harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { n } H ( x _ { 1 } + \omega _ { n } , x _ { 2 } + \omega _ { n } ) \simeq \left( \frac { z } { s + 1 } \frac { 1 } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \frac { \operatorname { t a n h } ( \mu - x _ { 1 } ) } { 2 \mu - x _ { 1 } + x _ { 2 } } + X _ { 1 , 2 } + \mathrm { p . p . c . } \, .
U _ { \phi ^ { 3 } } = { \frac { N } { g } } t r \left( A ^ { 2 } S + { \frac { S ^ { 3 } } { 1 2 } } - { \frac { c } { 2 } } S ^ { 2 } + { \frac { ( 3 c - 1 ) ( 1 + c ) } { 4 } } S \right)
( 1 , 2 , 3 ) ^ { ( + ) } = ( 1 , 4 , 5 ) ^ { ( + ) } = ( 1 , 7 , 6 ) ^ { ( + ) } = ( 2 , 4 , 6 ) ^ { ( + ) } = ( 2 , 5 , 7 ) ^ { ( + ) } = 1
\begin{array} { r } { \Phi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , z , t ) = ~ \frac { 1 } { 2 } B ( \mathbf { x } , z , t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } , } \end{array}
\omega ( t , r , \theta ) = \Omega ( t , r , \theta ) - \frac { F ( r , \theta ) } { ( \rho + p ) a ^ { 5 } } = \frac { A ( r , \theta ) } { a ^ { 3 } } - \frac { F ( r , \theta ) } { ( \rho + p ) a ^ { 5 } } .
\begin{array} { r } { R _ { \xi } = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \phi _ { 0 } } & { \sin \phi _ { 0 } } & { 0 } \\ { - \sin \phi _ { 0 } } & { \cos \phi _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 1 1 } x _ { 1 1 } ^ { * } x _ { 2 2 } x _ { 2 2 } ^ { * } ) } & { = h ( a a ^ { * } e e ^ { * } ) = h ( ( a e k - q \cdot a f h ) ( e a k - q \cdot c e g ) ) } \\ & { = h ( a e k e a k ) - q \cdot h ( a e k c e g ) - q \cdot h ( a f h e a k ) + q ^ { 2 } \cdot h ( a f h c e g ) } \\ & { = \frac { q ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 4 } + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } { \mathrm { d } h } = \frac { k } { 4 D _ { A } } \frac { 1 } { \eta } \frac { \eta - 1 } { 1 - \phi _ { 0 } \chi } > 0 } \end{array}
\mathbf { Y } _ { m } ^ { ( l ) } ( \theta , \phi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { m } ^ { ( l ) } ( \theta ) \sin ( m \phi ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m > 0 } \\ { P _ { m } ^ { ( l ) } ( \theta ) \cos ( m \phi ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m \leq 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \lambda \Phi ^ { e } } & { = - \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \Phi ^ { e } - V [ m ^ { e } ] \Phi ^ { e } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \Phi ^ { e } \log { \Phi ^ { e } } , } \\ { - \lambda \Gamma ^ { e } } & { = \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \Gamma ^ { e } + V [ m ^ { e } ] \Gamma ^ { e } - \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \Gamma ^ { e } \log { \Phi ^ { e } \Gamma ^ { e } } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \Gamma ^ { e } \log { \Gamma ^ { e } } . } \end{array}
\hat { T } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 } { n ! } \right) ^ { 2 } t _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } \hat { E } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } }
d _ { Q } T _ { n } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = \sum _ { l = 1 } ^ { n } \frac { \partial } { \partial x _ { l } ^ { \nu } } \, T _ { n / l } ^ { \nu } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { l } , \ldots , x _ { n } ) \, ,
