harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H _ { o } = - \alpha ^ { \prime } E ^ { 2 } + \alpha ^ { \prime } \frac { n ^ { 2 } } { R ^ { 2 } N ^ { 2 } } + \frac { \rho ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \sin ^ { 2 } \Big [ \frac { ( \alpha - \beta ) } { 2 } \pi \alpha ^ { \prime } E + \pi \frac { ( \alpha + \beta ) } { 2 R } \alpha ^ { \prime } \frac { n } { N } + \frac { \pi m } { N } \Big ] + \hat { N } ,
S = S ^ { ( 1 ) } + S ^ { ( 2 ) } + . . . = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! d l \ \eta ( l ) - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! d l \int _ { 0 } ^ { l } \! \! d l ^ { \prime } \ [ \eta ( l ) , \eta ( l ^ { \prime } ) ] + . . . \, .
C _ { F } = - \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { 2 } d t ~ { \bar { \theta } } \Gamma _ { r s } D \theta \wedge ( e ^ { r } + t ^ { 2 } \bar { \theta } \Gamma ^ { r } D \theta ) \wedge ( e ^ { s } + t ^ { 2 } \bar { \theta } \Gamma ^ { s } D \theta ) \ .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { \textrm { E } _ { r } = \sigma _ { e } \sqrt { \sum _ { i j } M ^ { + } [ i j ] ^ { 2 } } } \\ { \textrm { E } _ { b } = e _ { 0 } \sqrt { \sum _ { i j } ( M ^ { + T } M ^ { + } ) [ i j ] } } \end{array} \right. } \\ { M ^ { + } = ( M ^ { T } M ) ^ { - 1 } M ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { T _ { k } } { 2 } ( 1 - d _ { k } ) \nabla f ( x _ { k } ) ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } ( \bar { u } _ { k } - u _ { k } ) } & { = - \frac { T _ { k } } { 2 } ( 1 - d _ { k } ) \nabla f ( x _ { k } ) ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } ( - T _ { k } f _ { \mathrm { d } } + R _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( I _ { d } + B _ { \Omega _ { 0 } } ) F ( U _ { 0 } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } = } & { \| ( \pi ^ { N } + B _ { \Omega _ { 0 } } ) ( L U _ { 0 } + G ( U _ { 0 } ) - \Psi ) + \pi _ { N } ( L ( U _ { 0 } ) + G ( U _ { 0 } ) - \Psi ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \| ( \pi ^ { N } + B _ { \Omega _ { 0 } } ) F ( U _ { 0 } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| ( \pi ^ { N _ { 0 } } - \pi ^ { N } ) L U _ { 0 } + \pi _ { N } G ( U _ { 0 } ) - \pi _ { N } \Psi \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\Gamma ( A \rightarrow h Z ) = \frac { G _ { F } } { 8 \pi \sqrt 2 } \cos ^ { 2 } ( \beta - \alpha ) \frac { m _ { Z } ^ { 4 } } { m _ { A } } \lambda ^ { 1 / 2 } ( m _ { Z } ^ { 2 } , m _ { h } ^ { 2 } ; m _ { A } ^ { 2 } ) \lambda ( m _ { A } ^ { 2 } , m _ { h } ^ { 2 } ; m _ { Z } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \rVert ^ { 2 } } & { \le ( 1 + \zeta _ { 1 } ) \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 \alpha \mathbb { E } \langle \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) , \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \rangle + 6 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + 4 \alpha ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \zeta _ { 1 } } + 6 \right) \mathbb { E } [ \Delta _ { t } ] + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { N K } + 2 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) , } \end{array}
S _ { 0 } ^ { ( \Phi ) } = - \sum _ { t = 1 } ^ { T } \ln \left\{ \sum _ { r = 0 } ^ { \Omega } \frac { 1 } { r ! } \left[ \Phi ^ { * } ( t ) \right] ^ { r } \sum _ { s = 0 } ^ { r } { \binom { r } { s } } \frac { ( \Omega - s ) ! \left[ \Omega - ( r - s ) \right] ! } { ( \Omega ! ) ^ { 2 } } x ^ { 2 ( r - s ) } \Phi ^ { s } ( t ) \Phi ^ { r - s } ( t - 1 ) \right\} \ .
