harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \quad \omega ^ { \lambda } ( x ) } \\ & { } & { > \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } \left( \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) \right) \left( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y } \\ & { } & { \geq \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { - } } \left( \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) \right) \left( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y } \\ & { } & { \geq \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { - } } \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) \left( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y } \\ & { } & { \geq \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { - } } \frac { C _ { 2 } } { | x - y | ^ { n - 2 s } } h _ { \lambda } ( y ) \omega ^ { \lambda } ( y ) \mathrm d y . } \end{array}
E _ { \phi e } ^ { \mathrm { f u l l } } = T _ { e } C _ { e e } { \widetilde \rho } _ { e } \cdot { \widetilde \rho } _ { e } + T _ { e } C _ { e i } { \widetilde \rho } _ { i } \cdot { \widetilde \rho } _ { e } ,
V _ { 1 \gamma } ^ { F G I } = z _ { o p } ^ { \prime } U _ { C } z _ { o p } ^ { \prime } + y _ { o p } ( \bf p \mathrm { _ { o p } U _ { C } \bf p \mathrm { _ { o p } / 2 m _ { A } m _ { B } ) y _ { o p } , } }
\mu ^ { 2 } = \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { \check { f } } } \frac { \mathbf { \check { q } } ^ { * } { \mathbf { Q } _ { q } } \mathbf { \check { q } } } { \mathbf { \check { f } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { f } \mathbf { \check { f } } } = \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { \check { f } } } \frac { ( \mathbf { \mathcal { R } P \check { f } } ) ^ { * } { \mathbf { Q } _ { q } } ( \mathbf { \mathcal { R } P \check { f } } ) } { ( \mathbf { P \check { f } } ) ^ { * } \mathbf { Q } _ { f } ( \mathbf { P \check { f } } ) } = \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { \check { f } } } \frac { \mathbf { \check { f } } ^ { * } \mathbf { P } ^ { * } \mathbf { \mathcal { R } } ^ { * } { \mathbf { Q } _ { q } } \mathbf { \mathcal { R } P \check { f } } } { \mathbf { \check { f } } ^ { * } { \mathbf { Q } _ { f } } \mathbf { \check { f } } } .
\begin{array} { r l } { \| u _ { \Gamma , S } \| _ { \mathcal { B } } ^ { 2 } } & { = \Re \{ \mathcal { C } ( u _ { \Gamma , S } , u _ { \Gamma , S } ) \} + 2 \| \kappa ^ { 2 } u _ { \Gamma , S } \| ^ { 2 } = 2 \| \kappa ^ { 2 } u _ { \Gamma , S } \| ^ { 2 } \leq 2 ( C _ { \mathcal { C } } \sigma ^ { * } ) ^ { 2 } \| u _ { \Gamma , S } \| _ { \mathcal { B } } ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { 1 } { 1 + \delta _ { B _ { 1 } B _ { 2 } } } \frac { \alpha S _ { \pi _ { t } ^ { 0 } B _ { 1 } B _ { 2 } } } { \pi F _ { t } } \pi _ { t } ^ { 0 } \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } ( \partial ^ { \mu } B _ { 1 } ^ { \nu } ) ( \partial ^ { \alpha } B _ { 2 } ^ { \beta } ) ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 1 } \} , \{ e _ { 2 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 2 } \} , \{ e _ { 3 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 3 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 4 } \} , \{ e _ { 5 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 4 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 1 } , v _ { 2 } \} , \{ e _ { 2 } , e _ { 3 } \} ) = \gamma _ { 1 } ^ { \ast } \cup \gamma _ { 2 } ^ { \ast } , } \\ { \gamma _ { 5 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 1 