harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega _ { s } \right) } & { = \left( \Omega _ { s s ^ { \prime } } + i \Gamma _ { s s ^ { \prime } } / 2 \right) , } \\ { J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 2 \right) } \left( \omega _ { s ^ { \prime } } \right) } & { = \left( \Omega _ { s s ^ { \prime } } - i \Gamma _ { s s ^ { \prime } } / 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { P } ^ { Q } } & { { } \rightarrow \mathbf { k } _ { p } - \mathbf { k } _ { q } \in \mathbb { L } ^ { * } , } \\ { \chi _ { P Q } ^ { R S } } & { { } \rightarrow \mathbf { k } _ { p } + \mathbf { k } _ { q } - \mathbf { k } _ { r } - \mathbf { k } _ { s } \in \mathbb { L } ^ { * } . } \end{array}
R _ { c } \simeq \frac { 1 } { 4 } \ \bigg [ \frac { 8 \, ( J _ { x } ^ { 2 } - J _ { z } ^ { 2 } ) } { J _ { x } ( J _ { x } - J _ { y } ) } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 - 2 \eta } } \, \quad \qquad \Big ( \eta = \frac { 1 } { \pi } \, \operatorname { a r c c o s } ( J _ { z } / J _ { x } ) \, \Big )
\begin{array} { r l } & { L _ { x } x ^ { \prime } = x , \quad L _ { y } \mathbf { y } ^ { \prime } = \mathbf { y } , \quad \epsilon = \frac { L _ { y } } { L _ { x } } , \quad \frac { L _ { y } ^ { 2 } } { \tilde { \kappa } \epsilon ^ { 2 } } t ^ { \prime } = t , } \\ & { \tilde { c } c _ { i } ^ { \prime } = c _ { i } , \quad \frac { e } { k _ { B } T } \phi ^ { \prime } = \phi , \quad U u ^ { \prime } \left( \mathbf { y } ^ { \prime } , \frac { t ^ { \prime } } { \epsilon ^ { 2 } } \right) = u ( \mathbf { y } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { C } _ { e } \left( \left[ \phi _ { t } ^ { 1 } , \ldots , \phi _ { t } ^ { h } \right] \right) = \mathbf { g } \left( \widehat { \Gamma } _ { t } \right) \in \mathbb { R } ^ { u \times v \times l } , } \end{array}
\psi ^ { ( 0 ) } ( { \vec { r } } _ { 1 } , { \vec { r } } _ { 2 } ) = \psi _ { n _ { 1 } , l _ { 1 } , m _ { 1 } } ( { \vec { r } } _ { 1 } ) \psi _ { n _ { 2 } , l _ { 2 } , m _ { 2 } } ( { \vec { r } } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { { \mathbf { P } ^ { M } } ^ { \prime } = } & { - \int _ { V } \left[ \left( 2 \delta _ { i j } R _ { \underline { { i } } m } ^ { V } \delta _ { \underline { { i } } l } \delta _ { m k } + 2 \delta _ { i j } \zeta _ { \underline { { i } } m k l } \frac { \partial u _ { \underline { { i } } } } { \partial x _ { m } } \right) + \left( \epsilon _ { i j } R _ { \underline { { i } } \underline { { i } } } ^ { V } \Omega _ { k l } + \epsilon _ { i j } \omega _ { Z } \zeta _ { \underline { { i } } \underline { { i } } k l } \right) \right] d V } \\ & { + \int _ { V } \frac { 2 } { 3 } k \left( \delta _ { i k } \delta _ { j l } + \delta _ { i l } \delta _ { j k } \right) d V . } \end{array}
\langle H _ { Q } ( P ) | \, \bar { Q } \gamma _ { \mu } q ( 0 ) \, | k ( \vec { p } _ { k } ) \rangle \langle k ( \vec { p } _ { k } ) | \, \bar { q } \gamma _ { \nu } Q ( 0 ) \, | H _ { Q } ( P ) \rangle \; .
