harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l } & { \mathrm { f i n d ~ \boldsymbol { U } ~ \in ~ \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ h ^ \tau ~ s u c h ~ t h a t } } \\ & { \begin{array} { r l r } { \mathcal { A } _ { \mathrm { s t a b } , N } ( \boldsymbol { U } , \boldsymbol { U } ; \, \boldsymbol { U } , \boldsymbol { V } ) } & { = { \mathcal { R } } _ { \mathrm { s t a b } , N } ( \boldsymbol { U } _ { 0 } , \boldsymbol { U } ; \, \boldsymbol { V } ) \, \, \, } & { \mathrm { ~ \forall ~ \boldsymbol { V } ~ \in ~ \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ h ^ \tau ~ , } } \end{array} } \end{array} \right.
\langle { \cal O } \rangle _ { R } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \int \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { n } d \theta _ { i } g ( \theta _ { i } , R ) e ^ { - m R \cosh \theta _ { i } } \right] { \cal F } _ { 2 n } ^ { \cal O } ( \theta _ { 1 } , \ldots , \theta _ { n } ) \, \, \, ,
\Sigma ( \varphi ^ { i } , \varphi ^ { * i } , \varepsilon ^ { A } , g ) + \hbar ^ { n } \Theta = \Sigma ( \varphi _ { 0 } ^ { i } , \varphi _ { 0 } ^ { * i } , \varepsilon _ { 0 } ^ { A } , g _ { 0 } ) + O ( \hbar ^ { n + 1 } ) \; ,
S = \int d ^ { 2 } x \left[ { \frac 1 2 } { \partial } _ { \mu } { \phi } { \partial } ^ { \mu } { \phi } + { \frac 1 2 } { \lambda } _ { { \mu } { \nu } } \left( { \partial } ^ { \mu } { \phi } - { \epsilon } ^ { { \mu } { \sigma } } { \partial } _ { \sigma } { \phi } \right) \left( { \partial } ^ { \nu } { \phi } - { \epsilon } ^ { { \nu } { \rho } } { \partial } _ { \rho } { \phi } \right) \right] ,
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { \int _ { a } ^ { b } e ^ { n f ( x ) } \, d x } { e ^ { n f ( x _ { 0 } ) } { \sqrt { \frac { 2 \pi } { n \left( - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) \right) } } } } } = 1 .
A = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 5 } & { 6 } \end{array} \right] } , \quad A _ { \mathrm { R } } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { - { \frac { 1 7 } { 1 8 } } } & { { \frac { 8 } { 1 8 } } } \\ { - { \frac { 2 } { 1 8 } } } & { { \frac { 2 } { 1 8 } } } \\ { { \frac { 1 3 } { 1 8 } } } & { - { \frac { 4 } { 1 8 } } } \end{array} \right] } .
P ( \tau ) = \frac { q _ { 0 } ^ { 2 } } { \gamma \sigma ^ { 2 } \tau } \left( \log \frac { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \tau } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } - 1 } \exp \left[ - \frac { q _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left( \log \frac { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \tau } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } } \right] .
