harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { R ^ { - 2 } { \cal T } _ { 1 1 } ^ { \prime } } & { = } & { - \textstyle \frac { 1 } { 3 } \, C _ { 2 0 } + 2 \Big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \psi - S _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { R ^ { - 2 } { \cal T } _ { 2 2 } ^ { \prime } } & { = } & { \textstyle \frac { 1 } { 3 } \Big ( 3 \sin ^ { 2 } \theta - 1 \Big ) \, C _ { 2 0 } - \sin 2 \theta \Big ( C _ { 2 1 } \sin \psi + S _ { 2 1 } \cos \psi \Big ) + 2 \cos ^ { 2 } \theta \Big ( S _ { 2 2 } \sin 2 \psi - C _ { 2 2 } \cos 2 \psi \Big ) , } \\ { R ^ { - 2 } { \cal T } _ { 3 3 } ^ { \prime } } & { = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } \big ( 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 \big ) C _ { 2 0 } + \sin 2 \theta \Big ( C _ { 2 1 } \sin \psi + S _ { 2 1 } \cos \psi \Big ) + 2 \sin ^ { 2 } \theta \Big ( S _ { 2 2 } \sin 2 \psi - C _ { 2 2 } \cos 2 \psi \Big ) , } \\ { R ^ { - 2 } { \cal T } _ { 1 2 } ^ { \prime } } & { = } & { - \sin \theta \Big ( C _ { 2 1 } \cos \psi - S _ { 2 1 } \sin \psi \Big ) + 2 \cos \theta \Big ( S _ { 2 2 } \cos 2 \psi + C _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { R ^ { - 2 } { \cal T } _ { 1 3 } ^ { \prime } } & { = } & { \cos \theta \Big ( C _ { 2 1 } \cos \psi - S _ { 2 1 } \sin \psi \Big ) + 2 \sin \theta \Big ( S _ { 2 2 } \cos 2 \psi + C _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { R ^ { - 2 } { \cal T } _ { 2 3 } ^ { \prime } } & { = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \sin 2 \theta \, C _ { 2 0 } + \cos 2 \theta \Big ( C _ { 2 1 } \sin \psi + S _ { 2 1 } \cos \psi \Big ) - \sin 2 \theta \Big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \psi - S _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \end{array}
\iota _ { \bar { Z } } \bar { \Theta } \wedge \mathrm { d } ^ { \omega } \, \iota _ { \bar { Z } } \bar { \Theta } = \iota _ { \bar { Z } } \bar { \Theta } \wedge \mathrm { d } \, \iota _ { \bar { Z } } \bar { \Theta } \ ,
\begin{array} { r l } { T _ { 2 } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) u _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \bigg ( \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( j ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( j ) } ) u _ { t - 1 } ^ { ( j ) } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 1 6 \bigg ( L ^ { 2 } + \frac { 2 L _ { x y } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + 4 M \zeta _ { f } ^ { 2 } + \frac { 8 M C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \end{array}
2 \Lambda l \left( \frac { 1 } { g } - \frac { 1 } { g _ { c } } \right) \sigma = \frac { \sigma } { | \sigma | l } + \sqrt { 2 } \sigma \zeta \left( \frac { 1 } { 2 } , 1 + \frac { ( \sigma l ) ^ { 2 } } { 2 } \right) + O ( 1 / \Lambda ) ,
h ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) : = \varepsilon \, P ( t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \in { \mathcal { S } } _ { 1 } ) + \omega _ { i } ^ { ( k ) } \, P ( t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \in \{ S _ { 2 } \cup S _ { 3 } \} ) .
