harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { G _ { i j } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) = \pm \frac { 1 } { \mathrm { i } \hbar } \left\langle \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) \, \hat { a } _ { i } ( t ) \right\rangle , \qquad \qquad G _ { i j } ^ { > } ( t , t ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \mathrm { i } \hbar } \left\langle \hat { a } _ { i } ( t ) \, \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { C } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \neq l } ^ { N } \sum _ { \mathbf { n } \in \mathbb { Z } ^ { 3 } } \frac { 4 \pi } { \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } ^ { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \cdot ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { l } ) } } { L ^ { 3 } } } \\ & { \overset { L \rightarrow \infty } { \longrightarrow } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \neq l } ^ { N } \frac { 1 } { | \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { l } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \left( - \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) + \frac { \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } \left( \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) \right) + \left( \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } } { \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right) \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) + A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) = - \frac { \lambda } { M } , } \\ & { \left( - \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } + 2 \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) + 2 \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) + \frac { \left( \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } } { \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right) \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) + A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) = - \frac { 2 \lambda } { M } } \end{array}
\hat { v } _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { d } , l } ^ { ( d ) } } = \left( { v } _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { d } , l } ^ { ( d ) } } ^ { - 1 } + \tau \sum _ { \mathbf { j } \in \Omega _ { t } ^ { j _ { d } } } \mathbb { E } \left[ b _ { ( k - 1 ) r _ { d - 1 } + k } ^ { ( < d ) ^ { T } } \right] \mathbb { E } \left[ b _ { ( l - 1 ) r _ { d } + l } ^ { ( > d ) } \right] \right) ^ { - 1 } ,
- \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathring { A } } I ( x ) \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } a _ { \varepsilon } \log \mu _ { \varepsilon } ( A ) \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } a _ { \varepsilon } \log \mu _ { \varepsilon } ( A ) \leq - \operatorname* { i n f } _ { x \in \overline { { A } } } I ( x ) \ .
