harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { r _ { 1 } : \quad \mathrm { X } _ { i } + \mathrm { X } _ { j } \stackrel { k _ { 1 } } { \rightarrow } \mathrm { Z } , \quad r _ { 2 } : \quad \mathrm { Z } \stackrel { k _ { 2 } } { \rightarrow } \mathrm { X } _ { i } + \mathrm { X } _ { j } , } \\ & { r _ { 3 } : \quad \mathrm { X } _ { k } + \mathrm { Z } \stackrel { k _ { 3 } } { \rightarrow } \nu _ { i 3 } ^ { + } \mathrm { X } _ { i } + \nu _ { j 3 } ^ { + } \mathrm { X } _ { j } + \nu _ { k 3 } ^ { + } \mathrm { X } _ { k } + \sum _ { \ell \in I } \nu _ { \ell 3 } ^ { + } \mathrm { X } _ { \ell } + \nu _ { z 3 } ^ { + } \mathrm { Z } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = - \gamma _ { i } \mathcal { R } , i = 1 \cdots N , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { F \frac { \partial C _ { e } } { \partial t } = \mathbb { C } _ { p } \frac { \partial ( \phi - \phi _ { p } ) } { \partial t } = j _ { e x } F - \Delta z F \mathcal { R } , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma } \\ { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , \phi = 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega / \Gamma , } \end{array} \right.
\mathbb { E } _ { h } \left| ( I _ { h } \varphi _ { h } , f ( \cdot - x ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \right| ^ { 2 } \le \| ( \Theta _ { h } * \tilde { f } ) ( x - \cdot ) \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( \Omega _ { h } ) } ^ { 2 } \le \| ( \Theta _ { h } * \tilde { f } ) ( x - \cdot ) \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( \tilde { \tilde { \Omega } } _ { h } ) } ^ { 2 } .
A _ { \mu } ^ { ( 3 ) } = \mp { \frac { 2 i } { g } } \, ( H _ { 2 } \, { \frac { v _ { \mu } ^ { 1 } } { \rho _ { 1 } } } + H _ { 3 } \, { \frac { v _ { \mu } ^ { 2 } } { \rho _ { 2 } } } ) + \kappa \, ( E _ { 2 1 } ^ { \pm } \, R _ { \mu } ^ { 1 } + E _ { 3 1 } ^ { \pm } \, R _ { \mu } ^ { 2 } ) \, \delta ( R ^ { 1 } \cdot R ^ { 2 } ) .
\| \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } \leq \| \mathcal { V } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } G ( 0 , t ) + \int _ { 0 } ^ { t } \nu ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( t - s ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \mu _ { 1 } \nu ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } \int _ { s } ^ { t } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } g ( r ) d r \right] \| d ( s , \cdot ) \| _ { L ^ { 1 } } d s .
\begin{array} { r l } { \varphi } & { ( X _ { t } ) - \varphi ( X _ { 0 } ) = \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { ( a _ { k } , b _ { k } ] } ( X _ { s - } ) d X _ { s } } \\ & { + \sum _ { 0 < s \leq t } \left[ \varphi ( X _ { s } ) - \varphi ( X _ { s - } ) - 1 _ { ( a _ { k } , b _ { k } ] } ( X _ { s - } ) \Delta X _ { s } \right] + \frac { 1 } { 2 } L ( t , a _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } L ( t , b _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overbrace { \partial _ { t } ^ { 2 } u } ^ { \partial _ { t } \{ \partial _ { t } u \} } } & { { } = } & { \left[ - a \partial _ { x } + \nu \partial _ { x } ^ { 2 } + \ | \lambda ^ { \prime } | \sum _ { k } \epsilon _ { k } ( \Delta x ) ^ { 2 k - 1 } \partial _ { x } ^ { 2 k } \right] \left\{ - a \partial _ { x } u + \nu \partial _ { x } ^ { 2 } u + \ | \lambda ^ { \prime } | \sum _ { k } \epsilon _ { k } ( \Delta x ) ^ { 2 k - 1 } \partial _ { x } ^ { 2 k } u \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d s } \left( \hat { \bf t } \cdot \hat { \bf e } _ { i } \right) } & { { } = \hat { \bf t } \cdot \frac { d \hat { \bf e } _ { i } } { d s } + \hat { \bf e } _ { i } \cdot \frac { d \hat { \bf t } } { d s } } \end{array}
