harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 4 ; 1 } } ) } & { = ( 0 , + , [ 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ] , \{ ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 5 ; 1 } ) \ \mathrm { ~ w h e n ~ x _ 0 ~ \in ~ \mathrm { ( r e f l e c t i o n ~ c u r v e ) } ~ } , } \\ { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 4 ; 1 } } ) } & { = ( 0 , + , [ 2 , 2 , 2 ] , \{ ( - ) , ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 5 ; 2 } ) \ \mathrm { ~ w h e n ~ x _ 0 ~ : ~ a n ~ i s o l a t e d ~ f i x e d ~ p o i n t } , } \\ { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 4 ; 2 , t } } ) } & { = ( 0 , + , [ 2 ] , \{ ( - ) , ( - ) , ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 5 ; 3 , t ^ { \prime } } ) \ \mathrm { ~ w h e n ~ x _ 0 ~ : ~ a n ~ i s o l a t e d ~ f i x e d ~ p o i n t , } } \\ { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 4 ; 5 } } ) } & { = ( 1 , - , [ 2 , 2 , 2 ] , \{ ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 5 ; 4 } ) \ \mathrm { ~ w h e n ~ x _ 0 ~ \in ~ \mathrm { ( r e f l e c t i o n ~ c u r v e ) } ~ } , } \\ { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 4 ; 5 } } ) } & { = ( 1 , - , [ 2 ] , \{ ( - ) , ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 5 ; 5 } ) \ \mathrm { ~ w h e n ~ x _ 0 ~ : ~ a n ~ i s o l a t e d ~ f i x e d ~ p o i n t } , } \\ { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 4 ; 7 } } ) } & { = ( 2 , - , [ 2 ] , \{ ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 5 ; 6 } ) , } \\ { \sigma ( \widetilde { \iota _ { 4 ; 1 0 } } ) } & { = ( 1 , + , [ 2 ] , \{ ( - ) \} ) = \sigma ( \iota _ { 5 ; 7 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mu \nu \vert K ) } & { { } = \iint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \phi _ { \mu } ( \vec { r } ) \phi _ { \lambda } ( \vec { r } ) \chi _ { K } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { \vert \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \vert } } \\ { V _ { L K } } & { { } = \iint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \chi _ { L } ( \vec { r } ) \chi _ { K } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { \vert \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \vert } . } \end{array}
\langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } f _ { i a } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = \sum _ { b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } [ \mathcal { R } _ { i } ] _ { b \alpha } \langle \Psi _ { 0 } | \dag , f _ { i b } ^ { \dagger } f _ { i a } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \dag , .
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \alpha , a , \sigma } = \epsilon _ { \alpha , a , \uparrow \downarrow } } & { { } = i \pi } \\ { \epsilon _ { \alpha , b , \sigma } = \epsilon _ { \alpha , b , \uparrow \downarrow } } & { { } = 1 } \\ { \epsilon _ { \alpha , a , \bar { \sigma } } = \epsilon _ { \alpha , b , \bar { \sigma } } = \epsilon _ { \alpha , a , \cdot } = \epsilon _ { \alpha , b , \cdot } } & { { } = 0 } \\ { \epsilon _ { \alpha , i \not \in \{ ( a , b ) \} , l } } & { { } = 1 , } \end{array}
V = { \frac { 3 } { 4 f } } \left( f ^ { \prime \prime } - { \frac { 1 } { 4 f } } f ^ { \prime } f ^ { \prime } \right) + m ^ { 2 } f = { \frac { 3 } { 4 } } \left( 5 f - 3 - { \frac { c _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 f ^ { 3 } } } \right) + m ^ { 2 } f \ ,
{ \begin{array} { r l } & { \alpha [ \mathbf { f } A ] G [ \mathbf { f } A ] ^ { - 1 } \beta [ \mathbf { f } A ] ^ { \mathsf { T } } } \\ { = } & { \left( \alpha [ \mathbf { f } ] A \right) \left( A ^ { - 1 } G [ \mathbf { f } ] ^ { - 1 } \left( A ^ { - 1 } \right) ^ { \mathsf { T } } \right) \left( A ^ { \mathsf { T } } \beta [ \mathbf { f } ] ^ { \mathsf { T } } \right) } \\ { = } & { \alpha [ \mathbf { f } ] G [ \mathbf { f } ] ^ { - 1 } \beta [ \mathbf { f } ] ^ { \mathsf { T } } . } \end{array} }
