harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { { 2 a ^ { 2 } \Omega _ { z } } / { ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) } } & { - { 2 a ^ { 2 } \Omega _ { y } } / { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } } \\ { - { 2 b ^ { 2 } \Omega _ { z } } / { ( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) } } & { 0 } & { { 2 b ^ { 2 } \Omega _ { x } } / { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } } \\ { { 2 c ^ { 2 } \Omega _ { y } } / { ( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) } } & { - { 2 c ^ { 2 } \Omega _ { x } } / { ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) } } & { 0 } \end{array} \right) \boldsymbol { \omega } _ { k } = \mathrm { i } \lambda _ { k } \boldsymbol { \omega } _ { k }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( L ( U ) = 0 \mathrm { ~ i n ~ t h e ~ d i s t r i b . ~ s e n s e } ) = 1 } & { \iff \mathbb { P } ( L ( V ) = 0 \mathrm { ~ i n ~ t h e ~ d i s t r i b . ~ s e n s e } ) = 1 } \\ & { \iff \forall x \in \mathcal { D } , L ( k _ { x } ) = 0 \mathrm { ~ i n ~ t h e ~ d i s t r i b . ~ s e n s e } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta ( 0 , 0 ) \int } & { \chi _ { F _ { \delta } ^ { \prime } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) \chi _ { G _ { \delta } ^ { \prime \prime } } ( \gamma _ { t } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) ) d x _ { 0 } d x _ { 1 } d t } \\ & { \approx \int \chi _ { F _ { \delta } ^ { \prime } } ( x ) \chi _ { G _ { \delta } ^ { \prime \prime } } ( \gamma _ { t } ( x ) ) \eta ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) d x d t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \log L ( { _ k \ddot { \theta } } ; Y _ { 0 : n } ) = \log L ( { _ k \hat { \theta } } ; Y _ { 0 : n } ) } \\ & { \quad + \frac { n } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p } \sum _ { j = 1 } ^ { p } ( { _ k \ddot { \theta } _ { i } } - { _ k \hat { \theta } _ { i } } ) ( { _ k \ddot { \theta } _ { j } } - { _ k \hat { \theta } _ { j } } ) \frac { 1 } { n } \frac { \partial ^ { 2 } \log L ( { _ k \theta } ; Y _ { 0 : n } ) } { \partial { _ k \theta _ { i } } \partial { _ k \theta _ { j } } } { \Big | } _ { { _ k \theta } = { _ k \hat { \theta } } + \beta ( { _ k \ddot { \theta } } - { _ k \hat { \theta } } ) } } \end{array}
b _ { 3 } = - 3 + 2 ( N _ { g } - 3 ) ~ , \; \; \; b _ { 2 } = 1 + 2 ( N _ { g } - 3 ) ~ , \; \; \; b _ { 1 } = 1 1 + \frac { 1 0 } { 3 } ( N _ { g } - 3 ) ~ .
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = \operatorname { a d j } ( \varphi I _ { n } - A ^ { \operatorname { t r } } ) \cdot \left( ( \varphi I _ { n } - A ^ { \operatorname { t r } } ) \cdot E \right) } \\ & { = \left( \operatorname { a d j } ( \varphi I _ { n } - A ^ { \operatorname { t r } } ) \cdot ( \varphi I _ { n } - A ^ { \operatorname { t r } } ) \right) \cdot E } \\ & { = \left( \operatorname* { d e t } ( \varphi I _ { n } - A ^ { \operatorname { t r } } ) I _ { n } \right) \cdot E } \\ & { = ( p ( \varphi ) I _ { n } ) \cdot E ; } \end{array} }
\mathbf { m } = [ \, \sigma _ { z } \ \ n \ \ \underbrace { \mu _ { a } \ \ \sigma _ { a } } _ { \mathrm { a r e a } } \ \ \underbrace { \mu _ { \ell } \ \ \sigma _ { \ell } } _ { \mathrm { l e n g t h } } \ \ \underbrace { \mu _ { r } \ \ \sigma _ { r } } _ { \mathrm { a s p e c t ~ r a t i o } } \ \ \underbrace { \mu _ { \alpha } \ \ \sigma _ { \alpha } } _ { \mathrm { t i l t } } \ ] \ \in \ \mathcal { M } .
