harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { J _ { y } B _ { z } / c = J _ { z } B _ { y } / c = \frac { \partial } { \partial x } \frac { B _ { y } ^ { 2 } } { 8 \pi } } \\ { J _ { y } B _ { x } / c = J _ { x } B _ { y } / c = \frac { \partial } { \partial z } \frac { B _ { y } ^ { 2 } } { 8 \pi } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatornamewithlimits { m i n i m i z e } _ { \mathbf { w } } \ \ \mathcal { J } _ { \mathrm { p e n a l t y } } ( \mathbf { w } ) : = \mathcal { J } ( \mathbf { w } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { { n _ { \mathrm { g r i d } } } } \operatorname* { m a x } ( B ( \mathbf { x } _ { i } ) - B _ { + } ^ { * } , 0 ) ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } ( B _ { - } ^ { * } - B ( \mathbf { x } _ { i } ) , 0 ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( q ) } & { = - \frac { 2 q \alpha ^ { 2 } } { Q - q } \int _ { 0 } ^ { \infty } G _ { r } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, J _ { 1 } ( q r ) \, r \, \mathrm { d } r \, , } \\ { B ( q ) } & { = - \frac { 2 Q \alpha ^ { 2 } } { Q - q } \int _ { 0 } ^ { \infty } G _ { z } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, J _ { 0 } ( q r ) \, r \, \mathrm { d } r \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf E _ { P } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } = \mathbf E _ { W } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } = 0 , } \\ & { [ \mathbf E \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } ] = \mathbf { 0 } , } \\ & { [ \mathbf B ] = \mathbf { 0 } , } \\ & { \mathbf V _ { i \perp } = \mathbf { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { z _ { i } ^ { 0 } } \\ { z _ { i } ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l } { ( t _ { i } \hat { x } _ { i } - k _ { i } \hat { y } _ { i } \sin \phi _ { i } ) + j k _ { i } \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } } \\ { t _ { i } \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } + j ( k _ { i } \hat { x } _ { i } + t _ { i } \hat { y } \sin \phi _ { i } ) } \end{array} \right) } \end{array}
S _ { q g \rightarrow q g } ^ { ( a ) } ( 1 , 2 ; 3 , 4 ) = \tilde { g } ^ { 2 } \frac { 1 } { x _ { 1 } + x _ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 2 } x _ { 4 } } }
\begin{array} { r l } { u = } & { \: u ^ { \flat } + u ^ { \sharp } \in L ^ { 2 } ( \Sigma ) , \quad \textnormal { w i t h } } \\ { u ^ { \flat } ( r , \theta , \widetilde { \varphi } ) = } & { \: \sum _ { | m | \leq \ell \leq L _ { m } } u _ { m \ell } ( r ) S _ { m \ell } ( \theta ) e ^ { i m \tilde { \varphi } } , } \\ { u ^ { \sharp } ( r , \theta , \widetilde { \varphi } ) = } & { \: \sum _ { L _ { m } < \ell < \infty } u _ { m \ell } ( r ) S _ { m \ell } ( \theta ) e ^ { i m \tilde { \varphi } } } \end{array}
- \frac { 1 } { 4 } \exp \! \Big ( \sqrt { \frac { 2 \kappa } { 3 } } \phi \Big ) [ V _ { \mu \nu } { } ^ { j } V ^ { \mu \nu } { } _ { j } + \overline { { { \Theta } } } _ { \mu \nu } \overline { { { \Theta } } } ^ { \mu \nu } + 2 \sqrt { 2 \kappa } ( V _ { \mu \nu } { } ^ { j } A _ { j } + \overline { { { \Theta } } } _ { \mu \nu } \Theta ) f ^ { \mu \nu } + 2 \kappa ( A _ { j } A ^ { j } + \Theta ^ { 2 } ) f _ { \mu \nu } f ^ { \mu \nu } ]
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \Bigl ( 1 - \prod _ { k : \varepsilon ^ { \prime } < | \xi _ { 1 , k } | < \varepsilon } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { 1 , k } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } ) \Bigr ) ^ { 2 } } \\ & { = 1 - 2 \mathbb E \prod _ { k : \varepsilon ^ { \prime } < | \xi _ { 1 , k } | \le \varepsilon } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { 1 , k } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } ) + \mathbb E \prod _ { k : \varepsilon ^ { \prime } < | \xi _ { 1 , k } | \le \varepsilon } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { 1 , k } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \frac { d \sigma _ { \pi } } { d E _ { q } d \varphi _ { q } d \varphi _ { p } d q _ { 3 } } } \approx { \frac { e ^ { 2 } \; \sin ^ { 2 } \pi \delta } { 2 5 6 \pi ^ { 4 } } } ( 1 - s _ { 3 } r _ { 3 } ) { \frac { c ^ { - \delta } ( 1 + s _ { 3 } ) + c ^ { \delta } ( 1 - s _ { 3 } ) } { M ^ { 3 } } } .
