harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| H \left( X _ { t - \cdot } ^ { \varepsilon } \right) - H \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } \big ) \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { \leq C _ { p } \bigg \{ \mu \left( \left[ 0 , \delta \right] \right) \int _ { 0 } ^ { t } E \left[ \left| X _ { u } ^ { \varepsilon } - X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \, \mathrm { d } u } \\ & { \qquad + \mu \left( \left[ 0 , \delta \right] \right) \int _ { 0 } ^ { t } E \left[ \left| H \left( X _ { u - \cdot } ^ { \varepsilon } \right) - H \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } \big ) \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \, \mathrm { d } u } \\ & { \qquad + \int _ { [ t _ { k - 1 } , t _ { k } ] } \left| \phi ^ { \varepsilon } ( 0 ) - \phi ^ { \varepsilon } ( t _ { k - 1 } - s ) \right| ^ { p } \, \mu \left( \mathrm { d } s \right) } \\ & { \qquad + \int _ { [ 0 , \delta ] } \left| \phi ^ { \varepsilon } ( t - s ) - \phi ^ { \varepsilon } ( t _ { k - 1 } - s ) \right| ^ { p } \, \mu \left( \mathrm { d } s \right) \bigg \} } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \Big ( \big ( t - t _ { k - 1 } \big ) ^ { p } \Big ) + R _ { k - 1 } \Big ( \varepsilon ^ { p } \big ( t - t _ { k - 1 } \big ) ^ { p / 2 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta ^ { G G } ( t _ { d } ) } & { = 2 \gamma ^ { 2 } D _ { 0 } \sqrt { \pi } e \alpha ^ { 3 } t _ { d } ^ { 3 } } \\ & { \times \left[ 1 - \frac { \sqrt { \pi } \alpha t _ { d } } { \tau _ { c } } e ^ { \frac { \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } } { \tau _ { c } ^ { 2 } } } \textrm { e r f c } \left( \frac { \alpha t _ { d } } { \tau _ { c } } \right) \right] , } \end{array}
Q ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { r } = Q ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { y } - \left( Q ^ { \mathrm { { T } } } Q \right) { \left( \begin{array} { l } { R } \\ { 0 } \end{array} \right) } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } = { \left[ \begin{array} { l } { \left( Q ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { y } \right) _ { n } - R { \hat { \boldsymbol { \beta } } } } \\ { \left( Q ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { y } \right) _ { m - n } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } } \\ { \mathbf { v } } \end{array} \right] }
\iota ^ { * } \psi = \left( \begin{array} { l l l l } { - \phi _ { 0 } } & { - \theta _ { 0 } } & { - \theta _ { 2 } } & { \theta _ { 1 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \phi _ { 0 } } & { \omega ^ { 2 } } & { - \omega ^ { 1 } } \\ { \omega ^ { 1 } } & { \theta _ { 1 } } & { 0 } & { \phi _ { 1 } } \\ { \omega ^ { 2 } } & { \theta _ { 2 } } & { - \phi _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) ,
M _ { S U } ^ { c o r r } = M _ { S U } \, \exp \frac { ( { \Delta } _ { 5 } - { \Delta } _ { 1 } ) } { 2 ( b _ { 5 } - b _ { 1 } ) } \approx g _ { s t r . } \cdot 5 . 6 \cdot 1 0 ^ { 1 7 } G e V \ .
\begin{array} { r l } { \log p ( \mathcal { D } | \theta ) = } & { { } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log \mathcal { N } ( X _ { i } | f _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ p ~ } } ^ { x } ( \theta , t _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log \mathcal { N } ( Y _ { i } | f _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ p ~ } } ^ { y } ( \theta , t _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \rho u _ { j } \right) = 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho u _ { i } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \rho u _ { i } u _ { j } \right) + \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } = 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \frac { \partial e } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( e + p \right) u _ { j } - \tau _ { i j } u _ { i } + q _ { j } \right] = 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
U _ { n } ( t , t _ { 0 } ) = ( - i ) ^ { n } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \cdots \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { n - 1 } } d t _ { n } \, { \mathcal { T } } V ( t _ { 1 } ) V ( t _ { 2 } ) \cdots V ( t _ { n } ) .
