harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
P ( { \bf x } ^ { \prime } , t ) = \parallel \Psi ^ { \prime } ( { \bf x } _ { 1 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) \parallel ^ { 2 } = \int d { \bf x } _ { 1 } \ldots d { \bf x } _ { N } \, | \Psi ^ { \prime } ( { \bf x } _ { 1 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) | ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ( x , y , t ) = A ( t ) A ^ { \prime } ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) + A ( t ) ^ { 2 } \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) , } \end{array}
\psi _ { 1 \xi } ^ { \dagger } ( \epsilon ) \psi _ { 1 \eta } ( - \epsilon ) = e ^ { - \frac { i } { 2 } [ \theta ( \eta ) - \theta ( \xi ) + \frac { 1 } { 2 } R _ { 1 } ( \epsilon , \xi , \eta ) ] } e ^ { i F _ { 1 } ( A , E ) }
{ \tilde { V } } ( \varphi ) \equiv { \frac { V ( \varphi ) - V ( \varphi = 0 ) } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } } , { \tilde { \mu } } \equiv { \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } } , { \tilde { m } } _ { 0 } \equiv { \frac { m _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } \; .
\begin{array} { r l } { \underbrace { C _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } _ { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ e ~ n ~ s ~ e ~ m ~ b ~ l ~ e ~ c ~ o ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } ~ } } } & { { } = \underbrace { \left[ C _ { L } ^ { ( \eta ) } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] } _ { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ m ~ e ~ a ~ n ~ c ~ o ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } ~ } } } \end{array}
x _ { i j } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { t h e ~ p a t h ~ g o e s ~ f r o m ~ c i t y ~ } } i { \mathrm { ~ t o ~ c i t y ~ } } j } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathsf { R } _ { 0 } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \Gamma ( Q _ { X Y } ) ) } { \partial \Gamma _ { i } ( Q _ { X Y } ) } \bigg | _ { Q _ { X Y } = P _ { X Y } } } \\ { * } & { = \jmath _ { X Y } ( x _ { i } , y _ { i } | R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \Gamma ( P _ { X Y } ) ) - \jmath _ { X Y } ( x _ { m } , y _ { m } | R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \Gamma ( P _ { X Y } ) ) . } \end{array}
\left( \nabla ^ { 2 } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \right) \Psi ( { \vec { r } } , t ) = 0 \rightarrow \left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \right) u ( r , t ) = 0
\delta W = ( \delta + ( \delta \phi _ { \mathrm { c l } } ^ { A } ) \frac { \partial } { \partial \phi ^ { A } } + ( \delta h _ { \mathrm { c l } } ^ { \bar { A } } ) \frac { \partial } { \partial h ^ { \bar { A } } } ) S | _ { c } = \delta S | _ { c }
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { { } - \frac { \eta _ { y } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { { } - \frac { \eta _ { y } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \sin \left( \bar { f } t \right) , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { { } \frac { \eta _ { y } ^ { 2 } } { \bar { f } ^ { 2 } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] + \eta _ { y } y . } \end{array}
\begin{array} { r } { a = \ln { ( \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } | \mathbf { q } | ) } , \qquad b = \frac { 2 \pi e ^ { 2 } \hbar } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } | \mathbf { q } | } , \qquad c = \Pi _ { 0 } , } \end{array}
