harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ( t ; x ) } & { = x _ { 1 } + \int _ { 0 } ^ { t } ( - A _ { 2 } ( s ; x ) - \nu A _ { 1 } ( s ; x ) ) \mathrm { d } s + L ( t ) , } \\ { A _ { n } ( t ; x ) } & { = x _ { n } + \int _ { 0 } ^ { t } ( { A _ { n - 1 } ( s ; x ) } - A _ { n + 1 } ( s ; x ) - \nu A _ { n } ( s ; x ) ) \mathrm { d } s , \quad n \geqslant 2 , \, t \geqslant 0 , } \end{array}
V _ { \mathrm { a v g } } ^ { \epsilon } = \int _ { - \epsilon } ^ { \epsilon } d x \, V ( x ) | \psi | ^ { 2 } = | c | ^ { 2 } \int _ { - \epsilon } ^ { \epsilon } d x \, x ^ { 2 } V ( x ) \simeq { \frac { 2 } { 3 } } \epsilon ^ { 3 } | c | ^ { 2 } V ( 0 ) + \cdots ,
\nu _ { a , b } = \frac { q _ { a } q _ { b } n _ { b } \log \Lambda \left( 1 + m _ { a } / m _ { b } \right) } { 3 \pi ^ { 3 / 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { a } ^ { 2 } \left( v _ { a } ^ { 2 } + v _ { b } ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 \, , } \\ { \frac { \partial U _ { i } } { \partial t } + U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { = - \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } + \frac { 1 } { R e _ { \delta _ { 0 } ^ { * } } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + F _ { i } \, , } \\ { \frac { \partial \theta _ { i } } { \partial t } + U _ { j } \frac { \partial \theta _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { = \frac { 1 } { R e _ { \delta _ { 0 } ^ { * } } P r } \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + F _ { \theta _ { i } } \, , } \end{array}
\boldsymbol { a } _ { \mathit { \Pi } _ { \overline { { I } } } } = \boldsymbol { a } _ { \mathcal { T } _ { \overline { { I } } } } = \frac { 1 } { 2 } \delta \boldsymbol { a } _ { p } = \frac { 1 } { 2 } \delta \boldsymbol { a } _ { c _ { I } } ,
\int d ^ { 3 } p \sum _ { \lambda } \left[ U _ { \vec { p } , \lambda } ( t , \vec { x } ) U _ { \vec { p } , \lambda } ^ { + } ( t , \vec { x } ^ { \, \prime } ) + V _ { \vec { p } , \lambda } ( t , \vec { x } ) V _ { \vec { p } , \lambda } ^ { + } ( t , \vec { x } ^ { \, \prime } ) \right] = e ^ { - 3 \omega t } \delta ^ { 3 } ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \, \prime } ) \, .
A ( \mathbf { k } , E ) = \sum _ { m } \left| \, \left\langle { \begin{array} { l } { ( N - 1 ) \mathrm { { \mathrm { - } } e i g e n s t a t e } } \\ { m } \end{array} } \, \, | \, \, { \begin{array} { l } { ( N ) \mathrm { { \mathrm { - } } e i g e n s t a t e } } \\ { \mathrm { w i t h \, } \mathbf { k } \mathrm { \, r e m o v e d } } \end{array} } \right\rangle \, \right| ^ { 2 } \, \delta ( E - E _ { m } ^ { N - 1 } + E ^ { N } )
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { 0 \leq a _ { 1 } ^ { 1 } \gamma _ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } - 1 \leq 2 \operatorname* { d e t } { ( A ) } - 2 , } \\ { 0 \leq a _ { 2 } ^ { 1 } \gamma _ { 1 } + a _ { 2 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } + a _ { 2 } ^ { 1 } + a _ { 2 } ^ { 2 } - 2 a _ { 2 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - 1 \leq 2 \operatorname* { d e t } { ( A ) } - 2 . } \end{array} } \end{array}
