harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
X _ { d } = 2 i g _ { L } \sum _ { \Xi \in \Delta _ { L } } x _ { d } ( \Xi \cdot q , \xi ) E _ { d } ( \Xi ) , \quad Y _ { d } = i g _ { L } \sum _ { \Xi \in \Delta _ { L } } y _ { d } ( \Xi \cdot q , \xi ) E _ { d } ( \Xi ) , \quad E _ { d } ( \Xi ) _ { \Upsilon \Omega } = \delta _ { \Upsilon - \Omega , 2 \Xi } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { S } _ { p p } = S _ { p p } S _ { p p } ^ { \prime } e ^ { - i \omega _ { p 2 } \tau } + S _ { h p } S _ { p h } ^ { \prime } e ^ { - i \omega _ { h 2 } \tau } , } \\ & { } & { \tilde { S } _ { h p } = S _ { p p } S _ { h p } ^ { \prime } e ^ { - i \omega _ { p 2 } \tau } + S _ { h p } S _ { h h } ^ { \prime } e ^ { - i \omega _ { h 2 } \tau } , } \\ & { } & { \tilde { S } _ { h h } = S _ { h h } S _ { h h } ^ { \prime } e ^ { - i \omega _ { h 2 } \tau } + S _ { p h } S _ { h p } ^ { \prime } e ^ { - i \omega _ { p 2 } \tau } , } \\ & { } & { \tilde { S } _ { p h } = S _ { h h } S _ { p h } ^ { \prime } e ^ { - i \omega _ { h 2 } \tau } + S _ { p h } S _ { p p } ^ { \prime } e ^ { - i \omega _ { p 2 } \tau } , } \end{array}
z \equiv \frac { 1 } { k } e ^ { \sigma ( y ) } = \frac { 1 } { k } e ^ { k \mid y \mid } \left[ 1 - \frac { \xi } { 8 } k y + \frac { \xi ^ { 2 } } { 1 2 8 } ( 3 k \mid y \mid + k ^ { 2 } y ^ { 2 } ) + \cdots \right] .
\begin{array} { r l } { \mathbf { K } ^ { \left( n \right) } \left( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { 0 } , \tau \right) = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \Bigg \langle \mathbf { x } \Bigg \vert \left( - \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \tau } - i \hbar \mathbf { L } ^ { \left( n \right) } \mathsf { d } \varepsilon \right) ^ { k } \Bigg \vert \mathbf { x } _ { 0 } \Bigg \rangle , } \end{array}
x \cdot ( \overbrace { 0 , \ldots , 0 } ^ { d _ { 1 } \mathrm { ~ c o p i e s } } , \overbrace { 1 , \ldots , 1 } ^ { k \mathrm { ~ c o p i e s } } , \overbrace { 0 , \ldots , 0 } ^ { d \mathrm { ~ c o p i e s } } ) = x \cdot ( \overbrace { 0 , \ldots , 0 } ^ { d _ { 1 } \mathrm { ~ c o p i e s } } , \overbrace { 0 , \ldots , 0 } ^ { k \mathrm { ~ c o p i e s } } , \overbrace { 1 , \ldots , 1 } ^ { d \mathrm { ~ c o p i e s } } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \ell _ { i } ^ { - } \sim _ { \epsilon } \ell _ { j } ^ { - } } & { { } \iff \operatorname* { P r } ( \mathtt { L } ^ { + } | \mathtt { L } ^ { - } = \ell _ { i } ^ { - } ) = \operatorname* { P r } ( \mathtt { L } ^ { + } | \mathtt { L } ^ { - } = \ell _ { j } ^ { - } ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d h } { d t } + v _ { \parallel } \mathbf b \cdot \nabla h + \mathbf v _ { d } \cdot \nabla h = C + \frac { q F _ { 0 } } { T _ { 0 } } \frac { \partial \chi } { \partial t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { X V S C F } } ( T ) } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] + \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] } \\ & { = } & { U ^ { ( 0 ) } + \Omega ^ { ( 1 ) } } \\ & { = } & { \Omega ^ { ( 0 ) } + \Omega ^ { ( 1 ) } + T S ^ { ( 0 ) } } \\ & { = } & { U ^ { ( 0 ) } + U ^ { ( 1 ) } - T S ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { E } \left[ ( \mathrm { I d } - \frac { t } { n } \mathscr { A } ) ^ { - n } f \right] g \ d \nu = \int _ { E } g T _ { t } f \ d \nu \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { E } \left[ ( \mathrm { I d } - \frac { t } { n } \mathscr { B } ) ^ { - n } g \right] f \ d \nu = \int _ { E } f S _ { t } g \ d \nu , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { = H _ { 1 1 } - H _ { 2 2 } - H _ { 3 3 } + H _ { 4 4 } } \\ & { = ( d _ { \uparrow } - d _ { \downarrow } ) ^ { 2 } , } \\ { J _ { \perp } } & { = 2 H _ { 2 3 } } \\ & { = 2 d _ { \uparrow \downarrow } ^ { 2 } - | d _ { \uparrow \downarrow } ^ { + } | ^ { 2 } - | d _ { \uparrow \downarrow } ^ { - } | ^ { 2 } , } \\ { W } & { = \frac { 1 } { 2 } ( H _ { 1 1 } - H _ { 4 4 } ) } \\ & { = ( d _ { \uparrow } ^ { 2 } - d _ { \downarrow } ^ { 2 } ) / 2 , } \\ { V } & { = \frac { 1 } { 4 } ( H _ { 1 1 } + H _ { 2 2 } + H _ { 3 3 } + H _ { 4 4 } ) } \\ & { = ( d _ { \uparrow } + d _ { \downarrow } ) ^ { 2 } / 4 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U } & { { } \simeq } & { 0 . 7 f _ { 0 } L , \quad \mathrm { i f } \quad L \ll L _ { c } } \\ { U } & { { } \simeq } & { 0 . 7 f _ { 0 } L _ { c } , \quad \mathrm { i f } \quad L \gg L _ { c } . } \end{array}
T \sim \left\{ \begin{array} { l l } { { \ln | u | , } } & { { A _ { 2 } \to A _ { 1 } , } } \\ { { { \frac { 1 } { | u | } } , } } & { { A _ { 2 , 3 } \to A _ { 1 } , } } \\ { { { \frac { \ln | u | } { | u | ^ { 2 } } } , } } & { { A _ { 2 , 3 , 4 } \to A _ { 1 } , } } \\ { { { \frac { 1 } { | u | ^ { 4 } } } , } } & { { A _ { 2 , \cdots , 5 } \to A _ { 1 } , } } \\ { { { \frac { 1 } { | u | ^ { 6 } } } , } } & { { A _ { 2 , \cdots , 6 } \to A _ { 1 } . } } \end{array} \right.
{ \cal B } _ { W Z W C } ^ { ( \varphi ) } + { \cal B } _ { W Z W } ^ { ( \varphi ) } = \frac \ell { 1 6 \pi G } \int _ { \cal V } \partial _ { \varphi } \left[ 2 \, Q _ { 2 } ^ { - 1 } \partial _ { r } Q _ { 2 } Q ^ { - 1 } \partial _ { t } Q - Q ^ { - 1 } \partial _ { r } Q Q ^ { - 1 } \partial _ { t } Q \right] \, d r \, d \varphi \, d t \, .
