harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\dot { \xi } = \left\{ \overline { { H } } , \xi \right\} = - \frac { \partial H _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } { \partial t } = - \dot { \bf E } \left( t \right) \cdot \int { { \bf x } \ \rho \left( { \bf x } \right) \ \mathrm { ~ d ~ } { \bf x } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = - \sum _ { \ell = 1 } ^ { L - 1 } t ^ { ( \ell , 1 ) } \sigma _ { + } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { - } ^ { ( \ell , 1 ) } - \sum _ { \ell = 2 } ^ { L - 2 } t ^ { ( j , 2 ) } \sigma _ { + } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { - } ^ { ( \ell , 2 ) } \left( \sigma _ { z } ^ { ( \ell , 1 ) } + 1 \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L - 3 } o ^ { ( \ell ) } \sigma _ { + } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { - } ^ { ( \ell , 1 ) } \left( \sigma _ { z } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } + 1 \right) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \ell = 2 } ^ { L - 1 } r ^ { ( \ell ) } \sigma _ { + } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { - } ^ { ( \ell , 2 ) } \left( \sigma _ { z } ^ { ( \ell , 1 ) } - 1 \right) } \\ & { + h . c \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overleftrightarrow { \mathbf { K } } ^ { a } = - i \frac { k _ { \parallel } } { | k _ { \parallel } | } \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { j , n } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } } & { \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { \parallel } d p _ { \perp } } \\ & { \times \frac { \omega _ { p j } ^ { 2 } p _ { \perp } ^ { 2 } \overleftrightarrow { \mathbf { S } } f _ { j } } { \omega _ { k } ^ { 2 } \Lambda _ { \beta } } \delta \! \left( p _ { \parallel } - p _ { \parallel r e s } ^ { + } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { s } \bigr ( \mathbb R _ { + } ; \mathcal { B } ( L ^ { 2 } + L ^ { \infty } , L ^ { 1 } \cap L ^ { 2 } ) \bigr ) } & { \to C _ { s } \bigr ( \mathbb R _ { + } ; \mathcal { B } ( L ^ { 2 } + L ^ { \infty } , L ^ { 1 } \cap L ^ { 2 } ) \bigr ) } \\ { \chi _ { 0 } } & { \mapsto \chi ^ { \mathrm { R P A } } } \end{array}
\textstyle | \Psi ^ { \prime \prime } \rangle : = \sum _ { s _ { 1 } , \dotsc , s _ { L } } \operatorname { T r } \left( \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } \hat { A } _ { 2 } ^ { s _ { 2 } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } \right) \, | s _ { 1 } , s _ { 2 } , \dotsc , s _ { L } \rangle .
\begin{array} { r l } { k _ { 3 } ( \mathbf w ^ { \mathrm T } \mathbf { R } ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { p - 1 } s i n ^ { 3 } ( \frac { 2 \pi i } { p } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { p - 1 } s i n ( \frac { 2 \pi i } { p } ) ( 1 - c o s ^ { 2 } ( \frac { 2 \pi i } { p } ) ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { p - 1 } s i n ( \frac { 2 \pi i } { p } ) - \sum _ { i = 0 } ^ { p - 1 } s i n ( \frac { 2 \pi i } { p } ) c o s ^ { 2 } ( \frac { 2 \pi i } { p } ) = 0 . } \end{array}
\vec { E } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { e ^ { j \varphi _ { { x ^ { \prime } } } } + e ^ { j \varphi _ { { y ^ { \prime } } } } } \\ { e ^ { j \varphi _ { { x ^ { \prime } } } } - e ^ { j \varphi _ { { y ^ { \prime } } } } } \end{array} \right) .
