harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ e ~ t ~ i ~ c ~ i ~ o ~ n ~ s ~ : ~ } \qquad } & { { } \frac { \partial f } { \partial t } + { \mathbf v } \cdot \frac { \partial f } { \partial \mathbf { x } } + \frac { q } { m } ( { \mathbf E } + { \mathbf v } \times { \mathbf { B } } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf v } } = 0 \, , } \\ { \mathrm { ~ F ~ a ~ r ~ a ~ d ~ a ~ y ~ ' ~ s ~ l ~ a ~ w ~ : ~ } \qquad } & { { } \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } = - \nabla \times { \mathbf E } \, , \qquad \nabla \cdot \mathbf { B } = 0 \, , } \\ { \mathrm { ~ m ~ a ~ s ~ s ~ - ~ l ~ e ~ s ~ s ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ r ~ o ~ n ~ s ~ : ~ } \qquad } & { { } \frac { \partial n _ { \mathrm { ~ e ~ } } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \mathbf u \right) = 0 \, , } \\ { \mathrm { ~ O ~ h ~ m ~ ' ~ s ~ l ~ a ~ w ~ : ~ } \qquad } & { { } { \mathbf E } = - \frac { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T _ { \mathrm { ~ e ~ } } } { e } \frac { \nabla n _ { \mathrm { ~ e ~ } } ^ { \gamma } } { n _ { \mathrm { ~ e ~ } } } - \left( \mathbf u - \frac { \mathbf J } { n _ { \mathrm { ~ e ~ } } e } \right) \times { \mathbf { B } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { M = \left[ ( \rho \ \xi _ { i } , \xi _ { j } ) \right] _ { n \times n } , \ \ \ N = \left[ ( \mu \ \xi _ { i } , \xi _ { j } ) \right] _ { n \times n } , \ \ \ P = \left[ ( \kappa \ \xi _ { i , x x } , \xi _ { j , x x } ) \right] _ { n \times n } , \ \ Q = \left[ ( r \ \xi _ { i , x x } , \xi _ { j , x x } ) \right] _ { n \times n } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \textbf { v } ^ { * } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \textbf { v } _ { i } + \textbf { v } _ { j } ) - ( U ^ { * } - \frac { 1 } { 2 } ( U _ { L } + U _ { R } ) ) \cdot \textbf { e } _ { i j } } \\ { U ^ { * } } & { { } = \frac { ( \rho _ { L } c _ { L } U _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } U _ { R } + P _ { L } - P _ { R } ) } { \rho _ { L } c _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } } } \\ { P ^ { * } } & { { } = \frac { \left( \rho _ { L } c _ { L } P _ { R } + \rho _ { R } c _ { R } P _ { L } + \rho _ { L } c _ { L } \rho _ { R } c _ { R } \left( U _ { L } - U _ { R } \right) \beta \right) } { \rho _ { L } c _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 2 1 } ^ { ( 4 ) } } & { = ( s _ { 5 } + s _ { 3 1 } ) \otimes 1 + ( s _ { 3 } + s _ { 4 } + s _ { 2 1 } ) \otimes s _ { 1 } + s _ { 2 } \otimes s _ { 2 } + ( s _ { 3 } + s _ { 1 1 } ) \otimes s _ { 1 1 } , } \\ { \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 2 1 } ^ { ( 5 ) } } & { = \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 2 1 } ^ { ( 4 ) } + s _ { 2 } \otimes s _ { 1 1 } + s _ { 1 } \otimes s _ { 2 1 } , } \\ { \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 2 1 } } & { = \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 2 1 } ^ { ( 5 ) } + s _ { 2 } \otimes s _ { 1 1 1 } ; } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 } \mathbf { q } ( \mathbf { x } ) + \int _ { \Gamma } \, d S _ { y } \mathbf { n } ( \mathbf { y } ) \cdot \mathcal { T } ( \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { q } ( \mathbf { y } ) + \int _ { \Gamma } \, d S _ { y } [ \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) \mathbf { n } ( \mathbf { y } ) ] \cdot \mathbf { q } ( \mathbf { y } ) = - \mathbf { u } ^ { m t } ( \mathbf { x } ) , ~ ~ ~ ~ \mathbf { x } \in \Gamma .
