harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \psi _ { u } ( A ) } & { = } & { \P ( \boldsymbol L ( s ) - s \boldsymbol p \in ( u \boldsymbol b + A ) \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } s \in [ 0 , T ] ) } \\ & { \leq } & { \P ( \boldsymbol L ( s ) \in ( u \boldsymbol b + A ) \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } s \in [ 0 , T ] ) } \\ & { \leq } & { \P ( \boldsymbol L ( T ) \in ( u \boldsymbol b + A ) ) } \\ & { = } & { \P ( \boldsymbol L ( T ) \in ( u \boldsymbol b + \boldsymbol x + R ( \boldsymbol 0 , S ) ) ) } \\ & { = } & { \P ( \boldsymbol L ( T ) - \boldsymbol x \in u R ( \boldsymbol b , S ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho h \left( \frac { \partial \overline { { v } } _ { x } } { \partial t } + \overline { { v } } _ { x } \frac { \partial \overline { { v } } _ { x } } { \partial x } + \overline { { v } } _ { y } \frac { \partial \overline { { v } } _ { x } } { \partial y } \right) } & { = \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { x x } ) } { \partial x } + \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { x y } ) } { \partial y } - \tau _ { x z } + b _ { x } \rho h . } \\ { \rho h \left( \frac { \partial \overline { { v } } _ { y } } { \partial t } + \overline { { v } } _ { y } \frac { \partial \overline { { v } } _ { y } } { \partial y } + \overline { { v } } _ { x } \frac { \partial \overline { { v } } _ { y } } { \partial x } \right) } & { = \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { y y } ) } { \partial y } + \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { x y } ) } { \partial x } - \tau _ { y z } + b _ { y } \rho h . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbf { E } } _ { d } = \frac { 4 \pi \exp ( - i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } _ { d } ) } { \epsilon _ { d } ( k ^ { 2 } - k _ { d } ^ { 2 } ) } \left[ k _ { d } ^ { 2 } \mathbf { p } - \mathbf { k } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { p } ) \right] . } \end{array}
L _ { g } ( Q ^ { 2 } ) = - \Delta g ( Q ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } \, \frac { 1 6 } { 1 6 + 3 f } + \left[ L _ { g } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) + \Delta g ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 } \, \frac { 1 6 } { 1 6 + 3 f } \right] L ^ { 2 ( 1 6 + 3 f ) / 9 \beta _ { 0 } }
\begin{array} { r } { \mathbf { R } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { s i n ( 0 ) } & { s i n ( \frac { 2 \pi } { p } ) } & { s i n ( \frac { 4 \pi } { p } ) } & { \dots } & { s i n ( \frac { 2 \pi ( p - 1 ) } { p } ) } \\ { c o s ( 0 ) } & { c o s ( \frac { 2 \pi } { p } ) } & { c o s ( \frac { 4 \pi } { p } ) } & { \dots } & { c o s ( \frac { 2 \pi ( n - 1 ) } { p } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda ^ { \prime } ( p ) - 2 g ( \mu ) \frac { \lambda ^ { \prime \prime } ( p ) \lambda ( p ) } { \lambda ^ { \prime } ( p ) } + \frac { 4 \lambda ( p ) ( \mu - \lambda ( p ) ) } { h _ { 0 } C } } \\ { = } & { - 2 a p - 2 \left( \frac { \mu } { \mu - \lambda } - \frac { ( \mu - \lambda ) p } { h _ { 0 } C } \right) \frac { \lambda } { p } + \frac { 4 \lambda ( \mu - \lambda ) } { h _ { 0 } C } } \\ { = } & { 2 p \left( \frac { \lambda } { p ^ { 2 } } \left( \frac { 3 ( \mu - \lambda ) p } { h _ { 0 } C } - \frac { \mu } { \mu - \lambda } \right) - a \right) . } \end{array}
