harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { F ( \Delta ) } & { = \frac { h } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left[ \varepsilon \left( \Delta - q \right) \left( 1 + \Delta - q \right) \left( 2 \Delta \varepsilon + \left( 1 - 2 q \right) ( 1 + \varepsilon ) \right) - \frac { a } { h } \left( 2 \Delta + \left( 1 - 2 q \right) ( 1 + \varepsilon ) \right) - 4 \left( \frac { a } { h } \right) ^ { 2 } \left( 2 \Delta + 1 - 2 q \right) \right] , } \\ { D ( \Delta ) } & { = \frac { h } { 2 N } \frac { 1 } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left[ - \Delta ^ { 2 } \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } + \frac { 4 a } { h } \right) + \left( 1 - \varepsilon + \frac { 4 a } { h } \right) \left( \frac { a } { h } + q ( 1 - q ) ( 1 + \varepsilon ) \right) - \Delta \left( 1 - 2 q \right) \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } + ( 2 + \varepsilon ) \frac { 2 a } { h } \right) \right] , } \end{array}
J _ { \widetilde { \mathbf { R } } } ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 2 } ) , } & { z } & { \in \partial U ( 0 , \delta ) \cup \partial U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) \cup \partial U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { I } + O ( e ^ { - c _ { 2 } | x | ^ { 2 } } ) , } & { z } & { \in \pi _ { k } , \ k = 1 , \cdots , 1 6 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \frac { \gamma _ { 0 } \textbf { u } ^ { n + 1 } - \hat { \textbf { u } } } { \Delta t } + \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla P ^ { n + 1 } - \nu _ { m } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } ^ { n + 1 } = - \textbf { N } ( \textbf { u } ^ { * , n + 1 } ) + \left( \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } - \frac { 1 } { \rho ^ { n + 1 } } \right) \nabla P ^ { * , n + 1 } } \end{array}
| \sin \varphi | = \frac { \left| \left( N _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ( N _ { 1 } + N _ { - 1 } ) \right) / N + \frac { 1 } { 2 } \left( ( 1 - \nu _ { 0 } ) \textrm { n } _ { 0 } - 1 \right) \right| } { \sqrt { \nu _ { 0 } \textrm { n } _ { 0 } ( 1 - \textrm { n } _ { 0 } - ( N _ { 1 } + N _ { - 1 } ) / N ) } } .
\mathbf { v } _ { k } ^ { t } = \mathrm { g r a d } f _ { i } \left( \mathbf { x } _ { k } ^ { t } \right) - \mathcal { T } _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { t - 1 } } ^ { \mathbf { x } _ { k } ^ { t } } \left( \mathrm { g r a d } f _ { i } \left( \mathbf { x } _ { k } ^ { t - 1 } \right) \right) + \mathcal { T } _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { t - 1 } } ^ { \mathbf { x } _ { k } ^ { t } } \left( \mathbf { v } _ { k } ^ { t - 1 } \right) .
v _ { \theta } ( r , z ) = { \frac { 4 R _ { 1 } \Omega _ { 1 } } { \pi } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } { \frac { I _ { 1 } ( \beta _ { n } R _ { 2 } ) K _ { 1 } ( \beta _ { n } r ) - K _ { 1 } ( \beta _ { n } R _ { 2 } ) I _ { 1 } ( \beta _ { n } r ) } { I _ { 1 } ( \beta _ { n } R _ { 2 } ) K _ { 1 } ( \beta _ { n } R _ { 1 } ) - K _ { 1 } ( \beta _ { n } R _ { 2 } ) I _ { 1 } ( \beta _ { n } R _ { 1 } ) } } \sin ( \beta _ { n } z ) , \quad \beta _ { n } = { \frac { ( 2 n - 1 ) \pi } { l } } ,
