harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { V } _ { h } ^ { k } = \{ \boldsymbol { v } \in C ^ { 1 } ( \Omega , \mathbb { R } ^ { d } ) : \boldsymbol { v } | _ { T } \in P _ { k } ( T , \mathbb { R } ^ { d } ) , T \in \mathcal { T } _ { h } \} , } \\ & { V _ { h } ^ { k } = \{ v \in C ^ { 1 } ( \Omega , \mathbb { R } ) : v | _ { T } \in P _ { k } ( T , \mathbb { R } ) , T \in \mathcal { T } _ { h } \} \, . } \end{array}
\left\langle \left\{ { \frac { \mathrm { R e p u b l i c a n } ( X ) : \neg \mathrm { P a c i f i s t } ( X ) } { \neg \mathrm { P a c i f i s t } ( X ) } } , { \frac { \mathrm { Q u a k e r } ( X ) : \mathrm { P a c i f i s t } ( X ) } { \mathrm { P a c i f i s t } ( X ) } } \right\} , \left\{ \mathrm { R e p u b l i c a n } ( \mathrm { N i x o n } ) , \mathrm { Q u a k e r } ( \mathrm { N i x o n } ) \right\} \right\rangle
\begin{array} { r l } & { 1 - [ 1 - \varepsilon _ { 1 } ] _ { + } \ast ( 1 - \varepsilon _ { 2 } ) ( x ) } \\ { = } & { 1 - \int _ { 0 } ^ { x } \bigl [ 1 - \alpha e ^ { - \upsilon ( x - y ) } \bigr ] _ { + } d \bigl ( 1 - e ^ { - \upsilon y } \bigr ) } \\ { = } & { 1 - \int _ { 0 } ^ { x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon } } \bigl ( 1 - \alpha e ^ { - \upsilon ( x - y ) } \bigr ) \bigl ( \upsilon e ^ { - \upsilon y } \bigr ) d y } \\ { = } & { 1 - \upsilon \int _ { 0 } ^ { x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon } } e ^ { - \upsilon y } d y + \alpha \upsilon e ^ { - \upsilon x } \int _ { 0 } ^ { x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon } } d y } \\ { = } & { e ^ { - \upsilon \bigl ( x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon } \bigr ) } + \alpha \upsilon e ^ { - \upsilon x } \biggl ( x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon } \biggr ) } \\ { = } & { ( [ \alpha ] _ { 1 } - \alpha [ \ln \alpha ] _ { + } + \alpha \upsilon x ) e ^ { - \upsilon x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { D } _ { j , k } ( \gamma _ { \mathfrak c , \mathfrak a } ) ( P ) } & { = - E _ { j , k } ( z ; \mathcal { L } _ { \mathfrak c } , \mathfrak a ) } \\ & { = - \left( ( N \mathfrak a ) E _ { j , k } ( z , \mathcal { L } _ { \mathfrak c } ) - E _ { j , k } ( z , \mathfrak a ^ { - 1 } \mathcal { L } _ { \mathfrak c } ) \right) } \\ & { = - \left( ( N \mathfrak a ) E _ { j , k } ( z , \mathcal { L } _ { \mathfrak c } ) - \Lambda ( \mathfrak a ) ^ { k - j } E _ { j , k } ( z , \mathcal { L } _ { \mathfrak c } ) ^ { ( \mathfrak a , \mathscr { R } ( \mathfrak m ) ) } \right) \ \textrm { b y \cite [ P r o p . ~ 3 . 3 ( i i i ) , p . ~ 5 8 ] { d S 8 7 } } } \\ & { = - \left( ( N \mathfrak a ) - \Lambda ( \mathfrak a ) ^ { k - j } ( \mathfrak a , \mathscr { R } ( \mathfrak m ) ) \right) E _ { j , k } ( z , \mathcal { L } _ { \mathfrak c } ) . } \end{array}
B _ { 3 1 } + B _ { 2 1 } = { \frac { 1 } { ( 1 / 4 ) - n _ { 2 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta } \left[ \mathrm { c o s } ( 4 S c \, n _ { 2 } ) + 4 \, S c \, n _ { 2 } \, \mathrm { s i n } ( ( 4 S c \, n _ { 2 } ) \right] + O ( S c ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { f i n d } \quad } & { \boldsymbol { X } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \operatorname { T r } \left( \mathbf { A } _ { j } \mathbf { X } \right) = y _ { j } , } \\ & { \sum _ { r } \left( \sum _ { s } \left| \mathbf { X } _ { r s } \right| ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } < \eta , } \\ & { \operatorname { r a n k } \left( \mathbf { X } \right) = 1 , ~ \mathbf { X } \succeq 0 . } \end{array}
\nabla u _ { \varepsilon } ( x ) = \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { y } u _ { 0 } \left( x , \frac { x } { \varepsilon } \right) + \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { i } ( \nabla _ { y } u _ { i + 1 } + \nabla _ { x } u _ { i } ) \left( x , \frac { x } { \varepsilon } \right) .
