harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
b \left( r _ { 0 } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \alpha - 1 } } & { { \quad \alpha > \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } } } & { { \quad \alpha = \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \alpha } } & { { \quad \alpha < \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right. \qquad b \left( R \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 - \alpha } } & { { \quad \alpha > \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \quad \alpha = \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { - \alpha } } & { { \quad \alpha < \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right.
m ( \nu _ { 1 } ) : m ( \nu _ { 2 } ) : m ( \nu _ { 3 } ) = \frac { m _ { u } ^ { 2 } } { M _ { R } } : \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { M _ { R } } : \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { M _ { R } } ~ .
\bar { B } _ { L } ^ { 3 } B _ { R } ^ { 3 } + \mathrm { H . c . } \, , \ \ \ \bar { B } _ { L } ^ { 1 } B _ { R } ^ { 2 } + \mathrm { H . c . } \, , \ \ \, b a r B _ { L } ^ { 2 } B _ { R } ^ { 1 } + \mathrm { H . c . } \, .
\textbf { U } _ { i , k } ^ { n + 1 } = \textbf { U } _ { i , k } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \left[ \textbf { F } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , k } - \textbf { F } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , k } \right] + \Delta t \textbf { S } \left( \textbf { U } _ { i , k } ^ { n } \right)
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 0 } ( \alpha ) } & { { } = \frac { 2 } { \ell _ { 1 } s _ { 1 } } \left( 1 - \cos \left( \frac { \alpha L } { 2 } \right) \right) = \frac { 4 } { \ell _ { 1 } s _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \alpha L } { 4 } \right) , } \\ { \lambda _ { 1 } ( \alpha ) } & { { } = \frac { 2 } { \ell _ { 1 } s _ { 1 } } \left( 1 + \cos \left( \frac { \alpha L } { 2 } \right) \right) = \frac { 4 } { \ell _ { 1 } s _ { 1 } } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \alpha L } { 4 } \right) . } \end{array}
f _ { \mu \nu } ( x ) : = \frac { 4 } { R _ { P } ^ { 4 } g ^ { 2 } } \frac { \left< \mathrm { T r } \mathbf { W } [ \partial S ] \mathrm { T r } \mathbf { P } _ { \mu \nu } ( x ) \right> - \left< \mathrm { T r } \mathbf { W } [ \partial S ] \right> \left< \mathrm { T r } \mathbf { P } _ { \mu \nu } ( x ) \right> } { \left< \mathrm { T r } \mathbf { W } [ \partial S ] \right> }
2 \pi a e L \rho _ { C } \frac { d ^ { 2 } a } { d t ^ { 2 } } = \left( ( p - p _ { \mathrm { e x t } } ) - \frac { E } { 1 - \nu ^ { 2 } } \frac { \left( a - \langle a \rangle \right) } { e } + \sigma _ { \mathrm { a c t i v e } } + \mu \frac { \langle \tau \rangle ^ { 2 } } { \tau _ { c } } \right) 2 \pi a L - \gamma L \frac { d \langle a \rangle } { d t } .
