harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \delta } { \delta \zeta _ { 1 } } \left[ G _ { 1 1 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 1 } } \right] \right) _ { i , j , k } = } & { \left[ G _ { 1 1 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 1 } } \right] _ { i + 1 / 2 , j , k } - \left[ G _ { 1 1 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 1 } } \right] _ { i - 1 / 2 , j , k } } \\ { = } & { + G _ { 1 1 } ^ { 2 } | _ { i + 1 , j , k } [ \phi | _ { i + 1 , j , k } - \phi | _ { i , j , k } ] } \\ & { - G _ { 1 1 } ^ { 2 } | _ { i , j , k } \quad [ \phi | _ { i , j , k } - \phi | _ { i - 1 , j , k } ] } \end{array}
M _ { d } \cong V \left[ \begin{array} { c c c } { { \ - m _ { d } \ } } & { { \ 0 \ } } & { { \ 0 } } \\ { { \ 0 \ } } & { { \ m _ { s } \ } } & { { \ 0 } } \\ { { \ 0 \ } } & { { \ 0 \ } } & { { \ m _ { b } } } \end{array} \right] V ^ { \dagger } .
\begin{array} { r l } { \eta } & { { } \equiv 2 \, \frac { \partial _ { x } T _ { \mathrm { M S I } } } { T _ { \mathrm { M S I } } } , \quad \xi \equiv \frac { 1 } { \omega _ { 0 } \tau } \cdot \mathfrak { I m } \left( \frac { \partial _ { x } R _ { \mathrm { M S I } } } { R _ { \mathrm { M S I } } } \right) . } \end{array}
\gamma ^ { i } = - i \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \sigma _ { i } } } \\ { { - \sigma _ { i } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , \quad \gamma ^ { 4 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { { \bf 1 } _ { 2 } } } \\ { { { \bf 1 } _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \Pi _ { i j k l } ( t ) = \pi _ { i j k l } ( t ) - \left[ \pi _ { l k j i } ( t ) \right] ^ { * } , \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \pi _ { i j k l } ( t ) = ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \sum _ { p q r s } ( \pm ) _ { j } \mathcal { G } _ { i p k q } ( t ) \, w _ { s q r p } ( t ) \left[ G _ { j s } ^ { > } ( t ) \, G _ { r l } ^ { < } ( t ) - G _ { j s } ^ { < } ( t ) \, G _ { r l } ^ { > } ( t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { d } = \frac { 2 \chi } { 3 } \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } & { \quad } & { \mathbf { m } = \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } \\ { \mathbf { E } _ { 0 } = - \frac { 2 \chi } { 3 R ^ { 3 } } \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } & { \quad } & { \mathbf { B } _ { 0 } = - \frac { 4 \chi ^ { 2 } } { 9 R ^ { 3 } } \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| ( I _ { N } - P _ { N } ) ( f ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi ) \| _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \leq \| I _ { N } ( f ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi - f _ { \varepsilon } ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi ) \| _ { H ^ { 1 } } + \varepsilon ^ { 2 \sigma } \| \phi \| _ { H ^ { 1 } } + h ^ { 2 } \frac { C ( M ) } { \varepsilon ^ { 2 - 2 \sigma } } . } \end{array}
\mathsf { A C V } _ { \mathcal P } ^ { 2 } \hat { P } ^ { - 1 } = \frac { \mathsf E _ { \mathcal P } \hat { P } ^ { - 2 } - ( \mathsf E _ { \mathcal P } \hat { P } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } { ( \mathsf E _ { \mathcal P } \hat { P } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { x ^ { s : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \sum _ { y ^ { s : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } p _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T } , x ^ { 2 : T } , \alpha ) } \\ & { = \sum _ { x ^ { s : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \sum _ { y ^ { s : T - 1 } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s } } \left\{ \sum _ { y _ { T } = 0 } ^ { 1 } F ( \widetilde { \theta } x _ { T } + \alpha ) ^ { y _ { T } } [ 1 - F ( \widetilde { \theta } x _ { T } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { T } } \right\} \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) } \\ & { = \sum _ { x ^ { s : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \sum _ { y ^ { s : T - 1 } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s } } \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) } \\ & { = F ( \widetilde { \theta } x _ { s - 1 } + \alpha ) ^ { y _ { s - 1 } } [ 1 - F ( \widetilde { \theta } x _ { s - 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { s - 1 } } \sum _ { x ^ { s : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \sum _ { y ^ { s - 1 : T - 1 } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) } \\ & { = F ( \widetilde { \theta } x _ { s - 1 } + \alpha ) ^ { y _ { s - 1 } } [ 1 - F ( \widetilde { \theta } x _ { s - 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { s - 1 } } \sum _ { x ^ { s : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \sum _ { y ^ { s - 1 : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 2 } } p _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T } , \alpha ) , } \end{array}
2 \omega ^ { ( 1 ) } + \omega ^ { ( 2 ) } = 4 R ^ { ( 0 ) } \int \frac { d ^ { D - 2 } q _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \frac { \vec { q } ^ { \: 2 } } { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } R \; .