\begin{array} { r l r } { \rho ( { \bf x } , { \bf y } ; \beta ) } & { = } & { \frac { 1 } { N ! } \operatorname* { d e t } \{ \rho _ { 1 } ( x _ { i } , y _ { j } ; \beta ) \} _ { i , j = 1 } ^ { N } } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { q \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N ! } \operatorname* { d e t } \{ k _ { q } ( x _ { i } , y _ { j } ; \beta ) \} _ { i , j = 1 } ^ { N } } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { q \rightarrow \infty } K _ { q } ( { \bf x } , { \bf y } ; \beta ) ~ ~ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \left| { { \lambda } } \right\rangle } \left( z , \xi \right) = c { { \left( { { h } _ { \lambda } ^ { \prime } } \left( z \right) - { { \Omega } _ { 2 } ^ { \prime } } \left( z \right) { { h } _ { \lambda } } \left( { { z } _ { f } } \right) \right) } ^ { T } } { { \xi } _ { \lambda } } + { { \Omega } _ { 2 } ^ { \prime } } \left( z \right) { \left| { { \lambda } _ { f } } \right\rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \frac { 3 P _ { L } } { v _ { g } ^ { 2 } } \boldsymbol { u } _ { L } \partial _ { t } \boldsymbol { u } _ { L } = } \\ & { } & \\ & { } & { \quad = u _ { L } ^ { i } \left( - \frac { 3 P _ { L } } { v _ { g } ^ { 2 } } \frac { u _ { L } ^ { i } } { \tau _ { L } } \! - \! \nabla ^ { j } \Pi _ { L , E } ^ { i j } \! + \! n _ { L } e E ^ { i } \! + \! \frac { e } { c } \epsilon ^ { i j k } j ^ { j } B ^ { k } \right) } \\ & { } & \\ & { } & { \quad = - \frac { 3 P _ { L } } { v _ { g } ^ { 2 } } \frac { u _ { L } ^ { 2 } } { \tau _ { L } } \! + \! \frac { \partial u _ { L , i } } { \partial x _ { j } } \Pi _ { L , E } ^ { i j } \! + \! \frac { e } { c } \boldsymbol { u } _ { L } \! \cdot \! ( \boldsymbol { j } \! \times \! \boldsymbol { B } ) \! + \! e \varphi \boldsymbol { \nabla } \! \cdot \! \boldsymbol { j } } \\ & { } & \\ & { } & { \qquad \qquad - \nabla ^ { i } \left( u _ { L } ^ { j } \Pi _ { L , E } ^ { i j } + e j ^ { i } \varphi \right) . } \end{array}
Q _ { \epsilon } [ \eta _ { 4 } ] \, \ge \, \frac 1 4 \| \nabla \eta _ { 4 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + C \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \cup \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } } W _ { \epsilon } \, \rho _ { \gamma } ^ { 2 } \eta _ { 4 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X - \tilde { C } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } } W _ { \epsilon } \, \eta _ { 4 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } , \Omega } ( \nabla I _ { h } ^ { \textit { a v } } e _ { h } ) } & { \lesssim \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } { \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } ( T ) \vert } , \omega _ { T } } ( \nabla _ { \! h } e _ { h } ) } } \\ & { \quad + \| \omega _ { p } ( h _ { \mathcal { T } } ) ^ { 2 } \, ( 1 + \vert \nabla v _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } + \vert \nabla _ { \! h } e _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } ) \| _ { 1 , \Omega } \, . } \end{array} } \end{array}
f ^ { e q } = f _ { M a x w e l l } = \frac { \rho } { I _ { 0 } } \left( \frac { \beta } { \pi } \right) ^ { N / 2 } e x p \left( - \beta | \textbf { v } - \textbf { u } | ^ { 2 } \right) e x p \left( - I / I _ { 0 } \right)
