harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { [ \hat { \nu } ( \lambda , { \bf k } ) ] _ { 1 1 } } & { : = } & { \big [ \hat { \nu } ^ { \le r _ { m a x } } ( \lambda , { \bf k } ) \big ] _ { 1 1 } = \sum _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \sum _ { \sigma = s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } \big [ \hat { \nu } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( \lambda , { \bf k } ) \big ] _ { 1 1 } , } \\ { \big [ \hat { \nu } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( \lambda , { \bf k } ) \big ] _ { 1 1 } } & { = } & { \hat { \nu } ( \lambda ) ( { \bf k } ) _ { 1 1 } \chi _ { j } ( 4 k _ { 0 } ^ { 2 } + e ^ { 2 } ( { \bf k } , 1 ) ) \cdot v _ { s ^ { ( a ) } } [ t ^ { ( a ) } ( { \bf k } ) ] \cdot v _ { s ^ { ( b ) } } [ t ^ { ( b ) } ( { \bf k } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { x } : \mathrm { ~ } \underbrace { T _ { x } ^ { * } M \times \cdots \times T _ { x } ^ { * } M } _ { r \mathrm { ~ c ~ o ~ p ~ i ~ e ~ s ~ } } \times \underbrace { T _ { x } M \times \cdots \times T _ { x } M } _ { s \mathrm { ~ c ~ o ~ p ~ i ~ e ~ s ~ } } \to \mathbb { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { r e v } } ( \Phi ( x _ { r } ) , \Phi ( x _ { s } ) ) } & { = - \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \nabla ^ { \top } \Phi ( x _ { r } ) ( x _ { l } ) a ( x _ { l } ) \nabla \Phi ( x _ { s } ) ( x _ { l } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \nabla _ { 1 } ^ { \top } k ( x _ { l } , x _ { r } ) a ( x _ { l } ) \nabla _ { 1 } k ( x _ { l } , x _ { s } ) = \mathbf { K } _ { X } ^ { \mathrm { r e v } } ( r , s ) . } \end{array}
\int \, P ( X ) ^ { \beta _ { 1 } } \, { \frac { d X _ { 1 } } { X _ { 1 } ^ { \beta _ { 2 } + 1 } } } \wedge \cdots \wedge { \frac { d X _ { n - 1 } } { X _ { n - 1 } ^ { \beta _ { n } + 1 } } } ,
K ( w \prime _ { n } , w \prime _ { m } ^ { \ast } ; w \prime _ { r } , w \prime _ { s } ^ { \ast } ; t ) = \sum _ { \kappa > 0 } f _ { \kappa } ( w \prime _ { n } , w \prime _ { m } ^ { \ast } ) f _ { \kappa } ( w \prime _ { r } , w \prime _ { s } ^ { \ast } ) e ^ { i E _ { \kappa } t }
\begin{array} { r l r } { a _ { n \ell , x } ^ { 0 E } = } & { } & { - \frac { 1 } { 8 j } \left[ H _ { \ell + 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } \right. } \\ & { } & { \left. + H _ { \ell - 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { - j ( \ell - 1 ) \theta _ { n s } } \right] } \\ { a _ { n \ell , y } ^ { 0 E } = } & { } & { - \frac { 1 } { 8 } \left[ H _ { \ell + 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } \right. } \\ & { } & { \left. - H _ { \ell - 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { - j ( \ell - 1 ) \theta _ { n s } } \right] } \\ { a _ { n \ell , z } ^ { 0 E } = } & { } & { \frac { 1 } { 4 j } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { - j \ell \theta _ { n s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { L } ) ^ { 2 } ( \tau ) } & { { } = \left[ D ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } \right] S ^ { 2 } ( \tau ) + \mathrm { V a r } \left[ D ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \right] M _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) } \end{array}
{ \frac { \, S U ( 3 ) _ { C } \times S U ( 2 ) _ { \mathrm { { L } } } \times S U ( 2 ) _ { \mathrm { { R } } } \times U ( 1 ) _ { B - L } \, } { \mathbb { Z } _ { 6 } } } \rtimes \mathbb { Z } _ { 2 } .
