harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l } { { { \cal L } _ { 4 } = L _ { 1 } ( t r D _ { \mu } \Sigma D ^ { \mu } \Sigma ^ { \dagger } ) ^ { 2 } + L _ { 2 } ( t r D _ { \mu } \Sigma D _ { \nu } \Sigma ^ { \dagger } ) ^ { 2 } + L _ { 3 } t r ( D _ { \mu } \Sigma D ^ { \mu } \Sigma ^ { \dagger } D _ { \nu } \Sigma D ^ { \nu } \Sigma ^ { \dagger } ) } } \\ { { \ } } \\ { { + L _ { 4 } t r ( D _ { \mu } \Sigma D ^ { \mu } \Sigma ^ { \dagger } ) t r ( \chi \Sigma ^ { \dagger } + \Sigma \chi ^ { \dagger } ) + L _ { 5 } t r \left[ ( D _ { \mu } \Sigma D ^ { \mu } \Sigma ^ { \dagger } ) ( \chi \Sigma ^ { \dagger } + \Sigma \chi ^ { \dagger } ) \right] } } \\ { { \ } } \\ { { + L _ { 6 } \left[ t r ( \chi \Sigma ^ { \dagger } + \Sigma \chi ^ { \dagger } ) \right] ^ { 2 } + L _ { 7 } \left[ t r ( \chi \Sigma ^ { \dagger } - \Sigma \chi ^ { \dagger } ) \right] ^ { 2 } + L _ { 8 } t r ( \chi \Sigma ^ { \dagger } \chi \Sigma ^ { \dagger } + \Sigma \chi ^ { \dagger } \Sigma \chi ^ { \dagger } ) } } \\ { { \ } } \\ { { - i e L _ { 9 } F _ { \mu \nu } t r ( Q D ^ { \mu } \Sigma D ^ { \nu } \Sigma ^ { \dagger } + Q D ^ { \mu } \Sigma ^ { \dagger } D ^ { \nu } \Sigma ) + e ^ { 2 } L _ { 1 0 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } t r ( \Sigma ^ { \dagger } Q \Sigma Q ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi \theta _ { t } d \xi + \frac { S _ { d } } { r _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { 2 } \theta _ { \xi } d \xi = \frac { \alpha _ { 0 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \theta _ { \xi } d \xi + \right. } \\ { \left. \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi \theta _ { \xi \xi } d \xi \right] - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { q w } { \rho C _ { p } ( T _ { 0 } - T _ { u } ) } \xi d \xi } \end{array}
u = r _ { 1 } - ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) \mathrm { ~ s ~ n ~ } ^ { 2 } \left[ \sqrt { \frac { r _ { 1 } - r _ { 3 } } { 1 2 \beta } } ( x - v t ) , \, \frac { r _ { 1 } - r _ { 2 } } { r _ { 1 } - r _ { 3 } } \right] .
\begin{array} { r } { \overline { { \Gamma } } = \frac { \hbar } { 2 } \left( \left[ \frac { R P } { \gamma _ { r } } - \gamma _ { c } \right] | \overline { { \psi } } | ^ { 2 } - \frac { P R ^ { 2 } } { \gamma _ { r } ^ { 2 } } | \overline { { \psi } } | ^ { 4 } + \frac { P R ^ { 3 } } { \gamma _ { r } ^ { 3 } } | \overline { { \psi } } | ^ { 6 } \mp . . . \right) . } \end{array}
E _ { 1 } ^ { p , q } = { \frac { { \bar { Z } } _ { 1 } ^ { p , q } } { { \bar { B } } _ { 1 } ^ { p , q } } } = { \frac { \ker d _ { 0 } ^ { p , q } : E _ { 0 } ^ { p , q } \rightarrow E _ { 0 } ^ { p , q + 1 } } { { \mathrm { i m ~ } } d _ { 0 } ^ { p , q - 1 } : E _ { 0 } ^ { p , q - 1 } \rightarrow E _ { 0 } ^ { p , q } } }
