harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { y , y ^ { \prime } \in x + \left( - \frac { h k } { 2 } , - \frac { h ( k + 1 ) } { 2 } \right) \cap h \mathbb { Z } ^ { d } } | f _ { h } ( y ) - f _ { h } ( y ^ { \prime } ) | } \\ & { \qquad \le C \operatorname* { m a x } _ { z , z ^ { \prime } \in x + ( 0 , h / 2 ) ^ { d } } I _ { h } f _ { h } ( z ) - I _ { h } f _ { h } ( z ^ { \prime } ) \le C h ^ { \alpha } \| I _ { h } f _ { h } \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( x + ( 0 , h / 2 ) ^ { d } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \oint _ { C } { \frac { d { \bf v } } { d t } } \cdot d { \bf r } = { \frac { e } { m _ { e } } } \int _ { S } \partial _ { t } { \bf B } \cdot d { \bf S } + { \frac { e } { m _ { e } } } \int _ { S } ( { \bf v } \cdot \nabla ) { \bf B } \cdot d { \bf S } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { C _ { 1 } = 1 . 0 8 2 , } } & { { C _ { 2 } = - 0 . 1 8 5 , } } \\ { { C _ { 3 } = 0 . 0 1 4 , } } & { { C _ { 4 } = - 0 . 0 3 5 , } } \\ { { C _ { 5 } = 0 . 0 0 9 , } } & { { C _ { 6 } = - 0 . 0 4 1 , } } \\ { { C _ { 7 } = - 0 . 0 0 2 / 1 3 7 , } } & { { C _ { 8 } = 0 . 0 5 4 / 1 3 7 , } } \\ { { C _ { 9 } = - 1 . 2 9 2 / 1 3 7 , } } & { { C _ { 1 0 } = 0 . 2 6 2 / 1 3 7 , } } \\ { { C _ { g } = - 0 . 1 4 3 . } } & { { } } \end{array}
{ \frac { d f _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { i - 1 } , a _ { i + 1 } , \ldots , a _ { n } } } { d x _ { i } } } ( a _ { i } ) = { \frac { \partial f } { \partial x _ { i } } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ) .
\begin{array} { r l } { \Vert U ^ { * } h \Vert _ { L _ { 2 } ( \mathcal { G } ) } ^ { 2 } } & { = \sum _ { e \in \mathcal { E } } \int _ { 0 } ^ { l _ { e } } \vert ( U ^ { * } h ) _ { e } ( x ) \vert ^ { 2 } \, d x = \frac { 1 } { \vert \widetilde { \mathcal { C } } \vert } \sum _ { \widetilde { e } \in \widetilde { \mathcal { E } } } \sum _ { g \in \Gamma } \int _ { 0 } ^ { l _ { e } } \Big \vert \int _ { \widetilde { \mathcal { C } } } h _ { \widetilde { e } } ( x , t ) e ^ { i \langle g , t \rangle } e ^ { \frac { i x } { l _ { e } } \langle g _ { e } , t \rangle } \, d t \Big \vert ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \sum _ { \widetilde { e } \in \widetilde { \mathcal { E } } } \int _ { 0 } ^ { l _ { e } } \int _ { \widetilde { \mathcal { C } } } \vert h _ { \widetilde { e } } ( x , t ) \vert ^ { 2 } \, d t d x = \int _ { \widetilde { \mathcal { C } } } \Vert h ( \cdot , t ) \Vert _ { L _ { 2 } ( \widetilde { \mathcal { G } } ) } ^ { 2 } \, d t = \Vert h \Vert _ { \mathcal { L } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \phi ( \mathbf { r } ) } { \partial N } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \, \int \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \left[ - e \, \frac { \partial n ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { \partial N } + e \, \frac { \partial n _ { \mathrm { L i ^ { + } } } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { \partial N } \right] \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { s _ { n } ( x ) = t _ { n } ( x ) , ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ x \in \left( 1 , \frac { 4 V _ { c } } { \sqrt { 3 } } \right] ~ \mathrm { a n d ~ f o r ~ a l l } ~ n \geq 1 . } \\ { \implies } & { s _ { n } ( x ) \leq a _ { n } ( \sqrt { 2 } V _ { c } ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ x \in \left( 1 , \frac { 4 V _ { c } } { \sqrt { 3 } } \right] ~ \mathrm { a n d ~ f o r ~ a l l } ~ n \geq 1 } & { ( \mathrm { ~ a s ~ } ~ \sqrt { 2 } V _ { c } ^ { \frac { 2 } { 3 } } > 1 ) } \end{array}
