harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \textbf { u } _ { i , j , k } = \lbrack u _ { i , j - 1 , k } ^ { t } , ~ u _ { i , j , k } ^ { t } , ~ u _ { i , j + 1 , k } ^ { t } , ~ u _ { i , j , k - 1 } ^ { t } , ~ u _ { i , j , k + 1 } ^ { t } \rbrack } \\ & { \textbf { v } _ { i , j , k } = \lbrack v _ { i - 1 , j , k } ^ { t } , ~ v _ { i , j , k } ^ { t } , ~ v _ { i + 1 , j , k } ^ { t } , ~ v _ { i , j , k - 1 } ^ { t } , ~ v _ { i , j , k + 1 } ^ { t } \rbrack } \\ & { \textbf { w } _ { i , j , k } = \lbrack w _ { i - 1 , j , k } ^ { t } , ~ w _ { i , j , k } ^ { t } , ~ w _ { i + 1 , j , k } ^ { t } , ~ w _ { i , j - 1 , k } ^ { t } , ~ w _ { i , j + 1 , k } ^ { t } \rbrack } \\ & { \textbf { s } _ { i , j , k } = \textbf { u } _ { i , j , k } \cup \textbf { v } _ { i , j , k } \cup \textbf { w } _ { i , j , k } } \end{array}
\tilde { U } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n ] = \int d ^ { 3 } r \, n ( { \bf r } ) \epsilon _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X } } ^ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ f ~ } } [ n ] ( { \bf r } ) \bigg [ \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } + r _ { s } \frac { \partial \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } } { \partial r _ { s } } \bigg ] \, .
\begin{array} { r l } { \delta _ { \epsilon _ { \bf k } } ^ { \mathrm { ~ E ~ P ~ } } } & { { } = \pm 2 \sqrt { \gamma _ { \bf k } ^ { C } \gamma _ { \bf k } ^ { X } } , ~ ~ \delta _ { \gamma _ { \bf k } } ^ { \mathrm { ~ E ~ P ~ } } = \mp 2 g _ { R } . } \end{array}
\alpha ^ { T } \| c \| \alpha = \sum \alpha _ { i } ^ { 2 } + 2 \! \begin{array} { c } { { { } } } \\ { { { \sum \sum } } } \\ { { { } _ { j < l } } } \end{array} \alpha _ { j } \alpha _ { l } c _ { j l } \Rightarrow \sum \lambda _ { i } \beta _ { i } ^ { 2 } .
d s ^ { 2 } = e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } \Phi } \left( e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } \xi - 5 \eta } d \rho ^ { 2 } + e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \xi } d x _ { | | } ^ { 2 } + e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } - \eta } d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } \right) ,
\mathcal E _ { \mathrm { \scriptsize ~ p c a } } ( \overline { { \boldsymbol X } } ) = \boldsymbol z : = \left[ \begin{array} { l } { \langle \overline { { \boldsymbol X } } , \boldsymbol v _ { 1 } \rangle , \cdots , \langle \overline { { \boldsymbol X } } , \boldsymbol v _ { 1 0 } \rangle } \end{array} \right] \mathrm { ~ a n d ~ } \mathcal D _ { \mathrm { \scriptsize ~ p c a } } ( \boldsymbol z ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 1 0 } \boldsymbol z _ { i } \boldsymbol v _ { i }
\sigma v \left( N _ { R } N _ { R } \to \ell ^ { + } \ell ^ { - } \right) _ { v \sim 0 } \approx 3 \times 1 0 ^ { - 2 5 } \; \left( \frac { g _ { \ell } ^ { 4 } m _ { \ell } ^ { 2 } } { \sum _ { \ell } g _ { \ell } ^ { 4 } m _ { N } ^ { 2 } } \right) \ \mathrm { c m } ^ { 3 } \; \mathrm { s } ^ { - 1 } = 1 0 ^ { - 2 5 } \; \left( \frac { m _ { \ell } ^ { 2 } } { m _ { N } ^ { 2 } } \right) \ \mathrm { c m } ^ { 3 } \; \mathrm { s } ^ { - 1 } \; ( \mathrm { f l a v o r \ u n i v e r s a l } ) .
