harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c c } { \underline { { P a r t i t i o n s } } } & & { \underline { { P a r t i a l p a r t i t i o n s w i t h n o s i n g l e t o n s } } } \\ { \{ \{ 1 , 2 , 3 \} \} } & & { \{ \{ 1 , 2 , 3 \} \} } \\ { \{ \{ 1 , 2 \} , \{ 3 \} \} } & & { \{ \{ 1 , 2 \} \} } \\ { \{ \{ 1 , 3 \} , \{ 2 \} \} } & & { \{ \{ 1 , 3 \} \} } \\ { \{ \{ 2 , 3 \} , \{ 1 \} \} } & & { \{ \{ 2 , 3 \} \} } \\ { \{ \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{ 3 \} \} } & & { \{ \} } \end{array} } \end{array}
u ( x , t ) = 1 + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } x ^ { 4 n } \sin t } { ( 4 n ) ! } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } x ^ { 4 n + 2 } \cos t } { ( 4 n + 2 ) ! } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } x ^ { 4 n + 1 } ( \sin t + \cos t ) } { \sqrt 2 ( 4 n + 1 ) ! } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } x ^ { 4 n + 3 } ( \sin t - \cos t ) } { \sqrt 2 ( 4 n + 3 ) ! }
\begin{array} { r l } & { ( t _ { j - 4 , j - 3 } t _ { j - 2 , j - 1 } h _ { j - 4 } h _ { j - 5 } \cdots h _ { i } t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { - 1 } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } ) ^ { \frac { j - i - 1 } { 2 } } } \\ { = } & { t _ { j - 2 , j - 1 } \cdots t _ { i + 3 , i + 4 } t _ { i + 1 , i + 2 } ( h _ { j - 4 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i - 1 } { 2 } } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } \cdots t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { - 1 } . } \end{array}
\delta E _ { 1 } ^ { m } = \frac { m _ { e } } { M } \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } \left( 1 - \frac { 4 } { 3 } \frac { R ^ { 3 } } { a _ { 0 } ^ { 3 } } \right) - \frac { m _ { e } B } { M a _ { 0 } } \left( 1 - 2 \frac { R ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - \frac { m _ { e } Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } M a _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { R } { 2 a _ { 0 } } \right) .
{ a } _ { l } ^ { ( - 3 ) } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) = \frac { 2 l + 1 } { r _ { 2 } ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { r _ { 1 } ^ { l } } { r _ { 2 } ^ { l + 1 } } = \frac { 2 l + 1 } { r _ { 2 } ( r _ { 2 } ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 2 } ) } \left( \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \right) ^ { l } .
\int _ { r = 0 } ^ { + \infty } b _ { d } c _ { 2 } ^ { \prime } \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 3 5 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ) } { b ( \delta _ { 1 } + r ) } } \right) ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ^ { 1 0 } \exp \left( - \frac { 2 } { 7 } \frac { b ( \delta _ { 1 } + r ) } { \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ) } \right) \, d r \leq c \epsilon ,
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { \parallel } ^ { \mathrm { S R } } ( r ) } & { { } = } & { 4 2 . 1 3 + 1 5 . 4 0 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) + 5 . 4 0 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) ^ { 2 } - 5 . 2 5 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) ^ { 3 } , } \\ { \alpha _ { \bot } ^ { \mathrm { S R } } ( r ) } & { { } = } & { 2 5 . 2 9 + 2 . 8 7 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) - 0 . 0 9 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) ^ { 2 } - 0 . 4 2 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \rho _ { 1 } } { \partial t } + 2 \rho _ { 0 } v _ { r 1 } + \rho _ { 0 } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial z } = 0 , } \\ & { \rho _ { 0 } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial t } + \frac { \partial P _ { 1 } } { \partial z } = 0 , } \\ & { C _ { \mathrm { V } } \rho _ { 0 } \frac { \partial T _ { 1 } } { \partial t } - \frac { k _ { B } T _ { 0 } } { m } \frac { \partial \rho _ { 1 } } { \partial t } = - \rho _ { 0 } \left( Q _ { \rho } \rho _ { 1 } + Q _ { T } T _ { 1 } + Q _ { B } B _ { \mathrm { 1 } } \right) + \kappa _ { \parallel } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { 1 } } { \partial z ^ { 2 } } , } \\ & { P _ { 1 } - \frac { k _ { B } } { m } \left( \rho _ { 0 } T _ { 1 } + T _ { 0 } \rho _ { 1 } \right) = 0 , } \\ & { P _ { 1 } + \frac { B _ { 0 } B _ { 1 } } { \mu _ { 0 } } = 0 , } \\ & { \frac { \partial B _ { 1 } } { \partial t } + 2 B _ { 0 } v _ { r 1 } = 0 . } \end{array}
