harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { P _ { \textrm { r a d } , \omega _ { 1 } } = \mathbf { p } _ { \omega _ { 1 } } ^ { \dagger } \left[ \operatorname { I m } \mathbb { G } _ { \omega _ { 1 } } ( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { 0 } ) \right] \mathbf { p } _ { \omega _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { { } = } & { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \vec { x } } } \\ { { \vec { p } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { { \mathbf a } } } & { { { \mathbf b } } } \\ { { { \mathbf d } } } & { { { \mathbf c } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \vec { \alpha } } } \\ { { \vec { \beta } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { P ( \tau ) = } & { { } P _ { \mathrm { ~ d ~ c ~ } } + A \sum _ { k = 2 } ^ { N } { e ^ { - \frac { | \tau \pm k t _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ p ~ } } | } { T _ { 1 } } } } + A ( 1 - R ^ { 2 } ) e ^ { - \frac { | \tau + t _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ p ~ } } | } { T _ { 1 } } } + A ( 1 - T ^ { 2 } ) e ^ { - \frac { | \tau - t _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ p ~ } } | } { T _ { 1 } } } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { S } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { \kappa } } \int d ^ { 1 1 } x \sqrt { | g | } [ R ] } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - { \frac { T _ { K K 1 1 } } { 2 } } \int d ^ { 7 } \xi \sqrt { | \gamma | } \left[ k ^ { 4 / 7 } \gamma ^ { i j } \partial _ { i } X ^ { \mu } \partial _ { j } X ^ { \nu } \Pi _ { \mu \nu } - 5 \right] \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { t } ^ { ( 1 ) } + U _ { x } ^ { ( 1 ) } } & { = - ( N ^ { ( 0 ) } U ^ { ( 0 ) } ) _ { x } , } \\ { U _ { t } ^ { ( 1 ) } + B _ { x } ^ { ( 1 ) } } & { = - U ^ { ( 0 ) } U _ { x } ^ { ( 0 ) } - B ^ { ( 0 ) } B _ { x } ^ { ( 0 ) } - U _ { t } ^ { ( 0 ) } N ^ { ( 0 ) } , } \\ { B ^ { ( 1 ) } - N ^ { ( 1 ) } - B _ { x x } ^ { ( 1 ) } } & { = - 2 N ^ { ( 0 ) } B ^ { ( 0 ) } + 2 ( N ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } + N ^ { ( 0 ) } B _ { x x } ^ { ( 0 ) } - B _ { x } ^ { ( 0 ) } N _ { x } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\frac { 1 } { | \Omega | } \sum _ { z _ { 1 } , \ldots , z _ { N } \in \Omega } \sum _ { x \in \bigcap _ { i = 1 } ^ { N } \Omega _ { z _ { i } p _ { i } } } \sum _ { \theta \in \Omega _ { g } ( x | z _ { 1 } p _ { 1 } , \ldots , z _ { N } p _ { N } ) } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \overline { { { \phi _ { i } } } } \left( c _ { i } ^ { z _ { i } } , x ^ { z _ { i } } \right) } { | \Omega _ { p _ { i } } | } \prod _ { \xi \in \mathcal { O } ( x | \theta ) } \mathcal { D } _ { \xi } ( z _ { 1 } p _ { 1 } , \ldots , z _ { N } p _ { N } )
\begin{array} { r l } { ( \diamond _ { \mathrm { G } } ) } & { \leq \frac { e ^ { - \frac { n \epsilon ^ { 2 } } { 2 } } } { A _ { n } } \mathbb { P } [ S _ { 1 , n } \leq 1 ] \int _ { - \infty } ^ { - \epsilon } \sqrt { \frac { n } { 2 \pi } } e ^ { - \frac { n ( x + \epsilon ) ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 + n ( x + \epsilon ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { n + k - 2 } { 2 } } \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { e ^ { - \frac { n \epsilon ^ { 2 } } { 2 } } } { A _ { n } } \sqrt { \frac { n } { 2 \pi } } \mathbb { P } [ S _ { 1 , n } \leq 1 ] \int _ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { - \frac { n x ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 + n x ^ { 2 } ) ^ { \frac { n + k - 2 } { 2 } } \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { e ^ { - \frac { n \epsilon ^ { 2 } } { 2 } } } { A _ { n } } \sqrt { \frac { n } { 2 \pi } } \mathbb { P } [ S _ { 1 , n } \leq 1 ] \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { n x ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 + n x ^ { 2 } ) ^ { \frac { n + k - 2 } { 2 } } \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) } & { = } & { e ^ { - r t } \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi D t } } \exp \left( - \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D t } \right) + r e ^ { - r t } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \frac { [ r ( t - t ^ { \prime } ) ] ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } } \\ & { } & { \times \sum _ { m = 0 } ^ { n } \mathcal { C } _ { n , m } ^ { ( 2 ) } \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi D c ^ { 2 m } t ^ { \prime } } } \exp \left( - \frac { ( x - c ^ { n } x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D c ^ { 2 m } t ^ { \prime } } \right) . } \end{array}
{ \bar { A } } _ { e \mu } ^ { C P } = \frac { \large \{ { N [ \mu ^ { - } ] } / { N _ { o } [ e ^ { - } ] } \large \} _ { + } - \large \{ N [ \mu ^ { + } ] / N _ { o } [ e ^ { + } ] \large \} _ { - } } { \large \{ N [ \mu ^ { - } ] / N _ { o } [ e ^ { - } ] \large \} _ { + } + \large \{ N [ \mu ^ { + } ] / N _ { o } [ e ^ { + } ] \large \} _ { - } } \; ,
\begin{array} { r l r } { c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } + c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { = } & { t _ { + } , } \\ { \alpha c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } - \alpha c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { = } & { t _ { + } , } \\ { c _ { - } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } + c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { = } & { t _ { - } \mathrm { e } ^ { - 2 i \mathbf { K } \cdot \mathbf { r } _ { j } } , } \\ { - \beta c _ { - } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } + \beta c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { = } & { t _ { - } \mathrm { e } ^ { - 2 i \mathbf { K } \cdot \mathbf { r } _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { P q a _ { z } } { m } } & { = } & { P \tilde { \Omega } \frac { R } { n } \left( \frac { r } { R } \right) ^ { n } \cos \left( n \alpha \right) , } \\ { \frac { q ^ { 2 } a _ { z } ^ { 2 } } { 2 m } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } m \tilde { \Omega } ^ { 2 } \frac { R ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \left( \frac { r } { R } \right) ^ { 2 n } \left( 1 + \cos \left( 2 n \alpha \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( F ) } & { \le \mathbb { E } \biggl ( \frac { \Delta ( A ) } { | \partial A | } \biggr ) + 2 \mathbb { E } ( 1 _ { \{ | | A | - | V ^ { \circ } | / 2 | > | V ^ { \circ } | / 4 \} } \operatorname* { m a x } _ { e \in E } | J _ { e } | ) } \\ & { \le C \sqrt { p \log | E | } + 2 \sqrt { \mathbb { P } ( | | A | - | V ^ { \circ } | / 2 | > | V ^ { \circ } | / 4 ) \mathbb { E } ( \operatorname* { m a x } _ { e \in E } J _ { e } ^ { 2 } ) } } \\ & { \le C \sqrt { p \log | E | } + C \sqrt { p \mathbb { E } ( \operatorname* { m a x } _ { e \in E } J _ { e } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
{ \cal L } _ { \ast } = \omega \left( \frac 1 { \alpha ^ { \prime } } V ( X ) + g ^ { i j } \partial _ { i } X ^ { A } \partial _ { j } X ^ { B } G _ { A B } ( X ) + \omega ^ { i j } \partial _ { i } X ^ { A } \partial _ { j } X ^ { B } H _ { A B } ( X ) + D ( X ) R + O ( \alpha ^ { \prime } ) \right) .
p ( \boldsymbol { x } ) = \mathsf { P } ( \boldsymbol { x } ) \exp \left( - \boldsymbol { \lambda } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { x } \right) + \boldsymbol { \nabla } \mathrm { P } _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ v ~ } } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { x } + p ^ { \star } ( \boldsymbol { x } ) \, .
\rho \left( A \right) : = \frac { \mathrm { T r a c e } _ { \mathcal { F } _ { L } } \left( A \mathrm { e } ^ { - \left( \mathrm { k } _ { B } \mathrm { T } \right) ^ { - 1 } H _ { L } } \right) } { \mathrm { T r a c e } _ { \mathcal { F } _ { L } } \left( \mathrm { e } ^ { - \left( \mathrm { k } _ { B } \mathrm { T } \right) ^ { - 1 } H _ { L } } \right) } , \qquad A \in \mathcal { B } \left( \mathcal { F } _ { L } \right) ,
u = { \frac { 2 c _ { _ \mathrm { P } } ^ { 2 } v \cos \theta \pm c _ { _ \mathrm { P } } \sqrt { \big ( c _ { _ \mathrm { P } } ^ { 2 } - v ^ { 2 } \big ) \big ( 3 c _ { _ \mathrm { P } } ^ { 2 } - ( 1 + 2 \cos ^ { 2 } \theta ) v ^ { 2 } \big ) } } { 3 c _ { _ \mathrm { P } } ^ { 2 } - v ^ { 2 } } } + { \cal O } \{ \Theta ^ { 4 } \} \ .
{ \Gamma _ { t } ( k ) \; = \; { \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 4 8 \pi ^ { 2 } \alpha } } \; Z _ { t } ( k ) \; { \frac { \omega _ { t } ( k ) ^ { 2 } - k ^ { 2 } } { \omega _ { t } ( k ) } } \Bigg ( C _ { V } ^ { 2 } \; ( \omega _ { t } ( k ) ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) ^ { 2 } \; + \; C _ { A } ^ { 2 } \; \Pi _ { A } ( \omega _ { t } ( k ) , k ) ^ { 2 } \Bigg ) \; . }
e ^ { \mathsf { m } ( 1 + c ) } \| \partial _ { x } \psi \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { c } ) } \leq \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } \chi _ { c } \partial _ { x } \psi \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } \leq \frac { C } { \mathsf { m } } e ^ { \mathsf { m } ( 1 + c ) } \| \partial _ { x } \psi \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } ) } , \qquad c > 0 .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { B } - \boldsymbol { u } ^ { B } \| ] \ge } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } + \sum _ { i = N + 1 } ^ { N _ { t } } \right) \left| \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \lambda _ { m } ^ { j } \right| ^ { 2 } \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & \\ { \ge } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \sum _ { i = N + 1 } ^ { N _ { t } } ( 1 - \epsilon ) \frac { C _ { \lambda _ { m } } ^ { 2 i } } { | 1 - \lambda _ { m } | ^ { 2 } } \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { L e m m a ~ } ) } } \\ { \ge } & { \frac { \sqrt { 1 - \epsilon } } { | 1 - \lambda _ { m } | } \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( ( N _ { t } - N ) | \lambda _ { m } | ^ { N _ { t } - N + 1 } \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { A r i t h m e t i c ~ g e o m e t r i c ~ m e a n ~ i n e q u a l i t y } ) } } \\ { \ge } & { \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } \beta ( N _ { t } ) , } & { \quad { \scriptstyle ( N _ { t } - N \ge \frac { N _ { t } } { N + 1 } ) } } \end{array}
\alpha ( \lambda ) \simeq \alpha _ { \mathrm { S } } ( \lambda ) + \alpha _ { \mathrm { U V } } ( \lambda ) + \alpha _ { \mathrm { I R } } ( \lambda ) + \alpha _ { 1 3 } ( \lambda ) + \alpha _ { 1 2 } ( \lambda ) + \alpha _ { \mathrm { P O H } } ( \lambda ) \: ,
\begin{array} { r } { \frac { u _ { f } ^ { / / } \left( Z \right) } { u _ { f } ^ { / / , \operatorname* { m a x } } } = \left\{ \begin{array} { c c } { \mathrm { e x p } \left[ - \beta \left( \frac { Z - H _ { m } } { H - H _ { m } } \right) ^ { \gamma } \right] , } & { \mathrm { t h e \; j e t \; r e g i o n } } \\ { \left( \frac { Z } { H _ { m } } \right) ^ { 1 / n } , } & { \mathrm { t h e \; w a l l \; r e g i o n } } \end{array} \right. } \end{array}
\nu _ { \, \overline { { q } } , \overline { { { \bf n } } } } = { \frac { \overline { { q } } ( \overline { { q } } + 2 ) \cdots ( \overline { { q } } + n ) } { ( n - 1 ) ! } } = ( - 1 ) ^ { n } \nu _ { q , { \bf n } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { n , \mathbf { h } , \mathbf { b } } \omega _ { \mathbf { b } } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } \frac { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial U _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } = } & { \sum _ { \mathbf { b } } \omega _ { \mathbf { b } } \left( \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial C _ { j , j } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } } \sum _ { s } P _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial C _ { j , j } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } , \mathbf { k } } } \sum _ { r } P _ { r , i } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } , \mathbf { k } } U _ { r , j } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } } \right. } \\ & { \left. - i \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial C _ { j , j } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } , \mathbf { k } } } \sum _ { r } Q _ { r , i } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } , \mathbf { k } } U _ { r , j } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } } + i \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial C _ { j , j } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } } \sum _ { s } Q _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) } \\ { = } & { 2 \sum _ { \mathbf { b } } \omega _ { \mathbf { b } } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial C _ { j , j } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } } \sum _ { s } \left( P _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + i Q _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) } \\ { = } & { 2 \sum _ { \mathbf { b } } \omega _ { \mathbf { b } } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial C _ { j , j } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } } \sum _ { s } S _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } , } \end{array}
A = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { - { \left| \begin{array} { l l l l } { 0 } & { a ^ { 2 } } & { b ^ { 2 } } & { 1 } \\ { a ^ { 2 } } & { 0 } & { c ^ { 2 } } & { 1 } \\ { b ^ { 2 } } & { c ^ { 2 } } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right| } } }
\begin{array} { r l } { { ( X \otimes Y ) } _ { V } } & { = { X } _ { V } \times { Y } _ { V } } \\ { { ( X \otimes Y ) } _ { E } } & { = \left\{ \left( x , y \right) \sim \left( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \right) \ \middle \vert \ \begin{array} { r l } { \mathrm { e i t h e r ~ } } & { x \sim x ^ { \prime } \mathrm { ~ a n d ~ } y = y ^ { \prime } } \\ { \mathrm { o r ~ } } & { x = x ^ { \prime } \mathrm { ~ a n d ~ } y \sim y ^ { \prime } } \end{array} \right\} } \\ & { \cong \left( { X } _ { E } \times { Y } _ { V } \right) \sqcup \left( { X } _ { V } \times { Y } _ { E } \right) } \end{array}
A _ { h h } ^ { 0 } = - 2 i \kappa ^ { 2 } c T _ { p } \bigg \{ { \frac { 1 } { 2 } } T r ( \epsilon _ { 1 } . V ) T r ( \epsilon _ { 2 } . V ) - T r ( \epsilon _ { 1 } . V . \epsilon _ { 2 } . V ) \bigg \} .
\Phi ^ { I } = P ^ { I } + \frac { 2 i } { \sqrt { 2 p ^ { + } } } \left( \, ( p ^ { + } - h P ^ { - } ) \delta ^ { I J } + \frac { 1 } { 2 } h X ^ { - } s ^ { I J } \, \right) \psi ^ { J } ~ \approx ~ 0 + { \cal O } ( \psi ^ { 3 } ) ~ ,
