harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l } { \mathrm { d } S _ { t } } & { = \left\{ \lambda - \bigg ( \mu + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } b _ { j } H ( I _ { t - \cdot } ) + \sum _ { j = 3 } ^ { 4 } b _ { j } H ( A _ { t - \cdot } ) \bigg ) S _ { t } + \eta R _ { t } \right\} \, \mathrm { d } t } \\ & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \beta _ { j } H ( I _ { t - \cdot } ) S _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { j } + \sum _ { j = 3 } ^ { 4 } \beta _ { j } H ( A _ { t - \cdot } ) S _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { j } + \beta _ { 5 } S _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { 5 } , } \\ { \mathrm { d } I _ { t } } & { = \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } b _ { j } H ( I _ { t - \cdot } ) S _ { t } - ( \mu + \gamma _ { 1 } + \delta ) I _ { t } \bigg ) \, \mathrm { d } t + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \beta _ { j } H ( I _ { t - \cdot } ) S _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { j } + \beta _ { 5 } I _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { 5 } , } \\ { \mathrm { d } A _ { t } } & { = \bigg ( \sum _ { j = 3 } ^ { 4 } b _ { j } H ( A _ { t - \cdot } ) S _ { t } - ( \mu + \gamma _ { 2 } ) A _ { t } \bigg ) \, \mathrm { d } t + \sum _ { j = 3 } ^ { 4 } \beta _ { j } H ( A _ { t - \cdot } ) S _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { j } + \beta _ { 5 } A _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { 5 } , } \\ { \mathrm { d } R _ { t } } & { = \left( \gamma _ { 1 } I _ { t } + \gamma _ { 2 } A _ { t } - ( \mu + \eta ) R _ { t } \right) d t + \beta _ { 5 } R _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { x _ { \mathrm { C } } } & { { } = \int x w ( x , y , E ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y , } \\ { y _ { \mathrm { C } } } & { { } = \int y w ( x , y , E ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = { \begin{array} { l } { { \frac { 2 } { 6 } } } \end{array} } ( \partial _ { \gamma } F _ { \alpha \beta } + \partial _ { \alpha } F _ { \beta \gamma } + \partial _ { \beta } F _ { \gamma \alpha } ) } \\ & { = { \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 6 } } } \end{array} } \{ \partial _ { \gamma } ( 2 F _ { \alpha \beta } ) + \partial _ { \alpha } ( 2 F _ { \beta \gamma } ) + \partial _ { \beta } ( 2 F _ { \gamma \alpha } ) \} } \\ & { = { \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 6 } } } \end{array} } \{ \partial _ { \gamma } ( F _ { \alpha \beta } - F _ { \beta \alpha } ) + \partial _ { \alpha } ( F _ { \beta \gamma } - F _ { \gamma \beta } ) + \partial _ { \beta } ( F _ { \gamma \alpha } - F _ { \alpha \gamma } ) \} } \\ & { = { \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 6 } } } \end{array} } ( \partial _ { \gamma } F _ { \alpha \beta } + \partial _ { \alpha } F _ { \beta \gamma } + \partial _ { \beta } F _ { \gamma \alpha } - \partial _ { \gamma } F _ { \beta \alpha } - \partial _ { \alpha } F _ { \gamma \beta } - \partial _ { \beta } F _ { \alpha \gamma } ) } \\ & { = \partial _ { [ \gamma } F _ { \alpha \beta ] } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \{ \tilde { \mathcal { F } } , \tilde { \mathcal { G } } \} ( \eta , \phi _ { \partial } , \Sigma ) = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast d \eta ) \wedge \big ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \big ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta y \sigma _ { I ( 1 ) } \sigma _ { I ( 2 ) } } \bigr \rangle _ { t } } & { = \mathbb E \ln \cosh \beta y - \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 r } \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { 2 r } ( \beta y ) \Bigl ( A _ { 2 r } - \frac { 1 } { M + N - 1 } \bigl ( 1 - A _ { 2 r } ) \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { a , n } \leq 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \alpha } _ { a } ( n ) \leq 1 } & { \mathrm { u n d e r ~ \mathrm { S T S } ~ p o l i c y } , } \\ { \bar { \alpha } _ { a } ( n ) \leq 1 } & { \mathrm { u n d e r ~ \mathrm { S T S } \mathrm { - } \mathrm { T } ~ p o l i c y } . } \end{array} \right. } \end{array}
