harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mu ( r , \theta ) } & { = \frac { r ^ { 2 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { r _ { n } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { r ^ { 2 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { r ^ { 2 } - 2 r \sin ( \theta ) d \delta ^ { ( n ) } + \left( \delta ^ { ( n ) } d \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { r ^ { 2 } } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { r ^ { 2 } - 2 r \sin ( \theta ) d \left( n - \frac { N - 1 } { 2 } \right) + \left( n - \frac { N - 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } d ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { r ^ { 2 } } { N } \sum _ { n = - \frac { N - 1 } { 2 } } ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } \frac { 1 } { r ^ { 2 } - 2 r \sin ( \theta ) n d + n ^ { 2 } d ^ { 2 } } } \\ & { = r ^ { 2 } \sum _ { m = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 N } } ^ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 N } } \frac { 1 } { N ^ { 2 } d ^ { 2 } m ^ { 2 } - 2 r N d \sin ( \theta ) m + r ^ { 2 } } \frac { 1 } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \emptyset \subset U } & & { \mathrm { T r u e ; ~ t h e ~ e m p t y ~ s e t ~ i s ~ a ~ s u b s e t ~ o f ~ e v e r y ~ s e t } } \\ & { U \subset \emptyset } & & { \mathrm { F a l s e ; ~ 1 ~ \in ~ U ~ } } \\ & { \emptyset \subset \emptyset } & & { \mathrm { T r u e ; ~ e v e r y ~ s e t ~ c o n t a i n s ~ i t s e l f } } \\ & { U \subset U } & & { \mathrm { T r u e ; ~ e v e r y ~ s e t ~ c o n t a i n s ~ i t s e l f } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( + 4 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } } \frac { F _ { i j k l } F _ { i j k l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } - \omega _ { l } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { j } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { j } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { k } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { k } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { l } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { l } \rangle _ { 1 } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \tau ) } & { { } \leq \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } \Sigma ^ { 2 - \gamma } } { \gamma \sigma ^ { 2 } \tau } \exp \left[ - \frac { \left( r _ { 0 } \Sigma - d \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { O } } } & { \equiv \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { p ( \phi _ { i } ) } { { q } _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } \mathcal { O } ( \phi _ { i } ) \approx \mathbb { E } _ { \phi \sim \widetilde { q } _ { \theta } } \left[ \frac { p ( \phi ) } { { q } _ { \theta } ( \phi ) } \mathcal { O } ( \phi ) \right] \equiv \bar { \mathcal { O } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { R } ( t ^ { \prime } ) | E ( t - t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d t ^ { \prime } = | A _ { p } | ^ { 2 } + | A _ { s } | ^ { 2 } } \\ { + A _ { p } ^ { * } A _ { s } e ^ { - i \delta k z } \tilde { h } _ { R } ( \Omega ) + A _ { p } A _ { s } ^ { * } e ^ { i \delta k z } \tilde { h } _ { R } ^ { * } ( \Omega ) , } \end{array}
\alpha _ { S } = - \beta a + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } + \ln \left[ \frac { z } { 2 } \mathrm { e r f c } \left( \frac { l _ { m i n } - a + \beta \sigma ^ { 2 } } { \sigma \sqrt 2 } \right) \right] \ ,
\begin{array} { r l r } { | \Psi _ { I } ^ { ( 2 ) } \rangle } & { { } = } & { - \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { t _ { 2 } } d t _ { 1 } H _ { I } ( t _ { 2 } ) H _ { I } ( t _ { 1 } ) | g \rangle . } \end{array}
\rho _ { w } E = \frac { \Delta } { \lambda _ { w } \left[ \Delta + \gamma ^ { * } \left( 1 + { g _ { a } } / { g _ { s } } \right) \right] } Q + \frac { \gamma ^ { * } } { \Delta + \gamma ^ { * } \left( 1 + { g _ { a } } / { g _ { s } } \right) } E _ { A } ,
\left| \begin{array} { c c } { { A ^ { \prime } - m _ { 1 } \omega ^ { 2 } } } & { { C ^ { \prime } } } \\ { { C ^ { \prime } } } & { { B ^ { \prime } - m _ { 2 } \omega ^ { 2 } } } \end{array} \right| = 0 .
