harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\boldsymbol { B } _ { I } = \left[ \begin{array} { c c c c c c } { \frac { N _ { I } } { x _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { N _ { I } } { x _ { 3 } } } & { \frac { N _ { I } } { x _ { 2 } } } \\ { 0 } & { \frac { N _ { I } } { x _ { 2 } } } & { 0 } & { \frac { N _ { I } } { x _ { 3 } } } & { 0 } & { \frac { N _ { I } } { x _ { 1 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { N _ { I } } { x _ { 3 } } } & { \frac { N _ { I } } { x _ { 2 } } } & { \frac { N _ { I } } { x _ { 1 } } } & { 0 } \end{array} \right] ^ { T } .
\Gamma _ { Q } ^ { N L O } = \left( - i \hbar \right) \left( \frac { - 1 } { 2 } \right) \left( \frac { - N } { 2 Z _ { B } \hbar } \right) ^ { 2 } 2 N \left( \frac { \hbar } { N } \right) ^ { 3 } c _ { a b c } c _ { d e f } \int d ^ { d } x d ^ { d } y \; H ^ { a d } \left( x , y \right) G ^ { b e } \left( x , y \right) G ^ { c f } \left( x , y \right)
\partial _ { \mu } J _ { B } ^ { \mu } = \partial _ { \mu } J _ { L } ^ { \mu } = - n _ { g } \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ~ \mathrm { { t r } } ( F _ { \mu \nu } \tilde { F } ^ { \mu \nu } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { I ( \lambda ) } & { \sim e ^ { \lambda \Phi ( z _ { 0 } ) - \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } + i \theta _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - \frac { \lambda | \Phi ^ { ( m ) } ( z _ { 0 } ) | } { m ! } \rho ^ { m } } d \rho , \ \lambda \rightarrow \infty , } \\ & { = e ^ { \lambda \Phi ( z _ { 0 } ) - \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } + i \theta _ { 0 } } \Big ( \frac { | \lambda \Phi ^ { ( m ) } ( z _ { 0 } ) | } { m ! } \Big ) ^ { - \frac { 1 } { m } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - \rho ^ { m } } d \rho . } \end{array}
+ { \frac { 1 } { 8 } } ( 2 g ^ { \mu \alpha } g ^ { \nu \beta } - g ^ { \mu \nu } g ^ { \alpha \beta } ) ( 2 g _ { \sigma \rho } g _ { \lambda \omega } - g _ { \rho \lambda } g _ { \sigma \omega } ) ( { \sqrt { - g } } g ^ { \sigma \omega } ) , _ { \alpha } ( { \sqrt { - g } } g ^ { \rho \lambda } ) , _ { \beta } )
\begin{array} { r } { K \sim \mathcal { N } ( \mu _ { K } , \sigma _ { K } ) \, , \quad C \sim \mathcal { N } ( \mu _ { C } , \sigma _ { C } ) \, , \quad A \sim \mathcal { N } ( \mu _ { A } , \sigma _ { A } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { u _ { h } ^ { k + 1 } - u _ { h } ^ { k } } { \tau } , \phi \right) } & { = - A ( \phi , q _ { h } ^ { k + 1 } ) - ( H ( u _ { h } ^ { k } ) U ^ { k + 1 } , \phi ) , } \\ { ( q _ { h } ^ { k } , \psi ) } & { = A ( u _ { h } ^ { k } , \psi ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ \forall \phi , \psi ~ ~ \mathrm { i n ~ t h e ~ s p a c e ~ o f ~ p i e c e w i s e ~ p o l y n o m i a l s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S W M S E } = } & { \sum _ { b = 0 , 1 } { \mathrm { V a r } \left( \left\{ t _ { s _ { i } } \middle | s _ { i } \in S _ { b } \right\} \right) \left( \frac { N _ { S _ { b } } } { N _ { S } } \right) ^ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { b = 0 , 1 } { ( \frac { N _ { S _ { b } } } { N _ { S } } \sum _ { s _ { i } \in S _ { b } } t _ { s _ { i } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { N _ { S } } ( \sum _ { s _ { i } \in S _ { b } } t _ { s _ { i } } ) ^ { 2 } ) } . } \end{array}
M \left\langle \left( \mathbf { R } _ { G } + \mathbf { \rho } _ { L } \right) \times \left( \mathbf { V } _ { G } + \mathbf { v } _ { c } \right) \right\rangle \cdot \mathbf { e } _ { z } = M R _ { G } ^ { 2 } \varpi + M \rho _ { L } ^ { 2 } \omega _ { c } = L _ { z } + S _ { z } .