L ( x _ { \mathrm { { t r u e } } } , y _ { \mathrm { { t r u e } } } | x _ { \mathrm { { p r e d } } } , y _ { \mathrm { { p r e d } } } ) = | ( x _ { \mathrm { { t r u e } } } , y _ { \mathrm { { t r u e } } } ) - ( x _ { \mathrm { { p r e d } } } , y _ { \mathrm { { p r e d } } } ) | .
S _ { 2 } \propto \int d ^ { 2 } x \, \sqrt { - g _ { 2 } } \, e ^ { - 2 \Phi } \left\{ R _ { 2 } + 2 { \left( \nabla \Phi \right) } ^ { 2 } + 2 e ^ { 2 \Phi } \right\} \; ,
\begin{array} { r l } { \left| c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } h ( x ) - f _ { \sigma } ^ { 2 } ( x ) \right| \le \frac { 0 . 0 3 \epsilon _ { 1 } } { \sigma \sqrt { \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } } } , ~ } & { { } ~ \forall x \in [ s - w , s + w ] . } \end{array}
G _ { 2 \alpha } ( 0 ) = \operatorname * { l i m } _ { s \to 0 } p ^ { 1 - 2 s } [ c _ { 0 } ( s ) \zeta _ { R } ( 2 s - 1 ) - p ^ { - 2 } c _ { 1 } ( s ) \zeta _ { R } ( 2 s + 1 ) ] { . }
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { { } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ K _ { 3 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge Q ( \eta , t ; 0 ) \omega ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \end{array}
\int \left( - f ^ { \prime } ( x ) { \frac { \partial V } { \partial x } } p ( x ) + { k _ { B } T } f ^ { \prime \prime } ( x ) p ( x ) \right) d x = \int \left( - f ^ { \prime } ( x ) { \frac { \partial V } { \partial x } } p ( x ) - { k _ { B } T } f ^ { \prime } ( x ) p ^ { \prime } ( x ) \right) d x = 0 ,
\begin{array} { r l } { S _ { i } ^ { T } } & { = 1 - S _ { \sim i } } \\ & { = 1 - \frac { \operatorname { V a r } _ { X _ { \sim i } } \left[ \mathbb { E } _ { X _ { i } } \left[ \mathcal { M } \left( \boldsymbol { X } \right) \right] \right] } { \operatorname { V a r } \left[ \mathcal { M } \left( \boldsymbol { X } \right) \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ^ { ( R ) } ( a ) = \operatorname* { l i m } _ { y \rightarrow a _ { + } } v ( y ) , \qquad } & { v ( a ) = - \left[ v \right] _ { a } = v ^ { ( L ) } ( a ) : = v ^ { ( R ) } ( a ) , } \\ { v ^ { ( L ) } ( b ) = \operatorname* { l i m } _ { y \rightarrow b _ { - } } v ( y ) , \qquad } & { v ( b ) = \left[ v \right] _ { b } = v ^ { ( R ) } ( b ) : = v ^ { ( L ) } ( b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \partial _ { x _ { 1 } } X _ { j } ( T ( t , x ) ; t , x ) , \cdots , \partial _ { x _ { n + m } } X _ { j } ( T ( t , x ) ; t , x ) \right) } \\ & { = } & { \left( - v _ { j } \frac { \partial _ { 3 _ { 1 } } X _ { i } } { v _ { i } } + \partial _ { 3 _ { 1 } } X _ { j } , \cdots , - v _ { j } \frac { \partial _ { 3 _ { n + m } } X _ { i } } { v _ { i } } + \partial _ { 3 _ { n + m } } X _ { j } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { - \nu - i B _ { 0 } ^ { \prime } } & { i B _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { i B _ { 0 } ^ { \prime } } & { - \eta - i B _ { 0 } ^ { \prime } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 2 } \Delta \left( \begin{array} { l } { \eta } \\ { - \nu } \end{array} \right)
H = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \left[ \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } | \nabla \psi _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | ^ { 2 } + U _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \psi _ { \sigma } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \psi _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right]