\sim - { \frac { 1 } { 2 } } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \left( { \frac { p ^ { \mu } } { p \cdot k } } - { \frac { p ^ { \mu } } { p ^ { \prime } \cdot k } } \right) ^ { 2 } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \! \! \! \! \! \! } & { } & { \int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ { \times } & { } & { \Big ( 2 p _ { \mu } p _ { \nu } + ( p \cdot q \mathrm { \ t e r m s } ) + 2 q _ { \mu } q _ { \nu } \, x ( 1 - x ) } \\ & { - } & { \delta _ { \mu \nu } ( p ^ { 2 } - q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - m ^ { 2 } + p \cdot q \mathrm { \ t e r m s \ } ) \Big ) } \end{array}
U _ { \mathrm { ~ \footnotesize ~ { ~ W ~ C ~ A ~ } ~ } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \epsilon \left[ \left( \frac \sigma r \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac \sigma r \right) ^ { 6 } + \frac 1 4 \right] } & { r \leq 2 ^ { 1 / 6 } \sigma } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 0 } ^ { \upsilon - 1 } ( 1 + \frac { 1 } { \tau _ { i } - 1 } ) ^ { j } = \frac { ( 1 + \frac { 1 } { \tau _ { i } - 1 } ) ^ { \upsilon } - 1 } { ( 1 + \frac { 1 } { \tau _ { i } - 1 } ) - 1 } \leq \tau _ { i } ( 1 + \frac { 1 } { \tau _ { i } } ) ^ { \upsilon } \leq \tau _ { i } ( 1 + \frac { 1 } { \tau _ { i } } ) ^ { \tau _ { i } } \leq \exp ( 1 ) \tau _ { i } < 3 \tau _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } , t \right) } & { { } = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } + \frac { \left\vert \Omega _ { 2 } \right\vert ^ { 2 } } { 4 \Delta } \right) \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega } { 2 } \exp \left[ - i \left( \tilde { \delta } t + \phi \left( t \right) \right) \right] f ^ { 2 } \left( t \right) \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } - \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \\ { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } , t \right) } & { { } = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } + \frac { \left\vert \Omega _ { 1 } \right\vert ^ { 2 } } { 4 \Delta } \right) \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega ^ { \ast } } { 2 } \exp \left[ i \left( \tilde { \delta } t + \phi \left( t \right) \right) \right] f ^ { 2 } \left( t \right) \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } + \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } | \Omega _ { \varepsilon } ] } & { \leq C N ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } | \Omega _ { \varepsilon } ] + C N ^ { - 1 + 4 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 4 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] } \\ & { \quad + C N ^ { - 2 + 1 0 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 6 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 3 } | \Omega _ { \varepsilon } ] + C N ^ { - 3 + 1 4 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 8 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 4 } | \Omega _ { \varepsilon } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \phi + \mathrm { d i v } ( \phi \, { \bf u } ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) \rho _ { f } ) + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) \rho _ { f } { \bf u } ) = \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) \rho _ { f } \nabla p _ { f } ) , } \\ & { \phi \rho _ { s } \big ( \partial _ { t } { \bf u } + { \bf u } \boldsymbol { \cdot } \nabla { \bf u } \big ) = \phi \rho _ { s } { \bf g } - \nabla p + \mathrm { d i v } \, \boldsymbol { \tau } - \nabla p _ { f } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi ^ { k } } & { ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \alpha } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \bar { \alpha } } ; \{ \mathbf { r } _ { / i } ^ { \alpha } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / j } ^ { \bar { \alpha } } \} ) } & \\ { = [ } & { \mathbf { w } _ { 1 } ^ { k } \cdot ( \mathbf { h } _ { i } ^ { L \alpha } \odot \mathbf { h } _ { j } ^ { L \bar { \alpha } } ) } \\ & { + \mathbf { w } _ { 2 } ^ { k } \cdot ( \mathbf { h } _ { i j } ^ { L \alpha \bar { \alpha } } \odot \mathbf { h } _ { j i } ^ { L \bar { \alpha } \alpha } ) ] \chi ^ { k } ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \alpha } ) \chi ^ { k } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \bar { \alpha } } ) , } \end{array}
{ \kappa _ { m } } \mathord { \left/ { \vphantom { \kappa _ { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \kappa _ { i } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \kappa _ { i } < 1 \times 1 0 ^ { - 3 }
\left( { \frac { \dot { a } _ { R } } { a _ { R } } } \right) ^ { 2 } + 2 m _ { 0 } \dot { R } { \frac { \dot { a } _ { R } } { a _ { R } } } + m _ { 0 } ^ { 2 } \dot { R } ^ { 2 } + { \frac { k c ^ { 2 } \Omega _ { R } ^ { 2 } } { a _ { R } ^ { 2 } } } = { \frac { 8 \pi m _ { 0 } G _ { 5 } } { 3 ( 1 - \Omega _ { R } ^ { 2 } ) } } \left[ { \frac { \tilde { \varrho } _ { 1 } \Omega _ { R } + \varrho _ { 2 } \Omega _ { R } ^ { 5 } } { \sqrt { \Omega _ { R } ^ { 2 } - \dot { R } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } } + V _ { r } / c ^ { 2 } \right] .
B _ { 1 } : = \left( \begin{array} { l l } { - { 8 } - \frac { \lambda h ^ { 2 } } { 5 } } & { { 1 4 } - \frac { 4 \lambda h ^ { 2 } } { 5 } } \\ { 0 } & { - { 8 } - \frac { \lambda h ^ { 2 } } { 5 } } \end{array} \right) , \qquad B _ { 2 } \, : = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { { 1 } + \frac { \lambda h ^ { 3 } } { 1 0 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { \mathrm { e v e n t } } ( \Phi , \mathbf { \boldsymbol { \theta } } | \mathcal { D } _ { \mathrm { o b s } } ) } & { = \mathrm { P o i s } ( n _ { \mathrm { o b s } } ; \mu _ { \mathrm { t o t } } ) } \\ { \times } & { \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { o b s } } } \left[ \mu _ { s } ( \Phi , \boldsymbol { \theta } ) f _ { s } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) + \sum _ { b } \mu _ { b } ( \boldsymbol { \theta } ) f _ { b } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \widecheck { \Omega } = \Omega _ { K } \left( \frac { \Omega } { \Omega _ { K } } - 1 \right) = \Omega _ { K } \left( \exp \left( \log \left( \frac { \Omega } { \Omega _ { K } } \right) \right) - 1 \right) = \Omega _ { K } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \left( \log \frac { \Omega } { \Omega _ { K } } \right) ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } f _ { 1 } \left( \frac { m } { h } \right) f _ { 2 } \left( - \frac m h \right) } & { = h \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { 1 } ( x ) f _ { 2 } ( - x ) \mathrm { d } x + O _ { f _ { 1 } , f _ { 2 } } ( 1 ) } \\ & { = h ( f _ { 1 } \ast f _ { 2 } ) ( 0 ) + O _ { f _ { 1 } , f _ { 2 } } ( 1 ) . } \end{array}
\arg ( z : = x + i y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \arctan ( \frac { y } { x } ) , } & { x > 0 } \\ { \frac { \pi } { 2 } - \arctan ( \frac { y } { x } ) , } & { x < 0 \land y > 0 } \\ { - \frac { \pi } { 2 } - \arctan ( \frac { y } { x } ) , } & { x < 0 \land y < 0 } \\ { \frac { \pi } { 2 } , } & { x = 0 \land y > 0 } \\ { - \frac { \pi } { 2 } , } & { x = 0 \land y < 0 } \\ { \pm \pi , } & { x < 0 \land y = 0 } \\ { \mathrm { u n d e f i n e d } , } & { x = 0 \land y = 0 } \end{array} \right.