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } - \left( \pi _ { \alpha } \mathbf { I } + \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } + \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } \right) : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } } & { } \\ { + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { q } _ { \alpha } - \theta \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } - \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \phi _ { \alpha } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \right) \right) } & { } \\ { + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \theta s _ { \alpha } - r _ { \alpha } \right) + \left( \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } / 2 \right) \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } + \gamma _ { \alpha } \left( \psi _ { \alpha } + \chi _ { \alpha } \right) } & { ~ \leq 0 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { ( A _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { A _ { j } } { L _ { j } ^ { 2 } } \left( F _ { j } ^ { ( 2 ) } + F _ { j } ^ { ( 6 ) } \right) , } \\ { ( L _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { 1 } { L _ { j } } F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \\ { ( B _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { 4 } { L _ { j } ^ { 2 } } F _ { j } ^ { ( 5 ) } + \frac { 2 } { L _ { j } ^ { 2 } } B _ { j } F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \\ { ( X _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { 1 } { L _ { j } } F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ { ( \beta _ { j } ) _ { s } } & { = - \frac { 1 } { L _ { j } ^ { 3 } } F _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 , \dots , d ) } - \frac { B _ { j } } { 2 L _ { j } ^ { 3 } } F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ { ( \gamma _ { j } ) _ { s } } & { = \frac { 1 } { L _ { j } } \beta _ { j } \cdot F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } - \frac { 1 } { L _ { j } ^ { 2 } } F _ { j } ^ { ( 1 ) } , } \end{array} \right.
\partial _ { t } \overline { { u } } _ { i } + \overline { { u } } _ { j } \partial _ { j } \overline { { u } } _ { i } = - \frac { 1 } { \rho } { \partial _ { i } \overline { { p } } } + { \partial _ { j } } \left( 2 \nu { S } _ { i j } - { R } _ { i j } \right) + f _ { i } ,
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 1 , \, L T } = } & { { } 2 2 7 \, \mathrm { ~ p ~ p ~ m ~ } , \qquad \Delta _ { 1 , \, T T } } & { = - 1 9 8 \, \mathrm { ~ p ~ p ~ m ~ } , } \\ { \qquad \Delta _ { 2 , \, L T } = } & { { } - 6 2 \, \mathrm { ~ p ~ p ~ m ~ } , \qquad \Delta _ { 2 , \, T T } } & { = 7 1 \, \mathrm { ~ p ~ p ~ m ~ } . } \end{array}
T = \left( \begin{array} { l l l l } { { - \frac { \Delta _ { \phi } } { d } } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { - \frac { \Delta _ { \phi } } { d } } } & { { \ldots } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \ldots } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 1 } } & { { - \frac { \Delta _ { \phi } } { d } } } \end{array} \right) ~ .