\gamma _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { ( i ) , m } c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { A } _ { m ; n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { A } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 1 } \\ { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { ( i ) , m } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { A } _ { m ; n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { A } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 2 } \\ { 3 \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { ( i ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { C } _ { m ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } - \frac { \mathscr { C } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } I _ { m ; n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 3 } \\ { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { ( i ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { D } _ { m ; n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { D } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 4 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } i = 1 , 2 ;
\begin{array} { r l } { D _ { H } ^ { c } D _ { H } \psi _ { H } = } & { - [ \theta ^ { * } \wedge \theta ^ { * } , \theta ] + [ \theta \wedge \theta , \theta ^ { * } ] + [ F _ { D } ^ { + } , \theta ^ { * } ] } \\ & { - [ [ \theta , \theta ^ { * } ] , \theta ^ { * } ] - [ F _ { D } ^ { + } , \theta ] + [ [ \theta , \theta ^ { * } ] , \theta ] . } \end{array}
\chi _ { e } = \frac { e \hbar } { m ^ { 3 } c ^ { 4 } } \sqrt { | F ^ { \mu \nu } p _ { \nu } | ^ { 2 } } \equiv \xi _ { L } \gamma _ { e } \sqrt { ( \mathbf { E } + \boldsymbol { \beta } \times \mathbf { B } ) ^ { 2 } - ( \boldsymbol { \beta } \cdot ( \boldsymbol { \beta } \cdot \mathbf { E } ) ) ^ { 2 } } \simeq \gamma _ { e } E _ { \perp } \xi _ { L } ( 1 - \cos \theta )
\begin{array} { r l r } { \vec { B } \left( \vec { r } , t \right) } & { { } \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { j _ { e } r } { 2 \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } \, \vec { e } _ { \phi } \, , } & { r \le R _ { L } } \\ { 0 \, , } & { r > R _ { L } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T r ( T _ { l _ { 1 } m _ { 1 } } T _ { l _ { 2 } m _ { 2 } } T _ { l _ { 3 } m _ { 3 } } ) } & { { } = \ ( - 1 ) ^ { 2 s } \sqrt { \left( 2 l _ { 1 } + 1 \right) \left( 2 l _ { 2 } + 1 \right) \left( 2 l _ { 3 } + 1 \right) } } \end{array}
\Delta ( \begin{array} { l } { { A } } \end{array} { i } { j } ) = \begin{array} { l } { { A } } \end{array} { i } { k } \otimes \begin{array} { l } { { A } } \end{array} { k } { j } , \, \epsilon ( \begin{array} { l } { { A } } \end{array} { i } { j } ) = \delta _ { j } ^ { i } , \, S ( \begin{array} { l } { { A } } \end{array} { i } { j } ) = \begin{array} { l } { { ( A ^ { - 1 } ) } } \end{array} { i } { j } .
f _ { \mathrm { ~ v ~ o ~ l ~ } } = 0 . 0 0 4 \, \theta \left( E _ { F e } ^ { 5 6 } - E _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ } } ^ { 5 6 } \right) \, \theta \left( E _ { F e } ^ { 5 6 } - E _ { \mathrm { ~ M ~ n ~ } } ^ { 5 6 } \right) \, \theta \left( E _ { R } + 0 . 8 7 4 \, \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } \right)
A _ { \perp } ^ { i c } ( x ) = \sum _ { \lambda } \int _ { k ^ { + } > 0 } { \frac { d k ^ { + } d ^ { 2 } k _ { \perp } } { 1 6 \pi ^ { 3 } k ^ { + } } } \Bigl [ a ^ { c } ( k , \lambda ) \epsilon _ { \perp } ^ { i } ( \lambda ) e ^ { - i k \cdot x } + a ^ { c \dagger } ( k , \lambda ) \epsilon _ { \perp } ^ { i * } ( \lambda ) e ^ { i k \cdot x } \Bigr ] \; .
L = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { I _ { 6 } } } & { { 0 } } \\ { { I _ { 6 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { I _ { 2 2 } } } \end{array} \right) .
\mathrm { ~ O ~ F ~ } = \frac { m _ { \mathrm { ~ o ~ } } } { m _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \equiv \frac { \dot { m } _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ o ~ u ~ t ~ } } } { \dot { m } _ { \mathrm { ~ f ~ , ~ o ~ u ~ t ~ } } } .
