harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { \stackrel { x \in E _ { n } \cap \Sigma } { V _ { n } ( x ) ( X \setminus \Gamma ) = m / n } } \exp S _ { n } \phi ( x ) } & { \leq \sum _ { s = 1 } ^ { m } \sum _ { R = m } ^ { 2 n } \sum _ { ( n _ { 1 } \cdots n _ { s } , r _ { 1 } \cdots r _ { s } ) \in K _ { R , s } } \sum _ { x \in \Delta _ { n _ { 1 } \cdots n _ { s } } ^ { r _ { 1 } \cdots r _ { s } } } \exp S _ { n } \phi ( x ) } \\ & { \leq 2 ^ { n } e ^ { \gamma _ { 0 } n } \sum _ { s = 1 } ^ { m } \sum _ { R = m } ^ { 2 n } 2 ^ { R + s - 1 } \delta ^ { R } \leq 2 ^ { n } e ^ { \gamma _ { 0 } n } \sum _ { R = m } ^ { 2 n } ( 4 \delta ) ^ { R } } \\ & { \leq \frac { 2 ^ { n } e ^ { \gamma _ { 0 } n } ( 4 \delta ) ^ { m } } { 1 - 4 \delta } . } \end{array}
f _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { e } _ { i } \delta _ { t } , t + \delta _ { t } ) - f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = - \left( \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { S } \right) _ { i j } \left[ \mathbf { m } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { m } _ { j } ^ { ( \mathrm { e q } ) } ( \mathbf { x } , t ) \right] + \delta _ { t } F _ { i } ^ { \prime } ,
R _ { 1 , | \Delta | \gg \kappa } ( d \theta _ { \mathrm { i n } } , d \phi _ { \mathrm { i n } } ) = R _ { 1 , \mathrm { m a x } } e ^ { - A ^ { 2 } ( d \theta _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } + d \phi _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } ) / 2 \theta _ { 0 } ^ { 2 } } ,
v _ { \epsilon } ( s , y ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( s , y - z ) e ^ { - z ^ { 2 } } d z + \epsilon ^ { \left( \frac { \beta + 1 } { 2 } - \frac { 1 } { p } \right) } \int _ { 0 } ^ { s } g ( r ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( s - r , y - z ) H ^ { \prime } ( z ) v _ { \epsilon } ( r , z ) d z d r .
0 . 0 5 \left( { \frac { \delta m _ { \mathrm { l a r g e } } ^ { 2 } } { \mathrm { e V } ^ { 2 } } } \right) ^ { 3 / 4 } \stackrel { < } { \sim } 1 \quad \Rightarrow \quad \delta m _ { \mathrm { l a r g e } } ^ { 2 } \stackrel { < } { \sim } 5 0 \ \mathrm { e V } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { I } & { = } & { \frac { - \kappa K ^ { \prime } } { \epsilon ^ { n + 2 - m } } \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { m - 2 } + \frac { \pi K } { 2 \epsilon } \tan \left( \frac { m \pi } { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { m - 1 } + \left( \frac { 2 ^ { - m + 3 } K } { ( m - 3 ) \epsilon ^ { m - 2 } } + \frac { ( 1 - 2 ^ { - n + 3 } ) K ^ { \prime } } { ( n - 3 ) \epsilon ^ { n - 2 } } \right) \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { 2 } } \\ & { + } & { \left( 2 K - \frac { 7 \kappa } { 3 \epsilon ^ { n - m } } \right) \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { m } + \cdots . } \end{array}
\Gamma ( H \to g g ) = \frac { 2 \sqrt 2 G _ { F } M _ { H } ^ { 3 } } { \pi } \left( 1 + \bar { \delta } _ { \mathrm { u } } \right) ^ { 2 } ( { \cal C } _ { 1 } ) ^ { 2 } = \frac { G _ { F } M _ { H } ^ { 3 } a _ { 6 } ^ { 2 } } { 3 6 \pi \sqrt 2 } ( 1 + x _ { t } ) ,
\begin{array} { r l } { \quad e ^ { - \nu \cdot r } \sqrt { \| \Lambda x \| ^ { 2 } + R ( t _ { \varepsilon } + r ; x ) } } & { \leqslant \frac { \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ( t _ { \varepsilon } + r ; x ) , \mathcal { G } ) } { \varepsilon } \leqslant { \sqrt { 2 } } e ^ { - \nu \cdot r } \Big ( \| \Lambda x \| + \mathbb { E } [ \| \Lambda \mathcal { G } \| ] \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { F _ { y } } \left( \widetilde { f } ( y , \xi ) , \pi _ { y } ^ { - 1 } ( \eta ) \right) } & { \le d _ { F _ { y } } \left( \widetilde { f } ( y , \xi ) , \pi _ { y } ^ { - 1 } ( \xi ) \right) + d _ { F _ { y } } \left( \pi _ { y } ^ { - 1 } ( \xi ) , \pi _ { y } ^ { - 1 } ( \eta ) \right) } \\ & { \le d _ { F _ { y } } \left( \widetilde { f } ( y , \xi ) , \pi _ { y } ^ { - 1 } ( \xi ) \right) + c ^ { 1 + \alpha + \dots + \alpha ^ { K ^ { \prime } - 1 } } d _ { F _ { x } } ( \pi _ { x } ^ { - 1 } ( \xi ) , \pi _ { x } ^ { - 1 } ( \eta ) ) ^ { \alpha ^ { K ^ { \prime } } } } \\ & { \le \epsilon ^ { \prime } + c ^ { 1 + \alpha + \dots + \alpha ^ { K ^ { \prime } - 1 } } ( \epsilon ^ { \prime } ) ^ { \alpha ^ { K ^ { \prime } } } \le \epsilon ^ { \prime } + c ^ { K ^ { \prime } } ( \epsilon ^ { \prime } ) ^ { \alpha ^ { K ^ { \prime } } } } \\ & { \le 2 c ^ { K ^ { \prime } } ( \epsilon ^ { \prime } ) ^ { \alpha ^ { K ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { A } _ { \parallel } ^ { \dagger } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } } & { { } = \lambda _ { \varepsilon \perp } \mathsf { A } _ { \parallel } ^ { \dagger } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } . } \end{array}
\sigma _ { e s t } ^ { 2 } = \sum _ { l = 1 } ^ { n } \left( \frac { \partial \beta } { \partial x _ { l } } \sigma _ { X _ { l } } \right) ^ { 2 } + \sum _ { l = 1 } ^ { n } \left( \frac { \partial \beta } { \partial y _ { l } } \sigma _ { Y _ { l } } \right) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( \frac { \partial \beta } { \partial v _ { i } } \sigma _ { V _ { i } } \right) ^ { 2 } .
\frac { d \sigma } { d ^ { 2 } p _ { 1 \bot } } ( \gamma p \to Q \bar { Q } X ) = \int d y _ { 1 } ^ { \ast } \frac { d ^ { 2 } q _ { 2 \bot } } { \pi } \frac { \Phi _ { p } ( x _ { 2 } , q _ { 2 \bot } ^ { 2 } ) | \bar { M } | ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } ( s x _ { 2 } ) ^ { 2 } \alpha _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } S n _ { S , I } ^ { X } ( 0 ) } & { { } = \sum _ { n = 2 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \pi _ { n } ^ { X } \sum _ { I = 0 } ^ { n - 1 } ( n - I ) \binom { n } { I } \varepsilon ^ { I } ( 1 - \varepsilon ) ^ { n - I } = \sum _ { n = 2 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \pi _ { n } ^ { X } n ( 1 - \varepsilon ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \sum _ { \mathrm { { C a t a l o g E v e n t s } } } D _ { \mathrm { { L } } } ^ { - 2 } ( \mathcal { M } _ { c } ) ^ { 2 \alpha } } } & { { } \gtrapprox 1 . 9 ( D _ { \mathrm { { L } } } ^ { - 1 } ( \mathcal { M } _ { c } ) ^ { \alpha } ) _ { 1 5 0 9 1 4 } } \\ { \therefore \sqrt { \sum _ { \mathrm { { C a t a l o g E v e n t s } } } a ^ { 2 } } } & { { } \gtrapprox 1 . 9 \, a _ { 1 5 0 9 1 4 } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial r _ { c o _ { 2 } } } { \partial p _ { l } } } & { \frac { \partial r _ { c o _ { 2 } } } { \partial z _ { c o _ { 2 } } } } \\ { \frac { \partial r _ { b } } { \partial p _ { l } } } & { \frac { \partial r _ { b } } { \partial z _ { c o _ { 2 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \delta p _ { l } } \\ { \delta z _ { c o _ { 2 } } } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { l } { r _ { c o _ { 2 } } } \\ { r _ { b } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } \left[ a _ { j } , L _ { j - 1 } , k _ { \nu } ( \alpha _ { j } ) \right] } & { { } \approx } & { \mathcal { P } \left[ a _ { j } , L _ { j - 1 } , k _ { \nu } ( \alpha _ { j - 1 } ) \right] = a _ { j } } \\ { e ^ { - i \, k _ { \nu } ( \alpha _ { j } ) \, L _ { j - 1 } } } & { { } \approx } & { e ^ { - i \, k _ { \nu } ( \alpha _ { j - 1 } ) \, L _ { j - 1 } } = 1 \ , \quad n \geq j \gg \nu } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i } } & { = \frac { \partial f _ { i } } { \partial x _ { i } } ( \bar { x } _ { i } , \bar { u } _ { i } ) , \quad B _ { i } = \frac { \partial f _ { i } } { \partial u _ { i } } ( \bar { x } _ { i } , \bar { u } _ { i } ) , } \\ { a _ { i } } & { = f _ { i } ( \bar { x } _ { i } , \bar { u } _ { i } ) - A _ { i } \bar { x } _ { i } - B _ { i } \bar { u } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D J ( g ; \varphi ) = - \int _ { 0 } ^ { T } ( L ( \varphi ) \cdot \nabla \theta , \rho ) d t + \gamma \int _ { 0 } ^ { T } \langle g , \varphi \rangle _ { \Gamma } d t = \int _ { 0 } ^ { T } ( \theta \nabla \rho , L ( \varphi ) ) d t + \gamma \int _ { 0 } ^ { T } \langle g , \varphi \rangle _ { \Gamma } d t . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { I _ { n } } & { = I _ { n } ^ { 1 } + I _ { n } ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \widehat { \rho } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) [ \mathcal { M } ^ { j } ( A ) - \mathcal { N } ^ { j } ( \boldsymbol { X } ) ] Z _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \widehat { \rho } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) [ \mathcal { M } ^ { j } ( A ) - \mathcal { M } ^ { j } ( \nabla \boldsymbol { X } _ { n } ) ] Z _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) - \mathcal { R } ^ { j } ( \boldsymbol { X } _ { n } ) Z _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 - M ^ { 2 } ) \partial _ { s } ( M ) = } & { \frac { 1 + M ^ { 2 } } { n c _ { s } } S _ { p a r } } \\ { ~ } & { + \frac { M ( 1 + M ^ { 2 } ) } { c _ { s } } \partial _ { s } ( c _ { s } ) } \\ { ~ } & { + A _ { \perp } M \partial _ { s } ( \frac { 1 } { A _ { \perp } } ) } \\ { ~ } & { - \frac { M } { m _ { i } n c _ { s } ^ { 2 } } S _ { m o m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { h } } & { = - \frac { h ^ { 3 } } { 3 \eta } \partial _ { x } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } - U h , \quad j _ { \zeta } = - D \zeta \partial _ { x } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } - U \zeta , } \\ { j _ { M } } & { = M \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi \left[ t _ { d } , \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { G } _ { 0 } \right] = \gamma \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t ^ { \prime } \boldsymbol { x } ( t ^ { \prime } ) \cdot } & { \left\{ \boldsymbol { G } f _ { G } ( t ^ { \prime } ) \right. } \\ & { \left. + \boldsymbol { G } _ { 0 } f _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } { \frac { \partial \log { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid x _ { 1 } ) } { \partial \beta } } + \cdots + { \frac { \partial \log { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid x _ { n } ) } { \partial \beta } } = { \frac { n \alpha } { \beta } } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } . } \end{array}
H = - \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { A } } \sum _ { i \neq j } \hat { \mathbf { d } } _ { j } \cdot \frac { \omega _ { i } ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } \mathbf { G } ( \mathbf { R } _ { j } , \mathbf { R } _ { i } , \omega _ { i } ) \cdot \hat { \mathbf { d } } _ { i }
z _ { ( n ) } = \frac { V } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } p \, \, e ^ { - n \sqrt { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } / T } = ( 2 J + 1 ) \, \frac { V T } { 2 \pi ^ { 2 } n } \, m ^ { 2 } K _ { 2 } ( \frac { n m } { T } )
I \left( \begin{array} { c } { { B ^ { 0 } } } \\ { { \overline { { { B } } } ^ { 0 } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 2 } | A | ^ { 2 } e ^ { - \Gamma t } \left[ 1 \pm Q _ { \perp } ^ { \prime } \cos ( \Delta m t + \delta ) \right] ~ ~ ~ .
