harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E _ { y , k _ { y } , n } ^ { L } ( x ) } & { { } = e ^ { - i q k _ { y } x } \sin \left( \frac { \pi n } { L } x \right) , } \\ { H _ { z , k _ { y } , n } ^ { L } ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } i e ^ { - i q k _ { y } x } \Biggl [ \left( \frac { 1 } { Z _ { x + } } - \frac { 1 } { Z _ { x - } } \right) \cos \left( \frac { \pi n } { L } x \right) } \\ { E _ { x , k _ { y } , n } ^ { L } ( x ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } i e ^ { - i q k _ { y } x } \Biggl [ \left( \frac { Z _ { y + } } { Z _ { x + } } - \frac { Z _ { y - } } { Z _ { x - } } \right) \cos \left( \frac { \pi n } { L } x \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega ^ { 4 } - \omega ^ { 2 } ( u _ { y } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 4 } - u _ { z } ^ { 2 } A _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 4 } - u _ { z } ^ { 2 } A _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) } \\ { + ( u _ { y } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 4 } - u _ { z } ^ { 2 } A _ { x } k _ { x } ^ { 2 } ) * ( u _ { x } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 4 } - u _ { z } ^ { 2 } A _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) } \\ { - ( u _ { x } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 3 } k _ { y } - u _ { z } ^ { 2 } A _ { x } k _ { x } k _ { y } + u _ { y } ^ { 2 } k _ { x } k _ { y } ^ { 3 } ) * } \\ { ( u _ { x } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 3 } k _ { y } - u _ { z } ^ { 2 } A _ { y } k _ { x } k _ { y } + u _ { y } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 3 } k _ { x } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { H ( q , p ) = p _ { i } \dot { q } ^ { i } - L ( { q } , \dot { q } ) } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \dot { q } = \dot { q } ( p ) \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } p = \frac { \partial L } { \partial \dot { q } } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ V ~ } \int \mathrm { d } \xi \frac { \xi } { \xi + y } f _ { M } } & { { } = \int \mathrm { d } \xi \: f _ { M } - ( V _ { \parallel } + u ) \mathcal { I } = \frac { n } { 2 \pi } \frac { m } { T } \exp \left( - \frac { m \mu B } { T } \right) - ( V _ { \parallel } + u ) \mathcal { I } } \end{array}
1 + \sqrt { 2 } | \varepsilon | \frac { \mathrm { R e } \xi } { \mathrm { I m } \xi } \quad \mathrm { w h e r e } \quad \frac { \mathrm { R e } \xi } { \mathrm { I m } \xi } = - \frac { 1 + \frac { P _ { 0 } ( K ^ { + } ) } { A ^ { 2 } X ( x _ { t } ) } - \varrho } { \eta }
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ K ^ { 3 } ( 1 + C _ { V } ) T ^ { 1 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) L _ { T - 1 } ^ { 2 } \right] } & { \le K ^ { 3 } ( 1 + C _ { V } ) T ^ { 1 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) \mathbb E \left[ L _ { T - 1 } ^ { \alpha } \right] ^ { \frac 2 \alpha } } \\ & { \le K ^ { 3 } ( 1 + C _ { V } ) T ^ { 1 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) \cdot 2 K ^ { \frac 2 \alpha } M ^ { 2 } T ^ { \frac 2 \alpha } } \\ & { \le \operatorname { \mathcal O } ( T ^ { 1 - \frac \delta 2 + \frac 2 \alpha } ) } \\ & { \le o ( T ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d i p } } ^ { \mathrm { R P } } } & { = \frac { \mu _ { 0 } \hbar \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } { 4 \pi } \frac { 1 } { s ^ { 3 } } \left( \vec { \hat { S } } ^ { ( 1 ) } \cdot \vec { \hat { S } } ^ { ( 2 ) } - \frac { 3 } { s ^ { 2 } } ( \vec { \hat { S } } ^ { ( 1 ) } \cdot \vec { s } ) ( \vec { \hat { S } } ^ { ( 2 ) } \cdot \vec { s } ) \right) } \\ & { = \frac { \mu _ { 0 } \hbar \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } { 4 \pi } \frac { ( 1 - 3 \cos ^ { 2 } { \theta _ { \mathrm { R P } } } ) } { s ^ { 3 } } \left[ \hat { S } _ { z } ^ { ( 1 ) } \hat { S } _ { z } ^ { ( 2 ) } + ( \hat { S } _ { + } ^ { ( 1 ) } \hat { S } _ { - } ^ { ( 2 ) } + \hat { S } _ { - } ^ { ( 1 ) } \hat { S } _ { + } ^ { ( 2 ) } ) + \dots \right] = \hat { H } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { R P } } + \hat { H } _ { \mathrm { B } } ^ { \mathrm { R P } } + \dots \approx \hat { H } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { R P } } + \hat { H } _ { \mathrm { B } } ^ { \mathrm { R P } } } \end{array}
= \ \int d r d z \ r \Biggl \{ G ^ { 2 } \Bigl ( { \frac { U _ { r } ^ { 2 } + U _ { z } ^ { 2 } + V _ { r } ^ { 2 } + V _ { z } ^ { 2 } } { ( 1 + U ^ { 2 } + V ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \ + \ \frac { k ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } { \frac { U ^ { 2 } + V ^ { 2 } } { ( 1 + U ^ { 2 } + V ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \Bigr )
\boldsymbol { \mathbf { F } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) = \sum _ { l m } \frac { 1 } { r } \left[ \mathcal { F } _ { l m } ^ { X } ( r ) \boldsymbol { \mathbf { X } } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) + \mathcal { F } _ { l m } ^ { Y } ( r ) \boldsymbol { \mathbf { Y } } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) + \mathcal { F } _ { l m } ^ { Z } ( r ) \boldsymbol { \mathbf { Z } } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) \right] ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d \sigma } { d \Omega } } } & { = { \frac { m ^ { 4 } \alpha ^ { 2 } } { E _ { C M } ^ { 2 } p ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \theta } } { \Big ( } 4 - 3 \sin ^ { 2 } \theta { \Big ) } } \\ & { = { \frac { m ^ { 4 } \alpha ^ { 2 } } { E _ { C M } ^ { 2 } p ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \theta } } { \Big ( } 1 + 3 \cos ^ { 2 } \theta { \Big ) } . } \end{array} }
( A ^ { k } ) _ { v v } = \textnormal { \# o f p o s i t i v e C W o f l e n g t h } \ensuremath { k } \ensuremath { - } \ensuremath { \lvert \textnormal { \# o f n e g a t i v e C W } \textnormal { o f l e n g t h } \ensuremath { k } \rvert } .
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } + p _ { 4 } p _ { 6 } } & { = \sigma + \beta + 1 } \\ { p _ { 1 } } & { = - \sigma - 1 } \\ { p _ { 4 } p _ { 7 } } & { = - 1 } \\ { p _ { 1 } p _ { 4 } p _ { 6 } } & { = \beta ( \sigma + 1 ) } \\ { p _ { 1 } p _ { 4 } p _ { 7 } } & { = \sigma } \\ { p _ { 2 } ( p _ { 3 } p _ { 6 } - p _ { 4 } p _ { 5 } ) } & { = - \sigma \beta ( \rho - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp \left( n \cdot \left( \frac { \ln n } { n } + \ln ( c _ { 2 } + 1 ) + 1 + c _ { 1 } - c _ { 1 } c _ { 2 } \right) \right) \leq \epsilon } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( \frac { 1 } { \epsilon } \right) ^ { \frac { 1 } { n } } \leq \exp \left( - 1 \cdot \left( \frac { \ln n } { n } + \ln ( c _ { 2 } + 1 ) + 1 + c _ { 1 } - c _ { 1 } c _ { 2 } \right) \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { \frac { 1 } { n } \ln \frac { n } { \epsilon } + 1 + c _ { 1 } + \ln ( c _ { 2 } + 1 ) \leq c _ { 1 } c _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { ~ C ~ L ~ } } ( g ) } & { { } = - \frac { \hbar } { 2 \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } \int _ { 1 } ^ { \infty } p ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } p \int _ { 0 } ^ { \infty } \xi ^ { 3 } \mathrm { ~ d ~ } \xi \Bigg \{ \left[ \left( \frac { K + \epsilon \left( i \xi \right) p } { K - \epsilon \left( i \xi \right) p } \right) ^ { 2 } e ^ { 2 ( \xi / c ) p g } - 1 \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { e } ^ { A } ( \boldsymbol { \epsilon } ) = \frac { \lambda _ { s } } { 2 } \langle \epsilon _ { v } \rangle ^ { 2 } + \mu _ { s } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \langle \epsilon _ { i } \rangle ^ { 2 } , } \\ & { \psi _ { e } ^ { I } ( \boldsymbol { \epsilon } ) = - \frac { \lambda _ { s } } { 2 } \langle - \epsilon _ { v } \rangle ^ { 2 } - \mu _ { s } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \langle - \epsilon _ { i } \rangle ^ { 2 } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { A } & { C } \\ { B } & { D } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] = Z _ { h } ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { M } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right]
\frac { 2 \mathrm { i } x _ { 1 } \alpha _ { 1 } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { \mu _ { w } } \left. \overline { { v } } _ { 1 } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } + \frac { 1 } { T _ { w } } \left. \frac { \partial ^ { 3 } \overline { { v } } _ { 1 } } { \partial \underline { { \eta } } ^ { 3 } } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } - \frac { 2 x _ { 1 } T _ { w } ^ { 2 } } { \mu _ { w } } p _ { 1 } = 0 .
\mu ( \mathfrak { x } ) = \operatorname { C o v R a d } _ { N } ( \mathfrak { x } ) = \frac { 1 } { \vert \operatorname* { d e t } ( g ) \vert } \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { v } \in \tilde { \mathcal { K } } ^ { d } } \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { u } \in \mathfrak { x } } N ( \mathbf { v } - \mathbf { u } ) = \frac { 1 } { \vert \operatorname* { d e t } ( g ) \vert } \operatorname* { s u p } _ { y \in \pi ^ { - 1 } ( \mathfrak { x } ) } N ( y )
\pi = { \frac { 1 } { 2 ^ { 6 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 ^ { 1 0 n } } } \left( - { \frac { 2 ^ { 5 } } { 4 n + 1 } } - { \frac { 1 } { 4 n + 3 } } + { \frac { 2 ^ { 8 } } { 1 0 n + 1 } } - { \frac { 2 ^ { 6 } } { 1 0 n + 3 } } - { \frac { 2 ^ { 2 } } { 1 0 n + 5 } } - { \frac { 2 ^ { 2 } } { 1 0 n + 7 } } + { \frac { 1 } { 1 0 n + 9 } } \right)
\begin{array} { r } { J _ { \lambda } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) = { \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \mathrm { n o i s e } } ^ { 2 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } | U _ { \boldsymbol \nu } ( r _ { k } , 0 , t _ { m } ) \! - \! d _ { k } ^ { m } | ^ { 2 } \! + \! { \frac { \lambda } { 2 } } ( \boldsymbol \nu - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) ^ { t } \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { { p r } } } } ^ { - 1 } ( \boldsymbol \nu - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) } \end{array}
\hat { \cal H } _ { 0 } ^ { \pm } ( n ) = \frac { \pi } { \pi } { L } \sum _ { n \in \cal Z } \stackrel { \times } { \times } \hat { j } _ { \pm } ^ { a } ( n + m ) \hat { j } _ { \pm } ^ { a } ( - m ) \stackrel { \times } { \times }
h ( R ) = { \cal G } ( 0 ) \frac { \Gamma ( \frac { 3 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { 3 - \epsilon } { 2 } ) } \frac { 2 ^ { \frac { 3 } { 2 } \epsilon + 1 } } { 3 - \epsilon } R ^ { - \epsilon } ,