\frac { 1 } { \kappa _ { m } } = \left( - \frac { 1 } { \ln ( d z / \delta ) + \ln ( R e _ { \tau } ) } \right) B _ { w m } + \frac { u _ { \mathrm { L L } } ^ { + } } { \ln ( h _ { w m } ^ { + } / R e _ { \tau } ) + \ln ( R e _ { \tau } ) } ,
{ \frac { M _ { i n i t i a l } - M _ { f i n a l } } { M _ { i n i t i a l } } } = 1 - { \frac { ( | P | + | Q | ) } { ( P ^ { \frac { 2 } { 3 } } + Q ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { \pi ^ { ( n ) } } & { = \frac { 1 } { k + 1 } \left\{ \left( \frac { r ( k s ^ { ( n + 1 ) } + s ^ { ( n ) } ) c } { G } - s ^ { ( n ) } c \right) + k \left( \frac { r ( k s ^ { ( n + 2 ) } + s ^ { ( n + 1 ) } ) c } { G } - s ^ { ( n ) } c \right) \right\} } \\ & { = \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) s ^ { ( n ) } c + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( n + 1 ) } c + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( n + 2 ) } c , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { \varepsilon } } & { { } = \operatorname* { m a x } \left\{ \kappa _ { \varepsilon } , \lambda _ { \varepsilon } \right\} } \\ { M _ { \sigma , \varepsilon } } & { { } = \operatorname* { m a x } \left\{ \sigma ^ { - 1 } \left( \left\{ 1 , \dots , N _ { \varepsilon } \right\} \right) \right\} } \end{array}
\big ( \Delta \Gamma \big ) _ { c o n t . } = - 2 \Gamma _ { 0 } \overline { { V } } _ { + - , + - } \int \frac { d k } { 2 \pi } \frac { \vert \psi _ { k } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / 4 ) } ,
\begin{array} { r l } & { \psi _ { 2 } ( \rho , \phi , t ) = } \\ & { \frac { N } { b } \left( \frac { \rho } { b \rho _ { H } } \right) ^ { | l | } \mathcal { L } _ { n } ^ { | l | } \left[ \frac { 2 \rho ^ { 2 } } { b ^ { 2 } \rho _ { H } ^ { 2 } } \right] \exp \left[ - \frac { \rho ^ { 2 } } { b ^ { 2 } \rho _ { H } ^ { 2 } } \right] \times } \\ & { \exp \left[ - i l \int _ { 0 } ^ { t } \omega ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } + i l \phi + { \frac { i m } { 2 } \frac { \dot { b } } { b } \rho ^ { 2 } } - i ( \varepsilon _ { \perp } - \omega _ { 0 } l ) \int \frac { d t } { b ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { l , m } = f ( \theta ) d _ { l , m } a _ { l - 1 , m } + c _ { l , m } , } \\ & { a _ { 0 , m } = \frac { 2 - \alpha - 2 m } { 4 ( 2 m + 1 ) } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } ( f ( \theta ) - f ( \eta ) ) { J } ^ { m } d \eta , } \\ & { \quad \quad + \frac { 2 m + \alpha - 1 } { 2 m + 1 } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( f ( \theta ) - f ( \eta ) ) { J } ^ { m } d \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } } & { { } = 1 , \quad C _ { - 1 } = 1 - \frac { 1 } { \mathrm { ~ n ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } , \quad C _ { 1 } = 1 + \frac { 1 } { \mathrm { ~ n ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } , } \\ { D _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad D _ { - 1 } = D _ { 1 } = \frac { - D _ { 0 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f : \mathbb { R } ^ { n } \mapsto \mathbb { R } , f ( x ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } x _ { i } ^ { 2 } } \\ { ( \forall i \in \{ 1 , 2 , \ldots , n \} ) \quad ( x _ { 0 } ) _ { i } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \phantom { - } i } & { \mathrm { i f } \; \; i \in \{ 1 , \ldots , \lfloor n / 2 \rfloor \} \; , } \\ { - i } & { \mathrm { i f } \; \; i \in \{ \lfloor n / 2 \rfloor + 1 , \ldots , n \} \; . } \end{array} \right. } \end{array}