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 2 } , e _ { 5 } \} ) = \gamma _ { 1 } ^ { \ast } \cup \gamma _ { 3 } ^ { \ast } , } \\ { \gamma _ { 6 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 2 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 3 } , e _ { 5 } \} ) = \gamma _ { 2 } ^ { \ast } \cup \gamma _ { 3 } ^ { \ast } , } \\ { \gamma _ { 7 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 2 } , e _ { 3 } , e _ { 5 } \} ) = \gamma _ { 1 } ^ { \ast } \cup \gamma _ { 2 } ^ { \ast } \cup \gamma _ { 3 } ^ { \ast } , } \\ { \gamma _ { 8 } } & { = ( \{ v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 2 } , e _ { 3 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } , e _ { 6 } \} ) . } \end{array}
\langle \psi ^ { ( 1 ) } ( t ) | \psi ^ { ( 1 ) } ( t ) \rangle ^ { 1 / 2 } = \exp \left[ - \frac { 1 } { \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } \Gamma ^ { ( 1 ) } ( t ^ { \prime } ) \right] \; ,
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( x , y , z ) = } & { \exp \left[ - 2 x ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } ( z ) - 2 y ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } ( z ) \right] } \\ { f _ { 2 } ( x , y , z ) = } & { \exp \left[ - 2 x ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } ( z ) - 2 y ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } ( z ) \right] } \\ { g ( z ) = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( z / z _ { R a } ) ^ { 2 } } \sqrt { 1 + ( z / z _ { R b } ) ^ { 2 } } } } \\ { N ( z ) = } & { - g ( z ) \left( \frac { 1 } { z _ { R a } ^ { 2 } + z ^ { 2 } } + \frac { 1 } { z _ { R b } ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \right) } \\ { M _ { 1 } ( x , y , z ) = } & { \frac { 4 x ^ { 2 } } { w _ { 0 , a } ^ { 2 } z _ { R a } ^ { 2 } \alpha _ { a } ^ { 4 } ( z ) } + \frac { 4 y ^ { 2 } } { w _ { 0 , b } ^ { 2 } z _ { R b } ^ { 2 } \alpha _ { b } ^ { 4 } ( z ) } } \\ { M _ { 2 } ( x , y , z ) = } & { \frac { 4 x ^ { 2 } } { w _ { 0 , b } ^ { 2 } z _ { R b } ^ { 2 } \alpha _ { b } ^ { 4 } ( z ) } + \frac { 4 y ^ { 2 } } { w _ { 0 , a } ^ { 2 } z _ { R a } ^ { 2 } \alpha _ { a } ^ { 4 } ( z ) } } \end{array}
c _ { 3 - } ^ { \ell \, { \ell \, ^ { \prime } } } = { \frac { 1 } { 2 m _ { Q } } } \left< { \Psi _ { \ell \, ^ { \prime } } ^ { - } } \right. \left| \left( \left( H _ { 0 } - E _ { 0 } ^ { \ell } \right) \Lambda _ { + } \otimes \psi _ { 2 } ^ { \ell } + \left( H _ { 1 } - E _ { 1 } ^ { \ell } \right) \Lambda _ { + } \otimes \psi _ { 1 } ^ { \ell } + H _ { 2 } \Lambda _ { + } \otimes \psi _ { 0 } ^ { \ell } \right) \right> .
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } } & { = } & { \mathcal { E } _ { x } \mathcal { E } _ { x } ^ { * } + \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { y } ^ { * } } \\ { S _ { 1 } } & { = } & { \mathcal { E } _ { x } \mathcal { E } _ { x } ^ { * } - \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { y } ^ { * } } \\ { S _ { 2 } } & { = } & { \mathcal { E } _ { x } \mathcal { E } _ { y } ^ { * } + \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } ^ { * } } \\ { S _ { 3 } } & { = } & { i ( \mathcal { E } _ { x } \mathcal { E } _ { y } ^ { * } - \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } ^ { * } ) , } \end{array}
\beta = ( U _ { 0 } ^ { \dag } U _ { 0 } ) ^ { - 1 / 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { [ ( Z _ { 1 } + Z _ { 2 } ) f ^ { - 1 } ] ^ { - 1 / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { [ ( Z _ { 1 } + Z _ { 2 } + \zeta ) f ^ { - 1 } ] ^ { - 1 / 2 } } } \end{array} \right) .
