harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \| \delta _ { \mathit { A } . \mathit { B } } \| _ { \infty } } & { \leq } & { C \sigma ^ { - 1 } \| Y \| \{ R ( X _ { \mathit { A } } , X _ { B } ) + R ( Y , X _ { \mathit { B } } ) \} , } \\ { \| \delta _ { \mathit { B } . \mathit { A } } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } } & { \leq } & { \sigma ^ { - 1 } \| Y \| \{ R ( X _ { \mathit { A } } , X _ { B } ) + R ( Y , X _ { \mathit { B } } ) \} } \\ { \| \delta _ { \mathit { B } . \mathit { A } } ^ { ( 2 ) } \| _ { \infty } } & { \leq } & { C \sigma ^ { - 1 } \| ( I - P _ { \mathit { A } } ) Y \| _ { 2 } R ( X _ { \mathit { A } } , X _ { \mathit { B } } ) \} . } \end{array}
\delta g ^ { L , R } ( a ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \sum _ { i , j } g _ { H _ { i } ^ { + } \bar { t } b } ^ { L , R } g _ { H _ { j } ^ { + } \bar { t } b } ^ { L , R } g _ { Z H _ { i } ^ { + } H _ { j } ^ { - } } \times 2 C _ { 2 4 } ( m _ { b } ^ { 2 } , M _ { Z } ^ { 2 } , m _ { b } ^ { 2 } ; m _ { t } ^ { 2 } , M _ { i } ^ { 2 } , M _ { j } ^ { 2 } )
V _ { T } ^ { D i r a c } ( r ) = - { \frac { G _ { F } ^ { 2 } m ^ { 4 } g _ { V } g _ { V } ^ { \prime } } { \pi ^ { 3 } r } } \cosh { ( \mu / T ) } \left[ { \frac { K _ { 1 } ( \rho ) } { \rho } } + { \frac { 4 K _ { 2 } ( \rho ) } { \rho ^ { 2 } } } \right]
{ \cal { F } } _ { \alpha \mu \nu } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = \frac { f _ { \pi } } { p ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } p _ { \alpha } { \epsilon } _ { { \mu } { \nu } { q _ { 1 } } { q _ { 2 } } } F _ { \gamma ^ { * } \gamma ^ { * } \to \pi ^ { o } } \left( q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \ldots
\begin{array} { r l r } { \phi _ { i , j } } & { { } = } & { \frac { 1 } { W _ { 0 } } \left( W _ { i + 1 , j } \phi _ { i + 1 , j } + W _ { i - 1 , j } \phi _ { i - 1 , j } + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Re \int _ { \Omega } ( - \Delta ) ^ { s } \Bar { \psi } ( - \Delta ) ^ { s } ( B \psi ) } & { = \Re \left\langle ( - \Delta ) ^ { s } \psi , ( - \Delta ) ^ { s } ( B \psi ) \right\rangle } \\ & { = \Re \left\langle ( - \Delta ) ^ { s + \frac { 1 } { 2 } } \psi , ( - \Delta ) ^ { s - \frac { 1 } { 2 } } ( B \psi ) \right\rangle } \\ & { = \Re \left\langle ( - \Delta ) ^ { s - \frac { 1 } { 2 } } ( - \Delta ) \psi , ( - \Delta ) ^ { s - \frac { 1 } { 2 } } ( B \psi ) \right\rangle } \end{array}
x = x _ { 0 } \, e _ { 0 } + x _ { 1 } \, e _ { 1 } + x _ { 2 } \, e _ { 2 } + x _ { 3 } \, e _ { 3 } + x _ { 4 } \, e _ { 4 } + x _ { 5 } \, e _ { 5 } + x _ { 6 } \, e _ { 6 } + x _ { 7 } \, e _ { 7 }
\textbf { T } _ { i } ^ { h } = \sum _ { c \in \overline { { T } } _ { h } } \left[ \textbf { r } ( c ) \times ( - \nabla p + \eta _ { S } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } ) ( c ) \right] \cdot V ( c ) \qquad \qquad \textbf { T } _ { i } ^ { m e } = \sum _ { c \in \overline { { T } } _ { h } } ( \mu _ { 0 } \chi _ { e } \textbf { H } \times \textbf { H } ) ( c ) \cdot V ( c )
