harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f ( z ) } & { = \frac { 1 } { 8 6 4 } \cdot \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 6 } ( E _ { 4 } ^ { 3 } - E _ { 6 } ^ { 2 } ) \phi _ { 0 } ( z ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 8 } ( E _ { 2 } E _ { 4 } - E _ { 6 } ) ^ { 2 } , } \\ { \widetilde { f } ( z ) } & { = - \frac { 1 } { 8 6 4 } \cdot \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 6 } ( E _ { 4 } ^ { 3 } - E _ { 6 } ^ { 2 } ) z ^ { 2 } \phi _ { 0 } ( - 1 / z ) } \\ & { = - \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 8 } ( E _ { 2 } E _ { 4 } - E _ { 6 } ) ^ { 2 } z ^ { 2 } + \frac { 2 \pi i } { 3 } E _ { 4 } ( E _ { 2 } E _ { 4 } - E _ { 6 } ) z + 2 E _ { 4 } ^ { 2 } , } \\ { g ( z ) } & { = - \frac { 1 } { 8 6 4 } ( E _ { 4 } ^ { 3 } - E _ { 6 } ^ { 2 } ) z ^ { 2 } \psi _ { I } ( - 1 / z ) = \theta _ { 2 } ^ { 8 } ( \theta _ { 3 } ^ { 1 2 } + \theta _ { 2 } ^ { 4 } \theta _ { 3 } ^ { 8 } + \theta _ { 2 } ^ { 4 } \theta _ { 4 } ^ { 8 } - \theta _ { 4 } ^ { 1 2 } ) . } \\ { \widetilde { g } ( z ) } & { = \frac { 1 } { 8 6 4 } ( E _ { 4 } ^ { 3 } - E _ { 6 } ^ { 2 } ) \psi _ { I } ( z ) = \theta _ { 4 } ^ { 8 } ( \theta _ { 3 } ^ { 1 2 } + \theta _ { 4 } ^ { 4 } \theta _ { 3 } ^ { 8 } + \theta _ { 2 } ^ { 8 } \theta _ { 4 } ^ { 4 } - \theta _ { 2 } ^ { 1 2 } ) , } \end{array}
{ \cal S } = \left[ \begin{array} { c c c c c } { - p / 2 } & { 1 + p / 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { p / 2 } & { - p / 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - p / 2 } & { 1 + p / 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - p / 2 } & { 1 + p / 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { p / 2 } & { - 1 - p / 2 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \ ,
\left( \begin{array} { l } { { \sigma _ { 0 } ^ { ( \mathrm { o p ) } } } } \\ { { \pi _ { 0 } ^ { ( \mathrm { o p ) } } } } \end{array} \right) = - { \frac { \mu ^ { 2 } } { N } } \left( m _ { \mathrm { Z M } } ^ { 2 } - \partial _ { \bot } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } \left[ : \bar { \Psi } _ { M } ^ { a } \left( \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { i \gamma _ { 5 } } } \end{array} \right) \Psi _ { M } ^ { a } : \right] _ { 0 } ,
{ \sigma } ( x ) = \rho _ { 2 } u _ { 2 } ( x , \zeta ( x ) ) - \rho _ { 1 } u _ { 1 } ( x , \zeta ( x ) ) + \zeta _ { x } ( x ) ( \rho _ { 2 } w _ { 2 } ( x , \zeta ( x ) ) - \rho _ { 1 } w _ { 1 } ( x , \zeta ( x ) ) ) \, ,
\begin{array} { r l r l r l r } { { 4 } } & { X _ { 1 } = Y \partial _ { Z } - Z \partial _ { Y } , \qquad } & & { X _ { 2 } = Z \partial _ { X } - X \partial _ { Z } , \qquad } & & { X _ { 3 } = X \partial _ { Y } - Y \partial _ { X } , } & \\ & { Y _ { 1 } = X \partial _ { W } + W \partial _ { X } , \qquad } & & { Y _ { 2 } = Y \partial _ { W } + W \partial _ { Y } , \qquad } & & { Y _ { 3 } = Z \partial _ { W } + W \partial _ { Z } . } & \end{array}
S _ { g } ^ { e f f } = \int d ^ { 4 } x \left\{ \int d ^ { 2 } \theta d ^ { 2 } \bar { \theta } \frac 1 { g ^ { 2 } } \bar { A } _ { D } A _ { D } + \int d ^ { 2 } \theta \frac 1 { 4 g ^ { 2 } } W _ { D } ^ { 2 } + c . c . \right\} ,
\frac { d \Gamma } { d z } = \Gamma _ { \! 0 } \left\{ { \cal A } \delta ( 1 + \varepsilon - z ) + \frac { 1 } { ( 2 m ) ^ { 2 } } \left[ { \cal B } _ { 0 } \delta ( 1 + \varepsilon - z ) + { \cal B } _ { 1 } \delta ^ { \prime } ( 1 + \varepsilon - z ) + { \cal B } _ { 2 } \delta ^ { \prime \prime } ( 1 + \varepsilon - z ) \right] \right\} .
