harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
h _ { j , j + 1 } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } F ( n ) X _ { j } ^ { - n } X _ { j + 1 } ^ { n } + \sum _ { n , m = 1 } ^ { N } [ G _ { + } ( n , m ) X _ { j } ^ { - n } X _ { j + 1 } ^ { n } Z _ { j } ^ { m } + G _ { - } ( n , m ) X _ { j } ^ { - n } X _ { j + 1 } ^ { n } Z _ { j + 1 } ^ { m } ]
\textsf { v o i } \left[ i , j \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { i , } & { i = j , } \\ { 4 , } & { ( i , j ) = ( 2 , 3 ) ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ ( 3 , 2 ) , } \\ { 5 , } & { ( i , j ) = ( 1 , 3 ) ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ ( 3 , 1 ) , } \\ { 6 , } & { ( i , j ) = ( 1 , 2 ) ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ ( 2 , 1 ) . } \end{array} \right.
\int x ^ { m } \operatorname { a r c s c h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \operatorname { a r c s c h } ( a x ) } { m + 1 } } + { \frac { 1 } { a ( m + 1 ) } } \int { \frac { x ^ { m - 1 } } { \sqrt { { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } + 1 } } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\begin{array} { r l } { E _ { a , 1 } ( x , y , z ) } & { { } = E _ { a , 1 } \, e ^ { - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) / w _ { 0 } ^ { 2 } } e ^ { i k _ { z } z } , } \\ { E _ { b , 1 } ( x , y , z ) } & { { } = E _ { b , 1 } e ^ { - ( ( x - \Delta x - d \theta _ { \mathrm { i n } } z ) ^ { 2 } + ( y - \Delta y - d \phi _ { \mathrm { i n } } z ) ^ { 2 } ) / w _ { 0 } ^ { 2 } } \, e ^ { i k _ { z } ( z + d \theta _ { \mathrm { i n } } ( x + \Delta x ) + d \phi _ { \mathrm { i n } } ( y + \Delta y ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta = \vec { D } _ { 1 } \cdot \vec { E } _ { 2 } - \vec { D } _ { 2 } \cdot \vec { E } _ { 1 } + \vec { H } _ { 1 } \cdot \vec { B } _ { 2 } - \vec { H } _ { 2 } \cdot \vec { B } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { r \ e ^ { \alpha L _ { g } N ^ { * } } } { \cos ^ { 2 } \Big ( \frac { r \Phi ^ { * } } { 2 } \Big ) + e ^ { 2 \alpha L _ { g } N ^ { * } } \ \sin ^ { 2 } \Big ( \frac { r \Phi ^ { * } } { 2 } \Big ) } , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { { } = } & { - e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { G } _ { e i } ( \boldsymbol { k } ) } & { = \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } \left( 1 + n _ { i } \widetilde { G } _ { i i } ( \boldsymbol { k } ) \right) , } \\ { \widetilde { G } _ { e e } ( \boldsymbol { k } ) } & { = \frac { 1 } { n _ { i } } \left( \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + n _ { i } \widetilde { G } _ { i i } ( \boldsymbol { k } ) \right) - \frac { 1 } { n _ { e } } \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \nabla ^ { 2 } { \mathbf B } + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \mathbf B } } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = \mu _ { 0 } \nabla \times { \mathbf J } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } \left[ f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right] } & { \leq \left( 2 d _ { n + 1 } + \frac { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } { 2 d _ { n + 1 } } \right) D + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { = 2 d _ { n + 1 } D + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { D } { d _ { n + 1 } } + 1 \right) \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { _ 2 F _ { 1 } } ( a , b ; c ; z ) } & { { } = } & { \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( b - a ) } { \Gamma ( b ) \Gamma ( c - a ) } \big ( - \frac { 1 } { z } \big ) ^ { a } { _ 2 F _ { 1 } } ( a , 1 - c + a ; 1 - b + a ; \frac { 1 } { z } ) } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \widetilde { G } } \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial \widetilde { t } } + \frac { 1 } { 2 G } \frac { \tau _ { i j } - \hat { \tau } _ { i j } } { \Delta t } + \frac { \tau _ { i j } } { 2 \mu _ { s } } = - \dot { \lambda } \frac { \partial Q } { \partial \sigma _ { i j } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla _ { i } v _ { j } + \nabla _ { j } v _ { i } - \frac { 2 } { 3 } \nabla _ { k } v _ { k } \right) .
