harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { P ( t | \lambda , \vec { r } , \vec { \tau } , x ) } & { \propto } & { ( 1 - e ^ { - z } ) ^ { x } \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } } { j ! } \left( \frac { \lambda e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } \right) ^ { j } } \\ & { = } & { ( 1 - e ^ { - z } ) ^ { x } \sum _ { j = 0 } ^ { x - 1 } \frac { \binom { x - 1 } { j } } { ( j + 1 ) ! } \left( \frac { \lambda e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } \right) ^ { j + 1 } } \\ & { } & { \stackrel { \mathrm { s i n c e ~ } \binom { x } { j } = 0 \mathrm { ~ f o r ~ } j > x } { = } ( 1 - e ^ { - z } ) ^ { x } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { \binom { x - 1 } { j } } { ( j + 1 ) ! } \left( \frac { \lambda e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } \right) ^ { j + 1 } } \\ & { = } & { \lambda e ^ { - z } ( 1 - e ^ { - z } ) ^ { x - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( x - 1 ) ( x - 2 ) \cdots ( x - j ) } { ( j + 1 ) ! \: j ! } \left( \frac { \lambda e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } \right) ^ { j } } \\ & { = } & { \lambda e ^ { - z } ( 1 - e ^ { - z } ) ^ { x - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 1 - x ) ( 2 - x ) \cdots ( j - x ) } { ( j + 1 ) ! \: j ! } \left( \frac { - \lambda e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } \right) ^ { j } } \\ & { = } & { \lambda e ^ { - z } ( 1 - e ^ { - z } ) ^ { x - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 1 - x ) _ { j } } { ( 2 ) _ { j } } \frac { \left( \frac { - \lambda e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } \right) ^ { j } } { j ! } } \\ & { = } & { \lambda e ^ { - z } ( 1 - e ^ { - z } ) ^ { x - 1 } \: _ { 1 } F _ { 1 } \left( 1 - x ; 2 ; \frac { - \lambda e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { z ! ! } & { = z ( z - 2 ) \cdots 5 \cdot 3 } \\ & { = 2 ^ { \frac { z - 1 } { 2 } } \left( { \frac { z } { 2 } } \right) \left( { \frac { z - 2 } { 2 } } \right) \cdots \left( { \frac { 5 } { 2 } } \right) \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) } \\ & { = 2 ^ { \frac { z - 1 } { 2 } } { \frac { \Gamma \left( { \frac { z } { 2 } } + 1 \right) } { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } + 1 \right) } } } \\ & { = { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } } 2 ^ { \frac { z } { 2 } } \Gamma \left( { \frac { z } { 2 } } + 1 \right) \, , } \end{array} }
\delta \hat { O } \sim { \frac { \alpha } { \pi } } \left[ { \frac { E ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { L ^ { 2 } E ^ { 2 } } } \right] \geq { \frac { \alpha } { \pi } } \left[ { \frac { E ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } + { \frac { \Lambda ^ { 4 + n } } { E ^ { 2 } M ^ { 2 + n } } } \right]
\begin{array} { r l } { ( X ^ { n + 1 } ) ^ { [ 2 ] } } & { { } = X ^ { n } + U ^ { n } T _ { L } \left( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right) + C T _ { L } \left[ \Delta t - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] } \\ { ( U ^ { n + 1 } ) ^ { [ 2 ] } } & { { } = U ^ { n } \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) + C T _ { L } \left( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { i n t } } ( t ) } & { { } = \kappa \int _ { \cal V } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } \, \hat { A } ( { \bf r } , t ) \cdot \hat { F } ( { \bf r } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \vert T S \left\{ Q _ { T , S } ^ { * } ( \theta ) - Q _ { T , S } ( \theta ) \right\} \vert \geq \epsilon \right] } & { \leq \frac { \mathbb { E } \left\vert T S \left\{ Q _ { T , S } ^ { * } ( \theta ) - Q _ { T , S } ( \theta ) \right\} \right\vert } { \epsilon } ~ ~ ~ ~ } \\ & { = \frac { \mathbb { E } \left\vert \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } W _ { t , s } ( \theta ) \right\vert } { \epsilon } } \\ & { \leq \frac { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \mathbb { E } \left\vert W _ { t , s } ( \theta ) \right\vert } { \epsilon } ~ ~ ~ ~ } \\ & { \leq \frac { 8 } { 3 \beta _ { T , S } \epsilon } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \mathbb { P } \left\{ \left\vert u _ { t , s } ( \theta ) \right\vert \leq \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \right\} } \\ & { = \frac { 8 } { 3 \beta _ { T , S } \epsilon } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \int _ { - h _ { t , s } ( \theta ) - \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } } ^ { - h _ { t , s } ( \theta ) + \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } } g ( \epsilon ( t , s ) ) d \epsilon ( t , s ) } \\ & { = \frac { 1 6 ~ \mathrm { g } ( c ) ~ T S } { 3 \epsilon \beta _ { T , S } ^ { 2 } } ~ ~ \mathrm { ( u s i n g ~ i n t e g r a l ~ m e a n ~ v a l u e ~ t h e o r e m ) } } \\ & { = \left( \frac { 1 6 ~ \mathrm { g } ( c ) } { 3 \epsilon } \right) \left( \frac { \beta _ { T , S } } { T S } \right) \left( \frac { T ^ { 2 } S ^ { 2 } } { \beta _ { T , S } ^ { 3 } } \right) \rightarrow 0 ~ ~ \mathrm { a s } ~ T , S \rightarrow \infty . } \end{array}
\frac { i } { \bar { i } } = \left( 1 - R _ { f } \frac { \partial \bar { i } } { \partial \eta } - R _ { f } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \left( \bar { i } ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \bar { i } } { \partial \eta } \right) ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } \bar { i } } { \partial \eta ^ { 2 } } \right) \right) ^ { - 1 } + \mathcal { O } ( R _ { f } ^ { 3 } ) .
\begin{array} { r } { C _ { T } ( t ) = R _ { 1 } C _ { R } ( t ) + ( k _ { 2 } - \frac { R _ { 1 } k _ { 2 } } { D V R } ) C _ { R } ( t ) \otimes e ^ { - \frac { k _ { 2 } } { D V R } t } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } v ^ { \mu } ( \boldsymbol { x } ( t ) ) = \partial _ { \nu } F ^ { \mu } \left[ \boldsymbol { x } ( t ) \right] v ^ { \nu } ( \boldsymbol { x } ( t ) ) - b ( \boldsymbol { x } ( t ) ) v ^ { \mu } ( \boldsymbol { x } ( t ) )
\begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } ( W , X ^ { n } ) + 1 } & { = ( n + 1 ) \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ^ { 2 } \frac { ( 2 k ) ! ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( 2 n + 1 ) ! } } \\ & { = \frac { n + 1 } { ( 2 n + 1 ) } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( n ! ) ^ { 2 } ( 2 k ) ! ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( k ! ) ^ { 2 } ( ( n - k ) ! ) ^ { 2 } ( 2 n ) ! } } \\ & { = \frac { n + 1 } { ( 2 n + 1 ) \binom { 2 n } { n } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { 2 k } { k } \binom { 2 ( n - k ) } { n - k } } \\ & { = \frac { n + 1 } { 2 n + 1 } \cdot \frac { 4 ^ { n } } { \binom { 2 n } { n } } , } \end{array}
\mathbf { P } \left( \left| { \widehat { I } } _ { k } ^ { p a t h } ( F ) - I _ { k } ^ { p a t h } ( F ) \right| \leqslant c _ { 1 } { \frac { k x } { N } } + c _ { 2 } { \sqrt { \frac { k x } { N } } } \land \operatorname* { s u p } _ { 0 \leqslant k \leqslant n } \left| { \widehat { I } } _ { k } ^ { p a t h } ( F ) - I _ { k } ^ { p a t h } ( F ) \right| \leqslant c { \sqrt { \frac { x n \log ( n ) } { N } } } \right) > 1 - e ^ { - x }
