harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\beta = \left( \frac { \beta _ { 1 } - \beta _ { 0 } e ^ { k _ { 2 } y _ { 1 } } } { 1 - e ^ { ( k _ { 2 } - k _ { 1 } ) y _ { 1 } } } \right) \; e ^ { k _ { 1 } ( y - y _ { 1 } ) } \; + \; \left( \frac { \beta _ { 0 } - \beta _ { 1 } e ^ { - k _ { 1 } y _ { 1 } } } { 1 - e ^ { ( k _ { 2 } - k _ { 1 } ) y _ { 1 } } } \right) \; e ^ { k _ { 2 } y } \; ,
\begin{array} { r l } & { I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } d x \leq N _ { 1 } \left( \| u _ { x } ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + N _ { 2 } \left( \| ( ( u ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) + N _ { 3 } \left( \| ( ( u ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + N _ { 4 } \left( \| ( ( u ^ { j } ) ^ { p } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } = } \\ & { \phantom { m m m m m m m m m m } - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } + ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { 2 \Delta x } \right. } \\ & { \phantom { m m m m m m m m m m m m } - \left. \frac { ( E ^ { x } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { 2 \Delta y } \right) } \\ & { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta y } } \\ & { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta x } } \end{array}
\Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime } } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } ) \mu ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime } ) = \Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime } } ( L \chi ) ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ( L M ) ( \tau ^ { \prime } ) = ( L \chi L M ) ( \tau )
\mathbf { P } = \epsilon _ { 0 } \left( \chi ^ { ( 1 ) } \cdot \mathbf { E } + \chi ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { E } ^ { 2 } + \chi ^ { ( 3 ) } \cdot \mathbf { E } ^ { 3 } + . . . \right) ,
( 1 + a \gamma _ { 2 } ) + ( 1 + a \gamma _ { 2 } ) ( 2 a r _ { 1 } + a c ) - ( 1 + a \gamma _ { 1 } ) ( 1 + 2 a r _ { 1 } + 3 a ^ { 2 } r _ { 2 } ) = 0
\begin{array} { r l } { \langle x ( t ) , p _ { k } \rangle _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \lambda _ { P , k } \; \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { P , i } ^ { - 1 } \langle x ( t ) , p _ { i } \rangle _ { 2 } ^ { 2 } = \lambda _ { P , k } \Big \| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { P , i } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \langle x ( t ) , p _ { i } \rangle _ { 2 } \; p _ { i } \Big \| _ { 2 } ^ { 2 } = \lambda _ { P , k } \Big \| P ^ { - \frac { 1 } { 2 } } x ( t ) \Big \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \lambda _ { P , k } \; x ( t ) ^ { \top } P ^ { - 1 } x ( t ) , } \end{array}
\hat { \mathrm { H } } _ { \pm } ^ { s } = \int _ { - \mathrm { L } / 2 } ^ { \mathrm { L } / 2 } d x \hat { \cal H } _ { \pm } ^ { s } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \hbar \int _ { - \mathrm { L } / 2 } ^ { \mathrm { L } / 2 } d x ( \psi _ { \pm } ^ { \dagger s } d _ { \pm } \psi _ { \pm } ^ { s } - \psi _ { \pm } ^ { s } d _ { \pm } ^ { \star } \psi _ { \pm } ^ { \dagger s } ) .
\chi _ { \bar { P } } = - \textrm { i } \; { G _ { 0 } } _ { \bar { P } } \; \left( K _ { \bar { P } } ^ { ( 3 ) } + \overline { { K } } _ { \bar { P } } ^ { ( 2 ) } \right) \; \chi _ { \bar { P } } .