{ \dots , \, a = 5 \leftrightarrow \{ n _ { a } = 2 ; l _ { a } = 1 ; m _ { a } = 1 \} , \, a = 6 \leftrightarrow \{ n _ { a } = 3 ; l _ { a } = 0 ; m _ { a } = 0 \} , \dots }
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } ( \ensuremath { \hat { C } _ { m , m } ^ { \underline { { s } } } } ) } & { = \frac { s ! } { \binom { 2 m } { m } 2 \pi i } \oint _ { \mathcal { C } } \frac { \big ( 1 + x ( y ) \big ) x ( y ) ^ { s } } { ( 1 - x ( y ) ) ^ { s + 1 } } \frac { d y } { y ^ { m + 1 } } . = \frac { s ! } { \binom { 2 m } { m } } [ y ^ { m } ] \frac { \big ( 1 + x ( y ) \big ) x ( y ) ^ { s } } { ( 1 - x ( y ) ) ^ { s + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { F } _ { i j } \rangle } & { = F _ { i j } } \\ & { + { C } _ { a b } ^ { - 1 } \mathrm { C o v } \left[ \delta { \mu } _ { a , i } , { \delta \mu } _ { b , j } \right] + \frac { 1 } { 2 } C _ { a b } ^ { - 1 } C _ { c d } ^ { - 1 } \mathrm { C o v } \left[ { \delta C } _ { b c , i } , { \delta C } _ { d a , j } \right] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { C o v } \left[ \tilde { C } _ { a b } ^ { - 1 } , \tilde { C } _ { c d } ^ { - 1 } \right] \Big [ { C } _ { b c , i } { C } _ { d a , j } + \mathrm { C o v } \left[ { \delta C } _ { b c , i } , { \delta C } _ { d a , j } \right] \Big ] . } \end{array}
h ( e ^ { \gamma \phi } ) = - { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } Q _ { \phi } \gamma = - { \frac { 1 } { 2 } } ( \gamma + { \frac { Q _ { \phi } } { 2 } } ) ^ { 2 } + { \frac { Q _ { \phi } ^ { 2 } } { 8 } }
\mathcal { R } ^ { \psi _ { j } } { } _ { p _ { j } } = d \omega ^ { \psi _ { j } } { } _ { p _ { j } } = K _ { ( p _ { j } , \psi _ { j } ) } \sqrt { \mathsf { G } _ { p _ { j } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } \, d p _ { j } \wedge d \psi _ { j } \, ,
\begin{array} { r c l c l } { { \dot { \varphi } ^ { 0 } } } & { { = } } & { { [ \varphi ^ { 0 } , H ] } } & { { = } } & { { \varphi _ { 1 } ^ { 0 } , } } \\ { { \dot { \varphi } ^ { m } } } & { { = } } & { { [ \varphi ^ { m } , H ] } } & { { = } } & { { 2 \varphi _ { 1 } ^ { m } , } } \\ { { \dot { \varphi } _ { 1 } ^ { 0 } } } & { { = } } & { { [ \varphi _ { 1 } ^ { 0 } , H ] } } & { { = } } & { { - \partial _ { m } \varphi _ { 1 } ^ { m } , } } \\ { { \dot { \varphi } _ { 1 } ^ { m } } } & { { = } } & { { [ \varphi _ { 1 } ^ { m } , H ] } } & { { = } } & { { 0 . } } \end{array}
A _ { 0 } ^ { 3 } ( \alpha ^ { \prime } \rightarrow 0 ) = 2 g _ { d } \, \, \varepsilon _ { \lambda } ^ { ( 1 ) } \varepsilon _ { \mu } ^ { ( 2 ) } \varepsilon _ { \nu } ^ { ( 3 ) } \left\{ \eta ^ { \lambda \mu } \left( p _ { 1 } ^ { \nu } - p _ { 2 } ^ { \nu } \right) + \eta ^ { \lambda \nu } \left( p _ { 3 } ^ { \mu } - p _ { 1 } ^ { \mu } \right) + \eta ^ { \mu \nu } \left( p _ { 2 } ^ { \lambda } - p _ { 3 } ^ { \lambda } \right) \right\} .
