harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \varphi \left( e ^ { - k \pi } \right) } & { = 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 4 e ^ { k \pi } \left( e ^ { 2 k \pi } - \cos \left( { \sqrt { 2 \pi k } } \, t \right) \right) } { e ^ { 4 k \pi } - 2 e ^ { 2 k \pi } \cos \left( { \sqrt { 2 \pi k } } \, t \right) + 1 } } \right] d t } \\ { { \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } } } & { = 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 4 e ^ { \pi } \left( e ^ { 2 \pi } - \cos \left( { \sqrt { 2 \pi } } \, t \right) \right) } { e ^ { 4 \pi } - 2 e ^ { 2 \pi } \cos \left( { \sqrt { 2 \pi } } \, t \right) + 1 } } \right] d t } \\ { { \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } } \cdot { \frac { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } { 2 } } } & { = 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 4 e ^ { 2 \pi } \left( e ^ { 4 \pi } - \cos \left( 2 { \sqrt { \pi } } \, t \right) \right) } { e ^ { 8 \pi } - 2 e ^ { 4 \pi } \cos \left( 2 { \sqrt { \pi } } \, t \right) + 1 } } \right] d t } \\ { { \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } } \cdot { \frac { \sqrt { 1 + { \sqrt { 3 } } } } { 2 ^ { \frac { 1 } { 4 } } 3 ^ { \frac { 3 } { 8 } } } } } & { = 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 4 e ^ { 3 \pi } \left( e ^ { 6 \pi } - \cos \left( { \sqrt { 6 \pi } } \, t \right) \right) } { e ^ { 1 2 \pi } - 2 e ^ { 6 \pi } \cos \left( { \sqrt { 6 \pi } } \, t \right) + 1 } } \right] d t } \\ { { \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } } \cdot { \frac { \sqrt { 5 + 2 { \sqrt { 5 } } } } { 5 ^ { \frac { 3 } { 4 } } } } } & { = 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 4 e ^ { 5 \pi } \left( e ^ { 1 0 \pi } - \cos \left( { \sqrt { 1 0 \pi } } \, t \right) \right) } { e ^ { 2 0 \pi } - 2 e ^ { 1 0 \pi } \cos \left( { \sqrt { 1 0 \pi } } \, t \right) + 1 } } \right] d t } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) \right] _ { ( c ) } = } & { { } - \int _ { \omega , q } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega , q , \varpi , p ) \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega - \varpi , - p - q ) \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p + q , - \omega , - q ) \; \tilde { \partial } _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) } \end{array}
\tilde { G } ( p _ { 1 } \; , \; p _ { 2 } ) \sim \delta ^ { 3 } ( \vec { p } _ { 1 } - \vec { p } _ { 2 } ) ( E _ { 1 } - \sqrt { \vec { p } _ { 1 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { V _ { \lambda } ^ { \gamma } ( s ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { \pi \in \Pi ^ { M } } \mathbb { E } _ { s } ^ { \pi } \left[ \frac { 1 } { 1 - \lambda \gamma } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \lambda ^ { n - 1 } R ( s _ { n } , a _ { n } ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \lambda \gamma } \operatorname* { s u p } _ { \pi \in \Pi ^ { M } } \mathbb { E } _ { s } ^ { \pi } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \lambda ^ { n - 1 } R ( s _ { n } , a _ { n } ) \right] } \\ & { = \frac { V _ { \lambda } ( s ) } { 1 - \lambda \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { m } ( f ) ^ { 2 } = \left[ \sum _ { i = - f } ^ { f } \right. } & { { } \operatorname { F F T } ( - f , i ) ^ { 2 } + \sum _ { i = - f } ^ { f } \operatorname { F F T } ( f , i ) ^ { 2 } } \end{array}
\Phi _ { + } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { \varphi _ { 2 + } ( x ) } } \end{array} \right) , \quad \Phi _ { - } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { \varphi _ { 2 - } ( x ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \left\langle \mathbf { u } , \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { v } \right\rangle _ { \mathbf { M } } + \left\langle \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { u } , \mathbf { v } \right\rangle _ { \mathbf { M } } = { u } _ { P + 1 } ^ { + } { v } _ { P + 1 } ^ { + } - { u } _ { 1 } ^ { - } { v } _ { 1 } ^ { - } , } \\ & { \left\langle \mathbf { u } , \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 2 } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right\rangle _ { \mathbf { M } } = u _ { P + 1 } ^ { + } \left( D _ { x } \frac { d \mathbf { u } ^ { + } } { d t } \right) _ { P + 1 } - u _ { 1 } ^ { - } \left( D _ { x } \frac { d \mathbf { u } ^ { - } } { d t } \right) _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { u } \| _ { \mathbf { M } } , } \\ & { \left\langle \mathbf { u } , \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 3 } \mathbf { u } \right\rangle _ { \mathbf { M } } = { u } _ { P + 1 } ^ { + } \left( D _ { x } ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { + } \right) _ { P + 1 } - { u } _ { 1 } ^ { - } \left( D _ { x } ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { - } \right) _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { x } \mathbf { u } ^ { + } \right) _ { P + 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { x } \mathbf { u } ^ { - } \right) _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\dot { \cal G } _ { B } ( \tau _ { i } , \tau _ { i } ) \rightarrow \dot { \cal G } _ { B } ( \tau _ { i } , \tau _ { i } ) - { \cal G } _ { F } ( \tau _ { i } , \tau _ { i } ) = { \frac { i } { \mathrm { s i n } ( { \cal Z } ) \mathrm { c o s } ( { \cal Z } ) } } - { \frac { i } { \cal Z } }
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } ( \| \hat { f } ^ { L _ { n } } - f _ { 0 } ^ { L _ { n } } \| _ { \infty } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { n } } E _ { 0 } ( \operatorname* { m a x } _ { 2 ^ { l } - 1 \geq k \geq 0 } \left| \varepsilon _ { l k } \right| ) 2 ^ { l / 2 } \lesssim \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { n } } \sqrt { \log ( 2 ^ { l + 1 } ) } 2 ^ { l / 2 } \lesssim \frac { \sqrt { L _ { n } } } { \sqrt { n } } 2 ^ { \frac { L _ { n } } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { d } = \int \frac { 4 \pi } { | \mathbf v | } J _ { \omega , 0 } \textrm { d } \omega , \quad u _ { b } = \int \int \frac { 1 } { | \mathbf v | } I _ { \omega , b } \textrm { d } \hat { \boldsymbol \Omega } \textrm { d } \omega , \quad \mathbf q _ { d } = \frac { 4 \pi } { 3 } \int \mathbf J _ { \omega , 1 } \textrm { d } \omega , \quad \mathbf q _ { b } = \int \int I _ { \omega , b } \cos \theta \textrm { d } \hat { \boldsymbol \Omega } \textrm { d } \omega , } \end{array}
B \psi \in D \left( ( - \Delta ) ^ { s } \right) = D \left( \left( ( - \Delta ) ^ { 5 } \right) ^ { \frac { s } { 5 } } \right) = H _ { 0 } ^ { 2 s } = H _ { 0 } ^ { \frac { 5 } { 2 } + \delta }
q _ { n } ( 1 ) = \frac { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( n - \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } \left( n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( n - \frac { 5 } { 2 } \right) ^ { 2 } \left( n - \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } } = \frac { ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } } { 1 ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { L } } & { { } = - i ( \mathcal { Z } ^ { * } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } } - \mathcal { Z } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } } ) - \frac { 1 } { 2 } ( m + 1 ) \dot { \mathcal { \alpha } } \rho ^ { 2 } + ( \mathcal { P } ^ { * } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } } + \mathcal { P } \dot { \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } } ) - \frac { m + 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \alpha ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \right) } \end{array}
\hat { B } ( C , t ) | \vec { A } , \vec { E } ; \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } { \rangle } _ { 0 } \propto | \vec { A } + L _ { 3 } A ^ { A } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \vec { E } ; \phi _ { 1 } + L _ { 3 } \phi _ { 1 } ^ { A } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \phi _ { 2 } { \rangle } _ { e _ { 3 } } =
W = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { v } d t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } F \, v \, d t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } m a \, v \, d t = m \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } v \, { \frac { d v } { d t } } \, d t = m \int _ { v _ { 1 } } ^ { v _ { 2 } } v \, d v = { \frac { 1 } { 2 } } m \left( v _ { 2 } ^ { 2 } - v _ { 1 } ^ { 2 } \right) .
