harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
U = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 } c _ { 3 } } } & { { s _ { 1 } c _ { 3 } e ^ { i \beta } } } & { { s _ { 3 } e ^ { i ( \rho - \phi ) } } } \\ { { ( - s _ { 1 } c _ { 2 } - c _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } e ^ { i \phi } ) e ^ { - i \beta } } } & { { c _ { 1 } c _ { 2 } - s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } e ^ { i \phi } } } & { { s _ { 2 } c _ { 3 } e ^ { i ( \rho - \beta ) } } } \\ { { ( s _ { 1 } s _ { 2 } - c _ { 1 } c _ { 2 } s _ { 3 } e ^ { i \phi } ) e ^ { - i \rho } } } & { { ( - c _ { 1 } s _ { 2 } - s _ { 1 } c _ { 2 } s _ { 3 } e ^ { i \phi } ) e ^ { - i ( \rho - \beta ) } } } & { { c _ { 2 } c _ { 3 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { C X _ { p 3 } = n _ { H } Q _ { p 3 } ^ { C X } v } \\ { C _ { 3 p } = ( n _ { p } Q _ { 3 p } ^ { P } + n _ { H } Q _ { 3 p } ^ { H } + n _ { e } Q _ { 3 p } ^ { E } ) v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle \le } & { ~ c _ { \eta } ( I _ { 1 } + | I _ { 2 } | ) } \\ { \le } & { ~ c _ { \eta } \cdot ( 1 + \sigma ) \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \Gamma ( K , \epsilon , w ) \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \Gamma _ { i } ^ { [ K ] } \right] } \\ & { = \mathbb { E } [ w ( \tilde { \underline { { Y } } } ) ] + \mathbb { E } [ M - 1 ] \cdot \mathbb { E } [ \tilde { Y } + w ( \tilde { Y } ) ] + \mathbb { E } [ \tilde { \bar { Y } } ] } \\ & { = \mathbb { E } [ M ] \cdot \left( \mathbb { E } [ \tilde { Y } ] + \mathbb { E } [ w ( \tilde { Y } ) ] \right) } \\ & { = \frac { \frac { K } { \mu } + \mathbb { E } [ w ( \tilde { Y } ) ] } { 1 - \epsilon } } \end{array}
H _ { J } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i + 1 } + c _ { i + 1 } ^ { \dagger } c _ { i } + c _ { i } c _ { i + 1 } + c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i + 1 } ^ { \dagger } ) + \lambda \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { ( E _ { x \prime } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \delta } \left( \frac { \cos ^ { 2 } { \it \Psi } } { ( E _ { x } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { \sin ^ { 2 } { \it \Psi } } { ( E _ { y } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } - \frac { \sin ( 2 { \it \Psi } ) \cos \delta } { E _ { x } ^ { 0 } E _ { y } ^ { 0 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \nabla \otimes \nabla ^ { T } g ( x ) \right\rangle } & { { } = \int \rho \nabla \otimes \nabla ^ { T } g \, d ^ { D } x = \int g \nabla \otimes \nabla ^ { T } \rho \, d ^ { D } x } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { \lambda _ { i } ^ { 2 } } { 2 \pi } } \int _ { R } d ^ { 2 } z \cot ^ { 2 } ( \lambda _ { i } \log | \rho _ { i } | ) { \frac { | \partial \rho _ { i } | ^ { 2 } } { | \rho _ { i } | ^ { 2 } } } \leq { \frac { \lambda _ { i } ^ { 2 } } { 2 \pi } } \int _ { R } d ^ { 2 } z \, { \frac { | \partial \rho _ { i } | ^ { 2 } } { | \rho _ { i } | ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \lambda _ { i } \log | \rho _ { i } | ) } } = n - 3 \, . } \end{array}
