harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sqrt { ( \log ( \sqrt { 2 \pi } \, y ) ) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } + O ( e ^ { - \frac { \pi ^ { 2 } \eta ^ { \prime } } { 8 x ^ { 2 } } } ) } } & { = \sqrt { ( \log ( \sqrt { 2 \pi } \, y ) ) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } \sqrt { 1 + \frac { O ( y ^ { \eta ^ { \prime } + o ( 1 ) } ) } { ( \log ( \sqrt { 2 \pi } \, y ) ) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } } } \\ & { = ( 1 + O ( y ^ { \eta ^ { \prime } + o ( 1 ) } ( \log y ) ^ { - 2 } ) ) \sqrt { ( \log ( \sqrt { 2 \pi } \, y ) ) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } } \\ & { = \sqrt { ( \log ( \sqrt { 2 \pi } \, y ) ) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } + O ( y ^ { \eta ^ { \prime } + o ( 1 ) } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { u _ { r } = \frac { \dot { R } _ { 0 } R _ { 0 } ^ { 2 } \cos \theta } { r ^ { 2 } } } \\ { u _ { \theta } = \frac { \dot { R } _ { 0 } R _ { 0 } ^ { 2 } \sin \theta } { r ^ { 2 } } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { \left\| \int _ { 0 } ^ { u } ( I - \bar { v } _ { s } \bar { v } _ { s } ^ { t } ) \nabla ^ { 2 } U ( \bar { x } ) \bar { v } _ { s } \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { u } ( I - \bar { v } _ { s } \bar { v } _ { s } ^ { t } ) H \bar { v } _ { s } \mathrm { d } s \right\| } \\ & { \quad \leqslant \left\| \int _ { 0 } ^ { u } ( I - \bar { v } _ { s } \bar { v } _ { s } ^ { t } ) \nabla ^ { 2 } U ( \bar { x } ) \bar { v } _ { s } \mathrm { d } s - \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { p } ( I - \bar { v } _ { k \gamma } \bar { v } _ { k \gamma } ^ { t } ) \nabla ^ { 2 } U ( x _ { i } ) \bar { v } _ { k \gamma } \alpha _ { i } \gamma \right\| } \\ & { \quad + \left\| \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { p } ( I - \bar { v } _ { k \gamma } \bar { v } _ { k \gamma } ^ { t } ) \nabla ^ { 2 } U ( x _ { i } ) \bar { v } _ { k \gamma } \alpha _ { i } \gamma - \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { p } ( I - \bar { v } _ { k \gamma } \bar { v } _ { k \gamma } ^ { t } ) H \bar { v } _ { k \gamma } \gamma \right\| } \\ & { \quad + \left\| \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { p } ( I - \bar { v } _ { k \gamma } \bar { v } _ { k \gamma } ^ { t } ) H \bar { v } _ { k \gamma } \gamma - \int _ { 0 } ^ { u } ( I - \bar { v } _ { s } \bar { v } _ { s } ^ { t } ) H \bar { v } _ { s } \mathrm { d } s \right\| . } \end{array}
\begin{array} { r } { d L ( \tau ) = \left( f ( L ) + D \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D } d L ^ { \prime \prime } } \right) \right) d \tau + \sqrt { D } \ d W _ { \tau } \ . } \end{array}
\tau _ { \mathrm { m i n } } \simeq \frac { 1 . 2 + 2 \, \bar { n } _ { \mathrm { i n i } } } { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } + \frac { 1 . 9 } { \eta ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { o s c } } } .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { h } ^ { + } ( B _ { L } ^ { + } \tilde { b } _ { \epsilon } Q _ { 1 } \tilde { b } _ { \epsilon } ^ { - * } ) } & { = \chi ( \xi ) e ^ { - \xi \zeta _ { \omega } ( x ) } q _ { 1 } ( \tilde { b } _ { \epsilon } ( x ) , \xi ) } \\ & { = \chi ( \xi ) e ^ { - \xi \zeta _ { \omega } ( x ) + \xi \kappa _ { 0 } + g ( \tilde { b } _ { \epsilon } ( x ) , \xi ) } g _ { 1 } ( \tilde { b } _ { \epsilon } ( x ) , \xi ) } \\ & { = e ^ { g ( x , \xi ) } g _ { 1 } ( \tilde { b } _ { \epsilon } ( x ) , \xi ) + ( 1 - \chi ( \xi ) ) e ^ { - \xi \zeta _ { \omega } ( x ) } q _ { 1 } ( \tilde { b } _ { \epsilon } ( x ) , \xi ) . } \end{array}
