harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
M _ { \Omega } ^ { ( 8 , 1 , 0 ) } = M _ { \omega } ^ { ( 1 , 3 , 0 ) } \equiv M _ { \Sigma } = 5 \lambda _ { 1 } V \quad , \quad M _ { S } ^ { ( 1 , 1 , 0 ) } = \frac { M _ { \Sigma } } { 5 }
\hat { V } ( \gamma ) = e ^ { - i \, \mu \, m } \, \exp \left[ - i \Bigl ( \mu \hat { P } + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( \theta ) \, \hat { \pi } ( \theta ) \, d \theta \Bigr ) \right] \hat { W } ^ { m } .
\begin{array} { r } { \dot { \boldsymbol { \ell } } _ { 1 } = \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \nabla \mathbf { v } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \dot { \boldsymbol { \ell } } _ { 2 } = \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \cdot \nabla \mathbf { v } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { M } + 1 } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } Q _ { \mathrm { W } - j } \mu _ { - j , \mathrm { M } } = \underbrace { \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } \mu _ { - j , \mathrm { M } } } _ { = \hat { q } _ { \mathrm { M } + 1 } } + \underbrace { \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ( Q _ { \mathrm { W } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } ) \mu _ { - j , \mathrm { M } } } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } + \underbrace { \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } \mu _ { - j , \mathrm { M } } } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } } \\ & { \le \hat { Q } _ { \mathrm { M } + 1 } + \frac { 2 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \epsilon } & { = m \Omega _ { 0 } ^ { 2 } \frac { q } { 2 \epsilon } \mathrm { d } q + \frac { 1 } { 2 \epsilon } \frac { p } { m } \mathrm { d } p + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 m \epsilon } - \frac { 1 } { 4 \epsilon ^ { 3 } } \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) ( \mathrm { d } p ) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \epsilon } \frac { p ^ { 2 } } { m } \left[ - \Gamma _ { 0 } + \Gamma _ { \mathrm { m } } ( \epsilon ) \right] \mathrm { d } t + \frac { 1 } { 2 \epsilon } \frac { p } { m } \sqrt { 2 m \Gamma _ { 0 } k _ { B } T _ { 0 } } \mathrm { d } W + \frac { 1 } { 2 \epsilon } \left( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { 2 m \epsilon ^ { 2 } } \right) { \Gamma _ { 0 } k _ { B } T _ { 0 } } ( \mathrm { d } W ) ^ { 2 } \mathrm { . } } \end{array}
\left( \partial ^ { \gamma } \partial _ { \alpha } T ^ { ( \alpha \nu ) \beta } - \partial ^ { \beta } \partial _ { \alpha } T ^ { ( \alpha \nu ) \gamma } \right) = - \frac { D ^ { 2 } } { a e ^ { 2 } } \partial ^ { 2 } T ^ { ( \beta \gamma ) \nu } + \frac { D } { 2 e ^ { 2 } } \partial ^ { 2 } \epsilon ^ { \beta \gamma } { } _ { \kappa \lambda } T ^ { ( \kappa \lambda ) \nu } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial t } } & { = r u ( 1 - u ) + \frac { 2 k } { M } \frac { \partial M } { \partial x } \frac { \partial u } { \partial x } + k \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial M } { \partial t } } & { = k \frac { \partial ^ { 2 } M } { \partial x ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \left\langle { { \bf { f } } , { \bf { g } } } \right\rangle _ { \bf { x } } } = \int _ { \Omega } { { \bf { f } } \left( { { \bf { x } } , t } \right) \cdot { \bf { g } } \left( { { \bf { x } } , t } \right) d { \bf { x } } }
\chi _ { L } ( \tau ) = \frac { H } { 2 } A _ { L } [ L ( \cosh \tau ) ^ { L + 2 } ( 1 + i \sinh \tau ) ^ { - L - 2 } + ( L + 2 ) ( \cosh \tau ) ^ { L } ( 1 + i \sinh \tau ) ^ { - L } ) ]
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \hbar \rightarrow 0 } \sum _ { k = 3 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k , 1 , 1 } } \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - 1 } } \mathcal { I } _ { 1 , 1 } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = 0 . } \end{array}
a ^ { - 2 { \frac { p - 1 } { p - 3 } } } ( \theta _ { H } ) = \bar { \cal E } \bar { \cal P } _ { \phi } ^ { - { \frac { p - 1 } { p - 3 } } } \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } - { \frac { p - 1 } { 2 } } \theta _ { H } \right) ,