\tilde { \delta } _ { i } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / \Delta \tilde { \omega } _ { i } , } & { ( \tilde { \omega } _ { i - 1 } + \tilde { \omega } _ { i } ) / 2 < \omega < ( \tilde { \omega } _ { i } + \tilde { \omega } _ { i + 1 } ) / 2 } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \operatorname { a r c c o s } ( \varepsilon ^ { 2 } \eta _ { 1 } - 1 ) - \operatorname { a r c c o s } ( \varepsilon ^ { 2 } \eta _ { 2 } - 1 ) = \int _ { \varepsilon ^ { 2 } \eta _ { 1 } - 1 } ^ { \varepsilon ^ { 2 } \eta _ { 2 } - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \ d x } \\ { = } & { \int _ { \varepsilon ^ { 2 } \eta _ { 1 } } ^ { \varepsilon ^ { 2 } \eta _ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 x - x ^ { 2 } } } \ d x = \varepsilon ^ { 2 } \int _ { \eta _ { 1 } } ^ { \eta _ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \varepsilon ^ { 2 } x - \varepsilon ^ { 4 } x ^ { 2 } } } \ d x } \\ { \leq } & { \varepsilon \int _ { \eta _ { 1 } } ^ { \eta _ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 x - x ^ { 2 } } } \ d x = \varepsilon ( \operatorname { a r c c o s } ( \eta _ { 1 } - 1 ) - \operatorname { a r c c o s } ( \eta _ { 2 } - 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 2 } ^ { s h } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } R T \bigg ( \mu _ { 1 } + 3 \mu _ { 2 } } { - 2 \left( \frac { e V } { ( e ^ { \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } } - 1 ) } \right) - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) } . } \end{array}
f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { H X C } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) = \frac { 1 } { \vert { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } \vert } + f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n _ { 0 } ] ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega )
\begin{array} { r l r l } { I _ { r } ( x , y ) - I _ { s } ( x , y ) = } & { { } \frac { z _ { 2 } } { k } \nabla _ { \perp } [ I _ { r } ( x , y ) \nabla _ { \perp } \phi ( x , y ) ] } & { } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { x } } & { { } = \frac { \left[ 1 + f _ { G } ^ { \prime 2 } ( x _ { m } , 0 ) \right] ^ { 3 / 2 } } { f _ { G } ^ { \prime \prime } ( x _ { m } , 0 ) } , } \\ { f _ { G } ^ { \prime } ( x _ { m } , 0 ) } & { { } = 2 D \frac { x _ { m } } { w _ { e } ^ { 2 } } e ^ { - x _ { m } ^ { 2 } / w _ { e } ^ { 2 } } , } \\ { f _ { G } ^ { \prime \prime } ( x _ { m } , 0 ) } & { { } = D \frac { 2 } { w _ { e } ^ { 2 } } e ^ { - x _ { m } ^ { 2 } / w _ { e } ^ { 2 } } \left[ 1 - \left( \frac { \sqrt { 2 } x } { w _ { e } } \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
