harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Delta R } & { = \left( | f _ { h + g } ^ { \prime } | ^ { 2 } - | f _ { h } ^ { \prime } | ^ { 2 } - 2 \mathrm { \normalfont ~ R e } \left[ ( 1 + h ^ { \prime } ) \overline { { g ^ { \prime } } } \right] \right) G ( \phi _ { h } ) } \\ & { \quad + \left( | f _ { h + g } ^ { \prime } | ^ { 2 } - | f _ { h } ^ { \prime } | ^ { 2 } \right) G ^ { \prime } ( \phi _ { h } ) \bar { \phi } + | f _ { h + g } ^ { \prime } | ^ { 2 } \left( G ( \phi _ { h + g } ) - G ( \phi _ { h } ) - G ^ { \prime } ( \phi _ { h } ) \bar { \phi } \right) } \\ & { = | g ^ { \prime } | ^ { 2 } G ( \phi _ { h } ) + \left( | f _ { h + g } ^ { \prime } | ^ { 2 } - | f _ { h } ^ { \prime } | ^ { 2 } \right) G ^ { \prime } ( \phi _ { h } ) \bar { \phi } + G ^ { \prime } ( \phi _ { h } ) R } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { 1 } G ^ { \prime \prime } ( ( 1 - t ) \phi _ { h } + t \phi _ { h + g } ) \, d t \, ( \phi _ { h + g } - \phi _ { h } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { a ( t + t _ { * } ) } F \left( \widehat { u } \left( x , t \right) ; C a ( t + t _ { * } ) \partial _ { x } \widehat { u } \left( x , t \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { x _ { 2 } + s x _ { 1 } \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) - b x _ { 2 } } { s \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) } , } \end{array}
\frac { d } { d t } d ^ { N } = \frac { 1 } { 2 i } \ \mathcal { B } d ^ { N } - \Lambda \ L ^ { N } \cdot d ^ { N } - ( \Lambda + i ) \mu \ G : : ( d ^ { N } \otimes \overline { { d ^ { N } } } \otimes d ^ { N } )
H _ { y 0 } ^ { * } e ^ { i k _ { z } \Delta z / 2 } = B _ { y 0 } e ^ { i k _ { z } \Delta z / 2 } / \mu - \frac { v } { 2 } \zeta ^ { - 1 / 2 } e ^ { i k _ { z } \Delta z / 2 } D _ { x 0 } ( e ^ { i k _ { z } \Delta z / 2 } + e ^ { - i k _ { z } \Delta z / 2 } ) ,
J _ { 0 } = \sum _ { i } \theta _ { i } { \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } } } - \nu \sum _ { i \ne j } { \frac { \theta _ { i } \theta _ { j } } { z _ { i j } } } ( 1 - K _ { i j } ^ { \mathrm { t o t } } ) \, .
