harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \lambda _ { 5 } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 6 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 7 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 8 } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { - 2 } { \sqrt { 3 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 3 } B v _ { 3 } ^ { T } } & { = x _ { 3 } ^ { 2 } ( v _ { 1 } B v _ { 1 } ^ { T } ) + y _ { 3 } ^ { 2 } ( v _ { 2 } B v _ { 2 } ^ { T } ) + 2 x _ { 3 } y _ { 3 } ( v _ { 1 } B v _ { 2 } ^ { T } ) } \\ { v _ { 4 } B v _ { 4 } ^ { T } } & { = x _ { 4 } ^ { 2 } ( v _ { 1 } B v _ { 1 } ^ { T } ) + y _ { 4 } ^ { 2 } ( v _ { 2 } B v _ { 2 } ^ { T } ) + 2 x _ { 4 } y _ { 4 } ( v _ { 1 } B v _ { 2 } ^ { T } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { ( 1 ) } ( 0 - \varepsilon ) } & { { } = \sum _ { i , u } \rho _ { i u } ^ { ( 1 ) } ( \tau _ { 1 2 } , \omega ) \left| \mathfrak { h } _ { i } \right> \! \left< \mathfrak { T } _ { u } \right| e ^ { - \gamma _ { i u } \tau _ { 1 2 } } \, , } \end{array}
k _ { i } k _ { j } = k _ { j } k _ { i } , \quad k _ { i } ^ { \pm 1 } k _ { i } ^ { \mp 1 } = 1 = k _ { 0 } ^ { a _ { 0 } } k _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } \dots k _ { n } ^ { a _ { n } } , \quad k _ { i } e _ { j } k _ { i } ^ { - 1 } = q _ { i } ^ { C _ { i , j } } e _ { j } , \quad k _ { i } f _ { j } k _ { i } ^ { - 1 } = q _ { i } ^ { - C _ { i , j } } f _ { j } ,
\begin{array} { r l r } { \phi ^ { \prime } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \delta \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \approx \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) - \delta \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \cdot \nabla \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = } \end{array}
\mathbf { H } _ { i } = \left( \begin{array} { l } { - 4 \pi M N _ { i x } m _ { i x } - H _ { \mathrm { d } i } m _ { j x } } \\ { - 4 \pi M N _ { i y } m _ { i y } - H _ { \mathrm { d } i } m _ { j y } } \\ { H _ { \mathrm { a p p l } } - 4 \pi M N _ { i z } m _ { i z } + 2 H _ { \mathrm { d } i } m _ { j z } } \end{array} \right) ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { a = 1 \, , } \\ & { b = - ( 2 { \omega } _ { c } ^ { 2 } + 2 { \omega } _ { p } ^ { 2 } + 2 V _ { 1 } ^ { 2 } + V _ { 2 } ^ { 2 } ) \, , } \\ & { c = 2 { \omega } _ { c } ^ { 2 } { \omega } _ { p } ^ { 2 } + ( { \omega } _ { c } ^ { 2 } + { \omega } _ { p } ^ { 2 } ) ( { \omega } _ { c } ^ { 2 } + { \omega } _ { p } ^ { 2 } + 2 V _ { 1 } ^ { 2 } ) + 2 { \omega } _ { c } ^ { 2 } V _ { 2 } ^ { 2 } + V _ { 1 } ^ { 4 } \, , } \\ & { d = - [ 2 { \omega } _ { p } ^ { 2 } { \omega } _ { c } ^ { 2 } ( { \omega } _ { p } ^ { 2 } + { \omega } _ { c } ^ { 2 } ) + 2 { \omega } _ { p } ^ { 2 } { \omega } _ { c } ^ { 2 } V _ { 1 } ^ { 2 } + { \omega } _ { c } ^ { 4 } V _ { 2 } ^ { 2 } ] \, , } \\ & { e = { \omega } _ { c } ^ { 4 } { \omega } _ { p } ^ { 4 } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \nabla ^ { j } U _ { j } ( x , t ) = \nabla ^ { j } U _ { j } ( x , t ) + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } \nabla _ { j } U _ { j } ( x , t ) \psi ( x ) + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } U _ { j } ( x , t ) \nabla _ { j } \psi ( x ) } \end{array}
\varepsilon \sim \frac { b _ { \ell } ^ { 2 } } { \tau _ { t r } } \sim \frac { k E _ { k } } { \omega _ { F } \tau _ { N L } ^ { 2 } } \sim \frac { k ^ { 2 } E _ { k } b _ { \ell } ^ { 2 } } { b _ { 0 } } \sim \frac { k ^ { 3 } E _ { k } ^ { 2 } } { b _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } } & { \; \; \; \displaystyle \sum _ { e \in E } \omega _ { e } L _ { e } ( \lambda _ { e } ^ { 1 } - \lambda _ { e } ^ { 0 } ) } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \| X - Y _ { e } ^ { s } \| z _ { e } \leq R , \forall e \in E , s \in \{ 0 , 1 \} , } \\ & { Y _ { e } ^ { s } = \lambda _ { e } ^ { s } o _ { e } + ( 1 - \lambda _ { e } ^ { s } ) f _ { e } , \forall e \in E , s \in \{ 0 , 1 \} , } \\ & { \lambda _ { e } ^ { 0 } \leq \lambda _ { e } ^ { 1 } , \forall e \in E , } \\ & { \lambda _ { e } ^ { 1 } \leq z _ { e } , \forall e \in E , s \in \{ 0 , 1 \} , } \\ & { \lambda _ { e } ^ { 0 } , \lambda _ { e } ^ { 1 } \geq 0 , \forall e \in E , s \in \{ 0 , 1 \} , } \\ & { z _ { e } \in \{ 0 , 1 \} , \forall e \in E , } \\ & { X \in \mathbb { R } ^ { d } . } \end{array}
p ( \boldsymbol { \phi } \mid \mathbf { y } , \mathbf { Z } , \boldsymbol { \delta } ) \propto \mathcal { L } ( \boldsymbol { \phi } ; \mathbf { y } , \mathbf { Z } , \boldsymbol { \delta } ) p ( \boldsymbol { \phi } ) = \mathcal { L } ( \boldsymbol { \phi } ; \mathbf { y } , \mathbf { Z } , \boldsymbol { \delta } ) \prod _ { k = 1 } ^ { 3 } p _ { k } ( \boldsymbol { \phi } _ { k } ) ,
\ddot { Z } = { \frac { \dot { Z } ^ { 2 } } { Z } } - { \frac { 1 } { \dot { \eta } } } \bigl ( { \frac { \ddot { \eta } } { \dot { \eta } } } - { \frac { \dot { g } } { g } } \bigr ) \dot { Z } + { \frac { 1 } { \dot { \eta } ^ { 2 } \mu } } \bigl ( \ddot { \mu } - { \frac { \dot { \mu } ^ { 2 } } { \mu } } - { \frac { \dot { g } } { g } } \dot { \mu } \bigr ) Z + { \frac { h ^ { 2 } - l } { 4 \dot { \eta } ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } } { \frac { Z ^ { 4 } - \mu ^ { 4 } } { Z } } .
\widetilde { j } _ { \mu } ^ { a , \mathrm { r e g } } = \widetilde { \psi } _ { \varepsilon } ^ { + } T ^ { a } \gamma _ { \mu } \widetilde { \psi } _ { \varepsilon } = \psi _ { \varepsilon } ^ { + } \Omega _ { + } T ^ { a } \gamma _ { \mu } \Omega _ { - } \psi _ { \varepsilon } .
