harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { J _ { y } } & { { } = } & { \frac { \varepsilon _ { 0 } z } { 2 k _ { 0 } } \! \! \int \! \! \! A ^ { 2 } \partial _ { x } \Phi d \vec { x } _ { \perp } d t ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { 0 } \! \! \int \! \! \! A ^ { 2 } x d \vec { x } _ { \perp } d t ^ { \prime } \, , } \\ { J _ { y } ^ { ( i ) } } & { { } = } & { - \frac { \varepsilon _ { 0 } c } { 2 k _ { 0 } } \! \! \int \! \! \! A ^ { 2 } \partial _ { x } \Phi ( t ^ { \prime } - t _ { m } ^ { \prime } ) d \vec { x } _ { \perp } d t ^ { \prime } \, , } \\ { J _ { y } ^ { ( e ) } } & { { } = } & { \frac { \varepsilon _ { 0 } z } { 2 k _ { 0 } } \! \! \int \! \! \! A ^ { 2 } \partial _ { x } \Phi d \vec { x } _ { \perp } d t ^ { \prime } + \frac { \varepsilon _ { 0 } c } { 2 k _ { 0 } } \! \! \int \! \! \! A ^ { 2 } \partial _ { x } \Phi ( t ^ { \prime } \! - \! t _ { m } ^ { \prime } ) d \vec { x } _ { \perp } d t ^ { \prime } } \end{array}
\overrightarrow { C _ { x } } \equiv \frac { { } _ { 1 } } { { } ^ { 2 } } \beta ^ { - 1 } \left[ - \hbar ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } + ( \beta ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) x ^ { 2 } \right]
S = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - i ) ^ { n } } { n ! } } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { n } \int d ^ { 4 } x _ { j } \right) { \mathcal { T } } \left\{ \prod _ { j = 1 } ^ { n } { \mathcal { H } } _ { V } \left( x _ { j } \right) \right\} \equiv \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } S ^ { ( n ) } \; .
H _ { n m } ^ { \{ { \bf R } \} } ( 0 , 0 ) \approx \frac { ( - 1 ) ^ { \frac { n + m } 2 } \epsilon ^ { - \frac { | n - m | + 1 } 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } \Gamma \left( \frac { n + m + 1 } 2 \right) R _ { 1 1 } ^ { n / 2 } R _ { 2 2 } ^ { m / 2 } \left( r + \epsilon \right) ^ { \frac { n + m + 1 } 2 } .
h \Delta f _ { 0 } = \Delta \alpha | \vec { \mathcal { E } } | ^ { 2 } + \frac { 2 { \mu _ { B } } ^ { 2 } } { h f _ { 0 } } \left( B _ { 0 } - \frac { \beta } { \mu _ { B } } | \vec { \mathcal { E } } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \hat { I } ( s ) \propto \langle \hat { v } ( 0 , s ) \rangle \approx \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle A \frac { \sin \pi \alpha } { \pi \alpha } \frac { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } { s ^ { 1 + \alpha } } + A \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \frac { s ^ { \alpha - 1 } } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } s > s ^ { * } } \\ { \displaystyle \frac { L ^ { 2 } } { 2 A } \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \frac { s ^ { \alpha - 1 } } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } s < s ^ { * } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle 1 A , 2 B ; \Omega | } & { \hat { H } | 3 A , 4 B ; \Omega \rangle \sim } \\ & { \langle 1 A , 2 B | \hat { H } | 3 A , 4 B \rangle } \\ { - } & { \langle 1 A , 2 B | \hat { H } | 4 A , 3 B \rangle } \\ { - } & { \langle 2 A , 1 B | \hat { H } | 3 A ; 4 B \rangle } \\ { + } & { \langle 2 A , 1 B | \hat { H } | 4 A ; 3 B \rangle \; . } \end{array}
\ln \Delta _ { l } \tilde { \Delta } _ { l } = \ln \left[ ( \tilde { s } _ { l } ( x ^ { \prime } ) \tilde { e } _ { l } ^ { \prime } ( x ) - \tilde { s } _ { l } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) \tilde { e } _ { l } ( x ) ) ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } ( \tilde { s } _ { l } ( x ^ { \prime } ) \tilde { e } _ { l } ^ { \prime } ( x ) + \tilde { s } _ { l } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) \tilde { e } _ { l } ( x ) ) ^ { 2 } \right] + \mathrm { c o n s t a n t } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } _ { 0 } } & { = q _ { 3 } } \\ { \mathbf { x } _ { 1 } } & { = q _ { 1 } - \frac { q _ { 3 } } { 2 } } \\ { \mathbf { x } _ { 2 } } & { = q _ { 2 } - \frac { m _ { 1 } q _ { 1 } + q _ { 3 } } { m _ { 1 } + 2 } } \end{array} \right. , \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { p } _ { 0 } } & { = P _ { 3 } + \frac { P _ { 1 } } { 2 } + \frac { P _ { 2 } } { 2 } } \\ { \mathbf { p } _ { 1 } } & { = P _ { 1 } + \frac { m _ { 1 } P _ { 2 } } { m _ { 1 } + 2 } } \\ { \mathbf { p } _ { 2 } } & { = P _ { 2 } } \end{array} \right. .