f ( p ) = \frac { 3 N _ { \mathrm { C R } } } { 4 \pi ( R - 1 ) p _ { 0 } ^ { 3 } } \Big ( 1 + \frac { V _ { 2 } } { v _ { 0 } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { R - 1 } } \Big ( \frac { p } { p _ { 0 } } \Big ) ^ { - \frac { 3 R } { R - 1 } } \Big ( 1 + \frac { V _ { 2 } } { v } \Big ) ^ { - \frac { 2 R + 1 } { R - 1 } } e ^ { \frac { 3 V _ { 2 } } { R - 1 } ( \frac { 1 } { v _ { 0 } + V _ { 2 } } - \frac { 1 } { v + V _ { 2 } } ) } ,
L ( \theta , \lambda ) = \frac { r _ { d } } { s } \sum _ { i = 1 } ^ { s } \left[ d _ { i } - \hat { \phi } ( x _ { i } ; \theta ) \right] ^ { 2 } + r _ { p } \int _ { \Omega } d x \left[ D [ \hat { \phi } ( x ; \theta ) ; \lambda ] ( x ) - f ( x ) \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { H ( \Tilde { { X } } | { Y } , { A } ^ { 2 } ) } & { = 2 \delta ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) H ( X ) + \sum _ { x \in \mathfrak { X } } 2 \delta ( 1 - \delta ) ( 1 - \alpha ) p _ { X } ( x ) [ H ( X ) + 1 - p _ { X } ( x ) ] } \\ & { = 2 \delta ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) H ( X ) + 2 \delta ( 1 - \delta ) ( 1 - \alpha ) \left( H ( X ) + 1 - \hat { q } \right) } \\ & { = 2 \delta ( 1 - \alpha ) H ( X ) + 2 \delta ( 1 - \delta ) ( 1 - \alpha ) \left( 1 - \hat { q } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { \mathbf { t } } = \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { x } ^ { 2 } U _ { \mathbf { t } } } & { \partial _ { x } \partial _ { y } U _ { \mathbf { t } } } \\ { \partial _ { x } \partial _ { y } U _ { \mathbf { t } } } & { \partial _ { y } ^ { 2 } U _ { \mathbf { t } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { m } = \frac { 6 \pi } { \mu _ { 0 } } ( \vec { B } \cdot \vec { r } ) \left| \vec { r } \right| \vec { r } - \frac { 4 \pi } { \mu _ { 0 } } \left| \vec { r } \right| ^ { 3 } \vec { B } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) } & { { } = - i \Delta \omega _ { { g g ^ { \prime } } } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) + i \sum _ { e , \, s } \left( \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , t ) T _ { { g e } s } \rho _ { { e g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) - \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , t ) \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , t ) T _ { { e g ^ { \prime } } s } \right) } \end{array}
G _ { B \mu ^ { \prime } \mu } ^ { 0 } - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( G _ { B \mu ^ { \prime } \mu } ^ { + } - G _ { B \mu ^ { \prime } \mu } ^ { - } \right) = \csc \theta \ d _ { \lambda ^ { \prime } \mu ^ { \prime } } ^ { j ^ { \prime } } ( - \theta ^ { \prime } ) \ G _ { L \lambda ^ { \prime } \lambda } ^ { + } \ d _ { \mu \lambda } ^ { j } ( \theta ) \ .
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ L 2 + \} } \circ \mathbb { L } ^ { + } = } & { } & { i \textbf { I } _ { \{ L 2 + \} } \circ ( L _ { 1 0 } ^ { + } + i L _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } + L _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } ) } \\ & { } & { + i k _ { e g } ( \textbf { I } _ { \{ L 2 + \} } \circ \textbf { L } _ { 2 0 } ^ { + } + i L _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ L 2 + \} } \circ \textbf { I } _ { \{ L 2 i + \} } - L _ { 2 } ^ { + } ) ~ , } \end{array}
( \mathrm { A } ) \qquad \underbrace { \overbrace { m _ { 1 } < m _ { 2 } } ^ { \mathrm { a t m } } \ll \overbrace { m _ { 3 } < m _ { 4 } } ^ { \mathrm { s o l a r } } } _ { \mathrm { L S N D } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad ( \mathrm { B } ) \qquad \underbrace { \overbrace { m _ { 1 } < m _ { 2 } } ^ { \mathrm { s o l a r } } \ll \overbrace { m _ { 3 } < m _ { 4 } } ^ { \mathrm { a t m } } } _ { \mathrm { L S N D } } \; .
