harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } \left( z \right) } & { { } = a \; k _ { 1 } \; t _ { \mathrm { ~ m ~ } } ( z ) , } \\ { \lambda _ { 2 } \left( z \right) } & { { } = a \; k _ { 2 } \; z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } ( t ) \ \leq \ } & { \left( \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } - \gamma \sqrt { \varepsilon ( t ) } \right) \left( \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) - \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ) \right) } \\ & { + \ \left( \frac { \gamma \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } + \gamma ( \gamma - \alpha ) \varepsilon ( t ) \right) \langle x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \dot { x } ( t ) \rangle } \\ & { + \ \left( \frac { \gamma ^ { 2 } \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 } + \frac { \gamma ^ { 3 } \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 b } - \frac { \gamma \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 } - \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \right) \| x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \left( \frac { \gamma } { a } + \gamma - \alpha \right) \frac { \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \| \dot { x } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { ( \gamma - \alpha ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \| \dot { x } ( t ) + \beta \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \frac { \gamma ( 2 a + b ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \left\| \frac { d } { d t } x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \right\| ^ { 2 } } \\ & { + \ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \gamma \beta ^ { 2 } \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { a } - \beta - \beta ^ { 2 } ( \gamma - \alpha ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } - \dot { \lambda } ( t ) \right) \| \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \frac { 1 } { 2 } \left( \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { 2 } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) + \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \right) \| x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \left( \frac { \beta \varepsilon ^ { 2 } ( t ) + \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 } - \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 4 } \right) \| x ( t ) \| ^ { 2 } } \\ & { - \ \frac { \beta } { 2 } \| \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \geq t _ { 0 } . } \end{array}
g _ { 0 } = ( e _ { 1 } , e _ { 2 } ) , \ g _ { 1 } = ( r _ { 1 } , e _ { 2 } ) , \ g _ { 2 } = ( e _ { 1 } , r _ { 2 } ) , \ g _ { 3 } = ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) .
\psi _ { w L } = \left( \begin{array} { l } { { \nu _ { \alpha L } } } \\ { { \overline { { { \nu } } } _ { \alpha L } } } \end{array} \right) \ \ \ \ ( \alpha = e , \mu , \tau ; \ \ \overline { { { \nu } } } _ { \alpha L } = ( \nu _ { \alpha R } ) ^ { C } ) ,
\left[ \frac { 1 } { \omega } ( A _ { N - 2 } b ^ { 2 } ) ^ { 5 / 8 } \right] ^ { 2 } = \frac { ( A _ { N - 2 } b ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 N } } \quad \Rightarrow \quad b ^ { 2 N } = 1 .
\left< [ x ( t _ { 2 } ) - x ( t _ { 1 } ) ] ^ { 2 } \right> \sim \frac { 2 } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( 2 + \alpha ) } \frac { v ^ { 2 } \Delta ^ { 1 + \alpha } } { t ^ { 1 - \alpha } } + \frac { \Gamma ( 1 + 2 H ) } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( 2 - \alpha + 2 H \alpha ) } \frac { \Delta ^ { 1 - \alpha + 2 H \alpha } } { t ^ { 1 - \alpha } } .
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } \! } & { = } & { \! \sqrt { \frac { c _ { 1 } } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, ( { \bf B } _ { 0 } \times \hat { { \bf k } } ) ^ { 2 } } } \; , } \\ { n _ { 2 } \! } & { = } & { \! \sqrt { \frac { c _ { 1 } + d _ { 2 } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } + d _ { 2 } \, ( { \bf B } _ { 0 } \cdot \hat { { \bf k } } ) ^ { 2 } } } \; . } \end{array}
\delta \Omega ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \alpha ; j \alpha ^ { \prime } } \Delta c _ { i \alpha } [ \beta ^ { - 1 } \, C _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { - 1 } - S _ { i \alpha , j \alpha ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ] \Delta c _ { j \alpha ^ { \prime } } ,
N _ { 0 } ^ { 2 } ( z _ { r } ) = - \frac { g } { \rho _ { 0 } } \left( \frac { d \rho _ { 0 } } { d z } ( z _ { r } ) + \frac { \rho _ { 0 } ( z _ { r } ) g } { c _ { s r } ^ { 2 } } \right)
{ S _ { L } } [ \varphi , \hat { g } ] = { \frac { 2 6 - d } { 4 8 \pi } } \int { d ^ { 2 } } \xi \sqrt { \hat { g } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } { \hat { g } ^ { a b } } { \partial _ { a } } \varphi { \partial _ { b } } \varphi + \hat { R } \varphi \right) + { \frac { 2 6 - d } { 2 4 \pi } } \oint { d } \hat { s } { k _ { \hat { g } } } \varphi .
