harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { M S E } } & { = \mathrm { M S E } _ { e } + \mathrm { M S E } _ { f } + \mathrm { M S E } _ { d } } \\ { \mathrm { M S E } _ { e } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| u \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) - u ^ { i } \right| ^ { 2 } + \left| v \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) - v ^ { i } \right| ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| p \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) - p ^ { i } \right| ^ { 2 } \right) } \\ { \mathrm { M S E } _ { f } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| f _ { 1 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } + \left| f _ { 2 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } \right) } \\ { \mathrm { M S E } _ { d } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| u _ { x } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) + v _ { y } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\frac { N _ { b e a m } } { d z } d z = - N _ { 0 } \frac { d f _ { R R E A } } { d \varepsilon } \frac { d \varepsilon } { d z } d z = N _ { 0 } \frac { E + E _ { c } } { 7 3 0 0 [ k V ] } e ^ { - \frac { E + E _ { c } } { 7 3 0 0 [ k V ] } z }
\begin{array} { r } { \left| Z _ { ( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } ] , G } \right| \leqslant \frac { n } { 6 } + 2 - \operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 0 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 2 ( 4 ) } \right| \right) } \end{array}
( \Psi _ { W W } k ) ( x , y ) \ = \ a ( x , y ) \, \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { x y ( q ^ { 2 } - 1 ) } { q ^ { 2 } x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } } & { { \frac { q ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { q ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } } & { { \frac { x y ( q ^ { 2 } - 1 ) } { q ^ { 2 } x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, k ( y , x ) \ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { D a t a } : } & { { } = \alpha \mathcal { L } _ { B u l k } + \beta ( \mathcal { L } _ { B C } + \mathcal { L } _ { I C } ) + \gamma \mathcal { L } _ { I B } + \xi \mathcal { L } _ { I B v a r } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \mathbf { A } \cdot \nabla ) \psi } & { = \mathbf { A } \cdot ( \nabla \psi ) } \\ { ( \mathbf { A } \cdot \nabla ) \mathbf { B } } & { = \mathbf { A } \cdot ( \nabla \mathbf { B } ) } \\ { ( \mathbf { A } \times \nabla ) \psi } & { = \mathbf { A } \times ( \nabla \psi ) } \\ { ( \mathbf { A } \times \nabla ) \mathbf { B } } & { = \mathbf { A } \times ( \nabla \mathbf { B } ) } \end{array} }
P = \left[ { \begin{array} { l l l l l l } { P _ { 1 , 1 } } & { P _ { 1 , 2 } } & { \dots } & { P _ { 1 , j } } & { \dots } & { P _ { 1 , \alpha } } \\ { P _ { 2 , 1 } } & { P _ { 2 , 2 } } & { \dots } & { P _ { 2 , j } } & { \dots } & { P _ { 2 , \alpha } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { P _ { i , 1 } } & { P _ { i , 2 } } & { \dots } & { P _ { i , j } } & { \dots } & { P _ { i , \alpha } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { P _ { \alpha , 1 } } & { P _ { \alpha , 2 } } & { \dots } & { P _ { \alpha , j } } & { \dots } & { P _ { \alpha , \alpha } } \end{array} } \right] .
K _ { \mathrm { p } } ^ { * } \left( x ^ { * } \right) = \rho _ { \mathrm { f } } \int _ { 0 } ^ { L _ { z } } \int _ { 0 } ^ { 2 \delta } \frac { 1 } { 2 } \left( \left\langle \hat { u } ^ { * 2 } \right\rangle + \left\langle \hat { v } ^ { * 2 } \right\rangle + \left\langle \hat { w } ^ { * 2 } \right\rangle \right) \mathrm { d } y ^ { * } \mathrm { ~ d } z ^ { * } ,
d s ^ { 2 } = - f ( r ) d t ^ { 2 } + f ( r ) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ) + r ^ { 2 } h ( r , t ) d t ^ { 2 } .
