harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S _ { v i s } \supset \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \overline { { { g } } } } e ^ { - 4 k r _ { c } \pi } \{ \overline { { { g } } } ^ { \mu \nu } e ^ { 2 k r _ { c } \pi } D _ { \mu } H ^ { \dagger } D _ { \nu } H - \lambda ( | H | ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \} ,
\begin{array} { r l } & { S _ { L } [ \phi _ { c } ; K ] = { \frac { 1 } { 2 b ^ { 2 } } } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \Bigg [ { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { R ^ { 1 / \epsilon } } d ^ { 2 } z \left[ \partial \phi _ { c } \, \overline { { \partial } } \phi _ { c } - K e ^ { \phi _ { c } } \right] + { \frac { \epsilon } { \pi } } \int _ { | z | = 1 / \epsilon } | d z | \phi _ { c } - 4 \log \epsilon } \\ & { \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \bigg [ { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { H _ { i } ^ { \epsilon } } d ^ { 2 } z \, \partial \phi _ { c } \, \overline { { \partial } } \phi _ { c } + { \frac { 1 } { 2 \pi \epsilon } } \int _ { | z - \xi _ { i } | = \epsilon } | d z | \phi _ { c } + \log \epsilon \bigg ] + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } ^ { 2 } \log r _ { i } [ H _ { i } ] + \mathcal { O } ( b ^ { 2 } ) \Bigg ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( p _ { 2 b } ) } & { = t _ { b + 1 } } \\ { \phi _ { 1 } ( p _ { 2 b + 1 } ) } & { = ( t _ { b + 1 } ) ^ { - 1 } } \\ { \phi _ { 1 } ( p _ { 2 b + 2 } ) } & { = t _ { b } } \\ { \phi _ { 2 } ( p _ { 2 b } ) } & { = t _ { b } } \\ { \phi _ { 2 } ( p _ { 2 b + 1 } ) } & { = t _ { b + 1 } } \\ { \phi _ { 2 } ( p _ { 2 b + 2 } ) } & { = ( t _ { b + 1 } ) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( r , N ) } & { { } = N ^ { - \alpha _ { 1 } } f ( ( r - r _ { s } ) \, N ^ { \alpha _ { 2 } } ) , } \\ { r ( N ) } & { { } = r _ { s } + \alpha _ { 1 } N ^ { - \alpha _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { S } _ { z } } & { { } = } & { ( - i ) \hbar \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } ^ { \prime } } { \partial t } - \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { \prime } + 2 \boldsymbol { \Omega } \times \mathbf { u } ^ { \prime } + \left( \left\langle \mathbf { U } \right\rangle \cdot \nabla \right) \mathbf { u } ^ { \prime } + \left( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { U } \right\rangle - \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \cdot \nabla \right) \mathbf { b } ^ { \prime } - \left( \mathbf { b } ^ { \prime } \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { B } \right\rangle } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { S U ( 2 N _ { f } ) ^ { 3 } } } & { { 2 N _ { c } d ^ { ( 3 ) } ( 2 N _ { f } ) , } } \\ { { S U ( 2 N _ { f } ) ^ { 2 } U ( 1 ) _ { R } } } & { { 2 \frac { N _ { c } ^ { \prime } ( N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) - N _ { c } ( N _ { c } + 1 ) } { N _ { f } } d ^ { ( 2 ) } ( 2 N _ { f } ) , } } \\ { { U ( 1 ) _ { R } ^ { 3 } } } & { { N _ { c } ( 2 N _ { c } + 1 ) + N _ { c } ^ { \prime } ( 2 N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) + 4 \frac { [ N _ { c } ^ { \prime } ( N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) - N _ { c } ( N _ { c } + 1 ) ] ^ { 3 } } { N _ { f } ^ { 2 } N _ { c } ^ { 2 } } - 4 \frac { N _ { c } ^ { \prime } ( N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) ^ { 3 } } { N _ { c } ^ { 2 } } , } } \\ { { U ( 1 ) _ { R } } } & { { - N _ { c } ( 2 N _ { c } + 3 ) + N _ { c } ^ { \prime } ( 2 N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { k } ( n + 1 ) } & { = \left( 1 - \alpha \right) \mathbf { r } _ { k } ( n ) + \alpha \operatorname { t a n h } \left( \mathbf { A } \mathbf { r } _ { k } ( n ) + \mathbf { W } _ { \mathrm { i n } } \mathbf { u } _ { k } ( n ) + \mathbf { b } \right) } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { k } ( n + 1 ) } & { = \mathbf { W } _ { \mathrm { o u t } } ^ { k } \mathbf { r } _ { k } ( n + 1 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \vec { \delta } _ { L i } } { d t } = i C _ { L L } \vec { \Delta } _ { L L i } + i C _ { L R } \vec { \Delta } _ { L R i } } \\ { \frac { d \vec { \delta } _ { R i } } { d t } = i C _ { L R } \vec { \Delta } _ { R L i } + i C _ { R R } \vec { \Delta } _ { R R i } } \end{array}
a \frac { d } { d a } \lambda _ { 2 M i n k } = - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 2 M i n k } ^ { 2 } + 2 \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - 2 \frac { q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle = } & { { } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 1 } \, \int _ { t _ { 1 } } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 2 } \, 2 \, k _ { \mathrm { f } } ( t _ { 1 } ) \, k _ { \mathrm { f } } ( t _ { 2 } ) \, e ^ { - 2 \, \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ D _ { N } ^ { * } ( Y ) ] = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbb { P } ( D _ { N } ^ { * } ( Y ) \ge t ) d t } \\ & { = \int _ { 1 - e ^ { \frac { C _ { 1 } ( d , \Sigma _ { 0 } , N ) } { C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) } } } ^ { 1 - e ^ { \frac { C _ { 1 } ( d , \Sigma _ { 0 } , N ) - 1 } { C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) } } } \mathbb { P } \Big ( D _ { N } ^ { * } ( Y ) \ge ( \sqrt { 2 } \cdot \Sigma _ { 0 } + 1 ) \frac { A ( d , q _ { 0 } , N ) } { N } \Big ) \cdot C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) \cdot \frac { 1 } { 1 - q _ { 0 } } d q _ { 0 } } \\ & { = \int _ { q } ^ { 1 - e ^ { \frac { C _ { 1 } ( d , \Sigma _ { 0 } , N ) - 1 } { C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) } } } C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) \cdot \frac { 1 - q _ { 0 } } { 1 - q _ { 0 } } d q _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - ( n + 1 ) \theta _ { N - k - 1 } } Y _ { t ^ { * } } ( t _ { N - k - 1 } - n - 1 ) = } & { e ^ { - t _ { N - k - 1 } \theta _ { N - k - 1 } } e ^ { ( t _ { N - k - 1 } - n - 1 ) \theta _ { N - k - 1 } } Y _ { t ^ { * } } ( t _ { N - k - 1 } - n - 1 ) } \\ { = } & { e ^ { - t _ { N - k - 1 } \theta _ { N - k - 1 } } e ^ { m \theta _ { N - k - 1 } } Y _ { t ^ { * } } ( m ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( x , t ) = } & { \frac { x _ { 2 } } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } ) } { | \xi _ { 1 } - x _ { 1 } | ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } \mathrm { d } \xi _ { 1 } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \left[ \phi \left( \frac { \xi _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \int _ { \mathbb { R } } \varLambda _ { 2 } ( \xi , x ) \cdot \varTheta ( ( \xi _ { 1 } , 0 ) , t ) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \right] \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ & { - \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t < \zeta ( Y ^ { \eta } ) \} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( Y _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( Y _ { t } ^ { \eta } , x ) \cdot R ( \eta , t ; 0 ) \varTheta ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( Y ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( Y _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( Y _ { t } ^ { \eta } , x ) \cdot R ( \eta , t ; s ) \alpha _ { \varepsilon } \left( Y _ { s } ^ { \eta } , s \right) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
\frac { - i e } { 8 \pi ^ { 3 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! \! \! d k ^ { + } { \frac { e ^ { - i K \Delta ^ { - } } } { K ^ { 2 } } } \Biggl \{ - { \frac { 4 } { \Delta ^ { 4 } } } + { \frac { m ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } } + \Bigl [ { \frac { m ^ { 2 } } { 8 } } + { \frac { \beta ^ { 2 } } { 3 } } + { \frac { e A _ { - } ^ { \prime \prime } K } { 6 } } + { \frac { ( e A _ { - } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 1 2 } } \Bigr ] \ln ( \Delta ^ { 2 } ) + O ( 1 ) \Biggr \} .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( L ( \theta _ { m + 1 } ) | \mathcal { F } _ { m - 1 } \right) \leq } & { { } L ( \theta _ { m } ) - \eta _ { m } \left| \nabla _ { \theta } L ( \theta _ { m } ) \right| ^ { 2 } + \frac { C \eta _ { m } ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } ( | G _ { m } | ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { m - 1 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { e _ { K _ { A } } = \rho _ { A } \vert v _ { A } \vert ^ { 2 } / 2 , } \\ { e _ { K _ { B } } = \rho _ { B } \vert v _ { B } \vert ^ { 2 } / 2 , } \\ { e _ { K _ { S } } = \rho _ { S } \vert v _ { S } \vert ^ { 2 } / 2 , } \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l l } { e _ { D _ { A } } = \mu _ { A } \vert D ( v _ { A } ) \vert ^ { 2 } + \lambda _ { A } \vert \mathrm { { d i v } } v _ { A } \vert ^ { 2 } , } \\ { e _ { D _ { B } } = \mu _ { B } \vert D ( v _ { B } ) \vert ^ { 2 } + \lambda _ { B } \vert { \mathrm { d i v } } v _ { B } \vert ^ { 2 } , } \\ { e _ { D _ { S } } = \mu _ { S } \vert D _ { \Gamma } ( v _ { S } ) \vert ^ { 2 } + \lambda _ { S } \vert \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } \vert ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { E } & { = \sum _ { i < j } P ( { \bf r } _ { i } ) Q _ { \alpha \gamma } ( { \bf r } _ { i } ) G _ { \alpha \beta , \gamma \delta } ( { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } ) P ( { \bf r } _ { j } ) Q _ { \beta \delta } ( { \bf r } _ { j } ) } \\ & { + \sum _ { i } P ( { \bf r } _ { i } ) Q _ { \alpha \gamma } ( { \bf r } _ { i } ) h _ { \alpha \gamma } ( { \bf r } _ { i } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \bar { x } _ { \alpha ^ { \prime } } | = | \bar { x } _ { \alpha ^ { \prime } } | } & { \geq | x _ { \alpha } | - | x _ { \alpha } - x _ { \alpha } ^ { \prime } | - | x _ { \alpha } ^ { \prime } - \bar { x } _ { \alpha ^ { \prime } } | } \\ & { \geq 1 - \rho c _ { \alpha } / 2 + \epsilon _ { Q } - 2 \epsilon _ { P } - \rho ( c _ { \alpha ^ { \prime } } - c _ { \alpha } ) / 2 } \\ & { \geq 1 - \rho c _ { \alpha ^ { \prime } } / 2 + \epsilon _ { P } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { 1 1 } } & { { } \approx \hat { S } _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } + a _ { 1 1 1 } ^ { ( 2 ) } | g _ { p } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p 1 } ^ { \dagger } \hat { E } _ { p 1 } , } \\ { \hat { S } _ { 2 2 } } & { { } \approx \hat { S } _ { 2 2 } ^ { ( 0 ) } + a _ { 2 2 2 } ^ { ( 2 ) } | g _ { p } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p 2 } ^ { \dagger } \hat { E } _ { p 2 } , } \\ { \hat { S } _ { 2 1 } } & { { } \approx \hat { S } _ { 2 1 } ^ { ( 0 ) } + a _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } | g _ { p } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p 2 } ^ { \dagger } \hat { E } _ { p 1 } . } \end{array}
\mathrm { ~ C ~ N ~ N ~ } : \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { s } , f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) \mapsto \boldsymbol { \phi } _ { d } ^ { 1 1 } , \boldsymbol { \phi } _ { d } ^ { 1 2 } , \boldsymbol { \phi } _ { d } ^ { 2 2 } \qquad d = - D , \ldots D ,
t _ { \mathrm { e v } } = { \frac { 5 1 2 0 \pi G ^ { 2 } M ^ { 3 } } { \hbar c ^ { 4 } } } = { \frac { 4 8 0 c ^ { 2 } V } { \hbar G } } \approx 3 . 3 9 6 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \, \mathrm { s } \ \left( { \frac { M } { \mathrm { k g } } } \right) ^ { 3 } \approx 2 . 1 4 0 \times 1 0 ^ { 6 7 } \, { \mathrm { y e a r s } } \ \left( { \frac { M } { M _ { \odot } } } \right) ^ { 3 } ,
\frac { { \stackrel { 0 } { M } } _ { i j } } { { \stackrel { 0 } { M } } _ { j j } - { \stackrel { 0 } { M } } _ { i i } } = \frac { c _ { i j } s _ { i j } } { c _ { i j } ^ { 2 } - s _ { i j } ^ { 2 } } \simeq \frac { s _ { i j } } { c _ { i j } } \; \; ( i j = 1 4 \, , \, 2 5 \, , \, 3 6 ) \, ,
\frac { P _ { \pi \pi } } { T _ { \pi \pi } } = - \frac { 1 } { R _ { b } } \, \frac { ( a _ { 4 } ^ { c } + r _ { \chi } ^ { \pi } a _ { 6 } ^ { c } ) + ( a _ { 1 0 } ^ { c } + r _ { \chi } ^ { \pi } a _ { 8 } ^ { c } ) + r _ { A } [ b _ { 3 } + 2 b _ { 4 } - \frac 1 2 ( b _ { 3 } ^ { \mathrm { E W } } - b _ { 4 } ^ { \mathrm { E W } } ) ] } { ( a _ { 1 } + a _ { 4 } ^ { u } + r _ { \chi } ^ { \pi } a _ { 6 } ^ { u } ) + ( a _ { 1 0 } ^ { u } + r _ { \chi } ^ { \pi } a _ { 8 } ^ { u } ) + r _ { A } [ b _ { 1 } + b _ { 3 } + 2 b _ { 4 } - \frac 1 2 ( b _ { 3 } ^ { \mathrm { E W } } - b _ { 4 } ^ { \mathrm { E W } } ) ] } \, ,
f _ { - } ^ { n } = \frac { D _ { 0 } ^ { n - 1 } } { D _ { 0 } ^ { n } } , \; f _ { 0 } ^ { n } = \frac { \dot { D } _ { 0 } ^ { n } } { D _ { 0 } ^ { n } } + \tau , \; f _ { + } ^ { 0 } = \frac { D _ { 0 } ^ { n + 1 } } { D _ { 0 } ^ { n } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta f } { f _ { r } } = } & { ~ \frac { F \delta _ { \mathrm { T L S } } ^ { 0 } } { \pi } \bigg ( \mathrm { R e } \bigg \{ \Psi \bigg ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { h f _ { r } } { 2 i \pi k _ { B } T } \bigg ) \bigg \} + } \\ & { - \ln { \frac { h f _ { r } } { 2 \pi k _ { B } T } } \bigg ) - \alpha \frac { \Delta L _ { \mathrm { k } } } { L _ { \mathrm { k } } } , } \end{array}
\sigma ( \mu _ { L } ^ { + } \mu _ { L } ^ { - } \to H ^ { * } ( h ^ { * } ) , A ^ { * } \to \mathrm { a l l } ) \ = \ \sigma ( \mu _ { R } ^ { + } \mu _ { R } ^ { - } \to H ^ { * } ( h ^ { * } ) , A ^ { * } \to \mathrm { a l l } ) \, ,
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { R } } = E _ { \mathrm { n } } \left\{ 1 - \left( \frac { m _ { \mathrm { n } } \cos \theta + \sqrt { m _ { \mathrm { N } } ^ { 2 } - m _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { m _ { \mathrm { n } } + m _ { \mathrm { N } } } \right) ^ { 2 } \right\} , } \end{array}
