harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 1 } } & { { } : = P ^ { \ast } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Gamma ) , } \\ { \mathcal { E } _ { 1 } } & { { } : = P \Lambda ^ { n - 1 } ( \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Sigma ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma ) , } \end{array}
\hat { H } = \hbar \omega \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 1 } + \hbar \omega \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 2 } + \hbar \mu ( \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 2 } + \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 1 } )
\begin{array} { r l r } { \mu _ { i } } & { { } = } & { \frac { E _ { i } - E _ { i + 1 } } { f _ { i } ^ { - 1 } - f _ { i + 1 } ^ { - 1 } } , } \\ { \eta _ { i } } & { { } = } & { \frac { E _ { i } f _ { i } - E _ { i + 1 } f _ { i + 1 } } { f _ { i } - f _ { i + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \mathbf { d } _ { l } ) } & { = \left\{ x \in L ^ { 2 } ( [ a , b ] , \mathbb { R } ) \mid x _ { | ( a , l ) } \in H ^ { 1 } ( ( a , l ) , \mathbb { R } ) , \, x _ { | ( l , b ) } \in H ^ { 1 } ( ( l , b ) , \mathbb { R } ) , \, x \in \mathcal { C } ( [ a , b ] , \mathbb { R } ) \right\} } \\ & { = H ^ { 1 } ( [ a , b ] , \mathbb { R } ) , } \\ { \mathbf { d } _ { l } x } & { = - \left[ \frac { d } { d z } ( c _ { l } ^ { - } x ) + \frac { d } { d z } ( c _ { l } ^ { + } x ) \right] , \quad x \in D ( \mathbf { d } _ { l } ) . } \end{array}
\tilde { \omega } _ { n } ^ { 2 } = m ^ { 2 } \left\{ \frac { 2 \alpha } { \lambda ^ { 2 } } ( 2 \alpha + \lambda ) - \frac { 2 \alpha } { \lambda } - \left[ \sqrt { \frac { 2 \alpha } { \lambda ^ { 2 } } ( 2 \alpha + \lambda ) + \frac 1 4 } - ( n + \frac 1 2 ) \right] ^ { 2 } \right\} .
\left[ \begin{array} { c c } { { A _ { 1 1 } } } & { { A _ { 1 2 } } } \\ { { A _ { 2 1 } } } & { { A _ { 2 2 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { m _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { { m _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { { C _ { 1 } } } \\ { { C _ { 2 } } } \end{array} \right] ,
\hat { H } _ { \mathrm { d i s p } } = \hbar \omega _ { z } \hat { J } _ { z } + \frac { \hbar g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } ( \hat { J } _ { + } + \hat { J } _ { - } ) - \hbar \Delta _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hbar \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left( \alpha _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } + \alpha _ { d } ^ { * } \hat { a } \right) + \hat { H } _ { \mathrm { i n } } .
\begin{array} { r l } { U _ { k } = - } & { { } k _ { 2 } \frac { \mathcal { G } m _ { k } ^ { 2 } R ^ { 5 } } { 4 a _ { k } ^ { 3 } a _ { k } ^ { 3 } } \Bigg [ 1 + 3 \cos ( 2 \theta - 2 \theta ^ { \prime } - 2 \lambda _ { k } + 2 \lambda _ { k } ^ { \prime } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int ( d + e \, x ) ^ { m } ( A + B \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = - { \frac { ( B \, d - A \, e ) ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p + 1 } } { ( m + 1 ) \left( c \, d ^ { 2 } - b \, d \, e + a \, e ^ { 2 } \right) } } \, + \, { \frac { 1 } { ( m + 1 ) \left( c \, d ^ { 2 } - b \, d \, e + a \, e ^ { 2 } \right) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } ( ( A \, c \, d - A \, b \, e + a \, B \, e ) ( m + 1 ) + b ( B \, d - A \, e ) ( p + 1 ) + c ( B \, d - A \, e ) ( m + 2 p + 3 ) x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x } \end{array} }
\Phi _ { G } ( E _ { 0 } , \theta ) = A _ { G } E _ { 0 } ^ { - \gamma } \left( \frac { 1 } { 1 + \frac { \hat { E } _ { 0 } \cos \theta } { E _ { 0 , \pi } } } + \frac { B _ { G } } { 1 + \frac { \hat { E } _ { 0 } \cos \theta } { E _ { 0 , k } } } + r _ { c } \right) ,
\vec { J } _ { P } = \frac { i \hbar } { 2 m } ( \psi \nabla \psi ^ { * } - \psi ^ { * } \nabla \psi ) = \frac { \hbar } { m } \left( \psi _ { R } \nabla \psi _ { I } - \psi _ { I } \nabla \psi _ { R } \right) \, .
