } } ( \Pi + Q \epsilon _ { i j } B _ { j } ) ^ { 2 } + B _ { 0 } ( \partial _ { i } \Pi _ { i } - Q \epsilon _ { i j } \partial _ { i } B _ { j } ) - P B _ { i j } B _ { i j } - R B _ { \mu } B ^ { \mu } .
\left\{ \begin{array} { r l } { R _ { c } } & { { } = R _ { \mathrm { c a l } } \, \cos \left( \frac { \pi } { 2 } - \theta _ { e q } \right) } \\ { R _ { \mathrm { c a l } } - h } & { { } = R _ { \mathrm { c a l } } \, \sin \left( \frac { \pi } { 2 } - \theta _ { e q } \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \left( \begin{array} { l l } { \langle \hat { \mathbf { r } } _ { u } , \hat { \mathbf { r } } _ { u } \rangle } & { \langle \hat { \mathbf { r } } _ { u } , \hat { \mathbf { r } } _ { v } \rangle } \\ { \langle \hat { \mathbf { r } } _ { v } , \hat { \mathbf { r } } _ { u } \rangle } & { \langle \hat { \mathbf { r } } _ { v } , \hat { \mathbf { r } } _ { v } \rangle } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { r } _ { u } ( \mathbf { p } ) , C _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u } ( \mathbf { p } ) \rangle } & { \langle \mathbf { r } _ { u } ( \mathbf { p } ) , C _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } ( \mathbf { p } ) \rangle } \\ { \langle \mathbf { r } _ { u } ( \mathbf { p } ) , C _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } ( \mathbf { p } ) \rangle } & { \langle \mathbf { r } _ { v } ( \mathbf { p } ) , C _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } ( \mathbf { p } ) \rangle } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { W \hat { W } } ( \ell ( W , \hat { W } ) ) } & { = \sum _ { w , \hat { w } } \ell ( w , \hat { w } ) p _ { W \hat { W } } ( w , \hat { w } ) } \\ & { = \sum _ { w , \hat { w } } \ell ( w , \hat { w } ) p _ { W } ( w ) p _ { \hat { W } | W = w } ( \hat { w } ) } \\ & { \geq \sum _ { \hat { w } } \operatorname* { m i n } _ { w } p _ { \hat { W } | W = w } ( \hat { w } ) \sum _ { w } \ell ( w , \hat { w } ) p _ { W } ( w ) } \\ & { \geq \left( \operatorname* { m i n } _ { \hat { w } } \sum _ { w } \ell ( w , \hat { w } ) p _ { W } ( w ) \right) \sum _ { \hat { w } } \operatorname* { m i n } _ { w } p _ { \hat { W } | W = w } ( \hat { w } ) } \\ & { = \left( \operatorname* { m i n } _ { \hat { w } } \mathcal { P } _ { W } ( \ell ( W , \hat { w } ) ) \right) \left( \exp \left( - \mathcal { L } ^ { c } \left( W \! \! \to \! \! \hat { W } \right) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon } & { { } : \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } f _ { i } ^ { ( 0 ) } = - \frac { \delta t } { \bar { \tau } } f _ { i } ^ { ( 1 ) } + { f ^ { * } } _ { i } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \varepsilon ^ { 2 } } & { { } : \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } f _ { i } ^ { ( 0 ) } + \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } \left( 1 - \frac { \delta t } { 2 \bar { \tau } } \right) f _ { i } ^ { ( 1 ) } = - \frac { \delta t } { \bar { \tau } } f _ { i } ^ { ( 2 ) } + { f ^ { * } } _ { i } ^ { ( 2 ) } - \frac { 1 } { 2 } \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } { f ^ { * } } _ { i } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\mathbf { s } _ { m } ^ { a } C ^ { \alpha _ { 0 } b } = Z _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } C ^ { \alpha _ { 1 } a b } + \epsilon ^ { a b } B ^ { \alpha _ { 0 } } - \mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } F _ { \beta _ { 0 } \gamma _ { 0 } } ^ { \alpha _ { 0 } } C ^ { \beta _ { 0 } a } C ^ { \gamma _ { 0 } b } ,
