harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } \left( \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 3 } + 2 \ell } } v ( \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } - \ell } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 2 } } } v ( ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { \infty } ) \right) } \\ { = } & { \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 3 } } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } \left( \frac 1 { \beta ^ { 2 \ell + 1 } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } - 2 \ell } ) + \frac 1 { \beta ^ { 2 } + 1 } \frac 1 { \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } + 1 } } \right) } \\ { = } & { \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 3 } } } \left( \frac 1 { \beta ^ { 2 } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } } ) - \frac { n _ { s , 4 j - 3 } } { \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } + 1 } } + \frac 1 { \beta ^ { 2 } + 1 } \frac { n _ { s , 4 j - 3 } } { \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } + 1 } } \right) } \\ { = } & { \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 3 } } } \left( \frac 1 { \beta ^ { 2 } } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } } ) - \frac { \beta ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } + 1 } \frac { n _ { s , 4 j - 3 } } { \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } + 1 } } \right) . } \end{array}
\omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( t ) = \omega _ { \mathrm { p 0 } } ^ { 2 } \big ( 1 + f _ { \mathrm { m o d } } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t + \varphi _ { \mathrm { m o d } } ) \big ) ,
\psi ( v , \phi _ { a } ( B _ { r _ { 0 } } ^ { 1 } ( 0 ) ) ) \subset B _ { r _ { 0 } } ^ { 1 } ( 0 ) , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \psi ( v , \phi _ { b } ( B _ { r _ { 0 } } ^ { 1 } ( 0 ) ) ) \subset B _ { r _ { 0 } } ^ { 1 } ( 0 )
\int _ { 0 } ^ { \infty } \tilde { \Phi } _ { r , m } ( x ) \tilde { \Phi } _ { r , n } ( x ) \frac { 1 } { x } \mathrm { d } x = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { m \neq n , } \\ { \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { q ^ { - 2 n } - q ^ { 2 n } } , } & { m = n , } \end{array} \right. m \in \mathbb { Z } _ { \ge 1 } , n \in \mathbb { Z } _ { \ge 1 } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { k } } | x - x _ { 0 } | \rho _ { x _ { 0 } } ^ { h } ( x ) \mathrm { d } x = 0 \quad ( \mathrm { \it ~ r e s p . } \quad \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { k } } | x - x _ { 0 } | \hat { \rho } _ { x _ { 0 } } ^ { h } ( x ) \mathrm { d } x = 0 ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla \times \mathbf { E } ^ { \prime } + \mu \partial _ { t } \mathbf { H } ^ { \prime } = - \mathbf { M } ^ { \prime } } \\ { - \nabla \times \mathbf { H } ^ { \prime } + \varepsilon \partial _ { t } \mathbf { E } ^ { \prime } = - \mathbf { J } ^ { \prime } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \Theta _ { p } ^ { ( x ) } } & { = } & { p \theta _ { \mathrm { a c } } + k _ { p } ( \eta ) \cdot \delta + k _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) \cdot \zeta ^ { - 1 } , } \\ { \Theta _ { p } ^ { ( y ) } } & { = } & { p \theta _ { \mathrm { a c } } + q _ { p } ( \eta ) \cdot \delta + q _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) \cdot \zeta ^ { - 1 } + \frac { \pi } { 2 } . } \end{array}
{ \cal { R } } _ { i j } \to \hat { \cal { R } } _ { i j } = \langle { \hat { u } _ { i } ^ { \prime } \hat { u } _ { j } ^ { \prime } } \rangle = \langle { ( - u _ { i } ^ { \prime } ) ( - u _ { j } ^ { \prime } ) } \rangle = \langle { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } \rangle = { \cal { R } } _ { i j }
\begin{array} { r l } { \alpha \biggl | \int _ { ( \hat { \xi } _ { 3 j } , \xi ] \cap \Omega _ { d } ( X ) } H _ { \xi } ( \eta ) d \eta } & { - \int _ { ( \hat { \xi } _ { 3 j } , \xi ] \cap \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } H _ { \Delta x , \xi } ( \eta ) d \eta \biggr | } \\ & { \leq \alpha \left( \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x } u _ { x } ^ { 2 } ( z ) d z + \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { \Delta x } } u _ { x } ^ { 2 } ( z ) d z \right) } \\ & { \leq 2 ( F _ { \textrm { a c } } ( x _ { 2 j + 2 } ) - F _ { \textrm { a c } } ( x _ { 2 } ) ) } \\ & { \leq 2 ( F _ { \textrm { a c } } ( x + 2 \Delta x ) - F _ { \textrm { a c } } ( x - 2 \Delta x ) ) , } \end{array}
M ( \bar { B } ^ { 0 } \to \rho ^ { - } \pi ^ { + } ) = \sqrt { 2 } G _ { F } f _ { \rho } F _ { 1 } ^ { B \to \pi } ( m _ { \rho } ^ { 2 } ) m _ { \rho } ( \epsilon \cdot p _ { \pi } ) \left\{ V _ { u b } V _ { u d } ^ { * } a _ { 1 } - V _ { t b } V _ { t d } ^ { * } [ a _ { 4 } + a _ { 1 0 } ] \right\} .
