harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { H } _ { 3 } = \frac { g l _ { \mathrm { ~ c ~ } } } { 4 \sqrt { N } } \left( \hat { a } _ { \mathrm { ~ c ~ } } e ^ { i \delta t } + \hat { a } _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \dagger } e ^ { - i \delta t } \right) \left( \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( i ) } + \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( j ) } \right) .
\frac { 1 } { 2 } \delta \Lambda _ { I } = - \gamma ^ { \mu } \epsilon _ { I } \partial _ { \mu } \phi + \frac { 1 } { \sqrt 2 } \sigma ^ { \mu \nu } \left( e ^ { - \phi } F _ { \mu \nu } \alpha _ { I J } - e ^ { \phi } \tilde { G } _ { \mu \nu } \beta _ { I J } \right) ^ { - } \epsilon ^ { J } = 0 \ .
\begin{array} { r } { p + p _ { * k } = \sigma ^ { ( k ) } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * k } ) } \\ { = ( \gamma _ { k } - 1 ) ( \rho _ { k } ( \varepsilon _ { k } - \varepsilon _ { 0 k } ) - p _ { * k } ) = ( \gamma _ { k } - 1 ) c _ { V k } \rho _ { k } \theta , } \end{array}
\delta \hat { \phi } _ { G } \simeq 2 \frac { T _ { e } } { T _ { i } } \frac { T _ { i } / m _ { i } } { \bar { \Omega } _ { i } \omega _ { G } } \frac { i } { R _ { 0 } } \sin \theta \frac { \partial } { \partial r } \left[ \delta \phi _ { G } \right] _ { \psi } \; ,
T _ { ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) } = \beta ^ { - 2 } T _ { ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) } ^ { ( 1 1 ) } = ( \Delta _ { ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) } ) ^ { 1 / 2 } T _ { 1 } ^ { ( B ) } .
\begin{array} { r l r } & { } & { G _ { 1 } ( x , z ) \sim \int _ { \Lambda } K ( 0 , L ; \xi , 0 ) \, d \xi \int _ { 0 } ^ { L } C ( x - x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z , z ^ { \prime } ) \, S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } } \\ & { } & { = \varphi _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( 0 , L ) \, \int _ { 0 } ^ { L } C ( x - x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z , z ^ { \prime } ) \, S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } \ \ \ \ \ ( \ln U \to + \infty ) , } \end{array}
\rho ( \lambda ) \; = \; { \frac { 4 } { \pi } } \; \left\{ \begin{array} { c c } { { \left( 1 + { \frac { 2 } { G } } [ 1 - 2 ( 1 - \lambda ^ { 2 } / 2 ) ^ { 2 } ] \right) / \sqrt { 4 - \lambda ^ { 2 } } } } & { { \; \; \; 0 \leq \lambda \leq 2 , \; \; \; G \geq 2 , } } \\ { { { \frac { 2 \lambda } { G } } \sqrt { \left( G / 2 - ( 1 - \lambda ^ { 2 } / 2 ) ^ { 2 } \right) } } } & { { \; \; \lambda _ { 1 } \leq \lambda \leq \lambda _ { 2 } , \; \; \; G \leq 2 , } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } , } } \end{array} \right.