z ( 1 - z ) { \frac { d ^ { 2 } \tilde { \phi } } { d z ^ { 2 } } } + ( 1 - z ) { \frac { d \tilde { \phi } } { d z } } + \left( { \frac { A _ { 1 } } { z } } + { \frac { s / 4 } { 1 - z } } + B _ { 1 } \right) \tilde { \phi } = 0 ,
\begin{array} { r } { w _ { j \mu } : = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } j \in J \backslash \operatorname { p r } ^ { k } ( J ) } \\ { w _ { \operatorname { i n } ( \gamma ) \mu } ( - 1 ) ^ { | \gamma | } \prod _ { p = 1 } ^ { | \gamma | } \frac { a _ { i _ { p } s ( i _ { p } ) } } { a _ { i _ { p } t ( i _ { p } ) } } } & { \mathrm { i f ~ t h e r e ~ i s ~ a ~ } \gamma \in P ( j ) \ } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { i f } ( T ) } & { { } = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } h ^ { 2 } } { c \epsilon _ { 0 } } \frac { 1 } { ( 2 \pi \mu k _ { B } T ) ^ { 3 / 2 } } } \end{array}
\delta = \operatorname* { m i n } _ { \substack { \mathbf { F } _ { S } , \mathbf { F } _ { A } , \mathbf { \tilde { F } } _ { D } , \mathbf { \Phi } \, { \mathbf { W } _ { A } ^ { H } } , { \mathbf { \tilde { W } } _ { D } ^ { H } } , \mathbf { W } _ { S } } } { \mathcal { L } ( \mathbf { F } _ { S } , \mathbf { F } _ { A } , \mathbf { \tilde { F } } _ { D } , \mathbf { \Phi } , { \mathbf { W } _ { A } ^ { H } } , { \mathbf { \tilde { W } } _ { D } ^ { H } } , \mathbf { W } _ { S } ) } ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { T _ { j k } } { \bf f } \, d s } & { = } & { { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) ^ { t } \nabla ^ { 2 } { \bf f } _ { T } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | } \\ & { = } & { { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left[ ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \cdot \nabla ^ { G G } \right] \nabla { \bf f } _ { T } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | } \\ & { = } & { { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \nabla { \bf f } _ { i } - \nabla { \bf f } _ { T } ) ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | } \\ & { = } & { \left[ { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \nabla { \bf f } _ { i } - \nabla { \bf f } _ { T } ) ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \right] | { \bf n } _ { T } | , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { \bf S } \rangle } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c } { \langle \hat { S } _ { 1 } \rangle } \\ { \langle \hat { S } _ { 2 } \rangle } \\ { \langle \hat { S } _ { 3 } \rangle } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { Z _ { s b } \; = \; \displaystyle \sideset { } { ' } \prod _ { s \geq 0 } z _ { \phi } \left( s \right) \cdot \displaystyle \sideset { } { ' } \prod _ { s < 0 } z _ { \phi } \left( s \right) \cdot \displaystyle \sideset { } { ' } \prod _ { a _ { 1 } \left( s \right) \geq 0 } z _ { F } \left( s \right) \; = \; \displaystyle \sideset { } { ' } \prod _ { s } z _ { \phi } \left( s \right) \cdot \displaystyle \sideset { } { ' } \prod _ { a _ { 1 } \left( s \right) \geq 0 } z _ { F } \left( s \right) } \end{array}
{ \cal V } _ { \lambda \mu \nu } = - i \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 3 } { 1 + 3 t _ { W } ^ { 2 } } } \left[ \left( k _ { 1 } - k _ { 2 } \right) _ { \lambda } g _ { \mu \nu } + \left( k _ { 2 } - k _ { 3 } \right) _ { \mu } g _ { \nu \lambda } + \left( k _ { 3 } - k _ { 1 } \right) _ { \nu } g _ { \lambda \mu } \right]
\rho _ { \mathrm { w } } ( v _ { \mathrm { w } } - v _ { \mathrm { \ M O S { } } } ) ^ { 2 } + b _ { \phi } ^ { 2 } / 2 = \rho _ { \mathrm { a } } v _ { \mathrm { \ M O S { } } } ^ { 2 } + b _ { p } ^ { 2 } / 2 .
