harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mathbf { a b } } ( \mathbf { c } | \mathbf { a } \mathbf { b } ) D _ { \mathbf { a b } } \overset { \mathrm { E q . \, } } { = } } & { \sum _ { \mathbf { a b } } \left( \sum _ { \mathbf { \tilde { c } \tilde { p } } } E _ { \mathbf { c } } ^ { \mathbf { \tilde { c } } } ( \mathbf { \tilde { c } } | \mathbf { \tilde { p } } ) E _ { \mathbf { a b } } ^ { \mathbf { \tilde { p } } } \right) D _ { \mathbf { a b } } } \\ { = } & { \sum _ { \mathbf { \tilde { c } } } E _ { \mathbf { c } } ^ { \mathbf { \tilde { c } } } \left( \sum _ { \mathbf { \tilde { p } } } ( \mathbf { \tilde { c } } | \mathbf { \tilde { p } } ) D _ { \mathbf { \tilde { p } } } \right) , } \end{array}
{ \pi } ^ { - } = 0 , \; { \pi } ^ { + } = { \partial } _ { - } A _ { + } , \; { \pi } ^ { i } = { \partial } _ { + } A _ { i } - { \partial } _ { i } A _ { + } , \; ( i = 1 , 2 ) , \; { \pi } _ { B } = 0 .
\begin{array} { r l } { r ^ { 1 } } & { = ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 } , \ldots , p _ { n } ) = p } \\ { r ^ { 2 } } & { = ( q _ { 1 } , p _ { 2 } + ( p _ { 1 } - q _ { 1 } ) , p _ { 3 } , p _ { 4 } , \ldots , p _ { n } ) } \\ { r ^ { 3 } } & { = ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , p _ { 3 } + ( p _ { 1 } + p _ { 2 } - q _ { 1 } - q _ { 2 } ) , p _ { 4 } , \ldots , p _ { n } ) } \\ { r ^ { 4 } } & { = ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } , p _ { 4 } + ( p _ { 1 } + p _ { 2 } + p _ { 3 } - q _ { 1 } - q _ { 2 } - q _ { 3 } ) , \ldots , p _ { n } ) } \\ & { \vdots } \\ { r ^ { n } } & { = \bigg ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } , \ldots , q _ { n - 1 } , p _ { n } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( p _ { i } - q _ { i } ) \bigg ) = q , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ l ~ l ~ } } ( z ) } & { { } = \frac { 2 } { \ln 2 } \frac { a _ { R } ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } [ 1 + z ^ { 2 } / z _ { R } ^ { 2 } ] } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } } { \frac { d \sigma } { d Q ^ { 2 } d Q _ { T } ^ { 2 } } } = \delta ( { Q _ { T } } ^ { 2 } ) + { \frac { \alpha } { 2 \pi Q _ { T } ^ { 2 } } } \bigl ( \ln ( Q ^ { 2 } / Q _ { T } ^ { 2 } ) + O ( 1 ) \bigr ) \; .