\begin{array} { r l } & { \| f \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \lesssim _ { M } \| g _ { 1 } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \lesssim _ { M } \| g _ { 2 } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \lesssim _ { M } \| g _ { 3 } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \| f ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \lesssim _ { M } \| g _ { 1 } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \lesssim _ { M } \| g _ { 2 } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \lesssim _ { M } \| g _ { 3 } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho h \left( \frac { \partial \overline { { v } } _ { x } } { \partial t } + \overline { { v } } _ { x } \frac { \partial \overline { { v } } _ { x } } { \partial x } + \overline { { v } } _ { y } \frac { \partial \overline { { v } } _ { x } } { \partial y } \right) } & { { } = \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { x x } ) } { \partial x } + \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { x y } ) } { \partial y } - \tau _ { x z } + b _ { x } \rho h . } \\ { \rho h \left( \frac { \partial \overline { { v } } _ { y } } { \partial t } + \overline { { v } } _ { y } \frac { \partial \overline { { v } } _ { y } } { \partial y } + \overline { { v } } _ { x } \frac { \partial \overline { { v } } _ { y } } { \partial x } \right) } & { { } = \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { y y } ) } { \partial y } + \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { x y } ) } { \partial x } - \tau _ { y z } + b _ { y } \rho h . } \end{array}
{ \cal E } = \frac { 1 } { 2 } \mid D _ { 0 } \Phi \mid ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mid D _ { i } \Phi \mid ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } F _ { i j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } F _ { 0 i } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 8 } ( \mid \Phi \mid ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ,
\frac { Q _ { M } } { \left( k \Delta T / D \right) } = 4 \pi R _ { E } ^ { 2 } c \left( \frac { \Delta T _ { l } } { \Delta T } \right) ^ { 4 / 3 } \left( b \frac { R a } { R a _ { c r } } \right) ^ { 1 / 3 } \Delta \eta _ { l } ^ { - 1 / 3 } ,
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } } & { = } & { \mathbb { E } \left[ | [ \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( \varphi ) - \mathbb { E } [ [ \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( \varphi ) | \mathcal { F } _ { k - 1 } ^ { l } ] | ^ { p } \right] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 2 } } & { = } & { \mathbb { E } \left[ | \mathbb { E } [ [ \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( \varphi ) | \mathcal { F } _ { k - 1 } ] - [ \eta _ { k } ^ { l } - \eta _ { k } ^ { l - 1 } ] ( \varphi ) | ^ { p } \right] ^ { 1 / p } . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } h ^ { i j } } { d t ^ { 2 } } } = \left( { \frac { 1 } { m ^ { i } } } + { \frac { 1 } { m ^ { j } } } \right) p ^ { i j } + \sum _ { k \neq j } C ( i j , i k ) \psi ( \alpha _ { i j , i k } ) { \frac { 1 } { m ^ { i } } } p ^ { i k } + \sum _ { l \neq i } C ( i j , j l ) \psi ( \alpha _ { i j , j l } ) { \frac { 1 } { m ^ { j } } } p ^ { j l }
\begin{array} { r l } { - \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } \right) + a ( x , y ) \frac { \partial u } { \partial x } + b ( x , y ) \frac { \partial u } { \partial y } = } & { f ( x , y ) , \quad \mathrm { i n } \, \Omega , } \\ & { u = 0 , \quad \mathrm { o n } \, \partial \Omega , } \end{array}
{ \cal L } ^ { K ^ { * } \pi \pi } = f _ { \rho \pi \pi } ( q ^ { 2 } ) f _ { a b k } K _ { \mu } ^ { a * } ( K _ { b } \partial ^ { \mu } \pi _ { k } - \pi _ { k } \partial ^ { \mu } K _ { b } ) [ 1 1 ] ,
