harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { x } } & { = } & { \frac { \hbar } { i } \left( - z \sin \phi \partial _ { r } - \frac { z } { r } \cos \phi \partial _ { \phi } + r \sin \phi \partial _ { z } \right) , } \\ { \hat { l } _ { y } } & { = } & { \frac { \hbar } { i } \left( z \cos \phi \partial _ { r } - \frac { z } { r } \sin \phi \partial _ { \phi } - r \cos \phi \partial _ { z } \right) , } \\ { \hat { l } _ { z } } & { = } & { \frac { \hbar } { i } \partial _ { \phi } . } \end{array}
\left( \hat { u } _ { i } ^ { C } \right) _ { \xi } = \left( \hat { u } _ { i } \right) _ { \xi } + \left[ \hat { u } _ { i - 1 / 2 } ^ { \mathrm { c o m } } - \hat { u } _ { i } ( - 1 ) \right] g _ { \mathrm { L B } } ^ { \prime } + \left[ \hat { u } _ { i + 1 / 2 } ^ { \mathrm { c o m } } - \hat { u } _ { i } ( 1 ) \right] g _ { \mathrm { R B } } ^ { \prime }
I ( { \cal M } ) = { \int } _ { \cal M } { \varepsilon } ^ { { \mu } _ { 1 } { \mu } _ { 2 } { \mu } _ { 3 } } { \varepsilon } ^ { { \nu } _ { 1 } { \nu } _ { 2 } { \nu } _ { 3 } } { \omega } _ { { \mu } _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( x ) { \omega } _ { { \nu } _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( y ) { \omega } _ { { \mu } _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( x ) { \omega } _ { { \nu } _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( y ) G _ { { \mu } _ { 3 } { \nu } _ { 3 } } ^ { ( \chi ) } ( x , y ) d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y ,
\begin{array} { r } { \left\| { \mu _ { k } ( \P ) - \mu _ { k } \left( \tilde { \mathbb { P } } _ { n ^ { \prime } } \right) } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k } } \le \frac { c _ { k , 1 } } { \sqrt { n } } + \frac { c _ { k , 2 } } { n ^ { \prime } } + \frac { c _ { k , 3 } \sqrt { \log ( n ^ { \prime } / \delta ) } } { n ^ { \prime } } \sqrt { \mathcal N _ { X _ { m } } \left( \frac { 1 2 a _ { k _ { m } } ^ { 2 } \log ( n ^ { \prime } / \delta ) } { n ^ { \prime } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } x _ { i } = v _ { i } , \quad \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } v _ { i } = f _ { i } , \quad \Rightarrow \quad \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } z _ { i } = J \nabla H ^ { m } ( z _ { i } ) + B _ { i } u _ { i } , \quad y _ { i } = B _ { i } ^ { \top } \nabla H ^ { m } ( z ) = v _ { i } , } \end{array}
\nabla \cdot \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } } \int \rho ( \mathbf { s } ) \, \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { s } ) \, \mathbf { d } ^ { 3 } \mathbf { s }
\begin{array} { r l } { \dot { \Pi } + \frac { 2 \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } } p ^ { ( 0 ) } \partial _ { k } v _ { k } + \frac { 2 \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } ( 1 + \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } ) } \partial _ { k } q _ { k } } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { \Pi } } \Pi , } \\ { \dot { \Pi } _ { \langle i j \rangle } + 2 p ^ { ( 0 ) } \partial _ { \langle j } v _ { i \rangle } + \frac { 2 } { 1 + \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } } \partial _ { \langle j } q _ { i \rangle } } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { S } } \Pi _ { \langle i j \rangle } , } \\ { \dot { q } _ { i } - \frac { k _ { \mathrm { B } } } { m } T ^ { ( 0 ) } \partial _ { i } p + \frac { k _ { \mathrm { B } } } { m } ( 1 + \hat { c } _ { v } ^ { ( 0 ) } ) p ^ { ( 0 ) } \partial _ { i } T + \frac { p ^ { ( 0 ) } } { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { k } \left\{ ( p + \Pi ) \delta _ { i k } \Pi _ { \langle i k \rangle } \right\} } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { q } } q _ { i } , } \end{array}
P _ { 1 / 2 } ( \Delta ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 + \frac { \mathrm { e r f i } \left( \sqrt { \frac { \beta } { 2 } } \Delta \right) } { \mathrm { e r f i } \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \beta } { 2 } } \right) } \right] .