\begin{array} { r l } { E ( s ) } & { { } = - \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { N } h _ { \mathrm { i } } s _ { \mathrm { i } } - \sum _ { \mathrm { i < j } } ^ { N } J _ { \mathrm { i j } } s _ { \mathrm { i } } s _ { \mathrm { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma \simeq \left( \frac { \lambda } { 4 \pi } \right) ^ { 4 } \frac { \gamma \prime ^ { 2 } \bar { P } \Psi _ { q } ^ { 2 q \prime } \Psi _ { p } ^ { 2 q \prime } } { d ^ { 4 } r _ { q } ^ { 2 } r _ { p } ^ { 2 } } } \\ & { \times \left| \int _ { - \frac { L _ { z } } 2 } ^ { \frac { L _ { z } } 2 } \int _ { - \frac { L _ { y } } 2 } ^ { \frac { L _ { y } } 2 } \frac { \mathrm { d } y \mathrm { d } z } { \left[ 1 - \frac 2 { r _ { q } } y \Phi _ { q } - \frac 2 { r _ { q } } z \Theta _ { q } + \frac 1 { r _ { q } ^ { 2 } } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \right] ^ { ( q \prime + 1 ) / 2 } \left[ 1 - \frac 2 { r _ { p } } y \Phi _ { p } - \frac 2 { r _ { p } } z \Theta _ { p } + \frac 1 { r _ { p } ^ { 2 } } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \right] ^ { ( q \prime + 1 ) / 2 } } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \tau ^ { \prime } , l - 1 } \circ \dots H _ { \tau ^ { \prime } , 1 } \circ H _ { \tau ^ { \prime } , 0 } ( M _ { \tau ^ { \prime } } ) } & { = H _ { \tau ^ { \prime } , l - 1 } \circ \dots \circ H _ { \tau ^ { \prime } , l - i } ( M _ { \tau , f ( \tau ^ { * } ) } ) } \\ & { = H _ { \tau , i - 1 } \circ \dots \circ H _ { \tau , 0 } ( M _ { \tau , f ( \tau ^ { * } ) } ) = H _ { \tau , i - 1 } \circ \dots \circ H _ { \tau , 0 } ( M _ { \tau } ) . } \end{array}
\sum _ { \boldsymbol { R _ { n } } } b _ { m } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) \ \varphi _ { m } ( { \boldsymbol { r - R _ { n } + R _ { \ell } } } ) = e ^ { i { \boldsymbol { k \cdot R _ { \ell } } } } \sum _ { \boldsymbol { R _ { n } } } b _ { m } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) \ \varphi _ { m } ( { \boldsymbol { r - R _ { n } } } ) \ .
\begin{array} { r l r } { \| \chi \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } } & { \lesssim } & { \| b _ { \tau } ^ { 1 / 2 } \chi \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } = ( \chi , b _ { \tau } \chi ) = ( \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } \right) , \chi _ { b } ) _ { \tau } } \\ & { = } & { - ( \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } \right) , \nabla \chi _ { b } ) _ { \tau } = \left( \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) - \beta \left( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right) , \nabla \chi _ { b } \right) _ { \tau } . } \end{array}
w _ { \mu \nu } ^ { A } ( k , k ^ { \prime } ) = i \epsilon _ { \mu \nu \lambda \sigma } e _ { q } ^ { 2 } q ^ { \lambda } s ^ { \sigma } \delta ( p ^ { - } + q ^ { -- } k ^ { -- } \sum _ { i = 2 } ^ { n } k _ { i } ^ { - } ) / k ^ { + } ,
\begin{array} { r l } { D c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 2 , 1 ) } & { = \delta _ { 1 } c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 2 ) + \delta _ { 1 } c ( G _ { 2 } , 1 ) + c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 1 ) , } \\ { D c ( G _ { 3 } , G _ { 4 } , 1 , 2 ) } & { = \delta _ { 1 } c ( G _ { 3 } , G _ { 4 } , 1 ) + c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 2 ) + \delta _ { 1 } c ( G _ { 4 } , 2 ) , } \\ { D c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 1 , 2 ) } & { = c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 1 ) - c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k } & { \geq { \cal O } \left( \left( \left( R + \frac { R _ { m } } { \sqrt { n } } + \frac { \sqrt { ( 1 - \delta ) } { R } } { \delta } + \frac { \sqrt { ( 1 - \delta ) } R _ { m } } { \sqrt { \delta n } } \right) \sqrt { \frac { m } { \lambda \gamma } } + \frac { 1 } { \delta } + m \right) \log \frac { 1 } { \epsilon } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \omega } ^ { x } ( \tau _ { n _ { 0 } } ( x ) < T ) } & { \le P _ { \omega } ^ { x } ( \tau _ { n _ { 0 } } ( x ) < n _ { 0 } R ^ { 2 } ) + P _ { \omega } ^ { x } ( T \ge n _ { 0 } R ^ { 2 } ) } \\ & { \le \frac { C \sqrt { n _ { 0 } } } { n _ { 0 } } + ( 1 - \frac 1 { 1 + R ^ { 2 } } ) ^ { n _ { 0 } R ^ { 2 } } < e ^ { - 1 } , } \end{array}