\begin{array} { r l } & { \, \, L ( f , H , g , \eta ) } \\ { = } & { \, \, J ( f ) - \langle f ( t = T ) , g ( t = T ) \rangle _ { x , v } + \langle f ( t = 0 ) , g ( t = 0 ) \rangle _ { x , v } } \\ & { + \langle f \, , \partial _ { t } g + v \partial _ { x } g - H \partial _ { v } g \rangle _ { x , v , t } - \langle f ( t = 0 ) - f _ { 0 } , \eta \rangle _ { x , v } } \\ & { - \langle \partial _ { x } G \ast ( 1 - \rho _ { f } ) f , \partial _ { v } g \rangle _ { x , v , t } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } } & { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } y _ { 1 1 } ^ { + } } & { y _ { 1 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { y _ { 1 ( n - 1 ) } ^ { + } } \\ { * } & { y _ { 2 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { y _ { 2 ( n - 1 ) } ^ { + } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { * } & { y _ { ( n - 1 ) 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { y _ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) } ^ { + } } \end{array} \right) + \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l } { y _ { 1 1 } ^ { + } } & { a _ { 1 1 } y _ { 1 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { y _ { 1 ( n - 1 ) } ^ { + } } \\ { y _ { 2 1 } ^ { + } } & { * } & { \cdots } & { y _ { 2 ( n - 1 ) } ^ { + } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { y _ { ( n - 1 ) 1 } ^ { + } } & { * } & { \cdots } & { y _ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) } ^ { + } } \end{array} \right) + \dots } \\ & { + \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l } { y _ { 1 1 } ^ { + } } & { y _ { 1 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { a _ { 1 1 } y _ { 1 ( n - 1 ) } ^ { + } } \\ { y _ { 2 1 } ^ { + } } & { y _ { 2 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { * } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { y _ { ( n - 1 ) 1 } ^ { + } } & { y _ { ( n - 1 ) 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { * } \end{array} \right) , } \end{array}
Y _ { 0 } = \frac { \lambda g ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { 0 . 1 4 5 } { g _ { * } } \right) ^ { 2 } \left( x _ { r } + \frac { 1 } { 2 } \right) e ^ { - 2 x _ { r } } ,
\begin{array} { r } { \alpha ( \omega ) = 4 \pi \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } R ^ { 3 } \frac { \varepsilon ( \omega ) - \varepsilon _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { \varepsilon ( \omega ) + 2 \varepsilon _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } [ \ensuremath { \lVert u _ { t } \rVert } \geq \alpha ] \leq \frac { n } { \alpha ^ { 2 } } } \\ & { \operatorname* { P r } [ \ensuremath { \lVert w _ { t } \rVert } \geq \alpha ] \leq \frac { n \sigma _ { w } ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } } \\ & { \operatorname* { P r } [ \ensuremath { \lVert z _ { t } \rVert } \geq \alpha ] \leq \frac { n \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d K _ { r } } { d t } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left< \boldsymbol { a } , \boldsymbol { a } \right> } & { { } = - \left< \boldsymbol { a } , \Phi ^ { T } M \boldsymbol { c } ( \boldsymbol { a } ) \right> - \nu \left| \left| Q _ { r } \boldsymbol { a } \right| \right| ^ { 2 } > 0 , } \end{array}
\frac { 1 } { r ^ { d - 1 } } \, \left( r ^ { d - 1 } \, B ^ { p + 1 } \, F ^ { d - 2 } \, \eta _ { a } ^ { \prime } \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \, B ^ { p + 1 } \, F ^ { d } \, T ( x ) \, \delta ^ { d } ( \vec { x } ) ~ ~ ,
