harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\psi ( \tau | \mathrm { ~ n ~ o ~ d ~ e ~ i ~ s ~ u ~ s ~ c ~ e ~ p ~ t ~ i ~ b ~ l ~ e ~ , ~ j ~ i ~ n ~ f ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ , ~ e ~ d ~ g ~ e ~ i ~ j ~ a ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } ) = \frac { \Phi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \Phi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ) d \tau }
\mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { h \in \mathcal { H } _ { C } } \left| \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { m } } \sigma _ { m } ^ { ( i ) } \cdot p _ { m , i } \left( \ell ( h ; z _ { m } ^ { ( i ) } ) - \ell ( h ; { z ^ { \prime } } _ { m } ^ { ( i ) } ) \right) \right| \right] \leq \frac { 4 + \sqrt { \log \left( | \mathcal { H } _ { C } | \right) } } { \sqrt { 2 N _ { \mathrm { e f f } } } B } .
\begin{array} { r l } & { \left( d _ { \mathrm { I } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) + d _ { \mathrm { H } } + T \left[ 4 \left( d _ { \mathrm { H } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) + 9 d _ { \mathrm { H } } + 2 \left( d _ { \mathrm { F F } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) \right. } \\ & { + \left. d _ { \mathrm { F F } } \right] + \left( d _ { \mathrm { H } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) + d _ { \mathrm { H } } + \left( d _ { \mathrm { H } } \times d _ { \mathrm { O } } \right) + d _ { \mathrm { O } } } \\ & { = 1 { , } 2 0 3 { , } 0 7 4 } \end{array}
\vec { B } ( \vec { x } _ { 2 } ) = \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \times \vec { A } ( \vec { x } _ { 2 } ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \times \left( \frac { \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) } { R } \right) .
\Bar { \Phi } = \overline { { \tau _ { i j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } } } = \Bar { \tau } _ { i j } \frac { \partial \Tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } + \overline { { \tau _ { i j } \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime \prime } } { \partial x _ { j } } } } .
\protect [ M _ { \mu \nu } , M _ { \rho \sigma } ] = - i \eta _ { \mu \rho } M _ { \nu \sigma } - i \eta _ { \nu \sigma } M _ { \mu \rho } + i \eta _ { \mu \sigma } M _ { \nu \rho } + i \eta _ { \nu \rho } M _ { \mu \sigma } ,
\begin{array} { r l } { \left[ c _ { i j k l } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } ) u _ { k , l } ( { \bf x , \omega } ) \right] _ { , j } + \rho ( { \bf x } ) \omega ^ { 2 } u _ { i } ( { \bf x , \omega } ) } & { { } = - f _ { i } ( { \bf x } ) - \left[ \Delta c _ { i j k l } ( { \bf x } ) u _ { k , l } ( { \bf x , \omega } ) \right] _ { , j } } \end{array}
V _ { l i n e a r } ^ { 0 } = t _ { d } ^ { 0 } \sigma _ { d } ^ { 0 } + t _ { u } ^ { 0 } \sigma _ { u } ^ { 0 } + t _ { 1 } ^ { 0 } \tilde { \nu } _ { 1 } ^ { R } + t _ { 2 } ^ { 0 } \tilde { \nu } _ { 2 } ^ { R } + t _ { 3 } ^ { 0 } \tilde { \nu } _ { 3 } ^ { R } \, ,
\begin{array} { r l } { b _ { \mathrm { m a x } } } & { { } = \left( \frac { \beta } { \beta + 2 } \right) ^ { ( \beta + 2 ) / ( 2 \beta ) } \left( \frac { - 2 } { \beta C _ { \mathrm { e f f } } } \right) ^ { 1 / \beta } E _ { c } ^ { 1 / \beta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } } & { = } & { - k ( x - y ) f ( x - y ) - m g } \\ { m \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } } & { = } & { k ( x - y ) f ( x - y ) - m g } \\ { x ( 0 ) } & { = } & { 0 , \quad y ( 0 ) = \frac { - m g } { k } , \quad x ^ { \prime } ( 0 ) = y ^ { \prime } ( 0 ) = 0 } \end{array}
y _ { \mathrm { S T E D } } = \frac { \lambda } { 2 \mathrm { N A } \sqrt { 1 + I / I _ { \mathrm { s a t } } } } = \frac { y _ { \mathrm { m i n } } } { \sqrt { 1 + I / I _ { \mathrm { s a t } } } } .
