harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( p , m , H , M , \delta ) } & { = \Bigg \{ h _ { i n } \in \ensuremath { { \mathcal S } } ( \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } ) \mid f _ { i n } = h _ { i n } + \mu \mathrm { ~ s a t i s f i e s ~ } , \ 0 \le f _ { i n } , } \\ & { \qquad \qquad \| f _ { i n } \| _ { L _ { m } ^ { 1 } } \le M , \ \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f _ { i n } | \log ( f _ { i n } ) | \, \mathrm { d } v \le H , \ \| h _ { i n } \| _ { L ^ { p } } ^ { p } \le \delta \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \biggl | \zeta _ { m , k } ( s ) - \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { * } - 1 } \frac { ( s - t ) ^ { n } } { n ! } \partial _ { t } ^ { n } \zeta _ { m , k } ( t ) \biggr | \exp \Bigl ( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } ( s - t ) \Bigr ) \, d s } \qquad } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f ( \beta ( b ) ) - f ( \beta ( a ) ) | } & { \leq m _ { 1 } ( f ( | \widetilde \beta | ) ) = m _ { 1 } ( f ( | \widetilde \beta | \setminus \partial \beta ) ) } \\ & { \leq m _ { 1 } ( f ( | \beta | \setminus E ) ) + \sum _ { i \in I } m _ { 1 } ( f ( | \beta _ { i } | ) ) } \\ & { \leq \int _ { \beta } | \nabla f | \, d s + \sum _ { i \in I } \int _ { \beta _ { i } } | \nabla f | \, d s } \\ & { \leq \int _ { \beta } | \nabla f | \, d s + \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Vert u _ { x x } \Vert _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { 2 ( C _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) } { r _ { 0 } } \left[ \frac { 2 ( 1 + T ) \ell ^ { 3 } } { 3 r _ { 0 } } \, \Vert g ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + R _ { 0 } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) \right] , } \\ { \Vert u \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathcal { V } _ { 1 } ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { 2 C ^ { \ast } C _ { 0 } ^ { 2 } } { r _ { 0 } } \ \left[ \frac { 2 ( 1 + T ) \ell ^ { 3 } } { 3 r _ { 0 } } \, \Vert g ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + R _ { 0 } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) \right] , } \\ { \Vert u _ { t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathcal { V } _ { 1 } ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { C ^ { \ast } ( C _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) } { 2 \kappa _ { 0 } } \left[ \frac { 2 ( 1 + T ) \ell ^ { 3 } } { 3 r _ { 0 } } \, \Vert g ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + R _ { 0 } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) \right] , ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { \mathrm { T e r m ~ I } } { \Delta x \Delta v } = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { i j } \left[ - \mathsf { f } _ { i j } ^ { n , \star } + \left( ( 1 - \alpha ( v _ { j } ) ) \mathsf { f } _ { i + \mathrm { n } ( v _ { j } ) , j } ^ { n } + \alpha ( v _ { j } ) \mathsf { f } _ { i + \mathrm { n } ( v _ { j } ) + 1 , j } ^ { n } \right) \right] \mathsf { g } _ { i j } ^ { n , \star } \, , } \\ & { \frac { \mathrm { T e r m ~ I I } } { \Delta x \Delta v } = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { i j } \left[ - \mathsf { f } _ { i j } ^ { n , \star \star } \right. + \left( ( 1 - \alpha ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) ) \mathsf { f } _ { i , j + \mathrm { n } ( \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + \mathsf { H } _ { i } ) } ^ { n , \star } \right. + } \\ & { } & { \left. \left. \alpha ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) \mathsf { f } _ { i , j + \mathrm { n } ( \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + \mathsf { H } _ { i } ) + 1 } ^ { n , \star } \right) \right] \mathsf { g } _ { i j } ^ { n , \star \star } \, , } \\ & { \frac { \mathrm { T e r m ~ I I I } } { \Delta x \Delta v } = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { i j } \left[ - \mathsf { f } _ { i j } ^ { n + 1 } + \left( ( 1 - \alpha ( v _ { j } ) ) \mathsf { f } _ { i + \mathrm { n } ( v _ { j } ) , j } ^ { n , \star \star } + \alpha ( v _ { j } ) \mathsf { f } _ { i + \mathrm { n } ( v _ { j } ) + 1 , j } ^ { n , \star \star } \right) \right] \mathsf { g } _ { i j } ^ { n + 1 } \, , } \end{array}
