harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int \left| \cos { a x } \right| \, d x = { \frac { 2 } { a } } \left\lfloor { \frac { a x } { \pi } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right\rfloor + { \frac { 1 } { a } } \sin { \left( a x - \left\lfloor { \frac { a x } { \pi } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right\rfloor \pi \right) } + C
T a = \frac { ( 1 + \eta ) ^ { 4 } } { 6 4 \eta ^ { 2 } } \frac { ( R _ { o } - R _ { i } ) ^ { 2 } ( R _ { i } + R _ { o } ) ^ { 2 } ( \Omega _ { i } - \Omega _ { o } ) ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } = \frac { ( 1 + \eta ) ^ { 6 } } { 1 6 \eta ^ { 2 } ( 1 - \eta ) ^ { 2 } } \frac { \Omega ^ { 2 } R a } { P r } .
\begin{array} { r } { P ( \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } ) + P ( \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } ) \leq P ( \Omega ) + 2 \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap \Omega ) + 2 \sum _ { x \in X } \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap B _ { \varepsilon } ( x ) ) } \\ { \leq P ( \Omega ) + 4 \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap \Omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { E } ( \mathbf { r } ) } & { { } = k _ { 0 } ^ { x } x ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { y } y ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { z } z ^ { 2 } + C _ { E } , } \\ { \widetilde { U } _ { E } ( \mathbf { r } ) } & { { } = k _ { 1 } ^ { x } x ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { y } y ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { z } z ^ { 2 } + \widetilde { C } _ { E } , } \\ { U _ { D , i } ( \mathbf { r } ) } & { { } = K _ { i } ^ { x } x ^ { 2 } + K _ { i } ^ { y } y ^ { 2 } + K _ { i } ^ { z } z ^ { 2 } + C _ { D , i } , } \end{array}
p ( \tan ^ { 2 } \! \vartheta , \Delta { m } ^ { 2 } , \mathbf { \Phi } , \mathbf { C } | \mathrm { D } , \mathrm { I } ) = \frac { p ( \mathrm { D } | \tan ^ { 2 } \! \vartheta , \Delta { m } ^ { 2 } , \mathbf { \Phi } , \mathbf { C } , \mathrm { I } ) \, p ( \tan ^ { 2 } \! \vartheta , \Delta { m } ^ { 2 } | \mathrm { I } ) \, p ( \mathbf { \Phi } | \mathrm { I } ) \, p ( \mathbf { C } | \mathrm { I } ) } { p ( \mathrm { D } | \mathrm { I } ) } \, ,
\begin{array} { r l r } { \big [ \mathfrak { E } ( R _ { c r i t } ) } & { - } & { 2 \, h _ { 0 0 } ( R _ { c r i t } ) \big ] \, R _ { c r i t } ^ { 3 } - I _ { 0 0 } ( R _ { c r i t } ) + } \\ & { + } & { \operatorname* { m i n } _ { \mathfrak { n } \ne 0 , \mathfrak { n ^ { \prime } } \ne 0 } \, \frac { I _ { \mathfrak { n } 0 } ( R _ { c r i t } ) \, I _ { 0 \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( R _ { c r i t } ) } { I _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( R _ { c r i t } ) } = 0 \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| w \| \| U ( \gamma ^ { * } ( t ) + w r ) - U ( \gamma ^ { * } ( t ) ) \| } \\ { \ge } & { | w ^ { \top } [ U ( \gamma ^ { * } ( t ) + w r ) - U ( \gamma ^ { * } ( t ) ) ] | } \\ { \ge } & { | w ^ { \top } [ U ( \gamma ^ { * } ( t ) + w r , t ) - U ( \gamma ^ { * } ( t ) ) ] | } \\ { \ge } & { w ^ { \top } H ( \gamma ^ { * } ( t ) + w \bar { r } ) w r > \bar { \kappa } r _ { 0 } , } \end{array}
\mathbf { a } \cdot ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) = \mathbf { a } \cdot ( \mathbf { b } \times \mathbf { a } ) = \mathbf { a } \cdot ( \mathbf { b } \times \mathbf { b } ) = \mathbf { b } \cdot ( \mathbf { a } \times \mathbf { a } ) = 0