\mathcal { F } ^ { - 1 } \Big [ ( \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } + \Delta _ { \bar { \mu } } \delta _ { \mu , \bar { \mu } } ) \psi _ { \mu } \Big ] = - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \theta } ^ { 2 } \psi + \Delta _ { \bar { \mu } } \psi _ { \bar { \mu } } e ^ { i { \bar { m } } \theta } ,
\Gamma ^ { 4 } + \frac { c ^ { 4 } k ^ { 4 } } { 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \Gamma ^ { 2 } = \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { p e } ^ { 2 } c ^ { 4 } k ^ { 4 } } { 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { 0 } & { < \mathrm { s t } \left( \operatorname* { P r } _ { \omega \in \mathcal { G } _ { n } } [ \alpha ( \omega ) \neq 0 \land E _ { \omega } ( \alpha ( \omega ) , \beta ( \omega ) ) \land ( E ( \alpha ( \omega ) , \gamma ( \omega ) ) \to \gamma ( \omega ) = \beta ( \omega ) ) ] \right) } \\ & { \leq \mathrm { s t } \left( \operatorname* { P r } _ { \omega \in \mathcal { G } _ { n } } [ \alpha ( \omega ) \neq 0 \land \deg _ { \omega } ( \alpha ( \omega ) ) = 1 ] \right) , } \end{array}
\Sigma = \mathrm { B S } \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 } \mathrm { I } _ { 2 } } & { 0 _ { 2 } } \\ { 0 _ { 2 } } & { N _ { 0 } \mathrm { I } _ { 2 } } \end{array} \right) \mathrm { B S } ^ { T } ,
\sigma _ { f } = \sqrt { \left( \frac { \partial f } { \partial a } \right) ^ { 2 } \sigma _ { a } ^ { 2 } + \left( \frac { \partial f } { \partial b } \right) ^ { 2 } \sigma _ { b } ^ { 2 } + 2 \rho _ { a b } \sigma _ { a } \sigma _ { b } \frac { \partial f } { \partial a } \frac { \partial f } { \partial b } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) } & { = \Pi \left( \pi _ { 1 _ { x } 1 _ { y } } d ( 0 , t ) ^ { \beta } + \pi _ { 1 _ { x } 2 _ { y } } d ( 0 , a + t ) ^ { \beta } + \pi _ { 1 _ { x } 1 _ { y } } d ( a , t ) ^ { \beta } + \pi _ { 2 _ { x } 2 _ { y } } d ( a , a + t ) ^ { \beta } \right) } \\ & { + K \left( 2 k _ { 1 _ { x } 2 _ { x } } d ( 0 , a ) ^ { \beta } + 2 k _ { 1 _ { y } 2 _ { y } } d ( t , a + t ) ^ { \beta } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } F \left( d ( 0 , g ( 0 ) ) ^ { \beta } + d ( a , g ( a ) ) ^ { \beta } + d ( \Tilde { g } ( t ) , t ) ^ { \beta } + d ( \Tilde { g } ( a + t ) , a + t ) ^ { \beta } \right) . } \end{array}
R ( Q ) = R _ { t r e e } \Big [ 1 + r _ { 1 } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } + r _ { 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 2 } + \ldots \Big ] + \sum _ { s } \frac { H _ { s } } { ( Q ^ { 2 } ) ^ { s } } \, ,
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + \alpha \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } _ { t } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( { \tilde { u } } { \tilde { v } } ) _ { x } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } - \overline { { v } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } _ { x } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } + \alpha ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } . } \end{array}
V ( \theta ) = - \frac { 1 } { R ^ { 4 } } \sum _ { I } ( - 1 ) ^ { F _ { I } } \frac { 3 } { 6 4 \pi ^ { 6 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \cos ( n q \theta ) } { n ^ { 5 } } \; ,
I _ { 4 } = B , \; I _ { 6 } = ( \frac { 1 } { 2 } ( A B - 3 C ) , \; I _ { 1 0 } = D , \; I _ { 1 2 } = A D , \; I _ { 3 5 } 5 ^ { 3 } D ^ { 2 } E .