{ \bf { { P } = \left( { \begin{array} { c c c c c c } { p _ { 1 1 } } & { p _ { 1 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { p _ { 2 1 } } & { p _ { 2 2 } } & { p _ { 2 3 } } & { 0 } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { 0 } & { p _ { M - 1 , M - 2 } } & { p _ { M - 1 , M - 1 } } & { p _ { M - 1 , M } } \\ { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } & { p _ { M , M - 1 } } & { p _ { M M } } \end{array} } \right) . } }
\begin{array} { r l } { \frac { D _ { e f f } ^ { N , t o p } } { D _ { e f f } ^ { N , b o t t o m } } } & { { } = - \frac { r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } { \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa } = \frac { M _ { X } ^ { * } } { M _ { N } ^ { * } - M _ { X } ^ { * } } , } \end{array}
i \hbar \dot { c } _ { \alpha } ( t ) = V _ { \alpha } ( \bar { \textbf { R } } ) \, c _ { \alpha } ( t ) - i \hbar \sum _ { \beta } \dot { \bar { \textbf { R } } } \cdot \textbf { d } _ { \alpha \beta } ( \bar { \textbf { R } } ) \, c _ { \beta } ( t )
\left. \begin{array} { r c l } { { \tilde { G } _ { \alpha \beta } + 2 T _ { \alpha \beta } ^ { \varphi } - e ^ { - 2 a \varphi } T _ { \alpha \beta } ^ { A } } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \tilde { \nabla } ^ { 2 } \varphi - { \textstyle \frac { a } { 4 } } e ^ { - 2 a \varphi } F ^ { 2 } } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \tilde { \nabla } _ { \mu } \left( e ^ { - 2 a \varphi } F ^ { \mu \alpha } \right) } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { \| I _ { n } ^ { 1 , 1 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } & { \geq \| J _ { n } ^ { 3 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad - C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \varepsilon ( R ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad - C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad - C ( R , | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { b } } & { { } : = \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } - \mathrm { { R a } } \left( ( 1 + \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) \mathrm { { N u } } - 1 \right) \, . } \end{array}
\sqrt { - g } = \exp { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { t r } \log \, g = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } ( h ^ { ( 1 ) } + h ^ { ( 2 ) } ) - { \frac { 1 } { 4 } } h _ { \alpha \beta } ^ { ( 1 ) } h ^ { ( 1 ) \alpha \beta } + { \frac { 1 } { 8 } } h ^ { ( 1 ) 2 } + \ldots
{ \frac { d } { d p } } \left[ p ^ { 2 } \frac { ( p + \alpha / 8 ) ^ { 2 } } { 2 p + \alpha / 8 } \frac { d \Sigma } { d p } \right] = - \frac { \alpha } { \pi ^ { 2 } N _ { f } } \frac { p ^ { 2 } \Sigma ( p ) } { p ^ { 2 } + \Sigma ^ { 2 } ( p ) }
\int d ^ { 2 } z \frac { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } ( i ) \partial \alpha _ { 0 } \partial \varphi = - \frac { 1 } { 2 } \chi \int d ^ { 2 } z \frac { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \frac { 1 } { z - z _ { i } } \frac { 1 } { z }
\begin{array} { r l } { q ^ { ( 2 ) } } & { = q ^ { ( 1 ) } - \alpha \nabla \Phi ( q ^ { ( 1 ) } ) + \beta ( q ^ { ( 1 ) } - q ^ { ( 0 ) } ) = \alpha \tilde { x } ^ { ( 0 ) } - \alpha ( A ( \alpha \tilde { x } ^ { ( 0 ) } ) - \nabla f ( x ^ { ( K ) } ) ) + \beta \alpha \tilde { x } ^ { ( 0 ) } } \\ & { = \alpha \tilde { x } ^ { ( 0 ) } + \alpha \left( \tilde { x } ^ { ( 0 ) } - \alpha A \tilde { x } ^ { ( 0 ) } + \beta ( \tilde { x } ^ { ( 0 ) } - \tilde { x } ^ { ( - 1 ) } ) \right) = \alpha \tilde { x } ^ { ( 0 ) } + \alpha \tilde { x } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
