harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\exp \left[ - \frac { x ^ { 2 } } { w _ { e } ^ { 2 } } \right] _ { m ^ { \prime } , m } ^ { ( \pm ) } ( z ) = U _ { G } ^ { ( \pm ) } ( z ) ^ { \dag } \left( 1 - \chi \right) ^ { - ( \frac { m ^ { \prime } + m + 1 } { 2 } ) } \left( \frac { \chi } { 2 } \right) ^ { \frac { m ^ { \prime } - m } { 2 } } \sqrt { m ^ { \prime } ! m ! } \sum _ { k = 0 } ^ { [ \frac { m } { 2 } ] } \frac { \left( \frac { \chi ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { k } } { \left( \frac { m ^ { \prime } - m } { 2 } + k \right) ! k ! \left( m - 2 k \right) ! } U _ { G } ^ { ( \pm ) } ( z ) ,
\begin{array} { r l } { F _ { \psi , h } ^ { ( 1 ) } = } & { { } \int _ { t = t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \mathcal { F } ( { \psi } _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n } ) \mathrm { d } t } \\ { F _ { \psi , h } ^ { ( 2 ) } = } & { { } F _ { \psi , h } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 1 1 } \mathcal { F } ( { \psi } _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { k } _ { u } ^ { ( 1 ) } ) } \\ { F _ { \psi , h } ^ { ( 3 ) } = } & { { } F _ { \psi , h } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 2 1 } \mathcal { F } ( { \psi } _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { k } _ { u } ^ { ( 1 ) } ) + \alpha _ { 2 2 } \mathcal { F } ( { \psi } _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { k } _ { u } ^ { ( 2 ) } ) } \\ { F _ { \psi , h } ^ { ( 4 ) } = } & { { } F _ { \psi , h } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 3 1 } \mathcal { F } ( { \psi } _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { k } _ { u } ^ { ( 1 ) } ) + \alpha _ { 3 2 } \mathcal { F } ( { \psi } _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { k } _ { u } ^ { ( 2 ) } ) } \end{array}
- \frac { 1 } { 4 } \sqrt { - G } \, F _ { M N } { } ^ { k } F ^ { M N } { } _ { k } = - \frac { 1 } { 4 } \sqrt { - g } \, \Phi ^ { \frac { 1 } { D - 2 } } [ B _ { \mu \nu } { } ^ { k } B ^ { \mu \nu } { } _ { k } + \frac { 2 } { \Phi } g ^ { \mu \nu } D _ { \mu } A ^ { k } \cdot D _ { \nu } A _ { k } ] ,
\begin{array} { r l } { \tilde { R } \ } & { { } = \ \frac 1 2 \tilde { g } ^ { i j } \mathring { g } _ { i j } \mathring { R } - \frac 1 4 \tilde { g } ^ { i j } \tilde { g } ^ { k l } \tilde { g } ^ { m n } ( \Upsilon _ { i j m } \Upsilon _ { k l n } - \Upsilon _ { i k m } \Upsilon _ { j l n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \ell ( W , \hat { W } ) ] } & { \geq \rho \mathbb { P } ( \ell ( W , \hat { W } ) \geq \rho ) } \\ & { \geq \rho \exp \left( - \frac 1 \beta I _ { \alpha } ( W , X ^ { n } ) \right) \left( \operatorname* { m i n } _ { \hat { w } } \mathcal { P } _ { W } ( \{ \ell ( W , \hat { w } ) \geq \rho \} ) \right) ^ { \frac 1 \beta } } \\ & { = \rho \exp \left( - \frac 1 \beta I _ { \alpha } ( W , X ^ { n } ) \right) \left( 1 - \operatorname* { m a x } _ { \hat { w } } \mathcal { P } _ { W } ( \ell ( W , \hat { w } ) \leq \rho ) \right) ^ { \frac 1 \beta } } \\ & { = \rho \exp \left( - \frac 1 \beta I _ { \alpha } ( W , X ^ { n } ) \right) \left( 1 - L _ { W } ( \rho ) ) \right) ^ { \frac 1 \beta } } \\ & { \geq \rho \exp \left( - \frac 1 \beta I _ { \alpha } ( W , X ^ { n } ) \right) \left( \left( 1 - \rho \sqrt \frac { 2 } { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } \right) ^ { + } \right) ^ { \frac 1 \beta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n + 1 } } & { = \ensuremath { \boldsymbol { P } } ^ { n } + \beta \, \ensuremath { \boldsymbol { A } } ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } ^ { n } + \alpha \ensuremath { \boldsymbol { P } } ^ { n } ) } \\ { \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n + 1 } } & { = \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n } + \alpha \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n } + \gamma \left( \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n } + \beta \, \ensuremath { \boldsymbol { A } } ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n } + \alpha \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { a _ { 1 } = 1 . 1 0 \pm 0 . 0 7 \pm 0 . 1 7 } } & { { \ \mathrm { a n d } \ \ a _ { 2 } = 0 . 2 1 \pm 0 . 0 1 \pm 0 . 0 4 \ . } } \end{array}
\left( { \begin{array} { c } { \tau _ { u } \, \partial _ { t } u } \\ { \tau _ { v } \, \partial _ { t } v } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array} { c c } { d _ { u } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { d _ { v } ^ { 2 } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { \Delta u } \\ { \Delta v } \end{array} } \right) + \left( { \begin{array} { c } { \lambda u - u ^ { 3 } - \kappa _ { 3 } v + \kappa _ { 1 } } \\ { u - v } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r l } { | \tilde { T } _ { r } ^ { s } ( x ) - \tilde { T } _ { r , 2 } ^ { s , h } ( x ) | = } & { \, \bigg | \sum _ { y _ { \alpha } \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r } } \int _ { Q _ { \alpha } } \left( \frac { J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) } { | y | ^ { d + s p } } - \frac { J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) ) } { | y _ { \alpha } | ^ { d + s p } } \right) \, \mathrm { d } y } \\ { = } & { \, \bigg | \underbrace { \sum _ { y _ { \alpha } \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r } } \int _ { Q _ { \alpha } } \left( \frac { J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) - J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) ) } { | y | ^ { d + s p } } \right) \, \mathrm { d } y } _ { I _ { 1 } } } \\ & { + \underbrace { \sum _ { y _ { \alpha } \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r } } \int _ { Q _ { \alpha } } J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) ) \left( \frac { 1 } { | y | ^ { d + s p } } - \frac { 1 } { | y _ { \alpha } | ^ { d + s p } } \right) \, \mathrm { d } y } _ { I _ { 2 } } \bigg | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { ( 2 k ) } ^ { ( 2 k ) } \cdot c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { ( 2 k ) } + } & { \sum _ { v : \ | v | = 2 k , \ l ( v ) > 1 , \ \mu \ \mathrm { i s \ e v e n } } b _ { v } ^ { ( 2 k ) } \cdot c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { v } } \\ { = } & { M ^ { - 1 } P _ { 2 k } \left[ \exp ( F _ { M , N ; \theta } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) \right] \Bigr | _ { z _ { 1 } = . . . z _ { M } = 0 } - L ( c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { ( i ) } , 1 \le i \le 2 k - 1 ) } \\ & { \quad \quad \quad - R _ { 1 } ( c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { v } , | v | < 2 k ) - M ^ { - 1 } R _ { 2 } ( c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { v } , | v | \le 2 k ) . } \end{array}
B ( x , y , z ) = \sum _ { r > 0 } { \frac { 1 } { r } } \left( { \frac { y } { x } } \right) ^ { r } d + d \sum _ { r , r ^ { \prime } > 0 } B _ { r r ^ { \prime } } \left( { \frac { z } { x } } \right) ^ { r } \left( { \frac { y } { z } } \right) ^ { r ^ { \prime } } \, .
\begin{array} { r l } { \log \left( \vartheta _ { 1 } \left( \frac { z } { c \tau + d } , \frac { a \tau + b } { c \tau + d } \right) \right) } & { = \log \left( \vartheta _ { 1 } \left( z , \tau \right) \right) + \log ( \epsilon _ { 1 } ( A ) ) + \frac { \pi i c z ^ { 2 } } { c \tau + d } + \frac { 1 } { 2 } \log \left( - i ( c \tau + d ) \right) } \\ & { = \log \left( \vartheta _ { 1 } \left( z , \tau \right) \right) - \frac { \pi i } { 2 } + 3 \pi i \left( \frac { a + d } { 1 2 c } + s ( - d , c ) \right) + \frac { \pi i c z ^ { 2 } } { c \tau + d } } \\ { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } \log ( - i ( c \tau + d ) ) . } \end{array}
c : = \sqrt [ 3 ] { \frac { \frac { 4 \pi } { 3 } } { \frac { 4 \pi } { 3 } - | \Omega _ { i } \cap B _ { r } ( x _ { 0 } ) | } } \leq 1 + | \Omega _ { i } \cap B _ { r } ( x _ { 0 } ) | ,
\begin{array} { r l } { \frac { \tilde { \epsilon } _ { A 2 } ^ { 2 } - \tilde { \epsilon } _ { A 1 } ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \Gamma _ { + } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \Delta _ { + } } { \omega _ { 0 } } \right) } \delta \hat { \phi } _ { z } } & { = - \alpha _ { \phi } \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + \beta _ { \phi } \delta \hat { \psi } _ { z } , } \\ { \frac { \tilde { \epsilon } _ { A 2 } ^ { 2 } - \tilde { \epsilon } _ { A 1 } ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \Gamma _ { + } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \Delta _ { + } } { \omega _ { 0 } } \right) } \delta \hat { \psi } _ { z } } & { = - \alpha _ { \psi } \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + \beta _ { \psi } \delta \hat { \psi } _ { z } , } \end{array}
\psi = \sqrt { 2 } ( \phi _ { 0 r } + \phi _ { 1 r } e _ { 1 } + \phi _ { 1 i } e _ { 2 } e _ { 3 } + \phi _ { 0 i } e _ { 1 } e _ { 2 } e _ { 3 } ) P _ { + 3 } ,
n \cdot \nabla \omega = \tau \cdot \Delta u = \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \tau \cdot u _ { t } + \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \tau \cdot ( u \cdot \nabla ) u + \tau \cdot \nabla p - \mathrm { { R a } } T n _ { 1 } \, ,
x = \operatorname { a r g m i n } ( \| y - S F x \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \gamma \| \Delta _ { v } x \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \gamma \| \Delta _ { h } x \| _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda \| \Psi x \| _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { N _ { s } } ( \varepsilon , \gamma ) } & { { } : = \int { \left( \prod _ { n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \delta \big ( G _ { N _ { s } } \big ) } } \end{array}
\chi _ { \mathrm { ~ F ~ H ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ B ~ C ~ ) ~ } } = [ ( \bar { \epsilon } _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ } } + \bar { \epsilon } _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ } } ) / 2 - \bar { \epsilon } _ { \mathrm { ~ B ~ C ~ } } ] / k _ { B } T = 0 . 0 0 6
\begin{array} { r l } { T ^ { ( 0 ) } } & { { } = \sum _ { \mu n } t _ { \mu n } \tau _ { \mu n } } \\ { T ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) } & { { } = \sum _ { \mu n } X _ { \mu n } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) \tau _ { \mu n } } \\ { T ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } & { { } = \sum _ { \mu n } X _ { \mu n } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \tau _ { \mu n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { i j } \in { \bf W } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { = \left[ \begin{array} { c c } { \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } & { \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } \\ { \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } & { \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } \end{array} \right] } \end{array}
\frac { \Delta m _ { B _ { s } } } { \Delta m _ { B _ { d } } } = \frac { m _ { B _ { s } } } { m _ { B _ { d } } } \frac { \hat { B } _ { B _ { s } } f _ { B _ { s } } ^ { 2 } } { \hat { B } _ { B _ { d } } f _ { B _ { d } } ^ { 2 } } \frac { | V _ { t b } ^ { \ast } \cdot V _ { t s } | ^ { 2 } } { | V _ { t b } ^ { \ast } \cdot V _ { t d } | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { V _ { c o r e } ( \textbf { K } ) } & { { } = } & { - b \cdot 4 \pi \frac { Z _ { e f f } } { \Omega } \frac { \textrm { e } ^ { - ( K \xi ) ^ { 2 } / 2 } } { K ^ { 2 } } , } \\ { V _ { l o c } ( \textbf { K } ) } & { { } = } & { b \cdot \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \xi ^ { 3 } } { \Omega } \textrm { e } ^ { - ( K \xi ) ^ { 2 } / 2 } \{ C _ { 1 } + C _ { 2 } \cdot [ 3 - ( K \xi ) ^ { 2 } ] \} , } \end{array}
\rho ( \eta ) = \frac { n _ { 0 } } { \eta _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 - \delta } \eta ^ { \delta } } G \left( \frac { \eta } { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \right) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \eta _ { \mathrm { m i n } } < \eta < \eta _ { \mathrm { m a x } } ,
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { \parallel } ^ { \mathrm { S R } } ( r ) } & { = } & { 4 2 . 1 3 + 1 5 . 4 0 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) + 5 . 4 0 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) ^ { 2 } - 5 . 2 5 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) ^ { 3 } , } \\ { \alpha _ { \bot } ^ { \mathrm { S R } } ( r ) } & { = } & { 2 5 . 2 9 + 2 . 8 7 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) - 0 . 0 9 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) ^ { 2 } - 0 . 4 2 ( r - r _ { \mathrm { e } } ) ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \psi _ { D S } ^ { ( 1 ) } | = | \psi _ { D S } ^ { ( 2 ) } | = a \sqrt { \frac { \alpha ^ { 2 } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \alpha x ) + \beta ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } } . } \end{array}
\left\vert \partial _ { x } y _ { n } ( x ) \right\vert ^ { 2 } = \left\vert \int _ { 0 } ^ { T } \partial _ { x } z _ { n } ( x , t ) d t \right\vert ^ { 2 } \leq \left( \int _ { 0 } ^ { T } | \partial _ { x } z _ { n } ( x , t ) | d t \right) ^ { 2 } \leq T \cdot \left( \int _ { 0 } ^ { T } | \partial _ { x } z _ { n } ( x , t ) | ^ { 2 } d t \right)
\left[ \frac { \partial \operatorname { L o g } _ { S \! O ( 3 ) } } { \partial \mathbf A } ( \mathbf A ) \right] _ { i j k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \omega \cos \omega - \sin \omega } { 4 \sin ^ { 3 } \omega } \varepsilon _ { i m n } ( A _ { n m } - A _ { m n } ) \delta _ { j k } + \frac { \omega } { 2 \sin \omega } \varepsilon _ { i j k } \, , } & { \omega > \omega _ { \mathrm { c r i t } } \, , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { i j k } \, , } & { \omega \leq \omega _ { \mathrm { c r i t } } \, . } \end{array} \right.
C ^ { R } = - \frac { 3 } { 2 } \frac { F _ { V } ^ { 2 } M _ { V } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( \ln \frac { M _ { V } ^ { 2 } } { M _ { A } ^ { 2 } } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { u ^ { s } ( x ) } & { = - \int _ { \Gamma ( A ) } \left\{ \frac { G ( x , y ) } { \partial \nu ( y ) } - \mathrm { i } k _ { - } \beta ( y ) G ( x , y ) \right\} u ^ { s } ( y ) d s ( y ) + \int _ { \Gamma ( A ) } G ( x , y ) g ( y ) d s ( y ) } \\ & { + \int _ { \Gamma _ { 0 } ( A ) } \left\{ G ( x , y ) \frac { \partial u ^ { s } ( y ) } { \partial y _ { 2 } } - u ^ { s } ( y ) \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial y _ { 2 } } \right\} d s ( y ) } \\ & { + \left[ \int _ { \gamma ( - A ) } - \int _ { \gamma ( A ) } \right] \left\{ u ^ { s } ( y ) \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial y _ { 1 } } - G ( x , y ) \frac { u ^ { s } ( y ) } { \partial y _ { 1 } } \right\} d s ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } \right\| _ { \mathbb { H } _ { \mathcal { Y } } } ^ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } \rho ^ { - 2 } | \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } | ^ { 2 } \, d x } d y + \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } | \nabla \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } | ^ { 2 } \, d x } d y + s \left\| \mathrm { t r _ { 0 } } \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { \lesssim } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } | \nabla \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } | ^ { 2 } \, d x } d y + ( s + ( 3 - d ) ) \left\| \mathrm { t r _ { 0 } } \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda = } & { { } \vec { \xi } \otimes \vec { 1 } ^ { \top } , } \\ { \xi _ { \lambda } = } & { { } k _ { 0 } L _ { z } \frac { u _ { \lambda } ( z _ { 0 } ) ^ { 2 } } { q _ { \lambda } } , } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle \alpha _ { 0 } } & { \displaystyle = - \displaystyle \frac { 2 } { 6 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { L } { 2 } } { \int _ { 0 } ^ { \frac { L } { 2 } } { m _ { 1 } ( s ^ { \prime } ) m _ { 1 } ( s ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } \end{array}
e ^ { \lambda T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) } ( \mathcal { J } _ { 0 } ( s _ { 0 } , c ) - \mathcal { J } _ { 0 } ( s _ { 0 } , \alpha ) ) \geqslant - \lambda ^ { - 1 } L ( c ) e ^ { - \lambda \left( T _ { 1 } ( \alpha ) - T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) \right) } + \int _ { T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) } ^ { T _ { 1 } ( \alpha ) } e ^ { - \lambda \left( t - T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) \right) } \Bigl ( \widetilde { \Theta } ( s _ { \alpha } ( t ) ) - { \Theta } ( s _ { \alpha } ( t ) ) \Bigr ) \, d t .
\mathcal { G } = \frac { \Gamma \left( \mathcal { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } - \mathcal { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } ^ { * } \right) } { \Gamma \left( \mathcal { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } - D / 2 - 1 \right) \Gamma \left( \mathcal { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } \right) } \, .
\vec { \nabla } \cdot \vec { J } + \partial _ { t } \rho = 0 \Rightarrow \sum _ { n } \left[ \bar { \rho } \rho ^ { n } ( \vec { x } ) \partial _ { t } f ^ { n } ( t ) + \bar { J } \vec { \nabla } \cdot \vec { J } ^ { n } g ^ { n } ( t ) \right] = 0 .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { \left( 2 \pi i \right) ^ { n } } \int _ { C _ { 1 } } \dots \int _ { C _ { n } } \frac { \prod _ { r = 1 } ^ { n } H _ { r } \left( z _ { r } \right) - \prod _ { r = 1 } ^ { n } \left( H _ { r } \left( z _ { r } \right) - H _ { r } \left( x _ { r } \right) \right) } { \prod _ { r = 1 } ^ { n } \left( z _ { r } - x _ { r } \right) H _ { r } \left( z _ { r } \right) } f \left( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } \right) d z _ { 1 } \dots d z _ { n } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \left( 2 \pi i \right) ^ { n } } \int _ { C _ { 1 } } \dots \int _ { C _ { n } } \frac { 1 } { \prod _ { r = 1 } ^ { n } \left( z _ { r } - x _ { r } \right) } f \left( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } \right) d z _ { 1 } \dots d z _ { n } - \sum _ { \mathbf { a \in A } } \sum _ { \mathbf { k \in } \left[ \mathbf { 0 , } \nu \left( \mathbf { a } \right) - \mathbf { 1 } \right] } H _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } f . } \end{array}
E q . 3 6 { \cal { D } } _ { i } ( v _ { i } ) = \frac { 4 \pi \alpha _ { s } / 3 v _ { i } } { 1 - e x p ( - 4 \pi \alpha _ { s } / 3 v _ { i } ) } - \frac { 1 } { 3 } ( \frac { \pi } { 2 } - \frac { 3 } { 4 \pi } ) ( 3 + v _ { i } ) \alpha _ { s }
\Delta _ { \omega } ( v _ { i } , v _ { j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { \omega _ { v _ { i } , v _ { i } } } { d _ { \omega } ( v _ { i } ) } , \quad \mathrm { i f } \, v _ { i } = v _ { j } \, \mathrm { a n d } \, d _ { \omega } ( v _ { i } ) \neq 0 , } \\ { - \frac { \omega ( v _ { i } , v _ { j } ) } { d _ { \omega } ( v _ { i } ) } , \quad \mathrm { i f } \, v _ { i } \sim v _ { j } , } \\ { 0 , \quad \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
V _ { 5 } ^ { \mathrm { \footnotesize { S Y M } } } = - \tau _ { D 5 } { \frac { v ^ { 2 } } { 2 } } \left[ { \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } + { \frac { r _ { p } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \right] \quad ,
\operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \psi _ { x x } ( x _ { m } ^ { ( 1 ) } , y _ { m } ^ { ( 1 ) } ) \neq \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \psi _ { x x } ( x _ { m } ^ { ( 2 ) } , y _ { m } ^ { ( 2 ) } ) \, .
\sigma \left( \langle N _ { P h } \rangle \right) = \sqrt { \langle \sigma _ { B N B } \rangle ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } + \left( \frac { k _ { 1 } } { \sqrt { \langle N _ { P h } \rangle } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| [ b , I _ { \gamma } ] f \chi _ { B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } & { \leq | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| [ b , I _ { \gamma } ] f _ { 1 } \chi _ { B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { ~ ~ ~ ~ + | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| [ b , I _ { \gamma } ] f _ { 2 } \chi _ { B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { = : J _ { 1 } + J _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int \| h \| ^ { r } | \pi _ { n } ( h ) - p _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( h ) | d h } \\ & { \qquad \leq \int _ { K _ { n } ^ { c } } \| h \| ^ { r } \pi _ { n } ( h ) d h + \int _ { K _ { n } ^ { c } } \| h \| ^ { r } p _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( h ) d h + \int _ { K _ { n } } \| h \| ^ { r } | \pi _ { n } ( h ) - p _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( h ) | d h . } \end{array}
R = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { q } } & { { - q } } & { { q ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { q } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - q } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
D _ { - } ^ { \alpha } \equiv \partial _ { z } + \frac { i } { 2 } ( A _ { z } ^ { 1 } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } A _ { z } ^ { 2 } + \cdots + \frac { 1 } { \sqrt { ( \alpha - 1 ) ( \alpha - 2 ) / 2 } } A _ { z } ^ { \alpha - 2 } + \frac { \alpha } { \sqrt { \alpha ( \alpha - 1 ) / 2 } } A _ { z } ^ { \alpha - 1 } )
W = - 4 ( \frac { \pi } { 2 } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \, ( 3 - l ) ! \, \prod _ { a = 1 } ^ { p - 1 } \left( \frac { n ^ { \frac { 1 } { l } } } { L _ { a } } \right) \omega _ { l } ^ { 3 } \frac 1 { r ^ { 8 - p } } + \cdot \cdot \cdot ,
\frac { \alpha } { 1 + \alpha W ^ { 2 } \overline { { { W } } } ^ { 2 } } = \alpha - \alpha ^ { 2 } W ^ { 2 } \overline { { { W } } } ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } W ^ { 4 } \overline { { { W } } } ^ { 4 }
\begin{array} { r l } { \rho \frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { v _ { 3 } } \end{array} \right) = } & { { } \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 1 } } \\ { \sigma _ { 2 2 } } \\ { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } & { 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 2 } } \\ { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 3 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } } \\ { f _ { 3 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { H } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { H } ^ { k } ) } & { = r _ { H } ( s _ { H } ^ { k } , a _ { H } ^ { k } ) + O C E _ { s _ { H + 1 } ^ { k } \sim P _ { H } ( \cdot \vert s _ { H } ^ { k } , a _ { H } ^ { k } ) } ( V _ { H + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { H + 1 } ^ { k } ) ) \overset { ( 1 ) } { = } 1 \{ s _ { H } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } \} } \\ & { \overset { ( 2 ) } { = } 1 \{ s _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { A } _ { \mu } = \partial _ { \mu } \chi + \beta \partial _ { \mu } \alpha , } & { \qquad \widetilde { F } _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } \widetilde { A } _ { \nu } - \partial _ { \nu } \widetilde { A } _ { \mu } } \\ { \widetilde { E } _ { i } : = \widetilde { F } _ { 0 i } , } & { \qquad \widetilde { F } _ { i j } : = \epsilon _ { i j } \widetilde { B } } \end{array}
\frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { M } { M - m _ { 0 } } \sum _ { n = \frac 1 2 , \frac 3 2 , \cdots } \frac { \Delta k } { k _ { n } } = 0 ,
\operatorname* { l i m } _ { c _ { 1 } \to \infty \mathrm { ~ o ~ r ~ } w _ { 1 } \to \infty } \frac { \phi ^ { \mathrm { H } } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \phi ^ { \mathrm { H } } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) } { \phi ^ { \mathrm { H } } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } ) \phi ^ { \mathrm { H } } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ) } = 0 .
\begin{array} { r l } { \tan ( \alpha + \beta ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \\ { \tan ( \alpha ) \sqrt { 3 } + \tan ( \beta ) \sqrt { 3 } } & { = 1 + \tan ( \alpha ) \tan ( \beta ) } \\ { \tan ( \alpha ) } & { = \frac { 1 - \tan ( \beta ) \sqrt { 3 } } { \sqrt { 3 } - \tan ( \beta ) } } \\ { \tan ( \alpha ) } & { = \frac { 2 \sqrt { 6 } - \sqrt { 3 } } { 6 \sqrt { 2 } - 1 } } \\ { \Rightarrow \alpha } & { = \arctan \left( \frac { 2 \sqrt { 6 } - \sqrt { 3 } } { 6 \sqrt { 2 } - 1 } \right) } \end{array}