harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \zeta = \frac { \lambda w _ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } - \bar { \lambda } _ { 3 } ^ { 2 } } , \quad \xi = \frac { \bar { \lambda } _ { 3 } } { { \lambda } } \zeta + q \bar { \lambda } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \small \textsc { { C R } } } _ { \beta } \equiv \beta ^ { \gamma } + ( \chi _ { n , \alpha } / \sqrt { t } ) \hat { \Sigma } _ { \beta } ^ { 1 / 2 } { \mathbb B } \; , } \\ & { { \small \textsc { { C I } } } _ { \small \textsc { { R E V } } } \equiv [ { \small \textsc { { R E V } } } ^ { \gamma } \pm z _ { \alpha / 2 } \hat { \sigma } _ { { \small \textsc { { R E V } } } } / \sqrt t ] \; . } \end{array}
b _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / a _ { s n } } & { \mathrm { i f ~ } ( i , j ) = ( s , s ) , } \\ { - a _ { i n } / a _ { s n } } & { \mathrm { i f ~ } i \neq s \mathrm { ~ a n d ~ } j = s , } \\ { a _ { s j } / a _ { s n } } & { \mathrm { i f ~ } i = s \mathrm { ~ a n d ~ } j \neq s , } \\ { a _ { i j } - a _ { i n } a _ { s j } / a _ { s n } } & { \mathrm { i f ~ } i , j \neq s . } \end{array} \right.
Z = Z _ { A } Z _ { B } = e ^ { N _ { A } + N _ { B } } \left( \frac { V _ { A } } { N _ { A } } \right) ^ { N _ { A } } \left( \frac { V _ { B } } { N _ { B } } \right) ^ { N _ { B } } \left( \frac { 2 \pi m } { h ^ { 2 } \beta } \right) ^ { \frac 3 2 ( N _ { A } + N _ { B } ) } = e ^ { N } \left( \frac { V _ { A } } { N _ { A } } \right) ^ { N _ { A } } \left( \frac { V _ { B } } { N _ { B } } \right) ^ { N _ { B } } \left( \frac { 2 \pi m } { h ^ { 2 } \beta } \right) ^ { \frac 3 2 N }
G ( \mathbf { K } _ { f } , \mathbf { Q } _ { p } ) = A ( \mathbf { K } _ { f } ) A ^ { * } ( \mathbf { K } _ { f } + \mathbf { Q } _ { p } ) \otimes _ { \mathbf { K } _ { f } } \Psi _ { s } ( \mathbf { K } _ { f } ) \Psi _ { s } ^ { * } ( \mathbf { K } _ { f } - \mathbf { Q } _ { p } ) ,
\mathrm { c i r c } \left( \mathbf { v } \right) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathit { v _ { 0 } } } & { \mathit { v _ { 3 } } } & { \mathit { v _ { 2 } } } & { \mathit { v _ { 1 } } } \\ { \mathit { v _ { 1 } } } & { \mathit { v _ { 0 } } } & { \mathit { v _ { 3 } } } & { \mathit { v _ { 2 } } } \\ { \mathit { v _ { 2 } } } & { \mathit { v _ { 1 } } } & { \mathit { v _ { 0 } } } & { \mathit { v _ { 3 } } } \\ { \mathit { v _ { 3 } } } & { \mathit { v _ { 2 } } } & { \mathit { v _ { 1 } } } & { \mathit { v _ { 0 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \left\langle \xi ^ { ( a ) } ( \tau ) \right\rangle _ { e n } } & { = 0 , } \\ { \left\langle \xi ^ { ( a ) } ( \tau _ { 1 } ) \xi ^ { * ( b ) } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle _ { e n } } & { = \left( \rho _ { e e } ^ { ( a ) } ( \tau _ { 1 } ) - \left| \rho _ { g e } ^ { ( a ) } ( \tau _ { 1 } ) \right| ^ { 2 } \right) \delta _ { a b } \delta _ { \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { m } ^ { s } } & { = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T _ { c } } g ( \xi ) \mathrm { s i n } ( 2 \pi m \xi / T _ { c } ) d \xi } \\ & { = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { s i n } ( 2 \pi m \xi / T _ { c } ) d \xi } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 \pi m } \bigg ( \mathrm { c o s } ( 2 \pi m T / T _ { c } ) - 1 \bigg ) , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { r e l } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \biggl ( \mu + \frac { g ^ { 2 } \lambda } { 8 \pi r } \biggr ) \, \dot { { \bf r } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { g ^ { 2 } \lambda } { 8 \pi } \right) ^ { 2 } \biggl ( \mu + \frac { g ^ { 2 } \lambda } { 8 \pi r } \biggr ) ^ { - 1 } ( \dot { \psi } + { \bf w } ( { \bf r } ) \cdot \dot { { \bf r } } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { l ( x ) } & { = \mathrm { l n } \left( 1 + \frac { \alpha ^ { 2 } \left( M _ { 1 } x + M _ { 1 } \right) } { 2 \lambda _ { 0 } } \right) \Bigg ( 1 - 2 \sqrt { \frac { M _ { 1 } x + M _ { 1 } } { 2 \lambda } } K _ { 1 } \left( 2 \sqrt { \frac { M _ { 1 } x + M _ { 1 } } { 2 \lambda } } \right) \Bigg ) ^ { K - 1 } } \\ & { \times K _ { 0 } \left( 2 \sqrt { \frac { M _ { 1 } x + M _ { 1 } } { 2 \lambda } } \right) \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B ( s v , r , \theta ) } \\ & { \approx { w _ { s v , r , \theta } } ^ { 2 } \Big [ \theta + \sin ^ { - 1 } \Big ( \frac { s v \sin \theta } { r } \Big ) \Big ] - r ^ { 2 } \theta + s v r \sin \theta } \\ & { = { w _ { s v , r , \theta } } ^ { 2 } \Big [ \theta + \frac { s v \sin \theta } { r } \Big ] - r ^ { 2 } \theta + s v r \sin \theta + o ( v ^ { 2 } ) } \\ & { = - 2 s v r ( \theta \cos \theta - \sin \theta ) + s ^ { 2 } v ^ { 2 } ( \theta - \sin 2 \theta ) + o ( v ^ { 2 } ) \; \; a s \; \; v \rightarrow 0 , } \end{array}
\displaystyle s _ { 0 } \operatorname* { s u p } _ { 0 < s \leq s _ { 0 } } \left( \operatorname* { m a x } \left( \left| \frac { 1 } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } \frac { c _ { j } } { I _ { 1 } ^ { j } } \right) } \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } \right| , \left| \frac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } \right| , \ldots , \left| \frac { \partial W } { \partial I _ { n } } \right| \right) \right)
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \gamma ^ { u } \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { u } + \gamma ^ { h } \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { h } + \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { p } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { T } , } \\ { 0 } & { { } = \gamma ^ { u } \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { u } + \gamma ^ { h } \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { h } + \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { p } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { T } , } \end{array}
\Phi _ { \mathrm { ~ L ~ J ~ } } ^ { \alpha \beta } ( r _ { i j } ^ { \alpha \beta } ) = 4 \varepsilon ^ { \alpha \beta } \left[ \left( \frac { \sigma ^ { \alpha \beta } } { r _ { i j } ^ { \alpha \beta } } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma ^ { \alpha \beta } } { r _ { i j } ^ { \alpha \beta } } \right) ^ { 6 } + c _ { 2 } ^ { \alpha \beta } \left( \frac { r _ { i j } ^ { \alpha \beta } } { r _ { \mathrm { c } } ^ { \alpha \beta } } \right) ^ { 2 } + c _ { 0 } ^ { \alpha \beta } \right] ,
\begin{array} { r l } { E ^ { * } \left( \left. \prod _ { j = i } ^ { K } F _ { I - i , j } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \right| \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) } & { = E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { K } F _ { I - i , j } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) - \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat f _ { j , n } ^ { * } } \\ & { = \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat f _ { j , n } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat f _ { j , n } ^ { * } = 0 } \end{array}
\quad ( 6 ) \qquad \qquad { \bar { \rho } } _ { i } \left( t _ { 2 } \right) = { \bar { \rho } } _ { i } \left( t _ { 1 } \right) - { \frac { 1 } { \Delta x _ { i } } } \left( \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } f _ { i + { \frac { 1 } { 2 } } } d t - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } f _ { i - { \frac { 1 } { 2 } } } d t \right) .
\frac { \partial \bar { \boldsymbol { \sigma } } } { \partial \mathcal { E } } = \frac { \partial \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { N } } { \partial \mathcal { E } } + \frac { \partial \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { B } } { \partial \mathcal { E } } \, ,
\mathrm { A } _ { \mu } ^ { ( n ) } ( y ) = { \cal L } _ { \mu \nu } A ^ { \nu } ( { \cal L } ^ { T } y ) = - \frac { 1 } { 2 } { \cal L } _ { \mu \nu } F _ { \ \sigma } ^ { \nu } { \cal L } _ { \lambda } ^ { \ \sigma } y ^ { \lambda } = - \frac { 1 } { 2 } ( { \cal L } F { \cal L } ^ { T } y ) _ { \mu } .
{ \delta _ { \theta } } = \int _ { - { L _ { 2 } } / 4 } ^ { { L _ { 2 } } / 4 } { \left[ { \frac { 1 } { 4 } - { { \left( { \frac { { \left\langle { { { \bar { u } } _ { 1 } } } \right\rangle } } { { \Delta U } } } \right) } ^ { 2 } } } \right] d { x _ { 2 } } } .
{ D _ { N , T } } = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } } \left\lvert \mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) - \mathbb { P } ^ { * } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } ^ { * } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) \right\rvert
\begin{array} { r l } { I ( u ) } & { = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } \left( x , y , \frac { | u ( x ) - u ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { d x \ d y } { | x - y | ^ { N } } + \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } V ( x ) \mathcal { H } _ { x } ( x , | u | ) d x } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( u ( x ) ) F ( u ( y ) ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y } \\ & { \geq \operatorname* { m i n } \left\lbrace [ u ] _ { s , \mathcal { H } } ^ { h _ { 1 } } , [ u ] _ { s , \mathcal { H } } ^ { h _ { 2 } } \right\rbrace + \operatorname* { m i n } \left\lbrace \| u \| _ { V , \mathcal { H } } ^ { h _ { 1 } } , \| u \| _ { V , \mathcal { H } } ^ { h _ { 2 } } \right\rbrace } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( u ( x ) ) F ( u ( y ) ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y \cdot } \end{array}
\hat { V } - V = \frac { 6 ^ { \frac { 1 } { 3 } } } { 4 } q _ { I } ( \hat { G } ^ { I J } - G ^ { I J } ) q _ { J } = - \frac { 1 } { 8 \cdot 6 ^ { \frac { 1 } { 3 } } } t ^ { 2 } \: ( q _ { I } G ^ { I 2 } ) ^ { 2 } \rightarrow 0 \ , \qquad t ^ { 2 } \rightarrow 0 .
\displaystyle \frac { \left( a _ { \mathrm { H u m a n } } \omega ^ { b _ { \mathrm { H u m a n } } } - a _ { \mathrm { S u r r o g a t e } } \omega ^ { b _ { \mathrm { S u r r o g a t e } } } \right) } { a _ { \mathrm { H u m a n } } \omega ^ { b _ { \mathrm { H u m a n } } } } \times 1 0 0
m _ { H _ { \pm } } = m _ { Q } + \bar { \Lambda } ^ { H } - { \frac { \lambda _ { 1 } ^ { H } } { 2 m _ { Q } } } \pm { \frac { n _ { \mp } \, \lambda _ { 2 } ^ { H } } { 2 m _ { Q } } } + \ldots \, ,
L _ { i n t } = - \frac { g _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } ( \bar { u } _ { L } , \bar { c } _ { L } , \bar { t } _ { L } ) \gamma ^ { \mu } V _ { C K M } \left( \begin{array} { c c c } { { d _ { L } } } \\ { { s _ { L } } } \\ { { b _ { L } } } \end{array} \right) W _ { \mu } ^ { + } + h . c . \, .
