harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
j ( q ) = q ^ { - 1 } + 7 4 4 + 1 9 6 8 8 4 q + 2 1 4 9 3 7 6 0 q ^ { 2 } + 8 6 4 2 9 9 9 7 0 q ^ { 3 } + 2 0 2 4 5 8 5 6 2 5 6 q ^ { 4 } + \cdots
T _ { U } ^ { \mu \nu , \, \alpha \beta } = \left[ - \frac 1 2 T _ { 1 } ( u ) + \frac 1 2 T _ { 2 } ( u ) - \frac 2 3 T _ { 3 } ( u ) + \frac 7 { 1 2 } T _ { 4 } ( u ) - \frac 1 3 T _ { 5 } ( u ) \right] ^ { \mu \nu , \, \alpha \beta }
\begin{array} { r l } { { 1 } \mathbf { c } _ { 3 } } & { { } = - 3 \mathbf { c } _ { 1 } + 5 \mathbf { c } _ { 2 } } \\ { \mathbf { c } _ { 5 } } & { { } = 2 \mathbf { c } _ { 1 } - \mathbf { c } _ { 2 } + 7 \mathbf { c } _ { 4 } } \\ { \mathbf { c } _ { 6 } } & { { } = 4 \mathbf { c } _ { 2 } - 9 \mathbf { c } _ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert \varphi - \mathbb E [ \varphi ^ { \nu } | \mathcal F ] \right\rVert _ { L ^ { \infty } } } & { { } \le \delta \left( \frac \delta \nu \left\lVert \partial _ { t } \varphi \right\rVert _ { L ^ { \infty } } + \left\lVert \nabla \varphi \right\rVert _ { L ^ { \infty } } \right) } \end{array}
C _ { \sigma } ( s ) = \frac { \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \sigma _ { i } ( s ) - \sigma _ { \mathrm { a v } } ) ( \sigma _ { i } ( 0 ) - \sigma _ { \mathrm { a v } } ) \right] } { \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \sigma _ { i } ( 0 ) - \sigma _ { \mathrm { a v } } ) ^ { 2 } \right] } .
\mathcal { L } \rho = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \mathcal { P } ^ { t } \rho - \rho } { t } = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \left( \frac { \mathcal { P } ^ { t } - \mathcal { I } } { t } \right) \rho
m ( \mathbf { x } _ { i } ) = E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } \, \mathbf { H } \, ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r } { v _ { n + 1 } = v _ { n } e ^ { i \delta _ { n } } t _ { n , n + 1 } + w _ { n + 1 } r _ { n + 1 , n } } \\ { w _ { n } = w _ { n + 1 } t _ { n + 1 , n } e ^ { i \delta _ { n } } + v _ { n } r _ { n , n + 1 } e ^ { 2 i \delta _ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) ) } & { = \frac { 1 } { M _ { \mathrm { r e a l } } - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { \mathrm { r e a l } } } \left( p _ { i } - \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) \right) ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { V a r } ( \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ) } & { = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { l o o p } } } \left( t _ { i } - \widehat { t } _ { l o o p - R \Sigma _ { R } R } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \rho } ^ { \mathrm { G R } } = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { R _ { p } ^ { \mathrm { G R } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { R _ { s } ^ { \mathrm { G R } } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) = \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { n ^ { 3 / 2 } } } & { { } \int _ { 0 } ^ { \Theta ^ { \prime } } d \theta ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( a , b ) = 0 . 1 , \quad p ( a , \bar { b } ) = 0 . 0 1 , \quad p ( \bar { a } , b ) = 0 . 0 1 , \quad p ( \bar { a } , \bar { b } ) = 0 . 8 8 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathcal { F } } { k _ { \mathrm { B } } T } } & { \equiv } & { \frac { \mathcal { F } ( N ; \langle R \rangle , \langle \mathrm { A L D } \rangle ) } { k _ { \mathrm { B } } T } } \\ & { \simeq } & { \frac { \langle R \rangle ^ { 2 } } { \langle \mathrm { A L D } \rangle ^ { 2 } } + \frac { \langle \mathrm { A L D } \rangle ^ { 2 } } { b ^ { 2 } N } + V ( N ; \langle R \rangle ) , } \end{array}
\left[ { \begin{array} { c } { X ( t ) } \\ { Y ( t ) } \end{array} } \right] = | | \mathbf { X } | | \mathrm { ~ e ~ } ^ { \Gamma t } \left[ { \begin{array} { c } { \sin { ( \omega t ) } } \\ { - \cos { ( \omega t ) } } \end{array} } \right]