\begin{array} { r l } { P _ { l } ^ { ( \alpha , \alpha ) } ( \eta ) } & { = \gamma _ { l } ^ { ( \alpha ) } P _ { l } ^ { ( \alpha + 1 , \alpha + 1 ) } ( \eta ) - \delta _ { l } ^ { ( \alpha ) } P _ { l - 2 } ^ { ( \alpha + 1 , \alpha + 1 ) } ( \eta ) } \\ { \frac { d } { d \eta } P _ { l } ^ { ( \alpha , \alpha ) } ( \eta ) } & { = \lambda _ { l } ^ { ( \alpha ) } P _ { l - 1 } ^ { ( \alpha + 1 , \alpha + 1 ) } ( \eta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { O u t p u t } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal { P } } ( \Delta \phi ) \hat { \mathcal { R } } _ { 1 } ^ { \prime } ( - \delta ) | \mathrm { I n p u t } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { h } } } & { = - \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } ( \tilde { h } + \tilde { \zeta } ) + \frac { 1 } { h ^ { 6 } } - \frac { 1 } { h ^ { 3 } } } \\ { \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { \zeta } } } & { = - \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } ( \tilde { h } + \tilde { \zeta } ) - \tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } \tilde { \zeta } + \tilde { T } \left[ \sigma ^ { 2 } / c + c + \log ( 1 - c ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \operatorname* { m a x } _ { s \in \mathcal { T } _ { n } ^ { \prime } } \left| \hat { \gamma } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { s } ) - \gamma _ { k } ^ { i , l } ( t _ { s } ) - \frac { 1 } { n b _ { k } ^ { i , l } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b _ { k } ^ { i , l } } ( t _ { j } - t ) e _ { j , k } ^ { i , l } \right| \right\| _ { q } = O ( | \mathbb { B } | ^ { 1 / q } a _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) } & { = \sum _ { \gamma = 1 } ^ { M } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { L } } F _ { \gamma k } h _ { i } ^ { L \uparrow ( k ) } \right) \left( \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } G _ { \gamma l } h _ { j } ^ { L \downarrow ( l ) } \right) } \\ & { = \sum _ { \gamma = 1 } ^ { M } \phi _ { \gamma } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } ) \phi _ { \gamma } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { i j } } & { { } = } & { \frac { \tau } { 4 } \left\langle \tilde { P } _ { i l } A _ { l } \tilde { P } _ { j h } A _ { h } \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } \right\rangle = \frac { A ^ { 2 } \tau } { 1 2 } \left\langle \tilde { P } _ { i j } \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { G } _ { D } ^ { \triangleright n } ( t , x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) \le C ^ { n } \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \Big ( \frac { | x - y | ^ { 2 } } { t } + \frac { | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } \Big ) } \widetilde { h } _ { n - 1 } ( t ) , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \sigma _ { 1 2 } \rightarrow \infty } N _ { S p ( 4 ) _ { 2 } } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 / 2 } } & { { - 1 } } & { { - 1 / 2 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 / 2 } } & { { - 1 } } & { { - 1 / 2 } } \end{array} \right) .