Z _ { t + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { Z _ { t } + c , \quad } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } ( 1 - \vartheta ) } \\ { Z _ { t } - r , } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } \vartheta , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial P ( x , t ) } { \partial t } + P ( x , t ) = } \\ & { + \alpha _ { 0 } \int d I \int d y \int d z P ( y , t ) P ( z , t ) f ( I ) \delta ( x - y - I ( z - y ) ) } \\ & { + \sum _ { m = 1 } ^ { M } \alpha _ { m } \int d I \int d y P ( y , t ) f ( I ) \delta ( x - y - I ( X _ { m } - y ) ) , } \end{array}
C ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } , u _ { 4 } ) = \psi _ { 0 } \left( \psi _ { 0 } ^ { - 1 } \left( \psi _ { 1 } \left( \psi _ { 1 } ^ { - 1 } ( u _ { 1 } ) + \psi _ { 1 } ^ { - 1 } ( u _ { 2 } ) \right) \right) + \psi _ { 0 } ^ { - 1 } \left( \psi _ { 2 } \left( \psi _ { 2 } ^ { - 1 } ( u _ { 3 } ) + \psi _ { 2 } ^ { - 1 } ( u _ { 4 } ) \right) \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { \int \left| v ^ { 2 } ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) g _ { \sharp } W _ { + } ( \rho ^ { 2 } \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { r } * \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ) \right| ^ { 2 } } & { \lesssim \int \left| v ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { r } * \left( ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) g _ { \sharp } W _ { + } \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \right) \right| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \operatorname* { s u p } _ { r , \theta } \left( v ^ { 4 } \left\lVert \rho ^ { 2 } \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { r } \right\rVert _ { { \mathbb { W } _ { \! \omega \! , m } ^ { 1 \! , 1 \! ; { - \! q } } } [ 0 ] } ^ { 2 } \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } } \right) \iint _ { \mathcal { A } } \left\lVert \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \right\rVert _ { { \mathbb { H } _ { \! \omega \! , m } ^ { 0 ; { q } } } [ 0 ] } ^ { 2 } \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } } . } \end{array}
\lambda _ { \parallel } = \frac { 3 s } { \pi ( s - 1 ) } \ell _ { \mathrm { s l a b } } R ^ { 2 } \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { \delta B _ { \mathrm { s l } } ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { 4 } + \frac { 2 R ^ { - s } } { ( 2 - s ) ( 4 - s ) } \right] ,
\operatorname { S O } ( 2 , \mathbf { R } ) = \left\{ { \left( \begin{array} { l l } { \cos \varphi } & { - \sin \varphi } \\ { \sin \varphi } & { \cos \varphi } \end{array} \right) } : \, \varphi \in \mathbf { R } / 2 \pi \mathbf { Z } \right\} .
\hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \sum _ { i } \hat { a } _ { i } u _ { i } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; \; , \; \; \; \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \sum _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\mathbf { V } _ { E | y } = \mathbf { V } _ { E } - ( b + 1 ) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { \gamma ^ { 2 } \mathbf { I } } & { \gamma \theta \mathbf { Z } } \\ { \gamma \theta \mathbf { Z } } & { \theta ^ { 2 } \mathbf { I } } \end{array} \right) .
