harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } \equiv \mathbf { u } ^ { \prime } } & { = { \frac { 1 } { 1 - { \frac { \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ { \frac { \mathbf { u } } { \gamma _ { v } } } - \mathbf { v } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { 1 + \gamma _ { v } } } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { v } \right] } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 - { \frac { \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ \mathbf { u } - \mathbf { v } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { 1 + \gamma _ { v } } } \mathbf { v } \times ( \mathbf { v } \times \mathbf { u } ) \right] } \end{array} }
\begin{array} { r } { b _ { + } \epsilon _ { A + } \delta \phi _ { + } = 2 \frac { i } { \omega _ { 0 } } \frac { c } { B _ { 0 } } k _ { \theta 0 } k _ { Z } b _ { 0 } \delta \phi _ { 0 } \left( \delta \phi _ { Z } - \delta \psi _ { Z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 0 } ^ { * * } = } & { { } ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 0 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } , } \\ { y _ { 1 } ^ { * * } = } & { { } ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 1 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } , } \\ { y _ { 2 } ^ { * * } = } & { { } ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { S } ) \varepsilon _ { 2 } \Lambda } { \alpha ( 1 - p _ { S } ) + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } . } \end{array}
\Theta = { \frac { 1 } { 2 } } \oint ( \gamma { \cal J } _ { z } - c ^ { z } { \cal G } _ { z z } ) - { \frac { 1 } { 4 } } \delta _ { s } \oint ( c ^ { z } \gamma \beta _ { z z } + b _ { z } \gamma \gamma ) ,
\frac { \Gamma ( \phi \to \gamma \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } ) } { d m } = \frac { d \Gamma _ { f _ { 0 } } ( m ) } { d m } + \frac { d \Gamma _ { b a c k } ( m ) } { d m } \pm \frac { d \Gamma _ { i n t } ( m ) } { d m } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { s } _ { 0 } \, ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } & { { } = \widehat { W } _ { X X } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) + \widehat { W } _ { Y Y } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } \\ { \widehat { s } _ { 1 } \, ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } & { { } = \widehat { W } _ { X X } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) - \widehat { W } _ { Y Y } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } \\ { \widehat { s } _ { 2 } \, ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } & { { } = \widehat { W } _ { X Y } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) + \widehat { W } _ { Y X } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } \\ { \widehat { s } _ { 3 } \, ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } & { { } = i \left( \widehat { W } _ { X Y } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) - \widehat { W } _ { Y X } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) \right) } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \left| \nabla \phi _ { L } \left( t , e ^ { \prime } \right) ( X , \mathcal { R } _ { l , y } ) - \nabla \phi _ { L } \left( t , e ^ { \prime } \right) ( X _ { l } ( y ) , \mathcal { R } _ { l , y } ) \right| \leq \sqrt { 2 } ( 4 d ) \left| X - X _ { l } ( y ) \right| \leq \frac { ( \ln T ) ^ { \frac { 1 } { r - 2 } } } { 2 C _ { G } } .