W _ { n } ( p k _ { 1 } \ldots k _ { n } \bar { p } ) = \frac { ( p \bar { p } ) } { ( p k _ { 1 } ) ( k _ { 1 } k _ { 2 } ) \ldots ( k _ { n } \bar { p } ) } , \qquad ( q q ^ { \prime } ) \equiv 1 - \cos \theta _ { q q ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { - i \omega { n _ { \perp } } + i k { j _ { \| } } } & { { } = - \ell { j _ { \ell } ^ { \perp } } , } \\ { i \omega { n } _ { \| } } & { { } = \ell j _ { \ell } ^ { \| } , } \\ { i k { n _ { \| } } } & { { } = \ell { n _ { \ell } ^ { \perp } } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \mathbf { v } _ { i } } { \mathrm { d } t } = - 2 \sum _ { j } m _ { j } \frac { \overline { { { p } } } _ { i j } } { \rho _ { i } \rho _ { j } } \nabla _ { i } W _ { i j } + 2 \sum _ { j } \nu _ { i } V _ { j } \frac { \mathbf { v } _ { i j } } { r _ { i j } } \frac { \partial W _ { i j } } { \partial r _ { i j } } + \mathbf { g }
y ^ { 2 } = \sqrt { \frac { 1 + f _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + f _ { 1 } ^ { 2 } } } c _ { 1 } f _ { 1 } , \quad y ^ { 4 } = \sqrt { \frac { 1 + f _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + f _ { 2 } ^ { 2 } } } c _ { 3 } f _ { 2 } .
. ( { \it C } ) T h e P o w e r S p e c t r a l D e n s i t y ( P S D ) o f t h e t o r q u e m e a s u r e m e n t i n ( { \it B } ) . { T h e P S D i s c a l c u l a t e d b a s e d o n 5 8 0 s t o r q u e m e a s u r e m e n t } . T h e P S D o f t h e p o l y m e r s o l u t i o n h a s a p o w e r - l a w r e l a t i o n s h i p w i t h t h e f r e q u e n c y , i m p l y i n g t h e f l o w i s t u r b u l e n t - l i k e . W i t h t h e a d d i t i o n o f t h e s u s p e n s i o n , t h e t o r q u e h a s a s i n g l e p e a k w i t h a f r e q u e n c y o f
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } \circ \mathbb { W } ^ { + } = } & { { } } & { ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } + W _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d r } \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } D \psi \right] - \frac { \psi } { r } - \frac { \psi } { V - c } \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { s a } = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } ( \gamma _ { s } + \gamma _ { a } ) , \quad \gamma _ { s \ell } = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } ( \gamma _ { s } + \gamma _ { \ell } ) , \quad \gamma _ { { \ell } a } = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } ( \gamma _ { \ell } + \gamma _ { a } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \log \mathbb { P } \big [ \big ( \xi _ { 1 } - \operatorname* { m a x } \big \{ \kappa _ { \{ { \mathcal X } _ { t } \} } ( B _ { 1 } ) , \kappa _ { \{ { \mathcal Y } _ { t } \} } ( B _ { 1 } ) \big \} \big ) > t \big ] \lesssim e ^ { - 2 H _ { U } / \varepsilon ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { n } \xi _ { k } } & { \cdot \sum _ { j < k - 1 } \Pi _ { j + 1 , k - 1 } \xi _ { j } ^ { 3 } \ge \varepsilon n ^ { \theta } { a _ { n } ^ { 4 } } \bigg ] \le \frac { 1 } { \varepsilon ^ { \gamma } a _ { n } ^ { 4 \gamma } } \mathrm { E } \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { n } \xi _ { k } \cdot \sum _ { j < k - 1 } \Pi _ { j + 1 , k - 1 } \xi _ { j } ^ { 3 } \bigg ] ^ { \gamma } } \\ & { \le \frac { 1 } { \varepsilon ^ { \gamma } n ^ { \theta \gamma } a _ { n } ^ { 4 \gamma } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathrm { E } \xi _ { k } ^ { \gamma } \cdot \sum _ { j < k - 1 } \mathrm { E } \Pi _ { j + 2 , k - 1 } ^ { \gamma } \mathrm { E } [ \rho _ { j + 1 } ^ { \gamma } \xi _ { j + 1 } ^ { 3 \gamma } ] \le \frac { C n } { \varepsilon ^ { \gamma } n ^ { \theta \gamma } a _ { n } ^ { 4 \gamma } } = \frac { o ( 1 ) } { n ^ { \theta \gamma } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \delta _ { \mathrm { C P } } ) } & { { } = } & { \underset { \{ \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 3 } , \left\vert \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } \right\vert , o \} } { \mathrm { m i n } } \left[ \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) - \chi _ { \mathrm { D U N E , m i n } } ^ { 2 } \right] \; , } \\ { \Delta \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 3 } ) } & { { } = } & { \underset { \{ \delta _ { \mathrm { C P } } , \left\vert \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } \right\vert , o \} } { \mathrm { m i n } } \left[ \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) - \chi _ { \mathrm { D U N E , m i n } } ^ { 2 } \right] \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { I = ( \sqrt { 2 } \sigma _ { n - m } ) ^ { m } e ^ { \omega ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } u ^ { m - 1 } e ^ { - \left( u - \omega \right) ^ { 2 } } d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \nabla y - I \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \leq \frac { 2 } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \nabla y - \hat { Q } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { 2 } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \hat { Q } - I \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq c \left( \mathcal { W } _ { \mathrm { e l } } ^ { \varepsilon } ( u , v ) + \mathcal { W } _ { \mathrm { v i } } ^ { \varepsilon } ( v ) \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \hat { \beta } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ( y _ { i } - { \bar { y } } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } } = { \frac { { \overline { { x y } } } - { \bar { x } } { \bar { y } } } { { \overline { { x ^ { 2 } } } } - { \bar { x } } ^ { 2 } } } = { \frac { \operatorname { C o v } [ x , y ] } { \operatorname { V a r } [ x ] } } = r _ { x y } { \frac { s _ { y } } { s _ { x } } } , } \\ & { { \hat { \alpha } } = { \bar { y } } - { \hat { \beta } } \, { \bar { x } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ ` ~ ` ~ m ~ e ~ t ~ a ~ l ~ d ~ e ~ n ~ s ~ i ~ t ~ y ~ " ~ } } & { { } = } & { 5 . 4 8 * 1 0 ^ { 6 } M _ { \odot } M p c ^ { - 3 } } \end{array}
U _ { \mathrm { a - d } } ^ { \mathrm { Y } } = \tilde { S } _ { 1 2 3 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } a _ { m , i } \, r _ { 1 2 } ^ { i } e ^ { - \zeta _ { r } r _ { 1 2 } } \, d _ { n _ { m } } ( \zeta _ { R } , R _ { 1 2 } ) \, P _ { l _ { m } } ( c _ { 1 2 } ) ,
\nu _ { n } \approx \left( n + \frac { d - 2 } 2 \right) ( 1 + \eta ^ { 2 } / 2 ) + \frac { ( d - 1 ) ( d - 2 ) ( \xi - \overline { { { \xi } } } ) } { 2 n + d - 2 } \eta ^ { 2 } + O ( \eta ^ { 4 } ) \ .
