harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x x \left[ g _ { 1 } ( x ) + 2 g _ { 2 } ( x ) \right] = \frac { e _ { q } ^ { 2 } } { 2 } \frac { m _ { q } } { M _ { p } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \frac { h _ { 1 } ( x ) - \overline { { { h } } } _ { 1 } ( x ) } { \displaystyle { \left( 1 - \frac { M _ { p } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } } ~ .
\begin{array} { r l } { y _ { d } - y _ { n } } & { = \xi \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } - \zeta = \frac { ( \xi \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } + k ) ^ { 2 } - ( \zeta + k ) ^ { 2 } } { \xi \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } + \zeta + 2 k } } \\ & { \ge \frac { 2 k \xi \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } + \xi ^ { 2 } ( 1 - a ^ { 2 } ) ( 1 - 2 a ^ { 2 } ) - \zeta ^ { 2 } - 2 k \zeta } { \xi \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } + \zeta + 2 k } } \\ & { \ge \frac { 2 k \xi ( 1 - \frac 3 2 a ^ { 2 } - \frac 1 8 a ^ { 4 } - \frac 7 4 a ^ { 6 } ) + \xi ^ { 2 } ( 1 - a ^ { 2 } ) ( 1 - 2 a ^ { 2 } ) - \zeta ^ { 2 } - 2 k \zeta } { \xi \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } + \zeta + 2 k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { \mu e } ( a _ { e \beta } ) \simeq 2 | a _ { e \beta } | L \sin \ensuremath { \theta _ { 1 3 } } \sin 2 \ensuremath { \theta _ { 2 3 } } \sin \Delta \big [ \mathbb { Z } _ { e \beta } \sin ( \delta _ { \mathrm { C P } } + \varphi _ { e \beta } ) + \mathbb { W } _ { e \beta } \cos ( \delta _ { \mathrm { C P } } + \varphi _ { e \beta } ) \big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { k _ { j } - 1 } \Big ( ( 1 - e ^ { - v ^ { j + 1 } } ) \cdot e ^ { - v ^ { j + 1 } / n } \Big ) ^ { k } } & { \leq \frac { 1 } { 1 - ( 1 - e ^ { - v ^ { j + 1 } } ) \cdot e ^ { - v ^ { j + 1 } / n } } } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \leq } \frac { 1 } { 1 - ( 1 - e ^ { - v ^ { j + 1 } } ) \cdot ( 1 - \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { v ^ { j + 1 } } { n } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { e ^ { - v ^ { j + 1 } } } \cdot \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { v ^ { j + 1 } } { n } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { v ^ { j + 1 } } { n } \cdot e ^ { v ^ { j + 1 } } } } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \leq } \frac { 1 } { e ^ { - v ^ { j + 1 } } } \cdot \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 4 } \cdot \frac { v ^ { j + 1 } } { n } \cdot e ^ { v ^ { j + 1 } } } } \\ & { \stackrel { ( c ) } { \leq } \frac { 1 } { e ^ { - v ^ { j + 1 } } } \cdot \Big ( 1 - \frac { 1 } { 8 } \cdot \frac { v ^ { j + 1 } } { n } \cdot e ^ { v ^ { j + 1 } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \Bigg \langle } & { \mathbf K \circ \mathbf K \circ \mathbf L - 4 \mathbf K \circ \mathbf K \mathbf H \circ \mathbf L - 2 \mathbf K \circ \mathbf K \circ \mathbf L \mathbf H } \\ & { + 4 \mathbf K \mathbf H \circ \mathbf K \circ \mathbf L \mathbf H + 2 \mathbf K \circ \mathbf L \left\langle \frac { \mathbf K } { N ^ { 2 } } \right\rangle + 2 \mathbf K \mathbf H \circ \mathbf H \mathbf K \circ \mathbf L } \\ & { + 4 \mathbf K \circ \mathbf H \mathbf K \circ \mathbf L \mathbf H + \mathbf K \circ \mathbf K \left\langle \frac { \mathbf L } { N ^ { 2 } } \right\rangle - 8 \mathbf K \circ \mathbf L \mathbf H \left\langle \frac { \mathbf K } { N ^ { 2 } } \right\rangle } \\ & { - 4 \mathbf K \circ \mathbf H \mathbf