harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Z = \Sigma _ { \mathrm { i n s t a n t o n } } ^ { \prime } { \frac { \{ ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 0 } ) ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 1 } ) ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 2 } ) ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 3 } ) \} ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \{ ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 0 } ) ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 1 } ) ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 2 } ) ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 3 } ) \} ^ { \frac { 1 } { 4 } } } } \cdot { \frac { \{ ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 0 } ) ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 3 } ) \} } { \{ ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 0 } ) ( \mathrm { d e t } \Delta _ { 3 } ) \} } } = \Sigma _ { \mathrm { i n s t a n t o n } } ^ { \prime } \pm 1
\begin{array} { r l r } { < \psi | \delta H | \psi > } & { { } = } & { \int d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \left\{ \psi ^ { * } \left[ \frac { i q \hbar } { 2 m } ( \nabla \cdot \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } + \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \cdot \nabla ) + \frac { q ^ { 2 } } { m } \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \right] \psi \right. } \end{array}
\oint _ { S ( u , v ) } d u d v \, ( \vec { \Gamma } _ { u } \times \vec { \Gamma } _ { v } ) \, \vec { n } = \oint _ { S ( u , v ) } d u d v \, ( \partial _ { u } \vec { n } \times \partial _ { v } \vec { n } ) \, \vec { n } \sin ^ { 2 } \alpha .
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = - a b - 1 + b a b + b + a b ^ { 2 } + 1 - b a - b = a b ^ { 2 } + b a b - a b - b a , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = - a b a - a + b a + 1 + a b + a - b a b - 1 = - a b a - b a b + a b + b a . } \end{array}
\begin{array} { r } { - S ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c } { \left( \overrightarrow { B } + i \overrightarrow { E } \right) \cdot \overrightarrow { \sigma } } & { 0 } \\ { 0 } & { \left( \overrightarrow { B } - i \overrightarrow { E } \right) \cdot \overrightarrow { \sigma } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( \{ u = 0 \} \cap 2 B ) } & { \geq \sum _ { B _ { \alpha } \in S _ { K } } \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( \{ u = 0 \} \cap B _ { \alpha } ) } \\ & { \geq c \sum _ { B _ { \alpha } \in S _ { K } } \mathcal { N } \left( \frac { 1 } { 2 } B _ { \alpha } \right) ^ { 1 - n } r _ { \alpha } ^ { n - 1 } } \\ & { \geq c \cdot C _ { A } ^ { 1 - n } \sum _ { B _ { \alpha } \in S _ { k } } r _ { \alpha } ^ { n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mu _ { N } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } F _ { s } ^ { N } ( G ) \mathrm { d } s \right] , \quad \mathrm { w h e r e } \quad F _ { s } ^ { N } ( G ) = N ^ { 2 } \left( \mathcal { L } _ { N } ^ { ( m - 1 ) } \langle \pi _ { s } ^ { N } , G \rangle ^ { 2 } - 2 \langle \pi _ { s } ^ { N } , G \rangle \mathcal { L } _ { N } ^ { ( m - 1 ) } \langle \pi _ { s } ^ { N } , G \rangle \right) . } \end{array}
\partial _ { \mu _ { g y } } \left\langle \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } ( \textbf { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } ) \right\rangle = \rho \frac { \partial \rho } { \partial \mu _ { g y } } \left| \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) \right| ^ { 2 } = \frac { c } { e \Omega _ { e } } \left| \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) \right| ^ { 2 } .
{ \cal P _ { + } } \theta = { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \gamma ) \theta = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \theta = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { \theta ^ { \alpha ^ { \prime } } } } \end{array} \right) \qquad \theta ^ { \alpha } = 0
\underset { d = 0 } { \overset { \mu _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \ell - a _ { 1 } } { \sum } } { \binom { \mu _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \ell - a _ { 1 } } { d } } \mathbf X _ { 1 } ( \mu _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \ell - a _ { 2 } - d , a _ { 1 } ) ( x _ { \theta } ^ { - } \otimes t ) ^ { d } ( x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { \mu _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \ell - a _ { 1 } - d } = 0 .
J = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { - 5 / 2 } ( 1 - y ) ^ { - 5 / 2 } \left( y ^ { 9 / 2 } + ( 1 - y ) ^ { 9 / 2 } - 1 \right) \left( y \ln y + ( 1 - y ) \ln ( 1 - y ) \right) \mathrm { d } y \, .
\mathbf { C } _ { [ \alpha \beta ] } ( a _ { [ \alpha \beta ] \gamma } ) \equiv \bigl [ \mathbf { J } _ { \alpha } , \mathbf { J } _ { \beta } \bigr ] - \sum _ { \gamma = 1 } ^ { N _ { g } } a _ { [ \alpha \beta ] \gamma } \mathbf { J } _ { \gamma } .
V ( m ) = \frac { \left( 2 - p \right) \, N ^ { 2 } \, m ^ { 4 } + \left( \left( 6 \, p - 4 \right) \, N ^ { 2 } - 1 2 \, p \, N + 8 \right) \, m ^ { 2 } } { 8 \left( N - 2 \right) \left( N - 1 \right) } .
\begin{array} { r l } { f ( t ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { A ( q ) } { q } \, \sin ( q t ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { g ( t ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { B ( q ) } { q } \, \cos ( q t ) \, \mathrm { d } q \, . } \end{array}
\chi _ { 2 } ( \omega ) = - { \frac { 2 } { \pi } } { \mathcal { P } } \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \omega \chi _ { 1 } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, d \omega ^ { \prime } = - { \frac { 2 \omega } { \pi } } { \mathcal { P } } \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \chi _ { 1 } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, d \omega ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { r } ^ { ( 0 ) } } & { \equiv ( 1 - r ) I _ { r 1 } - I _ { r 0 } - \frac { n _ { 0 } } { D _ { 2 0 } } \left( h _ { 0 } G _ { 2 r } - G _ { 3 r } \right) , } \\ { \alpha _ { r } ^ { ( 1 ) } } & { \equiv J _ { r + 1 , 1 } - h _ { 0 } ^ { - 1 } J _ { r + 2 , 1 } , } \\ { \alpha _ { r } ^ { ( 2 ) } } & { \equiv I _ { r + 2 , 1 } + ( r - 1 ) I _ { r + 2 , 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d \mathbf { h } } { d t } + D _ { x } ( H \mathbf { u } + U \mathbf { h } ) = \tau _ { 0 } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } ( U \mathbf { h } ) + \theta _ { 0 } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } ( H \mathbf { u } ) , } \\ & { \frac { d \mathbf { u } } { d t } + D _ { x } \left( g \mathbf { h } + U \mathbf { u } - \frac { H ^ { 2 } U } { 3 } D _ { x } ^ { 2 } \mathbf { u } - \frac { H ^ { 2 } } { 3 } D _ { x } \left( \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right) \right) = \gamma _ { 0 } M _ { x } ^ { - 1 } D _ { x } ^ { \top } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } \left( H ^ { 2 } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right) } \\ & { + \sigma _ { 0 } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } \left( H ^ { 2 } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right) + \eta _ { 0 } M _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } ( U \mathbf { u } ) + \mu _ { 0 } M _ { x } ^ { - 1 } D _ { x } ^ { \top } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } ( H ^ { 2 } U D _ { x } \mathbf { u } ) } \\ & { + \rho _ { 0 } M _ { x } ^ { - 1 } ( D _ { x } ^ { \top } ) ^ { 2 } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } ( H ^ { 2 } U \mathbf { u } ) , } \end{array}
