harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | | R ^ { * } ( T ^ { * } T ) ^ { N + 1 } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } } & { \leq | | R ^ { * } ( T ^ { * } T ) ^ { \frac { N } { 2 } } | | _ { 2 \rightarrow 2 } | | ( T ^ { * } T ) ^ { \frac { N } { 2 } + 1 } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } } \\ & { = | | ( T ^ { * } T ) ^ { \frac { N } { 2 } } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } | | ( T ^ { * } T ) ^ { \frac { N } { 2 } + 1 } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } } \\ & { = \left( | | R ^ { * } ( T ^ { * } T ) ^ { N } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } | | R ^ { * } ( T ^ { * } T ) ^ { N + 2 } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt 2 ( \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) I _ { 0 } ^ { * } ( k , \varepsilon , r ) } & { = - k _ { 1 } - k _ { 2 } + 2 \sqrt 2 ( \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) \varepsilon ^ { - 1 } + \sqrt 2 ( \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) S _ { 0 } ( k , \varepsilon , r ) , } \\ { \sqrt 2 ( \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) I _ { 1 } ^ { * } ( k , \varepsilon , r ) } & { = - \alpha _ { 0 } k _ { 1 } - \beta _ { 0 } k _ { 2 } + 2 \sqrt 2 ( \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) r \varepsilon ^ { - 1 } + \sqrt 2 ( \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) S _ { 1 } ( k , \varepsilon , r ) , } \end{array}
C _ { i , j ; k , l } = - \frac { E ^ { \prime } } { 8 \pi } \left[ \frac { \sqrt { ( x _ { i } - x ) ^ { 2 } + ( y _ { j } - y ) ^ { 2 } } } { ( x _ { i } - x ) ( y _ { j } - y ) } \right] _ { x = x _ { k } - \Delta x / 2 , ~ y = y _ { l } - \Delta y / 2 } ^ { x = x _ { k } + \Delta x / 2 , ~ y = y _ { l } + \Delta y / 2 } ,
{ \frac { | F _ { \pi } ^ { ( t i m e l i k e ) } ( - Q ^ { 2 } ) | } { F _ { \pi } ^ { ( s p a c e l i k e ) } ( Q ^ { 2 } ) } } = { \frac { | \alpha _ { V } ( - Q ^ { * 2 } ) | } { \alpha _ { V } ( Q ^ { * 2 } ) } } .
\sum _ { p _ { i } ^ { r _ { i } } \neq 3 , 4 } ( \sum _ { \alpha \in g } w _ { p _ { i } ^ { r _ { i } } } ( \alpha ) ) p _ { i } ^ { r _ { i } } + \sum _ { \alpha \in g } ( 3 w _ { 3 } ( \alpha ) + 4 w _ { 4 } ( \alpha ) ) \ge \sum _ { p _ { i } ^ { r _ { i } } \neq 3 , 4 } b ( p _ { i } ^ { r _ { i } } ) p _ { i } ^ { r _ { i } } + 3 b ( 3 ) + 4 b ( 4 ) - 1 = \sum _ { i = 1 } ^ { k } b ( p _ { i } ^ { r _ { i } } ) p _ { i } ^ { r _ { i } } - 1
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } _ { d b } } & { { } = \left( \left( \epsilon _ { 2 } E _ { 2 , \xi } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon | E _ { 2 } | ^ { 2 } \right) - \left( \epsilon _ { 1 } E _ { 1 , \xi } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon | E _ { 1 } | ^ { 2 } \right) \right) \mathbf { e } _ { \xi } } \end{array}
\partial _ { m } \hat { X } ^ { \underline { { { m } } } } ( \xi ) \partial _ { n } \hat { X } _ { \underline { { { n } } } } ( \xi ) = { \frac { 1 } { 2 } } g _ { m n } ( \xi ) g ^ { p q } ( \xi ) \partial _ { p } \hat { X } ^ { \underline { { { m } } } } ( \xi ) \partial _ { q } \hat { X } _ { \underline { { { n } } } } ( \xi ) .