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 1 } } & { = } & { \left[ \frac { \Delta \left( ( V _ { 1 } - V _ { 2 } ) ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) + ( V _ { 1 } - V _ { 2 } ) \sqrt { \Delta } \right) } { 2 V _ { 2 } \lambda ^ { 4 } } \right] ^ { 1 / 4 } \, , } \\ { \alpha _ { 2 } } & { = } & { \left[ \frac { 2 V _ { 2 } \Delta } { ( V _ { 1 } - V _ { 2 } ) ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) - ( V _ { 1 } - V _ { 2 } ) \sqrt { \Delta } } \right] ^ { 1 / 4 } \, , } \\ { \alpha _ { 3 } } & { = } & { \frac { V _ { 1 } - V _ { 2 } + \sqrt { \Delta } } { 2 \lambda } \, , } \\ { \alpha _ { 4 } } & { = } & { \left[ \frac { ( V _ { 1 } - V _ { 2 } ) ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) + ( V _ { 1 } - V _ { 2 } ) \sqrt { \Delta } } { ( V _ { 1 } - V _ { 2 } ) ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) - ( V _ { 1 } - V _ { 2 } ) \sqrt { \Delta } } \right] ^ { 1 / 4 } \, . } \end{array}
A _ { 4 } ^ { s } = \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 } d x ( 1 - x ) ^ { 2 n _ { 2 } n _ { 3 } - \varepsilon _ { 2 } \varepsilon _ { 3 } + \Delta _ { 2 } + \Delta _ { 3 } - R } F ( x ) ,
\frac { \partial L } { \partial u } - \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial L } { \partial \dot { u } } \right) + \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \frac { \partial \mathcal { R } } { \partial u _ { - } } \right] _ { \mathrm { P L } } d \tau = 0 .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 1 } } & { = T _ { 1 } + \Gamma ( T _ { 1 } ) , \quad M _ { 2 } = T _ { 2 } + \Gamma ( T _ { 2 } ) , } \\ { T _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 \gamma } \left[ \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { 0 } & { 0 } & { - \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \gamma / \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \\ { 0 } & { \gamma - 1 } & { 0 } & { - ( \gamma - 1 ) \beta _ { 1 } / \alpha _ { 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \gamma - 1 } & { - ( \gamma - 1 ) \beta _ { 2 } / \alpha _ { 2 } } \\ { - \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \gamma / \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } & { - ( \gamma - 1 ) \beta _ { 1 } / \alpha _ { 1 } } & { - ( \gamma - 1 ) \beta _ { 2 } / \alpha _ { 2 } } & { 2 - \gamma } \end{array} \right] , } \\ { T _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 \gamma } \left[ \begin{array} { l l l l } { \qquad 0 \qquad } & { \qquad 0 \qquad } & { \qquad 0 \qquad } & { \qquad 0 } \\ { \qquad 0 \qquad } & { \qquad 1 \qquad } & { \quad \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \gamma / \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \quad } & { \quad ( \gamma - 1 ) \beta _ { 1 } / \alpha _ { 1 } } \\ { \qquad 0 \qquad } & { \quad \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \gamma / \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \quad } & { \qquad 1 \qquad } & { \quad ( \gamma - 1 ) \beta _ { 2 } / \alpha _ { 2 } } \\ { \qquad 0 \qquad } & { \quad ( \gamma - 1 ) \beta _ { 1 } / \alpha _ { 1 } \quad } & { \quad ( \gamma - 1 ) \beta _ { 2 } / \alpha _ { 2 } \quad } & { \quad 2 ( \gamma - 1 ) } \end{array} \right] , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } } & { { } = A ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { \boldsymbol { A u } } & { { } = ( A u ) ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \mathcal { A } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { p } } \\ { \boldsymbol { p } } & { { } = p ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) - \frac { \Delta t \, \mathcal { A } } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \right) . } \end{array}