{ \begin{array} { r l } & { \operatorname { R e } \left( \left( A e ^ { i \theta } \cdot B e ^ { i \phi } \right) \cdot e ^ { i \omega t } \right) } \\ { = } & { \operatorname { R e } \left( \left( A B e ^ { i ( \theta + \phi ) } \right) \cdot e ^ { i \omega t } \right) } \\ { = } & { A B \cos ( \omega t + ( \theta + \phi ) ) . } \end{array} }
\begin{array} { c c c c c c c } { { \nabla _ { i } \tilde { \Phi } } } & { { = } } & { { ( \partial _ { i } + p \partial _ { i } { \cal K } ) \tilde { \Phi } } } & { { ; } } & { { \nabla _ { i ^ { * } } \tilde { \Phi } } } & { { = } } & { { \partial _ { i ^ { * } } \tilde { \Phi } } } \end{array}
O _ { l o c } ( \mathbf { s } ) = \sum _ { \mathbf { s ^ { \prime } } } O _ { \mathbf { s } \mathbf { s } ^ { \prime } } \psi _ { \boldsymbol \theta } ( \mathbf { s } ^ { \prime } ) / \psi _ { \boldsymbol \theta } ( \mathbf { s } )
a = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \, , } & { u _ { 1 } \geq 1 - \epsilon _ { l } } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. ; \quad \quad \quad b = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \, , } & { u _ { 1 } \leq \epsilon _ { r } } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) \right] _ { ( f ) } } & { = - \int _ { \omega , q } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \omega , q , \varpi , p ) \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega - \varpi , - p - q ) \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p + q , - \omega , - q ) \; \tilde { \partial } _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) + c . c . } \\ & { \stackrel { p \to \infty } { = } - p ^ { 2 } \int _ { \omega } \left[ \frac { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \omega + \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) } { \omega } \right] \times \left[ \frac { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) } { \omega } \right] } \\ & { \times \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega - \varpi , p ) \; \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) + c . c . \, , } \end{array}
D _ { - 1 } \mapsto \left( \begin{array} { r r } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad D _ { 0 } \mapsto \left( \begin{array} { r r } { { { \textstyle \frac 1 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - { \textstyle \frac 1 2 } } } \end{array} \right) , \qquad D _ { 1 } \mapsto \left( \begin{array} { r r } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\hat { \rho } _ { \mathrm { c } } ( \mathbf { r } ) = z _ { + } \hat { c } _ { + } ( \mathbf { r } ) - z _ { - } \hat { c } _ { - } ( \mathbf { r } ) - \alpha \hat { \phi } _ { \mathrm { _ p } } ( \mathbf { r } ) / v
{ \cal L } = { \frac { m } { 2 } } \, \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } A _ { \mu } ^ { a } ( \partial _ { \nu } A _ { \lambda } ^ { a } + { \frac { g } { 3 } } f ^ { a b c } A _ { \nu } ^ { b } A _ { \lambda } ^ { c } ) - F ^ { a } ( \partial _ { \mu } A ^ { \mu a } ) + \partial ^ { \mu } \overline { { { c } } } ^ { a } ( D _ { \mu } c ^ { a } )
\begin{array} { r } { \psi _ { \mathbf { p } } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , t ) = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) } ^ { 3 } } \exp \left[ i ( \mathbf { p } + \mathbf { A } ( t ) ) \cdot \mathbf { r } + i \int _ { t } d s \frac { \left( \mathbf { p } + \mathbf { A } ( s ) \right) ^ { 2 } } { 2 } \right] , } \end{array}
A _ { \mathrm { R } } ^ { \mathrm { f } } = 1 - | t _ { \mathrm { R - R } } ^ { \mathrm { f } } | ^ { 2 } - | r _ { \mathrm { L - R } } ^ { \mathrm { f } } | ^ { 2 } = 1 , \quad | t _ { \mathrm { R - R } } ^ { \mathrm { b } } | = 1 .