\Big | \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big | \geq \Big | \widetilde { f } _ { b } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big | \geq \Big | \widetilde { F } _ { b } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big | - \gamma \geq c _ { 1 } \kappa _ { k } \sqrt { \Delta } - \gamma \geq \Big ( c _ { 1 } \Big ) / 2 \kappa _ { k } \sqrt { \Delta } ,
\psi = \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } } } \\ { { \psi _ { 2 } } } \end{array} \right) \, , \qquad \psi _ { c } = \left( \begin{array} { r } { { \psi _ { 1 } ^ { \dagger } } } \\ { { \ - \psi _ { 2 } ^ { \dagger } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { c _ { ( a , 0 ) , \gamma } ( n ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { c \operatorname { m o d } N } e ^ { - 2 \pi i a c / N } f _ { ( c , 0 ) , \gamma } ( n ) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { c \operatorname { m o d } N } e ^ { - 2 \pi i a c / N } \left( \phi _ { ( c , N ) } \Big | _ { k , L } A _ { c } \right) ( n + Q ( \ell ) , \ell ) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { c \operatorname { m o d } N } e ^ { - 2 \pi i a c / N } \phi _ { ( c , N ) } ( n + Q ( \ell ) , \ell ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w ) ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } + \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) = \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } u _ { 1 } \Rightarrow \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) = - \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } + \frac { \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } u _ { 1 } } { \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w } } \\ & { \frac { d \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } } { d \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } } = - 1 - \frac { w u _ { 1 } } { ( \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w ) ^ { 2 } } \Rightarrow \frac { d \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } } { d \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } } ( 0 ) = - 1 - \frac { w u _ { 1 } } { ( 0 - w ) ^ { 2 } } > 0 \Rightarrow w < - u _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \langle ( \hat { p } - \tilde { \hat { p } } ) \cdot \hat { x } , \, v \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } \, d t = \int _ { 0 } ^ { T } \Big [ ( \nabla \cdot ( \hat { p } - \tilde { \hat { p } } ) , \, v ) _ { \Omega _ { P M L } ^ { + } } + ( \hat { p } - \tilde { \hat { p } } , \, \nabla v ) _ { \Omega _ { P M L } ^ { + } } \Big ] \, d t . } \end{array}
S ( M ^ { ( 1 ) } , M ^ { ( 2 ) } , \ldots , M ^ { ( r ) } ) = \mathrm { T r } \left\{ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { r } V _ { \alpha } ( M ^ { ( \alpha ) } ) - \sum _ { \alpha = 1 } ^ { r - 1 } c _ { \alpha } M ^ { ( \alpha ) } M ^ { ( \alpha + 1 ) } \right\}
\begin{array} { r l } { { x ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } } } & { = { x ^ { ( k ) } } + { \beta _ { 1 } ^ { ( k ) } } { \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } } + { \beta _ { 2 } ^ { ( k ) } } { \delta _ { 2 } ^ { ( k ) } } } \\ { { x ^ { ( k + 1 ) } } } & { = { x ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } } + { \gamma _ { 1 } ^ { ( k ) } } { \delta _ { 1 } ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } } + { \gamma _ { 2 } ^ { ( k ) } } { \delta _ { 2 } ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { U _ { \alpha } \equiv { \cal D } _ { \alpha } V \equiv \partial _ { \alpha } V + \kappa _ { \alpha } V \ ; \qquad } } & { { { \cal D } _ { \bar { \alpha } } V \equiv \partial _ { \bar { \alpha } } V + \kappa _ { \bar { \alpha } } V } } \\ { { \bar { U } _ { \bar { \alpha } } \equiv { \cal D } _ { \bar { \alpha } } \bar { V } \equiv \partial _ { \bar { \alpha } } \bar { V } - \kappa _ { \bar { \alpha } } \bar { V } \ ; \qquad } } & { { { \cal D } _ { \alpha } \bar { V } \equiv \partial _ { \alpha } \bar { V } - \kappa _ { \alpha } \bar { V } \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { \delta , k _ { j } } \in \partial _ { x } ^ { C } \Pi _ { \mathcal { K } } \left( \beta _ { k } ^ { - 1 } z _ { k } + x _ { k _ { j } } \right) , } \\ & { B _ { g _ { 1 } , k _ { j } } \in \partial _ { x } ^ { C } \left( \textbf { p r o x } _ { \zeta _ { k } g _ { 1 } } \left( x _ { k _ { j } } - \zeta _ { k } ( r _ { k } ( x _ { k _ { j } } , y _ { k _ { j } } ) ) _ { 1 : n } \right) \right) , } \\ & { B _ { g _ { 2 } , k _ { j } } \in \partial _ { w } ^ { C } \left( \textbf { p r o x } _ { \zeta _ { k } g _ { 2 } } \left( w _ { k _ { j } } - \zeta _ { k } ( y _ { k _ { j } } ) _ { 1 : l } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 0 } } & { { } \approx \frac { N _ { \mathrm { h h } } - 1 } { N _ { \mathrm { h h } } - 1 + w \cdot 2 m } \cdot \bigg ( \frac { ( N _ { \mathrm { h h } } - 2 ) \cdot \tau } { \tau + \gamma } + \frac { 2 m \cdot w \cdot \tau } { w \cdot \tau + \gamma } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \tilde { f } _ { i } ( t ) } & { = - s _ { i } ^ { - \frac 1 2 } r _ { i } ( 1 - r _ { i } ^ { 2 } t ) R _ { g _ { i } ( r _ { i } ^ { 2 } t ) } = - s _ { i } ^ { - \frac 1 2 } r _ { i } ^ { - 1 } ( 1 - r _ { i } ^ { 2 } t ) R _ { \tilde { g } _ { i } ( t ) } , } \\ { \mathrm { H e s s } _ { \tilde { g } _ { i } ( t ) } \tilde { f } _ { i } ( t ) } & { = s _ { i } ^ { - \frac 1 2 } r _ { i } ^ { - 1 } \left( \frac { g _ { i } ( r _ { i } ^ { 2 } t ) } { 2 } - ( 1 - r _ { i } ^ { 2 } t ) R c _ { g _ { i } ( r _ { i } ^ { 2 } t ) } \right) = \frac { 1 } { 2 } s _ { i } ^ { - \frac 1 2 } r _ { i } \tilde { g } _ { i } ( t ) - s _ { i } ^ { - \frac 1 2 } r _ { i } ^ { - 1 } ( 1 - r _ { i } ^ { 2 } t ) R c _ { \tilde { g } _ { i } ( t ) } , } \\ { | \nabla _ { \tilde { g } _ { i } ( t ) } \tilde { f } _ { i } | _ { \tilde { g } _ { i } ( t ) } ^ { 2 } } & { = s _ { i } ^ { - 1 } \left( F _ { i } ( r _ { i } ^ { 2 } t ) - ( 1 - r _ { i } ^ { 2 } t ) ^ { 2 } R _ { g _ { i } ( r _ { i } ^ { 2 } t ) } \right) = 1 + s _ { i } ^ { - \frac 1 2 } r _ { i } \tilde { f } _ { i } ( t ) - s _ { i } ^ { - 1 } r _ { i } ^ { - 2 } ( 1 - r _ { i } ^ { 2 } t ) ^ { 2 } R _ { \tilde { g } _ { i } ( t ) } . } \end{array}
S ( t | \Theta _ { 0 } = 0 ) = 0 \, \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \, \, \left. \frac { \partial } { \partial \Theta _ { 0 } } S ( t | \Theta _ { 0 } ) \right| _ { \Theta _ { 0 } = 1 } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 2 2 } ^ { q } = S _ { 3 3 } ^ { q } = S _ { 4 4 } ^ { q } = } & { \left( 2 ( 1 - p ) ( 2 - p - R + ( 1 - p ) R ^ { 2 } ) + ( 1 - p ) ( p + R - ( 1 - p ) R ^ { 2 } ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } \right. } \\ & { \left. + ( 2 p R ( 1 - p ) + 2 R T ( 1 - p ) ^ { 2 } + 2 p ( 1 - p ) ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } ( e ^ { \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } } - 1 ) } \right) k _ { B } \mathcal { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \omega _ { e x } ) } & { { } = - \frac { 1 } { \pi } \Im \sum _ { \lambda = x , y , z } \langle \Psi _ { 0 } | \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \dagger } | A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) \rangle . } \end{array}
\mathbf { u } _ { k + 1 } = \mathbf { D } _ { \mathbf { M } } ( k ) \mathbf { u } _ { k } , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \mathbf { v } _ { k + 1 } = \mathbf { D } _ { \mathbf { M } } ( k ) \mathbf { v } _ { k } + \mathbf { D } _ { \mathbf { M } } ^ { \boldsymbol { \alpha } } ( \mathbf { x } _ { k } ) ,
{ \mit \Xi } _ { [ 1 / 2 ] } \, = \, \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { i \phi } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - i \phi } } } \end{array} \right) \quad , \qquad { \mit \Xi } _ { [ 1 ] } \, = \, \left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { i \, 2 \, \phi } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { - i \, 2 \, \phi } } } \end{array} \right) \quad .