X _ { i } \sim \mathcal { N } ( f _ { \mathrm { k e p } } ^ { x } ( \theta , t _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) , \, \, Y _ { i } \sim \mathcal { N } ( f _ { \mathrm { k e p } } ^ { y } ( \theta , t _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) , \, \, V _ { 1 i } \sim \mathcal { N } ( f _ { \mathrm { k e p } } ^ { v _ { 1 } } ( \theta , \bar { t } _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) , \, \, V _ { 2 i } \sim \mathcal { N } ( f _ { \mathrm { k e p } } ^ { v _ { 2 } } ( \theta , \tilde { t } _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { 3 D } } & { { } = \nabla \times \textbf { v } = \omega _ { x } i + \omega _ { y } j + \omega _ { z } k = \left| \begin{array} { l l l } { i } & { j } & { k } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } & { \frac { \partial } { \partial y } } & { \frac { \partial } { \partial z } } \\ { u } & { v } & { w } \end{array} \right| } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { \mathrm { S } } ( \lambda ) } & { = } & { A \lambda ^ { - 4 } + B \: , } \\ { \alpha _ { \mathrm { U V } } ( \lambda ) } & { = } & { K _ { \mathrm { U V } } e ^ { C _ { \mathrm { U V } } / \lambda } \: , } \\ { \alpha _ { \mathrm { I R } } ( \lambda ) } & { = } & { K _ { \mathrm { I R } } e ^ { - C _ { \mathrm { I R } } / \lambda } \: , } \\ { \alpha _ { 1 3 } ( \lambda ) } & { = } & { A _ { 1 } \left( \frac { A _ { \mathrm { a } } } { A _ { 1 } } e ^ { \frac { - ( \lambda - \lambda _ { \mathrm { a } } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { A _ { 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } A _ { i } e ^ { \frac { - ( \lambda - \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } } } \: \right) , } \\ { \alpha _ { 1 2 } ( \lambda ) } & { = } & { A _ { 1 } \left( \frac { 1 } { A _ { 1 } } \sum _ { i = 4 } ^ { 5 } A _ { i } e ^ { \frac { - ( \lambda - \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } } } \: \right) \: , } \\ { \alpha _ { \mathrm { P O H } } ( \lambda ) } & { = } & { A _ { \mathrm { P O H } } e ^ { \frac { - ( \lambda - \lambda _ { \mathrm { P O H } } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { P O H } } ^ { 2 } } } \: , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d z } { z } } z ^ { \omega } \Theta \left( { \frac { Q _ { t } ^ { 2 } } { Q _ { t } ^ { \prime 2 } } } - z \right) = { \frac { 1 } { \omega } } \left[ \Theta ( Q _ { t } ^ { 2 } - Q _ { t } ^ { \prime 2 } ) + \left( { \frac { Q _ { t } ^ { 2 } } { Q _ { t } ^ { \prime 2 } } } \right) ^ { \omega } \Theta ( Q _ { t } ^ { \prime 2 } - Q _ { t } ^ { 2 } ) \right] .
p _ { k } ^ { a b } = \left( c \frac { n _ { k } ^ { b } k } { \sum _ { j } ( n _ { j } ^ { a } j + n _ { j } ^ { b } j ) } + ( 1 - c ) \frac { n _ { k } ^ { b } } { \sum _ { j } ( n _ { j } ^ { a } + n _ { j } ^ { b } ) } \right) s _ { a b }
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \lambda ( Y ^ { k } / k ! ) \Omega ^ { k } t ^ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \lambda ( Y ^ { k } / k ! ) \Omega ^ { k } \sum _ { j = k } ^ { \infty } d _ { j } ^ { ( k ) } Z ^ { j } = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { j } \frac { 1 } { k ! } d _ { j } ^ { ( k ) } \Omega ^ { k } \lambda ( Y ^ { k } ) \right) Z ^ { j } .
