harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { q _ { \mathrm { t o t } , j } = } & { \frac { 3 } { 2 } T _ { \mathrm { D } ^ { + } } \Gamma _ { \mathrm { D } ^ { + } , j } - ( \chi _ { \perp , \mathrm { D } ^ { + } } \nabla _ { \perp , j } T _ { \mathrm { D } ^ { + } } + b _ { j } \, \chi _ { \| , \mathrm { D } ^ { + } } \nabla _ { \| } T _ { \mathrm { D } ^ { + } } ) } \\ & { + \frac { 3 } { 2 } T _ { \mathrm { e } } \Gamma _ { \mathrm { e } , j } - ( \chi _ { \perp , \mathrm { e } } \nabla _ { \perp , j } T _ { \mathrm { e } } + b _ { j } \, \chi _ { \| , \mathrm { e } } \nabla _ { \| } T _ { \mathrm { e } } ) + E _ { \mathrm { i z } , \mathrm { D } } \Gamma _ { \mathrm { D } ^ { + } , j } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } = } & { | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } + \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { k ^ { \prime } } ^ { - } + \widetilde { \Theta } _ { k ^ { \prime } } ^ { - } - \Theta _ { 0 k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widetilde { \Theta } _ { k ^ { \prime } } ^ { - } - \Theta _ { 0 k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { d L ( \tau ) = \left( - \frac { \gamma } { L } + D \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { 0 } ^ { L } d L ^ { \prime } \; L ^ { \frac { 2 \gamma } { D } } \; \Theta ( \widehat { L } _ { 0 } - L ^ { \prime } ) \right) \right) d \tau + \sqrt { D } \ d W _ { \tau } \ , } \end{array}
U ( \sigma _ { 1 } , . . . , \sigma _ { k } ) = ( - 1 ) ^ { \frac { k ( k - 1 ) } { 2 } } e ^ { \sum \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } } \oint \prod _ { i = 1 } ^ { k } \frac { d u _ { i } } { 2 i \pi } e ^ { \sum u _ { i } \sigma _ { i } } \prod _ { 1 } ^ { k } ( 1 + \frac { \sigma _ { i } } { u _ { i } } ) ^ { N } \mathrm { d e t } \frac { 1 } { u _ { i } + \sigma _ { i } - u _ { j } }
\frac { \textrm { d } } { \textrm { d } t } \left( \ln \frac { E _ { c } ( t ) } { E _ { 0 } } - \ln \frac { E _ { u d } ( t ) } { E _ { 0 } } \right) \bigg | _ { t = \tau _ { m a x _ { n } } } = 0 \, .
\ensuremath { \left\langle { \Phi } _ { \delta } ^ { { M } _ { S } ; { M } _ { L } } \left\lvert { \hat { H } } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ t ~ t ~ e ~ r ~ } } \right\rvert { \Phi } _ { \gamma } ^ { { M } _ { S } ; { M } _ { L } } \right\rangle }
\begin{array} { r l } { \left| P ( x ) - e ^ { - x ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } \right| } & { \le \left| P ( x ) - \tilde { P } ( x ) \right| + \left| \tilde { P } ( x ) - e ^ { - x ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } \right| } \\ & { \le \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } \cdot | \tilde { P } ( x ) | + \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } } \\ & { \le \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } \left( 1 + \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } \right) + \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } } \\ & { \le \epsilon ^ { \prime \prime } . } \end{array}
