harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = \frac { 1 } { h _ { 1 } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \mathcal { K } ( v ) \Big ( \mathcal { K } ( v ) - \mathcal { K } ( v \frac { h _ { 2 } } { h _ { 1 } } ) \Big ) d v \le } & { C \frac { 1 } { h _ { 1 } ^ { p } } \Big | 1 - \frac { h _ { 2 } } { h _ { 1 } } \Big | \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \mathcal { K } ( v ) \vert \vert v \vert \vert d v } \\ { \le } & { C _ { 1 } \frac { \vert h _ { 1 } - h _ { 2 } \vert } { h _ { 1 } ^ { p + 1 } } } \\ { = } & { O \Big ( \frac { \vert \kappa - \widehat { \kappa } \vert } { \kappa ^ { \frac { p + 1 } { r } } } \kappa ^ { \frac { 1 } { r } - 1 } \Big ) = O \Big ( \frac { \vert \kappa - \widehat { \kappa } \vert } { \kappa ^ { \frac { p } { r } + 1 } } \Big ) . } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( i , j | n , m ) = \frac { 2 } { M ( M - 1 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { M - 1 } \sum _ { m = n + 1 } ^ { M } \bar { P } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ^ { ( n , m ) } ~ ,
\stackrel { ( 0 ) } { \cal { R } } _ { a b } + { \frac { 1 } { \ell ^ { 2 } } } [ ( n - 2 ) \stackrel { ( 2 ) } g _ { a b } + \eta _ { a b } \stackrel { ( 2 ) } g \strut _ { c } ^ { c } ] = 0 \qquad ,
( 1 . 0 1 \pm 0 . 3 0 ) \times 1 0 ^ { - 4 } , ( 2 . 5 0 \pm 0 . 9 5 ) \times 1 0 ^ { - 4 } , ( 2 . 2 4 \pm 1 . 6 0 ) \times 1 0 ^ { - 4 } , ( 5 . 9 6 \pm 1 . 2 7 ) \times 1 0 ^ { - 4 }
\mathsf { E } ( \mathsf { f } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( 0 , \frac { \mathsf { i } } { 1 } , \cdots , \frac { \mathsf { i } } { n _ { x } - 1 } \right) \mathcal { F } ( 1 - \rho _ { f } ) \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \Bar { P } _ { c } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { { } = \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \left( 6 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } + 2 \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } \right) , } \\ { \Bar { T } _ { c } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { { } = \pm \frac { 1 } { 3 n ^ { 4 } } \left[ 1 6 \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ { r _ { 0 ( c ) } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { { } = \mp { \sqrt { 3 q _ { m } ^ { 2 } - \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } & { { } = t _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } + \sqrt { \frac { \mathrm { V a r } ( \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ) } { n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } } G _ { t } , } \\ { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) } & { { } = p _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) + \sqrt { \frac { \mathrm { V a r } ( \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) ) } { M _ { \mathrm { r e a l } } } } G _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { V a r } [ \imath _ { X Y } ( X , Y | D , D , P _ { X Y } ) ] } \\ { * } & { = \sum _ { x , y } P _ { X Y } ( x , y ) \left( \imath _ { X Y } ( x , y | D , D , P _ { X Y } ) - R ( P _ { X Y } , D , D ) \right) ^ { 2 } } \\ { * } & { = ( 1 - p ) \left( \log \frac { 1 } { ( 2 p - 1 ) D - ( 2 p - 1 ) D ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - p ) } - 1 - H _ { \mathrm { b } } ( p ) \right) ^ { 2 } } \\ { * } & { \qquad + p \left( \log \frac { 1 } { ( 2 p - 1 ) D ^ { 2 } - ( 2 p - 1 ) D + \frac { 1 } { 2 } p } - 1 - H _ { \mathrm { b } } ( p ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
l _ { m } = l _ { \nu } \frac { \sin 2 \theta _ { m } } { \sin 2 \theta } = l _ { \nu } \frac { \eta } { ( 1 - 2 \eta \cos 2 \theta + \eta ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } ~ = \frac { l _ { 0 } } { ( 1 - 2 \eta \cos 2 \theta + \eta ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } ~ ,
