harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( 1 0 \cdot x + y ) ^ { 1 0 } - 1 0 0 0 \cdot x ^ { 1 0 } = y ^ { 1 0 } + 1 0 0 0 \cdot x ^ { \mathrm { 1 T } } \cdot y + 1 0 0 \cdot x \cdot y ^ { \mathrm { 1 T } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { T } + \mathrm { T 0 0 0 } \cdot x ^ { \mathrm { 1 T } } + 1 0 0 \cdot x , } & { y = \mathrm { T } } \\ { 0 , } & { y = 0 } \\ { 1 + 1 0 0 0 \cdot x ^ { \mathrm { 1 T } } + 1 0 0 \cdot x , } & { y = 1 } \end{array} \right. }
T _ { + + } : = \left( \partial _ { + } q \right) ^ { 2 } - 2 \partial _ { + , + } ^ { 2 } q = - m ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T _ { -- } : = \left( \partial _ { - } q \right) ^ { 2 } - 2 \partial _ { - , - } ^ { 2 } q = - m ^ { 2 } .
\langle \kappa ( 0 1 0 ) , \Lambda , \ell , \Sigma , P | \tilde { A } ( 0 0 0 ) , \Lambda ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } = 0 , \Sigma ^ { \prime } , P ^ { \prime } = \pm 1 / 2 \rangle = \delta _ { \Lambda , \Lambda ^ { \prime } } \delta _ { \ell , - \Lambda ^ { \prime } } \delta _ { \Sigma , - \Sigma ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { P - 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { \sinh [ ( k _ { a } \pm k _ { b } ) ( \xi - h _ { j } ) ] } { k _ { a } \pm k _ { b } } = ( - 1 ) ^ { j + 1 } } & { \frac { \sinh [ ( k _ { a } \pm k _ { b } ) | h _ { j } | ] } { k _ { a } \pm k _ { b } } + \xi \cosh [ ( k _ { a } \pm k _ { b } ) | h _ { j } | ] } \\ & { + \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { 2 } ( k _ { a } \pm k _ { b } ) \xi ^ { 2 } \sinh [ ( k _ { a } \pm k _ { b } ) | h _ { j } | ] + \cdots , } \end{array}
( \widetilde \psi , \widetilde \psi ) \ = \ - \eta \int d ^ { 3 } x ^ { T } 4 P ^ { 2 } \ \overline { { { \widetilde \Psi } } } \ \frac { \partial } { \partial s } [ \widetilde g _ { 0 } ^ { - 1 } + \widetilde V ] \ \widetilde \psi \ = \ 2 P _ { L } \ ,
\boldsymbol { S } = \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 1 } ^ { \prime } } & { b _ { 1 2 } ^ { \prime } } \\ { b _ { 2 1 } ^ { \prime } } & { b _ { 2 2 } ^ { \prime } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } ^ { \prime } } & { a _ { 1 2 } ^ { \prime } } \\ { a _ { 2 1 } ^ { \prime } } & { a _ { 2 2 } ^ { \prime } } \end{array} \right] ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { \dot { \bar { \mathbf { y } } } _ { 1 } ^ { 1 } = \hat { A } _ { 2 } ^ { 1 1 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 1 } ^ { 1 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \quad { \bar { \mathbf { y } } } _ { 1 } ^ { 1 } \in \bar { \mathbb { R } } ^ { r } , } \\ { \dot { \bar { \mathbf { y } } } _ { 1 } ^ { 2 } = \hat { A } _ { 2 } ^ { 2 1 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 1 } ^ { 1 } + \hat { A } _ { 2 } ^ { 2 2 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 1 } ^ { 2 } + \hat { A } _ { 2 } ^ { 2 3 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 2 } + \bar { B } _ { 2 } ^ { 1 } u _ { 2 } , \quad { \bar { \mathbf { y } } } _ { 1 } ^ { 2 } \in \bar { \mathbb { R } } ^ { p - r } , } \\ { \dot { \bar { \mathbf { y } } } _ { 2 } = \hat { A } _ { 2 } ^ { 3 1 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 1 } ^ { 1 } + \hat { A } _ { 2 } ^ { 3 2 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 