harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
T _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( - { \displaystyle { \frac { \pi S } { 2 \Gamma ( \alpha ) \cos ( \frac { \pi \alpha } { 2 } ) } } } \right) ^ { \frac 1 \alpha } \left( { \displaystyle { \frac { \pi ( \alpha - 1 ) \mathcal E ( \alpha , J _ { z } ) } { \Gamma ( \frac { \alpha } { \alpha - 1 } ) \zeta ( \frac { \alpha } { \alpha - 1 } ) } } } \right) ^ { \frac { \alpha - 1 } { \alpha } } ~ , } & { d = 1 ~ , } \\ { \left( - { \displaystyle { \frac { 2 ^ { 1 - \alpha } \pi ^ { 2 } S } { \Gamma ( \frac \alpha 2 ) ^ { 2 } \sin ( \frac { \pi \alpha } { 2 } ) } } } \right) ^ { \frac 2 \alpha } \left( { \displaystyle { \frac { 2 \pi ( \alpha - 2 ) \mathcal E ( \alpha , J _ { z } ) } { \Gamma ( \frac { \alpha } { \alpha - 2 } ) \zeta ( \frac { \alpha } { \alpha - 2 } ) } } } \right) ^ { \frac { \alpha - 2 } { \alpha } } ~ , } & { d = 2 ~ , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { [ c ] F _ { 1 } } & { = \sqrt { 2 } \cos ( y ) } \\ { F _ { 2 } } & { = 2 \cos ( n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 3 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 4 } } & { = \sqrt { 2 } \cos ( 2 y ) } \\ { F _ { 5 } } & { = 2 \cos ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 6 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 7 } } & { = 2 \cos ( 2 n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 8 } } & { = 2 \sin ( 2 n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 9 } } & { = 2 \cos ( 2 n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 1 0 } } & { = 2 \sin ( 2 n x ) \sin ( 2 y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T = { } } & { { } { \frac { 1 } { 2 I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \beta } } \left( ( p _ { \alpha } - p _ { \gamma } \cos \beta ) \cos \gamma - p _ { \beta } \sin \beta \sin \gamma \right) ^ { 2 } + { } } \end{array}
{ \cal M } _ { n } ( \xi ) = \left( 4 m ^ { 2 } \right) ^ { n } \int _ { s _ { m i n } } ^ { \infty } \! d s \, \frac { R ( s ) } { ( s + 4 m ^ { 2 } \xi ) ^ { n + 1 } } = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d v \, \frac { v ( 1 - v ^ { 2 } ) ^ { n - 1 } R ( v ) } { ( 1 + \xi ( 1 - v ^ { 2 } ) ) ^ { n + 1 } } \, .
C _ { R } = { \sqrt { \frac { P E _ { \mathrm { ( a t ~ b o u n c e ~ h e i g h t ) } } } { P E _ { \mathrm { ( a t ~ d r o p ~ h e i g h t ) } } } } } = { \sqrt { \frac { m g h } { m g H } } } = { \sqrt { \frac { h } { H } } }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 ( F ( \mathbf { z } ^ { 1 } ) - F ^ { * } ) } { \lambda \kappa T } + \frac { 6 4 \eta _ { l } L ^ { 2 } K } { \kappa T } \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { 0 } \Vert ^ { 2 } + \frac { 3 2 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } } { \kappa T } \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { 0 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \kappa } \left( 3 2 \lambda \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K ( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) + \lambda \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } ( 3 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) \right) . } \end{array}
h _ { j } = \frac { h ^ { 2 } } { 2 } \bigg [ \frac { 1 } { V ( 1 ) - V ( 2 ) + \frac { 4 } { { j + 1 } ^ { \alpha } } } + \frac { 1 } { V ( 1 ) - V ( 2 ) + \frac { 4 } { { j } ^ { \alpha } } } \bigg ] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ C ~ - ~ b ~ a ~ n ~ d ~ : ~ } \log ( \dot { E } ) } & { { } = - 6 . 7 2 + 0 . 1 1 4 Z _ { \mathrm { ~ C ~ } } } \\ { \mathrm { ~ S ~ - ~ b ~ a ~ n ~ d ~ : ~ } \log ( \dot { E } ) } & { { } = - 6 . 0 1 + 0 . 0 9 3 Z _ { \mathrm { ~ S ~ } } } \end{array}
A d j ( \mathscr { W } ) _ { 3 , 6 } = - e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 3 } \big ) z } \left| \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \lambda _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } } & { \lambda _ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } } & { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 2 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 3 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 4 } } \end{array} \right| = e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 3 } \big ) z } \mathscr { E } _ { \lambda , 3 } ( s )
y ^ { 2 } \xi ^ { \prime \prime } ( y ) + y \xi ^ { \prime } ( y ) + \left( \frac { \tilde { E } } { \nu ^ { 2 } } y ^ { 2 } - \alpha _ { a , b } ^ { 2 } \right) \xi ( y ) = 0 \quad , \quad \alpha _ { a , b } \equiv \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 + 4 \omega _ { a , b } } \in \mathbb { R } _ { + } \cup \mathbb { I } _ { + } ^ { * } \; .
