harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Phi ^ { ( 1 ) } = \Phi _ { 0 } , \ \Phi ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } ( - 1 + i \sqrt { 3 } ) \Phi _ { 0 } , \, P h i ^ { ( 3 ) } = \frac { 1 } { 2 } ( - 1 - i \sqrt { 3 } ) \Phi _ { 0 } , \ \Phi ^ { ( 4 ) } = 0 .
\begin{array} { r l } { \delta _ { i + 1 } } & { = f _ { 6 } ( c _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { > \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { = f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) . } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { N } _ { \Delta } } { \partial q } \left( q _ { \Delta } - q \right) \approx \underbrace { \mathcal { N } _ { \Delta } ( q _ { \Delta } ) } _ { = 0 } - \underbrace { \mathcal { N } _ { \Delta } ( q ) } _ { \mathcal { F } } \, ,
- \frac { i } { \sqrt { 2 } N } \left( \! \! \begin{array} { c c } { { \nu } } & { { \nu ^ { c } } } \end{array} \! \! \right) \left( \begin{array} { c c } { { - \frac m { v _ { \chi } } v _ { \chi } v _ { H } ^ { 2 } } } & { { \frac { m _ { D } } { v _ { H } } 2 v _ { H } v _ { \chi } ^ { 2 } } } \\ { { \frac { m _ { D } } { v _ { H } } 2 v _ { H } v _ { \chi } ^ { 2 } } } & { { \frac M { v _ { S } } v _ { S } ( v _ { H } ^ { 2 } + 4 v _ { \chi } ^ { 2 } ) } } \end{array} \right) \left( \! \! \begin{array} { c } { { \nu } } \\ { { \nu ^ { c } } } \end{array} \! \! \right) G _ { M } + \mathrm { h . c . }
y _ { i j } = | \vec { y _ { i } } - \vec { y _ { j } } | \eta = \frac { y _ { 1 2 } y _ { 3 4 } } { y _ { 1 4 } y _ { 2 3 } } \zeta = \frac { y _ { 1 2 } y _ { 3 4 } } { y _ { 1 3 } y _ { 2 4 } }
\pi = \frac { \operatorname* { m a x } ( 0 , \operatorname* { m i n } ( t _ { 1 } ^ { e n d } , t _ { 2 } ^ { e n d } ) - \operatorname* { m a x } ( t _ { 1 } ^ { s t a r t } , t _ { 2 } ^ { s t a r t } ) ) } { D _ { 1 } + D _ { 2 } }
\ell = \left( \frac { a ^ { 2 } + r ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } \right) \frac { \partial } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial r } + \left( \frac { a } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } \right) \frac { \partial } { \partial { \phi } }
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } _ { e \in \mathit { E } } \| \Delta _ { e } \| _ { 2 } } & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { e \in \mathit { E } } \left\{ \frac { \| P _ { \mathit { F } } P _ { \mathit { E } _ { - e } } \| _ { 2 } } { 1 - \| P _ { \mathit { F } } P _ { \mathit { E } _ { - e } } \| _ { 2 } } + \| P _ { \mathit { F } } P _ { \mathit { E } _ { - e } } \| _ { 2 } \right\} } \\ & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { e \in \mathit { E } } \left\{ \frac { R ( X _ { \mathit { F } } , X _ { \mathit { E } _ { - e } } ) } { 1 - R ( X _ { \mathit { F } } , X _ { \mathit { E } _ { - e } } ) } + R ( X _ { \mathit { F } } , X _ { \mathit { E } _ { - e } } ) \right\} } \\ & { \leq } & { \frac { R ( X _ { \mathit { F } } , X _ { \mathit { E } } ) } { 1 - R ( X _ { \mathit { F } } , X _ { \mathit { E } } ) } + R ( X _ { \mathit { F } } , X _ { \mathit { E } } ) } \\ & { \leq } & { ( 1 + c ^ { - 1 } ) R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { b a l l ~ w r t ~ w a l l } } & { { } = } & { X _ { b a l l ~ w r t ~ c a m e r a } - X _ { c l o c k ~ w r t ~ c a m e r a } } \\ { Y _ { b a l l ~ w r t ~ w a l l } } & { { } = } & { Y _ { b a l l ~ w r t ~ c a m e r a } - Y _ { c l o c k ~ w r t ~ c a m e r a } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { 1 , i , \mathrm { H } } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z ) = c _ { 1 , i } ^ { - } e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } | \mathbf { q } | } + c _ { 1 , i } ^ { + } e ^ { \frac { | z | } { \hbar } | \mathbf { q } | } . } \end{array}
