harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma _ { \mu \nu } ^ { 2 } \approx \big ( k _ { 1 } - k _ { 2 } \big ) ^ { 2 } \: \left( \frac { 2 \pi H } { a } \right) ^ { 2 } \: g _ { \zeta } \: \frac { k _ { 2 } \big | \tau _ { \mu \nu , 0 } \big | ^ { 2 } } { k _ { 1 } \mathcal { T } } \: ,
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { | g _ { E } | } \left[ \hat { R } ( \hat { g } _ { E } ) - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \frac { \partial _ { \hat { \mu } } \hat { \lambda } \partial ^ { \hat { \mu } } \bar { \hat { \lambda } } } { \left( \Im \mathrm { m } \hat { \lambda } \right) ^ { 2 } } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \hat { F } ^ { I } \ { } ^ { \star } \tilde { \hat { F } ^ { I } } \right] \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \Phi ( X , V _ { t + \Delta { t } } ) ] } & { { } = \mathbb { E } \Bigl [ \mathbb { E } \bigl [ \Phi \bigl ( X , ( 1 - \Theta ) V _ { t } + \Theta \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) \bigr ) \vert X , X ^ { \ast } \bigr ] \Bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \epsilon _ { y } ^ { N } ( t ) } { d t } } & { { } = } & { - \left[ \frac { 1 } { E ( t ) } \frac { d E ( t ) } { d t } + \frac { 2 } { \tau _ { y , 0 } } ( \frac { E ( t ) } { E _ { 0 } } ) ^ { 3 } \right] \epsilon _ { y } ^ { N } ( t ) } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c } { { \pmb F } } \\ { { \pmb T } } \\ { \mathsf { \pmb S } } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { c c c c c } { { \pmb R } ^ { ( F U ) } } & { } & { { \pmb R } ^ { ( F \Omega ) } } & { } & { { \pmb R } ^ { ( F E ) } } \\ { { \pmb R } ^ { ( T U ) } } & { } & { { \pmb R } ^ { ( T \Omega ) } } & { } & { { \pmb R } ^ { ( T E ) } } \\ { { \pmb R } ^ { ( S U ) } } & { } & { { \pmb R } ^ { ( S \Omega ) } } & { } & { { \pmb R } ^ { ( S E ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c c c } { { \pmb U } } \\ { { \pmb \Omega } } \\ { { \pmb E } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \frac { \| P ( x _ { k } ) \nabla f ( x _ { k } ) \| - ( \kappa + \beta _ { H } ) \| \nabla f ( x _ { k } ) \| \| s _ { k } \| } { \lambda _ { 1 } ( \nabla ^ { 2 } f ( x _ { k } ) ) + \varsigma _ { k } \| s _ { k } \| } \leq \| P ( x _ { k } ) s _ { k } \| \leq \frac { \| P ( x _ { k } ) \nabla f ( x _ { k } ) \| + ( \kappa + \beta _ { H } ) \| \nabla f ( x _ { k } ) \| \| s _ { k } \| } { \lambda _ { d } ( \nabla ^ { 2 } f ( x _ { k } ) ) + \varsigma _ { k } \| s _ { k } \| } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( \alpha , \beta ) } & { = - ( g ^ { \prime } ) ^ { [ 2 ] } ( \alpha , \alpha , \beta ) + 2 g ^ { [ 3 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , \beta ) } \\ & { = - \frac { ( g ^ { \prime } ) ^ { [ 1 ] } ( \alpha , \beta ) - ( g ^ { \prime } ) ^ { [ 1 ] } ( \alpha , \alpha ) } { \beta - \alpha } + 2 \frac { g ^ { [ 2 ] } ( \alpha , \alpha , \beta ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { ( 2 ) } ( \alpha ) } { \beta - \alpha } } \\ & { = \frac { 1 } { \beta - \alpha } \Big ( 2 g ^ { [ 2 ] } ( \alpha , \alpha , \beta ) - ( g ^ { \prime } ) ^ { [ 1 ] } ( \alpha , \beta ) \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { \beta - \alpha } \Big ( 2 \frac { g ^ { [ 1 ] } ( \alpha , \alpha ) - g ^ { [ 1 ] } ( \alpha , \beta ) } { \alpha - \beta } - \frac { g ^ { [ 1 ] } ( \alpha , \alpha ) - g ^ { [ 1 ] } ( \beta , \beta ) } { \alpha - \beta } \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { \beta - \alpha } \Big ( \frac { g ^ { [ 1 ] } ( \alpha , \alpha ) - g ^ { [ 1 ] } ( \alpha , \beta ) } { \alpha - \beta } - \frac { g ^ { [ 1 ] } ( \alpha , \beta ) - g ^ { [ 1 ] } ( \beta , \beta ) } { \alpha - \beta } \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { \beta - \alpha } ( g ^ { [ 2 ] } ( \alpha , \alpha , \beta ) - g ^ { [ 2 ] } ( \alpha , \beta , \beta ) ) , } \end{array}
\left\langle \langle n _ { \mathrm { ~ B ~ } } n _ { \mathrm { ~ E ~ } } \right\rangle \rangle = r _ { \mathrm { ~ E ~ } } ( 1 - r _ { \mathrm { ~ E ~ } } ) \cdot ( G _ { 1 } - 1 ) \cdot \left( 2 | \gamma | ^ { 2 } + G _ { 1 } - 1 \right) .
\begin{array} { r l } { I } & { \lesssim ( \| c \| _ { 0 , \infty , \Gamma } h ^ { - 1 } + \| b \| _ { 0 , \infty , \Gamma } h ^ { - 2 } ) \| v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } \| w \| _ { \mathcal { T } _ { h } } } \\ & { \lesssim ( \tau _ { c } ^ { - 1 } h + \| b _ { h } \| _ { 0 , \infty , \Gamma _ { h } } ) h ^ { - 2 } \| v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } \| w \| _ { \mathcal { T } _ { h } } \lesssim b _ { \infty } h ^ { - 2 } \| v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } \| w \| _ { \mathcal { T } _ { h } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { W } _ { e } ^ { + } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \ , \quad \widetilde { W } _ { e } ^ { - } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \ , \quad \widetilde { W } _ { + } ^ { + } = \widetilde { W } _ { - } ^ { - } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \ , \qquad \widetilde { W } _ { - } ^ { + } = \widetilde { W } _ { + } ^ { - } = 0 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J D _ { Y _ { 0 } } ^ { 2 } H } & { = \left[ \begin{array} { c c } { - \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial G _ { 0 } \partial g _ { 0 } } } & { - \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial g _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial G _ { 0 } ^ { 2 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial G _ { 0 } \partial g _ { 0 } } } \end{array} \right] = ( \frac { 1 } { r _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) O \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] , } \\ { J D _ { Y _ { 0 } Y _ { 1 } } ^ { 2 } H } & { = \left[ \begin{array} { c c } { - \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial G _ { 1 } \partial g _ { 0 } } } & { - \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial g _ { 0 } \partial g _ { 1 } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial G _ { 0 } \partial G _ { 1 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial G _ { 0 } \partial g _ { 1 } } } \end{array} \right] = ( \frac { 1 } { r _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) O \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] , } \\ { J D _ { Y _ { 0 } Y _ { 2 } } ^ { 2 } H } & { = \left[ \begin{array} { c c } { - \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 2 } \partial g _ { 0 } } } & { - \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial g _ { 2 } \partial g _ { 0 } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 2 } \partial G _ { 0 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 0 } \partial g _ { 2 } } } \end{array} \right] = O \left[ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } } \\ { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } = } & { { } ~ \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } \left( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } , \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } , \mathbf { q } _ { \alpha } , \gamma _ { \alpha } \right) , } \\ { \hat { s } _ { \alpha } = } & { { } ~ \hat { s } _ { \alpha } \left( r _ { \alpha } \right) , } \\ { \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } = } & { { } ~ \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } ( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } , \mathbf { D } _ { \alpha } , \pi _ { \alpha } , p ) , } \\ { \hat { \gamma } _ { \alpha } = } & { { } ~ \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } , p , \left\{ \psi _ { \beta } \right\} _ { { \beta } = 1 , \dots , N } , \left\{ \mu _ { \beta } \right\} _ { { \beta } = 1 , \dots , N } \right) , } \\ { \hat { \boldsymbol { \pi } } _ { \alpha } = } & { { } ~ \hat { \boldsymbol { \pi } } _ { \alpha } \left( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } , \left\{ \mathbf { v } _ { \beta } \right\} _ { { \beta } = 1 , \dots , N } , \left\{ \gamma _ { \beta } \right\} _ { { \beta } = 1 , \dots , N } \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \gamma _ { t } + \mathrm { d i v } _ { ( z , \tilde { z } ) , \omega } ( \gamma _ { t } v _ { \gamma } ) = 0 , } \\ { v _ { \gamma } ( z , \tilde { z } , \omega ) = \left( 0 , \eta \nabla _ { \tilde { z } } J _ { \pi } ( z , \tilde { z } ) , \kappa \omega \left( J _ { \pi } ( z , \tilde { z } ) - \int J _ { \pi } ( z , \tilde { z } ^ { \prime } ) d \pi _ { t } ( \tilde { z } ^ { \prime } | z ) \right) \right) ; \quad \pi _ { t } = \mathcal { F } \gamma _ { t } . } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { \Phi : = { \frac { 1 } { ( v \cdot l ) ^ { 2 } } } = { \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { ( z _ { 0 } ^ { 2 } + \vec { z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } } \\ { { J _ { i } = \Phi ^ { - 1 } \partial _ { i } \Phi } } \end{array}
R _ { \tau } ( s _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \, \oint _ { | s | = s _ { 0 } } { \frac { \mathrm { d } s } { s } } \, w \bigg ( { \frac { s _ { 0 } } { m _ { \tau } ^ { 2 } } } , { \frac { s } { m _ { \tau } ^ { 2 } } } \bigg ) \, D ( s ) \, .
\mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ ( f _ { i } ^ { \pm } ) _ { 1 \leq i \leq N } ] : = \left( \pm \frac { \mathrm { d } v _ { f , n } ^ { \alpha } } { \mathrm { d } x } ( x _ { i } ^ { \pm } ) \right) _ { 1 \leq i \leq N } ,
\begin{array} { r } { \operatorname { p r o j . d i m } _ { \L } S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { i } & { \mathrm { ~ i f ~ 0 ~ \leq ~ i ~ \leq ~ 3 ~ , ~ } } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ i f ~ 4 ~ \leq ~ i ~ \leq ~ 5 ~ } } \end{array} \right. \mathrm { \quad ~ a n d \quad } \operatorname { p e r . d i m } _ { \L } S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { i + 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ 0 ~ \leq ~ i ~ \leq ~ 3 ~ , ~ } } \\ { i - 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ 4 ~ \leq ~ i ~ \leq ~ 5 ~ , } } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ { \begin{array} { l l } { P _ { W } ^ { ( \mathrm { { R } } ) } > 0 \; \; } & { \mathrm { f o r } \; \; \mathrm { \boldmath ~ { \cal { S } } ~ } : \mathrm { \boldmath ~ { \cal { M } } ~ } > 0 , } \\ { P _ { W } ^ { ( { \mathrm { R } } ) } < 0 \; \; } & { \mathrm { f o r } \; \; \mathrm { \boldmath ~ { \cal { S } } ~ } : \mathrm { \boldmath ~ { \cal { M } } ~ } < 0 . \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right.
\begin{array} { r } { \boldsymbol { K } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { A } ^ { j _ { 1 } - 1 , j _ { 2 } } \boldsymbol { B } _ { 1 } + \boldsymbol { A } ^ { j _ { 1 } , j _ { 2 } - 1 } \boldsymbol { B } _ { 2 } , \ldots , \boldsymbol { A } ^ { 0 , 1 } \boldsymbol { B } _ { 1 } + \boldsymbol { A } ^ { 1 , 0 } \boldsymbol { B } _ { 2 } , \boldsymbol { B } _ { 1 } + \boldsymbol { B } _ { 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \widehat { f } _ { x , \xi } } \\ { \widehat { f } _ { y , \xi } } \\ { \widehat { f } _ { z , \xi } } \end{array} \right] = } & { { } \boldsymbol { P } \; \boldsymbol { \widehat { u } } _ { \Xi , c } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( \boldsymbol { \widehat { \nabla } } , \boldsymbol { \widehat { \nabla } } , \boldsymbol { \widehat { \nabla } } \right) \left[ \begin{array} { l } { \widehat { u } } \\ { \widehat { v } } \\ { \widehat { w } } \end{array} \right] , \; \; \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } \\ { \boldsymbol { P } : = } & { { } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } \right) , } \\ { \boldsymbol { \widehat { u } } _ { \Xi , c } : = } & { { } \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } \otimes \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( - \widehat { u } _ { \xi } , - \widehat { v } _ { \xi } , - \widehat { w } _ { \xi } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { 3 } } & { = } & { \left[ - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 4 } \left( x ^ { 2 } - 3 0 x + 4 5 \right) \frac { \psi _ { 1 } } { \pi } - \frac { \varepsilon } { 4 } \left( 1 + \sqrt { x } \right) \left( 3 - \sqrt { x } \right) \frac { \psi _ { 1 } } { \pi } + \frac { \varepsilon } { 1 6 } \left( 1 + \sqrt { x } \right) ^ { 3 } \left( 3 - \sqrt { x } \right) \frac { \phi _ { 1 } } { \pi } \right] I _ { 1 1 1 } } \\ & { } & { + \frac { \varepsilon } { 4 } \left( 1 - x \right) \left( 9 - x \right) \frac { \psi _ { 1 } } { \pi } I _ { 2 1 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \bf E } [ \Xi _ { \overline { { X } } _ { 1 } \overline { { X } } _ { 2 } } ( \phi ^ { ( n ) } , \psi ^ { ( n ) } ) ] = { \bf E } \left[ \frac { 1 } { | T _ { \overline { { X } } } ^ { n } | } \sum _ { { { x } ^ { n } } \in T _ { \overline { { X } } } ^ { n } } \Xi _ { { { { x } ^ { n } } } } ( \phi ^ { ( n ) } , \psi ^ { ( n ) } ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { | T _ { \overline { { X } } } ^ { n } | } \sum _ { { { x } ^ { n } } \in T _ { \overline { { X } } } ^ { n } } { \bf E } [ \Xi _ { { { x } ^ { n } } } ( \phi ^ { ( n ) } , \psi ^ { ( n ) } ) ] } \\ & { \leq \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } | } \left\{ \mathrm { e } ^ { - n [ R - H ( \overline { { X } } ) ] ^ { + } } \right\} , } \end{array}
\frac { 4 ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \frac { \log \left( \frac { 2 | \mathfrak { E } _ { k } | + k | \mathfrak { V } _ { k } | } { 4 ( \operatorname* { m i n } \{ \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) , \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { w } ) \} + k ) } \right) } { \left( \iota ( \mathfrak { L } _ { k } ) \frac { 2 | \mathfrak { E } _ { k } | + k | \mathfrak { V } _ { k } | } { \operatorname* { m a x } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) + k } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { ∫ _ { B × [ 0 , r ] } | \mathrm d μ _ { k } ( x , t ) | } & { = ∑ _ { 2 ^ { - ℓ } ≤ r } ∫ _ { B } | Q _ { k + ℓ } ∘ T _ { d } ^ { φ } ∘ \tilde { Q } _ { k + ℓ } ( f ) ( x ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { \lesssim ∑ _ { 2 ^ { - ℓ } ≤ r } ( 2 ^ { k + ℓ } r ) ^ { - ε } | B | \| \tilde { Q } _ { k + ℓ } ( f ) \| _ { L ^ { ∞ } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim 2 ^ { - ε k } ∑ _ { 2 ^ { - ℓ } ≤ r } ( 2 ^ { - ε } ) ^ { ℓ } r ^ { - ε } | B | \| f \| _ { \mathrm { b m o } } ^ { 2 } \lesssim 2 ^ { - ε k } | B | \| f \| _ { \mathrm { b m o } } ^ { 2 } , } \end{array}
2 \Sigma _ { 1 2 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { - 1 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { 1 } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \; \; , \; \; 2 \Sigma _ { 3 4 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { 1 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { - 1 } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \nonumber
\Delta \omega _ { \mathrm { A } } ^ { ( i ) } = \pm \frac { \mu _ { 0 } \hbar \gamma _ { \mathrm { N V } } \gamma _ { i } } { 8 \pi } \frac { 1 } { r _ { i } ^ { 3 } } ( 1 - 3 \cos ^ { 2 } { \theta _ { i } } )
J ^ { s a } ( Z _ { 1 } ) J ^ { s b } ( Z _ { 2 } ) = \frac { \delta ^ { a b } } { Z _ { 1 2 } } + \frac { \theta _ { 1 2 } } { Z _ { 1 2 } } i \epsilon ^ { a b c } J ^ { s c } ( Z _ { 2 } ) + . . .
\begin{array} { r l r } { k U _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } U _ { 1 } - U _ { 1 } ^ { 3 } - U _ { 2 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { k U _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } U _ { 2 } - U _ { 2 } ^ { 3 } - U _ { 1 } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { X } _ { 2 , 1 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 7 } ^ { ( 4 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 2 , 2 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 9 } ^ { ( 4 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) , } \\ & { \mathcal { X } _ { 2 , 3 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 1 1 } ^ { ( 4 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 2 , 4 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 8 } ^ { ( 4 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vec { \kappa } } & { { } = - \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial \Vec { x } } = - \left( \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial n } \frac { \partial n } { \partial R } + \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial T } \frac { \partial T } { \partial R } \right) \hat { R } - \left( \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial n } \frac { \partial n } { \partial Z } + \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial T } \frac { \partial T } { \partial Z } \right) \hat { Z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { i j } ( z ) } & { \triangleq \beta \int _ { h _ { m i n } } ^ { h _ { m a x } } p ( h ) I _ { i j } \left( \frac { z } { h } \right) d h , } \\ { \textrm { w h e r e } I _ { i j } \left( \frac { z } { h } \right) } & { \triangleq \int _ { - L / h } ^ { L / h } \int _ { - L / h } ^ { L / h } u _ { i } \left( \frac { \mathbf { x } } { h } \right) u _ { j } \left( \frac { \mathbf { x } } { h } \right) d \left( \frac { x } { h } \right) d \left( \frac { y } { h } \right) . } \end{array}
I ( \lambda ) = H _ { 0 } \exp { ( - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ) } ( 1 + \cos { ( \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { c } \frac { R ^ { 2 } \omega } { \lambda } ) } )
\begin{array} { r l } { d \widehat { L } ( t ) } & { = - \left( \gamma _ { 1 } ^ { \lambda } \left( \widehat { L } - \widehat { L } _ { m } \right) + \gamma _ { 2 } ^ { \lambda } \left( \frac { k _ { \mathrm { o n } } ^ { \lambda } } { k _ { \mathrm { o f f } } ^ { \lambda } } \right) ^ { n } \right) d t + \sqrt { D } \; d W _ { t } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { \mathrm { S } } = k _ { \mathrm { S } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \hat { P } _ { \mathrm { S } } ( t ) d t } \\ { \approx k _ { \mathrm { S } } \sum _ { n = 0 } ^ { N } { w } _ { n } \hat { P } _ { \mathrm { S } } ( t _ { n } ) } \end{array}
\int { \frac { \sin a x \, d x } { ( \cos a x ) ( 1 - \sin a x ) } } = { \frac { 1 } { 4 a } } \tan ^ { 2 } \left( { \frac { a x } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \right) - { \frac { 1 } { 2 a } } \ln \left| \tan \left( { \frac { a x } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \right) \right| + C
\begin{array} { r l } { | \overline { { \mu } } \rangle } & { { } \longrightarrow | F = a , N , G , g \rangle } \\ { | \overline { { \nu } } \rangle } & { { } \longrightarrow | F ^ { \prime } = b , N , G ^ { \prime } , g ^ { \prime } \rangle } \\ { \sum _ { \overline { { \mu } } , \overline { { \nu } } } } & { { } \longrightarrow \sum _ { G , g , G ^ { \prime } , g ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { N } ( \rho , x ) = } & { \mathcal { F } \Bigg [ \chi _ { x } ( t ) \widetilde { K } ^ { h } ( x , t ) } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \alpha _ { k } H ( x - x _ { k } ) \left( \chi _ { [ 2 x _ { k } - x , x ] } ( t ) \widetilde { K } _ { k } ( x , t - x _ { k } ) + \chi _ { x _ { k } } ( t ) \widetilde { K } ^ { h } ( x _ { k } , t ) \ast \chi _ { x - x _ { k } } ( t ) \widetilde { K } _ { k } ( x , t ) \right) } \\ & { + \sum _ { J \in \mathcal { J } _ { N } } \alpha _ { J } H ( x - x _ { j _ { | J | } } ) \left( \prod _ { l = 1 } ^ { | J | - 1 } \right) ^ { \ast } \left( \chi _ { x _ { j _ { l + 1 } } - x _ { j _ { l } } } ( t ) \widetilde { K } _ { k } ( x _ { j _ { l + 1 } } , t ) \right) } \\ & { \ast \Big ( \chi _ { [ x _ { j _ { | J | } } + x _ { j _ { 1 } } - x , x - ( x _ { j _ { | J | } } - x _ { j _ { 1 } } ) ] } ( t ) \widetilde { K } _ { j _ { | J | } } ( x , t - x _ { j _ { 1 } } ) } \\ & { \qquad \; + \chi _ { x _ { j _ { 1 } } } ( t ) \widetilde { K } ^ { h } ( x _ { j _ { 1 } } , t ) \ast \chi _ { x - x _ { j _ { | J | } } } ( t ) \widetilde { K } _ { j _ { | J | } } ( x , t ) \Big ) \Bigg ] } \end{array}
\Psi ^ { \prime \prime } = ( h _ { 1 } \Psi ^ { k } + h _ { 2 } ) \Psi ^ { n - 1 } \Psi ^ { \prime } + ( h _ { 3 } \Psi ^ { 2 k } + h _ { 4 } \Psi ^ { k } + h _ { 5 } ) \Psi ^ { 2 n - 1 }
\int x ^ { m } \operatorname { a r s i n h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \operatorname { a r s i n h } ( a x ) } { m + 1 } } - { \frac { a } { m + 1 } } \int { \frac { x ^ { m + 1 } } { \sqrt { a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 } } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) = \tau \cosh ( \eta - \eta ^ { \prime } ) - \sqrt { ( r _ { \bot } - r _ { \bot } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) }
S _ { W Z } = \frac { \kappa } { 1 2 \pi } \int _ { M } t r ( g ^ { - 1 } d g ) ^ { 3 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { D ^ { ( i ) } } g ^ { * } ( B + 2 \pi \alpha ^ { \prime } F ) .
\begin{array} { r l } { \left[ { \bf v } \right] _ { m } = } & { \left( a _ { 0 , 0 } \epsilon _ { 0 } \oplus a _ { 0 , 1 } \epsilon _ { 1 } \oplus \ldots \oplus a _ { 0 , m - 1 } \epsilon _ { m - 1 } \right) { \bf g } _ { 0 } \oplus \left( a _ { 1 , 0 } \epsilon _ { 0 } \oplus a _ { 1 , 1 } \epsilon _ { 1 } \oplus \ldots \oplus a _ { 1 , m - 1 } \epsilon _ { m - 1 } \right) { \bf g } _ { 1 } \oplus \ldots \oplus } \\ & { \left( a _ { K - 1 , 0 } \epsilon _ { 0 } \oplus a _ { K - 1 , 1 } \epsilon _ { 1 } \oplus \ldots \oplus a _ { K - 1 , m - 1 } \epsilon _ { m - 1 } \right) { \bf g } _ { K - 1 } } \\ { = } & { \left( a _ { 0 , 0 } \epsilon _ { 0 } { \bf g } _ { 0 } \oplus a _ { 1 , 0 } \epsilon _ { 0 } { \bf g } _ { 1 } \oplus \ldots \oplus a _ { K - 1 , 0 } \epsilon _ { 0 } { \bf g } _ { K - 1 } \right) \oplus \left( a _ { 0 , 1 } \epsilon _ { 1 } { \bf g } _ { 0 } \oplus a _ { 1 , 1 } \epsilon _ { 1 } { \bf g } _ { 1 } \oplus \ldots \oplus a _ { K - 1 , 1 } \epsilon _ { 1 } { \bf g } _ { K - 1 } \right) \oplus \ldots \oplus } \\ & { \left( a _ { 0 , m - 1 } \epsilon _ { m - 1 } { \bf g } _ { 0 } \oplus a _ { 1 , m - 1 } \epsilon _ { m - 1 } { \bf g } _ { 1 } \oplus \ldots \oplus a _ { K - 1 , m - 1 } \epsilon _ { m - 1 } { \bf g } _ { K - 1 } \right) } \\ { = } & { ( { \bf a } _ { 0 } { \bf G } ) \epsilon _ { 0 } \oplus ( { \bf a } _ { 1 } { \bf G } ) \epsilon _ { 1 } \oplus \ldots \oplus ( { \bf a } _ { m - 1 } { \bf G } ) \epsilon _ { m - 1 } } \\ { = } & { { \bf v } _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \oplus { \bf v } _ { 1 } \epsilon _ { 1 } \oplus \ldots \oplus { \bf v } _ { m - 1 } \epsilon _ { m - 1 } , } \end{array}
v _ { \omega } \left( \sigma ^ { - } \left( y ^ { - } \right) \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega } } } \, e ^ { { \frac { i \omega } { \lambda } } \ln { \left( \lambda \Delta \left( e ^ { - \lambda y ^ { - } } - 1 \right) \right) } } \Theta \left( - y ^ { - } \right) \; ,
\Delta \mathbf { m } = \epsilon \mathbf { S } ^ { T } ( \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } + \epsilon \mu _ { S } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \Delta \mathbf { d } ( \mathbf { U } \mathbf { U } ^ { T } + \mu _ { U } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { U }
\lambda ( p ^ { \mu } ) \, \equiv \left( \begin{array} { c } { { \left( \zeta _ { \lambda } \, \Theta _ { [ j ] } \right) \, \phi _ { _ L } ^ { \ast } ( p ^ { \mu } ) } } \\ { { \phi _ { _ L } ( p ^ { \mu } ) } } \end{array} \right) \, \, , \quad \rho ( p ^ { \mu } ) \, \equiv \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { _ R } ( p ^ { \mu } ) } } \\ { { \left( \zeta _ { \rho } \, \Theta _ { [ j ] } \right) ^ { \ast } \, \phi _ { _ R } ^ { \ast } ( p ^ { \mu } ) } } \end{array} \right) \, \, .