R = \left( \begin{array} { l l l l } { { q } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { p } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { { q - q ^ { - 1 } } } } & { { { p ^ { - 1 } } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { { q } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } \left( \tilde { \mathbf { x } } , \tilde { \mathbf { y } } \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { I } + \mathbf { R } \right) \tilde { \mathbf { y } } \left( \mathbf { I } + \mathbf { R } \right) } \\ & { = 2 \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } \tilde { \mathbf { y } } \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \mathrm { D } _ { \tilde { \mathbf { x } } } \mathrm { c a y } \right) \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) } \\ & { = \mathrm { d c a y } _ { \tilde { \mathbf { x } } } \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) \mathbf { R } } \\ & { = \tilde { \mathbf { y } } ~ \mathbf { d c a y } _ { \mathbf { x } } + \sigma \tilde { \mathbf { x } } \tilde { \mathbf { y } } \mathbf { R } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { i } ( t ) } & { { } = - v _ { i } ( t ) + \mu + \varepsilon s ( t ) + \sqrt { 2 D } \xi _ { i } ( t ) \ , \ i = 1 , \ldots , N _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ p ~ } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } _ { k } } & { = \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } - { D } _ { k } } \\ { { D } _ { k + 1 } } & { = { D } _ { k } + \frac { \gamma } { 2 } \left( I - W \right) \hat { \mathbf { y } } _ { k } = { D } _ { k } + \frac { \gamma } { 2 } ( I - W ) \left( H _ { k } + \mathcal { C } \left( \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right) \right) } \\ { \mathbf { x } _ { k + 1 } } & { = \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } - { D } _ { k + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { s } = \frac { 1 } { 4 } \frac { \omega _ { p 0 } ^ { 2 } } { \omega _ { L } } \frac { \delta n _ { s } } { n _ { 0 0 } } \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { 1 D } } \\ { \langle \mathrm { H G } _ { 0 } | e ^ { - 2 x ^ { 2 } / w _ { 0 } ^ { 2 } } | \mathrm { H G } _ { 0 } \rangle = 1 / \sqrt { 2 } } & { \mathrm { 2 D } } \\ { \langle \mathrm { L G } _ { 0 0 } | e ^ { - 2 r ^ { 2 } / w _ { 0 } ^ { 2 } } | \mathrm { L G } _ { 0 0 } \rangle = 1 / 2 } & { \mathrm { 3 D } } \end{array} \right. } \end{array}
\mathrm { W e l d } _ { d } ^ { \mathrm { b u b b l e } } ( \overline { { \mathrm { M D } _ { 0 , 2 } ^ { n } } } ( \cdot , [ \ell n ^ { 1 / 2 } ] ) ^ { \# } , \underline { { \mathrm { M D } _ { 0 , 1 } ^ { n } } } ( [ \ell n ^ { 1 / 2 } ] ) ^ { \# } ) \xrightarrow { w } \mathrm { W e l d } _ { c } ^ { \mathrm { b u b b l e } } ( \mathrm { Q D } _ { 0 , 2 } ( \cdot , \ell ) ^ { \# } , \mathrm { Q D } _ { 0 , 1 } ( \ell ) ^ { \# } )
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \kappa \to \infty } \kappa \int _ { D _ { \kappa , \varepsilon } ^ { \prime } } \bigl ( \tilde { \mathcal L } ( x , \tilde { \mathcal R } ^ { \kappa } ( x ) ) - \tilde { \mathcal L } ( x , \tilde { \mathcal R } ( x ) ) \bigr ) \, h ( x ) \, d x = \int _ { \mathcal D _ { \varepsilon } } Q ( x ^ { \prime } ) \, h \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \Bigr ) \, d x ^ { \prime } . } \end{array}
C _ { 0 ^ { \prime } + 1 } ^ { + 1 } = - C _ { 0 ^ { \prime } - 1 } ^ { - 1 } = C _ { 0 - 1 } ^ { - 1 } = - C _ { 0 + 1 } ^ { + 1 } = \frac { 1 } { 2 } .
