harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \phi ( \boldsymbol { r } ) } & { { } = \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } ) } \\ { \eta _ { 0 } \boldsymbol { H } ( \boldsymbol { r } ) } \end{array} \right) } \\ { \mathbb { G } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \xi ^ { 2 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \boldsymbol { \alpha } _ { E } } & { i \xi \boldsymbol { G } _ { E H } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \boldsymbol { \alpha } _ { H } } \\ { - i \xi \boldsymbol { G } _ { E H } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \boldsymbol { \alpha } _ { E } } & { \xi ^ { 2 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \boldsymbol { \alpha } _ { H } } \end{array} \right) , } \end{array}
U ^ { \left( d \right) } = \int _ { 0 } ^ { \infty } D _ { \mathrm { e m } } ^ { \left( d \right) } \left( \omega \right) \frac { \hbar \omega } { \exp \left( \frac { \hbar \omega } { k _ { B } T } \right) - 1 } ~ \mathrm { d } \omega = k _ { B } \left[ \left( d - 1 \right) \theta _ { d } L ^ { d } T ^ { d + 1 } + \left( 3 - d \right) \frac { d } { 2 } \theta _ { d - 1 } L ^ { d - 1 } T ^ { d } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { c _ { i j } [ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ] } & { = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \left\{ \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } ) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right] + \right. } \\ & { \qquad \left. + \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } ) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right] \right\} p ( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } ) } \\ & { \qquad \times \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } [ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } ] e ^ { \delta _ { x _ { k } ^ { t } , I } \nu _ { k i } ^ { t } ( - i \hat { h } _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } \nu _ { i k } ^ { t } ( - i \hat { h } _ { k } ^ { t } ) } . } \end{array}
H _ { \mathrm { C F } } = B _ { 0 } ^ { 2 } C _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + B _ { 0 } ^ { 4 } C _ { 0 } ^ { ( 4 ) } + B _ { 0 } ^ { 6 } C _ { 0 } ^ { ( 6 ) } + B _ { 4 } ^ { 4 } ( C _ { 4 } ^ { ( 4 ) } + C _ { - 4 } ^ { ( 4 ) } ) + B _ { 4 } ^ { 6 } ( C _ { 4 } ^ { ( 6 ) } + C _ { - 4 } ^ { ( 6 ) } ) ,
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \frac { 2 } { J } } ~ \left[ \left( { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } + J ^ { 2 / 3 } ~ { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } \right) ~ { \boldsymbol { B } } - { \frac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] + 2 ~ J ~ { \frac { \partial W } { \partial I _ { 3 } } } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } ~ .
\begin{array} { r } { \langle , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } \lesssim \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 1 } { s } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 2 s - 1 } { s } } . } \end{array}
\tau ^ { - 1 } = \frac { \omega _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \pi \epsilon _ { 0 } \hbar c ^ { 3 } } \frac { 2 J + 1 } { 2 J ^ { \prime } + 1 } | \langle J | | \mathbf { d } | | J ^ { \prime } \rangle | ^ { 2 } ,
| 0 0 \rangle : = { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } ; \quad | 0 1 \rangle : = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } ; \quad | 1 0 \rangle : = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } ; \quad | 1 1 \rangle : = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { A x } _ { i } - \lambda _ { i } \mathbf { x } _ { i } \| } & { { } = \| \mathbf { A V } _ { k } \mathbf { y } _ { i } - \lambda _ { i } \mathbf { V } _ { k } \mathbf { y } _ { i } \| } \end{array}
\zeta _ { t o t } = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \zeta ^ { ( p ) } = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { p = 1 } ^ { n } \left( S ^ { ( p ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } B _ { k \ell } ^ { ( p ) } \sigma _ { k \ell } \right) = \frac { n } { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } { \overline { { S ^ { ( p ) } B _ { k \ell } ^ { ( p ) } } } } \sigma _ { k \ell } \, .
