harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { U = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { e ^ { 2 i \phi } } & { e ^ { i \phi } } & { - e ^ { i \phi } } \\ { e ^ { i \phi } } & { - e ^ { i \phi } } & { e ^ { 2 i \phi } } & { e ^ { 4 i \phi } } \\ { 1 } & { e ^ { 2 i \phi } } & { - e ^ { i \phi } } & { e ^ { i \phi } } \\ { - e ^ { i \phi } } & { e ^ { i \phi } } & { e ^ { 2 i \phi } } & { e ^ { 4 i \phi } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\sigma _ { T ( \mathrm { N S } ) } ^ { \gamma ^ { * } q } ( \tilde { s } , Q ^ { 2 } , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } \alpha } { \tilde { s } } \bar { E } _ { \mathrm { N S } } \left( \frac { Q ^ { 2 } } { \tilde { s } } , Q _ { 0 } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \mathrm { f l o p s ~ p e r ~ l e a f ~ a n d ~ t i m e - i n t e r v a l } ) \times ( \mathrm { \# ~ o f ~ l e a v e s ~ a t ~ l e v e l ~ { l _ { { \mathrm { m a x } } } } ~ } ) \times ( \mathrm { \# ~ o f ~ t i m e - i n t e r v a l s } ) } \\ & { \sim } & { N _ { { \mathrm { l e a f } } } M _ { \mathrm { t } } ^ { ( { l _ { { \mathrm { m a x } } } } ) } { p _ { \mathrm { s } } } ^ { 3 } { p _ { \mathrm { t } } } \times 8 ^ { { l _ { { \mathrm { m a x } } } } } \times \frac { N _ { \mathrm { t } } } { M _ { \mathrm { t } } ^ { ( { l _ { { \mathrm { m a x } } } } ) } } \sim N _ { \mathrm { s } } N _ { \mathrm { t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \tilde { z } } = } & { [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] ^ { - 1 } \dot { z } } \\ & { - [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] ^ { - 1 } \big [ Q ( t / \epsilon ) - \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) \big ] \tilde { z } } \\ { = } & { [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] ^ { - 1 } \left[ Q _ { a v } + Q ( t / \epsilon ) \right] [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] \tilde { z } } \\ & { - [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] ^ { - 1 } \big [ Q ( t / \epsilon ) - \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) \big ] \tilde { z } } \\ { = } & { [ I + F ( t / \epsilon , \epsilon ) ] \left[ Q _ { a v } + Q ( t / \epsilon ) \right] [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] \tilde { z } } \\ & { - [ I + F ( t / \epsilon , \epsilon ) ] \big [ Q ( t / \epsilon ) - \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) \big ] \tilde { z } } \\ { = } & { [ I + F ( t / \epsilon , \epsilon ) ] Q _ { a v } [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] \tilde { z } } \\ & { + [ I + F ( t / \epsilon , \epsilon ) ] [ Q ( t / \epsilon ) \tilde { z } + \epsilon Q ( t / \epsilon ) w ( t / \epsilon , \epsilon ) \tilde { z } ] } \\ & { - [ I + F ( t / \epsilon , \epsilon ) ] \big [ Q ( t / \epsilon ) \tilde { z } - \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) \tilde { z } \big ] } \\ { = } & { Q _ { a v } y + F ( t / \epsilon , \epsilon ) Q _ { a v } \tilde { z } } \\ & { + \epsilon [ I + F ( t / \epsilon , \epsilon ) ] Q _ { a v } w ( t / \epsilon , \epsilon ) \tilde { z } } \\ & { + \epsilon [ I + F ( t / \epsilon , \epsilon ) ] Q ( t / \epsilon ) w ( t / \epsilon , \epsilon ) \tilde { z } } \\ & { + \epsilon [ I + F ( t / \epsilon , \epsilon ) ] w ( t / \epsilon , \epsilon ) \tilde { z } } \\ { = } & { \big [ Q _ { a v } + N ( t / \epsilon , \epsilon ) \big ] \tilde { z } , } \end{array}
g _ { 1 } ^ { d } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \, ( \, g _ { 1 } ^ { p } ( x , Q ^ { 2 } ) + g _ { 1 } ^ { n } ( x , Q ^ { 2 } ) \, ) \, ( \, 1 - 1 . 5 \omega _ { D } \, ) ,
