harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d P _ { j , x } } { d t } = } & { \omega _ { j } P _ { j , y } - \gamma B _ { y } P _ { j , z } - \frac { P _ { j , x } } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d P _ { j , y } } { d t } = } & { - \omega _ { j } P _ { j , x } + \gamma B _ { x } P _ { j , z } - \frac { P _ { j , y } } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d P _ { j , z } } { d t } = } & { \gamma B _ { y } P _ { j , x } - \gamma B _ { x } P _ { j , y } - \frac { P _ { j , z } } { T _ { 1 } } + G ( P _ { 0 } - P _ { j , z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textstyle - \big ( ( \alpha + \beta ) \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } + \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } + \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( u _ { i } - u ) \big ) \big ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma - \frac { \varepsilon ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } \big ) } \\ & { \textstyle \qquad - \big ( \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } \big ) \big ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } A v / \sigma + \frac { \varepsilon ( A v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( A v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } \big ) } \\ & { \textstyle \qquad + \big ( \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - b \varepsilon ^ { - 1 / 2 } - c + 1 \big ) \big ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } B v / \sigma - \frac { \varepsilon ( B v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( B v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } \big ) + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) . } \end{array}
b _ { 0 } ( K , t ) = b ( K , t ) + \int \int \int \overline { { { \mu } } } _ { K , P } ^ { ( - ) } ( K ^ { \prime } , P ^ { \prime } ) b ^ { \ast } ( P , t ) b ( P ^ { \prime } , t ) b ( K ^ { \prime } , t ) d K ^ { \prime } d P ^ { \prime } d P + O _ { 2 , 3 }
X ^ { A } = \frac { 8 } { 3 } e ^ { 3 } \left[ - 2 e + ( 1 + e ^ { 2 } ) L \right] ^ { - 1 } \: \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \: Y ^ { A } = \frac { 1 6 } { 3 } e ^ { 3 } \left[ 2 e + ( 3 e ^ { 2 } - 1 ) L \right] ^ { - 1 } ,
P ( q , q ^ { \prime } ) = \sum _ { k = 0 , k ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! k ^ { \prime } ! } q ^ { n _ { 1 } } . . . q ^ { n _ { k ^ { \prime } } } q ^ { \prime } { } ^ { m _ { 1 } } . . . q ^ { \prime } { } ^ { m _ { k } } P _ { \{ m _ { 1 } . . . m _ { k } | n _ { 1 } . . . n _ { k ^ { \prime } } \} } ( \partial _ { l } ) .
\begin{array} { r } { C _ { i } = \frac { q \phi _ { i - 1 } ^ { i - 1 } ( q ) - R _ { 0 } P _ { 1 } \phi _ { i - 2 } ^ { i - 1 } ( q ) } { \prod _ { k = 0 } ^ { i - 1 } R _ { k } } , } \end{array}
\| \nabla \eta \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } + \| \rho \eta \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } + \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } \, \le \, C _ { 8 } Q _ { 0 } [ \eta ] \, ,
\sigma _ { \mathrm { e s s } , 1 } ( A ) \subset \sigma _ { \mathrm { e s s } , 2 } ( A ) \subset \sigma _ { \mathrm { e s s } , 3 } ( A ) \subset \sigma _ { \mathrm { e s s } , 4 } ( A ) \subset \sigma _ { \mathrm { e s s } , 5 } ( A ) \subset \sigma ( A ) .
\langle ( 1 - U ( x , t ) ) ^ { 2 } \rangle = { \frac { \alpha _ { s } N _ { c } } { 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tau \int _ { | z | < R ( \tau ) } d ^ { 2 } z { \frac { 1 } { ( x - z ) ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { x _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = \int _ { S } u _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } } ^ { \pm * } ( x , y ) x u _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \pm } ( x , y ) \, d x d y , } \\ { x _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = \exp \left[ \pm i \Psi _ { G } ( n _ { x } + n _ { y } - n _ { x } ^ { \prime } - n _ { y } ^ { \prime } ) \right] \int _ { S } \psi _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } } ^ { * \mathrm { H O } } ( x , y ) x \psi _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H O } } ( x , y ) \, d x d y , } \\ { x _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = x _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H O } } \exp \left[ \pm i \Psi _ { G } ( n _ { x } + n _ { y } - n _ { x } ^ { \prime } - n _ { y } ^ { \prime } ) \right] . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \int _ { - s + k _ { c } ^ { 2 } } ^ { - k _ { c } ^ { 2 } } d t \frac { t } { t ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } } = { \bf P } \int _ { - s + k _ { c } ^ { 2 } } ^ { - k _ { c } ^ { 2 } } d t \frac { t } { t ^ { 2 } } = \int _ { - s + k _ { c } ^ { 2 } } ^ { - k _ { c } ^ { 2 } } d t \frac { 1 } { t } .