F _ { r a w } ( P _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , P _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ e ~ a ~ l ~ } } ) = \frac { f ( P _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , P _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ e ~ a ~ l ~ } } ) - f ( P _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ } } , P _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ e ~ a ~ l ~ } } ) } { 1 - f ( P _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ } } , P _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ e ~ a ~ l ~ } } ) }
\prod _ { \substack { ( a , b , c , d , e ) = 1 \, a , b , c , d < e \, a , b , c , d \geq 0 , e > 0 } } \left( \frac { 1 } { 1 - y ^ { a + b + c + d } z ^ { e } } \right) ^ { \frac { 1 } { e } } = \left( \frac { ( 1 - y z ) ^ { 4 } ( 1 - y ^ { 3 } z ) ^ { 4 } } { ( 1 - z ) ( 1 - y ^ { 2 } z ) ^ { 6 } ( 1 - y ^ { 4 } z ) } \right) ^ { \frac { 1 } { ( 1 - y ) ^ { 4 } } }
{ \begin{array} { r l } { f ( x ) } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } { \frac { ( x - a ) ^ { m } } { m ! } } \left[ { \frac { \mathrm { d } ^ { m } f } { \mathrm { d } x ^ { m } } } \right] _ { x = a } + \int _ { a } ^ { b } \left[ { \frac { ( x - s ) ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } } \Theta ( x - s ) \right] \left[ { \frac { \mathrm { d } ^ { n } f } { \mathrm { d } x ^ { n } } } \right] _ { x = s } \mathrm { d } s } \end{array} } ~ .
\begin{array} { r l } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| [ \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \xi - \sigma + \delta ) - \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \xi - \sigma ) ] h _ { \epsilon } ( \sigma ) \right| d \sigma \leq \frac { 8 \delta ^ { \gamma } } { ( \nu t ) ^ { ( \gamma + 1 ) / 2 } } ( 1 + | \xi | ^ { \beta } + ( \nu t ) ^ { \beta / 2 } ) ^ { \gamma } ( ( \nu t ) ^ { \beta } + | \xi | ^ { \beta } ) ^ { 1 - \gamma } , } \\ & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| [ \Psi ( t , \xi - \sigma + \delta ) - \Psi ( t , \xi - \sigma ) ] h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \sigma ) \right| d \sigma \leq \frac { \delta ^ { \gamma } } { ( \nu t ) ^ { ( \gamma + 1 ) / 2 } } [ 1 + ( \nu t ) ^ { \gamma / 2 } ] . } \end{array}
\mathbf { v _ { 3 } } ^ { \prime } = \mathbf { v _ { 1 } } ^ { \prime } + \mathbf { v _ { 2 } } ^ { \prime } = ( R \mathbf { v _ { 1 } } ) + ( \operatorname* { d e t } R ) ( R \mathbf { v _ { 2 } } ) = R ( \mathbf { v _ { 1 } } + ( \operatorname* { d e t } R ) \mathbf { v _ { 2 } } ) .
\begin{array} { r } { - 1 \mp K _ { i } \mp K _ { j k } \le K _ { 1 2 3 } \le 1 \pm K _ { i } \mp K _ { j k } \; , \; ( i , j , k ) = ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 3 , 1 , 2 ) \; , } \end{array}
i \frac { \partial \Psi } { \partial z } - \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial t ^ { 2 } } + \gamma | \psi | ^ { 2 } \psi = i g _ { 0 } \Psi + g _ { 1 } \frac { \partial \Psi } { \partial t } .