H = \left( \begin{array} { c c c c } { - \delta } & { J } & { 0 } & { 0 } \\ { J } & { 0 } & { J } & { - \Omega } \\ { 0 } & { J } & { \delta } & { 0 } \\ { 0 } & { - \Omega } & { 0 } & { - \Delta } \end{array} \right) .
\frac { 1 } { 1 6 \pi } \int _ { B _ { e } } \left( 2 \Lambda - F ^ { 2 } \right) \sqrt { g } d ^ { 4 } x = \beta _ { R N } \Lambda \left[ \frac { r _ { s } ^ { 3 } - r _ { h } ^ { 3 } } { 1 2 } \right] \, + \, \frac { q ^ { 2 } } { 4 } \beta _ { R N } \left( \frac { 1 } { r _ { h } } - \frac { 1 } { r _ { s } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) \right\| \right] } & { \le \frac { F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } } { D M } + \frac { \mathop { \mathbb { E } } [ R _ { T } ( \mathbf { u } ^ { 1 } , \dots , \mathbf { u } ^ { K } ) ] } { D M } + \frac { \sigma } { \sqrt { T } } ~ . } \end{array}
F = ( \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { p } e ^ { - i \delta t } , \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { p } e ^ { i \delta t } , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ^ { T }
: \! { \cal F } [ X ] \! : \, \, : \! { \cal G } [ X ] \! : \ = \exp \biggl \{ - \int d ^ { 2 } z ^ { \prime } \, d ^ { 2 } z ^ { \prime \prime } \, \ln | z ^ { \prime } - z ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } \frac { \delta _ { F } } { \delta X ( z ^ { \prime } , \bar { z } ^ { \prime } ) } \frac { \delta _ { G } } { \delta X ( z ^ { \prime \prime } , \bar { z } ^ { \prime \prime } ) } \biggr \} : \! { \cal F } [ X ] \, { \cal G } [ X ] \! : ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { t r } \left( \Lambda ^ { n } ( { T } ) \right) = \frac { 1 } { n ! } \int _ { ( ( a , b ) \times ( c , d ) ) ^ { n } } \Bigg ( \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \prod _ { k } K ( x _ { 1 k } , x _ { 2 k } , x _ { 1 \pi ( k ) } , x _ { 2 \pi ( k ) } ) \Bigg ) \mathrm { d } x _ { 1 1 } \cdots \mathrm { d } x _ { 2 n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol E } & { { } = } & { \frac { \rho } { \epsilon _ { 0 } } - c g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol B \cdot \boldsymbol \nabla a , } \\ { \boldsymbol \nabla \times \boldsymbol B - \frac { \dot { \boldsymbol E } } { c ^ { 2 } } } & { { } = } & { \mu _ { 0 } \boldsymbol J + \frac { g _ { a \gamma \gamma } } { c } \left( \boldsymbol B \dot { a } - \boldsymbol E \times \boldsymbol \nabla a \right) , } \\ { \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol B } & { { } = } & { 0 , } \\ { \boldsymbol \nabla \times \boldsymbol E + \dot { \boldsymbol B } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \ddot { a } - c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla ^ { 2 } a + \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \hbar ^ { 2 } } a } & { { } = } & { \hbar c ^ { 3 } \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol E \cdot \boldsymbol B . } \end{array}
W _ { m u t } = - \int _ { V _ { 1 } } \rho _ { 1 } \left( x \right) \varphi _ { 2 } \left( x \right) d V = - \int _ { V _ { 2 } } \rho _ { 2 } \left( x \right) \varphi _ { 1 } \left( x \right) d V .