{ \frac { h _ { 1 } } { h _ { 2 } } } - \sqrt { \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 2 } } } = \alpha \, \, \, \Longrightarrow \, \, \, { \frac { c _ { m } ^ { E } - c _ { m } } { c _ { m } ^ { E } - c _ { 0 } } } = O ( \alpha ) \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \frac { \zeta _ { m } - \zeta _ { m } ^ { E } } { \zeta _ { m } ^ { E } } } = O ( \alpha ) \, ,
F _ { \mu \nu } = i F _ { \mu \nu } ^ { 1 } + F _ { \mu \nu } ^ { 5 } \Gamma _ { 5 } + F _ { \mu \nu } ^ { a } \Gamma _ { a } + F _ { \mu \nu } ^ { a 5 } \Gamma _ { a } \Gamma _ { 5 } + \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a b } \Gamma _ { a b } ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k } \left( \eta _ { k } - \frac { 1 } { 4 ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) } \right) \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { 0 } ^ { * } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { 0 } ^ { * } ) } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ 4 ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon + \mathrm { E r r } _ { p _ { t } ^ { * } } ( \delta _ { t , 1 } ) + \mathrm { E r r } _ { q _ { t } ^ { * } } ( \delta _ { t , 2 } ) \right] , } \end{array}
Y _ { a , b } ( \theta , \phi ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { b } { \sqrt { { \frac { 2 a + 1 } { 4 \pi } } { \frac { ( a - b ) ! } { ( a + b ) ! } } } } P _ { a } ^ { b } ( \cos \theta ) e ^ { i b \phi } } & { { \mathrm { i f ~ } } a > 0 } \\ { Y _ { - a - 1 , b } ( \theta , \phi ) } & { { \mathrm { i f ~ } } a < 0 } \end{array} \right. }
\partial _ { \varphi } \left\{ \partial _ { z } S ^ { z } \partial _ { \bar { z } } S ^ { \bar { z } } - \partial _ { z } S ^ { \bar { z } } \partial _ { \bar { z } } S ^ { z } + { \cal { H } } \right\} = \partial _ { z } p + \partial _ { \bar { z } } \bar { p } + \partial _ { \varphi } { \cal H } = \partial _ { \varphi } \left\{ \partial _ { z } S + \partial _ { \bar { z } } \bar { S } + { \cal H } \right\} = 0 \, .
\frac { 1 } { 3 \cdot 4 ! \cdot 2 ! } ( - 1 8 ) ( \frac { 2 } { 9 } ) \int d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { 4 } F ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) F ( \tau _ { 3 } - \tau _ { 4 } ) [ \Theta ( \tau _ { 1 } \geq \tau _ { 3 } \geq \tau _ { 2 } \geq \tau _ { 4 } ) + \dots ] .
\xi \in \left\{ \xi ( k , t ) \in C ^ { \infty } \left( \mathbb { R } _ { k } \times [ 0 , T ] \right) : \xi ( \cdot , t ) \in C _ { c } ^ { \infty } \left( \mathbb { R } _ { k } \right) \ \forall t \in [ 0 , T ] \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \xi ( \cdot , T ) = 0 \right\} .