l _ { f } = { \frac { \hbar } { q _ { \parallel } } } = l _ { f 0 } \bigg [ 1 + { \frac { E _ { s } ^ { 2 } l _ { f } } { 2 m ^ { 2 } c ^ { 4 } X _ { 0 } } } \bigg ] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { X _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } } & { = \sum _ { m _ { m } m _ { a } } \left( - 1 \right) ^ { j _ { a } - m _ { a } } C _ { j _ { m } m _ { m } j _ { a } - m _ { a } } ^ { J M } \chi _ { m a } \, , } \\ { Y _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } } & { = \sum _ { m _ { m } m _ { a } } \left( - 1 \right) ^ { j _ { a } - m _ { a } + J - M } C _ { j _ { m } m _ { m } j _ { a } - m _ { a } } ^ { J - M } \eta _ { m a } ^ { * } \, , } \end{array}
r \left( 1 - \cos { \frac { x } { r } } \right) = r { \frac { x ^ { 2 } } { ( 2 ^ { 2 } - 2 ) r ^ { 2 } } } - r { \frac { x ^ { 2 } } { ( 2 ^ { 2 } - 2 ) r ^ { 2 } } } \cdot { \frac { x ^ { 2 } } { ( 4 ^ { 2 } - 4 ) r ^ { 2 } } } + \cdots
d x _ { 1 } d x _ { 2 } \cdots d x _ { m } = \sin ^ { m } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { m - 1 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { m } ) \, d \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { m } ,
{ \begin{array} { r l } { { \hat { f _ { 2 } } } ( \omega ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \cdot e ^ { - i \omega x } \, d x = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \cdot { \hat { f } } \left( { \frac { \omega } { 2 \pi } } \right) , } \\ { f ( x ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \hat { f _ { 2 } } } ( \omega ) \cdot e ^ { i \omega x } \, d \omega . } \end{array} }
S _ { Q } ^ { \mp , a , p } = \left( \gamma ^ { 0 } i \partial _ { 0 } + \gamma ^ { 3 } \left( p _ { 3 } - q E x ^ { o } \right) + \gamma _ { \bot } \left( i \partial - q A \right) + M \Omega \right) \bigtriangleup _ { Q } ^ { \mp , a , p } ,
\langle x ^ { L ( 0 ) } w _ { ( 1 ) } , { \cal Y } ( x ^ { - L ( 0 ) } w _ { ( 3 ) } ^ { \prime } , x _ { 0 } ) x ^ { - L ( 0 ) } w _ { ( 2 ) } \rangle _ { W _ { 1 } ^ { \prime } } = \langle w _ { ( 1 ) } , { \cal Y } ( w _ { ( 3 ) } ^ { \prime } , x x _ { 0 } ) w _ { ( 2 ) } \rangle _ { W _ { 1 } ^ { \prime } }
\left\{ \begin{array} { r l l l l l l l l l } { z _ { t } + \displaystyle { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } \, ( \beta \, { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } z ) + q \, z } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { Q , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } z ) ( a ^ { + } , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } z ) ( b ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( 0 , T ) , } \\ { z ( \cdot , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( a , b ) . } \end{array} \right.
t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } \cdots t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } }
\int _ { \{ u = 0 \} \cap E _ { \epsilon } } | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \psi = \int _ { Q _ { T } } | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \psi \chi _ { \{ u = 0 \} \cap E _ { \epsilon } } \leq \int _ { Q _ { T } } | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \psi \chi _ { E _ { \epsilon } } \leq C \lVert | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \rVert _ { L ^ { 1 / \alpha } ( Q _ { T } ) } \lVert \chi _ { E _ { \epsilon } } \rVert _ { L ^ { 1 / ( 1 - \alpha ) } ( Q _ { T } ) } \leq C \epsilon ^ { 1 - \alpha }
\sin \frac { \widetilde { \Delta } _ { 3 1 } L } { 2 } \simeq \frac { \widetilde { \Delta } _ { 3 1 } L } { 2 } , \qquad \sin \frac { \Delta _ { 3 1 } L } { 2 } \simeq \frac { \Delta _ { 3 1 } L } { 2 }
