harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \bar { K } _ { \nu } ( z ) } { \bar { I } _ { \nu } ( z ) } F _ { \mathrm { s } } [ I _ { \nu } ( z ) ] \sim \left( \delta _ { B 0 } - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( 1 - \frac { S ^ { ( a s ) } } { 2 z } + \cdots \right) ,
\begin{array} { r c l } { { { \cal A } } } & { { = } } & { { \displaystyle \exp [ - i ( p _ { 2 } \wedge p _ { 1 } + p _ { 3 } \wedge p _ { 4 } ) ] ~ e ^ { 2 } \bar { v } _ { 2 } 2 \rlap / p _ { 3 } u _ { 1 } } } \\ { { } } & { { \times } } & { { \displaystyle s ^ { - 1 } \left[ 1 + i \theta _ { 0 j } ( p _ { 1 } - p _ { 3 } ) ^ { j } \sqrt { s } \right] , } } \\ { { \displaystyle \frac { d \sigma ^ { H ^ { \pm } } } { d \Omega } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \alpha ^ { 2 } } { 8 s } \beta _ { \pm } ^ { 3 } s _ { \theta } ^ { 2 } f ^ { H ^ { \pm } } , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { O } _ { T ^ { 2 } } } & { = } & { - \mathrm { i } \kappa ^ { 2 } \, \frac { 2 \kappa \lambda \cosh ( { \gamma } ) ( u + \Bar { u } ) - 4 \kappa \lambda \sinh ( { \gamma } ) \sqrt { u \Bar { u } } + \mathrm { i } ( 1 - \kappa ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } ) ( u - \Bar { u } ) } { ( 1 + \kappa ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } ) u \Bar { u } ( u - \Bar { u } ) } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { \mathcal { R } } & { = } & { ~ \mathrm { i } \kappa \, \frac { \sinh ( { \gamma } ) ( u + \Bar { u } ) - 2 \cosh ( { \gamma } ) \sqrt { u \Bar { u } } } { 2 ( u - \Bar { u } ) ( 1 + \lambda ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } ) u \Bar { u } } ~ . } \end{array}
\Omega _ { p m } ( \mathbf { r } ) = \Omega _ { p 0 } \left( \mathbf { r } / R _ { 0 } \right) ^ { | l _ { m } | } e ^ { - \mathbf { r } ^ { 2 } / R _ { 0 } ^ { 2 } } e ^ { i l _ { m } \phi } e ^ { i k _ { p } { z } } .
{ \begin{array} { r l } { A } & { = \ln \left( { \frac { \ell } { r } } + { \sqrt { \left( { \frac { \ell } { r } } \right) ^ { 2 } + 1 } } \right) } \\ { B } & { = { \frac { 1 } { { \frac { r } { \ell } } + { \sqrt { 1 + \left( { \frac { r } { \ell } } \right) ^ { 2 } } } } } } \\ { C } & { = { \frac { 1 } { 4 + r { \sqrt { { \frac { 2 } { \rho } } \omega \mu } } } } } \end{array} }
\phi _ { \mu } ( \mathbf { r } ) ^ { * } \phi _ { \nu } ( \mathbf { r } ) \approx \sum _ { P } ^ { N _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ D ~ F ~ } } } \phi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } \phi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { P } ) \xi _ { P } ^ { [ n n ] } ( \mathbf { r } )
\begin{array} { r l } { a + b } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { H _ { p } \mathrm { ~ i f ~ } a = b , \, a , b \ne 0 } \\ { \{ a , b \} \mathrm { ~ i f ~ } a \ne b , \, a , b \ne 0 } \\ { \{ a \} \mathrm { ~ i f ~ } b = 0 } \\ { \{ b \} \mathrm { ~ i f ~ } a = 0 } \end{array} \right. } \\ { a \cdot b } & { = k \mathrm { ~ w h e r e ~ } 0 \le k < p \mathrm { ~ a n d ~ } k \equiv a b \mathrm { ~ m o d ~ p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { p } ( t , p ) } & { = ( y _ { p p } ^ { t } ) ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y ^ { t } - y ^ { m } ) + ( y _ { p } ^ { t } ) ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } y _ { p } ^ { t } + \Sigma _ { p } ^ { - 1 } } \\ & { = ( y _ { p p } ^ { t } ) ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y ^ { t } - y ^ { m } ) + t ^ { 2 } ( y _ { \mathcal { D } } - y ) _ { p } ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y _ { \mathcal { D } } - y ) _ { p } + 2 t ( y _ { \mathcal { D } } - y ) _ { p } ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } y _ { p } + y _ { p } ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } y _ { p } + \Sigma _ { p } ^ { - 1 } } \\ & { = ( y _ { p p } ^ { t } ( p ) ) ^ { T } \left( \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y ^ { t } ( p ) - y ( p ) + y ( p ) - y ( p ^ { * } ) + y ( p ^ { * } ) - y ^ { m } ) \right) } \\ & { \quad + t ^ { 2 } ( y _ { \mathcal { D } } - y ) _ { p } ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y _ { \mathcal { D } } - y ) _ { p } + 2 t ( y _ { \mathcal { D } } - y ) _ { p } ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } y _ { p } } \\ & { \quad + ( y _ { p } ( p ) - y _ { p } ( p ^ { * } ) ) ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y _ { p } ( p ) - y _ { p } ( p ^ { * } ) ) + 2 ( y _ { p } ( p ) - y _ { p } ( p ^ { * } ) ) ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } y _ { p } ( p ^ { * } ) } \\ & { \quad + y _ { p } ( p ^ { * } ) ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } y _ { p } ( p ^ { * } ) + \Sigma _ { p } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } ( \beta , k , \sigma , \alpha , \tilde { \alpha } , l ; \hbar ) = } & { \sum _ { ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \tilde { x } } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { 2 k - 4 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \delta ( x _ { \sigma _ { i } } - \tilde { x } _ { \sigma _ { i } } ) } { \rho } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathcal { I } _ { 2 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k , s _ { k + \beta + 1 } ; \alpha , \boldsymbol { x } , \hbar ) \varphi ( x ) \overline { { \mathcal { I } _ { 2 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k , s _ { k + \beta + 1 } ; \tilde { \alpha } , \boldsymbol { \tilde { x } } , \hbar ) \varphi ( x ) } } \, d x d s _ { k + \beta + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { N + 1 | k } ^ { \mathrm { ( r i ) } } } & { = 1 - \sum _ { f = k } ^ { N } \binom { N } { f } p ^ { N - f } ( 1 - p ) ^ { f } } \\ & { - \sum _ { f = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( N , k - 1 ) } \binom { N } { f } p ^ { N - f } ( 1 - p ) ^ { f } } \\ & { \times \sum _ { m = k - f } ^ { k } \binom { k } { m } \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( N ) \right] ^ { k - m } \left[ 1 - \eta _ { \mathrm { r r } } ( N ) \right] ^ { m } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } r } ~ \Delta ^ { * } \psi } & { { } = J _ { 0 } } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { V } , } \\ { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } r } ~ \Delta ^ { * } \psi } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega \setminus \Omega ^ { V } , } \\ { \psi } & { { } = 0 , } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial \Omega ; } \end{array}
\mathrm { I n d } ( P F _ { 0 } P ^ { * } | _ { \mathrm { R a n } ( P ) } ) = \mathrm { I n d } ( R F _ { 0 } R ^ { * } + { \bf 1 } - R R ^ { * } ) = \mathrm { I n d } ( Q F _ { 0 } Q + { \bf 1 } - Q )
\Lambda \eta \, = \, \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta \bigr \} + \{ \Psi \, , \eta _ { 0 } \bigr \} \, , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \phi _ { 0 } \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \, L \eta _ { 0 } \, , \quad \Psi \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \, L \eta \, .