\begin{array} { r } { \Delta { \phi } _ { i } ^ { k } \equiv V ^ { - 1 } \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } \Delta \phi _ { i } \, \mathrm { e x p } \{ - i \boldsymbol { q } ^ { k } \boldsymbol { r } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) = d _ { 0 } ( w ) } & { { } \geq d _ { v } ( z ) = d _ { v } ( w ^ { \prime } ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { d _ { v } ( w ^ { \prime } ) = d _ { v } ( z ) } & { { } \leq s / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | | R _ { L } } ( | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | \, | \, | \varphi _ { 1 } | < \phi _ { A } , | \varphi _ { 2 } | < \phi _ { A } | R _ { L } ) } & { = \frac { f _ { | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | | R _ { L } } ( | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | \, , | \varphi _ { 1 } | < \phi _ { A } , | \varphi _ { 2 } | < \phi _ { A } | R _ { L } ) } { p _ { | \varphi _ { 1 } | < \phi _ { A } , | \varphi _ { 2 } | < \phi _ { A } } } } \\ & { = \frac { ( \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } ) ^ { 2 } e ^ { - \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } | \varphi _ { 2 } | } } { 1 - e ^ { - \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { A } } - \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { A } e ^ { - \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { A } } } , } \end{array}
= c o s h \beta ^ { 1 / 6 N ( N - 1 ) ( N - 2 ) } { \Large \sum } _ { R \in 2 ^ { T } } t a n h \beta ^ { | R | } { \large \sum } _ { \{ s _ { a b } \} } \prod _ { ( a , b , c ) \in R } s _ { a b } s _ { b c } s _ { a c }
\begin{array} { r l } { \mathrm { S } _ { 1 } } & { \leq \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \frac { ( t - s ) ^ { 2 q } \vert k \vert } { ( 1 + \vert k \vert ( t - s ) ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \underset { s \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \left( \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \underset { \xi } { \operatorname* { s u p } } \, \left\lbrace ( 1 + \vert \ell \vert ^ { 2 q + \alpha _ { 2 } } ) ( 1 + \vert \xi \vert ^ { \alpha _ { 1 } } ) \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell , \xi ) \vert \right\rbrace ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\sum _ { J ^ { \prime \prime } , M ^ { \prime \prime } , n ^ { \prime \prime } } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime \prime } M ^ { \prime \prime } n ^ { \prime \prime } } \rangle \langle \Psi ^ { J ^ { \prime \prime } M ^ { \prime \prime } n ^ { \prime \prime } } \vert = \hat { I }
\begin{array} { r l r } { R } & { { } \approx } & { 1 - \frac { 2 \omega \delta _ { 0 } } { c } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \right) + 2 \left( \frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) } \end{array}
k = \frac { k _ { B } T } { h } \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N } T _ { n } \left( \mu \right) } { \sqrt { 4 \pi \lambda _ { 0 } k _ { B } T } } \exp \left[ - \frac { \left( - e V + \lambda _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 4 \lambda _ { 0 } k _ { B } T } \right] ,
{ \begin{array} { c c c c c c c c c c c c c } { 0 } & { \longrightarrow } & { B } & { \longrightarrow } & { X _ { n } } & { \longrightarrow } & { \dots } & { \longrightarrow } & { X _ { 1 } } & { \longrightarrow } & { A } & { \longrightarrow } & { 0 } \\ & & { { \Bigg \Vert } } & & { { \Bigg \downarrow } \iota _ { n } \! } & & & & { { \Bigg \downarrow } \iota _ { 1 } } & & { { \Bigg \Vert } } & & \\ { 0 } & { \longrightarrow } & { B } & { \longrightarrow } & { X _ { n } ^ { \prime } } & { \longrightarrow } & { \dots } & { \longrightarrow } & { X _ { 1 } ^ { \prime } } & { \longrightarrow } & { A } & { \longrightarrow } & { 0 } \end{array} }
\sqrt { z } J _ { 2 } ( m z ) \sim { \frac { m ^ { 2 } } { 8 } } z ^ { 5 / 2 } \; , ~ ~ ~ ~ \sqrt { z } Y _ { 2 } ( m z ) \sim - { \frac { 4 } { \pi m ^ { 2 } z ^ { 3 / 2 } } } - { \frac { z ^ { 1 / 2 } } { \pi } } \; .