\begin{array} { r } { \tilde { \kappa } ( \tilde { s } ) = \frac { K } { 6 \tilde { d } E _ { v } } \left( \left[ E _ { v } ( - 6 ( \tilde { s } - 1 ) \tilde { s } - 1 ) + 1 2 \right] + \left( E _ { v } - 1 2 \right) \cos \left( \sqrt { E _ { v } } \tilde { s } \right) + ( E _ { v } - 1 2 ) \tan ( \sqrt { E _ { v } } / 2 ) \sin \left( \sqrt { E _ { v } } \tilde { s } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { v _ { I } } _ { t } ( x , w ) } & { { } = \left( \Omega ^ { 2 } \mathcal { I } _ { x } ^ { 2 } ( x , w ) + \left( \Omega \left( \sin { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { y } ( x , w ) + \cos { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { z } ( x , w ) \right) \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \langle x , y \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } } & { = \int _ { a } ^ { b } y ^ { \top } ( z ) \mathcal { Q } _ { 0 } ( z ) x ( z ) \, d z } \\ & { = \int _ { a } ^ { 0 } y ^ { - , \top } ( z ) \mathcal { Q } ^ { - } ( z ) x ^ { - } ( z ) \, d z + \int _ { 0 } ^ { b } y ^ { + , \top } ( z ) \mathcal { Q } ^ { + } ( z ) x ^ { + } ( z ) \, d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { D B R B D } ( x , v ) = \frac { \lambda _ { r } } { 8 \sigma ^ { 4 } } ( x ^ { 2 } + 2 v x ( - v x ) _ { + } ) , } \\ & { h _ { B D R D B } ( x , v ) = \frac { 1 } { 8 \sigma ^ { 6 } } \left( - \lambda _ { r } \sigma ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + 2 v x ( - v x ) _ { + } ) + 2 ( - v x ) _ { + } ( x ^ { 2 } - 2 \sigma ^ { 2 } ) \right) , } \\ & { h _ { D R B R D } ( x , v ) = \frac { 1 } { 8 \sigma ^ { 4 } } \lambda _ { r } \left( x ^ { 2 } + v x ( 3 ( - v x ) _ { + } + ( v x ) _ { + } ) + \lambda _ { r } v x \sigma ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\sigma _ { s } ^ { 2 } \sigma _ { s } ^ { * 2 } { } \, ^ { 1 } ( \overline { { \sigma _ { p } } } \sigma _ { p } ^ { * } ) \left( ^ 1 ( \pi _ { x } \overline { { \pi _ { x } ^ { * } } } ) + { } ^ { 1 } ( \pi _ { y } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) \right)
{ \frac { 1 } { g _ { 1 } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } } - { \frac { 1 } { g _ { 2 } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } } \simeq \mathrm { b d . ~ t e r m s } + { \frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } } } \ln \left( { \frac { \sqrt { q ^ { 2 } } } { k } } \right) .
~ \mathbf { E } ^ { i n c } ( x , y ) = ~ \mathbf { E } ^ { i n c } ( \alpha _ { 0 } , \beta _ { 0 } ) ~ e ^ { j ( \alpha _ { 0 } x + \beta _ { 0 } y ) } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 3 . 4 )
{ \cal L } = \overline { { { \Psi } } } ( i \gamma \cdot \partial + \mu \gamma ^ { 0 } ) \Psi + \frac { 2 } { 3 } g { \sum _ { a , b } } ^ { \prime } ( \overline { { { \Psi } } } \gamma ^ { 5 } C \lambda ^ { a } \Lambda ^ { b } \overline { { { \Psi } } } ^ { t } ) ( \Psi ^ { t } C ^ { - 1 } \gamma ^ { 5 } \lambda ^ { a } \Lambda ^ { b } \Psi ) ,
\frac { \partial u ( r , t ) } { \partial r } = - \frac { 2 u ( r , t ) } { r } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { M , i } ( r , t , { \bf f } , { \bf S } , { \bf M } ) , \ 0 < r \leq R ( t ) , \ t > 0 .
