harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } V _ { s } ( \ell ) { \mathrm { d } } s = } & { \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \sum _ { | I | , | J | \leq n } \ell _ { I } ( T _ { i } ) \ell _ { J } ( T _ { i } ) 1 _ { [ T _ { i } , T _ { i + 1 } ) } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \sum _ { | I | , | J | \leq n } \ell _ { I } ( T _ { i } ) \ell _ { J } ( T _ { i } ) \int _ { t \land T _ { i } } ^ { t \land T _ { i + 1 } } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \sum _ { | I | , | J | \leq n } \ell _ { I } ( T _ { i } ) \ell _ { J } ( T _ { i } ) \left( \int _ { 0 } ^ { t \land T _ { i + 1 } } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s - \int _ { 0 } ^ { t \land T _ { i } } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \sum _ { | I | , | J | \leq n } \ell _ { I } ( T _ { i } ) \ell _ { J } ( T _ { i } ) \left( \langle ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t \land T _ { i + 1 } } \rangle - \langle ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t \land T _ { i } } \rangle \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \left[ \ell ( T _ { i } ) ^ { \top } \left( Q ^ { 0 } ( t \land T _ { i + 1 } ) - Q ^ { 0 } ( t \land T _ { i } ) \right) \ell ( T _ { i } ) \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { R _ { \mathrm { m i r r o r } } } \equiv \frac { B _ { \mathrm { m i n } } } { B _ { \mathrm { m a x } } } = \left( \frac { R _ { \mathrm { m i n } } } { R _ { \mathrm { m a x } } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } & { \leq \zeta _ { f } + L \zeta _ { g ^ { \ast } } + \frac { C _ { f } \zeta _ { g , x y } } { \mu } + \frac { C _ { f } L _ { x y } \zeta _ { g ^ { \ast } } } { \mu } + \frac { L ( \zeta _ { f } + L \zeta _ { g ^ { \ast } } ) } { \mu } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { C _ { f } L ( \zeta _ { g , y y } + L _ { y ^ { 2 } } \zeta _ { g ^ { \ast } } ) } { \mu ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { z } = 0 ) } & { { } = \sum _ { k _ { x } } \Bigg ( \sum _ { k _ { y } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \sum _ { m } \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , m } + \sum _ { { k _ { y } } , m } g _ { \boldsymbol k } \big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , m } + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \big ) \sin ( { k _ { y } } Y _ { m } ) \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { s } [ f _ { q } ] : = } & { { } \frac { 1 } { n [ f _ { q } ] } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { q } \frac { q ^ { 2 } } { 2 } \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\| x _ { i - 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { \tau _ { i } } \mathbb { E } _ { t _ { i } } \frac { \langle A _ { t _ { i } } ^ { T } , x _ { i - 1 } - x ^ { * } \rangle ^ { 2 } } { \| A _ { t _ { i } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \leq ( 1 - Q _ { \operatorname* { m i n } } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } ( \tilde { A } ) \frac { d _ { 0 } } { d _ { 1 } } ) \| x _ { i - 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \, ,
a n d w h e r e \sigma ^ { 2 } = 1 / 2 . F o r o u r e x p e r i m e n t s , w e u s e a n e q u a l l y s p a c e d g r i d o f v a l u e s f o r t h e c o n t a m i n a t i o n \delta \in \{ 0 : 0 . 0 5 : 0 . 9 \} . F o r e a c h v a l u e i n t h i s g r i d , w e g e n e r a t e 1 0 0 0 r e p l i c a t i o n s f r o m t h e a b o v e p r o c e s s i n t h e c a s e w h e r e n _ { 1 } = 1 0 0 a n d n _ { 2 } = 1 0 0 0 . F o r e a c h d a t a s e t , w e a p p l y t h e c u t , e x a c t , a n d S M P \pi _ { \widehat \omega } ( \theta \mid Z ) b a s e d o n t h e w e i g h t
\lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + 9 \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \cos ^ { 4 } f ) ( \rho ^ { 2 } f _ { \rho } ) _ { \rho } + 8 \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } f \: ( a ^ { 2 } f _ { \rho } ) _ { \rho }