\delta m ^ { 2 } | _ { t w o \; l o o p } \; \sim \; ( g ^ { 2 } \sigma _ { 0 } ) ^ { 2 } \; \frac { g ^ { 2 } } { ( m _ { a _ { 1 } } ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \; T ^ { 4 } \; \sim \; \lambda g ^ { 2 } \; \frac { T ^ { 4 } } { \mu ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l } { v ( 1 ) = { } } & { { } \frac { c o s ( \Delta x ) c o s ( c \Delta t ) } { 2 c o s ( \Delta x ) ^ { 2 } + 1 } + \frac { s i n ( c \Delta t ) } { 2 s i n ( \Delta x ) } } \\ { v ( 0 ) = { } } & { { } \frac { c o s ( c \Delta t ) } { 2 c o s ( \Delta x ) ^ { 2 } + 1 } } \\ { v ( - 1 ) = { } } & { { } \frac { c o s ( \Delta x ) c o s ( c \Delta t ) } { 2 c o s ( \Delta x ) ^ { 2 } + 1 } - \frac { s i n ( c \Delta t ) } { 2 s i n ( \Delta x ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { + + , n } = T _ { -- , n } } & { = \frac { 2 + n _ { z } } { 3 } \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { H H } } + \frac { 2 - n _ { z } } { 3 } \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { L H } } , } \\ { T _ { + - , n } } & { = \frac { n _ { x } + i n _ { y } } { \sqrt { 3 } } \left( \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { H H } } - \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { L H } } \right) , } \\ { T _ { + - , n } } & { = \frac { n _ { x } - i n _ { y } } { \sqrt { 3 } } \left( \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { H H } } - \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { L H } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle t ^ { 2 } \rangle _ { n \, | \, n _ { 0 } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { 2 } \, P _ { n } ^ { \mathrm { F P } } ( t \, | \, n _ { 0 } ) \, \mathrm { d } t } \\ & { = \mu ( n - n _ { 0 } ) { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - n _ { 0 } - 1 } { \binom { n - n _ { 0 } - 1 } { k } } ( - 1 ) ^ { k } \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { 2 } e ^ { - \mu ( n _ { 0 } + k ) t } \, \mathrm { d } t } \\ & { = \mu ( n - n _ { 0 } ) { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - n _ { 0 } - 1 } { \binom { n - n _ { 0 } - 1 } { k } } ( - 1 ) ^ { k } \left[ \frac { - e ^ { - \mu ( n _ { 0 } + k ) t } ( 2 + 2 \mu ( n _ { 0 } + k ) t + \mu ^ { 2 } ( n _ { 0 } + k ) ^ { 2 } t ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 3 } ( n _ { 0 } + k ) ^ { 3 } } \right] _ { 0 } ^ { \infty } } \\ & { = 2 \mu ( n - n _ { 0 } ) { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - n _ { 0 } - 1 } { \binom { n - n _ { 0 } - 1 } { k } } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { \mu ^ { 3 } ( n _ { 0 } + k ) ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } } + \frac { 1 } { n _ { 0 } + 1 } + \cdots + \frac { 1 } { n - 1 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( n _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } } \right) \right] , } \end{array}
Q _ { x } ^ { K , t } ( F ) = \int _ { 0 } ^ { t } f ( s ) \underbrace { \frac { ( K - 1 ) s ^ { K - 2 } } { t ^ { K - 1 } } } _ { ( i ) } \int _ { y \in \Omega } q _ { t - s } ( x , y ) \underbrace { r ( y ) h ( y ) } _ { ( v ) } \sum _ { n = 1 } ^ { K - 1 } \underbrace { \frac { 1 } { K - 1 } } _ { ( i i ) } \underbrace { Q _ { y } ^ { n , s } ( \Delta \psi _ { 0 } ) Q _ { y } ^ { K - n , s } ( \Delta \psi _ { 1 } ) } _ { ( i i i ) } d y d s .
\Phi _ { 1 } = N _ { 1 } ^ { 2 } \left[ 1 s _ { A } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) 1 s _ { A } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) + 1 s _ { A } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) 1 s _ { B } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) + 1 s _ { B } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) 1 s _ { A } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) + 1 s _ { B } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) 1 s _ { B } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \right] \Theta _ { 2 , 0 } .
