harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { I = \langle g _ { 1 } , G _ { 0 } ( \omega + i 0 ^ { + } ) g _ { 2 } \rangle = - \frac 1 { 2 \pi } \int _ { \mathbb R ^ { 6 } } g _ { 1 } ( \mathbf r ) g _ { 2 } ( \mathbf r ^ { \prime } ) \frac { e ^ { - \lambda | \mathbf r - \mathbf r ^ { \prime } | } } { | \mathbf r - \mathbf r ^ { \prime } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Big ( \rho u \cdot \partial _ { t } \Phi + \rho u \otimes u : \nabla \Phi - \nu \nabla u : \nabla \Phi - 2 \lambda \Phi \cdot \Im ( \nabla \Bar { \psi } B \psi ) + \alpha \rho u \cdot \Phi \Big ) d x \ d t } \\ & { \quad = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Big ( \rho _ { 0 } u _ { 0 } \Phi ( 0 ) - \rho ( T ) u ( T ) \Phi ( T ) \Big ) d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \mu ) } & { { } \propto { \sqrt { I ( \mu ) } } = { \sqrt { \operatorname { E } \! \left[ \left( { \frac { d } { d \mu } } \log f ( x \mid \mu ) \right) ^ { 2 } \right] } } = { \sqrt { \operatorname { E } \! \left[ \left( { \frac { x - \mu } { \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \right] } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ddot { b } + \gamma _ { 2 } ( t _ { 2 } ) \dot { b } + \omega _ { 2 } ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) b = \frac { w _ { 2 } ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) } { w _ { 1 } ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) } \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) } { b ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { m } z } P ^ { \beta } Q ^ { \alpha } \exp { ( T ) } \vert \mathrm { R } \rangle + S _ { \mathrm { b } z } P ^ { \beta } Q ^ { \alpha } \exp { ( T ) } \vert \mathrm { R } \rangle = 0 } \\ { \implies S _ { \mathrm { m } z } P ^ { \beta } Q ^ { \alpha } \exp { ( T ) } \vert \mathrm { R } \rangle = - S _ { \mathrm { b } z } P ^ { \beta } Q ^ { \alpha } \exp { ( T ) } \vert \mathrm { R } \rangle } \end{array}
v ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 2 \mu _ { a b } } } { \pi \hbar } \int _ { r _ { - } } ^ { r _ { + } } \left[ E _ { i n t } ^ { \prime } - V ( r _ { a b } ) - \frac { \hbar ^ { 2 } j ^ { \prime } ( j ^ { \prime } + 1 ) } { 2 \mu _ { a b } r _ { a b } ^ { 2 } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } d r
\begin{array} { r } { p _ { C _ { 1 } C _ { 2 } } ( 1 , c _ { 1 } , c _ { 2 } ) = ( 1 - P _ { 1 } - P _ { 2 } ) \, \delta ( c _ { 1 } ) \, \delta ( c _ { 2 } ) + P _ { 1 } \, \delta ( c _ { 1 } - 1 ) \, \delta ( c _ { 2 } ) + P _ { 2 } \, \delta ( c _ { 1 } ) \, \delta ( c _ { 2 } - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { x } ( \xi ) = \Bigl \{ \mathrm { T h e r e ~ e x i s t s ~ s o m e ~ } } & { z \in B ( x , \delta _ { k } r ) \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { P ^ { z } ( S ^ { z } [ 0 , \tau _ { S ^ { z } } ( B ( z , \delta _ { k } ^ { 1 / 2 } r ) ^ { c } ) ] \cap \gamma ( x , \infty ) = \emptyset ) \ge \delta _ { k } ^ { \xi } \Bigr \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ( \hat { k } _ { L + 1 } \ne k ^ { * } ) \le 2 \exp \left\{ - \frac { T _ { 1 } } { 1 8 } D _ { L } ^ { 2 } \right\} + 2 \exp { \left\{ - \frac { T _ { 1 } K } { 3 2 } D _ { L } ^ { 2 } \right\} } } \\ & { + 2 \exp \left\{ - \frac { T _ { 1 } K } { 7 2 } D _ { L } ^ { 2 } \right\} + 2 ( L - 2 ) \exp \left\{ - \frac { T _ { 1 } } { 1 6 } D _ { L } ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \begin{array} { l l } { { \bf J } _ { 1 1 } ( { \tilde { \bar { \bf \Delta } } } _ { 1 } ^ { * } ) ^ { - 1 } ( { \tilde { \bar { \bf D } } } _ { 1 } ^ { + } ) ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } & { - { \bf J } _ { 1 1 } ( { \tilde { \bar { \bf \Delta } } } _ { 1 } ^ { * } ) ^ { - 1 } { \bf J } _ { 2 2 } ^ { - 1 } } \\ { - { \bf J } _ { 1 1 } ( { \tilde { \bar { \bf \Delta } } } _ { 1 } ^ { * } ) ^ { - 1 } ( { \tilde { \bar { \bf D } } } _ { 1 } ^ { - } ) ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } & { { \bf J } _ { 1 1 } ( { \tilde { \bar { \bf \Delta } } } _ { 1 } ^ { * } ) ^ { - 1 } { \bf J } _ { 2 2 } ^ { - 1 } } \end{array} \right) ( - { \bf s } , x _ { 3 } ) \left( \begin{array} { l } { { \bf J } _ { 1 1 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 1 } ^ { * } ( - { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } \\ { { \bf J } _ { 2 2 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 2 } ^ { * } ( - { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
S = \frac { - \ensuremath { k _ { \mathrm { B } } } } { h ^ { 3 N } } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ \frac { e ^ { - \beta \mathcal { H } } } { Q } \ln \frac { e ^ { - \beta \mathcal { H } } } { Q }
\begin{array} { r l } & { ( \varepsilon _ { \mathcal { P } } \otimes ( e _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge e _ { i _ { k } } ) ) \cdot E _ { i _ { r } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k - r } \varepsilon _ { \mathcal { P } } \otimes ( e _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge e _ { i _ { r - 1 } } \wedge ( e _ { i _ { r } } \cdot E ) \wedge e _ { i _ { r + 1 } } \wedge \cdots \wedge e _ { i _ { k } } ) . } \end{array}
e = { \frac { r _ { \mathrm { m a x } } - r _ { \mathrm { m i n } } } { r _ { \mathrm { m a x } } + r _ { \mathrm { m i n } } } } = { \frac { r _ { \mathrm { m a x } } - r _ { \mathrm { m i n } } } { 2 a } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { p \neq i } \frac { \Tilde { \lambda } _ { 2 p \overline { { 2 p } } } + \Tilde { \lambda } _ { 2 p + 1 \overline { { 2 p + 1 } } } } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } } } & { \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { p \neq i } \frac { D _ { X } ^ { 2 } u _ { 2 p \overline { { 2 p } } } + D _ { X } ^ { 2 } u _ { 2 p + 1 \overline { { 2 p + 1 } } } } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } } - C _ { 1 } ( \Tilde { \lambda } + 1 ) } \\ & { \geq C _ { 4 } \sum _ { p = 0 } ^ { 2 n - 1 } D _ { X } ^ { 2 } u _ { p \overline { { p } } } - C _ { 1 } ( \Tilde { \lambda } + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { 1 S - 2 S } ( v ) } & { { } = 2 5 6 + 3 8 4 v - 4 1 6 v ^ { 2 } - 8 1 6 v ^ { 3 } - 3 2 v ^ { 4 } + 3 6 0 v ^ { 5 } - 6 7 0 v ^ { 6 } - 5 ~ 0 7 3 v ^ { 7 } - 6 ~ 0 3 7 v ^ { 8 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { \operatorname* { s u p } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } | \varsigma ^ { \prime \prime } ( x ) | } { \operatorname* { i n f } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } | \varsigma ^ { \prime } ( x ) | } } & { \leqslant \frac { \pi } { 2 } \bigg | \frac { \csc ^ { 2 } ( \pi x _ { 0 } ) - \alpha ^ { 3 } \csc ^ { 2 } ( \alpha \pi x _ { 0 } ) - ( 1 - \alpha ) ^ { 3 } \csc ^ { 2 } ( ( 1 - \alpha ) \pi x _ { 0 } ) } { \alpha ^ { 2 } \cot ( \alpha \pi x _ { * } ) + ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } \cot ( ( 1 - \alpha ) \pi x _ { * } ) - \cot ( \pi x _ { * } ) } \bigg | } \\ & { \leqslant \frac { 3 \csc ^ { 2 } ( \pi x _ { 0 } ) } { 2 ( 1 - \alpha ^ { 3 } - ( 1 - \alpha ) ^ { 3 } ) x _ { * } } \leqslant \frac { 3 } { 2 \pi ( 1 - \alpha ^ { 3 } - ( 1 - \alpha ) ^ { 3 } ) x _ { * } x _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ( 1 - \alpha ) ( x _ { 0 } - 2 ^ { 1 - k } ) x _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } = M ( x _ { 0 } , k ) . } \end{array}
\partial _ { c } f _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } ( c , f _ { 1 } , f _ { 2 } ) [ h _ { 1 } , h _ { 2 } ] = \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { \varphi } h _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \partial _ { \varphi } h _ { 2 } } \end{array} \right) .