\Delta E = E _ { \gamma } ^ { 0 } \left\{ \frac { \mathcal { L } \left[ E _ { \gamma } ^ { 0 } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + \frac { 2 E _ { \gamma } ^ { 0 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } \right) \right] } { \mathcal { L } \left( E _ { \gamma } ^ { N _ { \mathrm { ~ C ~ O ~ M ~ } } } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ C ~ O ~ M ~ } } } \mathcal { L } \left( E _ { \gamma } ^ { i - 1 } - E _ { \gamma } ^ { i } \right) } - 1 + \frac { 1 } { 1 + \frac { 2 E _ { \gamma } ^ { 0 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } \right\}
e T _ { \mu \nu } = e \Theta _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } \left( { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L _ { 0 } } \frac { \delta { \tilde { S } } _ { F } } { \delta { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L _ { 0 } } } + { \tilde { \Psi } } _ { L _ { 0 } } \frac { \delta { \tilde { S } } _ { F } } { \delta { \tilde { \Psi } } _ { L _ { 0 } } } \right) .
\begin{array} { r l } & { ( \mathsf { I d } _ { I ( V ) } \otimes \nu _ { W , U } ) \nu _ { V , W \otimes U } I ( \alpha _ { V , W , U } ) ( g \otimes ( ( v _ { d } \otimes w _ { f } ) \otimes u _ { h } ) ) } \\ & { \quad = \gamma ( g ) ( f , h ) \gamma ( g ) ( d , f h ) \omega ^ { - 1 } ( d , f , h ) ( ( g \otimes v _ { d } ) \otimes ( ( g \otimes w _ { f } ) \otimes ( g \otimes u _ { h } ) ) ) , } \\ & { \alpha _ { I ( V ) , I ( W ) , I ( U ) } ( \nu _ { V , W } \otimes \mathsf { I d } _ { I ( U ) } ) \nu _ { V \otimes W , U } ( g \otimes ( ( v _ { d } \otimes w _ { f } ) \otimes u _ { h } ) ) } \\ & { \quad = \omega ^ { - 1 } \big ( g d g ^ { - 1 } , g f g ^ { - 1 } , g h g ^ { - 1 } \big ) \gamma ( g ) ( d , f ) \gamma ( g ) ( d f , h ) ( ( g \otimes v _ { d } ) \otimes ( ( g \otimes w _ { f } ) \otimes ( g \otimes u _ { h } ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N \log \frac { n e } { N } } & { \lesssim \rho _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } n ^ { 2 } \Rightarrow } \\ { \frac { N } { n } \sqrt { \log \frac { n e } { N } } } & { \lesssim \sqrt { N \rho _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } \Rightarrow } \\ { N \epsilon \log \frac { n e } { N } } & { \lesssim \sqrt { N ^ { 3 } \rho _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } \log \frac { n e } { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \hat { s } } _ { n } \left( \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) , 0 } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } & { = \mathbf { \hat { s } } _ { n } \left( \Phi _ { \pi \left( \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } \\ & { = \mathbf { t } \left( x \left( \mathbf { v } \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) - s \left( \mathbf { v } \right) + \mathbf { s } _ { n - 1 } \left( \Phi _ { \pi \left( \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } \\ & { = \mathbf { t } \left( x \left( \mathbf { v } \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) - s \left( \mathbf { v } \right) + \mathbf { s } _ { n } \left( \mathbf { R } \left( x \left( \mathbf { v } \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { M } _ { e } ^ { ( 2 ) } \mathbf { Y } } & { { } = { \Big [ } \underline { { \beta } } _ { l } ^ { e } \mathbf { Y } _ { l } { \Big ] } _ { l } ; \quad \underline { { \beta } } _ { l } ^ { e } : = \sum _ { c _ { k } \in \mathcal { C } ( e _ { l } ) } \underline { { \alpha } } _ { c _ { k } } ^ { e } ; \quad \underline { { \alpha } } _ { c _ { k } } ^ { e } : = \mu _ { 0 } \frac { | c _ { k } | } { 4 } ; } \end{array}
