harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \mu } & { = \mu _ { \mathrm { a } } + \mu _ { \mathrm { s } } , } \\ { \mu _ { \nu } } & { = \mu _ { \mathrm { a } , \nu } + \mu _ { \mathrm { s } , \nu } , } \\ { \mu _ { \lambda } } & { = \mu _ { \mathrm { a } , \lambda } + \mu _ { \mathrm { s } , \lambda } , } \\ { \mu _ { \Omega } } & { = \mu _ { \mathrm { a } , \Omega } + \mu _ { \mathrm { s } , \Omega } , } \\ { \mu _ { \Omega , \nu } } & { = \mu _ { \mathrm { a } , \Omega , \nu } + \mu _ { \mathrm { s } , \Omega , \nu } , } \\ { \mu _ { \Omega , \lambda } } & { = \mu _ { \mathrm { a } , \Omega , \lambda } + \mu _ { \mathrm { s } , \Omega , \lambda } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { g ^ { i \bar { j } } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { s _ { j } } } { \partial z ^ { i } \partial \bar { \xi } } + \frac { 1 } { g _ { \xi \bar { \xi } } } g ^ { i \bar { j } } \frac { \partial \bar { s _ { j } } } { \partial z ^ { i } } \frac { \partial g _ { \xi \bar { \xi } } } { \partial \bar { \xi } } - \frac { n } { f g _ { \xi \bar { \xi } } } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \xi \partial \bar { \xi } } } & { = \frac { 1 } { f g _ { \xi \bar { \xi } } } \frac { \partial } { \partial \bar { \xi } } \left( h ^ { i \bar { j } } \frac { \partial \bar { s _ { j } } } { \partial z ^ { i } } g _ { \xi \bar { \xi } } - n \frac { \partial f } { \partial \xi } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \Delta x } ( t , x ) } & { = \frac { y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j + 1 } ) - x } { D _ { + } ^ { \xi } y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } U _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) + \frac { x - y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } { D _ { + } ^ { \xi } y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } U _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j + 1 } ) , } \\ { F _ { \Delta x } ( t , x ) } & { = \frac { y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j + 1 } ) - x } { D _ { + } ^ { \xi } y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } V _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) + \frac { x - y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } { D _ { + } ^ { \xi } y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } V _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j + 1 } ) , } \\ { G _ { \Delta x } ( t , x ) } & { = \frac { y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j + 1 } ) - x } { D _ { + } ^ { \xi } y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } H _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) + \frac { x - y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } { D _ { + } ^ { \xi } y _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j } ) } H _ { \Delta x } ( t , \hat { \xi } _ { j + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \Phi ( H ) } & { = \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } D \bigg ( - h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial t } h ^ { - 1 } D _ { H _ { 0 } } ^ { c } h + h ^ { - 1 } D _ { H _ { 0 } } ^ { c } \frac { \partial h } { \partial t } \bigg ) } \\ & { = \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } D \bigg ( - h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial t } h ^ { - 1 } D _ { H _ { 0 } } ^ { c } h + h ^ { - 1 } D _ { H _ { 0 } } ^ { c } h h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial t } + D _ { H _ { 0 } } ^ { c } \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial t } \big ) \bigg ) } \\ & { = \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } D \bigg ( [ h ^ { - 1 } D _ { H _ { 0 } } ^ { c } h , h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial t } ] + D _ { H _ { 0 } } ^ { c } \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial t } \big ) \bigg ) } \\ & { = \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } D D _ { H } ^ { c } \Phi ( H ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { E } _ { a } ^ { 1 } ( x = 0 , t ) } & { { } = \Re \left[ - t r e ^ { i k _ { a } L } \left( \vec { X } _ { a } e ^ { - i ( \omega _ { a } t - k _ { a } \frac { L } { 2 } + \phi ) } + \frac { \Delta \vec { X } _ { a } } { 2 } \left( e ^ { - i ( \omega _ { + } t - k _ { + } \frac { L } { 2 } + \phi _ { + } ) } + e ^ { - i ( \omega _ { - } t - k _ { - } \frac { L } { 2 } + \phi _ { - } ) } \right) \right) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } \left( e _ { 1 } I ( m _ { 1 } , - m _ { 2 } ) + e _ { 2 } I ( - m _ { 2 } , m _ { 1 } ) \right) = } \\ & { } & { ( 2 \pi ) ^ { 2 } n e _ { 1 } \left[ m _ { 1 } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) - m _ { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right] } \\ & { } & { + ( 2 \pi ) ^ { 2 } n e _ { 2 } \left[ - m _ { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) + m _ { 1 } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ H _ { i - 1 , 1 } , e _ { u , i } t ^ { x } ] + [ H _ { i , 1 } , e _ { u , i } t ^ { x } ] } \\ & { = \frac { \hbar } { 2 } e _ { u , i } t ^ { x } + \hbar e _ { i - 1 , i - 1 } e _ { u , i } t ^ { x } + \hbar e _ { u , i } t ^ { x } e _ { i + 1 , i + 1 } } \\ & { \quad - \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } e _ { i - 1 , i } t ^ { - s - 1 } e _ { u , i - 1 } t ^ { s + x + 1 } + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } e _ { i + 1 , i } t ^ { - s } e _ { u , i + 1 } t ^ { s + w } } \\ & { \quad - \hbar e _ { u , i } t ^ { x } e _ { i , i } - \hbar e _ { i , i } e _ { u , i } t ^ { x } . } \end{array}
\vert p , \sigma , q , \lambda \colon f ( p ) \rangle = e x p \biggl [ - e \int \sum _ { \lambda = 1 , 2 } { \frac { d k ^ { + } } { \sqrt { 2 k ^ { + } } } } \int { \frac { d ^ { 2 } k _ { \perp } } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \bigl [ f ( k , \lambda \colon p ) a ^ { \dagger } ( k , \lambda ) - f ^ { * } ( k , \lambda \colon p ) a ( k , \lambda ) \bigr ] \biggr ] \vert p , \sigma , q , \lambda \rangle \; .
\frac { 1 } { \chi _ { 1 0 , 1 } ( \tau , \nu ) } = \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } q ^ { h - 1 } \frac { y ^ { - h } \chi _ { y } ( X ^ { [ h ] } ) } { ( y ^ { - 1 / 2 } - y ^ { 1 / 2 } ) ^ { 2 } } \, .
{ \cal L } = \frac { 1 } { e ^ { 2 } f _ { b } } \frac { I _ { 1 } I _ { 2 } } { 2 \pi \left( \sigma _ { x _ { 1 } } ^ { * } \sigma _ { y _ { 1 } } ^ { * } + \sigma _ { x _ { 2 } } ^ { * } \sigma _ { y _ { 2 } } ^ { * } \right) }
\tau _ { 1 } = \sqrt { 2 } w _ { 1 } , \quad \tau _ { 2 } = \sqrt { 2 } \left( w _ { 2 } - \frac { w _ { 1 } w _ { 3 } } { 2 } \right) , \quad \tau _ { 3 } = \sqrt { 2 } w _ { 3 } .
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathcal { U } } ( x , k ) = \left( \begin{array} { l l } { U _ { 1 1 } ( x , k ) } & { U _ { 1 2 } ( x , k ) } \\ { U _ { 2 1 } ( x , k ) } & { U _ { 2 2 } ( x , k ) } \end{array} \right) , \qquad \ensuremath { \mathcal { W } } ( x , k ) = \left( \begin{array} { l l } { W _ { 1 1 } ( x , k ) } & { W _ { 1 2 } ( x , k ) } \\ { W _ { 2 1 } ( x , k ) } & { W _ { 2 2 } ( x , k ) } \end{array} \right) . } \end{array}
0 . 0 3 4 9 + 0 . 0 3 3 4 e ^ { - 0 . 0 2 3 1 t } + 0 . 0 6 8 1 e ^ { - 0 . 6 0 9 t } + 0 . 1 5 7 e ^ { - 1 3 . 5 t } + 0 . 7 0 7 e ^ { - 3 3 3 t }
\partial _ { \tau } \mu ( \tau ) = \dots + 4 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \prime } } d \tau ^ { \prime \prime } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } ) \mu ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime \prime } )
\begin{array} { r l r } { \vec { L } } & { = } & { - i \hbar \sum _ { \alpha = a , b } \int d ^ { 3 } r \Psi _ { \alpha } ^ { \dagger } ( \vec { r } ) \vec { r } \times \vec { \nabla } \Psi _ { \alpha } ( \vec { r } ) } \\ & { = } & { N ^ { ( a ) } \vec { L } ^ { ( a ) } + N ^ { ( b ) } \vec { L } ^ { ( b ) } } \\ { \vec { L } ^ { ( \alpha ) } } & { = } & { - \frac { i \hbar } { N ^ { ( \alpha ) } } \int d ^ { 3 } [ ( \psi _ { \alpha _ { 1 } } ^ { * } ( \vec { r } , t ) + \psi _ { \alpha _ { 2 } } ^ { * } ( \vec { r } , t ) ) \vec { r } \times \vec { \nabla } ( \psi _ { \alpha _ { 1 } } ( \vec { r } , t ) + \psi _ { \alpha _ { 2 } } ( \vec { r } , t ) ) ] , } \end{array}
Z _ { N _ { s } } : = \int { \left( \prod _ { n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \; e ^ { - \frac { \beta E _ { 0 } G _ { N _ { s } } ^ { 2 } } { 2 } } } .