1 } ^ { 2 } + \hat { A } _ { 2 } ^ { 3 3 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 2 } + \bar { B } _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 } , \quad { \bar { \mathbf { y } } } _ { 2 } \in \bar { \mathbb { R } } ^ { q - p } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 4 } ( s ) } & { = 6 4 \frac { \left( 3 \cdot 2 ^ { \frac { s } { 2 } + 3 } + 2 ^ { s + 6 } - 3 ^ { \frac { s } { 2 } + 4 } \right) ( s + 7 ) + 1 } { ( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 6 ) ( s + 7 ) ( s + 8 ) } + \frac { 9 6 } { ( s + 2 ) ( s + 4 ) } B _ { 2 } ( s + 4 ) - \frac { 9 6 ( s + 8 ) } { ( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 6 ) } B _ { 2 } ( s + 6 ) } \\ & { + \frac { 6 4 } { s + 2 } B _ { 3 } ( s + 2 ) - \frac { 9 6 ( s + 7 ) } { ( s + 2 ) ( s + 4 ) } B _ { 3 } ( s + 4 ) + \frac { 3 2 ( s + 8 ) ( s + 9 ) } { ( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 6 ) } B _ { 3 } ( s + 6 ) + 1 6 B _ { 4 } ( s ) } \\ & { - \frac { 8 8 ( s + 6 ) } { 3 ( s + 2 ) } B _ { 4 } ( s + 2 ) + \frac { 8 ( s + 8 ) ( 6 s + 4 3 ) } { 3 ( s + 2 ) ( s + 4 ) } B _ { 4 } ( s + 4 ) - \frac { 8 ( s + 8 ) ( s + 9 ) ( s + 1 0 ) } { 3 ( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 6 ) } B _ { 4 } ( s + 6 ) } \\ { \Delta _ { 5 } ( s ) } & { = 1 6 0 \frac { 1 + ( 9 + s ) \left( 2 ^ { 6 + s / 2 } + 2 ^ { 1 0 + s } - 5 ^ { 4 + s / 2 } - 2 \cdot 3 ^ { 5 + s / 2 } \right) } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) ( 6 + s ) ( 8 + s ) ( 9 + s ) ( 1 0 + s ) } + \frac { 3 2 0 } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) ( 6 + s ) } B _ { 2 } ( 6 + s ) + \frac { 3 2 0 } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) } B _ { 3 } ( 4 + s ) } \\ & { - \frac { 3 2 0 ( 1 0 + s ) } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) ( 6 + s ) ( 8 + s ) } B _ { 2 } ( 8 + s ) - \frac { 4 8 0 ( 9 + s ) } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) ( 6 + s ) } B _ { 3 } ( 6 + s ) + \frac { 1 6 0 } { 2 + s } B _ { 4 } ( 2 + s ) } \\ & { - \frac { 8 8 0 } { 3 } \frac { ( 8 + s ) } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) } B _ { 4 } ( 4 + s ) + \frac { 8 0 } { 3 } \frac { ( 1 0 + s ) ( 5 5 + 6 s ) } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) ( 6 + s ) } B _ { 4 } ( 6 + s ) - \frac { 8 0 } { 3 } \frac { ( 1 0 + s ) ( 1 1 + s ) ( 1 2 + s ) } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) ( 6 + s ) ( 8 + s ) } B _ { 4 } ( 8 + s ) } \\ & { + 3 2 B _ { 5 } ( s ) - 2 0 0 \frac { ( 7 + s ) } { 6 + 3 s } B _ { 5 } ( 2 + s ) + \frac { 4 } { 3 } \frac { ( 9 + s ) ( 2 9 1 + 3 5 s ) } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) } B _ { 5 } ( 4 + s ) - \frac { 8 } { 3 } \frac { ( 1 0 + s ) ( 1 1 + s ) ( 4 7 + 5 s ) } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) ( 6 + s ) } B _ { 5 } ( 6 + s ) } \\ & { + \frac { 4 } { 3 } \frac { ( 1 0 + s ) ( 1 1 + s ) ( 1 2 + s ) ( 1 3 + s ) } { ( 2 + s ) ( 4 + s ) ( 6 + s ) ( 8 + s ) } B _ { 5 } ( 8 + s ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { s } _ { 1 } ^ { 2 } ( x ) = } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ) ^ { 2 } - ( \hat { f } _ { X } ( x ) ) ^ { 2 } , } \\ { \hat { s } _ { 2 } ^ { 2 } ( x ) = } & { \hat { f } _ { X } ^ { - 2 } ( x ) \cdot \bigg ( n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - \hat { m } ( x ) ) ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad - \bigg ( n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - \hat { m } ( x ) ) \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) } \\ { = } & { \hat { f } _ { X } ^ { - 2 } ( x ) \cdot n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - \hat { m } ( x ) ) ) ^ { 2 } . } \end{array}