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } } & { = \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \sum _ { x _ { i } ^ { t - 1 } , x _ { i } ^ { t } } \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t - 1 } \right) x _ { i } ^ { t } M _ { x _ { i } ^ { t - 1 } x _ { i } ^ { t } } ^ { i \setminus j } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \left[ \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) M _ { t - 1 , 1 1 } ^ { i \setminus j } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) + \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) M _ { t - 1 , 0 1 } ^ { i \setminus j } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D ^ { \dagger } | n , s \rangle } & { { } = } & { \sqrt { s - n } \sqrt { s + n + 2 } | n + 2 , s \rangle , } \\ { D | n , s \rangle } & { { } = } & { \sqrt { s + n } \sqrt { s - n + 2 } | n - 2 , s \rangle . } \end{array}
\Tilde { R } _ { \mathrm { o u t } } ^ { ( n ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } ) \equiv \Tilde { R } ^ { ( n ) } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } - \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } )
V _ { | \alpha | } ( \alpha \cdot q ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \wp ( \alpha \cdot q | \{ 2 \omega _ { 1 } , 2 \omega _ { 3 } \} ) , \quad \mathrm { f o r ~ l o n g ~ r o o t s } , } } \\ { { \wp ( \alpha \cdot q | \{ { \frac { 2 \omega _ { 1 } } { 3 } } , 2 \omega _ { 3 } \} ) , \quad \ \mathrm { f o r ~ s h o r t ~ r o o t s } . } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { I _ { j } } u _ { j } ( x , t ) \mathop { d x } = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { p } \dot { a } _ { j k } \int _ { I _ { j } } P _ { k } ( x ) \mathop { d x } } \\ { = } & { \sum _ { j } \dot { a } _ { j 0 } \Delta x _ { j } = - \sum _ { j } ( f _ { j + \frac { 1 } { 2 } } - f _ { j - \frac { 1 } { 2 } } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \left( \Phi _ { \mu } ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \phi _ { \mu } ^ { \top } - I \right) U ^ { \frac { 1 } { 2 } } \delta ^ { k } \right\| \leq } & { \left\| ( I + \Phi _ { \mu } \Delta _ { k } ^ { - 1 } \Phi _ { \mu } ^ { \top } ) ^ { - 1 } \right\| \cdot \left\| U ^ { \frac { 1 } { 2 } } \delta ^ { k } \right\| \leq \frac { 3 \eta \| g ( \theta _ { k } ) \| } { \lambda _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } \leq \frac { 3 \eta \sigma _ { k } } { \lambda _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
- 2 \eta \left( ( \ddot { w } \dot { r } ) r ^ { 2 } - ( \ddot { w } r ) ( \dot { r } r ) + ( \dot { w } \dot { r } ) ( \dot { r } r ) - ( \dot { w } r ) \dot { r } ^ { 2 } \right) \Biggr ] \Biggr \} ,
\rho _ { x } : = \frac { \langle 0 | x \rangle \langle x | 0 \rangle } { \langle 0 | 0 \rangle } , \quad S _ { x y } : = \frac { 1 } { \langle x | 0 \rangle } \langle x | \frac { M } { \lambda _ { 0 } } | y \rangle \langle y | 0 \rangle ,
S ^ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 1 0 } x \ \sqrt { - g } e ^ { - 2 \phi } \biggl ( - R + 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 3 } } ( H ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } \biggr ) \ ,
R = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cos \beta } & { - \sin \beta } & { - \cos \beta } & { \sin \beta } \\ { - \cos \alpha } & { - \sin \alpha } & { 0 } & { 0 } & { \cos \alpha } & { \sin \alpha } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
