harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { z _ { k + 1 } } & { = \frac { 1 } { \tau } x _ { k + 1 } - \frac { 1 - \tau } { \tau } y _ { k + 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { \tau } \left( ( 2 - 2 \tau ) y _ { k + 1 } - ( 1 - 2 \tau ) y _ { k } \right) - \frac { 1 - \tau } { \tau } y _ { k + 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { \tau } \left( ( 1 - \tau ) y _ { k + 1 } - ( 1 - 2 \tau ) y _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \check { q } ^ { C k } ( \xi ) \overset { d e f } { = } q ^ { C k } \left( \frac { \xi - o ^ { ( k ) } } { s } \right) = \sum _ { j = 0 } ^ { N } \tilde { q } _ { j } ^ { C k } \psi _ { j } \left( \frac { \xi - o ^ { ( k ) } } { s } \right) , } \\ & { \xi \in [ o ^ { ( k ) } - s , o ^ { ( k ) } + s ] , \quad k = 1 , 2 . } \end{array}
\mathbf { B } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { - \eta _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \mu _ { 0 } } & { - \eta _ { 1 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mu _ { 1 } } & { - \eta _ { 2 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \dots } & { \dots } & { \mu _ { l - 1 } } & { 0 } \end{array} \right] \, ,
\Delta _ { \mu \nu \pm } ( k ) = - \frac 1 { k ^ { 2 } } \Big ( g _ { \mu \nu } - ( 1 - \alpha ) \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } } \mp 2 \beta \frac { \tilde { k } _ { \mu } \tilde { k } _ { \nu } } { ( \tilde { k } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( k ^ { 2 } \pm \frac { 2 \beta } { \tilde { k } ^ { 2 } } ) } \Big ) .
\begin{array} { r l } { D } & { = ( \partial _ { x _ { 1 } } u _ { 1 } ^ { + } ( 0 ) , \partial _ { x _ { 2 } } u _ { 1 } ^ { + } ( 0 ) , \partial _ { x _ { 1 } } u _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) , \partial _ { x _ { 2 } } u _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) , . . . } \\ & { \qquad \partial _ { x _ { 1 } } u _ { 1 } ^ { - } ( 0 ) , \partial _ { x _ { 2 } } u _ { 1 } ^ { - } ( 0 ) , \partial _ { x _ { 1 } } u _ { 2 } ^ { - } ( 0 ) , \partial _ { x _ { 2 } } u _ { 2 } ^ { - } ( 0 ) ) ^ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle j _ { \textrm { C } } ^ { y } ( t ) \rangle } & { { } = \frac { - i } { N } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { C } ) y } ( \mathbf { k } , t ) G _ { b \sigma a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t , t ) , } \\ { \langle j _ { \textrm { S } } ^ { y } ( t ) \rangle } & { { } = \frac { - i } { N } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { S } ) y } ( \mathbf { k } , t ) G _ { b \sigma a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { ( n ) } ( r + \Delta r , z + \Delta z ) } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { M } \sum _ { k + \ell = m } \Phi _ { k \ell } ^ { ( n ) } ( \Delta r ) ^ { k } ( \Delta z ) ^ { \ell } , } \end{array}
\Upsilon ^ { + } ( \tau , { \bf q } ) \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega { \tilde { \rho } } _ { F } ( \omega , { \bf q } ) \left\{ \left[ 1 - n _ { F } ( \omega / T ) \right] e ^ { - \omega \tau } - n _ { F } ( \omega / T ) e ^ { \omega \tau } \right\} \ ,
\Big ( \phi _ { 1 } \star \phi _ { 2 } \Big ) ( x ) : = \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } y \phi _ { 1 } ( x + \frac 1 2 \tilde { k } ) \phi _ { 2 } ( x + y ) e ^ { i k y } , \quad \tilde { k } _ { \mu } = \theta _ { \mu \nu } k _ { \nu } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \omega ^ { 2 } } { c _ { 0 } ^ { 2 } } \widetilde { \bf E } ( { \bf r } , \omega ) } & { { } = } & { M _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } ( { \bf r } ) \nabla \times M _ { \mu } ( { \bf r } ) [ \nabla \times M _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } ( { \bf r } ) \widetilde { \bf E } ( { \bf r } , \omega ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \sum _ { k \le K } E _ { u } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \sum _ { k \le K } T _ { u } ( { \bf k } ) + \sum _ { k \le K } \mathcal { F } _ { u } ( { \bf k } ) + \sum _ { k \le K } \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) - \sum _ { k \le K } D _ { u } ( { \bf k } ) . } \end{array}
\lambda _ { 0 } \kappa _ { 0 } n ^ { 2 } = \bar { u } ^ { 2 } - \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } - R \bar { \theta } = \bar { u } ^ { 2 } - \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } - \left( \frac { \lambda _ { 0 } } { \kappa _ { 0 } } + 1 \right) \bar { u } ^ { 2 } = - \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } - \frac { \lambda _ { 0 } } { \kappa _ { 0 } } \bar { u } ^ { 2 } < 0 ,
\mathscr { F } ( c , f ) ( \varphi ) \triangleq c \, \partial _ { \varphi } f ( \varphi ) + \frac { \partial _ { \varphi } \Big ( \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) + \Psi _ { p } \{ f \} \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } { \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } = 0 .