\begin{array} { r l r l } & { \delta L _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) = E _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) \wedge \delta \mathrm { A } + \mathrm { d } \Theta _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) , } & & { \delta \overline { { \ell } } _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) = b _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) \wedge \delta \mathrm { A } + \mathrm { d } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) , } \\ & { E _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) = - \mathrm { D } \star \mathrm { F } , } & & { b _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) = \jmath ^ { * } ( \star \mathrm { F } ) , } \\ & { \Theta _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) = - \mathrm { t r } ( \delta \mathrm { A } \wedge \star \mathrm { F } ) , } & & { \overline { { \theta } } _ { \mathtt { Y M } } ( \mathrm { A } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ^ { 2 } ( \alpha , \textbf { x } ) } & { = ( a \cos ( \alpha ) - x ) ^ { 2 } + ( a \sin ( \alpha ) - y ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } = d ^ { 2 } - 2 a ( x \cos ( \alpha ) + y \sin ( \alpha ) ) } \\ & { = d ^ { 2 } - 2 a \rho \left( \cos ( \bar { \theta } \right) \cos ( \alpha ) + \sin ( \bar { \theta } ) \sin ( \alpha ) ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \Bigl ( } { \vec { A P } } , { \vec { A C } } , \mathbf { k } { \Bigr ) } } & { = { \Bigl ( } { \vec { P C } } , { \vec { P A } } , \mathbf { k } { \Bigr ) } , } \\ { { \Bigl ( } { \vec { A B } } , { \vec { A P } } , \mathbf { k } { \Bigr ) } } & { = { \Bigl ( } { \vec { P A } } , { \vec { P B } } , \mathbf { k } { \Bigr ) } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { W _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } ( \phi - \chi ) = 4 R _ { \mathrm { a p } } ^ { 2 } \Bigl [ \mathcal { W } \Bigl ( \frac { 4 R _ { \mathrm { a p } } ^ { 2 } } { W _ { 1 } W _ { 2 } } e ^ { 2 R _ { \mathrm { a p } } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { W _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { W _ { 2 } ^ { 2 } } \right) } \Bigr . \Bigr . } \\ & { \qquad \times \Bigl . \Bigl . e ^ { R _ { \mathrm { a p } } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { W _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { W _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \cos ( 2 \phi - 2 \chi ) } \Bigr ) \Bigr ] ^ { - 1 } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } = } & { ( t _ { 0 } a _ { 1 } b _ { 2 } - t _ { 0 } a _ { 2 } b _ { 1 } - t _ { 1 } a _ { 0 } b _ { 2 } + t _ { 1 } a _ { 2 } b _ { 0 } + t _ { 2 } a _ { 0 } b _ { 1 } - t _ { 2 } a _ { 1 } b _ { 0 } ) / A } \\ { p _ { 1 } = } & { ( t _ { 0 } b _ { 1 } - t _ { 1 } b _ { 0 } - t _ { 0 } b _ { 2 } + t _ { 2 } b _ { 0 } + t _ { 1 } b _ { 2 } - t _ { 2 } b _ { 1 } ) / A } \\ { p _ { 2 } = } & { - ( t _ { 0 } a _ { 1 } - t _ { 1 } a _ { 0 } - t _ { 0 } a _ { 2 } + t _ { 2 } a _ { 0 } + t _ { 1 } a _ { 2 } - t _ { 2 } a _ { 1 } ) / A } \end{array}
G _ { \pi } ( \vec { q } ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d z } { z ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } k [ m _ { Q } ^ { 2 } + \vec { k } \cdot ( \vec { k } + z \vec { q } ) ] \Psi ( z , \vec { k } ) \Psi ( z , \vec { k } + ( z \vec { q } ) \; .