\begin{array} { r } { { { \bf { Z } } _ { k } } = { { \bf { I } } _ { M } } - { \lambda _ { k } } \frac { { { { \bf { h } } _ { k } } { \bf { h } } _ { k } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { \frac { { { \lambda _ { i } } { \gamma _ { i } } { { \bf { h } } _ { i } } { \bf { h } } _ { i } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } . } \end{array}
\tilde { E } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) = e ^ { - i ( { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } \cdot { \bf r } _ { \mathrm { i n } } - k _ { z , \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } z ^ { \mathrm { a i r } } ) } ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } m ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) = C _ { 1 } \mathcal { A } m ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to k _ { 0 } , } \\ & { \mathcal { A } m ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = C _ { 2 } \mathcal { A } m ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to k _ { 0 } , } \\ & { \mathcal { A } ^ { 2 } m ( \omega ^ { 2 } k ) \mathcal { A } ^ { - 2 } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) = C _ { 1 } \mathcal { A } ^ { 2 } m ( \omega ^ { 2 } k ) \mathcal { A } ^ { - 2 } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to k _ { 0 } , } \\ & { \mathcal { A } ^ { 2 } m ( \omega ^ { 2 } k ) \mathcal { A } ^ { - 2 } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = C _ { 2 } \mathcal { A } ^ { 2 } m ( \omega ^ { 2 } k ) \mathcal { A } ^ { - 2 } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to k _ { 0 } . } \end{array}
\left. \frac { \mathrm { ~ d ~ } \check { \mathbf { F } } ^ { v } } { \mathrm { ~ d ~ } x } \right| _ { i } = \frac { 1 } { \Delta x } \left( \check { \mathbf { F } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { v } - \check { \mathbf { F } } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { v } \right) ,
\begin{array} { c c c } { { p _ { u } = 1 / 2 , } } & { { r _ { u } = 1 , } } & { { d _ { u } = 1 } } \\ { { p _ { d } = 1 / 2 , } } & { { r _ { d } = 1 , } } & { { d _ { d } = 1 ; } } \end{array}
{ \frac { F } { F _ { \mathrm { P } } } } = { \frac { \left( { \frac { m _ { 1 } } { m _ { \mathrm { P } } } } \right) \left( { \frac { m _ { 2 } } { m _ { \mathrm { P } } } } \right) } { \left( { \frac { r } { l _ { \mathrm { P } } } } \right) ^ { 2 } } } .
A _ { 2 } ( s , t , u ) = \displaystyle \frac { s - \frac { 4 } { 3 } M _ { \pi } ^ { 2 } } { F _ { \pi } ^ { 2 } } + \alpha \displaystyle \frac { M _ { \pi } ^ { 2 } } { 3 F _ { \pi } ^ { 2 } }
A ^ { \mu } = \overline { { { g } } } ^ { \mu \nu } A _ { \nu } ; \ F _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ; \ F ^ { \mu \nu } = \overline { { { g } } } ^ { \mu \alpha } \overline { { { g } } } ^ { \nu \beta } F _ { \alpha \beta }
Q _ { i } V _ { i } ( { \vec { \eta } } _ { i } ( \tau ) ) = Q _ { i } \sum _ { j \not = i } ^ { 1 . . N } { \frac { { Q _ { j } } } { { 4 \pi | { \vec { \eta } } _ { i } ( \tau ) - { \vec { \eta } } _ { j } ( \tau ) | } } } ,
\hat { V } _ { \mu \nu \rho } ^ { ( 1 \, z ) \, A B } = 2 \cdot 2 \, \mathrm { T r } \, T ^ { A } T ^ { B } \, ( Y _ { R } ^ { ( d ) } - Y _ { L } ^ { ( d ) } ) \, V _ { \mu \nu \rho } ^ { ( 1 ) } = - 4 \, \mathrm { T r } \, T ^ { A } T ^ { B } \, V _ { \mu \nu \rho } ^ { ( 1 ) } \, .