\begin{array} { r l } { \nabla \Phi ^ { D } ( x ^ { D } ) } & { = \nabla \log \exp ( \Phi ^ { D } ( x ^ { D } ) ) } \\ & { = \frac { \int \nabla _ { x ^ { D } } \exp ( - \Phi ( x ^ { D } , x ^ { D + 1 : \infty } ) ) ~ \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , C ^ { D + 1 : \infty } ) ( x ^ { D + 1 : \infty } ) } { \int \exp ( - \Phi ( x ^ { D } , x ^ { D + 1 : \infty } ) ) ~ \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , C ^ { D + 1 : \infty } ) ( x ^ { D + 1 : \infty } ) } } \\ & { = \frac { - \int \nabla _ { x ^ { D } } \Phi ( x ^ { D } , x ^ { D + 1 : \infty } ) \exp ( - \Phi ( x ^ { D } , x ^ { D + 1 : \infty } ) ) ~ \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , C ^ { D + 1 : \infty } ) ( x ^ { D + 1 : \infty } ) } { \int \exp ( - \Phi ( x ^ { D } , x ^ { D + 1 : \infty } ) ) ~ \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , C ^ { D + 1 : \infty } ) ( x ^ { D + 1 : \infty } ) } } \\ & { = \mathbb { E } _ { \mu _ { \mathrm { d a t a } } } [ \nabla \Phi ( x ) | X ^ { D } = x ^ { D } ] . } \end{array}
\frac { 1 } { c _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \mathrm { D } ^ { 2 } \psi ^ { a } } { \mathrm { D } t ^ { 2 } } - \nabla \cdot \nabla ( \psi ^ { a } ) = - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \mathrm { D } p ^ { i c } } { \mathrm { D } t } ,
w ( K , L ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { { \Omega _ { 0 } ( L ) } } & { { \mathrm { i f } } } & { { d ( K , L ) \leq 1 } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } & { { } } \end{array} \right. ,
\left( - { \frac { n } { 2 } } f _ { \mathrm { s } } , - { \frac { n - 1 } { 2 } } f _ { \mathrm { s } } \right) \cup \left( { \frac { n - 1 } { 2 } } f _ { \mathrm { s } } , { \frac { n } { 2 } } f _ { \mathrm { s } } \right)
r ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } { \delta } { \phi } ( r ) + 2 r \frac { d } { d r } { \delta } { \phi } ( r ) - 2 { \delta } { \phi } ( r ) = - 2 g r { \Delta } ( r ) T _ { C } ( r ) ,
\int \mathrm { d } \mathbf { q } \, e ^ { - S ( \mathbf { q } ) / \hbar } \sim e ^ { - S ( \tilde { \mathbf { q } } ) / \hbar } \operatorname* { d e t } \left( \frac { S ^ { ( 2 ) } ( \tilde { \mathbf { q } } ) } { 2 \pi \hbar } \right) ^ { - 1 / 2 } ( 1 + a _ { 1 } \hbar + \dots ) .
\begin{array} { r l r } { \vec { E } ^ { 2 } } & { { } = } & { - F _ { 0 i } F ^ { 0 i } = - F _ { 0 i } F _ { \mu \nu } g ^ { 0 \mu } g ^ { i \nu } = - ( F _ { 0 i } F _ { 0 j } g ^ { 0 0 } g ^ { i j } + F _ { 0 j } F _ { i k } g ^ { 0 i } g ^ { j k } ) } \\ { 2 B } & { { } = } & { g ^ { i k } g ^ { k l } \epsilon _ { j l } F _ { i k } \; , } \end{array}
I _ { 3 } ^ { ( n ) } = \frac { i \pi ^ { D / 2 } \sqrt { \pi } \Gamma \big ( 4 n + 1 - \frac { D } { 2 } \big ) } { 4 ^ { 2 n - 1 } \Gamma ( 2 n ) \Gamma \big ( 2 n - \frac { 1 } { 2 } \big ) m _ { W } ^ { 8 n + 4 - D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } B \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } , 4 n - 1 , 2 - \frac { D } { 2 } \bigg ) \, .