\begin{array} { l l } { { D _ { \mu } \phi = ( \nabla _ { \mu } - i \frac { q } { 2 \sqrt { \beta } } H _ { \mu } ) \phi , } } \\ { { D _ { \mu } \sigma = ( \nabla _ { \mu } + i \frac { e } { 2 } A _ { \mu } - i \frac { \alpha e } { 2 \sqrt { \beta } } H _ { \mu } ) \sigma , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { C a s e ~ } } & { \implies 0 \le \frac { | v _ { k } ( x _ { 0 } ) - v ( x _ { 0 } ) | ^ { 2 } } { ( M _ { 0 } + | v ( x _ { 0 } ) | ) ^ { 2 - p } } \le \frac { | v _ { k } ( x _ { 0 } ) - v ( x _ { 0 } ) | ^ { 2 } } { ( | v _ { k } ( x _ { 0 } ) | + | v ( x _ { 0 } ) | ) ^ { 2 - p } } \to 0 } \\ & { \implies v _ { k } ( x _ { 0 } ) \to v ( x _ { 0 } ) \mathrm { ~ i n ~ C _ 0 ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Theta } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , } \\ { \hat { \Theta } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ ( \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } + \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } ) \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert \mathcal { I } _ { i n } ^ { 0 } ( t , x ) \vert \lesssim e ^ { d T } \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \Vert \mathrm { N } ^ { t ; s } \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \vert \mathcal { F } _ { 0 } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \vert \, \mathrm { d } v \lesssim \Lambda ( T , R ) \sum _ { I , J } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \vert \partial _ { x } ^ { I } \partial _ { v } ^ { J } f ^ { \mathrm { i n } } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \vert \, \mathrm { d } v , } \end{array}
\begin{array} { c } { h _ { \star } ^ { S } ( r ) > h _ { \star } ^ { S } ( r _ { 0 } ) > h _ { 0 } , } \\ { \partial _ { r } { \cal P } _ { r } ^ { S } ( h ) < 0 , \quad { \cal P } ^ { E } ( h ) < { \cal P } ^ { S } ( h ) , \quad \forall h > 0 , } \end{array}
E ( 4 d ^ { 9 } 5 f ^ { n + 3 } \underline { { \upsilon } } ^ { 2 } ) - E ( 4 d ^ { 9 } 5 f ^ { n + 2 } \underline { { \upsilon } } ^ { 1 } ) = \Delta + 2 U _ { f f } - U _ { f d }
\begin{array} { r l } { o ( 1 ) \| \psi \| } & { = F _ { \lambda } ^ { \prime } ( v _ { n } ) ( \psi ) } \\ & { \le \alpha \| D v _ { n } \| _ { p } ^ { p } - \lambda \int _ { \mathbb R ^ { N } } V | G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) | ^ { k } d x - \beta \int _ { \mathbb R ^ { N } } K | G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) | ^ { \alpha p ^ { * } } d x } \end{array}
\phi _ { \mathrm { S W } } + \phi _ { \eta } ^ { C P T } = 4 3 . 5 1 ^ { \circ } \pm 0 . 0 5 ^ { \circ } ~ ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ ~ \phi _ { \eta } ^ { C P T } < 0 . 1 5 ^ { \circ } ~ ~ ( 9 0 \
\begin{array} { r } { \psi = \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \left[ \alpha _ { n } H _ { n } ^ { ( 2 ) } ( k \rho ) + \beta _ { n } H _ { n } ^ { ( 1 ) } ( k \rho ) \right] \left( \gamma _ { n } e ^ { \mathrm { i } n \varphi } + \delta _ { n } e ^ { - \mathrm { i } n \varphi } \right) , } \end{array}
F = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial I } ( x _ { 0 } ) } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial Y } ( x _ { 0 } ) } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial I } ( x _ { 0 } ) } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial Y } ( x _ { 0 } ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \beta } & { \beta \alpha } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \qquad \mathrm { a n d } \qquad V = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial \mathcal { V } _ { 1 } } { \partial I } ( x _ { 0 } ) } & { \frac { \partial \mathcal { V } _ { 1 } } { \partial Y } ( x _ { 0 } ) } \\ { \frac { \partial \mathcal { V } _ { 2 } } { \partial I } ( x _ { 0 } ) } & { \frac { \partial \mathcal { V } _ { 2 } } { \partial Y } ( x _ { 0 } ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \gamma _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \gamma _ { 2 } } \end{array} \right) .