\frac { \hat { m } _ { 0 } ( R , t ) } { \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { t } ^ { 2 } \mathcal { N } ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) } = \frac { 2 \chi } { 3 \psi ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) } f \left( \sqrt { R } , 3 , \frac { 4 \chi } { \psi ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) } \right) , \quad R = \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { t } ^ { 2 } ( 1 - r )
\begin{array} { r l r } { B _ { 5 1 } ( t ) } & { = } & { \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j \neq i } \xi _ { i j } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } \\ & { } & { + \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j \neq i } \Big [ \frac { \partial } { \partial \eta ( t ) ^ { \top } } \xi _ { i j } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) \Big ] \{ \widehat { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \} , } \\ { B _ { 5 2 } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } \Big [ ( \widehat { \eta } _ { k , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { k } ^ { * } ( t ) ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j \neq i } \frac { \partial ^ { 2 } \xi _ { i j } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } { \partial \eta _ { k } ( t ) \partial \eta ( t ) ^ { \top } } \times \{ \widehat { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \} \Big ] , } \\ { B _ { 5 3 } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 6 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 n - 1 } \Bigg \{ ( \widehat { \eta } _ { k , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { k } ^ { * } ( t ) ) ( \widehat { \eta } _ { l , \gamma ^ { * } } ^ { * } ( t ) - \eta _ { l } ^ { * } ( t ) ) } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ \times \Big [ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j \neq i } \frac { \partial ^ { 3 } \xi _ { i j } ( \bar { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } { \partial \eta _ { k } ( t ) \partial \eta _ { l } ( t ) \partial \eta ( t ) ^ { \top } } \Big ] \{ \widehat { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \} \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { \mu } \equiv \frac { \rho u _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } l _ { \mathrm { ~ e ~ } } } { \rho u _ { \infty } ^ { 2 } c _ { \mathrm { ~ h ~ } } } , \qquad u _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } l _ { \mathrm { ~ e ~ } } \equiv l _ { \mathrm { ~ b ~ } } \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \left( \frac { \mathrm { d } L ( t ) } { \mathrm { d } t } \right) = 2 \pi l _ { \mathrm { ~ b ~ } } A F ^ { + } , } \end{array}
\hat { A } _ { n } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 m } } \left( \hat { p } + \frac { i \hbar ( n + 1 ) } { \hat { q } } - i m \omega \hat { q } \right) , ~ ~ E _ { n } ^ { \prime } = \hbar \omega \left( 2 n + \frac { 3 } { 2 } \right) ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \hat { H } _ { n } ^ { a u x ~ ^ { \prime } } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { \hbar ^ { 2 } n ( n + 1 ) } { 2 m \hat { q } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \hat { q } ^ { 2 } + n \hbar \omega .
