harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { U _ { 2 } ( z ) U _ { 1 } ( w ) } & { \sim } & { - h _ { 1 } h _ { 2 } \left( \frac { - N ( N - 1 ) \alpha _ { 0 } } { ( z - w ) ^ { 3 } } + \frac { ( N - 1 ) U _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { ( N - 1 ) U _ { 1 } ^ { \prime } ( w ) } { z - w } \right) , } \\ { U _ { 1 } ^ { \prime } ( z ) U _ { 1 } ( w ) } & { \sim } & { - \frac { N } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \frac { - 2 } { ( z - w ) ^ { 3 } } , } \\ { U _ { 1 } U _ { 1 } ( z ) U _ { 1 } ( w ) } & { \sim } & { - \frac { 2 N } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \left( \frac { U _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { U _ { 1 } ^ { \prime } ( w ) } { ( z - w ) } \right) , } \end{array}
J _ { 0 } \to - \vartheta ^ { 2 } m _ { \infty } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { g _ { \infty } ^ { 2 } } - i \frac { ( \theta _ { 0 } + \theta _ { \infty } ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \right)
{ \cal L } _ { \mathrm { i n t } } ^ { e f f } = \frac { - i } { 2 } \frac { e { F _ { 3 } ^ { w } ( q ^ { 2 } ) } } { 2 m _ { \tau } } \overline { { { \psi } } } \sigma ^ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } \psi Z _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } \frac { e { F _ { 2 } ^ { w } ( q ^ { 2 } ) } } { 2 m _ { \tau } } \overline { { { \psi } } } \sigma ^ { \mu \nu } \psi Z _ { \mu \nu }
S _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } \xi \left[ \left( \partial _ { \tau } \psi _ { M } \right) ^ { 2 } + \left( \partial _ { \sigma } \psi _ { M } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { \tau ^ { 2 } } ( \psi _ { M } ) ^ { 2 } + \frac { c _ { m } ^ { \prime } } { \tau a } \left( \psi _ { m } \partial _ { \sigma } \psi _ { 0 } - \psi _ { 0 } \partial _ { \sigma } \psi _ { m } \right) \right] \: .
N _ { 2 } ^ { [ r ] } \, ( k ^ { 2 } , \, \Lambda ^ { 2 } ) \, = \, \zeta _ { 0 } \, \prod _ { l \, = \, 1 } ^ { r \, + \, 1 } \, \left( k ^ { 2 } \, + \, \sigma _ { l } ^ { [ r ] } \, \Lambda ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { l a p l - m G G A } } } & { = F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { G G A } } + } \\ & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial f _ { x c } } { \partial ( \nabla ^ { 2 } n _ { \sigma } ) } \Bigg [ 2 r \chi _ { \mu } ^ { \prime } ( r ) \chi _ { \nu } ( r ) } \\ & { + 2 r \chi _ { \mu } ( r ) \chi _ { \nu } ^ { \prime } ( r ) + 2 r ^ { 2 } \chi _ { \mu } ^ { \prime } ( r ) \chi _ { \nu } ^ { \prime } ( r ) } \\ & { + r ^ { 2 } \chi _ { \mu } ^ { \prime \prime } ( r ) \chi _ { \nu } ( r ) + r ^ { 2 } \chi _ { \mu } ( r ) \chi _ { \nu } ^ { \prime \prime } ( r ) \Bigg ] \mathrm { d } r . } \end{array}
F _ { n } ( Q ^ { 2 } ) = e x p \{ { \frac { ( \alpha _ { s } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) - \alpha _ { 0 } ) } { 2 b \alpha _ { 0 } } } d _ { n } ^ { N S } [ ( { \frac { Q _ { 0 } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } ) ^ { b } - 1 ] \} ~ .