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } ^ { + } } & { ( \cos \theta _ { 1 } ^ { + } - \beta n _ { 1 } ) / \eta _ { 1 } - E _ { 1 } ^ { - } ( \cos \theta _ { 1 } ^ { - } + \beta n _ { 1 } ) / \eta _ { 1 } } \\ & { = E _ { 2 } ^ { + } ( \cos \theta _ { 2 } ^ { + } - \beta n _ { 2 } ) / \eta _ { 2 } - E _ { 2 } ^ { - } ( \cos \theta _ { 2 } ^ { - } + \beta n _ { 2 } ) / \eta _ { 2 } , } \end{array}
\left[ L , \left( L ^ { 2 } \right) _ { \geq 1 } \right] = - \left( 2 J _ { 1 } + J _ { 0 } ^ { 2 } - J _ { 0 , x } \right) _ { x } + \partial ^ { - 1 } \left( 2 J _ { 0 } J _ { 1 } + J _ { 1 , x } \right)
\begin{array} { r } { 4 \times 1 \mathrm { ~ M ~ a ~ t ~ r ~ i ~ x ~ } \{ \mathrm { ~ C ~ o ~ m ~ p ~ l ~ e ~ x ~ F ~ } 6 4 \} } \\ { 0 . 7 0 7 1 0 6 7 8 1 1 8 6 5 4 7 5 + 0 . 0 \mathrm { i m } } \\ { 0 . 0 + 0 . 0 \mathrm { i m } } \\ { 0 . 0 + 0 . 0 \mathrm { i m } } \\ { - 0 . 7 0 7 1 0 6 7 8 1 1 8 6 5 4 7 5 + 0 . 0 \mathrm { i m } } \end{array}
( 2 i ) ^ { N _ { + } } \kappa ( a ) = \prod _ { \alpha > 0 } ^ { } \left( e ^ { i \pi ( a , \alpha ) / a _ { 0 } } - e ^ { - i \pi ( a , \alpha ) / a _ { 0 } } \right) = \sum _ { \hat { s } \in W } ^ { } \operatorname * { d e t } \hat { s } \exp \left( \frac { 2 \pi i } { a _ { 0 } } ( \hat { s } \rho , a ) \right)
\begin{array} { r } { \frac { 2 \gamma _ { A D } } { \omega _ { 0 , R } } \left\langle \hat { \Phi } _ { 0 } \hat { b } _ { 0 } \hat { \Phi } _ { 0 } \right\rangle _ { \eta } = - \left\langle \hat { \Phi } _ { 0 } \hat { b } _ { 0 } \nu b _ { \theta 0 } \hat { s } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \hat { \Phi } _ { 0 } \right\rangle _ { \eta } , } \end{array}
\chi = - \left( \frac { N } { 2 } \frac { d U } { d \ensuremath { S _ { z } } } \right) _ { \ensuremath { S _ { z } } = 0 } = \frac { \ensuremath { N _ { c } } } { 1 6 } \frac { \Omega ^ { 4 } } { \ensuremath { \tilde { \Delta } } ^ { 3 } } ,
- { \frac { \c E _ { 0 } } { 2 ( \alpha s ) ^ { 2 } } } = \sum _ { { i , j = 1 \atop i \not = j } } ^ { N - 1 } b _ { i j } \ln ( z _ { i } - z _ { j } ) - W _ { 0 } - \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } a _ { i } \Omega ( z _ { i } )
\begin{array} { r l } { S ^ { u } = } & { { } { \nu } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { d ^ { r } } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } & { { } \overline { { d ^ { g } } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + \overline { { d ^ { b } } } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ { u ^ { r } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } & { { } u ^ { g } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + u ^ { b } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { S ^ { d } = } & { { } { \overline { { \nu } } } \omega ^ { \dagger } \omega + } \\ { { d } ^ { r } { \alpha _ { 1 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } & { { } { d } ^ { g } { \alpha _ { 2 } } \omega ^ { \dagger } \omega + { d } ^ { b } { \alpha _ { 3 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } \\ { \overline { { u ^ { r } } } { \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 2 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } & { { } \overline { { u ^ { g } } } { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 3 } } \omega ^ { \dagger } \omega + \overline { { u ^ { b } } } { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } _ { d b } } & { { } = \left( \mathbf { P } ^ { o u t } - \mathbf { P } ^ { i n } \right) \cdot \mathbf { n } = \left( \mathbf { P } ^ { o u t } - \mathbf { P } ^ { i n } \right) \cdot \mathbf { e } _ { \xi } } \\ { = } & { { } \left[ \left( \left( \epsilon E _ { \xi } E _ { \xi } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon | E | ^ { 2 } \right) \mathbf { e } _ { \xi } + \epsilon E _ { \xi } E _ { \eta } \mathbf { e } _ { \eta } + \epsilon E _ { \xi } E _ { \tau } \mathbf { e } _ { \tau } \right) ^ { o u t } \right. } \\ { - } & { { } \left. \left( \left( \epsilon E _ { \xi } E _ { \xi } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon | E | ^ { 2 } \right) \mathbf { e } _ { \xi } + \epsilon E _ { \xi } E _ { \eta } \mathbf { e } _ { \eta } + \epsilon E _ { \xi } E _ { \tau } \mathbf { e } _ { \tau } \right) ^ { i n } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { i } ( j ^ { t } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) = \left( \delta _ { A _ { j } } ^ { j ^ { t } } + \sum _ { l \in \partial j \backslash i } \delta _ { A _ { j } } ^ { l ^ { t } } \right) } \\ & { \begin{array} { r } { \times \prod _ { k \in \partial i \backslash j } \Biggl ( \delta _ { A _ { k } } ^ { 0 } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 1 } \delta _ { A _ { k } } ^ { k ^ { s } } + \sum _ { s = 1 } ^ { t - 2 } \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { s } } + \delta _ { A _ { k } } ^ { i ^ { t } } + \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { t - 1 } } } \\ { + \sum _ { s = t + 1 } ^ { H } \delta _ { A _ { k } } ^ { k ^ { s } } + \sum _ { s = t } ^ { H } \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { s } } \Biggr ) } \end{array} } \\ & { \times \Theta \left[ \sum _ { k \in \partial i \backslash j } \left( \delta _ { A _ { k } } ^ { i ^ { t } } + \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { t - 1 } } + \sum _ { s = t + 1 } ^ { H } \delta _ { A _ { k } } ^ { k ^ { s } } + \sum _ { s = t } ^ { H } \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { s } } \right) - K + 1 \right] } \\ & { \times \Theta \left[ K - 2 - \sum _ { k \in \partial i \backslash j } \left( \sum _ { s = t + 1 } ^ { H } \delta _ { A _ { k } } ^ { k ^ { s } } + \sum _ { s = t } ^ { H } \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { s } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } \mathcal { E } = } & { { } \left[ \frac { - i \delta } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } - 2 f \frac { I _ { 0 } - i R _ { 0 } } { ( 1 + i \delta ) ^ { 2 } } - 1 + \eta e ^ { i \theta } \right] \mathcal { E } + h \mathcal { Y } _ { 0 } \frac { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } { 1 + i \delta } } \end{array}
\mathcal R _ { \omega } ^ { + } : = \widetilde Q \widetilde B _ { \omega } ^ { + } \tilde { b } _ { \epsilon } ^ { * } ( I - \widetilde Q Q ) \varphi _ { \epsilon } ^ { * } \Pi ^ { + } + \widetilde Q \varphi _ { \epsilon } ^ { * } \mathscr R _ { \omega } ^ { + } + \mathcal R _ { L } \tilde { b } _ { \epsilon } ^ { * } \widetilde Q \varphi _ { \epsilon } ^ { * } ,
\begin{array} { c } { { \displaystyle \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) [ D _ { m } ( k _ { 2 } ) - D ( k _ { 2 } ) ] \overline { { { D ( k _ { 1 } + p ) } } } K _ { 1 2 } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ ( ~ Q ~ ) ~ } + \mathrm { ~ ( ~ C ~ ) ~ } + \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } + \mathrm { ~ ( ~ A ~ ) ~ } \Rightarrow \mathrm { ~ N ~ o ~ c ~ o ~ n ~ t ~ r ~ a ~ d ~ i ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i f } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 3 } r ^ { 3 } R _ { n _ { f } , 0 } ( r ) R _ { n _ { i } , 0 } ( r ^ { \prime } ) [ g _ { 1 } ( \nu _ { f } , r , r ^ { \prime } ) + g _ { 1 } ( \nu _ { i } , r , r ^ { \prime } ) ] d r d r ^ { \prime } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } } \\ { \mathbf { V } _ { 2 } ^ { * } } \end{array} \right] } \mathbf { M } ^ { * } \mathbf { M } { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { V } _ { 1 } } & { \mathbf { V } _ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } \mathbf { M } ^ { * } \mathbf { M } \mathbf { V } _ { 1 } } & { \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } \mathbf { M } ^ { * } \mathbf { M } \mathbf { V } _ { 2 } } \\ { \mathbf { V } _ { 2 } ^ { * } \mathbf { M } ^ { * } \mathbf { M } \mathbf { V } _ { 1 } } & { \mathbf { V } _ { 2 } ^ { * } \mathbf { M } ^ { * } \mathbf { M } \mathbf { V } _ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { D } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } .
B _ { m } ( y ) = \int _ { x _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { x _ { \operatorname* { m a x } } } \int _ { - \phi _ { \operatorname* { m a x } } } ^ { \phi _ { \operatorname* { m a x } } } \sinh x d \phi d \xi = 2 \int _ { x _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { x _ { \operatorname* { m a x } } } \phi _ { \operatorname* { m a x } } ( x , y ) \sinh x d \xi
\tan \theta _ { \mathrm { C } } \; = \; \sqrt { \frac { \tan ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { u } } + \tan ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { d } } - 2 \tan \theta _ { \mathrm { u } } \tan \theta _ { \mathrm { d } } \cos \varphi } { 1 + \tan ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { u } } \tan ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { d } } + 2 \tan \theta _ { \mathrm { u } } \tan \theta _ { \mathrm { d } } \cos \varphi } } \; .
\begin{array} { r l r } { \frac { d P _ { \parallel } } { d t } + P _ { \parallel } \nabla \cdot { \bf u } + 2 P _ { \parallel } \left[ { \bf \hat { z } } \left( { \bf \hat { z } } \cdot \nabla \right) \right] \cdot { \bf u } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \frac { d P _ { \perp } } { d t } + 2 P _ { \perp } \nabla \cdot { \bf u } - P _ { \perp } \left[ { \bf \hat { z } } \left( { \bf \hat { z } } \cdot \nabla \right) \right] \cdot { \bf u } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \psi \mapsto \rho } } & { \left\{ \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle - \langle \mathbf { a } [ \psi ; \mathbf { j } ] \cdot \mathbf { A } , \rho \rangle \right\} } \\ & { + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } \rangle + \langle v + \frac 1 2 \vert \mathbf { A } \vert ^ { 2 } , \rho \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { + } } & { = } & { \hat { l } _ { x } + i \hat { l } _ { y } } \\ & { = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { i \phi } \left( z \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi } - r \partial _ { z } \right) , } \\ { \hat { l } _ { - } } & { = } & { \hat { l } _ { x } - i \hat { l } _ { y } } \\ & { = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \left( - z \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi } + r \partial _ { z } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \psi _ { j } ^ { \prime } | } & { { } = \langle \psi _ { j + 1 } ^ { \prime } | e ^ { \theta _ { j } G _ { j } } , \ } \\ { | \psi _ { j - 1 } \rangle } & { { } = e ^ { - \theta _ { j } G _ { j } } | \psi _ { j } \rangle , \ } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathcal { F } _ { \mathcal { P } _ { \mathcal { N } _ { 0 } } } } { \partial M _ { n } } = \frac { \beta _ { 1 } \rho m _ { c , 0 } } { f _ { n } ^ { m d } } + \beta _ { 2 } \kappa \rho m _ { c , 0 } f _ { n } ^ { m d 2 } - \frac { \beta _ { 3 } m _ { a , 0 } } { ( M _ { n } + m _ { a , 1 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
< K ^ { 0 } | { \cal L } _ { s \bar { d } s \bar { d } } | \bar { K } ^ { 0 } > = ( \frac { f ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 8 g _ { 1 } } { f ^ { 2 } } ) m _ { K } ^ { 2 } - \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } 5 m _ { K } ^ { 2 } + \cdots
\begin{array} { r l r } { D _ { \mu \nu } } & { = } & { - \frac { \partial ^ { 2 } S ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) } { \partial { Q } ^ { \mu } ( 2 \tau ) \partial { Q } ^ { \nu } ( \tau ) } , } \\ { \operatorname* { d e t } | | D _ { \mu \nu } | | } & { = } & { D ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) , } \end{array}
\hat { S } = \int d ^ { 1 0 } \hat { x } \sqrt { | \hat { g } | } \, \left\{ e ^ { - 2 \hat { \phi } } \left[ \hat { R } - 4 ( \partial \hat { \phi } ) ^ { 2 } \right] + { \textstyle \frac { ( - 1 ) ^ { 7 - p } } { 2 \cdot ( 8 - p ) ! } } \left( \hat { G } ^ { ( 8 - p ) } \right) ^ { 2 } \right\} \, .