\operatorname* { m i n } _ { \Omega } \left[ \Bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] \Bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] \right] = \left( \frac { e ^ { r _ { \mathrm { ~ E ~ } } } } { 4 \eta } + \frac { \eta e ^ { - r _ { \mathrm { ~ E ~ } } } } { 4 } \right) ^ { 2 }
F _ { 2 } ( T ) \; = \; \; - \; { \frac { 1 } { 1 2 \pi } } m ^ { 3 } ( \Lambda ) \; T \; \Bigg \{ 1 \; - \; { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { \lambda } { 1 6 \pi m } } \; - \; \left[ 4 \log { \frac { \Lambda } { 2 m } } + { \frac { 9 } { 2 } } - 4 \log 2 \right] \left( { \frac { \lambda } { 1 6 \pi m } } \right) ^ { 2 } \Bigg \} \, ,
A _ { k + 2 } ^ { 1 - \frac { a } { b + c } } - A _ { k } ^ { 1 - \frac { a } { b + c } } \geq C _ { 4 } : = \operatorname* { m i n } \left\lbrace \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { a } { b + c } \right) C _ { b + c } ^ { - \frac { a } { b + c } } , \left( 2 ^ { \frac { b + c } { a } - 1 } - 1 \right) A _ { 1 } ^ { 1 - \frac { a } { b + c } } , A _ { 2 } ^ { 1 - \frac { a } { b + c } } \right\rbrace > 0 .
p ( x ) | _ { c _ { 0 } \to { \frac { 9 } { 4 \sqrt { 2 } } } } = { \frac { 1 } { x } } \left( x - { \frac { 3 } { 4 } } \right) ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } x + { \frac { 3 } { 1 6 } } \right) \ .
- 3 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } + \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} - \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - 2 \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \}
\begin{array} { r l } & { \alpha = \mathcal { O } ( \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } ) \qquad \frac { \beta } { \alpha } = \mathcal { O } ( \frac { ( - \log \gamma ) ^ { 0 . 5 } } { \gamma ^ { 1 . 5 } } ) \qquad \beta - \alpha = \mathcal { O } ( \frac { ( - \log \gamma ) ^ { 0 . 5 } } { \gamma ^ { 3 . 5 } } ) } \\ & { A _ { 1 } = \mathcal { O } ( \frac { - \log \gamma } { \gamma } ) \qquad A _ { 2 } = \mathcal { O } ( - \log \gamma ) } \\ & { 1 - \frac { A _ { 1 } ^ { 2 } C _ { \star } } { A _ { 2 } } = \frac { A _ { 2 } C _ { \star } ^ { - 1 } - A _ { 1 } ^ { 2 } } { A _ { 2 } C _ { \star } ^ { - 1 } } = \frac { \mathcal { O } \Bigl ( ( - \log \gamma ) / \gamma ^ { 2 } \Bigr ) } { \mathcal { O } \Bigl ( ( - \log \gamma ) ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } \Bigr ) } = \mathcal { O } ( \frac { 1 } { - \log \gamma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \uparrow } } & { = } & { \mathcal { D } _ { z } ( \phi ) \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \left( \begin{array} { c } { u _ { \mathrm { L } } } \\ { \mathrm { e } ^ { i \phi } v _ { \mathrm { L } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla S _ { j } \cdot \mathbf { n } _ { \Gamma } } & { { } = - \sum _ { k = 0 , \ldots , j - \frac 1 2 } \nabla S _ { k } \cdot \nabla d _ { k - j } \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma ( \frac { 5 \delta } 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \! \cdot \! ( ( D + \eta ) \mathbf { u } ) + \nabla \! \cdot \! [ \bar { a } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } ) ) + \bar { b } D ^ { 3 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ] = 0 \ , } \\ & { \mathbf { u } _ { t } + g \nabla \eta + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } - [ \bar { c } D \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } _ { t } ) ) + \bar { d } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } _ { t } ) ] = 0 \ , } \end{array}
\mathopen { } \mathclose \bgroup \left| \frac { k } { | k | } \cdot \frac { v } { | v | } \aftergroup \egroup \right| \geq A | k | ^ { - \kappa } \, , \qquad \forall k \in \ensuremath { \mathbb { Z } } _ { * } ^ { d } = \ensuremath { \mathbb { Z } } ^ { d } \setminus \{ 0 \} \, .
