harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\xi \frac { \ensuremath { \partial } L } { \ensuremath { \partial } x } + \eta \frac { \ensuremath { \partial } L } { \ensuremath { \partial } y } + \nu \frac { \ensuremath { \partial } L } { \ensuremath { \partial } z } + \tau _ { H } n L ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) = \frac { \omega \tau _ { H } n } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } L ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ^ { \prime } ) ( 1 + \mathrm { A _ { 1 } } \cos \theta \, \cos \theta ^ { \prime } ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } \Omega ^ { \prime } .
1 0 ^ { - 4 } < \tan ^ { 2 } \! \vartheta < 1 0 ^ { - 1 } \, , \quad 1 0 ^ { - 8 } \, \mathrm { e V } ^ { 2 } < \Delta { m } ^ { 2 } < 1 0 ^ { - 3 } \, \mathrm { e V } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathbf { G } } ( x , x ^ { \prime } ; \omega ) = \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( x , x ^ { \prime } ; \omega ) - Z \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( x , 0 ; \omega ) \ensuremath { \mathbf { G } } ( 0 , x ^ { \prime } ; \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L ( E ^ { ( 1 ) } , E ^ { ( 2 ) } , \boldsymbol { \kappa } , \boldsymbol { \gamma } , \boldsymbol { k } _ { 8 1 } , \boldsymbol { k } _ { 8 8 } ) = } \\ & { \sum _ { n , Q _ { 8 7 } ( n ) = 0 } \left( H _ { 1 1 } [ E ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { \kappa } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { \gamma } ^ { ( 1 ) } ] ( \boldsymbol { Q } ( n ) ) - E _ { \mathrm { A \textsubscript { 1 } } } ( n ) \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { \sum _ { n , Q _ { 8 7 } ( n ) = 0 } \left( H _ { 2 2 } [ E ^ { ( 2 ) } , \boldsymbol { \kappa } ^ { ( 2 ) } , \boldsymbol { \gamma } ^ { ( 2 ) } ] ( \boldsymbol { Q } ( n ) ) - E _ { \mathrm { B \textsubscript { 2 } } } ( n ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\hat { U } _ { \mu \nu } ^ { ( L ) } ( \theta ) = \exp \left[ - i \theta \bigotimes _ { r = L ( \mu { - } 1 ) { + } 1 } ^ { \mu L { - } 1 } \hat { X } _ { r } \hat { Y } _ { \mu L } \bigotimes _ { r ^ { \prime } = L ( \nu - 1 ) + 1 } ^ { \nu L } \hat { X } _ { r ^ { \prime } } \bigotimes _ { \substack { r ^ { \prime \prime } = L ( \mu + 1 ) \, ( \textrm { m o d } L ) } } ^ { L ( \nu { - } 1 ) } \hat { Z } _ { r ^ { \prime \prime } } \right] .
( i d \otimes \pi _ { - } ) \delta _ { V } ^ { 2 } ( x _ { 2 } ^ { j } ( \xi , \eta ) ) = \sum _ { k } { \cal D } ( A _ { 2 } , D _ { 2 } ) _ { k } ^ { j } \ ( i d \otimes \pi _ { - } ) \Delta ( x _ { 2 } ^ { k } ( \xi , \eta ) ) .
L _ { i } ( \theta _ { i } ) = \mathbb { E } _ { s , a , s ^ { \prime } } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \Big \lbrace r ( s , a ) + \gamma \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta _ { i - 1 } } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) - Q _ { \theta _ { i } } ( s , a ) \Big \rbrace ^ { 2 } \bigg ] ~ .