\begin{array} { l } { { I _ { g } \left( t , \mathrm { 0 } , \mathrm { 0 } \right) = e ^ { - \lambda _ { g } \left( t - t _ { n } \right) } I _ { g } \left( t _ { n } , - \frac { \mu ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - t _ { n } \right) , - \frac { \xi ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - t _ { n } \right) \right) } } \\ { { + \int _ { t _ { n } } ^ { t } e ^ { - \lambda _ { g } \left( t - s \right) } \left[ \begin{array} { l } { { \frac { c L _ { a } ^ { \varepsilon } \sigma _ { e , g } } { \varepsilon } \phi _ { g } \left( s , - \frac { \mu ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - s \right) , - \frac { \xi ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - s \right) \right) } } \\ { { + \frac { c L _ { s } ^ { \varepsilon } \sigma _ { s , g } } { \varepsilon } \frac { \rho _ { g } } { \mathrm { 2 } \pi } \left( s , - \frac { \mu ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - s \right) , - \frac { \xi ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - s \right) \right) } } \end{array} \right] d s } } \end{array}
\chi ( s , u ^ { a } ) = \operatorname { t a n h } s + \frac { 1 } { M } \chi ^ { ( 1 ) } ( s , u ^ { a } ) + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \chi ^ { ( 2 ) } ( s , u ^ { a } ) + \frac { 1 } { M ^ { 3 } } \chi ^ { ( 3 ) } ( s , u ^ { a } ) + . . . ,
\frac { \partial e _ { x } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x } = - \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x ^ { 2 } } , \; \; \frac { \partial e _ { y } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial y } = - \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial y ^ { 2 } } , \; \; \frac { \partial e _ { \tau } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial \tau } = - \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial \tau ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \frac { 1 } { r _ { i j } ^ { 3 } } \bigg \rangle _ { \varepsilon } } & { \equiv \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \left[ \left\langle \frac { \Theta ( r _ { i j } - \varepsilon ) } { r _ { i j } ^ { 3 } } \right\rangle + ( \gamma _ { E } + \ln \varepsilon ) \big \langle 4 \pi \delta ( \vec { r } _ { i j } ) \big \rangle \right] . } \end{array}
Q _ { c a p , j } = \int _ { z _ { b } } ^ { z _ { t } } q _ { j } \textnormal { d } z , \quad M _ { c a p , j } = \int _ { z _ { b } } ^ { z _ { t } } m _ { j } \textnormal { d } z , \quad F _ { c a p , j } = \int _ { z _ { b } } ^ { z _ { t } } f _ { j } \textnormal { d } z ,
\begin{array} { r l } { | g ( x ) - g ( y ) | = } & { \left| \frac { g ( x ) } { 1 + | x | } ( 1 + | x | ) - \frac { g ( x ) } { 1 + | x | } ( 1 + | y | ) + \frac { g ( x ) } { 1 + | x | } ( 1 + | y | ) - \frac { g ( y ) } { 1 + | y | } ( 1 + | y | ) \right| } \\ { = } & { \frac { | g ( x ) | } { 1 + | x | } \Big | 1 + | x | - 1 - | y | \Big | + ( 1 + | y | ) \left| \frac { g ( x ) } { 1 + | x | } - \frac { g ( y ) } { 1 + | y | } \right| } \\ { \leq } & { | x - y | + ( 1 + | y | ) \left( \left| \frac { x } { 1 + | x | } - \frac { y } { 1 + | y | } \right| + \sum _ { i } 2 ^ { - i } \left| T f _ { i } ( \frac { x } { 1 + | x | } ) - T f _ { i } ( \frac { y } { 1 + | y | } ) \right| \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \mu } & { = - \iota _ { u } F , } \\ { \mathrm { d } \tilde { \mu } _ { \psi } } & { = - \iota _ { u } \tilde { F } _ { \psi } , } \\ { \mathrm { d } \mu _ { \ell } } & { = \ell \mu - \ell \iota _ { u } \Xi , } \\ { \mathrm { d } \tilde { \mu } } & { = \ell \tilde { \mu } _ { \psi } - \iota _ { u } \tilde { F } . } \end{array}
( \rho ^ { + } \oplus \rho ^ { - } ) \otimes ( \rho ^ { + } \oplus \rho ^ { - } ) \cong \bigoplus _ { p = 0 } ^ { 8 } { \wedge } ^ { p } \rho _ { v } \cong 2 \left( 1 \oplus \rho _ { v } \oplus { \wedge } ^ { 2 } \rho _ { v } \oplus { \wedge } ^ { 3 } \rho _ { v } \right) \oplus { \wedge } ^ { 4 } \rho _ { v } .