\left( \begin{array} { l l l l } { { { \frac { { a _ { 1 } } + { d _ { 1 } } } { 2 } } } } & { { { \frac { { \sqrt { 3 } } \, \left( - { b _ { 1 } } + { c _ { 1 } } \right) } { 2 } } } } & { { { \frac { - { a _ { 1 } } - { \sqrt { 3 } } \, { b _ { 1 } } - { \sqrt { 3 } } \, { c _ { 1 } } + { d _ { 1 } } } { 4 } } } } & { { { \frac { { a _ { 1 } } - { d _ { 1 } } } { 2 } } } } \\ { { { \frac { { b _ { 1 } } - { c _ { 1 } } } { 2 \, { \sqrt { 3 } } } } } } & { { { \frac { { a _ { 1 } } + { d _ { 1 } } } { 2 } } } } & { { { \frac { - 3 \, { a _ { 1 } } + { \sqrt { 3 } } \, { b _ { 1 } } + { \sqrt { 3 } } \, { c _ { 1 } } + 3 \, { d _ { 1 } } } { 1 2 } } } } & { { { \frac { - \left( { b _ { 1 } } + { c _ { 1 } } \right) } { 2 \, { \sqrt { 3 } } } } } } \\ { { - { \frac { { b _ { 1 } } + { c _ { 1 } } } { { \sqrt { 3 } } } } } } & { { - { a _ { 1 } } + { d _ { 1 } } } } & { { { \frac { 3 \, { a _ { 1 } } - { \sqrt { 3 } } \, { b _ { 1 } } + { \sqrt { 3 } } \, { c _ { 1 } } + 3 \, { d _ { 1 } } } { 6 } } } } & { { { \frac { { b _ { 1 } } - { c _ { 1 } } } { { \sqrt { 3 } } } } } } \\ { { { \frac { 3 \, { a _ { 1 } } - { \sqrt { 3 } } \, { b _ { 1 } } - { \sqrt { 3 } } \, { c _ { 1 } } - 3 \, { d _ { 1 } } } { 6 } } } } & { { { \frac { - { a _ { 1 } } - { \sqrt { 3 } } \, { b _ { 1 } } - { \sqrt { 3 } } \, { c _ { 1 } } + { d _ { 1 } } } { 2 } } } } & { { { \frac { - { b _ { 1 } } + { c _ { 1 } } } { { \sqrt { 3 } } } } } } & { { { \frac { 3 \, { a _ { 1 } } + { \sqrt { 3 } } \, { b _ { 1 } } - { \sqrt { 3 } } \, { c _ { 1 } } + 3 \, { d _ { 1 } } } { 6 } } } } \end{array} \right) ~ ,
\left\{ \begin{array} { l l } { f _ { j } ^ { t + 1 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Delta f _ { i j } ^ { t } , } \\ { \Delta f _ { i j } ^ { t } \sim \mathrm { B i n o m i a l } ( f _ { i } ^ { t } , { p } _ { i j } ^ { t } ) , } \\ { p _ { i j } ^ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r } & { P _ { i } \frac { e ^ { - \theta C _ { j } ^ { t } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } \ , \ } & { \ \mathrm { i f } \ \ i \neq j } \\ & { ( 1 - P _ { i } ) + P _ { i } \frac { e ^ { - \theta C _ { j } ^ { t } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } \ , \ } & { \ \mathrm { i f } \ \ i = j } \end{array} } \end{array} \right. } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } d _ { L } ( z ) } { \mathrm { d } z } - \frac { d _ { L } ( z ) } { 1 + z } - \frac { 1 + z } { H ( z ) } = 0 , \qquad d _ { L } ( 0 ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \bar { g } ( R ( T , W ) T , \xi ) } \\ & { = T ( B ( T , W ) ) - W ( B ( T , T ) ) - B ( \nabla _ { T } W , T ) - B ( W , \nabla _ { T } T ) + 2 B ( \nabla _ { W } T , T ) } \\ & { = T ( B ( T , W ) ) - W ( B ( T , T ) ) - { g } ( A _ { \xi } ^ { * } ( T ) , \overset { * } { \nabla } _ { T } W ) - \overline { { g } } ( A _ { \xi } ^ { * } ( W ) , \overset { * } { \nabla } _ { T } T ) + 2 { g } ( A _ { \xi } ^ { * } ( T ) , \overset { * } { \nabla } _ { W } T ) } \\ & { = T ( B ( T , W ) ) - W ( B ( T , T ) ) + 2 k ^ { * } { g } ( T , \overset { * } { \nabla } _ { W } T ) } \\ & { = T \cdot { g } ( A _ { \xi } ^ { * } T , W ) - W \cdot { g } ( A _ { \xi } ^ { * } T , T ) } \\ & { = - W \cdot k ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { f s } ) = \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { s } } d } \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } } { \sqrt { N } } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \hat { \bf x } + \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { f } } d } \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } } { \sqrt { N } } \hat { a } _ { \mathrm { V } } \hat { \bf y } . } \end{array}
r _ { 1 } = r _ { 2 } = 1 / 3 ; \quad r _ { 1 } = 1 / 2 , ~ r _ { 2 } = 1 / 2 ^ { 1 + \phi } , ~ \phi = 0 . 6 1 8 . . . ; r _ { 1 } = 1 / 2 , ~ r _ { 2 } = 1 / 3 .
