harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \psi ( { \bf r } ) = \frac { - \mathrm { i } \psi _ { 0 } q _ { 0 } } { f + z } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( q _ { 0 } R ^ { 2 } / 2 ) / ( f + z ) } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { 0 } ( f + z ) } \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { m a x } } } \! \! \! R ^ { \prime } d R ^ { \prime } \, J _ { 0 } \big [ q _ { 0 } R R ^ { \prime } / ( f + z ) \big ] \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( q _ { 0 } z R ^ { 2 } / 2 f ) / ( f + z ) } , } \end{array}
p _ { i j } ^ { - } \equiv \frac { e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } { 1 + e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { y _ { i } y _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } }
V _ { j _ { 1 } , m _ { 1 } } ( w ) \, V _ { j _ { 2 } , m _ { 2 } } ( z ) = e ^ { \frac { 2 \pi i } { p } j _ { 1 } j _ { 2 } } \, V _ { j _ { 2 } , m _ { 2 } } ( z ) \, V _ { j _ { 1 } , m _ { 1 } } ( w ) \, , \qquad \Re z > \Re w \, .
\rho _ { i } = \rho _ { i } ( a _ { 0 } ) \left( \frac { a _ { 0 } } { a } \right) ^ { 3 } \exp \left[ - 3 \int _ { a _ { 0 } } ^ { a } \frac { d \bar { a } } { \bar { a } } w _ { i } ( \bar { a } ) \right]
V = \sum | F _ { i } | ^ { 2 } + \tilde { g } ^ { 2 } \left( | H | ^ { 2 } - | \bar { H } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { 8 } \left( \xi - | H | ^ { 2 } - | \bar { H } | ^ { 2 } + 2 | X | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r } { \langle u ^ { 2 } \rangle = \frac { \hbar } { 2 \pi N m } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { \bf k } \frac { \coth [ \beta \hbar \omega _ { i } ( { \bf k } ) / 2 ] } { \omega _ { i } ( { \bf k } ) } ~ ~ . } \end{array}
\frac { t ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { ( 1 - t ) ^ { 2 } + t \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } \leqslant C t
\begin{array} { r l r } { { S } ( \mu ) } & { = } & { - \sum _ { p } \log ( \beta _ { p } - \mu ) - M \log \Big ( \sum _ { p } \frac { 1 } { \beta _ { p } - \mu } \Big ) } \\ { \frac { E ( \mu ) } { E _ { \mathrm { m i n } } } } & { = } & { \frac { \sum _ { p } \frac { \beta _ { p } } { \beta _ { p } - \mu } } { \sum _ { p } \frac { \beta _ { 0 } } { \beta _ { p } - \mu } } } \\ { \frac { T ( \mu ) } { E _ { \mathrm { m i n } } } } & { = } & { \frac { 1 } { \sum _ { p } \frac { \beta _ { 0 } } { \beta _ { p } - \mu } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( I _ { s \cdot n _ { x } } + T ) ^ { - 1 } ( \Lambda \otimes I _ { n _ { x } } + T ) } & { = } & { ( I _ { s \cdot n _ { x } } + T ) ^ { - 1 } ( I _ { s \cdot n _ { x } } + T + ( \Lambda - I _ { s } ) \otimes I _ { n _ { x } } ) } \\ & { = } & { I _ { s \cdot n _ { x } } + ( I _ { s \cdot n _ { x } } + T ) ^ { - 1 } ( ( \Lambda - I _ { s } ) \otimes I _ { n _ { x } } ) } \\ & { = } & { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathrm { \large { ~ I _ { k \cdot ~ n _ x } ~ } } } & & { \mathrm { \large ~ \ast ~ } } \\ { \mathrm { \large { ~ 0 ~ } } } & & { \mathrm { \large ~ \ast ~ } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } C _ { \star } ^ { - 1 } } & { = A _ { 2 } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } \bigl [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \bigr ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ( \theta - m _ { \star } ) ^ { 2 } ] \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } \bigl [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \bigr ] } \\ & { \geq ( \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ( \theta - m _ { \star } ) ] ) ^ { 2 } = A _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { N } _ { n } ( x ) = ( x ^ { 2 } \frac { d } { d x } ) \mathcal { N } _ { n - 1 } ( x ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { D } _ { n } ( x ) = ( x ^ { 2 } \frac { d } { d x } ) \mathcal { G } _ { n - 1 } ( x ) , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } = \frac { 4 } { \sqrt { \pi } } \frac { 1 } { \kappa ^ { 5 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k k ^ { 4 } e ^ { - k ^ { 2 } / \kappa ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta ( 1 - \cos \theta ) \left| f ( k , \theta ) \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { + } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } } & { \leq | \nabla f _ { \overline { { t } } } ^ { + } ( \overline { { x } } ) | ^ { p } - | \nabla f _ { \overline { { t } } } ^ { - } ( \overline { { x } } ) | ^ { p } } \\ & { = \left( \alpha ^ { p } \left( 1 - \tau \frac { \epsilon } { 2 } \right) ^ { p } - \beta ^ { p } \right) \left( 1 - p c \overline { { t } } \epsilon \partial _ { n } \varphi ( \overline { { x } } ) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) } \\ & { < \alpha ^ { p } - \beta ^ { p } = \lambda _ { + } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } , } \end{array}
\int \sqrt { \gamma } d ^ { 3 } x q _ { { \cal P } l m } ^ { ( p ) i j } q _ { { \cal P } ^ { \prime } l ^ { \prime } m ^ { \prime } i j } ^ { ( p ^ { \prime } ) * } = \delta ^ { p p ^ { \prime } } \delta _ { { \cal P } { \cal P } ^ { \prime } } \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } & { \mathbf { G } ^ { \mathrm { Q N M } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } \\ & { = A _ { + } \left( \omega \right) \tilde { \mathbf { f } } _ { + } \left( { \bf r } _ { 0 } \right) \tilde { \mathbf { f } } _ { + } \left( { \bf r } _ { 0 } \right) + A _ { - } \left( \omega \right) \tilde { \mathbf { f } } _ { - } \left( { \bf r } _ { 0 } \right) \tilde { \mathbf { f } } _ { - } \left( { \bf r } _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M } & { = \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ ( \lambda - 1 ) t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { 0 } + \lambda r ^ { \angle } , r ^ { 1 } ] } \| \partial _ { 2 } \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ^ { 1 } , \xi ) \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } , \mathbb { V } ^ { * } ) } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ ( \lambda - 1 ) t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { 0 } + \lambda r ^ { \angle } , r ^ { 1 } ] } \| \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } + \xi ) - \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } , \mathbb { V } ^ { * } ) } } \\ & { \le \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ ( \lambda - 1 ) t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { 0 } + \lambda r ^ { \angle } , r ^ { 1 } ] } \| \xi \| _ { \mathbb { V } } \operatorname* { m a x } _ { \zeta \in [ 0 , \xi ] } \| \mathcal { A } ^ { \prime \prime } ( t _ { * } ^ { 1 } + \zeta ) \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } \times \mathbb { V } , \mathbb { V } ^ { * } ) } } \\ & { \le M _ { \delta } \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ ( \lambda - 1 ) t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { 0 } + \lambda r ^ { \angle } , r ^ { 1 } ] } \| \xi \| _ { \mathbb { V } } \le M _ { \delta } ( \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } + \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } + \varkappa ) \le M _ { \delta } \delta . } \end{array}
\left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } } = - \left( \frac { \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } , \partial _ { t } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } } + \left( - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } + g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) , \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } } .
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 0 } \left( x , y \right) } & { { } = \psi _ { 0 } \left( x \right) \psi _ { 0 } \left( y \right) , } \\ { \Psi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \psi _ { 0 } \left( x \right) \psi _ { 1 } \left( y \right) + \psi _ { 1 } \left( x \right) \psi _ { 0 } \left( y \right) \right] , } \\ { \Psi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \psi _ { 0 } \left( x \right) \psi _ { 2 } \left( y \right) + \psi _ { 2 } \left( x \right) \psi _ { 0 } \left( y \right) \right] , } \\ { \Psi _ { 3 } \left( x , y \right) } & { { } = \psi _ { 1 } \left( x \right) \psi _ { 1 } \left( y \right) , } \end{array}
\sigma _ { b } \equiv \sqrt { \left\langle ( N u _ { b } - \langle N u _ { b } \rangle ) ^ { 2 } \right\rangle } ~ , ~ \sigma _ { m } \equiv \sqrt { \left\langle ( N u _ { m } - \langle N u _ { m } \rangle ) ^ { 2 } \right\rangle } ~ , ~ \sigma _ { t } \equiv \sqrt { \left\langle ( N u _ { t } - \langle N u _ { t } \rangle ) ^ { 2 } \right\rangle }
\small \left\{ \begin{array} { r l } & { \rho ( \phi ) = \frac { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } } { 2 } + \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } \phi , \qquad \mu ( \phi ) = \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } { 2 } + \frac { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } { 2 } \phi , } \\ & { \epsilon ( \phi ) = \frac { \epsilon _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } } { 2 } + \frac { \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } } { 2 } \frac { \phi ( 3 - \phi ^ { 2 } ) } { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathcal { T } _ { i j } ^ { e } = - p \delta _ { i j } + \mu _ { e } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) ~ ~ ~ i , j = 1 , 2 , } \\ & { \mathcal { T } _ { i j } ^ { o } = - \mu _ { o } \left[ ( \delta _ { i 1 } \delta _ { j 1 } - \delta _ { i 2 } \delta _ { j 2 } ) \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } + \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) - ( \delta _ { i 1 } \delta _ { j 2 } + \delta _ { i 2 } \delta _ { j 1 } ) \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } - \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } \right) \right] ~ ~ ~ i , j = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial e _ { x } ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial x } \right| _ { x \to x _ { i } ^ { + } } } & { = - 6 \frac { \phi ^ { i + 1 , j , k } - \phi ^ { i , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } - 2 \frac { e _ { x } ^ { i + 1 , j , k } + 2 e _ { x } ^ { i , j , k } } { \Delta x } , } \\ { \left. \frac { \partial e _ { x } ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial x } \right| _ { x \to x _ { i } ^ { - } } } & { = - 6 \frac { \phi ^ { i - 1 , j , k } - \phi ^ { i , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } + 2 \frac { e _ { x } ^ { i - 1 , j , k } + 2 e _ { x } ^ { i , j , k } } { \Delta x } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S \left( \vec { x } - \vec { \theta } \right) _ { \parallel } } & { = } & { \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d \vec { x } S \left( \vec { x } - \vec { \theta } _ { 1 } \right) ^ { \ast } S \left( \vec { x } - \vec { \theta } \right) \right) S \left( \vec { x } - \vec { \theta } _ { 1 } \right) } \\ & { = } & { \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d \vec { x } S \left( \vec { x } \right) ^ { \ast } S \left( \vec { x } - \left( \vec { \theta } - \vec { \theta _ { 1 } } \right) \right) \right) S \left( \vec { x } - \vec { \theta } _ { 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f \| _ { L ^ { p } ( B ) } ^ { p } } & { \leq K ^ { O ( 1 ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n + 1 } \left( \int _ { B ( x _ { B } , 2 ) } | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { \tau _ { j } , v _ { j } } | ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } } \\ & { \sim K ^ { O ( 1 ) } \int _ { B ( x _ { B } , 2 ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n + 1 } | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { \tau _ { j } , v _ { j } } | ^ { \frac { p } { n + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = - 2 a b - 2 + a + 1 + b a + b = - 2 a b + b a + a + b - 1 , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = - 2 a + a ^ { 2 } + 1 = a ^ { 2 } - 2 a + 1 . } \end{array}
{ \cal { M } } \, \propto \, { \frac { 1 } { 2 p _ { W b } * p _ { W b g } } } \left( { \frac { 1 } { p _ { W b } ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } + i m _ { t } \Gamma _ { t } } } - { \frac { 1 } { p _ { W b g } ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } + i m _ { t } \Gamma _ { t } } } \right) \; .