\lambda ^ { - 1 } = \frac { \Delta c } { M c _ { + } \Delta \chi \Delta s ^ { \star } } \exp \left( \frac { 2 L _ { \mathrm { f r e e } } } { l _ { - } } \right) \, \frac { R } { 4 l _ { + } } \, \left[ l _ { - } + \frac { l _ { + } } { \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } \right] \left[ l _ { + } + \frac { l _ { - } } { \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { { 2 } \frac { \partial P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } } & { { } = D \frac { \partial ^ { 2 } P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } - \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \partial P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \gamma \left( P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) - P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) \right) , } \\ { \frac { \partial P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } } & { { } = D \frac { \partial ^ { 2 } P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } - \left( - v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \partial P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \gamma \left( P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) - P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \mathbf { M } _ { s t i } \right] _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle , | s _ { i } \rangle } } & { = } & { \sum _ { l , p } \left( { \frac { \Gamma _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } } { 2 } } \right) \! { \frac { | \alpha _ { p , | s \rangle , | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } | ^ { 2 } I _ { l , p } / I _ { s a t } } { 1 + 4 ( \Delta _ { l , | s _ { j } \rangle , | s _ { i } ^ { \prime } \rangle } / \Gamma _ { | s _ { i } ^ { \prime } \rangle } ) ^ { 2 } } } , } \\ { \left[ \mathbf { M } _ { s p o n } \right] _ { | s _ { i } \rangle , | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } } & { = } & { \Gamma _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } | \boldsymbol { \alpha } _ { | s \rangle , | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } | ^ { 2 } , } \\ { \left[ \mathbf { M } _ { s s } \right] _ { | s _ { i } \rangle , | s _ { k } \rangle } } & { = } & { - \delta _ { i k } \sum _ { j } \left[ \mathbf { M } _ { s t i } \right] _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle , | s _ { i } \rangle } , \ a n d } \\ { \left[ \mathbf { M } _ { s ^ { \prime } s ^ { \prime } } \right] _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle , | s _ { k } ^ { \prime } \rangle } } & { = } & { - \delta _ { j k } \sum _ { k } \left[ \mathbf { M } _ { s t i } \right] _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle , | s _ { k } \rangle } - \delta _ { j k } \Gamma _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 2 a } ^ { \prime } } & { { } = a \sqrt { 2 \left( 1 - \cos \theta \right) } , } \\ { r _ { 2 b } ^ { \prime } } & { { } = r _ { 2 } \sqrt { 2 \left[ 2 + 2 \zeta \left( 1 - \cos \theta \right) + \zeta ^ { 2 } \left( 1 - \cos \theta \right) \right] } , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { a _ { 0 } \to 0 + } p ^ { + } \in ( - \infty , + \infty ) ~ , \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname * { l i m } _ { a _ { 0 } \to 0 - } p ^ { - } \in ( - \infty , + \infty ) ~ .
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } \! } & { \simeq } & { \! 1 + \frac { \alpha } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \frac { { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } } { ( { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, ( \hat { { \bf k } } \times { \bf B } _ { 0 } ) ^ { 2 } \; , } \\ { n _ { 2 } \! } & { \simeq } & { \! 1 + \frac { \alpha } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \frac { | { \bf B } _ { 0 } | } { \beta } \, \frac { ( \hat { { \bf k } } \times { \bf B } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \gamma ^ { a } } { d \tau ^ { 2 } } + \sum _ { b , c } \tilde { \Gamma } _ { b c } ^ { a } \frac { d \gamma ^ { b } } { d \tau } \frac { d \gamma ^ { c } } { d \tau } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { b , c , k } h ^ { k a } \left( \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { b } } h _ { c k } + \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { c } } h _ { k b } - \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { k } } h _ { b c } \right) \frac { d \gamma ^ { b } } { d \tau } \frac { d \gamma ^ { c } } { d \tau } .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \operatorname* { m i n } _ { ( x , w ) \in F } \: \: } & & { c ^ { \textup { T } } x + d ^ { \textup { T } } w } \\ & { \quad \: \mathrm { s . t . } } & & { ( x _ { i } , x _ { j } , w _ { i j } ) \in \mathcal { M } _ { i j } ^ { B } , \quad \forall ( i , j ) \in \mathcal { B } , } \\ & { } & & { ( x _ { k } , w _ { k k } ) \in \mathcal { M } _ { k } ^ { Q } , \quad \forall k \in \mathcal { Q } , } \end{array}
\Phi _ { 1 , 2 } = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 1 , 2 } ^ { + } } } \\ { { \phi _ { 1 , 2 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) , ~ ~ \eta = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { \overline { { { \eta ^ { 0 } } } } } } & { { \eta ^ { + } } } \\ { { - \eta ^ { - } } } & { { \eta ^ { 0 } } } \end{array} \right) .