\begin{array} { r l } { \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { = \| w _ { t } - \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) + \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \| w _ { t } - \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } + 2 \| \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \| w _ { t } - \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { 4 \hat { L } ^ { 2 } } { \mu } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { { } = \alpha \iint \mathcal { D } \rho \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \delta [ \rho - \hat { \rho } ] \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \hat { \rho } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) - ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) } \\ { = } & { ( 2 - \eta ^ { 2 } ) ( \| P _ { c } y \| ^ { 2 } - \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) + ( \| P _ { c } y \| ^ { 4 } - \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 4 } ) + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ( ( \| P _ { c } y \| ^ { 2 } - \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { { \bf k } n } ^ { + } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \left[ 1 + \exp \left( \frac { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu } { \tau _ { e } } \right) \right] } , } \\ { P _ { { \bf k } n } ^ { - } } & { { } = } & { \frac { \eta _ { \bf k } \left( \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu \right) } { 1 + \exp \left( \frac { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu } { \tau _ { e } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { m } \left( t \right) } & { : } & { = \operatorname* { m i n } _ { x \in \left[ 0 , \ell \left( t \right) \right] } \left\{ \varphi ^ { \prime } ( t - x ) e ^ { - \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t - x ) } , \varphi ^ { \prime } ( t + x ) e ^ { - \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t + x ) } \right\} , } \\ { \tilde { M } \left( t \right) } & { : } & { = \operatorname* { m a x } _ { x \in \left[ 0 , \ell \left( t \right) \right] } \left\{ \varphi ^ { \prime } ( t - x ) e ^ { - \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t - x ) } , \varphi ^ { \prime } ( t + x ) e ^ { - \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t + x ) } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 4 , 0 } = \Delta _ { 4 , - 1 } } & { { } = } & { \frac { | \Omega _ { 4 5 9 } | ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { 7 p } } , } \\ { \Delta _ { 3 , 0 } = \Delta _ { 3 , - 1 } } & { { } = } & { \frac { | \Omega _ { 4 5 9 } | ^ { 2 } } { 4 ( \Delta _ { 7 p } - \omega _ { \mathrm { q } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = ( 1 - \sigma ) \lambda ( 1 - \eta ) } \\ { B } & { { } = ( 1 - \sigma ) \left( \gamma + \eta - \lambda ( 1 - \eta ) \right) } \\ { C } & { { } = \eta \left( 1 - \sigma - \frac { \gamma } { \lambda } \right) . } \end{array}
\Delta N _ { \ell } = \frac { \left( \tau _ { 2 1 } ^ { ( \ell ) } - \tau _ { 1 0 } ^ { ( \ell ) } \right) \Gamma _ { \mathrm { p u m p } } ^ { ( \ell ) } } { 1 + \left( \tau _ { 3 2 } ^ { ( \ell ) } + \tau _ { 2 1 } ^ { ( \ell ) } + \tau _ { 1 0 } ^ { ( \ell ) } \right) \Gamma _ { \mathrm { p u m p } } ^ { ( \ell ) } } \bar { N } _ { 0 } ^ { ( \ell ) } , \qquad \ell = 1 , 2
C ^ { \mu \nu \lambda } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } ) = i ( ( q _ { 2 } - q _ { 1 } ) ^ { \lambda } ) \, g ^ { \mu \nu } + ( q _ { 3 } - q _ { 2 } ) ^ { \mu } \, g ^ { \nu \lambda } + ( q _ { 1 } - q _ { 3 } ) ^ { \nu } \, g ^ { \lambda \mu } ) .