\exp \left( \int _ { \mathbb { R } _ { + } } \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } t r } - 1 - \mathrm { i } t r \right) \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda r } \delta } { r ^ { 1 + \alpha } } \right) = \exp \left( \delta \Gamma ( - \alpha ) \left( ( \lambda - \mathrm { i } t ) ^ { \alpha } - \lambda ^ { \alpha } + \mathrm { i } t \alpha \lambda ^ { \alpha - 1 } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } \leq \left( \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 4 } ^ { 2 } + 2 \| \mathbf { u } \| _ { \infty } \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } \right) \| \nabla \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| v ^ { * } - v _ { * } \| _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } \leq \| v _ { 1 } - v _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } + \frac { C } { n } \operatorname* { m a x } _ { x \in \overline { { \omega } } } \mathrm { d i s t } ( x , \partial \Omega ) ^ { 1 / n } \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { n } ( \Omega ) } . } \end{array}
a _ { \mu } ^ { \xi } ( x ) : = \mathrm { t r } \{ \sigma _ { 3 } [ \xi ^ { \dagger } ( x ) { \cal A } _ { \mu } ( x ) \xi ( x ) + i g ^ { - 1 } \xi ^ { \dagger } ( x ) \partial _ { \mu } \xi ( x ) ] \} .
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { O } ( k ) } & { \to V _ { k } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \to G _ { k } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \\ { \mathrm { U } ( k ) } & { \to V _ { k } ( \mathbb { C } ^ { n } ) \to G _ { k } ( \mathbb { C } ^ { n } ) } \\ { \mathrm { S p } ( k ) } & { \to V _ { k } ( \mathbb { H } ^ { n } ) \to G _ { k } ( \mathbb { H } ^ { n } ) } \end{array} }
d s ^ { 2 } = \frac { \Delta \sigma ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } d t ^ { 2 } - \frac { r ^ { 2 } } { \Delta } d r ^ { 2 } - r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ) \, .
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } z } p + \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \bar { z } } \bar { p } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } z } \frac { \partial { \cal L } } { \partial v } + \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \bar { z } } \frac { \partial { \cal L } } { \partial \bar { v } } = \partial _ { \varphi } { \cal L } \, .
I ( t ) = I ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { t } d t \left[ t \ln \left( 1 - e ^ { - t } \right) \right] = I ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { t } d t \left[ t \ln \sinh \left( \frac { t } { 2 } \right) + t \ln 2 - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \right] \nonumber
I _ { \mathrm { ~ R ~ a ~ m ~ a ~ n ~ } } ( \omega _ { s } ) \propto \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \sum _ { i } \rho ( i ) \sum _ { f } \delta ( \omega _ { I } - \omega _ { s } - \omega _ { f i } ) \ \left\vert \alpha _ { f i } ( \omega _ { I } ) \right\vert ^ { 2 }
\operatorname { c u r l } \mathbf { A } = ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { r } \, { \hat { \boldsymbol { r } } } + ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \theta } \, { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \phi } \, { \hat { \boldsymbol { \phi } } } = { \frac { 1 } { r \sin \theta } } \left( { \frac { \partial ( A _ { \phi } \sin \theta ) } { \partial \theta } } - { \frac { \partial A _ { \theta } } { \partial \phi } } \right) { \hat { \boldsymbol { r } } } + { \frac { 1 } { r } } \left( { \frac { 1 } { \sin \theta } } { \frac { \partial A _ { r } } { \partial \phi } } - { \frac { \partial ( r A _ { \phi } ) } { \partial r } } \right) { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + { \frac { 1 } { r } } \left( { \frac { \partial ( r A _ { \theta } ) } { \partial r } } - { \frac { \partial A _ { r } } { \partial \theta } } \right) { \hat { \boldsymbol { \phi } } }
\sum _ { i } { { \nu _ { i } } \ln { x _ { i } } + \left[ { \frac { { \Delta \hat { G } _ { \mathrm { { r x n } } } ^ { \circ } } } { { R T } } + \sum _ { g } { { \nu _ { g } } \ln ( P / { P ^ { \circ } } ) } } \right] } = 0 .