x _ { j } \frac { \partial E _ { T } } { \partial x _ { j } } \; \sim \; \frac { \bar { \alpha } _ { s } } { F _ { 2 } } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } d t \, \exp \left( \frac { t } { 2 } + 2 \left[ \bar { \alpha } _ { s } ( T - t ) \log \left( \frac { x _ { j } } { x } \right) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 2 \left[ \bar { \alpha } _ { s } t \log \frac { 1 } { x _ { j } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right)
\forall _ { \substack { p q \in A \, r s \in B } } \ \ \ W _ { p q , r s } ^ { A B } ( \omega ) = \sum _ { L = 1 } ^ { N _ { \mathrm { C h o l } } } \tilde { C } _ { p q , L } ^ { A } ( \omega ) \tilde { C } _ { r s , L } ^ { B } ( \omega ) .
\begin{array} { r l r } { \langle \underline { { \varepsilon } } ( \vec { u } ) , \underline { { \sigma } } \rangle } & { = } & { \sum _ { T \in \mathcal { T } } \Big ( \int _ { T } \underline { { \sigma } } : \underline { { \varepsilon } } ( \vec { u } ) \, d \Omega - \int _ { \partial T } \underline { { \sigma } } _ { n n } \vec { u } _ { n } \, d \Gamma \Big ) } \\ & { = } & { \sum _ { T \in \mathcal { T } } \Big ( - \int _ { T } \operatorname { d i v } \underline { { \sigma } } \cdot \vec { u } \, d \Omega + \int _ { \partial T } \underline { { \sigma } } _ { n t } \vec { u } _ { t } \, d \Gamma \Big ) \ = \- \langle \operatorname { d i v } \underline { { \sigma } } , \vec { u } \rangle . } \end{array}
D ( \beta , \gamma ) = \left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { - i \gamma } \cos ^ { 2 } { \frac { \beta } { 2 } } } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sin { \beta } } } & { { e ^ { i \gamma } \sin ^ { 2 } { \frac { \beta } { 2 } } } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } e ^ { - i \gamma } \sin { \beta } } } & { { \cos { \beta } } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } e ^ { i \gamma } \sin { \beta } } } \\ { { e ^ { - i \gamma } \sin ^ { 2 } { \frac { \beta } { 2 } } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sin { \beta } } } & { { e ^ { i \gamma } \cos ^ { 2 } { \frac { \beta } { 2 } } } } \end{array} \right) .
\frac { \partial { \bf m } _ { p } ^ { T } } { \partial { \bf p } } = \left( v _ { 0 } ^ { 2 } { \bf I } - \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial { \bf p } } \otimes \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial { \bf p } } + \frac { 1 } { v _ { 0 } } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { 0 } } { \partial { \bf p } \partial { \bf p } ^ { T } } \right) \, ,
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { X } ( t ) = \alpha \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) + \alpha ^ { 2 } \Delta \mathbf { X } _ { 2 , 0 } ( t ) + \alpha \beta \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 1 } ( t ) + \mathrm { ~ c ~ u ~ b ~ i ~ c ~ a ~ n ~ d ~ h ~ i ~ g ~ h ~ e ~ r ~ - ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } , } \end{array}
\vec { \lambda } _ { j } ^ { ( 2 N ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { j } \vec { e } _ { k } , \quad j \leq N - 2 , \quad \vec { \lambda } _ { N - 1 } ^ { ( 2 N ) } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { 1 } ^ { N - 1 } \vec { e } _ { k } - \vec { e } _ { N } \right) , \quad \vec { \lambda } _ { N } ^ { ( 2 N ) } = \sum _ { 1 } ^ { N } { \frac { \vec { e } _ { k } } { 2 } } .
\frac { D } { D t } \rho \boldsymbol { v } = - \boldsymbol { \nabla } p + \mu \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { v } + \sigma _ { 1 2 } \kappa \delta _ { \mathrm { { S } } } \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } + \rho \boldsymbol { g } .