q ( z , t ) : = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { a = a _ { 0 } \mathfrak { a } } v _ { z } \, r \mathrm { d } r = \frac { \pi a _ { 0 } ^ { 4 } \mathfrak { a } ^ { 2 } } { \mu _ { f } } \frac { 1 } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 2 J _ { 1 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } \mathfrak { a } \right) } { \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } \mathfrak { a } J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } \mathfrak { a } \right) } \right] \left( - \frac { \partial p } { \partial z } \right) .
\begin{array} { r l } { \delta \propto \Delta h } & { = h ( \rho , + \eta , \alpha ) - h ( \rho , - \eta , \alpha ) } \\ & { = 4 \eta + \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { \rho } } \sum _ { m = 0 } ^ { M _ { \eta } } \sum _ { n = - N _ { \alpha } } ^ { N _ { \alpha } } x _ { l m n } \Big [ } \\ & { T _ { l } ( 2 \rho - 1 ) F _ { n N _ { \mathrm { F P } } } ( \alpha ) \Big ( F _ { m } ( + \eta ) - F _ { m } ( - \eta ) \Big ) \Big ] } \\ & { = 4 \eta . } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } \frac { 1 } { 3 6 0 } ( 2 \times ( 2 4 5 ( 1 - i ^ { k } ) - 1 ( 1 - i ^ { k } ) + 2 ( i ^ { k } - i ^ { 2 k } + i ^ { - k } - 1 ) ) - 5 6 ( i ^ { 2 k } - 1 ) ) ,
M ( p ; q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = \int \frac { d x \; d y } { ( 1 + x + y ) ^ { 3 } } e x p [ \frac { x y } { 1 + x + y } \frac { p ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } + \frac { x } { 1 + x + y } \frac { q _ { 1 } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } + \frac { y } { 1 + x + y } \frac { q _ { 2 } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } ] ,
\begin{array} { r } { \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } \leq C \left( \| \omega \| _ { r } + ( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ) ^ { 2 - \frac { 2 } { r } } \| u \| _ { 2 } \right) . } \end{array}
\Sigma ( p ^ { 2 } ) - \Sigma ( p ^ { 2 } ) = \frac { g ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, \ln \left( \frac { m ^ { 2 } - p ^ { 2 } x + x ^ { 2 } p ^ { 2 } - i \epsilon } { m ^ { 2 } - p ^ { 2 } x + x ^ { 2 } p ^ { 2 } - i \epsilon } \right) \, .
E _ { t } \equiv [ ( \vartheta _ { 1 } + \vartheta _ { 2 } ) e + \vartheta _ { 2 } t h _ { e } + ( \vartheta _ { 3 } + \vartheta _ { 4 } ) e ^ { 2 } + \vartheta _ { 3 } t e h _ { e } + \vartheta _ { 4 } ( 2 t e h _ { e } + t ^ { 2 } h _ { e } ^ { 2 } ) ] ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } ) - { e ( 1 - e - t h _ { e } ) \mu _ { 1 } } + ( 1 - e ) ( e + t h _ { e } ) \mu _ { 0 } + t h _ { e } [ - ( \vartheta _ { 2 } + \vartheta _ { 4 } e + \vartheta _ { 4 } t h _ { e } ) ( \mu _ { 1 } + t h _ { \mu _ { 1 } } - \mu _ { 0 } - t h _ { \mu _ { 0 } } ) - \mu _ { 0 } - t h _ { \mu _ { 0 } } ]
\tau _ { \mathrm { N H } } = \frac { 4 L ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } D _ { \mathrm { N H } } } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } D _ { \mathrm { N H } } = \frac { ( q _ { + } + q _ { - } ) D _ { + } D _ { - } } { q _ { + } D _ { + } + q _ { - } D _ { - } } \, .