g _ { j } = g _ { j } ^ { 0 } \left( 1 + \varepsilon _ { 0 } n _ { b g } c _ { 0 } \sum _ { i \in \{ A , B \} } \varepsilon _ { j i } \left| E _ { i } ( t ) \right| ^ { 2 } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \Delta _ { j } \ = \ } & { \frac { 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } \cdot A _ { j ^ { \prime } } ^ { ( j ) } } { 1 + A _ { j } ^ { ( j ) } } } \\ { = \ } & { \frac { ( f _ { j } + A _ { j } ^ { ( j ) } ) \cdot ( 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } \cdot A _ { j ^ { \prime } } ^ { ( j ) } ) } { ( 1 + A _ { j } ^ { ( j ) } ) \cdot ( f _ { j } + A _ { j } ) } } \\ { = \ } & { \frac { ( f _ { j } - 1 ) \cdot ( 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } \cdot A _ { j ^ { \prime } } ^ { ( j ) } ) } { ( 1 + A _ { j } ^ { ( j ) } ) \cdot ( f _ { j } + A _ { j } ) } } \\ & { \qquad + \frac { ( 1 + A _ { j } ^ { ( j ) } ) \cdot ( 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } \cdot A _ { j ^ { \prime } } ^ { ( j ) } ) } { ( 1 + A _ { j } ^ { ( j ) } ) \cdot ( f _ { j } + A _ { j } ) } } \\ { = \ } & { \frac { ( f _ { j } - 1 ) \cdot ( 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } \cdot A _ { j ^ { \prime } } ^ { ( j ) } ) } { ( 1 + A _ { j } ^ { ( j ) } ) \cdot ( f _ { j } + A _ { j } ) } + \frac { 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } \cdot A _ { j ^ { \prime } } ^ { ( j ) } } { f _ { j } + A _ { j } } } \end{array}
D _ { p \pm j \pm n } = ( \omega \pm \omega _ { j } \pm \omega _ { n } ) ^ { 2 } - 3 ( \vec { k } \pm \vec { k } _ { j } \pm \vec { k } _ { n } ) ^ { 2 } v _ { t h } ^ { 2 } - \omega _ { p e } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { I _ { e x a c t } } & { { } = } & { \frac { 2 e } { h } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { T } ( \varepsilon ) \left[ f \left( \varepsilon - \frac { e V } { 2 } \right) - f \left( \varepsilon + \frac { e V } { 2 } \right) \right] d \varepsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \bar { u } _ { d } } \\ { \bar { v } _ { d } } \end{array} \right] } & { = ( 1 + k _ { 1 } r ^ { 2 } + k _ { 2 } r ^ { 4 } + k _ { 3 } r ^ { 6 } ) \left[ \begin{array} { l } { \bar { u } } \\ { \bar { v } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 2 p _ { 1 } \bar { u } \bar { v } + p _ { 2 } ( r ^ { 2 } + 2 \bar { u } ^ { 2 } ) } \\ { 2 p _ { 2 } \bar { u } \bar { v } + p _ { 1 } ( r ^ { 2 } + 2 \bar { v } ^ { 2 } ) } \end{array} \right] , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } } \\ { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } \otimes { \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 , 1 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 2 , 1 } } & { b _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 , 1 } { \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 , 1 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 2 , 1 } } & { b _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } } & { a _ { 1 , 2 } { \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 , 1 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 2 , 1 } } & { b _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } } \\ { a _ { 2 , 1 } { \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 , 1 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 2 , 1 } } & { b _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } } & { a _ { 2 , 2 } { \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 , 1 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 2 , 1 } } & { b _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 , 1 } b _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 1 } b _ { 1 , 2 } } & { a _ { 1 , 2 } b _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } b _ { 1 , 2 } } \\ { a _ { 1 , 1 } b _ { 2 , 1 } } & { a _ { 1 , 1 } b _ { 2 , 2 } } & { a _ { 1 , 2 } b _ { 2 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } b _ { 2 , 2 } } \\ { a _ { 2 , 1 } b _ { 1 , 1 } } & { a _ { 2 , 1 } b _ { 1 , 2 } } & { a _ { 2 , 2 } b _ { 1 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } b _ { 1 , 2 } } \\ { a _ { 2 , 1 } b _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 1 } b _ { 2 , 2 } } & { a _ { 2 , 2 } b _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } b _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } .
\rho _ { p \rightarrow 1 + 2 + 3 } = \frac { ( 3 2 \pi ) ^ { 2 - 2 \ell } } { ( \Gamma ( \ell - 1 / 2 ) ) ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) ^ { \ell - 1 } } \int _ { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } } ^ { ( \sqrt { p ^ { 2 } } - m _ { 3 } ) ^ { 2 } } s ^ { 1 - \ell } { \cal D } ^ { \ell - 3 / 2 } \, d s ,
\begin{array} { r l } { S _ { f } = \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } } & { = \psi _ { f } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } D _ { \mu } \psi _ { f } } \\ { S _ { b } = \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } } & { = \psi _ { b } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } D _ { \mu } \psi _ { b } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathscr { T } } \| C _ { n , s } ( t ) \| _ { q } } & { = \frac { 1 } { n b } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathscr { T } } \left\| \sum _ { j \in \mathbb { I } } \tilde { \epsilon } _ { j , k } ^ { i } c _ { j , h } ^ { l , s } ( t ) \right\| _ { q } + \frac { 1 } { n b } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathscr { T } } \left\| \sum _ { j \in \mathbb { I } } \tilde { \epsilon } _ { j , h } ^ { l } c _ { j , k } ^ { i , s } ( t ) \right\| _ { q } } \\ & { + \frac { 1 } { n b } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathscr { T } } \left\| \sum _ { j \in \overline { { \mathbb { I } } } } \tilde { \epsilon } _ { j , k } ^ { i } c _ { j , h } ^ { l , s } ( t ) \right\| _ { q } + \frac { 1 } { n b } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathscr { T } } \left\| \sum _ { j \in \overline { { \mathbb { I } } } } \tilde { \epsilon } _ { j , h } ^ { l } c _ { j , k } ^ { i , s } ( t ) \right\| _ { q } } \\ & { : = C _ { 1 1 } + C _ { 1 2 } + C _ { 2 1 } + C _ { 2 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } } & { = \frac { 1 } { m k } \Big ( - \cos ( g ) L ^ { 2 } ( \cosh u - e ) + \sin ( g ) L G \sinh u , - \sin ( g ) L ^ { 2 } ( \cosh u - e ) - \cos ( g ) L G \sinh u \Big ) , } \\ { \mathbf { p } } & { = \frac { m k } { 1 - e \cosh u } \Big ( \frac { 1 } { L } ( \sinh u ) \cos g - \frac { G } { L ^ { 2 } } ( \sin g ) \cosh u , \frac { 1 } { L } ( \sinh u ) \sin g + \frac { G } { L ^ { 2 } } \cos ( g ) \cosh u \Big ) . } \end{array}
0 \, \xrightarrow [ ] { \, \, \, \, \, \mathrm { { ~ i ~ } } \, \, \, \, \, } \, \Phi _ { h } \, \xrightarrow [ ] { \quad \mathrm { { ~ \mathbf { { c u r l } } ~ } } \quad } \, \boldsymbol { \mathcal { V } } _ { h } \, \xrightarrow [ ] { \, \, \, \, \mathrm { { ~ \mathrm { ~ d i v } ~ } } \, \, \, \, } \, \mathcal { Q } _ { h } \, \xrightarrow [ ] { \, \, \, \, \, 0 \, \, \, \, \, } \, 0 \, .
