harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A _ { x } ^ { ( n ) } = { \frac { e ^ { { \phi _ { 0 } } } \, r _ { 0 } \, \left( { P ^ { ( n ) } } \, { \Delta } + { Q ^ { ( n ) } } \, ( \Sigma + r _ { \pm } ( u , v ) ) \right) } { { \sqrt { { M ^ { 2 } } - { | \Upsilon | ^ { 2 } } } } \, \left( { { r _ { \pm } ( u , v ) } ^ { 2 } } - { { { \Delta } } ^ { 2 } } - { \Sigma ^ { 2 } } \right) } } ,
\left( \begin{array} { c c } { { A _ { 1 2 } } } & { { A _ { 2 2 } } } \\ { { - A _ { 1 1 } } } & { { - A _ { 1 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \partial _ { \tau } a } } & { { \partial _ { \tau } b } } \\ { { \partial _ { \tau } c } } & { { \partial _ { \tau } d } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) ^ { - 1 } ,
{ \begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } 2 x } & { + } & { y } & { - } & { z } & { = } & { 8 } & { } \\ { - 3 x } & { - } & { y } & { + } & { 2 z } & { = } & { - 1 1 } & { } \\ { - 2 x } & { + } & { y } & { + } & { 2 z } & { = } & { - 3 } & { } \end{array} }
S _ { \mp } ^ { ( 0 ) } \rightarrow S _ { \mp } ^ { ( 1 ) } = S _ { \mp } ^ { ( 0 ) } - < B _ { \mu } \, J _ { \phi _ { \pm } } ^ { \mu } > + < \lambda _ { \pm \pm } \, B _ { \mp } ^ { 2 } > .
\ensuremath Ḋ \mu _ { Ḋ } \mathrm { v i s Ḍ Ḍ = - \log P _ { 0 } = - \log \frac { N _ { 0 } } { N } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { N _ { 0 } } - \frac { 1 } { N } \right) , }
v _ { r e l } = v _ { S ^ { \prime } / S } = \frac { v _ { S ^ { \prime } / S _ { V } } + v _ { S / S _ { V } } - V } { 1 + \frac { ( v _ { S ^ { \prime } / S _ { V } } ) ( v _ { S / S _ { V } } ) } { c ^ { 2 } } - \frac { ( v _ { S ^ { \prime } / S _ { V } } ) V } { c ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { U _ { \Delta _ { 1 } } = } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } - 1 - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } + 1 } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { \left( { - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 } } } \right) { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } + \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
p = { \frac { R T } { V _ { \mathrm { m } } - b } } - { \frac { a } { V _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } } \Rightarrow \left( p + { \frac { a } { V _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } } \right) ( V _ { \mathrm { m } } - b ) = R T .
\begin{array} { r l } & { \int \| \hat { h } \| ^ { r } | \pi _ { n } ( \hat { h } ) - \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( \hat { h } ) | d \hat { h } } \\ & { \qquad \leq \int _ { \hat { K } _ { n } ^ { c } } \| \hat { h } \| ^ { r } \pi _ { n } ( \hat { h } ) d \hat { h } + \int _ { \hat { K } _ { n } ^ { c } } \| \hat { h } \| ^ { r } \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( \hat { h } ) d \hat { h } + \int _ { \hat { K } _ { n } } \| \hat { h } \| ^ { r } | \pi _ { n } ( \hat { h } ) - \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( \hat { h } ) | d \hat { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { = \int _ { S } u _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } } ^ { \pm * } ( x , y ) x u _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \pm } ( x , y ) \, d x d y , } \\ { x _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { = \exp \left[ \pm i \Psi _ { G } ( n _ { x } + n _ { y } - n _ { x } ^ { \prime } - n _ { y } ^ { \prime } ) \right] \int _ { S } \psi _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } } ^ { * \mathrm { H O } } ( x , y ) x \psi _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H O } } ( x , y ) \, d x d y , } \\ { x _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { = x _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H O } } \exp \left[ \pm i \Psi _ { G } ( n _ { x } + n _ { y } - n _ { x } ^ { \prime } - n _ { y } ^ { \prime } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { b 1 } } & { = } & { 0 . 1 3 5 5 \, , \, c _ { b 2 } = 0 . 6 2 2 \, , \, \sigma = 2 / 3 \, , } \\ { c _ { v 1 } } & { = } & { 7 . 1 \, , \, c _ { v 2 } = 0 . 7 \, , \, c _ { v 3 } = 0 . 9 \, , } \\ { c _ { w 1 } } & { = } & { \frac { c _ { b 1 } } { \kappa ^ { 2 } } + \frac { 1 + c _ { b 2 } } { \sigma } \approx 3 . 2 4 \, , } \\ { c _ { w 2 } } & { = } & { 0 . 3 \, , \, c _ { w 3 } = 2 . 0 \, , } \end{array}
[ D ^ { n - 1 } F _ { 1 } ] = i ^ { n - 1 } x ^ { n - 1 } [ F _ { 1 } ] = a _ { 3 ( n - 1 ) } ( - i ) ^ { 3 ( n - 1 ) } D ^ { 3 ( n - 1 ) } [ F _ { n } ] + . . . + a _ { 0 } [ F _ { n } ] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial I ( \theta ) ^ { \mathrm { s c a } } } { \partial p _ { i } } = \frac { - j k _ { o } } { Z _ { o } } \left( \sum _ { n \ell } \hat { b } _ { n \ell } \gamma _ { n \ell } \right) ^ { * } \times \left( \sum _ { n \ell } \hat { b } _ { n \ell } \gamma _ { n \ell } \left[ k _ { o } \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \right. \right. } \\ & { } & { \times \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } \left. \left. + R _ { n } \sin \left( \theta - \phi _ { n } \right) \frac { \partial \phi _ { n } } { \partial p _ { i } } + \cos \left( \theta - \phi _ { n } \right) \frac { \partial R _ { n } } { \partial p _ { i } } \right] \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { { \tilde { \alpha } + \tilde { \beta } = 0 \Rightarrow \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + ( c - \epsilon ) ^ { 2 } } = a - b ; } } \\ { { \Rightarrow \big \{ \tilde { \alpha } = - \tilde { \beta } = \pm 1 \Rightarrow \epsilon = c \pm \sqrt { 2 ( a - b ) ( 2 a - b ) } \big \} . } } \end{array} \right.
W ( k _ { 1 } , n _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } R _ { n c } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi R _ { n c } } d ^ { 2 } x \, \Omega ( x _ { 1 } ; x _ { 2 } \to x _ { 2 } + 2 \pi R _ { n c } n _ { 2 } - 2 \pi R _ { n c } \frac { c } { N } k _ { 1 } ) \star \exp ( i \frac { k _ { 1 } x } { R _ { n c } } ) .
