harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x _ { i } } & { \in H ^ { 0 } ( Y , a _ { i } \varphi ^ { * } ( A ) - \nu _ { i } E ) } \\ & { = H ^ { 0 } \bigg ( Y , \frac { a _ { i } } { \iota _ { X } } \varphi ^ { * } ( - K _ { X } ) - \nu _ { i } E \bigg ) } \\ & { = H ^ { 0 } \bigg ( Y , \frac { a _ { i } } { \iota _ { X } } ( - K _ { Y } + \frac { 1 } { a _ { \xi } } E ) - \nu _ { i } E \bigg ) } \\ & { = H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { a _ { i } } { \iota _ { X } } K _ { Y } + \frac { a _ { i } - \iota _ { X } a _ { \xi } \nu _ { i } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } E \bigg ) . } \end{array}
F _ { \alpha \beta } = \left( { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { E _ { x } / c } & { E _ { y } / c } & { E _ { z } / c } \\ { - E _ { x } / c } & { 0 } & { - B _ { z } } & { B _ { y } } \\ { - E _ { y } / c } & { B _ { z } } & { 0 } & { - B _ { x } } \\ { - E _ { z } / c } & { - B _ { y } } & { B _ { x } } & { 0 } \end{array} } \right)
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \! \cdot \! [ ( D + \eta ) \mathbf { u } ] - \frac { 1 } { 6 } \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \eta _ { t } ) = \frac { 2 - \sqrt { 6 } } { 3 } \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \zeta _ { t } ) - \zeta _ { t } \ , } \\ & { \mathbf { u } _ { t } + g \nabla \eta + \frac { 1 } { 2 } \nabla | \mathbf { u } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 6 } \nabla \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) = \frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } } D \nabla \zeta _ { t t } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { j } ^ { 2 n } } & { = \left( { \cal R } _ { j } ^ { 2 n } \right) ^ { 2 } + { \cal I } _ { j } ^ { 2 n + 1 } { \cal I } _ { j } ^ { 2 n - 1 } , } \\ { \rho _ { j } ^ { 2 n + 1 } } & { = { \cal R } _ { j } ^ { 2 n + 2 } { \cal R } _ { j } ^ { 2 n } + \left( { \cal I } _ { j } ^ { 2 n + 1 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
( \beta _ { 1 } ^ { 2 } , \beta _ { 2 } ^ { 2 } , \beta _ { 3 } ^ { 2 } , \beta _ { 4 } ^ { 2 } ) = \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \nabla ( \mathbf { v } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) + \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \cdot \nabla ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \mathbf { v } ) } & { = ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) \nabla \cdot \mathbf { v } - \nabla \mathbf { v } \cdot ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) , } \end{array}
X _ { q } ^ { \pm \pm } = P _ { 2 1 } ^ { \pm } ( P _ { 1 2 } A _ { 1 } R _ { 2 1 } A _ { 2 } ) P _ { 2 1 } ^ { \pm } \; , \; \; X _ { q } ^ { \pm \mp } = P _ { 2 1 } ^ { \pm } ( P _ { 1 2 } A _ { 1 } R _ { 2 1 } A _ { 2 } ) P _ { 2 1 } ^ { \mp } \; .