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \lambda } ( x ) \int _ { y = x } ^ { L } \psi _ { \lambda } ( y ) v _ { 1 } ( y ) d y } & { = \varphi _ { \lambda } ( x ) \int _ { y = x } ^ { L } \left( v _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } + O ( \tilde { \xi } L ) e ^ { - 2 \beta y } \right) d y } \\ & { = \varphi _ { \lambda } ( x ) \left( \int _ { y = x } ^ { L } v _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } d y + O ( \tilde { \xi } L ) ( 1 \wedge ( L - x ) e ^ { - 2 \beta x } ) \right) } \\ & { = v _ { 1 } ( x ) \int _ { y = x } ^ { L } v _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } d y + O ( \tilde { \xi } L ) ( x \wedge 1 \wedge ( L - x ) ) e ^ { - \beta x } } \\ & { = v _ { 1 } ( x ) \left( \int _ { y = x } ^ { L } v _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } d y + O ( \tilde { \xi } L ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( W _ { l } \geq 4 n \beta _ { n } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ) } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \mathbb { P } ( W _ { l } \geq 4 n \beta _ { n } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) | \sigma _ { 0 } ) ] } \\ & { \leq } & { \exp ( - 8 n ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { B _ { \rho } } { \lvert \nabla u \rvert } ^ { 2 } \leqslant \frac { C } { \rho ^ { 2 } } \int _ { B _ { 2 \rho } } { \lvert u - u ( 0 ) \rvert } ^ { 2 } \leqslant \frac { C } { \rho ^ { 2 } } \int _ { B _ { 2 \rho } } { \lvert x \rvert } ^ { 2 \alpha } \left( \int _ { B _ { 2 } } u ^ { 2 } \right) \leqslant C \rho ^ { d + 2 \alpha - 2 } \int _ { B _ { 2 } } { \lvert \nabla u \rvert } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } = \frac { 1 } { n } \frac { \sigma _ { P } ^ { 2 } } { \mu _ { P } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { \mu _ { P } g } = \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { T } _ { K } : = - \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { E } _ { I I } ^ { T } } & { \boldsymbol { G } _ { \iota I } ^ { T } } \\ { \boldsymbol { G } _ { \iota I } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { E } _ { B I } ^ { T } } \\ { \boldsymbol { G } _ { \iota B } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } ( c _ { \lambda } y ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } e ^ { - c _ { \tau } x } d x } & { = \frac { 1 - e ^ { - \left( c _ { \tau } - \gamma _ { \lambda } \log ( c _ { \lambda } y ) \right) / \gamma _ { \lambda } } } { \left( c _ { \tau } - \gamma _ { \lambda } \log ( c _ { \lambda } y ) \right) } } \\ & { = \frac { 1 - e ^ { - c _ { \tau } / \gamma _ { \lambda } } ( c _ { \lambda } y ) } { c _ { \tau } - \gamma _ { \lambda } \log ( c _ { \lambda } y ) } } \end{array}
= 2 \pi \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \psi \frac { \partial \rho } { \partial s } d s = 2 \pi ( \psi \rho ) \Big | _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } - 2 \pi \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \rho \frac { \partial \psi } { \partial s } d s
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } } & { = \sum _ { m \le H ^ { x - \theta } } \frac { u _ { m } } { \log H } \int _ { \theta } ^ { x - \frac { \log m } { \log H } } \varphi ^ { \prime } ( u ) d u + g ( x - \theta ) \varphi ( \theta ) } \\ & { = g ( x - \theta ) \varphi ( \theta ) - 2 \int _ { \theta } ^ { x } g ( x - u ) \log u \, d u } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \lambda _ { b } } \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial \lambda _ { b } } S _ { 2 } = \frac { 1 } { \lambda _ { b } } ( - 2 \lambda _ { a } ^ { - 3 } \delta _ { a b } ) S _ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 \frac { 1 } { \lambda _ { a } ^ { 4 } } \sum _ { p = 1 } ^ { N } \mu _ { p } \left( \tilde { \lambda } _ { a } ^ { \alpha _ { p } } - \frac { 1 } { 3 } \sum _ { c = 1 } ^ { 3 } \tilde { \lambda } _ { c } ^ { \alpha _ { p } } \right) } & { a = b , } \\ { 0 } & { a \neq b , } \end{array} \right. } \end{array}
\langle \hat { \phi } _ { x } \hat { \phi } _ { y } \rangle _ { \mathrm { c o n n } } = \sum _ { k } \frac { 1 } { \omega _ { k } } \, \frac { n _ { k } + \frac { 1 } { 2 } } { L } \, \mathrm { e } ^ { i k ( x - y ) } , \qquad \langle \hat { \pi } _ { x } \hat { \pi } _ { y } \rangle _ { \mathrm { c o n n } } = \sum _ { k } \omega _ { k } \, \frac { n _ { k } + \frac { 1 } { 2 } } { L } \, \mathrm { e } ^ { i k ( x - y ) } .