{ \footnotesize \begin{array} { r l } & { [ Z ^ { n } ] \simeq \exp \Biggl \{ - \frac { N \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } - \frac { N \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } + N l o g T r e ^ { L ^ { \prime } } } \\ & { + \frac { N n \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { N n \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \Biggr \} \simeq 1 + N n \Biggl \{ - \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 2 n } \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 n } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } + \frac { 1 } { n } l o g T r e ^ { L ^ { \prime } } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \Biggr \} , } \end{array} }
\frac { \partial F } { \partial \mathbf { x } } = \int _ { \Omega ( \mathbf { u } ) ) } \nabla _ { \mathbf { x } } f ( \mathbf { x } ) d \mathbf { x } + \frac { \partial T } { \partial \mathbf { x } } ^ { \top } \int _ { \partial \Omega ( \mathbf { u } ) } f ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \mathbf { u } } ^ { \top } \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) d \Gamma = \int _ { \partial \Omega ( \mathbf { u } ) } f ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \mathbf { u } } ^ { \top } \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) d \Gamma = \int _ { \Gamma _ { 2 } ( \mathbf { u } ) } f ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \mathbf { u } } ^ { \top } \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) d \Gamma + \int _ { \Gamma _ { 3 } ( \mathbf { u } ) } f ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \mathbf { u } } ^ { \top } \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) d \Gamma
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left\| \mathcal { M } _ { 0 } \mathrm { T } _ { \mathcal { R } } ^ { j } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim \epsilon ^ { 2 } \left\| \mathcal { M } _ { 0 } \Delta _ { L } P _ { \star } ( \Psi \Upsilon ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ & { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left\| \mathcal { M } _ { 1 } \mathrm { T } _ { \mathcal { R } } ^ { j } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim \epsilon ^ { 2 } \left\| \mathcal { M } _ { 1 } \Delta _ { L } P _ { \star } ( \Psi \Upsilon ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ & { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left\| \mathcal { M } _ { 2 } \mathrm { T } _ { \mathcal { R } } ^ { j } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim \epsilon ^ { 2 } \left\| \mathcal { M } _ { 1 } \Delta _ { L } P _ { \star } ( \Psi \Upsilon ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \left\| \mathcal { M } _ { 2 } \Delta _ { L } P _ { \star } ( \Psi \Upsilon ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i y } ( t ) = } & { \frac { c _ { i } } { 4 \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { y } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) - \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { x } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \\ & { + \frac { c _ { i } } { 4 \sqrt { - \omega ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { y } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) + \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { x } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \\ & { + \frac { p _ { i x } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) - \frac { p _ { i x } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } + e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) + \frac { p _ { i y } ( 0 ) } { 4 \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) } \\ & { + \frac { p _ { i y } ( 0 ) } { 4 \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) + \frac { \omega _ { i } } { 4 \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } q _ { i x } ( 0 ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) } \\ & { - \frac { \omega _ { i } } { 4 \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } q _ { i x } ( 0 ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) + \frac { q _ { i y } ( 0 ) } { 4 } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) + \frac { q _ { i y } ( 0 ) } { 4 } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } + e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \! \! \! \operatorname* { m a x } _ { g _ { j } ^ { d } , g _ { j } ^ { r } , \lambda ^ { d } , \lambda ^ { r } } \ \! \pi _ { j } \! \left( g _ { j } ^ { d } , g _ { j } ^ { r } , \lambda ^ { d } \! \left( g _ { j } ^ { d } ; \overline { { g } } _ { - j } ^ { d } , d ^ { d } \right) , \lambda ^ { r } \! \! \left( g _ { j } ^ { r } ; \overline { { g } } _ { - j } ^ { r } , d ^ { r } \right) \right) } \\ & { \textrm { s . t . } , } \end{array}
\| \Omega ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } \leq \| \partial _ { \xi } \Omega ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { 1 } } \leq \left[ \| \Omega _ { 0 } ^ { \prime } \| _ { L ^ { 1 } } + \int _ { 0 } ^ { t } \| \partial _ { \xi } a ( s , \cdot ) \| _ { L _ { 1 } } d s \right] G ^ { \lambda - 1 } ( 0 , t ) , \quad \lambda : = 1 + \frac { C } { \beta \mu _ { 1 } } .
\begin{array} { r } { k _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ e ~ t ~ c ~ h ~ } } = \frac { \partial ^ { 2 } U _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ e ~ t ~ c ~ h ~ } } ( \epsilon ) } { \partial \epsilon ^ { 2 } } \bigg \rvert _ { \epsilon = 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert \varphi - \mathbb E [ \varphi | \mathcal F ] \right\rVert _ { L ^ { \infty } } \le \delta \left( \frac \delta \nu \left\lVert \partial _ { t } \varphi \right\rVert _ { L ^ { \infty } } + \left\lVert \nabla \varphi \right\rVert _ { L ^ { \infty } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ n ~ } } = \gamma \int _ { \Omega } \left( \frac { \epsilon } { 2 } | \nabla \phi | ^ { 2 } + \frac { 1 } { \epsilon } G ( \phi ) \right) \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { r } , } \end{array}
A = \left[ \begin{array} { c c } { a _ { 1 } ^ { 1 } } & { a _ { 2 } ^ { 1 } } \\ { a _ { 1 } ^ { 2 } } & { a _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { \frac { b _ { 2 } ^ { 2 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 2 } , b _ { 1 } ^ { 2 } ) } } & { \frac { - b _ { 2 } ^ { 1 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 1 } , b _ { 1 } ^ { 1 } ) } } \\ { \frac { - b _ { 1 } ^ { 2 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 2 } , b _ { 1 } ^ { 2 } ) } } & { \frac { b _ { 1 } ^ { 1 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 1 } , b _ { 1 } ^ { 1 } ) } } \end{array} \right] .
