harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\psi ( Y ) = \underbrace { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \epsilon ^ { n } \psi _ { n } ( Y ) } _ { \psi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ } } ( Y ) } + \mathcal { R } _ { N } ( Y ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \lambda = \underbrace { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \epsilon ^ { n } \lambda _ { n } } _ { \lambda _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ } } } + \lambda _ { \mathrm { e x p } } ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 0 } ( x ) } & { : = [ Q , \iota _ { \nu _ { 0 } ( x ) } ] \in \mathfrak { X } _ { 0 } ( \mathbb { U } ^ { \mathfrak F } ) , \; \mathrm { f o r } \; x \in \mathfrak g . } \\ { \Phi _ { 1 } ( x , y ) } & { : = [ Q , \iota _ { \nu _ { 1 } ( x , y ) } ] ^ { ( - 1 ) } - \sum _ { k \geq 0 } [ [ Q , \iota _ { \nu _ { 0 } ( x ) } ] , \iota _ { \nu _ { 0 } ( y ) } ] ^ { ( k ) } \in \mathfrak { X } _ { - 1 } ( \mathbb { U } ^ { \mathfrak F } ) , \; \mathrm { f o r } \; x , y \in \mathfrak g . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { A } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { \top } } & { I } \\ { S ^ { k } } & { 0 } & { Z ^ { k } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \ddot { z } } \\ { \ddot { \lambda } } \\ { \ddot { s } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \sigma _ { k } \mu _ { k } ^ { z } e - 2 \dot { z } \circ \dot { s } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \hat { a } | \alpha \rangle } & { { } = \sum _ { n = 0 } c _ { n } \hat { a } | n \rangle = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } \sqrt { n } | n - 1 \rangle = \alpha \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } | n \rangle = } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } B _ { x } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \ell _ { Q ^ { j } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) B } & { = - Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \ell _ { Q ^ { j } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) B + \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \ell _ { Q ^ { j } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) B ^ { 2 } } \\ { ( \ell _ { Q ^ { i } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } B _ { x } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } } & { = ( \ell _ { Q ^ { i } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) B { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } - ( \ell _ { Q ^ { i } } ) _ { l } ( V ^ { l } ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } B } \\ { - \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } B _ { x } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \ell _ { B } ) _ { l } ( V ^ { l } ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } } & { = - Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \ell _ { B } ) _ { l } ( V ^ { l } ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } + \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } B ( \ell _ { B } ) _ { l } ( V ^ { l } ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } } \\ { - \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \ell _ { B } ) _ { l } ( V ^ { l } ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } B _ { x } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } } & { = - \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \ell _ { B } ) _ { l } ( V ^ { l } ) B { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } + \frac 1 B Q _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( \ell _ { B } ) _ { l } ( V ^ { l } ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } Q _ { x } ^ { j } B } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { F } { E _ { r 0 } } = } & { { } i \frac { \xi } { 2 } + \frac { E _ { t 0 } } { E _ { r 0 } } ( 1 + \frac { 2 I _ { t \mu } } { I _ { t 0 } } } \\ { + } & { { } i ( \alpha + I _ { t 0 } - 2 I - \frac { 2 I _ { t \mu } } { I _ { t 0 } } ( \alpha - \alpha _ { t } ^ { \textrm { o p t } } ) ) ) } \\ { \frac { r F } { E _ { t 0 } } = } & { { } r r _ { \textrm { E F } } + i \frac { \xi } { 2 } + \frac { E _ { r 0 } } { E _ { t 0 } } ( 1 + \frac { 2 I _ { r \mu } } { I _ { r 0 } } } \\ { + } & { { } i ( \alpha + I _ { r 0 } - 2 I - \frac { 2 I _ { r \mu } } { I _ { r 0 } } ( \alpha - \alpha _ { r } ^ { \textrm { o p t } } ) ) ) . } \end{array}
\Delta { \tilde { \nu } } ( { \mathrm { c m } } ^ { - 1 } ) = \left( { \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } ( { \mathrm { n m } } ) } } - { \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } ( { \mathrm { n m } } ) } } \right) \times { \frac { ( 1 0 ^ { 7 } { \mathrm { n m } } ) } { ( { \mathrm { c m } } ) } } .
