harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f _ { k } ^ { ( p ) } ( \sigma ; u ) = ( - e ^ { 2 \lambda \sigma } ) ^ { k } \left[ \begin{array} { c } { { p } } \\ { { k } } \end{array} \right] \prod _ { j = 1 } ^ { k } \sinh [ u + ( j - 1 ) \lambda ] \prod _ { j = k + 1 } ^ { p } \sinh [ u + ( 2 s + j - p ) \lambda ] .
{ { \beta } _ { k } } = \sum _ { q = 1 } ^ { { { q } _ { k } } } { \Delta { { x } ^ { 2 q - 1 } } } \int _ { { { x } _ { i - 1 / 2 } } } ^ { { { x } _ { i + 1 / 2 } } } { { { \left( \frac { { { d } ^ { q } } } { d { { x } ^ { q } } } { { p } _ { k } } \left( x \right) \right) } ^ { 2 } } d x } = O \left( \Delta { { x } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { \Delta \epsilon _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) = | \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) | \frac { ( 2 - \bar { f } ) ( \bar { f } - 1 ) } { \bar { f } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { D ^ { \alpha \beta } \left( \vec { x } , t \right) \delta ^ { 3 } \left( \vec { x } - \vec { y } \right) = \left\{ X ^ { \alpha } \left( \vec { x } , t \right) , X ^ { \beta } \left( \vec { y } , t \right) \right\} } \\ { \Lambda ^ { \mu \beta } \left( \vec { x } , t \right) \delta ^ { 3 } \left( \vec { x } - \vec { y } \right) = - \left\{ P ^ { \mu } \left( \vec { x } , t \right) , X ^ { \beta } \left( \vec { y } , t \right) \right\} } \\ { 0 = \left\{ P ^ { \mu } \left( \vec { x } , t \right) , P ^ { \nu } \left( \vec { y } , t \right) \right\} \quad . } \end{array}
= \hat { z } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \Bigg ( 2 \rho \frac { d \rho } { d t } \gamma + \frac { d \gamma } { d t } \rho ^ { 2 } \Bigg ) d s d \phi
S = - \tau _ { 0 } \int d \xi \left\{ ( 1 - v ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( 1 - \phi ) - { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - v ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } ( h _ { 0 0 } ^ { I I A } + 2 h _ { 0 i } v ^ { i } + h _ { i j } v ^ { i } v ^ { j } ) - C _ { 0 } - C _ { i } v ^ { i } \right\}
\begin{array} { r c l } { \partial _ { s } ^ { 2 } \tilde { \gamma } _ { j } ^ { + } + p ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \tilde { \gamma } _ { j } ^ { + } } & { = } & { - \tilde { \nu } a _ { j } \gamma _ { j } ^ { + } \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 ; 1 / 2 ) } \\ { \partial _ { s } ^ { 2 } \tilde { \gamma } _ { j } ^ { - } + p ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \tilde { \gamma } _ { j } ^ { - } } & { = } & { - \tilde { \nu } a _ { j } \gamma _ { j } ^ { - } \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( - 1 / 2 ; 0 ) } \\ { \tilde { \gamma } _ { j } ^ { - } ( - 1 / 2 ) } & { = } & { e ^ { i \eta _ { j } } \tilde { \gamma } _ { j } ^ { + } ( + 1 / 2 ) } \\ { \partial _ { s } \tilde { \gamma } _ { j } ^ { - } ( - 1 / 2 ) } & { = } & { e ^ { i \eta _ { j } } \partial _ { s } \tilde { \gamma } _ { j } ^ { + } ( + 1 / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu } & { = \frac { \mathcal { V } } { 2 k _ { B } T } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { d } { d t } \left\langle \left[ \frac { m } { \mathcal { V } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } [ v _ { n , i } ( t ) r _ { n , j } ( t ) - v _ { n , i } ( 0 ) r _ { n , j } ( 0 ) ] \right] ^ { 2 } \right\rangle } \\ { \mu _ { b } } & { = \frac { \mathcal { V } } { k _ { B } T } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { d } { d t } \left\langle \left[ \frac { m } { 3 \mathcal { V } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } [ \vec { v } _ { n } ( t ) \cdot \vec { r } _ { n } ( t ) - \vec { v } _ { n } ( 0 ) \cdot \vec { r } _ { n } ( 0 ) ] - P _ { e q } t \right] ^ { 2 } \right\rangle . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { \sigma } ( \partial _ { i } B ) ( 0 ) \frac { A _ { i , \boldsymbol { J } } } { \boldsymbol { J } ! } = - \sum _ { \substack { 2 \leq | \boldsymbol { \lambda } | \leq \deg B } } ( \partial _ { \boldsymbol { \lambda } } B ) ( 0 ) \sum _ { s = 1 } ^ { | \boldsymbol { J } | } \sum _ { \mathcal { C } _ { s } ( \boldsymbol { J } , \boldsymbol { \lambda } ) } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { s } \frac { 1 } { ( \boldsymbol { k } _ { j } ! ) } \right) \left( \prod _ { j = 1 } ^ { s } \frac { [ \boldsymbol { A } _ { \boldsymbol { \ell } _ { j } } ( 0 ) ] ^ { \boldsymbol { k } _ { j } } } { [ \boldsymbol { \ell } _ { j } ! ] ^ { | \boldsymbol { k } _ { j } | } } \right) .