V ( \mathbf { x } ) = { \frac { W } { m } } = { \frac { 1 } { m } } \int _ { \infty } ^ { x } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { x } = { \frac { 1 } { m } } \int _ { \infty } ^ { x } { \frac { G m M } { x ^ { 2 } } } d x = - { \frac { G M } { x } } ,
\begin{array} { r l } { H [ \boldsymbol { \phi } ] } & { = \left[ \exp \left\{ - i \sum _ { k , j \in \mathcal { T } } \int d t \big [ \phi _ { k j } ( t ) z _ { k j } ( t ) + \underline { { J } } _ { k j } ^ { ( t t ) } x _ { j } ( t ) \hat { f } _ { k } ( t ) \big ] \right\} \right] _ { \underline { { \mathbf { J } } } } } \\ & { \propto \exp \left\{ - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 N _ { t } } \sum _ { i , j } \left[ \int d t \big ( \phi _ { i j } + x _ { j } \hat { f } _ { i } \big ) \right] ^ { 2 } - \frac { \Gamma \lambda ^ { 2 } } { 2 N _ { t } } \sum _ { i , j } \int d t d t ^ { \prime } \Big [ \phi _ { i j } ( t ) + x _ { j } ( t ) \hat { f } _ { i } ( t ) \Big ] \cdot \Big [ \phi _ { j i } ( t ^ { \prime } ) + x _ { i } ( t ^ { \prime } ) \hat { f } _ { j } ( t ^ { \prime } ) \Big ] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 / 2 , 0 ) \times _ { \mathbb { C } } ( \exp ( ( 0 , x ) ) + _ { \mathbb { C } } \exp ( 0 , - x ) ) ) } \\ { = \, } & { ( 1 / 2 , 0 ) \times _ { \mathbb { C } } ( ( \cos ( x ) , \sin ( x ) ) + _ { \mathbb { C } } ( \cos ( x ) , - \sin ( x ) ) ) } \\ { = \, } & { ( 1 / 2 , 0 ) \times _ { \mathbb { C } } ( 2 \times _ { \mathbb { R } } \cos ( x ) , 0 ) } \\ { = \, } & { \phi ( 1 / 2 ) \times _ { \mathbb { C } } \phi ( 2 \cos ( x ) ) } \\ { = \, } & { \phi ( \cos ( x ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { C \varepsilon _ { m } \bigl \| f \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \bigl \| g \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } } \qquad } & { { } } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { N } } \Bigl ( S _ { 1 } - \frac { \alpha ( N - 1 ) } { 2 } \int _ { N ^ { - 1 / \alpha } } ^ { 1 } \frac { \ln \cosh ( \beta x ) } { x ^ { 1 + \alpha } } d x \Bigr ) = \frac { \sum _ { i < j } X _ { i j } } { \sqrt { N } } \stackrel { d } { \to } N \Bigl ( 0 , \ \frac { \alpha } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \bigl ( \ln \cosh ( \beta x ) \bigr ) ^ { 2 } } { x ^ { 1 + \alpha } } d x \Bigr ) .
\begin{array} { r } { \frac 1 2 | D \varphi | ^ { 2 } + h ( \rho ) = \frac 1 2 | D \varphi _ { 2 } | ^ { 2 } + ( \varphi _ { 2 } - \varphi ) + h ( \rho _ { 2 } ) \geq \frac 1 2 | D \varphi _ { 2 } | ^ { 2 } \geq 0 \, . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \overline { { S } } _ { i } ^ { N } \big ( t _ { N } \big ) \right] \underset { N \to \infty } { \sim } \underbrace { \frac { 2 b _ { 0 } \gamma } { \lambda _ { 0 } } N ^ { 1 - \alpha } } _ { \substack { \mathrm { n u m b e r ~ o f } \, \textit { a n c e s t r a l } \, \textit { r e s i s t a n t c e l l s } } } \underbrace { \frac { \omega \lambda _ { 0 } } { \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 0 } } I ( i ) N ^ { \lambda _ { 1 } t } } _ { \substack { \mathrm { c o n t r i b u t i o n ~ o f ~ a ~ c e l l } } } .