\widetilde { \cal J } ^ { \nu } = ( \eta ^ { \mu \nu } \bot _ { \sigma \rho } + 2 \eta ^ { \nu } { _ { [ \sigma } } \eta _ { \rho ] } { ^ { \mu } } ) [ \acute { \xi } ^ { \sigma } \widetilde { \nabla } _ { \mu } \xi ^ { \rho } - ( \widetilde { \nabla } _ { \mu } \acute { \xi } ^ { \rho } ) \xi ^ { \sigma } ] .
\begin{array} { r } { - \mathbf n \cdot \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } + \omega \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } + \omega \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } + \omega ^ { 2 } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 2 } + \omega ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 2 } ) = \omega ^ { \beta } ( c _ { 0 } ^ { a } + a \omega c _ { 0 } ^ { a - 1 } c _ { 1 } - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c d h a e k } & { = a e k c d h + ( q ^ { 4 } - q ^ { 2 } ) * a f h c e g + ( 1 - q ^ { 2 } ) * b d k c e g - ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } * b f g c d h , } \\ { c d h a f h } & { = a f h c d h + ( q ^ { 3 } - q ) * a f h c e g - ( q ^ { 3 } - q ) * b f g c d h , } \\ { c d h b d k } & { = b d k c d h - ( q - 1 / q ) * b d k c e g + ( q - 1 / q ) * b f g c d h , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } } & { ( u - s , x - w ) - \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) | | \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , w - y ) | } \\ & { \lesssim \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \left( \frac { | w - z | ^ { \zeta } } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - w ) + \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \mathbb { 1 } _ { | w - z | \geq \frac { 1 } { 2 } ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } ^ { 2 } \leq } & { C _ { 1 } \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } } } \\ { = } & { C _ { 1 } \left( - \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( T ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } + \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } \right) } \\ & { + C _ { 1 } \left( - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } + g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) , \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } } } \\ { \leq } & { C _ { 1 } \left( - \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( T ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } + \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } \right) } \\ & { + C _ { 1 } \lVert - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } + g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } \cdot \lVert \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } , } \end{array}
P _ { \eta } [ \vec { \eta } ] = \left( ( 2 \pi ) ^ { N } \operatorname* { d e t } K \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \exp \left( - 1 / 2 \sum _ { m , n } \eta _ { m } ( K ^ { - 1 } ) _ { m n } \eta _ { n } \right) \ .
\int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } \mathbf { F } _ { \mathrm { r a d } } \cdot \mathbf { v } d t = - { \frac { \mu _ { 0 } q ^ { 2 } } { 6 \pi c } } { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } \cdot \mathbf { v } { \bigg | } _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } + \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } { \frac { \mu _ { 0 } q ^ { 2 } } { 6 \pi c } } { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { v } } { d t ^ { 2 } } } \cdot \mathbf { v } d t = - 0 + \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } { \frac { \mu _ { 0 } q ^ { 2 } } { 6 \pi c } } \mathbf { \dot { a } } \cdot \mathbf { v } d t .