\left\langle a _ { 1 } ^ { k } \right\rangle = \frac { \partial { { Q } _ { k } } } { \partial { { \mathbf { n } } _ { x } } } , \left\langle a _ { 2 } ^ { k } \right\rangle = \frac { \partial { { Q } _ { k } } } { \partial { { \mathbf { n } } _ { y } } } ,
K _ { 1 2 x 0 } = - \frac { \delta \omega _ { 0 } ( \omega _ { 0 } \cos ^ { 2 } \alpha _ { 1 } - \omega _ { p e } ) } { c \sqrt { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha _ { 1 } - 2 \omega _ { 0 } \omega _ { p e } } } ,
\begin{array} { r l r } { \left\| \boldsymbol { w } _ { h } \right\| _ { 0 , e } } & { \lesssim } & { C _ { 2 } \sum _ { \tau \in \omega _ { e } } \left( h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { c u r l } ~ \alpha p _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } + h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } \right. } \\ & { } & { \left. + h _ { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left\| p _ { h } - \mathrm { c u r l } _ { h } ~ \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } + h _ { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left\| \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } - \mathrm { c u r l } _ { h } ~ \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } \right) . } \end{array}
\nu ( \bar { \bf x } , \bar { \bf w } ) ^ { 2 } = v ( \bar { \bf x } , \| \bar { \bf w } \| \hat { \bf n } ( \bar { \bf w } ) ) ^ { 2 } = \| \bar { \bf w } \| ^ { 2 } v ( \bar { \bf x } , \hat { \bf n } ( \bar { \bf w } ) ) ^ { 2 } \, ,
\widehat U _ { F } ( \boldsymbol F ) = { \mathrm { i } \lambda R _ { A } } \, \widehat { \! \widehat U } _ { A } ( \lambda R _ { A } \boldsymbol F ) = \mathrm { i } \lambda R _ { A } \widetilde U _ { A } ( - \lambda R _ { A } \boldsymbol F ) \, ,
{ \textbf { V } } _ { P } = { \frac { d } { d t } } ( R { \textbf { e } } _ { r } + Z { \hat { k } } ) = { \dot { R } } { \textbf { e } } _ { r } + R { \dot { \textbf { e } } } _ { r } + { \dot { Z } } { \hat { k } } = { \dot { R } } { \textbf { e } } _ { r } + R { \dot { \theta } } { \textbf { e } } _ { \theta } + { \dot { Z } } { \hat { k } }
\partial _ { z } \tilde { \varphi } ( z , \bar { z } ) = \tilde { \Phi } = \partial _ { \varphi } \bar { S } ( z , \bar { z } , \varphi = \tilde { \varphi } ) \, , \quad \partial _ { \bar { z } } \tilde { \varphi } ( z , \bar { z } ) = \tilde { \bar { \Phi } } = \partial _ { \varphi } S ( z , \bar { z } , \varphi = \tilde { \varphi } ) .
\begin{array} { r l } { 2 ^ { - H _ { \mathrm { m i n } } ( C | Q ) _ { \sigma _ { \ast } } } } & { \leq p _ { \ast } ^ { - 1 } \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { E } _ { Q \rightarrow Q ^ { \prime } } } \left\langle \Gamma _ { C Q ^ { \prime } } \right\vert \mathcal { I } \otimes \mathcal { E } ( \rho _ { \ast } ) \left\vert \Gamma _ { C Q ^ { \prime } } \right\rangle } \\ & { = p _ { \ast } ^ { - 1 } 2 ^ { - H _ { \mathrm { m i n } } ( C | Q ) _ { \rho _ { \ast } } } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { M _ { 1 1 } } } & { { M _ { 1 2 } } } \\ { { M _ { 2 1 } } } & { { M _ { 2 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { W _ { 2 2 } ^ { 0 0 } } } \\ { { W _ { 0 0 } ^ { 0 0 } } } \end{array} \right) = \omega ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { { W _ { 2 2 } ^ { 0 0 } } } \\ { { W _ { 0 0 } ^ { 0 0 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { V _ { u } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 1 + 2 b / R } \frac { k _ { B } T } { R \eta } \Big [ \Lambda _ { I A } \; \overline { { \sin \theta \; \partial _ { \theta } c _ { I } ( R , \theta ) } } ^ { S } } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { 1 } ( y , t ) = 0 + \delta x _ { 1 } ( y , t ) } \\ { x _ { 2 } ( y , t ) = d + \delta x _ { 2 } ( y , t ) , } \\ { \rho _ { 1 } ( y , t ) = \rho _ { 0 } + \delta \rho _ { 1 } ( y , t ) } \\ { \rho _ { 2 } ( y , t ) = \rho _ { 0 } + \delta \rho _ { 2 } ( y , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { t } + ( h u ) _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { \left( h u _ { x } \right) _ { x } - ( h ^ { 2 } p _ { x } ) _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { p + \frac { \gamma } { 2 } h _ { x x } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \widetilde { D } ^ { k - 1 } ( V ^ { k - 1 } ) ^ { \top } \right) ^ { - } \sin \left( V ^ { k - 1 } \widetilde { B } ^ { k } \theta + U ^ { k - 1 } \alpha _ { k - 1 } \right) } \\ & { = \left( D ^ { k - 1 } ( V ^ { k - 1 } ) ^ { \top } \right) ^ { - } \widetilde { P } \sin \left( \widetilde { P } V ^ { k - 1 } B ^ { k } \theta + \widetilde { P } U ^ { k - 1 } \alpha _ { k - 1 } \right) } \\ & { = \left( D ^ { k - 1 } ( V ^ { k - 1 } ) ^ { \top } \right) ^ { - } \sin \left( V ^ { k - 1 } B ^ { k } \theta + U ^ { k - 1 } \alpha _ { k - 1 } \right) \, , } \end{array}
{ \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial t ^ { + } } } + \overline { { U _ { j } ^ { + } } } \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } = - \frac { \partial \overline { { P ^ { + } } } } { \partial x _ { i } ^ { + } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } ^ { + } } \left( \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } - \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ^ { + } \right) ; ~ i , j = { 1 , 2 , 3 }
[ \rho _ { + } ( x ) , \phi _ { - } ( y ) ] = K _ { 0 } ( m | x - y | ) - i \pi \theta ( x - y ) = - \ln ( i \overline { { { m } } } ( x - y - i \epsilon ) ) - \frac { i \pi } { 2 } + O ( ( x - y ) ^ { 2 } ) \,
\begin{array} { r l r } { \rho _ { g } \left( \frac { \partial u _ { i } ^ { d , p } } { \partial t } + \frac { \partial u _ { j } u _ { i } ^ { d , p } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } ^ { d , p } u _ { i } ^ { u , p } } { \partial x _ { j } } \right) } & { = } & { { K _ { \mu } \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { u _ { i } ^ { d , p } } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } + { \mathcal G } ^ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { c v } - \mathbf { x } _ { q } ) F _ { i , p } ^ { t } . } \end{array}
| \Psi _ { \infty } ^ { \mathrm { H F } } | ^ { 2 } = \frac { 1 } { N ! } \sum _ { \wp = 1 } ^ { N ! } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \delta ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { \wp ( i ) } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) .
\begin{array} { r l } { \lvert \kappa _ { u } ( \Psi ) \rvert } & { \lesssim _ { s , p , n } \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \mathrm { d } \Psi \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { s , p , n } \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { 1 - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { s , p , n } \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { H } } ^ { 1 - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { H } } ^ { - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { s , p , n } ( \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } ) \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { H } } ^ { 1 - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } _ { 0 , y } \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | V _ { t } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 2 k } \lesssim \varepsilon ^ { 2 k } , } \\ & { \mathbf { E } _ { 0 , y } \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | Y _ { t } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 2 k } \lesssim \varepsilon ^ { 2 k } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { { \cal S } - \eta ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } & { - i { \cal D } } & { \eta ^ { 2 } \, \cos \theta \sin \theta } \\ { i { \cal D } } & { { \cal S } - \eta ^ { 2 } \, \chi ( \theta ) } & { 0 } \\ { \eta ^ { 2 } \cos \theta \sin \theta } & { 0 } & { { \cal P } - \eta ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \delta E _ { x } } \\ { \delta E _ { y } } \\ { \delta E _ { z } } \end{array} \right] = 0 \, ,
\begin{array} { r } { c _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } } = 2 \left( 1 + \frac { r ^ { \ast } } { w } \right) \sqrt { ( 1 - \varphi ^ { \ast } \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( \hat { \rho } - \varphi ^ { \ast } \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, . } \end{array}
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \cfrac { 2 } { J } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \cfrac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { B } } } } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad \sigma _ { i j } = { \cfrac { 2 } { J } } ~ B _ { i k } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial B _ { k j } } } ~ .