\kappa _ { \gamma } ^ { 2 } : = \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } | ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i u } ) / u | ^ { 2 } | u | ^ { 1 - 2 H _ { j } } \mathrm d u \times \left\{ \begin{array} { l l } { L ( 1 , 0 ) , } & { \gamma > \frac { | \upsilon _ { 1 } | } { | \upsilon _ { 2 } | } , } \\ { L ( 0 , 1 ) , } & { \gamma < \frac { | \upsilon _ { 1 } | } { | \upsilon _ { 2 } | } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { | \Delta _ { \mathrm { B C S } } | } { \chi N } } & { { } \approx \frac { 1 } { 2 N } \Big | \sum _ { k } e ^ { - i \epsilon _ { k } t } \Big | = \frac { 1 } { 2 } \bigg | \frac { 1 } { 2 E _ { \mathrm { W } } } \int _ { - \delta _ { \mathrm { s } } / 2 - E _ { \mathrm { W } } / 2 } ^ { - \delta _ { \mathrm { s } } / 2 + E _ { \mathrm { W } } / 2 } e ^ { - i x t } d x + \frac { 1 } { 2 E _ { \mathrm { W } } } \int _ { \delta _ { \mathrm { s } } / 2 - E _ { \mathrm { W } } / 2 } ^ { \delta _ { \mathrm { s } } / 2 + E _ { \mathrm { W } } / 2 } e ^ { - i x t } d x \bigg | } \end{array}
C _ { B } ( \psi ) = \tau _ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 ! } } \psi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 ! } } \tau _ { 3 } \psi ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 6 ! } } \psi ^ { 6 } + \ldots \quad .
G ( t _ { s } ^ { b } , t ^ { \prime } ) = Q _ { \Gamma _ { b , s } } ^ { - 2 } ( t ) \left( G ( t , t ^ { \prime } ) + \sum _ { r = 1 } ^ { n } \sum _ { N _ { r } } Y _ { b , N _ { r } } ^ { ( s ) } ( t ) \chi _ { N _ { s } } ( t ^ { \prime } ) \right)
\Delta _ { \mathrm { e f f } } = \frac { \Delta _ { + } + \Delta _ { - } + \hat { \beta } ( \Omega _ { \mathrm { p } } ) + \hat { \beta } ( - \Omega _ { \mathrm { p } } ) } { 2 } - 2 \left( Y _ { + } + Y _ { - } \right) .
\bar { D } _ { T W } = \frac { | \psi _ { 0 } | ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 5 } \bar { N } ^ { \frac { 5 } { 2 } } ( \beta - \alpha ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \nu + \kappa ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( l ( l + 1 ) ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { 4 } .
\begin{array} { r l } & { \frac { U _ { 0 M N } } { U _ { 0 A B } } = \frac { \sqrt { r ^ { 2 } + Z _ { L } ^ { 2 } } } { \sqrt { ( R + r ) ^ { 2 } + \left( Z _ { L } - Z _ { C } \right) ^ { 2 } } } \Rightarrow \frac { U _ { 0 M N } } { 1 2 0 } = \frac { 1 } { 3 } } \\ & { \Rightarrow U _ { 0 M N } = 4 0 ( V ) } \\ & { \Rightarrow u _ { M N } = 4 0 \cos \left( 1 0 0 \pi t + \frac { \pi } { 2 } \right) ( V ) } \end{array}
{ \frac { \delta } { \delta B } } \left\langle O _ { i } \right\rangle = \int d \mu O _ { i } i { \frac { \delta } { \delta B } } S e ^ { i S } \propto \int d \mu O _ { i } \delta G e ^ { i S } = \delta \left( \int d \mu O _ { i } G e ^ { i S } \right) = 0
\oint _ { C } z ^ { k } d z = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } i e ^ { i ( k + 1 ) \theta } \, d \theta = { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \pi i } & { { \mathrm { i f ~ } } k = - 1 , } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f } { \partial v } ( u _ { 0 } , - 1 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) } & { \geq 0 , } \\ { f ( 0 , - 1 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) } & { \geq f ( 0 , 0 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) , } \\ { f ( 0 , - 1 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) } & { \geq f ( - 1 , 0 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \left| \sum _ { X < \textnormal { N } ( n ) \le 2 X } \beta _ { n } 1 _ { \arg n \in [ \theta , \theta + h / X ) } - \frac { h } { \pi X / 2 } \sum _ { X < \textnormal { N } ( n ) \le 2 X } \beta _ { n } \right| ^ { 2 } \d \theta } \\ & { \ll \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \left( \sum _ { X < \textnormal { N } ( n ) \le 2 X } \beta _ { n } \right) ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \left| \sum _ { 0 < | m | \le T } c _ { m } ^ { \sigma } e \left( - m \frac { \theta + h / ( 2 X ) } { \pi / 2 } \right) \sum _ { X < \textnormal { N } ( n ) \le 2 X } \beta _ { n } \lambda ^ { m } ( n ) \right| ^ { 2 } \d \theta . } \end{array}