F ^ { i \, j } ( \vec { P } ) \equiv f ^ { i \, k } ( \vec { P } ) \, \left( ( 1 - A \, | \vec { P } | - A ^ { 2 } \, | \vec { P } | ^ { 2 } ) \delta ^ { k j } - A \, \frac { P ^ { k } \, P ^ { j } } { | \vec { P } | } \, ( 1 + A \, | \vec { P } | ) \right) \; ,
\frac { r ^ { 2 } A _ { 1 } \sin \theta } { \sin ^ { 2 } ( r A _ { 1 } \cos \theta ) } \frac { \cos ^ { 4 } u } { \sin u } \ge \frac { r ^ { 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } \sin \theta \cos ^ { 4 } u } { A _ { 1 } \sin ^ { 2 } ( r A _ { 1 } ) } \ge \frac { \sin \theta _ { 0 } \cos ^ { 4 } u _ { 1 } } { A _ { 1 } } , \ \ u _ { 0 } \le u \le u _ { 1 } , 0 \le r \le r _ { * } .
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { R A V } } ^ { \mathrm { D C B Q } } ( K ) = E _ { \mathrm { R A V } } ^ { \mathrm { D F } } ( K ) + \Delta E _ { \mathrm { R A V } } ^ { \mathrm { B } } ( K ) + \Delta E _ { \mathrm { R A V } } ^ { \mathrm { Q } } ( K ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { \mathrm { p o l } } = } & { { } \frac { 2 \pi ^ { 2 } e ^ { 4 } c ^ { 3 } } { \hbar ^ { 3 } \omega _ { \gamma } \omega _ { p } ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } { \bf q } \int d ^ { 3 } { \bf q } ^ { \prime } \sum _ { \pm } \delta ( \varepsilon _ { q } + \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { \gamma } \pm \omega _ { p } ) \sum _ { s s ^ { \prime } } \; \sum _ { j = 1 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { f } } & { { } : = g _ { e } ( \mathbf { x } ) , \qquad } & { } & { { } \mathrm { ~ E ~ n ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ n ~ e ~ t ~ } } \\ { \mathbf { y } } & { { } : = g _ { d } ( \mathbf { f } ) , \qquad } & { } & { { } \mathrm { ~ D ~ e ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ n ~ e ~ t ~ } } \end{array} .
