harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial \mathbf { a } } { \partial t } = \mathbf { A } \left[ \mathbf { a } \right] + \underline { { \mathbf { B } } } \left[ \mathbf { a } \right] \cdot \mathbf { w } ( t ) + \underline { { \mathbf { L } } } \left[ \mathbf { \nabla } , \mathbf { a } \right] \, .
\begin{array} { r l } { I I I } & { \leq C _ { M } \Bigg | \sum _ { 1 \leq i , j \leq 5 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle v \rangle ^ { q } \left( \frac { \mathcal { P } _ { i j } ( ( v - U _ { \theta } ^ { f } ) , U _ { \theta } ^ { f } , T _ { \theta } ^ { f } ) } { ( \rho _ { \theta } ^ { f } ) ^ { \alpha _ { i j } } ( T _ { \theta } ^ { f } ) ^ { \beta _ { i j } } } \mathcal { M } ^ { f } ( \theta ) - \frac { \mathcal { P } _ { i j } ( ( v - U _ { \theta } ^ { g } ) , U _ { \theta } ^ { g } , T _ { \theta } ^ { g } ) } { ( \rho _ { \theta } ^ { g } ) ^ { \alpha _ { i j } } ( T _ { \theta } ^ { g } ) ^ { \beta _ { i j } } } \mathcal { M } ^ { g } ( \theta ) \right) ( 1 - \theta ) d \theta \Bigg | . } \end{array}
g _ { \bar { i } } = \frac { 2 \mathrm { w } _ { i } \gamma k _ { \mathrm { r } } C _ { \mathrm { e q } } } { \gamma k _ { \mathrm { r } } + 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } + \frac { - \gamma k _ { \mathrm { r } } + 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } { \gamma k _ { \mathrm { r } } + 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } \tilde { g } _ { i } ,
\delta C _ { 1 2 } ^ { \mathrm { b o x } } = - \delta C _ { 1 1 } ^ { \mathrm { b o x } } = - \frac { 1 } { 1 6 s _ { W } ^ { 2 } } \frac { M _ { Z } ^ { 2 } } { m _ { b } \Lambda } \Bigl [ 2 \alpha _ { 2 R } ^ { C C } x - 4 \beta _ { 1 R } ^ { C C } - \gamma _ { R } ^ { C C } ( x - 2 ) \Bigr ] \log \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \right) \; .
\begin{array} { r } { \mathcal { S } _ { n } ^ { ( \mathrm { ~ 3 ~ } ) } \simeq \alpha I _ { 1 } I _ { 2 } \beta _ { n } \mathcal { C O } _ { n } ^ { ( 3 ) } \int d ^ { 3 } \mathbf { R } \, \left\langle { G ^ { ( 3 ) } } ( \mathbf { R } , R _ { n } , \theta ) \right\rangle _ { \theta } } \\ { = \alpha I _ { 1 } I _ { 2 } \mathcal { N } ^ { ( \mathrm { ~ 3 ~ } ) } \beta _ { n } \mathcal { C O } _ { n } ^ { ( 3 ) } \textsl { g } ^ { ( 3 ) } ( R _ { n } ) . } \end{array}
\displaystyle { \ln \varrho _ { c } ^ { 2 } + \ln \frac { \nu } { i } = \frac { 1 } { 2 } \ln ( \varrho _ { c } ^ { 4 } 4 Q L _ { c } ) - i \frac { \pi } { 4 } = - i \frac { \pi } { 4 } } , \quad \varrho _ { c } ^ { 4 } 4 Q L _ { c } = 1 .