\begin{array} { r l r l r l } { \kappa _ { - } } & { { } = \kappa ( y _ { 1 } , h ( y _ { 1 } ) ) , } & { \alpha _ { - } } & { { } = \alpha ( y _ { 1 } , h ( y _ { 1 } ) ) , } & { u _ { - } } & { { } = u _ { \tau } ( y _ { 1 } , h ( y _ { 1 } ) ) , } \\ { \kappa _ { + } } & { { } = \kappa ( y _ { 1 } , 1 + h ( y _ { 1 } ) ) , } & { \alpha _ { + } } & { { } = \alpha ( y _ { 1 } , 1 + h ( y _ { 1 } ) ) , } & { u _ { + } } & { { } = u _ { \tau } ( y _ { 1 } , 1 + h ( y _ { 1 } ) ) , } \end{array}
A _ { y } ^ { ( n ) } \, = - { \frac { { e ^ { \phi _ { 0 } } } \, P ^ { ( n ) } \, \cos ( { \frac { u } { a } } - { \frac { v } { b } } ) } { { \sqrt { { M ^ { 2 } } - { | \Upsilon | ^ { 2 } } } } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathbb P _ { \theta , \beta } ^ { N , T } } { \mathbb P _ { \theta _ { 0 } , \beta _ { 0 } } ^ { N , T } } ( U ^ { N } ) } & { = \exp \Bigg ( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { \left( \big [ - \theta \lambda _ { k } ^ { 2 } + \beta \lambda _ { k } \big ] - \big [ - \theta _ { 0 } \lambda _ { k } ^ { 2 } + \beta _ { 0 } \lambda _ { k } \big ] \right) } { \sigma ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { - 2 \gamma } } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d u _ { k } ( t ) } \\ & { \qquad \qquad - \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { \left( \big [ - \theta \lambda _ { k } ^ { 2 } + \beta \lambda _ { k } \big ] ^ { 2 } - \big [ - \theta _ { 0 } \lambda _ { k } ^ { 2 } + \beta _ { 0 } \lambda _ { k } \big ] ^ { 2 } \right) } { 2 \sigma ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { - 2 \gamma } } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t \Bigg ) . } \end{array}
\frac { 1 } { R } \frac { d } { d r } \left( r ^ { 2 } \frac { d R } { d r } \right) + \frac { 1 } { \Theta } \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \sin \theta \frac { \partial \Theta } { \partial \theta } \right) + \frac { 1 } { \Phi } \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \varphi ^ { 2 } } = 0
A _ { s } ^ { ( 2 ) } \lesssim _ { r } \underline { { c } } ^ { - 1 } \left( U ( x ) + \bar { \Psi } \right) ^ { r } \left[ L ^ { 2 } ( s - \underline { { s } } ) ^ { 2 } \left( U ( x ) + \bar { \Psi } \right) ^ { 1 + r } + ( s - \underline { { s } } ) d \sigma ^ { 2 } \right] \mathbb { P } _ { x } \left( \int _ { s } ^ { t } \xi _ { u } \mathrm { d } u \le \phi ( s ) \right) ^ { 1 / 2 } .
T r _ { w } K _ { H _ { 2 } } = { \frac { e ^ { - { \bar { s } / 4 } } } { ( 4 \pi \bar { s } ) ^ { 1 / 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d y \cosh y e ^ { - { y ^ { 2 } / \bar { s } } } } { ( \sinh ^ { 2 } y + \sin ^ { 2 } { \frac { w } { 2 } } ) } } ~ ~ .
\begin{array} { r } { i \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { { \hat { a } } ( t ) } \\ { { \hat { b } } ^ { \dagger } ( t ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \mu _ { 1 } ( t ) } & { g ^ { * } } \\ { - g } & { \mu _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \hat { a } } ( t ) } \\ { { \hat { b } } ^ { \dagger } ( t ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { \mathrm { N S 5 } } } & { { : } } & { { 0 1 2 3 4 5 } } \\ { { \mathrm { N S ^ { \prime } 5 } } } & { { : } } & { { 0 1 2 3 8 9 } } \\ { { \mathrm { D 6 } } } & { { : } } & { { 0 1 2 3 7 8 9 } } \\ { { \mathrm { D 4 } } } & { { : } } & { { 0 1 2 3 6 } } \\ { { \mathrm { O 4 } } } & { { : } } & { { 0 1 2 3 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { 0 } ^ { \ast } \Psi = \mathbf { F } \cdot \nabla \Psi + \frac { 1 } { 2 } \Sigma \Sigma ^ { T } : \nabla ^ { 2 } \Psi , } \\ & { \mathcal { L } _ { 1 , d } ^ { u } \rho = - \nabla \cdot \left( \mathbf { G } _ { u } \rho \right) , \; 1 \leq u \leq U , } \\ & { \mathcal { L } _ { 1 , s } ^ { v } \rho = \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } : \left( \left( \Sigma _ { v } \Gamma ^ { T } + \Gamma \Sigma _ { v } ^ { T } \right) \rho \right) , \; 1 \leq v \leq V . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \ensuremath { \partial } \Psi ^ { c } } { \ensuremath { \partial } z } + \frac { i ( l \xi + m \eta ) + \tau _ { H } n _ { s } } { \nu } \Psi ^ { c } } & { = } & { - \frac { \tau _ { H } } { \nu } L _ { s } ^ { c } \Theta , } \\ { \frac { \ensuremath { \partial } \Psi ^ { d } } { \ensuremath { \partial } z } + \frac { i ( l \xi + m \eta ) + \tau _ { H } n _ { s } } { \nu } \Psi ^ { d } } & { = } & { \frac { \omega \tau _ { H } } { 4 \pi \nu } \big ( n _ { s } \mathcal { G } _ { 1 } + G _ { s } \Theta + \mathrm { A _ { 1 } } \nu \left( n _ { s } S - q _ { s } \Theta \right) \big ) - \frac { \tau _ { H } } { \nu } L _ { s } ^ { d } \Theta , \qquad } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } v ^ { a } \exp \left( - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k T } } \right) d v } & { = \left[ { \frac { 2 k T } { m } } \right] ^ { \frac { a + 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - x } x ^ { a / 2 } \, d x ^ { 1 / 2 } } \\ & { = \left[ { \frac { 2 k T } { m } } \right] ^ { \frac { a + 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - x } x ^ { a / 2 } { \frac { x ^ { - 1 / 2 } } { 2 } } \, d x } \\ & { = \left[ { \frac { 2 k T } { m } } \right] ^ { \frac { a + 1 } { 2 } } { \frac { \Gamma \left( { \frac { a + 1 } { 2 } } \right) } { 2 } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathrm { C D \ ( m d e g ) } = \arctan \left( \frac { \sqrt { T _ { - } } - \sqrt { T _ { + } } } { \sqrt { T _ { - } } + \sqrt { T _ { + } } } \right) \cdot \frac { 1 8 0 \cdot 1 0 0 0 } { \pi } \mathrm { . } } \end{array}
\vec { J } ^ { ( n ) } \approx \sum _ { n } \sqrt { \frac { j 2 } { \pi \tilde { k } _ { 0 } \rho } } ( J _ { \rho } ^ { ( n ) } \hat { \rho } + J _ { \phi } ^ { ( n ) } \hat { \phi } ) e ^ { - j ( n K s ( \vec { \rho } ) + \tilde { k } _ { 0 } \rho ) }
\begin{array} { r l } { \iota _ { \beta } \xi } & { { } = c _ { \phi } \frac { \mu } { T } + \frac 1 T { \cal K } , } \\ { \pounds _ { \beta } \xi } & { { } = c _ { \phi } \! \left( \mathrm { d } \frac { \mu } { T } + \iota _ { \beta } F \right) + \mathrm { d } { \cal K } + \frac 1 T \tilde { \ell } \, { \cal V } . } \end{array}
F _ { i } \mapsto x _ { i i } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { i } x _ { j i } \partial _ { x _ { j i } } - \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } x _ { j i - 1 } \partial _ { x _ { j i - 1 } } \right) - \sum _ { j = i + 1 } ^ { n } x _ { i j } \partial _ { x _ { i + 1 , j } } + \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } x _ { j i } \partial _ { x _ { j i - 1 } } + \mu _ { i } x _ { i i } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } ( \mathbf { x } , \omega ) = } & { { } \frac { 1 } { c } \frac { e ^ { j k R } } { R } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } \mathbf { J } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega \right) e ^ { - j k \mathbf { n } \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } } } \\ { = } & { { } { \hat { \mathbf { x } } } \frac { 2 J _ { \mathrm { a } } ( \omega ) } { c } \frac { e ^ { j k R } } { k R } \frac { \sin \left( L k \sin ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } \right) } { 1 - \cos \theta } } \end{array}
\frac { \sigma _ { D _ { s } } } { \sigma _ { \mathrm { \tiny i n e l } } } = \frac { A _ { \mathrm { \tiny C u } } \left[ { { \sigma \left( { D _ { s } } \right) } \mathord { \left/ { \vphantom { { \sigma \left( { D _ { s } } \right) } { \sigma \left( D \right) } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { \sigma \left( D \right) } } \right] \sigma _ { D } ^ { \mathrm { \tiny n u c l e o n } } } { \sigma _ { \mathrm { \tiny i n e l } } ^ { \mathrm { \tiny C u } } } = 2 . 9 8 \times 1 0 ^ { - 4 } \ \ ,
