harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { U _ { 0 } } & { = } & { 1 , } \\ { U _ { 1 } } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } J _ { j } , } \\ { U _ { 2 } } & { = } & { \sum _ { j < k } : J _ { j } J _ { k } : + \alpha _ { 0 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( j - 1 ) J _ { j } ^ { \prime } , } \\ { U _ { 3 } } & { = } & { \sum _ { j < k < l } : J _ { j } J _ { k } J _ { l } : + \alpha _ { 0 } \sum _ { j < k } ( j - 1 ) : J _ { j } ^ { \prime } J _ { k } : } \\ & { } & { + \alpha _ { 0 } \sum _ { j < k } ( k - 2 ) : J _ { j } J _ { k } ^ { \prime } : + \frac { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( j - 1 ) ( j - 2 ) J _ { j } ^ { \prime \prime } . } \end{array}
\partial _ { z } \Bigl \{ M c ( z ) \, \partial _ { z } \bigl [ \mu _ { 0 } ( c ( z ) ) + \chi _ { s } \, s ( z ) + \chi _ { p } \, p ( z ) \bigr ] \Bigr \} = - v \, \partial _ { z } c ( z ) \equiv - \partial _ { z } j ( z ) \, .
\bar { \rho } \frac { D Y ^ { * } } { D t } = - \frac { \bar { \rho } \left( \boldsymbol { Y } ^ { * } - \bar { Y } \right) } { \tau _ { \mathrm { m i x } } } + \dot { \omega } _ { s } \left( \bar { \rho } , \boldsymbol { \phi } ^ { * } \right)
P _ { q } \left( \Delta \right) = \frac { \mathrm { e r f i } \left( \sqrt { \frac { \beta } { 2 } } \left( \Delta + \frac { \gamma } { \beta } \right) \right) - \mathrm { e r f i } \left( \sqrt { \frac { \beta } { 2 } } \left( q - 1 + \frac { \gamma } { \beta } \right) \right) } { \mathrm { e r f i } \left( \sqrt { \frac { \beta } { 2 } } \left( q + \frac { \gamma } { \beta } \right) \right) - { \mathrm { e r f i } \left( \sqrt { \frac { \beta } { 2 } } \left( q - 1 + \frac { \gamma } { \beta } \right) \right) } } ,
\langle \, { \cal O } _ { 1 } { \cal O } _ { 2 } \, \rangle \equiv i \! \! \int \! \! d ^ { 4 } x \, e ^ { i \omega v \cdot x } \, \langle \, 0 \, | \, { \bf T } { \cal O } _ { 1 } ( x ) { \cal O } _ { 2 } ^ { \dagger } ( 0 ) \, | \, 0 \, \rangle ,
\begin{array} { r l } { \Xi _ { ( \Delta _ { Z } \rho ) \boxtimes \sigma } ( \vec { p } , \vec { q } ) = } & { \Xi _ { \Delta _ { Z } ( \rho ) } ( \vec { 0 } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) \; \Xi _ { \sigma } ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) } \\ { = } & { \Xi _ { \rho } ( \vec { 0 } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) \delta _ { \vec { q } , \vec { 0 } } \Xi _ { \sigma } ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) = \Xi _ { I _ { n } / d ^ { n } \boxtimes \sigma } \; . } \end{array}
\hat { S } _ { n } ^ { m } = \sum _ { 1 \leq p _ { 1 } < \cdots < p _ { n } \leq m } \left( x _ { p _ { 1 } } \sigma _ { p _ { 1 } } ^ { + } \right) \cdots \left( x _ { p _ { n } } \sigma _ { p _ { n } } ^ { + } \right)
\frac { V } { N } = - \frac { \sigma } { g _ { 0 } } + \frac { 1 } { 4 \pi \rho ^ { 2 } } \sum _ { l = 0 } ^ { I } ( 2 l + 1 ) \ln ( 1 + \frac { \sigma } { \frac { l ( l + 1 ) } { \rho ^ { 2 } } + \frac { 2 \xi } { \rho ^ { 2 } } } ) ,
\begin{array} { r } { \left( \mathbf H _ { \lambda _ { j } } ^ { \mathrm { G N } } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { j } ) + \omega _ { j } \mathrm { d i a g } ( \mathbf H _ { \lambda _ { j } } ^ { \mathrm { G N } } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { j } ) ) \right) \boldsymbol \xi ^ { j + 1 } = - \mathbf g _ { \lambda _ { j } } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \times u } & { { } = \left( \partial _ { \sigma } u _ { \theta } - \frac { \partial _ { \theta } u _ { \sigma } } { \sigma } + \mathcal { C } { u _ { \theta } } \right) \widehat { t } _ { s } + \left( \frac { \partial _ { \theta } u _ { s } } { \sigma } - \frac { \nabla _ { s } u _ { \theta } } { h _ { s } } - \mathcal { B } u _ { s } \right) \widehat { t } _ { \sigma } + \left( \frac { \nabla _ { s } u _ { \sigma } } { h _ { s } } - \partial _ { \sigma } u _ { s } + \mathcal { A } u _ { s } \right) \widehat { t } _ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { \sharp } \, f _ { \boldsymbol X } ( { \boldsymbol u } ) } & { = \big ( f _ { \boldsymbol X } \circ \mathcal { S } ^ { - 1 } \big ) ( { \boldsymbol u } ) \, \big | \nabla _ { { \boldsymbol u } } \mathcal { S } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol u } ) \big | } \\ { \mathcal { S } ^ { \sharp } \, f _ { \boldsymbol U } ( { \boldsymbol x } ) } & { = \big ( f _ { \boldsymbol U } \circ \mathcal { S } \big ) ( { \boldsymbol x } ) \, \big | \nabla _ { { \boldsymbol x } } \mathcal { S } ( { \boldsymbol x } ) \big | , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { T } \langle \tilde { \zeta } _ { t } ^ { X | K } , \mathcal { A } f _ { t } \rangle d t \xrightarrow [ K \to \infty ] { } \int _ { 0 } ^ { T } \langle \tilde { \eta } _ { t } ^ { X } , \mathcal { A } f _ { t } \rangle d t \; \; \mathrm { ~ a ~ l ~ m ~ o ~ s ~ t ~ s ~ u ~ r ~ e ~ l ~ y ~ } .
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D ( T ) } ] } & { { } = U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D ( T ) } ] - U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { H F } ] , } \\ { \Delta U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D T } ] } & { { } = U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D T } ] - U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D ( T ) } ] , } \\ { \Delta U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { F C I } ] } & { { } = U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { F C I } ] - U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D T } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { N N } } ^ { D } } & { = M _ { D } \left( - \sin \delta \sin 2 \phi _ { s } \cos \lambda - \sin 2 \delta \sin \lambda \sin ^ { 2 } \phi _ { s } \right) , } \\ { M _ { \mathrm { E E } } ^ { D } } & { = M _ { D } \left( \sin \delta \sin 2 \phi _ { s } \cos \lambda - \sin 2 \delta \sin \lambda \cos ^ { 2 } \phi _ { s } \right) , } \\ { M _ { \mathrm { U U } } ^ { D } } & { = M _ { D } \sin 2 \delta \sin \lambda , } \\ { M _ { \mathrm { N E } } ^ { D } } & { = M _ { D } \left( \sin \delta \cos \lambda \cos 2 \phi _ { s } + \sin 2 \delta \sin \lambda \sin \phi _ { s } \cos \phi _ { s } \right) , } \\ { M _ { \mathrm { N U } } ^ { D } } & { = M _ { D } \left( \sin \lambda \sin \phi _ { s } \cos 2 \delta + \cos \delta \cos \lambda \cos \phi _ { s } \right) , } \\ { M _ { \mathrm { E U } } ^ { D } } & { = M _ { D } \left( - \sin \lambda \cos 2 \delta \cos \phi _ { s } + \sin \phi _ { s } \cos \delta \cos \lambda \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { x _ { 1 } } ) } & { { } = \mathbb { E } \left( \left( \sum _ { j } \alpha _ { 0 , j } X _ { j } \right) \left( \sum _ { k } \alpha _ { 1 , k } X _ { k } \right) \right) } \end{array}