\hat { c } = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { c } } _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ L ~ } } \, \, \mathrm { ~ ( ~ E ~ q ~ . ~ ) ~ } , \quad y \leq y _ { i } } \\ { \overline { { c } } _ { \mathrm { ~ T ~ W ~ L ~ } } \, \, \mathrm { ~ ( ~ E ~ q ~ . ~ ) ~ } , \quad y > y _ { i } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ( J _ { t } + K _ { t } ) } { \partial e _ { i , t } } } & { = \frac { D _ { i } } { D } ( \frac { 2 c _ { 1 } } { L } - \frac { \eta M \sigma _ { i } ^ { 2 } } { 2 L D } ) , } \\ { \frac { \partial e _ { i , t } } { \partial d _ { i , t } } } & { \approx \frac { \theta B N _ { 0 } \alpha ( d _ { i , t - 1 } ) ^ { \alpha - 1 } } { \rho _ { i } A _ { i } } \exp { \left( - \frac { \theta B N _ { 0 } } { \mathbb { E } | h _ { i , t } | ^ { 2 } \rho _ { i } } \right) } , } \\ { \frac { \partial d _ { i , t } } { \partial v _ { x } ^ { t } } } & { \approx \frac { ( x ^ { t - 1 } - x _ { i } ^ { t - 1 } ) + ( v _ { x } ^ { t } - v _ { x _ { i } } ^ { t } ) } { d _ { i , t - 1 } } = \frac { \Tilde { x } _ { i } ^ { t - 1 } + ( v _ { x } ^ { t } - v _ { x _ { i } } ^ { t } ) } { d _ { i , t - 1 } } , } \\ { \frac { \partial d _ { i , t } } { \partial v _ { y } ^ { t } } } & { \approx \frac { ( y ^ { t - 1 } - y _ { i } ^ { t - 1 } ) + ( v _ { y } ^ { t } - v _ { y _ { i } } ^ { t } ) } { d _ { i , t - 1 } } = \frac { \Tilde { y } _ { i } ^ { t - 1 } + ( v _ { y } ^ { t } - v _ { y _ { i } } ^ { t } ) } { d _ { i , t - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { \mathrm { B } } ^ { \mathrm { c l } } } & { { } = \prod _ { n } \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \mathbf { X } _ { \omega _ { n } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \mathbf { P } _ { \omega _ { n } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \beta \left( \mathbf { P } _ { \omega _ { n } } ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } \mathbf { X } _ { \omega _ { n } } ^ { 2 } \right) } \right] } \end{array}
\eta ( x , t ) = \Lambda _ { 0 } k ^ { 2 } \mathrm { c n } ^ { 2 } ( W _ { 0 } \xi , k ) + \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 4 } } { 4 h _ { 0 } } \mathrm { c n } ^ { 4 } ( W _ { 0 } \xi , k ) .
d _ { \mathrm { H } } ( \widehat { \mathcal { C } } , \mathcal { C } ) = \frac { 1 } { T } \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { m a x } _ { x \in { \widehat { \mathcal { C } } } } \operatorname* { m i n } _ { y \in { \mathcal { C } } } \{ \vert x - y \vert \} , \operatorname* { m a x } _ { y \in { \widehat { \mathcal { C } } } } \operatorname* { m i n } _ { x \in { \mathcal { C } } } \{ \vert x - y \vert \} \} .
\alpha _ { 0 } = { \frac { \mathbf { r } _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { 0 } } { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A p } _ { 0 } } } = { \frac { { \left[ \begin{array} { l l } { - 8 } & { - 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } } { { \left[ \begin{array} { l l } { - 8 } & { - 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 1 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } } } = { \frac { 7 3 } { 3 3 1 } } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\varepsilon _ { 0 } ^ { \beta } = \frac { | e | H } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p \; \epsilon _ { n } \left\{ \frac { - 2 + \mathrm { e } ^ { \beta \epsilon _ { n } } } { 1 - \mathrm { e } ^ { \beta \epsilon _ { n } } } \right\} .
