harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { d _ { \mathrm { H e l l } } ( \mathbb { P } _ { \delta } , \mathbb { P } _ { \delta , N , h } ) \le C \frac { \operatorname* { m a x } ( 1 , \| \rho \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { k } ) } ) } { \operatorname* { m i n } ( 1 , Z ( \delta ) , Z _ { N , h } ( \delta ) ) ^ { 3 / 2 } } ( 2 ^ { - N t } + h ^ { ( 2 - \theta _ { \mathcal { O } } ) r } ) \le \frac { C } { c ( \lambda ) ^ { 3 / 2 } } ( 2 ^ { - N t } + h ^ { ( 2 - \theta _ { \mathcal { O } } ) r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { Y } _ { 3 } = \left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , - 1 , 0 \right) ^ { T } / \sqrt { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ] _ { q , \beta } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { R } } } } e ^ { j \left( \frac { 2 \pi l _ { \beta } ^ { x } } { L _ { \mathrm { R } } ^ { x } } r _ { q } ^ { x } + \frac { 2 \pi l _ { \beta } ^ { y } } { L _ { \mathrm { R } } ^ { y } } r _ { q } ^ { y } + \gamma _ { \mathrm { R } } ( l _ { \beta } ^ { x } , l _ { \beta } ^ { y } ) r _ { q } ^ { z } \right) } } \\ & { \times F _ { \mathrm { R } , q } \left( \hat { \theta } _ { \mathrm { R } } ( l _ { \beta } ^ { x } , l _ { \beta } ^ { y } ) , \hat { \phi } _ { \mathrm { R } } ( l _ { \beta } ^ { x } , l _ { \beta } ^ { y } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { a \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( a ) \overline { { \chi } } ( a ) } & { = \mathbb { E } _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } \in B } \mathbb { E } _ { a \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } \overline { { \chi } } ( a ) \varphi ( q ) \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \mathbf { 1 } _ { n \equiv a b _ { 1 } b _ { 2 } ^ { - 1 } \pmod { q } } } \\ & { = \mathbb { E } _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } \in B } \chi ( b _ { 1 } ) \overline { { \chi } } ( b _ { 2 } ) \mathbb { E } _ { a \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } \overline { { \chi } } ( a ) \chi ( a ) \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) } \\ & { = \left| \mathbb { E } _ { b \in B } \chi ( b ) \right| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { k } = \left[ \begin{array} { l } { x _ { k , 1 } } \\ { x _ { k , 2 } } \end{array} \right] , \quad \bar { A } _ { k } = \left[ \begin{array} { l l } { { \bar { A } } _ { k - 1 } } & { \star } \\ { { a } _ { 2 1 } } & { \star } \end{array} \right] , \quad B _ { k } = \left[ \begin{array} { l } { { B } _ { k - 1 } } \\ { { b } _ { 2 } } \end{array} \right] , \quad N _ { i , k } = \left[ \begin{array} { l l } { { N } _ { i , k - 1 } } & { \star } \\ { { n } _ { i , 2 1 } } & { { n } _ { i , 2 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
d s ^ { 2 } = R ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } ( d t ^ { 2 } - d z ^ { 2 } - d x ^ { i } d x ^ { i } ) \right] + \gamma _ { \mu \nu } ( z , x , t ) d x ^ { \mu } d x ^ { \nu }