f _ { \mathrm { B } } ~ = ~ 1 . 0 7 \pm 0 . 0 8 ~ ( { 1 \sigma } ) ~ ~ [ f _ { \mathrm { B } } ~ = ~ 1 . 0 7 _ { - 0 . 2 5 } ^ { + 0 . 2 3 } ] ~ ( { 3 \sigma } ) ~ ( \mathrm { L M A } ) .
\begin{array} { r l } { B _ { u } ( z , w ) } & { : = \int _ { \Omega } [ ( b + a ( y _ { u } ) ) \nabla z + \mathbb { 1 } _ { \{ y _ { u } \neq \bar { t } \} } a ^ { \prime } ( y _ { u } ) z \nabla y _ { u } ] \cdot \nabla w \, \mathrm { d } x , } \\ { B _ { u , h } ( z , w ) } & { : = \int _ { \Omega } [ ( b + a ( y _ { h } ) ) \nabla z + \mathbb { 1 } _ { \{ y _ { h } \neq \bar { t } \} } a ^ { \prime } ( y _ { h } ) z \nabla y _ { h } ] \cdot \nabla w \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { D _ { H } } \mathcal { E } ( u , \bar { u } ) - \omega ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x = \Re \int _ { \mathbb { R } } M ( \xi ) \hat { u } ( \xi , H ) \cdot \bar { \hat { u } } ( \xi , H ) \, \mathrm { d } \xi - \Re \int _ { D _ { H } } g \cdot \bar { u } \, \mathrm { d } x } \\ { \le - \Re \int _ { D _ { H } } g \cdot \bar { u } \, \mathrm { d } x + \Re \int _ { | \xi | \le k _ { s } } M ( \xi ) \hat { u } ( \xi , H ) \cdot \bar { \hat { u } } ( \xi , H ) \, \mathrm { d } \xi . } \end{array}
a _ { \textbf { p } } ^ { S F A } ( t ) = - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } \langle { \textbf { p } } | e ^ { - i \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } { \hat { H } } _ { V } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } { \hat { H } } _ { I } ( t ^ { \prime } ) e ^ { - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t ^ { \prime } } { \hat { H } } _ { 0 } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } | { \psi ( t _ { 0 } ) } \rangle \quad ( 1 . 4 )
[ x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ] \mapsto \left[ { \frac { x _ { 1 } } { 1 - x _ { n } } } , { \frac { x _ { 2 } } { 1 - x _ { n } } } , \ldots , { \frac { x _ { n - 1 } } { 1 - x _ { n } } } \right] .
\begin{array} { r l } { Q _ { \phi } ( u ) } & { = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi r } \int _ { 0 } ^ { L } f g \left( f ^ { \prime \prime } g + f g ^ { \prime \prime } + f g ^ { \prime } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } f g \right) e ^ { t } \, d s \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi r } f ^ { 2 } \, d s \int _ { 0 } ^ { L } g ^ { 2 } e ^ { t } \, d t - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi r } f ^ { 2 } \, d s \int _ { 0 } ^ { L } g ( g ^ { \prime \prime } + g ^ { \prime } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } g ) e ^ { t } \, d t . } \end{array}
L _ { m } ( u , \psi ) = I _ { \mathrm { n p } } ( u ) + \int _ { \Omega } \left[ \rho \psi - \frac { \epsilon ( u ) } { 2 } | \nabla \psi | ^ { 2 } - ( 1 - u ) ^ { 1 / ( 2 m + 1 ) } B ( \psi ) \right] \, d x
\mathrm { ~ \small ~ \displaystyle ~ \frac ~ { ~ 3 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \ensuremath { D _ { s } } = \mathrm { ~ \small ~ \displaystyle ~ \frac ~ { ~ 3 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } I _ { \perp } \bigl [ q _ { p } ( k a ) \bigr ] = \ensuremath { \mathcal { D } _ { \perp } } + \chi ( p ) a ^ { 2 } \upsilon
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { { } = ( q _ { \uparrow } - q _ { \downarrow } ) ^ { 2 } , } \\ { J _ { \perp } } & { { } = 2 \left[ 6 q _ { \uparrow \downarrow } ^ { 2 } - 4 \left[ | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { + 1 } | ^ { 2 } + | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { - 1 } | ^ { 2 } \right] + \left[ | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { + 2 } | ^ { 2 } + | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { - 2 } | ^ { 2 } \right] \right] , } \end{array}
f ^ { \pm } \approx \frac { 6 . 3 2 4 c } { 2 \pi a \sqrt { \varepsilon \mu ^ { \pm } + 2 } } \biggl [ 0 . 2 7 + 0 . 3 6 \frac { a } { 2 h } + 0 . 0 2 \left( \frac { a } { 2 h } \right) ^ { 2 } \biggr ] .