\begin{array} { r l } { \Tilde { \Gamma } _ { \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k } } ^ { [ k ] i _ { k } } } & { { } = V _ { ( j _ { k } , \alpha _ { k - 1 } ) , \beta _ { k } } / \lambda _ { \alpha _ { k - 1 } } ^ { [ k - 1 ] } } \\ { \Tilde { \Gamma } _ { \alpha _ { k } \alpha _ { k + 1 } } ^ { [ k + 1 ] i _ { k + 1 } } } & { { } = W _ { \beta _ { k } , ( j _ { k + 1 } , \alpha _ { k + 1 } ) } / \lambda _ { \alpha _ { k + 1 } } ^ { [ k + 1 ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla f ( w _ { \theta } ) \| } & { \le \| \nabla f ( w ) \| + \| \nabla f ( w _ { \theta } ) - \nabla f ( w ) \| } \\ & { \le \| \nabla f ( w ) \| + \| w ^ { \prime } - w \| H ( \theta ) } \\ & { \le 2 ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \Big ( 3 \big ( L _ { 1 } ( 1 - \alpha ) \| w ^ { \prime } - w \| \theta \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } + \| \nabla f ( w ) \| + \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathrm { S t r e s s - f r e e : } } & { \lambda _ { 1 } ^ { - } \tilde { v } _ { 1 } ^ { - } + \lambda _ { 2 } ^ { - } \tilde { v } _ { 2 } ^ { - } } & { = 0 ~ , } \\ & { \mathrm { E l e c t r i c ~ f i e l d ~ c o n t i n u i t y ~ ( C . I ) : } } & { \eta ( \lambda _ { 1 } ^ { - } \tilde { b } _ { 1 } ^ { - } + \lambda _ { 2 } ^ { - } \tilde { b } _ { 2 } ^ { -- } \lambda ^ { + } \tilde { b } ^ { + } ) } & { = i B _ { 0 } ( v _ { 1 } ^ { - } + v _ { 2 } ^ { -- } v ^ { + } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B ( 1 ) = \{ b _ { 1 } \in X _ { 1 } \colon \mathrm { t h e r e ~ e x i s t s ~ } b \in B \mathrm { ~ a n d ~ } b _ { 2 } \in X _ { 2 } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } b = ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ) \} } \\ { \mathrm { a n d ~ } } & { B ( 2 ) = \{ b _ { 2 } \in X _ { 2 } \colon \mathrm { t h e r e ~ e x i s t s ~ } b \in B \mathrm { ~ a n d ~ } b _ { 1 } \in X _ { 1 } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } b = ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } _ { \alpha } ^ { * } = } & { ~ - \hat { m } _ { \alpha } ^ { * } \left( \mu _ { \alpha } ^ { * } + p _ { \alpha } ^ { * } - \frac { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { N } } \left( \mu _ { N } ^ { * } + p _ { N } ^ { * } \right) \right) , \quad \mathrm { ~ f o r ~ } \alpha = 1 , \dots , N - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q } & { = \sum _ { r = 0 } ^ { m _ { n } } \binom { { m _ { n } } } { r } ( 1 - u _ { 1 } ) ^ { r } u _ { 1 } ^ { { m _ { n } } - r } \operatorname* { P r } ( M + N = r ) } \\ & { \le \frac { e } { \sqrt { 2 \pi } } { m _ { n } } ^ { - 1 / 2 } \sum _ { r = 0 } ^ { m _ { n } } \Pi _ { r } ^ { - 1 } 2 ^ { - { m _ { n } } D ( \frac { r } { { m _ { n } } } \| ( 1 - u _ { 1 } ) ) } \operatorname* { P r } ( M + N = r ) } \end{array}
\tilde { u } _ { j } ( t + \Delta t ) = \exp \big ( - \mathrm { i } \mathcal { A } ( k _ { j } ) \Delta t \big ) \, \tilde { u } _ { j } ( t ) , \quad j = - \frac { N } { 2 } , \dots , \frac { N } { 2 } - 1 .