B I = \epsilon _ { Q _ { \beta \beta } } \times ( 1 - r _ { \Delta t } ) \times \tau \times ( \frac { l n 2 \cdot N _ { ^ { 1 0 0 } M o } } { T _ { 1 / 2 } ^ { 2 \nu 2 \beta } } ) ^ { 2 } \quad [ \mathrm { c k k y } ]
\begin{array} { r l } { W ^ { * } } & { = \sum _ { i < j } \frac { p _ { i j } } { \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } } , } \\ { \sum _ { i < j } w _ { i j } ^ { * } \cdot \frac { \partial z _ { i j } ^ { - 1 } } { \partial \underline { { \phi } } } } & { = \sum _ { i < j } \frac { p _ { i j } } { \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } } \cdot \frac { \partial z _ { i j } ^ { - 1 } } { \partial \underline { { \phi } } } . } \end{array}
\sum _ { \stackrel { 1 \leq k \leq m } { \operatorname* { g c d } ( k , m ) = 1 } } \operatorname* { g c d } ( k ^ { 2 } - 1 , m _ { 1 } ) \operatorname* { g c d } ( k ^ { 2 } - 1 , m _ { 2 } ) = \varphi ( n ) \sum _ { \stackrel { d _ { 1 } \mid m _ { 1 } } { d _ { 2 } \mid m _ { 2 } } } \varphi ( \operatorname* { g c d } ( d _ { 1 } , d _ { 2 } ) ) 2 ^ { \omega ( \operatorname { l c m } ( d _ { 1 } , d _ { 2 } ) ) } ,
\vec { J } _ { 2 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } ) = \hat { x } J _ { 0 } w \delta ( y _ { 2 } + \Delta ) \left\{ \begin{array} { c c } { 1 } & { - \frac { a } { 2 } < x _ { 2 } < \frac { a } { 2 } , \quad - \frac { b } { 2 } < z _ { 2 } < \frac { b } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { G _ { n _ { \perp } n _ { \perp } } ^ { R } } & { = \chi \left( \frac { i \omega \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } - 1 \right) , } \\ { G _ { n _ { \perp } j _ { \| } } ^ { R } } & { = \omega k \frac { \sigma \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) - ( 1 + \tau ) \chi v _ { \perp } ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } , } \\ { G _ { j _ { \| } j _ { \| } } ^ { R } } & { = - i \omega \frac { ( i \omega - \Gamma ) \Big ( \sigma \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) - ( 1 + \tau ) ^ { 2 } \chi v _ { \perp } ^ { 2 } \Big ) + \tau ^ { 2 } \sigma v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i \in S } \mathbb { E } _ { \Lambda _ { 1 } } [ N _ { i } ( \tau ) ] \cdot \mathrm { K L } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) \ge d ( \mathbb { P } _ { 1 } ( \mathcal { E } _ { ( \tau ) } ^ { c } ) , \mathbb { P } _ { 2 } ( \mathcal { E } _ { ( \tau ) } ^ { c } ) ) \ge d ( \delta , 1 - \delta ) ~ \Rightarrow ~ \sum _ { i \in S } \mathbb { E } _ { \Lambda _ { 1 } } [ N _ { i } ( \tau ) ] \ge \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { \mathrm { K L } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) } . } \end{array}
v _ { \mathrm { ~ F ~ A ~ } } = - \frac { \alpha } { N } \int \frac { \rho ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } ) } { | \boldsymbol { \textbf { r } } - \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } | } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime }
\alpha ( s ) = \operatorname* { s u p } \left\{ | \mathbb { P } ( A \cap B ) - \mathbb { P } ( A ) \mathbb { P } ( B ) | : - \infty < t < \infty , A \in X _ { - \infty } ^ { t } , B \in X _ { t + s } ^ { \infty } \right\}
\frac { \bar { S } _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) } { Q ^ { 2 } } \Big \vert _ { Q ^ { 2 } \rightarrow 0 } \stackrel { \mathrm { ~ H ~ B ~ } } { = } \frac { \alpha g _ { A } ^ { 2 } } { 3 2 f _ { \pi } ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \pi } } .
