harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \nabla \Delta \phi \| ^ { 2 } \leq } & { \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } \| \nabla \phi _ { t } \| ^ { 2 } + C \| \Delta u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } E _ { 0 } ^ { \frac { 5 } { 4 } } ( t ) + C \| \Delta u \| E _ { 0 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) + C E _ { 0 } ( t ) + C E _ { 0 } ^ { 3 } ( t ) } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } \| \nabla \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \Delta u \| ^ { 2 } + C ( 1 + E _ { 0 } ^ { 4 } ( t ) ) E _ { 0 } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { { \partial ^ { 2 } } { { \hat { R } } _ { 2 } } \left( { { p _ { 2 } } } \right) } } { { { \partial ^ { 2 } } { { \hat { R } } _ { 1 } } \left( { { p _ { 1 } } } \right) } } } & { = \left( { \partial \left( { \frac { { \partial { { \hat { R } } _ { 2 } } \left( { { p _ { 2 } } } \right) } } { { \partial { { \hat { R } } _ { 1 } } \left( { { p _ { 1 } } } \right) } } } \right) / \partial { p _ { 1 } } } \right) \left( { \partial { p _ { 1 } } / \partial { { \hat { R } } _ { 1 } } \left( { { p _ { 1 } } } \right) } \right) } \\ & { = - \frac { { { \Gamma _ { 2 } } \left( { \bf { \Theta } } \right) \left( { { \Gamma _ { 1 } } \left( { \bf { \Theta } } \right) + { \Gamma _ { 2 } } \left( { \bf { \Theta } } \right) + { P _ { \operatorname* { m a x } } } { \Gamma _ { 1 } } \left( { \bf { \Theta } } \right) { \Gamma _ { 2 } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } \right) } } { { { { \left( { \left( { 1 + { p _ { 2 } } { \Gamma _ { 2 } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } \right) { \Gamma _ { 1 } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } \right) } ^ { 2 } } } } \left( { 1 + { p _ { 1 } } { \Gamma _ { 1 } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } \right) < 0 , } \end{array}
\lambda = \frac { \lambda _ { \mathrm { U } } } { 2 \gamma ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { K _ { \mathrm { U } } ^ { 2 } } { 2 } \right) = 0 . 3 \ \mathrm { n m } \ \left( \frac { \lambda _ { \mathrm { U } } } { 1 \, \mathrm { m } } \right) \left( \frac { 1 / \gamma } { 2 \cdot 1 0 ^ { - 5 } } \right) ^ { 2 } \, \left( \frac { 1 + K _ { \mathrm { U } } ^ { 2 } / 2 } { 3 / 2 } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { { { \cal H } = \frac { 1 } { 2 } \pi _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { + \frac { \pi } { 2 e ^ { 2 } } \left( \partial _ { 1 } \pi _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \left( A ^ { 1 } - \frac { 1 } { 2 e \lambda } \partial _ { 1 } ( \phi _ { + } - \phi _ { - } ) \right) ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { + \frac { \pi } { 2 e ^ { 2 } } \phi ^ { 2 } - \frac { \pi } { e ^ { 2 } } \phi ( \partial _ { 1 } \pi _ { 1 } ) \ . } } \end{array}
\Delta _ { 2 2 } ^ { i j } = [ \pi _ { 0 } ( \pi . S ) \epsilon ^ { i j } + e ( F ^ { i j } S ^ { 2 } + S _ { b } F ^ { b i } S ^ { j } + S ^ { i } F ^ { j b } S _ { b } ] ~ ~ ; ~ ~ S ^ { 2 } = S _ { a } S ^ { a } .
\begin{array} { r l r } { x _ { h } ( t _ { n + 1 } ) } & { { } = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { t _ { n + 1 } ^ { k } x _ { 0 } ^ { ( k ) } } { k ! } + \frac { h ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha + 2 ) } F ( t _ { n + 1 } , x _ { h } ^ { P } ( t _ { n + 1 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \eta ( \theta _ { i } ) } & { = \mathbb { E } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \eta ( \theta _ { i } ) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \eta ( \theta _ { i } ) \mathbb { E } \sigma _ { i } = 0 , } \end{array}
u _ { r e l } = \frac { 2 } { N ( N - 1 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } \sqrt { \frac { < r _ { i j } ^ { 2 } > - < r _ { i j } > ^ { 2 } } { < r _ { i j } > ^ { 2 } } } .