\big < { \bf k } | \sigma r | { \bf k ^ { \prime } } \big > = - \frac { \sigma } { \pi ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { { \bf Q } ^ { 4 } } \right) _ { \! \! \mathrm { r e g } } \! \! = \frac { \sigma } { \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon ^ { 2 } } \frac { 1 } { { \bf Q } ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } }
\Delta \Delta = ( \partial _ { y y } - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } = \partial _ { y y y y } - 2 ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } ) \partial _ { y y } + ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta } \mathfrak { b } ( \cdot , \xi ) \rVert _ { H _ { x } ^ { s } } ^ { 2 } } & { = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \langle k \rangle ^ { 2 s } | \widehat { \partial _ { \xi } ^ { \eta } \mathfrak { b } } ( k , \xi ) | ^ { 2 } = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \langle k \rangle ^ { 2 s } \left| \widehat { \partial _ { \xi } ^ { \eta } \mathfrak { a } } ( k , \xi + \frac { k } 2 ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \le \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \langle k \rangle ^ { 2 s + \mu } \left| \widehat { \partial _ { \xi } ^ { \eta } \mathfrak { a } } ( k , \xi + \frac { k } 2 ) \right| ^ { 2 } \langle k \rangle ^ { - \mu } } \\ & { \overset { \le _ { s , \eta } } | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta } ^ { 2 } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \langle \xi + \frac { k } { 2 } \rangle ^ { 2 ( m - \eta ) } \langle k \rangle ^ { - \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \nu } } & { { = } } & { { \left( E _ { \mathrm { e - v i b } } ^ { \prime } - E _ { \mathrm { e - v i b } } ^ { \prime \prime } \right) / h c } } \\ { { } } & { { = } } & { { ( E _ { 0 } ^ { \prime } - E _ { 0 } ^ { \prime \prime } ) / h c + ( G _ { q ^ { \prime } } ^ { \prime } - G _ { q ^ { \prime \prime } } ^ { \prime \prime } ) = \nu _ { e } + \nu _ { v } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 1 , 2 } = U ( { R _ { B } ^ { G } } ^ { H } ( A _ { h } ) \circ ^ { - 1 } \vec { u } ^ { ( h ) } ) ( R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { v } ) ^ { H } , } \\ & { \rho _ { 2 , 1 } = \left( R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \right) ( { R _ { A } ^ { G } } ^ { H } ( B _ { k } ) \circ ^ { - 1 } \vec { v } ^ { ( k ) } ) ^ { H } V ^ { H } , } \\ & { \rho _ { 2 , 2 } = \left( R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \left( R _ { A } ^ { G } ( \infty ) \right) ^ { - 1 } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { v } \left( R _ { B } ^ { G } ( \infty ) \right) ^ { - 1 } \right) ^ { H } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| u _ { \left( K , \eta \right) } - { u _ { \left( K , \eta ^ { \prime } \right) } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \zeta } ( \mathbf x _ { 1 } ) ) } } \\ & { \leq \left\| u _ { \left( K , \eta \right) } - { u _ { \left( K ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } \right) } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \zeta } ( \mathbf x _ { 1 } ) ) } + \left\| u _ { \left( K ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } \right) } - { u _ { \left( K , \eta ^ { \prime } \right) } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \zeta } ( \mathbf x _ { 1 } ) ) } } \\ & { \leq \varepsilon _ { 