m \vec { v } ( x ) ~ = ~ \frac { \vec { \sigma } x _ { 0 } + \vec { \sigma } \times \vec { x } } { \rho ^ { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ m v _ { 0 } ( x ) ~ = ~ \frac { \vec { \sigma } \cdot \vec { x } } { \rho ^ { 2 } }
| c _ { l m } ^ { n + 1 } | = | \bar { c } _ { l m } ^ { n + 1 } | + \frac { \Delta t } { \tau _ { l m } } \left( \mu _ { l m , \mathrm { s t o c h } } - | \bar { c } _ { l m } ^ { n + 1 } | \right) + \sigma _ { l m } \Delta B _ { l m } ^ { n } ,
l _ { k } : = \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\lceil \frac { k \tau _ { m } + \frac 1 2 ( \tau _ { m } ^ { \prime \prime } - \tau _ { m } ) } { \tau _ { m } ^ { \prime \prime } } \aftergroup \egroup \right\rceil , \qquad k \in \ensuremath { \mathbb { Z } } \, ,
c o u l d b e u s e d t o b o u n d t h e n u m b e r o f p e r m u t a t i o n s i n \Gamma _ { c } w h i c h c o n t a i n a T y p e T w o c - c y c l e . T h e n u m b e r o f r o o t s o f a n o n - z e r o b i v a r i a t e L a u r e n t p o l y n o m i a l f ( x , y ) o v e r \mathbb { F } _ { q } i s b o u n d e d b y q \deg ( f , y ) . I f a p e r m u t a t i o n \alpha [ a , b ] \in \Gamma _ { c } w i t h a \in \mathcal { R } _ { q } c o n t a i n s a c - c y c l e t h e n ( a , b ) m u s t b e a r o o t o f g _ { z } f o r s o m e z \in Y _ { c , 1 } / { \sim } . I f g _ { z } i s n o t t h e z e r o p o l y n o m i a l f o r a n y z \in Y _ { c , 1 } / { \sim } , t h e n w e c a n u s e L e m m a
\begin{array} { r } { d ( \mathbf { x } , \omega ) \approx G _ { \mathrm { ~ P ~ } } ( \mathbf { x } , \omega ) \, s _ { \mathrm { ~ P ~ } } ( \mathbf { x } , \omega ) + G _ { \mathrm { ~ p ~ P ~ } } ( \mathbf { x } , \omega ) \, s _ { \mathrm { ~ p ~ P ~ } } ( \mathbf { x } , \omega ) + G _ { \mathrm { ~ s ~ P ~ } } ( \mathbf { x } , \omega ) \, s _ { \mathrm { ~ s ~ P ~ } } ( \mathbf { x } , \omega ) + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 1 x } } & { { } = - B _ { 1 } \cos \left( \frac { \pi ( x - x _ { 0 } ) } { L } \right) \sin \theta _ { 1 } \mathrm { e x p } \left( - \frac { \pi \sin \theta _ { 1 } ( y - y _ { 0 } ( t ) ) } { L } \right) , } \\ { B _ { 1 y } } & { { } = B _ { 1 } \sin \left( \frac { \pi ( x - x _ { 0 } ) } { L } \right) \mathrm { e x p } \left( - \frac { \pi \sin \theta _ { 1 } ( y - y _ { 0 } ( t ) ) } { L } \right) , } \\ { B _ { 1 z } } & { { } = - B _ { 1 } \cos \left( \frac { \pi ( x - x _ { 0 } ) } { L } \right) \cos \theta _ { 1 } \mathrm { e x p } \left( - \frac { \pi \sin \theta _ { 1 } ( y - y _ { 0 } ( t ) ) } { L } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { [ 6 ] } ( \theta , \phi ) } & { { } = \frac { \sqrt { 1 1 } } { 5 } Y _ { 0 } ^ { 6 } ( \theta , \phi ) + \frac { \sqrt { 7 } } { 5 } ( Y _ { 5 } ^ { 6 } ( \theta , \phi ) - Y _ { - 5 } ^ { 6 } ( \theta , \phi ) ) } \\ { T ^ { [ 1 0 ] } ( \theta , \phi ) } & { { } = \frac { \sqrt { 3 \cdot 1 3 \cdot 1 9 } } { 7 5 } Y _ { 0 } ^ { 1 0 } ( \theta , \phi ) - \frac { \sqrt { 1 1 \cdot 1 9 } } { 2 5 } ( Y _ { 5 } ^ { 1 0 } ( \theta , \phi ) - Y _ { - 5 } ^ { 1 0 } ( \theta , \phi ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ ( \mathbf { s } _ { \rho , j } x _ { 1 + \rho } ) ^ { 2 ^ { k } } , ( \mathbf { s } _ { 2 ^ { j } \rho + 1 , j } \mathbf { s } _ { \rho , l } x _ { 2 + \rho } ) ^ { 2 ^ { k } } | j , l , k \geq 0 \right\} } \\ & { = \left\{ \mathbf { s } _ { 2 ^ { j } \rho + 1 , k } \mathbf { s } _ { \rho , j } x _ { 2 + \sigma } , \mathbf { s } _ { 2 ^ { j } ( 2 ^ { l } \rho + 1 ) + 1 , k } \mathbf { s } _ { 2 ^ { l } \rho + 1 , j } \mathbf { s } _ { \rho , l } x _ { 2 + \rho } | j , l , k \geq 0 \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \pi _ { A \to B , \sigma } ( i ) } & { { } = } & { a _ { \sigma } + h \left[ \frac { N - i } { ( 1 + \alpha ) N } + \frac { \alpha N ( 1 - z _ { \sigma } ) } { ( 1 + \alpha ) N } \right] , } \\ { \pi _ { B \to A , \sigma } ( i ) } & { { } = } & { a _ { \sigma } + h \left[ \frac { i } { ( 1 + \alpha ) N } + \frac { \alpha N z _ { \sigma } } { ( 1 + \alpha ) N } \right] . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { Q C D } } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F _ { a } ^ { \mu \nu } + \sum _ { n } \bar { \Psi } ^ { ( n ) } \big ( i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } - m ^ { ( n ) } \big ) \Psi ^ { ( n ) } ,
\phi _ { 1 } ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } { \phi } _ { 1 } + 4 \phi _ { 1 } ^ { 2 } \right) = 0
M = \frac { X - C - \left[ \frac { \partial p } { \partial x _ { F } } \right] - \frac { \partial [ \rho U ] } { \partial t } } { X _ { 0 } - C _ { 0 } - \left[ \frac { \partial p _ { 0 } } { \partial x _ { F 0 } } \right] - \frac { \partial [ \rho U _ { 0 } ] } { \partial t } }
{ \begin{array} { r l } { \ln ( x ) } & { = { \frac { 2 ( x - 1 ) } { x + 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 k + 1 } } { \left( { \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } } \right) } ^ { k } } \\ & { = { \frac { 2 ( x - 1 ) } { x + 1 } } \left( { \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 5 } } { \left( { \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } } \right) } ^ { 2 } + \cdots \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { W } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { V } \textbf { \emph { J } } \cdot \textbf { \emph { E } } ~ \mathrm { d } V \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { V } \textbf { \emph { J } } \cdot ( - \textbf { \emph { v } } \times \textbf { \emph { B } } ) ~ \mathrm { d } V \mathrm { d } t } \end{array}
V = m _ { P } g ( \vec { { } _ { P } ^ { G } r _ { P _ { c } } } \cdot { [ 0 \mathrm { ~ } 1 \mathrm { ~ } 0 ] } ^ { \intercal } ) + m _ { Y } g ( \vec { { } _ { Y } ^ { G } r _ { Y _ { c } } } \cdot { [ 0 \mathrm { ~ } 1 \mathrm { ~ } 0 ] } ^ { \intercal } )
( \Gamma ^ { \underline { { m } } } ) _ { ~ ~ \underline { { \beta } } } ^ { \underline { { \alpha } } } ( C \Gamma _ { \underline { { m } } } ) _ { \underline { { { \gamma \delta } } } } + ( \Gamma ^ { \underline { { m } } } ) _ { ~ ~ \underline { { \gamma } } } ^ { \underline { { \alpha } } } ( C \Gamma _ { \underline { { m } } } ) _ { \underline { { { \delta \beta } } } } + ( \Gamma ^ { \underline { { m } } } ) _ { ~ ~ \underline { { \delta } } } ^ { \underline { { \alpha } } } ( C \Gamma _ { \underline { { m } } } ) _ { \underline { { { \delta \beta } } } } = 0 ,
\boldsymbol { \mathcal U } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \vec { u } _ { 1 } ^ { T } } & { \vec { \omega } _ { 1 } ^ { T } } & { \vec { u } _ { 2 } ^ { T } } & { \vec { \omega } _ { 2 } ^ { T } } & { \dots } & { \vec { u } _ { N } ^ { T } } & { \vec { \omega } _ { N } ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } , \quad \boldsymbol { \mathcal F } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \vec { f } _ { 1 } ^ { T } } & { \vec { t } _ { 1 } ^ { T } } & { \vec { f } _ { 2 } ^ { T } } & { \vec { t } _ { 2 } ^ { T } } & { \dots } & { \vec { f } _ { N } ^ { T } } & { \vec { t } _ { N } ^ { T } } \end{array} \right] ^ { T } .
