harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left| { \cal A } _ { c } ^ { ( 1 ) } / { \cal A } _ { c } ^ { ( 0 ) } \right| = \underbrace { { \cal O } ( \overline { { { \lambda } } } ) } _ { \mathrm { E W \, p e n g u i n s } } \times \underbrace { { \cal O } ( \overline { { { \lambda } } } ) } _ { \mathrm { D y n a m i c s } } = { \cal O } ( \overline { { { \lambda } } } ^ { 2 } ) .
\mathcal { L } _ { \mathbf { f } , \mathbf { g } } ( \boldsymbol { v } ) = \frac { 1 } { \lambda + 2 \mu } \left( f ^ { P } , v ^ { P } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \left\langle g _ { \mathbf { n } } , v ^ { P } \right\rangle _ { \Gamma } + \frac { 1 } { \mu } ( f ^ { S } , v ^ { S } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \left\langle { g } _ { \boldsymbol { \tau } } , v ^ { S } \right\rangle _ { \Gamma } .
\begin{array} { r l } { g ^ { \prime } ( t ) } & { \ge - ( 2 - r ) t ^ { - 3 } \frac { r + d - 2 } { 4 - r } \frac { \Gamma ( 3 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } + \frac { ( 2 - r ) \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) t ^ { 1 - r } } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } } \\ & { \quad + ( 2 t ^ { - 3 } - r t ^ { - 3 } - 4 t ^ { - 5 } + r t ^ { - 5 } ) \frac { r + d - 2 } { 4 - r } \frac { ( 2 - r ) ( 4 - r - d ) } { 2 ( 6 - r ) } \frac { \Gamma ( 4 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } - 1 ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } } \\ & { = - ( 2 - r ) t ^ { - 3 } \frac { ( r + d - 2 ) \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { 2 \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } + \frac { ( 2 - r ) \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) t ^ { 1 - r } } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } } \\ & { \quad + ( 2 t ^ { - 3 } - r t ^ { - 3 } - 4 t ^ { - 5 } + r t ^ { - 5 } ) \frac { ( 2 - r ) ( 4 - r - d ) } { 4 } \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } } \\ & { = ( 2 - r ) \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } \bigl ( t ^ { 1 - r } + \bigl ( \frac { ( 2 - r ) ( 4 - r - d ) } { 4 } - \frac { r + d - 2 } { 2 } \bigr ) t ^ { - 3 } - \frac { ( 4 - r ) ( 4 - r - d ) } { 4 } t ^ { - 5 } \bigr ) } \\ & { \geq ( 2 - r ) \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } \bigl ( t ^ { 1 - r } + \bigl ( \frac { ( 2 - r ) ( 4 - r - d ) } { 4 } - \frac { r + d - 2 } { 2 } \bigr ) t ^ { - 3 } - \frac { ( 4 - r ) ( 4 - r - d ) } { 4 } t ^ { - 3 } \bigr ) } \\ & { = ( 2 - r ) \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } \bigl ( t ^ { 1 - r } - t ^ { - 3 } \bigr ) \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \delta } ^ { s } ( F ) } & { = } & { \operatorname* { i n f } \left\{ \sum _ { i = i } ^ { \infty } \left( \mathrm { d i a m } ( U _ { i } ) \right) ^ { s } \colon F \subset \bigcup _ { i = 1 } ^ { \infty } U _ { i } \mathrm { , ~ } \mathrm { d i a m } ( U _ { i } ) \leq \delta \mathrm { ~ p a r a ~ t o d a ~ } i \in \mathbb N \right\} . } \end{array}
d s ^ { 2 } = d t ^ { 2 } + A ( t ) ^ { 2 } ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ) + B ( t ) ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } + C ( t ) ^ { 2 } \left\{ \begin{array} { l } { { { \frac { 1 } { 2 } } d \Omega _ { 4 } ^ { 2 } } } \\ { { d \Sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right. ,
\left( - \frac { 1 } { 4 } i \lambda \right) \int _ { ( \infty ) } \frac { d ^ { 4 } p ^ { \mu } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \left( \frac { i } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon } \right) \ ,
\displaystyle \mathfrak { L } _ { \mathrm { { i n t } } } = 1 0 \, \mathrm { { a b } } ^ { - 1 } \left( \frac { E _ { \mathrm { { c m } } } } { 1 0 \, \mathrm { { T e V } } } \right) ^ { 2 } \, .