S _ { 1 } = \left[ \left( \frac { \partial { u _ { s } } } { \partial { n } } \right) ^ { * } h _ { m } ^ { * } - \frac { 1 } { \kappa ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } \right] \ln { ( h _ { m } ^ { * } ) } \qquad \textrm { a n d } \qquad S _ { 2 } = u _ { s } ^ { * } - \left( \frac { \partial { u _ { s } } } { \partial { n } } \right) ^ { * } h _ { m } ^ { * } \ln { ( h _ { m } ^ { * } ) }
\begin{array} { r l } { P ( C _ { m } ^ { ( n , \alpha ) } = k / m ) } & { = \binom { m } { k } \left( \frac { n ! } { ( b - 1 ) ! ( g - 1 ) ! } \right) \int _ { [ 0 , 1 ] } \theta ^ { k + b - 1 } ( 1 - \theta ) ^ { m - k + g - 1 } \, d \lambda ( \theta ) } \\ & { = \binom { m } { k } \left( \frac { n ! } { ( b - 1 ) ! ( g - 1 ) ! } \right) \left( \frac { ( k + b - 1 ) ! ( m - k + g - 1 ) ! } { ( m + n ) ! } \right) } \\ & { = \binom { m } { k } \frac { \left( \prod _ { i = 1 } ^ { k } ( b + i - 1 ) \right) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { m - k } ( g + i - 1 ) \right) } { \prod _ { i = 1 } ^ { m } ( n + i ) } . } \end{array}
{ \frac { F _ { K } } { F _ { H } } } \approx { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { v ^ { 2 } } { c _ { P } T } } { \frac { C } { \nabla _ { \mathrm { a d } } \mathrm { P e } } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \kappa _ { T } ^ { 2 } } { H _ { P } ^ { 2 } c _ { P } T } } { \frac { C } { \nabla _ { \mathrm { a d } } } } \mathrm { P e } = { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { \mathrm { a d } } C { \frac { \mathrm { P e } } { \mathrm { R a _ { T } } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r o b } ( \exists i \leq k \colon ( W _ { i } \subset S ) ) } & { \geq k \cdot \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { s - r } { n - r } - { \binom { k } { 2 } } \cdot \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { s - r } { n - r } \cdot \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { ( s - \ell ) - r } { ( n - \ell ) - r } } \\ & { = k \cdot \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { s - r } { n - r } \left( 1 - \frac { k - 1 } { 2 } \cdot \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { ( s - \ell ) - r } { ( n - \ell ) - r } \right) } \\ & { \geq k \cdot \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { s - \ell } { n - \ell } \cdot \left( 1 - \frac { k } { 2 } \cdot \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { s - \ell } { n - \ell } \right) } \\ & { = k \cdot \left( \frac { s - \ell } { n - \ell } \right) ^ { \ell } \cdot \left( 1 - \frac { k } { 2 } \cdot \left( \frac { s - \ell } { n - \ell } \right) ^ { \ell } \right) . } \end{array}
A ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 3 } \Phi ^ { \prime } , } } & { { y < 0 } } \\ { { - \frac { 1 } { 3 } \Phi ^ { \prime } , } } & { { y > 0 } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } { ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } ( Y - { Q _ { n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) - \tilde { r } _ { n } ( x ) + R _ { 1 , n } ( x ) } \\ & { } & { + O _ { P } ( C ( M _ { n } ) r ( d , J _ { 0 , n } ) ^ { k + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( { \mathcal { R } } ^ { ( 2 ) } > \frac { s } { 2 } + w \right) } & { \leq \mathbb { P } ( { \mathcal { R } } ^ { ( 2 ) } > r _ { 2 } + w ) \leq \frac { v _ { 2 } } { w ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { w ^ { 2 } } \frac { 4 c ^ { 2 } s ^ { 2 } } { ( a + b ) ( 1 - c ^ { 2 } ) } \left( 1 + \frac { ( 1 - c ) ( 1 - s ) } { 2 s ( 1 + c ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L \slash 2 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \times e ^ { - 3 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \leq } & { L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } } ) } \\ & { \leq } & { 5 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) + 1 } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L \slash 2 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \quad \times e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \left( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } \right) d t ^ { 2 } - \left( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } - r ^ { 2 } d \Omega _ { d - 1 } ^ { 2 } \, .
