harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { ( u , n , \nu , a ) \in \mathfrak { g } \times T Q \times V ^ { * } \rightarrow ( u , n , \nu - \mathcal { L } _ { u } n , a ) = : ( u , n , \dot { n } , a ) \in \mathfrak { g } \times T Q \times V ^ { * } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } } { \partial t } \approx } & { { } - i \left( \delta \omega _ { \mathrm { A } } - \epsilon D _ { 1 } k _ { 0 } + \omega _ { 0 } \right) \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } - \epsilon D _ { 1 } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } } { \partial \theta } + i G \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } } \\ { \frac { \partial \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } } { \partial t } \approx } & { { } - i \left( \delta \omega _ { \mathrm { B } } + \epsilon D _ { 1 } k _ { 0 } + \omega _ { 0 } \right) \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } + \epsilon D _ { 1 } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } } { \partial \theta } + i G \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I [ f ] } & { { } = \int _ { \Omega } { \mathcal { L } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , f , f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 1 1 } , f _ { 1 2 } , f _ { 2 2 } , \dots , f _ { 2 2 \dots 2 } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } } \end{array}
P _ { + } = \int _ { - { \infty } } ^ { \infty } d x ^ { - } { \theta } _ { + } ^ { \; \; + } ( x ) - \int _ { - { \infty } } ^ { \infty } d x ^ { + } B ( x ) \frac { 1 } { m ^ { 2 } - n _ { - } { \partial } _ { + } ^ { \; \; 2 } } { \partial } _ { + } C ( x ) ,
{ } \Omega _ { A , A B } ^ { 1 , 2 } ( \tau ) = ( - \alpha k _ { 3 } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \left( \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } R _ { A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right) ^ { - 1 } \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } )
{ \cal A } _ { \mathrm { h e a v y } } ( \mathrm { T S S } ) = s _ { L } c _ { R } \frac { m _ { \mathrm { d y n } } } { m _ { \chi } } \frac { \alpha _ { s } } { 1 2 \pi v } = s _ { L } ^ { 2 } \frac { \alpha _ { s } } { 1 2 \pi v }
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) > 4 \pi c ^ { 2 } + 4 \pi c \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon } - 2 \pi h ^ { 2 } + \frac { \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { \varepsilon ^ { 4 } c ^ { 2 } } { 2 h ^ { 6 } } \left( 1 - \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) \right) } } \\ { + 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } + 4 \pi \varepsilon \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } - h ^ { 2 } } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } , h ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
T ( \mathbf { x } ) = f ( \mathbf { a } ) + ( \mathbf { x } - \mathbf { a } ) ^ { \mathsf { T } } D f ( \mathbf { a } ) + { \frac { 1 } { 2 ! } } ( \mathbf { x } - \mathbf { a } ) ^ { \mathsf { T } } \left\{ D ^ { 2 } f ( \mathbf { a } ) \right\} ( \mathbf { x } - \mathbf { a } ) + \cdots ,
\mathrm { ~ A ~ t ~ t ~ e ~ n ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ( \mathbf { Q } , \mathbf { K } , \mathbf { V } ) = \mathrm { ~ s ~ o ~ f ~ t ~ m ~ a ~ x ~ } \big ( \frac { \mathbf { Q } \mathbf { K } ^ { T } } { \sqrt { d _ { k } } } \big ) \mathbf { V } ,
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { k e } ( \psi ) } & { { } = } & { \frac { e _ { e } ^ { 2 } e _ { i } ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } } \, \left| M _ { e } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\zeta _ { a , b } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { | z | } J _ { \alpha _ { a , b } } \! \left( \sqrt { \tilde { E } } | z | \right) } & { \tilde { E } \neq 0 } \\ { | z | ^ { \frac { 1 } { 2 } + \alpha _ { a , b } } } & { \tilde { E } = 0 } \end{array} \right. \quad , \quad \alpha _ { a , b } > \frac { 1 } { 2 } \; .
