harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l c l l } { { \mathrm { f l o o r } } } & { { \mathrm { S U ( 2 / 1 ) } } } & { { \mathrm { f i e l d } } } & { { \mathrm { h e l i c i t y } } } \\ { { \mid \mathrm { g n d } > } } & { { ( 0 ~ + \frac { 1 } { 2 } ) } } & { { \phi } } & { { ~ 0 } } \\ { { \mid \mathrm { 1 s t } > } } & { { ( 0 ~ + \frac { 1 } { 2 } ) } } & { { 2 \lambda } } & { { - \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \mid \mathrm { 2 n d } > } } & { { ( 0 ~ + \frac { 3 } { 2 } ) } } & { { A _ { \mu } } } & { { - 1 . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { 3 } = \vert { T _ { 0 } } \rangle \langle { S _ { 0 } } \vert + \vert { S _ { 0 } } \rangle \langle { T _ { 0 } } \vert = I _ { 1 z } - I _ { 2 z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( H _ { i } | F ) } & { { } = { \frac { 2 ^ { - ( L ( H _ { i } ) + L ( F | H _ { i } ) ) } } { 2 ^ { - L ( F | R ) } + \sum _ { j } 2 ^ { - ( L ( H _ { j } ) + L ( F | H _ { j } ) ) } } } } \\ { P ( R | F ) } & { { } = { \frac { 2 ^ { - L ( F | R ) } } { 2 ^ { - L ( F | R ) } + \sum _ { j } { 2 ^ { - ( L ( H _ { j } ) + L ( F | H _ { j } ) ) } } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 1 } \propto \cos \left[ \Delta \omega t + \tilde { \psi } _ { 1 } ( t ) - \tilde { \psi } _ { 1 } ( t + \tau ) + \tilde { \phi } _ { \mathrm { A O M } } ( t ) - \tilde { \phi } _ { \mathrm { f i b e r } } ( t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( \rho , \alpha ) \triangleq \log _ { 2 } \left( \frac { \rho } { 1 \! - \! \rho } \right) \left( 1 \! - \! \frac { p } { q } \right) + \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! - \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) + \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! - \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { l } { { p _ { m a x } = [ \frac { ( s - 1 ) n } { M } + \frac { 1 } { 2 } ] , } } \\ { { u ( p ) = ( 2 p + 1 ) \frac { M } { 2 n } + 1 , } } \\ { { l ( p ) = ( 2 p - 1 ) \frac { M } { 2 n } + 1 , } } \\ { { g ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { k } } & { { \mathrm { i f ~ s = 2 k , } } } \\ { { k + 1 } } & { { \mathrm { i f ~ s = 2 k + 1 , } } } \end{array} \right. } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( \bar { X } ) = E \left( \frac { X _ { 1 } + \cdots + X _ { n } } { n } \right) } & { = E \left( \frac { X _ { 1 } } { n } + \cdots + \frac { X _ { n } } { n } \right) } \\ & { = E \left( \frac { X _ { 1 } } { n } \right) + \cdots + E \left( \frac { X _ { n } } { n } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n } E ( X _ { 1 } ) + \cdots + \frac { 1 } { n } E \left( X _ { n } \right) } & { \mathrm { u s i n g ~ } c = \frac 1 n } \\ & { = \frac { 1 } { n } \mu + \cdots + \frac { 1 } { n } \mu } \\ & { = \frac { n } { n } \mu = \mu } \end{array}
i ^ { 2 m } \operatorname { e r f c } ( - z ) = - i ^ { 2 m } \operatorname { e r f c } ( z ) + \sum _ { q = 0 } ^ { m } { \frac { z ^ { 2 q } } { 2 ^ { 2 ( m - q ) - 1 } ( 2 q ) ! ( m - q ) ! } }
