harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathtt { m } _ { \alpha } ( i _ { n } ( \omega ) ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathtt { m } _ { \alpha , 1 } ( \omega ) + \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) , } \\ { \mathfrak { m } _ { 1 } ( \omega , \xi ) } & { : = \xi \left( \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , \xi ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathfrak { m } _ { \mathfrak { b } } ( \omega , \xi ) \right) } \\ & { \overset = \xi \left( \varepsilon ^ { 2 } ( \mathfrak { m } _ { \le 0 , 1 } ( \omega , \xi ) + \mathfrak { m } _ { \mathfrak { b } } ( \omega , \xi ) ) + \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , \xi ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { \alpha } ( \mathbf { x } ) } & { = \phi ^ { \alpha } ( \mathbf { r } ) \, \alpha ( w ) } \\ { \Phi ^ { \beta } ( \mathbf { x } ) } & { = \phi ^ { \beta } ( \mathbf { r } ) \, \beta ( w ) } \\ { X ^ { \alpha } ( \mathbf { x } ) } & { = \chi ^ { \alpha } ( \mathbf { r } ) \, \alpha ( w ) } \\ { X ^ { \beta } ( \mathbf { x } ) } & { = \chi ^ { \beta } ( \mathbf { r } ) \, \beta ( w ) \mathrm { , } } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } f \left( k _ { n } \right) = \frac { 1 } { \Delta k } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Delta k f \left( k _ { n } \right) \rightarrow \frac { T } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k f \left( k \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \| A ^ { n } ( \mu \vec { x } + \vec { y } ) \| ^ { \frac { 1 } { n } } } & { \le \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \big ( | \mu | \| A ^ { n } \vec { x } \| + \| A ^ { n } \vec { y } \| \big ) ^ { \frac { 1 } { n } } } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \big \{ \operatorname* { l i m s u p } _ { n } | \mu | ^ { \frac { 1 } { n } } \| A ^ { n } \vec { x } \| ^ { \frac { 1 } { n } } , \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \| A ^ { n } \vec { y } \| ^ { \frac { 1 } { n } } \big \} } \\ & { \le r . } \end{array}
\nu _ { 1 0 } ^ { * } = \mu _ { m a x , H } \frac { S _ { D O C } ^ { * } } { K _ { H , D O C } + S _ { D O C } ^ { * } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } { K _ { H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } \frac { S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } { K _ { H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } \frac { K _ { M ^ { * } } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M ^ { * } } \psi _ { d _ { H } } ^ { * }
\begin{array} { r l } { \overline { { \alpha ^ { \prime } \eta ^ { \prime } } } } & { { } \approx \overline { { \alpha ^ { \prime } { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } \left. \frac { \partial \eta } { \partial x _ { i } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \smallskip } & { { } { \bf \Phi } _ { \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } } = { \bf \Phi } _ { \Delta _ { 1 } } \circ { \bf \Phi } _ { \Delta _ { 2 } } \quad \forall \Delta _ { 1 } , \Delta _ { 2 } \in \mathbb { R } ^ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot p \mathbb { I } } & { = } & { ( \nabla p ) \mathbb { I } + p ( \nabla \cdot \mathbb { I } ) = \nabla p , } \\ { \nabla \cdot ( \nabla \mathbf { v } ) } & { = } & { \Delta \mathbf { v } , } \\ { \nabla \cdot ( \nabla \mathbf { v } ^ { \top } ) } & { = } & { \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) = 0 , } \end{array}
\mu \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } A _ { i } \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k + 1 } \! \! \sum _ { I \subseteq \{ 1 , \dotsc , n \} , \atop | I | = k } \! \! \! \! \mu \left( \bigcap _ { i \in I } A _ { i } \right)
\begin{array} { r l } { \langle } & { { } W _ { i } ^ { 2 } \rangle { = } 4 \left[ \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d ^ { 2 } \mathbf { r } \, x ^ { 2 } \Gamma _ { 2 } \! \left( \mathbf { r } ; z _ { \mathrm { a p } } \right) { - } \langle x _ { 0 } ^ { 2 } \rangle \right] , } \end{array}
{ \cal L } _ { 1 } = T _ { 1 } ~ \mathrm { S T r } \left[ I - \sqrt { \operatorname * { d e t } ( \delta _ { \mu \nu } I - i [ X _ { \mu } , X _ { \nu } ] ) \operatorname * { d e t } ( I + D X _ { \mu } ( \delta _ { \mu \nu } I - i [ X _ { \mu } , X _ { \nu } ] ) ^ { - 1 } D X _ { \nu } ) } \right] ,
{ \begin{array} { r l } { | { \mathcal { M } } | ^ { 2 } } & { = e ^ { 4 } { \biggl \{ \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } [ { \bar { u } } ( p _ { 3 } ) \gamma ^ { \mu } u ( p _ { 1 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 1 } ) \gamma ^ { \nu } u ( p _ { 3 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 4 } ) \gamma _ { \mu } u ( p _ { 2 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 2 } ) \gamma _ { \nu } u ( p _ { 4 } ) ] } \\ & { \qquad + { \frac { 1 } { u ^ { 2 } } } [ { \bar { u } } ( p _ { 3 } ) \gamma ^ { \mu } u ( p _ { 2 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 2 } ) \gamma ^ { \nu } u ( p _ { 3 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 4 } ) \gamma _ { \mu } u ( p _ { 1 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 1 } ) \gamma _ { \nu } u ( p _ { 4 } ) ] } \\ & { \qquad - { \frac { 1 } { t u } } [ { \bar { u } } ( p _ { 3 } ) \gamma ^ { \mu } u ( p _ { 1 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 2 } ) \gamma ^ { \nu } u ( p _ { 3 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 4 } ) \gamma _ { \mu } u ( p _ { 2 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 1 } ) \gamma _ { \nu } u ( p _ { 4 } ) ] } \\ & { \qquad - { \frac { 1 } { t u } } [ { \bar { u } } ( p _ { 3 } ) \gamma ^ { \mu } u ( p _ { 2 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 1 } ) \gamma ^ { \nu } u ( p _ { 3 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 4 } ) \gamma _ { \mu } u ( p _ { 1 } ) ] [ { \bar { u } } ( p _ { 2 } ) \gamma _ { \nu } u ( p _ { 4 } ) ] { \biggr \} } . } \end{array} }
\frac { 1 } { M _ { 1 } ^ { R } k _ { 1 } ^ { R } } \beta ( 2 L _ { 1 } ^ { R } \ell _ { 1 } ^ { R } d L _ { 1 } ^ { R } + ( L _ { 1 } ^ { R } ) ^ { 2 } d \ell _ { 1 } ^ { R } ) = \frac { 1 } { M _ { 2 } ^ { R } k _ { 2 } ^ { R } } \left( 1 + \frac \beta 2 M _ { 2 } ^ { R } \right) \Big ( 2 L _ { 2 } ^ { R } \ell _ { 2 } ^ { R } d L _ { 2 } ^ { R } + ( L _ { 2 } ^ { R } ) ^ { 2 } d \ell _ { 2 } ^ { R } \Big ) .
\begin{array} { r } { 0 = 2 \langle R \rangle _ { t } - 4 \tilde { \beta } \langle R \rangle _ { t } \frac { \partial \langle R \rangle _ { t } } { \partial H } - ( v _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \tilde { \beta } \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } ) \left( \frac { \tilde { \beta } ^ { 2 } \langle R \rangle _ { t } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial \langle R \rangle _ { t } } { \partial H } - \frac { 2 \tilde { \beta } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \! \sim \frac { 2 v _ { 0 } } { \sqrt { \tilde { \beta } } } - 4 v _ { 0 } \tilde { \beta } ^ { 1 / 2 } \frac { \partial \langle R \rangle _ { t } } { \partial H } + v _ { 0 } \tilde { \beta } ^ { 3 / 2 } \frac { \partial \langle R \rangle _ { t } } { \partial H } - 2 \tilde { \beta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } \mathcal { J } ( x ) \vert = } & { \bigg \vert \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \partial _ { i j } ^ { 2 } \bigg ( \frac 1 { \rho _ { \delta } ( \cdot ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s } \, \big ( \mathbb { E } [ p _ { t + s } ( \cdot , X _ { k } ) ] - \mu _ { \infty } ( p _ { t + s } ( x , \cdot ) ) \big ) \, \mathrm { d } s \bigg ) ( x ) \bigg \vert } \\ { \lesssim } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \| \nabla ^ { 2 } \frac { 1 } { \rho _ { \delta } } \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \vert \mathbb { E } [ p _ { s + t } ( \cdot , X _ { k } ) ] - \mu _ { \infty } ( p _ { t + s } ( x , \cdot ) ) \vert } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } \vert \mathbb { E } [ \nabla ^ { 2 } p _ { s + t } ( \cdot , X _ { k } ) ] - \mu _ { \infty } ( \nabla ^ { 2 } p _ { t + s } ( x , \cdot ) ) \vert } \\ & { + \| \nabla \frac { 1 } { \rho _ { \delta } } \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \vert \mathbb { E } [ \nabla p _ { s + t } ( \cdot , X _ { k } ) ] - \mu _ { \infty } ( \nabla p _ { t + s } ( x , \cdot ) ) \vert \Big ) } \\ { \stackrel { , } { \lesssim } } & { \frac { 1 } { n } \bigg ( \delta ^ { - 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { m i n } \{ ( s + t ) ^ { - 1 } , ( s + t ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \} \, \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { \infty } ( s + t ) ^ { - 2 } \, \mathrm { d } s + \delta ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( s + t ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \, \mathrm { d } s \bigg ) } \\ { \lesssim } & { \frac { 1 } { n } ( \delta ^ { - 2 } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + t ^ { - 1 } + \delta ^ { - 1 } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) \ll \frac { 1 } { \log ^ { \nu } ( n ) } . } \end{array}
\boldsymbol { a } _ { t } = ( 1 - \beta ) \frac { 1 } { | D | ^ { 2 } } \left( \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { t } } u ( \boldsymbol { \theta } _ { t } ) \right) \left( \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { t } } u ( \boldsymbol { \theta } _ { t } ) \right) + \beta \boldsymbol { a } _ { t - 1 } ,
\frac { \partial \rho _ { t } } { \partial t } + \nabla _ { \theta } \cdot \Bigl ( \rho _ { t } \int \kappa ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \psi _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \Bigr ) = 0 , \rho _ { 0 } = \rho _ { A } , \rho _ { 1 } = \rho _ { B } .
\begin{array} { r l } { | A , p ; S \Sigma \rangle } & { { } = \sum _ { \Sigma _ { A } \pi } C _ { S _ { A } \Sigma _ { A } , \frac { 1 } { 2 } \pi } ^ { S \Sigma } | A _ { \Sigma _ { A } } , p _ { \pi } \rangle = } \end{array}
\begin{array} { r } { \varPhi _ { \mathrm { P } } = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { f } } \tilde { V } _ { \mathrm { c e l l } } } \left( \sum _ { p \in \tilde { \Omega } _ { \mathrm { c e l l } } } F _ { \mathrm { D } , i , p } ( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } _ { p } ) ) u _ { i } ( \boldsymbol { x } _ { p } ) - \tilde { u } _ { i } \sum _ { p \in \tilde { \Omega } _ { \mathrm { c e l l } } } F _ { \mathrm { D } , i , p } ( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } _ { p } ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) } & { { } = M _ { X } ^ { * } / M _ { X } , } \\ { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) } & { { } = M _ { N } ^ { * } / M _ { N } , } \\ { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) } & { { } = M _ { R } ^ { * } / M _ { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] } & { { } \approx } & { \mathcal { \tilde { E } } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \phi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { z \to 0 } { \frac { \operatorname { L i } _ { s } ( z ) } { z } } = { \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { t ^ { s - 1 } e ^ { - t } } d t = 1 .
A _ { u u } = { \frac { 1 } { 2 } } ( A _ { 0 0 } - A _ { y y } + 2 i A _ { 0 y } ) ; ~ A _ { u v } = { \frac { 1 } { 2 } } ( A _ { 0 0 } + A _ { y y } ) ; ~ A _ { v v } = { \frac { 1 } { 2 } } ( A _ { 0 0 } - A _ { y y } - 2 i A _ { 0 y } ) ~ ,
\mathbf { H } \propto [ \mathbf { W } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } = [ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } + [ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R - T R E } } \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } [ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { T R E - T } } + \dots
x = \frac { ( p _ { 1 } - q ) ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \, , \qquad y = \frac { ( p _ { 2 } - q ) ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \, , \qquad z = \frac { ( p _ { 3 } - q ) ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \, .
E \left\{ \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \right\} = E \left\{ { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } ^ { 2 } - \left( { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } \right) ^ { 2 } \right\} \equiv \mathrm { I } - \mathrm { I I } \, ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \nabla ^ { 2 } T ^ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } \, , } \\ { 0 } & { { } = \nabla \cdot \vec { v } ^ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } \, , } \\ { 0 } & { { } = - \nabla \delta p + \mu \nabla ^ { 2 } \vec { v } ^ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial g _ { a , { \bf k } } } { \partial t } + v _ { \| } \frac { \partial g _ { a , { \bf k } } } { \partial l } + i \omega _ { d a } g _ { a , { \bf k } } + \frac { 1 } { B ^ { 2 } } \sum _ { { \bf k } ^ { \prime } } { \bf B } \cdot ( { \bf k } \times { \bf k } ^ { \prime } ) \overline { { \delta \phi } } _ { { \bf k } ^ { \prime } } g _ { a , { \bf k } - { \bf k } ^ { \prime } } } \\ { = \frac { e _ { a } F _ { a 0 } } { T _ { a } } \left( \frac { \partial } { \partial t } + i \omega _ { \ast a } ^ { T } \right) \overline { { \delta \phi } } _ { \bf k } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { k ( L , \tau ) \Delta \tau = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { P ^ { \mathrm { i n } } ( L ) \Delta L \rho _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( \tau | L ) \Delta \tau } { n _ { \tau , \Delta L } \Delta L } \right) \ . } \end{array}
\frac { \lambda _ { L _ { 3 } } } { \lambda _ { K } } = \frac { n _ { L _ { 3 } } p _ { L _ { 3 } } ^ { 2 } q _ { L _ { 3 } } ^ { 2 } \beta _ { L _ { 3 } } ^ { 2 } B _ { L _ { 3 } } S _ { L _ { 3 } } } { n _ { K } q _ { K } ^ { 4 } \beta _ { K } ^ { 2 } B _ { K } S _ { K } } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { - \nabla \cdot ( A \nabla \tilde { u } _ { L } ) + s ^ { 2 } \alpha \beta \tilde { u } _ { L } = s f _ { L } \quad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { \rho } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ { \tilde { u } _ { L } = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \quad \partial D \cup \Gamma _ { 0 } , } \\ { \tilde { u } _ { L } = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \quad \Gamma _ { \rho } ^ { + } . } \end{array} \right. } \end{array}
d _ { \stackrel { ( - ) } { v } } ^ { V } = - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { F _ { V } } \frac { f _ { B } f _ { V } ^ { \perp } } { m _ { B } m _ { b } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d v } { \stackrel { ( - ) } { v } } \Phi _ { V } ^ { \perp } ( v )
{ \begin{array} { r l } { A _ { \mathrm { v d B } } } & { = 2 0 \log | H _ { \mathrm { l p } } ( \mathrm { j } \omega ) | } \\ & { = 2 0 \log { \frac { 1 } { \left| 1 + \mathrm { j } { \frac { \omega } { \omega _ { \mathrm { c } } } } \right| } } } \\ & { = - 2 0 \log \left| 1 + \mathrm { j } { \frac { \omega } { \omega _ { \mathrm { c } } } } \right| } \\ & { = - 1 0 \log \left( 1 + { \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } } \right) . } \end{array} }
{ \frac { \pi } { 2 } } = \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } = \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { 2 n } { 2 n - 1 } } \cdot { \frac { 2 n } { 2 n + 1 } } \right) = { \biggl ( } { \frac { 2 } { 1 } } \cdot { \frac { 2 } { 3 } } { \biggr ) } { \biggl ( } { \frac { 4 } { 3 } } \cdot { \frac { 4 } { 5 } } { \biggr ) } { \biggl ( } { \frac { 6 } { 5 } } \cdot { \frac { 6 } { 7 } } { \biggr ) } \cdots
E _ { 1 } ( x ) \Psi ( y ) \mid E \rangle = \left( { \varepsilon _ { 1 } ( x ) + \frac { q } { 2 } e ^ { - \frac { e } { { \sqrt \pi } } | x _ { 1 } - y _ { 1 } | } } \right) \Psi ( y ) \mid E \rangle .
\begin{array} { r l r } & { } & { r _ { 1 } = e ^ { - \frac { \tau } { \tau _ { 0 } } } \left( \frac { \Lambda \sin { \omega ^ { \prime } \tau } } { 2 Q \omega _ { 0 } ^ { 2 } \omega ^ { \prime } } + \frac { \Lambda \cos { \omega ^ { \prime } \tau } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - \frac { \Lambda } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
I _ { 1 3 } = \frac { 1 } { q ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } z ^ { n } \Biggl ( 2 \frac { \zeta _ { 2 } } { n } + 2 \frac { S _ { 2 } ( n - 1 ) } { n } - 2 \frac { S _ { 1 } ( n - 1 ) } { n ^ { 2 } } \Biggr ) \, .
\begin{array} { r l } { | \psi \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) | } & { \leq 1 - \frac { t ^ { 2 } } { n } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sigma _ { \ell } } { \vartheta \sqrt { n } } \right) ^ { 2 } - \frac { | t | \mathbb { E } | \ell _ { 1 } / \sigma _ { \ell } | ^ { 3 } } { 6 \sqrt { n } } \left( \frac { \sigma _ { \ell } } { \vartheta \sqrt { n } } \right) ^ { 3 } \right] \leq 1 - \frac { t ^ { 2 } } { 3 n } \leq \exp ( - \frac { t ^ { 2 } } { 3 n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } ( \omega , t ) } & { = \hat { f } ( \omega ) e ^ { ( - k \omega ^ { 2 } + i b \omega + 1 ) t } } \\ { u ( x , t ) } & { = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \hat { f } ( \omega ) e ^ { ( - k \omega ^ { 2 } + i b \omega + 1 ) t } \right] ( x , t ) } \\ & { = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \hat { f } ( \omega ) e ^ { ( - k \omega ^ { 2 } + 1 ) t } \right] ( x + b t , t ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \left( f ( x ) * \sqrt { \frac { \pi } { k t } } e ^ { 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 4 k t } } \right) ( x + b t , t ) } \\ { u ( x , t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi k t } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( y ) e ^ { 1 - \frac { ( x + b t - y ) ^ { 2 } } { 4 k t } } \, d y } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { g _ { l = \mathrm { e v e n } } } { g _ { l = \mathrm { o d d } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { n } / ( I _ { n } + 1 ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ h a l f ~ i n t e g e r ~ s p i n ~ n u c l e i , } } \\ { ( I _ { n } + 1 ) / I _ { n } } & { \mathrm { ~ f o r ~ i n t e g e r ~ s p i n ~ n u c l e i . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal { P } _ { J } ( \ell _ { 2 } ^ { n } ) \big ) } & { = ( n - 1 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Big | \sum _ { k : J ( k ) \neq \emptyset } c _ { k } ( n ) \, r ^ { k } e ^ { i k \theta } \Big | \, d \theta \Big ) ( 1 - r ^ { 2 } ) ^ { n - 2 } \, r \, d r } \\ & { \geq 2 ( n - 1 ) \sum _ { k : J ( k ) \neq \emptyset } \, \frac { c _ { k } ( n ) } { k + 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { k } ( 1 - r ^ { 2 } ) ^ { n - 2 } \, r \, d r } \\ & { = \sum _ { k : J ( k ) \neq \emptyset } \, \frac { 1 } { k + 1 } ( n - 1 ) c _ { k } ( n ) \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { n - 2 } \, t ^ { \frac { k } { 2 } } \, d t \, . } \end{array}
\delta s ^ { 2 } = \Omega ^ { 2 } ( t , w , y ) [ d x ^ { 2 } + g _ { 2 } \left( t , w \right) d t ^ { 2 } + g _ { 3 } \left( t , w \right) d w ^ { 2 } + h _ { 4 } ( t , w , y ) \delta y ^ { 2 } + h _ { 5 } \left( t , w \right) d z ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( N _ { i } \leq e ^ { - 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 } \slash 4 ) } & { \leq } & { \mathbb { P } ( N _ { i } \leq e ^ { - 2 } \lfloor \beta _ { n } ^ { - 1 } \rfloor \slash 2 ) = \mathbb { E } [ \mathbb { P } ( N _ { i } \leq e ^ { - 2 } \lfloor \beta _ { n } ^ { - 1 } \rfloor \slash 2 | \sigma _ { 0 } ) ] } \\ & { \leq } & { \exp ( - c \lfloor \beta _ { n } ^ { - 1 } \rfloor ) \leq \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 } ) . } \end{array}
m _ { 6 } = \frac { a _ { 1 1 } \Gamma S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } - a _ { 1 1 } \Gamma S _ { 1 2 } S _ { 2 1 } - S _ { 1 1 } a _ { 1 1 } } { \Gamma S _ { 2 2 } - 1 } .
C _ { 1 } = t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \exp \left\{ - \frac { 2 \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} .
( f \star g ) ( p ^ { ( 3 ) } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 1 3 } } \int d p ^ { ( 1 ) } \, d p ^ { ( 2 ) } \, \delta ^ { 2 6 } ( p ^ { ( 1 ) } + p ^ { ( 2 ) } - p ^ { ( 3 ) } ) f ( p ^ { ( 1 ) } ) g ( p ^ { ( 2 ) } )
\widehat { T } \mathbf { A } \left( \mathbf { r } \right) = \mathbf { A } \left( \mathbf { r } \pm \delta \mathbf { r } \right) = \mathbf { A } \left( \mathbf { r } \right) \pm \delta \mathbf { r . \nabla A } \left( \mathbf { r } \right) .
\begin{array} { c l } { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 a } \left[ - b + \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } \right] } \\ { \beta _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 a } \left[ - b - \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { h } ^ { + } \boldsymbol { x } } & { { } = T \left( a b s \left( \nabla _ { h } \boldsymbol { x } \right) \right) , } \\ { \nabla _ { h } ^ { - } \boldsymbol { x } } & { { } = T \left( a b s \left( - \nabla _ { h } \boldsymbol { x } \right) \right) , } \\ { \nabla _ { v } ^ { + } \boldsymbol { x } } & { { } = T \left( a b s \left( \nabla _ { v } \boldsymbol { x } \right) \right) , } \\ { \nabla _ { v } ^ { - } \boldsymbol { x } } & { { } = T \left( a b s \left( - \nabla _ { v } \boldsymbol { x } \right) \right) . } \end{array}
K _ { g l u o n s } ^ { ( 2 ) } = \int d \kappa \, \frac { d ^ { D } k _ { 1 } } { \mu ^ { D - 4 } } \, \delta ( k _ { 1 } ^ { 2 } ) \, \delta ( k _ { 2 } ^ { 2 } ) \, \frac { 1 6 N _ { c } ^ { 2 } R } { \overrightarrow { q _ { 1 } } ^ { 2 } \overrightarrow { q } _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { 1 6 \, N _ { c } ^ { 2 } } { 2 \overrightarrow { q _ { 1 } } ^ { 2 } \overrightarrow { q _ { 2 } } ^ { 2 } } \int _ { \delta } ^ { 1 - \delta } \frac { d x } { x ( 1 - x ) } \int \frac { d ^ { D - 2 } \overrightarrow { k _ { 1 } } } { \mu ^ { D - 4 } } \, R \, .
U ( R ) ^ { \dagger } { \widehat { T } } _ { m } ^ { ( j ) } U ( R ) = \left( 1 + { \frac { i \epsilon { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } } { \hbar } } + { \mathcal { O } } ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) { \widehat { T } } _ { m } ^ { ( j ) } \left( 1 - { \frac { i \epsilon { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } } { \hbar } } + { \mathcal { O } } ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) = \sum _ { m ^ { \prime } } \langle j , m ^ { \prime } | \left( 1 + { \frac { i \epsilon { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } } { \hbar } } + { \mathcal { O } } ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) | j , m \rangle { \widehat { T } } _ { m ^ { \prime } } ^ { ( j ) }
\widetilde { \mathbf z } _ { 1 } = ( \widetilde { z } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { z } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { z } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { T } \in \mathbb { C } ^ { 3 }
\frac { \partial \, f } { \partial \, t } + \frac { \vec { p } } { m } \cdot \vec { \nabla } _ { x } f + \left( \vec { F } ^ { \mathrm { e x t } } + q \vec { E } ^ { \mathrm { s c } } \right) \cdot \vec { \nabla } _ { p } f = { \left[ \frac { \partial \, f } { \partial \, t } \right] } _ { \mathrm { F P } } \; ,
g _ { l ( \hat { \theta } ^ { [ q ] } ) } = \ln \int _ { 0 } ^ { E _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } s ^ { [ q ] } ( E ) \exp \left( - \int _ { l ( \hat { \theta } ^ { [ q ] } ) } \mu ( \boldsymbol { y } , E ) \mathrm { d } l \right) \mathrm { d } E ,
\frac { d } { d r } ( \frac { B _ { z } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } ) = - \frac { d } { d r } ( p + \frac { B _ { \theta } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } ) - \frac { B _ { \theta } ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } r } + f _ { c }
\begin{array} { r l r } { A _ { \alpha } } & { { } = } & { \frac { { \cal R } ( 1 + { \cal R } ) } { 1 - { \cal R } ^ { 2 } e ^ { 2 i k L } } e ^ { 2 i k L } } \\ { A _ { \beta } } & { { } = } & { \frac { 1 + { \cal R } } { 1 - { \cal R } ^ { 2 } e ^ { 2 i k L } } e ^ { i k L } } \end{array}
\frac { \partial v _ { i } } { \partial t } + v _ { i } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x } = - \frac { 1 } { \nu _ { e } } \frac { \partial \phi } { \partial x } - \frac { \sigma _ { i } } { \nu _ { e } n _ { i } } \frac { \partial n _ { i } } { \partial x } ,
\begin{array} { r l } { P = } & { P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { H e } } + P _ { \mathrm { O _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { S _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { N _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { C O } } } \\ & { + P _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } + P _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } + P _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } + P _ { \mathrm { H C N } } + P _ { \mathrm { S O _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { H _ { 2 } S } } . } \end{array}
V = \frac { { q ^ { 2 } } } { { 2 \lambda } } \left( { 1 + \frac { { 4 \pi m \Sigma } } { { \lambda ^ { 2 } } } } \right) \left( { 1 - e ^ { - \lambda | y - y { \prime } | } } \right) + \frac { { q ^ { 2 } } } { 2 } \left( { 1 - \frac { { \frac { { e ^ { 2 } } } { \pi } } } { { \lambda ^ { 2 } } } } \right) | y - y { \prime } | .