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } } & { \leq 4 \hat { L } ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } + 1 2 \bar { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } D _ { \ell } + 8 ( I - 1 ) \zeta ^ { 2 } + 4 ( I - 1 ) G ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 \hat { L } ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } + 1 2 \bar { L } ^ { 2 } I ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { \ell } + 8 ( I - 1 ) \zeta ^ { 2 } + 4 ( I - 1 ) G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 4 ( I - 1 ) G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { a } = \frac { m _ { f } N _ { \mathrm { ~ a ~ b ~ s ~ } } } { \rho _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ } } V _ { \mathrm { ~ u ~ c ~ } } + m _ { f } N _ { \mathrm { ~ a ~ b ~ s ~ } } } \times 1 0 0 , } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { { < N _ { 4 } > } } & { { = } } & { { < \bar { N } _ { 1 } > ^ { * } } } & { { = } } & { { M _ { X } , } } \\ { { < \nu _ { 5 } ^ { c } > } } & { { = } } & { { < \bar { \nu } _ { 2 } ^ { c } > ^ { * } } } & { { = } } & { { M _ { B - L } . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { E _ { \rho ^ { \prime } } ^ { \prime } = } & { { \frac { \left( 8 e / \alpha ^ { 2 } \right) \rho ^ { \prime } z ^ { \prime } } { \xi ^ { \prime 3 } } } } \\ { E _ { z ^ { \prime } } ^ { \prime } = } & { { \frac { - \left( 4 e / \alpha ^ { 2 } \right) 1 / \alpha ^ { 2 } + t ^ { \prime 2 } + \rho ^ { \prime 2 } - z ^ { \prime 2 } } { \xi ^ { \prime 3 } } } } \\ { E _ { \varphi ^ { \prime } } ^ { \prime } = } & { H _ { \varphi ^ { \prime } } ^ { \prime } = H _ { z ^ { \prime } } ^ { \prime } = 0 } \\ { H _ { \varphi ^ { \prime } } ^ { \prime } = } & { { \frac { \left( 8 e / \alpha ^ { 2 } \right) \rho ^ { \prime } t ^ { \prime } } { \xi ^ { \prime 3 } } } } \\ { \xi ^ { \prime } = } & { { \sqrt { \left( 1 / \alpha ^ { 2 } + t ^ { \prime 2 } - \rho ^ { \prime 2 } - z ^ { \prime 2 } \right) ^ { 2 } + \left( 2 \rho ^ { \prime } / \alpha \right) ^ { 2 } } } } \end{array} }
\sqrt { \frac { p _ { 0 } + p _ { 1 } } { p _ { 0 } - p _ { 1 } } } = \sqrt { \frac { M x } { 2 p _ { 0 } - M x } } = \sqrt { \frac { M x } { 2 p _ { 0 } } } \left( 1 - \frac { M x } { 2 p _ { 0 } } \right) ^ { - \frac 1 2 } = \left( \frac { M x } { 2 p _ { 0 } } \right) ^ { \frac 1 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } { \binom { - \frac 1 2 } { j } } ( - 1 ) ^ { j } \left( \frac { M x } { 2 p _ { 0 } } \right) ^ { j }
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 1 } } & { { } = \left( 1 , 0 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 3 } } & { { } = \left( 1 , 1 \right) , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 2 } } & { { } = \left( 0 , 1 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 4 } } & { { } = \left( 1 , - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { l e x } ( r ) \! } & { \leq \! 2 \left( \! 2 V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { A _ { 0 } ( 0 ) \cap A _ { 0 } ( r \operatorname* { m i n } ( 2 , c ) ) } \! \! f ( A , - s ) ^ { 2 } d s d \xi \pi ( d A ) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { = \! 2 \sqrt { 2 C o v ( \boldsymbol { Z } _ { 0 } ( 0 ) , \boldsymbol { Z } _ { 0 } ( r \operatorname* { m i n } ( 2 , c ) ) ) } , } \end{array}
\vec { P } ( t ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } ~ \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \rho _ { 2 } \partial _ { t } \rho _ { 1 } - \rho _ { 1 } \partial _ { t } \rho _ { 2 } \right) \hat { R } - ( \rho _ { 1 } \vec { J } _ { 2 } + \rho _ { 2 } \vec { J } _ { 1 } ) R ^ { - 1 } \right]
\begin{array} { r l } { F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) \geq } & { F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } + \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } ) - \nabla F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } + \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } ) ^ { T } \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } + \frac { u } { 2 } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\pi _ { \mathrm { P F } } ^ { ( N ) } ( f ) : = \sum _ { i = 1 } ^ { N } W _ { 1 } ^ { i } f ( X _ { 0 } ^ { i } ) , \quad W _ { 1 } ^ { i } = \frac { e ^ { - \frac { | Z _ { 1 } - X _ { 0 } ^ { i } | ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { w } ^ { 2 } } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } e ^ { - \frac { | Z _ { 1 } - X _ { 0 } ^ { i } | ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { w } ^ { 2 } } } } .