\begin{array} { r l } { m _ { \theta } ^ { y , \textup { A } } = } & { m _ { \theta } + ( \mathcal { O } \mathcal { M } \Sigma _ { \theta } ) ^ { \ast } \left( ( \mathcal { O } \mathcal { M } ) \Sigma _ { \theta } ( \mathcal { O } \mathcal { M } ) ^ { \ast } + \Sigma _ { \varepsilon } \right) ^ { - 1 } ( y - \mathcal { O } \mathcal { M } m _ { \theta } ) } \\ { \Sigma _ { \theta } ^ { y , \textup { A } } = } & { \Sigma _ { \theta } - ( \mathcal { O } \mathcal { M } \Sigma _ { \theta } ) ^ { \ast } \left( ( \mathcal { O } \mathcal { M } ) \Sigma _ { \theta } ( \mathcal { O } \mathcal { M } ) ^ { \ast } + \Sigma _ { \varepsilon } \right) ^ { - 1 } ( \mathcal { O } \mathcal { M } \Sigma _ { \theta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \alpha _ { n } } } & { = \left( \sqrt { \alpha _ { n } } ( a _ { n , \frac { \delta } { 2 } } ^ { Y } - \bar { \psi } ) + \bar { \psi } , \sqrt { \alpha _ { n } } ( a _ { n , 1 - \frac { \delta } { 2 } } ^ { Y } - \bar { \psi } ) + \bar { \psi } \right] } \\ & { = \Big ( \hat { \psi } + \sqrt { V } q _ { \frac { \delta } { 2 } } / \sqrt { n } + o _ { P } ( 1 / \sqrt { n } ) , \hat { \psi } + \sqrt { V } q _ { 1 - \frac { \delta } { 2 } } / \sqrt { n } + o _ { P } ( \frac { 1 } { \sqrt { n } } ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { \textup { W } } ( U ^ { A } [ j ] X _ { 1 } , U ^ { A } [ j ] X _ { 2 } ) \geq \left\{ \begin{array} { l l } { 2 ^ { \frac { \nu } { 2 } } \Gamma ( \frac { \nu } { 2 } + 1 ) \left| \sigma _ { 1 , j } ^ { \nu } - \sigma _ { 2 , j } ^ { \nu } \right| } & { \ \textup { i f } \ A ( r ) = r ^ { \nu } \ \textup { w i t h } \ \nu > 0 ; } \\ { \left| \ln \sigma _ { 1 , j } - \ln \sigma _ { 2 , j } \right| } & { \ \textup { i f } \ A ( r ) = \ln ( r ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\sigma ^ { 0 } \left( m _ { 2 } ^ { 2 } \right) = \frac { 1 2 \pi \tilde { \Gamma } _ { e , 2 } \tilde { \Gamma } _ { f , 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + \sigma _ { \mathrm { B } } ^ { 0 } \left( m _ { 2 } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { P _ { n } } & { = \tilde { P } _ { n } + \epsilon _ { n } \mathfrak { a } _ { n } \circ Q _ { n } + t \epsilon _ { n } \mathfrak { c } _ { n } \circ Q _ { n } } \\ { \nabla _ { t } P _ { n } } & { = \nabla _ { t } \tilde { P } _ { n } + \epsilon _ { n } ( \nabla \mathfrak { a } _ { n } \circ Q _ { n } ) \cdot \partial _ { t } Q _ { n } + \epsilon _ { n } \mathfrak { c } _ { n } \circ Q _ { n } + t \epsilon _ { n } ( \nabla \mathfrak { c } _ { n } \circ Q _ { n } ) \cdot \partial _ { t } Q _ { n } } \\ { \nabla _ { s } P _ { n } } & { = \nabla _ { s } \tilde { P } _ { n } + \epsilon _ { n } ( \nabla \mathfrak { a } _ { n } \circ Q _ { n } ) \cdot \partial _ { s } Q _ { n } + t \epsilon _ { n } ( \nabla \mathfrak { c } _ { n } \circ Q _ { n } ) \cdot \partial _ { s } Q _ { n } . } \end{array}
\mathrm { S p e c t r u m ~ 1 : } \ \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } = \Delta m _ { \odot } ^ { 2 } , \qquad \mathrm { S p e c t r u m ~ 2 : } \ \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } = \Delta m _ { \mathrm { a t m } } ^ { 2 } ,