\begin{array} { r } { f ^ { \mathrm { ~ D ~ P ~ } } ( \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { 9 } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \cdots \sum _ { n _ { 9 } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } C _ { n _ { 1 } , \ldots , n _ { 9 } } \prod _ { k = 1 } ^ { 9 } F _ { n _ { k } } ^ { ( k ) } ( \xi _ { k } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 0 } ~ ~ } & { { } = ~ 3 v - 1 } \\ { \lambda _ { 1 , 2 } } & { { } = \frac { ( 2 v - 1 ) ( 3 v - 8 ) \pm 3 v \sqrt { 4 v ^ { 2 } - 2 8 v + 4 1 } } { 4 ( v - 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi _ { n } } { \partial t } } & { { } = \left[ \mathcal { H } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 , 2 } ( \mathcal { J } _ { i } + \mathcal { J } _ { i } ^ { \dagger } ) \right] \psi _ { n } } \end{array} } \end{array}
\lambda _ { k } ^ { \varepsilon } = \frac { \prod _ { j \neq k } \mathcal { I } _ { j } } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \prod _ { j \neq k } \mathcal { I } _ { j } } \quad \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ ~ ~ ~ ~ } \mathcal { I } _ { k } = \int _ { \Omega } | D _ { x } ^ { k } ( u ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x .
\begin{array} { r l } { d p _ { 2 } ^ { 1 } ( t ) = } & { \ \biggl ( \phi ^ { ' } ( t , \alpha ( t - ) ) X _ { 2 } ( t - ) + \phi ( t , \alpha ( t - ) ) X _ { 2 } ( t - ) u ( t ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { N } X _ { 2 } ( t - ) ( \phi ( t , e _ { j } ) - \phi ( t , \alpha ( t - ) ) ) \mu _ { j } ( t ) \biggr ) d t } \\ & { + \phi ( t , \alpha ( t - ) ) X _ { 2 } ( t - ) \sigma _ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) ) d W _ { 2 } ( t ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \phi ( t , \alpha ( t - ) ) X _ { 2 } ( t - ) \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) \tilde { N } ( d t , d z ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { D } X _ { 2 } ( t - ) ( \phi ( t , e _ { j } ) - \phi ( t , \alpha ( t - ) ) ) d \tilde { \Phi } _ { j } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { l c l } { \delta ^ { ' } ( q _ { 1 } , w , x _ { 1 } ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { 1 } , \epsilon ) } \\ { \delta ^ { ' } ( p _ { 1 } , \epsilon , x _ { 2 } ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { 2 } , \epsilon ) } \\ { \delta ^ { ' } ( p _ { m - 1 } , \epsilon , x _ { m } ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { m } , \epsilon ) } \\ { \delta ^ { ' } ( p _ { m } , \epsilon , \epsilon ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { m + 1 } , y _ { n } ) } \\ { \delta ^ { ' } ( p _ { m + 1 } , \epsilon , \epsilon ) } & { \longrightarrow } & { ( p _ { m + 2 } , y _ { n - 1 } ) } \\ { \delta ^ { ' } ( p _ { m + n - 1 } , \epsilon , \epsilon ) } & { \longrightarrow } & { ( q _ { 2 } , y _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s d u d v \delta ( x + y + r + s + u + v - 1 ) } \\ & { \quad \times \frac { 5 ! } { [ x k ^ { 2 } + y k ^ { 2 } + r ( p - k ) ^ { 2 } + s ( p - k ) ^ { 2 } + u ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) + v ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) ] ^ { 6 } } } \end{array}
Y _ { i j } ^ { u } \, \psi _ { i } \psi _ { j } { h } _ { 1 } + Y _ { i j } ^ { d } \, \psi _ { i } \phi _ { j } { \overline { { { h } } } } _ { 1 } + { \mu } { h } { \overline { { { h } } } } + { \lambda } { h } { \Sigma } { \overline { { { h } } } } \ ,
\begin{array} { r l } { \beta ( 1 , t ) = } & { c _ { 0 } u ( 1 , t ) + q \alpha ( 1 , t ) , } \\ { { u _ { t } } ( x , t ) = } & { - d { u _ { x } } ( x , t ) + q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 1 ) c _ { 0 } u ( 1 , t ) , } \\ { u ( 0 , t ) = } & { U ( t ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 1 } ( 0 , y ) \alpha ( y , t ) d y } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 2 } ( 0 , y ) \beta ( y , t ) d y + \eta ( 0 ) { X } ( t ) , } \end{array}