L _ { a } = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \mathrm { I m } \, \mathrm { t r } \int d ^ { 2 } \theta \, W ^ { 2 } \Bigg ( \frac { 4 \pi i } { e _ { e f f } ^ { 2 } } + \frac { \vartheta _ { e f f } } { 2 \pi } \Bigg )
{ \displaystyle \frac { \partial { \cal U } ( { \bf R } , { \bf X } ) } { \partial R _ { I } } = 2 \mathrm { T r } [ { \bf h } _ { R _ { I } } { \bf D } ] + \mathrm { T r } [ ( 2 { \bf D } - { \bf P } ) { \bf G } _ { R _ { I } } ] + \partial V _ { n n } / \partial R _ { I } - 2 \mathrm { T r } [ { \bf Z } { \bf Z } ^ { T } { \bf F } { \bf D } { \bf S } _ { R _ { I } } ] } ,
H _ { \mathrm { e f f } } ( B _ { s } \rightarrow l ^ { + } l ^ { - } ) \supset H _ { \mathrm { e f f } } ( b \rightarrow s l ^ { + } l ^ { - } ) - { \frac { 4 G _ { F } \lambda _ { t } } { \sqrt { 2 } } } ~ \left[ C _ { S } O _ { S } + C _ { P } O _ { P } + C _ { S } ^ { ' } O _ { S } ^ { ' } + C _ { P } ^ { ' } O _ { P } ^ { ' } \right] ,
F ^ { M _ { 1 } \cdots M _ { n } } = { \frac { 1 } { \sqrt { - g } } } \, e ^ { - a \phi } \, { \frac { 1 } { ( D - n ) ! } } \, \epsilon ^ { M _ { 1 } \cdots M _ { n } N _ { 1 } \cdots N _ { D - n } } \, \tilde { F } _ { N _ { 1 } \cdots N _ { D - n } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { R } _ { 4 f _ { \mathrm { e x t } } } = \frac { 1 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \frac { f _ { \mathrm { e x t } } } { 4 f _ { \mathrm { m i d } } } \Rightarrow \mathcal { R } = \frac { 2 f _ { \mathrm { e x t } } f _ { \mathrm { m i d } } } { 4 f _ { \mathrm { m i d } } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } f _ { \mathrm { e x t } } ^ { 4 } } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \underline { { \Lambda } } _ { t } = \mathbb { P } \big ( \operatorname* { i n f } _ { 0 \le s \le t } ( X _ { 0 - } + B _ { s } - \underline { { \Lambda } } _ { s } ) \le 0 \big ) = \mathbb { E } \left[ F ( Y _ { t } ) \right] , \quad t \ge 0 , } \\ & { } & { \Lambda _ { t } = \mathbb { E } \left[ F ( Z _ { t } ) \right] , \quad t \ge 0 . } \end{array}
g ( u , y ^ { p } , \theta ) = \left( \begin{array} { c c c } { { - \frac { e } { 2 } u \, 1 _ { 2 } } } & { { \frac { i } { \sqrt { 2 } } y ^ { p } \, \sigma _ { p } } } & { { \sqrt { e \, } \theta _ { N } } } \\ { { . } } & { { \frac { e } { 2 } u \, 1 _ { 2 } } } & { { . } } \\ { { . } } & { { \sqrt { e } \, \vartheta ^ { \dagger N } } } & { { . } } \end{array} \right) = u { \cal C } + y ^ { p } { \cal N } _ { p } + \theta ^ { \dagger N } Q _ { N } + \overline { { { Q } } } ^ { N } \theta _ { N }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { f _ { \lambda } ^ { \prime } } \left[ \left| \hat { f } _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t ) - f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right| ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \zeta _ { n } } \left[ \mathbb { E } _ { f _ { \lambda } ^ { \prime } } \left[ \left| \hat { f } _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t ) - f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right| ^ { 2 } \right] \Big \vert \mathbf { f } ( \mathbf { a } _ { n } ) + \boldsymbol \zeta _ { n } = \mathbf { y } _ { n } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \zeta _ { n } } \left[ \mathbb { E } _ { f _ { \lambda } ^ { \prime } } \left[ \left| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) - \mathbb { E } _ { f _ { \lambda } ^ { \prime } } [ f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \vert \mathbf { f } ( \mathbf { a } _ { n } ) + \boldsymbol \zeta _ { n } ] \right| ^ { 2 } \right] \Big \vert \mathbf { f } ( \mathbf { a } _ { n } ) + \boldsymbol \zeta _ { n } = \mathbf { y } _ { n } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \zeta _ { n } } [ \mathrm { V a r } ( f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \vert \mathbf { f } ( \mathbf { a } _ { n } ) + \boldsymbol \zeta _ { n } ) ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \zeta _ { n } } [ v _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t ) ] = v _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } \hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } } & { = 2 \left( \bigotimes _ { r = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \mu - 1 ) } \hat { Z } _ { r } \bigotimes _ { r ^ { \prime } = L ( \mu - 1 ) + 1 } ^ { \mu L } \hat { X } _ { r ^ { \prime } } \right) \left( \bigotimes _ { s = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \mu - 1 ) } \hat { Z } _ { s } \bigotimes _ { s ^ { \prime } = L ( \mu - 1 ) + 1 } ^ { \mu L } \hat { X } _ { s ^ { \prime } } \right) } \\ & { = 2 \mathbf { I } \, \textrm { ( s h o w n ) } } \end{array}
\Delta M _ { W } ^ { 2 } \ \simeq \ - { \frac { e ^ { 2 } } { 2 s _ { \theta } ^ { 2 } } } { \frac { v ^ { 4 } } { N _ { D } ^ { 2 } M _ { \mathrm { a d j } } ^ { 2 } } } A _ { U } ^ { \mathrm { a d j } } A _ { D } ^ { \mathrm { a d j } } \ .