\begin{array} { r } { \mathbf { A } _ { k } = \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k l } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } ^ { H } \mathbf { G } _ { k l } ^ { H } \right\} } - \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } \right\} \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } ^ { H } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } ^ { H } \right\} + \sigma ^ { 2 } \mathbf { S } _ { k } \right) ^ { - 1 } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } \right\} \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \langle \mathsf { S } \big ( \delta _ { x _ { 1 } } ^ { \psi _ { s _ { 1 } } } \big ) , \mathtt { u } _ { r } \, \mathtt { e } ^ { k _ { a } } \big \rangle _ { \star } = { \mathrm { e } } ^ { \, { \mathrm { i } } \, k _ { a } \cdot x _ { 1 } } \, \tilde { \mathsf { S } } _ { s _ { 1 } r } ^ { - } ( k _ { a } ) \qquad \mathrm { a n d } \qquad \big \langle \bar { \mathtt { u } } _ { r } \, \mathtt { e } ^ { k _ { a } } , \mathsf { S } \big ( \delta _ { x _ { 2 } } ^ { \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } } \big ) \big \rangle _ { \star } = { \mathrm { e } } ^ { \, { \mathrm { i } } \, k _ { a } \cdot x _ { 2 } } \, \tilde { \mathsf { S } } _ { r s _ { 2 } } ^ { + } ( k _ { a } ) \ , } \end{array}
J = \sum _ { \mu = 0 } ^ { N f - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { N f - 1 } C _ { \mu 0 } ( \eta ) \frac { \partial C _ { \mu k } ( \eta ) } { \partial \eta } x _ { k } + \sum _ { \mu = 0 } ^ { N f - 1 } C _ { \mu 0 } ( \eta ) \frac { \partial \tilde { q } _ { \mu } } { \partial \eta }
J \; = \; \frac { B } { 2 } \left( \rho _ { 0 r } ^ { 2 } \; + \frac { } { } \beta ^ { 2 } \rho _ { 0 \vartheta } ^ { 2 } \right) \; = \; \frac { 1 } { 2 B } \left( r ^ { \prime 2 } \; + \; r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \mu ^ { + } \mu ^ { - } } & { { } \to } & { f \bar { f } \, , } \\ { \mu ^ { + } \mu ^ { - } } & { { } \to } & { Z h \, , } \\ { \mu ^ { + } \mu ^ { - } } & { { } \to } & { W ^ { + } W ^ { - } \, , } \end{array}
\mathbf { A _ { 3 } } \Psi = \mathbf { A _ { 1 } Q _ { 1 } } \Phi _ { 1 } ^ { + } - \mathbf { A _ { 2 } Q _ { 2 } } \Phi _ { 2 } ^ { - } + \zeta X _ { y } + \beta X _ { z } ,
\mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) \rho ( \mathbf { x } , t ) = \sum _ { i = 0 } ^ { q - 1 } \mathbf { c _ { i } } f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) + \frac { \Delta t } { 2 } \mathbf { F } ( \mathbf { x } , t )
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ J _ { \psi _ { t } } \right] | _ { t = 0 } } & { = \left. \left[ \frac { \partial \, J _ { \psi _ { t } } } { \partial \, \nabla \psi _ { t } } \, { \cdot } \, \frac { \partial \, \nabla \psi _ { t } } { \partial t } \right] \right| _ { t = 0 } = \left. \left[ J _ { \psi _ { t } } ( \nabla \psi _ { t } ) ^ { - T } \, { \cdot } \, \nabla \left( \frac { \partial \psi _ { t } } { \partial t } \right) \right] \right| _ { t = 0 } } \\ & { = \left. \left[ J _ { \psi _ { t } } ( \nabla \psi _ { t } ) ^ { - T } \, { \cdot } \, \nabla \xi \right] \right| _ { t = 0 } = \mathrm { I } \, { \cdot } \, \nabla \xi = \nabla \cdot \xi , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta B _ { x } ( x , t ) \approx \mp \frac { k _ { y } } { \partial \omega _ { A } ^ { \prime } ( x ) t } \delta B _ { y } ( x , 0 ) e ^ { \pm \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { A } ( x ) t } , } \end{array}
P ( \ell ^ { - } \rightarrow W ^ { - } \nu _ { \ell } ) = \frac { 3 G _ { F } m _ { W } m _ { e } ^ { 3 } \chi } { 2 \pi \sqrt { 6 } p _ { 0 } } , \quad f o r \quad \chi \gg \biggl ( { \frac { m _ { W } } { m _ { e } } } \biggr ) ^ { 3 }
