harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal A } ( s , Q _ { A } ^ { 2 } , Q _ { B } ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { { \overline { { { \sigma } } } } ( s , Q _ { A } ^ { 2 } , Q _ { B } ^ { 2 } ) } } \, { \frac { 1 } { 1 6 \, \pi } } \, \int \, { \frac { d ^ { 2 } \, { \bf k } } { \pi } } \, { \frac { 1 } { ( { { \bf k } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \, G _ { 2 } ( { \bf k } ^ { 2 } / Q _ { A } ^ { 2 } ) \, G _ { 2 } ( { \bf k } ^ { 2 } / Q _ { B } ^ { 2 } ) \; \; \; \; .
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \left< r _ { N } \right> } & { \sim } & { A ^ { 1 / 3 } \sqrt { \langle r _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } \rangle } } \\ & { \sim } & { A ^ { 1 / 3 } \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \langle r _ { p } ^ { 2 } \rangle } \, \, \mathrm { f o r } \, \, r _ { \mathrm { n u c l e o n } } = r _ { p } } \\ { \sqrt { \langle r _ { p } ^ { 2 } \rangle + \langle r _ { n } ^ { 2 } \rangle } \, \, \mathrm { f o r } \, \, r _ { \mathrm { n u c l e o n } } = r _ { s } } \end{array} \right. } \\ & { \sim } & { \left( \frac { A } { 1 7 1 } \right) ^ { 1 / 3 } \left\{ \begin{array} { l l } { 4 . 7 \, \mathrm { f m } \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, r _ { \mathrm { n u c l e o n } } = r _ { p } } \\ { 4 . 3 \, \mathrm { f m } \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, r _ { \mathrm { n u c l e o n } } = r _ { s } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \mathrm { M i n } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { n = 2 } & { \rightarrow \quad f ( 1 , 1 ) = 0 , } \\ { n = 3 } & { \rightarrow \quad f ( 1 , 1 , 1 ) = 0 , } \\ { n > 3 } & { \rightarrow \quad f ( \underbrace { 1 , \dots , 1 } _ { n { \mathrm { ~ t i m e s } } } ) = 0 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { V _ { F } ( j ) = \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } } } & { \Big | \, A ( s , j ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \zeta _ { o } + A ( s , j ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \! \int _ { t _ { j } } ^ { s } A ( u , j ) \zeta ( u , j ) d u } \\ & { + A ( s , j ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = j _ { o } } ^ { j - 1 } \int _ { t _ { k } } ^ { t _ { k + 1 } } A ( u , k ) \zeta ( u , k ) d u } \\ & { + A ( s , j ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = j _ { o } } ^ { j - 1 } B ( t _ { k + 1 } , k ) \zeta ( t _ { k + 1 } , k ) \, \Big | ^ { 2 } d s . } \end{array}
k _ { a } ^ { \mu } \; = \; x _ { a } \frac { \sqrt { s } } { 2 } \, \left( 1 , 0 , 0 , 1 \right) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; k _ { b } ^ { \mu } \; = \; x _ { b } \frac { \sqrt { s } } { 2 } \, \left( 1 , 0 , 0 , - 1 \right) \; ,
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { S a v e } } ( s , \mathrm { C E } 5 ) } & { = E _ { \mathrm { P V } } ( s ) \cdot \left[ \chi _ { \mathrm { D C } } \cdot p _ { \mathrm { e l e c } , \mathrm { b u y } } \cdot ( 1 + \tau _ { \mathrm { e l e c } , \mathrm { b u y } } ) ^ { s - t - 1 } \right. } \\ & { \left. + ( 1 - \chi _ { \mathrm { D C } } ) \cdot p _ { \mathrm { e l e c } , \mathrm { s e l l } } \cdot ( 1 + \tau _ { \mathrm { e l e c } , \mathrm { s e l l } } ) ^ { s - t - 1 } \right] , \quad t \leq s \leq \tau . } \end{array}