\begin{array} { r l } { \left[ h ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } , ( 2 ) } ( t ) , \mathcal { G } ( t ) \right] _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } } & { { } = \mathcal { G } _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } ( t ) \left( h _ { \mathbf { k } - \mathbf { q } , \alpha } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) + h _ { \mathbf { p } + \mathbf { q } , \beta } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) - h _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) - h _ { \mathbf { p } , \beta } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { r } ^ { \pm } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { R } \big ( \mathcal { K } _ { 1 } ( r , z , t ) f ( t ) \pm \mathcal { K } _ { 2 } ( r , z , t ) g ( t ) \big ) \, \mathrm { d } t \, , } \\ { G _ { z } ^ { \pm } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { R } \big ( \pm \mathcal { K } _ { 3 } ( r , z , t ) f ( t ) + \mathcal { K } _ { 4 } ( r , z , t ) g ( t ) \big ) \, \mathrm { d } t \, , } \\ { P ^ { \pm } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { R } \big ( \mathcal { Q } _ { 1 } ( r , z , t ) f ( t ) \pm \mathcal { Q } _ { 2 } ( r , z , t ) g ( t ) \big ) \, \mathrm { d } t \, , } \end{array}
\sigma ( \nu N \rightarrow \nu N ) \approx \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 4 \pi } E _ { \nu } ^ { 2 } Q _ { W } ^ { 2 } \approx \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 4 \pi } E _ { \nu } ^ { 2 } \frac { A ^ { 2 } } { 4 } \propto M _ { N } ^ { 2 }
{ \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \pm } \cdot \mathbf { n } ^ { * } + \frac { | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } } { 2 } > 0 , \quad { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \pm } \cdot \mathbf { n } ^ { * } + \frac { | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } } { 2 } > 0 \quad \forall \mathbf { v } ^ { * } , \mathbf { B } ^ { * } \in \mathbb { R } ^ { 3 } \quad \forall i , j .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( s = 1 \wedge v \in A ) } & { \, = \, \mathbb { P } ( s = 1 \wedge s \cdot w \in A ) } \\ & { \, = \, \mathbb { P } ( s = 1 \wedge w \in A ) } \\ & { \, = \, \mathbb { P } ( s = 1 ) \cdot \mathbb { P } ( w \in A ) } \\ & { \, = \, \mathbb { P } ( s = 1 ) \cdot \mathbb { P } ( s \cdot w \in A ) } \\ & { \, = \, \mathbb { P } ( s = 1 ) \cdot \mathbb { P } ( v \in A ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } + \mathcal { F } - \mathcal { C } } & { = \mathcal { E } + \mathcal { F } _ { 1 } - \mathcal { C } _ { 1 } + \sum _ { \beta = 2 } ^ { \infty } \left( \mathcal { F } _ { \beta } - \mathcal { C } _ { \beta } \right) } \\ & { = \mathcal { E } + \mathcal { F } _ { 1 } - \mathcal { C } _ { 1 } + \mathcal { F } _ { > 1 } - \mathcal { C } _ { > 1 } = C _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } } & { { } = \frac { a _ { 5 } - \mathrm { i } \, a _ { 4 } ( \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 5 } ) + \mathrm { i } \, a _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } \lambda _ { 5 } + \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } \lambda _ { 5 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 5 } ) } { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } ) ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 4 } ) ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 5 } ) } , } \\ { D _ { 3 } } & { { } = \frac { a _ { 5 } - \mathrm { i } \, a _ { 4 } ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 5 } ) + \mathrm { i } \, a _ { 2 } ( \lambda _ { 1 } \lambda _ { 4 } \lambda _ { 5 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } \lambda _ { 5 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 5 } ) } { ( \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 1 } ) ( \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 4 } ) ( \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 5 } ) } , } \end{array}
\frac { d } { d t } d _ { j } ^ { N } ( t ) = \frac { 1 } { 2 i } \beta _ { j } ^ { \frac { 1 } { 5 } } d _ { j } ^ { N } ( t ) - \Lambda \sum _ { k = 1 } ^ { N } L _ { j k } ^ { N } ( t ) d _ { k } ^ { N } ( t ) - ( \Lambda + i ) \mu \sum _ { k , l , m = 1 } ^ { N } G _ { j k l k m } d _ { k } ^ { N } \overline { { d _ { l } ^ { N } } } d _ { m } ^ { N } ( t )
\Big \| D ^ { \alpha } \big ( \nabla _ { \mathcal T _ { \theta } } \ell ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) \cdot \frac { \partial ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A ) } { \partial \theta _ { i } } \big ) \Big \| _ { L ^ { 1 } } \leq C \sum _ { | \alpha _ { 1 } | + | \alpha _ { 2 } | \atop = | \alpha | } \Big \| D ^ { \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \mathcal T _ { \theta } } \ell ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) \cdot D ^ { \alpha _ { 2 } } \frac { \partial ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A ) } { \partial \theta _ { i } } \Big \| _ { L ^ { 1 } } .