r = \frac { r ^ { * } } { R } , ~ ~ ~ z = \frac { z ^ { * } } { h _ { 0 } } , ~ ~ ~ u _ { r } = \frac { u _ { r } ^ { * } } { \Omega R } , ~ ~ ~ u _ { \theta } = \frac { u _ { \theta } ^ { * } } { \Omega R } , ~ ~ ~ u _ { z } = \frac { u _ { z } ^ { * } } { \Omega h _ { 0 } } , ~ ~ ~ p = \frac { p ^ { * } } { \mu _ { 0 } \Omega R ^ { 2 } / h _ { 0 } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ \mu = \frac { \mu ^ { * } } { \mu _ { 0 } } , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ t = \Omega t ^ { * } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \Delta G _ { \omega } \, - \, \omega ^ { 2 } G _ { \omega } = - \delta ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) \, , \quad { \bf x } \in \Omega \, ; \qquad \partial _ { n } G _ { \omega } = 0 \, , \quad { \bf x } \in \partial \Omega \, ; } \\ & { } & { G _ { \omega } \sim - \frac { 1 } { 2 \pi } \log | { \bf x } - { \bf x } _ { j } | + R _ { \omega } ( { \bf x } _ { j } ) + o ( 1 ) \, , \quad \mathrm { a s } \quad { \bf x } \to { \bf x } _ { j } \, . } \end{array}
a _ { n } { \frac { d ^ { n } y } { d t ^ { n } } } + a _ { n - 1 } { \frac { d ^ { n - 1 } y } { d t ^ { n - 1 } } } + \cdots + a _ { 1 } { \frac { d y } { d t } } + a _ { 0 } y = f ( t ) \qquad \qquad \quad ( 1 )
\left( D _ { \mu } ^ { a } \right) \, = \, \left( \begin{array} { c } { { \partial _ { \mu } } } \\ { { \partial _ { \mu } } } \\ { { \partial _ { \mu } \, + \, \frac { i g } { 2 } \sigma ^ { 3 } \mathcal { A } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { L } & { = L _ { D } + L _ { N } + L _ { O } } \\ & { = | | H \varPsi _ { 2 } - E _ { 2 } \varPsi _ { 2 } | | ^ { 2 } } \\ & { + \lambda _ { N } ( | | \varPsi _ { 2 } | | - 1 ) ^ { 2 } } \\ & { + \lambda _ { O } \langle \varPsi _ { 2 } | \varPsi _ { 1 } \rangle \vphantom { ( | | \varPsi _ { 2 } | | - 1 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 1 } ( x ) } & { { } = C _ { 2 } + C _ { 1 } r _ { \lambda } ( x ) } \\ { \Phi _ { - 1 } ( x ) } & { { } = C _ { 2 } - C _ { 1 } r _ { \lambda } ( - x ) , } \end{array}
\partial _ { \psi _ { j } } \mathsf { G } _ { p _ { j } } = 0 , \qquad - \epsilon _ { p _ { j } } \epsilon _ { \psi _ { j } } \, \frac { \partial _ { p _ { j } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { p _ { j } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } } = - \frac { p _ { j } } { \mathsf { A } } \, .
R _ { Q E D } ^ { t h r } = \frac { v ( 3 - v ^ { 2 } ) } { 2 } \left[ 1 + \frac { \alpha _ { V } ( 4 \vec { p } \, ^ { 2 } ) } { \pi } \frac { \pi ^ { 2 } ( 1 + v ^ { 2 } ) } { 2 v } \right] .
\begin{array} { r } { G _ { n } ^ { ( 1 ) } - \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) d t = x ^ { \sigma _ { 0 } } f ( x ) \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \beta _ { i , k } } { x ^ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e ^ { - \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } } } & { { } = } & { \delta \, \zeta \, e ^ { - \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } + \beta \, \varepsilon \, e ^ { \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } - 2 \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } + \alpha \, \gamma \, e ^ { \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } - 2 \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } } \end{array}
\begin{array} { l } { S } \\ { S ( 4 , 1 , 2 ) _ { H } ( { \bar { 4 } } , 1 , 2 ) _ { H } } \\ { S ( 1 , 2 , 2 ) _ { H } ( 1 , 2 , 2 ) _ { H } } \\ { ( 6 , 1 , 1 ) _ { H } ( 4 , 1 , 2 ) _ { H } ( 4 , 1 , 2 ) _ { H } } \\ { ( 6 , 1 , 1 ) _ { H } ( { \bar { 4 } } , 1 , 2 ) _ { H } ( { \bar { 4 } } , 1 , 2 ) _ { H } } \\ { ( 1 , 2 , 2 ) _ { H } ( 4 , 2 , 1 ) _ { i } ( { \bar { 4 } } , 1 , 2 ) _ { j } } \\ { ( 4 , 1 , 2 ) _ { H } ( { \bar { 4 } } , 1 , 2 ) _ { i } \phi _ { j } } \end{array}
y _ { \mathrm { k S Z } } \equiv \frac { \Delta T _ { \mathrm { k S Z } } } { T _ { \mathrm { C M B } } } = - \frac { \sigma _ { T } } { c } \int _ { \mathrm { L o S } } n _ { e } \mathbf { v } \cdot \mathrm { d } \mathbf { l } .
