harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left[ \hat { S } _ { x } , \hat { S } _ { y } \right] = 2 i \hbar \hat { S } _ { z } , \left[ \hat { S } _ { y } , \hat { S } _ { z } \right] = 2 i \hbar \hat { S } _ { x } , \left[ \hat { S } _ { z } , \hat { S } _ { x } \right] = 2 i \hbar \hat { S } _ { y } , } \end{array}
F _ { j } ^ { \textrm { p r o p } } = - \int _ { S } u _ { i } ^ { \prime } \itSigma _ { i j } ^ { U } d S , ~ M _ { j } ^ { \textrm { p r o p } } = - \int _ { S } u _ { i } ^ { \prime } \itSigma _ { i j } ^ { \itOmega } d S ,
\begin{array} { r l r } { E _ { u } ( k ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k - 1 < \lvert \mathbf { k ^ { \prime } } \rvert \leq k } \lvert \bf { u } ( \bf { k ^ { \prime } } ) \rvert ^ { 2 } , } \\ { E _ { b } ( k ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k - 1 < \lvert \mathbf { k ^ { \prime } } \rvert \leq k } \lvert \bf { b } ( \bf { k ^ { \prime } } ) \rvert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { a } _ { { 1 } { 1 } } = { 1 - { x } _ { 2 d } + 2 ( r - p { x } _ { 3 d } ) { x } _ { 1 d } } , } \\ { { a } _ { { 1 } { 2 } } = - { x } _ { 1 d } , \quad { a } _ { { 1 } { 3 } } = { - p { x } _ { 1 d } ^ { 2 } } , } \\ { { a } _ { { 2 } { 1 } } = { x } _ { 2 d } , \quad { a } _ { { 2 } { 2 } } = { - 1 + { x } _ { 1 d } } , } \\ { { a } _ { { 3 } { 1 } } = 2 p { x } _ { 1 d } { x } _ { 3 d } , \quad { a } _ { { 3 } { 3 } } = { - q + p { x } _ { 1 d } ^ { 2 } } , } \\ { { a } _ { { 4 } { 1 } } = { { x } _ { 2 d } } , \quad { a } _ { { 4 } { 2 } } = { \mu _ { 1 } } , \quad { a } _ { { 4 } { 4 } } = { - 1 + { x } _ { 1 d } - \mu _ { 1 } { x } _ { 2 d } } , } \\ { { a } _ { { 5 } { 1 } } = 2 p { x } _ { 3 r } { x } _ { 1 d } , \quad { a } _ { { 5 } { 3 } } = \mu _ { 2 } , \quad { a } _ { { 5 } { 5 } } = - q + p { x } _ { 1 d } ^ { 2 } - \mu _ { 2 } , } \\ { { a } _ { { 1 } { 4 } } = \quad a _ { { 1 } { 5 } } = \quad { a } _ { { 2 } { 3 } } = \quad { a } _ { { 2 } { 4 } } = \quad { a } _ { { 2 } { 5 } } = \quad { a } _ { { 3 } { 2 } } = 0 , } \\ { { a } _ { { 3 } { 4 } } = \quad { a } _ { { 3 } { 5 } } = \quad { a } _ { { 4 } { 3 } } = \quad { a } _ { { 4 } { 5 } } = \quad { a } _ { { 5 } { 2 } } = \quad { a } _ { { 5 } { 4 } } = { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { F K } _ { \Omega } ^ { \mathrm { w } } [ A ] - \mathsf { F K } ^ { \mathrm { w } } [ A ] } & { \leq \mathbb { P } \left[ \eta _ { + } \in A , \eta _ { - } \not \in A , \mathcal { C } \neq \varnothing \right] + 8 n e ^ { - \alpha n } } \\ & { = \sum _ { C \neq \emptyset } \mathbb { P } \left[ \eta _ { + } \in A , \eta _ { - } \not \in A \mid \mathcal { C } = C \right] \mathbb { P } \left[ \mathcal { C } = C \right] + 8 n e ^ { - \alpha n } = 8 n e ^ { - \alpha n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ^ { * } | \mathbf { A } ^ { * } , \mathbf { A } , \mathbf { B } \sim \mathcal { N } ( m ^ { * } ( \mathbf { A } ^ { * } ) , C ^ { * } ( \mathbf { A } ^ { * } , \mathbf { A } ^ { * } ) ) , } \\ & { \textrm { w i t h } m ^ { * } ( \textbf { A } ^ { * } ) = K ^ { * T } K _ { y } ^ { - 1 } \mathbf { B } , } \\ & { \textrm { a n d } C ^ { * } ( \mathbf { A } ^ { * } , \mathbf { A } ^ { * } ) = K ^ { * * } - K ^ { * T } K _ { y } ^ { - 1 } K ^ { * } , } \end{array}