\begin{array} { r l } { \Delta t ^ { \prime } } & { { } = t _ { B } ^ { \prime } - t _ { A } ^ { \prime } = \gamma \left( t _ { B } - { \frac { v x _ { B } } { c ^ { 2 } } } \right) - \gamma \left( t _ { A } - { \frac { v x _ { A } } { c ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 \sigma } { T } } & { \leq H \left( t _ { 1 } , x _ { 1 } , \frac \sigma { R } \nabla \phi ( x _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) 2 \varepsilon ^ { - 2 } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \right) } \\ & { \qquad \quad - H \left( s _ { 1 } + \tau , y _ { 1 } , - \frac \sigma { R } \nabla \phi ( y _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) 2 \varepsilon ^ { - 2 } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \right) } \\ & { \qquad \quad + N h \Delta ^ { h } \left[ \frac { \sigma } { R } \phi ( y _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } - \tau , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) ) \right] + C L \varepsilon ^ { - 2 } \tau . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \{ Q _ { a \alpha } , \bar { Q } _ { \dot { \alpha } } ^ { b } \} = 2 \delta _ { a } ^ { ~ b } \sigma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { \mu } P _ { \mu } \, , ~ ~ ~ ~ } } \\ { { { } } } \\ { { { } [ M _ { \mu \nu } , Q _ { a } ] = i \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { [ \mu } \tilde { \sigma } _ { \nu ] } Q _ { a } \, , ~ ~ } } \\ { { { } } } \\ { { { } [ M _ { \mu \nu } , \bar { Q } ^ { a } ] = - i \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \bar { Q } ^ { a } \tilde { \sigma } _ { [ \mu } \sigma _ { \nu ] } \, , } } \\ { { { } } } \\ { { { } [ { P } _ { \mu } , Q _ { a \alpha } ] = [ P _ { \mu } , \bar { Q } _ { \dot { \alpha } } ^ { a } ] = \{ Q _ { a \alpha } , Q _ { b \beta } \} = \{ \bar { Q } _ { \dot { \alpha } } ^ { a } , \bar { Q } _ { \dot { \beta } } ^ { b } \} = 0 \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \sigma } _ { q q } ^ { \mathrm { c l } } } & { { } = c _ { 1 } \left( \begin{array} { c c } { \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 2 } } } & { \left( \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } \right) \sin \theta \cos \theta } \\ { \left( \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } \right) \sin \alpha \cos \theta } & { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 2 } } } \end{array} \right) \, , } \\ { \boldsymbol { \sigma } _ { q p } ^ { \mathrm { c l } } } & { { } = \boldsymbol { \sigma } _ { p q } ^ { \mathrm { c l } } { } ^ { \intercal } = c _ { 1 } \left( \begin{array} { c c } { Y _ { 1 } \left( \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 2 } } \right) } & { Y _ { 2 } \left( \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } \right) \sin \theta \cos \theta } \\ { Y _ { 1 } \left( \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } \right) \sin \theta \cos \theta } & { Y _ { 2 } \left( \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 2 } } \right) } \end{array} \right) \, , } \\ { \boldsymbol { \sigma } _ { p p } ^ { \mathrm { c l } } } & { { } = c _ { 1 } \left( \begin{array} { c c } { \omega _ { 1 } \cos ^ { 2 } \theta + \omega _ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + Y _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 2 } } \right) \; \; } & { \left( \left( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } \right) + Y _ { 1 } Y _ { 2 } \left( \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } \right) \right) \sin \theta \cos \theta } \\ { \left( \left( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } \right) + Y _ { 