\Phi : \left\{ \begin{array} { l } { { \Omega } \rightarrow \mathbb { R } } \\ { { \boldsymbol { x } } \mapsto \Phi ( { \boldsymbol { x } } ) } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad { \boldsymbol { M } } : \left\{ \begin{array} { l } { { \mathcal { B } } \rightarrow { \mathcal { S } } ^ { d - 1 } } \\ { { \boldsymbol { x } } \mapsto { \boldsymbol { M } } ( { \boldsymbol { x } } ) } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { D _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } = \omega _ { 0 x j } ^ { 2 } - \mathrm { i } \beta _ { 0 x j } \omega _ { e x } - \omega _ { e x } ^ { 2 } , ~ \mathrm { c a s e } ~ j _ { 1 } = j _ { 2 } = 2 j - 1 , } \\ & { D _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } = \omega _ { 0 y j } ^ { 2 } - \mathrm { i } \beta _ { 0 y j } \omega _ { e x } - \omega _ { e x } ^ { 2 } , ~ \mathrm { c a s e } ~ j _ { 1 } = j _ { 2 } = 2 j , } \\ & { D _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } = g _ { k j x x } ^ { 2 } - \mathrm { i } \gamma _ { k j x x } \omega _ { e x } - \eta _ { k j x x } \omega _ { e x } ^ { 2 } , ~ \mathrm { c a s e } ~ j _ { 1 } = 2 j - 1 , ~ j _ { 2 } = 2 k - 1 , ~ j _ { 1 } \neq j _ { 2 } , } \\ & { D _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } = g _ { k j y x } ^ { 2 } - \mathrm { i } \gamma _ { k j y x } \omega _ { e x } - \eta _ { k j y x } \omega _ { e x } ^ { 2 } , ~ \mathrm { c a s e } ~ j _ { 1 } = 2 j - 1 , ~ j _ { 2 } = 2 k , } \\ & { D _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } = g _ { k j y y } ^ { 2 } - \mathrm { i } \gamma _ { k j y y } \omega _ { e x } - \eta _ { k j y y } \omega _ { e x } ^ { 2 } , ~ \mathrm { c a s e } ~ j _ { 1 } = 2 j , ~ j _ { 2 } = 2 k , ~ j _ { 1 } \neq j _ { 2 } , } \\ & { D _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } = g _ { k j x y } ^ { 2 } - \mathrm { i } \gamma _ { k j x y } \omega _ { e x } - \eta _ { k j x y } \omega _ { e x } ^ { 2 } , ~ \mathrm { c a s e } ~ j _ { 1 } = 2 j , ~ j _ { 2 } = 2 k - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ln f ( U ) } & { = } & { \lbrack \mathrm { L T } \rbrack ^ { ( U \to + \infty ) } \ln \left( \frac { A ( ( 2 g ) ^ { - 1 } \ln U ) ^ { 1 / 2 \mu _ { \mathrm { m a x } } g } \, \ln U } { 4 g ^ { 2 } \, U ^ { 1 + 1 / 2 \mu _ { \mathrm { m a x } } g } } \right) } \\ & { = } & { - \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \mu _ { \mathrm { m a x } } g } \right) \, \ln U , } \end{array}
\mathcal { L } _ { 5 } ^ { Z } = \frac { 1 } { 2 } [ \delta ( y - \pi R / 2 ) + \delta ( y + \pi R / 2 ) ] \int { \mathrm { d } ^ { 2 } \theta } \Big ( \lambda _ { 5 } ^ { \prime } \frac { Z } { M _ { * } ^ { 2 } } W ^ { i \alpha } W _ { \alpha } ^ { i } + \lambda _ { 1 } ^ { \prime } \frac { Z } { M _ { * } ^ { 2 } } W ^ { \alpha } W _ { \alpha } + \mathrm { h . c . } \Big ) ,
\begin{array} { r } { T = \left( \begin{array} { l l } { \delta \beta _ { \mathrm { N L } } + \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } & { \delta \beta _ { \mathrm { N L } } - \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } \\ { - \beta } & { - \beta } \end{array} \right) } \end{array}