\begin{array} { r } { 5 \sqrt { \ln { e c _ { 2 } } } \sqrt { \ln { e \eta ^ { - 1 } \Delta \epsilon ^ { - 1 } } } \ge 3 \sqrt { \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } } + \sqrt { \ln { 2 0 0 c _ { 2 } ^ { 2 } \sigma \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } / ( 3 \epsilon _ { 1 } \eta ) } } . } \end{array}
\frac { \partial { \Phi } } { \partial t } - ( D _ { x } \frac { \partial ^ { 2 } { \Phi } } { \partial x ^ { 2 } } + D _ { y } \frac { \partial ^ { 2 } { \Phi } } { \partial y ^ { 2 } } + D _ { z } \frac { \partial ^ { 2 } { \Phi } } { \partial z ^ { 2 } } ) = \frac { { I _ { s } } } { c } ,
\begin{array} { r l } { \left\vert \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert } & { \leq \big \vert \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } \left( \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) + \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \right) ( \boldsymbol { x } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad - \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \left( \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) + \delta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \right) ( \boldsymbol { x } ) \big \vert \, . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { - { \omega } } & { k _ { 1 } } & { k _ { 2 } } & { k _ { 3 } } \\ { c _ { s } ^ { 2 } k _ { 1 } } & { - { \omega } } & { i { \Omega } _ { 0 } } & { 0 } \\ { c _ { s } ^ { 2 } k _ { 2 } } & { - i ( { \Omega } _ { 0 } + s _ { 0 } ) } & { - { \omega } } & { 0 } \\ { c _ { s } ^ { 2 } k _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { - { \omega } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } { \Upsilon = } & { { } \frac { e ^ { i \theta _ { 0 } } - e ^ { i ( \phi + \theta _ { 0 } ) } - 2 \sqrt { 1 - L } } { 2 e ^ { i ( \phi + \theta _ { 0 } ) } + \sqrt { 1 - L } - e ^ { i \phi } \sqrt { 1 - L } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { a } } } & { = \frac { c _ { \mathrm { a } } ^ { 0 } V _ { \mathrm { a } } ^ { 0 } } { V _ { \mathrm { a b } } ^ { 0 } + V _ { \mathrm { b } } } , } \\ { c _ { \mathrm { s } } } & { = \frac { c _ { \mathrm { s } } ^ { 0 } V _ { \mathrm { s } } ^ { 0 } } { V _ { \mathrm { a b } } ^ { 0 } + V _ { \mathrm { b } } } , } \\ { c _ { \mathrm { b } } } & { = \frac { c _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } V _ { \mathrm { b } } } { V _ { \mathrm { a b } } ^ { 0 } + V _ { \mathrm { b } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { i } ( \hat { T } _ { i } ) } & { \leq } & { C _ { i } ( \hat { R } _ { \ell } ) } \\ & { = } & { \frac { K _ { i } } { \hat { R } _ { \ell } } + H _ { i } \hat { R } _ { \ell } } \\ & { \leq } & { ( 1 + \epsilon ) \cdot \left( \frac { K _ { i } } { T _ { i } ^ { * } } + H _ { i } T _ { i } ^ { * } \right) } \\ & { = } & { ( 1 + \epsilon ) \cdot C _ { i } ( T _ { i } ^ { * } ) \ . } \end{array}
[ \mathbf { u } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { j } \gets \frac { 1 } { 1 - [ \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { j } } \left[ \mathbf { f } _ { q } ^ { \mathrm { o u t } } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { w } _ { q } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \right) _ { j } - [ \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { j } [ \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { j } \right]
\footnotesize \mathrm { R o t } ( W _ { 5 } ) = \left( \begin{array} { l l l l } { w _ { 1 } ^ { n } } & { \cdots } & { w _ { 1 } ^ { 2 } } & { w _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { w _ { 2 } ^ { n } } & { \cdots } & { w _ { 2 } ^ { 2 } } & { w _ { 2 } ^ { 1 } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { w _ { n } ^ { n } } & { \cdots } & { w _ { n } ^ { 2 } } & { w _ { n } ^ { 1 } } \end{array} \right)
\frac { \partial } { \partial p _ { k } } \Big [ - \sum _ { i = 1 } ^ { M } p _ { i } \log p _ { i } + \lambda _ { 1 } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } p _ { i } - 1 \Big ) + \lambda _ { 2 } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } p _ { i } \beta _ { i } - E / P \Big ) \Big ] = 0 ;
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { j } q _ { i } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) \geq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } p _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) .
