harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ B } _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \phi _ { i , j } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i \in \mathscr { S } _ { j } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \, .
{ \cal H } _ { I } ( \phi _ { r } , \Phi , \mu ) = - { \frac { 1 } { 2 } } \mu ^ { 2 } \phi _ { r } ^ { 2 } - { \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } \cos ( \beta ( \phi _ { r } + \Phi ) ) \exp \{ { \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } } I _ { ( 1 ) } ( { \cal M } ^ { 2 } ) \} \; .
X _ { t _ { k + 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } + h \Hat { u } ( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ) + \sqrt { 2 \nu } ( B _ { t _ { k + 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } - B _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } { A _ { a i , b j } = } & { \delta _ { i j } \delta _ { a b } \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { i } \right) + B _ { a i , j b } } \\ { B _ { a i , b j } = } & { \frac { \partial F _ { a i } ^ { \mathrm { i s o } } } { \partial P _ { b j } } + \frac { \partial \left\langle \phi _ { a } | { v } ^ { \mathrm { e m b } } | \phi _ { i } \right\rangle } { \partial P _ { b j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { m } ^ { n _ { \mathrm { s m } } } ( i , j , k ) = } & { { } } \\ { \sum _ { k _ { l } = - 1 } ^ { 1 } \sum _ { j _ { l } = - 1 } ^ { 1 } } & { { } \sum _ { i _ { l } = - 1 } ^ { 1 } \mathbf { P } \left( i _ { l } , j _ { l } , k _ { l } \right) f _ { m } ^ { n _ { \mathrm { s m } } - 1 } ( i + i _ { l } , j + j _ { l } , k + k _ { l } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } E _ { \rho , \lambda , N _ { k } } ( \Omega _ { k } , X _ { k } ) = \operatorname* { i n f } _ { ( \Omega , X ) \in \mathcal A _ { m , N , \rho } } E _ { \rho , \lambda , N } ( \Omega , X ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { f } - w } & { { } \simeq \pm \sqrt { w ^ { 2 } - 2 S \left[ ( \mu B + u ^ { 2 } ) \left( \frac { B _ { f } } { B } - 1 \right) + \frac { Z e } { m } ( \phi _ { \theta f } - \phi _ { \theta } ) \right] } - w } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { \mu \mu } ( \omega , \mathbf { k } ) } & { \approx t ( \omega , \mathbf { k } = 0 ) } \\ & { - \frac { i \left. ( t _ { d } \pm r _ { d } ) \right| _ { \Gamma } } { ( i ( \omega - \omega _ { 0 } ) + \gamma _ { 0 } ) ^ { 2 } } \bigg [ \gamma _ { 0 } C _ { \mu } + ( \omega - \omega _ { 0 } ) D _ { \mu } \bigg ] k ^ { 2 } } \end{array}
\ensuremath { \mathcal { L } } ^ { \infty } \left( ( ^ { * } G ) ^ { m } , \ensuremath { \mathcal { L } } _ { b } ^ { \infty } ( ^ { * } G , \ensuremath { \mathcal { W } } ) ^ { \sim ^ { * } \Gamma } \right) ^ { ^ { * } G } + \ensuremath { \mathcal { L } } _ { i n f } ^ { \infty } \left( ( ^ { * } G ) ^ { m } , \ensuremath { \mathcal { L } } ^ { \infty } ( ^ { * } G , \ensuremath { \mathcal { W } } ) \right) \subseteq \ensuremath { \mathcal { L } } ^ { \infty } \left( ( ^ { * } G ) ^ { m } , \ensuremath { \mathcal { L } } _ { b } ^ { \infty } ( ^ { * } G , \ensuremath { \mathcal { W } } ) ^ { \sim ^ { * } \Gamma } \right) ^ { \sim ^ { * } G }
