harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { J _ { 4 } : = } & { \int _ { 1 / 2 + \epsilon - i T } ^ { 1 + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { \ll } & { \int _ { 1 / 2 + \epsilon } ^ { 1 + \epsilon } ( q T ) ^ { \frac { 1 } { 3 } \times 2 ( 1 - \sigma ) + \frac { 6 7 } { 4 6 } ( 1 - \sigma ) \times 3 + \frac { 5 } { 2 } ( 1 - \sigma ) } \frac { x ^ { \sigma } } { T } \ \mathrm { d } \sigma } \\ { \ll } & { \frac { ( q T ) ^ { \frac { 1 0 4 0 } { 1 3 8 } } } { T } \int _ { 1 / 2 + \epsilon } ^ { 1 + \epsilon } \left( \frac { x } { ( q T ) ^ { \frac { 1 0 4 0 } { 1 3 8 } } } \right) ^ { \sigma } \ \mathrm { d } \sigma } \\ { \ll } & { \operatorname* { m a x } _ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon \leq \sigma \leq 1 + \epsilon } \frac { ( q T ) ^ { \frac { 1 0 4 0 } { 1 3 8 } } } { T } \left( \frac { x } { ( q T ) ^ { \frac { 1 0 4 0 } { 1 3 8 } } } \right) ^ { \sigma } } \\ { \ll } & { \frac { x ^ { 1 + \epsilon } } { T } + x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } q ^ { \frac { 1 0 4 0 } { 2 7 6 } + \epsilon } T ^ { \frac { 7 6 4 } { 2 7 6 } + \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { n } = \left[ \begin{array} { l l } { { A } _ { r } } & { \star } \\ { \star } & { \star } \end{array} \right] , \quad B _ { n } = \left[ \begin{array} { l } { { B } _ { r } } \\ { \star } \end{array} \right] , \quad C _ { n } = \left[ \begin{array} { l l } { { C } _ { r } } & { \star } \end{array} \right] , \quad N _ { i , n } = \left[ \begin{array} { l l } { { N } _ { i , r } } & { \star } \\ { \star } & { \star } \end{array} \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } } \cdot \left| \| \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta - \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta \right| } & { = r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta \left| \| \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } - 1 \right| } \\ & { \leq \Theta ( \sin ^ { 2 } \theta ( { \boldsymbol u } ^ { ( k ) } , { \boldsymbol p } ^ { * } ) ) = \frac { 1 } { \Theta \left( { n s } \right) } , } \end{array}
M _ { w } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + 2 E { V _ { e } } - \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 } { \cos 2 \theta } } } & { { \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 } { \sin 2 \theta } } } \\ { { \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 } { \sin 2 \theta } } } & { { \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + 2 E { V _ { X } } + \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 } { \cos 2 \theta } } } \end{array} \right) \; .
I \left( y \right) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { Q d Q } { Q ^ { 2 } + \left( 2 \pi T y \right) ^ { 2 } } \frac 1 { \exp \left( Q / T \right) - 1 } = \frac 1 2 \Theta [ \mathrm { R e } ( y ) ] \left( \ln y - \frac 1 { 2 y } - \psi \left( y \right) \right) + ( y \leftrightarrow - y ) ,
K = { \frac { 1 } { ( \sigma _ { x x } \sigma _ { y y } - \sigma _ { x y } \sigma _ { y x } ) } } \left( \begin{array} { c l c r } { { \sigma _ { y y } } } & { { - \sigma _ { x y } } } \\ { { - \sigma _ { y x } } } & { { \sigma _ { x x } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { I _ { 2 } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { n } r _ { i } | n \rangle \langle n | r _ { i } ( 3 ( E _ { n } - E _ { a } ) ^ { 2 } ) \qquad } \\ { \times \left( \frac { 1 } { 2 \varepsilon } - \log [ 2 | E _ { n } - E _ { a } | ] + \frac { 1 } { 2 } - \frac { \gamma _ { \mathrm { E } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \log 4 \pi \right) . } \end{array}
\left\{ { \frac { \left( 1 + \theta _ { 1 } i \right) ^ { 2 } } { 1 + { \theta _ { 1 } } ^ { 2 } } } , { \frac { \left( 1 - \theta _ { 1 } i \right) ^ { 2 } } { 1 + { \theta _ { 1 } } ^ { 2 } } } , { \frac { \left( 1 + \theta _ { 2 } i \right) ^ { 2 } } { 1 + { \theta _ { 2 } } ^ { 2 } } } , { \frac { \left( 1 - \theta _ { 2 } i \right) ^ { 2 } } { 1 + { \theta _ { 2 } } ^ { 2 } } } \right\} .