C _ { 1 } ( r ) \simeq - \frac { 3 h } { 8 \pi \eta r ^ { 2 } } \, , \qquad C _ { 2 } ( r ) \simeq \frac { 3 h } { 4 \pi \eta r ^ { 2 } } \, , \qquad C _ { 3 } ( r ) \simeq \mu \, \sqrt { \frac { \pi \kappa r } { 2 } } \, e ^ { - \kappa r } \, ,
\textrm { d e t } \left( I ( 1 - \lambda ) + \frac { 1 } { 2 } \langle Y \rangle \langle { \hat { \mathcal X } } ^ { 2 } \rangle s ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ! } \langle Y ^ { 2 } \rangle \langle { \hat { \mathcal X } } ^ { 4 } \rangle s ^ { 4 } + . . . \right) = 0 \, .
f _ { 1 \gamma E } ^ { r e l } = \frac { \alpha } { 2 W } \{ \frac { W + m _ { p } } { E + m _ { p } } F _ { 1 } ^ { p } + 2 ( W - m _ { p } + \frac { t } { 4 ( E + m _ { p } ) } ) F _ { 2 } ^ { p } \} F ^ { \pi } ,
\left\langle F \right\rangle \equiv \frac { \mu B _ { 0 } } { a } \sum _ { n } \left\langle \Psi \right| \left( \left| + _ { n } \right\rangle \left\langle + _ { n } \right| - \left| - _ { n } \right\rangle \left\langle - _ { n } \right| \right) \left| \Psi \right\rangle = \frac { \mu B _ { 0 } } { a } \sum _ { n } \left( P _ { + } - P _ { - } \right)
\mathrm { I m } ~ m _ { \mathrm { r e n } } ^ { 2 } = \pm i \pi \frac { \lambda } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ( m ^ { 2 } - 2 M r ^ { - 2 } - 4 M r ^ { - 3 } - \frac { 1 } { 2 } M ^ { 2 } r ^ { - 2 } ( 1 - \frac { 2 M } { r } ) ^ { - 1 } )
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ A \cap E \cap \mathcal { A } _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta , \alpha ; \gamma _ { i } ^ { \delta } ) | E ^ { * } ( \Omega _ { \delta } ; x _ { 1 } ^ { \delta } , \ldots , x _ { 2 n } ^ { \delta } ; z _ { 1 } ^ { \delta , + } , \ldots , z _ { n - 1 } ^ { \delta , + } ) ] } \\ { \le } & { C \frac { \mathbb { P } [ E _ { i } \bigcap ( \cap _ { j = 1 } ^ { i } \{ \gamma _ { j } ^ { \delta } \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ c o n n e c t ~ t o ~ } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) \} ) \bigcap \mathcal { A } _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta , \alpha ; \gamma _ { i } ^ { \delta } ) ] } { \Pi _ { j = 1 } ^ { i } h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { j } ^ { \delta , + } ) } } \\ { \le } & { C \frac { \mathbb { P } [ \{ \gamma _ { i } ^ { \delta } \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ c o n n e c t ~ t o ~ } ( x _ { 2 i } ^ { \delta } x _ { 2 i + 1 } ^ { \delta } ) \} \cap \mathcal { A } _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta , \alpha ; \gamma _ { i } ^ { \delta } ) \, | \, E _ { i } \bigcap ( \cap _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \{ \gamma _ { j } ^ { \delta } \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ c o n n e c t ~ t o ~ } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) \} ) ] } { h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { i } ^ { \delta , + } ) } } \\ { \le } & { C \epsilon , } \end{array}
M _ { H _ { c } } \simeq 3 2 \lambda _ { 2 } \overline { { { \lambda } } } _ { 2 } ^ { \prime } \frac { V ^ { 2 } } { M _ { 2 } } \; \; \; , \; \; \; M _ { \overline { { { H } } } _ { c } } \simeq 3 2 \overline { { { \lambda } } } _ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \frac { V ^ { 2 } } { M _ { 2 } ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { \underset { ( x , w ) \ \in \ \mathbb { R } ^ { n } \times \mathbb { R } ^ { l } } { \mathrm { m i n } } } & { \left\{ c ^ { \top } x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { \top } Q x + \sum _ { i = 1 } ^ { l } \left( w _ { i } \right) _ { + } + \| D x \| _ { 1 } + \delta _ { \mathcal { K } } ( x ) \right\} , } \\ { \textnormal { s . t . } \quad \ \ } & { \ C x + d - w = 0 _ { l } , } \\ & { \ A x = b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| D _ { j } \| + \| B _ { j } ^ { - 1 } ( B _ { j } D _ { j } - C _ { j } ) \| \leq } & { ~ \| D _ { j } \| + \| B _ { j } ^ { - 1 } \| \cdot \| B _ { j } D _ { j } - C _ { j } \| } \\ { \leq } & { ~ 1 + \| B _ { j } ^ { - 1 } \| \cdot \| B _ { j } D _ { j } - C _ { j } \| } \\ { \leq } & { ~ 1 + 2 \cdot \| B _ { j } D _ { j } - C _ { j } \| } \\ { \leq } & { ~ 1 + 2 \cdot ( \| B _ { j } D _ { j } \| + \| C _ { j } \| ) } \\ { \leq } & { ~ 1 + 2 \cdot ( 2 + 2 ) } \\ { \leq } & { ~ 1 0 , } \end{array}