\begin{array} { r l } { D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } & { \geqslant C \Big [ \frac { ( 1 - t ) ^ { 2 } } { 2 } - t ^ { 2 } \| f _ { 2 } \| _ { \textnormal { \tiny { L i p } } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) + t \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] } \\ & { \geqslant C \Big [ \frac { ( 1 - t ) ^ { 2 } } { 2 } + \big ( 1 - t r ^ { 2 } \big ) t \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { x } ( x , y ) } & { { } = \alpha _ { x x } \bigg [ \cosh \bigg ( \frac { x } { \Lambda _ { + } } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \pm } } \bigg ) \bigg ] + \cosh \bigg ( \frac { y } { \Lambda _ { \pm } } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { + } } \bigg ) \bigg ] \bigg ] , } \\ { m _ { y } ( x , y ) } & { { } = \alpha _ { y y } \bigg [ \cosh \bigg ( \frac { x } { \Lambda _ { \mp } } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { - } } \bigg ) \bigg ] + \cosh \bigg ( \frac { y } { \Lambda _ { - } } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \mp } } \bigg ) \bigg ] \bigg ] , } \end{array}
F _ { \Delta \alpha } = \phi * B _ { 1 } = \frac { 3 } { 4 } D \frac { 1 } { \left( \frac { p } { p ^ { * } } + \frac { p ^ { * } } { p } \right) } a ( \overline { { T _ { s } } } - T _ { i } ) \Delta \alpha
\begin{array} { r l } { \Dot { u } _ { x } } & { = c _ { L } v ^ { 2 } \cos ( \mu ) \sin ( \gamma ) \cos ( \psi ) - c _ { L } v ^ { 2 } \sin ( \mu ) \sin ( \psi ) - c _ { D } v ^ { 2 } \cos ( \gamma ) \cos ( \psi ) , } \\ { \Dot { u } _ { y } } & { = c _ { L } v ^ { 2 } \cos ( \mu ) \sin ( \gamma ) \sin ( \psi ) + c _ { L } v ^ { 2 } \sin ( \mu ) \cos ( \psi ) - c _ { D } v ^ { 2 } \cos ( \gamma ) \sin ( \psi ) , } \\ { \Dot { u } _ { z } } & { = c _ { L } v ^ { 2 } \cos ( \mu ) \cos ( \gamma ) + c _ { D } v ^ { 2 } \sin ( \gamma ) - 1 , } \\ { \Dot { \vec { r } } } & { = \mathbf { u } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u ^ { ( h ) } - u _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega ) } = \| u ^ { ( h ) } - u _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega \cap \varOmega _ { h } ) } } & { \leqslant C \ell _ { h } \| u - I _ { h } u \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } + C \ell _ { h } h ^ { r + 1 } \| f \| _ { L ^ { p } ( \varOmega ^ { t } ) } . } \end{array}
v - \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \arctan ( \frac { b _ { 1 } v } { b _ { 1 } u + b _ { 2 } } ) - \pi b _ { 1 } - \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \pi \theta ( - b _ { 1 } u - b _ { 2 } ) = 0 , \ v > 0 ,
\begin{array} { r l } { \check { \varepsilon } _ { i j } ^ { \mathrm { E V } } } & { { } = 2 \left< \widetilde { \nu ^ { \mathrm { s g s } } \overline { { s } } _ { i \ell } } ( \tilde { \partial } _ { \ell } \tilde { \overline { { u } } } _ { j } ^ { \prime } ) ^ { * } + \widetilde { \nu ^ { \mathrm { s g s } } \overline { { s } } _ { j \ell } } ( \tilde { \partial } _ { \ell } \tilde { \overline { { u } } } _ { i } ^ { \prime } ) ^ { * } \right> , } \\ { \check { \xi } _ { i j } ^ { \mathrm { A R } } } & { { } = \left< \tilde { \tau } _ { i \ell } ^ { \mathrm { a n i } } ( \tilde { \partial } _ { \ell } \tilde { \overline { { u } } } _ { j } ^ { \prime } ) ^ { * } + \tilde { \tau } _ { j \ell } ^ { \mathrm { a n i } } ( \tilde { \partial } _ { \ell } \tilde { \overline { { u } } } _ { i } ^ { \prime } ) ^ { * } \right> . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { * } ( c \omega ) } & { { } = c ( f ^ { * } \omega ) , } \\ { f ^ { * } ( \omega + \eta ) } & { { } = f ^ { * } \omega + f ^ { * } \eta , } \\ { f ^ { * } ( \omega \wedge \eta ) } & { { } = f ^ { * } \omega \wedge f ^ { * } \eta , } \\ { f ^ { * } ( d \omega ) } & { { } = d ( f ^ { * } \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { n } } & { { } = { \sqrt { { \frac { 2 \epsilon _ { s } } { q } } { \frac { N _ { a } } { N _ { d } } } { \frac { 1 } { N _ { a } + N _ { d } } } ( \Delta V ) } } } \\ { x _ { p } } & { { } = { \sqrt { { \frac { 2 \epsilon _ { s } } { q } } { \frac { N _ { d } } { N _ { a } } } { \frac { 1 } { N _ { a } + N _ { d } } } ( \Delta V ) } } } \end{array}