\overline { { \mathcal { E } _ { \gamma } } } \simeq 0 . 4 7 \frac { \alpha m c ^ { 2 } \sigma _ { z } } { \tau _ { c } c } \chi _ { e \, m a x } ^ { 2 / 3 } \simeq \frac { \overline { { N _ { \gamma } } } } { 4 } \mathcal { E } _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathfrak { c } ( x + h , \chi ) - \mathfrak { c } ( x , \chi ) } { h } } & { = \frac { a _ { \chi } } { h } \log \! \left( 1 + \frac { h } { x } \right) - ( 1 - a _ { \chi } ) \left( \frac { x + h } { h } \log \! \left( 1 + \frac { h } { x } \right) + \log { x } \right) } \\ & { \qquad \qquad + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - \left( 1 + \frac { h } { x } \right) ^ { 1 - 2 m - a _ { \chi } } \right) \frac { x ^ { 1 - 2 m - a _ { \chi } } } { ( 2 m + a _ { \chi } ) ( 2 m - 1 + a _ { \chi } ) h } . } \end{array}
F _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 1 } ^ { 2 } \phi _ { 1 } + \lambda _ { 1 } \phi _ { 1 } ^ { 3 } + g \phi _ { 2 } ) , \; \; \; \; \; \; F _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 2 } ^ { 2 } \phi _ { 2 } + \lambda _ { 2 } \phi _ { 2 } ^ { 3 } + g \phi _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { I _ { S t } } & { { } = 4 \pi \int \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } n _ { \vec { k } } n _ { \vec { k } _ { 1 } } n _ { \vec { k } _ { 2 } } n _ { \vec { k } _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { n _ { \vec { k } } } + \frac { 1 } { n _ { \vec { k } _ { 1 } } } - \right. } \end{array}
\bar { R } _ { ~ \lambda \mu \nu } ^ { \sigma } ( \bar { \Gamma } ) = \bar { R } _ { ~ b \mu \nu } ^ { a } ( \bar { \Omega } ) e _ { a } ^ { ~ \sigma } e _ { ~ \lambda } ^ { b } = ( \partial _ { \mu } \bar { \Omega } _ { ~ b \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } \bar { \Omega } _ { ~ b \mu } ^ { a } + \bar { \Omega } _ { ~ \alpha \mu } ^ { a } \bar { \Omega } _ { ~ b \nu } ^ { \alpha } - \bar { \Omega } _ { ~ \alpha \nu } ^ { a } \bar { \Omega } _ { ~ b \mu } ^ { \alpha } ) e _ { a } ^ { ~ \sigma } e _ { ~ \lambda } ^ { b }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { l , m } ( \lambda , \mu ) } & { { } = \sqrt { \frac { ( l + m ) ! ( l - m ) ! } { ( \lambda + \mu ) ! ( \lambda - \mu ) ! ( l - \lambda + m - \mu ) ! ( l - \lambda - m + \mu ) ! } } } \\ { \sigma _ { l , m } ^ { ( 1 ) } ( \lambda , \mu ) } & { { } = \sigma _ { l , m } ( \lambda , \mu ) \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , } & { \mu \neq 0 \land \mu \neq m \land m \neq 0 } \\ { 1 , } & { \textup { e l s e } } \end{array} \right. } \\ { \sigma _ { l , m } ^ { ( 2 ) } ( \lambda , \mu ) } & { { } = \sigma _ { l , m } ( \lambda , \mu ) \frac { ( - 1 ) ^ { \mu - m } } { 2 } \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { 2 } , } & { m \neq 0 } \\ { 1 , } & { m = 0 } \end{array} \right. } \\ { \sigma _ { l , m } ^ { ( 3 ) } ( \lambda , \mu ) } & { { } = \sigma _ { l , m } ^ { ( 2 ) } ( \lambda , \mu ) ( - 1 ) ^ { m } } \end{array}
O C _ { i } = \frac { D _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } } { N _ { \mathscr { V } } - 1 } \frac { D _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } } { \sum _ { j = 1 } ^ { D _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } } d _ { i j } } ,
\sigma ^ { - 1 } \left( \frac { \partial f } { \partial \ell } \frac { \partial e } { \partial \delta L } \left( \frac { \partial F } { \partial f } \frac { \partial \chi _ { \nu + 1 } ^ { ( 2 ) } } { \partial e } - \frac { \partial F } { \partial e } \frac { \partial \chi _ { \nu + 1 } ^ { ( 2 ) } } { \partial f } \right) + \right. \left. \frac { \partial e } { \partial G } \left( \frac { \partial F } { \partial g } \frac { \partial \chi _ { \nu + 1 } ^ { ( 2 ) } } { \partial e } - \frac { \partial F } { \partial e } \frac { \partial \chi _ { \nu + 1 } ^ { ( j ) } } { \partial g } \right) \right) \; ;