{ \bf Q } _ { v 0 } = \left. \frac { \partial { \bf Q } _ { 2 } } { \partial t _ { 0 } } \right| _ { 0 } = { \bf C } _ { 0 } \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \bf P } _ { v 0 } = \left. \frac { \partial { \bf P } _ { 2 } } { \partial t _ { 0 } } \right| _ { 0 } = - { \bf Y } _ { 0 } \, .
[ \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { j } \gets \frac { 1 } { 1 - [ \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { j } } \left[ \mathbf { f } _ { p } ^ { \mathrm { o u t } } \left( \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right) _ { j } - [ \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { j } [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { j } \right]
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = - f ^ { - 1 } d t ^ { 2 } + f ( d x ^ { 1 1 } - \frac { f - 1 } { f } d t ) ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 9 } ^ { 2 } ~ ,
x _ { a } = \frac { E _ { T } } { \sqrt { s } } ( e ^ { y } \ + \ e ^ { y ^ { \prime } } ) \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ x _ { b } = \frac { E _ { T } } { \sqrt { s } } ( e ^ { - y } \ + \ e ^ { - y ^ { \prime } } ) .
{ \boldsymbol \Theta } ^ { ( 1 ) } \equiv ( { \boldsymbol \theta } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , { \boldsymbol \theta } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , \cdots , { \boldsymbol \theta } _ { M } ^ { ( 1 ) } ) \in \mathbb { R } ^ { K \times M }
{ \sqrt [ [object Object] ] { - { \frac { q } { 2 } } + { \sqrt { { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { p ^ { 3 } } { 2 7 } } } } } } + { \sqrt [ [object Object] ] { - { \frac { q } { 2 } } - { \sqrt { { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { p ^ { 3 } } { 2 7 } } } } } } .
\frac { d \sigma } { d \theta } = \frac { 1 } { 2 \pi k } \left\{ \frac { \cos ^ { 4 } \frac { \theta } { 2 } } { \sin ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } } + \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } - 2 \delta \right) \right\} \, .
E _ { \varepsilon } ( \Omega , X ) < 4 \pi + 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } - \frac { 8 \pi \varepsilon ^ { 3 } } { 2 - 2 \varepsilon } < 4 \pi + 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } - 4 \pi \varepsilon ^ { 3 } .
\begin{array} { r c l } { \Delta C _ { i , t } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \beta _ { i , t } \frac { S _ { i , t - 1 } } { N _ { i } } I _ { i , t - 1 } ) } \\ { \Delta R c _ { i , t } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \gamma _ { i , t } I _ { i , t - 1 } ) } \\ { \Delta D _ { i , t } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \nu _ { i , t } I _ { i , t - 1 } ) } \\ { \Delta I _ { i , t } } & { = } & { \Delta C _ { i , t } - \Delta R c _ { i , t } - \Delta D _ { i , t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( t ) = } & { { } \frac { 1 } { 1 6 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \Phi \delta \bigg ( t - \frac { R } { v _ { 0 } } | \cos ( \Phi - \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } - \frac { \pi } { 2 } ) | \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { t } ^ { ( 0 ) } + \frac { 1 } { \bar { r } } T _ { \theta } ^ { ( 2 ) } v ^ { ( 0 ) } + \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \sigma ^ { ( 0 ) } } T _ { s } ^ { ( 1 ) } + u ^ { ( 1 ) } T _ { \bar { r } } ^ { ( 1 ) } + \frac { v ^ { ( 1 ) } } { \bar { r } } T _ { \theta } ^ { ( 1 ) } } \\ { + u ^ { ( 2 ) } T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } - \bar { r } \frac { \partial \hat { \mathbf { r } } } { \partial t } \cdot \hat { \mathbf { r } } T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } = \frac { \bar { \nu } } { \bar { r } \bar { \mu } } \left( \bar { r } T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \vec { z } } _ { k } ^ { a } } & { { } = \hat { \vec { z } } _ { k } ^ { f } + K _ { k } ( \vec { y } _ { k } - H _ { y } \hat { \vec { z } } _ { k } ^ { f } ) } \\ { P _ { k } ^ { a } } & { { } = ( I - K _ { k } H _ { y } ) P _ { k } ^ { f } } \end{array}