\begin{array} { r l r } { F _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } ( \theta ) = } & { { } } & { p _ { z } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k _ { o } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \ell = - \ell _ { \mathrm { m a x } } } ^ { \ell _ { \mathrm { m a x } } } \bigg [ b _ { n \ell } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { \star } ( x ) = \mathbf { 1 } \big ( x ^ { 2 } > l _ { \lambda } \big ) } \\ & { \eta ^ { \star } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f } \ \ y \in \{ \varnothing , \mathfrak { C } \} } \\ { x , } & { \mathrm { i f } \ \ y = x } \end{array} \right. } \\ & { \varphi ^ { \star } \in \bigg [ 0 , 1 - \frac { c } { l _ { \varphi } } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mu } ^ { \mathrm { t e r } } ( \omega ) \approx \sum _ { \textbf { k } _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , t _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , s _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } } H ( \textbf { k } _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , t _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , s _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ) R _ { \mu } ^ { \mathbf { k } _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } } T ^ { \textbf { k } _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } - \textbf { A } ( t _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ) + \textbf { A } ( s _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ) } e ^ { - i \left( S ^ { \mu } ( \textbf { k } _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , t _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , s _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ) - \omega t _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } \right) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } } \end{array}
T _ { p } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) = \frac { ( \omega _ { 0 } - \omega ) ^ { 2 } + ( \gamma / 2 ) ^ { 2 } } { ( \omega _ { 0 } - \omega ) ^ { 2 } + ( \gamma / 2 + \kappa ) ^ { 2 } } \cdot p ( \omega - \omega _ { 0 } ) ,
\textrm { S i m } ( G , s , t ) = \frac { 2 } { \left| P ( G , s , t ) \right| ( \left| P ( G , s , t ) \right| - 1 ) } \sum _ { u , u ^ { \prime } \in P ( G , s , t ) } \cos ( { \bf v } ^ { u } , { \bf v } ^ { u ^ { \prime } } ) .
C o v _ { 1 } = - \frac { 4 p _ { 1 } ^ { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 } \overline { { d } } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \delta [ t _ { 1 } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { 1 } \delta ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ] \gamma } { \sigma ^ { 2 } \rho ^ { 2 } [ t _ { 1 } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { 1 } \delta ) ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ] ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { 1 } \delta ) ^ { 3 } } ,
\left( \begin{array} { c } { { \{ M _ { A q } ^ { f } \} ^ { Y ^ { 1 } q } } } \\ { { \{ M _ { A q } ^ { f } \} ^ { Y ^ { 2 } q } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \{ M _ { A q } ^ { b } \} ^ { Y ^ { 1 } q } } } \\ { { \{ M _ { A q } ^ { b } \} ^ { Y ^ { 2 } q } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { i , j } ^ { k _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } , \iota , t ; \hbar ) = \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 0 } } \times \{ 1 \} } ( i \lambda ) ^ { | \alpha | } \int _ { 0 } ^ { t } U _ { \hbar , \lambda } ( - s _ { k _ { 0 } } ) U _ { \hbar , 0 } ( s _ { k _ { 0 } } ) \tilde { \mathcal { E } } _ { i , j } ^ { k _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } , s _ { k _ { 0 } } , \alpha , \iota , t ; \hbar ) \, d s _ { k _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t } [ F ( \mathbf { z } ^ { t + 1 } ) ] } & { \leq F ( \mathbf { z } ^ { t } ) - \lambda \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \mathbf { R 1 } + \frac { L } { 2 } \mathbf { R 2 } } \\ & { = F ( \mathbf { z } ^ { t } ) - \left( \frac { \lambda } { 2 } - 3 \lambda \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } - 1 5 3 6 \lambda \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K \right) \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \lambda \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } ( 3 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } \\ & { \quad + \Bigl ( \frac { 4 \lambda ^ { 3 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } + \frac { \lambda ^ { 2 } L } { 2 m ^ { 2 } } - \frac { \lambda } { 2 m ^ { 2 } } \Bigr ) \mathbb { E } _ { t } \Vert \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 3 2 \lambda \eta _ { l } L ^ { 2 } K } { \gamma m } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) + 3 2 \lambda \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K ( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } \\ & { \quad + \frac { 4 \lambda ^ { 3 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 3 } } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\langle { \hat { \sigma } } _ { 1 } { \hat { \sigma } } _ { n _ { 1 } } . . . { \hat { \sigma } } _ { n _ { s } } \rangle _ { g } = \sum _ { i = 1 } ^ { s } C ( { \hat { \sigma } } _ { 1 } , { \hat { \sigma } } _ { n _ { i } } ) \langle { \hat { \sigma } } _ { n _ { 1 } } . . . { \hat { \sigma } } _ { n _ { s } } \rangle _ { g } = ( 2 g - 2 + n ) \langle { \hat { \sigma } } _ { n _ { 1 } } . . . { \hat { \sigma } } _ { n _ { s } } \rangle _ { g }
\frac { E _ { D } ( B ) } { V } \, = \, \frac { ( g B ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 2 \pi } \, \left[ \frac { g ( \frac { \lambda } { 2 } ) } { \sqrt { 2 } } \, + \, \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \right] \; .