1 } + C _ { 1 } \mathfrak h ^ { \varsigma } | \mathbf x | ^ { - 1 } \leq \exp ( - C _ { a } ( - \ln \varepsilon ) ^ { 1 / 2 } ) + { \frac { C } { R } ( \ln \ln ( 1 / \varepsilon ) ) ^ { - \varsigma \kappa } } : = \phi ( \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \bigl ( B P _ { n } B ^ { \ast } \bigr ) ^ { \mathrm { e x } } } & { = B ^ { \mathrm { e x } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } P _ { n } ^ { \mathrm { e x } } ( B ^ { \ast } ) ^ { \mathrm { e x } } } \\ & { = \bigl ( B Q _ { 0 } B ^ { \ast } \bigr ) ^ { \mathrm { e x } } \in \overline { { \Psi \mathrm { D O } } } ^ { 1 } ( M \times \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } \times \mathord { \mathbb { R } } , \mathfrak { S } _ { g _ { \mathrm { s u s p } ( B Q _ { 0 } B ^ { \ast } ) } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I I ^ { \prime \prime \prime } = } & { 0 . 0 0 0 9 | P _ { 4 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot | P _ { 2 } ( r ) | } \\ { \geq } & { | \mathcal { E } | ^ { - 2 } | P _ { 2 } ( r ) | \left( 0 . 0 0 0 9 | P _ { 2 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 4 } \right) } \\ { \geq } & { | \mathcal { E } | ^ { - 4 } | P _ { 2 } ( r ) | \left( 0 . 0 0 0 9 | P _ { 1 } ( r ) | ^ { 2 } - | \mathcal { E } | ^ { 6 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { z } [ h ( x , y , z ) - \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i , j ) x ^ { i } y ^ { j } ] } & { = } & { ( c _ { 1 } x y + c _ { 2 } y + c _ { 3 } x ^ { - 1 } y + c _ { 4 } x + c _ { 5 } + c _ { 6 } x ^ { - 1 } + } \\ & { } & { c _ { 7 } x y ^ { - 1 } + c _ { 8 } y ^ { - 1 } + c _ { 9 } x ^ { - 1 } y ^ { - 1 } ) h ( x , y , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { q q } ( \vec { k } , \omega ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } F _ { q q } ( \vec { k } , t ) e ^ { + i \omega t } \, \mathrm { d } t = \tilde { F } _ { q q } ( \vec { k } , \omega ) + \tilde { F } _ { q q } ( \vec { k } , - \omega ) \, . } \end{array}
\varphi \mathbf { ( r ) } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \rho ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } | } } \, \mathrm { d ^ { 3 } } \mathbf { r ^ { \prime } }
\delta _ { R } = - { \frac { \alpha } { \pi } } \left( \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } - 1 \right) \ln { \frac { y ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } } { ( 1 - y x ) ( 1 - y ( 1 - x ) ) } } ,
G _ { \beta } ( x , x ^ { \prime } ) = G _ { \infty } ( x , x ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } r r ^ { \prime } } \sum _ { n \neq 0 } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) Q _ { \nu _ { l } - 1 / 2 } ( u _ { \beta } ) P _ { l } ( \cos \gamma ) \ ,
\begin{array} { r } { n - \frac { \nu e B } { 2 \pi \hbar } + \frac { \nu } { 4 \pi } \partial _ { i } \left( \frac { \partial _ { i } n } { n } \right) + \frac { \nu m } { 2 \pi \hbar } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } v _ { j } = 0 , } \end{array}
1 - \frac { 1 } { 8 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 9 2 } x ^ { 4 } y ^ { 4 } - \left( \frac { 1 } { 9 2 1 6 } x ^ { 6 } + \frac { 1 } { 2 4 x ^ { 2 } } \right) y ^ { 6 } + o ( y ^ { 8 } ) - \frac { 4 a } { \pi y ^ { 2 } x ^ { 2 } } + . . .