\boldsymbol { A } = \left[ \begin{array} { c c c c } { - i \alpha \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { \boldsymbol { \Delta } + \boldsymbol { r } ^ { - 2 } } { R e } } & { - \boldsymbol { D } \boldsymbol { \bar { U } } } & { \boldsymbol { Z } } & { - i \alpha \boldsymbol { I } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { - i \alpha \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { \boldsymbol { \Delta } } { R e } } & { - \frac { 2 i m \boldsymbol { r } ^ { - 2 } } { R e } } & { - \boldsymbol { D } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \frac { 2 i m \boldsymbol { r } ^ { - 2 } } { R e } } & { - i \alpha \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { \boldsymbol { \Delta } } { R e } } & { - i m \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } \\ { i \alpha \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { D } + \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } & { i m \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } & { \boldsymbol { Z } } \end{array} \right] \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { \overline { { t } } _ { R } ^ { \ p s } } & { { } = a L ^ { 2 } + \frac { d ^ { 2 } } { 1 6 D } ( 1 - \phi _ { t o t } ) ( 4 \phi _ { t o t } - 1 - 2 \log \phi _ { t o t } - \phi _ { t o t } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } n } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } } \left[ ( m _ { d } - m _ { u } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right) \right. } \\ & { } & { \left. - ( m _ { d } + m _ { u } ) \left( - m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right) \right. } \\ & { } & { \left. + ( m _ { u } - m _ { s } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) - m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) \right) \right. } \\ & { } & { \left. - ( m _ { u } + m _ { s } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) \right) \right] } \\ & { } & { = ( m _ { d } - m _ { u } ) J ( m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) - ( m _ { d } + m _ { u } ) J ( m _ { u } , m _ { d } , - m _ { s } ) } \\ & { } & { + ( m _ { u } - m _ { s } ) J ( - m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) - ( m _ { u } + m _ { s } ) J ( m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) , } \end{array}
\beta = \mathrm { a s i n h } \mu + { \frac { 2 \Gamma R } { v _ { 0 } } } \mathrm { s i n } { \frac { c } { 2 } } = \mathrm { a s i n h } \mu + { \frac { 2 \Gamma R } { v _ { 0 } } } \mathrm { s g n } \left( \mathrm { s i n } { \Delta / 2 } \right) \mathrm { c o s } \phi
\begin{array} { r l r } { P _ { m } ( t ) } & { = } & { g _ { m } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { - \gamma _ { m } ( t - \tau ) } \{ \cos \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 4 \omega _ { m } ^ { 2 } - \gamma _ { m } ^ { 2 } } ( t - \tau ) } \\ & { - } & { \frac { \gamma _ { m } \sin \sqrt { 4 \omega _ { m } ^ { 2 } - \gamma _ { m } ^ { 2 } } ( t - \tau ) } { \sqrt { ( 4 \omega _ { m } ^ { 2 } - \gamma _ { m } ^ { 2 } ) } } \} | a ( \tau ) | ^ { 2 } } \end{array}
\Omega = 2 i \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 + z \bar { z } } { \zeta } \theta \bar { \theta } \right) \frac { \mathrm { d } z \wedge \mathrm { d } \bar { z } } { \zeta ^ { 2 } } + i \left( \frac { \mathrm { d } \theta \wedge \mathrm { d } \bar { \theta } } { \zeta } - \frac { \bar { z } \theta } { \zeta ^ { 2 } } \mathrm { d } z \wedge \mathrm { d } \bar { \theta } - \frac { z \bar { \theta } } { \zeta ^ { 2 } } \mathrm { d } \bar { z } \wedge \mathrm { d } \theta \right) .