\begin{array} { r l r } { L [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] } & { { } = } & { E [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] - \sum _ { \sigma } \mu ^ { \sigma } \left( \int n ^ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) d \boldsymbol { r } - N ^ { \sigma } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = } & { { } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { e ^ { i q ( x - x ^ { \prime } ) } } { ( E - \omega _ { o } \; + i \epsilon ) ^ { 2 } - f _ { q } ^ { 2 } } d q } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { e ^ { i q ( x - x ^ { \prime } ) } } { ( E - \omega _ { o } ) ^ { 2 } - f _ { q } ^ { 2 } + 2 i \: ( E - \omega _ { o } ) \epsilon } d q } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 \pi \: v w } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { e ^ { i q | x - x ^ { \prime } | } } { 2 D - 2 \cos q + 2 i \: \frac { ( E - \omega _ { o } ) } { v w } \epsilon } d q , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ^ { \epsilon } Q ^ { \epsilon } v } & { = Q ^ { 2 } v - Q G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v ) + Q \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , G _ { - } v ) - G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , Q v ) + \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , G _ { - } Q v ) } \\ & { \quad \qquad + G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v ) ) - G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , G _ { - } v ) ) - \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , G _ { - } v ) ) } \\ & { = \frac 1 2 \mu _ { 2 } ( G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , { \epsilon } \Psi ) , G _ { - } v ) - \frac 1 2 G _ { - } \mu _ { 2 } ( G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , { \epsilon } \Psi ) , v ) = \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\textstyle 2 = { \left( { \frac { 1 6 } { 1 5 } } \right) } ^ { 7 } \cdot { \left( { \frac { 8 1 } { 8 0 } } \right) } ^ { 3 } \cdot { \left( { \frac { 2 5 } { 2 4 } } \right) } ^ { 5 }
\begin{array} { r l r } { \left\langle \Delta X ^ { 2 } \right\rangle } & { = } & { 2 I _ { x } - 2 J _ { x } } \\ & { = } & { \frac { 4 } { B _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } { \int } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - z ^ { \prime } } P _ { x x } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i k _ { z } \Delta z ^ { \prime } } } \\ & { } & { \times e ^ { - ( \langle b _ { x } ^ { 2 } \rangle k _ { x } ^ { 2 } + \langle b _ { y } ^ { 2 } \rangle k _ { y } ^ { 2 } ) \Delta z ^ { 2 } / ( 2 B _ { 0 } ^ { 2 } ) } } \\ & { } & { \times \left[ 1 - \cos \left( k _ { x } X _ { 0 } \right) e ^ { - ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) z ^ { 2 } / 2 } \right] d \Delta z ^ { \prime } d z ^ { \prime } d \mathbf { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { D } ( \mathcal { N } _ { a } [ \Pi _ { l } ] ) = \sum _ { 0 < | k | < k _ { M } } \mathbf { D } _ { u , k } \left( \mathcal { F } _ { 1 } \Big ( \Upsilon _ { 2 } \mathcal { N } _ { a } [ \Pi _ { l } ] \Big ) \right) ( t , k , v ) e ^ { i z k } } \\ & { \mathbf { D } ( \mathcal { N } _ { a } [ \Pi _ { n } ] ) = \sum _ { 0 < | k | < k _ { M } } \mathbf { D } _ { u , k } \left( \mathcal { F } _ { 1 } \Big ( \Upsilon _ { 2 } \mathcal { N } _ { a } [ \Pi _ { n } ] \Big ) \right) ( t , k , v ) e ^ { i z k } . } \end{array}
S ( \vec { x } ) = \sqrt { \left( { \frac { \sigma _ { Q } ( \vec { x } ) } { \mu _ { Q } ( \vec { x } ) } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \sigma _ { \sigma _ { E } } ( { \vec { x } } ) } { \mu _ { \sigma E } ( { \vec { x } } ) } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \sigma _ { \Delta E } ( { \vec { x } } ) } { \mu _ { \Delta E } ( { \vec { x } } ) } } \right) ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r } { \mathbf { w } _ { \mathcal { X } } ^ { * } , ( \mathbf { w } _ { i } ^ { * } ) = \arg \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { w } _ { \mathcal { X } } , \mathbf { w } _ { i } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \left[ \mathbf { w } _ { \mathcal { X } } ^ { T } \textrm { C o v } \left( x ^ { ( \mathcal { X } ) } ( t ) , x ^ { ( i ) } ( t ) \right) \mathbf { w } _ { i } \right] ^ { 2 } } \end{array}