\begin{array} { r l } { \zeta _ { 0 } ( u , y ; s , v ) } & { : = - \{ a ^ { \prime } \} _ { \bar { t } + 0 } ^ { \bar { t } - 0 } ( \bar { t } - S ( u + s v ) ) \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { S ( u + s v ) , y } ^ { 3 } } , } \\ { \zeta _ { 1 } ( u , y ; s , v ) } & { : = \{ a ^ { \prime } \} _ { \bar { t } + 0 } ^ { \bar { t } - 0 } ( \bar { t } - S ( u + s v ) ) \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { S ( u + s v ) , y } ^ { 2 } } , } \\ { \zeta ( u , y ; s , v ) } & { : = \zeta _ { 0 } ( u , y ; s , v ) + \zeta _ { 1 } ( u , y ; s , v ) = \{ a ^ { \prime } \} _ { \bar { t } + 0 } ^ { \bar { t } - 0 } ( \bar { t } - S ( u + s v ) ) \left[ \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { S ( u + s v ) , y } ^ { 2 } } - \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { S ( u + s v ) , y } ^ { 3 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { C ( F D E ) } } [ \rho _ { \mathrm { e n v } } ] ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) } & { { } = \frac { \delta E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { C } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) } & { \leq } & { \| \kappa \| _ { 0 , \infty } \| \boldsymbol { v } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } ( \| \boldsymbol { v } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } + \| \nabla \varphi + \boldsymbol { z } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } ) } \\ & { \leq } & { \| \kappa \| _ { 0 , \infty } \| \boldsymbol { v } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } ( \| \boldsymbol { v } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } + \| \nabla \varphi \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } + \| \boldsymbol { z } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } ) } \\ & { \leq } & { \| \kappa \| _ { 0 , \infty } \| \boldsymbol { v } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } \| \boldsymbol { v } \| _ { c u r l , \mathcal { T } _ { h } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } , \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { n _ { j } } + \tau _ { 2 } ) = 0 , } \\ { C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( \tau _ { 1 } - \prod _ { i = 1 } ^ { a } p _ { i } ^ { m _ { i } } , \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { n _ { j } } + \tau _ { 2 } ) = 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \textbf { v } ^ { * } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \textbf { v } _ { i } + \textbf { v } _ { j } ) - ( U ^ { * } - \frac { 1 } { 2 } ( U _ { L } + U _ { R } ) ) \cdot \textbf { e } _ { i j } } \\ { U ^ { * } } & { = \frac { ( \rho _ { L } c _ { L } U _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } U _ { R } + P _ { L } - P _ { R } ) } { \rho _ { L } c _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } } } \\ { P ^ { * } } & { = \frac { \left( \rho _ { L } c _ { L } P _ { R } + \rho _ { R } c _ { R } P _ { L } + \rho _ { L } c _ { L } \rho _ { R } c _ { R } \left( U _ { L } - U _ { R } \right) \beta \right) } { \rho _ { L } c _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } } , } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { z _ { + } = \gamma _ { f } ~ ~ ~ ~ ~ ~ \qquad \mathrm { i f } \quad p _ { i } ( \gamma _ { f } ) = p _ { c } , } \\ { z _ { + } = \gamma _ { f } + \ell _ { 2 } / 2 \quad \mathrm { i f } \quad p _ { i } ( \gamma _ { f } + \ell _ { 2 } / 2 ) \geq p _ { c } . } \end{array} \right.
