harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal Z } = \int { \cal D } h _ { \mu \nu } \exp \left\{ - \int d ^ { 4 } x \left[ \frac { 1 } { 1 2 \eta ^ { 2 } } H _ { \mu \nu \lambda } ^ { 2 } + g _ { m } ^ { 2 } h _ { \mu \nu } ^ { 2 } - 2 \zeta \cos \left( \frac { \left| h _ { \mu \nu } \right| } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] \right\} .
\mathcal { U } : [ 0 , T ] \times \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } \longrightarrow \mathbb { R } , \quad \mathcal { U } _ { t } ( x , \hat { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { | x - \hat { x } | ^ { - 1 } \langle \nabla U _ { t } ^ { { T } , { g } } ( x ) - \nabla U _ { t } ^ { { T } , { g } } ( \hat { x } ) , x - \hat { x } \rangle , \quad } & { \mathrm { i f ~ x \neq \hat { x } ~ , } } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { i f ~ x = \hat { x } ~ , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I ^ { w } ( \vec { x } , t , \vec { \omega } ) } & { = \int _ { t ^ { n + 1 } - t _ { p } } ^ { t } \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } ( t - s ) } - \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } } { 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } } B ( \vec { x } ( s ) , s , \vec { \Omega } ) P _ { s } \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } \mathrm { d } s } \\ & { = C _ { 1 } ( t ) B ^ { n + 1 } + C _ { 2 } ( t ) \vec { \Omega } \cdot \nabla B ^ { n + 1 } + C _ { 3 } ( t ) \partial _ { t } B ^ { n + 1 } + O ( t ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \rho _ { g e } } { d t } } & { { } = } & { i ( \omega _ { e g } - \omega _ { 0 } ) \rho _ { g e } + \frac { i } { 2 } \sum _ { g ^ { \prime } } \Omega _ { g ^ { \prime } \! e } \rho _ { g g ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { M } = \frac { k M l _ { 0 } ^ { 2 } h ( r ) } { \pi ( r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { k h ^ { \prime } ( r ) M r } { 4 \pi ( r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } U _ { i } ^ { - } + \partial _ { j } ^ { + } ( U _ { j } ^ { - } U _ { i } ^ { - } ) = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { i } ^ { - } P ^ { - } + \partial _ { j } ^ { - } ( \nu ^ { - } \tau _ { i j } ^ { - } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \bar { K } } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = n \mathrm { E } \left[ \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } \mathrm { E } [ \boldsymbol { u } _ { i , \beta } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) ] \mathrm { E } [ \boldsymbol { u } _ { j , \boldsymbol { \theta } } ^ { T } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) ] + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { E } [ \boldsymbol { u } _ { i , \beta } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { u } _ { i , \beta } ^ { T } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) ] } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol { K } _ { i , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } \right) , } \end{array}
v _ { 2 } = { \frac { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } c ^ { 2 } u _ { 1 } Z + 2 m _ { 1 } ^ { 2 } c ^ { 2 } u _ { 1 } - ( m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } + ( m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) c ^ { 2 } u _ { 2 } } { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } c ^ { 2 } Z - 2 m _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 1 } u _ { 2 } - ( m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) u _ { 1 } ^ { 2 } + ( m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) c ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \left[ \left( y _ { \eta } z \right) _ { \zeta } \right] _ { i , j , k } } & { = \frac { 1 } { \Delta \zeta } \left[ \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } - \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k - \frac { 1 } { 2 } } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \Delta \zeta } \left[ \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } + \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } \right] + \frac { 1 } { 2 \Delta \zeta } \left[ \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k - \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } + \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k - \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } \right] } \\ & { = \frac { 2 2 8 2 } { 2 8 8 0 \Delta \zeta } \left[ \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k + 1 } - \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k - 1 } \right] + \frac { - 5 4 6 } { 2 8 8 0 \Delta \zeta } \left[ \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k + 2 } - \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k - 2 } \right] } \\ & { + \frac { 8 9 } { 2 8 8 0 \Delta \zeta } \left[ \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k + 3 } - \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k - 3 } \right] + \frac { - 3 } { 2 8 8 0 \Delta \zeta } \left[ \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k + 4 } - \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k - 4 } \right] } \\ & { + \frac { - 1 } { 2 8 8 0 \Delta \zeta } \left[ \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k + 5 } - \left( y _ { \eta } z \right) _ { i , j , k - 5 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } \right. } & { \left. - \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right| } \\ & { = \left| \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } \pm \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } - \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right| } \\ & { \lesssim | \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - z ) | \left| \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } - \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right| } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \left| \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - z ) - \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - z ) \right| } \\ & { \lesssim \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - z ) } { ( t - u ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \left| \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } - \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right| } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \left| \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - z ) - \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - z ) \right| } \\ & { \lesssim \frac { | w - y | ^ { \zeta } } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta + 1 } { \alpha } } } \left[ \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } + \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , y - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ } & { } & { \sigma _ { 1 } ( \lambda ) = \lambda - f _ { \mu } ^ { c } - \frac { f _ { \eta } ^ { c } g _ { 1 } ^ { \prime } ( \mu _ { c } ) } { \lambda + g _ { 2 } + \alpha _ { v , \lambda } } + \alpha _ { u , \lambda } \, , } \\ & { } & { \sigma _ { j } ( \lambda ) = \lambda - f _ { \mu } ^ { c } - \frac { f _ { \eta } ^ { c } g _ { 1 } ^ { \prime } ( \mu _ { c } ) } { \lambda + g _ { 2 } + \alpha _ { v , \lambda j } ^ { \perp } } + \alpha _ { u , \lambda j } ^ { \perp } \, , \qquad j \in \lbrace { 2 , \ldots , m \rbrace } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } \left[ \int _ { t } ^ { \tau _ { t } } \alpha \rho \bar { L } ( s ) e ^ { \alpha \rho \int _ { s } ^ { \infty } \bar { L } ( u ) d u } d s \right] } \\ & { \geq \mathbb { P } ( \tau _ { t } = \infty | X _ { t } = x ) \int _ { t } ^ { \infty } \alpha \rho \bar { L } ( s ) e ^ { \alpha \rho \int _ { s } ^ { \infty } \bar { L } ( u ) d u } d s } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } \left[ \int _ { t } ^ { \tau _ { t } } \alpha \rho \bar { L } ( s ) e ^ { \alpha \rho \int _ { s } ^ { \infty } \bar { L } ( u ) d u } d s \cdot 1 _ { \tau _ { t } < \infty } \right] } \\ & { \geq \mathbb { P } ( \tau _ { t } = \infty | X _ { t } = x ) \int _ { t } ^ { \infty } \alpha \rho \bar { L } ( s ) e ^ { \alpha \rho \int _ { s } ^ { \infty } \bar { L } ( u ) d u } d s } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \int _ { t } ^ { \frac { x } { \rho } + t } \alpha \rho \bar { L } ( s ) e ^ { \alpha \rho \int _ { s } ^ { \infty } \bar { L } ( u ) d u } d s \mathbb { P } ( \tau _ { t } < \infty | X _ { t } = x ) , } \end{array}
\mathrm { ~ C ~ L ~ S ~ } \omega _ { t } ( T _ { w } ) = \frac { \textrm { d } \omega _ { \tau } ^ { \textrm { m a x } } ( \omega _ { t } ) } { \textrm { d } \omega _ { t } } = \frac { C ( T _ { w } ) } { C ( 0 ) } .
\begin{array} { r l } { \omega ( y , t ) = \omega ( y , t ) 1 _ { \{ y \in \partial D \} } } & { { } + \int _ { D } p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) G ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \end{array}
\Delta p = \frac { V } { V ^ { \prime } } { \left( 1 + \frac { \Delta T } { T } \right) } p _ { L } - p _ { L } ^ { \prime } + p _ { 0 } \left[ \frac { V } { V ^ { \prime } } { \left( 1 + \frac { \Delta T } { T } \right) } - 1 \right] .