\begin{array} { r l } { \mathbf { Z _ { t } } } & { { } = \mathbf { Z } ( z = 0 ) = Z _ { 0 } \left[ \mathbb { 1 } + \mathbf { S _ { t } } \right] \cdot \left[ \mathbb { 1 } - \mathbf { S _ { t } } \right] ^ { - 1 } , } \\ { \mathbf { S _ { t } } } & { { } = \left[ \mathbb { 1 } + \frac { \mathbf { Z _ { t } } } { Z _ { 0 } } \right] ^ { - 1 } \cdot \left[ \frac { \mathbf { Z _ { t } } } { Z _ { 0 } } - \mathbb { 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { \mathcal { L } } ^ { r } V _ { \alpha } ( x ) } & { \le 2 \alpha e ^ { 2 \alpha ( \Bar { b } + d / \beta ) / ( \Bar { m } - 2 \alpha / \beta ) } \left( \Bar { b } + d / \beta \right) } \\ & { \le 4 \alpha e ^ { 2 \alpha ( \Bar { b } + d / \beta ) / ( \Bar { m } - 2 \alpha / \beta ) } \left( \Bar { b } + d / \beta \right) - 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) V _ { \alpha } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \sum _ { ( \boldsymbol { u _ { 1 } , u _ { 2 } } ) \in \mathcal { C } } \sum _ { \boldsymbol { v _ { 2 } } \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n _ { 2 } } } \chi ( \boldsymbol { u _ { 2 } } \cdot \boldsymbol { v _ { 2 } } ) x ^ { s _ { 2 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } , \pi _ { 2 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 2 } } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } , \pi _ { 2 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 2 } } ) } } \\ & { = } & { | \mathcal { C } _ { 1 } | x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \sum _ { \boldsymbol { u _ { 2 } } \in \mathcal { C } _ { 2 } } \sum _ { \boldsymbol { v _ { 2 } } \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n _ { 2 } } } \chi ( \boldsymbol { u _ { 2 } } \cdot \boldsymbol { v _ { 2 } } ) x ^ { s _ { 2 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } , \pi _ { 2 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 2 } } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } , \pi _ { 2 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 2 } } ) } } \\ & { = } & { | \mathcal { C } | x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \sum _ { \boldsymbol { v _ { 2 } } \in \mathcal { C } _ { 2 } ^ { \bot } } x ^ { s _ { 2 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } , \pi _ { 2 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 2 } } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } , \pi _ { 2 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 2 } } ) } } \\ & { = } & { | \mathcal { C } | x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } W _ { ( \mathcal { C } _ { 2 } ^ { \bot } , \pi _ { 2 } ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } ) . } \end{array}
{ \omega } _ { 1 } = m _ { \Phi } + \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 { \pi } ^ { 2 } m _ { \Phi } } { \ln } ( m _ { \Phi } / m ) + i \frac { g ^ { 2 } } { 6 4 { \pi } m _ { \Phi } } . \nonumber
\begin{array} { r l r } { \frac { d V _ { n } } { d t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { C _ { n } } \left[ - \frac { V _ { n } } { R _ { n } } - I _ { n } - I _ { x , n } + I _ { x , n - 1 } \right] , } \\ { \frac { d I _ { n } } { d t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { L _ { n } } V _ { n } , } \\ { \frac { d I _ { n } ^ { x } } { d t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { L _ { x , n } } \left( V _ { n } - V _ { m } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { m } = \frac { \langle e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes v \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } | \widehat { A } ( z , w ) A ( x , y ) | e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes u \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } \rangle } { ( y ; b ^ { \prime } ) ^ { M } ( x ; b ) ^ { M } ( w | a ^ { \prime } ) ^ { M } ( z | a ) ^ { M } } , } \\ { Q _ { m } ^ { \prime } = \frac { \langle e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes v \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } | A ( x , y ) \widehat { A } ( z , w ) | e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes u \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } \rangle } { ( y ; b ^ { \prime } ) ^ { M } ( x ; b ) ^ { M } ( w | a ^ { \prime } ) ^ { M } ( z | a ) ^ { M } } , } \\ { Q _ { m } ^ { \prime \prime } = \frac { \langle e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes v \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } | B ( x , y ) \widehat { B } ( z , w ) | e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes u \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } \rangle } { ( y ; b ^ { \prime } ) ^ { M } ( x ; b ) ^ { M } ( w | a ^ { \prime } ) ^ { M } ( z | a ) ^ { M } } , } \\ { Q _ { m } ^ { \prime \prime \prime } = \frac { \langle e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes v \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } | C ( x , y ) \widehat { C } ( z , w ) | e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes u \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } \rangle } { ( y ; b ^ { \prime } ) ^ { M } ( x ; b ) ^ { M } ( w | a ^ { \prime } ) ^ { M } ( z | a ) ^ { M } } , } \\ { Q _ { m } ^ { \prime \prime \prime \prime } = \frac { \langle e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes v \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } | D ( x , y ) \widehat { D } ( z , w ) | e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes u \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } \rangle } { ( y ; b ^ { \prime } ) ^ { M } ( x ; b ) ^ { M } ( w | a ^ { \prime } ) ^ { M } ( z | a ) ^ { M } } . } \end{array}
\left( j ^ { k } i , j ^ { N - k } i \right) \ast \left( j ^ { p } i ^ { \prime } , j ^ { N - p } i ^ { \prime } \right) = \sum _ { k } \left( j ^ { p + k } \left( i \ast i ^ { \prime } \right) _ { k } , j ^ { N - \left( p + k \right) } \left( i \ast i ^ { \prime } \right) _ { k } \right) ,
\frac { \partial c _ { 1 } } { \partial T } + \frac { \Gamma _ { w } } { 2 D _ { s } } \frac { \partial \ln c _ { 0 } } { \partial x } ( - 1 + 1 2 y ^ { 2 } ) \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial x } = \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 1 } } { \partial y ^ { 2 } } ,
\# \mathrm { F Z M ( I I B ) } = 8 \left( \# \mathrm { m o n o p o l e } - ( \widetilde { N } - 1 ) \right) + 4 \widetilde { N } = \# \mathrm { m o n o p o l e } \, \times 8 - 4 \widetilde { N } + 8 \, ,
( \rho , \mu , \nu , P ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 1 , 0 . 0 , 0 . 0 , 1 . 1 ) , \; } & { \mathrm { i f } \; x > 0 . 5 , \; y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 0 6 5 , 0 . 8 9 3 9 , 0 . 0 , 0 . 3 5 ) , \; } & { \mathrm { i f } \; x < 0 . 5 , \; y > 0 . 5 , } \\ { ( 1 . 1 , 0 . 8 9 3 9 , 0 . 8 9 3 9 , 1 . 1 ) , \; } & { \mathrm { i f } \; x < 0 . 5 , \; y < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 0 6 5 , 0 . 0 , 0 . 8 9 3 9 , 0 . 3 5 ) , \; } & { \mathrm { i f } \; x > 0 . 5 , \; y < 0 . 5 , } \end{array} \right.
V _ { 1 1 } = V _ { 2 2 } ^ { * } V _ { 3 3 } ^ { * } - V _ { 2 3 } ^ { * } V _ { 3 2 } ^ { * } , \mathrm { ~ o r ~ } V _ { 1 1 } V _ { 2 2 } V _ { 3 3 } = | V _ { 2 2 } | ^ { 2 } | V _ { 3 3 } | ^ { 2 } - V _ { 2 2 } V _ { 3 3 } V _ { 2 3 } ^ { * } V _ { 3 2 } ^ { * } .
\underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \langle \bar { \tilde { f } } _ { n } ( \xi ) \tilde { f } _ { n } ( \zeta ) , K ( \xi , \zeta ) \rangle _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } \times { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } = \langle \bar { f } ( \xi ) \tilde { f } ( \zeta ) , K ( \xi , \zeta ) \rangle _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } \times { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } < 0 .
\begin{array} { r } { \mathbf { X } ( t + \Delta t ) = \underbrace { \mathbf { X } ( t ) + \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \underbrace { \mathbf { F } \left( \mathbf { X } \left( t \right) \right) d t } _ { \mathcal { N [ \circ , \theta ] } } } _ { \mathbf { H [ \circ ] } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b c } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { 2 \Big \{ \Big ( 4 m _ { a } m _ { b } m _ { c } + 3 k _ { a } k _ { b } m _ { c } \Big ) \Big \{ \frac { 1 } { b } \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) - { \textstyle \frac { 3 } { 8 } } b \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 5 } } \Big \} + } \\ & { + } & { { \textstyle \frac { 9 } { 2 } } \Big ( k _ { a } m _ { b } m _ { c } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } k _ { a } k _ { b } k _ { c } \Big ) \frac { b ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } + { \textstyle \frac { 4 5 } { 8 } } k _ { a } k _ { b } m _ { c } \, b \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 5 } } + { \textstyle \frac { 5 } { 2 } } k _ { a } k _ { b } k _ { c } \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \Big ( 1 - { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \frac { b ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \Big ) \Big \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( i ) } & { { } } & { - 1 \le \frac { - 2 ( 1 - K _ { w } ^ { - 1 } \frac { H } { \gamma } ) \gamma } { - K _ { s } ^ { - 1 } H } - 1 \le 1 ~ , } \\ { ( i i ) } & { { } } & { - 1 \le \frac { - 2 \gamma } { - K _ { w } ^ { - 1 } H } - 1 \le 1 ~ . } \end{array}
\rho ( \lambda ) \sigma ( \lambda ) + \int _ { - \pi / \phi } ^ { + \pi / \phi } d \lambda ^ { \prime } \frac { K _ { 2 } ( \lambda - \lambda ^ { \prime } ) } { 2 \pi } \rho ( \lambda ^ { \prime } ) \sigma ( \lambda ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \mathrm { I m } [ \theta _ { 2 } ( \lambda - x _ { 0 } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda + x _ { 0 } ) ] .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { p \mathrm { P r } } \frac { d } { d t } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p } } & { \leq \frac { p - 1 } { 2 } \left( \mathrm { { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p - 2 } - \int _ { \Omega } | \nabla \hat { \omega } | ^ { 2 } | \hat { \omega } | ^ { p - 2 } \right) } \\ & { = \frac { p - 1 } { 2 } \left( \mathrm { { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p - 2 } - \frac { 4 } { p ^ { 2 } } \big \| \nabla | \hat { \omega } | ^ { \frac { p } { 2 } } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \substack { \chi \in \mathcal { X } _ { 1 } } } \left| \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { 1 } } \chi ( p ) \right| ^ { 2 } \left| \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { 2 } } \chi ( p ) \right| \left| \sum _ { n \leq q } \chi ( n ) \sum _ { d \mid n } \lambda _ { d } ^ { + } \right| } \\ & { \ll \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \frac { | \mathcal { P } _ { 1 } | ^ { 2 } } { ( \log q ) ^ { 4 0 } } \left( \sum _ { \substack { \chi \pmod q } } \left| \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { 2 } } \chi ( p ) \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \sum _ { \chi \pmod { q } } \left| \sum _ { n \leq q } \chi ( n ) \sum _ { d \mid n } \lambda _ { d } ^ { + } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ll \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \frac { | \mathcal { P } _ { 1 } | ^ { 2 } } { ( \log q ) ^ { 4 0 } } ( q | \mathcal { P } _ { 2 } | ) ^ { 1 / 2 } ( q \cdot q \log q ) ^ { 1 / 2 } \ll \frac { | \mathcal { P } _ { 1 } | ^ { 2 } | \mathcal { P } _ { 2 } | ^ { 2 } } { ( \log q ) ^ { 2 0 } \varphi ( q ) } . } \end{array}
\frac { 1 } { ( \Delta t ) ^ { 4 } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } _ { i } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ) } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta _ { i } } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ) } \mathcal { Z } \Bigg | _ { \theta , \tilde { \theta } = 0 } = \langle n _ { i } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle - \langle n _ { i } ( \tau ) \rangle = \langle [ \tilde { \phi } _ { i } ( \tau _ { + } ) + 1 ] ^ { 2 } \phi _ { i } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle
\partial _ { t } \Delta \tau \approx \boldsymbol { \theta } _ { 1 } ^ { \dagger } \left( T _ { 0 } / 2 \right) \mathbf { u } _ { 2 } \left( T _ { 0 } / 2 \right) - \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( 0 \right) \mathbf { u } _ { 1 } \left( 0 \right) .
