harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d s ^ { 2 } ~ = ~ H ( r ) ^ { - 1 / 2 } \eta _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } ~ + ~ H ( r ) ^ { 1 / 2 } ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } h _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } )
\sum _ { A = 1 } ^ { N - 1 } c _ { A } \left\{ \sum _ { B = 0 } ^ { N } \left[ \bigg ( N _ { A } , i \omega N _ { B } \bigg ) + \left( N _ { A } , a \frac { \partial N _ { B } } { \partial x } \right) + \left( \frac { \partial N _ { A } } { \partial x } , \kappa \frac { \partial N _ { B } } { \partial x } \right) \right] U _ { B } \right\} = 0 ,
\frac { \partial v _ { 1 } } { \partial C } = - 2 \left( k _ { 2 } \frac { \partial \hat { A } _ { 2 } } { \partial C } + \hat { A } _ { 2 } \frac { \partial k _ { 2 } } { \partial C } \right) - \left( k _ { 3 } \frac { \partial \hat { A } _ { 1 } } { \partial C } + \hat { A } _ { 1 } \frac { \partial k _ { 3 } } { \partial C } \right) ,
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } , \mathcal { T } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( - [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] - [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } , \mathcal { T } } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] , } \\ { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } , \mathcal { T } } ^ { ( 4 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + 3 [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } , \mathcal { T } } ^ { ( 6 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + \frac { 1 } { 6 } [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i , k + 1 } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } w _ { i j } \left( x _ { j , k } - \eta _ { k } \nabla f _ { i } ( x _ { i , k } ; \xi _ { i , k } ) \right) - \tilde { d } _ { i , k } } \\ { \tilde { d } _ { i , k + 1 } } & { = \tilde { d } _ { i , k } + x _ { i , k + 1 } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } w _ { i j } x _ { i , k + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \omega _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ C ~ } } } { c } \right) ^ { 2 } = \eta _ { y y } s ^ { 2 } + \left( \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } \right) k _ { y } ^ { 2 } , } \end{array}
\delta _ { j k } = \langle l _ { j } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } w _ { j } , l _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } w _ { k } \rangle _ { D ( \mathcal { L } _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) } = \langle \mathcal { L } _ { 2 } l _ { j } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } w _ { j } , l _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } w _ { k } \rangle = \langle D ^ { 2 } ( l _ { j } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } w _ { j } ) , D ^ { 2 } ( l _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } w _ { k } ) \rangle
c _ { 1 } ( \alpha ) = \frac 1 6 \left( \left( 2 \pi \alpha ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } - 1 \right) ~ ~ , ~ ~ c _ { 2 } ( \alpha ) = { \frac { 1 } { 1 5 } } c _ { 1 } ( \alpha ) \left( \left( 2 \pi \alpha ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } + 1 1 \right) ~ ~ ~ .
\phi _ { m , k } ^ { e q } = \int _ { \mathbb { R } } \frac { \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { k ! } H _ { k } \left( \frac { \xi - \bar { u } } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) \phi _ { m } ^ { e q } d \xi \quad \mathrm { f o r ~ } \ \phi _ { m } ^ { e q } = \mathcal { E } _ { t r , m } | \xi | ^ { D - 1 } \ \mathrm { ~ o r ~ } \ L \theta \mathcal { E } _ { t r , m } | \xi | ^ { D - 1 } .
C _ { A B C } = \frac { 1 } { 2 4 \pi } \big ( A _ { [ A } ^ { i } \partial _ { B } A _ { C ] } ^ { i } + i \frac { 2 } { 3 } f ^ { i j k } A _ { [ A } ^ { i } A _ { B } ^ { j } A _ { C ] } ^ { k } \big ) .