\nabla _ { \mu } \nabla ^ { \mu } T + \nabla _ { \mu } T \nabla ^ { \mu } \Phi - \frac { e ^ { - 2 \Phi } \left( \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } T - \nabla _ { \mu } \Phi \nabla _ { \nu } T \right) \nabla ^ { \mu } T \nabla ^ { \nu } T } { 1 + e ^ { - 2 \Phi } \nabla _ { \alpha } T \nabla ^ { \alpha } T } - \frac { e ^ { 2 \Phi } } { V } \frac { d V } { d T } = 0 ,
\sigma ^ { \prime } ( \leftarrow ) _ { i } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { \cdots } & { i + 1 } & { \cdots } & { n } & { i } \\ { \tau ( 1 ) ( \leftarrow ) _ { j } } & { \tau ( 2 ) ( \leftarrow ) _ { j } } & { \cdots } & { \tau ( i + 1 ) ( \leftarrow ) _ { j } } & { \cdots } & { \tau ( n ) ( \leftarrow ) _ { j } } & { n } \end{array} \right) }
{ \bf { \hat { g } } } = \frac { 1 } { ( N - 1 ) ^ { 2 } } \Bigg [ ( 2 - N ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \frac { d { \hat { u } } _ { i } } { { \hat { u } } _ { i } } \Big ) ^ { 2 } + \sum _ { r \neq s } \frac { d { \hat { u } } _ { r } } { { \hat { u } } _ { r } } \, \frac { d { \hat { u } } _ { s } } { { \hat { u } } _ { s } } \Bigg ]
Q _ { \epsilon } [ \eta _ { 3 } ] \, \ge \, Q _ { 0 } [ \eta _ { 3 } ] - C \epsilon ^ { \gamma _ { 1 } } \bigl ( \| \nabla \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } + \| \rho \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } + \| \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } \bigr ) \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { D } } \int _ { \mathcal { D } } | L ^ { * } \varphi ( x ) } & { L ^ { * } \varphi ( x ^ { \prime } ) | \mathbb { E } [ | U ( x ) U ( x ^ { \prime } ) | ] d x d x ^ { \prime } } \\ & { \leq \int _ { \mathcal { D } } \int _ { \mathcal { D } } | L ^ { * } \varphi ( x ) L ^ { * } \varphi ( x ^ { \prime } ) | \sigma ( x ) \sigma ( x ^ { \prime } ) d x d x ^ { \prime } } \\ & { \leq \Bigg ( \int _ { \mathcal { D } } | L ^ { * } \varphi ( x ) | \sigma ( x ) d x \Bigg ) ^ { 2 } < + \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { { } = \frac { r } { y } \left( \! 1 \! - \! \frac { 2 ^ { \mathcal T } } { \pi } E \left( \frac { \pi } { 2 ^ { \mathcal T } } \Big | \frac { y ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \! \right) \! - \! \left( \! 1 \! - \! \frac { 2 ^ { \mathcal T } } { \pi } \sin \! \frac { \pi } { 2 ^ { \mathcal T } } \! \right) . } \end{array}
{ } _ { j } { \bar { P } } _ { L } ^ { l } ( \theta ) = { \sqrt { { \frac { 2 L + j - 1 } { 2 } } { \frac { ( L + l + j - 2 ) ! } { ( L - l ) ! } } } } \sin ^ { \frac { 2 - j } { 2 } } ( \theta ) P _ { L + { \frac { j - 2 } { 2 } } } ^ { - ( l + { \frac { j - 2 } { 2 } } ) } ( \cos \theta ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { A d } _ { \mathbf { C } } } & { = \mathbf { d e x p } _ { - \hat { \mathbf { X } } } ^ { - 1 } \mathbf { d e x p } _ { \hat { \mathbf { X } } } } \\ & { = \mathbf { d e x p } _ { \hat { \mathbf { X } } } \mathbf { d e x p } _ { - \hat { \mathbf { X } } } ^ { - 1 } } \\ & { = \mathbf { I } + \mathbf { a d } _ { \hat { \mathbf { X } } } \mathbf { d e x p } _ { \hat { \mathbf { X } } } } \\ & { = \mathbf { I } + \mathbf { d e x p } _ { \hat { \mathbf { X } } } \mathbf { a d } _ { \hat { \mathbf { X } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \Delta _ { t } ] = \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } \Big \lVert \theta _ { t , k } ^ { ( i ) } } & { - \bar { \theta } _ { t } \Big \rVert ^ { 2 } \le 2 7 ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K G ^ { 2 } ) \frac { \alpha ^ { 2 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S t \left( \frac { d U _ { p } ^ { * } } { d t ^ { * } } - \frac { d \phi ^ { * } } { d t ^ { * } } U _ { q } ^ { * } \right) } & { = - \frac { 4 } { \pi } F _ { p } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { p } ^ { * } - \phi ^ { * } , } \\ { S t \left( \frac { d U _ { q } ^ { * } } { d t ^ { * } } + \epsilon ^ { 2 } \Omega _ { r } ^ { * } U _ { p } ^ { * } \right) } & { = - \frac { 4 } { \pi } F _ { q } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { q } ^ { * } - 1 , } \\ { S t J _ { q } ^ { * } \frac { d ^ { 2 } \phi ^ { * } } { d t ^ { * 2 } } } & { = - \frac { 4 } { \pi } \left( T _ { i } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) U _ { p } ^ { * } U _ { q } ^ { * } + T _ { \Omega } ^ { * } ( R e _ { \Omega } ^ { * } , \chi ) \frac { d \phi ^ { * } } { d t ^ { * } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \delta _ { x } ) _ { \mathrm { r m s } } = } & { \biggl \{ \frac { \Bar { \beta } } { \beta _ { \mathrm { m a x } } } \left( n \left[ \frac { 2 \pi } { N _ { d } } \left( \frac { \Delta B } { B } \right) _ { \mathrm { r m s } } \right] ^ { 2 } + 2 ( \Delta q _ { x } ) _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } K _ { q } ^ { 2 } L _ { q } ^ { 2 } \right) + } \\ & { \frac { 1 + 2 \cos ^ { 2 } ( \mu ) } { 2 ( L _ { \mathrm { c e l l } } / 2 ) ^ { 2 } \left[ 1 + \sin ( \mu / 2 ) \right] ^ { 2 } } ( \Delta \sigma _ { x } ) _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } \biggr \} ^ { 1 / 2 } } \\ { ( \delta _ { y } ) _ { \mathrm { r m s } } = } & { \biggl \{ \frac { \Bar { \beta } } { \beta _ { \mathrm { m a x } } } \left( n \left[ \frac { L _ { d } } { \rho } \left( \Delta \theta \right) _ { \mathrm { r m s } } \right] ^ { 2 } + 2 ( \Delta q _ { y } ) _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } K _ { q } ^ { 2 } L _ { q } ^ { 2 } \right) + } \\ & { \frac { 1 + 2 \cos ^ { 2 } ( \mu ) } { 2 ( L _ { \mathrm { c e l l } } / 2 ) ^ { 2 } \left[ 1 + \sin ( \mu / 2 ) \right] ^ { 2 } } ( \Delta \sigma _ { \mathrm { y } } ) _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } \biggr \} ^ { 1 / 2 } } \end{array}
E _ { n } ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } \Gamma ( n ) \left( \Gamma \left( { \frac { 1 } { n } } \right) - \Gamma \left( { \frac { 1 } { n } } , x ^ { n } \right) \right) , \quad \quad x > 0 .