\begin{array} { r } { \textbf { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 \pi } { L \Delta t } \left[ - \frac { L - 1 } { 2 } , - \frac { L - 1 } { 2 } + 1 , . . . , \frac { L - 1 } { 2 } \right] \, } & { \mathrm { i f } \, L \, \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ d ~ d ~ } } \\ { \frac { 2 \pi } { L \Delta t } \left[ - \frac { L } { 2 } , - \frac { L } { 2 } + 1 , . . . , \frac { L } { 2 } \right] \, } & { \mathrm { i f } \, L \, \mathrm { ~ i ~ s ~ e ~ v ~ e ~ n ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { u } ( y ) ( \tau ) } & { = ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau ) x _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T _ { - 1 } ( \tau - s ) B u ( s ) d s } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau - s ) f \big ( ( \omega I - A ) ^ { - \alpha } y ( s ) , u ( s ) \big ) d s . } \end{array}
u ^ { ( i + 1 ) } = u ^ { ( i ) } \mp \frac { 1 } { 6 } \left[ \frac { \hat { c } _ { 1 } } { \hat { \rho } _ { 1 } } + 2 \left( \frac { \hat { c } _ { 2 } } { \hat { \rho } _ { 2 } } + \frac { \hat { c } _ { 3 } } { \hat { \rho } _ { 3 } } \right) + \frac { \hat { c } _ { 4 } } { \hat { \rho } _ { 4 } } \right] \Delta \rho ,
R H S = \frac { 1 } { 2 } \Re \left\{ \bar { E } _ { w i r e } ^ { i n c } \bar { I } _ { w i r e } ^ { * } \right\} + \frac { 1 } { 2 } \Re \left\{ \bar { E } _ { o t h e r - w i r e } ^ { i n c } \bar { I } _ { o t h e r - w i r e } ^ { * } \right\}
| \Psi _ { 1 } ( A ) \rangle = \exp \left[ \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { N } \kappa _ { \mu \nu } \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \nu } \right] \prod _ { r = 1 } ^ { d } a _ { r } ^ { \dagger } | \textrm { v a c } \rangle ,
B _ { z } \left( r , h \right) = \frac { B _ { 0 } a } { r + a } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } d \psi \left( \frac { \cos ^ { 2 } \psi + \tau \sin ^ { 2 } \psi } { \cos ^ { 2 } \psi + \tau ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \psi } \right) \left\{ \frac { \beta _ { + } } { \sqrt { \cos ^ { 2 } \psi + k _ { + } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \psi } } - \frac { \beta _ { - } } { \sqrt { \cos ^ { 2 } \psi + k _ { - } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \psi } } \right\}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { - } } & { = } & { \{ ( 1 , y ) : y \in ( 0 , 1 ) \} \cup \{ ( x , 0 ) : x \in ( 0 , 1 ) \} } \\ { \mathrm { a n d ~ } \, \, g ( x , y ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { r l } { 1 , } & { ( x , y ) \in \Gamma _ { - } ^ { 1 } \equiv \{ ( 1 , y ) : y \in [ 1 - \sqrt { 2 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } a , 1 ) \} , } \\ { - 1 , } & { ( x , y ) \in \Gamma _ { - } ^ { 2 } = \Gamma _ { - } \setminus \Gamma _ { - } ^ { 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 1 } { 8 } \mathrm { T r } \left[ \left( M ^ { - 1 } \dot { M } \right) ^ { 2 } \right] = \frac { 1 } { 4 d } \left[ \mathrm { T r } \left( G ^ { - 1 } \dot { G } \right) \right] ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left\{ \mathrm { T r } \left[ \left( G ^ { - 1 } \dot { G } \right) _ { t } ^ { 2 } \right] - \mathrm { T r } \left[ \left( G ^ { - 1 } \dot { B } \right) ^ { 2 } \right] \right\} ,
\begin{array} { r l r l } { \Phi _ { i } } & { { } = \sum _ { \tau } \chi _ { \tau } ? [ l ] c _ { i } ^ { \tau } ? } & { \Psi _ { i } } & { { } = \sum _ { \tau } \chi _ { \tau } ? [ l ] d _ { i } ^ { \tau } ? } \end{array}
\mathit { \Pi } _ { f } ( \xi , \tau ) = \bar { \sigma } _ { d } ^ { \Delta T } ( \xi , \tau ^ { \prime } ) + \bar { \sigma } _ { n } \left( \xi \right) + \mathit { \Pi } _ { i } , \; \; \; \left( \tau = 0 , \; \mathcal { A } < \xi < \mathcal { A } + \gamma _ { 0 } \right)
\nu _ { v } = \frac { ( 1 + \nu _ { h } ) / K _ { 2 } - \sqrt { ( 1 + \nu _ { h } ) ^ { 2 } / K _ { 2 } ^ { 2 } - 4 \nu _ { h } E _ { h } / E _ { v } } } { 2 E _ { h } / E _ { v } } , \qquad G _ { v h } = \frac { 1 } { 2 } \bigl ( C _ { 1 1 } ( 1 \! - \! K _ { 1 } ^ { - 1 } ) \! - \! C _ { 1 2 } \! + \! C _ { 3 3 } \bigr ) ,