K _ { j } ^ { a } \partial _ { a } ( - \gamma ^ { c d } \partial _ { c } X ^ { \mu } \partial _ { d } X ^ { \nu } g _ { \mu \nu } + \frac { \varepsilon ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } . . . a _ { d + 1 } } } { \sqrt { - \gamma } } \partial _ { [ a _ { 1 } } A _ { a _ { 2 } . . . a _ { d + 1 } ] } ) = 0
\partial _ { \mu } ^ { x } \, U ( x , x ^ { \prime } ) = i g \left[ A _ { \mu } ( x ) - \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! d s \, s \, { \frac { d \omega ^ { \nu } } { d s } } \ U ( x , \omega ) \, F _ { \nu \mu } ( \omega ) \, U ( \omega , x ) \right] U ( x , x ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { a _ { i j } ^ { * } - ( p _ { i j } ^ { + } - p _ { i j } ^ { - } ) = } & { { } \left\{ \begin{array} { l l } { + [ 1 - ( p _ { i j } ^ { + } - p _ { i j } ^ { - } ) ] > 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \: a _ { i j } ^ { * } = + 1 } \\ { - [ 1 + ( p _ { i j } ^ { + } - p _ { i j } ^ { - } ) ] < 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \: a _ { i j } ^ { * } = - 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\delta K _ { 0 x } = \delta k _ { s 0 x } - \delta k _ { 0 x } = \delta \omega _ { 0 } [ ( \omega _ { 0 } \cos ^ { 2 } \alpha _ { 1 } - \omega _ { p e } ) / 2 k _ { s 0 x } c ^ { 2 } - \omega _ { 0 } \cos ^ { 2 } \alpha _ { 1 } / 2 k _ { 0 x } c ^ { 2 } ]
{ \boldsymbol { P } } = J { \boldsymbol { \sigma } } { \boldsymbol { F } } ^ { - T } , \quad { \boldsymbol { \tau } } = J { \boldsymbol { \sigma } } , \quad { \boldsymbol { S } } = J { \boldsymbol { F } } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \sigma } } { \boldsymbol { F } } ^ { - T } , \quad { \boldsymbol { T } } = { \boldsymbol { R } } ^ { T } { \boldsymbol { P } } , \quad { \boldsymbol { M } } = { \boldsymbol { C } } { \boldsymbol { S } }
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { 2 } ( \alpha - \gamma ) \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) + \frac { \gamma ^ { 2 } \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 c } - \frac { \gamma \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 } - \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } = \ \frac { \gamma \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 } \left( 2 \gamma ( \alpha - \gamma ) + \frac { \gamma } { c } - 1 \right) - \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } } \\ { = \ } & { \frac { \gamma \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \left( \left( 2 \gamma ( \alpha - \gamma ) + \frac { \gamma } { c } - 1 \right) \varepsilon ( t ) - \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \right) \ \leq \ 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } [ I _ { s } ^ { ( 1 ) } ] } & { = \frac { ( T _ { 1 } - s ) ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \sigma ^ { 2 } + \frac { ( s - T _ { 0 } ) ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } ( \sigma ^ { 2 } + T ) + 2 \frac { ( T _ { 1 } - s ) ( s - T _ { 0 } ) } { T } \sigma ^ { 2 } + \frac { ( T _ { 1 } - s ) ( s - T _ { 0 } ) } { T } , } \\ & { = ( s - T _ { 0 } ) ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } T + \frac { ( T _ { 1 } - s ) ( s - T _ { 0 } ) } { T } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { b a t c h } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| \left| K _ { \mathrm { e f f , ~ i } } ^ { \mathrm { D N S } } - K _ { \mathrm { e f f , ~ i } } ^ { \mathrm { p r e d } } \right| \right| _ { 2 } ^ { 2 } + \left| \left| \mu _ { \mathrm { e f f , ~ i } } ^ { \mathrm { D N S } } - \mu _ { \mathrm { e f f , ~ i } } ^ { \mathrm { p r e d } } \right| \right| _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\Psi \equiv \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { L } ( r _ { 1 } ) } } \\ { { \psi _ { L } ( r _ { 2 } ) } } \\ { { \vdots } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { { { \psi _ { L } } ( r _ { 1 } ) ^ { c } } } \\ { { { \psi _ { L } } ( r _ { 2 } ) ^ { c } } } \\ { { \vdots } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { R _ { p } C \dot { \boldsymbol { \psi } } ( t ) } & { = m \frac { R _ { p } } { R _ { r } } \Psi ( t ) \mathbf { e } _ { 1 } + m ^ { 2 } M _ { 4 } \boldsymbol { \psi } ( t ) \, , } \\ { M _ { 4 } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { - 1 - r / R _ { r } } & { 1 } & & & \\ { 1 } & { - 2 } & { 1 } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ & & & { 1 } & { - 2 } \end{array} \right] \, , } \end{array}
J ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \tau ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 1 } ^ { \prime } , \gamma _ { 2 } , \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) \hat { w } ( \gamma _ { 1 } ^ { \prime } , \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) \sin ( \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) \mathrm { ~ d ~ } \gamma _ { 1 } ^ { \prime } \mathrm { ~ d ~ } \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } Q ^ { n _ { j } - n _ { i } } ( z _ { i } , z _ { j } ) } & { \longrightarrow \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } v \, e ^ { ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) v ^ { 2 } - ( u _ { i } - u _ { j } ) v } } \\ & { = e ^ { ( \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i } ) \partial ^ { 2 } } \! ( u _ { i } , u _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 } { s } \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { - 1 , h } ^ { 2 } } & { \leq \frac { C } { s } \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq C ( s ^ { \frac { 1 1 } { 4 } } + h ^ { \frac { 1 1 } { 4 } } ) , } \\ { C \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq C ( s ^ { \frac { 1 5 } { 4 } } + h ^ { \frac { 1 5 } { 4 } } ) , } \\ { s ( \frac { 2 } { \gamma } \| \tau _ { v } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \| \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { - 1 , h } ^ { 2 } ) } & { \leq C ( s ^ { 5 } + h ^ { 5 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cos \Phi ^ { * } ( z ) } & { = } & { e ^ { T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } - \frac { N _ { 0 , g } } { N ^ { * } ( z ) } \Big ( e ^ { T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } - 1 \Big ) , } \\ { \cos \Phi ^ { * } ( z ) } & { = } & { \frac { 1 - e ^ { 2 \alpha \int _ { 0 } ^ { z } N ^ { * } ( z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } } \cdot \tan ^ { 2 } \Big ( \frac { \Phi ^ { * } ( 0 ) } { 2 } \Big ) } { 1 + e ^ { 2 \alpha \int _ { 0 } ^ { z } N ^ { * } ( z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } } \cdot \tan ^ { 2 } \Big ( \frac { \Phi ^ { * } ( 0 ) } { 2 } \Big ) } , } \\ { 0 } & { \le } & { z \le L _ { g } . } \end{array}
\mathrm { ~ i ~ } \, \mathcal { I } _ { _ { D C } } \, \zeta _ { _ { D C } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } } ^ { \Lambda F ^ { 2 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } } ^ { \Lambda F ^ { 2 } } \right) \, r \mathrm { ~ d ~ } r ,
\begin{array} { r l } { p _ { n + 1 } } & { { } = \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ x ~ } \left( p _ { n } + \sigma F _ { \phi } ( \widetilde { A } x _ { n } ) \right) } \\ { x _ { n + 1 } } & { { } = G _ { \theta } \left( x _ { n } - \tau A ^ { \dagger } p _ { n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = 2 ^ { n - 2 } \left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \exp ( - ( l _ { 2 } + \cdots + l _ { n - 1 } - 2 l ) s ^ { \alpha } ) } { ( 1 + \exp ( - 2 l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) ) \cdots ( 1 + \exp ( - 2 l _ { n - 1 } s ^ { \alpha } ) ) } \right\} \right\| } \\ & { \leq 2 ^ { n - 2 } \left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \exp ( - \frac { l _ { 2 } + \cdots + l _ { n - 1 } - 2 l } { n - 2 } s ^ { \alpha } ) } { ( 1 + \exp ( - 2 l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) ) } \right\} \right\| \cdots \left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \exp ( - \frac { l _ { 2 } + \cdots + l _ { n - 1 } - 2 l } { n - 2 } s ^ { \alpha } ) } { ( 1 + \exp ( - 2 l _ { n - 1 } s ^ { \alpha } ) ) } \right\} \right\| : = J _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { i } } & { = \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \epsilon _ { i j k } \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { j } } = \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \epsilon _ { i j k } ( M ^ { - 1 } ) _ { k j } = \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( M ( t , { \mathbf { u } } ) ) } \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \epsilon _ { i j k } \widetilde { M } _ { k j } ( t , { \mathbf { u } } ) \, , \qquad i = 1 , 2 , 3 } \end{array}