( \frac { u } { 1 + u } , \frac { c } { \binom { N - 1 } { M - 1 } ( \frac { u } { 1 + u } ) ^ { M - 1 } ( \frac { 1 } { 1 + u } ) ^ { N - M } b } ) , ( x _ { 1 } ^ { * } , 1 ) ,
( { \mathrm { t . d . m . ~ } } a \rightarrow b ) = \langle \psi _ { b } | ( q \mathbf { r } ) | \psi _ { a } \rangle = q \int \psi _ { b } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \, \mathbf { r } \, \psi _ { a } ( \mathbf { r } ) \, d ^ { 3 } \mathbf { r }
\left( \begin{array} { l } { E _ { x } } \\ { E _ { y } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { - i } & { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { E _ { L C P } } \\ { E _ { R C P } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { F } _ { \alpha \beta \beta _ { 1 } } = - \frac { R _ { p } ^ { 3 } } { 6 ( 1 + 5 \hat { \lambda } ) ( 1 + 3 \hat { \lambda } ) } \bigg \{ \left[ ( 4 + 2 0 \hat { \lambda } + 1 5 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) \delta _ { \alpha \beta } \nabla _ { \beta _ { 1 } } + ( 1 + 5 \hat { \lambda } + 1 5 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } \nabla _ { \beta } \right] } \\ & { } & { + \frac { R _ { p } ^ { 2 } } { 1 0 } \left[ ( 4 + 1 2 \hat { \lambda } - 1 5 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) \Delta _ { \xi } \nabla _ { \beta _ { 1 } } \delta _ { \alpha \beta } + ( 1 + 3 \hat { \lambda } + 1 5 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) \Delta _ { { \xi } } \nabla _ { \beta } \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } \right] \bigg \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 1 } ( x ) } & { = \operatorname* { m i n } \{ i \geq 0 \colon \sigma ^ { i } x \notin \Gamma \} , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { r _ { j } ( x ) } & { = r ( \sigma ^ { n _ { j } ( x ) } x ) , \ n _ { j + 1 } ( x ) = \operatorname* { m i n } \{ i \geq n _ { j } ( x ) + r _ { j } ( x ) \colon \sigma ^ { i } x \notin \Gamma \} \mathrm { ~ f o r ~ } j \geq 1 . } \end{array}
D _ { x } ^ { \ast } = \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u _ { x } ) \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left[ 2 \frac { \frac { \partial f _ { x } } { \partial x } - \frac { \partial \overline { { f _ { x } } } } { \partial x } + \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u _ { x } ) \frac { \partial ^ { 2 } f _ { x } } { \partial x ^ { 2 } } } { \kappa \frac { \partial { f _ { x } } } { \partial x } } \right] ,
\begin{array} { r l } & { U _ { \mathrm { I S M } } ( \mathbf { r } ) \propto \int d \boldsymbol { \xi } U _ { \mathrm { p i x } } \left( \mathbf { r } + \frac { \boldsymbol { \xi } } { \kappa } , \boldsymbol { \xi } \right) } \\ & { = \int d \boldsymbol { \xi } U _ { \mathrm { w f } } \left( \frac { \kappa - 1 } { \kappa } \boldsymbol { \xi } - \mathbf { r } \right) I _ { \mathrm { e x } } \left( \mathbf { r } + \frac { \boldsymbol { \xi } } { \kappa } \right) . } \end{array}
\mathcal { A } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( \mathbf { k } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { k \, k _ { z } \, \mathcal { F } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, k _ { z } > 0 } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, k _ { z } \leq 0 } \end{array} \right.
