harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mu _ { i \backslash j } ^ { t } = } & { \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \sum _ { t _ { i } = t + 2 } ^ { T + 1 } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t _ { i } \right) p _ { 0 } \left( t _ { i } \right) \left[ \prod _ { r = 0 } ^ { t _ { i } - 2 } e ^ { \tilde { \nu } _ { i } ^ { r } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { r } \nu _ { k i } ^ { r } } \right] \left[ 1 - \mathbb { I } _ { 1 \leq t _ { i } \leq T } e ^ { \tilde { \nu } _ { i } ^ { t _ { i } - 1 } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t _ { i } - 1 } \nu _ { k i } ^ { t _ { i } - 1 } } \right] \prod _ { s = t _ { i } } ^ { T - 1 } e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { s } \mu _ { k \setminus i } ^ { s } } + } \\ & { - \frac { \mathbb { I } _ { 0 \leq t \leq T - 1 } } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t + 1 \right) p _ { 0 } \left( t + 1 \right) \left[ \prod _ { r = 0 } ^ { t } e ^ { \tilde { \nu } _ { i } ^ { r } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { r } \nu _ { k i } ^ { r } } \right] \prod _ { s = t + 1 } ^ { T - 1 } e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { s } \mu _ { k \setminus i } ^ { s } } } \end{array}
\nabla _ { \dot { \mathbf { x } } } = { \hat { x } } { \frac { \partial } { \partial { \dot { x } } } } + { \hat { y } } { \frac { \partial } { \partial { \dot { y } } } } + { \hat { z } } { \frac { \partial } { \partial { \dot { z } } } }
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t ) } & { { } = \langle \phi _ { 0 } \vert e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle } \\ { ( f _ { \mathrm { C C } } ( t ) ) _ { \mu } } & { { } = \langle \mu \vert e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( ( \varepsilon ( t ) + \varepsilon _ { N } ) + \frac { C _ { 0 } } { C _ { 1 } } ) = } & { 2 \kappa ( Z ( t ) - \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( ( \varepsilon ( t ) + \frac { 1 } { 4 } ( ( 2 \kappa + 1 ) ^ { 2 } - 1 ) ) = } & { 2 \kappa ( Z ( t ) - \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { \varepsilon ( t ) = } & { \frac { 1 } { C _ { 1 } } \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } 2 \kappa ( Z ( t ) - \frac { 1 } { 2 } ) - ( \kappa ^ { 2 } + \kappa ) \ge 0 } \\ { \varepsilon ( t ) = } & { \frac { 1 } { C _ { 1 } } \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } 2 \kappa ( Z ( t ) - \frac { 1 } { 2 } ) - ( \frac { C _ { 0 } } { C _ { 1 } } + \varepsilon _ { N } ) \ge 0 } \end{array}
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { H _ { M 2 } ( \rho ) ^ { 2 / 3 } } \left[ - d t ^ { 2 } + d x ^ { i } d x ^ { i } \right] + H _ { M 2 } ( \rho ) ^ { 1 / 3 } \left[ d \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } d \Omega _ { 7 } ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { N } ^ { + } = } & { } & { ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } + N _ { 1 0 } ^ { + } + i N _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } + N _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } ) } \\ & { } & { + k _ { e g } ( i \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { + } + i N _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } + N _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \sum _ { n = 1 } ^ { M } a _ { n } \right) \left( \sum _ { m = 1 } ^ { M } b _ { m } \right) } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { M } a _ { n } b _ { n } + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \sum _ { m \neq n } a _ { n } b _ { m } . } \end{array}