R _ { n , V } ^ { ( k ) } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { k } ) = { \frac { n ! } { ( n - k ) ! } } \int _ { \mathbf { R } } d x _ { k + 1 } \dots \int _ { \mathbb { R } } d x _ { n } \, p _ { n , V } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ) ,
\begin{array} { r l } & { \big | E _ { P } [ X ] - E _ { Q } [ X ] \big | } \\ & { = \Big | \int ( X ( \omega ) - E _ { P } [ X ] ) \sqrt { p ( \omega ) } ( \sqrt { p ( \omega ) } - \sqrt { q ( \omega ) } ) \, d \nu ( \omega ) } \\ & { \quad + \int ( X ( \omega ) - E _ { Q } [ X ] ) \sqrt { q ( \omega ) } ( \sqrt { p ( \omega ) } - \sqrt { q ( \omega ) } ) \, d \nu ( \omega ) } \\ & { \quad + \big ( E _ { P } [ X ] - E _ { Q } [ X ] \big ) H ^ { 2 } ( P , Q ) \Big | } \\ & { \leq \Big ( \operatorname { V a r } _ { P } ( X ) ^ { 1 / 2 } + \operatorname { V a r } _ { Q } ( X ) ^ { 1 / 2 } \Big ) \sqrt { 2 } H ( P , Q ) + \big | E _ { P } [ X ] - E _ { Q } [ X ] \big | H ^ { 2 } ( P , Q ) . } \end{array}
< x _ { f } ^ { \mu } | U _ { \mathrm { p h y s i c a l } } ( \tau _ { f } , \tau _ { i } ) | x _ { i } ^ { \mu } > = \int _ { ( \infty ) } \frac { d ^ { D } p ^ { \mu } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \, e ^ { i \Delta x \cdot p } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \gamma } { 2 \pi } \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i \gamma ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } \ .
p _ { 1 } ^ { ( I I ) } = - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( 2 k - m _ { 0 } ) , ~ ~ p _ { 2 } ^ { ( I I ) } = - \frac { 3 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( 2 k + m _ { 0 } )
\frac { 1 } { \epsilon - \delta } \left[ \begin{array} { l l } { 1 - \delta } & { - 1 } \\ { - ( 1 - \epsilon ) } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { S _ { 0 } } \\ { S _ { B } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right] + \frac { 1 } { \epsilon - \delta } \left[ \begin{array} { l l } { 1 - \delta } & { - 1 } \\ { - ( 1 - \epsilon ) } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { C } \\ { C } \end{array} \right] + \frac { 1 } { \epsilon - \delta } \left[ \begin{array} { l l } { 1 - \delta } & { - 1 } \\ { - ( 1 - \epsilon ) } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \eta _ { 0 } } \\ { \eta _ { B } } \end{array} \right] .
\mathcal { \widetilde { O } } _ { \mathrm { i n j . } } ^ { \mathrm { n o r m . , i n } } = \mathcal { \widetilde { O } } _ { \mathrm { i n j . } } ^ { \mathrm { i n } } \times F _ { \mathrm { D T } } \times F _ { \mathrm { I D } } ,
L _ { x } = 4 N _ { \mathrm { { S , x } } } a \left[ \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) + \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right] + 2 N _ { \mathrm { { T , x } } } \left[ c \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) + b \cos \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \right]
K _ { \phi } ( q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { Z _ { p } ( q ^ { 2 } ) } } { \frac { 1 } { q ^ { 2 } + \delta _ { \phi \sigma } 4 M _ { 0 } ^ { 2 } + { \frac { m _ { 0 } } { G M _ { 0 } Z _ { p } ( q ^ { 2 } ) } } } } \, .
x ( \tau ) = { \frac { M \Gamma ^ { 2 } } { 2 } } \! \int _ { 0 } ^ { \tau } \! \! \! d \tilde { t } \int _ { 0 } ^ { \tau } \! \! \! d t ^ { \prime } \, \mathrm { e } ^ { - w _ { o f f } | \tilde { t } - t ^ { \prime } | - x ( \tilde { t } - t ^ { \prime } ) } \, .