F _ { \mathrm { s p } } ^ { i } = F _ { \mathrm { s p } } ^ { \mathrm { C } } \frac { Y ^ { i } } { Y ^ { \mathrm { C } } } \frac { X _ { \mathrm { a t m } } ^ { i } } { X _ { \mathrm { a t m } } ^ { \mathrm { C } } } \alpha _ { \mathrm { s e p } } ^ { i , \mathrm { C } } \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { d i l } } } f _ { \mathrm { s p } } ,
\bar { \Omega } _ { g } ( z _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { q _ { 0 } ^ { 4 } } } \epsilon _ { g } ^ { n p } ( z _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } } z _ { 0 } ^ { - 2 } \int _ { 0 } ^ { z _ { 0 } } d z \ z \left[ \left( z F ^ { N P } ( z ) + G ^ { N P } ( z ) \right) - \ln \left( 1 + z F ^ { N P } ( z ) + G ^ { N P } ( z ) \right) \right] .
C _ { i j } ( q , t , \underline { { \mu } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { q ^ { d _ { i } } t ^ { - 1 } + q ^ { - d _ { i } } t } & { \mathrm { i f ~ i = j ~ } ; } \\ { - [ f _ { i j } ] _ { q ^ { d _ { i } } } \sum _ { g = 1 } ^ { g _ { i j } } \mu _ { i j } ^ { ( g ) } } & { \mathrm { i f ~ c _ { i j } ~ < ~ 0 ~ } ; } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
S ( g ) = { \bf 1 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \int \! \! d ^ { 4 } x _ { 1 } \ldots d ^ { 4 } x _ { n } \, T _ { n } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \, g ( x _ { 1 } ) \cdot \ldots \cdot g ( x _ { n } ) \quad ,
\cot \left( { \frac { \pi } { 6 0 } } \right) = \cot \left( 3 ^ { \circ } \right) = { \frac { \left[ \left( 2 + { \sqrt { 3 } } \right) \left( 3 + { \sqrt { 5 } } \right) - 2 \right] \left[ 2 + { \sqrt { 1 0 - 2 { \sqrt { 5 } } } } \right] } { 4 } }
\begin{array} { r l } { \| f ^ { \prime \prime \prime \prime } \| _ { C ( [ - 1 , 1 ] ) } } & { \leq C \Bigl ( \| f \| _ { C ^ { 2 } ( [ - 1 , 1 ] ) } + \| \mathcal H f ^ { \prime } \| _ { C ( [ - 1 , 1 ] ) } + | \gamma | \Bigr ) } \\ & { \leq C \Bigl ( \| \mathcal H f ^ { \prime } \| _ { H ^ { 1 } ( \mathbb R ) } + | \gamma | \Bigr ) } \\ & { \leq C \Bigl ( \| f \| _ { H } + | \gamma | \Bigr ) \leq C | \gamma | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { S } _ { \mu \nu } ( \underline { { R } } , \underline { { R } } ) } & { = \displaystyle \int \mathrm { d } \underline { { x } } \, \tilde { \chi } _ { \mu } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) \, \tilde { \chi } _ { \nu } ^ { \star } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) = \tilde { S } _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \mathcal { A } _ { t } = x \mid \mathscr { C } _ { t } \right) } & { = \prod _ { j = 1 } ^ { m } \mu _ { ( \, \mathscr { C } _ { t } \setminus \{ x _ { i } \} _ { i < j } \, ) , \, x _ { j - 1 } } ( x _ { j } ) \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathbb { P } \left( \mathcal { T } _ { t } = y \mid \mathscr { C } _ { t } , \mathcal { A } _ { t } \right) } & { = \prod _ { j = 1 } ^ { m } \mu _ { \partial ( \, ( \mathscr { C } _ { t } \setminus \mathcal { A } _ { t } ) \, \cup \, \{ y _ { i } \} _ { i < j } \, ) , \, y _ { j - 1 } } ( y _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { 1 } } & { { } = 0 . 2 9 9 \cdot I _ { \lambda _ { r } } + 0 . 5 8 7 \cdot I _ { \lambda _ { g } } + 0 . 1 1 4 \cdot I _ { \lambda _ { b } } } \\ { O _ { 2 } } & { { } = I _ { \lambda _ { r } } - I _ { \lambda _ { g } } } \\ { O _ { 3 } } & { { } = I _ { \lambda _ { b } } - I _ { \lambda _ { r } } - I _ { \lambda _ { g } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d \pi _ { j } } { d \theta _ { j } ^ { d } } = \! \! \left[ \! \frac { \theta _ { j } ^ { d } } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \theta _ { k } ^ { d } } \! \left( \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } \! - \! \frac { 2 d ^ { d } } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \theta _ { k } ^ { d } } \right) \! \! \right. } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left. + \! \! \left( \! \frac { d ^ { d } } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \theta _ { k } ^ { d } } \! - \! \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } \! \right) \! \! \right] \frac { d ^ { d } } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \theta _ { k } ^ { d } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { b } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { i } \varphi _ { ( b ) } ) ( \partial _ { i } \varphi _ { ( b ) } ) - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \varphi _ { ( b ) } ^ { 2 } + i \bar { \psi } _ { ( b ) } ( \gamma ^ { t } \partial _ { t } + \gamma ^ { i } \partial _ { i } ) \psi _ { ( b ) } } \\ { - \frac { g ( 1 - C ) } { ( 1 + B ) } \bar { \psi } _ { ( b ) } \psi _ { ( b ) } \varphi _ { ( b ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { R } } _ { 1 } ( X , Y ) } & { { } \equiv \widetilde { P } ( X , Y ) \widetilde { R } _ { 1 } ( X , Y , C ) + \left( 1 - \widetilde { P } \left( X , Y \right) \right) \widetilde { R } _ { 1 } ( X , Y , D ) } \\ { \overline { { R } } _ { 2 } ( X , Y ) } & { { } \equiv \widetilde { P } ( X , Y ) \widetilde { R } _ { 2 } ( X , Y , C ) + \left( 1 - \widetilde { P } \left( X , Y \right) \right) \widetilde { R } _ { 2 } ( X , Y , D ) . } \end{array}
\delta S ( \nu , b ) = \int _ { 0 } ^ { Q ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } q _ { t } } { \pi q _ { t } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 - q _ { t } / Q } d z \, P _ { q q } [ \alpha _ { s } ( q _ { t } ) , z ] e ^ { - \nu q _ { t } + i \vec { b } \vec { q } _ { t } } \, \left[ \, T _ { g } ( q _ { t } , q _ { t } , \nu ) - 1 \, \right] .
\mathcal { J } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i \kappa } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i \kappa } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \; \; \mathcal { J } _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \kappa } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \kappa } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { | \partial _ { \xi } ^ { \eta } \widehat { \mathfrak { a } } ^ { \varphi , x } ( \omega , l , j , \xi ) | \le _ { m , s , \eta } | \mathfrak { a } ( \omega ) | _ { m , s , \eta } \frac { \langle \xi \rangle ^ { m - \eta } } { ( \langle j \rangle + \langle l \rangle ) ^ { s } } , \mathrm { ~ f o r ~ e a c h ~ s \ge ~ s _ 0 ~ } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { = ( A _ { 0 } , \, A _ { 1 } , \, A _ { 2 } , \, A _ { 3 } ) } \\ & { = A _ { 0 } \mathbf { E } ^ { 0 } + A _ { 1 } \mathbf { E } ^ { 1 } + A _ { 2 } \mathbf { E } ^ { 2 } + A _ { 3 } \mathbf { E } ^ { 3 } } \\ & { = A _ { 0 } \mathbf { E } ^ { 0 } + A _ { i } \mathbf { E } ^ { i } } \\ & { = A _ { \alpha } \mathbf { E } ^ { \alpha } } \end{array} }
{ \cal A } _ { \mu } ^ { a } ( t _ { 0 } , \vec { x } ) \; = \; \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \theta ( k ^ { 0 } ) \, ( 2 \pi ) \delta ( k ^ { 2 } ) \; \sum _ { s } \left( e ^ { - i k \cdot x } \, \hat { c } _ { \mu } ^ { a } ( k , s ) \; + \; e ^ { i k \cdot x } \, \hat { c } _ { \mu } ^ { a \; \dagger } ( k , s ) \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf x _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ i ~ l ~ s ~ } } , \mathbf x _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ f ~ a ~ c ~ e ~ } } } } & { { } J ( \mathbf x _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ i ~ l ~ s ~ } } , \mathbf x _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ f ~ a ~ c ~ e ~ } } ) = J _ { 1 } + \omega _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ i ~ l ~ s ~ } } J _ { 2 } , } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } } & { { } ~ \psi = \psi _ { 0 } , ~ R _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ j ~ o ~ r ~ } } = R _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Re \left( e ^ { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } \right) } & { { } = - \sin \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t \frac { 1 - \cos \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } { \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { T o t a l ~ s u r f a c e ~ a r e a } } } & { = \pi \left( \left( r _ { 1 } + r _ { 2 } \right) s + r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \pi \left( \left( r _ { 1 } + r _ { 2 } \right) { \sqrt { \left( r _ { 1 } - r _ { 2 } \right) ^ { 2 } + h ^ { 2 } } } + r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { \langle \Delta \psi \rangle } { 2 \pi } } & { { } = } & { \frac { 2 } { N ^ { 2 } ( N - 1 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } N \times i - i ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf G } } & { = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { G ^ { ( 1 ) } ( 0 ) } & { \cdots } & { G ^ { ( 1 ) } ( \theta ( N _ { v } - 1 ) ) } & { G ^ { ( 1 ) } ( \theta N _ { v } ) } & { \cdots } & { G ^ { ( 1 ) } ( \theta ( 2 N _ { v } - 1 ) ) } & { \cdots } \\ { G ^ { ( 2 ) } ( 0 ) } & { \cdots } & { G ^ { ( 2 ) } ( \theta ( N _ { v } - 1 ) ) } & { G ^ { ( 2 ) } ( \theta N _ { v } ) } & { \cdots } & { G ^ { ( 2 ) } ( \theta ( 2 N _ { v } - 1 ) ) } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { G ^ { ( N ) } ( 0 ) } & { \cdots } & { G ^ { ( N ) } ( \theta ( N _ { v } - 1 ) ) } & { G ^ { ( N ) } ( \theta N _ { v } ) } & { \cdots } & { G ^ { ( N ) } ( \theta ( 2 N _ { v } - 1 ) ) } & { \cdots } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \epsilon } & { { } = \left( \frac { \partial \epsilon } { \partial T } \right) _ { \rho } \mathrm { d } T + \left( \frac { \partial \epsilon } { \partial \rho } \right) _ { T } \mathrm { d } \rho } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j = 1 , j \neq k } ^ { K } \frac 1 4 \bigg [ ( ( p _ { j } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( ( p _ { j } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } \\ & { + | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) p _ { j } ^ { ( n ) } ( p _ { j } - p _ { j } ^ { ( n ) } ) - ( p _ { j } ^ { 2 } - | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { + 4 ( ( p _ { j } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) ( \mathcal R ( \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ) - | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) \bigg ] } \\ & { + { \sigma ^ { 2 } } \leq { \alpha _ { k } } . } \end{array}
\mathrm { d } \mathrm { S } = \left[ - ( B + C ) \left( \mathrm { S } - \frac { C \mathrm { S } _ { E } } { B + C } \right) \right] ( 1 + \mathrm { S } ) \mathrm { d } t + A \bar { u } ( 1 + \mathrm { S } ) + A ( 1 + \mathrm { S } ) \mathrm { d } W _ { t } ,
\operatorname* { m i n } _ { \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } } \left[ \left( \| \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } - \ensuremath { \mathbf { \tilde { s } } } \| _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } ^ { \top } \mathcal L \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { C } ^ { n \times m } } \operatorname { e t r } \left( - \pi \left( \mathbf { A } \mathbf { U } ^ { \mathbf { H } } \mathbf { C } \mathbf { U } + \mathbf { B } ^ { \mathbf { H } } \mathbf { U } + \mathbf { U } ^ { \mathbf { H } } \mathbf { D } \right) \right) d \mathbf { U } } & { = \det \left( \mathbf { A } ^ { \top } \otimes \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } \operatorname { e t r } \left( \pi \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B C } ^ { - 1 } \mathbf { D } ^ { \mathbf { H } } \right) } \\ & { = \det ( \mathbf { A } ) ^ { - n } \det ( \mathbf { C } ) ^ { - m } \operatorname { e t r } \left( \pi \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B C } ^ { - 1 } \mathbf { D } ^ { \mathbf { H } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i _ { 2 } = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { \mathbf { G } } \left\{ \left( \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { k ^ { \prime } } \mathbf { G } _ { j i _ { 1 } } ^ { \top } \mathbf { B } _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right\} } & { = } \\ { \sum _ { i _ { 2 } = 1 } ^ { n } } & { \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { k ^ { \prime } } \mathbb { E } _ { \mathbf { G } } \left\{ \left( \mathbf { G } _ { j i _ { 1 } } ^ { \top } \right) ^ { 2 } \right\} \mathbf { B } _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { 2 } , } \end{array}
V _ { \Lambda } = - A _ { p } \left( \int _ { \Lambda } ^ { \infty } { \frac { d t } { t ^ { ( p + 3 ) / 2 } } } { \cal A } + { \frac { 2 } { 3 - p } } \Lambda ^ { ( 3 - p ) / 2 } { \cal C } \right) \ .