\vec { I } = \left( \begin{array} { c } { \hat { \sigma } ^ { - } + \hat { \sigma } ^ { + } } \\ { - i \left( \hat { \sigma } ^ { - } - \hat { \sigma } ^ { + } \right) } \\ { \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \hat { Y } _ { 2 } + \hat { Y } _ { 2 } ^ { \dagger } } \\ { - i \left( \hat { Y } _ { 2 } - \hat { Y } _ { 2 } ^ { \dagger } \right) } \\ { \hat { Y } _ { 1 } + \hat { Y } _ { 1 } ^ { \dagger } } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \cos ( \mu ) } \left( \frac { \sqrt { 1 - \cos ( \mu ) } } { 1 - W ( \mu , k ) } \right) } \\ & { = \frac { - W ( \mu , k ) + k ^ { 2 } + ( 1 - k ) ^ { 2 } + 2 k ( 1 - k ) \cos ( \mu ) } { 2 \sqrt { 1 - \cos ( \mu ) } W ( \mu , k ) ( 1 - W ( \mu , k ) ) ^ { 2 } } + \frac { 2 k ( 1 - k ) ( 1 - \cos ( \mu ) ) } { 2 \sqrt { 1 - \cos ( \mu ) } W ( \mu , k ) ( 1 - W ( \mu , k ) ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 1 - \cos ( \mu ) } W ( \mu , k ) ( 1 - W ( \mu , k ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { H } } ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \approx \left( \begin{array} { c c } { u _ { A } } & { \gamma k \mathrm { e } ^ { i \varphi ( \mathbf { k } ) } } \\ { \gamma k \mathrm { e } ^ { - i \varphi ( \mathbf { k } ) } } & { u _ { B } } \end{array} \right) , } \end{array}
\Big ( 1 - \frac { M _ { Z } ^ { 2 } } { s } \Big ) M _ { i n v } ^ { 4 } + 2 \frac { M _ { Z } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { s } M _ { i n v } ^ { 2 } - M _ { Z } ^ { 2 } { s } - \frac { M _ { Z } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 4 } } { s } + 2 M _ { Z } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 4 } \leq 0 ~ .
\begin{array} { r l } { { \bf x } ^ { \top } { \bf M } ( { \bf x } ^ { o } ) { \bf x } } & { = { \bf x } ^ { \top } \left( { \bf M } _ { \bf x } ^ { \perp } ( { \bf x } ^ { o } ) + \overbar { { { \bf M } } _ { \bf x } ^ { \perp } } ( { \bf x } ^ { o } ) \right) { \bf x } } \\ & { = { \bf x } ^ { \top } \overbar { { { \bf M } } _ { \bf x } ^ { \perp } } ( { \bf x } ^ { o } ) { \bf x } } \\ & { > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } ( u , t ) } & { = \frac { 4 \gamma \pi \sqrt \pi } { 2 ^ { 2 \nu - 1 / 2 } ( \Gamma ( \nu ) ) ^ { 2 } } \Big ( \frac { 2 \pi \lvert t \rvert } { \alpha _ { t } } \Big ) ^ { \nu - 1 / 2 } \Big ( \frac { 2 \pi \| u \| } { \alpha _ { s } } \Big ) ^ { \nu - 1 } } \\ & { \times \mathcal { K } _ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } \Big ( 2 \pi \alpha _ { t } \lvert t \rvert \Big ) \mathcal { K } _ { \nu - 1 } \Big ( 2 \pi \alpha _ { s } \| u \| \Big ) , } \end{array}
\| \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \| \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ) ) } \leq C ( R ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } + C ( R , M ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } ( T ^ { \frac 1 2 } + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \frac 1 4 } ) .