{ \cal G } ( . . , x , . . . ) = \frac { \int { D } \overline { { { q } } } { D } q { D A } { D } \overline { { { C } } } { D } C . . . . q ( x ) . . . . . \mathrm { e x p } ( - S _ { Q C D } [ A , \overline { { { q } } } , q , \overline { { { C } } } , C ] ) } { \int { D } \overline { { { q } } } { D } q { D A } { D } \overline { { { C } } } { D } C \mathrm { e x p } ( - S _ { Q C D } [ A , \overline { { { q } } } , q , \overline { { { C } } } , C ] ) } .
\begin{array} { r } { c _ { 2 } ^ { 2 } \epsilon ^ { \frac { 7 } { 3 } } + 2 ( c _ { 1 } c _ { 2 } - c _ { 2 } ^ { 3 } ) \epsilon ^ { 2 } + 2 ( { c _ { 1 } ^ { 2 } } / { 2 } - 3 c _ { 1 } c _ { 2 } ^ { 2 } - \mathrm { ~ i ~ } \beta c _ { 2 } g ) \epsilon ^ { \frac { 5 } { 3 } } } \\ { - 2 ( 3 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \beta c _ { 1 } g ) \epsilon ^ { \frac { 4 } { 3 } } + ( g ^ { 2 } \beta / \alpha - 2 c _ { 1 } ^ { 3 } ) \epsilon = 0 , } \end{array}
C ^ { 2 } \: \int d ^ { 4 } \theta \: { \frac { 1 } { 4 \: M ^ { 2 } } } X X ^ { + } \bar { \phi } \bar { \phi } ^ { + } = C ^ { 2 } \: { \frac { | F _ { X } | ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } | \bar { \phi } | ^ { 2 } + . . .
{ \cal L } _ { Y u k } ^ { Q } = \lambda _ { L } H _ { 1 } \bar { Q } _ { L } Q _ { L } ^ { c } + \lambda _ { R } H _ { 1 } \bar { Q } _ { R } Q _ { R } ^ { c } + 2 D \bar { Q } _ { L } Q _ { R } + \mathrm { H . c . } ,
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 4 , 0 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } y < 1 . 7 3 2 ( x - 0 . 1 6 6 7 ) , } \\ { ( 8 , 7 . 1 4 5 , - 4 . 1 2 5 , 1 1 6 . 8 3 3 3 ) , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\vert \nu _ { \alpha } \rangle = \vert \nu _ { 1 } \rangle \cos \theta + \vert \nu _ { 2 } \rangle \sin \theta , \quad \vert \nu _ { \beta } \rangle = - \vert \nu _ { 1 } \rangle \sin \theta + \vert \nu _ { 2 } \rangle \cos \theta
B _ { \mathrm { e x p } } = { \frac { { \cal R } _ { 0 } { \cal R } _ { 2 } + { \cal I } _ { 0 } { \cal I } _ { 2 } } { 2 ( { \cal R } _ { 0 } ^ { 2 } + { \cal I } _ { 0 } ^ { 2 } ) } } = { \frac { \bar { \rho } { \cal R } _ { 2 } + { \cal I } _ { 2 } } { 2 ( 1 + \bar { \rho } ^ { 2 } ) { \cal I } _ { 0 } } } ~ ,
\begin{array} { r l r l } { P ^ { * } = } & { \operatorname* { s u p } _ { t ^ { * } \in 0 . . T , \; x _ { h } [ \cdot ] } p ( x [ t \mid x _ { h } ] ) } & \\ & { \dot { x } = f ( t , x [ t ] , x [ t - \tau ] ) } & & { \forall t \in 1 . . T } \\ & { x [ t ] = x _ { h } [ t ] } & & { \forall t \in [ - \tau , 0 ] } \\ & { x _ { h } [ \cdot ] \in \mathcal { H } . } \end{array}
\boldsymbol { C } _ { \mathrm { D M D } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \boldsymbol { \phi } _ { 1 } } & { \boldsymbol { \phi } _ { 2 } } & { \dots } & { \boldsymbol { \phi } _ { r } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { b _ { 1 } } & & & \\ & { b _ { 2 } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { b _ { r } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { \lambda _ { 1 } } & { \cdots } & { \lambda _ { 1 } ^ { T - 1 } } \\ { 1 } & { \lambda _ { 2 } } & { \cdots } & { \lambda _ { 2 } ^ { T - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \lambda _ { r } } & { \cdots } & { \lambda _ { r } ^ { T - 1 } } \end{array} \right] = \boldsymbol { \Phi } \boldsymbol { D } _ { b } \boldsymbol { \Psi } ,
J _ { 0 } ( m _ { u } ^ { 2 } ) - J _ { 0 } ( m _ { d } ^ { 2 } ) = - M [ J _ { 1 } ( m _ { u } ^ { 2 } ) + J _ { 1 } ( m _ { d } ^ { 2 } ) ] + { \cal O } ( M ^ { 3 } ) .