1 } Y _ { 2 } \left( \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } \right) \right) \sin \theta \cos \theta \; \; } & { \omega _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta + \omega _ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + Y _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { \omega _ { 2 } } \right) } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \ensuremath { \mathcal R } } _ { 1 / 2 } } & { { } \approx \frac { 4 \gamma _ { 1 / 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \gamma _ { 1 / 2 } - 2 } } { [ \Gamma ( 2 \gamma _ { 1 / 2 } + 1 ) ] ^ { 2 } } , } \\ { { \ensuremath { \mathcal R } } _ { 3 / 2 } } & { { } \approx \frac { 4 8 \gamma _ { 1 / 2 } x _ { 0 } ^ { \gamma _ { 1 / 2 } + \gamma _ { 3 / 2 } - 3 } } { \Gamma ( 2 \gamma _ { 1 / 2 } + 1 ) \Gamma ( 2 \gamma _ { 3 / 2 } + 1 ) } . } \end{array}
\rho ( { \boldsymbol { \beta } } , \sigma ^ { 2 } \mid \mathbf { y } , \mathbf { X } ) \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - k / 2 } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 { \sigma } ^ { 2 } } } ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } + \mathbf { \Lambda } _ { 0 } ) ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ) \right) ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { n + 2 a _ { 0 } } { 2 } } - 1 } \exp \left( - { \frac { 2 b _ { 0 } + \mathbf { y } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { y } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } + { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } ) { \boldsymbol { \mu } } _ { n } + { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } ^ { N } \big \| _ { p } \leq K _ { 2 } N ^ { ( M - 1 ) | \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { p } | - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { u } \propto \langle n _ { e } \rangle } \\ { q _ { \parallel , u } \propto \frac { P _ { S O L } } { \lambda _ { s o l , u } 2 \pi R _ { u } B _ { p o l , u } / B _ { t o t , u } } } \end{array}
\tilde { H } [ u ] = \hat { H } - \sum _ { i < j } \hat { K } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { i } } , { \mathbf { r } _ { j } } ) - \sum _ { i < j < k } \hat { L } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { i } } , { \mathbf { r } _ { j } } , { \mathbf { r } _ { k } } ) ,
u _ { 4 } ^ { ( g v K P ) } = \frac { 6 e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } } } { 1 + \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } \left[ 4 e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } } t + x + \sqrt { 3 } y - 2 \sqrt { 2 \pi } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( \frac { t } { \sqrt { 2 } } ) \right] }
0 = \dot { P } _ { a i n t } + F _ { r i n t } + F _ { e x t } = M _ { a } \dot { v } _ { h } + \left[ - 4 { \psi } ^ { 2 } f _ { r } ^ { \prime } - { \frac { 8 } { 9 } } { \psi } ^ { 3 } f _ { r } ^ { \prime \prime \prime } \right] .
Z _ { D } ^ { \prime } ( 0 ) = \gamma T r _ { x } Z _ { D } ( x , x , 0 ) + \mathrm { F i n i t e } _ { \epsilon \to 0 } T r _ { x } \int _ { \epsilon } ^ { \infty } { \frac { d t } { t } } K _ { D } ( x , x , t )
m _ { 1 } \; : = \; \sqrt { \; \frac { e ^ { 2 } N } { \pi } + 4 m c \tilde { \lambda } } \; \sqrt { \frac { \pi } { \pi \! + \! g N } } \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; \; \Phi ^ { ( 1 ) } \; ,
{ \frac { \partial \Gamma } { \partial s } } = e ^ { - s X } ( - X ) { \frac { \partial } { \partial t } } e ^ { s X ( t ) } + e ^ { - s X } { \frac { \partial } { \partial t } } [ X ( t ) e ^ { s X ( t ) } ] = e ^ { - s X } { \frac { d X } { d t } } e ^ { s X } .