Q = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \bigl ( T _ { 0 1 } ^ { \phantom { 1 } } T _ { 1 1 } ^ { - 1 } \bigr ) ^ { * } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad Q ^ { * } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - T _ { 0 1 } ^ { \phantom { 1 } } T _ { 1 1 } ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad R = \left( \begin{array} { l l } { T _ { 0 0 } ^ { \phantom { 1 } } - T _ { 0 1 } ^ { \phantom { 1 } } T _ { 1 1 } ^ { - 1 } T _ { 1 0 } ^ { \phantom { 1 } } } & { 0 } \\ { T _ { 1 0 } ^ { \phantom { 1 } } - T _ { 1 1 } ^ { \phantom { 1 } } \bigl ( T _ { 1 1 } ^ { - 1 } \bigr ) ^ { * } T _ { 0 1 } ^ { * } } & { T _ { 1 1 } ^ { \phantom { 1 } } } \end{array} \right)
\mathbf { e } _ { 2 } = { \frac { 1 } { \sqrt { . 2 5 ^ { 2 } + . 7 5 ^ { 2 } } } } { \left( \begin{array} { l l } { - . 2 5 } & { . 7 5 } \end{array} \right) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 0 } } } { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 3 } \end{array} \right) } .
L _ { 0 } = - { p _ { \mu } } ^ { 2 } - \alpha ^ { \prime } a _ { \mu } ^ { + } a _ { \mu } + \alpha _ { 0 } , \; \; \; L _ { 1 } = p _ { \mu } a _ { \mu } , \; \; \; L _ { - 1 } = p _ { \mu } a _ { \mu } ^ { + } ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon \dot { x } } & { { } = x ( 1 - x ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } x ^ { M - 1 } ( 1 - x ) ^ { N - M } r b - c ] \, , } \\ { \dot { r } } & { { } = U ( x , r ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \eta _ { 0 } } = \sqrt { 8 \pi ^ { 2 } \frac { 4 m _ { u } ^ { 2 } + m _ { d } ^ { 2 } + m _ { s } ^ { 2 } } { 6 } } \approx 4 5 7 \ \mathrm { { M e V } } , } \\ & { } & { m _ { \eta _ { 8 } } = \sqrt { - 8 \pi ^ { 2 } \frac { 4 m _ { u } ^ { 2 } + m _ { d } ^ { 2 } - 2 m _ { s } ^ { 2 } } { 3 } + m _ { \rho ^ { 0 } } ^ { 2 } } \approx 1 1 5 7 \ { \mathrm { M e V } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \dot { \phi } _ { A } = } & { \nabla [ ( \alpha \! + \! \phi _ { A } ^ { 2 } \! - \! \gamma \nabla ^ { 2 } ) \nabla \phi _ { A } + ( \kappa \! - \! \delta ) \nabla \phi _ { B } + \sqrt { 2 \epsilon } \Lambda _ { A } ] } \\ { \! \dot { \phi } _ { B } = } & { \nabla [ \beta \nabla \phi _ { B } + ( \kappa + \delta ) \nabla \phi _ { A } + \sqrt { 2 \epsilon } \Lambda _ { B } ] \, , } \end{array}
\hat { \mathcal { V } } _ { \mathrm { X X } } ^ { \uparrow } \phi \left( { \bf x } \right) = - \sum _ { l } { n _ { l } ^ { \uparrow } \phi _ { l } ^ { \uparrow } \left( { \bf x } \right) \int { \phi _ { l } ^ { \uparrow * } \left( { \bf x } ^ { \prime } \right) \mathcal { V } _ { \mathrm { e e } } \left( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } \right) \phi \left( { \bf x } ^ { \prime } \right) \mathrm { d } { \bf x } ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r l r } { \Phi ( y ) } & { = } & { \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 ~ \sqrt { E } } ~ \exp ( 2 ~ y ) + \frac { y } { 2 } \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } \right] L _ { - \frac { 1 } { 2 } + \frac { E ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 1 - 4 \delta \nu + 4 \nu ^ { 2 } } } ^ { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - 4 \delta \nu + 4 \nu ^ { 2 } } } \left[ \frac { \exp ( 2 ~ y ) } { \sqrt { E } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { V } \nabla \cdot \left( \mathbf { u } \cdot { \boldsymbol { \sigma } } \right) d V } & { { } = \int _ { V } { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left( u _ { i } \sigma _ { i j } \right) d V } \end{array}