\langle f | i \rangle = i ^ { 4 } \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } d x _ { 1 } ^ { \prime } d x _ { 2 } ^ { \prime } e ^ { i ( k _ { 1 } x _ { 1 } + k _ { 2 } x _ { 2 } - k _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 1 } ^ { \prime } - k _ { 2 } ^ { \prime } x _ { 2 } ^ { \prime } ) } ( - \partial _ { 1 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( - \partial _ { 2 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( - \partial _ { 3 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( - \partial _ { 4 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \langle 0 | T \phi ( x _ { 1 } ) \phi ( x _ { 2 } ) \phi ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) \phi ( x _ { 2 } ^ { \prime } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { \| \Phi _ { u } ( y _ { 1 } ) } & { ( \tau ) - \Phi _ { u } ( y _ { 2 } ) ( \tau ) \| _ { X } } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \tau } \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau - s ) \| } \\ & { \qquad \qquad \cdot \big \| f ( ( \omega I - A ) ^ { - \alpha } y _ { 1 } ( s ) , u ( s ) ) - f ( ( \omega I - A ) ^ { - \alpha } y _ { 2 } ( s ) , u ( s ) ) \big \| _ { X } d s } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } L ( K ) \frac { C _ { \alpha } } { ( \tau - s ) ^ { \alpha } } e ^ { \lambda ( \tau - s ) } \| y _ { 1 } ( s ) - y _ { 2 } ( s ) \| _ { X } d s } \\ & { \leq L ( K ) C _ { \alpha } e ^ { \lambda t } \int _ { 0 } ^ { t } s ^ { - \alpha } d s \rho _ { t } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } \\ & { \leq L ( K ) C _ { \alpha } e ^ { \lambda t } \frac { t ^ { 1 - \alpha } } { 1 - \alpha } \rho _ { t } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \rho _ { t } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { E } ( \mathbf { u } ^ { h } , \mathbf { v } ^ { h } ) } & { = a _ { E } ( \Pi \mathbf { u } ^ { h } + ( \mathbf { u } ^ { h } - \Pi \mathbf { u } ^ { h } ) , \Pi \mathbf { v } ^ { h } + ( \mathbf { v } ^ { h } - \Pi \mathbf { v } ^ { h } ) ) } \\ & { = a _ { E } ( \Pi \mathbf { u } ^ { h } , \Pi \mathbf { v } ^ { h } ) + a _ { E } ( \mathbf { u } ^ { h } - \Pi \mathbf { u } ^ { h } , \Pi \mathbf { v } ^ { h } ) } \\ & { \quad \quad + a _ { E } ( \Pi \mathbf { u } ^ { h } , \mathbf { v } ^ { h } - \Pi \mathbf { v } ^ { h } ) + a _ { E } ( \mathbf { u } ^ { h } - \Pi \mathbf { u } ^ { h } , \mathbf { v } ^ { h } - \Pi \mathbf { v } ^ { h } ) } \\ & { = \underbrace { a _ { E } ( \Pi \mathbf { u } ^ { h } , \Pi \mathbf { v } ^ { h } ) } _ { \mathrm { \normalfont ~ 1 s t ~ p a r t } } + \underbrace { a _ { E } ( \mathbf { u } ^ { h } - \Pi \mathbf { u } ^ { h } , \mathbf { v } ^ { h } - \Pi \mathbf { v } ^ { h } ) } _ { \mathrm { \normalfont ~ 2 n d ~ p a r t } } . } \end{array}
\frac { \partial \tilde { v _ { y } } ^ { ( 3 ) } } { \partial t } = - \frac { e } { m } [ \tilde { v _ { z } } ^ { ( 3 ) } B _ { 0 } - \tilde { v _ { x } } ^ { ( 2 ) } B _ { m w z } ] ; \quad \frac { \partial \tilde { v _ { z } } ^ { ( 2 ) } } { \partial t } = - \frac { e } { m } [ - \tilde { v _ { y } } ^ { ( 3 ) } B _ { 0 } + \tilde { v _ { x } } ^ { ( 2 ) } B _ { m w y } ]
\frac { 1 } { 4 ! } \int _ { { \Lambda } } \frac { d ^ { 4 } \vec { p } _ { 1 } } { ( 2 { \pi } ) ^ { 4 } } \frac { d ^ { 4 } \vec { p } _ { 2 } } { ( 2 { \pi } ) ^ { 4 } } \frac { d ^ { 4 } \vec { p } _ { 3 } } { ( 2 { \pi } ) ^ { 4 } } \frac { d ^ { 4 } \vec { p } _ { 5 } } { ( 2 { \pi } ) ^ { 4 } } { \delta } { \lambda } _ { 4 } ( 1 2 3 5 ) { \delta } ^ { 4 } ( \vec { p } _ { 1 } + \vec { p } _ { 2 } + \vec { p } _ { 3 } + \vec { p } _ { 5 } ) \hat { \phi } _ { 2 } ( \vec { p } _ { 1 } ) \hat { \phi } _ { 2 } ( \vec { p } _ { 2 } ) \hat { \phi } _ { 2 } ( \vec { p } _ { 3 } ) \hat { \phi } _ { 2 } ( \vec { p } _ { 5 } ) .