\operatorname * { d e t } ( M _ { S } ^ { 2 ( 0 ) } ) \ \approx \ - \, \frac { v ^ { 2 } } { v _ { S } ^ { 2 } } \, M ^ { 2 } \, \bigg [ \, 4 \mu ^ { 4 } \ - \ 2 \sin ^ { 2 } 2 \beta \, M _ { a } ^ { 2 ( 0 ) } \mu ^ { 2 } \ + \ \frac { 1 } { 4 } \, \sin ^ { 4 } 2 \beta \, M _ { a } ^ { 2 ( 0 ) } \bigg ( \, M _ { a } ^ { 2 ( 0 ) } \: - \: \frac { 1 } { 2 } \, \lambda ^ { 2 } v ^ { 2 } \, \bigg ) \, \bigg ] \, .
\begin{array} { r l } { - \sum _ { k = 3 } ^ { n } \sum _ { l = 3 } ^ { k } \vartheta _ { k - l } b _ { l - 2 } \big \langle \triangledown _ { \tau } e ^ { 2 } , e ^ { k } \big \rangle } & { = - \sum _ { k = 3 } ^ { n } \vartheta _ { k - 3 } b _ { 1 } \big \langle \triangledown _ { \tau } e ^ { 2 } , e ^ { k } \big \rangle - \sum _ { k = 4 } ^ { n } \vartheta _ { k - 4 } b _ { 2 } \big \langle \triangledown _ { \tau } e ^ { 2 } , e ^ { k } \big \rangle } \\ & { \le \frac { 7 } { 6 \tau } \sum _ { k = 3 } ^ { n } | \vartheta _ { k - 3 } | \| \triangledown _ { \tau } e ^ { 2 } \| \| e ^ { k } \| + \frac { 1 } { 3 \tau } \sum _ { k = 4 } ^ { n } | \vartheta _ { k - 4 } | \| \triangledown _ { \tau } e ^ { 2 } \| \| e ^ { k } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textnormal { N L T } } & { { } = \nabla _ { h } ^ { 2 } \frac { \partial ( \textbf { u } . \nabla w ) } { \partial t } + \nabla _ { h } ^ { 2 } ( \textbf { u } . \nabla b ) - \frac { \partial ^ { 3 } ( \textbf { u } . \nabla u ) } { \partial x \partial z \partial t } } \end{array}
g \, { \cal N } ^ { a d } ( \infty ) = { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \eta _ { 0 } / \sqrt 2 } q ^ { 2 } \, d q \; \omega ( q ) \; M _ { q } ( \infty ) ^ { 2 } + { \cal O } \left( g \right)
\begin{array} { r l r } { \ell _ { i } = v _ { A } / \Omega \, , \quad v _ { A } = \frac { B _ { 0 } } { \sqrt { \mu _ { 0 } m n _ { 0 } } } \, , \quad \Omega } & { { } = } & { \frac { e B _ { 0 } } { m } \, , } \end{array}
\bigtriangleup ^ { \mu \nu } ( x - y , m ^ { 2 } ) = \int d ^ { 2 } z \left[ g ^ { \mu \nu } \delta ^ { ( 2 ) } ( x - z ) - \partial _ { x } ^ { \mu } \partial _ { x } ^ { \nu } \bigtriangleup ( x - z ) \right] \bigtriangleup ( z - y ; m ^ { 2 } ) \; ,
\tau _ { i j } ^ { e x } - \tau _ { i j } ^ { e x , \infty } = \delta A [ \dot { \gamma } ^ { ( 0 ) } ] \dot { \gamma } _ { i j } ^ { ( 0 ) } - \delta A [ \dot { \gamma } ^ { \infty , ( 0 ) } ] \dot { \gamma } _ { i j } ^ { \infty , ( 0 ) } + O ( \delta ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \rho _ { \uparrow \uparrow , \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \rho _ { \textrm { p } } \pm \rho _ { \textrm { s } } \right] } \\ { \rho _ { \textrm { s } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 } \left[ \rho _ { \textrm { m } } ^ { x } + \rho _ { \textrm { s } } ^ { y } + \rho _ { \textrm { s } } ^ { z } \right] } \\ { \gamma _ { \uparrow \uparrow , \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } + \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \odot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] \pm \frac { f _ { \nabla } } { 2 } \Gamma _ { s } } \\ { \Gamma _ { s } } & { { } = } & { \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { s } } } \\ { \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } - \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \odot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] , } \\ { \tau _ { \uparrow , \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \tau _ { \textrm { p } } \pm \frac { f _ { \tau } } { 2 } \tau _ { \textrm { s } } , } \\ { \tau _ { \textrm { s } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 } \left[ \tau _ { \textrm { m } } ^ { x } + \tau _ { \textrm { m } } ^ { y } + \tau _ { \textrm { m } } ^ { z } \right] . } \end{array}
W _ { \mathrm { X } } \tilde { \Sigma } = 0 \, \, \, , \, \, \, W _ { \mathrm { i s o } } ^ { a } \tilde { \Sigma } = 0 \, \, \, , \, \, \, W _ { \mathrm { c h i r a l } } ^ { a } \tilde { \Sigma } = 0 \, \, \, ,
\begin{array} { r l } { E _ { y } ^ { \mathrm { M G } } \left( y , z \right) } & { { } = - j \frac { \eta c } { 2 \Lambda } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \beta _ { m } e ^ { - j k _ { t , m } y } e ^ { - j \beta _ { m } | z + h | } } \\ { H _ { x } ^ { \mathrm { M G } } \left( y , z \right) } & { { } = j \frac { k c } { 2 \Lambda } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \mathrm { s g n } \{ z + h \} e ^ { - j k _ { t , m } y } e ^ { - j \beta _ { m } | z + h | } } \end{array}
( - \nabla ^ { 2 } + g ^ { 2 } \vec { C } ^ { 2 } ) B = - { \frac { 2 \lambda } { 3 } } B ( 2 5 B ^ { 2 } + 7 B _ { 3 } ^ { 2 } - 3 2 B _ { 0 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { w _ { 1 } ^ { 2 } } & { = \frac { ( K _ { 3 } - K _ { 2 } e _ { 2 } - K _ { 2 } e _ { 3 } + K _ { 1 } e _ { 2 } e _ { 3 } ) } { ( e _ { 1 } - e _ { 2 } ) ( e _ { 1 } - e _ { 3 } ) } , } \\ { w _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \frac { ( K _ { 3 } - K _ { 2 } e _ { 1 } - K _ { 2 } e _ { 3 } + K _ { 1 } e _ { 1 } e _ { 3 } ) } { ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ( e _ { 2 } - e _ { 3 } ) } , } \\ { w _ { 3 } ^ { 2 } } & { = \frac { ( K _ { 3 } - K _ { 2 } e _ { 1 } - K _ { 2 } e _ { 2 } + K _ { 1 } e _ { 1 } e _ { 2 } ) } { ( e _ { 1 } - e _ { 3 } ) ( e _ { 2 } - e _ { 3 } ) } . } \end{array}
\Psi _ { L e p } ^ { ( 1 ^ { s t } \, f a m ) } = \Psi _ { H } ^ { ( \nu _ { e } ) } + \Psi _ { H } ^ { ( e ) } \gamma _ { 0 } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \Psi _ { H } ^ { ( \nu _ { e } , e ) } \in C l _ { 1 , 3 } ^ { + } \otimes { \cal F } ~ .
\begin{array} { r l r l r } { b _ { 0 } } & { = \mathcal { L } _ { f _ { 0 } } v } & { b _ { \ell } } & { = f _ { \ell } \cdot \nabla _ { x } v } & { \forall \ell = 1 . . L } \\ { A } & { = [ - \Gamma ; \Gamma ] } & { e } & { = [ z - h ; z + h ] } \\ { K } & { = \textstyle \prod _ { s = 1 } ^ { 2 n T } \mathbb { R } _ { \geq 0 } . } \end{array}
H _ { p } = { \frac { Q } { | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | ^ { 7 - p } } } , \ \ \ \ H _ { W } = 1 + { \frac { Q _ { W } } { ( x ^ { 2 } + { \frac { 4 Q } { ( p - 5 ) ^ { 2 } } } | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | ^ { p - 5 } ) ^ { \frac { p ^ { 2 } - 8 p + 1 9 } { 2 ( p - 5 ) } } } } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r } \int _ { \Omega } \mathbb { 1 } _ { \left\{ | y - \bar { t } | < r , \partial _ { x _ { 1 } } y < 0 \right\} } | \partial _ { x _ { 1 } } y | \, \mathrm { d } x = 2 \left( 1 - \frac { 2 } { \pi } \arcsin \bar { t } \right) , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r } \int _ { \Omega } \mathbb { 1 } _ { \left\{ | y - \bar { t } | < r , \partial _ { x _ { 2 } } y > 0 \right\} } | \partial _ { x _ { 2 } } y | \, \mathrm { d } x = 2 \left( 1 - \frac { 2 } { \pi } \arcsin \bar { t } \right) , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r } \int _ { \Omega } \mathbb { 1 } _ { \left\{ | y - \bar { t } | < r , \partial _ { x _ { 2 } } y < 0 \right\} } | \partial _ { x _ { 2 } } y | \, \mathrm { d } x = 2 \left( 1 - \frac { 2 } { \pi } \arcsin \bar { t } \right) . } \end{array}
\overline { { { \bf \Psi } } } \, { \bf \Gamma } _ { M } \, { \bf \Psi } = \overline { { { \bf \Psi } } } \left( \begin{array} { c c } { { \ 0 } } & { { \left( { \Gamma _ { M } } \right) _ { 1 2 } } } \\ { { \left( { \Gamma _ { M } } \right) _ { 2 1 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) { \bf \Psi } \; .
\begin{array} { r l } { \langle E \rangle } & { = \left\langle \Psi _ { \mathcal { W } } \left| \hat { \mathcal { H } } \right| \Psi _ { \mathcal { W } } \right\rangle } \\ & { = \sum _ { \left\{ \boldsymbol { \sigma } , \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } \right\} } \Psi ^ { * } \left( \boldsymbol { \sigma } ; \mathcal { W } \right) \Psi \left( \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } ; \mathcal { W } \right) \left\langle \boldsymbol { \sigma } \left| \hat { \mathcal { H } } \right| \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } \right\rangle , } \end{array}
\frac { \partial \left\langle \mathbf { B } \right\rangle } { \partial t } = \nabla \times \left( \left\langle \mathbf { U } \right\rangle \times \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \right) + \nabla \times \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \times \mathbf { b } ^ { \prime } \right\rangle + \eta \nabla ^ { 2 } \left\langle \mathbf { B } \right\rangle ,
\frac { p _ { t h } ^ { - } } { m _ { e } c } \approx \frac { \sqrt { 1 - \mathcal { S } } ( \rho \Tilde { \varphi } + \sqrt { \mathcal { S } } ) - \sqrt { \rho ^ { 2 } \Tilde { \varphi } ^ { 2 } + 2 \rho \Tilde { \varphi } \sqrt { \mathcal { S } } } } { \mathcal { S } } .