H [ { \bf v } ] = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } 2 { \cal L } _ { i j } ( 2 \pi | N _ { i } | ) ( 2 \pi | N _ { j } | ) + \sum _ { i } { \cal W } _ { i } ( 2 \pi | N _ { i } | ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = \frac { 3 ^ { \frac { 5 } { 4 } } } { 2 \sqrt { 2 } } r \ell ( 1 + \epsilon ) \bigg ( s _ { 0 } ^ { * } ( 6 ) \ell ( 1 + \epsilon ) - s _ { 0 } \bigg ) , } \\ { \beta } & { = \frac { 3 } { 1 2 8 } 3 ^ { \frac { 1 } { 4 } } r \ell ( 1 + \epsilon ) \bigg ( 1 3 \sqrt { 2 } s _ { 0 } - 2 8 \times 3 ^ { \frac { 1 } { 4 } } ( 1 + \epsilon ) \ell \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { m _ { i , j } ^ { k + 1 } - m _ { i , j } ^ { k } } { \Delta t } } & { = \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } D _ { i } ^ { 2 } [ m _ { i , j } ^ { k } ] + \frac { 1 } { \Delta y ^ { 2 } } D _ { j } ^ { 2 } [ m _ { i , j } ^ { k } ] } \\ & { - \frac { \beta } { \Delta x } D _ { i } ^ { 1 } [ ( \phi _ { i , j } ^ { k } - ( m _ { i , j } ^ { k } ) ^ { 2 } ) \Tilde { J } _ { x , i , j } ^ { k } ] - \frac { \beta } { \Delta y } D _ { j } ^ { 1 } [ ( \phi _ { i , j } ^ { k } - ( m _ { i , j } ^ { k } ) ^ { 2 } ) \Tilde { J } _ { y , i , j } ^ { k } ] } \\ { \frac { \phi _ { i , j } ^ { k + 1 } - \phi _ { i , j } ^ { k } } { \Delta t } } & { = \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } D _ { i } ^ { 2 } [ \phi _ { i , j } ^ { k } ] + \frac { 1 } { \Delta y ^ { 2 } } D _ { j } ^ { 2 } [ \phi _ { i , j } ^ { k } ] } \\ & { - \frac { \beta } { \Delta x } D _ { i } ^ { 1 } [ m _ { i , j } ^ { k } ( 1 - \phi _ { i , j } ^ { k } ) \Tilde { J } _ { x , i , j } ^ { k } ] - \frac { \beta } { \Delta y } D _ { j } ^ { 1 } [ m _ { i , j } ^ { k } ( 1 - \phi _ { i , j } ^ { k } ) \Tilde { J } _ { y , i , j } ^ { k } ] + F ( \phi _ { i , j } ^ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ \left| X _ { t } \right| ^ { 2 } \right] } & { = e ^ { - 2 m t } \mathbf { E } \left[ \left| X _ { 0 } \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + 2 \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { 2 m ( s - t ) } \left( \mathbf { E } \left[ \left\langle - \nabla U \left( X _ { s } \right) , X _ { s } \right\rangle + m \left| X _ { s } \right| ^ { 2 } \right] + \frac { d } { \beta } \right) \mathrm { d } s } \\ & { \le e ^ { - 2 m t } \mathbf { E } \left[ \left| X _ { 0 } \right| ^ { 2 } \right] + 2 \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { 2 m ( s - t ) } \left( \mathbf { E } \left[ - m \left| X _ { s } \right| ^ { 2 } + b + m \left| X _ { s } \right| ^ { 2 } \right] + \frac { d } { \beta } \right) \mathrm { d } s } \\ & { = e ^ { - 2 m t } \kappa _ { 0 } + \frac { b + d / \beta } { m } \left( 1 - e ^ { - 2 m t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \frac { 1 } { \pi } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { s } } { s ! } \frac { \pi \sqrt { m ! n ! } \sum _ { k = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( m , n ) } \frac { Q _ { m - k , n - k } } { k ! } } { \sqrt { m ! n ! } } \left( { \alpha ^ { * } } \right) ^ { m + s } \alpha ^ { n + s } } \\ { = } & { { } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( m , n ) } \frac { ( - 1 ) ^ { s } } { s ! } \frac { Q _ { m - k , n - k } } { k ! } \left( { \alpha ^ { * } } \right) ^ { m + s } \alpha ^ { n + s } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { 1 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \phi _ { y } \right) } \\ { y _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \phi _ { y } \right) } \\ { y _ { 3 } } & { = } & { - \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau = \frac { 1 } { \tau _ { m a x } } \sum _ { k \neq 0 } \, [ \, \mathbf { S ( k ) } - \mathbf { S _ { p } ( k ) } \, ] \, ^ { 2 } = \frac { 1 } { \tau _ { m a x } } \sum _ { k \neq 0 } \, [ \, \mathbf { S } ( \mathbf { k } ) - ( 1 - f _ { f } ) \, ] \, ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \boldsymbol { J } _ { \perp } } & { { } = } & { \left( \boldsymbol { B } \times \nabla p \right) \cdot \nabla \frac { 1 } { B ^ { 2 } } = \frac { d p } { d \psi } \left( B _ { z } \boldsymbol { B } _ { p } - B _ { p } ^ { 2 } \boldsymbol { \hat { z } } \right) \cdot \nabla \frac { 1 } { B ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { f _ { 5 } ^ { ~ \hat { i } } = f _ { 5 } ^ { ~ \hat { i } } ( r , \theta ) \cos \phi + g _ { 5 } ^ { ~ \hat { i } } ( r , \theta ) \sin \phi , } \\ & { f _ { 4 } ^ { ~ \hat { i } } = \partial _ { \phi } f _ { 5 } ^ { ~ \hat { i } } , } \\ & { f _ { 3 } ^ { ~ \hat { i } } = f _ { 3 } ^ { ~ \hat { i } } ( r , \theta ) , } \\ & { f _ { 2 } ^ { ~ \hat { i } } = f _ { 2 } ^ { ~ \hat { i } } ( r , \theta ) \cos \phi + g _ { 2 } ^ { ~ \hat { i } } ( r , \theta ) \sin \phi , } \\ & { f _ { 1 } ^ { ~ \hat { i } } = \partial _ { \phi } f _ { 2 } ^ { ~ \hat { i } } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 / m } & { \ll 1 / r , \varepsilon \ll 1 / t , c , \varepsilon _ { k } , d _ { 2 } , \dots , d _ { k - 1 } , } \\ { c } & { \ll d _ { 2 } , \dots , d _ { k - 1 } , } \\ { 1 / t } & { \ll \varepsilon _ { k } \ll d _ { k } \leqslant 1 / k , \mathrm { ~ a n d } } \\ { \varepsilon _ { k } } & { \ll \nu \ll { \theta } \ll \mu \ll 1 / k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { { \bf G } { \bf G } ^ { \prime } } \left( { \bf q } \right) = } & { \frac { 4 \pi \delta _ { { \bf G } { \bf G } ^ { \prime } } } { \left| { \bf q } + { \bf G } \right| ^ { 2 } } } \\ { + } & { \sum _ { { \bf G } _ { 1 } { \bf G } _ { 2 } } \bigg [ f _ { H x c , \mathbf { G } \mathbf { G } _ { 1 } } \left( { \bf q } \right) f _ { H x c , \mathbf { G } _ { 1 } \mathbf { G } _ { 2 } } \left( { \bf q } \right) \chi _ { { \bf G } _ { 2 } { \bf G } ^ { \prime } } ^ { n n } ( { \bf q } ) } \\ { - } & { 3 f _ { x c , \mathbf { G } \mathbf { G } _ { 1 } } ^ { - } \left( { \bf q } \right) f _ { x c , \mathbf { G } _ { 1 } \mathbf { G } _ { 2 } } ^ { - } \left( { \bf q } \right) \chi _ { { \bf G } _ { 2 } { \bf G } ^ { \prime } } ^ { S _ { z } S _ { z } } ( { \bf q } ) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { n } ^ { d } \left( D _ { 1 / m } ( ( p _ { d } ^ { \boxtimes _ { d } m } ) ^ { \boxplus _ { d } m } ) \right) } & { = \frac { ( - d ) ^ { n - 1 } } { m ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { q _ { l } ( m ) } { d ^ { l } } } \\ & { = \frac { ( \kappa _ { 2 } ^ { d } ( p _ { d } ) n ) ^ { n - 1 } } { n ! } + O \left( \frac { m } { d } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { n } _ { s } : = \widetilde { \langle \psi | } \hat { a } _ { 1 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 1 } \widetilde { | \psi \rangle } = \, \theta ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \theta ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { j , 1 } } & { = \left\{ \mathbf a \in W ( \mathbb A ) \colon | \mathbf a | = n _ { j + 1 } + r _ { j + 1 } - 1 \right\} , } \\ { W _ { j , 2 } } & { = \{ \mathbf b \in W ( \mathbb A ) \colon | \mathbf b | = n - n _ { j + 1 } - r _ { j + 1 } + 1 , } \\ { P i [ \! [ \mathbf b ] \! ] \subset \cup _ { k = N _ { r _ { j + 1 } } + 1 } ^ { \infty } [ k ] \} , } \\ { W _ { j , 3 } } & { = \{ \mathbf c \in W ( \mathbb A ) \colon | \mathbf c | = n _ { j } + r _ { j } , \ \Pi [ \! [ \mathbf c ] \! ] \cap \Delta _ { n _ { 1 } \cdots n _ { j + 1 } } ^ { r _ { 1 } \cdots r _ { j + 1 } } \neq \emptyset \} , } \\ { W _ { j , 4 } } & { = \left\{ \mathbf d \in W ( \mathbb A ) \colon | \mathbf d | = n - n _ { j } - r _ { j } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( U _ { n } ^ { [ \eta _ { r } , \phi _ { r } ] } , \eta _ { p } , \phi _ { p } ) } & { = \{ ( U _ { n } ^ { [ 2 , 1 ] } , \Tilde { P } _ { 1 } ^ { - 1 } ( 2 ) , \hat { P } ^ { - 1 } ( 1 ) ) , ( U _ { n } ^ { [ 2 , 2 ] } , \Tilde { P } _ { 2 } ^ { - 1 } ( 2 ) , \hat { P } ^ { - 1 } ( 2 ) ) , ( U _ { n } ^ { [ 3 , 3 ] } , \Tilde { P } _ { 3 } ^ { - 1 } ( 3 ) , \hat { P } ^ { - 1 } ( 3 ) ) \} } \\ & { = \{ ( U _ { n } ^ { [ 2 , 1 ] } , 1 , 3 ) , ( U _ { n } ^ { [ 2 , 2 ] } , 3 , 1 ) , ( U _ { n } ^ { [ 3 , 3 ] } , 1 , 2 ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { j ( t [ i ] ) } & { { } = \mathcal { L F } \{ j _ { \mathrm { F B W } } ( t [ i ] ) \} } \\ { A _ { \mathrm { M } } ( t [ i ] ) } & { { } = \mathcal { L F } \{ A _ { \mathrm { M , F B W } } ( t [ i ] ) \} } \\ { n _ { \mathrm { P I } } ( t [ i ] ) } & { { } = \mathcal { B P F } \{ n _ { \mathrm { P I , F B W } } ( t [ i ] ) \} } \end{array}
{ \cal T } ( \alpha _ { d } , \alpha _ { u } , 1 - \alpha _ { d } - \alpha _ { u } ) = 3 6 0 \alpha _ { d } \alpha _ { u } ( 1 - \alpha _ { d } - \alpha _ { u } ) ^ { 2 } \sum _ { k , l = 0 } ^ { \infty } \omega _ { k , l } ^ { T } J _ { k , l } ( \alpha _ { d } , \alpha _ { u } ) ,
Z _ { 0 0 2 } = - A ( p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } ; p _ { 3 } ^ { 2 } ) \! + ( p _ { 1 } p _ { 2 } ) C ( p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } ; p _ { 3 } ^ { 2 } ) \! + B ( p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } ; p _ { 3 } ^ { 2 } ) \! - ( p _ { 1 } p _ { 2 } ) ( p _ { 1 } p _ { 3 } ) F ( p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } ; p _ { 3 } ^ { 2 } ) \! + ( p _ { 1 } p _ { 3 } ) H ,
\begin{array} { r } { \hat { \Sigma } _ { \ell } = \frac { 1 } { \hat { \sigma } _ { \ell } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { \ell } } { \frac { n _ { \ell , i } } { n _ { \ell } } } \Big ( \frac { \partial } { \partial b _ { \ell } } { m } _ { \ell } ( x _ { \ell , i } , b _ { \ell } ) \Big | _ { b _ { \ell } = \hat { \beta } _ { \ell } } \Big ) \thinspace \Big ( \frac { \partial } { \partial b _ { \ell } } { m } _ { \ell } ( x _ { \ell , i } , b _ { \ell } ) \Big | _ { b _ { \ell } = \hat { \beta } _ { \ell } } \Big ) ^ { \top } ~ , } \end{array}
