harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { H } _ { j _ { 1 } , 0 } \otimes \mathcal { H } _ { j _ { 2 } , 0 } \otimes \mathcal { H } _ { 0 , \bar { j } } \epsilon \overset { 1 \otimes M } { \cong } \mathcal { H } _ { j _ { 1 } , 0 } \otimes ( \mathcal { H } _ { j _ { 2 } , \bar { j } } \epsilon \oplus \mathcal { H } _ { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } } \epsilon \oplus \dots \oplus \mathcal { H } _ { 0 , \bar { j } - j _ { 2 } } \epsilon ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } ( t ) = } & { { } \mathcal { L } [ \hat { H } _ { \mathrm { m w } } ^ { \mathrm { e f f } } + \hat { H } _ { B } ( t ) ] + \mathcal { R } [ \hat { H } _ { \mathrm { m w } } ^ { \mathrm { e f f } } + \hat { H } _ { B } ( t ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = \imath _ { \xi } e ^ { I } \wedge \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } + \mathrm { d } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , } & & { \ \overline { { \mathfrak { j } } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = \imath _ { \overline { { \xi } } } \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } + \jmath ^ { * } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } . } \end{array}
\frac { \ddot { a } } { a } = \frac { - 4 \pi G } { 3 } \left( 5 P \left( 1 - 2 \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) + \rho \left( 1 - 4 \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) \right) + \frac { \pi } { 3 j _ { m a x } \hbar G }
\Pi _ { a b \mathrm { m a t } } ^ { \mu \nu } = - { \frac { i M ^ { 2 } } { 2 } } \delta _ { a b } \int { \frac { \mathrm { d } \Omega _ { \vec { v } _ { F } } } { 4 \pi } } \left( { \frac { - 2 \vec { p } \cdot \vec { v } _ { F } V ^ { \mu } V ^ { \nu } } { p \cdot V + i \epsilon \vec { p } \cdot \vec { v } _ { F } } } + g ^ { \mu \nu } - { \frac { V ^ { \mu } { \bar { V } } ^ { \nu } + { \bar { V } } ^ { \mu } V ^ { \nu } } { 2 } } \right)
\omega _ { \; b \mu } ^ { a } ( x ) \longrightarrow \omega _ { \; b \mu } ^ { \prime a } ( x ) = \Lambda _ { c } ^ { a } ( x ) \Lambda _ { b } ^ { d } ( x ) \omega _ { \; d \mu } ^ { c } ( x ) + \Lambda _ { c } ^ { a } ( x ) \partial _ { \mu } \Lambda _ { b } ^ { c } ( x ) .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \frac { 1 } { n } C _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \varepsilon } ( A ^ { n } { \, : \, } C ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } \right] = C ( A { \, : \, } C ) _ { \rho } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \frac { 1 } { n } \widetilde { C } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \varepsilon } ( A ^ { n } { \, : \, } C ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } \right] = C ( A { \, : \, } C ) _ { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \Psi _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } | \mathcal { O } _ { \nu } | \Psi _ { \alpha E } ^ { \Gamma ( - ) } \rangle = } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \Sigma _ { \aleph } } C _ { S _ { A } \Sigma _ { A } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } } ^ { S _ { a } \Sigma _ { \aleph } } C _ { S _ { a } \Sigma _ { \aleph } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { S \Sigma } \sum _ { L _ { \aleph } } \frac { 1 } { \Pi _ { L _ { \aleph } } } \langle \Psi _ { \aleph E _ { 1 } } ^ { - } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| \Phi _ { a _ { \alpha } } \rangle \, \delta _ { \ell _ { 2 } \ell _ { \alpha } } \delta ( E - E _ { a } - E _ { 2 } ) \sum _ { M _ { \aleph } M _ { a } } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { L _ { \aleph } M _ { \aleph } } C _ { L _ { a } M _ { a } , \ell _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { L M } C _ { L _ { a } M _ { a } , 1 \nu } ^ { L _ { \aleph } M _ { \aleph } } - } \\ { - } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \Sigma _ { \beth } } C _ { S _ { A } \Sigma _ { A } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { S _ { a } \Sigma _ { \beth } } C _ { S _ { a } \Sigma _ { \beth } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } } ^ { S \Sigma } \sum _ { L _ { \beth } } \frac { 1 } { \Pi _ { L _ { \beth } } } \langle \Psi _ { \beth E _ { 2 } } ^ { - } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| \Phi _ { a _ { \alpha } } \rangle \, \delta _ { \ell _ { 1 } \ell _ { \alpha } } \delta ( E - E _ { a } - E _ { 1 } ) \sum _ { M _ { \beth } M _ { a } } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { L _ { \beth } M _ { \beth } } C _ { L _ { a } M _ { a } , \ell _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { L M } C _ { L _ { a } M _ { a } , 1 \nu } ^ { L _ { \beth } M _ { \beth } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( t ) } & { { } = \underbrace { 2 \int _ { 0 } ^ { t } { R ( t - a ) \beta ( a ) S ( a ) \, \mathrm { ~ d ~ } a } } _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ e ~ a ~ t ~ e ~ d ~ a ~ f ~ t ~ e ~ r ~ } t = 0 \mathrm { ~ } } + 2 \underbrace { \int _ { t } ^ { \infty } { { { n } _ { 0 } } ( a - t ) \beta ( a ) \tilde { S } ( { a , t } ) \, \mathrm { ~ d ~ } a } } _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ i ~ n ~ o ~ c ~ u ~ l ~ u ~ m ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| y _ { t + 1 } - y ^ { * } \| ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \| y _ { t } - \gamma \nabla _ { y } g ( y _ { t } , \xi ) - y ^ { * } \| ^ { 2 } = \| y _ { t } - y ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \gamma \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) , y _ { t } - y ^ { * } \rangle + \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( y _ { t } , \xi ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \bigg ( 1 - \mu \gamma \bigg ) \| y _ { t } - y ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \gamma \bigg ( \gamma - \frac { L \gamma ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \gamma } { 2 } \bigg ) \| \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) \| ^ { 2 } + \left( L \gamma ^ { 3 } + \gamma ^ { 2 } \right) \sigma ^ { 2 } } \end{array}
A _ { n , \nu } = - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 1 5 } \left( \frac { 8 n ^ { 5 } \hbar \omega ^ { 3 } \mu _ { \nu } } { e ^ { 2 } F _ { T H z } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } ,
{ \cal L } ( \phi ) = { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } \qquad \lambda > 0
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L o s s _ { f } } { \partial W _ { c } ^ { [ j ] } } } & { = \frac { \partial L o s s _ { f } } { \partial f } \cdot \frac { \partial f } { \partial ( c _ { 1 } ) } \cdot \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial W _ { c } ^ { [ j ] } } , } \\ & { = \frac { \partial L o s s _ { f } } { \partial f } \cdot \mathcal { N } [ \tilde { u } ] \cdot \frac { \partial X _ { c } ^ { [ D ^ { c } ] } } { \partial R _ { c } ^ { [ N _ { B } ^ { c } ] } } \cdot \frac { \partial R _ { c } ^ { [ N _ { B } ^ { c } ] } } { \partial W _ { c } ^ { [ j ] } } , } \\ & { = \frac { \partial L o s s _ { f } } { \partial f } \cdot \mathcal { N } [ \tilde { u } ] \cdot W _ { c } ^ { [ D ^ { c } - 1 ] } \cdot \frac { \partial R _ { c } ^ { [ N _ { B } ^ { c } ] } } { \partial X _ { c } ^ { [ j + 1 ] } } \cdot \frac { \partial X _ { c } ^ { [ j + 1 ] } } { \partial W _ { c } ^ { [ j ] } } , } \\ & { = \frac { \partial L o s s _ { f } } { \partial f } \cdot \frac { \partial X _ { c } ^ { [ j + 1 ] } } { \partial W _ { c } ^ { [ j ] } } \cdot \mathcal { N } [ \tilde { u } ] \cdot W _ { c } ^ { [ D ^ { c } - 1 ] } \cdot \prod _ { k = j + 1 } ^ { ( i + 1 ) N _ { h } ^ { c } } \frac { \partial X _ { c } ^ { [ k + 1 ] } } { \partial X _ { c } ^ { [ k ] } } \cdot \prod _ { k = i + 1 } ^ { N _ { B } ^ { c } - 1 } \left[ \mathcal { K } ^ { c } + \frac { 1 } { \partial R _ { c } ^ { [ k ] } } \left( \mathcal { L } _ { k } ( R _ { c } ^ { [ k ] } ) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ^ { \prime } \circ \widehat { \mathsf { A } } \| _ { \mathcal { F } \nu ( \Omega ) } } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in \omega } | T ^ { \mathbb { K } } ( e ^ { \prime } \circ \widehat { \mathsf { A } } ) ( x ) | \nu ( x ) = \operatorname* { s u p } _ { x \in \omega } | ( e ^ { \prime } \circ \widehat { \mathsf { A } } ) ( T _ { x } ^ { \mathbb { K } } ( \cdot ) \nu ( x ) ) | } \\ & { \leq C _ { 0 } \operatorname* { s u p } _ { x \in \omega } \| \widehat { \mathsf { A } } ( T _ { x } ^ { \mathbb { K } } ( \cdot ) \nu ( x ) ) \| _ { E } < \infty } \end{array}
\begin{array} { r } { \big ( \tau _ { i j } ( x ) \big ) _ { : , n } = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { : , i } } & { \mathrm { i f } ~ n = j , } \\ { x _ { : , j } } & { \mathrm { i f } ~ n = i , } \\ { x _ { : , n } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
c = \frac { 3 } { ( k + \check { g } ) } \{ k D + \frac { k } { 4 ( \check { g } - \check { s } ) ^ { 2 } } \Omega _ { a b } ^ { c d } \Omega _ { c d } ^ { a b } + \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { a b } ^ { b a } \}
\frac { e \hat { B } \sp { e x t } } { 2 } ( \epsilon _ { i j } X _ { i } \dot { X } _ { j } \, - \, 2 e \theta \hat { A } _ { 0 } \sp { C S } ) + \, e \hat { E } _ { i } \sp { e x t } ( X _ { i } \, + \, e \theta \, \epsilon _ { i j } \hat { A } _ { j } \sp { C S } ) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { d } _ { 0 } ^ { ( 2 , 0 ) [ 1 ] } } & { = - 2 } \\ { \tilde { d } _ { h } ^ { ( 2 , 0 ) [ 0 ] } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 3 - 2 \gamma _ { E } + \frac { 1 } { 4 } \log ( 3 ) } & { \qquad h = 0 } \\ { \Gamma ( h ) \Big ( \left( \frac 2 3 h + \frac { 1 1 } { 9 } \right) ( - 1 ) ^ { h } + 1 - \frac 2 9 \frac { 1 } { 2 ^ { h } } \Big ) } & { \qquad h > 0 \, . } \end{array} \right. } \end{array}
E ( 2 \omega , z = \ell ) = - { \frac { i \omega d _ { \mathrm { e f f } } } { n _ { 2 \omega } c } } E ^ { 2 } ( \omega ) \int _ { 0 } ^ { \ell } e ^ { i \, \Delta k \, z } \, d z = - { \frac { i \omega d _ { \mathrm { e f f } } } { n _ { 2 \omega } c } } E ^ { 2 } ( \omega ) \ell \, { \frac { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } \, \Delta k \, \ell \right) } { { \frac { 1 } { 2 } } \, \Delta k \, \ell } } e ^ { { \frac { i } { 2 } } \, \Delta k \, \ell }
{ \cal A } = { \frac { { \cal F } _ { \mathrm { i n } } ( 0 ) } { { \cal F } _ { \mathrm { i n } } ( \infty ) } } \simeq 4 \pi u _ { 0 } ^ { 2 } q \left\vert { \frac { A } { \alpha } } \right\vert ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { T _ { t } = } & { { } \frac { 2 m _ { i } ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } M _ { t } ^ { 2 } } \cdot \frac { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } \cdot \nabla \xi - \mathbf { u } _ { N } \cdot \nabla \xi _ { N } = \mathbf { u } \cdot \nabla Q _ { N } \xi + Q _ { N } \mathbf { u } \cdot \nabla \Pi _ { N } \xi + \Pi _ { N } \mathbf { u } \cdot \nabla \zeta _ { N } + \mathbf { v } _ { N } \cdot \nabla \Pi _ { N } \xi - \mathbf { v } _ { N } \cdot \nabla \zeta _ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X ( g ^ { 1 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { \frac { 3 } { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \pi \frac { \pi / 4 } { 2 \pi } \right) - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \pi \frac { 3 \pi / 4 } { 2 \pi } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s _ { i + 1 } ^ { a ^ { \prime \prime } } } ^ { 2 } } & { = \sum _ { s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } } p ( s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } ) \Big ( H [ p ( s _ { i + 1 } ^ { a ^ { \prime \prime } } | s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } ) ] - } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad H [ p ( s _ { i + 1 } ^ { a ^ { \prime \prime } } | s _ { i } ^ { a ^ { \prime } } ) ] \Big ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } } \left( \rho \varphi _ { t } + \rho V \varphi _ { x } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } t + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } S _ { \mathrm { o n } } \varphi \mathrm { d } x \mathrm { d } t } \\ { - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega _ { \mathrm { o f f } } } S _ { \mathrm { o f f } } \varphi \mathrm { d } x \mathrm { d } t + \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { 0 } ( x ) \varphi ( 0 , x ) \mathrm { d } x = 0 , } \end{array}
\dot { \rho } ^ { 2 } = - \frac { 1 } { g _ { \rho \rho } } \frac { E ^ { 2 } g _ { \varphi \varphi } + L ^ { 2 } g _ { t t } } { g _ { t t } g _ { \varphi \varphi } } - \frac { \delta } { g _ { \rho \rho } } \, .
{ \frac { ( 1 - z ^ { 5 } ) ( 1 - z ^ { 1 0 } ) ( 1 - z ^ { 1 5 } ) \cdots } { \left\{ ( 1 - z ) ( 1 - z ^ { 2 } ) ( 1 - z ^ { 3 } ) \cdots \right\} ^ { 5 } } } \equiv 1 { \pmod { 5 } } .
\begin{array} { r l } & { X _ { 1 } = \bigcup _ { i = 1 } ^ { m / 2 - m / p ^ { 3 } } V ( C _ { i } ) , \ W = \left( \bigcup _ { i = m / 2 - m / p ^ { 3 } + 1 } ^ { m / 2 + m / p ^ { 3 } } V ( C _ { i } ) \right) \cup \bigcup _ { i = 1 } ^ { m } V ( P _ { i } ) , \ X _ { 2 } = \bigcup _ { i = m / 2 + m / p ^ { 3 } + 1 } ^ { m } V ( C _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert z ^ { ( k + 1 ) } - z ^ { * } \rvert } & { = \lvert ( M _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } ) ^ { - 1 } \rvert ( \lvert N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert + 2 \phi _ { 2 } G ) \lvert z ^ { ( k ) } - z ^ { * } \rvert } \\ & { \leq ( \langle M _ { \phi _ { 1 } } \rangle + \lvert \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \phi _ { 2 } ) ^ { - 1 } ( \lvert N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert + 2 \phi _ { 2 } G ) \lvert z ^ { ( k ) } - z ^ { * } \rvert } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \Vert \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ H ] - \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r i c } } [ H ] \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } } & { \leq C \varphi ( T ) \underset { 0 \leq s , t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \Vert G ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { p } } \Vert H \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } , } \end{array}
\eta \iint _ { Q _ { T } } { \bigl ( \frac { v _ { x } } { v } \bigr ) _ { x } v ( v ^ { 3 } v _ { x x x } ) _ { x } \, d x d t } \leqslant - \frac { \eta } { 4 } \iint _ { Q _ { T } } { v ^ { 3 } v _ { x x x } ^ { 2 } \, d x d t } + C \, \eta \, \varepsilon ^ { - 1 0 } .