\left[ e ^ { i \gamma \varphi } \right] _ { n } ( \underline { { { \theta } } } ( \lambda ) ) = \left[ e ^ { i \gamma \varphi } \right] _ { m } ( \underline { { { \theta } } } ^ { \prime } ) \, \left[ e ^ { i \gamma \varphi } \right] _ { n - m } ( \underline { { { \theta } } } ^ { \prime \prime } ) + O ( e ^ { - \lambda } ) \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { ( H _ { 1 } , [ 1 ] ) , ( H _ { 7 } , [ 1 ] ) , ( H _ { 2 9 } ^ { ( 1 ) } , [ 1 ] ) , ( H _ { 2 9 } ^ { ( 2 ) } , [ 1 ] ) , ( H _ { 2 9 } ^ { ( 3 ) } , [ 1 ] ) , ( H _ { 2 9 } ^ { ( 4 ) } , [ 1 ] ) , ( H _ { 2 9 } ^ { ( 5 ) } , [ 1 ] ) , ( H _ { 2 9 } ^ { ( 6 ) } , [ 1 ] ) , } \\ & { } & { ( H _ { 2 0 3 } ^ { ( 1 ) } , [ 1 ] ) , ( H _ { 2 0 3 } ^ { ( 2 ) } , [ 1 ] ) , ( H _ { 8 4 1 } , [ d ] ) , ( H _ { 5 8 8 7 } , [ 5 ] ) ~ . } \end{array}
\int _ { | k | < \frac { \Lambda } { s } } \phi _ { s } ( 4 ) \phi _ { s } ( 3 ) \phi _ { s } ( 2 ) \phi _ { s } ( 1 ) \biggl < \int _ { \frac { \Lambda } { s } < | k | < \Lambda } \phi _ { f } ( 8 ) \phi _ { f } ( 7 ) \phi _ { f } ( 6 ) \phi _ { f } ( 5 ) { \cal P } ( k _ { 8 } , k _ { 7 } , \cdots , k _ { 1 } ) \biggr > _ { 0 f } ,
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , 0 } ( \theta ) } & { = \mathbf { E } [ 1 \{ W \sin \theta > 0 \} ] \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } + \cos \theta \mathbf { E } [ 1 \{ Z \cos \theta + Y \sin \theta > 0 \} 1 ^ { \prime } \{ Z > 0 \} ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } + \cos \theta \mathbf { E } [ 1 \{ Y \sin \theta > 0 \} ] \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } + \frac { \cos \theta } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } = \frac { 1 + \cos \theta } { 2 \sqrt { 2 \pi } } . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { a } & { c } \\ { 0 } & { 1 } & { b } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } ^ { - 1 } = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - a } & { a b - c } \\ { 0 } & { 1 } & { - b } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \, .
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { { } = \left( 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } \right) \left( 0 . 5 - 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { 2 x } { \epsilon } \right) , } \\ { \phi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { { } = \left( 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } \right) \left( 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { 2 x } { \epsilon } \right) . } \end{array}
\times \frac { [ 1 + A { \Bigl ( \frac { q } { | m | } \Bigr ) } ^ { - 2 ( 1 - F ) } ] K _ { F } ^ { 2 } ( q r ) - [ 1 + A ^ { - 1 } { \Bigl ( \frac { q } { | m | } \Bigr ) } ^ { - 2 F } ] K _ { 1 - F } ^ { 2 } ( q r ) } { A { \Bigl ( \frac { q } { | m | } \Bigr ) } ^ { 2 F } + 2 + A ^ { - 1 } { \Bigl ( \frac { q } { | m | } \Bigr ) } ^ { 2 ( 1 - F ) } } .