\hat { Y } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( \omega ) = \underbrace { - \frac { \big ( g N \sin \theta \sqrt { \kappa } / 2 \big ) } { \big ( i \omega - \lambda _ { + } \big ) \big ( i \omega - \lambda _ { - } \big ) } } _ { R ( \omega ) } \hat { \Delta } ( \omega ) + \underbrace { \frac { \big ( i \omega + \lambda _ { + } \big ) \big ( i \omega + \lambda _ { - } \big ) } { \big ( i \omega - \lambda _ { + } \big ) \big ( i \omega - \lambda _ { - } \big ) } \delta \hat { Y } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \omega ) } _ { \hat { N } ( \omega ) } ,
\begin{array} { r l } { U _ { D } ( \mathbf { r } ) = } & { - \frac { \pi c ^ { 2 } } { 2 } \frac { \Gamma _ { D _ { 1 } } } { \omega _ { D _ { 1 } } ^ { 3 } } ( \frac { 1 } { \omega _ { D _ { 1 } } - \omega } + \frac { 1 } { \omega _ { D _ { 1 } } + \omega } ) I ( \mathbf { r } ) } \\ & { - \pi c ^ { 2 } \frac { \Gamma _ { D _ { 2 } } } { \omega _ { D _ { 2 } } ^ { 3 } } ( \frac { 1 } { \omega _ { D _ { 2 } } - \omega } + \frac { 1 } { \omega _ { D _ { 2 } } + \omega } ) I ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( f ) } & { = \int _ { G ( f ) } f ^ { \prime } ( x ) \; \mathrm { d } x + \int _ { D ( f ) } - f ^ { \prime } ( x ) \; \mathrm { d } x } \\ & { = \sum _ { k \in \Xi } \int _ { I _ { k } } f ^ { \prime } ( x ) \; \mathrm { d } x + \sum _ { l \in \Theta } \int _ { J _ { l } } - f ^ { \prime } ( x ) \; \mathrm { d } x } \\ & { = \sum _ { k \in \Xi } \int _ { \mathbb { R } } \Big | \pi _ { 0 } \big [ ( f | _ { I _ { k } } ) ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t + \sum _ { l \in \Theta } \int _ { \mathbb { R } } \Big | \pi _ { 0 } \big [ ( f | _ { J _ { l } } ) ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \Big | \pi _ { 0 } \big [ ( f | _ { G ( f ) } ) ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t + \int _ { \mathbb { R } } \Big | \pi _ { 0 } \big [ ( f | _ { D ( f ) } ) ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \Big | \pi _ { 0 } \big [ ( f | _ { G ( f ) \cup D ( f ) } ) ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t . } \end{array}
\int _ { t _ { \mathrm { n o w } } } ^ { t _ { \mathrm { n o w } } + \lambda _ { \mathrm { n o w } } / c } { \frac { d t } { a } } \; = \int _ { t _ { \mathrm { t h e n } } } ^ { t _ { \mathrm { t h e n } } + \lambda _ { \mathrm { t h e n } } / c } { \frac { d t } { a } } \, .
d _ { \rho } F ^ { n n _ { 0 } } - d _ { \rho ^ { \prime } } F ^ { n n _ { 0 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } d _ { F ^ { n _ { 0 } ( k + 1 ) } ( \rho ^ { \prime } ) } F ^ { n _ { 0 } ( n - k - 1 ) } \circ \left( d _ { F ^ { n _ { 0 } k } ( \rho ) } F ^ { n _ { 0 } } - d _ { F ^ { n _ { 0 } k } ( \rho ^ { \prime } ) } F ^ { n _ { 0 } } \right) \circ d _ { \rho } F ^ { n _ { 0 } k }
\begin{array} { r l r } { y _ { n } ( \tau ) } & { { } \sim } & { - \frac { ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) } { 2 \pi i } \int _ { \gamma - i \infty } ^ { \gamma + i \infty } \frac { e ^ { s \tau } } { s ^ { 2 n + 1 } } d s } \end{array}
\begin{array} { r } { \Theta _ { \mathrm { e f f } } \simeq \frac { \overline { E } _ { \mathrm { e s c } } } { 4 \overline { E } _ { \mathrm { p h } } f _ { \mathrm { K N } } \tau _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } } . } \end{array}
J _ { i } = \frac { p _ { i } + p _ { i + 1 } } { 2 } \sin ( \theta _ { i } - \theta _ { i + 1 } ) + \epsilon _ { a } \frac { p _ { i } - p _ { i + 1 } } { 2 } \sin ( \theta _ { i } + \theta _ { i + 1 } ) \, .