\hat { \cal H } _ { \mathrm { i n t } } = - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \hbar \Delta _ { j } ^ { \prime } | j \rangle \langle j | - \hbar \, \left[ \Omega _ { c } | 3 \rangle \langle 2 | + \Omega _ { p } | 3 \rangle \langle 1 | + \mathrm { H . c . } \right] , \eqno { ( \textrm { S 1 } ) }
{ \begin{array} { r l } { \alpha ^ { \prime } } & { = { \frac { c ^ { \prime } } { \sin c ^ { \prime } } } { \frac { \sin a ^ { \prime } } { a ^ { \prime } } } \cos b ^ { \prime } } \\ { \beta ^ { \prime } } & { = { \frac { c ^ { \prime } } { \sin c ^ { \prime } } } { \frac { \sin b ^ { \prime } } { b ^ { \prime } } } \cos a ^ { \prime } } \\ { \gamma ^ { \prime } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { c ^ { \prime } } { \sin c ^ { \prime } } } { \frac { \sin a ^ { \prime } } { a ^ { \prime } } } { \frac { \sin b ^ { \prime } } { b ^ { \prime } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ \leq ( k - 1 ) \cdot q _ { \mathrm { b } } \! \left( G ^ { c } \; \middle \vert \; \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) = k , V _ { \ell } \right) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \mathbb { P } _ \leq c e ^ { - \lambda } \! \left( R ^ { c } \; \middle \vert \; \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) = k , V _ { \ell } , G \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { D 1 } } & { \le \frac { ( 2 n + 1 ) e ^ { - ( \gamma + a ) n } } { \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma + a } { 2 } } \right) ^ { 2 n + 1 } } \sum _ { 0 \le j \le n } \left( \begin{array} { c } { 2 n } \\ { 2 j } \end{array} \right) \frac { 2 j e ^ { ( \gamma + b ) j } } { \left( j - n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { ( 2 n + 1 ) e ^ { - ( \gamma + a ) n } } { \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma + a } { 2 } } \right) ^ { 2 n + 1 } } \sum _ { 0 \le j \le n } \left( \begin{array} { c } { 2 n } \\ { j } \end{array} \right) e ^ { \left( \frac { \gamma + b } { 2 } \right) j } } \\ & { \le n ( 2 n + 1 ) \left( \frac { e ^ { - \frac { \gamma + a } { 2 } } + e ^ { - \frac { ( a - b ) } { 2 } } } { 1 - e ^ { - \frac { \gamma + a } { 2 } } } \right) ^ { 2 n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \frac { 2 } { \pi } } ^ { t } \sin \left( 2 \arcsin \left( \frac { 2 } { \pi s } \right) \right) d s } & { = - \frac { 4 } { \pi } \ln \left( \frac { 2 } { \pi } \right) - \frac { 4 } { \pi } \sqrt { 1 - \left( \frac { 2 } { \pi t } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + \frac { 4 } { \pi } \ln \left( \sqrt { t ^ { 2 } - \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 2 } } + t \right) . } \end{array}
2 x ^ { - } > \sum _ { i } \mu _ { i } x _ { i } ^ { 2 } \cot ( \mu _ { i } x ^ { + } ) + \sum _ { a } m _ { a } y _ { a } ^ { 2 } \coth ( m _ { a } x ^ { + } ) \quad \mathrm { o r } \quad x ^ { + } > \pi / \mu _ { 1 } .