y = f ( \mathbf { x } + \Delta \mathbf { x } ) \approx f ( \mathbf { x } ) + \nabla f ( \mathbf { x } ) \Delta \mathbf { x } + { \frac { 1 } { 2 } } \, \Delta \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { H } ( \mathbf { x } ) \, \Delta \mathbf { x }
{ \begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { { r e l } } } \equiv \langle | { \vec { v } } _ { 1 } - { \vec { v } } _ { 2 } | \rangle } & { = \int \! d ^ { 3 } v _ { 1 } \, d ^ { 3 } v _ { 2 } \left| { \vec { v } } _ { 1 } - { \vec { v } } _ { 2 } \right| f ( { \vec { v } } _ { 1 } ) f ( { \vec { v } } _ { 2 } ) } \\ & { = { \frac { 4 } { \sqrt { \pi } } } { \sqrt { \frac { k T } { m } } } = { \sqrt { 2 } } \langle v \rangle } \end{array} }
i \hbar \frac { \partial \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } { \partial t } = \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } - q \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \right) \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) \; ,
\hat { \bf B } _ { L ( R ) } ^ { ( \tau ) } ( { \bf x } , { \bf u } ; x _ { 0 } ) = \sum _ { \xi , \, \zeta = \pi , \, \sigma } { \bf P } _ { \xi } ( { \bf x } , x _ { 0 } ) \hat { B } _ { L ( R ) } ^ { ( \tau ) ( \xi , \, \zeta ) } ( { \bf x } , { \bf u } ; x _ { 0 } ) { \bf P } _ { \zeta } ( { \bf u } , x _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { X Y } ( f ) } & { \leq \left\lVert \left\lVert f \right\rVert _ { L ^ { \beta } ( \mathcal { P } _ { X } ) } \right\rVert _ { L ^ { \beta ^ { \prime } } ( \mathcal { P } _ { X } ) } \cdot \left\lVert \left\lVert \frac { d \mathcal { P } _ { X Y } } { d \mathcal { P } _ { X } \mathcal { P } _ { Y } } \right\rVert _ { L ^ { \alpha } ( \mathcal { P } _ { X } ) } \right\rVert _ { L ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \mathcal { P } _ { Y } ) } } \end{array}
\ensuremath { \xi } _ { v _ { B } v _ { C } J } = \ensuremath { \xi } _ { B C } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \chi } _ { B ( v _ { B } , J ) } ( R ) \, \ensuremath { \chi } _ { C ( v _ { C } , J ) } ( R ) \, d R ,
{ \boldsymbol { \sigma } } _ { 0 } ^ { 0 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \uparrow \downarrow - \downarrow \uparrow )
\begin{array} { r l } { | c _ { t } ( x , u ) | } & { = | c _ { t } ( x , u ) - c _ { t } ( 0 , 0 ) + c _ { t } ( 0 , 0 ) | } \\ & { \leq | c _ { t } ( x , u ) - c _ { t } ( 0 , 0 ) | + c _ { 0 } } \\ & { \leq L _ { c 1 } ( \| x \| + \| u \| ) ^ { 2 } + L _ { c 2 } ( \| x \| + \| u \| ) + c _ { 0 } } \\ & { \leq 2 L _ { c 1 } \| x \| ^ { 2 } + 2 L _ { c 1 } \| u \| ^ { 2 } + L _ { c 2 } \| x \| + L _ { c 2 } \| u \| + c _ { 0 } . } \end{array}
\mathbf { F } _ { i } = - \tilde { \rho } _ { i } R T \nabla \ln { f _ { i } } + \tilde { \rho } _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla \left( \sqrt { \kappa _ { i } \kappa _ { j } } \ \nabla ^ { 2 } \tilde { \rho } _ { j } \right) .
\begin{array} { r l } { 8 \lambda \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } } & { | h _ { M Y , \epsilon } ( p _ { s } ^ { \lambda , n } ) - h _ { M Y , \epsilon } ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) | ^ { 2 } d s \leq 8 \lambda K ^ { 2 } \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | p _ { s } ^ { \lambda , n } - \tilde { x } _ { n \lambda } | ^ { 2 } d s } \\ & { \leq 1 6 \lambda K ^ { 2 } \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | \tilde { x } _ { s } - \tilde { x } _ { n \lambda } | ^ { 2 } d s + 1 6 \lambda K ^ { 2 } \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | { \tilde { x } _ { s } - p _ { s } ^ { \lambda , n } } | ^ { 2 } } \\ & { \leq 1 6 \lambda K ^ { 2 } \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | \int _ { n \lambda } ^ { s } \tilde { Y } _ { u } d u | ^ { 2 } d s + 1 6 \lambda K ^ { 2 } \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | \tilde { x } _ { s } - p _ { s } ^ { \lambda , n } | ^ { 2 } d s } \\ & { \leq 1 6 K ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } \operatorname* { s u p } _ { s \in [ n \lambda , ( n + 1 ) \lambda } \mathbb { E } | \tilde { Y _ { s } } | ^ { 2 } + 1 6 \lambda K ^ { 2 } \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | \tilde { x } _ { s } - p _ { s } ^ { \lambda , n } | ^ { 2 } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sf U } _ { C } \, { \sf H } ^ { \top } ( - k ) \, { \sf U } _ { C } ^ { - 1 } } & { { } = - { \sf H } ( k ) , } \\ { { \sf U } _ { C } \, { \sf D } ^ { \top } ( - k ) \, { \sf U } _ { C } ^ { - 1 } } & { { } = + { \sf D } ( k ) , } \\ { { \sf U } _ { C } \, { \sf P } ^ { \top } ( - k ) \, { \sf U } _ { C } ^ { - 1 } } & { { } = - { \sf P } ( k ) . } \end{array}
\left( 1 + { \frac { 1 6 } { 9 } } { \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right) + \left( { \frac { 3 2 } { 9 } } \omega z _ { 0 } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \right) \varepsilon ^ { 2 } + \left( { \frac { 1 6 } { 9 } } l ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) \varepsilon ^ { 4 } > 0 \, ,
\begin{array} { r l } { f _ { i j } \left( \beta _ { i j } ^ { k } \right) } & { = w _ { i j } ^ { k } \mathrm { l o g } \left( \frac { \overline { { \beta } } _ { i j } ^ { k } } { \beta _ { i j } ^ { k } } \right) } \\ { g _ { i } \left( \overline { { \Delta } } - \delta _ { i } ^ { k } \right) } & { = w _ { i i } ^ { k } \mathrm { l o g } \left( \frac { \overline { { \Delta } } - \underline { { \delta } } _ { i } ^ { k } } { \overline { { \Delta } } - \delta _ { i } ^ { k } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln [ ( 1 - \chi ) \tilde { r } _ { i } / a ] \frac { d } { d t } \tilde { z } _ { i } = } & { { } \zeta e ^ { - i \frac { \chi } { 1 - \chi } \tilde { \phi } _ { i } } \frac { 1 } { a } ( 1 - \chi ) ( 1 - 2 \chi ) } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { 1 } ( 0 ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 } B _ { 0 } ( 0 ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) \frac { \partial B _ { 0 } ( q ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) } { \partial q ^ { 2 } } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| } & { = \| x ^ { k + 1 } - w ^ { k } + \tau _ { k } d ^ { k } \| } \\ & { \le \| w ^ { k } - T _ { \gamma _ { k } } ( w ^ { k } ) \| + \| \tau _ { k } d ^ { k } \| } \\ & { \le \gamma _ { k } \| R _ { \gamma _ { k } } ( w ^ { k } ) \| + \bar { \tau } c \| R _ { \gamma _ { k } } ( x ^ { k } ) \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { V _ { t } \mu P _ { s , o } ^ { \prime } ( t ) L } { k _ { l } A } } & { = - \frac { P _ { g } } { 2 } ( P _ { g } + 2 P _ { a } + 2 b ) } \\ { \frac { - 2 V _ { t } \mu P _ { s , o } ^ { \prime } ( t ) L } { k _ { l } A } } & { = P _ { g , o } ( t ) ( P _ { g , o } ( t ) + 2 P _ { a } + 2 b ) } \\ { \frac { - 2 V _ { t } \mu P _ { s , o } ^ { \prime } ( t ) L } { k _ { l } A P _ { g , o } ( t ) } } & { = P _ { g , o } ( t ) + 2 P _ { a } + 2 b } \end{array}
\begin{array} { r l } { \diamond \mathrm { ~ } } & { ( A ^ { 2 } - 1 ) \omega _ { x } ^ { 2 } + C _ { 1 } ^ { 2 } ( \kappa _ { x } + 1 ) ( \kappa _ { y } - 1 ) - C _ { 2 } ^ { 2 } ( \kappa _ { x } - 1 ) ( \kappa _ { y } + 1 ) + C _ { 3 } ^ { 2 } ( \kappa _ { x } + 1 ) ( \kappa _ { y } + 1 ) - C _ { 4 } ^ { 2 } ( \kappa _ { x } - 1 ) ( \kappa _ { y } - 1 ) } \\ & { \phantom { ( A ^ { 2 } - 1 ) \omega _ { x } ^ { 2 } } + 2 D _ { 1 } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } - 1 ) - 2 D _ { 2 } ^ { 2 } \omega _ { x } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } + 1 ) + 2 D _ { 3 } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } + 1 ) - 2 D _ { 4 } ^ { 2 } \omega _ { x } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } - 1 ) = 0 , } \\ { \diamond \mathrm { ~ } } & { ( \kappa _ { x } - 1 ) C _ { 2 } C _ { 4 } - ( \kappa _ { x } + 1 ) C _ { 1 } C _ { 3 } = 0 , } \\ { \diamond \mathrm { ~ } } & { ( \kappa _ { x } - 1 ) C _ { 2 } D _ { 2 } + C _ { 3 } D _ { 3 } = 0 , } \\ { \diamond \mathrm { ~ } } & { ( \kappa _ { x } + 1 ) C _ { 1 } D _ { 2 } + C _ { 4 } D _ { 3 } = 0 , } \\ { \diamond \mathrm { ~ } } & { ( \kappa _ { x } - 1 ) C _ { 4 } D _ { 4 } + C _ { 1 } D _ { 1 } = 0 , } \\ { \diamond \mathrm { ~ } } & { ( \kappa _ { x } + 1 ) C _ { 3 } D _ { 4 } + C _ { 2 } D _ { 1 } = 0 . } \end{array}
I m \Sigma _ { R } = { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } 4 \pi ^ { 2 } \delta ( k ^ { 2 } - m _ { D } ^ { 2 } ) \delta ( ( k - q ) ^ { 2 } - m _ { S } ^ { 2 } ) N _ { R } ( k _ { o } , k _ { o } - q _ { o } ) F ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { L I V } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \left[ a _ { \alpha \beta } ^ { \mu } \, \overline { { \psi } } _ { \alpha } \, \gamma _ { \mu } \, P _ { L } \, \psi _ { \beta } - i c _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } \, \overline { { \psi } } _ { \alpha } \, \gamma _ { \mu } \, \partial _ { \nu } P _ { L } \, \psi _ { \beta } \right] + h . c . \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \lambda ^ { 2 } - \nabla ^ { 2 } ) u } & { { } = f , x , y \in [ 0 , 2 \pi ] , } \\ { u ( x , 0 ) = u ( x , 2 \pi ) } & { { } = u ( 0 , y ) = u ( 2 \pi , y ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s } & { \geq | f ( x ) - f ( y ) | } \\ & { \geq \left| \sum _ { j \in \mathbb { Z } } r ^ { j \epsilon } \sum _ { B \in \mathcal { B } _ { k } ^ { j } } ( \psi _ { B } ( x ) - \psi _ { B } ( y ) ) \right| } \\ & { \geq r ^ { j _ { 0 } \epsilon } - \left| \sum _ { j < j _ { 0 } } r ^ { j \epsilon } \sum _ { B \in \mathcal { B } _ { k } ^ { j } } ( \psi _ { B } ( x ) - \psi _ { B } ( y ) ) \right| - \left| \sum _ { j > j _ { 0 } } r ^ { j \epsilon } \sum _ { B \in \mathcal { B } _ { k } ^ { j } } ( \psi _ { B } ( x ) - \psi _ { B } ( y ) \right| } \\ & { \geq r ^ { j _ { 0 } \epsilon } - \sum _ { j < j _ { 0 } } r ^ { j \epsilon } \sum _ { B \in \mathcal { B } _ { k } ^ { j } } | \psi _ { B } ( x ) - \psi _ { B } ( y ) ) | - \sum _ { j > j _ { 0 } } r ^ { j \epsilon } \sum _ { B \in \mathcal { B } _ { k } ^ { j } } | \psi _ { B } ( x ) - \psi _ { B } ( y ) | | } \end{array}
\mathrm { P } ( \nu _ { e } \to \nu _ { e } ) = | U _ { e 3 } | ^ { 4 } + \left( 1 - | U _ { e 3 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } P ^ { ( 1 , 2 ) } ( \nu _ { e } \to \nu _ { e } ) \, ,
( T \psi ) ( x ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } p \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } y \, \sqrt { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \, \exp [ \mathrm { i } \, p \, ( x - y ) ] \, \psi ( y ) \ .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { j } } { \partial t } ( \tilde { X } _ { t \wedge T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) } & { = 1 _ { \left\{ t < T _ { \xi } \right\} } \frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { j } } { \partial t } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) + 1 _ { \left\{ t \geq T _ { \xi } \right\} } \frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { j } } { \partial t } ( \tilde { X } _ { T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) } \\ & { = 1 _ { \left\{ t < T _ { \xi } \right\} } \frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { j } } { \partial t } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) } \end{array}
K _ { i \mu \nu } = m \left( f _ { Y \mu \lambda } { { f _ { i } } ^ { \lambda } } _ { \nu } + f _ { Y \nu \lambda } { { f _ { i } } ^ { \lambda } } _ { \mu } \right) + \frac { 1 } { 8 m } ( R _ { 0 \mu } R _ { i \nu } + R _ { 0 \nu } R _ { i \mu } ) .
G _ { 1 ( 2 ) } ( x , y ) = \left( \begin{array} { c c } { { G _ { 1 ( 2 ) \uparrow } ( x , y ) } } & { { 0 \nonumber } } \\ { { 0 } } & { { G _ { 1 ( 2 ) \downarrow } ( x , y ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { c } { \displaystyle \frac { \partial \overline { { \rho } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { j } } \right) = 0 \, \mathrm { , } } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial t } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \widetilde { u _ { j } } \right) + \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial { \tau } _ { i j } ^ { m o d } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( { \delta } _ { i j } \sigma _ { i i } \right) = 0 \, \mathrm { , } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \check { e } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \check { e } + \overline { { p } } \right) \widetilde { u _ { j } } \right] - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( { \tau } _ { i j } ^ { m o d } \widetilde { u _ { i } } \right) + \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \delta _ { i j } { \sigma } _ { i i } \right) \widetilde { u _ { i } } \right] + \frac { \partial { q } _ { j } ^ { m o d } } { \partial x _ { j } } = 0 \, \mathrm { , } } \end{array}
\langle J _ { \Gamma _ { 1 } } J _ { \Gamma _ { 2 } } \, \rangle = \frac { 1 } { 2 } \, \Pi ( \omega , \mu ) \, \mathrm { T r } \{ \Gamma _ { 1 } P _ { + } \Gamma _ { 2 } \rlap / v \} .
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \sigma } _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } - \vec { \lambda } _ { t } \rangle \right] } & { \ge \epsilon \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] - ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } \mathcal T _ { T } } \\ & { \ge \epsilon \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] - ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } \mathcal T _ { T } . } \end{array}
- \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} + 2 \Re \{ - 2 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { \ast } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { \ast } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } \}
L _ { B } = - { \frac { 1 } { 2 } } \left( \, \partial _ { \mu } \phi \, \right) ^ { 2 } + { \frac { m } { 4 ! } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \, \phi \, \partial _ { \, [ \, \mu } A _ { \nu \rho \sigma \, ] } - { \frac { 1 } { 2 \cdot 4 ! } } F ^ { 2 } { } _ { \mu \nu \rho \sigma } ( A )
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \psi } ( \operatorname* { s u p } \{ v ( \cdot ) \, | \, v \in \mathcal { A } \} ) ( x ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { y \in T ^ { - 1 } ( x ) } \{ \psi ( y ) + \operatorname* { s u p } \{ v ( y ) \, | \, v \in \mathcal { A } \} \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { y \in T ^ { - 1 } ( x ) } \{ \operatorname* { s u p } \{ \psi ( y ) + v ( y ) \, | \, v \in \mathcal { A } \} \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \bigl \{ \operatorname* { m a x } _ { y \in T ^ { - 1 } ( x ) } \{ \psi ( y ) + v ( y ) \, | \, v \in \mathcal { A } \} \bigr \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \{ \mathcal { L } _ { \psi } ( v ) ( x ) \, | \, v \in \mathcal { A } \} . } \end{array}
Z _ { 4 } ^ { \mathrm { a l l } } ( s ) = \sum _ { \substack { 0 \neq ( \beta ) \subseteq \ensuremath { \mathbb Z } [ i ] \, ( \beta , 2 \overline { { \beta } } ) = 1 \, \beta \mathrm { ~ s q u a r e f r e e } } } \frac { 1 } { N ( \beta ) ^ { s } } \sum _ { \substack { q _ { 2 } \in \ensuremath { \mathbb Z } _ { \geq 1 } \, ( q _ { 2 } , 2 N ( \beta ) ) = 1 } } \frac { 1 } { q _ { 2 } ^ { s } } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \theta } { \partial t } + S _ { d } \frac { \xi } { r _ { 0 } } \frac { \partial \theta } { \partial \xi } = \frac { \alpha _ { 0 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \xi } \frac { \partial \theta } { \partial \xi } + \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial \xi ^ { 2 } } \right] - \frac { q w } { \rho C _ { p } ( T _ { 0 } - T _ { u } ) } } \end{array}
U _ { \mathrm { { X O R } } } = e ^ { i { \frac { \pi } { 2 } } S _ { L } ^ { z } } e ^ { - i { \frac { \pi } { 2 } } S _ { R } ^ { z } } U _ { \mathrm { { s w } } } ^ { 1 / 2 } e ^ { i \pi S _ { L } ^ { z } } U _ { \mathrm { { s w } } } ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l r } { \mu } & { = } & { ( q _ { n } \times r _ { n } ) \cdot r _ { A } } \\ & { = } & { ( q _ { n } \times ( r _ { n } ^ { \perp } + \rho r _ { A } ) ) \cdot r _ { A } } \\ & { = } & { ( q _ { n } \times r _ { n } ^ { \perp } ) \cdot r _ { A } } \\ & { = } & { \pm | | q _ { n } \times r _ { n } ^ { \perp } | | } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\| S _ { t } \right\| } & { \leq } & { L _ { h } \left\| \theta _ { t } - \theta _ { t - 1 } \right\| ^ { 2 } + \left\| S _ { t } - \bar { S _ { t } } \right\| = L _ { h } \gamma _ { t - 1 } ^ { 2 } + \left\| S _ { t } - \bar { S _ { t } } \right\| , } \\ { \left\| S _ { t } - \bar { S _ { t } } \right\| } & { \leq } & { 2 D _ { g } \gamma ^ { H } + D _ { h } \gamma ^ { H } \gamma _ { t - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } \left( \hat { J } _ { - } \frac { d \hat { \rho } } { d t } \right) = \frac { d \beta } { d t } } & { = 2 ( \eta - i \xi ) \lambda ^ { 2 } \beta \gamma , } \\ { \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } \left( \hat { J } _ { z } \frac { d \hat { \rho } } { d t } \right) = \frac { d \gamma } { d t } } & { = - 2 \eta \lambda ^ { 2 } \beta ^ { * } \beta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { o } _ { i } ( t ) } & { = \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } a _ { i j } ( o _ { j } ( t ) - o _ { i } ( t ) ) + a _ { i j } ( x _ { j } ( t ) - o _ { i } ( t ) ) , } \\ { \dot { s } _ { i } ( t ) } & { = \delta _ { i } v _ { i } ( t ) - s _ { i } ( t ) \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } [ \beta _ { i j } x _ { j } ( t ) + \eta _ { i j } ( t ) v _ { j } ( t ) ] + \omega _ { i } r _ { i } ( t ) , } \\ { \dot { x } _ { i } ( t ) } & { = s _ { i } ( t ) \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \beta _ { i j } x _ { j } ( t ) - \gamma _ { i } x _ { i } ( t ) , } \\ { \dot { r } _ { i } ( t ) } & { = \gamma _ { i } x _ { i } ( t ) - \omega _ { i } r _ { i } ( t ) - r _ { i } ( t ) \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \eta _ { i j } ( t ) v _ { j } ( t ) , } \\ { \dot { v } _ { i } ( t ) } & { = ( s _ { i } ( t ) + r _ { i } ( t ) ) \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \eta _ { i j } ( t ) v _ { j } ( t ) - \delta _ { i } v _ { i } ( t ) , } \end{array}
\widetilde { g } _ { e i } ( 1 2 ) = \frac { 1 } { n _ { e } } \frac { Z k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } f _ { e } ( 1 ) \left( f _ { i } ( 2 ) + \int \mathrm { d } [ 3 ] \, \widetilde { g } _ { i i } ( 3 2 ) \right) ,
\begin{array} { r l r } { ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { x x } = ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { y y } } & { = } & { \omega _ { P } ^ { 2 } - ( 2 \tilde { \gamma } _ { 1 } + \tilde { \gamma } _ { 2 } + \tilde { \gamma } _ { 3 } ) \overline { { E _ { x } ^ { 2 } } } , } \\ { ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { z z } } & { = } & { \omega _ { P } ^ { 2 } - 2 \tilde { \gamma } _ { 1 } \overline { { E _ { x } ^ { 2 } } } . } \end{array}
D _ { m k } ^ { j } ( \alpha , \beta , \gamma ) D _ { m ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { j ^ { \prime } } ( \alpha , \beta , \gamma ) = \sum _ { J = | j - j ^ { \prime } | } ^ { j + j ^ { \prime } } \langle j m j ^ { \prime } m ^ { \prime } | J \left( m + m ^ { \prime } \right) \rangle \langle j k j ^ { \prime } k ^ { \prime } | J \left( k + k ^ { \prime } \right) \rangle D _ { \left( m + m ^ { \prime } \right) \left( k + k ^ { \prime } \right) } ^ { J } ( \alpha , \beta , \gamma )
A ( x , y ) \in \mathcal C _ { 2 } \Leftrightarrow \left( \begin{array} { c c c c c c } { 3 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { x } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { \frac { \overline { y } } { \sqrt { 2 } } } \\ { 0 } & { 2 } & { \frac { y } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { \frac { \overline { x } } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \overline { y } } { \sqrt { 2 } } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \overline { x } } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { x } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { y } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \geqslant 0 .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left| N ^ { - \varepsilon } ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( \mathbb { E } _ { k } - \mathbb { E } _ { k - 1 } ) \alpha _ { k } \beta _ { k } \right| ^ { 2 \ell } } & { \leq C _ { \ell } N ^ { - 2 \varepsilon \ell } \Bigg ( \mathbb { E } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbb { E } _ { k - 1 } | ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 2 } \alpha _ { k } | ^ { 2 } \right) ^ { \ell } } \\ & { \qquad \qquad + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbb { E } | ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 2 } \alpha _ { k } | ^ { 2 \ell } \Bigg ) . } \end{array}