harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \log ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) } & { = \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma - \frac { \varepsilon ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } + O ( \varepsilon ^ { 2 } v ^ { 4 } ) , } \\ { \log ( 1 - \theta - \theta \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) } & { = \log ( 1 - \theta ) + \log ( 1 - \varepsilon ^ { 1 / 2 } a v / \sigma ) } \\ { = \log ( 1 - \theta ) } & { - \varepsilon ^ { 1 / 2 } a v / \sigma - \frac { \varepsilon ( a v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( a v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } + O ( \varepsilon ^ { 2 } v ^ { 4 } ) , } \\ { \log ( \theta ( 1 + p \theta / q ) + p \theta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / ( \sigma q ) ) } & { = \log ( \theta ( 1 + p \theta / q ) ) + \log ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } b v / \sigma ) } \\ { = \log ( \theta ( 1 + p \theta / q ) ) } & { + \varepsilon ^ { 1 / 2 } b v / \sigma - \frac { \varepsilon ( b v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( b v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } + O ( \varepsilon ^ { 2 } v ^ { 4 } ) } \end{array}
C _ { 4 } ^ { A } = \frac { M ^ { 2 } } { k M _ { \Delta } } \left[ - \sqrt { \frac 3 2 } \sqrt { \frac { 2 K _ { 0 } } { 4 \pi \alpha _ { W } } } S ^ { A } - \frac k M C _ { 3 } ^ { A } + \frac { k _ { 0 } k } { M ^ { 2 } } C _ { 6 } ^ { A } \right] .
\begin{array} { r } { 2 \Big [ ( 3 + C _ { 2 1 } ) \log \frac { 2 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma } + C _ { 2 2 } \Big ] \lambda _ { 1 } < \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma ( \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } ) . } \end{array}
S = \int d ^ { 5 } \sigma ( - \sqrt { - \mathrm { d e t } \, ( G _ { \mu \nu } + \cal F _ { \mu \nu } ) } + \frac { 1 } { 2 } \tilde { H } ^ { \mu \nu } ( F _ { \mu \nu } - 2 \partial _ { \mu } A _ { \nu } ) )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \sum _ { j \in S } A _ { i j } \right) ^ { 2 } } & { \leq \mathbb { E } \left( \sum _ { j \in S _ { i } } A _ { i j } \right) ^ { 2 } = \mathbb { E } \left( \mathbb { E } \left( \left( \sum _ { j \in S _ { i } } A _ { i j } \right) ^ { 2 } \Bigg | S _ { i } \right) \right) \leq \mathbb { E } \left( ( \left| S _ { i } \right| p ) ^ { 2 } + \left| S _ { i } \right| p \right) } \\ & { \leq \left( n p + 1 \right) \mathbb { E } \left| S _ { i } \right| p \leq 2 ( n p ) ^ { 2 } \exp \left( - 1 2 8 n p \right) , } \end{array}