T = \frac { \mathrm { ~ s ~ a ~ m ~ p ~ l ~ e ~ \ i ~ n ~ } } { \mathrm { ~ s ~ a ~ m ~ p ~ l ~ e ~ \ o ~ u ~ t ~ } } = \frac { \alpha _ { 1 } \dot { c } _ { \mathrm { ~ s ~ } } - \alpha _ { 2 } k _ { \mathrm { ~ s ~ } } \dot { B } - \dot { B 0 } _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { \alpha _ { 3 } \dot { c } _ { \mathrm { ~ o ~ } } - \alpha _ { 4 } k _ { \mathrm { ~ o ~ } } \dot { B } - \dot { B 0 } _ { \mathrm { ~ o ~ } } }
S [ \psi , \phi ] = \int d ^ { 2 } x \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \bar { \psi } ^ { j } ( \gamma \cdot \partial + * \phi * ) \psi ^ { j } + \frac { N } { 2 \lambda } \phi ^ { 2 } \right\}
Z [ A _ { + } , A _ { - } ] = N \int \! D \theta e ^ { - \int \! d ^ { 2 } x \, [ \frac { 1 } { 2 \pi } \partial _ { - } \theta \partial _ { + } \theta + \frac { 1 } { \pi } A _ { \mu } \epsilon _ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \theta ] } \; ,
\displaystyle \mathrm { R e s } \left( \sum _ { \mu = 1 } ^ { k - 1 } e ^ { 2 \pi N z x } A _ { N } ( x ) , \frac { i n } { N } \right) = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \sum _ { \mu = 1 } ^ { k - 1 } \frac { 1 } { n } e ^ { 2 \pi i n z } e ^ { \frac { 2 \pi i n h \mu } { k - 1 } } \frac { e ^ { \frac { - 2 \pi n v \mu } { k } } } { 1 - e ^ { - 2 \pi n v } } .
G _ { g h } ( t _ { s } ^ { b } , t ^ { \prime } ) = Q _ { \Gamma _ { b , s } } ^ { - 2 } ( t ) \left( G _ { g h } ( t , t ^ { \prime } ) + \sum _ { N } Y _ { b , N } ^ { ( s ) } ( t ) \tilde { \chi } _ { N } ( t ^ { \prime } ) \right)
\frac { d \kappa _ { j , T } } { \kappa _ { j , T } } = - \lambda _ { j } p _ { j , T } d T = - \frac { \lambda _ { j } \beta d T } { \lambda _ { j } / \alpha + ( \beta / p _ { 0 } - \lambda _ { j } / \alpha ) e ^ { - \beta T } } \ ,
\begin{array} { r } { ( { P } _ { \Gamma } e _ { d } - n _ { E ^ { l } } ^ { e } ) \cdot e _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) } & { i = 1 , \ldots , d } \\ { n _ { \Gamma } ^ { d } ( 1 - n _ { \Gamma } ^ { d + 1 } ) + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) = \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) , } & { i = d + 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbb { B } u \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| \mathbb { 1 } _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { 0 } } ( I _ { d } + \mathbb { B } _ { \Omega _ { 0 } } ) u \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \| \mathbb { 1 } _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { 0 } } ( I _ { d } + \mathbb { B } _ { \Omega _ { 0 } } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { 0 } } u \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \{ 1 , \| \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { 0 } } ( I _ { d } + \mathbb { B } _ { \Omega _ { 0 } } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \} \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal M } _ { a } + { \cal M } _ { e } = 2 4 i m _ { e } e ^ { 4 } \int ( d k ) ( d l ) \, \frac { e ^ { i \, l \cdot \theta \cdot k } \sigma _ { \mu \nu } k ^ { \mu } l ^ { \nu } } { { k ^ { 2 } l ^ { 4 } ( k + l ) ^ { 4 } } } \ ,
\begin{array} { r l } { X _ { 1 2 } ^ { 2 } + X _ { 1 3 } ^ { 2 } + . . . + X _ { 1 n } ^ { 2 } } & { \leq ( X _ { 1 1 } X _ { 2 2 } ) + ( X _ { 1 1 } X _ { 3 3 } ) + . . . + ( X _ { 1 1 } X _ { n n } ) } \\ & { \leq X _ { 1 1 } ( X _ { 2 2 } + X _ { 3 3 } + . . . + X _ { n n } ) , } \\ { \sqrt { X _ { 1 2 } ^ { 2 } + X _ { 1 3 } ^ { 2 } + . . . + X _ { 1 n } ^ { 2 } } } & { \leq \sqrt { X _ { 1 1 } ( X _ { 2 2 } + X _ { 3 3 } + . . . + X _ { n n } ) } } \\ & { \leq \frac { X _ { 1 1 } + X _ { 2 2 } + X _ { 3 3 } + . . . + X _ { n n } } { 2 } , } \end{array}