\Gamma _ { s d H } = - \lambda _ { t } \frac { g ^ { 3 } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } \frac { m _ { t } ^ { 2 } m _ { s } } { M _ { W } ^ { 3 } } \left( \frac { 3 } { 2 } + \frac { 4 \lambda _ { H } } { g ^ { 2 } } f _ { 2 } ( x _ { t } ) \right) ( 1 + \gamma ^ { 5 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { Z } ^ { * } } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { Z } \in \mathbb { R } ^ { \left( d + 1 \right) n \times n } } \mathrm { R e } \left\langle \Pi _ { \mathcal { S } } \left( \mathbf { M } \right) , \mathbf { Z } \right\rangle } \\ & { { \mathrm { s u b j . \; t o } } \; \mathrm { { R e } } \left\langle \mathbf { \Delta } , \mathbf { Z } \right\rangle = 0 \; { \mathrm { a n d } } \; \| \mathbf { Z } \| _ { F } = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal Q } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \left( \frac { 3 \Gamma } { 2 k \Omega } \right) ^ { 2 } [ \langle \hat { e } \rangle - | \langle \hat { \sigma } ^ { + } \rangle | ^ { 2 } ] \sum _ { n } ( \hat { k } \cdot \hat { r } _ { n } ) \frac { 1 - | \hat { \varepsilon } \cdot \hat { r } _ { n } | ^ { 2 } } { r _ { n } ^ { 2 } } } \end{array}
\left( \frac { d \sigma _ { Q _ { 2 } } ^ { \gamma q } } { d v d w } \right) _ { \mathrm { e p s } } = \frac { 4 C ( s ) } { 9 } \frac { e _ { q } ^ { 2 } } { e _ { c } ^ { 2 } } \ln \frac { s _ { 2 } ^ { 2 } } { S _ { 2 } m ^ { 2 } } P _ { q \gamma } ( w ) B _ { q \bar { q } } ( w s , w t , u )
0 = { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } } + q t + \sum _ { i = 1 } ^ { N } r _ { i } \Delta _ { a i } h _ { a } ^ { 2 } ( { \frac { 1 } { 2 } } \Delta _ { a ^ { \prime } i } - u ) , \; a \not = a ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { { \theta _ { 6 } + \theta _ { 1 8 } - \theta _ { - 1 8 } - \theta _ { - 6 } } } & { { = - i ~ q ^ { - { \frac { 1 } { 1 2 } } } { \frac { \eta ^ { 3 } } { \eta ( \tau / 2 ) \eta ( 2 \tau ) } } } } \\ { { \theta _ { - 2 } + \theta _ { 1 0 } - \theta _ { 2 2 } - \theta _ { - 1 4 } } } & { { = q ^ { - { \frac { 1 } { 1 2 } } } { \frac { \eta ^ { 3 } } { \eta ( \tau / 2 ) \eta ( 2 \tau ) } } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { L } } & { = d i a g \left( - \frac { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } , \cdots , - \frac { \sigma _ { m - 1 } \sigma _ { m } } { \gamma _ { m - 1 } \gamma _ { m } } , - \frac { \sigma _ { m } \gamma _ { m + 1 } } { \gamma _ { m } \sigma _ { m + 1 } } \right) } \\ { D _ { R } } & { = d i a g \left( - \frac { \gamma _ { m + 1 } \sigma _ { m + 2 } } { \sigma _ { m + 1 } \gamma _ { m + 2 } } - \frac { \sigma _ { m + 2 } \sigma _ { m + 3 } } { \gamma _ { m + 2 } \gamma _ { m + 3 } } , \cdots , - \frac { \sigma _ { 2 m } \sigma _ { 2 m + 1 } } { \gamma _ { 2 m } \gamma _ { 2 m + 1 } } , \right) } \\ { P _ { L } } & { = d i a g \left( \theta _ { 1 } \frac { \kappa _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } } , \cdots , \theta _ { m } \frac { \kappa _ { m + 1 } } { \kappa _ { m } } \right) , } \\ { P _ { R } } & { = d i a g \left( \theta _ { m + 1 } \frac { \kappa _ { m + 1 } } { \kappa _ { m + 2 } } , \cdots , \theta _ { 2 m } \frac { \kappa _ { 2 m } } { \kappa _ { 2 m + 1 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi } & { = \Delta ( \sqrt { \mu } ) \big ( 1 + o ( 1 ) \big ) } \\ { m _ { \mu } ^ { ( d ) } ( \Delta ) } & { = - \frac { \pi } { 2 b _ { \mu } ^ { ( d ) } ( \lambda ) } + o ( 1 ) } \\ { m _ { \mu } ^ { ( d ) } ( \Delta ) } & { = \mu ^ { d / 2 - 1 } \left( \ln \left( \frac { \mu } { \Delta ( \sqrt { \mu } ) } \right) + \ln ( 2 c _ { d } ) + o ( 1 ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle a _ { j } \right\rangle = } & { { } \left\langle \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial a _ { j } ^ { 2 } } a _ { j } \, \right\rangle = 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle a _ { j } ^ { 2 } \right\rangle = } & { { } \left\langle \frac { 1 } { 2 \Delta V } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial a _ { j } ^ { 2 } } a _ { j } ^ { 2 } \, \right\rangle = \frac { 1 } { \Delta V } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { b } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } = \sqrt { 1 - L } \hat { b } _ { k } ^ { \mathrm { { o u t } } } e ^ { - i \theta _ { 0 } } + \sqrt { L } \hat { v } _ { b } , } \end{array}
V ( R ) = \operatorname * { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \, \frac { 1 } { T } \, \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \! \! d t \int _ { 0 } ^ { R } \! \! d r \, M _ { 0 } ^ { 2 } \, + \, \frac { D - 2 } { 2 } \, \mathrm { T r } \ln G ^ { - 1 } \right] \, { . }
\begin{array} { r l } { c ^ { ( r ) } } & { = \frac { \left( 1 - 2 \eta _ { l } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { l } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) \left( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \left( 1 - 2 \eta _ { u } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { u } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) \right) } { 2 \left( 1 - ( 1 - p ) \left( 1 - 2 \eta _ { u } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { u } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) \right) } } \\ & { \quad + \frac { \left( 1 - 2 \eta _ { u } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { u } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) \left( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \left( 1 - 2 \eta _ { l } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { l } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) \right) } { 2 \left( 1 - ( 1 - p ) \left( 1 - 2 \eta _ { l } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { l } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) \right) } . } \end{array}
E _ { 0 } = \frac { \pi } { p ^ { + } } \left( \left( \frac { p ^ { I _ { N } } } { \pi } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { m } { 3 } \right) ^ { 2 } ( x ^ { i _ { N } } ) ^ { 2 } + \left( \frac { m } { 6 } \right) ^ { 2 } ( x ^ { i _ { N } ^ { \prime } } ) ^ { 2 } + \frac { i } { \pi } \frac { m } { 3 } \psi _ { 0 } \gamma ^ { 4 } \Omega \psi _ { 0 } - \frac { i } { \pi } \frac { m } { 6 } \psi _ { 0 } ^ { \prime } \gamma ^ { 4 } \Omega \psi _ { 0 } ^ { \prime } \right) ~ .