S [ \chi ] = \int \! d ^ { 2 } x ^ { \prime } \, \Bigl ( { \frac { 1 } { 2 } } \, \partial _ { \alpha } ^ { \prime } \chi \partial _ { \alpha } ^ { \prime } \chi - { \frac { N \delta v } { 2 } } \, \chi ^ { 2 } + \pi V \, \chi ^ { 4 } \Bigr )
N _ { e , n } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } x ( | \mathcal { B } | + \frac { S _ { n } } { 2 } \mathcal { K } ) \sim \left( 1 + S _ { n } \frac { \mathcal { K } } { 2 | \mathcal { B } | } \right) ,
G ( 1 , 2 ; 1 + 0 , 2 + 0 ) = 2 \alpha | \epsilon | ^ { - 4 / N ^ { 2 } } [ | z / \epsilon | ^ { 4 ( N - 2 ) / N ^ { 2 } } - k ^ { 2 } | z / \epsilon | ^ { - 4 ( N + 2 ) / N ^ { 2 } } ] + . . .
\frac { d W ( t ) } { d t } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } G ( c , c _ { * } ) ( w ^ { \prime } - w ) f ( v , w , c , t ) f ( v _ { * } , w _ { * } , c _ { * } , t ) d v d v _ { * } d w d w _ { * } d c d c _ { * } \, .
\begin{array} { r l } { h _ { i j } } & { { } = \int \mathrm { d } x ^ { 3 } \phi _ { i } ^ { \ast } ( x ) \left( - \frac { \hbar } { 2 m _ { e } } \nabla ^ { 2 } + \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \frac { Z _ { i } } { | \hat { x } - \mathbf { X } _ { i } | } \right) \phi _ { j } ( x ) , } \\ { V _ { i j k l } } & { { } = \int \mathrm { d } x ^ { 3 } \mathrm { d } x ^ { 3 } \phi _ { i } ^ { \ast } ( x ) \phi _ { j } ^ { \ast } ( x ^ { \prime } ) \frac { 1 } { | \hat { x } - \hat { x } ^ { \prime } | } \phi _ { l } ( x ^ { \prime } ) \phi _ { k } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } } { \partial r } \right) = - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { { u ^ { 2 } } } } } & { { } = } & { u ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 ! } \frac { \Delta ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \mathcal { O } \left( \Delta ^ { 4 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { g | _ { \mathrm { ~ { ~ \scriptsize ~ h ~ o ~ r ~ i ~ z ~ o ~ n ~ } ~ } } = \frac { \gamma + 1 } { 2 \sqrt { 2 } \sqrt { \gamma - 1 } } = \frac { 3 } { \sqrt { 5 } } . } \end{array}
\hat { \mathbf { G } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \zeta _ { x } \hat { \tau } _ { x x } + \zeta _ { y } \hat { \tau } _ { x y } + \zeta _ { z } \hat { \tau } _ { x z } } \\ { \zeta _ { x } \hat { \tau } _ { x y } + \zeta _ { y } \hat { \tau } _ { y y } + \zeta _ { z } \hat { \tau } _ { y z } } \\ { \zeta _ { x } \hat { \tau } _ { x z } + \zeta _ { y } \hat { \tau } _ { y z } + \zeta _ { z } \hat { \tau } _ { z z } } \\ { \zeta _ { x } { \beta } _ { x } + \zeta _ { y } { \beta } _ { y } + \zeta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\rho = \sum _ { k , l \in \{ 0 , \dots , 2 ^ { d } - 1 \} } p ( k , l ) \left\vert k \right\rangle _ { A } \left\langle k \right\vert \otimes \left\vert l \right\rangle _ { B } \left\langle l \right\vert \otimes \rho _ { E } ^ { k , l } .
\begin{array} { c c c c } { { Q _ { 2 L } = \left( \begin{array} { c } { { J _ { 2 } } } \\ { { c } } \\ { { s } } \end{array} \right) _ { L } } } & { { ( \underline { { { 3 } } } ^ { * } , - \frac { 1 } { 3 } ) ; } } & { { Q _ { 3 L } = \left( \begin{array} { c } { { J _ { 3 } } } \\ { { t } } \\ { { b } } \end{array} \right) _ { L } } } & { { ( \underline { { { 3 } } } ^ { * } , - \frac { 1 } { 3 } ) , } } \end{array}
e ^ { i S _ { \Lambda - \delta \Lambda } ( \phi _ { + } , \phi _ { - } ) } \equiv \int _ { \mathrm { C T C } } \prod _ { \Lambda _ { 0 } > | { \bf q } | > \Lambda - \delta \Lambda } { \cal D } [ \phi _ { + } ( { \bf q } , t ) ] { \cal D } [ \phi _ { - } ( { \bf q } , t ) ] \; e ^ { i S _ { \mathrm { c l } } [ \phi _ { + } , \phi _ { - } ] } .
