harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta \phi = 3 \phi _ { \gamma , 0 } Y _ { _ { X , 0 } } B _ { \nu } { \frac { t _ { 0 } } { \tau _ { _ X } } } \left( \frac { E _ { \mathrm { r e s } } } { m _ { _ X } / 2 } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { \Gamma _ { _ Z } } { M _ { _ Z } } \right) .
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \mathrm { e f f } } = \Gamma _ { \mathrm { m } } + \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } \gamma _ { \mathrm { o } } } { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \gamma _ { \mathrm { o } } ( \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } ) } , } \end{array}
1 . 5 D ( s ) = 1 - \int _ { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d \tilde { s } } { \pi } \, \frac { \rho ( \tilde { s } ) N ( \tilde { s } ) } { \tilde { s } - s } \; \equiv \; 1 - B ( s ) .
L = \frac { 1 } { d K } \sum _ { i = 1 } ^ { K } | | u ( t _ { i } ) - \check { \chi } ( \chi ( u ( t _ { i } ) ; \theta _ { E } ) ; \theta _ { D } ) | | ^ { 2 } + \frac { 1 } { d _ { h } K } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \alpha | | \mathcal { E } ( U _ { r } ^ { T } u ( t _ { i } ) ; \theta _ { E } ) + \mathcal { D } _ { d _ { h } } ( h ( t _ { i } ) ; \theta _ { D } ) | | ^ { 2 } .
{ { \cal { V } } ^ { \prime } } ^ { \mu i j } = k _ { 0 } < v _ { 1 } ^ { \mu } ( v _ { 1 } . Q + i \hat { C } ) ^ { - 1 } \lbrace v _ { 1 } ^ { i } \ W _ { R } ^ { j } ( K , { \mathbf { v } } _ { 1 } ) - v _ { 1 } ^ { j } \ W _ { A } ^ { i } ( K , { \mathbf { v } } _ { 1 } ) \rbrace > _ { v _ { 1 } }
\mathrm { E q u i l i b r i u m ~ c o n d i t i o n s : } \quad \left\{ \begin{array} { r l } & { f ( \phi , p , I _ { \mathrm { e q } } ( \phi ) ) = 0 , } \\ & { f ( \phi , p , I ) > 0 \quad \mathrm { f o r ~ I > I _ { \mathrm { e q } } ( \phi ) ~ } , } \\ & { f ( \phi , p , I ) < 0 \quad \mathrm { f o r ~ I < I _ { \mathrm { e q } } ( \phi ) ~ } , } \end{array} \right.
( 2 ) \quad { \mathrm { \bf { i } } } ^ { 2 } = { \mathrm { \bf { k } } } ^ { 2 } = { \mathrm { \bf { 1 } } } , \quad { \mathrm { \bf { j } } } ^ { 2 } = - { \mathrm { \bf { 1 } } } , \quad { \mathrm { \bf { i } } } { \mathrm { \bf { j } } } = { \mathrm { \bf { k } } } , \quad { \mathrm { \bf { j } } } { \mathrm { \bf { k } } } = { \mathrm { \bf { i } } } , \quad { \mathrm { \bf { k } } } { \mathrm { \bf { i } } } = - { \mathrm { \bf { j } } } .