C = e ^ { \pi \sqrt { - 1 } [ ( n - 1 ) ( n + 2 ) + 2 ( n - 1 ) ^ { 2 } \tau ] / 2 n } \displaystyle \frac { \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } ( \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \omega ^ { i j } \theta ^ { ( j ) } ( 1 / 2 ) ) } { h ( n / 2 - ( n - 1 ) \tau / 2 ) \prod _ { k = 1 } ^ { n - 1 } h ( k \tau / n ) ^ { n - k } } ,
\frac { i 2 M _ { V } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } \eta _ { \mu \nu } + \frac { i 4 \gamma ^ { 2 } } { \alpha v ^ { 2 } } ( p _ { 1 \mu } p _ { 2 \nu } + p _ { 1 \nu } p _ { 2 \mu } )
i \hbar \partial _ { t } \psi ( \vec { r } , t ) = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ( \vec { r } , t ) + V ( \vec { r } , t ) \psi ( \vec { r } , t ) + N U _ { 0 } | \psi ( \vec { r } , t ) | ^ { 2 } \psi ( \vec { r } , t ) ,
\begin{array} { r } { | \mathrm { ~ F ~ E ~ } _ { ( \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ) , m } | ^ { 2 } = \frac { 1 - \sigma _ { m } ^ { 2 } } { ( 1 - \sigma _ { m } a _ { m } ) ^ { 2 } } = \frac { 4 v _ { g } } { L \omega _ { m } } \frac { Q _ { m } ^ { 2 } } { Q _ { C , m } } \ , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 1 } } & { = \sqrt { r } \sin ( \theta / 2 ) \cos \widetilde { \psi } , } \\ { x _ { 2 } } & { = \sqrt { r } \sin ( \theta / 2 ) \sin \widetilde { \psi } , } \\ { x _ { 3 } } & { = \sqrt { r } \cos ( \theta / 2 ) \cos \widetilde { \phi } , } \\ { x _ { 4 } } & { = \sqrt { r } \cos ( \theta / 2 ) \sin \widetilde { \phi } . } \end{array} \right.
G _ { \mu \nu } [ \xi | s ] = 4 \pi { \tilde { g } } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \dot { \xi } ^ { \rho } ( s ) [ { \bar { \psi } } ( \xi ( s ) ) \gamma ^ { \sigma } T ^ { i } \psi ( \xi ( s ) ) ] \Omega _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) \tau _ { i } \Omega _ { \xi } ( s , 0 ) ,
C _ { 1 } ^ { \prime } ( \mu ) \equiv C _ { 1 } ( \mu ) + \frac { 3 } { 2 } \, C _ { 9 } ( \mu ) , \quad C _ { 2 } ^ { \prime } ( \mu ) \equiv C _ { 2 } ( \mu ) + \frac { 3 } { 2 } \, C _ { 1 0 } ( \mu ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( \| \mathbf { e } _ { i , k + 1 } \| ^ { 2 } | \mathbf { y } _ { i , k } , \mathbf { x } _ { i , k + 1 } ) \leq } & { \delta \| \mathbf { x } _ { i , k + 1 } - \mathbf { y } _ { i , k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \delta \| \mathbf { x } _ { i , k + 1 } - \mathbf { x } _ { i , k } - ( \mathbf { y } _ { i , k } - \mathbf { x } _ { i , k } ) \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \delta ( 1 + t ^ { - 1 } ) ( \| \mathbf { x } _ { i , k + 1 } - \mathbf { x } _ { i , k } \| ^ { 2 } ) } \\ & { + \delta ( 1 + t ) \| \mathbf { e } _ { i , k } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \omega \phi + a \phi _ { , x } } & { { } = \kappa ( \phi _ { , x x } + \phi _ { , y y } ) , } \\ { \phi ( x , 0 ) } & { { } = \phi ( L , y ) = 0 , } \\ { \phi ( x , L ) } & { { } = \phi ( 0 , y ) = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 , 1 } ^ { ( 3 ) } } & { = \sum _ { \mu , \nu \neq 0 } \frac { \Delta H _ { 0 \mu } ^ { s c } \, \Delta H _ { \mu \nu } ^ { s c } \, \Delta H _ { \nu 0 } ^ { s c } } { \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \Delta E _ { 0 \nu } ^ { ( e ) } } - \Delta H _ { 0 0 } ^ { s c } \sum _ { \mu \neq 0 } \frac { \vert \Delta H _ { 0 \mu } ^ { s c } \vert ^ { 2 } } { \left( \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \right) ^ { 2 } } = \sum _ { \mu , \nu \neq 0 } \frac { ( 2 \omega _ { c } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, g ^ { 3 } \, x _ { c } ^ { 3 } \, d _ { 0 \mu } \, d _ { \mu \nu } \, d _ { \nu 0 } } { \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \Delta