C _ { V } = ( g ^ { 2 } | \beta _ { 0 } | ) ^ { - \frac { \gamma _ { 0 } } { \beta _ { 0 } } } e x p \bigl [ \int _ { g ^ { 2 } } ^ { Q ^ { 2 } } d x \tau ( x ) \bigr ] . \qquad \qquad Q . E . D .
\begin{array} { r l } & { 3 \tilde { \Lambda } _ { u _ { 0 } , f , r } ( \tau ) + \tau \| \partial _ { t } \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ( x ^ { h } ) \times [ t ^ { * } - R , t ^ { * } + R ] ) } } \\ & { \qquad \leq \tau ( 3 \tilde { K } _ { 2 } S _ { a ( p - 1 ) } ( r ) + 3 \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } + \| \partial _ { t } \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ( x ^ { h } ) \times [ t ^ { * } - R , t ^ { * } + R ] ) } ) } \\ & { \qquad \leq r ^ { a } K _ { s , p , d } r ^ { s p - a ( p - 1 ) } ( 3 \tilde { K } _ { 2 } S _ { a ( p - 1 ) } ( r ) + 3 \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } + \| \partial _ { t } \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ( x ^ { h } ) \times [ t ^ { * } - R , t ^ { * } + R ] ) } ) } \\ & { \qquad \leq r ^ { a } \left( { 3 \tilde { K } _ { 2 } + 1 } \right) . } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { 2 } S ( { \boldsymbol { \phi } } ( y ) ) } { \partial y _ { i } \partial y _ { j } } } = \sum _ { l , k = 1 } ^ { n } \left. { \frac { \partial ^ { 2 } S ( z ) } { \partial z _ { k } \partial z _ { l } } } \right| _ { z = { \boldsymbol { \phi } } ( y ) } { \frac { \partial \phi _ { k } } { \partial y _ { i } } } { \frac { \partial \phi _ { l } } { \partial y _ { j } } } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left. { \frac { \partial S ( z ) } { \partial z _ { k } } } \right| _ { z = { \boldsymbol { \phi } } ( y ) } { \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { k } } { \partial y _ { i } \partial y _ { j } } }
D _ { i , j } ^ { m , n } = \left\{ d _ { i , i } ^ { m , m - 1 } , d _ { i , i } ^ { m , m + 1 } , d _ { j , j } ^ { n , n - 1 } , d _ { j , j } ^ { n , n + 1 } , 2 { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \Phi } & { { } = k _ { \Omega } \left[ \boldsymbol { \phi } \cdot \left( \mathbf { x } _ { a } - \mathbf { x } _ { b } \right) - \frac { \boldsymbol { \phi } ^ { 2 } } { 2 } \left( z _ { a } - z _ { b } \right) \right] , } \\ { \Delta \Phi } & { { } = \Delta k \left[ \boldsymbol { \phi } \cdot \left( \mathbf { x } _ { a } - \mathbf { x } _ { b } \right) - \frac { \boldsymbol { \phi } ^ { 2 } } { 2 } \left( z _ { a } - z _ { b } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu \kappa \lambda } } & { { } = \int \frac { \chi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \chi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \mathrm { e r f c } ( \omega r _ { 1 2 } ) \chi _ { \kappa } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \chi _ { \lambda } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) } { r _ { 1 2 } } d \mathbf { r } _ { 1 } ^ { 3 } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial g } { \partial x ^ { d } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \frac { 4 \mu c _ { 2 } D _ { i } } { L D } ) ( \frac { \theta B N _ { 0 } \alpha } { \rho _ { i } A _ { i } } ) d _ { i } ^ { \alpha - 2 } \exp { \left( - \frac { \theta B N _ { 0 } d _ { i } ^ { \alpha } } { A _ { i } \rho _ { i } } \right) } ( x ^ { d } - x _ { i } ) , } \\ { \frac { \partial g } { \partial y ^ { d } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \frac { 4 \mu c _ { 2 } D _ { i } } { L D } ) ( \frac { \theta B N _ { 0 } \alpha } { \rho _ { i } A _ { i } } ) d _ { i } ^ { \alpha - 2 } \exp { \left( - \frac { \theta B N _ { 0 } d _ { i } ^ { \alpha } } { A _ { i } \rho _ { i } } \right) } ( y ^ { d } - y _ { i } ) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d y ^ { - } \rho _ { 0 } e ^ { - { y ^ { - } } ^ { 2 } / 2 { R _ { A } ^ { - } } ^ { 2 } \pm i x _ { L } p ^ { + } y ^ { - } } = e ^ { - x _ { L } ^ { 2 } / x _ { A } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { l } { \displaystyle \Delta \, = \, \left[ 9 A B ^ { 2 } \, + \, \left( 1 \, + \, \sqrt { 1 \, - \, \frac { 2 5 6 } { 2 7 } \, \frac A { B ^ { 4 } } } \right) \right] ^ { 1 / 3 } \, . } \end{array}