\begin{array} { r } { \| \rho - \rho _ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } \| _ { 1 } = \int | \rho ( \mathbf { r } ) - \rho _ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } ( \mathbf { r } ) | \, \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { r } } \end{array}
\mathbf { V } _ { e } = \mathbf { V } _ { g } = \operatorname { g r a d } _ { \mathbf { k } } ( \omega ) = \frac { \partial \omega } { \partial k _ { x } } \mathbf { e } _ { x } + \frac { \partial \omega } { \partial k _ { y } } \mathbf { e } _ { y } ,
\begin{array} { r l } { \varphi _ { 0 } ^ { - 1 } ( X , Y , Z ) } & { { } = \left( { \frac { X } { Z + 1 } } , { \frac { Y } { Z + 1 } } \right) , } \\ { \varphi _ { 1 } ^ { - 1 } ( X , Y , Z ) } & { { } = \left( { \frac { - X } { Z - 1 } } , { \frac { - Y } { Z - 1 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { h } ( U _ { h } \circ f _ { h } ) [ g ] ( e ^ { i \varphi } ) = } & { - \int _ { \mathbb { D } } \frac { \sigma _ { h } ^ { 1 } [ g ] ( \varphi , y ) } { d _ { h } ( \varphi , y ) ^ { \nu } } \, d y + \nu \int _ { \mathbb { D } } \frac { \sigma _ { h } ^ { 2 } [ g ] ( \varphi , y ) } { d _ { h } ( \varphi , y ) ^ { \nu + 2 } } \, | f _ { h } ^ { \prime } ( e ^ { i \varphi } y ) | ^ { 2 } \, d y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf q } & { { } = l _ { 1 1 } \nabla \frac { 1 } { T } - l _ { 1 2 } m \mathbf y , } \\ { \rho \partial _ { t } \mathbf y } & { { } = l _ { 2 1 } \nabla \frac { 1 } { T } - l _ { 2 2 } m \mathbf y , } \end{array}
{ \frac { d y } { d x } } = { \frac { d } { d x } } \left( x ^ { \frac { 1 } { m } } \right) ^ { n } = n \left( x ^ { \frac { 1 } { m } } \right) ^ { n - 1 } \cdot { \frac { 1 } { m } } x ^ { { \frac { 1 } { m } } - 1 } = { \frac { n } { m } } x ^ { { \frac { n } { m } } - 1 } = p x ^ { p - 1 }
\mathrm { ~ P ~ } ( \mathcal { O } _ { 1 : K } \mid f ) = \int \mathrm { ~ P ~ } ( \mathcal { O } _ { 1 : K } \mid X _ { 0 : T } ) \mathrm { ~ P ~ } ( X _ { 0 : T } \mid f ) \mathcal { D } ( X _ { 0 : T } ) ,
\begin{array} { r l } { S _ { 0 , 4 } ^ { \ast } ( \xi ) = 2 \log | \xi | } & { + | \xi | \left( - { \frac { e ^ { 2 } } { 4 } } - { \frac { 1 } { e ^ { 2 } } } \cos ( 2 \theta ) + \cdots \right) } \\ & { + | \xi | ^ { 2 } \left( { \frac { e ^ { 4 } } { 3 8 4 } } - { \frac { e ^ { 2 } } { 4 } } \cos ( \theta ) - { \frac { 7 } { 4 8 } } \cos ( 2 \theta ) - { \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } } \cos ( 3 \theta ) + \cdots \right) } \\ & { + | \xi | ^ { 3 } \left( - { \frac { e ^ { 6 } } { 4 6 0 8 0 } } + { \frac { e ^ { 4 } } { 3 8 4 } } \cos ( \theta ) - { \frac { 9 4 7 } { 1 1 5 2 0 } } \cos ( 2 \theta ) - { \frac { 7 } { 4 8 e ^ { 2 } } } \cos ( 3 \theta ) + \cdots \right) + \cdots \, . } \end{array}
\sum _ { m , n } i \left( \iota \left( \Psi \right) m - n \right) u _ { m n } \left( \Psi \right) \exp \left[ i \left( m \theta - n \varphi \right) \right] = - \sum _ { m , n } h _ { m n } \left( \Psi \right) \exp \left[ i \left( m \theta - n \varphi \right) \right] .
