harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- \frac { \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { x } \right) } { ( 2 \pi ) ^ { q / 2 } 2 \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left| \mathbf { R } _ { i i } \right| ^ { 1 / 2 } } \left[ \mathrm { T r } \left( \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { H } \right) + \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { x } \right] .
\mathbf { E } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } , \| } ( \mathbf { k } _ { \| } ) = - \frac { 1 } { 2 } Z _ { 0 } \mathbf { J } ( \mathbf { k } _ { \| } ) = \frac { i \omega } { 2 A } Z _ { 0 } \mathbf { p } ( \mathbf { k } _ { \| } ) = \frac { i k } { 2 A \varepsilon _ { 0 } } \mathbf { p } ( \mathbf { k } _ { \| } ) \, ,
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ( \lambda _ { 0 } ) } & { = \sqrt { { r _ { \lambda _ { 0 } } } } \cos \left( \frac { \sqrt { { r _ { \lambda _ { 0 } } } } } { 2 } \right) - 2 \sin \left( \frac { \sqrt { { r _ { \lambda _ { 0 } } } } } { 2 } \right) } \\ { f _ { 1 } ( \lambda _ { 0 } ) } & { = \sin \left( \frac { \sqrt { { r _ { \lambda _ { 0 } } } } } { 2 } \right) } \end{array}
\left( \frac { \omega } { 2 } \right) \operatorname { I m } \int _ { V } \mathbf { E } ^ { * } \cdot \mathbf { P } = \left( \frac { \omega } { 2 } \right) \int _ { V } \mathbf { P } ^ { * } \left[ \operatorname { I m } \chi / | \chi | ^ { 2 } \right] \mathbf { P }
\Psi ( \mathbf { X } ) = \sum _ { n } [ \Psi _ { n } ( \mathbf { X } ) ] = \sum _ { n } [ A _ { n } e ^ { - i ( \mathbf { K _ { n } } \cdot \mathbf { X } ) } ] = \sum _ { n } [ A _ { n } e ^ { i ( \Phi _ { n } ) } ]
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \Phi _ { z ^ { \prime } } ^ { \ast \; \mu } ( \eta ) \Phi _ { z } ^ { \mu } ( \eta ) \; d \eta = \delta ( z - z ^ { \prime } ) \, , \; \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Phi _ { z } ^ { \ast \; \mu } ( \eta ^ { \prime } ) \Phi _ { z } ^ { \mu } ( \eta ) \; d z = \delta ( \eta - \eta ^ { \prime } ) \, .
\partial _ { + } g _ { L } g _ { L } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { v _ { L } \partial _ { + } u _ { L } + b _ { L } \partial _ { + } a _ { L } } } & { { u _ { L } \partial _ { + } a _ { L } - a _ { L } \partial _ { + } u _ { L } } } \\ { { b _ { L } \partial _ { + } v _ { L } - v _ { L } \partial _ { + } b _ { L } } } & { { u _ { L } \partial _ { + } v _ { L } + a _ { L } \partial _ { + } b _ { L } } } \end{array} \right) ,
j _ { \mu } ^ { 3 } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \overline { { U } } } _ { i \mathrm { L } } \gamma _ { \mu } U _ { i \mathrm { L } } - { \overline { { D } } } _ { i \mathrm { L } } \gamma _ { \mu } D _ { i \mathrm { L } } + { \overline { { \nu } } } _ { i \mathrm { L } } \gamma _ { \mu } \nu _ { i \mathrm { L } } - { \overline { { l } } } _ { i \mathrm { L } } \gamma _ { \mu } l _ { i \mathrm { L } } \right)
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \boldsymbol { r } , t ) = } & { \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } \rho _ { \boldsymbol { k } } \sin ( \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } } + \theta _ { \boldsymbol { k } } ) } \\ & { + \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } \left[ \alpha _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { + } \sin ( \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } } + \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } + \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { + } ) + \alpha _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { - } \sin ( \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } } - \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } + \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { - } ) \right] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } \sigma _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } \rho _ { \boldsymbol { k } } \left( \frac { \sin ( \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } } + \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } + \theta _ { \boldsymbol { k } } + \xi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) } { \eta _ { \boldsymbol { k } } + \eta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } } + \frac { \sin ( \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } } - \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } + \theta _ { \boldsymbol { k } } - \xi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) } { \eta _ { \boldsymbol { k } } - \eta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } } \right) . } \end{array}
\left| \begin{array} { l l l l l l l l } { ~ d \rho } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } & { 0 ~ } \\ { ~ d \rho u } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 ~ } \\ { ~ d \rho v } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 ~ } \\ { ~ d \rho E } & { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y ~ } \\ { ~ | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | ~ } \\ { ~ 0 } & { A _ { 2 } } & { A _ { 3 } } & { A _ { 4 } } & { B _ { 1 } } & { B _ { 2 } } & { B _ { 3 } } & { B _ { 4 } ~ } \\ { ~ | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | ~ } \end{array} \right| = 0 .