Q = \int _ { x ^ { 0 } = t } \! \! d ^ { 3 } x \, \Big ( H ^ { \alpha \beta } ( x ) _ { , \beta } + \frac { 1 } { 4 } \Phi ( x ) ^ { , \alpha } \Big ) { \stackrel { \longleftrightarrow } { \partial _ { 0 } ^ { x } } } u ^ { \gamma } ( x ) \eta _ { \alpha \gamma } \, .
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( x , y ) } & { = 4 x y } \\ { f _ { 2 } ( x , y ) } & { = a _ { 0 } + 4 a _ { 1 } I _ { x } ^ { - 1 } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) I _ { y } ^ { - 1 } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) + 4 a _ { 1 } I _ { x } ^ { - 1 } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) I _ { y } ^ { - 1 } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) . } \end{array}
{ \cal M } _ { \nu } = \left[ \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { m _ { 0 } } } & { { 0 } } \\ { { m _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 3 } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s = 0 } ^ { N } \sum _ { i = - s } ^ { s } a ^ { i } \mu _ { i } ^ { s } } & { = } & { \sum _ { s = 0 } ^ { N } \frac { 1 } { \ell ^ { s } } \omega _ { 1 } , } \\ { \sum _ { i = - N } ^ { N } a ^ { i } \nu _ { i } } & { = } & { \sum _ { s = 0 } ^ { N } \frac { 1 } { \ell ^ { s } } \omega _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \Delta t = \frac { 1 } { T } , } & { t ^ { n } : = n \Delta t , } \\ & { \Delta x = \frac { 1 } { J } , } & { x _ { j } = j \Delta x , } \\ & { s ^ { n } : = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \dot { \xi } ( s ) \textrm { \, d } s , } & { s _ { \Delta } ( t ) : = \sum _ { 1 } ^ { N } \mathbb { 1 } _ { [ t ^ { n } , t ^ { n + 1 } ) } ( t ) s ^ { n } , } \\ & { \xi _ { \Delta } ( t ) : = \xi ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } s _ { \Delta } ( s ) \textrm { \, d } s , } & { \xi ^ { n } = \xi _ { \Delta } ( t ^ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \le Q _ { \mathrm { W } j } } & { { } = \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + ( Q _ { \mathrm { W } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } ) } \\ { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } Q _ { \mathrm { W } j } } & { { } = \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } ( Q _ { \mathrm { W } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } ) } \\ { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \mu _ { j , A } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } Q _ { \mathrm { W } j } \mu _ { j , A } } & { { } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \mu _ { j , A } + \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } ( Q _ { \mathrm { W } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } ) } \end{array}
\gamma = 1 - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { C _ { n } } { n \, ( n + 1 ) ! } } = 1 - { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 5 } { 7 2 } } - { \frac { 1 } { 3 2 } } - { \frac { 2 5 1 } { 1 4 4 0 0 } } - { \frac { 1 9 } { 1 7 2 8 } } - \ldots
V _ { 0 } = - c _ { 2 } \mathrm { T r } \left( M M ^ { \dagger } \right) + c _ { 4 } \mathrm { T r } \left( M M ^ { \dagger } M M ^ { \dagger } \right) + d _ { 2 } \mathrm { T r } \left( M ^ { \prime } M ^ { \prime \dagger } \right) + e \mathrm { T r } \left( M M ^ { \prime \dagger } + M ^ { \prime } M ^ { \dagger } \right) .