\varphi _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } = \varphi _ { x } ^ { \mathrm { ~ s ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } + \varphi _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ,
F = \int d x _ { \bot } \left[ ( V ^ { \prime \prime } - 2 m ^ { 2 } ) \right] = \frac { \lambda } { 2 } \int d x _ { \bot } \left[ h ( x _ { \bot } ) ^ { 2 } - \frac { 6 m ^ { 2 } } { \lambda } \right] .
\begin{array} { r l } { \Gamma ^ { \textnormal { r l } } ( F ) \circ \Gamma ^ { \textnormal { r l } } ( G ) ( y ) } & { \overset { = } \Gamma ^ { \textnormal { r l } } ( F ) \big ( \int ^ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle y , x \rangle ^ { * } \otimes G ( x ) \big ) } \\ & { \overset { = } \int ^ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \big \langle \int ^ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle y , x \rangle ^ { * } \otimes G ( x ) , x ^ { \prime } \big \rangle ^ { * } \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \overset { \cong } \int ^ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \big ( \int _ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \big \langle _ { \mathcal { X } } \langle y , x \rangle ^ { * } \otimes G ( x ) , x ^ { \prime } \big \rangle \big ) ^ { * } \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \cong \int ^ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \int ^ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \big \langle _ { \mathcal { X } } \langle y , x \rangle ^ { * } \otimes G ( x ) , x ^ { \prime } \big \rangle ^ { * } \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \overset { \cong } \int ^ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \int ^ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle y , x \rangle ^ { * } \otimes \ _ { \mathcal { X } } \langle G ( x ) , x ^ { \prime } \rangle ^ { * } \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \overset { \textnormal { F u b i n i } } { \cong } \int ^ { x \in \mathcal { X } } \int ^ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle y , x \rangle ^ { * } \otimes \ _ { \mathcal { X } } \langle G ( x ) , x ^ { \prime } \rangle ^ { * } \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \cong \int ^ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle y , x \rangle ^ { * } \otimes \ \int ^ { x ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle G ( x ) , x ^ { \prime } \rangle ^ { * } \otimes F ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \overset { = } \int ^ { x \in \mathcal { X } } \ _ { \mathcal { X } } \langle y , x \rangle ^ { * } \otimes \ \Gamma ^ { \textnormal { r l } } ( F ) ( G ( x ) ) \overset { = } \Gamma ^ { \textnormal { r l } } ( \Gamma ^ { \textnormal { r l } } ( F ) \circ G ) ( y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \widetilde { \mathbf { O } } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \widetilde { \mathbf { O } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \ldots , \widetilde { \mathbf { O } } _ { p r } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p r } ^ { \mathrm { i n } } \right) } & { \stackrel { d } { = } \left( \widetilde { \mathbf { O } } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \widetilde { \mathbf { O } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \ldots , \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p r } ^ { \mathrm { i n } } \right) \stackrel { d } = \left( \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \ldots , \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p r } ^ { \mathrm { i n } } \right) , } \end{array}
p ( \mathbf { \phi } \mid d _ { 1 } , \mathbf { d _ { 2 } } ) = \sum _ { \mathbf { \phi _ { c o n d } } } p ( \mathbf { \phi } \mid \mathbf { \phi _ { c o n d } } , \mathbf { d _ { 2 } } ) p ( \mathbf { \phi _ { c o n d } } \mid d _ { 1 } )