C _ { c } = \frac { \partial E _ { c } ( N ) } { \partial T _ { c } ( N ) } = - 8 \pi G _ { 4 } M _ { B H } ^ { 2 } + 3 + { \cal O } \big ( \frac { M _ { P l } ^ { 2 } } { M _ { B H } ^ { 2 } } \big )
\begin{array} { r l r } { \mathscr { R } _ { \Gamma , l ; \delta } ^ { \prime } } & { : = } & { ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + \delta \beta _ { n } ^ { - 1 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } x _ { l } ( \Gamma ) - \delta \beta _ { n } ^ { - 1 } ] } \\ & { } & { \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) + \delta \beta _ { n } ^ { - 1 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l } ( \Gamma ) - \delta \beta _ { n } ^ { - 1 } ] . } \end{array}
( d g ^ { t } ) _ { ( 0 , 0 ) } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { a } & { b } \\ { 0 } & { 0 } & { c } & { d } \\ { 0 } & { 1 } & { p } & { q } \\ { 0 } & { 0 } & { r } & { s } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { t h _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } } & { t h _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } } \\ { t h _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } } & { t h _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } } \end{array} \right] .
e _ { 3 } \, ( h _ { + } ^ { \prime } + 2 h _ { + } ) + \exp ( 2 \xi ) \, ( h _ { + } ^ { \prime } h _ { 3 } - h _ { 3 } ^ { \prime } h _ { + } ) - i g e _ { 3 } \, [ e _ { 3 } + \exp ( 2 \xi ) \, h _ { 3 } ] \, h _ { + } = 0 ,
\mathrm { I m } [ { \bf G } _ { \mathrm { B } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) ] = { \mathbb { 1 } } n _ { \mathrm { B } } \omega ^ { 3 } / ( 6 \pi c ^ { 3 } )
0 = | b | \left( \lambda - \left( \frac { \nu _ { _ { S C } } + \xi _ { _ { S C } } } { 4 } \right) | b | ^ { 2 } - \left( \frac { 3 \nu _ { _ { S C } } - \xi _ { S C } } { 4 } \right) | a | ^ { 2 } \right) .
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \rho { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } + \rho ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } - \nabla \cdot { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { u } , p ) = \mathbf { f } } & { { \mathrm { ~ i n ~ } } \Omega \times ( 0 , T ) } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } = 0 } & { { \mathrm { ~ i n ~ } } \Omega \times ( 0 , T ) } \\ { \mathbf { u } = \mathbf { g } } & { { \mathrm { ~ o n ~ } } \Gamma _ { D } \times ( 0 , T ) } \\ { { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { u } , p ) { \hat { \mathbf { n } } } = \mathbf { h } } & { { \mathrm { ~ o n ~ } } \Gamma _ { N } \times ( 0 , T ) } \\ { \mathbf { u } ( 0 ) = \mathbf { u } _ { 0 } } & { { \mathrm { ~ i n ~ } } \Omega \times \{ 0 \} } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { h _ { i j } ^ { \textrm { H F } } ( t ) } & { = h _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( t ) - i \sum _ { k l } [ 2 w _ { i k j l } ( t ) - w _ { i k l j } ( t ) ] G _ { k l } ^ { < } ( t ) , } \\ { I _ { i j } ( t ) } & { = - i \sum _ { k l p } w _ { i k l p } ( t ) \mathcal { G } _ { l p j k } ( t ) , } \\ { h _ { i j k l } ^ { ( 2 ) , \textrm { H F } } ( t ) } & { = \delta _ { j l } h _ { i k } ^ { \textrm { H F } } ( t ) + \delta _ { i k } h _ { j l } ^ { \textrm { H F } } ( t ) , } \\ { \Psi _ { i j k l } } & { = \sum _ { p q r s } [ w _ { p q r s } ( t ) - w _ { p q s r } ( t ) ] \times } \\ { \times \bigg [ G _ { i p } ^ { > } ( t ) } & { G _ { r k } ^ { < } ( t ) G _ { j q } ^ { > } ( t ) G _ { s l } ^ { < } ( t ) - G _ { i p } ^ { < } ( t ) G _ { r k } ^ { > } ( t ) G _ { j q } ^ { < } ( t ) G _ { s l } ^ { > } ( t ) \bigg ] . } \end{array}
