harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d G - H \wedge G } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { d H } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { d H ^ { ( 7 ) } + \frac { 1 } { 2 } { } ^ { \star } G \wedge G } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Delta y ^ { \prime } } & { { } = c _ { 1 } L \theta _ { 0 } / \sqrt { 1 2 } + c _ { 2 } L \theta _ { 0 } / 2 \; ; } \\ { \theta _ { y ^ { \prime } } } & { { } = c _ { 2 } \theta _ { 0 } \; . } \end{array}
S = - \frac { T } { 2 } \int d ^ { 3 } \sigma \left[ \sqrt { - \gamma } \left( \gamma ^ { \alpha \beta } \Pi _ { \alpha } ^ { a } \Pi _ { \beta } ^ { b } \eta _ { a b } - 1 \right) + \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma } \Pi _ { \alpha } ^ { A } \Pi _ { \beta } ^ { B } \Pi _ { \gamma } ^ { C } B _ { A B C } \right]
C \{ \mu \Delta u ^ { ( 2 ) } \} _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { \mu } { h ^ { 2 } } \Big ( [ \! [ u ^ { ( 2 ) } ] \! ] + \xi _ { u ^ { ( 2 ) } } [ \! [ u _ { x } ^ { ( 2 ) } ] \! ] + \frac { 1 } { 2 } \xi _ { u ^ { ( 2 ) } } ^ { 2 } [ \! [ u _ { x x } ^ { ( 2 ) } ] \! ] \Big ) , \ \ \mathrm { i f } \; ( x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , y _ { j } , z _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ) \in \Omega .
\Phi = 1 / { \sqrt { 2 } } ( \phi _ { c l } ( { \vec { r } } - { \vec { R ( t ) } } ) + \sum _ { n } q _ { n } ( t ) \beta ( { \vec { r } } ) ) e ^ { i \zeta ( t ) } , \sigma = \sigma _ { c l } ( { \vec { r } } - { \vec { R ( t ) } } ) + \sum _ { n } q _ { n } ( t ) \alpha ( { \vec { r } } ) .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } ( u _ { \varepsilon } , C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) \leq b \mathcal { L } ^ { d } ( C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) + b \int _ { C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) } \psi ( x , | \nabla u _ { \varepsilon } ( x ) | ) \, d x + b \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( J _ { u _ { \varepsilon } } \cap C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { B } \left[ \begin{array} { l } { - \frac { - e ^ { 2 b } + 1 } { 2 e ^ { b } } x _ { 1 } ( 0 ^ { + } ) - \frac { - e ^ { - 2 a } + 1 } { e ^ { - 2 a } + 1 } x _ { 1 } ( a ) } \\ { - \frac { e ^ { 2 b } + 1 } { 2 e ^ { b } } x _ { 1 } ( 0 ^ { + } ) + x _ { 1 } ( a ) } \\ { \frac { e ^ { 2 b } + 1 } { 2 e ^ { b } } x _ { 1 } ( 0 ^ { + } ) + x _ { 1 } ( a ) } \\ { \frac { - e ^ { 2 b } + 1 } { 2 e ^ { b } } x _ { 1 } ( 0 ^ { + } ) - \frac { - e ^ { - 2 a } + 1 } { e ^ { - 2 a } + 1 } x _ { 1 } ( a ) } \end{array} \right] = M \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( a ) } \\ { x _ { 1 } ( 0 ^ { + } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\frac 1 3 \varepsilon ^ { i j } \left( \begin{array} { l } { { 2 \bar { \varepsilon } \gamma _ { \mu \rho } \partial _ { i } \theta \bar { \theta } \gamma ^ { \mu \nu } \partial _ { j } \theta } } \\ { { - \bar { \varepsilon } \gamma _ { \mu \rho } \theta \partial _ { i } \bar { \theta } \gamma ^ { \mu \nu } \partial _ { j } \theta } } \end{array} \right) \lambda _ { \nu } \lambda ^ { \rho } ,