\begin{array} { r l } { R _ { j k } ^ { \mathrm { c o n v } } } & { = \log _ { 2 } ( 1 + \gamma _ { j k } ^ { \mathrm { c o n v } } ) , } \\ { \gamma _ { j k } ^ { \mathrm { c o n v } } } & { = \frac { 1 } { \overline { { \mathrm { C U } } } _ { j k } ^ { \mathrm { c o n v } } + \overline { { \mathrm { I U I } } } _ { j k } ^ { \mathrm { c o n v } } + \overline { { \mathrm { P C } } } _ { j k } ^ { \mathrm { c o n v } } + \overline { { \mathrm { T N } } } _ { j k } ^ { \mathrm { c o n v } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { b } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( \gamma \right) } & { = \sum _ { k \in \mathcal { K } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \bar { \lambda } _ { k } \left( y \right) \exp \left\{ - \frac { b \gamma N _ { 0 } } { l _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( y \right) } - \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } \bigg [ \bar { \Lambda } _ { \ell } \left( \left[ 0 , \chi _ { k , \ell } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( y \right) \right] \right) \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. + \int _ { \chi _ { k , \ell } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( y \right) } ^ { \infty } { \Big [ 1 - \big ( 1 + \gamma h _ { \ell } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( r \right) / l _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( y \right) \big ) ^ { - b } \Big ] \bar { \lambda } _ { \ell } \left( r \right) \, \mathrm { d } r } \bigg ] \right\} \, \mathrm { d } y , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \mathscr { E } _ { l } ^ { c } ) } & { \leq } & { \exp ( - c e ^ { 6 L ^ { 2 } } L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \slash ( K _ { 0 } ^ { 3 \slash 2 } T ^ { 3 \slash 2 } ) ) + C L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) } \\ & { } & { + \exp ( - 2 L ^ { 4 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\int { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } g x ^ { 4 } } x ^ { 2 n } d x = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } g x ^ { 4 } } x ^ { 2 n } d x = \sum _ { k } { \frac { 1 } { k ! } } ( - g / 4 ) ^ { k } ( 2 n + 4 k - 1 ) ! ! = ( 2 n - 1 ) ! ! - { \frac { 1 } { 4 } } g ( 2 n + 3 ) ! ! + O ( g ^ { 2 } )
X _ { \tau \tau } = \left( F _ { 1 } + F _ { 2 } \right) X _ { \sigma \sigma } + F _ { 3 } X _ { \tau \tau } + \left( F _ { 1 1 } + F _ { 2 2 } - 2 F _ { 1 2 } \right) X _ { \sigma } X _ { \sigma } + \left( F _ { 2 3 } - F _ { 3 1 } \right) \left( X _ { \sigma } X _ { \tau } + X _ { \tau } X _ { \sigma } \right) + F _ { 3 3 } X _ { \tau } X _ { \tau } .
\delta ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 3 \times 1 0 ^ { - 3 } \sin ( \theta ) , } & { 1 . 7 ^ { \circ } < \theta < 1 7 8 . 3 ^ { \circ } } \\ { 8 . 7 \times 1 0 ^ { - 5 } , } & { \textrm { e l s e } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \alpha } ( u , v ) } & { \leq K ^ { 1 / 2 } \left[ \rho ( u , w ) ^ { 1 / 2 } + \rho ( w , v ) ^ { 1 / 2 } \right] \exp \left( \alpha \| u \| ^ { 2 } + \alpha \| v \| ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq K ^ { 1 / 2 } \left[ \rho ( u , w ) ^ { 1 / 2 } \exp \left( \gamma \alpha \| u \| ^ { 2 } \right) + \rho ( w , v ) ^ { 1 / 2 } \exp \left( \alpha \gamma \| w \| ^ { 2 } + \alpha C + \alpha \| v \| ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { \leq \tilde { C } \left[ \rho _ { \gamma \alpha } ( u , w ) + \rho _ { \gamma \alpha } ( w , v ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { R M S E } ( v , l ) = \sqrt { \frac { 1 } { N M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { n = 1 } ^ { N } L ( m ) ( { \mathbf { X } } _ { \mathrm { P } } - { \mathbf { X } } _ { \mathrm { T } } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \psi _ { \pm } } { \partial t } } & { = \bigg [ \epsilon _ { \pm } ( - i \boldsymbol { \nabla } ) + \frac { i \hbar R n _ { A , \pm } } { 2 } } \\ & { + \alpha _ { \pm } | \psi _ { \pm } | ^ { 2 } + G _ { \pm } \left( n _ { A , \pm } + n _ { I , \pm } \right) \bigg ] \psi _ { \pm } , } \\ { \frac { \partial n _ { A , \pm } } { \partial t } } & { = - \left( \Gamma + \Gamma _ { s , \pm } + R | \psi _ { \pm } | ^ { 2 } \right) n _ { A , \pm } } \\ & { + \Gamma _ { s , \mp } n _ { A , \mp } + W n _ { I , \pm } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \phi _ { 1 } } { 2 \pi } f ( \phi _ { 1 } , \ldots , \phi _ { N _ { f } } , \theta ) \sum _ { \nu = - \infty } ^ { \infty } e ^ { i \nu ( \theta - \phi _ { 1 } \ldots - \phi _ { N _ { f } } ) } = f ( \phi _ { 2 } + \ldots + \phi _ { N _ { f } } - \theta , \phi _ { 2 } , \ldots , \phi _ { N _ { f } } , \theta ) \; ,
\left( \begin{array} { l } { { \tilde { u } _ { L } } } \\ { { \tilde { u } _ { R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \tilde { u } \hfill } } \\ { { \tilde { u } ^ { c * } } } \end{array} \right) \quad \quad \left( \begin{array} { l } { { \tilde { d } _ { L } } } \\ { { \tilde { d } _ { R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \tilde { d } \hfill } } \\ { { \tilde { d } ^ { c * } } } \end{array} \right) \quad \quad \left( \begin{array} { l } { { \tilde { e } _ { L } } } \\ { { \tilde { e } _ { R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \tilde { e } \hfill } } \\ { { \tilde { e } ^ { c * } } } \end{array} \right)
\index { W s @ { \mathbb { W } [ { s } ] } } \lVert u \rVert _ { { \mathbb { W } [ { s } ] } } = \operatorname* { s u p } _ { r , \theta } \left[ r ^ { s } \left( \left\lVert \omega \widehat { u } \right\rVert _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } + \left\lVert m \widehat { u } \right\rVert _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } + \left\lVert W _ { 0 } \widehat { u } \right\rVert _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } + \left\lVert \widehat { u } \right\rVert _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } \right) \right]
\frac { 1 } { 1 6 } \Bigg ( 1 - \sqrt { 1 - \frac { 8 } { N C _ { \mathrm { e f f } } } } \Bigg ) \Bigg ( 3 + \sqrt { 1 - \frac { 8 } { N C _ { \mathrm { e f f } } } } \Bigg ) ^ { 3 } < \frac { 2 \alpha _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } } { I _ { 0 } } < \frac { 1 } { 1 6 } \Bigg ( 1 + \sqrt { 1 - \frac { 8 } { N C _ { \mathrm { e f f } } } } \Bigg ) \Bigg ( 3 - \sqrt { 1 - \frac { 8 } { N C _ { \mathrm { e f f } } } } \Bigg ) ^ { 3 }
\Delta _ { 3 } ^ { ' } = \frac { - 2 } { \ln ^ { 3 } R e _ { * } } \frac { d \ln R e _ { * } } { d R e _ { * } } . \ = \frac { - 2 } { \ln ^ { 3 } R e _ { * } } \frac { 1 } { R e _ { * } } .
\| \mathbf { u } \| _ { H ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \| \mathbf { u } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \| \mathbf { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ) ) } \leq M = 2 C _ { 0 } ( R )
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { N } g _ { \delta } } { \partial x ^ { N } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } & { = } & { \sum _ { q = 0 } ^ { N } \left( \begin{array} { l } { N } \\ { q } \end{array} \right) N ( N - 1 ) \cdots ( N - q + 1 ) x _ { 0 } ^ { N - q } \partial _ { x } ^ { q } h _ { \delta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ & { } & { + y _ { 0 } \left[ \sum _ { q = 0 } ^ { N } \left( \begin{array} { l } { N } \\ { q } \end{array} \right) \frac { \partial ^ { N - q } x } { \partial x ^ { N - q } } ( x _ { 0 } ) \partial _ { x } ^ { q } i _ { \delta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + y _ { 0 } \frac { \partial ^ { N } j _ { \delta } } { \partial x ^ { N } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \right] . } \end{array}
m _ { \nu } \simeq m _ { M } + { \frac { m _ { D } ^ { 2 } m _ { E } } { 2 m _ { e } m _ { u } } } + { \frac { m _ { \nu E } ^ { 2 } m _ { e } } { 2 m _ { u } m _ { E } } } - { \frac { m _ { \nu E } m _ { D } } { m _ { u } } } .