\hat { a } _ { j } ( \vec { q } , \Omega , z ) = e ^ { - i k _ { z j } ( \vec { q } , \Omega ) z } \hat { A } _ { j } ( \vec { w } , z ) , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad k _ { j z } ( \vec { q } , \Omega ) = \sqrt { k _ { j } ^ { 2 } ( \vec { q } , \Omega ) - q ^ { 2 } } \, ,
S ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { c c } { a _ { 1 } } & { 0 } \\ { a _ { 2 } } & { a _ { 1 } } \end{array} \right) , \quad S ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } ) = \left( \begin{array} { c c c } { a _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 a _ { 2 } } & { a _ { 1 } } & { 0 } \\ { 4 a _ { 3 } } & { 2 a _ { 2 } } & { a _ { 1 } } \end{array} \right) , \quad S ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) = \left( \begin{array} { c c c c } { a _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 a _ { 2 } } & { a _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 2 a _ { 3 } } & { 4 a _ { 2 } } & { a _ { 1 } } & { 0 } \\ { 3 6 a _ { 4 } } & { 1 2 a _ { 3 } } & { 3 a _ { 2 } } & { a _ { 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \chi ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega ) } & { = \chi _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } } ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega ) } \\ & { + \int d r _ { 1 } d r _ { 2 } \chi _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } } ( { \bf r } , { \bf r } _ { 1 } , \omega ) f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { H X C } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) \chi ( { \bf r } _ { 2 } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega ) } \end{array}
H ^ { F } = \frac { i } { 4 \pi l _ { s } ^ { 2 } p ^ { + } } \int d \tau \int _ { 0 } ^ { 2 \pi l _ { s } ^ { 2 } p ^ { + } } d \sigma \left( S ^ { 1 } \dot { S } ^ { 1 } + S ^ { 2 } \dot { S } ^ { 2 } \right)
G _ { g } ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T } ^ { T } \langle P _ { g } ( \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 1 } ) \circ \phi _ { t } , \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } \mathrm { d } t + \langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 1 } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } \langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 2 } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } ,
\begin{array} { r } { f _ { L } \approx \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \chi ^ { 3 / 2 } \left( u ^ { 2 } + 2 u + 2 \right) e ^ { - u } ; \quad \chi u \gg 1 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } u \gg 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left\langle \partial _ { x } ^ { s - 2 } \nu \partial _ { z z } v , \frac { \partial _ { x } ^ { s - 2 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle } \\ { = } & { \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left( - \nu \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s - 2 } \partial _ { z } v } { \sqrt { \partial _ { z } v ^ { 1 } } } \right\| ^ { 2 } + \frac 1 2 \int \nu | \partial _ { x } ^ { s - 2 } v | ^ { 2 } \partial _ { z z } ( \frac 1 { \partial _ { z } v ^ { 1 } } ) d x d z \right) } \\ { \leq } & { - \nu \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s - 2 } \partial _ { z } v } { \sqrt { \partial _ { z } v ^ { 1 } } } \right\| ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa , \nu } \| u \| _ { \widehat { s - 2 } } ^ { 2 } ( 1 + \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | y _ { l } ^ { u ^ { \prime } } ( \mathbf { a } ) - y _ { l } ^ { u } ( \mathbf { a } ) | } & { = \left| \frac { 1 } { T _ { l } ( \mathbf { a } ) } \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } ( \mathbf { a } ) } y _ { u ^ { \prime } , t } - \frac { 1 } { T _ { l } ( \mathbf { a } ) } \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } ( \mathbf { a } ) } y _ { u , t } \right| } \\ & { = \left| \frac { 1 } { T _ { l } ( \mathbf { a } ) } \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } ( \mathbf { a } ) } ( y _ { u ^ { \prime } , t } - y _ { u , t } ) \right| } \\ & { = \left| \frac { 1 } { T _ { l } ( \mathbf { a } ) } \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } ( \mathbf { a } ) } ( f _ { u ^ { \prime } } ( \mathbf { x } _ { t } ) + \eta _ { u ^ { \prime } , t } - f _ { u } ( \mathbf { x } _ { t } ) - \eta _ { u , t } ) \right| } \\ & { \leq \frac { 1 } { T _ { l } ( \mathbf { a } ) } \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } ( \mathbf { a } ) } \left| f _ { u ^ { \prime } } ( \mathbf { x } _ { t } ) + \eta _ { u ^ { \prime } , t } - f _ { u } ( \mathbf { x } _ { t } ) - \eta _ { u , t } \right| . } \end{array}
\partial _ { t } J _ { l f } ^ { f } + q \int d \Omega \frac { p _ { z } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \frac { \partial f _ { l f } } { \partial z } = q \int d \Omega \frac { p _ { z } } { m } \Big [ \partial _ { t } + \frac { p _ { z } } { m } \partial _ { z } \Big ] f _ { l f } .
\begin{array} { r l } & { \zeta _ { j } ( x ) \delta _ { 1 / \tau ( t ) } ( \Delta _ { x } ( \tau ( t ) ) ) = \delta _ { 1 / \tau ( t ) } \big ( \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( \mathcal { X } _ { j } ( \tau ( t ) , x ) ) \big ) } \\ & { = \delta _ { t / \tau ( t ) } ( \delta _ { 1 / t } ( \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( \mathcal { X } _ { j } ( t , x ) ) ) ) \cdot } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \delta _ { 1 / \tau ( t ) } ( \varphi ( \mathcal { X } _ { j } ( t , x ) ) ^ { - 1 } \varphi ( \mathcal { X } _ { j } ( \tau ( t ) , x ) ) ) . } \end{array}
\psi \, = - 2 i \pi \, g ^ { 0 } \, \tau \, \int d p _ { 0 } ^ { \prime } d p _ { 0 } \delta ( p _ { 0 } ^ { \prime } \! - \! s _ { 1 } ) \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } K ^ { T } ( p _ { 0 } ^ { \prime } , p _ { 0 } ) \delta ( p _ { 0 } \! - \! s _ { 1 } ) \, \psi .
S \; \equiv \; - k \int d ^ { 2 } x \, d ^ { 2 } p \, f _ { 0 } \log ( f _ { 0 } ) \; = \; k N \left( \frac { m + 2 k T } { m + k T } - \log \frac { N } { V } + \log \Big ( k T ( m + k T ) \Big ) \right)
\Omega _ { a } ( \mathrm { s t r i n g } , \mathrm { l o o p } ) h ^ { 2 } = 1 . 1 \times 1 0 ^ { - 3 } \Delta \left( \frac { \alpha } { \kappa } \right) ^ { 3 / 2 } \left[ 1 - \left( 1 + \frac { \alpha } { \kappa } \right) ^ { - 3 / 2 } \right] \left( \frac { C _ { a } } { 0 . 4 } \right) \left( \frac { \Gamma _ { a } } { 6 5 } \right) \left( \frac { \zeta } { 1 3 } \right) \ .