{ \cal D } n _ { L } = \eta \Gamma _ { H } [ n _ { H } - n _ { H } ^ { e q } ] - \left( \frac { n _ { L } } { n _ { \gamma } } \right) n _ { H } ^ { e q } \Gamma _ { H } - 2 n _ { \gamma } n _ { L } \langle \sigma _ { L } | v | \rangle ,
\int _ { a } ^ { b } h ( x ) e ^ { M g ( x ) } \, d x \approx { \sqrt { \frac { 2 \pi } { M | g ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) | } } } h ( x _ { 0 } ) e ^ { M g ( x _ { 0 } ) } \ { \mathrm { ~ a s ~ } } M \to \infty
q ( n ) = \frac { 1 } { 4 } \bigg ( 2 p ( n ) ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { N S } ^ { ( 2 ) } ( n ) } { \beta _ { 0 } } + \gamma _ { N S } ^ { ( 0 ) } ( n ) \frac { ( \beta _ { 1 } ^ { 2 } - \beta _ { 2 } \beta _ { 0 } ) } { \beta _ { 0 } ^ { 3 } } - \gamma _ { N S } ^ { ( 1 ) } ( n ) \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \bigg )
\begin{array} { r } { \frac { \partial q \left( t , z \right) } { \partial z } = \mathrm { j } \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } q \left( t , z \right) } { \partial t ^ { 2 } } - \mathrm { j } \gamma \left\vert q \left( t , z \right) \right\vert ^ { 2 } q \left( t , z \right) + n \left( t , z \right) } \end{array}
g _ { S } S ( \mu _ { L } \mu ^ { c } ~ + \mu ^ { c \dagger } \mu _ { L } ^ { \dagger } ) , ~ ~ ~ ~ g _ { V } V _ { \nu } ( \mu _ { L } ^ { \dagger } \bar { \sigma } ^ { \nu } \mu _ { L } + \mu ^ { c \dagger } \bar { \sigma } ^ { \nu } \mu ^ { c } ) ~ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \delta \vec { v } } { d t } } & { = } & { \frac { 1 } { \rho } \Big \{ - \nabla \Big [ P _ { \mathit { t h } } + \frac { \delta B ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } \Big ( 1 - \frac { v _ { \mathit { t h } } ^ { 2 } } { 2 v _ { A } ^ { 2 } } ( 1 - 2 \cos ^ { 2 } \theta ) \Big ) + \frac { \vec { B } \cdot \delta \vec { B } } { \mu _ { 0 } } \Big ( 1 - \frac { v _ { \mathit { t h } } ^ { 2 } } { 4 v _ { A } ^ { 2 } } \Big ) + \rho T C _ { v } \Big ( \frac { \delta T } { T } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 \kappa _ { T } } \Big ( \frac { \delta \rho } { \rho } \Big ) ^ { 2 } \Big ] + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } ( \vec { B } + \delta \vec { B } ) \cdot \nabla \delta \vec { B } \Big \} + \nu \nabla ^ { 2 } \delta \vec { v } + { \textstyle \frac { 2 } { 3 } } \nu \nabla \nabla \cdot \delta \vec { v } } \end{array}
| d \rangle = \left( \begin{array} { l } { d _ { 1 } } \\ { d _ { 2 } } \end{array} \right) = e ^ { i \frac { \psi } { 2 } } \sqrt { \frac { \gamma } { 2 ( 1 + \rho ) } } \left( \begin{array} { l } { \pm \tau - i ( 1 + \rho ) } \\ { \pm \tau - i ( 1 + \rho ) } \end{array} \right) ,
i \slash D = i \gamma ^ { \alpha } D _ { \alpha } = i { e ^ { m } } _ { \alpha } \gamma ^ { \alpha } \left( \partial _ { m } + { \frac { 1 } { 4 } } \omega _ { m , \alpha \beta } \gamma ^ { \alpha \beta } + i A _ { m } ^ { i } t _ { i } \right) ,
( \frac { \partial } { \partial t } + { D _ { x } } { k _ { x } ^ { 2 } } + { D _ { y } } { k _ { y } ^ { 2 } } + { D _ { z } } { k _ { z } ^ { 2 } } ) \Phi _ { k } = \frac { { I _ { s k } } } { c } ,
( n + 1 ) ^ { 2 } + ( n - 1 ) ^ { 2 } + ( n - 3 ) ^ { 2 } + \ldots + \{ 4 \ \mathrm { o r } \ 1 \} = \frac { 1 } { 6 } ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) \ .