( T _ { C } f ) ( x , z ) = \int _ { \Lambda } \int _ { 0 } ^ { L } C ( x - x ^ { \prime } , z , z ^ { \prime } ) \, f ( x ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } \, d x ^ { \prime } , \ \ \ f ( x , z ) \in L ^ { 2 } ( \Lambda \times [ 0 , L ] ) ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left( \frac { \lambda _ { k } \mu _ { g } } { 2 } \| y _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } , \frac { 1 } { l _ { f , 1 } + \lambda _ { k } l _ { g , 1 } } \| \nabla _ { y } q _ { k } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } \right) \le \langle \nabla _ { y } q _ { k } ^ { ( t ) } , y _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { b } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \big ( 1 + e ^ { - 2 \Gamma _ { 0 } t } ( - 1 + 2 P _ { b } ( 0 ) ) \big ) ; } \\ { P _ { u } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \big ( 1 - e ^ { - 2 \Gamma _ { 0 } t } ( - 1 + 2 P _ { b } ( 0 ) ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { D } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \gamma \left( \mathbf { \hat { F } } ( \mathbf { u } ) + \theta \mathbf { G } ( \mathbf { u } , \mathbf { x } ) \right) } & { = \mathbf { 0 } ~ \mathrm { o n } ~ \Omega , } \\ { \nabla \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } } & { = \mathbf { 0 } ~ \mathrm { o n } ~ \partial \Omega . } \end{array}
\Vec { \mu } \cdot \Vec { E } = - \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Omega _ { C } e ^ { - i \omega _ { C } t } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Omega _ { P } e ^ { - i \omega _ { P } t } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Omega _ { C } e ^ { - i \omega _ { C } t } } \\ { \Omega _ { C } e ^ { i \omega _ { C } t } } & { \Omega _ { P } e ^ { i \omega _ { P } t } } & { \Omega _ { C } e ^ { i \omega _ { C } t } } & { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 3 } } & { { } : = \mathring { V } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Gamma ) , } \\ { \mathcal { E } _ { 3 } } & { { } : = \mathring { V } ^ { \ast } \Lambda ^ { n - 2 } ( \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Sigma ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d I _ { j } } { d t } = } & { \tau _ { \mathrm { d a m p } } = g _ { \mathrm { d a m p } } a ^ { 2 } \left[ \mathbf { m } \times \left( \mathbf { m } \times \boldsymbol { \mu } \right) \right] _ { j } } \\ { \frac { d m _ { j } } { d t } = } & { \frac { g _ { \mathrm { d a m p } } a ^ { 2 } \mu m _ { j } } { \hbar I _ { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \sigma } ( \vec { k } , \omega ) } & { { } = \frac { \vec { k } \, \vec { k } } { k ^ { 2 } } \sigma _ { l } ( \vec { k } , \omega ) + \left[ \mathbf { I } - \frac { \vec { k } \, \vec { k } } { k ^ { 2 } } \right] \sigma _ { t } ( \vec { k } , \omega ) \, , } \end{array}
S _ { \varepsilon } = \{ | \psi _ { \varepsilon } ( t ) \rangle , | \psi _ { \varepsilon \pm \omega } ( t ) \rangle , | \psi _ { \varepsilon \pm 2 \omega } ( t ) \rangle , . . . , | \psi _ { \varepsilon \pm n \omega } ( t ) \rangle , . . . \} .