\sum _ { i = 1 } ^ { r } \, \Lambda ( H _ { i } ) \Lambda ^ { \prime } ( H ^ { i } ) = ( \lambda , \lambda ^ { \prime } ) \, , ~ ~ ~ ~ \forall \Lambda = ( \lambda , \kappa , \tau ) \, , \, \Lambda ^ { \prime } = ( \lambda ^ { \prime } , \kappa ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } ) \, \in \, { \cal H } ^ { * }
\begin{array} { r l } { \sqrt [ 3 ] { \| \zeta \| } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } \right) ^ { 2 } + 3 k _ { \mathrm { a } } \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) + 3 } , } \\ { \theta } & { { } = \arctan { \left( - \frac { q } { 2 } , \frac { \sqrt { \Delta [ P _ { \mathrm { a t } } ] } } { 6 \sqrt { 3 } } \right) } , } \\ { \Delta [ P _ { \mathrm { a t } } ] } & { { } = - 4 p ^ { 3 } - 2 7 q ^ { 2 } , } \\ { p } & { { } = - \frac { 1 } { 3 } \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } \right) ^ { 2 } - k _ { \mathrm { a } } \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) - 1 , } \\ { q } & { { } = \frac { 2 } { 2 7 } \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } \right) ^ { 3 } + \frac { k _ { \mathrm { a } } } { 3 } \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } \right) \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) - \frac { 2 k _ { \mathrm { a } } } { 3 } + \frac { c _ { \mathrm { b } } } { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } ( r ^ { \prime } ) } \left. \left| \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { i j } \left( \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( X _ { i j } \right) \left( f \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) \right| \right| U , X \right] } \\ { \leq } & { 2 \beta _ { U } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } ( r ^ { \prime } ) } \left. \left| \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { i j } \left( f \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) \right| \right| U , X \right] . } \end{array}
\ddot { \vec { k } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \dot { \vec { k } } = - \left( \begin{array} { r } { \ddot { a } / a ^ { 2 } } \\ { \ddot { b } / b ^ { 2 } } \\ { \ddot { c } / c ^ { 2 } } \end{array} \right) + 2 \left( \begin{array} { r } { { \dot { a } } ^ { 2 } / a ^ { 3 } } \\ { { \dot { b } } ^ { 2 } / b ^ { 3 } } \\ { { \dot { c } } ^ { 2 } / c ^ { 3 } } \end{array} \right) \enspace \enspace \mathrm { a n d } \enspace \enspace \ddot { \vec { n } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \dot { \vec { n } } = \left( \begin{array} { r } { \ddot { a } } \\ { \ddot { b } } \\ { \ddot { c } } \end{array} \right) .
\hat { I } _ { \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \underbrace { \hat { X } ( \omega _ { n } - \Delta _ { \mathrm { L O } } ) + \hat { X } ( - \omega _ { n } - \Delta _ { \mathrm { L O } } ) } _ { \hat { I } _ { X , \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) } + i \underbrace { [ \hat { P } ( \omega _ { n } - \Delta _ { \mathrm { L O } } ) - \hat { P } ( - \omega _ { n } - \Delta _ { \mathrm { L O } } ) ] } _ { \hat { I } _ { P , \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) } ) ,
h _ { \parallel } ^ { ( i ) } ( u , \mu ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d v \ K _ { W W } ^ { ( i ) } ( u , v ) \phi _ { \perp } ( v , \mu ^ { 2 } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \! { \cal D } \underline { { { \alpha } } } \ K _ { g } ^ { ( i ) } ( u , \underline { { { \alpha } } } ) { \cal T } ( \underline { { { \alpha } } } , \mu ^ { 2 } ) ,
\stackrel [ ( i , l , k ) \in \mathbb { B } ] { \operatorname* { m a x } } \underset { j \in \mathcal { T } _ { n } } { \operatorname* { m a x } } \left| \tilde { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \rho _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \vartheta _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) \right| ^ { q } \leq \underset { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } { \sum } \underset { j \in \mathcal { T } _ { n } } { \operatorname* { m a x } } \left| \tilde { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \rho _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \vartheta _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) \right| ^ { q }