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } = } & { \; \frac { \mathrm { i } } { \hbar } \left[ \rho , \tilde { H } _ { \mathrm { d p } } + H _ { \mathrm { d r i v e } } ( t ) \right] } \\ & { - \frac { \gamma } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { \mathcal { N } } \left( \left\{ a _ { m } ^ { \dagger } a _ { m } ^ { \phantom { \dagger } } + b _ { m } ^ { \dagger } b _ { m } ^ { \phantom { \dagger } } , \rho \right\} - 2 a _ { m } ^ { \phantom { \dagger } } \rho a _ { m } ^ { \dagger } - 2 b _ { m } ^ { \phantom { \dagger } } \rho b _ { m } ^ { \dagger } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ C _ { n } , G \} } & { { } = \left\langle q , n \nabla ^ { \perp } \left( \mathring { P } _ { 0 } q ^ { n - 1 } \right) \cdot \frac { \delta G } { \delta u } ^ { \perp } \right\rangle } \end{array}
T _ { \mathrm { d } } ^ { 0 } \simeq i { \frac { 4 \pi } { l ( l + 1 ) } } \eta Y _ { l m } ^ { * } ( { \hat { \bf p } } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d r _ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } R _ { f l } ^ { * } ( r _ { 2 } ) \phi _ { i } ( r _ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } ( t ) } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 2 } | k | f _ { T } ( k , \omega _ { 0 } t ) e ^ { i k ( \hat { x } \cos \omega _ { 0 } t + \hat { p } \sin \omega _ { 0 } t ) } d k . \ \ \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) = } & { \frac { 1 } { 8 \pi G ( 1 - \nu ) } \left[ ( 3 - 4 \nu ) \ln \left( \frac { 1 } { r } \right) \delta _ { \alpha \beta } + r _ { , \alpha } r _ { , \beta } \right] , } \\ { t _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) = } & { - \frac { 1 } { 4 \pi ( 1 - \nu ) } \left\{ \frac { \partial r } { \partial n } \left[ ( 1 - 2 \nu ) \delta _ { \alpha \beta } + 2 r _ { , \alpha } r _ { , \beta } \right] + ( 1 - 2 \nu ) \left( r _ { , \alpha } n _ { \beta } - r _ { , \beta } n _ { \alpha } \right) \right\} , } \end{array}
E = \left[ \begin{array} { l l l } { \cos { \Theta } D _ { r } ^ { ( 1 ) } - \sin { \Theta } R D _ { \theta } ^ { ( 1 ) } } & { \sin { \Theta } R } & { 0 } \\ { - \sin { \Theta } R } & { \cos { \Theta } D _ { r } ^ { ( 1 ) } - \sin { \Theta } R D _ { \theta } ^ { ( 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ,
\boldsymbol { \nabla } \times \boldsymbol { \nabla } \times \mathbf { G } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \epsilon ( \mathbf { r } , \omega ) \mathbf { G } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) = \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathbb { 1 } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) ,
\Big ( \omega + \frac { i } { 2 } \partial _ { T } - e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \lambda \partial _ { \omega } ^ { G } \partial _ { T } ^ { h } } h ( T ) \Big ) \tilde { G } ^ { < / > } = e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \lambda \left( \partial _ { T } ^ { \Sigma } \partial _ { \omega } ^ { G } - \partial _ { \omega } ^ { \Sigma } \partial _ { T } ^ { G } \right) } \Big ( \tilde { \Sigma } ^ { R } \tilde { G } ^ { < / > } + \tilde { \Sigma } ^ { < / > } \tilde { G } ^ { A } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { c } _ { i } \left[ \mathsf { X } \right] } & { { } = \left( \overline { { \boldsymbol { \mathscr { C } } } } _ { i } \left[ \mathsf { X } \right] \cdot \boldsymbol { E } _ { j } \right) _ { j \in \mathcal { I } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { p _ { i , j ( \phi = \pi ) } ^ { ( 2 ) } } & { = p _ { i , j - 1 / 2 } ^ { ( 2 ) } \biggr | _ { \phi = \pi } - \frac { \Delta \phi _ { i , j \_ j - 1 / 2 } } { \Delta \phi _ { i , j - 1 } } \left( p _ { i , j - 3 / 2 } ^ { ( 2 ) } - p _ { i , j - 1 / 2 } ^ { ( 2 ) } \right) \biggr | _ { \phi = \pi } , } \end{array} } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 1 2 } ( \partial _ { \mu } A _ { \nu \lambda } + \partial _ { \lambda } A _ { \mu \nu } + \partial _ { \nu } A _ { \lambda \mu } ) ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } } { 4 } A _ { \mu \nu } ^ { 2 } - \overline { { { \psi } } } ( \gamma _ { \mu } \partial ^ { \mu } + M ) \psi - \frac { 1 } { 2 } g \varepsilon _ { \mu \nu \lambda \varrho } \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \nu } \psi \partial ^ { \mu } A ^ { \lambda \varrho } .