\begin{array} { r } { R _ { \pi } ( e ) = \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = 0 } ^ { T } R ( e _ { t } , a _ { t } ) \bigg \rvert \pi , e _ { 0 } = e \right] } { T } } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( a ) = \Omega _ { P } - \int _ { 0 } ^ { a } \frac { \d b } { b } \left[ 4 \frac { \Omega _ { r } ( b ) } { b ^ { 4 } } + 3 \frac { \Omega _ { b } ( b ) } { b ^ { 3 } } + 3 \frac { \Omega _ { e } ( b ) } { b ^ { 3 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { k i n } } ^ { \mathrm { A i } , T } = E _ { 1 } ^ { \mathrm { A i } , T } [ V - \mu ] - \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) \, V ( \vec { r } ) \, n _ { \mathrm { A i } } ^ { T } ( \vec { r } ) + \mu N } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n } = \sum _ { k = 1 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } + 1 } ( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le ( k - 2 ) } ) , \quad \mathfrak { q } _ { \omega , n } = \sum _ { k = 1 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } + 1 } \left( \mathfrak { q } _ { \omega , n , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { \omega , n , \le ( k - 2 ) } \right) . } \end{array}
\mathsf { a } _ { \mu \nu } , \mathsf { b } _ { \mu } \gets \mathsf { a } _ { \mu \nu } + \nabla \mathsf { U } _ { \mu } \cdot \nabla \mathsf { U } _ { \nu } \, \mathrm { d } t / 4 , \mathsf { b } _ { \mu } + \nabla \mathsf { U } _ { \mu } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { x } } / 2
\Omega _ { c } = \frac { q B } { m } , \ \Omega _ { B } = \sqrt { \Omega _ { c } ^ { 2 } + 4 \omega \Omega _ { c } } , \ \Omega _ { \pm } = - \frac { 1 } { 2 } ( \Omega _ { c } \pm \Omega _ { B } ) .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { t r [ } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } ( \lambda _ { k , ( 1 ) } ) \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } ( \lambda _ { k , ( 1 ) } ) ^ { H } ] = \mathrm { t r } \left\{ \left( \mathbf { D \Lambda D } ^ { H } + \lambda _ { k , ( 1 ) } \mathbf { I } _ { N } \right) ^ { - 1 } \mathbf { D \Phi D } ^ { H } \left( \mathbf { D \Lambda D } ^ { H } + \lambda _ { k , ( 1 ) } \mathbf { I } _ { N } \right) ^ { - 1 } \right\} } \\ & { = \mathrm { t r } \left\{ \left( \mathbf { D \Lambda D } ^ { H } + \lambda _ { k , ( 1 ) } \mathbf { I } _ { N } \right) ^ { - 2 } \mathbf { D \Phi D } ^ { H } \right\} = \mathrm { t r } \left\{ \left( \mathbf { \Lambda } + \lambda _ { k , ( 1 ) } \mathbf { I } _ { N } \right) ^ { - 2 } \right\} = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { \left[ \mathbf { \Phi } \right] _ { n n } } { \left( \left[ \mathbf { \Lambda } \right] _ { n n } + \lambda _ { k , ( 1 ) } \right) ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ t ~ } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \quad } & { r < \sigma , } \\ { - \epsilon _ { 1 } \frac { e ^ { - \lambda _ { 1 } ( r / \sigma - 1 ) } } { r / \sigma } - \epsilon _ { 2 } \frac { e ^ { - \lambda _ { 2 } ( r / \sigma - 1 ) } } { r / \sigma } , } & { r > \sigma , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { x } } & { { } = ( 1 - d ) E _ { 0 } \sin ( k \xi ) \cos ^ { 2 } ( \xi \pi / L ) \cdot \Pi [ \xi , - L / 2 , L / 2 ] } \\ { E _ { y } } & { { } = ( 1 - d ) E _ { 0 } \cos ( k \xi ) \cos ^ { 2 } ( \xi \pi / L ) \cdot \Pi [ \xi , - L / 2 , L / 2 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle } & { { } \stackrel { } { = } \sum _ { s _ { i } , \dotsc , s _ { L } , s _ { i } ^ { \prime } } \operatorname { T r } _ { m } \Big ( \hat { A } _ { i } ^ { s _ { i } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } | 0 \rangle \, \langle 0 | \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } \dag } \dotsb \hat { A } _ { i } ^ { s _ { i } ^ { \prime } \dag } \Big ) \, \langle s _ { i } ^ { \prime } | \hat { h } | s _ { i } \rangle } \end{array}
