harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Q _ { t } ^ { \alpha } ( n , m ) } & { = \frac { 1 } { \pi \sqrt { n m } } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \cos \left( \gamma _ { n } \theta - \frac { ( \alpha + 1 ) \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } \right) \cos \left( \gamma _ { m } \theta - \frac { \alpha \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } \right) \sin \theta \; d \theta } \\ & { + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n } } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \cos \left( \gamma _ { n } \theta - \frac { ( \alpha + 1 ) \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } \right) g _ { \alpha } ( \gamma _ { m } \theta ) \sqrt { \theta } \sin \theta \; d \theta } \\ & { + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi m } } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } g _ { \alpha + 1 } ( \gamma _ { n } \theta ) \cos \left( \gamma _ { m } \theta - \frac { \alpha \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } \right) \sqrt { \theta } \sin \theta \; d \theta } \\ & { + { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } g _ { \alpha + 1 } ( \gamma _ { n } \theta ) g _ { \alpha } ( \gamma _ { m } \theta ) { \theta } \sin \theta \; d \theta } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } Q _ { t , j } ^ { \alpha } ( n , m ) , \quad t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \underline { { s } } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { l o g } } ) ^ { * } \underline { { \omega } } ( { \mathsf { a } } , \Lambda , { \mathsf { e } } ) = { \varpi _ { \mathsf { e A S } } } ( { \mathsf { a } } , \Lambda , { \mathsf { e } } ) } & { \doteq { \varpi _ { \mathsf { A S } } } ( { \mathsf { a } } ) + \Omega _ { S } ( \Lambda , { \mathsf { e } } ) } \\ & { = \int _ { \Sigma } \mathbf { t r } ( L _ { \ell } \mathbb { d } { \mathsf { a } } ^ { i } \wedge \mathbb { d } { \mathsf { a } } _ { i } ) + \int _ { S } \mathbf { t r } ( \mathbb { d } { \mathsf { e } } \wedge \mathbb { d } \Lambda \Lambda ^ { - 1 } ) . } \end{array}
I _ { \mathrm { n p } } ( u ) : = \langle I _ { \mathrm { n p } } ( \chi _ { D _ { k } } ) \rangle = \int _ { \Omega } \theta d | D u | + \int _ { \Omega } \left[ P _ { h } u + \rho _ { s } ( 1 - u ) U ^ { \mathrm { v d W } } \right] \, d x .
\begin{array} { r l } & { \Big ( \frac { 1 } { H ^ { k } } \sum _ { \underline { { h } } \in [ H ] ^ { k } } ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } } T ^ { a _ { 1 } ( \underline { { h } } \cdot \underline { { \epsilon } } ) } f _ { 1 } ) \otimes \cdots \otimes ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } } T ^ { a _ { d } ( \underline { { h } } \cdot \underline { { \epsilon } } ) } f _ { d } ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { C } { H ^ { k - 2 } } \sum _ { h _ { 1 } , \cdots , h _ { k - 2 } = 0 } ^ { H - 1 } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { H - 1 } e ^ { 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , h _ { k } \epsilon _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big | ^ { 2 } . } \end{array}
| b ( z ^ { \prime } ) | ^ { 2 } = \left| \frac { k _ { 0 } } { 4 \eta _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { z ^ { \prime } } d z ^ { \prime \prime } \iint \vec { E } ( x ^ { \prime \prime } , y ^ { \prime \prime } , z ^ { \prime \prime } ) \cdot [ \Delta { \tilde { \epsilon } _ { f , r } } \hat { e } _ { f } ^ { * } ( x ^ { \prime \prime } , y ^ { \prime \prime } ) ] e ^ { j \beta _ { f } z ^ { \prime \prime } } d A \right| ^ { 2 }
[ P _ { n } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] = \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { i k _ { z , n } ^ { + } \ell _ { n } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i k _ { z , n } ^ { - } \ell _ { n } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { P ( \omega ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) = } & { { } \frac { N _ { t } } { 2 ^ { N _ { t } - 1 } } \sqrt { \frac { \gamma } { \pi } } \exp \left( - \gamma ( \omega ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) ^ { 2 } \right) \left( \right. } \end{array}