| \alpha _ { p } \beta _ { k } - \alpha _ { k } \beta _ { p } | ^ { 2 } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 \Gamma ( 1 / 4 ) ^ { 2 } \Gamma ( 3 / 4 ) ^ { 2 } } \frac { | p \eta _ { 1 } | } { | k \eta _ { 1 } | ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { H _ { k } = } & { { } E ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } \mu _ { B } \vec { B } \mathbf { g } _ { k } \vec { \sigma } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \vec { \sigma } _ { k } \mathbf { A } _ { k } \vec { I } + \mu _ { N } g _ { N } \vec { B } \cdot \vec { I } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } \tau } } & { { } = \gamma \qquad \frac { \mathrm { d } \gamma } { \mathrm { d } \tau } = E ( x ) \cdot u } \\ { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } \tau } } & { { } = u \qquad \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } \tau } = \gamma E ( x ) + u \times B ( x ) , } \end{array}
\frac { \partial ( \rho \boldsymbol { V } ) } { \partial t } + \nabla \cdot \left[ \rho { \boldsymbol { V } } { \boldsymbol { V } } + \left( p + \frac { B ^ { 2 } } { 8 \pi } \right) I - \frac { { \boldsymbol { B } } { \boldsymbol { B } } } { 4 \pi } \right] = \boldsymbol { Q } _ { i } ,
{ \widehat \Sigma } _ { z z } + \left[ m ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } ( D - 2 ) A _ { z z } - { \frac { 1 } { 4 } } ( D - 2 ) ^ { 2 } ( A _ { z } ) ^ { 2 } \right] { \widehat \Sigma } = 0 ~ .
\bar { N } _ { m n } ^ { r s } = - { \frac { m n \alpha } { 1 + \mu \alpha k } } { \frac { \bar { N } _ { m } ^ { r } \bar { N } _ { n } ^ { s } } { \alpha _ { s } \omega _ { r m } + \alpha _ { r } \omega _ { s n } } }
i D _ { \beta } ^ { a b } ( q ) = U ( \beta , q ) \left( \begin{array} { c c } { { D _ { \mu \nu } ( q ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { D _ { \mu \nu } ^ { * } ( q ) } } \end{array} \right) U ( \beta , q ) ,
V = - { \frac { 1 } { 2 \bar { \bf Z } } } \left[ \left( \begin{array} { l l } { { { \bf 0 } } } & { { { \bf I } } } \\ { { - { \bf I } } } & { { { \bf 0 } } } \end{array} \right) \cdot { \bf M } ( { \cal F } ) + i \left( \begin{array} { l l } { { { \bf I } } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { { \bf I } } } \end{array} \right) \right] \cdot { \cal Q } ,
\begin{array} { l r c l } { { \pm e _ { i } \pm e _ { j } } } & { { ( 4 0 ) } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { i \neq j \; \mathrm { a n d } \; i , j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } } \\ { { 1 / 2 ( \pm e _ { 1 } \pm e _ { 2 } \pm e _ { 3 } \pm e _ { 4 } \pm e _ { 5 } \pm \sqrt { 3 } e _ { 6 } ) } } & { { ( 3 2 ) } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { \mathrm { e v e n ~ n u m b e r ~ o f ~ m i n u s ~ s i g n s } } } \\ { { ( 0 , 0 , 0 , 0 ) _ { i } } } & { { ( 6 ) } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . } } \end{array}
T \left[ \frac { \partial s } { \partial t } + ( \boldsymbol { v } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } ) s \right] = \frac { 1 } { \rho } \left[ \eta \mu _ { 0 } \boldsymbol { J } ^ { 2 } - \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } \cdot ( F _ { \mathrm { r a d } } + F _ { \mathrm { S G S } } ) - F _ { \mathrm { c o o l } } \right] + 2 \nu \boldsymbol { S } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { { } } & { { \frac { | ( h _ { -- } ^ { V } - h _ { - + } ^ { V } ) + C _ { \mu } ( h _ { + + } ^ { S } - h _ { + - } ^ { S } ) | ^ { 2 } + | ( h _ { + - } ^ { V } - h _ { + + } ^ { V } ) + C _ { \mu } ( h _ { - + } ^ { S } - h _ { -- } ^ { S } ) | ^ { 2 } } { | ( f _ { -- } ^ { V } - f _ { - + } ^ { V } ) + C _ { e } ( f _ { + + } ^ { S } - f _ { + - } ^ { S } ) | ^ { 2 } + | ( f _ { + - } ^ { V } - f _ { + + } ^ { V } ) + C _ { e } ( f _ { - + } ^ { S } - f _ { -- } ^ { S } ) | ^ { 2 } } = } } \\ { { } } & { { = 1 . 