\sqrt { m ^ { \prime } m ^ { \dagger } } = m _ { T } ^ { \prime } \left( \begin{array} { c } { { x ^ { \prime } } } \\ { { y ^ { \prime } } } \\ { { z ^ { \prime } } } \end{array} \right) ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { { p _ { I I } } - { p _ { I } } } & { { } = { } \frac { 1 } { 2 } \rho \left( { v _ { I } } _ { t } ^ { 2 } \left( 1 - E ^ { 2 } \right) + { v _ { I } } _ { n } ^ { 2 } \theta ( s ) \right) } \end{array}
R _ { \mu / \pi } ^ { \mathrm { ~ E ~ C ~ L ~ } } = \frac { \mathcal { L } _ { \mu } ^ { \mathrm { ~ E ~ C ~ L ~ } } } { \mathcal { L } _ { \mu } ^ { \mathrm { ~ E ~ C ~ L ~ } } + \mathcal { L } _ { \pi } ^ { \mathrm { ~ E ~ C ~ L ~ } } }
\phi ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac Q { 8 \pi r _ { s } } \left( 3 - \frac { r ^ { 2 } } { r _ { s } ^ { 2 } } \right) \qquad } & { r < r _ { s } } \\ { - \frac Q { 4 \pi r } } & { r > r _ { s } } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { k } } ^ { + } } & { = \frac { R _ { \mathrm { k } } } { R _ { \mathrm { c } } } , \quad \dot { R } _ { \mathrm { k } } ^ { + } = \frac { \dot { R } _ { \mathrm { k } } } { A } , \quad t ^ { + } = \frac { t } { t _ { \mathrm { r e f } } } , \quad \mu _ { \mathrm { l } } ^ { + } = \frac { \mu _ { \mathrm { l } } } { \mu _ { \mathrm { l 0 } } } ; } \\ { \rho _ { \mathrm { l } } ^ { + } } & { = \frac { \rho _ { \mathrm { l } } } { \rho _ { \mathrm { l 0 } } } , \quad P ^ { + } = \frac { P } { \rho _ { \mathrm { l 0 } } A ^ { 2 } } , \quad \sigma ^ { + } = \frac { \sigma } { \sigma _ { 0 } } , \quad n ^ { + } = n R _ { \mathrm { c } } ^ { 3 } , } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \it { G D D } } } = { \frac { { \partial } ^ { 2 } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 2 } } } } k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( \mathrm { 2 } { \frac { \partial n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial \omega } } + \omega { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 2 } } } } \right) = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) \left( { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } \right) } \end{array} }
\left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } ( x ) } & { a _ { 1 2 } ( x ) } & { \cdots } & { a _ { 1 n } ( x ) } \\ { a _ { 2 1 } ( x ) } & { a _ { 2 2 } ( x ) } & { \cdots } & { a _ { 2 n } ( x ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } ( x ) } & { a _ { n 2 } ( x ) } & { \cdots } & { a _ { n n } ( x ) } \end{array} \right]
\bar { \mathbf { u } } _ { 2 } = \mathcal { D } _ { G } ^ { R } \cdot \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } \\ { c _ { 1 } } \\ { - 1 } \\ { c _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } \\ { c _ { 1 } } \\ { - 1 } \\ { c _ { 2 } } \end{array} \right] + O ( \epsilon ^ { 2 } + \beta ) , \quad \bar { \mathbf { l } } _ { 2 } = \frac { 1 } { \chi } d G _ { 1 } ^ { R } \cdot \mathcal { D } _ { G } ^ { L } = \frac { 1 } { \chi } d G _ { 1 } ^ { R } + O ( \epsilon ^ { 2 } + \beta ) ,
\begin{array} { r } { \frac { \kappa e ^ { - 2 \kappa | x | } } { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } k } { \pi } \frac { \kappa } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } \kappa \cos ( 2 k | x | ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 \mp i \Gamma ^ { 0 1 \cdots 6 } \right) \epsilon _ { 0 } } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { m { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 \mp i \Gamma ^ { y } \right] \epsilon _ { 0 } } } & { { = } } & { { 0 \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle \hat { c } _ { \bf k } \rangle ( t ) } & { = \frac { 1 } { \hbar \omega _ { \bf k } ^ { U } - \hbar \omega _ { \bf k } ^ { L } } \{ e ^ { - i \omega _ { \bf k } ^ { U } t } \left[ \langle \hat { x } _ { \bf k } \rangle _ { 0 } \tilde { g } + \langle \hat { c } _ { \bf k } \rangle _ { 0 } ( \hbar \omega _ { \bf k } ^ { U } - z _ { \bf k } ^ { X } ) \right] - e ^ { - i \omega _ { \bf k } ^ { L } t } \left[ \langle \hat { x } _ { \bf k } \rangle _ { 0 } \tilde { g } - \langle \hat { c } _ { \bf k } \rangle _ { 0 } ( \hbar \omega _ { \bf k } ^ { U } - z _ { \bf k } ^ { C } ) \right] \} , } \\ { \langle \hat { x } _ { \bf k } \rangle ( t ) } & { = \frac { 1 } { \hbar \omega _ { \bf k } ^ { U } - \hbar \omega _ { \bf k } ^ { L } } \{ e ^ { - i \omega _ { \bf k } ^ { U } t } \left[ \langle \hat { c } _ { \bf k } \rangle _ { 0 } \tilde { g } + \langle \hat { x } _ { \bf k } \rangle _ { 0 } ( \hbar \omega _ { \bf k } ^ { U } - z _ { \bf k } ^ { C } ) \right] - e ^ { - i \omega _ { \bf k } ^ { L } t } \left[ \langle \hat { c } _ { \bf k } \rangle _ { 0 } \tilde { g } - \langle \hat { x } _ { \bf k } \rangle _ { 0 } ( \hbar \omega _ { \bf k } ^ { U } - z _ { \bf k } ^ { X } ) \right] \} . } \end{array}
{ \cal L } _ { b } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } ( D ^ { a } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( D _ { \mu } C ^ { a } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( v _ { \mu } ^ { a } ) ^ { 2 } + \frac { k } { 2 } C ^ { a } D ^ { a } - \frac { k } { 2 } A _ { \mu } ^ { a } v ^ { a \mu } ,
\mathcal { S } ^ { R P A } \ : \ \left\lbrace \begin{array} { r l } { C _ { s } \bigr ( \mathbb { R } _ { + } ; \mathcal { B } ( L ^ { 2 } + L ^ { \infty } , L ^ { 1 } \cap L ^ { 2 } ) \bigr ) } & { \rightarrow C _ { s } \bigr ( \mathbb { R } _ { + } ; \mathcal { B } ( L ^ { 2 } + L ^ { \infty } , L ^ { 1 } \cap L ^ { 2 } ) \bigr ) } \\ { \chi _ { 0 } } & { \mapsto \chi ^ { \mathrm { R P A } } \in \ker \{ \chi _ { 0 } + \mathcal { C } ( \chi _ { 0 } , \cdot ) - \cdot \} . } \end{array} \right.
( \mathbf { I } - 2 \mathbf { B } _ { b } ^ { T } ) ( \mathbf { I } - 2 \mathbf { B } _ { b } ) \boldsymbol { P } _ { b } = 2 ( \mathbf { I } - 2 \mathbf { B } _ { b } ^ { T } ) \boldsymbol { \Gamma } .
\begin{array} { r l } { \eta _ { I } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) } & { { } = \mathbb { E } _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \sim \mu } \left[ \delta _ { \lambda , \beta } \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } z _ { i } - \mathbf { z } _ { I } \right) \right] } \\ { \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \eta _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) } & { { } = 0 \textrm { f o r s o m e } \beta \in \mathcal { L } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \varphi } = \left( \begin{array} { c } { \varphi ^ { \mathrm { ~ l ~ l ~ } } } \\ { \varphi ^ { \mathrm { ~ l ~ s ~ } } } \\ { \varphi ^ { \mathrm { ~ s ~ l ~ } } } \\ { \varphi ^ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta { \cal L } _ { \mathrm { g c } } } & { { } = } & { \frac { \partial } { t } \left( \int { \cal F } _ { \mathrm { g c } } \, \delta { \sf S } \; d ^ { 4 } P \; - \; \frac { 1 } { \partial c } \, \delta { \bf A } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \right) } \end{array}
c _ { n } ^ { ( 1 ) } ( t ) = { \frac { - i } { \hbar } } \sum _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \; \langle n | V ( t ^ { \prime } ) | k \rangle \, c _ { k } ^ { ( 0 ) } \, e ^ { - i ( E _ { k } - E _ { n } ) t ^ { \prime } / \hbar } ~ .
