harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \psi _ { k } ^ { 2 } e ( \mathbf { i } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( y _ { k } - y _ { k + 1 } ) e ( \mathbf { i } ) } & { \mathrm { i f ~ } i _ { k } \rightarrow i _ { k + 1 } \neq 0 } \\ { ( y _ { k } + p - y _ { k + 1 } ) e ( \mathbf { i } ) } & { \mathrm { i f ~ } i _ { k } \rightarrow i _ { k + 1 } = 0 } \\ { ( y _ { k + 1 } - y _ { k } ) e ( \mathbf { i } ) } & { \mathrm { i f ~ } 0 \neq i _ { k } \leftarrow i _ { k + 1 } } \\ { ( y _ { k + 1 } + p - y _ { k } ) e ( \mathbf { i } ) } & { \mathrm { i f ~ } 0 = i _ { k } \leftarrow i _ { k + 1 } } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } i _ { k } = i _ { k + 1 } } \\ { e ( \mathbf { i } ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\langle p _ { f } | j ^ { \mu } | p _ { i } \rangle = { \bar { u } } ( p _ { f } ) \left[ F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \gamma ^ { \mu } + { \frac { ~ i \sigma ^ { \mu \nu } ~ } { ~ 2 \, m _ { \mathrm { e } } ~ } } q _ { \nu } F _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) + i \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \sigma _ { \rho \sigma } q _ { \nu } F _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) + { \frac { 1 } { ~ 2 \, m _ { \mathrm { e } } ~ } } \left( q ^ { \mu } - { \frac { q ^ { 2 } } { 2 m } } \gamma ^ { \mu } \right) \gamma _ { 5 } F _ { 4 } ( q ^ { 2 } ) \right] u ( p _ { i } )
\begin{array} { r l } & { - 2 \int _ { \Omega } a ^ { \prime } ( \bar { y } ; S ^ { \prime } ( \bar { u } ) v ) \nabla ( S ^ { \prime } ( \bar { u } ) v ) \cdot \nabla \varphi \, \mathrm { d } x - \int _ { \Omega } \mathbb { 1 } _ { \{ \bar { y } \neq \bar { t } \} } a ^ { \prime \prime } ( \bar { y } ) ( S ^ { \prime } ( \bar { u } ) v ) ^ { 2 } \nabla \bar { y } \cdot \nabla \varphi \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D _ { \tau } r _ { \tau } + r _ { \tau } ^ { 2 } } { 8 } \leq } & { \frac { D _ { \tau } \left[ \left( D _ { \tau } + d _ { 1 } \right) \lor r \right] + \left[ \left( D _ { \tau } + d _ { 1 } \right) \lor r \right] ^ { 2 } } { 8 } } \\ { \leq } & { \frac { \left[ \left( D _ { \tau } + d _ { 1 } \right) \lor r \right] ^ { 2 } } { 4 } \leq \frac { D _ { \tau } ^ { 2 } + d _ { 1 } ^ { 2 } + r ^ { 2 } / 2 } { 2 } } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { i , j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 1 ; j \neq i } ^ { n - 1 } \theta _ { i , j } | | M _ { i , j } \odot G | | \leq 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { E [ \Lambda _ { i } ( t _ { n , i } ) ] } { a _ { i } } } & { \leq \frac { 1 + \mu e ^ { C _ { f } ( \mu + 1 ) t _ { n , i } } } { a _ { i } } 1 ( i \geq n ^ { c _ { \vartheta } } ) + 1 ( i < n ^ { c _ { \vartheta } } ) } \\ & { \leq \frac { 1 + \mu ( n / i ) ^ { \vartheta } } { i ^ { 1 / 2 - \delta } } 1 ( i \geq n ^ { c _ { \vartheta } } ) + 1 ( i < n ^ { c _ { \vartheta } } ) } \\ & { \leq ( \mu + 1 ) \frac { n ^ { \vartheta } } { i ^ { 1 / 2 + \vartheta - \delta } } 1 ( i \geq n ^ { c _ { \vartheta } } ) + 1 ( i < n ^ { c _ { \vartheta } } ) } \\ & { \leq ( \mu + 1 ) n ^ { - c _ { \vartheta } ( 1 / 2 + \vartheta - \delta ) + \vartheta } + 1 ( i < n ^ { c _ { \vartheta } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ^ { ( \infty , G ) } ( u ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } L ^ { ( N , G ) } \left( u \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle u + \frac { G } { 2 G - 1 } \left( 1 - u - ( 1 - u ) ^ { 1 / G - 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle u + ( 1 - u ) \log ( 1 - u ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left[ \nabla f _ { j } \left( y \right) \right] _ { l } \right| } & { = \left| - y _ { j } \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( j ) } \right) \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) } { \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) \right] ^ { 2 } } \right] \right| \leq \frac { \left( 1 + \varepsilon \right) \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } = \frac { 1 + \varepsilon } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } \delta ^ { 2 } } . } \end{array}
K ( k ^ { 2 } ) = 1 + \int \frac { \bar { \kappa } ( \mu ^ { 2 } ) d \mu ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } + i \epsilon } , \quad D ( k ^ { 2 } ) = \int \frac { \bar { \rho } ( \mu ^ { 2 } ) d \mu ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } + i \epsilon } .
\begin{array} { r l } { { u _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \vec { q } , \omega ) } } & { = \frac { \rho _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \vec { q } , \omega ) } { \chi _ { \mathrm { K S , \vec { G } = 0 } } ^ { i } ( \mathbf { q } , \omega ) } } \\ & { = \mathcal { F } [ \delta V _ { \mathrm { e x t } } ] \frac { \chi _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \mathbf { q } , \omega ) } { \chi _ { \mathrm { K S , \vec { G } = 0 } } ^ { i } ( \mathbf { q } , \omega ) } \ , } \end{array}
\mathcal { L } _ { F } = \sum _ { \sigma = 1 } ^ { N } \overline { { { \psi } } } _ { \sigma } v _ { \sigma , \mu } \left( \partial _ { \mu } - i a _ { \mu } \right) \gamma _ { \mu } \psi _ { \sigma } + \left| \left( \partial _ { \mu } - i a _ { \mu } \right) b \right| ^ { 2 } + V ( \left| b \right| ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } & { \le } & { c _ { 0 } e ^ { - m _ { 0 } ( t - j h ) } \int _ { \sqrt { h } } ^ { \infty } r \mathbb { P } [ R _ { j h } = d r | R _ { ( j - 1 ) h } \in ( 0 , \sqrt { h } ] ] } \\ & { \le } & { c _ { 0 } e ^ { - m _ { 0 } h ( n - j ) } \mathbb { E } [ R _ { j h } | R _ { ( j - 1 ) h } \in ( 0 , \sqrt { h } ] ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \kappa \to \infty } \left( 1 + \frac { \gamma - 1 } { \kappa T _ { \kappa } / m c ^ { 2 } } \right) ^ { - ( \kappa + 1 ) } \simeq \exp \left( - \frac { \gamma - 1 } { T _ { \kappa } / m c ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { B ( u ; w _ { h } , v _ { h } ) - B ( \Psi ; w _ { h } , v _ { h } ) } } \\ & { = } & { ( ( \boldsymbol { a } _ { y } ( u ) - \boldsymbol { a } _ { y } ( \Psi ) ) w _ { h } , \nabla v _ { h } ) + ( ( \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z } } ( u ) - \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z } } ( \Psi ) ) \nabla w _ { h } , \nabla v _ { h } ) } \\ & { } & { + ( ( f _ { y } ( u ) - f _ { y } ( \Psi ) ) w _ { h } , v _ { h } ) + ( ( f _ { \boldsymbol { z } } ( u ) - f _ { \boldsymbol { z } } ( \Psi ) ) \nabla w _ { h } , v _ { h } ) } \\ & { = } & { ( \boldsymbol { a } _ { y y } ( \theta _ { 1 } ) ( u - \Psi ) w _ { h } , \nabla v _ { h } ) + ( \boldsymbol { a } _ { y \boldsymbol { z } } ( \theta _ { 1 } ) \nabla ( u - \Psi ) w _ { h } , \nabla v _ { h } ) } \\ & { } & { + ( \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z } y } ( \theta _ { 2 } ) ( u - \Psi ) \nabla w _ { h } , \nabla v _ { h } ) + ( \nabla ( u - \Psi ) ^ { T } \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z z } } ( \theta _ { 2 } ) \nabla w _ { h } , \nabla v _ { h } ) } \\ & { } & { + ( f _ { y y } ( \theta _ { 3 } ) ( u - \Psi ) w _ { h } , v _ { h } ) + ( f _ { y \boldsymbol { z } } ( \theta _ { 3 } ) \cdot \nabla ( u - \Psi ) w _ { h } , v _ { h } ) } \\ & { } & { + ( f _ { \boldsymbol { z } y } ( \theta _ { 4 } ) \cdot \nabla w _ { h } ( u - \Psi ) , v _ { h } ) + ( \nabla ( u - \Psi ) ^ { T } f _ { \boldsymbol { z z } } ( \theta _ { 4 } ) \nabla w _ { h } , v _ { h } ) } \\ & { \lesssim } & { \| u - \Psi \| _ { 1 , \infty } \| w _ { h } \| _ { 1 } \| v _ { h } \| _ { 1 } , } \end{array}
\left( \overline { { \boldsymbol { \mathcal { O } } _ { r } } } ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { W } , Z ) \right) _ { j } \ll M _ { 1 } M _ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } \, , \quad Z \sim \nu _ { Z } \, ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \boldsymbol A } ^ { \prime } ( \boldsymbol r ) } & { { } = } & { \hat { \boldsymbol A } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { \boldsymbol B } ^ { \prime } ( \boldsymbol r ) } & { { } = } & { \hat { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp \prime } ( \boldsymbol r ) } & { { } = } & { \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) + \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } { \boldsymbol P } ^ { \perp } \equiv \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { \boldsymbol P } ^ { \prime } ( \boldsymbol r ) } & { { } = } & { \hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } - M ( w _ { 1 } , A _ { 1 } , w _ { 2 } , A _ { 2 } , w _ { 3 } ) } \\ { = } & { \ \big ( G _ { 1 } \, \big [ \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ] M _ { 2 } ( \mathring { A } _ { 2 } + \mathcal { S } [ M _ { 2 } \mathcal { X } _ { 2 3 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 3 } ] ) \big ] \, G _ { 3 } - M ( w _ { 1 } , \big [ \cdots \big ] , w _ { 3 } ) \big ) } \\ & { - \underline { { G _ { 1 } \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ] M _ { 2 } W G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } } } + G _ { 1 } \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ] M _ { 2 } \mathcal { S } [ G _ { 2 } - M _ { 2 } ] G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } } \\ & { + G _ { 1 } \mathcal { S } [ ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ] M _ { 2 } ] G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } + G _ { 1 } \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ] M _ { 2 } \mathcal { S } [ G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } - M _ { 2 } \mathcal { X } _ { 2 3 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 3 } ] G _ { 3 } \, , } \end{array}
\psi _ { m , \widetilde { m } } ( \overrightarrow { \rho _ { 1 2 } } , \overrightarrow { \rho _ { 2 3 } } , . . . , \overrightarrow { \rho _ { n 1 } } ) \sim f _ { 1 - m , 1 - \widetilde { m } } (