\psi _ { A } = \rho _ { E } ^ { 1 / 2 } \cdot [ C _ { 2 } K _ { i _ { p } } ( 2 \mu \rho _ { E } ) + C _ { 1 } I _ { i _ { p } } ( 2 \mu \rho _ { E } ) ] \longrightarrow _ { \rho _ { 0 } \gg 0 } \sqrt { \frac { \pi } { 4 \mu } } [ C _ { 2 } e ^ { \omega \rho _ { 0 } } + C _ { 1 } e ^ { - \omega \rho _ { 0 } } ]
\begin{array} { r l } { d ( t , x ) = \int _ { 0 } ^ { t } d ( r - , x ) b ( \varphi _ { r - } ( x ) ) \, \mathrm { d } r } & { + \int _ { 0 } ^ { t } d ( r - , x ) B ( \varphi _ { r - } ( x ) ) \circ \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } d ( r - , x ) \beta ( \varphi _ { r - } ( x ) ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } , } \end{array}
W _ { \mathrm { h e t . } } = \int _ { \cal F } { \frac { d ^ { 2 } \tau } { 4 \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } ( 2 \pi \tau _ { 2 } ) ^ { - 9 / 2 } | \eta ( \tau ) | ^ { - 1 4 } Z _ { \mathrm { h e t . } } ( \beta ) \quad .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ( \hat { \rho } _ { i } \textbf { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \hat { \rho } _ { i } \textbf { u } \textbf { u } ) } & { { } + \frac { \partial ( \hat { \rho } _ { i } ( \textbf { u } _ { i } - \textbf { u } ) ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \hat { \rho } _ { i } ( \textbf { u } _ { i } - \textbf { u } ) ( \textbf { u } _ { i } - \textbf { u } ) ) } \end{array}
f ^ { - p } ( x ) = { \frac { d ^ { - p } f } { d x ^ { - p } } } = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { 1 } { h ^ { - p } } } \sum _ { r = 0 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { r } \binom { - p } { r } f ( x - r h )
\begin{array} { r l } { \Delta t } & { { } = \frac { m ^ { 2 } } { 4 L \dot { \mathcal { G } } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \alpha \beta , } \\ { \lVert \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } - { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ^ { * } \rVert } & { { } = ( 1 - \alpha ) \beta \frac { m } { 4 L } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \ \mathrm { H } \ \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \\ { | \ \mathrm { V } \ \rangle } & { { } = } & { \frac { - i } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) } \\ { | \ \mathrm { D } \ \rangle } & { { } = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { \pi } { 4 } i } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { i } \end{array} \right) } \\ { | \ \mathrm { A } \ \rangle } & { { } = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \pi } { 4 } i } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - i } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y ^ { j } } & { = \partial _ { \epsilon } g ^ { j } ( y , \epsilon ) \big | _ { \epsilon = 0 } = \sum _ { \sigma = 0 } ^ { \infty } \partial _ { u ^ { i , \sigma } } Q ^ { j } \partial _ { x } ^ { \sigma } \partial _ { \epsilon } f ^ { i } ( x , \epsilon ) \big | _ { \epsilon = 0 } + \partial _ { x } Q ^ { j } \partial _ { \epsilon } x \big | _ { \epsilon = 0 } } \\ & { = \frac { 1 } { \partial _ { x } P } \left( \partial _ { x } P ( \ell _ { Q ^ { j } } ) _ { i } - \partial _ { x } Q ^ { j } ( \ell _ { P } ) _ { i } \right) X ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { \zeta _ { 1 } = \frac { 3 2 } { 2 7 } \Big [ \Big ( \big \langle \Delta f \Delta g \big \rangle _ { 1 } - \langle \Delta f \rangle _ { 1 } \langle \Delta g \rangle _ { 1 } \Big ) + \frac { 1 } { 9 } \Big ( \big \langle ( \Delta f ) ^ { 2 } \big \rangle _ { 1 } - \langle \Delta f \rangle _ { 1 } ^ { 2 } \Big ) \Big ] + \frac { 1 6 } { 3 } \Big [ \frac { 2 } { 3 } + \langle \Delta g \rangle _ { 1 } + \frac { 2 } { 9 } \langle \Delta f \rangle _ { 1 } \Big ] , } } \end{array}
\mathbf { m } \approx [ 0 , \ 1 , \ 0 . 0 0 5 6 , \ 0 , \ 1 6 , \ 0 , \ 3 5 0 0 , \ 0 , \ 0 , \ 0 ] \Rightarrow \mathbf { p } \approx [ 1 2 8 7 , \ 2 4 8 ]
\Delta T _ { \mathrm { G W } } = \Bigl ( 1 - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } \Bigr ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \bigl ( h _ { \theta \phi \psi } ( t , \alpha ( t ) ) - h _ { \theta \phi \psi } ( t _ { 0 } , \alpha _ { 0 } ) \bigr ) d t .