K \left\langle \frac { \mathbf L } { N ^ { 2 } } \right\rangle + 4 \left\langle \frac { \mathbf K } { N ^ { 2 } } \right\rangle ^ { 2 } \mathbf L \Bigg \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \right\Vert _ { V } } & { { } \leq ( 1 + \mathrm { L i p } _ { P _ { \Sigma _ { 2 } } V \to P _ { \Sigma _ { 1 } } V } ( \psi _ { \rho } ( \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) , \cdot ) ) ) \left\Vert P _ { \Sigma _ { 2 } } \left( \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \right) \right\Vert _ { V } } \end{array}
\forall u \in C ^ { 1 } ( \mathbf { R } ^ { n } ) \cap L ^ { p } ( \mathbf { R } ^ { n } ) : \qquad \| u \| _ { C ^ { 0 , \gamma } ( \mathbf { R } ^ { n } ) } \leq C \| u \| _ { W ^ { 1 , p } ( \mathbf { R } ^ { n } ) } ,
1 8 \mu _ { c } ^ { [ 3 | 1 ] } = 9 5 0 \pm 5 0 \; M e V , \; \; \mu _ { c } ^ { [ 2 | 2 ] } = 9 9 0 \pm 5 0 \; M e V , \; \; \mu _ { c } ^ { [ 1 | 3 ] } = 9 8 0 \pm 5 0 \; M e V .
\begin{array} { r l r } { A _ { p } } & { { } = } & { \frac { ( z - s ) + 4 i k s z \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p } ^ { 2 } [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } = \frac { [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } { 2 \sigma _ { p } ^ { 2 } [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } , } \\ { B _ { p } } & { { } = } & { \frac { i k _ { u } T _ { \alpha } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] - 4 i k ( z + s ) x } { 2 [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } , } \\ { \frac { B _ { p } ^ { 2 } } { 4 A _ { p } } } & { { } = } & { - x ^ { 2 } \, \frac { 2 k ^ { 2 } ( z + s ) \sigma _ { p } ^ { 2 } } { [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } + x \, \frac { k k _ { u } T _ { \alpha } ( z + s ) ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) \sigma _ { p } ^ { 2 } } { [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } - \frac { [ k _ { u } T _ { \alpha } \sigma _ { p } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } { 8 [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } . } \end{array}
2 B _ { I J } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { d } } & { { a } } & { { c } } \\ { { - d } } & { { 0 } } & { { - a - c } } & { { a } } \\ { { - a } } & { { a + c } } & { { 0 } } & { { b } } \\ { { - c } } & { { - a } } & { { - b } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ , ~ ~ ~ G _ { I J } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 2 u } } & { { - u } } & { { f } } & { { h } } \\ { { - u } } & { { 2 u } } & { { - f - h } } & { { f } } \\ { { f } } & { { - f - h } } & { { 2 v } } & { { - v } } \\ { { h } } & { { f } } & { { - v } } & { { 2 v } } \end{array} \right) ~ .
\begin{array} { r l } { \log p \left[ N ( \mathbf { p } _ { 1 : i } ) | \mathbf { p } _ { 1 : i } \right] = } & { - \frac { 1 } { 2 } N ( \mathbf { p } _ { 1 : i } ) ^ { \mathcal { T } } [ K ( \mathbf { p } _ { 1 : i } , \mathbf { p } _ { 1 : i } ) + \sigma _ { i } ^ { 2 } I ] ^ { - 1 } N ( \mathbf { p } _ { 1 : i } ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \log | K ( \mathbf { p } _ { 1 : i } , \mathbf { p } _ { 1 : i } ) + \sigma _ { i } ^ { 2 } I | - \frac { i } { 2 } \log 2 \pi . } \end{array}
\mathbf { V } \bar { \ensuremath { \mathbf { u } } } _ { r } ^ { n } = \mathbf { V } ( \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { V } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } \mathbf { V } ) \mathbf { V } ^ { T } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } .
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { R a m a n } } ( \omega _ { s } ) \propto \frac { 2 } { 1 + e ^ { - \beta \omega } } \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \! d t \, e ^ { - j \omega t } \iint _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \! d x _ { 0 } d p _ { 0 } \left( \widehat { \rho } \right) _ { W } [ x _ { 0 } , p _ { 0 } ] } & { \left( \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger } ( \omega _ { I } ) \right) _ { W } [ x _ { 0 } , p _ { 0 } ] } \\ & { \times \left( \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) \right) _ { W } [ x _ { t } , p _ { t } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \theta ( t _ { 0 } ) } & { { } = } & { \theta ( t ) - \mathrm { s i n } \Delta ( t ) \Bigg [ \Gamma T _ { D u r , 0 } - { \frac { \Gamma ^ { 2 } R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { c o s } ^ { 2 } \phi \Bigg ] + O ( S c ^ { 3 } ) } \\ { \theta _ { 2 } ( t _ { 0 } ) } & { { } = } & { \theta _ { 2 } ( t ) + \mathrm { s i n } \Delta ( t ) \Bigg [ \Gamma T _ { D u r , 0 } - { \frac { \Gamma ^ { 2 } R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { c o s } ^ { 2 } \phi \Bigg ] + O ( S c ^ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta } & { = } & { z _ { t _ { i + 1 } } - { \cal T } _ { q } ( t _ { i + 1 } - s _ { i } ) { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , z _ { s _ { i } } ) - \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) { \cal F } ( e ) d e } \\ & { } & { - \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) { \cal G } ( e ) d \hat { \cal W } ( e ) - \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) \sigma ( e ) d { \cal B } ^ { \hat { \cal H } } ( e ) , } \\ & { } & { \forall \; t \in ( s _ { i } , t _ { i + 1 } ] , \; i = 0 , 1 , \ldots , m . } \end{array}
A \equiv { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } = \underbrace { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } _ { \equiv W } \underbrace { \left( \begin{array} { l l } { { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { { \sqrt { 8 } } } \end{array} \right) } _ { \sqrt { D } } \underbrace { \left( \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} \right) } _ { V ^ { \dagger } } .
\langle O ( x _ { 1 } ) O ( x _ { 2 } ) O ( x _ { 3 } ) O ( x _ { 4 } ) \rangle _ { i } = \sum _ { \Delta , l } a _ { \Delta , l } ^ { i } { \cal H } _ { \Delta , l } ( x _ { 1 , 2 , 3 , 4 } ) \; .