\left\| \int \bar { C } _ { i \Delta t _ { j } } \varphi \mathop { } \! { d { z } } \right\| = \left| \int \bar { C } _ { i \Delta t _ { j } } \varphi \mathop { } \! { d { z } } \right| _ { \| \varphi \| \leqslant 1 } = N _ { ( C _ { j } \varphi ) }
\frac { \partial f } { \partial t } + \boldsymbol { v } _ { k } \cdot { \frac { \partial f } { \partial \boldsymbol { r } } } + q _ { k } ( \boldsymbol { E } + \boldsymbol { v } _ { k } \times \boldsymbol { B } ) \cdot { \frac { \partial f } { \partial \boldsymbol { p } _ { t } } } = \frac { \partial f } { \partial t } | _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ l ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ B ~ U ~ U ~ } } ,
\left\langle \mathcal F _ { \mu \nu } ^ { m } \mathcal F ^ { m \mu \nu } \right\rangle = - 2 0 \left[ \partial _ { \mu y } \partial _ { x } ^ { \mu } \mathcal G ( y , x ) + g ^ { 2 } a _ { \mu } ( x ) a ^ { \mu } ( x ) \mathcal G ( x , x ) - i g a ^ { \mu } ( x ) \partial _ { \mu x } \mathcal P ^ { * } ( y , x ) + i g a ^ { \mu } ( x ) \partial _ { \mu x } \mathcal P ( y , x ) \right] \Bigr | _ { y = x }
\frac { T _ { M A X } } { T _ { R H } } = 0 . 7 7 \left( \frac { 9 } { 2 \pi ^ { 3 } g _ { * } } \right) ^ { 1 / 4 } \left( \frac { H _ { I } M _ { \mathrm { P } } } { T _ { R H } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \ .
\mathbb { K } ( \delta ^ { \vee } ) : = \mathrm { S y m } ^ { r _ { 1 } } \left( \mathcal { O } b _ { \mathbf { X } } \stackrel { i _ { \delta ^ { \vee } } } { \to } \mathcal { O } _ { \mathbf { X } } \right) = \big [ 0 \to \wedge ^ { r _ { 1 } } \mathcal { O } b _ { \mathbf { X } } \stackrel { i _ { \delta ^ { \vee } } } { \to } \wedge ^ { r _ { 1 } - 1 } \mathcal { O } b _ { \mathbf { X } } \to \cdots \to \wedge ^ { 1 } \mathcal { O } b _ { \mathbf { X } } \stackrel { i _ { \delta ^ { \vee } } } { \to } \mathcal { O } _ { \mathbf { X } } \to 0 \big ]
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } } & { : = \{ ( \omega , m ) | m \omega \in ( - \xi _ { \ell } m ^ { 2 } , m \omega _ { + } + \xi _ { r } m ^ { 2 } ) \} \index { G @ \mathcal { G } , \mathcal { G } ^ { \prime } } , } \\ { \mathcal { G } ^ { \prime } } & { : = \{ ( \omega , m ) | m \omega \notin ( - \frac 1 2 \xi _ { \ell } m ^ { 2 } , m \omega _ { + } + \frac 1 2 \xi _ { r } m ^ { 2 } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \frac { \partial H _ { J } ( \vec { \sigma } , \vec { \alpha } ; \lambda ) } { \partial \lambda } H _ { J } ( \vec { \sigma } ^ { \prime } , \vec { \alpha } ^ { \prime } ; \lambda ) \right] } & { = \frac { N + L } { 4 } \left[ \frac { N } { N + L } V ( \sigma \cdot \sigma ^ { \prime } ) + \frac { L } { N + L } V ( \alpha \cdot \alpha ^ { \prime } ) \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \left. - V \left( \frac { N } { N + L } \sigma \cdot \sigma ^ { \prime } + \frac { L } { N + L } \alpha \cdot \alpha ^ { \prime } \right) \right] . } \end{array}
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 1 2 } } [ 2 g ^ { \mu \nu } h _ { i j } { \cal D } _ { \mu } q ^ { i } { \cal D } _ { \nu } q ^ { j } + F _ { \Lambda } ^ { a b } F _ { \Lambda } ^ { a b } + 2 g ^ { 2 } { \cal P } _ { \Lambda } ^ { u } { \cal P } _ { \Lambda } ^ { u } ] \, \varepsilon _ { c d e f } e ^ { c } e ^ { d } e ^ { e } e ^ { f }
\begin{array} { r } { \Omega _ { \mathbf { m } } ^ { \pm } ( b ) \triangleq \frac { 1 - b ^ { 2 } } { 4 } \pm \frac { 1 } { 2 \mathbf { m } } \sqrt { \left( \frac { 1 - b ^ { 2 } } { 2 } \mathbf { m } - 1 \right) ^ { 2 } - b ^ { 2 \mathbf { m } } } . } \end{array}