| | \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 2 } | | = | | \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 3 } | | = | | \boldsymbol { r } _ { 2 } - \boldsymbol { r } _ { 3 } | |
\begin{array} { r l } { \alpha ( r ) = \operatorname* { s u p } } & { \left\{ | \mathbb { P } ( A \cap B ) - \mathbb { P } ( A ) \mathbb { P } ( B ) | \, : \, A \in \mathcal { F } _ { \mathcal { I } } , ~ B \in \mathcal { F } _ { \mathcal { J } } , ~ \operatorname { d i s t } ( \mathcal { I } , \mathcal { J } ) \ge r , ~ \mathcal { I } , \mathcal { J } \subset { \mathbb Z } \right\} . } \end{array}
- \sum _ { j = 1 } ^ { N } u _ { j } ( f _ { j + \frac { 1 } { 2 } } - f _ { j - \frac { 1 } { 2 } } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } f _ { j + \frac { 1 } { 2 } } \big ( u _ { j + 1 } - u _ { j } \big ) + f _ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { 1 } - f _ { N + \frac { 1 } { 2 } } u _ { N } \le 0 .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge d ( \partial \phi ) = } & { { } \big \langle \ast \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } , d ( \partial \phi ) \big \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) \wedge \partial \phi _ { \partial } . } \end{array}
\partial _ { t _ { i } } P ( \mathbf { x } , \mathbf { t } \mid \mathbf { x _ { 0 } } ) = D _ { i } \partial _ { x _ { i } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { i } } k _ { \alpha } ( t _ { i } - u _ { i } ) P ( \mathbf { x } , \mathbf { t } ^ { ' ( i ) } , u _ { i } \mid \mathbf { x _ { 0 } } ) \, d u _ { i } ; \qquad - M \leq i \leq M .
\xi _ { 1 } ^ { ( i ) } ( x ) \equiv \langle \lambda _ { m a x } ^ { ( i ) } | \mathrm { e x p ( } \frac { 1 } { 2 } \Phi ) T ( x ) , { } ~ ~ ~ ~ \xi _ { 2 } ^ { ( i ) } ( x ) \equiv \langle \lambda _ { m a x } ^ { ( i ) } | E _ { i } \mathrm { e x p ( } \Psi _ { + } ) \mathrm { e x p ( } \frac { 1 } { 2 } \Phi ) T ( x )
y - \frac { a } { 2 } z ^ { r } = ( s _ { N _ { f } - 2 } t _ { N _ { f } - 2 } z _ { N _ { f } - 2 } ) ^ { r - 1 } ( s _ { N _ { f } - 2 } t _ { N _ { f } - 2 } - \frac { a } { 2 } s _ { N _ { f } - 2 } t _ { N _ { f } - 2 } z _ { N _ { f } - 2 } ) .