\langle n _ { 1 } n _ { 2 } | \vec { \gamma } , t \rangle = { \frac { 1 } { g _ { 1 } \sqrt { n _ { 1 } ! N _ { 2 } ! } } } \mathrm { e x p } \ \biggl ( - { \frac { | \vec { \gamma } | ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } g _ { 4 } \vec { \gamma } \cdot \vec { \gamma } \biggr ) { \bf H } _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } ^ { \{ g _ { 2 } { \bf I _ { 2 } } \} } \biggl ( { \frac { 1 } { g _ { 1 } g _ { 2 } } } \tilde { \bf R } \vec { \gamma } \biggr ) \ \ .
\cos \left( { \frac { \pi } { 6 4 } } \right) = \cos \left( 2 . 8 1 2 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } - \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { 5 \eta \hat { L } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } - \frac { \eta } { 4 } \left( 1 - \frac { 7 2 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } \right) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } E _ { t } } \\ & { \qquad + \left( \frac { 3 6 0 } { \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } + 4 I \right) \eta ^ { 3 } \kappa ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } I \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } + \frac { 2 7 I \hat { L } ^ { 2 } \gamma \eta \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } \mu } } \\ & { \qquad + \frac { 9 0 I \kappa ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 3 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } b _ { x } M } + \frac { I \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + I \eta G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \widehat \lambda _ { t } g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) = } & { ~ f ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \| { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } + \widehat \lambda _ { t } g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) } \\ { \geq } & { ~ f ( \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } + \widehat \lambda _ { t } g ( \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + \frac { \hat { \rho } - \rho + \widehat \lambda _ { t } \mu } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbf { X } _ { i } \to \left\{ \begin{array} { l l } { \beta _ { \downarrow } ( d _ { 0 } ) \, \tilde { \alpha } \, \mathbf { X } _ { \ell - d _ { 0 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ell > 0 } \\ { \varepsilon , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ell = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { p } _ { 2 } ( t , z ) = } & { \bigg ( \omega ^ { 2 } ( r _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 ) - r _ { 2 } ^ { \prime } ( 1 ) ) 2 ^ { \frac { 4 } { 3 } } 3 ^ { - \frac { 1 } { 3 } } e ^ { \frac { \pi i } { 6 } } z t ^ { - 1 / 3 } + \sum _ { j = 2 } ^ { N } ( c _ { j } ^ { \prime } \ln _ { 0 } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + d _ { j } ^ { \prime } ) z ^ { j } t ^ { - j / 3 } \bigg ) } \\ & { \times \bigg ( 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { [ - z ^ { 3 } p _ { e , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ] ^ { j } } { j ! } \bigg ) . } \end{array}
P I = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d N ( \tau ^ { \prime \prime } - \tau ^ { \prime } ) \int { \cal D } p { \cal D } x \exp \left( i \int _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \tau ^ { \prime \prime } } d \tau ( p _ { \mu } \dot { x } ^ { \mu } - N \tilde { \cal H } _ { 0 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \ell = 1 } ^ { j } N _ { \ell } ^ { t _ { 2 } } } & { \le \sum _ { \ell = 1 } ^ { j } N _ { \ell } ^ { t _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } N _ { j } ^ { t _ { 1 } } } \\ & { \le \sum _ { \ell = 1 } ^ { j } N _ { \ell } ^ { t _ { 1 } } - \frac { 1 } { 4 B } \sum _ { \ell = 1 } ^ { j } N _ { \ell } ^ { t _ { 1 } } } \\ & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { j } N _ { \ell } ^ { t _ { 1 } } ( 1 - \frac { 1 } { 4 B } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 7 } y _ { I , J } } & { \leq x _ { i } } & { \quad } & { \forall i \in I , } \\ { y _ { I , J } } & { \leq 1 - x _ { j } } & { \quad } & { \forall j \in J , } \\ { 1 - y _ { I , J } } & { \leq \sum _ { i \in I } ( 1 - x _ { i } ) + \sum _ { j \in J } x _ { j } , } \\ { y _ { I , J } } & { \geq 0 . } \end{array}