\begin{array} { c c l } { { \left( t _ { 5 1 } ^ { ( 9 ) } \right) _ { B i C j } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { \theta } \left( \sigma _ { 1 } \delta _ { 1 B } \delta _ { 1 C } \delta _ { i j } + \sigma _ { 2 } \delta _ { 2 B } \delta _ { 2 C } \delta _ { i j } + \sigma _ { 3 } \delta _ { 3 B } \delta _ { 3 C } \delta _ { i j } + \sigma _ { 4 } \delta _ { 4 B } \delta _ { 4 C } \delta _ { i j } \right) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { \theta } \left( \displaystyle \sum _ { A = 1 } ^ { 4 } \sigma _ { A } \delta _ { A B } \delta _ { A C } \delta _ { i j } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ d _ { 1 } , \Delta _ { 1 } \} } & { = - \frac 1 2 d _ { 1 } ^ { c } ( 1 ) , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{ d _ { 1 } ^ { c } , \Delta _ { 1 } \} = \frac 1 2 d _ { 1 } ( 1 ) , } \\ { \{ d _ { 1 } ^ { * } , \Delta _ { 1 } \} } & { = - \frac 1 2 ( d _ { 1 } ^ { c } ) ^ { * } ( 1 ) , \ \ \{ ( d _ { 1 } ^ { c } ) ^ { * } , \Delta _ { 1 } \} = \frac 1 2 ( d _ { 1 } ) ^ { * } ( 1 ) . } \end{array}
D _ { g } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 k _ { 1 } } \int _ { - k _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } H ( \beta _ { 1 } ) S ^ { \prime \prime \prime } ( \beta _ { 1 } ) \exp \left( - \frac { i 2 g \pi } { K _ { 1 } } \beta _ { 1 } \right) d \beta _ { 1 } \, \, ,
\begin{array} { r } { \psi ( x _ { k } , t ) \approx \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } G ^ { ( 1 ) } ( x _ { k } - x ^ { \prime } , t ) \, \psi _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) \, d x ^ { \prime } , } \end{array}
E ( C ^ { c a l } , L ^ { c a l } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p o d } } \int _ { 0 } ^ { T } \left( a _ { i } ^ { p o d } ( t ) - a _ { i } ^ { p o d } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { t } f _ { i } ( C ^ { c a l } , L ^ { c a l } , a ^ { p o d } ) d t ^ { \prime } \right) ^ { 2 } d t .
\partial _ { u } \xi _ { z } ^ { ( 1 ) } + { \frac { 1 } { u } } \xi _ { z } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { ( \pi T R ) ^ { 2 } u } } \left[ C _ { z } H _ { z z } ^ { \prime } + C _ { t } H _ { t z } ^ { \prime } \right] \, .
{ \begin{array} { r l } { G ( s ) } & { \triangleq { \mathcal { F } } \{ g \} ( s ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } g ( x ) e ^ { - i 2 \pi s \cdot x } \, d x , \quad s \in \mathbb { R } ^ { n } } \\ { H ( s ) } & { \triangleq { \mathcal { F } } \{ h \} ( s ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } h ( x ) e ^ { - i 2 \pi s \cdot x } \, d x , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { \bf { H } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } } & { = { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad \times ( - { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } \, \, \Phi _ { S } \, \, { \bf { Z } } _ { N _ { s } \times N _ { T } } ) } \\ & { \quad \times ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { V } } _ { N _ { T } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \exp ( \langle \mathbf { u } , \mathbb { X } _ { t } \rangle ) \right] } & { = \exp ( \langle \mathbf { u } , \mathbf { x } _ { 0 } \rangle ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ \langle R ( \mathbf { u } ) , \mathbb { X } _ { s } \rangle \exp ( \langle \mathbf { u } , \mathbb { X } _ { s } \rangle ) \right] d s } \\ & { = \exp ( \langle \mathbf { u } , \mathbf { x } _ { 0 } \rangle ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \bigg [ \bigg ( \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { | I | \leq N } \langle e _ { I } , R ( \mathbf { u } ) \rangle \langle e _ { I } , \mathbb { X } _ { s } \rangle \bigg ) \exp ( \langle \mathbf { u } , \mathbb { X } _ { s } \rangle ) \bigg ] d s } \\ & { = \exp ( \langle \mathbf { u } , \mathbf { x } _ { 0 } \rangle ) + \int _ { 0 } ^ { t } \langle R ( \mathbf { u } ) , \mathbb { E } \left[ \mathbb { X } _ { s } \exp ( \langle \mathbf { u } , \mathbb { X } _ { s } \rangle ) \right] \rangle d s , } \end{array}
\frac { \d } { \d t } \mathcal E [ h ( t ) ] = - \frac 1 2 \dot { s } _ { + } ( t ) ( \partial _ { y } h ) ^ { 2 } | _ { y = s _ { + } ( t ) } + \frac 1 2 \dot { s } _ { - } ( t ) ( \partial _ { y } h ) ^ { 2 } | _ { y = s _ { - } ( t ) } - \int _ { s _ { - } ( t ) } ^ { s _ { + } ( t ) } m ( h ) ( \partial _ { y } ^ { 3 } h ) ^ { 2 } \, \d y .
