harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sqrt { - C } \int _ { - L } ^ { L } } & { \frac { \kappa ( s ) ^ { 2 } } { 4 C + 4 \kappa ( s ) ^ { 2 } } \, d s = \frac { \sqrt { - C } \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } { r } \int _ { - r L + K ( p ) } ^ { r L + K ( p ) } \frac { \mathrm { d n } ( s , p ) \partial _ { s } \mathrm { a m } ( s , p ) } { 4 C + 4 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } \mathrm { d n } ^ { 2 } ( s , p ) } \, d s } \\ & { = 8 \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } } } { ( 2 - p ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \int _ { \mathrm { a m } ( - L r + K ( p ) , p ) } ^ { \mathrm { a m } ( L r + K ( p ) , p ) } \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { 4 C + 4 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) ) } \, d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - p ^ { 2 } } \sqrt { 2 - p ^ { 2 } } \int _ { \mathrm { a m } ( - L r + K ( p ) , p ) } ^ { \mathrm { a m } ( L r + K ( p ) , p ) } \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { 1 - p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) } \, d \theta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { r \geq 1 0 M } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } d \sigma \left[ \sum _ { X \in \{ R ^ { \star } , T , i d \} } r ^ { \frac { 1 } { 2 } - \delta } \big | X W _ { 0 } ( r \Psi _ { \chi , \mathcal { T } } ) \big | ^ { 2 } + \sum _ { X , Y \in \{ T , \Phi , i d \} } r ^ { - 1 - \delta } | X Y ( r \Psi _ { \chi , \mathcal { T } } ) | ^ { 2 } \right] < \infty \, . } \end{array}
\| F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { K , \bar { \lambda } } ^ { \bar { \alpha } ; \alpha , \gamma } } : = \| F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { \mathrm { h o m } ; K , \bar { \lambda } , r _ { \bar { \alpha } , \alpha } } ^ { \bar { \alpha } } } + \| F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { \mathrm { c o h } ; K , \bar { \lambda } , r _ { \bar { \alpha } , \alpha } } ^ { \alpha , \gamma } } \, .
K _ { D } ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime } ) = \int _ { { \bf r } ( t ^ { \prime } ) = { \bf r } ^ { \prime } } ^ { { \bf r } ( t ^ { \prime \prime } ) = { \bf r } ^ { \prime \prime } } \; { \cal D } { \bf r } ( t ) \, \exp \left\{ \frac { i } { \hbar } S \left[ { \bf r } ( t ) \right] ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime } ) \right\} \;
u - \mathrm { i } v = - { \frac { \mathrm { i } \Gamma _ { u } } { 4 \pi } } \cot \left( { \frac { z + \mathrm { i } } { 2 } } \right) - { \frac { \mathrm { i } \Gamma _ { l } } { 4 \pi } } \cot \left( { \frac { z - \pi + \mathrm { i } ( 1 + \lambda ) } { 2 } } \right) .