0 0 4 0 \pm 0 . 0 0 3 3 \ \ \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| ( { \cal E } _ { 1 } y ) ( t ) + ( { \cal E } _ { 2 } y ^ { * } ) ( t ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { 3 \mathbb { E } \left\| \int _ { 0 } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal F } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } ) d e \right\| ^ { 2 } } \\ & { } & { + 3 \mathbb { E } \left\| \int _ { 0 } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal G } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } ) d \hat { \cal W } ( e ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { } & { + 3 \mathbb { E } \left\| \int _ { 0 } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) \sigma ( e ) d { \cal B } ^ { \hat { \cal H } } ( e ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { t } ( t - e ) ^ { q - 1 } d e \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } ( t - e ) ^ { q - 1 } \xi _ { 1 } ( e ) \| g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } d e \right) } \\ & { } & { + 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - e ) ^ { 2 q - 2 } \xi _ { 2 } ( e ) \| g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } \| _ { { { \cal D } _ { h } } } ^ { 2 } d e } \\ & { } & { + 6 \hat { \cal H } \Lambda _ { \sigma } { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } t _ { 1 } ^ { 2 \hat { \cal H } - 1 } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - e ) ^ { 2 q - 2 } d e } \\ & { \leq } & { 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } { t } _ { 1 } ^ { 2 q } \left( \frac { \lambda _ { 1 } } { q ^ { 2 } } + \frac { \lambda _ { 2 } } { t _ { 1 } ( 2 q - 1 ) } + \frac { 2 \hat { \cal H } \Lambda _ { \sigma } t _ { 1 } ^ { 2 \hat { \cal H } - 2 } } { 2 q - 1 } \right) . } \end{array}
M _ { I } ^ { 2 } = e ^ { K } ( K ^ { \varphi \bar { \varphi } } ) ^ { 2 } | \lambda A | ^ { 2 } = \frac { | \lambda A | ^ { 2 } e ^ { G / 3 } } { 9 ( s + \bar { s } - b G ) } \left( 1 + \frac { b } { s + \bar { s } - b G } \right) ^ { - 2 } .
{ \hat { \alpha } _ { S d S } } ( m , - 2 ) \simeq \frac { 4 m } { r _ { 0 } } ( 1 - \frac { 2 m ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \Lambda r _ { 0 } ^ { 4 } } { 2 4 m ^ { 2 } } )
\| ( u - \Pi ^ { \bf { r } } u ) ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \le C \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { 1 } \otimes \mathbf { w } _ { 2 } = } & { { } ~ \left( \mathbf { v } _ { 1 } - \mathbf { v } \right) \otimes \left( \mathbf { v } _ { 2 } - \mathbf { v } \right) } \\ { = } & { { } ~ \mathbf { v } _ { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 2 } - \frac { 1 } { \rho } \mathbf { v } _ { 1 } \otimes \left( \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } + \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } \right) - \frac { 1 } { \rho } \left( \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } + \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } \right) \otimes \mathbf { v } _ { 2 } + \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } } \\ { = } & { { } ~ - \frac { \tilde { \rho } _ { 1 } } { \rho } \mathbf { v } _ { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 1 } - \frac { \tilde { \rho } _ { 2 } } { \rho } \mathbf { v } _ { 2 } \otimes \mathbf { v } _ { 2 } + \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \widehat { G } _ { n } \in \Xi } \operatorname* { s u p } _ { G \in \Xi _ { 2 } ( l _ { n } ) } \mathbb { E } _ { p _ { G } } \biggr ( \left\{ \| \Delta \mu \| ^ { 8 } + \| \Delta \Sigma \| ^ { 4 } \right\} | \widehat { \lambda } - \lambda | ^ { 2 } \biggr ) \geq c _ { 2 } n ^ { - 1 / r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { v _ { 0 } v _ { L } } } & { = } & { \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \omega _ { I L } \omega _ { 0 K } \omega _ { I - 1 , K } } { \omega _ { 0 L } \prod _ { J = 0 } ^ { L } \omega ( J \to v _ { J } ) } } \\ & { \times } & { \frac { \prod _ { J = 0 } ^ { L } \omega ( J \to v _ { J } ) } { \omega ( K \to v _ { K } ) } \sum _ { m = 0 } ^ { | K | - 1 } \omega ( K \to v _ { K _ { m } } ) } \\ & { = } & { \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \omega _ { I - 1 , K } } { \omega _ { K I } } \frac { \Pi _ { K } } { \pi _ { v _ { K } } } } \end{array}
\left( z _ { a } ^ { 2 } - \eta _ { 2 } \right) \prod _ { b = 1 } ^ { k - 2 } \left( A _ { b } - z _ { a } \right) + z \left( \Psi _ { 3 } - \Psi _ { 4 } \right) + \Psi _ { 1 } - \Psi _ { 2 } \eta _ { 2 } = 0
e = { \frac { r _ { \mathrm { a p } } - r _ { \mathrm { p e r } } } { r _ { \mathrm { a p } } + r _ { \mathrm { p e r } } } } = 1 - { \frac { 2 } { { \frac { r _ { \mathrm { a p } } } { r _ { \mathrm { p e r } } } } + 1 } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \; I _ { i } ^ { n } } & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \Big [ D _ { \mathrm { K L } } \big ( p ( { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ) \mid \mid p ( { \mathbf { y } } \mid x _ { s } ) \big ) \Big ] = I ( { \mathbf { y } } ; { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } ) . } \end{array}
i \frac { \partial F ^ { ( \pm ) } } { \partial t } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } F ^ { ( \pm ) } } { \partial q ^ { 2 } } + \frac { q ^ { \prime } \pm q } { i t } \frac { \partial F ^ { ( \pm ) } } { \partial q ^ { \prime } } + V ( q ^ { \prime } ) F ^ { ( \pm ) } ,
\begin{array} { r l } { F ^ { i } ( x , t ) } & { = M ^ { i } ( x , t ) \rho ( x , t ) + D ^ { i } ( x , t ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \rho ( x , t ) , } \\ { M ^ { i } ( x , t ) } & { = \frac { \partial } { \partial x _ { i } } D _ { i i } ( x , t ) - \mu _ { i } ( x , t ) } \\ { D ^ { i } ( x , t ) } & { = D _ { i i } ( x , t ) . } \end{array}
\bar { \epsilon } _ { | | } \approx 1 - b \left\lbrace \ln \left[ 2 \cosh ( z ) \right] - 6 \bar { h } ^ { 2 } \arctan ^ { 2 } \left[ \operatorname { t a n h } \left( \frac { \bar { z } } { 2 } \right) \right] \right\rbrace + \mathcal { O } ( b ^ { 2 } ) ,
c _ { i j } ^ { ( [ s + 1 ] r ) } = \sum _ { k ^ { \prime } = i - r } ^ { i + r } a _ { i k ^ { \prime } } ^ { ( r ) } b _ { k ^ { \prime } j } ^ { ( s r ) } = \sum _ { k = - r } ^ { r } a _ { i , i + k } ^ { ( r ) } b _ { i + k , j } ^ { ( s r ) } ,
\bar { \kappa } ( v _ { 1 } \otimes \cdots \otimes v _ { r - 2 } \otimes \{ \substack { \mathrm { t h e ~ g r a p h ~ o b t a i n e d ~ f r o m ~ t h e ~ c o r o l l a ~ w i t h ~ l e g s ~ \{ 1 , 2 , \ldots , r \} ~ a n d ~ l a b e l } \, \mathrm { ~ c ~ \in ~ \mathcal { W } ~ b y ~ g l u i n g ~ a n ~ e d g e ~ b e t w e e n ~ i t s ~ l a s t ~ t w o ~ l e g s } } \} ) .