\left\{ \begin{array} { l } { { J _ { \phi } ^ { \tau r } = L _ { \phi } ^ { \tau r } + S _ { \phi } ^ { \tau r } , } } \\ { { L _ { \phi } ^ { \tau r } = ( X _ { \phi } ^ { \tau } - \tau ) P _ { \phi } ^ { r } - X _ { \phi } ^ { r } P _ { \phi } ^ { \tau } , } } \\ { { S _ { \phi } ^ { \tau r } = - \int d \tilde { q } \omega \left( q \right) { \bf H } \left( \tau , \vec { q } \right) \frac \partial { \partial q ^ { r } } { \bf K } \left( \tau , \vec { q } \right) . } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { P _ { 1 } } { [ Q _ { 2 } , P _ { 1 } ] } } & { = \{ ( t _ { 1 } , q _ { 1 } [ Q _ { 2 } , Q _ { 1 } ] ) \mid ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) \in P _ { 1 } \} } \\ & { = \{ ( t _ { 1 } , q _ { 1 } [ Q _ { 2 } , Q _ { 1 } ] ) \mid f _ { 1 } ( t _ { 1 } ) = q _ { 1 } [ Q _ { 2 } , Q _ { 1 } ] , t _ { 1 } \in T _ { 1 } , q _ { 1 } \in Q _ { 1 } \} } \\ & { = \{ ( t _ { 1 } , f _ { 1 } ( t _ { 1 } ) ) \mid t _ { 1 } \in T _ { 1 } \} } \end{array}
t _ { f } - t _ { 0 } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \frac { p ^ { 3 } } { \mu } } } \left( D _ { f } + { \frac { 1 } { 3 } } D _ { f } ^ { 3 } - D _ { 0 } - { \frac { 1 } { 3 } } D _ { 0 } ^ { 3 } \right)
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { { } : = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathcal { U } } \big ( \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { 1 } ) \theta \left( \mathcal { R } \Lambda \right) ( x ) } \end{array}
\Phi _ { N } ( x _ { i } , Q ^ { 2 } ) = \Phi _ { a s } ( x _ { i } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } B _ { n } \tilde { \Phi } _ { n } ( x _ { i } ) \biggl ( \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } \biggr ) ^ { \gamma _ { n } } ,
W = T r \Phi ^ { 2 } - \frac { 2 g } { 3 } T r \Phi ^ { 3 } - \frac { 2 \beta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , . . . } } { n _ { 1 } n _ { 2 } . . . } \prod _ { i } T r \Phi ^ { n _ { i } } .
\begin{array} { r l } { x ^ { \prime } ( a ) + \alpha \psi ( a ) } & { \geq 0 \geq x ^ { \prime } ( k ) + \alpha \psi ( k ) \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } a \in A \mathrm { ~ a n d ~ } k \in - K , } \\ { x ^ { \prime } ( a ) + \alpha \psi ( a ) } & { \geq 0 > x ^ { \prime } ( k ) + \alpha \psi ( k ) \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } a \in A \mathrm { ~ a n d ~ } k \in \mathrm { c o r } ( - K ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r \frac { \partial \phi ( r , \cos \theta ) } { \partial r } _ { | _ { \cos \theta = 0 } } } & { = } & { \frac { 2 } { x } - \frac { 8 } { x ^ { 2 } } - \frac { 1 2 ( \alpha - 1 ) } { x ^ { 3 } } + \frac { 6 4 \alpha } { x ^ { 4 } } + \cdots } \\ & { = } & { \frac { 2 } { x } \left[ 1 - \frac { 4 } { x } - \frac { 6 ( \alpha - 1 ) } { x ^ { 2 } } + \frac { 3 2 \alpha } { x ^ { 3 } } + \cdots \right] } \\ & { = } & { \frac { 2 } { x } \left[ \left( 1 - \frac { 6 ( \alpha - 1 ) } { x ^ { 2 } } + \cdots \right) \, - \, \frac { 4 } { x } \left( 1 - \frac { 8 \alpha } { x ^ { 2 } } + \cdots \right) \right] } \\ & { \simeq } & { \frac { 2 } { x } \left[ \left( 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } - \frac { 4 } { x } \left( 1 + 1 6 \alpha / x ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \right] } \\ & { \simeq } & { \frac { 2 } { x } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } } } \cdot \left[ 1 - \frac { 4 } { x } \cdot \sqrt { \frac { 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } } { 1 + 1 6 \alpha / x ^ { 2 } } } \right] . } \end{array}