\begin{array} { r l r } { I } & { = } & { L A - R A } \\ { I I } & { = } & { L L - R A } \\ { I I I } & { = } & { L L - L A } \\ { a V R } & { = } & { R A - \frac { 1 } { 2 } ( L A + L L ) } \\ { a V L } & { = } & { L A - \frac { 1 } { 2 } ( R A + L L ) } \\ { a V F } & { = } & { L L - \frac { 1 } { 2 } ( R A + L A ) } \end{array}
\boldsymbol { \theta } ^ { i + 1 } \longleftarrow \boldsymbol { \theta } ^ { i } - \eta _ { i } \frac { 1 } { N _ { M B } } \sum _ { i ^ { \prime } = i N _ { M B } + 1 } ^ { ( i + 1 ) N _ { M B } } \nabla \mathcal { L } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \boldsymbol { \theta } , ( \boldsymbol { x } ^ { i ^ { \prime } } , t ^ { i ^ { \prime } } ) ) , \; \; \; i = 1 , 2 , \cdots K _ { M B }
\begin{array} { r l } { \left( \frac { L _ { m a x } } { L _ { \chi } } \right) ^ { 2 } } & { = \frac { \Lambda } { 2 } - 1 + \sqrt { \left( \frac { \Lambda } { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } - 1 } , } \\ { \left( \frac { L _ { m i n } } { L _ { \chi } } \right) ^ { 2 } } & { = \frac { \Lambda } { 2 } - 1 - \sqrt { \left( \frac { \Lambda } { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } - 1 } , } \end{array}
\int _ { S } \mathbf { u } ^ { * T } \mathbf { T } d S + \int _ { V } \mathbf { u } ^ { * T } \mathbf { f } d V = \int _ { V } { \boldsymbol { \epsilon } } ^ { * T } { \boldsymbol { \sigma } } d V \qquad \mathrm { ( e ) }
\begin{array} { r l } { 1 - c _ { + } ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { \Phi } _ { + } ] M _ { 2 } ) } & { = \langle M _ { 1 } \rangle \frac { \langle M _ { 1 } M _ { 2 } M _ { 2 } \rangle } { \langle M _ { 1 } M _ { 2 } \rangle ^ { 2 } } \qquad \mathrm { a n d } } \\ { 1 - c _ { - } ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { \Phi } _ { - } ] M _ { 2 } ) } & { = \frac { \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } ^ { * } M _ { 2 } ^ { - 1 } E _ { - } \rangle + \langle M _ { 1 } \rangle \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } { 1 + \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } E _ { - } \rangle } \ \frac { \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } { \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle ^ { 2 } } } \end{array}
[ \widetilde { p } _ { \varepsilon } , \widetilde { e } _ { \varepsilon } , \widetilde { s } _ { \varepsilon } , \widetilde { \kappa } _ { \varepsilon } ] = [ p ( \overline { { \varrho } } , \overline { { \vartheta } } ) , e ( \overline { { \varrho } } , \overline { { \vartheta } } ) , s ( \overline { { \varrho } } , \overline { { \vartheta } } ) , \kappa ( \overline { { \vartheta } } ) ]
\Omega \to \Omega - \frac i 2 K _ { T } { \bf P } \cdot \mathrm { T r } ( \phi _ { + } \nabla \phi _ { + } ^ { \dagger } - \phi _ { + } ^ { \dagger } \nabla \phi _ { + } ) \ + \frac 1 2 K _ { T } { \bf P } ^ { 2 } \mathrm { T r } ( \phi _ { + } \phi _ { + } ^ { \dagger } ) \ .