\frac { 1 } { K } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] = \mathcal { O } \left( \frac { \hat { \alpha } _ { 3 } + \hat { \alpha } _ { 3 } ^ { - 1 } } { \sqrt { n K } } + \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } ( \hat { \alpha } _ { 1 } , \hat { \alpha } _ { 2 } ) K } + { b ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { D ^ { - 1 } \frac { \log ( x ^ { 2 } ) ^ { s + 1 } } { s + 1 } - \log ( x ^ { 2 } ) \le \widetilde { \omega } _ { M ^ { q , n } } ( x ^ { 2 } ) \le \omega _ { M ^ { q , n } } ( x ^ { k } ) \le D \log ( x ^ { k } ) ^ { s } + D } \\ & { \Longrightarrow 2 ^ { s + 1 } \log ( x ) ^ { s + 1 } \le D ^ { 2 } ( s + 1 ) k ^ { s } \log ( x ) ^ { s } + D ^ { 2 } ( s + 1 ) + 2 ( s + 1 ) D \log ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S = \int d t } & { \left[ \frac { 1 } { 2 } \dot { Q } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \omega _ { Q } ^ { 2 } Q ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \dot { P } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \omega _ { P } ^ { 2 } P ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. - \frac { 1 } { 4 } \alpha P ^ { 4 } + \frac { \gamma } { 2 } P ^ { 2 } Q ^ { 2 } + Z _ { q } Q E + Z _ { p } P E \right] , } \end{array}
v _ { r e l } = v _ { S ^ { \prime } / S } = \frac { v ^ { \prime } - v + V } { 1 - \frac { v ^ { \prime } v } { c ^ { 2 } } + \frac { v ^ { \prime } V } { c ^ { 2 } } } = \frac { v ^ { \prime } - v ( 1 - \alpha ) } { 1 - \frac { v ^ { \prime } v ( 1 - \alpha ) } { c ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { ( T ^ { * } T ) ^ { N } R g ( y ) } & { = \int K _ { N } ( y , y ^ { \prime } ) \psi ( y ^ { \prime } - y ^ { \prime \prime } ) g ( y ^ { \prime \prime } ) d y ^ { \prime } d y ^ { \prime \prime } } \\ & { = \int K _ { N } ( y , y ^ { \prime \prime } + h ) \psi ( h ) g ( y ^ { \prime \prime } ) d h d y ^ { \prime \prime } } \\ & { = \int \left[ K _ { N } ( y , y ^ { \prime \prime } + h ) - K _ { N } ( y , y ^ { \prime \prime } ) \right] \psi ( h ) g ( y ^ { \prime \prime } ) d h d y ^ { \prime \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i \leftarrow j } ( z ) = } & { 1 - \phi + \phi \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } z ^ { s } \sum _ { \{ s _ { k } : k \in \partial ( j ) \backslash i \} } \left[ \prod _ { k \in \partial ( j ) \backslash i } \pi _ { j \leftarrow k } ( s _ { k } ) \right] } \\ & { \times \delta \left( s - 1 , \sum _ { k \in \partial ( j ) \backslash i } s _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } = } & { \frac { \alpha ^ { 2 } c ^ { 3 } \kappa _ { p } } { \pi \, \omega _ { p } \omega _ { \gamma } k _ { p } ^ { 2 } } \sum _ { \pm } \frac { \varepsilon _ { q _ { \pm } ^ { \prime } } } { q _ { z \pm } ^ { \prime } } \; \Theta \Big ( \varepsilon _ { q _ { \pm } ^ { \prime } } ^ { 2 } - m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } c ^ { 4 } / \hbar ^ { 2 } - c ^ { 2 } q _ { \parallel \pm } ^ { \prime \, 2 } \Big ) \; \Theta \Big ( \omega _ { \gamma } \mp \omega _ { p } - \varepsilon _ { q } \Big ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \sum _ { s s ^ { \prime } } \; \sum _ { j = 1 , 2 } \; \sum _ { \mu = \pm 1 } \; \Big | \overline { { u } } _ { { \bf q } _ { \parallel \pm } ^ { \prime } + \mu q _ { z \pm } ^ { \prime } \hat { \bf z } , s ^ { \prime } } \, \mathcal { N } _ { j } ^ { \pm } ( { \bf q } , { \bf q } _ { \parallel \pm } ^ { \prime } + \mu q _ { z \pm } ^ { \prime } \hat { \bf z } ) \, v _ { { \bf q } s } \Big | ^ { 2 } , } \end{array}
S = - k _ { \mathrm { B } } \sum _ { i } \left[ \frac { e ^ { - \beta E _ { i } } } { \sum _ { i } e ^ { - \beta E _ { i } } } ~ \ln { \left( \frac { e ^ { - \beta E _ { i } } } { \sum _ { i } e ^ { - \beta E _ { i } } } \right) } \right] ,
L _ { l } = \left( \begin{array} { c c c } { { \nu _ { l } } } & { { l } } & { { l ^ { c } } } \end{array} \right) _ { L } ^ { t } , \, \ \tilde { L } _ { l } = \left( \begin{array} { c c c } { { \tilde { \nu } _ { l } } } & { { \tilde { l } } } & { { \tilde { l } ^ { c } } } \end{array} \right) _ { L } ^ { t } , \, \ l = e , \mu , \tau .
( n + 1 ) S _ { n , l } S _ { n , l } ^ { * } = t _ { 1 } ( S _ { n , l } ^ { * } S _ { n + 1 , l } + S _ { n , l } S _ { n - 1 , l } ^ { * } ) ( 1 - S _ { n , l } S _ { n , l } ^ { * } ) + l ( 1 - S _ { n , l } S _ { n , l } ^ { * } ) .
\operatorname { f } ( \mathbf { X } ) = ( 2 \pi ) ^ { - n / 2 } | \mathbf { \Sigma } | ^ { - 1 / 2 } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { ( X - \mu ) ^ { \mathrm { { T } } } \Sigma ^ { - 1 } ( X - \mu ) } \right) ,
\operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } I _ { \Gamma _ { R } } \leqslant \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } | I _ { \Gamma _ { R } } | \leqslant \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } \int _ { \varphi _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 2 } } V ( \varphi , R , x , \alpha , \theta ) d \varphi ,
V _ { \mathrm { P T } } ( r ) = - v _ { \mathrm { P T } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { m _ { r } } \frac { \mu _ { \mathrm { P T } } ^ { 2 } } { \cosh ^ { 2 } ( \mu _ { \mathrm { P T } } r ) } .