G ( x , y ) = \sum _ { n \in Z } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - { \frac { t M ^ { 2 } } { 2 } } } \int _ { x } ^ { y + 2 \pi n R } { \cal D } x ( t ) e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \dot { x } ^ { 2 } d \tau }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { { \bf C } \frac { \omega } { i } \int _ { 0 } ^ { T _ { \mathrm { T H z } } } \frac { d t } { T _ { \mathrm { T H z } } } e ^ { i ( \Omega + n \omega ) t } } \\ & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d \tau } { ( \omega \tau ) ^ { D / 2 } } \exp [ { \frac { i } { \hbar } \mathbb { S } ^ { ( t , \tau ) } ( t , \tau ) } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( a + b = 2 ) } & { = \epsilon _ { l } \epsilon _ { r } \, , } \\ { P ( a + b = 1 ) } & { = \epsilon _ { l } ( 1 - \epsilon _ { r } ) + ( 1 - \epsilon _ { l } ) \epsilon _ { r } = \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } - 2 \epsilon _ { l } \epsilon _ { r } \, , } \\ { P ( a + b = 0 ) } & { = ( 1 - \epsilon _ { l } ) ( 1 - \epsilon _ { r } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| u - \pi _ { K } ^ { h p } ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \partial K _ { i } ) } } \\ & { \le } & { C ( \| u - \pi _ { K } ^ { h p } ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( K ) } ^ { 1 / 2 } \| \nabla ( u - \pi _ { K } ^ { h p } ( u ) ) \| _ { L ^ { 2 } ( K ) } ^ { 1 / 2 } + \| u - \pi _ { K } ^ { h p } ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \partial K ) } ) } \\ & { \le } & { C \frac { h _ { K } ^ { \nu - 1 / 2 } } { p ^ { s - 1 / 2 } } \| u \| _ { H ^ { s } ( K ) } , \ \ s \ge 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda _ { \chi ^ { 2 } } ( y ) = \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \big ( l ( s , y ) - 1 \big ) ^ { 2 } \leq \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \left( \Lambda ( y ) - 1 \right) ^ { 2 } = \left( \Lambda ( y ) - 1 \right) ^ { 2 } \leq \left( \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { u } } - 1 \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \epsilon _ { i j } ( \partial _ { t } ) } & { \mathrel { \mathop : } = \iota _ { i } ^ { * } \epsilon ( \partial _ { t } ) \iota _ { j } } & { E _ { i } } & { \mathrel { \mathop : } = \iota _ { i } ^ { * } E } & { \varPhi _ { i } } & { \mathrel { \mathop : } = \iota _ { i } ^ { * } \varPhi } \\ { \mu _ { i j } } & { \mathrel { \mathop : } = \tau _ { i } ^ { * } \mu \tau _ { j } } & { H _ { i } } & { \mathrel { \mathop : } = \tau _ { i } ^ { * } H } & { \varPsi _ { i } } & { \mathrel { \mathop : } = \tau _ { i } ^ { * } \varPsi . } \end{array}
d { \cal L } _ { 4 } = d { \cal L } _ { 4 } ^ { 0 } + d { \cal L } _ { 4 } ^ { W Z } = i ( \hat { E } ^ { ( - ) } \gamma ^ { ( 3 ) } \hat { E } ^ { ( - ) } ) - 2 ( \hat { E } ^ { ( - ) } \tilde { \gamma } ^ { ( 4 ) } \hat { \Lambda } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { - i \frac { { { e ^ { i { \omega / c } { z _ { j } } } } } } { { \sqrt { 2 \pi } } } \left( { - { t _ { j - 1 } ^ { j } } + { t _ { j } ^ { j + 1 } } } \right) + \frac { g } { c } { e _ { j } } = 0 ; } \\ & { } & { i \frac { { { e ^ { - i { \omega / c } { z _ { j } } } } } } { { \sqrt { 2 \pi } } } \left( { - { r _ { j - 1 } ^ { j } } + { r _ { j } ^ { j + 1 } } } \right) + \frac { g } { c } { e _ { j } } = 0 ; } \\ & { } & { \frac { { \omega } - { \omega _ { 0 } } } { g } { e _ { j } } = { \frac { { { e ^ { i { \omega / c } { z _ { j } } } } } } { { \sqrt { 2 \pi } } } \frac { { { t _ { j - 1 } ^ { j } } + t _ { j } ^ { j + 1 } } } { 2 } + \frac { { { e ^ { - i { \omega / c } { z _ { j } } } } } } { { \sqrt { 2 \pi } } } \frac { { { r _ { j - 1 } ^ { j } } + r _ { j } ^ { j + 1 } } } { 2 } } . } \end{array}