\begin{array} { r l } { \mu _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \sum _ { \beta = 1 } ^ { L } \upsilon \left( \beta \right) \left( \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } w _ { \ell j } ^ { \left[ \beta \right] } \tau _ { j \ell } ^ { \left[ \beta \right] } ; } \\ { \nu _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \sum _ { \beta = 1 } ^ { L } \upsilon \left( \beta \right) \left( \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } w _ { j \ell } ^ { \left[ \beta \right] } \tau _ { j j } ^ { \left[ \beta \right] } ; } \\ { \mu _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } \sum _ { \beta = 1 } ^ { L } \upsilon \left( \beta \right) \left( \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } p _ { i k } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } w _ { \ell k } ^ { \left[ \beta \right] } \tau _ { j \ell } ^ { \left[ \beta \right] } ; } \\ { \nu _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } \sum _ { \beta = 1 } ^ { L } \upsilon \left( \beta \right) \left( \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } p _ { i k } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } w _ { k \ell } ^ { \left[ \beta \right] } \tau _ { j k } ^ { \left[ \beta \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d u _ { s } ^ { * } ( Z _ { s } ) } & { = \sum _ { j } \left[ X _ { j } ( u _ { s } ^ { * } ) + \nu ^ { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { j } u _ { s } ^ { * } \right] ( Z _ { s } ) \circ d W _ { s } ^ { j } } \\ & { + \left[ X _ { 0 } ( u ^ { * } ) + ( u _ { s } ^ { * } . \nabla ) u _ { s } ^ { * } \right] ( Z _ { s } ) d s } \end{array}
\delta _ { \mathrm { a d } } \equiv \left( \frac { \delta \rho _ { a } } { \rho _ { a } } \right) _ { \mathrm { a d } } = \frac { 2 H ^ { 3 } } { 3 \pi V ^ { \prime } } \simeq \frac { 4 \sqrt { 2 \pi } } { 9 \sqrt { 3 } } \frac { \lambda ^ { 1 / 2 } \chi ^ { 3 } } { M _ { p } ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l r } { c _ { \mathrm { L 1 } } ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 2 ( P R - Q ^ { 2 } ) } { P \tilde { \rho } _ { 2 2 } + R \tilde { \rho } _ { 1 1 } - 2 Q \tilde { \rho } _ { 1 2 } - \sqrt { \Delta } } , } \\ { c _ { \mathrm { L 2 } } ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 2 ( P R - Q ^ { 2 } ) } { P \tilde { \rho } _ { 2 2 } + R \tilde { \rho } _ { 1 1 } - 2 Q \tilde { \rho } _ { 1 2 } + \sqrt { \Delta } } , } \end{array}
\exp \left\{ - \beta { \cal V } V _ { \mathrm { e f f } } ( \varphi , \beta ) \right\} = \int [ D \phi ^ { \prime } ] ~ [ D A _ { \mu } ] ~ [ D \bar { c } ] ~ [ D c ] \exp \left( - I _ { E } \left[ A _ { \mu } , \phi ^ { \prime } , \bar { c } , c \right] \right) ~ ~ ~ ,
\varepsilon _ { \alpha } ^ { \pm } ( q _ { x } ) = \exp \left\{ \pm \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { \ln \varepsilon _ { \alpha } ( u ) d u } { u - q _ { x } \pm i 0 ^ { + } } } \right\} ,
Z _ { \mathrm { e q u i l } } = \sum _ { J = 0 } ^ { \infty } { \left( 2 - ( - 1 ) ^ { J } \right) ( 2 J + 1 ) e ^ { { - J ( J + 1 ) \hbar ^ { 2 } } / { 2 I k _ { \mathrm { B } } T } \; } }
\widetilde { h } _ { i } ^ { \varepsilon } \widetilde { h } _ { i + 1 } ^ { \varepsilon } \widetilde { h } _ { i + 2 } ^ { \varepsilon } \widetilde { h } _ { i } ^ { \varepsilon } = \widetilde { h } _ { i + 2 } ^ { \varepsilon } \widetilde { h } _ { i } ^ { \varepsilon } \widetilde { h } _ { i + 1 } ^ { \varepsilon } \widetilde { h } _ { i + 2 } ^ { \varepsilon }