( \infty , 0 ) \mathrm { - } \mathbf { C a t } \overset { \pi _ { 0 } } { \leftarrow } ( \infty , 1 ) \mathrm { - } \mathbf { C a t } \overset { \pi _ { 1 } } { \leftarrow } ( \infty , 2 ) \mathrm { - } \mathbf { C a t } \overset { \pi _ { 2 } } { \leftarrow } \dots \overset { \pi _ { n - 1 } } { \leftarrow } ( \infty , n ) \mathrm { - } \mathbf { C a t } \overset { \pi _ { n } } { \leftarrow } \dots
\beta ( g ) \left( \frac { \partial d _ { n } ^ { \prime } } { \partial g } + d _ { n } ^ { \prime } \ln ( k ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } ) \frac { \partial \delta _ { n } } { \partial g } \right) - 2 d _ { n } ^ { \prime } \big ( \delta _ { n } + \gamma _ { G } ( g ) \big ) = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { U ( Z \otimes I ) U ^ { \dag } = } & { \sum _ { i , j } \chi ( i ) U \big ( | i \rangle \langle i | \otimes | j \rangle \langle j | \big ) U ^ { \dag } } \\ { = } & { \sum _ { i , j } \chi ( i ) | N g _ { 1 1 } i - N g _ { 1 0 } j \rangle \langle N g _ { 1 1 } i - N g _ { 1 0 } j | \otimes | - N g _ { 0 1 } i + N g _ { 0 0 } j \rangle \langle - N g _ { 0 1 } i + N g _ { 0 0 } j | } \\ { = } & { \sum _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } \chi ( g _ { 0 0 } i ^ { \prime } + g _ { 1 0 } j ^ { \prime } ) | i ^ { \prime } \rangle \langle i ^ { \prime } | \otimes | j ^ { \prime } \rangle \langle j ^ { \prime } | } \\ { = } & { Z ^ { g _ { 0 0 } } \otimes Z ^ { g _ { 1 0 } } \; . } \end{array}
\frac { \partial \vec { A } _ { L } } { \partial t } + \vec { F } ^ { T } \cdot \frac { \partial \vec { F } ^ { - T } } { \partial t } \cdot \vec { A } _ { L } + \vec { A } _ { L } \cdot \frac { \partial \vec { F } ^ { - 1 } } { \partial t } \cdot \vec { F } = - \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } } ( \vec { A } _ { L } - \vec { I } ) .
\mathbb { K } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { k _ { \mathrm { e x } } } & { 0 } & { k _ { \xi _ { 1 } \rightarrow \xi _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { k _ { d } } & { 0 } & { k _ { \mathrm { F R E T } } ^ { ( 1 ) } } & { 0 } & { k _ { \xi _ { 1 } \rightarrow \xi _ { 2 } } } & { 0 } \\ { k _ { a } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { k _ { \xi _ { 1 } \rightarrow \xi _ { 2 } } } \\ { k _ { \xi _ { 2 } \rightarrow \xi _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { k _ { \mathrm { e x } } } & { 0 } \\ { 0 } & { k _ { \xi _ { 2 } \rightarrow \xi _ { 1 } } } & { 0 } & { k _ { d } } & { 0 } & { k _ { \mathrm { F R E T } } ^ { ( 2 ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { k _ { \xi _ { 2 } \rightarrow \xi _ { 1 } } } & { k _ { a } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { Z } _ { \mathbf { a } } \mathcal { U } \rangle _ { 0 } } & { = n _ { \mathbf { a } } C \left[ J _ { \mathbf { a } } \cos \Phi + \left( 1 - K _ { \mathbf { a } } \right) \sin \Phi \right] } \\ { J _ { \mathbf { a } } } & { = \cos ( \theta _ { \mathrm { i n } } ) T \sum _ { \mathbf { b } \neq \mathbf { a } } n _ { \mathbf { b } } \Re \left( V _ { \mathbf { b a } } \right) + \mathcal { O } ( \Gamma \gamma T ^ { 2 } ) } \\ { K _ { \mathbf { a } } } & { = \frac { \Gamma T } { 2 } + \mathcal { O } ( \Gamma \gamma T ^ { 2 } ) } \end{array}
{ \cal M } = \bar { u } _ { L } ( p _ { 1 } ) [ { \cal M } _ { Z ^ { * } } ^ { \alpha \beta } + { \cal M } _ { \nu ^ { * } } ^ { \alpha \beta } + { \cal M } _ { B o x 4 } ^ { \alpha \beta } + { \cal M } _ { B o x 5 } ^ { \alpha \beta } ] v _ { R } ( p _ { 2 } ) { \epsilon } _ { \alpha } ( k _ { 2 } , { \lambda } _ { 2 } ) { \epsilon } _ { \beta } ^ { * } ( k _ { 1 } , { \lambda } _ { 1 } ) , \protect \,