Z = \prod _ { i j } \sum _ { A _ { i j } ^ { \prime } = 0 } ^ { 1 } e ^ { - \beta H [ \mathbf { A ^ { \prime } } ] } = \prod _ { i j } \left( 1 + e ^ { - \beta ( 1 - \mathbf { v } _ { i } \cdot \mathbf { v } _ { j } ) } \right) ,
\operatorname* { m i n } _ { d \in \left[ \frac { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } , \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \right] } \left( h ( d ) + \mu \left( d + \frac { \alpha _ { 0 } d } { 2 \varepsilon _ { 0 } } - 2 \alpha _ { 0 } \sqrt { d } \right) \right) = h ( \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } ) - \mu \varepsilon _ { 0 } \left( \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } + \frac { 3 \varepsilon _ { - } } { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { y } ( x , w ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { ( w - u ) \sin { ( \beta ) } } { \left( \left( x - v \right) ^ { 2 } + \left( w - u \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \operatorname { T r } \left[ d \mathbf { A } \wedge d \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } + { \frac { 3 } { 2 } } d \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } + { \frac { 3 } { 5 } } \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \right] } \end{array}
{ \sigma } _ { a b } = - \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { b } q _ { d c } } \nabla _ { a } q _ { d c } + q _ { a c } h _ { c b } - q _ { b c } h _ { c a } + 2 \widetilde { \eta } { d } _ { a b } ^ { \mathrm { d e v } } + \widetilde { \beta } h _ { a b } + \widetilde { \lambda } { q } _ { a b } - P \delta _ { a b } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { U w ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { q } _ { 1 } ) \otimes w ( \vec { p } _ { 2 } , \vec { q } _ { 2 } ) U ^ { \dag } } \\ & { = } & { w ( g _ { 0 0 } \vec { p } _ { 1 } + g _ { 0 1 } \vec { p } _ { 2 } , N g _ { 1 1 } \vec { q } _ { 1 } - N g _ { 1 0 } \vec { q } _ { 2 } ) \otimes w ( g _ { 1 0 } \vec { p } _ { 1 } + g _ { 1 1 } \vec { p } _ { 2 } , - N g _ { 0 1 } \vec { q } _ { 1 } + N g _ { 0 0 } \vec { q } _ { 2 } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \tau \in S _ { n } : \tau ( i ) = j } \operatorname { s g n } \tau \, b _ { 1 , \tau ( 1 ) } \cdots b _ { n , \tau ( n ) } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { \sigma \in S _ { n - 1 } } ( - 1 ) ^ { i + j } \operatorname { s g n } \sigma \, b _ { i j } a _ { 1 , \sigma ( 1 ) } \cdots a _ { n - 1 , \sigma ( n - 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { n } ( \theta , \theta _ { * } ) + \bar { D } _ { n } ( \theta , \theta _ { * } ) } & { \leq \tilde { c } _ { 1 } \| \theta - \theta _ { * } \| \tilde { M } _ { n } / \sqrt { n } - \rho \eta _ { 1 } \| \theta - \theta _ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { = \{ \tilde { c } _ { 1 } \tilde { M } _ { n } / ( \| \theta - \theta _ { * } \| \sqrt { n } ) - \rho \eta _ { 1 } \} \| \theta - \theta _ { * } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\oint \frac { d \theta } { \dot { \theta } } \hat { H } ( P _ { \phi } , \theta ) = \oint \frac { d \theta } { \dot { \theta } } H ( \bar { \psi } + \delta \tilde { \psi } , \theta ) = \oint \frac { d \theta } { \dot { \theta } } e ^ { i Q } H ( \bar { \psi } , \theta )