L = \int d ^ { 3 } x \frac { R ^ { 3 } } { 2 } \Bigl [ \dot { \phi } ^ { 2 } - \frac { ( \nabla \phi ) ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } - ( m ^ { 2 } + \xi { } ^ { ( 4 ) } \mathrm { R } ) \phi ^ { 2 } \Bigr ] ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( \partial _ { z } ^ { 2 } + \partial _ { z } + z ^ { - 1 } L _ { S } ) u = \eta _ { z _ { 0 } } ( z ) \cdot \left( \mathscr { R } ( u ) + z ^ { - 1 } \mathscr { T } ( 0 ) \right) , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S \times ( z _ { 0 } / 1 2 , 3 z _ { 0 } / 4 ] ; } \\ { u ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = 0 , \ \ \ \Pi _ { < 0 } \partial _ { z } u ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = \varphi , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal G } ( \eta , k _ { \perp } ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) = \frac { \bar { \alpha } _ { s } } { x k _ { \perp } ^ { 2 } } \, J _ { 0 } ( 2 \sqrt { \bar { \alpha } _ { s } \ln ( 1 / \eta ) \ln ( \mu ^ { 2 } / k _ { \perp } ^ { 2 } ) } ) , \qquad k _ { \perp } ^ { 2 } < \mu ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { C _ { i j } } & { = } & { - \overline { { \rho } } \left\{ \, \langle \left[ { \langle u _ { i } \rangle \left( u _ { j } - \langle u _ { j } \rangle \right) } \right] \rangle + \langle \left[ { \left( u _ { i } - \langle u _ { i } \rangle \right) \langle u _ { j } \rangle } \right] \rangle \, \right\} } \\ & { = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \, \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \, \langle u _ { j } - \langle u _ { j } \rangle \rangle + \langle u _ { i } - \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \, \right] } \\ & { = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \, \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \, \left( \langle u _ { j } \rangle - \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \right) + \left( \langle u _ { i } \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \right) \, \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \, \right] } \\ { C _ { i j } } & { = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \, \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle u _ { j } \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle + \langle u _ { i } \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \, \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { u } ( \tilde { \mathbf { r } } ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathcal { D } } \frac { d \tilde { \mathbf { L } } ^ { \prime } \cdot \tilde { \mathbf { r } } } { \tilde { F } ( \tilde { \mathbf { r } } , \tilde { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } } \end{array}
{ \cal L } _ { + } ( \phi ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( \dot { \phi } ^ { 2 } - \phi ^ { 2 } ) + e A _ { + } ( \dot { \phi } - \phi ^ { \prime } ) + { \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } A _ { + } A _ { - } .
{ \begin{array} { r l } { F ( r ) } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { r } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \rho \left( 1 + { \frac { \rho ^ { 2 } } { \nu \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { - \nu / 2 - 1 } d \theta \; d \rho } \\ & { = { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { r } \rho \left( 1 + { \frac { \rho ^ { 2 } } { \nu \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { - \nu / 2 - 1 } d \rho } \\ & { = 1 - \left( 1 + { \frac { r ^ { 2 } } { \nu \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { - \nu / 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi , 0 } ) : t < \tau _ { \xi , 0 } \right] \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi , s } ) : t < \tau _ { \xi , s } \right] G ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ & { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left. \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \right| _ { \xi _ { 2 } = 0 + } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi , s } ) : t < \tau _ { \xi , s } \right] \theta _ { + } ( \xi _ { 1 } , s ) \textrm { d } \xi _ { 1 } \textrm { d } s } \\ & { - \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left. \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \right| _ { \xi _ { 2 } = 0 - } \mathbb { E } \left[ K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi , s } ) : t < \tau _ { \xi , s } \right] \theta _ { - } ( \xi _ { 1 } , s ) \textrm { d } \xi _ { 1 } \textrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \varphi } _ { n } ( t ) = \mathtt { d } ( n + 1 ) \varphi _ { n + 1 } ( t ) + \mathtt { c } \varphi _ { n - 1 } ( t ) - \mathtt { d } n \varphi _ { n } ( t ) - \mathtt { c } \varphi _ { n } ( t ) , } \end{array}
u ( x , t ) = u ( x , 0 ) \exp \Big ( - \frac { 1 } { 2 } \big ( 1 - \mathrm { i } \frac { \gamma } { \epsilon } ) \ln \big ( 1 - 2 \epsilon \lvert u ( x , 0 ) \rvert ^ { 2 } t \big ) \Big ) = \phi _ { B } ( t ) \big ( u ( x , 0 ) \big ) .