\begin{array} { r l } { E ( \epsilon , \theta ; s _ { 0 } , r ) = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left[ \ell ^ { 2 } ( 1 + \epsilon ) ^ { 2 } - 1 \right] ^ { 2 } + \frac { r } { 2 } \left[ p ( \epsilon , t ( \theta ) , \ell ) - s _ { 0 } \right] ^ { 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal L _ { 2 } ^ { Y } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { e ^ { 2 \gamma Y ( x _ { 1 } ) } } { 2 Z ^ { 2 } } \left[ \partial _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } + 2 ( 1 - r ^ { \xi } ) \partial _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } + \right. } \\ & { + \left. \left( ( 1 - r ^ { \xi } ) ^ { 2 } + ( 1 - ( 1 - r ^ { \xi } ) ^ { 2 } ) e ^ { 2 \gamma \Delta Y ) } \right) \partial _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
Z _ { k } ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } , \lambda _ { 2 } ^ { 2 } , q ^ { 2 } ; \lambda ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d z z ^ { k } l n \left( \frac { q ^ { 2 } z ( 1 - z ) + ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } ) z - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } { ( - \lambda ^ { 2 } ) } \right) .
\begin{array} { r } { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( n \overline { L } ) \leq \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( n \overline { L } + \overline { A } ) - ( d + 1 ) \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( n \overline { L } + \overline { A } ) ( \mathrm { v o l } ( n L + A ) - \mathrm { v o l } ( n L ) ) } \\ { = \widehat c _ { 1 } ( n \overline { L } + \overline { A } ) ^ { d + 1 } - ( d + 1 ) \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( n \overline { L } + \overline { A } ) ( \mathrm { v o l } ( n L + A ) - \mathrm { v o l } ( n L ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { \pm } } & { { } = \pm \frac { i \mu ( { \bf { a } } \times { \bf { c } } ) \cdot \hat { \bf { k } } } { 4 \omega } + \omega ( S _ { + } + i S _ { - } ) \; , } \\ { \tilde { k } _ { \pm } } & { { } = \pm \frac { i \mu ( { \bf { a } } \times { \bf { c } } ) \cdot \hat { \bf { k } } } { 4 \omega } - \omega ( S _ { + } + i S _ { - } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { \mathrm { L } } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } - i \hat { a } _ { \mathrm { V } } \right) } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { R } } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } + i \hat { a } _ { \mathrm { V } } \right) , } \end{array}
| \psi ( x ) \rangle = \left\{ \begin{array} { l r } { | i _ { x } \rangle } & { \mathrm { ~ b ~ a ~ s ~ i ~ s ~ \ e ~ n ~ c ~ o ~ d ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { \sum _ { i } ^ { n } x _ { i } | i \rangle } & { \mathrm { ~ a ~ m ~ p ~ l ~ i ~ t ~ u ~ d ~ e ~ \ e ~ n ~ c ~ o ~ d ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { \otimes _ { i } ^ { n } R ( x _ { i } ) | 0 ^ { n } \rangle } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ g ~ l ~ e ~ \ e ~ n ~ c ~ o ~ d ~ i ~ n ~ g ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { d s _ { n } } { d t } } & { { } = } & { - \beta s _ { n } \sum _ { m } P _ { n m } \frac { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } i _ { k } } { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } } . } \\ { \frac { d i _ { n } } { d t } } & { { } = } & { + \beta s _ { n } \sum _ { m } P _ { n m } \frac { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } i _ { k } } { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } } - \gamma i _ { n } } \\ { \frac { d r _ { n } } { d t } } & { { } = } & { + \gamma i _ { n } . } \end{array}
\hat { \mathbf { G } } _ { x x } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) \approx \frac { 1 } { 8 { \pi } ^ { 2 } } ( \frac { \omega } { c } ) P V \int _ { 1 } ^ { \infty } T _ { - } ^ { p } ( \kappa ) I _ { - } ( \kappa ) d { \kappa } ,
\begin{array} { r l } & { \left\langle \frac { \partial } { \partial \delta } ( \mathcal { B } _ { 1 } - \mathcal { D } _ { 1 } ) \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \left\langle \pi _ { 1 } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \left\langle \sum _ { j , l \in V } e _ { 1 j } ^ { [ R ] } e _ { j l } ^ { [ R ] } \pi _ { l } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { ~ \pi ^ { ( 0 , 0 ) } - \pi ^ { ( 0 , 2 ) } > 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { d } ^ { \mathrm { X } } f ^ { \mathrm { X } } ( q ) } & { = \mu ^ { \mathrm { X } } \left( q \right) \cdot \nabla f ^ { \mathrm { X } } \left( q \right) d s + \frac { 1 } { 2 } T r \left[ \Sigma ^ { \mathrm { X } } \left( q \right) \mathrm { H e s s } \, f ^ { \mathrm { X } } \left( q \right) \right] \, , } \\ { \mathcal { L } _ { d } ^ { \mathrm { X } } f ^ { \mathrm { Y } } ( q ) } & { = \mu ^ { \mathrm { Y } } \left( q \right) \cdot \nabla f ^ { \mathrm { Y } } \left( q \right) d s + \frac { 1 } { 2 } T r \left[ \Sigma ^ { \mathrm { Y } } \left( q \right) \mathrm { H e s s } \, f ^ { \mathrm { Y } } \left( q \right) \right] \, . } \end{array}
\Phi _ { 1 } ( x ) = \frac { 1 } { 4 } \Phi ( x ) + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i } \Big [ U _ { i } ( x ) \Phi ( x + i ) + U _ { i } ^ { \dagger } ( x - i ) \Phi ( x - i ) \Big ] \, .