\begin{array} { c c } { \nu ^ { 0 } \equiv \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { A A } + \widetilde { B B } + \widetilde { C D } + \widetilde { D C } ) } \\ { \nu ^ { 1 } \equiv \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { A D } + \widetilde { B C } + \widetilde { C A } + \widetilde { D B } ) } \\ { \nu ^ { 4 } \equiv \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { A A } + \widetilde { D D } + \widetilde { B C } + \widetilde { C B } ) } \\ { \nu ^ { 5 } \equiv \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { B A } + \widetilde { C D } + \widetilde { A C } + \widetilde { D B } ) } \\ { \kappa ^ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { A C } + \widetilde { D A } + \widetilde { C D } + \widetilde { B B } ) } \\ { \omega ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { B A } + \widetilde { D D } + \widetilde { A C } + \widetilde { C B } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { i } [ } & { H ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) \exp ( F ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) ) ] } \\ & { = \Big ( \partial _ { i } H ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) + H ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) \partial _ { i } F ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) \Big ) \cdot \exp ( F ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) ) , } \end{array}
\lbrace { \cal F } _ { i } , { \overline { { { Q } } } } _ { a } \rbrace ^ { \ast } = \frac { i } { 2 } { ( \sigma _ { i } ) } _ { a } ^ { c } { \overline { { { Q } } } } _ { c } , \quad \lbrace { \cal F } _ { i } , Q ^ { a } \rbrace ^ { \ast } = - \frac { i } { 2 } { ( \sigma _ { i } ) } _ { c } ^ { a } Q ^ { c } .
\operatorname* { m a x } _ { j } \frac { \Delta t } { \mu _ { - } \Delta x _ { j } } \sigma \left( u _ { j } ^ { \ast , \ast } , u _ { j } ^ { n , - } \right) \leq 1 , \qquad \operatorname* { m a x } _ { j } \frac { \Delta t } { \mu _ { + } \Delta x _ { j } } \sigma \left( u _ { j } ^ { n , + } , u _ { j } ^ { \ast , \ast } \right) \leq 1
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } } & { = \overline { { F _ { 0 } } } = \frac { 3 } { 5 } \mathbf { B } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } \right) - \frac { \sqrt { 3 } i } { 5 } \mathbf { B } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } \right) , } \\ { E _ { 1 } } & { = \overline { { F _ { 1 } } } = \frac { 1 } { 4 } \int _ { e ^ { \frac { \pi i } { 3 } } } ^ { \infty e ^ { \frac { \pi i } { 3 } } } \frac { B ( \xi ) } { \left( s ^ { 3 } + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( s - A ( \xi ) ) } d s . } \end{array}
B = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { S } & { { } = \operatorname* { m a x } \bigg ( \bigg | \frac { R m L } { 2 } \bigg | , \, \bigg | R L - \frac { R m L } { 2 } - \frac { R ( L - m L ) ^ { 2 } } { 2 m L } \bigg | , \, \bigg | \frac { ( L - m L ) ^ { 2 } R } { 2 m L } \bigg | \bigg ) } \\ { S } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \big | \frac { ( L - m L ) ^ { 2 } R } { 2 m L } \big | , } & { 0 < m < 1 - \frac { \sqrt { 1 2 } } { 6 } } \\ { \big | R L - \frac { R m L } { 2 } - \frac { R ( L - m L ) ^ { 2 } } { 2 m L } \big | , } & { 1 - \frac { \sqrt { 1 2 } } { 6 } \leq m \leq \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
s ( t ) \stackrel { , } { = } 3 ^ { \frac { 1 - \gamma } { 2 } } \gamma ^ { - \gamma } t ^ { \gamma } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O ( t ^ { - ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \gamma \ne \frac { 1 } { 2 ( n + 4 ) } , } \\ { \big ( 1 + O ( t ^ { - \frac 1 2 } \log t ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \gamma = \frac { 1 } { 2 ( n + 4 ) } . } \end{array} \right.