\begin{array} { r } { \left( 1 - \int _ { \mathcal { S } } q _ { \theta } ( \phi ) \textrm { d } \phi \right) ^ { N } > \left( 1 - \epsilon \int _ { \mathcal { S } } p ( \phi ) d \phi \right) ^ { N } \approx 1 - \epsilon N \int _ { \mathcal { S } } p ( \phi ) d \phi . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \alpha n - 1 ) ! _ { ( \alpha ) } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } { \binom { n - 1 } { k + 1 } } ( - 1 ) ^ { k } \times \left( { \frac { 1 } { \alpha } } \right) _ { - ( k + 1 ) } \left( { \frac { 1 } { \alpha } } - n \right) _ { k + 1 } \times { \bigl ( } \alpha ( k + 1 ) - 1 { \bigr ) } ! _ { ( \alpha ) } { \bigl ( } \alpha ( n - k - 1 ) - 1 { \bigr ) } ! _ { ( \alpha ) } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } { \binom { n - 1 } { k + 1 } } ( - 1 ) ^ { k } \times { \binom { { \frac { 1 } { \alpha } } + k - n } { k + 1 } } { \binom { { \frac { 1 } { \alpha } } - 1 } { k + 1 } } \times { \bigl ( } \alpha ( k + 1 ) - 1 { \bigr ) } ! _ { ( \alpha ) } { \bigl ( } \alpha ( n - k - 1 ) - 1 { \bigr ) } ! _ { ( \alpha ) } \, , } \end{array} }
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \| e ^ { t A } \vec { x } \| ^ { \frac { 1 } { t } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \| e ^ { ( t + s ) A } \vec { x } \| ^ { \frac { 1 } { t + s } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \| e ^ { ( t + s ) A } \vec { x } \| ^ { \frac { 1 } { t } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \| e ^ { t A } ( e ^ { s A } \vec { x } ) \| ^ { \frac { 1 } { t } } .
E _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \Big ( E _ { C } + E _ { X } - i \hbar ( \gamma _ { X } + \gamma _ { C } ) \pm \sqrt { ( \delta - i \hbar ( \gamma _ { C } - \gamma _ { X } ) ) ^ { 2 } + ( \hbar \Omega _ { R } ) ^ { 2 } } \Big )
i \Pi _ { 2 } ^ { \mu \nu } = \frac { - 4 e ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { [ 2 k ^ { \mu } k ^ { \nu } + g ^ { \mu \nu } ( - k ^ { 2 } + p \cdot k + m ^ { 2 } ] ( k - p ) ^ { 2 } } { [ ( p - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] } \, .
J _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \| \mathbf { X } _ { i } - \mathbf { X } _ { j } \| \leq \varepsilon _ { x } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \| \mathbf { Y } _ { i } - \mathbf { Y } _ { j } \| \leq \varepsilon _ { y } } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { M _ { N , T } ^ { * } } } & { \leq C \left\lbrace \log ( N ) \log ( T ) \psi _ { N } ^ { 2 } \left[ d _ { N } \sqrt { \phi _ { N , T } } + \sqrt { \frac { \log ( N ) } { T } } + \xi _ { N , T } \psi _ { N } ^ { 2 } \right] \right. } \\ & { \left. \qquad + ( \tilde { S } ^ { * } d _ { N } ^ { * } ) ^ { 2 } \left[ \frac { \log ( N ) ^ { 3 / 2 } \log ( T ) } { \sqrt { T } } + \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) ^ { 2 } } { T } \right] + \sqrt { \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) \log ( N T ) } { T } } \right\rbrace . } \end{array}
\mathcal { N } \left( \hat { M } ^ { 2 l } \right) = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { e n s } } \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { e = 1 } ^ { N _ { e n s } } \sum _ { t _ { i } } \left( \hat { M } _ { e } ^ { 2 l } ( t _ { i } ) - \overline { { \hat { M } ^ { 2 l } } } ( t _ { i } ) \right) ^ { 2 } } ,