{ \frac { \partial ^ { 2 } S _ { c l } ^ { ( n ) } } { \partial z _ { j } \partial { \bar { z } _ { k } } } } = - \left\langle { \frac { \partial } { \partial z _ { j } } } \, , { \frac { \partial } { \partial z _ { k } } } \right\rangle , \qquad j , k = 1 , \ldots , n - 3 ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \mathrm { P r a n d t l ~ n u m b e r } } & { \, \, \operatorname* { P r } } & { = \frac { \nu } { \alpha } , } \\ & { \mathrm { G a l i l e i ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { G a } } & { = \frac { g d ^ { 3 } } { \nu ^ { 3 } } , } \\ & { \mathrm { M a r a n g o n i ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { M a } } & { = \frac { - \sigma _ { T } T _ { \ast } d } { \mu \alpha } , } \\ & { \mathrm { B i o t ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { B i } } & { = \frac { d h } { \lambda } , } \\ & { \mathrm { P l a n c k ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { P l } } & { = \frac { \lambda } { \sigma _ { \mathrm { S B } } \, \varepsilon \, T _ { \ast } ^ { 3 } \, d } , } \\ & { \mathrm { L a s e r ~ p o w e r ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { L a } } & { = \frac { I _ { 0 } } { \lambda T _ { \ast } d } , } \\ & { \mathrm { M a g n e t i c ~ P r a n d t l ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { P m } } & { = \sigma _ { e } \, \mu _ { 0 } \, \nu , } \\ & { \mathrm { E c k e r t ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { E c } } & { = \frac { d ^ { 2 } c _ { p } T _ { \ast } } { \nu ^ { 2 } } , } \\ & { \mathrm { M a g n e t i c ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { M g } } & { = \frac { I _ { s } \, \mu _ { 0 } } { B _ { 0 } \, d } , } \\ & { \mathrm { S h i e l d i n g ~ p a r a m e t e r } } & { \, \, \mathrm { S p } } & { = \omega \, \mu _ { 0 } \, \sigma _ { e } \, d ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { J e t ~ R e y n o l d s ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { R e } _ { \mathrm { j e t } } } & { = \frac { u _ { \mathrm { j e t } } \, d } { \nu _ { \mathrm { g a s } } } , } \\ & { \mathrm { V i s c o s i t y ~ r a t i o } } & { \, \, \nu _ { \ast } } & { = \frac { \nu _ { \mathrm { g a s } } } { \nu } , } \\ & { \mathrm { R e y n o l d s ~ n u m b e r } } & { \, \, \mathrm { R e } } & { = \frac { u _ { \mathrm { m a x } } d } { \nu } . } \end{array}
{ \mathfrak { s p } } ( 2 l , F ) = \{ x \in { \mathfrak { g l } } ( 2 l , F ) | s x = - x ^ { t } s , s = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I _ { l } } \\ { - I _ { l } } & { 0 } \end{array} \right) } \}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) = \frac { { \bf E } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) + \sigma ^ { \prime } \mathrm { i } Z { \bf H } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } { 2 } } & { = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { + l } \left( \frac { { a _ { l m } ^ { \sigma } + \sigma ^ { \prime } b _ { l m } ^ { \sigma } } } { \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { { \boldsymbol { N } } _ { l m } ^ { h } ( { \bf r } ) + \sigma ^ { \prime } { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { h } ( { \bf r } ) } { \sqrt { 2 } } \right) = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { + l } D _ { l m } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \boldsymbol { \Phi } _ { l m } ^ { \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) , } \end{array}
\varepsilon _ { 0 } \approx - [ \mathrm { \bf ~ S } _ { D } ^ { f } ] _ { 0 , 0 } - \sum _ { s = 1 } ^ { s _ { \mathrm { m a x } } } \frac { [ \mathrm { \bf ~ K } ] _ { 0 , s } ^ { 2 } } { [ \mathrm { \bf ~ S } _ { V C } ^ { f } ] _ { s , s } } + \sum _ { s = 1 } ^ { s _ { \mathrm { m a x } } } \frac { [ \mathrm { \bf ~ S } _ { D } ^ { f } ] _ { 0 , s } ^ { 2 } } { [ \mathrm { \bf ~ S } _ { V C } ^ { f } ] _ { s , s } } .