\begin{array} { r l } & { S _ { p - 1 , p , p } ( \Xi ^ { \prime } , \Xi , \Xi ) \mathrm { ~ a n d ~ } S _ { p - 1 , p - 2 , p - 2 } ( \Xi ^ { \prime } , \Xi ^ { \prime \prime } , \Xi ^ { \prime \prime } ) , } \\ & { S _ { p , p - 1 , p } ( \Xi , \Xi ^ { \prime } , \Xi ) \mathrm { ~ a n d ~ } S _ { p - 2 , p - 1 , p - 2 } ( \Xi ^ { \prime \prime } , \Xi ^ { \prime } , \Xi ^ { \prime \prime } ) , } \\ & { S _ { p , p , p - 1 } ( \Xi , \Xi , \Xi ^ { \prime } ) \mathrm { ~ a n d ~ } S _ { p - 2 , p - 2 , p - 1 } ( \Xi ^ { \prime \prime } , \Xi ^ { \prime \prime } , \Xi ^ { \prime } ) . } \end{array}
\mathbf { a } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \tilde { B } ( z ) \frac { R } { n } \left( \frac { r } { R } \right) ^ { n } \cos \left( n \alpha \right) \mathbf { e } _ { z } , } & { \ r < R } \\ { - \tilde { B } ( z ) \frac { R } { n } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { n } \cos \left( n \alpha \right) \mathbf { e } _ { z } , } & { \ r > R } \end{array} \right. .
- Q ^ { 2 } \Pi _ { L R } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { f _ { 0 } ^ { 2 } M _ { V } ^ { 2 } M _ { A } ^ { 2 } } { ( Q ^ { 2 } + M _ { V } ^ { 2 } ) ( Q ^ { 2 } + M _ { A } ^ { 2 } ) } \ ,
d s _ { \mathrm { 5 D } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } } r ^ { { \frac { 2 } { 3 } } \left( k ^ { 2 } - 3 \right) } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \, h _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } ,
\frac { \widehat { D } u ^ { \prime } { } ^ { i } } { D T } = \frac { \partial u ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial T } + \langle U \rangle ^ { j } \frac { \partial u ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial X ^ { j } } + \epsilon ^ { j i k } \Omega _ { 0 } ^ { k } u ^ { \prime } { } ^ { j }
\begin{array} { r l } { G _ { 0 } ( \mathbf { X } ^ { \prime } , \mathbf { X } ) } & { \equiv \langle \mathbf { X } ^ { \prime } | e ^ { - T \delta \tau } | \mathbf { X } \rangle } \\ & { = \Big [ \sqrt { \frac { m } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } \delta \tau } } \Big ] ^ { 3 N } \exp \Big [ - \frac { ( \vec { R } ^ { \prime } - \vec { R } ) ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } \ \delta \tau / m } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } ( \beta , k , \sigma , \alpha , \tilde { \alpha } ; \hbar ) = } & { \sum _ { ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \tilde { x } } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { 2 k - 4 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \delta ( x _ { \sigma _ { i } } - \tilde { x } _ { \sigma _ { i } } ) } { \rho } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathcal { I } _ { 3 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k , s _ { k + \beta + 1 } ; \alpha , \boldsymbol { x } , \hbar ) \varphi ( x ) \overline { { \mathcal { I } _ { 3 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k , s _ { k + \beta + 1 } ; \tilde { \alpha } , \boldsymbol { \tilde { x } } , \hbar ) \varphi ( x ) } } \, d x d s _ { k + \beta + 1 } . } \end{array}
\int d \Gamma \rho _ { 0 } \left( \Gamma \right) f \left( \Gamma \right) \delta \left( A \left( \Gamma \right) - a \right) = \int d \Gamma \rho _ { 0 } \left( \Gamma \right) F \left( A \left( \Gamma \right) \right) \delta \left( A \left( \Gamma \right) - a \right) = F \left( a \right) \int d \Gamma \rho _ { 0 } \left( \Gamma \right) \delta \left( A \left( \Gamma \right) - a \right) .