\phi _ { ( 2 , 1 ; 1 , 1 ) } \otimes \phi _ { ( p , q ; r , s ) } = \phi _ { ( p + 1 , q ; r , s ) } \oplus \phi _ { ( p , q - 1 ; r , s ) } \oplus \phi _ { ( p - 1 , q + 1 ; r , s ) }
\frac { 1 } { \tau _ { \mu } } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { \mu } ^ { 5 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } \left( 1 - 8 \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { m _ { \mu } ^ { 2 } } \right) ( 1 + \Delta q ) \, ,
g _ { x } ^ { y } \, g _ { D ( x ) } ^ { D ( y ) } \, g _ { D ^ { 2 } ( x ) } ^ { D ^ { 2 } ( y ) } \, . . . \, g _ { D ^ { m - 1 } ( x ) } ^ { D ^ { m - 1 } ( y ) } ( T _ { i } ^ { k } ) \; = \; T _ { \sigma _ { x } \, \sigma _ { D ( x ) } \, \sigma _ { D ^ { 2 } ( x ) } \, . . . \, \sigma _ { D ^ { m - 1 } ( x ) } ( i ) } ^ { \sigma _ { y } \, \sigma _ { D ( y ) } \, \sigma _ { D ^ { 2 } ( y ) } \, . . . \, \sigma _ { D ^ { m - 1 } ( y ) } ( k ) } \; = \; T _ { i } ^ { k }
\left( Y ^ { \mu } \right) ( \tau , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } ) = \left( \begin{array} { c } { { \tau } } \\ { { Y ^ { 1 } ( \tau , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } ) } } \\ { { Y ^ { 2 } ( \tau , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } ) } } \\ { { Y ^ { 3 } ( \tau , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } ) } } \end{array} \right) ,
I ( d , a , c ) = { \frac { 1 } { 2 ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - d ^ { 2 } ) } } \ln \left[ { \frac { c ^ { 2 } } { ( d + a ) ^ { 2 } } } \right] + { \frac { a } { ( c ^ { 2 } - d ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - d ^ { 2 } ) } } \arctan \left[ \frac { ( c ^ { 2 } - d ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } { d } \right] .
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = \Lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( - d t ^ { 2 } + d \rho ^ { 2 } + d y _ { i } d y ^ { i } ) + \Lambda ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \rho ^ { 2 } d \widetilde { \phi } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \left( a ( x ) \frac { \mathrm { d } \chi } { \mathrm { d } x } \right) = \frac { \mathrm { d } a ( x ) } { \mathrm { d } x } \, . } \end{array}
h a v e r i g h t - h a n d p o l a r i z a t i o n ( n o t s h o w n h e r e ) a n d c o r r e s p o n d t o p a r a l l e l a n d a n t i - p a r a l l e l w h i s t l e r w a v e s e x p e c t e d b a s e d o n l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s ( F i g u r e ) . P a n e l s ( b ) a n d ( c ) s h o w t h a t o v e r t h e c o m p u t a t i o n t i m e p a r a l l e l a n d a n t i - p a r a l l e l w h i s t l e r w a v e s r e a c h p e a k a m p l i t u d e s o f a b o u t
\left\{ \begin{array} { r c l } { { F _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { - | Q _ { f } | \vphantom { \displaystyle | Q _ { f } | { \frac { \strut c _ { w } } { s _ { w } } } } } } \\ { { F _ { \gamma } ^ { ( 2 ) } } } & { { = } } & { { 0 \vphantom { \displaystyle | Q _ { f } | { \frac { \strut c _ { w } } { s _ { w } } } } } } \\ { { F _ { \gamma } ^ { ( 3 ) } } } & { { = } } & { { - Q _ { f } \vphantom { \displaystyle \frac { \strut m _ { f } ^ { 2 } } { c _ { w } s _ { w } } } } } \\ { { F _ { \gamma } ^ { ( 4 ) } } } & { { = } } & { { 0 \vphantom { \displaystyle \frac { \strut m _ { f } ^ { 2 } I _ { 3 } } { c _ { w } s _ { w } } } } } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { r c l } { { F _ { Z } ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { \displaystyle | Q _ { f } | { \frac { \strut c _ { w } } { s _ { w } } } + \frac { 1 - 2 | Q _ { f } | } { 2 c _ { w } s _ { w } } } } \\ { { F _ { Z } ^ { ( 2 ) } } } & { { = } } & { { \displaystyle | Q _ { f } | { \frac { \strut c _ { w } } { s _ { w } } } } } \\ { { F _ { Z } ^ { ( 3 ) } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \strut m _ { f } ^ { 2 } } { c _ { w } s _ { w } } } } \\ { { F _ { Z } ^ { ( 4 ) } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \strut m _ { f } ^ { 2 } I _ { 3 } } { c _ { w } s _ { w } } } } \end{array} \right.