\tilde { \rho } = \psi ^ { * } \psi , \qquad \vec { J } _ { S } = \frac { \hbar } { 2 m _ { e } i } [ \psi ^ { * } \vec { \nabla } \psi - ( \vec { \nabla } \psi ^ { * } ) \psi ] - \frac { e } { m _ { e } } \vec { A } \tilde { \rho } = \tilde { \rho } ( \frac { \hbar } { m _ { e } } \vec { \nabla } \phi - \frac { e } { m _ { e } } \vec { A } ) .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ D ~ O ~ S ~ } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ / ~ h ~ } } = \sum _ { j } \rho _ { j } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ / ~ h ~ } } } \\ { \mathrm { ~ D ~ O ~ S ~ } ^ { \mathrm { ~ e ~ h ~ } } = \sum _ { j , r } \rho _ { j , r } ^ { \mathrm { ~ e ~ h ~ } } . } \end{array}
B ( x , t ) = \frac { B _ { i n } ( x ) } { \Gamma _ { i n } } \delta ( t ) - \frac { \zeta \gamma } { 4 \Gamma _ { i n } } \Theta ( t ) e ^ { - \gamma t / 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n \left( - \frac { \zeta \gamma t } { 4 } \right) ^ { n - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta _ { i } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots k _ { N } \in p _ { N } ( n ) } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \xi _ { j } ^ { k _ { j } } } { k _ { j } ! } R \left( \begin{array} { l l l l l } { q _ { 1 } } & { \ldots } & { q _ { i } } & { \ldots } & { q _ { N } } \\ { k _ { 1 } } & { \ldots } & { k _ { i } + 1 } & { \ldots } & { k _ { N } } \end{array} ; x \right) .
\begin{array} { r l } { \beta _ { 0 j } } & { = \gamma _ { 0 0 } + \gamma _ { 0 1 } \mathrm { W o m a n } + \gamma _ { 0 2 } \mathrm { I n t } } \\ & { \indent + \gamma _ { 0 3 } ( \mathrm { I n t } \ast \mathrm { W o m a n } ) + \gamma _ { 0 4 } \mathrm { E q u i p P r e f } } \\ & { \indent + \gamma _ { 0 5 } ( \mathrm { E q u i p P r e f } \ast \mathrm { I n t } ) + \gamma _ { 0 6 } \mathrm { C a l c E n g r } } \\ & { \indent + \gamma _ { 0 7 } \mathrm { C a l c L i f e S c i } + \gamma _ { 0 8 } \mathrm { N o C o r e q } + u _ { 0 j } } \end{array}
\begin{array} { c c c } { \eta = \left\{ \begin{array} { l l } { \nu ( 1 + \chi + \frac { 1 } { 2 } \chi ^ { 2 } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \tilde { \nu } < 0 , } \\ { \nu ( 1 + \chi ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \tilde { \nu } \geq 0 , } \end{array} \right. } & { { S } ^ { \prime } = \left\| \nabla \times \mathbf { U } \right\| , } & { { S } = \sqrt { { S } ^ { 2 } + M ^ { 2 } } - M , } \\ { \overline { { S } } = \frac { \tilde { \nu } f _ { v 2 } } { \kappa ^ { 2 } d ^ { 2 } } , } & { f _ { v 2 } = 1 - \frac { \chi } { 1 + \chi f _ { v 1 } } , } & { \tilde { S } = m a x ( 1 0 ^ { - 1 0 } , S + \overline { { S } } ) , } \\ { { r } ^ { \prime } = \frac { \tilde { \nu } } { \tilde { S } \kappa ^ { 2 } d ^ { 2 } } , } & { r = \left\{ \begin{array} { l l } { { r } ^ { \prime } } & { \mathrm { ~ i f ~ } 0 \geq { r } ^ { \prime } \geq 1 0 , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e , ~ } } \end{array} \right. } & { g = r + c _ { w 2 } ( r ^ { 6 } - r ) , } \\ { f _ { w } = g \left( \frac { 1 + c _ { w 3 } ^ { 6 } } { g ^ { 6 } + c _ { w 3 } ^ { 6 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 6 } } , } & & { g _ { n } = 1 - \frac { 1 0 0 0 \chi ^ { 2 } } { 1 + \chi ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \left[ \begin{array} { l } { ( z E - A ) ^ { - 1 } B } \\ { I _ { m } } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { - A ^ { H } X A + E ^ { H } X E } & { C ^ { H } - A ^ { H } X B } \\ { C - B ^ { H } X A } & { D + D ^ { H } - B ^ { H } X B } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { ( z E - A ) ^ { - 1 } B } \\ { I _ { m } } \end{array} \right] } \\ & { = ( 1 - \vert z \vert ^ { 2 } ) B ^ { H } ( z E - A ) ^ { - H } E ^ { H } X E ( z E - A ) ^ { - 1 } B } \\ & { ~ ~ ~ ~ + \left[ \begin{array} { l } { ( z E - A ) ^ { - 1 } B } \\ { I _ { m } } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { C ^ { H } } \\ { C } & { D + D ^ { H } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { ( z E - A ) ^ { - 1 } B } \\ { I _ { m } } \end{array} \right] } \\ & { = ( 1 - \vert z \vert ^ { 2 } ) B ^ { H } ( z E - A ) ^ { - H } E ^ { H } X E ( z E - A ) ^ { - 1 } B } \\ & { ~ ~ ~ ~ + C ( z E - A ) ^ { - 1 } B + ( C ( z E - A ) ^ { - 1 } B ) ^ { H } + D + D ^ { H } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 2 } } & { { } = k _ { 0 } \left( 1 , - 1 , 1 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 4 } } & { { } = k _ { 0 } \left( - 1 , - 1 , - 1 \right) , } \end{array}
\qquad \qquad \qquad \qquad + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { M } ( \bar { q } _ { N M } - 1 ) { \frac { 1 } { V _ { M } } } \partial _ { a } \tilde { E } _ { M } \Gamma _ { \hat { a } } \Gamma _ { M } ^ { \perp } \eta = 0 ,
\omega v R ^ { \star } \left( \frac { \omega - \omega _ { r } } { v } \right) - \frac { c _ { \mathcal { G } } } { r } ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } + \frac { c _ { \mathcal { G } } v ^ { 2 } } { 2 r } \left( \frac { m } { \sin \theta } - a \omega \sin \theta \right) ^ { 2 } \geq \frac { c _ { \mathcal { G } } } { 4 r } \omega ^ { 2 } + \frac { c _ { \mathcal { G } } v ^ { 2 } } { 1 6 r } \left( \frac { m } { \sin \theta } \right) ^ { 2 }
\hat { S } _ { \alpha \beta } ^ { l } ( t ) = \hat { \sigma } _ { \beta \alpha } ^ { l } ( t ) \exp \left\{ i \left[ ( k _ { \beta } - k _ { \alpha } ) z _ { l } - ( \omega _ { \beta } + \Delta _ { \beta } - \omega _ { \alpha } - \Delta _ { \alpha } \right] t \right\} ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { z _ { i } ^ { \phi _ { p } } = \mathrm { ~ L ~ e ~ a ~ k ~ y ~ R ~ e ~ L ~ U ~ } ( \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } ^ { \phi _ { p } } } \alpha ^ { \phi _ { p } } ( h _ { i } , h _ { j } ) \cdot W _ { \phi _ { p } } \cdot h _ { j } ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d ^ { 2 } { \pi _ { j } } } { d { \theta _ { j } ^ { r } } ^ { 2 } } \bigg | _ { \theta _ { j } ^ { r } = \theta _ { p } ^ { r } ( d ^ { r } ) } = \frac { d ^ { r } } { ( \sum _ { j } \theta _ { j } ^ { r } ) ^ { 3 } } \left[ \tilde { m } _ { j } ^ { r } + \tilde { n } _ { j } ^ { r } \theta _ { j } ^ { r } \right] \bigg | _ { \theta _ { j } ^ { r } = \theta _ { p } ^ { r } ( d ^ { r } ) } } \\ & { \quad \quad = - \frac { c ^ { 3 } ( G - 1 ) ^ { 4 } d ^ { 2 } } { G ^ { 4 } ( G - 2 ) ^ { 3 } } \frac { d } { d ^ { r } } \left( 2 + ( G - 2 ) \frac { d ^ { r } } { d } \right) } \end{array}
N _ { \mathrm { s y s } } \simeq N ( \nu _ { s } , T _ { s } ) + N ( \nu _ { i } , T _ { i } ) + \frac { N _ { \mathrm { T W P A } } } { \Lambda _ { 1 } } + \frac { N _ { \mathrm { H E M T } } } { \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } G _ { \mathrm { T W P A } } } .