\left[ \begin{array} { l } { V _ { M N } / V _ { M 0 } } \\ { I _ { N } / V _ { M 0 } } \end{array} \right] = \mathbf { F ^ { \prime } } \mathbf { T } ^ { N } \mathbf { F ^ { \prime - 1 } } \left[ \begin{array} { l } { V _ { M 0 } } \\ { Y _ { M } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \omega _ { \mathbf { p } + \hbar \mathbf { k } , \mathbf { p } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 M \hbar } \left[ \left( \mathbf { p } + \hbar \mathbf { k } \right) ^ { 2 } - \mathbf { p } ^ { 2 } \right] = \omega _ { D } + \omega _ { k } , } \\ { \omega _ { D } } & { = } & { \mathbf { k } \cdot \frac { \mathbf { p } } { M } , } \end{array}
{ \tilde { h } } = { \tilde { h } } _ { w } + \left[ { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } \mathrm { M } ^ { 2 } \mathrm { P r } + ( 1 - { \tilde { h } } _ { w } ) \right] { \tilde { u } } - { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } \mathrm { M } ^ { 2 } \mathrm { P r } \, { \tilde { u } } ^ { 2 } ,
\langle \hat { N } ( t ) \rangle = \frac { 1 } { \omega } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } j ( t _ { 1 } ) \cos [ \omega ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) ] j ( t _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \Gamma } & { { } = \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \mathbb { I } _ { M / 2 \times M / 2 } , - \mathbb { I } _ { M / 2 \times M / 2 } ) , } \\ { \mathcal { U } _ { C } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathbb { I } _ { M / 2 \times M / 2 } } \\ { \mathbb { I } _ { M / 2 \times M / 2 } } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { A } & { { } = \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( A _ { 1 , + } , \ldots , A _ { p , + } , 0 , } \end{array}
G _ { \mathrm { s f } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \sigma ^ { S } w l } { \lambda } \mathrm { t a n h } \left( \frac { t } { 2 \lambda } \right) } \end{array} \right] ,
\ll e ^ { - 2 V q } \mathbb E [ ( \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { | F ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 V } { \log x } + i t ) } { | \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 V } { \log x } + i t | ^ { 2 } } d t ) ^ { q } ] \ll e ^ { - 2 V q } \mathbb E [ ( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | F ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 V } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } ) ^ { q } ]
\begin{array} { r l } { C _ { a , \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } : = } & { \left( 2 ^ { - 1 } \nu \right) ^ { - \frac { a + 1 } { \alpha } } \int _ { \mathbb { R } } E _ { \beta , \gamma _ { 1 } } ( - | \xi | ^ { \alpha } ) E _ { \beta , \gamma _ { 2 } } ( - | \xi | ^ { \alpha } ) | \xi | ^ { a } \ensuremath { \mathrm { d } } \xi , } \\ { C _ { a , \gamma } : = } & { C _ { a , \gamma , \gamma } . } \end{array}
\exists \, N ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \in \mathbb { N } ^ { * } , \quad \forall n \in \mathbb { N } , \quad n \geqslant N ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \quad \Rightarrow \quad \Delta _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) > 0 .
\int \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } = \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \, .