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { \mathcal { M } } \Big ( \partial _ { i j } ^ { 2 } \mathrm { P } _ { s } \Big ( \frac { 1 } { \rho _ { \delta } } ( p _ { t } ( \cdot , y ) - \rho _ { t } ) \Big ) ( x ) \Big ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathrm { m } ( y ) } } \\ & { = \int _ { \mathcal { M } } \bigg ( \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } w \, \partial _ { i j } ^ { 2 } p _ { s } ( x , w ) \frac { 1 } { \rho _ { \delta } ( w ) } ( p _ { t } ( w , y ) - \rho _ { t } ( w ) ) \bigg ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathrm { m } ( y ) } \\ & { \stackrel { \lesssim } \int _ { \mathcal { M } } \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } p _ { s } ( x , w ) \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathrm { m } ( w ) \lesssim s ^ { - 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { a } _ { S } + \frac { \gamma } { 2 } a _ { S } = - i g A _ { p } b _ { S } ^ { \dag } } \\ & { } & { \dot { b } _ { S } + \frac { \Gamma _ { 0 } } { 2 } b _ { S } = - i g A _ { p } a _ { S } ^ { \dag } + \bar { \xi } _ { S } } \\ & { } & { \dot { a } _ { a S } + \frac { \gamma } { 2 } a _ { a S } = - i g A _ { p } b _ { a S } } \\ & { } & { \dot { b } _ { a S } + \frac { \Gamma _ { 0 } } { 2 } b _ { a S } = - i g a _ { a S } A _ { p } ^ { \dag } + \bar { \xi } _ { a S } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { n l m } ^ { t + 1 } = \Delta t \frac { \epsilon + 1 } { 1 + \left( \frac { \lambda \alpha _ { l n } } { R } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { 3 } { 2 } \left( p _ { \perp n l m } \right) ^ { t } - \frac { 1 } { 2 } \left( p _ { \perp n l m } \right) ^ { t - 1 } \right) } \\ & { b _ { n l m } ^ { t + 1 } = \Delta t \frac { B _ { l n } } { 1 + \Delta t A _ { l n } } \left( \frac { 3 } { 2 } \left( p _ { \parallel n l m } \right) ^ { t } - \frac { 1 } { 2 } \left( p _ { \parallel n l m } \right) ^ { t - 1 } \right) } \\ & { \quad \quad + \frac { 1 - \Delta t A _ { l n } } { 1 + \Delta t A _ { l n } } b _ { n l m } ^ { t - 1 } } \\ & { A _ { l n } = \frac { \left( \lambda _ { d } \alpha _ { l n } / R \right) ^ { 2 } } { 1 + \left( \lambda _ { s } \alpha _ { l n } / R \right) ^ { 2 } } , \; B _ { l n } = \frac { \epsilon + 1 } { 1 + \left( \lambda _ { s } \alpha _ { l n } / R \right) ^ { 2 } } \; , } \end{array}
\partial _ { t } g + v \partial _ { x } g - H \partial _ { v } g + [ G ^ { \prime } \ast ( \rho _ { f } - 1 ) ] \partial _ { v } g + G ^ { \prime } \ast \langle f \partial _ { v } g \rangle = - \frac { \partial J } { \partial f } ( t , x , v ) \, .
\begin{array} { r l } { \psi _ { 0 } } & { { } = \left( { \frac { 1 } { l } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \psi _ { q 1 } } & { { } = \left( { \frac { 2 } { l } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cos { \left( { \frac { 2 \pi \ q x } { l } } \right) } } \\ { \psi _ { q 2 } } & { { } = \left( { \frac { 2 } { l } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sin { \left( { \frac { 2 \pi \ q x } { l } } \right) } } \\ { E _ { q } } & { { } = { \frac { q ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { 0 } l ^ { 2 } } } } \end{array}
\tilde { v } _ { \lambda } \equiv \left( \frac { 2 k _ { 0 } | \mu _ { 5 0 } | } { { \bar { \rho } } \lambda } \right) ^ { 1 / 2 } \quad \left( \approx \frac { B _ { \mathrm { r m s } } ^ { ( 0 ) } } { { \bar { \rho } } ^ { 1 / 2 } } \right) .