{ \begin{array} { r l } & { \zeta ( s ) \zeta ( s - a ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \sigma _ { a } ( n ) } { n ^ { s } } } } \\ & { { \frac { \zeta ( s ) \zeta ( s - a ) \zeta ( s - 2 a ) } { \zeta ( 2 s - 2 a ) } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \sigma _ { a } ( n ^ { 2 } ) } { n ^ { s } } } } \\ & { { \frac { \zeta ( s ) \zeta ( s - a ) \zeta ( s - b ) \zeta ( s - a - b ) } { \zeta ( 2 s - a - b ) } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \sigma _ { a } ( n ) \sigma _ { b } ( n ) } { n ^ { s } } } } \end{array} }
\underbrace { \vphantom { \left( \frac { \partial \Theta } { \partial x } \right) } \frac { 1 } { P r } \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \omega \right) } _ { I } - \underbrace { \vphantom { \left( \frac { \partial \Theta } { \partial x } \right) } \nabla ^ { 2 } \omega } _ { D } + \underbrace { R a \left( \frac { \partial T } { \partial x } - \frac { \partial C } { \partial x } \right) } _ { B } = 0 ,
\frac { \partial \omega _ { 1 } } { \partial u _ { 1 } } = \frac { \partial \omega _ { 1 } } { \partial \rho _ { 1 2 } } \frac { \partial \rho _ { 1 2 } } { \partial u _ { 1 } } + \frac { \partial \omega _ { 1 } } { \partial \rho _ { 1 3 } } \frac { \partial \rho _ { 1 3 } } { \partial u _ { 1 } } = \frac { 1 } { \exp ( u _ { 1 } ) } \left( \frac { \cot ( \alpha _ { 3 } ) \cot ( l _ { 1 2 } ) } { \rho _ { 1 2 } } + \frac { \cot ( \alpha _ { 2 } ) \cot ( l _ { 1 3 } ) } { \rho _ { 1 3 } } \right) .
\chi _ { j , k + 1 } \chi _ { j , k - 1 } = \frac { q ^ { 2 } \chi _ { j - 1 , k } \chi _ { j + 1 , k } } { ( 1 + q \chi _ { j - 1 , k } ) ( 1 + q \chi _ { j + 1 , k } ) } .
\begin{array} { r l } { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } & { { } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i , j } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } } { \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } ^ { 0 } } } \\ { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } & { { } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } E _ { u } ( \mathbf { k } ) } & { { } = } & { T _ { u } ( { \bf k } ) + \mathcal { F } _ { u } ( { \bf k } ) + \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) - D _ { u } ( \mathbf { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } c _ { 1 , 0 } = \kappa _ { \mathrm { e f f } , 1 } \partial _ { x } ^ { 2 } c _ { 1 , 0 } , \quad \kappa _ { \mathrm { e f f } , 1 } = \left( \frac { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 2 } z _ { 2 } } - \mathrm { P e } ^ { 2 } \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \frac { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 2 } z _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) } \right) . } \end{array}
\Delta l ( \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { k } ) = \left\{ \begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } l ( \mathfrak { s } _ { i } ) - l ( \langle \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { k } \rangle ) , } & { \ \mathrm { i f } \ \mathfrak { s } _ { 1 } , \cdots , \mathfrak { s } _ { k } \ \mathrm { i s \ a \ c h a i n ; } } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { k } l ( \mathfrak { s } _ { i } ) - l ( [ \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { k } ] ) , } & { \ \mathrm { i f } \ \mathfrak { s } _ { 1 } , \cdots , \mathfrak { s } _ { k } \ \mathrm { i s \ a \ c y c l e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { | U _ { h } ( x _ { 1 } , z _ { 1 } ; y ) - m ( x _ { 1 } , z _ { 1 } ; y ) | } \\ { \leq } & { \ \frac { \int H \left( \frac { \| ( x _ { 1 } , z _ { 1 } ) - ( x _ { 2 } , z _ { 2 } ) \| } { h } \right) \left| m ( x _ { 1 } , z _ { 1 } ; y ) - m ( x _ { 2 } , z _ { 2 } ; y ) \right| \mu ( d x _ { 2 } \ d z _ { 2 } ) } { \int H \left( \frac { \| ( x _ { 1 } , z _ { 1 } ) - ( x _ { 2 } , z _ { 2 } ) \| } { h } \right) \ \mu ( d x _ { 2 } \ d z _ { 2 } ) } } \\ & { \times \frac { \int H \left( \frac { \| ( x _ { 1 } , z _ { 1 } ) - ( x _ { 2 } , z _ { 2 } ) \| } { h } \right) \mu ( d x _ { 2 } \ d z _ { 2 } ) } { \int H \left( \frac { \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + \| z _ { 1 } - z _ { 2 } \| } { h } \right) \mu ( d x _ { 2 } \ d z _ { 2 } ) } . } \end{array}
\oint _ { \partial \Omega } U ^ { T } \tilde { A } ( V ) \, \ U \, \ d s \, \ d s = \oint _ { \partial \Omega } W ^ { T } \Lambda \, \ W \, \ d s = \oint _ { \partial \Omega } ( W ^ { + } ) ^ { T } \Lambda ^ { + } \, \ W ^ { + } + ( W ^ { - } ) ^ { T } \Lambda ^ { - } \, \ W ^ { - } \, \ d s = \oint _ { \partial \Omega } \lambda _ { i } W _ { i } ^ { 2 } \, \ d s ,
\begin{array} { r } { h ( x _ { 1 } ^ { n } ) = 1 , \quad g _ { ( \alpha , \beta ) } ( x _ { 1 } ^ { n } ) = \left( { \frac { 1 } { \beta - \alpha } } \right) ^ { n } \mathbf { 1 } _ { \{ \alpha \, \leq \, \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq n } X _ { i } \} } \mathbf { 1 } _ { \{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } X _ { i } \, \leq \, \beta \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \epsilon } = \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W ( \epsilon ) } { \partial Q ( \epsilon ) } } & { { } \frac { \partial Q ( \epsilon ) } { \partial \epsilon } \approx \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W _ { \theta } } { \partial Q ( \epsilon ) } } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial x } } & { { } = W ( \epsilon ) ^ { T } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial y } } \end{array} ,
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \mathrm { E i } } ^ { d } ( x ) \! = \! \sum _ { r = 1 } ^ { S _ { \mathbb { B } } } \binom { S _ { \mathbb { B } } } { r } ( - 1 ) ^ { r } \frac { 1 } { 2 \ln { \rho } } \mathrm { E i } \left( { \frac { - r \xi _ { \mathbb { B } } \gamma _ { t h } x } { P _ { a } G _ { a } ^ { M } G _ { b } ^ { \mathbb { A } } L _ { a b } ^ { m , \mathbb { B } } } } \right) . } \end{array}
\Sigma ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { \left[ \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } \alpha + ( 1 - \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } ) m _ { \mathrm { ~ d ~ } } \right] \mathbb { 1 } _ { 2 } } & { \sqrt { \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } } \gamma Z } \\ { \sqrt { \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } } \gamma Z } & { \left[ \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } \beta + \left( 1 - \tau _ { \mathrm { ~ u ~ } } \right) m _ { \mathrm { ~ u ~ } } \right] \mathbb { 1 } _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \hat { n } : = \left\{ \begin{array} { l l } { n ^ { ( 3 ) } ( m ^ { \omega k _ { 4 } } ) ^ { - 1 } , } & { k \in \mathcal { D } _ { \omega k _ { 4 } } , } \\ { n ^ { ( 3 ) } ( m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) ^ { - 1 } , } & { k \in \mathcal { D } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } , } \\ { n ^ { ( 3 ) } , } & { \mathrm { e l s e w h e r e } , } \end{array} \right. } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( \mathbf x ) = C \exp \bigg [ \frac { - a _ { 1 } a _ { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } a _ { 2 } a _ { 3 } x ^ { 4 } + a _ { 2 } y ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \bigg ] ,