P ( x ) = { \frac { w _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } } e ^ { - \Gamma ( \tau _ { 0 } + 2 \mu x ) } \int d x ^ { \prime } e ^ { - { \frac { ( 2 x - x ^ { \prime } - \lambda ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } P ( x ^ { \prime } ) .
g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) = - g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) + \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d y } { y } } g _ { 1 } ( y , Q ^ { 2 } ) + \bar { g } _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) ,
\tilde { F } _ { M } ( \tilde { r } ) = \left( \frac { 3 } { 2 } \frac { N _ { \mu } ^ { 2 } } { \tilde { r } ^ { 4 } } \right) \alpha ^ { 2 } = \tilde { \xi } _ { M } \alpha ^ { 2 } \frac { 1 } { \tilde { r } ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r l } & { z _ { 1 , \star } = z _ { 1 , \star } ( \zeta ) : = \sqrt { 2 } e ^ { \frac { \pi i } { 4 } } \sqrt { \omega \frac { 4 - 3 k _ { 4 } \zeta - k _ { 4 } ^ { 3 } \zeta } { 4 k _ { 4 } ^ { 4 } } } , \qquad - i \omega k _ { 4 } z _ { 1 , \star } > 0 , } \\ & { z _ { 2 , \star } = z _ { 2 , \star } ( \zeta ) : = \sqrt { 2 } e ^ { \frac { \pi i } { 4 } } \sqrt { - \omega ^ { 2 } \frac { 4 - 3 k _ { 2 } \zeta - k _ { 2 } ^ { 3 } \zeta } { 4 k _ { 2 } ^ { 4 } } } , \qquad - i \omega ^ { 2 } k _ { 2 } z _ { 2 , \star } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( y _ { i } , y _ { t } ) = } & { \frac { N _ { I } } { N _ { I } + N _ { T } } P _ { I } ( y _ { i } , y _ { t } ) + \frac { N _ { T } } { N _ { I } + N _ { T } } P _ { T } ( y _ { i } , y _ { t } ) } \\ { = } & { - \frac { a ( w - 1 ) ( N _ { I } v _ { I } + N _ { T } v _ { T } ) + 1 } { ( w - 1 ) ( N _ { I } + N _ { T } ) } + \frac { N _ { I } ( v _ { I } - 1 ) } { N _ { I } + N _ { T } } y _ { i } } \\ & { + \frac { N _ { T } v _ { T } ( w - 1 ) - 2 r + 1 } { ( w - 1 ) ( N _ { I } + N _ { T } ) } y _ { t } + \frac { N _ { I } } { N _ { I } + N _ { T } } y _ { i } y _ { t } } \\ & { + \frac { \left[ ( 2 r - 1 ) y _ { t } + 1 \right] \left[ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 \right] ^ { N _ { I } } } { ( w - 1 ) ( N _ { I } + N _ { T } ) } } \end{array}
\mathcal { C } ^ { \mathrm { 2 P } } = \{ ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 4 } \ | \ ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \neq ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \} \; .
F _ { 6 } ( s _ { 0 } , m _ { k } ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 4 m ^ { 2 } } ^ { s _ { 0 } } \, \frac { g _ { 0 } ( s ) } { s - m _ { k } ^ { 2 } } \, \, \frac { m _ { s } ^ { 2 } ( 1 \, \mathrm { G e V } ) } { m _ { s } ^ { 2 } ( s ) } \left( 1 \pm h ( s ) \right) \, d s \, .