\begin{array} { r l } { D _ { t ^ { * } } ^ { * } w ^ { * } \sim \partial _ { Z ^ { * } } p ^ { * } } & { > g \alpha \theta ^ { * } \sim \nu \nabla _ { \perp } ^ { * 2 } w ^ { * } , } \\ { D _ { t ^ { * } } ^ { * } \zeta ^ { * } \sim 2 \Omega \partial _ { Z ^ { * } } w ^ { * } } & { > \nu \nabla _ { \perp } ^ { * 2 } \zeta ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { l _ { o r b } ^ { t o t a l } } & { { } = } & { \hbar \, \frac { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \mathcal { I } _ { x } \, ( \partial _ { \phi } \Phi _ { x } ) + \mathcal { I } _ { y } \, ( \partial _ { \phi } \Phi _ { y } ) \right] \, d x \, d y } { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \mathcal { I } _ { x } + \mathcal { I } _ { y } \right) \, d x \, d y } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d R } { d t } } & { = \frac { \alpha \alpha _ { \mathrm { d i f f } } } { \alpha + \alpha _ { \mathrm { d i f f } } } \left( \frac { v _ { \infty } } { S } \right) \left[ \sigma _ { \infty } - 2 \left( \frac { \xi } { R } \right) \right] } \\ { \sigma _ { \infty } } & { = \left[ 1 - \frac { 3 \alpha } { 2 ( \alpha + \alpha _ { \mathrm { d i f f } } ) } \left( \frac { R } { R _ { \mathrm { d r o p } } } \right) \right] ^ { - 1 } \left[ \frac { \rho _ { 0 } - \rho _ { \mathrm { e q } } } { \rho _ { \mathrm { e q } } } - \frac { \rho _ { \mathrm { c } } } { \rho _ { \mathrm { e q } } } \left( \frac { R } { R _ { \mathrm { d r o p } } } \right) ^ { 3 } - \frac { 3 \alpha } { ( \alpha + \alpha _ { \mathrm { d i f f } } ) } \left( \frac { \xi } { R _ { \mathrm { d r o p } } } \right) \right] } \\ { \alpha } & { = \frac { \kappa / v _ { \infty } } { 1 + K ( S = 0 ) ^ { - 1 } + \kappa / v _ { \infty } } } \\ { v _ { \infty } } & { = D \rho ^ { 2 / 3 } , \quad \alpha _ { \mathrm { d i f f } } = \frac { \rho _ { \mathrm { e q } } D S } { \rho _ { \mathrm { c } } v _ { \infty } R } , \quad \rho _ { \mathrm { c } } = \frac { 6 \phi } { \pi d ^ { 3 } } , \quad \xi = \left( \frac { R ^ { * } } { R } \right) ^ { 2 } \gamma , \quad R ^ { * } = \frac { 2 \gamma \rho _ { \mathrm { e q } } } { \rho _ { 0 } - \rho _ { \mathrm { e q } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { i + 1 } ( F ^ { * } ) - c _ { i + 1 } ( F _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - \delta _ { i + 1 } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) - \Delta _ { i + 1 } \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ = 0 . } \end{array}
{ \frac { T _ { \nu } } { T _ { \gamma } } } = \left( { \frac { 2 } { 2 + 2 \times 7 / 8 + 2 \times 7 / 8 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } = \left( { \frac { 4 } { 1 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } .
\begin{array} { r } { g ^ { - 1 } \lambda + \lambda g ^ { - 1 } = 2 g ^ { - 1 } p ^ { T } p g ^ { - 1 } , \qquad \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ ~ ( g ^ { - 1 } \lambda + \lambda g ^ { - 1 } ) _ { i j } = 2 [ { \boldsymbol \Omega } ^ { 2 } \delta _ { i j } - \Omega _ { i } \Omega _ { j } ] . } \end{array}
\epsilon _ { f i t } = \frac { \int \displaylimits _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \int \displaylimits _ { \theta = 0 } ^ { 2 \pi } \mathop { r } \mathop { d r } \mathop { d \theta } \left| F _ { \mathrm { H G } } ( r , \theta , z _ { f } ) - F _ { \mathrm { L G } } ( r , \theta , z _ { f } ) \right| } { \int \displaylimits _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \int \displaylimits _ { \theta = 0 } ^ { 2 \pi } \mathop { r } \mathop { d r } \mathop { d \theta } F _ { \mathrm { H G } } ( r , \theta , z _ { f } ) }
F _ { 1 2 } = - \frac { M _ { 1 } M _ { 2 } } { r _ { 1 2 } ^ { 2 } } + \frac { Q _ { 1 } Q _ { 2 } } { r _ { 1 2 } ^ { 2 } } + \frac { P _ { 1 } P _ { 2 } } { r _ { 1 2 } ^ { 2 } } - \frac { \Sigma _ { 1 } \Sigma _ { 2 } } { r _ { 1 2 } ^ { 2 } } \ .