\delta _ { K } j _ { T } ^ { 0 M _ { 1 } \cdots M _ { p } } = \sum _ { k = 1 } ^ { p } \partial _ { \mu _ { k } } \left[ \frac 1 { p ! } \epsilon ^ { 0 \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { k } \cdots \mu _ { p } } \cdot \phi _ { , \mu _ { 1 } } ^ { M _ { 1 } } \cdots \delta _ { K } \phi ^ { M _ { k } } \cdots \phi _ { , \mu _ { p } } ^ { M _ { p } } \right] \quad .
\mathcal { H } = \frac { 1 } { 2 } \int f | { \mathbf p } - { \mathbf A } | ^ { 2 } \mathrm { d } { \mathbf x } \mathrm { d } { \mathbf p } + T \int n \ln n \mathrm { d } { \mathbf x } + \frac { 1 } { 2 } \int | \nabla \times { \mathbf A } | ^ { 2 } \mathrm { d } { \mathbf x } .
\begin{array} { r } { \sum _ { u \ne 0 \in \mathbb { Z } _ { M } } t ^ { ( \# u ) - 1 } ( \# u ) ^ { \gamma + 1 } \cdot \hat { f } ( u ) \overline { { \hat { g } ( u ) } } = \frac { 1 } { 1 - t } \cdot \mathbb { E } _ { x , y \sim \mathbb { Z } _ { M } } \left[ \overline { { g _ { t , 1 - t } ( x , y ) } } \cdot \sum _ { i \in [ n ] } \sum _ { a \in \mathbb { Z } _ { m _ { i } } ^ { * } } \omega _ { i } ^ { - a y _ { i } } \omega _ { i } ^ { a x _ { i } } L _ { i } \Delta ^ { \gamma } f ( x ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta x _ { _ { D } } ^ { i } } & { { } = \frac { 2 } { f } \epsilon ^ { i j } \partial _ { j } \left[ \Delta P ( x ) + \frac { 1 } { 2 \pi } \nabla ^ { 2 } \int \ensuremath { \operatorname { d } \! { } ^ { 2 } } x ^ { \prime } \ K _ { 0 } ( \frac { | x - x ^ { \prime } | } { \ell } ) \Delta P ( x ^ { \prime } ) \right] } \end{array}
+ \frac { k ^ { \mu } } { ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \left[ \frac { t _ { 1 } } { \epsilon } I _ { 2 } ( q _ { 1 } ) + \left( t _ { 2 } - \frac { 1 + \epsilon } { \epsilon } \, t _ { 1 } \right) I _ { 2 } ( q _ { 2 } ) \right] \; ,
\oint _ { C } d z \omega ( z ) = - ( - z _ { \infty } ) ^ { - ( 1 - \vartheta _ { 3 } ) } 4 \sin \pi \vartheta _ { 2 } \sin \pi \vartheta _ { 1 } e ^ { \pi i \vartheta _ { 1 } } \frac { \Gamma ( \vartheta _ { 1 } ) \Gamma ( \vartheta _ { 2 } ) } { \Gamma ( 1 - \vartheta _ { 3 } ) } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| x _ { j } - x _ { j - 1 } \| ^ { 2 } \le 2 \mathbb { E } \| x _ { j } - x _ { \bar { x } , \lambda } ^ { \star } \| ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \| x _ { j - 1 } - x _ { \bar { x } , \lambda } ^ { \star } \| ^ { 2 } \le 2 ^ { - j } \cdot \frac { 6 C _ { \textup { s c } } L ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \left( \frac { d } { \beta ^ { 2 } T ^ { 2 } } + \frac 1 T \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } J _ { k } ( \mu _ { k , n } ) } & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \in \Lambda ^ { \prime } } h ( \mu _ { k , n } , u _ { k , n } ^ { \ast } ) } \\ & { = h ( \mu _ { k } , \bar { u } ) \geq \operatorname* { m i n } _ { u \in \mathcal { U } _ { k } } h _ { k } ( \mu _ { k } , u ) = J _ { k } ( \mu _ { k } ) . } \end{array}