\vert \chi _ { J } \rangle = O ( 1 ) \vert Q \bar { Q } \lbrack { } ^ { 3 } P _ { J } ^ { ( 1 ) } \rbrack \rangle + O ( v ) \vert Q \bar { Q } \lbrack { } ^ { 3 } S _ { 1 } ^ { ( 8 ) } \rbrack g \rangle + \ldots
\begin{array} { r l } { \theta ^ { k \to i } ( t + 1 ) } & { { } = \theta ^ { k \to i } ( t ) - \beta ^ { k i } \phi ^ { k \to i } ( t ) } \\ { P _ { S } ^ { k \to i } ( t + 1 ) } & { { } = P _ { S } ^ { k } ( 0 ) \prod _ { t ^ { \prime } = 0 } ^ { t } ( 1 - \nu ^ { k } ( t ^ { \prime } ) ) \prod _ { j \in \partial k / i } \theta ^ { j \to k } ( t + 1 ) } \\ { \phi ^ { k \to i } ( t + 1 ) } & { { } = ( 1 - \beta ^ { k i } ) ( 1 - \gamma ^ { k } ) \phi ^ { k \to i } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( \bar { x } _ { T } ) - f ( x ^ { * } ) \leq } \\ & { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 : T } } \left( R ^ { w } ( T ) - \frac { \alpha _ { t } } { 2 L } \| \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) \| _ { * } ^ { 2 } - \frac { \alpha _ { 1 : t - 1 } } { 2 L } \| \nabla f ( \bar { x } _ { t - 1 } ) - \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) \| _ { * } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { \lambda } ( y , e _ { i } ) } & { = \ \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } \biggl ( \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { \lambda } , u _ { 2 } ^ { \lambda } ) \biggr ) = \ \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } \biggl ( \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { \lambda } , u _ { 2 } ^ { \lambda } ) \biggr ) } \\ & { = \ \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } \biggl ( \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } E ^ { y , e _ { i } } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } f ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) ) d t + g ( Y ^ { u _ { 1 } , u _ { 2 } } ( T ) , \alpha ( T ) ) } \\ & { \qquad + \lambda M ( Y ^ { u _ { 1 } , u _ { 2 } } ( T ) , \alpha ( T ) ) \biggr ] \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } ( v ) } & { { } = \sigma _ { b } ^ { 2 } + \beta _ { 1 } v + \beta _ { 2 } v ^ { 2 } , } \\ { v } & { { } = \frac { x + \alpha ( y - \gamma ) } { \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { \lambda _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \dots \partial _ { \lambda _ { n } } ^ { k _ { n } } I _ { \vec { X } } ( \vec { \lambda } ) = \int P _ { \vec { Y } } ( d \vec { y } ) \, \partial _ { \delta _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \dots \partial _ { \delta _ { n } } ^ { k _ { n } } I ( \vec { X } ; \vec { Y } ^ { \prime } | \vec { Y } = \vec { y } ) | _ { \vec { \delta } = \vec { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { S } ^ { x } ( x , t ) = - \frac { \left( \Omega ^ { 2 } + c _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) } { \Omega g } f ( x , t ) , } \\ & { } & { \mathcal { S } ^ { z } = - \frac { 2 D } { g ^ { 2 } \Omega } \left( \Omega ^ { 2 } + c _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) , \; \mathcal { S } ^ { y } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { 3 / 4 } = } & { { } \frac { 1 } { 1 2 0 } [ 5 \delta _ { 1 / 4 } ^ { 3 } - 4 \delta _ { 1 / 4 } ^ { 2 } \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } } \\ { \delta _ { 3 / 4 } ^ { \prime } = } & { { } \frac { 1 } { 1 2 0 } [ 5 ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) ^ { 3 } - 4 ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \delta _ { 1 / 4 } } \end{array}
\dot { H } ( v , \Sigma ) = - \int _ { \Gamma } E ( \frac { \delta H } { \delta \Sigma } ) \wedge \ast \boldsymbol { n } ( v ) = \int _ { \Gamma } E ( \frac { \delta H } { \delta \Sigma } ) \wedge ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { t r } ( \frac { \delta H } { \delta v } ) .