\begin{array} { r l } { | \phi _ { x } ^ { T } P _ { \mathcal U , j } u - \phi _ { x ^ { \prime } } ^ { T } P _ { \mathcal U , j } u | } & { = | \langle \phi _ { x } - \phi _ { x ^ { \prime } } , P _ { \mathcal U , j } u \rangle _ { \mathcal U } | } \\ & { \le \| \phi _ { x } - \phi _ { x ^ { \prime } } \| _ { \mathcal U } \| P _ { \mathcal U , j } u \| _ { \mathcal U } } \\ & { \le \| \phi _ { x } - \phi _ { x ^ { \prime } } \| _ { \mathcal U } \| u \| _ { \mathcal U } } \\ & { < \frac \epsilon 2 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { a _ { 2 } ( \delta ) x _ { 0 } + a _ { 3 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 2 } + x _ { 0 } ^ { N - 1 } h _ { \delta } ( x _ { 0 } , 0 ) } \\ & { = } & { 2 a _ { 2 } ( \delta ) x _ { 0 } + 3 a _ { 3 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { 2 } + \cdots + ( N - 1 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 2 } + N x _ { 0 } ^ { N - 1 } h _ { \delta } ( x _ { 0 } , 0 ) + x _ { 0 } ^ { N } ( h _ { \delta } ) _ { x } ( x _ { 0 } , 0 ) } \\ { \Rightarrow } & { } & { a _ { 2 } ( \delta ) + a _ { 3 } ( \delta ) x _ { 0 } + \cdots + a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 3 } + x _ { 0 } ^ { N - 2 } h _ { \delta } ( x _ { 0 } , 0 ) } \\ & { = } & { 2 a _ { 2 } ( \delta ) + 3 a _ { 3 } ( \delta ) x _ { 0 } + \cdots + ( N - 1 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 3 } + N x _ { 0 } ^ { N - 2 } h _ { \delta } ( x _ { 0 } , 0 ) + x _ { 0 } ^ { N - 1 } ( h _ { \delta } ) _ { x } ( x _ { 0 } , 0 ) } \\ { \Rightarrow } & { } & { a _ { 2 } ( \delta ) + 2 a _ { 3 } ( \delta ) x _ { 0 } + \cdots + ( N - 2 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 3 } + ( N - 1 ) x _ { 0 } ^ { N - 2 } h _ { \delta } ( x _ { 0 } , 0 ) + x _ { 0 } ^ { N - 1 } ( h _ { \delta } ) _ { x } ( x _ { 0 } , 0 ) } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z ( s , y ) } & { = D \Psi ( \Psi ^ { - 1 } ( s , y ) ) \bigl [ ( \mathrm { e } _ { 0 } \wedge ( \iota _ { s } ) _ { * } \tau ) ( \Psi ^ { - 1 } ( s , y ) ) \bigr ] } \\ & { = D \Psi ( \Psi ^ { - 1 } ( s , y ) ) [ \mathrm { e } _ { 0 } ] \wedge D \Psi ( \Psi ^ { - 1 } ( s , y ) ) \big [ ( \iota _ { s } ) _ { * } [ \tau ( \Phi _ { s } ^ { - 1 } ( y ) ) ] \big ] } \\ & { = ( 1 , b ( y ) ) \wedge D \Psi ( \Psi ^ { - 1 } ( s , y ) ) \big [ ( \iota _ { s } ) _ { * } [ \tau ( \Phi _ { s } ^ { - 1 } ( y ) ) ] \big ] } \\ & { = ( 1 , b ( y ) ) \wedge ( \iota _ { s } ) _ { * } [ ( \Phi _ { s } ) _ { * } \tau ] ( s , y ) , } \end{array}
g ( \lambda ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d x } { \sqrt { \pi x } } \frac { d } { d x } \left[ \frac { e ^ { - \frac { x } { \lambda } } } { 1 - e ^ { - 2 x } } - \frac { e ^ { - \frac { x } { \lambda } } } { 2 x } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 4 I \hat { L } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \underbrace { \| \eta \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } + \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 8 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 8 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } + 1 6 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 1 2 8 I \bar { L } ^ { 2 } ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ] + 1 2 8 I \hat { L } ^ { 2 } ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\frac { d \beta } { d z } \simeq \frac { - 4 \epsilon _ { R } \eta _ { m } ^ { 4 } } { 3 \mathrm { a r c t a n h } \left( \eta _ { 0 } / \eta _ { m } \right) } \left[ \frac { 3 \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } - \frac { 2 \eta _ { 0 } ^ { 3 } } { \eta _ { m } ^ { 3 } } - 3 \left( 1 - \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { \eta _ { m } ^ { 2 } } \right) \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { ( D P S ^ { \prime } ) ^ { \prime } = } & { { } 0 } \\ { - D S ^ { \prime } ( \ln q ) ^ { \prime } = } & { { } - \dot { S } } \\ { ( D P ( \ln q ) ^ { \prime } ) ^ { \prime } = } & { { } \dot { P } , } \end{array}
\Phi _ { \mu , \sigma } ( \log _ { 1 0 } k ) = \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \log _ { 1 0 } k } \exp \left( - \frac { ( y - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } y ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \tau } ( \boldsymbol { q } ; \boldsymbol { x } ) } & { : = \downarrow \! \mathcal { E } _ { \tau } ( \boldsymbol { q } + 1 ; \boldsymbol { x } ) = \sum _ { \lambda } \sum _ { \mu } \alpha _ { \mu \lambda } \, s _ { \mu } ( \boldsymbol { q } ) ( \downarrow \! e _ { \lambda } ( \boldsymbol { x } ) ) } \\ & { = \sum _ { \mu , \nu } \beta _ { \mu \nu } \, s _ { \mu } ( \boldsymbol { q } ) e _ { \nu } ( \boldsymbol { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { \rho } ^ { * } \Phi _ { n } ^ { p _ { 2 } } } & { = R \bar { \theta } \bar { u } \xi _ { n } ^ { p _ { 2 } } ( 2 \pi ) + R \bar { \rho } \bar { \theta } \eta _ { n } ^ { p _ { 2 } } ( 2 \pi ) = R \bar { \theta } ( \bar { u } \gamma _ { 1 } ^ { n } + \bar { \rho } \gamma _ { 2 } ^ { n } ) = R \bar { \theta } \nu _ { 2 } ^ { n } \gamma _ { 1 } ^ { n } \neq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { E } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \varphi ^ { E , \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) + \varphi ^ { E , \mathrm { i n c } } ( \mathbf { r } ) } \\ { \varphi ^ { E , \mathrm { i n c } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = p _ { z } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } a _ { n \ell } ^ { 0 E } J _ { \ell } ( k _ { o } \rho _ { n } ) e ^ { j \ell \theta _ { n } } } \\ { \varphi ^ { E , \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = p _ { z } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } b _ { n \ell } H _ { \ell } ( k _ { o } \rho _ { n } ) e ^ { j \ell \theta _ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 , 2 } } & { { } = a \pm b , } \\ { u _ { 1 } } & { { } = \left( \cos \frac { \psi } { 2 } , e ^ { i \delta } \sin \frac { \psi } { 2 } \right) ^ { T } , } \\ { u _ { 2 } } & { { } = \left( - e ^ { - i \delta } \sin \frac { \psi } { 2 } , \cos \frac { \psi } { 2 } \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| s \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \left( u _ { a } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ^ { 2 } \mathbb { E } [ H _ { a \alpha } ^ { 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] \mathbb { E } \left[ R _ { \alpha \alpha } { \texttt X } ^ { D - 1 } \overline { { { \texttt X } } } ^ { D } | \Omega _ { \varepsilon } \right] \right| } \\ & { ~ ~ ~ \leq C \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \| { \boldsymbol