harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \dot { S } _ { a } } & { = } & { - S _ { a } \sum _ { a ^ { \prime } } \beta M _ { a a ^ { \prime } } \frac { I _ { a ^ { \prime } } } { N _ { a ^ { \prime } } } } \\ { \dot { I } _ { a } } & { = } & { S _ { a } \sum _ { a ^ { \prime } } \beta M _ { a a ^ { \prime } } \frac { I _ { a ^ { \prime } } } { N _ { a ^ { \prime } } } - \gamma I _ { a } } \\ { \dot { R } _ { a } } & { = } & { \gamma I _ { a ^ { \prime } } } \end{array}
\tilde { I } _ { K _ { P } \oplus K _ { Q ^ { \prime } } } ^ { * } * _ { r } \tilde { I } _ { K _ { Q } ^ { * } \oplus K _ { Q ^ { \prime } } ^ { * } } = \tilde { I } _ { K _ { P ^ { \prime } } \oplus K _ { Q } } ^ { * } * _ { r } \tilde { I } _ { K _ { Q } ^ { * } \oplus K _ { Q ^ { \prime } } ^ { * } } , \ \tilde { I } _ { K _ { P } } ^ { * } * _ { r } \tilde { I } _ { K _ { Q } ^ { * } } ^ { * } = \tilde { I } _ { K _ { P ^ { \prime } } } ^ { * } * _ { r } \tilde { I } _ { K _ { Q ^ { \prime } } ^ { * } } ^ { * } .
\begin{array} { r l r } { \textrm { t h e P r a n d t l n u m b e r ~ } } & { { } P r } & { = \frac { \nu } { \kappa } , } \\ { \textrm { t h e R a y l e i g h n u m b e r ~ } } & { { } R a } & { = \frac { g L ^ { 3 } | \rho _ { T } | \Delta T } { \rho _ { 0 } \nu \kappa } , } \\ { \textrm { t h e b u o y a n c y r a t i o ~ } } & { { } N } & { = \frac { \rho _ { C } \Delta C } { \rho _ { T } \Delta T } , } \\ { \textrm { a n d t h e L e w i s n u m b e r ~ } } & { { } L e } & { = \frac { \kappa } { D } , } \end{array}
\sum ( - 1 ) ^ { \vert I \vert + \vert K \vert + \vert L \vert + \vert N \vert } { \binom { M } { I - K - L } } { \binom { N } { M } } \int _ { \Omega } D _ { I + J } \Biggl ( E _ { A } ^ { N } E _ { C } ^ { K } ( f )
\underset { v \in S \; } { \prod ^ { \prime } } K ( F _ { v } ) : K ( \mathcal { O } _ { v } ) : = \underset { S ^ { \prime } \subseteq S \mathrm { , ~ } \# S ^ { \prime } < \infty } { \operatorname * { c o l i m } } { \textstyle \prod _ { v \in S \setminus S ^ { \prime } } } K ( \mathcal { O } _ { v } ) \times { \textstyle \prod _ { v \in S ^ { \prime } } } K ( F _ { v } ) \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { \langle \hat { A } ( \omega _ { n } ) \hat { B } ( \omega _ { n } ) \rangle } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \, \mathcal { G } ( \omega _ { n } - \omega ) \mathcal { G } ( \omega _ { n } - \omega ^ { \prime } ) \langle \hat { A } ( \omega ) \hat { B } ( \omega ^ { \prime } ) \rangle } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \, \mathcal { G } ( \omega _ { n } - \omega ) \mathcal { G } ( - \omega _ { n } - \omega ^ { \prime } ) C _ { A B } ( \omega ) \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, \mathcal { F } ( \omega _ { n } - \omega ) C _ { A B } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \mathrm { T r } \left( \mathbf { F } _ { 1 } \mathbf { H } \right) } & { = } & & { - \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } _ { 0 } ) } \left[ \alpha ( \mathbf { X } ) \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { X } \right] } \\ & { = } & & { - \log \left( \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left| \mathbf { R } _ { i i } \right| ^ { 1 / 2 } } { \left| \mathbf { R } \right| ^ { 1 / 2 } } \right) \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { X } \right] } \\ & { } & & { + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \left( \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { X } \right) \left( \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } ( \mathbf { R } ^ { - 1 } - \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } ) \mathbf { X } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \left. \gamma _ { t } \left\langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } ^ { \prime } , \frac { \mathbf Q _ { t - 1 } } { \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } } \right\rangle \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le M \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { - 1 } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \le M \sum _ { t = 1 } ^ { T } M L _ { t - 1 } ^ { - 1 } t ^ { \frac \delta 4 } \cdot t ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } \left( \sqrt { 1 + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \cdot \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \le M \sum _ { t = 1 } ^ { T } t ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 4 } \left( \sqrt { 1 + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \cdot \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \le 2 M T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 4 } \sqrt { 1 + \sum _ { s = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \mathrm { S } _ { w } ( t ) } & { { } = - C \left( \mathrm { S } _ { w } ( t ) - \mathrm { S } ^ { \ast } \right) \mathrm { d } t - B \mathrm { S } _ { w } ( t ) r ( t ) \mathrm { d } t + A \mathrm { d } W _ { t } } \\ { \mathrm { d } r ^ { 2 } ( t ) } & { { } = F \mathrm { S } _ { w } ( t ) \mathrm { d } t - \tau _ { s } \left( r ^ { 2 } ( t ) - M _ { 1 } ^ { 2 } \right) \mathrm { d } t , \mathrm { ~ } r ^ { 2 } > 0 } \\ { \mathrm { d } r ^ { 2 } ( t ) } & { { } = 0 , \mathrm { ~ } r ^ { 2 } = 0 , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathrm { S } _ { w } ( t ) < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { H G _ { n , n } } ( x , y ) } & { { } \overset { x _ { 0 } } { \Longrightarrow } \mathrm { H G _ { n , n } } + x _ { 0 } \left( \sqrt { n + 1 } \mathrm { H G _ { n + 1 , n } } - \sqrt { n } \mathrm { H G _ { n - 1 , n } } \right) } \end{array}
\vec { P } = \left( \begin{array} { l } { \sqrt { \frac { \mu } { \mu _ { 1 2 } } } \vec { P } _ { 1 } } \\ { \sqrt { \frac { \mu } { \mu _ { 3 , 1 2 } } } \vec { P } _ { 2 } } \end{array} \right) ~ ,
S = S _ { W } ( U ) + a ^ { 4 } \sum _ { x } \{ b \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \{ [ b ^ { - 2 } ( \phi _ { n + 1 } ^ { * } ( x ) \phi _ { n } ( x ) + \phi _ { n } ^ { * } ( x ) \phi _ { n + 1 } ( x ) - 2 \phi _ { n } ^ { * } \phi _ { n } ) -
\begin{array} { r l r } { \mathcal { J } _ { 1 } ( g ^ { ( n ) } ) - \mathcal { J } _ { 1 } ( g ^ { ( n + 1 ) } ) } & { \geq } & { \frac { 1 } { 2 L _ { 2 } } \Vert \mathcal { J } _ { 1 } ^ { \prime } ( g ^ { ( n ) } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { J } _ { 2 } ( g ^ { ( n ) } ) - \mathcal J _ { 2 } ( g ^ { ( n + 1 ) } ) } & { \geq } & { \frac { 1 } { 2 L _ { 3 } } \Vert \mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( g ^ { ( n ) } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , \ \ \forall \ n = 0 , 1 , 2 , . . . , } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ n ~ t ~ } } = f _ { \mathrm { ~ v ~ o ~ l ~ } } \, 2 \pi \, R _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } \, v _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ r ~ e ~ a ~ d ~ } } \, d _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ l ~ t ~ } }