\begin{array} { r l } & { ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 0 } ) \cdot ( \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } ) ^ { - \frac 1 2 } \Phi ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) } \\ & { = F _ { 2 , d } ^ { [ 1 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) - F _ { 2 , d } ^ { [ 1 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } ) + \frac { 4 \alpha _ { 0 } } { d } F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) - \frac { 4 \alpha _ { 0 } } { d } F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \lambda _ { 1 } } & { { } = \lambda _ { 2 } = D q ^ { 2 } \left( - q ^ { 2 } w ^ { 2 } \phi _ { 0 } + \chi \phi _ { 0 } - 1 \right) } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \lambda _ { 3 } } & { { } = D q ^ { 2 } \left( - q ^ { 2 } w ^ { 2 } \phi _ { 0 } - 2 \chi \phi _ { 0 } + \frac { 1 } { 3 \phi _ { 0 } - 1 } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { n = C \Lambda _ { C } - \frac { \partial ^ { 2 } n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \lambda ^ { 2 } } \Lambda _ { S } } \\ { \Lambda _ { C } = L \cdot \left( \frac { 1 } { \lambda _ { n } } - \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } } \right) } \\ { \Lambda _ { S } = \frac { L } { 2 } \cdot \left( \lambda _ { n } - \frac { \lambda _ { n } ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } } \right) , } \end{array}
R _ { ( 1 ) } ( u , w ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { I _ { 1 } ( \gamma _ { 0 } u w ) } { \gamma _ { 0 } I _ { 0 } ( \gamma _ { 0 } u ) } , } & { w < 1 } \\ { - \frac { K _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } u w ) } { \gamma _ { 1 } K _ { 0 } ( \gamma _ { 1 } u ) } , } & { w > 1 } \end{array} \right. .
\delta \sigma = ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } ) \int _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \lambda _ { 1 } } \left( g _ { \mu \nu } \dot { z } ^ { \mu } \delta \dot { z } ^ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu , \lambda } \dot { z } ^ { \mu } \dot { z } ^ { \nu } \delta \dot { z } ^ { \lambda } \right) .
M _ { 3 } \rightarrow M _ { D } ^ { t } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { a _ { D } \lambda ^ { 4 } } } & { { b _ { D } \lambda ^ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { d _ { D } \lambda ^ { 2 } } } & { { e _ { D } \lambda ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { t e m } } ( n ) } & { { = } { \sum _ { l = 0 } ^ { N _ { l } } } z _ { j } ^ { l } f _ { j - 1 } [ \mathrm { M o d } ( n { - } l m , N ) ] , \ ( n { = } 0 , \ldots , m { - } 1 ) , } \\ { f _ { j } ( n ) } & { { = } { - } { \sum _ { l = 0 } ^ { N _ { l } - 1 } } z _ { j } ^ { l { + } 1 } f _ { \mathrm { t e m } } [ \mathrm { M o d } ( n { + } l m , N ) ] , \ ( n { = } N { - } 1 , \ldots , N { - } m ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( r ) } } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \hat { F } _ { k } \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \hat { F } _ { k } \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n - 1 ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { 1 } u _ { 2 } \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } } & { \lesssim \sum _ { C } \| ( P _ { C } u _ { 1 } ) u _ { 2 } \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { C } \left( N _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| P _ { C } u _ { 1 } \| _ { U _ { \Delta } ^ { 4 } L _ { x } ^ { 2 } ( I ) } \| u _ { 2 } \| _ { U _ { \Delta } ^ { 4 } L _ { x } ^ { 2 } ( I ) } \right) ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \sum _ { C } \left( N _ { 2 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| P _ { C } u _ { 1 } \| _ { Y ^ { 0 } ( I ) } \| u _ { 2 } \| _ { Y ^ { 1 } ( I ) } \right) ^ { 2 } \lesssim N _ { 2 } ^ { - 1 } \| u _ { 1 } \| _ { Y ^ { 0 } ( I ) } ^ { 2 } \| u _ { 2 } \| _ { Y ^ { 1 } ( I ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \log \mathbb { P } \left( \alpha \sum _ { j \in S _ { i } ^ { \mathsf { c } } } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) w _ { j } \geq \frac { \beta n ( p - q ) t j } { 8 0 k ^ { 2 } } \Bigg | S _ { i } \cup \{ i \} \right) } \\ & { \leq - \frac { 2 n ( p - q ) ^ { 2 } } { p } j + p \left( \frac { 1 6 0 k ^ { 2 } } { \beta t } \frac { ( p - q ) } { p } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 4 ( C _ { 0 } + 3 ) k \sqrt { k n p } } { \beta n ( p - q ) } \right) ^ { 2 } \exp \left( \frac { 3 2 0 k ^ { 2 } ( p - q ) } { p } \right) } \\ & { = - \frac { 2 n ( p - q ) ^ { 2 } } { p } j + \left( \frac { 6 4 0 ( C _ { 0 } + 3 ) k ^ { 3 . 5 } } { \beta ^ { 2 } \sqrt { n } t } \right) ^ { 2 } \exp \left( \frac { 3 2 0 k ^ { 2 } ( p - q ) } { p } \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { a _ { n } } { b _ { n } } } \right) = { \frac { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } b _ { n } } }
\begin{array} { r l } { \overline { { \theta } } _ { e } + \theta _ { e } ^ { \prime } } & { = T \left( \frac { \rho _ { d } R _ { d } T } { p _ { \mathrm { r e f } } } \right) ^ { - R _ { d } / ( c _ { p d } + c _ { l } q _ { w } ) } \exp \left( \frac { ( L _ { \mathrm { r e f } } + ( c _ { p v } - c _ { l } ) ( T - T _ { \mathrm { r e f } } ) ) \rho _ { v s } } { \rho _ { d } ( c _ { p d } + c _ { l } q _ { w } ) T } \right) , } \\ { \overline { { p } } } & { = ( \rho _ { d } R _ { d } + \rho _ { v s } R _ { v } ) T , } \\ { \rho _ { v s } R _ { v } T } & { = e _ { \mathrm { r e f } } \left( \frac { T } { T _ { \mathrm { r e f } } } \right) ^ { \frac { c _ { p v } - c _ { l } } { R _ { v } } } \exp \left( \frac { L _ { \mathrm { r e f } } - ( c _ { p v } - c _ { l } ) T _ { \mathrm { r e f } } } { R _ { v } } \left( \frac { 1 } { T _ { \mathrm { r e f } } } - \frac { 1 } { T } \right) \right) , } \end{array}
- ( 2 - k z ) \left( 1 2 z ^ { 2 } h _ { 0 } ^ { \prime } ( z ) + 6 z h _ { 0 } \right) - 6 q ( z ) = ( 2 - k z ) \left( - \frac { 1 } { 6 } z A ^ { \prime } ( z ) + \frac { 1 } { 1 2 } A ( z ) \right) + \frac { 1 } { 4 } B ( z ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { t } } { \partial t } = } & { - M ^ { \mathrm { F R } } ( \rho _ { t } ) ^ { - 1 } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \rho } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } , } \\ { = } & { \rho _ { t } \bigl ( \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } - \log \rho _ { t } \bigr ) - \rho _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { t } } [ \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } - \log \rho _ { t } ] . } \end{array}
\frac { N _ { c } } { 4 } ( Q _ { u } + Q _ { d } ) = \frac { N _ { c } } { 4 } [ \frac { 1 } { 2 } ( \frac { 1 } { N _ { c } } + 1 ) + \frac { 1 } { 2 } ( \frac { 1 } { N _ { c } } - 1 ) ] = \frac { 1 } { 4 } .
1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 5 } } + \ldots = { \frac { 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1 1 \cdot \ldots } { 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 1 0 \cdot \ldots } }
m _ { e } ^ { 2 } \; y ^ { 2 } / ( 1 - y ) \le P _ { m i n } ^ { 2 } \le P ^ { 2 } \le P _ { m a x } ^ { 2 } \le \frac { S } { 2 } \; ( 1 - y ) ( 1 - \cos \Theta _ { m a x } ) \; \; ,