X _ { 3 } = - \frac { i } { 2 } ( 2 z _ { 1 } \frac { \partial } { \partial z _ { 1 } } + z _ { 2 } \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } - z _ { 3 } \frac { \partial } { \partial z _ { 3 } } ) + \mathrm { c . c } .
\Phi _ { 1 } ( z , t ) > t \left( u _ { * } ( y _ { 2 } ) - \frac { u _ { * } ( y _ { 2 } ) - u _ { * } ( y _ { 1 } ) } { 4 } \right) \qquad y _ { 2 } - c _ { 2 } < \Phi _ { 2 } ( z , t ) < y _ { 2 } + c _ { 2 } \qquad \forall z \in B ( t ) ,
{ \frac { d s ^ { 2 } } { l _ { s } ^ { 2 } \sqrt { 4 \pi g _ { s } N } } } = \left( \rho ^ { 2 } - { \frac { b ^ { 4 } } { \rho ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } d \rho ^ { 2 } + \left( \rho ^ { 2 } - { \frac { b ^ { 4 } } { \rho ^ { 2 } } } \right) d \tau ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } d x _ { i } ^ { 2 } + d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } ,
\vec { P } _ { f i e l d ~ 1 2 } = - \frac { \mu _ { 0 } } { 8 \pi } I _ { 2 } I _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( t ) \frac { h ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \vec { K } _ { 1 2 2 } = - \vec { P } _ { m e c h } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d e t } ( { \bf K } _ { X U _ { 1 } U _ { 2 } } ) } { \mathrm { d e t } ( { \bf K } _ { U _ { 1 } U _ { 2 } } ) } } & { = \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } ( \sigma _ { N _ { 1 } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { 1 } } ^ { 2 } ) ( \sigma _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { 2 } } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { X } ^ { 2 } ( \sigma _ { N _ { 1 } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { 1 } } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { 2 } } ^ { 2 } ) + ( \sigma _ { N _ { 1 } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { 1 } } ^ { 2 } ) ( \sigma _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { 2 } } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \frac { 1 } { \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { k } } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } = \left( \frac { 1 } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \frac { 1 - 2 ^ { - 2 r _ { k } } } { \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { \mathrm { t e n } } = \frac { \delta E _ { \mathrm { t e n } } } { \delta \phi } \frac { \nabla \phi } { \epsilon | \nabla \phi | ^ { 2 } } = \frac { \gamma } { \epsilon } \left( - \epsilon \nabla ^ { 2 } \phi + \frac { 1 } { \epsilon } G ^ { \prime } ( \phi ) \right) \frac { \nabla \phi } { | \nabla \phi | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { n } _ { \mathrm { { T } } } \rangle } & { { } = \langle \hat { n } _ { a } ^ { \mathrm { { o u t } } } \rangle + \langle \hat { n } _ { b } ^ { \mathrm { { o u t } } } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { C } _ { \bf u u } \left( \mathcal { C } _ { \bf u u } \right) ^ { - 1 } } & { { } = } & { \mathcal { M } _ { \bf u } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \left( \mathcal { C } _ { \bf u u } \right) ^ { - 1 } \mathcal { C } _ { \bf u u } = \mathcal { L } _ { \bf u } . } \end{array}
\frac { g _ { 1 A = 7 } ^ { n . s . \, 3 / 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { g _ { 1 A = 1 } ^ { n . s } ( x , Q ^ { 2 } ) } = \frac { 1 1 } { 1 5 } \times \Big ( 1 - 0 . 1 7 7 \, \mathrm { e x p } ( - 1 7 6 \, x ^ { 2 } ) + 0 . 0 1 6 \, g ( x ) \Big ) \ .