( a _ { 3 } ^ { \prime } a _ { 2 } ^ { \prime } a _ { 1 } ^ { \prime } , b _ { 3 } ^ { \prime } b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) = ( a _ { 2 } a _ { 1 } D , b _ { 2 } b _ { 1 } C )
\pi ( \rho | r ) = { \frac { \Gamma ( \nu + 1 ) } { { \sqrt { 2 \pi } } \Gamma ( \nu + { \frac { 1 } { 2 } } ) } } ( 1 - r ^ { 2 } ) ^ { \frac { \nu - 1 } { 2 } } \cdot ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { \frac { \nu - 2 } { 2 } } \cdot ( 1 - r \rho ) ^ { \frac { 1 - 2 \nu } { 2 } } F \! \left( { \frac { 3 } { 2 } } , - { \frac { 1 } { 2 } } ; \nu + { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { 1 + r \rho } { 2 } } \right)
U _ { e } = \int { \frac { E A \, \Delta L } { L _ { 0 } } } \, d \Delta L = { \frac { E A } { L _ { 0 } } } \int \Delta L \, d \Delta L = { \frac { E A \, { \Delta L } ^ { 2 } } { 2 L _ { 0 } } }
\begin{array} { r l } & { \bar { \Psi } ( x , x ) = - \frac { d _ { 3 } } { { q _ { 1 } } + { q _ { 2 } } } , } \\ & { { q _ { 1 } } p \bar { \phi } ( x , 0 ) + { q _ { 2 } } \bar { \varphi } ( x , 0 ) = { \bar { \gamma } } ( x ) B , } \\ & { \bar { \varphi } ( x , x ) = \frac { { d _ { 2 } } } { { q _ { 1 } } + { q _ { 2 } } } , } \\ & { { q _ { 2 } } \bar { \Phi } ( x , 0 ) + { q _ { 1 } } p \bar { \Psi } ( x , 0 ) = \bar { \lambda } ( x ) B , } \\ & { { \bar { \lambda } ( 0 ) = - K ^ { T } } , } \\ & { { { \bar { \gamma } } ( 0 ) = p K ^ { T } - { C } . } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \hat { P } ( l ) = i \langle u _ { \mathrm { ~ S ~ } } \rangle l \hat { P } ( l ) - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } l ^ { 2 } \hat { P } ( l ) - \Lambda \hat { P } ( l ) + \Lambda \hat { G } \hat { P } ( l ) ,
\begin{array} { r l } { A _ { n } } & { { } = - \frac { \mu } { \kappa + 1 } \frac { 1 } { \pi n ( - 1 ) ^ { n + 1 } } I _ { \Gamma } ^ { \mathrm { I } } ( n ) , } \\ { B _ { n } } & { { } = - \frac { \mu } { \kappa + 1 } \frac { 1 } { \pi n ( - 1 ) ^ { n + 1 } } I _ { \Gamma } ^ { \mathrm { I I } } ( n ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { F } \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right) } & { { } = } & { - \frac { i } { \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } q \frac { e ^ { - i q \cdot \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right) } } { q ^ { 2 } + i \delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } & { = ( f ( \ensuremath { \mathbf { x _ { 1 } } } ) , \dots , f ( \ensuremath { \mathbf { x _ { n } } } ) ) ^ { \mathrm { T } } } \\ & { = ( f _ { 1 } ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { 1 } ) , \dots , f _ { Q } ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { 1 } ) , f _ { 1 } ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { 2 } ) , \dots , f _ { Q } ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { 2 } ) , \dots , f _ { 1 } ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { n } ) , \dots , f _ { Q } ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { n } ) ) ^ { \mathrm { T } } . } \end{array}
R _ { \tau , \, V / A } ^ { l , \, m } ( s _ { 0 } ) = \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \mathrm { d } s ( 1 - s / s _ { 0 } ) ^ { l } ( s / m _ { \tau } ^ { 2 } ) ^ { m } \, \, \frac { \mathrm { d } R _ { \tau , \, V / A } ^ { l , \, m } } { \mathrm { d } s } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq \ell } \left| { z } _ { 1 } \left( x \right) \right| } & { = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq \ell } \left| { u } \left( x , { t } _ { 1 } \right) - { u } _ { 1 } \left( x \right) \right| = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq \ell } \left| { \widetilde R } _ { 2 } \left( x , { \tau } \right) \right| } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq \ell } \left| \int _ { 0 } ^ { { \tau } } { { \left( { \tau } - t \right) } ^ { 2 } { u } ^ { { \prime } { \prime } { \prime } } \left( x , t \right) } { \mathrm { d } t } \right| \leq \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } _ { \left( x , t \right) } \left| { u } ^ { { \prime } { \prime } { \prime } } \left( x , t \right) \right| \int _ { 0 } ^ { { \tau } } { { \left( { \tau } - t \right) } ^ { 2 } } { \mathrm { d } t } } \\ & { = \frac { 1 } { 6 } \operatorname* { m a x } _ { \left( x , t \right) } \left| { u } ^ { { \prime } { \prime } { \prime } } \left( x , t \right) \right| { \tau } ^ { 3 } = { \mathrm { c } } _ { 3 4 } { \tau } ^ { 3 } \, , } \end{array}