( ( 3 x _ { 1 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 4 } ) ^ { 3 } - ( x _ { 1 } ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ) ^ { 4 } = x _ { 1 } ^ { 6 } [ ( ( 3 x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } ) ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 4 } ] = x _ { 1 } ^ { 6 } [ ( ( x _ { 1 } + 2 x _ { 3 } ) ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 4 } ]
i _ { X } ( T ) = \langle \eta _ { 0 } ^ { X } , \mathbf { i } _ { T , 0 } \rangle + n _ { X } \mathrm { e } ^ { - \gamma T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { e } ^ { \gamma t } \left( \frac { \lambda _ { X } } { n _ { X } } \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \frac { \lambda _ { \overline { { X } } } } { n _ { \overline { { X } } } } \langle \eta _ { t } ^ { \overline { { X } } } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \beta _ { G } \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } \frac { s _ { X } ( t ) } { n _ { X } } \right) d t .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } ( n , 4 ) } - 1 } & { = } & { \frac { 3 \alpha _ { n , 4 } - 1 2 } { 6 \alpha _ { n , 4 } + 3 2 \beta _ { n , 4 } + 6 } = \frac { 1 2 ( n + 2 ) - 1 2 } { 2 4 ( n + 2 ) + 3 2 ( 4 ( n + 2 ) ( n - 1 ) ) ^ { 1 / 2 } + 6 } } \\ & { > } & { \frac { 1 2 n + 1 2 } { 8 8 n + 8 6 } = \frac { 6 n + 6 } { 4 4 n + 4 3 } . } \end{array}
\varepsilon _ { 1 } = \operatorname* { s u p } \{ 0 , 1 , \varepsilon _ { 0 } , { \varepsilon _ { 0 } } ^ { \varepsilon _ { 0 } } , { \varepsilon _ { 0 } } ^ { { \varepsilon _ { 0 } } ^ { \varepsilon _ { 0 } } } , \ldots \} ,
\frac { d x _ { r } } { d t } = a _ { 1 1 } x _ { r } ( t ) + a _ { 1 2 } e ^ { a _ { 2 2 } t } y _ { u } + \int _ { 0 } ^ { t } a _ { 1 2 } e ^ { a _ { 2 2 } ( t - s ) } a _ { 2 1 } x _ { r } ( s ) d s \; .
\begin{array} { r l } & { H f _ { j m \lambda } ( k ) = \hbar c k f _ { j m \lambda } ( k ) } \\ & { P _ { z } f _ { j m \lambda } ( k ) = } \\ & { \hbar k \sqrt { 2 j + 1 } ( - 1 ) ^ { m - \lambda } \sum _ { j ^ { \prime } = j - 1 } ^ { j + 1 } \sqrt { 2 j ^ { \prime } + 1 } \left( \begin{array} { l l l } { j } & { j ^ { \prime } } & { 1 } \\ { - m } & { m } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { j } & { j ^ { \prime } } & { 1 } \\ { - \lambda } & { \lambda } & { 0 } \end{array} \right) f _ { j ^ { \prime } m \lambda } ( k ) , } \end{array}
\left( \Psi \left| D ^ { 3 } \right| \Psi \right) = \left( \Psi \left| - D ^ { \mu } D _ { \mu } \gamma ^ { \rho } D _ { \rho } \right| \Psi \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \Psi \left| \gamma ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } \gamma ^ { \rho } D _ { \rho } \right| \Psi \right) .
S _ { f } = \int d ^ { 2 } x d ^ { 8 } \theta \left\{ P ^ { M N } E _ { [ M } ^ { \; + } \; ( i \; \partial _ { N \} } \Psi ^ { i } \Psi ^ { i } + { \frac { 1 } { 8 } } E _ { N \} } ^ { - } \nabla _ { \alpha } \Psi ^ { i } \nabla _ { \alpha } \Psi ^ { i } ) + P ^ { \{ \alpha \beta \} } \nabla _ { \alpha } \Psi ^ { i } \nabla _ { \beta } \Psi ^ { i } \right\} \; .
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } G _ { n + 2 } ( t - t ^ { \prime } ) a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n } ^ { 2 } u _ { n } ^ { < } ( t ^ { \prime } ) \left\langle u _ { n + 1 } ^ { * > } ( t ) u _ { n + 1 } ^ { > } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle } \end{array}
W _ { e } ( 0 ) = \oint p _ { \tilde { \eta } } ( \tilde { a } ) d \tilde { a } = 2 \int _ { 0 } ^ { \lambda ^ { - 1 / 2 } } z ( 1 - \lambda z ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } d z = { \frac { 2 } { 3 \lambda } } = { \frac { \pi \tau ^ { 2 } } { G } } \ .