\sum _ { s \in G } { \mathrm { T r } } ( \pi ( s ) ) = \sum _ { s \in G } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \langle \pi ( s ) e _ { j } , e _ { j } \rangle = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left\langle \sum _ { s \in G } \pi ( s ) e _ { j } , e _ { j } \right\rangle = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { k } ( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { M } , \boldsymbol { v } ) } & { = \boldsymbol { M } ^ { - 1 } \mathcal { K } _ { k } ( \boldsymbol { A } \boldsymbol { M } ^ { - 1 } , \boldsymbol { v } ) \equiv \mathcal { K } _ { k } ( \boldsymbol { M } ^ { - 1 } \boldsymbol { A } , \boldsymbol { M } ^ { - 1 } \boldsymbol { v } ) , } \end{array}
g _ { a \gamma } = \frac { \alpha } { 2 \pi } \frac { N C } { f _ { a } } , ~ ~ ~ ~ C = \frac 8 3 - \frac { 6 K \mathrm { T r } ( M ^ { - 1 } Q ^ { 2 } ) } { V + K \mathrm { T r } ( M ^ { - 1 } ) } \simeq \frac { 2 z } { 1 + z }
L _ { 0 } ^ { m } + L _ { 0 } ^ { g h } = \frac { 1 } { 2 } p ^ { i } p _ { i } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ( N _ { b n } + N _ { c n } + \sum _ { i = d + 1 } ^ { 2 5 } N _ { i n } ) + \sum _ { r = 1 / 2 } ^ { \infty } \sum _ { a = 0 } ^ { d } r N _ { a r } \, ,
\begin{array} { r l } { | \Delta \tilde { \Gamma } _ { i } ^ { t } | } & { \leq \tilde { \Gamma } _ { i } ^ { t } - \tilde { \Gamma } _ { i } ^ { t } \cdot e ^ { - \tilde { \alpha } \cdot \frac { 1 5 } { \lambda } \cdot \frac { \log n } { n } } \leq \tilde { \Gamma } _ { i } ^ { t } - \tilde { \Gamma } _ { i } ^ { t } \cdot \Big ( 1 - 2 \cdot \tilde { \alpha } \cdot \frac { 1 5 } { \lambda } \cdot \frac { \log n } { n } \Big ) } \\ & { = \tilde { \Gamma } _ { i } ^ { t } \cdot \tilde { \alpha } \cdot \frac { 3 0 } { \lambda } \cdot \frac { \log n } { n } \leq \frac { 1 } { b } \cdot \log n \cdot n ^ { 1 / 8 } . } \end{array}
\hat { Q } ^ { + } ( \xi _ { \alpha } ) = \xi _ { \alpha } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \xi _ { \alpha } } - J _ { \alpha } \xi _ { \alpha } , \ \ \hat { Q } ^ { - } ( \xi _ { \alpha } ) = - \frac { \partial } { \partial \xi _ { \alpha } } , \ \ \hat { Q } ^ { 3 } ( \xi _ { \alpha } ) = \xi _ { \alpha } \frac { \partial } { \partial \xi _ { \alpha } } - \frac { J _ { \alpha } } { 2 } .
\tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \tilde { \chi } _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { i \tilde { \phi } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) } \mathcal { F } ( I ) ( \tilde { T } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, .