{ \begin{array} { r l } & { w w ^ { * } - { \frac { a w + a ^ { * } w ^ { * } } { ( a ^ { * } a - r ^ { 2 } ) } } + { \frac { a a ^ { * } } { ( a a ^ { * } - r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = { \frac { r ^ { 2 } } { ( a a ^ { * } - r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ { \Longleftrightarrow } & { \left( w - { \frac { a ^ { * } } { a a ^ { * } - r ^ { 2 } } } \right) \left( w ^ { * } - { \frac { a } { a ^ { * } a - r ^ { 2 } } } \right) = \left( { \frac { r } { \left| a a ^ { * } - r ^ { 2 } \right| } } \right) ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { = \mu ( x , v ) \Big [ \Big ( ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , v ) - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , R ( x ) v ) + \langle R ( x ) v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } - \langle R ( x ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R ( x ) v \rangle \Big ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) } \\ & { \quad - \Big ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , R ( x ) v ) - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , v ) + \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } - \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle ) \Big ) \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Big ] } \\ & { = \mu ( x , v ) \Big [ ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , v ) - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , R ( x ) v ) ) ( \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \lambda _ { 1 } ( x , v ) ) } \\ & { \quad + \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } ( \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) - \lambda _ { 1 } ( x , v ) ) } \\ & { \quad - \langle R ( x ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R ( x ) v \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { i } } & { = \textsc { S h o r t R a n g e D e s c r i p t o r } ( \vec { p } _ { i } ) } \\ { \epsilon _ { 2 } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) } & { = \textsc { S h o r t R a n g e I n t e r a c t i o n } ( h _ { i } , h _ { j } ) } \\ { \epsilon _ { 3 } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) } & { = \textsc { S h o r t R a n g e I n t e r a c t i o n } ( h _ { i } , h _ { j } , h _ { k } ) } \\ & { \cdots , } \end{array}
( ( s _ { 0 } : s _ { 1 } ) , ( t _ { 0 } , \dots , t _ { 7 } ) ) \mapsto \left( \begin{array} { l l l l } { s _ { 0 } t _ { 0 } } & { s _ { 0 } t _ { 1 } } & { s _ { 0 } t _ { 2 } } & { s _ { 0 } t _ { 3 } } \\ { s _ { 1 } t _ { 0 } } & { s _ { 1 } t _ { 1 } } & { s _ { 1 } t _ { 2 } } & { s _ { 1 } t _ { 3 } } \\ { s _ { 0 } t _ { 4 } } & { s _ { 0 } t _ { 5 } } & { s _ { 0 } t _ { 6 } } & { s _ { 0 } t _ { 7 } } \\ { s _ { 1 } t _ { 4 } } & { s _ { 1 } t _ { 5 } } & { s _ { 1 } t _ { 6 } } & { s _ { 1 } t _ { 7 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \gamma _ { 3 } = b \cos ( k t + k _ { 0 } ) + \frac { m _ { 3 } c } { { \bf m } ^ { 2 } } , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad k \equiv \frac { | { \bf m } | } { I _ { 1 } } } \end{array}
\cos ( \beta ( { \frac { \delta } { \delta J _ { r } } } + \Phi ) ) \exp \{ { \frac { 1 } { 2 } } J f ^ { - 1 } J \} = \exp \{ - { \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } } f _ { r r } ^ { - 1 } \} \cos ( \beta ( \int d ^ { 2 } r ^ { \prime } f _ { r ^ { \prime } r } ^ { - 1 } J _ { r ^ { \prime } } + \Phi ) ) \exp \{ { \frac { 1 } { 2 } } J f ^ { - 1 } J \}