y _ { i } r _ { a } ^ { i } - \partial _ { \mu } ( y _ { i } r ^ { i \mu _ { a } } ) + . . . + ( - ) ^ { t } \partial _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { t } } ( y _ { i } r ^ { i \mu _ { 1 } . . . \mu _ { t } } ) = 0 \ ,
\zeta ( s ) = { \frac { 1 } { 1 - 2 ^ { 1 - s } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + 1 ) ^ { s } } } .
\begin{array} { r l r } { \dot { m } _ { o u t } } & { = } & { \rho \left[ U _ { A 0 } \beta _ { l o c a l } ( x ) + U _ { A 0 } \frac { \mathrm { d } \beta _ { l o c a l } ( x ) } { \mathrm { d } x } \mathrm { d } x \right] \left[ \delta ( x ) + \frac { \mathrm { d } \delta ( x ) } { \mathrm { d } x } \mathrm { d } x \right] W } \\ { \dot { m } _ { o u t } } & { = } & { \rho U _ { A 0 } \beta _ { l o c a l } ( x ) \delta ( x ) W + \rho U _ { A 0 } \beta _ { l o c a l } ( x ) \frac { \mathrm { d } \delta ( x ) } { \mathrm { d } x } \mathrm { d } x W + } \\ & { } & { \rho U _ { A 0 } \frac { \mathrm { d } \beta _ { l o c a l } ( x ) } { \mathrm { d } x } \mathrm { d } x \delta ( x ) W } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { X } ~ ~ \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \left( \mathrm { T r } ( A _ { i } ) + \mathrm { T r } ( X ) - 2 \mathrm { T r } ( \sqrt { A _ { i } } K _ { i } ) \right) } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ ~ } \left[ \begin{array} { l l } { X } & { K _ { i } ^ { \top } } \\ { K _ { i } } & { I } \end{array} \right] \succeq 0 , ~ \forall i . } \end{array}
r ( a , b ) : = \frac { i ^ { b + 1 } } { a ! b ! } \int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } \left( \log \left( 2 \sin \frac { \theta } { 2 } \right) + \frac { i } { 2 } \left( \theta - \pi \right) \right) ^ { a } \theta ^ { b } d \theta .
\begin{array} { r l r } { B _ { 1 } = } & { } & { \left( A _ { 1 } ^ { T N ^ { 2 } } A _ { 2 } ^ { T N ^ { 2 } } \dots A _ { N } ^ { T N ^ { 2 } } \right) ^ { N ^ { 2 M } } } \\ { B _ { 2 } = } & { } & { \left( A _ { 1 } ^ { T N ^ { 4 } } A _ { 2 } ^ { T N ^ { 4 } } \dots A _ { N } ^ { T N ^ { 4 } } \right) ^ { N ^ { 2 M - 2 } } } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { B _ { M } = } & { } & { \left( A _ { 1 } ^ { T N ^ { 2 M } } A _ { 2 } ^ { T N ^ { 2 M } } \dots A _ { N } ^ { T N ^ { 2 M } } \right) ^ { N ^ { 2 } } } \end{array}
M _ { L } ( [ u _ { i - 1 } ~ u _ { i } ~ u _ { i + 1 } ] , [ v _ { i - 1 } ~ v _ { i } ~ v _ { i + 1 } ] , \eta ) : = P _ { 0 } ( x ( \eta ) ) = \sum _ { l = 0 } ^ { 5 } a _ { l } ^ { 0 } \eta ^ { l } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } E ^ { \mathrm { a t o m } } } { \partial n ^ { 2 } } } & { { } = \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 2 l + 1 } \left( \alpha \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r , H F } } + \beta \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { l r , H F } } \right) . } \end{array}
T _ { i , j , k } = \left\langle v _ { i } \left( \mathbf { x } \right) v _ { j } \left( \mathbf { x } \right) \omega _ { k } \left( \mathbf { x } + \mathbf { r } \right) \right\rangle = \frac { \eta r } { 1 5 } \delta _ { i j } \delta _ { k x } - \frac { \eta r } { 1 0 } \left( \delta _ { i x } \delta _ { j k } + \delta _ { i k } \delta _ { j x } \right) .