\begin{array} { l } { G _ { \varepsilon \varkappa } = + \sqrt { \mathcal { E } + 1 } \: N ( 2 p r ) ^ { \gamma } \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \xi ) , } \\ { F _ { \varepsilon \varkappa } = - \sqrt { \mathcal { E } - 1 } \: N ( 2 p r ) ^ { \gamma } \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \xi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { T ( W ) } ^ { A } ( ( \delta _ { g _ { i } } \otimes n ) \otimes ( \delta _ { g _ { j } } \otimes w ) = } & { ( \delta _ { g _ { j } } \otimes w ) \otimes \big ( g _ { j } | w | ^ { - 1 } g _ { j } ^ { - 1 } \cdot ( \delta _ { g _ { i } } \otimes n ) \big ) } \\ { = } & { \tau \big ( g _ { j } | w | ^ { - 1 } g _ { j } ^ { - 1 } , g _ { i } \big ) ( n ) \tau ( g _ { k } , h ) ( n ) ^ { - 1 } } \\ & { \cdot \big ( ( \delta _ { g _ { j } } \otimes w ) \otimes \big ( \delta _ { g _ { k } } \otimes h n h ^ { - 1 } \big ) \big ) , } \end{array}
[ \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ] _ { n l , n ^ { \prime } l ^ { \prime } } = ( \varphi _ { n l } ( \vec { v } ) , \hat { A } \varphi _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( \vec { v } ) ) = \langle n l | \hat { A } | n ^ { \prime } l ^ { \prime } \rangle
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { n ! } { ( n + \ell ) ! } ( - 1 ) ^ { n } L _ { n } ^ { \ell } ( x ) L _ { n } ^ { \ell } ( y ) \, t ^ { n } = \frac { ( x y t ) ^ { - \ell / 2 } } { 1 + t } e ^ { t ( x + y ) / ( 1 + t ) } J _ { \ell } ( 2 \sqrt { x y t } / ( 1 + t ) ) \, ,
\pmb { \mathscr { B } } ^ { ( 2 1 ) } : = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( 2 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathscr { L } _ { 2 } ^ { ( 2 1 ) } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( 1 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathscr { L } _ { 2 } ^ { ( 1 1 ) } } \end{array} \right] ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( 2 1 ) } / \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( 1 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathscr { L } _ { 2 } ^ { ( 2 1 ) } / \mathscr { L } _ { 2 } ^ { ( 1 1 ) } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
\operatorname* { m a x } \mathcal { H } ( \widehat { \lambda } , \widetilde { \boldsymbol { p } } , \widehat { \boldsymbol { p } } ) , \qquad \textrm { s . t . } \quad \mathcal { G } ( \widehat { \lambda } , \widehat { X } , \widetilde { \boldsymbol { p } } , \widehat { \boldsymbol { p } } ) \equiv \mathcal { L } \widehat { X } - \widehat { \lambda } \widehat { X } = 0 ,
A = { \frac { \pi } { 2 } } \sum _ { l = 1 } ^ { h } \left\{ a _ { l } \left( m _ { l } - \sum _ { k = 1 } ^ { h } \Omega _ { l k } ^ { ( 1 ) } n _ { k } \right) + \pi \sum _ { k = 1 } ^ { h } n _ { l } \Omega _ { l k } ^ { ( 2 ) } n _ { k } \right\} .
\sin \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta _ { i } \right) = \sum _ { { \mathrm { o d d } } \ k \geq 1 } ( - 1 ) ^ { \frac { k - 1 } { 2 } } \sum _ { \begin{array} { l } { A \subseteq \{ \, 1 , 2 , 3 , \dots \, \} } \\ { \left| A \right| = k } \end{array} } \left( \prod _ { i \in A } \sin \theta _ { i } \prod _ { i \not \in A } \cos \theta _ { i } \right)
E _ { m } = \frac { 1 } { i L } \frac { \partial } { \partial A _ { m } } - \frac { e } { 2 \pi i m } \left( j _ { + } { } ^ { m } + ( j _ { - } { } ^ { m } ) ^ { \dagger } \right) , \ \ m \neq 0 , \quad E _ { 0 } = \frac { 1 } { i L } \frac { \partial } { \partial c } ,
\begin{array} { r l } { \psi ( x , y ) } & { \approx W \mathcal { N } \, \Psi _ { \mathrm { i n } } ( 0 , 0 ) \mathrm { U } _ { \mathrm { H } } \left( \sqrt [ 3 ] { 3 } \frac { x - L _ { c } } { \delta _ { a } } , \frac { y \cos \theta - 2 L _ { c } \sin ^ { 3 } \theta } { \sqrt [ 6 ] { 3 } \, \delta _ { a } \cos \theta } , - \frac { \lambda L _ { c } } { 2 \pi \sqrt [ 3 ] { 3 } \, \delta _ { a } ^ { 2 } } \frac { \cos 2 \theta } { \cos \theta } \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { \tau _ { \mu } } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { \mu } ^ { 5 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { 8 m _ { e } ^ { 2 } } { m _ { \mu } ^ { 2 } } \right) \, \nonumber \left[ 1 + 1 . 8 1 0 \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) + ( 6 . 7 0 1 \pm 0 . 0 0 2 ) \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 2 } + . . . \right] \, .
n _ { B } = \left( 1 - \frac { 2 \alpha _ { s } } { \pi } \right) \frac { d _ { q } } { 3 } \left[ \frac { \mu _ { q } ( k T ) ^ { 2 } } { 6 } + \frac { \mu _ { q } ^ { 3 } } { 6 \pi ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { i \geq 1 } \, \operatorname* { l i m s u p } _ { x \to \infty } \left[ | x | _ { \bar { g } } ^ { \tau } \, | g _ { i } - \bar { g } | _ { \bar { g } } + | x | _ { \bar { g } } ^ { \tau + 1 } \, | D ( \bar { g } ) g _ { i } | _ { \bar { g } } + | x | _ { \bar { g } } ^ { \tau + 2 } \, | D ^ { 2 } ( \bar { g } ) g _ { i } | _ { \bar { g } } \right] < \infty . } \end{array}
\frac { \partial v } { \partial q _ { i } } = \left. \frac { \partial \bar { \bf r } } { \partial q _ { i } } \cdot \frac { \partial v } { \partial \bar { \bf r } } \right| _ { { \bf q } = { \bf 0 } } = \hat { \bf e } _ { i } \cdot \frac { \partial v } { \partial \bar { \bf x } } \, , \quad i = 1 , 2 \, .
\begin{array} { r l } { P _ { e } ^ { ( \mathcal { Q } ) } = } & { \frac { 2 } { \sqrt { \frac { M } { V } } } \sum _ { l = 2 } ^ { \sqrt { \frac { M } { V } } } \Big [ Q \Big ( \frac { \sqrt { \rho ^ { \prime } } X _ { l } ^ { \mathrm { ( I ) } } } { 2 } \Big ) + Q \Big ( \frac { \sqrt { \rho ^ { \prime } } X _ { l } ^ { \mathrm { ( Q ) } } } { 2 } \Big ) \Big ] + \frac { q } { \frac { M } { V } } \cdot } \\ & { \ \sum _ { l = 2 } ^ { \sqrt { \frac { M } { V } } } \Bigg [ Q \Big ( \sqrt { \frac { \rho ^ { \prime } ( ( X _ { l } ^ { \mathrm { ( I ) } } ) ^ { 2 } + ( X _ { l } ^ { \mathrm { ( Q ) } } ) ^ { 2 } - 2 \cos \frac { 2 \pi } { V } X _ { l } ^ { \mathrm { ( I ) } } X _ { l } ^ { \mathrm { ( Q ) } } ) } { 2 } } \Big ) \Bigg ] . } \end{array}
\phi _ { i j , \alpha _ { e } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \phi _ { L , i j } + \phi _ { R , i j } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \phi _ { i } + \phi _ { j } \right) + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { e } \left( \nabla _ { 0 } { \phi _ { i } } - \nabla _ { 0 } { \phi _ { j } } \right) \cdot \mathbf { d } _ { i j } \quad .
c _ { i } ^ { H } = \frac { 2 Q _ { i } } { q _ { i } ^ { H } } = \frac { \sum _ { j \neq i } a _ { i j } \sum _ { k \neq i , j } a _ { i k } \left( 1 - a _ { j k } \right) \sum _ { l \neq i , j , k } a _ { k l } a _ { j l } \left( 1 - a _ { i l } \right) } { \sum _ { j \neq i } a _ { i j } \sum _ { k \neq i , j } a _ { j k } \left( d _ { k } - 1 - a _ { i k } \right) } ,
\bar { G } _ { 2 } \equiv \langle \bar { G } ^ { 2 } \rangle \equiv - \langle { \frac { \beta ( \alpha _ { s } ) } { 4 \alpha _ { s } } } G ^ { 2 } \rangle \equiv - \langle { 0 } | { \frac { \beta ( \alpha _ { s } ) } { 4 \alpha _ { s } } } G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { \mu \nu } ^ { a } | { 0 } \rangle .
\begin{array} { r l } { { \mathbf { H } } _ { \mathrm { d } } ^ { * } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } c _ { 1 } ^ { ( i ) } R _ { \lambda } ^ { - \beta _ { 1 } ^ { ( i ) } } { \mathbf { T } } ^ { * ( i ) } \ , } \\ { { \nabla ^ { * } } ^ { 2 } { \mathbf { A } } ^ { * } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } c _ { 2 } ^ { ( i ) } R _ { \lambda } ^ { - \beta _ { 3 } ^ { ( i ) } } { \mathbf { T } } ^ { * ( i ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } c _ { 3 } ^ { ( i ) } R _ { \lambda } ^ { - \beta _ { 3 } ^ { ( i ) } } { \mathbf { B } } ^ { * ( i ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { 0 , 1 } \rangle = } & { ~ ( C _ { g g } | g g \rangle + C _ { e g } | e g \rangle + C _ { g e } | g e \rangle + C _ { e e } | e e \rangle ) \otimes | 1 \rangle } \\ { \rightarrow | \psi _ { \mathrm { t a r } } \rangle = } & { ~ | g g \rangle \otimes ( C _ { g g } | 1 \rangle + C _ { g e } | 2 \rangle + C _ { e g } | 3 \rangle + C _ { e e } | 4 \rangle ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla [ f ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi - f _ { \varepsilon } ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi ] = ( f ( | \phi | ^ { 2 } ) - f _ { \varepsilon } ( | \phi | ^ { 2 } ) ) \nabla \phi } \\ & { + ( f ^ { \prime } ( | \phi | ^ { 2 } ) | \phi | ^ { 2 } - f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | \phi | ^ { 2 } ) | \phi | ^ { 2 } ) \nabla \phi + ( G ( \phi ) - f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | \phi | ^ { 2 } ) \phi ^ { 2 } ) \nabla \overline { { \phi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 2 D } = } & { { } \sum _ { \vec { j } } \Big \{ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \downarrow | \bigr ) - \sum _ { k = x , y } \Big [ t _ { 0 } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow | \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \lambda ^ { a \alpha } = i \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } \bar { D } ^ { a \beta } \mathrm { h } ^ { \alpha } { } _ { \beta } \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ \bar { \lambda } _ { a \alpha } = - i \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } D _ { a \beta } \mathrm { h } ^ { \beta } { } _ { \alpha } \, , } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 9 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 3 } & { 1 1 } & { 5 } & { 3 5 } \end{array} \right] } \to { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 9 } \\ { 0 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 8 } \\ { 0 } & { 2 } & { 2 } & { 8 } \end{array} \right] } \to { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 9 } \\ { 0 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 8 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \to { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { - 2 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { \mathrm { R y d } } } & { = \sum _ { n , l , j , m _ { j } } \mathcal { E } _ { n , l , j , m _ { j } } | n , l , j , m _ { j } \rangle \langle n , l , j , m _ { j } | } \\ & { + \hat { h } _ { \mathrm { E ; a t o m } } + \hat { h } _ { \mathrm { B ; a t o m } } } \\ & { = \sum _ { n , l , j , m _ { j } } \overline { { \mathcal { E } } } _ { n , l , j , m _ { j } } | \overline { { n , l , j , m _ { j } } } \rangle \langle \overline { { n , l , j , m _ { j } } } | . } \end{array}
| X _ { P } | \leq \left| \left\{ 0 , \pm \delta _ { 2 } , \pm 2 \delta _ { 2 } , \dots , \pm 1 \right\} \right| ^ { | I _ { P } | } \leq \left( \frac { 2 } { \delta _ { 2 } } + 1 \right) ^ { | I _ { P } | } .
\begin{array} { r l } { A f ( \theta _ { t } ; \rho _ { a _ { t } } , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } & { = A \mathsf { A } ( \rho _ { a _ { t } } , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) ( \theta _ { t } - m _ { t } ) + A \mathsf { b } ( \rho _ { a _ { t } } , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } \\ & { = A \mathsf { A } ( \rho _ { a _ { t } } , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) A ^ { - 1 } A ( \theta _ { t } - m _ { t } ) + A \mathsf { b } ( \rho _ { a _ { t } } , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } \\ & { = f ( \varphi ( \theta _ { t } ) ; \varphi \# \rho _ { t } , \varphi \# \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { z \nearrow 0 } a ( z ) = \frac { \pi - 2 } { 2 \pi } , \quad \operatorname* { l i m } _ { z \nearrow 0 } b ( z ) = \frac { 3 0 \pi - 9 2 } { 3 \pi } , \quad \operatorname* { l i m } _ { z \nearrow 0 } c ( z ) = \frac { 2 \pi - 6 } { \pi } , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { z \nearrow 0 } d ( z ) = \frac { 4 - \pi } { 2 \sqrt { 2 } \pi } , \quad \operatorname* { l i m } _ { z \nearrow 0 } e ( z ) = \frac { 2 0 - 6 \pi } { 3 \sqrt { 2 } \pi } , \quad \operatorname* { l i m } _ { z \nearrow 0 } f ( z ) = \frac { 4 } { 3 \pi } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \| y ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] \le \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } \left( \alpha _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
J ( a ^ { 2 } ) = J ( 0 ) + { \frac { 1 } { 4 } } a ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } a ^ { 2 } \, \ln \, a ^ { 2 } + { \frac { a ^ { 3 } } { 6 } } - { \frac { a ^ { 4 } } { 9 6 } } \; .
{ \frac { d \sigma } { d \hat { t } } } = { \frac { \lambda ^ { 4 } } { 6 4 \pi \hat { s } } } \left[ { \frac { M _ { N } ( \hat { t } + \hat { u } - 2 M _ { N } ^ { 2 } ) } { ( \hat { t } - M _ { N } ^ { 2 } ) ( \hat { u } - M _ { N } ^ { 2 } ) } } \right] ^ { 2 } \, ,
( x - x _ { 1 } ) { \dot { x } } _ { 1 } + ( y - y _ { 1 } ) { \dot { y } } _ { 1 } = 0 , \qquad ( x - x _ { 2 } ) { \dot { x } } _ { 2 } + ( y - y _ { 2 } ) { \dot { y } } _ { 2 } = 0
u = - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 4 4 0 } } { \frac { 1 } { a ^ { 3 } } } , \quad f _ { s } = - { \frac { \partial } { \partial a } } u = - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 8 0 } } { \frac { 1 } { a ^ { 4 } } } .
\begin{array} { r l } { \psi ^ { * } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \underline { { \tau } } _ { \partial i } ^ { ( i ) } , \{ s _ { l i } \} _ { l \in \partial i } , x _ { i } ^ { 0 } ) } & { { } = \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } + \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \prod _ { l \in \partial i } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } \leq \tau _ { l } ^ { ( i ) } + s _ { l i } ] - \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < T + 1 ] \prod _ { l \in \partial i } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < \tau _ { l } ^ { ( i ) } + s _ { l i } ] } \end{array}
{ x _ { \mathrm { a p p r o x } } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( - k _ { \mathrm { a } } + \sqrt { k _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } + 4 c _ { \mathrm { a } } k _ { \mathrm { a } } } \right) }
X = { \frac { d \, l ^ { 3 } } { 4 ( d - 1 ) ( d - 2 ) ^ { 2 } ( d - 4 ) } } , \quad Y = - { \frac { l ^ { 3 } } { ( d - 2 ) ^ { 2 } ( d - 4 ) } } , \quad Z = 0 .
\begin{array} { r } { m _ { i } \frac { { \mathrm { d } } \mathbf { v } _ { i } } { { \mathrm { d } } t } = \sum _ { j } ( \mathbf { F } _ { i j } ^ { C } + \mathbf { F } _ { i j } ^ { D } + \mathbf { F } _ { i j } ^ { A } + \mathbf { F } _ { i j } ^ { R } ) + \mathbf { F } ^ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { 0 } = \lambda _ { 1 } \frac { \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { 0 } ( 0 ) } { \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { \perp } ( 0 ) } \, . } \end{array}
( \gamma _ { \infty } ^ { n } ) ^ { \prime } ( \ell _ { n } ) = \frac { - a \omega ^ { 2 } + c } { \kappa ( \ell _ { n } ) ^ { 2 } + 2 i \kappa ^ { \prime } ( \ell _ { n } ) } = \frac { - a \omega ^ { 2 } + c } { \kappa ( \ell _ { n } ) ^ { 4 } + ( 2 \kappa ^ { \prime } ( \ell _ { n } ) ) ^ { 2 } } ( \kappa ( \ell _ { n } ) ^ { 2 } - 2 i \kappa ^ { \prime } ( \ell _ { n } ) ) .
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 } } & { { } = } & { \bigg ( \Bar { \tau } \epsilon ( \theta ) + \frac { 5 - \Omega } { 5 ( \Omega + 3 ) } \bigg ) } \\ { B _ { 0 } } & { { } = } & { 2 \gamma + 1 9 \Bar { \tau } \epsilon ( \theta ) - 2 \Bar { \tau } \zeta ( \theta ) + \frac { 1 5 - 1 9 \Omega } { 5 ( \Omega + 3 ) } , } \\ { F } & { { } = } & { \Bar { \tau } \epsilon ( \theta ) + \frac { 5 - \Omega } { 5 ( \Omega + 3 ) } . } \end{array}
\alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ^ { * } \rightarrow \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ^ { * } e ^ { 2 i ( \theta _ { 1 } ^ { \prime } + \theta _ { 2 } ^ { \prime } + \theta _ { 3 } ^ { \prime } + \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } ) }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I m } \Pi ^ { R } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) } & { = } & { \frac { i } { 2 } \left( \Pi ^ { < } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) \right. } \\ & { } & { \qquad \left. - \Pi ^ { > } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) \right) \, , } \\ { \mathrm { R e } \Pi ^ { R } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) } & { = } & { \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \frac { \mathrm { I m } \Pi ^ { R } ( { \bf q } , \omega ^ { \prime } ; R , t ) } { \omega - \omega ^ { \prime } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \kappa } { 2 } e ^ { - i x t } - \frac { P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \cos } ( x ) - i P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \sin } ( x ) } { 2 } \right| } \\ & { \quad \leq \frac { 1 } { 2 } \left| \kappa \cos ( x t ) - P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \cos } ( x ) \right| + \frac { 1 } { 2 } \left| \kappa \sin ( x t ) - P _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \kappa } ^ { \sin } ( x ) \right| } \\ & { \quad \leq \frac { \kappa \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } + \kappa \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } { 2 } = \kappa \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } a \left( a ^ { \dagger } - 2 g q ^ { 2 } \right) \left[ a \Phi _ { N + 1 } ^ { ( - ) } \right] = E _ { N + 1 } ^ { ( - ) } \left[ a \Phi _ { N + 1 } ^ { ( - ) } \right] .
\begin{array} { r l } { D _ { I } \frac { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } } & { = K _ { 0 , | I | + 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) ; z ; I ) + F _ { | I | + 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) ; x ( z ) ; I ) \; , } \\ { D _ { I } \frac { \hat { H } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) ; z ) } { H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ) } } & { = K _ { 1 , | I | + 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) ; z ; I ) + F _ { | I | + 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) ; x ( z ) ; I ) \; , } \end{array}