I [ \, \phi \, ] \, = \, { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { n + 1 } x \, \partial _ { \mu } \Big ( ( x ^ { 0 } ) ^ { - n + 1 } \, \phi \partial _ { \mu } \phi \Big ) \, - \, { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { n + 1 } x \, \phi \, \partial _ { \mu } \Big ( ( x ^ { 0 } ) ^ { - n + 1 } \, \partial _ { \mu } \phi \Big ) \, .
\begin{array} { r l } { \mu ( \beta _ { 1 } ^ { 0 } , \beta _ { 2 } ^ { 0 } ) - \sigma ^ { 2 } = \Bigg | } & { \sqrt { P } \left( \frac { \sqrt { F } \lambda e ^ { - j k _ { 0 } d _ { 0 } } } { 4 \pi d _ { 0 } } \right) L _ { x } L _ { y } \mathrm { s i n c } \bigg ( K _ { x } ( \alpha _ { 1 } - \beta _ { 1 } ^ { 0 } ) \bigg ) } \\ & { \times \mathrm { s i n c } \bigg ( K _ { y } ( \alpha _ { 2 } - \beta _ { 2 } ^ { 0 } ) \bigg ) \Bigg | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl | \mathbb { E } \bigl [ R ( } & { s _ { 0 } , a , \boldsymbol { \pi } ^ { * } ) \bigr ] - \mathbb { E } \bigl [ \tilde { R } ( s _ { 0 } , a , J _ { 1 } ^ { * } ) \bigr ] \bigr | } \\ & { \leq \alpha d _ { \mathcal { Y } } \biggl ( L _ { r } \sum _ { i = 1 } ^ { T - 2 } \gamma ^ { i } \, \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } L _ { f } ^ { j } \biggr ) + \gamma ^ { T - 1 } L _ { U } \Biggl [ \alpha d _ { \mathcal { Y } } \sum _ { j = 0 } ^ { T - 2 } L _ { f } ^ { j } + \gamma d _ { \mathcal { Y } } ( \alpha + 2 ) ( T - 1 ) \Biggr ] , } \end{array}
\ \| \nabla \tilde { w } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| \nabla w \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| \nabla v \| _ { 2 } ^ { 2 } , \ \int _ { \mathbb R ^ { N } } ( I _ { \alpha } \ast | \tilde { w } | ^ { p } ) | \tilde { w } | ^ { p } = \int _ { \mathbb R ^ { N } } ( I _ { \alpha } \ast | w | ^ { p } ) | w | ^ { p } = \int _ { \mathbb R ^ { N } } ( I _ { \alpha } \ast | v | ^ { p } ) | v | ^ { p } ,
\exp \! { \Big ( } { \boldsymbol { \mu } } ^ { \! { \mathsf { T } } } \mathbf { t } + { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { t } ^ { \! { \mathsf { T } } } { \boldsymbol { \Sigma } } \mathbf { t } { \Big ) }
\begin{array} { r l } { \frac { d \rho _ { + } ^ { * } } { d \langle k \rangle } = 0 \Longleftrightarrow } & { { } \lambda _ { 1 } \Big [ \beta _ { 2 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \eta ( 1 - \eta ) \Big ] - \lambda _ { 2 } \Big [ \beta _ { 1 } ^ { 2 } { ( 1 - \eta ) } ^ { 2 } + \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \eta ( 1 - \eta ) \Big ] - { \Big [ \beta _ { 1 } ( 1 - \eta ) + \beta _ { 2 } \eta \Big ] } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { [ ( s x u \wedge [ r ] ) \, m \, ( s z u \wedge [ r ] ) ] \, j \, [ ( s x u \wedge [ r ] ) \, m \, ( r z d \wedge [ s ] ) ] } } & { { = } } & { { } } \\ { { ( \{ s \} \wedge [ r ] ) \, j \, ( s x u \wedge r z d ) = s x u \wedge [ r ] , } } & { { } } & { { } } \end{array}
c _ { 3 } = \delta _ { e } \frac { ( \kappa _ { e } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ) ( \kappa _ { e } + \frac { 3 } { 2 } ) } { 6 ( \kappa _ { e } - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 3 } }
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x x ^ { n - 1 } F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) = \phantom { - } \sum _ { i } b _ { n } ^ { i } X _ { i } ^ { n } ( Q ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } , \alpha _ { s } ) \quad n = 1 , 3 , 5 , \ldots
\begin{array} { r } { s \left( \boldsymbol { x } \right) = \mathcal { R } _ { s p } \, s \left( \boldsymbol { x } _ { 0 } \right) \; , \; \mathcal { R } _ { s p } = e ^ { - i \sigma _ { 3 } \phi / 2 } \; , \; s \left( \boldsymbol { x } _ { 0 } \right) = \left( \begin{array} { c } { R \left( r \right) } \\ { 0 } \end{array} \right) \; \mathrm { o r } \; \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { R \left( r \right) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | K ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) - K ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) | } \\ & { = \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla K ( x _ { 1 } + t ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) , y _ { 1 } + t ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ) ^ { \mathrm { T } } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } , y _ { 2 } - y _ { 1 } ) \mathrm { d } t \right| } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \nabla K ( x _ { 1 } + t ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) , y _ { 1 } + t ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ) \| _ { 2 } \| ( x _ { 2 } - x _ { 1 } , y _ { 2 } - y _ { 1 } ) \| \mathrm { d } t } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } L ( 1 + \| x _ { 1 } + t ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \| _ { 2 } + \| y _ { 1 } + t ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) \| _ { 2 } ) \| ( x _ { 2 } - x _ { 1 } , y _ { 2 } - y _ { 1 } ) \| _ { 2 } \mathrm { d } t } \\ { \ } & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } L ( 1 + \| x _ { 1 } \| _ { 2 } + t \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } + \| y _ { 1 } \| _ { 2 } + t \| y _ { 2 } - y _ { 1 } \| _ { 2 } ) \| ( x _ { 2 } - x _ { 1 } , y _ { 2 } - y _ { 1 } ) \| _ { 2 } \mathrm { d } t } \\ { \ } & { \le L ( 1 + \| x _ { 1 } \| _ { 2 } + \frac 1 2 \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } + \| y _ { 1 } \| _ { 2 } + \frac 1 2 \| y _ { 2 } - y _ { 1 } \| _ { 2 } ) \| ( x _ { 2 } - x _ { 1 } , y _ { 2 } - y _ { 1 } ) \| _ { 2 } } \\ { \ } & { \le L ( 1 + \| x _ { 1 } \| _ { 2 } + r + \| y _ { 1 } \| _ { 2 } + s ) \| ( x _ { 2 } - x _ { 1 } , y _ { 2 } - y _ { 1 } ) \| _ { 2 } } \end{array}
\eta _ { i } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } , } & { \mathrm { i f } \ \ P \le \kappa ( n ) , \ i \in \mathbb { T } \mathrm { ~ a n d ~ } J = 0 } \\ { \hat { x } _ { i 0 } , } & { \mathrm { i f } \ \ P \le \kappa ( n ) , \ i \notin \mathbb { T } \mathrm { ~ a n d ~ } J = 0 } \\ { \hat { x } _ { i 1 } , } & { \mathrm { i f } \ \ P > \kappa ( n ) \mathrm { ~ o r ~ } J = 1 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { a _ { n } = \frac { 2 } { l } \int \Psi _ { n } ( x ) \Psi _ { 1 } ( x ) \exp { \Big ( \frac { i } { \hbar } q x S _ { E } \Big ) } d x = } \\ { - i \frac { \sin \left( \frac { \pi ( n + 1 ) } { 2 } + \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } _ { a t } } } \right) } { \pi ( n + 1 ) + 2 \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } _ { a t } } } } + i \frac { \sin \left( \frac { - \pi ( n + 1 ) } { 2 } + \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } _ { a t } } } \right) } { - \pi ( n + 1 ) + 2 \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } _ { a t } } } } - } \\ { i \frac { \sin \left( \frac { \pi ( n - 1 ) } { 2 } + \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } _ { a t } } } \right) } { \pi ( n - 1 ) + 2 \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } _ { a t } } } } + i \frac { \sin \left( \frac { \pi ( 1 - n ) } { 2 } + \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } _ { a t } } } \right) } { \pi ( 1 - n ) + 2 \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } _ { a t } } } } . } \end{array}
B _ { a } [ p , q ] ( z ) B _ { b } [ r , s ] ( 0 ) \sim \sum _ { \substack { u _ { 1 } + u _ { 2 } = p + r - 1 \, v _ { 1 } + v _ { 2 } = q + s - 1 } } \sum _ { c , d , e , f } \frac { K ^ { f c } } { 2 z } \left( ( m _ { 3 } ) _ { u _ { 1 } , v _ { 1 } } ^ { p , q ; r , s } f _ { b f } ^ { e } f _ { a e } ^ { d } - ( m _ { 3 } ) _ { u _ { 1 } , v _ { 1 } } ^ { r , s ; p , q } f _ { a f } ^ { e } f _ { b e } ^ { d } \right) B _ { c } [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] \tilde { B } _ { d } [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] ( 0 ) ,
\mathrm { E r r } ( \{ \phi _ { k } \} _ { k } ) = \sum _ { k } { \sqrt { \int { \left| \phi _ { k } \left( { \bf x } \right) - \phi _ { k } ^ { \mathrm { r e f } } \left( { \bf x } \right) \right| ^ { 2 } \ \mathrm { d } { \bf x } } } } ,
E ^ { ( 1 ) } ( k ) = \langle \phi _ { n } ^ { ( 0 ) } | \mathcal { H } _ { 1 } ( k ) | \phi _ { n } ^ { ( 0 ) } \rangle = 2 J \cos ( k M ) \phi _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \phi _ { M } ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial u ^ { 2 } } { \partial x } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial u v } { \partial y } } & { = \frac { 1 } { R e } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } \right) } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial u v } { \partial x } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial v ^ { 2 } } { \partial y } } & { = \frac { 1 } { R e } \left( \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } \right) } \\ { ( x , y ) } & { \in \Omega = [ 0 , 1 ] \times [ 0 , 1 ] , } \\ { t } & { \in [ 0 , 2 ] } \end{array}
- \nabla \, \cdot \, \left( \frac { 1 } { \mu r } \nabla \psi \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d \psi } p ( \psi ) + \frac { 1 } { 2 \, \mu r } \frac { d } { d \psi } g ^ { 2 } ( \psi ) } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega _ { p } ( \psi ) } \\ { I _ { k } / S _ { k } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega _ { C _ { k } } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \phi ^ { \lambda } ( y , e _ { i } ) } & { = \ J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } ) = E ^ { y , e _ { i } } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } f ( t , Y _ { t } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } } , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } ) d t + g ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } } , \alpha _ { T } ) } \\ & { \qquad \qquad + \lambda M ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } } , \alpha _ { T } ) \biggr ] } \\ & { \geq J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } ) = E ^ { y , e _ { i } } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } f ( t , Y _ { t } ^ { u _ { 1 } ^ { \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } } , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } ) d t + g ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } } , \alpha _ { T } ) } \\ & { \qquad \qquad + \lambda M ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { \lambda } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda } } , \alpha _ { T } ) \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } W _ { a u g } ^ { \prime } = P _ { 1 } ^ { ( p _ { 1 } , a _ { 1 } , k _ { 1 } ) } \dots P _ { s } ^ { ( p _ { s } , a _ { s } , k _ { s } ) } , \; \; } & { } & & { \overline { { W } } _ { a u g } ^ { \prime } = \overline { { P } } _ { 1 } ^ { ( q _ { 1 } , b _ { 1 } , l _ { 1 } ) } \dots \overline { { P } } _ { t } ^ { ( q _ { t } , b _ { t } , l _ { t } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { p } } _ { 2 } ^ { L } } & { = \frac { 2 m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } - \frac { m _ { 1 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } + 2 ) - 2 m _ { 2 } } { ( m _ { 1 } + 2 ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } , } \\ { \bar { \mathbf { p } } _ { 1 } ^ { L } } & { = \frac { m _ { 1 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } + 2 ) - 2 m _ { 2 } } { ( m _ { 1 } + 2 ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } + \frac { 4 m _ { 1 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } + 2 ) } { ( m _ { 1 } + 2 ) ^ { 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { m \rightarrow 0 ^ { + } } \langle \bar { \psi } \psi \rangle _ { \beta } = \operatorname * { l i m } _ { m \rightarrow 0 ^ { - } } \langle \bar { \psi } \psi \rangle _ { \beta } = \frac { e B } { 4 \pi } ,
{ \cal D } = z ^ { 1 } z ^ { 5 } z ^ { 9 } + q ^ { 2 } z ^ { 2 } z ^ { 6 } z ^ { 7 } + q ^ { 2 } z ^ { 3 } z ^ { 4 } z ^ { 8 } - q z ^ { 1 } z ^ { 6 } z ^ { 8 } - q ^ { 3 } z ^ { 3 } z ^ { 5 } z ^ { 7 } - q z ^ { 2 } z ^ { 4 } z ^ { 9 } \ ,
\Big | \Big \langle \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ) - \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big |
\begin{array} { r } { \omega _ { \mathrm { g c } } ^ { 2 } = \left( g _ { \mathrm { e f f } } \frac { k _ { \theta } } { R _ { o } } + \frac { \sigma _ { \mathrm { e f f } } } { \rho } \frac { k _ { \theta } ^ { 3 } } { R _ { o } ^ { 3 } } \right) \operatorname { t a n h } { \left( \frac { k _ { \theta } } { R _ { o } } \chi ^ { 2 } \widetilde { W } \right) } \mathrm { \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ( f \mid \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } , x ) = \mathcal { G P } \Big ( f ; m ( x ) , C ( x , x ^ { \prime } ) \Big ) , } \\ & { m ( x ) = K ( x , \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } ) \Big [ K ( \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } , \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } ) + \sigma ^ { 2 } \textbf { I } \Big ] ^ { - 1 } \textbf { y } _ { \mathrm { o b s } } , } \\ & { C ( x , x ^ { \prime } ) = K ( x , x ^ { \prime } ) - K ( x , \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } ) \Big [ K ( \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } , \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } ) + \sigma ^ { 2 } \textbf { I } \Big ] ^ { - 1 } K ( \textbf { X } _ { \mathrm { o b s } } , x ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , c r - W } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } ^ { ( i ) } \frac { \langle P a n _ { 2 } | I ( \omega ) | n _ { 1 } Q b \rangle \langle \xi _ { P b } n _ { 1 } | I ( \omega - \Delta _ { P a Q a } ) | n _ { 2 } Q a \rangle } { ( \varepsilon _ { P a } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 1 } } ) ( \varepsilon _ { Q b } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 2 } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { h } { \sqrt { D t } } } & { \approx \frac { 1 } { 2 } \int _ { u } ^ { \infty } d u \sqrt { - 2 \partial _ { u } \varphi } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 C _ { 1 } } \int _ { u } ^ { \infty } d u \sqrt { \frac { e ^ { - u } } { u } } } \\ & { = \sqrt { \pi C _ { 1 } } \mathrm { e r f c } ( \sqrt { u / 2 } ) , } \end{array}
p + ^ { 1 4 } \mathrm { N } \rightarrow \pi ^ { + } ( K ^ { + } ) + X ; \ \ \pi ^ { + } ( K ^ { + } ) \rightarrow \mu ^ { + } \nu _ { \mu } ; \ \, m u ^ { + } \rightarrow e ^ { + } \bar { \nu } _ { \mu } \nu _ { e }
\begin{array} { r l r } { J [ n ] } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \iint n ( x ) n ( x ^ { \prime } ) v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( x - x ^ { \prime } ) d x d x ^ { \prime } } \\ { v _ { H } ( x ) = \frac { \delta J } { \delta n } } & { { } = } & { \int n ( x ^ { \prime } ) v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( x - x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } \end{array}
\sqrt { ( \ell + 1 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } K _ { \ell + 1 } ^ { m } ( x ) = ( 2 \ell + 1 ) x K _ { \ell } ^ { m } ( x ) - \sqrt { \ell ^ { 2 } - m ^ { 2 } } K _ { \ell - 1 } ^ { m } ( x )