{ \frac { d L _ { \gamma \gamma } } { d W ^ { 2 } } } = { \frac { 1 6 } { 3 } } { \frac { Z _ { 1 } ^ { 2 } Z _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } W ^ { 2 } } } \times \cal { F } ( { \frac { \gamma } { \sqrt { R _ { 1 } R _ { 2 } } W } } )
p _ { \mathrm { ~ e ~ } } = 2 r _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ u ~ s ~ t ~ e ~ r ~ } } / ( 2 \pi r _ { \mathrm { ~ t ~ u ~ b ~ e ~ } } ) = r _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ u ~ s ~ t ~ e ~ r ~ } } / ( \pi r _ { \mathrm { ~ t ~ u ~ b ~ e ~ } } )
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ^ { \prime } ] } \{ | \gamma ^ { \varepsilon } ( t ) - \beta ( t ) | + \| \psi ^ { \varepsilon } ( t ) - \phi ^ { 0 } ( t ) \| _ { H _ { x } ^ { s + 1 } } \} \lesssim \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 1 } ^ { \uparrow \uparrow , s h } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \bigg ( f _ { 0 } ( 1 - f _ { 0 } ) - f ( 1 - f ) \bigg ) = 0 . } } \end{array}
i n \Delta \psi _ { n , k } + \varepsilon \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \nabla ^ { \perp } \psi _ { m , j } \cdot \nabla \Delta \psi _ { n - m , k - j } = \frac { 1 } { \textrm { W o } ^ { 2 } } \left( \Delta ^ { 2 } \psi _ { n , k } - \alpha _ { k } \Delta \psi _ { n , k } \right) ,
P _ { r } = \left( \stackrel [ k = 1 ] { K } { \sum } \frac { p _ { k } } { d _ { u _ { k } , r } ^ { \alpha _ { r } } } \mathscr { E } \left\{ \left\Vert \tilde { \Theta } \mathbf { h } _ { r , i } \right\Vert ^ { 2 } \right\} + \mathscr { E } \left\{ \left\Vert \tilde { \Theta } \mathbf { n } _ { r } \right\Vert ^ { 2 } \right\} \right) = \left( \stackrel [ k = 1 ] { K } { \sum } \frac { p _ { k } } { d _ { u _ { k } , r } ^ { \alpha _ { r } } } M \varrho ^ { 2 } + M \varrho ^ { 2 } \sigma _ { r } ^ { 2 } \right)
r ( W , \varepsilon ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { V _ { X } ^ { \prime \prime } ( x _ { 3 } ) \lvert V _ { X } ^ { \prime \prime } ( x _ { 2 } ) \rvert } \, \mathrm { e x p } \left( - \frac { 2 \Delta V _ { X } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) .
\partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } \ a ^ { \beta } = ( \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } + \partial _ { \tau } \partial ^ { \tau } ) \ a ^ { \beta } = ( \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } + \sigma \; \partial _ { \tau } ^ { 2 } ) \ a ^ { \beta } = - \frac { e } { c } \ j ^ { \beta } \ ,
{ \frac { d \sigma ^ { \mathrm { l e p , \ i n c l } } } { d y } } = \sum _ { a , b } \int _ { E _ { T } ^ { \mathrm { m i n } } } ^ { E _ { T } ^ { \mathrm { m a x } } } d E _ { T } f _ { b / { \bar { p } } } ( x _ { b } , \mu ) f _ { a / p } ( x _ { a } , \mu ) V _ { a b } ^ { 2 } \biggl [ { \frac { \hat { u } ^ { 2 } G _ { F } ^ { 2 } } { 6 s \Gamma _ { W } [ ( M _ { W } / 2 E _ { T } ) ^ { 2 } - 1 ] ^ { 1 / 2 } } } \biggr ] ,
r _ { m i n } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \biggl \{ \pm \frac { a } { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } } \Sigma + \sqrt { ( M \mp \frac { a \Sigma } { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } - \Sigma ^ { 2 } } \biggr \} \, .
