harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \delta \mathrm { \ m a t h c h a r ` - f u n c t i o n } } ( \omega ) } & { { } = 0 . 3 ~ \delta ( \omega - 1 ) + 0 . 5 ~ \delta ( \omega + 3 ) + 0 . 2 ~ \delta ( \omega - 4 . 5 ) , } \\ { \rho ^ { \mathrm { G a u s s i a n } } ( \omega ) } & { { } = g ( \omega , 0 , 1 ) , } \\ { \rho ^ { \mathrm { L o r e n t z i a n } } ( \omega ) } & { { } = l ( \omega , 0 , 1 ) , } \\ { \rho ^ { \mathrm { t w o \, \, p e a k } } ( \omega ) } & { { } = 0 . 8 ~ g ( \omega , - 1 , 1 . 0 ) + 0 . 2 ~ g ( \omega , 3 , 0 . 7 ) , } \\ { \rho ^ { \mathrm { K o n d o \, \, r e s o n a n c e } } ( \omega ) } & { { } = 0 . 4 5 ~ g ( \omega , - 2 . 5 , 0 . 7 ) + 0 . 1 ~ g ( \omega , 0 , 0 . 1 ) + 0 . 4 5 ~ g ( \omega , 2 . 5 , 0 . 7 ) } \\ { \rho ^ { \mathrm { H u b b a r d \, \, g a p } } ( \omega ) } & { { } = 0 . 5 ~ g ( \omega , - 1 . 9 , 0 . 5 ) + 0 . 5 ~ g ( \omega , 1 . 9 , 0 . 5 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { n _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } } { - \operatorname* { d e t } ( A ) } } & { = } & { - 1 + \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } } { \operatorname* { d e t } ( A ) } > - 1 , } \\ { \frac { m _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } - n _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } } { - \operatorname* { d e t } ( A ) } } & { = } & { 2 a _ { 1 } ^ { 2 } + 2 a _ { 2 } ^ { 2 } - 1 - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } } { \operatorname* { d e t } ( A ) } < 2 a _ { 1 } ^ { 2 } + 2 a _ { 2 } ^ { 2 } - 1 , } \\ { \frac { m _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 1 } - n _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 1 } } { \operatorname* { d e t } ( A ) } } & { = } & { - 1 + \frac { a _ { 1 } ^ { 1 } + a _ { 2 } ^ { 1 } } { \operatorname* { d e t } ( A ) } > - 1 , } \\ { \frac { n _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 1 } - m _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 1 } } { \operatorname* { d e t } ( A ) } } & { = } & { 2 a _ { 1 } ^ { 1 } + 2 a _ { 2 } ^ { 1 } - 1 - \frac { a _ { 1 } ^ { 1 } + a _ { 2 } ^ { 1 } } { \operatorname* { d e t } ( A ) } < 2 a _ { 1 } ^ { 1 } + 2 a _ { 2 } ^ { 1 } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ R ~ P ~ A ~ } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 n } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \omega } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } [ \chi _ { 0 } \frac { 4 \pi } { q ^ { 2 } } + \log ( 1 - \chi _ { 0 } \frac { 4 \pi } { q ^ { 2 } } ) ] \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \pmb { \mu } _ { s } ^ { \mathrm { i n d } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ^ { ( 0 ) } ] = \sum _ { t } \mathbf { R } _ { t s } \pmb { \mathcal { E } } _ { \mathrm { A } , s } [ \rho _ { \mathrm { A } } ^ { ( 0 ) } ] , } \end{array}
H ^ { 2 } ( u ) = \left[ \frac { e ^ { 4 u } + b ^ { 4 } } { e ^ { 4 u } - b ^ { 4 } } - \frac { 1 } { 2 u } + \frac { 2 K } { u \Lambda ^ { 2 } } \left( \frac { e ^ { 2 u } } { e ^ { 4 u } - b ^ { 4 } } \right) \right] .