\mathrm { R e } \equiv \frac { \frac { \Delta U } { 2 } \frac { H } { 2 } } { \nu } \equiv \frac { \sqrt { g ^ { \prime } H } H } { 2 \nu } , \qquad \mathrm { R i } \equiv \frac { \frac { g } { \rho _ { 0 } } \frac { \Delta \rho } { 2 } \frac { H } { 2 } } { \Big ( \frac { \Delta U } { 2 } \Big ) ^ { 2 } } \equiv \frac { 1 } { 4 } , \qquad \mathrm { P r } \equiv \frac { \nu } { \kappa } \equiv 7 ,
\begin{array} { r l } & { = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \Big ( - i \partial D ( x ) + i \partial D ( x - m y ) + i m y \partial ^ { 2 } D ( x - m y ) } \\ & { \qquad + O ( n ^ { 2 } y ^ { 2 } \partial D ( x - m y ) ) + O ( n m y ^ { 2 } \partial ^ { 2 } D ( x - m y ) ) \Big ) } \\ & { \lesssim n ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { y } | \partial D ( x - m y ) | + n m \operatorname* { s u p } _ { y } | \partial ^ { 2 } D ( x - m y ) | + m ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { y } | \partial ^ { 3 } D ( x - m y ) | . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \| v ^ { ( 4 ) } - v ^ { k _ { 1 } } \| _ { L ^ { 1 } ( \mathcal { X } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 } \ln t , } \\ { \| v ^ { ( 4 ) } - v ^ { k _ { 1 } } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { X } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 / 2 } \ln t , } \end{array} \right. \qquad \zeta \in \mathcal { I } , \ t \geq 2 . } \end{array}
\nabla ^ { \prime } \cdot \{ \underline { { \underline { { \xi } } } } _ { t } ^ { - 1 } \nabla ^ { \prime } [ \Delta _ { 3 3 } ^ { \prime } \nabla ^ { \prime } \cdot ( \underline { { \underline { { \xi } } } } _ { t } ^ { - 1 } \nabla ^ { \prime } \Theta ) ] \} - \Lambda _ { 3 3 } ^ { - 1 } \beta _ { 0 } ^ { 4 } \Theta = 0 \; ,
\begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 2 } } \\ { { { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \delta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } , } \\ { \Delta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } ^ { ( 4 ) } } & { = } & { \delta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \delta _ { \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } + \delta _ { \alpha _ { 4 } \alpha _ { 1 } } \delta _ { \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } + \delta _ { \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } \delta _ { \alpha _ { 4 } \alpha _ { 1 } } , } \\ { \Delta _ { \alpha _ { 1 } \dots \alpha _ { 2 n } } ^ { ( 2 n ) } } & { = } & { \sum _ { j = 2 } ^ { 2 n } \delta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { j } } \Delta _ { \alpha _ { 2 } \dots \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j + 1 } \dots \alpha _ { 2 n } } . } \end{array}
1 \simeq \frac { 2 \alpha _ { s } } { 9 \pi } \int _ { | \Delta ^ { ( - ) } | } ^ { \mu } \frac { d x } { x } \ln \frac { 2 ( 2 \mu ) ^ { 3 } } { \pi M ^ { 2 } x } \simeq \frac { \alpha _ { s } } { 9 \pi } \ln ^ { 2 } \frac { \Lambda } { | \Delta ^ { ( - ) } | } ,
T _ { A } \sim ( { \frac { Q _ { s } ^ { 2 } Q _ { s } ^ { 2 } ( M V ) } { \mu ^ { 2 } Q ^ { 2 } } } ) ^ { 1 - \lambda _ { 0 } } { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } } \ell n [ { \frac { \mu ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { Q _ { s } ^ { 2 } Q _ { s } ^ { 2 } ( M V ) } } ]