\begin{array} { r } { \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 1 } ^ { k l } } { m _ { k } } } \le \sqrt { a _ { k } \, \left( 1 + e ^ { - 2 \nu _ { k e } t } \right) + b _ { k } ^ { s } \, e ^ { - 2 \nu _ { k e } t } } \le \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 2 } ^ { k l } } { m _ { k } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x , y _ { i } \| _ { N _ { i } ^ { k + 1 } } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { \tau ^ { k + 1 } } \| x \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sigma _ { i } ^ { k + 1 } } \| y _ { i } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 1 - \eta ^ { k } } \left( \frac { 1 } { \tau ^ { k } } \| x \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sigma _ { i } ^ { k } } \| y _ { i } \| ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \eta ^ { k } } \| x , y _ { i } \| _ { N _ { i } ^ { k } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { a } _ { i } ( \varphi , x , \xi ) } & { = \sum _ { j _ { k _ { 1 } } , \ldots , j _ { k _ { i } } \in S } C _ { j _ { k _ { 1 } } , \ldots , j _ { k _ { i } } } ( \xi ) \sqrt { j _ { k _ { 1 } } \zeta _ { k _ { 1 } } } \cdots \sqrt { j _ { k _ { i } } \zeta _ { k _ { i } } } e ^ { \mathrm { i } ( ( \mathtt { l } ( j _ { k _ { 1 } } ) + \cdots + \mathtt { l } ( j _ { k _ { i } } ) ) \cdot \left( \varphi + \omega \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi ) \right) + \mathrm { i } j _ { k } x ) } , } \\ { \mathfrak { q } _ { 1 } ( \varphi , x , \xi ) } & { = \mathfrak { q } ( \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi ) , x , \xi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta \overline { { \beta } } \equiv - 3 \pmod { 8 } } & { \iff \mathrm { E x a c t l y ~ o n e ~ o f } \: \: d _ { 0 } + d _ { 2 } , d _ { 4 } + d _ { 6 } , d _ { 1 } + d _ { 3 } , d _ { 5 } + d _ { 7 } \: \: \mathrm { i s ~ e v e n } } \\ & { \iff d = ( d _ { 0 } + d _ { 2 } ) ( d _ { 4 } + d _ { 6 } ) + ( d _ { 1 } + d _ { 3 } ) ( d _ { 5 } + d _ { 7 } ) \equiv 1 \pmod { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) } & { \leq \widehat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) + 2 \gamma L ^ { \frac { \hat { d } + 2 } { \hat { d } + 1 } } \{ ( C _ { w } + C _ { k } ) C _ { \sigma } \} ^ { L } \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } + \left( \rho \{ ( C _ { w } + C _ { k } ) C _ { \sigma } \} ^ { L } ( C _ { w } + C _ { k } ) C _ { a } + R _ { u } \right) \sqrt { \frac { 2 \delta } { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| G _ { \infty } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { \infty } ( \psi _ { 2 } ) \right| } & { \leq C \left| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | \right| , } \\ { \left| G _ { q } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { q } ( \psi _ { 2 } ) \right| } & { \leq C \left( 1 + | \psi _ { 1 } | ^ { 2 \beta } + | \psi _ { 2 } | ^ { 2 \beta } \right) \left| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | \right| , } \end{array}
\tilde { \cal E } _ { q } [ \phi ( x ) ] \sim \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { \tilde { E } _ { j } } | \tilde { E } _ { j } | - \sum _ { \tilde { E } _ { j } ^ { 0 } } | \tilde { E } _ { j } ^ { 0 } | \right) + \tilde { \cal E } _ { c t } [ \phi ( x ) ]
\begin{array} { r l } { \Psi ( x _ { A } , } & { { } x _ { B } ) \equiv \langle x _ { A } , x _ { B } \vert \Psi \rangle \propto e ^ { - \frac { e ^ { 2 r _ { A } } x _ { A } ^ { 2 } + e ^ { 2 r _ { B } } x _ { B } ^ { 2 } } { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { A } _ { i } ( \textbf { x } , t ) } & { { } = A _ { i } ( \textbf { x } , t ) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k , j } B _ { k j } ( \textbf { x } , t ) \frac { \partial } { \partial x _ { k } } B _ { i j } ( \textbf { x } , t ) , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \left\{ e ^ { 2 A ( y ) } \right\} = e ^ { - \frac { 4 \xi ^ { 2 } } { 3 } | y | } \left\{ 1 - \frac { \xi ^ { 2 } } { 3 a } ( 1 - 4 \ln 2 ) + \cdots \right\}
\begin{array} { r l } { \mathrm { H G _ { n , n } } } & { \overset { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , \theta } { \Longrightarrow } \mathrm { H G _ { n , n } } + x _ { 0 } \left( \sqrt { n + 1 } \mathrm { H G _ { n + 1 , n } } - \sqrt { n } \mathrm { H G _ { n - 1 , n } } \right) } \\ & { + y _ { 0 } \left( \sqrt { n + 1 } \mathrm { H G _ { n , n + 1 } } - \sqrt { n } \mathrm { H G _ { n , n - 1 } } \right) } \\ & { + \theta \sqrt { n ( n + 1 ) } \left( \mathrm { H G _ { n - 1 , n + 1 } } - \mathrm { H G _ { n + 1 , n - 1 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega \cap s u p p ( \phi ) } \phi ^ { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } + 2 ( \phi \nabla u ) \cdot ( u \nabla \phi ) \mathrm { d } x = \int _ { \Omega \cap s u p p ( \phi ) } ( - \Delta u ) ( \phi ^ { 2 } u ) \mathrm { d } x } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad = \int _ { \Omega \cap s u p p ( \phi ) } f ( x , u ( x ) ) \phi ^ { 2 } ( x ) u ( x ) \mathrm { d } x , } \end{array}
{ \frac { X _ { 1 } ^ { 2 } } { X _ { 3 } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { s } } \; , \quad { \frac { X _ { 2 } ^ { 2 } } { X _ { 3 } ^ { 2 } } } = { \frac { t } { s } } \; , \quad { \frac { 2 X _ { 1 } \cdot X _ { 3 } } { X _ { 3 } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 + s - t } { s } } \; , \quad { \frac { 2 X _ { 2 } \cdot X _ { 3 } } { X _ { 3 } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 - s - t } { s } } \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } | h _ { \varepsilon } ( U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ) | } & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big | ( \widetilde a _ { + } ^ { \varepsilon } - U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) ( U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + a _ { - } ^ { \varepsilon } ) \Big | } \\ & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big | ( \widetilde a _ { + } ^ { \varepsilon } - U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) ( U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + a _ { - } ^ { \varepsilon } ) \Big | \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ) } \\ & { \leq C \varepsilon \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big | \widetilde a _ { + } ^ { \varepsilon } - U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } \Big | \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ) } \\ & { \leq C \varepsilon ^ { 2 } \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big | 1 - 2 \varepsilon \beta ( y ) - B ^ { \varepsilon } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big | \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ) } \\ & { \leq C \varepsilon ^ { 2 } \mathbf { E } _ { 0 , y } | r ( \varepsilon , Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y ) | \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ) } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 4 - \delta } . } \end{array}
| \prod _ { i = 1 } ^ { n + { \boldsymbol { \kappa } } } \Gamma ( \langle \mathsf { D } _ { i } , \sigma \rangle + \alpha _ { i } ) e ^ { \langle \theta , \sigma \rangle } | < c o n s t \cdot \prod _ { i \notin I _ { k } } \left( | \langle \mathsf { D } _ { i } , \Im ( \sigma ) \rangle | + 1 \right) ^ { \langle \mathsf { D } _ { i } , \Re ( \sigma ) \rangle + \alpha _ { i } } \exp \left( - 2 \pi \langle B , \Im ( \sigma ) \rangle - \pi / 2 \sum _ { i \notin I _ { k } } \langle \mathsf { D } _ { i } , \Im ( \sigma ) \rangle \right) ,
\begin{array} { r } { \left[ \frac { d ^ { 2 } \tilde { P } ( \alpha ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } | _ { \alpha = 0 } \right] _ { ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \to ( s _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t } ^ { \prime } , a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d ^ { 2 } \pi _ { 2 } ^ { \alpha } ( a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } | s _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t } ^ { \prime } ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } | _ { \alpha = 0 } P ( s _ { t } ^ { \prime } | s _ { t } , a _ { t } ) , \ \mathrm { i f ~ } \eta _ { t } ^ { \prime } = \eta _ { t + 1 } } \\ { 0 , \ \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { s } = \frac { \Gamma _ { 0 } \cos \theta ( \cos ( \gamma ( 1 - y _ { 3 } ) ) \cosh ( \gamma y _ { 3 } ) - \cos ( \gamma y _ { 3 } ) \cosh ( \gamma ( 1 - y _ { 3 } ) ) ) } { \gamma ( \sin ( \gamma ) + \sinh ( \gamma ) ) } , } \\ & { v _ { s } = \frac { 2 \gamma \cot ( \theta ) } { \mathrm { P e } _ { s } } \frac { \sin ( \gamma y _ { 3 } ) \sinh ( \gamma ( 1 - y _ { 3 } ) ) - \sin ( \gamma ( 1 - y _ { 3 } ) ) \sinh ( \gamma y _ { 3 } ) } { \sin ( \gamma ) + \sinh ( \gamma ) } , } \end{array}
\lambda \rho _ { \Omega } c _ { \Omega } ( T _ { f } - T _ { \infty } ) \boldsymbol { \hat { n } \cdot } \frac { \partial \boldsymbol { x } } { \partial t } = \kappa _ { \Omega } \boldsymbol { \hat { n } \cdot \nabla } T _ { \Omega } - \kappa _ { R } \boldsymbol { \hat { n } \cdot \nabla } T _ { R } + \overline { { C } } ( t ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { A } & { \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( G , G ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , G ) - \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B ) - \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B ) } \\ & { \quad - \overline { { R } } _ { 1 } ( B , G ) - \overline { { R } } _ { 2 } ( B , G ) + \overline { { R } } _ { 1 } ( B , B ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , B ) } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } { B } & { \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B ) + \overline { { R } } _ { 1 } ( B , G ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , G ) } \\ & { \quad - 2 \overline { { R } } _ { 1 } ( B , B ) - 2 \overline { { R } } _ { 2 } ( B , B ) - 2 } \end{array} } \\ { C \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( B , B ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , B ) . } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \dot { A } } & { = \varepsilon ( - \sigma \xi ^ { 2 } + \beta \zeta + \beta \sigma ) = \varepsilon ( - \sigma \xi _ { 0 } ^ { 2 } + \beta \zeta _ { 0 } + \beta \sigma ) + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) } \\ { B \dot { B } } & { = - \varepsilon ( \eta ^ { 2 } + \beta \zeta ^ { 2 } + \beta \sigma \zeta ) = - \varepsilon ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } + \beta \zeta _ { 0 } ^ { 2 } + \beta \sigma \zeta _ { 0 } ) + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } \end{array}