4 { \cal M } _ { f } + 2 { \cal M } _ { h } = - { \frac { m _ { e } \alpha ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } { \frac { \sigma _ { 1 2 } } { ( \theta M ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \int _ { 0 } ^ { \infty } d z { \frac { 4 z ^ { 2 } x ( 1 - x ) } { ( 4 z ^ { 2 } x ( 1 - x ) ( \theta M ^ { 2 } ) ^ { - 2 } + y ) ^ { 2 } } } e ^ { - z } \ .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ( \mathrm { R H } , T ) } & { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } a _ { 1 } + a _ { 2 } ( \mathrm { R H } - \overline { { \mathrm { R H } } } ) + a _ { 3 } ( T - \overline { { T } } ) + \frac { a _ { 4 } } { 2 } ( \mathrm { R H } - \overline { { \mathrm { R H } } } ) ^ { 2 } + \frac { a _ { 5 } } { 2 } ( T - \overline { { T } } ) ^ { 2 } ( \mathrm { R H } - \overline { { \mathrm { R H } } } ) } \\ { I _ { 2 } ( \partial _ { z } \mathrm { R H } ) } & { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } a _ { 6 } ^ { 3 } \left( \partial _ { z } \mathrm { R H } + \frac { 3 a _ { 7 } } { 2 } \right) \left( \partial _ { z } \mathrm { R H } \right) ^ { 2 } } \\ { I _ { 3 } ( q _ { c } , q _ { i } ) } & { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \frac { - 1 } { q _ { c } / a _ { 8 } + q _ { i } / a _ { 9 } + \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \| } ^ { j + } } & { { } = \partial _ { \| } - \frac { j + 2 } { 2 } \partial _ { \| } \ln B , } \\ { \partial _ { \| } ^ { j - } } & { { } = \partial _ { \| } + \frac { j - 1 } { 2 } \partial _ { \| } \ln B , } \end{array}
\sum _ { i = + , - } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { L ^ { \prime } ( t ) } { L ( t ) } y f _ { i } \partial _ { y } f _ { i } \, \textup { d } y \le \sum _ { i = + , - } \left( \varepsilon _ { 1 } \| \partial _ { y } f _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } ^ { 2 } + \frac { \| h \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 1 } \ell ^ { 2 } } \| f _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { M ^ { ( n ) } = } & { { } \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } \left( \frac { 1 } { 6 3 0 } \cos ^ { 3 } \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n \right) + \frac { 2 } { 2 1 } \cos ^ { 2 } \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { t } = \cos { ( 2 \pi t / 2 0 ) } , } \\ { y _ { t } = \cos { ( 2 \pi t / 1 0 ) } , } \\ { z _ { t } ^ { x } = 0 . 2 x _ { t } + 0 . 8 u _ { t } , } \\ { z _ { t } ^ { y } = 0 . 2 y _ { t } + 0 . 8 u _ { t } , } \end{array}
\tilde { R } = - \frac { \tilde { d } ^ { 2 } - 1 } { 2 p _ { 2 } } + \frac { \tilde { \Lambda } p _ { 2 \tilde { d } - 2 } } { 2 } \, \frac { 1 } { ( C _ { 2 } + C _ { 1 } \, p _ { 2 } ) ^ { 2 } } \circ p _ { \tilde { d } } .
\begin{array} { r } { 0 \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { F } ) { \longrightarrow } \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { F } ^ { * } ) \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { C } ) \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { F } ) { \longrightarrow } \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { F } ^ { * } ) \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { C } ) \longrightarrow 0 . } \end{array}