L _ { q } = \frac { i \hbar } { 2 } [ \dot { \zeta } \ _ { q } < \zeta | T _ { i } ^ { + } | \zeta > _ { q } - \dot { \zeta } \ _ { q } < \zeta | T _ { i } ^ { - } | \zeta > _ { q } ] - { \cal H } _ { q } ( \zeta , \bar { \zeta } ) \ ,
{ \hat { \phi } } ( \mathbf { x } , t ) = \int { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega _ { \mathbf { p } } } } } \left( { \hat { a } } _ { \mathbf { p } } e ^ { - i \omega _ { \mathbf { p } } t + i \mathbf { p } \cdot \mathbf { x } } + { \hat { a } } _ { \mathbf { p } } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { \mathbf { p } } t - i \mathbf { p } \cdot \mathbf { x } } \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { x } U _ { \mathbf { t } } ( \beta , \alpha ) \Bigr | _ { ( x _ { 0 } ^ { \beta \alpha } , y _ { 0 } ^ { \beta \alpha } ) } = } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { U _ { \mathbf { t } } ( x _ { 0 } ^ { \beta \alpha } + h , y _ { 0 } ^ { \beta \alpha } ; \beta , \alpha ) - U _ { \mathbf { t } } ( x _ { 0 } ^ { \beta \alpha } , y _ { 0 } ^ { \beta \alpha } ; \beta , \alpha ) } { h } = } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { U _ { \mathbf { t } } ( - x _ { 0 } ^ { \beta \alpha } - h , y _ { 0 } ^ { \beta \alpha } ; \alpha , \beta ) - U _ { \mathbf { t } } ( - x _ { 0 } ^ { \beta \alpha } , y _ { 0 } ^ { \beta \alpha } ; \alpha , \beta ) } { h } = } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { U _ { \mathbf { t } } ( x _ { 0 } ^ { \alpha \beta } - h , y _ { 0 } ^ { \alpha \beta } ; \alpha , \beta ) - U _ { \mathbf { t } } ( x _ { 0 } ^ { \alpha \beta } , y _ { 0 } ^ { \alpha \beta } ; \alpha , \beta ) } { h } = } \\ & { = } & { - \partial _ { x } U _ { \mathbf { t } } ( \alpha , \beta ) \Bigr | _ { ( x _ { 0 } ^ { \alpha \beta } , y _ { 0 } ^ { \alpha \beta } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { n } ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \partial D _ { 1 } } { \frac { f ( \zeta _ { 1 } , z _ { 2 } , \ldots , z _ { n } ) } { \zeta _ { 1 } - z _ { 1 } } } \, d \zeta _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( f _ { \sigma } , K ) } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \log ( 2 r _ { 2 } / \theta _ { i } + 1 ) } { T } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \log ( 1 / \theta _ { i } ) } { T } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { \log ( \theta _ { i } + 2 r _ { 2 } ) } { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { Q } [ S ; A _ { m - m ^ { \prime } } ; \delta f _ { m ^ { \prime } } ] } & { = } & { \left[ \left( i \frac { m ^ { \prime } \mu A _ { m - m ^ { \prime } } } { q B _ { 0 } \gamma r } - \frac { m ^ { \prime } r \dot { A } _ { m - m ^ { \prime } } } { 7 B _ { 0 } ( m - m ^ { \prime } ) } \right) \delta f _ { m ^ { \prime } } - \left( \frac { S } { B _ { 0 } } \delta _ { m , m ^ { \prime } } + \frac { A _ { m - m ^ { \prime } } r } { B _ { 0 } } \right) \frac { \partial \delta f _ { m ^ { \prime } } } { \partial t } \right] } \\ & { + } & { \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m - m ^ { \prime } } } { 2 1 B _ { 0 } } - i ( m - m ^ { \prime } ) \frac { \mu A _ { m - m ^ { \prime } } } { q B _ { 0 } \gamma } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \delta _ { m , m ^ { \prime } } \right) \frac { \partial \delta f _ { m ^ { \prime } } } { \partial r } . } \end{array}
R _ { 1 2 } = R _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } = \delta _ { j _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } } \delta _ { j _ { 2 } } ^ { i _ { 2 } } \left( 1 + ( q - 1 ) \delta ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \right) + ( q - q ^ { - 1 } ) \delta _ { j _ { 2 } } ^ { i _ { 1 } } \, \delta _ { j _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } } \, \theta ( i _ { 1 } - i _ { 2 } )
F ^ { 1 1 1 1 } = \frac { ( 1 2 ) ( 3 4 ) } { x _ { 1 2 } ^ { 2 } \, x _ { 3 4 } ^ { 2 } } \; \alpha ( x _ { 0 } , \ldots , x _ { 4 } ) + \frac { ( 1 4 ) ( 2 3 ) } { x _ { 1 4 } ^ { 2 } \, x _ { 2 3 } ^ { 2 } } \; \beta ( x _ { 0 } , \ldots , x _ { 4 } ) + \frac { ( 1 3 ) ( 2 4 ) } { x _ { 1 3 } ^ { 2 } \, x _ { 2 4 } ^ { 2 } } \; \gamma ( x _ { 0 } , \ldots , x _ { 4 } ) \; .