{ \cal V } = - 6 \, W ^ { 2 } + \frac { 9 } { 2 } \, \Gamma ^ { - 2 } \, g ^ { x y } \partial _ { x } W \partial _ { y } W \, + \frac { 9 } { 2 } \, g ^ { X Y } \partial _ { X } W \partial _ { Y } W \, \; ,
< u _ { j } ^ { i } , 1 > = < \overline { { { u } } } { } _ { j } ^ { i } , 1 > = < 1 , t _ { j } ^ { i } > = < 1 , \overline { { { t } } } { } _ { j } ^ { i } > = < F ^ { i } , E _ { j } > = \delta _ { j } ^ { i } \, .
D _ { i } F ^ { i k } + \frac { 1 } { { m _ { e } } ^ { 2 } } D _ { i } [ 4 a R F ^ { i k } + 2 b ( { R ^ { i } } _ { l } F ^ { l k } - { R ^ { k } } _ { l } F ^ { l i } ) + 4 c { R ^ { i k } } _ { l r } F ^ { l r } ] = 0
\begin{array} { r l r } { \chi _ { 0 } ( x ) } & { = } & { \left( \frac { 1 } { \pi \ell ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \ell ^ { 2 } } \right) \; \; , \; \; \chi _ { 1 } ( x ) = \left( \frac { 1 } { \pi \ell ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \frac { \sqrt { 2 } x } { \ell } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \ell ^ { 2 } } \right) \; , } \\ { \chi _ { 2 } ( x ) } & { = } & { \left( \frac { 1 } { 4 \pi \ell ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { x ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } - 1 \right) \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \ell ^ { 2 } } \right) \; , \; \; \mathrm { e t c } \; . } \end{array}
d S ^ { 2 } = \left( 1 - { \frac { r _ { s } } { r } } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } - { \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - { r _ { s } } / { r } } } - r ^ { 2 } ( d \Omega ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \Omega d \varphi ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } \! } & { { } \simeq } & { \! 1 + \frac { \alpha } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \frac { { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } } { ( { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, ( \hat { { \bf k } } \times { \bf B } _ { 0 } ) ^ { 2 } \; , } \\ { n _ { 2 } \! } & { { } \simeq } & { \! 1 + \frac { \alpha } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \frac { | { \bf B } _ { 0 } | } { \beta } \, \frac { ( \hat { { \bf k } } \times { \bf B } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle S _ { \mathrm { e r r } } \rangle } & { = 2 \, \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 1 } \, k _ { \mathrm { f } } ( t _ { 1 } ) \, e ^ { - 2 \, \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } \, e ^ { - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } + \tau _ { \mathrm { l } } } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } } \\ & { = 2 \, k _ { \mathrm { f } } ^ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 1 } \, \frac { \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t _ { 1 } } \right) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } } { v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } + \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t _ { 1 } } \right) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } } } \\ & { \qquad \qquad \times \, e ^ { - \frac { 2 \, k _ { \mathrm { f } } ^ { 0 } } { n _ { \mathrm { e f f } } \, \lambda } \, \ln \left( \frac { \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t _ { 1 } } \right) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } { V _ { \mathrm { b } } ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } \right) } } \\ & { \qquad \qquad \times \, \, e ^ { - \frac { k _ { \mathrm { f } } ^ { 0 } } { n _ { \mathrm { e f f } } \, \lambda } \, \ln \left( \frac { \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, ( t _ { 1 } + \tau _ { l } ) } \right) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } { \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t _ { 1 } } \right) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } \right) } , } \end{array}
\widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) = \frac { j } { \hbar } \sum _ { b } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - \Gamma \tau } e ^ { j \omega _ { I } \tau } \, d \tau \, \widehat { M _ { s } } \, e ^ { - \frac { j } { \hbar } \widehat { H _ { b } } \tau } \, \widehat { M _ { I } } \, e ^ { \frac { j } { \hbar } \widehat { H _ { a } } \tau }
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { C } } ( N , \mathbf { c } ) } & { { } = \langle N [ \phi ] | \prod _ { n = 1 } ^ { M } \delta \bigl ( \hat { C } _ { n } - { c } _ { n } \bigr ) | N [ \phi ] \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { p } _ { c c } = } & { \frac { 2 } { N k } \sum _ { n _ { c } ^ { o } , n _ { d } ^ { o } ; n _ { c } ^ { m } , n _ { d } ^ { m } } ( \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { c c } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { c c } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { C } } } \\ & { + \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c c } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c c } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } } \\ & { + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c c } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c c } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( u ( t ) ) _ { t \geq 0 } } & { { } \overset { \Delta } { = } \left( \mathcal { S } ( t ) \textbf { u } _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( \textbf { u } ( s ) ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { G } ( z , x , \textbf { u } ( s - ) ) \tilde { N } ( d s , d z ) \right) _ { t \geq 0 } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \cal Q } _ { e } ^ { I \ \prime } } } & { { = } } & { { ( c \hat { a } _ { 0 } + d ) { \cal Q } _ { e } ^ { I } + c e ^ { - \hat { \phi } _ { 0 } } { \cal Q } _ { m } ^ { I } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \cal Q } _ { m } ^ { I \ \prime } } } & { { = } } & { { - c e ^ { - \hat { \phi } _ { 0 } } { \cal Q } _ { e } ^ { I } + ( c \hat { a } _ { 0 } + d ) { \cal Q } _ { m } ^ { I } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { V } \nabla \Psi _ { i } \boldsymbol { \cdot } ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) \, \mathrm { d } V } & { { } = \underbrace { \int _ { S } \Psi _ { x } \, ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { 1 } _ { n } \, \mathrm { d } S } _ { 0 } - \int _ { V } \Psi _ { i } \, \nabla \boldsymbol { \cdot } ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { v } ) \, \mathrm { d } V , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta n _ { \mathbf { q } , A } ^ { i } ( \mathbf { r } ) = 2 \sum _ { \vec { G } } { \rho _ { \vec { G } } ^ { i } ( \vec { q } ) } \textnormal { c o s } \big ( \left( \mathbf { q } + \mathbf { G } \right) \cdot \mathbf { r } \big ) \ , } \end{array}
R _ { l } ( r ) \stackrel { ( r \rightarrow 0 ) } { \sim } \frac { u _ { l } ( r ) } { r ^ { ( { D } - 1 ) / 2 } } = \mathrm { \boldmath \large ~ \left\{ ~ \right. ~ } \! \! \! r ^ { l } \mathrm { \boldmath \large ~ , ~ } \! r ^ { - ( l + 2 \nu ) } \mathrm { \boldmath \large ~ \left. ~ \right\} ~ } \! \! \; ,
\begin{array} { r l } { W _ { n } ( ( \mathcal { L } ( \bar { V } _ { t } , { \bar { \theta } _ { t } } ) , \pi _ { \beta } ) \leq W _ { 2 } ( \mathcal { L } } & { ( \bar { V } _ { t } , { \bar { \theta } _ { t } } ) , \mathcal { L } ( Z _ { t } ^ { \lambda , n } , \zeta _ { t } ^ { \lambda , n } ) ) + W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( Z _ { t } ^ { \lambda , n } , \zeta _ { t } ^ { \lambda , n } ) , \mathcal { L } ( R _ { t } ^ { \lambda } , r _ { t } ^ { \lambda } ) ) } \\ & { + W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( R _ { t } ^ { \lambda } , r _ { t } ^ { \lambda } ) , \pi _ { \beta } ^ { \epsilon } ) + W _ { 2 } ( \pi _ { \beta } ^ { \epsilon } , \pi _ { \beta } ) . } \end{array}
{ \mathcal G } _ { l + \nu } ^ { ( 0 ) } ( r ^ { \prime \prime } , r ^ { \prime } ; E ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \, \eta _ { l + \nu } ( z ; \kappa ) \, \Psi _ { z , l + \nu } ( r ^ { \prime \prime } ; \kappa ) \Psi _ { z , l + \nu } ( r ^ { \prime } ; \kappa ) \; .