\begin{array} { r } { \left[ I - \frac { D _ { s } \Delta t } { 2 } \delta _ { x x } \right] \left[ I - \frac { D _ { s } \Delta t } { 2 } \delta _ { y y } \right] c ^ { n + 1 } = - \frac { \Delta t } { 2 } \left( 3 u ^ { n } \frac { \partial c ^ { n } } { \partial x } + u ^ { n - 1 } \frac { \partial c ^ { n - 1 } } { \partial x } \right) } \\ { - \frac { \Delta t } { 2 } \left( 3 v ^ { n } \frac { \partial c ^ { n } } { \partial y } + v ^ { n - 1 } \frac { \partial c ^ { n - 1 } } { \partial y } \right) + \left[ I + \frac { D _ { s } \Delta t } { 2 } \delta _ { x x } \right] \left[ I + \frac { D _ { s } \Delta t } { 2 } \delta _ { y y } \right] c ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { X _ { t } ^ { * } ( S _ { t } ) = \arg \operatorname* { m i n } _ { x _ { t } \in { \mathcal { X } _ { t } ( S _ { t } ) } } \left( C ( S _ { t } , x _ { t } ) + \operatorname* { m i n } _ { \pi } \mathbb { E } ^ { \pi } \left\{ \sum _ { t ^ { \prime } = t + 1 } ^ { T } C ( S _ { t ^ { \prime } } , X _ { t ^ { \prime } } ^ { \pi } ( S _ { t ^ { \prime } } ) ) | S _ { t } ^ { x } \right\} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigr ] } & { = \Bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigr ] \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) } \\ & { = \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \zeta \left( \frac { 1 } { \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } } + \frac { 1 } { \eta ^ { \mathrm { s } } } \right) \vec { w } _ { \omega } = \nabla ^ { 2 } \vec { w } _ { \omega } + \left( \frac { 1 } { \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } } + \frac { 1 } { \eta ^ { \mathrm { s } } } \right) f \rho \vec { m } _ { \omega } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \left( \frac { 1 - \phi _ { 0 } } { \eta ^ { \mathrm { s } } } - \frac { \phi _ { 0 } } { \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } } \right) \nabla P _ { \omega } - \frac { K } { \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } } \nabla \delta \phi _ { \omega } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \Delta ^ { \prime } } \left\{ \left( \int _ { \Delta < \Delta ^ { \prime } } p ( \Delta | D , K ) \textup { d } \Gamma \right) > \alpha \right\} , } \\ { U _ { \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { U ^ { \prime } } \left\{ \left( \int _ { U _ { f c } < U ^ { \prime } } p ( U _ { f c } | D , K ) \textup { d } U _ { f c } \right) > \alpha \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \zeta } { \partial z } } & { - \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \zeta } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \frac { \partial ^ { 4 } \zeta } { \partial t ^ { 4 } } - \frac { \beta _ { 6 } } { 7 2 0 } \frac { \partial ^ { 6 } \zeta } { \partial t ^ { 6 } } } \\ & { + \alpha P _ { 0 } ( \zeta + \zeta ^ { * } ) + \chi P _ { 0 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \zeta } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \zeta ^ { * } } { \partial t ^ { 2 } } \right) = 0 , } \end{array}
Q _ { s } ^ { a + } = Q _ { s } ^ { a } + i ( \gamma ^ { 1 1 } ) _ { b } ^ { a } \bar { Q } _ { s } ^ { b } , \quad Q _ { s } ^ { a - } = Q _ { s } ^ { a } - ( \gamma ^ { 1 1 } ) _ { b } ^ { a } i \bar { Q } _ { s } ^ { b } ,
N _ { 6 } \left( x , y \right) = \frac { 1 } { 6 ! } \, K _ { 6 } \, \left( x ^ { 6 } - 1 5 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + 1 5 x ^ { 2 } y ^ { 4 } - y ^ { 6 } \right)
{ \begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { T } & { = x \sinh ( \alpha t ) } \\ { X } & { = x \cosh ( \alpha t ) } \\ { Y } & { = y } \\ { Z } & { = z } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { t } & { = { \frac { 1 } { \alpha } } \operatorname { a r t a n h } { \frac { T } { X } } } \\ { x } & { = { \sqrt { X ^ { 2 } - T ^ { 2 } } } } \\ { y } & { = Y } \\ { z } & { = Z } \end{array} } } \end{array} }