\mathcal { F } \left\{ \left( 1 - \phi \right) ^ { 2 } \boldsymbol { P } \left( \boldsymbol { F } , \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } } , \boldsymbol { \upalpha } \right) \right\} \cdot i \boldsymbol { \upxi } = 0
\frac { d N } { d t } = - \beta _ { \mathrm { 2 D } } \int _ { \mathcal { S } } n ^ { 2 } \mathrm { d } \tau = - \beta _ { \mathrm { 2 D } } \left< n \right> \equiv - \beta _ { \mathrm { 2 D } } \frac { N ^ { 2 } } { V _ { \mathrm { e f f } } } .
\varphi ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \gamma + \beta S _ { \infty } + \beta \alpha \nu P _ { \infty } + \beta \alpha \nu T _ { \infty } - \beta \alpha \nu T _ { \infty } \frac { ( 1 - e ^ { - x } ) } { x } } & { \mathrm { i f ~ } x > 0 } \\ { - \gamma + \beta S _ { \infty } + \beta \alpha \nu P _ { \infty } } & { \mathrm { i f ~ } x = 0 . } \end{array} \right.
F ( x , t ) = \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \hat { F } ^ { ( h ) } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \kappa + h \kappa _ { m } ) x + \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } , \quad h \in \mathbb { Z } .
{ C _ { 8 } } \mathrm { { = } } [ { C _ { 1 } } ( { C _ { 5 } } { C _ { 6 } } - \Omega _ { c } ^ { 2 } ) { \Omega _ { m } } + { C _ { 1 } } { C _ { 5 } } ( { \Omega _ { m } } - { C _ { 5 } } \Omega _ { c } ^ { 2 } ) ]
\begin{array} { r l } { \alpha _ { m } ^ { * } + \alpha _ { i - m } ^ { * } } & { = \alpha _ { m } \frac { d } { d + 1 } + \frac { m \alpha } { ( d + 1 ) 2 ^ { m - 1 } } + \alpha _ { i - m } \frac { d } { d + 1 } + \frac { ( i - m ) \alpha } { ( d + 1 ) 2 ^ { i - m - 1 } } } \\ & { = ( \alpha _ { m } + \alpha _ { i - m } ) \frac { d } { d + 1 } + \frac { \alpha } { ( d + 1 ) } \left( \frac { m } { 2 ^ { m - 1 } } + \frac { i - m } { 2 ^ { i - m - 1 } } \right) } \\ & { > \alpha _ { i } \frac { d } { d + 1 } + \frac { \alpha } { ( d + 1 ) } \left( \frac { m } { 2 ^ { i - 1 } } + \frac { i - m } { 2 ^ { i - 1 } } \right) \quad \mathrm { ( u s i n g ~ ) } } \\ & { = \alpha _ { i } ^ { * } . } \end{array}
\delta \sigma ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l } { \sigma _ { t } ^ { \prime } - \sigma _ { r } ^ { \prime } > 0 \mathrm { , ~ i f ~ } | \sigma _ { t } ^ { \prime } | > | \sigma _ { r } ^ { \prime } | , } \\ { \sigma _ { r } ^ { \prime } - \sigma _ { t } ^ { \prime } < 0 \mathrm { , ~ i f ~ } | \sigma _ { r } ^ { \prime } | > | \sigma _ { t } ^ { \prime } | . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { j } } & { { } = } & { \sqrt { 1 + 4 \alpha ( l _ { j } ^ { 2 } - 4 k _ { j } ^ { 2 } ) + 2 \beta l _ { j } + \beta ^ { 2 } l _ { j } ^ { 2 } } , \quad j = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \mathfrak h } ( \epsilon , s ) } & { = \prod _ { \operatorname* { g c d } ( \nu , \mathfrak h ) = 1 } \left( 1 - \frac { \epsilon ( \nu ) } { ( N \nu ) ^ { s } } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \sum _ { \operatorname* { g c d } ( \mathfrak a , \mathfrak h ) = 1 } \frac { \epsilon ( \mathfrak a ) } { ( N \mathfrak a ) ^ { s } } , } \end{array}
\frac { \partial \tilde { P } } { \partial x } = - \frac { k ^ { 2 } } { x _ { T } } \tilde { P } - q \frac { \partial \tilde { P } } { \partial k } + \frac { x _ { T } } { 4 \xi ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { P } } { \partial k ^ { 2 } } + z \left[ \tilde { P } ( k + 1 , x ) + \tilde { P } ( k - 1 , x ) \right] .