d ( e ^ { - \Phi } * H _ { 3 } ) = - { \frac { 1 } { 2 } } J _ { 4 } { } ^ { 2 } + F _ { 2 } * J _ { 4 } + { \frac { 2 \kappa _ { 1 0 } { } ^ { 2 } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } { \tilde { X } } _ { 8 } \ ,
\begin{array} { r l } { \Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { l e p t . } } ( 1 s ) = \ } & { \frac { \alpha } { \pi } \left[ - \frac { 1 6 s ^ { 2 } ( Z \alpha ) ^ { 4 } } { 1 5 } + \frac { 5 \pi s ^ { 3 } ( Z \alpha ) ^ { 5 } } { 9 } \right. } \\ & { + \left( \frac { 1 6 s ^ { 2 } } { 1 5 } \ln ( 2 s Z \alpha ) - \frac { 1 1 6 s ^ { 2 } } { 7 5 } - \frac { 1 6 s ^ { 4 } } { 7 } \right) ( Z \alpha ) ^ { 6 } } \\ & { + \left( - \frac { 5 \pi s ^ { 3 } } { 9 } \ln \left( \frac { s Z \alpha } { 2 } \right) - \frac { 8 \pi s ^ { 3 } } { 2 7 } + \frac { 7 \pi s ^ { 5 } } { 8 } \right) ( Z \alpha ) ^ { 7 } } \\ & { + \mathcal { O } \left( ( Z \alpha ) ^ { 8 } \right) \Big ] \, . } \end{array}
{ g ^ { \prime } } _ { \mu \nu } ( x , l ) = [ f ( l ) ^ { \star } g _ { \mu \nu } ( l ) ] ( x ) = \frac { \partial { x ^ { \prime } } ^ { \alpha } ( x , l ) } { \partial x ^ { \mu } } g _ { \alpha \beta } ( x ^ { \prime } ( x , l ) , l ) \frac { { x ^ { \prime } } ^ { \beta } ( x , l ) } { \partial x ^ { \nu } }
\begin{array} { r l } & { \quad \langle 0 | \mathrm { T } [ \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \psi ( x _ { 1 } ) ] [ ( \nabla _ { \nu _ { n } \cdots \nu _ { 1 } } \bar { \psi } ( x _ { 2 } ) ) \, \gamma ^ { \dagger \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { n } } ] | 0 \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { i ^ { 2 } } \frac { \delta ^ { 2 } \mathcal { Z } [ \nabla _ { \beta _ { n } \cdots \beta _ { 1 } } \bar { J } ( x ) \, \gamma ^ { \dagger \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { n } } \, , \, \gamma ^ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } J ( x ) ] } { \delta [ \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } J ( x _ { 1 } ) ] \delta [ ( \nabla _ { \nu _ { n } \cdots \nu _ { 1 } } \bar { J } ( x _ { 2 } ) ) \, \gamma ^ { \dagger \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { n } } ] } \bigg \vert _ { \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } J ( x _ { 1 } ) = ( \nabla _ { \nu _ { n } \cdots \nu _ { 1 } } \bar { J } ( x _ { 2 } ) ) \, \gamma ^ { \dagger \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { n } } = 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 5 - | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } M _ { 0 } } & { = \frac { 5 - | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } } f _ { 0 } = f _ { 0 } e _ { 0 } - \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } f _ { 0 } e _ { 4 } , } \\ { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathbf { v } \cdot \mathbf { M } _ { 1 } } & { = f _ { 1 } e _ { 1 } + f _ { 2 } e _ { 2 } + f _ { 3 } e _ { 3 } , } \\ { \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } - 3 } { 6 ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } } & { = e _ { 4 } \frac { 1 } { \sqrt { 6 } ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } } \int _ { \mathbb { R } } f | \mathbf { v } | ^ { 2 } \, d \mathbf { v } = e _ { 4 } \frac { 1 } { \sqrt { 6 } ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } } \left( \int _ { \mathbb { R } } f ( | \mathbf { v } | ^ { 2 } - 3 ) \, d \mathbf { v } + 3 M _ { 0 } \right) } \\ & { = f _ { 2 } e _ { 4 } + \frac { 3 } { \sqrt { 6 } } f _ { 0 } e _ { 4 } . } \end{array}
\left( { \frac { \partial \rho } { \partial t } } + { \boldsymbol { \nabla } } \rho \cdot \mathbf { v } + \rho ~ { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { v } \right) ~ \eta + \rho ~ \left( { \frac { \partial \eta } { \partial t } } + { \boldsymbol { \nabla } } \eta \cdot \mathbf { v } \right) \geq - { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \left( { \cfrac { \mathbf { q } } { T } } \right) + { \cfrac { \rho ~ s } { T } } .