\begin{array} { r l } { \int _ { U } \varphi ^ { * } \omega } & { = \int _ { U } ( f \circ \varphi ) \operatorname* { d e t } D \varphi \: d y ^ { 1 } \dots d y ^ { m } } \\ & { = \int _ { U } ( f \circ \varphi ) \vert \operatorname* { d e t } D \varphi \vert \: d y ^ { 1 } \cdots d y ^ { m } } \\ & { = \int _ { V } f \: d x ^ { 1 } \cdots d x ^ { m } } \\ & { = \int _ { V } \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] \mu ( x , v ) = \mathcal { L } _ { R } ^ { * } \Big ( \mu ( x , v ) \Big ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , R ( x ) v ) - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , v ) + \langle v , ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) v \rangle \Big ) \Big ) } \\ & { \quad = \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \Bigg ( \int \Big ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , R ( x ) y ) - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , y ) + \langle y , ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) y \rangle \Big ) \nu ( d y ) } \\ & { \qquad - \Big ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , R ( x ) v ) - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , v ) + \langle v , ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) v \rangle \Big ) \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { v } _ { l } ^ { ( t + 1 ) } = \sigma ( ( W _ { l } + K _ { l , l } ) \check { v } _ { l } ^ { ( t + 1 ) } + K _ { l , l - 1 } \hat { v } _ { l - 1 } ^ { ( t + 1 ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \Delta _ { i } ] _ { a b } = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \dag ; \quad ( a , b = 1 , . . , B \nu _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \tau } \Psi _ { 3 } ( \tau ) = \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( \tau ) , \quad \frac { d } { d \tau } \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } = - \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) , \quad \Psi _ { 3 } ( 0 ) = \Psi _ { 3 } ( 0 ) ^ { - 1 } = I . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D } & { { } = ( \partial _ { x _ { 1 } } u _ { 1 } ^ { + } ( 0 ) , \partial _ { x _ { 2 } } u _ { 1 } ^ { + } ( 0 ) , \partial _ { x _ { 1 } } u _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) , \partial _ { x _ { 2 } } u _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) , . . . } \end{array}
K _ { \parallel } = ( K _ { \parallel } ) _ { 0 } \beta \Bigg ( \frac { B _ { u } } { B _ { m } } \Bigg ) \Bigg ( \frac { P } { P _ { u } } \Bigg ) ^ { c _ { 1 } } \left[ \frac { \Bigg ( \frac { P } { P _ { u } } \Bigg ) ^ { c _ { 3 } } + \Bigg ( \frac { P _ { k } } { P _ { u } } \Bigg ) ^ { c _ { 3 } } } { 1 + \Bigg ( \frac { P _ { k } } { P _ { u } } \Bigg ) ^ { c _ { 3 } } } \right] ^ { \frac { c _ { 2 \parallel } - c _ { 1 } } { c _ { 3 } } }
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { m } = ( \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { S } + \mu _ { S } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { S } ^ { T } \Delta \mathbf { d } \mathbf { U } ( \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { U } + \mu _ { U } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } , } \end{array}
( l + 1 ) N \gamma _ { c } w ^ { c } f ^ { a _ { 1 } . . . a _ { l } } = \sum _ { i = 1 } ^ { l } w ^ { a _ { i } } \left[ ( \gamma _ { c } w ^ { c } - N ) \gamma _ { b } f ^ { a _ { 1 } . . . { \not a _ { i } } . . . a _ { l } b } \right] + d \left[ \left( \frac { l } { l + 2 } \gamma _ { c } w ^ { c } + \frac { 2 } { l + 2 } N \right) \gamma _ { b } j ^ { a _ { 1 } . . . a _ { l } b } \right] ,
\widetilde { \Phi } ^ { ( 1 ) } = \zeta _ { i } \Phi _ { r _ { i } } ^ { ( 1 ) } \in \widetilde { G } _ { r _ { i } } ^ { ( 1 ) } = \widetilde { \cal U } _ { r _ { i } } ^ { ( 1 ) } \otimes { \cal H } _ { r _ { i } } ^ { ( 1 ) } .
\begin{array} { r } { y _ { i } ^ { \delta } = \left\{ \begin{array} { r l } { y _ { i } ^ { \dag } , } & { \quad \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } 1 - p , } \\ { ( 1 - \xi ) y _ { i } ^ { \dag } , } & { \quad \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } p / 2 , } \\ { 1 . 4 \xi + ( 1 - \xi ) y _ { i } ^ { \dag } , } & { \quad \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } p / 2 , } \end{array} \right. } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { t \rightarrow \infty } B _ { n } ( f _ { n , t } ) \cdots B _ { 1 } ( f _ { 1 , t } ) \, \Omega \doteq \big ( \psi _ { n } \times \cdots \times \psi _ { 1 } \big ) ^ { \mathrm { o u t } } \,
\begin{array} { r l r } { \gamma ^ { r } } & { = } & { \frac { 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } { \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } \\ { A ^ { r } } & { = } & { \frac { 1 } { \nu \frac { \Delta t } { 2 } } - \frac { e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } { 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } } \\ { \textrm { a n d } \quad B ^ { r } } & { = } & { \frac { 1 } { 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } - \frac { 1 } { \nu \frac { \Delta t } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { i r r } } & { { } = \frac { 1 } { n } \sum \left( y _ { t } - \hat { y } _ { t } \right) ^ { 2 } } \\ { L _ { e n c } } & { { } = \frac { 1 } { n } \sum \left( z _ { t } - \hat { z } _ { t } \right) ^ { 2 } } \end{array}
v _ { x ; R } ^ { f } ( x _ { 0 } ; t ) = t _ { R } / ( 2 M _ { p } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } F _ { f } ( t - n t _ { R } ) + t _ { R } / ( 4 M _ { p } ) \sum _ { s = 2 } ^ { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } F _ { f } ( t - n t _ { R } - t _ { s } ) d t ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 3 e l , C } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } } \\ & { \times } & { { \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } ^ { \prime } \frac { \langle P a P b _ { 1 } | I ( \Delta _ { P a Q a } ) | Q a n _ { 1 } \rangle \langle n _ { 1 } | U | n _ { 2 } \rangle \langle n _ { 2 } P b _ { 2 } | I ( \Delta _ { P b _ { 2 } Q b _ { 2 } } ) | Q b _ { 1 } Q b _ { 2 } \rangle } { ( \varepsilon _ { P a } + \varepsilon _ { P b _ { 1 } } - \varepsilon _ { Q a } - \varepsilon _ { n _ { 1 } } ) ( \varepsilon _ { Q b _ { 1 } } + \varepsilon _ { Q b _ { 2 } } - \varepsilon _ { P b _ { 2 } } - \varepsilon _ { n _ { 2 } } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { N } _ { i } ^ { n } = } & { \sum _ { m > n , j , l } R _ { i j , l } ^ { n \rightarrow m } ( N _ { j } ^ { m } - N _ { i } ^ { n } ) + \sum _ { m < n , j , l } R _ { j i , l } ^ { m \rightarrow n } ( N _ { j } ^ { m } - N _ { i } ^ { n } ) } \\ & { + \sum _ { m > n } \Gamma _ { j i } ^ { m \rightarrow n } N _ { j } ^ { m } - \sum _ { m < n } \Gamma ^ { n \rightarrow m } N _ { i } ^ { n } , } \end{array}
[ \mathbf { H } ] _ { q , p } = \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { \mathrm { R } } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { \mathrm { S } } } \eta _ { \mathrm { R } , q } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ] _ { q , \beta } [ \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } ] _ { \beta , \alpha } [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ] _ { p , \alpha } ^ { * } \eta _ { \mathrm { S } , p } ,
\widetilde { \Phi } _ { i } : = \left[ ( \Phi _ { i } ) _ { , d + 1 } , \mathrm { ~ } . . . \mathrm { ~ } , \mathrm ( \Phi _ { i } ) _ { , r _ { i } } \right] , \quad \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } ^ { T } : = \left[ ( \boldsymbol { a } _ { i } ) _ { d + 1 } , \mathrm { ~ } . . . \mathrm { ~ } , \mathrm { ~ } ( \boldsymbol { a } _ { i } ) _ { r _ { i } } \right] .
\delta M _ { 2 e } ^ { 2 } = N _ { H } ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { - 5 } { \delta ( e _ { q } ^ { 2 } ) } \int d ^ { 3 } { \hat { q } } { j ( { \hat { q } } ) } ^ { 2 } F ( { \hat { q } } )
\begin{array} { r l r } { \partial _ { 0 } \Lambda } & { = } & { \partial _ { 0 } \left( 1 + i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } A _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) \right. } \\ & { - } & { \left. \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } A _ { 0 } ( t _ { 1 } ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } A _ { 0 } ( t _ { 2 } ) + \dots \right) } \\ & { = } & { A _ { 0 } ( t ) - A _ { 0 } ( t ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } A _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) + \dots } \end{array}
\pi ^ { \mu } ( \phi ) = p ^ { \mu } - \frac { e } { c } A ^ { \mu } ( \phi ) + k _ { L } ^ { \mu } \left( \frac { e p _ { \nu } A ^ { \nu } } { \omega _ { L } p _ { - } } - \frac { e ^ { 2 } A _ { \nu } A ^ { \nu } } { 2 c \omega _ { L } p _ { - } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { u } , \boldsymbol { \rho } } } & { \quad \mathbf { f } ^ { \intercal } \mathbf { u } } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad \mathbf { K } ( \boldsymbol { \rho } ) \mathbf { u } = \mathbf { f } } \\ & { \quad \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \frac { \rho _ { i } } { n _ { \rho } } = V _ { T } } \\ & { \quad \mathbf { u } \in \mathbb { R } ^ { n _ { u } } , \boldsymbol { \rho } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { \rho } } } \end{array}
\mathrm { c a y } ( \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ) = \left( \mathbf { I } - \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } \right) ^ { - 1 } \left( \mathbf { I } + \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } \right) .
R _ { 1 } ^ { \prime \prime } \Theta _ { 1 } + \frac { 1 } { r } R _ { 1 } ^ { \prime } \Theta _ { 1 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } R _ { 1 } \Theta _ { 1 } ^ { \prime \prime } + \omega ^ { 2 } R _ { 1 } \Theta _ { 1 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \underset { x \in \mathbb { R } ^ { n } } { \mathrm { m i n } } } & { \quad \left\{ c ^ { \top } x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { \top } Q x + \sum _ { i = 1 } ^ { l } \operatorname* { m a x } _ { r \in \{ 1 , \ldots , R \} } \{ \left( C _ { r } x + d _ { r } \right) _ { i } \} + \| D x \| _ { 1 } + \delta _ { \mathcal { K } } ( x ) \right\} , } \\ { \textnormal { s . t . } } & { \quad \ A x = b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \sin ( u + v ) - \sin ( u ) - \sin ( u + 2 v ) } & { = 2 ( \sin u \cos v + \cos u \sin v ) - \sin u } \\ & { \quad - ( \sin u \cos 2 v + \cos u \sin 2 v ) } \\ & { = 2 \sin u \cos v + 2 \cos u \sin v - \sin u } \\ & { \quad - \sin u ( 2 \cos ^ { 2 } v - 1 ) - \cos u ( 2 \sin v \cos v ) } \\ & { = 2 \sin u \cos v + 2 \cos u \sin v - \sin u } \\ & { \quad - 2 \sin u \cos ^ { 2 } v + \sin u - 2 \sin v \cos ^ { 2 } v } \\ & { = 2 \sin u \cos v ( 1 - \cos v ) + 2 \cos u \sin v ( 1 - \cos v ) } \\ & { = 2 ( \sin u \cos v + \cos u \sin v ) ( 1 - \cos v ) } \\ & { = 2 \sin ( u + v ) ( 1 - \cos v ) } \\ & { = 2 \sin ( \alpha x + \alpha ) ( 1 - \cos \alpha ) } \\ & { = 2 \sin \left( \pi \cdot \frac { x + 1 } { 2 ^ { \ell } } \right) \left( 1 - \cos \frac { \pi } { 2 ^ { \ell } } \right) } \end{array}
h _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { \prime } = \textsc { D e n s e } \left( \left[ h ^ { \prime } , x ^ { \prime } \right] \right) = \textsc { D e n s e } \left( \left[ h , x \right] \right) = h _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } .
\begin{array} { r l } { \nu \frac { \partial \omega } { \partial y } - \omega u _ { y } + \frac { \partial P } { \partial x } = f _ { x } \quad } & { \textup { i n } \quad \Omega } \\ { - \nu \frac { \partial \omega } { \partial x } + \omega u _ { x } + \frac { \partial P } { \partial y } = f _ { y } \quad } & { \textup { i n } \quad \Omega } \\ { \nabla \cdot \textbf { u } = 0 \quad } & { \textup { i n } \quad \Omega } \\ { \omega - ( \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } ) = 0 \quad } & { \textup { i n } \quad \Omega } \\ { \textbf { u } = \textbf { g } \quad } & { \textup { o n } \quad \partial \Omega . } \end{array}
{ X } _ { k } { ( t ) } = \underbrace { { X } _ { k } { ( t - 1 ) } } _ { \mathrm { p r e v i o u s \; v a l u e } } + \underbrace { \frac { a } { t } } _ { \mathrm { a c c i d e n t a l \; i n c o m e } } + \underbrace { p \, \frac { { X } _ { k } { ( t - 1 ) } + \frac { a } { t } } { ( t - 1 ) m + a } } _ { \mathrm { p r e f e r e n t i a l \; g a i n \; o r \; l o s s } } ,
\begin{array} { r l } & { c _ { I , n _ { 1 } , n _ { 2 } } } \\ & { = \langle T ( h _ { I \dotplus n _ { 1 } } ^ { 0 } , h _ { I \dotplus n _ { 2 } } ^ { 0 } ) , h _ { I , Z } \rangle \Big [ \langle f _ { 1 } , h _ { I \dotplus n _ { 1 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I \dotplus n _ { 2 } } ^ { 0 } \rangle - \langle f _ { 1 } , h _ { I ^ { 1 } \times ( I ^ { 2 , 3 } \dotplus n _ { 1 } ^ { 2 , 3 } ) } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I ^ { 1 } \times ( I ^ { 2 , 3 } \dotplus n _ { 2 } ^ { 2 , 3 } ) } ^ { 0 } \rangle } \\ & { - \langle f _ { 1 } , h _ { ( I ^ { 1 } \dotplus n _ { 1 } ^ { 1 } ) \times I ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { ( I ^ { 1 } \dotplus n _ { 2 } ^ { 1 } ) \times I ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle + \langle f _ { 1 } , h _ { I } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I } ^ { 0 } \rangle \Big ] \langle f _ { 3 } , h _ { I , Z } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp \Big ( \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { k _ { 2 l } } { 2 l } \gamma ^ { l } z ^ { l } \Big ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { c _ { k } } { ( q \gamma ) _ { k } ( \gamma ) _ { k } } ( - M ) ^ { k } z ^ { k } } \\ { \Longrightarrow } & { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } k _ { 2 l } \gamma ^ { l - 1 } z ^ { l } = - \frac { 1 } { d } z \frac { d } { d z } \ln \Big ( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { c _ { k } } { ( q \gamma ) _ { k } ( \gamma ) _ { k } } ( - M ) ^ { k } z ^ { k } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( \mu , l , K , \sigma _ { 1 } ; x ) } & { { } = \frac { f _ { 1 } \left( \sinh ^ { - 1 } \sqrt { \frac x K } \right) + f _ { 1 } \left( - \sinh ^ { - 1 } \sqrt { \frac x K } \right) } { 2 \sqrt { x ( x + K ) } } } \end{array}
\delta _ { L } \xi _ { \mu } = ( \delta _ { L } g _ { \mu \nu } ) \xi ^ { \nu } + g _ { \mu \nu } \delta _ { L } \xi ^ { \nu } = ( \nabla _ { \mu } \xi _ { \nu } + \nabla _ { \nu } \xi _ { \mu } ) \xi ^ { \nu } = ( \nabla _ { \mu } \xi _ { \nu } ) \xi ^ { \nu } = - { \cal J } _ { \mu } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { t 0 } } = \frac { \partial x _ { i } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \xi } \left\| \frac { \partial x _ { j } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \xi } \right\| ^ { - 1 } } & { = \left( \mathrm { c o s h } ( \xi ) \mathrm { s i n } ( \theta ) \mathrm { c o s } ( \phi ) e _ { i } ^ { \mathrm { x } } \right. } \\ & { + \mathrm { c o s h } ( \xi ) \mathrm { s i n } ( \theta ) \mathrm { s i n } ( \phi ) e _ { i } ^ { \mathrm { y } } } \\ & { \left. + \mathrm { s i n h } ( \xi ) \mathrm { c o s } ( \theta ) e _ { i } ^ { \mathrm { z } } \right) \left( \mathrm { s i n h } ^ { 2 } ( \xi ) + \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( \theta ) \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \langle \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } - \pi _ { 3 } \rangle \circ \langle \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } , 0 \rangle = 1 _ { A \times A } } & { } & { \langle \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } - \pi _ { 3 } \rangle \circ \langle \pi _ { 1 } , 0 , \pi _ { 2 } \rangle = \langle \pi _ { 1 } , - \pi _ { 2 } \rangle } & { } & { \langle \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } - \pi _ { 3 } \rangle \circ \langle \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } , \pi _ { 2 } \rangle = \langle \pi _ { 1 } , 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \cos { ( u _ { t } x _ { t } ) } = \frac { 1 } { 2 } [ \exp { ( i u _ { t } x _ { t } ) } + \exp { ( - i u _ { t } x _ { t } ) } ] , \ t \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \\ { \sin { ( u _ { t } x _ { t } ) } = \frac { 1 } { 2 i } [ \exp { ( i u _ { t } x _ { t } ) } - \exp { ( - i u _ { t } x _ { t } ) } ] , \ t \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \end{array}
W _ { ( 0 ) } ^ { 0 } = \int \mathrm { \small { ~ \frac ~ 1 2 ~ } } [ \sqrt { g } g ^ { \alpha \beta } N _ { \mu \nu } ( X ) + \varepsilon ^ { \alpha \beta } F _ { \mu \nu } ( X ) ] \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \cdot \partial _ { \beta } X ^ { \nu } .
F _ { 0 } = \frac { 1 } { \pi } \sqrt { ( \mathrm { R e } \varepsilon ) ^ { 2 } + ( \mathrm { I m } \varepsilon ) ^ { 2 } } , \qquad F _ { \pi } = \frac { 1 } { \pi } \sqrt { ( | \mathrm { R e } \varepsilon | - \pi ) ^ { 2 } + ( \mathrm { I m } \varepsilon ) ^ { 2 } } ,
\eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } = - c \eta _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } , \qquad \qquad \varphi _ { t } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } = - c \varphi _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } .
J _ { 1 } ^ { \mathrm { \textit { ( i v ) } } } = \frac { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ( x _ { 3 } + x _ { 4 } ) } { ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) } , \quad J _ { 2 } ^ { \mathrm { \textit { ( i v ) } } } = - \frac { ( x _ { 1 } + x _ { 4 } ) ( x _ { 2 } + x _ { 3 } ) } { ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 4 } ) } , \quad J _ { 3 } ^ { \mathrm { \textit { ( i v ) } } } = \frac { ( x _ { 1 } + x _ { 3 } ) ( x _ { 2 } + x _ { 4 } ) } { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) } .
< \! { { T } _ { a } } ^ { b } ( \gamma ) \! > _ { \mathrm { ( F T ) } } = { \frac { \pi ^ { 2 } N ^ { 2 } } { 6 { { \beta } } ^ { 4 } } } \left[ 4 u _ { a } u ^ { b } + { { \delta } _ { a } } ^ { b } \right] \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( Z _ { n } ) } & { \leq c + n \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \int _ { c } ^ { \infty } \frac { 1 } { x } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) \, d x } \\ & { \leq c + \frac { n } { c } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \int _ { c } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , - w } ( - ) - \delta _ { l , - w } ( - ) = } & { \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } D _ { ( - ) } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } - \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } ^ { 2 } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } } } \\ { = } & { \rho _ { ( - ) } \overline { { k _ { ( - ) } } } \sigma _ { D , ( - ) } \sigma _ { I D , ( - ) } \, } \end{array}
\Delta X _ { + } ^ { 2 } ( \varphi ) = \langle ( \hat { X } _ { e } + \hat { X } _ { o } \cos ( \varphi ) + \hat { P } _ { o } \sin ( \varphi ) ) ^ { 2 } \rangle / 2 = V _ { 1 1 } + V _ { 3 3 } + 2 V _ { 1 3 } \cos ( \theta - \varphi ) .