harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathsf { A C V } _ { \mathcal P } G _ { \mathrm { o p t } } } & { = \sqrt { 1 + a } \, \mathsf { a c v } _ { 0 } + \frac { 6 + a + b } { 2 \sqrt { 1 + a } } \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 3 } + \mathcal O ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 5 } ) , } \\ { \mathsf { A R B } _ { \mathcal P } G _ { \mathrm { o p t } } } & { = \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } + 3 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 4 } + \mathcal O ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 6 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 0 } ( \tau _ { 3 \mathrm { b } } , x , x ^ { \prime } ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { 0 } } e ^ { - i \langle ( x , x ^ { \prime } ) \rangle \sigma \tau _ { 3 \mathrm { b } } } \hat { K } _ { 0 } ( \sigma , x , x ^ { \prime } ) \, { \mathrm d } \sigma } \\ & { = ( 2 \pi ) ^ { - 1 } \langle ( x , x ^ { \prime } ) \rangle ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - i \sigma _ { 3 \mathrm { b } } \tau _ { 3 \mathrm { b } } } \hat { K } _ { 0 } \Bigl ( \frac { \sigma _ { 3 \mathrm { b } } } { \langle ( x , x ^ { \prime } ) \rangle } , x , x ^ { \prime } \Bigr ) \, { \mathrm d } \sigma _ { 3 \mathrm { b } } . } \end{array}
{ \frac { d x } { d t } } = { \frac { \gamma _ { _ { v } } ( d x ^ { \prime } + v d t ^ { \prime } ) } { \gamma _ { _ { v } } ( d t ^ { \prime } + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } d x ^ { \prime } ) } } , \quad { \frac { d y } { d t } } = { \frac { d y ^ { \prime } } { \gamma _ { _ { v } } ( d t ^ { \prime } + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } d x ^ { \prime } ) } } , \quad { \frac { d z } { d t } } = { \frac { d z ^ { \prime } } { \gamma _ { _ { v } } ( d t ^ { \prime } + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } d x ^ { \prime } ) } } ,
x _ { e } = { \frac { E _ { e } E ^ { \prime } ( 1 - \sin ^ { 2 } { \frac { \theta _ { e } } { 2 } } ) } { E _ { p } ( E _ { e } - E ^ { \prime } \sin ^ { 2 } { \frac { \theta _ { e } } { 2 } } ) } } .
{ \begin{array} { r l } { F _ { 3 , b } ( n _ { 3 } ) } & { = d _ { 0 } ^ { 3 } + d _ { 1 } ^ { 3 } + d _ { 2 } ^ { 3 } } \\ & { = ( k + 1 ) ^ { 3 } + 0 ^ { 3 } + ( 2 k + 1 ) ^ { 3 } } \\ & { = ( ( k + 1 ) ^ { 2 } - ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) + ( 2 k + 1 ) ^ { 2 } ) ( ( k + 1 ) + ( 2 k + 1 ) ) } \\ & { = ( ( k + 1 ) ^ { 2 } + k ( 2 k + 1 ) ( 3 k + 2 ) } \\ & { = ( k ^ { 2 } + 2 k + 1 + 2 k ^ { 2 } + k ) ( 3 k + 2 ) } \\ & { = ( 3 k ^ { 2 } + 3 k + 1 ) ( 3 k + 2 ) } \\ & { = ( 3 k ^ { 2 } + 3 k ) ( 3 k + 2 ) + ( 3 k + 2 ) } \\ & { = 3 k ( k + 1 ) ( 3 k + 2 ) + ( 3 k + 2 ) } \\ & { = ( k + 1 ) ( ( 3 k + 1 ) ^ { 2 } - 1 ) + ( 3 k + 2 ) } \\ & { = ( k + 1 ) ( 3 k + 1 ) ^ { 2 } - ( k + 1 ) + ( 3 k + 2 ) } \\ & { = ( k + 1 ) ( 3 k + 1 ) ^ { 2 } + 0 ( 3 k + 1 ) + ( 2 k + 1 ) } \\ & { = d _ { 2 } b ^ { 2 } + d _ { 1 } b + d _ { 0 } } \\ & { = n _ { 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tilde { \varepsilon } _ { c r } \left( s \right) } & { = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \beta + \nu } } \frac { 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } { 1 + \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } } } \\ & { = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \beta + \nu } } \left( 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \left( 1 + \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \beta + \nu } } \left( 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \left( 1 - \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } + \left( \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \right) ^ { 2 } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } + O \left( s ^ { 3 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \right) } \\ & { = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \beta + \nu } } \left( 1 + \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } - \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \right) s ^ { \alpha + \beta } + \left( \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } + \left( \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \right) s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } + O \left( s ^ { 3 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \right) } \\ & { = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \beta + \nu } } + \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } - \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \right) \frac { 1 } { s ^ { 1 + \nu - \alpha } } } \\ & { \quad + \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \left( \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } + \left( \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { s ^ { 1 - 2 \alpha - \beta + \nu } } + O \left( s ^ { - \left( 1 - \xi \right) } \right) , \quad \mathrm { w h e n } \quad s \rightarrow 0 , } \end{array}
\mu _ { G } ^ { 2 } ( B ) = \frac 3 4 ( M _ { B ^ { * } } ^ { 2 } - M _ { B } ^ { 2 } ) \approx 0 . 3 6 \, \mathrm { G e V } ^ { 2 } \, , \qquad \mu _ { G } ^ { 2 } ( \Lambda _ { b } ) = 0 \, ,
L _ { 2 } ( t ) = \frac { L _ { f } } { 1 + \gamma ^ { 2 } } \left[ \delta ( t ) + H ( t ) \left( \frac { 1 } { \tau } - \frac { 1 } { \tau ^ { \prime } } \right) e ^ { - t / \tau ^ { \prime } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathrm { A } } } & { = \chi _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e q } } - w \sqrt { \frac { 3 \beta + \sigma } { D } } \qquad \qquad \mathrm { a n d } } \\ { \chi _ { \mathrm { R } } ( \mu ) } & { = \chi _ { \mathrm { R } } ^ { \mathrm { e q } } + w \sqrt { \frac { 2 \sigma ( \mu / \mu _ { * } - 1 ) } { D } } \; , } \end{array}
\| \mathbf { x } _ { T } ( \boldsymbol { \Lambda } _ { T } ) - \mathbf { x } ^ { \ast } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \| _ { 2 } \le \| \mathbf { x } _ { T } ( \boldsymbol { \Lambda } _ { T } ) - \mathbf { x } ^ { \ast } ( \boldsymbol { \Lambda } _ { T } ) \| _ { 2 } + \| \mathbf { x } ^ { \ast } ( \boldsymbol { \Lambda } _ { T } ) - \mathbf { x } ^ { \ast } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \| _ { 2 } \to 0 ,
P ( \tilde { \mu } _ { R } - \tilde { \tau } _ { L } ) = \frac { 1 } { 2 } m _ { \tau } \mu \tan \beta \sin 2 \theta _ { R } \left( \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } } \right) \left( \frac { s _ { L } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { c _ { L } ^ { 2 } } { m _ { 3 } ^ { 2 } } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathrm { R e } { \phi } _ { A } ^ { k } { \phi } _ { B } ^ { - k } \right\rangle } & { \sim \frac { 1 } { \gamma q _ { k } ^ { 2 } } \frac { \delta - \kappa } { \beta } \frac { \epsilon } { L } \, , } \\ { \left\langle \vert { \phi } _ { A } ^ { k } \vert ^ { 2 } \right\rangle } & { \sim \frac { 1 } { \gamma q _ { k } ^ { 2 } } \frac { \epsilon } { L } \, , } \\ { \left\langle \vert { \phi } _ { B } ^ { k } \vert ^ { 2 } \right\rangle } & { \sim \frac { 1 } { \beta } \frac { \epsilon } { L } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { x } } & { = \langle \hat { j } _ { x } \rangle = ( 1 / 2 ) \sum _ { s } \left( \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \rangle \right) , } \\ { A _ { y } } & { = \langle \hat { j } _ { y } \rangle = ( i / 2 ) \sum _ { s } \left( \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \rangle \right) , } \\ { A _ { z } } & { = \langle \hat { j } _ { z } \rangle = ( 1 / 2 ) \sum _ { s } \left( 2 \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 2 } \rangle - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathrm { d e g } } ( } & { \overline { E } _ { n } ) + n \cdot r _ { n } A } \\ & { \leqslant \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( D , g ) \frac { n ^ { d + 1 } } { ( d + 1 ) ! } + \mathrm { v o l } ( D ) \frac { n ^ { d + 1 } } { d ! } A + O ( n ^ { d } ) + ( C + 1 / 2 ) \cdot r _ { n } \ln ( r _ { n } ) } \end{array}
\tilde { V } ( q ) = - \frac { 4 \pi C _ { F } \alpha _ { s } ( q ) } { q ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \alpha _ { s } ( q ) } { 4 \pi } \left[ \frac { 3 1 } { 3 } - \frac { 1 0 n _ { f } } { 9 } \right] + \ldots + \, \mathrm { c o n s t } \times \frac { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } + \ldots \right) .