m _ { \chi } = \frac { ( n + 4 ) ( n + 3 ) } { 2 ^ { \frac { n } { 2 } } } \alpha _ { n } ( \frac { V _ { \mathrm { B L } } } { M _ { \mathrm { p l } } } ) ^ { \frac { n } { 2 } } V _ { \mathrm { B L } } .
\begin{array} { r l r } { 2 \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } & { \geq } & { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ) ( | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } | + | \mu _ { n } - \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | v _ { n } - v _ { n } ^ { * } | ) } \\ & { + } & { \biggr ( \lambda _ { n } ( | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } | ) + \lambda _ { n } ^ { * } ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ) \biggr ) \biggr ( | \mu _ { n } - \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | v _ { n } - v _ { n } ^ { * } | \biggr ) } \\ & { \geq } & { \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) / 2 } \end{array}
V = \frac { | e ^ { - \Delta S } | ^ { 2 } | \hat { W } ( T ) | ^ { 2 } } { ( S + \bar { S } ) ( T + \bar { T } ) ^ { 3 } } [ ( ( S + \bar { S } ) \Delta + 1 ) ^ { 2 } + g ( T , \bar { T } ) ] ,
\Delta \omega _ { q } ( \mathbf { n } , \mathbf { n ^ { \prime } } ) = - \Delta n _ { z } \left\{ \Delta \omega _ { q } ^ { ( 1 ) } \left( n _ { z } + \frac { 1 } { 2 } \right) + \Delta \omega _ { q } ^ { ( 2 ) } ( n _ { \bot } + 1 ) \right\} ,
[ \phi _ { R } , P ^ { - } ] = { \frac { g ^ { 2 } L } { 4 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { n } \left[ \phi _ { R } , { \frac { 1 } { \left( n + C _ { 0 } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } \right] \left\{ C _ { n } ^ { + } , C _ { - n } ^ { - } \right\} + \dots \; ,
\begin{array} { r l } { s ( K \cap U ^ { M _ { \alpha } } ( F ) ) s ^ { - 1 } } & { = s \left( G ( F ) _ { y , 0 } \cap U ^ { M _ { \alpha } } ( F ) \right) s ^ { - 1 } } \\ & { = G ( F ) _ { s \cdot y , 0 } \cap U ^ { M _ { \alpha } } ( F ) } \\ & { = G ( F ) _ { y - a ( y ) \alpha ^ { \vee } , 0 } \cap U ^ { M _ { \alpha } } ( F ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \left( \sum _ { m = 1 } ^ { p } \sum _ { i = j b _ { N } + 1 } ^ { ( j + 1 ) b _ { N } } \breve { Y } _ { i , m } \, \frac { ( a _ { m } + a _ { m } ^ { \prime } w _ { i , N } ) } { \sqrt { b _ { N } } } \right) ^ { 2 } \Big | w _ { 1 , N } \ldots , w _ { N , N } \right] \right] } \\ { = } & { \sum _ { m , l = 1 } ^ { p } \frac { 1 } { b _ { N } } \sum _ { i , k = j b _ { N } + 1 } ^ { ( j + 1 ) b _ { N } } \mathbb { E } [ \breve { Y } _ { i , m } \breve { Y } _ { i , l } ] \, \mathbb { E } [ ( a _ { m } + a _ { m } ^ { \prime } w _ { i , N } ) ( a _ { l } + a _ { l } ^ { \prime } w _ { k , N } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ v _ { \mathrm { e x t } } \right] _ { \mu \nu } } & { = \langle \chi _ { \mu } | v _ { \mathrm { e x t } } ^ { \mathrm { m o l } } | \chi _ { \nu } \rangle + M _ { \mu \nu } } \\ { \mathbf { v } _ { \mathrm { e x t } } } & { = \mathbf { v } _ { \mathrm { e x t } } ^ { \mathrm { m o l } } + \mathbf { M } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ^ { \alpha } \frac { \theta } { s - 1 } \int _ { 1 } ^ { \infty } \left( 1 + \frac { t } { s - 1 } \right) ^ { - \theta - 1 } t ^ { - \alpha } \mathrm { d } t } & { = \theta s ^ { \alpha } ( s - 1 ) ^ { \theta } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { \theta + \alpha - 1 } ( 1 + ( s - 1 ) x ) ^ { - \theta - 1 } \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { \theta } { \theta + \alpha } s ^ { \alpha } ( s - 1 ) ^ { \theta } _ { 2 } F _ { 1 } ( \theta + 1 , \theta + \alpha , \theta + \alpha + 1 , 1 - s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 2 0 } ^ { c } = } & { { } - \frac { 3 \sqrt { 1 5 } } { 2 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } } \end{array}
\int _ { { D } } | e ^ { \mathsf { m } \varphi } \Delta e ^ { - \mathsf { m } \varphi } w | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \geq \int _ { { D } } | A w | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x + \int _ { { D } } K [ w , \varphi ] \, \mathrm { d } x ,
\begin{array} { r l } { E _ { r e f } } & { = E _ { 0 } ( } \\ & { \quad \quad - F ( \omega - \Omega ) J _ { 1 } ( \beta ) \exp ( j ( \omega - \Omega ) t ) } \\ & { \quad \quad + F ( \omega ) J _ { 0 } ( \beta ) \exp ( j \omega t ) } \\ & { \quad \quad + F ( \omega + \Omega ) J _ { 1 } ( \beta ) \exp ( j ( \omega + \Omega ) t ) } \\ & { \quad ) } \end{array}
\sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } { \cal V } _ { k , n } \exp \left( i k \theta \frac { ( \omega + 2 \pi n ) } { 2 \pi } \right) = \sum _ { q = - \infty } ^ { + \infty } \tilde { \cal V } _ { q , k } \exp ( - i q \omega )
\left( \frac { N } { D e } \right) _ { \beta _ { H } \gg \beta _ { S } } ^ { \mathrm { o p e n } } \: \simeq \frac { 1 } { m _ { 0 } ^ { 2 } } \: \simeq \: \left( \frac { N } { D e } \right) _ { \beta _ { H } \gg \beta _ { S } } ^ { \mathrm { c l o s e d } }
V _ { i \bar { j } } = \sum _ { \sigma } V _ { i \bar { j } } ( \sigma ( a _ { 1 } ) , \sigma ( a _ { 2 } ) , \sigma ( a _ { 3 } ) , \sigma ( a _ { 4 } ) , \sigma ( a _ { 5 } ) , \sigma ( a _ { 6 } ) ) ,
\begin{array} { r l } { p ( \log T ) = } & { { } N \Big ( 1 - \exp \Big [ - \frac { k _ { 0 \mathrm { ~ f ~ } } } { \dot { F } _ { \mathrm { ~ f ~ } } \beta \chi _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { \beta \chi _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \ddag } \kappa _ { \mathrm { ~ f ~ } } g ^ { - 1 } ( \log T ) } \Big ] \Big ) \times } \end{array}
X _ { \bar { w } m n } = < T _ { \bar { w } m } \phi _ { n } > = < \bar { B } _ { \bar { w } m } \phi _ { n } > = < \bar { B } _ { \bar { w } } ( E ^ { - 1 } ) _ { m n } > = < T _ { \bar { w } } ( E ^ { - 1 } ) _ { m n } >
\sigma _ { t } = \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma _ { z } } \end{array} \right) , \quad \lambda ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { - i \omega \mu \sigma _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \omega \mu \sigma _ { z } } \end{array} \right) , \quad \lambda ^ { \prime } = R ^ { T } \lambda R
