harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l r l } { c _ { r } } & { { } = \frac { \sigma ( 6 \beta + \sigma ) } { 1 2 \beta } \; , } & { c _ { i } } & { { } = \frac { 1 } { 3 6 } \left( \frac { 2 ( 6 \beta - \sigma ) ( 3 \beta + \sigma ) \omega _ { * } } { \beta ^ { 2 } } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { \omega _ { * } } \right) \; , } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \delta } & { { } = D - \frac { \beta D \chi } { 3 \beta + \sigma } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V } _ { \mathrm { M C S } } ^ { \Omega , \, \mathrm { Q P D } _ { 1 } } } & { { } = \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \lambda m } { 2 \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \delta z _ { R } \bigg ( - A _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n + 2 , m ) } + A _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m + 2 ) } } \end{array}
Q = G ^ { \ast } + \bar { G } ^ { \ast } = \theta { \frac { \delta } { \delta X ^ { \ast } } } - F ^ { \ast } { \frac { \delta } { \delta \eta } } - \partial X { \frac { \delta } { \delta \psi } } - \bar { \partial } X { \frac { \delta } { \delta \bar { \psi } } } - ( \partial \bar { \psi } + \bar { \partial } \psi ) { \frac { \delta } { \delta F } }
\mathrm { ~ { ~ \bf ~ T ~ D ~ } ~ } ( t ) = [ \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t ) , \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t - \tau ) , \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t - 2 \tau ) , . . . , \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t - ( D _ { E } - 1 ) \tau ) ] ,
| \bar { { \cal T } } ( g g \to c \bar { c } ( \underline { { { 8 } } } , { } ^ { 3 } P _ { 0 } ) ) | ^ { 2 } = { \frac { 5 g _ { s } ^ { 4 } } { 9 6 ( 2 m _ { c } ) ^ { 6 } } } \; \; \xi ^ { \dagger } { \bf q } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { c } \eta \; \; \eta ^ { \dagger } { \bf q } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { c } \xi \; \left( 1 + \cdots \right) \; .
\psi _ { n \kappa \mu } ( r ) = \frac { 1 } { r } \left[ \begin{array} { l } { P _ { n \kappa } ( r ) \chi _ { \kappa \mu } ( \theta , \phi ) } \\ { i Q _ { n \kappa } ( r ) \chi _ { - \kappa \mu } ( \theta , \phi ) } \end{array} \right] ,
{ L _ { 3 - 4 } } = \sqrt { { L _ { 3 - 6 , b } } ^ { 2 } + { L _ { 4 - 6 , b } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 3 - 6 , b } } \cdot { L _ { 4 - 6 , b } } \cdot c o s ( { A _ { b } } ) ) }
. F i n a l l y , w i t h ~ t h e h e l p o f t h e s e r e s u l t s , w e g i v e a t o p o l o g i c a l p r o o f o f a v e r s i o n o f A r t i n ^ { \prime } s i n d u c t i o n t h e o r e m . A r t i n ^ { \prime } s i n d u c t i o n t h e o r e m s a y s t h a t a n y c h a r a c t e r o f a f i n i t e g r o u p c a n b e e x p r e s s e d a s a r a t i o n a l l i n e a r c o m b i n a t i o n o f c h a r a c t e r s t h a t a r e i n d u c e d f r o m t h e c y c l i c s u b g r o u p s . I n ~ t h i s w o r k , w e p r o v e a v e r s i o n o f t h i s t h e o r e m ; m o r e p r e c i s e l y , w e s h o w t h a t i f
\begin{array} { r l } & { \rho _ { _ c } ( \cdot , t ) = \rho _ { + } \mathscr { X } _ { _ { \mathcal { R } _ { + } ( t ) } } + \rho _ { - } \mathscr { X } _ { _ { \mathcal { R } _ { - } ( t ) } } , \quad \mu _ { _ c } ( \cdot , t ) = \mu _ { + } \mathscr { X } _ { _ { \mathcal { R } _ { + } ( t ) } } + \mu _ { - } \mathscr { X } _ { _ { \mathcal { R } _ { - } ( t ) } } , } \\ & { \mathscr { A } ( \rho _ { _ c } , \vec { v } ; \vec { u } , \vec { \chi } ) = \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \rho _ { _ c } \, r , ~ [ \vec { v } \cdot \nabla _ { c } ] \vec { u } \cdot \vec { \chi } - [ \vec { v } \cdot \nabla _ { c } ] \vec { \chi } \cdot \vec { u } \bigr ) . } \end{array}
\mathbf { H } _ { \mathrm { I C M E } } = E _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } M _ { x } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \xi _ { 1 } \sin 2 \alpha } \\ { \sqrt { 2 } \xi _ { 2 } \cos 2 \alpha } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \frac { | \mathbb { S } _ { d - 2 } | } { | \mathbb { S } _ { d - 1 } | } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { f } } \sin ^ { d - 2 } \theta \, d \theta = \frac { 1 } { 2 } - \frac { | \mathbb { S } _ { d - 2 } | } { | \mathbb { S } _ { d - 1 } | } \sum _ { i = 1 } ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } ( d - ( 2 j + 1 ) ) } { \prod _ { j = 1 } ^ { i } ( d - 2 j ) } ( \sin ^ { d - ( 2 i + 1 ) } \theta _ { f } ) \cos \theta _ { f } - \frac { 1 } { 2 } \cos \theta _ { f } } \end{array}
( \kappa _ { 4 } ) ^ { 4 } U _ { O M } = \frac { 3 | h | ^ { 2 } } { 4 d J ^ { 2 } } \Bigg \{ \beta \Big [ e ^ { - J \beta x } - e ^ { - J \beta ( 1 - x ) } \Big ] ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \frac { J } { V } \beta ^ { 2 } \Big [ e ^ { - J \beta x } x + e ^ { - J \beta ( 1 - x ) } ( 1 - x ) \Big ] ^ { 2 } \Bigg \} \; .
\frac { \varepsilon _ { f } ( \widetilde { x } _ { 1 } + s _ { n } ) } { F _ { n - 1 } ( \widetilde { x } _ { 1 } + s _ { n } ) } \simeq \frac { \varepsilon _ { f } ( \widetilde { x } _ { 1 } + s _ { n } ) } { f ( \widetilde { x } _ { 1 } + s _ { n } ) } = \frac { \varepsilon _ { f } ( \widetilde { x } _ { 1 } + s _ { n } ) } { c s _ { n } ^ { m } } = o ( 1 ) .
\frac { K } { 2 } \partial _ { s } \ln \left( 1 + a _ { 0 2 } \right) = \frac { 4 } { { d _ { r } } ( { d _ { r } } + 2 ) } \left[ ( { d _ { r } } + 2 ) \mu _ { 0 2 } - \frac { \mu _ { 0 4 } } { 1 + a _ { 0 2 } } \right] ,
\Delta n _ { V C M } = { \frac { 2 \alpha ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } { 1 5 m _ { e } ^ { 4 } c ^ { 5 } } } { \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } } } \approx 4 \times 1 0 ^ { - 2 4 } \, B _ { 0 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { h _ { 2 } ^ { - ( r + 1 ) } \theta _ { 2 } t ^ { 7 / 1 7 } } & { \ge h _ { 2 } ^ { - ( \frac { 1 1 5 } { 1 3 9 4 } \log t - \log ( \theta _ { 3 } / \theta _ { 2 } ) ) / \log h _ { 2 } - 1 } \theta _ { 2 } t ^ { 7 / 1 7 } } \\ & { = \frac { \theta _ { 2 } } { h _ { 2 } } t ^ { - 1 1 5 / 1 3 9 4 } \frac { \theta _ { 3 } } { \theta _ { 2 } } \theta _ { 2 } t ^ { 7 / 1 7 } \ge \frac { \theta _ { 3 } } { h _ { 2 } } t _ { 0 } ^ { 2 7 / 8 2 } } \end{array}
{ \cal D } _ { \mu } ^ { ( v ) } p _ { \nu } = \partial _ { \mu } p _ { \nu } + [ v _ { \mu } , p _ { \nu } ] , \ \ \gamma { \cal D } _ { \mu } ^ { ( v ) } p _ { \nu } = [ { \cal D } _ { \mu } ^ { ( v ) } p _ { \nu } , D ]
\mathrm { V } _ { \mathrm { W F S } } ^ { \Omega , \, \mathrm { Q P D } _ { 1 } } = - 2 \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \alpha } { \Theta } m \left( \sqrt { n + 1 } \beta _ { n , n + 1 } + \sqrt { n } \beta _ { n , n - 1 } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { A } _ { S _ { 0 } ^ { + } } - 2 ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { 3 } \vec { F } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \vec { u } ^ { T } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \alpha } } \\ & { = ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { \alpha + 3 } 2 } \left( ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { - \frac { \alpha + 3 } 2 } \mathbb { A } _ { S _ { 0 } ^ { + } } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { - \frac { \alpha + 3 } 2 } - 2 ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \vec { F } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \vec { u } ^ { T } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { \alpha - 3 } 2 } \right) ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { \alpha + 3 } 2 } } \\ & { \overset = ( 2 ^ { \alpha + 1 } - 4 ) ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { \alpha + 3 } 2 } \underbrace { \left( I + \frac { 2 } { 2 ^ { \alpha + 1 } - 4 } L - \frac { 2 } { 2 ^ { \alpha + 1 } - 4 } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \vec { F } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \vec { u } ^ { T } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { \alpha - 3 } 2 } \right) } _ { = : \mathbb { B } _ { S _ { 0 } ^ { + } } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \frac { \alpha + 3 } 2 } } \end{array}
V _ { - \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } ; \chi } = e ^ { - \textstyle { \frac { \phi } { 2 } } } \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \sigma _ { 1 - \nu } ^ { j } e ^ { i ( \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } - \nu _ { j } ) H _ { j } } e ^ { i k _ { \mu } X ^ { \mu } } \, , \ \ \ V _ { - \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } ; \chi ^ { * } } = e ^ { - \textstyle { \frac { \phi } { 2 } } } \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \sigma _ { \nu } ^ { j } e ^ { - i ( \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } - \nu _ { j } ) H _ { j } } e ^ { i k _ { \mu } X ^ { \mu } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { E l e m e n t } ~ 1 : \quad } & { c ( X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + u _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } ) + c ( X _ { 1 } ^ { \langle 2 \rangle } + u _ { 1 } ^ { \langle 2 \rangle } ) + c ( X _ { 1 } ^ { \langle 3 \rangle } + u _ { 1 } ^ { \langle 3 \rangle } ) + c ( X _ { 1 } ^ { \langle 4 \rangle } + u _ { 1 } ^ { \langle 4 \rangle } ) } \\ & { = c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 1 } ^ { \langle i \rangle } + \sum _ { i \in [ 4 ] } u _ { 1 } ^ { \langle i \rangle } ) = c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 1 } ^ { \langle i \rangle } ) = c \cdot 4 \neq 0 } \\ { \mathrm { E l e m e n t } ~ 2 : \quad } & { c ( X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + u _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } ) + c ( X _ { 2 } ^ { \langle 2 \rangle } + u _ { 2 } ^ { \langle 2 \rangle } ) + c ( X _ { 2 } ^ { \langle 3 \rangle } + u _ { 2 } ^ { \langle 3 \rangle } ) + c ( X _ { 2 } ^ { \langle 4 \rangle } + u _ { 2 } ^ { \langle 4 \rangle } ) } \\ & { = c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 2 } ^ { \langle i \rangle } + \sum _ { i \in [ 4 ] } u _ { 2 } ^ { \langle i \rangle } ) = c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 2 } ^ { \langle i \rangle } ) = c \cdot 0 = 0 } \\ { \mathrm { E l e m e n t } ~ 3 : \quad } & { c ( X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + u _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } ) + c ( X _ { 3 } ^ { \langle 2 \rangle } + u _ { 3 } ^ { \langle 2 \rangle } ) + c ( X _ { 3 } ^ { \langle 3 \rangle } + u _ { 3 } ^ { \langle 3 \rangle } ) + c ( X _ { 3 } ^ { \langle 4 \rangle } + u _ { 3 } ^ { \langle 4 \rangle } ) } \\ & { = c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 3 } ^ { \langle i \rangle } + \sum _ { i \in [ 4 ] } u _ { 3 } ^ { \langle i \rangle } ) = c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 3 } ^ { \langle i \rangle } ) = c \cdot 2 \neq 0 } \\ { \mathrm { E l e m e n t } ~ 4 : \quad } & { c ( X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + u _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } ) + c ( X _ { 4 } ^ { \langle 2 \rangle } + u _ { 4 } ^ { \langle 2 \rangle } ) + c ( X _ { 4 } ^ { \langle 3 \rangle } + u _ { 4 } ^ { \langle 3 \rangle } ) + c ( X _ { 4 } ^ { \langle 4 \rangle } + u _ { 4 } ^ { \langle 4 \rangle } ) } \\ & { = c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 4 } ^ { \langle i \rangle } + \sum _ { i \in [ 4 ] } u _ { 4 } ^ { \langle i \rangle } ) = c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 4 } ^ { \langle i \rangle } ) = c \cdot 2 \neq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { E 1 M 2 } } & { { } = } & { \frac { \alpha g _ { A } ^ { 2 } } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 6 } \left[ 1 - \frac { 7 \pi } { 4 } \frac { m _ { \pi } } { M _ { N } } \right] \! , } \\ { P ^ { \prime ( M 1 , M 1 ) 1 } ( 0 ) } & { { } = } & { \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 8 M } \left[ - 1 + \frac { 7 \pi } { 4 } \frac { m _ { \pi } } { M _ { N } } \right] \! , } \\ { P ^ { \prime ( L 1 , L 1 ) 1 } ( 0 ) } & { { } = } & { \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 9 M } \left[ 1 - \frac { 1 7 \pi } { 8 } \frac { m _ { \pi } } { M _ { N } } \right] \! . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( \mathcal { S } ) } & { \leq \frac { 1 } { \ell - J } l o g _ { 2 } \left( \left( \lfloor \frac { \ell } { k ^ { d } } \rfloor + 1 \right) ^ { \left\{ \frac { \ell } { k ^ { d } } \right\} \cdot k ^ { d } v _ { n } } \lfloor \frac { \ell } { k ^ { d } } \rfloor ^ { ( 1 - \left\{ \frac { \ell } { k ^ { d } } \right\} ) k ^ { d } v _ { n } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \ell - J } l o g _ { 2 } \left( \left( \lfloor \frac { \ell } { k ^ { d } } \rfloor + 1 \right) ^ { \left\{ \frac { \ell } { k ^ { d } } \right\} \cdot k ^ { d } } \lfloor \frac { \ell } { k ^ { d } } \rfloor ^ { ( 1 - \left\{ \frac { \ell } { k ^ { d } } \right\} ) k ^ { d } } \right) \cdot v _ { n } } \\ & { = \frac { \ell } { \ell - J } l o g _ { 2 } \left( \left( \lfloor \frac { \ell } { k ^ { d } } \rfloor + 1 \right) ^ { \left\{ \frac { \ell } { k ^ { d } } \right\} \cdot \frac { k ^ { d } } { \ell } } \lfloor \frac { \ell } { k ^ { d } } \rfloor ^ { ( 1 - \left\{ \frac { \ell } { k ^ { d } } \right\} ) \cdot \frac { k ^ { d } } { \ell } } \right) \cdot v _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ( x ) } & { = n f ( y _ { 0 } ) + f ( r ) } \\ & { \stackrel { ( ) } { = } n f ( y _ { 0 } ) + f ( r - y _ { 0 } ) + f ( y _ { 0 } ) } \\ & { = ( n + 1 ) f ( y _ { 0 } ) + f ( r - y _ { 0 } ) } \\ & { \stackrel { ( ) } { = } f ( ( n + 1 ) y _ { 0 } ) + f ( r - y _ { 0 } ) } \\ & { \stackrel { ( ) } { = } f ( n y _ { 0 } + r ) = f ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \omega } ^ { 0 } ( T ) = \frac { 1 } { 2 } \int \displaylimits _ { - 1 } ^ { 1 } I _ { \omega } \textrm { d } \mu , \quad \textrm { a n d } \quad \sigma _ { \textrm { p h o n o n } } T ^ { 4 } = \pi \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \omega _ { D } } I _ { \omega } ^ { 0 } ( T ) \textrm { d } \omega } \end{array}
\begin{array} { r } { \textit { p r o b - e n r o l l m e n t } _ { i } = \textit { p r o b - a c a d - q u a l i f i c a t i o n } _ { i } + \beta _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ - ~ i ~ n ~ f ~ l ~ u ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \cdot \textit { i n f l u e n c e } _ { i } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 m } } ( E _ { \pm } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) = ( N _ { 1 } + { \frac { 5 } { 2 } } ) \omega + \left( \ell _ { 1 } ( \ell _ { 1 } + 1 ) + { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \frac { \omega ^ { 2 } } { 2 m } } \pm \Delta _ { 1 } ,
\begin{array} { r } { \bar { \epsilon } _ { a b } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { k } , t ) = [ \epsilon _ { a b } ( \mathbf { k } , t ) - \mu \delta _ { a , b } ] \delta _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } + \xi _ { a b } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } , } \end{array}
Z _ { 0 \L _ { 0 } } \left[ J , \bar { J } \right] = \int { \cal D } \Phi { \cal D } \bar { \Phi } ~ \exp \ \left\{ - S \left[ \Phi , \bar { \Phi } \right] + \int d ^ { 6 } z J \Phi + \int d ^ { 6 } \bar { z } \bar { J } \bar { \Phi } \right\}
\chi ^ { a b } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \, \left( \Lambda ^ { n } \right) ^ { a b } - \frac { g \bar { \theta } ^ { b a } } { 2 ! } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } d _ { n } \, \left[ ( g \bar { \theta } ) ^ { 2 n } \right] ^ { b a } \, .
F _ { n } ^ { \mathcal { O } | \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \ldots , \theta _ { n } ) : = \langle 0 | \mathcal { O } ( 0 ) | Z _ { \mu _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \theta _ { 1 } ) Z _ { \mu _ { 2 } } ^ { \dagger } ( \theta _ { 2 } ) \ldots Z _ { \mu _ { n } } ^ { \dagger } ( \theta _ { n } ) \rangle .
\Pi _ { j } = - N _ { j k } ^ { 1 \nu } \Bigl ( \varepsilon _ { \nu \rho } \partial ^ { \rho } \Phi ^ { k } - { \textstyle \frac i 2 } \varepsilon ^ { k l m } \overline { { { X } } } ^ { l } \gamma _ { \nu } X ^ { m } \Bigr ) ,
m _ { \phi _ { 1 } } ^ { 2 } = \frac { \kappa ^ { 4 } \mu ^ { 4 } } { 4 \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } = \frac { \alpha _ { \kappa } ^ { 2 } \mu ^ { 4 } } { \lambda ^ { 2 } } ~ \mathrm { w i t h } ~ \alpha _ { \kappa } \equiv \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 \pi } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \big ( \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 4 \hat { L } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 1 2 \bar { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \mathbb { E } \bigg \| \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 8 \zeta ^ { 2 } + 4 G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 4 G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } } \end{array}
+ \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } & { - 2 } \\ { \frac { ( 1 - w ^ { 3 } ) ( 1 - x ^ { 3 } ) ( 1 - y ^ { 3 } ) } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! }
{ \begin{array} { r l } & { { \mathrm { M i n i m i z e ~ } } \operatorname { v e c } ( c ) ^ { \top } z } \\ & { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o : } } } \\ & { z \geq 0 } \\ & { { \left( \begin{array} { l } { 1 _ { 1 \times \left\vert \mathbf { Y } \right\vert } \otimes I _ { \left\vert \mathbf { X } \right\vert } } \\ { I _ { \left\vert \mathbf { Y } \right\vert } \otimes 1 _ { 1 \times \left\vert \mathbf { X } \right\vert } } \end{array} \right) } } \\ & { z = { \binom { \mu } { \nu } } } \end{array} }
{ \sqrt [ [object Object] ] { { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 3 } } } = { \sqrt [ [object Object] ] { { \frac { 1 } { n } } \left( x _ { 1 } ^ { 3 } + x _ { 2 } ^ { 3 } + \cdots + x _ { n } ^ { 3 } \right) } }
\begin{array} { r } { \pi _ { m } ^ { 1 } ( \tilde { p } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { p } _ { 1 } + \tilde { p } _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ m \in \{ ~ m _ 1 , \dots , m _ 2 - 1 ~ \} ~ } } \\ { \tilde { p } _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ m \in \{ ~ m _ 2 , \dots , m _ 3 - 2 ~ \} ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. \quad \quad \pi _ { m } ^ { 2 } ( \tilde { p } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { p } _ { 1 } + \tilde { p } _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ m \in \{ ~ m _ 1 + 1 , \dots , m _ 2 - 1 ~ \} ~ } } \\ { \tilde { p } _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ m \in \{ ~ m _ 2 , \dots , m _ 3 - 2 ~ \} ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha } = \frac { 3 } { 4 } \Gamma [ ( - \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { k _ { 0 } r } - i \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } + \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { k _ { 0 } ^ { 3 } r ^ { 3 } } } \\ { + \mathbf { \hat { r } } _ { i , j } ^ { \alpha } \mathbf { \hat { r } } _ { i , j } ^ { \alpha } ( \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { k _ { 0 } r } + 3 i \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } - 3 \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { k _ { 0 } ^ { 3 } r ^ { 3 } } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } \left[ ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } ) u ^ { j } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) d x } \\ { = \ } & { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } \left[ | u ^ { k } | ^ { p - 1 } ( | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | v ^ { j } | ^ { p + 1 } ) + | v ^ { j } | ^ { p + 1 } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } ) \right] u ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) d x } \\ { \leq \ } & { 2 \beta \int _ { \mathbb { R } } \left[ | u ^ { k } | ^ { p - 1 } \left| | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | v ^ { j } | ^ { p + 1 } \right| + | v ^ { j } | ^ { p + 1 } \left| | u ^ { k } | ^ { p - 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } \right| \right] | u ^ { j } | \ | \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } | d x } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle n ^ { ( m ) } ( { \bf r } ) \equiv n ^ { ( m ) } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle \equiv n ^ { ( m ) } \left[ n ^ { ( m - 1 ) } [ \ldots [ n ^ { ( 0 ) } ] ] \right] ( { \bf r } ) = n ^ { ( m - 1 ) } ( { \bf r } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle - \int K ^ { ( m - 1 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } \left[ n ^ { ( m - 1 ) } \right] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( m - 1 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } } . } \end{array}
T \leq \left\lceil \frac { \log ( \epsilon _ { 0 } / \varepsilon ) } { \log ( 1 / r ) } \right\rceil + \frac { C 2 ^ { d _ { 1 } / \beta } } { \alpha ^ { d _ { 1 } / \beta } r ^ { d _ { 2 } } } \frac { 1 - r ^ { \lceil { \log ( \epsilon _ { 0 } / \varepsilon ) } / { \log ( 1 / r ) } \rceil ( d _ { 1 } / \beta - d _ { 2 } ) } } { 1 - r ^ { d _ { 1 } / \beta - d _ { 2 } } } \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } ^ { d _ { 2 } - d _ { 1 } / \beta } } .
\phi _ { i } = \underbrace { \phi _ { \mathrm { L } } } _ { \substack { \mathrm { i n p u t } \, \mathrm { l a s e r } \, \mathrm { p h a s e } } } - \omega _ { 0 , \mathrm { L } } \tau _ { 0 , i } \left( \underbrace { 1 } _ { \mathrm { D C ~ t e r m } } + \underbrace { \epsilon _ { n x , i } \frac { \delta x } { x _ { 0 } } } _ { \substack { \mathrm { D M - i n d e x } \, \mathrm { c o u p l i n g } } } + \underbrace { \epsilon _ { n \omega _ { \mathrm { L } } , i } \frac { \delta \omega _ { \mathrm { L } } } { \omega _ { 0 , \mathrm { L } } } } _ { \substack { \mathrm { o p t i c a l } \, \mathrm { d i s p e r s i o n } } } + \underbrace { \epsilon _ { L x , i } \frac { \delta x } { x _ { 0 } } } _ { \substack { \mathrm { D M - l e n g t h } \, \mathrm { c o u p l i n g } } } + \underbrace { \left( 1 + \epsilon _ { n L , i } \right) h _ { i } ^ { \mathrm { a c o u s t i c } } } _ { \substack { \mathrm { m e c h a n i c a l } \, \mathrm { v i b r a t i o n s } } } + \underbrace { \frac { \delta \omega _ { \mathrm { L } } } { \omega _ { 0 , \mathrm { L } } } } _ { \substack { \mathrm { l a s e r ~ f r e q u e n c y } \, \mathrm { f l u c t u a t i o n s } } } \right) + \underbrace { \delta \phi _ { i } ^ { \mathrm { t h e r m a l } } } _ { \substack { \mathrm { f i b e r ~ t h e r m a l } \, \mathrm { f l u c t u a t i o n s } } }
\begin{array} { r l r } { F ( t | \lambda , \vec { r } , \vec { \tau } , x ) } & { = } & { \frac { r _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } \int _ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } } ^ { t } e ^ { - j z ^ { \prime } } ( 1 - e ^ { - z ^ { \prime } } ) ^ { x - j } d s } { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \varphi = \varphi ( t ) - \varphi _ { 0 } } & { = } & { \Omega _ { d } t } \\ & { = } & { \frac { 3 } { 2 } \frac { m _ { e } c ^ { 2 } ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) } { q \gamma B _ { E } R _ { E } ^ { 2 } } L t } \\ & { = } & { \frac { 3 } { 2 } \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { { q B _ { E } R _ { E } ^ { 2 } } } \frac { E _ { c } / m _ { e } c ^ { 2 } + 2 } { E _ { c } + m _ { e } c ^ { 2 } } E _ { c } L t } \\ & { \sim } & { \frac { E _ { c } + 2 m _ { e } c ^ { 2 } } { E _ { c } + m _ { e } c ^ { 2 } } E _ { c } L t } \\ & { \simeq } & { E _ { c } L t } \end{array}