harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathbb { V } _ { k + 1 } - \mathbb { V } _ { k } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { 3 C _ { \lambda } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \xi \alpha _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } - l _ { g , 1 } \lambda _ { k } ( i ) + \frac { l _ { g , 1 } \lambda _ { k } } { 2 } ( i i ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { c _ { \eta } l _ { g , 1 } ^ { 2 } } ( i i i ) + 2 \xi \alpha _ { k } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { 1 } { c _ { \eta } l _ { g , 1 } ^ { 2 } } ( i v ) + \frac { \lambda _ { k } } { c _ { \eta } l _ { g , 1 } ^ { 2 } } ( v ) } \\ & { \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } - \frac { \lambda _ { k } l _ { g , 1 } \mu _ { g } \beta _ { k } } { 4 } \| y _ { k } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } - \frac { \lambda _ { k } l _ { g , 1 } \mu _ { g } \gamma _ { k } } { 4 } \| z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] \left( 1 - O ( \xi l _ { g , 1 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } / \mu _ { g } ) - O ( \xi c _ { \eta } ^ { - 1 } ) \right) } \\ & { \quad - \alpha _ { k } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] \left( 1 - O ( c _ { \eta } ^ { - 1 } ) \right) - \frac { \gamma _ { k } \lambda _ { k } } { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] \left( 1 - O ( c _ { \eta } ^ { - 1 } ) \right) } \\ & { \quad + O \left( \frac { C _ { \lambda } ^ { 2 } \xi \alpha _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } + \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } l _ { g , 1 } \delta _ { k } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 3 } \lambda _ { k } ^ { 3 } } \right) + \mathrm { n o i s e ~ v a r i a n c e ~ t e r m s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \left| \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } { G ( 0 , t , y , \tau ) \; [ 6 ( 1 - \Lambda \xi _ { \delta } ^ { \prime } ) ^ { 4 } \; \partial _ { x } ( ( a \xi _ { \delta } + ( 1 - \xi _ { \delta } ) + U ) ^ { 3 } \; \psi _ { 3 } \; x ^ { 3 } \; \xi _ { \delta } ) - \partial _ { t } a \; \xi _ { \delta } ] ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau } \right| } \\ & { \le C _ { \delta } ( \| \psi _ { 2 } \| , \| \psi _ { 3 } \| , \| U ( t ) \| _ { C [ 0 , \infty ) } ) \; ( T _ { \delta } + \| \Lambda \| _ { C ^ { 1 + \frac { \alpha } { 4 } } [ 0 , T _ { \delta } ] } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X _ { \mathrm { e n c o d e r } } \in \mathbb R ^ { L _ { E } \times N _ { \mathrm { s a m p l e } } \times N _ { E } } , } \\ & { X _ { \mathrm { d e c o d e r } } \in \mathbb R ^ { L _ { D } \times N _ { \mathrm { s a m p l e } } \times N _ { D } } , } \\ & { Y _ { \mathrm { d e c o d e r } } \in \mathbb R ^ { L _ { D } \times N _ { \mathrm { s a m p l e } } \times 1 } , } \end{array}
{ \mathcal { R } } _ { 0 } = e x p ( - \sum _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } , i } f _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } } ^ { * } ( { \bf { x } } ) f _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } } ( { \bf { x } } ) [ b _ { i } ( { \bf { q } } ) , a _ { { \bf { k } } } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } ) ] [ a _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) , b _ { i } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } ) ] )
\mathbf { H } _ { 0 } = \mathbf { H } _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \mathcal { O } ( \omega ) : = \nabla \mathcal { S } _ { \Omega _ { c } } ^ { 0 } \Big ( \frac { I } { 2 } + ( \mathcal { K } _ { \Omega _ { c } } ^ { 0 } ) ^ { * } \Big ) ^ { - 1 } [ \nu \cdot \mathbf { H } _ { 0 } | _ { \partial \Omega _ { c } } ^ { + } ] + \mathcal { O } ( \omega ) \ \ \mathrm { i n } \ \ \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { { \Omega _ { c } } } .