\langle ( \ensuremath { \mathbf { b } } _ { i } ^ { \nu } ( x , t ) - \ensuremath { \mathbf { b } } _ { i } ^ { \nu } ( y , t ) ) ( \ensuremath { \mathbf { b } } _ { j } ^ { \nu } ( x , s ) - \ensuremath { \mathbf { b } } _ { j } ^ { \nu } ( y , s ) ) \rangle = \delta ( t - s ) D _ { i j } ( x - y )
\begin{array} { r l r } { \frac { m _ { e } } { q _ { e } } \sum _ { i } \mu _ { e , i } ( \textbf { u } _ { e } - \textbf { v } _ { i } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { q _ { e } n _ { e } } \sum _ { i } m _ { i } n _ { i } \mu _ { i , e } ( \textbf { u } _ { e } - \textbf { v } _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } = - \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } = \bar { \mu } ^ { \mathrm { I } } = \frac { \sigma } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) - \sigma \varepsilon \Delta \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial g ( { \boldsymbol W } ^ { ( t ) } , { \boldsymbol U } ^ { ( t ) } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ^ { ( t ) } ( v ) } ) } { \partial { \boldsymbol w } _ { k } } \Big | _ { { \boldsymbol w } _ { k } = { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } } = } & { \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) } \\ { = } & { \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) + \mathcal { M } _ { z } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) . } \end{array}
\zeta ( 0 \mid D _ { 0 } D _ { 0 } ^ { \dagger } ) = 2 \frac { 1 } { \Gamma ( 0 ) } J ( 0 ) = 0 , \; \; \; \; \mathrm { s i n c e } \; \; \; \frac { 1 } { \Gamma ( 0 ) } = 0
\boldsymbol { w } ^ { i + 1 } = \boldsymbol { w } ^ { i } + \mathsf { K } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } ( \mathsf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } - \mathsf { H } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } [ \boldsymbol { w } ^ { i } ] )
\sigma _ { i j } ( S , m ^ { 2 } ) = { \frac { 4 m ^ { 2 } } { S } } \int _ { 0 } ^ { { \frac { S } { 4 m ^ { 2 } } } - 1 } d \eta \Phi _ { i j } \biggl [ { \frac { 4 m ^ { 2 } } { S } } ( 1 + \eta ) , \mu ^ { 2 } \biggr ] \sigma _ { i j } ( \eta , m ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } } & { { } = \partial _ { \tau } - v _ { \sigma } \partial _ { \sigma } - v _ { \bot } \cdot \nabla _ { \! \bot } + \sigma \nabla _ { \! \bot } v _ { \sigma } \cdot J ^ { - 1 } \cdot \nabla _ { \! \bot } . } \end{array}
\frac { x } { U _ { e } u _ { * } ^ { 2 } } U _ { e } \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial x } = - \frac { 2 \overline { { u v } } _ { o } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { d \overline { { u v } } _ { o 1 } } { d y _ { o } } y _ { o } ( - 1 + \frac { 1 } { { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } } ) - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { \overline { { u v } } _ { o 2 } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 1 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { d \overline { { u v } } _ { 0 2 } } { d y _ { o } } ( y _ { o } + \frac { y _ { o } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \gamma _ { B } ^ { 2 } ( y ) = } & { \frac { 1 } { 2 } ( C _ { 1 } - \sqrt { C _ { 1 } ^ { 2 } + 4 C _ { 2 } ^ { 2 } } ) + \frac { 2 } { \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } } I } \\ { = } & { \frac { 1 } { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } \left( ( 1 + 2 t ^ { 2 } ) x ^ { 2 } + t x ^ { 3 } - \sqrt { ( 1 + t x ) ^ { 2 } x ^ { 4 } + 4 x ^ { 3 } ( t ^ { 3 } x ^ { 2 } - t ) + 4 x ^ { 4 } ( t - t ^ { 2 } x ) ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \partial X _ { c l } ( z ) = a \omega ( z ) , } } & { { \partial \bar { X } _ { c l } ( z ) = \bar { a } \omega ^ { \prime } ( z ) , } } \\ { { \bar { \partial } X _ { c l } ( \bar { z } ) = b \bar { \omega } ^ { \prime } ( \bar { z } ) , } } & { { \bar { \partial } \bar { X } _ { c l } ( \bar { z } ) = \bar { b } \bar { \omega } ( \bar { z } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { s } ( z , t = 0 ) = A ( z ; n _ { 0 } , n _ { m } ) , } \\ { T _ { s } ( z , t = 0 ) = A ( z ; T _ { s 0 } , T _ { s m } ) , } \\ { u _ { \parallel s } ( z , t = 0 ) = c _ { s m } \, z / z _ { m } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { J } _ { \ell , k } ^ { \gamma , \nu } = \bigcup _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \left\{ \vec { T } _ { 2 } \times \vec { T } _ { 1 } : \vec { T } _ { 2 } \in \mathcal { J } _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { \gamma , \nu } \textnormal { a n d } \vec { T } _ { 1 } \in \mathcal { T } _ { \ell ^ { \prime } , k } \right\} . } \end{array}
= \frac { ( a + b + c ) ^ { 2 } \left( \sum _ { c y c } ( a ^ { 4 } + 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } ) \right) ^ { 3 } } { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \geq \frac { ( a + b + c ) ^ { 2 } \left( 3 \sqrt [ 3 ] { ( a ^ { 4 } + b ^ { 4 } + c ^ { 4 } ) ( a ^ { 2 } b ^ { 2 } + a ^ { 2 } c ^ { 2 } + b ^ { 2 } c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ^ { 3 } } =
\begin{array} { r l } { p _ { \ell , m } } & { = \mathfrak { R e a l } \langle b _ { m } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { \ell } + \sum _ { 1 \leq k \leq K , k \neq \ell } \beta _ { k } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { k } , b _ { 1 } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { \ell } \rangle , } \\ & { = \mathfrak { R e a l } \{ b _ { 1 } ^ { * } b _ { m } \} + \mathfrak { R e a l } \sum _ { 1 \leq k \leq K , k \neq \ell } b _ { 1 } ^ { * } \beta _ { k } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { \ell } ^ { * } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { k } , } \\ & { \leq \gamma + ( K - 1 ) \mu , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( y ) _ { \tau , h } } & { = \frac { 1 } { \tau } \left\langle \frac { K _ { h } ( y - Y _ { t } ) } { \langle K _ { h } ( y - Y _ { t ^ { \prime } } ) \rangle _ { t ^ { \prime } } } ( Y _ { t + \tau } - Y _ { t } ) \right\rangle _ { t } } \\ { D ( y ) _ { \tau , h } } & { = \frac { 1 } { 2 \tau } \left\langle \frac { K _ { h } ( y - Y _ { t } ) } { \langle K _ { h } ( y - Y _ { t ^ { \prime } } ) \rangle _ { t ^ { \prime } } } ( Y _ { t + \tau } - Y _ { t } ) ^ { 2 } \right\rangle _ { t } , } \end{array}
\varepsilon = \left( \varepsilon ^ { + } + \varepsilon ^ { - } \right) / 2 = 1 . 5 _ { - 0 . 4 } ^ { + 1 . 9 } \times 1 0 ^ { 9 } ~ \mathrm { J } ~ \mathrm { k g } ^ { - 1 } ~ \mathrm { s } ^ { - 1 }
{ \mathrm { f m a p } } \colon ( A \to B ) \to ( A ^ { * } \to B ^ { * } ) = f \mapsto l \mapsto { \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathrm { n i l } } } & { { \mathrm { i f } } \ l = { \mathrm { n i l } } } \\ { { \mathrm { c o n s } } \, ( f \, a ) ( { \mathrm { f m a p } } f \, l ^ { \prime } ) } & { { \mathrm { i f } } \ l = { \mathrm { c o n s } } \, a \, l ^ { \prime } } \end{array} \right. }
\langle r ^ { 2 } \rangle _ { M } ^ { \mathrm { s } } \; = \; - \frac { 6 } { \mu _ { \mathrm { s } } } \left. \frac { d G _ { M } ^ { \mathrm { s } } ( Q ^ { 2 } ) } { d Q ^ { 2 } } \right| _ { Q ^ { 2 } = 0 } ,