\| c _ { 0 , \ensuremath { \varepsilon } } - c _ { A } | _ { t = 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \varepsilon ^ { 2 } \| \nabla ( c _ { 0 , \ensuremath { \varepsilon } } - c _ { A } | _ { t = 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| \mathbf { v } _ { 0 , \ensuremath { \varepsilon } } - \mathbf { v } _ { A } | _ { t = 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq C \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac 1 2 }
\Delta { { U } _ { i , a } } = \Delta U _ { i , a } ^ { * } - \Delta t \frac { \partial p _ { i } ^ { n + { { \theta } _ { 2 } } } } { \partial { { x } _ { i } } } + \frac { \Delta { { t } ^ { 2 } } } { 2 } { { \bar { u } } _ { k } } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { p } ^ { n } } } { \partial { { x } _ { k } } \partial { { x } _ { i } } }
\begin{array} { r l r } { R ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { i , j } \left[ \frac { \delta _ { i j } } { \omega } + \frac { i } { \omega ^ { 2 } } \, \left\langle V _ { i j } \right\rangle - \frac { 1 } { \omega ^ { 3 } } \sum _ { k } \left\langle V _ { i k } V _ { k j } + \frac { \delta V _ { i k } } { \delta \phi _ { k j } } \right\rangle - \frac { i } { \omega ^ { 4 } } \sum _ { k , l } \left\langle V _ { i k } V _ { k l } V _ { l j } + V _ { i k } \frac { \delta V _ { k l } } { \delta \phi _ { l j } } + \frac { \delta V _ { i k } } { \delta \phi _ { k l } } V _ { l j } \right\rangle + \cdots \right] _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \boldsymbol { U } _ { h } : = \{ \boldsymbol { v } _ { h } \in \mathbb { V } ( \mathcal { T } _ { h } ) \vert \quad [ [ \boldsymbol { v } _ { h } ] ] \vert _ { f } = 0 , \forall f \in \mathcal { F } _ { h } ^ { \partial } \} , } \\ & { } & { \boldsymbol { Q } _ { h } : = \mathbb { V } ( \mathcal { T } _ { h } ) . } \end{array}
\tau = \Gamma ( \chi _ { 1 } ^ { + } \rightarrow \chi _ { 1 } ^ { 0 } e ^ { + } \nu ) ^ { - 1 } \sim 1 0 ^ { - 8 } \mathrm { s e c } \left( \frac { 0 . 2 \mathrm { G e V } } { \Delta m } \right) ^ { 5 } ,
{ \cal Q } _ { 3 A B } = Q _ { 3 A ; B } + Q _ { B A ; 3 } - \frac 1 3 \eta _ { A B } Q _ { 3 } { ^ \nu } { _ { ; \nu } } = { Q } _ { 3 A | | B } - \frac { 1 } { 3 } \eta _ { A B } \left( Q _ { 3 } { ^ C } { _ { | | C } } + v ^ { - 1 } \dot { Q } _ { 0 3 } \right) +
\begin{array} { r l r l } { H _ { A } ^ { e m b } } & { = \mathcal { P } _ { A } H \mathcal { P } _ { A } \dag } & { = \mathcal { P } _ { A } \left[ \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { A } } h _ { i j } ^ { A A } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } + \dag ! \dag ! \sum _ { q , q ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { B } } \dag ! \dag ! \left[ \mathcal { B } ^ { \dagger } h ^ { B B } \mathcal { B } \right] _ { q q ^ { \prime } } b _ { q } ^ { \dagger } b _ { q ^ { \prime } } \right. \dag } & { \left. + \sum _ { i , q = 1 } ^ { n _ { A } } \left( \left[ h ^ { A B } \mathcal { B } \right] _ { i q } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } b _ { q } + \mathrm { H . c . } \right) + \mathrm { c o n s t } \right] \mathcal { P } _ { A } \dag , . } \end{array}
R = 4 h ^ { 2 } \frac { u ^ { 2 \beta - 1 } } { ( u - \beta m ) ^ { 3 } } \left[ ( m - 2 ) u ^ { 2 } + 2 m ( 2 \beta + 1 ) u + \beta m ^ { 2 } ( 2 \beta + 1 ) \right]