( \Psi _ { 0 } , \phi _ { \mu } ( x _ { 1 } ) \phi _ { \nu } ( x _ { 2 } ) . . . . . . . \phi _ { \rho } ( x _ { n } ) \Psi _ { 0 } ) = i ^ { F } ( - 1 ) ^ { J } ( \Psi _ { 0 } , \phi _ { \mu } ( - x _ { 1 } ) \phi _ { \nu } ( - x _ { 2 } ) . . . . . . . \phi _ { \rho } ( - x _ { n } ) \Psi _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) } & { \triangleq \mathbb { P } \Bigg [ \log _ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { P _ { S } } { P _ { I } ^ { \prime } + N _ { 0 } } \bigg ) > \theta \Bigg ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname { I m } \Big \{ \phi _ { P _ { S _ { \eta = - \Tilde { \theta } } } } ( t | n _ { R } , n _ { U } ) \phi _ { P _ { I _ { 2 } } } ( - \Tilde { \theta } t ) e ^ { - j t \Tilde { \theta } N _ { 0 } } \Big \} t ^ { - 1 } d t } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( x ) = \sum _ { i = j } ^ { j + n - 1 } q _ { i } \int _ { i } ^ { i + 1 } w ( z - x ) z \mathrm { d } z \Biggl / \sum _ { i = j } ^ { j + n - 1 } q _ { i } \int _ { i } ^ { i + 1 } w ( z - x ) \mathrm { d } z } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal I _ { j } ^ { + } = \left\{ i \in [ I ] : q _ { i j } ^ { \star } > 0 \right\} , \quad \mathcal I _ { j } ^ { 0 } = \left\{ i \in [ I ] : q _ { i j } ^ { \star } = 0 , \, \xi _ { i j } ^ { \star } = 0 \right\} \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal I _ { j } ^ { \infty } = \left\{ i \in [ I ] : q _ { i j } ^ { \star } = 0 , \, \xi _ { i j } ^ { \star } \neq 0 \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { 1 } = \frac { E } { \alpha ( 1 - \nu - 2 \nu ^ { 2 } ) } , c _ { 2 } = \frac { E ( 1 - 4 \nu ) } { \alpha ( 1 - \nu - 2 \nu ^ { 2 } ) } , } \end{array}
S ^ { * } ( g h ) = S ^ { * } ( g ) \; + \; S ^ { * } ( h ) \; - \; { \frac { k } { 2 \pi } } \int d ^ { 2 } z T r ( g ^ { - 1 } \partial _ { z } g \cdot \bar { \partial } _ { \bar { z } } h h ^ { - 1 } ) .
\begin{array} { r l } { \prod _ { j = 1 } ^ { n + 1 } \left( \sum _ { k _ { j } = 0 } ^ { \infty } a _ { j , k _ { j } } \right) } & { { } = \left( \sum _ { k _ { n + 1 } = 0 } ^ { \infty } \overbrace { a _ { n + 1 , k _ { n + 1 } } } ^ { = : a _ { k _ { n + 1 } } } \right) \left( \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \overbrace { \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } \cdots \sum _ { k _ { n } = 0 } ^ { k _ { n - 1 } } a _ { 1 , k _ { n } } a _ { 2 , k _ { n - 1 } - k _ { n } } \cdots a _ { n , k _ { 1 } - k _ { 2 } } } ^ { = : b _ { k _ { 1 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ a ~ l ~ p ~ H ~ } \equiv - \log _ { 1 0 } \left( \frac { \langle c _ { \mathrm { H + } } \rangle _ { \mathrm { b r u s h } } } { 1 \, \mathrm { M } } \right) \neq \mathrm { p H } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { c _ { 1 2 3 4 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = ( p + 2 ) b _ { i - 1 , j k } ^ { p + 1 } \mathbf { e } _ { 1 } - \frac { i } { p + 2 } \nabla _ { \xi } b _ { i j k } ^ { p + 2 } \, , } & & { \begin{array} { r l } & { 0 < i < p + 2 \, , } \\ & { 0 < j < p + 2 - i \, , } \\ & { 0 < k < p + 2 - i - j } \end{array} \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = ( p + 2 ) b _ { i , j - 1 , k } ^ { p + 1 } \mathbf { e } _ { 2 } - \frac { j } { p + 2 } \nabla _ { \xi } b _ { i j k } ^ { p + 2 } \, , } & & { \begin{array} { r l } & { 0 < i < p + 2 \, , } \\ & { 0 < j < p + 2 - i \, , } \\ & { 0 < k < p + 2 - i - j } \end{array} \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = ( p + 2 ) b _ { i j 0 } ^ { p + 1 } \mathbf { e } _ { 3 } - \frac { 1 } { p + 2 } \nabla _ { \xi } b _ { i j 1 } ^ { p + 2 } \, , } & & { \begin{array} { r l } & { 0 < i < p + 2 \, , } \\ & { 0 < j < p + 2 - i } \end{array} \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \nabla _ { \xi } b _ { i j k } ^ { p + 1 } \, , } & & { \begin{array} { r l } & { 0 < i < p + 1 \, , } \\ & { 0 < j < p + 1 - i \, , } \\ & { 0 < k < p + 1 - i - j } \end{array} \, . } \end{array}