I _ { \Psi } = - \int _ { { \cal M } _ { b } } d ^ { 5 } x \sqrt { - g } \left[ \frac { 1 } { 2 } g ^ { M N } \partial _ { M } \Psi \partial _ { N } \Psi + U ( \Psi ) \right] - \sum _ { \sigma = \pm } \int _ { \Sigma _ { \sigma } } d ^ { 4 } y _ { \sigma } \sqrt { - q _ { \sigma } } V _ { \sigma } ( \Psi _ { \sigma } )
\mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \otimes \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] = \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] \otimes \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] + \pmb { \mathscr { V } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } .
\begin{array} { r l r } & { } & { W ^ { p , p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \bar { F } ^ { p * } + F ^ { p } \bigr ) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) , } \\ & { } & { W ^ { p , v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \frac { \omega \rho _ { 0 } } { 2 } { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } _ { F } ) \bigl ( \bar { F } ^ { p * } - F ^ { p } \bigr ) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) , } \\ & { } & { W ^ { v , p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \frac { 1 } { 2 } \bigl ( - \bar { F } ^ { v * } + F ^ { v } \bigr ) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) , } \\ & { } & { W ^ { v , v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = - \frac { \omega \rho _ { 0 } } { 2 } { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } _ { F } ) \bigl ( \bar { F } ^ { v * } + F ^ { v } \bigr ) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textrm { d } ^ { 2 } S ( \rho ) } { \textrm { d } \rho ^ { 2 } } | _ { \rho = \Upsilon } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } ( s ( \rho ) ) | _ { \rho = \Upsilon } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 \ln 2 } \frac { \frac { \textrm { d } ^ { 2 } s ( \rho ) } { \textrm { d } \rho ^ { 2 } } s ( \rho ) - ( \frac { \textrm { d } s ( \rho ) } { \textrm { d } \rho } ) ^ { 2 } } { ( s ( \rho ) ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\theta _ { t + 1 } \leftarrow \theta _ { t } - \frac { \epsilon _ { t } } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \nabla _ { \theta } u \left( x _ { t i } , \hat { \phi } ( x _ { t i } ; \theta _ { t } ) , \nabla _ { x } \hat { \phi } ( x _ { t i } ; \theta _ { t } ) , \dots \right) } { q ( x _ { t i } ) } + \eta _ { t }
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \mathbb E ^ { \prime } \Phi \left( 2 \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W } \left[ ( P _ { n } ^ { \prime } - P _ { n } ) \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) - \frac { \sigma } 8 \left( \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H ^ { \prime } } ^ { 2 } + \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H } ^ { 2 } \right) \right] \right) } \\ & { = \mathbb E \mathbb E ^ { \prime } \mathbb E _ { \varepsilon } \Phi \left( 2 \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W } \left[ ( P _ { n } ^ { \prime } - P _ { n } ) \varepsilon \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) - \frac { \sigma } 8 \left( \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H ^ { \prime } } ^ { 2 } + \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H } ^ { 2 } \right) \right] \right) } \\ & { \leqslant \mathbb E \mathbb E _ { \varepsilon } \Phi \left( 4 \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W } \left[ P _ { n } \varepsilon \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) - \frac { \sigma } 8 \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H } ^ { 2 } \right] \right) , } \end{array}
\Delta S _ { b } ^ { \prime } = \int d ^ { D } x ~ h \Phi _ { b } ^ { \dagger } \left( T + \frac { 1 } { 2 } \stackrel { \sim } { V } + \frac { 1 } { 2 } V + \frac { 1 } { 2 } b \Phi _ { b } ^ { \dagger } \Phi _ { b } - \mu \right) \Psi _ { s } + c o n j .