| u _ { - } \rangle = \left( \begin{array} { l } { \sin \theta _ { k } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \varphi _ { k } } } \\ { - \cos \theta _ { k } } \end{array} \right) , \quad | u _ { + } \rangle = \left( \begin{array} { l } { \cos \theta _ { k } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \varphi _ { k } } } \\ { \sin \theta _ { k } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { P \left( x < X \leq Z , y < Y \leq Z \right) } & { = } & { \mathbb { E } \left( P \left( x < X \leq Z , y < Y \leq Z \, | \, Z \right) \right) } \\ & { = } & { \mathbb { E } \left( P \left( x < X \leq Z \mid Z \right) P \left( y < Y \leq Z \mid Z \right) \right) } \\ & { = } & { \int _ { \operatorname* { m a x } \left( x , y \right) } ^ { \infty } \left( e ^ { - \lambda x } - e ^ { - \lambda z } \right) \left( e ^ { - \lambda y } - e ^ { - \lambda z } \right) \lambda e ^ { - \lambda z } \, d z . } \end{array}
\Psi \circ h \circ \Psi ^ { - 1 } ( r , \theta , \phi , t ) = \Psi \circ F ^ { * } g \circ \Psi ^ { - 1 } ( r , \theta , \phi , t ) = - \left( 1 - \frac { 1 } { f ( r ) } \right) d t ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { 1 } { f ( r ) } \right) ^ { - 1 } f ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } d r ^ { 2 } + f ( r ) ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } \right) \; .
u _ { \underline { { { m } } } } ^ { i } = G _ { { \cal R } } ^ { i k } H _ { L } ^ { k j } ( - l _ { \underline { { { m } } } } ^ { j } + e ^ { 2 W } r ^ { ( + + ) \underline { { { n } } } } l _ { \underline { { { n } } } } ^ { j } l _ { \underline { { { m } } } } ^ { ( -- ) } ) ~ , \qquad
\begin{array} { r l r } { \frac { d \ell } { d t } } & { { } = } & { \alpha \frac { \partial S _ { L } } { \partial \ell } ( \ell , r ) , } \\ { \frac { d r } { d t } } & { { } = } & { \beta \frac { \partial S _ { R } } { \partial r } ( \ell , r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { 0 } ^ { n + 1 } } & { { } = ( u _ { 0 } ^ { e + 1 } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { 0 } \Delta x _ { e + 1 } } ( f _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { e + 1 } - F _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } ) } \\ { \tilde { u } _ { N } ^ { n + 1 } } & { { } = ( u _ { N } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { N } \Delta x _ { e } } ( F _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } - f _ { { N - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { e } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta , ( 0 , a ) } [ \mathfrak { q } ] } & { : = \int _ { 0 } ^ { a } \frac { \mathrm { d } v } { v } v ^ { \left( 1 + \frac { \beta } { \alpha } \right) q ^ { \prime } } \Vert \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , \cdot ) \star \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } } ^ { q ^ { \prime } } . } \end{array}
{ \frac { 3 } { b ^ { 2 } } } { \frac { a ^ { \prime } } { a } } \left( { \frac { a ^ { \prime } } { a } } + { \frac { n ^ { \prime } } { n } } \right) - { \frac { 3 } { c ^ { 2 } n ^ { 2 } } } \left[ { \frac { \dot { a } } { a } } \left( { \frac { \dot { a } } { a } } - { \frac { \dot { n } } { n } } \right) + { \frac { \ddot { a } } { a } } \right] - { \frac { 3 k } { a ^ { 2 } } } = - { \frac { 8 \pi G _ { 5 } } { c ^ { 4 } } } \Lambda ,