f _ { n e w } = f _ { o l d } + \frac { \Delta t } { 2 } \frac { F _ { x } } { m } \frac { \partial f } { \partial v _ { x } } \approx f _ { o l d } + \frac { \Delta t } { 2 } \frac { F _ { x } c _ { x } } { m R T } f ^ { M } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } 2 \Vert P _ { n } ^ { \theta _ { 0 } } - P _ { n } ^ { \theta _ { 0 } + \delta v } \Vert _ { T V } ^ { 2 } \leq \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } n K ( \theta _ { 0 } + \delta v , \theta _ { 0 } ) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } n \left\{ ( \delta v ) ^ { t } \frac { I ( \theta _ { 0 } ) } { 2 } ( \delta v ) + o ( \Vert \delta v \Vert ^ { 2 } ) \right\} = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\lVert \partial _ { x } y _ { n } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = \int _ { a } ^ { b } | \partial _ { x } y _ { n } ( x ) | ^ { 2 } d x \leq T \cdot \left( \int _ { a } ^ { b } \int _ { 0 } ^ { T } | \partial _ { x } z _ { n } ( x , t ) | ^ { 2 } d t d x \right) = T \cdot \lVert \partial _ { x } z _ { n } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \dot { \theta } = \omega - \sigma ^ { \uparrow } \left( B ^ { k + 1 } ( V ^ { k + 1 } ) ^ { \top } \right) ^ { - } \sin \left( V ^ { k + 1 } D ^ { k } \theta + \widetilde \alpha _ { k + 1 } \right) } \\ { - \sigma ^ { \downarrow } \left( D ^ { k - 1 } ( V ^ { k - 1 } ) ^ { \top } \right) ^ { - } \sin \left( V ^ { k - 1 } B ^ { k } \theta + \widetilde \alpha _ { k - 1 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { \mathrm { 2 } } } & { = \sigma _ { X _ { j } } ^ { 2 } \Bigg ( 1 - \frac { 1 } { \eta \mathbb { P } [ S _ { j } > 0 ] } \int _ { - \infty } ^ { \infty } y \phi ( y ) \Big ( \phi \big ( B _ { j , + } ( y ) \big ) - \phi \big ( B _ { j , - } ( y ) \big ) \Big ) \mathrm { d } y } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } \mathbb { P } [ S _ { j } > 0 ] } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \phi ( y ) \frac { \Big ( \phi \big ( B _ { j , + } ( y ) \big ) - \phi \big ( B _ { j , - } ( y ) \big ) \Big ) ^ { 2 } } { 1 - \Phi \big ( B _ { j , + } ( y ) \big ) + \Phi \big ( B _ { j , - } ( y ) \big ) } \mathrm { d } y \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | | \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta | | _ { 0 , \gamma } ^ { 2 } = ( \chi ( \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta ) , \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta ) _ { 1 / 2 , \gamma } } & { = } & { \operatorname* { i n f } _ { \chi _ { h } \in W _ { h } ^ { i } } ( \chi ( \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta ) - \chi _ { h } , \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta ) _ { 1 / 2 , \gamma } . } \end{array}
Q ( X _ { 0 : T } ) : \qquad \mathrm { ~ d ~ } X _ { t } = g ( X _ { t } , t ) \mathrm { ~ d ~ } t + \sigma \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { \beta } _ { t } = \left( \hat { f } ( X _ { t } ) + \sigma ^ { 2 } u ( X _ { t } , t ) \right) \mathrm { ~ d ~ } t + \sigma \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { \beta } _ { t } .
\begin{array} { r } { R _ { j } ^ { \nu } : = \left\{ { x \in \mathbb { R } ^ { n } : | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \bar { y } ) ^ { \prime \prime } | \leq c 2 ^ { - \rho j } , \quad | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \bar { y } ) ^ { \prime } | \leq c 2 ^ { - \rho j / 2 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } ( \vec { a } ) } & { = a _ { 1 } } \\ { s _ { 2 } ( \vec { a } ) } & { = a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 2 } } \\ { s _ { 3 } ( \vec { a } ) } & { = a _ { 1 } ^ { 3 } - 3 a _ { 1 } a _ { 2 } + 3 a _ { 3 } } \\ { s _ { 4 } ( \vec { a } ) } & { = a _ { 1 } ^ { 4 } - 4 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } + 4 a _ { 1 } a _ { 3 } + 2 a _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { s _ { 5 } ( \vec { a } ) } & { = a _ { 1 } ^ { 5 } - 5 a _ { 1 } ^ { 3 } a _ { 2 } + 5 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 3 } + 5 a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - 5 a _ { 2 } a _ { 3 } . } \end{array}
\left. \frac { d \sigma } { d t } \right| _ { t = 0 } \sim 1 \cdot \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } \cdot Q ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { Q ^ { 4 } } \sim \frac { 1 } { Q ^ { 4 } } .