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 3 2 } \, b ( - k n ) \bigg [ 3 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } - \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \bf { E } } _ { + } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + | A | ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { - i A } \end{array} \right) \, , \quad \hat { \bf { E } } _ { - } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\left\langle \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \rho _ { 1 } ( z , y , t + t ^ { \prime } ) \right\rangle _ { \mathrm { s s } } = \left\langle \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \rho _ { 1 } ( z , y , t - t ^ { \prime } ) \right\rangle _ { \mathrm { s s } }
\begin{array} { r } { \rho _ { \mathrm { l } } u _ { \mathrm { ~ l ~ , ~ a ~ } } = \rho _ { \mathrm { v } } \frac { \mathrm d R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d t } , } \\ { u _ { \mathrm { ~ l ~ , ~ a ~ } } = \frac { \rho _ { \mathrm { v } } } { \rho _ { \mathrm { l } } } \frac { \mathrm d R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { N } _ { k + 1 } } & { = \left\lfloor N _ { k } \left( 1 + \mu \, \frac { \textup { v a r } ( \tilde { \mathbf { x } } ^ { k + 1 } ) - \textup { v a r } ( \mathbf { x } ^ { k + 1 } ) } { \textup { v a r } ( \mathbf { x } ^ { k + 1 } ) } \right) \right\rfloor } \\ { N _ { k + 1 } } & { = \operatorname* { m i n } \Big \{ \operatorname* { m a x } \big \{ \tilde { N } _ { k + 1 } , N _ { \operatorname* { m i n } } \big \} , N _ { k } \Big \} } \end{array}
P ( { \mathrm { r e j e c t ~ } } H _ { 0 } \mid H _ { 0 } { \mathrm { ~ i s ~ v a l i d } } ) = P ( X \geq 1 0 \mid p = { \frac { 1 } { 4 } } ) = \sum _ { k = 1 0 } ^ { 2 5 } P ( X = k \mid p = { \frac { 1 } { 4 } } ) = \sum _ { k = 1 0 } ^ { 2 5 } C ( 2 5 , k ) ( 1 - { \frac { 1 } { 4 } } ) ^ { ( 2 5 - k ) } ( { \frac { 1 } { 4 } } ) ^ { k } \approx 0 { . } 0 7 1 3 ,
a \rightarrow \left( \begin{array} { l l } { { a _ { + , i j } } } & { { \varrho \, a _ { - , i k } } } \\ { { \varrho \, a _ { - , \ell j } ^ { \dagger } } } & { { \tilde { a } _ { + , \ell k } } } \end{array} \right) , \quad \psi \rightarrow \left( \begin{array} { l l } { { \psi _ { + , i j } } } & { { \varrho \, \psi _ { - , i k } } } \\ { { \varrho \, \psi _ { - , \ell j } ^ { \dagger } } } & { { \tilde { \psi } _ { + , \ell k } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { 4 f _ { ( 0 , 0 , 2 ) } ^ { 2 } ( a , b , x ) - \left[ f _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) + f _ { ( \frac { - 1 } { 2 } , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) \right] ^ { 2 } } \\ & { = 2 f _ { ( 0 , 0 , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) \left[ f _ { ( 0 , \frac { 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) + f _ { ( 0 , \frac { - 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) \right] . } \end{array}
\Psi _ { - n _ { 1 } - { \frac { \beta } { 2 } } } ^ { \pm } \Psi _ { - n _ { 2 } - { \frac { \beta } { 2 } } } ^ { \pm } - ( - 1 ) ^ { \beta } \Psi _ { - n _ { 2 } - { \frac { \beta } { 2 } } } ^ { \pm } \Psi _ { - n _ { 1 } - { \frac { \beta } { 2 } } } ^ { \pm } = 0
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \frac { \partial _ { t } l } { l } \left( \mathcal { E } + P \right) - \rho \boldsymbol { u ^ { T } } \cdot \mathbb { D } \cdot \boldsymbol { u } + \boldsymbol { B ^ { T } } \cdot \mathbb { D } \cdot \boldsymbol { B } = - \frac { \boldsymbol { j } _ { C R } } { c } \cdot \left( c \boldsymbol { E } \right) , } \end{array}