\begin{array} { r l } { c _ { \alpha _ { + , j } } } & { = v _ { 0 } \frac { \Lambda _ { \mathrm { s o m , m a x } } } { \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { \infty } } , \quad c _ { \beta _ { - , j } } = v _ { 0 } ( 1 - \rho _ { j } ^ { \infty } ) \frac { \Lambda _ { \mathrm { s o m , m a x } } } { \Lambda _ { \mathrm { s o m , m a x } } - \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { \infty } } , } \\ { c _ { \alpha _ { - , j } } } & { = v _ { 0 } \frac { \Lambda _ { j , \mathrm { m a x } } } { \Lambda _ { j } ^ { \infty } } , \quad c _ { \beta _ { + , j } } = v _ { 0 } ( 1 - \rho _ { j } ^ { \infty } ) \frac { \Lambda _ { j , \mathrm { m a x } } } { \Lambda _ { j , \mathrm { m a x } } - \Lambda _ { j } ^ { \infty } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 2 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 1 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
- { \frac { 4 \pi \kappa _ { 3 } } { M ^ { 2 } } } \left[ \overline { { { \psi } } } \gamma _ { \mu } { \frac { \lambda ^ { a } } { 2 } } \psi \right] ^ { 2 } - { \frac { 4 \pi \kappa _ { 1 } } { M ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 1 } { 3 } } \overline { { { \psi _ { L } } } } \gamma _ { \mu } \psi _ { L } + { \frac { 4 } { 3 } } \overline { { { t _ { R } } } } \gamma _ { \mu } t _ { R } - { \frac { 2 } { 3 } } \overline { { { b _ { R } } } } \gamma _ { R } \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l r l r l } { \mathbf { f } = \mathbf { p } - \ensuremath { \mathbf { w } } \left( \frac { p _ { 0 } } { w } + m \right) } & { , } & { f _ { \parallel } } & { = \frac { ( \mathbf { f } \ensuremath { \mathbf { w } } ) } { w } , } & { f ^ { 2 } } & { = f _ { \parallel } ^ { 2 } + f _ { \perp \vphantom { \parallel } } ^ { 2 } , } \\ { g _ { \perp \vphantom { \parallel } } = f _ { \perp \vphantom { \parallel } } \sqrt { m v _ { L } / p _ { F } } } & { , } & { g _ { \parallel } } & { = f _ { \parallel } , } & { g ^ { 2 } } & { = g _ { \parallel } ^ { 2 } + g _ { \perp \vphantom { \parallel } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { j _ { 1 } , \cdot , j _ { n } } = } & { \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \cdots i _ { m } } \mathcal A _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { m } } \mathcal { I } _ { j _ { 1 } , \cdot , j _ { n } } ^ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { m } } } \\ { = } & { \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \cdots i _ { m } } \mathcal A _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { m } } ( \prod _ { k = 1 , \cdots , m } \delta _ { 1 } ^ { i _ { k } } \prod _ { l = 1 , \cdots , n } \delta _ { j _ { l } } ^ { 1 } + \prod _ { k = 1 , \cdots , m } \delta _ { 2 } ^ { i _ { k } } \prod _ { l = 1 , \cdots , n } \delta _ { j _ { l } } ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \mathcal A _ { 1 , \cdots , 1 } \prod _ { l = 1 , \cdots , n } \delta _ { j _ { l } } ^ { 1 } + \mathcal A _ { 2 , \cdots , 2 } \prod _ { l = 1 , \cdots , n } \delta _ { j _ { l } } ^ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { q = 1 , 2 } ( \mathcal A _ { 1 , \cdots , 1 } \delta _ { q } ^ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { q } \prod _ { l = 1 , \cdots , n } \delta _ { j _ { l } } ^ { 