\begin{array} { r l r } { R _ { T } ^ { 2 } } & { \leq } & { R _ { 0 } ^ { 2 } + \underbrace { 2 \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \alpha _ { t + 1 } \left\langle \theta _ { t + 1 } , x ^ { * } - z ^ { t } + \alpha _ { t + 1 } \nabla f ( x ^ { t + 1 } ) \right\rangle + 2 \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \alpha _ { t + 1 } ^ { 2 } \left\| \theta _ { t + 1 } \right\| ^ { 2 } } _ { 2 B _ { T } } } \\ & { \leq } & { R ^ { 2 } + 2 B _ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( i \mathcal { L } ) ^ { 2 } z } & { = } & { B _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } z + A _ { 1 } ^ { 2 } b _ { 2 } z - A _ { 1 } B _ { 2 } a _ { 1 } z - A _ { 2 } B _ { 1 } b _ { 1 } z , } \\ { ( i \mathcal { L } ) ^ { 3 } z } & { = } & { B _ { 1 } ^ { 3 } a _ { 3 } z - A _ { 1 } ^ { 3 } b _ { 3 } z - 3 A _ { 1 } B _ { 1 } B _ { 2 } a _ { 2 } z + 3 A _ { 1 } A _ { 2 } B _ { 1 } b _ { 2 } z } \\ & { } & { + ( A _ { 1 } ^ { 2 } B _ { 3 } - A _ { 2 } B _ { 1 } B _ { 2 } ) a _ { 1 } z + ( A _ { 1 } A _ { 2 } B _ { 2 } - A _ { 3 } B _ { 1 } ^ { 2 } ) b _ { 1 } z , } \\ { ( i \mathcal { L } ) ^ { 4 } z } & { = } & { B _ { 1 } ^ { 4 } a _ { 4 } z + A _ { 1 } ^ { 4 } b _ { 4 } z - 6 A _ { 1 } B _ { 1 } ^ { 2 } B _ { 2 } a _ { 3 } z - 6 A _ { 1 } ^ { 2 } A _ { 2 } B _ { 1 } b _ { 3 } z } \\ & { } & { + ( 4 A _ { 1 } ^ { 2 } B _ { 1 } B _ { 3 } - 4 A _ { 2 } B _ { 1 } ^ { 2 } B _ { 2 } + 3 A _ { 1 } ^ { 2 } B _ { 2 } ^ { 2 } ) a _ { 2 } z + ( 4 A _ { 1 } A _ { 3 } B _ { 1 } ^ { 2 } + 3 A _ { 2 } ^ { 2 } B _ { 1 } ^ { 2 } - 4 A _ { 1 } ^ { 2 } A _ { 2 } B _ { 2 } ) b _ { 2 } z } \\ & { } & { + ( 3 A _ { 1 } A _ { 2 } B _ { 1 } B _ { 3 } - A _ { 3 } B _ { 1 } ^ { 2 } B _ { 2 } - A _ { 1 } ^ { 3 } B _ { 4 } + A _ { 1 } A _ { 2 } B _ { 2 } ^ { 2 } ) a _ { 1 } z } \\ & { } & { + ( 3 A _ { 1 } A _ { 3 } B _ { 1 } B _ { 2 } - A _ { 1 } ^ { 2 } A _ { 2 } B _ { 3 } - A _ { 4 } B _ { 1 } ^ { 3 } + A _ { 2 } ^ { 2 } B _ { 1 } B _ { 2 } ) b _ { 1 } z . } \end{array}
\Big \langle { \boldsymbol p } _ { + } , \frac { \partial g ( { \boldsymbol W } , { \boldsymbol U } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ( v ) } ) } { \partial { \boldsymbol w } _ { k } } \Big | _ { { \boldsymbol w } _ { k } = { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } } \Big \rangle = \langle ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ , ~ \mathcal { M } _ { z } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ \rangle .
{ S _ { \alpha \beta } ^ { s h } = S _ { \alpha \beta } ^ { \uparrow \uparrow , s h } + S _ { \alpha \beta } ^ { \uparrow \downarrow , s h } + S _ { \alpha \beta } ^ { \downarrow \uparrow , s h } + S _ { \alpha \beta } ^ { \downarrow \downarrow , s h } , }
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \mathrm { e l } } ^ { l m } } & { { } \to } & { 4 \pi ( \alpha _ { l m } ^ { 2 } + \beta _ { l m } ^ { 2 } ) } \\ { \sigma _ { \mathrm { l o s s } } ^ { l m } } & { { } \to } & { \frac { 4 \pi \beta _ { l m } } { k } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { * } \log ( x ^ { * } ) - ( 1 + x ^ { * } ) \log ( 1 + x ^ { * } ) } & { { \mathrm { i f ~ } } x ^ { * } > 0 } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } x ^ { * } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { E _ { l , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) } & { = } & { \delta _ { n } \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p , p ^ { \prime } = \pm 1 } \frac { 1 + p p ^ { \prime } \beta _ { 0 } ^ { 2 } } { p ^ { l - 1 } } \frac { K _ { n + p ^ { \prime } } ( \gamma _ { 1 } u ) } { \varepsilon _ { 0 } W _ { n + p ^ { \prime } } ^ { I } } I _ { n + p } ( \gamma _ { 0 } u r / r _ { c } ) , \; r < r _ { c } , } \\ { E _ { l , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) } & { = } & { \delta _ { n } \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p , p ^ { \prime } = \pm 1 } \frac { 1 + p p ^ { \prime } \beta ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 } } { p ^ { l - 1 } } \frac { I _ { n + p ^ { \prime } } ( \gamma _ { 0 } u ) } { \varepsilon _ { 1 } W _ { n + p ^ { \prime } } ^ { I } } K _ { n + p } ( \gamma _ { 1 } u r / r _ { c } ) , \; r > r _ { c } , } \end{array}