\begin{array} { r l } & { \widehat { \gamma } \left( x _ { t + \varepsilon } \right) } \\ { = } & { \sigma \left( W \widehat { \gamma } \left( x _ { t } \right) + \int _ { D \times \{ t \} } \kappa _ { \theta } \left( x _ { t } , y _ { t } , \phi \left( x _ { t } \right) , \phi \left( y _ { t } \right) \right) \widehat { \gamma } \left( y _ { t } \right) \mathsf { d } y _ { t } \right) , } \end{array}
{ 8 ! \times 3 ^ { 7 } \times ( 1 2 ! / 2 ) \times 2 ^ { 1 1 } } = 4 3 { , } 2 5 2 { , } 0 0 3 { , } 2 7 4 { , } 4 8 9 { , } 8 5 6 { , } 0 0 0
S _ { 1 2 } ^ { t h } = \frac { - 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E [ f _ { 2 } ( 1 - f _ { 2 } ) T _ { 1 2 } + f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) T _ { 2 1 } ] .
\begin{array} { r l } { U _ { 1 } ( t ) } & { { } = \frac { 4 \left( 4 \Delta _ { 2 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \right) \kappa _ { e } P _ { i n } } { \left( 4 \Delta _ { 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \right) \left( 4 \Delta _ { 2 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \mathrm { ~ g ~ } _ { 1 2 } ^ { 2 } \left( 2 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } - 8 \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } \right) + \mathrm { ~ g ~ } _ { 1 2 } ^ { 4 } } } \\ { U _ { 2 } ( t ) } & { { } = \frac { 4 \mathrm { ~ g ~ } _ { 1 2 } ^ { 2 } \kappa _ { e } P _ { i n } } { \left( 4 \Delta _ { 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \right) \left( 4 \Delta _ { 2 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \mathrm { ~ g ~ } _ { 1 2 } ^ { 2 } \left( 2 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } - 8 \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } \right) + \mathrm { ~ g ~ } _ { 1 2 } ^ { 4 } } , } \end{array}
g _ { \omega } ( Q ^ { 2 } ) = g _ { 0 } ( \omega ) \left( { \frac { \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } { \ln ( Q _ { 0 } ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } } \right) ^ { b \gamma _ { g g } ( \omega ) } \; .
{ \begin{array} { r l } { \Gamma ( z ) } & { = { \frac { e ^ { - \gamma z } } { z } } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 + { \frac { z } { n } } \right) ^ { - 1 } e ^ { z / n } } \\ & { = { \frac { 1 } { z } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } e ^ { z \left( \ln n - 1 - { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 3 } } - \cdots - { \frac { 1 } { n } } \right) } { \frac { e ^ { z \left( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } \right) } } { \left( 1 + z \right) \left( 1 + { \frac { z } { 2 } } \right) \cdots \left( 1 + { \frac { z } { n } } \right) } } } \\ & { = { \frac { 1 } { z } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { 1 } { \left( 1 + z \right) \left( 1 + { \frac { z } { 2 } } \right) \cdots \left( 1 + { \frac { z } { n } } \right) } } e ^ { z \ln \left( n \right) } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { n ! n ^ { z } } { z ( z + 1 ) \cdots ( z + n ) } } , \quad z \in \mathbb { C } \setminus \mathbb { Z } _ { 0 } ^ { - } } \end{array} }
\frac { 1 } { 2 } \sigma _ { k j } \partial _ { k } ( \sigma _ { i j } \partial _ { i } Q ) + f _ { i } \partial _ { i } Q = \frac { 1 } { 4 } \partial _ { \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } } Q + \frac { 1 } { \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \left[ ( 1 - s ^ { 2 } ) \partial _ { s s } Q - s \partial _ { s } Q \right] + f _ { i } \partial _ { i } Q .
S o l v \left( \frac { E _ { 7 ( 7 ) } } { S U ( 8 ) } \right) = S o l v \left( \frac { S L ( 2 , R ) } { O ( 2 ) } \right) \, \oplus \, S o l v \left( \frac { S O ( 6 , 6 ) } { S O ( 6 ) \times S O ( 6 ) } \right) \, \oplus \, { \cal W } _ { 3 2 }
\begin{array} { r } { { \bf { P } } ( \{ \Theta ^ { [ k ] } \} ) = \lambda \sum _ { k } \sum _ { i \neq j } \widehat { W } _ { i i } ^ { [ k ] } \widehat { W } _ { j j } ^ { [ k ] } | \Theta _ { i j } ^ { [ k ] } | + \rho \sum _ { k < k ^ { \prime } } \sum _ { i \neq j } | \widehat { W } _ { i i } ^ { [ k ] } \widehat { W } _ { j j } ^ { [ k ] } \Theta _ { i j } ^ { [ k ] } - \widehat { W } _ { i i } ^ { [ k ^ { \prime } ] } \widehat { W } _ { j j } ^ { [ k ^ { \prime } ] } \Theta _ { i j } ^ { [ k ^ { \prime } ] } | } \end{array}
\psi _ { \nu } ( E _ { 0 } ; E , x ) = \Omega _ { \nu } \left( E , E _ { 0 } \right) \int _ { 0 } ^ { x } \exp \left[ \, \int _ { x ^ { \prime } } ^ { x } \frac { \d x ^ { \prime \prime } } { \mathcal { L } _ { \nu } ( E _ { 0 } ; E , x ^ { \prime \prime } ) } \right] \frac { \d x ^ { \prime } } { \lambda _ { \nu } ( E ) } ,
\begin{array} { r l } & { Z _ { k + 1 } - Z _ { k } } \\ { \leq \ } & { \phi ( x _ { k + 1 } , \bar { \tau } _ { k + 1 } ) - \bar { \phi } ( x _ { k + 1 } , \bar { \tau } _ { k } ; \xi _ { k } ^ { + } ) + \bar { \phi } ( x _ { k + 1 } , \bar { \tau } _ { k } ; \xi _ { k } ^ { + } ) - \bar { \phi } ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } ; \xi _ { k } ) } \\ & { \ - \bar { \tau } _ { k + 1 } f _ { \operatorname* { i n f } } + \bar { \tau } _ { k } f _ { \operatorname* { i n f } } + \bar { \tau } _ { k } e _ { k } } \\ { \leq \ } & { - \alpha _ { k } \theta \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + ( \bar { \tau } _ { k + 1 } - \bar { \tau } _ { k } ) ( f ( x _ { k + 1 } ) - f _ { \operatorname* { i n f } } ) } \\ & { \ + 2 \bar { \tau } _ { k } \epsilon _ { f } + \bar { \tau } _ { k } ( e _ { k } + e _ { k } ^ { + } ) } \\ { \leq \ } & { 2 \bar { \tau } _ { - 1 } \epsilon _ { f } + \bar { \tau } _ { - 1 } ( e _ { k } + e _ { k } ^ { + } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \theta _ { l a b } ) = } & { { } \frac { ( 1 + \gamma ^ { 2 } + 2 \gamma \cos \theta _ { c . m . } ) ^ { 3 / 2 } } { | 1 + \gamma \cos \theta _ { c . m . } | } P ( \theta _ { c . m . } ) } \end{array}
\frac { F _ { \mathrm { f r } , i } ( v _ { i } ) } { m } = \frac { \partial D _ { i i } ( v _ { i } ) } { \partial v _ { i } } - D _ { i i } ( v _ { i } ) \frac { \partial \phi _ { \mathrm { s t } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { v } ) } { \partial v _ { i } } \, .
w _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \sigma _ { i } < r _ { a } , } \\ { u _ { i } ^ { 3 } ( - 6 u _ { i } ^ { 2 } + 1 5 u _ { i } - 1 0 ) + 1 , } & { r _ { a } \leq \sigma _ { i } < r _ { b } , } \\ { 0 , } & { \sigma _ { i } \geq r _ { b } , } \end{array} \right.
F _ { t } ( x ) = \mathbb { E } \left[ \int _ { \Lambda _ { t } - B _ { t } } ^ { \Lambda _ { t } - B _ { t } + x } f ( y ) \, \mathrm { d } y \right] = \mathbb { E } \left[ \int _ { \Lambda _ { t } } ^ { \Lambda _ { t } + x } f ( y - B _ { t } ) \, \mathrm { d } y \right] = \int _ { \Lambda _ { t } } ^ { \Lambda _ { t } + x } \mathbb { E } \left[ f ( y + B _ { t } ) \right] \, \mathrm { d } y .
\tilde { H } _ { m n } ( t ) = \delta _ { m n } E _ { n } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + \textbf { F } ( t ) \cdot \textbf { d } _ { m n } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) }
\frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \eta _ { 1 } } \big ( \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 1 } } ( \eta _ { 6 } + \eta _ { 1 1 } ) + \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 2 } } \eta _ { 1 2 } \big ) = \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \eta _ { 5 } } \big ( \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 1 } } ( \eta _ { 1 0 } + \eta _ { 4 } ) + \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 2 } } \eta _ { 7 } \big ) = \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \eta _ { 9 } } \big ( \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 1 } } ( \eta _ { 3 } + \eta _ { 8 } ) + \lambda _ { y } ^ { 2 m _ { 2 } } \eta _ { 2 } \big ) ,
\begin{array} { r } { | + \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | e \rangle + | g \rangle \right) , } \\ { | - \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | e \rangle - | g \rangle \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( { \mathbf x } _ { N } ) = F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) + R ( \mathbf { u } _ { 1 } , \dots , \mathbf { u } _ { N } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \langle \nabla _ { n } - \mathbf { g } _ { n } , { \boldsymbol \Delta } _ { n } \rangle + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \mu } { 2 } \| \mathbf { u } _ { n } \| ^ { 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle - \frac { \mu } { 2 } \| { \boldsymbol \Delta } _ { n } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } | B _ { x } | } & { \approx } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { R } \int _ { - \Delta x } ^ { \Delta x } \frac { | j _ { \theta } | r ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } r } { ( r ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { = } & { \mu _ { 0 } | j _ { \theta } | \Delta x \operatorname { a r s i n h } ( R / \Delta x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \rho } \psi | _ { \Gamma _ { 2 } , \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 6 } , \Gamma _ { 8 } } = \partial _ { z } \psi | _ { \Gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 7 } } } & { = 0 , } \\ { j _ { \rho , \pm } \big | _ { \Gamma _ { 2 } , \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 6 } , \Gamma _ { 8 } } = j _ { z , \pm } \big | _ { \Gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 7 } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 0 } = } & { { } ~ \varepsilon _ { 0 } \Lambda - \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - \mu x _ { 0 } , } \\ { \dot { y } _ { 0 } = } & { { } ~ \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 0 } - \mu y _ { 0 } , } \\ { \dot { z } _ { 0 } = } & { { } ~ r y _ { 0 } - \mu z _ { 0 } , } \\ { \dot { x } _ { 1 } = } & { { } ~ \varepsilon _ { 1 } \Lambda - \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - \mu x _ { 1 } , } \\ { \dot { y } _ { 1 } = } & { { } ~ \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 1 } - \mu y _ { 1 } , } \\ { \dot { z } _ { 1 } = } & { { } ~ r y _ { 1 } - \mu z _ { 1 } , } \\ { \dot { x } _ { 2 } = } & { { } ~ \varepsilon _ { 2 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n } \\ { \dot { y } _ { 2 } = } & { { } ~ \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 2 } } \\ { \dot { z } _ { 2 } = } & { { } ~ r y _ { 2 } - \mu z _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \overline { { P } } _ { t } V ( x , v ) } { V ( x , v ) } } & { \leq ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) ^ { d } + \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } : \, w \neq v } t ^ { | \{ i : w _ { i } \neq v _ { i } \} | } ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) ^ { d - | \{ i : w _ { i } \neq v _ { i } \} | } } \\ & { = \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } } t ^ { | \{ i : w _ { i } \neq v _ { i } \} | } ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) ^ { d - | \{ i : w _ { i } \neq v _ { i } \} | } } \\ & { = \, \, \sum _ { k = 0 } ^ { d } \binom { d } { k } t ^ { k } \, ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) ^ { d - k } } \\ & { = \left( ( 1 + \gamma _ { 0 } ) t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } \right) ^ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V \sum _ { \tau = 0 } ^ { t - 1 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \left[ R _ { m , \pi } ( \tau ) \right] } & { \geq V t f ^ { * } - \mathbb { E } \left[ L ( \Theta ( 0 ) ) \right] + \mathbb { E } \left[ L ( \Theta ( t ) ) \right] - t C } \\ & { \geq V t f ^ { * } - \mathbb { E } \left[ L ( \Theta ( 0 ) ) \right] - t C , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { \tilde { \mathcal L } _ { - 2 } ^ { ( - 3 , - 1 ) } } } & { { = } } & { { { v _ { 1 } \star p } ^ { - 3 } + v _ { 0 } \star p ^ { - 2 } + v _ { - 1 } \star p ^ { - 1 } } } \\ { { } } & { { = } } & { { v _ { - 1 } { p } ^ { - 1 } + ( v _ { 0 } + \theta v _ { - 1 } ^ { \prime } ) p ^ { - 2 } + ( v _ { 1 } + 2 \theta v _ { 0 } ^ { \prime } + \theta ^ { 2 } u _ { - 1 } ^ { \prime \prime } ) p ^ { - 3 } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \left( { \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } - 1 + \Delta \right) ^ { - 1 } d u \left( d v + \left( { \frac { p } { r ^ { 2 } } } + k \right) d u + \left( 2 r _ { 0 } ^ { 2 } { \frac { \dot { f } _ { i } } { r ^ { 2 } } } + 2 a _ { i } \right) d y ^ { i } \right) + d y ^ { 2 } + H _ { 5 } d x ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { \mathrm { a d s } } ^ { \mathrm { \, w i t h \ s o l v e n t } } } & { = } & { E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ + \ a d a t o m \ w i t h \ s o l v e n t } } - E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ w i t h \ s o l v e n t } } } \\ & { } & { - E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, a d a t o m \ r e f e r e n c e } } } \end{array}
- n \partial \overline { { \partial } } u \wedge \partial _ { J } \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } \wedge A = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } ( \sum _ { i \neq k } \frac { 1 } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } } ) ( | u _ { 2 k \overline { { j } } } | ^ { 2 } + | u _ { 2 k + 1 \overline { { j } } } | ^ { 2 } ) \widetilde { \Omega } ^ { n } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } .
\frac { \partial } { \partial t } \mathbf { X } ( s , t ) = \frac { \Gamma } { 4 \pi } \kappa \mathbf { b } ( s , t ) \left( \ln \left( \frac { 2 } { \delta } \right) + C ( t ) \right) + \mathbf { Q } _ { 0 } ( s , t ) \, ,
\begin{array} { r l } { C _ { 2 { \cal L } } ( z ) } & { { } = 1 - \frac { 1 } { 2 ! } z ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ! } z ^ { 4 } - \cdots + \frac { ( - 1 ) ^ { \cal L } } { ( 2 { \cal L } ) ! } z ^ { 2 { \cal L } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { \prime } } & { { } = \frac { x ( r ^ { 2 } - 1 ) } { \sqrt { 1 + r ^ { 4 } + r ^ { 2 } ( 2 - 4 x ) } } } \\ { y ^ { \prime } } & { { } = - \sqrt { 1 - { x ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \end{array}
\Pi _ { i } ^ { \mathrm { K I } } = E _ { \mathrm { H x c } } [ \rho - \rho _ { i } ] - E _ { \mathrm { H x c } } [ \rho ] + f _ { i } \left( E _ { \mathrm { H x c } } [ \rho - \rho _ { i } + n _ { i } ] - E _ { \mathrm { H x c } } [ \rho - \rho _ { i } ] \right)
\left\{ \begin{array} { l l } & { \nabla _ { e } e = - a \varphi e - \alpha \xi , ~ ~ ~ ~ \nabla _ { \varphi e } e = - b \varphi e + \sigma \xi , ~ ~ ~ ~ \nabla _ { \xi } e = \mu \varphi e , } \\ & { \nabla _ { e } \varphi e = a e + \sigma \xi , ~ ~ ~ ~ \nabla _ { \varphi e } \varphi e = b e - \alpha \xi , ~ ~ ~ ~ \nabla _ { \xi } \varphi e = - \mu e , } \\ & { \nabla _ { e } \xi = \alpha e - \sigma \varphi e , ~ ~ ~ ~ \nabla _ { \varphi e } \xi = - \sigma e + \alpha \varphi e , ~ ~ ~ ~ \nabla _ { \xi } \xi = 0 , } \end{array} \right.