F \equiv ( F _ { \mu \nu } ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { E _ { 1 } } } & { { E _ { 2 } } } & { { E _ { 3 } } } \\ { { - E _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { B _ { 3 } } } & { { - B _ { 2 } } } \\ { { - E _ { 2 } } } & { { - B _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { B _ { 1 } } } \\ { { - E _ { 3 } } } & { { B _ { 2 } } } & { { - B _ { 1 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { m \times n } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) } & { \mathbf { g } \left( \gamma _ { \varepsilon } \right) } & { \cdots } & { \mathbf { g } \left( \gamma _ { n \varepsilon } \right) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \mathbf { g } \left( \gamma _ { \left( m - 1 \right) \varepsilon } \right) } & { \mathbf { g } \left( \gamma _ { m \varepsilon } \right) } & { \cdots } & { \mathbf { g } \left( \gamma _ { \left( m + n - 1 \right) \varepsilon } \right) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { n _ { \omega } } & { { } \propto \omega ^ { - 1 / 2 } \quad \mathrm { ~ ( ~ K ~ Z ~ s ~ p ~ e ~ c ~ t ~ r ~ u ~ m ~ : ~ c ~ a ~ s ~ c ~ a ~ d ~ e ~ o ~ f ~ E ~ ) ~ } , } \\ { n _ { \omega } } & { { } \propto \omega ^ { - 1 / 6 } \quad \mathrm { ~ ( ~ K ~ Z ~ s ~ p ~ e ~ c ~ t ~ r ~ u ~ m ~ : ~ c ~ a ~ s ~ c ~ a ~ d ~ e ~ o ~ f ~ N ~ ) ~ } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { 1 } ( \Omega ) : = } & { \left\{ u \in L ^ { 2 } ( \Omega ) : \exists g _ { 1 } , g _ { 2 } , \ldots , g _ { N } \in L ^ { 2 } ( \Omega ) , \right. \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { \left. \int _ { \Omega } u \frac { \partial \phi } { \partial x _ { i } } = - \int _ { \Omega } g _ { i } \phi , \quad \phi \in C _ { c } ^ { \infty } ( \Omega ) , i : 1 \leq i \leq N \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 3 } [ h ] } & { : = ( \Phi _ { 3 } ) ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 2 } \Phi _ { 3 } [ h ] = \mathcal { D } _ { \omega } h - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 3 } [ h ] + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 0 } + R _ { 3 } [ h ] , } \\ { M _ { 3 } [ h ] } & { : = O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 + \sum _ { k = 0 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } M _ { x } ( \mathfrak { d } _ { k } ) + \mathfrak { r } _ { - 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] } & { = } & { E [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] - \sum _ { \sigma } \mu ^ { \sigma } \left( \int n ^ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) d \boldsymbol { r } - N ^ { \sigma } \right) } \\ & { = } & { E [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] - \sum _ { i \sigma } \varepsilon _ { i } ^ { \sigma } \left( \langle \psi _ { i } ^ { \sigma } | \psi _ { i } ^ { \sigma } \rangle - 1 \right) } \end{array}
S ( \mathbf { Q } , \omega ) \propto \sum _ { m , n } \int \mathrm { d } t \ e ^ { - i \mathbf { Q } \cdot ( \mathbf { r } _ { m } - \mathbf { r } _ { n } ) } e ^ { - i \omega t } \langle S _ { m } ( t ) S _ { n } ( 0 ) \rangle
\partial _ { \mu } ( F ^ { \mu \nu } ) _ { L } - \xi ^ { - 1 } \partial ^ { \nu } \partial ^ { \mu } A _ { \mu } - j ^ { A \, ( 1 ) \, \nu } = j _ { N L } ^ { \nu } + g \bar { \psi } \gamma ^ { \nu } t ^ { a } \psi t ^ { a } - i g \, \partial _ { \mu } [ A ^ { \mu } , A ^ { \nu } ] - \, i g [ A _ { \mu } , ( F ^ { \mu \nu } ) _ { L } ] + \, g ^ { 2 } [ A _ { \mu } , [ A ^ { \mu } , A ^ { \nu } ] ] .