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { t } ^ { \ell } [ \rho ( \phi ) u _ { t } ] \| ^ { 2 } \lesssim } & { \sum _ { a + b = \ell } \| \partial _ { t } ^ { a } \rho ( \phi ) \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { b + 1 } u \| ^ { 2 } \lesssim \sum _ { a + b = \ell } \| \partial _ { t } ^ { a } \rho ( \phi ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { b + 1 } u \| ^ { 2 } } \\ { \lesssim } & { \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { 2 } ^ { 4 } ) \| \partial _ { t } ^ { j + 1 } u \| ^ { 2 } \lesssim \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } ( 1 + E _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) E _ { j + 1 } ( t ) } \\ { \lesssim } & { ( 1 + \mathbf { E } _ { \ell + 1 } ^ { 2 } ( t ) ) \mathbf { E } _ { \ell + 1 } ( t ) \, , } \end{array}
{ { \varphi } _ { { { q } _ { y } } } } \left( x \right) = { { \varphi } _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } } } \left( x \right) + \frac { 1 } { i \omega } \int { d \mathrm { { r } ^ { \prime } } { { G } _ { { { q } _ { y } } } } \left( x - { x } ^ { \prime } \right) \left[ - q _ { y } ^ { 2 } \sigma \left( { { x } ^ { \prime } } \right) + \frac { \partial } { \partial { x } ^ { \prime } } \sigma \left( { { x } ^ { \prime } } \right) \frac { \partial } { \partial { x } ^ { \prime } } \right] { { \varphi } _ { { { q } _ { y } } } } \left( { { x } ^ { \prime } } \right) }
f _ { k } ^ { ( 3 ) } ( z ) = h ^ { - 1 } \left( e ^ { \frac { 2 \pi i } { 3 } ( k - 1 ) } h ( z ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right) , \quad h ( z ) = \frac { 1 + i z } { 1 - i z }
G _ { + + } ^ { \Lambda 2 } ( x ) = G _ { + + } ^ { 2 } ( x ) + G _ { + + } ^ { ( \vert \vec { p } \vert < \Lambda ) 2 } ( x ) - 2 G _ { + + } ( x ) G _ { + + } ^ { ( \vert \vec { p } \vert < \Lambda ) } ( x ) ,
c _ { k , n } ( d ) = \sum _ { l = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { l } ~ { \frac { 2 ^ { 2 l } } { ( 2 l ) ! } } ~ { \frac { \Gamma ( l + n - d / 2 ) } { \Gamma ( n - d / 2 ) } } ~ { \frac { 1 } { ( k - l ) ! } } .
A _ { p } = \hat { A } _ { p } + \hat { A } _ { p - 1 } \, d x ^ { n } \ , \quad A _ { n - p - 1 } = \hat { A } _ { n - p - 1 } + \hat { A } _ { n - p - 2 } \, d x ^ { n } \ , \quad V = \hat { V } + \phi \, d x ^ { n } \ .