\scriptstyle \left. { \begin{array} { l } { \scriptstyle { \mathrm { t e r m } } \, + \, { \mathrm { t e r m } } } \\ { \scriptstyle { \mathrm { s u m m a n d } } \, + \, { \mathrm { s u m m a n d } } } \\ { \scriptstyle { \mathrm { a d d e n d ~ ( b r o a d ~ s e n s e ) } } \, + \, { \mathrm { a d d e n d ~ ( b r o a d ~ s e n s e ) } } } \\ { \scriptstyle { \mathrm { a u g e n d } } \, + \, { \mathrm { a d d e n d ~ ( s t r i c t ~ s e n s e ) } } } \end{array} } \right\} \, =
\lesssim \sum _ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \in \cup _ { i = 1 , 2 , 3 } \chi _ { k } ^ { i } , \operatorname* { m a x } \{ k _ { 1 } , k _ { 2 } \} \geq 5 m / N _ { 0 } } 2 ^ { 8 k _ { + } } 2 ^ { 3 \operatorname* { m i n } \{ k _ { 1 } , k _ { 2 } \} / 2 - N _ { 0 } \operatorname* { m a x } \{ k _ { 1 } , k _ { 2 } \} } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \lesssim 2 ^ { - 2 m } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \chi ( 0 ) = \chi _ { 0 } } & { { } = - \frac { 1 } { \pi } \ln ( - u - i ) } \\ { \chi ^ { \prime } ( 0 ) = \chi _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } = \frac { 2 } { \pi } \frac { u - i } { u ^ { 2 } + 1 } \, . } \end{array}
R _ { i } ^ { D , N } = { { \mathcal { N } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E _ { \nu } \, \bigg ( \Phi _ { B } ( E _ { \nu } ) + 1 . 8 4 1 6 \times 1 0 ^ { - 3 } \, \Phi _ { h e p } ( E _ { \nu } ) \bigg ) \, P ^ { D , N } ( E _ { \nu } ) \, \sigma _ { C C } ( E _ { \nu } , \Delta T _ { i } ) \,
\begin{array} { r } { \left\| \big ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } \big ) P _ { \neq } [ ( a ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) ) ] \right\| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\Delta R = R \left[ \frac { 3 \, ( 1 + \Delta T / T ) } { 1 + V _ { c } / V _ { b } } \, \left( p _ { 0 } + \frac { 4 \sigma } { R } \right) - \frac { 4 \sigma } { R } \right] ^ { - 1 } \left[ \frac { \Delta T } { T } \left( p _ { 0 } + \frac { 4 \sigma } { R } \right) - \Delta p \right] .
H _ { I } ( r _ { k l } ) = \frac { 2 } { \pi } \frac { R } { m _ { p } m _ { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } j _ { 0 } ( q r _ { k l } ) h _ { I } ( q ^ { 2 } ) q ^ { 2 } d q ~ ~ ~ ~ ( I = F , ~ G T , ~ T ) ,
\begin{array} { r l } { \omega } & { { } = \omega _ { 0 } ( k , v _ { | | } ) + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } \big ( ( \omega - v _ { | | } k ) ^ { 2 } - \Omega _ { e } \omega \big ) } { \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { e } + 2 \omega ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) ^ { 2 } } \frac { N } { n _ { 0 } } \, , } \\ { \gamma } & { { } = \frac { v _ { | | } ^ { 2 } } { 2 } + c _ { s } ^ { 2 } \ln n _ { 0 } + \frac { c _ { s } ^ { 2 } - v _ { | | } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } k ^ { 2 } } | B _ { W } | ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \{ X \in \mathcal { G } _ { p , q , r } : \quad \widehat { X } V = V X \quad \forall V \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) } \} } \\ & { } & { = \{ X \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) } : \quad X V = V X \quad \forall V \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) } \} } \\ & { } & { = \{ X \in \mathcal { G } _ { p , q , r } : \quad X V = V X \quad \forall V \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) } \} \cap \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) } } \\ & { } & { = ( \Lambda _ { r } \oplus \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { n } ) \cap \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) } , } \end{array}
Z _ { a v } = \sum _ { j = 1 } ^ { J } c _ { j } \times \left[ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { Z _ { j } } \frac { i } { ( Z _ { a v } n _ { H } ) ^ { i } } \prod _ { m = 1 } ^ { i } f _ { m , j } \right) \middle / \left( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { Z _ { j } } \frac { \prod _ { m = 1 } ^ { i } f _ { m , j } } { ( Z _ { a v } n _ { H } ) ^ { i } } \right) \right]
\varphi _ { \omega } ^ { \pm } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) : = \frac { \ell ^ { \pm } ( \mathbf v ( \theta ) , \omega ) } { ( \gamma _ { \lambda } ^ { \pm } ( \theta ) - \theta ^ { \prime } ) G _ { 0 } + i h G _ { 1 } + h ^ { 2 } G _ { 2 } } , \quad \psi _ { \omega } ^ { \pm } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) : = \frac { G _ { 1 } - i h G _ { 2 } } { G _ { 0 } } .