\begin{array} { l c l c c c l } { { A _ { 0 } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { , } } & { { A _ { 1 / 2 } } } & { { = } } & { { 0 \nonumber } } \\ { { A _ { 1 } } } & { { = } } & { { 4 \pi \beta ^ { 2 } } } & { { , } } & { { A _ { 3 / 2 } } } & { { = } } & { { \frac { \beta ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { 2 R } \nonumber } } \\ { { A _ { 2 } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { , } } & { { A _ { 5 / 2 } } } & { { = } } & { { \frac { [ ( 3 \pi - 1 2 8 ) \beta ^ { 2 } + ( 2 5 6 - 1 8 \pi ) \beta ^ { 4 } ] \pi ^ { 1 / 2 } } { 3 8 4 R ^ { 3 } } \nonumber } } \\ { { A _ { 3 } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { , } } & { { A _ { 7 / 2 } } } & { { = } } & { { \frac { ( 2 7 \beta ^ { 2 } - 1 0 0 \beta ^ { 4 } + 8 0 \beta ^ { 6 } ) \pi ^ { 3 / 2 } } { 2 4 5 7 6 R ^ { 5 } } \nonumber \ . } } \end{array}
\gamma _ { g g } ^ { ( m ) } = C _ { A } \left( \frac { 8 } { m + 2 } - \frac { 8 } { m + 1 } + \frac { 1 6 } { m } - \frac { 8 } { m - 1 } + 8 \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { i } - \frac { 2 2 } { 3 } \right) .
\begin{array} { r c l r c l } { { F ^ { ( 1 ) m } } } & { { = } } & { { 2 \partial A ^ { ( 1 ) m } \, , } } & { { H } } & { { = } } & { { \partial B - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } A ^ { ( 1 ) m } F ^ { ( 2 ) } { } _ { m } - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } A ^ { ( 2 ) } { } _ { m } F ^ { ( 1 ) m } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { F ^ { ( 2 ) } { } _ { m } } } & { { = } } & { { 2 \partial A ^ { ( 2 ) } { } _ { m } \, , } } & { { { \cal F } _ { m } } } & { { = } } & { { F ^ { ( 2 ) } { } _ { m } + F ^ { ( 1 ) n } B _ { n m } \, , } } \end{array}
H = \left( \begin{array} { c c } { { ( M + { \frac { 1 } { 2 } } \delta M ) - { \frac { 1 } { 2 } } i ( \Gamma + { \frac { 1 } { 2 } } \delta \Gamma ) } } & { { M _ { 1 2 } ^ { * } - { \frac { 1 } { 2 } } i \Gamma _ { 1 2 } ^ { * } } } \\ { { M _ { 1 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } i \Gamma _ { 1 2 } } } & { { ( M - { \frac { 1 } { 2 } } \delta M ) - { \frac { 1 } { 2 } } i ( \Gamma - { \frac { 1 } { 2 } } \delta \Gamma ) } } \end{array} \right) \ ,
[ \, T _ { b L } ^ { 3 } + ( T _ { x L } ^ { 3 } - T _ { b L } ^ { 3 } ) | U _ { x b } | _ { L } ^ { 2 } - Q \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \, ] ^ { 2 } + [ \, T _ { b R } ^ { 3 } + ( T _ { x R } ^ { 3 } - T _ { b R } ^ { 3 } ) | U _ { x b } | _ { R } ^ { 2 } - Q \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \, ] ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r } { \triangle _ { f } ^ { + } u _ { l } = \triangle _ { f } u _ { l } + H _ { m k l } \nabla _ { m } u _ { k } - \frac { 1 } { 4 } H _ { j l } ^ { 2 } u _ { j } , \quad \triangle _ { f } ^ { - } v _ { l } = \triangle _ { f } v _ { l } - H _ { m k l } \nabla _ { m } v _ { k } + \frac { 1 } { 4 } H _ { j l } ^ { 2 } v _ { j } } \end{array}
\mathrm { c o e f f . \ o f \ } \varphi _ { \varphi \pi } | _ { \frac { 1 } { r } - p a r t } = - \frac { \lambda } { 6 4 \pi } \cdot ( \mathrm { c o e f f . \ o f \ } \varphi _ { \varphi \varphi } | _ { c o n s t - p a r t } ) \ \ \ .
C _ { E } ( \Delta \omega ) \equiv \frac { \langle { \bf E } ^ { * } ( r , \varphi ; \omega ) \cdot { \bf E } ( r , \varphi ; \omega + \Delta \omega ) \rangle _ { r , \varphi , \omega } } { \langle | { \bf E } ( r , \varphi ; \omega ) | ^ { 2 } \rangle _ { r , \varphi ; \omega } } \, ,
\begin{array} { r l r } { P _ { n , 2 } } & { = } & { - h _ { 1 } h _ { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { N } ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k , l > 0 , k + l = n } p _ { j , k } p _ { j , l } + \frac { 2 h _ { 1 } h _ { 2 } } { N } \sum _ { j < k } \sum _ { q , l > 0 , l + q = n } p _ { j , l } p _ { k , q } } \\ & { } & { - h _ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( N + 1 - 2 j ) ( n - 1 ) p _ { j , n } . } \end{array}
\frac { r A _ { m - m ^ { \prime } } } { B _ { 0 } } \frac { \partial \delta f _ { m ^ { \prime } } } { \partial t } \simeq \omega _ { m ^ { \prime } } \frac { r A _ { m - m ^ { \prime } } } { B _ { 0 } } \delta f _ { m ^ { \prime } }
R _ { M N , M ^ { \prime } N ^ { \prime } } = ( \gamma _ { + } ) _ { M M ^ { \prime } } \delta _ { N N ^ { \prime } } + ( \gamma _ { - } ) _ { M M ^ { \prime } } \gamma _ { N N ^ { \prime } } = \delta _ { M M ^ { \prime } } ( \gamma _ { + } ) _ { N N ^ { \prime } } + ( \gamma ) _ { M M ^ { \prime } } ( \gamma _ { - } ) _ { N N ^ { \prime } }
\langle \tilde { p } ( k , \omega ) \rangle = \frac { \tilde { p } _ { 0 } ( k , \omega ) } { 1 - \varepsilon ^ { 2 } \Sigma ( k , \omega ) \tilde { p } _ { 0 } ( k , \omega ) } = \frac { 1 } { D _ { 0 } k ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } - \varepsilon ^ { 2 } \Sigma ( k , \omega ) } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { u _ { 0 } } & { \in \{ - 0 . 2 , 0 . 0 , 0 . 5 \} } \\ { v _ { 0 } } & { \in \{ - 0 . 2 , 0 . 0 , 0 . 2 \} } \\ { r _ { 0 } } & { \in \{ - 0 . 1 , 0 . 0 , 0 . 1 \} } \\ { n _ { \mathrm { P } 0 } } & { \in \{ 0 . 0 , 1 2 . 5 \} } \\ { \delta _ { s 0 } } & { \in \{ - 3 5 , 0 , 4 5 , 6 0 , 9 0 \} } \\ { \delta _ { p 0 } } & { \in \{ 3 5 , 0 , - 4 5 , - 6 0 , - 9 0 \} \enspace . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { t _ { 1 } = \sqrt { \{ \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( q k _ { y } ) \} ^ { 2 } + \frac { 1 } { \left| \eta _ { y y } \right| } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \lambda _ { 0 } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 2 } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x < \frac { t L } { N } , } \\ { - c R / 2 , } & { \frac { t L } { N } \leq x < \frac { ( t + 1 ) L } { N } , } \\ { c R , } & { \frac { ( t + 1 ) L } { N } \leq x < \frac { ( t + 2 ) L } { N } , } \\ { - c R / 2 , } & { \frac { ( t + 2 ) L } { N } \leq x < \frac { ( t + 3 ) L } { N } , } \\ { 0 , } & { \frac { ( t + 3 ) L } { N } \leq x } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ( u _ { h } ^ { k } + \bar { w } _ { H } , v _ { H } ) } & { = } & { A ( u _ { h } , v _ { H } ) + B ( u _ { h } ; u _ { h } ^ { k } + \bar { w } _ { H } - u _ { h } , v _ { H } ) + R ( \tilde { \eta } ; u _ { h } , u _ { h } ^ { k } + \bar { w } _ { H } , v _ { H } ) } \\ & { = } & { B ( u _ { h } ; \bar { w } _ { H } , v _ { H } ) - B ( u _ { h } ; E _ { k } , v _ { H } ) + R ( \tilde { \eta } ; u _ { h } , u _ { h } ^ { k } + \bar { w } _ { H } , v _ { H } ) } \\ & { = } & { B ( u _ { h } ; \Phi ( \bar { w } _ { H } ) , v _ { H } ) - B ( u _ { h } ; E _ { k } , v _ { H } ) + R ( \tilde { \eta } ; u _ { h } , u _ { h } ^ { k } + \bar { w } _ { H } , v _ { H } ) } \\ & { = } & { 0 , } \end{array}
B ( \rho ) \, = \, - \Phi _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( \eta _ { 0 } ( \rho ) ) \, = \, \frac { 1 6 \pi } { \rho ^ { 4 } } \, \Bigl ( ( \rho ^ { 2 } - 4 ) e ^ { \rho ^ { 2 } / 2 } + 4 e ^ { \rho ^ { 2 } / 4 } \Bigr ) \, , \qquad \rho > 0 \, .
\begin{array} { r } { | R m _ { \tilde { g } _ { i } } | ^ { 2 } \le C _ { 5 } \left( | R m _ { \bar { g } _ { i } } | ^ { 2 } + | \nabla _ { \tilde { g } _ { i } } \tilde { f } _ { i } | ^ { 4 } + | R c _ { \tilde { g } _ { i } } | ^ { 2 } + 1 \right) \le C _ { 6 } \left( | R m _ { \bar { g } _ { i } } | ^ { 2 } + | R c _ { \tilde { g } _ { i } } | ^ { 2 } + 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Z _ { b } [ A _ { \mu } ] = Z [ A _ { \mu } ] \exp { \left\{ - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \, \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } b _ { \mu } A _ { \nu } \partial _ { \rho } A _ { \sigma } \right\} } \, , } \\ & { \mathrm { w i t h } \quad \quad \ Z [ A _ { \mu } ] \equiv Z _ { b } [ A _ { \mu } ] \Big | _ { b _ { \mu } = 0 } \, . } \end{array}
\boldsymbol { a } _ { i + 1 } ( t _ { i + 1 } ) = \Phi _ { i + 1 } ^ { T } \Omega _ { h } \boldsymbol { u } _ { r } ^ { - } = \Phi _ { i + 1 } ^ { T } \Omega _ { h } \Phi _ { i } \boldsymbol { a } _ { i } ( t _ { i + 1 } ) .
\mathbb { E } \big [ \eta \big ] = f _ { 0 } \widehat { \eta } _ { 0 } \cos \big ( \boldsymbol { k } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { x } \big ) \exp \big ( - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } | \alpha | ^ { 2 } ( \boldsymbol { k } _ { \sigma } \times \boldsymbol { k } ) ^ { 2 } t \big ) ,
\langle r _ { \Sigma ^ { + } } ^ { 2 } \rangle = 0 . 6 4 \ldots 0 . 6 6 ~ \mathrm { f m } ^ { 2 } ~ , \, \langle r _ { \Sigma ^ { - } } ^ { 2 } \rangle = 0 . 7 7 \ldots 0 . 8 0 ~ \mathrm { f m } ^ { 2 } ~ , \, \langle r _ { \Xi ^ { - } } ^ { 2 } \rangle = 0 . 6 1 \ldots 0 . 6 5 ~ \mathrm { f m } ^ { 2 } ~ .
\partial _ { \omega } \chi \left[ \partial _ { t } + v _ { g _ { p } } \partial _ { s } + \nu _ { p } \right] E _ { p } - i ( 1 + \chi ) E _ { p } = \Gamma _ { p } \partial _ { \omega } \chi E _ { l } E _ { b } ^ { \mathrm { { t o t } } } ,
\begin{array} { r l } { | h _ { 2 } | } & { = \left| - \frac { \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } V _ { k } ^ { H } ( A - \mu _ { * } C - \lambda _ { * } I ) \Delta x } { \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| ^ { 2 } } \right| } \\ & { \leq \frac { \| A - \mu _ { * } C - \lambda _ { * } I \| } { \| C _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| } \| \Delta x \| = \frac { \| A - \mu _ { * } C - \lambda _ { * } I \| } { \sqrt { - c _ { 1 , k } c _ { 2 , k } } } \| \Delta x \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma = } & { \left( \operatorname* { P r } ( 2 w _ { u . b . } \geq W > w _ { u . b . } ) \times 1 \right) + \left( \operatorname* { P r } ( 3 w _ { u . b . } \geq W > 2 \cdot w _ { u . b . } ) \times 2 \right) } \\ & { + \ldots + \left( \operatorname* { P r } ( 2 ^ { n } \geq W > k _ { m a x } \cdot w _ { u . b . } ) \times k _ { m a x } \right) } \\ { = } & { \operatorname* { P r } ( W > w _ { u . b . } ) + \operatorname* { P r } ( W > 2 w _ { u . b . } ) + \ldots + \operatorname* { P r } ( W > k _ { m a x } \cdot w _ { u . b . } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } ^ { 0 } } & { { } = } & { \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { e ^ { 2 } \rho _ { 0 } D } \frac { L } { \pi { R _ { 0 } } ^ { 2 } } G _ { 0 } , } \\ { I _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 2 ( k _ { \mathrm { B } } T ) ^ { 3 } \rho _ { 0 } } { e ^ { 2 } D } \frac { L } { \pi { R _ { 0 } } ^ { 2 } } G _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { r } = \bigg ( \frac { \omega } { c } \bigg ) \sqrt { \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { r } ) + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \big ( \epsilon _ { r } \big ) ^ { 2 } + \big ( \epsilon _ { i } \big ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \frac { d } { d t } | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | ^ { 2 } \Big | } & { \leq 2 | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | \Big | \frac { d } { d t } | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | \Big | } \\ & { \leq | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | ( | \mathcal { I } _ { i } ^ { c } - \mathcal { I } _ { i } ^ { \infty } | + | \mathcal { J } _ { i } ^ { c } - \mathcal { J } _ { i } ^ { \infty } | + | \mathcal { K } _ { i } ^ { c } - \mathcal { K } _ { i } ^ { \infty } | ) } \end{array}
S _ { \mathrm { Q t } } = \frac { \kappa } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } x \/ \sqrt { - g } \left[ \frac 1 4 R \psi - \frac { 1 } { 1 6 } ( \nabla \psi ) ^ { 2 } - \omega \left( \nabla \phi \right) ^ { 2 } - \frac { 1 - \omega } { 2 } \phi R \right] .
\int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, x ^ { - s - 1 } \, \ln \left( \frac { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } { x } \right) = { \frac { \pi } { 2 s \sin \left( \frac { \pi s } { 2 } \right) } } ,
\begin{array} { r l } { X _ { t , n } } & { \geq N h G _ { t , n } ^ { h } - C \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } | v _ { n } - v | ( | D ^ { h } ( v _ { n } - v ) | + | D ^ { - h } ( v _ { n } - v ) | ) \varphi \, d x } \\ & { \qquad \qquad - C M \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } | v _ { n } - v | ( | D ^ { h } ( v _ { n - 1 } - v ) | + | D ^ { - h } ( v _ { n - 1 } - v ) | ) \varphi \, d x . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } f _ { \mathrm { l a } } ^ { \wedge } \left( C _ { t , T } ^ { \prime } , h ^ { E } \right) = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } f _ { \mathrm { l a } } ^ { \wedge } \left( { \tilde { C } } _ { t , T , i } ^ { \prime } , h _ { T } ^ { \bar { E } } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } f _ { \mathrm { l a } } ^ { \wedge } \left( C _ { t , i } ^ { \prime } , h ^ { E } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ } } } & { { } \rightarrow \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ } } } \\ { c \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ } } } & { { } \rightarrow \frac { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ } } } { c } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ) } & { = D \varphi _ { 0 t _ { 1 } } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) \Delta \textbf { x } _ { 0 } + O ( \| \Delta \textbf { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } ) , } \\ { \Delta \textbf { x } ( t ) } & { = D \varphi _ { t _ { 1 } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ) + O ( \| \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ) \| ^ { 2 } ) , } \end{array}
\nabla \times \big [ \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] = \nabla G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } )
Q _ { 6 } ( \Lambda _ { c u t } ^ { 2 } ) = - \frac { F _ { \pi } ^ { 4 } } { 4 } \frac { r ^ { 2 } } { \Lambda _ { \chi } ^ { 2 } } ( \partial _ { \mu } \bar { U } \partial ^ { \mu } \bar { U } ^ { \dagger } ) _ { d s } ( 0 ) \Big [ 1 + 3 \frac { \Lambda _ { c u t } ^ { 2 } } { ( 4 \pi f ) ^ { 2 } } + { \cal O } ( 1 / N ^ { 2 } ) \Big ] \; ,
\begin{array} { r l } { ( A _ { 1 } \times B _ { 1 } ) \setminus ( A _ { 2 } \times B _ { 2 } ) } & { = ( A _ { 1 } \times B _ { 1 } ) \cap ( A _ { 2 } \times B _ { 2 } ) ^ { c } } \\ & { = ( A _ { 1 } \times B _ { 1 } ) \cap \left[ ( A _ { 2 } ^ { c } \times B _ { 2 } ^ { c } ) \cup ( A _ { 2 } ^ { c } \times B _ { 2 } ) \cup ( A _ { 2 } \times B _ { 2 } ^ { c } ) \right] } \end{array}