\alpha _ { 0 \to 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) } ( \omega _ { \mathrm { { I } } } ) _ { \rho \lambda } = - \frac { 1 } { \hbar } \sum _ { n } \left[ \frac { \langle \psi _ { 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) } | \hat { \mu } _ { \rho } | \psi _ { n } ^ { \prime } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { \prime } | \hat { \mu } _ { \lambda } | \psi _ { 0 } ^ { ( \bar { \nu } ) } \rangle } { \omega _ { \mathrm { I } } - \omega _ { n } ^ { \prime } + \omega _ { 0 } ^ { ( \bar { \nu } ) } + i \gamma } - \frac { \langle \psi _ { 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) } | \hat { \mu } _ { \lambda } | \psi _ { n } ^ { \prime } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { \prime } | \hat { \mu } _ { \rho } | \psi _ { 0 } ^ { ( \bar { \nu } ) } \rangle } { \omega _ { \mathrm { { I } } } + \omega _ { n } ^ { \prime } - \omega _ { 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) } - i \gamma } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { p } ^ { n - 1 / 2 } } & { { } = } & { \mathbf { p } ^ { - } - \frac { q \Delta t } { 2 m } \mathbf { E } ^ { n } , } \\ { \mathbf { p } ^ { n + 1 / 2 } } & { { } = } & { \mathbf { p } ^ { + } + \frac { q \Delta t } { 2 m } \mathbf { E } ^ { n } , } \\ { \mathbf { p } ^ { \prime } } & { { } = } & { \mathbf { p } ^ { - } + \mathbf { p } ^ { - } \times \boldsymbol { \tau } , } \\ { \mathbf { p } ^ { + } } & { { } = } & { \mathbf { p } ^ { - } + \mathbf { p } ^ { \prime } \times \boldsymbol { \varsigma } , } \\ { \boldsymbol { \tau } } & { { } = } & { \frac { q \Delta t } { 2 m \gamma ^ { n } } \mathbf { B } ^ { n } , } \\ { \boldsymbol { \varsigma } } & { { } = } & { \frac { 2 \boldsymbol { \tau } } { 1 + \boldsymbol { \tau } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \beta } { 4 } \mathbf { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { k \eta } \left| \nabla \Bar { U } _ { r } \left( Y _ { t } \right) - G \left( Y _ { \lfloor t / \eta \rfloor \eta } , a _ { \lfloor t / \eta \rfloor \eta } \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } t \right] } \\ & { \le \frac { \beta } { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \mathbf { E } \left[ \int _ { j \eta } ^ { ( j + 1 ) \eta } \left| \nabla \Bar { U } _ { r } \left( Y _ { t } \right) - \nabla \Bar { U } _ { r } \left( Y _ { \lfloor t / \eta \rfloor \eta } \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } t \right] } \\ & { \quad + \frac { \beta } { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \mathbf { E } \left[ \int _ { j \eta } ^ { ( j + 1 ) \eta } \left| \nabla \Bar { U } _ { r } \left( Y _ { \lfloor t / \eta \rfloor \eta } \right) - G \left( Y _ { \lfloor t / \eta \rfloor \eta } , a _ { \lfloor t / \eta \rfloor \eta } \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } t \right] } \\ & { \le \frac { \beta } { 2 } \frac { \left( d + 2 \right) \omega _ { \nabla U } ( r ) } { r } \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \mathbf { E } \left[ \int _ { j \eta } ^ { ( j + 1 ) \eta } \left| Y _ { t } - Y _ { \lfloor t / \eta \rfloor \eta } \right| ^ { 2 } \mathrm { d } t \right] } \\ & { \quad + \frac { \beta } { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \mathbf { E } \left[ \eta \left| \nabla \Bar { U } _ { r } \left( Y _ { j \eta } \right) - G \left( Y _ { j \eta } , a _ { j \eta } \right) \right| ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \alpha ) } & { = \oint _ { \mathcal { C } } \frac { d y } { 2 \pi \mathrm { i } } \frac { f ( y ) } { y - \alpha } } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d y } { 2 \pi \mathrm { i } } \frac { { \mathrm { D i s c \, } } _ { 0 } f ( y ) } { y - \alpha } - \int _ { 0 } ^ { - \infty } \frac { d y } { 2 \pi \mathrm { i } } \frac { { \mathrm { D i s c \, } } _ { \pi } f ( y ) } { y - \alpha } + \oint _ { ( \infty ) } \frac { d y } { 2 \pi \mathrm { i } } \frac { f ( y ) } { y - \alpha } , } \end{array}