\widetilde { H } = { } _ { 2 } F _ { 1 } \left[ { 1 } / { 3 } , { 1 } / { 2 } , { 4 } / { 3 } , \mathrm { s e c h } ^ { 2 } ( { 3 t } / { 2 } ) \right] \, , \quad \widetilde { \sigma } = \sigma = 2 \pi / 3 \, .
\textbf { A } ( t ) = \frac { A _ { 0 } f ( t ) } { \sqrt { 2 } } \left( \left[ \cos ( \omega t + \phi ) + \frac { \textsf { R } } { 2 } \cos ( 2 \omega t ) \right] \hat { \textbf { e } } _ { x } + \left[ \sin ( \omega t + \phi ) \pm \frac { \textsf { R } } { 2 } \sin ( 2 \omega t ) \right] \hat { \textbf { e } } _ { y } \right) .
\begin{array} { r l } { \langle \widehat { \mathcal { A } } ^ { \prime } ( h ^ { - 1 } ( t _ { * } ) ) e _ { \alpha } , e _ { \beta } \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } } & { { } = \langle g \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) h ^ { - 1 } ( e _ { \alpha } ) , e _ { \beta } \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } = \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) h ^ { - 1 } ( e _ { \alpha } ) , g ^ { \dag } ( e _ { \beta } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { S \left( P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) = \log \left( Z _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) + \beta _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } U _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } V _ { \mathfrak { s } _ { 1 } , 1 } } & { = \frac { M _ { 2 } E _ { \mathfrak { s } _ { 1 } } M _ { 1 } } { \langle M _ { 2 } E _ { \mathfrak { s } _ { 1 } } M _ { 1 } E _ { \mathfrak { s } _ { 1 } } \rangle } \, , \qquad } & & { V _ { - \mathfrak { s } _ { 1 } , 1 } = \frac { M _ { 2 } ^ { * } E _ { - \mathfrak { s } _ { 1 } } M _ { 1 } } { \langle M _ { 2 } ^ { * } E _ { - \mathfrak { s } _ { 1 } } M _ { 1 } E _ { - \mathfrak { s } _ { 1 } } \rangle } \, , } \\ { V _ { \mathfrak { s } _ { 2 } , 2 } } & { = \frac { M _ { 1 } E _ { \mathfrak { s } _ { 2 } } M _ { 2 } } { \langle M _ { 1 } E _ { \mathfrak { s } _ { 2 } } M _ { 2 } E _ { \mathfrak { s } _ { 2 } } \rangle } \, , \qquad } & & { V _ { - \mathfrak { s } _ { 2 } , 2 } = \frac { M _ { 1 } ^ { * } E _ { - \mathfrak { s } _ { 2 } } M _ { 2 } } { \langle M _ { 1 } ^ { * } E _ { - \mathfrak { s } _ { 2 } } M _ { 2 } E _ { - \mathfrak { s } _ { 2 } } \rangle } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mathcal D } = \left( \begin{array} { c c } { D _ { A } \left( 1 + \psi \right) } & { D _ { A } \left( \psi + \phi _ { 0 } \chi \right) } \\ { D _ { I } \left( \psi + \phi _ { 0 } \chi \right) } & { D _ { I } \left( 1 + \psi \right) } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \hat { w } \| _ { ( L ^ { 1 } \cap L ^ { \infty } ) ( \hat { \Gamma } \setminus ( \partial \mathcal { D } \cup \hat { \mathcal { X } } ^ { \epsilon } ) ) } \leq C t ^ { - 1 } , } \\ & { \| \hat { w } \| _ { ( L ^ { 1 } \cap L ^ { \infty } ) ( \partial \mathcal { D } ) } \leq C t ^ { - 1 / 2 } , } \\ & { \| \hat { w } \| _ { L ^ { 1 } ( \hat { \mathcal { X } } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 } \ln t , } \\ & { \| \hat { w } \| _ { L ^ { \infty } ( \hat { \mathcal { X } } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 / 2 } \ln t , } \end{array}