\begin{array} { r l } { ( 1 - b ( 1 + } & { { } \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) ) \mathrm { { N u } } + b = M \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + 2 \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle - \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } \end{array}
{ \begin{array} { r } { { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { e } _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { e } _ { n } ^ { \prime } ( s ) } \end{array} \right] } = } \end{array} } \| \mathbf { r } ^ { \prime } ( s ) \| \cdot { \begin{array} { r } { { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \chi _ { 1 } ( s ) } & & { 0 } \\ { - \chi _ { 1 } ( s ) } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & { \ddots } & { 0 } & { \chi _ { n - 1 } ( s ) } \\ { 0 } & & { - \chi _ { n - 1 } ( s ) } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { e } _ { 1 } ( s ) } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { e } _ { n } ( s ) } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { M _ { i j k l } } & { = \mathbb { E } [ g _ { i j } ( \mathbf A - \mathbf x \mathbf x ^ { T } , \mathbf W ) g _ { k l } ( \mathbf A - \mathbf x \mathbf x ^ { T } , \mathbf W ) ] } \\ & { = \mathbb { E } [ P _ { i j r s } g _ { r s } ( \mathbf A - \mathbf x \mathbf x ^ { T } , \mathbf W ) g _ { x y } ( \mathbf A - \mathbf x \mathbf x ^ { T } , \mathbf W ) P _ { k l x y } ] } \\ & { = P _ { i j r s } \mathbb { E } [ g _ { r s } ( \mathbf A - \mathbf x \mathbf x ^ { T } , \mathbf W ) g _ { x y } ( \mathbf A - \mathbf x \mathbf x ^ { T } , \mathbf W ) ] P _ { x y k l } } \\ & { = P _ { i j r s } M _ { r s x y } P _ { x y k l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } ( l ) } & { { } = 1 , \ c _ { 0 } = 1 } \\ { p _ { 1 } ( l ) } & { { } = l - a + \beta \sigma ^ { 2 } , \ c _ { 1 } = 3 \sigma ^ { - 2 } } \\ { p _ { 2 } ( l ) } & { { } = ( l - a + \beta \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } / 3 , \ c _ { 2 } = ( 9 / 2 ) \sigma ^ { - 4 } } \\ { p _ { 3 } ( l ) } & { { } = ( l - a + \beta \sigma ^ { 2 } ) [ ( l - a + \beta \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ] , \ c _ { 3 } = ( 9 / 2 ) \sigma ^ { - 6 } } \end{array}
Q ^ { a } = - i \frac { 2 J } { 1 + \epsilon \vert \xi \vert ^ { 2 } } \left( T _ { 0 0 } ^ { a } + T _ { 0 i } ^ { a } \xi _ { i } + \epsilon T _ { i 0 } ^ { a } \bar { \xi } _ { i } + \epsilon T _ { i j } ^ { a } \bar { \xi } _ { i } \xi _ { j } \right) .
\begin{array} { r l r } { \arg [ G _ { p } ^ { ( + ) } ( \theta _ { 1 } ) ] } & { = } & { \arctan \left[ \frac { k _ { p } \cot \theta _ { p } + \left( \delta + x \right) + \zeta ^ { - 1 } d _ { p } ^ { \prime } / d _ { p } } { - 1 + \left( \delta + x \right) k _ { p } \cot \theta _ { p } + \zeta ^ { - 1 } k _ { p } ^ { \prime } \cot \theta _ { p } } \right] } \\ & { \approx } & { k _ { p } ( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } ) - x , } \end{array}
{ { \cal G } ^ { - 1 } } _ { a b } ^ { c d } \eta _ { c d } ^ { \mathrm { L L T } } = \left( k ^ { 2 } - \Lambda _ { l } + \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } ( N - 1 ) ( N - 4 ) - \frac { N + d } { N + d - 2 } \Lambda \right) \eta _ { a b } ^ { \mathrm { L L T } } ,
\mathbf { r } ( \mathbf { U } , \mathbf { w } ) : = \left[ \mathbb { I } _ { d } \otimes ( \Phi \Theta ( \mathbf { U } ) ) \right] \mathbf { S } \mathbf { w } + \textsf { v e c } ( \dot { \Phi } ( \mathbf { U } ) ) = \left[ \mathbb { I } _ { d } \otimes ( \Phi \Theta ( \mathbf { u } ^ { \star } + \pmb { \varepsilon } ) ) \right] \mathbf { S } \mathbf { w } + \textsf { v e c } ( \dot { \Phi } ( \mathbf { u } ^ { \star } + \boldsymbol { \varepsilon } ) ) .
\alpha _ { s } ( \kappa \mu ) = \alpha _ { s } ( \mu ) \, \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \bigg ( { \frac { \beta _ { 0 } \, \alpha _ { s } ( \mu ) } { 4 \pi } } \bigg ) ^ { n } \, \big ( - \ln \kappa ^ { 2 } \big ) ^ { n } + \ldots \, ,
{ \frac { \pi ^ { 2 } } { 9 } } { \frac { \ell ^ { 2 } } { ( 1 + b \ell ) } } ( b - b _ { a } ) ( b - b _ { b } ) - { \frac { b \pi } { 6 n } } \sum _ { c } \beta _ { c a } R _ { a b }
\begin{array} { r l r } { \int d ^ { 3 } r \, u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) u _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { \delta _ { i j } \; \; \; \; \; \mathrm { o r t h o n o r m a l i t y } } \\ { \sum _ { i } u _ { i } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \; \; \; \mathrm { c o m p l e t e n e s s } } \end{array}
{ \cal { B } } \; A _ { h a d } = { \frac { 1 } { M _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 2 } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } } \int d s \; d s ^ { \prime } \rho _ { h a d } ( s , s ^ { \prime } , q ^ { 2 } ) \exp ( - { \frac { s } { M _ { 1 } ^ { 2 } } } - { \frac { s ^ { \prime } } { M _ { 2 } ^ { 2 } } } )
\frac { \partial \hat { \varphi _ { f } } } { \partial \hat { t } } - \hat { \varphi _ { n } } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { F _ { 1 } } } { \partial \hat { x } ^ { 2 } } - \frac { \partial \hat { \varphi _ { n } } } { \partial \hat { x } } \frac { \partial \hat { F _ { 1 } } } { \partial \hat { x } } = \hat { \daleth _ { f } }
\mathrm { V a r } [ x ( t | x _ { 0 } ) ] = \langle x ^ { 2 } ( t , x _ { 0 } ) \rangle - \langle x ( t , x _ { 0 } ) \rangle ^ { 2 } = \frac { 2 x _ { 0 } } { a } \left( e ^ { - a t ^ { \gamma _ { s } } } - e ^ { - 2 a t ^ { \gamma _ { s } } } \right) + \frac { b } { a } \left( 1 - e ^ { - a t ^ { \gamma _ { s } } } \right) ^ { 2 } .
\dot { \gamma } = - \frac { \left( \frac { g _ { 0 } ^ { h f } k _ { \perp } ^ { * } } { 2 } \right) u _ { z } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) \gamma \cos \varphi _ { p } } { \left[ \gamma _ { 0 } + b ( \xi ) \right] \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } + \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { 2 } u _ { z } \operatorname { s e n } \varphi _ { p } }
\begin{array} { r l } { \vec { E } _ { a } ^ { 0 } ( x = 0 , t ) } & { = \Re \left[ t \left( \vec { X } _ { a } e ^ { - i ( \omega _ { a } t - k _ { a } \frac { L } { 2 } + \phi ) } + \frac { \Delta \vec { X } _ { a } } { 2 } \left( e ^ { - i ( \omega _ { + } t - k _ { + } \frac { L } { 2 } + \phi _ { + } ) } + e ^ { - i ( \omega _ { - } t - k _ { - } \frac { L } { 2 } + \phi _ { - } ) } \right) \right) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { h } & { { } = { \left( \begin{array} { l l } { c } & { a - i b } \\ { a + i b c } & { - c } \end{array} \right) } } & { } & { { } ( a , b , c ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } } \\ { u } & { { } = { \left( \begin{array} { l l } { d + i e } & { f + i g } \\ { - f + i g } & { d - i e } \end{array} \right) } } & { } & { { } ( d , e , f , g ) \in \mathbb { R } ^ { 4 } { \mathrm { ~ s u b j e c t ~ t o ~ } } d ^ { 2 } + e ^ { 2 } + f ^ { 2 } + g ^ { 2 } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { f } _ { * } | \mathcal { D } , \textbf { X } _ { * } } & { \sim \mathcal { N } ( \mathbb { E } [ \textbf { f } _ { * } ] , \textrm { c o v } ( \textbf { f } _ { * } ) ) , \ \textrm { w h e r e } } \\ { \mathbb { E } [ \textbf { f } _ { * } ] } & { = \hat { k } _ { L } ( \textbf { L } _ { * } , \textbf { L } ) \hat { k } _ { y } ^ { - 1 } \textbf { y } , } \\ { \textrm { c o v } ( \textbf { f } _ { * } ) } & { = \hat { k } _ { L } ( \textbf { L } _ { * } , \textbf { L } _ { * } ) - \hat { k } _ { L } ( \textbf { L } _ { * } , \textbf { L } ) \hat { k } _ { y } ^ { - 1 } \hat { k } _ { L } ( \textbf { L } , \textbf { L } _ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { t } } & { = m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } , } \\ { \dot { p } _ { t } } & { = - V _ { 1 } , } \\ { \dot { A } _ { t } } & { = - A _ { t } \cdot m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } - V _ { 2 } \, , } \\ { \dot { \gamma } _ { t } } & { = T ( p _ { t } ) - V _ { 0 } + ( i \hbar / 2 ) \operatorname * { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf m } = ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ) ^ { T } = { \bf e } _ { i } m _ { i } = { \bf e } _ { j } R _ { j k } R _ { k i } ^ { T } m _ { i } = { \bf R } _ { k } R _ { k i } ^ { T } m _ { i } \equiv { \bf R } _ { k } M _ { k } , } \end{array}