\begin{array} { r } { \frac { \partial P _ { \perp } } { \partial t } = P _ { \perp } \bigg ( i \Delta \omega - \frac { 1 } { T _ { 2 } } \bigg ) + i \gamma h ( \omega t ) e ^ { - i \omega t } e ^ { - t / T _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { d } } } \frac { 1 } { r } ( n \mathrm { ~ d } v ) \right] } & { { } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } n \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { d } } } \frac { 1 } { r } 4 \pi r ^ { 2 } \mathrm { ~ d } r \right] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } ( \tau ) } & { = } & { - \sum _ { j , \sigma } \left[ t + ( - 1 ) ^ { j } \delta ( \tau ) \right] \left( \hat { c } _ { j \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 \sigma } + \mathrm { h . c . } \right) } \\ & { } & { + \, \Delta ( \tau ) \sum _ { j , \sigma } ( - 1 ) ^ { j } \hat { c } _ { j \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma } + U \sum _ { j } \hat { c } _ { j \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \uparrow } \hat { c } _ { j \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \downarrow } ~ } \\ & { } & { + \, \sum _ { j , \sigma } V _ { j } \hat { c } _ { j \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla F ( x ) - \nabla _ { x } \mathcal { L } _ { \lambda } ( x , y ) + \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) ^ { \top } \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } \mathcal { L } _ { \lambda } ( x , y ) \| } \\ & { \qquad \le 2 ( l _ { g , 1 } / \mu _ { g } ) \| y - y ^ { * } ( x ) \| \left( l _ { f , 1 } + \lambda \cdot \operatorname* { m i n } ( 2 l _ { g , 1 } , l _ { g , 2 } \| y - y ^ { * } ( x ) \| ) \right) . } \end{array}
\langle \bar { q } q \rangle = - ( 2 5 0 - 2 7 0 \mathrm { ~ M e V } ) ^ { 3 } , \quad m _ { 0 } ^ { 2 } = 0 . 7 5 - 0 . 8 5 \mathrm { ~ G e V } ^ { 2 } , \quad \langle \frac { \alpha _ { s } } { \pi } G ^ { 2 } \rangle = ( 1 . 5 - 2 ) \cdot 1 0 ^ { - 2 } \mathrm { ~ G e V } ^ { 4 } ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { z } ^ { \operatorname { T } } M \mathbf { z } = \left( \mathbf { z } ^ { \operatorname { T } } M \right) \mathbf { z } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { ( 2 a - b ) } & { ( - a + 2 b - c ) } & { ( - b + 2 c ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \\ { c } \end{array} \right] } } \\ & { = ( 2 a - b ) a + ( - a + 2 b - c ) b + ( - b + 2 c ) c } \\ & { = 2 a ^ { 2 } - b a - a b + 2 b ^ { 2 } - c b - b c + 2 c ^ { 2 } } \\ & { = 2 a ^ { 2 } - 2 a b + 2 b ^ { 2 } - 2 b c + 2 c ^ { 2 } } \\ & { = a ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 b c + c ^ { 2 } + c ^ { 2 } } \\ & { = a ^ { 2 } + ( a - b ) ^ { 2 } + ( b - c ) ^ { 2 } + c ^ { 2 } } \end{array} }
\frac { d } { d t } \left( m \, \boldsymbol { v } \right) = \boldsymbol { F _ { a } } + b \, \boldsymbol { \xi } ( t ) + \boldsymbol { F _ { o } } - 2 \, m \, \Omega \, \boldsymbol { k } \times \boldsymbol { v } - \mathcal { F } \, \boldsymbol { S } ( \boldsymbol { v } - \boldsymbol { \left< v \right> } ) .