- \frac { \partial { \cal L } _ { y } } { \partial y ^ { m } } = \tilde { \cal G } ^ { i } { } _ { m } = G _ { m n } { \cal F } ^ { i n } + B _ { m n } \tilde { \cal F } ^ { i n } = \epsilon ^ { i j } \partial _ { j } \tilde { y } _ { m }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) , \mathbf { m } ( \mathbf { x } ) ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { r } ( \mathbf { P u } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { d } ^ { * } ( t ) ) ^ { 2 } d t + \left\langle \mathbf { u } ( \mathbf { x } , T ) , \mathbf { C ( m ) } \mathbf { v } ( \mathbf { x } , T ) \right\rangle } \end{array}
\mathbf { b } ^ { \mathbb { \beta } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { f } _ { t } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) } & { { \mathrm { f o r ~ } } \mathbb { \beta } = 1 } \\ { \mathbf { f } _ { t } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( \mathbf { I } \otimes \mathbf { g } _ { j } ^ { \intercal } \left( t _ { n } \right) \right) \mathbf { f } _ { \mathbf { x x } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) \mathbf { g } _ { j } \left( t _ { n } \right) } & { { \mathrm { f o r ~ } } \mathbb { \beta } = 2 , } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { A _ { 1 } : = \frac { \left( \epsilon + \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) ^ { a _ { \epsilon } ^ { v } ( x _ { \delta } ) } - \left( \epsilon + \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) ^ { a _ { \epsilon } ^ { v } ( y _ { \delta } ) } } { H _ { \epsilon ; x _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) H _ { \epsilon ; y _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) } ; } \\ & { A _ { 2 } : = \frac { \left( \epsilon + \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) ^ { a _ { 1 } } \bigg [ a ( x _ { \delta } ) h _ { \epsilon } ^ { v } ( x _ { \delta } ) - a ( y _ { \delta } ) h _ { \epsilon } ^ { v } ( y _ { \delta } ) \bigg ] } { H _ { \epsilon ; x _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) H _ { \epsilon ; y _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) } ; } \\ & { A _ { 3 } : = \frac { \left( \epsilon + \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) ^ { a _ { 2 } } \bigg [ a ( x _ { \delta } ) ( 1 - h _ { \epsilon } ^ { v } ( x _ { \delta } ) ) - a ( y _ { \delta } ) ( 1 - h _ { \epsilon } ^ { v } ( y _ { \delta } ) ) \bigg ] } { H _ { \epsilon ; x _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) H _ { \epsilon ; y _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) } . } \end{array}
n _ { e } = n _ { 0 } \, \frac { \left( r / r _ { \mathrm { c } } \right) ^ { - \alpha / 2 } } { \left( 1 + r ^ { 2 } / r _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \right) ^ { 3 \beta / 2 - \alpha / { 4 } } } \frac { 1 } { \Big ( 1 + { [ r / r _ { \mathrm { s } } ] ^ { \gamma } } \Big ) ^ { \varepsilon / { 2 } \gamma } } ,
\mathcal { J } \left( \varepsilon \right) = J _ { \alpha _ { 1 } } \left( \pi + \varepsilon \right) J _ { \alpha _ { 2 } } \left( \pi + \varepsilon \right) J _ { \alpha _ { 3 } } \left( \pi / 2 + \varepsilon / 2 \right) .
\mathbf { Z } / p _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \mathbf { Z } \ \times \ \mathbf { Z } / p _ { 2 } ^ { n _ { 2 } } \mathbf { Z } \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf { Z } / p _ { k } ^ { n _ { k } } \mathbf { Z } .