\zeta ( s ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { s } } } = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 5 ^ { s } } } + \ldots
( \vec { d } _ { L } , \vec { d } _ { R } ) = ( \vec { d } _ { L } ^ { ( 0 ) } , 0 ) - { \frac { 1 } { M _ { 2 } } } ( P _ { L } \vec { S } _ { 2 } , P _ { R } \vec { L } _ { 2 } ) \ ,
\langle 0 | { \bf E } ^ { a } ( t ) \phi ( t , 0 ) _ { a b } ^ { \mathrm { a d j } } { \bf E } ^ { b } ( 0 ) | 0 \rangle \quad \mathrm { a n d } \quad \langle 0 | { \bf B } ^ { a } ( t ) \phi ( t , 0 ) _ { a b } ^ { \mathrm { a d j } } { \bf B } ^ { b } ( 0 ) | 0 \rangle \, ,
0 = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { - \omega _ { 0 1 } } } & { { \ldots } } & { { - \omega _ { 0 d } } } \\ { { \omega _ { 1 0 } } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { \omega _ { 1 d } } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { \omega _ { d 0 } } } & { { \omega _ { d 1 } } } & { { \ldots } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { r k ^ { 0 } } } \\ { { 0 } } \\ { { \vdots } } \\ { { k ^ { 0 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \omega _ { 0 d } } } \\ { { r \omega _ { 1 0 } + \omega _ { 1 d } } } \\ { { \vdots } } \\ { { \omega _ { d 0 } } } \end{array} \right) k ^ { 0 }
\operatorname { e r f } ^ { - 1 } ( x ) \approx \operatorname { s g n } ( x ) { \sqrt { { \sqrt { \left( { \frac { 2 } { \pi a } } + { \frac { \ln ( 1 - x ^ { 2 } ) } { 2 } } \right) ^ { 2 } - { \frac { \ln ( 1 - x ^ { 2 } ) } { a } } } } - \left( { \frac { 2 } { \pi a } } + { \frac { \ln ( 1 - x ^ { 2 } ) } { 2 } } \right) } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { P } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } \right) \cdot \left( \mathbf { p } , \mathbf { q } \right) \biggr \rvert _ { t = t _ { 1 } } = \left( \mathbf { p } , \mathbf { q } \right) \biggr \rvert _ { t = t _ { 2 } } , } \end{array}
\frac { \langle u ^ { 2 } ( x + r ) u ^ { 2 } ( x ) \rangle _ { c } } { u _ { \ast } ^ { 4 } } = C _ { u ^ { 2 } u ^ { 2 } } \! \left( \frac { r } { z } \right) + D _ { u ^ { 2 } u ^ { 2 } } \! \left( \frac { r } { z } \right) \ln \left( \frac { \delta } { z } \right) .
\begin{array} { r l } { { \bf R } _ { V e } ^ { ( k ) } } & { = \, \frac { 1 } { \Delta t } \big \langle \hat { \bf N } _ { V } \, , { \bf U } ^ { ( k ) } - { \bf U } ^ { ( k - 1 ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \, + \big \langle \hat { \bf N } _ { V } ^ { - } \, , \overline { { { \bf F } } } ^ { ( k ) } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf B } _ { V x } \, , { \bf F } _ { 1 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf B } _ { V y } \, , { \bf F } _ { 2 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } } \\ & { \quad - \big \langle \hat { \bf N } _ { V } ^ { - } \, , \overline { { { \bf Q } } } ^ { ( k ) } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { V x } \, , { \bf Q } _ { 1 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { V y } \, , { \bf Q } _ { 2 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf N } _ { V } \, , { \bf S } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = { \bf 0 } } \\ { { \bf R } _ { E e } ^ { ( k ) } } & { = \, \big \langle \hat { \bf N } _ { E } \, , { \bf E } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \, - \big \langle \hat { \bf N } _ { E } ^ { - } \, , \overline { { { \bf G } } } ^ { ( k ) } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { E x } \, , { \bf G } _ { 1 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { E y } \, , { \bf G } _ { 2 } ^ { ( k ) } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = { \bf 0 } \, , } \end{array}
\exp \, i \int d ^ { 4 } x \, { \cal L } _ { e f f } ( A _ { \mu } ) \equiv \int { \cal D } \Phi \, \int { \cal D } \Phi ^ { * } \, \exp \, i \int d ^ { 4 } x \, { \cal L } ( \Phi , A _ { \mu } ) ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d x } } \left( { \frac { e ^ { x } } { x ^ { 2 } } } \right) } & { = { \frac { \left( { \frac { d } { d x } } e ^ { x } \right) ( x ^ { 2 } ) - ( e ^ { x } ) \left( { \frac { d } { d x } } x ^ { 2 } \right) } { ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { ( e ^ { x } ) ( x ^ { 2 } ) - ( e ^ { x } ) ( 2 x ) } { x ^ { 4 } } } } \\ & { = { \frac { x ^ { 2 } e ^ { x } - 2 x e ^ { x } } { x ^ { 4 } } } } \\ & { = { \frac { x e ^ { x } - 2 e ^ { x } } { x ^ { 3 } } } } \\ & { = { \frac { e ^ { x } ( x - 2 ) } { x ^ { 3 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \epsilon } ^ { t - \epsilon } \int _ { \mathbb { R } } K ( x - y , t - s ) ( u _ { t } ( y , s ) - u ^ { \prime \prime } ( y , s ) ) \, \mathrm { d } y \mathrm { d } s } \\ { = } & { \int _ { \epsilon } ^ { t - \epsilon } \int _ { \mathbb { R } } K ( x - y , t - s ) f ( u ( y , s ) ) \, \mathrm { d } y \mathrm { d } s } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } } K ( x - y , \epsilon ) u ( y , t - \epsilon ) \, \mathrm { d } y - \int _ { \mathbb { R } } K ( x - y , t - \epsilon ) u ( y , \epsilon ) \, \mathrm { d } y , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 7 G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } J _ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt G P S } ) ^ { 3 } } \Big ( 1 - { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \sin ^ { 2 } i _ { 0 } \Big ) } & { { } \sim } & { 2 . 3 7 \times 1 0 ^ { - 1 6 } , } \end{array}
\pi = 2 \times { \frac { 2 } { \sqrt { 2 } } } \times { \frac { 2 } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } \times { \frac { 2 } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } \times { \frac { 2 } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } } } \times \cdots
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \left( \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) \right) ^ { * } \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) } \\ & { = \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n + m + 1 ) - \hbar ^ { 2 } ( m + 1 ) } \end{array}
\Delta _ { \gamma } = \frac { f _ { v ^ { 2 } } } { f _ { D } } \frac { 1 + \alpha } { 2 } \frac { \nu _ { \mathrm { o p t } } ^ { i } } { | \nu _ { \mathrm { o p t } } | ^ { 2 } } \frac { 3 } { 2 } \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { a _ { n } ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { \lfloor r n \rfloor } \bar { F } ( j ) } & { = \frac { 1 } { \log n } \sum _ { j = 0 } ^ { \lfloor a _ { n } ^ { - 1 } \rfloor } \bar { F } ( j ) + \frac { 1 } { \log n } \sum _ { j = \lfloor a _ { n } ^ { - 1 } \rfloor + 1 } ^ { \lfloor r n \rfloor } \bar { F } ( j ) } \\ & { = O ( \frac { 1 } { \sqrt { \log n } } ) + \frac { 1 } { \log n } \sum _ { j = \lfloor a _ { n } ^ { - 1 } \rfloor + 1 } ^ { \lfloor r n \rfloor } \frac { d } { j } ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { = O ( \frac { 1 } { \sqrt { \log n } } ) + \frac { 1 } { \log n } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor r n \rfloor } \frac { d } { j } - \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor a _ { n } ^ { - 1 } \rfloor } \frac { d } { j } \right) ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { = O ( \frac { 1 } { \sqrt { \log n } } ) + \frac { d } { \log n } \Big ( \log ( r n ) - 1 / 2 \log \log n \Big ) ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { = d + o ( 1 ) } \end{array}
\mathrm { ~ I ~ P ~ } \approx - \epsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } - \sum _ { i \nu } \frac { ( W _ { \mathrm { ~ h ~ } } ^ { i \nu } ) ^ { 2 } } { \epsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } - \epsilon _ { i } + \Omega _ { \nu } } - \sum _ { a \nu } \frac { ( W _ { \mathrm { ~ h ~ } } ^ { a \nu } ) ^ { 2 } } { \epsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } - \epsilon _ { a } - \Omega _ { \nu } } ,
\begin{array} { r l } { s _ { n } } & { \geq n R _ { \infty } - \sqrt { n } \Delta _ { \mathrm { a e p } } \left( p _ { \mathrm { e c } } \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 3 , d \right) } \\ & { + \log _ { 2 } [ p _ { \mathrm { e c } } ( 1 - \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 3 ) ] + 2 \log _ { 2 } \sqrt { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { h } } , } \end{array}
S = \left( \begin{array} { c c c } { { S _ { 1 1 } ^ { 0 } \; } } & { { S _ { 1 2 } ^ { - } / \sqrt 2 \; } } & { { S _ { 1 3 } ^ { + } / \sqrt 2 \; } } \\ { { S _ { 1 2 } ^ { - } / \sqrt 2 \; } } & { { S _ { 2 2 } ^ { -- } \; } } & { { S _ { 2 3 } ^ { 0 } / \sqrt 2 \; } } \\ { { S _ { 1 3 } ^ { + } / \sqrt 2 \; } } & { { S _ { 2 3 } ^ { 0 } / \sqrt 2 \; } } & { { S _ { 3 3 } ^ { + + } } } \end{array} \right) \sim ( { \bf 6 } , 0 ) .