\frac { \langle \eta \eta | V | G \rangle } { \langle \pi \pi | V | G \rangle } = \frac { \langle \eta \eta | V | G _ { 0 } \rangle } { N _ { G } \langle \pi \pi | V | G \rangle } + ( \frac { 1 + \omega } { 2 } ) = \pm ( 0 . 9 0 \pm 0 . 2 0 )
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \frac { 1 } { r _ { i j } ^ { 3 } } \bigg \rangle _ { \varepsilon } } & { { } \equiv \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \left[ \left\langle \frac { \Theta ( r _ { i j } - \varepsilon ) } { r _ { i j } ^ { 3 } } \right\rangle + ( \gamma _ { E } + \ln \varepsilon ) \big \langle 4 \pi \delta ( \vec { r } _ { i j } ) \big \rangle \right] . } \end{array}
\left[ \nabla \times \frac { 1 } { \mu _ { r } ( \mathbf { r } \omega ) } \nabla \times - \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \epsilon ( \mathbf { r } \omega ) \right] G ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) = \delta ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \frac { d } { d t } \int _ { \mathcal { O } } \varphi ( v ) \mathbf { f } ( v , t ) \, d v } & { = \frac { 1 } { 2 N } \int _ { \mathcal { O } } \int _ { \mathcal { O } } \left\langle \varphi ( v ^ { \prime } ) - \varphi ( v ) \right\rangle \mathbf { f } ( v , t ) \odot \mathbf { M } \mathbf { f } ( v _ { \ast } , t ) \, d v \, d v _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { 1 } { 2 N } \int _ { \mathcal { O } } \int _ { \mathcal { O } } \left\langle \varphi ( v _ { \ast } ^ { \prime } ) - \varphi ( v _ { \ast } ) \right\rangle \mathbf { M } \mathbf { f } ( v , t ) \odot \mathbf { f } ( v _ { \ast } , t ) \, d v \, d v _ { \ast } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring \rho ( \mathring \varepsilon ) } & { \| u \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega _ { \mathring \varepsilon } , g ) } ^ { 2 } + \| u \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega \setminus \Omega _ { \mathring \varepsilon } , g ) } ^ { 2 } = \mathring \rho ( \mathring \varepsilon ) \| u \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega _ { \mathring \varepsilon } , g ) } ^ { 2 } + \int _ { \Omega \setminus \Omega _ { \mathring \varepsilon } } \sum _ { j \leq 2 } | \nabla _ { g } ^ { j } u | _ { g } ^ { 2 } \rho \; d \mu _ { g } } \\ & { \qquad \qquad \leq C ^ { 2 } \Big ( \mathring \rho ( \mathring \varepsilon ) \| L _ { g } ^ { * } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \mathring \varepsilon } , g ) } ^ { 2 } + \int _ { \Omega \setminus \Omega _ { \mathring \varepsilon } } | L _ { g } ^ { * } u | _ { g } ^ { 2 } \rho \; d \mu _ { g } \Big ) \leq C ^ { 2 } \| L _ { g } ^ { * } u \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , g ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { r \left( t \right) \exp \left[ \mathsf { i } \psi \left( t \right) \right] = \frac { 1 } { \vert V \vert } \sum _ { i = 1 } ^ { \vert V \vert } \exp \left[ \mathsf { i } \theta _ { j } \left( t \right) \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { n ! \, L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } { ( \alpha + 1 ) _ { n } } } } & { = 1 - \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { j } { \frac { j } { \alpha + j } } { \binom { n } { j } } L _ { n } ^ { ( - j ) } ( x ) } \\ & { = 1 - \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { x ^ { j } } { \alpha + j } } \, \, { \frac { L _ { n - j } ^ { ( j ) } ( x ) } { ( j - 1 ) ! } } } \\ & { = 1 - x \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { L _ { n - i } ^ { ( - \alpha ) } ( x ) L _ { i - 1 } ^ { ( \alpha + 1 ) } ( - x ) } { \alpha + i } } . } \end{array} }