{ \begin{array} { r l } { u ^ { \prime } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { \int _ { a } ^ { b } f ( x + h , t ) \, d t - \int _ { a } ^ { b } f ( x , t ) \, d t } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { \int _ { a } ^ { b } \left( f ( x + h , t ) - f ( x , t ) \right) \, d t } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \int _ { a } ^ { b } { \frac { f ( x + h , t ) - f ( x , t ) } { h } } \, d t . } \end{array} }
Z = \left. \exp \left[ \partial K \overline { { { \partial } } } - ( \partial \overline { { { \partial } } } ) J ( \partial \overline { { { \partial } } } ) \right] Z _ { 1 } \right| _ { \overline { { { \eta } } } = \eta = \overline { { { \eta } } } _ { 1 } = \eta _ { 1 } = 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \left| \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \epsilon \right) \leq } & { \; \mathbb { P } \Big ( \Big | \mathcal { T } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } \right) - \mathcal { T } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } \right) \Big | \geq \frac { \epsilon } { 2 } \Big ) } \\ & { + \mathbb { P } \left( \left| \mathcal { T } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } \right) - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \frac { \epsilon } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf K } _ { 0 } { \bf J } \approx \sum _ { k l } ^ { m } \left( { \bf K } _ { 0 } { \bf f } _ { { \bf v } _ { k } } \right) L _ { k l } { \bf v } _ { l } ^ { \mathrm { T } } \equiv \sum _ { k l } ^ { m } { \widetilde { \bf f } _ { { \bf v } _ { k } } } L _ { k l } { \bf v } _ { l } ^ { \mathrm { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \textstyle \mathcal { L } _ { \mathrm { e n t } } ( \theta ) : = - \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \log p _ { \theta } ( \tilde { x } _ { \theta } ^ { ( k ) } ( t + \tau ) | x ^ { ( k ) } ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 6 0 \lambda } ( \zeta - 1 ) \left( \lambda ^ { 3 } - 1 \right) \psi _ { 0 } ^ { R } \Biggl ( - 9 0 \left( \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 \right) ^ { 2 } + 4 0 ( \psi _ { 0 } ^ { R } ) ^ { 2 } \left( \lambda ^ { 3 } \left( \zeta \left( \zeta \left( \lambda ^ { 3 } + 3 \right) - 8 \right) + 3 \right) + 1 \right) } \\ & { - \frac { 3 ( \psi _ { 0 } ^ { R } ) ^ { 4 } \left( 2 \zeta ^ { 4 } \lambda ^ { 1 2 } + \zeta ( \zeta ( ( 6 7 - 1 5 \zeta ) \zeta - 1 0 5 ) + 4 5 ) \lambda ^ { 9 } + 3 ( 5 ( \zeta - 2 ) \zeta + 3 ) ( \zeta ( 3 \zeta - 1 0 ) + 5 ) \lambda ^ { 6 } + ( \zeta ( 1 5 \zeta ( 3 \zeta - 7 ) + 6 7 ) - 1 5 ) \lambda ^ { 3 } + 2 \right) } { \left( \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 \right) ^ { 2 } } \Biggr ) , } \\ { a _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 \lambda } \Biggl ( 6 \zeta \left( \lambda ^ { 3 } - 1 \right) \left( \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 \right) ^ { 2 } - 4 ( \zeta - 1 ) ( \psi _ { 0 } ^ { R } ) ^ { 2 } \left( \zeta ^ { 2 } \lambda ^ { 9 } + ( \zeta - 4 ) \zeta \lambda ^ { 6 } - 3 ( 2 ( \zeta - 2 ) \zeta + 1 ) \lambda ^ { 3 } - 1 \right) } \\ & { + \frac { ( \zeta - 1 ) ( \psi _ { 0 } ^ { R } ) ^ { 4 } \left( \lambda ^ { 3 } \left( \zeta \left( \zeta ^ { 3 } \lambda ^ { 1 2 } - \zeta \left( 2 \zeta ^ { 2 } + 3 \right) \lambda ^ { 9 } - 4 5 \zeta ^ { 2 } + ( \zeta ( \zeta ( 3 0 \zeta - 1 1 9 ) + 1 5 6 ) - 5 7 ) \lambda ^ { 6 } + ( 1 8 8 - 3 \zeta ( \zeta ( 1 5 \zeta - 7 6 ) + 1 1 7 ) ) \lambda ^ { 3 } + 1 0 2 \zeta - 6 7 \right) - 3 0 \lambda ^ { 3 } + 1 5 \right) - 1 \right) } { \left( \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 \right) ^ { 2 } } \Biggr ) , } \\ { a _ { 3 } } & { = \frac { 3 } { 2 } ( \zeta - 1 ) ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \psi _ { 0 } ^ { R } \left( \frac { ( \psi _ { 0 } ^ { R } ) ^ { 2 } \left( \zeta \left( 2 ( 3 - 2 \zeta ) \zeta \lambda ^ { 6 } + ( 5 \zeta ( 3 \zeta - 8 ) + 2 1 ) \lambda ^ { 3 } + 1 5 \zeta - 1 6 \right) + 3 \right) } { \left( \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 \right) ^ { 2 } } - 4 \zeta \right) , } \\ { a _ { 4 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \zeta - 1 ) \zeta \lambda ^ { 2 } \left( 4 \zeta + \frac { 3 ( \zeta - 1 ) ( \psi _ { 0 } ^ { R } ) ^ { 2 } \left( \zeta \left( \lambda ^ { 3 } \left( \zeta \left( \lambda ^ { 3 } - 1 5 \right) + 1 9 \right) - 1 5 \right) + 1 0 \right) } { \left( \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 \right) ^ { 2 } } \right) , } \\ { a _ { 5 } } & { = \frac { 4 5 ( \zeta - 1 ) ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \psi _ { 0 } ^ { R } \left( \zeta \lambda ^ { 3 } + 1 \right) } { 4 \left( \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 \right) ^ { 2 } } , } \\ { a _ { 6 } } & { = - \frac { 9 ( \zeta - 1 ) \zeta ^ { 3 } \lambda ^ { 2 } \left( \zeta \lambda ^ { 3 } + 1 \right) } { 4 \left( \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\mathrm { P r } ( y ) = \sum _ { a _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \dots \sum _ { a _ { s } = 0 } ^ { 1 } \delta _ { y , \sum _ { i } ^ { s } a _ { i } } \sum _ { b _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \dots \sum _ { b _ { s } = 0 } ^ { 1 } \mathrm { P r } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) .
J _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ e ~ c ~ } } } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } r _ { i j } \left( 1 - \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( \mu \, r _ { i j } ) \right) - \frac { 1 } { \mu \sqrt { \pi } } e ^ { - ( \mu \, r _ { i j } ) ^ { 2 } } .
\epsilon = \left( \begin{array} { c c c } { \varepsilon _ { r } } & { i \varepsilon _ { i } } & { 0 } \\ { - i \varepsilon _ { i } } & { \varepsilon _ { r } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \varepsilon _ { r } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mu _ { i j j j j } ^ { ( 5 ) } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { 1 9 2 0 } \big [ \epsilon _ { i j j j j j } ( - 5 \omega ; \omega , \omega , \omega , \omega , \omega ) \cos ( 5 \omega t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { l , m } ^ { N , n + 1 , k } } & { { } = ( l - m ) A _ { l - 1 , m } ^ { N - 1 , n , k } + ( m - 1 ) A _ { l - 1 , m - 1 } ^ { N - 1 , n , k } } \\ { B _ { l , m } ^ { N , n + 1 , k } } & { { } = E _ { N , n + 1 } A _ { l - 1 , m } ^ { N - 1 , n , k } . } \end{array}
\begin{array} { c c } { - \mathbf { d } \mathscr { E } + L _ { e _ { 0 } } \mathscr { B } = 0 } & { \mathbf { d } \mathscr { B } = 0 } \\ { - { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { E } = \frac { k } { \alpha } \rho } & { - L _ { e _ { 0 } } \mathscr { E } - { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { B } = - \frac { k } { \alpha } \frac { \boldsymbol { J ^ { \flat } } } { c } } \end{array}