I _ { 4 } ^ { ( 1 ) } = - 2 D ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } \int d ^ { D } k \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } = - 2 D ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } I ( 1 , 2 )
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } } & { \leq C | - \beta + z ^ { 3 } ( \zeta q _ { o , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + q _ { e , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) | ^ { N + 1 } e ^ { | - \beta + z ^ { 3 } ( \zeta q _ { o , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + q _ { e , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) | } } \\ & { \leq C ( | y z | + | z | ^ { 3 } + | z | ^ { 3 } | z t ^ { - 1 / 3 } | ) ^ { N + 1 } e ^ { | y z | + \frac { 4 } { 3 } | z | ^ { 3 } + C | z | ^ { 3 } | z t ^ { - 1 / 3 } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \beta } { r ^ { 2 } } \left( \beta + 2 r { \frac { \partial \beta } { \partial r } } \right) \! \! } & { { } = } & { \! \! 8 \pi \rho \; , } \\ { \frac { \beta } { r ^ { 2 } } \left( \beta + 2 r \frac { \partial \beta } { \partial r } \right) + \frac { 2 } { r } \frac { \partial \beta } { \partial t } \! \! } & { { } = } & { \! \! - 8 \pi p _ { r } \; , } \\ { \beta ^ { 2 } + r \frac { \partial \beta } { \partial t } - r ^ { 2 } \left[ { \frac { \partial } { r } \left( \beta { \frac { \partial \beta } { \partial r } } \right) + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \partial t \partial r } } \right] \! \! } & { { } = } & { \! \! 8 \pi r ^ { 2 } \Delta \; , \; \; \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \widecheck { \Delta _ { j , k } } ^ { M } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq d ! \int _ { - \infty } ^ { \frac { k - M } { 2 ^ { j } } } ( \frac { k } { 2 ^ { j } } - x _ { 1 } ) ^ { 2 H _ { j , k } } d x _ { 1 } \times \int _ { \mathbb { R } ^ { d - 1 } } \left( \int _ { \frac { k } { 2 ^ { j } } } ^ { \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } } \prod _ { \ell = 2 } ^ { d } ( s - x _ { \ell } ) _ { + } ^ { H _ { j , k } } \, d s \right) ^ { 2 } \, d x _ { 2 } \ldots d x _ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { R } _ { \Phi } ^ { \mathrm { b u l k } } ( \vec { \Phi } _ { \mathrm { b u l k } } ^ { n + 1 } ) = \vec { 0 } , } \\ { \vec { R } _ { c } ^ { \mathrm { S C L } } ( \vec { c } _ { \mathrm { S C L } } ^ { n + 1 } , \vec { \Phi } _ { \mathrm { S C L } } ^ { n + 1 } ) = \vec { 0 } , } \\ { \vec { R } _ { \Phi } ^ { \mathrm { S C L } } ( \vec { c } _ { \mathrm { S C L } } ^ { n + 1 } , \vec { \Phi } _ { \mathrm { S C L } } ^ { n + 1 } ) = \vec { 0 } , } \end{array}
H _ { \mathrm { B } } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, \big ( \mathbf { P } _ { \omega } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \mathbf { X } _ { \omega } ^ { 2 } \big ) ,
\tilde { \Theta } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } \nu , \boldsymbol { p } \mu } ^ { ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } = ( N _ { \boldsymbol { q } } + \delta _ { \alpha _ { 1 } , 1 } ) ( N _ { \boldsymbol { p } } + \delta _ { \alpha _ { 2 } , 1 } ) \left[ | \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } | ^ { 2 } + \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \alpha _ { 1 } } ^ { * } ) \right] \delta ( \epsilon _ { \boldsymbol { k } } - \epsilon _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } - \alpha _ { 1 } \omega _ { \nu \boldsymbol { q } } - \alpha _ { 2 } \omega _ { \mu \boldsymbol { p } } ) .