\phi ( x , t = 0 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 L } } \sum _ { n } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega _ { n } } } \left( A _ { n } e ^ { i k _ { n } x } + A _ { n } ^ { \dagger } e ^ { - i k _ { n } x } \right) \; ,
\left( { \frac { 2 a } { n } } \right) = \left( { \frac { 2 } { n } } \right) \left( { \frac { a } { n } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( { \frac { a } { n } } \right) } & { { \mathrm { i f ~ } } n \equiv 1 , 7 { \pmod { 8 } } , } \\ { { - \left( { \frac { a } { n } } \right) } } & { { \mathrm { i f ~ } } n \equiv 3 , 5 { \pmod { 8 } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { \mathrm { c o m p } } ( r , t ) = } & { \; \mathcal { M } _ { 0 } ( r , t ) + \mathrm { P e } ^ { - 2 / 3 } \mathcal { M } _ { 1 } ( r , t ) + \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } \left( \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + \mathrm { P e } ^ { - 1 / 3 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } \left( \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + } \\ & { \; \mathrm { P e } ^ { - 2 / 3 } \log \mathrm { P e } ^ { - 2 / 3 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 2 } \left( \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + \mathrm { P e } ^ { - 2 / 3 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 3 } \left( \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) - } \\ & { \; \left[ \frac { \sqrt { 1 - t } } { \pi } - \frac { ( 1 - t ) } { 2 \pi } - \frac { \sqrt { 2 ( 1 - t ) } } { \pi } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) \sqrt { 1 - r } - \frac { ( 1 - t ) } { \pi } ( 1 - r ) + \right. } \\ & { \; \left. \mathrm { P e } ^ { - 2 / 3 } \left( \frac { \alpha } { \pi } ( 1 - ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) ^ { 2 } ) + \frac { \alpha \sqrt { 1 - t } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \pi } \left( \log ( 1 - r ) + \log \left( \frac { 2 ( 1 - t ) } { ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) ^ { 2 } } \right) \right) \right) \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { c } \frac { \partial \boldsymbol { F } _ { g } } { \partial t } + c \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \boldsymbol { \mathfrak { f } } _ { g } E _ { g } ) + \varkappa _ { g } ( T ) \boldsymbol { F } _ { g } = 0 \, ,
M ( p , p ^ { \prime } ) = \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } x ^ { \prime } \bar { E } _ { p } ( x ) M ( x , x ^ { \prime } ) E _ { p ^ { \prime } } ( x ^ { \prime } ) = \tilde { \Sigma } _ { A } ( \bar { p } ) ( 2 \pi ) ^ { 4 } \hat { \delta } ^ { ( 4 ) } ( p - p ^ { \prime } ) ,
Z _ { \mathrm { M A S H } } = \int \frac { \mathrm { d } p \mathrm { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { f } } \int _ { | c | = 1 } \frac { \mathrm { d } c } { \mathcal { N } } \, \mathrm { e } ^ { - \beta E ( p , q , c ) } ,
\begin{array} { r l r } { a } & { { } = } & { - \mu + \beta _ { 1 } ( 1 - \eta ) \langle k \rangle } \\ { b } & { { } = } & { - \beta _ { 1 } ( 1 - \eta ) \langle k \rangle - \beta _ { 2 } \eta \langle k \rangle + \gamma _ { 1 } \tau _ { 3 } + \frac { \gamma _ { 2 } \tau _ { 2 } } { 3 } + \frac { 2 \gamma _ { 3 } \tau _ { 2 } } { 3 } } \\ { c } & { { } = } & { - \gamma _ { 1 } \tau _ { 3 } - \frac { \gamma _ { 2 } \tau _ { 2 } } { 3 } - \frac { 2 \gamma _ { 3 } \tau _ { 2 } } { 3 } - \frac { \gamma _ { 4 } } { 3 } \tau _ { 1 } - \gamma _ { 5 } \tau _ { 0 } \, . } \end{array}
( P _ { 3 } ^ { c } ) _ { i j ^ { \prime } } ^ { i ^ { \prime } j } = ( t _ { c } ) _ { i } ^ { j } \delta _ { j ^ { \prime } } ^ { i ^ { \prime } } ~ , \qquad ( P _ { 4 } ^ { c } ) _ { i j ^ { \prime } } ^ { i ^ { \prime } j } = \delta _ { i } ^ { j } ( t _ { c } ) _ { j ^ { \prime } } ^ { i ^ { \prime } } ~ .
\begin{array} { r l } & { \| I _ { N } \Phi _ { B } ^ { \tau } ( v ) - I _ { N } \Phi _ { B } ^ { \tau } ( w ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = h \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } | \Phi _ { B } ^ { \tau } ( v ) ( x _ { j } ) - \Phi _ { B } ^ { \tau } ( w ) ( x _ { j } ) | ^ { 2 } } \\ & { = h \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } \left| e ^ { - i \tau V ( x _ { j } ) } \Phi _ { B _ { 2 } } ^ { \tau } ( v ) ( x _ { j } ) - e ^ { - i \tau V ( x _ { j } ) } \Phi _ { B _ { 2 } } ^ { \tau } ( w ) ( x _ { j } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { = h \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } \left| \Phi _ { B _ { 2 } } ^ { \tau } ( v ) ( x _ { j } ) - \Phi _ { B _ { 2 } } ^ { \tau } ( w ) ( x _ { j } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + C ( M ) \tau ) ^ { 2 } h \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } \left| v ( x _ { j } ) - w ( x _ { j } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 + C ( M ) \tau ) ^ { 2 } \| I _ { N } v - I _ { N } w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 + C ( M ) \tau ) ^ { 2 } \| v - w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\sigma = \pi ^ { 2 } \omega R ^ { 2 } \frac { e ^ { \frac { \omega } { T _ { H } } } - 1 } { ( e ^ { \frac { \omega } { 2 T _ { L } } } - 1 ) ( e ^ { \frac { \omega } { 2 T _ { R } } } - 1 ) } ,
\left( { \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { . . . } \\ { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } & { . . . } \\ { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } & { y _ { 3 } } & { . . . } \end{array} } \right) { \left( \begin{array} { l } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) } = \left( { \begin{array} { l } { 1 } \\ { x } \\ { y } \end{array} } \right)
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \notin \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { s } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } ( r , \varphi , \lambda ) = } & { { } G \rho \Delta r \Delta \varphi \Delta \lambda [ K _ { 0 0 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } ( K _ { 2 0 0 } \Delta { r ^ { 2 } } } \end{array}
C = \int _ { E _ { t h r e s h } } ^ { E _ { m a x } } n _ { b g } ( \varepsilon ) \lvert 1 - \exp \left[ \left( \rho _ { b g } \mu _ { b g } ( \varepsilon ) - \rho \mu ( \varepsilon ) \right) s \right] \rvert d \varepsilon .
\begin{array} { r l } { Q _ { \hat { X } ^ { n } } ( \mathcal { B } _ { D } ( x ^ { n } ) ) } & { = \operatorname* { P r } _ { Q _ { \hat { X } ^ { n } } } ( d ( x ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq D ) } \\ & { \leq \mathsf { E } _ { Q _ { \hat { X } ^ { n } } } [ \exp ( n \lambda ^ { * } D - n \lambda ^ { * } d ( x ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) ) ] . } \end{array}
P _ { \theta } = - \left< { u _ { k } ^ { \prime } } ^ { + } { \theta ^ { \prime } } ^ { + } \right> \frac { \partial \left< { \Theta } ^ { + } \right> } { \partial x _ { k } ^ { + } } + \left< { u _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { + } { \theta ^ { \prime } } ^ { + } \right> \frac { \partial \left< T _ { w } \right> } { \partial x _ { 1 } ^ { + } }
\varepsilon ( x ) _ { \mid s t a t i c } = \frac { 1 } { 2 } \phi { ' } ^ { 2 } + U ( \phi ) = 2 U ( \phi ) = \phi { ' } ^ { 2 } = \frac { \mu ^ { 4 } } { 4 \lambda } \frac { 1 } { \cosh ^ { 4 } [ \frac { \mu } { \sqrt { 2 } } ( x - x _ { 0 } ) ] } ,