\mathcal { C } = \mathrm { v a r } ( r ) - \sum _ { q } \left( 2 r _ { q } \mathrm { T r } \left\{ M _ { q } \varrho _ { 1 } \right\} - r _ { q } ^ { 2 } \mathrm { T r } \left\{ M _ { q } \varrho _ { 0 } \right\} \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { ( 1 2 ) } , a _ { ( 1 3 ) } , a _ { ( 2 3 ) } \geq 0 \; \mathrm { ~ a n d ~ } \; a _ { ( 1 3 2 ) } = \overline { { a _ { ( 1 2 3 ) } } } , } \\ { a _ { ( 1 2 ) } + a _ { ( 1 3 ) } + a _ { ( 2 3 ) } + a _ { ( 1 2 3 ) } + a _ { ( 1 3 2 ) } \geq 0 , } \\ { ( a _ { ( 1 2 ) } + a _ { ( 1 3 ) } + a _ { ( 2 3 ) } + a _ { ( 1 2 3 ) } + a _ { ( 1 3 2 ) } ) a _ { ( 2 3 ) } \geq | a _ { ( 2 3 ) } + a _ { ( 1 2 3 ) } | ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { f _ { b } } \\ { e _ { b } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { - 1 \quad } & { 0 } \\ { 0 \quad } & { E ( \cdot ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { \delta \tilde { H } } { \delta \phi _ { \partial } } } \\ { \frac { \delta \tilde { H } } { \delta \Sigma } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \hbar \frac { \partial \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } { \partial t } } & { { } = } & { \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) + \int V ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , t ) \, d ^ { 3 } r ^ { \prime } \; \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } \\ { - i \hbar \frac { \partial \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } { \partial t } } & { { } = } & { \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) + \int V ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , t ) \, d ^ { 3 } r ^ { \prime } \; \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } \end{array}
E _ { c } { \frac { d N } { d ^ { 3 } p _ { c } } } = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { p _ { c } ^ { \mu } u _ { \mu } \gamma g _ { c } \sigma _ { c } \tau _ { B H } } { e ^ { p _ { c } ^ { \mu } u _ { \mu } / T _ { B H } } \pm 1 } } ,
\begin{array} { r l } { j _ { \| } } & { { } = - ( - ) ^ { p } \tilde { \lambda } \tilde { c } _ { \phi } \, { * _ { k } \tilde { \mu } _ { \perp } } - \sigma \big ( i k { \mu _ { \perp } } - i k A _ { t } ^ { \perp } - i \omega A _ { \| } \big ) } \\ { j _ { \perp } } & { { } = - \tilde { \lambda } \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { \mu } _ { \| } } + i \omega \sigma A _ { \perp } } \\ { \ell j _ { \ell } ^ { \| } } & { { } = \Gamma \big ( n _ { \| } - \chi A _ { t } ^ { \| } + i \omega \chi \Phi _ { \| } \big ) - \ell \sigma _ { \ell } \big ( i k \mu _ { \ell } ^ { \perp } - i k \ell \Phi _ { t } ^ { \perp } \big ) } \\ { \ell j _ { \ell } ^ { \perp } } & { { } = \Gamma \big ( n _ { \perp } - \chi A _ { t } ^ { \perp } + i \omega \chi \Phi _ { \perp } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \hat { \mathcal { G } } \Phi ( x _ { s } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \Phi ( x _ { s } ) ( x _ { l } ) \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \Phi ( x _ { l } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } k ( x _ { s } , x _ { l } ) k ( x _ { l } , x _ { r } ) = \frac { 1 } { m } \left[ \mathbf { K } _ { X } \mathbf { K } _ { X } \right] ( r , s ) , } \\ { \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \hat { \mathcal { A } ^ { t } } \Phi ( x _ { s } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \Phi ( x _ { s } ) ( x _ { l + 1 } ) \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \Phi ( x _ { l } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } k ( x _ { s } , x _ { l + 1 } ) k ( x _ { l } , x _ { r } ) = \frac { 1 } { m } \left[ \mathbf { K } _ { X } \mathbf { K } _ { Y } \right] ( r , s ) , } \\ { \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \hat { \mathcal { A } ^ { L } } \Phi ( x _ { s } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } ( \mathcal { L } \Phi ( x _ { s } ) ) ( x _ { l } ) \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \Phi ( x _ { l } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \left[ \nabla F ( x _ { l } ) \cdot \nabla \Phi ( x _ { s } ) ( x _ { l } ) + \frac { 1 } { 2 } a ( x _ { l } ) : \nabla ^ { 2 } \Phi ( x _ { s } ) ( x _ { l } ) \right] k ( x _ { l } , x _ { r } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \left[ \nabla F ( x _ { l } ) \cdot \left\langle \nabla _ { 1 } k ( x _ { l } , \cdot ) , \, \Phi ( x _ { s } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } + \frac { 1 } { 2 } a ( x _ { l } ) : \left\langle \nabla _ { 1 } ^ { 2 } k ( x _ { l } , \cdot ) , \, \Phi ( x _ { s } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } \right] } \\ & { \quad k ( x _ { l } , x _ { r } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \left[ \nabla F ( x _ { l } ) \cdot \nabla _ { 1 } k ( x _ { l } , x _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 } a ( x _ { l } ) : \nabla _ { 1 } ^ { 2 } k ( x _ { l } , x _ { s } ) \right] k ( x _ { l } , x _ { r } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m } \left[ \mathbf { K } _ { X } \mathbf { K } _ { X } ^ { L } \right] ( r , s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { f } ( w ^ { - 1 } y ^ { \varepsilon } w ) } & { = } & { \tilde { f } ( w ^ { - 1 } ) \tilde { \tau } ( y ^ { \varepsilon } w ) + \tilde { \sigma } ( w ^ { - 1 } ) \tilde { f } ( y ^ { \varepsilon } w ) } \\ & { = } & { \tilde { f } ( w ^ { - 1 } ) \tilde { \tau } ( y ^ { \varepsilon } w ) + \tilde { \sigma } ( w ^ { - 1 } ) ( \tilde { f } ( y ^ { \varepsilon } ) \tilde { \tau } ( w ) + \tilde { \sigma } ( y ^ { \varepsilon } ) \tilde { f } ( w ) ) } \\ & { = } & { \tilde { f } ( w ^ { - 1 } ) \tilde { \tau } ( y ^ { \varepsilon } w ) + \tilde { \sigma } ( w ^ { - 1 } ) \tilde { f } ( y ^ { \varepsilon } ) \tilde { \tau } ( w ) + \tilde { \sigma } ( w ^ { - 1 } ) \tilde { \sigma } ( y ^ { \varepsilon } ) \tilde { f } ( w ) } \\ & { = } & { \tilde { f } ( w ^ { - 1 } ) \tilde { \tau } ( w ) + \tilde { \sigma } ( w ^ { - 1 } ) \tilde { f } ( w ) } \\ & { = } & { \tilde { f } ( w ^ { - 1 } w ) = \tilde { f } ( 1 ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { \pm } } & { = } & { \left\langle \Phi _ { s } ^ { * } \left( \frac { \Lambda _ { s } ^ { s } } { 2 \omega _ { \pm } } \right) ^ { 2 } \beta _ { s } ^ { \pm } \left\{ \delta \phi _ { 0 } ^ { * } \atop \delta \phi _ { 0 } \right\} \frac { \beta _ { \pm } } { ( \tau b \epsilon _ { A } ) _ { \pm } } \left\{ \delta \phi _ { 0 } \atop \delta \phi _ { 0 } ^ { * } \right\} \Phi _ { s } \right\rangle _ { s } . } \\ & { } & \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ \sigma _ { \mathrm { n } } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { x } + \sigma _ { y } ) \right] ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } & { = \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { x } - \sigma _ { y } ) \right] ^ { 2 } + \tau _ { x y } ^ { 2 } } \\ { ( \sigma _ { \mathrm { n } } - \sigma _ { \mathrm { a v g } } ) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } & { = R ^ { 2 } } \end{array} }
\times \exp \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { M } \tilde { V } ( w _ { i } - z _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } ^ { M } \tilde { V } ( w _ { i } - w _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } ^ { M } \tilde { V } ( z _ { i } - z _ { j } ) \right)
\begin{array} { r l } { \frac { D \frac { P _ { \perp } } { \rho B } } { D t } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { D \frac { P _ { \| } B ^ { 2 } } { \rho ^ { 3 } } } { D t } } & { { } = 0 , } \end{array}
S _ { 0 } \left[ A _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { p } } ^ { ( n ) } , \pi _ { ( n ) } ^ { i _ { 1 } . . . i _ { p } } , \lambda _ { i _ { 1 } . . . i _ { p } } ^ { ( n ) } \right] = S _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + S ^ { ( \lambda ) }