= - \frac { 2 \, D _ { i } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } } \; \left[ \nabla \left( \boldsymbol { e } _ { z } \cdot \boldsymbol { m } \right) - \left( \nabla \cdot \boldsymbol { m } \right) \, \boldsymbol { e } _ { z } \right]
\begin{array} { r } { \left| \Psi \right> = \sum _ { m , N ^ { \prime } } C _ { m } Q _ { N ^ { \prime } } \left| m \right> _ { a } \left| m \right> _ { b } \left| N ^ { \prime } - m \right> _ { c } \left| N - N ^ { \prime } - m \right> _ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { h } ^ { + } } & { = \{ \mathbf x \in \mathbb R ^ { 2 } | \mathbf x = r ( \cos { \theta _ { 0 } } , \sin { \theta _ { 0 } } ) , \, r \in [ 0 , h ] \} , \, \Gamma _ { h } ^ { - } = \{ \mathbf x \in \mathbb R ^ { 2 } ~ | ~ \mathbf x = r ( 1 , 0 ) , \, r \in [ 0 , h ] \} , } \\ { { \nu _ { 1 } } } & { = ( - \sin { \theta _ { 0 } } , \cos { \theta _ { 0 } } ) , \quad { \nu _ { 2 } } = ( 0 , - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D ( p | | q ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \frac { 4 \alpha \beta - \delta ^ { 2 } } { 4 \alpha ^ { \mathrm { e q } } \beta ^ { \mathrm { e q } } } \right] - ( \alpha - \alpha ^ { \mathrm { e q } } ) \sigma _ { x x } ^ { f } - ( \beta - \beta ^ { \mathrm { e q } } ) \sigma _ { v v } ^ { f } - \delta \sigma _ { x v } ^ { f } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { S I N R } _ { 1 } - \overline { { \mathrm { S I N R } } } _ { 1 } = \frac { 2 p _ { 1 } \overline { { A } } _ { 1 } ( A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 } ) } { \overline { { D } } _ { 1 } } } \\ & { - \frac { p _ { 1 } \overline { { A } } _ { 1 } ^ { 2 } ( D _ { 1 } - \overline { { D } } _ { 1 } ) } { \overline { { D } } _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { M } } \varepsilon _ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r } { x = \left[ \begin{array} { l } { 1 - s _ { 1 } } \\ { 1 - r _ { 1 } } \\ { 1 - s _ { 2 } } \\ { 1 - r _ { 2 } } \\ { 1 - s _ { 3 } } \\ { 1 - r _ { 3 } } \end{array} \right] \mathrm { ~ i s ~ a ~ s o l u t i o n ~ i f f } \left[ \begin{array} { l } { 0 . 7 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 . 2 } \\ { 0 } \\ { 0 . 3 } \end{array} \right] \leq \left[ \begin{array} { l } { 1 - s _ { 1 } } \\ { 1 - r _ { 1 } } \\ { 1 - s _ { 2 } } \\ { 1 - r _ { 2 } } \\ { 1 - s _ { 3 } } \\ { 1 - r _ { 3 } } \end{array} \right] \leq \left[ \begin{array} { l } { 0 . 7 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 . 3 } \end{array} \right] . } \end{array}
\Pi _ { W W } ^ { 1 } ( 0 ) = { \frac { N _ { c } C _ { F } } { 4 } } \, { \frac { G _ { F } M _ { W } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } \sqrt 2 } } \, { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } \left[ \sum _ { Q = U , D } m _ { Q } ^ { 2 } \left( Y _ { 1 } - 6 \zeta ( 3 ) - 3 \zeta ( 2 ) + { \frac { 2 3 } { 4 } } \right) + F \left( m _ { U } ^ { 2 } , m _ { D } ^ { 2 } \right) \right] ,
- \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } ( 1 + a l _ { p } ^ { 2 } k ^ { 2 } + \dots ) + m ^ { 2 } \equiv - \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } f ^ { 2 } ( k ^ { 2 } ) + m ^ { 2 } = 0 \, .