\begin{array} { r l } { R } & { { } = \cos ^ { 2 } \bigg ( \frac { \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } } { 2 } \bigg ) } \\ { T } & { { } = 1 - R = \sin ^ { 2 } \bigg ( \frac { \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } } { 2 } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { t \left( \frac { 1 } { t ^ { 2 } } + \frac { \dot { H } ^ { 2 } } { H ^ { 2 } } \right) ^ { p / 2 } } & { = \left( t ^ { 2 / p - 2 } + t ^ { 2 / p } \frac { \dot { H } ^ { 2 } } { H ^ { 2 } } \right) ^ { p / 2 } } \\ & { \geqslant ( 1 - g ( t ) ) ^ { 1 - p / 2 } t ^ { 1 - p } + g ( t ) ^ { 1 - p / 2 } t \frac { | \dot { H } | ^ { p } } { | H | ^ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { A } = \left[ \begin{array} { l l l } { E _ { 2 } } & { 0 } & { \frac { 1 } { m _ { 1 } } \, \mathbf { n } } \\ { 0 } & { E _ { 2 } } & { - \frac { 1 } { m _ { 2 } } \, \mathbf { n } } \\ { ( \mathbf { n } ) ^ { T } } & { - ( \mathbf { n } ) ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right] _ { 5 \times 5 } \quad , \mathbf x = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { v } _ { 1 } } \\ { \mathbf { v _ { 2 } } } \\ { \lambda } \end{array} \right] \quad , \mathbf b = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } _ { 1 } } \\ { \mathbf { u } _ { 2 } } \\ { - \epsilon \, ( \mathbf u _ { 2 } - \mathbf u _ { 1 } ) \, \cdot \mathbf n } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \iint _ { 0 } ^ { \infty } \langle G ( w _ { 1 , s } ) E _ { \sigma } G ( w _ { 2 , t } ) B \rangle \mathcal { O } ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } + s + t ) \, \frac { \mathrm { d } s \mathrm { d } t } { \sqrt { \eta _ { 1 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } \right| } \\ & { \qquad \qquad \quad \prec \iint _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { \sqrt { \eta _ { 1 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } \wedge \frac { 1 } { \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } \right) \big [ \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } + s + t \big ] \, \frac { \mathrm { d } s \mathrm { d } t } { \sqrt { \eta _ { 1 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } \lesssim 1 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { Y } } & { = \pi _ { n } ^ { * } . . . . \pi _ { 1 } ^ { * } ( K _ { \mathbb { P } ^ { 2 } } ) + \Sigma _ { i = 1 } ^ { n } \pi _ { n } ^ { * } . . . . \pi _ { i + 1 } ^ { * } ( \epsilon _ { i } ) } \\ & { = \pi ^ { * } ( K _ { \mathbb { P } ^ { 2 } } ) + \Sigma _ { i = 1 } ^ { n } E _ { i } } \\ & { = - 3 \pi ^ { * } ( L ) + \Sigma _ { i = 1 } ^ { n } E _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert _ { A _ { k } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } d _ { n + 1 } ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert _ { A _ { k } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq d _ { n + 1 } ^ { 2 } \left\Vert a _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \varepsilon \partial _ { t t } \vec { A } + \sigma \partial _ { t } \vec { A } + \operatorname { c u r l } _ { x } ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } ) } & { = \vec { j } _ { a } } & & { \textmd { i n } Q = ( 0 , T ) \times \Omega , } \\ { \partial _ { t } \vec { A } ( 0 , x ) } & { = \vec { \psi } ( x ) } & & { \textmd { i n } \Omega , } \\ { \vec { A } ( 0 , x ) } & { = \vec { \phi } ( x ) } & & { \textmd { i n } \Omega , } \\ { \gamma _ { \mathrm { t } } \vec { A } } & { = 0 } & & { \textmd { o n } \Sigma = \{ 0 , T \} \times \partial \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { \alpha } ^ { \alpha } \rangle } & { { } = \dots \hat { a } _ { \alpha \downarrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 1 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \\ { | T _ { \alpha } ^ { \beta } \rangle } & { { } = \dots \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \frac { \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \downarrow } ^ { 1 \dagger } + \hat { a } _ { \beta \downarrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 1 \dagger } } { \sqrt { 2 } } \dots | 0 \rangle , } \\ { | P _ { \alpha } \rangle } & { { } = \dots \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 1 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \\ { | I _ { \beta } ^ { \beta } \rangle } & { { } = \dots \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 1 \dagger } \hat { a } _ { \beta \downarrow } ^ { 0 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \\ { | T _ { \beta } ^ { \alpha } \rangle } & { { } = \dots \frac { \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \downarrow } ^ { 1 \dagger } + \hat { a } _ { \alpha \downarrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 1 \dagger } } { \sqrt { 2 } } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \\ { | P _ { \beta } \rangle } & { { } = \dots \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 1 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \epsilon } \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \epsilon _ { i } { \frac { f ( X _ { i } ) } { \sqrt { n } } } \right| \le \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { \mathcal { F } , n } } \sqrt { \log \mathcal { N } ( u , \mathcal { F } , L ^ { 2 } ( \mathbb { P } _ { n } ) ) } \mathrm { d } u , } \end{array}
{ \cal D } _ { V v } ^ { \mathrm { s y m } ( l ) } = { \cal D } _ { V v } ^ { ( l ) } - 8 r ^ { ( 1 ) } \bigl ( { \cal D } _ { g ^ { 2 } } ^ { ( l + 1 ) } + l \big ( { \cal N } _ { V } ^ { ( l + 1 ) } - 8 ( l + 1 ) r ^ { ( 1 ) } \delta { \cal N } _ { V } ^ { ( l + 2 ) } \big ) \bigr ) .
K ^ { \mu } \; : = \; \mathrm { d i a g } \left( \frac { \pi } { \pi + g N } \frac { 1 } { - \triangle + \frac { e ^ { 2 } N } { \pi + g N } } \; , \; \frac { 1 } { - \triangle + \mu } \; , \; . \; . \; . \; . \; , \; \frac { 1 } { - \triangle + \mu } \right) \; ,
H _ { \chi } ^ { t } { \alpha } _ { 2 } ^ { \dagger } ( { \vec { k } } , t ) | \varepsilon ; t \rangle = \Big ( { \varepsilon } + i { \nu } _ { k } \Big ) { \alpha } _ { 2 } ^ { \dagger } ( { \vec { k } } , t ) | \varepsilon ; t \rangle ,
\begin{array} { r l } { \langle \hat { F } _ { i j } \rangle } & { { } = F _ { i j } + { C } _ { a b } ^ { - 1 } \mathrm { C o v } \left[ \delta { \mu } _ { a , i } , { \delta \mu } _ { b , j } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { T } ( k _ { x } , k _ { p } ) e ^ { - i ( k _ { x } x _ { 0 } + k _ { p } p _ { 0 } ) } } & { = } & { \frac { e ^ { \frac { \lambda } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) } } { 2 \pi \beta } \int \int d x d p H _ { Q } ^ { ( T ) } ( x , p ) e ^ { - i [ k _ { x } ( x + x _ { 0 } ) + k _ { p } ( p + p _ { 0 } ) } } \\ & { = } & { \frac { e ^ { \frac { \lambda } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) } } { 2 \pi \beta } \int \int d x d p H _ { Q } ^ { ( T ) } ( x + x _ { 0 } , p + p _ { 0 } ) e ^ { - i ( k _ { x } x + k _ { p } p ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { ~ \mu } ^ { a } = \left[ \begin{array} { c c c c } { A _ { 1 } ( t , r ) } & { A _ { 2 } ( t , r ) } & { 0 } & { 0 } \\ { A _ { 3 } ( t , r ) } & { A _ { 4 } ( t , r ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { A _ { 5 } ( t , r ) } & { - A _ { 6 } ( t , r ) \sin ( \theta ) } \\ { 0 } & { 0 } & { A _ { 