{ \cal G } _ { k } \equiv \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 9 } \left\{ M _ { k } + { \overline { { M } } _ { k } } - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \delta _ { i } ^ { k } \ln ( T _ { i } + { \overline { { { T _ { i } } } } } ) \right\} = 0
\begin{array} { r l } { { ^ { 1 } { \Gamma } _ { p q } ^ { ( 2 ) } } } & { = \sum _ { i } \, \frac { \eta _ { p } \, \eta _ { q } \, \nu _ { i } - \nu _ { p } \, \nu _ { q } \, \eta _ { i } } { ( \epsilon _ { p } - \epsilon _ { i } ) \, ( \epsilon _ { q } - \epsilon _ { i } ) } \; G _ { p i } \; G _ { i q } + \mathcal { \hat { P } } _ { p q } ^ { \dagger } \sum _ { i } \, \frac { \eta _ { q } \, \nu _ { p } \, \nu _ { i } - \nu _ { q } \, \eta _ { p } \, \eta _ { i } } { \epsilon _ { q } - \epsilon _ { i } } \; \frac { G _ { p i } \; G _ { i q } } { \epsilon _ { p } - \epsilon _ { q } } } \\ & { \quad + \sum _ { i j } \, \frac { \nu _ { p } - \nu _ { q } } { \epsilon _ { p } - \epsilon _ { q } } \; \frac { \nu _ { i } - \nu _ { j } } { \epsilon _ { i } - \epsilon _ { j } } \; G _ { i j } \; \mathfrak { g } _ { j p i q } + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \hat { P } } _ { p q } ^ { \dagger } \sum _ { i j k } \, \frac { \eta _ { q } \, \nu _ { p } \, \nu _ { i } \, \nu _ { j } \, \eta _ { k } - \nu _ { q } \, \eta _ { p } \, \eta _ { i } \, \eta _ { j } \, \nu _ { k } } { \epsilon _ { q } + \epsilon _ { k } - \epsilon _ { i } - \epsilon _ { j } } \; \frac { \mathfrak { g } _ { k p i j } \; \mathfrak { g } _ { i j k q } } { \epsilon _ { p } - \epsilon _ { q } } } \\ & { \quad + \, 2 \, ( \eta _ { p } \, \eta _ { q } - \nu _ { p } \, \nu _ { q } ) \sum _ { i j k } \, { ^ { 2 } { \mathfrak { G } } _ { i p j k } ^ { ( 1 ) } } \, { ^ { 2 } { \mathfrak { G } } _ { j k i q } ^ { ( 1 ) } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( \mathbb { E } ( \widehat { T } _ { 1 } ) \big ) ^ { - 1 } } & { \; = \; \left[ \frac { \widehat { y } _ { - } ^ { \prime } + \mathbb { E } ( \chi ) } { \mathbb { E } ( \chi ) \mathbb { P } \big ( \big \{ \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big \} \big ) } \, + \, \frac { \widehat { y } _ { + } ^ { \prime } - \widehat { y } _ { - } ^ { \prime } } { \mathbb { E } ( \chi ) } \, + \, 2 \right] ^ { - 1 } } \\ & { \; = \; \left[ \left( 1 + \frac { C _ { 0 } \, \widehat { y } _ { - } ^ { \prime } } { \mathbb { E } ( \log ( \kappa _ { 0 } ) ) } \right) \, \frac { e ^ { C _ { 0 } \nu \widehat { y } _ { + } ^ { \prime \prime } } - e ^ { C _ { 0 } \nu \widehat { y } _ { - } ^ { \prime \prime } } } { 1 - e ^ { C _ { 0 } \nu \widehat { y } _ { - } ^ { \prime \prime } } } \, + \, \frac { C _ { 0 } \, ( \widehat { y } _ { + } ^ { \prime } - \widehat { y } _ { - } ^ { \prime } ) } { \mathbb { E } ( \log ( \kappa _ { 0 } ) ) } \, + \, 2 \right] ^ { - 1 } \, , } \end{array}
\left| \psi \right\rangle = \left| \psi _ { 0 } \right\rangle e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } \int d t ^ { \prime } U ( z , t ^ { \prime } ) } = \left| \psi _ { 0 } \right\rangle e ^ { - { \frac { i } { 2 \delta } } \omega _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } \tau } e ^ { { \frac { i } { 2 \delta } } \omega _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } \tau \cos ( 2 k z ) } ,
\begin{array} { r l r } { P _ { t } } & { \equiv } & { m _ { o } c \gamma + \frac { q } { c } \Phi + 2 \frac { q } { c } \overline { { A } } _ { t } ^ { ( R R ) } ( r ) , } \\ { P _ { z } } & { \equiv } & { m _ { o } \gamma v _ { z } + \frac { q } { c } A _ { z } + 2 \frac { q } { c } \overline { { A } } _ { z } ^ { ( R R ) } ( r ) . } \end{array}