\begin{array} { r l } { { 2 } \mathbf { M } _ { 1 } } & { = ~ \left( \begin{array} { l l } { \frac 1 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \quad \mathbf { M } _ { 2 } = ~ \frac 1 2 \left( \begin{array} { l l } { \frac 1 3 } & { \frac { \sqrt 2 } { 3 } } \\ { \frac { \sqrt 2 } { 3 } } & { \frac 2 3 } \end{array} \right) } \\ { \mathbf { M } _ { 3 } } & { = \frac 1 2 \left( \begin{array} { l l } { \frac 1 3 } & { \frac { \sqrt 2 } { 3 } e ^ { - i 2 \pi / 3 } } \\ { \frac { \sqrt 2 } { 3 } e ^ { i 2 \pi / 3 } } & { \frac 2 3 } \end{array} \right) , } \\ { \mathbf { M } _ { 4 } } & { = \frac 1 2 \left( \begin{array} { l l } { \frac 1 3 } & { \frac { \sqrt 2 } { 3 } e ^ { - i 4 \pi / 3 } } \\ { \frac { \sqrt 2 } { 3 } e ^ { i 4 \pi / 3 } } & { \frac 2 3 } \end{array} \right) ~ . } \end{array}
\mathbf { P } _ { \mathbf { e } _ { 1 } } ^ { ^ { \perp } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { P } _ { \mathbf { e } _ { 2 } } ^ { ^ { \perp } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { P } _ { \mathbf { e } _ { 3 } } ^ { ^ { \perp } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
( G ) _ { a b } ^ { - 1 } = ( \delta _ { a b } - \frac { \phi _ { a } \phi _ { b } } { \phi ^ { 2 } } ) g ^ { - 1 } + \frac { \phi _ { a } \phi _ { b } } { \phi ^ { 2 } } { \stackrel { \sim } { g } } ^ { - 1 } \; .
\raggedleft \begin{array} { r l } { \mathcal { P } Y _ { L , \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) } & { = \sigma _ { x z } Y _ { L , \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) } \\ & { = Y _ { L , \Lambda } ( \theta _ { e } , 2 \pi - \phi _ { e } ) } \\ & { = Y _ { L , \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) ^ { * } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \Lambda } Y _ { L , - \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { \textnormal { e s s } } \bigr ( \widehat { \chi } _ { s } ( \omega ) \bigr ) = \sigma _ { \textnormal { e s s } } \biggr ( \sum _ { j \geq k } \frac { 2 \omega _ { j } } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { j } ^ { 2 } } B _ { j } + B _ { \textnormal { e s s } } ( \omega ) \biggr ) \quad \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ i n t e g e r ~ k ~ \leq ~ m ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \varphi _ { \mathrm { c } } ^ { ( 1 2 9 ) } ( t ) } & { { } \approx } & { \frac { \omega _ { 1 2 9 } - \omega _ { \mathrm { c a l } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \frac { \delta \Gamma _ { \mathrm { R b } } ( t ) } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \\ { \delta \varphi _ { \mathrm { c } } ^ { ( 1 3 1 ) } ( t ) } & { { } \approx } & { \frac { \omega _ { 1 3 1 } + \omega _ { \mathrm { c a l } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \frac { \delta \Gamma _ { \mathrm { R b } } ( t ) } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } . } \end{array}
\left( \frac { i \epsilon _ { \mu \lambda \alpha } p _ { \lambda } } { p ^ { 2 } } \right) \left( \frac { i \alpha \epsilon _ { \alpha \sigma \beta } p _ { \sigma } } { \sqrt { p ^ { 2 } } } \right) \left( \frac { i \epsilon _ { \beta \kappa \nu } p _ { \kappa } } { p ^ { 2 } } \right) = \frac { i \alpha \epsilon _ { \mu \lambda \nu } p _ { \lambda } } { \left( p ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \, .