L \frac { \textrm { d } ^ { 2 } i _ { C } ( t ) } { \textrm { d } t ^ { 2 } } + \left[ R _ { m } ^ { o } \left( 1 + \lambda _ { R _ { m } } \varepsilon ( t ) \right) + R _ { c t } \right] \frac { \textrm { d } i _ { C } ( t ) } { \textrm { d } t } + \left[ R _ { m } ^ { o } \lambda _ { R _ { m } } \frac { \textrm { d } \varepsilon ( t ) } { \textrm { d } t } + \left[ C _ { m } ^ { o } \left( 1 + \lambda _ { C _ { m } } \varepsilon ( t ) \right) \right] ^ { - 1 } \right] i _ { C } ( t ) = I ( t ) ,
\begin{array} { r l r } { \delta ( x \otimes s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \otimes y ) } & { = } & { d x \otimes s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \otimes y } \\ & { } & { \pm x _ { i } \otimes s ^ { - 1 } a ^ { i } \vert s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \otimes y } \\ & { } & { \pm x \otimes d _ { \Omega } \Big ( s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \Big ) \otimes y } \\ & { } & { \pm x \otimes s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \otimes d y } \\ & { } & { x \otimes s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \vert s ^ { - 1 } b ^ { j } \otimes y _ { j } , } \end{array}
\left( \frac { \Delta m _ { b } } { m _ { b } } \right) _ { Q C D } = \frac { 4 \alpha _ { 3 } ( m _ { b } ) } { 3 \pi } + 1 2 . 4 \left( \frac { \alpha _ { 3 } ( m _ { b } ) } { \pi } \right) ^ { 2 } \, ,
2 \left\{ 3 \mathrm { C l } _ { 2 } ( \theta _ { 7 } ) - 3 \mathrm { C l } _ { 2 } ( 2 \theta _ { 7 } ) + \mathrm { C l } _ { 2 } ( 3 \theta _ { 7 } ) \right\} = Z _ { 7 } = 7 \left\{ \mathrm { C l } _ { 2 } \left( \frac { 2 \pi } { 7 } \right) + \mathrm { C l } _ { 2 } \left( \frac { 4 \pi } { 7 } \right) - \mathrm { C l } _ { 2 } \left( \frac { 6 \pi } { 7 } \right) \right\}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l l l } { - V _ { L } ^ { l } U _ { \mathrm { o u t } } ^ { l } } & { V _ { \mathrm { L S } } ^ { l } } & { 0 } \\ { ( V _ { \mathrm { L S } } ^ { l } ) ^ { \dagger } U _ { \mathrm { o u t } } ^ { l } ( \Lambda _ { \mathrm { o u t } } ^ { l } ) ^ { - 1 } } & { H _ { S } - \omega } & { V _ { \mathrm { L S } } ^ { r } U _ { \mathrm { o u t } } ^ { r } \Lambda _ { \mathrm { o u t } } ^ { r } } \\ { 0 } & { ( V _ { \mathrm { L S } } ^ { r } ) ^ { \dagger } } & { - ( V _ { L } ^ { r } ) ^ { \dagger } U _ { \mathrm { o u t } } ^ { r } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { r } \\ { \psi _ { S } } \\ { t } \end{array} \right) } \\ { = } & { \left( \begin{array} { l } { V _ { L } ^ { l } U _ { \mathrm { i n } } ^ { l } } \\ { - ( V _ { \mathrm { L S } } ^ { l } ) ^ { \dagger } U _ { \mathrm { i n } } ^ { l } ( \Lambda _ { \mathrm { i n } } ^ { l } ) ^ { - 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i k } } & { { } = \frac { \sum _ { e \in E : i \in e } A _ { e } \uprho _ { i k } ^ { ( e ) } } { C \sum _ { q } w _ { k q } \sum _ { j \neq i \in V } u _ { j q } } \quad , } \\ { w _ { k q } } & { { } = \frac { \sum _ { e \in E } A _ { e } \uprho _ { k q } ^ { ( e ) } } { C \sum _ { i < j \in V } u _ { i k } u _ { j q } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R ( \beta _ { J } ) - R ( \beta _ { J , \epsilon _ { J } } ^ { u s d } ) } & { \approx } & { \epsilon _ { J } \frac { d } { d \epsilon _ { 0 } } R ( \beta _ { J , \epsilon _ { 0 } } ^ { u s d } ) } \\ & { = } & { \epsilon _ { J } \langle D _ { \beta _ { J } } ^ { * } , D _ { \beta _ { J } } ^ { * } \rangle _ { J } , } \end{array}
S = \sum _ { k } S _ { k } = { \frac { \cal A } { 4 8 \pi } } \left( \sum _ { k } c _ { k } m _ { k } ^ { 2 } \ln m _ { k } ^ { 2 } - \ln \Lambda \sum _ { k } c _ { k } m _ { k } ^ { 2 } + \Lambda ( 1 - \ln \epsilon ^ { 2 } \Lambda ) \sum _ { k } c _ { k } \right) = S ^ { B H } ~ .