d s ^ { 2 } = a _ { 1 } ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } \right) + \frac { 4 a _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \zeta ^ { \dag } \zeta } d { \bar { \zeta } } ^ { a } \left( \delta ^ { a b } - \frac { \zeta ^ { a } { \bar { \zeta } } ^ { b } } { 1 + \zeta ^ { \dag } \zeta } \right) d \zeta ^ { b }
\begin{array} { r l } { \Pi ( n , k ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \theta } { ( 1 - n \sin ^ { 2 } \theta ) \sqrt { 1 - k \sin ^ { 2 } \theta } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \sum _ { i , j = 0 } ^ { \infty } n ^ { i } \sin ^ { 2 i } \theta \frac { 1 } { 4 ^ { j } } \left( \begin{array} { l } { 2 j } \\ { j } \end{array} \right) k ^ { j } \sin ^ { 2 j } \theta d \theta } \end{array}
| \! | \Delta | \! | ^ { 2 } = - C \, \Delta \beta \Delta ^ { \dagger } \beta C = \frac 1 4 h ^ { 2 } \left[ m ^ { 2 } + \frac 9 4 \vec { p } ^ { 2 } \right] - \left( \vec { h } \cdot \vec { p } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { Q } & { { } = ( \tau - \tau _ { t } ) [ 1 + 7 . 6 ( \tau - \tau _ { t } ) ] V , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } } \\ { V } & { { } = 1 . 6 s ^ { 1 / 3 } . } \end{array}
\big | ( 1 - t ) \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) - t f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big | \leqslant \theta _ { 0 } + 2 \| f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \leqslant \theta _ { 0 } + 2 r < \pi .
\mathrm { \boldmath ~ \ x i ~ } _ { T } = 2 \left( \begin{array} { c } { { \mid a _ { L } a _ { R } \mid \cos ( \varphi _ { L } - \varphi _ { R } ) } } \\ { { \mid a _ { L } a _ { R } \mid \sin ( \varphi _ { L } - \varphi _ { R } ) } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) .
B _ { i } ^ { 2 } = \frac { l \left( t ^ { 1 } \right) / a _ { i } \left( t ^ { 1 } \right) } { l \left( t ^ { 2 } \right) / a _ { i } \left( t ^ { 2 } \right) } \times B _ { i , f l a t } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r l r l r l } { c _ { r } } & { = \frac { \sigma ( 6 \beta + \sigma ) } { 1 2 \beta } \; , } & { c _ { i } } & { = \frac { 1 } { 3 6 } \left( \frac { 2 ( 6 \beta - \sigma ) ( 3 \beta + \sigma ) \omega _ { * } } { \beta ^ { 2 } } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { \omega _ { * } } \right) \; , } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \delta } & { = D - \frac { \beta D \chi } { 3 \beta + \sigma } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \left( \frac { \partial \v { v } } { \partial t } + { \boldsymbol { v } } \cdot \nabla { \boldsymbol { v } } \right) } & { { } = \nabla \cdot { \boldsymbol { \sigma } } ^ { f } + \rho { \boldsymbol { f } } , } \\ { \nabla \cdot { \boldsymbol { v } } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla ^ { 2 } u ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { x } ) } & { = 0 } & { i n \quad \Omega , } \\ { \frac { \partial u ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { x } ) } { \partial \boldsymbol { n } } } & { = - \| \boldsymbol { v } _ { 0 } \| n _ { 1 } } & { i n \quad \Gamma , } \\ { \nabla u ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { x } ) } & { = 0 } & { w h e n \quad \boldsymbol { x } \rightarrow \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { r } } & { { } = - \frac { d V } { d r } = \frac { 2 p \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \theta } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r ^ { 3 } } } \\ { E _ { \theta } } & { { } = - \frac { 1 } { r } \frac { d V } { d \theta } = \frac { p \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \theta } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r ^ { 3 } } } \\ { E _ { \phi } } & { { } = \frac { 1 } { r \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \theta } \frac { d V } { d \phi } = 0 } \end{array}
\rho _ { 1 2 } ( t , \Omega ) = - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \Omega ^ { 2 } ( t ^ { \prime } ) } { 2 \Gamma } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi ( t ^ { \prime } ) } G ( t , t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime }
\overline { { \Omega } } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta ) \triangleq \omega _ { N } \mathbf { 1 } _ { 0 < \theta < \theta _ { 0 } } + \omega _ { S } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { 0 } \leqslant \theta < \pi } ,