P _ { \textit { G A I N } } = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { t } } B _ { k } \frac { C _ { P } ( \gamma _ { k } ) S _ { k } ^ { 3 } ( \mathbf { \gamma } ) } { C _ { P } ( 0 ) S _ { k } ^ { 3 } ( 0 ) }
\begin{array} { r l } { S = } & { ~ \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } b _ { i } A _ { i } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } b _ { i } x _ { i } y _ { i } ^ { \top } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } x _ { i } b _ { i } y _ { i } ^ { \top } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } W _ { * } y _ { i } y _ { i } ^ { \top } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } U _ { * } \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } y _ { i } y _ { i } ^ { \top } , } \end{array}
\hat { \Delta } _ { \mu } = { \frac { g ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } [ \hat { A } ^ { \nu } \hat { F } ^ { \rho \sigma } - g \theta _ { \alpha \beta } ( \hat { A } ^ { \alpha } \hat { F } ^ { \beta \nu } \hat { F } ^ { \rho \sigma } - \hat { A } ^ { \nu } \hat { F } ^ { \rho \alpha } \hat { F } ^ { \sigma \beta } + { \frac { 1 } { 2 } } \hat { A } ^ { \alpha } \hat { F } ^ { \rho \sigma } \partial ^ { \nu } \hat { A } ^ { \beta } + \hat { A } ^ { \nu } \hat { A } ^ { \alpha } \partial ^ { \beta } \hat { F } ^ { \rho \sigma } ) ] .
\begin{array} { r l r } { \| G _ { 1 1 } \| _ { \infty } } & { \leq } & { 1 + C _ { 1 1 , p } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \Delta t ^ { 2 } N ^ { 2 } + C _ { 1 1 , q } \| \tilde { q } \| _ { \infty } \Delta t ^ { 2 } + C _ { 1 1 , p ^ { 2 } } \| \tilde { p } \| _ { \infty } ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } N ^ { 2 } + } \\ & { } & { C _ { 1 1 , p q } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \| \tilde { q } \| _ { \infty } \Delta t ^ { 2 } + C _ { 1 1 , q ^ { 2 } } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } } \end{array}
C _ { k > 1 } = \int d ^ { 3 k } q \, \rho _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) \rho _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( q _ { 2 } , q _ { 3 } ) \ldots \rho _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( q _ { k } , q _ { 1 } ) .
\begin{array} { r l r } & { \textnormal { m i n i m i z e } \sum _ { s \in S } x _ { s } v _ { s } \quad \textnormal { s u b j e c t t o } } \\ & { \frac { R ( s , a ) } { 1 - \lambda \gamma } \leq \sum _ { t \in S } v _ { t } \left( \delta _ { s , t } - \frac { \lambda T ( t \mid s , a ) } { 1 - \lambda \gamma } \right) } & { \forall ( s , a ) \in S \times A } \end{array}
\langle T ^ { \mu \nu } \rangle _ { x , y } \! = - T _ { \mathrm { M } } ^ { \mu \nu } \partial _ { x } { \cal L } ( x , y ) + g ^ { \mu \nu } \, ( { \cal L } \! - x \partial _ { x } { \cal L } \! - y \partial _ { y } { \cal L } ) .