{ \cal L } _ { w e a k } ^ { ( 2 ) } = \frac { 2 } { m _ { N } ^ { 2 } } \overline { { { N } } } ( \tilde { a } _ { 0 } + \tilde { a } _ { 1 } \tau _ { 3 } ) S _ { \mu } N \, \partial _ { \nu } F ^ { \mu \nu } + \ldots ,
\begin{array} { r l r l r l } { y } & { { } = } & { { \frac { R } { 2 } } \ln \left[ { \frac { 1 + \sin \varphi } { 1 - \sin \varphi } } \right] } & { { } = } & { { R } \ln \left[ { \frac { 1 + \sin \varphi } { \cos \varphi } } \right] } & { { } = R \ln \left( \sec \varphi + \tan \varphi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( \Lambda ) } & { = \int _ { \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } } \Lambda \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } \Lambda } \sqrt { ( \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \Lambda ) ( \Lambda - \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ) } d \Lambda } \\ & { = \int _ { \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } } \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { ( \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \Lambda ) ( \Lambda - \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ) } d \Lambda } \end{array}
e ^ { i \xi ( \hat { a } \hat { b } + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { b } ^ { \dagger } ) } \hat { a } e ^ { - i \xi ( \hat { a } \hat { b } + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { b } ^ { \dagger } ) } = \cosh \xi \cdot \hat { a } - i \sinh \xi \cdot \hat { b } ^ { \dagger } ,
\frac { \partial _ { r } \tilde { \cal S } ( \Phi , \Psi ) } { \partial \Psi _ { A } } = 0 \quad \Rightarrow \quad \Psi ^ { A } = \left( \frac { \partial _ { r } I } { \Phi _ { B } } ( \Phi + \Psi ) \right) { \cal O } _ { B } { } ^ { A } ,
{ \begin{array} { r l r l } & { { \underset { \mathbf { x } } { \operatorname { m i n i m i z e } } } } & & { f ( \mathbf { x } ) } \\ & { \operatorname { s u b j e c t \ t o } } & & { g _ { i } ( \mathbf { x } ) \leq 0 , \quad i = 1 , \dots , m } \\ & { } & & { h _ { i } ( \mathbf { x } ) = 0 , \quad i = 1 , \dots , p , } \end{array} }
\hat { f } _ { i j k } ( \boldsymbol { \mathbf { x } } , t ) = ( \Delta v ) ^ { 3 } f ( \boldsymbol { \mathbf { x } } , \boldsymbol { \mathbf { v } } _ { i j k } , t ) , \: i , j , k = 1 , \ldots , N _ { v } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { \Sigma } = \left( \begin{array} { c c c } { \Sigma _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Sigma _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Sigma _ { 3 } } \end{array} \right) = \Sigma _ { 1 } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + \Sigma _ { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + \Sigma _ { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \Sigma _ { 1 } \mathbf { I } _ { 1 } + \Sigma _ { 2 } \mathbf { I } _ { 2 } + \Sigma _ { 3 } \mathbf { I } _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { L } ( \omega ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \partial _ { \omega } \epsilon _ { \omega , R } } \int _ { \omega - \omega _ { M } } ^ { \omega - \omega _ { L } } d \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) \left( I _ { \omega } - \omega _ { s } \partial _ { \omega } I _ { \omega } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Xi _ { \varepsilon } : = \left\{ \xi \in \mathbb { Z } ^ { d } , \; \varepsilon \left( \xi + Y \right) \subset \Omega \right\} , } \\ { \widehat { \Omega } _ { \varepsilon } : = \mathrm { i n t } \left\{ \bigcup _ { \xi \in \Xi _ { \varepsilon } } \varepsilon \left( \xi + \overline { { Y } } \right) \right\} , } \\ { \Lambda _ { \varepsilon } : = \Omega \backslash \widehat { \Omega } _ { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { S , I } ^ { X } ( T ) } & { = \langle \eta _ { 0 } ^ { X } , f _ { T , 0 } ^ { S , I } \rangle - \int _ { 0 } ^ { T } \left( \lambda _ { X } \langle \eta _ { T } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } f _ { T , t } ^ { S , I } \rangle + \Lambda _ { X } ( t ) \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } f _ { T , t } ^ { S , I } \rangle \right) d t } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { \left\{ I \geq 1 \right\} } \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \gamma ( T - t ) } \left( \lambda _ { X } \langle \eta _ { T } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } f _ { T , t } ^ { S + 1 , I - 1 } \rangle + \Lambda _ { X } ( t ) \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } f _ { T , t } ^ { S + 1 , I - 1 } \rangle \right) d t } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { \left\{ S + I < n _ { \operatorname* { m a x } } \right\} } \int _ { 0 } ^ { T } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \gamma ( T - t ) } ) \left( \lambda _ { X } \langle \eta _ { T } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } f _ { T , t } ^ { S + 1 , I } \rangle + \Lambda _ { X } ( t ) \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } f _ { T , t } ^ { S + 1 , I } \rangle \right) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \kappa _ { D } R \gg 1 } \psi ( 0 ) = } & { \frac { \epsilon _ { w } \sigma _ { 1 } R \left( R + w \right) 2 ( \kappa _ { D } R ) ( \kappa _ { D } w ) e ^ { - \kappa _ { D } R } } { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { w } \{ ( \epsilon _ { p } - \epsilon _ { w } ) \kappa _ { D } w ^ { 2 } + \epsilon _ { p } \kappa _ { D } R ^ { 2 } \} } . } \end{array}
\rho ^ { \otimes n } \rightarrow \Pi _ { \Gamma } \rho ^ { \otimes n } \Pi _ { \Gamma } , ~ ~ \Pi _ { \Gamma } = \sum _ { ( \mathbf { k } , \mathbf { l } ) \in \Gamma } \left\vert \mathbf { k } , \mathbf { l } \right\rangle \left\langle \mathbf { k } , \mathbf { l } \right\vert ,
\tilde { \tau } _ { c } = 2 / \gamma _ { K P Z } ( \tilde { \mu } , 2 , 1 + \alpha ^ { 2 } , L / l ^ { * } ) \propto \frac { \alpha ^ { 3 / 2 } } { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \sqrt { { L } } .
\zeta _ { P } ( E _ { F } ) = \sqrt { \frac { M } { 2 E _ { F } } } \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \bar { \psi } _ { P } \! \left( { \bf p } + \frac { 2 \epsilon _ { q } } { E _ { F } + m _ { P } } { \bf \Delta } \right) \psi _ { B } ( { \bf p } ) ,
\begin{array} { r l r } { \psi _ { z ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i k \gamma \left( 1 - \frac { \beta } { n _ { 0 } } \right) z ^ { \prime } - i \omega \gamma \left( 1 - \beta n _ { 0 } \right) t ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \alpha } _ { 1 } \left( K \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , \varphi \right) } & { = A \varphi ^ { 2 } \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , } \\ { \hat { \alpha } _ { 2 } \left( K \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , \varphi \right) } & { = A \varphi \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , } \\ { \hat { \alpha } _ { 4 } \left( K \exp \left( - \frac { g } { C } y \right) , \varphi \right) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } } & { = \alpha , } \\ { f _ { n } ( x ) } & { = - \frac { 1 } { n } \log \tilde { Z } ^ { n } ( v , x , \beta ) , } \\ { f ( x ) } & { = \Lambda _ { 1 } ( v , x , \beta ) , } \\ { g _ { n } } & { = \tilde { \mu } _ { v , \alpha , \beta } ^ { n } ( \overline { { V _ { n } } } ( v , \gamma ) ) , } \\ { h ( x ) } & { = 0 , } \end{array}
\phi _ { \operatorname* { m a x } } \approx \tan \phi _ { \operatorname* { m a x } } \approx \sin \phi _ { \operatorname* { m a x } } \approx 2 \sqrt { 2 } \sqrt { \cosh r - \cosh \xi } \, e ^ { \xi / 2 } e ^ { - R } , \; \; \; \xi = R - x ,
\begin{array} { r l r } { B _ { L } ^ { ( n ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( n ) } \Big ] _ { L } + \frac { ( - \beta ) } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \Big ] - B _ { L } ^ { ( i ) } B _ { L } ^ { ( n - i ) } \right) } \\ & { } & { + \frac { ( - \beta ) ^ { 2 } } { 3 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - i - 1 } \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( j ) } E _ { N } ^ { ( n - i - j ) } \Big ] - B _ { L } ^ { ( i ) } B _ { L } ^ { ( j ) } B _ { L } ^ { ( n - i - j ) } \right) } \\ & { } & { + \cdots + \frac { ( - \beta ) ^ { n - 1 } } { n ! } \left\{ \Big [ ( E _ { N } ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } \Big ] - \left( B _ { L } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { n } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { v } _ { m } ( t _ { * } ) \leq \lambda x _ { m - 1 - g } ^ { 2 } ( t _ { * } ) - x _ { m } ( t _ { * } ) } & { = \lambda x _ { m - 1 - g } ^ { 2 } ( t _ { * } ) - z _ { m } ^ { * } } \\ & { = \lambda ( x _ { m - 1 - g } ^ { 2 } ( t _ { * } ) - ( z _ { m - 1 - g } ^ { * } ) ^ { 2 } ) } \\ & { \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle \cos \left( 3 \psi _ { 3 } + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) } & { = \displaystyle \cos \left( 3 \psi + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } - \Delta \psi \right) } \end{array}
[ J _ { i } ( x ) , J _ { j } ( y ) ] = i \epsilon _ { i j } \{ - 2 ( q _ { 1 } + q _ { 2 } ) ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ( \beta + 2 \gamma ) ^ { 2 } + [ - \kappa ( 3 \beta + 2 \gamma ) + ( q _ { 1 } + q _ { 2 } ) ( \beta + 2 \gamma ) ^ { 2 } ] : A \cdot \tilde { E } :
\begin{array} { r l } & { D _ { f _ { \alpha _ { D } , \alpha _ { G } } } ( Q | | P ) } \\ & { = \int _ { \mathcal { X } } p ( x ) f _ { \alpha _ { D } , \alpha _ { G } } \left( \frac { q ( x ) } { p ( x ) } \right) d x } \\ & { = \frac { \alpha _ { G } } { \alpha _ { G } - 1 } \times } \\ & { \left( \int _ { \mathcal { X } } p ( x ) \left( \frac { ( p ( x ) / q ( x ) ) ^ { - { \alpha _ { D } \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha _ { G } } \right) } - 1 } + 1 } { ( ( p ( x ) / q ( x ) ) ^ { - \alpha _ { D } } + 1 ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha _ { G } } } } \right) d x - 2 ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { G } } } \right) } \\ & { = \frac { \alpha _ { G } } { \alpha _ { G } - 1 } \times } \\ & { \left( \int _ { \mathcal { X } } p ( x ) \left( \frac { q ( x ) / p ( x ) + ( p ( x ) / q ( x ) ) ^ { \alpha _ { D } \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha _ { G } } \right) } } { ( 1 + ( p ( x ) / q ( x ) ) ^ { \alpha _ { D } } ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha _ { G } } } } \right) d x - 2 ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { G } } } \right) } \\ & { = \frac { \alpha _ { G } } { \alpha _ { G } - 1 } \times } \\ & { \left( \int _ { \mathcal { X } } q ( x ) \left( \frac { 1 + ( p ( x ) / q ( x ) ) ^ { \alpha _ { D } \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha _ { G } } \right) } } { ( 1 + ( p ( x ) / q ( x ) ) ^ { \alpha _ { D } } ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha _ { G } } } } \right) d x - 2 ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { G } } } \right) } \\ & { = D _ { f _ { \alpha _ { D } , \alpha _ { G } } } ( P | | Q ) . } \end{array}
\operatorname* { d e t } A = { \textstyle \bigwedge } ^ { n } A ^ { n } , \operatorname { T r } ( A ) = { \textstyle \bigwedge } ^ { n } A ^ { 1 } , \operatorname { a d j } A = ( { \textstyle \bigwedge } ^ { n - 1 } A ^ { n - 1 } ) ^ { \mathrm { T } }
\begin{array} { r l r } { i \int d x \; e ^ { i q x } \langle \Omega | T \; j _ { \mu } ( x ) j _ { \nu } ( 0 ) | \Omega \rangle } & { { } = } & { \Pi ( q ^ { 2 } ) ( q _ { \nu } - q ^ { 2 } g _ { \mu \nu } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \log ( d _ { \mathrm { m i n } } ( \eta ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } \log ( \eta ) + \mathcal { O } ( \eta ) , } & { \quad \: \: \eta \ll 1 , } \\ { - \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } \log ( 1 \! - \! \eta ) + \mathcal { O } ( 1 \! - \! \eta ) , } & { \, 1 \! - \! \eta \ll 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { g _ { n } ( x ) } { x } P _ { 2 n } \left( \frac { t } { x } \right) , } \\ { S _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( x , t ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { s _ { n } ( x ) } { x } P _ { 2 n + 1 } \left( \frac { t } { x } \right) , } \end{array}
e ^ { 2 A } b \left( - \dot { b } \dot { \phi } - b \ddot { \phi } - 2 \dot { A } b \dot { \phi } \right) + 4 A ^ { \prime } \phi ^ { \prime } - \frac { b ^ { \prime } \phi ^ { \prime } } { b } + \phi ^ { \prime \prime } = b ^ { 2 } \frac { \partial U } { \partial \phi } \; .