\operatorname* { m a x } _ { \mathbf C _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } } } \! \left\| \mathbf { F } \right\| \! = { \cal O } \! \left( \frac { \eta ^ { 2 / 3 } } { \delta } \! + \frac { 1 } { \delta ^ { 2 } } \right) \! = { \cal O } \! \left( N ^ { 1 / 3 } \eta ^ { 1 / 3 } \! + \frac { N ^ { 2 / 3 } } { \eta ^ { 2 / 3 } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { Z _ { 1 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \delta _ { j k } W _ { k \ell } W _ { \ell i } , \qquad \; \; Z _ { 2 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } W _ { j k } \delta _ { k \ell } W _ { \ell i } , } \\ & { Z _ { 3 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \delta _ { j k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } W _ { \ell i } , \qquad \; \; \; Z _ { 4 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \widetilde { \Omega } _ { j k } \delta _ { k \ell } W _ { \ell i } , } \\ & { Z _ { 5 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \delta _ { j k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } , \qquad \quad Z _ { 6 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \widetilde { \Omega } _ { j k } \delta _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { 0 } ( \lambda ) } & { = \sum _ { ( i , \ell ) \in \Upsilon ( \lambda ) } \sum _ { q > 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } + \sum _ { ( i , \ell ) \succ \lambda } \sum _ { q \ge 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } } \\ & { \ge \sum _ { ( i , \ell ) \in \Upsilon ( \lambda ) } \sum _ { q > 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } + \sum _ { ( i , \ell ) \in \{ \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } \} } \sum _ { q > 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } + \sum _ { ( i , \ell ) \succ \eta \in \{ \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } \} } \sum _ { q \ge 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { ( i , \ell ) \in \Upsilon ( \eta _ { 1 } ) } \sum _ { q > 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } + \sum _ { ( i , \ell ) \in \Upsilon ( \eta _ { 2 } ) } \sum _ { q > 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } + \sum _ { ( i , \ell ) \succ \eta \in \{ \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } \} } \sum _ { q \ge 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } } \\ & { = e _ { 0 } ( \eta _ { 1 } ) + e _ { 0 } ( \eta _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { m , n } ( \omega _ { s } , \omega _ { p } ) = } & { \frac { \sum _ { \alpha , \beta , \gamma } \int d \vec { r } \: \chi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 2 ) } ( \vec { r } ) \widetilde { E } _ { m , \alpha } ( \vec { r } ) \widetilde { E } _ { n , \beta } ( \vec { r } ) E _ { p , \gamma } ( \vec { r } ) } { ( \omega _ { p } - \omega _ { s } - \widetilde { \omega } _ { m } ) \widetilde { \omega } _ { m } ( \omega _ { s } - \widetilde { \omega } _ { n } ) \widetilde { \omega } _ { n } } . } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ D ~ B ~ R ~ C ~ } } ( V _ { t } , \mu ) = C ^ { \prime } p _ { \mathrm { ~ S ~ V ~ T ~ } } ( V _ { t } , \mu ) \underbrace { \left( \frac { \sigma _ { 0 } ( v _ { r } ) } { \sigma _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ( v _ { \xi } ) } \right) } _ { ( D ) }
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { h d } } \approx \frac { 1 } { N } \left( \frac { t _ { s } } { U _ { s s } } \right) ^ { 2 } \sum _ { { \bf k } \in \mathrm { 1 B Z } } ( 4 s _ { 0 } ^ { 2 } \gamma _ { \bf k } ) ^ { 2 } , } \end{array}