S _ { \delta \phi , i } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ } } ( f ) = \left( \frac { 2 \pi n _ { 0 , i } } { { \lambda _ { 0 , \mathrm { ~ L ~ } } } } \right) ^ { 2 } \frac { 2 k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T L _ { 0 , i } \xi _ { i } } { 3 \pi E _ { i } A _ { i } } \frac { 1 } { f } ,
g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) = - g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) + \int _ { x } ^ { 1 } d y \frac { g _ { 1 } ( y , Q ^ { 2 } ) } { y } + \widetilde { g } _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \phi } g ( \phi ) = \sum _ { n } \| { \bf { I } } _ { n } ^ { z _ { d } } - \left| { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } \right| ^ { 2 } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u - U \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \le } & { C \operatorname* { m a x } _ { 1 \le n \le N } \Big \{ \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { r _ { n } } \Big ) ^ { 4 } \Big \} \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C \operatorname* { m a x } _ { 1 \le n \le N } \Big \{ \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { r _ { n } } \Big ) ^ { 3 } \Big \} \left( \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( v _ { i } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { i - 1 \quad } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 0 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { i \quad } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 1 \mathrm { ~ o r ~ } 2 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { i + 1 \quad } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 3 ( \bmod ~ 4 ) , i \ne n } \\ { n , \quad } & { \mathrm { i f ~ } i = n } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p a i r } } ^ { \mathrm { D C } } = \, } & { \frac { 4 \gamma _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } P _ { P } ^ { 2 } v _ { g } ^ { 4 } \omega _ { S } \omega _ { I } } { \omega _ { P } ^ { 4 } \left( \omega _ { S } Q _ { I } + \omega _ { I } Q _ { S } \right) } \frac { Q _ { P } ^ { 4 } Q _ { S } ^ { 2 } Q _ { I } ^ { 2 } } { Q _ { C , P } ^ { 2 } Q _ { C , S } Q _ { C , I } } } \\ & { \times \left( \frac { L _ { \mathrm { D C } } } { L _ { 1 } L _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \mathrm { s i n c } \! \left( 4 \kappa _ { \mathrm { D C } } L _ { \mathrm { D C } } \right) \right] ^ { 2 } \ . } \end{array}
\frac { \operatorname * { d e t } D ( A ) } { \operatorname * { d e t } D ( 0 ) } \; = \; e ^ { - \frac { i } { 2 \pi } A _ { 1 } A _ { 2 } } \; q ^ { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } A _ { 1 } ^ { 2 } } \; \frac { \vartheta ( \alpha , \tau ) } { \vartheta ( 0 , \tau ) } \; ,