\begin{array} { r } { q _ { j } ( x , y , z ) = \hat { A } _ { j } ( \frac { k _ { 1 R } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 R } ^ { 2 } } { \gamma } ) ^ { 1 / 2 } e ^ { i \eta _ { 1 I } } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ( \eta _ { 1 R } + \frac { R _ { 1 } } { 2 } ) , } \end{array}
\Pi _ { G } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { \pi } { \beta _ { 0 } } \alpha _ { G } ( Q ^ { 2 } ) + \mathrm { s u b t r a c t i o n s } = \frac { \pi ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda _ { G } ^ { 2 } ) } + \mathrm { s u b t r a c t i o n s } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { T r } { \left( v _ { x } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { x } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right) } = 2 v _ { F } ^ { 2 } F ( \omega ) F ( \omega - \Omega ) } \\ & { } & { \quad \times \left\{ \left( \hbar \omega - \hbar \Omega - g \right) ^ { 2 } \left( \hbar \omega - g \right) ^ { 2 } - \frac { ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } } { 4 } \left[ ( \hbar \Omega ) ^ { 2 } - \left( \hbar \Omega - 2 \hbar \omega - 2 g \right) ^ { 2 } \cos { ( 2 \varphi ) } \right] \right\} , } \\ & { } & { \mathrm { T r } { \left( v _ { y } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { y } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right) } = 2 v _ { F } ^ { 2 } F ( \omega ) F ( \omega - \Omega ) } \\ & { } & { \quad \times \left\{ \left( \hbar \omega - \hbar \Omega - g \right) ^ { 2 } \left( \hbar \omega - g \right) ^ { 2 } - \frac { ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } } { 4 } \left[ ( \hbar \Omega ) ^ { 2 } + \left( \hbar \Omega - 2 \hbar \omega + 2 g \right) ^ { 2 } \cos { ( 2 \varphi ) } \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s _ { d } ^ { \prime } } & { { } = } & { - \frac { \nu \tau } { 2 \Omega _ { r } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } + i \left\{ \frac { 1 } { \Omega _ { r } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } + \frac { \nu ^ { 2 } \tau } { 2 \Omega _ { r } ^ { 2 } } \cos \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } - \frac { \nu } { \Omega _ { r } ^ { 3 } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } \right\} , } \\ { s _ { a } ^ { \prime } } & { { } = } & { \frac { \Omega \nu } { \Omega _ { r } } \left( - \frac { 1 } { \Omega _ { r } ^ { 2 } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } + \frac { \tau } { 2 \Omega _ { r } } \cos \frac { \Omega _ { r } \tau } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { d a _ { 1 } } { d t } } & { { } = } & { - i f _ { 1 } a _ { 1 } - \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } a _ { 1 } - i g a _ { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { d a _ { 2 } } { d t } } & { { } = } & { - i f _ { 2 } a _ { 2 } - \frac { \gamma _ { 2 } } { 2 } a _ { 2 } - i g a _ { 1 } } \end{array}