B ( z ) = \prod _ { k = 1 } ^ { 3 } { \frac { ( z - z _ { k } ) } { ( 1 - z z _ { k } ) } } , ~ ~ B ^ { * } ( z ) = \prod _ { k = 1 } ^ { 4 } { \frac { ( z - z _ { k } ^ { * } ) } { ( 1 - z z _ { k } ^ { * } ) } }
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { R } _ { 1 } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } } & { = \left\| \sum _ { m = 0 } ^ { t - 1 } P ^ { t - m - 1 } \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \right\| _ { \infty } \leq \sum _ { m = 0 } ^ { t - 1 } \| P ^ { t - m - 1 } \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } } \\ & { \leq \sum _ { m = 0 } ^ { t - 1 } \| P ^ { t - m - 1 } \| _ { \infty } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } \leq \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta - \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \beta + \mu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { O _ { l , l ^ { \prime } } = \frac { 2 } { 2 l + 1 } \delta _ { l , l ^ { \prime } } , \, \, S _ { l ^ { \prime } } ( t ) = R _ { l } ^ { ( i ) } ( t ) = \sqrt { \frac { 2 \pi } { | t | } } \exp \left( \frac { i \pi l \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( t ) } { 2 } \right) J _ { l + 1 / 2 } ( | t | ) , } \end{array}
e ( \omega ^ { \prime } ) = 1 / \sqrt { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \sqrt { b ( \sqrt { 1 + 4 ( \Delta ^ { 2 } - \Omega ( t ) ^ { 2 } ) / b \ C } - 1 ) } \exp [ i ( \varphi ( t ) - \omega ^ { \prime } t ) ] d t
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal L = } & { \partial _ { \mu } \left( \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \partial _ { \nu } \psi \right) - \partial _ { \nu } \left( \partial _ { \mu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \psi \right) } \\ & { + \partial _ { \mu } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \psi ) } \delta \psi \right) + \frac { \partial \mathcal L } { \partial x ^ { \mu } } \delta x ^ { \mu } } \end{array}
A _ { n m } ^ { l } = \frac { 2 } { 2 l + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } } \left[ \frac { ( l - | m | ) ( l + | m | + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) ( l + \delta _ { 1 } ) ( l + \delta _ { 2 } ) ( n - l ) ( n + l + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) } { ( 2 l + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } - 1 ) ( 2 l + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } + 1 ) } \right] ^ { 1 / 2 } .
\vec { Q } _ { \xi } = \vec { Q } _ { d _ { L } } - \vec { Q } _ { s _ { L } } = \left( \frac { 1 } { 6 } , 0 , 0 , 0 \right) - \left( 0 , \frac { 1 } { 6 } , 0 , 0 \right) = \left( \frac { 1 } { 6 } , - \frac { 1 } { 6 } , 0 , 0 \right)
\begin{array} { r l } { ( 1 + \alpha _ { k } \lambda ) \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } \vert \mathcal { F } _ { k } ] } & { \leq ( 1 + \alpha _ { k } ( \rho - \eta ^ { - 1 } ) ) \| x ^ { k } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \alpha _ { k } ^ { 2 } \theta \beta + \big [ \frac { 1 } { \theta } + \alpha _ { k } L + \alpha _ { k } \eta ^ { - 1 } - 1 \big ] \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } \vert \mathcal { F } _ { k } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \left\langle A _ { i } { W _ { 2 } ^ { \star } } ^ { \top } , U _ { 1 } \right\rangle = 0 , } & { \forall i \in \bar { \mathcal { S } } \cup ( \mathcal { S } \backslash \mathcal { S } _ { t } ) , } \\ { \left\langle A _ { i } { W _ { 2 } ^ { \star } } ^ { \top } , U _ { 1 } \right\rangle = \zeta \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ { i } ) , } & { \forall i \in { \mathcal { S } _ { t } } . } \end{array} \right. } \end{array}