\begin{array} { r l } { \rho _ { j } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } & { { } = \rho _ { c _ { 2 , j } ^ { \dagger } } } \\ { \rho _ { j } ^ { \mathrm { ~ h ~ } } } & { { } = \rho _ { c _ { 1 , j } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) } & { = - [ { \boldsymbol { \omega } } \times ( ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ] } \\ & { = - [ ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ( { \boldsymbol { \omega } } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) - \Delta \mathbf { r } _ { i } ( { \boldsymbol { \omega } } \cdot ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) ] \; \ldots { \mathrm { ~ v e c t o r ~ t r i p l e ~ p r o d u c t } } } \\ & { = - [ ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ( { \boldsymbol { \omega } } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) - \Delta \mathbf { r } _ { i } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot ( { \boldsymbol { \omega } } \times { \boldsymbol { \omega } } ) ) ] \; \ldots { \mathrm { ~ s c a l a r ~ t r i p l e ~ p r o d u c t } } } \\ & { = - [ ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ( { \boldsymbol { \omega } } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) - \Delta \mathbf { r } _ { i } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot ( 0 ) ) ] \; \ldots { \mathrm { ~ s e l f ~ c r o s s - p r o d u c t } } } \\ & { = - [ ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ( { \boldsymbol { \omega } } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ] } \\ & { = - [ { \boldsymbol { \omega } } \times ( \Delta \mathbf { r } _ { i } ( { \boldsymbol { \omega } } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) ] \; \ldots { \mathrm { ~ c r o s s - p r o d u c t ~ s c a l a r ~ m u l t i p l i c a t i o n } } } \\ & { = { \boldsymbol { \omega } } \times - ( \Delta \mathbf { r } _ { i } ( { \boldsymbol { \omega } } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) \; \ldots { \mathrm { ~ c r o s s - p r o d u c t ~ s c a l a r ~ m u l t i p l i c a t i o n } } } \\ { \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) } & { = { \boldsymbol { \omega } } \times - ( \Delta \mathbf { r } _ { i } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot { \boldsymbol { \omega } } ) ) \; \ldots { \mathrm { ~ d o t - p r o d u c t ~ c o m m u t a t i v i t y } } } \end{array} }
k _ { 0 } = \left\{ \frac { 2 \pi v _ { 1 } } { L _ { 1 } } , \ \frac { 2 \pi v _ { 2 } } { L _ { 2 } } , \ldots , \frac { 2 \pi v _ { 8 } } { L _ { 8 } } \right\} = \left\{ \frac { 2 \pi } { B + A \alpha _ { 1 } } , \ \frac { 2 \pi } { B + A \alpha _ { 2 } } , \ldots , \frac { 2 \pi } { B + A \alpha _ { 8 } } \right\}
\begin{array} { r } { D ( \rho ) = \sum _ { i , j , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \Gamma _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } ( 2 b _ { j } ^ { \alpha ^ { \prime } } \rho b _ { i } ^ { \alpha ^ { \dagger } } - \{ b _ { i } ^ { \alpha ^ { \dagger } } b _ { j } ^ { \alpha ^ { \prime } } , \rho \} ) } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { e f f , m i s } } = H _ { \mathrm { 0 , m i s } } - \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { \Delta - \delta / 2 } D _ { A } ^ { \dagger } D _ { A } - \frac { g _ { B } ^ { 2 } } { \Delta + \delta / 2 } D _ { B } ^ { \dagger } D _ { B } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \textrm { U } _ { ( ( a _ { 1 } { p _ { \mathrm { s } } } + a _ { 2 } ) { p _ { \mathrm { s } } } + a _ { 3 } ) { p _ { \mathrm { t } } } + m + 1 , ( ( b _ { 1 } { p _ { \mathrm { s } } } + b _ { 2 } ) { p _ { \mathrm { s } } } + b _ { 3 } ) { p _ { \mathrm { t } } } + n + 1 } ^ { d } : = U _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 } , m , n } ^ { d } ( O , S , I , J ) } \end{array}