\widehat v _ { \ell } = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e } } } \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { \mathrm { e } } } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } | \widetilde \xi _ { \ell m } ^ { ( k ) } | ^ { 2 }
\left. \frac { \partial ^ { 4 } V _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \phi _ { 0 } ^ { 4 } } ( \beta , \phi _ { 0 } ) \right| _ { \phi _ { 0 } = 0 } = 6 ( \lambda + \delta \lambda ) T = 6 \lambda _ { R } T ,
K _ { s } ( x ) = \sqrt { \frac { \pi } { 2 x } } e ^ { - x } \left( 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 x ) ^ { k } } \frac { \Gamma \left( s + k + \frac { 1 } { 2 } \right) } { k ! \Gamma \left( s - k + \frac { 1 } { 2 } \right) } \right) \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial c _ { x } ( \xi , t ) } { \partial t } + u \frac { \partial c _ { x } ( \xi , t ) } { \partial \xi } = D _ { x } \frac { \partial ^ { 2 } c _ { x } ( \xi , t ) } { \partial \xi ^ { 2 } } - q _ { x } ( \xi , t ) , } \\ & { } & { \frac { \partial c _ { y } ( \xi , t ) } { \partial t } + u \frac { \partial c _ { y } ( \xi , t ) } { \partial \xi } = D _ { y } \frac { \partial ^ { 2 } c _ { y } ( \xi , t ) } { \partial \xi ^ { 2 } } - q _ { y } ( \xi , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial u _ { i } u _ { j } } { \partial x _ { j } } = - } & { \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { j } x _ { j } } + \mathcal { F } _ { i } , } \end{array}
\overline { { \Psi } } _ { \beta } ( \mathbf { \phi } _ { n e w } ) = \overline { { \sigma } } _ { \beta } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \overline { { w } } ( \phi _ { n e w } , \phi _ { i } ) \overline { { \psi } } _ { \beta } ( \mathbf { \phi } _ { i } ) ,
\begin{array} { r l } { | u \cdot n _ { - } | ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } & { { } = \left| ( u \cdot n _ { - } ) ( y _ { 1 } , h ( y _ { 1 } ) ) + \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { y _ { 2 } } \partial _ { 2 } ( u \cdot n _ { - } ) ( y _ { 1 } , z ) \ d z \right| } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \tan \alpha } & { = { \frac { { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } d x } { d x + { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } d x } } = { \frac { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } { 1 + { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } } } } \\ { \tan \beta } & { = { \frac { { \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } } d y } { d y + { \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } d y } } = { \frac { \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } } { 1 + { \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { i n } } } { \partial l } } & { = \frac { n \Delta _ { \mathrm { R F } } \lambda ^ { 2 } \Omega _ { \mathrm { R F } } ( 2 \gamma ^ { 2 } + 8 \Delta _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } - \Omega _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } ) \Omega _ { R } ^ { 2 } } { 3 6 \pi \Gamma \gamma ( \gamma ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } + \Omega _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } ) [ 4 ( \gamma ^ { 2 } + \Delta _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } ) + \Omega _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } ] } } \\ & { \approx \frac { n \lambda ^ { 2 } } { 7 2 \pi } \cdot \frac { \Omega _ { R } ^ { 2 } } { \Gamma } \cdot \Omega _ { \mathrm { R F } } \cdot \frac { \Delta _ { \mathrm { R F } } / \gamma } { \Delta _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } \quad \mathrm { f o r } \; \; \Omega _ { \mathrm { R F } } ^ { 2 } \ll \gamma ^ { 2 } , } \end{array}