\begin{array} { r l } { \left| \nabla ^ { g } H _ { i j } \right| _ { g } \! ( p ) } & { = \left| d H _ { i j } \right| _ { g } \! ( p ) \leq C \left| d H _ { i j } \right| _ { g _ { 0 } } \! \! ( p ) } \\ & { \leq C \left| d g _ { 0 } ( Y _ { i } , Y _ { j } ) \right| _ { g _ { 0 } } \! \! ( p ) + C \left| d ( g - g _ { 0 } ) ( Y _ { i } , Y _ { j } ) \right| _ { g _ { 0 } } \! \! ( p ) } \\ & { = C | \nabla ^ { g _ { 0 } } ( H _ { 0 } ) _ { i j } | _ { g _ { 0 } } \! ( p ) + C \left| d ( g - g _ { 0 } ) ( Y _ { i } , Y _ { j } ) \right| _ { g _ { 0 } } \! \! ( p ) \leq C r ( p ) , } \end{array}
K _ { a b } = \sum _ { \alpha } \frac { g _ { a } ^ { ( \alpha ) } g _ { b } ^ { ( \alpha ) } } { M _ { \alpha } ^ { 2 } - s } + f _ { a b } \to \sum \xi \frac { g _ { a } ^ { ( \alpha ) } g _ { b } ^ { ( \alpha ) } } { M _ { \alpha } ^ { 2 } - s } + \xi f _ { a b } \ ,
\begin{array} { r } { A _ { i + j - 1 } ^ { i } = \sum _ { r = 1 } ^ { i } \overset { i \mathrm { ~ f ~ a ~ c ~ t ~ o ~ r ~ s ~ } } { \overbrace { \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } \otimes \cdots \otimes \underset { \underset { r \mathrm { ~ t ~ h ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } { \uparrow } } { F ^ { ( j ) } } \otimes \cdots \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( { \boldsymbol M } \odot { \boldsymbol W } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ( v ) } ) \ge } & { ~ \sum _ { i \in \mathcal { B } _ { + } \cap \mathcal { K } _ { \beta } } \operatorname* { m a x } _ { u \in \mathcal { N } ( v ) } \phi ( \langle ~ { \boldsymbol w } _ { i } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { u } ~ \rangle ) - \sum _ { j \in \mathcal { B } _ { - } \cap \mathcal { K } _ { \beta } } \operatorname* { m a x } _ { u \in \mathcal { N } ( v ) } \phi ( \langle ~ { \boldsymbol w } _ { j } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { u } ~ \rangle ) } \\ { \ge } & { ~ \textstyle \sum _ { i \in \mathcal { K } _ { + } } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { i } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle - \sum _ { j \in \mathcal { B } _ { - } } \operatorname* { m a x } _ { { \boldsymbol p } \in \mathcal { P } / { \boldsymbol p } _ { - } } | \langle ~ { \boldsymbol w } _ { j } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle | } \\ { \ge } & { ~ \big [ | \mathcal { K } _ { + } | \alpha - ( 1 - \beta ) K ( 1 + \sigma ) \sqrt { ( 1 + r ^ { 2 } ) / | \mathcal { D } | } \big ] c _ { \eta } t . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { J _ { 0 } ^ { 3 } : \lambda , \omega > = \omega : \lambda , \omega > } } & { { } } \\ { { \overline { { { J } } } _ { 0 } ^ { 2 } : \lambda , \omega > = ( - \frac { 1 } { 2 } + i \lambda ) : \lambda , \omega > , } } & { { \omega , \lambda \ r e a l . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left\| ( h , v ) \right\| _ { L ^ { 2 } \times L ^ { 2 } } ^ { 2 } = - \int _ { \mathbb R } \left( ( h v ) _ { x } + v _ { x } \right) h \ d x - \int _ { \mathbb R } \left( v v _ { x } + [ \mathscr { L } , \mathscr { N } h ] h + \mathscr { N } h \right) v \ d x . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { x = L \hat { x } , } & { \quad ( y , h ) = H ( \hat { y } , \hat { h } ) , } & { \quad ( u , v ) = U ( \hat { u } , \delta \hat { v } ) , } \\ { t = ( L / U ) \hat { t } , } & { \quad ( p , \Pi ) = ( \mu U L / H ^ { 2 } ) ( \hat { p } , \hat { \Pi } ) , } & { \quad ( \psi , \phi ) = \Psi _ { 0 } ( \hat { \psi } , \hat { \phi } ) , } \\ { ( \Gamma , \Gamma _ { \infty } ) = \Gamma _ { 0 } ( \hat { \Gamma } , \hat { \Gamma } _ { \infty } ) , } & { \quad ( \sigma _ { 0 } , \sigma ) = \left( \mu U L / H \right) ( \hat { \sigma } _ { 0 } , \hat { \sigma } ) , } & { } \end{array}
\mathcal { S } [ \{ f _ { p } \} , \{ g _ { p ^ { \prime } } \} ] = \mathcal { S } \left[ \sum _ { p = 1 } ^ { P } f _ { p } \chi ( p ) , \sum _ { p ^ { \prime } = 1 } ^ { P ^ { \prime } } g _ { p } \chi _ { p ^ { \prime } } ( x ) \right]
\begin{array} { r l } { L _ { a } ^ { 2 } ( \mathscr { R } ) } & { { } : = \{ \chi : ( r ^ { a } , ~ \, \chi ^ { 2 } ) < + \infty \} \quad a \in { \mathbb N } , } \\ { H _ { a } ^ { 1 } ( \mathscr { R } ) } & { { } : = \{ \chi : \chi \in L _ { a } ^ { 2 } ( \mathscr { R } ) , \; \nabla \chi \in [ L _ { a } ^ { 2 } ( \mathscr { R } ) ] ^ { 2 } \} } \end{array}
H _ { \mu \nu } \rightarrow H _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \bigl ( \lambda _ { 1 } R _ { \mu } { } ^ { \alpha } { } _ { \nu } { } ^ { \beta } H _ { \alpha \beta } + \lambda _ { 2 } R ^ { \alpha } { } _ { ( \mu } H _ { \nu ) \alpha } + \lambda _ { 3 } R H _ { \mu \nu } + \lambda _ { 4 } G _ { \mu \nu } R ^ { \alpha \beta } H _ { \alpha \beta } \bigr ) + O \left( \frac { 1 } { m ^ { 4 } } \right)
\frac { \delta n _ { i } } { n _ { 0 , i } } = \epsilon _ { n x , i } \frac { \delta x } { x _ { 0 } } + \epsilon _ { n \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } , i } \frac { \delta \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { \omega _ { 0 , \mathrm { ~ L ~ } } } + \epsilon _ { n L , i } h _ { i } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } .
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } \hat { \rho } } & { { } \rightarrow } & { \left[ \beta _ { n } + \left( \sigma - 1 \right) \frac { \partial } { \partial \alpha _ { n } } \right] P _ { \sigma } } \\ { \hat { a } _ { n } \hat { \rho } } & { { } \rightarrow } & { \left[ \alpha _ { n } + \sigma \frac { \partial } { \partial \beta _ { n } } \right] P _ { \sigma } } \\ { \hat { \rho } \hat { a } _ { n } } & { { } \rightarrow } & { \left[ \alpha _ { n } + \left( \sigma - 1 \right) \frac { \partial } { \partial \beta _ { n } } \right] P _ { \sigma } } \\ { \hat { \rho } \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } } & { { } \rightarrow } & { \left[ \beta _ { n } + \sigma \frac { \partial } { \partial \alpha _ { n } } \right] P _ { \sigma } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i } } & { { } \sim \mathcal { N } ( 4 , 1 ) } \\ { \beta _ { i } } & { { } \sim \mathcal { N } ( 2 , 1 ) } \\ { \theta _ { i } } & { { } \sim \mathcal { N } ( - 2 , 1 ) } \end{array}
{ \cal S } _ { m } ^ { ( 4 ) } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g _ { ( 4 ) } } \left[ ( \partial _ { \mu } \varphi ) ( \partial _ { \nu } \varphi ) g _ { ( 4 ) } ^ { \mu \nu } + m ^ { 2 } e ^ { - 2 \sigma ( z _ { i } ) } \varphi ^ { 2 } + \dots \right]
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( X ) = } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( M \cdot ( Z ^ { \top } ) ^ { \dagger } ) } \\ { = } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( U _ { * } \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } \cdot ( Z ^ { \top } ) ^ { \dagger } ) } \\ { = } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } \cdot ( Z ^ { \top } ) ^ { \dagger } ) } \\ { = } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } \cdot Z ) } \\ { \geq } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( \Sigma _ { * } ) \cdot \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( V _ { * } ^ { \top } \cdot Z ) } \\ { = } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( M ) \cdot \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( V _ { * } ^ { \top } \cdot Z ) } \\ { \geq } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( M ) \cdot \alpha , } \end{array}
( n _ { i j } ^ { ( u ) } ) = \frac { 1 } { q _ { \theta } } \left( \begin{array} { c c c } { { ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 3 } ) + ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 3 } ) } } & { { ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 3 } ) + ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 3 } ) } } & { { \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 3 } } } \\ { { ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } ) + ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 3 } ) } } & { { ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } ) + ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 3 } ) } } & { { \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } } } \\ { { \beta _ { 1 } - \beta _ { 3 } } } & { { \beta _ { 2 } - \beta _ { 3 } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\left[ \begin{array} { c c c } { 2 a _ { 1 } } & { \cdots } & { 2 a _ { q - 1 } } \\ { 3 a _ { 1 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { 3 a _ { q - 1 } ^ { 2 } } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { q a _ { 1 } ^ { q - 1 } } & { \cdots } & { q a _ { q - 1 } ^ { a - 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { 2 } \\ & { \ddots } \\ & & { q } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { a _ { 1 } } & { \cdots } & { a _ { q - 1 } } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { a _ { 1 } ^ { q - 2 } } & { \cdots } & { a _ { q - 1 } ^ { a - 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } { a _ { 1 } } \\ & { \ddots } \\ & & { a _ { q - 1 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \eta ^ { c } ( s , c , \Gamma ) } & { = \int _ { s _ { c } } ^ { s } \frac { \ensuremath { \partial } } { \ensuremath { \partial } c } \left( f _ { o } - f _ { a } \right) ( \zeta , c , \Gamma ) \frac { d p _ { c } } { d \zeta } ( \zeta , \Gamma ) d \zeta + \int _ { \Gamma _ { c } } ^ { \Gamma } \frac { \ensuremath { \partial } } { \ensuremath { \partial } c } \left( f _ { o } - f _ { a } \right) ( s , c , \xi ) \frac { d p _ { c } } { d \xi } ( s , \xi ) d \xi , } & \\ { \eta ^ { s } ( s , c , \Gamma ) } & { = \int _ { \Gamma _ { c } } ^ { \Gamma } \frac { \ensuremath { \partial } } { \ensuremath { \partial } s } \left( f _ { o } - f _ { a } \right) ( s , c , \xi ) \frac { d p _ { c } } { d \xi } ( s , \xi ) d \xi , } & \\ { \eta ^ { \Gamma } ( s , c , \Gamma ) } & { = \int _ { s _ { c } } ^ { s } \frac { \ensuremath { \partial } } { \ensuremath { \partial } \Gamma } \left( f _ { o } - f _ { a } \right) ( \zeta , c , \Gamma ) \frac { d p _ { c } } { d \zeta } ( \zeta , \Gamma ) d \zeta , } & \end{array}
\beta < | \Omega _ { 3 } | \big ( K _ { 1 } ^ { 2 } + K _ { 2 } ^ { 2 } + 2 K _ { 1 } K _ { 2 } - K _ { 3 } ^ { 2 } \big ) = | \Omega _ { 3 } | \big ( ( K _ { 1 } + K _ { 2 } ) ^ { 2 } - K _ { 3 } ^ { 2 } \big ) .
{ \frac { d } { d x } } \left( \int _ { f _ { 1 } ( x ) } ^ { f _ { 2 } ( x ) } g ( t ) \, d t \right) = g \left( f _ { 2 } ( x ) \right) { f _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } - g \left( f _ { 1 } ( x ) \right) { f _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } .
\begin{array} { r l } { \mathcal L ( v ) } & { = \frac { d } { d t } \Big | _ { t = 0 } \mathcal M ( u + t v ) } \\ & { = \sum _ { \beta } ( - 1 ) ^ { | \beta | } D ^ { \beta } ( F _ { p _ { \alpha } p _ { \beta } } ( x , \{ D ^ { \sigma } u \} ) D ^ { \alpha } v ) } \\ & { = \sum _ { \beta } ( - 1 ) ^ { | \beta | } D ^ { \beta } ( a _ { \alpha \beta } D ^ { \alpha } v ) . } \end{array}
P _ { \mathrm { m i n } } ^ { \mathrm R } = P _ { \mathrm R } + { \frac { 6 } { N ( N + 1 ) ( N + 2 ) } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } ( 2 i - N ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi _ { j }
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } } & { { } \supset } & { - 2 \left( 1 - \frac { 0 . 2 \, \kappa _ { s } } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } \right) \frac { \Delta \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } } \end{array}
u _ { 1 } ( \bar { \alpha } , \bar { \alpha } ) > u _ { 1 } ( 0 , \bar { \alpha } ) \; , \; \; { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \; \; \; u _ { 1 } ( \bar { \alpha } , \bar { \alpha } ) > u _ { 1 } ( 1 , \bar { \alpha } ) \; .
\begin{array} { r l } { \delta \hat { \rho } } & { { } = \frac { \lambda } { v _ { s } k } \arctan ( b ) \delta \hat { \rho } , } \\ { \delta \hat { \mathcal { U } } ^ { \alpha } } & { { } = \frac { B n \kappa } { v _ { s } k } \frac { b ( 3 + 2 b ^ { 2 } ) - 3 ( b ^ { 2 } + 1 ) \arctan ( b ) } { 2 b ^ { 4 } } \delta \hat { \mathcal { U } } ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbf { M } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } = } & { { } - \mathbf { M } ( \mathbf { \Delta } \tilde { \mathbf { U } } \mathbf { \Xi } e ^ { - \Xi t } \mathbf { V } ) \vec { x } + \mathbf { M } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } } \\ { \partial _ { t } \vec { x } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } } & { { } = ( \partial \vec { x } / \partial t ) ^ { T } ( \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } + \vec { x } ^ { T } \partial _ { t } ( \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) ^ { T } \vec { x } ) } \\ { \vec { x } ^ { T } \partial _ { t } ( \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } ) } & { { } = \vec { x } ^ { T } ( \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } - \vec { x } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { \Delta } \tilde { \mathbf { U } } \mathbf { \Xi } e ^ { - \Xi t } ) \vec { x } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { h ^ { \mathrm { t w o } } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { \triangleq { \frac { 1 } { a _ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 2 } } h ^ { \mathrm { o n e } } ( m _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { m _ { 2 } } { a _ { 2 } } } x _ { 2 } } \, d x _ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { a _ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 2 } } d x _ { 2 } { \frac { 1 } { a _ { 1 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 1 } } d x _ { 1 } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot e ^ { - i 2 \pi \left( { \frac { m _ { 1 } } { a _ { 1 } } } x _ { 1 } + { \frac { m _ { 2 } } { a _ { 2 } } } x _ { 2 } \right) } } \end{array} }
( 2 \pi ) ^ { - { \frac { n } { 2 } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } { \boldsymbol { \omega } } ^ { \mathrm { T } } { \boldsymbol { \sigma } } { \boldsymbol { \sigma } } ^ { \mathrm { T } } { \boldsymbol { \omega } } }