{ a _ { - 1 } } ^ { 3 } | \sqrt 2 \rangle _ { - } - { \frac { 3 } { \sqrt 2 } } a _ { - 1 } a _ { - 2 } | \sqrt 2 \rangle _ { + } + a _ { - 3 } | \sqrt 2 \rangle _ { - } \, ,
\frac { \partial ( \rho h ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \boldsymbol { u } h ) = \nabla \cdot ( k \nabla T ) - \nabla \cdot \left( \rho \left( h _ { l } - h \right) \left( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { s } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { | Y | } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } | Y _ { i } | \le \sigma + \sum _ { i : L _ { i } \mathrm { ~ d a n g e r o u s } } | Y _ { i } | \le \sigma + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i : L _ { i } \mathrm { ~ d a n g e r o u s } } b ( L _ { i } ) } \\ & { \le \sigma + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i : L _ { i } \mathrm { ~ d a n g e r o u s } } \sum _ { x \in L _ { i } } b ( | x | ) \le \sigma + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { x \in D ( H ) \setminus S } 2 \cdot b ( | x | ) = b ^ { \star } ( H ) - 1 . } \end{array}
\Delta \rightarrow \left( \begin{array} { c c } { { 1 _ { 2 N \times 2 N } } } & { { 0 _ { 2 N \times 2 k } } } \\ { { 0 _ { 2 k \times 2 N } } } & { { g \times 1 _ { 2 \times 2 } } } \end{array} \right) \Delta ~ g ^ { t } \times 1 _ { 2 \times 2 }
\frac { { \mathbf a } ^ { n + 1 } - { \mathbf a } ^ { n } } { \Delta t } = \mathbb { M } _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbb { F } \left( { \mathbf a } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) \mathbb { M } _ { 1 } ^ { - 1 } \left( { \mathbb P } _ { 1 } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbb P } _ { 1 } \frac { { \mathbf a } ^ { n } + { \mathbf a } ^ { n + 1 } } { 2 } - \mathbb { P } _ { 1 } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbf P } ^ { n } + { \mathbb C } ^ { \top } \mathbb { M } _ { 2 } { \mathbb C } \frac { { \mathbf a } ^ { n } + { \mathbf a } ^ { n + 1 } } { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { b _ { 1 } - b _ { 2 } = 1 \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } b _ { z } = \frac { a _ { 1 } } { 2 a _ { 2 } } z \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } z \ge 2 \, . } \end{array}
D _ { 0 } = \exp ( \frac { \Delta S _ { \mathrm { d i f } } } { k _ { \mathrm { B } } T } ) \frac { \nu _ { 0 } l ^ { 2 } } { 4 } = \frac { \nu _ { \mathrm { d i f } } l ^ { 2 } } { 4 } ;
\begin{array} { r l } { \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } } & { = \frac { \omega _ { \mathrm { L } } + ( \omega _ { \mathrm { c a v } } - i \kappa / 2 ) - \sqrt { 4 J ^ { 2 } + [ ( \omega _ { \mathrm { c a v } } - i \kappa / 2 ) - \omega _ { \mathrm { L } } ] ^ { 2 } } } { 2 } , } \\ { \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } } & { = \frac { \omega _ { \mathrm { L } } + ( \omega _ { \mathrm { c a v } } - i \kappa / 2 ) + \sqrt { 4 J ^ { 2 } + [ ( \omega _ { \mathrm { c a v } } - i \kappa / 2 ) - \omega _ { \mathrm { L } } ] ^ { 2 } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \le H ^ { x } } \chi ( k ) \log k } & { = \sum _ { k \le H ^ { x } } \chi ( k ) \log ( H ^ { x } ) - \sum _ { k \le H ^ { x } } \chi ( k ) \int _ { k } ^ { H ^ { x } } \frac { d t } { t } } \\ & { = H ^ { x } x f ( x ) \log H - \int _ { 1 } ^ { H ^ { x } } f \Bigl ( \frac { \log t } { \log H } \Bigr ) t \frac { d t } { t } } \\ & { = H ^ { x } x f ( x ) \log H - \int _ { 0 } ^ { x } f ( u ) ( \log H ) H ^ { u } d u } \end{array}