1 } + \mathcal A _ { 2 , \cdots , 2 } \delta _ { q } ^ { 2 } \delta _ { 2 } ^ { q } \prod _ { l = 1 , \cdots , n } \delta _ { j _ { l } } ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \sum _ { q = 1 , 2 } ( \mathcal A _ { 1 , \cdots , 1 } \delta _ { q } ^ { 1 } + \mathcal A _ { 2 , \cdots , 2 } \delta _ { q } ^ { 2 } ) ( \delta _ { 1 } ^ { q } \prod _ { l = 1 , \cdots , n } \delta _ { j _ { l } } ^ { 1 } + \delta _ { 2 } ^ { q } \prod _ { l = 1 , \cdots , n } \delta _ { j _ { l } } ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \sum _ { q = 1 , 2 } [ ( \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \cdots i _ { m } } \mathcal A _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { m } } \mathcal { I } _ { q } ^ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { m } } ) \mathcal { I } _ { j _ { 1 } , \cdot , j _ { n } } ^ { q } ] } \\ { = } & { ( \mathcal A _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { m } } \times \mathcal { I } _ { q } ^ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { m } } ) \times \mathcal { I } _ { j _ { 1 } , \cdot , j _ { n } } ^ { q } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf q } & { { } = \mathbf L _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \left( - m \partial _ { t } \mathbf q + \nabla \frac { 1 } { T } + \nabla \cdot \mathbf B \right) , } \\ { \mathbf B } & { { } = \mathbf L _ { 2 } ^ { ( 4 ) } \nabla \mathbf q , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { G ^ { \prime } ( z ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( n + 1 ) g _ { n + 1 } z ^ { n } } \\ { z \cdot G ^ { \prime } ( z ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n g _ { n } z ^ { n } } \\ { \int _ { 0 } ^ { z } G ( t ) \, d t } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { g _ { n - 1 } } { n } } z ^ { n } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \vec { \mu } _ { 1 } \cdot \vec { E } _ { 2 } ( \vec { r } _ { 1 } ) - \vec { m } _ { 1 } \cdot \vec { B } _ { 2 } ( \vec { r } _ { 1 } ) + \frac { \stackrel { \leftrightarrow } { Q } _ { 1 } } { 1 2 } \frac { \partial \vec { E } _ { 2 } } { \partial \vec { x } _ { 1 } } ( \vec { r } _ { 1 } ) = } \\ & { \vec { \mu } _ { 2 } \cdot \vec { E } _ { 1 } ( \vec { r } _ { 2 } ) - \vec { m } _ { 2 } \cdot \vec { B } _ { 1 } ( \vec { r } _ { 2 } ) + \frac { \stackrel { \leftrightarrow } { Q } _ { 2 } } { 1 2 } \frac { \partial \vec { E } _ { 1 } } { \partial \vec { x } _ { 2 } } ( \vec { r } _ { 2 } ) } \end{array}
\frac { V _ { z } } { v _ { A } } = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { V _ { x } } { v _ { A } } \right) ^ { 2 } = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { b } { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \bar { r } _ { 1 } } & { { } = \alpha _ { 1 } + \beta _ { 2 } , } \\ { \bar { r } _ { 2 } } & { { } = \alpha _ { 2 } + \beta _ { 1 } , } \\ { \bar { r } _ { 3 } } & { { } = \alpha _ { 0 } + \beta _ { 0 } , } \end{array}