- { \cal L } _ { Y } ^ { J } = m _ { J } \bar { J } _ { L } J _ { R } \left( 1 + \frac { X _ { \chi } ^ { 0 } + i I _ { \chi } ^ { 0 } } { \vert v _ { \chi } \vert } \right) + \bar { j } _ { L } M ^ { J } j _ { R } \left( 1 + \frac { X _ { \chi } ^ { 0 } - i I _ { \chi } ^ { 0 } } { \vert v _ { \chi } \vert } \right) + H . c . ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { \delta _ { 1 } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \{ B \cdot \delta _ { 1 } \} = - \frac { \omega _ { B } \delta } { \Omega ^ { 2 } } \left( 2 \epsilon _ { 1 } + ( 2 \pi - 4 ) \epsilon _ { 2 } \right) , } \\ { \phi _ { \delta _ { 2 } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \{ B \cdot \delta _ { 2 } \} = - \frac { \omega _ { B } \delta } { \Omega ^ { 2 } } \left( 2 \epsilon _ { 2 } + ( 2 \pi - 4 ) \epsilon _ { 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { = } } & { { m ( S \otimes i d ) ( \Gamma _ { 1 } \otimes \emptyset + { \sum _ { \gamma _ { 1 } \subset \Gamma _ { 1 } } ^ { \neq } } \bar { \gamma } _ { 1 } \otimes \Gamma _ { 1 } / \gamma _ { 1 } ) ( \Gamma _ { 2 } \otimes \emptyset + { \sum _ { \gamma _ { 2 } \subset \Gamma _ { 2 } } ^ { \neq } } \bar { \gamma } _ { 2 } \otimes \Gamma _ { 2 } / \gamma _ { 2 } ) \medskip } } \\ { { } } & { { = } } & { { S ( \Gamma _ { 1 } \cdot \Gamma _ { 2 } ) + \sum _ { \gamma _ { 1 } \subset \Gamma _ { 1 } } ^ { \neq } S ( \Gamma _ { 2 } \cdot \bar { \gamma } _ { 1 } ) \cdot \Gamma _ { 1 } / \gamma _ { 1 } + \sum _ { \gamma _ { 2 } \subset \Gamma _ { 2 } } ^ { \neq } S ( \Gamma _ { 1 } \cdot \bar { \gamma } _ { 2 } ) \cdot \Gamma _ { 2 } / \gamma _ { 2 } \medskip } } \\ { { } } & { { } } & { { + \sum _ { \gamma _ { 1 } \subset \Gamma _ { 1 } } ^ { \neq } \sum _ { \gamma _ { 2 } \subset \Gamma _ { 2 } } ^ { \neq } S ( \bar { \gamma } _ { 1 } \cdot \bar { \gamma } _ { 2 } ) \cdot \Gamma _ { 1 } / \gamma _ { 1 } \cdot \Gamma _ { 2 } / \gamma _ { 2 } \medskip } } \\ { { } } & { { = } } & { { S ( \Gamma _ { 1 } \cdot \Gamma _ { 2 } ) + S ( \Gamma _ { 2 } ) \cdot ( - S ( \Gamma _ { 1 } ) ) + S ( \Gamma _ { 1 } ) \cdot ( - S ( \Gamma _ { 2 } ) ) + ( - S ( \Gamma _ { 1 } ) ) \cdot ( - S ( \Gamma _ { 2 } ) ) \medskip } } \\ { { } } & { { = } } & { { S ( \Gamma _ { 1 } \cdot \Gamma _ { 2 } ) - S ( \Gamma _ { 1 } ) \cdot S ( \Gamma _ { 2 } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { H _ { U } } = \langle e ^ { i H _ { E } t } H _ { U } e ^ { - i H _ { E } t } \rangle _ { t } , } \\ { \tilde { H _ { J } } = \langle e ^ { i H _ { E } t } H _ { J } e ^ { - i H _ { E } t } \rangle _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } d r _ { j } = 0 _ { 3 } \Leftrightarrow \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } d r _ { j } ^ { \prime } = \lambda _ { R } T \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } d r _ { j } = 0 _ { 3 } . } \end{array}
\frac { 1 } { k t } \, \to \, \mathrm { P } \frac { 1 } { k t } \, = : \, \frac { 1 } { [ k t ] } \; , \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { 1 } { ( k t ) ^ { 2 } } \, \to \, - \frac { d } { d ( k t ) } \frac { 1 } { [ k t ] } \; ,
\begin{array} { c c l } { { \xi _ { k } ^ { \alpha } ( x ) } } & { { = } } & { { \left( \left( \frac 1 { R \left( A ( x ) \right) R \left( A ( x ) \right) } \right) ^ { 1 / 4 } \right) _ { k k ^ { ^ { \prime } } } ^ { \alpha \alpha ^ { ^ { \prime } } } B _ { k ^ { ^ { \prime } } } ^ { \alpha ^ { ^ { \prime } } } ( x ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \frac 1 { \pi \sqrt { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \lambda \lambda ^ { - 1 / 4 } \frac 1 { \lambda + R \bullet R } \bullet B ( x ) } } \end{array}
\overset { \triangledown } { \mathbf { A } } = \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } + ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } ) \mathbf { A } - ( \mathbf { \nabla } \mathbf { u } ) ^ { T } \cdot \mathbf { A } - \mathbf { A } \cdot \mathbf { \nabla } \mathbf { u } .