\begin{array} { r l r } { \tilde { \Omega } } & { { } = } & { \Omega + \Omega _ { \ell } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \Omega _ { \ell } / \Omega > - c _ { v 2 } \, , } \\ { \tilde { \Omega } } & { { } = } & { \Omega \Bigg \{ 1 + \frac { c _ { v 2 } ^ { 2 } \Omega + c _ { v 3 } \Omega _ { \ell } } { ( c _ { v 3 } - 2 c _ { v 2 } ) \Omega - \Omega _ { \ell } } \Bigg \} \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array}
F _ { i } = \left( \begin{array} { c } { \rho { u } } \\ { \rho { u ^ { 2 } } + p } \\ { \rho { u v } } \\ { \rho { u w } } \\ { \rho { u h ^ { 0 } } } \\ { \rho { u Y _ { l } } } \end{array} \right) , \; F _ { j } = \left( \begin{array} { c } { \rho { v } } \\ { \rho { u v } } \\ { \rho { v ^ { 2 } } + p } \\ { \rho { v w } } \\ { \rho { v h ^ { 0 } } } \\ { \rho { v Y _ { l } } } \end{array} \right) \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; F _ { k } = \left( \begin{array} { c } { \rho { w } } \\ { \rho { u w } } \\ { \rho { v w } + p } \\ { \rho { w ^ { 2 } } + p } \\ { \rho { w h ^ { 0 } } } \\ { \rho { w Y _ { l } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { d _ { m } ( r ) } & { { } = } & { 1 - e ^ { - r / R _ { \mathrm { d } } } \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { ( r / R _ { \mathrm { d } } ) ^ { k } } { k ! } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) = } & { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { \eta } e ^ { i k _ { \eta } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { \bot } k _ { \bot } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta e ^ { i k _ { \bot } r _ { \bot } \cos \theta } \cdot } \\ & { \left[ J _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau \right) Y _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau ^ { \prime } \right) - J _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau ^ { \prime } \right) Y _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau \right) \right] } \\ { = } & { \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { \eta } e ^ { i k _ { \eta } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { \bot } k _ { \bot } J _ { 0 } ( k _ { \bot } r _ { \bot } ) \cdot } \\ & { \left[ J _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau \right) Y _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau ^ { \prime } \right) - J _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau ^ { \prime } \right) Y _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau \right) \right] } \\ { = } & { - \frac { \epsilon ( \tau - \tau ^ { \prime } ) \theta ( \lambda ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } k _ { \bot } d k _ { \bot } J _ { 0 } ( \lambda k _ { \bot } ) J _ { 0 } ( r _ { \bot } k _ { \bot } ) } \\ { = } & { - \frac { \epsilon ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } { 2 \pi } \delta ( s ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { \ell } ^ { \alpha } = \left( \omega _ { \ell } ^ { \alpha } \right) ^ { \dagger } \omega _ { \ell } ^ { \alpha } = \sigma _ { \ell \alpha } ^ { + } \sigma _ { \ell \alpha } ^ { - } = \mathbb { I } _ { \ell \alpha } ^ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S = \sum _ { i } S _ { i } , } \\ & { \psi _ { e c 2 } ( t + \tau ) = e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 1 } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 2 } } . . . e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { N } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { N } } . . . e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 2 } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } S _ { 1 } } \psi ( t ) . } \end{array}
\Psi ^ { \prime \prime } ( n ) \simeq - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 2 n ^ { 4 } } + \frac { 1 } { 6 n ^ { 6 } } - \frac { 1 } { 1 6 n ^ { 8 } } - \frac { 3 } { 2 0 n ^ { 1 0 } } - \frac { 5 } { 4 8 n ^ { 1 2 } } .