\Delta \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = \rho _ { \sigma , \mathrm { ~ F ~ E ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma , \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, ,
\begin{array} { r l r l } { \arcsin ( x ) } & { { } { } = \int _ { 0 } ^ { x } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } \, d z \; , } & { | x | } & { { } { } \leq 1 } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( x ) } & { { } { } = \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } \, d z \; , } & { | x | } & { { } { } \leq 1 } \\ { \arctan ( x ) } & { { } { } = \int _ { 0 } ^ { x } { \frac { 1 } { z ^ { 2 } + 1 } } \, d z \; , } \\ { \operatorname { a r c c o t } ( x ) } & { { } { } = \int _ { x } ^ { \infty } { \frac { 1 } { z ^ { 2 } + 1 } } \, d z \; , } \\ { \operatorname { a r c s e c } ( x ) } & { { } { } = \int _ { 1 } ^ { x } { \frac { 1 } { z { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } } \, d z = \pi + \int _ { x } ^ { - 1 } { \frac { 1 } { z { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } } \, d z \; , } & { x } & { { } { } \geq 1 } \\ { \operatorname { a r c c s c } ( x ) } & { { } { } = \int _ { x } ^ { \infty } { \frac { 1 } { z { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } } \, d z = \int _ { - \infty } ^ { x } { \frac { 1 } { z { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } } \, d z \; , } & { x } & { { } { } \geq 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } _ { L } } & { : = g _ { L } ( \mathbf { x } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } _ { L } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } ) = g _ { d } \left( g _ { e } ( \mathbf { x } ) \right) } \\ { \mathbf { y } _ { H } } & { : = g _ { H } ( \mathbf { x } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } _ { H } ) = g _ { d } \left( g _ { e } ( \mathbf { x } ) \otimes \left( 1 + d _ { f } \pmb { \lambda } \right) \right) } \end{array} .
\alpha ^ { \prime } R \approx \frac { 1 } { g _ { \mathrm { e f f } } } \sim \frac { 1 } { \sqrt { \tilde { g } \tilde { b } u } } \sim \frac { 1 } { ( a u ) ^ { 1 / 2 } { \hat { g } } ^ { 2 / 3 } } .
\begin{array} { r l } { S _ { N } ( \alpha ) - S _ { N ^ { ( i ) } } ( \alpha ) = \sum _ { \ell = s } ^ { s + k m - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell + 1 } b _ { \ell } ( N ) \bigg ( } & { \frac { b _ { \ell } ( N ) ( q _ { \ell + i m } \| q _ { \ell + i m } \alpha \| - q _ { \ell } \| q _ { \ell } \alpha \| ) } { 2 } } \\ & { + \sum _ { j = s } ^ { \ell - 1 } b _ { j } ( N ) ( q _ { j + i m } \| q _ { \ell + i m } \alpha \| - q _ { j } \| q _ { \ell } \alpha \| ) } \\ & { + \frac { \| q _ { \ell + i m } \alpha \| - \| q _ { \ell } \alpha \| } { 2 } \bigg ) . } \end{array}
\frac { c _ { 0 } } { 4 } \frac { \log \alpha ^ { - 1 } } { \log \epsilon _ { 0 } ^ { - 1 } } \approx \frac { c _ { 0 } } { 4 } ( k - 1 ) \lesssim _ { \eta } \sum _ { l = 1 } ^ { k - 1 } \iint _ { U _ { Q _ { i } ^ { l } , \eta ^ { 3 } } } | \nabla \Phi ( X ) | \delta ( X ) ^ { - n } \, d X \lesssim _ { \eta } \iint _ { \Gamma _ { Q _ { i } ^ { l } } ^ { \eta } ( y ) } | \nabla \Phi ( X ) | \delta ( X ) ^ { - n } \, d X ,