E _ { 0 \nu } ^ { ( e ) } } - \sum _ { \mu \neq 0 } \frac { ( 2 \omega _ { c } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, g ^ { 3 } \, x _ { c } ^ { 3 } \, d _ { 0 0 } \, d _ { 0 \mu } ^ { 2 } } { \left( \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } \right) ^ { 2 } } \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f } & { ( x _ { k + 1 } ) - f ( x _ { k } ) } \\ { \leq } & { - \frac { \rho } { 2 } \langle \nabla F ( x _ { k } ) \Delta x _ { k + 1 } \; , \; 2 F ( x _ { k } ) + \nabla F ( x _ { k } ) \Delta x _ { k + 1 } \rangle - \langle \nabla F ( x _ { k } ) \Delta x _ { k + 1 } \; , \; \lambda _ { k } \rangle } \\ & { - \frac { \beta _ { k + 1 } } { 2 } \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { - \frac { \rho } { 2 } \| \nabla F ( x _ { k } ) \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } - \langle { \nabla F ( x _ { k } ) } ^ { T } ( \lambda _ { k } + \rho F ( x _ { k } ) ) \; , \; \Delta x _ { k + 1 } \rangle - \frac { \beta _ { k + 1 } } { 2 } \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ { { \overset { { \mathrm { A s s . ~ } } } { \leq } } } & { - \frac { \rho } { 2 } \sigma ^ { 2 } \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { \beta _ { k + 1 } } { 2 } \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } - \langle { \nabla F ( x _ { k } ) } ^ { T } ( \lambda _ { k } + \rho F ( x _ { k } ) ) \; , \; \Delta x _ { k + 1 } \rangle . } \end{array}
\sum _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j + 1 } } { M _ { R } } _ { \boldsymbol x _ { \ge j + 1 } } ^ { \alpha _ { j } } \left( { M _ { R } } _ { \boldsymbol x _ { \ge j + 1 } } ^ { \alpha _ { j } ^ { \prime } } \right) ^ { * } = \delta _ { \alpha _ { j } , \alpha _ { j } ^ { \prime } } ,
[ T _ { 0 0 } ( \sigma ) , P ( \sigma ^ { \prime } ) ] = \frac { 1 } { 2 } [ X ^ { 2 } ( \sigma ) , P ( \sigma ^ { \prime } ) ] = i \partial _ { \sigma } \delta _ { D } ( \sigma , \sigma ^ { \prime } ) X ^ { \prime } ( \sigma ) \ ,
\begin{array} { r l } & { B _ { \varphi } ( r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , t ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \Big ( \frac { r _ { 1 } I _ { \mathrm { H a l l } , 1 } ^ { z } ( t ) } { r ^ { 2 } } + \frac { I _ { \mathrm { H a l l } , 2 } ^ { z } ( t ) } { r _ { 2 } } \Big ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \mathcal { O } \Big ( \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { i } } \Big ) ^ { 2 } + ( r _ { 2 } \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 4 } \Big ) , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { x _ { i } } \\ { \mathbf { r } ^ { T } \mathbf { x } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { u _ { 1 } } \\ { 1 } & { u _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \cdot \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { f } ( u _ { 1 } ) ^ { T } \mathbf { x } } \\ { \mathbf { f } ( u _ { 2 } ) ^ { T } \mathbf { x } } \end{array} \right]
\frac { D w _ { \pm } } { D t } = \pm ( \textbf { V } _ { A } \cdot \nabla ) w _ { \pm } - w _ { \pm } \nabla \cdot \bigg ( \frac { \textbf { U } } { 2 } \pm \textbf { V } _ { A } \bigg ) + R _ { \pm } .
\begin{array} { r l r } { ( g _ { \delta } ) _ { x } ( x , y ) } & { = } & { 2 a _ { 2 } ( \delta ) x + \cdots + ( N - 1 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x ^ { N - 2 } + N x ^ { N - 1 } h _ { \delta } + x ^ { N } ( h _ { \delta } ) _ { x } } \\ & { } & { + y i _ { \delta } + x y ( i _ { \delta } ) _ { x } + y ^ { 2 } ( j _ { \delta } ) _ { x } . } \end{array}