g _ { a _ { i } } = \Bigl [ g _ { 1 } ( h ) \frac { \cos \alpha } { \sin \beta } + g _ { 2 } ( H ) \frac { \sin \alpha } { \sin \beta } \Bigr ] \frac { m _ { a _ { i } } } { m _ { N } } , a _ { i } = u , c , t
x _ { a } = y \ x _ { \gamma } = \frac { E _ { T } } { \sqrt { s } } ( e ^ { \eta } + e ^ { \eta ^ { \prime } } ) , \ \ \ \ x _ { b } = \beta \ x _ { \tt I \! P } = \frac { E _ { T } } { \sqrt { s } } ( e ^ { - \eta } + e ^ { - \eta ^ { \prime } } ) ,
\begin{array} { r l r } { \chi _ { 1 } ( q ) } & { { } = } & { \frac { m _ { e } k _ { F } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { k _ { F } ^ { 2 } - \left( q / 2 \right) ^ { 2 } } { k _ { F } q } \ln \left| \frac { q + 2 k _ { F } } { q - 2 k _ { F } } \right| \right) , } \\ { \chi _ { 2 } ( q ) } & { { } = } & { \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { 8 \pi \hbar ^ { 2 } } \frac { \theta ( 2 k _ { F } - q ) } { q } , } \end{array}
{ \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } } { \partial t } } + \overline { { U _ { j } } } { \frac { \partial \overline { { U _ { j } } } } { \partial x _ { j } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial \overline { { P } } } { \partial x _ { i } } } + { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left( \nu { \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } } { \partial x _ { j } } } - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) ~ ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3
\begin{array} { r l } { \dot { \hat { x } } } & { = A _ { c } \hat { x } + K _ { c } ( y - \hat { y } ) + \Psi _ { c } \hat { \theta } + \gamma _ { c } \Gamma \psi ( y - \hat { y } ) , } \\ { \dot { \hat { \theta } } } & { = \gamma _ { c } \psi ( y - \hat { y } ) , \quad \psi : = \Gamma ^ { \top } \! H ^ { \top } , } \\ { \dot { \Gamma } } & { = [ A _ { c } - K _ { c } H ] \Gamma + \Psi _ { c } , } \end{array}
E S _ { \pm } = \frac { E S ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \pm S E ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { 2 } , \quad P S _ { \pm } = \frac { P S ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \pm P S ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { 2 } , \quad E P _ { \pm } = \frac { E P ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \pm P E ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { 2 } \: .
\widetilde { C _ { \psi _ { \mathrm { t h } } } } ( u ) = k _ { B } T \widetilde { K } ( u ) \simeq \frac { f } { 2 } \gamma k _ { B } T \Gamma ( 1 / 4 ) ( \tau _ { 0 } u ) ^ { - 1 / 4 }
p _ { Q G P } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 9 0 } ( d _ { G } + \frac { 7 } { 4 } d _ { Q } ) T ^ { 4 } + \frac { d _ { Q } \mu ^ { 2 } T ^ { 2 } } { 1 0 8 } + \frac { d _ { Q } \mu ^ { 4 } } { 1 9 4 4 \pi ^ { 2 } } - B
\begin{array} { r } { \hat { B } _ { i n / o u t } ^ { r / b } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { b } _ { i n / o u t } ( \omega ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ r ~ e ~ d ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { \hat { b } _ { i n / o u t } ^ { \dagger } ( \omega ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ b ~ l ~ u ~ e ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \qquad \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 1 } } \leq \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 2 } } } \\ & { \Rightarrow \frac { \| x \| _ { 1 } + \| y \| _ { 1 } - \| x - y \| _ { 1 } } { \| x \| _ { 1 } + \| y \| _ { 1 } + \| x - y \| _ { 1 } } - \frac { \langle x , y \rangle } { \langle x , y \rangle + \| x - y \| _ { 1 } } \geq 0 } \\ & { \Rightarrow ( \| x \| _ { 1 } + \| y \| _ { 1 } ) \| x - y \| _ { 1 } - \| x - y \| _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \langle x , y \rangle \| x - y \| _ { 1 } \geq 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x } & { \approx { \frac { b - a } { 8 } } \left[ f ( a ) + 3 f \left( { \frac { 2 a + b } { 3 } } \right) + 3 f \left( { \frac { a + 2 b } { 3 } } \right) + f ( b ) \right] } \\ & { = { \frac { 3 } { 8 } } h \left[ f ( a ) + 3 f \left( a + h \right) + 3 f \left( a + 2 h \right) + f ( b ) \right] , } \end{array} }
\hat { H } _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } = \hbar \omega _ { a } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hbar \omega _ { d } \hat { d } ^ { \dagger } \hat { d } + \hbar \Lambda ( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { d } + \hat { a } \hat { d } ^ { \dagger } ) ,
\begin{array} { r } { \int _ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \frac { \partial g _ { 1 , j } } { \partial x _ { j } } r _ { 2 } } \mathrm { ~ d ~ } x _ { j } = g _ { 1 , j } r _ { 2 } \Big | _ { x _ { j } = x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } - \int _ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \frac { \partial r _ { 2 } } { \partial x _ { j } } g _ { 1 , j } } \mathrm { ~ d ~ } x _ { j } . } \end{array}
V _ { \mu \nu , \mathbf { k } = \boldsymbol { 0 } } = \left( \begin{array} { l l l l } { v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } & { v _ { 2 } } & { v _ { 2 } } \\ { v _ { 2 } } & { v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } & { v _ { 2 } } \\ { v _ { 2 } } & { v _ { 2 } } & { v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } \\ { v _ { 2 } } & { v _ { 2 } } & { v _ { 2 } } & { v _ { 1 } } \end{array} \right) ,
\boldsymbol { \Gamma } _ { \nu } \propto E ^ { 1 / 2 } \left[ \mathrm { R e } ( \tau _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ } } ) \, \boldsymbol { \omega } _ { \perp } - \mathrm { I m } ( \tau _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ } } ) \, \boldsymbol { 1 } _ { z } \times \boldsymbol { \omega } _ { \perp } + \tau _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ } } \, \omega _ { z } \boldsymbol { 1 } _ { z } \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \Gamma _ { 8 } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s } & { = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \pi } ^ { 0 } \frac { 1 } { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } \mathrm { e } ^ { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \pi } ^ { 0 } \frac { 1 } { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) + \left. \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s \right) \left( s - s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \right\vert _ { s = s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } } + \ldots } \mathrm { e } ^ { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \\ & { = - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S } _ { \perp } } & { ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) } \\ & { = \frac { 3 \hbar ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } } \sqrt { \frac { \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } \omega _ { 3 } \omega _ { 4 } } { v _ { g } ^ { 4 } } } \int d x d y \, \Gamma _ { 3 } ^ { i j l m } ( x , y ) } \\ & { \times \left[ \mathrm { d } _ { c h } ^ { i } ( x , y ) \mathrm { d } _ { c h } ^ { j } ( x , y ) \right] ^ { * } \mathrm { d } _ { c h } ^ { l } ( x , y ) \mathrm { d } _ { c h } ^ { m } ( x , y ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { i } ^ { ( N , G ) } } & { = } & { b _ { N - 1 } p _ { i } ^ { ( N - 1 , G ) } + a _ { N - 1 } } \\ & { = } & { b _ { N - 1 } \left( b _ { N - 2 } p _ { i } ^ { ( N - 2 , G ) } + a _ { N - 2 } \right) + a _ { N - 1 } } \\ & { = } & { b _ { N - 1 } b _ { N - 2 } p _ { i } ^ { ( N - 2 , G ) } + a _ { N - 2 } b _ { N - 1 } + a _ { N - 1 } } \\ & { = } & { b _ { N - 1 } b _ { N - 2 } b _ { N - 3 } p _ { i } ^ { ( N - 3 , G ) } + a _ { N - 3 } b _ { N - 1 } b _ { N - 2 } + a _ { N - 2 } b _ { N - 1 } + a _ { N - 1 } = \mathrm { \dots ~ e t c . ~ \dots } } \\ & { = } & { \left( \prod _ { \ell = 1 } ^ { N - i + 1 } b _ { N - \ell } \right) \underbrace { p _ { i } ^ { ( i - 1 , G ) } } _ { = 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { N - i + 1 } a _ { N - k } \prod _ { \ell = 1 } ^ { k - 1 } b _ { N - \ell } = \sum _ { k = i - 1 } ^ { N - 1 } a _ { k } \prod _ { \ell = k + 1 } ^ { N - 1 } b _ { \ell } } \\ & { \stackrel { \mathrm { E q . ~ ( ) } } { = } } & { \sum _ { k = i - 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 - G } { ( k + 1 ) ( k G + 1 - G ) } \prod _ { \ell = k + 1 } ^ { N - 1 } \frac { \ell G } { \ell G + 1 - G } = \frac { 1 - G } { G } \sum _ { k = i - 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + \frac { 1 - G } { G } ) } \prod _ { \ell = k + 1 } ^ { N - 1 } \frac { \ell } { \ell + \frac { 1 - G } { G } } } \\ & { = } & { \frac { 1 - G } { G } \sum _ { k = i - 1 } ^ { N - 1 } \frac { \prod _ { \ell = k + 2 } ^ { N - 1 } \ell } { \prod _ { \ell = k } ^ { N - 1 } \left( \ell + \frac { 1 - G } { G } \right) } = \frac { 1 - G } { G } \sum _ { k = i - 1 } ^ { N - 1 } \frac { \prod _ { \ell = k + 2 } ^ { N - 1 } \ell } { \prod _ { \ell = k } ^ { N - 1 } \left( \ell + \frac { 1 - G } { G } \right) } } \\ & { = } & { \frac { 1 - G } { G } \sum _ { k = i - 1 } ^ { N - 1 } \frac { \Gamma ( N ) / \Gamma ( k + 2 ) } { \Gamma \left( N + \frac { 1 - G } { G } \right) / \Gamma \left( k + \frac { 1 - G } { G } \right) } } \\ & { \stackrel { \star } { = } } & { \left( 1 - \rho \right) \frac { \Gamma ( N ) } { \Gamma \left( N + 1 - \rho \right) } \sum _ { k = i } ^ { N } \frac { \Gamma \left( k - \rho \right) } { \Gamma ( k + 1 ) } = \frac { 1 - \rho } { N } \frac { \Gamma ( N + 1 ) } { \Gamma \left( N + 1 - \rho \right) } \sum _ { k = i } ^ { N } \frac { \Gamma \left( k - \rho \right) } { \Gamma ( k + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { i } } { d t } } & { { } = } & { \sum _ { j > i } ^ { 4 0 } \eta _ { j i } A _ { j i } n _ { j } - \left( \sum _ { j < i } \eta _ { i j } A _ { i j } + \frac { Q } { V } + \frac { \gamma } { \tau } \delta _ { i 1 } \right) n _ { i } } \end{array}
r _ { \mathrm { 3 c } } = - \frac { s _ { 1 2 } + s _ { 2 3 } } { s _ { 1 3 } } = \frac { y - 1 } { y } , \qquad s _ { \mathrm { 3 c } } = \frac { s _ { 2 3 } } { s _ { 1 3 } } = \frac { z } { y } \; ,