| f ( q ) | _ { h } = | h ( q ) ^ { a _ { 1 } b _ { 1 } } . . . h ( q ) ^ { a _ { n } b _ { n } } f ( q ) _ { a _ { 1 } . . . a _ { n } } f ( q ) _ { b _ { 1 } . . . b _ { n } } | ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( T _ { r o t } \mathbf { u } ) = T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } ) } & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { - 1 } ( T _ { r o t } F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) ) = T _ { r o t } F _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { - 1 } ( F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) ) } \\ & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { - 1 } ( T _ { r o t } F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) ) = T _ { r o t } \mathbf { z } } \\ & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { T \hat { \mathcal { G } } } ( T _ { r o t } \mathbf { z } ) = T _ { r o t } F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { l a n } _ { k } ( r _ { 1 } ) } & { = \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { i } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } n ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } } \\ & { = \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { i } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { Q } n ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } } \\ & { = \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { 1 } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } n ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } = \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { 1 } ; \mathbf { A } _ { 1 } ) . } \end{array}
\varphi _ { 1 , 2 } ^ { \dagger } \sim d _ { 1 , 2 } e ^ { - \lambda _ { 0 } t } , \quad \varphi _ { 3 } ^ { \dagger } \sim d _ { 3 } e ^ { \gamma _ { g } t } , \quad \varphi _ { 4 } ^ { \dagger } \sim d _ { 4 } e ^ { \gamma _ { q } t } ,
V ( \theta ) = \frac { N T _ { 0 } } { L } \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } { \theta } \Bigl ( 1 - \frac { 2 L ^ { 3 } } { \sqrt { N ^ { 2 } - 1 } } \sin { \theta } \Bigr ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { S _ { j } ^ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } } & { { } \approx \frac { \sum _ { { \boldsymbol { u } } \in { \mathcal { I } } _ { j } ^ { \mathrm { t o t a l } } } c _ { \boldsymbol { u } } ^ { 2 } } { \sum _ { { \boldsymbol { u } } \in { \mathcal { I } } _ { d } \setminus \{ { \boldsymbol { 0 } } \} } c _ { \boldsymbol { u } } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \centering \mathrm { R e d u c t i o n } } & { \mathrm { T i _ { 2 } C } + \mathrm { 2 H _ { 2 } } \rightarrow \mathrm { 2 T i } + \mathrm { C H _ { 4 } } } \\ { \mathrm { O x i d a t i o n } } & { \mathrm { 2 T i } + \mathrm { 2 C O _ { 2 } } + \mathrm { C H _ { 4 } } \rightarrow \mathrm { T i _ { 2 } C } + \mathrm { 2 C O } + \mathrm { 2 H _ { 2 } O } } \end{array}
\begin{array} { r } { \scriptsize { \mathbf { U } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { 2 3 } } & { s _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { - s _ { 2 3 } } & { c _ { 2 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { c _ { 1 3 } } & { 0 } & { e ^ { - i \delta } s _ { 1 3 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - e ^ { i \delta } s _ { 1 3 } } & { 0 } & { c _ { 1 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { c _ { 1 2 } } & { s _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { - s _ { 1 2 } } & { c _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } } \end{array}