\left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { 1 _ { 2 n } } & { u _ { 1 , 2 } } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 2 n } } & { u _ { k - 2 , k - 1 } } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 2 n } } & { u _ { 0 } } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 4 n } } & { u _ { 0 } ^ { \prime } } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 2 n } } & { - u _ { k - 2 , k - 1 } ^ { \ast } } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 2 n } } & { - u _ { 1 , 2 } ^ { \ast } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 2 n } } \end{array} \right] \in \mathrm { S p } _ { 4 k n } .
< \chi _ { 1 } | \chi _ { 2 } > = \int \int \frac { d \theta _ { + } d \theta _ { - } } { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { + } - \theta _ { - } ) } \overline { { { \chi _ { 1 } ( \theta _ { + } , \theta _ { - } ) } } } \chi _ { 2 } ( \theta _ { + } , \theta _ { - } ) .
Q = \frac { i } { 2 } e ^ { i \omega _ { 2 } t _ { 2 } } ( \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 2 } } + \frac { \omega _ { 2 } } { \omega _ { 1 } } ) \sin ( \omega _ { 1 } t _ { 1 } )
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { * } ( L _ { X } ) ( g ) ( q ) } & { = } & { \varphi _ { * } ( L _ { X } ( \varphi ^ { * } ( g ) ) ) ( q ) } \\ & { = } & { L _ { X } ( \varphi ^ { * } ( g ) ) ( \varphi ^ { - 1 } ( q ) ) } \\ & { = } & { D ( \varphi ^ { * } ( g ) ) ( \varphi ^ { - 1 } ( q ) ) ( X ( \varphi ^ { - 1 } ( q ) ) ) } \\ & { = } & { D ( g \circ \varphi ) ( \varphi ^ { - 1 } ( q ) ) ( X ( \varphi ^ { - 1 } ( q ) ) ) } \\ & { = } & { D g ( q ) \circ D \varphi ( \varphi ^ { - 1 } ( q ) ) ) ( X ( \varphi ^ { - 1 } ( q ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \Sigma _ { X | Y } ^ { - 1 } } & { - \Sigma _ { X | Y } ^ { - 1 } \Sigma _ { X Y } \Sigma _ { Y } ^ { - 1 } } \\ { - \Sigma _ { Y } ^ { - 1 } \Sigma _ { Y X } \Sigma _ { X | Y } ^ { - 1 } } & { \Sigma _ { Y | X } ^ { - 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } [ F _ { j _ { 2 } } ] } & { = \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 1 } \int _ { s _ { 0 } } ^ { \tau _ { 1 } } \ d \tau _ { 2 } \ \tau _ { 1 } ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } \frac { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) u _ { 1 } ( \tau _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 1 } \int _ { s _ { 0 } } ^ { \tau _ { 1 } } \ d \tau _ { 2 } \ \tau _ { 1 } ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } \frac { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \cdot \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) ( ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } ) } \\ & { \le \frac { 1 } \beta c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 2 } \ \frac { ( ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } ) \tau _ { 2 } ^ { - \gamma _ { 1 } } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \ } \\ & { \qquad \qquad \cdot \int _ { \tau _ { 2 } } ^ { s } d \tau _ { 1 } \kappa _ { k _ { 0 } } ( 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } ) \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) } \\ & { = \frac { 1 } \beta c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 2 } \ ( ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } ) \frac { \tau _ { 2 } ^ { - \gamma _ { 1 } } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \cdot \left[ - \exp ( - \kappa _ { k } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) \right] _ { \tau _ { 1 } = \tau _ { 2 } } ^ { \tau _ { 1 } = s } } \\ & { \le \frac { 1 } \beta c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 2 } \ ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) \eta ^ { - \gamma _ { 1 } } \tau _ { 2 } ^ { - 2 } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) \eta ^ { - \gamma _ { 2 } } \tau _ { 2 } ^ { - \gamma - 2 } } \\ & { \le ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) \frac { 1 } \beta c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } } [ - \tau ^ { - 1 } ] _ { s _ { 0 } } ^ { s } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) \frac { 1 } \beta c ^ { 2 } \eta ^ { \gamma } [ - \tau ^ { - \gamma - 1 } ] _ { s _ { 0 } } ^ { s } } \\ & { \le \frac { c ^ { 3 } } \beta ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) + \frac { c ^ { 3 } } \beta ( \frac { s \wedge s _ { 0 } } \eta ) ^ { - \gamma } ( \tilde { c } _ { 1 } + c _ { 2 } ) } \end{array}