\begin{array} { r l } { \| v _ { k } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { \le C \left( \int _ { \Omega } | \nabla v _ { k } | ^ { 2 } + \int _ { \partial \Omega } g ^ { 2 } \right) \le C \left( \theta _ { \circ } + 1 + \int _ { \Omega } | f v _ { k } | + \frac 1 2 \int _ { \partial \Omega } g ^ { 2 } \right) } \\ & { \le C \left( \theta _ { \circ } + 1 + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \| v _ { k } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } + \frac 1 2 \int _ { \partial \Omega } g ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) } & { = z | _ { \beta = 0 } ( \alpha , t ) = x ( \alpha , 0 , t ) + i y ( \alpha , 0 , t ) = \xi ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) + i \eta ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) , } \\ { \zeta ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) } & { = z | _ { \beta = - h ( t ) } ( \alpha , t ) = x ( \alpha , - h ( t ) , t ) + i y ( \alpha , - h ( t ) , t ) = \xi ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) + i \eta ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) , } \end{array}
\frac { I ^ { - } } { I ^ { 0 } + I ^ { - } } = \frac { \sigma _ { g } ^ { - } ( \lambda ) } { w \frac { c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } } { c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } \sigma _ { g } ^ { 0 } ( \lambda ) + \sigma _ { g } ^ { - } ( \lambda ) }
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { e q } } } & { = \frac { \alpha _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } P _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } } { \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } a _ { \mathrm { C } } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 2 } } } & { = \frac { \alpha _ { \mathrm { C O } } P _ { \mathrm { C O } } } { \left( \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } P _ { 0 } \right) ^ { 1 / 2 } a _ { \mathrm { C } } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 3 } } } & { = \frac { \alpha _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { 0 } } { \left( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } a _ { \mathrm { C } } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 4 } } } & { = \frac { \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } P _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \left( \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } . } \\ { K _ { \mathrm { e q , 5 } } } & { = \frac { \left( \alpha _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } P _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } P _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { \alpha _ { \mathrm { N _ { 2 } } } P _ { \mathrm { N _ { 2 } } } \left( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \right) ^ { 3 } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 6 } } } & { = \frac { \alpha _ { \mathrm { H C N } } P _ { \mathrm { H C N } } \left( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \right) ^ { 3 } } { \alpha _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } \alpha _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } P _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { 0 } ^ { 2 } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 7 } } } & { = \frac { \alpha _ { \mathrm { S O _ { 2 } } } P _ { \mathrm { S O _ { 2 } } } P _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } { \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } \left( \gamma _ { \mathrm { S _ { 2 } } } f _ { \mathrm { S _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 8 } } } & { = \frac { \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } S } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } S } } \left( \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } \left( \gamma _ { \mathrm { S _ { 2 } } } f _ { \mathrm { S _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } . } \end{array}
j [ \epsilon _ { \boldsymbol { k } + d _ { i } \boldsymbol { q } } - \epsilon _ { \boldsymbol { k } + d _ { i } \boldsymbol { q } - i \boldsymbol { q } } ] = i [ \epsilon _ { \boldsymbol { k } + d _ { j } \boldsymbol { q } } - \epsilon _ { \boldsymbol { k } + d _ { j } \boldsymbol { q } - j \boldsymbol { q } } ]
x ^ { \nu } { \cal A } _ { \nu } ( 0 ) + x ^ { \mu } x ^ { \nu } ( \partial _ { \mu } { \cal A } _ { \nu } ) _ { x = 0 } + \mathrm { \frac { ~ 1 } { ~ 2 ~ } } x ^ { \lambda } x ^ { \mu } x ^ { \nu } ( \partial _ { \lambda } \partial _ { \mu } { \cal A } _ { \nu } ) _ { x = 0 } + \cdots = 0 \ .