\begin{array} { r l } { \bar { u } _ { e , j } ^ { m } = } & { { } \frac { - \bar { I } } { \bar { n } _ { j } ^ { m } \bar { A } _ { j } ^ { m } } , } \\ { \bar { n } _ { j } ^ { m + 1 } = } & { { } \bar { n } _ { j } ^ { m } - \frac { k } { 2 h } \left( \bar { n } _ { j + 1 } ^ { m } \bar { u } _ { i , j + 1 } ^ { m } - \bar { n } _ { j - 1 } ^ { m } \bar { u } _ { i , j - 1 } ^ { m } \right) , } \\ { \bar { u } _ { i , j } ^ { m + 1 } = } & { { } \bar { u } _ { i , j } ^ { m } - \frac { k } { 2 h \bar { m } _ { i } } \left[ \frac { \left( \bar { u } _ { e , j + 1 } ^ { m } \right) ^ { 2 } - \left( \bar { u } _ { e , j - 1 } ^ { m } \right) ^ { 2 } } { 2 } + \bar { T } _ { e } \left( \ln \bar { n } _ { j + 1 } ^ { m } - \ln \bar { n } _ { j - 1 } ^ { m } \right) \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { S y m } ^ { k } ( { \mathcal { O } } \oplus { \mathcal { O } } ( - n ) ) } & { = \bigoplus _ { i = 0 } ^ { k } { \mathcal { O } } ^ { \otimes ( n - i ) } \otimes { \mathcal { O } } ( - i n ) } \\ & { \cong { \mathcal { O } } \oplus { \mathcal { O } } ( - n ) \oplus \cdots \oplus { \mathcal { O } } ( - k n ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { 2 } \int _ { \Omega } | \nabla u | ^ { 2 } ( x , t ) \mathrm { d } x + \varepsilon ^ { \frac { 9 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \Delta u | ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } t } \\ & { \leq \frac { R ^ { 2 } } { 8 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 N + 1 } + C ( R ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 7 } 4 } \| \nabla u \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ & { \quad + C ( R ) \varepsilon ^ { N + 3 } \| \Delta u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } . } \end{array}
I _ { 2 b } ^ { ( 1 ) } = ( - 2 i ) ( 2 4 0 ) D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int d \Omega _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { l _ { E } ^ { 0 } ( y + s ) } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } \, .
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \bar { \Psi } ^ { \mathrm { I } } = \frac { \sigma } { \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \sigma \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf E } ^ { n + 1 } = \left( 1 + \theta \frac { \sigma \Delta t } { \epsilon } \right) ^ { - 1 } \bigg ( } & { { } { \bf E } ^ { n } + \frac { \Delta t } { \epsilon } \nabla \times { \bf H } ^ { n + 1 / 2 } } \end{array}
\vec { \Sigma } : = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( \vec { Q } _ { L i } + \vec { Q } _ { R i } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \vec { Q } _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \Psi _ { i } ^ { \dagger } \vec { \tau } \Psi _ { i }
\begin{array} { r l } { I _ { r } ^ { ( k ) } ( x , y ) } & { = \frac { 1 } { I _ { o b j } ( x , y ) } I _ { s } ^ { ( k ) } ( x , y ) + D _ { x } ( x , y ) \frac { \partial I _ { r } ^ { ( k ) } ( x , y ) } { \partial x } } \\ & { + D _ { y } ( x , y ) \frac { \partial I _ { r } ^ { ( k ) } ( x , y ) } { \partial y } - z _ { 2 } D _ { f } ( x , y ) \nabla _ { \perp } ^ { 2 } [ I _ { r } ^ { ( k ) } ( x , y ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { - \kappa + 1 / 2 } { 2 } - 1 } } & { ( 1 - \xi ) ^ { \frac { \kappa + 1 / 2 } { 2 } - 1 } \, \mathrm { e } ^ { ( \xi - 1 / 2 ) z } \, \left( 2 \xi ( 1 - \xi ) - \frac { \kappa + \xi - \frac { 1 } { 2 } } { z } \right) \, J _ { \mu } ( \sqrt { \xi ( 1 - \xi ) } z ) \, \mathrm { d } \xi \ . } \end{array} } \end{array}
{ \cal S K } _ { n + 1 } = \frac { S U ( 1 , 1 ) } { U ( 1 ) } \otimes \frac { S O ( 2 , n ) } { S O ( 2 ) \otimes S O ( n ) } \quad \quad ; \quad \quad { \cal Q M } _ { m } = \frac { S O ( 4 , m ) } { S O ( 4 ) \otimes S O ( m ) }
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot \left[ \left( \mathcal { P } ( \rho ) + s ( t , x , \rho ) u \right) \rho \right] - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta \rho = 0 , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , } \\ & { \left( \left( \mathcal { P } ( \rho ) + s ( t , x , \rho ) u \right) \rho - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \nabla \rho \right) \cdot \vec { n } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \beta \rho } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { F } } , } \\ & { 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { \mathrm { Z } } . } \end{array} \right. } \end{array} \right.