\begin{array} { r l r } { m _ { \alpha } \boldsymbol { \xi } + m _ { \beta } \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } & { = } & { m _ { \alpha } \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } + m _ { \beta } \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } } \\ { m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ^ { 2 } + m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } + I _ { i } ^ { \alpha } + I _ { j } ^ { \beta } } & { = } & { m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } + m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } + I _ { k } ^ { \alpha } + I _ { l } ^ { \beta } \mathrm { . } } \end{array}
\mathrm { I m } { \cal A } ^ { 7 } ( \pm , + , - ) = \alpha _ { k } ^ { 2 } ( 1 + \alpha _ { k } ) { \cal N } \times \int \frac { d ^ { 2 } \vec { l } _ { T } } { ( l _ { T } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } f ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ; l _ { T } ^ { 2 } ) ( \frac { 1 } { 2 } \frac { \vec { e } ^ { ( \pm ) } \cdot \vec { k } _ { T } } { k _ { T } ^ { 2 } } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { k } \rangle } & { = \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { k } ( \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) ) \rangle - \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { k } \rangle \langle \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle } \\ { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { r } \rangle } & { = \frac { 1 } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle + \frac { i } { \hbar } \langle ( \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) ) \mathbf { r } \rangle - \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { r } \rangle \langle \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle } \end{array}
Q _ { 0 } = - \sum _ { \kappa = - \infty } ^ { \infty } \vert \kappa \vert \left\{ N _ { \kappa } ^ { + } - N _ { \kappa } ^ { -- } n _ { l } ^ { + } + n _ { \overline { { l } } } ^ { - } + \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r \; \varphi \left( r \right) \right\} \, ,
A ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } a _ { k } z ^ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } a _ { k } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } t ^ { k } d t \right) { \frac { z ^ { k } } { k ! } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } a _ { k } { \frac { ( t z ) ^ { k } } { k ! } } d t ,
\begin{array} { r l l } { \bar { k } _ { \rightleftarrows } ( \xi ) } & { = } & { \displaystyle 2 \nu \int _ { \xi } ^ { \zeta _ { \operatorname* { m a x } } } d \zeta \sqrt { 2 [ \cosh ( r _ { m } ( \zeta ) ) - 1 ] e ^ { \xi - \zeta } - ( e ^ { \xi - \zeta } - 1 ) ^ { 2 } } + \medskip } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { \lambda } { R ^ { 2 } } } \left( d t - 2 N u d \varphi \right) ^ { 2 } - { \displaystyle \frac { R ^ { 2 } } { \lambda } } d r ^ { 2 } - { \displaystyle \frac { R ^ { 2 } } { S ( u ) } } d u ^ { 2 } - R ^ { 2 } \, S ( u ) d \varphi ^ { 2 } \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { A _ { t } } } & { { = } } & { { \left( Q r - N P \right) / R ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { A _ { \varphi } } } & { { = } } & { { - u \left[ P \left( r ^ { 2 } - N ^ { 2 } \right) + 2 N r Q \right] / R ^ { 2 } \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { S ( u ) } } & { { = } } & { { \aleph ( 1 - u ^ { 2 } ) + 1 - \aleph ^ { 2 } \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \theta ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } ) = \mathrm { R e } \Big \{ \tilde { \theta } ^ { ( 1 + \alpha ) } \exp [ i ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } _ { w } - \omega t _ { w } ) ] \Big \} + { O } \! \left( { \varepsilon } \right) \, , } \end{array}
\langle \overline { { { q } } } q \rangle _ { T } = \langle \overline { { { q } } } q \rangle _ { 0 } \left( 1 - \frac { T ^ { 2 } } { 8 F _ { \pi } ^ { 2 } } - \frac { T ^ { 4 } } { 3 8 4 F _ { \pi } ^ { 4 } } + . . . \right) .