\begin{array} { r l } & { { \mathsf { L } } _ { { \mathcal { U } } _ { n } , \beta } ^ { \tau , \kappa } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) } \\ & { \quad = \operatorname* { m a x } _ { m \in \{ 0 , 1 , \ldots , n - 1 \} } \frac { \operatorname* { m a x } \left\{ \| E _ { n } ^ { \tau } ( a ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) \| _ { E _ { m } ^ { \tau } } , \| E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) \| _ { E _ { m } ^ { \tau } } \right\} } { \kappa _ { m } \beta ( m ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \Delta t } { \rho } ^ { n + \frac { 2 } { 3 } } + \nabla \cdot \left( { \rho } ^ { n + \frac { 2 } { 3 } } \left( \frac { \Delta t } { { \rho } ^ { n + \frac { 1 } { 3 } } } \left( \mathbf { H } ( \mathbf u ^ { n + 1 } ) - g z \nabla { \rho } ^ { n + \frac { 2 } { 3 } } - \nabla p ^ { , n + 1 } \right) \right) \right) = b _ { \rho } ^ { n + 1 } . } \end{array}
j ^ { k } ( x ^ { 0 } , { \vec { x } } ) \; = \; e \, \int d t \, \sum _ { a = 1 } ^ { N } \, \frac { d x _ { a } ^ { k } ( t ) } { d t } \, \delta ( x ^ { 0 } - t ) \, \delta ^ { ( 2 ) } ( { \vec { x } } - { \vec { x } } _ { a } ( t ) )
\begin{array} { r } { \left\langle \tilde { x } _ { N _ { \mathrm { s } } } ^ { 2 } \right\rangle = \frac { k _ { B } T } { \kappa } \mathcal { F } ( \alpha ) \, \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathcal { F } ( \alpha ) = \frac { e ^ { - 2 \alpha } + 2 \alpha - 1 } { 2 \alpha ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lesssim ( \| F _ { - } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| F _ { - } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { \xi } } } \\ & { \quad + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } \| F _ { - } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { \frac { 3 } { 4 } } ) . } \end{array}
\vec { \mathcal { F } } _ { v } ( \vec { Q } , \overrightarrow { \nabla Q } ) \equiv \vec { E } _ { v } ( \vec { Q } , \overrightarrow { \nabla Q } ) \: \hat { i } + \vec { F } _ { v } ( \vec { Q } , \overrightarrow { \nabla Q } ) \: \hat { j } + \vec { G } _ { v } ( \vec { Q } , \overrightarrow { \nabla Q } ) \: \hat { k } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { E = } & { { } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } V _ { \mathrm { N e \ m h y p h e n N e } } ( | \Vec { r } _ { i } - \Vec { r } _ { j } | ) } \\ { + } & { { } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } V _ { \mathrm { B a F \ m h y p h e n N e } } ( | \Vec { r } _ { i } - \Vec { r } _ { 0 } | , \theta _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { s } J } & { { } = } & { ( \partial _ { s } J ) _ { B } + ( \partial _ { s } J ) _ { \Phi } \, , \quad ( \partial _ { s } J ) _ { B } \equiv - \frac { \tau _ { b } Z _ { e } \partial _ { s } \Psi } { m } \overline { { \mathbf { v } _ { M } \cdot \nabla \alpha } } \, , \quad ( \partial _ { s } J ) _ { \Phi } \equiv - \frac { \tau _ { b } Z _ { e } \partial _ { s } \Psi } { m } \overline { { \mathbf { v } _ { E } \cdot \nabla \alpha } } \, , } \\ { \partial _ { \alpha } J } & { { } = } & { ( \partial _ { \alpha } J ) _ { B } + ( \partial _ { \alpha } J ) _ { \Phi } \, , \quad ( \partial _ { \alpha } J ) _ { B } \equiv \frac { \tau _ { b } Z _ { e } \partial _ { s } \Psi } { m } \overline { { \mathbf { v } _ { M } \cdot \nabla s } } \, , \quad ( \partial _ { \alpha } J ) _ { \Phi } \equiv \frac { \tau _ { b } Z _ { e } \partial _ { s } \Psi } { m } \overline { { \mathbf { v } _ { E } \cdot \nabla s } } \, . } \end{array}
\int d ^ { 8 } x \vert _ { \theta _ { j } ^ { \alpha } = \bar { \theta } _ { j } ^ { \bar { \alpha } } = 0 } \left[ ( D _ { + } ) ^ { 8 } ( D _ { - } ) ^ { 8 } f _ { V } ( W ) + \int d \zeta ( D _ { - } ) ^ { 8 } ( \bar { D } ^ { + } ) ^ { 8 } f _ { T } ( \tilde { L } , \zeta ) \right] + c . c .
