\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { r } } { \mathrm { ~ d } r } + \frac { \hat { v } _ { r } } { r } + \frac { \beta \hat { v } _ { \theta } } { r } + k \hat { v } _ { z } = } & { 0 , } \\ { \operatorname { R e } \left[ - \omega \hat { v } _ { r } + k \bar { v } _ { z } \hat { v } _ { r } \right] = } & { \frac { \mathrm { d } \hat { p } } { \mathrm { ~ d } r } - \mathrm { i e } ^ { M \bar { c } } \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \hat { v } _ { r } } { \mathrm { ~ d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { r } } { \mathrm { ~ d } r } - \left( \frac { \beta ^ { 2 } + 1 } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) \hat { v } _ { r } \right. } \\ & { \left. - \frac { 2 \beta } { r ^ { 2 } } \hat { v } _ { \theta } + 2 M \frac { \mathrm { d } \bar { c } } { \mathrm { ~ d } r } \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { r } } { \mathrm { ~ d } r } + M k \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } \hat { c } \right] } \\ { \operatorname { R e } \left[ - \omega \hat { v } _ { \theta } + k \bar { v } _ { z } \hat { v } _ { \theta } \right] = } & { \frac { - \beta \hat { p } } { r } - \mathrm { i e } ^ { M \bar { c } } \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \hat { v } _ { \theta } } { \mathrm { d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { \theta } } { \mathrm { d } r } - \left( \frac { \beta ^ { 2 } + 1 } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) \hat { v } _ { \theta } \right. } \\ & { \left. - \frac { 2 \beta } { r ^ { 2 } } \hat { v } _ { r } + M \frac { \mathrm { d } \bar { c } } { \mathrm { ~ d } r } \left( \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { \theta } } { \mathrm { d } r } - \frac { \hat { v } _ { \theta } } { r } - \frac { \beta \hat { v } _ { r } } { r } \right) \right] } \\ { \operatorname { R e } \left[ - \omega \hat { v } _ { z } + k \bar { v } _ { z } \hat { v } _ { z } + \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } \hat { v } _ { r } \right] = } & { - k \hat { p } - \mathrm { i e } ^ { M \bar { c } } \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \hat { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } - \left( \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) \hat { v } _ { z } \right. } \\ & { + M \frac { \mathrm { d } \bar { c } } { \mathrm { ~ d } r } \left( \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } - k \hat { v } _ { r } \right) + M \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } \frac { \mathrm { d } \hat { c } } { \mathrm { ~ d } r } } \\ & { \left. + M \hat { c } \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } + M \frac { \mathrm { d } \bar { c } } { \mathrm { ~ d } r } \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } \right) \right] } \\ { P e \left[ - \omega \hat { c } + k \bar { v } _ { z } \hat { c } + \frac { \mathrm { d } \bar { c } } { \mathrm { ~ d } r } \hat { v } _ { r } \right] = } & { - \mathrm { i } \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \hat { c } } { \mathrm { ~ d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 \mathrm { ~ d } \hat { c } } { \mathrm { ~ d } r } - \left( \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) \hat { c } \right] . } \end{array}