\begin{array} { r l r } & { \Xi _ { a d j } S ^ { 1 } } & { = \int _ { \cal S } \left( E _ { c } ~ \frac { d \psi _ { 1 } } { d s } + H ( u ~ \frac { d \psi _ { 2 } } { d s } + v ~ \frac { d \psi _ { 3 } } { d s } ) + ~ H ^ { 2 } \frac { d \psi _ { 4 } } { d s } \right) d s } \\ & { \Xi _ { a d j } S ^ { 2 } } & { = \int _ { \cal S } \left( \frac { d \psi _ { 1 } } { d s } + u ~ \frac { d \psi _ { 2 } } { d s } + v ~ \frac { d \psi _ { 3 } } { d s } + ~ E _ { c } \frac { d \psi _ { 4 } } { d s } \right) d s } \\ & { \Xi _ { a d j } C ^ { + } } & { = \int _ { { \cal C } ^ { + } } \left( ( u + v t ^ { + } ) \frac { d \psi _ { 1 } } { d s } + ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) ( \frac { d \psi _ { 2 } } { d s } + t ^ { + } \frac { d \psi _ { 3 } } { d s } ) + H ( u + v t ^ { + } ) \frac { d \psi _ { 4 } } { d s } \right) d s } \\ & { \Xi _ { a d j } C ^ { - } } & { = \int _ { { \cal C } ^ { - } } \left( ( u + v t ^ { - } ) \frac { d \psi _ { 1 } } { d s } + ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) ( \frac { d \psi _ { 2 } } { d s } + t ^ { - } \frac { d \psi _ { 3 } } { d s } ) + H ( u + v t ^ { - } ) \frac { d \psi _ { 4 } } { d s } \right) d s . } \end{array}
f _ { j } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \pi } { w } \cot \left( \frac { \pi } { w } r _ { - } ( x ) + \frac { 1 } { j } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } r _ { - } ( x ) \le \frac { w } { \pi } ( \frac { \pi } { 2 } - \frac { 1 } { j } ) } \\ { \frac { \pi } { w } \cot \left( \frac { \pi } { w } r _ { + } ( x ) + \frac { 1 } { j } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } r _ { + } ( x ) \le \frac { w } { \pi } ( \frac { \pi } { 2 } - \frac { 1 } { j } ) } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } { \beta _ { s } ^ { \pm } \beta _ { \pm } \delta ( \epsilon _ { A \pm } ) } & { { } \simeq } & { \tau ( 1 - \Gamma _ { s \theta } ) \sigma _ { s \theta } \frac { ( \omega _ { * e } - \omega ) _ { s } ( \omega - \omega _ { * i } ) _ { s } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
H _ { 4 } - H _ { 1 } = p ^ { - } - \frac { ( p _ { \perp } - k _ { \perp } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { 2 ( p ^ { + } - k ^ { + } ) } - \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { 2 k ^ { + } }
\mathbf { \Pi } = \exp \left[ \mathbf { G } \delta T \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { \pi _ { A \rightarrow A } } & { \pi _ { A \rightarrow D } } & { \pi _ { A \rightarrow B } } \\ { \pi _ { D \rightarrow A } } & { \pi _ { D \rightarrow D } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \alpha = \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 1 6 L _ { 2 , \infty } ( 2 m + \tilde { A } / n ) } , \left( \frac { 4 F _ { 1 } n ^ { 2 } } { 4 2 L _ { 2 , \infty } ^ { 2 } ( \varsigma + \sigma ) ^ { 2 } \tilde { A } ^ { 2 } m T + 1 8 L _ { 2 , \infty } ^ { 2 } m ^ { 3 } n ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { m } ( \zeta ; q ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } u _ { j } } { 2 \pi i } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i v _ { i } ^ { 2 } } \Bigg \{ \frac { \zeta \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } / v _ { i } \right) } { 1 - \zeta \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } / v _ { i } \right) } \cdot } \\ & { \cdot \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / u _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / v _ { j } \right) } { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / v _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / u _ { j } \right) } \right] \Bigg \} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { k \in A } f ( k ) + \sum _ { k \in B } f ( k ) } & { = \sum _ { k } f ( k ) \, [ k \in A ] + \sum _ { k } f ( k ) \, [ k \in B ] } \\ & { = \sum _ { k } f ( k ) \, ( [ k \in A ] + [ k \in B ] ) } \\ & { = \sum _ { k } f ( k ) \, ( [ k \in A \cup B ] + [ k \in A \cap B ] ) } \\ & { = \sum _ { k \in A \cup B } f ( k ) \ + \sum _ { k \in A \cap B } f ( k ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { | \tilde { \Psi } _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { I \ne f } | \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } \rangle \frac { \langle \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { ( E _ { i } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } + \omega ) } } \end{array}
\delta _ { 1 } = \nu _ { 1 } , \delta _ { 2 } = \nu _ { 1 } + \frac { 1 } { \nu _ { 2 } } , \delta _ { 3 } = \nu _ { 1 } + \frac { 1 } { \nu _ { 2 } + \frac { 1 } { \nu _ { 3 } } } , \dots , \delta _ { \alpha } = \frac { N ^ { \prime } } { M ^ { \prime } }
- { \cal L } _ { \mathrm { Y } } = \overline { { { l } } } _ { \mathrm { L } } \tilde { \phi } Y _ { l } e _ { \mathrm { R } } ^ { ~ } + \overline { { { l } } } _ { \mathrm { L } } \phi Y _ { \nu } \nu _ { \mathrm { R } } ^ { ~ } + \frac { 1 } { 2 } \overline { { { \nu _ { \mathrm { R } } ^ { \mathrm { c } } } } } M _ { \mathrm { R } } \nu _ { \mathrm { R } } ^ { ~ } + \mathrm { h . c } , ~
\mathbf { A } \oplus \mathbf { B } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { { \boldsymbol { 0 } } } \\ { { \boldsymbol { 0 } } } & { \mathbf { B } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { a _ { 1 1 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } & { \cdots } & { a _ { m n } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { b _ { 1 1 } } & { \cdots } & { b _ { 1 q } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { b _ { p 1 } } & { \cdots } & { b _ { p q } } \end{array} \right] }
{ \frac { 1 } { 2 C _ { \cal R } } } \sum _ { \mu , \nu \in { \cal R } } \left( L ^ { \pm } L ^ { \mp } \right) _ { \mu \nu } = { \frac { 1 } { 2 } } p ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { | \rho | } ( g _ { | \rho | } - 1 ) \, { \frac { | \rho | ^ { 2 } } { ( \rho \cdot q ) ^ { 2 } } } + { \frac { \omega ^ { 2 } } { 2 } } q ^ { 2 } \mp \omega ( { \frac { r } { 2 } } + \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { | \rho | } ) ,
\begin{array} { r l } { \left\vert \left\langle \left( \begin{array} { l } { u - u _ { h } } \\ { v - v _ { h } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { p } \\ { q } \end{array} \right) \right\rangle \right\vert } & { \le \alpha _ { 1 } \left( \| \nabla ( u - u _ { h } ) \| ^ { 2 } + \| \nabla ( v - v _ { h } ) \| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \| \nabla ( \Phi - \pi _ { h } \Phi ) \| ^ { 2 } + \| \nabla ( \Psi - \pi _ { h } \Psi ) \| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le C \frac { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } { \alpha _ { 0 } } h ^ { 2 } \left( \| f \| ^ { 2 } + \| g \| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \| \Phi \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| \Psi \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le C \frac { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } { \alpha _ { 0 } } h ^ { 2 } \left( \| f \| ^ { 2 } + \| g \| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \| p \| ^ { 2 } + \| q \| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}