\centering \mathrm { ~ M ~ C ~ S ~ R ~ } = \frac { \sum _ { i , j } ^ { N } \left[ \Delta \Delta E _ { i j } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } \Delta \Delta E _ { i j } ^ { \mathrm { ~ G ~ N ~ N ~ } } > 0 \right] \left[ \lvert \Delta \Delta E _ { i j } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } \rvert < \mathrm { ~ m ~ a ~ r ~ g ~ i ~ n ~ } \right] } { \sum _ { i , j } ^ { N } \left[ \lvert \Delta \Delta E _ { i j } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } \rvert < \mathrm { ~ m ~ a ~ r ~ g ~ i ~ n ~ } \right] }
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( X ) = - \gamma - { \frac { \beta } { \alpha } } { \frac { c k } { c + 1 } } { \Big ( } ( 1 - \alpha ) ^ { - 1 / k } - 1 { \Big ) } ^ { 1 + { \frac { 1 } { c } } } { _ { 2 } F _ { 1 } } { \Big ( } 1 + { \frac { 1 } { c } } , k + 1 ; 2 + { \frac { 1 } { c } } ; 1 - ( 1 - \alpha ) ^ { - 1 / k } { \Big ) }
\mathrm { e x p } ( i ( \mathbf { k } _ { i } - \mathbf { k } _ { j } ) \cdot \mathbf { \hat { r } } ) \left| \mathbf { p } \right\rangle = \left| \mathbf { p } + \hbar ( \mathbf { k } _ { i } - \mathbf { k } _ { j } ) \right\rangle
A _ { p } = B _ { p } + \frac { \Omega } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } { \cal P } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \vec { v } _ { \cal P } \cdot \nabla _ { \cal P } ( f _ { p } + f _ { \overline { { p } } } ) } { \Omega - \vec { v } _ { \cal P } \cdot \vec { \cal Q } } \, .
\begin{array} { r l } { E _ { D } ( x , t ) } & { { } \approx A \cos k x \cdot 2 \int _ { - k v _ { F } } ^ { k v _ { F } } \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { \chi _ { k } i \omega e ^ { - i \omega t } } { \sqrt { k ^ { 2 } v _ { F } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } } \end{array}
\frac { \partial n ^ { * } } { \partial t } + \frac { d n _ { b } } { d x _ { 3 } } w ^ { * } = \nabla ^ { 2 } n ^ { * } - U _ { s } \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } \left( T _ { b } n ^ { * } + n _ { b } \frac { d T _ { b } } { d \mathcal { G } } \mathcal { G } ^ { * } \right) + U _ { s } n _ { b } \frac { T _ { b } } { q _ { b } } \left( \frac { \partial q _ { 1 } ^ { * } } { \partial x _ { 1 } } + \frac { \partial q _ { 2 } ^ { * } } { \partial x _ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \delta _ { x _ { k } } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l l } { - 1 } & { } & { \mathrm { i f } \ k = r \ \mathrm { f o r \ a n y } \ r = \mu _ { 1 } , \cdots , \mu _ { l } } \\ { + 1 } & { } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \\ { \delta _ { y _ { k ^ { \prime } } } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l l } { - 1 } & { } & { \mathrm { i f } \ k ^ { \prime } = s \ \mathrm { f o r \ a n y } \ s = \nu _ { 1 } , \cdots , \nu _ { m } } \\ { + 1 } & { } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \end{array}
\frac { F } { V } = ( - 1 ) ^ { f } \frac { 1 } { \beta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d p ^ { - } } { \sqrt { 2 } \pi } \int \frac { d ^ { D - 2 } p _ { T } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 2 } } \ln \left( 1 - ( - 1 ) ^ { f } e ^ { - \frac { \beta } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { { \vec { p } _ { T } } ^ { ~ 2 } + M ^ { 2 } } { 2 p ^ { - } } + p ^ { - } \right) } \right)