\begin{array} { r l } { - i \partial _ { \tau } t _ { i } ^ { a } ( \tau ) } & { { } = \left< \Phi _ { i } ^ { a } | ( H _ { N } e ^ { T _ { 1 } ( \tau ) + T _ { 2 } ( \tau ) } ) _ { C } | \Phi \right> } \\ { - i \partial _ { \tau } t _ { i j } ^ { a b } ( \tau ) ) } & { { } = \left< \Phi _ { i j } ^ { a b } | ( H _ { N } e ^ { T _ { 1 } ( \tau ) + T _ { 2 } ( \tau ) } ) _ { C } | \Phi \right> \; , } \end{array}
Q = \alpha ^ { 2 } x \left[ \left( r + \frac { \pi } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { x } } \right) ^ { 2 } + \frac { \bar { c } ^ { 2 } } { x } \right] , \quad R = \frac { \alpha ^ { 2 } } { x } \, F \! \left( \frac { 1 } { \sqrt { x } } ; r \right) , \quad { \bf S } ^ { 2 } = \frac { \alpha ^ { 4 } } { x } \, G \! \left( \frac { 1 } { \sqrt { x } } ; r \right) ,
\mathcal { S } = \mathcal { O } \mathcal { I } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { r r } { \mathcal { S } _ { \bf d d } } & { \mathcal { S } _ { \bf d u } } \\ { \mathcal { S } _ { \bf u d } } & { \mathcal { S } _ { \bf u u } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \breve { 0 } } & { \mathcal { C } _ { \bf d u } \left( \mathcal { C } _ { \bf u u } \right) ^ { - 1 } } \\ { \mathcal { C } _ { \bf u d } \left( \mathcal { C } _ { \bf d d } \right) ^ { - 1 } } & { \breve { 0 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { u _ { n } } & { { } = u - X _ { y } v + X _ { z } w , } \\ { u _ { t } } & { { } = X _ { y } u + v , } \\ { u _ { p } } & { { } = - X _ { z } u + w , } \\ { u _ { s } } & { { } = X _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle z , t | \gamma , \delta \rangle } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \delta / 2 } \cos ( \gamma / 2 ) } \\ { \mathrm { e } ^ { i \delta / 2 } \sin ( \gamma / 2 ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\widehat { \Delta \varphi } [ k ] = \mathrm { A r g } \Bigg ( \frac { \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k + N - 1 ] } { \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k ] } \Bigg ) \, ,
d F _ { \gamma } ^ { i } ( z ) = \frac { d f _ { e ^ { - } } ^ { i } ( z ) } { d z } d z \frac { \lambda _ { R R E A } \lambda _ { - } } { \lambda _ { \gamma } ( \lambda _ { - } + \lambda _ { R R E A } ) } \cdot \left( e ^ { \frac { z } { \lambda _ { R R E A } } } - 1 \right)
\phi _ { 1 } ( \tau ) = c o s ( { \cal A } ( \tau - \tau _ { 0 } ) ) \phi _ { 1 } + s i n ( { \cal A } ( \tau - \tau _ { 0 } ) ) \phi _ { 2 } + \sqrt { 2 } \hbar \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } c o s ( { \cal A } ( \tau - s ) ) d B _ { s }
\begin{array} { r l } { \left\langle \partial _ { j } \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \partial _ { j } \overline { { u } } _ { k } ^ { \ell } \overline { { S } } _ { k i } ^ { \ell } \right\rangle = } & { \left\langle \partial _ { j } \left[ \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \partial _ { j } \overline { { u } } _ { k } ^ { \ell } \overline { { S } } _ { k i } ^ { \ell } \right] \right\rangle } \\ & { - \left\langle \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \partial _ { j } \partial _ { j } \overline { { u } } _ { k } ^ { \ell } \overline { { S } } _ { k i } ^ { \ell } \right\rangle - \left\langle \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { S } } _ { k j } ^ { \ell } \partial _ { j } \overline { { S } } _ { k i } ^ { \ell } \right\rangle - \left\langle \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { \Omega } } _ { k j } ^ { \ell } \partial _ { j } \overline { { S } } _ { k i } ^ { \ell } \right\rangle \ . } \end{array}
P ^ { \mu } \bar { \sigma } _ { \mu } { } ^ { \dot { \alpha } \alpha } L _ { \alpha } | \psi \rangle = 0 , \qquad \qquad P ^ { \mu } \sigma _ { \mu \, \alpha \dot { \alpha } } \bar { L } ^ { \dot { \alpha } } | \bar { \psi } \rangle = 0 .