\alpha ( s ) = \frac { \alpha ( 0 ) } { 1 - \Delta \alpha ( s ) } = \frac { \alpha ( 0 ) } { 1 - \Delta \alpha _ { l e p t } ( s ) - \Delta \alpha _ { t o p } ( s ) - \Delta \alpha _ { h a d } ^ { ( 5 ) } ( s ) } ,
\begin{array} { r l r } { X _ { p } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle } { 4 \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \left[ \left( b ^ { + } \mathcal { A } _ { p } ^ { + } + b ^ { - * } \mathcal { A } _ { - p } ^ { - * } \right) e ^ { i ( p \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } \right. } \\ & { } & { \left. + \left( b ^ { + } \mathcal { A } _ { - p } ^ { + } + b ^ { - * } \mathcal { A } _ { p } ^ { - * } \right) e ^ { - i ( p \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } \right] e ^ { i \omega t } + \mathrm { c . c . } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { [ 0 ] } ( \alpha _ { 0 } ) : = } & { ~ f ( \alpha _ { 0 } ) ; } \\ { f ^ { [ n ] } ( \alpha _ { 0 } , \ldots , \alpha _ { n } ) : = } & { \frac { f ^ { [ n - 1 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n - 1 } ) - f ^ { [ n - 1 ] } ( \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n } ) } { \alpha _ { 0 } - \alpha _ { n } } } \\ { = } & { ~ \int _ { \mathbb R } \int _ { S ^ { n } } \widehat { f ^ { ( n ) } } ( t ) e ^ { i t \lambda _ { 0 } \alpha _ { 0 } } \cdots e ^ { i t \lambda _ { n } \alpha _ { n } } \, d \lambda \, d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { 0 } } { \partial \nu } \Big | _ { \nu = \nu _ { 1 } } } & { = \tau \left[ \sin \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) + \mathrm { i } \sqrt { 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } } \cos \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) \right] u _ { 0 } , } \\ { \frac { \partial u _ { 0 } } { \partial \nu } \Big | _ { \nu = \nu _ { 2 } } } & { = \tau \left( - \sin \varphi - \mathrm i \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } + 1 } \cos \varphi \right) u _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { i , k } ^ { t } = \Delta _ { i , k - 1 } ^ { t } - \eta _ { l } ( \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k - 1 } ^ { t } - \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \frac { 1 } { \lambda } \Delta _ { i , k - 1 } ^ { t } ) = ( 1 - \frac { \eta _ { l } } { \lambda } ) \Delta _ { i , k - 1 } ^ { t } - \eta _ { l } ( \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k - 1 } ^ { t } - \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } ) . } \end{array}
I _ { \mathrm { R a m a n } , s } \propto \left| \frac { \partial \alpha _ { s } } { \partial Q _ { s } } \right| ^ { 2 } \equiv \left| \frac { \partial \varepsilon _ { s } ^ { \infty } } { \partial Q _ { s } } \right| ^ { 2 } \approx \left| \frac { \Delta \varepsilon _ { s } ^ { \infty } } { \Delta Q _ { s } } \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { l } { { ( d s ) ^ { 2 } = d t ^ { 2 } + \frac { k \alpha ^ { \prime } } { ( 1 + \frac { 1 } { 4 } \bar { r } ) ^ { 2 } } [ ( d X ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( d X ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( d X ^ { 3 } ) ^ { 2 } ] \qquad , \qquad H _ { \mu \nu \lambda } = \pm \epsilon _ { \mu \nu \lambda 0 } ~ , } } \\ { { \phi ( t ) = \sqrt { \frac { k } { 6 \alpha ^ { \prime } } ( 2 5 - \frac { 3 k } { k + 2 } ) } ( t - t _ { 0 } ) \qquad , \qquad T ( t , \theta ) = e ^ { \frac { p _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) } { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } } \, \frac { \sin [ ( n + 1 ) \theta ] } { ( n + 1 ) \sin \theta } ~ , } } \\ { { \mathrm { w i t h ~ : } \qquad | p | \cos \theta = p _ { 0 } \frac { \alpha ^ { \prime } - \frac { 1 } { 4 } \bar { r } ^ { 2 } } { \alpha ^ { \prime } + \frac { 1 } { 4 } \bar { r } ^ { 2 } } + \vec { p } \vec { X } \frac { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } { \alpha ^ { \prime } + \frac { 1 } { 4 } \bar { r } ^ { 2 } } \quad , \quad k = 1 , 2 , 3 , . . . ~ , } } \end{array}