{ \cal L } ^ { ( 5 ) } = k ^ { ( 5 ) } \epsilon ^ { i j k l m } T r ( U \partial _ { i } U ^ { \dag } \partial _ { j } U \partial _ { k } U ^ { \dag } \partial _ { l } U \partial _ { m } U ^ { \dag } ) \, \, \, ; \, i , j , k , l , m = 0 , 1 , 2 , 3 , 5 .
C = X \cdot Y = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { i } & { 0 } \\ { 0 } & { - i } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \times } & { { } \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | \Gamma _ { 0 } ^ { \mathrm { R } } V | \phi _ { n _ { 3 } } \rangle _ { \mathrm { r e g } } \langle \phi _ { n _ { 3 } } | r _ { i } | \phi _ { a } \rangle } { ( E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } \pm k _ { 1 } ) ( E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) } , } \end{array}
L ( \boldsymbol { w } ) = \mathbb { E } _ { b \sim \hat { \pi } } \left[ - 1 + \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \sum _ { b ^ { \prime } \in \mathcal { B } ( b , a ) } \operatorname* { P r } ( b ^ { \prime } \! \mid \! b , a ) \hat { v } ( b ^ { \prime } ; \boldsymbol { w } ) - \hat { v } ( b ; \boldsymbol { w } ) \right] ^ { 2 }
\epsilon = \frac { 2 g ^ { 2 } \mu _ { B } ^ { 2 } S } { a ^ { 3 } \hbar } \int d ^ { 3 } { \bf k } \omega _ { \bf k } \frac { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } { k ^ { 4 } } \delta ( k _ { z } v - \omega _ { \bf k } ) ~ .
L = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - U ^ { 1 } } & { - U ^ { 2 } } & { - U ^ { 3 } } \\ { U ^ { 1 } } & { 0 } & { - V ^ { 3 } } & { V ^ { 2 } } \\ { U ^ { 2 } } & { V ^ { 3 } } & { 0 } & { - V ^ { 1 } } \\ { U ^ { 3 } } & { - V ^ { 2 } } & { V ^ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) .
t _ { 0 } = \sigma _ { 0 } ^ { 2 } \sum _ { i } ^ { N } \frac { t _ { i } - \tau _ { i j } } { \sigma _ { i j } ^ { 2 } } , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } = \sum _ { i } ^ { N } \frac { 1 } { \sigma _ { i j } ^ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { { \hat { f } } _ { 1 } ( \xi ) \ } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \, e ^ { - i 2 \pi \xi x } \, d x = { \sqrt { 2 \pi } } \, { \hat { f } } _ { 2 } ( 2 \pi \xi ) = { \hat { f } } _ { 3 } ( 2 \pi \xi ) } \\ { f ( x ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \hat { f } } _ { 1 } ( \xi ) \, e ^ { i 2 \pi x \xi } \, d \xi } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \Tilde { E } ( x , y ) } & { = } & { \left| \Tilde { A } ( x , y ) \right| \cdot \exp \left[ j \Tilde { \varphi } ( x , y ) \right] } \\ & { = } & { \iint L G \left( f _ { x } , f _ { y } \right) \mathcal { F } \left( f _ { x } , f _ { y } \right) \exp \left[ j 2 \pi \left( f _ { x } x + f _ { y } y \right) \right] d f _ { x } d f _ { y } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \mathcal { L } } _ { g } = \frac { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \hat { \mathcal { L } } _ { { \mathbf { 0 } g } } | \Psi _ { \mathrm { T } } \rangle } { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { \mathrm { T } } \rangle } , } \end{array}