{ \begin{array} { r l } { F \left( { \hat { A } } \right) } & { = { \hat { A } } ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow \left\langle { \hat { A } } ^ { 2 } \right\rangle } & { = \int _ { R } \psi ^ { * } \left( \mathbf { r } \right) { \hat { A } } ^ { 2 } \psi \left( \mathbf { r } \right) \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } = \left\langle \psi \left\vert { \hat { A } } ^ { 2 } \right\vert \psi \right\rangle } \end{array} } \,
W ( t _ { 1 2 } ) = \frac { 1 2 ! } { ( 1 2 \times 4 \times 4 \times 3 ! ) \times ( 2 ! \times 3 ! \times 3 ! ) } = 3 \times 5 ^ { 2 } \times 7 \times 1 1 = 5 7 7 5
\begin{array} { r l r } { { \bf J } _ { \mathcal { T } } ( { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) } & { = } & { - { \bf \nabla } _ { i } \Phi ( { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) - { \bf J } _ { \Phi } ( { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } ( { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } , } \end{array}
\frac { \Delta t } { \Delta v } \sum _ { i j } \mathsf { E } ( \phi ) _ { i } \psi _ { i j } \, , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \phi = [ \phi _ { i j } ] \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \phi _ { i j } = \mathsf { f } _ { i j } ^ { n , \star } \left( \mathsf { g } _ { i , \, j - \mathrm { n } ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) } ^ { n , \star \star } - \mathsf { g } _ { i , \, j - \mathrm { n } ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) - 1 } ^ { n , \star \star } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { A ( \rho ) } & { { } = } & { \frac { \displaystyle \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + \rho ^ { n } ) ^ { 2 } } { \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \rho ^ { n ( n - 1 ) / 2 } } , } \\ { s ( \zeta , \rho ) } & { { } = } & { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \rho ^ { n ( n - 1 ) / 2 } \zeta ^ { n } . } \end{array}
H _ { \mathrm { e f f , m i s } } \approx H _ { \mathrm { 0 , m i s } } - \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { \Delta - \delta / 2 } D _ { A } ^ { \dagger } D _ { A } - \frac { g _ { B } ^ { 2 } } { \Delta + \delta / 2 } D _ { B } ^ { \dagger } D _ { B } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { C } } } { d t } } & { { } = } & { 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \oplus } ^ { 2 } R _ { \oplus } ^ { 2 } + \frac { G M _ { \oplus } } { R _ { \oplus } } \Big ( 1 - \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } J _ { \ell } P _ { \ell 0 } ( 0 ) + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { + \ell } P _ { \ell k } ( 0 ) ( C _ { \ell k } \cos k \phi + S _ { \ell k } \sin k \phi ) \Big ) \Big ] . ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( s _ { j } ) ) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } & { = \sum _ { \alpha } \mathbb { E } [ c _ { \alpha } ] \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq \sum _ { \alpha } \mathbb { E } [ c _ { \alpha } ] \mathbb { E } _ { \boldsymbol \mu } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( G ( B _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \mu } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( G ( y _ { j } ) ) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