\begin{array} { r l } { \int _ { T - t } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \langle \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = \int _ { T - t } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \frac { 1 } { T } \left[ 2 - e ^ { - t ^ { \prime } } - e ^ { - ( T - t ^ { \prime } ) } \right] = \frac { 1 } { T } [ 2 t - 1 + e ^ { - T } + e ^ { - t } - e ^ { t - T } ] , } \end{array}
\sqrt { M } \mathrm { E S N R } _ { i n , 1 } \xrightarrow [ M \rightarrow \infty ] { i . p . } \frac { \sqrt { M } p _ { 1 } } { \overline { { C } } } [ - \frac { 2 \overline { { F } } _ { 1 } ( A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 | { \mathbf { H } } _ { 1 } } ) } { ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 3 } } + \frac { F _ { 1 } - \overline { { F } } _ { 1 | { \mathbf { H } } _ { 1 } } } { ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 2 } } ] ,
\begin{array} { r } { \mathbf { V } _ { \mathrm { A } } \cdot \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { P S } } = \int _ { \mathcal { S } } d S \, \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { P S } } \cdot \mathbf { f } _ { \mathrm { A } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \langle x , y \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } } & { = \int _ { 0 } ^ { b } y ^ { - , \top } ( \eta \zeta + a ) \mathcal { Q } ^ { - } ( \eta \zeta + a ) x ^ { - } ( \eta \zeta + a ) \eta \, d \zeta + \int _ { 0 } ^ { b } y ^ { + , \top } ( \zeta ) \mathcal { Q } ^ { + } ( \zeta ) x ^ { + } ( \zeta ) \, d \zeta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { b } \left[ \begin{array} { l l } { y ^ { - , \top } ( \eta \zeta + a ) } & { y ^ { + , \top } ( \zeta ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \eta \mathcal { Q } ^ { - } ( \eta \zeta + a ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { Q } ^ { + } ( \zeta ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x ^ { - } ( \eta \zeta + a ) } \\ { x ^ { + } ( \zeta ) } \end{array} \right] d \zeta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { b } \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } ( \zeta ) } \\ { w _ { 2 } ( \zeta ) } \end{array} \right] ^ { \top } \left[ \begin{array} { l l } { \eta ^ { - 1 } \mathcal { Q } ^ { - } ( \eta \zeta + a ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { Q } ^ { + } ( \zeta ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } ( \zeta ) } \\ { v _ { 2 } ( \zeta ) } \end{array} \right] d \zeta = 2 \left\langle \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right] \right\rangle _ { \mathcal { H } _ { 0 } } . } \end{array}
E = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 2 } \vec { x } \, \Bigl [ \bigl ( \partial _ { 1 } \vec { \phi } \times \partial _ { 2 } \vec { \phi } \pm \mu ( \vec { n } - \vec { \phi } ) \bigr ) ^ { 2 } \pm 2 \mu ^ { 2 } B ( \vec { x } ) \Bigr ]
\mathrm { ~ N } _ { 2 } \left( \mathrm { ~ A } _ { 3 } , \mathrm { ~ B } _ { 3 } , \mathrm { C } _ { 3 } , \mathrm { a } _ { 1 } \right) + \mathrm { O } _ { 2 } \longrightarrow \mathrm { N } _ { 2 } + 2 \mathrm { O }
\Delta E = E ( \{ r _ { i } ^ { \prime } , \theta _ { i } ^ { \prime } \} ) - E ( \{ r _ { i } , \theta _ { i } \} ) = p _ { \mathrm { s } } ( \{ r _ { i } , \theta _ { i } \} ) - p _ { \mathrm { s } } ( \{ r _ { i } ^ { \prime } , \theta _ { i } ^ { \prime } \} )
B = \frac { \sum _ { l = 1 } ^ { n } r ( X _ { l } ; \{ V _ { i } \} ) \left[ Y _ { l } - h ( X _ { l } ; \{ V _ { i } \} ) \right] } { \sum _ { l = 1 } ^ { n } r ^ { 2 } ( X _ { l } ; \{ V _ { i } \} ) } .
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \eta - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha - \beta } \sin \left( \left( \alpha + \eta - \beta - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \alpha + \eta \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha - \beta } \sin \left( \left( \beta + \eta - \alpha - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha - \beta \right) } \sin \left( \left( \eta - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \alpha - \beta + \gamma } \sin \left( \left( \beta + \eta \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \alpha + 2 \gamma - \eta \right) \pi \right) - a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \alpha - \beta + \gamma } \sin \left( \left( \beta + 2 \gamma - \eta \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \gamma \right) } \sin \left( \left( \eta - \gamma \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { * } \psi } & { = R \frac { \partial } { \partial R } \frac { 1 } { R } \frac { \partial \psi } { \partial R } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial Z ^ { 2 } } } \\ & { = - \mu _ { 0 } R J _ { t } } \\ & { = - R ^ { 2 } \mu _ { 0 } \frac { \partial p \big ( \psi \big ) } { \partial \psi } - F \big ( \psi \big ) \frac { \partial F \big ( \psi \big ) } { \partial \psi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { * } & { { } \mathrm { ~ N ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } = \sqrt { \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } \left( X _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ } , i } - X _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } , i } \right) ^ { 2 } } \Bigg / \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } X _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } , i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } p + u \partial _ { x } p + \gamma p \partial _ { x } u } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } p + M ^ { \- 2 } \frac { \gamma p } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p \pm \gamma p \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u } \\ { \rho \partial _ { t } u + M ^ { \- 2 } \partial _ { x } p + \rho u \partial _ { x } u } & { = \rho \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } u \phantom { \frac { \gamma p } { \rho | v | } } \pm M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } v + u \partial _ { x } v } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } v } \\ { \partial _ { t } s + u \partial _ { x } s } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta t \d _ { t } S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( t ) } & { { } \approx S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( t + \Delta t ) - S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( t ) = { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } } D _ { K L } \left( P _ { N } ( t + \Delta t ) \left| \prod _ { n } P _ { 1 } ( t + \Delta t ) \right. \right) - { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } } D _ { K L } \left( P _ { N } ( t ) \left| \prod _ { n } P _ { 1 } ( t ) \right. \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \mathbb { P } } & { \left\{ d _ { p - v a r } \left( S _ { 2 } \circ \Phi _ { l } ( X _ { t } ( x ) ) , \boldsymbol { X } ( x ) \right) > \frac { \delta } { \epsilon ^ { n } } \right\} } \\ & { \leq q \log \left( \frac { \epsilon ^ { n } ( q - 1 ) ^ { \frac { n } { 2 } } } { \delta } d _ { p } ( l ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \right] _ { \mathrm { ~ M ~ o ~ r ~ i ~ s ~ o ~ n ~ } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } D _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ } } ( \theta ) d \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { s } ( c _ { s , i } , T ) } & { = D _ { s } ( c _ { s , i } ) e ^ { \left( \frac { E _ { i } } { R \hat { T } } - \frac { E _ { i } } { R T } \right) } , } \\ { D _ { s } ( c _ { s , a } ) } & { = 8 . 4 \times 1 0 ^ { - 9 } e ^ { - 1 1 . 3 \left( \frac { c _ { s , a } } { c _ { s , a , m a x } } \right) } + 8 . 2 \times 1 0 ^ { - 1 2 } , } \\ { D _ { s } ( c _ { s , c } ) } & { = 3 . 7 \times 1 0 ^ { - 1 3 } - 3 . 4 \times 1 0 ^ { - 1 3 } e ^ { - 1 2 \left( \frac { c _ { s , c } } { c _ { s , c , m a x } } - 0 . 6 2 \right) } } \end{array}
P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { e } } ^ { \mathrm { s u n } } ( E ) = \left( 1 - | U _ { e 3 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { e } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( E ) + | U _ { e 3 } | ^ { 4 } \, ,
f ( \textbf { x } , t , \textbf { u } ) = \frac { 1 } { \tau } \int _ { 0 } ^ { t } g ( \textbf { x } ^ { \prime } , t ^ { \prime } , \textbf { u } ) e ^ { - ( t - t ^ { \prime } ) / \tau } \mathrm { ~ d ~ } t ^ { \prime } \, + e ^ { - t / \tau } f _ { 0 } ( \textbf { x } - \textbf { u } t , \textbf { u } ) ,
\begin{array} { r l } { J _ { p } } & { ( f ( y ) + g ( y ) ) = J _ { p } ( f ( y ) ) J _ { p } ( 1 + \frac { g ( y ) } { f ( y ) } ) } \\ & { = J _ { p } ( f ( y ) ) \left( J _ { p } ( 1 ) + J _ { p } ^ { \prime } ( 1 ) \frac { g ( y ) } { f ( y ) } + \frac { J _ { p } ^ { \prime \prime } ( 1 ) } { 2 } \left( \frac { g ( y ) } { f ( y ) } \right) ^ { 2 } + O \left( [ J _ { p } ^ { \prime \prime } ] _ { C ^ { \beta } ( B _ { 1 } \setminus B _ { 1 / 2 } ) } \left( \bigg | \frac { g ( y ) } { f ( y ) } \bigg | \right) ^ { 2 + \beta } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi } { \partial m _ { k } } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \alpha ) \ } & { = \ - \Re \left\langle \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) \frac { \partial u } { \partial m _ { k } } ( \boldsymbol { m } ) , \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right\rangle + \Gamma ( \alpha , \mu ) \boldsymbol { m } } \\ { \ } & { = \ - \Re \left( \frac { \partial u } { \partial m _ { k } } ( \boldsymbol { m } ) , \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) ^ { * } \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { \Omega } + \Gamma ( \alpha , \mu ) \boldsymbol { m } . } \end{array}