\mathbf { B } _ { \mathrm { e l } } ^ { \ell } = - 2 \mu _ { \mathrm { B } } { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { 1 } { L _ { z } } } \sum _ { i } { \frac { { \hat { \ell } } _ { z i } } { r _ { i } ^ { 3 } } } \mathbf { L } .
\left( \exists v \in \mathbf { E } _ { T , \lambda } , \quad \mathcal { L } ( v ) = v \right) \Longrightarrow \textbf { u } ( t ) = v ( t ) , \quad \mathbb { P } \mathrm { ~ - ~ a ~ . ~ s ~ } , \; \forall t \in ( 0 , T ) .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { V } \left( U _ { t } ^ { * } ( k _ { z } - k _ { 0 } ) \right) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { d } { d t } \epsilon _ { k } \left| \left\langle U _ { t } ^ { * } ( k _ { z } - k _ { 0 } ) , e _ { k } \right\rangle \right| ^ { 2 } } \\ & { = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \epsilon _ { k } \Re \left( c _ { j } \bar { c } _ { k } \left\langle e _ { j } , L _ { F } e _ { k } \right\rangle \right) } \\ & { = 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } \right) + 2 \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } \epsilon _ { k } \Re \left( c _ { j } \bar { c } _ { k } \left\langle e _ { j } , L _ { F } e _ { k } \right\rangle \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \cal { S } } F _ { \epsilon } } & { = } & { \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } \partial _ { z z } F _ { \epsilon } + \frac { { \cal { H } } _ { \gamma } } { \epsilon } \partial _ { z } F _ { \epsilon } + \partial _ { s s } F _ { \epsilon } + O ( \epsilon ) } \\ { \frac { d } { d t } F _ { \epsilon } } & { = } & { - \frac { 1 } { \epsilon } { \cal { V } } \partial _ { z } F _ { \epsilon } + \partial _ { t } F _ { \epsilon } + O ( \epsilon ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma ( \gamma + \omega _ { 0 } ) ^ { 1 } = \gamma ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 1 } + 2 \omega _ { 0 } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 1 } + 2 \omega _ { 0 } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { | D \varphi _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } ( P _ { 0 } ^ { 1 } ) | > c _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } \, \qquad } & & { \mathrm { f o r ~ a l l } \; \; \theta _ { 1 } \in ( 0 , \theta ^ { \mathrm { s } } ) \, , } \\ & { | D \varphi _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } ( P _ { 0 } ^ { 1 } ) | < c _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } \, \qquad } & & { \mathrm { f o r ~ a l l } \; \; \theta _ { 1 } \in ( \theta ^ { \mathrm { s } } , \theta ^ { \mathrm { d } } ] \, . } \end{array}
\int x ^ { m } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } } { m + 2 n \, p + 1 } } \, + \, { \frac { n \, p \, x ^ { m + 1 } \left( 2 a + b \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p - 1 } } { ( m + 2 n \, p + 1 ) ( m + n ( 2 p - 1 ) + 1 ) } } \, + \, { \frac { 2 a \, n ^ { 2 } p ( 2 p - 1 ) } { ( m + 2 n \, p + 1 ) ( m + n ( 2 p - 1 ) + 1 ) } } \int x ^ { m } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p - 1 } d x
E _ { i } = p _ { i } + \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { 2 p _ { i } } + \left( p _ { i } + \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { 2 p _ { i } } \right) \left( \frac { 1 } { 6 \omega ^ { 2 } } \left( p _ { i } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 4 } \right) ( q - 1 ) ^ { 2 } ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { \hat { x } } } & { = x _ { 1 } \mathbf { \hat { I } } + x _ { 2 } \mathbf { \hat { J } } + x _ { 3 } \mathbf { \hat { K } } ~ ; } \\ { \mathbf { \hat { y } } } & { = y _ { 1 } \mathbf { \hat { I } } + y _ { 2 } \mathbf { \hat { J } } + y _ { 3 } \mathbf { \hat { K } } ~ ; } \\ { \mathbf { \hat { z } } } & { = z _ { 1 } \mathbf { \hat { I } } + z _ { 2 } \mathbf { \hat { J } } + z _ { 3 } \mathbf { \hat { K } } ~ . } \end{array} }