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime 2 } \right\rangle = } & { { } \left\langle u _ { i } ( \mathbf { x } , t ) u _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \right\rangle } \\ { = } & { { } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \int \mathrm { d } ^ { 4 } q ^ { \prime } \mathfrak { G } _ { i n } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { i m } \left( \mathbf { q } ^ { \prime } \right) \left\langle \hat { f } _ { n } ( \mathbf { q } ) \hat { f } _ { m } ( \mathbf { q } ^ { \prime } ) \right\rangle \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left[ \left( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { x } - \left( \omega + \omega ^ { \prime } \right) t \right] } } \\ { = } & { { } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \mathfrak { G } _ { i n } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { i m } \left( - \mathbf { q } \right) \left[ \frac { D _ { 0 } } { k ^ { 3 } } P _ { n m } ( \mathbf { k } ) + \mathrm { i } \frac { D _ { 1 } } { k ^ { 5 } } \epsilon _ { n m p } k _ { p } \right] } \\ { = } & { { } \, \, 2 \int \frac { \mathrm { d } k } { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } X \frac { D _ { 0 } \left( \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } + 4 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \right) } { \left( \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) ^ { 2 } - 8 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) + 1 6 \Omega ^ { 4 } X ^ { 4 } } } \\ { = } & { { } \, \, 4 \pi D _ { 0 } \mathcal { I } _ { u ^ { 2 } } \left( \nu , \Omega , k _ { \ell } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { \lambda _ { w } } { 2 0 E B _ { \operatorname* { m a x } } L } , \frac { \lambda _ { w } } { 4 E L } \bigg \} , } \\ & { \beta \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { \lambda _ { w } } { 2 8 E N B _ { \operatorname* { m a x } } L } , \frac { \lambda _ { w } } { 5 6 E N B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } L } , \frac { \lambda _ { w } } { 2 7 2 E N B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 3 } L } \bigg \} , } \end{array}
( \mathrm { C o n t r i b u t i o n ~ f r o m ~ ( \ r e f { 4 3 } ) ~ t o ~ ( \ r e f { 3 4 } ) } ) = \prod _ { { C _ { \alpha } \cap C _ { \beta } \neq \emptyset } \atop { \alpha \neq \beta \; \alpha , \beta \in E d g e ( \Gamma ) } } \frac { 1 } { \frac { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } } { d _ { \alpha } } + \frac { \lambda _ { i } - \lambda _ { l } } { d _ { \beta } } }
( - i \omega ) b ^ { l } + N ^ { 2 } \frac { u _ { r } ^ { l } } { \mathrm { d } g } = \kappa \, \Bigg [ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } } { r } \bigg ( r ^ { 2 } \frac { \mathrm { d } b ^ { l } } { \mathrm { d } \mathrm { d } r } \bigg ) - \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } b ^ { l } \Bigg ] ,
\phi _ { \mathrm { t h e r m } } ( \omega ) = \frac { E T } { \rho c _ { \mathrm { p } } } \left( \alpha - \sigma \frac { \beta } { E } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \omega \tau } { 1 + ( \omega \tau ) ^ { 2 } } \right) ~ ,
\mathcal { L } _ { H } \Psi = - d _ { r } \nabla _ { \mathbf { p } } ^ { 2 } \Psi = d _ { r } \left( - \csc { \theta } \frac { \partial } ( \sin { \theta } { \partial \theta } \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } ) - \csc ^ { 2 } \theta \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial \phi ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } \mathbb { E } ( \mathcal T _ { n } ^ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { n \Delta _ { n } } \sum _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } = 1 } ^ { n } \sum _ { i _ { 2 } , j _ { 2 } = 1 } ^ { n } K _ { \theta } \left( i _ { 1 } - j _ { 1 } \right) K _ { \theta } \left( i _ { 2 } - j _ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad \times \mathbb { E } \left[ \left( X _ { i _ { 1 } } \overline { { X _ { j _ { 1 } } } } - C ( i _ { 1 } - j _ { 1 } ) \right) \left( X _ { i _ { 2 } } \overline { { X _ { j _ { 2 } } } } - C ( i _ { 2 } - j _ { 2 } ) \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { n \Delta _ { n } } \sum _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } = 1 } ^ { n } \sum _ { i _ { 2 } , j _ { 2 } = 1 } ^ { n } K _ { \theta } \left( i _ { 1 } - j _ { 1 } \right) K _ { \theta } \left( i _ { 2 } - j _ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad \times \left[ C ( i _ { 1 } - j _ { 2 } ) C ( i _ { 2 } - j _ { 1 } ) + \check { C } ( i _ { 1 } - i _ { 2 } ) \overline { { \check { C } ( j _ { 1 } - j _ { 2 } ) } } \right] } \\ & { = : \widetilde A _ { 2 } + \overline { { A } } _ { 2 } , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ i ~ s ~ } , \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } , k } = \sqrt { \frac { C _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ } , k } } { t _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ } } ^ { 2 } } + \frac { C _ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } , k } } { t _ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi ( s , \tau ) } { \partial \tau } } & { { } = \left( - E a \frac { N } { 4 } - v _ { k ( s , \tau ) } - E a \frac { \varphi _ { k ( s , \tau ) } ^ { \prime } } { 2 } \right) , } \end{array}
4 \pi L _ { M } = - \frac { 1 } { 4 } e ^ { 2 \kappa \Psi } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { \mu \nu , a } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \Psi \partial ^ { \mu } \Psi - \frac { 1 } { 2 } D _ { \mu } \Phi ^ { a } D ^ { \mu } \Phi ^ { a } - e ^ { - 2 \kappa \Psi } V ( \Phi ^ { a } ) \ ,