\begin{array} { r } { C _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { 6 \ell ^ { 3 } ( 1 + T ) } { \kappa _ { 0 } } \times \operatorname* { m a x } \left( \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \rho _ { 0 } } , \frac { 4 \bar { C } r _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 + 5 \tilde { C } ) C ^ { \ast } C _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 r _ { 0 } ^ { 2 } } , \left[ \mu _ { 1 } ^ { 2 } + ( 1 + 5 \tilde { C } ) \bar { C } \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \right] \frac { C ^ { \ast } ( C _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) } { 3 r _ { 0 } \kappa _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L _ { x } = \operatorname { R e } \left\{ D \left( - y I _ { 1 1 } I _ { 1 2 } ^ { * } - i z I _ { 1 2 } ^ { * } I _ { 1 0 } \sin \phi \right) \right\} . } \\ & { L _ { y } = \operatorname { R e } \left\{ D \left( x I _ { 1 1 } I _ { 1 2 } ^ { * } + i z I _ { 1 2 } ^ { * } I _ { 1 0 } \cos \phi \right) \right\} . } \\ & { L _ { z } = \operatorname { R e } \left\{ D \left( i x I _ { 1 2 } ^ { * } I _ { 1 0 } \sin \phi - i y I _ { 1 2 } ^ { * } I _ { 1 0 } \cos \phi \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr G _ { r e g } ( t ) } & { : = \kappa \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , b \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } - \kappa ^ { 3 } \langle \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a ^ { ( s ) } , b ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } ( e ^ { - \gamma \psi } c ) ^ { \times } , d \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } - \kappa ^ { 2 } \langle \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } c ^ { ( s ) } , d ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \end{array}
J _ { o r b } = \sum \varepsilon _ { i j } R _ { p } ^ { i } \frac { \partial L _ { e f f } ^ { ( 1 ) } } { \partial \dot { R } _ { p } ^ { j } } = - 4 \pi \kappa \sum _ { p } R _ { p } ^ { i } \varepsilon _ { i j } a _ { j } ( \vec { R } _ { p } ) \; \; .
\begin{array} { r l } & { \int _ { Q _ { \rho } ^ { * } } | T _ { a } ^ { \varphi } \mathfrak { a } ( x ) | ^ { p } \, \mathrm { d } x \leq | Q _ { \rho } ^ { * } | ^ { 1 - \frac p 2 } \Big ( { \int _ { Q _ { \rho } ^ { * } } | T _ { a } ^ { \varphi } \mathfrak { a } ( x ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \Big ) ^ { \frac p 2 } \lesssim 2 ^ { - k _ { Q } \rho ( n - \kappa ) ( 1 - \frac p 2 ) } \Vert T _ { a } ^ { \varphi } \mathfrak { a } \Vert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { p } } \\ & { \lesssim 2 ^ { - k _ { Q } \rho ( n - \kappa ) ( 1 - \frac p 2 ) } \| \mathfrak { a } \| _ { h ^ { 2 n / ( n - 2 m ^ { \prime } ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { p } = \| \mathfrak b \| _ { h ^ { 2 n / ( n - 2 m ^ { \prime } ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { p } \lesssim 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ K _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \omega ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ K _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
{ \bf X } ( x _ { 1 } , \vartheta , \varphi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \bf X } ( x _ { 1 } , \theta , \varphi ) , } & { \vartheta \in [ 0 , \pi ] } \\ { ( - 1 ) ^ { a } { \bf X } ( x _ { 1 } , \pi - \theta , \pi + \varphi ) , } & { \vartheta \in [ \pi , 2 \pi ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { F _ { \ell } ^ { i } } & { = \Phi ^ { y } ( { \boldsymbol X } _ { \ell } ^ { i } ) , } \\ { K _ { \ell } ^ { i } } & { = \beta _ { \ell } \Phi ^ { y } ( { \boldsymbol X } _ { \ell } ^ { i } ) + \Phi _ { 0 } ( { \boldsymbol X } _ { \ell } ^ { i } ) - \log \lambda ( X _ { \ell } ^ { i } ) + \log f _ { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } ( X _ { \ell } ^ { i } ) } \end{array}