\begin{array} { r l } { \overline { Q } _ { s } } & { { } = \frac { \gamma ( a + b ) } { \gamma + \eta _ { Q } } , } \\ { \overline { R } _ { s } } & { { } = \frac { b ( \gamma + \eta _ { Q } ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } ( a + b ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\Gamma _ { U L } ^ { \tilde { t } _ { 1 } \tilde { t } } = \Gamma _ { U R } ^ { \tilde { t } _ { 2 } \tilde { t } } = \cos \theta _ { \tilde { t } } , \qquad \Gamma _ { U L } ^ { \tilde { t } _ { 2 } \tilde { t } } = - \Gamma _ { U R } ^ { \tilde { t } _ { 1 } \tilde { t } } = \sin \theta _ { \tilde { t } } .
\frac { \varepsilon ^ { ' } } { \varepsilon } = \mathrm { I m } \, \lambda _ { t } \, \big ( P _ { 0 } - P _ { 2 } ) , \quad P _ { I } = \frac { \omega } { \sqrt { 2 } \varepsilon | V _ { u d } | | V _ { u s } | } \, \frac { a _ { I } ^ { ( y ) } } { a _ { I } ^ { ( z ) } } \, ,
\begin{array} { r l } & { { d _ { 1 } } = \frac { { F \left\{ { \alpha \left( { { q ^ { 4 } } + 1 } \right) + k _ { 2 1 } ^ { 2 } { \eta _ { 1 } } - k _ { 1 1 } ^ { 2 } { \eta _ { 2 } } - { q ^ { 2 } } \left[ { { \eta _ { 1 } } - { \eta _ { 2 } } + \alpha \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } + 4 { \kappa ^ { 2 } } } \right) } \right] } \right\} } } { { 2 { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) } } , } \\ & { { d _ { 2 } } = \frac { { F \kappa \left\{ { \alpha { k ^ { 4 } } \left( { 3 k _ { 1 1 } ^ { 2 } - 3 k _ { 2 1 } ^ { 2 } - \alpha } \right) - \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } + \alpha } \right) \left[ { \left( { \alpha + k _ { 2 1 } ^ { 2 } { \eta _ { 1 } } } \right) - k _ { 1 1 } ^ { 2 } { \eta _ { 2 } } } \right] } \right\} } } { { \alpha { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) } } } \\ & { + \frac { { F \kappa \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } + \alpha } \right) \left\{ { 2 \alpha { \kappa ^ { 4 } } - { k ^ { 2 } } \left[ { { \eta _ { 1 } } - { \eta _ { 2 } } + \alpha \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) } \right] } \right\} } } { { \alpha { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) } } , } \\ & { d _ { 3 } = - \frac { { \left( { k _ { 2 1 } ^ { 2 } - k _ { 1 1 } ^ { 2 } + \alpha } \right) } } { { 2 \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) } } } \\ & { + \frac { { F \left\{ { k _ { 2 1 } ^ { 2 } { \eta _ { 1 } } \left( { { q ^ { 2 } } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) - k _ { 1 1 } ^ { 2 } { \eta _ { 2 } } \left( { { q ^ { 2 } } - k _ { 1 1 } ^ { 2 } } \right) - { q ^ { 2 } } \alpha \left[ { 1 - \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } - { q ^ { 2 } } } \right) \left( { { q ^ { 2 } } + 4 { \kappa ^ { 2 } } } \right) } \right] } \right\} } } { { 2 { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) } } , } \\ & { { d _ { 4 } } = \frac { { 2 \kappa \left[ { \left( { k _ { 2 1 } ^ { 2 } + \alpha } \right) - k _ { 1 1 } ^ { 2 } } \right] { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } - F \kappa \left[ { k _ { 1 1 } ^ { 4 } + \alpha { q ^ { 4 } } \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } - 1 2 { \kappa ^ { 2 } } } \right) } \right] } } { { { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) } } , } \\ & { + \frac { { F \kappa \left\{ { k _ { 2 1 } ^ { 4 } { \eta _ { 1 } } + 3 \alpha q - { q ^ { 2 } } \left[ { \alpha + 3 \left( { k _ { 2 1 } ^ { 2 } { \eta _ { 1 } } - k _ { 1 1 } ^ { 2 } { \eta _ { 2 } } } \right) + 4 \alpha { \kappa ^ { 2 } } \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) } \right] } \right\} } } { { { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) } } . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { S } } = E _ { \mathrm { g } } | \mathrm { g } \rangle \langle { \mathrm { g } } | + \sum _ { n = 1 } ^ { \mathrm { N } } E _ { n } | n \rangle \langle { n } | + { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } \sum _ { m \neq n } ^ { N } V _ { n m } | n \rangle \langle { m } |
\begin{array} { r l r } { k _ { d e g r a d a t i o n \, m R N A } } & { { } = } & { \gamma _ { m } } \\ { k _ { d e g r a d a t i o n \, p r o t e i n } } & { { } = } & { \gamma _ { p } } \\ { k _ { c r e a t i o n \, m R N A } } & { { } = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { p r o t e i n _ { t r a n s c r i p t i o n \; z o n e } } { p r o t e i n _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } } \\ { k _ { c r e a t i o n \, p r o t e i n } } & { { } = } & { \omega _ { p } \quad { m R N A } _ { t r a n s l a t i o n \, z o n e } \, } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } \psi } { d s ^ { 2 } } } + \langle k _ { R } \rangle _ { \mu } \, \psi + \langle \delta ^ { 2 } k _ { R } \rangle _ { \mu } ^ { 1 / 2 } \, \eta ( s ) \, \psi = 0 ~ ,
\begin{array} { r l } { \tilde { L } ( p ) } & { = \langle p ( \underline { X } ) \xi , \xi \rangle = \langle p ( \pi ( j _ { k } ( \underline { X } ^ { k } ) ) ) \xi , \xi \rangle = \langle \pi ( p ( j _ { k } ( \underline { X } ^ { k } ) ) ) \xi , \xi \rangle } \\ & { = \lambda ( p ( j _ { k } ( \underline { X } ^ { k } ) ) ) = \lambda ( j _ { k } ( p ( \underline { X } ^ { k } ) ) ) = \lambda _ { k } ( p ( \underline { X } ^ { k } ) ) = L ^ { k } ( p ) = L ( p ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } _ { \alpha } = } & { { } ~ \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } , } \\ { \breve { e } _ { \alpha } = } & { { } ~ e _ { \alpha } - \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } ( \epsilon _ { \alpha } - \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 ) . } \end{array}
{ \cal Z } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = \kappa ^ { - 1 1 } \; \int \; d A d \bar { A } \; d ^ { 8 } A _ { 3 } ^ { i } \; A ^ { - 4 } \; e ^ { - V ( | A _ { 3 } | ) } ( J _ { 3 } ) ^ { 8 } ,
+ { \frac { { \frac { ( p ^ { 2 } \alpha + q a ^ { 2 } ) } { 4 } } \partial ^ { 2 } + q \alpha ( \alpha + q ) } { ( { \frac { p + a } { 2 } } ) ^ { 2 } \partial ^ { 2 } + ( q + \alpha ) ^ { 2 } } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } B _ { \nu \lambda } - { \frac { 1 } { 2 g } } B ^ { \mu } .