\xi _ { B } ^ { 2 } ( r ) - 1 = ( 1 - r ) \left\{ S _ { B } + m _ { s s } ^ { 2 } \frac { 1 - 3 g ^ { 2 } } { ( 4 \pi f ) ^ { 2 } } \left[ l _ { B } ( r _ { 0 } ) - l _ { B } ( r ) \right] \right\} ,
\langle \hat { c } _ { i , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \sigma } ^ { \phantom { \dagger } } \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \qquad } & { i = j = 1 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r c l } { { \hat { S } _ { \mathrm { g a u g e d } _ { 0 } } \ [ \hat { X } ^ { \hat { \mu } } , C _ { i } , \gamma _ { i j } ] } } & { { = } } & { { - \frac { T _ { M - 2 } } { 2 } \int d ^ { 3 } \xi \ \sqrt { | \gamma | } \left\{ \gamma ^ { i j } D _ { i } \hat { X } ^ { \hat { \mu } } D _ { j } \hat { X } ^ { \hat { \nu } } \hat { g } _ { \hat { \mu } \hat { \nu } } - 1 \right\} } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \frac { T _ { M - 2 } } { 3 ! } \int d ^ { 3 } \xi \ \epsilon ^ { i j k } D _ { i } \hat { X } ^ { \hat { \mu } } D _ { j } \hat { X } ^ { \hat { \nu } } D _ { k } \hat { X } ^ { \hat { \rho } } \hat { C } _ { \hat { \mu } \hat { \nu } \hat { \rho } } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( } & { { \cal D } _ { \cal A } ; { \bf q } ) \geq } \\ & { \operatorname* { m a x } _ { \pi : { \cal I } _ { | { \cal D } _ { \cal A } | } \rightarrow { \cal D } _ { \cal A } } \sum _ { i = 1 } ^ { \widetilde N ( { \bf d } _ { \cal A } ) } \sum _ { s = 1 } ^ { A - 1 } \binom { A - s } { i } q _ { \pi ( i ) } ^ { s } ( 1 - q _ { \pi ( i ) } ) ^ { A - s } F _ { \pi ( i ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \leq x + 1 } \lambda _ { f } ^ { 4 } ( n ) \chi _ { 0 } ( n ) = } & { \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 1 + \epsilon - i T } ^ { 1 + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi _ { 0 } ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s + O \left( \frac { x ^ { 1 + \epsilon } } { T } \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 1 + \epsilon - i T } ^ { 1 + \epsilon + i T } \zeta ^ { 2 } ( s ) \prod _ { p \mid q } ( 1 - \frac { 1 } { p ^ { s } } ) ^ { 2 } L ^ { 3 } ( s , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 2 } f \otimes \chi ) \times } \\ & { \qquad L ( s , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi ) U ( s ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s + O \left( \frac { x ^ { 1 + \epsilon } } { T } \right) } \end{array}
\mathbf { u } _ { 0 } = \left[ \begin{array} { c } { \rho _ { 0 } } \\ { v _ { 0 } } \\ { T _ { 0 } } \\ { \Pi _ { 0 } } \\ { \left( \rho _ { 1 } \right) _ { 0 } } \\ { \left( v _ { 1 } \right) _ { 0 } } \\ { \left( T _ { 1 } \right) _ { 0 } } \\ { \left( \Pi _ { 1 } \right) _ { 0 } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { u } _ { \mathrm { I } } = \left[ \begin{array} { c } { \rho _ { \mathrm { I } } } \\ { v _ { \mathrm { I } } } \\ { T _ { \mathrm { I } } } \\ { \Pi _ { \mathrm { I } } } \\ { \left( \rho _ { 1 } \right) _ { \mathrm { I } } } \\ { \left( v _ { 1 } \right) _ { \mathrm { I } } } \\ { \left( T _ { 1 } \right) _ { \mathrm { I } } } \\ { \left( \Pi _ { 1 } \right) _ { \mathrm { I } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { h } ( K ) ( x , \xi ) } & { = ( 1 - \chi ( \xi ) ) e ^ { - g ( x , \xi ) } e ^ { - \xi \zeta _ { \omega } ^ { + } ( x ) } e ^ { g ( x + \alpha ( \xi ) + r _ { \epsilon } ( x ) , \xi ) } } \\ & { = ( 1 - \chi ( \xi ) ) \exp \left( - ( 1 - \tilde { \chi } ( \xi ) ) \xi \zeta _ { \omega } ^ { + } ( x ) - \xi \tilde { \chi } ( \xi ) \kappa _ { 0 } \right) . } \end{array}