\left( \hat { { \cal P } } _ { \nu } \tilde { \gamma } ^ { \nu } - m \gamma ^ { 5 } \right) ^ { 2 } \tilde { \Delta } ( x , x ^ { \prime } ) = \left[ ( \hat { { \cal P } } _ { \nu } \gamma ^ { \nu } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right] \tilde { \Delta } ( x , x ^ { \prime } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { \prime } ( \alpha ) \leq } & { \ \frac { 1 } { \alpha - 1 } \log \left( 1 + \left( 2 ( e ^ { \varepsilon ( 2 ) } - 1 ) + \frac { 2 e ^ { 3 \varepsilon ( \alpha ) } \varepsilon ( 2 ) } { 3 c } \right) \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \right) } \\ { \leq } & { \ \left( 2 ( e ^ { \varepsilon ( 2 ) } - 1 ) + \frac { 2 e ^ { 3 \varepsilon ( \alpha ) } \varepsilon ( 2 ) } { 3 c } \right) \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \alpha - 1 } } \\ { \leq } & { \ \left( 2 \varepsilon ( 2 ) ( 1 + \varepsilon ( 2 ) ) + \frac { 2 e \varepsilon ( 2 ) } { 3 c } \right) \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \alpha - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { c } } & { { } = 2 \epsilon \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } - ( 1 + \gamma ) g ^ { 2 } } { 1 + ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } g ^ { 2 } } \qquad \mathrm { ~ ( ~ ' ~ i ~ n ~ - ~ o ~ u ~ t ~ ' ~ ) ~ } } \\ { N _ { s } } & { { } = 2 \epsilon \mathrm { g } \frac { 1 + ( 1 + \gamma ) M _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } g ^ { 2 } } \qquad \mathrm { ~ ( ~ ' ~ u ~ p ~ - ~ d ~ o ~ w ~ n ~ ' ~ ) ~ } } \end{array}
\langle 0 | T _ { \mu \nu } | 0 \rangle _ { \mathrm { \tiny ~ R e n . } } = \mathrm { d i a g } \left[ \langle 0 | T _ { t t } | 0 \rangle , 0 , \langle 0 | T _ { l l } | 0 \rangle , \langle 0 | T _ { l l } | 0 \rangle \right] .
\begin{array} { r } { \mathbb H _ { \mathrm { B } } = \theta \left( R _ { a } - 1 0 0 \right) \, \theta \left( r _ { \mathrm { B } } - R _ { \mathrm { p l a n e t } } \right) \, \theta \left( a _ { \mathrm { t e m p } } - R _ { \mathrm { A l f v \' e n } } \right) \, \theta \left( R _ { 1 } - 1 \right) \, \theta \left( t _ { \mathrm { s o l i d } } - t _ { \star } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { C } _ { m } = \lambda _ { m } C _ { m } + ( i + \alpha ) \left( \eta _ { m - } C _ { m - \Delta l } e ^ { i \Delta l \Omega t } + \eta _ { m + } C _ { m + \Delta l } e ^ { i \Delta l \Omega t } \right) , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { T ^ { \prime } } } \\ { \mathbf { N ^ { \prime } } } \\ { \mathbf { B ^ { \prime } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \kappa } & { 0 } \\ { - \kappa } & { 0 } & { \tau } \\ { 0 } & { - \tau } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { T } } \\ { \mathbf { N } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right] } .
\int _ { 0 } ^ { \infty } d \mu N ( \mu ) ( \frac { \alpha ( \mu ) } { \Omega _ { n ( t _ { m } ) } ^ { \mu } } ) ^ { 2 } \cos \Omega _ { n ( t _ { m } ) } ^ { \mu } t = 2 \Gamma \delta _ { 1 / \Delta _ { n ( t _ { m } ) } ^ { \Omega } } ( t ) .
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { u } _ { 0 0 } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , \tau ) \cdot \mathbf { j } _ { 0 0 } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , \tau _ { 1 } ) \right\rangle } & { { } \, \, = - \mathrm { i } \epsilon _ { i j k } \int \mathrm { d } k \int \mathrm { d } k ^ { \prime } k _ { j } ^ { \prime } \left\langle \hat { u } _ { 0 0 i } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ; \tau ) \hat { b } _ { 0 0 k } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ; \tau _ { 1 } ) \right\rangle \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } ) \cdot \mathbf { x } } } \end{array}
\Psi ( r , \theta , t ) = \sqrt { { \frac { i } { r } } } \, \, { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi k _ { 0 } } } } \, \, { \frac { \sin { \frac { \pi } { \alpha } } } { \cos { \frac { \pi } { \alpha } } + \cos \theta } } \, \, e ^ { - { \frac { b ^ { 2 } } { 4 \xi ^ { 2 } } } } \, \, \Psi _ { \mathrm { { f r e e } } } ( r , \alpha ^ { 2 } t ) ,
\begin{array} { r l } { \theta _ { 1 } } & { { } = \eta _ { 1 } ( x - x _ { 1 } - 4 \eta _ { 1 } ^ { 2 } t ) \; , } \\ { \theta _ { 2 } } & { { } = \eta _ { 1 } ( x - x _ { 2 } - 4 \eta _ { 2 } ^ { 2 } t ) \; . } \end{array}
S [ \phi ] \, \, = \, \, \int _ { - R } ^ { + R } d x ^ { 1 } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { 0 } \phi ) ( \partial _ { 1 } \phi ) - \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { 1 } \phi ) ( \partial _ { 1 } \phi ) \right]
\begin{array} { r l } { U _ { t } ^ { \varepsilon } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( b ^ { 0 } + \varphi ^ { \varepsilon , 0 } \Big ) ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \sigma _ { l } ^ { 0 } + \varphi _ { l } ^ { \varepsilon , 0 } \Big ) ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } , } \\ { V _ { t } ^ { \varepsilon , i } } & { = y ^ { i } + \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( b ^ { i } - \theta ^ { i } b ^ { 0 } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } } ^ { i } \Sigma ^ { 0 j } + \psi ^ { i } \Big ) ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \sigma _ { l } ^ { i } - \theta ^ { i } \sigma _ { l } ^ { 0 } + \psi _ { l } ^ { i } \Big ) ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { ~ f ~ u ~ l ~ l ~ } } } & { { } = H _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } + H _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } + H _ { \mathrm { ~ l ~ a ~ s ~ e ~ r ~ } } + H _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } + H _ { \mathrm { ~ l ~ c ~ } } , } \end{array}
Y _ { 3 } = \int d x ^ { 3 } \, i \int d ^ { 2 } x \, \left[ \partial _ { 1 } \left( K _ { i } \partial _ { 2 } A ^ { i } \right) - \partial _ { 2 } \left( K _ { i } \partial _ { 1 } A ^ { i } \right) \right] = \int d x ^ { 3 } \, i \oint K _ { i } d A ^ { i } ,
K _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } \approx \sqrt { \frac { 9 \left( \mathcal { D } _ { 1 } - 1 \right) } { 8 \mathcal { D } _ { 1 } \left( \mathcal { D } _ { 2 } - 1 \right) } } \, , \quad \left[ T \operatorname { R e } ( \lambda ) \right] _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \approx \frac { 9 \left( \mathcal { D } _ { 1 } - 1 \right) ^ { 2 } } { 1 6 \mathcal { D } _ { 1 } \left( \mathcal { D } _ { 2 } - 1 \right) }
K T _ { 1 , 1 } ( \Phi _ { Z } ) = - 8 \ G _ { F } q ^ { 2 } \ g _ { V } ^ { s } \ g _ { A } \ | \vec { k } | \ F _ { V } ( q ^ { 2 } ) \Phi ( q ^ { 2 } ) P _ { \Phi } ( q ^ { 2 } )
< < \exp \{ \frac { 1 } { 2 } i \int d ^ { 4 } x \Delta F ^ { 2 } - i \Delta S _ { g h } \} - \exp \{ \varepsilon \delta R \} > > \mid _ { _ { \theta } } = < < - i \int d ^ { 4 } x J ^ { \mu } \delta A _ { \mu } \} > > \mid _ { _ { \theta } }
\begin{array} { r l } { \sin \theta } & { { } = { \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } , } \\ { \cos \theta } & { { } = { \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } , } \\ { \tan \theta } & { { } = { \frac { 2 t } { 1 - t ^ { 2 } } } . } \end{array}
( \Delta \gamma ) _ { 1 2 } = - i \hbar ( \Gamma _ { i } ^ { ( 2 ) } - \Gamma _ { i } ^ { ( 1 ) } ) d x ^ { i } + 1 \otimes \frac { 1 } { 2 } \omega _ { i j } \left( ( \Gamma _ { s } ^ { ( 2 ) } ) _ { k l } ^ { i } - ( \Gamma _ { s } ^ { ( 1 ) } ) _ { k l } ^ { i } \right) y ^ { j } y ^ { k } d x ^ { l }
\begin{array} { r } { \frac { \delta } { \delta t } \left( \varphi s \eta U + \left( 1 - \varphi \right) \rho _ { p } c _ { p } T \right) } \\ { + \nabla \cdot \left( \eta \mathbf { q } H - \kappa \nabla T \right) = Q _ { e } , } \end{array}
\eta ^ { - } ( x ; 0 ) = k _ { - } \left( \begin{array} { l } { \bar { u } ^ { \prime } ( x ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime \prime } ( x ) } \\ { \nu \bar { u } ^ { \prime \prime } ( x ) } \end{array} \right) = C _ { 1 } e ^ { \mu _ { 1 } ^ { + } ( 0 ) x } ( v _ { 1 } ^ { + } ( 0 ) + E _ { 1 } ^ { + } ( x ; 0 ) ) + C _ { 2 } e ^ { \mu _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) x } ( v _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) + E _ { 2 } ^ { + } ( x ; 0 ) ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } | \partial _ { t } R _ { t } ^ { 1 } ( n , m ) | d t } & { \le C \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { 1 } { m - n } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } ( 1 + t \theta ^ { 2 } ) ( m - n ) \theta ^ { 2 } d \theta d t } \\ & { \le C ( m - n ) \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { 1 } { m - n } } d \theta \le C . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \langle G _ { 1 } A G _ { 2 } B \rangle | \prec \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } + \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } , \, } \\ & { | \langle \Im G _ { 1 } A G _ { 2 } B \rangle | \prec \rho _ { 1 } \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } + \rho _ { 1 } \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \rho _ { 1 } \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } , } \\ & { | \langle \Im G _ { 1 } A \Im G _ { 2 } B \rangle | \prec \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } + \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta ^ { * } } } + \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { 1 } Q ( t - t _ { 1 } ) \simeq \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { 1 } \, \frac { 1 } { ( t - t _ { 1 } ) ^ { 1 - \alpha } } = \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \, \frac { 1 } { \tau ^ { 1 - \alpha } } = \frac { 1 } { t ^ { 1 - \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { I _ { 2 } } } & { { = } } & { { | \vec { \Gamma } \cdot \vec { \Gamma } | ^ { 2 } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } | \Gamma ^ { ( n ) } | ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { I _ { 4 } } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { d e t } \left[ \left( \begin{array} { c } { { \vec { \Gamma } } } \\ { { \bar { \vec { \Gamma } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { \vec { \Gamma } } } & { { \ \ } } \\ { { b a r { \vec { \Gamma } } } } \end{array} \right) \right] \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } } & { { } = - x _ { 2 } - x _ { 3 } , } \\ { \dot { x } _ { 2 } } & { { } = x _ { 1 } + a x _ { 2 } , } \\ { \dot { x } _ { 3 } } & { { } = b + x _ { 3 } ( x _ { 1 } - c ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( t , e ) ^ { 2 } ( \nabla u ( t , e ) ) ^ { 2 } } & { = \int _ { t } ^ { \infty } k _ { s - t } \frac { \mathbf { a } ( s , e ) \wedge 1 } { ( s - t ) ^ { - 1 } \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) \vee 1 \, d s ^ { \prime } } ( \nabla u ( t , e ) ) ^ { 2 } \, d s } \\ & { \leq 2 \int _ { t } ^ { \infty } k _ { s - t } \frac { \mathbf { a } ( s , e ) \wedge 1 } { ( s - t ) ^ { - 1 } \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) \vee 1 \, d s ^ { \prime } } ( \nabla u ( s , e ) ) ^ { 2 } \, d s } \\ & { \quad + 2 \int _ { t } ^ { \infty } k _ { s - t } \frac { \mathbf { a } ( s , e ) \wedge 1 } { ( s - t ) ^ { - 1 } \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) \vee 1 \, d s ^ { \prime } } ( \nabla u ( s , e ) - \nabla u ( t , e ) ) ^ { 2 } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } [ _ { 0 } \mathcal { D } _ { \theta } ^ { \beta } f ( \theta ) ] } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) + k ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } [ D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - k - 1 } ~ _ { 0 } \mathcal { D } _ { \theta } ^ { - ( n - \beta ) } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) - k - 1 } \bigg | _ { 0 } ^ { \infty } } \\ & { + \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) + n ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } \frac { \Gamma ( 1 - ( J ( s ) - n ) - ( n - \beta ) ) } { \Gamma ( 1 - ( J ( s ) - n ) ) } M ( ( J ( s ) - n ) + ( n - \beta ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { \mathcal { E } } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( 0 , 0 ) = - \frac { 1 } { k _ { \mathrm { ~ m ~ } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } } \, S _ { \ell } ( 0 ) \vec { E } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ e ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { T _ { j k } } { \bf f } \, d s } & { { } = } & { \left[ { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \nabla { \bf f } _ { i } - \nabla { \bf f } _ { T } ) ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \right] | { \bf n } _ { T } | } \end{array}
S _ { n } = \left\langle s _ { 1 } , \ldots , s _ { n - 1 } | s _ { i } s _ { i + 1 } s _ { i } = s _ { i + 1 } s _ { i } s _ { i + 1 } , s _ { i } s _ { j } = s _ { j } s _ { i } { \mathrm { ~ f o r ~ } } | i - j | \geq 2 , s _ { i } ^ { 2 } = 1 \right\rangle .
{ \frac { \partial R } { \partial E ^ { \prime } } ( E ^ { \prime } ) } = \varepsilon ( E ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathop { d E _ { 0 } } \mathcal { N } ( E ^ { \prime } | E _ { 0 } , \sigma _ { E ^ { \prime } } ) { \frac { \partial R } { \partial E _ { 0 } } ( E _ { 0 } ) } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { A u t } ( L , u ) _ { \overline { { ( Q , f _ { Q } , \pi ) } } } } & { = \{ \alpha \in \mathrm { A u t } ( L , u ) \mid \exists h \in N _ { H } ( Q , f _ { Q } ) , \, i _ { h } \pi = \pi \alpha \} } \\ & { = \{ \alpha \in \mathrm { A u t } ( L , u ) \mid \exists h \in N _ { H } ( Q , f _ { Q } ) , \, ( \phi i _ { h } \phi ^ { - 1 } ) \phi \pi = \phi \pi \alpha \} } \\ & { = \{ \alpha \in \mathrm { A u t } ( L , u ) \mid \exists g \in N _ { G } ( P , e _ { P } ) , \, i _ { g } \phi \pi = \phi \pi \alpha \} } \\ & { = \mathrm { A u t } ( L , u ) _ { \overline { { ( P , e _ { P } , \phi \pi ) } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left\langle \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } = - \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left\langle \mathbf k \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \left( \boldsymbol \chi \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \overline { { c } } _ { 1 } \right) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } + \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left\langle \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } . } \end{array}
{ \cal M } _ { \mathrm { U ^ { \prime } U ^ { \prime } } } ^ { 2 } \propto \sum _ { a } | \partial D _ { \mathrm { U ^ { \prime } } } / \partial \phi _ { a } | ^ { 2 } = g ^ { 2 } \sum _ { a } ( q _ { a } ^ { \prime } ) ^ { 2 } | \phi _ { a } | ^ { 2 } = 0 \ ,
{ \left( \begin{array} { l l l l } { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } } & { \Gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } } & { \Gamma _ { 2 1 } ^ { 1 } } & { \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } } \\ { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } } & { \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } } & { \Gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } } & { \Gamma _ { 2 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { E } & { F } \\ { F } & { G } \end{array} \right) } ^ { - 1 } { \left( \begin{array} { l l l l } { { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial E } { \partial u } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial E } { \partial v } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial E } { \partial v } } } & { { \frac { \partial F } { \partial v } } - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial G } { \partial u } } } \\ { { \frac { \partial F } { \partial u } } - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial E } { \partial v } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial G } { \partial u } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial G } { \partial u } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial G } { \partial v } } } \end{array} \right) } .
\mathrm { ~ C ~ N ~ N ~ } : \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { s } , f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) \mapsto \boldsymbol { \phi } _ { d _ { 1 } } ^ { 1 1 } , \boldsymbol { \phi } _ { d _ { 1 } } ^ { 1 2 } , \boldsymbol { \phi } _ { d _ { 1 } } ^ { 2 2 } , \boldsymbol { \psi } _ { d _ { 2 } } ^ { 1 1 } , \boldsymbol { \psi } _ { d _ { 2 } } ^ { 1 2 } , \boldsymbol { \psi } _ { d _ { 2 } } ^ { 2 1 } , \boldsymbol { \psi } _ { d _ { 2 } } ^ { 2 2 } , \qquad d _ { 1 } = - D , \ldots D , \quad d _ { 2 } = 0 , \ldots D .
\varphi _ { \delta } ( E ) = \operatorname* { i n f } { \biggl \{ } \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } p ( A _ { i } ) \, { \bigg | } \, E \subseteq \bigcup _ { i = 0 } ^ { \infty } A _ { i } , \forall i \in \mathbb { N } , A _ { i } \in C _ { \delta } { \biggr \} } .
\begin{array} { r l r } { \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } u _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } e ^ { i \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } } \\ { \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ^ { + } u _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ^ { + } e ^ { - i \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { P r } \left( \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } \right) } & { { } = - \nabla p + \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + R a \left( \Theta - \Phi \right) \mathbf { \hat { z } } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \Theta } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \Theta } & { { } = - u + \nabla ^ { 2 } \Theta , } \\ { \frac { \partial \Phi } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \Phi } & { { } = - u + \frac { 1 } { L e } \nabla ^ { 2 } \Phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } - \Theta _ { 0 1 } | | _ { F } ^ { 2 } + c | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } - \Theta _ { 0 2 } | | _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \lambda \Big \{ | | \Delta _ { 1 S _ { 1 } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \Delta _ { 1 S _ { 1 } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 S _ { 2 } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \Delta _ { 2 S _ { 2 } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { ( \rho + \lambda _ { 0 } ) \Big \{ | | \Delta _ { 1 S _ { 1 } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 1 S _ { 1 } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 S _ { 2 } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 S _ { 2 } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ & { + | | \widehat { \Sigma } _ { 1 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { + } - \Theta _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } + | | \widehat { \Sigma } _ { 2 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { + } - \Theta _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( Y _ { 1 } \leq x ) = P ( \ln ( 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } X _ { 1 } ^ { \ast } / q ) ) \geq \ln ( k / n ) - x ) = } \\ { P \big ( X _ { 1 } ^ { \ast } \leq q u _ { 0 } ^ { - 1 } F _ { 0 } ^ { \leftarrow } ( 1 - k e ^ { - x } / n ) \big ) = \frac { F _ { 1 } \big ( q u _ { 0 } ^ { - 1 } F _ { 0 } ^ { \leftarrow } ( 1 - k e ^ { - x } / n ) \big ) - F _ { 1 } ( q ) } { 1 - F _ { 1 } ( q ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } _ { \mathfrak { s } } ( t ) = \widetilde { P } _ { \Phi } ^ { i + 1 } ( \mathfrak { s } ) \left[ 1 - \eta \left( \frac { 3 t - 2 \tau _ { i } - \tau _ { i + 1 } } { \tau _ { i + 1 } - \tau _ { i } } \right) \right] + P _ { \Theta } ^ { i + 1 } ( \mathfrak { s } ) \eta \left( \frac { 3 t - 2 \tau _ { i } - \tau _ { i + 1 } } { \tau _ { i + 1 } - \tau _ { i } } \right) . } \end{array}
Y _ { \{ 1 , 2 , 4 , 5 \} } = V _ { \{ 1 , 2 , 4 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 2 \} , \{ 4 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 2 \} , \{ 4 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 4 \} , \{ 2 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 4 \} , \{ 2 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 5 \} , \{ 2 , 4 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 5 \} , \{ 2 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 2 , 4 \} , \{ 1 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 2 , 4 \} , \{ 1 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 2 , 5 \} , \{ 1 , 4 \} } \oplus T _ { \{ 2 , 5 \} , \{ 1 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 4 , 5 \} , \{ 1 , 2 \} } \oplus T _ { \{ 4 , 5 \} , \{ 1 , 2 \} }