f _ { i } ( q ^ { 2 } ) = \frac 1 { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { ( m _ { 1 } + m _ { 3 } ) ^ { 2 } } ^ { \infty } d s _ { 2 } \varphi _ { 2 } ( s _ { 2 } ) \int _ { s _ { 1 } ^ { - } ( s _ { 2 } , q ^ { 2 } ) } ^ { s _ { 1 } ^ { + } ( s _ { 2 } , q ^ { 2 } ) } d s _ { 1 } \varphi _ { 1 } ( s _ { 1 } ) \frac { \tilde { f } _ { i } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , q ^ { 2 } ) } { \lambda ^ { 1 / 2 } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , q ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } } & { \ge I ( Y _ { 1 } ; \Tilde { U } _ { 1 } | X , Q ) + H ( X | \Tilde { U } _ { 2 } , Q ) - D , ~ ~ ~ ~ ~ R _ { 2 } \ge I ( Y _ { 2 } ; \Tilde { U } _ { 2 } | X , Q ) + H ( X | \Tilde { U } _ { 1 } , Q ) - D , } \\ { R _ { 1 } + R _ { 2 } } & { \ge I ( Y _ { 1 } ; \Tilde { U } _ { 1 } | X , Q ) + I ( Y _ { 2 } ; \Tilde { U } _ { 2 } | X , Q ) + H ( X ) - D , } \\ { \Delta _ { 1 } } & { \le H ( X ) - H ( X | \Tilde { U } _ { 2 } , Q ) + D , ~ ~ ~ ~ ~ \Delta _ { 2 } \le H ( X ) - H ( X | \Tilde { U } _ { 1 } , Q ) + D , } \\ { \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } } & { \le H ( X ) + D , ~ ~ ~ ~ ~ \Delta _ { 2 } - R _ { 1 } \le - I ( Y _ { 1 } ; \Tilde { U } _ { 1 } | X , Q ) + D , } \\ { \Delta _ { 1 } - R _ { 2 } } & { \le - I ( Y _ { 2 } ; \Tilde { U } _ { 2 } | X , Q ) + D , D \ge H ( X | \Tilde { U } _ { 1 } , \Tilde { U } _ { 2 } , Q ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } : = \{ f \in \mathscr { S } \cap L ^ { 2 } ( I _ { 0 } , \mathfrak { m } ) : f ( j ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } j \notin I _ { 0 } \mathrm { ~ i s ~ a p p r o a c h a b l e ~ f o r ~ } j = l \mathrm { ~ o r ~ } r \} , } \\ & { { \mathscr E } ( f , g ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { I } \frac { d f } { d \mathbf { s } } \frac { d g } { d \mathbf { s } } d \mathbf { s } , \quad f , g \in { \mathscr F } , } \end{array}
h ^ { t } { } _ { a } H ^ { a s } { } _ { ; d } h ^ { d } { } _ { s } + \eta ^ { t b p q } u _ { b } \sigma ^ { d } { } _ { p } E _ { q d } - 3 E ^ { t } { } _ { s } \omega ^ { s } = ( \mu + p ) \omega ^ { t } \, ,
\nu _ { p } \tilde { n } _ { e } + v _ { p } \partial _ { x } \tilde { n } _ { e } = \frac { \Gamma _ { \mathrm { m a x } } } { \sqrt { 2 } } \tilde { A } _ { s } \left[ \exp \left( - i \int K _ { 1 x } d x \right) + \exp \left( - i \int K _ { 2 x } d x \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } { | | T _ { Y : \mathit { E } . \mathit { F } } - T _ { Y : \mathit { E } } | | _ { \infty } } & { \leq } & { C \sigma ^ { - 1 } \| Y \| _ { 2 } } \\ & { } & { \times \{ R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) + R ( Y , X _ { \mathit { F } } ) \} } \\ { | | T _ { Y : \mathit { E } . \mathit { F } } - T _ { \widetilde { Y } : \mathit { E } } | | _ { \infty } } & { \leq } & { C \sigma ^ { - 1 } \| \widetilde { Y } \| _ { 2 } R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol \nabla \cdot \hat { \boldsymbol E } _ { c } } & { { } = } & { \boldsymbol \nabla \cdot \left( \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp } + { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \parallel } \right) = \frac { \hat { \rho } } { \epsilon _ { 0 } } , } \end{array}
T ^ { 0 0 } = \frac { G ^ { 0 0 } } { 8 \pi } = - \frac { 1 } { 3 2 \pi } v _ { s } ^ { 2 } \Bigg ( \frac { d f } { d r _ { s } } \Bigg ) ^ { 2 } \frac { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } { r _ { s } ^ { 2 } } = \rho \; .