A _ { W } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) \equiv \frac { \omega _ { W 0 } \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } } { \omega _ { \mathrm { { s w } } } \varepsilon _ { \mathrm { { s w } } } ^ { 1 / 3 } } = \frac { \omega _ { W 0 } \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } } { \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } \varepsilon ^ { 1 / 3 } + \omega _ { W 0 } \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } } = \frac { \tau _ { \mathrm { { S W } } } } { \tau _ { W } }
[ a _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) , b _ { i } ( - { \bf { q } } ) ] = ( \frac { \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) } { { \tilde { \omega } } _ { i } ( - { \bf { q } } ) + \frac { { \bf { k . q } } } { m } } ) g _ { i } ( - { \bf { q } } )
\Delta _ { t } ^ { H } | ( \Delta _ { t - 1 } ^ { H } , \dots , \Delta _ { t - p _ { 1 } } ^ { H } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { p _ { 1 } } \varphi _ { j } ^ { \mathrm { H } } \Delta _ { t - j } ^ { H } + \zeta ( H _ { S , t } ) \varepsilon _ { t } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal I _ { \zeta } } & { { } = - \partial \alpha _ { 0 } ( \partial \varphi + i \partial \alpha _ { 0 } ) Q _ { 0 } - \bar { \partial } \alpha _ { 0 } ( \bar { \partial } \varphi - i \bar { \partial } \alpha _ { 0 } ) \bar { Q } _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { { } = \alpha \iiint \mathcal { D } \, \rho \mathcal { D } w \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ - i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ( \mathbf { r } ) \big [ \rho ( \mathbf { r } ) - \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) \big ] - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \rho ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right\} , } \end{array}
{ \begin{array} { c } { { \begin{array} { r l } { \mathbf { x } ^ { \prime } } & { = { \mathfrak { D } } ^ { - 1 } \mathbf { x } - \mathbf { v } ^ { \prime } \left\{ \left( \gamma - 1 \right) ( \mathbf { x \cdot v } ) / v ^ { 2 } - \gamma t \right\} } \\ { t ^ { \prime } } & { = \gamma \left( t - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { x } ) / c ^ { 2 } \right) } \end{array} } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { t } & { { } = \sqrt { \kappa _ { E } \kappa _ { S } T } + \kappa _ { E } \frac { \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { 2 } } \\ { G } & { { } = 2 D b _ { \varepsilon } t \Bigg ( 1 + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \sqrt { \frac { \kappa _ { E } } { \kappa _ { S } T } } \Bigg ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \widehat { \beta } } } & { = { \frac { n S _ { x y } - S _ { x } S _ { y } } { n S _ { x x } - S _ { x } ^ { 2 } } } = 6 1 . 2 7 2 } \\ { { \widehat { \alpha } } } & { = { \frac { 1 } { n } } S _ { y } - { \widehat { \beta } } { \frac { 1 } { n } } S _ { x } = - 3 9 . 0 6 2 } \\ { s _ { \varepsilon } ^ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { n ( n - 2 ) } } \left[ n S _ { y y } - S _ { y } ^ { 2 } - { \widehat { \beta } } ^ { 2 } ( n S _ { x x } - S _ { x } ^ { 2 } ) \right] = 0 . 5 7 6 2 } \\ { s _ { \widehat { \beta } } ^ { 2 } } & { = { \frac { n s _ { \varepsilon } ^ { 2 } } { n S _ { x x } - S _ { x } ^ { 2 } } } = 3 . 1 5 3 9 } \\ { s _ { \widehat { \alpha } } ^ { 2 } } & { = s _ { \widehat { \beta } } ^ { 2 } { \frac { 1 } { n } } S _ { x x } = 8 . 6 3 1 8 5 } \end{array} }
\frac { u _ { 1 } } { v _ { 1 } } = \frac { 1 } { a _ { 1 } } \ , \quad \frac { u _ { 2 } } { v _ { 2 } } = \frac { 1 } { a _ { 1 } + \frac { 1 } { a _ { 2 } } } \ , \ \ldots \ , \ \frac { u _ { n } } { v _ { n } } = \frac { 1 } { a _ { 1 } + \frac { \phantom { 1 } } { \ddots + \frac { 1 } { a _ { n - 1 } + \frac { 1 } { a _ { n } } } } }