J _ { 1 } ( K _ { y 1 } ) J _ { 1 } ( K _ { y 2 } ) \cos ( 2 \varphi _ { y 1 } - \varphi _ { y 2 } ) ] - 6 t _ { 2 } J _ { 0 } ( K _ { x 2 } ) J _ { 1 } ( K _ { x 1 } ) [ t _ { 2 } J _ { 1 } ( K _ { x 1 } ) J _ { 1 } ( K _ { x 2 } ) \cos ( \varphi _ { x 2 } ) + J _ { 1 } ( K _ { y 1 } ) J _ { 1 } ( K _ { y 2 } )
\begin{array} { r l } { \bigl | U ( s ) - U ( \tilde { s } ) \bigr | } & { = \bigl | \operatorname* { m a x } _ { a } \, Q ( s , a ) - \operatorname* { m a x } _ { \tilde { a } } \, Q ( \tilde { s } , \tilde { a } ) \bigr | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { a } \, \bigl | Q ( s , a ) - Q ( \tilde { s } , a ) \bigr | } \\ & { \leq L _ { Q } \| s - \tilde { s } \| _ { 2 } , } \end{array}
\left| B _ { 2 } ^ { \operatorname { L } } \right| + \big | A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \cap ( 1 + 2 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \big | \leqslant \left| B _ { 2 } ^ { \operatorname { L } } \right| + \operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| \right) \leqslant \frac { n } { 1 2 } + 3
\begin{array} { r l } { ( J h ) _ { i , j } ^ { n + 1 } - ( J h ) _ { i , j } ^ { n } = } & { - \frac { \Delta t } { 4 \Delta { \xi _ { 1 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \Bigg [ \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i + m , j } \right) ( h _ { i + m , j } + h _ { i , j } ) } \\ & { - \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i - m , j } \right) ( h _ { i - m , j } + h _ { i , j } ) \Bigg ] } \\ & { - \frac { \Delta t } { 4 \Delta { \xi _ { 2 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \Bigg [ \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j + m } \right) ( h _ { i , j + m } + h _ { i , j } ) } \\ & { - \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j - m } \right) ( h _ { i , j - m } + h _ { i , j } ) \Bigg ] , } \\ { ( J b ) _ { i , j } ^ { n + 1 } - ( J b ) _ { i , j } ^ { n } = } & { - \frac { \Delta t } { 4 \Delta { \xi _ { 1 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \Bigg [ \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i + m , j } \right) ( b _ { i + m , j } + b _ { i , j } ) } \\ & { - \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i - m , j } \right) ( b _ { i - m , j } + b _ { i , j } ) \Bigg ] } \\ & { - \frac { \Delta t } { 4 \Delta { \xi _ { 2 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \Bigg [ \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j + m } \right) ( b _ { i , j + m } + b _ { i , j } ) } \\ & { - \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j - m } \right) ( b _ { i , j - m } + b _ { i , j } ) \Bigg ] . } \end{array}
\textstyle 1 , \ \ \frac { \chi ^ { 2 } ( 1 + 8 \chi ^ { 2 } + \chi ^ { 4 } + \sqrt { 1 + 4 \chi ^ { 2 } + 5 4 \chi ^ { 4 } + 4 \chi ^ { 6 } + \chi ^ { 8 } } ) } { 6 ( 1 + \chi ^ { 2 } + \chi ^ { 4 } ) ^ { 2 } } , \ \ \frac { \chi ^ { 2 } } { 3 ( 1 + \chi ^ { 2 } + \chi ^ { 4 } ) } , \ \ \frac { \chi ^ { 2 } ( 1 + 8 \chi ^ { 2 } + \chi ^ { 4 } - \sqrt { 1 + 4 \chi ^ { 2 } + 5 4 \chi ^ { 4 } + 4 \chi ^ { 6 } + \chi ^ { 8 } } ) } { 6 ( 1 + \chi ^ { 2 } + \chi ^ { 4 } ) ^ { 2 } } .
\cos { \frac { 1 1 \pi } { 6 0 } } = \cos 3 3 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 6 } } \left[ 2 \left( { \sqrt { 3 } } + 1 \right) { \sqrt { 5 + { \sqrt { 5 } } } } + { \sqrt { 2 } } \left( 1 - { \sqrt { 3 } } \right) \left( { \sqrt { 5 } } - 1 \right) \right]