\begin{array} { r l } { - x _ { i } } & { \in \Big [ \prod _ { j = \ell + m + 3 } ^ { N + 3 } \prod _ { k = i } ^ { \ell } x _ { \mathrm { F } _ { j , k } } ^ { - 1 } \Big ] \Big [ \prod _ { j = 1 } ^ { i } \prod _ { k = \ell + 1 } ^ { \ell + m + 1 } x _ { \mathrm { F } _ { j , k } } \Big ] C ^ { \infty } ( K _ { \ell , m , n } ; \mathbb { R } ^ { + } ) , } \\ { ( 1 - x _ { i } ) } & { \in \Big [ \prod _ { j = \ell + m + 3 } ^ { N + 3 } \prod _ { k = i } ^ { \ell } x _ { \mathrm { F } _ { j , k } } ^ { - 1 } \Big ] C ^ { \infty } ( K _ { \ell , m , n } ; \mathbb { R } ^ { + } ) . } \end{array}
U _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { Z _ { 1 } + Z _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { Z _ { 1 } + Z _ { 2 } + \zeta } } \\ { { - \sqrt { \zeta + \rho ^ { 2 } } \bar { z } _ { 2 } } } & { { \rho z _ { 1 } } } \\ { { - \sqrt { \zeta + \rho ^ { 2 } } \bar { z } _ { 1 } } } & { { - \rho z _ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { ( \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ) _ { i } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \nabla _ { j } \epsilon _ { k l m } B _ { l } x _ { m } = \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { i l } \delta _ { j m } - \delta _ { i m } \delta _ { j l } ) \delta _ { j m } B _ { l } = \frac { 1 } { 2 } ( 3 B _ { i } - B _ { i } ) = B _ { i } } \\ { \nabla \cdot \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } & { { } = } & { \nabla _ { i } A _ { i } = \nabla _ { i } \epsilon _ { i j k } B _ { j } x _ { k } = \epsilon _ { i j k } B _ { j } \delta _ { i k } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { J } _ { 2 } } : = \, } & { \lambda y ( \lambda ^ { 4 } x ^ { 3 } y - 6 \lambda ^ { 3 } x ^ { 2 } y - \lambda ^ { 3 } x + 2 \lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 2 \lambda ^ { 2 } x y - \lambda \, x ^ { 3 } - 3 \lambda ^ { 3 } + 9 \lambda ^ { 2 } x - 9 \lambda \, x ^ { 2 } + 3 x ^ { 3 } + 2 \lambda ^ { 2 } - 4 \lambda x - 8 \lambda y + 2 x ^ { 2 } ) . } \end{array}
m = m _ { 0 } \left[ 1 + \frac { \alpha } { 4 \pi } \log ^ { 2 } \frac { | e B | } { m _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 2 4 } \left( \frac { \alpha } { 2 \pi } \log ^ { 2 } \frac { | e B | } { m _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 6 1 } { 7 2 0 } \left( \frac { \alpha } { 2 \pi } \log ^ { 2 } \frac { | e B | } { m _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } + \cdots . \right]
P _ { \mathrm { C C G , i } } ^ { \mathrm { e s t . } } = P _ { \mathrm { C C G , i } } ^ { \mathrm { m e a s . } } \times \frac { p _ { \mathrm { 0 } } + p _ { \mathrm { 1 } } \times I } { \bar { P } _ { \mathrm { C C G } } ^ { \mathrm { m e a s . } } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) } & { \leq - \frac { 1 } { 3 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a ^ { 2 } \textup { d } \eta + \frac { 4 } { 3 } \int _ { \{ a \leq 1 \} } g ( \eta , t ) a ^ { 2 } \textup { d } \eta } \\ & { + 2 K _ { 0 } ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a v ^ { - \alpha } \textup { d } \eta \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta ^ { \prime } , t ) a ^ { \prime } v ^ { \beta } \textup { d } \eta ^ { \prime } . } \\ { \partial _ { t } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) } & { \leq ( \frac { 1 } { 3 } + \alpha ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) a v ^ { - \alpha } \textup { d } \eta + ( 1 - \gamma ) \lambda \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { \mu } v ^ { \sigma - \alpha } ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) \textup { d } \eta . } \\ { \partial _ { t } M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) } & { \leq ( \frac { 1 } { 3 } - \beta ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) a v ^ { \beta } \textup { d } \eta + ( 1 - \gamma ) \lambda \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { \mu } v ^ { \sigma + \beta } ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { + K _ { 0 } ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a v ^ { \beta } \textup { d } \eta \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta ^ { \prime } , t ) v ^ { \beta - \alpha } \textup { d } \eta ^ { \prime } } \\ & { + K _ { 0 } ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a v ^ { - \alpha } \textup { d } \eta \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta ^ { \prime } , t ) v ^ { 2 \beta } \textup { d } \eta ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 3 } } & { = - \frac { 2 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } \overline { { \xi } } _ { j + 1 } g ( \xi _ { j + 1 } ) ( h _ { j + 1 , j + 1 } - h _ { j , j + 1 } ) + \frac { 2 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( ( \overline { { \xi } } _ { j } ) ^ { 2 } g ( \xi _ { j + 1 } ) h _ { j , j } - ( \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ) ^ { 2 } g ( \xi _ { j } ) h _ { j , j + 1 } \big ) } \\ & { = - \frac { 2 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j - 1 } \overline { { \xi } } _ { j } g ( \xi _ { j } ) \big ( ( \tilde { \mathscr { F } } _ { n } h ) _ { j } - ( \Tilde { \mathscr { E } } _ { n } h ) _ { j } \big ) - \frac { 2 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \overline { { \xi } } _ { j } ) ^ { 2 } g ( \xi _ { j + 1 } ) ( \Tilde { \mathscr { E } } _ { n } h ) _ { j } } \\ & { \quad + \frac { 2 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( ( \overline { { \xi } } _ { j } ) ^ { 2 } g ( \xi _ { j + 1 } ) - ( \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ) ^ { 2 } g ( \xi _ { j } ) \big ) h _ { j , j + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle R _ { c v } ^ { c } \rangle = 2 \sqrt { R ^ { * } } \mathcal { R } _ { c } | P _ { c v } | ^ { 2 } } & { { } \int _ { E _ { g } } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 1 - e ^ { - 2 \pi \sqrt { R ^ { * } / ( \hbar \omega - E _ { g } ) } } } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( a e k ( c e g ) ^ { m - 1 } ) } & { = \frac { ( - q ) ^ { 3 m - 2 } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } ( q ^ { 4 } - 1 ) ( 1 + q ^ { 4 } - q ^ { 2 } - q ^ { 2 m + 2 } ) } { q ( q ^ { 2 m } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 4 } - 1 ) } } \\ { h ( a f h ( c e g ) ^ { m - 1 } ) } & { = \frac { ( - q ) ^ { 3 m - 2 } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 4 } ( q ^ { 4 } - 1 ) } { ( q ^ { 2 m } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 4 } - 1 ) } } \\ { h ( b d k ( c e g ) ^ { m - 1 } ) } & { = \frac { ( - q ) ^ { 3 m - 2 } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 4 } ( q ^ { 4 } - 1 ) } { ( q ^ { 2 m } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 4 } - 1 ) } } \\ { h ( b f g c d h ( c e g ) ^ { m - 2 } ) } & { = \frac { ( - q ) ^ { 3 m - 2 } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 4 } ( q ^ { 4 } - 1 ) } { ( q ^ { 2 m } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 4 } - 1 ) } } \\ { h ( b f g ( c e g ) ^ { m - 1 } ) } & { = \frac { ( - q ) ^ { 3 m - 1 } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } ( q ^ { 4 } - 1 ) } { ( q ^ { 2 m } - 1 ) ( q ^ { 2 m + 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 4 } - 1 ) } } \\ { h ( c d h ( c e g ) ^ { m - 1 } ) } & { = \frac { ( - q ) ^ { 3 m - 1 } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } ( q ^ { 4 } - 1 ) } { ( q ^ { 2 m } - 1 ) ( q ^ { 2 m + 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 4 } - 1 ) } } \\ { h ( ( c e g ) ^ { m } ) } & { = \frac { ( - q ) ^ { 3 m } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 4 } - 1 ) } { ( q ^ { 2 m + 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m + 4 } - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \chi , \eta ; \rho ) } & { = \eta ( \omega ^ { 2 } ) \sum _ { \alpha \in \mathbb { F } _ { q } } \rho ( \alpha + \omega ) \sum _ { t \in \mathbb { F } _ { q } - \{ 0 , 1 \} } \chi ( t ) \eta ( ( \alpha ^ { 2 } \omega ^ { - 2 } - 1 ) ( 1 - t ) ^ { - 1 } + 1 ) } \\ & { = \eta ( \omega ^ { 2 } ) \sum _ { \beta \in \mathbb { F } _ { q } } A ( \beta ) B ( 1 - \beta \omega ^ { - 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial t } } & { { } = \underbrace { \mathcal { L } \left( u ( x , t ) , \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , x , t ; \nu \right) } _ { L o w - F i d e l i t y ~ / ~ K n o w n ~ M o d e l } } \\ { u ( x , t ) } & { { } = h ( x , t ) , \; - \tau \leq t \leq 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { B } ( u ( x , t ) ) = g ( x , t ) , \; x \in \partial \Omega , \; t \geq 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { e } _ { n + 1 } - \mathbf { e } _ { n } \| \leq \beta d _ { 3 } \mathbf { e } ^ { d _ { 2 } h ( n - 1 ) } h ^ { 3 } + h c _ { 1 } d _ { 1 } \mathbf { e } ^ { d _ { 2 } h n } h ^ { 2 } + c h ^ { 3 } } \\ & { \leq d _ { 3 } \underbrace { ( \frac { d _ { 1 } c _ { 1 } } { d _ { 3 } } + \beta + \frac { c } { d _ { 3 } } ) } _ { = 1 } \mathbf { e } ^ { d _ { 2 } h n } h ^ { 3 } = d _ { 3 } \mathbf { e } ^ { d _ { 2 } h n } h ^ { 3 } . } \end{array}
\frac { \partial E } { \partial t } + \nabla \cdot \left[ \left( E + p + \frac { B ^ { 2 } } { 8 \pi } \right) { \boldsymbol { V } } - \frac { ( \boldsymbol { V } \cdot \boldsymbol { B } ) } { 4 \pi } \boldsymbol { B } \right] = Q _ { e } + \mathrm { { d i v } \ b o l d s y m b o l { q } , }
U \; \simeq \; \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { A \: \epsilon ^ { \: l } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } } } & { { \; \; \: - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \; \; \: \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right)
\dot { m } ^ { 3 } = \frac { \pi ^ { 2 } g } { 3 2 } \cdot { \underbrace { \frac { \rho _ { \mathrm { ~ m ~ } } ^ { 2 } \beta _ { \mathrm { ~ m ~ } } } { c _ { \mathrm { ~ p ~ , ~ m ~ } } } } _ { \mathrm { ~ F ~ l ~ u ~ i ~ d ~ p ~ r ~ o ~ p ~ e ~ r ~ t ~ i ~ e ~ s ~ } } } \cdot \underbrace { \dot { Q } \Delta z D ^ { 5 } } _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ n ~ f ~ i ~ g ~ u ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \cdot \underbrace { \frac { 1 } { \Sigma ( f _ { \mathrm { ~ i ~ } } L _ { \mathrm { ~ i ~ } } ) } } _ { \mathrm { ~ V ~ i ~ s ~ c ~ o ~ u ~ s ~ l ~ o ~ s ~ s ~ e ~ s ~ } } .
\operatorname* { l i m } _ { \Omega \to \infty } \frac { S _ { c , d } ^ { ( h , g ) } [ ( p ( G _ { 1 } ) , . . . . , p ( G _ { \lambda \Omega } ) ) ] } { S _ { c , d } ^ { ( h , g ) } [ ( p ( G _ { 1 } ) , . . . . , p ( G _ { \Omega } ) ] } = \lambda ^ { 1 - c } ,
\begin{array} { r l } { \| L ^ { - 1 } \| _ { 2 } < \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } v ^ { i } } & { = v \frac { v ^ { N _ { t } } - 1 } { v - 1 } } \\ & { = ( 1 + \gamma \Delta t ) \frac { ( 1 + \gamma \Delta t ) ^ { N _ { t } } - 1 } { \gamma \Delta t } } \\ & { < \frac { 3 } { 2 } \frac { e ^ { \gamma T } } { \gamma \Delta t } \, \, \big ( \because ( 1 + x / n ) ^ { n } \leq e ^ { x } \big ) . } \end{array}
\dim \left( \ker \mathbf { \Omega } _ { L } \left( \mathfrak { u } \right) \right) = N _ { 0 } + \bar { D } , \ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \ \bar { D } : = \dim \overline { { \mathfrak { C } } } \le N _ { 0 } .