\bar { \Gamma } ^ { ( 1 ) } = - i g _ { s } ^ { 2 } ~ C _ { F } \frac { 1 } { ( \mu ^ { 2 } ) ^ { { \frac { n } { 2 } } - 2 } } ~ ~ \Big [ - 2 q ^ { 2 } ~ I _ { 1 } + 4 ~ ( p - p ^ { \prime } ) ^ { \mu } ~ I _ { \mu } + n ~ g ^ { \mu \nu } ~ I _ { \mu \nu } ~ \Big ] \ ,
\frac { 1 } { g _ { Y M } ^ { 3 } } = \frac { \tau _ { 5 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 2 } \int _ { { \cal { C } } _ { 2 } } { e } ^ { - \phi } B _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 \pi g _ { s } ( 2 \pi \sqrt { \alpha ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } \int _ { { \cal { C } } _ { 2 } } { e } ^ { - \phi } B _ { 2 }
L = - \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } y _ { i } \ln [ p _ { + } ^ { N N } ( \Gamma _ { i } ) ] + ( 1 - y _ { i } ) \ln [ 1 - p _ { + } ^ { N N } ( \Gamma _ { i } ) ] ,
\bar { \beta } _ { \phi } = \bar { \beta } - \frac { \rho _ { s } + \alpha \zeta \varDelta } { \left( q + \zeta ^ { 2 } \varDelta ^ { 2 } \right) \alpha } \left[ \left( 1 - \mathcal { R } \right) q \rho _ { s } \varOmega _ { s } + \bar { \beta } \zeta \varDelta \right]
\begin{array} { r } { { \begin{array} { r l l l } { x _ { 0 } } & { = 6 \cdot 1 0 ^ { 2 } } & { } & { = 6 0 0 . 0 0 0 } \\ { x _ { 1 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 0 } + { \frac { S } { x _ { 0 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 6 0 0 . 0 0 0 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 6 0 0 . 0 0 0 } } \right) } & { = 4 0 4 . 4 5 7 } \\ { x _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 1 } + { \frac { S } { x _ { 1 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 4 0 4 . 4 5 7 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 4 0 4 . 4 5 7 } } \right) } & { = 3 5 7 . 1 8 7 } \\ { x _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 2 } + { \frac { S } { x _ { 2 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 3 5 7 . 1 8 7 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 3 5 7 . 1 8 7 } } \right) } & { = 3 5 4 . 0 5 9 } \\ { x _ { 4 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 3 } + { \frac { S } { x _ { 3 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 3 5 4 . 0 5 9 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 3 5 4 . 0 5 9 } } \right) } & { = 3 5 4 . 0 4 5 } \\ { x _ { 5 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 4 } + { \frac { S } { x _ { 4 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 3 5 4 . 0 4 5 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 3 5 4 . 0 4 5 } } \right) } & { = 3 5 4 . 0 4 5 } \end{array} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } } & { \frac { 1 } { n } \# \left\{ 0 \leq k < n : \operatorname* { i n f } _ { W \in \mathbb R \mathbb P ^ { 1 } } \frac { 1 } { m } H \left( \pi _ { W } \eta ^ { ( T ^ { ( n + k ) ^ { \prime } } \omega ) } , { \mathcal D } _ { m } \right) \geq \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime } / 2 \right\} } \\ & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \# \left\{ n \leq k < 2 n : \operatorname* { i n f } _ { W \in \mathbb R \mathbb P ^ { 1 } } \frac { 1 } { m } H \left( \pi _ { W } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } , { \mathcal D } _ { m } \right) \geq \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime } / 2 \right\} } \\ & { \geq 2 \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { 2 n } \# \left\{ 0 \leq k < 2 n : \operatorname* { i n f } _ { W \in \mathbb R \mathbb P ^ { 1 } } \frac { 1 } { m } H \left( \pi _ { W } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } , { \mathcal D } _ { m } \right) \geq \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime } / 2 \right\} - 1 } \\ & { \geq 2 ( 1 - C \varepsilon ) - 1 } \\ & { = 1 - 2 C \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) = } & { { } \mu _ { 1 } g ( t ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) + C g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \eta ^ { \beta - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { \Omega } ( t , \eta ) d \eta + f ( t ) \chi ( \xi ) + \delta \left( \beta + C \right) \varphi ( \xi ) g ( t ) } \end{array}
\mathcal { F } = 2 \pi \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } W ( \textbf { r } ) W _ { \mathrm { t r a n s f e r r e d } } ( \textbf { r } ) \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { r } .