\begin{array} { r } { ( - 1 + \frac { 1 } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) y _ { o } \frac { d U _ { o 1 } } { d y _ { o } } - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { U _ { o 2 } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y _ { o } \frac { d U _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( - 1 + \frac { 1 } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) } \\ { - R e _ { * } ^ { - 1 } U _ { o 3 } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { \kappa U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d U _ { o _ { 3 } } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) } \\ { - 2 \frac { u _ { * } ^ { 3 } } { U _ { e } ^ { 3 } } U _ { o _ { 4 } } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) + \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } \frac { d U _ { o _ { 4 } } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) } \\ { - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { U _ { o 1 } ^ { 2 } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } U _ { o 1 } \Big \{ \frac { d U _ { o 1 } } { d y _ { o } } ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { k \frac { u _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { U _ { o 2 } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { d U _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { k \frac { u _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) \Big \} } \\ { + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } V _ { o } \frac { d U _ { o } } { d y _ { o } } } \\ { = - \frac { d \overline { { u v _ { o } } } } { d y _ { o } } + 2 \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { ( \overline { { u _ { o } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } ) } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \big ( - y _ { o } + \frac { 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) \frac { d ( \overline { { u _ { o 1 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 1 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } - \frac { U _ { e } ^ { 2 } } { u _ { * } ^ { 2 } } \frac { ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } } \\ { - \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } \big ( - y _ { o } + \frac { 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) \frac { d ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { o } } { \partial y _ { o } ^ { 2 } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \dot { x } } _ { 1 } { \dot { x } } _ { 2 } + { \dot { y } } _ { 1 } { \dot { y } } _ { 2 } + { \dot { z } } _ { 1 } { \dot { z } } _ { 2 } = 0 , } \\ { { \dot { x } } _ { 2 } { \dot { x } } _ { 3 } + { \dot { y } } _ { 2 } { \dot { y } } _ { 3 } + { \dot { z } } _ { 2 } { \dot { z } } _ { 3 } = 0 , } \\ { \quad \dots \quad \dots } \\ { { \dot { x } } _ { N - 2 } { \dot { x } } _ { N - 1 } + { \dot { y } } _ { N - 2 } { \dot { y } } _ { N - 1 } + { \dot { z } } _ { N - 2 } { \dot { z } } _ { N - 1 } = 0 } \\ { { \dot { x } } _ { N - 1 } { \dot { x } } _ { N } + { \dot { y } } _ { N - 1 } { \dot { y } } _ { N } + { \dot { z } } _ { N - 1 } { \dot { z } } _ { N } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \hat { h } } _ { \mathrm { S } } ( k _ { x } ) } & { = \sum _ { { k _ { y } \in \mathrm { o d d } } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { S } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { S } } + \sqrt { N _ { y } } \sum _ { k _ { y } \in \mathrm { o d d } } ( - 1 ) ^ { \frac { n _ { y } - 1 } { 2 } } { g _ { \boldsymbol k } } \big ( \hat { a } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { S } } + \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { S } } ^ { \dagger } \big ) ~ ~ , } \\ { { \hat { h } } _ { \mathrm { A } } ( { k _ { x } } ) } & { = \sum _ { { k _ { y } \in \mathrm { e v e n } } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { A } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { A } } + \sqrt { \mathcal { N } } \sum _ { k _ { y } \in \mathrm { e v e n } } k _ { y } { g _ { \boldsymbol k } } \big ( \hat { a } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { A } } + \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { A } } ^ { \dagger } \big ) ~ ~ . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { F _ { m + 1 } } & { F _ { m } } \\ { F _ { m } } & { F _ { m - 1 } } \end{array} \right) } \equiv { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } ^ { m } { \pmod { n } } .
n ( \omega ) = ~ ( N _ { 1 } + N _ { 2 } ) ~ \delta ( \omega ) ~ + \left( \frac { N _ { 1 } } { m _ { 1 } } - \frac { N _ { 2 } } { m _ { 2 } } \right) ~ M ~ ( ~ i k _ { x } ~ x ( \omega ) ~ + ~ i k _ { y } ~ y ( \omega ) ) + O ( \vec { k } , \vec { r } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \theta ( \vec { x } , z , \omega ) } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \frac { s _ { 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) } { s _ { 1 } ( \vec { x } , z , \omega ) } \right) = \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \frac { \langle \sin ( 2 \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) \rangle } { \langle \cos ( 2 \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) \rangle } \right) . } \end{array}
i ( 2 \pi ) ^ { 4 } \Phi ( q _ { 1 2 } P _ { 1 2 } ) = { \Delta _ { 1 } } ^ { - 1 } { \Delta _ { 2 } } ^ { - 1 } \lambda \int d ^ { 4 } { q _ { 1 2 } } ^ { \prime } \Phi ( { q _ { 1 2 } } ^ { \prime } P _ { 1 2 } )