\operatorname * { l i m } _ { \tau , \tau ^ { \prime } \to - \infty } P ( \tau , \theta , \Omega ; \tau ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } , \Omega ^ { \prime } ) = \frac 1 4 e ^ { - \tau - \tau ^ { \prime } } \left[ 1 - \cosh \theta \cosh \theta ^ { \prime } + \sinh \theta \sinh \theta ^ { \prime } \cos \Theta \right] \, ,
\begin{array} { r } { \mathbf { h } _ { r } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { N } \mathbf { H } _ { m , n } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { M } \mathbf { h } _ { t , k } ^ { H } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { n = 1 } ^ { N } | { h } _ { r n } | e ^ { - j \phi _ { r n } } e ^ { - j \psi _ { n } } | { H } _ { m n } | e ^ { - j \phi _ { m n } } e ^ { - j \eta _ { m } } | { h } _ { t , k m } | e ^ { - j \phi _ { t , k m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { j } } & { = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \big ( t _ { j } ^ { \dagger } + t _ { j } + b _ { j } ^ { \dagger } + b _ { j } \big ) + \big ( n _ { j - 1 } ^ { ( t ) } - n _ { j - 1 } ^ { ( b ) } \big ) \big ( n _ { j + 1 } ^ { ( t ) } - n _ { j + 1 } ^ { ( b ) } \big ) \ , } \\ { P _ { j } } & { = \frac 1 2 \big ( t _ { j } ^ { \dagger } - b _ { j } ^ { \dagger } \big ) \big ( t _ { j } - b _ { j } ) + \big ( n _ { j - 1 } ^ { ( e ) } - n _ { j + 1 } ^ { ( e ) } ) ^ { 2 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \upsilon \left( t , \theta \right) } & { = \beta _ { 0 } c + \frac { \beta _ { 0 } ^ { - 1 } \gamma _ { 0 } ^ { - 3 } } { m c } \Delta U \left( t , \theta \right) + \cdots } \\ { z \left( t , \theta \right) } & { = \beta _ { 0 } c t + \frac { \beta _ { 0 } ^ { - 1 } \gamma _ { 0 } ^ { - 3 } } { m c } \int _ { 0 } ^ { t } \Delta U \left( { t } ^ { \prime } , \theta \right) d { t } ^ { \prime } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { \mathrm { S E D } } } & { = \left( \begin{array} { l l } { - k _ { A _ { 1 } \to A _ { 2 } } } & { k _ { A _ { 1 } \to A _ { 2 } } } \\ { k _ { A _ { 2 } \to A _ { 1 } } } & { k _ { A _ { 2 } \to A _ { 2 } + B } ( x _ { 3 } - 1 ) - k _ { A _ { 2 } \to A _ { 1 } } } \end{array} \right) } \\ { B ^ { \mathrm { S E D } } } & { = k _ { B \to 0 } \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { 1 } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
R \left( \begin{array} { l } { q _ { 1 } } \\ { k _ { 1 } } \end{array} ; x \right) = \frac { 1 } { ( k _ { 1 } - 1 ) ! } \operatorname* { l i m } _ { s \to i q _ { 1 } } \partial _ { k _ { 1 } - 1 } e ^ { s x } = \frac { x ^ { k _ { 1 } - 1 } } { ( k _ { 1 } - 1 ) ! } e ^ { i q _ { 1 } x } .
\begin{array} { r l } { p ( t , m ) } & { = \mu ( t , m ) S ( t , m ) } \\ & { = b \bigg ( 1 + \frac { m } { f _ { o n } } \bigg ) ^ { \beta / \alpha } e ^ { \beta t } S _ { 1 } ( t _ { o n } ) S _ { 2 } ( t ) } \\ & { \approx b e ^ { \beta t } \bigg ( 1 + \frac { \beta m } { \alpha f _ { o n } } \bigg ) S _ { 1 } ( t _ { o n } ) ( 1 - \mu ( t _ { o n } , m ) ( t - t _ { o n } ) ) . } \end{array}
S _ { m n } ( \mathbf { k } _ { i } , \mathbf { k } _ { j } ) = \langle u _ { \mathbf { k } _ { i } } ^ { ( m ) } | u _ { \mathbf { k } _ { j } } ^ { ( n ) } \rangle \quad m , n \in [ B _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , B _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ n ~ } } ] .