\psi ( x _ { \bot } ) = \frac { 1 } { 2 ( k _ { \| } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \; e ^ { ( k _ { \| } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( L + x _ { \bot } ) } , \qquad x _ { \bot } \in [ - L , a ]
G ^ { ( 2 ) } ( X _ { t } ) \approx { \overline { { { X } } } _ { t } ^ { - 1 } } \times \left\{ { \frac { 4 4 } { 6 7 5 } } + { \frac { 2 } { 1 3 5 } } \log \overline { { { X } } } _ { t } - \sqrt { \overline { { { X } } } _ { t } ^ { - 1 } } \left[ 0 . 0 0 1 2 2 6 + 0 . 0 0 1 1 2 9 \log \overline { { { X } } } _ { t } \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { i \Pi _ { 3 } ^ { \mu \nu } ( p ) } & { = \frac { 2 e ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { [ ( p - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] } \biggl \{ ( p - k ) ^ { \nu } k ^ { \mu } ( 2 k \cdot k - p \cdot k ) + k ^ { \nu } k ^ { \mu } [ 2 k \cdot ( p - k ) - p \cdot ( p - k ) ] + } \\ & { + 4 ( p \cdot k - k \cdot k + m ^ { 2 } ) [ ( p - k ) ^ { \nu } k ^ { \mu } + k ^ { \nu } ( p - k ) ^ { \mu } + \bigl ( ( p - k ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } \bigr ) g ^ { \mu \nu } ] - 4 ( p - k ) ^ { \nu } p ^ { \mu } k \cdot k - k ^ { \nu } p ^ { \mu } ( p - k ) \cdot k + } \\ & { + 4 [ ( p - k ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } ] \cdot [ 2 k ^ { \mu } k ^ { \nu } - p ^ { \mu } k ^ { \nu } - p ^ { \mu } k ^ { \nu } ] \biggr \} , } \end{array}
\gamma _ { c , k } = \frac { \left| \mathbf { h } _ { k } ^ { H } \mathbf { w } _ { \mathrm { 0 } } \right| ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { K } \left| \mathbf { h } _ { k } ^ { H } \mathbf { w } _ { i } \right| ^ { 2 } + \left\| \mathbf { f } _ { k } ^ { H } \boldsymbol { \Psi } \right\| ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + \sigma _ { k } ^ { 2 } } , \forall k \in \mathcal { K } ,
\mathbf { U } _ { \mathrm { n e w } } \leftarrow \texttt { s c a t t e r } _ { c } \left( \mathbf { W } ^ { \top } \mathcal { D } \mathbf { M } _ { : , c } - \mathbf { U } ^ { \top } \mathbf { D } \mathbf { L } ^ { \top } \mathbf { W } ^ { \top } \mathbf { M } _ { : , c } \right)
{ B _ { G } ( \beta ) } ^ { \dagger } = \int \theta ( \vec { k } , \beta ) { { b ^ { a } } _ { i } ( \vec { k } ) } ^ { \dagger } { { { \underline { { b } } } ^ { a } } _ { i } ( - \vec { k } ) } ^ { \dagger } d \vec { k } .
\left\{ \begin{array} { l c l } { { G _ { ( 2 n + 1 ) } ^ { \pm } } } & { { = } } & { { d C _ { ( 2 n ) } ^ { \pm } - H C _ { ( 2 n - 2 ) } ^ { \pm } + F ^ { ( 2 ) } C _ { ( 2 n - 1 ) } ^ { \pm } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { G _ { ( 2 n ) } ^ { \pm } } } & { { = } } & { { d C _ { ( 2 n - 1 ) } ^ { \pm } - H C _ { ( 2 n - 3 ) } ^ { \pm } + F ^ { ( 1 ) } C _ { ( 2 n - 2 ) } ^ { \pm } \, . } } \end{array} \right.
u ( x , y ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } U ( k _ { x } , k _ { y } ) e ^ { i ( k _ { x } x + k _ { y } y ) } d k _ { x } d k _ { y }
\beta = \mathrm { a r g \, m i n } _ { \tilde { \beta } \, \in \, \mathbb { R } ^ { d _ { Z } } } \, \mathbb { E } [ ( \tau ( X ) - \tilde { \beta } ^ { \prime } \widetilde { Z } ( X ) ) ^ { 2 } ] \mathrm { , ~ s o ~ } \mathbb { E } [ Z ( \tau ( X ) - Z ^ { \prime } \beta ) ] = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \beta = \mathbb { E } [ Z \, Z ^ { \prime } ] ^ { - 1 } \mathbb { E } [ Z \, \tau ( X ) ] ,
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { L J } } ^ { \mathrm { g e n } } ( r ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \epsilon \left[ \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 9 6 } - 2 \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 4 8 } + c \right] } & { r < r _ { \mathrm { c } } } \\ { 0 } & { r \ge r _ { \mathrm { c } } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { { } = \int D \big [ x \hat { x } f \hat { f } \big ] \exp \left\{ i \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \int d t \Big [ \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) \big ( \partial _ { t } + 1 \big ) x _ { k } ( t , \tau ) + i \sigma ^ { 2 } \hat { x } _ { k } ^ { 2 } ( t , \tau ) - \mathrm { t a n h } \big ( f _ { k } ( t , \tau ) \big ) \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) + \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) \big ( f _ { k } ( t , \tau ) - z _ { k } ( t , \tau ) \big ) \Big ] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbf { r } _ { 1 , 2 } = \left( \pm \frac { a _ { 0 } } { a _ { x x } } , 0 \right) , } \\ & { } & { \mathbf { r } _ { 3 , 4 } = \left( - \frac { b _ { y } } { b _ { x y } } , \pm \sqrt { \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } b _ { x y } ^ { 2 } - a _ { x x } ^ { 2 } b _ { y } ^ { 2 } } { a _ { y y } ^ { 2 } b _ { x y } ^ { 2 } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = \ } & { \sigma \int _ { - \frac { Q } { \sigma } } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } - \frac { ( Q ^ { \prime } - \sigma u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } d u } \\ { = \ } & { \sigma \int _ { - \frac { Q } { \sigma } } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } u ^ { 2 } + \frac { Q ^ { \prime } \sigma } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } u - \frac { Q ^ { \prime 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } d u } \\ { = \ } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \pi } \sigma \sigma _ { 0 } \frac { 1 } { \sqrt { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } \ e ^ { - \frac { ( x - Q _ { 0 } - Q ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) } } \mathrm { e r f c } \left( \frac { Q _ { 0 } \sigma ^ { 2 } - Q \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - x \sigma ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } \sigma \sqrt { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 q } { T } } & { = \frac { \beta _ { \lambda } ^ { \prime } ( \rho ) - \frac { 1 } { \rho } \cos \beta _ { \lambda } ( \rho ) \sin \beta _ { \lambda } ( \rho ) } { \beta _ { \lambda } ^ { \prime } ( \rho ) + \frac { 1 } { \rho } \cos \beta _ { \lambda } ( \rho ) \sin \beta _ { \lambda } ( \rho ) } , } \\ { \frac { T } { T _ { 0 } } } & { = \lambda \frac { \beta _ { \lambda } ^ { \prime } ( \rho ) + \frac { 1 } { \rho } \cos \beta ( \rho ) \sin \beta ( \rho ) } { \sqrt { k _ { 2 4 } - 1 } } , } \end{array}
( \Phi ^ { 2 } ) _ { D } ^ { C } \bar { H } ^ { D , m } H _ { C , m } = \Phi _ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } } ^ { A B C } \Phi _ { A B D } ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } } \bar { H } ^ { D , m } H _ { C , m }
\begin{array} { r } { D _ { S , j } \frac { \partial } { \partial t _ { 0 } } \bigg ( c ^ { 2 } ( t _ { 0 } , t ) \frac { \partial S _ { j } } { \partial r } ( c ( t _ { 0 } , t ) , t ) \bigg ) = - c ^ { 2 } ( t _ { 0 } , t ) r _ { S , j } ( { { \bf X } ( c ( t _ { 0 } , t ) , t ) } , { { \bf S } } ( c ( t _ { 0 } , t ) , t ) ) \frac { \partial } { \partial t _ { 0 } } c ( t _ { 0 } , t ) . } \end{array}
S _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } ^ { B _ { 1 } B _ { 2 } } ( \theta _ { 1 2 } ) = \delta _ { A _ { 1 } } ^ { B _ { 1 } } \delta _ { A _ { 2 } } ^ { B _ { 2 } } S _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } ( \theta _ { 1 2 } ) ,