\mathsf { G } _ { 1 } = \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, , \qquad \mathsf { G } _ { 2 } = \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { K _ { \lambda } ( R ^ { \prime } , u _ { \mathrm { b } } , \omega , \omega ^ { \prime } ) } & { = \int _ { \mathbb { R } } ( e ^ { R ^ { \prime } \tau } ) ^ { - i \lambda } \kappa ( R ^ { \prime } , u _ { \mathrm { b } } , \tau , \omega , \omega ^ { \prime } ) \, { \mathrm d } \tau \, \Bigl | \frac { { \mathrm d } u _ { \mathrm { b } } } { u _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d } \omega ^ { \prime } \Bigr | } \\ & { = \widehat \kappa ( R ^ { \prime } , u _ { \mathrm { b } } , R ^ { \prime } \lambda , \omega , \omega ^ { \prime } ) \, \Bigl | \frac { { \mathrm d } u _ { \mathrm { b } } } { u _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d } \omega ^ { \prime } \Bigr | , } \end{array}
F _ { j } ( \omega , \vec { k } ) \; = \; \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \int \frac { d \vec { k } ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \; \tilde { B } ( \omega - \omega ^ { \prime } , \vec { k } - \vec { k } ^ { \prime } ) \: C _ { j - 1 } ( \omega ^ { \prime } , \vec { k } ^ { \prime } ) \: F _ { j - 1 } ( \omega ^ { \prime } , \vec { k } ^ { \prime } )
V _ { l } { } ^ { i j } = e ^ { 2 U } \delta _ { l \, [ i } \partial _ { j } \left( \ln \chi ^ { ( 1 ) } \chi ^ { ( 2 ) } \right) \qquad V _ { l } { } ^ { i 4 } = { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 U } \epsilon _ { l i m } \partial _ { m } \left( \ln { \frac { \chi ^ { ( 1 ) } } { \chi ^ { ( 2 ) } } } \right)
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u } & { { } = - \partial _ { \tau } ^ { 2 } v - u - ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) v + \delta v + C \tau ^ { 2 } v + P , } \\ { \partial _ { t } v } & { { } = + \partial _ { \tau } ^ { 2 } u - v + ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) u - \delta u - C \tau ^ { 2 } u . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( - \Delta ) ^ { s } \tilde { v } _ { 0 } = \tilde { v } _ { 0 } ^ { p } ( x ) , \ \ 0 < \tilde { v } _ { 0 } , - \Delta \tilde { v } _ { 0 } , \ldots , ( - \Delta ) ^ { s - 1 } \tilde { v } _ { 0 } \leq 1 \, \, } & { \mathrm { i n } \, \, \mathcal C _ { k } , } \\ { \tilde { v } _ { 0 } = - \Delta \tilde { v } _ { 0 } = \cdots = ( - \Delta ) ^ { s - 1 } \tilde { v } _ { 0 } = 0 } & { \mathrm { o n } \, \, \partial \mathcal C _ { k } , } \end{array} \right.
h _ { \mathrm { e f f } } ( t ) = \frac { 4 } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } x _ { \perp } \mathrm { e x p } \left[ - 2 \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w _ { D } ^ { 2 } } \right] h ( x , y , t ) ,
\int _ { \Omega } \left[ \left( u _ { i } \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ n ~ c ~ } } ^ { ( \rho u _ { i } ) } - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ n ~ c ~ } } ^ { ( \rho ) } \right) \right] d \Omega