\sum _ { \rho \in S _ { n } } ^ { } \chi _ { R } ( \rho ) D _ { R } ( \rho ^ { - 1 } ) = \frac { n ! } { d _ { R } } I _ { R } , \qquad \mathrm { a n d } \qquad \sum _ { \sigma \in S _ { n } } ^ { } D _ { R } ( \sigma \rho \sigma ^ { - 1 } ) = \frac { n ! } { d _ { R } } \chi _ { R } ( \rho ) I _ { R } ,
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } { { 7 } 3 x } & { } & { \; + \; } & { } & { 2 y } & { } & { \; - \; } & { } & { z } & { } & { \; = \; } & { } & { 1 } & { } \\ { 2 x } & { } & { \; - \; } & { } & { 2 y } & { } & { \; + \; } & { } & { 4 z } & { } & { \; = \; } & { } & { - 2 } & { } \\ { - x } & { } & { \; + \; } & { } & { { \frac { 1 } { 2 } } y } & { } & { \; - \; } & { } & { z } & { } & { \; = \; } & { } & { 0 } & { } \end{array} }
{ \left( \begin{array} { l l } { \tau _ { x x } } & { \tau _ { x y } } \\ { \tau _ { y x } } & { \tau _ { y y } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { x } & { 0 } \\ { 0 } & { - t } \end{array} \right) } \cdot { \left( \begin{array} { l l } { { \frac { \partial u } { \partial x } } } & { { \frac { \partial u } { \partial y } } } \\ { { \frac { \partial v } { \partial x } } } & { { \frac { \partial v } { \partial y } } } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h } } \left[ R _ { s } ^ { S A } \right] = } & { \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( \frac { p } { \sigma ^ { 2 } } \right) + \bigg [ \mathrm { l n } \left( 1 + \frac { K \alpha ^ { 2 } \lambda } { \lambda _ { 0 } } \right) - \frac { 3 K \lambda ^ { 2 } \alpha ^ { 4 } } { 2 \left( \lambda _ { 0 } + K \alpha ^ { 2 } \lambda \right) ^ { 2 } } - E _ { 0 } \bigg ] \mathrm { l o g } _ { 2 } e , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \hat { s } _ { r } ( \boldsymbol k ) } & { = \sum _ { \boldsymbol k _ { 1 } } \hat { \boldsymbol u } _ { r } ( \boldsymbol k - \boldsymbol k _ { 1 } ) \cdot i k _ { 1 } \hat { \boldsymbol u } _ { r } \left( \boldsymbol k _ { 1 } \right) } \end{array}
G _ { \perp } ^ { ( 2 b ) } = \langle ^ { 3 } \Delta _ { 1 } | \hat { L } _ { + } ^ { e } - \mathrm { g } _ { S } \hat { S } _ { + } ^ { e } | ^ { 3 } \Pi _ { 0 ^ { - } } \rangle = 1 . 5 5 2 4 .
\begin{array} { r l r } & { } & { a _ { \theta } ( x _ { 2 } ) - a _ { \theta } ( x _ { 1 } ) = \log \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - \theta | x _ { 1 } - y | + b _ { \theta } ( y ) } d y \Big ) - \log \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - \theta | x _ { 2 } - y | + b _ { \theta } ( y ) } d y \Big ) } \\ & { } & { \quad \quad \leq \log \Big ( e ^ { \theta | x _ { 1 } - x _ { 2 } | } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - \theta | x _ { 2 } - y | + b _ { \theta } ( y ) } d y \Big ) - \log \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - \theta | x _ { 2 } - y | + b _ { \theta } ( y ) } d y \Big ) } \\ & { } & { \quad \quad = \theta | x _ { 1 } - x _ { 2 } | , } \end{array}
{ \bf j } _ { \textrm { e f f } } = { \bf j } \, \left\{ 1 - \xi _ { 1 } \left[ \left( \frac { E _ { 0 } } { E _ { c } } \right) ^ { 2 } \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) + \left( \frac { B _ { 0 } } { B _ { c } } \right) ^ { 2 } \right] \right\} ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j \in V ^ { \circ } } \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \ne \widetilde { \sigma } _ { i } \widetilde { \sigma } _ { j } ) } & { \ge \frac { C | V ^ { \circ } | ^ { 2 } } { | E | \operatorname* { m a x } \bigl \{ | V ^ { \circ } | ^ { - \frac { 1 } { \beta } } , \bigl ( \frac { | B | } { | V ^ { \circ } | } \bigr ) ^ { \frac { 1 } { \delta } } \bigr \} } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \Psi _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } | \mathcal { O } _ { \nu } G _ { 0 } ^ { + } ( E _ { g } + \omega ) \mathcal { O } _ { \mu } | g \rangle = } \\ { = } & { \frac { 1 - \mathcal { P } _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 