\begin{array} { r l } { \bigl | \| g ( X ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { - \| g ( X _ { \Delta x } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \bigr | } \\ & { = \bigg | \int _ { \Omega _ { c } ( X ) } H _ { \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi + \int _ { \Omega _ { d } ( X ) } \left( 1 - \alpha \right) ^ { 2 } H _ { \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi } \\ & { \qquad - \int _ { \Omega _ { c } ( X _ { \Delta x } ) } H _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi - \int _ { \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } \left( 1 - \alpha \right) ^ { 2 } H _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi \bigg | } \\ & { \leq \left| \int _ { \mathbb { R } } H _ { \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi - \int _ { \mathbb { R } } H _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi \right| } \\ & { \qquad + \alpha ( 2 - \alpha ) \left| \int _ { \Omega _ { d } ( X ) } H _ { \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi - \int _ { \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } H _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi \right| } \\ & { \leq \left| \| H _ { \xi } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| H _ { \Delta x , \xi } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right| } \\ & { \qquad + \alpha ( 2 - \alpha ) \left| \int _ { \Omega _ { d } ( X ) } H _ { \xi } ( \xi ) d \xi - \int _ { \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } H _ { \Delta x , \xi } ( \xi ) d \xi \right| } \\ & { \qquad + \alpha ( 2 - \alpha ) \left| \int _ { \Omega _ { d } ( X ) } U _ { \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi - \int _ { \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } U _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 5 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 1 } - \mathbf { k } _ { 3 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 8 } } & { { } = 2 \mathbf { k } _ { 2 } , } \end{array}
\frac { \left( \cdot \right) _ { n + 1 } - \left( \cdot \right) _ { n } } { \Delta t } = \underbrace { \theta \left( \cdot \right) _ { n + 1 } + \left( 1 - \theta \right) \left( \cdot \right) _ { n } } _ { \left( \cdot \right) _ { n + \theta } } , \quad \theta \in [ 0 , 1 ] ,
\mu \in \left[ { \hat { \mu } } - t _ { n - 1 , 1 - \alpha / 2 } { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } s , { \hat { \mu } } + t _ { n - 1 , 1 - \alpha / 2 } { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } s \right] \approx \left[ { \hat { \mu } } - | z _ { \alpha / 2 } | { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } s , { \hat { \mu } } + | z _ { \alpha / 2 } | { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } s \right] ,
\left[ \Sigma _ { x } \right] _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c } { D _ { \kappa \lambda } ^ { ^ 0 } + D _ { \kappa \lambda } ^ { ^ z } } & { D _ { \kappa \lambda } ^ { ^ x } - i D _ { \kappa \lambda } ^ { ^ y } } \\ { D _ { \kappa \lambda } ^ { ^ x } + i D _ { \kappa \lambda } ^ { ^ y } } & { D _ { \kappa \lambda } ^ { ^ 0 } - D _ { \kappa \lambda } ^ { ^ z } } \end{array} \right) c _ { \mu \kappa \alpha } v _ { \alpha \beta } c _ { \nu \lambda \beta }
V ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) = - g ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { - \partial ^ { 2 } } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) - \frac { 1 } { - \partial ^ { 2 } } ( 0 ) \right) = - \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi r } + \mathrm { s e l f - e n e r g y } .