\begin{array} { r l } { \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } t } \int f _ { n } ^ { p } } & { = - \int \nabla f _ { n } ^ { p - 1 } \cdot \left( A [ f _ { n } ] \nabla f _ { n } - \nabla a [ f _ { n } ] f _ { n } \right) \, \mathrm { d } v } \\ & { \le - C ( p ) \int \nabla f _ { n } ^ { p / 2 } \cdot A [ f _ { n } ] \nabla f _ { n } ^ { p / 2 } \, \mathrm { d } v + C ( p ) \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f _ { n } ^ { p + 1 } \, \mathrm { d } v } \\ & { \le \| f _ { n } \| _ { L ^ { p } } ^ { p } \| f _ { n } \| _ { L ^ { \infty } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { \beta } ( x - y ) } & { : = } & { \operatorname* { l i m } _ { L \rightarrow \infty } S _ { 2 , \beta , L } ( x , y ; 0 ) } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { L \rightarrow \infty } { \frac { 1 } { \beta | \L _ { L } | } } \sum _ { k = ( k _ { 0 } , { \bf k } ) \in { \cal D } _ { \beta , L } } e ^ { i k _ { 0 } \cdot ( x _ { 0 } - y _ { 0 } ) + i { \bf k } \cdot ( { \bf x } - { \bf y } ) } \hat { C } ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , } \end{array}
{ \cal F } \equiv \left\{ \tau _ { 1 } + i \tau _ { 2 } \left| - \frac { 1 } { 2 } < \tau _ { 1 } \leq \frac { 1 } { 2 } ; \vert \tau \vert \geq 1 ; \tau _ { 2 } > 0 \right. \right\}
\begin{array} { r l r } { G _ { x x } = } & { { } } & { - \frac { j } { 8 } + \sum _ { n \ell } j b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \sin \left( \theta _ { n s } \right) } \\ { G _ { y y } = } & { { } } & { - \frac { j } { 8 } - \sum _ { n \ell } j b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \cos \left( \theta _ { n s } \right) } \\ { G _ { z z } = } & { { } } & { - \frac { j } { 4 } + \sum _ { n \ell } b _ { n \ell } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { j \ell \theta _ { n s } } } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \widehat { L } _ { n } , t _ { n } | \widehat { L } _ { n - 1 } , t _ { n - 1 } , \dots , \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = P ( \widehat { L } _ { n } , t _ { n } | \widehat { L } _ { n - 1 } , t _ { n - 1 } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ^ { \prime } ( y ) } & { = \varepsilon ^ { 2 } - \kappa \varepsilon ^ { 2 } Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( y ) ) \frac { 1 } { P _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( J _ { \varepsilon } ( y ) ) } } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } - \frac { \kappa \varepsilon ^ { 2 } Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( y ) ) } { \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( y ) Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( y ) ) } = \varepsilon ^ { 2 } - \frac { \kappa } { J _ { \varepsilon } ( y ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } = } & { { } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta , s } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta , s } , x ) \wedge \hat { F } ( \eta , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ { = } & { { } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta , s } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta , s } , x ) \wedge \widehat { \frac { \partial \theta } { \partial \eta _ { 1 } } } ( \eta , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { x } ^ { i , j + 0 . 5 , k + 0 . 5 } } & { { } = \frac { g _ { z } ^ { i , j + 1 , k + 0 . 5 } - g _ { z } ^ { i , j , k + 0 . 5 } } { \Delta y } } \\ { h _ { y } ^ { i + 0 . 5 , j , k + 0 . 5 } } & { { } = \frac { g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k + 1 } - g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k } } { \Delta z } } \\ { h _ { z } ^ { i + 0 . 5 , j + 0 . 5 , k } } & { { } = \frac { g _ { y } ^ { i + 1 , j + 0 . 5 , k } - g _ { y } ^ { i , j + 0 . 5 , k } } { \Delta x } } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { ~ 1 ~ } } \sim \gamma _ { \mathrm { ~ A ~ } } + ( \gamma _ { \mathrm { ~ h ~ i ~ } } - \gamma _ { \mathrm { ~ A ~ } } ) \, \mathrm { ~ e ~ } ^ { - 2 t _ { \mathrm { ~ d ~ } } / \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ v ~ } } }