\textrm { c u r l } \mathbf { v } = - \mathbf { k } \times \mathbf { b } \cos ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } - \omega t ) - \mathbf { k } \times \mathbf { a } \sin ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } - \omega t )
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \gamma , \eta } \operatorname* { m a x } _ { \varphi } \ \ \varphi \left( \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] - d \right) + c \mathbf { P } ( U = 1 ) } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 - \varphi ) \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ ~ } \mathbf { P } ( U = 1 ) > \bar { \kappa } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { L F } ( a , b ) } & { = \mathrm { L F } ( l _ { 1 } , r _ { 1 } ) + \mathrm { L F } ( r _ { 1 } , l _ { 2 } ) + \mathrm { L F } ( l _ { 2 } , r _ { 2 } ) + \mathrm { L F } ( r _ { 2 } , l _ { 3 } ) + \cdots + \mathrm { L F } ( l _ { n ^ { 0 . 9 } } , r _ { n ^ { 0 . 9 } } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { 0 . 9 } } \mathrm { L F } ( l _ { i } , r _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { 0 . 9 } - 1 } \mathrm { L F } ( r _ { i } , l _ { i + 1 } ) . } \end{array}
k _ { z } ^ { 2 } \lambda _ { D e } ^ { 2 } = \frac { k _ { z } ^ { 2 } v _ { T e } ^ { 2 } } { \omega _ { p e } ^ { 2 } } = \frac { k _ { z } ^ { 2 } v _ { T i } ^ { 2 } } { \omega _ { p i } ^ { 2 } } \ll \frac { \gamma ^ { 2 } } { \omega _ { p i } ^ { 2 } } \ll 1 .
\bar { d } ( r _ { \varepsilon } ) = \operatorname* { m i n } _ { \substack { { \r : \r \in \left[ h _ { \varepsilon } ^ { \operatorname* { m i n } } , h _ { \varepsilon } ^ { \operatorname* { m a x } } \right] ^ { m \lvert \mathcal { C } \rvert } } \, { \tilde { r } _ { \varepsilon } \left( \boldsymbol { h } _ { \varepsilon } ^ { - 1 } ( \r ) \right) \leq r _ { \varepsilon } } } } \tilde { d } \left( \boldsymbol { h } _ { \varepsilon } ^ { - 1 } ( \r ) \right) .
{ \boldsymbol { S } } = J ~ { \boldsymbol { F } } ^ { - 1 } \cdot { \boldsymbol { \sigma } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { - T } = { \boldsymbol { F } } ^ { - 1 } \cdot { \boldsymbol { \tau } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { - T }
\left\langle \hat { a } \right\rangle _ { t } = - i \alpha _ { d } \sqrt { \kappa _ { 1 } } \exp [ i \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \ \mathcal { C } ( \tau ) ] \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \ \exp [ - i \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d \tau \ \mathcal { C } ( \tau ) ] ,
\left\{ \begin{array} { l } { \cos ( \alpha ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } ) \geq \left| T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } \right| } \\ { \cos ( \alpha ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } ) \geq \left| T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } \right| } \end{array} \right.
H _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { H _ { D } ^ { ( 2 ) } } } \\ { { 1 _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ; \quad V = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { V _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { L } _ { \leq } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } ) } & { > ( 1 + \varepsilon ) ( 2 \sqrt { x t \lambda } + x \lambda ) ) \le \exp ( - g ( \varepsilon ) \sqrt { x t \lambda } ) , } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { L } _ { \leq } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } ) } & { < ( 1 - \varepsilon ) ( 2 \sqrt { x t \lambda } + x \lambda ) ) \le \exp ( - h ( \varepsilon ) \sqrt { x t \lambda } ) . } \end{array}
G _ { ( \sigma ) } ( z , z ^ { \prime } ) = \sum _ { \Gamma } \frac { \exp \pi i [ \Omega _ { \Gamma } ( \{ \sigma _ { s } \} ) + \sum _ { s } 2 l _ { 1 s } \sigma _ { s } ( J _ { ( o ) s } ( z ) - J _ { ( o ) s } ( z ^ { \prime } ) ) ] } { [ z - g _ { \Gamma } ( z ^ { \prime } ) ] [ c _ { \Gamma } z ^ { \prime } + d _ { \Gamma } ] ^ { 3 } }
H _ { \mathrm { f r e e } } = \int \frac { 1 } { 2 } \left\{ | \pi ( \stackrel { \rightharpoonup } { x } ) | ^ { 2 } + | \bigtriangledown \varphi ( \stackrel { \rightharpoonup } { x } ) | ^ { 2 } + m | \varphi ( \stackrel { \rightharpoonup } { x } ) | ^ { 2 } \right\} d ^ { 3 } \stackrel { \rightharpoonup } { x } \ \ \ .
A _ { \mu } = H x _ { 2 } e _ { 1 \mu } + \frac 1 { 2 \sqrt { k _ { 0 } V } } \left[ \left( e _ { 1 \mu } - i e _ { 2 \mu } \right) c ^ { - } e ^ { i ( k x ) } + \left( e _ { 1 \mu } + i e _ { 2 \mu } \right) c ^ { + } e ^ { - i ( k x ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) \left< f , \psi _ { n } \right> ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { c _ { 1 } } \Vert ( \mathcal { A } _ { 0 } + \nu ) ^ { 1 / 2 } f \Vert _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { c _ { 1 } \mu _ { m } } \Vert ( \mathcal { A } _ { 0 } + \nu ) ^ { 1 / 2 } f \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \operatorname* { m a x } ( \tilde { a } _ { M } , \tilde { c } _ { M } + \nu \mu _ { M } ) } { c _ { 1 } \mu _ { m } } \Vert f \Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \dot { \rho } + ( \nabla \ensuremath { \mathbf { j } } ) , } \\ { 0 } & { { } = \ensuremath { \dot { \mathbf { v } } _ { \mathrm { ~ s ~ } } } + \nabla \left( \frac { \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ^ { 2 } } { 2 } + \mu \right) , } \\ { 0 } & { { } = \dot { \ensuremath { \mathbf { j } } } + \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ( \nabla \ensuremath { \mathbf { j } } ) + ( \ensuremath { \mathbf { j } } \nabla ) \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { ~ s ~ } } } + \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } } ( \nabla \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { ~ n ~ } } } ) + ( \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { ~ n ~ } } } \nabla ) \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } } + \nabla p , } \end{array}
0 = - \frac { \partial p } { \partial r } + \mu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { r } } { \partial { z } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ 0 = - \frac { 1 } { r } \frac { \partial p } { \partial \theta } + \mu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { \theta } } { \partial { z } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ 0 = \frac { \partial p } { \partial z } , ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r u _ { r } \right) + \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { \theta } } { \partial \theta } + \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } = 0 .
\begin{array} { r l } { \left( \left( t _ { P } ( \Phi ) \right) ( f ) \right) ( x ) } & { = \int _ { G ( F ) } \left( t _ { P } ( \phi ) \right) ( y ) \cdot f ( y ^ { - 1 } x ) d y } \\ & { = \int _ { G ( F ) } \left( T ( \phi \cdot \delta _ { P } ^ { - 1 / 2 } ) \right) ( y ) \cdot f ( y ^ { - 1 } x ) d y } \\ & { = \int _ { K z K } \left( T ( \phi \cdot \delta _ { P } ^ { - 1 / 2 } ) \right) ( y ) \cdot f ( y ^ { - 1 } x ) d y } \\ & { = \sum _ { y \in K z K / K } \left( T ( \phi \cdot \delta _ { P } ^ { - 1 / 2 } ) \right) ( y ) \cdot f ( y ^ { - 1 } x ) } \\ & { = \sum _ { k \in K / ( K \cap z K z ^ { - 1 } ) } \left( T ( \phi \cdot \delta _ { P } ^ { - 1 / 2 } ) \right) ( k z ) \cdot f ( z ^ { - 1 } k ^ { - 1 } x ) . } \end{array}
G ( \epsilon ) = \exp \left[ \frac { V } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 1 ) } } \sum _ { \sigma } \int d ^ { n - 1 } p \; \epsilon ( p ) [ d _ { p } ^ { ( \sigma ) } \bar { d } _ { \tilde { p } } ^ { ( - \sigma ) } - d _ { p } ^ { ( \sigma ) \, \dagger } \bar { d } _ { \tilde { p } } ^ { ( - \sigma ) \, \dagger } ] \right] \, { , }
{ \frac { \mathrm { d } J _ { \varepsilon } } { \mathrm { d } \varepsilon } } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \varepsilon } } \int _ { a } ^ { b } F _ { \varepsilon } \, \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { b } { \frac { \mathrm { d } F _ { \varepsilon } } { \mathrm { d } \varepsilon } } \, \mathrm { d } x .
{ \begin{array} { l l l } { E ( X ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { i } } ( j ^ { k } - ( j - 1 ) ^ { k } ) } \\ & { = } & { { \frac { m } { m } } [ ( 1 ^ { k } + ( 2 ^ { k } - 1 ^ { k } ) + \ldots + ( m _ { 1 } ^ { k } - ( m _ { 1 } - 1 ) ^ { k } ) ) } \\ & & { \; + \; ( 1 ^ { k } + ( 2 ^ { k } - 1 ^ { k } ) + \ldots + ( m _ { 2 } ^ { k } - ( m _ { 2 } - 1 ) ^ { k } ) ) + \ldots } \\ & & { \; + \; ( 1 ^ { k } + ( 2 ^ { k } - 1 ^ { k } ) + \ldots + ( m _ { n } ^ { k } - ( m _ { n } - 1 ) ^ { k } ) ) ] } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } ^ { k } = F _ { k } } \end{array} }
\frac { \epsilon \bar { r } | \dot { s } ( t ) | } { \delta \Gamma } \, \le \, C \Bigl ( \frac { \beta _ { \epsilon } \epsilon ^ { 3 } } { \delta } + \beta _ { \epsilon } \epsilon ^ { 2 } + \epsilon \delta \Bigr ) \, \le \, C \epsilon ^ { 1 - 3 \sigma } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ } } = } & { { } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { 0 } } & { \mathcal { W } _ { s \leftarrow f } } \\ { \mathcal { W } _ { f \leftarrow s } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] , } \end{array}
S ( x , z ) \sim \frac { c _ { 1 } } { \mu _ { \mathrm { m a x } } } \, \int _ { 0 } ^ { L } C ( x - x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z , z ^ { \prime } ) \, \phi _ { 1 } ( z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } \ \ \ \ \ ( \ln U \to + \infty ) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l l l l l } { u _ { 1 } \vert _ { A _ { 1 } } } & { \! \! \! \! = \overline { { u } } } & { \mathrm { a n d } \quad \, \, \, \, u _ { 2 } \vert _ { A _ { 1 } } \to \mathrm { f r e e } } & { \quad ( \mathrm { p r e s c r i b e d ~ d i s p . ~ - ~ g r e e n } ) } & { \mathrm { o n } } & { A _ { 1 } } \\ { * u \vert _ { A _ { 2 } } } & { \! \! \! \! = u \vert _ { B _ { 1 } } } & { \mathrm { a n d } \quad \sigma \, n \vert _ { A _ { 2 } } = \widetilde { \sigma } \, n \vert _ { B _ { 1 } } } & { \quad ( \mathrm { p e r f e c t ~ c o n t a c t ~ - ~ r e d } ) } & { \mathrm { o n } } & { A _ { 2 } \equiv B _ { 1 } } \\ { * u \vert _ { B _ { 2 } } } & { \! \! \! \! = u \vert _ { C _ { 1 } } } & { \mathrm { a n d } \quad \widetilde { \sigma } \, n \vert _ { B _ { 2 } } = \sigma \, n \vert _ { C _ { 1 } } } & { \quad ( \mathrm { p e r f e c t ~ c o n t a c t ~ - ~ r e d } ) } & { \mathrm { o n } } & { B _ { 2 } \equiv C _ { 1 } } \\ { * \sigma \, n } & { \! \! \! \! = 0 } & & { \quad \mathrm { ( s t r e s s ~ f r e e ~ - ~ b l a c k ) } } & { \mathrm { o n } } & { A _ { 3 } , A _ { 4 } , C _ { 2 } , C _ { 3 } , C _ { 4 } } \\ { * \widetilde { \sigma } \, n } & { \! \! \! \! = 0 } & & { \quad \mathrm { ( s t r e s s ~ f r e e ~ - ~ b l a c k ) } } & { \mathrm { o n } } & { B _ { 3 } , B _ { 4 } } \end{array} } \end{array}