\mathrm { M a x } ( 3 - 4 . 1 \Biggl ( { \frac { \mathrm { T e V } } { M _ { V } } } \Biggr ) ^ { 2 } , \ 0 ) \leq a \leq 3 + 4 . 1 \Biggl ( { \frac { \mathrm { T e V } } { M _ { V } } } \Biggr ) ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l r } { C _ { 1 } } & { { } : = } & { \{ ( i , r ) : i + r > i ^ { * } + r ^ { * } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } i \alpha p _ { r } < l _ { i } r \} } \\ { C _ { 2 } } & { { } : = } & { \{ ( i , r ) : i + r < i ^ { * } + r ^ { * } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } i \alpha p _ { r } < l _ { i } r \} } \\ { C _ { 3 } } & { { } : = } & { \{ ( i , r ) : i + r < i ^ { * } + r ^ { * } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } i \alpha p _ { r } > l _ { i } r \} } \\ { C _ { 4 } } & { { } : = } & { \{ ( i , r ) : i + r > i ^ { * } + r ^ { * } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } i \alpha p _ { r } > l _ { i } r \} . } \end{array}
F _ { i } = - \int _ { S _ { p } } \sigma _ { i j } n _ { j } d S , \quad T _ { i } = - \int _ { S _ { p } } \epsilon _ { i k l } ( x _ { k } - x _ { k } ^ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } ) \sigma _ { l j } n _ { j } d S ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } v _ { i } + v _ { j } \partial _ { j } v _ { i } + \frac { 1 } { m n } \partial _ { j } \left[ \frac { \hbar n } { 2 } \left( \epsilon _ { i k } \partial _ { k } v _ { j } + \epsilon _ { j k } \partial _ { i } v _ { k } \right) \right] + \frac { 1 } { m } \partial _ { i } V ^ { \prime } ( n ) + \frac { \hbar } { m } \partial _ { i } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { 0 } + a _ { 0 } \right) - \frac { \hbar } { m } \partial _ { t } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { i } + a _ { i } \right) } \\ & { + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \epsilon _ { j k } \partial _ { i } \partial _ { k } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { j } + a _ { j } \right) + \frac { \hbar } { m } \epsilon _ { i j } \epsilon _ { k l } v _ { j } \partial _ { k } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { l } + a _ { l } \right) = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \delta \mathbf { W } _ { i , j } } { \mathrm { d t } } = } & { \left( \frac { \mathrm { d } \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathrm { d } { \mathbf { W } _ { i , j } } } \right) ^ { - 1 } \left[ - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } + \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } + \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { W } _ { i , j } \right. } \\ & { - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } - \mu _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \delta \mathbf { W } _ { i + 1 , j } - \left( \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { R } - \mu _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { W } _ { i , j + 1 } } \\ & { - \left( \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { L } - \mu _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \delta \mathbf { W } _ { i - 1 , j } - \left( \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { L } - \mu _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } \right) \delta \mathbf { W } _ { i , j - 1 } } \\ & { \left. + \mu _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { W } _ { i + 2 , j } + \mu _ { i , j + 1 / 2 } ^ { R } \delta \mathbf { W } _ { i , j + 2 } + \mu _ { i - 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { W } _ { i - 2 , j } + \mu _ { i , j - 1 / 2 } ^ { L } \delta \mathbf { W } _ { i , j - 2 } \right] } \end{array} ,