\int _ { - \pi } ^ { \pi } \sin ( \alpha x ) \sin ^ { n } ( \beta x ) d x = { \left\{ \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { \left( { \frac { n + 1 } { 2 } } \right) } ( - 1 ) ^ { m } { \frac { 2 \pi } { 2 ^ { n } } } { \binom { n } { m } } } & { n { \mathrm { ~ o d d } } , \ \alpha = \beta ( 2 m - n ) } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { m e a n } } ( \omega ) } & { { } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } | Y ( \xi ) | ^ { 2 } ~ \xi ~ d \xi } { \int _ { 0 } ^ { \infty } | Y ( \xi ) | ^ { 2 } ~ d \xi } } \\ { f _ { \mathrm { m e a n } } ( \omega ) } & { { } = \frac { \omega } { 2 \pi } } \end{array}
{ \cal E } = ( S + { \bar { S } } ) ^ { 2 } \left| - \frac { 1 } { ( S + { \bar { S } } ) } + \frac { { \cal B } ^ { \prime } } { \cal B } \right| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \left| 3 + ( T + { \bar { T } } ) \frac { H ^ { \prime } ( T ) } { H ( T ) } \right| ^ { 2 } - 3 ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } S _ { 2 } [ h ] } & { = \partial _ { x } \nabla _ { z } ^ { 2 } \mathcal { H } _ { 4 , 2 } ( \overline { { v } } ) [ h ] + \partial _ { x } \nabla _ { z } ^ { 2 } \mathfrak { H } _ { 1 } ( \overline { { v } } ) [ h ] + \partial _ { x } \nabla _ { z } ^ { 2 } \mathfrak { H } _ { 2 } ( \overline { { v } } ) [ h ] . } \end{array}
\delta ( T ) : = \operatorname* { s u p } _ { k \geq 1 } \operatorname* { s u p } _ { \substack { t _ { 1 } , \ldots , t _ { k } > 0 \, \sum _ { i = 1 } ^ { k } t _ { i } = T } } \operatorname* { m a x } _ { \substack { 0 \leq i _ { 1 } , \ldots , i _ { k } \leq N _ { 1 } \, 0 \leq j _ { 1 } , \ldots , j _ { k } \leq N _ { 2 } } } \log \left\| e ^ { t _ { k } ( A _ { i _ { k } } + B _ { j _ { k } } ) } \cdots e ^ { t _ { 1 } ( A _ { i _ { 1 } } + B _ { j _ { 1 } } ) } \right\|
\begin{array} { r l } { 0 \overset { ! } { = } \tilde { y } ^ { \prime } } & { { } = \frac { \omega ^ { \prime } } { c } \gamma _ { 0 } ( y - c t \beta _ { 0 } ) } \\ { \Rightarrow \tilde { t } ^ { \prime } } & { { } = \omega ^ { \prime } \gamma _ { 0 } \left( t - \frac { y } { c } \beta _ { 0 } \right) } \end{array}
\langle \tau _ { \mathrm { w } } ^ { * } \rangle = \left[ \mu _ { \mathrm { f } } \frac { \partial \langle u ^ { * } \rangle } { \partial y ^ { * } } - \rho _ { \mathrm { f } } \langle \hat { u } ^ { * } \hat { v } ^ { * } \rangle \right] _ { y ^ { * } = 0 }
\mathrm { T r } K ^ { ( j ) } ( s ) = \mathrm { T r } \left[ e ^ { - s \bigtriangleup ^ { ( j ) } } \right] = { \frac { 1 } { ( 4 \pi s ) ^ { d / 2 } } } \left( A _ { 0 } ^ { ( j ) } + s A _ { 1 } ^ { ( j ) } + s ^ { 2 } A _ { 2 } ^ { ( j ) } + . . . . \right) ~ ~ ~