X _ { 0 } ^ { 2 } - \tilde { X } _ { i } \tilde { X } _ { i } = X _ { 0 } ^ { 2 } - \left( X _ { i } - \frac 1 \kappa N _ { i } \right) \left( X _ { i } - \frac 1 \kappa N _ { i } \right) .
\begin{array} { r } { ( g * B ) ( x ) = \ \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { 1 } { \sqrt { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } \ e ^ { - \frac { ( x - Q _ { 0 } - Q ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) } } \ \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { Q _ { 0 } \sigma ^ { 2 } - Q \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - x \sigma ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } \sigma \sqrt { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E } & { = } & { E _ { e n t } + E _ { i n t } + E _ { e l e } + E _ { \Gamma } } \\ & { = } & { \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \Omega } \left\{ R T C _ { i } \left( \ln { \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) } - 1 \right) + C _ { i } U _ { i } \right\} d x + \int _ { \Omega } \frac { \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { E } } { 2 } d x } _ { b u l k } } \\ & { } & { + \underbrace { \int _ { \Gamma } \left\{ R T C _ { e } \left( \ln { \left( \frac { C _ { e } } { c _ { e , 0 } } \right) } - 1 \right) + C _ { e } U _ { e } \right\} d x + \frac 1 2 \int _ { \Gamma } \mathbb { C } _ { p } ( \phi - \phi _ { p } ) ^ { 2 } d S } _ { b o u n d a r y } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \mathcal { F } ( \varphi ) \mathcal { G } ( \varphi ) e ^ { - i p \varphi } \ d \varphi } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \left( \sum _ { m } \mathcal { F } _ { m } e ^ { i m \varphi } \right) \left( \sum _ { n } \mathcal { G } _ { n } e ^ { i n \varphi } \right) e ^ { - i p \varphi } \ d \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { R } \mathbf { A } \left( \mathbf { r } \right) } & { = \pm \delta \alpha \mathbf { n } \times \mathbf { A } \left( \mathbf { r } \pm \delta \alpha \mathbf { n } \times \mathbf { r } \right) } \\ & { = \mathbf { A } \left( \mathbf { r } \right) \pm \delta \alpha \left[ \mathbf { n } \times + \left( \mathbf { n } \times \mathbf { r } \right) \mathbf { . \nabla } \right] \mathbf { A } \left( \mathbf { r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda } & { = | k _ { x } | v _ { x , \operatorname* { m a x } } + \sqrt { \Delta v _ { x } N _ { v _ { x } } v _ { x , \operatorname* { m a x } } G _ { \operatorname* { m a x } } } , } \\ { v _ { x , \operatorname* { m a x } } } & { = \operatorname* { m a x } _ { j _ { x } } | v _ { j _ { x } } | , } \\ { G _ { \operatorname* { m a x } } } & { = \operatorname* { m a x } _ { j _ { x } } | v _ { j _ { x } } f _ { \mathrm { M } } ( v _ { v _ { j _ { x } } } ) | . } \end{array}
G ( \vec { \alpha } ^ { \ast } , \vec { \gamma } , t ) = { \frac { \mathrm { e x p } \ ( - | \vec { \alpha } | ^ { 2 } / 2 - | \vec { \gamma } | ^ { 2 } / 2 ) } { \sqrt { d e t M _ { 1 } } } } \mathrm { e x p } \biggl ( - { \frac { 1 } { 2 } } \vec { \alpha } ^ { \ast } M _ { 1 } ^ { - 1 } M _ { 2 } \vec { \alpha } ^ { \ast } + \vec { \alpha } ^ { \ast } M _ { 1 } ^ { - 1 } \vec { \gamma } + { \frac { 1 } { 2 } } \vec { \gamma } M _ { 3 } M _ { 1 } ^ { - 1 } \vec { \gamma } \biggr ) \ \ .