\tilde { F } _ { c } ^ { ( c ) } = - \epsilon _ { \mathrm { i } } ^ { ( c ) } \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { e ^ { \pi - \arctan ( 1 + 2 \tilde { a } ) } } { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } + \tilde { a } ( 1 + \tilde { a } ) } } } & { \mathrm { C a s e ~ A } } \\ { - \frac { 1 } { 2 \tilde { c } _ { \mathrm { m i n } } } } & { \mathrm { C a s e ~ B } } \\ { \frac { ( \tilde { L } - \tilde { a } ) ^ { 3 } } { - \tilde { L } ^ { 2 } + 2 \tilde { a } ^ { 2 } - \tilde { L } \tilde { a } } } & { \mathrm { C a s e ~ C . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { L _ { z } L _ { - } | \psi _ { n , m } ^ { s } \rangle } & { = \big ( ( L _ { x } L _ { z } + i L _ { y } ) + ( - i L _ { y } L _ { z } - L _ { x } ) \big ) | \psi _ { n , m } ^ { s } \rangle } \\ & { = ( L _ { x } - i L _ { y } ) ( L _ { z } - 1 ) | \psi _ { n , m } ^ { s } \rangle } \\ & { = ( m - 1 ) L _ { - } | \psi _ { n , m } ^ { s } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q _ { u } } { \textnormal { d } z } } & { { } = 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) - 2 r _ { u } \omega _ { d } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } Q _ { d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { { } = 2 r _ { d } ( - \omega _ { f } ) - 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) + 2 r _ { u } \omega _ { d } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } M _ { u } } { \textnormal { d } z } } & { { } = B _ { u } + 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) ( - w _ { d } ) - 2 r _ { u } \omega _ { d } w _ { u } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } M _ { d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { { } = B _ { d } + 2 r _ { u } \omega _ { d } ( - w _ { u } ) - 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) w _ { d } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } F _ { u } } { \textnormal { d } z } } & { { } = 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) ( - b _ { d } ) - 2 r _ { u } \omega _ { d } b _ { u } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } F _ { d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { { } = 2 r _ { u } \omega _ { d } ( - b _ { u } ) - 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) b _ { d } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { 0 1 } ^ { 0 1 } = - U ^ { \prime } - \frac { 1 } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) U - 4 \lambda ^ { 2 } , \quad F _ { 0 1 } ^ { 2 3 } = - V ^ { \prime } - \frac { V } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) , } \\ & { F _ { 2 3 } ^ { 1 3 } = \left( Z + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) - \alpha _ { 3 } \left( 1 + \mathcal { R } _ { 3 } \right) \tan ^ { 2 } \theta - W \right) \cos \theta , \quad F _ { 0 2 } ^ { 1 3 } = V W , } \\ & { F _ { 0 3 } ^ { 0 3 } = - \left( Z U + 4 \lambda ^ { 2 } r C A \right) \sin \theta , \quad F _ { 0 2 } ^ { 0 2 } = - U W - 4 \lambda ^ { 2 } r C A , } \\ & { F _ { 1 2 } ^ { 1 2 } = W ^ { \prime } + \frac { W } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) - 4 \lambda ^ { 2 } r \frac { C } { A } , \quad F _ { 0 3 } ^ { 1 2 } = - V Z \sin \theta , } \\ & { F _ { 1 3 } ^ { 1 3 } = \left( Z ^ { \prime } + \frac { Z } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) - 4 \lambda ^ { 2 } r \frac { C } { A } \right) \sin \theta , } \\ & { F _ { 2 3 } ^ { 2 3 } = - \left( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \cot ^ { 2 } \theta + \alpha _ { 3 } \left( 1 + R _ { 3 } \right) - W Z + 4 \lambda ^ { 2 } r ^ { 2 } C ^ { 2 } \right) \sin \theta , } \end{array}
{ \frac { n } { 2 } } \left\langle V _ { \mathrm { T O T } } \right\rangle _ { \tau } = \left\langle \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( { \frac { 1 + { \sqrt { 1 - \beta _ { k } ^ { 2 } } } } { 2 } } \right) T _ { k } \right\rangle _ { \tau } = \left\langle \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( { \frac { \gamma _ { k } + 1 } { 2 \gamma _ { k } } } \right) T _ { k } \right\rangle _ { \tau } \, .