\begin{array} { l } { { \Phi _ { 3 } \times \Phi _ { \overline { { 3 } } } = \Phi _ { 1 } + \Phi _ { 8 } \ , \ \Phi _ { 6 } \times \Phi _ { \overline { { 6 } } } = \Phi _ { 1 } + \Phi _ { 8 } \ , \ \Phi _ { 1 0 } \times \Phi _ { \overline { { { 1 0 } } } } = \Phi _ { 1 } } } \\ { { \Phi _ { 8 } \times \Phi _ { 8 } = \Phi _ { 1 } + 2 \Phi _ { 8 } + \Phi _ { 1 0 } + \Phi _ { \overline { { { 1 0 } } } } \ , \ \Phi _ { 1 5 } \times \Phi _ { \overline { { { 1 5 } } } } = \Phi _ { 1 } + \Phi _ { 8 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial u } { \partial t } } & { = } & { \nabla \cdot ( d _ { 1 } ( u , v , w ) \nabla u ) - \nabla \cdot ( \chi _ { u } ( v ) u \nabla v ) + \lambda u ( 1 - u - v ) , } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } } & { = } & { \rho v ( 1 - u - v ) - \eta v w , } \\ { \frac { \partial w } { \partial t } } & { = } & { d _ { 2 } \Delta w + \alpha u ( 1 - w ) - \beta w , } \end{array}
\left( \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } \partial _ { z } \ + \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 0 } \partial _ { 0 } \right) \Phi = \lambda \Phi , \quad \Psi = \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \Phi
\langle { \hat { R } } _ { k } ( t ) \rangle + 1 / 2 \Rightarrow { \frac { { \frac { 1 } { 4 } } \Omega ^ { 2 } } { { \frac { 1 } { 2 } } \Omega ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + ( \gamma + \omega _ { 1 } - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { - \frac { { \partial } w } { { \partial } t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { H } ^ { 2 } \Big ( \frac { { \partial } ^ { 2 } w } { { \partial } \xi ^ { 2 } } + \frac { { \partial } w } { { \partial } \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { { \partial } w } { { \partial } \xi } + w \Big ) = 0 , \quad \xi > \hat { \eta } ( t ) , } \\ & { - \frac { { \partial } w } { { \partial } t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { L } ^ { 2 } \Big ( \frac { { \partial } ^ { 2 } w } { { \partial } \xi ^ { 2 } } + \frac { { \partial } w } { { \partial } \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { { \partial } w } { { \partial } \xi } + w \Big ) = 0 , \quad \xi < \hat { \eta } ( t ) , } \\ & { w ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) = w ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) , \quad \sigma _ { L } ^ { 2 } ( w _ { x } + w ) ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) = \sigma _ { H } ^ { 2 } ( w _ { x } + w ) ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) . } \end{array}
{ \alpha _ { m } ^ { l ^ { \prime } \rightarrow l } } ^ { ( N ) } ( t ) = \sum _ { \substack { i : \; B _ { i m } ^ { ( N ) } = 1 , \, C _ { i l ^ { \prime } } ^ { ( N ) } ( t ) = 1 } } { \Lambda _ { m } ^ { \rightarrow l } } ^ { ( N ) } ( x _ { i } , t ) = N \int _ { D } { \Lambda _ { m } ^ { \rightarrow l } } ^ { ( N ) } ( x , t ) \, \rho _ { m , l ^ { \prime } } ^ { ( N ) } ( x , t ) d x .
\begin{array} { r l } { \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ o d d } \} } & { = \# \{ x _ { 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { 2 } ^ { n } } ( x _ { 2 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ o d d } \} + \# \{ x _ { d + 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { d + 2 } ^ { n } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ o d d } \} . } \end{array}
x _ { + } = z _ { 0 } + z _ { 1 } = \frac { 1 } { M _ { B } ^ { 2 } } \left( p _ { B } k + \sqrt { ( p _ { B } k ) ^ { 2 } - M _ { B } ^ { 2 } ( M _ { \psi } ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } \right) .
{ \cal L } _ { \Delta B \phi } = \frac { { \cal C } } { 2 } \, \biggl \{ \bar { \Delta } ^ { \mu , a b c } \, \Theta _ { \mu \nu } ( Z ) \, ( u ^ { \nu } ) _ { a } ^ { i } \, B _ { b } ^ { j } \, \epsilon _ { c i j } + \bar { B } _ { j } ^ { b } \, ( u ^ { \nu } ) _ { i } ^ { a } \, \Theta _ { \nu \mu } ( Z ) \, { \Delta } _ { a b c } ^ { \mu } \, \epsilon ^ { c i j } \, \biggr \} \, \, \, ,
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } f ( \mathbf { p } , t ) } & { { } = \nabla _ { p } \cdot \left( \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { k } ^ { d } } W ( \mathbf { k } , t ) \Phi ( \mathbf { p } , \mathbf { k } ) d \mathbf { k } \right] \cdot \nabla _ { p } f ( \mathbf { p } , t ) \right) , } & { \mathrm { ~ ( ~ V ~ e ~ d ~ e ~ n ~ o ~ v ~ e ~ t ~ a ~ l ~ . ~ } ) } \\ { \partial _ { t } W ( \mathbf { k } , t ) } & { { } = \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { p } ^ { d } } \left( \nabla _ { p } f ( \mathbf { p } , t ) \right) \cdot \Phi ( \mathbf { p } , \mathbf { k } ) \cdot \left( \nabla _ { p } E ( \mathbf { p } ) \right) d \mathbf { p } \right] W ( \mathbf { k } , t ) , } & { \mathrm { ~ ( ~ L ~ a ~ n ~ d ~ a ~ u ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \Theta } } & { { } = \int _ { \tau = - \infty } ^ { \tau } \frac { \log \bar { p } } { \bar { \gamma } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { d \log \gamma } { d Y _ { j } } a _ { j , f } \mathrm { ~ D ~ a ~ } ~ Y _ { f } ^ { \prime } d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r } { i ^ { * } = \frac { ( \hat { C } - \beta c _ { i } ^ { r } ) + \sqrt { ( \beta c _ { i } ^ { r } - \hat { C } ) ^ { 2 } + 4 \hat { C } c _ { i } ^ { r } ( \beta - \alpha ) } } { 2 \hat { C } c _ { i } ^ { r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \nabla \cdot \bigl ( \bigl ( \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma \bigr ) \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } \bigr ) \bigr ) } \qquad } & { { } } \end{array}
\langle m + 1 | e ^ { i t ( H _ { \mathrm { X X Z } } - \chi \frac { \hat { Z } ^ { 2 } } { N } ) } \; \hat { Y } \; e ^ { - i t ( H _ { \mathrm { X X Z } } - \chi \frac { \hat { Z } ^ { 2 } } { N } ) } | m \rangle = 0 ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \imath \nu \partial _ { t } \Psi = { \cal H } _ { C } \Psi ; } \\ & { } & { { \cal H } _ { C } = { \cal H } _ { C } ^ { ( 1 ) } + { \cal H } _ { C } ^ { ( 2 ) } } \\ & { } & { { \cal H } _ { C } ^ { ( 1 ) } = \nu \gamma \oint _ { C } d r _ { \alpha } \partial _ { \beta } \hat { \omega } _ { \alpha \beta } ( r ) ; } \\ & { } & { { \cal H } _ { C } ^ { ( 2 ) } = \gamma \oint _ { C } d r _ { \alpha } \hat { \omega } _ { \alpha \beta } ( r ) \hat { v } _ { \beta } ( r ) ; } \\ & { } & { \hat { \omega } _ { \alpha \beta } \equiv - \imath \frac { \nu } { \gamma } \frac { \delta } { \delta \sigma _ { \alpha \beta } } } \\ & { } & { \hat { v } _ { \beta } ( r ) = \frac { 1 } { \partial _ { \mu } ^ { 2 } } \partial _ { \alpha } \hat { \omega } _ { \beta \alpha } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( ( X _ { 1 } ( t ) , . . . , X _ { n } ( t ) ) \in A | \mathcal { N } ( t ) = n ) } & { { } = \frac { \mathbb { P } ( \{ ( X _ { 1 } ( t ) , . . . , X _ { n } ( t ) ) \in A \} \cap \{ \mathcal { N } ( t ) = n \} ) } { \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = n ) } } \end{array}
\chi \equiv ( \xi _ { 8 } - 1 ) / ( \xi _ { 7 } - 1 ) = \frac { C _ { 8 L } ^ { \mathrm { N e w } } ( M _ { W } ) / C _ { 8 L } ^ { \mathrm { S M } } ( M _ { W } ) } { C _ { 7 L } ^ { \mathrm { N e w } } ( M _ { W } ) / C _ { 7 L } ^ { \mathrm { S M } } ( M _ { W } ) } .
\phi _ { \eta } ( q _ { z } , q _ { 0 } ) = \left( { \frac { 1 } { \pi } } \right) ^ { 1 / 2 } \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { - 2 \eta } q _ { u } ^ { 2 } + e ^ { 2 \eta } q _ { v } ^ { 2 } \right) \right\} .
i = \frac { ( c _ { 2 } + \beta a _ { 2 } + \alpha a _ { 1 } ) - \sqrt { ( c _ { 2 } + \beta a _ { 2 } + \alpha a _ { 1 } ) ^ { 2 } + 4 ( c _ { 2 } + \beta a _ { 2 } - \alpha a _ { 2 } ) ( c _ { 1 } + \beta a _ { 1 } ) } } { - 2 ( c _ { 1 } + \beta a _ { 1 } ) }
{ \Bigg ( } { \frac { q ^ { * } } { p } } { \Bigg ) } _ { 4 } = 1 { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } { \left\{ \begin{array} { l l } { b \equiv 0 { \pmod { q } } ; } & { { \mathrm { ~ o r ~ } } } \\ { a \equiv 0 { \pmod { q } } { \mathrm { ~ a n d ~ } } \left( { \frac { 2 } { q } } \right) = 1 ; } & { { \mathrm { ~ o r ~ } } } \\ { a \equiv \mu b , \; \; \mu ^ { 2 } + 1 \equiv \lambda ^ { 2 } { \pmod { q } } { \mathrm { , ~ a n d ~ } } \left( { \frac { \lambda ( \lambda + 1 ) } { q } } \right) = 1 . } \end{array} \right. }
{ \cal L } _ { Y } ^ { \mathrm { e f f } } = - \frac { H ^ { 0 } } { v ^ { 0 } } \left[ C _ { 1 } \left[ O _ { 1 } ^ { \prime } \right] + \sum _ { q } \left( C _ { 2 q } \left[ O _ { 2 q } ^ { \prime } \right] + C _ { 3 q } \left[ O _ { 3 q } ^ { \prime } \right] \right) \right] .
K = 1 + \frac { \alpha _ { s } ^ { ( n _ { l } ) } ( \mu ) } { \pi } \left[ \frac { 9 5 } { 4 } - \frac { 7 } { 6 } n _ { l } + \left( \frac { 1 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } n _ { l } \right) \ln \frac { \mu ^ { 2 } } { M _ { H } ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { r \delta B _ { r } } & { { } = \alpha _ { 0 } \left[ I _ { | m | } ( \nu r ) K _ { | m | } ( \nu b ) - K _ { | m | } ( \nu r ) I _ { | m | } ( \nu b ) \right] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \nabla _ { ( \rho _ { \theta } , \rho _ { \theta } U _ { \theta } , G _ { \theta } ) } ^ { 2 } \mathcal { M } ( \theta ) \right] _ { i j } = \frac { \mathcal { P } _ { i j } ( ( v - U _ { \theta } ) , U _ { \theta } , T _ { \theta } ) } { \rho _ { \theta } ^ { \alpha _ { i j } } T _ { \theta } ^ { \beta _ { i j } } } \mathcal { M } ( \theta ) , } \end{array}
\xi ^ { \prime } = \sinh ^ { - 1 } \left[ \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } \sinh \xi + \frac { g \cos \theta _ { 1 } } { p _ { T } \tau ^ { \prime } } \int _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime \prime } ~ \tau ^ { \prime \prime } ~ E ( \tau ^ { \prime \prime } ) \right] ,
\left| f _ { N } ( x _ { 0 } ) - f ( x _ { 0 } ) \right| = \left| \left[ ( 1 / 2 ) ^ { \frac { 1 } { N } } \right] ^ { N } - 0 \right| = { \frac { 1 } { 2 } } > { \frac { 1 } { 4 } } = \epsilon ,
{ \frac { \delta } { \delta \beta ^ { a } } } \, W \vert _ { _ { \beta = 0 } } \, = \, ( \, D _ { + } J _ { - } \, ) ^ { a } \, - \, { \frac { 1 } { 2 \pi } } ( \partial _ { + } A _ { - } ^ { a } \, - \, \partial _ { - } A _ { + } ^ { a } \, )
F _ { 4 } \, \stackrel { \eta \rightarrow \infty } { \sim } \, \left( F _ { \infty } - 9 \gamma ^ { 2 } b ( 6 \kappa ) ^ { - 1 4 / 3 } [ \frac { 3 } { 4 } ( \eta - \eta _ { 0 } ) ] ^ { - 8 / 3 } \right) v o l _ { 1 , 3 } \, ,
\begin{array} { r l } & { q _ { 2 1 } ^ { 1 } ( t ) = 0 , } \\ & { q _ { 2 2 } ^ { 1 } ( t ) = \phi ( t , e _ { i } ) X _ { 2 } ( t - ) \sigma _ { 2 } ( t , e _ { i } ) , } \\ & { r _ { 2 } ^ { 1 } ( t - , z ) = \phi ( t , e _ { i } ) X _ { 2 } ( t - ) \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) , } \\ & { w _ { 2 } ^ { 1 , j } ( t ) = ( \phi ( t , e _ { j } ) - \phi ( t , e _ { i } ) ) X _ { 2 } ( t - ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { C _ { \phi } } ( z ) } & { = \langle C _ { \phi } \hat { k } _ { z } , \hat { k } _ { z } \rangle } \\ & { = \frac { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - \overline { { z } } \phi ( z ) ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - | z | ^ { 2 } \alpha ) ^ { 2 } } . } \end{array}