\begin{array} { r l } { | r \rangle } & { = | r \rangle ^ { ( 0 ) } + \sum _ { q \ne r } \frac { ^ { ( 0 ) } \langle q | V | r \rangle ^ { ( 0 ) } } { E _ { r } ^ { ( 0 ) } - E _ { q } ^ { ( 0 ) } } | q \rangle ^ { ( 0 ) } + \dots } \\ { E _ { r } } & { = E _ { r } ^ { ( 0 ) } + ^ { ( 0 ) } \langle r | V | r \rangle ^ { ( 0 ) } + \dots , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) , \left[ \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) , O \right] \right] } \\ & { = \sum _ { n , n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } c _ { \ell } ^ { n } c _ { \ell } ^ { n ^ { \prime } } \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) ^ { j } \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { n ^ { \prime } - 1 } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) ^ { i } \left[ \Delta _ { N } ^ { \ell } , O ^ { \ell } \right] ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) ^ { n ^ { \prime } - 1 - i } \right] ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) ^ { n - 1 - j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { S , 1 / 2 } } & { { } \approx \frac { 4 \gamma _ { 1 / 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \gamma _ { 1 / 2 } - 2 } } { [ \Gamma ( 2 \gamma _ { 1 / 2 } + 1 ) ] ^ { 2 } } \, , } \\ { R _ { S , 3 / 2 } } & { { } \approx \frac { 4 8 \gamma _ { 1 / 2 } x _ { 0 } ^ { \gamma _ { 1 / 2 } + \gamma _ { 3 / 2 } - 3 } } { \Gamma ( 2 \gamma _ { 1 / 2 } + 1 ) \Gamma ( 2 \gamma _ { 3 / 2 } + 1 ) } \, . } \end{array}
A _ { v _ { 0 } , H } ( m ) = \sum _ { e ^ { v _ { 0 } / H } \le \textnormal { N } ( p _ { 1 } ) < e ^ { ( v _ { 0 } + 1 ) / H } } \frac { \lambda ^ { m } ( p _ { 1 } ) } { \textnormal { N } ( p _ { 1 } ) } , \quad B _ { v , H } ( m ) = \sum _ { \substack { n = p _ { 2 } p \, \textnormal { N } ( n ) \sim X e ^ { - v _ { 0 } / H } \, P _ { 2 } ^ { 1 - \varepsilon } \le \textnormal { N } ( p _ { 2 } ) \le P _ { 2 } } } \frac { \lambda ^ { m } ( n ) } { \textnormal { N } ( n ) } .
\gamma _ { \pm } ( k ) \, = \, \sqrt { ( b ( k ) \pm \mid \lambda \mid ) ^ { 2 } \, + \, \mid C _ { 2 } ( a k ) \, - \, \tau C _ { 1 } ( a k ) \mid ^ { 2 } } \; , \; b ( k ) \, = \, \tau _ { 2 } \, \, B ( a k ) \; , \; \lambda \, = \, \tau _ { 2 } \Lambda \; \; ,
\operatorname* { m a x } \left\{ { \mathsf { L } } \left( \frac { a b + b a } { 2 } \right) , { \mathsf { L } } \left( \frac { a b - b a } { 2 i } \right) \right\} \leqslant A \left( { \mathsf { L } } ( a ) \left\| { b } \right\| _ { { \mathfrak { A } } } + \left\| { a } \right\| _ { { \mathfrak { A } } } { \mathsf { L } } ( b ) \right) + B { \mathsf { L } } ( a ) { \mathsf { L } } ( b ) \mathrm { . }
\begin{array} { r l r } { U _ { T } } & { { } = } & { V _ { 0 } \gamma \left( 1 - e ^ { 1 - e ^ { y / \delta } } \right) = V _ { 0 } \gamma \left( 1 - e ^ { 1 - ( 1 + y / \delta ) } \right) = V _ { 0 } \gamma \left( 1 - e ^ { - y / \delta ) } \right) = V _ { 0 } \gamma \left( 1 - ( 1 - y / \delta ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bar { \sigma } _ { d e v } } ( t ) } & { { } = 2 G _ { \infty } e ( t ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } 2 \int _ { 0 } ^ { t } G _ { i } e ^ { - \frac { t - \tau } { \tau _ { i } } } \dot { e } ( \tau ) d \tau } \end{array}