3 } } \frac { C _ { \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } } ^ { S _ { A } - \Sigma _ { A } } } { \Pi _ { S _ { A } } } \sum _ { a L } \frac { 1 } { \Pi _ { L } } \frac { \langle \Psi _ { A \ell _ { 1 } E _ { 1 } } ^ { ^ { 2 S _ { a } + 1 } L ^ { \bar { \pi } _ { a } } ( - ) } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| \Phi _ { a } \rangle \, \langle \Psi _ { a \ell _ { 2 } E _ { 2 } } ^ { { ^ 1 P ^ { o } } ( - ) } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| g \rangle } { E _ { g } + \omega - E _ { a } - E _ { 2 } + i 0 ^ { + } } \sum _ { M M _ { a } } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { L M } C _ { L _ { a } M _ { a } , \ell _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { 1 \mu } C _ { L _ { a } M _ { a } , 1 \nu } ^ { L M } , } \end{array}
\begin{array} { l c l l l } { A } & { = } & { } & { \frac { r _ { 2 } } { r _ { 1 } } } & { \cos ( \sigma ) ( 1 + \alpha _ { f 2 } ) - \frac { 1 } { k \, x _ { 1 } } \sin ( \sigma ) ( 1 + \alpha _ { g 2 } ) } \\ { B } & { = } & { Z _ { c 1 } } & { \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \, \mathrm { j } } & { \sin ( \sigma ) } \\ { C } & { = } & { \frac { 1 } { Z _ { c 1 } } } & { \frac { r _ { 2 } } { r _ { 1 } } \, \mathrm { j } } & { \sin ( \sigma ) ( 1 + \alpha _ { f 1 } ) ( 1 + \alpha _ { f 2 } ) + . . . } \\ { D } & { = } & { } & { \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \left( \vphantom { \frac { 1 } { k \, x _ { 1 } } } \right. } & { \left. \cos ( \sigma ) ( 1 + \alpha _ { f 1 } ) + \frac { 1 } { k \, x _ { 1 } } \sin ( \sigma ) ( 1 + \alpha _ { g 1 } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { I } ^ { \prime } } & { = \sum _ { s \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } \hat { H } _ { s } ^ { d o u b } + \hat { H } _ { s } ^ { d i r } + \hat { H } _ { s } ^ { e x c } } \\ & { = g \sum _ { s \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } \Bigl [ \sum _ { b } U _ { s } ^ { b } \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { b } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { b } } \\ & { - \sum _ { b \neq b ^ { \prime } } J _ { s } ^ { b b ^ { \prime } } \bigl ( \hat { \mathbf { S } } _ { s } ^ { b } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { s } ^ { b ^ { \prime } } - \frac { 1 } { 4 } \hat { n } _ { s } ^ { b } \hat { n } _ { s } ^ { b ^ { \prime } } \bigr ) \Bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \eta _ { t } L } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { x _ { d } : | x _ { d } | \leq \eta _ { t } L } f ( w _ { d } - x _ { d } ) \mathrm { d } w _ { d } = \int _ { \eta _ { t } L } ^ { \infty } f ( w _ { d } - \eta _ { t } L ) \mathrm { d } w _ { d } = \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( w _ { d } ) \mathrm { d } w _ { d } = \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } ^ { \alpha } } & { { } = p ^ { \alpha } + \frac { 1 } { p _ { \sigma } t ^ { \sigma } } S ^ { \alpha \beta } p ^ { \mu } \nabla _ { \mu } t _ { \beta } , } \\ { \dot { x } ^ { \mu } \nabla _ { \mu } p _ { \alpha } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } R _ { \alpha \beta \gamma \lambda } p ^ { \beta } S ^ { \gamma \lambda } . } \end{array}
\widehat { \lambda } \; \; \ll \; \; \overline { { { \lambda } } } \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { o r } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \langle \; k _ { \perp } \; \rangle
{ \bf C } _ { [ \alpha _ { 1 } ] , [ \alpha _ { 2 } ] , ( \alpha _ { 3 } ) } ^ { \epsilon } = G _ { R } ( \alpha _ { 1 } ) \epsilon { \bf C } _ { [ Q - \alpha _ { 1 } ] , [ \alpha _ { 2 } ] , ( \alpha _ { 3 } ) } ^ { \epsilon } = G _ { N S } ( \alpha _ { 3 } ) { \bf C } _ { [ \alpha _ { 1 } ] , [ \alpha _ { 2 } ] , ( Q - \alpha _ { 3 } ) } ^ { \epsilon } ,
\mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { m } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { m } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { m } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 0 } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { | ( } & { d _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) - ( d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) | } \\ & { \le | ( \mathtt { m } _ { \alpha } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) - \mathtt { m } _ { \alpha } ( i _ { n } ( \omega ) ) ) ( \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) ) | } \\ & { \ + | ( \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) - ( \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) | } \\ & { \ + 2 \operatorname* { s u p } _ { j \in S ^ { \perp } \left\{ 0 \right\} } | r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - r _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , j ) | } \\ & { = \left| ( \mathtt { m } _ { \alpha } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) - \mathtt { m } _ { \alpha } ( i _ { n } ( \omega ) ) ) ( \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) ) \right| + \left| \int _ { k } ^ { j } \partial _ { \xi } \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , \xi ) - \partial _ { \xi } \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , \xi ) d \xi \right| } \\ & { \ + 2 \operatorname* { s u p } _ { j \in S ^ { \perp } \left\{ 0 \right\} } | r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - r _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , j ) | } \\ & { \overset = | ( \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) - \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ) ( \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) ) | } \\ & { \ + \left| \int _ { k } ^ { j } \partial _ { \xi } \left( \xi \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , \xi ) - \xi \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , \xi ) \right) d \xi \right| + 2 \operatorname* { s u p } _ { j \in S ^ { \perp } \left\{ 0 \right\} } | r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - r _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , j ) | } \\ & { \overset { , , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert i _ { n + 1 } ( \omega ) - i _ { n } ( \omega ) \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \left( | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | + | j - k | + 1 \right) } \\ & { \overset { , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert i _ { n + 1 } ( \omega ) - i _ { n } ( \omega ) \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | } \\ & { \overset \le C _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 9 - 6 b } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 3 } } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { G } _ { \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma } ^ { 2 } , \epsilon } ( x ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( 1 \! - \! { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } Y } \right] \frac { ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } e ^ { - 2 \theta _ { k } x } } { \left( 1 - \epsilon L _ { k } ( x ) \right) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { F } ^ { \star } [ \mathsf { X } , \tau ] } & { { } = \mathsf { I } + \mathsf { H } _ { \tau } ^ { \star } [ \mathsf { X } ] , } \\ { \mathsf { F } [ \mathsf { X } , \tau ] } & { { } = \mathsf { Q } [ \tau ] \mathsf { F } ^ { \star } [ \mathsf { X } , \tau ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { \pi } ( s , a ) : = - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { \pi } ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { \pi } ( s ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = \int _ { a } ^ { x } f _ { + } ^ { \prime } ( t ) d t + \eta = \int _ { a } ^ { x } f _ { + } ^ { \prime } ( t ) d t + \int _ { a } ^ { \infty } - f _ { + } ^ { \prime } ( x ) d x = \int _ { x } ^ { \infty } - f _ { + } ^ { \prime } ( t ) d t \geq 0 } \\ { \implies f ( x ) } & { \rightarrow 0 \ \mathrm { a s } \ x \rightarrow \infty . } \end{array}