H _ { C } = \sum _ { n = 1 } ^ { | V | } \sum _ { m = 1 } ^ { | V | } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } A _ { n m } Z _ { n } ^ { i } Z _ { m } ^ { k - i } = \sum _ { \left\{ n , m \right\} \in E } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } Z _ { n } ^ { i } Z _ { m } ^ { k - i } ,
W _ { \wedge } = \left\{ \begin{array} { c } { { L _ { - 1 } \quad L _ { 0 } \quad L _ { 1 } } } \\ { { J _ { - 2 } \quad J _ { - 1 } \quad J _ { 0 } \quad J _ { 1 } \quad J _ { 2 } } } \\ { { \Lambda _ { - 3 } \quad \Lambda _ { - 2 } \quad \Lambda _ { - 1 } \quad \Lambda _ { 0 } \quad \Lambda _ { 1 } \quad \Lambda _ { 2 } \quad \Lambda _ { 3 } } } \\ { { \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { H S } } ^ { ( \mathrm { F P A A } ) } } & { { } = \mathcal { O } \left( \log ( 1 / \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } ) \left[ t + \log ( 1 / \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } ) \right] \right) } \end{array}
\mathbb { P } _ { e } ^ { ( \ell ) } \leq \sum _ { s = 1 } ^ { k } { \binom { k } { s } } \mathbb { P } \Bigg ( \log \left( \frac { p \left( \textbf { z } \mid \textbf { x } ( \mathcal { I } ^ { 0 } ) , \textbf { x } ( \mathcal { I } ^ { 1 } ) \right) } { p \left( \textbf { z } \mid \textbf { x } ( \mathcal { I } ^ { 1 } ) \right) } \right) \leq \log \frac { \rho } { k { \binom { k } { s } } { \binom { \ell - k } { s } } } \Bigg ) + \rho .
\begin{array} { r l } & { \mathbf u _ { i } ^ { n + 1 } = ( 1 - \chi ) { \mathbf v } _ { i } ^ { n + 1 } + \chi \overline { { \mathbf v } } _ { i } ^ { n + 1 } , } \\ & { h _ { i } ^ { n + 1 } = ( 1 - \xi ) { l } _ { i } ^ { n + 1 } + \xi \overline { { l } } _ { i } ^ { n + 1 } , } \\ & { p _ { i } ^ { n + 1 } = p _ { i } ^ { , n + 1 } + \rho _ { i } ^ { n + 1 } g z _ { i } , } \\ & { p _ { i } ^ { n + 1 } = \rho ^ { n + 1 } R T _ { i } ^ { n + 1 } , } \\ & { h _ { i } ^ { n + 1 } - h _ { i } ^ { n } = c _ { p } ( T _ { i } ^ { n + 1 } - T _ { i } ^ { n } ) , } \\ & { K _ { i } ^ { n + 1 } = \frac { | \mathbf u _ { i } ^ { n + 1 } | ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { e } ^ { \mu t ^ { \prime } } \cos \left( \omega t ^ { \prime } + \phi \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } \left( \mathrm { e } ^ { \mu t } \left( \omega \sin \left( \omega t + \phi \right) + \mu \cos \left( \omega t + \phi \right) \right) - \left( \omega \sin \phi + \mu \cos \phi \right) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { \mu ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } \left( \mathrm { e } ^ { \mu t } \cos \left( \omega t + \phi - \varphi \right) - \cos \left( \phi - \varphi \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { W } & { = W _ { 1 } \cdot W _ { 2 } } \\ { W _ { 1 } } & { = \frac { 1 0 ( s + \omega _ { n 1 } ^ { 2 } ) } { s ^ { 2 } + 2 \zeta _ { 1 } \omega _ { n 1 } s + \omega _ { n 1 } ^ { 2 } } , \; \; W _ { 2 } = \frac { 1 0 ( s + \omega _ { n 2 } ^ { 2 } ) } { s ^ { 2 } + 2 \zeta _ { 2 } \omega _ { n 2 } s + \omega _ { n 2 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { y } _ { i } ( t ) = } & { { } } & { \sum _ { j \in N _ { i } } a _ { i j } ( y _ { j } ( t ) - y _ { i } ( t ) ) } \\ { \dot { z } _ { i } ( t ) = } & { { } } & { \sum _ { j \in N _ { i } } a _ { i j } ( y _ { j } ( t ) - y _ { i } ( t ) ) , } \end{array}