\begin{array} { r l } { \{ \alpha \boxtimes \beta \in I \underset { \mathbb { Z } } { \odot } L \ | \ j \boxtimes k \subset ( \alpha \boxtimes \beta ) \bullet ( j ^ { \prime } \boxtimes k ^ { \prime } ) \} } & { = \{ \alpha \boxtimes \beta \in I \underset { \mathbb { Z } } { \odot } L \ | \ N _ { \alpha \boxtimes \beta , j ^ { \prime } \boxtimes k ^ { \prime } } ^ { j \boxtimes k } : = N _ { \alpha , j ^ { \prime } } ^ { j } \cdot N _ { \beta , k ^ { \prime } } ^ { k } \neq 0 \} } \\ & { = \{ \alpha \boxtimes \beta \in I \underset { \mathbb { Z } } { \odot } L \ | \ N _ { \alpha , j ^ { \prime } } ^ { j } \neq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } N _ { \beta , k ^ { \prime } } ^ { k } \neq 0 \} } \\ & { = \{ \alpha \in I \ | \ j \subset \alpha \otimes j ^ { \prime } \} \cap \{ \beta \in L \ | \ k \subset \beta \otimes k ^ { \prime } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } a _ { i } - ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } b _ { i } \| } \\ { \leq } & { ~ \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } a _ { i } - ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } b _ { i } \| _ { 2 } + \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } b _ { i } - ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } b _ { i } \| _ { 2 } . } \end{array}
0 ~ = ~ r ( \alpha - 1 ) + z + f ( \gamma ) y - 2 f ^ { \prime } ( \gamma ) y ( v - 1 ) \Delta + z ^ { 2 } \Sigma _ { 1 } ^ { \prime } + y ^ { 2 } \Sigma _ { 2 } ^ { \prime } + 2 y z \Sigma _ { 3 } ^ { \prime }
\left| \int _ { \Omega } \mathbf { G } _ { h , \alpha l r } ^ { n + 1 } \right| = \left| \Delta t \gamma \int _ { \Omega } \mathbf { M } _ { h , \alpha l r } ^ { n + 1 } \right| \leq C | | \mathbf { M } _ { h , \alpha } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } \leq C ( \phi _ { h } ^ { n } , \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { M } _ { f } \mathbf { X } } & { = \left[ \beta _ { i } ^ { f } \mathbf { X } _ { i } \right] _ { i } ; \quad \beta _ { i } ^ { f } : = \sum _ { c _ { k } \in \mathcal { C } ( f _ { i } ) } \alpha _ { c _ { k } } ^ { f } ; \quad \alpha _ { c _ { k } } ^ { f } : = \frac { | c _ { k } | } { 2 } ; } \\ { \mathbb { M } _ { e } ^ { ( 1 ) } \mathbf { Y } } & { = { \Big [ } \beta _ { l } ^ { e } \mathbf { Y } _ { l } { \Big ] } _ { l } ; \quad \beta _ { l } ^ { e } : = \sum _ { c _ { k } \in \mathcal { C } ( e _ { l } ) } \alpha _ { c _ { k } } ^ { e } ; \quad \alpha _ { c _ { k } } ^ { e } : = \frac { \mu _ { 0 } } { \eta ( c _ { k } ) } \frac { | c _ { k } | } { 4 } ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { M \omega } { L } = 1 / ( 1 / \delta + 1 / ( 1 + \omega ) ) } \\ { \frac { M \omega } { L } + \frac { M \omega } { L ^ { 2 } z ( 1 + \omega ) } ( N - \frac { M \omega } { 1 + \omega } ) = \frac { 1 } { z } ( \frac { N } { L } - \frac { M \omega } { L ( 1 + \omega ) } ) } \\ { \beta \omega ( 1 + \omega ) ^ { 2 } + 1 / z \beta \gamma \omega ( 1 + \omega ) - 1 / z \beta ^ { 2 } \omega ^ { 2 } - 1 / z \gamma ( 1 + \omega ) ^ { 2 } + 1 / z \beta \omega ( 1 + \omega ) } \\ { \omega ( 1 + \omega ) ^ { 2 } + 1 / z \gamma \omega ( 1 + \omega ) - 1 / z \beta \omega ^ { 2 } - 1 / z \frac { N } { M } ( 1 + \omega ) ^ { 2 } + 1 / z \omega ( 1 + \omega ) } \\ { \omega ^ { 2 } + \omega - \frac { N } { z M } - \frac { N \omega } { z M } + \frac { \omega } { z } = 0 } \\ { \omega ( 1 + \omega ) ^ { 2 } + \frac { N } { L z } \omega ( 1 + \omega ) - \frac { M } { L z } \omega ^ { 2 } - \frac { N } { M z } ( 1 + \omega ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { z } \omega ( 1 + \omega ) = 0 } \\ { \omega ^ { 3 } + ( 2 z + \frac { N } { L } - \frac { M } { L } - \frac { N } { M } + 1 ) \frac { \omega ^ { 2 } } { z } + ( 1 + \frac { N } { L z } - \frac { 2 N } { M z } + \frac { 1 } { z } ) \omega - \frac { N } { M z } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { | \Psi _ { 0 0 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } E _ { 0 } ( r ) [ | R \rangle | \ell \rangle + | L \rangle | - \ell \rangle ] , } \\ { | \Psi _ { 0 1 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } E _ { 0 } ( r ) [ | R \rangle | \ell \rangle - | L \rangle | - \ell \rangle ] , } \\ { | \Psi _ { 1 0 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } E _ { 0 } ( r ) [ | L \rangle | \ell \rangle + | R \rangle | - \ell \rangle ] , } \\ { | \Psi _ { 1 1 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } E _ { 0 } ( r ) [ | L \rangle | \ell \rangle - | R \rangle | - \ell \rangle ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { E } _ { e x t } ( t , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = \int d \omega \, \, \hat { E } _ { e x t } ( \omega ) \, e ^ { - i ( \omega t - k ( \omega ) \, y ^ { \prime } ) } \, \, \hat { e } _ { z } \, , } \end{array}