\left( \begin{array} { l l l } { i d _ { V ( a _ { 0 } ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { i d _ { V ( a _ { 1 } ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i d _ { V ( a _ { 2 } ) } } \end{array} \right) \mathrm { , ~ } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { i d _ { V ( a _ { 0 } ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i d _ { V ( a _ { 1 } ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \mathrm { ~ o r ~ } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { i d _ { V ( a _ { 0 } ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \beta _ { r } = \frac { a _ { r } } { 4 ( a _ { r } ^ { 2 } + b ^ { 2 } \, \tilde { \omega } _ { d } ^ { 2 } \, \lvert \tau \rvert ^ { 2 } ) } , \; \beta _ { i } = - \frac { b \, \tilde { \omega } _ { d } \, \lvert \tau \rvert } { 4 ( a _ { r } ^ { 2 } + b ^ { 2 } \, \tilde { \omega } _ { d } ^ { 2 } \, \lvert \tau \rvert ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\sigma _ { s r } \left( t \right) \geqslant 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \left( - 1 \right) ^ { k } \frac { \mathrm { d } ^ { k } } { \mathrm { d } t ^ { k } } \dot { \sigma } _ { s r } \left( t \right) \leqslant 0 , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad t > 0 , \quad k \in \mathbb { N } _ { 0 } ,
\chi _ { \mathrm { K S , \vec { G } = 0 } } ^ { i } ( \mathbf { q } ) = \frac { \chi _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \mathbf { q } ) } { 1 + v ( q ) \chi _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \mathbf { q } ) } \ ,
\int d \tau e ^ { i \omega \tau } \mathcal { T } ( t , t ^ { \prime } ) = \mathrm { ~ T ~ r ~ } \Big \{ i e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \lambda ( \partial _ { T } ^ { G } \partial _ { \omega } ^ { \Phi } - \partial _ { \omega } ^ { G } \partial _ { T } ^ { \Phi } ) } \left( \tilde { G } ^ { < } \tilde { \Phi } ^ { A } + \tilde { G } ^ { R } \tilde { \Phi } ^ { < } \right) + i e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \lambda ( \partial _ { T } ^ { \Psi } \partial _ { \omega } ^ { G } - \partial _ { \omega } ^ { \Psi } \partial _ { T } ^ { G } ) } \left( \tilde { \Psi } ^ { < } \tilde { G } ^ { A } + \tilde { \Psi } ^ { R } \tilde { G } ^ { < } \right) \Big \} ,
\mathbf { a } \cdot ( \mathbf { b } \times \mathbf { c } ) = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \\ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \\ { c _ { 1 } } & { c _ { 2 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right] } = \mathrm { { d e t } } \left( \mathbf { a } , \mathbf { b } , \mathbf { c } \right) .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \operatorname* { s u p } _ { \gamma ( t ) \in \mathcal { D } } \| \widehat { \eta } _ { \gamma } ( t ) - \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } = O _ { p } \left( ( q _ { n } + 1 ) e ^ { 6 q _ { n } } \kappa _ { n } \sqrt { \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \hbar \left( \eta _ { p } \hat { a } ^ { \dagger } + \eta _ { p } ^ { * } \hat { a } \right) - \Delta _ { c } \hbar \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \hbar \Delta _ { 0 } \int d z \ \hat { \psi } _ { e } ^ { \dagger } ( z ) \hat { \psi } _ { e } ( z ) + \sum _ { \tau = g , e } \int d z \ \hat { \psi } _ { \tau } ^ { \dagger } ( z ) \left[ \frac { p ^ { 2 } } { 2 M } + V ( z ) \right] \hat { \psi } _ { \tau } ( z ) } \\ & { + \hbar \int d z \mathcal { G } _ { 0 } \sin k _ { c } z \left[ \hat { a } \hat { \psi } _ { e } ^ { \dagger } ( z ) \hat { \psi } _ { g } ( z ) + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { \psi } _ { g } ^ { \dagger } ( z ) \hat { \psi } _ { e } ( z ) \right] . } \end{array}
f _ { F } = \left( \begin{array} { c c c } { { \sum _ { i } \frac { x _ { i } } { \sqrt { 2 } } f _ { i } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \sum _ { i } \frac { x _ { i } } { \sqrt { 2 } } f _ { i } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sum _ { i } y _ { i } f _ { i } } } \end{array} \right) ,
\Gamma _ { A ^ { \mu } A ^ { \nu } } ( p , - p ) \equiv \Gamma _ { \mu \nu } ( p , - p ) = ( \eta _ { \mu \nu } - \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } ) \Gamma ^ { T } ( p ^ { 2 } ) + \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \Gamma ^ { L } ( p ^ { 2 } ) \; .