L _ { 0 } = ( 2 n + 1 ) { \frac { | h | } { 2 } } + | h | d _ { 0 } ^ { \dagger } d _ { 0 } - { \frac { | h | } { 2 } } - | h | \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( d _ { k } ^ { \dagger } d _ { k } - \tilde { d } _ { k } ^ { \dagger } \tilde { d } _ { k } + a _ { k } ^ { \dagger } a _ { k } - b _ { k } ^ { \dagger } b _ { k } \right) + L _ { 0 } ^ { f r e e } .
W ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , . . . p _ { n } ; q _ { 1 } , q _ { 2 } , . . . q _ { n } ) = V ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , . . . , p _ { n } ) \exp \biggl [ - i \biggl ( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } I _ { i j } q _ { i } \times q _ { j } \biggr ) \biggr ] ,
\begin{array} { r } { \Vert \Phi ( g _ { 1 } ) - \Phi ( g _ { 2 } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \leq L _ { 0 } \Vert g _ { 1 } - g _ { 2 } \Vert _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ) } , \ \ \forall \ g _ { 1 } , g _ { 2 } \in \mathcal { G } _ { 1 } , } \\ { \Vert \Psi ( g _ { 1 } ) - \Psi ( g _ { 2 } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \leq L _ { 1 } \Vert g _ { 1 } - g _ { 2 } \Vert _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ) } , \ \ \forall \ g _ { 1 } , g _ { 2 } \in \mathcal { G } _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { R _ { b } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { V ( b ) } \\ { I ( b ) } \\ { V ( a ) } \\ { I ( a ) } \end{array} \right] = \tilde { W } _ { B } \left[ \begin{array} { l } { ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( b ) } \\ { ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( a ) } \end{array} \right] = W _ { B } \left[ \begin{array} { l } { f _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } x } } \\ { e _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } x } } \end{array} \right] , } \end{array}
S _ { \nu } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { k } , \omega ) \sim \left| \omega \tau _ { c } \right| ^ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } K _ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } \left( \sqrt { 2 \nu } \left| \omega \right| \tau _ { c } \right) e ^ { - \frac { \mathbf { k } ^ { 2 } \lambda _ { c } ^ { 2 } } { 2 } } \longrightarrow \mathcal { E } _ { \nu } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) = e ^ { - \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { c } ^ { 2 } } } ( 1 + \frac { t ^ { 2 } } { 2 \tau _ { c } ^ { 2 } \nu } ) ^ { - \nu } .