\Sigma ^ { \prime \prime } ( E _ { m } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ E _ { o } ( k _ { m } + { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } w ) - E _ { o } ( k _ { m } - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } w ) \right]
{ \cal Z } = \int \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } [ \mathrm { d } { \phi } ^ { i } ( \tau , x ) ] \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } [ \mathrm { d } { \Pi } ^ { i } ( \tau , x ) ] \delta \left( | \vec { \phi } | - 1 \right) e ^ { - S _ { e } [ \vec { \phi } , \vec { \Pi } ] } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \beta } ( \lvert K _ { r k } ^ { \mathrm { m a x } } \rvert \geq 3 ^ { - r } L ^ { d r k } ) } & { \geq \mathbb { P } _ { \beta ^ { \prime } , 1 / 2 } \left( \left| K _ { k } ^ { \mathrm { m a x } } \right| \geq \frac { 1 } { 3 } L ^ { d k } \right) } \\ & { \geq \mathbb Q _ { 1 / 2 } \Big ( \left\lvert \{ x \in \Lambda _ { k } : \eta _ { x } = 1 \} \right\rvert \geq \frac { 1 } { 3 } L ^ { d k } \Big ) \cdot \mathbb { P } _ { \beta ^ { \prime } } \left( \omega _ { e } = 1 \; \forall e \in E _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 3 } ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf a _ { 1 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf a _ { 1 } } } } \end{array} \right) \rho ( C _ { 3 } ) , } \\ { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
U ^ { \hat { c } } \nabla _ { \hat { c } } e _ { \hat { a } } = { \Omega } _ { \; \hat { a } } ^ { \hat { b } } e _ { \hat { b } } \; , \quad { \Omega } _ { \hat { a } \hat { b } } = U _ { \hat { a } } a _ { \hat { b } } - a _ { \hat { a } } U _ { \hat { b } } - { \epsilon } _ { \hat { a } b c d } U ^ { \hat { c } } W ^ { \hat { d } } \; ,
S = \int d ^ { d + 1 } x \, ( \mathrm { { d e t } } \, V ) \left[ { \frac { - i } { 2 } } \bar { \Psi } \tilde { \gamma } ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \Psi + { \frac { i } { 2 } } ( \nabla _ { \mu } ^ { \dag } \bar { \Psi } ) \tilde { \gamma } ^ { \mu } \Psi - i m \bar { \Psi } \Psi - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \right] ,
\begin{array} { r l } { a ( u , v ) : } & { = \int _ { \Omega } \left( \nabla u \cdot \nabla \overline { { v } } - \omega ^ { 2 } m u \overline { { v } } \right) - \mathrm { i } \omega \int _ { \partial \Omega } \sqrt { m } u \overline { { v } } \ = \ \int _ { \Omega } f \overline { { v } } + \int _ { \partial \Omega } f _ { b } \overline { { v } } = : F ( v ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { B } _ { ( i \to \alpha ) ; ( \beta \to j ) } ^ { N H } } & { { } = } & { p _ { N } \delta _ { j , i } ( 1 - \delta _ { \beta , \alpha } ) , } \\ { \mathcal { B } _ { ( \alpha \to i ) ; ( j \to \beta ) } ^ { H N } } & { { } = } & { p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } \delta _ { \alpha , \beta } ( 1 - \delta _ { i , j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad ( \partial x ) _ { ( - 1 ) } y t ^ { 2 } + x _ { ( - 1 ) } y t } \\ & { = \sum _ { s \geq 0 } ( \partial x t ^ { - s - 1 } y t ^ { s + 2 } + y t ^ { 1 - s } \partial x t ^ { s } ) + \sum _ { s \geq 0 } ( x t ^ { - s - 1 } y t ^ { s + 1 } + y t ^ { - s } x t ^ { s } ) } \\ & { = \sum _ { s \geq 0 } ( ( s + 1 ) x t ^ { - s - 2 } y t ^ { s + 2 } - s y t ^ { 1 - s } x t ^ { s - 1 } ) + \sum _ { s \geq 0 } ( x t ^ { - s - 1 } y t ^ { s + 1 } + y t ^ { - s } x t ^ { s } ) } \\ & { = \sum _ { s \geq 0 } ( ( s + 1 ) x t ^ { - s - 1 } y t ^ { s + 1 } - s y t ^ { - s } x t ^ { s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi ( \kappa , \tau ) = \psi \big ( \kappa u _ { 2 } ( t ( \tau ) ) , t ( \tau ) \big ) \sqrt { u _ { 2 } ( t ( \tau ) ) } \; e ^ { - \frac { i } { 2 } \frac { m } { w ( t ( \tau ) ) } \dot { u } _ { 2 } ( t ( \tau ) ) u _ { 2 } ( t ( \tau ) ) \kappa ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Phi _ { x x } + \Phi _ { y y } } & { { } = 0 , } & { \qquad \qquad \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( x ) } & { { } < y < \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( x , t ) , } \\ { \Phi } & { { } = \varphi , } & { \qquad \qquad y } & { { } = \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( x , t ) , } \\ { \nabla \Phi \cdot \boldsymbol n } & { { } = 0 , } & { \qquad \qquad y } & { { } = \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( x ) , } \end{array}
\gamma _ { 1 } ^ { n } = ( \lambda _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 2 } ^ { n } ) ( \kappa _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 2 } ^ { n } ) - \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } , \ \ \gamma _ { 2 } ^ { n } = - \frac { R \bar { \theta } } { \bar { \rho } } ( \kappa _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 2 } ^ { n } ) , \ \ \gamma _ { 3 } ^ { n } = \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { 2 } } { \bar { \rho } c _ { 0 } } , \ \ n \in \mathbb { Z } ^ { * } .
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathcal { B } _ { < } } } } & { \sum _ { \ell } \mathbf { 1 } _ { | \widetilde { \omega } | \geq z _ { 0 } ^ { - 1 } | m | ( r _ { 0 } - 1 ) } | m | | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } \left| \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } \frac { H } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r \right| ^ { 2 } \, d \widetilde { \omega } } \\ { \leq } & { \: C ( r _ { 0 } - 1 ) ^ { - 1 } \int _ { \mathbb { R } _ { \tau } } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \int _ { { \mathcal { B } _ { < } } } \left| \int _ { \mathbb { R } _ { u } } e ^ { i ( \widetilde { \omega } + m \omega _ { + } ) u } \mathbf { 1 } _ { r \leq r _ { 0 } } F _ { \xi } \, \Delta ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } d u \right| ^ { 2 } \, d \widetilde { \omega } d \sigma d \tau } \\ { + } & { \: C ( r _ { 0 } - 1 ) ^ { - 1 } \int _ { \mathbb { R } _ { \tau } } ( 1 + \tau ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 + \delta } { 2 } } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \int _ { { \mathcal { B } _ { < } } } \left| \int _ { \mathbb { R } _ { u } } e ^ { i ( \widetilde { \omega } + m \omega _ { + } ) u } \mathbf { 1 } _ { r \leq r _ { 0 } } \xi G \Delta ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \, d u \right| ^ { 2 } \, d \widetilde { \omega } d \sigma d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { T } ^ { 2 } ( \tilde { t } ) } & { { } = \left\langle \left( \Delta y _ { i } ( \tilde { t } ) - \langle \Delta y _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle \right) ^ { 2 } \right\rangle , } \\ { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tilde { t } ) } & { { } = \left\langle \left( \Delta x _ { i } ( \tilde { t } ) - \langle \Delta x _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle \right) ^ { 2 } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | \cdot | D | } & { \le 2 \int _ { A } \int _ { D } | \bar { w } ( x ) - \bar { w } ( y ) | \, d x \, d y } \\ & { \le 2 \int _ { B _ { 1 } } \int _ { B _ { 1 } } \left( \big | \bar { w } ( x ) - \bar { w } _ { B _ { 1 } } \big | + \big | \bar { w } ( y ) - \bar { w } _ { B _ { 1 } } \big | \right) \, d x \, d y } \\ & { = 4 | B _ { 1 } | \int _ { B _ { 1 } } \big | \bar { w } ( x ) - \bar { w } _ { B _ { 1 } } \big | \, d x \le C \int _ { E } | \nabla \bar { w } ( x ) | \, d x , } \end{array}
E _ { k } ^ { + } ( \xi ) = E _ { 0 } ^ { N } + \mu - \xi ^ { 2 } \sum _ { n } \frac { | \langle E _ { n } ^ { N + 1 } | a _ { k } ^ { \dagger } | E _ { 0 } ^ { N } \rangle | ^ { 2 } } { E _ { n } ^ { N + 1 } - E _ { 0 } ^ { N } - \mu } .