\begin{array} { r } { s ( \widehat { L } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \widehat { L } ^ { \frac { 2 \gamma } { D } } \qquad \qquad } & { \ \alpha - \beta = - 1 } \\ { e ^ { \frac { 2 \gamma \widehat { L } ^ { 1 + \alpha - \beta } } { D ( 1 + \alpha - \beta ) } } \qquad \qquad } & { \ \alpha - \beta \neq - 1 \ . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial H _ { x } } { \partial t } } & { = } & { - \frac { \partial E _ { z } } { \partial y } } \\ { \frac { \partial H _ { y } } { \partial t } } & { = } & { \frac { \partial E _ { z } } { \partial x } } \\ { \frac { \partial E _ { z } } { \partial t } } & { = } & { \frac { \partial H _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial H _ { x } } { \partial y } . } \end{array}
G _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \zeta _ { 1 } , \cdots , \zeta _ { 2 n } ) = \sum _ { \varepsilon _ { j } = \pm } v _ { \varepsilon _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes v _ { \varepsilon _ { 2 n } } G _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \zeta _ { 1 } , \cdots , \zeta _ { 2 n } ) ^ { \varepsilon _ { 1 } \cdots \varepsilon _ { 2 n } } ,
\begin{array} { r l } { w _ { g } ( v _ { i } ) } & { = \sum _ { x \in N T _ { H } ( v _ { i } ) } g ( x ) } \\ & { = g ( x _ { i } ) + g ( e _ { i } ) + \sum _ { x \in N T _ { G } ( v _ { i } ) } g ( x ) } \\ & { = ( 3 n + m + 1 ) + \sum _ { x \in N T _ { G } ( v _ { i } ) } g ( x ) } \\ & { = ( 3 n + m + 1 ) + \sum _ { u \in N _ { G } ( v _ { i } ) } g ( u ) + \sum _ { u v _ { i } \in E ( G ) } g ( u v _ { i } ) } \\ & { = ( 3 n + m + 1 ) + \sum _ { u \in N _ { G } ( v _ { i } ) } f ( u ) + \sum _ { u v _ { i } \in E ( G ) } ( 2 n + f ( u v _ { i } ) ) } \\ & { = ( 3 n + m + 1 ) + 2 n r + \sum _ { u \in N _ { G } ( v _ { i } ) } f ( u ) + \sum _ { u v _ { i } \in E ( G ) } f ( u v _ { i } ) } \\ & { = ( 3 n + m + 1 ) + 2 n r + w _ { f } ( v _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ t ] } & { { } 0 . 8 1 \cdot 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 1 } 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 1 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 2 } 5 g _ { 7 / 2 } ^ { 4 } + } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf f } _ { \textrm { G F } } } & { = } & { - \frac { \partial ( \mathscr { H } _ { \textrm { G F } } + \mathscr { H } _ { \textrm { a d d } } ) } { \partial { \bf r } _ { \textrm { G F } } } } \\ & { } & { - \frac { \partial ( \mathscr { H } _ { \textrm { Q M } } - \mathscr { H } _ { \textrm { r e m o v e } } ) } { \partial { \bf r } _ { \textrm { c a p } } } \frac { \partial { \bf r } _ { \textrm { c a p } } } { \partial { \bf r } _ { \textrm { G F } } } } \\ { { \bf f } _ { \textrm { l i n k } } } & { = } & { - \frac { \partial ( \mathscr { H } _ { \textrm { Q M } } + \mathscr { H } _ { \textrm { a d d } } - \mathscr { H } _ { \textrm { r e m o v e } } ) } { \partial { \bf r } _ { \textrm { l i n k } } } } \\ & { } & { - \frac { \partial ( \mathscr { H } _ { \textrm { Q M } } - \mathscr { H } _ { \textrm { r e m o v e } } ) } { \partial { \bf r } _ { \textrm { c a p } } } \frac { \partial { \bf r } _ { \textrm { c a p } } } { \partial { \bf r } _ { \textrm { l i n k } } } } \\ { \frac { \partial { \bf r } _ { \textrm { c a p } } } { \partial { \bf r } _ { \textrm { G F } } } } & { = } & { \frac { r _ { { \textrm e q } } } { | { \bf r } _ { \textrm { G F } } - { \bf r } _ { \textrm { l i n k } } | } \left( I - { \bf u } _ { \textrm { l i n k - G F } } ( { \bf u } _ { \textrm { l i n k - G F } } ) ^ { T } \right) } \\ { \frac { \partial { \bf r } _ { \textrm { c a p } } } { \partial { \bf r } _ { \textrm { l i n k } } } } & { = } & { I - \frac { \partial { \bf r } _ { \textrm { c a p } } } { \partial { \bf r } _ { \textrm { G F } } } } \end{array}
\theta d \eta - \frac { 1 } { 2 } ( p - p _ { 0 } ) d v + \frac { 1 } { 2 } ( v - v _ { 0 } ) d p - \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \mathcal { M } ^ { 2 } } \theta d \theta + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { G } \left( \theta ^ { 2 } - \theta _ { 0 } ^ { 2 } \right) d v = 0 .