\xi ^ { 2 } ( \vec { \alpha } ) = \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } S ( \vec { \alpha } , \vec { \theta _ { i } } ) ^ { 2 } } { n } - \Biggl ( \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } S ( \vec { \alpha } , \vec { \theta _ { i } } ) } { n } \biggr ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { { \textstyle \left[ \overline { { \frac { \alpha _ { i } } { 2 } } } \right] } Q _ { i , a q _ { i } ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } } & { \tilde { Q } _ { i , a q _ { i } } ^ { ( q ) } - { \textstyle \left[ \overline { { \frac { \alpha _ { i } } { 2 } } } \right] ^ { - 1 } } Q _ { i , a q _ { i } } ^ { ( q ) } \tilde { Q } _ { i , a q _ { i } ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } = } \\ & { \prod _ { \{ j \in I | C _ { i , j } = - 1 \} } Q _ { j , a } ^ { ( q ) } \prod _ { \{ j \in I | C _ { i , j } = - 2 \} } Q _ { j , a q ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } Q _ { j , a q } ^ { ( q ) } \prod _ { \{ j \in I | C _ { i , j } = - 3 \} } Q _ { j , a q ^ { - 2 } } ^ { ( q ) } Q _ { j , a } ^ { ( q ) } Q _ { j , a q ^ { 2 } } ^ { ( q ) } . } \end{array}
\frac { 2 \pi } { \alpha _ { s } } \frac { d q \uparrow ( x , Q ^ { 2 } ) } { d \log Q ^ { 2 } } = 2 q \uparrow ( x ) - \frac { 1 } { 3 } g ( x ) + \frac { 3 M ^ { 2 } R x } { 2 \pi } { \int } _ { x } ^ { 1 } f \uparrow ( z ) d z ,
d e t \left( \begin{array} { c c } { { { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } + x I } } & { { { \cal M ^ { \prime } } } } \\ { { { \cal M ^ { \prime } } ^ { T } } } & { { { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } - x I } } \end{array} \right) = 0
\cos \theta _ { 3 ^ { \prime } } \; \equiv \; \frac { \overrightarrow { P } _ { A V } \cdot \overrightarrow { P } _ { 3 ^ { \prime } } } { \mid \overrightarrow { P } _ { A V } \mid \mid \overrightarrow { P } _ { 3 ^ { \prime } } \mid } \; , \,
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } } } & { = \left( \mathbf { I } _ { L } + \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { R } } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { L } } ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } \Big [ \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } - \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { E } } \big ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E } \scriptscriptstyle \mathrm { E } } + \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S C } } \big ) ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } \Big ] \left( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { T } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } + \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { G } } \right) ^ { - 1 } \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { L \times M } } \end{array}
| + \frac { 1 } { 2 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + 2 x ^ { 2 } } } ( 2 | \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \rangle _ { 1 } + \sqrt { 2 } x | \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \rangle )
( { \cal C P } ) \left| \left( K ^ { \ast } \overline { { { K ^ { \ast } } } } \right) _ { f } \right\rangle = \eta _ { \mathrm { { \tiny ~ C P } } } ^ { f } \left| \left( K ^ { \ast } \overline { { { K ^ { \ast } } } } \right) _ { f } \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \partial _ { V \times V } \left( \partial _ { V } \left( \mu ; v _ { 1 } , \hdots , v _ { n } \right) \right) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { 1 \leq j < i } \left( \mu ; ( v _ { 1 } , 0 , 0 , 0 ) , \hdots , ( 0 , 0 , v _ { j } , 0 ) \hdots , ( 0 , v _ { i } , 0 , 0 ) , \hdots , ( v _ { n } , 0 , 0 , 0 ) \right) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \mu ; ( v _ { 1 } , 0 , 0 , 0 ) , \hdots , ( 0 , 0 , 0 , v _ { i } ) \hdots , , ( v _ { n } , 0 , 0 , 0 ) \right) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { i < j \leq n } \left( \mu ; ( v _ { 1 } , 0 , 0 , 0 ) , \hdots , ( 0 , v _ { i } , 0 , 0 ) , \hdots , ( 0 , 0 , v _ { j } , 0 ) , \hdots , ( v _ { n } , 0 , 0 , 0 ) \right) } \end{array}