\begin{array} { r } { \bigl [ \hat { W } _ { m } ( z ) , \, \hat { C } _ { n } ( z ) \bigr ] = \frac { \delta _ { n m } } { \sqrt { 2 } } \left\{ \bigl ( f _ { n } , \hat { \phi } \bigr ) - \bigl ( \hat { \phi } , f _ { n } \bigr ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { n = 0 \to N - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } | | \nabla \phi _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } \right) + \frac { ( \Delta t ) ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left| \left| \frac { \nabla ( \phi _ { h } ^ { n + 1 } - \phi _ { h } ^ { n } ) } { ( \Delta t ) ^ { 2 } } \right| \right| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \lambda ( \Delta t ) ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left| \left| \frac { \nabla ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } - \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) } { ( \Delta t ) ^ { 2 } } \right| \right| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \nu \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } | | \nabla \mathbf { v } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \Delta t \gamma \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } | | \mathbf { M } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { \Omega } b \left( \phi _ { h } ^ { n } \right) \nabla \mu _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \mu _ { h } ^ { n + 1 } \leq C ( \phi _ { h } ^ { 0 } , \mathbf { F } _ { h } ^ { 0 } ) + C . } \end{array}
R _ { 3 3 } ^ { V } = - \overline { { u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 3 } ^ { \prime } } } + \frac { 2 } { 3 } k = 2 \nu _ { t } \frac { \partial \overline { { u } } _ { 3 } } { \partial x _ { 3 } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \bigg [ - \frac { \log { ( n ) } } { \sqrt { 2 } } - \frac { \gamma } { \sqrt { 2 } } \bigg ] \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array}
\frac { \partial T ^ { * } } { \partial t ^ { * } } - \alpha _ { \mathrm { { s } } } ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { W _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { s , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { s , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { \delta _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { s , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = \frac { S _ { \mathrm { h } } ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { s } } ^ { * } c _ { p , \mathrm { s } } ^ { * } }
\Omega _ { M } = \frac { \rho _ { m } } { 3 H ^ { 2 } } , \quad \Omega _ { k _ { 4 } } = - \frac { k _ { 4 } } { a _ { 4 } ^ { 2 } H ^ { 2 } } , \quad \Omega _ { \lambda _ { 4 } } = \frac { \lambda _ { 4 } } { 3 H ^ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c u r l } \mathbf { A } } & { = ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \rho } { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \phi } { \hat { \boldsymbol { \phi } } } + ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { z } { \hat { \boldsymbol { z } } } } \\ & { = \left( { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial A _ { z } } { \partial \phi } } - { \frac { \partial A _ { \phi } } { \partial z } } \right) { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + \left( { \frac { \partial A _ { \rho } } { \partial z } } - { \frac { \partial A _ { z } } { \partial \rho } } \right) { \hat { \boldsymbol { \phi } } } + { \frac { 1 } { \rho } } \left( { \frac { \partial ( \rho A _ { \phi } ) } { \partial \rho } } - { \frac { \partial A _ { \rho } } { \partial \phi } } \right) { \hat { \boldsymbol { z } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \| \partial _ { t } \tilde { \hat { u } } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { \rho } ^ { + } ) ) } \leq C e ^ { - \rho \hat { \sigma } ( \rho ) \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \right) } \| \partial _ { t } \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) ) } . } \end{array}
Z ( t ) \le e ^ { - \beta t } Z _ { 0 } + C S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } + 1 } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { e ^ { - \beta ( t - s ) } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } s \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } d s + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \beta ( t - s ) } Q \left( Z ( s ) \right) d s .