\begin{array} { r l } { P _ { 0 } ( \Omega ) } & { { } = P _ { 0 } ( \mathcal { T } _ { 1 } [ \Psi ] ) + h _ { 1 } \partial _ { v v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Psi ) + h _ { 2 } \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Psi ) , } \end{array}
A _ { n } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { v _ { n } + \varphi _ { 0 } k ( 2 n + 1 ) i ^ { n } j _ { n } ^ { ' } ( k a ) } { - \varphi _ { 0 } k ( 2 n + 1 ) i ^ { n } h _ { n } ^ { ( 1 ) ^ { \prime } } ( k a ) } } & { n = 0 \& n = 1 } \\ { - \frac { j _ { n } ^ { ' } ( k a ) } { h _ { n } ^ { ( 1 ) ^ { \prime } } ( k a ) } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( w _ { i } + B u _ { i } ^ { p r } ) ^ { \top } P ^ { * } ( A x _ { i } + B u _ { i } ^ { c b } ) \right\| \geq \right. } \\ & { \quad \left. \vphantom { \sum _ { i } ^ { i } } C _ { \mathrm { c r o s s } } \sqrt { k } ( \log ( k / \delta ) ) ^ { 2 } , \forall k \in \mathbb { N } ^ { * } \right| \left. \mathcal { E } _ { \mathrm { n o i s e } } ( \delta ) \vphantom { \sum _ { i } ^ { i } } \right) \leq 4 \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { M } _ { \mathcal { G } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { I } \\ { - R _ { \mathcal { G } } } & { I } \\ & { \ddots } & { \ddots } \\ & & { - R _ { \mathcal { G } } } & { I } \end{array} \right] , \quad \mathbf { M } _ { \mathcal { F } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { I } \\ { - R _ { \mathcal { F } } } & { I } \\ & { \ddots } & { \ddots } \\ & & { - R _ { \mathcal { F } } } & { I } \end{array} \right] , \quad \mathbf { b } = \left[ \begin{array} { c } { y _ { 0 } } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } ^ { \prime } } & { = - \nu k ^ { 2 } G _ { 0 } ^ { \prime } + { k } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } G _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } H _ { + } , } \\ { p G _ { - } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { - } + \frac { 1 } { 2 } k ( 1 - k ^ { 2 } ) G _ { 0 } ^ { \prime } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { + } , } \\ { p H _ { + } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { + } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } G _ { - } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } G _ { 0 } ^ { \prime } , } \end{array}
{ \mathcal H } = \phi _ { 1 } ^ { * } H _ { 1 1 } \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ^ { * } H _ { 2 2 } \phi _ { 2 } + \phi _ { 1 } ^ { * } H _ { 1 2 } \phi _ { 2 } + \phi _ { 2 } ^ { * } H _ { 2 1 } \phi _ { 1 } \, .