\begin{array} { r l } { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } } & { = \frac { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j k l } + \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j k l } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { k l } ) } { 1 + \langle \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j k l } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { k l } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \pi ^ { e } } ( s _ { 1 } | s _ { 0 } , a _ { 0 } ) } & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { \pi ^ { e } } ( u _ { 0 } | s _ { 0 } , a _ { 0 } ) P _ { \pi ^ { e } } ( s _ { 1 } | s _ { 0 } , a _ { 0 } , u _ { 0 } ) d u } \\ & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { \pi ^ { e } } ( u _ { 0 } | s _ { 0 } , a _ { 0 } ) P _ { 0 } ( s _ { 1 } | s _ { 0 } , a _ { 0 } , u _ { 0 } ) d u } \\ & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { \pi ^ { e } } ( u _ { 0 } | s _ { 0 } ) P _ { 0 } ( s _ { 1 } | s _ { 0 } , a _ { 0 } , u _ { 0 } ) d u } \\ & { = \int _ { \mathcal { U } } \chi ( u _ { 0 } | s _ { 0 } ) P _ { 0 } ( s _ { 0 } , a _ { 0 } , u _ { 0 } ) d u , } \end{array}
\mathbf { E } _ { m } ^ { \kappa } ( t ) = \sum _ { k , k ^ { \prime } \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } ( t ) \xi _ { m , k ^ { \prime } } ( t ) \kappa \Bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \, \bigl \langle ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } ) ^ { \intercal } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k ^ { \prime } } ^ { \kappa } \bigr \rangle \Bigr ) \, .
\left\langle f \, , \, \mathsf { D } g \right\rangle = \left\langle \mathsf { D } f \, , \, g \right\rangle - \frac 1 { 2 \pi i } \left( \left\langle f ( \vec { \beta } ) \, , \, g ( \vec { \beta } ) \right\rangle - \left\langle f ( \vec { \alpha } ) \, , \, g ( \vec { \alpha } ) \right\rangle \right) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } f , g \in \mathscr D _ { \operatorname * { m a x } } .
{ \rho } _ { a } \left( \frac { { \partial } { u } _ { r } } { { \partial } t } + { u } _ { r } \frac { { \partial } { u } _ { r } } { { \partial } r } + { u } _ { z } \frac { { \partial } { u } _ { r } } { { \partial } z } \right) = - \frac { { \partial } { p } } { { \partial } r } + { \mu } _ { a } \left( \frac { { \partial } ^ { 2 } { u } _ { r } } { { \partial } { z } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { { \partial } } { { \partial } r } \left( r \frac { { \partial } { u } _ { r } } { { \partial } r } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } n _ { S , I } ^ { X } ( t ) } & { { } = \gamma \left( ( I + 1 ) n _ { S , I + 1 } ^ { X } ( t ) \mathbf { 1 } _ { \left\{ S + I < n _ { \operatorname* { m a x } } \right\} } - I n _ { S , I } ^ { X } ( t ) \right) } \end{array}
\Gamma _ { Q Q } ^ { ( 2 g ) c ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { ( 1 ) } ( t ) \left[ \frac { 1 } { \epsilon } + \psi ( 1 ) + \psi ( 1 - \epsilon ) - 2 \psi ( 1 + \epsilon ) \right] \Gamma _ { Q Q } ^ { c ( 0 ) } ,
\begin{array} { r l } { z _ { \ell + 1 } ^ { p } } & { = s _ { \ell , \theta } ^ { p } ( z _ { \ell } ^ { v } ; x ^ { p } ( t ) ) \odot z _ { \ell } ^ { p } + t _ { \ell , \theta } ^ { p } ( z _ { \ell } ^ { v } ; x ^ { p } ( t ) ) , } \\ { z _ { \ell + 1 } ^ { v } } & { = s _ { \ell , \theta } ^ { v } ( z _ { \ell + 1 } ^ { p } ; x ^ { p } ( t ) ) \odot z _ { \ell } ^ { v } + t _ { \ell , \theta } ^ { v } ( z _ { \ell + 1 } ^ { p } ; x ^ { p } ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overset { * } { \nabla } _ { X } ( f X ) } & { = ( X \cdot f ) X + f \overset { * } { \nabla } _ { X } X = ( X \cdot f + f \hat { f } ) X , } \\ { \overset { * } { \nabla } _ { Y } ( f X ) } & { = ( Y \cdot f ) X + f \overset { * } { \nabla } _ { Y } X = ( Y \cdot f ) X + f g ( \overset { * } { \nabla } _ { Y } X , Y ) Y . } \end{array}
\varepsilon ( 0 ) = p _ { 1 } ( 0 ) = p _ { 2 } ( 0 ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } a ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d z z ^ { 3 } \left[ \frac { K _ { 0 } ( z ) } { I _ { 0 } ( z ) } + \frac { K _ { 0 } ^ { \prime } ( z ) } { I _ { 0 } ^ { \prime } ( z ) } \right] } = - 0 . 0 1 6 8 a ^ { - 4 }
\begin{array} { r l r l } { \left\langle \! \left\langle w ( \textrm { x } , t ) \right\rangle \! \right\rangle } & { = 0 , } & { \left\langle \! \left\langle w ( \mathbf { x } , t ) w ( \mathbf { x } ^ { \prime } , { t ^ { \prime } } ) \right\rangle \! \right\rangle } & { = { \frac { \gamma } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } ) \delta ( t - { t ^ { \prime } } ) . } \end{array}
\frac { \delta H } { \delta u } = m : = P _ { 1 } ( u D ) , \, \frac { \delta H } { \delta D } = P _ { 2 } ( | u | ^ { 2 } / 2 ) + S / 2 , \, \frac { \delta H } { \delta S } = \frac { D } { 2 } + b .