A _ { \mu } ^ { a } \left( x \right) = \sum _ { \vec { k } } \left( \sum _ { \sigma = 1 , 2 } A _ { \vec { k } , \sigma } ^ { a } f _ { k , \mu } ^ { \sigma } \left( x \right) + A _ { \vec { k } } ^ { L , a } f _ { k , L , \mu } \left( x \right) + B _ { \vec { k } } ^ { a } f _ { k , S , \mu } \left( x \right) \right) + h . c . ,
\begin{array} { r l } { \prod _ { u = 1 } ^ { n } \cos ( \varphi _ { u } ) } & { = \prod _ { u = 1 } ^ { n } \frac { e ^ { i \varphi _ { u } } + e ^ { - i \varphi _ { u } } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { n } } \exp ( i [ e _ { 1 } \varphi _ { 1 } + \dots + e _ { n } \varphi _ { n } ] ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { n } } \cos ( e _ { 1 } \varphi _ { 1 } + \dots + e _ { n } \varphi _ { n } ) } \end{array}
J _ { n } = - \frac 1 4 \left( \omega ^ { 2 } \bar { Z } ^ { 2 } + \bar { \omega } ^ { 2 } Z ^ { 2 } \right) + \partial B \bar { Z } + \bar { \partial } B Z - B ^ { 2 } + \frac n 2 \bar { \partial } \partial B \sigma _ { 3 } .
n ^ { 0 } = \frac { \vec { m } \dot { \vec { X } } _ { 0 } } { \sqrt { 1 - ( \dot { \vec { X } } _ { 0 } \vec { m } ) ^ { 2 } } } , \; \; \; \vec { n } = \frac { \vec { m } } { \sqrt { 1 - ( \vec { m } \dot { \vec { X } } _ { 0 } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \Delta } & { = \operatorname* { d e t } ( u _ { \delta } \cdot e _ { \beta } ) } \\ & { = \langle \bigwedge _ { \delta } u _ { \delta } , \bigwedge _ { \beta } e _ { \beta } \rangle } \\ & { = * \Big ( \bigwedge _ { \delta } u _ { \delta } \wedge ( * \bigwedge _ { \beta } e _ { \beta } ) \Big ) } \\ & { = * ( \bigwedge _ { \delta } u _ { \delta } \wedge e \bigwedge _ { \alpha } e _ { \alpha } ) } \\ & { = ( e \cdot \nu ) * ( \bigwedge _ { \delta } u _ { \delta } \wedge \nu \bigwedge _ { \alpha } e _ { \alpha } ) } \\ & { = e \cdot \nu , } \end{array}
{ \cal L } _ { F } = \frac { 1 } { 2 } g _ { 3 } ^ { \prime } A _ { \mu } ^ { i } \left( \bar { \nu } _ { L } t ^ { i } \gamma ^ { \mu } \nu _ { L } + \bar { e } _ { L } K _ { e } ^ { i } \gamma ^ { \mu } e _ { L } - \bar { e } _ { R } K _ { e } ^ { i \ast } \gamma ^ { \mu } e _ { R } \right)
p _ { B _ { \alpha } ^ { \circ } } \bigl ( \mathscr { R } _ { f } ^ { t } ( y ) \bigr ) = \operatorname* { s u p } _ { e ^ { \prime } \in B _ { \alpha } ^ { \circ } } | y ( f _ { e ^ { \prime } } ) | = \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathscr { R } _ { f } ( B _ { \alpha } ^ { \circ } ) } | y ( x ) | \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in K _ { \alpha } } | y ( x ) |
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \nu _ { \alpha } ( [ - 1 , 1 ] ) } \\ & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } f _ { \alpha } ( x ) d \lambda ( x ) } \\ & { = \frac 2 C \sum _ { t = 0 } ^ { m - 1 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac 1 { \beta ^ { t + 1 } } 1 _ { [ S _ { \alpha } ^ { t } ( 1 - \alpha ) , S _ { \alpha } ^ { t } ( 1 ) ) } ( x ) d \lambda ( x ) } \\ & { = \frac 2 C \sum _ { t = 0 } ^ { m - 1 } \frac 1 { \beta ^ { t + 1 } } \left( S _ { \alpha } ^ { t } ( 1 ) - S _ { \alpha } ^ { t } ( 1 - \alpha ) \right) . } \end{array}
P _ { i j } \equiv \delta _ { k j } - { \frac { \partial _ { k } \partial _ { j } } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } = \delta _ { i j } ^ { T } - { \frac { M ^ { 2 } } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } \delta _ { i j } ^ { | | }
\begin{array} { r } { \left( \frac { [ \hat { \textbf { p } } + \textbf { A } ( t ) ] ^ { 2 } } { 2 } + V ( \textbf { r } ) \right) | \varphi _ { i , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle = \widetilde { E } _ { i , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \varphi _ { i , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \! \! } & { ( a ) \mathrm { ~ p o s i t i v e ~ s a m p l i n g ~ i n t e r v a l s } \, } & { : } & { \, t _ { n + 1 } \! - \! t _ { n } \! > \! 0 , \mathrm { ~ a n d } } \\ { \! \! } & { ( b ) \mathrm { ~ d e c r e a s i n g ~ s a m p l i n g ~ i n t e r v a l s } \, } & { : } & { \, t _ { n + 1 } \! - \! t _ { n } \! < \! t _ { n } \! - \! t _ { n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \implies \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \left( \sum \omega _ { \widetilde { q } \varphi } ( p _ { ( 0 ) } ^ { \lambda } ) \otimes \omega _ { \phi } ( p _ { ( 1 ) } ^ { \lambda } p ) \right) } & { = \omega _ { \widetilde { q } \varphi } ( p ) \otimes \omega _ { \phi } ( p ) } \\ { \implies \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \left( \sum \widetilde { q } \varphi ( p _ { ( 0 ) } ^ { \lambda } ) \otimes \omega _ { \phi } ( p _ { ( 1 ) } ^ { \lambda } p ) \right) } & { = 0 } \\ { \implies \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \left( \sum \widetilde { q } \varphi ( p _ { ( 0 ) } ^ { \lambda } ) \otimes \phi ( p _ { ( 1 ) } ^ { \lambda } ) \right) } & { = 0 } \\ { \implies \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \left( ( \widetilde { q } \varphi \star \phi ) ( p ^ { \lambda } ) \right) } & { = 0 } \\ { \implies \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \left( \phi ( p ^ { \lambda } ) \right) } & { = 0 } \\ { \implies \omega _ { \phi } ( p ) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { \theta , i } ^ { t + 1 } = v _ { \theta , i } ^ { t } + \Delta t \nu ( \frac { v _ { \theta , i + 1 } ^ { t } - 2 v _ { \theta , i } ^ { t } + v _ { \theta , i - 1 } ^ { t } } { { \Delta x } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { v _ { \theta , i + 1 } ^ { t } + v _ { \theta , i - 1 } ^ { t } } { 2 \Delta x } - \frac { v _ { \theta , i } ^ { t } } { r ^ { 2 } } ) , } \end{array}
n _ { i } \sim 1 0 ^ { 1 6 } / \textrm { m } ^ { 3 } , n _ { d } \sim 4 \times 1 0 ^ { 1 2 } / \textrm { m } ^ { 3 } , m _ { i } = 1 . 6 7 \times 1 0 ^ { - 2 7 } \, \textrm { k g } , T _ { e } \sim 1 \, \textrm { e V }
1 \; = \; \int _ { - \infty } ^ { \infty } d a _ { 1 } \: \cdots \int _ { - \infty } ^ { \infty } d a _ { r } \; \delta ( a _ { 1 } - p _ { 1 } ^ { 2 } ) \: \cdots \: \delta ( a _ { r } - p _ { r } ^ { 2 } ) \; \; \; ,
S ( k , \omega ) = \frac { \overline { { D } } _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 + \overline { { \mathrm { P e } } } ^ { 2 } } { 1 + ( \mathrm { P e } ^ { \star } ) ^ { 2 } } \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 H ^ { 2 } } \left( \delta ( k + k _ { 0 } ) \delta ( \omega - \omega _ { 0 } ) + \delta ( k - k _ { 0 } ) \delta ( \omega + \omega _ { 0 } ) \right) .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { s p - p h } } ^ { \mathrm { ( p o l ) } } } & { = } & { - \sum _ { j } \hat { S } \left( w _ { j } ^ { x } \sigma _ { x } ^ { \prime } + w _ { j } ^ { y } \sigma _ { y } ^ { \prime } \right) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) \hat { S } ^ { \dagger } } \\ & { = } & { - \sum _ { j } | 1 _ { - } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { - } | \hat { W } _ { j } | 1 _ { + } \rangle \langle 1 _ { + } ^ { \prime } | \ \hat { D } _ { j } ( \xi _ { j } ^ { - } ) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) \hat { D } _ { j } ^ { \dagger } ( \xi _ { j } ^ { + } ) + \mathrm { h . c . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \bigg ( \frac { t _ { n } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \bigg ) \frac { \mathrm { e x p } \big ( { \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \big ) + 1 } { \mathrm { e x p } \big ( { \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \big ) - 1 } } & { \leq 1 } \\ { \Rightarrow \; \bigg ( \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \bigg ) \frac { \mathrm { e x p } \big ( { \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \big ) + 1 } { \mathrm { e x p } \big ( { \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \big ) - 1 } } & { < 1 } \\ { \mathrm { L e t ~ } x = \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \quad \Rightarrow \frac { x \, ( e ^ { x } + 1 ) } { ( e ^ { x } - 1 ) } } & { < 1 . } \end{array}
\mathcal { E } _ { x , y } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] = \delta _ { a b } ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { x } ^ { 2 n } \left| n \middle > \middle < n \right| + N \sum _ { \mathcal { M } } \sum _ { \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( \alpha ) } , \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( \beta ) } } ( 1 - \delta _ { \alpha \beta } ) \Big ( \sum _ { \Phi \in \Tilde { \mathcal { P } } } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi } ^ { ( \alpha ) * } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi } ^ { ( \beta ) } \Big ) \left< \psi ( \mathcal { M } , \beta ) \right| \phi _ { a b , x } ^ { ( 1 ) } \left| \psi ( \mathcal { M } , \alpha ) \right> ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left( \partial _ { z _ { j _ { 1 } } } \cdot \cdot \cdot \partial _ { z _ { j _ { n } } } u _ { N } \right) ( t , Z ) \right] = \rho _ { 0 } ^ { ( N ) } ( t ) c _ { j _ { 1 } } g _ { j _ { 1 } } ( t ) \cdot \cdot \cdot c _ { j _ { n } } g _ { j _ { n } } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K ( \mathrm { \bf ~ r } , t + \epsilon ; \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , t ) } & { = } & { \left( \frac { m } { 2 \pi i \hbar \epsilon } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left\{ \frac { i \epsilon } { \hbar } \left[ \frac { m } { 2 } \left( \frac { \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } } { \epsilon } \right) ^ { 2 } - e A _ { 0 } \left( \frac { \mathrm { \bf ~ r } + \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } } { 2 } \right) \right] \; \; + \right. } \\ & { } & { \; \; \; \; \left. + \; \; \frac { i e } { \hbar c } ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \cdot \mathrm { \bf ~ A } \left( \frac { \mathrm { \bf ~ r } + \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } } { 2 } \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \kappa } \frac { \partial } { \partial \kappa } \left[ \kappa \frac { \partial \tilde { E } _ { 0 } ^ { z } } { \partial \kappa } \right] = - \frac { 2 \nu } { \kappa } \frac { \partial } { \partial \kappa } \left\{ \frac { \kappa } { \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } } \theta ( \kappa - 1 ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { w } _ { \perp } } & { { } = \sum _ { l m n } a _ { l m n } ( t ) j _ { l } \left( \frac { \alpha _ { l n } r } { R } \right) \vec { \Phi } _ { l m } \; , } \\ { \vec { w } _ { \parallel } } & { { } = \sum _ { l m n } { b } _ { l m n } ( t ) \nabla \left( j _ { l } \left( \frac { \alpha _ { l n } r } { R } \right) Y _ { l m } \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C ( \Omega _ { t } ^ { c , d } , \Omega _ { t ^ { \prime } } ^ { c ^ { \prime } , d ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \! C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) D E \! + \! C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } \! - \! \prod _ { i = 1 } ^ { a } p _ { i } ^ { m _ { i } } , \tau _ { 2 } ) D ^ { \prime } E + } \\ & { C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } - \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { n _ { j } } ) D E ^ { \prime } + C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } - \prod _ { i = 1 } ^ { a } p _ { i } ^ { m _ { i } } , \tau _ { 2 } - \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { n _ { j } } ) D ^ { \prime } E ^ { \prime } , } \end{array}
\rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = \sum _ { i : \epsilon _ { i , \sigma } < \mu } | \psi _ { i , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) | ^ { 2 } + \sum _ { i : \epsilon _ { i , \sigma } = \mu } f | \psi _ { i , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) | ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { y } ^ { \infty } 1 - \Phi ( z ) ^ { n } d z } & { = \int _ { y } ^ { \infty } 1 - \left[ 1 - c _ { z } \frac { e ^ { - z ^ { 2 } / 2 } } { z \sqrt { 2 \pi } } \right] ^ { n } d z \le \int _ { y } ^ { \infty } n c _ { z } \frac { e ^ { - z ^ { 2 } / 2 } } { z \sqrt { 2 \pi } } d z } \\ & { \le \int _ { y } ^ { \infty } n c _ { z } \frac { z } { y ^ { 2 } } \frac { e ^ { - z ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } d z \le \frac { n \operatorname* { m a x } _ { z \ge y } c _ { z } } { y ^ { 2 } \sqrt { 2 \pi } } \int _ { y } ^ { \infty } z e ^ { - z ^ { 2 } / 2 } d z = O \left( \frac 1 { \ln n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \omega } } & { = \frac { \omega \delta ^ { * } } { U _ { e } } } \\ { A _ { 1 } } & { = 3 . 7 + 1 . 5 \beta _ { C } } \\ { A _ { 2 } } & { = \operatorname* { m i n } \left( 3 , \frac { 1 9 } { \sqrt { R _ { T } } } \right) + 7 } \\ { F _ { 1 } } & { = 4 . 7 6 \left( \left( \frac { 1 . 4 } { \Delta } \right) ^ { 0 . 7 5 } \left[ 0 . 3 7 5 A _ { 1 } - 1 \right] \right) } \\ { \beta _ { C } } & { = \frac { \theta } { \tau _ { w } } \frac { d p } { d x } } \\ { R _ { T } } & { = \frac { \delta U _ { e } } { \nu u _ { \tau } ^ { 2 } } } \\ { \Pi } & { = 0 . 8 ( \beta _ { C } + 0 . 5 ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } } \\ { \Delta } & { = \frac { \delta } { \delta ^ { * } } } \end{array}
S = \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \int d ^ { 3 } x \bigl [ { \frac { 1 } { 4 } } F _ { m n } ^ { a } F _ { m n } ^ { a } + { \frac { 1 } { 2 } } ( D _ { m } \Phi ) ^ { \dagger } ( D _ { m } \Phi ) + V ( \Phi ) \bigr ] ,
\begin{array} { r l } { ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } ( 1 - t ) } & { { } = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } \left( 1 - { \frac { 1 } { 1 + ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } ( n - 1 ) u ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { 0 } ( \boldsymbol { \rho } , z ) = g _ { 1 2 } ^ { d } n _ { 0 } \Omega ( \boldsymbol { \rho } , z ) , \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \Omega ( \boldsymbol { \rho } , z ) = \int d q \int d u f ( q , u , \boldsymbol { \rho } , z ) , } \\ & { f ( q , u , \boldsymbol { \rho } , z ) = \frac { 1 } { 4 \sqrt { \pi } } q ^ { 2 } \left[ \frac { 3 u ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } \left( 1 - u ^ { 2 } \right) + u ^ { 2 } } - 1 \right] J _ { 0 } \left[ q \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } \tilde { \boldsymbol { \rho } } \right] e ^ { - \frac { 1 } { 4 } q ^ { 2 } - j q u \tilde { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \Delta } { \partial \mathbf { p } } = \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \alpha ( t - s ) } \sum _ { i = 1 } ^ { n } - 2 \left( \dot { x } _ { i } - F _ { i } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { p } ) \right) \left( \frac { \partial F _ { i } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { p } ) } { \partial \mathbf { y } } \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { p } } + \frac { \partial F _ { i } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { p } ) } { \partial \mathbf { p } } \right) d s \equiv \mathbf { H } ( t ) } \\ & { \frac { \partial \Delta } { \partial \mathbf { e } } = \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \alpha ( t - s ) } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } - 2 \left( \dot { x } _ { i } - F _ { i } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { p } ) \right) \left( \frac { \partial F _ { i } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { p } ) } { \partial \mathbf { y } } \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { e } } \right) + 2 \beta e \right) d s \equiv \mathbf { E } ( t ) \, . } \end{array}
\left. \begin{array} { l l l } { { F _ { 1 } ^ { ( n ) } = q _ { 3 } ^ { ( n ) } + q _ { 1 } ^ { ( n ) } \pi _ { \phi } , \, \, \, \, } } & { { F _ { 2 } ^ { ( n ) } = q _ { 1 } ^ { ( n - 1 ) } , \, \, \, \, } } & { { F _ { 3 } ^ { ( n ) } = - q _ { 2 } ^ { ( n - 1 ) } - q _ { 3 } ^ { ( n ) } \pi _ { \phi } , } } \\ { { G _ { 1 } ^ { ( n ) } = 2 q _ { 2 } ^ { ( n + 1 ) } e ^ { \phi } , \, \, \, \, } } & { { G _ { 2 } ^ { ( n ) } = - 2 q _ { 3 } ^ { ( n + 1 ) } e ^ { \phi } , \, \, \, \, } } & { { G _ { 3 } ^ { ( n ) } = 2 q _ { 1 } ^ { ( n ) } e ^ { - 2 \phi } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { 2 \pi \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ 1 ~ d ~ } } [ \lambda ] = \int _ { - L } ^ { L } \Big ( \pi B ^ { 2 } \hat { w } ( \lambda ) + \frac { \pi B ^ { 4 } } { 1 6 } \frac { \hat { w } ^ { \prime } ( \lambda ) } { \lambda ^ { 4 } } \lambda ^ { \prime } ( Z ) ^ { 2 } - N \lambda \Big ) \, d Z , } \end{array}
\int d ^ { 2 } \mathrm { \bf ~ x } \, \Big ( \frac { 1 } { 4 } f _ { i j } f ^ { i j } + \frac { 1 } { 8 } ( V + A f ) _ { i j } ^ { \alpha } ( V + A f ) _ { \alpha } ^ { i j } - \frac { 1 } { 4 } g ^ { i j } D _ { i } A ^ { \alpha } \cdot D _ { j } A _ { \alpha }
\begin{array} { r l } { \beta _ { m } ^ { n } } & { = \beta _ { m } ^ { n } - \sum _ { k = 1 } ^ { d _ { 1 } } \gamma _ { m } ^ { i _ { k } , n } \exp w _ { m - e _ { i _ { k } } } ^ { i _ { k } , n } - \sum _ { l = 1 } ^ { d _ { 2 } } \alpha _ { m } ^ { i _ { l } , n } \exp ( - w _ { m } ^ { i _ { l } , n } ) } \\ & { = \beta _ { m } ^ { n } - \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { d _ { 1 } } D _ { m - e _ { i _ { k } } / 2 } ^ { i _ { k } , n } W _ { m - e _ { i _ { k } } } ^ { i _ { k } , n } \exp w _ { m - e _ { i _ { k } } } ^ { i _ { k } , n } } \\ & { \qquad \quad - \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } \sum _ { l = 1 } ^ { d _ { 2 } } D _ { m + e _ { i _ { l } } / 2 } ^ { i _ { l } , n } W _ { m } ^ { i _ { l } , n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \mathrm { T r } \left( \mathbf { F } _ { 2 } \mathbf { H } \right) } & { = } & & { - \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \alpha ^ { \prime } ( \mathbf { X } ) \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { X } \right] } \\ & { = } & & { - \log \left( \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left| \mathbf { R } _ { i i } \right| ^ { 1 / 2 } } { \left| \mathbf { R } \right| ^ { 1 / 2 } } \right) \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { X } \right] } \\ & { } & & { + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \left( \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { X } \right) \left( \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } - \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \right) \mathbf { X } \right) \right] - \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { X } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } u _ { t } ^ { ( 1 ) } \| } & { \; \leq \; \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in E } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| } \\ & { \leq \left( \alpha _ { 2 } + 2 \rho _ { 2 } \right) \left\| w _ { t } - w ^ { * } \right\| _ { \Sigma } } \\ & { \leq 3 \rho _ { 2 } \left\| w _ { t } - w ^ { * } \right\| _ { \Sigma } \; , } \end{array}
\frac { 1 } { q _ { e } n _ { e } } \sum _ { i } m _ { i } n _ { i } \frac { \partial \textbf { v } _ { i } } { \partial t } | _ { i , e } \equiv \frac { 1 } { q _ { e } n _ { e } } \sum _ { i } m _ { i } n _ { i } ( \frac { \Delta \textbf { v } _ { i } } { \Delta t } ) | _ { i , e } .
\begin{array} { r l } { g ( a _ { t } ) } & { \ge g ( e _ { g _ { t } } ) + \nabla g ^ { T } ( e _ { g _ { t } } ) ( a _ { t } - e _ { g _ { t } } ) + \frac { \nu _ { g _ { t } } } { 2 } | | a _ { t } - e _ { g _ { t } } | | ^ { 2 } , } \\ & { \stackrel { ( a ) } \ge 0 + \nabla g ^ { T } ( e _ { g _ { t } } ) ( a _ { t } - e _ { g _ { t } } ) + \frac { \nu _ { g _ { t } } } { 2 } | | a _ { t } - e _ { g _ { t } } | | ^ { 2 } , } \\ & { \stackrel { ( b ) } \ge \frac { \nu _ { g _ { t } } } { 2 } | | a _ { t } - e _ { g _ { t } } | | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \right) ^ { 2 } \geq 0 \mathrm { ( w h i c h ~ i s ~ o b v i o u s l y ~ t r u e ) } \implies } \\ & { \lvert x \rvert ^ { 2 } - 2 \lvert x \rvert \lvert y \rvert + | y ^ { 2 } | \geq 0 \implies } \\ & { 2 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \geq \lvert x \rvert ^ { 2 } + 2 \lvert x \rvert \lvert y \rvert + \lvert y \rvert ^ { 2 } \implies } \\ & { 2 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \geq \left( \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \right) ^ { 2 } \implies } \\ & { \sqrt { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \geq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \implies } \\ & { \sqrt { 2 } \lvert z \rvert = \sqrt { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \geq \lvert \mathrm { R e ~ z ~ } \rvert + \lvert \mathrm { I m ~ z ~ } \rvert } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { i n f } _ { G \in \mathbb { U } ^ { h , m } } J ^ { h } ( G ) - \operatorname* { i n f } _ { \mathfrak { g } \in \mathbb { A } } J ( \mathfrak { g } ) } \\ & { \leq C \left( 1 + \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } } ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \, d t \right] ^ { 1 / 2 } \right) h + C _ { h } \left( \epsilon _ { m } ^ { h , R } + \frac { 1 } { R } \right) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}