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathbf { c } _ { 0 } = \partial _ { x } \left( \left( \mathbf { D } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 1 9 2 } \mathbf { D } ^ { - 1 } \right) \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { 4 B } \\ { { \bf a } } & { { } = } & { 2 { \bf b } - 2 B { \bf e } } \\ { a _ { 0 } } & { { } = } & { b _ { 0 } - { \bf b } ^ { T } { \bf e } + 0 . 5 { \bf e } ^ { T } B { \bf e } } \end{array}
W = { \binom { n } { 1 } } | A _ { 1 } | - { \binom { n } { 2 } } | A _ { 1 } \cap A _ { 2 } | + \cdots + ( - 1 ) ^ { p - 1 } { \binom { n } { p } } | A _ { 1 } \cap \cdots \cap A _ { p } | + \cdots
\begin{array} { r l } { \delta _ { \xi } \overline { { \mathbf { G } } } } & { = \mathcal { L } _ { \xi } \overline { { \mathbf { G } } } = \xi ^ { \mu } \partial _ { \mu } \overline { { \mathbf { G } } } + \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \xi ^ { \lambda } \big ( \overline { { M } } ^ { \mu \nu } _ { \lambda } + P ^ { \mu \nu } _ { \lambda } \big ) } \\ { \delta _ { \xi } \overline { { \mathbf { B } } } } & { = \mathcal { L } _ { \xi } \overline { { \mathbf { B } } } = \xi ^ { \mu } \partial _ { \mu } \overline { { \mathbf { B } } } - \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \xi ^ { \lambda } \big ( \overline { { M } } ^ { \mu \nu } _ { \lambda } + P ^ { \mu \nu } _ { \lambda } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ( \sigma ) } & { { } = - \frac { 1 } { t } \log P ( \tau _ { e s c a p e } > t ) \quad \mathrm { a n d } } \\ { \log ( \lambda ( \sigma ) ) } & { { } = - \frac { U } { \sigma ^ { 2 } } + \log C . } \end{array}
V _ { \mathrm { R e i d } } ( r ) = - 1 0 . 4 6 3 { \frac { e ^ { - \mu r } } { \mu r } } - 1 6 5 0 . 6 { \frac { e ^ { - 4 \mu r } } { \mu r } } + 6 4 8 4 . 2 { \frac { e ^ { - 7 \mu r } } { \mu r } } ,
[ \star _ { \mu ^ { - 1 } } ] _ { i , j } = \langle \mathbf { W } _ { i } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } ) , \mu ^ { - 1 } \cdot \mathbf { W } _ { j } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } ) \rangle ; i , j \in \mathcal { F }
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } } & { { } = \epsilon ^ { - 1 } \sum _ { i } \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } \big \vert \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } , t ) ) \big \vert ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 0 } ) \, , } \end{array}
\stackrel { ( - 1 , 0 ) } { \Phi } _ { \alpha _ { L - 2 } } ^ { * ( 1 ) } Z _ { \; \; \alpha _ { L - 1 } } ^ { \alpha _ { L - 2 } } = \delta _ { 1 } \left( \stackrel { ( - 2 , 0 ) } { \eta } _ { \alpha _ { L - 1 } } ^ { * ( 1 1 ) } - \stackrel { ( - 2 , 0 ) } { \gamma } _ { \alpha _ { L } } A _ { \alpha _ { L - 1 } } ^ { \; \; \alpha _ { L } } \right) .