K _ { p } ( z ) \stackrel { ( z \rightarrow 0 ) } { \sim } \frac { 1 } { 2 } \, \left[ \Gamma ( p ) \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { - p } + \Gamma ( - p ) \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { p } \right] \, \left[ 1 + O ( z ^ { 2 } ) \right] \;
\begin{array} { r l } { \| F - F _ { \Delta x } \| _ { 1 } } & { = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } | F ( x ) - F _ { \Delta x } ( x ) | d x \leq \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } \left( F ( x _ { 2 j + 2 } ) - F ( x _ { 2 j } ) \right) d x } \\ & { = 2 \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \left( F ( x _ { 2 j + 2 } ) - F ( x _ { 2 j } ) \right) \Delta x = 2 F _ { \infty } \Delta x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R a ( p _ { \epsilon } , t ) = } & { \frac { \frac { 1 } { p _ { \epsilon } ^ { 2 } - 1 } - \frac { t } { p _ { \epsilon } ^ { 2 t } - 1 } } { \frac { p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } - 1 } { 2 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } + \frac { ( p _ { \epsilon } ^ { t } - t p _ { \epsilon } + t - 1 ) } { 6 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } } = \frac { 6 ( p _ { \epsilon } ^ { 2 t } - t p _ { \epsilon } ^ { 2 } + t - 1 ) ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } { ( p _ { \epsilon } ^ { t } + 3 p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } - t p _ { \epsilon } + t - 4 ) ( p _ { \epsilon } ^ { 2 } - 1 ) ( p _ { \epsilon } ^ { 2 t } - 1 ) } } \\ { = } & { \frac { 6 ( p _ { \epsilon } ^ { 2 t } - t p _ { \epsilon } ^ { 2 } + t - 1 ) p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } } { ( p _ { \epsilon } ^ { t } + 3 p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } - t p _ { \epsilon } + t - 4 ) ( p _ { \epsilon } + 1 ) ( p _ { \epsilon } ^ { 2 t } - 1 ) } } \\ { = } & { \frac { 6 p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } } { ( 1 + p _ { \epsilon } ) ( p _ { \epsilon } ^ { t } + 1 ) } \frac { ( p _ { \epsilon } ^ { 2 t } - t p _ { \epsilon } ^ { 2 } + t - 1 ) } { p _ { \epsilon } ^ { 2 t } + 3 p _ { \epsilon } ^ { 2 t - 1 } - t p _ { \epsilon } ^ { t + 1 } + ( t - 5 ) p _ { \epsilon } ^ { t } - 3 p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } + t p _ { \epsilon } - t + 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { A } \hat { B } , \, \hat { C } \hat { D } \bigr ] } & { { } = \hat { A } \bigl [ \hat { B } , \hat { C } \bigr ] \hat { D } + \bigl [ \hat { A } , \hat { C } \bigr ] \hat { B } \hat { D } + \hat { C } \hat { A } \bigl [ \hat { B } , \hat { D } \bigr ] + \hat { C } \bigl [ \hat { A } , \hat { D } \bigr ] \hat { B } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 5 } ( x , t ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 2 k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } } { \xi } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( x ) = \frac { \mu _ { 0 } N I R ^ { 2 } } { 2 } } & { { } \biggl ( \left[ R ^ { 2 } + ( x - s / 2 ) ^ { 2 } \right] ^ { - 3 / 2 } - \left[ R ^ { 2 } + ( x + s / 2 ) ^ { 2 } \right] ^ { - 3 / 2 } \biggr ) , } \end{array}