6 } ( t , r ) } & { A _ { 5 } ( t , r ) \sin ( \theta ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \Big ( \| \partial _ { t } ^ { k } u \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \mu _ { 0 } \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 1 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } \Big ) + \frac { 7 \mu } { 8 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq C \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } \mathcal { D } _ { j } ( t ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 5 } { 2 } } ( t ) ) \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \mathcal { D } _ { j } ( t ) \, , } \end{array}
\mathbf { A } _ { 2 } ( \mathbf { u } ) = ( \mathbf { u } \cdot \boldsymbol \nabla ) \mathbf { A } _ { 1 } + \mathbf { A } _ { 1 } \boldsymbol \cdot \nabla \mathbf { u } + \boldsymbol \nabla \mathbf { u } ^ { T } \cdot \mathbf { A } _ { 1 }
\begin{array} { r l } { \pi _ { \Delta ^ { - 1 } \theta } ( G _ { \theta } ^ { \prime } ) } & { = \{ x + ( \Delta ^ { - 1 } \theta ) y : ( x , y ) \in G _ { \theta } ^ { \prime } \} } \\ & { = \Delta ^ { - 1 } \{ \Delta x + \theta y : ( x , y ) \in G _ { \theta } ^ { \prime } \} = \Delta ^ { - 1 } \pi _ { \theta } ( G _ { \theta } ) , \qquad \theta \in E \cap I . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { 1 } ( x , S ) = \sum _ { \begin{array} { l } { | I | \leq x } \\ { I \cup J = S } \end{array} } \prod _ { k \in I } \left( \sum _ { t = 2 } ^ { H } Q _ { k \rightarrow i } ^ { 1 , t } \right) \prod _ { n \in J } \left( Q _ { n \rightarrow i } ^ { 0 } + Q _ { n \rightarrow i } ^ { 4 , 1 } \right) ; } \\ & { G _ { 2 } ( x , S ) = \sum _ { \begin{array} { l } { | I | \leq x } \\ { I \cup J = S } \end{array} } \prod _ { k \in I } \left( Q _ { k \rightarrow i } ^ { 5 , 1 } + Q _ { k \rightarrow i } ^ { 2 , 2 } + \sum _ { t = 3 } ^ { H } Q _ { k \rightarrow i } ^ { 1 , t } \right) \prod _ { n \in J } \left( Q _ { n \rightarrow i } ^ { 0 } + Q _ { n \rightarrow i } ^ { 4 , 1 } \right) ; } \\ & { \begin{array} { r l } { G _ { 3 } ^ { t } ( x , y , S ) = } & { \sum _ { \begin{array} { l } { | I | \leq x } \\ { | I | + | J | \geq y } \\ { I \cup J \cup L = S } \end{array} } \prod _ { k \in I } \left( \sum _ { s = t + 1 } ^ { H } Q _ { k \rightarrow i } ^ { 1 , s } \right) \prod _ { n \in J } \left( Q _ { n \rightarrow i } ^ { 5 , t - 1 } + Q _ { n \rightarrow i } ^ { 4 , t } \right) } \\ & { \times \prod _ { m \in L } \left( Q _ { m \rightarrow i } ^ { 0 } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 1 } Q _ { m \rightarrow i } ^ { 3 , s } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 2 } Q _ { m \rightarrow i } ^ { 5 , s } \right) ; } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } { G _ { 4 } ^ { t } ( x , y , S ) = } & { \sum _ { \begin{array} { l } { | I | \leq x } \\ { | I | + | J | \geq y } \\ { I \cup J \cup L = S } \end{array} } \prod _ { k \in I } \left( Q _ { k \rightarrow i } ^ { 2 , t + 1 } + \sum _ { s = t + 2 } ^ { H } Q _ { k \rightarrow i } ^ { 1 , s } + Q _ { k \rightarrow i } ^ { 5 , t } \right) } \\ & { \times \prod _ { n \in J } \left( Q _ { n \rightarrow i } ^ { 5 , t - 1 } + Q _ { n \rightarrow i } ^ { 4 , t } \right) \prod _ { m \in L } \left( Q _ { m \rightarrow i } ^ { 0 } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 1 } Q _ { m \rightarrow i } ^ { 3 , s } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 2 } Q _ { m \rightarrow i } ^ { 5 , s } \right) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) ^ { t } } \mathbf { H } ^ { \mathrm { p r } } \left[ \left( \begin{array} { c } { F } \\ { G } \end{array} \right) \right] ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) = } & { \frac { F ( s , s ^ { \prime } ) L _ { 2 } ( t , t ^ { \prime } ) + L _ { 1 } ( s , s ^ { \prime } ) G ( t , t ^ { \prime } ) } { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } ( L _ { 1 } ( u , u ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } d u \, d u ^ { \prime } } } \\ & { - \frac { 2 \left( \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } F ( u , u ^ { \prime } ) L _ { 1 } ( u , u ^ { \prime } ) d u \, d u ^ { \prime } \right) L _ { 1 } ( s , s ^ { \prime } ) L _ { 2 } ( t , t ^ { \prime } ) } { \left( \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } ( L _ { 1 } ( u , u ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } d u \, d u ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
N _ { c \overline { { { c } } } } ~ = ~ \frac { 1 } { 2 } ~ \gamma _ { c } ~ N _ { O } ~ \frac { I _ { 1 } ( \gamma _ { c } N _ { O } ) } { I _ { 0 } ( \gamma _ { c } N _ { O } ) } ~ + ~ \gamma _ { c } ^ { 2 } ~ N _ { H } ~ ,
\cos ( z x ) = { \frac { z \sin ( \pi z ) } { \pi } } \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } \, e ^ { i n x } } { z ^ { 2 } - n ^ { 2 } } } , \, z \in \mathbb { C } \setminus \{ \mathbb { Z } \} , \, x \in [ - \pi , \pi ] .
Z [ J ^ { \prime } ] \propto \int d \vec { a } \, \frac { \Delta ( a ) } { \Delta { ( \varphi ) } } \, \exp \left( - \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i } a _ { i } ^ { 3 } - \sum _ { i } \varphi _ { i } a _ { i } \right)
\begin{array} { r l } { G _ { 2 } ( \Bar { y } , \Bar { z } ) } & { \equiv \frac { \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \left( x ^ { 2 } - 5 / 2 \right) k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \: 0 . 5 x \left( x ^ { 2 } - 5 / 2 \right) e ^ { - x ^ { 2 } } \left[ \Xi ( x ) - \Psi ( x ) \right] } } \\ & { = - 6 . 4 0 \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \left( x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { r m s } } [ n ] = \sqrt { \sum _ { m = 0 } ^ { n } g ^ { 2 m } } \gamma = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \sqrt { \frac { g ^ { 2 ( n + 1 ) } - 1 } { g ^ { 2 } - 1 } } \gamma } } & { \mathrm { f o r ~ } g \neq 1 , } \\ { \displaystyle { \vphantom { \Biggl ( } \sqrt { n + 1 } \gamma } } & { \mathrm { f o r ~ } g = 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ^ { i - 1 } = A ^ { \prime } P ^ { i } A + Q , i = 1 , \cdots , d - 1 , } \\ & { P ^ { d } = ( A - B K ) ^ { \prime } P ^ { d } ( A - B K ) + ( \bar { A } - \bar { B } K ) ^ { \prime } P ^ { 0 } ( \bar { A } - \bar { B } K ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + K ^ { \prime } R K + Q , } \\ & { K = ( R + B ^ { \prime } P ^ { d } B + \bar { B } ^ { \prime } P ^ { 0 } \bar { B } ) ^ { - 1 } ( B ^ { \prime } P ^ { d } A + \bar { B } ^ { \prime } P ^ { 0 } \bar { A } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } P ( n , t ) = } & { \left[ ( N - ( n - 1 ) ) \varepsilon _ { 1 } + \mu _ { 1 } ( n - 1 ) ( N - ( n - 1 ) ) \right] P ( n - 1 , t ) } \\ & { + \left[ ( n + 1 ) \varepsilon _ { 2 } + \mu _ { 2 } ( n + 1 ) ( N - ( n + 1 ) ) \right] P ( n + 1 , t ) } \\ & { - \left[ ( N - n ) \varepsilon _ { 1 } + n \varepsilon _ { 2 } + ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) n ( N - n ) \right] P ( n , t ) , } \end{array}
D \epsilon _ { j } = \left( d + \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { a } { \bf \Gamma } _ { a } + \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { a b } { \bf \Gamma } _ { a b } + \frac { 1 } { r ! } b ^ { [ r ] } { \bf \Gamma } _ { [ r ] } ] \right) \epsilon _ { j } - a _ { j } ^ { i } \epsilon _ { i } .