{ \mathrm { R } } = ( { \mathrm { p r o b a b i l i t y ~ o f ~ t h e ~ a c c i d e n t ~ o c c u r r i n g } } ) \times ( { \mathrm { e x p e c t e d ~ l o s s ~ i n ~ c a s e ~ o f ~ t h e ~ a c c i d e n t } } )
{ \big | } \pi ( x ) - \operatorname { l i } ( x ) { \big | } \leq 0 . 2 7 9 5 { \frac { x } { ( \ln x ) ^ { 3 / 4 } } } \exp \left( - { \sqrt { \frac { \ln x } { 6 . 4 5 5 } } } \right)
\begin{array} { r } { G _ { \mathrm { i c h } } ( \tilde { \lambda } _ { 1 } , \tilde { \lambda } _ { 2 } , \tilde { \lambda } _ { 3 } ) = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \varpi ( \tilde { \lambda } _ { a } ) , \quad \mathrm { ~ w i t h ~ } \quad \varpi ( \tilde { \lambda } _ { a } ) : = \sum _ { p = 1 } ^ { N } \frac { \mu _ { p } } { \alpha _ { p } } ( \tilde { \lambda } _ { a } ^ { \alpha _ { p } } - 1 ) . } \end{array}
\left| { \frac { f ( z _ { 1 } ) - f ( z _ { 2 } ) } { 1 - { \overline { { f ( z _ { 1 } ) } } } f ( z _ { 2 } ) } } \right| \leq \left| { \frac { z _ { 1 } - z _ { 2 } } { 1 - { \overline { { z _ { 1 } } } } z _ { 2 } } } \right| .
\mathcal { L } ( \ell ) = \int _ { \ell } ^ { I _ { \mathrm { m a x } } } \alpha ~ I ^ { - 3 / 2 } d I = 2 \alpha \left[ \ell ^ { - 1 / 2 } - I _ { \mathrm { m a x } } ^ { - 1 / 2 } \right] \approx 2 \alpha \ell ^ { - 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb { P } } \big \{ T _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } = \ell \big \} } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 } { m _ { 2 } - 1 } + \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 } { m _ { 1 } - 1 } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } , } & { \quad \mathrm { ~ m _ { 2 } , ~ \ell ~ \ge ~ 1 ~ } , } \\ { 1 , } & { \quad \mathrm { ~ m _ { 2 } = 0 ~ a n d ~ \ell ~ = ~ m _ { 1 } ~ } , } \\ { 0 , } & { \quad \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \\ { { \mathbb { P } } \big \{ W _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } = k \big \} } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 ^ { k } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - k } { m _ { 1 } } - 2 ^ { k + 1 } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - k - 1 } { m _ { 1 } } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } , } & { \quad \mathrm { ~ m _ { 1 } ~ \ge ~ 1 ~ } , } \\ { 1 , } & { \quad \mathrm { ~ m _ { 1 } ~ = ~ m _ { 2 } ~ = ~ k ~ = ~ 0 ~ } , } \\ { 0 , } & { \quad \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + \cdots = \log 2
\begin{array} { r l r l } & { \omega ^ { p _ { k } } _ { \psi _ { j } } = \frac { \partial _ { \psi _ { j } } \mathsf { G } _ { p _ { k } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { p _ { k } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } } \, d p _ { k } - \epsilon _ { p _ { k } } \epsilon _ { \psi _ { j } } \, \frac { \partial _ { p _ { k } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { p _ { k } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } } \, d \psi _ { j } = 0 \, , } & & { j \neq k \, , } \\ & { \omega ^ { \psi _ { k } } _ { \psi _ { j } } = \frac { \partial _ { \psi _ { j } } \mathsf { G } _ { \psi _ { k } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { \psi _ { k } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } } \, d \psi _ { k } - \epsilon _ { \psi _ { k } } \epsilon _ { \psi _ { j } } \, \frac { \partial _ { \psi _ { k } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { \psi _ { k } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } } \, d \psi _ { j } = 0 \, , } & & { j < k = 2 , \hdots , N \, , } \\ & { \omega ^ { p _ { k } } _ { p _ { j } } = \frac { \partial _ { p _ { j } } \mathsf { G } _ { p _ { k } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { p _ { k } } \mathsf { G } _ { p _ { j } } } } \, d p _ { k } - \epsilon _ { p _ { k } } \epsilon _ { p _ { j } } \, \frac { \partial _ { p _ { k } } \mathsf { G } _ { p _ { j } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { p _ { k } } \mathsf { G } _ { p _ { j } } } } \, d p _ { j } = 0 \, , } & & { j < k = 2 , \hdots , N \, , } \\ & { \omega ^ { p _ { j } } _ { \psi _ { j } } = \frac { \partial _ { \psi _ { j } } \mathsf { G } _ { p _ { j } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { p _ { j } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } } \, d p _ { j } - \epsilon _ { p _ { j } } \epsilon _ { \psi _ { j } } \, \frac { \partial _ { p _ { j } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { p _ { j } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } } \, d \psi _ { j } = - \frac { p _ { j } } { \mathsf { A } } \, d \psi _ { j } \, , } & & { j = 2 , \hdots , N \, . } \end{array}
\left( \left( \frac { a ^ { \prime 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { 8 } { 9 } g _ { 1 } ^ { 2 } R ^ { 2 } \right) - \frac { 8 } { 9 } g _ { 2 } ^ { 2 } S ^ { 2 } \right) \epsilon _ { \pm } ^ { A } = 0 \ ,
\begin{array} { r l r } { \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } } & { { } = } & { \kappa \rho _ { s } ^ { \Gamma } \left[ 1 - \alpha _ { s } A \right] \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } - \alpha _ { s } C \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } } \end{array}
{ \cal A } \simeq \frac { G _ { o } ^ { 4 } } { \alpha _ { e } ^ { \prime } } \frac { \mathrm { T r } ( \xi \cdot \xi ^ { \prime } ) ( \zeta \cdot \zeta ^ { \prime } ) } { \alpha _ { e } ^ { \prime } ( \Delta n ^ { 2 } / R _ { 2 } ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) } \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } w ^ { 2 } } { R _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 + v _ { \perp } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } + 2 v _ { 2 } ) ( 1 + v _ { \perp } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } - 2 v _ { 2 } ) + { \cal O } ( p ^ { \prime } + p ) ~ .
r _ { m } = { \frac { a \phi } { 2 } } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 1 + { \sqrt { 5 } } \right) a = a \cos { \frac { \pi } { 5 } } \approx 0 . 8 0 9 \, 0 1 6 \, 9 9 \cdot a
H = \left( \begin{array} { l l l } { E _ { c } - i \gamma } & { - C } & { \Omega / 2 } \\ { - C } & { E _ { c } + i \gamma } & { \Omega / 2 } \\ { \Omega / 2 } & { \Omega / 2 } & { E _ { X } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \rho _ { 2 } ( M ) = \frac { 1 } { 2 } \ \operatorname* { i n f } \{ l ( \gamma ) \ | \ \gamma : [ a , b ] \longrightarrow \overline { { M } } \ \textrm { g e o d e s i c s . t . } \ \gamma ( a ) , \gamma ( b ) \in M , } \\ { \dot { \gamma } ( a ) \in N _ { \gamma ( a ) } M , \dot { \gamma } ( b ) \in N _ { \gamma ( b ) } M \} . } \end{array}
\mathbb { P } [ \mathbf { p a t t } ( \boldsymbol { \hat { \beta } } _ { n } ) = \mathbf { p a t t } ( \beta ^ { 0 } ) ] \longrightarrow \mathbb { P } [ \mathbf { p a t t } _ { \beta ^ { 0 } } ( \boldsymbol { \hat { u } } ) = \mathbf { p a t t } ( \beta ^ { 0 } ) ] = \mathbb { P } \big [ \boldsymbol { \hat { u } } \in \langle U _ { \beta ^ { 0 } } \rangle \big ] .
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } + { \boldsymbol \Delta } ; \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) } & { : = \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } + { \boldsymbol \Delta } ) - \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) - \nabla \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) ^ { \top } { \boldsymbol \Delta } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } { \boldsymbol \Delta } ^ { \top } \nabla ^ { 2 } \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } + t { \boldsymbol \Delta } ) { \boldsymbol \Delta } \quad \mathrm { ( f o r ~ s o m e ~ t ~ \in ~ ( 0 , 1 ) ~ ) } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } b ^ { \prime \prime } ( \mathbf { x } _ { i , \mathcal { D } } ^ { \top } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } + t { \boldsymbol \Delta } ) ) ( \mathbf { x } _ { i , \mathcal { D } } ^ { \top } { \boldsymbol \Delta } ) ^ { 2 } } \\ & { \geq \psi ( x _ { 0 } R + x _ { 0 } r ) \kappa _ { 0 } \left\| { \boldsymbol \Delta } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \quad \mathrm { ( U s i n g ~ A s s u m p t i o n ~ , ~ , ~ ) } } \\ & { \geq \psi ( x _ { 0 } R + x _ { 0 } R _ { 0 } ) \kappa _ { 0 } \left\| { \boldsymbol \Delta } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\left( \frac { 1 } { \tau _ { 0 } ^ { p _ { \psi } - 1 } } - \frac { 1 } { \tau _ { 1 } ^ { p _ { \psi } - 1 } } \right) \Psi \left( y _ { \mathrm { o l d } } , y _ { \mathrm { e l } , \tau _ { 1 } } - y _ { \mathrm { o l d } } \right) \leq \left( \frac { 1 } { \tau _ { 0 } ^ { p _ { \psi } - 1 } } - \frac { 1 } { \tau _ { 1 } ^ { p _ { \psi } - 1 } } \right) \Psi \left( y _ { \mathrm { o l d } } , y _ { \mathrm { e l } , \tau _ { 1 } } - y _ { \mathrm { o l d } } \right) ,
c _ { n } = \frac { ( - 1 ) ^ { n ( n + 1 ) / 2 } x ^ { n ^ { 2 } / 2 } } { ( x ^ { 2 } ; x ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { n ( n - 3 ) / 2 } ( x ^ { 2 r } ; x ^ { 2 r } ) _ { \infty } ^ { 3 n ( n - 1 ) / 2 } } \frac { \{ x ^ { 2 } \} _ { \infty } ^ { n } \{ x ^ { 6 } \} _ { \infty } ^ { n } \{ x ^ { 2 r + 2 } \} _ { \infty } ^ { n } \{ x ^ { 2 r + 6 } \} _ { \infty } ^ { n } } { \{ x ^ { 4 } \} _ { \infty } ^ { n } \{ x ^ { 8 } \} _ { \infty } ^ { n } \{ x ^ { 2 r } \} _ { \infty } ^ { n } \{ x ^ { 2 r + 4 } \} _ { \infty } ^ { n } } ,
\begin{array} { r l } { f _ { 2 n , k , s } ^ { \psi _ { 1 } ^ { \prime } } ( g ) } & { : = \int _ { U _ { 1 } ^ { \prime } ( F ) \backslash U _ { 1 } ^ { \prime } ( \mathbb { A } ) } f _ { 2 n , k , s } ( \mathrm { d i a g } [ u _ { 1 } ^ { \prime } , \hat { u } _ { 1 } ^ { \prime } ] g ) \psi _ { 1 } ^ { \prime } ( u _ { 1 } ^ { \prime } ) d u _ { 1 } ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { U _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( F ) \backslash U _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \mathbb { A } ) } f _ { 2 n , k , s } ( \mathrm { d i a g } [ u _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \hat { u } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ] g ) \psi _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( u _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) d u _ { 1 } ^ { \prime \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu = \left[ \begin{array} { l l l } { \mu } & { \mathrm { i } \kappa } & { 0 } \\ { - \mathrm { i } \kappa } & { \mu } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \mu _ { 0 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega } \mathrm { D } _ { \Delta t } ( u ( t _ { k } ) - u ^ { k } ) ^ { T } A ( u ( t _ { k } ) - u ^ { k } ) \mathrm { d } x = I _ { 7 } + I _ { 8 } , \quad \mathrm { w h e r e } , } \\ & { I _ { 7 } = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Omega } \big [ \gamma \nabla ( u _ { i } ( t _ { k } ) - u _ { i } ^ { k } ) + u _ { i } ( t _ { k } ) \nabla p _ { i } ( u ( t _ { k } ) ) - ( u _ { i } ^ { k } ) ^ { + } \nabla p _ { i } ( u ^ { k } ) \big ] } \\ & { \phantom { x x x x } { \times } \nabla ( A ( u ( t _ { k } ) - u ^ { k } ) ) _ { i } \mathrm { d } x , } \\ & { I _ { 8 } = \frac { ( \Delta t ) ^ { 2 } } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Omega } \partial _ { t } ^ { 3 } u _ { i } ( \xi _ { k } ) ( A ( u ( t _ { k } ) - u ^ { k } ) ) _ { i } \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r } { t = \frac { N _ { \mathrm { P s } } } { \Phi _ { \mathrm { P s } } } \frac { 1 } { \epsilon } = \left( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 0 k T ^ { 2 } \Delta g C } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \epsilon \Phi _ { \mathrm { P s } } } } \end{array}
q _ { 2 } ^ { \mu _ { 2 } } J _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = \left( J _ { \mu _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } ( q _ { 1 } ) \; \delta _ { a _ { 2 } a } + \frac { i } { 2 } f _ { a _ { 2 } a _ { 1 } a } \frac { q _ { 2 } ^ { \mu _ { 1 } } } { q _ { 1 } \cdot q _ { 2 } } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { n } T _ { i } ^ { a } \; \; .