u ( r , t ) = { \frac { G } { 4 \mu } } ( R ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) + [ \alpha F _ { 2 } + \beta ( F _ { 1 } - 1 ) ] { \frac { \cos \omega t } { \rho \omega } } + [ \beta F _ { 2 } + \alpha ( F _ { 1 } - 1 ) ] { \frac { \sin \omega t } { \rho \omega } }
M = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \delta E _ { \mathrm { M S } } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { m } { M } \left( - E _ { 0 } + K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 1 ) } \right) \ , } \\ { \delta E _ { \mathrm { M S } } ^ { ( 2 ) } } & { = \left( \frac { m } { M } \right) ^ { 2 } \left( E _ { 0 } - K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 1 ) } + K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 2 ) } \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { 3 } } & { \geq } & { - c k ^ { p } r ^ { - p } \iint _ { U _ { r } } \, \iint _ { B _ { r } \times B _ { r } } \lvert v - w \rvert ^ { - n - s p + p } \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } w \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \geq } & { - c k ^ { p } r ^ { - p } \iiint _ { Q _ { r } } \, \int _ { B _ { 2 r } ( w ) } \lvert v - w \rvert ^ { - n - s p + p } \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } w \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \geq } & { - c \lvert Q _ { r } \rvert r ^ { - s p } k ^ { p } . } \end{array}
\mathscr { E } \left\{ \Delta _ { 1 , 1 } \Delta _ { 1 , 4 } ^ { * } \right\} = \rho _ { b } \rho _ { k } \left( a _ { M } ^ { H } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) \Theta ^ { H } a _ { M } ^ { H } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) a _ { N } ^ { H } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) a _ { N } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) \right) \left( a _ { M } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) \Theta \right) \rho _ { k } \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } ^ { H } \Theta ^ { H } N \Theta
{ W } ( \mathbf { F } ) = \frac { \mu } { 2 } ( \mathrm { J } ^ { - 2 / 3 } I _ { 1 } - \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( \mathbf { I _ { d } } ) ) + \left( \frac { \lambda } { 2 } + \frac { \mu } { 3 } \right) * ( \mathrm { J } - 1 ) ^ { 2 }
{ \left( { { \bf { \bar { \Phi } } } \left( { { { \bf { X } } _ { j } } } \right) - { \bf { \bar { \Phi } } } \left( { { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } } \right) } \right) ^ { H } } \left( { { \bf { \bar { \Phi } } } \left( { { { \bf { X } } _ { j } } } \right) - { \bf { \bar { \Phi } } } \left( { { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } } \right) } \right)
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left( \Phi R - \frac { \omega } { \Phi } ( \partial \Phi ) ^ { 2 } + 1 6 \pi \Phi ^ { \sigma } { \cal L } _ { m _ { I } } + 1 6 \pi { \cal L } _ { m _ { V } } \right)
\begin{array} { r } { p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , b , c ) = p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , c ) p ( b | c ) = p ( c ) p ( a _ { 2 } | c ) p ( a _ { 1 } | a _ { 2 } ) p ( b | c ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( x , \boldsymbol { v } ) } & { { } = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 \pi ^ { 3 / 2 } } \frac { e ^ { - v ^ { 2 } / 2 } } { V _ { 0 } + \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 2 } ^ { 2 } } \Big [ c _ { 0 } + c _ { 1 } ( v _ { y } + Q _ { 1 } ) ^ { 2 } + c _ { 2 } ( v _ { z } + Q _ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { 4 \alpha \delta b ^ { j } | \sigma | ^ { 2 } } { 1 - 4 \alpha \delta b ^ { j } | \sigma | ^ { 2 } } } & { \leq ( 1 + \nu \delta ) \alpha \delta | \sigma | ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } b ^ { j } } \\ & { \leq ( 1 + \nu \delta ) \alpha \delta | \sigma | ^ { 2 } \frac { b } { 1 - b } = ( 1 + \nu \delta ) \frac { \alpha | \sigma | ^ { 2 } } { \nu } \leq ( 1 + \nu \delta _ { 0 } ) \frac { \alpha | \sigma | ^ { 2 } } { \nu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 1 1 } ^ { ( 4 ) } } & { = ( s _ { 4 } + s _ { 2 1 } ) \otimes 1 + ( s _ { 2 } + s _ { 3 } + s _ { 1 1 } ) \otimes s _ { 1 } + s _ { 1 } \otimes s _ { 2 } + s _ { 2 } \otimes s _ { 1 1 } , \hfill } \\ { \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 1 1 } ^ { ( 5 ) } } & { = \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 1 1 } ^ { ( 4 ) } + s _ { 1 } \otimes s _ { 1 1 } + 1 \otimes s _ { 2 1 } , } \\ { \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 1 1 } } & { = \overline { { \mathcal { E } } } _ { 2 1 1 } ^ { ( 5 ) } + s _ { 1 } \otimes s _ { 1 1 1 } ; } \end{array}
L _ { \nu _ { \alpha } } \simeq - { \frac { 1 } { 2 4 \zeta ( 3 ) } } \left[ \pi ^ { 2 } ( \tilde { \mu } _ { \alpha } - \tilde { \mu } _ { \overline { { { \alpha } } } } ) - 6 ( \tilde { \mu } _ { \alpha } ^ { 2 } - \tilde { \mu } _ { \overline { { { \alpha } } } } ^ { 2 } ) \ln 2 + ( \tilde { \mu } _ { \alpha } ^ { 3 } - \tilde { \mu } _ { \overline { { { \alpha } } } } ^ { 3 } ) \right] .