\begin{array} { r l } { R a = \frac { ( U L ) ^ { 2 } } { \nu \kappa } } & { { } = \frac { \alpha \Delta \Omega _ { c } ^ { 2 } \frac { ( R _ { i } + R _ { o } ) } { 2 } L ^ { 3 } } { \nu \kappa } , } \\ { R o ^ { - 1 } = \frac { 2 \Omega _ { c } L } { U } } & { { } = 2 ( \frac { \alpha \Delta ( R _ { i } + R _ { o } ) } { 2 L } ) ^ { - 1 / 2 } , } \\ { P r } & { { } = \frac { \nu } { \kappa } , } \end{array}
\mathbf { A } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 2 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { ( 2 / \tau _ { d } ) ^ { 1 / 2 } \sigma _ { u } } \end{array} \right] ,
\gamma _ { K P Z } ( \nu , \lambda , D , L ) = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \langle \Delta \phi ^ { 2 } \rangle = \frac { \lambda D ^ { 3 / 2 } } { \nu ^ { 3 / 2 } } \frac { \gamma _ { 1 } } { \sqrt { { L } } } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \alpha _ { t } L ^ { 2 } } { 2 n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t } - x _ { i , t } ^ { \ell } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q C L } { 2 n ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) - f _ { i } ^ { * } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \leq 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } L \left( 3 \alpha _ { t } Q L ^ { 2 } + \frac { C } { n } \right) \left[ f ( x _ { t } ) - f ^ { * } \right] } \\ & { \quad + 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } L \left( 3 \alpha _ { t } Q L ^ { 2 } + \frac { C } { n } \right) \left( f ^ { * } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ^ { * } \right) } \\ & { \quad + \alpha _ { t } ^ { 3 } Q ^ { 3 } D L ^ { 2 } ( 1 + \frac { \alpha _ { t } C } { n } ) + 3 \alpha _ { t } ^ { 3 } Q ^ { 3 } L ^ { 2 } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
A d j ( \mathscr { W } ) _ { 2 , 6 } = e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 2 } \big ) z } \left| \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \lambda _ { 1 } } & { \lambda _ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } } & { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 2 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 3 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 4 } } \end{array} \right| = e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 2 } \big ) z } \mathscr { E } _ { \lambda , 2 } ( s )
\mathcal { L } \rho \equiv - i [ H , \rho ] + \frac { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } { 2 } ( 2 | 1 \rangle \langle 2 | \rho | 2 \rangle \langle 1 | - | 2 \rangle \langle 1 | | 1 \rangle \langle 2 | \rho - \rho | 2 \rangle \langle 1 | | 1 \rangle \langle 2 | )
\begin{array} { r l } { p \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { H } } | \xi ^ { \nu } | ^ { p - 2 } \xi r g ^ { \nu } d r d z d s } & { \leq \frac { p } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { T } \| \xi ^ { \nu } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { p - 1 } \| g ^ { \nu } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } d x d s } \\ & { \leq \varepsilon ( p - 1 ) \| \xi ^ { \nu } \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } ^ { p } + C ( \varepsilon ) \| g ^ { \nu } \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } ^ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { E } | = } & { { } \left| \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { u } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x - u ) } } d x - \frac { 1 - b } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } ) } } \int _ { u } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 - x ) ( x - u ) } } d x \right| } \\ { = } & { { } \frac { 1 - b } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } ) } } \left| \int _ { u } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 - x ) ( x - u ) } } \left( \frac { ( 1 - b x ) \sqrt { 1 + \frac { b } { a } } } { ( 1 - b ) \sqrt { x ( 1 + \frac { b } { a } x ) } } - 1 \right) d x \right| } \\ { \leq } & { { } \frac { 1 - b } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } ) } } \int _ { u } ^ { 1 } \frac { d x } { \sqrt { ( 1 - x ) ( x - u ) } } \textit { m a x } _ { x \in [ u , 1 ] } \left| \frac { ( 1 - b x ) \sqrt { 1 + \frac { b } { a } } } { ( 1 - b ) \sqrt { x ( 1 + \frac { b } { a } x ) } } - 1 \right| } \\ { = } & { { } \frac { 1 - b } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } ) } } \pi \textit { m a x } _ { x \in [ u , 1 ] } \left| \frac { ( 1 - b x ) \sqrt { 1 + \frac { b } { a } } - ( 1 - b ) \sqrt { x ( 1 + \frac { b } { a } x ) } } { ( 1 - b ) \sqrt { x ( 1 + \frac { b } { a } x ) } } \right| , } \end{array}
\mathbf { F } ^ { \prime } = \mathbf { F } _ { \mathrm { p h y s i c a l } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { E u l e r } } ^ { \prime } + \mathbf { F } _ { \mathrm { C o r i o l i s } } ^ { \prime } + \mathbf { F } _ { \mathrm { c e n t r i p e t a l } } ^ { \prime } - m \mathbf { A } _ { 0 } ,
\begin{array} { r } { \frac { d B } { d t } = - \mathrm { i } \, \left( 2 \lambda - \left( \alpha _ { _ + } ^ { 2 } \chi _ { _ + } + \alpha _ { _ - } ^ { 2 } \chi _ { _ - } \right) f ^ { 2 } \right) B + \mathrm { i } \, \left( \zeta _ { _ { D C } } \lambda + \mu _ { _ { D C } } \right) \alpha _ { _ + } ^ { 2 } f ^ { 2 } } \\ { + \mathrm { i } \, \nu _ { _ { D C } } | B | ^ { 2 } B + \mathrm { i } \, \xi _ { _ { D C } } | A | ^ { 2 } B , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } , t ) } & { { } \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left[ \sin ^ { 2 } \frac { \left( k _ { x } - A ( z ) \sin ( \omega t ) \right) a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { \left( k _ { y } - A ( z ) \sin ( \omega t + \varphi ) \right) a } { 2 } \right] \right\} \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } } & { = \bigg ( ( 1 - \delta _ { j } ^ { i , n } ) M _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } + \frac { 1 } { h } D _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } \bigg ) \rho _ { j + e _ { i } } ^ { n + 1 } } \\ & { \quad - \bigg ( \frac { 1 } { h } D _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } - \delta _ { j } ^ { i , n } M _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } \bigg ) \rho _ { j } ^ { n + 1 } } \\ { \delta _ { j } ^ { i , n } } & { = \frac { 1 } { w _ { j } ^ { i , n } } - \frac { 1 } { \exp w _ { j } ^ { i , n } - 1 } , \quad w _ { j } ^ { i , n } = h \frac { M _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } } { D _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( x + \alpha ) } & { = i e ^ { - \frac { \pi K ^ { \prime } ( k ) } { 4 K ( k ) } - \frac { i \pi ( x + \alpha ) } { 2 K ( k ) } } \Theta ( x + \alpha - i K ^ { \prime } ( k ) ) , } \\ { H ( x - \alpha ) } & { = i e ^ { - \frac { \pi K ^ { \prime } ( k ) } { 4 K ( k ) } - \frac { i \pi ( x - \alpha ) } { 2 K ( k ) } } \Theta ( x - \alpha - i K ^ { \prime } ( k ) ) . } \end{array}