\begin{array} { r l } { \tan ^ { 2 } ( \gamma ) } & { = \frac { c ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \alpha ) } { b ^ { 2 } - 2 b c \cos ( \alpha ) + c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \alpha ) } = \frac { c ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \alpha ) } { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } + c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \alpha ) } } \\ & { = \frac { c ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \alpha ) } { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \alpha ) } = \frac { c ^ { 2 } } { \frac { a ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } ( \alpha ) } - c ^ { 2 } } \le \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { A } ^ { * } ( x ; \beta ) : = \operatorname* { m a x } _ { \alpha } } & { V ( x ; \alpha , \beta ) ] } \\ { = \operatorname* { m a x } _ { \alpha } } & { \mathbb { E } \Big [ \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \gamma t } R ( X ( t ) , A ( t ) , B ( t ) ) d t \Big | X ( 0 ) = x , A ( t ) \sim \alpha ( X ( t ) ) , } \\ & { B ( t ) \sim \beta ( X ( t ) ) , X ( t + d t ) \sim P _ { \mathrm { S } } ( \cdot \mid X ( t ) , A ( t ) , B ( t ) ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { C } } & { = } & { [ \mathcal { B } , [ \mathcal { A } , \mathcal { B } ] ] = [ \mathcal { B } , \mathcal { A } \mathcal { B } - \mathcal { B } \mathcal { A } ] = 2 \mathcal { B } \mathcal { A } \mathcal { B } - \mathcal { B } \mathcal { B } \mathcal { A } - \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { B } , } \\ { \mathcal { D } } & { = } & { [ \mathcal { A } , [ \mathcal { B } , \mathcal { A } ] ] = 2 \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { A } - \mathcal { A } \mathcal { A } \mathcal { B } - \mathcal { B } \mathcal { A } \mathcal { A } . } \end{array}
C _ { \rho \sigma \mu \nu } = R _ { \rho \sigma \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \left( g _ { \rho [ \nu } R _ { \mu ] \sigma } + g _ { \sigma [ \mu } R _ { \nu ] \rho } \right) - \frac { R } { 6 } \left( g _ { \rho [ \mu } g _ { \mu ] \sigma } \right)
\begin{array} { r l r } { \| \big \{ \phi _ { j } , g _ { j } \big \} \| _ { r _ { j } - \hat { r } _ { j } , s _ { j } - \hat { s } _ { j } , \varepsilon _ { j } - \hat { \varepsilon } _ { j } } } & { \le } & { \frac { c _ { m } L } { \alpha _ { 2 } \delta _ { 0 } } E _ { 0 } { E _ { j } } + \frac { 4 } { 3 } \frac { c _ { m } L ^ { 2 } } { \alpha _ { 2 } \delta _ { 0 } } E _ { 1 } { E _ { j } } } \\ & { \le } & { \left( \frac { c _ { m } L } { \alpha _ { 2 } \delta _ { 0 } } E _ { 0 } + \frac { 1 6 } { 3 } \frac { c _ { m } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \delta _ { 0 } ^ { 2 } } E _ { 0 } ^ { 2 } \right) { E _ { j } } } \\ & { \le } & { \left( \frac { 1 } { 3 2 } + \frac { 1 } { 3 2 } \right) { E _ { j } } = \frac { E _ { j } } { 1 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } & { = \frac { 1 } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } \left( \begin{array} { l l } { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u u } \rangle } & { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u v } \rangle } \\ { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v u } \rangle } & { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v v } \rangle } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { \textup { d e t } ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) ) } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { r } _ { u } \times \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { u u } \rangle } & { \langle \mathbf { r } _ { u } \times \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { u v } \rangle } \\ { \langle \mathbf { r } _ { u } \times \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { v u } \rangle } & { \langle \mathbf { r } _ { u } \times \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { v v } \rangle } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { J _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \textup { d e t } ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) ) } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } \frac { 1 } { J _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) } \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { r } _ { u } \times \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { u u } \rangle } & { \langle \mathbf { r } _ { u } \times \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { u v } \rangle } \\ { \langle \mathbf { r } _ { u } \times \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { v u } \rangle } & { \langle \mathbf { r } _ { u } \times \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { v v } \rangle } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { J _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \textup { d e t } ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) ) } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } \mathbf { A } _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \vert \bigg \vert \widehat { U } ( t ) - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - i t H ) ^ { k } } { k ! } \bigg \vert \bigg \vert } & { = \bigg \vert \bigg \vert \sum _ { k = K + 1 } ^ { \infty } \frac { ( - i t H ) ^ { k } } { k ! } \bigg \vert \bigg \vert } \\ & { \le \sum _ { K + 1 } ^ { \infty } \frac { ( t \sum _ { l } \alpha _ { l } ) ^ { k } } { k ! } } \\ & { \le \frac { ( t \sum _ { l } \alpha _ { l } ) ^ { K + 1 } } { ( K + 1 ) ! } \Bigg [ \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( t \sum _ { l } \alpha _ { l } ) ^ { j } / j ! \Bigg ] } \\ & { \le e ^ { \alpha t / r } \frac { ( \alpha t / r ) ^ { K + 1 } } { ( K + 1 ) ! } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { 1 , 2 , 3 , 4 } ( k , \xi ) } & { = } & { \pm \frac { 1 } { 2 } \left[ 2 A _ { 1 1 } ^ { 2 } - 2 A _ { 1 2 } ^ { 2 } + 4 A _ { 3 2 } A _ { 1 4 } - 2 A _ { 3 4 } ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { \pm 2 \left( A _ { 1 1 } ^ { 4 } - 2 A _ { 1 1 } ^ { 2 } A _ { 1 2 } ^ { 2 } + 4 A _ { 1 1 } ^ { 2 } A _ { 1 4 } A _ { 3 2 } + 2 A _ { 1 1 } ^ { 2 } A _ { 3 4 } ^ { 2 } - 8 A _ { 1 1 } A _ { 1 4 } A _ { 3 1 } A _ { 3 4 } + A _ { 1 2 } ^ { 4 } \right. } \\ & { } & { \left. \left. - 4 A _ { 1 2 } ^ { 2 } A _ { 1 4 } A _ { 3 2 } - 2 A _ { 1 2 } ^ { 2 } A _ { 3 4 } ^ { 2 } + 8 A _ { 1 2 } A _ { 1 4 } A _ { 3 2 } A _ { 3 4 } + 4 A _ { 1 4 } ^ { 2 } A _ { 3 1 } ^ { 2 } - 4 A _ { 1 4 } A _ { 3 2 } A _ { 3 4 } ^ { 2 } + A _ { 3 4 } ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\bar { D } ^ { \dot { \alpha } } J _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 4 } D _ { \alpha } \left[ \frac { 3 N _ { c } - N _ { f } } { 2 \pi ^ { 2 } } \mathrm { T r } \, W ^ { 2 } + \gamma Z \bar { D } ^ { 2 } \sum _ { f } \left( { Q } _ { f } ^ { \dagger } e ^ { V } { Q } _ { f } + \bar { Q } _ { f } ^ { \dagger } e ^ { - V } \bar { Q } _ { f } \right) \right]
\begin{array} { r l } { r ^ { \mu \nu } } & { { } = r ^ { \mu \nu } + P ^ { \mu \nu } \left( \tilde { n } \cdot \tilde { \mu } + \tilde { n } _ { \ell } \cdot \tilde { \mu } _ { \ell } \right) } \\ { r ^ { [ \mu \nu ] } } & { { } = 0 . } \end{array}
\Delta _ { L } = \underset { i \in [ 1 , 2 ^ { L } ] } { \operatorname* { s u p } } \left| \alpha _ { n , m } ^ { ( j ) } ( ] x _ { L , i - 1 } , x _ { L , i } ] ) \right| \textrm { a n d } \Delta _ { N } ^ { * } = \underset { x \in \mathbb { R } } { \operatorname* { s u p } } \left| \alpha _ { n , m } ^ { ( j ) } ( ] \Pi _ { N } ( x ) , x ] ) \right| .
H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) = H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Sigma ) \oplus H _ { 0 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma ) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tilde { \mu } _ { i \to \Psi _ { j } } ( \sigma _ { i j } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { { } = \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = 0 } ^ { { T + 1 } } \mu _ { i \to \Psi _ { j } } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) \mathbb { I } [ \sigma _ { i j } = 1 + \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } - \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { i j } ) ] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \Xi _ { \rho \boxtimes _ { l , m } \sigma } ( \vec { p } , \vec { q } ) = \Xi _ { \rho } ( l \vec { p } , l \vec { q } ) \Xi _ { \sigma } ( m \vec { p } , - m \vec { q } ) = \Xi _ { \rho } ( l \vec { p } , l \vec { q } ) \Xi _ { \sigma ^ { T } } ( m \vec { p } , m \vec { q } ) \; , \quad \forall ( \vec { p } , \vec { q } ) \in V ^ { n } \; , } \end{array}