\left( { \begin{array} { l l l } { x } & { y } & { z } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l l l } { A } & { B / 2 } & { D / 2 } \\ { B / 2 } & { C } & { E / 2 } \\ { D / 2 } & { E / 2 } & { F } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} } \right) = 0 .
\begin{array} { r } { M = \left( \begin{array} { l l l l } { M _ { 1 1 } } & { M _ { 1 0 } e ^ { - i \phi } } & { M _ { 1 - 1 } e ^ { - 2 i \phi } } & { M _ { S T } e ^ { - i \phi } } \\ { M _ { 0 1 } e ^ { i \phi } } & { M _ { 0 0 } } & { M _ { 0 - 1 } e ^ { - i \phi } } & { 0 } \\ { M _ { - 1 1 } e ^ { 2 i \phi } } & { M _ { - 1 0 } e ^ { i \phi } } & { M _ { - 1 - 1 } } & { M _ { S T } e ^ { i \phi } } \\ { M _ { S T } e ^ { i \phi } } & { 0 } & { - M _ { S T } e ^ { - i \phi } } & { M _ { S S } } \end{array} \right) , } \end{array}
\langle \langle f ( { \vec { x } } , \dots \rangle \rangle = \frac { \int d ^ { d } x f ( { \vec { x } } , \dots ) e ^ { - \varphi ( { \vec { x } } , \dots ) } } { \int d ^ { d } x e ^ { - \varphi ( { \vec { x } } , \dots ) } }
\begin{array} { r } { \mathbf { t } ^ { t o t } = \mathbf { t } ^ { \mathrm { e f f } } - ( 1 - \zeta ) p ^ { l } \mathbf { I _ { d } } - \zeta p ^ { b } \mathbf { I _ { d } } } \\ { \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { \mathrm { T } } ) } \\ { \mathbf { t } ^ { \mathrm { e f f } } = 2 \mu \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ^ { s } ) + \lambda \mathrm { t r } ( \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ^ { s } ) ) \mathbf { I _ { d } } } \\ { \zeta = \varepsilon _ { 0 } ^ { b } \left( 1 - 2 \frac { p ^ { l } - p ^ { b } } { K ^ { \nu } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \frac { 1 } { 1 - \delta } \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 1 - \delta } , \psi \right) _ { Q _ { T } } - \frac { 1 } { 2 - \delta } \left( \partial _ { x } \left( \gamma \psi \right) , \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 - \delta } \right) _ { Q _ { T } } + \left( \psi g _ { 0 } , \tilde { u } _ { n } ^ { 1 - \delta } \right) _ { Q _ { T } } - \left( \psi g _ { 0 } , \frac { 1 } { n } \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } . } \end{array}
d { \Gamma } _ { 0 } ^ { \pm } = G _ { F } ^ { 2 } m _ { b } ^ { 5 } | V _ { C K M } | ^ { 2 } { \cal M } _ { 0 , 3 } ^ { \pm } d { \cal R } _ { 3 } ( Q ; q , \tau , \nu ) / { \pi } ^ { 5 }
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \Theta } \dot { \Theta } ^ { \langle \mu \nu \alpha \beta \rangle } + \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } } & { { } = } & { \delta _ { \Theta \Theta } \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } \theta + 4 \tau _ { \Theta } \Theta ^ { \lambda \langle \mu \nu \alpha } \omega ^ { \beta \rangle } { } _ { \lambda } + \tau _ { \Theta \Theta } \sigma _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \Theta ^ { \nu \alpha \beta \rangle \lambda } + \ell _ { \Theta \pi } \sigma ^ { \langle \mu \nu } \pi ^ { \alpha \beta \rangle } + } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } , \delta _ { \mathrm { s f } } ) = \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } ) { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( - { \it \Delta \phi } ) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { - i \mathrm { e } ^ { - i \Delta \phi } \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ { - i \mathrm { e } ^ { + i \Delta \phi } \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathcal { B } _ { \boldsymbol { h } } ( \boldsymbol { q } _ { \boldsymbol { h } } , \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { h } } ) + \mathcal { K } _ { \boldsymbol { h } } ( \boldsymbol { q } _ { \boldsymbol { h } } , \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { h } } ) = \mathcal { B } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { h } } ) + \mathcal { K } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { h } } ) \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { h } } \in \mathbf { V } _ { \boldsymbol { h } } ^ { \boldsymbol { k } }
{ \mathfrak { H } } = { \left( \begin{array} { l l } { Z _ { \infty } } & { - \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } \\ { 1 } & { - z _ { \infty } } \end{array} \right) } , \; \; Z _ { \infty } = \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } - z _ { \infty } .
\begin{array} { r l } { F } & { { } = \frac { p _ { q } } { p + p _ { q } } \; \xi \; \int _ { z _ { \mathrm { t i p } } } ^ { \infty } d y \; \frac v { v + v _ { \mathrm { d r } } ( y ) } \; e ^ { \int _ { z _ { \mathrm { t i p } } } ^ { y } \lambda ( x ) \; d x } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \hat { \Phi } ( \omega _ { j } ; \Delta \phi ) = \arg \big \{ \hat { G } _ { \Delta \phi } [ \langle S _ { D } \rangle ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ; \Delta \phi ) ] ( \omega _ { j } ) \big \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } S _ { \alpha } ( 1 ) } & { = \beta - \alpha \in ( 1 / \beta ^ { 2 } , 1 / \beta ) \subset J _ { 0 } , } & { S _ { \alpha } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta - \beta \alpha \in ( - 1 / \beta ^ { 2 } , 0 ) \subset J _ { 0 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 ) } & { = \beta ^ { 2 } - \beta \alpha \in ( 1 / \beta , 1 ) \subset J _ { 1 } , } & { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } \alpha \in ( - 1 / \beta , 0 ) \subset J _ { 0 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 3 } ( 1 ) } & { = \beta ^ { 3 } - ( \beta ^ { 2 } + 1 ) \alpha \in ( - 1 / \beta ^ { 3 } , 1 / \beta ) \subset J _ { 0 } } & { \ \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ \ S _ { \alpha } ^ { 3 } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta ^ { 3 } - \beta ^ { 3 } \alpha \in ( - 1 , 0 ) \subset J _ { - 1 } \cup J _ { 0 } . } \end{array}
( A - 3 I ) v _ { \lambda = 3 } = { \left[ \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \left( y _ { \xi } z \right) _ { i , j , k } } & { { } = \frac { 1 } { \Delta \xi } \left( y _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } + y _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } \right) z _ { i , j , k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathscr { B } _ { T } + \bigg ( c _ { g } \mathscr { B } - \frac { Q _ { k } } { D _ { \omega } } \mathscr { B } N \bigg ) _ { Z } = 0 \, , } \\ { N _ { T } + \bigg ( v _ { | | } ( N + n _ { 0 } ) - \frac { v _ { | | } } { n _ { 0 } } N ^ { 2 } + Q _ { v { | | } } N \mathscr { B } \bigg ) _ { Z } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \varepsilon } } & { { } = } & { \frac { 4 \pi \alpha _ { 1 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } } \\ { B _ { \varepsilon } ( T ) } & { { } = } & { \frac { 2 \pi k _ { \mathrm { B } } T } { 3 V } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } Z _ { 2 } ( V , T , E _ { 0 } ) } { \partial E _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { C _ { \varepsilon } ( T ) } & { { } = } & { - \frac { 2 \pi k _ { \mathrm { B } } T N _ { \mathrm { A } } ^ { 3 } } { 3 } \left[ \frac { 2 } { V ^ { 2 } } \left( \frac { \partial Z _ { 2 } } { \partial E _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 ( Z _ { 2 } - V ^ { 2 } ) } { V ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } Z _ { 2 } } { \partial E _ { 0 } ^ { 2 } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S W - M S } } = \ } & { \hbar \Omega \eta \hat { S } _ { + } e ^ { - i \delta t } e ^ { i \tilde { \phi } } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) \cos { \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { B D } } } { 2 } \right) } } \\ { + } & { \hbar \Omega \hat { S } _ { + } e ^ { - i \delta t } e ^ { i \tilde { \phi } } \sin { \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { B D } } } { 2 } \right) } } \\ { + } & { \hbar \Omega \eta \hat { S } _ { + } e ^ { i \delta t } e ^ { i \tilde { \phi } } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) \cos { \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { R D } } } { 2 } \right) } } \\ { + } & { \hbar \Omega \hat { S } _ { + } e ^ { i \delta t } e ^ { i \tilde { \phi } } \sin { \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { R D } } } { 2 } \right) + \textrm { h . c . } , } } \end{array}
E _ { M I T } \; = \; \frac { 4 \pi } { 3 } R ^ { 3 } B \; + \; \frac { 3 x - z _ { 0 } } { R } \; = \; \frac { B } { \rho _ { B } } \; + \; ( 3 x - z _ { 0 } ) \, \left( \frac { 4 \pi } { 3 } \right) ^ { 1 / 3 } \, \rho _ { B } ^ { 1 / 3 } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { a r g m a x } _ { \left\{ x _ { i } \right\} , \left\{ y _ { j } \right\} } } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log _ { 2 } \left( 1 + \alpha _ { i } x _ { i } \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { M } \log _ { 2 } \left( 1 + \beta _ { j } y _ { j } \right) \right) } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o : ~ } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { M } y _ { j } \leq A } \\ & { \sum _ { j = 1 } ^ { M } \log _ { 2 } \left( 1 + \beta _ { j } y _ { j } \right) \leq B } \end{array}
\begin{array} { r l } { ~ } & { \mathrm { v a r ~ } \hat { q } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \frac { { \cal N } _ { n } } { 2 } + \eta _ { n } \kappa _ { n } \left( B _ { n } ^ { 2 } \mathrm { v a r } \Re \hat { X } _ { n , m } + A _ { n } ^ { 2 } \mathrm { v a r } \Re \hat { Q } _ { n , m } \right) \right] \, , } \\ & { \mathrm { v a r ~ } \hat { p } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \frac { { \cal N } _ { n } } { 2 } + \eta _ { n } \kappa _ { n } \left( B _ { n } ^ { 2 } \mathrm { v a r } \Im \hat { X } _ { n , m } + A _ { n } ^ { 2 } \mathrm { v a r } \Im \hat { Q } _ { n , m } \right) \right] \, . } \end{array}