0 = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } ( p _ { n + 1 } - p _ { n } ) = - \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \frac { \psi ( p _ { n } ) } { \psi ^ { \prime } ( p _ { n } ) } = - \frac { \psi ( p ^ { * } ) } { \psi ^ { \prime } ( p ^ { * } ) } ,
\begin{array} { r l } { \delta \Sigma ( k ) = } & { \pm \int \frac { d ^ { 3 } \mathbf { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \mathrm { f } _ { \downarrow } ( \xi _ { \mathbf { p } \downarrow } ) \int \frac { d ^ { 3 } \mathbf { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \mathrm { f } _ { \uparrow } ( \xi _ { \mathbf { q } \uparrow } ) \mathcal { T } _ { 0 } ^ { 2 } ( \mathbf { k } + \mathbf { q } , \omega + \xi _ { \mathbf { q } \uparrow } ) - \mathrm { f } _ { \uparrow } ( \xi _ { \mathbf { k } + \mathbf { q } - \mathbf { p } \uparrow } ) | \mathcal { T } _ { 0 } ( \mathbf { k } + \mathbf { q } , \omega + \xi _ { \mathbf { p } \uparrow } + \xi _ { \mathbf { k } + \mathbf { q } - \mathbf { p } \downarrow } ) | ^ { 2 } } { \omega + i 0 _ { + } - \xi _ { \mathbf { p } \downarrow } + \xi _ { \mathbf { q } \uparrow } - \xi _ { \mathbf { k } + \mathbf { q } - \mathbf { p } \uparrow } } } \\ & { \mp \int \frac { d ^ { 3 } \mathbf { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \mathrm { f } _ { \mathrm { m } } ( \omega _ { \mathbf { k } + \mathbf { q } \mathrm { m } } ) \mathrm { Z } _ { \mathrm { m } \mathbf { k } + \mathbf { q } } } { \omega + i 0 _ { + } - \omega _ { \mathbf { k } + \mathbf { q } \mathrm { m } } + \xi _ { \mathbf { q } \uparrow } } . } \end{array}
A _ { e \mu } ^ { 1 2 } = 4 \, s _ { 1 2 } ^ { 2 } \, c _ { 1 2 } ^ { 2 } \, c _ { 1 3 } ^ { 2 } \, ( c _ { 2 3 } ^ { 2 } - s _ { 1 3 } ^ { 2 } \, s _ { 2 3 } ^ { 2 } ) + ( c _ { 1 2 } ^ { 2 } - s _ { 1 2 } ^ { 2 } ) \, s _ { 1 3 } \, s _ { 2 3 } \, c _ { 2 3 } \, \cos \delta
\mathcal { M } _ { \mathrm { { F } } } = \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \langle l ^ { \prime } m _ { l } ^ { \prime } | \frac { \widehat { x } + \mathrm { i } \widehat { y } } { \sqrt { 2 } } Y _ { 1 , 1 } + \frac { \widehat { x } - \mathrm { i } \widehat { y } } { \sqrt { 2 } } Y _ { 1 , - 1 } | l m _ { l } \rangle .