{ \big | } \pi ( x ) - \operatorname { l i } ( x ) { \big | } \leq 0 . 2 7 9 5 { \frac { x } { ( \log x ) ^ { 3 / 4 } } } \exp \left( - { \sqrt { \frac { \log x } { 6 . 4 5 5 } } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 3 } ( \mathrm { d } F ) } & { { } = ( - \mathbf { d } \mathscr { E } + L _ { e _ { 0 } } \mathscr { B } , \mathbf { d } \mathscr { B } ) } \\ { \mathcal { R } _ { 1 } ( { * } \mathrm { d } { * } F ) } & { { } = ( - { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { E } , - { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { B } - L _ { e _ { 0 } } \mathscr { E } ) } \end{array}
\widetilde \phi ( x ) = K ^ { \partial _ { x } ^ { 2 } } \phi ( x ) = t _ { 0 } + t _ { 1 } K ^ { - \frac { 1 } { { R ^ { 2 } } } } \cos \left( { \frac { x } { R } } \right) + t _ { 2 } K ^ { - \frac { 4 } { { R ^ { 2 } } } } \cos \left( { \frac { { 2 x } } { R } } \right) + \cdots ,
\begin{array} { r } { \tau = \frac { \rho } { l _ { 2 2 } m } , \quad \lambda _ { 1 } = \frac { \textrm { d e t } l _ { i j } } { l _ { 2 2 } } , \quad \lambda _ { 2 } = \frac { \rho l _ { 1 1 } } { l _ { 2 2 } m } = l _ { 1 1 } \tau , } \end{array}
\sigma _ { p , ( a n t i ) p \rightarrow f i n a l \; s t a t e } = \Sigma _ { i , j } \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } f _ { i } ( x _ { 1 } ) \cdot f _ { j } ( x _ { 2 } ) \cdot \hat { \sigma } _ { i j } ( x _ { 1 } P _ { 1 } , x _ { 2 } P _ { 2 } )
\frac { d \sigma ( s _ { l } ) } { d x d y d z d | { \bf P } _ { \pi \perp } | ^ { 2 } d \phi } = \frac { \alpha ^ { 2 } y } { 3 2 M \pi ^ { 2 } x Q ^ { 2 } | { \bf P } _ { \pi | | } | } L _ { \mu \nu } ( k , s _ { l } ; k ^ { \prime } ) W ^ { \mu \nu } ( q , P , P _ { \pi } ) ,
\eta _ { i \alpha } = 0 , ~ ~ \bar { \eta } _ { j \dot { 2 } } = \rho _ { 1 } ^ { A } \sigma _ { j A \dot { 2 } } ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \bar { \eta } _ { j \dot { 1 } } = \rho _ { 2 } ^ { A } \sigma _ { j A \dot { 1 } } .
\left\{ \begin{array} { c } { { \phi _ { 0 } = { \bf p _ { 1 } } ^ { 2 } / 4 c + { \bf p } { \bf e } _ { + } + { \bf p _ { + } } { \bf e } _ { 1 } - 2 c \epsilon \approx 0 ; } } \\ { { \phi _ { 1 } = { \bf p } _ { 1 } { \bf e } _ { + } - 2 c \approx 0 , } } \\ { { \phi _ { 2 } = { \bf p } _ { 1 } { \bf e } _ { 1 } \approx 0 , } } \\ { { \phi _ { 3 } = { \bf p } _ { + } { \bf e } _ { + } \approx 0 , } } \\ { { u _ { i j } = { \bf e } _ { i } { \bf e } _ { j } - \eta _ { i j } , } } \end{array} \right.
D ^ { [ 1 ] } ( p _ { h } ; z , { \mathrm { \boldmath ~ k ~ } } _ { \perp } ) = - \frac { q ^ { + } } { Q } \, \frac { 2 m _ { h } } { Q } \, E ( z , { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } _ { h \perp } - z { \mathrm { \boldmath ~ k ~ } } _ { \perp } ) . \qquad \qquad \qquad
\hat { S } \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \hat { S } ^ { \dagger } = \sum _ { s = \pm } | 1 _ { s } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { s } ^ { \prime } | \left( E _ { 1 } + s \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } - \sum _ { j } \omega _ { j } | \xi _ { j } ^ { s } | ^ { 2 } \right) + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } - \sum _ { j } \hat { S } \left( w _ { j } ^ { x } \sigma _ { x } ^ { \prime } + w _ { j } ^ { y } \sigma _ { y } ^ { \prime } \right) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) \hat { S } ^ { \dagger } .