\begin{array} { r l } { \| \nabla \xi \| _ { p } } & { \leq C \| \nabla \chi \| _ { p } } \\ { \| \nabla ^ { 2 } \xi \| _ { p } } & { \leq C ( \| \nabla ^ { 2 } \chi \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \nabla \chi \| _ { p } ) } \\ { \| \nabla ^ { 3 } \xi \| _ { p } } & { \leq C \left( \| \nabla ^ { 3 } \chi \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \nabla ^ { 2 } \chi \| _ { p } + ( \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + \| \kappa \| _ { \infty } ) \| \nabla \chi \| _ { p } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { x } } & { { } \approx } & { \frac { 8 } { 9 } ( 1 - f _ { s } ) \frac { b ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \Gamma \left( \frac { \nu - 1 } { 2 } \right) X _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 ( \nu - 3 ) \Gamma \left( \frac { \nu + 3 } { 2 } \right) } \right. \right. } \\ { \mathcal { D } _ { y } } & { { } \approx } & { \frac { 8 } { 9 } ( 1 - f _ { s } ) \frac { b ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \Biggl ( \left( \frac { \Gamma ( \frac { \nu - 3 } { 2 } ) } { 4 \Gamma ( \frac { \nu + 3 } { 2 } ) } + \frac { \Gamma ( \frac { \nu - 1 } { 2 } ) } { 4 ( \nu - 3 ) \Gamma ( \frac { \nu + 3 } { 2 } ) } \right) X _ { 0 } ^ { 2 } \right. \Biggr . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log r _ { 1 } } & { = \log | \xi | + \log | 1 - \xi | + 2 \log \left| { \frac { 2 } { \pi } } K ( \xi ) \right| + } \\ & { | q | \left[ - e ^ { 2 } - { \frac { 4 } { e ^ { 2 } } } \cos ( 2 t ) - { \frac { 1 8 } { e ^ { 4 } } } \cos ( 4 t ) + \cdots \right] + | q | ^ { 2 } \left[ { \frac { e ^ { 4 } } { 6 } } - { \frac { 4 } { 3 } } \cos ( 2 t ) + { \frac { 2 6 } { 3 e ^ { 4 } } } \cos ( 4 t ) + \cdots \right] + \cdots \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x _ { 1 } + 2 x _ { 3 } ) ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } } & { = 2 ( x _ { 1 } ^ { 2 } + 2 x _ { 1 } x _ { 3 } + 2 x _ { 3 } ^ { 2 } ) } \\ & { = 2 [ ( c x _ { 1 } + x _ { 3 } / c ) ^ { 2 } + ( 1 - c ^ { 2 } ) x _ { 1 } ^ { 2 } + ( 2 - 1 / c ^ { 2 } ) x _ { 3 } ^ { 2 } ] } \\ & { \geqslant 2 ( 1 - c ^ { 2 } ) x _ { 1 } ^ { 2 } + ( 2 - 1 / c ^ { 2 } ) x _ { 3 } ^ { 2 } + ( 2 - 1 / c ^ { 2 } ) x _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { \geqslant 3 [ 2 ( 1 - c ^ { 2 } ) x _ { 1 } ^ { 2 } ( 2 - 1 / c ^ { 2 } ) ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 4 } ] ^ { 1 / 3 } . } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { r e c } } E _ { \mathrm { a v e r } } = - \frac { m \alpha ^ { 6 } } { 8 } \left( \frac { 9 0 1 } { 5 7 6 } + \frac { 1 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } + \frac { 3 \zeta ( 3 ) } { \pi ^ { 2 } } \right) = - \frac { m \alpha ^ { 6 } } { 8 } ( 2 . 4 8 6 8 8 \ldots ) ,
{ \cal L } _ { \mathrm { n l } } = \lambda ^ { 2 } 2 ^ { [ D / 2 ] - 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } C _ { D } ^ { ( n ) } \Phi ^ { \dagger } ( y ) \Phi ( y + 2 \pi R n ) + \mathrm { h . c . } \, ,
\chi _ { k , ( b ) } ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 0 0 , } } & { { 1 \leq k \leq 3 } } \\ { { 1 0 , } } & { { 4 \leq k \leq 9 } } \\ { { 1 , } } & { { 1 0 \leq k \leq 1 8 . } } \end{array} \right.
\left. \delta _ { l } ^ { ( D _ { 0 } ) } \right| _ { l \neq 0 } = \left[ \left( l + \nu _ { 0 } \right) - \sqrt { l \left( l + 2 \nu _ { 0 } \right) } \; \right] \, \frac { \pi } { 2 } \; ,
W _ { \bf a } = - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \frac { 4 \pi \epsilon } { \bf a } } ^ { + \infty } { \frac { d \tau } { \tau } } e ^ { \tau ^ { 2 } } ( 1 - \Phi ( \tau ) ) \simeq { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( { \frac { 4 \pi \epsilon } { \bf a } } ) ~ ~ .