\left( \begin{array} { l l l } { { { \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } } ( { \frac { 2 5 } { 1 2 } } v ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 3 6 } } v _ { u } ^ { 2 } + v _ { d } ^ { 2 } + { \frac { 9 } { 4 } } v _ { e } ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { g _ { 1 } g _ { 2 } } { 4 } } ( - { \frac { 1 } { 2 } } v _ { u } ^ { 2 } - v _ { d } ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 2 } } v _ { e } ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { g _ { 1 } g _ { 4 } } { 8 \sqrt { 6 } } } ( 5 v ^ { 2 } - v _ { u } ^ { 2 } + 9 v _ { e } ^ { 2 } ) } } \\ { { { \frac { g _ { 1 } g _ { 2 } } { 4 } } ( - { \frac { 1 } { 2 } } v _ { u } ^ { 2 } - v _ { d } ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 2 } } v _ { e } ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } } ( 3 v _ { u } ^ { 2 } + v _ { d } ^ { 2 } + v _ { e } ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { 3 g _ { 2 } g _ { 4 } } { 4 \sqrt { 6 } } } ( v _ { u } ^ { 2 } + v _ { e } ^ { 2 } ) } } \\ { { { \frac { g _ { 1 } g _ { 4 } } { 8 \sqrt { 6 } } } ( 5 v ^ { 2 } - v _ { u } ^ { 2 } + 9 v _ { e } ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { 3 g _ { 2 } g _ { 4 } } { 4 \sqrt { 6 } } } ( v _ { u } ^ { 2 } + v _ { e } ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { g _ { 4 } ^ { 2 } } { 8 } } ( v ^ { 2 } + v _ { u } ^ { 2 } + 3 v _ { e } ^ { 2 } ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } } & { = x _ { 1 } ^ { 6 } - \frac { 1 5 } { 4 } x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } x _ { 3 } - \frac { 5 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 3 } - \frac { 5 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 3 } - \frac { 4 5 } { 4 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 1 5 } { 4 } x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 3 } - \frac { 1 5 } { 4 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 4 } + x _ { 2 } ^ { 6 } - \frac { 5 } { 2 } x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 3 } + x _ { 3 } ^ { 6 } , } \\ { u _ { 2 } } & { = x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } x _ { 3 } - 2 x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 3 } - 2 x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 3 } + 3 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 3 } + x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 4 } - 2 x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 3 } , } \\ { u _ { 3 } } & { = x _ { 1 } ^ { 1 2 } + \frac { 3 3 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 1 0 } x _ { 2 } x _ { 3 } + \frac { 5 5 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 9 } x _ { 2 } ^ { 3 } + \frac { 5 5 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 9 } x _ { 3 } ^ { 3 } + \frac { 1 4 8 5 } { 1 2 2 } x _ { 1 } ^ { 8 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 9 9 0 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 7 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 3 } + \frac { 9 9 0 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 7 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 4 } } \\ & { + \frac { 2 3 1 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 2 } ^ { 6 } + \frac { 4 6 2 0 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 3 } + \frac { 2 3 1 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 3 } ^ { 6 } + \frac { 4 1 5 8 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 5 } x _ { 2 } ^ { 5 } x _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 4 1 5 8 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 5 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 5 } + \frac { 9 9 0 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } ^ { 7 } x _ { 3 } } \\ & { + \frac { 1 7 3 2 5 } { 1 2 2 } x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 3 } ^ { 4 } + \frac { 9 9 0 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 7 } + \frac { 5 5 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 9 } + \frac { 4 6 2 0 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 6 } x _ { 3 } ^ { 3 } + \frac { 4 6 2 0 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 6 } + \frac { 