[ \mathbf { \tilde { F } } - \mathbf { F } ] _ { i , j } = m \sum _ { X } \frac { p ( X ) } { p ( \boldsymbol { \lambda } ^ { * } | X ) } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } p ( \boldsymbol { \lambda } | X ) } { \partial \lambda _ { i } \partial \lambda _ { j } } \right] _ { \boldsymbol { \lambda } = \boldsymbol { \lambda } ^ { * } } .
\begin{array} { r l } { \bar { \sigma } _ { a b } = } & { - \rho \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { b } q _ { d c } } \nabla _ { a } q _ { d c } + q _ { a d } \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } { q } _ { b d } } \right) - q _ { b d } \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } { q } _ { a d } } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial ( d + p ) } { \partial \zeta _ { c } } \right) \epsilon _ { a b } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lvert \delta B _ { r } \rvert ^ { 2 } \simeq \frac { c ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } \epsilon _ { e f f } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 3 / 2 } } \frac { \omega _ { T } \overline { { \gamma _ { L } } } k _ { r } ^ { 2 } } { ( \hat { C } _ { 0 } / \lvert \epsilon _ { s } \rvert ^ { 2 } + \chi _ { 0 } ) \Omega _ { c i } ^ { 2 } \rho _ { i t } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { i } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 5 } { 2 } \frac { p } { \nu } \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } , \quad \sigma _ { i j } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 2 } { 1 - b } \frac { p } { \nu } \frac { \partial v _ { \langle i } } { \partial x _ { j \rangle } } , \quad \lambda = \frac { 5 } { 2 } \frac { p } { \nu } , \quad \mu = \frac { 1 } { 1 - b } \frac { p } { \nu } , } \end{array}
C ( t , p ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \varpi } { \pi } \, \bar { C } ( \varpi , p ) \, \cos ( \varpi t ) \equiv \frac { D } { \nu p ^ { 2 } } f ( \nu p t ^ { 1 / 2 } ) \, , \quad f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \tau } { \pi } \, \mathring { F } ( \tau ) \, \cos ( \tau x ^ { 2 } ) = e ^ { - x ^ { 2 } } \, ,
( x _ { k } - x _ { j } ) \in \Big [ \prod _ { j _ { 0 } = j } ^ { \ell } \prod _ { k _ { 0 } = k + 3 } ^ { N + 3 } x _ { \mathrm { F } _ { j _ { 0 } , k _ { 0 } } } ^ { - 1 } \Big ] \Big [ \prod _ { j _ { 0 } = 0 } ^ { \ell } \prod _ { k _ { 0 } = \ell + m + 3 } ^ { k + 2 } x _ { \mathrm { F } _ { j _ { 0 } , k _ { 0 } } } ^ { - 1 } \Big ] C ^ { \infty } ( K _ { \ell , m , n } ; \mathbb { R } ^ { + } ) .
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 1 2 9 } ( \theta _ { \mathrm { l o c k } } ) } & { = } & { \frac { \omega _ { \mathrm { c a l } } - \omega _ { 1 2 9 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \\ { \varphi _ { 1 3 1 } ( \theta _ { \mathrm { l o c k } } ) } & { = } & { - \frac { \omega _ { \mathrm { c a l } } + \omega _ { 1 3 1 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } . } \end{array}