\begin{array} { r l } { \sigma ( g \times R ^ { \epsilon } ) \otimes \sigma ( g ^ { \prime } \times R ^ { \epsilon ^ { \prime } } ) } & { = s ( g ) \rtimes R ^ { \theta ( g ) } R ^ { \epsilon } \otimes s ( g ^ { \prime } ) \rtimes R ^ { \theta ( g ^ { \prime } ) } R ^ { \epsilon ^ { \prime } } = s ( g g ^ { \prime } ) \otimes c ^ { \omega ( g , g ^ { \prime } ) + \epsilon \theta ( g ^ { \prime } ) } \rtimes R ^ { \theta ( g ) + \theta ( g ^ { \prime } ) + \epsilon + \epsilon ^ { \prime } } } \\ & { \xrightarrow { 1 \rtimes { ( - 1 ) ^ { F } } ^ { \omega ( g , g ^ { \prime } ) + \epsilon \theta ( g ^ { \prime } ) } } s ( g g ^ { \prime } ) \rtimes R ^ { \theta ( g ) + \theta ( g ^ { \prime } ) + \epsilon + \epsilon ^ { \prime } } = \sigma ( g g ^ { \prime } \times R ^ { \epsilon + \epsilon ^ { \prime } } ) } \end{array}
y _ { 1 i } = \, d _ { u _ { i } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \left( \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { \rho _ { i } } { \rho _ { i } + 1 } \left( M + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \xi \right) + \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { i } + 1 } M + \frac { \rho _ { i } } { \rho _ { i } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } M + \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { i } + 1 } M \right)
\mathcal { C } _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ p ~ } } = \frac { i } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \iint \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } \textbf { k } \, \int _ { \omega _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ p ~ } } - i \infty } ^ { \omega _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ p ~ } } + i \infty } \mathrm { ~ d ~ } \omega \, \mathrm { ~ T ~ r ~ } \{ \partial _ { 1 } \hat { L } _ { \mathbf { k } } \cdot \mathcal { G } _ { \mathbf { k } } \cdot \partial _ { 2 } \hat { L } _ { \mathbf { k } } \cdot \mathcal { G } _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \} .
\begin{array} { r l r } { u ( z ) - \mathrm { ~ i ~ } v ( z ) = G _ { S } ( z - z _ { 0 } , F ) } & { { } = } & { - \bar { F } \ln | P ( \zeta , \rho ) | ^ { 2 } + \Re [ F ] \ln | \zeta | ^ { 2 } - F \ln | \zeta | ^ { 2 } K ( \zeta , \rho ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { 1 } { r } } \, { \frac { \partial ( r \, I _ { c } ) } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r } } \, { \frac { \partial I _ { d } } { \partial \theta } } = - { \frac { 2 } { r } } \, \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \, \left( { \frac { \partial \left( r J _ { 2 m } \right) } { \partial r } } + \left( { \frac { 1 } { r } } \right) { \frac { \partial G _ { 2 m + 1 } } { \partial \theta } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { i j } ( { \bf B } _ { 0 } ) \! } & { { } = } & { \! \delta _ { i j } + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 i } \, B _ { 0 j } \; , } \\ { \mu _ { i j } ( { \bf B } _ { 0 } ) \! } & { { } = } & { \! \delta _ { i j } + \frac { d _ { 1 } \, B _ { 0 i } \, B _ { 0 j } } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } } \; . } \end{array}
E _ { \mathrm { x c } } = \int d ^ { 3 } \mathbf { r } \, n ( \mathbf { r } ) \left[ a ( \mathbf { r } ) e _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) + \left( 1 - a ( \mathbf { r } ) \right) e _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { s l } } ( \mathbf { r } ) + e _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { s l } } ( \mathbf { r } ) \right] ,
\left\langle { \mathcal L } \right\rangle = - \frac { 1 } { 4 } \left\langle \mathcal { F ^ { A } } _ { \mu \nu } \mathcal F ^ { \mathcal A \mu \nu } \right\rangle = - \frac { 1 } { 4 } f _ { \mu \nu } f ^ { \mu \nu } + \left( D _ { \mu } \varphi ^ { * } \right) \left( D ^ { \mu } \varphi \right) - \frac { 8 g ^ { 2 } } { 2 5 } \left| \varphi \right| ^ { 4 }
\nu _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } = \frac { \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } \mathrm { N E P } ^ { 2 } W \Delta t _ { \mathrm { ~ L ~ O ~ } } } { h \nu P _ { \mathrm { ~ L ~ O ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } } .
S ( \Phi ) = \int _ { - \infty } ^ { 0 } d x \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi ^ { a } \partial ^ { \mu } \phi ^ { a } - \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \sum _ { i = 0 } ^ { r } n _ { i } e ^ { \beta \alpha _ { i } \cdot \Phi } \right)
{ \begin{array} { r l } { J _ { i } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \beta _ { k } I _ { i } ( \alpha _ { k } ) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \beta _ { k } \left( e ^ { \alpha _ { k } } \sum _ { j = 0 } ^ { n p - 1 } f _ { i } ^ { ( j ) } ( 0 ) - \sum _ { j = 0 } ^ { n p - 1 } f _ { i } ^ { ( j ) } ( \alpha _ { k } ) \right) } \\ & { = \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n p - 1 } f _ { i } ^ { ( j ) } ( 0 ) \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } \beta _ { k } e ^ { \alpha _ { k } } \right) - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 0 } ^ { n p - 1 } \beta _ { k } f _ { i } ^ { ( j ) } ( \alpha _ { k } ) } \\ & { = - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 0 } ^ { n p - 1 } \beta _ { k } f _ { i } ^ { ( j ) } ( \alpha _ { k } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { M } 2 } & { = } & { e ^ { \frac { \tau } { 2 } \mathcal { A } } e ^ { \tau \mathcal { B } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } \mathcal { A } } = e ^ { \tau ( \mathcal { A } + \mathcal { B } ) - \frac { \tau ^ { 3 } } { 1 2 } [ \mathcal { B } , [ \mathcal { A } , \mathcal { B } ] ] + \frac { \tau ^ { 3 } } { 2 4 } [ \mathcal { A } , [ \mathcal { B } , \mathcal { A } ] ] } , } \end{array}
\mathcal { P } ( m , l ; k ) = 1 + e ^ { - i \, k } + e ^ { - i \, 2 \, k l } + \cdots e ^ { - i \, ( m - 1 ) \, k l } = \frac { 1 - e ^ { - i k \, m \, l } } { 1 - e ^ { - i k l } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = } & { 0 } \\ { \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial ( u _ { i } u _ { j } ) } { \partial x _ { j } } } & { { } = } & { - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + \delta _ { i y } \theta } \\ { \frac { \partial \theta } { \partial t } + \frac { \partial ( u _ { j } \theta ) } { \partial x _ { j } } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 } { R a P r } } \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } } \end{array}
\Gamma = \frac { U _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ } } } { U _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ c ~ i ~ t ~ i ~ n ~ g ~ } } } = \frac { Z _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ r ~ t ~ u ~ r ~ b ~ e ~ d ~ } } - Z _ { 0 } } { Z _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ r ~ t ~ u ~ r ~ b ~ e ~ d ~ } } + Z _ { 0 } } .
g ( E ) = { \frac { m _ { e } } { \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } } { \sqrt { 2 m _ { e } E } } = { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { n } { E _ { \mathrm { { F } } } } } { \sqrt { \frac { E } { E _ { \mathrm { { F } } } } } } ,