\mathcal { I } ^ { ( s ) } ( \mathbf { r } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathbf { r } \in \mathcal { V } _ { s } , } \\ { 0 , } & { \mathbf { r } \notin \mathcal { V } _ { s } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { n } ^ { k } ( \vartheta ) = \mathcal { B } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } } & { { } b _ { m } \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } \frac { \delta t } { 2 } \Big [ \mu _ { m } \left( t _ { l } ^ { k } \right) \mathcal { P } _ { m } ^ { n } \left( t _ { l } ^ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { l l } { { } } & { { { \displaystyle R _ { i a } ^ { ( n ) } = - \frac { i } { 2 } \mathrm { T r } ( \tau _ { a } U _ { H } ^ { + } ( { \bf r } _ { n } ) \partial _ { i } U _ { H } ( { \bf r } _ { n } ) ) = r _ { n } \left( c _ { n } s _ { n } ( \delta _ { i a } - \hat { \bf r } _ { n i } \hat { \bf r } _ { n a } ) + \frac { F _ { n } ^ { \prime } } { r _ { n } } \hat { \bf r } _ { n i } \hat { \bf r } _ { n a } + s _ { n } ^ { 2 } \epsilon _ { i a l } \hat { \bf r } _ { n l } \right) } ~ , } } \\ { { } } & { { { \displaystyle T _ { b c } ^ { ( n ) } = 2 ~ \epsilon _ { i l b } ~ r _ { n l } ~ R _ { i c } ^ { ( n ) } = 2 ~ r _ { n } ^ { 2 } \left( - s _ { n } ^ { 2 } ( \delta _ { b c } - \hat { \bf r } _ { n b } \hat { \bf r } _ { n c } ) + s _ { n } c _ { n } ~ \epsilon _ { b c l } ~ \hat { \bf r } _ { n l } \right) } ~ , } } \\ { { } } & { { { \displaystyle \alpha _ { i a } ^ { ( n ) } = \epsilon _ { i j k } ~ \epsilon _ { a b c } ~ R _ { b j } ^ { ( n ) } ~ R _ { c k } ^ { ( n ) } } ~ , } } \\ { { } } & { { { \displaystyle r _ { n } \equiv \vert { \bf r } _ { n } \vert ~ , ~ ~ F _ { n } \equiv F ( r _ { n } ) ~ , ~ ~ F _ { n } ^ { \prime } \equiv \frac { \partial F _ { n } } { \partial r _ { n } } ~ , ~ ~ c _ { n } \equiv \frac { \cos F _ { n } } { r _ { n } } ~ , ~ ~ s _ { n } \equiv \frac { \sin F _ { n } } { r _ { n } } ~ , ~ ~ ~ ~ n = 1 , 2 ~ ~ . } } } \end{array}
\partial _ { t } \theta _ { m _ { * } } - \kappa _ { m _ { * } } \Delta \theta _ { m _ { * } } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m _ { * } } \cdot \nabla \theta _ { m _ { * } } = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } & { n l _ { 3 } = \frac { L _ { 1 } ^ { 2 } \left[ - ( L _ { 1 } ^ { 2 } - 4 ) + \sqrt { 3 } j ( L _ { 1 } ^ { 2 } + 4 ) \right] } { 3 6 R \bar { \tau } D } \left( \frac { R } { k } \sum _ { i , j } x _ { i } x _ { j } A _ { i } ^ { 2 } + \dot { k } \right) } \\ & { + \frac { L _ { 1 } \left[ ( C + 2 - B ) - \sqrt { 3 } j ( C + 2 + B ) \right] } { 2 7 R \bar { \tau } D } \dot { k } + } \\ & { + \left[ 1 + \frac { ( L _ { 1 } ^ { 5 } / 2 - 4 L _ { 1 } ^ { 2 } + E ) + \sqrt { 3 } j ( L _ { 1 } ^ { 5 } / 2 - 4 L _ { 1 } ^ { 2 } - E ) } { 1 0 8 R \bar { \tau } D } \right] \dot { k } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d g _ { 2 } ( y ( t ) ) } & { = } & { \left[ \frac { \partial g _ { 1 } } { \partial t } + y ( t ) f _ { 2 } [ x ( t ) , y ( t ) ] \cdot \frac { \partial g _ { 1 } } { \partial y } + \frac { \partial ^ { 2 } g _ { 1 } } { \partial y ^ { 2 } } \cdot \frac { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } \right] d t + y ( t ) \sigma _ { 1 } \frac { \partial g _ { 1 } } { \partial y } d W _ { 1 } ( t ) } \\ & { = } & { \left[ e ^ { r _ { 2 } + H _ { 2 } - y ( t ) - \frac { m } { a + y ( t ) } - \frac { b + c x ( t ) } { 1 + p y ( t ) ( b + c x ( t ) ) } } - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right] d t + \sigma _ { 2 } d W _ { 2 } ( t ) } \\ & { \geq } & { \left[ e ^ { r _ { 2 } + H _ { 2 } - y ( t ) - \frac { m } { a } - \frac { 1 } { p } } - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right] d t + \sigma _ { 2 } d W _ { 2 } ( t ) } \\ & { \geq } & { \left[ e ^ { r _ { 2 } + H _ { 2 } - \frac { m } { a } - \frac { 1 } { p } } ( - y ( t ) + \theta ) - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right] d t + \sigma _ { 2 } d W _ { 2 } ( t ) \; . } \end{array}