\begin{array} { r l } { \overline { { \alpha ^ { \prime } f _ { 1 } ^ { \prime } } } } & { { } \approx \overline { { { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } } g _ { 1 } \left( \overline { { \alpha } } , \overline { { \boldsymbol a } } \right) + \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } \right) \left. \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial { a } _ { i } } \right| _ { \overline { { \alpha } } , \overline { { \boldsymbol { a } } } } , } \\ { \overline { { \alpha ^ { \prime } f _ { 2 } ^ { \prime } } } } & { { } \approx \overline { { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } } g _ { 2 } \left( \overline { { \beta } } , \overline { { \boldsymbol a } } \right) + \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } { { u _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } } \right) \left. \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial { a _ { i } } } \right| _ { \overline { { \beta } } , \overline { { \boldsymbol { a } } } } , } \end{array}
\gamma ( A ) = \left\{ \begin{array} { r l } & { \operatorname* { i n f } \{ m \in \mathbb { N } _ { + } : \exists h \in C ^ { 0 } ( A ; \mathbb { R } ^ { m } \backslash \{ 0 \} ) , h ( - u ) = - h ( u ) \} , } \\ & { \infty , \quad \quad \mathrm { i f ~ } \{ \cdots \} = \emptyset , \mathrm { i n ~ p a r t i c u l a r , ~ i f ~ } \, 0 \in A , } \end{array} \right.
\bar { c } \, \Gamma \, b = \bar { h } _ { v ^ { \prime } } ^ { ( c ) } \, \bigg ( \Gamma - \frac i { 2 m _ { c } } \overleftarrow D \! \! \! \! \slash \, \Gamma + \frac i { 2 m _ { b } } \, \Gamma \overrightarrow D \! \! \! \! \slash + \ldots \bigg ) \, h _ { v } ^ { ( b ) } \, .
d _ { 2 } = \frac { 2 \, \delta } { ( 1 + \delta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, , \qquad d _ { 3 } = \frac { 2 } { 3 } \frac { 3 \, \delta ^ { 2 } - 1 } { ( 1 + \delta ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \, ,
\begin{array} { r l } { S } & { { } = \mathrm { T r } \left( G _ { \lambda } ^ { 2 } \right) = \mathrm { T r } \left( ( H _ { F } - H _ { I } + \alpha \left[ H _ { A D } , \left[ H _ { I } , H _ { F } \right] \right] \right) ^ { 2 } ) . } \end{array}
r _ { i } ^ { \phi } = \int _ { \Omega } \left[ - 2 ( 1 - \phi ) N _ { i } \left. \mathcal { H } \right. + G _ { c } \left( \frac { \phi } { \ell } N _ { i } + \ell \mathbf { B } _ { i } ^ { T } \nabla \phi \right) \right] \, \mathrm { d } V
\begin{array} { r l r } { U _ { i , j , k + 1 } } & { = } & { c _ { 1 } U _ { i - 1 , j - 1 , k } + c _ { 2 } U _ { i , j - 1 , k } + c _ { 3 } U _ { i + 1 , j - 1 , k } + } \\ & { } & { c _ { 4 } U _ { i - 1 , j , k } + c _ { 5 } U _ { i , j , k } + c _ { 6 } U _ { i + 1 , j , k } + } \\ & { } & { c _ { 7 } U _ { i - 1 , j + 1 , k } + c _ { 8 } U _ { i , j + 1 , k } + c _ { 9 } U _ { i + 1 , j + 1 , k } } \end{array}
m _ { { \ell } } = \frac { \mu _ { { \ell } } } 4 \left[ \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { e ^ { i r } } } \end{array} \right] \quad
| \langle E _ { z } \rangle | \sim | \langle B _ { z } \rangle | \sim \frac { 0 . 5 } { \pi } \frac { e \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } } { \xi \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } \sim \frac { 1 0 ^ { 1 7 } \mathrm { ~ G } } { \xi \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } }
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } } & { { } = G \left( \frac { \langle \delta \ell ( 0 ) \delta v ( \tau ) \rangle } { \sigma _ { \ell } \sigma _ { v } } \frac { \delta \ell ( 0 ) } { \sigma _ { \ell } } + \frac { \langle \delta v ( 0 ) \delta v ( \tau ) \rangle } { \sigma _ { v } ^ { 2 } } \frac { v ( 0 ) } { \sigma _ { v } } \right) + \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { p } ( z ) } & { = \frac { 1 + \tau ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 1 - \tau z - \tau ^ { 2 } z ^ { 2 } } } \\ & { = \left( t + \frac { 1 } { t } \right) \frac { t } { 1 - t - t ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \left( t + \frac { 1 } { t } \right) \left( \frac { 1 } { 1 - ( 1 - \tau ) t } - \frac { 1 } { 1 - \tau t } \right) } \\ & { = \left( t + \frac { 1 } { t } \right) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } u _ { n } t ^ { n } } \\ & { = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( u _ { n - 1 } + u _ { n + 1 } ) \tau ^ { n } z ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } M ( x , c _ { 4 } \nabla \omega ( \vec { a } ^ { i } ) ) \, d x } & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { | a _ { k } ^ { i } | } { | \vec { a } ^ { i } | } \int _ { \Omega } M ( x , c _ { 4 } | \vec { a } ^ { i } | \nabla w _ { k } ) \, d x \leq n \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 1 , \dots , n \} } \int _ { \Omega } M ( x , c _ { 4 } | \vec { a } ^ { i } | \nabla w _ { k } ) \, d x } \end{array}
T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) , \dag } = - { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } \left( { \left| { \bar { S } } \right| \bar { S } _ { i j } ^ { \dag } + 2 \frac { { { { \bar { S } } _ { k l } } \bar { S } _ { k l } ^ { \dag } } } { { \left| { \bar { S } } \right| } } { { \bar { S } } _ { i j } } } \right) ,
\sigma ( 1 ; 2 ) \equiv \left\langle \left\{ \partial _ { z } \Phi ^ { 0 } ( 0 ^ { + } , { \bf k } _ { 1 } { } _ { \| } , \omega _ { 1 } ) , \partial _ { z } \Phi ^ { 0 } ( 0 ^ { + } , { \bf k } _ { 2 } { } _ { \| } , \omega _ { 2 } ) \right\} \right\rangle
H _ { e f f } = C H ( \bar { s } \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) T ^ { a } b ) ( \bar { q } \gamma _ { \sigma } T ^ { a } q ) \frac { 1 } { p ^ { 2 } - M _ { g } ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \sigma \alpha \beta } q _ { \alpha } p _ { \beta } \; \; ,
\begin{array} { r l } { q _ { n } ( l ) } & { = \frac { ( ( 2 n - 2 l + 1 ) \cdots ( 2 n - 3 ) ( 2 n - 1 ) ) ^ { 2 } } { ( 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 l - 1 ) ) ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { ( 2 n - 2 l + 1 ) ( 2 n - 2 l + 2 ) \cdots ( 2 n - 1 ) ( 2 n ) } { 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots ( 2 l - 2 ) ( 2 l - 1 ) } = \frac { ( 2 n ) ! } { ( 2 n - 1 ) ! ( 2 n - 2 l ) ! } } \\ & { = \frac { 2 l ( 2 n ) ! } { ( 2 l ) ! ( 2 n - 2 l ) ! } = 2 l \left( \begin{array} { c } { 2 n } \\ { 2 l } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\frac { \sum _ { 0 \le j < k / 2 } g _ { p ^ { \prime } } ( T ^ { 2 j } ( p _ { k } / q _ { k } ) ) } { \frac { 3 } { 8 \pi } \cdot \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \log 2 } k } \to \frac { 1 } { \frac { 3 } { 8 \pi } } \cdot \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { h _ { p ^ { \prime } } ( x ) + \frac { 1 } { 8 } \lfloor 1 / x \rfloor } { 1 + x } \, \mathrm { d } x \qquad \textrm { f o r a . e . } \alpha .
\mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } ^ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ c ~ } } \propto \tilde { \rho } _ { 1 , 1 } = \int \rho _ { 1 _ { H } , 1 _ { H } } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ } } d t \, .
A _ { p } ^ { \prime } \left( \mathbf { r } , t \right) = A _ { p } \left( \mathbf { r } , t - d t \right) \simeq A _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) - \dot { A } { } _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) d t
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { \mathrm { ~ Q ~ D ~ } } = } & { { } \hbar \omega _ { x } \left( \vert x _ { H } \rangle \langle x _ { H } \vert + \vert x _ { V } \rangle \langle x _ { V } \vert \right) + \hbar \omega _ { x x } \vert x x \rangle \langle x x \vert } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { 0 } \psi _ { 0 } + c _ { 0 } \psi _ { 1 } } & { { } = g _ { 0 } } \\ { a _ { 1 } \psi _ { 0 } + b _ { 1 } \psi _ { 1 } + c _ { 1 } \psi _ { 2 } } & { { } = g _ { 1 } . } \end{array}
( G _ { o } ( k ) ^ { a b } ) = \left( \begin{array} { c c } { { G _ { 0 } ( k ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \widetilde { G } _ { 0 } ( k ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { - 1 } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } - i \epsilon } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { D _ { \cdot } = D _ { \mathfrak { n } } = D _ { \mathfrak { t } } = ( \mathrm { d } + \delta ) \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad - \Delta _ { \mathcal { H } } = - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { n } } = - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } = ( \mathrm { d } + \delta ) ^ { 2 } = \mathrm { d } \delta + \delta \mathrm { d } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\partial _ { t } \chi _ { e } - \nabla \cdot \mathbf { a } _ { v } \nabla \chi _ { e } = \ensuremath { \mathbf { b } } _ { v } \cdot e \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \ensuremath { \mathbb { R } } \times \ensuremath { \mathbb { R } ^ { d } } \, , \qquad \langle \chi _ { e } \rangle = 0 \, ,
\begin{array} { r l } & { S = \widetilde { S } _ { 0 } + E _ { 1 } S _ { 2 } + \widetilde { S } , \quad L = E _ { 2 } S _ { 2 } + \widetilde { L } , \quad K = - E _ { 2 } S _ { 2 } + \widetilde { K } , } \\ & { R = E _ { 1 } \widetilde { S } _ { 0 } + 2 E _ { 3 } S _ { 1 } + E _ { 4 } S _ { 2 } + \widetilde { R } , \quad H = \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } \widetilde { S } _ { 0 } + E _ { 3 } S _ { 1 } + E _ { 5 } S _ { 2 } + \widetilde { H } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta } & { = \frac { E } { 4 ( 1 + \nu ) } ( \overline { { I } } _ { 1 } - 2 ) - \frac { E } { 2 ( 1 + \nu ) } \ln ( J ) } \\ & { + \frac { k _ { 1 } } { 2 k _ { 2 } } \left( \exp { ( k _ { 2 } \langle S ( \alpha ) \rangle ^ { 2 } } ) + \exp { ( k _ { 2 } \langle S ( - \alpha ) \rangle ^ { 2 } } ) - 2 \right) + \frac { E } { 6 ( 1 - 2 \nu ) } \left( \frac { J ^ { 2 } - 1 } { 2 } - \ln { J } \right) . } \end{array}