\begin{array} { r } { R _ { i j } = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \gamma t \cos \alpha t - k _ { 3 } \sin \gamma t \sin \alpha t } & { - \cos \gamma t \sin \alpha t - k _ { 3 } \sin \gamma t \cos \alpha t } & { k _ { 2 } \sin \gamma t } \\ { } & { } & { } \\ { k _ { 3 } \sin \gamma t \cos \alpha t + ( k _ { 2 } ^ { 2 } + k _ { 3 } ^ { 2 } \cos \gamma t ) \sin \alpha t } & { - k _ { 3 } \sin \gamma t \sin \alpha t + ( k _ { 2 } ^ { 2 } + k _ { 3 } ^ { 2 } \cos \gamma t ) \cos \alpha t } & { k _ { 2 } k _ { 3 } ( 1 - \cos \gamma t ) } \\ { } & { } & { } \\ { - k _ { 2 } \sin \gamma t \cos \alpha t + k _ { 2 } k _ { 3 } ( 1 - \cos \gamma t ) \sin \alpha t } & { k _ { 2 } \sin \gamma t \sin \alpha t + k _ { 2 } k _ { 3 } ( 1 - \cos \gamma t ) \cos \alpha t } & { k _ { 3 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } \cos \gamma t } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } = \alpha _ { 1 } ^ { ( \sigma ) } \; \; \dots \; \; \alpha _ { h } = \alpha _ { h } ^ { ( \sigma ) } , } \\ { { \dot { q } } _ { \sigma _ { \ell + 1 } } = \alpha _ { h + 1 } ( { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { m } ) , \; \; \dots \; \; { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } = \alpha _ { k } ( { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { m } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( B + C ) } & { = ( a _ { i , j } ) _ { i , j } \cdot ( b _ { i , j } + c _ { i , j } ) _ { i , j } } \\ & { = \left( \sum _ { k } a _ { i , k } ( b _ { k , j } + c _ { k , j } ) \right) _ { i , j } } \\ & { \subseteq \left( \sum _ { k } a _ { i , k } b _ { k , j } + a _ { i , k } c _ { k , j } \right) _ { i , j } } \\ & { = \left( \sum _ { k } a _ { i , k } b _ { k , j } \right) _ { i , j } + \left( \sum _ { k } a _ { i , k } c _ { k , j } \right) _ { i , j } = A B + B C . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { b } ^ { 0 , 0 } ( S ^ { 3 } ) } & { = \bigoplus _ { j \in \frac { 1 } { 2 } \mathbb { Z } _ { \geq 0 } } \mathcal { H } _ { j , 0 } = \mathbb { C } [ w _ { 1 } , w _ { 2 } ] , } \\ { H _ { b } ^ { 0 , 1 } ( S ^ { 3 } ) } & { = \bigoplus _ { \bar { j } \in \frac { 1 } { 2 } \mathbb { Z } _ { \geq 0 } } \mathcal { H } _ { 0 , \bar { j } } \epsilon = \mathbb { C } [ \bar { w } _ { 1 } , \bar { w } _ { 2 } ] \epsilon . } \end{array}
\rho ^ { ( 2 ) } ( \theta _ { 1 2 } , P , \Theta ) = { \frac { a } { \theta _ { 1 2 } } } \left( { \frac { \theta _ { 1 2 } } { \kappa } } \right) ^ { 2 a } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - u ^ { 2 } } I _ { 0 } ( \sigma u ) u d u ,
\begin{array} { r c l c r c l } { { \psi _ { - } } } & { { \rightarrow } } & { { e ^ { - i \theta } g ^ { - 1 } \psi _ { - } } } & { { \quad \quad } } & { { \psi _ { + } } } & { { \rightarrow } } & { { \psi _ { + } \nonumber } } \\ { { \psi _ { - } ^ { \dagger } } } & { { \rightarrow } } & { { \psi _ { - } ^ { \dagger } g e ^ { i \theta } } } & { { \quad \quad } } & { { \psi _ { + } ^ { \dagger } } } & { { \rightarrow } } & { { \psi _ { + } ^ { \dagger } } } \end{array} \quad ,
\| G \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { c o h } ; K , \bar { \lambda } , r } ^ { \alpha \wedge 0 , \gamma } } \lesssim \mathrm { c s t } \, \big ( \| F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { \mathrm { h o m } ; K , \bar { \lambda } ^ { \prime } , r } ^ { \gamma } } + \| F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { \mathrm { c o h } ; K , \bar { \lambda } ^ { \prime } , r } ^ { \alpha , \gamma } } \big )
\begin{array} { r l } { p _ { a } ( t ) = } & { p _ { a 0 } \cos ( | \lambda _ { 0 } | t ) - \frac { \left( | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } x _ { a 0 } + p _ { c 0 } \right) \sin ( | \lambda _ { 0 } | t ) } { | \lambda _ { 0 } | } } \\ { p _ { b } ( t ) = } & { p _ { b 0 } } \\ { p _ { c } ( t ) = } & { p _ { c 0 } } \\ { x _ { a } ( t ) = } & { \frac { \left( | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } x _ { a 0 } + p _ { c 0 } \right) \cos ( | \lambda _ { 0 } | t ) + | \lambda _ { 0 } | p _ { a 0 } \sin ( | \lambda _ { 0 } | t ) - p _ { c 0 } } { | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } } } \\ { x _ { b } ( t ) = } & { p _ { b 0 } t + x _ { b 0 } } \\ { x _ { c } ( t ) = } & { \frac { | \lambda _ { 0 } | \left( | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } x _ { c 0 } - p _ { a 0 } \cos ( | \lambda _ { 0 } | t ) + p _ { a 0 } - p _ { c 0 } t \right) + \left( | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } x _ { a 0 } + p _ { c 0 } \right) \sin ( | \lambda _ { 0 } | t ) } { | \lambda _ { 0 } | ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \psi _ { T } \right] } & { \leq \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \omega } { 2 0 4 8 \delta } \right) ^ { T } \mathbb { E } \left[ \psi _ { 0 } \right] + 1 0 \alpha ^ { 2 } \delta \sigma ^ { 2 } \left( \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \omega } { 2 0 4 8 \delta } \right) ^ { t } \right) } \\ & { \leq \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \omega } { 2 0 4 8 \delta } \right) ^ { T } \mathbb { E } \left[ \psi _ { 0 } \right] + \frac { \sigma ^ { 2 } } { \omega } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { A ( t ) = A _ { 0 } + \varepsilon A _ { 1 } ( t ) + \dots + \varepsilon ^ { n } A _ { n } ( t ) + \dots , } \\ { P ( t ) = P _ { 0 } + \varepsilon P _ { 1 } ( t ) + \dots + \varepsilon ^ { n } P _ { n } ( t ) + \dots , } \\ { F = F _ { 0 } + \varepsilon F _ { 1 } + \dots + \varepsilon ^ { n } F _ { n } + \dots . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal L } ( \tau ) = \sum _ { i j } \displaystyle { \frac { 1 } { 1 + \delta _ { i j } } } \int _ { \tau } ^ { 1 } \, \displaystyle { \frac { d x _ { 1 } } { x _ { 1 } } } \, f _ { w _ { i } } ( x _ { 1 } ) f _ { w _ { j } } \left( \displaystyle { \frac { \tau } { x _ { 1 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { N _ { 1 } = \frac { N _ { 1 } r } { r } } & { \leq \frac { N } { r } } \\ & { \leq \frac { \widetilde { N } } { r } } \\ & { < \frac { N + l _ { 1 } l _ { 2 } } { r } = \frac { N _ { 1 } r + l _ { 1 } N _ { 2 } + l _ { 1 } l _ { 2 } } { r } \leq \frac { N _ { 1 } r + l _ { 1 } r } { r } = N _ { 1 } + l _ { 1 } , } \end{array}
M _ { i j } ( t ) = \left\{ \begin{array} { c c } { x _ { j } ( t ) - x _ { i } ( t ) } & { A _ { i j } \geq 0 } \\ { \mathrm { s i g n } ( x _ { j } ( t ) - x _ { i } ( t ) ) | c - | x _ { j } ( t ) - x _ { i } ( t ) | | } & { A _ { i j } = - 1 , | x _ { j } ( t ) - x _ { i } ( t ) | > 0 } \\ { \mathrm { s i g n } ( j - i ) c } & { A _ { i j } = - 1 , x _ { j } ( t ) = x _ { i } ( t ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } | \geq C N _ { \varepsilon } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \varepsilon ^ { 3 } - { \frac { 4 \pi } { 3 } } N _ { \varepsilon } \varepsilon ^ { 3 } > \frac { C } { 2 } N _ { \varepsilon } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \varepsilon ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \{ F _ { -- } \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} d \xi = n _ { - } - e ^ { \gamma \psi } } \\ { b } & { = \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \xi \{ F _ { -- } \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} d \xi = \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \xi F _ { - } d \xi } \\ { c } & { = \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \frac { ( \gamma | \xi | ^ { 2 } - 3 ) } { \sqrt { 6 } } \{ F _ { -- } \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} d \xi = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \left( \gamma \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } | \xi | ^ { 2 } F _ { - } d \xi - 3 n _ { - } \right) . } \end{array}
\phi _ { 1 } ^ { r } = \left( \begin{array} { c } { { f _ { \pi _ { t } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( h _ { t } + i \pi _ { t } ^ { 0 } \right) } } \\ { { \pi _ { t } ^ { - } } } \end{array} \right)
f _ { i } \left( \mathbf { x } + \mathbf { e } _ { i } \delta _ { t } , t + \delta _ { t } \right) - f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = - \left( \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { S } \right) _ { i j } \left[ \mathbf { m } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { m } _ { j } ^ { ( \mathrm { e q } ) } ( \mathbf { x } , t ) \right] + \delta _ { t } F _ { i } ^ { ' }
\eta _ { \mathrm { A C C } } \equiv \frac { \sigma ^ { 3 } } { | \mu _ { 5 0 } | ^ { 3 } k _ { 0 } ^ { 3 } } \eta _ { \lambda } ^ { - 2 } \simeq \frac { 2 \sigma ^ { 3 } } { { \bar { \rho } } \lambda \mu _ { 5 0 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { c l } { V \left( \psi _ { 3 } , J _ { 3 } , \theta \right) = } & { \displaystyle \left( \sqrt { J _ { 3 } } \right) ^ { 3 } \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { g _ { 3 , 0 , n } \cos { \left( 3 \psi _ { 3 } + \left( l _ { 3 \nu _ { x } } - n \right) \theta + \xi _ { 3 , 0 , n } \right) } } } \end{array}
\tilde { \mathbf { h } } = \{ h _ { 1 } , h _ { 2 } , h _ { 3 } , . . , h _ { m } \} = \{ h _ { \operatorname* { m i n } } , h _ { \operatorname* { m i n } } + \Delta h , h _ { \operatorname* { m i n } } + 2 \Delta h , . . , h _ { \operatorname* { m a x } } \}
\begin{array} { r l } { R _ { l } ^ { \mathrm { P P } } ( r ) } & { { } = R _ { n l } ^ { \mathrm { A E } } ( r ) , } \\ { \int _ { 0 } ^ { r _ { l } } { \big | } R _ { l } ^ { \mathrm { P P } } ( r ) { \big | } ^ { 2 } r ^ { 2 } \, \mathrm { d } r } & { { } = \int _ { 0 } ^ { r _ { l } } { \big | } R _ { n l } ^ { \mathrm { A E } } ( r ) { \big | } ^ { 2 } r ^ { 2 } \, \mathrm { d } r , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A f ( \theta , \rho , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } \\ & { \quad = \int \kappa ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho ) A P ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho ) \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \bigl ( \log \rho ( \theta ^ { \prime } ) - \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ^ { \prime } ) \bigr ) \rho ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } } \\ & { \quad = \int \kappa ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho ) A P ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho ) A ^ { T } \bigl ( \nabla _ { \tilde { \theta } } \log \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) - \nabla _ { \tilde { \theta } } \log \tilde { \rho } ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) \bigr ) \rho ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } } \\ & { \quad = \int \kappa ( \tilde { \theta } , \tilde { \theta } ^ { \prime } , \tilde { \rho } ) P ( \tilde { \theta } , \tilde { \theta } ^ { \prime } , \tilde { \rho } ) \bigl ( \nabla _ { \tilde { \theta } } \log \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) - \nabla _ { \tilde { \theta } } \log \tilde { \rho } ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) \bigr ) \tilde { \rho } ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tilde { \theta } ^ { \prime } } \\ & { \quad = f ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { t \in \mathbb { R } } G ( x + t e _ { j } ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { t \in \mathbb { R } } l ( t ) + \lambda \| x - x _ { j } e _ { j } \| _ { 0 , w } } \\ & { = \operatorname* { m i n } \left\{ \left\| r - \frac { r _ { \hat { i } ( j ) } } { A _ { \hat { i } ( j ) , j } } a _ { j } \right\| _ { 1 } + \lambda w _ { j } ^ { 2 } , \| r + x _ { j } a _ { j } \| _ { 1 } \right\} + \lambda \| x - x _ { j } e _ { j } \| _ { 0 , w } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A x } = \lambda \mathbf { x } ^ { * } } & { \Leftrightarrow \forall i , \, \lambda x _ { i } ^ { * } = \sum _ { j } a _ { i j } x _ { j } } \\ & { \Leftrightarrow \forall i , \, ( \lambda x _ { i } ^ { * } - a _ { i i } x _ { i } ) = \sum _ { j \neq i } a _ { i j } x _ { j } } \\ & { \Rightarrow \forall i , \, \left| \lambda \mathrm { e } ^ { - \mathrm { j } \phi _ { i } } - a _ { i i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { j } \phi _ { i } } \right| | x _ { i } | = \left| \sum _ { j \neq i } a _ { i j } x _ { j } \right| } \\ & { \Rightarrow \forall i , \, \big | \lambda - | a _ { i i } | \big | \leq \sum _ { j \neq i } | a _ { i j } | \frac { | x _ { j } | } { | x _ { i } | } } \\ & { \Rightarrow \exists i , \, \big | \lambda - | a _ { i i } | \big | \leq \sum _ { j \neq i } | a _ { i j } | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { m } } & { : = ( - h _ { 1 } , m _ { 2 } ) ; } \\ { V ( k _ { 2 } , h , \tilde { m } ) } & { : = \frac { \langle k _ { 2 } \rangle ^ { s } } { | k _ { 2 } | ^ { 2 \alpha - 1 } | h | | \tilde { m } | } ; } \\ { f _ { 1 } ( k ) } & { : = \langle k \rangle ^ { s } | ( \widehat { \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } } ) ( k ) | ; } \\ { f _ { 2 } ( k ) } & { : = \langle k \rangle ^ { s } | \widehat { \gamma _ { 1 } } ( k ) | ; } \\ { f _ { 3 } ( k ) } & { : = \langle k \rangle ^ { s } | \widehat { \gamma _ { 2 } } ( k ) | . } \end{array}
w ^ { t } \left( \boldsymbol { \sigma } \rightarrow \boldsymbol { \sigma ^ { \prime } } \right) : = \operatorname* { l i m } _ { d t \rightarrow 0 } \frac { P ( \boldsymbol { \sigma ^ { \prime } } ; t + d t | \boldsymbol { \sigma } ; t ) } { d t } .
\begin{array} { r l } { \left\langle \xi _ { \mathcal { A } _ { A , B } ^ { k } } , \xi _ { \mathcal { A } _ { A , B } ^ { l } } \right\rangle } & { { } = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L } \delta _ { k l } \, , } \\ { \left\langle \xi _ { \theta _ { A , B } ^ { k } } , \xi _ { \theta _ { A , B } ^ { l } } \right\rangle } & { { } = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A , B } ^ { 2 } } \delta _ { k l } \, , } \\ { \left\langle \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } , \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { l } } \right\rangle } & { { } = \left\langle \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } , \xi _ { \theta _ { B } ^ { l } } \right\rangle = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal F } _ { E S } = } & { - \! \int _ { V } \! d V \! \left[ \frac { \epsilon _ { w } \epsilon _ { 0 } } { 2 } \! \left( \frac { d \psi ( r ) } { d r } \right) ^ { \! 2 } \! + 2 n _ { I } \left( \cosh { \beta e _ { 0 } \psi ( r ) } - \! 1 \right) \right] } \\ & { + \oint _ { A _ { 1 } } d A _ { 1 } ~ \psi \left( R _ { 1 } \right) \sigma _ { 1 } + \oint _ { A _ { 2 } } d A _ { 2 } ~ \psi \left( R _ { 2 } \right) \sigma _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { * } ( x ^ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { + 2 \mathbb { E } \left[ \langle y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) , y ^ { * } ( x ^ { k } ) - y ^ { * } ( x ^ { k + 1 } ) \rangle \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { a } ^ { b } e _ { 2 } ^ { 1 } \phi _ { 2 } + \epsilon _ { 1 } ( \mathbf { d } _ { 0 } e _ { 2 } ^ { 1 } ) \, d z } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } e _ { 2 } ^ { 1 } \phi _ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 1 } ( \mathbf { d } _ { 0 } ^ { \ast } \epsilon _ { 1 } ) \, d z - \big [ e _ { 2 } ^ { 1 } \epsilon _ { 1 } \big ] _ { a } ^ { b } + e _ { 2 } ^ { 1 } ( 0 ) \left[ \epsilon _ { 1 } ( 0 ^ { + } ) - \epsilon _ { 1 } ( 0 ^ { - } ) \right] } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } e _ { 2 } ^ { 1 } \phi _ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 1 } ( \mathbf { d } _ { 0 } ^ { \ast } \epsilon _ { 1 } ) \, d z , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c c c l } { u _ { r } ( r , \theta , t ) } & { = } & { \frac { \partial \phi } { \partial r } } & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } - ( n + 1 ) \frac { \phi _ { n } ( t ) } { r ^ { n + 2 } } P _ { n } ( \cos \theta ) } \\ { u _ { \theta } ( r , \theta , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \partial \theta } } & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \frac { \phi _ { n } ( t ) } { r ^ { n + 2 } } \frac { \partial P _ { n } ( \cos \theta ) } { \partial \theta } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } \langle \nabla _ { y } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) , \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \rangle = - \eta _ { t } \lambda \langle \nabla _ { y } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) , v _ { t } \rangle } \\ & { = - \frac { \eta _ { t } \lambda } { 2 } \Big ( \| \nabla _ { y } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } + \| v _ { t } \| ^ { 2 } - \| \nabla _ { y } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) - \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) + \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \leq - \frac { \eta _ { t } \lambda } { 2 } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } } { 2 \lambda } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda L _ { g } ^ { 2 } \| x _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - \eta _ { t } \lambda \mu \big ( g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) - G ( x _ { t + 1 } ) \big ) - \frac { \eta _ { t } } { 2 \lambda } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda L _ { g } ^ { 2 } \| x _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } , } \end{array}
- \frac { d \alpha _ { i } ^ { - 1 } } { d \ln Q } = \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ T _ { i } ( G ) \frac { d \ln \alpha _ { i } } { d \ln Q } - 3 T _ { i } ( G ) + \sum _ { \psi } T ( R _ { \psi } ^ { i } ) ( 1 - 2 \gamma _ { \psi } ) \right]
\mathbf { X } ^ { t r } = \mathbf { U } \boldsymbol { \Sigma } \mathbf { V } ^ { T } = \boldsymbol { \Psi } \boldsymbol { \Sigma } \mathbf { V } ^ { T } \approx \boldsymbol { \Psi } _ { r } \boldsymbol { \Sigma } _ { r } \mathbf { V } _ { r } ^ { T }
\begin{array} { r l } { \left[ \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega _ { f } ^ { \prime } , t \right) , \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \hat { \mathbf { f } } ^ { \dagger } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega _ { f } ^ { \prime } , t \right) , \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) \right] } & { { } = - \delta \left( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \delta \left( \omega _ { f } - \omega _ { f } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } t } = } & { { } \hat { A _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \cdot } \end{array}
\psi _ { 2 } = \frac { e ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \ln ( q ^ { 2 } / p _ { 1 } ^ { 2 } ) \ln ( q ^ { 2 } / p _ { 2 } ^ { 2 } ) + \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } C _ { W Z } \ln ^ { 2 } ( s / M ^ { 2 } ) ~
{ \sqrt { S } } \approx N + { \frac { d } { 2 N } } - { \frac { d ^ { 2 } } { 8 N ^ { 3 } + 4 N d } } = { \frac { 8 N ^ { 4 } + 8 N ^ { 2 } d + d ^ { 2 } } { 8 N ^ { 3 } + 4 N d } } = { \frac { N ^ { 4 } + 6 N ^ { 2 } S + S ^ { 2 } } { 4 N ^ { 3 } + 4 N S } } = { \frac { N ^ { 2 } ( N ^ { 2 } + 6 S ) + S ^ { 2 } } { 4 N ( N ^ { 2 } + S ) } } .
P [ \mathrm { W } ] = F _ { \mathrm { a p p l i c a t i o n } } \times V _ { \mathrm { a p p l i c a t i o n } } = F _ { \mathrm { m o d e l } } [ \mathrm { N } ] \times 1 7 . 2 \ \mathrm { m / s }
{ \frac { 1 } { 6 4 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 1 6 } ( 1 - x ) ^ { 1 6 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x = \pi - { \frac { 7 4 1 \, 2 6 9 \, 8 3 8 \, 1 0 9 } { 2 3 5 \, 9 5 3 \, 5 1 7 \, 8 0 0 } }
\nabla _ { \mu } e _ { \nu } ^ { \! ~ ~ A a } \equiv \partial _ { \mu } e _ { \nu } ^ { \! ~ ~ A a } - \Gamma _ { \mu \nu } ^ { ~ ~ ~ \rho } e _ { \rho } ^ { \! ~ ~ A a } + \omega _ { \mu ~ ~ B } ^ { \! ~ ~ A } e _ { \nu } ^ { \! ~ ~ B a } + \omega _ { \mu \! ~ ~ b } ^ { \! ~ ~ a } e _ { \nu } ^ { \! ~ ~ A b } = 0 ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r \; \left[ u _ { k 0 } ^ { 2 } \left( r \right) - v _ { k 0 } ^ { 2 } \left( r \right) \right] = 2 \eta _ { 0 } ^ { \prime } \left( k \right) + 2 \pi \delta \left( k \right) \sin ^ { 2 } \eta _ { 0 } \left( k \right)
\arg \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \boldsymbol { a } } } Q ^ { G } ( \tilde { \boldsymbol { \tau } } , \tilde { \boldsymbol { a } } , \boldsymbol { s } ; \theta ) = \left( \begin{array} { c } { \arg \underset { \boldsymbol { a } _ { 1 } } { \operatorname* { m i n } } Q _ { 1 } ( \boldsymbol { \tau } _ { 1 } , \boldsymbol { a } _ { 1 } ; \theta _ { 1 } ) } \\ { \arg \underset { \boldsymbol { a } _ { 2 } } { \operatorname* { m i n } } Q _ { 2 } ( \boldsymbol { \tau } _ { 2 } , \boldsymbol { a } _ { 2 } ; \theta _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { \arg \underset { \boldsymbol { a } _ { M } } { \operatorname* { m i n } } Q _ { M } ( \boldsymbol { \tau } _ { M } , \boldsymbol { a } _ { M } ; \theta _ { M } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r c l } { { \vartheta ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { M } | z _ { 1 } , \cdots , z _ { j } \tau ^ { 2 n } , \cdots , z _ { N } ) } } & { { = } } & { { \vartheta ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { M } | z _ { 1 } , \cdots , z _ { N } ) \displaystyle \prod _ { \mu = 1 } ^ { M } \frac { - z _ { j } \tau ^ { n - 1 } } { x _ { \mu } } , } } \\ { { \vartheta ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { \mu } \tau ^ { 2 n } , \cdots , x _ { M } | z _ { 1 } , \cdots , z _ { N } ) } } & { { = } } & { { \vartheta ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { M } | z _ { 1 } , \cdots , z _ { N } ) \displaystyle \prod _ { j = 1 } ^ { N } \frac { - x _ { \mu } \tau ^ { n - 1 } } { z _ { j } } . } } \end{array}