T r ( W ^ { \prime } [ { \cal C } ] ) = T r ( P \left\{ e ^ { - \oint _ { \cal C } A ^ { \prime } } \right\} ) = T r ( e ^ { { { \frac { 2 \pi } { l } } ( r _ { + } - r _ { - } ) } T _ { 2 } } ) = 2 \cosh [ { \frac { \pi ( r _ { + } + r _ { - } ) } { l } } ] .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \theta \in \mathbb { R } ^ { p } } \mathbb { E } _ { \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } \in D } | \mathcal { L } G _ { \theta } ^ { \circ } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) - t ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( z , t ) } & { { } = \frac { H } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } v _ { i , x } ( t ) \delta \left[ z - z _ { i } ( t ) \right] } \\ { j ( z , t ) } & { { } = \frac { 1 } { A _ { \mathrm { s } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } c _ { i } v _ { i , x } ( t ) \delta \left[ z - z _ { i } ( t ) \right] } \\ { d ( z , t ) } & { { } = \frac { 1 } { A _ { \mathrm { s } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } v _ { i , x } ( t ) \left( \delta _ { i , \mathrm { w } } - f _ { \mathrm { w } } ^ { \mathrm { b } } \right) \delta \left[ z - z _ { i } ( t ) \right] } \end{array}
R ( z ; w ) = \frac { 4 } { 9 } Z _ { 2 } ^ { c ^ { 2 } } ( 2 ; 1 , w ) z ^ { 2 } + \frac { 8 } { 1 0 5 } Z _ { 2 } ^ { c ^ { 2 } } ( 3 ; 1 , w ) z ^ { 3 } + { \cal O } ( z ^ { 4 } )
\begin{array} { r l r } { \delta H _ { + i } ^ { ( 1 ) } } & { { } \simeq } & { \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { + } J _ { + } \delta \phi _ { + } , } \\ { \delta H _ { + e } ^ { ( 1 ) } } & { { } \simeq } & { - \frac { e } { T _ { e } } F _ { M } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { + } \delta \psi _ { + } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { a _ { k } ^ { \{ 1 , . . . , 2 ^ { m } \} } ( j ) } \\ { a _ { k } ^ { 2 ^ { m } + 1 } ( j ) } \\ { \vdots } \\ { a _ { k } ^ { 2 ^ { m } + n - 1 } ( j ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & & & & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & \\ & { \ddots } & { \ddots } \\ & & { \ddots } & { 1 } & \\ & & & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] _ { n \times n } \left[ \begin{array} { l } { a _ { k - 1 } ^ { \{ 1 , . . . , 2 ^ { m } \} } ( j ) } \\ { a _ { k - 1 } ^ { 2 ^ { m } + 1 } ( j ) } \\ { \vdots } \\ { a _ { k - 1 } ^ { 2 ^ { m } + n - 1 } ( j ) } \end{array} \right]
\dot { r } = p _ { r } \ \ \ , \ \ \ \dot { p } _ { r } = \frac { 1 } { r ^ { 3 } } p _ { \theta } ^ { 2 } \, - \, \omega ^ { 2 } r \ \ \ ; \ \ \ \dot { \theta } = \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + g ^ { 2 } \right) p _ { \theta } \ \ \ , \ \ \, d o t { p } _ { \theta } = 0 \ \ \ ,
\mathbf { P } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { P } _ { 1 1 } } & { \mathbf { P } _ { 1 2 } } \\ { \mathbf { P } _ { 2 1 } } & { \mathbf { P } _ { 2 2 } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { G ( \eta ) } & { = } & { \Upsilon \sqrt { \frac { \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } } \left( \sqrt { \log \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } \sqrt { \log \prod _ { j = 1 } ^ { N } J _ { j } } \cdot \log \xi \right) } \\ & { } & { + \Upsilon ^ { 2 } \frac { \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } \left( \log \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } \right) \left( \log \prod _ { j = 1 } ^ { N } J _ { j } \right) \cdot \log ^ { 2 } \xi + \Upsilon \sqrt { \frac { \log ( \eta ^ { - 1 } ) \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } } + \Upsilon ^ { 2 } \frac { \log ( \eta ^ { - 1 } ) \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { F G R } } & { = } & { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { i \in S _ { i } } \sum _ { f \in S _ { f } } p _ { i } \left| \langle \psi _ { f } | \hat { H } _ { c } | \psi _ { i } \rangle \right| ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t e ^ { i ( E _ { f } - E _ { i } ) t / \hbar } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { f \in S _ { f } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \langle \psi _ { f } | e ^ { i \hat { H } _ { 0 } t / \hbar } \hat { H } _ { c } e ^ { - i \hat { H } _ { 0 } t / \hbar } \hat { \rho } _ { i } \hat { H } _ { c } | \psi _ { f } \rangle } \\ & { = } & { \frac { 2 } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { f \in S _ { f } } \mathrm { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \langle \psi _ { f } | e ^ { i \hat { H } _ { 0 } t / \hbar } \hat { H } _ { c } e ^ { - i \hat { H } _ { 0 } t / \hbar } \hat { \rho } _ { i } \hat { H } _ { c } | \psi _ { f } \rangle . } \end{array}
\tilde { \mathcal { A } } \, = \, { \bf Q } _ { x } ^ { T } \, \left[ \begin{array} { c c } { { \bf 0 } } & { { \bf I } } \end{array} \right] \, { \bf Q } _ { z } \, { \bf G } _ { z } \, { \bf Q } _ { z } ^ { T } \, \left[ \begin{array} { c } { { \bf 0 } } \\ { { \bf I } } \end{array} \right] \, { \bf Q } _ { x } { \bf G } _ { x } ^ { + } \, \, \, \in \, \, \mathbb { R } ^ { r \times r } \mathrm { ~ , }
\sin \left( { \frac { \pi } { 6 0 } } \right) = \sin \left( 3 ^ { \circ } \right) = { \frac { 2 \left( 1 - { \sqrt { 3 } } \right) { \sqrt { 5 + { \sqrt { 5 } } } } + \left( { \sqrt { 1 0 } } - { \sqrt { 2 } } \right) \left( { \sqrt { 3 } } + 1 \right) } { 1 6 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { a ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) + k ^ { 2 } ( \varepsilon ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } ) , \boldsymbol { v } ) _ { \cal M } - \overline { { b ( \boldsymbol { v } , \phi _ { h } - \phi ) } } = 0 \ \ \forall \boldsymbol { v } \in { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) , \ \ \ \ } \\ & { } & { b ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } , q ) + c ( \phi _ { h } - \phi , q ) = 0 \ \ \ \ \forall q \in M _ { p } ( { \cal M } ) . } \end{array}
( \mathbb { J } _ { k } ( \underline { { u } } ) ) ^ { 2 } = ( \sum _ { i < k } C _ { i } \mathbb { J } _ { i } ( \underline { { u } } _ { k - 1 } ) ) \otimes \mathbb { T } ( s _ { a _ { k } } ) \otimes \mathbb { I d } _ { \underline { { u } } _ { > k } } = \sum _ { i < k } C _ { i } \mathbb { J } _ { i } ( \underline { { u } } ) \mathbb { J } _ { k } ( \underline { { u } } ) .