\begin{array} { r l } { \bigg \Vert u \, G ( | u | ^ { 2 } ) - v \, G ( | v ^ { 2 } | ) \bigg \Vert _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } } & { \le \sum _ { k \ge 1 } \frac { | a _ { k } | } { k ! } ( 2 k + 1 ) 2 ^ { 2 k } \delta _ { 0 } ^ { 2 k } \big \Vert u - v \big \Vert _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } } \\ & { \le \delta _ { 0 } ^ { 2 } \big \Vert u - v \big \Vert _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \sum _ { k \ge 1 } \frac { ( 2 k + 1 ) \, | a _ { k } | } { k ! } 2 ^ { 2 k } \delta _ { 0 } ^ { 2 k - 2 } } \\ & { \le \delta _ { 0 } ^ { 2 } \big \Vert u - v \big \Vert _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \sum _ { k \ge 1 } \frac { ( 2 k + 1 ) \, | a _ { k } | } { k ! } 2 ^ { 2 k } \left( \frac { R ^ { 1 / 2 } } { 4 } \right) ^ { 2 k - 2 } } \\ & { \le \frac { 1 6 } { R } \delta _ { 0 } ^ { 2 } \big \Vert u - v \big \Vert _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \sum _ { k \ge 1 } \frac { ( 2 k + 1 ) \, | a _ { k } | } { k ! } \left( \frac { R } { 4 } \right) ^ { k } } \end{array}
c _ { \scriptscriptstyle G } ^ { \mathrm { e f f } } > c _ { g } ^ { \mathrm { e f f } } \, , \qquad \mathrm { f o r } \quad g _ { a b } = { \textstyle \frac { 1 } { G } } \delta _ { a b } \quad \mathrm { a n d } \quad G > 1 \, .
( \mathbf { A } \bullet \mathbf { B } ) ( \mathbf { M } \mathbf { N } c \otimes \mathbf { Q } \mathbf { P } d ) = ( \mathbf { A } \mathbf { M } \mathbf { N } c ) \circ ( \mathbf { B } \mathbf { Q } \mathbf { P } d ) ,
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } } & { { } = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left[ \left( f ( \widehat { L } ) - D \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \log P ( \widehat { L } , t ) \right) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r c r c l } { { e ^ { \pm i H _ { 1 } } } } & { { = } } & { { \frac 1 { \sqrt { k } } ( \psi ^ { 1 } } } & { { \mp } } & { { i \psi ^ { 2 } ) ~ , } } \\ { { e ^ { \pm i ( H _ { 2 } + \pi N _ { 1 } ) } } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 2 \sqrt { k } } } \chi ^ { 3 } } } & { { \mp } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt { k } } } \psi ^ { 3 } ~ , } } \\ { { e ^ { \pm i ( H _ { 3 } + \pi N _ { 2 } + \pi N _ { 1 } ) } } } & { { = } } & { { \frac 1 { 2 \sqrt { k } } ( \chi ^ { 1 } } } & { { \mp } } & { { i \chi ^ { 2 } ) ~ , } } \end{array}
\cot \theta _ { n } = \frac { D _ { n } J _ { - | n + \Phi | } ( k r ) - J _ { - | n + \Phi | } ^ { \prime } ( k r ) } { D _ { n } J _ { | n + \Phi | } ( k r ) - J _ { | n + \Phi | } ^ { \prime } ( k r ) }
W = F s = m a s = m \left( { \frac { v _ { 2 } ^ { 2 } - v _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 s } } \right) s = { \frac { 1 } { 2 } } m v _ { 2 } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } m v _ { 1 } ^ { 2 } = \Delta { E _ { \mathrm { k } } }
\begin{array} { r l } { t _ { E } } & { { } = \kappa _ { E } \Big [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \Big ] } \\ { G _ { E } } & { { } = 2 D b _ { \varepsilon } \kappa _ { E } \Big [ \varepsilon + 3 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \Big ] } \end{array}
\rho ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \frac { \tilde { \tau } - \tau + k ( 1 - \eta ) \left( 2 ( \tilde { \tau } - \tau ) T + T ^ { 2 } \left( \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } + \tau } { T } ) } + \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } - \tau } { T } ) } - 2 \exp { ( - \frac { \tau } { T } ) } \right) \right) } { \tilde { \tau } + 2 k ( 1 - \eta ) \left( T ^ { 2 } \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } } { T } ) } + \tilde { \tau } T - T ^ { 2 } \right) } } & { \mathrm { i f } \quad \tau } & { < \tilde { \tau } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { k ( 1 - \eta ) T ^ { 2 } \left( 1 - \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } } { T } ) } \right) ^ { 2 } \exp { ( - \frac { \tau } { T } ) } } { \tilde { \tau } + 2 k ( 1 - \eta ) \left( T ^ { 2 } \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } } { T } ) } + \tilde { \tau } T - T ^ { 2 } \right) } } & { \mathrm { i f } \quad \tau } & { \geq \tilde { \tau } } \end{array} \right.