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { \int _ { a } ^ { b } e ^ { n f ( x ) } \, d x } { e ^ { n f ( x _ { 0 } ) } { \sqrt { \frac { 2 \pi } { n ( - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) ) } } } } } \geq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - \delta { \sqrt { n ( - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) + \varepsilon ) } } } ^ { \delta { \sqrt { n ( - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) + \varepsilon ) } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } y ^ { 2 } } \, d y \, \cdot { \sqrt { \frac { - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) } { - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) + \varepsilon } } } = { \sqrt { \frac { - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) } { - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) + \varepsilon } } }
\tilde { \rho } _ { 1 1 } \approx 1 \gg \tilde { \rho } _ { 2 2 } , \tilde { \rho } _ { 2 - } , \tilde { \rho } _ { - 2 } , \tilde { \rho } _ { -- } , \tilde { \rho } _ { 2 + } , \tilde { \rho } _ { - + } , \tilde { \rho } _ { + + } \propto \Omega _ { p } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \left( \Gamma _ { r ^ { \prime \mu } } \right) _ { \mu } } & { \equiv } & { \frac { 1 } { \varepsilon } q A _ { \mu } ^ { \prime } + u _ { \mu } ^ { \prime } + q r _ { 1 } ^ { \prime \nu } F _ { \nu \mu } ^ { \prime } } \\ & { } & { + \varepsilon V _ { \mu } ^ { \prime } + \varepsilon q r _ { 2 } ^ { \prime \nu } F _ { \nu \mu } ^ { \prime } + \varepsilon q \frac { 1 } { 2 } r _ { 1 } ^ { \prime \nu } r _ { 1 } ^ { \prime \varsigma } \frac { \partial F _ { \varsigma \mu } ^ { \prime } } { \partial r ^ { \prime \nu } } } \\ & { } & { + \varepsilon \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \beta } } { \partial r ^ { \prime \mu } } \left( u _ { \beta } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } q r _ { 1 } ^ { \prime \nu } F _ { \nu \beta } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\tilde { S } = \frac { \beta } { 2 } \sum _ { i } ( \nabla _ { \mu } \theta _ { i } - A _ { i \mu } - 2 \pi n _ { i \mu } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } \sum _ { i } ( \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \nabla _ { \nu } A _ { i \lambda } - 2 \pi N _ { i \mu } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { C W _ { N } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \left( \tilde { X } _ { i } ( s _ { m } , t _ { m } ) \tilde { X } _ { i } ( s _ { m } ^ { \prime } , t _ { m } ^ { \prime } ) - C ( s _ { m } , t _ { m } , s _ { m } ^ { \prime } , t _ { m } ^ { \prime } ) \right) \, ( a _ { m } + a _ { m } ^ { \prime } w _ { i , N } ) } \\ { = } & { \sqrt { \frac { b _ { N } } { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor N / b _ { N } \rfloor } \sum _ { i = ( j - 1 ) b _ { N } + 1 } ^ { j b _ { N } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \left( \tilde { X } _ { i } ( s _ { m } , t _ { m } ) \tilde { X } _ { i } ( s _ { m } ^ { \prime } , t _ { m } ^ { \prime } ) - C ( s _ { m } , t _ { m } , s _ { m } ^ { \prime } , t _ { m } ^ { \prime } ) \right) \, \frac { ( a _ { m } + a _ { m } ^ { \prime } w _ { i , N } ) } { \sqrt { b _ { N } } } + \operatorname { R e m } _ { 1 } . } \end{array}
M = { \mathrm { m a x } } { \bigl ( } | { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } } { \bigl [ } y ( t ) { \bigr ] } | { \bigr ) } = \operatorname* { m a x } _ { 2 \leq t \leq 3 } \left( | { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } } { \bigl [ } t + { \frac { 1 } { 1 - t } } { \bigr ] } | \right) = \operatorname* { m a x } _ { 2 \leq t \leq 3 } \left( | { \frac { 2 } { ( - t + 1 ) ^ { 3 } } } | \right) = 2
\frac { 1 } { 2 } \Delta ^ { n } h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) - n \alpha _ { n } \mathscr { A } _ { n } h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) = 2 n ^ { 1 / 2 } \alpha _ { n } ( \nabla ^ { n , 1 } \varphi \otimes \delta ) \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) .