\begin{array} { r } { \underbrace { \frac { u ^ { n + 1 } - u ^ { n } } { \Delta t } } _ { \partial _ { t } u ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } ( \Delta t ) \partial _ { t } ^ { 2 } u + \dots } = - a \delta _ { x } u + \nu \delta _ { x } ^ { 2 } u ^ { n } + | \lambda ^ { \prime } | \sum _ { k } \epsilon _ { k } ( \Delta x ) ^ { 2 k - 1 } \delta _ { x } ^ { 2 k } u ^ { n } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { I = \mathbf { A } _ { x } ^ { * } \mathbf { A } _ { x } + \mathbf { A } _ { y } ^ { * } \mathbf { A } _ { y } , \; Q = \mathbf { A } _ { x } ^ { * } \mathbf { A } _ { x } - \mathbf { A } _ { y } ^ { * } \mathbf { A } _ { y } , } \\ { U = \mathbf { A } _ { y } ^ { * } \mathbf { A } _ { x } + \mathbf { A } _ { x } ^ { * } \mathbf { A } _ { y } , \; V = i ( \mathbf { A } _ { y } ^ { * } \mathbf { A } _ { x } - \mathbf { A } _ { x } ^ { * } \mathbf { A } _ { y } ) . } \end{array}
\frac { \partial \tilde { S } } { \partial z _ { r } } = \frac { \partial ( \tilde { S } , \xi ) } { \partial ( z _ { r } , \xi ) } = \frac { 1 } { J } \frac { \partial ( S , \xi ) } { \partial ( \theta , S ) } = - \frac { 1 } { J } \frac { \partial \xi } { \partial \theta } = - \frac { 1 } { J } \left( \frac { \partial \psi } { \partial \theta } - \psi _ { r } ^ { \prime } ( z _ { r } ) \frac { \partial z _ { r } } { \partial \theta } \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \tilde { Y } _ { l } ^ { m } } { \partial z } = ( { F _ { l } ^ { | m | } } / { F _ { l - 1 } ^ { | m | } } ) ( l + m ) \tilde { Y } _ { m } ^ { l - 1 } , } \\ { \frac { \partial \tilde { Y } _ { l } ^ { l } } { \partial x } = - l ( 2 l - 1 ) ( { F _ { l } ^ { l } } / { F _ { l - 1 } ^ { l - 1 } } ) \tilde { Y } _ { l - 1 } ^ { l - 1 } } \end{array}
\left\langle { ( \delta { \hat { L } } _ { x } ) } ^ { 2 } \right\rangle \left\langle { ( \delta { \hat { L } } _ { y } ) } ^ { 2 } \right\rangle \left\langle { ( \delta { \hat { L } } _ { z } ) } ^ { 2 } ) \right\rangle \geq { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left\langle ( \delta { \hat { L } } _ { i } ) ^ { 2 } \right\rangle \left\langle { \hat { L } } _ { i } \right\rangle ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { E _ { \alpha } } & { = k _ { \mathrm { B } } T ^ { 2 } \frac { \partial \ln q _ { \alpha } } { \partial T } = \frac { \int _ { \Omega _ { \alpha } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } } \ \mathcal { H } } { \int _ { \Omega _ { \alpha } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } } } } \\ & { = \frac { 3 } { 2 } N k _ { \mathrm { B } } T + \left< U \right> _ { \alpha } } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } ( \Delta E ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \, \Delta E > 0 } \\ { \frac 1 2 , } & { \, \Delta E = 0 } \\ { 1 , } & { \, \Delta E < 0 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r l r l } { M _ { 1 } = 1 , } & { } & { M _ { 2 } = K _ { 1 } P _ { 1 } U _ { 1 } , } & { } & { M _ { i } = K _ { i - 1 } P _ { i - 1 } U _ { i - 1 } 2 ^ { ( 4 e ( m ) - t _ { i - 2 } ) \cdot ( 2 M _ { i - 1 } + 3 ) } } & { \mathrm { ~ f o r ~ \ensuremath { i \geq 3 } , } } \\ { U _ { 2 } = U _ { 1 } , } & { } & & { } & { U _ { i } = U _ { i - 1 } 2 ^ { ( 4 e ( m ) - t _ { i - 2 } ) \cdot ( 2 M _ { i - 1 } + 3 ) } } & { \mathrm { ~ f o r ~ \ensuremath { i \geq 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\| \int _ { 0 } ^ { t } T ( s ) B u ( s ) \, d s \right\| _ { X } } & { = } & { \left\| \int _ { k \tau } ^ { t \tau + t ^ { \prime } } T ( s ) B u ( s ) \, d s + \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \int _ { i \tau } ^ { ( i + 1 ) \tau } T ( s ) B u ( s ) \, d s \right\| _ { X } } \\ & { \leq } & { \left\| \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } T ( s + k \tau ) B u ( s + k \tau ) \, d s \right\| _ { X } + \left\| \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } T ( s + i \tau ) B u ( s + i \tau ) \, d s \right\| _ { X } } \\ & { \leq } & { \| T ( k \tau ) \| \left\| \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } T ( s ) B u ( s + k \tau ) \, d s \right\| _ { X } + \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \| T ( i \tau ) \| \left\| \int _ { 0 } ^ { \tau } T ( s ) B u ( s + i \tau ) \, d s \right\| _ { X } } \\ & { \leq } & { M e ^ { - \lambda k \tau } h ( t ^ { \prime } ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \| u ( s + k \tau ) \| _ { U } ^ { p } d s \Big ) ^ { 1 / p } + \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } M e ^ { - \lambda i \tau } h ( \tau ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { \tau } \| u ( s + i \tau ) \| _ { U } ^ { p } d s \Big ) ^ { 1 / p } } \\ & { \leq } & { M e ^ { - \lambda k \tau } h ( \tau ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| u ( s ) \| _ { U } ^ { p } d s \Big ) ^ { 1 / p } + \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } M e ^ { - \lambda i \tau } h ( \tau ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| u ( s ) \| _ { U } ^ { p } d s \Big ) ^ { 1 / p } } \\ & { \leq } & { \sum _ { i = 0 } ^ { k } M e ^ { - \lambda i \tau } h ( \tau ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| u ( s ) \| _ { U } ^ { p } d s \Big ) ^ { 1 / p } } \\ & { \leq } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } M e ^ { - \lambda i \tau } h ( \tau ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| u ( s ) \| _ { U } ^ { p } d s \Big ) ^ { 1 / p } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { \partial \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( \alpha , \alpha _ { 1 } , 1 ) } { \partial \alpha _ { 1 } } } \bigg | _ { \alpha _ { 1 } = 1 } = \log \left[ { 1 6 \, ( 2 - \alpha ) ^ { - ( 2 - \alpha ) } \, ( 2 + \alpha ) ^ { - ( 2 + \alpha ) } } \right] = - { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { \alpha ^ { 4 } } { 4 8 } } - { \frac { \alpha ^ { 6 } } { 4 8 0 } } + \mathcal { O } ( \alpha ^ { 8 } ) \, , } \end{array}
e _ { 3 } = - \frac { 2 4 \alpha } { M ^ { 2 } } \frac { 1 } { A ^ { 2 } } \bigg ( \frac { A ^ { \prime } } { A ^ { 2 } } \bigg ) ^ { \prime } \bigg ( \frac { \dot { A } } { A ^ { 2 } } \bigg ) ^ { \dot { \ } } .
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( i \nu _ { 2 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 2 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 3 } \tilde { \ln } _ { i } ( k - i ) + i \nu _ { 4 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 3 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 4 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 4 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 4 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 5 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 5 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 5 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \end{array}