\gamma _ { m , l } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) = - \int \varphi _ { m } ^ { * } ( { \boldsymbol { r } } ) \Delta U ( { \boldsymbol { r } } ) \varphi _ { l } ( { \boldsymbol { r - R _ { n } } } ) \, d ^ { 3 } r \ ,
\left. \frac { \partial \mathcal { L } [ P _ { 1 } ] } { \partial \theta } \right| _ { \theta _ { 1 } } = 0 \quad \Rightarrow \quad \sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } p _ { 1 } ( G _ { i } , \theta _ { 1 } ) \, C ( G _ { i } ) = C ^ { * } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { d } } } & { = \zeta K _ { d } ( \mathbf { m \cdot \hat { z } } ) ^ { 2 } } \\ { \mathcal { E } _ { \mathrm { k } } } & { = - K ( \mathbf { m \cdot \hat { k } } ) ^ { 2 } } \\ { \mathcal { E } _ { \mathrm { Z } } } & { = - \mu _ { 0 } M _ { s } \mathbf { H } \cdot \mathbf { m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { V } _ { \rho } ( \{ T _ { t } \} _ { t > 0 } ) ( f ) ( x ) : = \mathcal { V } _ { \rho } ( \{ T _ { t } ( f ) ( x ) \} _ { t > 0 } ) , } \\ & { \mathcal { O } ( \{ T _ { t } \} _ { t > 0 } , \{ t _ { j } \} _ { j \in \mathbb { N } } ) ( f ) ( x ) : = \mathcal { O } ( \{ T _ { t } ( f ) ( x ) \} _ { t > 0 } , \{ t _ { j } \} _ { j \in \mathbb { N } } ) } \\ { \mathrm { a n d } } \\ & { \Lambda ( \{ T _ { t } \} _ { t > 0 } , \lambda ) ( f ) ( x ) : = \Lambda ( \{ T _ { t } ( f ) ( x ) \} _ { t > 0 } , \lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { } \frac { \mathrm { d } P } { \mathrm { d } t } = F ( R , t ) = - \frac { \partial } { \partial R } \, \Big ( V ( R ) - d ( R ) E ( t ) \Big ) , } \\ { P = \mu \, \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } t } , } \end{array}
- \frac { 2 N } { \kappa ^ { 3 } } ( e ^ { G / 2 } ) _ { , A B } \chi ^ { A } \phi ^ { B } - \frac { 2 } { \kappa ^ { 3 } } N ( e ^ { G / 2 } ) _ { , \bar { A } \bar { B } } \bar { \phi } ^ { \bar { A } } \bar { \chi } ^ { \bar { B } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { m _ { 1 } ( 1 - y ) + y m _ { 2 } } { ( 1 - y ) m _ { 1 } ^ { 2 } + y m _ { 2 } ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } = } \\ & { } & { P \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { m _ { 1 } ( 1 - y ) + y m _ { 2 } } { ( 1 - y ) m _ { 1 } ^ { 2 } + y m _ { 2 } ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } + } \\ & { } & { + \left[ \frac { m _ { 1 } ( 1 - \hat { a } ) + \hat { a } m _ { 2 } } { \hat { b } } - \frac { m _ { 1 } - m _ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } \right] 2 \pi i n _ { 1 } + \left[ \frac { m _ { 1 } ( 1 - \hat { a } ) + \hat { a } m _ { 2 } } { \hat { b } } - \frac { m _ { 2 } - m _ { 1 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } \right] 2 \pi i n _ { 2 } , } \end{array}
\frac { \partial \rho } { \partial t } = - \frac { \partial } { \partial \omega } \left( c _ { 1 } ( \omega ) \rho \right) + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \omega ^ { 2 } } \left( \frac { \epsilon ( \omega ) ^ { 2 } } { 2 } \rho \right) .
{ { M } _ { + } } \left( { { q } _ { x } } \right) { { \varphi } _ { i } } \left( { { q } _ { x } } \right) \equiv { { M } _ { + } } \left( { { q } _ { x } } \right) \frac { i { { \varphi } _ { i } } } { { { q } _ { x } } - { { q } _ { i } } } = \underbrace { \left[ { { M } _ { + } } \left( { { q } _ { x } } \right) - { { M } _ { + } } \left( { { q } _ { i } } \right) \right] \frac { i { { \varphi } _ { i } } } { { { q } _ { x } } - { { q } _ { i } } } } _ { U H P \ a n a l y t i c } + \underbrace { { { M } _ { + } } \left( { { q } _ { i } } \right) \frac { i { { \varphi } _ { i } } } { { { q } _ { x } } - { { q } _ { i } } } } _ { L H P \ a n a l y t i c } .