\delta = \left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { 0 , \infty } ^ { ( E P ) } , } & { \mathrm { ~ 2 ~ D ~ } ; } \\ { \psi _ { 0 , \infty } ^ { ( E P ) } / \sqrt { r _ { 0 , \infty } } , } & { \mathrm { ~ 3 ~ D ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \chi \star f v _ { \mathcal { P } } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \rho ^ { \Psi ( t ) } - \rho ^ { \Psi _ { 0 } } } { \varepsilon } = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \rho ^ { \Phi ( t ) } - \rho ^ { \Phi _ { 0 } } } { \varepsilon } = \chi _ { 0 } \star f v _ { \mathcal { P } } + \chi _ { 0 } \star \bigr ( F _ { H } + F _ { \mathrm { x c } } \bigr ) ( \chi \star f v _ { \mathcal { P } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { n + 1 } ( s , a ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { a } \Bigm [ R _ { 0 } ( s , a ) - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v _ { n } ) + \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) \operatorname* { m a x } _ { a } Q _ { n } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) \Bigm ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \left( \frac { \gamma - 1 } { \gamma } T _ { b } \alpha + \frac { d { T } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { d { T } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { - } \right) ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 L e \hat { \Lambda } _ { 0 } \hat { \rho } _ { 0 } \left( \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 - } } - \frac { d } { d z } \left( { T } _ { 0 } + \frac { q } { L e } { Y } _ { 0 } \right) \Big | _ { - } I \right) , } \end{array}
\langle 0 p _ { 1 } p _ { 2 } p _ { 3 } p _ { 4 } \rangle = { \frac { \xi _ { 1 2 3 } ^ { 2 } \xi _ { 1 2 4 } ^ { 2 } } { ( 1 2 ) ^ { 2 } } } { \cal F } ^ { p _ { 1 } - 2 \vert p _ { 2 } - 2 \vert p _ { 3 } - 2 \vert p _ { 4 } - 2 } ( x , u ) + O ( \theta ^ { 5 } \bar { \theta } ) \; .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \ell } ( { \bf r } ) \approx \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \mathrm { i } \, \ell ^ { 2 } z / z _ { T } } } & { \int _ { 0 } ^ { \mathrm { N A } } \! \! \! \theta d \theta \, J _ { 0 } ( 2 \pi \theta R / \lambda _ { e } ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \pi \theta ^ { 2 } z / \lambda _ { e } } } \\ & { \times J _ { \ell } \big [ 2 | \beta ( \theta ) | \big ] \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \mathrm { a r g } \{ - \beta ( \theta ) \} } , } \end{array}
L _ { t h e r m a l } = \Gamma _ { o u t } \frac { N B _ { n r 1 2 } n _ { p n 1 2 } \frac { \gamma _ { r } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { n r } } } { \Gamma _ { o u t } + N B _ { r 1 2 } \left( 1 - \frac { \gamma _ { r } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { n r } } \right) }
\sin \theta \cos \theta \sin \phi = \mathrm { ~ i ~ } \sqrt { \frac { 2 \pi } { 1 5 } } ( Y _ { 2 } ^ { - 1 } + Y _ { 2 } ^ { 1 } ) , \quad \cos ^ { 2 } \theta = \frac { 1 } { 3 } \left( 2 \sqrt { 4 \pi / 5 } Y _ { 2 } ^ { 0 } + \sqrt { 4 \pi } Y _ { 0 } ^ { 0 } \right) .