v } \| _ { \infty } ^ { 2 } | s | \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \left( u _ { a } ^ { 2 } + \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ | R _ { \alpha \alpha } { \texttt X } ^ { D - 1 } \overline { { { \texttt X } } } ^ { D } | | \Omega _ { \varepsilon } \right] } \\ & { ~ ~ ~ \leq C \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \| { \boldsymbol v } \| _ { \infty } ^ { 2 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } | \Omega _ { \varepsilon } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { t ^ { \alpha } \left\Vert \dot { x } ( t ) - \dot { y } ( t ) \right\Vert } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } L u ^ { \alpha + 1 } \tilde { M } ( u ) \, d u + \beta L t ^ { \alpha + 1 } \tilde { M } ( t ) + \alpha \beta \int _ { 0 } ^ { t } L u ^ { \alpha } \tilde { M } ( u ) \, d u } \\ & { \le \frac { 1 } { \alpha + 2 } L \tilde { M } ( t ) t ^ { \alpha + 2 } + \frac { 2 \alpha + 1 } { \alpha + 1 } \beta L \tilde { M } ( t ) t ^ { \alpha + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textsc { I S } [ P _ { \mathrm { L } } ] } & { { } = \frac { 1 3 } { 1 2 } \left( u _ { i - 2 } - 2 u _ { i - 1 } + u _ { i } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left( u _ { i - 2 } - 4 u _ { i - 1 } + 3 u _ { i } \right) ^ { 2 } , } \\ { \textsc { I S } [ P _ { \mathrm { C } } ] } & { { } = \frac { 1 3 } { 1 2 } \left( u _ { i - 1 } - 2 u _ { i } + u _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left( u _ { i + 1 } - u _ { i - 1 } \right) ^ { 2 } , } \\ { \textsc { I S } [ P _ { \mathrm { R } } ] } & { { } = \frac { 1 3 } { 1 2 } \left( u _ { i } - 2 u _ { i + 1 } + u _ { i + 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left( 3 u _ { i } - 4 u _ { i + 1 } + u _ { i + 2 } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
^ { 2 } B = \alpha _ { p , 0 } { \hat { L } } _ { p } ^ { 0 } ( ^ { p } B ) I ^ { 2 } + \alpha _ { p , 1 } { \hat { L } } _ { p } ^ { 1 } ( ^ { p } B ) \wedge I ^ { 1 } + \alpha _ { p , 2 } { \hat { L } } _ { p } ^ { 2 } ( ^ { p } B )
V _ { \textrm { m o d e } } = \frac { \int \epsilon | E ( \textbf { r } ) | ^ { 2 } \textrm { d } V } { \epsilon | E _ { \textrm { m a x } } | ^ { 2 } } = 0 . 0 9 ~ \upmu \textrm { m } ^ { 3 } ,
N _ { \mathbf { c y c l e } , n } = \left\lceil \frac { \langle n \rangle _ { \mathrm { m a x } } } { \langle n \rangle / N _ { n } } \right\rceil , \quad N _ { \mathbf { c y c l e } , C } = \left\lceil \frac { \langle C \rangle _ { \mathrm { m a x } } } { \langle C \rangle / N _ { C } } \right\rceil .
\boldsymbol { T } _ { \boldsymbol { u } } ^ { \mathrm { O R B E } } = \boldsymbol { R _ { u } } \boldsymbol { \tilde { S } _ { f f } } \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { y } } ^ { H } \left( \boldsymbol { R _ { y } } \boldsymbol { \tilde { S } _ { f f } } \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { y } } ^ { H } + \boldsymbol { \tilde { S } _ { n n } } \right) ^ { - 1 } .
\{ \boldsymbol { P } _ { n } ^ { * } - \mathcal { M } ( \boldsymbol { \vartheta } _ { e } , \boldsymbol { \varphi } _ { n } ^ { * } ) \} | \boldsymbol { \vartheta } _ { t } , \boldsymbol { \vartheta } _ { b } \sim \mathcal { N } ( \boldsymbol \mu _ { B } , \boldsymbol \Sigma _ { T } + \boldsymbol \Sigma _ { B } ) .