\begin{array} { r l } { F _ { J } \mathrm { ~ i s ~ a n ~ i s o t r o p i c ~ r a y } \quad } & { \Leftrightarrow \quad \mathrm { t h e r e ~ e x i s t s } ~ J _ { 0 } \subsetneq J _ { * } , ~ \mathrm { s u c h ~ t h a t } ~ F _ { J _ { 0 } } = F _ { J _ { * } } } \\ & { \Leftrightarrow \quad \{ \lambda _ { j } \} _ { j \in J _ { * } } \mathrm { ~ a r e ~ l i n e a r l y ~ d e p e n d e n t } \quad \Leftrightarrow \quad \dim ( V _ { J _ { * } } ) = N - 1 - | J _ { * } | \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { G ( r , c ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } c r ^ { k } } & & { } \\ & { = c + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } c r ^ { k + 1 } } & & { { \mathrm { ~ ( s t a b i l i t y ) ~ } } } \\ & { = c + r \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } c r ^ { k } } & & { { \mathrm { ~ ( l i n e a r i t y ) ~ } } } \\ & { = c + r \, G ( r , c ) , } & & { { \mathrm { ~ h e n c e ~ } } } \\ { G ( r , c ) } & { = { \frac { c } { 1 - r } } , { \mathrm { ~ u n l e s s ~ i t ~ i s ~ i n f i n i t e } } } & & { } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \rho } } & { { } = \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial \rho } , } \\ { \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial u _ { \alpha } } } & { { } = \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial u _ { \alpha } } + \frac { \partial \mathcal { N } } { \partial u _ { \alpha } } , } \\ { \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial T } } & { { } = \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial T } + \frac { \partial \mathcal { N } } { \partial T } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { b 0 k } = \frac { 4 \pi e ^ { 4 } Z ^ { 2 } } { m _ { e } v ^ { 2 } } n _ { b e k } \mathrm { l n } \left( \frac { 2 m _ { e } v ^ { 2 } } { I _ { k } } \right) . } \end{array}
O _ { B } ( t ) \equiv \frac { \left| \sum _ { j \in \mathcal { B } } e ^ { \sqrt { - 1 } \theta _ { j } ( t ) } \right| } { | { \cal B } | } , \; \; O _ { R } ( t ) \equiv \frac { \left| \sum _ { j \in \mathcal { R } } e ^ { \sqrt { - 1 } \theta _ { j } ( t ) } \right| } { | { \cal R } | } .