\nu = \frac { \hbar } { 2 m } \, , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \rho ( x , t ) = | \Psi ( x , t ) | ^ { 2 } \, , \; \; \; \; \; \; \; \; \; v ( x , t ) = \frac { 1 } { m } \frac { \partial S ( x , t ) } { \partial x } \, ,
{ \bf B } = \left\{ - { F } ^ { \prime } , \frac { p } { \sqrt { 1 - \mu ^ { 2 } } } { F } , \sqrt { \frac { \lambda p } { ( 1 + p ) ( 1 - \mu ^ { 2 } ) } } { F } ^ { 1 + 1 / p } \right\} r ^ { - 2 - p }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \pi } \bigl \{ L P _ { 1 } \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} \, } & { { } = \, \Bigl \{ \frac { R } { 2 } \, \phi _ { 0 } - \partial _ { R } \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \Bigr \} \, = \, \frac { 1 } { 2 } \, \phi _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \partial _ { R } \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ { \, } & { { } = \, \frac { 1 } { 2 } \, \phi _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } - \Bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \frac { R } { 2 } \, \eta _ { 0 } \Bigr \} \, = \, \frac { 1 } { 2 } \, \phi _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \, ( \partial _ { Z } \phi _ { 0 } ) \eta _ { 0 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp ( - x ^ { 2 } a _ { n , x } ^ { 2 } / 2 ) } & { \leq \exp ( - n ^ { 1 / 3 } ( 1 + b _ { n } n ^ { 1 / 3 } ) ^ { - 1 } / 2 ) } \\ & { \leq \exp \left( - n ^ { 1 / 3 } \left( 1 + \frac { m ^ { 2 } ( n - 1 ) n ^ { 1 / 3 } } { ( n / 2 ) ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } / 2 \right) \leq \frac { C ( m ) } { \sqrt { n } } . } \end{array}
d ^ { * } = \left\{ \begin{array} { l l } { \infty , } & { \mathrm { i f } \; \; \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } r _ { i } \left( 1 - \frac { u _ { i } ^ { * } } { k _ { i } } \right) \ge 0 , } \\ { d _ { 0 } , } & { \mathrm { i f } \; \; \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } r _ { i } \left( 1 - \frac { u _ { i } ^ { * } } { k _ { i } } \right) < 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Omega } } & { \big ( I ( X ( t ) \in \bar { B } _ { R } ) \zeta ( X ( t ) ) - I ( X ( 0 ) \in B _ { R } ) \zeta ( X ( 0 ) ) \big ) d \pi d t } \\ & { + \left( \int _ { B _ { R } } \zeta d \lambda - \kappa _ { R } \int _ { B _ { R } } \zeta \right) + ( \kappa _ { R } - 1 ) \int _ { B _ { R } } \zeta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { p } ^ { - 2 } } & { = } & { { \frac { m _ { e } \epsilon _ { 0 } } { e ^ { 2 } n } } = { \frac { m _ { e } } { \mu _ { 0 } c ^ { 2 } e ^ { 2 } n } } } \\ { v _ { T x } ^ { 2 } } & { = } & { { \frac { P _ { x x } } { n m _ { e } } } } \\ { v _ { T y } ^ { 2 } } & { = } & { { \frac { P _ { y y } } { n m _ { e } } } } \\ { v _ { T z } ^ { 2 } } & { = } & { { \frac { P _ { z z } } { n m _ { e } } } } \\ { A ^ { x z } } & { = } & { \frac { P _ { x x } } { P _ { z z } } } \\ { A ^ { y z } } & { = } & { \frac { P _ { y y } } { P _ { z z } } } \\ { A _ { x } } & { = } & { 1 - A ^ { x z } } \\ { A _ { y } } & { = } & { 1 - A ^ { y z } } \\ { \tilde { \omega } } & { = } & { \frac { \omega } { \omega _ { p } } } \\ { \tilde { \mathbf k } } & { = } & { \frac { c \mathbf k } { \omega _ { p } } } \\ { u _ { x } } & { = } & { \frac { v _ { T x } } { c } } \\ { u _ { y } } & { = } & { \frac { v _ { T y } } { c } } \\ { u _ { z } } & { = } & { \frac { v _ { T z } } { c } } \end{array}