\boldsymbol \phi = \big ( \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { } \, , \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { Q } \, , \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } \big ) ^ { \intercal }
\epsilon _ { \mathrm { t o } } = \frac { 1 } { 3 } \sqrt { ( \sqrt { \lambda _ { 1 } } - 1 ) ^ { 2 } + ( \sqrt { \lambda _ { 2 } } - 1 ) ^ { 2 } + ( \sqrt { \lambda _ { 3 } } - 1 ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \textup { d i v } \, z } & { = - f } & & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) } ( \Omega ) \, , } \\ { z } & { = \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \cdot , \nabla u ) } & & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } \smash { L ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { d } ) } \, . } \end{array}
g _ { 1 } = \left. { \begin{array} { l } { 3 ^ { 3 ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { 3 } } } } } } } \end{array} } \right\} \left. { \begin{array} { l } { 3 ^ { 3 ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { 3 } } } } } } \end{array} } \right\} \dots \left. { \begin{array} { l } { 3 ^ { 3 ^ { 3 } } } \end{array} } \right\} 3 \quad { \mathrm { w h e r e ~ t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ t o w e r s ~ i s } } \quad \left. { \begin{array} { l } { 3 ^ { 3 ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { 3 } } } } } } \end{array} } \right\} \left. { \begin{array} { l } { 3 ^ { 3 ^ { 3 } } } \end{array} } \right\} 3
\sum _ { \substack { ( x , y , i ) \in S \, R \ni ( x , y ) } } w _ { i , R } \ge \! \sum _ { R \ni ( x , y ) } w _ { i ( x , y ) , R } \ge \frac { 1 } { 1 + ( s - 1 ) 2 ^ { - t } } \! \sum _ { R \ni ( x , y ) } w _ { i ( x , y ) , R } ^ { ( j ( x , y ) ) } = \frac { 1 } { 1 + ( s - 1 ) 2 ^ { - t } } \ge \frac { 1 } { 1 + \varepsilon / 2 } \ge 1 - \varepsilon .
\begin{array} { r l r } & { } & { Q ^ { [ 0 ] } ( x ) = \Psi ( x ) ^ { * } \Psi ( x ) , \quad Q ^ { [ 1 ] } ( x ) = - \mathrm { i } \Psi ( x ) ^ { * } \partial _ { x } \Psi ( x ) , } \\ & { } & { Q ^ { [ 2 ] } ( x ) = \partial _ { x } \Psi ( x ) ^ { * } \partial _ { x } \Psi ( x ) + c \Psi ( x ) ^ { * } \Psi ( x ) ^ { * } \Psi ( x ) \Psi ( x ) , } \end{array}
T _ { \mathrm { M D } } ( T _ { \mathrm { e x p t } } ) = \frac { \mathrm { S l o p e } _ { \mathrm { e x p t } } ( T _ { \mathrm { e x p t } } ) + Y _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { e x p t } } - Y _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { M D } } } { \mathrm { S l o p e } _ { \mathrm { M D } } }