\psi ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { 0 } \sin ( \omega t ) \sin ( \frac { \omega t } { 2 n _ { c } } ) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 0 \leq t \leq \frac { 2 \pi n _ { c } } { \omega } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \frac { 2 \pi n _ { c } } { \omega } < t . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { U } ( \hat { \varphi } , \hat { \theta } ) } & { { } = R _ { 3 } ( \frac { \hat { \varphi } } { 2 } ) R _ { 1 } ( \frac { \hat { \theta } } { 2 } ) \, \hat { T } \, R _ { 1 } ( \frac { \hat { \theta } } { 2 } ) R _ { 3 } ( \frac { \hat { \varphi } } { 2 } ) , } \end{array}
f _ { M s } \equiv \frac { \eta _ { s } \exp \left[ \frac { X _ { s } } { T _ { s } } \right] } { \left( 2 \pi / M _ { s } \right) ^ { 3 / 2 } T _ { s } ^ { 3 / 2 } } \exp \left\{ - \frac { M _ { s } \left( \mathbf { v } - \mathbf { V } _ { s } \right) ^ { 2 } } { 2 T _ { s } } \right\} ,
W ^ { \prime } = \frac { V + W ^ { 2 } \; ( 1 - \frac { \lambda W ^ { 2 } } { 2 } ) } { 1 - \lambda W ^ { 2 } } \; \; \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \; V + W ^ { 2 } \; ( 1 - \frac { \lambda W ^ { 2 } } { 2 } ) \ge 0 \; ,
\begin{array} { r l r } { U ( \vec { r } ) } & { { } = } & { G M \sum _ { \ell \geq 0 } \frac { ( 2 \ell - 1 ) ! ! } { \ell ! } { \cal T } _ { L } \frac { \hat { n } _ { L } } { r ^ { \ell + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \left\vert G \right\vert ^ { 2 } - \left\vert F \right\vert ^ { 2 } \right) } \\ & { = \sum _ { m , m ^ { \prime } } ( A _ { m - l } A _ { m ^ { \prime } + l } ^ { \ast } + A _ { m + l } A _ { m ^ { \prime } - l } ^ { \ast } ) e ^ { i \left( m - m ^ { \prime } \right) \left( \phi + \Omega t \right) } , } \\ & { = \sum _ { m , n } [ ( A _ { m - l } A _ { m + n + l } ^ { \ast } + A _ { m + l } A _ { m + n - l } ^ { \ast } ) e ^ { i n \left( \phi + \Omega t \right) } + c . c . ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi \frac { d N _ { 1 } } { d t } } & { { } = - k N _ { 1 } ( t ) + f _ { 1 } ( t ) , } \\ { \xi \frac { d N _ { 2 } } { d t } } & { { } = - k N _ { 2 } ( t ) + f _ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { \sigma , \xi ; \epsilon ^ { \prime \prime } } \left| 0 ^ { m _ { 2 } } \right\rangle \left| \psi \right\rangle = c _ { 2 } ^ { - 1 } \left| 0 ^ { m _ { 2 } } \right\rangle g _ { \sigma , \xi ; \epsilon ^ { \prime \prime } } ( H ) \left| \psi \right\rangle + \sum _ { s \in \{ 0 , 1 \} ^ { m _ { 2 } } , ~ s \neq 0 ^ { m _ { 2 } } } \left| s \right\rangle \left| \phi _ { s , \xi , \epsilon ^ { \prime \prime } } \right\rangle , } \end{array}
\frac { \partial \left\langle C \right\rangle } { \partial \tilde { t } } + \left\langle \tilde { u } \right\rangle \frac { \partial \left\langle C \right\rangle } { \partial \tilde { r } } = \frac { H _ { a } ( x ) } { \mathrm { P e } } \frac { 1 } { \tilde { r } \tilde { h } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( \tilde { r } \tilde { h } \frac { \partial \left\langle C \right\rangle } { \partial \tilde { r } } \right) + \frac { \tilde { J } \left\langle C \right\rangle } { \tilde { h } } ,