G _ { i j } = \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \gamma _ { i j } \left\{ \frac { a ^ { \prime } } { a } \left( \frac { a ^ { \prime } } { a } + 2 \frac { n ^ { \prime } } { n } \right) - \frac { b ^ { \prime } } { b } \left( \frac { n ^ { \prime } } { n } + 2 \frac { a ^ { \prime } } { a } \right) + 2 \frac { a ^ { \prime \prime } } { a } + \frac { n ^ { \prime \prime } } { n } \right\} + \frac { a ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \gamma _ { i j } \left\{ \frac { \dot { a } } { a } \left( - \frac { \dot { a } } { a } + 2 \frac { \dot { n } } { n } \right) - 2 \frac { \ddot { a } } { a } + \frac { \dot { b } } { b } \left( - 2 \frac { \dot { a } } { a } + \frac { \dot { n } } { n } \right) - \frac { \ddot { b } } { b } \right\} - k \gamma _ { i j }
\begin{array} { r l } & { Q _ { k } ( w ) \big ( P _ { k } ( \overline { { w } } ) \big ) ^ { * } = P _ { k } ( w ) \big ( Q _ { k } ( \overline { { w } } ) \big ) ^ { * } , \quad k \geq 0 } \\ & { Q _ { k } ( w ) \big ( P _ { k - 1 } ( \overline { { w } } ) \big ) ^ { * } - P _ { k } ( w ) \big ( Q _ { k - 1 } ( \overline { { w } } ) \big ) ^ { * } = A _ { k - 1 } ^ { - 1 } , \quad k \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } ( E _ { 2 } ) } & { = 1 - \prod _ { i \in \mathcal { T } } [ 1 - { \mathbb P } ( E _ { 2 } ^ { \prime } ) ] } \\ & { \geq 1 - e ^ { - n ^ { - \eta _ { 2 } ( \mathbf { g } , \rho ) - \eta _ { 2 } ( \mathbf { h } , \rho ) + o ( 1 ) } - n ^ { - \eta _ { 2 } ( \mathbf { g } , 1 - \rho ) - \eta _ { 2 } ( \mathbf { h } , 1 - \rho ) + o ( 1 ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } ( s , \lambda ) } & { \geq r ( s , \lambda , h ) , } \\ { W _ { - j } ( s , \lambda ) } & { \geq W _ { - ( j - 1 ) } ( f ( s , h , \lambda ) , \lambda ) , \ j = 1 , \ldots , k , } \\ { W \left( \frac { 1 } { k } , s , \lambda \right) } & { \geq W _ { - k } ( s , \lambda ) , } \\ { W \left( \frac { \alpha } { \alpha + 1 } , s , \lambda \right) } & { \geq W ( \alpha , f ( s , h , \lambda ) , \lambda ) , \ \forall \alpha \in \left[ 0 , \frac { 1 } { k } \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } = } & { - \nabla \phi _ { \mathrm { e } } - { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial \mathbf { A } _ { \mathrm { e } } } { \partial t } } - \nabla \times \mathbf { A } _ { \mathrm { m } } } \\ { \mathbf { B } = } & { - \nabla \phi _ { \mathrm { m } } - { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial \mathbf { A } _ { \mathrm { m } } } { \partial t } } + \nabla \times \mathbf { A } _ { \mathrm { e } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - t _ { 3 } } & { 0 } \\ { - t _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - s t _ { 1 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \alpha _ { 1 } } * \cdots * \lambda _ { \alpha _ { n } } } & { = \mathbb { L } ^ { - \chi ( \alpha _ { n } , \, \dotsc , \, \alpha _ { 1 } ) } \cdot \lambda _ { \alpha _ { 1 } + \cdots + \alpha _ { n } } \ , } \\ { \lambda _ { \alpha _ { 1 } } \diamond \cdots \diamond \lambda _ { \alpha _ { n } } \diamond \lambda _ { \rho } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } } & { = \mathbb { L } ^ { - \chi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \rho , \, \alpha _ { n } , \, \dotsc , \, \alpha _ { 1 } ) } \cdot \lambda _ { \bar { \alpha } _ { 1 } + \cdots + \bar { \alpha } _ { n } + \rho } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } \ , } \end{array}