\begin{array} { r } { \frac { \mu ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \rho _ { 0 } - b C _ { 1 } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 - \rho _ { 0 } } { g } + \frac { b \tau H ( d _ { 1 } ) } { g \rho _ { 0 } } , } \\ { \frac { \mu ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \rho _ { 0 } - a C _ { 1 } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 - \rho _ { 0 } } { g } - \frac { a \tau H ( d _ { 1 } ) } { g \rho _ { 0 } } . } \end{array}
u _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 4 k _ { 1 } } ~ ~ , ~ ~ v _ { 2 } = - 2 k _ { 2 } \hat { A } _ { 2 } - 6 k _ { 2 } \hat { A } _ { 3 } - 2 k _ { 3 } \hat { A } _ { 2 } + \hat { A } _ { 1 } \hat { d } _ { 0 } - 1 2 k _ { 1 } \hat { A } _ { 3 } ,
\begin{array} { r l r } { k U _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p ^ { \alpha } d p \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \cos ( p x ) \cos ( p x ^ { \prime } ) U _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } - U _ { 1 } ^ { 3 } - U _ { 2 } } & { = } & { 0 , } \\ { k U _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p ^ { \alpha } d p \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \cos ( p x ) \cos ( p x ^ { \prime } ) U _ { 2 } ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } - U _ { 2 } ^ { 3 } - U _ { 1 } } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi _ { 3 } = } & { c \mathbb { E } \big ( ( \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } - \tilde { \mathbf { x } } ^ { \ast } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { L } ( \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } - \tilde { \mathbf { e } } _ { k } ) \big ) = - c \mathbb { E } ( \tilde { \mathbf { e } } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { L } \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } ) , } \\ { = } & { c \mathbb { E } \big ( ( \tilde { \mathbf { y } } _ { k + 1 } - \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { L } \tilde { \mathbf { e } } _ { k } \big ) = c \mathbb { E } \big ( ( \tilde { \mathbf { y } } _ { k + 1 } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { L } \tilde { \mathbf { e } } _ { k } \big ) } \\ { = } & { 2 c \mathbb { E } \big ( ( \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } _ { k } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } \tilde { \mathbf { e } } _ { k } \big ) , } \\ { \leq } & { 4 c \mathbb { E } ( \| \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } _ { k } \| ^ { 2 } ) + \frac { c \lambda _ { n } } { 2 } \mathbb { E } ( \| \tilde { \mathbf { e } } _ { k } \| ^ { 2 } ) } \\ { \Xi _ { 2 } = } & { - 2 c \mathbb { E } \big ( \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } ) \big ) } \\ { = } & { - 2 c \mathbb { E } \big ( ( \tilde { \mathbf { y } } _ { k + 1 } - \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } ) \big ) } \\ { = } & { 4 c \mathbb { E } \bigg ( \left\| \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } - \left\| \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } - \left\| \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { k + 1 } \right\| ^ { 2 } \bigg ) } \\ { } & { + c \mathbb { E } ( \| \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } \| _ { \mathbf { L } } ^ { 2 } ) } \\ { \leq } & { 4 c \mathbb { E } \bigg ( \left\| \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } - \left\| \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } - \left\| \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { k + 1 } \right\| ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { + c \lambda _ { n } \mathbb { E } ( \| \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } \| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathbb { P } _ { \sigma ( \mathfrak { L } | _ { S ^ { c } } ) } ( \mathfrak { L } | _ { S } = f ) } { \mathbb { P } _ { \sigma ( \mathfrak { L } | _ { S ^ { c } } ) } ( B | _ { S } = f ) } = \frac { \mathbf { 1 } ( f _ { i } ( r ) > f _ { i + 1 } ( r ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } ( i , r ) \in S _ { 2 } ) } { Z ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { j } } & { { } : = \frac 1 k \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } ( \log ( X _ { ( n - i ) } ) - \log ( X _ { ( n - k ) } ) ) ^ { j } \, , } \\ { \hat { \gamma } } & { { } : = M _ { 1 } + 1 - \frac 1 2 \left( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } } { M _ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \, , } \\ { \hat { \sigma } } & { { } : = \frac 1 2 X _ { ( n - k ) } M _ { 1 } \left( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } } { M _ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \, , } \\ { \hat { U } ( r ) } & { { } : = X _ { ( n - k ) } + \hat { \sigma } \frac { \left( \frac { r k } { n } \right) ^ { \hat { \gamma } } - 1 } { \hat { \gamma } } \, . } \end{array}
( \bar { Q } _ { L } , \bar { \chi } _ { L } , \bar { \psi } _ { L } ) \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { m _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { m _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { m _ { 3 } } } \\ { { 0 } } & { { m _ { 4 } } } & { { M ^ { U } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { t _ { R } } } \\ { { \chi _ { R } } } \\ { { \psi _ { R } } } \end{array} \right)
\mathcal { L } \boldsymbol { P } ( z ) = \left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { L } P _ { 0 } ( z ) } & { \hdots } & { \mathcal { L } P _ { n } ( z ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { Q _ { 0 } ( z ) } & { \hdots } & { Q _ { m } ( z ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { L _ { 0 , 0 } } & { \hdots } & { L _ { 0 , n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { L _ { m , 0 } } & { \hdots } & { L _ { m , n } } \end{array} \right) ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \omega + u ( y ) \partial _ { x } \omega - u ^ { \prime \prime } ( y ) \partial _ { x } \psi - \theta ^ { \prime } ( y ) \partial _ { x } P + \partial _ { y } P \partial _ { x } d - \partial _ { x } P \partial _ { y } d + U \cdot \nabla \omega = 0 , } \\ & { \partial _ { t } d + u ( y ) \partial _ { x } d + \theta ^ { \prime } ( y ) \partial _ { x } \psi + U \cdot \nabla d = 0 , } \end{array} \right.
\frac { 1 } { F ^ { \prime \prime } } ( J ^ { \prime \prime } + F ^ { \prime \prime } + 2 ) ( J ^ { \prime \prime } + F ^ { \prime \prime } + 1 ) ( J ^ { \prime \prime } + F ^ { \prime \prime } - 1 ) ( J ^ { \prime \prime } + F ^ { \prime \prime } - 2 ) ,
\frac { \partial } { \partial t } \rho \mathbf { v } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf { v v } - \mathbf { B B } + \mathbf { I } p ) = - \rho \nabla \Phi - 2 \rho \mathbf { \Omega _ { z } } \times { \bf v } - \rho \mathbf { \Omega _ { z } } \times \left( { \bf e } _ { z } \times { \bf r } \right) ,
\begin{array} { r l r } { Q ^ { ( l ) } ( E ) } & { = } & { 2 \pi \int \left( 1 - \cos ^ { l } \theta \right) \sigma ( E , \theta ) \sin \theta \mathrm { d } \theta } \\ { \Omega ^ { ( l , s ) } ( T ) } & { = } & { 2 \int \frac { \mathrm { e } ^ { - E / ( k _ { \mathrm { B } } T ) } } { ( s + 1 ) ! } \left( \frac { E } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) ^ { s + 1 } Q ^ { ( l ) } ~ \frac { \mathrm { d } E } { k _ { \mathrm { B } } T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \partial _ { t } \mathbf { v } _ { \varepsilon } + \mathbf { v } _ { \varepsilon } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { \varepsilon } - \operatorname { d i v } ( 2 \nu ( c _ { \varepsilon } ) D \mathbf { v } _ { \varepsilon } ) + \nabla p _ { \varepsilon } } & { = - \varepsilon \Delta c _ { \varepsilon } \nabla c _ { \varepsilon } , } \\ { \operatorname { d i v } \mathbf { v } _ { \varepsilon } } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } c _ { \varepsilon } + \mathbf { v } _ { \varepsilon } \cdot \nabla c _ { \varepsilon } } & { = \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Delta c _ { \epsilon } - \varepsilon ^ { - \frac { 3 } { 2 } } f ^ { \prime } ( c _ { \varepsilon } ) } \end{array}