- F _ { i } ^ { a u x } U _ { i } ^ { ( 1 ) } - T _ { i } ^ { a u x } \omega _ { i } ^ { ( 1 ) } = \int _ { V } \tau _ { i j } ^ { e x , ( 0 ) } \frac { \partial v _ { i } ^ { a u x } } { \partial x _ { j } } d V
e ^ { A A ^ { \prime } j } \; { } ^ { ( 3 ) } \nabla _ { j } \rho _ { A } ^ { n q } = - \Bigr ( n + { \frac { 3 } { 2 } } \Bigr ) { _ { e } n ^ { A A ^ { \prime } } } \; \rho _ { A } ^ { n q } \; ,
S ^ { f } = - 1 / 2 \int d ^ { d + 1 } x \sqrt { | g | } \int d \bar { \eta } d \eta \nabla \Phi ( x , \eta ) . \nabla \Phi ( x , - \eta ) + m ^ { 2 } ( \eta ) \Phi ( x , \eta ) \Phi ( x , - \eta )
\begin{array} { r l } & { \arg [ Q _ { n - 2 N } ( \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } + 2 N , \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) ] + \varphi _ { 2 1 } } \\ { = } & { \arg [ Q _ { n } ( \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } , \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) ] \, ( { \, \mathrm { m o d \, } } 2 \pi ) . } \end{array}
\tilde { M } ^ { 2 } = \lambda x \left( \begin{array} { c c c } { { \tan \beta [ A _ { \lambda } + k x ] } } & { { [ A _ { \lambda } + k x ] } } & { { \frac { \nu _ { 2 } } { x } [ A _ { \lambda } - 2 k x ] } } \\ { { \mathrm { } [ A _ { \lambda } + k x ] } } & { { \cot \beta [ A _ { \lambda } + k x ] } } & { { \frac { \nu _ { 1 } } { x } [ A _ { \lambda } - 2 k x ] } } \\ { { \frac { \nu _ { 2 } } { x } [ A _ { \lambda } - 2 k x ] } } & { { \frac { \nu _ { 1 } } { x } [ A _ { \lambda } - 2 k x ] } } & { { 3 \frac { k A _ { k } } { \lambda } + \frac { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } { x ^ { 2 } } [ A _ { \lambda } + 4 k x ] } } \end{array} \right)
I _ { L } = \mathbf { \hat { k } } \cdot \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } \left[ \Delta \mathbf { r } _ { i } \right] ^ { 2 } \right) \mathbf { \hat { k } } = \mathbf { \hat { k } } \cdot \mathbf { I } _ { \mathbf { R } } \mathbf { \hat { k } } = \mathbf { \hat { k } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { I } _ { \mathbf { R } } \mathbf { \hat { k } } ,
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \left| \begin{array} { l l } { R _ { 1 } \Omega _ { 1 } } & { 1 / R _ { 1 } + b ^ { i n } / R _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { R _ { 2 } \Omega _ { 2 } } & { 1 / R _ { 2 } - b ^ { o u t } / R _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right| / \left| \begin{array} { l l } { R _ { 1 } - b ^ { i n } } & { 1 / R _ { 1 } + b ^ { i n } / R _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { R _ { 2 } + b ^ { o u t } } & { 1 / R _ { 2 } ^ { 2 } - b ^ { o u t } / R _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right| , } \\ { B } & { = } & { \left| \begin{array} { l l } { R _ { 1 } - b ^ { i n } } & { R _ { 1 } \Omega _ { 1 } } \\ { R _ { 2 } - b ^ { o u t } } & { R _ { 2 } \Omega _ { 2 } } \end{array} \right| / \left| \begin{array} { l l } { R _ { 1 } - b ^ { i n } } & { 1 / R _ { 1 } + b ^ { i n } / R _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { R _ { 2 } + b ^ { o u t } } & { 1 / R _ { 2 } ^ { 2 } - b ^ { o u t } / R _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right| . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \Big ( 1 + { \frac { Z } { 3 r ^ { 2 } } } \Big ) ^ { - 2 } d t ^ { 2 } + \Big ( 1 + { \frac { Z } { 3 r ^ { 2 } } } \Big ) ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } ) .
\hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { 0 } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } = \frac { 1 } { i \hbar } [ \hat { \mathrm { ~ \bf ~ d ~ } } , \hat { H } _ { m a t t e r } ] \; \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \; \hat { \mathrm { ~ \bf ~ d ~ } } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } q _ { a } \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a }
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { u } \times ( \mathbf { v } \times \mathbf { w } ) ) _ { y } } & { { } = ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { w } ) \mathbf { v } _ { y } - ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { w } _ { y } } \\ { ( \mathbf { u } \times ( \mathbf { v } \times \mathbf { w } ) ) _ { z } } & { { } = ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { w } ) \mathbf { v } _ { z } - ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { w } _ { z } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { \underset { 1 \leq i \leq n } { \operatorname* { m a x } } \left\Vert \boldsymbol { x } _ { i } \right\Vert } { \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \frac { 1 } { n } \mathbb { X } _ { n } ^ { T } \mathbb { X } _ { n } ) } = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { \underset { 1 \leq i \leq n } { \operatorname* { m a x } } \left\Vert \boldsymbol { \breve { z } } _ { i } \right\Vert } { \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \frac { 1 } { n } \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ^ { T } \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ) } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \partial _ { e } \widetilde { \Phi } \ne 0 ) = \mathbb { P } ( \Delta _ { e } \widetilde { \Phi } \ne 0 ) = \frac { 1 } { G ( \{ a \} ) } \mathbb { P } ( \Delta _ { e } \widetilde { \Phi } \ne 0 , t _ { e } = a ) } & { \le \frac { 1 } { G ( \{ a \} ) } \mathbb { P } ( e \in \mathcal { E } _ { \operatorname* { m i n } } ( \mathfrak j _ { 0 } ) ) . } \end{array}
\tilde { \phi } ( g _ { 1 } , g _ { 2 } , g _ { 3 } , g _ { 4 } ) = \tilde { \phi } ( g _ { 1 } h _ { 1 } , g _ { 2 } h _ { 2 } , g _ { 3 } h _ { 3 } , g _ { 4 } h _ { 4 } ) , \qquad \qquad ( \forall \ h _ { 1 } , h _ { 2 } , h _ { 3 } , h _ { 4 } \in H ) ;
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } [ U _ { n } ] } & { = \mathrm { P } \bigg [ \bigcup _ { q _ { n } < k \le 2 q _ { n } } V _ { k } ^ { 1 } \cap V _ { k } ^ { 2 } \cap V _ { k } ^ { 3 } \cap V _ { k + 1 } ^ { 4 } \bigg ] = \sum _ { q _ { n } < k \le 2 q _ { n } } \mathrm { P } \left[ V _ { k } ^ { 1 } \cap V _ { k } ^ { 2 } \cap V _ { k } ^ { 3 } \right] \mathrm { P } \left[ V _ { k + 1 } ^ { 4 } \right] } \\ & { \ge \sum _ { q _ { n } < k \le 2 q _ { n } } \frac { \delta } { 2 } \cdot \mathrm { P } \left[ \xi _ { k + 1 } / a _ { k + 1 } \in ( b , B ) \right] \ge \frac { \delta \delta ^ { \prime } } { 2 } \sum _ { q _ { n } < k \le 2 q _ { n } } \frac 1 k \sim \frac { \delta \delta ^ { \prime } \log 2 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { \mathfrak { p } } ^ { \mathrm { b a l } } ( { \mathbf { V } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } } \vert _ { G _ { K } } ) } & { = \bigl ( T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - k / 2 ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) } \\ { \mathscr { F } _ { \bar { \mathfrak { p } } } ^ { \mathrm { b a l } } ( { \mathbf { V } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } } \vert _ { G _ { K } } ) } & { = \{ 0 \} } \end{array}