\left( \mathrm { S i n g l e } \right) \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ F i n d ~ } u _ { i } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t : ~ } } & \\ { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { S i n g l e } } = 0 _ { j } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \sigma _ { i j } n _ { j } = - p ^ { \mathrm { c a v } } n _ { i } } & { \mathrm { ~ a t ~ } \Gamma ^ { \mathrm { c a v i t y } } , } \\ { \sigma _ { i j } n _ { j } = 0 _ { i } } & { \mathrm { ~ a t ~ } \Gamma ^ { \mathrm { o u t } } , } \\ { u _ { i } n _ { i } = 0 } & { \mathrm { ~ a t ~ } \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } , } \\ { u _ { i } \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { x } } = 0 } & { \mathrm { ~ a t ~ } \{ \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } \cap \Gamma ^ { \mathrm { c a v i t y } } \cap y = 0 \} , } \\ { u _ { i } \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { y } } = 0 } & { \mathrm { ~ a t ~ } \{ \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } \cap \Gamma ^ { \mathrm { c a v i t y } } \cap x = 0 \} , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } \left( \int _ { \Omega _ { 0 } } e ^ { - a | y - x | _ { 1 } } | v _ { \alpha } ( x ) u ( x ) | d x \right) ^ { 2 } d y } & { \leq \int _ { \Omega _ { 0 } } | u ( x ) | ^ { 2 } d x \int _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } \int _ { \Omega _ { 0 } } e ^ { - 2 a | y - x | _ { 1 } } | v _ { \alpha } ( x ) | ^ { 2 } d x d y } \\ & { \leq \int _ { \Omega _ { 0 } } | v _ { \alpha } ( x ) | ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } e ^ { - 2 a | y - x | _ { 1 } } d y d x } \end{array}
I _ { \beta \mu \lambda \rho } ( q ) = \int d ^ { d } k \frac { 2 k _ { \beta } k _ { \mu } ( q _ { \nu } p _ { \rho } + q _ { \nu } q _ { \rho } ) + k _ { \beta } ( q _ { \nu } q _ { \rho } p _ { \mu } - q _ { \nu } q _ { \mu } p _ { \rho } ) } { ( k + p ) ^ { 2 } ( k - q ) ^ { 2 } k ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l } & { K _ { 0 } ( s ) : = \frac { - 2 + s \coth \left( \frac { s } { 2 } \right) } { s \sinh \left( \frac { s } { 2 } \right) } ; \qquad \qquad H _ { 0 } ( s , t ) : = } \\ & { \frac { t ( s + t ) \cosh ( s ) - s ( s + t ) \cosh ( t ) + ( s - t ) ( s + t + \sinh ( s ) + \sinh ( t ) - \sinh ( s + t ) ) } { s t ( s + t ) \sinh ( s / 2 ) \sinh ( t / 2 ) \sinh ^ { 2 } ( ( s + t ) / 2 ) } . } \end{array}
d \sigma _ { s } = \frac { 1 } { 2 \pi \delta ( \Delta _ { \parallel } ) } | T _ { 2 1 } | ^ { 2 } \frac { d ^ { 3 } k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } | M _ { 2 1 } | ^ { 2 } d \Omega _ { 2 } .