Z _ { \mathrm { e f f } } = \int \mathcal { D } \Phi ^ { \Delta } \mathcal { D } \Phi _ { \Delta } ^ { * ( a ) } \mathcal { D } \bar { \Phi } _ { \Delta } ^ { ( a ) } \mathcal { D } \tilde { \Phi } _ { \Delta } \mathcal { D } \mu _ { a } ^ { \Delta } \mathcal { D } \nu _ { a } ^ { \Delta } \mathcal { D } \omega ^ { \Delta } \exp \left( i S _ { \mathrm { e f f } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \Big \| \Big ( { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { j b q / p } | \Psi _ { j } ( D ) T _ { j } f _ { j } | ^ { q } } \Big ) ^ { 1 / q } \Big \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } = \Big \| \Big ( { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { j b q / p } | \Psi _ { j } ( D ) S _ { j } f _ { j } | ^ { q } } \Big ) ^ { 1 / q } \Big \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \Big ( { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \| f _ { j } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { p } } \Big ) ^ { 1 / p } . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \sigma ^ { ( 0 ) } } { d y d Q ^ { 2 } } \equiv C ^ { ( 0 , 0 ) } ( y , Q ^ { 2 } ) = \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { y Q ^ { 4 } } \left[ y ^ { 2 } ~ 2 x F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) + 2 ( 1 - y ) ~ F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ \mathrm { ~ t h e ~ f i r s t ~ s t e p ~ o f ~ } \tilde { \gamma } _ { \delta } \mathrm { ~ i s ~ } b _ { \delta } b _ { \delta } ^ { + } ] } \\ { = } & { \frac { | \{ t ^ { \delta } \in S T ^ { \delta } ( \Omega _ { \delta } ) : \mathrm { ~ t h e ~ f i r s t ~ s t e p ~ o f ~ t h e ~ b r a n c h ~ c o n n e c t i n g ~ } a _ { \delta } b _ { \delta } \mathrm { ~ t o ~ } c _ { \delta } d _ { \delta } \mathrm { ~ i s ~ } b _ { \delta } b _ { \delta } ^ { + } \} | } { | S T ^ { \delta } ( \Omega _ { \delta } ) | } } \\ { = } & { \frac { | S F _ { 2 } ^ { \delta } ( \Omega _ { \delta } ) | } { | S T ^ { \delta } ( \Omega _ { \delta } ) | } \times \frac { | \{ f ^ { \delta } \in S F _ { 2 } ^ { \delta } ( \Omega _ { \delta } ) : b _ { \delta } ^ { + } \mathrm { ~ c o n n e c t s ~ t o ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \} | } { | S F _ { 2 } ^ { \delta } ( \Omega _ { \delta } ) | } } \\ { = } & { \frac { | S F _ { 2 } ^ { \delta } ( \Omega _ { \delta } ) | } { | S T ^ { \delta } ( \Omega _ { \delta } ) | } \times h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { { { { \tilde { L } } _ { k } } } } { { \| { A \tilde { M } ^ { - 1 } } \| ^ { 2 } } } } & { \le } & { \frac { 1 } { { \| r ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } } } \cdot \frac { \left\langle { { r ^ { ( k ) } } , A \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } } \right\rangle ^ { 2 } } { { \| { A \tilde { M } ^ { - 1 } } \| ^ { 2 } } \left( \| r ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } + \| r ^ { ( k ) } - r ^ { ( k - 1 ) } \| ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\mathscr { K } _ { p } = \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { R ( u ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } } { \kappa ( u ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } } ~ d u \right) \geq \frac { 1 } { \mathscr { S } } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } R ( u ) ^ { 1 / p } ~ d u \right) ^ { p }
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { = E , } \\ { a _ { 1 } E _ { 2 } } & { = ( T - \lambda _ { 1 } \mathrm { I d } _ { V } ) E _ { 1 } , } \\ { a _ { 2 } E _ { 3 } } & { = ( T - \lambda _ { 2 } \mathrm { I d } _ { V } ) E _ { 2 } , } \\ & { \ldots } \\ { a _ { s - 1 } E _ { d } } & { = ( T - \lambda _ { d - 1 } \mathrm { I d } _ { V } ) E _ { d - 1 } . } \end{array}