5 5 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 9 } } \\ & { + \frac { 1 4 8 5 } { 1 2 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 8 } x _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 4 1 5 8 } { 6 1 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 5 } x _ { 3 } ^ { 5 } + \frac { 1 4 8 5 } { 1 2 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 8 } + \frac { 3 3 } { 6 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 1 0 } x _ { 3 } } \\ & { + \frac { 9 9 0 } { 6 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 7 } x _ { 3 } ^ { 4 } + \frac { 9 9 0 } { 6 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 3 } ^ { 7 } + \frac { 3 3 } { 6 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 1 0 } + x _ { 2 } ^ { 1 2 } + \frac { 5 5 } { 6 1 } x _ { 2 } ^ { 9 } x _ { 3 } ^ { 3 } + \frac { 2 3 1 } { 6 1 } x _ { 2 } ^ { 6 } x _ { 3 } ^ { 6 } + \frac { 5 5 } { 6 1 } x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 9 } + x _ { 3 } ^ { 1 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \Big ( \big \| \big ( \widehat { f } _ { N , \lambda } - f ^ { * } \big ) ( X _ { i } ) \big \| _ { n } ^ { 2 } \Big ) } & { \leq } & { \frac { \lambda } { 2 } + 2 \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathbb E _ { X } \Big [ \Big ( \frac { \mu _ { j } ^ { 2 } } { \mu _ { j } ^ { 2 } + \lambda } \Big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ & { + } & { C _ { 1 } \, \Big ( \lambda _ { N + 1 } \| \pi _ { H } f ^ { * } \| _ { \mathcal H } ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { k \geq N + 1 } \lambda _ { k } \| \varphi _ { k } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| f ^ { * } - \pi _ { \mathcal H } f ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( d P ) } ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Lambda _ { 0 0 } } & { = 1 } \\ { \Lambda _ { 0 i } = \Lambda _ { i 0 } } & { = 0 } \\ { \Lambda _ { i j } } & { = \left( \delta _ { i j } - { \hat { n } } _ { i } { \hat { n } } _ { j } \right) \cos \theta - \varepsilon _ { i j k } { \hat { n } } _ { k } \sin \theta + { \hat { n } } _ { i } { \hat { n } } _ { j } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \left( \omega _ { y } ^ { h } - ( \frac { \partial u _ { x } ^ { h } } { \partial z } - \frac { \partial u _ { z } ^ { h } } { \partial x } ) + \right. } \\ & { \left. \frac { C _ { p e n } } { h } ( ( u _ { z } ^ { h } - g _ { z } ) n _ { x } - ( u _ { x } ^ { h } - g _ { x } ) n _ { z } ) \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { \omega _ { y } } ) = 0 \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { \omega _ { y } } \in \partial \Omega } \end{array}
\begin{array} { r } { ( x _ { j } , z _ { j } ) \in ( \rho _ { j } ^ { - 1 } T _ { \rho _ { j } } ) \setminus ( \mathbb { B } _ { \eta _ { 0 } } ( O ) \times \mathbb { R } _ { \leq 0 } ) \subset \left( \mathbb { B } _ { \Lambda } ^ { n } \setminus \mathbb { B } _ { \eta _ { 0 } } ( O ) \right) \times [ - \rho _ { j } \Lambda ^ { 2 } , 0 ] . } \end{array}
\lVert X _ { \sharp } ( \widehat { w } * { \widehat { u } } ) - \widehat { w } * ( X _ { \sharp } ( { \widehat { u } } ) ) \rVert _ { \ell _ { m } ^ { 2 } L _ { \omega } ^ { 2 } } \lesssim \lVert \widehat { w } \rVert _ { { \mathbb { W } _ { \! \omega \! , m } ^ { 1 \! , 1 \! ; { - \! q } } } } \left\lVert { \widehat { u } } \right\rVert _ { { \mathbb { H } _ { \! \omega \! , m } ^ { 0 ; { q } } } } \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { { } = - a ^ { 2 } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } - \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } & & { T _ { 3 } } \\ { T _ { 1 } } & & \\ & { T _ { 2 } } & \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { u } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right) = \lambda _ { u } \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { u } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right)
{ \frac { 1 } { \pi } } { \cal I } m ~ \Delta _ { \mathrm { A } a b } ^ { \mu \nu } ( q ^ { 2 } ) = ( q ^ { \mu } q ^ { \nu } - q ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } ) \rho _ { \mathrm { A } a b } ^ { ( 1 ) } ( q ^ { 2 } ) + q ^ { \mu } q ^ { \nu } \rho _ { \mathrm { A } a b } ^ { ( 0 ) } ( q ^ { 2 } ) \ ,