\operatorname* { m a x } \{ P ^ { * } ( 0 , 0 ) , P ^ { * } ( 1 , 0 ) , P ^ { * } ( 1 , 1 ) , P ^ { * } ( \mathbf { Q } ) \} = \operatorname* { m a x } \{ P ^ { * } ( 0 , 0 ) , P ^ { * } ( 1 , 1 ) \}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } \times \mathbf { b } = [ \mathbf { a } ] _ { \times } \mathbf { b } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { \, 0 } & { \! - a _ { 3 } } & { \, \, a _ { 2 } } \\ { \, \, a _ { 3 } } & { 0 } & { \! - a _ { 1 } } \\ { - a _ { 2 } } & { \, \, a _ { 1 } } & { \, 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } } \end{array} \right] } } \\ { \mathbf { a } \times \mathbf { b } = { [ \mathbf { b } ] _ { \times } } ^ { \mathrm { \! \! T } } \mathbf { a } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { \, 0 } & { \, \, b _ { 3 } } & { \! - b _ { 2 } } \\ { - b _ { 3 } } & { 0 } & { \, \, b _ { 1 } } \\ { \, \, b _ { 2 } } & { \! - b _ { 1 } } & { \, 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \end{array} \right] } , } \end{array} }
{ \cal L } _ { d s } = \frac { g \cos \theta _ { W } } { \sqrt { 3 } h ( x ) } [ V _ { L 1 1 } ^ { D * } V _ { L 1 2 } ^ { D } ] \, \bar { d } _ { L } \gamma ^ { \mu } s _ { L } Z _ { \mu } ^ { \prime } + \mathrm { ~ H . c . }
\begin{array} { r l r } { \displaystyle \frac { 1 + y } { 1 - x - x y } } & { = } & { \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } x ^ { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n } \binom n i y ^ { i } + \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } x ^ { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n } \binom n i y ^ { i + 1 } } \\ & { = } & { \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } x ^ { n } \left\{ 1 + y + \sum _ { i = 0 } ^ { n } \left[ \binom n i + \binom { n } { i - 1 } \right] y ^ { i } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \| L _ { 1 } \| _ { \mathcal { G } _ { p h , 1 } ^ { M | k | , s } ( [ u ( 0 ) , u ( 1 ) ] ^ { 2 } ) } + \| L _ { 2 } \| _ { \mathcal { G } _ { p h , 1 } ^ { M | k | , s } ( [ u ( 0 ) , u ( 1 ) ] ^ { 2 } ) } \leq C . } \end{array}
( \hat { W } , \hat { U } \hat { d } ^ { \dag } \hat { U } ) = \operatorname { R e } \operatorname { T r } ( \hat { G } ^ { ' \dag } \hat { d } ^ { \dag } \hat { U } ) = - \operatorname { R e } \operatorname { T r } ( \hat { d } ^ { \dag } \hat { U } \hat { G } ^ { \prime } ) = - ( \hat { d } , \hat { W } )
\begin{array} { r l } { f _ { + } ^ { R } ( E ) = f _ { - } ^ { L } ( E ) } & { { } = \frac 1 2 ( e ^ { - 2 i \delta _ { e } } - e ^ { - 2 i \delta _ { o } } ) , } \\ { f _ { - } ^ { R } ( E ) = f _ { + } ^ { L } ( E ) } & { { } = \frac 1 2 ( e ^ { - 2 i \delta _ { e } } + e ^ { - 2 i \delta _ { o } } ) - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } } ^ { \prime } ( \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } E _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } } ( \zeta ) \exp [ i \phi _ { 0 } \sin ( \omega _ { p e } \zeta ) ] \exp ( - i \omega \zeta ) d \zeta . } \end{array}
\Omega _ { s } ^ { 2 } = \omega ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 \omega ^ { 2 } } } \left[ \pi \ddot { \pi } + \dot { \pi } ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { \pi ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \right) \right] + { \frac { 3 } { 4 } } { \frac { \pi ^ { 2 } \dot { \pi } ^ { 2 } } { \omega ^ { 4 } } } + { \frac { \dot { \pi } ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } } + { \frac { \lambda _ { s } \dot { \pi } ^ { 2 } \pi } { \omega ^ { 3 } } } - { \frac { \lambda _ { s } \ddot { \pi } } { 2 \omega } } \nonumber + \cdots
\int _ { t } ^ { t + \tau } \pi \left( X \rightarrow X \pm 1 , s \right) d s = \gamma \pi _ { b , d } \int _ { t } ^ { t + \tau } s ^ { \gamma - 1 } d s = \pi _ { b , d } \left[ \left( t + \tau \right) ^ { \gamma } - t ^ { \gamma } \right] .
a _ { p w } = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { \sigma _ { q } ( t ) } { p _ { q } ( q ( t ) ) } d t = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \sigma _ { q , j } } { p _ { q } ( q _ { j } ) } .
\begin{array} { l } { { D _ { i \alpha } \tilde { \hat { \omega } } _ { \beta } { } ^ { \gamma } ( z ) = 4 \delta _ { \alpha } ^ { ~ \gamma } \bar { \hat { \rho } } _ { i \beta } ( z ) - \delta _ { \beta } ^ { ~ \gamma } \bar { \hat { \rho } } _ { i \alpha } ( z ) } } \\ { { { } } } \\ { { D _ { i \alpha } \hat { \lambda } ( z ) = - 2 \bar { \hat { \rho } } _ { i \alpha } ( z ) } } \\ { { { } } } \\ { { D _ { i \alpha } \hat { T } _ { j } ^ { ~ k } ( z ) = - 4 \delta _ { i } ^ { ~ k } \bar { \hat { \rho } } _ { j \alpha } ( z ) - 4 \bar { \cal E } _ { i j } \hat { \rho } { } _ { \alpha } ^ { k } ( z ) } } \end{array}
{ \mathrm { ( s m o o t h ~ f u n c t i o n ) } } \: T _ { \bullet } ^ { ( a _ { 1 } ) } \cdots T _ { \bullet } ^ { ( a _ { p } ) } \: \overline { { { T _ { \bullet } ^ { ( b _ { 1 } ) } } } } \cdots \overline { { { T _ { \bullet } ^ { ( b _ { q } ) } } } }
\begin{array} { r } { \hat { \textbf { M } } \hat { \textbf { F } } E _ { 1 } - \hat { \textbf { F } } \hat { \textbf { M } } E _ { 1 } = [ \hat { \textbf { M } } , \hat { \textbf { F } } ] E _ { 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { m \omega ^ { 2 } + 2 \beta N = \hbar \omega \frac { m \omega } { \hbar } + 2 \frac { \mathcal { E } } { \mathcal { L } ^ { 2 } } \tilde { \beta } N = \frac { \mathcal { E } } { \mathcal { L } ^ { 2 } } \underset { = \alpha } { \underbrace { ( 1 + 2 \tilde { \beta } N ) } } = \hbar \omega \sqrt { \alpha } \frac { m \omega \sqrt { \alpha } } { \hbar } \, . } \end{array}
\forall k , l \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { d } \ \mathrm { ~ w i t h ~ } \ 0 \le | l | \le \delta \colon \ \quad \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { x ^ { l } } { l ! } \, \partial ^ { k } \eta ( x ) \, d x = \left\{ \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { | l | } } & { \mathrm { ~ i f ~ } l = k \, , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } l \ne k \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \tilde { \ell } _ { 2 } \left( \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \right) } } \\ & { = } & { \ell _ { 2 } \left( \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \right) - d \left( \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } , { p } _ { h } \right) - c ( \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } , \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) } \\ & { = } & { \ell _ { 2 } \left( \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \right) - d \left( \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } , { p } _ { h } \right) - c \left( \boldsymbol { u } _ { h } , \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } \right) } \\ & { } & { + c ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } , \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { Q } \geq \bar { Q } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } = \left[ \bar { u } ^ { 2 } + 1 . 3 3 \bar { T } \frac { H _ { 1 } ( \bar { y } , \bar { z } ) } { G _ { 1 } ( \bar { y } , \bar { z } ) } \right] \bar { \Gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log { F _ { p } \Big ( \frac { 2 p ^ { r + s - 1 } } { \log { n } } \Big ) } } & { \leq \frac { 1 } { 2 \log { p } } \Big ( \log \frac { p ^ { r + s - 1 } } { \log { \sqrt { n } } } \Big ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \log \frac { p ^ { r + s - 1 } } { \log { \sqrt { n } } } + \frac { 1 } { 8 } \log { p } + O ( 1 ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \log { p } } \Big ( \log \frac { p ^ { r + s - 1 } } { \log { \sqrt { n } } } \Big ) ^ { 2 } + \frac { s } { 2 } \log { p } + O ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { x _ { i j } } Q = \frac { 1 } { 2 m } \left( \sum _ { ( i , j ) \in V ^ { 2 } , i < j } 2 b _ { i j } ( 1 - x _ { i j } ) + \sum _ { ( i , i ) \in V ^ { 2 } } b _ { i i } \right) } \\ & { \mathrm { s . t . } \quad x _ { i k } + x _ { j k } \geq x _ { i j } \quad \forall ( i , j ) \in V ^ { 2 } , i < j , k \in K ( i , j ) } \\ & { \quad \quad x _ { i j } \in \{ 0 , 1 \} \quad \forall ( i , j ) \in V ^ { 2 } , i < j } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \boldsymbol { U } _ { t } = \ } & { { } \mathcal { D } ( \boldsymbol { U } , t ) \boldsymbol { U } + \mathcal { L } _ { \boldsymbol { \delta } } \big [ \mathcal { B } ( \boldsymbol { U } , t ) \boldsymbol { U } - G ( t ) \big ] + \boldsymbol { F } ( t ) , } & { } & { { } t \geq t _ { 0 } } \\ { \boldsymbol { U } ( t _ { 0 } ) = \ } & { { } \boldsymbol { U } _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { n + 1 } } & { = 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \cal R ^ { k } \tilde { \cal A } _ { - 1 } \mathrm { R H S } = \cal R \Big ( 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n } \cal R ^ { k } \tilde { \cal A } _ { - 1 } \mathrm { R H S } \Big ) + 2 \tilde { \cal A } _ { - 1 } \mathrm { R H S } } \\ & { = \cal R u _ { n } + u _ { 0 } , \qquad u _ { 0 } = 2 \tilde { \cal A } _ { - 1 } \mathrm { R H S } \, . } \end{array}
N ( \chi ) \simeq \int _ { \chi _ { \mathrm { e n d } } } ^ { \chi } M _ { P } ^ { - 2 } \frac { V } { V ^ { \prime } } d \chi = \int _ { \psi _ { 1 \mathrm { e n d } } } ^ { \psi _ { 1 } ( \chi ) } M _ { P } ^ { - 2 } \frac { d \psi _ { 1 } } { \frac { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { \psi _ { 1 } } } = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } M _ { P } ^ { 2 } } \left( \frac { \psi _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \psi _ { 1 \mathrm { e n d } } ^ { 2 } } { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 | \eta ( \chi ) | } - \frac { 1 } { 2 | \eta _ { \mathrm { e n d } } | } \; ,
B ^ { \mu } = \frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } ~ \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } ~ t r [ ( U ^ { - n } \partial _ { \nu } U ^ { n } ) ~ ( U ^ { - n } \partial _ { \alpha } U ^ { n } ) ~ ( U ^ { - n } \partial _ { \beta } U ^ { n } ) ]
\mathcal { C } ( \mathcal { L } ^ { \prime } ) = ( \mathcal { C } _ { 1 } ( \mathcal { L } ^ { \prime } ) , \mathcal { C } _ { 2 } ( \mathcal { L } ^ { \prime } ) , \ldots , \mathcal { C } _ { r } ( \mathcal { L } ^ { \prime } ) )
\overline { { u _ { i } u _ { j } } } ~ = ~ 2 / 3 k \delta _ { i j } ~ - ~ \nu _ { t } \left( \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \overline { { U _ { j } } } } { \partial x _ { i } } \right) ~ ; ~ i , j = { 1 , 2 , 3 } .
\begin{array} { r l r } { \Phi ( R ) } & { = } & { \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \theta \int _ { 0 } ^ { 2 R \cos \theta } r d r \frac { \beta \rho } { \pi r } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \beta \rho \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \theta \int _ { 0 } ^ { 2 R \cos \theta } d r } \\ & { = } & { \frac { 4 } { \pi } \beta \rho R . } \end{array}
f ( x ) = \langle K _ { x } , f \rangle _ { G } = \langle K _ { x } , f _ { H } \rangle _ { G } + \langle K _ { x } , f _ { H ^ { \bot } } \rangle _ { G } = \langle K _ { x } , f _ { H } \rangle _ { G } = \langle K _ { x } , f _ { H } \rangle _ { H } = f _ { H } ( x ) ,
{ \frac { X _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + a } } - { \frac { Y _ { 0 } ^ { 2 } } { a - 1 } } - { \frac { X _ { 3 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 1 } } = - \left( { \frac { \mu } { 3 } } \right) ^ { 2 } K \, .
\hat { E } = \frac { c _ { i } \left( \frac { q } { p } \sqrt { 1 - \theta ^ { 2 } } \bar { A } _ { f } - \theta A _ { f } \right) + \bar { c } _ { i } \left( \frac { p } { q } \sqrt { 1 - \theta ^ { 2 } } A _ { f } + \theta \bar { A } _ { f } \right) } { c _ { i } A _ { f } + \bar { c } _ { i } \bar { A } _ { f } } .
\frac { \sqrt { v - \epsilon } J _ { ( D - 2 ) / 2 } ^ { \prime } ( \sqrt { v - \epsilon } ) } { J _ { ( D - 2 ) / 2 } ( \sqrt { v - \epsilon } ) } = \frac { \sqrt { \epsilon } K _ { ( D - 2 ) / 2 } ^ { \prime } ( \sqrt { \epsilon } ) } { K _ { ( D - 2 ) / 2 } ( \sqrt { \epsilon } ) }
\begin{array} { r l r } { 2 N \theta _ { 1 } ( \lambda _ { j } ) } & { { } = } & { 2 \pi j + [ \sum _ { l \neq 0 , j } \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { l } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + \lambda _ { l } ) ] , } \\ { 2 \theta _ { 1 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } ) \sigma _ { j } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { l \neq 0 , j } \theta _ { 2 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { l } ) ( \sigma _ { j } - \sigma _ { l } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda _ { j } + \lambda _ { l } ) ( \sigma _ { j } + \sigma _ { l } ) ] } \end{array}
P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \sin 2 \theta \! \int \! \! d \boldsymbol { k } \! \int \! \! d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \! \left[ \tilde { \xi } ^ { * } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \tilde { \xi } ( \bar { \boldsymbol { k } } ^ { \prime } , \bar { \boldsymbol { k } } ) + \mathrm { h . c . } \right] ,
\begin{array} { r l } { S [ \phi ] = \sum _ { x \in \Lambda } - 2 \kappa \sum _ { \hat { \mu } = 1 } ^ { 2 } \phi ( x ) \phi ( x + \hat { \mu } ) + ( 1 - 2 \lambda ) } & { { } \phi ( x ) ^ { 2 } } \\ { + } & { { } \lambda \, \phi ( x ) ^ { 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { j } ^ { \prime } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { w _ { 0 , j } ^ { \prime ^ { T } } } & { \hdots } & { w _ { N - 1 , j } ^ { \prime ^ { T } } } \end{array} \right) ^ { T } , } \\ { W _ { j } ^ { \prime \prime } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { w _ { 0 , j } ^ { \prime \prime ^ { T } } } & { \hdots } & { w _ { N - 1 , j } ^ { \prime \prime ^ { T } } } \end{array} \right) ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r } { | J j \ell \rangle = ( 2 \ell + 1 ) ^ { 1 / 2 } \times \sum _ { \kappa } { } ( - 1 ) ^ { j - \ell - \kappa } \left( \begin{array} { l l l } { j } & { \ell } & { J } \\ { \kappa } & { 0 } & { - \kappa } \end{array} \right) } \\ { \times | J j \kappa \rangle , } \end{array}
\mathbf { V } = \left( \begin{array} { l l l } { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { V } _ { y _ { 0 } } } { \partial y _ { 0 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { V } _ { y _ { 0 } } } { \partial y _ { 1 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { V } _ { y _ { 0 } } } { \partial y _ { 2 } } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { V } _ { y _ { 1 } } } { \partial y _ { 0 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { V } _ { y _ { 1 } } } { \partial y _ { 1 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { V } _ { y _ { 1 } } } { \partial y _ { 2 } } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { V } _ { y _ { 2 } } } { \partial y _ { 0 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { V } _ { y _ { 2 } } } { \partial y _ { 1 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { V } _ { y _ { 2 } } } { \partial y _ { 2 } } } \end{array} \right) ( \mathbf { \Psi } ^ { * } ) = ( r + \mu ) \left( \begin{array} { l l l } { \displaystyle 1 } & { \displaystyle 0 } & { \displaystyle 0 } \\ { \displaystyle 0 } & { \displaystyle 1 } & { \displaystyle 0 } \\ { \displaystyle 0 } & { \displaystyle 0 } & { \displaystyle 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { { \bf Q } _ { 1 } } & { { } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { h \sigma _ { 1 1 } / \rho } \\ { h \sigma _ { 2 1 } / \rho } \end{array} \right] \, , } \\ { \frac { \partial { \bf Q } _ { 1 } } { \partial { \bf V } _ { e } } } & { { } = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \sigma _ { 1 1 } / \rho } & { 0 } & { 0 } \\ { \sigma _ { 2 1 } / \rho } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \hat { \bf N } _ { V } \, , } \\ { \frac { \partial { \bf Q } _ { 1 } } { \partial { \bf E } _ { e } } } & { { } = \frac { h } { \rho } \left[ \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \partial \sigma _ { 1 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 1 1 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 1 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 2 1 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 1 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 1 2 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 1 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 2 2 } } } \\ { \frac { \partial \sigma _ { 2 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 1 1 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 2 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 2 1 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 2 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 1 2 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 2 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 2 2 } } } \end{array} \right] \hat { \bf N } _ { E } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 1 } + \mathcal { F } _ { 2 } = \frac { \alpha _ { 2 } R _ { 1 } r _ { 1 } + \alpha _ { 1 } R _ { 2 } r _ { 2 } } { \theta R _ { 1 } r _ { 1 } R _ { 2 } r _ { 2 } } - \frac { 1 } { \gamma c _ { V } \rho \theta } . } \end{array}