\begin{array} { r l } & { - 4 8 H ^ { 3 } \dot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) + 6 H ^ { 2 } - 2 V ( \phi ) - \epsilon \dot { \phi } ^ { 2 } = 0 , } \\ & { - 1 6 H \dot { H } \dot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) - 1 6 H ^ { 3 } \dot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) + H ^ { 2 } \left( - 8 \dot { \phi } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( \phi ) - 8 \ddot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) + 3 \right) + 2 \dot { H } - V ( \phi ) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \dot { \phi } ^ { 2 } = 0 , } \\ & { 3 H \left( - 8 H \left( \dot { H } + H ^ { 2 } \right) f ^ { \prime } ( \phi ) - \epsilon \dot { \phi } \right) - V ^ { \prime } ( \phi ) - \epsilon \ddot { \phi } = 0 , } \end{array}
I ( \mathbf { z } ) \leq \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \bigg ( { \| { \mathbf z } _ { 1 } - { \mathbf z } \| \operatorname* { m i n } _ { \| \mathbf y \| = 1 } \operatorname* { m a x } _ { - 2 \leq m \leq 2 } | \mathbf y ^ { T } \mathbf D _ { m } \hat { \mathbf P } | } \bigg ) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \alpha } & { \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { N ^ { 3 } } { 4 L ^ { 2 } } , \frac { 1 } { 1 2 0 E L } , \frac { 1 } { 7 6 8 E ^ { 2 } N } , \frac { E ( 1 - \lambda _ { w } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } { 4 8 a _ { 6 } [ 1 + 7 ( E - 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } , \frac { ( 1 \! - \! \lambda _ { w } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } { 1 2 N ^ { 2 } B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } [ E \! + \! 2 0 0 ( E \! - \! 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } , } \\ & { ~ ~ ~ \frac { ( 1 \! - \! \lambda _ { w } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } { 4 8 [ 1 \! + \! 3 2 ( E \! - \! 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } , \frac { ( 1 - \lambda _ { w } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } { 6 1 4 4 d _ { 6 } N ^ { 2 } B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( E - 1 ) [ 1 + E ( E - 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } , \frac { ( 1 \! - \! \lambda _ { w } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 8 \sqrt { a _ { 7 } \! + \! a _ { 3 } c _ { 7 } } [ 1 \! + \! 7 ( E \! - \! 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } , } \\ & { ~ ~ ~ \frac { \sqrt { [ 1 \! + \! 3 2 ( E \! - \! 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } } { 8 a _ { 3 } [ 1 \! + \! 7 ( E \! - \! 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } , \sqrt { \frac { 1 } { a _ { 4 } d _ { 1 } N ^ { 2 } B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } } , \sqrt { \frac { 1 } { a _ { 2 } d _ { 3 } N ^ { 2 } B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } } , \frac { 1 } { \sqrt { a _ { 2 } c _ { 4 } } } \bigg \} , } \\ { \beta } & { \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { N } { 4 B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } L ^ { 2 } } , \frac { 1 } { 2 \sqrt { b _ { 6 } \! + \! b _ { 4 } d _ { 6 } } } , \frac { 1 } { \sqrt { a _ { 6 } ( c _ { 4 } d _ { 1 } \! + \! 2 c _ { 1 } ) \! + \! c _ { 6 } } } , \frac { 1 } { 1 2 0 E ^ { 2 } L } , \frac { 1 } { 1 1 5 2 E ( E - 1 ) N ^ { 2 } B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } , } \\ & { ~ ~ ~ \frac { ( 1 \! - \! \lambda _ { w } ^ { 2 } ) } { \{ 4 8 ( b _ { 7 } + b _ { 4 } d _ { 7 } ) N ^ { 2 } B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } [ E + 2 0 0 ( E - 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] \} ^ { \frac { 1 } { 3 } } } , \frac { ( 1 \! - \! \lambda _ { w } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } { 4 8 S c _ { 7 } [ 1 \! + \! 3 2 ( E \! - \! 