{ \left[ \begin{array} { l } { { x ^ { \prime } } ^ { 0 } } \\ { { x ^ { \prime } } ^ { 1 } } \\ { { x ^ { \prime } } ^ { 2 } } \\ { { x ^ { \prime } } ^ { 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \Lambda ^ { 0 } } _ { 0 } } & { { \Lambda ^ { 0 } } _ { 1 } } & { { \Lambda ^ { 0 } } _ { 2 } } & { { \Lambda ^ { 0 } } _ { 3 } } \\ { { \Lambda ^ { 1 } } _ { 0 } } & { { \Lambda ^ { 1 } } _ { 1 } } & { { \Lambda ^ { 1 } } _ { 2 } } & { { \Lambda ^ { 1 } } _ { 3 } } \\ { { \Lambda ^ { 2 } } _ { 0 } } & { { \Lambda ^ { 2 } } _ { 1 } } & { { \Lambda ^ { 2 } } _ { 2 } } & { { \Lambda ^ { 2 } } _ { 3 } } \\ { { \Lambda ^ { 3 } } _ { 0 } } & { { \Lambda ^ { 3 } } _ { 1 } } & { { \Lambda ^ { 3 } } _ { 2 } } & { { \Lambda ^ { 3 } } _ { 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x ^ { 0 } } \\ { x ^ { 1 } } \\ { x ^ { 2 } } \\ { x ^ { 3 } } \end{array} \right] }
\frac { U _ { d } ( \tilde { r } ) } { k _ { B } T } = \frac { \Gamma } { \phi ^ { 2 } } \int _ { \tilde { A _ { 2 } } } \int _ { \tilde { A _ { 1 } } } \frac { \; \mathrm { d } \tilde { \bf r } _ { 1 } \; \mathrm { d } \tilde { \bf { r } } _ { 2 } } { | \tilde { \bf r } _ { 1 } - \tilde { \bf r } _ { 2 } - \tilde { \bf r } | ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } & { \mathbf { M } _ { v } = \sum _ { e = 0 } ^ { 7 } \rho _ { e } ^ { p } \left( \sum _ { v _ { j } = 0 , v _ { j } \ne 7 - e } ^ { 7 } \mathbf { K } _ { [ 7 - e , v _ { j } ] } ^ { 0 } \mathbf { u } ^ { v _ { j } , e } \right) , } \\ & { \mathbf { S } _ { v } = \sum _ { e = 0 } ^ { 7 } \rho _ { e } ^ { p } \mathbf { K } _ { [ 7 - e , 7 - e ] } ^ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \partial v } { \partial y } + \frac { \partial w } { \partial z } = 0 , } \\ & { \frac { \partial u } { \partial t } + u \frac { \partial u } { \partial x } + v \frac { \partial u } { \partial y } + w \frac { \partial u } { \partial z } + g \frac { \partial \zeta } { \partial x } + \frac { \partial p _ { n h } } { \partial x } = \frac { \partial \tau _ { x x } } { \partial x } + \frac { \partial \tau _ { x y } } { \partial y } + \frac { \partial \tau _ { x z } } { \partial z } , } \\ & { \frac { \partial v } { \partial t } + u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } + w \frac { \partial v } { \partial z } + g \frac { \partial \zeta } { \partial y } + \frac { \partial p _ { n h } } { \partial y } = \frac { \partial \tau _ { y x } } { \partial x } + \frac { \partial \tau _ { y y } } { \partial y } + \frac { \partial \tau _ { y z } } { \partial z } , } \\ & { \frac { \partial w } { \partial t } + u \frac { \partial w } { \partial x } + v \frac { \partial w } { \partial y } + w \frac { \partial w } { \partial z } + \frac { \partial p _ { n h } } { \partial z } = \frac { \partial \tau _ { z x } } { \partial x } + \frac { \partial \tau _ { z y } } { \partial y } + \frac { \partial \tau _ { z z } } { \partial z } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } = \iota _ { W } \mathrm { v o l } _ { g } , } & & { \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { I J K L } \mathrm { e } ^ { I } \wedge \mathrm { e } ^ { J } \wedge \delta \omega ^ { K L } , } \\ & { \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } = \iota _ { \overline { { V } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } , } & & { \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = \epsilon _ { I J K L } \overline { { \mathrm { e } } } ^ { K } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { L } \wedge \mathrm { N } \wedge \delta \mathrm { N } ^ { J } , } \\ & { W ^ { \alpha } : = ( g ^ { \lambda \beta } g ^ { \alpha \kappa } - g ^ { \lambda \alpha } g ^ { \kappa \beta } ) \nabla _ { \lambda } \delta g _ { \kappa \beta } , } & & { \overline { { V } } ^ { \overline { { \alpha } } } : = - \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \lambda } \delta g _ { \lambda \beta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b _ { i j } } & { = } & { 1 \; \; \mathrm { i f } \; \; i \neq j \; \; \mathrm { a n d ~ t h e r e ~ i s ~ a ~ w ~ - s t r o k e ~ b e t w e e n ~ b o d i e s ~ m _ i ~ a n d ~ m _ j ~ } ; } \\ & { = } & { 0 \; \; \mathrm { i f } \; \; i \neq j \; \; \mathrm { a n d ~ t h e r e ~ i s ~ n o ~ w ~ - s t r o k e ~ b e t w e e n ~ b o d i e s ~ m _ i ~ a n d ~ m _ j ~ } ; } \\ { b _ { i i } } & { = } & { 1 \; \; \mathrm { i f ~ t h e r e ~ i s ~ a ~ w ~ - c i r c l e ~ a t ~ m _ i ~ } ; } \\ & { = } & { 0 \; \; \mathrm { i f ~ t h e r e ~ i s ~ n o ~ w ~ - c i r c l e ~ a t ~ m _ i ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \rangle } & { { } = V _ { 0 } + V _ { 1 } ^ { T } \cdot \langle \hat { x } \rangle + \operatorname { T r } \left[ V _ { 2 } \cdot \langle \hat { x } \otimes \hat { x } ^ { T } \rangle \right] / 2 } \\ { \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime } \rangle } & { { } = V _ { 1 } + V _ { 2 } \cdot \langle \hat { x } \rangle = V _ { 1 } , } \\ { \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime \prime } \rangle } & { { } = V _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } : = } & { { } 1 / \left( \kappa _ { a } + \mathrm { ~ i ~ } ( \Delta _ { a } - \delta ) \right) , } \\ { \alpha _ { 2 } : = } & { { } 1 / \left( \gamma _ { b } + \mathrm { ~ i ~ } ( \Delta _ { b } ^ { \prime } - \delta ) \right) , } \\ { \alpha _ { 3 } : = } & { { } 1 / \left( \gamma _ { c } + \mathrm { ~ i ~ } ( \Delta _ { c } ^ { \prime } - \delta ) \right) . } \end{array}
\int V ( { \vec { r } } ) \mathbf { e } ^ { - \mathbf { i } ( { \vec { p } } - { \vec { p } } ^ { \prime } ) { \vec { r } } } \mathbf { d } ^ { 3 } r = { \frac { e ^ { 2 } } { | { \vec { p } } - { \vec { p } } ^ { \prime } | ^ { 2 } - \mathbf { i } \epsilon } }
S _ { X } = \int d ^ { 2 } x \; \left( X ^ { A Y } \partial _ { + + } \partial _ { -- } X _ { A Y } + { \frac { i } { 2 } } \psi _ { - } ^ { A ^ { \prime } Y } \partial _ { + + } \psi _ { - A ^ { \prime } Y } \right) \; .
\begin{array} { r l } & { R ( X _ { ( 2 , 0 ) } ) \phi _ { i } ( g ) - R ( X _ { ( 1 , 1 ) } ) \phi _ { i + 1 } ( g ) + R ( X _ { ( 0 , 2 ) } ) \phi _ { i + 2 } ( g ) = 0 , } \\ & { R ( X _ { ( 0 , - 2 ) } ) \phi _ { i } ( g ) + R ( X _ { ( - 1 , - 1 ) } ) \phi _ { i + 1 } ( g ) + R ( X _ { ( - 2 , 0 ) } ) \phi _ { i + 2 } ( g ) = 0 , } \\ & { 2 j R ( X _ { ( 0 , - 2 ) } ) \phi _ { j - 1 } ( g ) - ( d _ { \Lambda } - 2 j ) R ( X _ { ( - 1 , - 1 ) } ) \phi _ { j } ( g ) - 2 ( d _ { \Lambda } - j ) R ( X _ { ( - 2 , 0 ) } ) \phi _ { j + 1 } ( g ) = 0 , } \end{array}
\frac { \mathbf { B } \times \nabla B } { B ^ { 2 } } = \left( \kappa _ { n } - \frac { \mu _ { 0 } | \nabla p | } { B ^ { 2 } } \right) \mathbf { b } \times \mathbf { n } - \kappa _ { g } \mathbf { n } ,