{ \tilde { G } } _ { 3 \eta } ( \xi { \hat { \eta } } ; { \xi } ^ { \prime } { \hat { \eta } } ^ { \prime } ) = \int \int d t _ { 3 } d { t _ { 3 } } ^ { \prime } G ( \xi \eta ; { \xi } ^ { \prime } { \eta } ^ { \prime } ) ;
= { \frac { \pi ( \Gamma ( \ell + 1 ) ) ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 \ell + 2 } ( \Gamma ( \ell + { \frac { 3 } { 2 } } ) ) ^ { 2 } ( \Gamma ( 2 \ell + 1 ) ) ^ { 2 } } } \; k ^ { 2 \ell - 1 } r _ { 0 } ^ { 2 \ell + 1 } e ^ { - 2 \pi k r _ { 0 } } | \Gamma ( \ell + 1 + 2 i k r _ { 0 } ) | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathop { } \! \mathrm { d } n _ { \mathrm { D } } } { \mathop { } \! \mathrm { d } F } } & { { } = \frac { \eta } { \sqrt [ 3 ] { v _ { \mathrm { D } } } } \left( 1 - v _ { \mathrm { D } } \, n _ { \mathrm { D } } ( F ) \right) \; . } \end{array}
a ^ { D } S _ { D } F _ { \mathrm { i n } } = E _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( v o l ) } } + \frac { 4 D } { 4 \xi - 1 } ( \xi - \xi _ { c } ) E _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( s u r f ) } } .
\left( \begin{array} { l } { { u } } \\ { { v } } \\ { { w } } \end{array} \right) _ { t _ { 1 } } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { u } } & { { - u } } \\ { { v } } & { { 0 } } & { { - v } } \\ { { w } } & { { w } } & { { - 2 w } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { u } } \\ { { v } } \\ { { w } } \end{array} \right) _ { x }
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } _ { e \in \mathit { E } } \| \Delta _ { e } \| _ { 2 } } & { \leq } & { \frac { R ( X _ { \mathit { F } } , X _ { \mathit { E } } ) } { 1 - R ( X _ { \mathit { F } } , X _ { \mathit { E } } ) } + R ( X _ { \mathit { F } } , X _ { \mathit { E } } ) \leq c ^ { \prime } R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) . } \end{array}
n = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 3 k | y | } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } k _ { f } ^ { 2 } ( y - y _ { i } ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 }
\frac { M _ { d } } { m _ { b } } \approx \left( \begin{array} { c c c } { { \bar { \epsilon } ^ { \mid 2 + 6 a \mid } } } & { { \bar { \epsilon } ^ { \mid 3 a \mid } } } & { { \bar { \epsilon } ^ { \mid 1 + 3 a \mid } } } \\ { { \bar { \epsilon } ^ { \mid 3 a \mid } } } & { { \bar { \epsilon } ^ { 2 } } } & { { \bar { \epsilon } ^ { 1 } } } \\ { { \bar { \epsilon } ^ { \mid 1 + 3 a \mid } } } & { { \bar { \epsilon } ^ { 1 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\hat { H } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } \! = \! i \kappa \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! \left( \hat { a } ^ { \dag } \hat { \sigma } _ { - } ^ { ( n ) } - \hat { a } \hat { \sigma } _ { + } ^ { ( n ) } \right) \! = \! i \kappa \! \left( \hat { a } ^ { \dag } \hat { S } _ { - } - \hat { a } \hat { S } _ { + } \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } p \| ^ { 2 } \leq } & { \frac { 1 } { 2 } c _ { 1 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } } \\ & { + C \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } ( 1 + E _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) D _ { j } ( t ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 8 } ( t ) ) E _ { j } ^ { 5 } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big \| \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) \big ) - ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i - 1 } ) \big ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \big \| \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) \big ) - ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ) \big ) } \\ & { \qquad \qquad + \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) - ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i - 1 } ) \big ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \big \| \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) \big ) - ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ) \big ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + 2 \mathbb { E } \big \| \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) - ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i - 1 } ) \big ) \big \| ^ { 2 } } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \rho _ { \mathrm { ~ K ~ } } } \\ { u _ { \mathrm { ~ K ~ } } } \\ { v _ { \mathrm { ~ K ~ } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { c } \\ { 0 } \end{array} \right) e ^ { i k ( x - c t ) } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } C _ { \alpha } e ^ { s _ { \alpha } y } \, ,