T _ { \mathrm { t r a i n } } ^ { \mathrm { M F M L } } = 4 \cdot 3 . 5 3 \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } + 8 \cdot 1 . 0 2 \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } + 1 6 \cdot 0 . 6 5 \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \approx 3 2 \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ }
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \omega } Z ( S _ { p _ { n } } , S _ { k - 1 } ) } & { = \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } , } \\ { \mathrm { V a r } _ { \omega } Z ( S _ { p _ { n } } , S _ { k - 1 } ) } & { = \sum _ { j = p _ { n } + 1 } ^ { k - 1 } \Pi _ { p _ { n } + 1 , j - 1 } ^ { 2 } \mathrm { V a r } _ { \omega } Z ( S _ { j - 1 } , S _ { j } ) \Pi _ { j + 1 , k - 1 } . } \end{array}
\textnormal { C r e s t p h a s e } : \theta \in \bigg [ 0 , \frac { \pi } { 2 } \bigg ] \cup \bigg [ \frac { 3 \pi } { 2 } , 2 \pi \bigg ] , \qquad \textnormal { T r o u g h p h a s e } : \theta \in \bigg [ \frac { \pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } \bigg ] .
\begin{array} { r l } { \dot { \mu } _ { t } ^ { ( j ) } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } { m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( l ) } \right) } \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) , } \\ { \dot { \omega } _ { t } ^ { ( j ) } } & { = \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { t } ^ { ( j ) } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( l ) } \right) } - 1 \right] \omega _ { t } ^ { ( j ) } , } \end{array}
\frac { d N _ { L } } { d t } = ( 3 v _ { \infty } ^ { 2 } - f ) H N _ { L } + \frac { 3 } { 2 } \frac { v _ { \infty } ^ { 2 } } { \ell _ { \mathrm { f } } } N _ { L } + \left( \frac { 1 } { \alpha } G ( \alpha N _ { L } ) + \frac { 3 } { 2 } { \tilde { c } } N _ { L } \right) \frac { v _ { \infty } } { L } \, ;
f ( \mathbf { x } ) = \left( \det ^ { * } ( 2 \pi { \boldsymbol { \Sigma } } ) \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \, e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \! { \mathsf { T } } } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { + } ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) }
\Phi _ { j m \bar { m } } ^ { w } = \Psi _ { j m \bar { m } } e ^ { \sqrt { \frac { 2 } { k } } [ ( m + { \frac { k } { 2 } } w ) X + ( \bar { m } + { \frac { k } { 2 } } w ) \bar { X } ] } ~ .
\mathtt { a t o m \_ s i g m a } = 0 . 5 , \mathtt { l \_ m a x } = 6 , \mathtt { n \_ m a x } = 1 2 , \mathtt { c u t o f f } = 6 . 0 , \mathtt { c u t o f f \_ t r a n s i t i o n \_ w i d t h } = 1 . 0 , \mathtt { d e l t a } = 0 . 2 , \mathtt { c o v a r i a n c e \_ t y p e } = \mathtt { d o t \_ p r o d u c t } , \mathtt { n \_ s p a r s e } = 1 0 0 0 , \mathtt { z e t a } = 4 , \mathtt { e n e r g y \_ s c a l e } = 1 . 0 , \mathtt { a t o m \_ g a u s s i a n \_ w i d t h } = 1 . 0
\begin{array} { c c l } { | \Psi _ { \mathrm { p h o } } ( t ) | ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } - 1 } \left| \langle \phi _ { 0 } | \hat { a } _ { p } | \Psi ( t ) \rangle \right| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } - 1 } \left| \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { m o d e } } } c _ { m } ( t ) \alpha _ { p } ^ { m } \right| ^ { 2 } } \end{array}
C ( \tau ) = c \cdot \left( g ^ { ( 2 ) } ( 0 ) _ { \mathrm { f i t } } \exp ( - | \tau | / \tau _ { \mathrm { d e c } } ) + \sum _ { n \neq 0 } \exp ( - \left| \tau - n \tau _ { 0 } \right| / \tau _ { \mathrm { d e c } } ) \right) ,
\begin{array} { r l r } { \lambda \left\{ \Sigma ^ { 1 / 2 } \left( \begin{array} { l l } { \Sigma _ { m m } ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \Sigma ^ { 1 / 2 } \right\} } & { = } & { \lambda \left\{ \left( \begin{array} { l l } { \Sigma _ { m m } ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \Sigma \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( | \bar { Y } _ { i } | ^ { 3 } ) = \frac { \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) } { \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) } = 1 . } \end{array}