m _ { L L } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { - \lambda ^ { 2 } ( 1 - \lambda ^ { 2 } ) } } & { { \lambda ( 1 - \lambda ) } } & { { \lambda ( 1 - \lambda ) } } \\ { { \lambda ( 1 - \lambda ) } } & { { ( 1 - \lambda ) } } & { { - ( 1 + \lambda ^ { 2 } ) } } \\ { { \lambda ( 1 - \lambda ) } } & { { - ( 1 + \lambda ^ { 2 } ) } } & { { ( 1 + \lambda ) } } \end{array} \right) m _ { 0 }
G _ { E , M } ^ { Z , p } = ( 1 - 4 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) ( 1 + R _ { V } ^ { p } ) G _ { E , M } ^ { \gamma , p } - ( 1 + R _ { V } ^ { n } ) G _ { E , M } ^ { \gamma , n } - G _ { E , M } ^ { s } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathbf { v } } _ { i } } & { { } = } & { \mathbf { v } _ { i } ( t ) + \delta t ( \frac { d \mathbf { v } _ { i } } { d t } - \frac { 1 } { \rho _ { i } } \nabla \chi ) , } \\ { \frac { { \mathrm { d } } \mathbf { r } } { { \mathrm { d } } t } } & { { } = } & { \mathbf { \tilde { v } } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { l + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le 2 \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t - \tau } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 4 \alpha \left[ \left( \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) 2 ( \tau + 1 ) + \frac { 8 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } \right] } \\ & { + 1 6 \alpha c _ { 4 } ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \tau } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } [ \delta _ { t - k } ^ { 2 } ] . } \end{array}
\overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ n _ { F } ] } = \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ 1 ] } + \sum _ { m = N _ { 0 } ^ { n _ { F } } + 1 } ^ { N _ { 0 } ^ { [ 1 ] } } u _ { [ n _ { F } ] } ^ { m } ( \mathfrak { u } ) \left[ \mathbf { P } _ { ( m ) } ^ { [ n _ { F } ] } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { E } _ { [ \imath ] } , \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } , \mathbf { R } _ { [ \imath ] , \mathrm { s } } , \mathbf { P } _ { [ \imath ] } } \quad \mathrm { T r } ( \mathbf { E } _ { [ \imath ] } ^ { - 1 } ) } \\ & { \quad \mathrm { s . t . } \quad , , , } \\ & { \quad \quad \quad \frac { P _ { k } L _ { k , \mathrm { S } } ^ { 2 } L _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } { ( 1 + \kappa ) ^ { 2 } } \bigg [ \kappa ^ { 2 } \mathrm { T r } ( \mathbf { \hat { H } } _ { k , \mathrm { S } } \mathbf { \hat { H } } _ { k , \mathrm { S } } ^ { H } \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ) \! + \! \kappa M _ { \mathrm { r } } \mathrm { T r } \left( \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \hat { h } } _ { k , \mathrm { S } } ^ { H } ) \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \hat { h } } _ { k , \mathrm { S } } ) \right) } \\ & { \quad \quad \quad + \kappa \mathrm { T r } ( \mathbf { \hat { G } } _ { \mathrm { r } } \mathbf { \hat { G } } _ { \mathrm { r } } ^ { H } \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ) + M _ { \mathrm { r } } \mathrm { T r } ( \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ) \bigg ] \geq \sigma ^ { 2 } ( 2 ^ { 2 R _ { \mathrm { e r } , \mathrm { t } } } - 1 ) , } \\ & { \quad \quad \quad \mathbf { E } _ { [ \imath ] } \succeq \mathbf { 0 } , \quad \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } \succeq \mathbf { 0 } , } \\ & { \quad \quad \quad \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } [ n , n ] \leq 1 , \quad 1 \leq n \leq N , } \\ & { \quad \quad \quad \mathrm { r a n k } ( \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ) = 1 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \lambda _ { k } } & { = \operatorname* { m a x } _ { \begin{array} { c } { { \mathcal { M } } \subset V } \\ { \dim { \mathcal { M } } = k } \end{array} } \operatorname* { m i n } _ { \begin{array} { c } { x \in { \mathcal { M } } } \\ { \| x \| = 1 } \end{array} } \langle x , A x \rangle } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \begin{array} { c } { { \mathcal { M } } \subset V } \\ { { \mathcal { M } } = n - k + 1 } \end{array} } \operatorname* { m a x } _ { \begin{array} { c } { x \in { \mathcal { M } } } \\ { \| x \| = 1 } \end{array} } \langle x , A x \rangle { \mathrm { . ~ } } } \end{array} }
F _ { \mathrm { r a d } } ^ { 1 D } = 4 \pi r ^ { 3 } E _ { a c } k _ { z } s i n \left( 2 k _ { z } \left( z + \frac { w } { 2 } \right) \right) \Phi ( \tilde { \kappa } , \tilde { \rho } ) .
\begin{array} { r } { \delta f _ { m } ^ { L } \simeq m \Omega _ { d } e ^ { - i \omega _ { m } t } \frac { \left( e ^ { \gamma _ { m } t } - e ^ { i m \Omega _ { d } t - i \omega _ { m } t + \gamma _ { m } t } \right) } { m \Omega _ { d } - \omega _ { m } - i \gamma _ { m } } \simeq m \Omega _ { d } e ^ { - i \omega _ { m } t } \frac { 1 - e ^ { i ( m \Omega _ { d } t - \omega _ { m } ) t } } { m \Omega _ { d } - \omega _ { m } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \widehat { \Gamma } _ { r } ^ { r + b } ( \omega ) - \widehat { \Gamma } _ { r } ^ { r + b } ( \omega ^ { \prime } ) | } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \tilde { \omega } } \widehat { \Gamma } _ { r } ^ { r + b } ( \tilde { \omega } ) - \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \omega } } \widehat { \Gamma } _ { r } ^ { r + b } ( \tilde { \omega } ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \tilde { \omega } \in \tilde { \mathcal { G } } _ { r } ^ { r + b } } \tilde { \Gamma } _ { r } ^ { r + b } ( \tilde { \omega } ) - 0 } \\ & { \leq n ^ { 5 / 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \langle x y \rangle \pm \langle x z \rangle | } & { \le } & { 1 \pm \langle y z \rangle \; , } \\ { | \langle x z \rangle - \langle x w \rangle + \langle y z \rangle + \langle y w \rangle | } & { \le } & { | \langle x z \rangle - \langle x w \rangle | + | \langle y z \rangle + \langle y w \rangle | \le 2 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \varphi _ { \vert a \vert } ) ^ { * } ( x , \lambda \, t ) } & { \lesssim \smash { \operatorname* { m a x } \{ \lambda ^ { p ^ { \prime } ( x ) } , \lambda ^ { 2 } \} } ( \varphi _ { \vert a \vert } ) ^ { * } ( x , t ) \, , } \\ { ( \varphi _ { \vert a \vert } ) ^ { * } ( x , \lambda \, \varphi ^ { \prime } ( x , \vert a \vert ) ) } & { \sim \smash { \lambda ^ { 2 } } \, \varphi ( x , \vert a \vert ) \, , } \end{array}
\frac { \partial ( 1 - \Phi _ { v } ) \rho _ { g } k _ { g } } { \partial t } + \nabla \mathbf { \cdot } \left[ ( 1 - \Phi _ { v } ) \rho _ { g } \textbf { u } _ { g } k _ { g } \right] = - ( 1 - \Phi _ { v } ) \textbf { R } _ { g } \mathbf { : } \nabla \textbf { u } _ { g } + \left( \mathbf { u } _ { p } - \mathbf { u } _ { g } \right) \mathbf { \cdot } \textbf { F } _ { p } - ( 1 - \Phi _ { v } ) \rho _ { g } \varepsilon _ { \mathrm { p t } } .