E _ { 6 } ( n ) = - ( 1 + 2 n ) ( 6 5 5 1 8 4 0 1 + 1 4 6 3 3 8 8 9 5 n + 2 1 3 1 7 2 4 3 0 n ^ { 2 } + 1 3 9 9 3 1 8 6 8 n ^ { 3 } + 8 5 6 2 7 9 2 9 n ^ { 4 }
\begin{array} { r l r } { \langle \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] | \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] \rangle } & { { } = \langle \Phi _ { i } | \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Phi _ { i } \rangle \dag \langle \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] | \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] \rangle } & { = \langle \Phi _ { i } | \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Phi _ { i } \rangle \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( J _ { f } , M _ { f } , q ) } & { = \xi \sum _ { m _ { s } } \int \mathrm { d } \Omega _ { k } | \langle J _ { f } M _ { f } | \langle \psi _ { c } | \hat { D } _ { q } | 0 0 \rangle | ^ { 2 } } \\ & { = \xi \sum _ { l } \sum _ { j _ { f } } \langle 1 q | j _ { f } ( q - M _ { f } ) J _ { f } M _ { f } \rangle ^ { 2 } | \langle \left[ ( l s ) j _ { f } J _ { f } \right] 1 | | D | | 0 \rangle | ^ { 2 } } \end{array} ,
\begin{array} { r l } { { \mathcal E } _ { \operatorname* { m i n } } ( K ) : = } & { \operatorname* { m i n } _ { p \in \mathbb { T } ^ { 2 } } \, { \mathcal E } _ { K } ( p ) = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \Big ( 1 - \cos \frac { K _ { i } } 2 \Big ) \geq { \mathcal E } _ { \operatorname* { m i n } } ( 0 ) = 0 , } \\ { { \mathcal E } _ { \operatorname* { m a x } } ( K ) : = } & { \operatorname* { m a x } _ { p \in \mathbb { T } ^ { 2 } } \, { \mathcal E } _ { K } ( p ) = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \Big ( 1 + \cos \frac { K _ { i } } 2 \Big ) \leq { \mathcal E } _ { \operatorname* { m a x } } ( 0 ) = 8 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ^ { \mathrm { s , L } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { \eta } \left[ \left( \mathbf { S } ^ { \mathrm { L } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] _ { \eta \mu } \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ( \mathbf { r } ) \sqrt { \frac { \omega _ { \eta } } { \omega _ { \mu } } } , } \\ { \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ^ { \mathrm { s , G } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { \eta } \left[ \left( \mathbf { S } ^ { \mathrm { G } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] _ { \mu \eta } \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ( \mathbf { r } ) \sqrt { \frac { \omega _ { \eta } } { \omega _ { \mu } } } . } \end{array}
R _ { \tau } = \int _ { 0 } ^ { M _ { \tau } ^ { 2 } } d s \; D ( s ) = \int _ { 0 } ^ { M _ { \tau } ^ { 2 } } d s \; \frac { 2 } { M _ { \tau } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } ( 1 + \frac { 2 s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } ) \tilde { R } ( s ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { + } ^ { 2 } \Sigma ^ { S u n } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) = \lambda ^ { 2 } \int _ { \Lambda _ { \beta } } d ^ { 3 } x x _ { + } ^ { 2 } e ^ { - i \pi T x _ { 0 } } \int _ { \tilde { \cal D } _ { \beta } } d k _ { 1 , 0 } d q _ { 1 , + } d q _ { 1 , - } \hat { C } ^ { I } ( k _ { 1 , 0 } , { \bf q } _ { 1 } ) } \\ & { } & { \times \int _ { \tilde { \cal D } _ { \beta } } d k _ { 2 , 0 } d q _ { 2 , + } d q _ { 2 , - } \hat { C } ^ { I } ( k _ { 2 , 0 } , { \bf q } _ { 2 } ) \int _ { \tilde { \cal D } _ { \beta } } d k _ { 3 , 0 } d q _ { 3 , + } d q _ { 3 , - } \hat { C } ^ { I } ( k _ { 3 , 0 } , { \bf q } _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| W _ { \ell } - W _ { \ell } ^ { \prime } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \left\| W _ { \ell } - W _ { \ell } ^ { \prime } \right\| _ { \mathrm { F } } } \\ & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { \ell + 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { \ell } } | w _ { \ell , i j } - w _ { \ell , i j } ^ { \prime } | \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { \ell + 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { \ell } } C _ { w } \left| \frac { w _ { \ell , i j } } { C _ { w } } - \frac { w _ { \ell , i j } ^ { \prime } } { C _ { w } } \right| , } \end{array}