I [ \hat { g } , \hat { \phi } ] = \frac { 1 } { \pi } \int d ^ { 3 } x \sqrt { - \hat { g } } \left( \frac { \hat { R } + 2 l ^ { - 2 } } { 1 6 } - \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \hat { \phi } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 6 } \hat { R } \hat { \phi } ^ { 2 } + \frac { \nu } { 8 l ^ { 2 } } \hat { \phi } ^ { 6 } \right) \; ,
a ( n ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 / 2 ) ^ { n } } & { { \mathrm { i f ~ e v e r y ~ e v e n ~ n a t u r a l ~ n u m b e r ~ i n ~ t h e ~ i n t e r v a l ~ } } [ 4 , n ] { \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ s u m ~ o f ~ t w o ~ p r i m e s } } , } \\ { ( 1 / 2 ) ^ { k } } & { { \mathrm { i f ~ } } k { \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ l e a s t ~ e v e n ~ n a t u r a l ~ n u m b e r ~ i n ~ t h e ~ i n t e r v a l ~ } } [ 4 , n ] { \mathrm { ~ w h i c h ~ i s ~ n o t ~ t h e ~ s u m ~ o f ~ t w o ~ p r i m e s } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } T _ { u } ( \partial _ { s } u , \dots \, } & { , \partial _ { s } u , ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { 1 } } \vec { \kappa } , \dots , ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { b } } \vec { \kappa } ) = ( \nabla T ) _ { u } ( \partial _ { s } u , \dots , ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { b } } \vec { \kappa } , \partial _ { s } u ) } \\ & { \quad + T _ { u } ( \vec { \kappa } , \partial _ { s } u , \dots , \partial _ { s } u , ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { 1 } } \vec { \kappa } , \dots , ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { b } } \vec { \kappa } ) } \\ & { \quad + T _ { u } ( \partial _ { s } u , \dots , \partial _ { s } u , \vec { \kappa } , ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { 1 } } \vec { \kappa } , \dots , ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { b } } \vec { \kappa } ) } \\ & { \quad + T _ { u } ( \partial _ { s } u , \dots , \partial _ { s } u , \nabla _ { \partial _ { s } } ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { 1 } } \vec { \kappa } , \dots , ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { b } } \vec { \kappa } ) } \\ & { \quad + T _ { u } ( \partial _ { s } u , \dots , \partial _ { s } u , ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { 1 } } \vec { \kappa } , \dots , \nabla _ { \partial _ { s } } ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i _ { b } } \vec { \kappa } ) . } \end{array}
\frac { C t ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { ( \log N ) ^ { 2 } } \sum _ { \| z \| \leq N } | z \cdot a | ^ { 2 } p ( z ) ^ { 2 } \leq \frac { C t ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { N ^ { d } ( \log N ) ^ { 2 } } \int _ { \frac { 1 } { N } } ^ { 1 } \frac { r ^ { 2 } } { r ^ { 2 d + 2 } } r ^ { d - 1 } d r \leq \frac { C t ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { ( \log N ) ^ { 2 } } ,
v _ { c _ { 1 } } v _ { c _ { 2 } } \langle c _ { 1 } | \hat { a } _ { 2 j - 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 2 j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 2 k } \hat { a } _ { 2 k - 1 } | c _ { 2 } \rangle
\boldsymbol { x } _ { t } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } = \operatorname { C o n c a t } ( \boldsymbol { x } _ { T } ^ { - 1 } , \boldsymbol { x } _ { t } , \boldsymbol { x } _ { T } ^ { + 1 } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 \times H \times W }
\sigma _ { e l a s t } ^ { e _ { L } } = \sigma _ { e l a s t } ^ { d _ { R } } > \sigma _ { e l a s t } ^ { e _ { R } } = \sigma _ { e l a s t } ^ { u _ { R } } = \sigma _ { e l a s t } ^ { d _ { L } } = \sigma _ { e l a s t } ^ { u _ { L } } \; .
