harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \dot { \omega } } _ { \mathrm { f } } = - \frac { \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { f } } ) \sin ( \omega _ { \mathrm { r } } t + \varphi ) } \\ { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { f } } ) \cos ( \omega _ { \mathrm { r } } t + \varphi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \tau _ { i j } ^ { * } = \left( \eta + \frac { \tau _ { y } } { \dot { \gamma } ^ { * } } \right) { \dot { \gamma } } _ { i j } ^ { * } \quad \mathrm { i f } \quad \tau ^ { * } \geq \tau _ { y } , } \\ { { \dot { \gamma } } _ { i j } ^ { * } = 0 \quad \mathrm { i f } \quad \tau ^ { * } < \tau _ { y } , } \end{array}
\int W _ { e f f } ^ { \perp \perp } ( x ) x ^ { n - 1 } d x = \frac { { T _ { q } ^ { \perp \perp } } ^ { ( n - 1 ) } ( 0 ) } { { T _ { C M } ^ { \perp \perp } } ^ { ( n - 1 ) } ( 0 ) } ,
\tan { 2 \zeta } = - \frac { 2 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } { v _ { R } ^ { 2 } } , \; \; \; \; \sin { 2 \phi } = - \frac { g ^ { 2 } \kappa _ { + } ^ { 2 } \sqrt { \cos { 2 \theta _ { W } } } } { 2 \cos ^ { 2 } { \theta _ { W } } ( M _ { Z _ { 2 } } ^ { 2 } - M _ { Z _ { 1 } } ^ { 2 } ) } .
\mathrm { ~ r ~ a ~ w ~ i ~ m ~ a ~ g ~ e ~ } = \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } ( \mathrm { ~ E ~ m ~ i ~ t ~ t ~ e ~ r ~ s ~ } \otimes \mathrm { ~ P ~ S ~ F ~ } ) + \mathrm { ~ b ~ a ~ c ~ k ~ g ~ r ~ o ~ u ~ n ~ d ~ , ~ }
{ \frac { \chi ( \lambda _ { c } ) } { 1 - \lambda _ { c } } } = { \frac { \chi ( \lambda _ { 0 } ) } { 1 - \lambda _ { 0 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \ { \frac { \chi ^ { \prime \prime } ( \lambda _ { 0 } ) } { 1 - \lambda _ { 0 } } } ( \lambda _ { c } - \lambda _ { 0 } ) ^ { 2 } + \cdot \cdot \cdot ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { 3 } } { d t } = } & { { } } & { ( n _ { 1 } - n _ { 3 } ) B _ { r 1 3 } n _ { p h 1 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { r 1 3 } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 2 } - ( - a ) } & { { } = L _ { - } ( E _ { - } ) = L ( - q _ { 0 } ( E _ { - } ) , - q _ { \infty } ^ { - } ( E _ { - } ) ; E _ { - } , - 1 ) , } \\ { y _ { 2 } - y _ { 1 } } & { { } = L _ { + } ( E _ { - } ) = L ( - q _ { \infty } ^ { - } ( E _ { - } ) , q _ { \infty } ^ { - } ( E _ { - } ) ; 2 - E _ { - } , + 1 ) , } \\ { 0 - y _ { 1 } } & { { } = L ( q _ { \infty } ^ { - } ( E _ { - } ) , q _ { 0 } ( E _ { - } ) ; E _ { - } , - 1 ) = L _ { - } ( E _ { - } ) . } \end{array}
R _ { c - m } ( b _ { s - c } + b _ { m - c } ) V _ { c } ^ { 4 } + V _ { c } - \left( V _ { m } + R _ { c - m } \left( b _ { s - c } V _ { s } ^ { 4 } + b _ { m - c } V _ { m } ^ { 4 } \right) \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { x _ { j } } & { = \Re \bigg ( i \frac { 2 \alpha _ { j } } { ( | \xi | ^ { 2 } + 1 ) ( \alpha \cdot \omega ( \xi ) ) } + i \omega ( \xi ) _ { j } \frac { \alpha _ { 4 } - \alpha \cdot \omega ( \xi ) } { ( \alpha \cdot \omega ( \xi ) ) } \bigg ) } \\ & { = ( 1 - \sin \theta _ { 0 } \sin \beta ) \Re \big ( i \alpha _ { j } e ^ { - i \beta } \big ) - \omega ( \xi ) _ { j } \cos \beta \sin \theta _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta g _ { s i , - } ^ { ( 2 ) } } & { { } \simeq } & { - \left[ i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { - } } J _ { 0 } J _ { - } \delta \phi _ { - } \delta \phi _ { 0 } + \frac { ( \Lambda _ { 0 } ^ { s } ) ^ { 2 } } { 4 \omega _ { s } \omega _ { - } } J _ { 0 } ^ { 2 } J _ { s } | \delta \phi _ { 0 } | ^ { 2 } \delta \phi _ { s } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { k _ { 1 \rightarrow 2 } ^ { a v } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \langle k _ { 1 \rightarrow 2 } ( t ) \rangle } \\ & { } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 2 } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \Bigg \langle e ^ { i \int _ { t - \tau } ^ { t } d \tau ^ { \prime } ( E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) - E _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) ) / \hbar } } \\ & { } & { \times T r _ { b } \left\{ e ^ { i ( \hat { B } _ { 2 } + \hat { H } _ { b } ) \tau / \hbar } \hat { J } ( t ) e ^ { - i ( \hat { B } _ { 1 } + \hat { H } _ { b } ) \tau / \hbar } \hat { \rho } _ { b , 1 } \hat { J } ^ { \dagger } ( t - \tau ) \right\} \Bigg \rangle \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( k _ { 1 } , l _ { 1 } , \dots , k _ { n } , l _ { n } \, | \, \rho ) } & { \approx \frac { N ^ { n } } { n ! } \sum _ { i , j } w _ { i } \exp \left( - N \sum _ { k , l } a _ { l } I ( Q _ { i } S _ { j } \vec { x } _ { k , l } ) \right) \prod _ { m = 1 } ^ { n } a _ { l _ { m } } I ( Q _ { i } S _ { j } \vec { x } _ { k _ { m } , l _ { m } } ) } \\ & { = \frac { N ^ { n } } { n ! } \sum _ { i } w _ { i } \exp \left( - N \sum _ { k , l } a _ { l } I ( Q _ { i } \vec { x } _ { k , l } ) \right) \sum _ { j } \prod _ { m = 1 } ^ { n } a _ { l _ { m } } I ( Q _ { i } \vec { x } _ { k _ { m } + j , l _ { m } } ) } \\ & { = \frac { N ^ { n } } { n ! } \sum _ { i } w _ { i } P _ { i } \sum _ { j } \prod _ { m = 1 } ^ { n } I _ { i , k _ { m } + j , l _ { m } } } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { s } \frac { d } { d x _ { 3 } } \left( n _ { b } \frac { d T _ { b } } { d \mathcal { G } } G ^ { d } \right) - i \frac { U _ { s } n _ { b } T _ { b } } { q _ { b } } ( a _ { 1 } \hat { q } _ { 1 } + a _ { 2 } \hat { q } _ { 2 } ) + \frac { \tau _ { h } } { \cos { \alpha } _ { 0 } } U _ { s } \frac { d } { d x _ { 3 } } \left( n _ { b } \mathcal { G } _ { b } ^ { c } \frac { d T _ { b } } { d \mathcal { G } } \right) N + } \\ { \left( \gamma + a ^ { 2 } + \frac { 2 \tau _ { h } } { \cos { \alpha } _ { 0 } } U _ { s } n _ { b } \mathcal { G } _ { b } ^ { c } \frac { d T _ { b } } { d \mathcal { G } } + U _ { s } \frac { d T _ { b } } { d \mathcal { G } } \frac { d \mathcal { G } _ { b } ^ { d } } { d x _ { 3 } } \right) \frac { d N } { d x _ { 3 } } + U _ { s } T _ { b } \frac { d ^ { 2 } N } { d x _ { 3 } ^ { 2 } } - \frac { d ^ { 3 } N } { d x _ { 3 } ^ { 3 } } = - \frac { d n _ { b } } { d x _ { 3 } } \hat { w } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 0 } + \beta _ { 0 } } & { { } = 2 \sqrt [ 3 ] { \| \zeta \| } \cos { \left( \frac { \theta } { 3 } \right) } , } \\ { \alpha _ { 2 } + \beta _ { 1 } } & { { } = - 2 \sqrt [ 3 ] { \| \zeta \| } \cos { \left( \frac { \theta + \pi } { 3 } \right) } , } \\ { \alpha _ { 1 } + \beta _ { 2 } } & { { } = - 2 \sqrt [ 3 ] { \| \zeta \| } \sin { \left( \frac { \theta + 2 \pi } { 3 } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal P u _ { 1 } ( t ) = u _ { 4 } ( t ) , \quad \mathcal P u _ { 2 } ( t ) = u _ { 3 } ( t ) , } \\ { \mathcal P u _ { 3 } ( t ) = u _ { 2 } ( t ) , \quad \mathcal P u _ { 4 } ( t ) = u _ { 1 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \underline { { \psi } } } } & { { } = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \ln Q ( \mathbf { W } ^ { * } | \mathbf { A } ) = \langle \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } \rangle = } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \lambda } \log \operatorname* { d e t } \left( \hat { M } _ { N } ( \lambda ) - \hat { I } \right) = \sum _ { z } \frac { 1 } { \lambda - z } - \sum _ { p } \frac { 1 } { \lambda - p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \rho , \alpha ) \triangleq } & { \log _ { 2 } \left( \frac { \rho } { 1 \! - \! \rho } \right) \left( 1 \! - \! \frac { p } { q } \right) + 2 \log _ { 2 } ( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha ) } \\ & { - \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 q ) - \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 p ) + \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) \! + \! \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle F _ { + } ^ { \prime } F _ { - } ^ { \prime } \right\rangle _ { M } } & { { } = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } k ^ { 2 } \, X _ { k } ^ { \ell , m } X _ { k } ^ { \ell , n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow ^ { + } 0 } \left\{ \mathcal { G } ^ { \lambda } ( s ^ { \lambda } ; A ) + \int _ { ( T , z ) \in A } \Big [ s ^ { \lambda } ( T , z ) g ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s ^ { \lambda } ( T , z ) \big ) \Big ] d z \right\} } & { \leq \int _ { \Sigma } V ^ { e n d } \big ( \bar { s } ( T , z ) , g ( \bar { z } ) \big ) d z + \delta | \Sigma | . } \end{array}
\mathbf { u } = \mathbf { u } _ { \parallel } + \mathbf { u } _ { \perp } = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ \alpha _ { v } \mathbf { u } ^ { \prime } + \mathbf { v } + ( 1 - \alpha _ { v } ) { \frac { ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) } { v ^ { 2 } } } \mathbf { v } \right] \equiv \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { M \mathrm { ~ - ~ } H } } = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { \mathcal { A } ( \mathcal { S ^ { \prime } } \rightarrow \mathcal { S } ) K ( \mathcal { S ^ { \prime } } ) } { \mathcal { A } ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S ^ { \prime } } ) K ( \mathcal { S } ) } \exp \left( - \Delta U \right) \right) , } \end{array}
{ \frac { m _ { h } ^ { 2 } } { u _ { R } ^ { 2 } } } \sim { \frac { m _ { h } ^ { 2 } } { v _ { B } ^ { 2 } } } \sim { \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 \ln { \frac { \Lambda } { m _ { h } } } } } \to 0 \, .
\Omega _ { { \boldsymbol { g } } _ { T _ { 1 } } } = ( - 2 \sqrt { - 1 } ) ^ { k _ { 1 } + 1 } \cdot \frac { \Vert { \boldsymbol { g } } _ { T _ { 1 } } ^ { \circ } \Vert _ { \Gamma _ { 0 } ( C ) } ^ { 2 } } { \eta _ { { \boldsymbol { g } } _ { T _ { 1 } } } ^ { \star } } \cdot \bigl ( 1 - \xi _ { 1 } ^ { \mathbf { c } - 1 } \Psi _ { T _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } ( \mathfrak { p } ) \bigr ) \bigl ( 1 - \xi _ { 1 } ^ { \mathbf { c } - 1 } \Psi _ { T _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } ( \mathfrak { p } ) p ^ { - 1 } \bigr ) ,
\bar { L } _ { d } = \gamma _ { 5 } \bar { \gamma } _ { \tau } ( \bar { H } _ { d } + \partial _ { \tau } ) ~ ~ ~ , ~ ~ ~ ~ \bar { L } _ { d } ^ { 2 } = \bar { H } _ { d } ^ { 2 } - \partial _ { \tau } ^ { 2 } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { 3 1 } & { = 4 ( 1 ) ^ { 2 } - 3 ( 1 ) ( 3 ) + 4 ( 3 ) ^ { 2 } \qquad \mathrm { ( n o n p r i n c i p a l \ c l a s s ) } } \\ { 5 9 } & { = ( 1 ) ^ { 2 } - ( 1 ) ( - 2 ) + 1 4 ( - 2 ) ^ { 2 } \qquad \mathrm { ( p r i n c i p a l \ c l a s s ) } } \\ { 7 1 } & { = ( 3 ) ^ { 2 } - ( 3 ) ( - 2 ) + 1 4 ( - 2 ) ^ { 2 } \qquad \mathrm { ( p r i n c i p a l \ c l a s s ) } } \\ { 8 9 } & { = 4 ( 1 ) ^ { 2 } - 3 ( 1 ) ( 5 ) + 4 ( 5 ) ^ { 2 } \qquad \mathrm { ( n o n p r i n c i p a l \ c l a s s ) } . } \end{array}
\int _ { - 1 } ^ { 1 } x ^ { 2 } \, d x = \left[ { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right] _ { - 1 } ^ { 1 } = { \frac { 1 ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { ( - 1 ) ^ { 3 } } { 3 } } = { \frac { 2 } { 3 } }
\begin{array} { r l r } { \lambda ( t ) } & { { } = } & { - g V _ { 0 } \{ \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 1 } t + \phi _ { 1 } ) + \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 2 } t + \phi _ { 2 } ) \} } \\ { V _ { x } ( t ) } & { { } = } & { V _ { 0 } \, \mathrm { s i n } ( \Omega _ { 1 } t + \phi _ { 1 } ) } \\ { V _ { y } ( t ) } & { { } = } & { V _ { 0 } \, \mathrm { s i n } ( \Omega _ { 2 } t + \phi _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ - \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } + \frac { k \left( k - 1 \right) } { r ^ { 2 } } - 1 \right] \chi \left( r \right) = 0 \quad , \quad k = j + K = j + \frac { \bar { d } - 1 } { 2 } \; } \end{array}
J _ { z } = \iint _ { R } \rho ^ { 2 } \, \mathrm { d } A = \iint _ { R } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \, \mathrm { d } A = \iint _ { R } x ^ { 2 } \, \mathrm { d } A + \iint _ { R } y ^ { 2 } \, \mathrm { d } A = I _ { x } + I _ { y }
g _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c c c } { { - { \sigma } ^ { 2 } + A ^ { 2 } { \beta ^ { x } } ^ { 2 } + A ^ { 2 } { \beta ^ { z } } ^ { 2 } } } & { { A ^ { 2 } \beta ^ { x } } } & { { 0 } } & { { A ^ { 2 } \beta ^ { z } } } \\ { { A ^ { 2 } \beta ^ { x } } } & { { A ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { A ^ { 2 } l ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { A ^ { 2 } \beta ^ { z } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { A ^ { 2 } } } \end{array} \right) \; \; ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { 3 } - \frac { 3 } { N ^ { 3 } } \sum _ { i , j , \kappa = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { 2 } k ( x _ { i } , y _ { \kappa } ) } \\ & { - \frac { 3 } { N ^ { 3 } } \sum _ { i , j , \kappa = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { 2 } k ( x _ { \kappa } , y _ { i } ) + \frac { 6 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) k ( x _ { i } , y _ { \kappa } ) k ( x _ { l } , y _ { j } ) } \\ & { + \frac { 3 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { 2 } k ( x _ { \kappa } , y _ { l } ) + \frac { 2 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , y _ { j } ) k ( x _ { l } , y _ { j } ) } \\ & { + \frac { 2 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) k ( x _ { i } , y _ { \kappa } ) k ( x _ { i } , y _ { l } ) - \frac { 6 } { N ^ { 5 } } \sum _ { i , j , \kappa , l , m = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) k ( x _ { i } , y _ { \kappa } ) k ( x _ { l } , y _ { m } ) } \\ & { - \frac { 6 } { N ^ { 5 } } \sum _ { i , j , \kappa , l , m = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , y _ { j } ) k ( x _ { l } , y _ { m } ) + \frac { 4 } { N ^ { 6 } } \sum _ { i , j , \kappa , l , m , n = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , y _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , y _ { l } ) k ( x _ { m } , y _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ S _ { x } , S _ { y } \right] } & { { } = - \hbar ^ { 2 } \left( \mathbf { e } _ { y } \otimes \mathbf { e } _ { z } - \mathbf { e } _ { z } \otimes \mathbf { e } _ { y } \right) \left( \mathbf { e } _ { z } \otimes \mathbf { e } _ { x } - \mathbf { e } _ { x } \otimes \mathbf { e } _ { z } \right) + \hbar ^ { 2 } \left( \mathbf { e } _ { z } \otimes \mathbf { e } _ { x } - \mathbf { e } _ { x } \otimes \mathbf { e } _ { z } \right) \left( \mathbf { e } _ { y } \otimes \mathbf { e } _ { z } - \mathbf { e } _ { z } \otimes \mathbf { e } _ { y } \right) } \end{array}
E ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { P ^ { * } ( - \omega ) g ^ { * } ( - \omega ) } & { : \quad \omega > 0 } \\ { - 2 \operatorname { I m } H ( 0 ) \operatorname { I m } g ( 0 ) } & { : \quad \omega = 0 } \\ { P ( \omega ) g ( \omega ) } & { : \quad \omega < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \rho _ { m } = \alpha _ { l } \rho _ { w } + \left( 1 - \alpha _ { l } \right) \rho _ { a } } \\ & { \left| p ( \mathbf { x } _ { r } ) - p ( \mathbf { x } _ { d } ) \right| = \rho _ { m } \Big | _ { a = a ( \mathbf { x } _ { d } ) } g \delta z + \mathcal { O } \left( \left| \left| \Delta \mathbf { x } \right| \right| _ { 2 } ^ { n } \right) , \quad n \geq 1 , \quad \Delta \mathbf { x } = \mathbf { x } _ { r } - \mathbf { x } _ { d } } \\ & { \delta z = z _ { d } - z _ { r } } \end{array}
\partial _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } H _ { \left( \mathbf { b , m } \right) } = \left\{ \begin{array} { c c c c c c } { 0 , } & { \mathrm { i f } } & { \mathbf { a \neq b } } & & & \\ { 0 , } & { \mathrm { i f } } & { \mathbf { a = b } } & { \mathrm { a n d } } & { \mathbf { k < m } } & \\ { 0 , } & { \mathrm { i f } } & { \mathbf { a = b } } & { \mathrm { a n d } } & { \mathbf { k , m } } & { \mathrm { a r e i n c o m p a r a b l e } } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f } } & { \mathbf { a = b } } & { \mathrm { a n d } } & { \mathbf { m = k } } & \end{array} \right.
T _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { A } & { C } \\ { 0 } & { F } \end{array} \right) , \ \ T _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { T _ { 1 } ^ { A A } } & { T _ { 1 } ^ { A F } } \\ { T _ { 1 } ^ { F A } } & { T _ { 1 } ^ { F F } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { c _ { s } } & { = } & { \frac { \eta } { \kappa + i \big ( \Delta + G ( \varphi _ { \uparrow } ^ { \dag } \varphi _ { \uparrow } + \varphi _ { \downarrow } ^ { \dag } \varphi _ { \downarrow } ) \big ) } , } \\ { \varphi _ { \uparrow , \downarrow } } & { = } & { \frac { ( \pm \alpha \mp \frac { \delta } { 2 } ) \varphi _ { \downarrow , \uparrow } } { \frac { \Omega \pm i \Omega _ { z } } { 2 } + G c _ { s } ^ { \dag } c _ { s } + \frac { 1 } { 4 } U N ( \varepsilon + 1 ) - \gamma } , } \\ { \varphi _ { \uparrow , \downarrow } ^ { \dag } } & { = } & { \frac { ( \pm \alpha \mp \frac { \delta } { 2 } ) \varphi _ { \downarrow , \uparrow } ^ { \dag } } { \frac { \Omega \mp i \Omega _ { z } } { 2 } + G c _ { s } ^ { \dag } c _ { s } + \frac { 1 } { 4 } U N ( \varepsilon + 1 ) - \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | } & { = | \{ i \in V ^ { \circ } : \sigma _ { i } \sigma _ { i } ( p ) = - 1 \} | } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( | \{ i \in V ^ { \circ } : \sigma _ { i } \sigma _ { i } ( p ) = - 1 \} | + | V ^ { \circ } | - | \{ i \in V ^ { \circ } : \sigma _ { i } \sigma _ { i } ( p ) = 1 \} | ) } \\ & { = \frac { | V ^ { \circ } | } { 2 } - \frac { | V ^ { \circ } | R ( p ) } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { a } ] | _ { m , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 1 } | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \\ { | d _ { i } T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { a } ] ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s , \eta _ { 0 } } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } + \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 1 } | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \hat { k } _ { L + 1 } \ne b _ { k ^ { * } } ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { L + 1 } P ( b _ { k ^ { * } } \mathrm { ~ e l i m . ~ i n ~ } l | b _ { k ^ { * } } \mathrm { ~ n o t ~ e l i m . ~ i n ~ } < l ) } \\ & { \le \sum _ { l = 1 } ^ { L + 1 } P ( b _ { k ^ { * } } \mathrm { ~ e l i m . ~ i n ~ } l ) . } \end{array}
\ln \left[ w _ { \left( a , b \right) \left( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } \right) } ^ { c } / w _ { \left( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } \right) \left( a , b \right) } ^ { c } \right] = F \left( a , b , c \right) - F \left( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } , c \right) .
\begin{array} { r l } { v _ { \| } \partial _ { \| } F = } & { { } \frac { v _ { 0 } \partial _ { \| } \ln B } { B / B _ { 0 } } f _ { 0 } \Biggl [ \left( 2 \hat { P } ^ { 0 0 } - 2 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \hat { P } ^ { 0 1 } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \hat { P } ^ { 2 0 } \right) \hat { p } _ { 0 , \psi } } \end{array}
\int _ { \Sigma \cap \{ r \leq r _ { H } \} } ( r - 1 ) ^ { - 1 + \eta } | \check { u } | ^ { 2 } \, d \sigma d r \leq \int _ { \Sigma \cap \mathcal { H } ^ { + } } ( r - 1 ) ^ { - \eta } | \check { u } | ^ { 2 } \, d \sigma + C \int _ { \Sigma \cap \{ r \leq r _ { H } \} } ( r - 1 ) ^ { 1 + \eta } | \widetilde { X } \check { u } | ^ { 2 } \, d \sigma d r
\begin{array} { r l r } { \rho g ( { \bf r } ) } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { N } \int _ { \Lambda } d { \bf r } ^ { \prime } \: \rho ^ { ( 2 ) } ( { \bf r } ^ { \prime } , { \bf r } ^ { \prime } - { \bf r } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ p ~ o ~ i ~ n ~ t ~ } v _ { \sim } \mapsto \mathrm { ~ p ~ o ~ i ~ n ~ t ~ } ( T v ) _ { \sim } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ } v _ { \sim } \mapsto \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ } ( T ^ { - T } v ) _ { \sim } . } \end{array}
s = \frac { 1 } { W } \sum _ { i } ^ { W } \left( \frac { \log [ \overline { { C } } _ { i } ^ { e x p } ] - \log [ \overline { { C } } _ { i } ^ { t h e o } ] } { \log [ \overline { { C } } _ { i } ^ { e x p } ] } \right) ^ { 2 } ,
S = { \frac { 1 } { 1 6 \pi \alpha ^ { \prime 4 } } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { | \hat { G } | } \, e ^ { - \phi } \left[ \hat { R } _ { 1 0 } + ( \hat { \nabla } \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 2 } } \hat { H } ^ { 2 } \right] \, ,
\ddot { \psi } _ { n } = \frac { 4 - h ^ { 2 } } { 4 h ^ { 2 } } \cos \psi _ { n } ( \sin \psi _ { n + 1 } + \sin \psi _ { n - 1 } ) - \frac { 4 + h ^ { 2 } } { 4 h ^ { 2 } } \sin \psi _ { n } ( \cos \psi _ { n + 1 } + \cos \psi _ { n - 1 } )
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \} } & { = } & { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } \} = \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \} } \\ & { = } & { \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \} = \{ \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \} = \{ \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \} } \\ & { \equiv } & { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \} \{ \hat { a } _ { j } \} } \\ & { = } & { \left( \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } - f _ { i } \right) \hat { a } _ { j } , } \end{array}
\sigma _ { c o m p } ^ { ( \ell ) } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { M } \frac { \int d r ( \partial _ { r } \phi _ { 0 } ^ { ( a ) } ) ^ { 2 } \int d r \partial _ { r } \rho _ { 0 } ^ { ( a ) } r ^ { 2 \ell + 1 } } { \left( \int d r \partial _ { r } \rho _ { 0 } ^ { ( a ) } r ^ { \ell + 2 } \right) ^ { 2 } }
S = { \frac { 1 } { 4 } } \int T r ( B + F ) \wedge ( B + F ) = { \frac { 1 } { 4 } } \int d ^ { 4 } x \; \varepsilon ^ { \mu \nu \sigma \rho } ( F _ { \mu \nu } ^ { a } + B _ { \mu \nu } ^ { a } ) ( F _ { \sigma \rho } ^ { a } + B _ { \sigma \rho } ^ { a } ) .
\begin{array} { r l } { H } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \lambda ( x _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } ) + 2 \Delta ( x _ { 1 } x _ { 2 } - p _ { 1 } p _ { 2 } ) ) } \\ & { = \frac { \lambda + \Delta } { 4 } ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { \lambda - \Delta } { 4 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { \lambda - \Delta } { 4 } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { \lambda + \Delta } { 4 } ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal H } ^ { + } ( \overline { { s } } ) } & { \ge } & { { \cal H } ^ { * } + \operatorname* { m i n } _ { s _ { 1 } , \ldots , s _ { N - 1 } } { \sum _ { i } } ^ { \prime } ( - h _ { i } - J _ { i n } ) s _ { i } - h _ { n } \; , } \\ { { \cal H } ^ { - } ( \overline { { s } } ) } & { \ge } & { { \cal H } ^ { * } + \operatorname* { m i n } _ { s _ { 1 } , \ldots , s _ { N - 1 } } - { \sum _ { i } } ^ { \prime } ( - h _ { i } + J _ { i n } ) s _ { i } + h _ { n } \; . } \end{array}
\small \begin{array} { l l } { R i c ( V , W ) } & { = R i c ^ { ( r a n g e F _ { \ast } ) ^ { \bot } } ( V , W ) - \sum _ { j = r + 1 } ^ { m } \Big \{ g _ { 2 } ( \mathcal { S } _ { \nabla _ { V } ^ { F \bot } W } F _ { \ast } X _ { j } , F _ { \ast } X _ { j } ) } \\ & { + g _ { 2 } ( \mathcal { S } _ { V } F _ { \ast } X _ { j } , \mathcal { S } _ { W } F _ { \ast } X _ { j } ) - \nabla _ { V } ^ { N } ( g _ { 2 } ( \mathcal { S } _ { W } F _ { \ast } X _ { j } , F _ { \ast } X _ { j } ) ) + 2 g _ { 2 } ( \mathcal { S } _ { W } F _ { \ast } X _ { j } , \nabla _ { V } ^ { N } F _ { \ast } X _ { j } ) \Big \} , } \end{array}