B _ { \lambda , { \mathrm { m a x } } } ( T ) = { \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } ^ { 5 } T ^ { 5 } ( 5 + W ( - 5 \exp ( - 5 ) ) ^ { 5 } } { h ^ { 4 } c ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { e ^ { 5 + W ( - 5 \exp ( - 5 ) ) } - 1 } } \approx \left( 4 . 0 9 6 \times 1 0 ^ { - 6 } { \frac { \mathrm { W } } { { \mathrm { m } } ^ { 3 } \cdot { \mathrm { K } } ^ { 5 } } } \right) \times ~ T ^ { 5 }
\begin{array} { l } { { \displaystyle \sum _ { n = - 1 } ^ { + \infty } n ( n - 1 ) a _ { n } \, \rho ^ { n } + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } ( n - 1 ) b _ { n } \, \rho ^ { n } + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n b _ { n } \, \rho ^ { n } + ( \ln \rho ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n ( n - 1 ) b _ { n } \, \rho ^ { n } } } \\ { { \displaystyle \qquad + \sum _ { n = - 1 } ^ { + \infty } n a _ { n } \, \rho ^ { n } + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } b _ { n } \, \rho ^ { n } + ( \ln \rho ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n b _ { n } \, \rho ^ { n } } } \\ { { \displaystyle \qquad - \alpha k ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } a _ { n - 2 } \, \rho ^ { n } - \alpha k ^ { 2 } ( \ln \rho ) \sum _ { n = 2 } ^ { + \infty } b _ { n - 2 } \, \rho ^ { n } - \sum _ { n = - 1 } ^ { + \infty } a _ { n } \, \rho ^ { n } - ( \ln \rho ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } b _ { n } \, \rho ^ { n } } } \\ { { \displaystyle \qquad + \beta k \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } ( n - 1 ) c _ { n - 1 } \, \rho ^ { n } + \beta k \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } d _ { n - 1 } \, \rho ^ { n } + \beta k ( \ln \rho ) \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } ( n - 1 ) d _ { n - 1 } \, \rho ^ { n } = 0 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & \\ & { } & { \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \phi _ { j } \left( \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u ^ { N } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u ^ { N } ) } \nabla u ^ { N } \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } - \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \sqrt { M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \right) } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \phi _ { j } \left( \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u ^ { N } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u ^ { N } ) } \nabla u ^ { N } - \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \right) \cdot \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { } & { + \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \phi _ { j } \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \cdot \left( \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } - \sqrt { M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \right) d x d t } \\ & { = } & { I I _ { 1 } ^ { N } + I I _ { 2 } ^ { N } } \end{array}
0 = \frac { d } { d t } | \tilde { q } _ { t } | _ { g _ { 0 } } ^ { 2 } \big | _ { t = 0 } = \frac { \tilde { q } _ { t } \overline { { \partial _ { t } { \tilde { q } } _ { t } } } + \overline { { \tilde { q } _ { t } } } { \partial _ { t } { \tilde { q } } _ { t } } } { g _ { 0 } ^ { 3 } } \big | _ { t = 0 } = | \tilde { q } _ { 0 } | _ { g _ { 0 } } ^ { 2 } \left( \frac { \partial _ { t } \tilde { q } _ { t } } { \tilde { q } _ { t } } + \overline { { \frac { \partial _ { t } \tilde { q } _ { t } } { \overline { { \tilde { q } _ { t } } } } } } \right) \big | _ { t = 0 } .