\begin{array} { r l } & { v _ { t } = - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left\langle v _ { s } , \varphi _ { n } \right\rangle \varphi _ { n } ( y _ { 3 } ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { S c } + \kappa _ { 2 } ) \lambda _ { n } t } \left( \cosh \left( \frac { a _ { n } t } { 2 } \right) + \frac { \lambda _ { n } \left( \mathrm { S c } + \kappa _ { 2 } \right) } { a _ { n } } \sinh \left( \frac { a _ { n } t } { 2 } \right) \right) , } \\ & { \left\langle v _ { s } , \varphi _ { n } \right\rangle = - \frac { 2 \gamma \cot ( \theta ) } { \mathrm { P e } _ { s } } \frac { 2 \sqrt { 2 } \pi \gamma ^ { 2 } \left( ( - 1 ) ^ { n } + 1 \right) n ( \cos ( \gamma ) - \cosh ( \gamma ) ) } { \left( 4 \gamma ^ { 4 } + \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \right) ( \sin ( \gamma ) + \sinh ( \gamma ) ) } . } \end{array}
\mathcal { Q } _ { T } ( a _ { i } , a _ { j } , a _ { k } ) = \sum _ { n _ { i } , n _ { j } , n _ { k } } \rho _ { T } ( n _ { i } ) \rho _ { T } ( n _ { j } ) \rho _ { T } ( n _ { k } ) \bigg ( 1 - \frac { 1 } { { \binom { N } { 2 } } } \bigg ) ^ { n _ { i } } \bigg ( 1 - \frac { 1 } { { \binom { N } { 2 } } } \bigg ) ^ { n _ { j } } \bigg ( 1 - \frac { 1 } { { \binom { N } { 2 } } } \bigg ) ^ { n _ { k } } ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } \lambda _ { - } ^ { \mathrm { d c } } } & { = \frac { \Gamma } { X ^ { 2 } - \Gamma ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \Gamma } { ( \mathrm { i } \delta + \gamma + \Gamma ) ^ { 2 } - \Gamma ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \Gamma } { \delta ( 2 \mathrm { i } ( \gamma + \Gamma ) - \delta ) + \gamma ^ { 2 } + 2 \gamma \Gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } \left( u _ { n _ { 1 } } - u _ { s } \right) } & { { } = \rho _ { 2 } \left( u _ { n _ { 2 } } - u _ { s } \right) , } \\ { p _ { 1 } + \rho _ { 1 } \left( u _ { n _ { 1 } } - u _ { s } \right) ^ { 2 } } & { { } = p _ { 2 } + \rho _ { 2 } \left( u _ { n _ { 2 } } - u _ { s } \right) ^ { 2 } } \\ { u _ { t _ { 1 } } } & { { } = u _ { t _ { 2 } } , } \\ { u _ { p _ { 1 } } } & { { } = u _ { p _ { 2 } } , } \\ { h _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( u _ { n _ { 1 } } - u _ { s } \right) ^ { 2 } } & { { } = h _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( u _ { n _ { 2 } } - u _ { s } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } \left( i _ { 1 } , \ldots , i _ { d } \right) = \sum _ { \alpha _ { 0 } , \ldots , \alpha _ { d - 1 } , \alpha _ { d } } } & { { } G _ { 1 } \left( \alpha _ { 0 } , i _ { 1 } , \alpha _ { 1 } \right) G _ { 2 } \left( \alpha _ { 1 } , i _ { 2 } , \alpha _ { 2 } \right) } \end{array}
E _ { R } = { \frac { ( \epsilon - 1 ) ^ { 2 } } { 4 \pi a } } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \nu ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \left[ F _ { l } ( \nu z ) - { \frac { t ^ { 4 } } { 4 } } + { \frac { t ^ { 1 0 } } { 8 \nu ^ { 2 } } } ( 1 + 8 z ^ { 2 } - 5 z ^ { 4 } + z ^ { 6 } ) \right] ,
p _ { i } ( { \mathcal I } _ { i } | G _ { i } ( { \mathcal I } _ { i - n _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ d ~ } } } , \dots , { \mathcal I } _ { i - 1 } , E _ { 0 } , \dots , E _ { 2 9 } , E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ) )
\begin{array} { r l } { \mathcal L _ { P } ( \{ \mathbf x _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { I } } , } & { \{ \theta _ { i } ^ { * } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { I } } ) = } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { I } } \mathcal { F } ( \mathbf { x } _ { i } ) + \frac { 1 } { 2 } k \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { I } + 1 } \mathcal L _ { G } ( \theta _ { i } ^ { * } , \mathbf x _ { i } , \mathbf x _ { i - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \mathrm { ( F W M ) } } } & { { } \sim \sum _ { i , j , k , u , v } \hat { s } ^ { * } ( \omega - \omega _ { i u } ) \hat { s } ( \omega - \omega _ { j v } ) \hat { s } ( \omega - \omega _ { k u } ) \rho _ { i j } ^ { ( 0 ) } M _ { i u } ^ { * } M _ { j v } M _ { k u } M _ { k v } ^ { * } e ^ { ( - i \omega _ { k v } - \gamma _ { k v } ) t } e ^ { ( i \omega _ { i u } - \gamma _ { i u } ) \tau _ { 1 2 } } \, . } \end{array}
P \left( a ^ { 2 } \right) = \frac { 1 } { \left| a - \bar { a } \left( t \right) \right| \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } \left( t \right) } } \exp \left[ - \frac { \left( a - \bar { a } \left( t \right) \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } \left( t \right) } \right] .