\langle \ell | e ^ { \pm 2 i \phi _ { n } } | \ell ^ { \prime } \rangle = \int \mathrm { ~ d ~ } q \mathrm { ~ d ~ } \phi \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - i \ell \phi _ { n } } \Psi _ { v , \ell } ( q ) e ^ { \pm 2 i \phi _ { n } } e ^ { i \ell ^ { \prime } \phi _ { n } } \Psi _ { v , \ell ^ { \prime } } ( q )
\begin{array} { r l } & { S \left( P _ { \mathrm { l o s s } } , P _ { \mathrm { f r e e } } \right) } \\ { = } & { - \sum _ { \eta \in \mathbf { H } \left( M \right) } P _ { \mathrm { l o s s } } \left( \eta \right) \log \left( P _ { \mathrm { f r e e } } \left( \eta \right) \right) , } \\ { = } & { \log \left( Z _ { \mathrm { f r e e } } \right) + \frac { \beta _ { \mathrm { f r e e } } } { Z _ { \mathrm { l o s s } } } \left( \sum _ { \eta \in \mathbf { H } \left( M \right) } \exp \left( - \beta _ { \mathrm { l o s s } } U _ { \eta } \right) U _ { \eta } \right) , } \\ { = } & { \log \left( Z _ { \mathrm { f r e e } } \right) + \beta _ { \mathrm { f r e e } } U _ { \mathrm { l o s s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { G _ { c } } { \ell } \left( d - \ell ^ { 2 } \Delta d \right) } & { { } = 2 ( 1 - d ) \mathcal { H } } & { } & { { } \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ { \nabla d \cdot \mathbf { n } } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { o n } \ \partial \Omega . } \end{array}
{ \cal L } _ { c . t . } ^ { ( 1 ) } \, = \, { \frac { \sqrt { - g } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \epsilon } } \lbrack { \frac { 1 } { 1 2 0 } } R ^ { 2 } + { \frac { 7 } { 2 0 } } R _ { \mu \nu } R ^ { \mu \nu } - { \frac { 5 3 } { 1 8 0 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } { R ^ { \mu \nu } } _ { \alpha \beta } { R ^ { \rho \sigma } } _ { \gamma \delta } \rbrack
\begin{array} { r l } { V _ { k + 1 } ^ { 2 } - V _ { k } ^ { 2 } \ = \ } & { - h ^ { 2 } ( r - 1 ) ( 2 k + r - 2 ) \langle \nabla f ( q _ { k } ) , q _ { k } - q ^ { * } \rangle } \\ & { - h ^ { 2 } ( k - 1 ) ( 2 k + r - 2 ) \langle \nabla f ( q _ { k } ) , q _ { k } - q _ { k - 1 } \rangle } \\ & { + \frac { h ^ { 4 } } { 4 } ( 2 k + r - 2 ) ^ { 2 } \| \nabla f ( q _ { k } ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
\lbrack M _ { ( m ) } ^ { \alpha , \beta } , M _ { ( n ) } ^ { \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } } ] \equiv M _ { ( m ) } ^ { \alpha , \beta } M _ { ( n ) } ^ { \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } } - ( - ) ^ { \alpha \beta ^ { \prime } + \beta \alpha ^ { \prime } } e ^ { 2 i ( \beta ^ { \prime } m - \beta n ) x } M _ { ( n ) } ^ { \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } } M _ { ( m ) } ^ { \alpha , \beta }
\Psi _ { \bf C } \rightarrow \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \mathrm { { \bf ~ 1 } } _ { 2 \times 2 } } } \\ { { \mathrm { { \bf ~ 1 } } _ { 2 \times 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \cdot \Psi _ { \bf C } ,
\begin{array} { r } { \frac { \| \nabla u \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } } { \| u \| _ { L ^ { q } ( \Omega ) } } \ge \Big ( \lambda _ { p } ( \Omega ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { q } } \, \frac { \| \nabla u \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } ^ { 1 - \frac { p } { q } } } { \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } ^ { 1 - \frac { p } { q } } } \ge \Big ( \lambda _ { p } ( \Omega ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { q } } \, \Big ( \lambda _ { p , \infty } ( \Omega ) \Big ) ^ { \frac { q - p } { p \, q } } . } \end{array}
\delta _ { \epsilon } B _ { a } ^ { \mu \nu } = \varepsilon ^ { \mu \nu \lambda \rho } \partial _ { \lambda } \epsilon _ { \rho a } , \; \delta _ { \epsilon } A _ { \mu } ^ { a } = 0 , \; \delta _ { \epsilon } \varphi _ { a } = \partial ^ { \mu } \epsilon _ { a \mu } .
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { n l } } ( x _ { y } , x _ { h ( u ) } ) } & { = \phi _ { \mathrm { b } , 0 } ( x _ { y } ) + \phi _ { \mathrm { b } } ( x _ { y } ) \otimes x _ { h ( u ) } , } \\ { x _ { y } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \sigma ^ { - l } y ^ { \top } } & { \sigma ^ { - l + 1 } y ^ { \top } } & { \hdots } & { \sigma ^ { - 1 } y ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { \top } , } \\ { x _ { h ( u ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \sigma ^ { - l } h ( u ) ^ { \top } } & { \sigma ^ { - l + 1 } h ( u ) ^ { \top } } & { \hdots } & { h ( u ) ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { \top } . } \end{array}
\mathbf { W } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { T E } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { T S } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { R E } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { R S } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { E T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { E R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { E E } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { E S } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { S T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S E } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { W } _ { 3 } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \leq } & { { } \frac { C _ { 1 } } { 2 } \lVert - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } + g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 C _ { 1 } } \lVert \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { d } _ { 2 } } & { = \frac { \delta } { 2 } , } \\ { \tilde { d } _ { 3 } } & { = \frac { 3 \delta ^ { 2 } - 1 } { 1 2 } , } \\ { \mathcal { L } } & { = - \frac { 2 f } { \pi } ( 1 - i \delta ) ^ { 2 } \frac { i \ln \sqrt { u ^ { 2 } + 1 } + \frac { \pi } { 2 } + \arctan ( u ) } { \left( 1 + \delta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - 1 + \eta - i 2 \eta \arctan ( \delta ) , } \\ { \mathcal { N } } & { = \frac { 4 f } { \pi } \frac { ( 1 + i u ) ( 1 - i \delta ) } { ( 1 + u ^ { 2 } ) ( 1 + \delta ^ { 2 } ) } , } \\ { \zeta _ { 1 } } & { = \left( 1 + \frac { 2 } { \pi } \arctan ( u ) \right) , } \\ { \zeta _ { 2 } } & { = \frac { 4 } { \pi } \frac { 1 } { u ^ { 2 } + 1 } , } \\ { \zeta _ { 3 } } & { = - \frac { 1 + \delta ^ { 2 } } { \gamma } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { k = 0 : \lfloor { \sqrt { 2 \times 1 0 0 ^ { 0 } } } \rfloor = \lfloor { \sqrt { 2 } } \rfloor = 1 } \\ & { k = 1 : \lfloor { \sqrt { 2 \times 1 0 0 ^ { 1 } } } \rfloor = \lfloor { \sqrt { 2 0 0 } } \rfloor = 1 4 } \\ & { k = 2 : \lfloor { \sqrt { 2 \times 1 0 0 ^ { 2 } } } \rfloor = \lfloor { \sqrt { 2 0 0 0 0 } } \rfloor = 1 4 1 } \\ & { k = 3 : \lfloor { \sqrt { 2 \times 1 0 0 ^ { 3 } } } \rfloor = \lfloor { \sqrt { 2 0 0 0 0 0 0 } } \rfloor = 1 4 1 4 } \\ & { \vdots } \\ & { k = 8 : \lfloor { \sqrt { 2 \times 1 0 0 ^ { 8 } } } \rfloor = \lfloor { \sqrt { 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } } \rfloor = 1 4 1 4 2 1 3 5 6 } \\ & { \vdots } \end{array} }
\begin{array} { r } { \xi _ { j s } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { r } { 0 , \ \ | Z _ { i , s } | \leq \lambda _ { 1 } } \\ { \frac { ( \lambda _ { 1 } s g n \left( Z _ { i , s } \right) - Z _ { i , s } ) } { ( \lambda _ { 2 } + \frac { ( \beta + \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { i } { ( g _ { k , s } ) } ^ { 2 } } ) } { \alpha } ) } , \ \ o t h e r w i s e , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( \nabla \cdot h ) ( u \cdot \bar { v } ) + u \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } x } & { = \int _ { \Omega } \nabla \cdot ( ( u \cdot \bar { v } ) h ) - ( h \cdot \nabla u ) \cdot \bar { v } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { S _ { R } } ( u \cdot \bar { v } ) ( h \cdot n ) \, \mathrm { d } s - \int _ { \Omega } ( h \cdot \nabla u ) \cdot \bar { v } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
{ \sqrt { 1 + x } } = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } x - { \frac { 1 } { 8 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 1 6 } } x ^ { 3 } - { \frac { 5 } { 1 2 8 } } x ^ { 4 } + { \frac { 7 } { 2 5 6 } } x ^ { 5 } - \cdots
\dot { \tilde { z } } ( t ) \int _ { \Omega _ { \epsilon } } Z \bigl ( \partial _ { Z } \eta _ { * } + \delta \partial _ { Z } \tilde { \eta } \bigr ) \, \mathrm { d } X \, = \, \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma } { \epsilon \bar { r } } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } Z \, \mathcal { R } ( R , Z , t ) \, \mathrm { d } X \, ,
\frac { \mathrm { ~ d ~ } \bar { \mathbf { U } } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = \mathcal { G } _ { \boldsymbol { \Theta } } ( \bar { \mathbf { U } } ) : = \left[ \begin{array} { l } { f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] + \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathcal { K } - \mathcal { K } ^ { T } ) \bar { \mathbf { U } } - \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } \mathcal { Q } ^ { T } \mathcal { Q } \bar { \mathbf { U } } + \mathbf { W } _ { \mathbf { T } } \mathbf { F } ,
W ( \lambda _ { i } ) = \frac { \eta } { \lambda _ { i } } + \frac { \sqrt { a \lambda _ { i } + \eta ^ { 2 } } } { \lambda _ { i } } + \frac { a } { 2 N } \sum _ { j } \frac { 1 } { \sqrt { a \lambda _ { j } + \eta ^ { 2 } } } \, \frac { 1 } { \sqrt { a \lambda _ { j } + \eta ^ { 2 } } + \sqrt { \vphantom { \lambda _ { j } } a \lambda _ { i } + \eta ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { e ^ { \vec { w } } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] : = t _ { s } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] + \Delta \epsilon _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \vec { w } } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] + \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] + \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \vec { w } } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | } & { = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + | B _ { 1 } | = \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| - \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| + | B _ { 1 } | } \\ & { = \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| + | E _ { B _ { 1 } } | + | O _ { B _ { 1 } } | - \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } \\ & { \leqslant \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| + \frac { n } { 6 } - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 3 } + 2 + \frac { n } { 1 2 } + 1 - \frac { n } { 1 0 0 } } \\ & { = \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 3 } + \frac { 6 n } { 2 5 } + 3 } \\ & { \leqslant \frac { n } { 1 2 } + 1 3 + \frac { 6 n } { 2 5 } + 3 = \frac { n } { 3 } - \frac { n } { 1 0 0 } + 1 6 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Y _ { p , a v } = \frac { \sum _ { \Omega } y \phi _ { p } \left( \mathbf { x } , t \right) } { \sum _ { \Omega } \phi _ { p } \left( \mathbf { x } , t \right) } , \quad p = 1 , 2 , 3 , } \\ & { Y _ { p , m i n } = \operatorname* { m i n } \{ y \in \Omega : \phi _ { p } \left( \mathbf { x } , t \right) \geq 0 . 5 \} , \quad p = 1 , 2 , 3 , } \\ & { Y _ { p , m a x } = \operatorname* { m a x } \{ y \in \Omega : \phi _ { p } \left( \mathbf { x } , t \right) \geq 0 . 5 \} , \quad p = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
\Sigma ( p ) = - \frac { i g ^ { 2 } } { 2 \pi \Theta } [ T ^ { a } T _ { a } ] \left\{ \frac { m \; { \bf \gamma } \cdot { \bf p } - { \bf p } ^ { 2 } } { w _ { p } + m } - m + \Lambda _ { 0 } \right\} \; .