\mathbb { D } ( v ) \cdot \mathbb { D } ( w ) = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , j = 1 , 2 } ( \partial _ { i } v _ { j } + \partial _ { j } v _ { i } ) ( \partial _ { i } w _ { j } + \partial _ { j } w _ { i } )
\begin{array} { r } { - ( a _ { k } ) ^ { 2 } ( u _ { k + 1 } - u _ { k } ) \ln ( F ( ( \xi _ { k + 1 } - v _ { k } ) / a _ { k } ) - F ( ( \xi _ { k } - v _ { k } ) / a _ { k } ) ) \le E ( \bar { \xi } ) \le c \mathrm { ~ i f ~ } a _ { k } > 0 , } \\ { ( u _ { k + 1 } - u _ { k } ) ( \xi _ { k + 1 } - v _ { k } ) ^ { 2 } / 2 \le c \ \mathrm { ~ i f ~ } a _ { k } = 0 . } \end{array}
X ^ { i } ( \tau , \sigma ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left( \alpha _ { n } ^ { i } \varphi _ { n } ^ { i } ( \tau ) + \tilde { \alpha } _ { - n } ^ { i } \tilde { \varphi } _ { - n } ^ { i } ( \tau ) \right) e ^ { i n \sigma } ,
\begin{array} { r l } { d ( \psi ( w _ { 1 } ) , } & { \psi ( w _ { 2 } ) ) = \| w _ { 1 } + F ( w _ { 1 } ) - w _ { 2 } - F ( w _ { 2 } ) \| ( 1 + O ( \delta _ { n } ^ { 2 } ) ) } \\ & { \leqslant \left( \| w _ { 1 } - w _ { 2 } \| + \left\| \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla F ( w _ { 1 } + t ( w _ { 2 } - w _ { 1 } ) ( w _ { 2 } - w _ { 1 } ) d t \right\| \right) ( 1 + O ( \delta _ { n } ^ { 2 } ) ) } \\ & { \leqslant \| w _ { 1 } - w _ { 2 } \| ( 1 + O ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \| \nabla F ( w _ { 1 } + t ( w _ { 2 } - w _ { 1 } ) \| ) ) ( 1 + O ( \delta _ { n } ^ { 2 } ) ) } \\ & { \leqslant \| w _ { 1 } - w _ { 2 } \| ( 1 + C \delta _ { n } ) } \end{array}
\mathrm { I m } \, x = - \frac { 1 } { 2 } | i ( \sqrt { y _ { 1 } } - \sqrt { y _ { 2 } } ) | \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { R e } \, x = \pm \frac { 1 } { 2 } \sqrt { y _ { 3 } }
f = \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { j } ) - \mathrm { l i } \big ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { j } ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \mathrm { l i } \big ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } \big )
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { t } \langle \mathcal { F } _ { \epsilon } ^ { \theta } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) , \eta ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } d s \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { + , j } ( s ) } & { = c _ { \beta _ { + , j } } \left( 1 - \frac { s } { \Lambda _ { j , \mathrm { m a x } } } \right) , \quad \beta _ { - , j } ( s ) = c _ { \beta _ { - , j } } \left( 1 - \frac { s } { \Lambda _ { \mathrm { s o m } , \mathrm { m a x } } } \right) , } \\ { \alpha _ { + , j } ( s ) } & { = c _ { \alpha _ { + , j } } \frac { s } { \Lambda _ { \mathrm { s o m } , \mathrm { m a x } } } , \quad \alpha _ { - , j } ( s ) = c _ { \alpha _ { - , j } } \frac { s } { \Lambda _ { j , \mathrm { m a x } } } , } \end{array}
\frac { \partial L _ { v _ { y } } } { \partial \boldsymbol { \Theta } _ { g } } = \frac { \partial L _ { v _ { y } } } { \partial f _ { v _ { y } } } \frac { \partial f _ { v _ { y } } } { \partial g } \frac { \partial g } { \partial \boldsymbol { \Theta } _ { g } } ,