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \delta \phi _ { A B } } { 2 \pi } \right) = 2 \alpha _ { A B } \left( \frac { \delta h } { \lambda } \right) , } \\ & { \alpha _ { A B } = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { 1 } , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } A B = R F ; } \\ { j ~ n _ { 2 } , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } A B = F B _ { j } ; } \\ { n _ { 1 } - j ~ n _ { 2 } , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } A B = R B _ { j } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { A } ^ { T } Q _ { A } V _ { k } } & { = Q _ { A } ^ { T } U _ { k } ( B _ { k } ) = [ V _ { k } ( B _ { k } ^ { T } + D _ { k } ) + \beta _ { k } v _ { k + 1 } ( e _ { k } ^ { ( k ) } ) ^ { T } + G _ { k } ] B _ { k } } \\ & { = V _ { k } B _ { k } ^ { T } B _ { k } + \alpha _ { k } \beta _ { k } v _ { k + 1 } ( e _ { k } ^ { ( k ) } ) ^ { T } + V _ { k } D _ { k } B _ { k } + G _ { k } B _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { x _ { 1 } - x _ { * } ( \tau ) } { x _ { 2 } - x _ { * } ( \tau ) } } & { = \frac { \sqrt { \kappa ( \tau ) } - \big [ ( t _ { 2 } - \tau ) - ( t _ { 1 } - \tau ) \big ] \big [ ( t _ { 2 } - \tau ) + ( t _ { 1 } - \tau ) \big ] - | x _ { 2 } - x _ { 1 } | ^ { 2 } } { \sqrt { \kappa ( \tau ) } - \big [ ( t _ { 2 } - \tau ) - ( t _ { 1 } - \tau ) \big ] \big [ ( t _ { 2 } - \tau ) + ( t _ { 1 } - \tau ) \big ] + | x _ { 2 } - x _ { 1 } | ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { 0 } } & { = \frac { m ^ { 2 } \left( 1 + e ^ { - \frac { T } { 2 m } } \right) ^ { 2 } } { 2 \gamma } \ , } \\ { j _ { \pm } } & { = \frac { j _ { 0 } } { \sqrt { 6 } } \ , } \\ { \zeta _ { 0 } } & { = \frac { T } { 2 m } \ , } \\ { \zeta _ { \pm } } & { = \mp \frac { 3 2 } { 9 } \sqrt { 6 } \ . } \end{array}
r _ { i \rightharpoonup j } - r _ { i \leftharpoondown j } = k _ { c , i j } \left[ \exp { \frac { \mu _ { i } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } } - \exp { \frac { \mu _ { j } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } } \right] \, .
\left[ { \cal O } _ { 1 } ^ { \prime } \right] = \left[ 1 + 2 \left( \frac { \alpha _ { s } ^ { \prime } \partial } { \partial \alpha _ { s } ^ { \prime } } \ln Z _ { g } ^ { \prime } \right) \right] { \cal O } _ { 1 } ^ { \prime } - 4 \left( \frac { \alpha _ { s } ^ { \prime } \partial } { \partial \alpha _ { s } ^ { \prime } } \ln Z _ { m } ^ { \prime } \right) { \cal O } _ { 2 } ^ { \prime } , \qquad \left[ { \cal O } _ { 2 } ^ { \prime } \right] = { \cal O } _ { 2 } ^ { \prime } ,
S _ { 1 } = \frac { \Delta y ^ { 2 } \nabla _ { h } \cdot \widehat { \mathbf { B } } _ { i j } } { \Delta x ^ { 2 } + \Delta y ^ { 2 } } , \qquad S _ { 2 } = \frac { \Delta x ^ { 2 } \nabla _ { h } \cdot \widehat { \mathbf { B } } _ { i j } } { \Delta x ^ { 2 } + \Delta y ^ { 2 } } .
\begin{array} { r c l } { { \mathrm { T r } \, [ \Gamma _ { s } ( P ^ { a } ) \Gamma _ { s } ( P _ { b } ) ] = \delta ^ { a } { } _ { b } \, , \, \, \, \, } } & { { \Rightarrow } } & { { \Gamma _ { s } ( P ^ { a } ) = { \textstyle \frac { - i } { 2 g } } \gamma ^ { a } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \mathrm { T r } \, [ \Gamma _ { s } ( M ^ { a b } ) \Gamma _ { s } ( P _ { c d } ) ] = \delta ^ { a b } { } _ { c d } \, , \, \, \, \, } } & { { \Rightarrow } } & { { \Gamma _ { s } ( M ^ { a b } ) = - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \gamma ^ { a b } \, . } } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { \left( \partial _ { \mu } \vec { \varphi } \right) ^ { 2 } } { \left( 1 + \frac { g ^ { 2 } } { 4 } \vec { \varphi } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \qquad \left( \vec { \varphi } = ( \varphi ^ { 1 } , \cdots , \varphi ^ { N } ) \right) ,
{ \cal L } _ { 0 } = \bar { \psi } \left( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi - m \right) \psi + \frac { i } { 4 } K _ { \mu \nu \lambda } \bar { \psi } \gamma ^ { \left[ \mu \right. } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \left. \lambda \right] } \psi ,
D ^ { 2 } \ \rightarrow \ \partial _ { t } ^ { 2 } - \left( \frac 1 r \partial _ { r } r \partial _ { r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \partial _ { \varphi } ^ { 2 } + \partial _ { z } ^ { 2 } \right) \ + \ \frac { 2 i \beta \Theta ( r - R ) } { r ^ { 2 } } \ \partial _ { \varphi } \ + \ \frac { \beta ^ { 2 } \Theta ^ { 2 } ( r - R ) } { r ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ^ { 2 } E [ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } ( X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { i _ { 1 } } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i _ { 2 } i _ { 3 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } ) \, \mathrm { d } s | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] } \\ & { = \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 n ^ { 2 } } b ^ { i _ { 1 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , ~ \theta _ { 0 } ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i _ { 2 } i _ { 3 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } ) } \\ & { \quad R ( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 3 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) + R ( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n ^ { 2 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { x } } & { = ( A - B K _ { x } ) ^ { T } ( c _ { x } ^ { + } + 2 P _ { x } ^ { + } m _ { \nu } ) , } \\ { c _ { y } } & { = c _ { y } ^ { + } - ( B K _ { y } ) ^ { T } ( c _ { x } ^ { + } + 2 P _ { x } ^ { + } m _ { \nu } ) + 2 P _ { x y } ^ { + T } m _ { \nu } , } \\ { c _ { w } } & { = c _ { x } ^ { + } + ( m _ { \nu } - B k _ { \nu } ) ^ { T } c _ { x } ^ { + } - 2 B k _ { \nu } P _ { x } ^ { + } m _ { \nu } + \relax ( P _ { x } ^ { + } \Sigma _ { \nu } ) . } \end{array}
\mathrm { ~ g ~ a ~ t ~ e ~ c ~ o ~ m ~ p ~ l ~ e ~ x ~ i ~ t ~ y ~ } = O ( \Vert \mathcal C \Vert \kappa _ { J } g T s \cdot \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ y ~ } ( \log { ( \kappa _ { J } s g \beta T \Vert \mathcal C \Vert N / \epsilon ) } ) ) .
\begin{array} { r l } { X ^ { t } \left( \mathbf { V } \left( \mathbf { v } \right) \right) } & { = \left( \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) + t , 0 } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) , \theta ^ { N _ { t } \left( x \left( \mathbf { v } \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } \\ & { = \mathbf { V } \left( \mathbf { S } ^ { t } \left( x \left( \mathbf { v } \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) , s \left( \mathbf { v } \right) \right) \right) } \\ & { = \mathbf { V } \left( \hat { \pi } \left( x \left( \mathbf { v } \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) , s \left( \mathbf { v } \right) + t \right) \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - i \omega v _ { r } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial r } + \nu _ { 4 } k ^ { 2 } v _ { \phi } , } \\ { - i \omega v _ { \phi } } & { { } = - \nu _ { 4 } \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial v _ { r } } { \partial r } \right) - \frac { v _ { r } } { r ^ { 2 } } \right] - \nu _ { 4 } k ^ { 2 } v _ { r } , } \\ { - i \omega v _ { z } } & { { } = - \frac { i k } { \rho } p ^ { \prime } - i k \nu _ { 4 } \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } ( r v _ { \phi } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { T } A } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \hdots } & { 1 } \\ { \frac { - M } { 2 } } & { \frac { - M } { 2 } + 1 } & { \hdots } & { \frac { M } { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { - M } { 2 } } \\ { 1 } & { \frac { - M } { 2 } + 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \frac { M } { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { M + 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 \sum _ { 0 } ^ { \frac { M } { 2 } } k ^ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { M + 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { M ( M + 1 ) ( M + 2 ) } { 1 2 } } \end{array} \right] } \end{array}
M ^ { ( k ) } \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \, l n ^ { 2 } ( x ) x ^ { k } \approx \sum _ { i = 1 } ^ { Q } q _ { i } \ln ^ { 2 } ( \xi _ { i } ) \xi _ { i } ^ { k } = \frac { 2 } { ( k + 1 ) ^ { 3 } }
s _ { i } ^ { 1 } \simeq \frac { c \frac { 1 } { k ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } - c \frac { 1 } { \left( 2 k \right) ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } } { c \frac { 1 } { \left( 2 k \right) ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } - c \frac { 1 } { \left( 4 k \right) ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } } = \frac { c \frac { 1 } { k ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } \right) } { c \frac { 1 } { k ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } \frac { 1 } { 2 ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } \right) } = 2 ^ { m _ { i } ^ { 1 } } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbb { E } | \tilde { X } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \pi } - \hat { X } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \pi } | ^ { 2 } } & { \leq \mathbb { E } \{ ( 1 + C h ) | \tilde { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } - \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } | ^ { 2 } + C h | u ( t _ { n } , X _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) - \hat { u } ( t _ { n } , X _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) | ^ { 2 } \} } \\ & { \leq \mathbb { E } \{ ( 1 + C h ) | \tilde { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } - \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } | ^ { 2 } + C ( 1 + | \xi | ^ { 2 } ) h \} . } \end{array} } \end{array}
x _ { 1 } = \frac { ( 1 - x ) z } { z + x ( 1 - x ) ( 1 - z ) } ~ , \; \; \; x _ { 2 } = \frac { x z } { z + x ( 1 - x ) ( 1 - z ) } ~ , \; \; \; x _ { 3 } = \frac { x ( 1 - x ) ( 1 - z ) } { z + x ( 1 - x ) ( 1 - z ) } ~ ,
\begin{array} { r l } { q _ { 0 , \Phi } ^ { ( r ) } } & { = \sum _ { x _ { 1 } \in \mathfrak { X } } \sum _ { x _ { 2 } \in \mathfrak { X } } \operatorname* { P r } ( \tilde { X } _ { 1 , 1 } = x _ { 1 } ) \operatorname* { P r } ( \tilde { X } _ { 1 , r + 1 } = x _ { 2 } | \tilde { X } _ { 1 , 1 } = x _ { 1 } ) \operatorname* { P r } ( \Phi ( \tilde { Y } _ { 1 , 1 } ) \neq x _ { 2 } | \tilde { X } _ { 1 , 1 } = x _ { 1 } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } u _ { i } \: ( \mathbf { P } ^ { r } ) _ { i , j } \: [ 1 - p _ { Y | X } ( \Phi ^ { - 1 } ( j ) | i ) ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } u _ { i } \: [ ( 1 - \gamma ^ { r } ) u _ { j } + \gamma ^ { r } \delta _ { i j } ] \: [ 1 - p _ { Y | X } ( \Phi ^ { - 1 } ( j ) | i ) ] } \\ & { = ( 1 - \gamma ^ { r } ) \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } u _ { i } \: u _ { j } \: [ 1 - p _ { Y | X } ( \Phi ^ { - 1 } ( j ) | i ) ] + \gamma ^ { r } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } u _ { i } \: [ 1 - p _ { Y | X } ( \Phi ^ { - 1 } ( i ) | i ) ] } \\ & { = ( 1 - \gamma ^ { r } ) q _ { 0 , \Phi } ^ { \prime } + \gamma ^ { r } q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \Delta _ { k } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { j } } \Bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { = \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 n ^ { 2 } } \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 3 ) } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 3 ) } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 3 } } } \\ & { \quad + \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \{ \Phi _ { 3 } ^ { \varepsilon } ( s ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( s ) \} \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } ( 1 ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \{ \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( u ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( u ) \} \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } ( 1 ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { u } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon } { n ^ { 3 } \sqrt { n } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 3 } } \right) } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n ^ { 2 } \sqrt { n } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 1 } } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 1 } \mu _ { 1 } ^ { \prime } + \kappa _ { 2 } } \\ { \mu _ { 3 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 1 } \mu _ { 2 } ^ { \prime } + 2 \kappa _ { 2 } \mu _ { 1 } ^ { \prime } + \kappa _ { 3 } } \\ { \mu _ { 4 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 1 } \mu _ { 3 } ^ { \prime } + 3 \kappa _ { 2 } \mu _ { 2 } ^ { \prime } + 3 \kappa _ { 3 } \mu _ { 1 } ^ { \prime } + \kappa _ { 4 } } \\ { \mu _ { 5 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 1 } \mu _ { 4 } ^ { \prime } + 4 \kappa _ { 2 } \mu _ { 3 } ^ { \prime } + 6 \kappa _ { 3 } \mu _ { 2 } ^ { \prime } + 4 \kappa _ { 4 } \mu _ { 1 } ^ { \prime } + \kappa _ { 5 } } \\ { \mu _ { 6 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 1 } \mu _ { 5 } ^ { \prime } + 5 \kappa _ { 2 } \mu _ { 4 } ^ { \prime } + 1 0 \kappa _ { 3 } \mu _ { 3 } ^ { \prime } + 1 0 \kappa _ { 4 } \mu _ { 2 } ^ { \prime } + 5 \kappa _ { 5 } \mu _ { 1 } ^ { \prime } + \kappa _ { 6 } } \\ { \mu _ { n } ^ { \prime } = } & { \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } { \binom { n - 1 } { m - 1 } } \kappa _ { m } \mu _ { n - m } ^ { \prime } + \kappa _ { n } \, . } \end{array} }
\mathcal { P } ( \textbf { p } _ { f } ) \approx \biggl | \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { b } } e ^ { i \Re S _ { j } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t , t _ { s } ^ { \prime } ) } \biggr | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Psi } & { = C _ { m } ( \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 0 } ) ^ { m } \exp \left[ - \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } | \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right] \exp \left[ \mathcal { Z } ^ { * } \mathcal { Z } _ { 0 } - \mathcal { Z } \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } \right] \exp \left[ i \alpha | \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right] } \\ & { \times \exp \left[ i \mathcal { P } ^ { * } ( \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 0 } ) + i \mathcal { P } ( \mathcal { Z } ^ { * } - \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } ) \right] , } \end{array}