\begin{array} { r c l l } { s _ { p , q } ^ { 2 } } & { = } & { 1 , } & \\ { s _ { p , q } s _ { m , r } } & { = } & { s _ { m , r } s _ { p , q } } & { \quad \mathrm { i f \ } [ p , q ] \cap [ m , r ] = \emptyset , } \\ { s _ { p , q } s _ { m , r } } & { = } & { s _ { p + q - r , p + q - m } s _ { p , q } } & { \quad \mathrm { i f \ } [ m , r ] \subset [ p , q ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { B } _ { F } ( \gamma ) } \left\{ f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } + \Delta \mathbf { W } ) - f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ) \right\} } & { \leq - \frac { q t _ { 0 } ^ { q - 1 } } { q + 1 } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { U } ( \gamma ) } \left\{ \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { t } } } | \langle A _ { i } , \Delta W _ { 1 } W _ { 2 } ^ { \star } \rangle | \right\} } \\ & { \leq - \frac { q t _ { 0 } ^ { q - 1 } } { q + 1 } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { V } ( \gamma , \zeta ) } \left\{ \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { t } } } | \langle A _ { i } , \Delta W _ { 1 } W _ { 2 } ^ { \star } \rangle | \right\} } \\ & { \leq - \frac { q t _ { 0 } ^ { q - 1 } } { q + 1 } \cdot \frac { | \mathcal { S } _ { t } | } { m } \cdot \zeta , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \ln B _ { n } } { n } } } & { = \ln n - \ln \ln n - 1 + { \frac { \ln \ln n } { \ln n } } + { \frac { 1 } { \ln n } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \ln \ln n } { \ln n } } \right) ^ { 2 } + O \left( { \frac { \ln \ln n } { ( \ln n ) ^ { 2 } } } \right) } \\ & { \qquad { \mathrm { a s ~ } } n \to \infty } \end{array} }
{ U _ { e q } ^ { i } } ( \Delta \phi ) = \frac { R T } { F ( \alpha _ { a } + \alpha _ { c } ) } \log \left( \frac { k _ { c } c _ { e } ( c _ { s , m a x } - \iota ^ { - 1 } ( \Delta \phi ) ) } { k _ { a } \iota ^ { - 1 } ( \Delta \phi ) } \right) + u _ { e q } .
\begin{array} { l } { { \dot { L } _ { j k } = \frac { 1 } { 2 } \coth ( ( q _ { j } - q _ { k } ) / 2 ) ( \dot { q } _ { k } - \dot { q } _ { j } ) L _ { j k } } } \\ { { \quad \quad \quad + \sum _ { l \neq j , k } \frac { 1 } { 2 } ( \coth ( ( q _ { j } - q _ { l } ) / 2 ) - \coth ( ( q _ { l } - q _ { k } ) / 2 ) ) L _ { j l } L _ { l k } } } \end{array}
\frac { U _ { e } } { u _ { * } e ^ { g } } = \frac { 1 } { \kappa } \ln \frac { u _ { * } \delta e ^ { g + b } } { \nu } + C = \frac { 1 } { \kappa } ( \ln \frac { u _ { * } \delta } { \nu } + g + b ) + C .
\begin{array} { r l } { \frac { n _ { 1 } } { \| n _ { 1 } \| } ( p ( t ) - c _ { 1 } ) \leq 0 \mathrm { ~ f o r ~ } t \in [ 0 , 2 0 ) , \quad } & { n _ { 1 } = ( 1 , - 5 ) , \ c _ { 1 } = ( 0 , - 0 . 1 ) , } \\ { \frac { n _ { 2 } } { \| n _ { 2 } \| } ( p ( t ) - c _ { 2 } ) \leq 0 \mathrm { ~ f o r ~ } t \in [ 2 0 , T ] , \quad } & { n _ { 2 } = ( - 1 , - 5 ) , \ c _ { 2 } = ( 2 , - 0 . 1 ) , } \\ { - \Delta p _ { \textrm { g o a l } } \leq p ( T ) - p _ { \textrm { g o a l } } \leq \Delta p _ { \textrm { g o a l } } , \quad } & { p _ { \textrm { g o a l } } = ( 2 , 0 . 0 5 ) , \ \Delta p _ { \textrm { g o a l } } = ( 0 . 3 , 0 . 1 4 ) , } \end{array}
\Bigl ( \rho _ { p } \! + \! \frac { 1 } { 2 } \rho _ { f } \Bigr ) \frac { d \Delta { v } } { d t } = ( \rho _ { p } \! - \! \rho _ { f } ) \frac { v _ { w } } { t _ { T } } - \frac { 9 \mu _ { a } } { 2 a ^ { 2 } } \Delta { v } - C _ { d } \frac { 3 \rho _ { f } } { 8 a } \Delta { v } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } < g ( u ) \partial _ { t } u , \phi > _ { ( W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) ^ { \prime } , W ^ { 1 , q } ( \Omega ) } d t } \\ & { = } & { \int _ { B \cap P } M ( u ) \zeta \cdot \nabla \phi d x d t - \int _ { \Omega _ { T } } \beta \left[ \nabla u \cdot \nabla \phi + q ^ { \prime } ( u ) \phi + ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( u ) \phi \right] d x d t } \end{array}
p _ { 0 } ( \xi _ { 0 } ) = \frac { k _ { 0 \mathrm { ~ f ~ } } \kappa _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { \dot { F } _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \exp { \Big [ \beta \chi _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \ddag } \kappa _ { \mathrm { ~ f ~ } } \xi _ { 0 } - \frac { k _ { 0 \mathrm { ~ f ~ } } } { \dot { F } _ { \mathrm { ~ f ~ } } \beta \chi _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { \beta \chi _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \ddag } \kappa _ { \mathrm { ~ f ~ } } \xi _ { 0 } } \Big ] } ~ .
\boldsymbol { \mu } ^ { ( k + 1 / 2 ) } = \boldsymbol { \mu } ^ { ( k ) } - \gamma \nabla \Gamma ( \boldsymbol { \mu } ^ { ( k ) } ) ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ \boldsymbol { \mu } ^ { ( k + 1 ) } = g ( \boldsymbol { \mu } ^ { ( k + 1 / 2 ) } , \mathbf { P } ) ,
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , \quad } & { X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = X _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } + \delta u ( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } ) + \sqrt { 2 \nu } ( B _ { t _ { k } } ^ { 1 } - B _ { t _ { k - 1 } } ^ { 1 } ) , } \\ { Y _ { 0 } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , \quad } & { Y _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = Y _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } + \delta u ( Y _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } ) + \sqrt { 2 \kappa } ( B _ { t _ { k } } ^ { 2 } - B _ { t _ { k - 1 } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 1 , 1 ) F ( \theta + \alpha ) F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) + \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 1 , 1 ) F ( \theta + \alpha ) [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] } \\ & { + \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 0 , 1 ) [ 1 - F ( \theta + \alpha ) ] F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) + \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 0 , 1 ) [ 1 - F ( \theta + \alpha ) ] [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { { c } ^ { \top } { x } ^ { \prime } = { c } _ { \mathcal { B } } ^ { \top } { A } _ { \mathcal { B } } ^ { - 1 } { b } - { c } _ { \mathcal { B } } ^ { \top } { A } _ { \mathcal { B } } ^ { - 1 } { A } _ { \mathcal { N } } { x } _ { \mathcal { N } } ^ { \prime } + { c } _ { \mathcal { N } } ^ { \top } { x } _ { \mathcal { N } } ^ { \prime } = { c } _ { \mathcal { B } } ^ { \top } { A } _ { \mathcal { B } } ^ { - 1 } { b } + { r } _ { \mathcal { N } } ^ { \top } { x } _ { \mathcal { N } } ^ { \prime } . } \end{array}