x ^ { ( - n + s + t + u + . . . ) } ( ( 1 p _ { 1 } p _ { 2 } . . p _ { s } ) ( q _ { 0 } q _ { 1 } . . q _ { t } ) ( r _ { 0 } r _ { 1 } . . r _ { u } ) . . . . ) \cong \left( \prod _ { k = 1 } ^ { s } A _ { 1 p _ { k } } \right) \left( \prod _ { k = 1 } ^ { t } A _ { q _ { 0 } q _ { k } } \right) \left( \prod _ { k = 1 } ^ { u } A _ { r _ { 0 } r _ { k } } \right) . . . . E _ { 0 }
\begin{array} { r l r l } & { r _ { 1 } ( k ) = r _ { 1 , a } ( x , t , k ) + r _ { 1 , r } ( x , t , k ) , } & & { k \in \partial U _ { 1 } \cap \partial { \mathbb D } , } \\ & { \hat { r } _ { 1 } ( k ) = \hat { r } _ { 1 , a } ( x , t , k ) + \hat { r } _ { 1 , r } ( x , t , k ) , } & & { k \in \partial \hat { U } _ { 1 } \cap \partial { \mathbb D } , } \end{array}
\alpha ^ { \prime } = \alpha { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \lambda ^ { 2 } } } } - R { \frac { \lambda } { \sqrt { 1 - \lambda ^ { 2 } } } } , \quad \beta ^ { \prime } = \beta , \quad \gamma ^ { \prime } = \gamma , \quad R ^ { \prime } = \alpha { \frac { - \lambda } { \sqrt { 1 - \lambda ^ { 2 } } } } + R { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \lambda ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r } { \mathbb { P } ( G _ { N } = g ) = \frac { 2 \mathbb { P } \left( \left\{ G ^ { \mathcal { T } _ { N } } = g \right\} \cap \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \right) \mathbb { P } \left( \mathcal { R } _ { 0 } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \right) } { 2 \mathbb { P } \left( \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \right) \mathbb { P } \left( \mathcal { R } _ { 0 } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \right) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right\} = \left( \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { l l } { { L ^ { - 1 } ( T , X , Y , Z ) = ( \cosh t \cos \frac { r _ { + } - r _ { - } } { 2 } , } } & { { \sinh t \cos \frac { r _ { + } + r _ { - } } { 2 } , } } \\ { { } } & { { \sinh t \sin \frac { r _ { + } + r _ { - } } { 2 } , - \cosh t \sin \frac { r _ { + } - r _ { - } } { 2 } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { n m } ^ { L G } ( r , \phi , z ) } & { = C _ { n m } ^ { L G } ( 1 / w ) \mathrm { e x p } ( - i k r ^ { 2 } / 2 R ) \mathrm { e x p ~ } ( - r ^ { 2 } / w ^ { 2 } ) } \\ & { \times \mathrm { e x p } [ - i ( n + m + 1 ) \psi ] \mathrm { e x p } \left[ - i ( n - m ) \phi \right] } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { \mathrm { m i n } ( n , m ) } ( r \sqrt 2 / w ) ^ { \left| r - m \right| } } \\ & { \times L _ { \mathrm { m i n } ( n , m ) } ^ { \left| n - m \right| } ( 2 r ^ { 2 } / w ^ { 2 } ) \textbf { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { j _ { s } } p _ { j _ { 1 } \cdots \widehat { j _ { s } } \cdots j _ { l } n \cdots n } ( \hat { x } , x ^ { n } ) } & { = \frac { m } { m - l } x ^ { n } \partial _ { j _ { s } } f _ { j _ { 1 } \cdots \widehat { j _ { s } } \cdots j _ { l } n \cdots n n } ( \hat { x } , 0 ) } \\ & { \quad - \frac { m } { m - l } x ^ { n } \sum _ { r = 1 } ^ { l - 1 } \Gamma _ { j _ { s } j _ { r } } ^ { k } f _ { j _ { 1 } \cdots k \cdots j _ { l } n \cdots n n } ( \hat { x } , 0 ) } \\ & { \quad - \frac { m } { m - l } x ^ { n } \sum _ { r = l } ^ { m - 1 } \Gamma _ { j _ { s } n } ^ { k } f _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots k \cdots n n } ( \hat { x } , 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta l ( \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { 2 m } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { m } I _ { l } ( d _ { i } ) | } & { = | \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \Delta l ( \mathfrak { s } _ { 2 i - 1 } ^ { + } \mathfrak { s } _ { 2 i } \mathfrak { s } _ { 2 i + 1 } ^ { - } ) - I _ { l } ( d _ { i } ) \right) + \Delta l ( \tilde { \mathfrak { s } } _ { 1 } \cdots \tilde { \mathfrak { s } } _ { m } ) | } \\ & { \leq ( 2 m + 1 ) \epsilon _ { 1 } = \epsilon , } \end{array}