\begin{array} { r } { I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] = m _ { \psi } = \mathrm { c o n s t } , } \\ { \frac { d } { d t } [ I _ { 2 } \dot { \varphi } \sin ^ { 2 } \theta + m _ { \psi } \cos \theta ] + b k _ { 2 } \sin \theta \sin \varphi = 0 , } \\ { - I _ { 2 } \ddot { \theta } + I _ { 2 } \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta - m _ { \psi } \sin \theta \dot { \varphi } + b [ k _ { 3 } \sin \theta + k _ { 2 } \cos \theta \cos \varphi ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ( \delta ) } & { { } = \sin ( \delta _ { \mathrm { N G P } } ) \sin ( b ) + \cos ( \delta _ { \mathrm { N G P } } ) \cos ( b ) \cos ( l _ { \mathrm { N C P } } - l ) } \\ { \cos ( \delta ) \sin ( \alpha - \alpha _ { \mathrm { N G P } } ) } & { { } = \cos ( b ) \sin ( l _ { \mathrm { N C P } } - l ) } \\ { \cos ( \delta ) \cos ( \alpha - \alpha _ { \mathrm { N G P } } ) } & { { } = \cos ( \delta _ { \mathrm { N G P } } ) \sin ( b ) - \sin ( \delta _ { \mathrm { N G P } } ) \cos ( b ) \cos ( l _ { \mathrm { N C P } } - l ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 6 } } \simeq \: } & { 4 \Sigma ^ { 3 2 , 2 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 2 } } \oplus \Sigma ^ { 4 8 , 3 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus 5 \Sigma ^ { 6 4 , 6 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } } \\ & { \: \oplus 5 \Sigma ^ { 3 2 , 1 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \Sigma ^ { 4 8 , 4 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } . } \end{array}
\mathbf { I } = { \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { 1 1 } } & { I _ { 1 2 } } & { I _ { 1 3 } } \\ { I _ { 2 1 } } & { I _ { 2 2 } } & { I _ { 2 3 } } \\ { I _ { 3 1 } } & { I _ { 3 2 } } & { I _ { 3 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { x x } } & { I _ { x y } } & { I _ { x z } } \\ { I _ { y x } } & { I _ { y y } } & { I _ { y z } } \\ { I _ { z x } } & { I _ { z y } } & { I _ { z z } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } \left( y _ { k } ^ { 2 } + z _ { k } ^ { 2 } \right) } & { - \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } x _ { k } y _ { k } } & { - \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } x _ { k } z _ { k } } \\ { - \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } x _ { k } y _ { k } } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } \left( x _ { k } ^ { 2 } + z _ { k } ^ { 2 } \right) } & { - \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } y _ { k } z _ { k } } \\ { - \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } x _ { k } z _ { k } } & { - \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } y _ { k } z _ { k } } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } \left( x _ { k } ^ { 2 } + y _ { k } ^ { 2 } \right) } \end{array} \right] } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x _ { t + 1 } ( \eta ) = x _ { t } ( \eta ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } K ( \eta , \xi _ { j } , \gamma _ { 1 } ) e ^ { \displaystyle r _ { 1 } - x _ { t } ( \xi _ { j } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } d _ { i } h ( x _ { t } ( \xi _ { j } ) , y _ { t } ^ { i } ( \xi _ { j } ) ) } } & \\ { \displaystyle y _ { t + 1 } ^ { i } ( \eta ) = y _ { t } ^ { j } ( \eta ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } K _ { 2 } ( \eta , \xi _ { j } , \gamma _ { i } ) e ^ { \displaystyle r _ { i + 1 } - y _ { t } ^ { i } ( \xi _ { j } ) - \frac { m _ { i } } { a _ { i } + y _ { t } ^ { i } ( \xi _ { j } ) } - h ( x _ { t } ( \xi _ { j } ) , y _ { t } ^ { i } ( \xi _ { j } ) ) } } & \end{array} \right. \; .
V _ { o c } = \frac { 1 } { e } \left( \epsilon _ { \mathrm { ~ L ~ U ~ M ~ O ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ C ~ B ~ M ~ } } - \epsilon _ { \mathrm { ~ H ~ O ~ M ~ O ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ O ~ N ~ } } \right) - 0 . 3 \mathrm { ~ V ~ } \, .