U _ { 1 , 1 } ( \alpha ) = U ( \alpha ) = \frac { \left[ \pi \mu \gamma ( b ^ { 2 } ) \right] ^ { - \alpha / b } \Gamma ( 2 + b ^ { 2 } ) \Gamma ( 1 + 1 / b ^ { 2 } ) } { \Gamma ( 2 + b ^ { 2 } - 2 b \alpha ) \Gamma ( 1 + b ^ { - 2 } - 2 \alpha / b ) }
\begin{array} { r l } { \dot { i u _ { j } } } & { = i \sqrt { \frac { g } { 2 m r } } p _ { j } + \frac { g } { r } \sqrt { \frac { m } { 2 } } \left[ 1 + \alpha \left( j - \frac { N } { 2 } \right) \right] y _ { j } } \\ & { + \sqrt { \frac { 1 } { 2 m } } \left[ \kappa _ { j - 1 , j } \left( y _ { j } - y _ { j - 1 } \right) - \kappa _ { j , j + 1 } r \left( y _ { j + 1 } - y _ { j } \right) \right] . } \end{array}
\mathrm { ~ N ~ P ~ V ~ } ( t , n _ { G } ( t ) , \tau ) = - \frac { I _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ o ~ n ~ } } ( t ) } { 1 + g ^ { i } ( t , t + T ^ { * } , n _ { G } ( t ) ) } + \sum _ { s = t + 1 } ^ { \tau } \frac { R ( t - s ) } { 1 + g ^ { i } ( t , s , n _ { G } ( t ) ) ) } .
\eta _ { s , i } = \left\{ \begin{array} { r l } { \eta _ { H , i } = \eta _ { L , i } \quad } & { { } \mathrm { i f } \quad i \leq \mathrm { m i n } ( r _ { H } , r _ { L } ) } \\ { \eta _ { H , i } \quad } & { { } \mathrm { i f } \quad r _ { L } < i \leq r _ { H } } \\ { \eta _ { L , i } \quad } & { { } \mathrm { i f } \quad r _ { H } < i \leq r _ { L } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatornamewithlimits { m i n i m i z e } _ { \mathbf { w } } \ \ ( A - A ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \iota - \iota ^ { * } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { { n _ { \mathrm { g r i d } } } } \operatorname* { m a x } ( B ( \mathbf { x } _ { i } ) - B _ { + } ^ { * } , 0 ) ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } ( B _ { - } ^ { * } - B ( \mathbf { x } _ { i } ) , 0 ) ^ { 2 } , } \end{array}
\left\Vert P _ { 1 } - I \right\Vert ^ { 2 } = \frac { \gamma } { 2 } ( 1 - \lambda _ { n } ) < \gamma , \ \left\Vert U _ { L } \right\Vert ^ { 2 } \left\Vert U _ { R } \right\Vert ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 1 - \gamma } \leq 2 , \ \left\Vert U _ { L } \right\Vert ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 \tilde { \lambda } _ { n } } \leq 1 , \ \left\Vert \tilde { V } ^ { - } \right\Vert ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } / \hbar } & { { } \approx \omega _ { B } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime } ) + V _ { 1 } \Delta ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime } + \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } U + \nabla Q = \Delta U + F } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ( - 3 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } } \\ { \operatorname { d i v } U = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ( - 3 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } } \\ { U = 0 } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } ( - 3 , 0 ) \times \mathsf T _ { 2 } \; . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \sigma } ( I , w ^ { \prime } , \mu , \delta , \psi _ { w _ { b } t w _ { b } ^ { - 1 } y _ { b } ^ { * } } ) = } & { p _ { - { \mu ^ { \prime } } ^ { w _ { l , n - m } } } ( t ^ { \prime } y ^ { \prime } ) \chi _ { { \delta ^ { \prime } } ^ { w _ { l , n - m } } } ( t ^ { \prime } ) W _ { n - m , \sigma } ^ { * } ( t ^ { \prime } y ^ { \prime } , \mu ^ { \prime } , \delta ^ { \prime } ) , } \\ { W _ { \sigma } ( I , w ^ { \prime \prime } , \mu ^ { w _ { b } } , \delta ^ { w _ { b } } , \psi _ { t y _ { b } ^ { \dagger } } ) = } & { p _ { - { \mu ^ { \prime \prime } } ^ { w _ { l , m } } } ( t ^ { \prime \prime } y ^ { \prime \prime } ) \chi _ { { \delta ^ { \prime \prime } } ^ { w _ { l , m } } } ( t ^ { \prime \prime } ) W _ { m , \sigma } ^ { * } ( t ^ { \prime \prime } y ^ { \prime \prime } , \mu ^ { \prime \prime } , \delta ^ { \prime \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { N } ) ] } & { \overset { v } { \mapsto } \frac { \vert a _ { N } \vert } { \vert ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { N } ) \vert } \cdot ( a _ { 1 } / a _ { N } , \ldots , a _ { N - 1 } / a _ { N } ) } \\ & { \overset { \mathcal { P } } { \mapsto } \frac { \vert a _ { N } \vert } { \vert ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { N } ) \vert } ( \operatorname { R e } ( a _ { 1 } / a _ { N } ) , \operatorname { R e } ( a _ { 2 } / a _ { N } ) , \operatorname { I m } ( a _ { 1 } / a _ { N } ) ) , } \end{array}
\boldsymbol { F } _ { i j } ^ { f r , h } = \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } \left[ C _ { 4 } ^ { \mathrm { K n } _ { G l l } } g _ { 0 } + C _ { 5 } ^ { \mathrm { K n } _ { G l l } } \boldsymbol { u } \cdot \frac { \partial g _ { t } } { \partial \vec { r } } \right] \boldsymbol { \psi } \mathrm { { d } } \boldsymbol { \Xi } ,
\begin{array} { r l } { F _ { \lambda } ( v ) } & { \ge \frac { 1 } { p } r _ { j } ^ { p } - \frac { \lambda } { k } \int _ { \Omega _ { V } } V | v | ^ { k } d x - \frac { \beta 2 ^ { ( p - 1 ) p ^ { * } } } { \alpha p ^ { * } } \int _ { \Omega _ { V } } K | v | ^ { p ^ { * } } d x } \\ & { \ge \frac { 1 } { p } r _ { j } ^ { p } - \frac { \lambda } { k } S ^ { - k / p } \| V \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { V } ) } | \Omega _ { V } | ^ { ( p ^ { * } - k ) / p ^ { * } } r _ { j } ^ { k } - \frac { \beta 2 ^ { ( p - 1 ) p ^ { * } } } { \alpha p ^ { * } } S ^ { - p ^ { * } / p } \| K \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { V } ) } r _ { j } ^ { p ^ { * } } , } \end{array}
E _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { 1 } \rightarrow \alpha ( { \frac { \hbar } { m \omega } } ) ^ { 2 } ( n _ { x } ^ { 2 } + n _ { y } ^ { 2 } + 4 n _ { x } n _ { y } + 3 n _ { x } + 3 n _ { y } + 2 ) .