\begin{array} { r } { \int \eta ^ { 2 } | R c _ { \tilde { g } _ { i } } | ^ { 2 } e ^ { - \tilde { f } _ { i } } \, d V _ { \tilde { g } _ { i } } \le \int \left( s _ { i } ^ { - 1 } \eta ^ { 2 } R _ { \tilde { g } _ { i } } + 4 | \nabla _ { \tilde { g } _ { i } } \eta | ^ { 2 } | \nabla _ { \tilde { g } _ { i } } \tilde { f } _ { i } | ^ { 2 } \right) e ^ { - \tilde { f } _ { i } } \, d V _ { \tilde { g } _ { i } } \le C _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \sqrt { 2 \, \chi ( t ^ { \prime } ) } \; \cos \theta ( t ^ { \prime } ) } \\ { y ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \sqrt { 2 \, \chi ( t ^ { \prime } ) } \; \sin \theta ( t ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { p _ { k + 1 } \left( \Delta , \Sigma \right) - p _ { k } \left( \Delta , \Sigma \right) } { d t } } & { = ( E _ { \Delta } ^ { - 1 } E _ { \Sigma } ^ { - 1 } - 1 ) \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \alpha } { d t } + \frac { 1 - \alpha } { d t } \left( 1 - q + \Delta \right) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) \right) \left( 2 q - \Sigma - \Delta \right) \thinspace p _ { k } \left( \Delta , \Sigma \right) \right] } \\ { + } & { ( E _ { \Delta } ^ { - 1 } E _ { \Sigma } - 1 ) \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \alpha } { d t } + \frac { 1 - \alpha } { d t } \left( 1 - q + \Delta \right) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) \right) \left( \Sigma - \Delta \right) \thinspace p _ { k } \left( \Delta , \Sigma \right) \right] } \\ { + } & { ( E _ { \Delta } E _ { \Sigma } ^ { - 1 } - 1 ) \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \alpha } { d t } + \frac { 1 - \alpha } { d t } \left( q - \Delta \right) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) \right) \left( 2 - 2 q - \Sigma + \Delta \right) \thinspace p _ { k } \left( \Delta , \Sigma \right) \right] } \\ { + } & { ( E _ { \Delta } E _ { \Sigma } - 1 ) \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \alpha } { d t } + \frac { 1 - \alpha } { d t } \left( q - \Delta \right) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) \right) \left( \Sigma + \Delta \right) \thinspace p _ { k } \left( \Delta , \Sigma \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } \mathcal { E } = } & { \left[ \frac { - i \delta } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } ( - \eta _ { 2 } + 2 W _ { 1 } - i \theta _ { 2 } ) \right] \mathcal { E } + h \mathcal { Y } _ { 0 } \frac { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } { 1 + i \delta } - \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 3 } \mathcal { E } } \\ & { + \epsilon ^ { 3 } \left[ \frac { 2 f ( i R _ { 1 } - I _ { 1 } ) } { 1 + i \delta } \mathcal { D } - \omega _ { 1 } ( - \eta _ { 2 } + 2 W _ { 1 } - i \theta _ { 2 } ) \right] \mathcal { E } + \epsilon \omega _ { 1 } h \mathcal { Y } _ { 0 } \frac { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } { 1 + i \delta } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { l \in \textbf { a b o v e } ( s ) } z _ { l } = } & { \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } + \sum _ { l \in \textbf { a b o v e } ( s _ { + 1 } ) \setminus \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } } \\ { = } & { \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } + \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s _ { + 1 } ) \setminus \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } + \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s _ { + 2 } ) \setminus ( \textbf { r i g h t } ( s ) \cup \textbf { r i g h t } ( s _ { + 1 } ) ) } z _ { l } . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbb I + \Delta _ { k } A ) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { p ^ { k } } \\ { \tilde { q } ^ { k } } \end{array} \right] } & { = ( \mathbb I + \left[ \begin{array} { l l } { t _ { k } \partial f } & { 0 } \\ { 0 } & { s _ { k } \partial g ^ { * } } \end{array} \right] ) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { p ^ { k } } \\ { \tilde { q } ^ { k } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { p r o x } _ { t _ { k } f } ( \tilde { x } ) } \\ { \mathrm { p r o x } _ { s _ { k } g ^ { * } } ( \tilde { y } ) } \end{array} \right] , } \\ { ( \mathbb I + \Delta _ { k } B ) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \tilde { u } ^ { k } } \\ { \tilde { v } ^ { k } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbb I } & { t _ { k } K ^ { T } } \\ { - s _ { k } K } & { \mathbb I } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \tilde { u } ^ { k } } \\ { \tilde { v } ^ { k } } \end{array} \right] . } \end{array}
S ( p _ { i } , a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } , p _ { j } ) _ { \sigma _ { i } \sigma _ { j } } ^ { \alpha } = \chi _ { \sigma _ { i } } ^ { \dagger } ( p _ { i } ) \left[ a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } \right] ^ { \alpha } \chi _ { \sigma _ { j } } ( p _ { j } ) ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { C } ( t ) } & { = e ^ { - \boldsymbol { \Omega } t } \cdot \boldsymbol { C } ( 0 ) \cdot e ^ { - \boldsymbol { \Omega } ^ { T } t } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \boldsymbol { \Omega } ( s - t ) } \cdot \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 \boldsymbol { \tilde { \Gamma } } \cdot \boldsymbol { \tilde { T } } } \end{array} \right) \cdot e ^ { \boldsymbol { \Omega } ^ { T } ( s - t ) } d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { n } ( D ) [ [ y ; M _ { n } ( \tau ) , M _ { n } ( \theta ) ] ] } & { \to M _ { n } ( D [ [ z ; \tau , \theta ] ] ) } \\ { \sum _ { i \geq 0 } \left( \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } c _ { i j k } e _ { j k } \right) y ^ { i } } & { \mapsto \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { i \geq 0 } c _ { i j k } z ^ { i } \right) e _ { j k } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { d u _ { j } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { j } \cdot \nabla u _ { j } ) \, d t } & { = \big [ \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F _ { j } ( \cdot , u ) ) + f _ { j } ( \cdot , u ) \big ] \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , j } \cdot \nabla ) u _ { j } + g _ { n , j } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { j } ( 0 ) } & { = u _ { 0 , j } , } \end{array} \right.
\frac { \partial } { \partial { x } _ { o u t } ^ { \mu } } I [ x _ { c l } , e _ { 0 } ] = - e _ { 0 } ^ { - 1 } \left( \dot { x } _ { c l } \right) _ { \mu } ( 1 ) - g A _ { \mu } ( x _ { o u t } ) .
\begin{array} { l l l } { | \alpha ; \boldsymbol { \mathsf { h } } ; s \rangle } & { = } & { \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { s } { \bar { \alpha } } ^ { s - n } \, h _ { n } ( \vert \alpha \vert ^ { 2 } ) | n \rangle } \\ & & { \qquad \displaystyle + \sum _ { n = s + 1 } ^ { \infty } \alpha ^ { n - s } \, h _ { n } ( \vert \alpha \vert ^ { 2 } ) | n \rangle } \\ { \displaystyle } & { \equiv } & { \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \phi _ { n } ( \alpha , \bar { \alpha } ) | n \rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \{ v \} _ { i } \lvert \mu \lvert \{ v \} _ { j } \rangle \approx \sum _ { n } ^ { 3 N - 6 ( 5 ) } \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { n } } \right| _ { Q _ { n , \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } \langle v _ { n , i } \lvert Q _ { n } \lvert v _ { n , j } \rangle , } \end{array}