V _ { e f f } = \frac { 1 } { z _ { v } ^ { 4 } } \left( L _ { v } ( \chi ) + L _ { h } ^ { * } ( \chi ) + ( \lambda _ { h 1 } - \lambda _ { h 1 } ^ { * } ) \left( \frac { z _ { h } } { z _ { v } } \right) ^ { \gamma _ { 1 } } { \cal O } _ { 1 } ( \chi ) \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d t } } & { { } = \frac { G } { \eta _ { s } + \eta _ { p } } \left\{ - \sigma ( t ) + \sigma _ { y } \lambda ( t ) + [ \eta _ { s } + \eta _ { p } \lambda ( t ) ] \dot { \gamma } ( t ) \right\} , } \\ { \frac { d \lambda } { d t } } & { { } = k _ { + } [ 1 - \lambda ( t ) ] - k _ { - } \dot { \gamma } ( t ) \lambda ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \sum _ { j = l } ^ { \infty } \frac { \prod _ { k = l } ^ { l + n - 1 } \beta ( k ) } { \prod _ { k = j } ^ { j + n } \beta ( k ) } \cdot \frac { \mu ( j ) } { \mu ( l ) } g ( j ) } & & { n \ge 0 } \\ & { \sum _ { j = l } ^ { \infty } \frac { \prod _ { k = j + n + 1 } ^ { j - 1 } \beta ( k ) } { \prod _ { k = l + n } ^ { l - 1 } \beta ( k ) } \cdot \frac { \mu ( j ) } { \mu ( l ) } g ( j ) } & & { n < 0 . } \end{array}
\left. - \left. \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { A } _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) } \, d A _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) \right| _ { t _ { 1 } } - \left. L \left( A _ { p } \right) \right| _ { t _ { 1 } } d t _ { 1 } \right\}
= \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { c y c } \left( \sqrt { a ^ { 4 } + \frac { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { 2 } } + \sqrt { a ^ { 4 } + \frac { a ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 } } \right) \ge \sqrt { 2 } \sum _ { c y c } \left( \sqrt { a ^ { 4 } + \frac { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { 2 } } \sqrt { a ^ { 4 } + \frac { a ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 }
\begin{array} { r l } { V ^ { \tau , h } ( t , x ) } & { \leq e ^ { C _ { 1 } ( t _ { 0 } - t ) } V ^ { \tau , h } ( t _ { 0 } , x _ { 0 } ) + C _ { 0 } e ^ { C _ { 1 } ( T - t ) } \delta ^ { - 1 } \left( | x - y _ { 0 } | ^ { 4 } + | x + z _ { 0 } - 2 y _ { 0 } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad - C _ { 0 } e ^ { C _ { 1 } ( T - t _ { 0 } ) } \delta ^ { - 1 } \left( | x _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 4 } + | x _ { 0 } + z _ { 0 } - 2 y _ { 0 } | ^ { 2 } \right) = : \tilde { V } ( t , x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \langle g _ { t } , w _ { t } - w \rangle } & { = \left\langle g \left( \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } w _ { t } \right) , \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } w _ { t } - w \right\rangle } \\ & { = u ^ { \top } \mathbf { A } \bar { v } - \bar { u } ^ { \top } \mathbf { A } v . } \end{array}
\mathbf { w } \circ \mathbf { v } = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { w } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ { \frac { \mathbf { w } } { \gamma _ { \mathbf { v } } } } + \mathbf { v } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { \mathbf { v } } } { \gamma _ { \mathbf { v } } + 1 } } ( \mathbf { w } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { v } \right]
\begin{array} { r l } { H _ { 1 D } = } & { \sum _ { j } ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j \uparrow | - | j \downarrow \rangle \langle j \downarrow | \bigr ) - t _ { 0 } \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j + 1 , \uparrow | - e ^ { - i K } | j \downarrow \rangle \langle j + 1 \downarrow | + h . c . \bigr ) } \\ & { + t _ { s o } \bigr ( | j \downarrow \rangle \langle j + 1 \uparrow | - e ^ { i K } | j + 1 \downarrow \rangle \langle j \uparrow | + h . c . \bigr ) , } \end{array}