d s ^ { 2 } = r ^ { 2 } \left( - ( b R ^ { 2 } - k ) d T ^ { 2 } + \frac { d R ^ { 2 } } { b R ^ { 2 } - k } \right) + \frac { d r ^ { 2 } } { U ( r ) } + U ( r ) d \hat { \phi } ^ { 2 }
- \frac { 1 } { 2 L } \frac { 1 } { \sqrt { J } } \partial _ { p } J \partial _ { p } \frac { 1 } { \sqrt { J } } = - \frac { 1 } { 2 L } \partial _ { p } \partial _ { p } + \frac { 1 } { 2 L } \frac { 1 } { \sqrt { J } } \left( \partial _ { p } \partial _ { p } \sqrt { J } \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left[ \ \| J u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| J v \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. \quad + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x \right] } \\ { \leq \ } & { \frac { 4 t } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 4 t } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 8 \beta t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta ^ { k l } } & { { } \approx } & { \frac { n _ { l } \, \sigma _ { 0 } ^ { k l } \, \sum _ { s } \alpha _ { k } ^ { s } \, \int _ { 0 } ^ { t _ { C } } d t \, \left| g _ { k } ^ { s } ( t ) \right| _ { c } } { 1 + n _ { l } \, \sigma _ { 0 } ^ { k l } \, \sum _ { s } \alpha _ { k } ^ { s } \, \int _ { 0 } ^ { t _ { C } } d t \, \left| g _ { k } ^ { s } ( t ) \right| _ { c } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { s ^ { 2 } + 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - \alpha _ { 2 } } & { s ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } } & { - \beta _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \alpha _ { n - 1 } } & { s ^ { 2 } + \alpha _ { n - 1 } + \beta _ { n - 1 } } & { - \beta _ { n - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \alpha _ { n } } & { s ^ { 2 } + \alpha _ { n } } \end{array} \right) \quad \left( \begin{array} { l } { \hat { y } _ { 1 } ( s ) } \\ { \hat { y } _ { 2 } ( s ) } \\ { \hat { y } _ { 3 } ( s ) } \\ { \vdots } \\ { \hat { y } _ { n - 1 } ( s ) } \\ { \hat { y } _ { n } ( s ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { - 1 } { s } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c c } { h _ { 1 } } & { g \psi ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi | ^ { 3 } } \\ { - ( g \psi ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi | ^ { 3 } ) } & { - h _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { U } \\ { V } \end{array} \right) = \omega \left( \begin{array} { c } { U } \\ { V } \end{array} \right) } \end{array}
\times \exp \left\{ \sum _ { \stackrel { i , j = 1 } { i < j } } ^ { 3 } \left[ \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } } p _ { i } + \alpha _ { 1 } ^ { ( i ) } V _ { i } ^ { \prime } ( 0 ) \partial _ { z _ { i } } \right] \cdot \left[ \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } } p _ { j } + \alpha _ { 1 } ^ { ( j ) } V _ { j } ^ { \prime } ( 0 ) \partial _ { z _ { j } } \right] \right.
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { Q _ { 1 } = \Big \{ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \mu _ { j } ( u _ { j } , v _ { j } ) \; \big | \; } & { \lambda _ { i } \geq 0 , \, \forall i = 1 , \ldots , k , \, \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } = 1 , } \\ & { \mu _ { j } \geq 0 , \, \forall j = 1 , \ldots , \ell \Big \} . } \end{array} } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { E _ { x } } \\ { E _ { y } } \\ { E _ { z } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \rho _ { x x } } & { \rho _ { x y } } & { \rho _ { x z } } \\ { \rho _ { y x } } & { \rho _ { y y } } & { \rho _ { y z } } \\ { \rho _ { z x } } & { \rho _ { z y } } & { \rho _ { z z } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { J _ { x } } \\ { J _ { y } } \\ { J _ { z } } \end{array} \right] } ,
H = H _ { e } + \sum _ { p q r } U _ { r p } ^ { \dagger } \omega _ { p } U _ { p q } \tilde { b } _ { r } ^ { \dagger } \tilde { b } _ { q } + \sum _ { p q j } q _ { j p } V _ { j } U _ { p q } ( \tilde { b } _ { q } + \tilde { b } _ { q } ^ { \dagger } ) ,
f _ { p r o b e } ( r , \, \theta , \, z ) = \frac { 1 } { w _ { e } \sqrt { \pi } } \cdot e ^ { - \frac { ( r - r _ { 0 } ) ^ { 2 } } { w _ { e } ^ { 2 } } } \cdot e ^ { - \frac { 2 z } { p _ { p r o b e } } }
\begin{array} { r l r } { \frac { d W } { d z } } & { = } & { \frac { d W ^ { ( 0 ) } } { d z } - \frac { 4 q ^ { 2 } } { \pi r _ { c } ^ { 2 } } \mathrm { I m } \left\{ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \delta _ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, \frac { u } { \varepsilon _ { 0 } } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } I _ { n } ^ { 2 } ( u \gamma _ { 0 } r _ { 0 } / r _ { c } ) \frac { K _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) } { I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) } \right. } \\ & { } & { \times \left. \frac { \left[ \gamma _ { 1 } \frac { I _ { n } ^ { \prime } ( \gamma _ { 0 } u ) } { I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) } - \gamma _ { 0 } \frac { K _ { n } ^ { \prime } ( \gamma _ { 1 } u ) } { K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) } \right] \left[ \varepsilon _ { 0 } \gamma _ { 1 } \frac { K _ { n } ^ { \prime } \left( \gamma _ { 0 } u \right) } { K _ { n } \left( \gamma _ { 0 } u \right) } - \varepsilon _ { 1 } \gamma _ { 0 } \frac { K _ { n } ^ { \prime } \left( \gamma _ { 1 } u \right) } { K _ { n } \left( \gamma _ { 1 } u \right) } \right] - \left( \frac { n \beta } { u } \frac { \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } } { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \right) ^ { 2 } } { \left[ \gamma _ { 1 } \frac { I _ { n } ^ { \prime } ( \gamma _ { 0 } u ) } { I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) } - \gamma _ { 0 } \frac { K _ { n } ^ { \prime } ( \gamma _ { 1 } u ) } { K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) } \right] \left[ \varepsilon _ { 0 } \gamma _ { 1 } \frac { I _ { n } ^ { \prime } \left( \gamma _ { 0 } u \right) } { I _ { n } \left( \gamma _ { 0 } u \right) } - \varepsilon _ { 1 } \gamma _ { 0 } \frac { K _ { n } ^ { \prime } \left( \gamma _ { 1 } u \right) } { K _ { n } \left( \gamma _ { 1 } u \right) } \right] - \left( \frac { n \beta } { u } \frac { \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } } { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \right) ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\langle C \rangle _ { q } = \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { M } C ( G _ { m } ^ { * } ) \, p _ { q } ^ { q - 1 } ( G _ { m } ^ { * } , \psi _ { q } ^ { * } ) } { M \sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } p _ { q } ^ { q } ( G _ { i } , \psi _ { q } ^ { * } ) }
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { \Delta t } = } & { \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 } \left( { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } - { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } - { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 2 } \left( { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } - { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } - { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } \right) + { \bf \Pi } _ { \mathrm { { { F } } } } + \Delta t { \bf S } _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { D } _ { \mathrm { i n t } } ( \pm p ) } & { \approx \sum _ { k \geq 2 } - \frac { \zeta _ { 1 } ^ { k } L \beta _ { k } } { t _ { \mathrm { R } } k ! } ( \pm p ) ^ { k } , } \\ & { = - \frac { L } { t _ { \mathrm { R } } } \sum _ { k \geq 2 } \frac { \beta _ { k } } { k ! } ( \pm \zeta _ { 1 } p ) ^ { k } . } \end{array}
{ \bf { k } } = \Lambda { \bf { q } } \; \; , \; \; \Lambda = \Lambda _ { 0 } e ^ { - t } \; \; , \; \; \varphi _ { \bf { k } } = \Lambda ^ { D ^ { \varphi } - D } \sqrt { Z _ { t } } \tilde { \varphi } _ { \bf { q } } \; .
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } } & { { } = \hat { T } _ { \bf Q } + \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } ( \hat { T } _ { \bf r } + V _ { \mathrm { c o u l } } ( \{ { { \bf r } _ { j } , { \bf Q } _ { j } } \} ) ) \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert K \left( \cdot , s \right) - K \left( \cdot , t \right) \right\Vert _ { \mathscr { H } _ { K } } ^ { 2 } } & { = \left\Vert \left( \cdot \wedge s \right) ^ { \prime } - \left( \cdot \wedge t \right) ^ { \prime } \right\Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = \left\Vert \chi _ { \left[ 0 , s \right] } - \chi _ { \left[ 0 , t \right] } \right\Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = \left| s - t \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 2 } ( \mu _ { k \eta } , \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } ) } & { \le C _ { 1 } \operatorname* { m a x } \left. \left\{ x ^ { \frac { 1 } { 2 } } , x ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right\} \right| _ { x = \left( C _ { 0 } \frac { \omega _ { \nabla U } ( r ) } { r } \eta + \beta \left( \delta _ { r , 2 } \kappa _ { \infty } + \delta _ { r , 0 } \right) \right) k \eta } . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { t \rightarrow t ^ { \prime } } { \frac { d } { d t ^ { \prime } } } t a n ^ { - 1 } \biggl ( { \frac { x _ { 2 } ( t ^ { \prime } ) - x _ { 2 } ( t ) } { x _ { 1 } ( t ^ { \prime } ) - x _ { 1 } ( t ) } } \biggr ) = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d } { d t } } t a n ^ { - 1 } \biggl ( { \frac { { \dot { x } } _ { 2 } ( t ) } { { \dot { x } } _ { 1 } ( t ) } } \biggr ) \, .
\begin{array} { r l } { U \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) \cdot \big ( J \partial _ { x } z _ { k } ( t , x ) \big ) } & { { } = \nabla ^ { \perp } \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) \cdot \big ( J \partial _ { x } z _ { k } ( t , x ) \big ) } \end{array}
\frac { d E } { d t } \ = \ - \left[ 2 . 7 \, n _ { H } \, + \, 7 . 3 \, n _ { H } \, E \, + \, 1 . 0 2 \, \left( U _ { r a d } \, + \, U _ { m a g } \right) \, E ^ { 2 } \right] \, \times \, 1 0 ^ { - 1 6 } \ G e V \, s ^ { - 1 } ,
t ^ { \prime } = t \; , \quad z ^ { \prime } = z \; , \quad x ^ { \prime } = R \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( { \Omega } _ { 0 } t + \varphi ) \; , \quad y ^ { \prime } = R \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( { \Omega } _ { 0 } t + { \varphi } ) \; ,
X _ { t } ^ { i } = f _ { i } \left( ( \mathbf { P A } _ { p } ^ { i } ) _ { t - p } , \ldots , ( \mathbf { P A } _ { 1 } ^ { i } ) _ { t - 1 } , ( \mathbf { P A } _ { 0 } ^ { i } ) _ { t } , N _ { t } ^ { i } \right) ,
d s ^ { 2 } = - d \tau ^ { 2 } + \frac { a ( \tau ) ^ { 2 } } { ( 1 + \mathrm { ~ \frac { 1 } { 4 } ~ } k r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left[ d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } \right]
{ \begin{array} { r l } { F ( A ^ { 1 } , \dots , c A ^ { j } , \dots ) } & { = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) c a _ { \sigma ( j ) } ^ { j } \prod _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } } \\ & { = c \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) a _ { \sigma ( j ) } ^ { j } \prod _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } } \\ & { = c F ( A ^ { 1 } , \dots , A ^ { j } , \dots ) } \\ { F ( A ^ { 1 } , \dots , b + A ^ { j } , \dots ) } & { = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \left( b _ { \sigma ( j ) } + a _ { \sigma ( j ) } ^ { j } \right) \prod _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } } \\ & { = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \left( \left( b _ { \sigma ( j ) } \prod _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } \right) + \left( a _ { \sigma ( j ) } ^ { j } \prod _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } \right) \right) } \\ & { = \left( \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) b _ { \sigma ( j ) } \prod _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } \right) + \left( \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } \right) } \\ & { = F ( A ^ { 1 } , \dots , b , \dots ) + F ( A ^ { 1 } , \dots , A ^ { j } , \dots ) } \end{array} }
r _ { \sigma } = \frac { \displaystyle \int d ( \mathrm { P S } ) _ { Q \overline { { Q } } } \, R _ { g } ^ { A } ( x _ { 2 } , Q ) h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , m _ { T } , \ldots ) } { \displaystyle \int d ( \mathrm { P S } ) _ { Q \overline { { Q } } } \, h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , m _ { T } , \ldots ) } ,
\begin{array} { r l } { \overline { { f \left( \alpha , a \right) } } } & { \approx A _ { 0 0 } + A _ { 1 1 } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } u ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } \right) + A _ { 0 2 } \left( \overline { { { u ^ { \prime } } ^ { 2 } } } - 2 \overline { { u ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } + \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \right) + A _ { 1 2 } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } { u ^ { \prime } } ^ { 2 } } } - 2 \overline { { \alpha ^ { \prime } u ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } + \overline { { \alpha ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \right) } \\ & { + A _ { 0 3 } \left( \overline { { { u ^ { \prime } } ^ { 3 } } } + 3 \overline { { u ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } - 3 \overline { { { u ^ { \prime } } ^ { 2 } { u _ { p } ^ { \prime } } } } - \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 3 } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { a } } & { = - \hbar \omega _ { a } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \hat { \sigma } _ { g _ { a } g _ { a } } ^ { j } + \sum _ { j , l = 1 } ^ { N } J _ { j l } ^ { a } \hat { \sigma } _ { e g _ { a } } ^ { j } \hat { \sigma } _ { g _ { a } e } ^ { l } , } \\ { \mathcal { L } _ { a } ( \rho ) } & { = \sum _ { j , l = 1 } ^ { N } \frac { \Gamma _ { j l } ^ { a } } { 2 } \left( 2 \hat { \sigma } _ { g _ { a } e } ^ { j } \rho \hat { \sigma } _ { e g _ { a } } ^ { l } - \hat { \sigma } _ { e g _ { a } } ^ { j } \hat { \sigma } _ { g _ { a } e } ^ { l } \rho - \rho \hat { \sigma } _ { e g _ { a } } ^ { j } \hat { \sigma } _ { g _ { a } e } ^ { l } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { p s , q r } ^ { B A } } & { { } = \eta \sum _ { K T J } ( - 1 ) ^ { J + K } \mathsf { \Pi } _ { [ [ p s ] _ { J } , [ q r ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } \, \Pi _ { K T J } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx \frac { \mu _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 2 , r } ^ { 2 } n I _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } r _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) } { 2 \pi l ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } \sin ( \omega _ { 0 } t ) , } \\ { B _ { z } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx \frac { n I _ { 0 } \mu _ { 2 , r } } { 4 \pi ^ { 2 } l } \Big [ 4 \pi ^ { 2 } \mu _ { 0 } + \frac { 2 ( \mu _ { 0 } \mu _ { 2 , r } r _ { 2 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } { ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } } \\ & { \qquad \qquad + \pi ^ { 2 } \mu _ { 0 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } + 2 \pi ^ { 2 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big ] \cos ( \omega _ { 0 } t ) } \\ & { \quad + \frac { \pi n I _ { 0 } \mu _ { 0 } \mu _ { 2 , r } ^ { 2 } } { 4 l } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \sin ( \omega _ { 0 } t ) , } \end{array}
\frac { \ddot { a _ { 0 } } } { a _ { 0 } } + \frac { \dot { a _ { 0 } } ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 2 } } = - \frac { k _ { ( 5 ) } ^ { 4 } } { 3 6 } \rho ( \rho + 3 p )
0 = 4 a \left( \frac { d \bar { \phi } } { d A } \right) ^ { 2 } - \frac { 2 } { P ( A ) } \frac { d P ( A ) } { d A } \frac { d \bar { \phi } } { d A } - \frac { \bar { f } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 P ^ { 2 } ( A ) } + \frac { 2 \bar { Q } + \mu e ^ { - 4 a \bar { \phi } } / \bar { Q } } { 4 P ( A ) } ,
\mathbf { x } _ { N } ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } } } \left( \mathbf { x } _ { N } ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } - \frac { 1 - \alpha ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } } { \sqrt { 1 - \bar { \alpha } ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } } } \hat { \epsilon } _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { N } ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } , \mathbf { x } _ { 0 } , N , t _ { \mathrm { d i f f } } ) \right) + \sigma _ { t } \epsilon
\begin{array} { c c l } { { W _ { 2 / 3 } } } & { { = } } & { { m _ { 1 } \overline { { { { \bf 1 6 } } } } _ { 1 } { \bf 1 6 } _ { 1 } + m _ { 2 } \overline { { { { \bf 1 6 } } } } _ { 2 } { \bf 1 6 } _ { 2 } } } \\ { { } } & { { } } & { { { \bf 1 6 } _ { 1 } { \bf 1 0 } \langle { \bf 1 6 } \rangle + \overline { { { { \bf 1 6 } } } } _ { 2 } { \bf 1 0 } \langle \overline { { { { \bf 1 6 } } } } \rangle + \overline { { { { \bf 1 6 } } } } _ { 1 } { \bf 1 6 } _ { 2 } \langle { \bf 4 5 } \rangle . } } \end{array}
n _ { H } ( r ) = \frac { e ^ { - 2 r } } { \pi } \; , \; n _ { G } ( r ) = \frac { e ^ { - r ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi } ^ { 3 } } \; , \; n _ { C } ( r ) = \frac { ( 1 + r ) e ^ { - r } } { 3 2 \pi } \ ,
v _ { \mathrm { a c c } } ( r _ { \mathrm { S S } } , v _ { r _ { \mathrm { S S } } } ( \phi ) ; \alpha _ { \mathrm { a c c } } , r _ { h } ) = \alpha _ { \mathrm { a c c } } ( 1 - e ^ { - r _ { \mathrm { S S } } / r _ { h } } ) v _ { r _ { \mathrm { S S } } } ( \phi ) ,
2 \Big \langle F ^ { s , e } - f ^ { s , e } , \mathcal { P } _ { b } ^ { s , e } \Big ( F ^ { s , e } \Big ) - \mathcal { P } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \rangle < \Big \| f ^ { s , e } - \mathcal { P } _ { b } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \| ^ { 2 } - \Big \| f ^ { s , e } - \mathcal { P } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { a _ { P } } & { { } = \frac { d i s t _ { H } ( \mathbf { z } _ { i } , \mathbf { z _ { 0 } } , d _ { 0 } ) } { v _ { P } } + t _ { 0 } } \\ { a _ { S } } & { { } = \frac { d i s t _ { H } ( \mathbf { z } _ { i } , \mathbf { z _ { 0 } } , d _ { 0 } ) } { v _ { S } } + t _ { 0 } , } \end{array}
\frac { i } { 2 } \mathrm { T r } \, \left( \hat { T } _ { x } ^ { ( 1 ) } \frac { 1 } { \partial ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \sigma \frac { 1 } { \partial ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \right) - \frac { i } { 4 } \mathrm { T r } \, \left( \hat { T } _ { x } ^ { ( 0 ) } \frac { 1 } { \partial ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \sigma \frac { 1 } { \partial ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \sigma \frac { 1 } { \partial ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \right) \, .
= ( p _ { 0 } ^ { + \prime } / V _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \Sigma ( p _ { k } ^ { + \prime } / V _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma ( P _ { j } ^ { + \prime } / V _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 }
T = 2 \pi { \sqrt { \frac { L } { g } } } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { \left( 2 n \right) ! } { 2 ^ { 2 n } \left( n ! \right) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 n } \left( { \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } } \right) \right] = 2 \pi { \sqrt { \frac { L } { g } } } \left( 1 + { \frac { 1 } { 1 6 } } \theta _ { 0 } ^ { 2 } + { \frac { 1 1 } { 3 0 7 2 } } \theta _ { 0 } ^ { 4 } + \cdots \right)
\delta \kappa ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \Omega _ { m } ^ { N \pm 2 } ) \approx \sum _ { A < B < N _ { \mathrm { v i r , a c t } } } X _ { A B } ^ { N \pm 2 , m } \psi _ { A } ( x _ { 1 } ) \psi _ { B } ( x _ { 2 } ) + \sum _ { I < J < N _ { \mathrm { o c c , a c t } } } Y _ { I J } ^ { N \pm 2 , m } \psi _ { I } ( x _ { 1 } ) \psi _ { J } ( x _ { 2 } ) .