\begin{array} { r l } { q _ { 0 } \equiv \langle \alpha | \hat { q } | \alpha \rangle } & { { } = \sqrt { \hbar / ( 2 \omega ) } \langle \alpha | ( \hat { a } + \hat { a } ^ { + } ) | \alpha \rangle = \sqrt { \hbar / ( 2 \omega ) } ( \alpha + \alpha ^ { * } ) = \sqrt { 2 \hbar / \omega } \mathrm { \; R e } \; \alpha } \\ { p _ { 0 } \equiv \langle \alpha | \hat { p } | \alpha \rangle } & { { } = i \sqrt { \hbar \omega / 2 } \langle \alpha | ( \hat { a } ^ { + } - \hat { a } ) | \alpha \rangle = i \sqrt { \hbar \omega / 2 } ( \alpha ^ { * } - \alpha ) = \sqrt { 2 \hbar \omega } \mathrm { \; I m } \; \alpha } \end{array}
- m \frac 1 2 \langle [ \bar { \psi } ( x ) , \psi ( x ) ] \rangle ^ { ( 1 ) } = \frac { m ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - m ^ { 2 } s } \left[ \frac { s E } { \tan s E } \, \frac { s B } { \operatorname { t a n h } s B } - 1 \right] \, .
\begin{array} { r l } { R ^ { \mathrm { n o i s y } } } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \rho \left( 1 - \sqrt { 2 \rho ( ( 1 - 2 \lambda ) ^ { 2 } \chi ^ { 2 } ( W , X ^ { n } ) + 1 ) } \right) } \\ & { = \frac { 2 } { 2 7 } \frac { 1 } { ( 1 - 2 \lambda ) ^ { 2 } \chi ^ { 2 } ( W , X ^ { n } ) + 1 } } \\ & { \geq \frac { 2 } { 2 7 } \frac { 1 } { ( 1 - 2 \lambda ) ^ { 2 } \frac { 1 6 \sqrt { \pi n } } { 2 1 } + 1 } . } \end{array}
{ n ^ { ( 2 ) } ( \vec { r } _ { 1 } ^ { \ } , \vec { r } _ { 2 } ^ { \ } ; \vec { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \vec { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) = n ^ { ( 2 ) } ( \vec { r } _ { 2 } ^ { \ } , \vec { r } _ { 1 } ^ { \ } ; \vec { r } _ { 2 } ^ { \prime } , \vec { r } _ { 1 } ^ { \prime } ) }
\Bigl \| e ^ { - i \tau \mathcal { A } _ { \varepsilon } } e ^ { i \varepsilon ^ { - 1 } \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \cdot \right\rangle } \varsigma _ { j } ^ { \varepsilon } - e ^ { i \varepsilon ^ { - 1 } \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \cdot \right\rangle } \sum _ { l = 1 } ^ { n } \varsigma _ { l } ^ { \varepsilon } \tilde { J } _ { l } e ^ { - i \tau \mathcal { A } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } } J _ { j } \Bigr \| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \le \| \varsigma _ { j } \| _ { L _ { \infty } } + \sum _ { l = 1 } ^ { n } \| \varsigma _ { l } \| _ { L _ { \infty } } ,
\delta { \bf u } _ { e } = \left( \frac { ( \omega _ { 0 } - \Omega _ { c i } ) ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - c ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } ) } { ( \omega _ { p e } ^ { 2 } + \omega _ { p i } ^ { 2 } ) k _ { 0 } } - \frac { \omega _ { 0 } } { k _ { 0 } } \right) \frac { \delta { \bf B } } { B _ { 0 } } ,
\sqrt { - g } \, \hat { T } ^ { \mu \nu } = \int d \sigma \, d \tau \, \sqrt { - \gamma } \, \delta ^ { ( 4 ) } \left[ x ^ { \rho } - x ^ { \rho } \{ \sigma , \tau \} \right] \, \overline { { T } } { ^ { \mu \nu } } .