R _ { V W } ^ { - } ( z ) = 1 + \frac { u p } { 1 - u p } v _ { - } + \frac { p } { ( 2 ) _ { p } } \cdot \frac { u p } { ( 1 - u p ) } \frac { u p ^ { 2 } } { ( 1 - u p ^ { 2 } ) } v _ { - } ^ { 2 } +
\begin{array} { r l } { \theta _ { C ^ { \prime } C Q } = \sum _ { x ^ { \prime } , x } } & { q _ { x } \mathrm { t r } \{ \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x } \} ^ { - 1 } \tilde { q } _ { x ^ { \prime } | x } | x ^ { \prime } , x \rangle _ { C ^ { \prime } C Q } \langle x ^ { \prime } , x | } \\ & { \otimes \mathrm { t r } \{ \tau _ { Q } ^ { x } \} \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } } \\ { = \sum _ { x ^ { \prime } , x } } & { q _ { x } q _ { x ^ { \prime } | x } | x ^ { \prime } , x \rangle _ { C ^ { \prime } C Q } \langle x ^ { \prime } , x | \otimes \tau _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { D } } \left( \frac { ( 1 , 1 , 1 ) } { \sqrt { 3 } } , \frac { 2 \pi } { 3 } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { i } { 2 } ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) , } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } \hat { x } } { d \alpha ^ { 2 } } } + \hat { x } - \hat { q } _ { x } = 0 , \quad { \frac { d ^ { 2 } \hat { y } } { d \alpha ^ { 2 } } } + \hat { y } - \hat { q } _ { y } = 0 ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \hbar } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { m - 1 } } \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , \hbar ^ { - 1 } ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ] } \big ( \boldsymbol { t } _ { 1 , m - 1 } ^ { + } \big ) U _ { \hbar , 0 } ( - s _ { 2 } ) V _ { \hbar , z } \Big \{ \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { i } ) V _ { \hbar , z } \Big \} U _ { \hbar , 0 } ( \boldsymbol { t } _ { 1 , m - 1 } ^ { + } + s _ { 2 } ) \, d \boldsymbol { t } _ { 1 , m - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { A _ { R } ^ { 1 } } \frac { 1 } { z - w } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { w ^ { 2 } } { 2 } } \, \mathrm { d } w \right| } & { = \left| \int _ { 0 } ^ { - \frac { \pi } { 4 } + \varepsilon } \frac { 1 } { z - R e ^ { i \theta } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } R ^ { 2 } e ^ { 2 i \theta } } i R e ^ { i \theta } \, \mathrm { d } \theta \right| } \\ & { \le \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \frac { \pi } { 4 } + \varepsilon } ^ { 0 } \frac { R } { R - | z | } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } R ^ { 2 } \cos 2 \theta } \, \mathrm { d } \theta } \\ & { \le \frac { ( \pi / 4 - \varepsilon ) } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { R } { R - | z | } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } R ^ { 2 } \sin 2 \varepsilon } \to 0 \qquad ( R \to \infty ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ( 0 ; k ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 \atop \theta = \pi / 2 } \oint r H _ { \phi 0 } \, d \phi = 2 \pi \frac { V _ { g } ( \omega ) } { \eta } A _ { 0 } ( k ) ( 1 - \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( k ) ) } \\ & { = } & { V _ { g } ( \omega ) Y _ { 0 } \, \frac { 1 - \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( k ) } { 1 + \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( k ) } = V _ { g } ( \omega ) Y _ { \mathrm { i n } } ( \omega ) , } \end{array}
g _ { 0 } ^ { 6 } = \frac { ( \partial _ { 2 } Z ) ^ { 2 } } { \partial _ { 2 } X \partial _ { 2 } Y } ~ , ~ ~ h _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { \partial _ { 2 } Y } { \partial _ { 2 } Z } ~ , ~ ~ h _ { 2 } ^ { 2 } = \partial _ { 2 } X \partial _ { 2 } Y ~ , ~ ~ h _ { 3 } ^ { 2 } = \frac { \partial _ { 2 } X } { \partial _ { 2 } Z } ~ , ~ ~ A _ { i } = \frac { \partial _ { i } X } { \partial _ { 2 } X } ~ , ~ ~ A _ { p } = \frac { \partial _ { p } Y } { \partial _ { 2 } Y } ~ .
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 6 } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 6 } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } & { 0 } & { \bar { A } _ { 7 8 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \bar { A } _ { 7 8 } \frac { \partial _ { \langle } } { \partial x _ { j \rangle } } } & { 0 } & { \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } A _ { 5 9 } \frac { \partial } { \partial x _ { k } } } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } A _ { 5 9 } \frac { \partial _ { \langle } } { \partial x _ { k \rangle } } } & { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
S _ { N S } ^ { \mathrm { q u a d } } = \langle \downarrow | c _ { 0 } b _ { 0 } c _ { 0 } | \downarrow \rangle \langle \tilde { A } | \tilde { L } _ { 0 } ^ { \mathrm { t o t } } | \tilde { A } \rangle ,
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d } { d t } + \bar { \nu } k _ { n } ^ { 2 } \right) u _ { n } ^ { < } ( t ) } & { { } = } & { - i [ a _ { 1 } k _ { n } u _ { n + 1 } ^ { * > } ( t ) u _ { n + 2 } ^ { > } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \eta } ( ( r _ { + } ^ { 2 } + \Gamma _ { + } ) ^ { 1 / 2 } ) } & { = - 2 M ( ( r _ { + } ^ { 2 } + \Gamma _ { + } ) ^ { 1 / 2 } - r _ { + } ) ^ { 2 } , } \\ { P _ { \eta } ( r _ { + } + \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ) } & { = 2 ( r _ { + } + \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ) \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } + 2 r _ { + } - 2 M ) - 2 ( r _ { + } + \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ) \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } + r _ { + } - M ) . } \end{array}
\left[ Z _ { \pm } = 1 \right] _ { ^ { _ { _ { \delta = 0 } } } } \ \ \longrightarrow \, \left[ Z _ { + } = \frac { 3 } { 2 } , \ Z _ { - } = \frac { 2 } { 3 } \right] _ { _ { \delta = 1 } } .
{ \begin{array} { r l r l r l } { { \hat { S } } _ { 1 1 } } & { = S _ { 1 1 } = : S _ { r r } , } & { { \hat { S } } _ { 1 2 } } & { = { \frac { S _ { 1 2 } } { r } } = : S _ { r \theta } , } & { { \hat { S } } _ { 1 3 } } & { = S _ { 1 3 } = : S _ { r z } } \\ { { \hat { S } } _ { 2 1 } } & { = { \frac { S _ { 2 1 } } { r } } = : S _ { \theta r } , } & { { \hat { S } } _ { 2 2 } } & { = { \frac { S _ { 2 2 } } { r ^ { 2 } } } = : S _ { \theta \theta } , } & { { \hat { S } } _ { 2 3 } } & { = { \frac { S _ { 2 3 } } { r } } = : S _ { \theta z } } \\ { { \hat { S } } _ { 3 1 } } & { = S _ { 3 1 } = : S _ { z r } , } & { { \hat { S } } _ { 3 2 } } & { = { \frac { S _ { 3 2 } } { r } } = : S _ { z \theta } , } & { { \hat { S } } _ { 3 3 } } & { = S _ { 3 3 } = : S _ { z z } } \end{array} }
\widetilde { g } _ { i i } ( 1 2 ) = - \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { k _ { i } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { i } ^ { 2 } } f _ { i } ( 1 ) \left( \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } f _ { i } ( 2 ) - \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } \int \mathrm { d } [ 3 ] \, \widetilde { g } _ { i i } ( 3 2 ) \right) .
{ \frac { V _ { \mathrm { P } } } { V _ { \mathrm { S } } } } = { \frac { I _ { \mathrm { S } } } { I _ { \mathrm { P } } } } = { \frac { N _ { \mathrm { P } } } { N _ { \mathrm { S } } } } = { \sqrt { \frac { L _ { \mathrm { P } } } { L _ { \mathrm { S } } } } } = a
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { v } ( h _ { 1 } ( v ) \partial _ { v } \mathfrak { R } ) - k ^ { 2 } h _ { 2 } ( v ) \mathfrak { R } = \mathfrak { G } ( v , k ) \Upsilon ( v ) } \\ & { \partial _ { v } \mathfrak { R } ( \alpha , k ) = \partial _ { v } \mathfrak { R } ( \beta , k ) = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\Phi _ { i 1 } = s ^ { + } ( \rho _ { w i } ^ { + } - \rho _ { o i } ^ { + } ) + \rho _ { o i } ^ { + } - ( s ^ { - } ( \rho _ { w i } ^ { -- } \rho _ { o i } ^ { - } ) + \rho _ { o i } ^ { - } ) + ( \rho _ { r i } ^ { + } - \rho _ { r i } ^ { + } )
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } ( t ) / \hbar } & { = \sum _ { m , n = - \infty } ^ { \infty } t _ { m } \cos ( \omega t + \phi ) ( e ^ { i m \omega _ { B } t } \hat { c } _ { m + n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + e ^ { - i m \omega _ { B } t } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { m + n } ) } \\ & { \approx \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { t _ { m } } { 2 } ( e ^ { - i \phi } \hat { c } _ { m + n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + e ^ { i \phi } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { m + n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { ^ { 1 } \Gamma _ { p q } ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \nu _ { p } \, \delta _ { p q } \, , } \\ { { ^ { 1 } \Gamma _ { p q } ^ { ( 1 ) } } } & { { } = \frac { \nu _ { p } - \nu _ { q } } { \epsilon _ { p } - \epsilon _ { q } } \; G _ { p q } \, , } \end{array}
d \sigma ( e ^ { - } e ^ { + } \to \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ) = | f _ { M a j o r a n a } ^ { \nearrow \nearrow } ( \theta ) | ^ { 2 } d \Omega = | f _ { M a j o r a n a } ^ { \nearrow \nearrow } ( \pi - \theta ) | ^ { 2 } d \Omega .
V _ { \mathrm { l a b } } - { \frac { c } { n } } = { \frac { { \frac { c } { n } } + v } { 1 + { \frac { v } { c n } } } } - { \frac { c } { n } } = { \frac { { \frac { c } { n } } + v - { \frac { c } { n } } ( 1 + { \frac { v } { c n } } ) } { 1 + { \frac { v } { c n } } } }
A _ { s } \equiv \frac { \Gamma ( B _ { s } ^ { 0 } \to K ^ { - } \pi ^ { + } ) - \Gamma ( \bar { B } _ { s } ^ { 0 } \to K ^ { + } \pi ^ { - } ) } { \Gamma ( B ^ { + } \to K ^ { 0 } \pi ^ { + } ) + \Gamma ( B ^ { - } \to \bar { K } ^ { 0 } \pi ^ { - } ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { X } } e ^ { s \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } \le } & { \mathbb { E } _ { \mathcal { X } } \sum _ { j } p _ { j } e ^ { \frac { s w _ { j } } { p _ { j } } X _ { j } } = \sum _ { j } p _ { j } \prod _ { \mathcal { X } _ { j } } \mathbb { E } _ { \mathcal { X } } e ^ { \frac { s w _ { j } } { p _ { j } } x _ { n _ { j } } } } \\ { \le } & { \sum _ { j } p _ { j } \prod _ { \mathcal { X } _ { j } } e ^ { \frac { C w _ { j } ^ { 2 } } { p _ { j } ^ { 2 } } s ^ { 2 } } } \\ { \le } & { \sum _ { j } p _ { j } e ^ { \frac { C | \mathcal { X } _ { j } | w _ { j } ^ { 2 } } { p _ { j } ^ { 2 } } s ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( x , \mathcal { P } _ { H } ( x ) ) } & { = \mathrm { a c o s } \big ( \langle x , \mathcal { P } _ { H } ( x ) \rangle \big ) } \\ & { = \mathrm { a c o s } \big ( \langle x , \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } } } \big ( x - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle h _ { k } ^ { \prime } ) \rangle \big ) } \\ & { = \mathrm { a c o s } \big ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } } } \big ( 1 - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } ) \big ) } \\ & { = \mathrm { a c o s } \big ( \sqrt { 1 - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } } \big ) = \mathrm { a c o s } \big ( \| P _ { H } ( x ) \| _ { 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z ^ { \prime } ( s ) } & { = } & { \left( 1 - \frac { 1 } { \cos s \sin s } K [ \cdot ] \right) ^ { - 1 } s \cot s } \\ & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { \cos s \sin s } K [ \cdot ] \right) ^ { n } s \cot s } \\ & { = } & { s \cot s + \frac { 1 } { \cos s \sin s } K [ s \cot s ] + \ldots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \phi ^ { 2 } ( t _ { i } ) \rangle \approx } & { \frac { \rho _ { \mathrm { D M } } } { 2 m ^ { 2 } } \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } \alpha _ { k } \Delta v \sqrt { f ( v _ { j } ) f ( v _ { k } ) } } \\ & { \times \cos [ m t _ { i } ( v _ { k } ^ { 2 } - v _ { j } ^ { 2 } ) / 2 + \Delta \varphi _ { k j } ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon \left( \lambda \right) } & { { } = \epsilon _ { 0 } \left( 1 + \frac { A } { 1 + j \frac { \lambda _ { \mathrm { { r e l } } } } { \lambda } - ( \frac { \lambda _ { \mathrm { { r e s } } } } { \lambda } ) ^ { 2 } } \right) } \\ { \sigma \left( \lambda \right) } & { { } = \frac { \sigma _ { \mathrm { { s } } } } { 1 + j \frac { 2 \pi c _ { 0 } \tau _ { \sigma } } { \lambda } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to \infty } \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ^ { \nu _ { k } } ( \delta t _ { \nu _ { k } } ^ { * } ; x ) , \mathcal { G } ^ { \nu _ { k } } ) } & { \leqslant \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to \infty } \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ^ { \nu _ { k } } ( \delta t _ { \nu _ { k } } ; x ) , \mathcal { G } ^ { \nu _ { k } } ) } \\ & { \leqslant \operatorname* { l i m s u p } _ { \nu \to 0 ^ { + } } \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ^ { \nu } ( \delta t _ { \nu } ; x ) , \mathcal { G } ^ { \nu } ) } \\ & { \leqslant { \sqrt { 2 } } e ^ { - \delta } \Big ( \| \Lambda x \| + \mathbb { E } [ \| \Lambda \mathcal { G } ^ { 0 } \| ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ) < \infty . } \end{array}
\vert \Psi \rangle _ { \! \! A _ { 1 } , . . . , A _ { n } } \! \! = \! \! \frac { 1 } { 2 ^ { ( \frac { n + 1 } { 2 } ) } } \! \! \left\{ \! ( \vert 0 \rangle \! + \! \vert 1 \rangle \! ) ^ { n } \! + \! e ^ { ( \frac { \pi i } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } x _ { k 1 } ) } ( \vert 0 \rangle \! - \! \vert 1 \rangle \! ) ^ { n } \! \right\} .
\begin{array} { r } { \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } c ^ { 2 } + \zeta _ { \mathrm { e } } ^ { - } ( 0 , 0 , n _ { 0 } ) + \zeta _ { \mathrm { i } } ^ { - } ( 0 , 0 , n _ { 0 } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ln f ( U ) } & { { } = } & { \lbrack \mathrm { L T } \rbrack ^ { ( U \to + \infty ) } \ln \left( \frac { A ( ( 2 g ) ^ { - 1 } \ln U ) ^ { 1 / 2 \mu _ { \mathrm { m a x } } g } \, \ln U } { 4 g ^ { 2 } \, U ^ { 1 + 1 / 2 \mu _ { \mathrm { m a x } } g } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { p = p _ { a } ( x ) = \ln \frac { { { w _ { - } } ( x ) } } { { { w _ { + } } ( x ) } } = - \ln \left[ { \beta \left( { 1 - x } \right) \left( { 1 + ( { 1 + \delta } ) x } \right) } \right] } \end{array}
\tilde { \alpha } ( z , z ^ { \prime } ) = \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \mu ( z ^ { \prime } , x _ { k } ^ { \prime } ) } { q _ { z } ^ { \prime } ( x _ { k } ^ { \prime } ) } \right] q ( z ^ { \prime } , z ) } { \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \mu ( z , x _ { k } ) } { q _ { z } ( x _ { k } ) } \right] q ( z , z ^ { \prime } ) } \right\} .
\left( \begin{array} { l } { - I ^ { \mathrm { T M } } } \\ { - I ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { Y _ { 1 u u } } & { Y _ { 1 u v } } \\ { Y _ { 1 v u } } & { Y _ { 1 v v } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { V ^ { \mathrm { T M } } } \\ { V ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) \, .
d s ^ { 2 } = g _ { i a j b } d f _ { 1 } ^ { i a } d f _ { 1 } ^ { j b } + k _ { i a j b } d f _ { 2 } ^ { i a } d f _ { 2 } ^ { j b } + h _ { i a j b } d f _ { 2 } ^ { i a } d f _ { 1 } ^ { j b }
{ \hat { \pi } } _ { a } ^ { i } ( 0 ) \simeq m { \frac { \Delta { \hat { x } } _ { a } ^ { i } } { \varepsilon } } - { \frac { e } { 2 } } \sum _ { b = 1 } ^ { N } \epsilon ^ { i j } [ { \hat { B } } ( { \hat { \bf x } } _ { b } ( \varepsilon ) ) \delta _ { a b } + { \frac { e } { \theta } } \delta ( { \hat { \bf x } } _ { a } ( \varepsilon ) - { \hat { \bf x } } _ { b } ( \varepsilon ) ) ] \Delta { \hat { x } } _ { b } ^ { j } \, ,
K _ { \nu } ( z ) \sim \sqrt { \frac { \pi } { 2 z } } e ^ { - z } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { \Gamma ( \nu + k + 1 / 2 ) } { \Gamma ( k + 1 ) \Gamma ( \nu - k + 1 / 2 ) } ( 2 z ) ^ { - k } \nonumber
S _ { E } = \frac { 4 \pi } { \lambda } { \int } d \tau { \int } d r r ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \dot { \varphi } ^ { 2 } + { \varphi } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( { \varphi } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } - f { \varphi } \right] \; \; \; .
M _ { B } = m _ { b } + \bar { \Lambda } - \frac { \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } } { 2 m _ { b } } ~ ; ~ ~ M _ { B } ^ { * } = m _ { b } + \bar { \Lambda } - \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } { 2 m _ { b } }
\! \! \partial _ { a } \Omega _ { b } ^ { \; i j } - \partial _ { b } \Omega _ { a } ^ { \; i j } + \Omega _ { a } ^ { \; i k } \Omega _ { b } ^ { \; k j } - \Omega _ { b } ^ { \; i k } \Omega _ { a } ^ { \; k j } = \frac 1 { \left( 1 + 4 \Phi ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } \, \left( \! \! \! \! \begin{array} { c } { { 3 \times \left( 1 + 4 \Phi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \delta ^ { b j } \delta ^ { a i } - \delta ^ { b i } \delta ^ { a j } \right) } } \\ { { - 1 6 \! \times \! \left( 4 \Phi ^ { 2 } + 5 \right) \left( \Phi ^ { a } \left( \delta ^ { b j } \Phi ^ { i } - \delta ^ { b i } \Phi ^ { j } \right) - \Phi ^ { b } \! \left( \delta ^ { a j } \Phi ^ { i } - \delta ^ { a i } \Phi ^ { j } \right) \right) } } \\ { { - 2 \times \left( 1 6 \Phi ^ { 4 } + 2 4 \Phi ^ { 2 } - 1 1 \right) \left( \Phi ^ { a } \varepsilon ^ { b i j } - \Phi ^ { b } \varepsilon ^ { a i j } \right) } } \end{array} \! \! \! \right) \! .
( x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + 3 x _ { 3 } + 4 x _ { 4 } + 5 x _ { 5 } + 6 x _ { 6 } + 7 x _ { 7 } + 8 x _ { 8 } + 9 x _ { 9 } + 1 0 x _ { 1 0 } ) \equiv 0 { \pmod { 1 1 } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ { { e } ^ { { \frac { w \left( { \mathrm { e } ^ { - \beta \, t } } - 1 \right) \left( w { \sigma } ^ { 2 } ( { { e } ^ { - \beta \, t } } + 1 ) + 4 \, i B \right) } { 4 \beta } } - i w e ^ { - \beta t } y } } \, \Psi ^ { j } ( t , w ) \right] ( t , { \bar { x } } ) = } \\ & { } & { \left( { \mathrm { e } ^ { - 2 \beta \, t } } - 1 \right) ^ { j } [ w ^ { 2 j } \, F _ { j } ( t , w ) ] ( t , { \bar { x } } ) = \left( 1 - { \mathrm { e } ^ { - 2 \beta \, t } } \right) ^ { j } \, D _ { { \bar { x } } } ^ { ( 2 j ) } [ F _ { j } ( t , w ) ] ( t , { \bar { x } } ) . } \end{array}