\lambda ( t , \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { | \Omega | \frac { V } { 4 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega = ( j , k , 1 ) \in \Omega _ { 2 } , } \\ { | \Omega | \frac { V } { 4 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega = ( j , k , 2 ) \in \Omega _ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle x _ { \mathrm { c / b } } ( t + \tau ) x _ { \mathrm { c / b } } ( \tau ) \rangle } & { { } \propto \frac { k _ { \mathrm { b } } T } { \Im ( \omega _ { i - } ) } \cos ( \Re ( \omega _ { i - } ) \tau ) e ^ { - \Im ( \omega _ { i - } \tau ) } } \\ { \langle x _ { \mathrm { c / b } } ( t + \tau ) y _ { \mathrm { c / b } } ( \tau ) \rangle } & { { } \propto \frac { k _ { \mathrm { b } } T } { \Im ( \omega _ { i - } ) } \sin ( \Re ( \omega _ { i - } ) \tau ) e ^ { - \Im ( \omega _ { i - } \tau ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \sum _ { j \not = i } \int _ { B } f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \Gamma ^ { \delta _ { i } - 1 } ( | \partial _ { j } u | ) \Gamma ^ { 1 + \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq c } & { \sum _ { j \not = i } \sum _ { \pm } \int _ { B _ { i , \pm } } \big ( 1 + f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \big ) \Gamma ^ { \delta _ { i } - 1 } ( | \partial _ { j } u | ) \Gamma ^ { 1 + \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { \sum _ { j \not = i } \sum _ { \pm } \Bigg [ \varepsilon \int _ { B _ { i , \pm } } \Gamma ( | \partial _ { i } u | ) ^ { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { } & { + c ( \varepsilon ) \int _ { B _ { i , \pm } } \big ( 1 + f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \big ) ^ { \frac { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } { \omega _ { i } ^ { \pm } - \beta _ { i } } } \Gamma ^ { ( \delta _ { i } - 1 ) \frac { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } { \omega _ { i } ^ { \pm } - \beta _ { i } } } ( | \partial _ { j } u | ) \, \mathrm { d } x \Bigg ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left\{ \mathcal { E } \right\} = } & { \sum _ { Q _ { X } \in \mathcal { Q } } \sum _ { x ^ { k } \in \mathcal { T } _ { Q } } P _ { X ^ { k } } ( x ^ { k } ) p _ { a } ( x ^ { k } ) } \\ { \geq } & { \exp \left\{ - k \left( \operatorname* { m i n } _ { Q _ { X } \in \mathcal { Q } } \left( D ( Q _ { X } | | P _ { X } ) + \operatorname* { m i n } _ { U _ { S | X } \in \mathcal { U } } D ( U | | P _ { S | X } | Q _ { X } ) + \epsilon _ { 3 } ( k ) \right) \right) \right\} p _ { c } ( s ^ { k } , x ^ { k } ) } \\ { = } & { \exp \left\{ - k \left( \widetilde { E } ( r , P _ { X } , P _ { S | X } ) + \epsilon _ { 3 } ( k ) \right) \right\} \exp \left\{ - n \left( E _ { \mathrm { s p } } ( R , W _ { Z | Y } ) + \epsilon _ { 1 } ( n ) \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { J } ( s ) } & { { } = - \frac { q s } { L ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { L } d x \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { \mathrm { i } } ( L - x ) \hat { G } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega _ { x y z } } \left( j \omega \mu _ { x y z } \mathbf { H } _ { x y z } \right) \cdot \mathbf { H } _ { x y z } ^ { \prime } \, \mathrm { d } V \, } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega _ { x y z , c } } \left( \rho _ { x y z } \, \mathrm { c u r l } \, \mathbf { H } _ { x y z } \right) \cdot \mathrm { c u r l } \, \mathbf { H } _ { x y z } ^ { \prime } \, \mathrm { d } V = 0 , } \end{array}
F _ { p } = - \frac { 1 } { 4 } \pi ^ { 2 } \tilde { V } _ { 3 } N _ { 3 } T ^ { 4 } \left[ 1 - 4 \left( \frac { M } { \pi T } \right) + 1 0 \left( \frac { M } { \pi T } \right) ^ { 2 } - 2 0 \left( \frac { M } { \pi T } \right) ^ { 3 } + \cdots \right] .