\begin{array} { r l } { c _ { A } ^ { \pm } ( x , t ) } & { = \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } , k \leq N + 2 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } c _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) , \quad \tilde { \mathbf { v } } _ { A } ^ { \pm } ( x , t ) = \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } , k \leq N + 2 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) , } \\ { \tilde { p } _ { A } ^ { \pm } ( x , t ) } & { = \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { - 1 } , k \leq N + 2 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } p _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) , } \end{array}
L = \frac { H ^ { 2 } } { 2 ^ { \frac { n } { n + 1 } } } \left[ \frac { 2 { \cal A } } { ( n + 2 ) c _ { 0 } } \, \left( \rho g \right) ^ { n } \right] ^ { \frac { 1 } { n + 1 } }
\begin{array} { r l } & { R _ { q } ^ { T X } ( \theta ) = s i n c ( \frac { \pi q } { L } ) e ^ { \frac { j \pi q } { L } } \sum _ { u = 1 } ^ { L } { e ^ { \frac { - j 2 \pi q u } { L } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \gamma _ { n } ^ { u } } { L } } { I _ { 0 } e ^ { - \alpha ( n - 1 ) p } e } ^ { j k _ { q } ( n - 1 ) p c o s \theta } } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } ^ { ' } = \hat { U } _ { \mathrm { e l } } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { n u c } } ^ { \dagger } \hat { H } _ { \mathrm { p \cdot A } } \hat { U } _ { \mathrm { n u c } } \hat { U } _ { \mathrm { e l } }
\begin{array} { r } { \lambda _ { n } M _ { n } ^ { 4 } = \operatorname* { m a x } \biggr \{ ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } , ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } , \lambda _ { n } | \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } , \lambda _ { n } | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } \biggr \} . } \end{array}
i n e q n . b b e i n g m o t i v a t e d b y t h e k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n e q n . b . I t i s i m p o r t a n t t o r e m a r k h e r e t h a t t h e t i m e d e p e n d e n c e a s s u m e d i n i s a r b i t r a r y a n d w e s p e c i f i c a l l y \textit { d o n o t } a s s u m e t h e t i m e d e p e n d e n c e t o b e e x p o n e n t i a l a p r i o r i , i n d i s t i n c t i o n t o n o r m a l m o d e a n a l y s i s . A s a c o n s e q u e n c e , w e w i l l \textit { d e r i v e a n e q u a t i o n } g o v e r n i n g
\begin{array} { l } { { t ^ { \prime } e ^ { \prime } { t ^ { \prime } } ^ { - 1 } = q ^ { 2 } e ^ { \prime } ~ , ~ ~ ~ ~ t ^ { \prime } f ^ { \prime } { t ^ { \prime } } ^ { - 1 } = q ^ { - 2 } f ^ { \prime } ~ , } } \\ { { [ e ^ { \prime } , f ^ { \prime } ] = \displaystyle \frac { t ^ { \prime } - { t ^ { \prime } } ^ { - 1 } } { q - q ^ { - 1 } } ~ , } } \\ { { \Delta ( e ^ { \prime } ) = e ^ { \prime } \otimes { t ^ { \prime } } ^ { - n } + { t ^ { \prime } } ^ { 1 - n } \otimes e ^ { \prime } ~ , } } \\ { { \Delta ( f ^ { \prime } ) = f ^ { \prime } \otimes { t ^ { \prime } } ^ { n - 1 } + { t ^ { \prime } } ^ { n } \otimes f ~ , } } \\ { { \Delta ( t ^ { \prime } ) = t ^ { \prime } \otimes t ^ { \prime } ~ , } } \\ { { \epsilon ( e ^ { \prime } ) = 0 = \epsilon ( f ^ { \prime } ) ~ , ~ ~ ~ ~ \epsilon ( t ^ { \prime } ) = 1 ~ , } } \\ { { S ( e ^ { \prime } ) = - t ^ { - 1 } e ^ { \prime } ~ , ~ ~ ~ ~ S ( f ^ { \prime } ) = - f ^ { \prime } t ^ { \prime } ~ , ~ ~ ~ ~ S ( t ^ { \prime } ) = t ^ { - 1 } ~ . } } \end{array}
\Phi _ { i } ( s ) = f _ { i } ( s ) - a _ { i } - ( s - 4 ) \left\{ c _ { i } ( 2 a _ { 0 } - 5 a _ { 2 } ) + \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { 4 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \, R _ { i j } ( s , x ) \Im \, f _ { j } ( x ) + \psi _ { i } ( s ) \right\} .