\begin{array} { r l r } { \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } } } & { = } & { - \frac { ( 1 - \beta ^ { 2 } ) ( 1 - e ^ { 2 i \xi } ) } { e ^ { 2 i \xi } ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - ( 1 + \beta ) ^ { 2 } } \, , } \\ { \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } } } & { = } & { - \frac { 4 \beta e ^ { i \xi } } { e ^ { 2 i \xi } ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - ( 1 + \beta ) ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \mathcal { R } ( \tau ^ { \prime } ) \hat { r } } & { { } = } & { \hat { r } \left[ \mathcal { M } _ { \bf u } \hat { r } \hat { r } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau ^ { \prime } } - \mathcal { M } _ { \bf d } \hat { r } \hat { r } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) } \right] \hat { r } } \end{array}
\begin{array} { l } { { E _ { \mathrm { v i b } } = \displaystyle h c \omega _ { e } ( v + { \frac { 1 } { 2 } } ) - h c \omega _ { e } x _ { e } ( v + { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 2 } + h c \omega _ { e } y _ { e } ( v + { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 3 } + \cdots ~ , } } \\ { { E _ { \mathrm { r o t } } = B h c J ( J + 1 ) - D h c J ^ { 2 } ( J + 1 ) ^ { 2 } + H h c J ^ { 3 } ( J + 1 ) ^ { 3 } + \cdots ~ . } } \end{array}
R _ { \boldsymbol { \tau } } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { n } \boldsymbol { U } _ { n } ^ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \boldsymbol { ) } ^ { T } \boldsymbol { K } _ { \boldsymbol { \tau } } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { U } _ { n } ^ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) ,
\hat { H } _ { l a s } = \hbar \sum _ { s } \left( \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } v _ { s } e ^ { - i \omega _ { l } t } + v _ { s } ^ { * } e ^ { i \omega _ { l } t } \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nabla \cdot { \pmb \tau } ( { \pmb x } ) = \mu \Delta { \pmb w } ( { \pmb x } ) - \nabla q ( { \pmb x } ) = - { \pmb \psi } ( { \pmb x } ) } \\ { \nabla \cdot { \pmb w } ( { \pmb x } ) = 0 \qquad { { \pmb x } \in \mathbb { R } ^ { 3 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \rho ( \Delta E _ { S S ^ { \prime } } } & { ( \mathbf { Q } , \mathbf { q } ) - \hbar \omega _ { \mathbf { q } \nu } ) = } \\ & { \big [ ( n _ { \mathbf { q } \nu } ) \Tilde { \rho } ( \Omega _ { S ( \mathbf { Q } ) } - \Omega _ { S ^ { \prime } ( \mathbf { Q } + \mathbf { q } ) } + \hbar \omega _ { \mathbf { q } \nu } ) } \\ & { + ( 1 + n _ { \mathbf { q } \nu } ) \Tilde { \rho } ( \Omega _ { S ( \mathbf { Q } ) } - \Omega _ { S ^ { \prime } ( \mathbf { Q } + \mathbf { q } ) } - \hbar \omega _ { \mathbf { q } \nu } ) \big ] \; . } \end{array}
\bar { \mathcal { F } } _ { p } ( \phi _ { \partial } , \Sigma ) : H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \to \mathbb { R }
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\langle \omega ( \vec { 0 } ) ^ { 2 n } \right\rangle \to \frac { \Xi _ { n } } { ( t + t _ { 0 } ) ^ { 2 n } \mu ^ { 3 n - 1 } } \; \mathrm { ~ i f ~ } n > 0 ; } \\ & { } & { \Xi _ { n } = \frac { \pi \sqrt { \pi } ( - 1 ) ^ { n - 1 } 2 ^ { 2 - 3 n } B _ { 2 n } \Gamma \left( 3 n + \frac { 3 } { 2 } \right) } { 9 \zeta ( 2 n + 1 ) \Gamma ( n + 1 ) \Gamma ( 2 n + 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { w _ { a } ^ { ( 2 ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = - \frac { R _ { p } ^ { 3 } } { 2 4 ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } \left\{ 1 2 \left( \frac { 1 + 7 \hat { \lambda } } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \right) S _ { a \, 3 } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) + \right. } \\ & { } & { \left. { R _ { p } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { 5 + 2 5 \hat { \lambda } - 4 2 \hat { \lambda } ^ { 2 } } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \right) \Delta _ { \xi } S _ { a \, 3 } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - 7 ( 1 + 2 \hat { \lambda } ) S _ { a \, 3 , 3 \, 3 } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \right] - R _ { p } ^ { 4 } \frac { \Delta _ { \xi } S _ { a \, 3 , 3 \, 3 } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } { 2 } \right\} } \end{array}