\begin{array} { r l r } { \| \widetilde { Y } \| _ { 2 } R ( \widetilde { Y } , X _ { \mathit { E } } ) } & { = } & { \| P _ { \mathit { E } } ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y \| _ { 2 } } \\ & { \leq } & { \| P _ { \mathit { E } } Y \| _ { 2 } + \| P _ { \mathit { E } } P _ { \mathit { F } } Y \| _ { 2 } } \\ & { \leq } & { \| Y \| _ { 2 } \{ R ( Y , X _ { \mathit { E } } ) + R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) \} } \end{array}
\mathrm { A E _ { A } } ( N _ { \chi } ) = \frac { \sum _ { n } \left| \psi ( \tilde { x } _ { n } ) - \psi _ { \mathrm { p p } } ( \tilde { x } _ { n } ) \right| } { \sum _ { n } | \psi ( \tilde { x } _ { n } ) | } ,
L _ { q } ^ { 1 } = m _ { b } ^ { 2 } x + m _ { t } ^ { 2 } ( 1 - x ) , \; \; L _ { q } ^ { 2 } = m _ { s } ^ { 2 } x + m _ { c } ^ { 2 } ( 1 - x ) , \; \; L _ { q } ^ { 3 } = m _ { d } ^ { 2 } x + m _ { u } ^ { 2 } ( 1 - x ) ,
g _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { c _ { i } } \Delta t , t + \Delta t ) - g _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = - \frac { \Delta t } { \tau _ { T } } \left[ g _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - g _ { i } ^ { e q } ( \mathbf { x } , t ) \right] + S _ { g _ { i } } ( \mathbf { x } , t ) \Delta t
\begin{array} { r l } { q } & { = \sum _ { m = - \frac { { M = 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M = 1 } } { 2 } } { \frac { { \partial { a _ { m } } ^ { * } ( r , \theta ) } } { { \partial r } } { a _ { m } } ( r , \theta ) } } \\ & { = j \frac { { 2 \pi } } { \lambda } \sum _ { m = - \frac { { M - 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M - 1 } } { 2 } } { \frac { { 1 - m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta } } { { \sqrt { 1 - 2 m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta + { { ( m { \varepsilon _ { T } } ) } ^ { 2 } } } } } } . } \end{array}
J _ { n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } n = 0 ; } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } n = 1 ; } \\ { J _ { n - 1 } + 2 J _ { n - 2 } } & { { \mathrm { i f ~ } } n > 1 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { H ( \omega ) } & { { } \approx e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \tau _ { M } \omega } \frac { 1 - \omega } { \prod _ { n = - M } ^ { M } ( 1 - \frac { \omega } { \omega _ { p } ^ { ( n ) } } ) ^ { 2 } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| z _ { 2 } \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } F ( z ) \right| + \left| z _ { 2 } \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } G ( z ) \right| } & { \leq \sum _ { M \subset \{ 1 , \ldots , n \} } | b _ { M } | \frac { m ( M ) _ { 2 } } { m ( M ) _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { \operatorname* { m a x } M = k } \frac { 1 } { | ( n _ { k } ) _ { 1 } | } \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 2 ^ { k } } { 2 ^ { k ^ { 2 } } } < 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { \mathcal { E } } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { \, s } } ( 0 , 0 ) = - \frac { 1 } { k _ { \mathrm { m } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } } \, S _ { \ell } ( 0 ) \vec { E } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { \, e } } . } \end{array}