g ( l b ^ { 1 / 2 } ) = ( { \frac { a } { b } } ) ^ { 2 } g _ { 1 } \sinh ^ { 2 } ( { \frac { l b ^ { 1 / 2 } } { 2 } } ) ( c + \sinh ^ { 2 } ( { \frac { l b ^ { 1 / 2 } } { 2 } } ) ) ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ \, ~ \, ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } x _ { - } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { - j } ( x _ { j } - x _ { - } ) + \sigma _ { - } ( u _ { -- } x _ { - } ^ { p } ) x _ { - } \geq \sigma _ { - } ( u _ { -- } x _ { - } ^ { p } ) x _ { - } \, . } \end{array}
\int \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { n } \, d x = - { \frac { x \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { n + 2 } } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } } + { \frac { { \sqrt { a x + 1 } } { \sqrt { a x - 1 } } \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { n + 1 } } { a ( n + 1 ) } } + { \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } } \int \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { n + 2 } \, d x \quad ( n \neq - 1 , - 2 )
\left\langle { \frac { \partial T } { \partial x _ { k } } } , \phi \right\rangle = - \left\langle T , { \frac { \partial \phi } { \partial x _ { k } } } \right\rangle \qquad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } \phi \in { \mathcal { D } } ( U ) .
\varepsilon ^ { 2 } \partial _ { t } f ( x , \tilde { v } , t ) + \varepsilon \tilde { v } \partial _ { x } f ( x , \tilde { v } , t ) = \tilde { R } _ { c x } ( x , t ) \left( M ( \tilde { v } \mid x , t ) \int f ( x , \tilde { v } ^ { \prime } , t ) d \tilde { v } ^ { \prime } - f ( x , \tilde { v } , t ) \right) .
\begin{array} { r l r } { \phi _ { 0 r } } & { = } & { \left( \phi _ { 0 i } - c A _ { 0 i } \right) \frac { \left( n ^ { 2 } - 1 \right) \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } { n ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { i } + \cos \theta _ { i } \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { \phi _ { 0 t } } & { = } & { c A _ { 0 t } = \phi _ { 0 i } + \phi _ { 0 r } , } \\ { A _ { 0 r } } & { = } & { A _ { 0 i } - \phi _ { 0 i } / c + \phi _ { 0 r } / c , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { = } & { \left( \phi _ { 0 i } / c - A _ { 0 i } \right) \frac { 2 n ^ { 2 } \sin \theta _ { i } } { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 t } } & { = } & { \frac { \overline { { A } } _ { 0 r } } { n } , } \end{array}
G ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } ; \beta ) = \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \exp \left[ - \frac { \pi ( { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \lVert \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } ^ { 2 } \leq } & { { } C _ { 1 } \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } } } \\ { = } & { { } C _ { 1 } \left( - \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( T ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } + \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } \right) } \\ { \leq } & { { } C _ { 1 } \left( - \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( T ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } + \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } \right) } \end{array}
P = - \frac { 1 } { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname { I m } \left( \frac { d \hat { p } } { d r } \hat { v } _ { r } ^ { * } - \frac { \beta } { r } \hat { p } \hat { v } _ { \theta } ^ { * } - k \hat { p } \hat { v } _ { z } ^ { * } \right) r d r
\begin{array} { r l } { \left( - \nabla ^ { 2 } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \right) \mathbf { A } + \mathbf { \nabla } \left( \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { A } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial t } } \right) } & { { } = \mu _ { 0 } \mathbf { J } } \end{array}
- T _ { 2 } ( { \bf { k } } , { \bf { q } } ) \sum _ { { \bf { q } } _ { 1 } } a _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 + { \bf { q } } _ { 1 } / 2 } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } _ { 1 } ) a _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } _ { 1 } / 2 } ( { \bf { q } } _ { 1 } - { \bf { q } } )
{ \hat { \bf { \bar { z } } } } _ { i } = \frac { \partial } { \partial { \bf z } _ { i } } , \quad { \hat { \bf x } } = \frac { \partial } { \partial { \bf p } } , \quad \quad { \hat { \bf { z } } } _ { i } = { \bf z } _ { i } , \quad { \hat { \bf p } } = { \bf p } .