\Hat { \beta } _ { \Hat { m } ( 1 ) } , \Hat { \beta } _ { \Hat { m } ( 1 . 5 ) } , \Hat { \beta } _ { \Hat { m } ( 2 ) } , \Hat { \beta } _ { \Hat { m } ( 2 . 5 ) } , \Hat { \beta } _ { \Hat { m } ( 3 ) } , \Hat { \beta } _ { \Hat { m } ( 3 . 5 ) } , \Hat { \beta } _ { \Hat { m } ( 4 ) } , \Hat { \beta } _ { \Hat { m } ( 4 . 5 ) } , \Hat { \beta } _ { \Hat { m } ( 5 ) }
| \lambda _ { p h y s } > = ( a _ { 0 } ^ { + } ) ^ { \alpha _ { 0 } } \cdots ( a _ { D - 1 } ^ { + } ) ^ { \alpha _ { D - 1 } } | 0 > , \ \ \ \alpha _ { D - 1 } , \cdots \alpha _ { 0 } = 0 , 1 , 2 ,
\frac { d \hat { \phi } } { d t } = \sqrt { J } \Big [ \phi _ { t } + D _ { m } \phi - \frac { 1 } { 2 } \big ( \nabla \cdot \dot { x } \big ) \phi \Big ] + \frac { 1 } { 2 } \big ( \nabla \cdot \dot { x } \big ) \sqrt { J } \phi .
{ \begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { r m s } } } & { = { \sqrt { { \frac { 1 } { T } } \int _ { 0 } ^ { T } [ { V _ { \mathrm { p e a k } } \sin ( \omega t + \phi ) ] ^ { 2 } d t } } } } \\ & { = V _ { \mathrm { p e a k } } { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 T } } \int _ { 0 } ^ { T } [ { 1 - \cos ( 2 \omega t + 2 \phi ) ] d t } } } } \\ & { = V _ { \mathrm { p e a k } } { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 T } } \int _ { 0 } ^ { T } { d t } } } } \\ & { = { \frac { V _ { \mathrm { p e a k } } } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} }
\left< L ( \gamma ) \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } \int t r F ^ { 2 } d x \right> = - \frac { \epsilon } { e ^ { 2 } } \left< t r ( \nabla _ { \mu } F _ { \mu \nu } ( \gamma ( 0 ) ) \dot { \gamma } _ { \nu } ( 0 ) U ( \gamma ) ) \right> = - \frac { \epsilon } { e ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \gamma _ { \mu } ^ { 2 } ( 0 ) } W ( \gamma )
\centering \begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } ^ { \prime } = } & { { } g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { { } x _ { 1 } ^ { \prime } ( ( 1 - x _ { 1 } ^ { \prime } ) ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - x _ { 1 } ^ { \prime } ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) - y _ { 1 } ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { y _ { 1 } } = } & { { } h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { { } y _ { 1 } ( - x _ { 1 } ^ { \prime } ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - y _ { 1 } ( - \epsilon - y _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } + z _ { 1 } ) + ( 1 - y _ { 1 } ) ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { z _ { 1 } } = } & { { } f ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) + g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) + h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { { } x _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon ( - 1 + 2 x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } ) + ( - 1 + x _ { 1 } ^ { \prime } + b x _ { 1 } ^ { \prime } + b y _ { 1 } ) ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) - \beta ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } ) ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta } & { { } = \underset { \theta } { \operatorname { a r g m i n } } \| f ( g _ { \theta } ( x ) ) - y \| } \\ { \mathbf { s . t . } \quad f } & { { } = \underset { f } { \operatorname { a r g m i n } } \| f ( x ) - y \| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { N } } & { = } & { T + \frac { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } - \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \left( \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \left( X _ { 1 } - X _ { 2 } \right) = \frac { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } X _ { 1 } + \sigma _ { 1 } ^ { 2 } X _ { 2 } } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } \, \, = \, \, \frac { X _ { 1 } / \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + X _ { 2 } / \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 / \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + 1 / \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array}
I ( ~ | \bar { D ^ { 0 } } _ { \mathrm { p h y s } } ( t ) > \to \bar { f } ~ ) = \frac { | a ( \bar { f } ) | ^ { 2 } } { 4 } ~ | \frac { p } { q } | ^ { 2 } ~ | ~ ( e _ { 1 } - e _ { 2 } ) + \frac { q } { p } \bar { \rho } ( \bar { f } ) ~ ( e _ { 1 } + e _ { 2 } ) ~ | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \# \mathcal { S } _ { I } ^ { \prime } ( n , k , m ) = } & { \left( \frac { ( n , m ) + 1 } { 2 } \right) ^ { k } \frac { \# \Omega _ { n _ { 1 } } ( I ) } { k ! } + O _ { k } ( ( n , m ) n ^ { k - 1 } ) , } \\ { = } & { \left( \frac { ( n , m ) + 1 } { 2 } \right) ^ { k } \frac { n _ { 1 } ^ { k } } { k ! } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) + O _ { k } ( ( n , m ) n ^ { k - 1 } ) } \\ { = } & { \left( \frac { ( n , m ) + 1 } { 2 } \right) ^ { k } \# \Omega _ { n _ { 1 } } \frac { 2 ^ { k } } { k ! } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) + O _ { k } ( ( n , m ) n ^ { k - 1 } ) } \\ { = } & { \# \mathcal { S } ^ { \prime } ( n , k , m ) 2 ^ { k } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) + O _ { k } ( ( n , m ) n ^ { k - 1 } ) . } \end{array}
R _ { \tau } = \frac { \Gamma ( \tau ^ { - } \to \nu _ { \tau } + \, \mathrm { h a d r o n s ) } } { \Gamma ( \tau ^ { - } \to \nu _ { \tau } e ^ { - } \bar { \nu } _ { e } ) } = 3 . 6 4 7 \pm 0 . 0 1 4 .
\begin{array} { r l } { I _ { i j } } & { { } = \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( 2 j + 1 ) ! ! } \int d K E _ { \mathbf { k } } ^ { i - 2 j } b _ { \mathbf { k } } ^ { j } f _ { 0 \mathbf { k } } , } \\ { J _ { i j } } & { { } = \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( 2 j + 1 ) ! ! } \int d K E _ { \mathbf { k } } ^ { i - 2 j } b _ { \mathbf { k } } ^ { j } f _ { 0 \mathbf { k } } \tilde { f } _ { 0 \mathbf { k } } , } \\ { G _ { i j } } & { { } = J _ { i 0 } J _ { j 0 } - J _ { i - 1 , 0 } J _ { j + 1 , 0 } , } \\ { D _ { i j } } & { { } = J _ { i + 1 , j } J _ { i - 1 , j } - ( J _ { i j } ) ^ { 2 } , } \end{array}
{ \hat { H } } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { { \hat { p } } _ { n } ^ { 2 } } { 2 m _ { n } } } + V ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } ) \, , \quad { \hat { p } } _ { n } = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } E = } & { \frac { - i \delta } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } E - \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 3 } E + \frac { 4 f } { \pi } \frac { ( 1 + i u ) ( 1 - i \delta ) } { ( 1 + u ^ { 2 } ) ( 1 + \delta ^ { 2 } ) } D E } \\ & { + \left[ - \frac { 2 f } { \pi } ( 1 - i \delta ) ^ { 2 } \frac { i \ln \sqrt { u ^ { 2 } + 1 } + \frac { \pi } { 2 } + \arctan ( u ) } { \left( 1 + \delta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - 1 + \eta - i 2 \eta \arctan ( \delta ) \right] E } \\ & { + h Y _ { 0 } \frac { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } { 1 + i \delta } , } \\ { 0 = } & { - \partial _ { \sigma } D + \frac { \gamma } { 1 + \delta ^ { 2 } } \left[ - 2 D + \left( 1 + \frac { 2 } { \pi } \arctan ( u ) - \frac { 4 } { \pi } \frac { 1 } { u ^ { 2 } + 1 } D \right) | E | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \left\langle \! \left\langle w ( \textrm { x } , t ) \right\rangle \! \right\rangle } & { { } = 0 , } & { \left\langle \! \left\langle w ( \mathbf { x } , t ) w ( \mathbf { x } ^ { \prime } , { t ^ { \prime } } ) \right\rangle \! \right\rangle } & { { } = { \frac { \gamma } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } ) \delta ( t - { t ^ { \prime } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { j } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \epsilon _ { j , t } ^ { 2 } > T y \right) } & { = \mathbb { P } \left( \exp \left( \operatorname* { m a x } _ { j } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \epsilon _ { j , t } ^ { 2 } / d _ { N } ^ { 2 } \right) > \exp \left( T y / d _ { N } ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { \leq \frac { \mathbb { E } \exp \left( \operatorname* { m a x } _ { j } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \epsilon _ { j , t } ^ { 2 } / d _ { N } ^ { 2 } \right) } { \exp \left( T y / d _ { N } ^ { 2 } \right) } \leq \frac { \prod _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \exp \left( \operatorname* { m a x } _ { j } \epsilon _ { j , t } ^ { 2 } / d _ { N } ^ { 2 } \right) } { \exp \left( T y / d _ { N } ^ { 2 } \right) } \leq \frac { 2 ^ { T } } { \exp \left( T y / d _ { N } ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
U ( { { r } _ { i j } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \varepsilon _ { i j } \left[ { { \left( \frac { \sigma _ { i j } } { { { r } _ { i j } } } \right) } ^ { 1 2 } } - { { \left( \frac { \sigma _ { i j } } { { { r } _ { i j } } } \right) } ^ { 6 } } \right] } & { \mathrm { i f } \, \, \, { { r } _ { i j } } \le { { r } _ { c , i j } } , } \\ { 0 } & { \mathrm { i f } \, \, \, { { r } _ { i j } } > { { r } _ { c , i j } } , } \end{array} \right.
- \frac { 1 } { r ^ { 2 } \cosh \tau } \partial _ { \tau } ( \cosh \tau \partial _ { \tau } \phi ) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \partial _ { r } ( r ^ { 2 } f ( r ) \partial _ { r } \phi ) + f ( r ) ^ { - 1 } \partial _ { \chi } ^ { 2 } \phi + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \cosh ^ { 2 } \tau } \partial _ { \psi } ^ { 2 } \phi - m ^ { 2 } \phi = 0 .
\Psi _ { \mathrm { { F } } } ( \cdots , \mathbf { r } _ { i } , \cdots , \mathbf { r } _ { j } , \cdots ) = - \Psi _ { \mathrm { { F } } } ( \cdots , \mathbf { r } _ { j } , \cdots , \mathbf { r } _ { i } , \cdots )
e _ { \mu } ^ { * } ( k ) C ^ { \mu } ( q _ { 2 } , q _ { 1 } ) = - 2 e _ { \perp } ^ { * } ( k ) \left( q _ { 1 \perp } - k _ { \perp } \frac { q _ { 1 \perp } ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \right) ~ .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ k ~ } } ^ { + } } & { { } = \frac { R _ { \mathrm { ~ k ~ } } } { R _ { \mathrm { c } } } , \quad \dot { R } _ { \mathrm { ~ k ~ } } ^ { + } = \frac { \dot { R } _ { \mathrm { ~ k ~ } } } { A } , \quad t ^ { + } = \frac { t } { t _ { \mathrm { r e f } } } , \quad \mu _ { \mathrm { l } } ^ { + } = \frac { \mu _ { \mathrm { l } } } { \mu _ { \mathrm { l 0 } } } ; } \\ { \rho _ { \mathrm { l } } ^ { + } } & { { } = \frac { \rho _ { \mathrm { l } } } { \rho _ { \mathrm { l 0 } } } , \quad P ^ { + } = \frac { P } { \rho _ { \mathrm { l 0 } } A ^ { 2 } } , \quad \sigma ^ { + } = \frac { \sigma } { \sigma _ { 0 } } , \quad n ^ { + } = n R _ { \mathrm { c } } ^ { 3 } , } \end{array}