\begin{array} { r l } & { 2 c \Big \{ | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } - \Theta _ { 0 1 } | | _ { F } ^ { 2 } + | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } - \Theta _ { 0 2 } | | _ { F } ^ { 2 } \Big \} + \lambda \Big \{ | | \Delta _ { 1 S _ { 1 } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 S _ { 2 } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { 3 \lambda \Big \{ | | \Delta _ { 1 S _ { 1 } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 S _ { 2 } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ & { + 2 \Big \{ | | \widehat { \Sigma } _ { 1 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { + } - \Theta _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } + | | \widehat { \Sigma } _ { 2 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { + } - \Theta _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } \Big \} . } \end{array}
S [ \varphi ] = \int _ { 0 } ^ { L } \mathrm { d } x \left[ \frac { x _ { T } } { 4 } \left( \frac { \mathrm { d } \varphi } { \mathrm { d } x } \right) ^ { 2 } + \frac { x _ { T } } { 4 \xi ^ { 2 } } \varphi ( x ) ^ { 2 } - i q ( x ) \varphi ( x ) - 2 z \cos \varphi ( x ) \right] \equiv \int _ { 0 } ^ { L } \mathcal { L } ( \varphi , \dot { \varphi } ) .
S [ \Phi , \chi ] = \int d ^ { 3 } x \ [ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { i } \Phi ^ { * } \partial _ { i } \Phi + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { i } \chi ^ { * } \partial _ { i } \chi + V ( \Phi , \chi ) ] .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } = } & { { } \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 1 } / a _ { 1 1 } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \\ { \boldsymbol { B } = } & { { } \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 1 } } & { b _ { 1 2 } } \\ { b _ { 2 1 } } & { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { b _ { 1 2 } / b _ { 1 1 } } \\ { b _ { 2 1 } } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
B _ { 0 } \left( R \right) = B _ { 0 _ { i } } \, \sqrt [ ] { 1 + 2 \frac { \left( \rho _ { 0 _ { i } } - \rho _ { 0 _ { e } } \right) T _ { 0 } } { B _ { 0 _ { i } } ^ { 2 } } \left( 1 - S _ { 0 } \left( R \right) \right) } ,
\hat { G } _ { 4 } ( p _ { 2 } , - p _ { 3 } , - p _ { 4 } , p _ { 1 } ) = i \hat { S } ( p _ { 2 } ) \otimes i \hat { S } ( - p _ { 3 } ) \hat { \Gamma } _ { 4 } ( p _ { 2 } , - p _ { 3 } , - p _ { 4 } , p _ { 1 } ) i \hat { S } ^ { T } ( - p _ { 4 } ) \otimes i \hat { S } ^ { T } ( p _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) = \ } & { \Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) - \frac { 4 ( 1 + 2 \gamma ) } { 3 m _ { \mathrm { e } } } \Delta { E } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) } \\ { = \ } & { \frac { 1 2 8 } { 9 } B _ { 1 } C _ { 1 } ^ { 3 / 2 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 3 } ( Z \alpha ) ^ { 5 } - 6 4 B _ { 1 } C _ { 1 } ^ { 2 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 4 } ( Z \alpha ) ^ { 6 } } \\ & { + \mathcal { O } \left( ( Z \alpha ) ^ { 7 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( Y = y ) } & { = \sum _ { x } \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } \sum _ { \hat { p } } P ( Y = y | X = x , \hat { P } = \hat { p } , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } ) } \\ & { \qquad \times P ( X = x ) P ( \hat { P } = \hat { p } ) \prod _ { i = 1 } ^ { B } P ( \Tilde { P } _ { i } = \Tilde { p } _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { x } P ( X = x ) \frac { 1 } { B ! } \frac { 1 } { ( P / B ) ! ^ { B } } \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } \sum _ { \hat { p } } \mathbf { 1 } _ { \{ Y = y , X = x , \hat { P } = \hat { p } , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } \} } } \\ & { = \frac { 1 } { B ! } \prod _ { i = 1 } ^ { B } \frac { 1 } { \binom { P / B } { \hat { y } _ { i } } } K _ { \hat { y } _ { i } } ! \sum _ { x : \{ \hat { x } \} = \{ \hat { y } \} } P ( X = x ) } \end{array}
E = \int d ^ { 3 } x \{ \frac { 1 } { 2 } B ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } T r \{ ( D _ { i } \phi _ { 1 } ) ^ { 2 } \} + \frac { 1 } { 2 } T r \{ ( D _ { i } \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } \} \} \quad .