[ D _ { \mathbb { F } , \varphi } ^ { \alpha } ] ^ { - 1 } h ( x _ { o } ) = F \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow x _ { o } } \frac { S _ { F , \varphi } ^ { \alpha } [ h ( x ) ] - S _ { F , \varphi } ^ { \alpha } [ h ( x _ { o } ) ] } { x - x _ { o } } \, ,
\small \{ \widehat { \beta } , \widehat { \sigma } _ { \epsilon } \} = \arg \operatorname* { m i n } _ { \beta \in \mathbb { R } ^ { p + 1 } , \sigma _ { \epsilon } \in \mathbb { R } ^ { + } } \frac { \| y - X \beta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 n \sigma _ { \epsilon } } + \frac { \sigma _ { \epsilon } } { 2 } + \lambda _ { 0 } \sum _ { j = 2 } ^ { p + 1 } \frac { \| X _ { \cdot , j } \| _ { 2 } } { \sqrt { n } } \vert \beta _ { j } \vert
\left. \frac { d \sigma _ { \gamma N } ^ { V } } { d M _ { X } ^ { 2 } d t } \right| _ { t \approx 0 } = \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi } \frac { \Pi ^ { V } ( M _ { X } ^ { 2 } ) } { M _ { X } ^ { 2 } } \sigma _ { V N } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { ( 2 A _ { 1 } + A _ { 2 } ) F _ { 1 2 3 - 4 5 6 } } & { { } = ( 2 A _ { 1 } + A _ { 2 } ) ( F _ { 1 2 3 - 4 } + F _ { 1 2 3 - 5 } + F _ { 1 2 3 - 6 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { d } } & { = } & { c _ { P D M S } \left( 1 - \frac { \rho _ { T i N } \Phi } { \rho _ { P D M S } ( 1 - \Phi ) + \rho _ { T i N } \Phi } \right) + c _ { T i N } \frac { \rho _ { T i N } \Phi } { \rho _ { P D M S } ( 1 - \Phi ) + \rho _ { T i N } \Phi } , } \\ { \rho _ { d } } & { = } & { \rho _ { P D M S } ( 1 - \Phi ) + \rho _ { T i N } \Phi , } \end{array}
\psi _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } \gamma _ { 1 } } = \psi _ { \alpha _ { 2 } \beta _ { 2 } \gamma _ { 2 } } + p ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) \phi _ { 1 } + q ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } ) \phi _ { 2 } + r ( \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } ) \phi _ { 3 } \, .
\begin{array} { r l } { \rVert \mathcal { E } _ { 2 } [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + ( \rVert Z \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } ) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } } & { = \Pi ^ { S } \left( - ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } + \nu \, \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } \right) + \mathbf { f } ^ { S } } \\ { \rho ^ { - 1 } \, \nabla p } & { = \Pi ^ { I } \left( - ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } + \nu \, \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } \right) + \mathbf { f } ^ { I } } \end{array} }
\langle \mathcal { K } _ { \mathrm { K P } } ( t ^ { 1 } , \lambda ) , s ^ { 1 } \rangle = \langle \mathcal { A } ( t ^ { 0 } + \lambda t ^ { \angle } ) , s ^ { 0 } \rangle + \langle \mathcal { A } ( t ^ { 1 } ) , s ^ { \angle } \rangle ,
\Delta E _ { 2 } = \hbar \frac { \Omega _ { 1 } } { 2 } \Big [ \Big ( \frac { 2 \delta } { \Omega _ { 1 } } - \frac { 1 } { 8 } \Big ( \frac { \Omega _ { 2 } } { \Omega _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } + \Big ( \frac { \Omega _ { 2 } } { \Omega _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
H _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ e ~ x ~ t ~ ) ~ } } \subset H _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ e ~ x ~ t ~ ) ~ } } \subset \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ } ( \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } )
\begin{array} { r l } { | Z _ { n + 1 } | _ { s } } & { \le | Z _ { n + 1 } - Z _ { n } - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { n } ) [ \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } ] | _ { s } + | Z _ { n } + d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { n } ) [ \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } ] | _ { s } } \\ & { \overset \le | Z _ { n + 1 } - Z _ { n } - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { n } ) [ \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } ] | _ { s } + | Z _ { n } - d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) [ \Pi _ { n } T ( i _ { n } ) \Pi _ { n } Z _ { n } ] | _ { s } . } \end{array}
\hat { H } ( t ) = \sum _ { n } \{ J ( e ^ { - \gamma } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n + 1 } + e ^ { \gamma } \hat { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } ) + [ V \cos ( 2 \pi \alpha n ) - n K \cos ( \omega t ) ] \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } \} .