\left. \frac { \partial } { \partial \varepsilon } \right| _ { \varepsilon = 0 } f _ { e q } [ \phi + \varepsilon f ] = ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } e ^ { - \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } } \left( M _ { 0 } - \frac { \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } - 3 M _ { 0 } } { 2 } + \mathbf { M } _ { 1 } \cdot \mathbf { v } + \frac { \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } - 3 M _ { 0 } } { 6 } | \mathbf { v } | ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { { \cal R } _ { 2 } ^ { 2 } = 2 R ^ { 2 } + \frac { 2 R _ { m } ^ { 2 } } { n } \quad + \frac { 3 ( 1 - \delta ) } { 4 } \left( \frac { 1 4 { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } + \frac { 7 R _ { m } ^ { 2 } } { 2 \delta } + \frac { 8 4 ( 1 - \delta _ { 1 } ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } } + \frac { 4 2 R _ { m } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } m ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| f \| _ { \mathcal G ^ { s , \lambda , \sigma } } ^ { 2 } = \sum _ { k } \int \left| \hat { f } _ { k } ( \eta ) \right| ^ { 2 } e ^ { 2 \lambda | k , \eta | ^ { s } } \langle k , \eta \rangle ^ { 2 \sigma } d \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = W _ { k _ { 0 } , l } ^ { T } r _ { k } } & { = W _ { l } ^ { T } \sum _ { m = 0 } ^ { l } ( A ^ { T } A ) ^ { m } V _ { k _ { 0 } } \gamma _ { m } ^ { ( k ) } = \sum _ { m = 0 } ^ { l } W _ { k _ { 0 } , l } ^ { T } ( A ^ { T } A ) ^ { m } V _ { k _ { 0 } } \gamma _ { m } ^ { ( k ) } } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { l } W _ { k _ { 0 } , l } ^ { T } B _ { l } ^ { m } V _ { k _ { 0 } } \gamma _ { m } ^ { ( k ) } = \sum _ { m = 0 } ^ { l } W _ { k _ { 0 } , l } ^ { T } W _ { l } T _ { l , l } ^ { m } W _ { k _ { 0 } , l } ^ { T } V _ { k _ { 0 } } \gamma _ { m } ^ { ( k ) } } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { l } T _ { l , l } ^ { m } ( \gamma _ { m } ^ { ( k ) } ) _ { k _ { 0 } } e _ { 1 } = P _ { l } ( T _ { l , l } ) e _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { 1 } _ { \Omega } ^ { T } \mathbf { K } _ { 1 1 } = \mathbf { 1 } _ { \Omega } ^ { T } \mathbf { K } _ { 1 1 } ^ { T } = \mathbf { 1 } _ { \Omega } ^ { T } \mathbf { K } _ { 1 2 } = \mathbf { 0 } _ { \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l ( G _ { 0 } ( g _ { 1 } ) , } & { G _ { 0 } ( g _ { 2 } ) , \sigma _ { * } ) \chi ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) \sigma ( g _ { 1 } g _ { 2 } ) } \\ & { = \beta ( G _ { 0 } ( g _ { 1 } ) ) ( \sigma ( g _ { 2 } ) ) \cdot l ( G _ { 0 } ( g _ { 1 } ) , \sigma _ { * } , F _ { 0 } ( g _ { 2 } ) ) \cdot \sigma ( g _ { 1 } ) \cdot l ( \sigma _ { * } , F _ { 0 } ( g _ { 1 } ) , F _ { 0 } ( g _ { 2 } ) ) \cdot \beta ( \sigma _ { * } ) ( \phi ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) ) \ \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s = 1 } ^ { n } H _ { X _ { s } , 1 } } & { = } & { \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } p _ { j } , } \\ { \sum _ { s = 1 } ^ { n } X _ { s } H _ { X _ { s } , 1 } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } H _ { X _ { s } , 2 } \delta _ { r _ { s } \geq 2 } - \sum _ { s = 1 } ^ { n } ( t _ { X _ { s } , 0 } ) ^ { 2 } \delta _ { r _ { s } = 1 } } & { = } & { \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } q _ { j } p _ { j } - t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ( t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 0 } + \hbar ) . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x x } ^ { \mathcal { R } } } & { { } = 2 \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { x y } , } \\ { \sigma _ { y y } ^ { \mathcal { R } } } & { { } = - 2 \sigma _ { x y } \dot { \omega } _ { x y } , } \\ { \sigma _ { x y } ^ { \mathcal { R } } } & { { } = \dot { \omega } _ { x y } ( \sigma _ { y y } - \sigma _ { x x } ) . } \end{array}