\begin{array} { r l } { \lVert v _ { n + 1 } - v ^ { * } \rVert _ { \infty } = } & { \lVert v _ { n + 1 } - \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v ^ { * } \rVert _ { \infty } } \\ { = } & { \lVert v _ { n + 1 } - \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v _ { n } + \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v _ { n } - \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v ^ { * } \rVert _ { \infty } } \\ { \leq } & { \lVert v _ { n + 1 } - \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v _ { n } \rVert _ { \infty } + \lVert \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v _ { n } - \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v ^ { * } \rVert _ { \infty } } \\ { \leq } & { \lVert v _ { n + 1 } - \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v _ { n } \rVert _ { \infty } + \gamma \lVert v _ { n } - v ^ { * } \rVert _ { \infty } , \qquad \mathrm { ( c o n t r a c t i o n ) } } \\ { \leq } & { \epsilon + \gamma \lVert v _ { n } - v ^ { * } \rVert _ { \infty } , \qquad \mathrm { ( a p p r o x i m a t e ~ v a l u e ~ i t e r a t i o n ) } } \\ { \implies \lVert v _ { n } - v ^ { * } \rVert _ { \infty } = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \gamma ^ { k } \epsilon + \gamma ^ { n } \lVert v _ { 0 } - v ^ { * } \rVert _ { \infty } , \qquad \mathrm { ( u n r o l l i n g ~ a b o v e ~ r e c u r s i o n ) } } \\ { = } & { \frac { 1 - \gamma ^ { n } } { 1 - \gamma } \epsilon + \gamma ^ { n } \lVert v _ { 0 } - v ^ { * } \rVert _ { \infty } } \\ { = } & { \gamma ^ { n } [ \frac { 1 } { 1 - \gamma } \epsilon + \lVert v _ { 0 } - v ^ { * } \rVert _ { \infty } ] + \frac { \epsilon } { 1 - \gamma } } \end{array}
{ \frac { M _ { \sigma } ^ { 2 } } { M _ { \pi } ^ { 2 } } } = 1 - { \frac { 8 N } { m } } { \frac { \displaystyle { \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } ( - ) ^ { n } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { \left( m + { \bar { \Sigma } } _ { s } \right) ^ { 2 } ~ { \bar { \Sigma } } _ { s } ^ { 2 } } { \left[ { \bar { k } } ^ { 2 } + \left( m + { \bar { \Sigma } } _ { s } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } } } ~ e ^ { \displaystyle { i n { \frac { k _ { 0 } } { T } } } } } { \langle { \bar { \psi } } \psi \rangle _ { T , \mu } - 4 N \displaystyle { \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } ( - ) ^ { n } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \left[ { \frac { { \bar { \Sigma } } _ { s } } { { \bar { k } } ^ { 2 } + \left( m + { \bar { \Sigma } } _ { s } \right) ^ { 2 } } } - { \frac { \bar { s } } { s _ { 0 } } } { \frac { \Sigma _ { 0 } } { { \bar { k } } ^ { 2 } + \Sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } \right] } ~ e ^ { \displaystyle { i n { \frac { k _ { 0 } } { T } } } } } }
\begin{array} { r l } & { ( 1 - \lambda ) \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( x ) \right) \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ ( 1 - \lambda ) \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( y ) \right) \left( r ^ { * } I - \lambda \exp ( \theta T ( y ) ) \right) ^ { - 1 } \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( y ) \right) \mathbf { v } \right] } \\ { = \, } & { ( 1 - \lambda ) \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( x ) \right) \mathcal { F } ( r ^ { * } ) \mathbf { v } } \\ { = \, } & { ( 1 - \lambda ) \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( x ) \right) \mathbf { v } } \\ { = \, } & { ( 1 - \lambda ) ( r ^ { * } I - \lambda \exp ( \theta T ( x ) ) ) ( r ^ { * } I - \lambda \exp ( \theta T ( x ) ) ) ^ { - 1 } \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( x ) \right) \mathbf { v } } \\ { = \, } & { r ^ { * } ( 1 - \lambda ) ( r ^ { * } I - \lambda \exp ( \theta T ( x ) ) ) ^ { - 1 } \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( x ) \right) \mathbf { v } } \\ & { \quad - \lambda ( 1 - \lambda ) \exp ( \theta T ( x ) ) ( r ^ { * } I - \lambda \exp ( \theta T ( x ) ) ) ^ { - 1 } \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( x ) \right) \mathbf { v } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { + } ^ { R } - T _ { - } ^ { R } + i T _ { + } ^ { I } - i T _ { - } ^ { I } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } x _ { j } ( S _ { j , + } ^ { R } - S _ { j , - } ^ { R } + i S _ { j , + } ^ { I } - i S _ { j , - } ^ { I } ) } \\ & { \quad + i \sum _ { j = 1 } ^ { n } y _ { j } ( S _ { j , + } ^ { R } - S _ { j , - } ^ { R } + i S _ { j , + } ^ { I } - i S _ { j , - } ^ { I } ) . } \end{array}