\Delta R ^ { d } = \left[ \sum _ { i = \mathrm { { \scriptsize ~ f l u x e s } } } \left( f _ { i } ^ { d } \, \frac { \Delta \phi ^ { i } } { \phi ^ { i } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \Delta \sigma ^ { d } } { \sigma ^ { d } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { \chi } & { { } = - \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) ( w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) - r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) + r _ { 1 } r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) ) } { \sigma _ { d } ^ { 2 } ( w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) - r _ { 1 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) ) } } \\ { \nu } & { { } = - \frac { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) - r _ { 1 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) } { \sigma _ { c } ^ { 2 } ( w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) - r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) + r _ { 1 } r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) ) } } \\ { \kappa } & { { } = w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) - r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) + r _ { 1 } r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \prime } } & { = u + \frac { 2 \varepsilon } { 1 + \varepsilon ^ { 2 } } ( ( \xi - \varepsilon u ) \cdot \omega ) \omega = u - 2 \varepsilon ( \xi \cdot \omega ) \omega + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } \\ { \xi ^ { \prime } } & { = \xi - \frac { 2 } { 1 + \varepsilon ^ { 2 } } ( ( \xi - \varepsilon u ) \cdot \omega ) \omega = R _ { \omega } \xi + 2 \varepsilon ( u \cdot \omega ) \omega + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( x _ { t + 1 } , K _ { t + 1 } ) - V ( x _ { t } , K _ { t } ) } & { \leqslant - ( 1 - 2 \gamma ^ { 2 } ) V _ { m } ^ { 2 } ( x _ { t } ) + \frac { a _ { 0 } } { m ^ { 2 } } \left\| \varepsilon _ { j } ( x _ { t } ) \right\| ^ { 2 } + 2 \hat { c } _ { 3 } ^ { 2 } \hat { \delta } _ { g } ^ { 2 } \left\| \tilde { u } _ { t } \right\| ^ { 2 } - a _ { 0 } \left( \frac { 1 - \theta } { \sigma ^ { 2 } } \right) \left\| \tilde { u } _ { t } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = - ( 1 - 2 \gamma ^ { 2 } ) V _ { m } ^ { 2 } ( x _ { t } ) + \frac { a _ { 0 } } { m ^ { 2 } } \left\| \varepsilon _ { j } ( x _ { t } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leqslant - ( 1 - 2 \gamma ^ { 2 } ) c _ { 1 } ^ { 2 } \left\| x _ { t } \right\| ^ { 4 } + a _ { 0 } \left( \frac { \beta } { m } \right) ^ { 2 } \left\| x _ { t } \right\| ^ { 4 } } \\ & { = - \eta \left\| x _ { t } \right\| ^ { 4 } , } \end{array}
J _ { ( a ) } = \frac { 1 } { q ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } z ^ { n } \Biggl ( 2 \frac { \zeta _ { 2 } } { n } + 2 \frac { S _ { 2 } ( n - 1 ) } { n } - 2 \frac { S _ { 1 } ( n - 1 ) } { n ^ { 2 } } \Biggr ) \, .
\begin{array} { r l } { \overbrace { u ( t = 0 , x ) } ^ { u _ { o } } } & { { } = 2 \sum _ { n = 0 } ^ { N / 2 } \left[ \Re \{ \hat { u } ( \kappa _ { n } ) \} \cos \left( \frac { 2 \pi \kappa _ { n } x } { L } \right) + \Im \{ \hat { u } ( \kappa _ { n } ) \} \sin \left( \frac { 2 \pi \kappa _ { n } x } { L } \right) \right] } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } } & { { } \quad \hat { u } ( \kappa ) = \sqrt { 2 E ( \kappa ) } e ^ { \imath 2 \pi \mathsf { U } _ { \kappa } } , \ E ( \kappa ) = \left[ \frac { 2 } { 3 \sqrt { \pi } } \left( \frac { 2 \pi \kappa _ { 0 } } { L } \right) ^ { - 5 } \right] \left( \frac { 2 \pi \kappa } { L } \right) ^ { 4 } e ^ { - ( \kappa / \kappa _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
I = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int d ^ { D } x \sqrt { g } \Big ( R - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi - \frac { 1 } { 2 ( p + 2 ) ! } e ^ { a \phi } F _ { p + 2 } ^ { 2 } \Big )
\int _ { ( \overline { \sigma } , \underline { \Sigma } ) \setminus ( \mathcal { E } _ { 1 } \cup \mathcal { E } _ { 2 } ) } \left[ H ^ { p } \left( \frac { 1 } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } \right) \mu _ { 1 } ^ { \prime } + H ^ { p } \left( \frac { 1 } { \mu _ { 2 } ^ { \prime } } \right) \mu _ { 2 } ^ { \prime } - H ^ { p } \left( \frac { 1 } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } + \mu _ { 2 } ^ { \prime } } \right) ( \mu _ { 1 } ^ { \prime } + \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) \right] = 0 .