V _ { m i x } = - \frac { 1 } { 4 } \frac { d R } { d \theta } \frac { \gamma I _ { R F } c o s \theta } { 2 \pi \Delta ( d f / d H ) _ { H _ { e x t } = H _ { 0 } } } ( \tau _ { D L } F _ { S } ( H _ { e x t } ) + \tau _ { F L } F _ { A } ( H _ { e x t } ) )
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f _ { i } ( 1 ) } { \partial t } = - \int \mathrm { d } ( 2 ) \, \mathcal { V } ^ { s } ( 1 2 ) \, g _ { i i } ( 1 2 ) \, , } \\ & { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \mathcal { L } ( 1 2 ) \right) g _ { i i } ( 1 2 ) \begin{array} { r l } { [ t ] } & { + \int \mathrm { d } ( 3 ) \; \mathcal { V } ^ { s } ( 1 3 ) \, f _ { i } ( 1 ) \, g _ { i i } ( 3 2 ) } \\ & { + \int \mathrm { d } ( 3 ) \; \mathcal { V } ^ { s } ( 3 2 ) \, f _ { i } ( 2 ) \, g _ { i i } ( 1 3 ) = - \mathcal { V } ^ { s } ( 1 2 ) \, f _ { i } ( 1 ) f _ { i } ( 2 ) \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } = } & { { } \int _ { - L } ^ { L } \Big ( \int _ { A } ^ { B } \big ( w ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) - N ^ { * } z _ { Z } \big ) 2 \pi R \, d R - P \pi r ^ { 2 } z _ { Z } \big | _ { R = A } \Big ) \, d Z , } \end{array}
\mathcal F _ { n _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } } E _ { n _ { 1 } } \mathcal F _ { n _ { 2 } } ^ { t _ { 2 } } E _ { n _ { 2 } } \cdots \mathcal F _ { n _ { r } } ^ { t _ { r } } E _ { n _ { r } } \subset \mathcal F _ { n _ { 1 } + n _ { 2 } + \cdots + n _ { r } } ^ { t _ { 1 } + t _ { 2 } + \cdots + t _ { r } - \delta ( n _ { 1 } ) - \delta ( n _ { 2 } ) - \cdots - \delta ( n _ { r } ) } E _ { n _ { 1 } + n _ { 2 } + \cdots + n _ { r } }
\begin{array} { r l } { h ^ { R } } & { { } = E ^ { R } f ^ { R } , h ^ { P } = E ^ { P } f ^ { P } , } \\ { h ^ { R } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ n ~ s ~ f ~ o ~ r ~ m ~ e ~ r ~ E ~ n ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ } ( h ^ { R } ) , } \\ { h ^ { P } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ n ~ s ~ f ~ o ~ r ~ m ~ e ~ r ~ E ~ n ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ } ( h ^ { P } ) , } \\ { h ^ { z } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ n ~ s ~ f ~ o ~ r ~ m ~ e ~ r ~ D ~ e ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ } ( h ^ { R } , h ^ { P } ) , } \\ { \hat { h } ^ { z } } & { { } = h ^ { R } + h ^ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 3 D } = } & { { } \sum _ { \vec { j } } \Big \{ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \downarrow | \bigr ) - \sum _ { k = x , y , z } \Big [ t _ { 0 } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { - i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow | \bigr ) \Big ] } \end{array}
+ \frac { 2 } { ( l _ { 1 } - l _ { 0 } - 1 ) ( l _ { 1 } - l _ { 0 } + 1 ) } q ^ { \pm } ( l _ { 0 } , l _ { 1 } ) = ( 2 - y ^ { 2 } ) q ^ { \pm } ( l _ { 0 } , l _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \quad ( W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 1 ) } W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } ( W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \delta ( q , j > m - n ) ( W _ { p , q } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } W _ { p , j } ^ { ( 2 ) } + \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \sum _ { w \leq m - n } ( W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { q , i } \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) \partial W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } W _ { i , q } ^ { ( 2 ) } + \delta _ { p , j } \delta ( q > m - n ) \sum _ { x \leq m - n } ( W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { i , j } ( 1 + \delta ( q \leq m - n ) ) W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } - 2 \delta _ { i , j } \delta ( q > m - n ) \alpha _ { 2 } \partial W _ { p , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { p , q } ( 1 + \delta ( j \leq m - n ) ) W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { p , j } \delta _ { i , q } \sum _ { x , w \leq m - n } ( W _ { w , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { x , w } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { q , i } \delta _ { p , j } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } \partial W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\dot { H } _ { t } ( \mathbf { p } ) = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ c ~ e ~ } [ \dot { \mathbf { W } } _ { t } ( \mathbf { p } ) ] } { 2 } = \frac { { } _ { 1 } \dot { \kappa } _ { t } ( \mathbf { p } ) + { } _ { 2 } \dot { \kappa } _ { t } ( \mathbf { p } ) } { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { L H S } } & { = H ( Z | \tilde { Z } ) } \\ { \mathrm { R H S } } & { = I ( Z ; Y ) - [ I ( Z ; Y ) - I ( Z ; Y | \tilde { Z } ) ] } \\ & { = I ( Z ; Y | \tilde { Z } ) } \\ & { = \mathbb { E } _ { p ( \tilde { Z } , Z , Y ) } \left[ - \log \frac { p ( Z | \tilde { Z } ) p ( Y | \tilde { Z } ) } { p ( Z , Y | \tilde { Z } ) } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { p ( \tilde { Z } , Z , Y ) } \left[ - \log \frac { p ( Z | \tilde { Z } ) } { p ( Z | \tilde { Z } , Y ) } \right] } \\ & { = H ( Z | \tilde { Z } ) - H ( Z | \tilde { Z } , Y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] = | H _ { 0 } [ \Omega ] | ^ { 2 } \Bigg ( \bar { S } _ { q q } ^ { 0 } [ \Omega ] + \left( \frac { 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } } { 1 - \eta } \right) \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] } & { { } } \\ { - 2 \sqrt { \frac { 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } } { 1 - \eta } } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \bar { S } _ { q q } ^ { 0 , G } [ \Omega ] \right] } & { { } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } = } & { \frac { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } { 2 ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } - \frac { 2 ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 2 } } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } - \sqrt { ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \frac { ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } } \right) + \frac { 1 } { \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } } } \\ { = } & { \frac { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } { 2 ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } - \sqrt { ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \frac { ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } } \right) \ , } \\ { \lambda _ { n } = } & { \frac { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } { 2 ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } - \frac { 2 ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 2 } } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } + \sqrt { ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \frac { ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } } \right) + \frac { 1 } { \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } } } \\ { = } & { \frac { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } { 2 ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } + \sqrt { ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \frac { ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } } \right) \ , } \\ { \lambda _ { i } = } & { 0 + \frac { 1 } { \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } } = \frac { 1 } { \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } } , \qquad \mathrm { f o r ~ } i = 2 , . . . , n - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } & { { } = { \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } \cdot \frac { \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega } { \left( \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega ^ { 2 } } , } \end{array}