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \mathcal { F } ( n _ { h } ^ { m } , c _ { h } ^ { m } ) - \mathcal { F } ( n _ { h } ^ { m + 1 } , c _ { h } ^ { m + 1 } ) } & & \\ { \displaystyle + \frac { k } { 2 } \Big ( \frac { 1 } { ( n _ { h } ^ { m + \theta } ) ^ { 2 } } , ( \delta _ { t } u _ { h } ^ { m + 1 } ) ^ { 2 } \Big ) _ { h } + k D ( n _ { h } ^ { 0 } ) \| \nabla i _ { h } ( \log ( n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 ) ) \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & & \\ { \displaystyle + k D ( n _ { h } ^ { 0 } ) \| \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \lambda ( n _ { h } ^ { m + 1 } , \log \frac { n _ { h } ^ { m + 1 } } { \bar { n } _ { h } ^ { 0 } } ) _ { h } } & { \le } & { F ( n _ { h } ^ { 0 } , c _ { h } ^ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( A _ { 1 } ) } & { } & { \left\vert \rho _ { \mathrm { t } } ^ { ( \{ 1 , 3 , 4 \} , \{ 2 \} ) } \right\vert } & { \leq \rho ^ { ( 4 ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { 4 } ) + \rho ^ { ( 3 ) } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \rho ^ { ( 1 ) } ( x _ { 2 } ) } \\ & { } & & { \leq C \rho ^ { 8 } | x _ { 1 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } | x _ { 1 } - x _ { 4 } | ^ { 2 } , } \\ { ( A _ { 2 } ) } & { } & { \left\vert \rho _ { \mathrm { t } } ^ { ( \{ 1 , 3 \} , \{ 2 , 4 \} ) } \right\vert } & { \leq \rho ^ { ( 4 ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { 4 } ) + \rho ^ { ( 2 ) } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } ) \rho ^ { ( 2 ) } ( x _ { 2 } , x _ { 4 } ) } \\ & { } & & { \leq C \rho ^ { 8 } | x _ { 1 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } | x _ { 2 } - x _ { 4 } | ^ { 2 } , } \\ { ( B _ { 1 } ) } & { } & { \rho ^ { ( 3 ) } } & { \leq C \rho ^ { 7 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } | x _ { 1 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } , } \\ { ( B _ { 2 } ) } & { } & { \left\vert \rho _ { \mathrm { t } } ^ { ( \{ 1 , 2 , 3 \} , \{ 4 , 5 \} ) } \right\vert } & { \leq \rho ^ { ( 5 ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { 5 } ) + \rho ^ { ( 3 ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \rho ^ { ( 2 ) } ( x _ { 4 } , x _ { 5 } ) } \\ & { } & & { \leq C \rho ^ { 1 1 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } | x _ { 1 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } | x _ { 4 } - x _ { 5 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { j _ { l } j _ { l } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ j _ { l } ^ { 2 } ( u ) \left( 1 + \frac { l ( l + 1 ) } { u ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial u } \left( u j _ { l } ( u ) \right) , \right) ^ { 2 } \right] } & { { } } & { G _ { h _ { l } h _ { l } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ | h _ { l } ( u ) | ^ { 2 } \left( 1 + \frac { l ( l + 1 ) } { u ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \left| \frac { \partial } { \partial u } \left( u h _ { l } ( u ) \right) \right| ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { F } _ { i j k l } \tilde { F } _ { i j k l } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } + \omega _ { k } + \omega _ { l } } f _ { i } f _ { j } f _ { k } f _ { l } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { F } _ { i j k l } \tilde { F } _ { i j k l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } - \omega _ { l } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) ( f _ { k } + 1 ) ( f _ { l } + 1 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i j k k } \tilde { F } _ { i j l l } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } } { f _ { i } } { f _ { j } } { ( f _ { k } + 1 / 2 ) } { ( f _ { l } + 1 / 2 ) } + \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i j k l } \tilde { F } _ { i j k l } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } + \omega _ { k } - \omega _ { l } } { f _ { i } } { f _ { j } } { f _ { k } } ( f _ { l } + 1 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i j k k } \tilde { F } _ { i j l l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } { ( f _ { i } + 1 ) } { ( f _ { j } + 1 ) } { ( f _ { k } + 1 / 2 ) } { ( f _ { l } + 1 / 2 ) } + \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i j k l } \tilde { F } _ { i j k l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } + \omega _ { l } } { ( f _ { i } + 1 ) } { ( f _ { j } + 1 ) } { ( f _ { k } + 1 ) } f _ { l } } \\ & { } & { + \sum _ { i , j , k , l } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i j k k } \tilde { F } _ { i j l l } } { \omega _ { i } - \omega _ { j } } { f _ { i } } { ( f _ { j } + 1 ) } { ( f _ { k } + 1 / 2 ) } { ( f _ { l } + 1 / 2 ) } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i j k l } \tilde { F } _ { i j k l } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } - \omega _ { k } - \omega _ { l } } { f _ { i } } { f _ { j } } { ( f _ { k } + 1 ) } ( f _ { l } + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( x , y ) = { \sum _ { n } } V _ { 0 } e ^ { - \left( \frac { ( x - x _ { n } ) ^ { 2 } + ( y \pm y _ { n } ) ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \right) ^ { 1 0 } } . } \end{array}
B = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,