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } \int v \, \mathrm d f ( t , r , v ) } & { = \int v \, \nabla _ { v } \cdot \Big ( \int \psi ( | r - \hat { r } | ) ( v - \hat { v } ) - \nabla \mathcal V ( r - \hat { r } ) \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) f \Big ) \mathrm d r \mathrm d v } \\ & { = \iint \psi ( | r - \hat { r } | ) ( v - \hat { v } ) - \nabla \mathcal V ( r - \hat { r } ) \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \mathrm d f ( t , r , v ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \iint \nabla \mathcal V ( r - \hat { r } ) \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \mathrm d f ( t , r , v ) + \frac { 1 } { 2 } \iint \nabla \mathcal V ( r - \hat { r } ) \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \mathrm d f ( t , r , v ) } \\ & { = 0 , } \end{array}
\left[ \varphi _ { b } ^ { \ast } , \vec { t ^ { \ast } } \right] _ { \vec { I } } = \arg \operatorname* { m i n } _ { \varphi _ { b } , \vec { t } } \ \operatorname* { m a x } _ { i } \left\lvert p _ { \mathrm { i d e a l } } ^ { i } ( \varphi _ { b } ) - p _ { \mathrm { e x p t } } ^ { i } ( \vec { I } , \vec { t } ) \right\rvert
\begin{array} { r l r } { \sigma } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \theta _ { i } \left( \mathbf { x _ { i } } \mathbf { x _ { i } } ^ { T } \right) \otimes \left( \mathbf { \mathbf { y _ { i } } } \mathbf { \mathbf { y _ { i } } } \right) ^ { T } , } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \theta _ { i } \left( \mathbf { \mathbf { x _ { i } } } \otimes \mathbf { \mathbf { y _ { i } } } \right) \left( \mathbf { x _ { i } } \otimes \mathbf { \mathbf { y _ { i } } } \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { F _ { V } ^ { 1 } ( q ^ { 2 } ) = \left( 1 - \frac { \displaystyle q ^ { 2 } } { \displaystyle 4 M ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \left( 1 - \frac { \displaystyle q ^ { 2 } } { \displaystyle M _ { V } ^ { 2 } } \right) ^ { - 2 } \left[ 1 - \frac { \displaystyle q ^ { 2 } } { \displaystyle 4 M ^ { 2 } } ( 1 + \mu _ { p } - \mu _ { n } ) \right] , } } \\ { { \xi F _ { V } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) = \left( 1 - \frac { \displaystyle q ^ { 2 } } { \displaystyle 4 M ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \left( 1 - \frac { \displaystyle q ^ { 2 } } { \displaystyle M _ { V } ^ { 2 } } \right) ^ { - 2 } ( \mu _ { n } - \mu _ { p } ) , } } \\ { { F _ { A } = F _ { A } ( 0 ) \left( 1 - \frac { \displaystyle q ^ { 2 } } { \displaystyle 4 M _ { A } ^ { 2 } } \right) ^ { - 2 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P ( x , \ell , t ) } { \partial t } } & { = } & { D \frac { \partial ^ { 2 } P ( x , \ell , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , \ x \in ( 0 , \infty ) , } \\ { \partial _ { x } P ( 0 , \ell , t ) } & { = } & { \delta ( \ell ) P ( x , 0 , t ) + D \frac { \partial } { \partial \ell } P _ { 0 } ( 0 , \ell , t ) . } \end{array}
r = \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } e ^ { \mathrm { i } ( \theta _ { j } - \Omega t ) } = \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } e ^ { \mathrm { i } \phi _ { j } } = \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \cos ( \phi _ { j } ) .