\operatorname { E } \left[ t \in \left[ { \hat { \mu } } - { \frac { Z _ { \alpha _ { n } } } { \sqrt { n } } } , + \infty \right] \right] \rightarrow \operatorname* { P r } ( \mu \leq t ) - \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow + \infty } \alpha _ { n } [ \mu _ { 0 } = t ]
\exp \! { \Big ( } i { \boldsymbol { \mu } } ^ { \! { \mathsf { T } } } \mathbf { t } - { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { t } ^ { \! { \mathsf { T } } } { \boldsymbol { \Sigma } } \mathbf { t } { \Big ) }
\begin{array} { r l } { \underline { { t } } _ { 1 } } & { = \frac { \log [ 2 / ( \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma ) ] } { \lambda _ { 3 } } , ~ \overline { { t } } _ { 1 } = \frac { \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma / 2 - C _ { 1 2 } \lambda _ { 2 } / \lambda _ { 3 } } { C _ { 1 1 } \lambda _ { 1 } + C _ { 1 2 } \lambda _ { 2 } } \wedge \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } . } \end{array}
A _ { \Xi \Lambda } = ( \alpha _ { \Lambda } \alpha _ { \Xi } - \alpha _ { \bar { \Lambda } } \alpha _ { \bar { \Xi } } ) / ( \alpha _ { \Lambda } \alpha _ { \Xi } + \alpha _ { \bar { \Lambda } } \alpha _ { \bar { \Xi } } ) \approx A _ { \Xi } + A _ { \Lambda }
\Delta \mathcal { E } _ { E } \leq \frac { V _ { g } } { 8 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( 2 c _ { j } E _ { j } \Delta E + c _ { j } ^ { 2 } \Delta E ^ { 2 } \right) = \frac { V _ { g } } { 8 \pi } \left( 2 \Delta E \sum _ { j = 1 } ^ { M } c _ { j } E _ { j } + \xi \Delta E ^ { 2 } \right) .
\mathbb { P } ( \boldsymbol { \vartheta } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \mathbb { P } ( \vartheta _ { e , i } ) \prod _ { j = 1 } ^ { N _ { t } } \mathbb { P } ( \vartheta _ { t , j } ) \prod _ { k = 1 } ^ { N _ { b } } \mathbb { P } ( \vartheta _ { b , k } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { 2 \left[ A _ { d } ( \kappa ) \kappa - \log a _ { d } ( \kappa ) + \log | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | \right] } { \kappa ^ { 2 } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } A _ { d } ^ { \prime } ( \kappa ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \left( 1 - A _ { d } ^ { 2 } ( \kappa ) - \frac { d - 1 } { \kappa } A _ { d } ( \kappa ) \right) = \frac { 1 } { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { { } = A ^ { 0 } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } + A ^ { 1 } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } + A ^ { 2 } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } + A ^ { 3 } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } } \end{array}
\mathrm { I m } A ( \alpha ) = - \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 2 i } \int _ { - \infty } ^ { 0 } d \, b \, e ^ { - \frac { b } { \alpha } } \left[ \tilde { A } ( b + i \epsilon ) - \tilde { A } ( b - i \epsilon ) \right]
\begin{array} { r } { \frac { \partial \widehat { Q } _ { c } ( \bar { \gamma } ( t ) ) } { \partial \gamma ( t ) ^ { \top } } = V _ { \bar { \gamma } , \bar { \gamma } } ( t ) - V _ { \bar { \gamma } , \widehat \eta } ( t ) \big [ V _ { \widehat \eta , \widehat \eta } ( t , \bar { \gamma } ( t ) ) \big ] ^ { - 1 } V _ { \widehat \eta , \bar { \gamma } } ( t ) , } \end{array}
{ \cal M } ^ { \pm } = { \frac { 1 } { 2 } } { \cal M } ^ { u n } ( \tau ) \mp { \frac { \sqrt { \eta } } { 2 \sqrt { y ( t + \eta ) ( x + y ) - y ^ { 2 } t - ( t + \eta ) ^ { 2 } } } } \left[ y { \cal M } ^ { u n } ( W ) - ( t + \eta ) { \cal M } ^ { u n } ( Q ) \right] \ .
\Re \left\{ K ( q , q ^ { \prime } , \omega , \Omega ) \right\} = \int _ { 0 } ^ { \infty } d r J _ { 0 } ( q r ) J _ { 0 } ( q ^ { \prime } r ) \left( 1 - \cos \left[ 2 \pi \omega r \sinh ( 2 \Omega r ) \right] \right)