{ \mathrm { s . t . } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 1 } \left( x , y \right) = { \frac { f _ { 2 } \left( x , y \right) } { 0 . 8 5 8 \exp \left( - 0 . 5 4 1 f _ { 1 } \left( x , y \right) \right) } } \geq 1 } \\ { g _ { 2 } \left( x , y \right) = { \frac { f _ { 2 } \left( x , y \right) } { 0 . 7 2 8 \exp \left( - 0 . 2 9 5 f _ { 1 } \left( x , y \right) \right) } } \geq 1 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mathrm { v a r } ( \hat { T } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) } & { { } \lesssim \frac { 2 \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } + \sigma _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { m _ { \Delta } } , } \\ { \langle \widehat { \bar { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } \rangle } & { { } \lesssim \bar { n } _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } , ~ \mathrm { v a r } ( \widehat { \bar { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } ) \lesssim \frac { ( 2 \bar { n } _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { \Delta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \rho _ { C } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \pi _ { i } p _ { i j } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \left( - \left( T - \tau _ { j j } \right) C _ { j \ell } + \left( T - \tau _ { j \ell } \right) B _ { \ell j } \right) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } \pi _ { i } p _ { i j } p _ { i k } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \left( - \left( T - \tau _ { j k } \right) C _ { k \ell } + \left( T - \tau _ { j \ell } \right) B _ { \ell k } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } \varepsilon _ { + } ( r ) \frac { H } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r = } & { \: \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } \varepsilon _ { + } ( r ) \frac { d } { d r } \int _ { 1 } ^ { r } \frac { H e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r } \\ { = } & { \: \varepsilon _ { + } ( r _ { 0 } ) \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } \frac { H e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r } \\ & { - \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } \frac { d \varepsilon _ { + } } { d r } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } \frac { H e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r . } \end{array}
\ker \mathbf { \Omega } _ { L } \left( \mathfrak { u } \right) : = \left\{ \mathbf { K } \in \mathbf { T } _ { \mathfrak { u } } \mathbb { P } _ { L } \ \backslash \ \ i _ { \mathbf { K } } \mathbf { \Omega } _ { L } = 0 \right\} ,
\begin{array} { r l } { \Delta t F _ { \psi , h } } & { { } = \Delta t \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \mathcal { F } ^ { ( i ) } ( \psi _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { u } _ { h } ^ { t } ) \mathrm { d } t } \\ { \psi _ { h } ^ { m } - \psi _ { h } ^ { m - 1 } } & { { } = \frac { \Delta t } { M } \sum _ { p } ^ { P } b _ { p } \mathcal { F } ^ { ( i ) } ( \hat { \psi } _ { h } ^ { p , m } ; \boldsymbol { u } _ { h } ^ { t } ) , } \\ { \hat { \psi } _ { h } ^ { p , m } } & { { } = \psi _ { h } ^ { m - 1 } + \sum _ { q = 1 } ^ { p - 1 } a _ { p q } \mathcal { F } ^ { ( i ) } ( \hat { \psi } _ { h } ^ { q , m } ; \boldsymbol { u } _ { h } ^ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 1 , 6 k } ^ { A , k } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k , 6 k } ^ { B , k } \otimes v _ { 2 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k , 6 k } \otimes v _ { 2 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k + 1 , 6 k - 1 } ^ { B , k } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k + 1 , 6 k - 2 } ^ { B , k } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } 0 } & { = D \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Pi _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \mathrm { d } \Pi _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } - \gamma \left( \Pi _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) - \Pi _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) \right) , } \\ { 0 } & { = D \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Pi _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \left( - v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \mathrm { d } \Pi _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } - \gamma \left( \Pi _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) - \Pi _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) \right) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { - g } } } \partial _ { \mu } [ \sqrt { - g } \partial ^ { \mu } \sigma ] = - e ^ { - 2 \sigma } { ( { \partial } _ { \mu } b ) } ^ { 2 } + { \frac { 2 \alpha ^ { \prime } } { 3 } } \left( { \frac { \delta \Delta } { \delta \sigma } } \right) { \cal { R } } _ { G B } ^ { 2 } + { \frac { 2 \alpha ^ { \prime } } { 3 } } \left( { \frac { \delta \Theta } { \delta \sigma } } \right) { \cal { R } } { \tilde { \cal { R } } } \,
\begin{array} { r l } { | f ( t + \tau ) - f ( t ) | } & { = \frac { 1 } { \mathcal { N } } \left| \sum _ { k = 1 } ^ { \mathcal { N } } \Re e ^ { 2 i \pi \langle \mu _ { k } , t + \tau \rangle } - \Re e ^ { 2 i \pi \langle \mu _ { k } , t \rangle } \right| } \\ & { \leq \frac { 1 } { \mathcal { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { \mathcal { N } } \left| e ^ { 2 i \pi \langle \mu _ { k } , \tau \rangle } - 1 \right| } \\ { \mathrm { ( m e a n ~ v a l u e ~ t h e o r e m ) } } & { \leq \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { \mathcal { N } } \operatorname { d i s t } \left( 2 \pi \langle \mu _ { k } , \tau \rangle , 2 \pi \mathbb { Z } \right) } \\ & { \leq \frac { 2 \pi } { m } . } \end{array}
\begin{array} { r } { X ^ { \ast } ( \mu ; \alpha , v , \phi _ { S } , \phi _ { X } ) = \frac { - \phi _ { S } \phi _ { X } v - \phi _ { S } \mu - 2 \phi _ { X } \mu + \sqrt { ( - \phi _ { S } \phi _ { X } v - \phi _ { S } \mu - 2 \phi _ { X } \mu ) ^ { 2 } + 8 \phi _ { S } \phi _ { X } ( \phi _ { S } \phi _ { X } v + \phi _ { S } \mu - \phi _ { X } v \mu - \mu ^ { 2 } ) } } { 4 \phi _ { S } \phi _ { X } } . } \end{array}
\sum _ { \mu , \nu \in { \cal R } } ( \mu \cdot \nu ) \ell _ { \mu } ^ { j - 1 } \ell _ { \nu } ^ { k } \psi \equiv F _ { k , j } \psi , \qquad \psi : \ \mathrm { C o x e t e r ~ i n v a r i a n t } .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } } & { { } = - P _ { 0 } \delta _ { \alpha \beta } + 2 \xi \left( Q _ { \alpha \beta } + \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) Q _ { \gamma \epsilon } H _ { \gamma \epsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 8 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - 2 D \int d ^ { D } k \frac { k ^ { 2 } ( k \cdot p ) } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + \alpha g T \hat { \bf z } + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } , } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) T } & { { } = } & { \kappa \nabla ^ { 2 } T , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
\tau ^ { * } = \left\{ \begin{array} { l l } { \tau , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | \boldsymbol { u } - \boldsymbol { U } | \leq b \sqrt { R T } , } \\ { \frac { 1 } { 1 + a ^ { * } | \vec { u } - \vec { U } | / \sqrt { R T } } \tau , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | \boldsymbol { u } - \boldsymbol { U } | > b \sqrt { R T } , } \end{array} \right.