- \Gamma _ { \mu \nu } ^ { 1 } \Gamma _ { \rho \lambda } ^ { 2 } t _ { k l } ^ { a } t _ { m n } ^ { a } \langle { \bar { q } _ { \mu k } ^ { A } } q _ { \lambda n } ^ { D } { \bar { q } _ { \rho m } ^ { C } } q _ { \nu l } ^ { B } \rangle \, ,
\begin{array} { r l r } { u _ { \mathrm { E } } ^ { \tt t i d a l } ( \vec { x } ) } & { = } & { \sum _ { b \not = \mathrm { E } } \Big ( U _ { b } ( { \vec { r } } _ { b \mathrm { E } } ^ + \boldsymbol { \mathrm { x } } ) - U _ { b } ( { \vec { r } } _ { b \mathrm { E } } ^ ) - \boldsymbol { \mathrm { x } } \cdot { \vec { \nabla } } U _ { b } ( { \vec { r } } _ { b \mathrm { E } } ^ ) \Big ) \simeq \sum _ { b \not = \mathrm { E } } \frac { G M _ { b } } { 2 r _ { b \mathrm { E } } ^ { 3 } } \Big ( 3 ( \boldsymbol { \mathrm { n } } _ { b \mathrm { E } } ^ \cdot \boldsymbol { \mathrm { x } } ) ^ { 2 } - \boldsymbol { \mathrm { x } } ^ { 2 } \Big ) + { \cal O } \Big ( \frac { x ^ { 3 } } { r _ { b \mathrm { E } } ^ { 4 } } , c ^ { - 2 } \Big ) , } \end{array}
m _ { N _ { 1 } } ^ { 2 } \leq \frac { 2 M _ { W } ^ { 2 } } { \alpha _ { W } } \frac { 1 + \rho ^ { - 1 / 2 } } { \rho ^ { 1 / 2 } } \Big [ \sum _ { i } ( s _ { L } ^ { \nu _ { i } } ) ^ { 2 } \Big ] ^ { - 1 } , \qquad \rho \ \geq \ 1
m _ { i } \frac { d \textbf { U } _ { i } ^ { p } } { d t } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c } } { \textbf { F } _ { i j } ^ { c } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c u t } } \textbf { F } _ { i j } ^ { d - d } + \textbf { F } _ { i } ^ { m e } + \textbf { F } _ { i } ^ { h } + \textbf { F } _ { i } ^ { g } \qquad \qquad I _ { i } \frac { d \boldsymbol \omega _ { i } } { d t } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c } } { \textbf { T } _ { i j } ^ { c } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c u t } } \textbf { T } _ { i j } ^ { d - d } + \textbf { T } _ { i } ^ { m e } + \textbf { T } _ { i } ^ { h }
\lambda _ { V P _ { 1 \mathrm { m } } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { t k l } | s _ { t } ^ { ( 1 \mathrm { m } ) } \alpha _ { k t } ^ { ( A _ { 1 \mathrm { m } } ) } \alpha _ { l t } ^ { ( B _ { 1 \mathrm { m } } ) } | .
\begin{array} { r l } { \texttt { S u m } \texttt { ( d ) } } & { : \sum _ { t = 1 - T } ^ { 0 } \phi _ { k } ^ { \mid t + \tau \mid } \phi _ { j } ^ { - t } ( T + t ) } \\ & { = T \phi _ { k } ^ { - \tau } \sum _ { t = 1 - T } ^ { - \tau } ( \phi _ { k } ^ { - 1 } \phi _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { t } + \phi _ { k } ^ { - \tau } \sum _ { t = 1 - T } ^ { - \tau } ( \phi _ { k } ^ { - 1 } \phi _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { t } \cdot t } \\ & { + T \phi _ { k } ^ { \tau } \sum _ { t = - \tau + 1 } ^ { 0 } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { t } + \phi _ { k } ^ { \tau } \sum _ { t = - \tau + 1 } ^ { 0 } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { t } \cdot t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { + } & { \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ t ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } ~ H - ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) ~ d \rho } \\ & { - } & { t ( - v ^ { 2 } \kappa - \gamma _ { 1 } \kappa E _ { c } - \gamma \gamma _ { 1 } t u E _ { c } + \gamma _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } t u - v ) H ) ~ d \rho u } \\ & { + } & { ( - v ^ { 3 } + 3 t u v ^ { 2 } - 2 t ^ { 2 } u ^ { 2 } v + \gamma _ { 1 } ( ( 2 - \gamma ) t ^ { 2 } v - \kappa ) H + \gamma _ { 1 } ( \gamma t ^ { 2 } v + \kappa ) E _ { c } ) ~ d \rho v } \\ & { - } & { t ^ { 2 } \gamma _ { 1 } ( - \gamma _ { 1 } ~ H + ( \gamma + 1 ) E _ { c } ) ~ d \rho E = 0 } \end{array}