\left\{ i v \cdot D - i \gamma \cdot D _ { T } \left( \frac { i \gamma \cdot D _ { T } } { 2 m _ { c } } + \frac { i v \cdot D i \gamma \cdot D _ { T } } { 4 m _ { c } ^ { 2 } } \right) \right\} h _ { - } ( x ) = 0 + { \cal O } ( \frac { 1 } { m _ { c } ^ { 3 } } ) .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { C } ^ { r } ( E ) } & { = g _ { i } \, \alpha _ { C } ^ { * } \, \alpha _ { C } \, g _ { j } \bigg ( \mathcal { A } _ { C } ^ { r } ( E ) + \mathcal { A } _ { C } ^ { a } ( - E ) \bigg ) } \\ & { = g _ { i } \, \alpha _ { C } ^ { * } \, \alpha _ { C } \, g _ { j } \bigg ( \frac { 1 } { \Delta + E + \frac { i } { 2 } \kappa } + \frac { 1 } { \Delta - E - \frac { i } { 2 } \kappa } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ln { { \overline { { \Lambda } } } _ { i , e } } = 7 . 1 - 0 . 5 \ln { { n } _ { e } } [ { { 1 0 } ^ { 2 1 } } / c { { m } ^ { 3 } } ] + \ln { { T } _ { e } } [ k e V ] , } \\ & { \ln { { \overline { { \Lambda } } } _ { i , i } } = 9 . 2 - 0 . 5 \ln { { n } _ { e } } [ { { 1 0 } ^ { 2 1 } } / c { { m } ^ { 3 } } ] + 1 . 5 \ln { { T } _ { i } } [ k e V ] . } \end{array}
S _ { \mathrm { c o r r } } [ k ] = \mathfrak { R e } \{ \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k / N \langle \, \widehat { \Delta \varphi } \, \rangle } \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } ( \tau ) \} \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { I } _ { m , 3 } ^ { 1 } } & { = \frac { 1 } { \Omega _ { m } - \widehat { \Omega } _ { m } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { f _ { 0 } ^ { \prime } ( r ) r ^ { { 2 m } } P _ { m } ( r ) } { ( \Omega _ { m } - \int _ { 0 } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( s r ) d s ) } d r } \\ { = } & { \frac { 1 } { \Omega _ { m } - \widehat { \Omega } _ { m } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { f _ { 0 } ^ { \prime } ( r ) } r ^ { 2 m + 2 } d r + \frac { 1 } { ( \Omega _ { m } - \widehat { \Omega } _ { m } ) m } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { f _ { 0 } ^ { \prime } ( r ) r ^ { 2 m } \int _ { r } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( s ) d s } { ( \Omega _ { m } - \int _ { 0 } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( s r ) d s ) } d r } \\ & { + \frac { m + 1 } { m ( \Omega _ { m } - \widehat { \Omega } _ { m } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { f _ { 0 } ^ { \prime } ( r ) \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { 2 m + 1 } f _ { 0 } ( s ) d s } { ( \Omega _ { m } - \int _ { 0 } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( s r ) d s ) } d r } \\ { = : } & { \frac { 1 } { m ( \Omega _ { m } - \widehat { \Omega } _ { m } ) } \left( \mathbb { J } _ { m , 1 } + \mathbb { J } _ { m , 2 } + \mathbb { J } _ { m , 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( [ x , u ] , u ) } & { = g ( [ x _ { 1 } + x _ { 2 } , u _ { 1 } + u _ { 2 } ] , u _ { 1 } + u _ { 2 } ) } \\ & { = g ( [ x _ { 1 } , u _ { 1 } ] , u _ { 1 } ) + g ( [ x _ { 2 } , u _ { 2 } ] , u _ { 2 } ) } \\ & { = \theta _ { 1 } ( x _ { 1 } ) | u _ { 1 } | ^ { 2 } + \theta _ { 2 } ( x _ { 2 } ) | u _ { 2 } | ^ { 2 } \qquad \mathrm { ( b y ~ P r o p o s i t i o n ~ ( 2 ) ) } } \\ & { = \theta ( x ) | u | ^ { 2 } \qquad ( \mathrm { s i n c e } \ \theta ( x ) = \theta _ { 1 } ( x _ { 1 } ) = \theta _ { 2 } ( x _ { 2 } ) ) . } \end{array}