U _ { n } ( P , Q ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } n = 0 } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } n = 1 } \\ { P \cdot U _ { n - 1 } ( P , Q ) - Q \cdot U _ { n - 2 } ( P , Q ) } & { { \mathrm { O t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
T _ { i j k } ^ { ( + ) } = S _ { i j k } ^ { ( 3 ) } ( \tilde { \bf { q } } _ { + } ) = \sum _ { \mu \nu \lambda } \frac { \partial ^ { 3 } S } { \partial \tilde { q } _ { \mu } \partial \tilde { q } _ { \nu } \partial \tilde { q } _ { \lambda } } C _ { \mu i } C _ { \nu j } C _ { \lambda k } ,
1 - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { c } { R } } \right) ^ { 2 } + O \left( { \frac { 1 } { R ^ { 4 } } } \right) = \left[ 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { a } { R } } \right) ^ { 2 } + O \left( { \frac { 1 } { R ^ { 4 } } } \right) \right] \left[ 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { b } { R } } \right) ^ { 2 } + O \left( { \frac { 1 } { R ^ { 4 } } } \right) \right] { \mathrm { ~ a s ~ } } R \to \infty \ .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial J ^ { \pi ^ { \theta } } ( \mu ) } { \partial \theta _ { 1 } ( s , a , \eta ) } = } & { \sum _ { s _ { 1 } } \mu ( s _ { 1 } ) \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) \textbf { 1 } ( s _ { 1 } = s ) \Big ( \textbf { 1 } ( a _ { 1 } = a , \eta _ { 2 } = \eta ) - \pi _ { 1 } ( a , \eta | s ) \Big ) ( - A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ) } \\ { = } & { \sum _ { s _ { 1 } } \mu ( s _ { 1 } ) \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) \textbf { 1 } ( ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) = ( s , a , \eta ) ) ( - A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ) } \\ & { - \pi _ { 1 } ( a , \eta | s ) \sum _ { s _ { 1 } } \mu ( s _ { 1 } ) \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) \textbf { 1 } ( s _ { 1 } = s ) ( - A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ) } \\ { \overset { ( a ) } { = } } & { \mu ( s ) \pi _ { 1 } ( a , \eta | s ) ( - A ^ { \pi } ( s , a , \eta ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \rho } ^ { 2 } \hat { c } _ { k } - f ^ { \prime \prime } ( \theta _ { 0 } ) \hat { c } _ { k } = \hat { f } _ { k - 1 } ^ { \prime } + \theta _ { 0 } ^ { \prime } \partial _ { t } d _ { k - \frac { 1 } { 2 } } + \partial _ { \rho } \hat { c } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { t } d _ { \Gamma } + \partial _ { \rho } \hat { c } _ { k - 1 } \partial _ { t } d _ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \quad + \theta _ { 0 } ^ { \prime } \sum _ { i \in \{ 0 , \frac { 1 } { 2 } , k - 1 , k - \frac { 1 } { 2 } \} } \hat { \mathbf { v } } _ { i } \cdot \nabla d _ { k - \frac { 1 } { 2 } - i } + \partial _ { \rho } \hat { c } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } + \partial _ { \rho } \hat { c } _ { k - 1 } \sum _ { i \in \{ 0 , \frac 1 2 \} } \hat { \mathbf { v } } _ { i } \cdot \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } - i } } \\ & { \quad - \sum _ { i \in \{ 0 , k - 1 \} } \partial _ { \rho } \hat { c } _ { i } \Delta d _ { k - 1 - i } - 2 \nabla \partial _ { \rho } \hat { c } _ { k - 1 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } - \theta _ { 0 } ^ { \prime } \sum _ { i \in \{ 0 , \frac 1 2 \} } \hat { \phi } _ { i } d _ { k - \frac { 1 } { 2 } - i } } \\ & { \quad + \eta ^ { \prime } g _ { k - \frac { 3 } { 2 } } d _ { \Gamma } + \mathcal { R } _ { 3 , k - \frac { 3 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \, R ( t ) } & { { } = } & { \gamma \, M ( t ) \, R ( t ) - \epsilon \, R ( t ) + \delta \, M ( t ) } \\ { \frac { d } { d t } \, M ( t ) } & { { } = } & { - \gamma \, M ( t ) \, R ( t ) + \epsilon \, R ( t ) - \delta \, M ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathsf { P } \biggl [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ t - x , t ] , } \{ - A ( t - x , \tau ) - S _ { P _ { L } } ( \tau , t ) \} \ge 0 \biggr ] } \\ { \le } & { \mathsf { P } [ Z _ { A } \ge x - l _ { \operatorname* { m a x } } / r ] } \\ { \le } & { \underline { { \varepsilon } } _ { A } ( x - l _ { \operatorname* { m a x } } / r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { ( 1 ) } } & { = } & { U + \widetilde { U } + \overline { { U } } + \overline { { \widetilde { U } } } , } \\ { - C _ { ( 2 ) } } & { = } & { \overline { { U \widetilde { U } } } + \widetilde { U } \overline { { \widetilde { U } } } + \widetilde { U } \overline { { U } } + U \overline { { \widetilde { U } } } + U \overline { { U } } + U \widetilde { U } , } \\ { C _ { ( 3 ) } } & { = } & { \widetilde { U } \overline { { U \widetilde { U } } } + U \overline { { U \widetilde { U } } } + U \widetilde { U } \overline { { \widetilde { U } } } + U \widetilde { U } \overline { { U } } . } \end{array}
a _ { r } = { \left\{ \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { \frac { r - 1 } { 2 } } ( 1 + 2 ^ { - r } ) } & { { \mathrm { i f ~ r ~ i s ~ o d d } } } \\ { ( - 1 ) ^ { \frac { r } { 2 } } } & { { \mathrm { i f ~ r ~ i s ~ e v e n } } } \end{array} \right. } ,
\mathcal { F } ( A _ { \mu ; e } ) : \quad \left\{ \begin{array} { r c c c l } { { \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \sqrt { 1 - A _ { \mu ; e } } ) } } & { { \leq } } & { { d _ { e } } } & { { \leq } } & { { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { 1 - A _ { \mu ; e } } ) \, , } } \\ { { A _ { \mu ; e } / 4 d _ { e } } } & { { \leq } } & { { d _ { \mu } } } & { { \leq } } & { { 1 - A _ { \mu ; e } / 4 ( 1 - d _ { e } ) \, . } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \delta _ { \lambda } C ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { m \lambda \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { \lambda } C ^ { ( 3 ) } } } & { { = } } & { { 3 m \lambda B \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { \lambda } B } } & { { = } } & { { - 4 \partial \lambda \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\lVert \nabla v \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , \nu T ) \times \partial \Omega ) } } & { { } \le C ( \Omega ) \left\lVert \nabla v \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( 0 , \nu T ; W ^ { \frac 1 6 , \frac 6 5 } ( \partial \Omega ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { \mathrm { e r } } = \sum _ { i = j } ^ { j + n - 1 } ( x _ { \mathrm { s } , i } - x _ { \mathrm { g c } } ) \operatorname* { m a x } \{ 0 , q _ { i } - B \} \Biggl / \sum _ { i = j } ^ { j + n - 1 } \operatorname* { m a x } \{ 0 , q _ { i } - B \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \neq j } ( Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { n i } ^ { \xi } Z _ { m j } ^ { \xi } = \, } & { \left( \sum _ { i j } - \sum _ { i = j } \right) ( Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { n i } ^ { \xi } Z _ { m j } ^ { \xi } } \\ { = \, } & { \sum _ { i } ( Z _ { m i } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { n i } ^ { \xi } \sum _ { j } ( Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { m j } ^ { \xi } - \sum _ { i } ( Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n i } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n i } ^ { \xi } } \\ { = \, } & { \delta _ { m n } - \sum _ { i } | Z _ { m i } ^ { \xi } | ^ { 2 } | Z _ { n i } ^ { \xi } | ^ { 2 } . } \end{array}
g ^ { 2 } R _ { 2 } ^ { ( \pm ) } ( \nu ; 0 ) = g ^ { 2 } \int _ { 1 } ^ { \infty } d \alpha ( \sum _ { \ell = 1 } ^ { 7 } \frac { \Phi _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ( \alpha ) } { \alpha ^ { \ell } } ) [ \alpha ^ { \frac { \nu } { 2 } } + \alpha ^ { \frac { - \nu } { 2 } } ] = 2 \xi ( \frac { 1 } { 2 } + \nu ) .