\mathbb E \left[ x _ { t + 1 } ^ { i } \right] = \frac { N _ { t + 1 } } { N _ { t } } \frac { f _ { i } } { \bar { f } _ { t } } x _ { t } ^ { i } = \frac { N _ { t + 1 } } { N _ { t } } f _ { i } ^ { \prime } x _ { t } ^ { i } ,
2 \left( \vec { F } \cdot \vec { E } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) = \vec { F } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } + ( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } ) ^ { T } \right) \cdot \vec { F } ^ { T } = \frac { \partial \vec { F } } { \partial t } \cdot \vec { F } ^ { T } + \vec { F } \cdot \frac { \partial \vec { F } ^ { T } } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) ,
\bar { n } _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) = n _ { \mathrm { ~ x ~ } } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } \right) + \bar { n } _ { \mathrm { c } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 1 } = { \varphi } _ { 1 } \left( u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } , \Delta u _ { 1 } , \nabla u _ { 1 } , \cdots , \nabla u _ { n } \right) + \psi _ { 1 } ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } ) } , } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 2 } = { \varphi } _ { 2 } \left( u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } , \Delta u _ { 2 } , \nabla u _ { 1 } , \cdots , \nabla u _ { n } \right) + \psi _ { 2 } ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } ) } , } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 3 } = { \varphi } _ { 3 } \left( u _ { 3 } , \Delta u _ { 3 } , \nabla u _ { 3 } \right) + \psi _ { 3 } ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } ) } , } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 4 } = { \varphi } _ { 4 } \left( u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } , \Delta u _ { 4 } , \nabla u _ { 1 } , \cdots , \nabla u _ { n } \right) + \psi _ { 4 } ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } ) } , } \\ { \displaystyle { \ldots , } } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { n } = { \varphi } _ { n } \left( u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } , \Delta u _ { n } , \nabla u _ { 1 } , \cdots , \nabla u _ { n } \right) + \psi _ { n } ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } ) } , } \end{array} \right.
\int _ { 0 } ^ { x } { \frac { t - z } { \sqrt { z } } } \left\lbrace 1 - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \mu } { ( t - z ) ^ { 2 } } } + \mathrm { O } \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { ( t - z ) ^ { 4 } } } \right) \right\rbrace \, d z \, .
\| \frac { 1 } { r } A _ { \theta } [ \epsilon ] Q \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim ( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \langle r \rangle ^ { 1 / 2 } } | \epsilon | ^ { 2 } d r ) \cdot \| \langle r \rangle ^ { 1 / 2 } Q \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim \| \epsilon \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } ^ { 3 / 2 } \lesssim _ { M } \| \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } ^ { 3 / 2 } .
\begin{array} { r l } { H ^ { l a t } \left( M , N _ { r } \right) = } & { - \frac { b _ { l a t } ^ { 2 } } { 2 } \log \left( 1 + \frac { N _ { r } } { M } \right) + a _ { l a t } b _ { l a t } \bigg \{ \left( M + N _ { r } \right) ^ { 2 } \log \left( 1 + \frac { N _ { r } } { M } \right) - } \\ & { - N _ { r } \left( M + \frac { N _ { r } } { 2 } \right) \bigg \} + \frac { a _ { l a t } ^ { 2 } } { 8 } \bigg \{ \left( M + N _ { r } \right) ^ { 4 } - M ^ { 4 } \bigg \} . } \end{array}