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 9 } + _ { 2 } } \\ & { = - \sum _ { x , w \leq m - n } \delta _ { p , j } \delta _ { q , i } e _ { w , x } ^ { ( 1 ) } e _ { x , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } \delta _ { p , j } \delta _ { q , i } e _ { x , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { = - \sum _ { x , w \leq m - n } \delta _ { p , j } \delta _ { q , i } W _ { w , x } ^ { ( 1 ) } W _ { x , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } \delta _ { p , j } \delta _ { q , i } \partial W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| M _ { 1 } \right| } & { = F ^ { ( 3 ) } ( r _ { 1 } ) F ^ { ( 2 ) } ( r _ { 2 } ) V ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) \ne 0 , } \\ { \left| M _ { 2 } \right| } & { = F ^ { ( 3 ) } ( r _ { 1 } ) F ^ { ( 2 ) } ( r _ { 2 } ) V ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) \ne 0 , } \\ { \left| M _ { 3 } \right| } & { = F ^ { ( 3 ) } ( r _ { 1 } ) V ( r _ { 1 } ) \ne 0 . } \end{array}
\langle D _ { 1 } ( v ^ { \prime } , \epsilon ) | \, \bar { c } \, \gamma ^ { \mu } \, b \, | B ( v ) \rangle = \sqrt { m _ { D _ { 1 } } \, m _ { B } } \, [ f _ { V _ { 1 } } \, \epsilon ^ { * \mu } + ( f _ { V _ { 2 } } v ^ { \mu } + f _ { V _ { 3 } } v ^ { \mu } ) \, ( \epsilon ^ { * } \cdot v ) ] \, ,
T _ { C } = \sqrt { \frac { 2 C _ { 0 } } { g } \left( { 1 + \mu ^ { 2 } } \right) } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { 0 } } { \sin \left( { \frac { \tau } { 2 } } \right) \frac { d \tau } { \sqrt { \mathrm { H } ( \tau ) } } } .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { e } } & { { } = } & { \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ } } - \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ a ~ n ~ a ~ } } } \\ { \| \mathbf { e } \| _ { L _ { 2 } } } & { { } = } & { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { V _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } J _ { i } ( \mathbf { e } ^ { \top } \mathbf { e } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 2 } ( H _ { e } ) } & { { } \equiv \frac { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } \left( H _ { i } - H _ { e , i } \right) ^ { 2 } } } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } C _ { e , i } ^ { 2 } } } } \\ { L _ { \infty } ( H _ { e } ) } & { { } \equiv \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , N _ { b } \} } \left| \frac { H _ { i } - H _ { e , i } } { C _ { e , i } } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { y \ln y - y \ln \mathbf { C } _ { 3 } + ( 1 - y ) \ln ( 1 - y ) - ( 1 - y ) \ln \mathbf { C } _ { 4 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { 1 } { 4 \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial f _ { 1 } ( c ) } { \partial c } = \frac { \partial f _ { 2 } ( c ) } { \partial c } } \\ { f _ { 1 } ( c ) = f _ { 2 } ( c ) } \end{array} \right. } \end{array}