A _ { m } A _ { n } ^ { \dagger } = C _ { m n } ( \phi ) , \; \; \; \; \; \; A _ { m } \mid 0 \rangle = 0 , \; \; \; \; \; \; A _ { m } ^ { \dagger } ( C ^ { - 1 } ( \phi ) ) _ { m n } A _ { n } = 1 - \mid 0 \rangle \langle 0 \mid
. A s s h o w n i n F i g . 4 , t h e t h e o r e t i c a l m u t u a l i n d u c t a n c e f o r b o t h t h e s a m e l a y e r ( F i g . 4 ( a ) ) a n d t h e d i f f e r e n t l a y e r s ( F i g . 4 ( b ) ) f i t w i t h t h e m e a s u r e m e n t s , w h i c h g u a r a n t e e s t h e a c c u r a c y o f t h e s e l f - i n d u c t i o n m a t r i x
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \beta } + a _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \gamma } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \mu } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \nu } + b _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \gamma - \mu } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
\tilde { \beta } _ { 2 } \left( \tilde { k } _ { 0 } \right) = - \frac { 2 \tilde { \Lambda } _ { 2 2 } \Theta \left( \tilde { k } _ { 0 } \right) + \tilde { \Lambda } _ { 2 } \Theta \left( \tilde { k } _ { 0 } - \sqrt { \Delta \tilde { E } } \right) } { D \left( \tilde { k } _ { 0 } \right) } ,
J _ { k } r \frac { d J _ { l } } { d r } \bigg | _ { 0 } ^ { A } - J _ { l } r \frac { d J _ { k } } { d r } \bigg | _ { 0 } ^ { A } = ( l ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { A } \frac { 1 } { r } J _ { k } J _ { l } d r ,
\left( f _ { \omega } ^ { R * } \, \tilde { \beta } _ { \omega ^ { \prime \prime } \omega } ^ { R * } + f _ { \omega } ^ { R } \, \tilde { \alpha } _ { \omega ^ { \prime \prime } \omega } ^ { R } \right) \left( \tilde { \beta } _ { \omega ^ { \prime \prime } \omega ^ { \prime } } ^ { R } \, f _ { \omega ^ { \prime } } ^ { R } + \tilde { \alpha } _ { \omega ^ { \prime \prime } \omega ^ { \prime } } ^ { R * } \, f _ { \omega ^ { \prime } } ^ { R * } \right) \, ,
v \in \left( \overline { { s } } _ { m } - \frac { 1 } { p ^ { m } } , \overline { { s } } _ { m } \right) = \left( \overline { { x } } _ { m } - \sum _ { i = m + 1 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } , \overline { { s } } _ { m } \right) = \left( \overline { { x } } _ { m } + \sum _ { i = m + 1 } ^ { \infty } \frac { x _ { i } } { p ^ { i } } , \overline { { s } } _ { m } \right) = ( x , \overline { { s } } _ { m } ) .
w ^ { l } = 2 \sqrt { \frac { \pi } { 3 } } \rho \delta _ { 1 , l } , \quad u ^ { l } = \frac { \mathrm { d } u ^ { l } } { \mathrm { d } \rho } = 0 \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad \rho = \eta \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad 1 .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathcal { H } } _ { j , \boldsymbol { k } } = \mathcal { H } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon , \zeta } } & { { } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial d _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon , n + 1 } \partial d _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \zeta , n + 1 } } \displaystyle \int \left[ \frac { \boldsymbol { u } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \prime , n + 1 } - \boldsymbol { u } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \prime , n } } { \Delta t } + \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \bot } - \boldsymbol { \mathcal { D } } _ { j , \boldsymbol { k } } - \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \bot } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } V _ { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 1 } ( N _ { 1 } ) - } & { \frac { 1 } { ( N _ { 1 } ) ^ { s } } \leq \mathbb { P } \left[ \frac { M _ { 1 } - 1 } { 2 } 2 ^ { - \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } i ( X _ { 1 } [ j ] ; Y _ { 1 } [ j ] ) } > \frac { 1 } { ( N _ { 1 } ) ^ { s } } \right] } \\ { = } & { \mathbb { P } \left[ \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } i ( X _ { 1 } [ j ] ; Y _ { 1 } [ j ] ) - N _ { 1 } I ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) } { \sqrt { N _ { 1 } V ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) } } \right. } \\ & { < \left. \frac { \log \frac { M _ { 1 } - 1 } { 2 } + s \log N _ { 1 } - N _ { 1 } I ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) } { \sqrt { N _ { 1 } V ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J \circ \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } } : \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \mapsto \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) } & { { } = \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ( q / a - n ) \ \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( \tau , n ) } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { A B } = \frac { 2 c } { \gamma _ { 1 } } \left| M _ { 1 } ( \tilde { \omega } _ { 1 } ) \right| ^ { 2 } \mathrm { R e } \left\{ \frac { \tilde { \omega } _ { 1 } } { 2 \omega _ { 1 } } \mathrm { e } ^ { - i \omega _ { 1 } R / c } \right\} \mathrm { e } ^ { - \gamma _ { 1 } R / c } . } \end{array}
\hat { U } ( t _ { j + 1 } , t _ { j } ) \approx \exp { \left( \frac { 1 } { 2 } \left( \hat { M } ^ { \prime } ( t _ { j + 1 } ) + \hat { M } ^ { \prime } ( t _ { j } ) \right) \Delta t ^ { \prime } \right) } .