C _ { \alpha \beta \beta } ^ { ( 3 ) } = \frac { P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta ) } } + P _ { \alpha } ^ { ( \scriptscriptstyle { - \beta ) } } + 2 P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( 0 ) } } } { 2 \xi ^ { 2 } } ,
\gamma _ { n } \mu ( t ) ^ { \left( 1 - \frac { 1 } { n } \right) \frac { p } { p - 1 } } = \left( \int _ { 0 } ^ { \mu ( t ) } f ^ { \ast } ( s ) \, d s \right) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left( - \mu ^ { \prime } ( t ) + \frac { 1 } { \beta ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } } \int _ { \partial U _ { t } ^ { \mathrm { e x t } } } \frac { 1 } { u } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( x ) \right) ,
{ \bf u } _ { i } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) = \left[ u _ { i , 1 } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) , \cdots , u _ { i , d } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) \right] ^ { \mathrm { T } } \in \mathbb { R } ^ { d }
\begin{array} { r } { \mathcal { U } ^ { \delta x _ { 0 } } ( x , z ) \approx \mathcal { U } _ { n } + \frac { \delta x _ { 0 } } { w _ { 0 } } \left( \sqrt { n + 1 } \mathcal { U } _ { n + 1 } e ^ { - \mathrm { i } \Psi } - \sqrt { n } \mathcal { U } _ { n - 1 } e ^ { \mathrm { i } \Psi } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { n \cdot ( \tau \cdot \nabla ) u } & { { } = n \cdot ( \tau \cdot \nabla ) ( u _ { \tau } \tau ) = n \cdot \frac { d } { d \lambda } ( u _ { \tau } \tau ) = u _ { \tau } \kappa \ n \cdot n + n \cdot \tau \frac { d } { d \lambda } u _ { \tau } = \kappa u _ { \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - 1 } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \left[ p ( u ^ { \prime } , \infty | u _ { 0 } ) - p ( u ^ { \prime } , 0 | u _ { 0 } ) \right] = \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \partial _ { s } p ( u ^ { \prime } , s | u _ { 0 } ) = } \end{array}
\hat { \rho } _ { \hat { r } ^ { \alpha _ { 1 } } \hdots \hat { r } ^ { \alpha _ { n } } } ^ { ( n ) } = \frac { 1 } { \omega ^ { ( n ) } - \hat { \epsilon } } \circ \left[ \hat { r } ^ { \alpha _ { n } } , \hat { \rho } _ { \hat { r } ^ { \alpha _ { 1 } } \hdots \hat { r } ^ { \alpha _ { n - 1 } } } ^ { ( n - 1 ) } \right] \mathrm { ~ , ~ }
{ \begin{array} { r l } { n R } & { = H ( W ) } \\ & { = I ( W ; { \hat { W } } ) + H ( W \mid { \hat { W } } ) } \\ & { \leq I ( W ; { \hat { W } } ) + n \varepsilon _ { n } } \\ & { \leq I ( X ^ { ( n ) } ; Y ^ { ( n ) } ) + n \varepsilon _ { n } } \\ & { = h ( Y ^ { ( n ) } ) - h ( Y ^ { ( n ) } \mid X ^ { ( n ) } ) + n \varepsilon _ { n } } \\ & { = h ( Y ^ { ( n ) } ) - h ( Z ^ { ( n ) } ) + n \varepsilon _ { n } } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } h ( Y _ { i } ) - h ( Z ^ { ( n ) } ) + n \varepsilon _ { n } } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } I ( X _ { i } ; Y _ { i } ) + n \varepsilon _ { n } } \end{array} }
\sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) \right) = \int \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } = N _ { \sigma } \, .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { s } + \theta ( n ) \alpha _ { n } A ) \mathcal { X } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) d s } \\ & { \quad = \frac { \mathfrak { u } _ { n } \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) \partial _ { x } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s } \\ & { \qquad + \bigg ( ( 2 + 2 \lambda \mathfrak { u } _ { n } ) \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } - \frac { v _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \bigg ) \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \eta } } _ { j } \partial _ { x } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s } \\ & { \qquad + \bigg ( ( 2 + 2 \lambda \mathfrak { u } _ { n } ) \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } c _ { 3 } \beta _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } - \frac { \mathfrak { u } _ { n } v _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \bigg ) \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \zeta } } _ { j } \partial _ { x } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s } \\ & { \qquad + ( 2 + 2 \lambda \mathfrak { u } _ { n } ) \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } ( c _ { 4 } - c _ { 3 } ^ { 2 } ) \beta _ { n } ^ { 2 } } { 3 n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \zeta _ { j } ^ { n } ( s ) \eta _ { j } ^ { n } ( s ) \partial _ { x } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s + E _ { t } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 , 5 } \lambda _ { 2 , 6 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 5 , 6 } } ) } & { = ( - 1 ) ^ { n } \lambda _ { 1 , 5 } \lambda _ { 2 , 6 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 2 , 6 , 1 , 5 } } ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } \lambda _ { 1 , 5 } ( \frac { \chi - 2 } { \chi } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 5 } e } + \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 5 } } ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } \frac { \chi - 2 } { \chi } ( \frac { \chi - 2 } { \chi } \kappa _ { e ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } \chi ) + ( - 1 ) ^ { n } \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } ( \frac { \chi - 2 } { \chi } \chi ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } ( \frac { ( \chi - 2 ) ^ { 2 } } { \chi ^ { 2 } } + 2 \frac { \chi - 2 } { \chi ^ { 2 } } ) \kappa _ { e ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathcal { N } } _ { m n } ( x , k ) } & { = \left( b _ { + } ^ { ( n ) } , D ^ { i } \frac { \partial b _ { + } ^ { ( m ) } } { \partial x ^ { i } } \right) - \frac { \partial \omega } { \partial x ^ { i } } \left( A ( x ) b _ { + } ^ { ( n ) } , \frac { \partial b _ { + } ^ { ( m ) } } { \partial k _ { i } } \right) - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \omega } { \partial x ^ { i } \partial k _ { i } } \delta _ { n m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { y \pm } } & { { } = \frac { 1 } { \omega \varepsilon _ { 0 } } \left( k _ { y } \eta _ { x x } - k _ { \pm } \eta _ { x y } \right) , } \\ { Z _ { x \pm } } & { { } = \frac { 1 } { \omega \varepsilon _ { 0 } } \left( - k _ { y } \eta _ { y x } + k _ { \pm } \eta _ { y y } \right) , } \\ { k _ { \pm } } & { { } = - q k _ { y } \pm \alpha , } \\ { \alpha } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { \eta _ { y y } } \left\{ \left( \frac { \omega } { c } \right) ^ { 2 } - \left( \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } \right) k _ { y } ^ { 2 } \right\} } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( \mathbf { q } , \tau ) } & { { } = } & { \sum _ { \alpha = 0 } ^ { \infty } \left\{ \frac { 1 } { \alpha ! } \left. \frac { \partial ^ { \alpha } F ( \mathbf { q } , \tau ) } { \partial \tau ^ { \alpha } } \right| _ { \tau = 0 } \tau ^ { \alpha } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ^ { \epsilon } v ^ { \epsilon } } & { = Q ^ { \epsilon } v + Q K G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v ) + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) } \\ & { = Q v - G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v ) + Q K G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v ) + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) } \\ & { = - G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v ) + ( 1 - \Pi _ { 0 } ) G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v ) + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) = \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \pi _ { m } ^ { 1 } ( \boldsymbol { \tilde { p } } ) = \tilde { p } _ { 1 } \boldsymbol { 1 } _ { \{ m _ { 1 } , \dots , m _ { 2 } - 1 \} } ( m ) + \tilde { p } _ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { \{ m _ { 1 } , \dots , m _ { 3 } - 2 \} } ( m ) + \tilde { p } _ { 3 } \boldsymbol { 1 } _ { \{ \iota ^ { * [ - 1 ] } ( l ) , \dots , k - 2 \} } ( m ) } \\ & { \pi _ { m } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \tilde { p } } ) = \tilde { p } _ { 1 } \boldsymbol { 1 } _ { \{ m _ { 1 } + 1 , \dots , m _ { 2 } - 1 \} } ( m ) + \tilde { p } _ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { \{ m _ { 1 } + 1 , \dots , m _ { 3 } - 2 \} } ( m ) + \tilde { p } _ { 3 } \boldsymbol { 1 } _ { \{ \iota ^ { * [ - 1 ] } ( l + 1 ) , \dots , k - 2 \} } ( m ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { c } ( \vec { r } | s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \int d ^ { 3 } r _ { 0 } G _ { \mathrm { b r i