u _ { 3 } ( x _ { 2 } ) = [ \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } ( \frac { x _ { 2 } - L _ { 2 } / 2 } { 2 C _ { \theta } \theta _ { 0 } } ) - \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } ( \frac { x _ { 2 } - L _ { 2 } } { 2 C _ { \theta } \theta _ { 0 } } ) - \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } ( \frac { x _ { 2 } } { 2 C _ { \theta } \theta _ { 0 } } ) ] , ~ ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ 0 < x _ { 2 } \leq L _ { 2 } ,
\begin{array} { r } { N D _ { k } = \mathbb E \bigl [ \ln \langle \exp ( \beta N ^ { - 1 / \alpha } X _ { e _ { k } } \sigma _ { e _ { k } } ) \rangle _ { k } \big | \mathcal F _ { k } \bigr ] - \mathbb E \bigl [ \ln \langle \exp ( \beta N ^ { - 1 / \alpha } X _ { e _ { k } } \sigma _ { e _ { k } } ) \rangle _ { k } \big | \mathcal F _ { k - 1 } \bigr ] , } \end{array}
d \Gamma ^ { ( 2 n + 2 ) } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } \left| V _ { u b } \right| ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 5 } E } L ^ { \mu \nu } W _ { \mu \nu } ^ { ( 2 n + 2 ) } \frac { d ^ { 3 } k _ { \ell } } { 2 E _ { \ell } } \frac { d ^ { 3 } k _ { \nu } } { 2 E _ { \nu } }
\begin{array} { r } { { \gamma } ( l ) \rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { C _ { t } N _ { a } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { 2 ( l - 1 ) } } { \sigma ^ { 2 } } = \mathcal { O } ( N _ { p } ^ { 2 ( l - 1 ) } ) } & { \! { \mathrm { i f } ~ } l < \frac { J + 1 } { 2 } , } \\ { \frac { C _ { a } N _ { a } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { 2 ( J - l ) } } { \sigma ^ { 2 } } = \mathcal { O } ( N _ { p } ^ { 2 ( J - l ) } ) } & { \! { \mathrm { i f } ~ } l \geq \frac { J + 1 } { 2 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\tilde { N } ^ { i } = \operatorname * { d e t } ( g + { \cal F } ) \, ( g + { \cal F } ) ^ { i j } { \cal P } _ { + } \gamma _ { j } + \operatorname * { d e t } ( g - { \cal F } ) \, ( g - { \cal F } ) ^ { i j } { \cal P } _ { - } \gamma _ { j } \, .
\big | f _ { k l m } ( s ) \big | \lesssim T ^ { \theta } \mathbf { 1 } \big \{ 0 \leq s \lesssim T \big \} \mathbf { 1 } \big \{ | \mu | \lesssim \operatorname* { m a x } ( K , L , M ) \big \} \langle \mu + \lambda ^ { \prime } \rangle ^ { - 1 } \Big ( \langle \lambda \rangle ^ { - 1 } + \langle \lambda - \mu - \lambda ^ { \prime } \rangle ^ { - 1 } \Big ) .
\mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ . ~ \! ~ e ~ r ~ r ~ . ~ \! ~ S ~ D ~ } = \Big | \frac { E _ { c , ( 2 ) } ^ { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } - E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } } { E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } } \Big | \times 1 0 0 .
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ^ { 2 p } \partial _ { r r } \Phi ( \textbf { x } , r ) + \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 p } } ( - \Delta ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \Phi ( \textbf { x } , r ) + \frac { \beta } { \varepsilon ^ { 2 p } } \Phi ( \textbf { x } , r ) + | \Phi ( \textbf { x } , r ) | ^ { 2 p } \Phi ( \textbf { x } , r ) = 0 , } \\ & { \Phi ( \textbf { x } , 0 ) = \psi _ { 0 } ( \textbf { x } ) , \quad \partial _ { r } \Phi ( \textbf { x } , 0 ) = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 p } } \psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) , \quad \textbf { x } \in \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( r ) } & { = \frac g { 2 m r } \left[ e ^ { m r } \int _ { 0 } ^ { r } e ^ { - m r _ { 1 } } n ( r _ { 1 } ) r _ { 1 } d r _ { 1 } - e ^ { - m r } \int _ { 0 } ^ { r } e ^ { m r _ { 1 } } n ( r _ { 1 } ) r _ { 1 } d r _ { 1 } \right] \, , } \\ { I ^ { \prime } ( r ) } & { = \frac { - g } { 2 m r ^ { 2 } } \left[ e ^ { m r } ( 1 - m r ) \int _ { 0 } ^ { r } e ^ { - m r _ { 1 } } n ( r _ { 1 } ) r _ { 1 } d r _ { 1 } - e ^ { - m r } ( 1 + m r ) \int _ { 0 } ^ { r } e ^ { m r _ { 1 } } n ( r _ { 1 } ) r _ { 1 } d r _ { 1 } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \Omega ( t ) \triangle B _ { 1 } | ^ { 2 } \le 4 \pi \operatorname* { s u p } _ { \Omega _ { 0 } \triangle B _ { 1 } } \left| | x | ^ { 2 } - 1 \right| \, | \Omega _ { 0 } \triangle B _ { 1 } | } \end{array}
\Psi _ { i j } = 2 ^ { - 1 / 4 } ( \psi _ { i j } , \chi _ { i j } ) ^ { T } , \qquad \gamma ^ { 0 } = \sigma _ { 2 } , \; \gamma ^ { 1 } = i \sigma _ { 1 } , \; \gamma _ { 5 } = \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } = \sigma _ { 3 } .