\begin{array} { r l } { { \frac { 2 2 } { 7 } } } & { { } = 3 . { \overline { { 1 4 2 \, 8 5 7 } } } , } \\ { \pi \, } & { { } = 3 . 1 4 1 \, 5 9 2 \, 6 5 \ldots } \end{array}
\frac { \textrm { d } x ( t ) } { \textrm { d } t } \bigg | _ { ( \alpha _ { \lambda 1 } , \dots , \alpha _ { \lambda j } , \dots , \alpha _ { \lambda _ { m } } ) } = \left\{ \begin{array} { r l r l } { \alpha _ { \lambda _ { 1 } } } & { x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , } & & { t \in \Omega _ { 1 \theta } , } \\ & { \vdots } & \\ { \alpha _ { \lambda _ { j } } } & { x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , } & & { t \in \Omega _ { j \theta } , } \\ & { \vdots } & \\ { \alpha _ { \lambda _ { m } } } & { x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , } & & { t \in \Omega _ { m \theta } . } \end{array} \right.
F ( I ) = \mu _ { 2 } + \frac { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } } { 2 } H \Big ( \frac { I } { I _ { 0 } } \Big ) \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad H ( x ) = \frac { 1 } { 1 + x } - \frac { 3 \ln ( 1 + x ) } { x } .
u _ { \textup I } ( { \bf x } ) = U \sqrt { \frac { w _ { 0 } } { w ( { \bf m } \cdot { \bf x } ) } } \mathrm { ~ E ~ x ~ p ~ } \left[ \frac { - ( { \bf p } \cdot { \bf x } ) ^ { 2 } } { w ^ { 2 } ( { \bf m } \cdot { \bf x } ) } - \mathrm { i } \, { \bf k } \cdot { \bf x } - \mathrm { i } \, \beta \frac { ( { \bf p } \cdot { \bf x } ) ^ { 2 } } { 2 R ( { \bf m } \cdot { \bf x } ) } + \mathrm { i } \frac { \eta ( { \bf m } \cdot { \bf x } ) } { 2 } \right] \, .
\begin{array} { r l } { I ^ { ( n ) } } & { = \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \frac { 1 } { [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \int d ^ { D } k \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) } \\ & { \quad \times \frac { x ^ { 2 n - 1 } y ^ { 2 n - 1 } r ^ { 0 } s ^ { 0 } } { [ x k ^ { 2 } + y ( p - k ) ^ { 2 } + r ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) + s ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) ] ^ { 4 n + 2 } } \frac { \Gamma ( 4 n + 2 ) } { \Gamma ( 2 n ) \Gamma ( 2 n ) \Gamma ( 1 ) \Gamma ( 1 ) } } \\ & { = \int d ^ { D } k \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \delta ( x + y + r + s - 1 ) d x d y d r d s } \\ & { \quad \times \frac { x ^ { 2 n - 1 } y ^ { 2 n - 1 } } { [ ( k - ( y + s ) p ) ^ { 2 } - ( r + s ) m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ] ^ { 4 n + 2 } } \frac { \Gamma ( 4 n + 2 ) } { \Gamma ^ { 2 } ( 2 n ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int d x \exp \left[ - x ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } + \frac { 2 i k } { z - s } + \frac { 2 k ^ { 2 } ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { \phi } ^ { 2 } } { ( z - s ) [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } - \frac { \sigma _ { r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } + \frac { 2 k ^ { 2 } ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } } { [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } \right) \right. } \\ & { } & { \qquad \left. + x \left( \frac { D \eta } { \sigma _ { y } ^ { 2 } } + i k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) - \frac { D \eta \sigma _ { r } ^ { 2 } } { \sigma _ { y } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } - \frac { i k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \sigma _ { r } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } + \frac { k k _ { u } T _ { \alpha } ( z + s ) ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) \sigma _ { p } ^ { 2 } } { [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { l } { t r a { n _ { i j j ^ { \prime } } } = \operatorname* { m a x } \left\{ { { \Gamma _ { f r e } } \left( { f r { e _ { i j } } , f r { e _ { i j ^ { \prime } } } } \right) , 0 , \Delta } \right. { \Gamma _ { b a n d } } \left( { b a n { d _ { i j } } , b a n { d _ { i j ^ { \prime } } } } \right) , { \Gamma _ { p o l } } \left( { p o { l _ { i j } } , p o { l _ { i j ^ { \prime } } } } \right) } \\ { \left. { { \Gamma _ { m o d e } } \left( { m o d { e _ { i j } } , m o d { e _ { i j ^ { \prime } } } } \right) } \right\} } \end{array}