A _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) = \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } A _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) - \frac { m _ { 1 } - m _ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } A _ { 2 } ( q ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \vec { v } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { x - C _ { x } } \\ { y - C _ { y } } \end{array} \right] \mathrm { ~ , ~ } ~ ~ ~ ~ \Sigma = \left[ \begin{array} { l l } { S _ { x x } } & { S _ { x y } } \\ { S _ { x y } } & { S _ { y y } } \end{array} \right] \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ \xi } & { { } = ( A , C _ { x } , C _ { y } , S _ { x x } , S _ { x y } , S _ { y y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { n + 1 } } & { { } = } & { f _ { n } e ^ { - \nu \Delta t } + e ^ { - \nu \Delta t } \left[ f _ { n } ^ { t } \left( \frac { e ^ { \nu \Delta t } } { \nu \Delta t } - 1 - \frac { 1 } { \nu \Delta t } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { P } ( \xi , \mathbb { P } ^ { \nu } ) = \mathbb { E } ^ { \mathbb { P } ^ { \nu } } \left[ U _ { P } \left( - \xi - \int _ { 0 } ^ { T } p ( X _ { t } ^ { 1 } + X _ { t } ^ { 2 } ) d t + \int _ { 0 } ^ { T } k _ { 1 } X _ { t } ^ { 1 } + k _ { 2 } X _ { t } ^ { 2 } d t - \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } h ~ d \langle X _ { \cdot } ^ { 1 } + X _ { \cdot } ^ { 2 } \rangle _ { t } \right) \right] \; , } \end{array}
v _ { 0 } = [ \left( 1 - \mathcal { R } \right) q \rho _ { s } \varOmega _ { s } + \bar { \beta } \zeta \varDelta + \frac { \bar { \beta } } { \alpha } \left( \rho _ { s } q - \alpha \zeta \varDelta \right) ] v _ { \mathrm { m } } + \frac { \left( \rho _ { s } q - \alpha \zeta \varDelta \right) m \varDelta h _ { z } } { \alpha \left( q + \zeta ^ { 2 } \varDelta ^ { 2 } \right) } - \frac { \rho _ { s } q - \alpha \zeta \varDelta } { \alpha } v _ { \mathrm { p x } } \sin \frac { x _ { 0 } } { \varDelta }
\operatorname* { P r } ( Y _ { i } = y \mid \mathbf { X } _ { i } ) = { \binom { n _ { i } } { y } } p _ { i } ^ { y } ( 1 - p _ { i } ) ^ { n _ { i } - y } = { \binom { n _ { i } } { y } } \left( { \frac { 1 } { 1 + e ^ { - { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } } \right) ^ { y } \left( 1 - { \frac { 1 } { 1 + e ^ { - { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } } \right) ^ { n _ { i } - y } \, .