\begin{array} { r } { \mathsf { K } _ { \mathrm { K i r } } = \left( \begin{array} { l l } { \mathsf { F } _ { L } ^ { T } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathsf { F } _ { C } ^ { T } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq M \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle + 2 \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle + \frac { b } { { \mathrm { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \\ & { \qquad + a \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - a \left[ 2 \epsilon + C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 2 } } ^ { 2 } \right\rangle - C _ { \epsilon } a \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } { \mathrm { R a } } ^ { 2 } } \\ & { \qquad - a C \left[ C _ { \epsilon } \left( \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } { \mathrm { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } + 1 \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad - a ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
1 5 c _ { 0 } ^ { \chi ^ { 2 } } = 2 4 5 2 , \; \; c _ { 1 } ^ { \chi ^ { 2 } } = 1 7 7 4 , \; \; c _ { 2 } ^ { \chi ^ { 2 } } = 3 7 7 . 2 , \; \; c _ { 3 } ^ { \chi ^ { 2 } } = 2 0 . 4 5 ,
| \alpha \rangle : = \hat { D } ( \alpha ) | 0 \rangle = e ^ { - | \alpha | ^ { 2 } / 2 } e ^ { \alpha \hat { a } ^ { \dag } } | 0 \rangle = e ^ { - | \alpha | ^ { 2 } / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \alpha ^ { n } } { \sqrt { n ! } } | n \rangle .
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \; e ^ { - \psi } ( R - ( \alpha - \frac { 3 } { 2 } ) ( \nabla \psi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { \gamma \psi } ( \nabla \sigma ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \beta ) ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { z ^ { 2 } } & { - z \left( 2 - \frac { \Delta t ^ { 2 } \bar { p } ( 1 - \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { y } ) ( 4 + \gamma + \gamma \cos \beta _ { y } + \gamma \cos \beta _ { x } + \gamma \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { y } ) } { 2 \Delta x ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } \bar { \rho } } \right) } \\ & { + \left( 1 - \frac { 2 \Delta t ^ { 2 } \bar { p } ( 1 - \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { y } ) } { \Delta x ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } \bar { \rho } } \right) } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ f ~ e ~ } } \, \propto \, \frac { k _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ b ~ i ~ o ~ } } } { k _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ b ~ i ~ o ~ } } + k _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } } \Delta S
\begin{array} { r l } { \sum _ { \sigma \in \pi _ { j } } \mathbf { c } _ { \sigma ( k _ { 1 } , \ldots , k _ { j } ) } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { j } \sum _ { \sigma ^ { \prime } \in \pi _ { j - 1 } } \mathbf { c } _ { \sigma ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { i } ) , i } } \\ & { = \frac { 1 } { k _ { 1 } + \cdots + k _ { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { j } \sum _ { \sigma ^ { \prime } \in \pi _ { j - 1 } } \mathbf { c } _ { \sigma ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { i } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { k _ { 1 } + \cdots + k _ { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { j } \frac { 1 } { k _ { 1 } \cdots k _ { i - 1 } k _ { i + 1 } \cdots k _ { j } } } \\ & { = \frac { 1 } { k _ { 1 } \cdots k _ { j } } . } \end{array}
V ( \tilde { \tau } ) = J _ { \mathrm { M } } ( 1 - \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } \tilde { \tau } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 4 } \Omega _ { \mathrm { M } } ^ { 4 } \tilde { \tau } ^ { 4 } ) + \dots
{ \cal Z } ^ { p F } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; p ) = { \cal Z } ^ { p F } ( x _ { 1 } ; p ) { \cal Z } ^ { p F } ( x _ { 2 } ; p ) + x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } \, { \cal Z } ^ { p F } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; p - 2 ) ,