\begin{array} { r } { H _ { 6 } = 1 2 \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \le 6 \alpha ^ { 2 } \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert ^ { 2 } + 6 \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) , } \end{array}
\frac { d } { d t } \frac { \partial L } { \partial \dot { r } ^ { I } } - \frac { \partial L } { \partial r ^ { I } } + \mathcal { A } _ { I } ^ { a } \left( \frac { d } { d t } \frac { \partial L } { \partial \dot { s } ^ { \alpha } } - \frac { \partial L } { \partial s ^ { \alpha } } \right) = \mathcal { A } _ { I } ^ { a } Q _ { a } , \ \ I = \bar { m } + 1 , \ldots , n
A ^ { 3 } = { \frac { R _ { y } } { \ell ^ { 2 } } } ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) d \varphi , \quad A ^ { 3 ^ { \prime } } = - { \frac { R _ { y } } { \ell ^ { 2 } } } ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) d \varphi ,
\begin{array} { r l } { \textrm { I } } & { = \frac { 1 } { \rho _ { k } ^ { \alpha } [ \nabla u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } \int \nabla \phi ( x ) \cdot A _ { k } ( z _ { k } + \rho _ { k } x ) \nabla u _ { k } ( z _ { k } + \rho _ { k } x ) \, d x } \\ & { = \frac { 1 } { \rho _ { k } ^ { \alpha } [ \nabla u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } \int \nabla _ { y } \left( \phi \left( \rho _ { k } ^ { - 1 } ( y - z _ { k } ) \right) \right) \cdot A _ { k } ( y ) \nabla u _ { k } ( y ) \rho _ { k } ^ { - n + 1 } \, d y } \\ & { = \frac { - \rho _ { k } ^ { 1 - \alpha } } { [ \nabla u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } \int \phi ( x ) f _ { k } ( z _ { k } + \rho _ { k } x ) \, d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \{ u _ { 0 } , \ldots , u _ { M } \} | \alpha ) } & { = P ( u _ { 0 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( s _ { i } - s _ { i - 1 } ) } } e ^ { - \left( u _ { i } - u _ { i - 1 } - \left( \alpha + u _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) \left( s _ { i } - s _ { i - 1 } \right) \right) ^ { 2 } / \left( 2 \left( s _ { i } - s _ { i - 1 } \right) \right) } = } \\ & { = q \left( \{ u _ { 0 } , \ldots , u _ { M } \} \right) Q _ { 1 } \left( u _ { M } - u _ { 0 } | \alpha \right) Q _ { 2 } \left( \left. \sum _ { i = 1 } ^ { M } ( s _ { i } - s _ { i - 1 } ) u _ { i - 1 } ^ { 2 } \right| \alpha \right) , } \end{array}
T ^ { { \underline { { a } } } } = { \cal D } E ^ { { \underline { { a } } } } = - { \frac { i } { 2 } } \hat { E } ^ { \hat { \underline { { \alpha } } } } \wedge \hat { E } ^ { \hat { \underline { { \beta } } } } \Gamma _ { { \underline { { { \hat { \alpha } \hat { \beta } } } } } } ^ { { \underline { { a } } } } = - { \frac { i } { 2 } } ( \hat { E } \Gamma ^ { { \underline { { a } } } } \hat { E } )