\begin{array} { r l } { S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 2 2 } ^ { q } = S _ { 3 3 } ^ { q } = S _ { 4 4 } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } } & { { } \left( 2 ( 1 - p ) ( 2 - p T ^ { 2 } - R T ) + T ( 1 - p ) ( 1 - T ( 1 - p ) ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } \right. } \end{array}
D _ { 1 } g ^ { ( j ) } \cdot f = 0 , ~ ~ D _ { 2 } f \cdot f = 2 \gamma ( \lvert g ^ { ( 1 ) } \rvert ^ { 2 } + \sigma \lvert g ^ { ( 2 ) } \rvert ^ { 2 } ) , ~ ~ j = 1 , 2 ,
\begin{array} { r l r } { \beta \| \boldsymbol \lambda _ { h } - \boldsymbol \mu _ { h } \| _ { \boldsymbol \Lambda } \leq \operatorname* { s u p } _ { { \bf v } _ { h } \in { \bf V } _ { h } } \frac { { \bf b } ( \boldsymbol \lambda _ { h } - \boldsymbol \mu _ { h } , { \bf v } _ { h } ) } { \| { \bf v } _ { h } \| _ { \bf V } } } & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { { \bf v } _ { h } \in { \bf V } _ { h } } \frac { { \bf b } ( \boldsymbol \lambda - \boldsymbol \mu _ { h } , { \bf v } _ { h } ) + { \bf a } ( { \bf u } _ { h } - { \bf u } , { \bf v } _ { h } ) } { \| { \bf v } _ { h } \| _ { \bf V } } } \\ & { \leq } & { M \| \boldsymbol \lambda - \boldsymbol \mu _ { h } \| _ { \boldsymbol \Lambda } + \alpha _ { 1 } \| { \bf u } - { \bf u } _ { h } \| _ { \bf V } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \cal L } } } & { { = } } & { { \displaystyle - \frac { 1 } { 4 } F ^ { \mu \nu } \star F _ { \mu \nu } + \bar { \psi } \star ( \gamma ^ { \mu } i D _ { \mu } - m ) \psi } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + \frac { 1 } { 2 } ( D _ { \mu } \varphi _ { 0 } ) \star ( D ^ { \mu } \varphi _ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } \varphi _ { 0 } \star \varphi _ { 0 } } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + ( D _ { \mu } \varphi ) ^ { \dagger } \star ( D ^ { \mu } \varphi ) - m _ { \pm } ^ { 2 } \varphi ^ { \dagger } \star \varphi . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { F } _ { i j } ^ { \mathrm { n } } = \operatorname* { m a x } \left( 0 , \frac { 2 E _ { \mathrm { p } } \sqrt { R _ { i j } ^ { \mathrm { e f f } } } } { 3 ( 1 - \nu _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ) } \left( \xi _ { i j } ^ { \frac { 3 } { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } A \xi _ { i j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \dot { \xi } _ { i j } \right) \right) \frac { \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } } { | \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } | } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \big [ V _ { \epsilon } ^ { ( t ) } \big ] = \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \mathbb { P } ( V _ { \epsilon } ^ { ( t ) } = k ) k = \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \frac { k \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \tau ( k , \chi ^ { ( t ) } ) \Big ) } { \sum _ { k \in \rho ^ { ( t ) } } \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \tau ( k , \chi ^ { ( t ) } ) \Big ) } . } \end{array}
\frac { \left\langle \mathcal { A } _ { m } ^ { p } [ u ] \right\rangle _ { t } } { u _ { 0 } ^ { p } } = \left\langle 2 ^ { - m p W _ { m } } \right\rangle _ { t } \approx 2 ^ { - m \zeta _ { p } } C _ { p } .
- \frac { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } F _ { a b } F _ { c d } ( \overline { { { e _ { a L } } } } \gamma _ { \mu } e _ { b L } ) ( \overline { { { e _ { c L } } } } \gamma ^ { \mu } e _ { d L } ) = - \frac { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } } ( F _ { a b } F _ { c d } - F _ { a d } F _ { c b } ) ( \overline { { { e _ { a L } } } } \gamma _ { \mu } e _ { b L } ) ( \overline { { { e _ { c L } } } } \gamma ^ { \mu } e _ { d L } ) \ ,
\mathbf { E } _ { \ell } = i \sum _ { \nu = - \infty } ^ { \infty } \frac { i ^ { \nu } } { k _ { \ell } } \left[ c _ { \ell \nu } \mathbf { M } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ w ~ a ~ r ~ d ~ } ) } + d _ { \ell \nu } \mathbf { M } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ w ~ a ~ r ~ d ~ } ) } \right]