G _ { \mathrm { b r i d g e } } ( \vec { r } , t | \vec { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \vec { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) = \left( \frac { t _ { 2 } - t _ { 1 } } { 4 \pi D ( t _ { 2 } - t ) ( t - t _ { 1 } ) } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { ( \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } ) ^ { 2 } } { 4 D ( t _ { 2 } - t ) } - \frac { ( \vec { r } - \vec { r } _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 D ( t - t _ { 1 } ) } + \frac { ( \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 D ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) } \right) ,
\begin{array} { c l l } { { \Sigma ^ { A } = \left( \begin{array} { c c } { { \tilde { \gamma } ^ { A } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \gamma ^ { A } } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ \Sigma ^ { 6 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ \Sigma ^ { 7 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \\ { { { } } } & { { { } } } & { { { } } } \\ { { \tilde { \Sigma } ^ { A } = \left( \begin{array} { c c } { { \gamma ^ { A } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \tilde { \gamma } ^ { A } } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ \tilde { \Sigma } ^ { 6 } = - \Sigma ^ { 6 } ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ \tilde { \Sigma } ^ { 7 } = - \Sigma ^ { 7 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } W _ { 2 } ^ { 2 } ( q _ { T } , q _ { * } ) + W _ { 2 } ^ { 2 } ( p _ { T } , p _ { * } ) \leq } & { \frac { 4 } { \operatorname* { m i n } \{ \alpha _ { p _ { T } ^ { * } } , \alpha _ { q _ { T } ^ { * } } \} } \left\{ \mu ^ { T } \left[ \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { 0 } ^ { * } ) + \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { 0 } ^ { * } ) \right] \right. } \\ & { + \left. \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } \left[ 8 \epsilon + ( 1 0 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 3 2 ) T ^ { - J } \right] \right\} + 3 T ^ { - 2 J } , } \end{array}
U ( \mathbf { q } _ { 1 } , \mathbf { q } _ { 2 } , \dots , \mathbf { q } _ { N } ) = \sum _ { \{ i , j \} \in { \cal S } } \frac { 1 } { r _ { i j } } + \sum _ { \{ i , j \} \not \in { \cal S } } \frac { 1 } { r _ { i j } } ,
\begin{array} { c c } { \sigma _ { r } = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \frac { t } { \tau } \frac { \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } } ) ( \frac { t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 } + ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { t } { 2 \tau } ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) , } & { 0 \le t \le \eta \tau } \\ { \frac { t } { \tau } \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } } ) ( \eta \frac { \tau } { t } - 1 ) + 1 \right] + ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { t } { 2 \tau } ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) , } & { \eta \tau \le t \le \tau } \\ { ( 2 - \frac { t } { \tau } ) \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } } ) ( \eta \frac { \tau } { 2 \tau - t } - 1 ) + 1 \right] + ( \frac { t } { 2 \tau } - \frac { 1 } { 2 } ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) , } & { \tau \le t \le ( 2 - \eta ) \tau } \\ { ( 2 - \frac { t } { \tau } ) \frac { \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } } ) ( \frac { 2 \tau - t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 } + ( \frac { t } { 2 \tau } - \frac { 1 } { 2 } ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) , } & { ( 2 - \eta ) \tau \le t \le 2 \tau } \end{array} \right. } \\ { \sigma _ { \theta } = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \frac { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } { \frac { t } { \tau } \frac { \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } } ) ( \frac { t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 } + ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { t } { 2 \tau } ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } , } & { 0 \le t \le \eta \tau } \\ { \frac { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } { \frac { t } { \tau } \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } } ) ( \eta \frac { \tau } { t } - 1 ) + 1 \right] + ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { t } { 2 \tau } ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } , } & { \eta \tau \le t \le \tau } \\ { \frac { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } { ( 2 - \frac { t } { \tau } ) \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } } ) ( \eta \frac { \tau } { 2 \tau - t } - 1 ) + 1 \right] + ( \frac { t } { 2 \tau } - \frac { 1 } { 2 } ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } , } & { \tau \le t \le ( 2 - \eta ) \tau } \\ { \frac { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } { ( 2 - \frac { t } { \tau } ) \frac { \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } } ) ( \frac { 2 \tau - t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 } + ( \frac { t } { 2 \tau } - \frac { 1 } { 2 } ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } . } & { ( 2 - \eta ) \tau \le t \le 2 \tau } \end{array} \right. } \end{array}
\sqrt { { \frac { 4 v } { m _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } } } - 1 } \, \ln { \frac { v } { \Lambda ^ { 2 } } } = \pi - 2 \, \arctan \sqrt { { \frac { 4 v } { m _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } } } - 1 } \cdotp
{ \sqrt [ [object Object] ] { \cos ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) / \cos ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \cos ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) / \cos ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \cos ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) / \cos ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \int _ { \hat { \Omega } } \nabla \hat { y } _ { h } \cdot \nabla \eta _ { h } \, d \hat { x } = } & { \int _ { \hat { \Omega } } F \eta _ { h } \, d \hat { x } \quad \forall \eta _ { h } \in \mathbb { S } _ { h } ( \hat { \Omega } ) , } \\ { \int _ { \hat { \Omega } } \nabla \hat { p } _ { h } \cdot \nabla \eta _ { h } \, d \hat { x } = } & { - \int _ { \hat { \Omega } } j _ { y } ( \cdot , \hat { y } _ { h } ) \eta _ { h } \, d \hat { x } \quad \forall \eta _ { h } \in \mathbb { S } _ { h } ( \hat { \Omega } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } \in } & { \ H ^ { 2 } ( { \Gamma } , C _ { E } ) = H ^ { 2 } \big ( { \Gamma } , \mathrm { H o m } ( \mathbb { Z } , \mathbb { A } _ { E , S } ^ { \times } / O _ { E , S } ^ { \times } ) \big ) , } \\ { \alpha _ { 2 } \in } & { \ H ^ { 2 } \big ( { \Gamma } , \mathrm { H o m } ( \mathbb { Z } [ S _ { E } ] , \mathbb { A } _ { E , S } ^ { \times } ) \big ) , } \\ { \alpha _ { 3 } \in } & { \ H ^ { 2 } \big ( { \Gamma } , \mathrm { H o m } ( \mathbb { Z } [ S _ { E } ] _ { 0 } , O _ { E , S } ^ { \times } ) \big ) } \end{array}
\simeq { \frac { 1 } { r ^ { n } } } { \frac { r } { L } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d u { \frac { 1 } { ( 1 + u ^ { 2 } ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } = { \frac { 1 } { L r ^ { n - 1 } } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \sin ^ { n - 2 } \theta ,
\begin{array} { r l } { h \, \Phi _ { 0 , 1 } ( \varphi ) \! \! \! } & { = \sum _ { ( R ^ { 1 } ) , ( R ^ { 2 } ) } \varphi \bigl ( R _ { ( 1 ) } ^ { 1 } R _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \bigr ) \, h R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } R _ { ( 1 ) } ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { ( R ^ { 1 } ) , ( R ^ { 2 } ) , ( h ) } \varphi \! \left( S ^ { - 1 } ( h _ { ( 3 ) } ) h _ { ( 2 ) } R _ { ( 1 ) } ^ { 1 } R _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \right) \, h _ { ( 1 ) } R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } R _ { ( 1 ) } ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { ( R ^ { 1 } ) , ( R ^ { 2 } ) , ( h ) } \varphi \! \left( S ^ { - 1 } ( h _ { ( 3 ) } ) R _ { ( 1 ) } ^ { 1 } R _ { ( 2 ) } ^ { 2 } h _ { ( 2 ) } \right) \, R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } R _ { ( 1 ) } ^ { 2 } h _ { ( 1 ) } } \\ & { = \sum _ { ( h ) } \Phi _ { 0 , 1 } \! \left( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( S ^ { - 1 } ( h _ { ( 2 ) } ) \bigr ) ( \varphi ) \right) h _ { ( 1 ) } } \end{array}
\left( \partial - \mathrm { i } \frac { q } { \hbar } A \right) ^ { 2 } \! \Phi _ { H } - \frac { m ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \hbar } \Phi _ { H } - \hbar c ^ { 3 } \frac { \lambda } { 2 } \Phi _ { H } ^ { + } \Phi _ { H } ^ { 2 } = 0 .