\begin{array} { r l } { \| \omega _ { \tau , k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } } & { = \Big \| - \int _ { t } ^ { \tau } \partial _ { t } \omega _ { \tau , k } ( s ) d s \Big \| _ { L ^ { 2 } } \leq \int _ { t } ^ { \tau } \| \partial _ { t } \omega _ { \tau , k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s } \\ & { \leq \int _ { t } ^ { \tau } \| ( \partial _ { t } - 1 ) \omega _ { \tau , k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s + \int _ { t } ^ { \tau } \| \omega _ { \tau , k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { n } ( \delta ) = } & { x _ { 0 } 2 ^ { - \rho } ( 1 - \rho \delta ) + \frac { k \gamma } { \alpha \rho ( 1 + \gamma ) } [ 1 - 2 ^ { - \rho } ( 1 - \rho \delta ) ] + \frac { k ( 1 + \epsilon _ { n } ) } { \alpha ( 1 + \gamma ) ( 1 + \rho ) } [ 2 ( 1 + \delta ) - 2 ^ { - \rho } ( 1 - \rho \delta ) ] } \\ { \approx } & { c _ { 0 } + c _ { 1 } \epsilon _ { n } + c _ { 2 } \delta , } \end{array}
\mu _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { G a u s s } } = \left( \frac { \theta _ { \mathrm { d i s k } } } { \theta _ { \mathrm { s } } } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { r _ { 0 } } { R _ { \mathrm { s } } } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 5 } \left( \frac { R } { R _ { \mathrm { s } } } \right) ^ { 2 } \ ,
\small { f _ { \mathit { \mathrm { ~ d ~ a ~ r ~ k ~ } } } ^ { ( 1 ) } ( K ; \tau , t _ { 0 } , t _ { \mathrm { g a t e } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \tau } { t _ { 0 } + t _ { \mathrm { g a t e } } } \cdot \left( \frac { 1 } { K } + \frac { 1 } { 1 - K } \right) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } K _ { \mathrm { d a r k } } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \leq K \leq K _ { \mathrm { d a r k } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } , } \\ { \frac { \tau } { t _ { 0 } + t _ { \mathrm { g a t e } } } \cdot \left( \frac { 1 } { 1 - K } \right) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 0 < K \leq K _ { \mathrm { d a r k } } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 \Delta } { \eta T } + \left( 3 6 C _ { 1 } \hat { L } ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } + 1 2 C _ { 1 } \hat { L } ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } \right) \eta ^ { 2 } + \frac { 1 8 \hat { L } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \mu \gamma T } + G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { \mathcal { J } \mathcal { M } | P _ { \ell } ( \cos \theta ) \hat { s } _ { 1 } \cdot \hat { s } _ { 3 } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = } \\ & { \delta _ { J , J ^ { \prime } } \delta _ { S , S ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { N + L + s _ { 1 } + s _ { 2 } + s ^ { \prime } } \left[ \mathcal { J } , J , J ^ { \prime } , \ell , N , N ^ { \prime } , L , L ^ { \prime } , S , S ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } , 1 \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { c c c } { N } & { N ^ { \prime } } & { \ell } \\ { L } & { L ^ { \prime } } & { \ell } \\ { J } & { J ^ { \prime } } & { 0 } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { J } & { J ^ { \prime } } & { 0 } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { 0 } \\ { \mathcal { J } } & { \mathcal { J } ^ { \prime } } & { 0 } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { s } & { s ^ { \prime } } & { 1 } \\ { s _ { 3 } } & { s _ { 3 } } & { 1 } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { 0 } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { s } & { 1 } & { s ^ { \prime } } \\ { s _ { 1 } } & { s _ { 2 } } & { s _ { 1 } } \end{array} \right\} \left( \begin{array} { c c c } { N } & { \ell } & { N ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { L } & { \ell } & { L ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { \times \sqrt { s _ { 1 } ( s _ { 1 } + 1 ) ( 2 s _ { 1 } + 1 ) s _ { 3 } ( s _ { 3 } + 1 ) ( 2 s _ { 3 } + 1 ) } } \end{array}