\begin{array} { r l } & { \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) \in \mathcal { Z } } R e g r e t ( \mathcal { M } _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } , \textbf { a l g o } , K ) } \\ & { \ge \frac { 1 } { 9 \sqrt { 2 } } \cdot \sqrt { \frac { p } { c _ { 1 } } } [ u ( H - \bar { H } - d - \rho ) - u ( - \rho ) ] \sqrt { S A \bar { H } K } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 1 8 \sqrt { 2 c _ { 1 } c _ { 2 } } } \cdot \left[ u \left( \left( 1 - \frac { 2 } { c _ { 2 } } \right) H - \lambda ^ { * } \right) - u ( - \lambda ^ { * } ) \right] \sqrt { S A H K } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { a } \mathbf { x } ^ { b } = \sqrt { \frac { N - 1 } { N + 1 } } \partial _ { a } \left( \frac { x ^ { b } } { \vert x \vert } \right) = \sqrt { \frac { N - 1 } { N + 1 } } \frac { 1 } { \vert x \vert } \left( \delta ^ { a b } - \frac { x ^ { a } } { \vert x \vert } \frac { x ^ { b } } { \vert x \vert } \right) , } \end{array}
\frac { \sum _ { k = ( \chi _ { i } ( 0 ) + \epsilon ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } { \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } \le \left( 1 - \frac { 1 } { C ( \chi _ { i } ( 0 ) + \epsilon ) N } \right) ^ { \lfloor \epsilon N \rfloor } \xrightarrow { N \to \infty } e ^ { - \frac { \epsilon } { C ( \chi _ { i } ( 0 ) N + \epsilon ) } } < 1 \ .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { M } } _ { 3 } ( \tilde { r } , t ) = } & { { } \; \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \mathcal { V } ( \sigma , t ) I ( \sigma , t ) \, \mathrm { ~ d ~ } \sigma \right) \, \mathrm { ~ d ~ } s + B _ { 3 } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \, \mathrm { ~ d ~ } s , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 1 \to \{ \pm 1 \} \to { \mathrm { P i n } } _ { V } ( K ) } & { \to { \mathrm { O } } _ { V } ( K ) \to K ^ { \times } / \left( K ^ { \times } \right) ^ { 2 } , } \\ { 1 \to \{ \pm 1 \} \to { \mathrm { S p i n } } _ { V } ( K ) } & { \to { \mathrm { S O } } _ { V } ( K ) \to K ^ { \times } / \left( K ^ { \times } \right) ^ { 2 } . } \end{array} }
\nabla { \mathbf { v } } : = \left( \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , d } , \quad \mathrm { d i v } ( { \mathbf { v } } ) : = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \partial v _ { j } } { \partial x _ { j } } , { \quad \mathrm { a n d } \quad } { \mathbf { v } } \otimes { \mathbf { w } } : = ( v _ { i } w _ { j } ) _ { i , j = 1 , d } \, .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } } & { { } = } & { \hat { \mathcal { T } } + \sum _ { i } \tilde { v } _ { i } \hat { n } _ { i } + \lambda \, U \, \sum _ { i } \left( \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } - \frac { n _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } } { 2 } \hat { n } _ { i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { w } } \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } & { = \left\{ \frac { 1 } { N _ { H R } } { M ^ { \prime } ( w _ { H R } ^ { i } ) \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } } \\ & { \cup \left\{ \frac { 1 } { N _ { H B } } { M ^ { \prime } ( w _ { H B } ^ { i } ) \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H B } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { H B } } } \\ & { \cup \left\{ \frac { 1 } { N _ { L D } } { M ^ { \prime } ( w _ { L D } ^ { i } ) \left\| \mathbf { y } _ { L } ( \mathbf { x } _ { L