d s ^ { 2 } = - B ( d x ^ { 0 } + a _ { \varphi } d \varphi ) ^ { 2 } + { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { B } } ~ d \varphi ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \theta ~ d \psi ^ { 2 } + d \theta ^ { 2 } ,
\mathcal { F } ( \mathbf { T } ) = | \textnormal { T r } ( \widetilde { \mathbf { T } } ^ { \dagger } { \mathbf { T } } ) | ^ { 2 } / ( \textnormal { T r } ( \widetilde { \mathbf { T } } ^ { \dagger } \widetilde { \mathbf { T } } ) \textnormal { T r } ( \mathbf { T } ^ { \dagger } { \mathbf { T } } ) )
\begin{array} { l } { { \left( D ^ { 1 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \to - \frac { c \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } l _ { k } } { \varepsilon ^ { \mathrm { 2 } } \left[ { \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \mathord { \left/ { \vphantom { \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \varepsilon } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } \varepsilon } + \varepsilon \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \right] ^ { \mathrm { 2 } } } \to - \frac { c \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } l _ { k } } { \left[ \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \right] ^ { 2 } } \mathrm { , } } } \\ { { \left( D ^ { 2 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \to - \frac { c \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } l _ { k } } { 2 \pi \left[ { \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \mathord { \left/ { \vphantom { \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \varepsilon } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } \varepsilon } + \varepsilon \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \right] ^ { \mathrm { 2 } } } \to o \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) \to 0 } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \kappa \to \infty } \kappa \int _ { \mathbb D } \bigl ( \mathcal L ( x , \mathcal R ^ { \kappa } ( x ) ) - \mathcal L ( x , \mathcal R ( x ) ) \bigr ) \, h ( x ) \, d x = \int _ { \mathcal D } Q ( x ^ { \prime } ) \, h \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \Bigr ) \, d x ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \underset { \{ T _ { \mathrm { r i g h t - r e a r } } ^ { i } \} _ { i } , \Omega _ { \mathrm { r e a r } } } { \mathrm { m i n i m i z e } } \, } & { \mathcal { L } _ { \mathrm { l e f t } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { r i g h t } } , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { r i g h t } } } & { = \sum _ { i } \| f _ { \mathrm { p r o j } } ^ { \mathrm { c a m } } ( T _ { \mathrm { r i g h t - r e a r } } ^ { i } X ; \Pi _ { \mathrm { r i g h t - r e a r } } ) - p _ { \mathrm { r i g h t - r e a r } } \| _ { 2 } , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { l e f t } } } & { = \sum _ { i } \| f _ { \mathrm { p r o j } } ^ { \mathrm { c a m } } ( T _ { \mathrm { r i g h t - r e a r } } ^ { i } E ( \Omega _ { \mathrm { r e a r } } ) X ; \Pi _ { \mathrm { l e f t - r e a r } } ) - p _ { \mathrm { l e f t - r e a r } } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( { \mathbf X } , { \mathbf P } , { \mathbf a } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } | { \mathbf p } _ { k } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } | { \mathbf A } _ { h } ( { \mathbf x } _ { k } ) | ^ { 2 } - \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } { \mathbf p } _ { k } \cdot { \mathbf A } _ { h } ( { \mathbf x } _ { k } ) + H _ { e } + \frac { 1 } { 2 } { \mathbf a } ^ { \top } \mathbb { C } ^ { \top } \mathbb { M } _ { 2 } \mathbb { C } { \mathbf a } , } \\ { H _ { e } } & { { } = T \int { n } _ { h } \ln { n } _ { h } \mathrm { d } { \mathbf x } \approx T \sum _ { j } w _ { j } \left( \sum _ { k } w _ { k } S ( { \mathbf x } _ { j } - { \mathbf x } _ { k } ) \right) \ln \left( \sum _ { k } w _ { k } S ( { \mathbf x } _ { j } - { \mathbf x } _ { k } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { * } = \underset { \pi } { \mathrm { m i n } } } & { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \Delta ( X _ { t } , \hat { X } _ { t } ) \right] , } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \; \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ a _ { 1 } ^ { d } ( t ) \right] \leq \bar { A } , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ c _ { 1 } I _ { 1 } ( t ) + c _ { 2 } I _ { 2 } ( t ) + c _ { 3 } I _ { 3 } ( t ) \right] \leq \bar { C } , } \\ & { I _ { 1 } ( t ) + I _ { 2 } ( t ) + I _ { 3 } ( t ) \leq 1 , \; \forall t \in \{ 1 , 2 , \ldots \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { m i n } } ^ { \prime } } & { : = \left[ \hat { T } _ { \mathrm { m i n } } - w ~ \sqrt { \mathrm { v a r } ( \hat { T } _ { \mathrm { m i n } } ) } \right] ^ { 2 } } \\ & { \simeq \hat { T } _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } - 2 w \hat { T } _ { \mathrm { m i n } } \sqrt { \mathrm { v a r } ( \hat { T } _ { \mathrm { m i n } } ) } + \mathcal { O } ( m _ { \Delta } ^ { - 1 } ) , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { G } } ^ { \prime } } & { : = \widehat { \bar { n } _ { \mathrm { G } } } + w ~ \sqrt { \mathrm { v a r } ( \widehat { \bar { n } _ { \mathrm { G } } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial t ^ { 2 } } - \nabla ^ { 2 } \phi } & { = } & { \frac { \rho } { \varepsilon } + \left( 1 - \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \right) \frac { \partial } { \partial t } \left( \nabla \cdot \mathbf { A } \right) , } \\ { \mu \varepsilon \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { A } } { \partial t ^ { 2 } } - \nabla ^ { 2 } \mathbf { A } } & { = } & { \mu \mathbf { j } + \left( \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } - 1 \right) \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf { A } \right) } \\ & { } & { + \mu \varepsilon \left( \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } - 1 \right) \nabla \left( \frac { \partial \phi } { \partial t } \right) . } \end{array}
\mu ^ { 2 } = C _ { \rho } \Omega _ { h } ^ { 2 } \pm n \pi \omega _ { o } ^ { 2 } \vert \mathbf { \hat { k } } \cdot \mathbf { \hat { R } _ { h } } \vert \frac { \hbar ^ { 2 } } { G m ^ { 3 } R _ { h } } \ .
T ^ { ( 1 ) } ( N ) = - \sum _ { k = 1 , m } \frac { \alpha _ { 0 k } \omega _ { k } } { 2 } \left[ B _ { N - k } \; { \cal M } _ { a t } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { k } , \mathbf { q } ) e ^ { - i k \phi _ { 1 } } + B _ { N + k } \; { \cal M } _ { a t } ^ { ( 1 ) } ( - \omega _ { k } , \mathbf { q } ) e ^ { i k \phi _ { 1 } } \right] ,
\left\{ \begin{array} { l l } { n _ { i , j , k } = ( Z _ { p } e w _ { p } / 6 V _ { c } ) \times ( 3 - d x ^ { 2 } - d y ^ { 2 } - d z ^ { 2 } ) , } \\ { n _ { i + 1 , j , k } = ( Z _ { p } e w _ { p } / 1 2 V _ { c } ) \times ( 1 + d x ) ( 1 + d x ) , } \\ { n _ { i , j + 1 , k } = ( Z _ { p } e w _ { p } / 1 2 V _ { c } ) \times ( 1 + d y ) ( 1 + d y ) , } \\ { n _ { i , j , k + 1 } = ( Z _ { p } e w _ { p } / 1 2 V _ { c } ) \times ( 1 + d z ) ( 1 + d z ) , } \\ { n _ { i - 1 , j , k } = ( Z _ { p } e w _ { p } / 1 2 V _ { c } ) \times ( 1 - d x ) ( 1 - d x ) , } \\ { n _ { i , j - 1 , k } = ( Z _ { p } e w _ { p } / 1 2 V _ { c } ) \times ( 1 - d y ) ( 1 - d y ) , } \\ { n _ { i , j , k - 1 } = ( Z _ { p } e w _ { p } / 1 2 V _ { c } ) \times ( 1 - d z ) ( 1 - d z ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { 1 - \gamma _ { 0 } } \sum _ { s = 0 } ^ { M } \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { 1 - \gamma _ { 0 } } J } \\ & { \leq \frac { 1 } { 1 - \gamma _ { 0 } } \frac { \gamma _ { 1 } ^ { \mathbb M + 1 } - 1 } { \gamma _ { 1 } - 1 } ( \| x _ { 0 } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { 9 } } { \gamma _ { 1 } - 1 } ) + \frac { 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { 1 - \gamma _ { 0 } } J } \\ { \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } } & { \leq \frac { 1 } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \sum _ { s = 0 } ^ { M } \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| ^ { 4 } + \frac { 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } J } \\ & { \leq \frac { 1 } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { ( 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \mathbb M + 1 } - 1 } { 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } ( \| x _ { 0 } \| ^ { 4 } + \frac { \alpha _ { 1 0 } } { 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } ) + \frac { 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } J } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { c } ^ { \star } F _ { A } ^ { \star } = 0 \ , \quad \delta _ { c } ^ { \star } F _ { \psi } ^ { \star } = - { \mathrm { i } } \, \mathsf { R } _ { \alpha } ( F _ { \psi } ^ { \star } ) \star \mathsf { R } ^ { \alpha } ( c ) \qquad \mathrm { a n d } \qquad \delta _ { c } ^ { \star } F _ { \bar { \psi } } ^ { \star } = { \mathrm { i } } \, c \star F _ { \bar { \psi } } ^ { \star } \ . } \end{array}
{ \ddot { r } } = { \frac { ( r ^ { 2 } - 2 M r + Q ^ { 2 } ) ( Q ^ { 2 } - M r ) \ { \dot { t } } ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } } + { \frac { ( M r - Q ^ { 2 } ) { \dot { r } } ^ { 2 } } { r ( r ^ { 2 } - 2 M r + Q ^ { 2 } ) } } + { \frac { ( r ^ { 2 } - 2 M r + Q ^ { 2 } ) \ { \dot { \theta } } ^ { 2 } } { r } } + { \frac { q Q ( r ^ { 2 } - 2 m r + Q ^ { 2 } ) } { r ^ { 4 } } } \ { \dot { t } }
\frac { \sigma ( \chi _ { 1 } ) \, \mathrm { f r o m } \, { } ^ { 3 } \! P _ { J ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } } { \sigma ( \chi _ { 2 } ) \, \mathrm { f r o m } \, { } ^ { 3 } \! P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } = \frac { 1 5 } { 8 } \, \frac { \langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \chi _ { 1 } } ( { } ^ { 3 } \! P _ { 2 } ) \rangle + 1 5 / 4 \langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \chi _ { 1 } } ( { } ^ { 3 } \! P _ { 0 } ) \rangle } { \langle { \cal O } _ { 1 } ^ { \chi _ { 2 } } ( { } ^ { 3 } \! P _ { 2 } ) \rangle } \sim \frac { 1 } { 3 } ,
\omega _ { \mathrm { I } } = \frac { \mathrm { I m } ( \sigma _ { x y } ) - \mathrm { R e } ( \sigma _ { x x } ) } { \mathrm { R e } ( \sigma _ { x y } ) + \mathrm { I m } ( \sigma _ { x x } ) } \omega _ { \mathrm { R } } \ .
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } ( P A Z N Z ) } & { = \mathrm { t r } \big ( N _ { + } ( Z - Z N Z ) - \lambda P Z N Z \big ) \quad \qquad ( \mathrm { b y ~ } ) } \\ & { \geq \lambda \Big ( \mathrm { t r } \big ( N _ { + } Z ^ { 2 } \big ) - \mathrm { t r } ( P Z N Z ) \Big ) \quad \qquad \qquad \quad ( \mathrm { b y ~ } ) } \\ & { = \lambda \Big ( \mathrm { t r } ( Z N _ { + } Z ) - \mathrm { t r } ( P Z N Z ) \Big ) , } \\ & { \geq \lambda \Big ( \mathrm { t r } ( P Z N _ { + } Z ) - \mathrm { t r } ( P Z N Z ) \Big ) . } \end{array}
{ \cal M } _ { H } ^ { 2 } \ = \ \left( \begin{array} { c c } { { M _ { S } ^ { 2 } } } & { { M _ { S P } ^ { 2 } } } \\ { { M _ { P S } ^ { 2 } } } & { { M _ { P } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \, ,
\omega _ { C } ^ { 2 } = 4 \varOmega ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } / k ^ { 2 } , \quad \omega _ { A } ^ { 2 } = g \alpha \gamma \left( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } \right) / k ^ { 2 } , \quad \omega _ { M } ^ { 2 } = V _ { M } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } ,