harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { 2 } \mathrm { U B } \gets \operatorname* { m a x } \ } & { \sum _ { j = 1 } ^ { q } \theta _ { j } + b ^ { \top } \beta } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \theta _ { j } \leq v ^ { \top } \pi ^ { j } , } & { v \in \hat { V } ^ { j } , ~ j \in J , } \\ & { r ^ { \top } \pi ^ { j } \geq 0 , } & { r \in \hat { R } ^ { j } , ~ j \in J , } \\ & { \sum _ { j = 1 } ^ { q } \theta _ { j } + b ^ { \top } \beta \leq \bar { z } , } \\ & { \sum _ { j : i \in I ( j ) } \pi _ { i } ^ { j } + \beta ^ { \top } A _ { i } = c _ { i } , } & { i = 1 , \ldots , n , } \\ & { \beta \geq 0 . } \end{array}
v _ { t + 1 } ( x ) : = \sigma \left( W v _ { t } ( x ) + \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( R _ { \phi } \cdot \left( \mathcal { F } v _ { t } \right) \right) ( x ) + \mathcal { U ^ { * } } s _ { t } ( x ) \right) , \quad \forall x \in D .
\left( \begin{array} { c } { \rho } \\ { v } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { - \frac { \alpha ( \alpha + 2 \beta ) } { 3 } } & { - \frac { \beta ( \alpha + 2 \beta ) } { 3 } } \\ { \alpha } & { - \beta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \rho _ { \circ } } \\ { \rho _ { \bullet } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { \frac { ( 2 \alpha + \beta ) ( 2 \beta + \alpha ) } { 9 } } \\ { \frac { \beta - \alpha } { 3 } } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { K } _ { \mathrm { G a u s s } } = { \frac { \sigma ^ { 2 } } { \pi \delta _ { X } \delta _ { Y } Q ^ { 2 } } } } & { { \left( \begin{array} { l l l l l } { { \frac { 2 } { \sigma _ { X } \sigma _ { Y } } } } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { - 1 } { A \sigma _ { Y } } } } & { { \frac { - 1 } { A \sigma _ { X } } } } \\ { 0 } & { { \frac { 2 \sigma _ { X } } { A ^ { 2 } \sigma _ { Y } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 2 \sigma _ { Y } } { A ^ { 2 } \sigma _ { X } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { { \frac { - 1 } { A \sigma _ { y } } } } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 2 \sigma _ { X } } { A ^ { 2 } \sigma _ { y } } } } & { 0 } \\ { { \frac { - 1 } { A \sigma _ { X } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 2 \sigma _ { Y } } { A ^ { 2 } \sigma _ { X } } } } \end{array} \right) } } \\ { \mathbf { K } _ { \operatorname { P o i s s o n } } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } } & { { \left( \begin{array} { l l l l l } { { \frac { 3 A } { \sigma _ { X } \sigma _ { Y } } } } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { - 1 } { \sigma _ { Y } } } } & { { \frac { - 1 } { \sigma _ { X } } } } \\ { 0 } & { { \frac { \sigma _ { X } } { A \sigma _ { Y } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { \sigma _ { Y } } { A \sigma _ { X } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { { \frac { - 1 } { \sigma _ { Y } } } } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 2 \sigma _ { X } } { 3 A \sigma _ { Y } } } } & { { \frac { 1 } { 3 A } } } \\ { { \frac { - 1 } { \sigma _ { X } } } } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { 3 A } } } & { { \frac { 2 \sigma _ { Y } } { 3 A \sigma _ { X } } } } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \quad \frac { p _ { \theta _ { * } + h / \sqrt { n } } ^ { n } } { p _ { \theta _ { * } } ^ { n } } ( X ^ { n } ) \frac { \pi ( \theta _ { * } + h / \sqrt { n } ) } { \pi ( \theta _ { * } ) } = \exp \Big ( u h - \frac { 1 } { 2 } \frac { j _ { \theta _ { * } } } { n } h ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 \sqrt { n } } \frac { \ell _ { \theta _ { * } } ^ { ( 3 ) } } { n } h ^ { 3 } \Big ) + O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( n ^ { - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { D } _ { \mathsf { K L } } ( \mathbb { P } _ { 0 } ( A _ { j } ) , \mathbb { P } _ { 1 } ( A _ { j } ) ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { D } _ { \mathsf { K L } } ( \mathbb { P } _ { 0 } ( A _ { i j } ) , \mathbb { P } _ { 1 } ( A _ { i j } ) ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( ( 1 - s ) \log \frac { 1 - s } { 1 - s } + s \mathbb { D } _ { \mathsf { K L } } \left( \boldsymbol { \mu } _ { ( g _ { c } , h _ { c } ) } ^ { ( i , j ) } , \boldsymbol { \mu } _ { ( a _ { c } , b _ { c } ) } ^ { ( i , j ) } \right) \right) } \\ & { \geq s n \overline { { D } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } / \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } / | \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } \to 0 , } \\ { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { 2 } | / \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } / | \Delta v _ { n } ^ { * } | \to 0 , } \\ { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } ^ { * } ( \Delta \mu _ { n } ) ^ { 2 } | / \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } / | \Delta v _ { n } | \to 0 , } \\ { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } | ^ { 3 } | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | / \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | \Delta \mu _ { n } | | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | / | \Delta v _ { n } ^ { * } | \to 0 , } \\ { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } | | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 3 } / \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | \Delta \mu _ { n } | | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | / | \Delta v _ { n } | \to 0 . } \end{array}
c o s ( \phi ) \ = \frac { 1 } { 2 \: | A _ { u } | \: | A _ { d } | } \ ( \tilde { K } _ { 1 1 } ( 1 , 1 ) / ( C _ { u } + C _ { d } ) \ - \ | A _ { u } | ^ { 2 } \ - \ | A _ { d } | ^ { 2 } )
A _ { i j } ^ { f } = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { { i } \leftarrow { j } } ^ { f } } & { \mathrm { i f ~ } i \neq j \in ~ \mathrm { f l u i d ~ l a y e r } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \quad \quad \mathrm { w h e r e } \quad \quad u _ { i \leftarrow j } ^ { f } = \frac { \gamma _ { j } ^ { f } } { 2 \pi \vert \mathbf { r } _ { j } ^ { f } - \mathbf { r } _ { i } ^ { f } \vert } .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } + \langle \! \langle A _ { 1 } \rangle \! \rangle _ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } ^ { + } E _ { + } + \langle \! \langle A _ { 1 } \rangle \! \rangle _ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } ^ { - } E _ { - } \, , } \\ { A _ { 2 } } & { = \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , w _ { 1 } } + \langle \! \langle A _ { 2 } \rangle \! \rangle _ { w _ { 2 } , w _ { 1 } } ^ { + } E _ { + } + \langle \! \langle A _ { 2 } \rangle \! \rangle _ { w _ { 2 } , w _ { 1 } } ^ { - } E _ { - } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int d ^ { 3 } r \, u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) u _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } & { = } & { \delta _ { i j } \; \; \; \; \; \mathrm { o r t h o n o r m a l i t y } } \\ { \sum _ { i } u _ { i } ( \mathrm { \bf ~ r } ) u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } & { = } & { \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \; \; \; \mathrm { c o m p l e t e n e s s } } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { g , \mathrm { v e c } } ( \mathcal { G } ) \approx \frac { 1 } { \left| E \right| } \sum _ { \mathcal { C } \in \mathcal { G } } | \mathcal { C } | I _ { c , \mathrm { v e c } } ( \mathcal { C } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { i , j } = \ensuremath { \langle \Psi _ { 0 } \vert } \hat { E } _ { i , j } \ensuremath { \vert \Psi _ { 0 } \rangle } = \sum _ { I = 1 } ^ { M } \sum _ { J = 1 } ^ { M } c _ { I } c _ { J } \ensuremath { \langle \Phi _ { I } \vert } \hat { E } _ { i , j } \ensuremath { \vert \Phi _ { J } \rangle } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { 4 } I _ { i } ( s , z ) = } & { \frac { R e \Omega } { d ^ { 1 0 } } \Bigg ( d ^ { 1 0 } ( 1 + s R e P r ) \lambda _ { i } ^ { 3 } + 2 d ^ { 8 } \lambda _ { i } \bigg ( \lambda _ { i } ^ { 2 } + 3 \lambda _ { i } ( 1 + s R e P r ) ( z - z _ { d } ) - 3 ( 1 + s R e P r ) \bigg ) } \\ & { + 4 d ^ { 6 } \bigg ( - 9 \lambda _ { i } - 3 ( z - z _ { d } ) ( 1 + s R e P r - 3 \lambda _ { i } ^ { 2 } ) + ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } \lambda _ { i } \big ( 3 ( 1 + s R e P r ) - \lambda _ { i } ^ { 2 } \big ) \bigg ) } \\ & { + 8 d ^ { 4 } ( z - z _ { d } ) \bigg ( - 1 5 + 1 8 \lambda _ { i } ( z - z _ { d } ) + ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } \big ( 1 + s R e P r - 3 \lambda _ { i } ^ { 2 } \big ) \bigg ) } \\ & { + 1 6 d ^ { 2 } ( z - z _ { d } ) ^ { 3 } \big ( 1 0 - 3 \lambda _ { i } ( z - z _ { d } ) \big ) - 3 2 ( z - z _ { d } ) ^ { 5 } \Bigg ) \exp \bigg ( - \lambda _ { i } z - \frac { ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) } \end{array}
\mathcal { T } = 4 \frac { \bar { \eta } } { \Xi _ { 1 } } \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi _ { + } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i \phi _ { - } } } \end{array} \right] , \, \mathcal { R } = \frac { \Xi _ { 2 } } { \Xi _ { 1 } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \sum \mathbf { F } } & { { } = m \mathbf { a } , } \\ { \mathbf { F } _ { \mathrm { G } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { D } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { M } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { B } } } & { { } = m \mathbf { a } = m { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } = m { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { r } } { d t ^ { 2 } } } , } \end{array}
\hat { q } ^ { 2 } = \frac { q ^ { 2 } } { { m _ { b } } ^ { 2 } } \, \, , \, \, ~ ~ ~ y = \frac { 2 E _ { \tau } } { m _ { b } } \, \, , ~ ~ ~ \, \, x = \frac { 2 E _ { \nu } } { m _ { b } } \, \, ,
J ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r } & { J _ { 0 } \sin ^ { 2 } ( \pi t / ( 2 \eta T ) ) , } & { 0 \le t < \eta T , } \\ & { J _ { 0 } , } & { \eta T \le t < ( 1 - \eta ) T , } \\ & { J _ { 0 } \sin ^ { 2 } ( \pi / 2 ( 1 - ( t - ( 1 - \eta ) T ) / ( \eta T ) ) ) , } & { ( 1 - \eta ) T \le t < T , } \\ & { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\frac { \cal D } { R ^ { 2 } } \nabla ^ { 2 } L _ { \nu _ { \alpha } } \simeq - \Gamma _ { i n t } \, \rho \left( \frac { \ell _ { i n t } ^ { ( 0 ) } } { \lambda ^ { ( 0 ) } } \right) ^ { 2 } \, L _ { e q } ^ { 0 } \equiv - D \, L _ { e q } ^ { 0 }
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } + \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 1 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } } \\ & { \ne } & { \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | H _ { W } | \tilde { \Psi } _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } + \frac { \langle \tilde { \Psi } _ { f } ^ { ( 1 ) } | H _ { W } | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } } \\ & { \ne } & { \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } + \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | H _ { W } | \tilde { \Psi } _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } } \\ & { \ne } & { \frac { \langle \tilde { \Psi } _ { f } ^ { ( 1 ) } | H _ { W } | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } + \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 1 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } . } \end{array}
5 F _ { 6 } ^ { 2 } = 3 2 0 \equiv - 5 { \pmod { 1 3 } } \; \; { \mathrm { ~ a n d ~ } } \; \; 5 F _ { 7 } ^ { 2 } = 8 4 5 \equiv 0 { \pmod { 1 3 } }
\begin{array} { r l } { f _ { ( 0 , 1 / 2 , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) = } & { \sum _ { m \in \mathbb { Z } } e ^ { \pi i \left( \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 8 } \right) m ^ { 2 } } e ^ { 2 \pi i m \left( \frac { ( f - g ) ( \tau ) } { 1 6 } + \frac { x + 1 } { 2 } \right) } } \\ { = } & { \theta \left( \frac { ( f - g ) ( \tau ) } { 1 6 } + \frac { x + 1 } { 2 } , \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 8 } \right) } \end{array}
\begin{array} { l l l l } { { g ^ { \prime } } } & { { \simeq } } & { { 1 . 7 \pm 0 . 5 ~ , } } \\ { { g } } & { { \simeq } } & { { 4 . 6 \pm 1 . 0 ~ ~ ~ \mathrm { G e V } ^ { - 2 } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } { \frac { \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) + \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) + 2 \cot \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } { \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) + \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) } } = { \frac { 4 s - a - b - 2 c } { 2 s - a - b } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { m } } { \partial t } = } & { \frac { c } { n } \left( \nabla \left[ D \nabla \rho _ { m } \right] - \frac { \rho _ { m } } { \alpha _ { m } } - \frac { \rho _ { m } } { \alpha _ { f } } \right) } \\ { \frac { \partial \rho _ { f } } { \partial t } = } & { \frac { c } { n } \frac { \rho _ { m } } { \alpha _ { f } } ; } \end{array}
m ^ { p } \: { \mathrm { ( i t e r a t e d ~ l i n e ~ i n t e g r a l s ~ i n ~ b o s o n i c ~ p o t e n t i a l s ~ a n d ~ f i e l d s ) } } \; T ^ { \mathrm { \scriptsize { r e g } } \: ( n ) } ( s , l ) \; ,
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } = } & { \frac { 1 } { L _ { 2 } ^ { 2 } } \left( d \rho _ { 0 , \xi } + \frac { 1 } { L _ { 2 } } \, d \rho _ { 1 , \xi } \right) \wedge \left( d \rho _ { 0 , \eta } + \frac { 1 } { L _ { 2 } } \, d \rho _ { 1 , \eta } \right) = \frac { 1 } { L _ { 2 } ^ { 3 } } \, \left[ d \rho _ { 0 , \xi } \wedge d \rho _ { 1 , \eta } + d \rho _ { 1 , \xi } \wedge d \rho _ { 0 , \eta } + \frac { 1 } { L _ { 2 } } \, d \rho _ { 1 , \xi } \wedge d \rho _ { 1 , \eta } \right] , } \\ { R _ { 2 } = } & { d \rho _ { \xi } \wedge d \rho _ { \eta } - R _ { 1 } } \end{array}
\frac { \lambda _ { L _ { 1 } } } { \lambda _ { K } } = \frac { n _ { L _ { 1 } } q _ { L _ { 1 } } ^ { 4 } \beta _ { L _ { 1 } } ^ { 2 } B _ { L _ { 1 } } S _ { L _ { 1 } } } { n _ { K } q _ { K } ^ { 4 } \beta _ { K } ^ { 2 } B _ { K } S _ { K } } ,
S ^ { s , r , l , b } ( ^ { \mathrm { s c } \mathrm { - } \mathrm { b } } T ^ { * } M ) = \rho _ { { \mathrm { t f } } _ { \mathrm { s c } \mathrm { - } \mathrm { b } } } ^ { - l } \rho _ { { \mathrm { z f } } _ { \mathrm { s c } \mathrm { - } \mathrm { b } } } ^ { - b } S ^ { s , r } ( ^ { \mathrm { s c } \mathrm { - } \mathrm { b } } T ^ { * } M )
\begin{array} { r l } { T _ { \mu \nu } ^ { \quad i } \left( n \right) } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { \ell } ^ { \mu } } \left( \cos \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) e _ { \nu } ^ { i } \left( n + \widehat { \mu } \right) - \epsilon ^ { i j k } \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \mu } ^ { j } \left( n \right) e _ { \nu } ^ { k } \left( n + \widehat { \mu } \right) \right. } \end{array}
{ \frac { 1 } { Z _ { \varphi } } } = { \frac { \Gamma _ { 2 } ( p = 0 ) } { M _ { h } ^ { 2 } } } = { \frac { { \frac { \lambda } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \ln \omega ^ { 2 } } { { \frac { 3 } { 2 } } - { \frac { \lambda } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \ln \omega ^ { 2 } } }
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \partial _ { t } m } & { = \nabla \cdot \left[ \nabla m - 2 \beta ( \phi - m ^ { 2 } ) ( \nabla J * m ) \right] , \quad ( t , x ) \in ( 0 , T ) \times \Omega = : Q _ { T } , } \\ { \partial _ { t } \phi } & { = \nabla \cdot \left[ \nabla \phi - 2 \beta m ( 1 - \phi ) ( \nabla J * m ) \right] + F ( \phi ) . } \end{array} \right.
H _ { B } ^ { \mathrm { b a r e } } ~ = ~ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \Bigl ( \sigma _ { k + 1 } ^ { x } \sigma _ { k } ^ { x } + \sigma _ { k + 1 } ^ { y } \sigma _ { k } ^ { y } + \Delta \sigma _ { k + 1 } ^ { z } \sigma _ { k } ^ { z } \Bigr ) + h \sigma _ { 1 } ^ { z } ~ .
\operatorname { V O V } _ { k } = \frac { \operatorname { V a r } \left( \sigma _ { \mathrm { s t a t } , \mathrm { s i m } , k } ^ { 2 } \right) } { \sigma _ { \mathrm { s t a t } , \mathrm { s i m } , k } ^ { 4 } } = \frac { \left( N _ { \mathrm { p r } } - N _ { \mathrm { d e p } } \right) \cdot c _ { \mathrm { s i m } , k } ^ { 4 } + \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d e p } } } \left( c _ { \mathrm { s i m } , k l } - c _ { \mathrm { s i m } , k } \right) ^ { 4 } } { \left[ \left( N _ { \mathrm { p r } } - N _ { \mathrm { d e p } } \right) \cdot c _ { \mathrm { s i m } , k } ^ { 2 } + \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d e p } } } \left( c _ { \mathrm { s i m } , k l } - c _ { \mathrm { s i m } , k } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } - \frac { 1 } { N _ { \mathrm { p r } } }
\begin{array} { r } { \Delta h { { T } _ { a } } = h { { T } ^ { n + 1 } } - h { { T } ^ { n } } = - \Delta t { { \left[ \frac { \partial \left( h { { { \bar { u } } } _ { i } } T _ { b } \right) } { \partial { { x } _ { i } } } - \frac { \Delta t } { 2 } { { u } _ { k } } \frac { \partial } { \partial { { x } _ { k } } } \left( \frac { \partial \left( h { { { \bar { u } } } _ { i } } T _ { b } \right) } { \partial { { x } _ { i } } } \right) \right] } ^ { n } } + \Delta t \frac { \partial } { \partial { { x } _ { i } } } \left( h k \frac { \partial { { T } ^ { n + { { \theta } _ { 3 } } } } } { \partial { { x } _ { i } } } \right) } \end{array}
\left( { \begin{array} { l l l } { x } & { y } & { z } \\ { x _ { 1 } } & { y _ { 1 } } & { z _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } & { y _ { 2 } } & { z _ { 2 } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l } { a } \\ { b } \\ { c } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r c l } { K _ { M } ^ { - 1 } \left( \overline { { s } } - \underline { { s } } \right) } & { = } & { \displaystyle \int _ { \alpha } ^ { \beta } W ^ { \prime } ( x ) \, \mathrm { d } x = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \frac { \mathrm { d } x } { x + \exp ( W ( x ) ) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \eta \left. \frac { \partial u ( z , t ) } { \partial z } \right| _ { z = h } = \int _ { 0 } ^ { t } \lambda ( t - t ^ { \prime } ) \left[ - u ( h , t ^ { \prime } ) \right] \, \mathrm { d } t ^ { \prime } , } \\ { \eta \left. \frac { \partial u ( z , t ) } { \partial z } \right| _ { z = 0 } = \int _ { 0 } ^ { t } \lambda ( t - t ^ { \prime } ) \left[ u ( 0 , t ^ { \prime } ) - U ( t ^ { \prime } ) \right] \, \mathrm { d } t ^ { \prime } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \eta \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } } { d } \rho _ { \mathrm { L 1 } } \cdot n _ { \mathrm { L 1 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } + d } { d } } = \lambda C _ { \mathrm { L 1 } } } & { \Rightarrow n _ { \mathrm { L 1 } } \propto ( \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } \rho _ { \mathrm { L 1 } } } { C _ { \mathrm { L 1 } } } ) ^ { \frac { d } { \nu _ { \mathrm { L 1 } } + d } } } \\ { \eta \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } } { d } \rho _ { \mathrm { L 2 } } \cdot n _ { \mathrm { L 2 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } + d } { d } } = \lambda C _ { \mathrm { L 2 } } } & { \Rightarrow n _ { \mathrm { L 2 } } \propto ( \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } \rho _ { \mathrm { L 2 } } } { C _ { \mathrm { L 2 } } } ) ^ { \frac { d } { \nu _ { \mathrm { L 2 } } + d } } } \\ { \eta \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } } { d } n _ { \mathrm { H F } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } + d } { d } } = \lambda C _ { \mathrm { H F } } } & { \Rightarrow n _ { \mathrm { H F } } \propto ( \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } } { C _ { \mathrm { H F } } } ) ^ { \frac { d } { \nu _ { \mathrm { H F } } + d } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { N ( t ) = \frac { \lambda _ { p } P _ { p } } { \gamma h c A _ { p } } \left( 1 - \alpha _ { p } L \right) \left( 1 - \textnormal { e } ^ { - b \gamma t } \right) + N _ { m } \textnormal { e } ^ { - b \gamma t } . } \end{array}
\tau \longmapsto \mathcal { L } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } - \omega _ { 0 } \, \tau , \tilde { \psi } _ { 1 } - \omega _ { 1 } \, \tau , \tilde { \gamma } _ { 3 } - \omega _ { 2 } \, \tau , \tilde { \ell } _ { 3 } - \omega _ { 3 } \, \tau , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right)
{ \bf 2 } ^ { P _ { 1 } } \otimes { \bf 2 } ^ { P _ { 2 } } = { \bf 2 } ^ { P _ { 1 } P _ { 2 } } \oplus { \bf 1 } _ { \bf A } ^ { P _ { 1 } P _ { 2 } } \oplus { \bf 1 } _ { \bf S } ^ { P _ { 1 } P _ { 2 } } ,
V _ { 7 } ( \vec { x } ) = - { \frac { \alpha } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } + { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 M ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } } \Bigg ( { \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } z } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } + F \bigg ( { \frac { y } { x } } \bigg ) \Bigg ) \enspace .
\begin{array} { r l r } { x _ { p h } ( \alpha , \beta = \pm 1 ) } & { = } & { 2 + 2 \cos \left[ \frac { 2 } { 3 } \operatorname { a r c c o s } ( - \alpha \beta ) \right] , } \\ { x _ { m b } ( \alpha , \beta = \pm 1 ) } & { = } & { \left( 1 + \sqrt { 1 - \alpha \beta } \right) ^ { 2 } = 2 - \alpha \beta + 2 \sqrt { 1 - \alpha \beta } , } \\ { x _ { m s } ( \alpha , \beta = \pm 1 ) } & { = } & { 3 + Z _ { 2 } - \beta \sqrt { ( 3 - Z _ { 1 } ) ( 3 + Z _ { 1 } + 2 Z _ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) \! = \! } & { { } \sum _ { j _ { z } } \left[ C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } h ( { \bf k } ) C _ { { \bf k } , j _ { z } } + C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } T _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { S } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 L \sin 2 \ensuremath { \theta _ { 2 3 } } | a _ { \mu \tau } | \cos \phi _ { \mu \tau } , } & { \mathrm { C P T - v i o l a t i n g ~ L I V } . } \\ { - \frac { 8 } { 3 } E L \sin 2 \ensuremath { \theta _ { 2 3 } } | c _ { \mu \tau } | \cos \phi _ { \mu \tau } , } & { \mathrm { C P T - c o n s e r v i n g ~ L I V } . } \end{array} \right. } \end{array}
M _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { e e } } } & { { - \delta _ { e } \delta _ { \mu } / M } } & { { - \delta _ { e } \delta _ { \tau } / M } } \\ { { - \delta _ { e } \delta _ { \mu } / M } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \delta _ { e } \delta _ { \tau } / M } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\operatorname * { l i m } _ { v \to x _ { i } } \left[ ( \partial _ { x } + \partial _ { u } ) ^ { 2 } f ( x , x _ { i } , u , v ) \right] = - ( 2 \pi ) ^ { 2 } \frac { ( x - u ) ^ { 2 } } { ( x - x _ { i } ) ^ { 2 } ( u - x _ { i } ) ^ { 2 } } \: g ( x , x _ { i } , u ) \; .
\begin{array} { r l } { d ( \psi _ { * } \tilde { \mu } _ { x } ^ { \delta _ { n } } ) ( w ) } & { = | \operatorname* { d e t } D _ { w } \psi | \ d \tilde { \mu } _ { x } ^ { \delta _ { n } } ( w ) } \\ & { = ( 1 + g _ { \delta } ( w ) ) d \tilde { \mu } _ { x } ^ { \delta _ { n } } ( w ) } \\ & { = \frac { d ( \exp _ { x } ^ { - 1 } ) _ { * } \nu _ { x } ^ { \delta _ { n } } } { d \tilde { \mu } _ { x } ^ { \delta _ { n } } } ( w ) d \tilde { \mu } _ { x } ^ { \delta _ { n } } ( w ) } \\ & { = d ( ( \exp _ { x } ^ { - 1 } ) _ { * } \nu _ { x } ^ { \delta _ { n } } ) ( w ) } \end{array}
\alpha _ { u , j } ^ { \perp } \equiv \frac { 2 \pi \nu D _ { u } { d _ { 2 } ^ { u } / d _ { 1 } ^ { u } } } { 1 + { \nu D _ { u } / d _ { 1 } ^ { u } } + 2 \pi \nu \kappa _ { u , j } ^ { \perp } } \, , \qquad \alpha _ { v , j } ^ { \perp } \equiv \frac { 2 \pi \nu D _ { v } { d _ { 2 } ^ { v } / d _ { 1 } ^ { v } } } { 1 + { \nu D _ { v } / d _ { 1 } ^ { v } } + 2 \pi \nu \kappa _ { v , j } ^ { \perp } } \, .
\operatorname* { l i m } _ { t \searrow 0 } \frac { 1 } { t } \left( O T ( \mu _ { t } , \nu _ { t } , c _ { t } ) - O T ( \mu , \nu , c ) \right) = \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi _ { c } ^ { \star } ( \mu , \nu ) } \pi ( \Delta ^ { c } ) + \operatorname* { s u p } _ { f \in S \! _ { c } ( \mu , \nu ) } \Delta ^ { \mu } ( f ^ { c c } ) + \Delta ^ { \nu } ( f ^ { c } ) .
\begin{array} { r } { [ \mathbf { I } _ { R } ( \delta ) - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { I } _ { R } ( 0 ) ] = 2 | t r | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \mathbf { I } _ { 0 } ( \sigma ) \cos { [ 2 \pi \delta \sigma ] } \mathrm { d } \sigma } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \bigg [ \frac { h } { \log h ^ { \beta - 1 } } } & { \log p _ { h ^ { \beta } t } ^ { h } ( x , y ) - h d _ { h } ^ { c } ( x , y ) \bigg ] } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left[ h d _ { h } ^ { c } ( x , y ) \left( \frac { \log ( h ^ { \beta - 2 } ) - \log d _ { h } ^ { c } ( x , y ) } { \log h ^ { \beta - 1 } } - 1 \right) \right] \ . } \end{array}