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 1 } } & { = } & { - \frac { 2 \tilde { \lambda } } { r \beta } , } \\ { A _ { 1 2 } } & { = } & { \frac { l ( l + 1 ) \tilde { \lambda } } { r \tilde { \beta } } , } \\ { A _ { 1 3 } } & { = } & { \frac { 1 } { \tilde { \beta } } , } \\ { A _ { 2 1 } } & { = } & { - \frac { 1 } { r } , } \\ { A _ { 2 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { r } , } \\ { A _ { 2 4 } } & { = } & { \frac { 1 } { \tilde { \mu } } , } \\ { A _ { 3 1 } } & { = } & { \frac { 4 } { r } \left( \frac { 3 K \tilde { \mu } } { r \tilde { \beta } } - \rho _ { 0 } g \right) - \rho _ { 0 } \omega ^ { 2 } , } \\ { A _ { 3 2 } } & { = } & { \frac { l ( l + 1 ) } { r } \left( \rho _ { 0 } g - \frac { 6 K \tilde { \mu } } { r \tilde { \beta } } \right) , } \\ { A _ { 3 3 } } & { = } & { - \frac { 4 \tilde { \mu } } { r \tilde { \beta } } , } \\ { A _ { 3 4 } } & { = } & { \frac { l ( l + 1 ) } { r } , } \\ { A _ { 3 5 } } & { = } & { - \frac { \rho _ { 0 } ( l + 1 ) } { r } , } \\ { A _ { 3 6 } } & { = } & { \rho _ { 0 } , } \\ { A _ { 4 1 } } & { = } & { \frac { 1 } { r } \left( \rho _ { 0 } g - \frac { 6 K \tilde { \mu } } { r \tilde { \beta } } \right) , } \\ { A _ { 4 2 } } & { = } & { \frac { 2 \tilde { \mu } } { r ^ { 2 } } \left[ l ( l + 1 ) \left( 1 + \frac { \tilde { \lambda } } { \tilde { \beta } } \right) - 1 \right] - \rho _ { 0 } \omega ^ { 2 } , } \\ { A _ { 4 3 } } & { = } & { - \frac { \tilde { \lambda } } { r \tilde { \beta } } , } \\ { A _ { 4 4 } } & { = } & { - \frac { 3 } { r } , } \\ { A _ { 4 5 } } & { = } & { \frac { \rho _ { 0 } } { r } , } \\ { A _ { 5 1 } } & { = } & { - 4 \pi G \rho _ { 0 } , } \\ { A _ { 5 5 } } & { = } & { - \frac { l + 1 } { r } , } \\ { A _ { 5 6 } } & { = } & { 1 , } \\ { A _ { 6 1 } } & { = } & { - \frac { 4 \pi G \rho _ { 0 } ( l + 1 ) } { r } , } \\ { A _ { 6 2 } } & { = } & { \frac { 4 \pi G \rho _ { 0 } ( l + 1 ) } { r } , } \\ { A _ { 6 6 } } & { = } & { \frac { l - 1 } { r } , } \end{array}
H = \frac { x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } - x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } } { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } - \frac { x ^ { \prime } / y } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { - \partial _ { t } \psi = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta \psi + \left( \mathcal { P } ( \rho ) + ( s ( t , x , \rho ) + \rho D _ { \rho } s ( t , x , \rho ) ) u \right) \cdot \nabla \psi + } \\ & { \quad \quad \quad + \mathcal { Q } ( \rho , \psi ) + \frac { 1 } { 2 } ( D _ { \rho } e ( t , x , \rho ) + \gamma | u | ^ { 2 } ) , } \\ & { \psi ( T , x ) = \psi _ { T } ( x ) , } \\ & { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \nabla \psi \cdot \vec { n } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { - \beta \psi } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { F } } , } \\ & { 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { Z } } , } \end{array} \right. } \end{array} \right.
\left. { \cal A } _ { + - \, \gamma } = e \frac { \sqrt { 2 } g _ { 8 } } { F _ { K } F _ { \pi } ^ { 2 } } \, ( M _ { K } ^ { 2 } - M _ { \pi } ^ { 2 } ) \, \left( \frac { \epsilon \cdot p _ { + } } { q \cdot p _ { + } } - \frac { \epsilon \cdot p _ { - } } { q \cdot p _ { - } } \right) \ \ , \right.