E \left\{ \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \left( - { \frac { 2 i } { N } } \right) \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \sum _ { m = 1 } ^ { j } \psi _ { \ell } \psi _ { m } \right\} = \Psi ^ { 2 } \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \left( - { \frac { 2 i } { N } } \right) \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \sum _ { m = 1 } ^ { j } \delta _ { \ell m } = \Psi ^ { 2 } \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \left( - { \frac { 2 i j } { N } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \Delta \hat { A _ { 1 } } ( j ) = \hat { A _ { 1 } } ( j ) \Delta t - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta t ) ^ { 5 } \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { j / 2 } k ^ { 2 } \Bigl [ } & { { } \hat { A _ { 1 } } ( j - k ) \cdot S _ { 1 } ( j , k ) + e ^ { - i p _ { 1 } k \Delta t } \cdot \hat { A _ { 1 } } ( j - k ) \cdot S _ { 2 } ( j , k ) } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { Y , n } \left( t \right) = \frac { 1 } { 2 \left( 1 + e ^ { - 2 \left( \left| \alpha \left( t \right) \right| ^ { 2 } + \left| \beta \left( t \right) \right| ^ { 2 } \right) } \right) } } \\ { \times ( \left| d _ { n 1 } ^ { \beta } \right| ^ { 2 } + \left| d _ { n 1 } ^ { - \beta } \right| ^ { 2 } + \left( \left( d _ { n 1 } ^ { \beta } \right) ^ { \ast } d _ { n 1 } ^ { - \beta } + d _ { n 1 } ^ { \beta } { ( d _ { n 1 } ^ { - \beta } ) } ^ { \ast } \right) e ^ { - 2 \left| \alpha \right| ^ { 2 } } ) } \end{array}
\mathcal { L } _ { s } ( \mathcal { D } ; \mathbf { t } ) = \frac { 1 } { | \mathcal { D } | } \sum _ { d \in \mathcal { D } } \frac { 1 } { | \Omega | } | | \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { T } ( \mathbf { t } ) \mathbf { u } _ { d } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { W } ( \mathbf { u } _ { d } ^ { \prime } ) ^ { 2 } | | _ { \Omega } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \rho ( t ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } n ( t , x ) \, d x \geq \int _ { I } n ( t _ { 0 } , x ) \, e ^ { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left( r ( x ) - d ( x ) \rho ( s ) - \mu ( x ) \varphi ( s ) \right) \, d s } \, d x \geq | I | \operatorname* { i n f } _ { x \in I } n ( t _ { 0 } , x ) \, e ^ { \varepsilon ( t - t _ { 0 } ) } . } \end{array}
P _ { F } = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { \pi ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \alpha \eta + \beta \eta ^ { \prime } } } & { { \pi ^ { + } } } & { { K ^ { + } } } \\ { { \pi ^ { - } } } & { { - \frac { \pi ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \alpha \eta + \beta \eta ^ { \prime } } } & { { K ^ { 0 } } } \\ { { K ^ { - } } } & { { \overline { { { K ^ { 0 } } } } } } & { { - \sqrt { 2 } \beta \eta + \sqrt { 2 } \alpha \eta ^ { \prime } } } \end{array} \right) ,
\frac { 1 } { \sqrt { - g } } j _ { \phi } ^ { \mu } = f _ { \phi } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \phi + a \exp ( - 2 \frac { \phi } { f _ { \phi } } ) g ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } a - \frac { 1 } { 2 } \exp ( \frac { \phi } { f _ { \phi } } ) F ^ { \mu \nu } A _ { \nu } + \frac { q ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { a } { f _ { a } } \tilde { F } ^ { \mu \nu } A _ { \nu } .
{ \cal L } _ { C C } = \left( \begin{array} { c c c } { { { \bar { u } } \; \; { \bar { c } } \; \; { \bar { t } } } } \end{array} \right) _ { L } J _ { + } V _ { C K M } \left( \begin{array} { c } { { d } } \\ { { s } } \\ { { b } } \end{array} \right) _ { L } + \left( \begin{array} { c c c } { { { \bar { d } } \; \; { \bar { s } } \; \; { \bar { b } } } } \end{array} \right) _ { L } J _ { - } V _ { C K M } ^ { * } \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { c } } \\ { { t } } \end{array} \right) _ { L } ,
\begin{array} { r l r } { \mu _ { n i } } & { = } & { \mu _ { n i } ^ { ( V T D M ) } \cdot \mu _ { n i } ^ { ( R O T , \, \Sigma \rightarrow \Pi , \, \Delta { M } = 0 , \, \Delta { J } = 0 , \pm 1 ) } \; , } \\ { \mu _ { n i } ^ { ( V T D M ) } } & { = } & { \left< \mathrm { A } ^ { 2 } \Pi , J _ { \mathrm { A } } , \Omega _ { \mathrm { A } } \! = \! 1 , \left\{ \nu _ { \mathrm { A } } \mathrm { \; o r \; } \mathcal { E } _ { \mathrm { A } } \right\} \left| \mu _ { \mathrm { A } ^ { 2 } \Pi , \mathrm { X } ^ { 2 } \Sigma ^ { + } } ^ { ( E T D M ) } ( R ) \right| \mathrm { X } ^ { 2 } \Sigma ^ { + } \! , J _ { \mathrm { X } } , \Omega _ { \mathrm { X } } \! = \! 0 , \mathcal { E } _ { \mathrm { X } } \right> \; , } \\ { \mu _ { n i } ^ { ( R O T , \, \Sigma \rightarrow \Pi , \, \Delta { M } = 0 , \, \Delta { J } = 0 , \pm 1 ) } } & { = } & { ( - 1 ) ^ { ( M _ { X } - 1 ) } \cdot \sqrt { ( 2 J _ { X } + 1 ) ( 2 J _ { A } + 1 ) } \cdot \left( \begin{array} { l l l } { J _ { X } } & { 1 } & { J _ { A } } \\ { - M _ { X } } & { 0 } & { M _ { A } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { J _ { X } } & { 1 } & { J _ { A } } \\ { 0 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \; , } \end{array}
d s ^ { 2 } = \exp \left( 2 \phi ( r ) \right) d t ^ { 2 } + { \left( \frac { r - b \left( r \right) } { r } \right) ^ { - 1 } } d r ^ { 2 } + { r ^ { 2 } } d { \theta } ^ { 2 } + { r ^ { 2 } } { \sin } ^ { 2 } { \theta } d { \phi } ^ { 2 }
{ \bf p } = \frac { 1 } { v } \frac { \sin \psi { \bf a } _ { \phi } + \dot { \bf q } } { \sqrt { \chi ^ { 2 } + 2 \sin \psi { \bf a } _ { \phi } \cdot \dot { \bf q } + \dot { \bf q } \cdot \dot { \bf q } } } \, ,
\boldsymbol { u } _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( \boldsymbol { r } , t ) = \boldsymbol { u } _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( \boldsymbol { r } ) ( 1 + \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( \frac { t } { \sqrt { 2 } \tau } ) ) / 2 ,
\begin{array} { r l } { \left( \frac { q ^ { 1 / 4 + \kappa } } { N ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 2 } | \mathcal { X } _ { 3 } | } & { \leq \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 3 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } \ll \left( \frac { N } { \log q } + q ^ { 1 / 2 + \kappa } | \mathcal { X } _ { 3 } | \right) \frac { \log N } { N } . } \end{array}
( e ^ { - 4 \gamma \psi } x ^ { 2 } A N H ^ { \prime } ) ^ { \prime } = A H ( 2 e ^ { - 4 \gamma \psi } K ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } x ^ { 2 } e ^ { - 2 \gamma \psi } ( H ^ { 2 } - 1 ) ) \ ,
\sin { \frac { 7 \pi } { 6 0 } } = \sin 2 1 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 6 } } \left( 2 \left( { \sqrt { 3 } } + 1 \right) { \sqrt { 5 - { \sqrt { 5 } } } } - \left( { \sqrt { 6 } } - { \sqrt { 2 } } \right) \left( 1 + { \sqrt { 5 } } \right) \right)
K \leq { \frac { 1 } { 3 + { \sqrt { 3 } } } } ( a b + a c + a d + b c + b d + c d ) - { \frac { 1 } { 2 ( 1 + { \sqrt { 3 } } ) ^ { 2 } } } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } )
\left[ e ^ { t { \cal L } } Q { \cal L } g \right] ( y ) = \left[ e ^ { t Q { \cal L } } Q { \cal L } g \right] ( y ) + \int _ { 0 } ^ { t } \left[ e ^ { ( t - s ) { \cal L } } P { \cal L } e ^ { s Q { \cal L } } Q { \cal L } g \right] ( y ) d s \; ,
\vec { \chi } ( x ) = \left( \begin{array} { c } { { \vec { \chi } _ { \mathrm { v e c } } ( x ) } } \\ { { \vec { \chi } _ { \mathrm { g r } } ( x ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { A ( x ) \, \vec { n } } } \\ { { B ( x ) \, \vec { p } } } \end{array} \right) \ , \qquad \partial _ { i } \partial _ { i } \vec { \chi } ( x ) = 0 \ ,
\begin{array} { r } { \Omega _ { 1 } = \frac { m _ { 2 } } { I _ { 1 } } \sin \phi t , \qquad \Omega _ { 2 } = \frac { m _ { 2 } } { I _ { 1 } } \cos \phi t , \qquad \Omega _ { 3 } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } . } \end{array}
\phi _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) : = \phi ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \Omega _ { 0 , 0 } \, , \quad \forall \, j , k \in \mathbb { Z } \, ,
g _ { \mathrm { ~ L ~ O ~ } } ( k ) = \frac { \sum _ { i } g _ { \mathrm { ~ L ~ O ~ } } ( \boldsymbol { k } _ { i } , \boldsymbol { p } _ { i } ) \exp ( - \frac { ( k - p _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } { } ) } { \sum _ { i } \exp ( - \frac { ( k - p _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } { } ) }
\Delta _ { \mathrm { h f } } \, E _ { n l s } \, = \, \Delta _ { \mathrm { h f } } ^ { \mathrm { p } } \, E _ { n l s } + \Delta _ { \mathrm { h f } } ^ { \mathrm { i n } } \, E _ { n l s } + \Delta _ { \mathrm { h f } } ^ { \mathrm { e x } } \, E _ { n l s } \; ,
{ \frac { ( m _ { 2 } u _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } } + { \frac { ( m _ { 2 } u _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } } = { \frac { ( m _ { 2 } v _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } } + { \frac { ( m _ { 2 } v _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } } \,
\Delta { \lambda } _ { 1 } = 2 L \left( \left( { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \right) ^ { - 1 } - \left( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 / 2 } \right)
\mathbb { E } \Vert x _ { k } \Vert ^ { p } \leq ( ( 1 + \epsilon ) h ( p ) ) ^ { k } \mathbb { E } \Vert x _ { 0 } \Vert ^ { p } + \frac { 1 - ( ( 1 + \epsilon ) h ( p ) ) ^ { k } } { 1 - ( 1 + \epsilon ) h ( p ) } \frac { ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { p } { p - 1 } } - ( 1 + \epsilon ) } { \left( ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } - 1 \right) ^ { p } } \mathbb { E } \Vert q _ { 1 } \Vert ^ { p } .
\rho ^ { t } = \mathcal { A } ^ { t } ( \rho ^ { 0 } , \mathrm { \mathbf { u } } ) = \mathcal { A } ( \dots \mathcal { A } ( \rho ^ { 0 } , \mathrm { \mathbf { u } } ^ { 0 } ) \dots , \mathrm { \mathbf { u } } ^ { t - 1 } )
\frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \tilde { u } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } \tilde { v } \tilde { u } _ { x } \mathrm { d } x + \alpha \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } \tilde { v } _ { x } \mathrm { d } x + ( \alpha \beta _ { x } - \alpha ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } \mathrm { d } x + \frac { \beta _ { x } } { 2 } \| \tilde { u } \| ^ { 2 } .
= \left[ i \hbar | q ^ { \prime \prime } \rangle \langle q ^ { \prime \prime } | p ^ { \prime } \rangle \right] | _ { q ^ { \prime \prime } = - \infty } ^ { q ^ { \prime \prime } = + \infty } + \int d q ^ { \prime } | q ^ { \prime } \rangle \left[ - i \hbar \frac { \partial } { \partial q ^ { \prime } } \langle q ^ { \prime } | p ^ { \prime } \rangle \right]
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta } } & { { } \equiv } & { \{ \theta , \; { \cal H } _ { \mathrm { g c } } \} _ { \mathrm { g c } } \; = \; \frac { \partial K _ { \mathrm { g c } } } { \partial J } \; + \; { \cal S } ^ { * } \; + \; \dot { \bf X } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, { \bf R } ^ { * } } \end{array}
\mathbb { R } _ { u } ^ { \prime } = k _ { e g } ( R _ { 0 } ^ { \prime } + i \Sigma \textbf { i } _ { k } ^ { \prime } R _ { k } ^ { \prime } ) - ( \textbf { I } _ { 0 } ^ { \prime } r _ { 0 } ^ { \prime } + i \Sigma \textbf { I } _ { k } ^ { \prime } r _ { k } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( t ) ) } & { = \mathcal { J } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( 0 ) ) + \int _ { 0 } ^ { t } \langle \mathcal { A } u _ { \epsilon } ^ { \theta } + \mathcal { F } _ { \epsilon } ^ { \theta } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \left( \eta _ { \epsilon } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) + \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) ) - \eta _ { \epsilon } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) - \langle \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } \right) \nu ( d z ) d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \left( \langle \eta _ { \epsilon } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) + \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) ) - \eta _ { \epsilon } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } \right) \tilde { N } ( d t , d z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \dot { \phi } _ { A } } & { = \nabla [ ( \alpha \! + \! \phi _ { A } ^ { 2 } \! - \! \gamma \nabla ^ { 2 } ) \nabla \phi _ { A } + \! ( \kappa \! - \! \delta ) \nabla \phi _ { B } + \! \sqrt { 2 \epsilon } \Lambda _ { A } ] } \\ { \! \dot { \phi } _ { B } } & { = \nabla [ \beta \nabla \phi _ { B } + ( \kappa \! + \! \delta ) \nabla \phi _ { A } + \sqrt { 2 \epsilon } \Lambda _ { B } ] . } \end{array}
\left\{ Q _ { \alpha } , Q _ { \beta } \right\} = \gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu } P _ { \mu } + \gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } Z _ { \mu \nu } + \gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 5 } } Z _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 5 } } \, .
\| { \tilde { H } } _ { n } y _ { n } - \beta e _ { 1 } \| = \| { \tilde { R } } _ { n } y _ { n } - \beta \Omega _ { n } e _ { 1 } \| = \left\| { \left[ \begin{array} { l } { R _ { n } } \\ { 0 } \end{array} \right] } y _ { n } - { \left[ \begin{array} { l } { g _ { n } } \\ { \gamma _ { n } } \end{array} \right] } \right\| .
\mathbb { P } ( A _ { 1 } \cup A _ { 2 } \cup A _ { 3 } ) = \mathbb { P } ( A _ { 1 } ) + \mathbb { P } ( A _ { 2 } ) + \mathbb { P } ( A _ { 3 } ) - \mathbb { P } ( A _ { 1 } \cap A _ { 2 } ) - \mathbb { P } ( A _ { 1 } \cap A _ { 3 } ) - \mathbb { P } ( A _ { 2 } \cap A _ { 3 } ) + \mathbb { P } ( A _ { 1 } \cap A _ { 2 } \cap A _ { 3 } )
F ( \mathbf { s } ) = - \frac { 1 } { \beta } \log P ( \mathbf { s } ) = - \frac { 1 } { \beta } \log \int \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { R } \ \delta ( \mathbf { s } - \mathbf { s } ( \mathbf { R } ) ) P ( \mathbf { R } )
\left( g _ { a b } \right) = \left( \begin{array} { l l } { { \hat { g } _ { \mu \nu } } } & { { N _ { \mu } } } \\ { { N _ { \nu } } } & { { N _ { \lambda } N ^ { \lambda } + N ^ { 2 } } } \end{array} \right) , \qquad \left( g ^ { a b } \right) = \frac 1 { N ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { { N ^ { 2 } \hat { g } ^ { \mu \nu } + N ^ { \mu } N ^ { \nu } } } & { { - N ^ { \mu } } } \\ { { - N ^ { \nu } } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\Phi _ { 1 , 2 } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c } { { \left( \phi _ { 1 , 2 } ^ { + } \right) ^ { \prime } } } \\ { { \left( \phi _ { 1 , 2 } ^ { 0 } \right) ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { \left( \phi _ { 1 , 2 } ^ { + } \right) ^ { \prime } } } \\ { { \left( \frac { h _ { 1 , 2 } + v _ { 1 , 2 } + i g _ { 1 , 2 } } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { \prime } } } \end{array} \right) \; \; \mathrm { a n d \ \ \ } \langle \Phi _ { 1 , 2 } ^ { \prime } \rangle = v _ { 1 , 2 } ^ { \prime }
S _ { 0 } \left[ z ^ { A } , u ^ { a _ { 0 } } \right] = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \left( a _ { A } \left( z \right) \dot { z } ^ { A } - H _ { 0 } - u ^ { a _ { 0 } } G _ { a _ { 0 } } \right) ,
{ \cal V } _ { \sigma } \left( \eta , \zeta , s \right) = 1 - \frac { 1 } { \eta } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( - \eta \right) ^ { n } \zeta ^ { m } \, \theta \left( s + \sigma - n \sigma - m \right) \, F _ { n m } \left( s + \sigma - n \sigma - m , \sigma \right) \, ,
\mathbf { x } ^ { ( t + 1 ) } = \mathcal { P } ^ { t } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) + \mathcal { R } _ { \lambda } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) = P ^ { t } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } + \mathcal { R } _ { \lambda } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) .
\widehat { R } _ { ( S _ { m _ { i } } , X ) } ^ { \mathrm { v a l } } \left( \widehat { \beta } ^ { S _ { m _ { i } } } ; \beta \right) = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { v a l } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { v a l } } } \left( x _ { \mathrm { v a l } , i } ^ { \top } \, \widehat { \beta } ^ { S _ { m _ { i } } } - x _ { \mathrm { v a l } , i } ^ { \top } \, \beta \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { u _ { 0 } ( t ) } & { = u _ { 0 } ( s ) + ( \partial _ { t } u _ { 0 } ) ( \sqrt { n } ) \cdot ( t - s ) + \int _ { s } ^ { t } \int _ { \sqrt { n } } ^ { \tau } \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { 0 } ( \sigma ) \, d \sigma \, d \tau , } \\ & { = u _ { 0 } ( s ) + ( \partial _ { t } u _ { 0 } ) ( \sqrt { n } ) \cdot ( t - s ) + \int _ { s } ^ { t } \int _ { \sqrt { n } } ^ { \tau } ( \Delta _ { d t ^ { 2 } + d \vartheta ^ { 2 } } u ) _ { 0 } ( \sigma ) \, d \sigma \, d \tau , } \\ { u _ { \kappa \neq 0 } ( t ) } & { = \frac { u _ { \kappa } ( s ) } { \cosh \kappa ( \sqrt { n } - s ) } \cosh \kappa ( t - \sqrt { n } ) + \frac { ( \partial _ { t } u _ { \kappa } ) ( \sqrt { n } ) } { \kappa \cosh \kappa ( \sqrt { n } - s ) } \sinh \kappa ( t - s ) } \\ & { \hphantom { = } - \frac { \cosh \kappa ( t - \sqrt { n } ) } { \kappa \cosh \kappa ( \sqrt { n } - s ) } \int _ { s } ^ { t } ( \Delta _ { d t ^ { 2 } + d \vartheta ^ { 2 } } u ) _ { \kappa } ( \tau ) \sinh \kappa ( \tau - s ) \, d \tau } \\ & { \hphantom { = } - \frac { \sinh \kappa ( t - s ) } { \kappa \cosh \kappa ( \sqrt { n } - s ) } \int _ { t } ^ { \sqrt { n } } ( \Delta _ { d t ^ { 2 } + d \vartheta ^ { 2 } } u ) _ { \kappa } ( \tau ) \cosh \kappa ( \tau - \sqrt { n } ) \, d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( Q ) } & { = \frac { \operatorname { t a n h } K } { K } - \frac { \operatorname { t a n h } Q } { Q } \; , } \\ { G ( Q ) = } & { - 4 \frac { K ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } { \cosh K \cosh Q } + \left( \frac { Q ^ { 4 } } { K ^ { 2 } } + 2 Q ^ { 2 } + 5 K ^ { 2 } \right) } \\ & { - \left( Q ^ { 4 } + 6 K ^ { 2 } Q ^ { 2 } + K ^ { 4 } \right) \frac { \operatorname { t a n h } K } { K } \frac { \operatorname { t a n h } Q } { Q } . } \end{array}
\hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol r ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \boldsymbol d _ { 1 , 2 } ^ { ( i ) } \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ^ { ( i ) } \delta ( \boldsymbol r - \boldsymbol r _ { i } ) .
\left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } ( t ) } \\ { y _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right] = 2 \exp ( - t ) \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { \sin ( t ) } \\ { \cos ( t ) } \end{array} \right] .
\eta = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { { \bf 1 } _ { d } } } & { { 0 } } \\ { { { \bf 1 } _ { d } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \bf 1 } _ { n } } } \end{array} \right)
\left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \ddot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } } \\ { \ddot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } } & { \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } } \\ { \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } } & { \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } } \\ { \mathbf { X } _ { \mathrm { I } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { F } _ { \mathrm { O } } ( t ) } \\ { \mathbf { F } _ { \mathrm { I } } ( t ) } \end{array} \right] \, .
M ( \textbf { p } ) = - i \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } \left\langle \psi _ { \textbf { p } } ( t ) | U ( t , t ^ { \prime } ) H _ { I } ( t ^ { \prime } ) | \psi _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle
{ \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } : = \left( \begin{array} { l } { \chi _ { m , k , { \mathbf { e } } _ { 1 } } ^ { \kappa } } \\ { \chi _ { m , k , { \mathbf { e } } _ { 2 } } ^ { \kappa } } \end{array} \right) ^ { \intercal } , \qquad m \in \ensuremath { \mathbb { N } } .
\begin{array} { r l } { \Delta G } & { { } = G _ { \mathrm { C O } } + 3 G _ { \mathrm { H _ { 2 } } } - G _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } - G _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } , } \\ { \Delta G _ { 0 } } & { { } = G _ { \mathrm { C O , 0 } } + 3 G _ { \mathrm { H _ { 2 } , 0 } } - G _ { \mathrm { C H _ { 4 } , 0 } } - G _ { \mathrm { H _ { 2 } O , 0 } } . } \end{array}
P ( k ; k _ { \operatorname* { m i n } { } , } k _ { \operatorname* { m a x } { } } , \nu ) = \frac { k ^ { - \nu } } { \sum _ { n = k _ { \operatorname* { m i n } { } } } ^ { k _ { \operatorname* { m a x } { } } } n ^ { - \nu } } ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { t } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { i } \bar { \nu } _ { j } } } & { { } \mapsto } & { \Psi _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t } ) } , } \\ { \tilde { t } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { j } \bar { \nu } _ { i } } } & { { } \mapsto } & { \Psi _ { i j } ^ { ( \mathrm { e x } ) } , } \\ { \tilde { t } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { i } \bar { \nu } _ { i } } } & { { } \mapsto } & { \Psi _ { i j } ^ { ( \mathrm { c t 1 } ) } , } \\ { \tilde { t } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { j } \bar { \nu } _ { j } } } & { { } \mapsto } & { \Psi _ { i j } ^ { ( \mathrm { c t 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i } ^ { ( 0 , 0 ) } } & { = P _ { 0 } \times \prod _ { l = 1 } ^ { i } \frac { \alpha _ { l } ^ { ( 0 ) } ( x _ { l } , \xi _ { l - 1 } ) } { | \partial _ { x \eta } ^ { 2 } \psi _ { l } ( x _ { l } , \xi _ { l - 1 } ) | ^ { 1 / 2 } } } \\ & { = P _ { 0 } \times \prod _ { l = 0 } ^ { i - 1 } \left[ \left( \chi _ { q _ { l } } \prod _ { j = 0 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \alpha \circ F ^ { j } \right) ( F ^ { l n _ { 0 } } ( \rho ) ) \right] } \end{array}