\begin{array} { r l } { r _ { 2 b } ^ { \prime } } & { { } \approx r _ { 2 } \sqrt { \left[ 4 + 2 \zeta ( 4 - \phi ^ { 2 } ) + 4 \eta \phi + \zeta ^ { 2 } ( 4 - \phi ^ { 2 } ) + \eta ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + 4 \zeta \eta \phi \right] } , } \end{array}
x _ { \mathrm { c } } ( t ) = x _ { i } { \frac { \sin \omega ( t _ { f } - t ) } { \sin \omega ( t _ { f } - t _ { i } ) } } + x _ { f } { \frac { \sin \omega ( t - t _ { i } ) } { \sin \omega ( t _ { f } - t _ { i } ) } } .
\operatorname { t r } ( \mathbf { A } \mathbf { B } \mathbf { C } ) = \operatorname { t r } \left( \left( \mathbf { A } \mathbf { B } \mathbf { C } \right) ^ { \mathsf { T } } \right) = \operatorname { t r } ( \mathbf { C } \mathbf { B } \mathbf { A } ) = \operatorname { t r } ( \mathbf { A } \mathbf { C } \mathbf { B } ) ,
\Gamma _ { ( 0 ) } = { \frac { 1 } { ( p + 1 ) ! ~ { \sqrt - d e t G } } } \epsilon ^ { i _ { 1 } . . . . . . i _ { p } + 1 } \partial _ { i _ { 1 } } X ^ { M _ { 1 } } . . . . . . . \partial _ { i _ { p + 1 } } X ^ { M _ { p + 1 } } \Gamma _ { M _ { 1 } } ^ { \prime } . . . . . _ { M _ { p + 1 } } .
\int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } + M _ { 1 } ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } + M _ { 2 } ^ { 2 } ) } = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { \log ( M _ { 1 } ^ { 2 } / M _ { 2 } ^ { 2 } ) } { M _ { 1 } ^ { 2 } - M _ { 2 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \frac { a _ { k } ( u _ { k + 1 } - u _ { k } ) } { F ( ( \xi _ { k + 1 } - v _ { k } ) / a _ { k } ) - F ( ( \xi _ { k } - v _ { k } ) / a _ { k } ) } F ^ { \prime } ( ( \xi _ { k } - v _ { k } ) / a _ { k } ) = } \\ { \frac { a _ { k - 1 } ( u _ { k } - u _ { k - 1 } ) } { F ( ( \xi _ { k } - v _ { k - 1 } ) / a _ { k - 1 } ) - F ( ( \xi _ { k - 1 } - v _ { k - 1 } ) / a _ { k - 1 } ) } F ^ { \prime } ( ( \xi _ { k } - v _ { k - 1 } ) / a _ { k - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { i } \geq \beta \frac { \| \mathbf { A } ( i , : ) \| _ { 2 } } { \sum _ { j = 1 } ^ { I _ { 2 } } \| \mathbf { A } ( j , : ) \| _ { 2 } } , \ p _ { i } \geq \beta \frac { \| \mathbf { B } ( : , i ) \| _ { 2 } } { \sum _ { j = 1 } ^ { I _ { 2 } } \| \mathbf { B } ( : , j ) \| _ { 2 } } , } \\ & { p _ { i } \geq \beta \frac { \| \mathbf { A } ( i , : ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \mathbf { A } \| _ { F } ^ { 2 } } , \ p _ { i } \geq \beta \frac { \| \mathbf { B } ( : , i ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \mathbf { B } \| _ { F } ^ { 2 } } , \ \mathrm { o r ~ } \ p _ { i } \geq \beta \frac { \| \mathbf { A } ( i , : ) \| _ { 2 } \| \mathbf { B } ( : , i ) \| _ { 2 } } { \| \mathbf { A } \| _ { F } \mathbf { B } \| _ { F } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \kappa } } ) = \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } H \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } + \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } [ \hat { \kappa } , H ] \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } + \frac { 1 } { 2 } \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } [ \hat { \kappa } , [ \hat { \kappa } , H ] ] \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } + \dots } \end{array}
\begin{array} { r } { | \Sigma _ { \mathrm { S B } } ^ { \lessgtr } ( t , t ^ { \prime } ) | \sim w ^ { 2 } | G ^ { \lessgtr } ( t , t ^ { \prime } ) G ^ { \lessgtr } ( t , t ^ { \prime } ) G ^ { \gtrless } ( t ^ { \prime } , t ) | \sim O ( w ^ { 2 } c ^ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } } & { \leq \sum _ { i } \sum _ { k > i } \operatorname* { m a x } \{ P _ { i , y _ { v } } , P _ { k , y _ { v } } \} e ^ { - \textup { D i v } ( [ { \lambda _ { i , y _ { v } } } , { \hat { \lambda } _ { i , y _ { v } } } ] , [ { \lambda _ { k , y _ { v } } } , { \hat { \lambda } _ { k , l } } ] ) } } \\ & { = \sum _ { i } \sum _ { k > i } n ^ { - \textup { D i v } \big ( [ { g ^ { ( i , y _ { v } ) } } , { h ^ { ( i , y _ { v } ) } } ] , [ { g ^ { ( k , y _ { v } ) } } , { h ^ { ( k , y _ { v } ) } } ] \big ) + o ( 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \zeta _ { n } + \zeta _ { 0 } ) \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 U _ { \mathrm { p } } } } = } & { \frac { 1 } { 2 } [ ( \omega \tilde { t } _ { n } ) ^ { 2 } - ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] } \\ & { - \frac { 1 } { 2 4 } [ ( \omega \tilde { t } _ { n } ) ^ { 4 } - ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 4 } + \cdots ] . } \end{array}
\biggl ( \begin{array} { l } { P ( r ) } \\ { Q ( r ) } \end{array} \biggr ) = C \sqrt { \beta r } \biggl ( \begin{array} { l } { \mp J _ { \mp ( 1 / 2 + \kappa ) } ( \beta r ) } \\ { J _ { \pm ( 1 / 2 - \kappa ) } ( \beta r ) \frac { \beta } { E + m _ { e } c ^ { 2 } + \frac { Z \alpha } { R _ { 0 } } } } \end{array} \biggr ) ,
\begin{array} { r l } { \overline { { P } } _ { \mathrm { h c } } } & { = \left[ \frac { 1 } { ( w - 1 ) \left\{ \frac { ( r + 1 ) \left[ N _ { I } ( 1 - r ) + r N _ { T } v _ { T } \right] } { N _ { T } v _ { T } \left[ r \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) + N _ { I } ( w - 1 ) \right] } - \frac { r } { w ^ { N _ { I } } - 1 } \right\} } \right. } \\ & { \quad \left. - a ( N _ { I } v _ { I } + N _ { T } v _ { T } ) \right] \frac { 1 } { N _ { I } + N _ { T } } . } \end{array}
\partial _ { t } P ( \mathbf { x } , t \mid \mathbf { x _ { 0 } } ) = \Sigma _ { j = - M } ^ { M } D _ { j } \partial _ { x _ { j } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } k _ { \alpha } ( t - u ) P ( \mathbf { x } , u \mid \mathbf { x _ { 0 } } ) \, d u .