\left( \frac { 2 i \, \rho } { z - \bar { z } } \right) ^ { 2 \sigma } \, \int \, d \mu ( G ) \, ( ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } + 2 ) - \nu ^ { 2 } ( c ^ { 2 } + d ^ { 2 } ) ) ^ { - 2 \sigma } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( E _ { c } , b ) \approx ~ } & { \frac { n _ { r } ( E _ { c } , b ) } { n _ { t } ( E _ { c } , b ) } \pm } \\ & { \frac { \sqrt { n _ { r } ( E _ { c } , b ) } } { n _ { t } ( E _ { c } , b ) } \sqrt { \frac { n _ { t } ( E _ { c } , b ) - n _ { r } ( E _ { c } , b ) } { n _ { t } ( E _ { c } , b ) } } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \theta } \left( x _ { 0 : T } \right) } & { { } = p \left( x _ { T } \right) \prod _ { t = 1 } ^ { T } p _ { \theta } \left( x _ { t - 1 } | x _ { t } \right) , } \\ { p _ { \theta } \left( x _ { t - 1 } | x _ { t } \right) } & { { } = \mathcal { N } \left( x _ { t - 1 } ; \ \mu _ { \theta } \left( x _ { t } , t \right) , { { \Sigma } _ { \theta } } ( { { x } _ { t } } , t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \sigma \partial _ { \sigma } ) ^ { m } \widetilde { L } _ { 1 0 } ^ { e } ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad = - \sum _ { j + k = m } \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , i \big ( \check { \mathcal { L } } _ { b } ^ { ( k ) } ( \sigma ) \big ) ^ { * } \Big ( ( \sigma \partial _ { \sigma } ) ^ { j } \big ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) \Big ) ^ { * } \big ( I - ( \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) ^ { * } V _ { b } ^ { * } \big ) ( \check { g } _ { 2 } ^ { * } , \check { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad \quad + \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \frac { 1 } { 2 } ( \check { \mathcal { L } } _ { b } ^ { ( m ) } ( \sigma ) ) ^ { * } ( \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ) ^ { * } ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { P r } _ { \gamma _ { X _ { j } } \sim \mathcal { U } [ 0 , 1 ] } \left\{ X _ { j } = 1 | { \it d o } ( X _ { i } = 1 ) , \boldsymbol { \gamma } _ { - X _ { j } } , \varepsilon \right\} - \operatorname* { P r } _ { \gamma _ { X _ { j } } \sim \mathcal { U } [ 0 , 1 ] } \left\{ X _ { j } = 0 | { \it d o } ( X _ { i } = 0 ) , \boldsymbol { \gamma } _ { - X _ { j } } , \varepsilon \right\} \geq \kappa \theta _ { \operatorname* { m i n } } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \theta ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { - \, \frac { t ^ { \prime } } { 2 } \; + \; \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { d z } { \sec \phi - \tan \phi \; \cos z } } \end{array}
\begin{array} { r } { n ( \mathbf { r } ) = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { k } } \omega _ { k } \Bigg [ \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s t o } } } \left| \left\langle \mathbf { r } \left| \sqrt { f \left( \hat { H } _ { \mathrm { D F T } } , \mu , T \right) } \right| \chi _ { n k } \right\rangle \right| ^ { 2 } } \\ { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { K S } } } f \left( \varepsilon _ { i k } , \mu , T \right) \left| \phi _ { i k } ( \mathbf { r } ) \right| ^ { 2 } \Bigg ] , } \end{array}
f _ { _ { \kappa } } ( x ) = ( 1 + \kappa \nu ) ( 2 \kappa ) ^ { \nu } { \frac { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } } { \frac { \alpha \beta ^ { \nu } } { \Gamma { \big ( } \nu { \big ) } } } x ^ { \alpha \nu - 1 } \exp _ { \kappa } ( - \beta x ^ { \alpha } )