\begin{array} { r l } & { | \check { \Psi } ^ { \tilde { Q } } ( y ) | \lesssim 2 ^ { - n k _ { \tilde { Q } } / 2 } 2 ^ { j n - j N _ { 1 } } | y - c _ { Q } | ^ { - N _ { 1 } } } \\ & { | \check { \Psi } _ { j } ( x - y ) | \lesssim \frac { 2 ^ { j n + j N _ { 2 } } | y - c _ { Q } | ^ { N _ { 2 } } } { \langle 2 ^ { j } ( x - c _ { Q } ) \rangle ^ { N _ { 2 } } } , \qquad y \in \mathbb { R } ^ { n } \setminus 2 \sqrt n Q } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 4 4 } ^ { ( 0 ) } } & { = \frac { \Gamma _ { 3 1 } \Gamma _ { 3 2 } B _ { 1 } } { A _ { 1 } B _ { 2 } + B _ { 1 } A _ { 2 } } , } \\ { S _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } } & { = \frac { A _ { 1 } S _ { 4 4 } ^ { ( 0 ) } } { B _ { 1 } } , } \\ { S _ { 2 2 } ^ { ( 0 ) } } & { = \frac { \Gamma _ { 2 3 } S _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } + \Gamma _ { 2 4 } S _ { 4 4 } ^ { ( 0 ) } } { \Gamma _ { 3 2 } } , } \\ { S _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } } & { = \frac { \Gamma _ { 1 3 } S _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } + \Gamma _ { 1 4 } S _ { 4 4 } ^ { ( 0 ) } } { \Gamma _ { 3 1 } } , } \\ { S _ { 4 3 } ^ { ( 0 ) } } & { = \frac { \Omega _ { c } \left( S _ { 4 4 } ^ { ( 0 ) } - S _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } \right) } { d _ { 4 3 } } , } \end{array}
\mathcal { L _ { \mathnormal { m a s s } } } \mathnormal = \frac { v } { \sqrt { 2 } } \left( \overline { { { u _ { L i } } } } h _ { i j } ^ { ( u ) } u _ { R j } + \overline { { { d _ { L i } } } } h _ { i j } ^ { ( d ) } d _ { R j } \right) + h . c .
N _ { l , l ^ { \prime } } ( d _ { 1 } + d _ { 2 } ) = \sum _ { l ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { \infty } N _ { l , l ^ { \prime \prime } } ( d _ { 1 } ) N _ { l ^ { \prime \prime } , l ^ { \prime } } ( d _ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { R S } } } & { { } = v _ { \mathrm { M C } } { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ r ~ } ~ \unboldmath ~ } } + f _ { p d } \, ( s _ { L } - s _ { M } ) \, { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ p ~ } ~ \unboldmath ~ } } } \\ { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { F S } } } & { { } = v _ { \mathrm { M C } } { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ r ~ } ~ \unboldmath ~ } } + f _ { p d } \, ( s _ { R } - s _ { M } ) \, { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ p ~ } ~ \unboldmath ~ } } \ . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { T } \sigma _ { a _ { n } } \left( \xi , \dot { \xi } \right) d \tau = \! \int _ { 0 } ^ { T _ { n } } \sigma _ { a _ { n } } \left( \zeta _ { n } , \dot { \zeta } _ { n } \right) d \tau = \! \int _ { 0 } ^ { T _ { n } } \! \left( L \left( \zeta _ { n } , \dot { \zeta } _ { n } \right) + a _ { n } \right) d \tau \ge \! \int _ { 0 } ^ { T _ { n } } \left( L \left( \zeta _ { n } , \dot { \zeta } _ { n } \right) + c \right) d \tau ,