\mathbf { K } _ { \mathrm { e } } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \eta \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } + \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { - \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { \cdots } & { \cdots } \\ & & { \ddots } & & \\ & & { \ddots } & & \\ { \cdots } & { \cdots } & { - \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } \\ { - \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { \zeta \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } + \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ^ { D } ( t ) } & { = - \frac { t ^ { 2 } } { 6 0 } F ^ { \prime } ( t ) - \frac { 3 } { 5 } F ^ { \prime \prime } ( t ) , } \\ { * [ 1 m m ] F _ { 2 } ^ { D } ( t ) } & { = \Big ( - \frac { 1 3 9 } { 3 5 0 } + \frac { 2 t ^ { 3 } } { 1 5 7 5 } \Big ) F ^ { \prime } ( t ) + \Big ( - \frac { 4 3 t } { 3 5 0 } + \frac { t ^ { 4 } } { 7 2 0 0 } \Big ) F ^ { \prime \prime } ( t ) + \frac { t ^ { 2 } } { 1 0 0 } F ^ { \prime \prime \prime } ( t ) + \frac { 9 } { 5 0 } F ^ { ( 4 ) } ( t ) , } \end{array}
\{ 0 . 0 , 0 . 0 0 0 0 1 , 0 . 0 0 0 1 , 0 . 0 0 1 , 0 . 0 1 , 0 . 1 , 0 . 5 , 1 , 2 , 4 , 8 , 1 0 \}
\begin{array} { r l } & { \Theta _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( m ) } } = \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + \frac { 1 } { \gamma } \delta ( \iota _ { q } \mathrm { v o l } _ { g } ) , } \\ & { \overline { { \theta } } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( m ) } } = \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } = \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { T } \mathcal { E } _ { k } } & { \leq - 2 \alpha \mathcal { E } _ { k } + 6 \mathcal { E } _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| N S \| _ { H ^ { k - 1 } } + C \mathcal { E } _ { k } ^ { \frac { 3 } { 2 } } + C \mathcal { E } _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big ( | \tau | \| \eta \| _ { H ^ { k - 1 } } + | \tau | ^ { 2 } \| N j \| _ { H ^ { k - 2 } } \big ) } \\ & { \leq - 2 \alpha \mathcal { E } _ { k } + 6 C \mathcal { E } _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { 2 } e ^ { - ( 1 + 3 K ) T } + C \mathcal { E } _ { s } ^ { \frac { 3 } { 2 } } . } \end{array}
\left. \frac { \partial \langle n _ { \mathrm { x c } } ( u ) \rangle } { \partial u } \right\vert _ { u \rightarrow 0 ^ { + } } = \langle n _ { \mathrm { x c } } ^ { \prime } ( 0 ) \rangle = \langle n _ { \mathrm { x c } } ( 0 ) \rangle + \frac { 1 } { \ensuremath { N _ { \mathrm { e } } } } \int \mathrm { d } \ensuremath { \mathbf { r } } \, n ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \sqrt { f } , \nu _ { \gamma } ^ { N } ) \geqslant } & { \; \mathbf { 1 } _ { \{ m \in ( 1 , 2 ) \} } \frac { m } { 4 } \left( \delta _ { N } \Gamma _ { N } ^ { ( 0 ) } ( \sqrt { f } , \nu _ { \gamma } ^ { N } ) + \frac { m - 1 } { 2 } \Gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( \sqrt { f } , \nu _ { \gamma } ^ { N } ) \right) + \mathbf { 1 } _ { \{ m \in ( 0 , 1 ) \} } \frac 1 4 \Gamma _ { N } ^ { ( 0 ) } ( \sqrt { f } , \mu ) - \frac { \mathbf { c } _ { \gamma } } { 4 N } \vphantom { \Bigg ( } } \end{array}
{ \cal E } _ { b } ( x ) = { \mathfrak E } _ { b } \, \mathrm { e } ^ { - \left( \frac { \vec { x } \cdot \hat { \vec { \kappa } } _ { b } - t } { \tau _ { b } / 2 } \right) ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \frac { \vec { x } ^ { 2 } - \left( \vec { x } \cdot \hat { \vec { \kappa } } _ { b } \right) ^ { 2 } } { w _ { 0 , b } ^ { 2 } } } \cos \left\{ \omega _ { b } \left( \vec { x } \cdot \hat { \vec { \kappa } } _ { b } - t \right) \right\} \, .