{ \mathbf { x } } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l } { \phi } & { \theta } & { \psi } & { X } & { Z } & { \dot { \phi } } & { \dot { \theta } } & { \dot { \psi } } & { \dot { X } } & { \dot { Z } \textbf { } \textbf { } \beta \textbf { } \textbf { } \dot { \beta } } \end{array} \right] ^ { \intercal }
\begin{array} { r l } { \sin ( n \theta ) } & { { } = \sum _ { k { \mathrm { ~ o d d } } } ( - 1 ) ^ { \frac { k - 1 } { 2 } } { \binom { n } { k } } \cos ^ { n - k } \theta \sin ^ { k } \theta , } \\ { \cos ( n \theta ) } & { { } = \sum _ { k { \mathrm { ~ e v e n } } } ( - 1 ) ^ { \frac { k } { 2 } } { \binom { n } { k } } \cos ^ { n - k } \theta \sin ^ { k } \theta \, , } \end{array}
\hat { H } _ { s } ^ { d o u b } = g \sum _ { b } U _ { s } ^ { b b b b } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { b } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { b }
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf r } \big | \Psi _ { F , m _ { F } } ^ { ( \nu ) } \big \rangle } & { = } & { \sum _ { m _ { J } , m _ { F } } \big \langle \frac { 1 } { 2 } , m _ { J } ; \, I , m _ { I } \big | F , m _ { F } \big \rangle } \\ & { } & { \times \big \langle { \bf r } \big | \nu ; \, \frac { 1 } { 2 } , m _ { J } ; \, I , m _ { I } \big \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta = \frac { \left( d \psi _ { \omega } ^ { \scriptscriptstyle ( < ) } / d r _ { * } \right) } { \psi _ { \omega } ^ { \scriptscriptstyle ( < ) } } \bigg | _ { r _ { * } = 0 ^ { - } } = - \frac { a } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { l _ { 0 } } ( \tau ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } J _ { l } \left( \frac { \mathrm { P } } { 2 } \right) ^ { 2 } } & { } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { R e } \bigg [ i e ^ { i 2 ( l _ { 0 } + 1 ) \tau } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } e ^ { i 4 l \tau } } & { J _ { l } \left( \frac { \mathrm { P } } { 2 } \right) J _ { l + 1 } \left( \frac { \mathrm { P } } { 2 } \right) \bigg ] \, . } \end{array}
\Psi ( p ^ { 2 } ) \; = \; \Psi ( 0 ) + p ^ { 2 } \, \Psi ^ { \prime } ( 0 ) + p ^ { 4 } \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \rho ( s ) } { s ^ { 2 } ( s - p ^ { 2 } - i 0 ) } \, d s \, ,
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { e f f } } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { d } G _ { i j } ^ { \alpha \beta } \hat { \sigma } _ { i \alpha } ^ { e g } \hat { \sigma } _ { j \beta } ^ { g e } , } \end{array}
N _ { 4 } = \frac { 1 } { 4 ! } K _ { 4 } \left( 4 J _ { x } ^ { 2 } \beta _ { x } ^ { 2 } \cos ^ { 4 } { \phi _ { x } } + 2 4 J _ { x } J _ { y } \beta _ { x } \beta _ { y } \cos ^ { 2 } { \phi _ { x } } \cos ^ { 2 } { \phi _ { y } } + 4 J _ { y } ^ { 2 } \beta _ { y } ^ { 2 } \cos ^ { 4 } { \phi _ { y } } \right) \; .