\begin{array} { r l r l } { 1 } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { | n ( t + \Delta t ) - n ( t ) | } & { { } > 0 } \\ { 0 } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { | n ( t + \Delta t ) - n ( t ) | } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ( E ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \theta } { 2 \pi i } \frac { \partial } { \partial \theta } \left[ \log \left| \operatorname* { d e t } \left( H ( \theta ) - E \right) \right| \right. } \\ & { + \left. i \mathrm { a r g } \left( \operatorname* { d e t } \left( H ( \theta ) - E \right) \right) \right] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \theta } { 2 \pi } \frac { \partial } { \partial \theta } \mathrm { a r g } \left( \operatorname* { d e t } \left( H ( \theta ) - E \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \psi _ { k + 1 / 2 , j , L } } & { { } = \theta ^ { k + 1 } a e ^ { i \omega j } } & { \psi _ { k + 1 / 2 , j , R } } & { { } = \theta ^ { k + 1 } b e ^ { i \omega j } } \end{array}
\begin{array} { r } { U ^ { \bigtriangleup } : = \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { \frac { k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ( k - 3 ) } { 2 4 } } \langle U \rangle _ { k } = \! \! \! \! \! \sum _ { k = 0 , 1 , 2 , 3 \! \! \mod 8 } \! \! \! \! \! \langle U \rangle _ { k } - \! \! \! \! \! \sum _ { k = 4 , 5 , 6 , 7 \! \! \mod 8 } \! \! \! \! \! \langle U \rangle _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { \nabla } } _ { a } \hat { H } _ { e c } } & { { } = \underline { { \nabla } } _ { a } \hat { H } _ { e } + \underline { { \nabla } } _ { a } V _ { c } + \underline { { \nabla } } _ { a } \hat { H } _ { s c } + \underline { { \nabla } } _ { a } \hat { H } _ { d s e } \quad , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \left( \eta \right) \simeq \frac { 1 } { Z _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } } \exp \left( - \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } U _ { \eta } \right) } \end{array}
g _ { 1 } ( t ) = g _ { s } ( t ) , g _ { 2 } ( t ) = e ^ { t } \sin ( 4 t + \pi / 6 ) , g _ { 3 } ( t ) = e ^ { t } \cos ( 2 t + \pi / 6 ) , g _ { 4 } ( t ) = e ^ { t } \sin ( 2 t + \pi / 6 ) , g _ { 5 } ( t ) = e ^ { t } \cos ( t + \pi / 6 ) , g _ { 6 } ( t ) = e ^ { t } \sin ( t + \pi / 6 ) , g _ { 7 } ( t ) = e ^ { 0 . 5 t } \cos ( 2 t ) , \ldots , g _ { 1 2 } = e ^ { 0 . 5 t } \sin ( 0 . 5 t ) .
\begin{array} { c c c c } { u _ { e } \approx N _ { u } d _ { u } } & { \nabla u _ { e } \approx B _ { u } d _ { u } } & { v _ { e } \approx N _ { u } d _ { v } } & { \nabla v _ { e } \approx B _ { u } d _ { v } } \end{array}
\tau ^ { A m } = - \frac { i } { 2 } ( \tilde { \sigma } ^ { A m } ) _ { j k } \{ M ^ { ( 2 j - 1 ) ( 2 k - 1 ) } + M ^ { ( 2 j ) ( 2 k ) } + i M ^ { ( 2 j ) ( 2 k - 1 ) } - i M ^ { ( 2 j - 1 ) ( 2 k ) } \} .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { s p i n - s p i n } } = \lambda _ { s } \sqrt { 3 0 } / 3 \left[ \left[ \hat { s } \otimes \hat { s } \right] ^ { ( 2 ) } \otimes C ^ { ( 2 ) } ( \hat { r } _ { \mathrm { N a L i } } ) \right] _ { 0 } ^ { ( 0 ) } , } \end{array}
\sigma ( \gamma \gamma \rightarrow W ^ { + } W ^ { - } ) = \frac { \pi \alpha ^ { 2 } } { s } \beta \left[ - 3 \frac { 1 - \beta ^ { 4 } } { \beta } \ln \frac { 1 + \beta } { 1 - \beta } + 2 \frac { 2 2 - 9 \beta ^ { 2 } + 3 \beta ^ { 4 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } \right] .