I = \frac { 8 \beta \pi ^ { 2 } ( 5 m \ell ^ { 2 } - 3 5 N ^ { 4 } r _ { + } ^ { 3 } - 5 r _ { + } ^ { 7 } + 3 5 N ^ { 6 } r _ { + } + 2 1 N ^ { 2 } r _ { + } ^ { 5 } ) } { 5 \ell ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { x } & { { } = \frac { 2 \xi } { \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } + 1 } = \frac { 2 \hat { \xi } } { \hat { \xi } ^ { 2 } + \hat { \eta } ^ { 2 } + 1 } } \\ { y } & { { } = \frac { 2 \eta } { \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } + 1 } = \frac { 2 \hat { \eta } } { \hat { \xi } ^ { 2 } + \hat { \eta } ^ { 2 } + 1 } } \\ { z } & { { } = \frac { \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } - 1 } { \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } + 1 } = \frac { 1 - \hat { \xi } ^ { 2 } - \hat { \eta } ^ { 2 } } { \hat { \xi } ^ { 2 } + \hat { \eta } ^ { 2 } + 1 } . } \end{array}
\frac { 1 } { T _ { A B } } \approx \frac { 4 \gamma ^ { 2 } r _ { v c } ^ { 4 } } { 1 7 5 D } ( | \vec { \nabla } B _ { x } | ^ { 2 } + | \vec { \nabla } B _ { y } | ^ { 2 } + | \vec { \nabla } B _ { z } | ^ { 2 } ) ,
V _ { \vec { g } } ( x ) = \exp 2 i \sum _ { r } g _ { r } \int d ^ { 2 } y \left[ \frac { 1 } { e } \epsilon _ { i j } { \frac { ( x - y ) _ { j } } { ( x - y ) ^ { 2 } } } \mathrm { T r } \hat { \phi } _ { r } ( y ) E _ { i } ( y ) + \Theta ( x - y ) J _ { 0 } ^ { r } ( y ) \right]
\left\langle \left( W _ { ( 0 ) } ( x _ { \mu } ) - W _ { ( 0 ) } ( x _ { \mu } ^ { ' } ) \right) \prod _ { i = 1 } ^ { k } W _ { ( 0 ) } ( x _ { k } ) \right\rangle = \left\langle \left\{ Q _ { W } , \int _ { x _ { \mu } } ^ { x _ { \mu } ^ { ' } } \partial _ { \mu } W _ { ( 0 ) } d x ^ { \mu } \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { k } W _ { ( 0 ) } ( x _ { k } ) \right\} \right\rangle = 0 ,
C _ { a , C a \left( 2 \right) } : = \frac { a _ { a , C a ^ { 2 + } } } { \gamma _ { a , C a ^ { 2 + } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , C a H C O _ { 3 } ^ { + } } } { \gamma _ { a , C a H C O _ { 3 } ^ { + } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , C a O H ^ { + } } } { \gamma _ { a , C a O H ^ { + } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , C a C O _ { 3 } } } { \gamma _ { a , C a C O _ { 3 } } \left( \mu \right) } + \beta _ { C a } / 2 .
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { \mathrm { e l } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { e l } } } & { { } = \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } - i \sum _ { u , \alpha } e \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { { \bf R } _ { u } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( s ) d s \Bigg ] \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } - i \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } e \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) \Bigg [ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d { \bf r } \Phi _ { u , \alpha } ( { \bf r } ) ( { \bf r } - { \bf R } _ { u } ) \Phi _ { u , \alpha ^ { \prime } } ( { \bf r } ) \Bigg ] \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } } \end{array}
\Phi ( d , x ) = \frac { C ^ { - 3 } ( d ) } { ( 2 \pi ) ^ { 3 ( d - 2 ) } } \int \frac { d ^ { d } k _ { 1 } \ d ^ { d } k _ { 2 } \ d ^ { d } k _ { 3 } } { k _ { 1 } ^ { 2 } ( k _ { 2 } ^ { 2 } + 1 ) ( k _ { 3 } ^ { 2 } + 1 ) [ ( p - k _ { 1 } - k _ { 2 } - k _ { 3 } ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } ] } \ , \quad ( p ^ { 2 } = - x ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { Q _ { n , \mu \nu } = } & { \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } | \psi _ { n } \rangle \langle \psi _ { n } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } \rangle } \\ { \Omega _ { n , \mu \nu } = } & { i \Big ( \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } \rangle - \langle \partial _ { \nu } \psi _ { n } | \partial _ { \mu } \psi _ { n } \rangle \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f ( x ) - f ( y ) | } & { \leq \sum _ { j \in \mathbb { Z } } r ^ { j \epsilon } | \phi ^ { j } ( x ) - \phi ^ { j } ( y ) | } \\ & { \leq ( n + 1 ) \sum _ { j \leq j _ { 0 } } r ^ { j \epsilon } + 2 ( n + 1 ) \sum _ { j > j _ { 0 } } r ^ { j \epsilon } r ^ { - j } d ( x , y ) } \\ & { \lesssim _ { r , n } r ^ { j _ { 0 } \epsilon } + r ^ { j _ { 0 } ( \epsilon - 1 ) } d ( x , y ) } \\ & { \lesssim _ { r , n } r ^ { j _ { 0 } \epsilon } + r ^ { j _ { 0 } \epsilon } } \\ & { \lesssim _ { r , n } d ( x , y ) ^ { \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { T } _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { ( X Y Z ) } } \right) _ { i l n r , j k m p q s } } & { { } = \sum _ { y } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( \langle y | ) _ { k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { l m } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { n p } \, ( \langle y | ) _ { q } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { r s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \eta ^ { - } ( l - 1 ) \left( a _ { 1 } + \frac { a _ { 3 } } { 2 l + 1 } \right) + \frac { 2 \eta ^ { + } } { 2 l + 1 } ( 1 - B _ { l } ) c _ { 3 } } & { { } = - T _ { a } ^ { 1 } } \\ { 2 \eta ^ { + } ( l + 2 ) \left( c _ { 1 } - \frac { c _ { 3 } } { 2 l + 1 } \right) + \frac { 2 \eta ^ { - } } { 2 l + 1 } ( 1 - A _ { l } ) a _ { 3 } } & { { } = - T _ { a } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n } } & { { } = { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } s ( x ) \cos ( n x ) \, d x = 0 , \quad n \geq 0 . } \\ { b _ { n } } & { { } = { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } s ( x ) \sin ( n x ) \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { u } _ { e } ^ { n + 1 } } & { { } = } & { ( 1 - \alpha _ { e } ) ( \bar { u } _ { e } ) ^ { H , n + 1 } + \alpha _ { e } ( \bar { u } _ { e } ) ^ { L , n + 1 } } \end{array}
I _ { 4 } = \frac { \mathrm { a n t i - s y m m e t r i c ~ n o n l i n e a r ~ t e r m ~ \# ~ 2 } } { \mathrm { l i n e a r ~ t r a n s i t ~ t i m e } } \simeq L \frac { 8 } { 2 1 } \frac { \omega _ { m - m ^ { \prime } } } { m \Omega _ { d } } \frac { r A _ { m - m ^ { \prime } } } { B _ { 0 } } \frac { \delta f _ { m ^ { \prime } } } { { \delta f _ { m } } } \frac { \partial } { \partial L } \log \delta f _ { m ^ { \prime } } \simeq 1 .
\begin{array} { r l } { { \bf { s } } \left( t \right) } & { = \underbrace { { \sqrt { { p _ { 0 } } } { { { \bf { w } } _ { 0 } } \left( t \right) } { s _ { 0 } } \left( t \right) } } _ { \mathrm { { C h a n n e l } } \; { \mathrm { e s t i m a t i o n } } } + \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \sqrt { { p _ { k } } } { { \bf { w } } _ { k } } ( t ) { s _ { k } } \left( t \right) } \; } _ { \mathrm { { T a r g e t } } \; { \mathrm { t r a c k i n g } } } , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \le t \le { M _ { 1 } } { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi ( p ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l n \biggl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \biggr ) \biggr ] \biggl [ \frac { 1 } { 4 } + \frac { 2 3 } { 2 } x - \frac { 2 3 } { 2 } x ^ { 2 } + x ^ { 3 } \biggr ] , } \\ { \theta ( p ^ { 2 } ) } & { = } & { \biggl ( 1 - \frac { 2 p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) ) e ^ { 2 } \Pi _ { L } ( p ^ { 2 } ) + \frac { e ^ { 2 } m ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Phi ( p ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) ^ { \prime } = } & { { } \beta S ( t ) \left( I ( t ) + \alpha Y ( t ) \right) - \gamma _ { 1 } I ( t ) + \alpha \nu \beta P ( t ) \left( I ( t ) + \alpha Y ( t ) \right) - \gamma _ { 2 } \alpha Y ( t ) } \\ { \leq } & { { } \left( I ( t ) + \alpha Y ( t ) \right) \left( \beta ( S ( t ) + \alpha \nu P ( t ) ) - \gamma _ { 1 } \right) } \\ { = } & { { } \beta \left( I ( t ) + \alpha Y ( t ) \right) \left( ( S ( t ) + \alpha \nu P ( t ) ) - \frac { 1 } { \mathcal { R } _ { 0 } } \right) . } \end{array}
D _ { i } [ z _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } . . . z _ { l } ^ { n _ { l } } ] = \Big ( \partial _ { i } + \left[ \theta ( N - M + 1 ) - \frac { 1 } { 2 } \right] d _ { i } ^ { ' } + 2 \theta ( M - 1 ) d _ { i } \Big ) [ z _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdots z _ { l } ^ { n _ { l } } ] + \sum _ { j \ne i } ( z _ { j } p _ { 1 } ^ { j } + z _ { j } p _ { 2 } ^ { j } ) ,
\begin{array} { r } { ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } = ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { - \frac { 1 } { \lambda _ { 3 } } ( - \lambda _ { 3 } t ) } \sim e ^ { - \lambda _ { 3 } t } \le e ^ { - \lambda _ { 3 } \underline { { t } } _ { 1 } } = o _ { n } ( 1 ) . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } f \left( { \hat { \mathbf { k } } } \cdot \mathbf { x } - c _ { 0 } t \right) = { \frac { 1 } { { c _ { 0 } } ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } f \left( { \hat { \mathbf { k } } } \cdot \mathbf { x } - c _ { 0 } t \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \alpha } { l _ { x } } = \left( 2 j \frac { \omega \eta } { \Lambda } \sin ^ { 2 } \left( k h \right) - j \frac { \eta \omega } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { H _ { 1 } ^ { \left( 2 \right) } \left( n k \Lambda \right) } { n \Lambda } \right. } \\ { \quad \left. { } + j \frac { \eta c } { 2 \Lambda } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \beta _ { m } e ^ { - 2 j \beta _ { m } h } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { N _ { \zeta } } ( u ) = } & { 6 { e ^ { - 3 i u } } { \left( { - 1 + { e ^ { i u } } } \right) ^ { 4 } } \left( { - 1 + 2 { e ^ { i u } } } \right) \times \frac { { { L ^ { 2 } } s _ { a } ^ { 2 } } } { { { u ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } } } \\ { + } & { \left[ { 6 \left( { 5 - 6 \cos \left[ u \right] + \cos \left[ { 2 u } \right] - 2 i \left( { - 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \sin \left[ u \right] } \right) } \right] \times \frac { { { u ^ { 2 } } s _ { x } ^ { 2 } } } { { { L ^ { 2 } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \mathrm { X } ^ { 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \dots , \mathrm { X } ^ { i - 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \mathrm { X } ^ { i + 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \dots , \mathrm { X } ^ { N ^ { \mathrm { X } } } ( \tau ^ { 1 } ) ) \, , } \\ & { ( \mathrm { Y } ^ { 1 } ( \tau ^ { 1 } ) , \dots , \mathrm { Y } ^ { N ^ { \mathrm { Y } } } ( \tau _ { - } ^ { 1 } ) , \mathrm { Y } ^ { N ^ { \mathrm { Y } } + 1 } ( \tau ^ { 1 } ) ) \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \alpha \leq \rho \leq \beta , } \\ { \rho \in C ( [ 0 , T ] ; H ^ { 2 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 3 } ) , } \\ { \rho _ { t } \in C ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ) , } \\ { u \in C ( [ 0 , T ] ; H ^ { 1 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 2 } ) , } \\ { u _ { t } \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ) , } \\ { \pi \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { M C C S } } ( { \bf d } _ { \cal A } ; { \bf q } ) = } & { \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } \sum _ { { \cal S } \in { \cal Q } ^ { s + 1 } } \! \! \operatorname* { m a x } _ { k \in { \cal S } } q _ { d _ { k } } ^ { s } ( 1 - q _ { d _ { k } } ) ^ { 2 - s } F _ { d _ { k } } } \\ { = } & { ( 1 - q _ { d _ { u _ { 1 } } } ) ^ { 2 } F _ { d _ { u _ { 1 } } } + ( 1 - q _ { d _ { u _ { 2 } } } ) ^ { 2 } F _ { d _ { u _ { 2 } } } } \\ { + \operatorname* { m a x } } & { \{ q _ { d _ { u _ { 1 } } } ( 1 - q _ { d _ { u _ { 1 } } } ) F _ { d _ { u _ { 1 } } } , q _ { d _ { u _ { 2 } } } ( 1 - q _ { d _ { u _ { 2 } } } ) F _ { d _ { u _ { 2 } } } \} . } \end{array}
\mathcal { P T } \left( \begin{array} { l } { u _ { i 1 } } \\ { u _ { i 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { - u _ { i 1 } ^ { * } } \\ { - u _ { i 2 } ^ { * } } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { l } { u _ { i 1 } } \\ { u _ { i 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } _ { t } = \mathcal { D } ( \boldsymbol { x } _ { 0 } , \boldsymbol { x } _ { T } , t ) = \sqrt { \alpha _ { t } } \boldsymbol { x } _ { 0 } + \sqrt { ( 1 - \alpha _ { t } ) } \boldsymbol { x } _ { T } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { l _ { k } ( \vec { x } ) = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \vec { x } \in \partial \Omega _ { k } , } \\ { l _ { k } ( \vec { x } ) = 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \vec { x } \in \partial \Omega _ { k _ { o } } , } \\ { 0 < l _ { k } ( \vec { x } ) < 1 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\textbf { r } _ { i } ( t + \delta t ) - \textbf { r } _ { i } ( t ) = \textbf { r } _ { i } ( t ) - \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) + \frac { \delta t ^ { 2 } } { m _ { i } } \textbf { f } _ { i } ( t )
r _ { a } ( \alpha ) = \frac { ( P _ { a a } + \alpha P _ { a b } ) \rho - ( n _ { a } ^ { 2 } + 2 \alpha n _ { a } ( 1 - n _ { a } ) ) \rho } { \sqrt { \rho ( 1 - \rho ) } \sqrt { ( n _ { a } ^ { 2 } + 2 \alpha n _ { a } ( 1 - n _ { a } ) ) ( 1 - n _ { a } ^ { 2 } - 2 \alpha n _ { a } ( 1 - n _ { a } ) ) } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \bigg [ \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } Q _ { s v } \, d v \bigg ) \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } Q _ { t u } \, d u \bigg ) ^ { T } \bigg ] = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { u } \mathbb { E } \big [ Q _ { s v } Q _ { t u } ^ { T } \big ] \, d v \, d u = \frac { t ^ { a ( \beta + 1 ) - \beta } s ^ { a ( \beta + 1 ) - \beta } } { ( 1 + a ( \beta + 1 ) - \beta ) ^ { 2 } } \mathbb { E } \big [ L _ { \beta } L _ { \beta } ^ { T } \big ] } \\ & { = \frac { t ^ { a ( \beta + 1 ) - \beta } s ^ { a ( \beta + 1 ) - \beta } } { ( 1 + a ( \beta + 1 ) - \beta ) ^ { 2 } } \bigg ( \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } \frac { \Gamma ( 2 ( a - 1 ) ( \beta + 1 ) + 1 ) } { \Gamma ( ( 2 a - 1 ) ( \beta + 1 ) + 1 ) ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { d } I _ { d } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l c r } { E _ { s 1 } ( \rho ) = A _ { s } J _ { 0 } ( k _ { 0 } \rho ) } & { \mathrm { ~ } } & { 0 < \rho \leq \rho _ { s } } \\ { E _ { s 2 } ( \rho ) = B _ { s } J _ { 0 } ( \sqrt { \epsilon _ { d } } k _ { 0 } \rho ) + C _ { s } N _ { 0 } ( \sqrt { \epsilon _ { d } } k _ { 0 } \rho ) } & { \mathrm { ~ } } & { \rho _ { s } < \rho \leq \rho _ { s } + t } \\ { E _ { s 3 } ( \rho ) = D _ { s } J _ { 0 } ( k _ { 0 } \rho ) + E _ { s } N _ { 0 } ( k _ { 0 } \rho ) } & { \mathrm { ~ } } & { \rho _ { s } + t < \rho \leq \rho _ { c } } \end{array} } \end{array}