\begin{array} { r l } { g _ { l } } & { = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { b } | } , } \\ { g _ { r } } & { = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } \Omega _ { b } | } , } \\ { g _ { a } } & { = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } | } , } \\ { \theta \mp \phi = ( 2 k + } & { 1 ) \pi , \quad \theta \neq p \pi , \quad \phi \neq q \pi , } \end{array}
J _ { ( 1 , y _ { t } ) } = \left( \begin{array} { c c } { - \frac { r y _ { t } \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) } { N _ { I } ( w - 1 ) } - v _ { I } - y _ { t } + 1 } & { 0 } \\ { - \frac { N _ { I } ( r - 1 ) ( y _ { t } - 1 ) y _ { t } w ^ { N _ { I } - 1 } } { N _ { T } } } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { z } \times \mathbf { Y } _ { l } ^ { m } } & { = - \frac { i m } { l ( l + 1 ) } \mathbf { Y } _ { l } ^ { m } + g _ { l } ^ { m } \mathbf { Z } _ { l - 1 } ^ { m } + g _ { l + 1 } ^ { m } \mathbf { Z } _ { l + 1 } ^ { m } - i g _ { l } ^ { m } \sqrt { \frac { l } { l - 1 } } \mathbf { X } _ { l - 1 } ^ { m } + i g _ { l + 1 } ^ { m } \sqrt { \frac { l + 1 } { l + 2 } } \mathbf { X } _ { l + 1 } ^ { m } } \\ { \mathbf { z } \times \mathbf { X } _ { l } ^ { m } } & { = - \frac { m } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \mathbf { Z } _ { l } ^ { m } + i g _ { l } ^ { m } \sqrt { \frac { l } { l + 1 } } \mathbf { Y } _ { l - 1 } ^ { m } - i g _ { l + 1 } ^ { m } \sqrt { \frac { l + 1 } { l } } \mathbf { Y } _ { l + 1 } ^ { m } } \\ { \mathbf { z } \times \mathbf { Z } _ { l } ^ { m } } & { = - \frac { i m } { l ( l + 1 ) } \mathbf { Z } _ { l } ^ { m } - \frac { m } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \mathbf { X } _ { l } ^ { m } - g _ { l } ^ { m } \mathbf { Y } _ { l - 1 } ^ { m } - g _ { l + 1 } ^ { m } \mathbf { Y } _ { l + 1 } ^ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n ^ { - 1 } ( \mathbf { y } - { \boldsymbol \rho } ( \mathbf { X } _ { \mathcal { S } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) ) ^ { \top } { \boldsymbol \Lambda } _ { \mathcal { D } } ^ { - 1 / 2 } \widetilde { \mathbf { P } } _ { \mathcal { I } \mid \mathcal { D } } { \boldsymbol \Lambda } _ { \mathcal { D } } ^ { - 1 / 2 } ( \mathbf { y } - { \boldsymbol \rho } ( \mathbf { X } _ { \mathcal { S } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) ) } \\ & { = n ^ { - 1 } ( \mathbf { y } - { \boldsymbol \rho } ( \mathbf { X } _ { \mathcal { S } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) ) ^ { \top } \mathbf { X } _ { \mathcal { I } } ( \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathcal { I } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathcal { I } } ) ^ { - 1 } \mathbf { X } _ { \mathcal { I } } ^ { \top } ( \mathbf { y } - { \boldsymbol \rho } ( \mathbf { X } _ { \mathcal { S } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) ) } \\ & { \preceq n ^ { - 1 } \psi _ { * } ^ { - 1 } ( \mathbf { y } - { \boldsymbol \rho } ( \mathbf { X } _ { \mathcal { S } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) ) ^ { \top } \mathbf { P } _ { \mathcal { I } } ( \mathbf { y } - { \boldsymbol \rho } ( \mathbf { X } _ { \mathcal { S } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } } ^ { * } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { Q } r _ { j } ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } - \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) } & { = \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } r _ { j - 1 } ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } - \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } r _ { j - 1 } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } } \\ & { = \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \left[ \mathbf { Q } r _ { j - 1 } ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } - r _ { j - 1 } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \right] } \\ & { = \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \left[ \mathsf { e r r } _ { k } ( r _ { j - 1 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textstyle ( Q _ { n - \ell } ^ { * } ) ^ { - 1 } h _ { k } ^ { n } ( \ell , z ) = \sum _ { \eta > y _ { n - k } } \bar { Q } _ { [ n - k , n - \ell ] } ^ { + } A _ { n - \ell } ^ { - 1 } Q _ { n - \ell } ^ { - 1 } ( \eta , z ) } \\ & { \textstyle \qquad - \sum _ { \eta > y _ { n - k } } \sum _ { \eta ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } Q _ { n - k } ^ { + } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) \mathbb { E } _ { B _ { n - k } ^ { + } = \eta ^ { \prime } } \bigl [ \bar { Q } _ { ( \tau , n - \ell ] } ^ { + } A _ { n - \ell } ^ { - 1 } Q _ { n - \ell } ^ { - 1 } ( B _ { { \tau ^ { + } } } ^ { + } , z ) \mathbf { 1 } _ { { \tau ^ { + } } < n - \ell } \bigr ] . } \end{array}
\widehat { h } _ { n } ( k , k ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { \mathsf { i } \Omega ( \frac { k } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) } { - \alpha _ { n } ^ { - 1 } \Lambda ( \frac { k } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) - \mathsf { i } \Omega ( \frac { k } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) } \widehat { \varphi } _ { n } ( k + k ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } & { t _ { j - 1 , j } ^ { - \frac { j - i - 3 } { 2 } } \cdots t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - \frac { j - i - 3 } { 2 } } t _ { i , i + 1 } ^ { - \frac { j - i - 3 } { 2 } } ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i + 1 } { 2 } } } \\ { = } & { t _ { i , i + 1 } ^ { - \frac { j - i - 3 } { 2 } } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - \frac { j - i - 3 } { 2 } } \cdots t _ { j - 1 , j } ^ { - \frac { j - i - 3 } { 2 } } ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } ) ^ { \frac { j - i + 1 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta \dot { d } } & { { } = \frac { G _ { c } } { c _ { 0 } l _ { d } } \left( 2 l _ { d } ^ { 2 } \triangle { d } - w ^ { \prime } ( d ) \right) - g ^ { \prime } ( d , \psi _ { c } ) \psi _ { e } ^ { A } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \bar { x } _ { T } ) - f ( x ^ { * } ) \leq } & { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 : T } } \left( \frac { \| w ^ { * } \| ^ { 2 } } { \beta _ { T } } + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } \beta _ { t } } { 2 } \| D \varphi ( \bar { x } _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) - \tilde { g } _ { t } \| _ { * } ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. \vphantom { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } - \frac { \alpha _ { t } } { 2 L } \| \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) \| _ { * } ^ { 2 } - \frac { \alpha _ { 1 : t - 1 } } { 2 L } \| \nabla f ( \bar { x } _ { t - 1 } ) - \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) \| _ { * } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } - \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ^ { + } ~ = ~ ^ { M } D _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } ( \overline { { U _ { i } ^ { + } } } ) ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3 ~ ; ~ \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\begin{array} { r } { X ^ { 2 } \underbrace { \left( \frac { - \alpha ^ { 2 } } { \sigma _ { F } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 \sigma _ { X } ^ { 2 } } \right) } _ { a } + X \underbrace { \left( \frac { \alpha ( F ^ { \prime } + F ) } { \sigma _ { F } ^ { 2 } } + \frac { \mu } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } \right) } _ { b } + \underbrace { \left( \frac { - ( F ^ { 2 } + F ^ { 2 } ) } { 2 \sigma _ { F } ^ { 2 } } - \frac { \mu } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } \right) } _ { c } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| x _ { \tau + 1 , i } ^ { * } - \tilde { x } _ { \tau + 1 , i } \| \leq \frac { \lambda } { \rho } \| z _ { \tau + 1 , i } ^ { * } - \bar { z } _ { \tau + 1 , i } \| } \\ & { = \frac { \lambda } { \rho } \| \sum _ { l = 0 } ^ { i - 1 } - \eta _ { \tau + 1 , \ell } ( \nabla f ( \tilde { x } _ { \tau + 1 , \ell } ) - \bar { \nu } _ { \tau + 1 , \ell } ) ) \| \overset { ( a ) } { \leq } \sum _ { l = 0 } ^ { i - 1 } \frac { \lambda \eta _ { \tau + 1 , \ell } } { \rho } \| \nabla f ( \tilde { x } _ { \tau + 1 , \ell } ) - \bar { \nu } _ { \tau + 1 , \ell } \| } \end{array}
\tilde { v _ { y } } ^ { ( 1 ) } = \frac { e } { m } \frac { ( - i \omega _ { m w } E _ { m w y } - \omega _ { c } E _ { m w z } ) } { ( \omega _ { m w } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) } ; \quad \tilde { v _ { z } } ^ { ( 1 ) } = \frac { e } { m } \frac { ( - i \omega _ { m w } E _ { m w z } + \omega _ { c } E _ { m w y } ) } { ( \omega _ { m w } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l r } { { \hat { P } } ^ { ( e _ { \alpha } ) } } & { { } = } & { \sum _ { \mu _ { e _ { \alpha } } = - F _ { e _ { \alpha } } } ^ { F _ { e _ { \alpha } } } | F _ { e _ { \alpha } } , \mu _ { e _ { \alpha } } \rangle \langle F _ { e _ { \alpha } } , \mu _ { e _ { \alpha } } | , \, \, \; \alpha = 1 \dots 5 } \\ { { \hat { P } } ^ { ( g _ { n } ) } } & { { } = } & { \sum _ { \mu _ { g _ { n } } = - F _ { g _ { n } } } ^ { F _ { g _ { n } } } | F _ { g _ { n } } , \mu _ { g _ { n } } \rangle \langle F _ { g _ { n } } , \mu _ { g _ { n } } | , \, \, \; n = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } & { = | | \tilde { \eta } _ { n _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } - \tilde { \eta } _ { n _ { 2 } } ^ { ( 0 ) } | | _ { 2 } } \\ & { \leq | | \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } | | _ { 2 } + | | \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { 2 } } ^ { ( 0 ) } | | _ { 2 } } \\ & { \approx \alpha \left( e ^ { - \beta n _ { 1 } } + e ^ { - \beta n _ { 2 } } \right) . } \end{array}
L _ { 0 } [ f ] ( \kappa ) = \frac { 1 } { 4 } \left[ \sqrt { \kappa ( \kappa + i 2 ^ { - } ) } \, f ( \kappa + i 2 ^ { - } ) + \sqrt { \kappa ( \kappa - i 2 ^ { - } ) } \, f ( \kappa - i 2 ^ { - } ) \right] ,