\left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\{ \; \stackrel { 1 } { U } ( x , \lambda ) \; , \; \stackrel { 2 } { U } ( y , \mu ) \; \} = \, { [ } \; r ( \lambda , \mu ) \; , \; \stackrel { 1 } { U } ( x , \lambda ) \; + \stackrel { 2 } { U } ( x , \mu ) \; { ] } \; \delta ( x - y )
\begin{array} { r l } { r _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ i ~ m ~ } } ^ { ( k ) } } & { { } = ( x _ { 1 } ^ { ( k ) } - z ^ { ( k ) } , \ldots , x _ { N } ^ { ( k ) } - z ^ { ( k ) } ) , } \\ { r _ { \mathrm { ~ d ~ u ~ a ~ l ~ } } ^ { ( k ) } } & { { } = ( \rho ( z ^ { ( k ) } - z ^ { ( k - 1 ) } ) , \ldots , \rho ( z ^ { ( k ) } - z ^ { ( k - 1 ) } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 1 - \delta } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau , ( k ) } ^ { 0 } - \nabla f ^ { \tau } ( x ^ { k - 1 } ) - \nabla \psi ( x ^ { k - 1 } ) - \kappa ( x ^ { k - 1 } - y ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 - \delta } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau , ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } - \nabla f ^ { \tau } ( x ^ { k - 1 } ) - \nabla \psi ( x ^ { k - 1 } ) - \kappa ( x ^ { k - 1 } - y ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \quad \frac { 1 - \delta } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau , ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } - \nabla G _ { k } ^ { \tau } ( x ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 3 ( 1 - \delta ) } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \left( \| h _ { \tau , ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } - \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( w _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } ) \| ^ { 2 } \right. } \\ & { \quad \left. + \| \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( w _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } ) - \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( x ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } + \| \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( x ^ { k - 1 } ) - \nabla G _ { k } ^ { ( \tau ) } ( x ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
D _ { \star } \approx \frac { c } { H _ { 0 } \sqrt { 1 - \Omega _ { \Lambda } } } \int _ { a _ { \star } } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } a } { \sqrt { a } } \, \approx \frac { 2 c } { H _ { 0 } \sqrt { 1 - \Omega _ { \Lambda } } } \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { A } _ { i } ^ { \pm } ( \omega ) } & { { } = \frac { A _ { i } } { 2 \sigma _ { i } } \exp \left[ i ( \omega t _ { i } \mp \varphi _ { i } ) - ( \omega \mp \omega _ { i } ) ^ { 2 } / 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( x - x c ) c o s ( \theta ) + ( y - y c ) s i n ( \theta ) = } & { { } a c o s ( \varphi ) } \\ { ( x - x c ) s i n ( \theta ) + ( y - y c ) c o s ( \theta ) = } & { { } b s i n ( \varphi ) } \end{array}
\eta _ { \mathrm { i s o l a t e d } } ^ { \mathrm { A - B } } = \sqrt { \frac { \sum _ { n \mathbf { k } } ( \epsilon _ { n \mathbf { k } } ^ { \mathrm { A } } - \epsilon _ { n \mathbf { k } } ^ { \mathrm { B } } ) ^ { 2 } } { N _ { b } N _ { \mathbf { k } } } } ,