\begin{array} { r l } & { \| m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( x , t , \cdot ) - I \| _ { L ^ { \infty } ( \partial D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ) } = O ( t ^ { - 1 / 2 } ) , } \\ & { m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } - I = \frac { Y _ { 2 } ( \zeta , t ) m _ { 1 } ^ { X , ( 2 ) } Y _ { 2 } ( \zeta , t ) ^ { - 1 } } { z _ { 2 , \star } \sqrt { t } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \hat { z } _ { 2 } ( \zeta , k ) } + O ( t ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { Q _ { T } } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { \alpha } \psi = } & { \int _ { \{ u = 0 \} } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { \alpha } \psi + \int _ { \{ u > 0 \} } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { \alpha } \psi } \\ { = } & { \int _ { \{ u = 0 \} } | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \psi + \int _ { \{ 0 < u \leq \frac { 1 } { m } \} } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { s } \psi + \int _ { \{ u > \frac { 1 } { m } \} } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { s } \psi } \\ { = } & { A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } . } \end{array}
\mathrm { R e } \int d t \frac { - i \dot { E } } { E } = \mathrm { R e } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \mp \frac { m q ^ { 2 } \omega p _ { \perp } ^ { 2 } } { p _ { x } ^ { 3 } } e ^ { \mp ( i \omega + \epsilon ) m | p | / p _ { x } } \, .
\begin{array} { r } { \Omega _ { \theta , x } ( \Delta _ { x } , \theta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sqrt { ( \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } ) + ( \sigma _ { x } ^ { 2 } - \sigma _ { y } ^ { 2 } ) \cos ( \theta ) } } } \\ { \times \exp \left( \frac { - \Delta _ { x } ^ { 2 } } { 2 \left( ( \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } ) + ( \sigma _ { x } ^ { 2 } - \sigma _ { y } ^ { 2 } ) \cos ( \theta ) \right) } \right) ; } \\ { \Omega _ { \theta , y } ( \Delta _ { y } , \theta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sqrt { ( \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } ) - ( \sigma _ { x } ^ { 2 } - \sigma _ { y } ^ { 2 } ) \cos ( \theta ) } } } \\ { \times \exp \left( \frac { - \Delta _ { y } ^ { 2 } } { 2 \left( ( \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } ) - ( \sigma _ { x } ^ { 2 } - \sigma _ { y } ^ { 2 } ) \cos ( \theta ) \right) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( \pi \mathcal { G } | \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) = p ( N | \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) \, \cdot \, p ( \pi V | N , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) \, \cdot \, p ( \pi E | N , \pi V , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) \, \cdot \, p ( A | N , \pi V , \pi E , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { ( 1 - c ) \| v ^ { \dagger } \| } { \delta \sqrt { c ( 1 + c ) } } B _ { \Psi } ( y ^ { \delta } , W x _ { \alpha } [ \alpha ( \delta ) ] + b ) + D _ { R } [ R ] ^ { \mathrm { s y m m } } ( x _ { \alpha } [ \alpha ( \delta ) ] , x ^ { \dagger } ) \leq 2 \sqrt { \frac { 1 + c } { c } } \| v ^ { \dagger } \| \delta \, , } \end{array}
\frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { e f f } } ( m _ { Z } ) } = \frac { 1 } { \alpha _ { 4 } } + \frac { 2 } { \pi } a _ { 0 } ^ { ( \delta ) } - \frac { 2 } { 3 \pi } \log \left( \frac { m _ { Z } } { M _ { c } } \right) ~ .
\left\{ \begin{array} { l } { \varrho ( \varphi ) ( u _ { t } + u \cdot \nabla u ) + \nabla p = \nabla \cdot ( \mu \nabla u - \lambda \nabla \varphi \otimes \nabla \varphi ) \, , } \\ { \qquad \qquad \nabla \cdot u = 0 \, , } \\ { \varphi _ { t } + u \cdot \nabla \varphi + \frac { 2 \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \varphi = \gamma ( \lambda \Delta \varphi - \lambda h ( \varphi ) - \varrho ^ { \prime } ( \varphi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } ) } \end{array} \right.