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } , } \\ & { ~ ~ ~ \frac { ( 1 \! - \! \lambda _ { w } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 7 8 N B _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { d _ { 7 } ( E - 1 ) [ 1 + E ( E - 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } } , \sqrt { \frac { [ 1 + 3 2 ( E - 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } { 4 b _ { 3 } [ E + 2 0 0 ( E - 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } } , } \\ & { ~ ~ ~ \bigg ( \frac { 1 + 3 2 ( E - 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } } { 5 1 2 b _ { 1 } ( E - 1 ) [ 1 + E ( E - 1 ) ] \lambda _ { w } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } , \bigg ( \frac { 1 } { 2 a _ { 4 } b _ { 3 } c _ { 2 } [ 1 + 7 E ( E - 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } , } \\ & { ~ ~ ~ \sqrt { \frac { 1 } { 2 b _ { 1 } S [ 1 + 3 2 ( E - 1 ) \lambda _ { w } ^ { 2 } ] } } \bigg \} , } \end{array}
\mathbf { F } = \frac { \partial E } { \partial \mathbf { x } _ { i } } = \frac { \partial E ( \mathbf { z } ; \boldsymbol { \eta } ) } { \partial \mathbf { x } _ { i } } = \frac { \partial E ( \vec { \xi } ; \boldsymbol { \eta } ) } { \partial \mathbf { x } _ { i } }
\begin{array} { r } { R _ { \perp } ( \theta ) = \left| \frac { n _ { 1 } \cos \theta - n _ { 2 } \sqrt { 1 - \left( \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \sin \theta \right) ^ { 2 } } } { n _ { 1 } \cos \theta + n _ { 2 } \sqrt { 1 - \left( \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \sin \theta \right) ^ { 2 } } } \right| ^ { 2 } } \end{array}
G _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { r } ) = \frac { 1 } { n _ { \alpha } n _ { \beta } } \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 1 } \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 2 } \; g _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } _ { 1 } , \boldsymbol { v } _ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } ( } & { \mu P _ { t } ^ { \theta } , \mu P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } ) } \\ & { \leq \operatorname* { m i n } \left\{ C _ { 0 } e ^ { - \kappa t } \mathcal { W } ( \mu , \mu _ { \theta _ { 0 } } ) + 2 ( 1 + C _ { 0 } ) e ^ { \tilde { C } _ { 0 } t _ { * } } \! \! \int f ( u ) \mu _ { \theta _ { 0 } } ( d u ) \, g ( \theta , \theta _ { 0 } ) , e ^ { \tilde { C } _ { 0 } t } \! \! \int f ( u ) \mu ( d u ) \, g ( \theta , \theta _ { 0 } ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B _ { k , \ell } | } & { \le \frac { \| K \| _ { \infty } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } = 1 - n } ^ { n - 1 } \left| \check { C } _ { k , \ell } ( x _ { 1 } ) \right| \left| \check { C } _ { k , \ell } ( x _ { 2 } ) \right| } \\ & { \le \frac { \| K \| _ { \infty } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } = 1 - n } ^ { n - 1 } \left| \check { C } _ { k , \ell } ( x _ { 1 } ) \right| \left| \check { C } _ { k , \ell } ( x _ { 2 } ) \right| = : \beta _ { k , \ell } . } \end{array}
P _ { A B C D } ^ { \left( { \it s i n g l e t } \right) } = { \frac { 1 } { 1 6 } } P C _ { [ A B } C _ { C D ] } = { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } C _ { [ A B } C _ { C D ] } \, d \Phi \, .
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) } } { \partial t } } & { { } = \sum _ { k } \left( \tau _ { k j \sigma } \rho _ { i k } ^ { \left( \sigma \right) } - \tau _ { i k \sigma } \rho _ { k j } ^ { \left( \sigma \right) } \right) + \left( V _ { i \sigma } - V _ { j \sigma } \right) \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { u } _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { - \nu _ { e k } \, \left( \vec { u } _ { k } - \vec { b } _ { k k } \right) - \nu _ { e l } \, \left( \vec { u } _ { k } - \vec { b } _ { k l } \right) } \\ { \frac { d \vec { u } _ { l } } { d t } } & { { } \approx } & { - \nu _ { e k } \, \left( \vec { u } _ { l } - \vec { b } _ { l k } \right) - \nu _ { e l } \, \left( \vec { u } _ { l } - \vec { b } _ { l l } \right) } \\ { \frac { d \vec { u } _ { m } } { d t } } & { { } \approx } & { - \nu _ { e k } \, \left( \vec { u } _ { k } - \vec { b } _ { k k } \right) - \nu _ { e l } \, \left( \vec { u } _ { k } - \vec { b } _ { k l } \right) } \end{array}