{ \cal M } _ { I A } ( D ^ { \pm } ) = \pm \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d ^ { 3 } r \: \varphi _ { f } ^ { * } ( r ) \left( \frac { 2 } { m _ { c } } - \frac { 1 } { m _ { \bar { d } } } \right) j _ { 0 } \left( \frac { q r } { 2 } \right) \varphi _ { i } ( r )
{ \cal V } _ { + } ^ { g _ { - } } w \, \longrightarrow { \cal V } _ { + } ^ { g _ { - } } w D \, , \; \; \; \; w ^ { - 1 } { \cal V } _ { - } ^ { g _ { - } } \longrightarrow D ^ { - 1 } w ^ { - 1 } { \cal V } _ { - } ^ { g _ { - } } \,
M _ { B } = E ( { \bar { \mu } } ) = M + \Bigl ( V _ { 0 } + 2 \sqrt { \gamma \beta } \, \Bigr ) + { \frac { C } { 2 } } \Bigl ( { \frac { \gamma } { \beta } } \Bigr ) { \frac { 1 } { M } } + O ( { \frac { 1 } { M ^ { 2 } } } ) .
\begin{array} { r } { { \bf h } _ { \mathrm { I } , k } = \sqrt { \beta _ { \mathrm { I } , k } } \mathbf { R } _ { \mathrm { I } , k } ^ { 1 / 2 } { \bf g } _ { \mathrm { I } , k } \quad \ \ \ { \bf h } _ { \mathrm { B } , k } = \sqrt { \beta _ { 2 , k } } \mathbf { R } _ { \mathrm { B } , k } ^ { 1 / 2 } { \bf g } _ { \mathrm { B } , k } , } \\ { { \bf H } _ { \mathrm { I , E } } = \sqrt { \beta _ { \mathrm { I , E } } } \mathbf { R } _ { \mathrm { I , E } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { G } _ { \mathrm { I , E } } \quad \ { \bf H } _ { \mathrm { B , E } } = \sqrt { \beta _ { 3 } } \mathbf { R } _ { \mathrm { B , E } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { G } _ { \mathrm { B , E } } } \end{array}
l _ { o r b } ^ { \pm } = \frac { B _ { 1 } ^ { 2 } ( \mp \hbar ) + B _ { 2 } ^ { 2 } ( \pm \hbar ) } { B _ { 1 } ^ { 2 } + B _ { 2 } ^ { 2 } } = \mp \frac { 2 A _ { 1 } A _ { 2 } } { A _ { 1 } ^ { 2 } + A _ { 2 } ^ { 2 } } \hbar \, ;
\begin{array} { r } { R _ { t } = \frac { \langle \boldsymbol { B } _ { t } ^ { 2 } / ( 8 \pi ) \rangle _ { x y } } { \langle \rho \boldsymbol { v } _ { t } ^ { 2 } / 2 \rangle _ { x y } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \big ( \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) u _ { t } ^ { ( m ) } } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) u _ { t } ^ { ( j ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } } \\ & { \leq \underbrace { \frac { 2 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } } \\ & { \qquad + \underbrace { \frac { 2 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) u _ { t } ^ { ( m ) } - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) u _ { t } ^ { ( j ) } \bigg \| ^ { 2 } } _ { T _ { 2 } } + \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } } \end{array}