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} = \ldots } & { + \left\langle \nabla \times \frac { \delta F } { \delta \omega ^ { \prime } } , \omega \times \frac { \delta G } { \delta u } - \frac { 1 } { D } \frac { \delta G } { \delta \theta } \nabla \theta \right\rangle } \\ & { - \left\langle \nabla \times \frac { \delta G } { \delta \omega ^ { \prime } } , \omega \times \frac { \delta F } { \delta u } - \frac { 1 } { D } \frac { \delta F } { \delta \theta } \nabla \theta \right\rangle . } \end{array}
\rho \left( a ( \varphi _ { 1 } ) ^ { \ast } \cdots a ( \varphi _ { N _ { 1 } } ) ^ { \ast } a ( \varphi _ { N _ { 1 } + N _ { 2 } } ) \cdots a ( \varphi _ { N _ { 1 } + 1 } ) \right) = 0
\begin{array} { r l } { V _ { t } ^ { x , \nabla u } } & { = \mathbb { E } [ \phi ( X _ { T } ^ { t , x , \nabla u } ) - \int \frac { 1 } { 2 } \int _ { t } ^ { s } | | \nabla u ( r , X _ { r } ^ { t , x , \nabla u } | | ^ { 2 } ) d r ] } \\ & { = \mathbb { E } [ u ( T , X _ { T } ^ { t , x , \nabla u } ) - \int \frac { 1 } { 2 } \int _ { t } ^ { s } | | \nabla u ( r , X _ { r } ^ { t , x , \nabla u } | | ^ { 2 } ) d r ] } \\ & { = \mathbb { E } [ u ( t , X _ { t } ^ { t , x , \nabla u } ) ] = u ( t , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G ( \zeta ) } & { = } & { \sum _ { \ell = 1 , 3 } ^ { \infty } \ell ( \ell + 1 ) w _ { \ell } \left[ \frac { \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( \zeta ) } { \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( \zeta ) + j \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( \zeta ) } \right] ^ { 2 } } \\ & { = } & { G ^ { * } ( - \zeta ^ { * } ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { E _ { + } } \\ { E _ { - } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { e ^ { i \theta } ( \cos \epsilon - \sin \epsilon ) } \\ { e ^ { - i \theta } ( \cos \epsilon + \sin \epsilon ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { z } \\ { z ^ { - 1 } } \end{array} \right) \,
V ( k _ { i } ^ { 0 } ) { \binom { 1 } { - 1 } } = { \binom { 1 } { 0 } } \, , \qquad V ( k _ { i } ^ { 0 } ) { \binom { n ( k _ { i } ^ { 0 } ) } { - ( 1 + n ( k _ { i } ^ { 0 } ) ) } } = { \binom { 0 } { 1 } } \, ,
\begin{array} { r } { I _ { X _ { 1 } , X _ { 1 } ^ { \prime } , X _ { 2 } , \dots , X _ { n } } ( 2 \lambda _ { 1 } , 2 \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \dots , \lambda _ { n } ) = I _ { X _ { 1 } + X _ { 1 } ^ { \prime } , X _ { 1 } - X _ { 1 } ^ { \prime } , X _ { 2 } , \dots , X _ { n } } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \dots , \lambda _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { i n t } } } & { = \eta _ { \mathrm { l t } } \eta _ { \mathrm { a t m } } \eta _ { \mathrm { e f f } } , } \\ { \eta _ { \mathrm { l t } } } & { : = 1 - \exp \left( - 2 a _ { R } ^ { 2 } / w _ { \mathrm { l t } } ^ { 2 } \right) \simeq \frac { 2 a _ { R } ^ { 2 } } { w _ { \mathrm { l t } } ^ { 2 } } : = \eta _ { \mathrm { l t } } ^ { \mathrm { f a r } } . } \end{array}
S _ { e f f } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \biggl [ - \frac { \psi } { F _ { a } } \biggl ( \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } G _ { \mu \nu } ^ { a } \tilde { G } ^ { \mu \nu a } + c _ { \psi W } \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } W _ { \mu \nu } ^ { a } \tilde { W } ^ { \mu \nu a } + c _ { \psi Y } \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } Y _ { \mu \nu } \tilde { Y } ^ { \mu \nu } \biggl ) \biggr ]