S ^ { ( 1 ) } = S _ { \mathrm { i n v } } ^ { ( 1 ) } + \hat { S } ^ { ( 1 ) } , \quad \delta _ { \epsilon } ^ { ( 0 ) } S _ { \mathrm { i n v } } ^ { ( 1 ) } = 0 , \quad \delta _ { \epsilon } ^ { ( 0 ) } \hat { S } ^ { ( 1 ) } \approx 0
\begin{array} { r l r } { \left( \beta \frac { \partial P _ { v } } { \partial \rho } \right) _ { T } } & { { } = } & { \chi _ { c } ^ { - 1 } ( \rho , \beta ) \; , } \\ { \left( \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \beta P _ { v } } { \partial \beta } \right) _ { \rho } } & { { } = } & { \frac { 1 } { V } \left( \frac { \partial U } { \partial \rho } \right) _ { T } \; . } \end{array}
b _ { \sigma _ { i } } \equiv { \frac { d \rho _ { 0 } ^ { ( i ) } } { d \sigma _ { i } } } \int _ { C _ { i } } { \frac { d \rho } { 2 \pi i } } b ( \rho ) = i \int _ { C _ { i } } { \frac { d \rho } { 2 \pi i } } b ( \rho ) ,
i \frac { \partial } { \partial t } \langle q ^ { \prime } , t \mid q , 0 \rangle = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial q ^ { 2 } } \langle q ^ { \prime } , t \mid q , 0 \rangle + V ( q ^ { \prime } ) \langle q ^ { \prime } , t \mid q , 0 \rangle ,
\begin{array} { r } { v ^ { X , ( 2 ) } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { q _ { 6 } - q _ { 2 } q _ { 5 } } { 1 + | q _ { 2 } | ^ { 2 } } z ^ { - i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { ( 0 ) } ^ { - i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } & { z \in X _ { 1 } , } \\ { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - \frac { \bar { q } _ { 6 } - \bar { q } _ { 2 } \bar { q } _ { 5 } } { 1 - | q _ { 5 } | ^ { 2 } - | q _ { 6 } | ^ { 2 } } z ^ { i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { ( 0 ) } ^ { i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & { z \in X _ { 2 } , } \\ { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { q _ { 6 } - q _ { 2 } q _ { 5 } } { 1 - | q _ { 5 } | ^ { 2 } - | q _ { 6 } | ^ { 2 } } z ^ { - i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { ( 0 ) } ^ { - i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } & { z \in X _ { 3 } , } \\ { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \frac { \bar { q } _ { 6 } - \bar { q } _ { 2 } \bar { q } _ { 5 } } { 1 + | q _ { 2 } | ^ { 2 } } z ^ { i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { ( 0 ) } ^ { i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & { z \in X _ { 4 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\bigg ( 1 - \frac { 4 \alpha k ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \bigg ) \delta ^ { ( 1 ) } \bigg ( R _ { 5 5 } - \frac { 1 } { 2 } g _ { 5 5 } R \bigg ) = M ^ { - 3 } T _ { 5 5 } ,
\begin{array} { r l } { T _ { a _ { 1 } + b _ { 2 } } T _ { a _ { 3 } + b _ { 2 } } } & { \mapsto \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) = R _ { A _ { 1 } + B _ { 2 } } , } \\ { T _ { b _ { 1 } + b _ { 2 } } T _ { b _ { 3 } + b _ { 2 } } } & { \mapsto \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) = R _ { B _ { 1 } + B _ { 2 } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d u } { d t } = k _ { 1 } u ^ { 2 } + k _ { 2 } u v + k _ { 3 } v ^ { 2 } + k _ { 4 } u ^ { 2 } v + k _ { 5 } u v ^ { 2 } + k _ { 6 } u ^ { 3 } + k _ { 7 } v ^ { 3 } + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) , } \\ { \frac { d v } { d t } = v + h _ { 1 } u ^ { 2 } + h _ { 2 } u v + h _ { 3 } v ^ { 2 } + h _ { 4 } u ^ { 2 } v + h _ { 5 } u v ^ { 2 } + h _ { 6 } u ^ { 3 } + h _ { 7 } v ^ { 3 } + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) , } \end{array} \right.
\Upsilon ^ { ( s ) } \left( \mathbf { x } , \tau , \tau _ { 1 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Upsilon \left( \mathbf { x } , \tau , \tau _ { 1 } \right) + \Upsilon \left( \mathbf { x } , \tau _ { 1 } , \tau \right) \right] ,