D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { L D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { L D } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { x _ { m } | x | ^ { 2 } f } ( \xi ) } \\ & { = i \partial _ { \xi _ { m } } \left[ \widehat { | x | ^ { 2 } f } ( \xi ) \right] = i \partial _ { \xi _ { m } } \left[ \frac { 1 } { 2 z } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left( d - \frac { | \xi | ^ { 2 } + 2 i a \cdot \xi - | a | ^ { 2 } } { 2 z } \right) E ( \xi , a , z ) \right] } \\ & { = \frac { i } { 2 z } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left[ - 2 \frac { \xi _ { m } + i a _ { m } } { 2 z } + \left( d - \frac { | \xi | ^ { 2 } + 2 i a \cdot \xi - | a | ^ { 2 } } { 2 z } \right) \left( - \frac { \xi _ { m } + i a _ { m } } { 2 z } \right) \right] E ( \xi , a , z ) } \\ & { = - \frac { i } { 4 z ^ { 2 } } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left( \xi _ { m } + i a _ { m } \right) \left[ d + 2 - \frac { | \xi | ^ { 2 } + 2 i a \cdot \xi - | a | ^ { 2 } } { 2 z } \right] E ( \xi , a , z ) . } \end{array}
\bar { \xi } \; \simeq \; 1 - \frac { 1 } { 6 } \bigg ( z ( \tilde { t } ) + \frac { 7 } { 1 2 } z ( \tilde { t } ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \Delta t } { 2 \tilde { t } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) \; ,
- \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \frac { \partial \overline { { \rho } } } { \partial x _ { j } } = - C _ { i } \overline { { u _ { k } ^ { \prime } u _ { k } ^ { \prime } } } \frac { \partial \overline { { \rho } } } { \partial x _ { i } } ,
d s ^ { 2 } = d \chi ^ { 2 } + \sinh ^ { 2 } \chi \, d \varphi ^ { 2 } - \cosh ^ { 2 } \chi \, d \tau ^ { 2 } = \left( { \frac { 2 } { 1 - \rho ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } ( d \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } ) - \left( { \frac { 1 + \rho ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { W \otimes W } & { \to \bigoplus _ { t , u = 1 } ^ { r + s } \Pi ^ { p ( t ) + p ( u ) } V \otimes V } \\ { v \otimes w } & { \mapsto \left( ( - 1 ) ^ { p ( t ) \overline { { v _ { t } } } + p ( u ) \overline { { w _ { u } } } + p ( u ) \overline { { v _ { t } } } + \overline { { v _ { t } } } \overline { { w _ { u } } } } v _ { t } \otimes w _ { u } \right) _ { t , u = 1 } ^ { r + s } . } \end{array}
\left. \begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) r _ { 0 } + \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) R \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle } & { { } = \mathcal { E } r _ { 0 } } \\ { \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) _ { \mathfrak { V } } R \Phi _ { 0 } } & { { } = \mathcal { E } R \Phi _ { 0 } } \end{array} \right\}
\overline { { \overline { { E } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) \equiv \mathrm { E } \left[ { \bf E } ( { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ) { \bf E } ( { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) \right]
\ln H _ { R } = \frac { \varsigma _ { R } } { 2 } \sum _ { R ^ { \prime } } \varsigma _ { R ^ { \prime } } h _ { R ^ { \prime } } ^ { 2 } \left\{ I ( R , R ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 3 } \right\} \ln H _ { R ^ { \prime } } .
( \Delta \eta ) _ { \mathbf { n } } \equiv \sum _ { \delta } \left( ( 2 n _ { \delta } + 1 ) u _ { \mathbf { n } } - n u _ { \mathbf { n } - \delta } - ( n _ { \delta } + 1 ) u _ { \mathbf { n } + \delta } \right) .