\begin{array} { r l } { \mu ( \beta _ { 1 } ^ { 0 } + v , \beta _ { 2 } ^ { 0 } ) - \sigma ^ { 2 } = \Bigg | } & { \sqrt { P } \bigg ( \frac { \sqrt { F } \lambda e ^ { - j k _ { 0 } d _ { 0 } } } { 4 \pi d _ { 0 } } \bigg ) L _ { x } L _ { y } } \\ & { \times \mathrm { s i n c } \bigg ( K _ { y } ( \alpha _ { 2 } - \beta _ { 2 } ^ { 0 } ) \bigg ) \Bigg | ^ { 2 } . } \end{array}
\left( \left( \boldsymbol { \Xi } _ { j } \right) _ { 1 } , \left( \boldsymbol { \Xi } _ { j } ^ { \prime } \right) _ { 1 } \right) , \left( \left( \boldsymbol { \Xi } _ { j } \right) _ { 2 } , \left( \boldsymbol { \Xi } _ { j } ^ { \prime } \right) _ { 2 } \right) , \ldots , \left( \left( \boldsymbol { \Xi } _ { j } \right) _ { d } , \left( \boldsymbol { \Xi } _ { j } ^ { \prime } \right) _ { d } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \sum _ { i , j } \frac { u _ { i , j } ^ { 2 } } { 2 } \Delta x \Delta y = } & { { } \Delta y \sum _ { i , j } f _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { x } ( u _ { i + 1 , j } - u _ { i , j } ) } \\ { + } & { { } \Delta x \sum _ { i , j } f _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { y } ( u _ { i , j + 1 } - u _ { i , j } ) \le 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s _ { u v } } & { { } = } & { \frac { 2 ( M - 1 ) \epsilon - M \epsilon ^ { 2 } } { 1 - 2 \epsilon + M \epsilon ^ { 2 } } \approx \frac { 2 ( M - 1 ) \epsilon } { 1 - 2 \epsilon } = O ( M \epsilon ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F _ { 1 } } [ \mathcal { N } _ { 1 } ] } & { = \mathbf { F _ { 0 } } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] + \mathbf { A } [ \mathcal { N } _ { 1 } ] - \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \mathcal { N } _ { 1 } ] } \\ & { = \mathbf { F _ { 0 } } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] + \mathbf { A } [ \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } ] - \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \mathcal { N } _ { 1 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \phi _ { 1 } ] - \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \phi _ { 1 } ] } \\ & { = \mathbf { F _ { 0 } } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] + \mathbf { A } [ \phi _ { 1 } ] - \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \phi _ { 1 } ] - \mathbf { A } [ \phi _ { 2 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \mathcal { N } _ { 1 } ] - \mathbf { B } [ \mathcal { N } + \phi _ { 1 } ] } \\ & { = - \mathbf { A } [ \phi _ { 2 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \mathcal { N } _ { 1 } ] - \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \phi _ { 1 } ] } \\ & { = - \mathbf { A } [ \phi _ { 2 } ] + \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \mathcal { N } _ { 1 } ] - \mathbf { B } [ \mathcal { N } _ { 0 } + \mathcal { N } _ { 1 } + \phi _ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { N } ^ { V , P } \left( d ( \hat { \mu } _ { N } , \mu _ { P } ) > r \right) \leqslant \mathbb { P } _ { N } ^ { V , P } \left( \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } D ^ { 2 } ( \widetilde { \mu } _ { N } , \mu _ { P } ) > ( r - N ^ { - 2 } ) ^ { 2 } \right) } & { \leqslant \mathbb { P } _ { N } ^ { V , P } \left( \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } D ^ { 2 } ( \widetilde { \mu } _ { N } , \mu _ { P } ) > r ^ { 2 } / 4 \right) \, , } \end{array}