\begin{array} { r l r } { m _ { i j } } & { = } & { \phi _ { \mathrm { s c a l a r } } ( h _ { i } , h _ { j } , \vec { v } _ { i } , \vec { v } _ { j } , \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) , } \\ { \vec { m } _ { i j } } & { = } & { \phi _ { \mathrm { v e c t o r i a l } } ( h _ { i } , h _ { j } , \vec { v } _ { i } , \vec { v } _ { j } , \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { d i a m e t e r } } } & { = { \frac { a b c } { 2 \cdot { \mathrm { a r e a } } } } = { \frac { | A B | | B C | | C A | } { 2 | \Delta A B C | } } } \\ & { = { \frac { a b c } { 2 { \sqrt { s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) } } } } } \\ & { = { \frac { 2 a b c } { \sqrt { ( a + b + c ) ( - a + b + c ) ( a - b + c ) ( a + b - c ) } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } } & { : = \frac { 1 } { \sin \theta \cos ^ { 3 } \theta } = 1 6 . 2 9 7 \ldots , } \\ { c _ { 1 } } & { : = ( \theta - \sin \theta \cos \theta ) \tan ^ { 4 } \theta = 1 9 . 9 3 4 \ldots , } \\ { c _ { 2 } } & { : = \tan ^ { 3 } \theta \sin ^ { 2 } \theta = 9 . 4 8 1 2 \ldots , } \\ { c _ { 3 } } & { : = ( \theta - \sin \theta \cos \theta ) \tan ^ { 2 } \theta = 3 . 9 4 5 3 \ldots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { 4 } \, } & { { } = \, - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } | \nabla \tilde { \eta } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } X - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } ( \nabla W _ { \epsilon } \cdot \nabla \tilde { \eta } ) \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } V _ { \epsilon } \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \sum _ { K > M ^ { \delta } } g _ { K } ^ { i j } ( x ) \mathbf { P } _ { M } ( \xi ) \xi ^ { i } \xi ^ { j } \right\vert } & { \leq \sum _ { K > M ^ { \delta } } \left| g _ { K } ^ { i j } ( x ) \right| \Big | \mathbf { P } _ { M } ( \xi ) \Big | \left| \xi ^ { i } \right| \left| \xi ^ { j } \right| \leq d | \xi | ^ { 2 } \sum _ { K : K > M _ { 0 } ^ { \delta } } \left\| g _ { K } \right\| _ { L ^ { \infty } } , } \end{array}
J ( { \cal S } \, , \, \theta ) = - \int \, { \frac { d t } { 2 \pi } } \, { \frac { 1 } { \varepsilon _ { t } \, \sqrt { 4 \varepsilon _ { t } ^ { 2 } \, + { \cal S } \sin ^ { 2 } \theta } } } \, { \frac { 1 } { { \cal S } \, + \, 4 \, \varepsilon _ { t } ^ { 2 } } }
\left( \begin{array} { c c } { { { \varphi } _ { o u t } ^ { \prime } } } \\ { { { { \varphi } ^ { \prime } } _ { o u t } ^ { * } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { \varphi _ { i n } } } \\ { { \varphi _ { i n } ^ { * } } } \end{array} \right) ,
\frac { \ddot { a } } { a } ( t ) = - \frac { 4 \pi G _ { N } } { 3 } \left[ 3 ( P _ { \star } ( t ) + P ( t ) e ^ { - 4 k b _ { 0 } } + \frac { \hat { P } _ { B } } { k } ( t ) ( 1 - e ^ { - 2 k b } ) ) + \rho _ { \star } ( t ) + \rho ( t ) e ^ { - 4 k b } + \frac { \hat { \rho } _ { B } } { k } ( t ) ( 1 - e ^ { - 2 k b _ { 0 } } ) \right] .
\begin{array} { r l r } { \omega ^ { 2 } \hat { u } } & { - } & { k _ { x } \left( c ^ { 2 } - i \omega \frac { \lambda + \mu } { \bar { \rho } } \right) \left( k _ { x } \hat { u } + k _ { y } \hat { v } + k _ { z } \hat { w } \right) + \frac { i \omega \mu } { \bar { \rho } } \left( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } \right) \hat { u } = 0 } \\ { \omega ^ { 2 } \hat { v } } & { - } & { k _ { y } \left( c ^ { 2 } - i \omega \frac { \lambda + \mu } { \bar { \rho } } \right) \left( k _ { x } \hat { u } + k _ { y } \hat { v } + k _ { z } \hat { w } \right) + \frac { i \omega \mu } { \bar { \rho } } \left( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } \right) \hat { v } = 0 } \\ { \omega ^ { 2 } \hat { w } } & { - } & { k _ { z } \left( c ^ { 2 } - i \omega \frac { \lambda + \mu } { \bar { \rho } } \right) \left( k _ { x } \hat { u } + k _ { y } \hat { v } + k _ { z } \hat { w } \right) + \frac { i \omega \mu } { \bar { \rho } } \left( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } \right) \hat { w } = 0 } \end{array}
\hat { \boldsymbol s } ( \hat { \boldsymbol u } ) = \mathcal { H } \left( ( \mathcal { H } ^ { - 1 } ( \hat { \boldsymbol u } ) ) \cdot ( \mathcal { H } ^ { - 1 } ( i \boldsymbol k \hat { \boldsymbol u } ) ) \right) .
\frac { 1 } { \lambda } \frac { d \lambda } { d t } = \frac { ( { A } / { \Delta } ) - \cos 2 \theta } { \sqrt { ( \cos 2 \theta - A / \Delta ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } 2 \theta } } . \frac { 1 } { E \lambda } \frac { d \lambda } { d t } . ~ ~ \eqno ( A 1 )
\begin{array} { r l } { f _ { v _ { x } } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \partial \phi ( v _ { x } , v _ { y } ) } { \partial v _ { x } } = \frac { v _ { x } d } { \sqrt { \lambda ^ { - 2 } - v _ { x } ^ { 2 } - v _ { y } ^ { 2 } } } } \\ { f _ { v _ { y } } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \partial \phi ( v _ { x } , v _ { y } ) } { \partial v _ { y } } = \frac { v _ { y } d } { \sqrt { \lambda ^ { - 2 } - v _ { x } ^ { 2 } - v _ { y } ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t ] ( \vec { x } ) : = \vec { \mathrm { i d } } - ( t _ { m } - t ) \vec { W } ^ { m } ( \vec { x } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \frac { t _ { m } - t } { \Delta t } \, \vec { q } _ { k } ^ { m - 1 } + \frac { t - t _ { m - 1 } } { \Delta t } \, \vec { q } _ { k } ^ { m } \right) \phi _ { k } ^ { m } ( \vec { x } ) , \quad \forall t \in [ t _ { m - 1 } , ~ t _ { m } ] , \quad \vec { x } \in \mathscr { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } v _ { i } + v _ { j } \partial _ { j } v _ { i } } & { { } + \frac { 1 } { m n } \partial _ { j } \left[ \frac { \hbar n } { 2 } \left( \epsilon _ { i k } \partial _ { k } v _ { j } + \epsilon _ { j k } \partial _ { i } v _ { k } \right) \right] + \frac { 1 } { m } \partial _ { i } V ^ { \prime } ( n ) + \frac { e B } { m } \epsilon _ { i j } v _ { j } + \frac { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } { \nu m } \partial _ { i } n , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Gamma _ { F , m _ { F } } } & { { } = 3 \Gamma _ { s c } \sum _ { F ^ { \prime } , m _ { F ^ { \prime } } } \delta _ { m _ { F } , m _ { F ^ { \prime } } } ( 2 F + 1 ) ( 2 F ^ { \prime } + 1 ) } \end{array} } \end{array}
E _ { \omega , M } ( \rho , \delta ) : = \left\{ \theta \in A _ { a , b , \eta } : \! \operatorname* { m a x } _ { \tau : \ | \tau | \in [ 1 , | \Theta _ { 1 } ^ { ( M + 1 ) } | ] } \# \Bigl \{ n \in [ M ] : \, \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le 5 } \| \textup { R e } ( \Theta _ { n } ^ { ( M ) } \cdot \theta _ { 2 } \theta ^ { j } \tau ) \| \ge \rho \Bigr \} < \delta M \right\}
\begin{array} { r l } { \rVert \mathcal { E } } & { [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + ( \rVert Z \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } ) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) . } \end{array}