{ \mathbf M _ { S ^ { 0 } , R C } ^ { 2 } } = \left[ \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \Delta _ { t } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \, , \qquad \Delta _ { t } = { \frac { 3 g ^ { 2 } m _ { t } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } m _ { W } ^ { 2 } s _ { \beta } ^ { 2 } s _ { \theta } ^ { 2 } } } \, \ln \, { \frac { m _ { \tilde { t } _ { 1 } } ^ { 2 } m _ { \tilde { t } _ { 2 } } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 4 } } } \, ;
\begin{array} { r l } & { v _ { j } ^ { ( 3 ) } = \Delta _ { - } ^ { - 1 } v _ { j } ^ { ( 1 ) } \Delta _ { + } = I + \Delta _ { - } ^ { - 1 } v _ { j , r } ^ { ( 1 ) } \Delta _ { + } , \quad j = 2 , 5 ; \quad v _ { 1 0 } ^ { ( 3 ) } = \Delta _ { - } ^ { - 1 } v _ { 8 } ^ { ( 1 ) } \Delta _ { + } = I + \Delta _ { - } ^ { - 1 } v _ { 8 , r } ^ { ( 1 ) } \Delta _ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 2 ^ { \prime } } } & { { } = \alpha D _ { 3 } = { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } \mathrm { { 3 } } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } , } \\ { q _ { 3 ^ { ' } } } & { { } = \beta D _ { 2 ^ { \prime } } = { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } , } \end{array}
H ^ { 2 } ( G / T _ { 0 } ^ { \omega } , R ) \cong \pi _ { 2 } ( G / T _ { 0 } ^ { \omega } ) \cong \pi _ { 1 } ( T _ { 0 } ^ { \omega } ) \cong { \bf Z } ^ { \mathrm { d i m } T _ { 0 } ^ { \omega } }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \partial } \equiv \omega _ { k } \frac { \partial \mathit { { E } } _ { k } ^ { R } } { \partial \omega _ { k } } e ^ { i \phi _ { k } } J _ { n + 1 } + \omega _ { k } \frac { \partial \mathit { { E } } _ { k } ^ { L } } { \partial \omega _ { k } } } & { e ^ { - i \phi _ { k } } J _ { n - 1 } + 2 \Psi _ { \partial } ^ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d ( \| U \| ^ { 2 } + \sum _ { | \alpha | \leq s , D ^ { \alpha } \neq \partial _ { x } ^ { s } } \| D ^ { \alpha } V \| ^ { 2 } ) } \\ { = } & { - 2 \Big ( \left\langle U \partial _ { x } u ^ { k } + u ^ { j } \partial _ { x } U + W \partial _ { z } u ^ { k } + w ^ { j } \partial _ { z } U + \partial _ { x } P , U \right\rangle } \\ & { + \sum _ { | \alpha | \leq s , D ^ { \alpha } \neq \partial _ { x } ^ { s } } \left\langle D ^ { \alpha } ( U \partial _ { x } v ^ { k } + u ^ { j } \partial _ { x } V + W \partial _ { z } v ^ { k } + w ^ { j } \partial _ { z } V ) , D ^ { \alpha } V \right\rangle \Big ) d t } \\ & { + \Big ( \| \sigma ( u ^ { k } ) - \sigma ( u ^ { j } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathscr U , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } + \sum _ { | \alpha | \leq s , D ^ { \alpha } \neq \partial _ { x } ^ { s } } \| D ^ { \alpha } \partial _ { z } ( \sigma ( u ^ { k } ) - \sigma ( u ^ { j } ) ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathscr U , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \Big ) d t } \\ & { + 2 \Big ( \left\langle \sigma ( u ^ { k } ) - \sigma ( u ^ { j } ) , U \right\rangle + \sum _ { | \alpha | \leq s , D ^ { \alpha } \neq \partial _ { x } ^ { s } } \left\langle D ^ { \alpha } \partial _ { z } ( \sigma ( u ^ { k } ) - \sigma ( u ^ { j } ) ) , D ^ { \alpha } V \right\rangle \Big ) d W } \\ { : = } & { I _ { 1 } d t + I _ { 2 } d t + I _ { 3 } d W . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } ( \tau ^ { - m } ( { \tiny \begin{array} { c } { 2 } \end{array} } ) ) } & { = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \bigg \langle v , \left[ \begin{array} { l } { 2 m } \\ { 2 m + 1 } \end{array} \right] \right\rangle = 0 , } & { \mathrm { a n d ~ } \left\langle v , \left[ \begin{array} { l } { 2 i } \\ { 2 i + 1 } \end{array} \right] \right\rangle \leq 0 \quad \forall 0 \leq i < m , \mathrm { ~ } } \\ & { } & { \mathrm { a n d ~ } \left\langle v , \left[ \begin{array} { l } { 2 i + 1 } \\ { 2 i + 2 } \end{array} \right] \right\rangle \leq 0 \quad \forall 0 \leq i < m \bigg \} } \\ & { = \{ ( ( 2 m + 1 ) x , - 2 m x ) : 0 \leq x \in \mathbb { R } \} } & \end{array}
M _ { T } ^ { 2 } ( e ^ { - } e ^ { + } \nu ) = \left[ ( p _ { e e \nu T } ^ { 2 } + M _ { e e \nu } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } + p _ { \nu T } \right] ^ { 2 } - ( \vec { p } _ { e e T } + \vec { p } _ { \nu T } ) ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l r } & { \mathbf v _ { 0 } = ( \sqrt 8 ) ^ { - 1 } | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \otimes | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \otimes | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \, , } & { \mathbf v _ { x } = ( \sqrt 8 ) ^ { - 1 } | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \otimes | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \, , } \\ & { \mathbf v _ { y } = ( \sqrt 8 ) ^ { - 1 } | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \, , } & { \mathbf v _ { z } = ( \sqrt 8 ) ^ { - 1 } \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \otimes | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \, , } \\ & { \mathbf v _ { y z } = ( \sqrt 8 ) ^ { - 1 } \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \, , } & { \mathbf v _ { x z } = ( \sqrt 8 ) ^ { - 1 } \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \, , } \\ & { \mathbf v _ { x y } = ( \sqrt 8 ) ^ { - 1 } | \mathbf W _ { 1 } ^ { T } | \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \, , } & { \mathbf v _ { x y z } = ( \sqrt 8 ) ^ { - 1 } \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 4 n - 8 = \sum _ { P \in { \ensuremath { \cal P } } } w _ { 0 } ( P ) } & { \geq } & { 4 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 2 } | + 6 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 3 } ^ { \odot } | + \sum _ { \mathrm { p a t c h ~ P \not \in ~ { \ensuremath { \cal ~ P } } _ 2 \cup ~ { \ensuremath { \cal ~ P } } _ 3 ^ \odot ~ } } 0 \quad \geq \quad 6 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 3 } ^ { \odot } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { d S S H } = } & { \sum _ { x \ne 0 } \omega _ { o } a _ { x } ^ { \dagger } a _ { x } + \sum _ { x } \omega _ { o } b _ { x } ^ { \dagger } b _ { x } + \sum _ { x \ne 0 } v \big ( a _ { x } ^ { \dagger } b _ { x } + b _ { x } ^ { \dagger } a _ { x } \big ) } \\ & { + \sum _ { x \ne - 1 } w \big ( a _ { x + 1 } ^ { \dagger } b _ { x } + b _ { x } ^ { \dagger } a _ { x + 1 } \big ) + \hat { H } _ { e } } \\ & { + ( g _ { L } b _ { - 1 } ^ { \dagger } + g _ { R } b _ { 0 } ^ { \dagger } ) \sigma + \sigma ^ { \dagger } ( g _ { L } b _ { - 1 } + g _ { R } b _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \Big | \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \tilde { O } ( \phi ^ { 2 } ) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } d t \Big | \Big | _ { C ^ { \alpha } ( Y ) } } & { \leq K \epsilon ^ { 2 - \alpha } \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } d t } \\ & { \leq K \epsilon ^ { 3 - \alpha } + O ( \epsilon ^ { \omega } ) } \\ & { \leq K \epsilon ^ { 3 - \alpha } } \end{array}