\begin{array} { r l } { \tau _ { u } ^ { \alpha } f ( x ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { y + z = x } \left( \frac { 1 } { 2 } f ( 2 y ) ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } R _ { u } f ( 2 z ) ^ { \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } \leq \operatorname* { s u p } _ { y + z = x } \left( \frac { 1 } { 2 } g ( 2 y ) ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } R _ { u } g ( 2 z ) ^ { \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } = \tau _ { u } ^ { \alpha } g ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { K } ^ { \left( n \right) } \left( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { 0 } , \tau \right) = } & { { } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \Bigg \langle \mathbf { x } \Bigg \vert \left( - \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \tau } - i \hbar \mathbf { L } ^ { \left( n \right) } \mathsf { d } \varepsilon \right) ^ { k } \Bigg \vert \mathbf { x } _ { 0 } \Bigg \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p a i r } } ^ { \mathrm { r i n g } } = } & { \frac { 4 ^ { 3 } \Gamma ^ { 2 } P _ { P } ^ { 2 } v _ { g } ^ { 4 } \omega _ { S } \omega _ { I } } { L ^ { 2 } \omega _ { P } ^ { 4 } \left( \omega _ { S } Q _ { I } + \omega _ { I } Q _ { S } \right) } } \\ & { \times \frac { Q _ { P } ^ { 4 } Q _ { S } ^ { 2 } Q _ { I } ^ { 2 } } { Q _ { C , P } ^ { 2 } Q _ { C , S } Q _ { C , I } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { k i n } } = ( S _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { k i n } } , \mathcal { T } _ { \mathrm { o l d } } , \mathrm { r e l e v a n t ~ s t r u c t u r e s } , \mathrm { i r r e l e v a n t ~ s t r u c t u r e s } , \mathrm { e v a l } , * _ { \mathrm { l i f t } } , \mathcal { M } _ { \mathrm { o l d } } ) . } \end{array}
\gamma , z \vdash f ^ { \Pi } ( \gamma , z ) \equiv \lambda \underline { { x } } ^ { \prime } : A ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) \; . \; q _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) ^ { * } f _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) , \textnormal { e v } ( z , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) ) )
\phi ( \eta , L ) = \sum _ { p = f , s } \phi _ { p } ( \eta , L ) , \ \phi _ { p } ( \eta , L ) = \frac { 1 } { N _ { p } } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } \frac { { \vec { v } } _ { p , i } } { | { \vec { v } } _ { p , i } | } \right|
\begin{array} { r } { \alpha _ { i } ( \mathbf { U } , \widetilde { \mathbf { U } } ) = \operatorname* { m a x } \left\{ | v _ { i } | + \mathcal { C } _ { i } , | \widetilde { v } _ { i } | + \widetilde { \mathcal { C } } _ { i } , \frac { \sqrt { \rho } v _ { i } + \sqrt { \widetilde { \rho } } \widetilde { v } _ { i } } { \sqrt { \rho } + \sqrt { \widetilde { \rho } } } + \operatorname* { m a x } \{ \mathcal { C } _ { i } , \widetilde { \mathcal { C } } _ { i } \} \right\} + \frac { | \mathbf { B } - \widetilde { \mathbf { B } } | } { \sqrt { \rho } + \sqrt { \widetilde { \rho } } } , } \\ { \mathcal { C } _ { i } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \mathcal { C } _ { s } ^ { 2 } + \frac { { | \mathbf { B } | } ^ { 2 } } { \rho } + \sqrt { \left( \frac { { \mathcal { C } _ { s } ^ { 2 } + | \mathbf { B } | } ^ { 2 } } { \rho } \right) ^ { 2 } - \frac { 4 \mathcal { C } _ { s } ^ { 2 } B _ { i } ^ { 2 } } { \rho } } \right] ^ { \frac 1 2 } , \qquad \mathcal { C } _ { s } = \frac { p } { \rho \sqrt { 2 e } } . } \end{array}