L ( h , V ) = V ^ { \underline { { n } } } \left( D _ { \underline { { m } } } h _ { \underline { { l } } \underline { { n } } } F ^ { \underline { { l } } \underline { { m } } } - h _ { \underline { { l } } } ^ { \underline { { m } } } D _ { \underline { { m } } } F _ { \quad \underline { { n } } } ^ { \underline { { l } } } \right) - \frac { 1 } { 2 } A ^ { \prime } F ^ { r \underline { { m } } } V _ { \underline { { m } } } h _ { i } ^ { i } + \frac { D _ { 1 } - 2 } { 2 } A ^ { \prime } F ^ { \underline { { l } } \underline { { m } } } V _ { \underline { { m } } } h _ { r \underline { { l } } } ~ ,
\operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } | \zeta _ { \mathcal { Z } , s } ^ { m f , i } - \zeta _ { \mathcal { Z } , s } ^ { m f } | \leq K _ { T , D } | \zeta _ { \mathcal { Z } , 0 } ^ { m f , i } - \zeta _ { \mathcal { Z } , 0 } ^ { m f } | + K _ { T , D } W _ { 1 } ( \pi _ { 0 } ( \cdot | Z _ { 0 } ^ { m f } ) , \pi _ { 0 } ( \cdot | Z _ { 0 } ^ { m f , i } ) ) .
\begin{array} { r } { \hat { V } ( \hat { x } _ { * } ) = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \left[ \frac { g } { 2 } \frac { d ^ { 2 } g } { d \hat { x } _ { * } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { d g } { d \hat { x } _ { * } } \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { Y _ { i } \mid x _ { 1 , i } , \ldots , x _ { m , i } \ } & { \sim \operatorname { B e r n o u l l i } ( p _ { i } ) } \\ { \operatorname { \mathbb { E } } [ Y _ { i } \mid x _ { 1 , i } , \ldots , x _ { m , i } ] } & { = p _ { i } } \\ { \operatorname* { P r } ( Y _ { i } = y \mid x _ { 1 , i } , \ldots , x _ { m , i } ) } & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { i } } & { { \mathrm { i f ~ } } y = 1 } \\ { 1 - p _ { i } } & { { \mathrm { i f ~ } } y = 0 } \end{array} \right. } } \\ { \operatorname* { P r } ( Y _ { i } = y \mid x _ { 1 , i } , \ldots , x _ { m , i } ) } & { = p _ { i } ^ { y } ( 1 - p _ { i } ) ^ { ( 1 - y ) } } \end{array} }
( \boldsymbol { u } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } ) \boldsymbol { u } + f _ { 0 } \boldsymbol { u } ^ { \perp } + g \boldsymbol { \nabla } h = \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { u } h ) = 0 .
\begin{array} { r l r l r l } { { 9 } \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \mathbf { A } } } ( \mathbf { x } ) } & { = } & & { \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { s } } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { m } } } & & { \sum _ { m = 0 } ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { m } \tilde { G } _ { n } \binom { n } { m } \binom { m } { k } \bigg ( \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \xi } \bigg ) _ { j } I _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } _ { j } ; 2 ( n - m ) , 2 ( m - k ) , 2 k ) , } \\ { \mathbf { I } _ { \mathcal { E } _ { \Phi } } ( \mathbf { x } ) } & { = } & { - 2 } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { s } } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { m } } } & & { \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { m } n \tilde { G } _ { n } \binom { n - 1 } { m } \binom { m } { k } \bigg ( \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \boldsymbol { \xi } } \bigg ) _ { j } \mathbf { I } _ { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } _ { j } ; 2 ( n - m - 1 ) , 2 ( m - k ) , 2 k ) , } \\ { \mathbf { I } _ { \mathcal { M } } ( \mathbf { x } ) } & { = } & { - 2 } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { s } } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { m } } } & & { \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { m } n \tilde { G } _ { n } \binom { n - 1 } { m } \binom { m } { k } \bigg ( \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \boldsymbol { \xi } } \bigg ) _ { j } \big ( \mathbf { e } _ { \xi } \times \mathbf { I } _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } _ { j } ; 2 ( n - m - 1 ) , 2 ( m - k ) , 2 k ) \big ) , } \end{array}
\mathcal D ( a , b ; y ) : = \sum _ { \substack { h > 0 \, h \equiv b - a \bmod q } } \sum _ { \mathcal A \subset \{ 0 , h \} } \sum _ { \substack { \mathcal T \subset [ 1 , h - 1 ] \, ( t + a , q ) = 1 \forall t \in \mathcal T } } ( - 1 ) ^ { | \mathcal T | } \mathfrak S _ { 0 , q } ( \mathcal A \cup \mathcal T ) \left( \frac { q } { \phi ( q ) \alpha ( y ) \log y } \right) ^ { | \mathcal T | } \alpha ( y ) ^ { h \phi ( q ) / q } .