\begin{array} { r l r } { \delta ( f ) ( x ) } & { = } & { \sum _ { i } \delta \Big ( ( x ^ { i } - p ^ { i } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial f } { \partial x ^ { i } } ( x t + ( 1 - t ) p ) d t \Big ) } \\ & { = } & { \sum _ { i } Y ^ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial f } { \partial x ^ { i } } ( \gamma ( t ) ) d t + \sum _ { i } ( x ^ { i } - p ^ { i } ) \delta \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial f } { \partial x ^ { i } } ( \gamma ( t ) ) d t \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { T ( E _ { e } ) ~ = ~ \int _ { E _ { e } - { \frac { m _ { e } } { 2 } } } d E _ { \nu } \cdot \Phi ( E _ { \nu } ) \cdot ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \displaystyle \left[ P ( E _ { \nu } ) { \frac { d \sigma _ { \nu _ { e } } } { d E _ { e } } } ( E _ { e } , ~ E _ { \nu } ) ~ + ( 1 - P ( E _ { \nu } ) ) { \frac { d \sigma _ { \nu _ { \mu } } } { d E _ { e } } } ( E _ { e } , ~ E _ { \nu } ) \right] } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \left\| v _ { j } \right\| _ { \Omega } } & { \geq \left\| v _ { i } \right\| _ { \Omega } = k \left( 1 + \frac { s r } { i + r } \right) , } & & { \forall j \leq i , } \\ { \left\| v _ { j } \right\| _ { \Omega } } & { \geq \left\| v _ { i + 1 } \right\| _ { \Omega } = k \left( 1 + \frac { t ( 1 - r ) } { k - ( i + r ) } \right) , } & & { \forall j \geq i + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { K _ { i j } ^ { ( * \mathrm { ~ o r ~ } * * ) } \left( \boldsymbol { x } _ { i } ^ { ( * ) } , \boldsymbol { x } _ { j } ^ { ( * ) } \right) = } \\ & { } & { \sigma _ { f } ^ { 2 } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \boldsymbol { x } _ { i } ^ { ( * ) } - \boldsymbol { x } _ { j } ^ { ( * ) } \right) ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { \ell _ { R } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \ell _ { Z } ^ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { x } _ { i } ^ { ( * ) } - \boldsymbol { x } _ { j } ^ { ( * ) } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | 1 + z | ^ { 2 } } & { = 1 + 2 \mathrm { R e } ( z ) + \mathrm { R e } ( z ) ^ { 2 } + \mathrm { I m } ( z ) ^ { 2 } } \\ & { \geq 1 + 2 \mathrm { R e } ( z ) + \mathrm { I m } ( z ) ^ { 2 } } \\ & { = 1 + 2 k t ( \mathrm { R e } ( x ) + \frac { k t \mu } { 4 } ) + k ^ { 2 } t ^ { 2 } ( \mathrm { I m } ( x ) - \frac { k \tau } { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { = 1 + 2 k t \mathrm { R e } ( x ) + k ^ { 2 } t ^ { 2 } \left( \frac { \mu } { 2 } + ( \mathrm { I m } ( x ) - \frac { k \tau } { 2 } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = 1 + 2 k t \mathrm { R e } ( x ) + k ^ { 2 } t ^ { 2 } c _ { k } , } \end{array}
| \Psi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { 1 } } } ( \alpha _ { L } \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } + \alpha _ { R } \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } ) ^ { N _ { 1 } } | 0 , 0 \rangle \otimes \frac { 1 } { \sqrt { N _ { 2 } } } ( \beta _ { L } \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } + \beta _ { R } \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } ) ^ { N _ { 2 } } | 0 , 0 \rangle