\hat { \theta } _ { 0 4 } = { \frac { x _ { 0 4 } } { ( 1 2 ) } } \xi _ { 1 2 4 } = \theta _ { 0 4 } + { \frac { ( 2 4 ) } { ( 1 2 ) } } x _ { 0 4 } x _ { 0 1 } ^ { - 1 } \theta _ { 0 1 } + { \frac { ( 4 1 ) } { ( 1 2 ) } } x _ { 0 4 } x _ { 0 2 } ^ { - 1 } \theta _ { 0 2 }
v _ { a } = \left( \frac { \partial Q _ { b } ^ { n _ { b } } } { \partial q _ { a } ^ { n _ { a } } } \right) ^ { - 1 } \left( V _ { b } - q _ { c } ^ { s _ { c } + 1 } \frac { \partial Q _ { b } ^ { n _ { b } } } { \partial q _ { c } ^ { s _ { c } } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \| J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| J ^ { m } v ^ { k } - J ^ { m } v ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { \ \leq c ( T ) \left[ \| x ^ { m } u _ { 0 } ^ { k } - x ^ { m } u _ { 0 } ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| x ^ { m } v _ { 0 } ^ { k } - x ^ { m } v _ { 0 } ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\left< \phi ^ { 2 } ( x ) \right> = { \frac { a ^ { 2 - N } } { 2 ^ { N } \pi ^ { \frac N 2 - 1 } \Gamma \left( \frac N 2 \right) } } \sum _ { n = 1 } ^ { \rho _ { N } } ( - 1 ) ^ { n } c _ { 2 n } ^ { N } ( a ^ { 2 } b ) ^ { n - \frac 1 2 } .
\mathbf { D } = \Big ( \epsilon - \frac { \sqrt { \epsilon } } { \sqrt { \mu } } { \frac { V } { c } } \Big ) E _ { 0 } \exp ( - j \beta z ) \exp ( j \omega t ) \mathbf { a } _ { x } , \quad \mathbf { B } = \Big ( \sqrt { \mu \epsilon } - { \frac { V } { c } } \Big ) E _ { 0 } \exp ( - j \beta z ) \exp ( j \omega t ) \mathbf { a } _ { y } .
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { Z } } } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } } & { \triangleq \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } + \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { U S } } \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { N _ { s } \times N _ { s } } } \\ { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } } & { \triangleq \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } - \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { L \times M } } \\ { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { S } } } & { \triangleq \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { S } } - \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { S } } \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { L \times N } } \\ { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { S } } } & { \triangleq - \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { S } } \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { N \times N } } \\ { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } } & { \triangleq \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } - \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { N \times M } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ | X - Y | ] } & { = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { k } \times \mathbb { R } ^ { k } } | x - y | \cdot \big ( p _ { \bar { x } , \sigma } ( x ) - \operatorname* { m i n } \{ p _ { \bar { x } , \sigma } ( x ) , p _ { \bar { y } , \sigma } ( x ) \} \big ) \cdot \big ( p _ { \bar { y } , \sigma } ( y ) - \operatorname* { m i n } \{ p _ { \bar { x } , \sigma } ( y ) , p _ { \bar { y } , \sigma } ( y ) \} \big ) d x d y } \\ & { \le } & { 2 \int _ { x \in A _ { 1 } , y \in A _ { 2 } } p _ { \bar { x } , \sigma } ( x ) p _ { \bar { y } , \sigma } ( y ) | x - y | d x d y , } \end{array}