Q _ { n , n + 1 } = 1 , \; \; \; Q _ { n , m } = 0 , \; \; \; m \geq n + 2 , \; \; \; \; \; \; \tilde { Q } _ { n + 1 , n } = 1 , \; \; \; \tilde { Q } _ { m , n } = 0 , \; \; \; m \geq n + 2 ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big \lbrace \mathbf { A } ( z + d ) \otimes \mathbf { A } ( z ^ { \prime } + d ) \big \rbrace = \mathbb { E } \left\lbrace \mathbf { A } ( z ) \otimes \mathbf { A } ( z ^ { \prime } ) \right\rbrace } \\ & { = \mathsf { A } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \mathsf { A } ^ { 2 } \phi ( z + d , z ^ { \prime } + d , \xi ) = \mathsf { A } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \mathsf { A } ^ { 2 } \phi ( z , z ^ { \prime } , \xi ) } \end{array}
\dot { I } _ { N } ^ { \mathrm { D F } , \mathtt { S } } [ F ] ( \alpha _ { + } , \beta _ { + } , \gamma _ { + } ) = \dot { I } _ { N } ^ { \mathrm { D F 0 } , \mathtt { S } } [ F ] ( - \gamma _ { + } ^ { - 1 } \alpha _ { + } , \alpha _ { + } , - \gamma _ { + } ^ { - 1 } \beta _ { + } , \beta _ { + } , \gamma _ { + } ^ { - 1 } , - 1 , \gamma _ { + } ) .
{ \begin{array} { r l } { s } & { = \int _ { a } ^ { b } \left\| { \frac { d } { d t } } { \vec { r } } ( u ( t ) , v ( t ) ) \right\| \, d t } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } { \sqrt { u ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } \, { \vec { r } } _ { u } \cdot { \vec { r } } _ { u } + 2 u ^ { \prime } ( t ) v ^ { \prime } ( t ) \, { \vec { r } } _ { u } \cdot { \vec { r } } _ { v } + v ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } \, { \vec { r } } _ { v } \cdot { \vec { r } } _ { v } } } \, d t \, , } \end{array} }
\left[ H , \gamma _ { i } ^ { \left( 2 \right) a } \right] ^ { * } = - g f _ { \; b c } ^ { a } \left( \left( D ^ { j } \right) _ { \; \; d } ^ { b } B _ { 0 j } ^ { d } \right) \gamma _ { i } ^ { \left( 2 \right) c } ,
\begin{array} { r l } & { \sqrt { 2 } \lvert z \rvert = \sqrt { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \geq \lvert \mathrm { R e ~ z ~ } \rvert + \lvert \mathrm { I m ~ z ~ } \rvert \Leftarrow } \\ & { \sqrt { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \geq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \Leftarrow } \\ & { 2 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \geq \left( \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \right) ^ { 2 } \Leftarrow } \\ & { 2 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \geq \lvert x \rvert ^ { 2 } + 2 \lvert x \rvert \lvert y \rvert + \lvert y \rvert ^ { 2 } \Leftarrow } \\ & { \lvert x \rvert ^ { 2 } - 2 \lvert x \rvert \lvert y \rvert + | y ^ { 2 } | \geq 0 \Leftarrow } \\ & { \left( \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \right) ^ { 2 } \geq 0 \mathrm { ( w h i c h ~ i s ~ o b v i o u s l y ~ t r u e ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I } & { = } & { ( I _ { 1 } ^ { 1 } , . . . , I _ { r _ { 1 } } ^ { 1 } , . . . , I _ { 1 } ^ { s } , . . . , I _ { r _ { s } } ^ { s } ) \mathrm { ~ a n d } } \\ { e _ { \alpha } } & { = } & { \left( 0 _ { r _ { 1 } } , . . . , 0 _ { r _ { \alpha - 1 } } , 1 _ { r _ { \alpha } } , 0 _ { r _ { \alpha + 1 } } , . . . , 0 _ { r _ { s } } \right) \in \mathbb { R } ^ { r } \mathrm { ~ f o r ~ } \alpha \in \left\{ 1 , . . . , s \right\} \mathrm { , } } \end{array}