\begin{array} { r l } { p ( { \mathbf y } _ { D } | { \mathbf z } _ { D } , { \mathbf w } _ { D } , { \mathbf X } _ { D } ) } & { = \prod _ { i } ^ { N } p ( { \mathbf y } _ { D } ^ { i } | { \mathbf z } _ { D } ^ { i } , { \mathbf w } _ { D } ^ { i } , { \mathbf X } _ { D } ^ { i } ) , } \\ { \log p ( { \mathbf y } _ { D } | { \mathbf z } _ { D } , { \mathbf w } _ { D } , { \mathbf X } _ { D } ) } & { = \sum _ { i } ^ { N } \log p ( { \mathbf y } _ { D } ^ { i } | { \mathbf z } _ { D } ^ { i } , { \mathbf w } _ { D } ^ { i } , { \mathbf X } _ { D } ^ { i } ) , } \\ { \log p ( { \mathbf y } _ { D } | { \mathbf z } _ { D } , { \mathbf w } _ { D } , { \mathbf X } _ { D } ) } & { \approx \frac { N } { | M | } \sum _ { i \in M } \log p ( { \mathbf y } _ { D } ^ { i } | { \mathbf z } _ { D } ^ { i } , { \mathbf w } _ { D } ^ { i } , { \mathbf X } _ { D } ^ { i } ) . } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { { F } } } [ \mathbf { r } _ { i } ] = { \mathcal { N } } { \mathcal { A } } \Psi [ \mathbf { r } _ { i } ] = { \mathcal { N } } \sum _ { \pi \in S _ { N } } ( - 1 ) ^ { \pi } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \psi _ { \alpha _ { \pi ( i ) } } ( \mathbf { r } _ { i } ) = { \mathcal { N } } \sum _ { \pi \in S _ { N } } ( - 1 ) ^ { \pi } \psi _ { \alpha _ { \pi ( 1 ) } } \otimes \psi _ { \alpha _ { \pi ( 2 ) } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { \alpha _ { \pi ( N ) } } .
\hat { p } ^ { \prime } ( \mathbf { y } , \omega ) = \int _ { V } \hat { T } _ { i j } ( \mathbf { x } , \omega ) \frac { \partial ^ { 2 } G _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \omega ) } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \mathrm { d } x
\begin{array} { r l } { T = T _ { w } \; \; } & { { } \mathrm { a t } \; \; r = r _ { w } \; \; \mathrm { f o r } \; \; t ^ { \prime } \geq 0 } \\ { T = T _ { 0 } \; \; } & { { } \mathrm { a t } \; \; r = \infty } \end{array}
\Gamma _ { e } = \operatorname* { m a x } \left\{ \left| \operatorname* { s u p } _ { x } h _ { i } ( x ) \right| , \ \left| \operatorname* { i n f } _ { x } h _ { i } ( x ) \right| \right\} = | h _ { i } ( 0 ) | = \frac { \left| 1 - b _ { i } ^ { 2 } \right| } { \left( b _ { i } + 1 \right) \left( 1 + b _ { i } \right) } = \frac { \left| 1 - b _ { i } \right| } { 1 + b _ { i } } \enspace ,
{ L _ { 6 , 0 } } = \sqrt { ( { L _ { 6 - 7 } } ^ { 2 } + { L _ { 7 - 0 } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 6 - 7 } } \cdot { L _ { 7 - 0 } } \cdot \cos ( { A _ { 7 } } ) ) }
\begin{array} { r l } { a _ { n } ( G ) } & { = \frac { 2 } { p - 1 } \log _ { p } T _ { n } J _ { \mathrm { D R } } [ \psi ] + 2 \sum _ { f } L _ { \mathrm { a l g } } ( 1 , f ) \log _ { p } T _ { n } J _ { f } ^ { - } [ \psi ] } \\ & { = \frac { 2 } { p - 1 } \log _ { p } ( J _ { \mathrm { D R } } [ \psi ] ) \cdot a _ { n } ( E _ { 2 } ^ { ( p ) } ) + \sum _ { f } L _ { \mathrm { a l g } } ( 1 , f ) \log _ { p } ( J _ { f } ^ { - } [ \psi ] ) \cdot a _ { n } ( f ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \eta } \wedge [ \eta , d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) ] _ { 1 } = } & { { } \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \eta } \wedge \ast \Big ( \big ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) \Big ) , } \end{array}
S _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ } } ^ { \epsilon } ( \lambda _ { S } ) = \frac { S ^ { \epsilon } ( \lambda _ { S } ) } { P _ { 1 } ^ { \epsilon } ( \lambda _ { 0 } ) } \frac { 1 } { T _ { 1 } ^ { \epsilon } ( \lambda _ { 0 } ) } \frac { 1 } { T _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ a ~ v ~ e ~ } } ( \lambda _ { S } ) }