\begin{array} { r l } { c _ { i j } ^ { \mathrm { B P } } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { x } _ { j } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } & { \propto p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \partial i \setminus j } } \Biggl \{ \left[ \prod _ { k \in \partial i \setminus j } c _ { k i } ^ { \mathrm { B P } } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { x } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \\ & { \quad \times \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \Biggr \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( f , g ) = } & { \psi \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } \chi _ { A } ( x _ { i } ) , \sum _ { j = 1 } ^ { m } \gamma _ { j } \chi _ { B } ( u _ { j } ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( \lambda _ { i } \gamma _ { j } ) \hat { \chi } ( \epsilon _ { A } ( x _ { i } ) \wedge \epsilon _ { B } ( u _ { j } ) ) . } \end{array}
M _ { 1 1 } ^ { \beta \gamma } = \frac { T ^ { \beta \gamma } } { 1 - C I ^ { \beta \gamma \, - 1 } T ^ { \beta \gamma } + T ^ { \beta \gamma \, 2 } } = \frac { ( C I ^ { \beta \gamma } ) ^ { 5 } - C I ^ { \beta \gamma } } { ( 1 - ( C I ^ { \beta \gamma } ) ^ { 2 } ) ( 1 - 3 ( C I ^ { \beta \gamma } ) ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \triangle \vec { \, u } + \nabla p } & { = \vec { \, f } } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \nabla \cdot \vec { \, u } } & { = 0 } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \vec { \, u } } & { = \vec { \, g } } & { \quad } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { p _ { x } , \quad \dot { y } = p _ { y } , \quad \dot { z } = p _ { z } , } \\ { \dot { p } _ { x } } & { = } & { - \mu \frac { x - ( 1 - \mu ) \cos { t } } { \rho _ { 1 } ^ { 3 } } - ( 1 - \mu ) \frac { x + \mu \cos { t } } { \rho _ { 2 } ^ { 3 } } , } \\ { \dot { p } _ { y } } & { = } & { - \mu \frac { y - ( 1 - \mu ) \sin { t } } { \rho _ { 1 } ^ { 3 } } - ( 1 - \mu ) \frac { y + \mu \sin { t } } { \rho _ { 2 } ^ { 3 } } , } \\ { \dot { p } _ { z } } & { = } & { - \mu \frac { z } { \rho _ { 1 } ^ { 3 } } - ( 1 - \mu ) \frac { z } { \rho _ { 2 } ^ { 3 } } . } \end{array}
P ( y | x , \mathcal { D } , \mathcal { M } ) \simeq \frac { 1 } { N _ { s } - M } \sum _ { i = M } ^ { N _ { s } } P ( y | x , \Theta ^ { t _ { i } } ) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \Theta ^ { t _ { i } } \sim P ( \Theta | \mathcal { D } , \mathcal { M } ) .
{ \frac { \partial } { \partial t } } \left( \begin{array} { c } { { F _ { A } ^ { N } } } \\ { { { F _ { B } ^ { N } } } } \end{array} \right) = - { \frac { 1 } { 4 } } { \bf K } _ { S } ^ { g _ { 1 } } ( N ) \left( \begin{array} { c } { { F _ { A } ^ { N } } } \\ { { { F _ { B } ^ { N } } } } \end{array} \right) = - { \frac { 1 } { 4 } } \left( \begin{array} { c c } { { K _ { A A } ^ { N } } } & { { K _ { A B } ^ { N } } } \\ { { K _ { B A } ^ { N } } } & { { K _ { B B } ^ { N } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { F _ { A } ^ { N } } } \\ { { { F _ { B } ^ { N } } } } \end{array} \right) ~ ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { H } } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { V } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { i } & { - i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { L } } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { R } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \bigl ( \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } \bigr ) } & { { } = \nabla \tilde { \psi } _ { m , k } \cdot \sigma \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } = 0 \, . } \end{array}
a _ { l m n } = \frac { \langle \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { m } , \mathcal { L } \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { n } \rangle } { \langle \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { m } , \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { m } \rangle } .
Z ~ = ~ \int d x d \eta \ \exp \{ - i T ( H + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { \mu } \omega _ { \mu \nu } \eta ^ { \nu } ) \} { \frac { 1 } { \sqrt { d e t | | { \delta ^ { \mu } } _ { \nu } \partial _ { t } - \frac { 1 } { 2 } ( { \Omega ^ { \mu } } _ { \nu } + { R ^ { \mu } } _ { \nu \rho \sigma } \eta ^ { \rho } \eta ^ { \sigma } ) | | } } }
\begin{array} { r } { | \Phi \rangle _ { A } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } \Phi _ { A } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) | 0 \rangle = } \\ { = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } \Phi _ { A } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) | 0 \rangle = } \\ { = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } \Phi _ { A } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) | 0 \rangle = } \\ { = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } \Phi _ { A } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) | 0 \rangle = - | \Phi \rangle _ { A } } \end{array}