harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \hat { a } e ^ { - i \theta \hat { n } } = e ^ { - i \theta } e ^ { - i \theta \hat { n } } \hat { a } , } \\ { \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { - i \theta \hat { n } } = e ^ { i \theta } e ^ { - i \theta \hat { n } } \hat { a } ^ { \dagger } . } \end{array}
R = \frac { W _ { s _ { 2 } ^ { \prime } } } { W _ { s _ { 2 } } } \frac { \operatorname* { d e t } g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } ^ { \prime } } } { \operatorname* { d e t } g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } ,
\Theta _ { a } ^ { I } | _ { l o o p s } = - \frac { i } { 2 } \, ( \omega + \beta _ { a } ^ { I } ) \, \langle t ^ { I } + \bar { t } ^ { \bar { I } } \rangle ^ { - 1 } ~ ; { } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \omega = - \frac { C } { 8 \pi ^ { 2 } } ~ , ~ ~ ~ \beta _ { a } ^ { I } = \frac { b _ { a } ^ { I } } { 8 \pi ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } u | \nabla \bar { w } | \, d V _ { t } d t \le } & { \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } u \bar { w } ( 1 + | \nabla f | ) \, d V _ { t } d t } \\ { \le } & { ( 4 \pi ( 1 - b ) ) ^ { - \frac n 2 } \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } u ( 1 + ( 1 - b ) ^ { - \frac 1 2 } f ^ { \frac 1 2 } ) e ^ { - f } \, d V _ { t } d t } \\ { \le } & { C \int _ { a } ^ { b } \int u \, d V _ { t } d t \le C ( b - a ) } \end{array}
c _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { b _ { 3 } } = \underbrace { \alpha _ { k } w _ { i } ^ { a } + \beta _ { k } \frac { d _ { s _ { i } } } { v _ { a } } + \gamma _ { k } ( b + r _ { i } ^ { a } d _ { s _ { i } } ) } _ { \mathrm { f i r s t ~ l e g ~ A M o D } } + \underbrace { \alpha _ { k } w _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } + \beta _ { k } \frac { l _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } } { v _ { p } } + \gamma _ { k } r ^ { p } l _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } } _ { \mathrm { p u b l i c ~ t r a n s i t } } + \underbrace { \alpha _ { k } w _ { j } ^ { a } + \beta _ { k } \frac { d _ { s _ { j } } } { v _ { a } } + \gamma _ { k } ( b + r _ { j } ^ { a } d _ { s _ { j } } ) } _ { \mathrm { l a s t ~ l e g ~ A M o D } } .
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } \mu ( \alpha ) } & { \triangleq \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 4 } { S _ { o } ^ { 2 } } m ^ { ( \alpha ) } ( t , \eta ) \, \mathrm { d } V } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \left( 1 - t \right) ^ { \alpha } \, \widetilde { h } ( t ) ^ { 2 \alpha + 1 } \, \mathrm { d } \phi \, \mathrm { d } \eta \, \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { a } _ { 1 + } } & { = } & { \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) a _ { 1 + } + \zeta a _ { 2 + } + i U | a _ { 1 + } | ^ { 2 } a _ { 1 + } + i 2 U | a _ { 1 - } | ^ { 2 } a _ { 1 + } + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \\ { \dot { a } _ { 1 - } } & { = } & { \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) a _ { 1 - } + \zeta a _ { 2 - } + i U | a _ { 1 - } | ^ { 2 } a _ { 1 - } + i 2 U | a _ { 1 + } | ^ { 2 } a _ { 1 - } + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \\ { \dot { a } _ { 2 + } } & { = } & { \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) a _ { 2 + } + \zeta a _ { 1 + } + i U | a _ { 2 + } | ^ { 2 } a _ { 2 + } + i 2 U | a _ { 2 - } | ^ { 2 } a _ { 2 + } + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \\ { \dot { a } _ { 2 - } } & { = } & { \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) a _ { 2 - } + \zeta a _ { 1 - } + i U | a _ { 2 - } | ^ { 2 } a _ { 2 - } + i 2 U | a _ { 2 + } | ^ { 2 } a _ { 2 - } + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \end{array}
\nu _ { m } = \begin{array} { r l } { { \frac { n m } { 2 } , } } & { { \quad \mathrm { f o r ~ m ~ \ne ~ 0 ~ m o d ~ n + 1 ~ } } } \\ { { \frac { n m } { 2 } + ( n + 1 ) b _ { h _ { m } + 1 } , } } & { { \quad \mathrm { f o r ~ m ~ = ~ 0 ~ m o d ~ n + 1 ~ } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( { \mathbf x } _ { M } ) } & { = F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle \mathbf { g } _ { n } , { \boldsymbol \Delta } _ { n } - \mathbf { u } _ { n } \rangle + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle { \boldsymbol \nabla } _ { n } - \mathbf { g } _ { n } , { \boldsymbol \Delta } _ { n } \rangle + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle ~ . } \end{array}
\Delta \varphi ( \omega ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int \frac { 1 } { \omega ^ { \prime } - \omega } \log \left( \frac { \int H ( \omega ^ { \prime } - \omega " ) F _ { \eta } ( \omega " ) } { F _ { \eta } ( \omega ^ { \prime } ) } \right) d \omega ^ { \prime } ,
X _ { m } ( a , b , c ; q ) = \sum _ { \begin{array} { c } { { \scriptstyle \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { m - 1 } = 1 } } \\ { { \scriptstyle | \sigma _ { j + 1 } - \sigma _ { j } | = 1 } } \end{array} } ^ { r - 1 } q ^ { \sum _ { k = 1 } ^ { m } k | \sigma _ { k + 1 } - \sigma _ { k - 1 } | / 4 } , \qquad \sigma _ { 0 } = a , \; \sigma _ { m } = b , \; \sigma _ { m + 1 } = c .
Y _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \mu _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) = \left( Y _ { \mathrm { ~ b ~ } } ^ { 0 } - Y _ { \mathrm { ~ b ~ } } ^ { \infty } \right) e ^ { - a \mu _ { \mathrm { ~ p ~ } } } + Y _ { \mathrm { ~ b ~ } } ^ { \infty } .
\begin{array} { r l } { z _ { a n } ^ { \mathrm { R P A } } } & { { } = z _ { a n } + \sum _ { b m } \frac { z _ { b m } ^ { \mathrm { R P A } } \tilde { g } _ { a m n b } } { \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { m } - \omega } + \sum _ { b m } \frac { \tilde { g } _ { a b n m } z _ { m b } ^ { \mathrm { R P A } } } { \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { m } + \omega } \, , } \\ { z _ { n a } ^ { \mathrm { R P A } } } & { { } = z _ { n a } + \sum _ { b m } \frac { z _ { b m } ^ { \mathrm { R P A } } \tilde { g } _ { n m a b } } { \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { m } - \omega } + \sum _ { b m } \frac { \tilde { g } _ { n b a m } z _ { m b } ^ { \mathrm { R P A } } } { \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { m } + \omega } \, . } \end{array}
\bar { S } _ { 0 } \left[ A _ { \alpha \beta } ^ { \; \; \; ( \sigma ) } \right] = S _ { 0 } \left[ A _ { \alpha \beta } ^ { \; \; \; ( \sigma ) } \right] + g \int d ^ { n } x \, a _ { 0 } + O \left( g ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \widetilde { E } ( s ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu ^ { s - 1 } E ( \mu ) d \mu } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \mu ^ { s - 1 } \left( - 2 { \frac { m } { 2 \pi } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { l } { \frac { K _ { 1 } ( 2 \pi \ell \sqrt { \mu / \tau _ { 2 } } ) } { \ell } } \right) d \mu } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { 2 } } ( - 1 ) ^ { \ell + 1 } \pi ^ { - 2 s - 2 } \tau _ { 2 } ^ { s } \, s \, \Gamma ( s ) ^ { 2 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \ell ^ { - 2 s - 2 } } \\ & { = } & { ( 2 ^ { 2 s + 1 } - 1 ) ( 2 \pi ) ^ { - 2 s - 2 } s \tau _ { 2 } ^ { s } \zeta ( 2 s + 2 ) \Gamma ( s ) ^ { 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { R } ^ { j } ( \boldsymbol { X } ) Z ) ) _ { k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = ( \mathcal { N } ^ { j } ( \boldsymbol { X } ) Z ) _ { k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) - ( \mathcal { M } ^ { j } ( \nabla \boldsymbol { X } ) ( Z ) ) _ { k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \\ & { = \int _ { { \mathbb { R } ^ { 2 } } } \mathcal { K } _ { m , k , l } ^ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) \frac { \partial \widehat { X } _ { i } } { \partial \eta _ { m } } ( { \boldsymbol { \eta } } ) Z _ { l , i } ( { \boldsymbol { \eta } } ) d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } , } \end{array}
f ^ { ( q ) } ( u ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } f ^ { \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \ldots \alpha _ { 2 n + q } ^ { \prime } } u _ { ( \alpha _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { + } \ldots u _ { \alpha _ { n + q } ^ { \prime } } ^ { + } u _ { \alpha _ { n + q + 1 } ^ { \prime } } ^ { - } \ldots u _ { \alpha _ { 2 n + q } ^ { \prime } ) } ^ { - } \ .
\mathsf { V } = \left( \frac { | u ^ { \nu } | ^ { 2 } } { 2 } , \left( \frac { | u ^ { \nu } | ^ { 2 } } { 2 } + p ^ { \nu } \right) u ^ { \nu } - \nu \nabla \frac { | u ^ { \nu } | ^ { 2 } } { 2 } \right) , \qquad \mathsf { D } : = D [ u ^ { \nu } ] + \nu | \nabla u ^ { \nu } | ^ { 2 } ,
G ( u - v ) = \langle 0 | \phi ^ { \dagger } \phi ( v ) \phi ^ { \dagger } \phi ( u ) | 0 \rangle = \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \int _ { 0 } ^ { \infty } d s ^ { \prime } \int ( d x ) ( d y ) e ^ { - I }
A = \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \left( \sum _ { i \ne 0 } \boldsymbol { P } _ { i } \right) ^ { 2 } K ( \boldsymbol { Q } ) + \sum _ { i \ne 0 } \frac { P _ { i } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } - \frac { G m _ { 0 } m _ { i } } { Q _ { i } } .
\begin{array} { r l r } { F _ { \epsilon } ^ { \prime } } & { = } & { \varphi _ { \epsilon } ( s _ { 0 } ) \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } - \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } , } \\ & { = } & { \varphi _ { \epsilon } ( s _ { 0 } ) ( a \varphi _ { \epsilon } + 1 ) ^ { \prime } - \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \varphi _ { \epsilon } ( s _ { 0 } ) ( a ^ { \prime } \varphi _ { \epsilon } + a \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ) - \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } } \\ & { < } & { \varphi _ { \epsilon } ( s _ { 0 } ) \varphi _ { \epsilon } \left( a ^ { \prime } - \frac { a ^ { 2 } } { n - 1 } + \frac { a } { n - 1 } \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \right) . } \end{array}
B ^ { 2 } \cos \, ( 2 \, m _ { \pi } t + 2 \, \varphi ) = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \gamma _ { a } ^ { 2 } \cos \, ( 2 m _ { \pi } t + 2 \varphi ) ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { p } ^ { i , n } } & { = \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } D _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } W _ { j } ^ { i , n } \exp w _ { j } ^ { i , n } , } \\ { \beta _ { p } ^ { n } } & { = 1 + \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( D _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } W _ { j } ^ { i , n } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + D _ { j - e _ { i } / 2 } ^ { i , n } W _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } \exp w _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } ) , } \\ { \gamma _ { p } ^ { i , n } } & { = \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } D _ { j - e _ { i } / 2 } ^ { i , n } W _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } , } \\ { W _ { j } ^ { i , n } } & { = \frac { w _ { j } ^ { i , n } } { ( \exp w _ { j } ^ { i , n } - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \omega } \left[ \mathbb { T } _ { k } - \overline { \mathbb { T } } _ { k } \right] } & { = 2 \xi _ { k } \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } W _ { p _ { n } } , } \\ { \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ \mathbb { T } _ { k } - \overline { \mathbb { T } } _ { k } \right] } & { = \xi _ { k } \Pi _ { p _ { n } , k - 1 } \mathrm { V a r } _ { \omega } F _ { p _ { n } } } \\ & { + \xi _ { k } \Pi _ { p _ { n } , k - 1 } \left( \mathrm { E } _ { \omega } F _ { p _ { n } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + 2 \sum _ { j = p _ { n } + 1 } ^ { k - 1 } \xi _ { j } \Pi _ { p _ { n } , j - 1 } + \xi _ { k } \Pi _ { p _ { n } , k - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mu P _ { \delta } ^ { 2 n } - \mu \pi _ { \delta } ^ { x , v } \| _ { V } } & { = \operatorname* { s u p } _ { \lvert g \rvert \leq V } \left\lvert \int [ P _ { \delta } ^ { 2 n } g ( x , v ) - \pi _ { \delta } ^ { x , v } ( g ) ] \mu ( d x , d v ) \right\rvert } \\ & { \leq \int \operatorname* { s u p } _ { \lvert g \rvert \leq V } \left\lvert P _ { \delta } ^ { 2 n } g ( x , v ) - \pi _ { \delta } ^ { x , v } ( g ) \right\rvert \mu ( d x , d v ) } \\ & { \leq \int \left\lVert \delta _ { x , v } P _ { \delta } ^ { 2 n } - \pi _ { \delta } ^ { x , v } \right\rVert _ { V } \mu ( d x , d v ) } \\ & { \leq \frac { C } { \alpha } \tilde { \kappa } ^ { n \delta } \, \int \| \delta _ { ( x , v ) } - \pi _ { \delta } ^ { x , v } \| _ { V } \mu ( d x , d v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { A } ( \nu , p ^ { * } , \gamma ) } & { { } = } & { \frac { \exp ( - \nu ) } { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \nu ^ { n } } { n ! } \left[ ( 1 - ( 1 - p ^ { * } ) ^ { n } \right] \cdot } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \left( t \right) } & { = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \sigma ^ { 2 } \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t \right) \sigma ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( - \ddot { \varepsilon } _ { c r } \left( t \right) \left( t - t ^ { \prime } \right) \right) \left( \sigma \left( t \right) - \sigma \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } , } \end{array}
p _ { i j } ^ { + } \equiv \frac { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } } { 1 + e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { x _ { i } x _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } }
\left| \left[ ( [ \mathbf { C } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { - 1 } [ \mathbf { C } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \right] _ { i } - \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \beta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } } \\ { 0 } \end{array} \right] _ { i } \right| \leq \left| \sum _ { j = 1 } ^ { k } [ \widetilde { \mathbf { C } } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i j } ( [ \mathbf { u } _ { j - 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ) - [ \boldsymbol { \beta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } \right| + \left| \sum _ { j = 1 } ^ { k } [ \widetilde { \mathbf { C } } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i , j + k } ( [ \mathbf { q } _ { j - 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ) \right| .
E ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } , { \bf r } ) = P _ { H H } ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } , { \bf r } ) + P _ { V V } ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } , { \bf r } ) - P _ { H V } ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } , { \bf r } ) - P _ { V H } ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } , { \bf r } )
\mathbb { E } \Big \lVert V _ { \tilde { \theta } _ { T } } - V _ { \theta _ { i } ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } \le \tilde { \mathcal { O } } \left( \frac { \tau ^ { 2 } G ^ { 2 } } { K ^ { 2 } T ^ { 2 } } + \frac { c _ { \mathrm { q u a d } } ( \tau ) } { \nu ^ { 2 } N K T } + \frac { c _ { \mathrm { l i n } } ( \tau ) } { \nu ^ { 4 } K T ^ { 2 } } + \frac { B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G } { \nu } + \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right)
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathbf { c } _ { 0 } = \partial _ { x } \left( \left( \mathbf { D } + \frac { \mathrm { 2 P e } ^ { 2 } } { 9 4 5 } \mathbf { D } ^ { - 1 } \right) \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ^ { n } ( \omega ) = \frac { \hbar \omega } { 2 } \langle \left\{ \hat { n } _ { 2 } , \hat { n } _ { 2 } ^ { \dagger } \right\} \rangle } & { \ge - \frac { \hbar \omega } { 2 } \langle \left[ \hat { n } _ { 2 } , \hat { n } _ { 2 } ^ { \dagger } \right] \rangle = \frac { \hbar \omega } { 2 } \left( | S _ { 2 1 } | ^ { 2 } - 1 \right) , } \end{array}
\left[ \nabla _ { r _ { i } ^ { \prime } } ^ { 2 } + \nabla _ { \rho _ { i } ^ { \prime } } ^ { 2 } - 2 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } \right] \psi ^ { ( i ) } ( r _ { i } ^ { \prime } , \rho _ { i } ^ { \prime } ) = \delta ( r _ { i } ^ { \prime } ) B ^ { ( i ) } ( \rho _ { i } ^ { \prime } ) \, .
\kappa _ { \perp / r } = \eta \kappa _ { | | } \left[ \frac { P } { \mathrm { ~ 1 ~ G ~ V ~ } } \right] ^ { - 1 / 3 } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \kappa _ { \perp , \theta } = \eta g ( \theta ) \kappa _ { | | } \left[ \frac { P } { \mathrm { ~ 1 ~ G ~ V ~ } } \right] ^ { - 1 / 3 }
a \equiv 2 \sqrt { 2 } G _ { F } n _ { e } E = 7 . 5 6 \times 1 0 ^ { - 5 } \mathrm { e V } ^ { 2 } \frac { \rho } { \mathrm { g c m } ^ { - 3 } } \frac { E } { E } { G e V } ,
\begin{array} { r } { a _ { j } \mathcal { P } _ { j } + Q b _ { j } \tilde { \mathcal { P } } _ { j } + \xi _ { j } = 0 , } \\ { a _ { j } \tilde { \mathcal { P } } _ { j } - Q b _ { j } \mathcal { P } _ { j } + \tilde { \xi } _ { j } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { 1 , J } } & { = } & { \frac { O ( r ( d , J ) ^ { 2 k } ) } { C ( J ) \parallel D _ { \beta _ { J } } ^ { * } \parallel _ { J } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { O ( r ( d , J ) ^ { 2 k } r ( d , J ) ^ { - 2 k } J ^ { - 2 } } { C ( J ) } } \\ & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 1 } J ^ { - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { D } _ { \mathrm Y } ^ { \mathrm { ( X Y ) } } \right) _ { i k l n , j m } } & { { } = \sum _ { y y ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( | y \rangle ) _ { k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { l m } \, ( | y ^ { ' } \rangle ) _ { n } \, \rho _ { y y ^ { ' } } } \end{array}
\dot { g } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } = \frac { - I \mathfrak R ( \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } ) } { ( \mathfrak R ( V _ { t } ^ { j , k } ) ) ^ { 2 } } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \dot { g } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } = \frac { - I \mathfrak R ( \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } ) } { ( \mathfrak R ( V _ { t } ^ { j , k } ) ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \beta } \left( x \, , 0 \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \quad \mathrm { i f } \quad x \ge \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { \frac { \beta } { 2 } \left( x + \frac { 1 } { 2 \beta } \right) ^ { 2 } } & { \quad \mathrm { i f } \quad | x | \le \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { i f } \quad x \le - \frac { 1 } { 2 \beta } . } \end{array} \right. } \end{array}
E _ { \mathrm { N P } } ^ { ( \pm ) } ( \epsilon , N _ { \pm } ) = \alpha ^ { 2 } \frac { ( - 1 ) ^ { N _ { \pm } + 1 } } { N _ { \pm } ! } \left( - \frac { 2 } { g ^ { 2 } } \right) ^ { \pm \epsilon + 2 N _ { \pm } } \Gamma \left( \mp \epsilon - N _ { \pm } \right) + O ( \alpha ^ { 4 } ) .
\hat { H } _ { 0 } = \hbar g \omega \left[ { \alpha _ { i } ^ { a } } ^ { \dagger } \alpha _ { i } ^ { a } + \frac { 1 } { 2 } 2 d \right] = \hbar g \omega \left[ \hat { N } + d \right] \ \ , \ \ \hat { \phi } = i \hbar \epsilon ^ { a b } { \alpha _ { i } ^ { a } } ^ { \dagger } \alpha _ { i } ^ { b } \ \ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } d _ { i , j } T _ { k } ^ { j } T _ { i } } & { { } = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \bigg ( \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } d _ { i , j } T _ { k } ^ { j } \bigg ) T _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { \gets A + \alpha \left( ( Y _ { ( 1 ) } ^ { \top } - A ( C \odot B ) ^ { \top } ) ( \overline { { C \odot B } } ) + \lambda _ { e } \cdot \frac { \nabla _ { e } ^ { \mathsf { H } } \nabla _ { e } ^ ( C \odot B ) A ^ { \top } } { \| \nabla _ { e } ( C \odot B ) A ^ { \top } \| _ { 1 } } \right. } \\ & { \quad \quad + \left. \lambda _ { t } \cdot \frac { \nabla _ { m } ^ { \mathsf { H } } \nabla _ { m } ^ ( C \odot B ) A ^ { \top } } { \| \nabla _ { m } ( C \odot B ) A ^ { \top } \| _ { 1 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M S E _ { u } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { u } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { u } } \| u _ { \boldsymbol { \theta } } ( x _ { u } ^ { i } , t _ { u } ^ { i } ) - u ^ { i } \| ^ { 2 } } \\ { M S E _ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { r } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { r } } \| \mathcal { R } ( u _ { \boldsymbol { \theta } } ( x _ { r } ^ { i } , t _ { r } ^ { i } ) \| ^ { 2 } \, \, \, } \end{array}
\begin{array} { r } { ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , V _ { 6 } ^ { i } , V _ { 7 } ^ { i } , V _ { 8 } ^ { i } ) ^ { \top } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ i = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \partial \Omega } } & { = \int _ { \partial \Omega } } \\ & { \quad + \frac { \beta } { 2 } \left\{ ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } ) - ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } ) + \left( v _ { i } ( \nabla u _ { i } ) - u _ { i } ( \nabla v _ { i } ) \right) \cdot \mathbf { n } - ( v _ { i } \nabla u _ { i } ) \cdot \mathbf { n } - n _ { j } ( \mathbf { v } \cdot \nabla ) u _ { j } ) \right\} } \\ & { \quad - \sigma \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } } \\ & { = \int _ { \partial \Omega } } \\ & { \quad + \frac { \beta } { 2 } \left\{ ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } ) - ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } ) + \left( - u _ { i } ( \nabla v _ { i } ) \right) \cdot \mathbf { n } - n _ { j } ( \mathbf { v } \cdot \nabla ) u _ { j } ) \right\} } \\ & { \quad - \sigma \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } } \end{array}
\partial _ { t } G ( s , t ) = \sum _ { x = 0 } s ^ { x } [ ( \nu + \mu b _ { n } e ^ { \alpha t } ) p ( x - 1 , t ) + \lambda ( x + 1 ) p ( x + 1 , t ) - ( \nu + \mu b _ { n } e ^ { \alpha t } + \lambda x ) p ( x , t ) ] .
\begin{array} { r l } { \gamma ( x ) = \mathbf { 1 } \big ( ( 1 - \varphi ) } & { [ \mu ( x - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( 1 - \mu ) ( x - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } ] } \\ & { \ge c + ( 1 - \varphi ) ( 1 - \nu ) ( x - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ) } \\ { = \mathbf { 1 } \big ( ( 1 - \varphi ) } & { \mu ( x - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ & { \ge c + ( 1 - \varphi ) ( \mu - \nu ) ( x - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\gamma ^ { 2 } = \frac { \omega + 1 } { 2 ( \omega + 2 ) } \frac { M ( 2 - \Omega ) } { b } \: , \: \: \: \: \: \: \: \frac { \theta ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } = \frac { M \Omega } { 2 b } \: ,
\begin{array} { r l } { \vert \langle v \rangle ^ { q } f ( t , x , v ) \vert } & { \leq C _ { q } e ^ { - t / 2 } \left( 1 + \int _ { 0 } ^ { t } \Vert f ( s ) \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } d s \right) M _ { 0 } ^ { n + 1 } e ^ { C \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t _ { e q } } + ( 1 + C _ { q } M _ { 0 } ^ { n } e ^ { C \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t _ { e q } } \overbar { M } ) \bar { B } . } \end{array}
{ \chi } _ { 1 } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { y \leq - \xi _ { \ell } , } \\ { 0 } & { - \frac 3 4 \xi _ { \ell } \leq y \leq \frac { a } { r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 4 } \xi _ { r } } \\ { 1 } & { y \geq \frac { a } { r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } + \xi _ { r } , } \end{array} \right. , \quad { \chi } _ { 2 } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { y \leq - \frac 3 4 \xi _ { \ell } , } \\ { 0 } & { - \frac 1 2 \xi _ { \ell } \leq y \leq \frac { a } { r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \xi _ { r } , } \\ { 1 } & { y \geq \frac { a } { r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 4 } \xi _ { r } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \rho _ { e e } } & { = \frac { 2 \gamma _ { 2 } \Omega ^ { 2 } } { \gamma ( \gamma _ { 2 } ^ { 2 } + \Delta _ { 2 } + 4 ( \gamma _ { 2 } / \gamma ) \Omega ^ { 2 } ) } } \\ { \rho _ { g e } } & { = - \frac { \Omega ( i \gamma _ { 2 } + \Delta ) } { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } + 4 ( \gamma _ { 2 } / \gamma ) \Omega ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \lambda _ { \mu } } \mathcal E _ { \mathrm { E C C } } } & { = \langle \mu \vert e ^ { \hat { \Lambda } ^ { \dagger } } e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle , } \\ { \partial _ { t _ { \mu } } \mathcal E _ { \mathrm { E C C } } } & { = \langle \phi _ { 0 } \vert e ^ { \hat { \Lambda } ^ { \dagger } } [ e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } , \hat { X } _ { \mu } ] \vert \phi _ { 0 } \rangle . } \end{array}