d g e } } ( \vec { 0 } , 0 | \vec { r } _ { 0 } , - t _ { 1 } ; \vec { r } _ { 0 } , t _ { 2 } ) G _ { \mathrm { b r i d g e } } ( \vec { r } , s | \vec { 0 } , 0 ; \vec { r } _ { 0 } , t _ { 2 } ) = } \\ { = \frac { 1 } { ( 4 \pi D \tilde { s } _ { c } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ] ) ^ { 3 / 2 } } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { 4 D \tilde { s } _ { c } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ] } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \, | \, ^ { \infty } \! G ( \tau ) \} } & { { } = } & { \hat { r } \left[ H ( \tau ) e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau } - H ( - \tau ) \hat { e } ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau } \right] \hat { r } \hat { r } \hat { \kappa } \hat { r } \hat { r } | 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { H } } & { { } = 1 2 5 . 9 8 \pm 0 . 4 2 \mathrm { { ( s t a t ) } } \pm 0 . 2 8 \mathrm { { ( s y s t ) } } \mathrm { { ~ G e V } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { k } ( n + 1 ) } & { { } = \left( 1 - \alpha \right) \mathbf { r } _ { k } ( n ) + \alpha \operatorname { t a n h } \left( \mathbf { A } \mathbf { r } _ { k } ( n ) + \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \mathbf { u } _ { k } ( n ) + \mathbf { b } \right) } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { k } ( n + 1 ) } & { { } = \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { k } \mathbf { r } _ { k } ( n + 1 ) \, . } \end{array}
{ \cal D } _ { g _ { \mu \nu } ( w ) } \nabla _ { \sigma ( x ) } ^ { g _ { \kappa \lambda } ( z ) } \equiv \delta ( z - w ) \left[ t _ { \kappa \lambda \ \ \ , \sigma \tau } ^ { \ \ \ \mu \nu } \nabla ^ { \tau ( x ) } \right] \delta ( w - x ) + { \cal O } [ l ^ { - 1 } ] \; ,
\sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } ( C _ { 0 } + C _ { 1 } \varepsilon _ { N } ) \le \frac { 1 + \sqrt { 1 + 4 ( \frac { C _ { 0 } } { C _ { 1 } } + \varepsilon _ { N } ) } } { 2 } < \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } \frac { 1 } { C _ { 1 } } - 1
\sum _ { \nu \: \mathrm { s p i n s } , B \: \mathrm { s p i n s } } ^ { } \mid \langle b e \! \mid { \cal H _ { \mathrm { e f f } } } \mid B \nu \rangle \mid ^ { 2 } = \langle b e \! \mid { \cal H _ { \mathrm { e f f } } H _ { \mathrm { e f f } } ^ { \dagger } } \mid b e \rangle
\langle P \rangle _ { n } ^ { k + 1 , i } = \langle P \rangle _ { n } ^ { k + 1 , i - 1 } + \alpha \left( \langle P \rangle _ { n } ^ { k + 1 , i } - \langle P \rangle _ { n } ^ { k + 1 , i - 1 } \right) ,
\begin{array} { r } { \Psi ( q _ { 1 } ^ { 1 } , \ldots , q _ { p } ^ { 1 } , t ) = \sum _ { j _ { 1 } = 1 } ^ { n _ { 1 } } \ldots \sum _ { j _ { p } = 1 } ^ { n _ { p } } A _ { j _ { 1 } \ldots j _ { p } } ^ { 1 } ( t ) \, \phi _ { j _ { 1 } } ^ { 1 ; 1 } ( q _ { 1 } ^ { 1 } , t ) \ldots \phi _ { j _ { p } } ^ { 1 ; p } ( q _ { p } ^ { 1 } , t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { t } \! \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s \leq t C _ { \sigma } ( t ) e ^ { - \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + } \\ { + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \Big \} . } \end{array}
\mathrm { d } _ { \kappa } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } = \partial _ { \kappa } \boldsymbol { z } \cdot \partial _ { \boldsymbol { z } } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } = F _ { \pm \rho } \cdot j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } .
\begin{array} { r l } & { L _ { C } ( \boldsymbol { \lambda } | \{ \mathbf { \hat { A } } _ { j } , \boldsymbol { z } _ { j } ; j = 1 , \ldots J \} , J ) } \\ & { = \mathrm { p r } ( \{ \mathbf { \hat { A } } _ { j } , \boldsymbol { z } _ { j } ; j = 1 , \ldots J \} , J | \boldsymbol { \lambda } ) } \\ & { = \mathrm { P r } ( J | \boldsymbol { \lambda } ) \prod _ { j = 1 } ^ { J } \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } , \boldsymbol { z } _ { j } | \boldsymbol { \lambda } ) } \\ & { = \mathrm { P r } ( J | \boldsymbol { \lambda } ) \prod _ { j = 1 } ^ { J } \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \boldsymbol { z } _ { j } , \boldsymbol { \lambda } ) \mathrm { P r } ( \boldsymbol { z } _ { j } | \boldsymbol { \lambda } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \left( a _ { \ell } ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) + b _ { \ell } ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) \right) } \\ & { = T \left( a _ { \ell } ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) + b _ { \ell } ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) \right) } \\ & { = - b _ { \ell } \sqrt { \lambda _ { \ell } } \left( \frac { 1 } { z s ( z ) } + 1 \right) ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) } \\ & { \qquad + a _ { \ell } \sqrt { \lambda _ { \ell } } ( z s ( z ) + 1 ) ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) - b _ { \ell } \lambda _ { \ell } \left( \frac { 1 } { z s ( z ) } + 1 \right) ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) + \widetilde { \boldsymbol \theta } ( \ell ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( D _ { x } \eta ^ { ( n + 1 ) } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } = ( D _ { x } \hat { \Phi } ^ { n + 1 } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } - ( D _ { x } e ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } , } \\ & { \| D _ { x } \eta ^ { ( n + 1 ) } \| _ { 4 } \le \| D _ { x } \hat { \Phi } ^ { n + 1 } \| _ { 4 } + \| D _ { x } e \| _ { 4 } \le C ^ { * } + \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \pi ^ { z z } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } N _ { \ast s } 4 \pi e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } T ^ { 4 } } \\ & { } & { \left[ \frac { 4 } { 3 } K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) + \frac { 2 } { 9 } \frac { 1 } { T } K _ { 3 } \left( \frac { 1 } { T } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho ( x , t = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 . 0 \quad \mathrm { i f } \quad x < = 0 . 5 } \\ { \frac { 1 } { 8 } \quad \mathrm { i f } \quad x > 0 . 5 } \end{array} \right. , } \\ & { u ( x , t = 0 ) = 0 . 0 , } \\ & { p ( x , t = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 . 0 \quad \mathrm { i f } \quad x < = 0 . 5 } \\ { \frac { 1 } { 1 0 } \quad \mathrm { i f } \quad x > 0 . 5 } \end{array} \right. } \end{array}
{ \frac { \partial } { \partial t } } ( { \sqrt { n _ { A } } } e ^ { i \phi _ { A } } ) = { \dot { \sqrt { n _ { A } } } } e ^ { i \phi _ { A } } + { \sqrt { n _ { A } } } ( i { \dot { \phi } } _ { A } e ^ { i \phi _ { A } } ) = ( { \dot { \sqrt { n _ { A } } } } + i { \sqrt { n _ { A } } } { \dot { \phi } } _ { A } ) e ^ { i \phi _ { A } } ,
( m _ { \pi } ^ { 2 } - t ) ^ { 2 } \cdot \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } = \frac { 1 } { E _ { c m } ^ { 2 } } \sum _ { n = o } ^ { \infty } a _ { n } ( m _ { \pi } ^ { 2 } - t ) ^ { n } ,
\begin{array} { r l } & { \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { L _ { 0 0 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { 2 } \widetilde { L } _ { 0 1 } ( b , \sigma ) } & { \sigma \widetilde { L } _ { 0 2 } ( b , \sigma ) } \\ { \sigma \widetilde { L } _ { 1 0 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { 2 } \widetilde { L } _ { 1 1 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { 2 } \widetilde { L } _ { 1 2 } ( b , \sigma ) } \\ { \sigma \widetilde { L } _ { 2 0 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { 2 } \widetilde { L } _ { 2 1 } ( b , \sigma ) } & { \sigma \widetilde { L } _ { 2 2 } ( b , \sigma ) } \end{array} \right) } \\ & { \quad = \left( \begin{array} { l l l } { L _ { 0 0 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { 2 } \widetilde { L } _ { 0 1 } ( b , \sigma ) } & { \sigma \widetilde { L } _ { 0 2 } ( b , \sigma ) } \\ { \sigma \big ( \widetilde { L } _ { 1 0 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { L } _ { 1 0 } ^ { e } ( b , \sigma ) \big ) } & { \sigma ^ { 2 } \big ( \widetilde { L } _ { 1 1 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { L } _ { 1 1 } ^ { 1 } ( b ) + \sigma ^ { 2 } \widetilde { L } _ { 1 1 } ^ { e } ( b , \sigma ) \big ) } & { \sigma ^ { 2 } \big ( \widetilde { L } _ { 1 2 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { L } _ { 1 2 } ^ { e } ( b , \sigma ) \big ) } \\ { \sigma \widetilde { L } _ { 2 0 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { 2 } \big ( \widetilde { L } _ { 2 1 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { L } _ { 2 1 } ^ { e } ( b ) \big ) } & { \sigma \big ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { e } ( b , \sigma ) \big ) . } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { D _ { j } ^ { \circ } } \phi \left( g _ { k , N _ { k } } ( u _ { k , N _ { k } } ) \nabla \frac { \mu _ { k , N _ { k } } } { g _ { k , N _ { k } } ( u _ { k , N _ { k } } ) } + \frac { \mu _ { k , N _ { k } } } { g _ { k , N _ { k } } ( u _ { k , N _ { k } } ) } g _ { k , N _ { k } } ^ { \prime } ( u _ { k , N _ { k } } ) \nabla u _ { k , N _ { k } } \right) d x d t } \\ & { } & { \rightarrow \int _ { D _ { j } ^ { \circ } } \phi \left( g ( u ) \zeta + \frac { g ^ { \prime } ( u ) } { g ( u ) } \mu \nabla u \right) d x d t , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { s \mathbf { k } } ^ { K } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { N } \mathrm { e } ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \phi _ { s } ^ { K } , } \\ { \mathbf { F } _ { s \mathbf { k } } ^ { K ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { N } \mathrm { e } ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \phi _ { s } ^ { K ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf J } - \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { - 4 \Lambda } & { \frac { 1 } { 2 } \kappa } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \kappa } & { - 4 \Lambda } \end{array} \right) , } \\ { \big ( { \bf J } - \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } \big ) ^ { - 1 } } & { = } & { - \frac { 4 \Lambda } { 1 6 \Lambda ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \kappa ^ { 2 } } { \bf I } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \kappa } { 1 6 \Lambda ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \kappa ^ { 2 } } { \bf A } . \ \ \ \ \ } \end{array}
\partial _ { \eta } \partial _ { \overline { { { \eta } } } } W + { \frac { 1 } { \gamma - 2 } } W _ { \eta } W _ { \overline { { { \eta } } } } = { \frac { k } { 2 } } { \frac { \gamma - 1 } { \gamma - 2 } } e ^ { W } ,
\begin{array} { c c l } { { \frac { 1 } { 4 k _ { 3 } ( 2 g _ { 3 } ) ^ { 2 } } \mathrm { T r \mit \left[ \left. W _ { G } ^ { \ e t a } W _ { G \ e t a } \right| _ { \ t h e t a \ t h e t a } + \left. \mathrm { \bar { \mit W } _ { G \dot { \ e t a } } \bar { \mit W } _ { G } ^ { \dot { \ e t a } } } \right| _ { \mathrm { \bar { \ t h e t a } \bar { \ t h e t a } } } \right] } } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { 4 } G _ { a } ^ { \mu \nu } G _ { \mu \nu a } + i \mathrm { \bar { \ l a m b d a } _ { \mit G a } \bar { \ s i g m a } ^ { \ m u } \left[ \cal D \mit _ { \ m u } \ l a m b d a _ { G } \right] _ { a } } } } \\ { { } } & { { } } & { { + \frac { 1 } { 2 } D _ { G a } D _ { G a } } } \end{array}
\sigma ^ { 1 } = \frac { \varphi + \bar { \varphi } } { 1 + \varphi \bar { \varphi } } ; ~ ~ ~ \sigma ^ { 2 } = \frac { i ( \bar { \varphi } - \varphi ) } { 1 + \varphi \bar { \varphi } } ; ~ ~ ~ \sigma ^ { 3 } = \frac { 1 - \varphi \bar { \varphi } } { 1 + \varphi \bar { \varphi } }
{ \Omega } _ { i j k } ^ { u } = \frac { { \partial } { \omega } _ { j k } ^ { u } } { { \partial } { \xi } ^ { i } } + \frac { { \partial } { \omega } _ { k i } ^ { u } } { { \partial } { \xi } ^ { j } } + \frac { { \partial } { \omega } _ { i j } ^ { u } } { { \partial } { \xi } ^ { k } } .
\left( \frac { 1 } { 2 m } \hat { p _ { x } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 m } \hat { p _ { y } } ^ { 2 } + \frac { k _ { x } } { 2 } \hat { x } ^ { 2 } + \frac { k _ { y } } { 2 } \hat { y } ^ { 2 } - E \right) \vert \psi \rangle = 0 \rightarrow \hat { H } \vert \psi \rangle = E \vert \psi \rangle \, .
\begin{array} { r l } { j _ { 1 } } & { { } = - \frac { j _ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { c _ { 0 0 0 } } \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial y } - \frac { 1 } { 8 } \frac { \partial p _ { 1 1 0 } } { \partial y } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { j _ { 2 } } & { { } = 0 , } \end{array}
D _ { \vec { k } _ { 2 } } F = \left( \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } _ { 2 } } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \right) ( n _ { \vec { k } _ { 2 } } - n _ { \vec { k } } ) + \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } _ { 2 } } n _ { \vec { k } _ { 2 } } .