\begin{array} { r l } { \delta \dot { a } _ { 1 } = } & { - \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } + \mathrm { i } \Delta _ { 1 } \right) \delta a _ { 1 } + \mathrm { i } G _ { 1 1 } \delta x _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } + \mathrm { i } G _ { 1 2 } \delta x _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } } \\ { + } & { \mathrm { i } J \delta a _ { 2 } + F _ { \mathrm { p } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { \mathrm { p } } t } , } \\ { \delta \dot { a } _ { 2 } = } & { - \left( \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } + \mathrm { i } \Delta _ { 2 } \right) \delta a _ { 2 } + \mathrm { i } G _ { 2 1 } \delta x _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } + \mathrm { i } G _ { 2 2 } \delta x _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } } \\ { + } & { \mathrm { i } J \delta a _ { 1 } + F _ { \mathrm { l } } } \\ { \delta \dot { x } _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } = } & { - \gamma _ { 1 } \left( x _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } + \beta G _ { 1 1 } \left[ \delta a _ { 1 } ^ { * } + \delta a _ { 1 } \right] \right. } \\ { + } & { \left. \beta G _ { 1 2 } \left[ \delta a _ { 2 } ^ { * } + \delta a _ { 2 } \right] \right) , } \\ { \delta \dot { x } _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } = } & { - \gamma _ { 2 } \left( x _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } + \beta G _ { 2 1 } \left[ \delta a _ { 1 } ^ { * } + \delta a _ { 1 } \right] \right. } \\ { + } & { \left. \beta G _ { 2 2 } \left[ \delta a _ { 2 } ^ { * } + \delta a _ { 2 } \right] \right) , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \widetilde { \mathcal V } _ { \epsilon } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \mathrm { f o r } \; z < 1 } } \\ { { - \sigma \infty } } & { { \mathrm { f o r } \; z > 1 } } \end{array} \right. \; ;
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathcal D } _ { t } ^ { \gamma } y _ { n } ^ { \tau , i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y _ { n } ^ { \tau , i } ) + q ^ { i } y _ { n } ^ { \tau , i } } & { = } & { f ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y _ { n } ^ { \tau , i } ( \cdot , a ^ { + } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { \tau , j } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y _ { n } ^ { \tau , i } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { \tau , 1 } ( \cdot , b _ { 1 } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y _ { n } ^ { \tau , i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { v _ { n } ^ { \tau , i } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 2 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y _ { n } ^ { \tau , i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { v _ { n } ^ { \tau , i } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle y _ { n } ^ { \tau , i } ( 0 , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
\mathcal { P } ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ) = \frac { 2 ^ { 3 / 2 } } { \pi ^ { 3 / 2 } \chi ^ { 1 / 2 } } \exp \left( - \frac { 2 } { \chi } | b _ { 1 } | ^ { 4 } \right) \delta \left( b _ { 2 } + \frac { i b _ { 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { \chi } } \right) \ .