D _ { \! x } ^ { \sigma } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } a _ { k } x ^ { k } = \! \! \sum _ { k \, = \left\lceil \sigma \right\rceil } ^ { \infty } \! a _ { k } \, \frac { \Gamma ( 1 \! + \! k ) } { \Gamma ( 1 \! + \! k \! - \! \sigma ) } \, x ^ { k - \sigma } \quad ( \sigma > 0 )
{ \cal L } _ { J } = \frac { N } { G } \Biggl [ ( \partial _ { \mu } z ) ^ { \dagger } ( \partial ^ { \mu } z ) - J _ { \mu } J ^ { \mu } + \theta G \, \epsilon ^ { \mu \nu \rho } J _ { \mu } \partial _ { \nu } J _ { \rho } + \frac { 1 } { 4 } \theta ^ { 2 } G ^ { 2 } J _ { \mu } ( \partial ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } - \partial ^ { \mu } \partial ^ { \nu } ) J _ { \nu } \Biggr ] ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { B \in \mathcal { F } \setminus \mathcal { F } _ { S _ { 2 } } ^ { \prime } } | B | \le \sum _ { i \in I ^ { \star } } | 5 B ( y _ { i } , 2 R _ { 0 } ) | } \\ & { \le \omega _ { N } ( 5 R _ { 0 } ) ^ { N } \sum _ { i \in I ^ { \star } } \frac { \int _ { B ( y _ { i } , 2 R _ { 0 } ) } | \nabla w ( x ) | ^ { p } d x } { \frac { M ^ { p } } { R _ { 0 } ^ { p - N } C ^ { p } } } } \\ & { \le \frac { \omega _ { N } ( 5 R _ { 0 } ) ^ { N } } { \frac { M ^ { p } } { R _ { 0 } ^ { p - N } C ^ { p } } } \int _ { \Omega } | \nabla w ( x ) | ^ { p } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { s , 1 } ( \tau ) } & { : = } & { \operatorname* { m a x } \{ k \in \{ 0 \} \cup [ n ] : \mathrm { ~ t h e r e ~ e x i s t ~ } i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } \in [ n ] , \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { } & { i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } , \tau ( i _ { 1 } ) < \cdots < \tau ( i _ { k } ) , ( i _ { l } , \tau ( i _ { l } ) ) \in \mathcal { R } _ { s , 1 } \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } l \in [ k ] \} , } \\ & { } & \end{array}
W ^ { M } = \frac 1 6 \sum _ { \pm } \left\{ c _ { 0 } ^ { M } + c _ { 2 } ^ { M } \sinh ^ { 2 } ( r _ { \pm } / \ell ) + c _ { 4 } ^ { M } \sinh ^ { 4 } ( r _ { \pm } / \ell ) \right\} + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ( \sinh n L ) ^ { 4 } } .
\begin{array} { r l } { \delta \psi _ { i } } & { { } = \delta \lambda D _ { i } c } \\ { \delta A _ { \mu } } & { { } = \delta \lambda D _ { \mu } c } \\ { \delta c } & { { } = - \delta \lambda { \frac { g } { 2 } } [ c , c ] } \\ { \delta { \bar { c } } } & { { } = i \delta \lambda B } \\ { \delta B } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { d } ^ { p } ( \mathcal { S } [ \lambda ] , D ^ { l o c } ) } & { \cong H _ { d } ^ { p } ( \mathcal { A } [ \lambda ] , D ^ { l o c } ) \oplus H _ { d } ^ { p } ( \mathcal { A } [ \lambda ] \zeta , D ^ { l o c } ) } \\ & { \cong H _ { d } ^ { p } ( \mathcal { A } [ \lambda ] , D ^ { l o c } ) \oplus H _ { d } ^ { p - 1 } ( \mathcal { A } [ \lambda ] , D ^ { l o c } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T } & { { } = \frac { 1 } { 2 } m ( \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } + \dot { z } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } I _ { x } \dot { \phi } ^ { 2 } , } \\ { V } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left[ \frac { 1 } { 2 } k ( l _ { i } - l _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] + m g z , } \\ { L } & { { } = T - V . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \Delta _ { \perp } u _ { z } + \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t \partial z } \nabla _ { \perp } p - g \beta \frac { \partial } { \partial t } \Delta _ { \perp } T = 0 .
\epsilon _ { { \bf u } , k } = \frac { \int _ { \Theta } { \widetilde \lambda } _ { k } ^ { 2 } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \int _ { \Theta } { \widetilde \lambda } _ { i } ^ { 2 } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } = \frac { { \bf { Z } } _ { k } } { { \mathrm { T r } } \left( { \bf { Z } } \right) } ,
\rho _ { \mathrm { e x } } ^ { \, \mathrm c } = \frac { Q _ { 1 } } { 4 m _ { 1 } ^ { \, 3 } } \, q ^ { 2 } \, V _ { c } ( \vec { k } _ { 2 } \, ) + \frac { Q _ { 2 } } { 4 m _ { 2 } ^ { \, 3 } } \, q ^ { 2 } \, V _ { c } ( \vec { k } _ { 1 } \, )
\mathcal { T } _ { \delta , \epsilon } ( \mathcal { A } _ { \operatorname* { d e t } } , \mathcal { F } _ { d } ( \Delta , L ) ) : = \operatorname* { i n f } _ { \textsc { A } \in \mathcal { A } _ { \operatorname* { d e t } } } \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } _ { d } ( \Delta , L ) } \textsc { T } _ { \delta , \epsilon } ( \textsc { A } , f ) .
\begin{array} { r } { \overline { { P ^ { A } ( \bar { k } ) } } \, \overline { { X ^ { A } ( x , \bar { k } ) } } e ^ { - \overline { { \mathcal { L } ( \bar { k } ) } } x } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - \frac { 1 + 2 u _ { 0 } ( x ) } { 4 } } \end{array} \right) ^ { - 1 } P ( k ) X ( x , k ) e ^ { \mathcal { L } ( k ) x } R ( k ) . } \end{array}
\sum _ { m = 1 } ^ { N _ { 0 } } \Gamma _ { n m } ^ { [ 1 ] } u _ { [ 1 ] } ^ { m } = - \left\langle \mathbf { d } \gamma _ { n } ^ { [ 1 ] } \Big \vert \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ 1 ] } \right\rangle , \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \Gamma _ { n m } ^ { [ 1 ] } : = \left\langle \mathbf { d } \gamma _ { n } ^ { [ 1 ] } \Big \vert \mathbf { P } _ { ( m ) } ^ { [ 1 ] } \right\rangle .
\left( \frac { \varepsilon ^ { \prime } } { \varepsilon } \right) _ { \mathrm { S U S Y } } \simeq 2 7 \times 1 0 ^ { - 4 } \left( \frac { 5 0 0 \mathrm { G e V } } { m } \right) ^ { 2 } \frac { \mathrm { I m } ( \delta _ { 1 2 } ^ { d } ) _ { L L } } { 0 . 5 0 } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial W } { \partial t } = } & { \frac { \Gamma _ { l } } { 2 } \Big \{ \partial _ { 1 } \left( \frac { \alpha _ { 1 } } { 2 } - \alpha _ { 1 } \lvert \alpha _ { 2 } \rvert ^ { 2 } \right) + \partial _ { 2 } \left( \frac { \alpha _ { 2 } } { 2 } + \alpha _ { 2 } \lvert \alpha _ { 1 } \rvert ^ { 2 } \right) } \\ { + } & { \partial _ { 1 } ^ { * } \partial _ { 1 } \left( \frac { \lvert \alpha _ { 2 } \rvert ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) + \partial _ { 2 } \partial _ { 2 } ^ { * } \left( \frac { \lvert \alpha _ { 1 } \rvert ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \right) } \\ { - } & { \partial _ { 1 } \partial _ { 2 } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \partial _ { 1 } \partial _ { 1 } ^ { * } \partial _ { 2 } \alpha _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \partial _ { 2 } \partial _ { 2 } ^ { * } \partial _ { 1 } \alpha _ { 1 } + c . c . \Big \} W , } \end{array}
\tilde { Z } ( 0 ) = \operatorname * { l i m } _ { x \rightarrow 0 } \prod _ { h } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi x } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } \Omega _ { h } ^ { i j } { \Omega _ { i j } } _ { h } } ( { \frac { \delta } { i \delta J } } ) \cdot Z ( J ) | _ { J = 0 }
\begin{array} { r l } { \Psi ( x \cdot ^ { o p } y , \phi ( z ) ) } & { = - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \Psi ( y \cdot x , \phi ( z ) ) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | x | | y | + | x | | z | + | y | | z | } \Psi ( \phi ( z ) , y \cdot x ) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | x | | y | + | x | | z | + | y | | z | } \Psi ( y \cdot z , \phi ( x ) ) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | y | | z | } \Psi ( \phi ( x ) , z \cdot y ) = \Psi ( \phi ( x ) , y \cdot ^ { o p } z ) , } \end{array}
\psi _ { \varepsilon _ { 0 } { \frac { 1 } { 2 } } m + } ( r , \theta , \phi ) = \left( \begin{array} { l l } { { } } & { { f _ { 0 0 } ( r ) \ \Omega _ { 0 } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } m } ( \theta , \phi ) } } \\ { { } } & { { g _ { 0 1 } ( r ) \ \Omega _ { 1 } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } m } ( \theta , \phi ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { g ( \mathbf { R } _ { [ \imath ] , \mathrm { s } } ^ { [ l - 1 ] } , \mathbf { P } _ { [ \imath ] } ^ { [ l - 1 ] } , \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ^ { [ l - 1 ] } ) \overset { ( a ) } { \geq } g ( \mathbf { R } _ { [ \imath ] , \mathrm { s } } ^ { [ l ] } , \mathbf { P } _ { [ \imath ] } ^ { [ l ] } , \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ^ { [ l - 1 ] } ) \overset { ( b ) } { \geq } g ( \mathbf { R } _ { [ \imath ] , \mathrm { s } } ^ { [ l ] } , \mathbf { P } _ { [ \imath ] } ^ { [ l ] } , \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ^ { [ l ] } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { { \cal E } _ { i / f } - H _ { 0 } \pm \hbar \omega _ { \mathrm { L } } } } & { { } = \sum _ { l , m } g _ { l } ( \nu _ { i / f } , r , r ^ { \prime } ) Y _ { l m } ( \Omega ) Y _ { l m } ^ { * } ( \Omega ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left\| ( \mathbf { y } ^ { t , k } ( i ) + \delta _ { i , k } ) - \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \right\| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { 1 } { 2 K - 1 } ) \mathbb { E } \left\| ( \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ( i ) + \delta _ { i , k - 1 } ) - \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 4 K ^ { 3 } L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \rho ^ { 4 } } { 2 K - 1 } + 8 K \eta ^ { 2 } ( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) + \frac { 8 K \eta ^ { 2 } } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { [ D D ^ { \dagger } ] _ { A A } } & { { } = ^ { t } \Delta = P P ^ { \dagger } = \tilde { P } n ^ { 0 } \tilde { P } ^ { \dagger } \dag [ D D ^ { \dagger } ] _ { A B } } & { = P Q ^ { \dagger } = \tilde { P } \sqrt { n ^ { 0 } ( \mathbf { 1 } - n ^ { 0 } ) } \tilde { Q } ^ { \dagger } \dag } & { { } \qquad = \tilde { P } \sqrt { n ^ { 0 } ( \mathbf { 1 } - n ^ { 0 } ) } \tilde { P } ^ { \dagger } \tilde { P } \dag , \tilde { Q } ^ { \dagger } \dag } & { \qquad = \sqrt { ^ t \Delta ( \mathbf { 1 } - ^ { t } \Delta ) } \dag , \tilde { P } \tilde { Q } ^ { \dagger } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { x y } ( t ) = } & { \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } } \\ & { \mp \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } \left( 3 H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - 8 H _ { k } ^ { 2 } + 4 H _ { x } ^ { 2 } \right) } { 8 H _ { k } ^ { 2 } } \sin ( \omega t ) } \\ & { - \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( \psi _ { f } , w _ { f } , \mu ) } & { { } = G ( \psi _ { f } , w _ { f } = 0 , \mu ) + \int _ { w _ { \mathrm { ~ t ~ p ~ b ~ } } } ^ { w _ { f } } \mathrm { d } w _ { f } ^ { \prime } \frac { w _ { f } ^ { \prime } } { \langle w ^ { \prime } \rangle _ { \psi } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( s i g n ( \hat { Z } ) \neq s i g n ( \Bar { x } ) ) } & { \leq [ 1 - ( \sqrt { \Bar { q } } - \sqrt { \Bar { p } } ) ^ { 2 } ] ^ { N + K } } \\ & { = \left[ 1 - \frac { A } { B } + \frac { \sqrt { A ^ { 2 } ( N + K ) ^ { 2 } - ( N - K ) ^ { 2 } | \Bar { x } | ^ { 2 } } } { B ( N + K ) } \right] ^ { N + K } . } \end{array}
S ^ { \mathrm { f e r m i o n } } = \int d ^ { 4 } x \bar { \Psi } \left[ i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } - \frac { \sqrt { 2 } m _ { f } } { v } \left( \Phi P _ { R } + \Phi ^ { \dagger } P _ { L } \right) \right] \Psi \ ,
\frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } V _ { 1 k } ( t ) + \left[ 1 - \frac { e ^ { 2 } \lambda _ { V } ^ { 2 } \bar { \zeta } ^ { 2 } \omega _ { \zeta } ^ { 2 } } { 2 m _ { \pi } ^ { 2 } m _ { V } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega _ { \zeta } t ) \right] k ^ { 2 } V _ { 1 k } ( t ) - k \frac { e ^ { 2 } \bar { \zeta } \omega _ { \zeta } } { 2 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } } \cos ( \omega _ { \zeta } t ) V _ { 1 k } ( t ) = 0 .
\begin{array} { r l } { q _ { i } ^ { \star } } & { = \nabla _ { \! x _ { i } } l ( \bar { x } _ { i } , \bar { u } _ { i } ) - Q _ { i } ^ { \star } \bar { x } _ { i } - ( S _ { i } ^ { \star } ) ^ { \top } \bar { u } _ { i } , } \\ { r _ { i } ^ { \star } } & { = \nabla _ { \! u _ { i } } l ( \bar { x } _ { i } , \bar { u } _ { i } ) - S _ { i } ^ { \star } \bar { x } _ { i } - R _ { i } ^ { \star } \bar { u } _ { i } , } \\ { p _ { N } } & { = \nabla _ { \! x _ { N } } l _ { N } ( \bar { x } _ { N } ) - P _ { N } \bar { x } _ { N } . } \end{array}
\left| \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { \langle \hat { l } _ { 1 } ^ { K } , X _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - s } { h _ { n } } , \frac { \langle \hat { l } _ { 2 } ^ { K } , Y _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - t } { h _ { n } } \right) - \frac { 1 } { n ^ { 2 } h _ { n } ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { \langle \hat { l } _ { 1 } ^ { K } , X _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - s } { h _ { n } } \right) k _ { 2 } \left( \frac { \langle \hat { l } _ { 2 } ^ { K } , Y _ { j } \rangle _ { \cal { H } } - t } { h _ { n } } \right) \right| ,
{ \underset { { \vec { x } } \in \mathbb { R } ^ { d } } { \operatorname { a r g m a x } } } \, { \underset { { \vec { u } } \in \mathbb { R } ^ { d } } { \min } } \, \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , { \mathrm { ~ i f ~ } } ( { \vec { x } } _ { i } - { \vec { x } } ) \cdot { \vec { u } } \geq 0 } \\ { 0 , { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. } \right)
\rho ^ { \uparrow } = \sum _ { k } { n _ { k } ^ { \uparrow } \ \phi _ { k } ^ { \uparrow * } \phi _ { k } ^ { \uparrow } } \quad \mathrm { a n d } \quad \rho ^ { \downarrow } = \sum _ { k } { n _ { k } ^ { \downarrow } \ \phi _ { k } ^ { \downarrow * } \phi _ { k } ^ { \downarrow } } .
U _ { e f f , T } ( \phi ) = U _ { c l } ( \phi ) + \frac { T } { 2 } \sum _ { n } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \ln \left[ \omega _ { n } ^ { 2 } + { \bf \vec { k } } ^ { 2 } + m _ { p l } ^ { 2 } ( \phi ) \right] , \nonumber
\begin{array} { r } { C _ { L } ^ { ( D ) } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ) = D ^ { 2 / 3 } \frac { \frac { 9 \Gamma \left( \frac { 5 } { 6 } \right) ^ { 2 } ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) \left( 4 \tau _ { 2 } \left( 2 \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } \right) \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 5 } { 6 } ; \frac { 1 } { 6 } ; \frac { \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { ( \tau _ { 1 } - 2 \tau _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) - ( \tau _ { 1 } - 2 \tau _ { 2 } ) ^ { 2 } ( \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( - \frac { 2 } { 3 } , \frac { 5 } { 6 } ; \frac { 1 } { 6 } ; \frac { \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { ( \tau _ { 1 } - 2 \tau _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) \right) } { \pi ( - \tau _ { 1 } ( \tau _ { 1 } - 2 \tau _ { 2 } ) ) ^ { 5 / 3 } } - \frac { 4 \sqrt [ 3 ] { 2 } \pi \sqrt [ 3 ] { \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } } { \Gamma \left( \frac { 7 } { 6 } \right) ^ { 2 } } } { 2 \cdot 6 ^ { 2 / 3 } } } \end{array}
a _ { \alpha } ( { \bf x } ) = - \left( { \frac { \hbar \theta } { e ^ { 2 } \pi } } \right) \int d ^ { 2 } x ^ { \prime } { \frac { \epsilon _ { \alpha \beta } \bigl ( x ^ { \beta } - x ^ { \prime \beta } \bigr ) } { \vert { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } \vert ^ { 2 } } } \rho ( { \bf x } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { 2 a ^ { 2 } \left[ \log ( 1 / a ^ { 2 } ) + { \frac { A } { a ( 1 - a ^ { 2 } ) } } + { \frac { B ( 1 - a ^ { 2 } ) } { ( 1 - a b ) ( b - a ) } } \right] Z ^ { \prime } ( 1 / a ) + A Z ^ { \prime \prime } ( 1 / a ) } & { = 0 , } \\ { 2 b ^ { 2 } \left[ \log ( 1 / b ^ { 2 } ) + { \frac { A ( 1 - b ^ { 2 } ) } { ( 1 - a b ) ( a - b ) } } + { \frac { B } { b ( 1 - b ^ { 2 } ) } } \right] Z ^ { \prime } ( 1 / b ) + B Z ^ { \prime \prime } ( 1 / b ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( t , \tau ) } & { = e ^ { - \int _ { \tau } ^ { t } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } s \right) + \frac { 3 \sqrt { \mu } } { 2 } \coth \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } s \right) \right) \, d s } } \\ & { = e ^ { - \left[ 3 \log \left( \sinh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } s \right) \right) + \log \left( \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } s \right) \right) \right] _ { \tau } ^ { t } } } \\ & { = \frac { \sinh ^ { 3 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \tau \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \tau \right) } { \sinh ^ { 3 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) } . } \end{array}
\Delta t _ { \mathrm { ~ C ~ F ~ L ~ } } \le \operatorname* { m i n } _ { i , j , k } \Delta t _ { \mathrm { ~ C ~ F ~ L ~ , ~ g ~ e ~ n ~ } } ^ { ( i , j , k ) } \le \Delta t _ { \mathrm { ~ C ~ F ~ L ~ , ~ g ~ e ~ n ~ } } \, ,
\begin{array} { r l } { x _ { c } ( t ) = } & { { } \sum _ { l } \Big ( s _ { l } \sin ( \psi _ { l } ( t ) ) + c _ { l } \cos ( \psi _ { l } ( t ) ) \Big ) e ^ { - \Gamma \left( t - t _ { l } \right) / 2 } \Theta \left( t - t _ { l } \right) } \\ { x _ { s } ( t ) = } & { { } \sum _ { l } \Big ( s _ { l } \cos ( \psi _ { l } ( t ) ) - c _ { l } \sin ( \psi _ { l } ( t ) ) \Big ) e ^ { - \Gamma \left( t - t _ { l } \right) / 2 } \Theta \left( t - t _ { l } \right) } \end{array}