\begin{array} { r l r } { \eta } & { = } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \alpha \mathcal { F } \left[ e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \right] \mathcal { F } \left[ \mathrm { s i n c } \left( W _ { L } x \right) \right] \right) ^ { 2 } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \beta \mathcal { F } \left[ e ^ { - \frac { y ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \right] \mathcal { F } \left[ \mathrm { s i n c } \left( y \right) \right] \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { y 1 } } & { = \int _ { 0 } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x - \frac { 1 } { m L } \int _ { 0 } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, x \, \mathrm { d } x } \\ { B _ { y 1 } } & { = \frac { 1 } { m L } \int _ { 0 } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, x \, \mathrm { d } x } \\ { A _ { y 2 } } & { = A _ { y 1 } \pm \bigg ( 1 - \frac { 1 } { 2 m } \bigg ) R L } \\ { B _ { y 2 } } & { = B _ { y 1 } \pm \bigg ( \frac { 1 } { 2 m } \bigg ) R L } \end{array}
\xi _ { 0 } = | \frac { \partial R _ { 0 } ^ { ( 0 ) } } { \partial I } | _ { G _ { 0 } , \rho _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } \leq | \frac { \partial R _ { 0 } ^ { ( 0 ) } } { \partial I } | _ { G _ { 0 } , \rho _ { 2 } - \rho _ { 2 } / 2 } \leq \frac { 1 } { \rho _ { 2 } / 2 } \| R _ { 0 } \| _ { G , \rho } \leq \frac { 2 \varepsilon } { \rho _ { 2 } } \leq \frac { \varepsilon } { \rho _ { 2 } ^ { ( 0 ) } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ F ( x _ { k + 1 } ) - F ( x _ { k } ) | \mathcal { F } _ { k } ] \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } \cdot 3 C _ { \lambda } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { - 2 } + 3 \xi \alpha _ { k } l _ { g , 1 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \| z _ { k + 1 } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } + 6 \xi \alpha _ { k } l _ { g , 1 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { \xi ^ { 2 } l _ { F , 1 } } { 2 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
A _ { \mathrm { \ r h o } } ( \rho _ { \mathrm { D M } } ) = \log _ { 1 0 } \left( \frac { \rho _ { \mathrm { D M } } } { \bar { \rho } _ { \mathrm { D M } } } \right) = \log _ { 1 0 } ( 1 + \delta _ { \mathrm { D M } } ) \; .
\delta \phi \partial _ { \sigma } \phi + \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 \phi } \left( \delta \gamma ( \partial _ { \sigma } + i \partial _ { \tau } ) \bar { \gamma } + ( \partial _ { \sigma } - i \partial _ { \tau } ) \gamma \delta \bar { \gamma } \right) = 0 .
H = - \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \boldsymbol { \nabla } _ { 1 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \nabla } _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) + \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { 2 } \bigl ( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) + \delta _ { \mathrm { { r e g } } } ( \vec { r } _ { 1 2 } ) \quad
\mathrm { s u ~ * ~ ( 4 ) } \, = \, \left\{ \left( \begin{array} { c c } { { A _ { 1 } } } & { { A _ { 2 } } } \\ { { A _ { 3 } } } & { { A _ { 4 } } } \end{array} \right) \, \right| \left. \vphantom { \left( \begin{array} { c } { { A _ { 1 } } } \\ { { A _ { 3 } } } \end{array} \right) } \, A _ { 1 } , \ldots , A _ { 4 } \in \mathrm { \bf ~ C } _ { 2 \times 2 } \right\}
\begin{array} { r l } { L _ { a } ( t ) } & { { } = E _ { x g } \eta _ { a } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { t } | c _ { j e a } ( t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d t ^ { \prime } , } \\ { L _ { b } ( t ) } & { { } = E _ { x g } \eta _ { b } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { t } | c _ { j e b } ( t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d t ^ { \prime } , } \\ { L _ { c } ( t ) } & { { } = \eta _ { c } \int _ { 0 } ^ { t } p ( t ^ { \prime } ) ^ { 2 } d t ^ { \prime } , } \\ { Y _ { b } ( t ) } & { { } = \frac { L _ { b } } { L _ { a } + L _ { b } + L _ { c } } , } \end{array}