harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left\langle \psi _ { N _ { \uparrow } , N _ { \downarrow } } \middle \vert H _ { N } \middle \vert \psi _ { N _ { \uparrow } , N _ { \downarrow } } \right\rangle } \\ & { \quad = E _ { 0 } ^ { \uparrow } + E _ { 0 } ^ { \downarrow } + 2 \iint \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 1 , 1 ) } \left[ \left\vert \frac { \nabla f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } { f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } \right\vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \right] \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } y _ { 1 } } \\ & { \qquad + \iint \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 2 , 0 ) } \left[ \left\vert \frac { \nabla f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } { f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \right\vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \right] \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } } \\ & { \qquad + \iiint \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 2 , 1 ) } \left[ \frac { \nabla f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \nabla f _ { s } ( x _ { 2 } - y _ { 1 } ) } { f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) f _ { s } ( x _ { 2 } - y _ { 1 } ) } + \frac { \nabla f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } { f _ { s } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \right] \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } \, \textnormal { d } y _ { 1 } } \\ & { \qquad + \iiint \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 3 , 0 ) } \frac { \nabla f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \nabla f _ { p } ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) } { f _ { p } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) f _ { p } ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) } \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } \, \textnormal { d } x _ { 3 } + \textnormal { t e r m s w i t h } \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 0 , 2 ) } , \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 1 , 2 ) } , \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 0 , 3 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \emptyset \curvearrowleft d } & { : = \emptyset } \\ { x _ { 0 } \eta \curvearrowleft d } & { : = x _ { 0 } \left( \eta \curvearrowleft d \right) } \\ { x _ { i } \eta \curvearrowleft d } & { : = x _ { i } \left( d _ { i } \shuffle ( \eta \curvearrowleft d ) \right) \quad \qquad \forall \, i = 1 , 2 , \ldots , m . } \end{array}
P _ { i n } ^ { ( m i n ) } = \cfrac { 9 \varepsilon _ { 0 } K _ { m } n _ { m } ^ { 4 } V _ { m , q } ^ { 2 ^ { { ( e f f ) } } } } { \omega _ { m } \chi ^ { ( 3 ) } V _ { m m , q q } } \cfrac { \Gamma ^ { 2 } \operatorname { I m } ( D _ { m } ) } { | C _ { m } | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \delta \pi ^ { x x } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } 2 \pi N _ { \ast s } e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } T ^ { 4 } } \\ & { } & { \left[ \frac { 1 6 } { 3 } K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) + \frac { 8 } { 9 } \frac { 1 } { T } K _ { 3 } \left( \frac { 1 } { T } \right) \right] , } \end{array}
\hat { B } _ { i } ( \boldsymbol { k } , t ) = e ^ { - \eta \boldsymbol { k } ^ { 2 } \tau } \int e ^ { - i \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { x } } \frac { J _ { i j } ( \boldsymbol { x } _ { 0 } ) } { | J _ { i j } | } B _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { 0 } , t _ { 0 } ) ~ \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { x } ,
P _ { \mu } = p _ { \mu } - g A _ { \mu } , \qquad \sigma _ { \mu \nu } = { \frac { i } { 2 } } [ \gamma ^ { \mu } , \gamma ^ { \nu } ] , \qquad \{ \gamma ^ { \mu } , \gamma ^ { \nu } \} = 2 g ^ { \mu \nu } .
{ } _ { p } F _ { q } ( a _ { 1 } , \dots , a _ { p } , b _ { 1 } , \dots , b _ { q } ; z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( a _ { 1 } ) _ { ( n ) } \dots ( a _ { p } ) _ { ( n ) } } { ( b _ { 1 } ) _ { ( n ) } \dots ( b _ { q } ) _ { ( n ) } } \frac { z ^ { n } } { n ! }
\begin{array} { r c l } { x _ { r _ { j } } ( \mu ) } & { = } & { M ( \mu ) ^ { - 1 } r _ { j } ( \mu ) } \\ & { = } & { M ( \mu ) ^ { - 1 } ( B _ { j } ( \mu ) - M ( \mu ) \hat { x } _ { j } ( \mu ) ) } \\ & { = } & { M ( \mu ) ^ { - 1 } B _ { j } ( \mu ) - V z _ { j } ( \mu ) } \\ & { \approx } & { \tilde { V } _ { r } z _ { r _ { j } } - V z _ { j } ( \mu ) . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \, T r ( L _ { \mu } L ^ { \mu } ) + \frac { 1 } { 1 6 } \, T r ( [ L _ { \mu } , L _ { \nu } ] [ L ^ { \mu } , L ^ { \nu } ] ) + 4 \beta ^ { 2 } ( T r U - 2 ) ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , j _ { 1 } , j _ { 2 } } ^ { \tilde { \mathbf Z } } } & { : = \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { \lceil n b \rceil } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \tilde { Z } _ { i , ( k _ { 1 } - 1 ) | \mathbb { B } | + j _ { 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \tilde { Z } _ { i , ( k _ { 2 } - 1 ) | \mathbb { B } | + j _ { 2 } } \right) } \\ & { = \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { \lceil n b \rceil } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \bar { \Xi } _ { i + ( k _ { 1 } - 1 ) , \lceil n b \rceil + ( k _ { 1 } - 1 ) , j _ { 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \bar { \Xi } _ { i + ( k _ { 2 } - 1 ) , \lceil n b \rceil + ( k _ { 2 } - 1 ) , j _ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { \prime } ( \omega _ { a } ) } & { { } \equiv \frac { t \left( 1 + r \right) \cos \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega _ { a } L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \\ { B ^ { \prime } ( \omega _ { a } ) } & { { } \equiv \frac { t \left( 1 - r \right) \sin \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega _ { a } L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \\ { C ^ { \prime } ( \omega ) } & { { } \equiv 1 + \frac { 2 ( 1 + r ) \cos ( \frac { \omega L } { 2 c } ) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \\ { D ^ { \prime } ( \omega ) } & { { } \equiv \frac { 2 ( 1 - r ) \sin ( \frac { \omega L } { 2 c } ) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\mathrm { S N R } = 1 0 { { \log } _ { 1 0 } } \left( \frac { \int { { { I } ^ { \mathrm { S i g n a l } } } } { { d } ^ { 2 } } { \bf { r } } } { \int { { { I } ^ { \mathrm { N o i s e } } } } { { d } ^ { 2 } } { \bf { r } } } \right) ,
\| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } \leq 2 \kappa ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau } \| x _ { t _ { j - 1 } } \| ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } = \gamma _ { 0 } \| x _ { t _ { j - 1 } } \| ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \leq \gamma _ { 0 } ^ { j - j _ { s - 1 } } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { 1 - \gamma _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { \Big | \Sigma _ { q _ { 2 } } \Big | } & { \ll \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \times \left( \frac { M _ { 0 } } { Q _ { 2 } } \times N _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \times \left( N _ { 0 } M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } + \left( \left( N _ { 0 } Q _ { 4 } M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \times \left( N _ { 0 } Q _ { 2 } M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \right) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ll \ll \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \times \left( \frac { M _ { 0 } } { Q _ { 2 } } \times N _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \times \left( N _ { 0 } M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } Q _ { 4 } ^ { 1 / 2 } Q _ { 2 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ll \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \times \frac { M _ { 0 } ^ { 3 / 4 } N _ { 0 } } { Q _ { 3 } ^ { 1 / 4 } } } \\ & { \ll \sqrt { N } \times \frac { p ^ { 1 + \frac { 3 \eta } { 4 } } } { Q _ { 3 } ^ { 1 / 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { d } ^ { \pm } = } & { \frac { i k _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi } \int \frac { d ^ { 2 } \mathbf { q } } { w _ { d } } \Big [ \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \left( 1 + r _ { \parallel } e ^ { i w _ { d } \left\vert z + z _ { d } \right\vert } \right) } \\ & { + \left( \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \pm } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \pm } + \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { + } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { - } r _ { \perp } e ^ { i w _ { d } \left\vert z + z _ { d } \right\vert } \right) \Big ] } \\ & { \exp \left[ i \mathbf { q } \cdot \left( \boldsymbol { \rho } - \boldsymbol { \rho } _ { d } \right) + i w _ { d } \left\vert z - z _ { d } \right\vert \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \delta \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathrm { d t } } = } & { { } - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } + \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } + \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j } } \end{array} ,
D _ { j j ^ { \prime } } ^ { \alpha \beta } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { 0 } } } \left[ \delta _ { j j ^ { \prime } } \delta _ { \alpha \beta } + \sum _ { \gamma } ^ { B } { \frac { p _ { j \gamma } ^ { \alpha } p _ { \gamma j ^ { \prime } } ^ { \beta } + p _ { j \gamma } ^ { \beta } p _ { \gamma j ^ { \prime } } ^ { \alpha } } { m _ { 0 } ( E _ { 0 } - E _ { \gamma } ) } } \right] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \Gamma _ { 8 } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s } & { = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \pi } ^ { 0 } \frac { 1 } { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } \mathrm { e } ^ { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \pi } ^ { 0 } \frac { 1 } { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) + \left. \phi _ { \sigma } ^ { \prime } \left( s \right) \left( s - s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \right\vert _ { s = s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } } + \ldots } \mathrm { e } ^ { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \\ & { = - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \sigma } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { \bar { f } \, y - \bar { \tau } \, x , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { - \bar { f } \, y \, \mathrm { t a n } \left( \bar { f } \, t \right) + \bar { \tau } \, x \, \mathrm { t a n } \left( \bar { f } \, t \right) , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { \tilde { h } _ { 0 } ( 0 ) \mathrm { e } ^ { \bar { \tau } \, t } \sec \left( \bar { f } \, t \right) . } \end{array}
\left[ - \left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho _ { 2 } ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho _ { 3 } ^ { 2 } } } \right) + { \alpha ^ { 2 } } ( \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } \rho _ { 3 } ^ { 2 } + \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 3 } ^ { 2 } ) + \frac { { \hat { l } _ { 1 } } ^ { 2 } } { \rho _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { { \hat { l } _ { 2 } } ^ { 2 } } { \rho _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { { \hat { l } _ { 3 } } ^ { 2 } } { \rho _ { 3 } ^ { 2 } } \right] \Psi = 2 \, E \Psi
\vec { P } ( t ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } Q _ { 1 } Q _ { 2 } \dot { \phi } \left[ \vec { \Gamma } ^ { 2 1 } \sin \Delta \phi - \vec { \Lambda } ^ { 2 1 } \sin \phi _ { 2 } \cos \phi _ { 1 } - \vec { \Lambda } ^ { 1 2 } \sin \phi _ { 1 } \cos \phi _ { 2 } \right] .
\Vert u \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , \lambda } } ^ { 2 } : = \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } e ^ { - \lambda t } { \mathbb { E } \Vert u ( t ) \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } } , \quad \forall u \in \mathbf { E } _ { T , \lambda } ,
F _ { c } ( 1 , q ) = \frac { 1 } { ( q ^ { m } ; q ^ { m } ) _ { \infty } } \prod _ { i = 1 } ^ { r } \prod _ { j = i } ^ { r } \prod _ { k = 1 } ^ { c _ { i } } \frac { 1 } { ( q ^ { k + j - i + s ( i + 1 , j ) } ; q ^ { m } ) _ { \infty } } \prod _ { i = 2 } ^ { r } \prod _ { j = 2 } ^ { i } \prod _ { k = 1 } ^ { c _ { i } } \frac { 1 } { ( q ^ { m - k + j - i - s ( j , i - 1 ) } ; q ^ { m } ) _ { \infty } } .
\begin{array} { r l } { m } & { = \sqrt { 2 } \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { \frac { \log \left( \frac { S A H K \left( 1 + \frac { 2 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { S } } { \epsilon } \right) ^ { S } } { \delta } \right) } { N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } } } \\ & { \leq 2 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { \frac { S \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \left( 1 + \frac { 2 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { S } } { \epsilon } \right) \right) } { N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } } } \end{array}
| \alpha \rangle = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \quad | \beta \rangle = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \quad \langle \alpha | = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \quad \langle \beta | = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ F ( Y _ { t } + \lambda ) - F ( Y _ { t } ) \right] } & { = \mathbb { E } \left[ F \left( \lambda \left( \frac { Y _ { t } } { \lambda } + 1 \right) \! \right) - F \left( \lambda \, \frac { Y _ { t } } { \lambda } \right) \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \psi \left( \lambda , \frac { Y _ { t } } { \lambda } \right) \right] \lambda . } \end{array}
\arctan { \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } } + \arctan { \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } } } = \arctan { \frac { a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } } { b _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 1 } a _ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } { p _ { k } - p _ { k 0 } } & { { } = } & { - \frac { \sqrt { 3 } \left( 4 - \lambda ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \lambda ^ { 2 } - 2 \right) \left( \lambda ^ { 2 } + 1 \right) } { \lambda ^ { 2 } \left( \lambda ^ { 2 } + 2 \right) } \frac { E _ { 0 } } { \kappa ^ { 3 } } p _ { k 0 } } \end{array}
\begin{array} { c } { \widetilde { h } ( \xi , \omega ) = \int _ { t = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \omega t } \left[ \sum _ { k \in \mathbb { Z } } e ^ { - i p \frac { 2 \pi ^ { 2 } \xi ( 2 k - \xi ) } { L ^ { 2 } } t } i q \left( P _ { k - \xi } - P _ { k } \right) \right] d t = i q \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \frac { P _ { k - \xi } - P _ { k } } { \omega + i p \frac { 2 \pi ^ { 2 } \xi ( 2 k - \xi ) } { L ^ { 2 } } } } \end{array}
\langle r / r _ { 0 } \rangle _ { \xi } = \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \lambda _ { 2 } t } - \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \lambda _ { 1 } t }
\begin{array} { r } { f ( z ) = - \frac { h _ { 0 } } { z } - \frac { h _ { 1 } } { z ^ { 2 } } - \frac { h _ { 2 } } { z ^ { 3 } } - \cdots - \frac { h _ { 2 N - 2 } } { z ^ { 2 N - 1 } } - o \left( \frac { 1 } { z ^ { 2 N - 1 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \; m _ { 1 s 0 } = m _ { 1 s } ^ { 2 } } \\ & { = ( w _ { 1 } + c _ { 1 } + \cdots + c _ { k } ) \cdot d ^ { 2 ^ { j - 1 } } / c _ { k } \cdot 1 / c _ { k } \cdot ( m _ { 1 } + c _ { 1 } + \cdots + c _ { k } ) / d ^ { 2 ^ { j - 1 } } } \\ & { = ( w _ { 1 } + c _ { 1 } + \cdots + c _ { k } ) \cdot ( m _ { 1 } + c _ { 1 } + \cdots + c _ { k } ) \cdot d ^ { 2 ^ { j } } / c _ { k } ^ { 2 } } \\ & { = ( w _ { 1 } \cdot m _ { 1 } + ( c _ { 1 } + \cdots + c _ { k } ) ^ { 2 } + ( c _ { 1 } \bar { \delta } _ { 1 } + \cdots + c _ { k } \bar { \delta } _ { k } ) \cdot ( c o + r ) ) \cdot d ^ { 2 ^ { j } } / c _ { k } ^ { 2 } } \\ & { = ( w _ { 1 } \cdot c o + t + ( c _ { 1 } + \cdots + c _ { k } ) ^ { 2 } + ( c _ { 1 } \bar { \delta } _ { 1 } + \cdots + c _ { k } \bar { \delta } _ { k } ) \cdot ( c o + r ) ) \cdot d ^ { 2 ^ { j } } / c _ { k } ^ { 2 } } \\ & { = ( w _ { 1 } + t / c o + c _ { 1 } ^ { 2 } / c o + \cdots + c _ { k } ^ { 2 } / c o + ( c _ { 1 } \bar { \delta } _ { 1 } + \cdots + c _ { k } \bar { \delta } _ { k } ) \cdot ( 1 + r / c o ) ) \cdot d ^ { 2 ^ { j } } / ( c _ { k } ^ { 2 } / c o ) } \\ & { = ( w _ { 1 } + c _ { 1 } + c _ { 2 } + \cdots + c _ { k } + c _ { k } ^ { 2 } / c o ) \cdot d ^ { 2 ^ { j } } / ( c _ { k } ^ { 2 } / c o ) . } \end{array}
S _ { m a s s i v e } = \int d ^ { 5 } X \sqrt { - G } \biggl ( - \frac { 1 } { 4 } G ^ { M N } G ^ { P Q } F _ { M P } F _ { N Q } - \frac { 1 } { 2 } ( M ^ { 2 } + c \delta ( y ) ) G ^ { M N } A _ { M } A _ { N } \biggr ) ,
\vec { \bigtriangledown } ^ { 2 } { W ^ { a } } _ { 0 } + 2 g \; f ^ { a b c } { W ^ { b } } _ { i } \; \partial _ { i } { W ^ { c } } _ { 0 } + g ^ { 2 } \; f ^ { a b c } f ^ { c d e } \; { W ^ { b } } _ { i } \partial _ { i } ( ( \vec { \bigtriangledown } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( { W ^ { d } } _ { j } \partial _ { j } { W ^ { e } } _ { 0 } ) ) = { J ^ { a } } _ { 0 } ,
g ( \mathbf { r } ) = g ( u , v , w ; a , \mathbf { R } ; \mathbf { r } ) = N { \frac { \partial ^ { u + v + w } } { \partial X ^ { u } \partial Y ^ { v } \partial Z ^ { w } } } ( { \frac { 2 a } { \pi } } ) ^ { 3 / 4 } \exp [ - a ( \mathbf { r } - \mathbf { R } ) ^ { 2 } ] ,
{ \frac { \mathrm { B R } ( \mu \to 3 e ) } { \mathrm { B R } ( \mu \to e \overline { { { \nu _ { e } } } } \nu _ { \mu } ) } } = \left( \frac { M _ { W } } { M _ { Y } } \right) ^ { 4 } | V _ { Y } ^ { 1 1 } | ^ { 2 } ( | V _ { Y } ^ { 1 2 } | ^ { 2 } + | V _ { Y } ^ { 2 1 } | ^ { 2 } ) \ ,
\lVert \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t + \Delta t } - { \boldsymbol { \theta } } _ { t + \Delta t } ^ { * } \rVert \leq \frac { L } { m } \left[ \frac { \beta m } { 4 L } \right] ^ { 2 } = \beta ^ { 2 } \frac { m } { 1 6 L } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi _ { v } + \partial _ { s _ { i } } ( v _ { v } \phi _ { v } ) = } & { \partial _ { s _ { i } } ( m _ { v } ( \phi _ { v } ) D _ { v } \partial _ { s _ { i } } \phi _ { v } ) - 2 \pi R _ { i } J _ { \sigma v } ( \overline { \phi } _ { \sigma } , \overline { p } , \phi _ { v } , p _ { v } ) } \\ { - \; \partial _ { s _ { i } } ( R _ { i } ^ { 2 } \pi K _ { v , i } \; \partial _ { s _ { i } } p _ { v } ) = } & { - 2 \pi R _ { i } J _ { p v } ( \overline { { p } } , p _ { v } ) } \\ { v _ { v } = } & { - R _ { i } ^ { 2 } \pi K _ { v , i } \partial _ { s _ { i } } p _ { v } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< { z _ { 1 } ^ { k } , z _ { 1 } ^ { k } } \right> _ { \mathcal B } } & { = - \left< { z _ { 1 } ^ { k } z _ { 2 } , z _ { 1 } ^ { k } z _ { 2 } } \right> _ { \mathcal B } = k ! ( - \alpha ) _ { k } , } \\ { \left< { z _ { 1 } ^ { k } z _ { 3 } , z _ { 1 } ^ { k } z _ { 4 } } \right> _ { \mathcal B } } & { = - \left< { z _ { 1 } ^ { k } z _ { 4 } , z _ { 1 } ^ { k } z _ { 3 } } \right> _ { \mathcal B } = 2 k ! ( - \alpha ) _ { k + 1 } , } \end{array}
\hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol r ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \mu , \nu } \boldsymbol d _ { \mu , \nu } ^ { ( i ) } \left| i , \mu \right> \left< i , \nu \right| \delta ( \boldsymbol r - \boldsymbol r _ { i } ) ,
\begin{array} { r l r } { \ln p ( U ) } & { { } \sim } & { \ln \int \delta \left( U - \mathrm { e } ^ { 2 g \vert c _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \right) \, \mathrm { e } ^ { - \vert c _ { 1 } \vert ^ { 2 } / \mu _ { 1 } } \, \frac { d ^ { 2 } c _ { 1 } } { \pi \mu _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { y } ) ^ { 1 - | \boldsymbol { \sigma } | } } & { = \mu _ { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { 1 } | } \dots \mu _ { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { y } ) ^ { 1 - | \sigma _ { l } | } \dots \mu _ { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { M } | } } \\ & { \le \lambda _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { 1 } | } \dots \lambda _ { P _ { l } } ( \mathbf { y } ) ^ { 1 - | \sigma _ { l } | } \dots \lambda _ { P _ { M } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { M } | } } \\ & { = \lambda _ { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { y } ) \lambda _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { 1 } | } \dots \lambda _ { P _ { M } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { M } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { > \frac { - 2 \sqrt { \gamma } } { \sqrt { \gamma } } > \frac { ( - 2 k + 3 ) \sqrt { \gamma } } { ( k - 2 ) \sqrt { \gamma } } , } \\ { 0 } & { > \frac { - 2 ( k - 2 ) \ell - 8 ( k - 1 ) } { 3 ( k - 2 ) \ell + 8 ( k - 1 ) } > \frac { - ( 2 k - 1 ) ( k - 2 ) \ell - 8 ( k - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k - 2 ) ( k - 2 ) \ell + 8 ( k - 1 ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\left( M \epsilon _ { I ( 0 ) } + { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } ( Q + i P ) _ { I J } \gamma ^ { 0 } \epsilon _ { ( 0 ) } ^ { J } \right) ^ { \prime } = e ^ { i \arg S _ { 0 } } \left( M \epsilon _ { I ( 0 ) } + { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } ( Q + i P ) _ { I J } \gamma ^ { 0 } \epsilon _ { ( 0 ) } ^ { J } \right) = 0 \ ,
\boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \mathrm { n e w } } = { J } _ { \ell } ^ { \nu _ { 2 } } \left( { J } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } ( \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \mathrm { o l d } } , \boldsymbol { \mathbf { b } } _ { \ell } ) + \boldsymbol { \mathbf { p } } _ { \ell } \left( \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell - 1 } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { \ell } \left( \boldsymbol { \mathbf { b } } _ { \ell } - \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell } { J } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } ( \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \mathrm { o l d } } , \boldsymbol { \mathbf { b } } _ { \ell } ) \right) , \boldsymbol { \mathbf { b } } _ { \ell } \right) .
\operatorname { t r } ( \mathbf { A } \mathbf { B } \mathbf { C } \mathbf { D } ) = \operatorname { t r } ( \mathbf { B } \mathbf { C } \mathbf { D } \mathbf { A } ) = \operatorname { t r } ( \mathbf { C } \mathbf { D } \mathbf { A } \mathbf { B } ) = \operatorname { t r } ( \mathbf { D } \mathbf { A } \mathbf { B } \mathbf { C } ) .
\begin{array} { r l } { \langle \Psi _ { N } | f _ { l \sigma } ^ { \dagger } f _ { l ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } | \Psi _ { N } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { L } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { e ^ { i \omega k _ { \mathrm { m a x } } } - e ^ { - i \omega k _ { \mathrm { m a x } } } } { 1 - e ^ { i w } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { = \varphi _ { 0 } - \arg \left( g _ { \hat { k } n } \mathbf { h } _ { n } ^ { T } \mathbf { w } _ { \hat { k } } ^ { ( 0 ) } \right) } \\ & { = \varphi _ { 0 } - \arg \left( g _ { \hat { k } n } \right) - \arg \left( \mathbf { h } _ { n } ^ { T } \mathbf { w } _ { \hat { k } } ^ { ( 0 ) } \right) , } \end{array}
{ \cal M } _ { h } ( A ) = \frac { - e ^ { 2 } { \chi } _ { h } ( z _ { i } , k _ { t , i } ) Z } { q _ { t } ^ { 2 } - t _ { \mathrm { m i n } } } F _ { A } ( t ) { \frac { \nu } { m _ { f } ^ { 2 } } } \sum _ { i } { \frac { 2 e _ { i } ( q _ { t } \cdot k _ { t , i } ) } { z _ { i } } } \ d ^ { - n / 2 } ( k _ { i t } ^ { 2 } ) .