\left. \frac { \partial \ell _ { q } ( \psi ) } { \partial \psi } \right| _ { \psi _ { q } ^ { * } } = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } p _ { q } ^ { q } ( G _ { i } , \psi _ { q } ^ { * } ) \, C ( G _ { i } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } p _ { q } ^ { q } ( G _ { i } , \psi _ { q } ^ { * } ) } = C ^ { * }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { g ^ { i } } = \left( \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { j } } \right) \boldsymbol { i _ { j } } = A _ { i } ^ { j } \boldsymbol { i _ { j } } \Rightarrow \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { g ^ { 1 } } } \\ { \boldsymbol { g ^ { 2 } } } \\ { \boldsymbol { g ^ { 3 } } } \end{array} \right] = \left[ \boldsymbol { \bar { A } } \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { i _ { 1 } } } \\ { \boldsymbol { i _ { 2 } } } \\ { \boldsymbol { i _ { 3 } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \textrm { c o n f i n e m e n t } } } & { { } = { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { m _ { e } } } + { \frac { 1 } { m _ { h } } } \right) = { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 \mu a ^ { 2 } } } } \\ { E _ { \textrm { e x c i t o n } } } & { { } = - { \frac { 1 } { \epsilon _ { r } ^ { 2 } } } { \frac { \mu } { m _ { e } } } R _ { y } = - R _ { y } ^ { * } } \\ { E } & { { } = E _ { \textrm { b a n d g a p } } + E _ { \textrm { c o n f i n e m e n t } } + E _ { \textrm { e x c i t o n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \phi _ { 2 } } { 2 } \left( 1 + \frac { \epsilon _ { 1 } } { \epsilon _ { 2 } } \right) - \left( K _ { Y } ^ { \Gamma } - \frac { \epsilon _ { 1 } } { \epsilon _ { 2 } } K _ { L } ^ { \Gamma } \right) \phi _ { 2 } + \left( V _ { Y } ^ { \Gamma } - V _ { L } ^ { \Gamma } \right) \lambda _ { 2 } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { q } } \frac { q _ { k } } { 4 \pi \epsilon _ { 2 } | \mathbf { x } _ { \Gamma } - \mathbf { x } _ { k } | } , } \\ { \frac { \epsilon _ { 1 } } { \epsilon _ { 2 } } \left( W _ { Y } ^ { \Gamma } - W _ { L } ^ { \Gamma } \right) \phi _ { 2 } + \frac { \lambda _ { 2 } } { 2 } \left( 1 + \frac { \epsilon _ { 1 } } { \epsilon _ { 2 } } \right) + \left( \frac { \epsilon _ { 1 } } { \epsilon _ { 2 } } K _ { Y } ^ { \prime \Gamma } - K _ { L } ^ { \prime \Gamma } \right) \lambda _ { 2 } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { q } } \frac { \partial } { \partial \mathbf { n } _ { \mathbf { x } } } \left( \frac { q _ { k } } { 4 \pi \epsilon _ { 2 } | \mathbf { x } _ { \Gamma } - \mathbf { x } _ { k } | } \right) , } \end{array}
\partial _ { x } ^ { 2 } \boldsymbol { \psi } - \left( \frac { 2 } { \hbar ^ { 2 } } p - \frac { 1 } { 4 } | \partial _ { x } \boldsymbol { s } | ^ { 2 } \right) \boldsymbol { \psi } = \boldsymbol { 0 } .
a ^ { \mathrm { ~ Z ~ } } = a _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ Z ~ } } { \sin \left( { \omega ^ { \mathrm { ~ Z ~ } } t - \varphi ^ { \mathrm { ~ Z ~ } } } \right) } \Lambda \left( \frac { \omega ^ { \mathrm { ~ Z ~ } } t - \varphi ^ { \mathrm { ~ Z ~ } } } { 2 \pi } \right) .