S _ { h } ^ { [ 3 , 2 ] } = \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h \overline { { b } } _ { 0 } B } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h a _ { 1 } A } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h \overline { { b } } _ { 1 } B } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h a _ { 2 } A } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h b _ { 1 } B } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h a _ { 1 } A } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h b _ { 0 } B } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \ddot { u } ( x , t ) + \Omega ^ { 2 } u ( x , t ) - c _ { 0 } ^ { 2 } u ^ { \prime \prime } ( x , t ) = } \\ & { } & { - g \Omega S ^ { x } ( x , t ) + \frac { g J b ^ { 2 } } { \hbar } ( S ^ { x } ) ^ { \prime \prime } } \\ & { } & { \Omega = \omega _ { 0 } - \frac { 2 J } { \hbar } , \; \; c _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 2 J \Omega b ^ { 2 } } { \hbar } , } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { x } = \sqrt { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \bar { x } ) ^ { 2 } } } \\ { s _ { y } = \sqrt { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - \bar { y } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 2 , 3 } = \left| \begin{array} { l l l l l } { R _ { 0 } } & { } & { } & { } & { } \\ { P _ { 2 } } & { - \Tilde { Q } _ { 2 } } & { } & { } & { } \end{array} \right| = - R _ { 0 } \Tilde { Q } _ { 2 } \prod _ { i = 3 } ^ { \infty } R _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e s s } \operatorname* { i n f } _ { x } } & { \left( z ( x , t _ { 0 } ) \right) - \mathrm { e s s } \operatorname* { i n f } _ { x } \left( z ( x , 0 ) \right) } \\ & { = \mathrm { e s s } \operatorname* { i n f } _ { x } \left( \tilde { z } ( x , t _ { 0 } ) + \int _ { - \infty } ^ { x } J ( u ( y , t ) ) d y \right) - \mathrm { e s s } \operatorname* { i n f } _ { x } \left( z ( x , 0 ) \right) } \\ & { \geq - \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } - E _ { 0 } - \varepsilon - \mathrm { e s s } \operatorname* { i n f } _ { x } \left( z ( x , 0 ) \right) > 0 , } \\ { \mathrm { e s s } \operatorname* { s u p } _ { x } } & { \left( w ( x , t _ { 0 } ) \right) - \mathrm { e s s } \operatorname* { s u p } _ { x } \left( w ( x , 0 ) \right) } \\ & { = \mathrm { e s s } \operatorname* { s u p } _ { x } \left( \tilde { w } ( x , t _ { 0 } ) + \int _ { - \infty } ^ { x } J ( u ( y , t ) ) d y \right) - \mathrm { e s s } \operatorname* { s u p } _ { x } \left( w ( x , 0 ) \right) } \\ & { \leq \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } + \varepsilon + E _ { 0 } - \mathrm { e s s } \operatorname* { s u p } _ { x } \left( w ( x , 0 ) \right) < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { t } ^ { e } } & { = \frac { h } { 3 0 } \left( \begin{array} { l l l } { 4 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 2 } & { 1 6 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { 4 } \end{array} \right) , } & { A _ { t t } ^ { e } = \frac { 1 } { 3 h } \left( \begin{array} { l l l } { 7 } & { - 8 } & { 1 } \\ { - 8 } & { 1 6 } & { - 8 } \\ { 1 } & { - 8 } & { 7 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ^ { \prime } ( t ) } & { = \frac { 1 } { n ( t ) } \left\langle y ^ { \prime } ( t ) , r \left( \theta ( t ) + \frac { \pi } { 2 } \right) \right\rangle } \\ & { = \left\langle ( 1 - \alpha ( t ) - \beta ( t ) ) B _ { 0 } + \beta ( t ) B _ { 1 } ) r ( \theta ( t ) ) , r \left( \theta ( t ) + \frac { \pi } { 2 } \right) \right\rangle } \\ & { = \left\langle \left( \begin{array} { l l } { - \lambda } & { - 2 + \frac { 3 } { 2 } \beta ( t ) + 2 \alpha ( t ) } \\ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 3 } { 2 } \beta ( t ) - \frac { 1 } { 2 } \alpha ( t ) } & { - \lambda } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \cos \theta ( t ) } \\ { \sin \theta ( t ) } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { - \sin \theta ( t ) } \\ { \cos \theta ( t ) } \end{array} \right) \right\rangle } \\ & { = \left( 2 - \frac { 3 } { 2 } \beta ( t ) - 2 \alpha ( t ) \right) \sin ^ { 2 } \theta ( t ) + \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 3 } { 2 } \beta ( t ) - \frac { 1 } { 2 } \alpha ( t ) \right) \cos ^ { 2 } \theta ( t ) } \\ & { = \frac { 1 - \alpha ( t ) } { 2 } + \frac { 3 } { 2 } \left( 1 - \alpha ( t ) - \beta ( t ) \right) \sin ^ { 2 } \theta ( t ) + \frac { 3 } { 2 } \beta ( t ) \cos ^ { 2 } \theta ( t ) } \\ & { \geq \frac { 1 - \alpha ( t ) } { 2 } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { i } } & { { } = } & { 4 \pi r _ { d } ^ { 2 } e n _ { i } \left( \frac { T _ { i } } { 2 \pi m _ { i } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( 1 - \frac { e \varphi _ { d } } { T _ { i } } \right) , } \\ { I _ { e } } & { { } = } & { - 4 \pi r _ { d } ^ { 2 } e n _ { e } \left( \frac { T _ { e } } { 2 \pi m _ { e } } \right) ^ { 1 / 2 } \exp \left( \frac { e \varphi _ { d } } { T _ { e } } \right) . } \end{array}
\mathbf { x } _ { 0 \mid t } = \frac { 1 } { \sqrt { \bar { \alpha _ { t } } } } \left( \mathbf { x } _ { t } - \epsilon _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } , \mathbf { m } , t ) \sqrt { 1 - \bar { \alpha } _ { t } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \boldsymbol \nabla } _ { t } ^ { k } \right\| \right] } & { \le \frac { F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } } { D M } + \frac { \mathop { \mathbb { E } } [ R _ { T } ( \mathbf { u } ^ { 1 } , \dots , \mathbf { u } ^ { K } ) ] } { D M } + \frac { \sigma } { \sqrt { T } } ~ . } \end{array}
{ \frac { \nabla _ { e } - \nabla _ { \mathrm { a d } } } { \nabla - \nabla _ { e } } } = { \frac { 9 } { 2 } } { \frac { K } { \rho c _ { P } \ell v _ { c } } } = { \frac { 9 } { 2 } } { \frac { \kappa _ { T } } { \ell v _ { c } } } \equiv { \frac { 9 } { 2 } } { \frac { 1 } { \mathrm { P e } } } \, ,
\frac { \operatorname * { d e t } D ( A ) } { \operatorname * { d e t } D ( 0 ) } \, = \, \prod _ { k } \left\{ \, \frac { v _ { + } ^ { \dagger } ( k \mid 0 ) v _ { + } ( k \mid A ) } { \mid v _ { + } ^ { \dagger } ( k \mid 0 ) v _ { + } ( k \mid A ) \mid } \frac { v _ { + } ^ { \dagger } ( k \mid A ) v _ { - } ( k \mid A ) } { v _ { + } ^ { \dagger } ( k \mid 0 ) v _ { - } ( k \mid 0 ) } \frac { v _ { - } ^ { \dagger } ( k \mid A ) v _ { - } ( k \mid 0 ) } { \mid v _ { - } ^ { \dagger } ( k \mid A ) v _ { - } ( k \mid 0 ) \mid } \, \right\} \; ,
S = \int d ^ { D } x \sqrt { | g _ { D } | } \left[ R _ { D } - \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla \phi \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 \phi } \left( \nabla \chi \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l r } { P _ { \mathrm { t r a n s } } ^ { \mathrm { i m p } } ( t ) } & { \approx } & { \prod _ { K \le G \gamma ( t ) } \frac { P _ { f } } { P _ { i } } ( K , \alpha ) } \\ & { = } & { \prod _ { K \le G \gamma ( t ) } \left[ 2 \exp ( - \frac { \pi \vert { \tilde { \epsilon } } _ { K } ^ { \textrm { i m p } } \vert ^ { 2 } } { 2 \alpha } ) - 1 \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z } & { = Z _ { m s } ( \omega ) + A _ { m } [ \textrm { i } \omega C _ { m s } ] ^ { - 1 } / S _ { d } \cos ( \textrm { i } \omega _ { m } t + \phi _ { m } ) } \\ & { = Z _ { m s } ( \omega ) + \delta Z ( \omega ) ( e ^ { \textrm { i } \omega _ { m } t } e ^ { \textrm { i } \phi _ { m } } + e ^ { \textrm { - i } \omega _ { m } t } e ^ { \textrm { - i } \phi _ { m } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathrm { B R O W N } } ( t ) } & { = \mu _ { \mathrm { R A N D } } ( t ) + \alpha ( \mu _ { \mathrm { B R O W N } } ( t - \Delta t ) - \mu _ { \mathrm { R A N D } } ( t ) ) + \beta \epsilon ( t ) , \quad \epsilon ( t ) \sim \mathcal { U } ( [ - 1 , 1 ] ) , } \\ { \mu _ { \mathrm { B R O W N } } ( 0 ) } & { = \mu _ { \mathrm { R A N D } } ( 0 ) , } \end{array}
I = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \big [ f _ { 2 } \dot { x } ^ { 2 } - \dot { f } _ { 2 } x \dot { x } + x ^ { 2 } \big \{ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \ddot { f } _ { 2 } + f _ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } + 2 x f _ { 2 } a _ { 0 } \big \} \big ] \, .
\begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } _ { 1 } ) ; p ( \mathbf { y } | \{ \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } \} ) \approx \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } L _ { j i } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { + \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 2 } L _ { j i } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 2 } ) ^ { 2 } } \right) \right) - 2 \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } L _ { j i } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { 1 2 } ) } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi _ { N } ^ { \otimes n } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { j _ { 1 } , . . . j _ { n } = 1 } ^ { N } \mathbb { E } \left[ \left( \partial _ { z _ { j _ { 1 } } } \cdot \cdot \cdot \partial _ { z _ { j _ { n } } } u _ { N } \right) ( t , Z ) \right] \xi _ { j _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdot \cdot \cdot \xi _ { j _ { n } } ( x _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \mathcal { O } \hat { r } } & { = } & { \hat { r } \left[ \mathcal { M } _ { \bf u } \hat { r } \hat { r } \mathcal { U } ( \tau _ { c } ) + \mathcal { M } _ { \bf d } \hat { r } \hat { r } \mathcal { U } ( 0 ) \right] \hat { r } } \\ & { = } & { \mathcal { M } _ { \bf d } \mathcal { U } ( 0 ) + \mathcal { M } _ { \bf u } \mathcal { U } ( \tau _ { c } ) } \\ & { = } & { \mathcal { O } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 B } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } \boldsymbol { q } ^ { T } \wedge \left( \mathsf { P } ^ { \mathcal { C } } + \mathsf { P } ^ { \mathcal { V } } - \mathsf { P } ^ { \mathcal { L } } - \mathsf { P } ^ { \mathcal { I } } \right) \mathrm { d } \boldsymbol { \phi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { \Omega } _ { N _ { s } } = } & { \vec { \Omega } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } ( \vec { \theta } _ { i } + \vec { \varphi } _ { i } ) + O ( \Delta t ^ { 5 / 2 } ) } \\ { = } & { \vec { \Omega } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \vec { \theta } _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \vec { \varphi } _ { i } + O ( \Delta t ^ { 5 / 2 } ) , } \end{array}
- ( 4 { \psi } f ^ { \prime } + { \frac { 2 } { 3 } } \psi ^ { 2 } f ^ { \prime \prime \prime } ) + \Delta \varphi ( f ^ { \prime } - { \frac { 1 } { 1 2 } } { \psi } f ^ { \prime \prime \prime } - { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } ) = 0 ,
G _ { u b } \left( \tau , \tau _ { 1 } \right) = \theta \left( \tau - \tau _ { 1 } \right) \varsigma \mathrm { e } ^ { - \varpi \left| \tau - \tau _ { 1 } \right| } \sin \left[ \varpi _ { g } \left( \tau - \tau _ { 1 } \right) \right] ,