T _ { s } [ \rho ] = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int d \mathbf { r } \, \phi _ { i } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \right) \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) ,
E _ { 0 } = V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ^ { \Lambda } n - \frac { n } { V } \sum _ { \mathbf { k } } ^ { \Lambda } \frac { ( V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } ) ^ { 2 } } { \omega _ { \mathbf { k } } + \epsilon _ { \mathbf { k } } }
\ln \left| \frac { Y _ { + } ^ { + \pm } } { Y _ { - } ^ { + \pm } } \right| \sim \ln \left| \frac { Y _ { + } ^ { - \mp } } { Y _ { - } ^ { - \mp } } \right| \sim \pm \ln 2 \pm \ln \left| \frac { k q } { \Omega \sqrt { k ^ { 2 } - q ^ { 2 } } } \right| + { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \ln \left| \frac { k + q } { k - q } \right| .
\left\{ \begin{array} { l } { p _ { 1 } = \frac { F } { r } \frac { \pi r ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } , } \\ { p _ { 2 } = - \frac { F } { r } \frac { L ^ { 2 } - \pi r ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { Q ( x ) } & { { } = \sum _ { d \leq { \sqrt { x } } } \mu ( d ) \left\lfloor { \frac { x } { d ^ { 2 } } } \right\rfloor = \sum _ { d \leq { \sqrt { x } } } { \frac { x \mu ( d ) } { d ^ { 2 } } } + O \left( \sum _ { d \leq { \sqrt { x } } } 1 \right) = x \sum _ { d \leq { \sqrt { x } } } { \frac { \mu ( d ) } { d ^ { 2 } } } + O ( { \sqrt { x } } ) } \end{array}
\begin{array} { l c l l c l } { { \alpha } } & { { = } } & { { 1 . 0 8 4 , } } & { { \alpha ^ { \prime } } } & { { = } } & { { 2 . 8 1 1 , } } \\ { { \beta } } & { { = } } & { { 0 . 9 6 0 , } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { a } } & { { = } } & { { 0 . 9 1 4 , } } & { { b } } & { { = } } & { { 3 . 7 2 3 - 0 . 9 6 8 \, s , } } \\ { { A } } & { { = } } & { { 0 . 0 8 1 - 0 . 0 2 8 \, \sqrt { s } , } } & { { B } } & { { = } } & { { - 0 . 0 4 8 } } \\ { { C } } & { { = } } & { { 0 . 0 9 4 - 0 . 0 4 3 \, \sqrt { s } , } } & { { D } } & { { = } } & { { 0 . 0 5 9 + 0 . 2 6 3 \, s - 0 . 0 8 5 \, s ^ { 2 } , } } \\ { { E } } & { { = } } & { { 6 . 8 0 8 + 2 . 2 3 9 \, s - 0 . 1 0 8 \, s ^ { 2 } , } } & { { E ^ { \prime } } } & { { = } } & { { 1 . 2 2 5 + 0 . 5 9 4 \, s - 0 . 0 7 3 \, s ^ { 2 } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 0 n } ( R ) } & { { } = f ( R ) e ^ { - i k _ { n } R } v _ { n } ^ { - 1 / 2 } , } \\ { u _ { l n } ( R ) } & { { } = F _ { l } R ^ { ( l - 1 ) } e ^ { - \gamma R } \quad ( l = 2 , 3 , . . . , N _ { l } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { x } \left( x , y , z \right) } & { { } = B _ { 0 } \exp \big ( m ( y - y _ { 0 } ) \big ) \sum _ { i = 0 } ^ { N } b _ { x i } \left( z \right) x ^ { i } , } \\ { B _ { y } \left( x , y , z \right) } & { { } = B _ { 0 } \exp \big ( m ( y - y _ { 0 } ) \big ) \sum _ { i = 0 } ^ { N } b _ { y i } \left( z \right) x ^ { i } , } \\ { B _ { z } \left( x , y , z \right) } & { { } = B _ { 0 } \exp \big ( m ( y - y _ { 0 } ) \big ) \sum _ { i = 0 } ^ { N } b _ { z i } \left( z \right) x ^ { i } . } \end{array}