\begin{array} { r l } { p _ { 2 } ( \tau ) } & { = A _ { \pm } \cos \omega _ { \pm } \tau + B _ { \pm } \sin \omega _ { \pm } \tau = C _ { \pm } \sin ( \omega _ { \pm } \tau - \varphi _ { \pm } ) } \\ { p _ { 1 } } & { = - \dot { p } _ { 2 } , ~ ~ ~ ~ p _ { 3 } = c _ { 3 } , ~ ~ ~ ~ p _ { 4 } = ( - c _ { 3 } + 1 ) \, \tau + c _ { 4 } } \end{array}
\mathcal { O } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } _ { \bf d d } } & { \mathcal { O } _ { \bf d u } } \\ { \mathcal { O } _ { \bf u d } } & { \mathcal { O } _ { \bf u u } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \breve { 0 } } & { \mathcal { C } _ { \bf d u } } \\ { \mathcal { C } _ { \bf u d } } & { \breve { 0 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \sum _ { i \in [ m _ { 1 } ] } \left( X _ { i } - q \right) - \sum _ { j \in [ m _ { 2 } ] } \left( Y _ { j } - p \right) \geq \frac { 1 + \rho } { 2 } \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } \right) ( p - q ) \right) } \\ & { \geq \exp \left( - J _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , p , q } - \rho \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } \right) \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { q } - ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) \tilde { t } \delta \right) } \\ & { \quad \times \mathbb { P } \left( \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } \right) \delta \geq \left( \sum _ { i \in [ m _ { 1 } ] } U _ { i } - \sum _ { j \in [ m _ { 2 } ] } V _ { j } \right) \geq 0 \right) . } \end{array}
\bar { \cal E } _ { i j } ( \partial _ { A } h _ { B } + \partial _ { B } h _ { A } ) = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } ( D _ { i \alpha } \bar { \lambda } _ { j } ^ { \alpha } - D _ { j \alpha } \bar { \lambda } _ { i } ^ { \alpha } ) \eta _ { A B }
\varphi ( x _ { 4 } , r ) = \pi + \pi { \frac { ( r ^ { 2 } - x _ { 4 } ^ { 2 } ) ^ { 3 } + 3 ( r ^ { 4 } - x _ { 4 } ^ { 4 } - x _ { 4 } ^ { 2 } ) + r ^ { 2 } - 1 } { [ ( r ^ { 2 } - x _ { 4 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 ( r ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } ) + 1 ] ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } } & { { } = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( u _ { i } u _ { j } ) } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 , } \end{array}
S = \left\lbrace \mathbf { v } _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 1 } \end{array} \right) } , \mathbf { v } _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 2 } \end{array} \right) } \right\rbrace .
\sin { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } + 2 . 3 8 7 \right) } + 4 . 6 5 8 \cos { \left( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } - 0 . 7 4
\begin{array} { r } { s _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ i ~ c ~ a ~ l ~ } } ( n = 5 , K _ { G } ) \approx 3 . 8 1 2 \left( 1 - \frac { ( 7 + \sqrt { 5 } ) } { 7 2 } \frac { 2 R _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
I = m r ^ { 2 } = m \left( \mathbf { x } - \left( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { n } } \right) \mathbf { \hat { n } } \right) \cdot \left( \mathbf { x } - \left( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { n } } \right) \mathbf { \hat { n } } \right) = m \left( \mathbf { x } ^ { 2 } - 2 \mathbf { x } \left( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { n } } \right) \mathbf { \hat { n } } + \left( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { n } } \right) ^ { 2 } \mathbf { \hat { n } } ^ { 2 } \right) = m \left( \mathbf { x } ^ { 2 } - \left( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { n } } \right) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { s p h } } ( \omega ) } & { = \frac { 1 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \phi r ^ { 2 } \sin \theta } \\ & { \qquad \qquad \times \left( \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } [ D \delta ( r - R _ { m } ) ] - 1 \right) \frac { \mathrm { T r } [ \Hat { G } _ { i j } ^ { T } ( \vec { r } ) ] } { L ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { D } { L ^ { 3 } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 R _ { m } \mathrm { e } ^ { - \alpha R _ { m } } } { 3 \eta } - \frac { 2 } { 3 \eta \alpha ^ { 2 } L ^ { 3 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { | V _ { 0 } \rangle \equiv \binom { V _ { 1 } } { V _ { 2 } } = A _ { 0 } e ^ { i \Theta _ { 0 } } \binom { \cos \vartheta } { \sin \vartheta } \, \mathrm { s e c h } \sigma , } \end{array}