C _ { 1 \mp 2 } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 1 \mp 2 } ^ { c } \right) ^ { 2 } + \left( \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 1 \mp 2 } ^ { s } \right) ^ { 2 } } ,
\lambda _ { 1 } \equiv \frac { \langle B | \bar { h } ( i D ) ^ { 2 } h | B \rangle } { 2 m _ { B } } \qquad \quad \lambda _ { 2 } \equiv \frac { 1 } { 6 } \frac { \langle B | \bar { h } g \sigma \cdot G h | B \rangle } { 2 m _ { B } }
\vec { E } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { e ^ { j \varphi _ { { x } } } + e ^ { j \varphi _ { { y } } } } \\ { e ^ { j \varphi _ { { x } } } - e ^ { j \varphi _ { { y } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \Phi ( r ) } & { = \alpha f _ { \mathrm { s } } ( r ) + \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 4 } f _ { \mathrm { d } } ( r ) , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \xi = \frac { \gamma } { g } , \quad \alpha = \frac { \sqrt { \beta } } { \pi \mathrm { ~ B o ~ } \left( \mathrm { K } _ { 0 } ( \sqrt { \mathrm { B o } } ) + 2 \mathrm { K } _ { 1 } ( \sqrt { \mathrm { B o } } ) / \sqrt { \mathrm { B o } } \right) } , } \\ { f _ { \mathrm { s } } ( r ) } & { = \mathrm { K } _ { 1 } ( \sqrt { \beta } r ) \quad \mathrm { a n d } \quad f _ { \mathrm { d } } ( r ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \mathrm { R e } \left[ k _ { j } \frac { \mathrm { H } _ { - 1 } ( - k _ { j } r ) + \mathrm { Y } _ { 1 } ( - k _ { j } r ) } { 1 + \beta / 3 k _ { j } ^ { 2 } + ( 4 / 3 ) \mathrm { i } \epsilon / k _ { j } + ( 4 / 3 ) \epsilon ^ { 2 } k _ { j } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ( w ) } & { { } = \frac { ( 1 - w ^ { - 1 } ) ( ( c + 1 ) ( 1 - \vartheta ) - 1 ) } { ( ( 1 - \vartheta ) w ^ { c } + \vartheta w ^ { - 1 } ) - 1 } = \frac { ( w - 1 ) ( 1 - ( 1 - \vartheta ) ( c + 1 ) ) } { w - \vartheta - ( 1 - \vartheta ) w ^ { c + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { a d d } } ^ { * } } & { { } = \frac { { N _ { \mathrm { r } } } N \zeta ^ { 2 } ( { N _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } + N ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } ) } { { N _ { \mathrm { r } } } \zeta ^ { 2 } ( { N _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } - N ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } ) + \zeta _ { \mathrm { a d d } } ^ { 2 } ( { N _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } + N ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \; , } \end{array}
{ \hat { F } } _ { C } = C _ { 1 } \hat { w } _ { f } \hat { C } _ { f } = - C _ { 1 } \frac { \hat { w } _ { f } ^ { 2 } } { R _ { 0 } ( \hat { \lambda } _ { f } + \tau \hat { l } _ { f } ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l r } { F _ { n + 1 / 2 } } & { { } = } & { \sum _ { b _ { k } \in \partial V _ { j } } ( \mathbf n _ { k } \cdot \mathbf v ) f ( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n } + \frac { \Delta t } { 2 } ) S _ { k } } \end{array}
B = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) \partial _ { \zeta } ^ { 2 } + ( \zeta \partial _ { \zeta } ) ^ { 2 } + \frac { c ^ { \prime } + d - 5 } { 2 } \zeta \partial _ { \zeta } - m ^ { i j } \zeta ^ { i } \partial _ { \zeta ^ { j } } - \lambda ( \lambda + \frac { c ^ { \prime } + d - 3 } { 2 } ) \, .
+ \frac { y ^ { 1 } z ^ { 6 } } { 1 ^ { a } 6 ^ { b } } + \frac { y ^ { 2 } z ^ { 6 } } { 2 ^ { a } 6 ^ { b } } + \frac { y ^ { 3 } z ^ { 6 } } { 3 ^ { a } 6 ^ { b } } + \frac { y ^ { 4 } z ^ { 6 } } { 4 ^ { a } 6 ^ { b } } + \frac { y ^ { 5 } z ^ { 6 } } { 5 ^ { a } 6 ^ { b } } + \frac { y ^ { 6 } z ^ { 6 } } { 6 ^ { a } 6 ^ { b } } + \frac { y ^ { 7 } z ^ { 6 } } { 7 ^ { a } 6 ^ { b } } + \cdots
G _ { E } ^ { \ i j i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ( \mu , X , X ^ { \prime } ) = 4 \kappa \sum _ { p = 3 i } ^ { i \infty } \frac { i } { 2 p } \frac { \Psi _ { p } ^ { r } ( X ) \Psi _ { p } ^ { l } ( X ^ { \prime } ) } { ( 1 + p ^ { 2 } ) } W _ { ( p ) } ^ { \ i j i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ( \mu ) .