\left. { \begin{array} { l } { z _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 3 } ^ { 2 } - z _ { 4 } ^ { 2 } = 0 } \\ { z _ { 1 } = x , \ z _ { 2 } = y , \ z _ { 3 } = z , \ z _ { 4 } = t } \\ { Z = { \frac { z _ { 1 } + i z _ { 2 } } { z _ { 4 } - z _ { 3 } } } = { \frac { x + i y } { t - z } } , \ Z ^ { \prime } = { \frac { x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } } { t ^ { \prime } - z ^ { \prime } } } } \\ { Z = { \frac { \alpha Z ^ { \prime } + \beta } { \gamma Z ^ { \prime } + \delta } } } \end{array} } \right| { \begin{array} { l } { Z = Z ^ { \prime } e ^ { \vartheta } } \\ { { \begin{array} { r l r l } { x } & { = x ^ { \prime } , } & { t - z } & { = ( t ^ { \prime } - z ^ { \prime } ) e ^ { \vartheta } } \\ { y } & { = y ^ { \prime } , } & { t + z } & { = ( t ^ { \prime } + z ^ { \prime } ) e ^ { - \vartheta } } \end{array} } } \end{array} }
{ \left( \begin{array} { l l } { x } & { y } \\ { 0 } & { z } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { x } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { \mathbf { \Phi } ^ { ( n ) } ( x , \lambda ) } & { { } = } & { \boldsymbol { \sigma } ^ { ( n ) } ( x , \lambda ) \cdot \mathbf { \Phi } ^ { ( n - 1 ) } ( x , \lambda ) , } \\ { \sigma _ { m l } ^ { ( n ) } ( x , \lambda ) } & { { } = } & { \delta _ { m l } + \frac { \lambda _ { n } - \lambda _ { n } ^ { * } } { \lambda - \lambda _ { n } } \frac { q _ { n m } ^ { * } q _ { n l } } { | \mathbf { q _ { n } } | ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 1 } ( i , j , k ) } & { = \frac { u _ { 1 } ( i + 1 , j , k ) - u _ { 1 } ( i - 1 , j , k ) } { 2 h } } \\ { \epsilon _ { 2 } ( i , j , k ) } & { = \frac { u _ { 2 } ( i , j + 1 , k ) - u _ { 2 } ( i , j - 1 , k ) } { 2 h } } \\ { \epsilon _ { 3 } ( i , j , k ) } & { = \frac { u _ { 3 } ( i , j , k + 1 ) - u _ { 3 } ( i , j , k - 1 ) } { 2 h } } \\ { \epsilon _ { 4 } ( i , j , k ) } & { = \frac { 1 } { 2 h } \left[ u _ { 2 } ( i , j , k + 1 ) - u _ { 2 } ( i , j , k - 1 ) + u _ { 3 } ( i , j + 1 , k ) - u _ { 3 } ( i , j - 1 , k ) \right] } \\ { \epsilon _ { 5 } ( i , j , k ) } & { = \frac { 1 } { 2 h } \left[ u _ { 1 } ( i , j , k + 1 ) - u _ { 1 } ( i , j , k - 1 ) + u _ { 3 } ( i + 1 , j , k ) - u _ { 3 } ( i - 1 , j , k ) \right] } \\ { \epsilon _ { 6 } ( i , j , k ) } & { = \frac { 1 } { 2 h } \left[ u _ { 1 } ( i , j + 1 , k ) - u _ { 1 } ( i , j - 1 , k ) + u _ { 2 } ( i + 1 , j , k ) - u _ { 2 } ( i - 1 , j , k ) \right] } \end{array}