[ X ^ { i } , P ^ { j } ] = \ensuremath { \mathrm { i } } \hbar \, F ^ { i \, j } ( \vec { P } ) \; , \ \ [ X ^ { i } , X ^ { j } ] = \ensuremath { \mathrm { i } } \theta ^ { i j } \; , \ \ [ P ^ { i } , P ^ { j } ] = 0 \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { r ( x , t ) = - \frac { T } { \gamma } \partial _ { x } \log \left( f ( x , t ) + f ( - x , t ) \right) } \\ & { } & { f ( x , t ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d w } { \sqrt { 4 \pi T t } } e ^ { - \frac { ( w - x ) ^ { 2 } } { 4 T t } - \frac { \gamma } { T } \frac { w } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } e ^ { \frac { 1 } { 4 T } \gamma ( \gamma t - 2 x ) } \mathrm { e r f c } \left( \frac { \gamma t - x } { 2 \sqrt { T t } } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I } } & { = - \left\langle \partial _ { c } ^ { 2 } \log \left( p ( x | c ) \right) \right\rangle = - \left\langle \partial _ { c } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \partial _ { \lambda _ { i } } \log \left( p ( x | c ) \right) \right) \frac { \mathrm { d } \lambda _ { i } } { \mathrm { d } c } \right] \right\rangle = } \\ & { = - \left\langle \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \partial _ { \lambda _ { i } } \log \left( p ( x | c ) \right) \right) \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \lambda _ { i } } { \mathrm { d } c ^ { 2 } } \right] \right\rangle - \left\langle \left[ \sum _ { i , j = 1 } ^ { k } \frac { \mathrm { d } \lambda _ { i } } { \mathrm { d } c } \left( \partial _ { \lambda _ { i } } \partial _ { \lambda _ { j } } \log \left( p ( x | c ) \right) \right) \frac { \mathrm { d } \lambda _ { j } } { \mathrm { d } c } \right] \right\rangle = } \\ & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { k } \frac { \mathrm { d } \lambda _ { i } } { \mathrm { d } c } A _ { i j } \frac { \mathrm { d } \lambda _ { j } } { \mathrm { d } c } } \end{array}
\frac { \partial T ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } / V _ { \mathrm { i n } } } } \frac { \rho ^ { * } c _ { p } ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { e f f } } ^ { * } c _ { p , \mathrm { e f f } } ^ { * } } \vec { V } ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } T ^ { * } - \alpha _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { W _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { { e f f , 0 } } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { e f f , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { \delta _ { \mathrm { F L } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { { e f f , 0 } } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = \frac { S _ { \mathrm { h } } ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { * } c _ { p , \mathrm { e f f } } ^ { * } }
\delta J = < \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } B _ { j } ^ { T } ( \prod _ { s = k - 1 } ^ { j + 1 } A _ { s } ^ { T } ) \eta _ { k } , \delta \alpha > , \; \; \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \; \; \eta _ { k } = x _ { k } - z _ { k } , \, \prod \, \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ t ~ e ~ s ~ r ~ e ~ v ~ e ~ r ~ s ~ e ~ p ~ r ~ o ~ d ~ u ~ c ~ t ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \widetilde { F } ( z ) } & { = - \frac { \widetilde { f } ( z ) - 2 } { q ^ { 2 } } = - \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } c _ { n } ( z ) q ^ { n - 2 } } \\ & { = ( - 4 8 0 \pi i z - 9 6 0 ) + ( 2 8 8 0 0 \pi ^ { 2 } z ^ { 2 } - 1 2 3 8 4 0 \pi i z - 1 2 3 8 4 0 ) q ^ { 2 } + \ldots , } \\ { \widetilde { G } ( z ) } & { = - \frac { \widetilde { g } ( z ) - 2 } { q ^ { 2 } } = - \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } d _ { n } q ^ { n - 2 } = - 2 4 0 + 1 0 2 4 0 q - 1 3 4 6 4 0 q ^ { 2 } + 1 0 0 7 6 1 6 q ^ { 3 } + \ldots . } \end{array}