\frac { E ^ { ( 1 ) } } { \widetilde { \mathcal { E } } } = \mu \, \frac { \omega _ { p } } { i k \alpha } \left( \frac { \zeta _ { + } } 2 \, e ^ { \tilde { g } t } + \frac { \zeta _ { + } } 2 \, e ^ { - h t } + \zeta _ { - } \, e ^ { - \alpha t } \cos { \delta t } \right) ,
\begin{array} { r l r l } { S ( ( n - 1 , j , 1 ) , \mathrm { T e a m ~ } A \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( n - 1 , j , 1 ) , ( n - 1 , j + 1 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { Q ( ( n - 1 , j , 2 ) , ( n - 1 , j + 1 , 2 ) ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( n - 1 , j , 2 ) , ( n - 1 , j , 1 ) ) } & { = q _ { B } , } \end{array}
\rho _ { r } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { \ell } } = ( - 1 ) ^ { \ell } \, \ell ! \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { \ell } } \sum _ { m = 0 } ^ { n } \Phi _ { n } ^ { \langle \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { \ell } \rangle } a _ { n m } ^ { ( \ell ) } J _ { r + m + 2 \ell , \ell } .
\operatorname* { d e t } ( \tilde { H } _ { E } ( \vec { k } ) ) = | \operatorname* { d e t } ( H ( \vec { k } ) - E ) \operatorname* { d e t } ( H ( \vec { k } ) + E ) | ^ { 2 } \neq 0 , \forall \vec { k } \in 1 B Z
\begin{array} { r l } { d _ { \textup { K o l } } ( \mathbf { F } , \mathbf { N } ) = \underset { z _ { 1 } , \ldots , z _ { d } \in \mathbb { R } } { \textup { s u p } } \big | } & { \mathbb { P } \left( \mathbf { F } \in ( - \infty , z _ { 1 } ] \times \ldots \times ( - \infty , z _ { d } ] \right) } \\ & { - \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \in ( - \infty , z _ { 1 } ] \times \ldots \times ( - \infty , z _ { d } ] \right) \big | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Sigma _ { - } } \eta ( X , N ) \, d \Theta _ { i } ( K , ( X , N ) ) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { j \rightarrow \infty } \int _ { \Sigma _ { - } } \eta ( X , N ) \, d \Theta _ { i } ( K _ { j } , ( X , N ) ) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { j \rightarrow \infty } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \times \mathbb { R } ^ { n } } \eta ( ( x , u _ { j } ( x ) ) , y ) \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + | y | ^ { 2 } } } \right) ^ { n - i - 1 } \, d \Xi _ { i } ( u _ { j } , ( x , y ) ) } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \times \mathbb { R } ^ { n } } \eta ( ( x , u ( x ) ) , y ) \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + | y | ^ { 2 } } } \right) ^ { n - i - 1 } \, d \Xi _ { i } ( u , ( x , y ) ) , } \end{array}
w i t h p r e s c r i b e d e i g e n v a l u e s , o r p r o v i n g t h a t s u c h m a t r i c e s d o n o t e x i s t . S i n c e t h o s e t a s k s a r e h a r d o n c e m a t r i c e s g e t l a r g e a n d p a t t e r n s m o r e c o m p l i c a t e d , t h e r e s e a r c h f o c u s e s o n f i n d i n g w a y s o f e x t r a c t i n g i n f o r m a t i o n f o r m o r e d i f f i c u l t c a s e s f r o m s i m p l e r o r s m a l l e r e x a m p l e s . A n i m p o r t a n t a d v a n c e i n t h i s d i r e c t i o n w a s m a d e i n w i t h t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e s t r o n g p r o p e r t i e s . I n p a r t i c u l a r , i f a m a t r i x