\frac { \partial s ( l ; x ) } { \partial l } = 1 - e ^ { - \int _ { 0 } ^ { \infty } d x ^ { \prime } s ( x ^ { \prime } ) n ( x ^ { \prime } ) / x ^ { \prime } } - \frac { s ( x ) } { \tau } , \frac { \partial \Phi ( l ) } { \partial l } = - \nu _ { 0 } \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { \infty } d x ^ { \prime } s ( x ^ { \prime } ) n ( x ^ { \prime } ) / x ^ { \prime } } - 1 \right)
\begin{array} { r l r } { \tau _ { 1 } } & { = } & { \frac { \eta } { \lambda } , } \\ { \tau _ { \pm } } & { = } & { \frac { \alpha \pm \sqrt { \beta } } { 6 \lambda \chi } , } \\ { \alpha } & { = } & { \kappa ^ { 2 } \delta \chi \lambda + \chi ( 4 \eta + \lambda - \chi ) + ( \lambda + \chi ) \chi _ { \perp } , } \\ { \beta } & { = } & { \kappa ^ { 4 } \delta \chi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } - 2 \kappa ^ { 2 } \lambda \chi \delta \chi ( - 4 \eta + \lambda + \chi ) + 2 ( \lambda + \chi ) \chi _ { \perp } \left[ \kappa ^ { 2 } \delta \chi \lambda + \chi ( 4 \eta + \lambda - \chi ) \right] } \\ & { } & { + \chi \left[ 1 6 \eta ^ { 2 } \chi + 8 \eta \left( 2 \lambda ^ { 2 } + \lambda \chi - \chi ^ { 2 } \right) + \chi \left( - 3 \lambda ^ { 2 } - 2 \lambda \chi + \chi ^ { 2 } \right) \right] + ( \lambda + \chi ) ^ { 2 } \chi _ { \perp } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot ( \mathbf { f } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { f } ^ { \ell } ) + \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } \cdot ( \mathbf { f } ^ { \ell + 1 } - \mathbf { f } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } ) } & { } & \\ { = - \mathbf { f } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \cdot \left( \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } - \mathbf { p } ^ { \ell } \right) + \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell + 1 } - \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell } } & { = } & { F ^ { \ell + 1 } - F ^ { \ell } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { \mathrm { l b } } ( { \cal D } _ { \cal A } ; { \bf q } ) = } \\ & { \operatorname* { m a x } \big \{ \! ( 1 \! \! - q _ { d _ { u _ { 1 } } } \! ) ^ { 2 } F _ { d _ { u _ { 1 } } } \! \! + \! ( 1 \! - \! q _ { d _ { u _ { 2 } } } ) ^ { 2 } F _ { d _ { u _ { 2 } } } \! + q _ { d _ { u _ { 1 } } } ( 1 \! - q _ { d _ { u _ { 1 } } } ) F _ { d _ { u _ { 1 } } } \! , } \\ & { \quad \quad \ ( 1 \! \! - \! q _ { d _ { u _ { 1 } } } ) ^ { 2 } F _ { d _ { u _ { 1 } } } \! \! + ( 1 \! - \! q _ { d _ { u _ { 2 } } } ) ^ { 2 } F _ { d _ { u 2 } } \! + q _ { d _ { u _ { 2 } } } ( 1 \! - q _ { d _ { u _ { 2 } } } ) F _ { d _ { u _ { 2 } } } \! \} } \\ & { \quad \quad \quad \quad \ \ = R _ { \mathrm { M C C S } } ( { \bf d } _ { \cal A } ; { \bf q } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { B } _ { ( n ) } - { \bf P } _ { n } { \bf P } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } } & { \leq \| ( \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } - { \bf P } _ { n } { \bf P } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \| _ { F } ^ { 1 / 2 q } } \\ & { \leq ( \| { \bf \Sigma } _ { n , 2 } ^ { 2 q } \| _ { F } + \| { \bf \Sigma } _ { n , 2 } ^ { 2 q } { \bf S } _ { n , 2 } { \bf S } _ { n , 1 } ^ { \dag } \| _ { F } ) ^ { 1 / 2 q } } \\ & { \leq ( \| { \bf \Sigma } _ { n , 2 } ^ { 2 q } \| _ { F } + \| { \bf \Sigma } _ { n , 2 } ^ { 2 q } \| _ { F } \| { \bf S } _ { n , 2 } \| _ { 2 } \| { \bf S } _ { n , 1 } ^ { \dag } \| _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 q } . } \end{array}
\widehat { \mathcal { P } } ( k ^ { 2 } \Delta t ) = \exp \left( \frac { \mathrm { i } \phi } { 2 ^ { 2 n - 3 } } \right) \prod _ { \ell = 0 } ^ { n - 1 } \exp \left( \frac { \mathrm { i } \phi } { 2 ^ { 2 n - \ell - 4 } } \widehat { Z } _ { \ell } \right) \prod _ { \substack { i , j = 0 \, i > j } } ^ { n - 1 } \exp \left( \frac { \mathrm { i } \phi } { 2 ^ { 2 n - i - j } } \widehat { Z } _ { i } \otimes \widehat { Z } _ { j } \right) .