\frac { d } { d s } \left( \begin{array} { l } { u } \\ { v } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { - u } \\ { + v } \end{array} \right) - \left( d \ln \sqrt { R } / d s \right) \left( \begin{array} { l } { v } \\ { u } \end{array} \right) \mathrm { ~ . ~ }
f _ { \pi } ^ { 2 } = \frac { N _ { c } } { 2 \pi ^ { 2 } } \int d x x \frac { \Sigma ^ { 2 } ( x ) - \frac { x } { 4 } \frac { d \Sigma ^ { 2 } ( x ) } { d x } } { ( x + \Sigma ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 2 } } .
\small \left\{ \begin{array} { r l } & { \Omega = \Omega _ { 2 D } \otimes [ 0 , L _ { z } ] , \quad \partial \Omega = \partial \Omega _ { 2 D } \otimes [ 0 , L _ { z } ] , \quad \partial \Omega _ { s } = \partial \Omega _ { s } ^ { 2 D } \otimes [ 0 , L _ { z } ] , \quad \partial \Omega _ { o } = \partial \Omega _ { o } ^ { 2 D } \otimes [ 0 , L _ { z } ] , } \\ & { \partial \Omega _ { s e } = \partial \Omega _ { s e } ^ { 2 D } \otimes [ 0 , L _ { z } ] , \quad \partial \Omega _ { s g } = \partial \Omega _ { s g } ^ { 2 D } \otimes [ 0 , L _ { z } ] . } \end{array} \right.
\mathbb { L } = \frac { 1 } { 2 } \bar { S } _ { i j } ^ { a } \bar { S } _ { i j } ^ { a } + \lambda \left[ { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \left( { { { \bar { S } } _ { i j } } - \bar { S } _ { i j } ^ { a } } \right) \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } \right] ,
\begin{array} { r l } { I _ { \Delta } ^ { ( s + m ) } - I _ { \Delta } ^ { ( m ) } = } & { { } M ( T - 1 ) + \frac { 1 } { 2 } \Delta ^ { 2 } \theta _ { 0 } ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } [ ( T - 1 ) M ] } \end{array}
{ \cal S } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \left. \frac { 1 } { i ^ { 2 } } \frac { \delta ^ { 2 } Z } { \delta \eta ( x _ { 1 } ) \delta \bar { \eta } ( x _ { 2 } ) } \right| _ { J = \eta = \bar { \eta } = 0 } .
\begin{array} { r l r } { | a ( u _ { L } , \, v ) | } & { \leq } & { | s | ^ { - 1 } \| \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } + | s | \| u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } } \\ & { } & { + | s | ^ { - 1 } \| \mathscr { G } u _ { L } \| _ { H ^ { - 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) } \| v \| _ { H ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) } } \\ & { \leq } & { C \| u _ { L } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } + C \| u _ { L } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } } \\ & { } & { C \| u _ { L } \| _ { H ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) } \| v \| _ { H ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) } } \\ & { \leq } & { C \| u _ { L } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { N } + \omega _ { S } = \frac { \omega _ { N } } { 1 + \cos ( \theta _ { 1 } ) } \Big [ 1 + \cos ( \theta _ { 1 } ) - \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 2 } ) \big ) \Big ] = \omega _ { N } \frac { \cos ( \theta _ { 1 } ) + \cos ( \theta _ { 2 } ) } { 1 + \cos ( \theta _ { 1 } ) } = \omega _ { C } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { i } = } & { H _ { i , 0 } - T S _ { i , 0 } } \\ & { + A _ { 1 , i } ( T - T _ { 0 } ) + \frac { A _ { 2 , i } } { 2 } \left( T ^ { 2 } - T _ { 0 } ^ { 2 } \right) } \\ & { - A _ { 3 , i } \left( \frac { 1 } { T } - \frac { 1 } { T _ { 0 } } \right) + 2 A _ { 4 , i } \left( \sqrt { T } - \sqrt { T _ { 0 } } \right) } \\ & { - A _ { 1 , i } T \ln { \left( \frac { T } { T _ { 0 } } \right) } - A _ { 2 , i } T \left( T - T _ { 0 } \right) } \\ & { + \frac { A _ { 3 , i } T } { 2 } \left( \frac { 1 } { T ^ { 2 } } - \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } \right) + 2 A _ { 4 , i } T \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } - \frac { 1 } { \sqrt { T _ { 0 } } } \right) } \\ & { + \int _ { P _ { 0 } } ^ { P } V _ { i } ~ d P . } \end{array}