R _ { 1 2 } ( \xi _ { 1 2 } ) R _ { 1 3 } ( \xi _ { 1 3 } ) R _ { 2 3 } ( \xi _ { 2 3 } ) = R _ { 2 3 } ( \xi _ { 2 3 } ) R _ { 1 3 } ( \xi _ { 1 3 } ) R _ { 1 2 } ( \xi _ { 1 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { P _ { E ^ { \mathcal C } , E ^ { \Upsilon } } ( g ) : = \mathrm { R i c } ( g ) - \delta _ { g _ { \mathfrak { m } } , E ^ { \mathcal C } } ^ { * } \Upsilon _ { E ^ { \Upsilon } } ( g ; g _ { \mathfrak { m } } ) , } \\ & { \qquad P _ { g , E ^ { \mathcal C } , E ^ { \Upsilon } } ^ { \prime } : = D _ { g } P _ { E ^ { \mathcal C } , E ^ { \Upsilon } } , \qquad L _ { g , E ^ { \mathcal C } , E ^ { \Upsilon } } : = 2 \rho _ { \! \mathscr I } \rho ^ { - 3 } P _ { g , E ^ { \mathcal C } , E ^ { \Upsilon } } ^ { \prime } \rho . } \end{array}
r _ { \kappa } = - i { \Gamma _ { 0 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } , n } ^ { } { { e ^ { i \omega _ { \kappa } / c ( { z _ { j ^ { \prime } } } + { z _ { j } } ) } } \frac { \psi _ { n } ( j ) \psi _ { n } ( j ^ { \prime } ) } { \omega _ { \kappa } - \omega _ { n } } } ,
{ \begin{array} { r l } { \dim P } & { = { \frac { \mathrm { f o r c e } } { \mathrm { a r e a } } } } \\ & { = { \frac { { \mathrm { m a s s } } \times { \mathrm { a c c e l e r a t i o n } } } { \mathrm { a r e a } } } } \\ & { = { \frac { \mathsf { M L T ^ { - 2 } } } { \mathsf { L ^ { 2 } } } } } \\ & { = { \mathsf { T ^ { - 2 } L ^ { - 1 } M } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { f ( t , m _ { \pi } ^ { 2 } , m _ { \sigma } ^ { 2 } ) = - A _ { d } k ^ { d + 2 } \Bigg ( \frac { 3 } { k ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } } } & { { } + \frac { 1 } { k ^ { 2 } + m _ { \sigma } ^ { 2 } } } \end{array}
\psi _ { E } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } ) \rightarrow \left( \begin{array} { l l } { { \sigma ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sigma ^ { 2 } } } \end{array} \right) T ^ { 1 } \psi _ { E } ( - x ^ { 1 } , x ^ { 2 } ) .
{ \frac { \partial I _ { 1 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } ~ ; ~ ~ { \frac { \partial I _ { 2 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = I _ { 1 } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } - { \boldsymbol { C } } ~ ; ~ ~ { \frac { \partial I _ { 3 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { C } } ) ~ { \boldsymbol { C } } ^ { - 1 }
I = \frac { n _ { 0 } } { 2 } \left( \frac { m _ { e } } { 2 T _ { 0 e \parallel } } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { T _ { 0 e \parallel } } { T _ { 0 e \perp } } v _ { t , e , \perp } ^ { 2 } v _ { t , e , \parallel } ^ { 3 } = \frac { n _ { 0 } } { 2 } \frac { T _ { 0 e \parallel } } { T _ { 0 e \perp } } v _ { t , e , \perp } ^ { 2 } = \frac { n _ { 0 } T _ { 0 e \parallel } } { m _ { e } } .
\left( \begin{array} { l } { x _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } ^ { \prime } } \\ { x _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } ^ { \prime } } \end{array} \right) = \mathcal { R } ( z ) \, \mathcal { S } ( s ) \left( \begin{array} { l } { x _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } } \\ { x _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { P _ { \textrm { F F } } ( \textrm { N A } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } R ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { \textrm { N A } } } S _ { \textrm { F F } } ( R , \theta , \phi ) \sin ( \theta ) d \theta d \phi } \end{array}
\widetilde { I } _ { \sigma } ( x , y ) = \frac { I ( x , y ) \circledast \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } \right) } { I ( x , y ) \circledast \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \varphi _ { \mathrm { f } } } = 2 \pi f _ { \mathrm { f } } } \\ { \dot { \varphi _ { \mathrm { c } } } = 2 \pi [ f _ { \mathrm { c } } - \lambda _ { \mathrm { t } } \sin ( \varphi _ { \mathrm { c } } \mathrm { - } \varphi _ { \mathrm { t } } ) - \varepsilon _ { \mathrm { c } } \sin ( \varphi _ { \mathrm { c } } \mathrm { - } \varphi _ { \mathrm { f } } ) ] + \zeta _ { \mathrm { c } } ( t ) } \\ { \dot { \varphi _ { \mathrm { t } } } = 2 \pi [ f _ { \mathrm { t } } - \lambda _ { \mathrm { c } } \sin ( \varphi _ { \mathrm { t } } \mathrm { - } \varphi _ { \mathrm { c } } ) - \varepsilon _ { \mathrm { t } } \sin ( \varphi _ { \mathrm { t } } \mathrm { - } \varphi _ { \mathrm { f } } ) ] + \zeta _ { \mathrm { t } } ( t ) . } \end{array} \right.