\chi _ { \phi } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \phi ( y ) \geq 0 , } \\ { 0 \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad \phi ( y ) < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial e ^ { s } ( { \bf k } ) } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 b _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \right) ^ { 2 } \delta ( \Omega _ { k p q } ) \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \quad \quad } \end{array}
\frac { \dot { m _ { f } } } { L z } = \frac { 2 } { 3 } \frac { \tau _ { w } h ^ { 2 } } { \nu } \left( 1 + \frac { 3 } { ( u _ { \tau } h ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { h } \left( \int _ { 0 } ^ { y } \langle u _ { f } ^ { \prime } v _ { f } ^ { \prime } \rangle + \frac { M } { \phi _ { 0 } } \langle \phi u _ { p } ^ { \prime \prime } v _ { p } ^ { \prime \prime } \rangle d y ^ { \prime } \right) d y \right) .
\begin{array} { r l r } { U _ { N } ^ { \dagger } ( t ) } & { { } = } & { \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N } ( 2 - \delta _ { n 0 } ) J _ { n } ( t ) i ^ { n } \Psi _ { n } ( \mathcal { L } ) \right] ^ { \dagger } = \sum _ { n = 0 } ^ { N } ( 2 - \delta _ { n 0 } ) J _ { n } ( t ) ( - i ) ^ { n } \Psi _ { n } ( \mathcal { L } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \everymath { \displaystyle } \left\{ \begin{array} { l l } { \chi _ { 1 } = u _ { 1 } - \sqrt { Z _ { 1 } + Z _ { 2 } } , } \\ { \chi _ { 2 } = u _ { 1 } - \sqrt { Z _ { 1 } - Z _ { 2 } } , } \\ { \chi _ { 3 - 6 } = u _ { 1 } , } \\ { \chi _ { 7 } = u _ { 1 } + \sqrt { Z _ { 1 } - Z _ { 2 } } , } \\ { \chi _ { 8 } = u _ { 1 } + \sqrt { Z _ { 1 } + Z _ { 2 } } } \end{array} \right. \quad \mathrm { w h e r e } \quad \left\{ \begin{array} { l l } { Z _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { p } ^ { 2 } + a _ { T } ^ { 2 } + a _ { q } ^ { 2 } \right) , } \\ { Z _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { p } ^ { 2 } - a _ { T } ^ { 2 } \right) , \quad Z _ { 2 } = \sqrt { a _ { p T } ^ { 4 } + Z _ { 3 } ^ { 2 } } , } \\ { a _ { p } ^ { 2 } = \frac { \partial p } { \partial \rho } = v ^ { 2 } \varepsilon _ { v v } , \quad a _ { T } ^ { 2 } = \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \frac { \partial \theta } { \partial \eta } = \varkappa ^ { 2 } v ^ { 2 } \varepsilon _ { \eta \eta } , } \\ { a _ { p T } ^ { 4 } = \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \frac { \partial p } { \partial \eta } \frac { \partial \theta } { \partial \rho } = \varkappa ^ { 2 } v ^ { 4 } \varepsilon _ { v \eta } ^ { 2 } , \quad a _ { q } ^ { 2 } = \frac { 2 \varkappa ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \left( j _ { 2 } ^ { 2 } + j _ { 3 } ^ { 2 } \right) , } \end{array} \right. } \end{array}