\underbrace { \left\langle \nabla \phi , \nabla \psi _ { t } \right\rangle } _ { = - \left\langle \phi , \omega _ { t } \right\rangle } + \left\langle \left( \omega - \tau \left( \omega _ { t } + u \cdot \nabla \omega \right) \right) \nabla \phi , u \right\rangle = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } ,
{ \vec { v } } = { \vec { v } } _ { 0 } + { \vec { a } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { c } } _ { 0 } \, t ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 1 2 0 } } { \vec { p } } \, t ^ { 5 }
\begin{array} { r l r } { N _ { k } ^ { i + 1 } } & { = } & { N _ { k } ^ { i } - \Delta N _ { k } ^ { i } \, , } \\ { u _ { k } ^ { i + 1 } } & { = } & { u _ { k } ^ { i } \, \left( 1 - \nu _ { k } ^ { i } \, \Delta t ^ { i } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, , } \\ { R _ { k } ^ { i + 1 } } & { = } & { R _ { k } ^ { i } - \Delta R _ { k } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { 1 , 0 } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha ) ( K ) : = 2 g \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( p _ { j } - \alpha x _ { j } \langle x \rangle ^ { - 1 } ) \cdot \varepsilon ( k , \lambda ) \frac { \partial _ { \theta } \kappa _ { \theta } ( k ) e ^ { - i \beta k \cdot x _ { j } } } { \sqrt { 2 } } , } \\ & { D _ { 0 , 1 } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha ) ( K ) : = 2 g \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( p _ { j } - \alpha x _ { j } \langle x \rangle ^ { - 1 } ) \cdot \varepsilon ( k , \lambda ) \frac { \partial _ { \theta } \tilde { \kappa } _ { \theta } ( k ) e ^ { i \beta k \cdot x _ { j } } } { \sqrt { 2 } } , } \\ & { D _ { 1 , 1 } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha ) ( K , \widetilde { K } ) } \\ & { : = 2 g ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \varepsilon ( k , \lambda ) \cdot \varepsilon ( \widetilde { k } , \widetilde { \lambda } ) \left( \partial _ { \theta } \kappa _ { \theta } ( k ) \tilde { \kappa } _ { \theta } ( \widetilde { k } ) + \kappa _ { \theta } ( k ) \partial _ { \theta } \tilde { \kappa } _ { \theta } ( \widetilde { k } ) \right) \frac { e ^ { - i \beta k \cdot x _ { j } } } { \sqrt { 2 } } \frac { e ^ { i \beta \widetilde { k } \cdot x _ { j } } } { \sqrt { 2 } } , } \\ & { D _ { 2 , 0 } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha ) ( K _ { 1 } , K _ { 2 } ) } \\ & { : = g ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \varepsilon ( k _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ) \cdot \varepsilon ( { k } _ { 2 } , { \lambda } _ { 2 } ) \left( \partial _ { \theta } \kappa _ { \theta } ( k _ { 1 } ) \kappa _ { \theta } ( k _ { 2 } ) + \kappa _ { \theta } ( k _ { 1 } ) \partial _ { \theta } \kappa _ { \theta } ( k _ { 2 } ) \right) \frac { e ^ { - i \beta k _ { 1 } \cdot x _ { j } } } { \sqrt { 2 } } \frac { e ^ { - i \beta k _ { 2 } \cdot x _ { j } } } { \sqrt { 2 } } , } \\ & { D _ { 0 , 2 } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha ) ( \widetilde { K } _ { 1 } , \widetilde { K } _ { 2 } ) } \\ & { : = g ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \varepsilon ( \tilde { k } _ { 1 } , \tilde { \lambda } _ { 1 } ) \cdot \varepsilon ( \widetilde { k } _ { 2 } , \widetilde { \lambda } _ { 2 } ) \left( \partial _ { \theta } \tilde { \kappa } _ { \theta } ( \widetilde { k } _ { 1 } ) \tilde { \kappa } _ { \theta } ( \widetilde { k } _ { 2 } ) + \tilde { \kappa } _ { \theta } ( \widetilde { k } _ { 1 } ) \partial _ { \theta } \tilde { \kappa } _ { \theta } ( \widetilde { k } _ { 2 } ) \right) \frac { e ^ { i \beta \widetilde { k } _ { 1 } \cdot x _ { j } } } { \sqrt { 2 } } \frac { e ^ { i \beta \tilde { k } _ { 2 } \cdot x _ { j } } } { \sqrt { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { \nu _ { \perp } = 3 \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \nu \frac { \Xi ( x ) - \Psi ( x ) } { x ^ { 3 } } , } & { { } } & { \nu _ { \parallel } = 3 \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \nu \frac { \Psi ( x ) } { x ^ { 3 } } , } & { { } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \nu = \frac { 4 \sqrt { \pi } Z ^ { 4 } e ^ { 4 } n \log \Lambda } { 3 T ^ { 3 / 2 } m ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c c } { \frac { 1 } { E _ { c } } } & { - \frac { \nu _ { c } } { E _ { c } } } & { - \frac { \nu _ { c } } { E _ { c } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu _ { c } } { E _ { c } } } & { \frac { 1 } { E _ { c } } } & { - \frac { \nu _ { c } } { E _ { c } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu _ { c } } { E _ { c } } } & { - \frac { \nu _ { c } } { E _ { c } } } & { \frac { 1 } { E _ { c } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mu _ { c } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mu _ { c } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mu _ { c } } } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \left| n \left( x ^ { \mu } \right) \right\rangle = | n \rangle } & { + \sum _ { m \neq n } { \frac { \langle m | \partial _ { \mu } H | n \rangle } { E _ { n } - E _ { m } } } | m \rangle x ^ { \mu } } \\ & { + \left( \sum _ { m \neq n } \sum _ { l \neq n } { \frac { \langle m | \partial _ { \mu } H | l \rangle \langle l | \partial _ { \nu } H | n \rangle } { ( E _ { n } - E _ { m } ) ( E _ { n } - E _ { l } ) } } | m \rangle - \sum _ { m \neq n } { \frac { \langle m | \partial _ { \mu } H | n \rangle \langle n | \partial _ { \nu } H | n \rangle } { ( E _ { n } - E _ { m } ) ^ { 2 } } } | m \rangle - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { m \neq n } { \frac { \langle n | \partial _ { \mu } H | m \rangle \langle m | \partial _ { \nu } H | n \rangle } { ( E _ { n } - E _ { m } ) ^ { 2 } } } | n \rangle \right) x ^ { \mu } x ^ { \nu } + \cdots . } \end{array} }
{ \frac { 1 } { 2 } } { \frac { e ^ { 2 } } { c _ { W } ^ { 2 } s _ { W } ^ { 2 } } } \left[ \begin{array} { c c } { { ( u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 3 } ^ { 2 } ) } } & { { - 4 a s _ { W } ( u _ { 2 } ^ { 2 } - u _ { 3 } ^ { 2 } ) } } \\ { { - 4 a s _ { W } ( u _ { 2 } ^ { 2 } - u _ { 3 } ^ { 2 } ) } } & { { 1 6 a ^ { 2 } s _ { W } ^ { 2 } ( u _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 3 } ^ { 2 } ) } } \end{array} \right]
\Delta t = \mathrm { C F L } \, \operatorname* { m i n } _ { T _ { i } } \left\lbrace \frac { \; h _ { i } } { \operatorname* { m a x } \left| \lambda _ { i } ^ { c } \right| \; + \frac { 2 } { h _ { i } } \; \operatorname* { m a x } \left| \lambda _ { i } ^ { v } \right| } \right\rbrace ,
\begin{array} { r l } { | g _ { j } ^ { \sigma } \rangle } & { { } = \frac { \delta L } { \delta | \psi _ { j } ^ { \sigma } \rangle } = 2 \left[ - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + v _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \sigma } - \varepsilon _ { j } ^ { \sigma } \right] | \psi _ { j } ^ { \sigma } \rangle } \end{array}