K _ { ( I ) } = - \ln \left[ 1 - \sum _ { i } ^ { n _ { I } } \alpha _ { i } { \bar { \alpha } } _ { i } + { \frac { 1 } { 4 } } ( \sum _ { i } ^ { n _ { I } } \alpha _ { i } ^ { 2 } ) ( \sum _ { i } ^ { n _ { I } } { \bar { \alpha } } _ { i } ^ { 2 } ) \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \Gamma } { d \Delta p _ { z ^ { \prime } } } = } & { \, \frac { n _ { g } \Delta p _ { z ^ { \prime } } } { 4 m _ { g } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } 4 \pi R ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \mathrm { s e c } ^ { 2 } \theta \, \mathrm { s i n } \, \theta \, e ^ { - \Delta p _ { z ^ { \prime } } ^ { 2 } \mathrm { s e c } ^ { 2 } \theta \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } d \theta } \\ { = } & { \, - \frac { n _ { g } \Delta p _ { z ^ { \prime } } } { 4 m _ { g } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } 4 \pi R ^ { 2 } \int _ { 1 } ^ { 0 } u ^ { - 2 } e ^ { - \Delta p _ { z ^ { \prime } } ^ { 2 } \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } u ^ { 2 } } d u } \\ { = } & { \, \frac { n _ { g } \Delta p _ { z ^ { \prime } } } { 4 m _ { g } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } 4 \pi R ^ { 2 } \frac { \sqrt { 2 \pi } m _ { g } \overline { { v } } } { \Delta p _ { z ^ { \prime } } } \mathrm { e r f c } \big ( \frac { \Delta p _ { z ^ { \prime } } } { \sqrt { 8 } m _ { g } \overline { { v } } } \big ) } \\ { = } & { \, \frac { n _ { g } \pi R ^ { 2 } } { m _ { g } } \mathrm { e r f c } \big ( \frac { \Delta p _ { z ^ { \prime } } } { \sqrt { 8 } m _ { g } \overline { { v } } } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \mathcal { L } \left( q , \omega \right) } { z - \omega } = \frac { E _ { n + 1 } \left( z ; q \right) + Q _ { n } \left( q , z \right) E _ { n } \left( z ; q \right) } { D _ { n + 1 } \left( z ; q \right) + Q _ { n } \left( q , z \right) D _ { n } \left( z ; q \right) } \ , } \\ { \quad n = 0 , 1 , 2 , \ldots \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { | t _ { N } | ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { | A - \frac { C B } { D } | ^ { 2 } } } \\ { | r _ { N } | ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { | B - \frac { A D } { C } | ^ { 2 } } } \end{array}
S ( n ) = 3 , 0 , 2 ^ { 3 } , - { \frac { 2 ^ { 3 } \cdot 3 { \sqrt { 7 } } } { 7 } } , 2 ^ { 5 } , - { \frac { 2 ^ { 5 } \cdot 5 { \sqrt { 7 } } } { 7 } } , { \frac { 2 ^ { 6 } \cdot 1 7 } { 7 } } , - 2 ^ { 7 } { \sqrt { 7 } } , { \frac { 2 ^ { 9 } \cdot 1 1 } { 7 } } , - { \frac { 2 ^ { 1 0 } \cdot 3 3 { \sqrt { 7 } } } { 7 ^ { 2 } } } , { \frac { 2 ^ { 1 0 } \cdot 2 9 } { 7 } } , - { \frac { 2 ^ { 1 4 } \cdot 1 1 { \sqrt { 7 } } } { 7 ^ { 2 } } } , { \frac { 2 ^ { 1 2 } \cdot 2 6 9 } { 7 ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \ddot { c } _ { i } } & { + { { \omega _ { \mathrm { i , e f f } } ^ { F } } } ( t ) ^ { 2 } c _ { i } - \left( 1 - \frac { g _ { \mathrm { B F } } \alpha _ { \mathrm { B } } } { g _ { \mathrm { B B } } \alpha _ { \mathrm { F } } } \right) \frac { { \omega _ { y } ^ { F } } ( 0 ) ^ { 2 } } { c _ { i } ^ { 3 } } = 0 } \\ { { \mathrm { w i t h ~ } { \omega _ { \mathrm { i , e f f } } ^ { F } } } } & { ( t ) ^ { 2 } = \left( 1 - \frac { g _ { \mathrm { B F } } \alpha _ { \mathrm { B } } } { g _ { \mathrm { B B } } \alpha _ { \mathrm { F } } } \right) { \omega _ { i } ^ { F } } ( t ) ^ { 2 } - \frac { g _ { \mathrm { B F } } } { g _ { \mathrm { B B } } } \frac { \ddot { b _ { i } } } { b _ { i } } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - \mu \bar { u } / K - \rho \alpha \left| \bar { u } \right| \bar { u } } \\ { 0 } \end{array} \right] ,