{ \cal L } _ { q W } ^ { C C } = - \frac { g } { \sqrt 2 } ( \bar { u } _ { 1 } \; \bar { u } _ { 2 } \; \bar { u } _ { 3 } ) _ { L } \gamma ^ { \mu } \left( \begin{array} { c } { { d _ { 1 } } } \\ { { d _ { 2 } } } \\ { { d _ { 3 } } } \end{array} \right) _ { L } W _ { \mu } ^ { + } - \frac { g } { \sqrt 2 } \bar { u } _ { 3 R } \gamma ^ { \mu } d _ { 3 R } W _ { \mu } ^ { + } + H . c .
\mathrm { I r r } \left( { \mathbf { N } } _ { \mathbf { K } } ( { \mathbf { L } } ) ^ { F } \enspace \middle | \enspace \mathrm { p s } _ { \mathbf { K } } ( \lambda ) \right) = \mathrm { I r r } \left( { \mathbf { N } } _ { { \mathbf { K } } } ( { \mathbf { L } } ) ^ { F } \enspace \middle | \enspace \mathrm { I r r } \left( { \mathbf { N } } _ { { \mathbf { K } } _ { 0 } } ( { \mathbf { L } } _ { 0 } ) ^ { F } \enspace \middle | \enspace \lambda _ { 0 } \right) \right) .
Q ^ { 5 } = ( \widehat { \rho } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) - \widehat { \rho } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } + { \boldsymbol { h } } ) ) \int _ { V _ { 5 R } } P _ { m , k , l } ^ { 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) \delta _ { { \boldsymbol { \eta } } } \tilde { Z } _ { l , m } ( { \boldsymbol { \theta } } ) d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } .
\begin{array} { r } { l n ( a _ { 2 2 } ( \zeta ) ) = l n ( e ^ { - i \frac { \zeta ^ { 2 } } { 2 } \xi } \Psi _ { 2 } ) | _ { \xi \rightarrow \pm \infty } = - \zeta \int _ { - \infty } ^ { \infty } q _ { \xi } ^ { * } \Gamma \ d \xi = \sum _ { n = 0 } ^ { \pm \infty } i ^ { n } H _ { n } \zeta ^ { - n + 1 } } \end{array}
D _ { i } = \frac { 1 } { 3 \eta _ { i } } \partial _ { x } [ \eta _ { i } ^ { 3 } ( { { \overline { { u } } } _ { i } } _ { x t } + { { \overline { { u } } } _ { i } } { { \overline { { u } } } _ { i } } _ { x x } - ( { { \overline { { u } } } _ { i } } _ { x } ) ^ { 2 } ) ] + \dots , \qquad { i = 1 , 2 } \, ,
\begin{array} { r } { E = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } e ( r ) , \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \ \ \ e ( r ) = \frac { H } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { \mathrm { ~ h ~ } } } \exp \left[ - \frac { ( r - r _ { \mathrm { ~ h ~ m ~ } } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { ~ h ~ } } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
= - 2 \pi \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } z \Big ( \frac { \partial \psi } { \partial \rho } \frac { \partial \rho } { \partial s } + \frac { \partial \psi } { \partial z } \frac { \partial z } { \partial s } \Big ) d s = 2 \pi \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } z ( - u _ { z } \frac { \partial \rho } { \partial s } + u _ { \rho } \frac { \partial z } { \partial s } ) \rho d s
\begin{array} { r l } & { \rho ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 , } & { \mathrm { i f ~ } 0 . 2 5 < y \leq 0 . 7 5 , } \\ { 1 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ & { u ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 , } & { \mathrm { i f ~ } 0 . 2 5 < y \leq 0 . 7 5 , } \\ { - 0 . 5 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ & { v ( x , y ) = 0 . 1 \sin ( 4 \pi x ) \left\{ \exp \left[ - \frac { ( y - 0 . 7 5 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] + \exp \left[ - \frac { ( y - 0 . 2 5 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] \right\} , \quad \mathrm { w h e r e ~ } \sigma = 0 . 0 5 / \sqrt { 2 } } \\ & { p ( x , y ) = 2 . 5 } \end{array}
\alpha ( 2 , r _ { o p t } ) = \frac { 6 } { 4 9 } ( 9 + 4 \sqrt { 2 } ) \approx 1 . 7 9 4 7 , \ \ \ s ( 2 , r _ { o p t } ) = \frac { 2 \sqrt { 8 } } { 4 9 } ( 1 1 - 6 \sqrt { 2 } ) \approx 0 . 4 1 0 5 .
3 ^ { 3 ^ { 3 ^ { 3 } } } = 3 \uparrow \uparrow 4 \approx 1 . 2 6 \times 1 0 ^ { 3 , 6 3 8 , 3 3 4 , 6 4 0 , 0 2 4 } \approx ( 1 0 \uparrow ) ^ { 3 } 1 . 1 0
\begin{array} { r } { [ \tilde { P } ( \alpha ) ] _ { ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \to ( s _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t } ^ { \prime } , a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { P ( s _ { t } ^ { \prime } | s _ { t } , a _ { t } ) \pi _ { 2 } ^ { \alpha } ( a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } | s _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t } ^ { \prime } ) , \ \mathrm { i f ~ } \eta _ { t } ^ { \prime } = \eta _ { t + 1 } } \\ { 0 , \ \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \left( T _ { \rho _ { M } } \circ \Phi _ { m ^ { - 1 } } ^ { M } \right) ( f _ { v } ) \right) ( m ^ { \prime } ) \right) ( m ^ { \prime \prime } ) } & { = \left( \Phi _ { m ^ { - 1 } } ^ { M } ( f _ { v } ) \right) ( m ^ { \prime \prime } m ^ { \prime } ) } \\ & { = \widetilde { \rho _ { M } } ( m ^ { - 1 } ) \cdot f _ { v } ( m m ^ { \prime \prime } m ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { X } ( t ) } & { : = \Phi _ { Q ^ { \prime } } ( 0 , t ) X ( 0 ) + \sum _ { i = 0 } ^ { t } \Phi _ { Q ^ { \prime } } ( t + 1 - i , t ) U ^ { \prime } ( t - i ) , } \\ { \tilde { X } ^ { * } ( t ) } & { : = \sum _ { i = 0 } ^ { t } \Phi _ { Q ^ { \prime } } ( t + 1 - i , t ) U ^ { \prime } ( t - i ) + \Phi _ { Q ^ { \prime } } ( 0 , t ) } \\ & { ~ \sum _ { i = t + 1 } ^ { \infty } \overleftarrow { \Phi } _ { Q ^ { \prime } } ( t + 1 , i - 1 ) U ^ { \prime } ( i ) , } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \it { F i O D } } } = { \frac { { \partial } ^ { 5 } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 5 } } } } k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( \mathrm { 5 } { \frac { { \partial } ^ { 4 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 4 } } } } + \omega { \frac { { \partial } ^ { 5 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 5 } } } } \right) = { - } { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 4 } } { \Bigl ( } \mathrm { 6 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 6 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 1 5 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\mathsf { V } = \Big ( s , u s \Big ) , \qquad \mathsf { D } : = \operatorname* { l i m } _ { \mu , \zeta , \kappa \to 0 } \left[ \eta \frac { | S [ u ] | ^ { 2 } } { T } + \zeta \frac { | \nabla \cdot u | ^ { 2 } } { T } + \kappa \frac { | \nabla T | ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { I _ { \mathbf { p } \alpha } ( t ) } & { = \frac { 2 } { \hbar } \sum _ { \beta } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } _ { 2 } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { q } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } w _ { \mathbf { q } } \left[ w _ { \mathbf { q } } \pm \delta _ { \alpha \beta } w _ { \mathbf { p } - \mathbf { p } _ { 2 } - \mathbf { q } } \right] \delta \left[ \mathbf { q } \cdot \left( \mathbf { v } _ { 2 } - \mathbf { v } \right) + \frac { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } { m _ { \alpha } m _ { \beta } } q ^ { 2 } \right] } \\ & { \times \left[ G _ { \mathbf { p } + \mathbf { q } , \alpha } ^ { < } ( t ) \, G _ { \mathbf { p } _ { 2 } - \mathbf { q } , \beta } ^ { < } ( t ) \, G _ { \mathbf { p } , \alpha } ^ { > } ( t ) \, G _ { \mathbf { p } _ { 2 } , \beta } ^ { > } ( t ) - G _ { \mathbf { p } + \mathbf { q } , \alpha } ^ { > } ( t ) \, G _ { \mathbf { p } _ { 2 } - \mathbf { q } , \beta } ^ { > } ( t ) \, G _ { \mathbf { p } , \alpha } ^ { < } ( t ) \, G _ { \mathbf { p } _ { 2 } , \beta } ^ { < } ( t ) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } ^ { H } \star \widecheck { \mathcal { Q } } _ { k } } & { = } & { \mathcal { A } ^ { H } \star \mathcal { Q } _ { m } \star \mathcal { U } _ { k } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \mathcal { P } _ { m + 1 } \star \mathcal { B } _ { m , m + 1 } \star \mathcal { U } _ { k } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \mathcal { P } _ { m + 1 } \star \mathcal { V } _ { k } ^ { \prime } \star \mathcal { S } _ { k } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \mathcal { P } _ { m + 1 } \star \mathcal { J } _ { k + 1 } \star \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { I } _ { k } } \\ { \vec { \mathcal { E } } _ { m + 1 } ^ { H } \star \mathcal { V } _ { k } ^ { \prime } } \end{array} \right] \star \mathcal { S } _ { k } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \mathcal { P } _ { m + 1 } \star \mathcal { Q } _ { k + 1 } ^ { \prime } \star \mathcal { R } _ { k + 1 } ^ { \prime } \star \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { I } _ { k } } \\ { \vec { \mathcal { E } } _ { m + 1 } ^ { H } \star \mathcal { V } _ { k } ^ { \prime } } \end{array} \right] \star \mathcal { S } _ { k } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \widecheck { \mathcal { P } } _ { k + 1 } \star \mathcal { R } _ { k + 1 } ^ { \prime } \star \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { I } _ { k } } \\ { \vec { \mathcal { E } } _ { m + 1 } ^ { H } \star \mathcal { V } _ { k } ^ { \prime } } \end{array} \right] \star \mathcal { S } _ { k } ^ { \prime } . } \end{array}
\hat { F } = \hat { F } _ { 0 } \left( \hat { \Gamma } _ { 2 } , \hat { \Psi } _ { 1 } , \hat { \Gamma } _ { 3 } , \hat { L } _ { 3 } ; \varepsilon , \mu \right) + \varepsilon ^ { k _ { 1 } } \mu ^ { k _ { 2 } } \, \hat { F } _ { 1 } \left( \hat { \gamma } _ { 2 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } , \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \Psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { L } _ { 3 } ; \varepsilon , \mu \right)
\begin{array} { r l } { \Phi : { \underline { { C } } } _ { * } } & { \longrightarrow ( { \underline { { C } } } _ { * } ) _ { K e r r } , } \\ { p } & { \longrightarrow \Phi ( p ) \big / \, u _ { K e r r } ( \Phi ( p ) ) = u ( p ) , \; { \underline { { u } } } _ { K e r r } ( \Phi ( p ) ) = { \underline { { u } } } ( p ) , \; x _ { K e r r } ^ { A } ( \Phi ( p ) ) = x ^ { A } ( p ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x \sim ( \mathcal { N } ( 0 , 1 ) + i \mathcal { N } ( 0 , 1 ) ) / \sqrt { 2 } , \; \; \mathbb { E } [ | x | ^ { 2 } ] = 1 } \\ & { h _ { \pm } ^ { \prime } = h _ { \pm } + \sigma _ { n } \mathcal { N } ( 0 , 1 ) , \; \; b _ { \pm } ^ { \prime } = b _ { \pm } + \sigma _ { n } \mathcal { N } ( 0 , 1 ) } \\ & { \mathrm { S N R } : = \mathbb { E } [ | x | ^ { 2 } ] / \sigma _ { n } = 1 / \sigma _ { n } } \end{array}