I _ { 1 } = ( e _ { o 1 } ^ { \uparrow } , h _ { o 1 } ^ { \uparrow } , e _ { o 3 } ^ { \uparrow } , h _ { o 3 } ^ { \uparrow } , e _ { i 5 } ^ { \uparrow } , h _ { i 5 } ^ { \uparrow } )
I ( x ; 1 , m ) = \frac { B _ { x } ( x ; 1 , m ) } { B ( 1 , m ) } = \frac { \int _ { 0 } ^ { x } ( 1 - t ) ^ { m - 1 } d t } { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { m - 1 } d t } = 1 - ( 1 - x ) ^ { m }
\mathcal { P } ( \tau ; a ) = \frac { \mathrm { p r o b . } \left[ \left( \psi _ { a } ^ { \prime } ( \tau ) > P _ { a } ^ { 9 5 } \right) \& \left( \psi _ { a } ^ { \prime } ( \tau _ { \operatorname* { m a x } } ) > P _ { a } ^ { 9 5 } \right) \right] } { \mathrm { p r o b . } \left[ \psi _ { a } ^ { \prime } ( \tau _ { \operatorname* { m a x } } ) > P _ { a } ^ { 9 5 } \right] } ,
L \rightarrow L ^ { \prime } = L + q { \frac { d f } { d t } } \, , \quad \mathbf { p } \rightarrow \mathbf { p ^ { \prime } } = \mathbf { p } + q \nabla f \, , \quad H \rightarrow H ^ { \prime } = H - q { \frac { \partial f } { \partial t } } \, ,
\begin{array} { r l } { \pi _ { i } \pi _ { j } \left( \frac { 1 } { p _ { i } } + \frac { 1 } { p _ { j } } \right) \frac { \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } - \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } } { \log \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } - \log \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } } = } & { \left( \pi _ { j } \frac { \pi _ { i } p _ { j } } { p _ { i } \pi _ { j } } + \pi _ { i } \right) \frac { \frac { p _ { i } \pi _ { j } } { \pi _ { i } p _ { j } } - 1 } { \log \frac { p _ { i } \pi _ { j } } { \pi _ { i } p _ { j } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } \Psi } & { = ( p _ { T } + p _ { T ^ { \prime } } + J _ { 1 } ^ { \mathrm { m a t t } } ) \Psi } \\ { J _ { 2 } \Psi } & { = ( p _ { T } - p _ { T ^ { \prime } } + J _ { 2 } ^ { \mathrm { m a t t } } ) \Psi } \\ { J _ { 3 } \Psi } & { = ( p _ { \chi } - p _ { \chi ^ { \prime } } + J _ { 3 } ^ { \mathrm { m a t t } } ) \Psi . } \end{array}
A = { \left( \begin{array} { l l l l } { 3 } & { 3 } & { 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 9 } & { 1 6 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 3 } \end{array} \right) } \qquad H = { \left( \begin{array} { l l l l } { 3 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 9 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 3 } \end{array} \right) } \qquad U = \left( { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { - 3 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 5 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right)
\begin{array} { r } { 0 . 1 \leq X _ { 0 } \leq 1 . 1 } \\ { 0 . 1 \leq M _ { 0 } \leq 1 . 0 } \\ { 0 \leq \xi _ { 0 , 1 , 2 } \leq 0 . 8 } \\ { 0 \leq \xi _ { 3 } \leq 1 . 0 } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } V _ { B } } { \partial \alpha \: \partial \beta } \right) = 4 \left( \begin{array} { l l } { { - d _ { 4 } v _ { 1 } ^ { 4 } - \sigma d _ { 6 } v _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - d _ { 5 } v _ { 2 } ^ { 4 } - \sigma d _ { 6 } v _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { a _ { i j } } & { = } & { 1 \; \; \mathrm { i f } \; \; i \neq j \; \; \mathrm { a n d ~ t h e r e ~ i s ~ a ~ z ~ - s t r o k e ~ b e t w e e n ~ b o d i e s ~ m _ i ~ a n d ~ m _ j ~ } ; } \\ & { = } & { 0 \; \; \mathrm { i f } \; \; i \neq j \; \; \mathrm { a n d ~ t h e r e ~ i s ~ n o ~ z ~ - s t r o k e ~ b e t w e e n ~ b o d i e s ~ m _ i ~ a n d ~ m _ j ~ } ; } \\ { a _ { i i } } & { = } & { 1 \; \; \mathrm { i f ~ t h e r e ~ i s ~ a ~ z ~ - c i r c l e ~ a t ~ m _ i ~ } ; } \\ & { = } & { 0 \; \; \mathrm { i f ~ t h e r e ~ i s ~ n o ~ z ~ - c i r c l e ~ a t ~ m _ i ~ } . } \end{array}
\int _ { C } { d ^ { 4 } } { \eta } D _ { c } ^ { ( 4 ) } ( \eta , { \eta } ) = \int _ { \partial C } d ^ { 3 } \eta K - 6 a \int _ { \partial C } d ^ { 3 } \eta K K ^ { \prime } - \frac { 2 } { 3 } \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \pi ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Gamma ( \frac { 5 } { 2 } ) \int _ { S _ { 4 } } d ^ { 4 } \eta