\frac { \partial D _ { 1 } ^ { \prime } } { \partial t } ( t , t ^ { \prime } ; w , w ^ { \prime } ) = i \lambda \int { \cal K } ( w , w ^ { \prime \prime } ) e ^ { i [ \omega ( w ) - \omega ( w ^ { \prime \prime } ) ) ] t } D _ { 1 } ^ { \prime } ( t , t ^ { \prime } ; w ^ { \prime \prime } , w ^ { \prime } ) d w ^ { \prime \prime }
\eta = \frac { \varepsilon _ { 0 } ( \Omega _ { \mathrm { M W } } \hbar / d _ { \mathrm { M W } } ) ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } | \frac { i k _ { s } } { 2 \varepsilon _ { 0 } } n L _ { \mathrm { e f f } } d _ { s } \rho _ { s } | ^ { 2 } } \frac { \omega _ { \mathrm { M W } } } { \omega _ { s } } = \frac { ( \hbar / d _ { \mathrm { M W } } ) ^ { 2 } } { | \frac { i k _ { s } } { 2 \varepsilon _ { 0 } } n L _ { \mathrm { e f f } } d _ { s } | ^ { 2 } } \beta ^ { - 2 } \frac { \omega _ { \mathrm { M W } } } { \omega _ { s } } ,
{ { V } _ { A } } = { { M } _ { { { \lambda } _ { i } } } } { { I } _ { { { \lambda } _ { i } } } } , \mathrm { ~ } { { V } _ { { { \lambda } _ { 0 } } } } = { { M } _ { { { \lambda } _ { 0 } } } } { { I } _ { { { \lambda } _ { 0 } } } } ,
E ^ { 3 } = \sum _ { i , j , k } \left( \tilde { A } _ { i } \tilde { A } _ { j } \tilde { A } _ { k } + 3 \tilde { A } _ { i } ^ { * } \tilde { A } _ { j } \tilde { A } _ { k } + 3 \tilde { A } _ { i } ^ { * } \tilde { A } _ { j } ^ { * } \tilde { A } _ { k } + \tilde { A } _ { i } ^ { * } \tilde { A } _ { j } ^ { * } \tilde { A } _ { k } ^ { * } \right)
\begin{array} { r l } { \left\| \mathfrak { F } \left( \frac { \gamma } { 2 } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \frac { \gamma } { 2 } , x } \right) \right\| _ { 2 } + \left\| \mathfrak { F } \left( { \gamma } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \gamma , x } \right) \right\| _ { 2 } \lesssim _ { r , \delta , \kappa } \underline { { c } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \bar { \Psi } ^ { \frac { 1 + r } { 2 } } e ^ { - ( \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } ) ^ { \delta } } } & { } \\ { + \underline { { c } } ^ { - \frac { \kappa + 1 } { 2 } } \bar { \Psi } ^ { \frac { 1 + r ( 1 + \kappa ) } { 2 } } ( \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } ) ^ { - \frac { \kappa ( 1 - \delta ) } { 2 } } . } \end{array}
\Psi _ { \nu = 1 / 3 } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } ) = { \cal { B } } \prod _ { i > j } ^ { N } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { 3 } e ^ { - \sum _ { i } ^ { N } | z _ { i } | ^ { 2 } / 4 l _ { B } ^ { 2 } } ,
\tan \theta = { \frac { \sin \theta } { \cos \theta } } = { \frac { \left( { \frac { 1 } { \csc \theta } } \right) } { \left( { \frac { 1 } { \sec \theta } } \right) } } = { \frac { \left( { \frac { \csc \theta \sec \theta } { \csc \theta } } \right) } { \left( { \frac { \csc \theta \sec \theta } { \sec \theta } } \right) } } = { \frac { \sec \theta } { \csc \theta } }
\mathrm { S } _ { \widetilde { X _ { \mathcal { O } _ { C } } } } : \left\{ \begin{array} { c l } { \mathrm { ~ e ~ - H i t c h i n - s m a l l } } \\ { \mathrm { H i g g s ~ b u n d l e s ~ o n ~ { \mathcal ~ X } _ C ~ } } \end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array} { c l } { \mathrm { v e c t o r ~ b u n d l e s } } \\ { \mathrm { o n ~ { \mathcal ~ X } _ { C , v } ~ } } \end{array} \right\} .
H _ { s 1 } ( { \bf k } ) = \left[ \begin{array} { c c } { H _ { A } } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { A } } \end{array} \right] ; H _ { s 2 } ( { \bf k } ) = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { - i \mathbb { I } } \\ { i \mathbb { I } } & { 0 } \end{array} \right] ;
\sum _ { n \leq M } e ^ { i f ( n ) } \lesssim _ { k , A , \epsilon } M ^ { 1 + \epsilon } \Bigl ( \lambda _ { k } ^ { \frac { 1 } { k ( k - 1 ) } } + M ^ { - \frac { 1 } { k ( k - 1 ) } } + M ^ { - \frac { 2 } { k ( k - 1 ) } } \lambda _ { k } ^ { - \frac { 2 } { k ^ { 2 } ( k - 1 ) } } \Bigr ) .