\mathbb { J } \left( t , \eta \right) \doteq \frac { \epsilon q _ { e } } { 2 l } \sum _ { x = - l } ^ { l - 1 } \{ \tau _ { t } ^ { ( \eta ) } ( I _ { \left( x + 1 , x \right) } ^ { ( 1 ) } ) - \tau _ { t } ^ { ( 0 ) } ( I _ { \left( x + 1 , x \right) } ^ { ( 1 ) } ) \}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - 2 \langle ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } - \mathrm { { R a } } \langle \omega \partial _ { 1 } T \rangle } \end{array}
f ( p ) = \frac { 3 N _ { \mathrm { S T } } \mathcal { P } } { 1 6 \pi ( R - 1 ) m V _ { 2 } p ^ { 2 } } { e ^ { \frac { 3 \mathcal { P } } { 4 ( R - 1 ) m V _ { 2 } } ( p _ { \mathrm { m i n } } - p ) } } ,
\begin{array} { r c l } { { d \Pi _ { ( 2 ) } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { \mathrm { c o s h } ^ { 2 } \chi \, d \phi ^ { 2 } - d \chi ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { d \Omega _ { ( 2 ) } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } { \theta } \, d \varphi ^ { 2 } \, , } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { E _ { 1 } } \\ { H _ { 1 } } \end{array} \right] = \mathbf { M } _ { f } \left[ \begin{array} { l } { E _ { 2 } } \\ { H _ { 2 } } \end{array} \right] , \mathbf { M } _ { f } = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { z _ { f } } } & { 1 } \end{array} \right]
{ \omega _ { \ell } ^ { 2 } \; = \; { \frac { \omega _ { \ell } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } \left( P i _ { \ell } ^ { ( e ) } ( \omega _ { \ell } , k ) \; + \; P i _ { \ell } ^ { ( p ) } ( \omega _ { \ell } , k ) \right) \; . }
{ \frac { \mathrm { d } \sin \theta } { \mathrm { d } s } } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } } { \frac { y ^ { \prime } ( s ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } } } } = { \frac { y ^ { \prime \prime } ( s ) x ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } - y ^ { \prime } ( s ) x ^ { \prime } ( s ) x ^ { \prime \prime } ( s ) } { \left( x ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } } \ ,
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { v } _ { \perp } } & { = - \hat { \mathbf { x } } v _ { x } \sin \theta + \hat { \mathbf { y } } v _ { y } \cos \theta + \hat { \mathbf { z } } v _ { z } } & { v _ { \perp } ^ { 2 } } & { = v _ { x } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta - 2 v _ { x } v _ { y } \cos \theta \sin \theta + v _ { y } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + v _ { z } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { v } _ { \| } } & { = \hat { \mathbf { x } } v _ { x } \cos \theta + \hat { \mathbf { y } } v _ { y } \sin \theta } & { v _ { \| } ^ { 2 } } & { = v _ { x } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + 2 v _ { x } v _ { y } \cos \theta \sin \theta + v _ { y } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l } { { y _ { 2 } y _ { 4 } } } & { { y _ { 8 } y _ { 1 0 } } } & { { y _ { 1 } y _ { 4 } } } & { { y _ { 8 } y _ { 9 } } } & { { y _ { 4 } y _ { 1 1 } } } & { { y _ { 3 } y _ { 1 2 } } } & { { y _ { 5 } y _ { 8 } } } & { { y _ { 6 } y _ { 7 } } } & { { y _ { 6 } y _ { 2 } } } & { { y _ { 1 2 } y _ { 1 } } } \\ { { y _ { 2 } y _ { 3 } } } & { { y _ { 7 } y _ { 1 0 } } } & { { y _ { 1 } y _ { 3 } } } & { { y _ { 7 } y _ { 9 } } } & { { y _ { 1 1 } y _ { 8 } } } & { { y _ { 1 2 } y _ { 7 } } } & { { y _ { 4 } y _ { 5 } } } & { { y _ { 3 } y _ { 6 } } } & { { y _ { 5 } y _ { 2 } } } & { { y _ { 1 1 } y _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle h _ { u b } \right\rangle = } & { \left\langle u _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) b _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) \right\rangle } \\ { = } & { \, \, \mathrm { i } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \int \mathrm { d } ^ { 4 } q ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left[ \left( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { x } - \left( \omega + \omega ^ { \prime } \right) t \right] } \frac { \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \left\langle \mathbf { B } \right\rangle } { \gamma _ { \eta } \left( \mathbf { q } ^ { \prime } \right) } \mathfrak { G } _ { i j } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { i k } \left( \mathbf { q } ^ { \prime } \right) \left\langle \hat { f } _ { j } ( \mathbf { q } ) \hat { f } _ { k } ( \mathbf { q } ^ { \prime } ) \right\rangle } \\ { = } & { - \mathrm { i } \left\langle B \right\rangle _ { m } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \frac { k _ { m } } { \gamma _ { \eta } \left( - \mathbf { q } \right) } \mathfrak { G } _ { i j } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { i k } \left( - \mathbf { q } \right) \left[ \frac { D _ { 0 } } { k ^ { 3 } } P _ { j k } ( \mathbf { k } ) + \mathrm { i } \frac { D _ { 1 } } { k ^ { 5 } } \epsilon _ { j k s } k _ { s } \right] } \\ { = } & { - 8 \Omega \left\langle B \right\rangle _ { m } \int \frac { \mathrm { d } k } { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } X \frac { \omega ^ { 2 } D _ { 1 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) \mathcal { F } ( \omega , X ) } \frac { k _ { z } k _ { m } } { k ^ { 2 } } } \\ { = } & { - 1 6 \pi \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \cdot \boldsymbol { \Omega } \right) \int \frac { \mathrm { d } k } { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } X \frac { \omega ^ { 2 } X ^ { 2 } D _ { 1 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) \mathcal { F } ( \omega , X ) } } \\ { = } & { - 1 6 \pi D _ { 1 } \mathcal { I } \left( \nu , \eta , \Omega , k _ { \ell } \right) \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \cdot \boldsymbol { \Omega } \right) , } \end{array}
\hat { a } = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { \sqrt { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \sqrt { 3 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { \sqrt { N - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { \sqrt { N } } & { 0 } \end{array} \right)
V _ { D } = \frac { G ^ { 2 } } { 8 } ( | H _ { 1 } | ^ { 2 } - | H _ { 2 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } | H _ { 1 } ^ { \dagger } H _ { 2 } | ^ { 2 } + \frac { g _ { 1 ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 } ( Q _ { 1 } | H _ { 1 } | ^ { 2 } + Q _ { 2 } | H _ { 2 } | ^ { 2 } + Q _ { S } | S | ^ { 2 } + Q _ { S ^ { \prime } } | S ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } ;
C \cdot \frac { 3 2 } { \epsilon } \cdot \log \left( \frac { 4 } { \epsilon } \right) \cdot 1 0 0 \log \left( \frac { 1 6 } { \epsilon } \right) \cdot m ^ { 2 1 } \sqrt { 2 \sigma n } \cdot 2 ^ { j } \cdot \log ^ { c } \left( \sigma n m 2 ^ { j + 1 } \right) \leq \frac { C } { 3 2 } \cdot \frac { m ^ { 2 1 } \sqrt { n } } { \epsilon } \cdot 2 ^ { j } \cdot \log ^ { c } \left( \frac { n m } { \epsilon } \right)
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { 1 } [ M _ { j } ( T ) ] = \frac { 1 } { L _ { 0 } - 1 } \big ( T - \mathbb { E } _ { 1 } [ M _ { 1 } ( T ) ] \big ) \ge \frac { 1 } { L _ { 0 } - 1 } \Bigg ( T - \frac { T } { L _ { 0 } } - \sqrt { \frac { K T } { 2 L _ { 0 } } \cdot d ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 1 } ) } ~ \Bigg ) : = \underline { { M } } . } \end{array}
\mathrm { E } _ { 0 } = \langle \mathrm { g r o u n d } ; \mathrm { e x } | \hat { \mathrm { H } } _ { \mathrm { p h y s } } | \mathrm { g r o u n d } ; \mathrm { e x } \rangle = { \hbar } ^ { 2 } \frac { q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } { L } \sum _ { p > 0 } \frac { 1 } { \mathrm { E } _ { p } ^ { 2 } ( \mathrm { N } ) } j _ { p } ^ { \mathrm { e x } } ( j _ { p } ^ { \mathrm { e x } } ) ^ { \star } .
\mathrm { ~ M ~ } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbb { D } + | \mathbb { F } | } & { \mathbb { C } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } \\ { \mathbb { C } } & { - ( \mathbb { D } - | \mathbb { F } | ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathbb { D } - | \mathbb { F } | } & { \mathbb { C } ^ { * } } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathbb { C } } & { - ( \mathbb { D } + | \mathbb { F } | ) } \end{array} \right)