\begin{array} { r l } & { C \left\lbrace \psi _ { N } ^ { 2 } \left[ \frac { \log ( N ) ^ { 3 } } { \sqrt { T } } + \frac { \log ( N ) ^ { 5 / 2 } \log ( T ) ^ { 3 } } { \sqrt { T } } + \sqrt { \phi _ { N , T } } \log ( N ) ^ { 3 / 2 } \log ( T ) + \phi _ { N , T } \sqrt { T } \log ( N ) ^ { 3 / 2 } \log ( T ) \right. \right. } \\ & { \qquad + \left. \psi _ { N } ^ { 2 } \xi _ { N , T } \log ( N ) \log ( T ) + \sqrt { K } \left( \sqrt { \phi _ { N , T } } + \frac { \log ( N ) ^ { 3 / 2 } \log ( T ) } { \sqrt { T } } \right) \bigg ] + \frac { 1 } { \log ( N ) } \right\rbrace } \\ & { = C \left\lbrace \psi _ { N } ^ { 2 } \left[ \frac { \ell _ { N } ^ { 3 } } { \sqrt { T } } + \frac { \ell _ { N } ^ { 5 / 2 } \ell _ { T } ^ { 3 } } { \sqrt { T } } + \sqrt { \phi _ { N , T } } \ell _ { N } ^ { 3 / 2 } \ell _ { T } + \phi _ { N , T } \sqrt { T } \ell _ { N } ^ { 3 / 2 } \ell _ { T } \right. \right. } \\ & { \qquad \left. \left. + \psi _ { N } ^ { 2 } \xi _ { N , T } \ell _ { N } \ell _ { T } + \sqrt { K } \left( \sqrt { \phi _ { N , T } } + \frac { \ell _ { N } ^ { 3 / 2 } \ell _ { T } } { \sqrt { T } } \right) \right] + \frac { 1 } { \ell _ { N } } \right\rbrace , } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { i } { 4 M _ { 0 } } b _ { 6 } ^ { D } \langle \bar { B } [ S ^ { \mu } , S ^ { \nu } ] \{ f _ { \mu \nu } ^ { + } , B \} \rangle - \frac { i } { 4 M _ { 0 } } b _ { 6 } ^ { F } \langle \bar { B } [ S ^ { \mu } , S ^ { \nu } ] [ f _ { \mu \nu } ^ { + } , B ] \rangle
q ^ { * } = q - \tau \left( \frac { \partial q } { \partial t } + \nabla \cdot ( u q ) + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { h } ^ { \perp } \left( ( \nabla _ { h } v ) ^ { T } u - ( \nabla _ { h } u ) ^ { T } v \right) \right) ,
\begin{array} { r l r } { \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } } & { \leq } & { \Vert \mathrm { p r o x } _ { \gamma g } ( x ^ { t } - \gamma \nabla f ( x ^ { t } ) ) - \mathrm { p r o x } _ { \gamma g } ( x ^ { * } - \gamma \nabla f ( x ^ { * } ) ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \Vert ( x ^ { t } - x ^ { * } ) - \gamma ( \nabla f ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { = } & { \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \Vert \nabla f ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) \Vert ^ { 2 } - 2 \gamma \langle \nabla f ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) , x ^ { t } - x ^ { * } \rangle . } \end{array}
1 . 2 1 6 0 0 6 7 2 x + 0 . 1 0 3 1 7 0 9 3 \sin ( 2 x ) - 0 . 0 0 2 2 0 4 4 5 \sin ( 4 x ) + 0 . 0 0 0 1 2 5 8 4 \sin ( 6 x ) - 0 . 0 0 0 0 1 0 1 1 \sin ( 8 x ) + \cdots
\alpha = 0 : \quad \, \, \, J _ { 1 } \pm i J _ { 2 } = e ^ { \pm i x / 2 } \left[ \left( p ^ { 2 } - \frac 1 4 \right) ^ { \frac 1 2 } \pm \gamma \right] e ^ { \pm i x / 2 } , \quad J _ { 0 } = p
\jmath ( z , t ) = \sum _ { l \in \mathbb { Z } } \boldsymbol { \jmath } _ { l } ^ { F } ( z , t ) = \sum _ { l \in \mathbb { Z } } \frac { a \omega _ { 0 } } { 2 i } w ( z ) T _ { l } ( \frac { z } { a } ) [ e ^ { i ( l - 1 ) \omega _ { 0 } t } - e ^ { i ( l + 1 ) \omega _ { 0 } t } ] .
| \mathcal { T } _ { \phi } | _ { \hat { G } , ( \frac { \rho _ { 1 } } { 4 } , 0 ) , \infty } \leq \frac { 2 ^ { 2 \tau + 1 5 } L ^ { 2 } M } { \nu ^ { 2 } l ^ { 2 } \hat { \rho } ^ { 2 \tau + 1 } } \frac { \varepsilon } { \gamma ^ { 2 } } , \quad | \mathcal { T } _ { I } | _ { \hat { G } , ( \frac { \rho _ { 1 } } { 4 } , 0 ) } \leq \frac { 2 ^ { \tau + 1 6 } L ^ { 3 } M } { \nu l ^ { 3 } \mu \hat { \rho } ^ { \tau + 1 } } \frac { \varepsilon } { \gamma }
A ( B _ { d } ^ { 0 } \to \phi K ^ { 0 } ) = \frac { G _ { \mathrm { F } } } { \sqrt { 2 } } \tilde { \lambda } ^ { 2 } A \left[ { \cal A } _ { c } ^ { ( 0 ) } + { \cal A } _ { c } ^ { ( 1 ) } \right] \left[ 1 + \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 - \lambda ^ { 2 } } \right) R _ { b } \left\{ \frac { { \cal A } _ { u } ^ { ( 0 ) } + { \cal A } _ { u } ^ { ( 1 ) } } { { \cal A } _ { c } ^ { ( 0 ) } + { \cal A } _ { c } ^ { ( 1 ) } } \right\} e ^ { i \gamma } \right] ,