{ \frac { { a _ { B } ^ { ( 1 ) } / a _ { B } ^ { ( 2 ) } } } { { a _ { C } ^ { ( 1 ) } / a _ { C } ^ { ( 2 ) } } } } \approx { 1 + { ^ { 1 } \Delta _ { c } ^ { 2 } } ( { { \frac { a _ { c } ^ { B } } { a ^ { B } } } - { \frac { a _ { c } ^ { C } } { { a ^ { C } } } } ) } }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } D _ { 0 } ( t ) } & { = N _ { 0 } \left( \eta \int _ { 0 } ^ { t } Q _ { 0 } ( s ) \, d s \right) , \quad } & & { t \ge 0 , } \\ { D _ { i } ( t ) } & { = \sum _ { j \in \mathcal { C } _ { i } } N _ { j } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \mu _ { j } ( s ) \, d T _ { j } ( s ) \right) , \quad } & & { t \ge 0 . } \end{array}
J = { \left( \begin{array} { l l l } { J _ { \acute { 1 } } ^ { 1 } } & { J _ { \acute { 2 } } ^ { 1 } } & { J _ { \acute { 3 } } ^ { 1 } } \\ { J _ { \acute { 1 } } ^ { 2 } } & { J _ { \acute { 2 } } ^ { 2 } } & { J _ { \acute { 3 } } ^ { 2 } } \\ { J _ { \acute { 1 } } ^ { 3 } } & { J _ { \acute { 2 } } ^ { 3 } } & { J _ { \acute { 3 } } ^ { 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial { Z ^ { 1 } } } { \partial { Z ^ { \acute { 1 } } } } } } & { { \frac { \partial { Z ^ { 1 } } } { \partial { Z ^ { \acute { 2 } } } } } } & { { \frac { \partial { Z ^ { 1 } } } { \partial { Z ^ { \acute { 3 } } } } } } \\ { { \frac { \partial { Z ^ { 2 } } } { \partial { Z ^ { \acute { 1 } } } } } } & { { \frac { \partial { Z ^ { 2 } } } { \partial { Z ^ { \acute { 2 } } } } } } & { { \frac { \partial { Z ^ { 2 } } } { \partial { Z ^ { \acute { 3 } } } } } } \\ { { \frac { \partial { Z ^ { 3 } } } { \partial { Z ^ { \acute { 1 } } } } } } & { { \frac { \partial { Z ^ { 3 } } } { \partial { Z ^ { \acute { 2 } } } } } } & { { \frac { \partial { Z ^ { 3 } } } { \partial { Z ^ { \acute { 3 } } } } } } \end{array} \right) }
\xi \frac { \ensuremath { \partial } \mathrm { I } _ { 1 } ^ { d } } { \ensuremath { \partial } x } + \eta \frac { \ensuremath { \partial } \mathrm { I } _ { 1 } ^ { d } } { \ensuremath { \partial } y } + \nu \frac { \ensuremath { \partial } \mathrm { I } _ { 1 } ^ { d } } { \ensuremath { \partial } z } + \kappa n _ { s } \mathrm { I } _ { 1 } ^ { d } = \frac { \omega \kappa } { 4 \pi } ( n _ { s } G _ { 1 } ^ { c } + n _ { s } G _ { 1 } ^ { d } + G _ { s } n _ { 1 } ) - \kappa \mathrm { I } _ { s } n _ { 1 } ,
e ^ { - i \int d ^ { 4 } x N V \left( \frac { ( \sqrt { N } \bar { \sigma } + \hat { \sigma } ) ^ { 2 } + \vec { \pi } ^ { 2 } } { N } \right) } = \int { \cal D } \chi \, \delta \left( \chi - \frac { \vec { \pi } ^ { 2 } } { N } \right) e ^ { - i \int d ^ { 4 } x N V \left( \frac { ( \sqrt { N } \bar { \sigma } + \hat { \sigma } ) ^ { 2 } } { N } + \chi \right) } \; .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { E } } _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { L } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = i \sum _ { \mu } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \mu } } { 2 \epsilon _ { 0 } } } \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ^ { \mathrm { s , L } } ( \mathbf { r } ) a _ { \mathrm { L } \mu } + \mathrm { H . a . } , } \\ { \hat { \mathbf { E } } _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { G } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = i \sum _ { \mu } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \mu } } { 2 \epsilon _ { 0 } } } \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ^ { \mathrm { s , G } } ( \mathbf { r } ) a _ { \mathrm { G } \mu } ^ { \dagger } + \mathrm { H . a . } . , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \varepsilon \frac { d } { d t } \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , b \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| e ^ { - \frac { \gamma \psi } { 2 } } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + 4 \pi \| e ^ { \frac { \gamma \psi } { 2 } } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + 4 \pi \overline { c } ^ { 2 } } \\ & { \quad = - \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , \varepsilon \partial _ { t } b + ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { x } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E - 4 \pi \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } ) a + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \nabla _ { x } c \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad - \varepsilon \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } \partial _ { t } a , b \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \varepsilon \langle \partial _ { t } ( \gamma \psi ) e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , b \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + 4 \pi \varepsilon \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , a \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + 4 \pi \overline { c } ^ { 2 } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , \nabla _ { x } c \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathop { \mathbb { E } } \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { t = 1 } ^ { K } \| \nabla F ( \overline { { { \mathbf w } } } ^ { k } ) \| _ { \delta } \right] \leq \frac { 2 ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { \delta N } + \operatorname* { m a x } \left( \frac { 5 G ^ { 2 / 3 } ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) ^ { 1 / 3 } } { ( N \delta ) ^ { 1 / 3 } } , \frac { 6 G } { \sqrt { N } } \right) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { ( 0 , 0 ) } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 4 } & { - 2 } & { - 2 } & { 1 } \end{array} \right) } & { , } & { \Lambda _ { ( 0 , 1 ) } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 4 } & { - 2 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { \Lambda _ { ( 1 , 0 ) } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 4 } & { 2 } & { - 2 } & { 1 } \end{array} \right) } & { , } & { \Lambda _ { ( 1 , 1 ) } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 4 } & { 2 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { G _ { \mu } ( x , y ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( X _ { 0 } = x , X _ { k } = y ) } & { \qquad } & { \mathrm { ( G r e e n ~ f u n c t i o n ) } } \\ { F _ { \mu } ( x , y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( X _ { 0 } } & { = x , X _ { k } = y , X _ { j } \ne y \mathrm { ~ f o r ~ } j < k ) } & { \quad } & { \mathrm { ( F i r s t - p a s s a g e ~ f u n c t i o n ) } } \end{array}
\frac { 1 } { N } \sum _ { x \sim Q _ { \theta } ^ { t + d t } } \left[ \ln \frac { Q _ { \theta } ^ { t + d t } ( x ) } { Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } ( x ) } - b \right] \nabla _ { \theta } \ln Q _ { \theta } ^ { t + d t } ( x )
{ \begin{array} { r l } { \tan ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) } & { = { \frac { e _ { 1 } } { e _ { 0 } - e _ { 2 } } } = { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 1 \ - \ x _ { 1 } x _ { 2 } } } = { \frac { \tan \theta _ { 1 } + \tan \theta _ { 2 } } { 1 \ - \ \tan \theta _ { 1 } \tan \theta _ { 2 } } } , } \\ { \tan ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } ) } & { = { \frac { e _ { 1 } - e _ { 3 } } { e _ { 0 } - e _ { 2 } } } = { \frac { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } ) \ - \ ( x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } ) } { 1 \ - \ ( x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 3 } + x _ { 2 } x _ { 3 } ) } } , } \\ { \tan ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } + \theta _ { 4 } ) } & { = { \frac { e _ { 1 } - e _ { 3 } } { e _ { 0 } - e _ { 2 } + e _ { 4 } } } } \\ & { = { \frac { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } + x _ { 4 } ) \ - \ ( x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } + x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 4 } + x _ { 1 } x _ { 3 } x _ { 4 } + x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } ) } { 1 \ - \ ( x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 3 } + x _ { 1 } x _ { 4 } + x _ { 2 } x _ { 3 } + x _ { 2 } x _ { 4 } + x _ { 3 } x _ { 4 } ) \ + \ ( x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } ) } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { X E } } & { { } = \int d q \sum _ { \mathbf { k } } \left( \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \dagger } \hat { x } _ { { \bf k } } + h . c . \right) , } \\ { \hat { H } _ { C E } } & { { } = \int d q \sum _ { \mathbf { k } } \left( \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { \bf k } } + h . c . \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \rho } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( I + { \vec { a } } \cdot { \vec { \sigma } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } + { \frac { a _ { x } } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } + { \frac { a _ { y } } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } + { \frac { a _ { z } } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { 1 + a _ { z } } & { a _ { x } - i a _ { y } } \\ { a _ { x } + i a _ { y } } & { 1 - a _ { z } } \end{array} \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { P ( t _ { 1 } , t _ { 3 } , t _ { 5 } , t _ { 7 } ) } & { } & { = [ k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } ] ^ { 2 } d t _ { 1 } d t _ { 3 } [ k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } ] ^ { 2 } d t _ { 5 } d t _ { 7 } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } t _ { 1 } } e ^ { - k _ { - } ^ { g l y } ( T - t _ { 1 } ) } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } t _ { 3 } } e ^ { - k _ { - } ^ { g l y } ( T - t _ { 3 } ) } e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } t _ { 5 } } e ^ { - k _ { - } ^ { g l u } ( T - t _ { 5 } ) } } \\ & { } & { e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } t _ { 7 } } e ^ { - k _ { - } ^ { g l u } ( T - t _ { 7 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg \{ R \Big ( \frac { \varepsilon ^ { - 1 } } { n ^ { 2 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \Big ) + R \Big ( \frac { 1 } { n \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \Big ) \bigg \} \rightarrow 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { I } } & { = \phi _ { \mathcal { A } _ { 1 } } \cos \theta - \phi _ { \mathcal { B } _ { 1 } } \sin \theta , } \\ { \psi _ { A } } & { = \phi _ { \mathcal { A } _ { 1 } } \sin \theta + \phi _ { \mathcal { B } _ { 1 } } \cos \theta , } \\ { \psi _ { J } } & { = \phi _ { \mathcal { A } _ { 2 } } \cos \theta - \phi _ { \mathcal { B } _ { 2 } } \sin \theta , } \\ { \psi _ { B } } & { = \phi _ { \mathcal { A } _ { 2 } } \sin \theta + \phi _ { \mathcal { B } _ { 2 } } \cos \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \left( u \right) _ { 1 , j , k } } } & { { } { = } } & { { u _ { j } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { \left( v \right) _ { 1 , j , k } } } & { { } { = } } & { { \left( v \right) _ { 2 , j , k } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { \left( w \right) _ { 1 , j , k } } } & { { } { = } } & { { \left( w \right) _ { 2 , j , k } \, \mathrm { ~ . ~ } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l c l l } { x _ { 1 } } & { = } & { r \cos \alpha \cos \vartheta _ { 1 } } & \\ { p _ { x _ { 1 } } } & { = } & { r \cos \alpha \sin \vartheta _ { 1 } } & { \qquad \qquad r \in [ 0 , + \infty [ } \\ & & & { \qquad \qquad \alpha \in [ 0 , \pi / 2 ] } \\ { x _ { 2 } } & { = } & { r \sin \alpha \cos \vartheta _ { 2 } } & { \qquad \qquad \theta _ { i } \in [ 0 , 2 \pi [ \qquad i = 1 , 2 } \\ { p _ { x _ { 2 } } } & { = } & { r \sin \alpha \sin \vartheta _ { 2 } \, . } & \end{array} \right.
( \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { z _ { A } \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }