harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \dot { \psi } | \phi \rangle } & { = \langle \phi | \dot { \psi } \rangle ^ { \ast } = - ( i \hbar ) ^ { - 1 } \langle \phi | \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \psi ) \psi \rangle ^ { \ast } } \\ & { = i \hbar ^ { - 1 } \langle \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \psi ) \psi | \phi \rangle = i \hbar ^ { - 1 } \langle \psi | \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \psi ) \phi \rangle . } \end{array}
\ \mathbf { a } = { \dot { \mathbf { v } } } = { \ddot { \mathbf { x } } } = { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { x } } { d t ^ { 2 } } } = { \frac { \partial ^ { 2 } \chi ( \mathbf { X } , t ) } { \partial t ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { C Q } } & { = \mathrm { T r } _ { C ^ { \prime } } [ \mathcal { E } _ { \mathrm { g u e s s } } \left( \Pi \rho _ { C ^ { \prime } C Q } \Pi \right) ] } \\ & { = \sum _ { ( x ^ { \prime } , x ) \in \Gamma } p _ { x ^ { \prime } , x } | x \rangle _ { C } \langle x | \otimes \rho _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } , } \\ { \tilde { \tau } _ { C Q } } & { = \mathrm { T r } _ { C ^ { \prime } } [ \mathcal { E } _ { \mathrm { g u e s s } } \left( \Pi \tau _ { C ^ { \prime } C Q } \Pi \right) ] } \\ & { = \sum _ { ( x ^ { \prime } , x ) \in \Gamma } q _ { x ^ { \prime } , x } | x \rangle _ { C } \langle x | \otimes \tau _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } . } \end{array}
P ( \bar { L } \vert \tau _ { o } ) = \int \! d \Gamma e ^ { - \Gamma ( \tau _ { o } + \bar { L } ) } p ( \Gamma \vert \tau _ { o } ) = \frac { \int \! d \Gamma e ^ { - \Gamma ( 2 \tau _ { o } + \bar { L } ) } p ( \Gamma ) } { \int \! d \Gamma e ^ { - \Gamma \tau _ { o } } p ( \Gamma ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { R 1 } } & { \leq \frac { \lambda } { 2 } \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \mathbf { R 1 . a } - \frac { \lambda } { 2 m ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { t } \Vert \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \mathbb { E } [ \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } ] \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( \frac { \lambda } { 2 } + 3 \lambda \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + 1 5 3 6 \lambda \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K \right) \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { 3 2 \lambda \eta _ { l } L ^ { 2 } K } { \gamma m } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { 4 \lambda ^ { 3 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 3 } } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) + \lambda \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } ( 3 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } \\ & { \quad + \frac { 4 \lambda ^ { 3 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } + 3 2 \lambda \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K ( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { \varphi _ { 0 , t } ( x ) = x - \int _ { 0 } ^ { t } a ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \, \mathrm { d } r } & { - \int _ { 0 } ^ { t } A ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \circ \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \alpha ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } { \xi _ { 0 , t } ( x , \xi _ { 0 } ) = \xi _ { 0 } - \int _ { 0 } ^ { t } \xi _ { 0 , r } ( x , \xi _ { 0 } ) b ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \, \mathrm { d } r } & { - \int _ { 0 } ^ { t } \xi _ { 0 , r } ( x , \xi _ { 0 } ) B ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \circ \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \xi _ { 0 , r } ( x , \xi _ { 0 } ) \beta ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } { \zeta _ { 0 , t } ( x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) = \zeta _ { 0 } - \int _ { 0 } ^ { t } \xi _ { 0 , r } ( x , \xi _ { 0 } ) c ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \, \mathrm { d } r } & { - \int _ { 0 } ^ { t } \xi _ { 0 , r } ( x , \xi _ { 0 } ) C ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \circ \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \xi _ { 0 , r } ( x , \xi _ { 0 } ) \sigma ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } b _ { i } - ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } b _ { i } \| _ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| ( ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } - ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } ) b _ { i } \| _ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } - ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } \| \cdot \| b _ { i } \| _ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } - ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } \| \cdot 2 \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( A ) } \\ { \leq } & { ~ 1 6 \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 2 } ( A ) \epsilon _ { 0 } \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( A ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle } & { \stackrel { = } \textstyle \sum _ { s _ { 1 } , \dotsc , s _ { L } , s _ { i } ^ { \prime } } \langle 0 | \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } \dag } \dotsb \hat { A } _ { i } ^ { s _ { i } ^ { \prime } \dag } \dotsb \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } \dag } | 0 \rangle \, \langle 0 | \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } \dotsb \hat { A } _ { i } ^ { s _ { i } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } | 0 \rangle \, \langle s _ { i } ^ { \prime } | \hat { h } | s _ { i } \rangle } \\ & { \stackrel { = } \textstyle \sum _ { s _ { i } , \dotsc , s _ { L } , s _ { i } ^ { \prime } } \langle 0 | \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } \dag } \dotsb \hat { A } _ { i } ^ { s _ { i } ^ { \prime } \dag } \hat { A } _ { i } ^ { s _ { i } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } | 0 \rangle \, \langle s _ { i } ^ { \prime } | \hat { h } | s _ { i } \rangle . } \end{array}
\mathbf { M } _ { i j } = \big ( \varphi _ { i } , \varphi _ { j } \big ) _ { \Omega } , \quad \mathbf { F } ( \mathbf { u } ) _ { i } = F _ { h } ( U _ { h } ) ( \varphi _ { i } ) , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathbf { G } ( \mathbf { u } ) _ { i } = G _ { h } ( U _ { h } ) ( \varphi _ { i } ) .
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { T } _ { H } ( z _ { 0 } ) \rangle } & { { } = \frac { H - z _ { 0 } } { 6 D ( 1 + q H ) ( 1 + q z _ { 0 } ) } \biggl [ 3 ( H + z _ { 0 } ) + q ( H + z _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 q H z _ { 0 } + q ^ { 2 } H z _ { 0 } ( H + z _ { 0 } ) \biggr ] , } \\ { \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \rangle } & { { } = \frac { 2 H ^ { 2 } + 2 H z _ { 0 } + 2 H ^ { 2 } q z _ { 0 } - z _ { 0 } ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } q H } { 6 D ( 1 + q H ) } , } \end{array}
\Delta \phi _ { + } = 2 \sqrt { \frac { 2 - k ^ { 2 } } { 1 - k ^ { 2 } } } [ K ( k ) - \Pi ( - ( 1 - k ^ { 2 } ) , \; k ) ] \; \in \; \; ] 0 , \; \pi ( \sqrt { 2 } - 1 ) [
H _ { \mu \nu \lambda } = \partial _ { \mu } B _ { \nu \lambda } - { \frac { 1 } { 2 } } ( A _ { \mu } \hat { F } _ { \nu \lambda } + \hat { A } _ { \mu } F _ { \nu \lambda } ) + ( \mathrm { c y c l i c \ p e r m u t a t i o n s } ) .
\begin{array} { r } { \sum _ { 0 \leq j \leq N - 1 } 1 _ { A _ { 1 } } ( m ) 1 _ { B } ( \lceil ( m - \beta ) / \alpha \rceil + j ) e ( \gamma ( \lceil ( m - \beta ) / \alpha \rceil + j ) ) } \\ { + \sum _ { 0 \leq j \leq N } 1 _ { A _ { 2 } } ( m ) 1 _ { B } ( \lceil ( m - \beta ) / \alpha \rceil + j ) e ( \gamma ( \lceil ( m - \beta ) / \alpha \rceil + j ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \eta } _ { 1 , 2 } = \eta _ { 1 , 2 } \frac { 1 } { R ^ { 2 } } , \quad \hat { \tau } = \frac { \alpha \tau } { R ^ { 2 } } , \quad \hat { \tau } _ { T } = \frac { \alpha \tau _ { T } } { R ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ^ { B S } \nabla _ { ^ { H } \! X } ^ { V } \! p } & { = } & { 0 , } \\ { ^ { B S } \nabla _ { ^ { V } \! p } ^ { H } \! X } & { = } & { 0 , } \\ { ^ { B S } \nabla _ { ^ { V } \! \omega } ^ { V } \! p } & { = } & { ^ { V } \! \omega + \frac { \delta ^ { 2 } } { \lambda } g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) ^ { V } \! ( p J ) , } \\ { ^ { B S } \nabla _ { ^ { V } \! p } ^ { V } \! \omega } & { = } & { \frac { \delta ^ { 2 } } { \lambda } g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) ^ { V } \! ( p J ) , } \\ { ^ { B S } \nabla _ { ^ { V } \! p } ^ { V } \! p } & { = } & { ^ { V } \! p , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { j } ^ { + } } & { { } = \frac { j } { 2 } \thinspace j \left( 1 - \frac { j } { N } \right) \left( 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \frac { j } { N } - \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) \right) , } \\ { W _ { j } ^ { - } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \thinspace j \left( 1 - \frac { j } { N } \right) \left( 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \left( 1 - \frac { j } { N } \right) + \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) \right) , } \end{array}
\langle x | 0 \rangle \langle 0 | y \rangle = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \sum _ { i } \langle x | \underbrace { \left( \frac { \lambda _ { i } } { \lambda _ { 0 } } \right) ^ { k } } _ { \to \delta _ { i 0 } } | i \rangle \langle i | y \rangle \overset { \footnotesize ( ) } { = } \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \langle x | \left( \frac { M } { \lambda _ { 0 } } \right) ^ { k } \sum _ { i } | i \rangle \langle i | y \rangle \overset { \footnotesize ( ) } { = } \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \langle x | \left( \frac { M } { \lambda _ { 0 } } \right) ^ { k } | y \rangle ,
h _ { i , j } ( x ) : = \big ( { \mathcal { A } } ( x , \nabla \omega ( \vec { a } ^ { i } ) ) - { \mathcal { A } } ( x , \nabla \omega ( \vec { \alpha } ) ) \big ) \cdot \nabla w _ { j } + \big ( \Phi ( \omega ( \vec { a } ^ { i } ) ) - \Phi ( \omega ( \vec { \alpha } ) ) \big ) \cdot \nabla w _ { j } + \big ( b ( x , \omega ( \vec { a } ^ { i } ) ) - b ( x , \omega ( \vec { \alpha } ) ) \big ) w _ { j } .
m _ { s } \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) = \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } \left( y ^ { \mathcal { N } } , \frac { h _ { K } } { | \boldsymbol { b } | } L _ { S S } q ^ { \mathcal { N } } \right) _ { K }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \frac { \partial f _ { i , e } } { \partial t } + \nabla _ { \mathbf { x } } f _ { i , e } \cdot \mathbf { v } + \nabla _ { \mathbf { v } } f _ { i , e } \cdot \frac { \mathbf { F } } { m } = \mathscr { C } \left( f _ { i , e } \right) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { S _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ & { } & { \times \left[ { c _ { + } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) - { c _ { - } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) + \frac { \pi { R _ { 0 } } ^ { 2 } } { L } \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \beta _ { + } ( x ^ { \prime } ) - \beta _ { - } ( x ^ { \prime } ) } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } \right] , } \\ & { } & { S _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ { c _ { + } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) - { c _ { - } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) \right] , } \\ & { } & { S _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) = \sum _ { i = \pm } \frac { q _ { i } } { 2 } \left[ { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) ^ { 2 } - 2 { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) \right] , } \\ & { } & { S _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) = \sum _ { i = \pm } \frac { q _ { i } } { 2 } \left[ { c _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) \right. } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \left. - { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) - { c _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) \right] , } \\ & { } & { S _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) = \sum _ { i = \pm } \frac { q _ { i } } { 2 } \left[ { c _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) ^ { 2 } - 2 { c _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { x } _ { i } \| ^ { 2 } + \| \bar { y } _ { i } \| ^ { 2 } + \| \bar { x } _ { i + 1 } \| ^ { 2 } } & { + \| \bar { y } _ { i + 1 } \| ^ { 2 } - g _ { i , i + 1 } ( x , y ) = 2 ( x _ { i } ^ { T } x _ { i + 1 } + y _ { i } ^ { T } y _ { i + 1 } ) \, } \\ & { = 2 ( \bar { u } _ { i } + s _ { i } \bar { v } _ { i } ) ^ { T } ( \bar { u } _ { i + 1 } + s _ { i + 1 } \bar { v } _ { i + 1 } ) + 2 ( \bar { u } _ { i } - s _ { i } \bar { v } _ { i } ) ^ { T } ( \bar { u } _ { i + 1 } - s _ { i + 1 } \bar { v } _ { i + 1 } ) } \\ & { = 4 ( \bar { u } _ { i } ^ { T } \bar { u } _ { i + 1 } ) + 4 ( \bar { v } _ { i } ^ { T } \bar { v } _ { i + 1 } ) s _ { i } s _ { i + 1 } } \\ & { = 4 ( \bar { u } _ { i } ^ { T } \bar { u } _ { i + 1 } ) + w _ { i , i + 1 } s _ { i } s _ { i + 1 } } \end{array}
B ( x ) = \frac { ( 2 \rho ^ { 2 } + 4 \rho - 2 ) - 8 \rho x + 4 \rho ^ { 2 } e ^ { - 2 x } } { [ e ^ { 2 x } - \rho ^ { 2 } e ^ { - 2 x } + ( 1 - \rho ^ { 2 } ) + 4 \rho x ] } .
\| \hat { P } _ { - } \psi _ { \kappa \lambda } \| _ { t \rightarrow \pm \infty } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \mp \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d p ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d p ^ { \prime \prime } } { p ^ { \prime \prime } } \psi _ { \kappa \lambda } ( p ^ { \prime } ) \psi _ { \kappa \lambda } ( p ^ { \prime \prime } ) \frac { p ^ { \prime \prime } - p ^ { \prime } } { \log p ^ { \prime \prime } - \log p ^ { \prime } } \delta ( p ^ { \prime \prime } - p ^ { \prime } ) .
\alpha _ { f } ( z _ { n } , x _ { n } , z ^ { \prime } , x ^ { \prime } ) = \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { \mu ( x ^ { \prime } ) \bar { \mu } _ { 0 } ( z _ { n } ) \nu _ { \lambda } ( x _ { n } | z _ { n } ) } { \mu ( x _ { n } ) \bar { \mu } _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) \nu _ { \lambda } ( x ^ { \prime } | z ^ { \prime } ) } \right\} = \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { \mu _ { \lambda } ( z ^ { \prime } ) \bar { \mu } _ { 0 } ( z _ { n } ) } { \mu _ { \lambda } ( z _ { n } ) \bar { \mu } _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) } \right\} .
\begin{array} { r l r } { \int _ { D } \chi ^ { 2 } | \nabla ( d w ) | ^ { 2 } } & { \leq } & { C _ { 1 } \int _ { D } \chi ^ { 2 } | d w | ^ { 4 } - 4 \int _ { D } K \chi ^ { 2 } | d w | ^ { 2 } - 2 \int _ { D } \chi ^ { 2 } \Delta e } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } \int _ { D _ { 2 } } | d w | ^ { 4 } + 4 \| K \| _ { L ^ { \infty } ( \dot { \Sigma } ) } \int _ { D _ { 2 } } | d w | ^ { 2 } - 2 \int _ { D } \chi ^ { 2 } \Delta e } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \nabla _ { 2 D } v _ { h } \cdot \nabla _ { 2 D } \hat { \textbf { u } } _ { k h } ^ { n + 1 } + \left( \beta _ { k } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 0 } } { \nu _ { m } \Delta t } \right) \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \hat { \textbf { u } } _ { k h } ^ { n + 1 } v _ { h } = \frac { 1 } { \nu _ { m } } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \hat { \textbf { Y } } _ { k h } v _ { h } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ( r ) = } & { { } A ( Z ) \frac { \alpha } { \pi } \phi ( r ) \int _ { 1 } ^ { \infty } d t \frac { e ^ { - 2 t r m } } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \left[ \left( 1 - \frac { 1 } { 2 t ^ { 2 } } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tau _ { z } \tau _ { x } \frac { d ^ { 2 } \delta X _ { u } } { d t ^ { 2 } } + ( \tau _ { z } + \tau _ { x } ) \frac { d \delta X _ { u } } { d t } - \tau _ { z } \frac { d \delta X _ { u - 1 } } { d t } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ( \delta X _ { u - 1 } + \delta X _ { u + 1 } ) = 0 , ~ ~ ~ u = 1 , 2 , \dots N . } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { 2 } ( t , t ^ { \prime } ) = \langle \dot { A } _ { m } ( t ) \dot { A } _ { m } ( t ^ { \prime } ) \rangle = \frac { D } { \tau _ { c } } e ^ { - | t - t ^ { \prime } | / \tau _ { c } } + 2 D \delta ( t - t ^ { \prime } ) } \end{array}
4 \delta ^ { a b } ( C _ { 1 } C _ { 3 } + { \frac { 1 } { 4 } } C _ { 1 } C _ { 2 } ) { \frac { g ^ { 4 } } { p ^ { 2 } } } \Lambda ^ { 3 - \omega } \int { \frac { d ^ { \omega } k } { ( 2 \pi ) ^ { \omega } } } \int { \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { k \cdot p } { k ^ { 2 } q ^ { 2 } ( k + p + q ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { \prime } ( \varphi , \theta ) } & { = \frac { \sin \big ( \pi \sqrt { S } \Omega \Delta / \lambda \big ) \sin \big ( \pi \sqrt { S } \Psi \Delta / \lambda \big ) } { \sin \left( \pi \Omega \Delta / \lambda \right) \sin \left( \pi \Psi \Delta / \lambda \right) } , } \\ { \zeta ^ { \prime \prime } ( \varphi , \theta ) } & { = \frac { \sin \big ( \pi \sqrt { N } \Omega d / \lambda \big ) \sin \big ( \pi \sqrt { N } \Psi d / \lambda \big ) } { \sin \left( \pi \Omega d / \lambda \right) \sin \left( \pi \Psi d / \lambda \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \rho _ { t } } & { = \frac { \rho _ { t } } { v _ { t } } \partial _ { u } \partial _ { \theta } \rho _ { t } d t - \rho _ { t } ^ { 2 } \left( ( - 3 \rho _ { t } + 2 h ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) } \\ & { = \rho _ { t } ^ { 2 } \partial _ { \theta } ^ { 2 } \rho _ { t } d t + \rho _ { t } ^ { 2 } \left( ( 3 \rho _ { t } - 2 h ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \mathbb { E } [ \xi _ { b , i } f _ { x } ( W _ { b } ^ { ( i ) } + \Delta _ { i ^ { * } } ) ] | } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \Big [ ( | \xi _ { i } | - 1 ) I ( | \xi _ { i } | > 1 ) \Big ] \mathbb { E } \left[ f _ { x } ( W _ { b } ^ { ( i ) } + \Delta _ { i ^ { * } } ) \left( \underbrace { I ( W _ { b } ^ { ( i ) } \geq x / 4 - 1 ) } _ { \leq e ^ { W _ { b } ^ { ( i ) } + 1 } \cdot e ^ { - x / 4 } } + I ( W _ { b } ^ { ( i ) } < x / 4 - 1 ) \right) \right] } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } [ \xi _ { i } ^ { 2 } I ( | \xi _ { i } | > 1 ) ] \left( C e ^ { - x / 4 } + 1 . 7 e ^ { - x } \right) \leq C e ^ { - x / 4 } \beta _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n , N } ( \lambda \cdot f ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { p \in \mathscr { P } _ { N } ( \lambda \cdot f ) } d _ { w } ( \lambda \cdot f , p ) = \operatorname* { m i n } _ { \frac { 1 } { \lambda } \cdot p \in \mathscr { P } _ { N } ( f ) } \left\{ w ( \lambda \cdot f ) - w \left( \lambda \cdot \frac { 1 } { \lambda } \cdot p \right) \right\} } \\ & { = \lambda \operatorname* { m i n } _ { q \in \mathscr { P } _ { N } ( f ) } d _ { w } ( f , q ) = \lambda H _ { n , N } ( f ) . } \end{array}
T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } = \frac { \Delta H _ { \mathrm { v a p } } ( T _ { \mathrm { i } } ) { \cal D } \left( T _ { \mathrm { i } } \right) c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \infty } ) } { \lambda _ { \mathrm { a i r } } \left( { \overline { T } } \right) } \left( \frac { c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \mathrm { i } } ) } { c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \infty } ) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \gamma } \mathbb { E } \! \left[ \left\| \mathbf { x } ^ { t + 1 } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] } & { + \frac { 1 + \omega } { \tau } \mathbb { E } \! \left[ \left\| \mathbf { u } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \leq \frac { 1 } { \gamma } \left\| \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \gamma \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } + \left( 2 \tau - \frac { p } { \gamma } ( 1 - \nu ) \right) \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } } \\ & { \quad - 2 \langle \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \rangle + \frac { 1 } { \tau } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \tau \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } + 2 \langle \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } , \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } \rangle + \frac { \omega } { \tau } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { \gamma } \left\| \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 + \omega } { \tau } - \gamma \right) \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \left( \tau - \frac { p } { \gamma } ( 1 - \nu ) \right) \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \, \mathrm { d } y _ { i } } { \, \mathrm { d } \tau } } & { { } = - a _ { i } ^ { - 1 } a _ { k } b _ { k } \Phi _ { j } ( \boldsymbol { y } ) y _ { k } - a _ { i } ^ { - 1 } a _ { j } b _ { j } y _ { j } \Phi _ { k } ( \boldsymbol { y } ) } \end{array}
{ \hat { \Pi } } = D { \hat { X } } ^ { \hat { \mu } } D { \hat { X } } ^ { \hat { \nu } } { \hat { g } } _ { { \hat { \mu } } { \hat { \nu } } } = \partial { \hat { X } } ^ { \hat { \mu } } \partial { \hat { X } } ^ { \hat { \nu } } \left( { \hat { g } } _ { { \hat { \mu } } { \hat { \nu } } } + | { \hat { k } } | ^ { - 2 } { \hat { k } } _ { \hat { \mu } } { \hat { k } } _ { \hat { \nu } } \right) \, ,
M _ { i j } = \Lambda ^ { { \frac { 3 N _ { c } - N _ { f } } { N _ { c } } } } ( d e t m ) ^ { 1 / N _ { c } } \left( { \frac { 1 } { m } } \right) _ { i j } = | M _ { i j } | e ^ { i \alpha } ~ ~ ~
\begin{array} { r l } { v _ { n } ^ { x c , \sigma } } & { { } = \int \Psi _ { n \sigma } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) v ^ { x c , \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { n \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) d \mathbf { r } _ { 1 } } \\ { \Sigma _ { n } ^ { \sigma } ( \omega ) } & { { } = \int \Psi _ { n \sigma } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Sigma ^ { \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) \Psi _ { n \sigma } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) d \mathbf { r } _ { 1 } d \mathbf { r } _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { - } ( M ) } & { : = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \mathrm { I d } \le ( a _ { i j } ) _ { i , j } \le \Lambda \mathrm { I d } } \bigg \{ \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } a _ { i j } M _ { i j } \bigg \} = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \mathrm { I d } \le A \le \Lambda \mathrm { I d } } \left\{ \mathrm { t r } \, ( A M ) \right\} } \\ { \mathcal { M } ^ { + } ( M ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \lambda \mathrm { I d } \le ( a _ { i j } ) _ { i , j } \le \Lambda \mathrm { I d } } \bigg \{ \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } a _ { i j } M _ { i j } \bigg \} = \operatorname* { s u p } _ { \lambda \mathrm { I d } \le A \le \Lambda \mathrm { I d } } \left\{ \mathrm { t r } \, ( A M ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { P } } & { = \mu _ { m a x } f ( N ) f ( I ) P , \quad f ( N ) = \frac { N } { N + K _ { N } } , } \\ { f ( I ) } & { = ( 1 - \exp ( \alpha I / \mu _ { m a x } ) ) \exp ( - \beta I / \mu _ { m a x } ) } \\ { I ( z ) } & { = I _ { 0 } \exp ( - k _ { W } z ) , \quad G _ { Z } = \frac { g _ { m a x } Z P ^ { 2 } } { P ^ { 2 } + K _ { P } ^ { 2 } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ^ { [ 2 ] } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { G M \frac { 3 { \cal T } ^ { < a b > } } { 2 r ^ { 5 } } x ^ { a } x ^ { b } = G M \frac { 3 } { 2 r ^ { 5 } } \Big ( { \cal T } _ { 1 1 } x ^ { 2 } + 2 { \cal T } _ { 1 2 } x y + 2 { \cal T } _ { 1 3 } x z + 2 { \cal T } _ { 2 3 } y z + { \cal T } _ { 2 2 } y ^ { 2 } + { \cal T } _ { 3 3 } z ^ { 2 } \Big ) . ~ ~ ~ } \end{array}