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \alpha _ { \mathbf { A } } } { 2 } \, \| ( { \boldsymbol \sigma } - \widetilde { { \boldsymbol \sigma } } , \mathbf { u } - \widetilde { \mathbf { u } } ) \| ^ { 2 } \, \leq \, \bigg ( \frac { 1 } { \nu } \, ( 1 + \kappa _ { 1 } ) \, \| \mathbf { i } _ { 4 } \| \, \| { \mathbf { w } } - \widetilde { { \mathbf { w } } } \| _ { 0 , 4 ; \Omega } } \\ { \displaystyle \quad + \, \frac { \mathtt { F } } { \alpha } \, c _ { \mathrm { p } } \, \| \mathbf { i } _ { \mathrm { q } } \| ^ { \mathrm { p } - 2 } \big ( \| { \mathbf { w } } \| _ { 1 , \Omega } + \| \widetilde { { \mathbf { w } } } \| _ { 1 , \Omega } \big ) ^ { \mathrm { p } - 3 } \, \| { \mathbf { w } } - \widetilde { { \mathbf { w } } } \| _ { 0 , \mathrm { q } ; \Omega } \bigg ) \, \| \mathbf { u } \| _ { 1 , \Omega } \, \| ( { \boldsymbol \sigma } - \widetilde { { \boldsymbol \sigma } } , \mathbf { u } - \widetilde { \mathbf { u } } ) \| \, . } \end{array}
u _ { j } ^ { n + 1 } = u _ { j } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { j } } ( f _ { { j + \frac { 1 } { 2 } } } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } } - f _ { { j - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } } )
2 \pi \widetilde { \rho } _ { a , j } ( \beta ) = \delta _ { j 0 } m _ { a } \cosh \beta - \sum _ { b = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } { K _ { j l } ^ { ( \infty ) } } * A _ { a b } ^ { N } * \rho _ { b , l } ( \beta )
B = \sqrt { \frac { i U } { 2 } } \left[ \begin{array} { c c c c c c c c } { i \tilde { z } _ { 1 } z _ { 1 } } & { - \tilde { z } _ { 1 } z _ { 1 } } & { - i z _ { 2 } z _ { 3 } } & { z _ { 2 } z _ { 3 } } & { \tilde { z } _ { 1 } z _ { 1 } } & { i \tilde { z } _ { 1 } z _ { 1 } } & { - z _ { 2 } z _ { 3 } } & { - i z _ { 2 } z _ { 3 } } \\ { - i z _ { 1 } z _ { 2 } } & { z _ { 1 } z _ { 2 } } & { i \tilde { z } _ { 4 } z _ { 2 } } & { - \tilde { z } _ { 4 } z _ { 2 } } & { \tilde { z } _ { 1 } z _ { 2 } } & { i \tilde { z } _ { 1 } z _ { 2 } } & { - z _ { 2 } z _ { 4 } } & { - i z _ { 2 } z _ { 4 } } \\ { i \tilde { z } _ { 1 } z _ { 3 } } & { - \tilde { z } _ { 1 } z _ { 3 } } & { - i z _ { 3 } z _ { 4 } } & { z _ { 3 } z _ { 4 } } & { - z _ { 1 } z _ { 3 } } & { - i z _ { 1 } z _ { 3 } } & { \tilde { z } _ { 4 } z _ { 3 } } & { i \tilde { z } _ { 4 } z _ { 3 } } \\ { - i z _ { 2 } z _ { 3 } } & { z _ { 2 } z _ { 3 } } & { i \tilde { z } _ { 4 } z _ { 4 } } & { - \tilde { z } _ { 4 } z _ { 4 } } & { - z _ { 2 } z _ { 3 } } & { - i z _ { 2 } z _ { 3 } } & { \tilde { z } _ { 4 } z _ { 4 } } & { i \tilde { z } _ { 4 } z _ { 4 } } \\ { i \tilde { z } _ { 5 } z _ { 5 } } & { \tilde { z } _ { 5 } z _ { 5 } } & { - i z _ { 6 } z _ { 7 } } & { - z _ { 6 } z _ { 7 } } & { \tilde { z } _ { 5 } z _ { 5 } } & { - i \tilde { z } _ { 5 } z _ { 5 } } & { - z _ { 6 } z _ { 7 } } & { i z _ { 6 } z _ { 7 } } \\ { - i z _ { 5 } z _ { 6 } } & { - z _ { 5 } z _ { 6 } } & { i \tilde { z } _ { 8 } z _ { 6 } } & { \tilde { z } _ { 8 } z _ { 6 } } & { \tilde { z } _ { 5 } z _ { 6 } } & { - i \tilde { z } _ { 5 } z _ { 6 } } & { - z _ { 6 } z _ { 8 } } & { i z _ { 6 } z _ { 8 } } \\ { i \tilde { z } _ { 5 } z _ { 7 } } & { \tilde { z } _ { 5 } z _ { 7 } } & { - i z _ { 7 } z _ { 8 } } & { - z _ { 7 } z _ { 8 } } & { - z _ { 5 } z _ { 7 } } & { i z _ { 5 } z _ { 7 } } & { \tilde { z } _ { 8 } z _ { 7 } } & { - i \tilde { z } _ { 8 } z _ { 7 } } \\ { - i z _ { 6 } z _ { 7 } } & { - z _ { 6 } z _ { 7 } } & { i \tilde { z } _ { 8 } z _ { 8 } } & { \tilde { z } _ { 8 } z _ { 8 } } & { - z _ { 6 } z _ { 7 } } & { i z _ { 6 } z _ { 7 } } & { \tilde { z } _ { 8 } z _ { 8 } } & { - i \tilde { z } _ { 8 } z _ { 8 } } \end{array} \right] .
\frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } u _ { j } \partial _ { j } u _ { i } = - \frac { 1 } { \rho ^ { \prime } } \partial _ { i } P + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { \rho ^ { \prime } \: \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \partial _ { j } \Big ( \mu ^ { \prime } \partial _ { j } u _ { i } \Big ) + \frac { g _ { i } } { \mathrm { ~ F ~ r ~ } ^ { 2 } } + \mathrm { ~ S ~ } _ { u _ { i } } ^ { \Gamma } + \mathrm { ~ S ~ } _ { \partial _ { i } P } ^ { \Gamma } + \mathrm { ~ S ~ } _ { u _ { i } } ^ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathrm { ~ S ~ } _ { \partial _ { i } P } ^ { \mathrm { ~ O ~ } }
H _ { 1 } = \frac { ( 4 5 ) ^ { \frac \alpha 2 } } { 6 } \big ( \frac { 1 } { 5 } ( 1 - x ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 4 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } \big ) = - \frac { ( 4 5 ) ^ { \frac \alpha 2 } } { 1 2 0 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - 5 x ^ { 2 } ) .
S _ { i j k \ell } ^ { u \, \, ( 1 ) } = S _ { i j k \ell } + \Delta _ { i j k \ell } ^ { ( 1 ) } : = S _ { i j k \ell } - \frac { 1 } { 9 } S ^ { ( 1 ) } B _ { i j } ^ { ( 1 ) } B _ { k \ell } ^ { ( 1 ) } \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { V ( x ) / V _ { 0 } = F ( x ) \cdot G ( x ) + A ( x ) , } \\ & { } & { G ( x ) = \sum _ { n = 6 , 8 , 1 0 } C _ { n } f ^ { n } ( x ) , \; f ^ { n } ( x ) = 1 / x ^ { n } , } \\ & { } & { F ( x ) = e ^ { - ( D f ( x ) - 1 ) ^ { 2 } } , \; x < D , } \\ & { } & { A ( x ) = A e ^ { - \alpha x + \beta x ^ { 2 } } = A \exp \left[ \sum _ { n = - 2 } ^ { - 1 } B _ { n } f ^ { n } ( x ) \right] , } \end{array}
\left( P _ { \mu } G ^ { \mu } + P _ { 5 } G _ { 5 } + P _ { 6 } G _ { 6 } + P _ { 7 } G _ { 7 } + P _ { 8 } G _ { 8 } + P _ { 9 } G _ { 9 } + i P _ { 1 0 } \right) \Theta = 0 \, ,
\frac { f _ { i } ( x ) } { f _ { i } ( H ) } = \frac { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } ( x ) } { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } ( H ) } + \frac { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } ( H ) } \mathrm { P e } + \frac { { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } ( H ) } \Delta \varphi + \cdots ,
< < p _ { i } p _ { j } > > = { \overline { { p } } } _ { i } { \overline { { p } } } _ { j } + \chi _ { i j } ~ , \qquad \chi _ { i j } = < < p _ { i } p _ { j } > > - ( { \overline { { p } } } _ { i } { \overline { { p } } } _ { j } )
\begin{array} { r l } { \rho \left( O _ { t } = \omega \vert S _ { t } = s \right) = { } } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { s } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { \left( \omega - \mu _ { s } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { s } ^ { 2 } } } } \end{array}
\mathrm { M a p } _ { \mathrm { a v g } } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { o b s } } } w _ { i } ( \Omega _ { \mathrm { r e f } } / \Omega _ { i } ) e ^ { \tau _ { i } } \mathrm { M a p } _ { i } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { o b s } } } w _ { i } } \, ,
\begin{array} { r l r } { { \frac { \partial \hat { \rho } _ { k } } { \partial t } } } & { { } = } & { - i \rho _ { 0 } { \bf k } \cdot \hat { \bf u } _ { k } \, , } \\ { { \frac { \partial \hat { \bf u } _ { k } } { \partial t } } } & { { } = } & { i k _ { \parallel } b _ { 0 } { \hat { \bf b } } _ { k } - i b _ { 0 } { \bf k } { \hat { b } } _ { \parallel k } \, , } \\ { { \frac { \partial \hat { \bf b } _ { k } } { \partial t } } } & { { } = } & { i k _ { \parallel } b _ { 0 } \hat { \bf u } _ { k } - i { \bf b } _ { 0 } ( { \bf k } \cdot \hat { \bf u } _ { k } ) \, , } \end{array}
v ( n , k , l , p , r , s ) = \frac { 1 } { 7 } A _ { 6 } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { n } } \\ { { k } } \\ { { l } } \\ { { p } } \\ { { r } } \\ { { s } } \end{array} \right) .