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } D T ( s , \phi , v ) = s ^ { 2 } \frac { \sin ( \phi ) \cos ( \phi ) } { \sqrt { \sin ^ { 2 } \phi - \cos ^ { 2 } \phi \sinh ^ { 2 } v } } = s ^ { 2 } \cos \phi \frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { y } . } \end{array}
{ \boldsymbol { \Lambda } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { I _ { 3 } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } & { \xi _ { n } ^ { F } = U _ { n } ^ { - 1 } ( R _ { 0 } ^ { n } ) - \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { H } _ { n } ^ { 0 } ( X _ { 0 } , z ( t ) ) + \mathcal { H } _ { n } ^ { \mathrm { m } } ( z ( t ) ) + \mathcal { H } _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \gamma ( t ) ) d t \; , } \\ & { \xi _ { n } ^ { V } = \int _ { 0 } ^ { T } \pi _ { n } ^ { D } ( t ) \cdot ( X _ { t } - X _ { 0 } ) d t + \frac 1 2 \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \int _ { 0 } ^ { T } \pi _ { n , i j } ^ { V } ( t ) d \langle X _ { \cdot } ^ { i } , X _ { \cdot } ^ { j } \rangle _ { t } + ( X _ { T } - X _ { 0 } ) \cdot z ^ { n } ( T ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { \mathrm { 1 } } } & { { } = { \mathrm { a n ~ i n d e p e n d e n t ~ v a r i a b l e } } } \\ { x _ { \mathrm { 2 } } } & { { } = F _ { 2 } ( x _ { \mathrm { 1 } } , x _ { \mathrm { 3 } } ) } \\ { x _ { \mathrm { 3 } } } & { { } = F _ { 3 } ( x _ { \mathrm { 1 } } , x _ { \mathrm { 2 } } , x _ { \mathrm { 3 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { \mathcal { I } ^ { + } } : = \frac { { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } { \sqrt { \Delta } } \left( R ^ { \star } + T + \frac { a } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \Phi \right) \ \ \ , \ \ \ W _ { \mathcal { H } ^ { + } } : = \frac { { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } { \sqrt { \Delta } } \left( R ^ { \star } - T - \frac { a } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \Phi \right) \, } \end{array}
u _ { \rho } ( s _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \frac { \gamma \, r \, ( z _ { 0 } - z ) } { { R _ { 2 } } ^ { 3 } } ( I _ { 1 } - I _ { 2 } ) \, d s
\Big [ \Phi ( z , \vec { x } , t ) \, , \, { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } ( z ^ { \prime } , \vec { x } ^ { \prime } , t ) \, \Big ] \, = \, i z ^ { n - 1 } \delta ( z - z ^ { \prime } ) \delta ( \vec { x } - { \vec { x } } ^ { \prime } ) \, .
{ \begin{array} { r l } { \ln 2 } & { = 3 \ln \left( 1 + { \frac { 1 } { 4 } } \right) + \ln \left( 1 + { \frac { 3 } { 1 2 5 } } \right) } \\ & { = { \cfrac { 6 } { 9 - { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 2 7 - { \cfrac { 2 ^ { 2 } } { 4 5 - { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 6 3 - \ddots } } } } } } } } + { \cfrac { 6 } { 2 5 3 - { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 7 5 9 - { \cfrac { 6 ^ { 2 } } { 1 2 6 5 - { \cfrac { 9 ^ { 2 } } { 1 7 7 1 - \ddots } } } } } } } } . } \end{array} }
J = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { A _ { 1 } + 2 \Delta U _ { 1 } ^ { 2 } } & { - 1 + C _ { 1 } + 2 \Delta V _ { 1 } U _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 2 ( 1 - \Delta ) U _ { 1 } U _ { 2 } } & { 2 ( 1 - \Delta ) U _ { 1 } V _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 + C _ { 1 } + 2 \Delta U _ { 1 } V _ { 1 } } & { B _ { 1 } + 2 \Delta V _ { 1 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 2 ( 1 - \Delta ) U _ { 2 } V _ { 1 } } & { 2 ( 1 - \Delta ) V _ { 2 } V _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 2 \Delta U _ { 1 } U _ { 2 } } & { 2 \Delta U _ { 2 } V _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { A _ { 2 } + 2 ( 1 - \Delta ) U _ { 2 } ^ { 2 } } & { - 1 + C _ { 2 } + 2 ( 1 - \Delta ) V _ { 2 } U _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 \Delta U _ { 1 } V _ { 2 } } & { 2 \Delta V _ { 1 } V _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 + C _ { 2 } + 2 ( 1 - \Delta ) U _ { 2 } V _ { 2 } } & { B _ { 2 } + 2 ( 1 - \Delta ) V _ { 2 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
d \left[ a _ { 3 } \right] = \prod _ { y _ { \perp } } \cos ^ { 2 } \left( g L a _ { 3 } ( y _ { \perp } ) / 2 \right) \Theta \left( ( \pi / g L ) ^ { 2 } - a _ { 3 } ^ { 2 } ( y _ { \perp } ) \right) d a _ { 3 } \left( y _ { \perp } \right)
\begin{array} { r l r } { \langle \Delta t \rangle } & { { } = \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } + \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } \frac { S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) } { S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) } } \end{array}