D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } ) ; q ( \mathbf { y } | \mathbf { x } ) ) = - 2 \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) q ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } { p ( \mathbf { x } ) q ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { q ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } { q ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) ,
\begin{array} { r l } { ( u _ { D } , v _ { D } ) } & { = ( 0 , 0 ) , } \\ { ( u _ { K ^ { - } } , v _ { K ^ { - } } ) } & { = \left( \frac { 2 } { 3 } \frac { 1 - 2 \nu } { 1 - \nu } , - \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 + \nu } { 1 - \nu } \right) , } \\ { ( u _ { 1 ^ { - } } , v _ { 1 ^ { - } } ) } & { = \left( - \frac { 4 } { 3 } \frac { 1 - 2 \nu } { 1 - \nu } , - \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 + \nu } { 1 - \nu } \right) , } \\ { ( u _ { 2 ^ { - } } , v _ { 2 ^ { - } } ) } & { = \left( - \frac { 2 } { 3 } \left[ 1 - 2 \nu \right] , - \frac { 2 } { 3 } \left[ 1 + \nu \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { T [ \Psi _ { N , L } ] = \frac { 1 } { 1 0 \pi ^ { 2 } } p _ { N , L } ^ { 5 } | Q ^ { D } | L ^ { 3 } - \frac { 1 } { 3 2 \pi } p _ { N , L } ^ { 4 } | \partial Q ^ { D } | L ^ { 2 } + \mathcal { O } ( L ^ { \frac { 3 4 } { 2 3 } + \epsilon } ) . } \end{array}
L = - \sum _ { \lambda \sim \textsc { H e r w i g } , \, z \sim p \left( z \right) } \left( \log \left( D \left( \tau \left( \lambda \right) \right) \right) + \log \left( 1 - D \left( G \left( z , \lambda \right) \right) \right) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { G } } _ { y y } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; w ) = } & { { } \frac { i } { 8 { \pi } } ( \frac { w } { c } ) P V \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \kappa } { p } r ^ { s } ( \kappa ) e ^ { 2 i p { \omega } z / c } \left[ J _ { 0 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) - J _ { 2 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) \right] d { \kappa } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \mathfrak { h } _ { N } } \left( k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \right) ^ { 2 } \, d \boldsymbol { \xi \, } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } & { \leq } & { \int _ { \mathfrak { h } _ { N } } \frac { C } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } } e ^ { - m _ { \alpha } ^ { 2 } \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } / \left( 4 m _ { \beta } \right) } d \mathbf { g } \boldsymbol { \, } d \boldsymbol { \xi } } \\ & { = } & { C \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - m _ { \alpha } ^ { 2 } R ^ { 2 } / \left( 4 m _ { \beta } \right) } d R \int _ { 0 } ^ { N } \eta ^ { 2 } d \eta } \\ & { = } & { C N ^ { 3 } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { [ 6 ] } } & { { } = \frac { \sqrt { 1 1 } } { 5 } T _ { 0 } ^ { ( 6 ) } + \frac { \sqrt { 7 } } { 5 } ( T _ { 5 } ^ { ( 6 ) } + T _ { - 5 } ^ { ( 6 ) } ) } \\ { T ^ { [ 1 0 ] } } & { { } = \frac { \sqrt { 3 \cdot 1 3 \cdot 1 9 } } { 7 5 } T _ { 0 } ^ { ( 1 0 ) } - \frac { \sqrt { 1 1 \cdot 1 9 } } { 2 5 } ( T _ { 5 } ^ { ( 1 0 ) } - T _ { - 5 } ^ { ( 1 0 ) } ) + \frac { \sqrt { 3 \cdot 1 1 \cdot 1 7 } } { 7 5 } ( T _ { 1 0 } ^ { ( 1 0 ) } + T _ { - 1 0 } ^ { ( 1 0 ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( i ) } & { = e ^ { 2 \beta t v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } \frac { \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert + \gamma _ { i } ( x + v t ) + \gamma _ { i } ( x + v t ) e ^ { - ( \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert + 2 \gamma _ { i } ( x + v t ) ) t } } { \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert + 2 \gamma _ { i } ( x + v t ) } \leq e ^ { 2 \beta t v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } . } \end{array}
g ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } C ( t | p ) / C ( t | p _ { c } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \sqrt { \frac { x } { 1 - e ^ { - x } } } } & { p \to p _ { c } - 0 , t \to \infty , x = \frac { 3 ( p _ { c } - p ) / 2 } { 1 + \omega } \ln t , } \\ { \sqrt { \frac { 2 x } { e ^ { 2 x } - 1 } } } & { p \to p _ { c } + 0 , t \to \infty , x = \frac { 3 ( p - p _ { c } ) } { 1 + \omega } \ln t . } \end{array} \right.