{ \cal A } ^ { \mu } = C ^ { \mu } ( q _ { 2 } , q _ { 1 } ) \left( 1 + \overline { { g } } ^ { 2 } r \right) + \overline { { g } } ^ { 2 } \left\{ - 2 t _ { 1 } t _ { 2 } { \cal F } _ { 5 } ^ { \mu } + 2 t _ { 1 } r _ { A } \frac { p _ { A } ^ { \mu } } { s _ { 1 } } - 2 t _ { 2 } r _ { B } \frac { p _ { B } ^ { \mu } } { s _ { 2 } } \right\} \; ,
\begin{array} { r } { \frac { \eta _ { i } \widehat { \lambda _ { i } } } { | z _ { i } | ^ { 2 } } \operatorname { I m } \left( \widehat { a } _ { j } - \Omega _ { B } ( z _ { i } ) \right) ^ { - 1 } \sim \eta _ { i } \frac { \operatorname { I m } \Omega _ { B } ( z _ { i } ) } { | \widehat { a } _ { j } - \Omega _ { B } ( z _ { i } ) | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { T } ^ { M 1 } ( \omega ) } & { = } & { \sqrt { \frac { 4 0 J _ { 0 } ( 2 J _ { 0 } - 1 ) } { 3 ( 2 J _ { 0 } + 3 ) ( J _ { 0 } + 1 ) ( 2 J _ { 0 } + 1 ) } } \sum _ { n \pm } ( - 1 ) ^ { J _ { 0 } + J _ { n } } } \\ & { \times } & { \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { J _ { 0 } } & { J _ { 0 } } & { J _ { n } } \end{array} \right\} \frac { \Delta E _ { n 0 } | \langle n _ { 0 } J _ { 0 } \| T _ { M 1 } \| n J _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta E _ { n 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r c l c r c l } { { \varphi } } & { { = } } & { { \mathrm { e } ^ { - 8 / 3 \phi } \, , } } & { { \quad } } & { { g _ { M N } } } & { { = } } & { { \mathrm { e } ^ { - 2 \phi } g _ { M N } ^ { 0 } \, , } } \\ { { \lambda } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } \, \mathrm { e } ^ { \phi / 2 } \lambda ^ { 0 } \, , } } & { { \quad } } & { { \psi _ { M } } } & { { = } } & { { \mathrm { e } ^ { - \phi / 2 } \left( \psi _ { M } ^ { 0 } - \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } \Gamma _ { M } ^ { 0 } \lambda ^ { 0 } \right) \, , } } \\ { { \epsilon } } & { { = } } & { { \mathrm { e } ^ { - \phi / 2 } \epsilon ^ { 0 } \, , } } & { { \quad } } & { { H _ { M N P } } } & { { = } } & { { \frac { 3 } { \sqrt 2 } \, H _ { M N P } ^ { 0 } \, , } } \\ { { \chi } } & { { = } } & { { \mathrm { e } ^ { \phi / 2 } \chi ^ { 0 } \, , } } & { { \quad } } & { { F _ { M N } } } & { { = } } & { { F _ { M N } ^ { 0 } \, , } } \end{array}
W _ { p } ( \chi _ { \gamma } ) = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \pi } \frac { \alpha } { \tau _ { C } } \frac { m c ^ { 2 } \chi _ { \gamma } } { \hbar \omega } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( ( \varepsilon _ { e } - 1 ) \varepsilon _ { e } F _ { 1 } ( z _ { p } ) + F _ { 2 } ( z _ { p } ) \right) \mathrm { d } \varepsilon _ { e } .
\pmb { \chi } _ { \mathbf { x } } ^ { [ i ] } = \hat { \mathbf { x } } + \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( i ) \cdot \left( \sqrt { ( n _ { x } + \lambda ) \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { x x } } } \right) _ { | i | } , \quad i = - n _ { x } \hdots 0 \hdots n _ { x } .