\overline { { f } } \left( \mathcal { B } , \overline { { \mathcal { B } } } \right) > \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { s , n } ^ { c } - \frac { 1 } { R _ { n } } - \frac { 2 } { R _ { n + 1 } } - \frac { 1 } { R _ { n } ^ { c } } - \frac { 3 } { \sqrt { l _ { n } } } , } & { \mathrm { i f ~ } [ w ] _ { s } \neq [ \overline { { w } } ] _ { s } , } \\ { \beta _ { n } ^ { c } - \frac { 1 } { R _ { n } } - \frac { 2 } { R _ { n + 1 } } - \frac { 1 } { R _ { n } ^ { c } } - \frac { 3 } { \sqrt { l _ { n } } } , } & { \mathrm { i f ~ } w \neq \overline { { w } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { K } & { { } = } & { - \tan ^ { 2 } \beta < 0 \, , } \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { \mathrm { ( r a d ) } } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { \left( \frac { 9 H _ { p } ^ { 2 } } { 4 } - 2 H _ { N } ^ { 2 } \right) \tan ^ { 2 } \beta } \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { \mathrm { ( s t i f f ) } } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { H _ { N } ^ { 4 } \tan ^ { 2 } \beta = \left( \frac { 3 \eta v _ { 0 } } { \rho g \cos \beta } \right) ^ { 2 } \, , } \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { ( 2 / 3 ) } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { 3 H _ { p } H _ { N } \tan ^ { 2 } \beta = \frac { 3 \sigma _ { 0 } } { \cos ^ { 2 } \beta } \, \sqrt { \frac { 3 \eta v _ { 0 } \sin \beta } { \left( \rho g \right) ^ { 3 } } } \, , } \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { \mathrm { ( d u s t ) } } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { - 3 H _ { p } \tan ^ { 2 } \beta = - \frac { 3 \sigma _ { 0 } \sin \beta } { \rho g \cos ^ { 2 } \beta } < 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \gamma _ { \alpha \alpha _ { 1 } \beta \beta _ { 1 } } M _ { \beta \beta _ { 1 } } ( { \pmb \xi } ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \partial D _ { b } } \left( ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \alpha _ { 1 } } \sigma _ { \alpha \beta } ( { \pmb x } ) n _ { \beta } ( { \pmb x } ) + ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \alpha } \sigma _ { \alpha _ { 1 } \beta } ( { \pmb x } ) n _ { \beta } ( { \pmb x } ) \right) d S ( { \pmb x } ) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 3 } \int _ { \partial D _ { b } } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \alpha } \sigma _ { \alpha \beta } ( { \pmb x } ) n _ { \beta } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) + \int _ { \partial D _ { b } } \left( \mu v _ { \alpha } ( { \pmb x } ) n _ { \alpha _ { 1 } } ( { \pmb x } ) + n _ { \alpha } ( { \pmb x } ) v _ { \alpha _ { 1 } } ( { \pmb x } ) \right) d S ( { \pmb x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \deg _ { \star } ^ { ( h , \delta ) } ( [ T , o ] ) } & { = | \{ v \sim _ { T } o : \deg _ { T } ( o ) > \delta \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( v ) > \delta \mathrm { ~ o r ~ } T [ o , v ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ o r ~ } T [ v , o ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \} | } \\ & { = | \{ v \sim _ { T } o : \deg _ { T } ( o ) > \delta \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( v ) > \delta \} | . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { Q } } & { { = } } & { { S _ { + } C ^ { + } + S _ { - } C ^ { - } + A _ { 1 } C ^ { 3 } + A _ { 2 } \bar { C } _ { - } C ^ { - } C ^ { 3 } + A _ { 3 } \bar { C } _ { + } C ^ { + } C ^ { 3 } + A _ { 4 } \bar { C } _ { 3 } C ^ { + } C ^ { - } } } \\ { { } } & { { } } & { { + A _ { 5 } \bar { C } _ { + } \bar { C } _ { - } C ^ { + } C ^ { - } C ^ { 3 } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } - p _ { I I I } = { } } & { { } \frac { 1 } { 2 } \rho \left( 1 - E ^ { 2 } \left( \psi _ { I } , \chi _ { I } \right) \right) { v _ { I } ^ { 2 } } _ { t } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 } \rho \left( \overline { { E } } ^ { 2 } - 1 \right) v _ { 0 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { i ) \, \partial _ { t } \rho _ { c } + \operatorname { d i v } ( \rho _ { c } { X } _ { H _ { c l } } ) = 0 , \quad i i ) \, \partial _ { t } S + \{ S , H _ { c l } \} = p \partial _ { p } H _ { c l } - H _ { c l } , \quad i i i ) \, \widehat H _ { e } \phi = E \phi , } \end{array}
Q ^ { ( n ) } ( w | \zeta ) ^ { \varepsilon } = \prod _ { a \in A } \zeta _ { a } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { a - 1 } ( x z _ { j } - w _ { a } ) \prod _ { j = a + 1 } ^ { 2 n } ( x w _ { a } - z _ { j } ) \right) \left/ \prod _ { a , b \in A \atop a < b } ( x ^ { - 1 } w _ { b } - x w _ { a } ) . \right.
\nabla = \nabla _ { \mathrm { a d } } \left( { \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { \mathrm { P e } ^ { 2 } + 2 \mathrm { P e } + 2 C } } \right) \left[ 1 - { \frac { \nabla _ { \mathrm { a d } } } { \mathrm { R a _ { T } } } } \left( { \frac { H _ { P } } { \ell } } \right) ^ { 3 } \mathrm { P e } ( \mathrm { P e } + C ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } | H _ { \Delta x } } & { ( t , \xi ) - G _ { \Delta x } ( t , y _ { \Delta x } ( t , \xi ) ) | y _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { \leq \int _ { \mathcal { S } _ { \Delta x } ( t ) } | H _ { \Delta x } ( t , \xi ) - G _ { \Delta x } ( t , y _ { \Delta x } ( t , \xi ) ) | | y _ { \xi } ( t , \xi ) - y _ { \Delta x } ( t , \xi ) | d \xi } \\ & { \leq H _ { \infty } ( 0 ) \mathrm { m e a s } ( \mathcal { S } _ { \Delta x } ( t ) ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| y _ { \xi } ( t ) - y _ { \Delta x , \xi } ( t ) \| _ { 2 } } \\ & { \leq H _ { \infty } ( 0 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } e ^ { \frac { 1 } { 4 } t } \| y _ { \xi } ( t ) - y _ { \Delta x , \xi } ( t ) \| _ { 2 } . } \end{array}
q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ e ~ d ~ } } ( \mathbf { x } ) = q _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ r ~ g ~ e ~ t ~ } } ( \mathbf { x } ) \cdot p _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } ( \mathbf { z } _ { 0 } | \mathbf { x } )
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { e q , 2 } } } & { { } = \frac { f _ { \mathrm { C O } } } { \left( f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } P _ { 0 } \right) ^ { 1 / 2 } a _ { \mathrm { C } } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 3 } } } & { { } = \frac { f _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { 0 } } { f _ { \mathrm { H _ { 2 } } } ^ { 2 } a _ { \mathrm { C } } } , } \\ { K _ { \mathrm { e q , 4 } } } & { { } = \frac { f _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } P _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } { f _ { \mathrm { H _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } ^ { 1 / 2 } a _ { \mathrm { C } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 1 } } & { = Z _ { T } \left( \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } + 1 \right) = \frac { 3 Z _ { T } } { 2 } \, , } \\ { \alpha _ { 2 2 } } & { = Z _ { T } \left( \frac { 3 } { 4 } + \frac { 3 } { 4 } + 0 \right) = \alpha _ { 1 1 } \, , } \\ { \beta _ { 1 1 1 1 } } & { = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \left( \frac { 1 } { 1 6 } + \frac { 1 } { 1 6 } + 1 \right) = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \frac { 9 } { 8 } \, , } \\ { \beta _ { 2 2 2 2 } } & { = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \left( \frac { 9 } { 1 6 } + \frac { 9 } { 1 6 } + 0 \right) = \beta _ { 1 1 1 1 } \, , } \\ { \beta _ { 1 1 2 2 } } & { = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \left( \frac { 3 } { 1 6 } + \frac { 3 } { 1 6 } + 0 \right) = \frac { 1 } { 3 } \beta _ { 1 1 1 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { L G } } = } & { \langle n _ { c } | \langle n _ { d } | \sum _ { p , q , p ^ { \prime } , q ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } M _ { p , q } ^ { \mathrm { L G } , c } ( t ) M _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { \mathrm { L G } , d } ( t ) } \\ & { \times \rho _ { 0 } { M _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { \mathrm { L G } , d } } ^ { \dagger } ( t ) { M _ { p , q } ^ { \mathrm { L G } , c } } ^ { \dagger } ( t ) | n _ { c } \rangle | n _ { d } \rangle . } \end{array}
\mathcal { R } _ { \mathrm { D } } = \frac { 3 } { 8 \pi } \left( \frac { \xi \left( 3 + 8 \xi ^ { 2 } + 1 3 \xi ^ { 4 } \right) } { \left( 1 + \xi ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } + 3 \arctan \left( \xi ^ { - 1 } \right) \right) .
\begin{array} { r l } & { \dot { S } = v N - \frac { \beta \left( t \right) } N I S - d S , } \\ & { \dot { I } = \frac { \beta \left( t \right) } N I S - \left( \gamma + d \right) I , } \\ & { \dot { R } = \gamma I - d R , } \\ & { \beta \left( t \right) = \left\{ \begin{array} { r } { \hat { \beta } \left( 1 + b \right) , \ \ t \in S p r i n g / F a l l , } \\ { \hat { \beta } \frac { 1 } { 1 + b } , \ \ t \in S u m m e r / W i n t e r . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } D _ { \pm } } & { { } = } & { \{ H _ { \pm } , D _ { \pm } \} \, , } \\ { \partial _ { t } S _ { \pm } } & { { } = } & { \{ H _ { \pm } , S _ { \pm } \} + \mathcal { L } _ { \pm } . } \end{array}
\big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - 2 } } \mathcal { I } _ { 2 , 1 } ( k , \boldsymbol { x } , \iota , t ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } = \sum _ { \alpha , \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } ^ { k } } \sum _ { n = 0 } ^ { k - 2 } \sum _ { \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } \in \mathcal { A } ( k - 2 , n ) } \sum _ { \kappa \in \mathcal { S } _ { n } } ( i \lambda ) ^ { | \alpha | } ( - i \lambda ) ^ { | \tilde { \alpha } | } \mathcal { T } ( n , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \alpha , \tilde { \alpha } , \kappa ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \langle ( { x } _ { 0 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { 0 } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { 0 } ) \big ) , \big ( \nabla f ^ { ( \ell ) } ( x _ { 0 } ^ { ( \ell ) } ; \mathcal { B } _ { 0 } ^ { ( \ell ) } ) - \nabla f ^ { ( \ell ) } ( \bar { x } _ { 0 } ) \big ) \bigg \rangle \Bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \langle \underbrace { \mathbb { E } \big [ \nabla f ^ { ( k ) } ( { x } _ { 0 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { 0 } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( { x } _ { 0 } ^ { ( k ) } ) \big ] } _ { = 0 } , \underbrace { \mathbb { E } \big [ \nabla f ^ { ( \ell ) } ( { x } _ { 0 } ^ { ( \ell ) } ; \mathcal { B } _ { 0 } ^ { ( \ell ) } ) - \nabla f ^ { ( \ell ) } ( x _ { 0 } ^ { ( \ell ) } ) \big ] } _ { = 0 } \bigg \rangle \bigg ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( A B ) C } & { = \left[ \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \right] \left( \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 - 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { - 2 - ( 1 - 1 ) } & { 2 ( 1 - 1 ) } \\ { 1 } & { - 2 } \end{array} \right) } \end{array}