\frac { q ^ { 2 i - 4 } ( 1 - b q ^ { i - 3 } ) ( 1 - a q ^ { i - 2 } ) ( a - b q ^ { i - 2 } ) ( 1 - q ^ { i - 1 } ) } { ( 1 - b q ^ { 2 i - 5 } ) ( 1 - b q ^ { 2 i - 4 } ) ^ { 2 } ( 1 - b q ^ { 2 i - 3 } ) }
\left\{ \begin{array} { l } { { W = \left( { \frac { 2 - c } { 2 } } X \right) ^ { \frac { 2 } { 2 - c } } } } \\ { { Z = \left( { \frac { 2 - d } { 2 } } Y \right) ^ { \frac { 2 } { 2 - d } } } } \end{array} \right. , \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array} { l } { { X = ( 1 - a ) W ^ { \frac { 1 } { 1 - a } } } } \\ { { Y = ( 1 - b ) Z ^ { \frac { 1 } { 1 - b } } } } \end{array} \right. ,
\frac { \d } { \mathrm { d } r _ { 1 } } \mu _ { \mathbb { D } } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \{ \wp \mathrm { ~ c r o s s i n g ~ } r _ { 2 } \mathbb { D } \setminus r _ { 1 } \mathbb { D } \} ) = \Big ( 1 + \frac { O ( 1 ) } { \log ( r _ { 2 } / r _ { 1 } ) } \Big ) \frac { 1 } { r _ { 1 } } \Big ( \frac { 1 } { \log ( r _ { 2 } / r _ { 1 } ) } - \frac { 1 } { \log ( 1 / r _ { 1 } ) } \Big ) .
\begin{array} { r } { \int _ { \{ \varphi _ { k } \ge 1 \} } | \nabla u ^ { p / 2 } | ^ { 2 } \le \frac { p ^ { 2 } } { ( p - 1 ) ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \int _ { E _ { j } } u ^ { \frac { p q _ { j } } { q _ { j } - 2 } } \right) ^ { ( q _ { j } - 2 ) / q _ { j } } \left( \int _ { E _ { j } } | \nabla \varphi _ { k } | ^ { q _ { j } } \right) ^ { 2 / q _ { j } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i j } } & { : = \sum _ { c = 1 } ^ { m } Z _ { T _ { c } } n _ { i _ { c } } n _ { j _ { c } } = Z _ { T } \sum _ { p = 1 } ^ { n } n _ { i } ^ { ( p ) } n _ { j } ^ { ( p ) } \, , } \\ { \beta _ { i j k \ell } } & { : = \sum _ { c = 1 } ^ { m } \left( Z _ { N _ { c } } - Z _ { T _ { c } } \right) n _ { i _ { c } } n _ { j _ { c } } n _ { k _ { c } } n _ { \ell _ { c } } = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \sum _ { p = 1 } ^ { n } n _ { i } ^ { ( p ) } n _ { j } ^ { ( p ) } n _ { k } ^ { ( p ) } n _ { \ell } ^ { ( p ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V _ { m } ( x _ { t + 1 } ) - \hat { V } _ { m } ( x _ { t + 1 \mid t } ) \leqslant V _ { m } ( x _ { t + 1 } , ( v _ { t + i + 1 } ) _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ) } \\ & { \quad - V _ { m } ( x _ { t + 1 \mid t } , ( v _ { t + i + 1 } ) _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ) } \\ & { \quad \leqslant \left| V _ { m } ( x _ { t + 1 } , ( v _ { t + i + 1 } ) _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ) - V _ { m } ( x _ { t + 1 \mid t } , ( v _ { t + i + 1 } ) _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ) \right| . } \end{array}
S _ { \mathrm { e f f } } ( G _ { = } ) = S _ { \mathrm { W Z N W } } ( G _ { = } ) - \int \, d ^ { 2 } x d ^ { 2 } \theta \; \mathrm { S t r } ( G _ { = } M _ { < } G _ { = } ^ { - 1 } \bar { M } _ { > } )