T _ { ~ \mu } ^ { \mu } = - \frac { T _ { 3 } V ( T ) } { \sqrt { - X } } \left[ ( 4 + 3 \partial _ { \rho } T \partial ^ { \rho } T ) + \left( ( 1 + \frac 1 2 \partial _ { \rho } T \partial ^ { \rho } T ) \delta _ { ~ \sigma } ^ { \mu } - \partial ^ { \mu } T \partial _ { \sigma } T \right) F _ { \mu \nu } F ^ { \sigma \nu } \right] .
P _ { g . s . } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \frac { N } { 2 } } p _ { \alpha } = N \int _ { - \infty } ^ { \infty } p ( \lambda ) \rho ( \lambda ) d \lambda = - \frac { N } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \lambda \frac { \pi } { \cosh \pi \lambda } = \frac { N } { 2 } \pi \quad ( \mathrm { m o d } \quad 2 \pi ) \quad .
\begin{array} { r l r } { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } } } ( { \bf x } , \omega ) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { i \omega \rho } \\ { i \omega \kappa - \frac { 1 } { i \omega } \partial _ { \alpha } \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \alpha } } & { 0 } \end{array} \right) ( { \bf x } , \omega ) , } \end{array}
( \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) = \underline { { \widetilde { \pi } } } ^ { * } ( \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) + ( \Theta _ { \mathtt { C P } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , 0 ) .
\begin{array} { r l } { \langle R x , R y \rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \big ( \| R ( x + y ) \| ^ { 2 } - \| R x \| ^ { 2 } - \| R y \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \big ( ( 1 + \alpha _ { 1 } ) \| x + y \| ^ { 2 } - ( 1 + \alpha _ { 2 } ) \| x \| ^ { 2 } - ( 1 + \alpha _ { 3 } ) \| y \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( 2 \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } ) + \alpha _ { 1 } \langle x , y \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \prime } ( \tau ) = } & { { } \nu \Delta \theta ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) - \nu \Delta \theta ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) - \partial _ { t } \Omega ( \tau , \xi ) + ( \widetilde u \cdot \nabla ) \theta ( \tau , \tilde { y } _ { 0 } ) - ( \widetilde u \cdot \nabla ) \theta ( \tau , \tilde { x } _ { 0 } ) } \end{array}
P _ { D } = a _ { 1 } \left[ \frac { ( 1 + 3 \epsilon ^ { 2 } ) ( 1 + 4 \epsilon ^ { 2 } ) ( 1 + 5 \epsilon ^ { 2 } ) } { ( 1 + \epsilon ^ { 2 } ) ( 1 + 2 \epsilon ^ { 2 } ) } \cdot { N _ { c } } ^ { - 1 } { L W C } ^ { 3 } \right] \beta ,
\begin{array} { r } { { \bf Y } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { { \bf J } _ { 1 1 } { { \bar { \bf F } } } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } & { { \bf F } _ { 1 } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { { \bf J } _ { 2 2 } { { \bar { \bf F } } } _ { 2 } ^ { * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } & { { \bf F } _ { 2 } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \tilde { B } _ { c r } = \left| { \frac { 1 } { 2 \mu } } \Big ( { \frac { \Delta m _ { \nu } ^ { 2 } A } { 2 E } } - \sqrt { 2 } G _ { F } n _ { e f f } + { \dot { \psi } } ) \right| . } } \end{array}