m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } \equiv \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } = ( 4 - 3 0 ) \cdot 1 0 ^ { - 5 } \mathrm { e V } ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \tan ^ { 2 } \theta _ { 1 2 } = 0 . 2 5 - 0 . 8 5 ~ .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \exp \left( \alpha | \xi _ { N , \delta } ^ { n } | ^ { 2 } + \alpha \nu \delta \sum _ { j = 1 } ^ { n } | \nabla \xi _ { N , \delta } ^ { j } | ^ { 2 } \right) \leq \tilde { c } \exp \left( C \alpha | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } \right) \exp \left( \tilde { c } \alpha | \sigma | ^ { 2 } n \delta \right) \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } n \in \mathbb { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } ( \hat { H } - \mathcal { E } ) \, \hat { P } | \Psi \rangle } & { { } = - \hat { P } \hat { H } \hat { Q } \, | \Psi \rangle ~ , } \\ { \hat { Q } ( \hat { H } - \mathcal { E } ) \, \hat { Q } | \Psi \rangle } & { { } = - \hat { Q } \hat { H } \hat { P } \, | \Psi \rangle ~ . } \end{array}
{ \cal V } [ \phi _ { 0 } ] = V [ \phi _ { 0 } , m ( \mu _ { 0 } ) , \lambda ( \mu _ { 0 } ) ] + { \frac { \hbar } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } \left\{ { \cal M } _ { 0 } ^ { 4 } ( \mu _ { 0 } ) - m _ { 0 } ^ { 4 } \right\} \ln { \frac { \mu ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } } + \hbar X [ \phi _ { 0 } , m ( \mu ) , \lambda ( \mu ) , \mu ] + O ( \hbar ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { Y _ { t + \Delta t } - Y _ { t } = } & { \left( \frac { \partial f } { \partial t } ( t , X _ { t } ) + \mu ( t , X _ { t } ) \frac { \partial f } { \partial x } ( t , X _ { t } ) + \frac { 1 } { 2 } \sigma ( t , X _ { t } ) ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } ( t , X _ { t } ) \right) \Delta t } \\ & { \qquad + \sigma ( t , X _ { t } ) \frac { \partial f } { \partial x } ( t , X _ { t } ) \cdot \bigl ( W _ { t + \Delta t } - W _ { t } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ E ~ } [ w _ { \mu , \boldsymbol { \theta } } ] = } & { { } 1 + M - 4 \sum _ { i } ^ { M } k ^ { \theta _ { i } \theta _ { i } } \frac { \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } { v _ { i } } } \end{array}
\frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { k _ { 0 } } { k } } ( 1 - \cos \beta ) } \approx 1 - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { k _ { 0 } } { k } } ( 1 - \cos \beta ) .
\begin{array} { r l } { u } & { { } = - \frac { 2 } { 3 } \frac { 1 } { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } } ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 3 } - 2 \lambda _ { 2 } ) , } \\ { v } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } } ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { c } _ { \bf n m } = \prod _ { k } \zeta _ { k } ^ { n _ { k } } 2 ^ { - m _ { k } } \frac { ( - 1 ) ^ { m _ { k } } n _ { k } ! } { m _ { k } ! ( n _ { k } - 2 m _ { k } ) ! } . } \end{array}