\psi _ { 1 m } ( 1 ^ { + ^ { \prime } } ) = 0 . 9 9 3 \: \psi _ { 1 m } ( \frac { 3 } { 2 } \: \frac { 1 } { 2 } ) - 0 . 1 1 8 \: \psi _ { 1 m } ( \frac { 1 } { 2 } \: \frac { 1 } { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { x } ^ { * } = \mathbf { x } / H , \ \ t ^ { * } = t / \sqrt { H / ( \beta _ { T } g \Delta _ { T } ) } , \ \ \mathbf { u } ^ { * } = \mathbf { u } / \sqrt { \beta _ { T } g H \Delta _ { T } } , } \\ & { P ^ { * } = P / ( \rho _ { 0 } g \beta _ { T } \Delta _ { T } H ) , \ \ T ^ { * } = ( T - T _ { 0 } ) / \Delta _ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { t } } & { = } & { \frac { 1 } { 6 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 3 } } \left\lbrace e ^ { 2 \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( - 3 r ^ { 4 } e ^ { 2 \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \left( 2 7 \beta r ^ { 7 } + 2 7 \beta r ^ { 6 } { r _ { 0 } } + 9 \beta r ^ { 5 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. r ^ { 4 } \left( \beta { r _ { 0 } } ^ { 3 } - 2 1 6 \alpha \right) - 1 0 8 r ^ { 3 } ( \alpha + 4 \alpha { r _ { 0 } } ) - 1 2 \alpha r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ( 2 2 { r _ { 0 } } + 1 5 ) - 1 2 \alpha r { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( 4 { r _ { 0 } } + 1 1 ) \right. \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. \left. 6 0 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 3 } \right) + 1 2 \alpha r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ( r + { r _ { 0 } } ) e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \left( 1 8 \mu r ^ { 9 } + 9 r ^ { 8 } ( 3 \mu { r _ { 0 } } + 2 ) + r ^ { 7 } { r _ { 0 } } ( 1 3 \mu { r _ { 0 } } + 3 6 ) \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. 2 r ^ { 6 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( \mu { r _ { 0 } } + 1 1 ) + 4 r ^ { 5 } { r _ { 0 } } ^ { 3 } - 7 2 r ^ { 4 } - 3 6 r ^ { 3 } ( 3 { r _ { 0 } } + 1 ) - 2 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ( 2 6 { r _ { 0 } } + 2 1 ) \right. \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. \left. 8 r { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( { r _ { 0 } } + 4 ) - 1 0 { r _ { 0 } } ^ { 3 } \right) - 4 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \left( 1 8 \mu r ^ { 9 } + 9 r ^ { 8 } ( 3 \mu { r _ { 0 } } + 2 ) \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. r ^ { 7 } { r _ { 0 } } ( 1 3 \mu { r _ { 0 } } + 3 6 ) + 2 r ^ { 6 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( \mu { r _ { 0 } } + 1 1 ) + 4 r ^ { 5 } { r _ { 0 } } ^ { 3 } - 3 6 r ^ { 4 } - 1 8 r ^ { 3 } ( 3 { r _ { 0 } } + 1 ) \right. \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. \left. r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ( 2 6 { r _ { 0 } } + 2 1 ) - 4 r { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( { r _ { 0 } } + 4 ) - 5 { r _ { 0 } } ^ { 3 } \right) \right) \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { | c _ { i , * } - c _ { i , k } | } & { \leq \| V _ { * } ^ { H } C V _ { * } - U _ { k } ^ { H } V _ { k } ^ { H } C V _ { k } U _ { k } \| } \\ & { \leq \| ( V _ { * } - V _ { k } U _ { k } ) ^ { H } C V _ { * } \| + \| U _ { k } ^ { H } V _ { k } ^ { H } C ( V _ { * } - V _ { k } U _ { k } ) \| } \\ & { \leq 2 \sqrt { 2 } \| C \| \| \sin \Theta ( V _ { k } , V _ { * } ) \| \quad \mathrm { f o r ~ i ~ = ~ 1 , ~ 2 ~ } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { C } & { = 2 \pi a \left[ { 1 - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } e ^ { 2 } - \left( { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 } } \right) ^ { 2 } { \frac { e ^ { 4 } } { 3 } } - \left( { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 } } \right) ^ { 2 } { \frac { e ^ { 6 } } { 5 } } - \cdots } \right] } \\ & { = 2 \pi a \left[ 1 - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { ( 2 n ) ! ! } } \right) ^ { 2 } { \frac { e ^ { 2 n } } { 2 n - 1 } } \right] } \\ & { = - 2 \pi a \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { ( 2 n ) ! ! } } \right) ^ { 2 } { \frac { e ^ { 2 n } } { 2 n - 1 } } , } \end{array} }
\sqrt { s } E - J = \sum _ { n } \left[ e ^ { U _ { 0 } } \frac { s } { J } N _ { n } ^ { r , \omega } | n | + \sqrt { 1 + e ^ { 2 U _ { 0 } } \frac { s ^ { 2 } } { J ^ { 2 } } n ^ { 2 } } N _ { n } ^ { y } \right] ,