harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) = \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \frac { \omega _ { f } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \sqrt { \frac { \mathrm { I m } \epsilon \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } \right) } { \hbar \pi \epsilon _ { 0 } } } \mathbf { d } _ { s } ^ { * } \cdot \overleftrightarrow { G } ^ { * } \left( \mathbf { r } _ { s } , \mathbf { r } ; \omega _ { f } \right) } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - i \omega _ { f } \left( t - t ^ { \prime } \right) } \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \left( t ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) } & { { } = - \nabla p _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) , } \\ { \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) } & { { } = - \nabla p _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { M \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \nu } { \nu ^ { 2 } } \, g _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) = - \kappa ^ { 2 } / 4 + 2 M ^ { 2 } c _ { 1 } Q ^ { 2 } + \mathcal { O } ( Q ^ { 4 } ) , } \\ { \gamma _ { 0 } } & { { } = } & { \frac { 2 \alpha } { M } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \nu } { \nu ^ { 4 } } \, g _ { 1 } ( \nu , 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { j \ell , j ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } ^ { J } ( R ) = ( 2 \ell + 1 ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \ell ^ { \prime } + 1 ) ^ { 1 / 2 } ( - 1 ) ^ { j - j ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { \ell + \ell ^ { \prime } } } \\ { \times \sum _ { \kappa } \left( \begin{array} { l l l } { j } & { \ell } & { J } \\ { \kappa } & { 0 } & { - \kappa } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { j ^ { \prime } } & { \ell ^ { \prime } } & { J } \\ { \kappa } & { 0 } & { - \kappa } \end{array} \right) V _ { j \kappa , j ^ { \prime } \kappa } ^ { J } ( R ) . } \end{array}
{ \frac { d n _ { i } ( \omega ) } { d \omega } } = { \frac { \omega } { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \alpha ~ e ^ { i \alpha \omega ^ { 2 } } \mathrm { T r } ~ e ^ { - i \alpha \bar { H } _ { i } ^ { 2 } } ~ ~ ~ .
\frac { 1 } { \log ( \operatorname* { d e t } V _ { n } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { ( \operatorname* { d e t } V _ { k } ) ^ { 2 } - ( \operatorname* { d e t } V _ { k + 1 } ) ^ { 2 } } { ( \operatorname* { d e t } V _ { k } ) ^ { 2 } } \bigg ) V _ { k } \mathcal { H } _ { k } ( u ) \mathcal { H } _ { k } ( u ) ^ { T } V _ { k } ^ { T } \to \frac { 1 } { d } u ^ { T } u V
\begin{array} { c c c } { { m _ { h _ { 2 } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { \leq } } & { { m _ { h _ { 1 } ^ { 0 } } ^ { 2 } + \frac { v ^ { 2 } } { v _ { 2 } ^ { 2 } + v _ { 3 } ^ { 2 } } [ ( \frac { G ^ { 2 } v _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } + g _ { 1 ^ { \prime } } ^ { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { h _ { 1 } ^ { 0 } } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ { { } } & { { + } } & { { ( \frac { G ^ { 2 } } { 4 v ^ { 2 } } ( v _ { 2 } ^ { 2 } - v _ { 1 } ^ { 2 } - v _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { g _ { 1 ^ { \prime } } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } ( Q _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + Q _ { 3 } v _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { + } } & { { 2 \frac { \Gamma _ { s } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } v _ { 2 } ^ { 2 } v _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { h _ { 1 } ^ { 0 } } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ] ^ { 2 } = ( 8 5 \, \mathrm { G e V } ) ^ { 2 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ( D + \delta ) } & { \ge { n } \mathbb { E } [ d ^ { ( n ) } ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) ] \ge H ( X ^ { n } | J _ { 1 } , J _ { 2 } , P _ { 1 } , P _ { 2 } ) } \\ & { \ge H ( X ^ { n } | Y _ { 1 } ^ { t - 1 } , J _ { 1 } , { P _ { 1 } } , Y _ { 2 } ^ { t - 1 } , J _ { 2 } , P _ { 2 } ) } \\ & { = \sum _ { t = 1 } ^ { n } H ( X _ { t } | Y _ { 1 } ^ { t - 1 } , J _ { 1 } , { P _ { 1 } } , Y _ { 2 } ^ { t - 1 } , J _ { 2 } , P _ { 2 } , X ^ { t - 1 } ) } \\ & { \ge \sum _ { t = 1 } ^ { n } H ( X _ { t } | U _ { 1 , t } , U _ { 2 , t } , Q _ { t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { c c c c c c c c c c c } { \boxed { 2 } } & & & { 1 } & & { 1 } & & & & & \\ & { 1 } & & { 4 } & { - 1 } & & { 1 } & & & & \\ & & { 1 } & { 3 } & { - 2 } & & & { 1 } & & & \\ { 1 } & & & { 1 } & { - 1 } & & & & { 1 } & & \\ & { 1 } & & { 2 } & & & & & & { 1 } & \\ & & { 1 } & { 4 } & { - 2 } & & & & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c c c c c } { \boxed { 1 } } & & { 4 } & { - 1 } & & { 1 } & & & & \\ & { 1 } & { 3 } & { - 2 } & & & { 1 } & & & \\ & & { 1 } & { - 2 } & { - 1 } & & & { 2 } & & \\ { 1 } & & { 2 } & & & & & & { 1 } & \\ & { 1 } & { 4 } & { - 2 } & & & & & & { 1 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c c c c c } { \boxed { 1 } } & { 3 } & { - 2 } & & & { 1 } & & & \\ & { 1 } & { - 2 } & { - 1 } & & & { 2 } & & \\ & { - 2 } & { 1 } & & { - 1 } & & & { 1 } & \\ { 1 } & { 4 } & { - 2 } & & & & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c c c } { \boxed { 1 } } & { - 2 } & { - 1 } & & & { 2 } & & \\ { - 2 } & { 1 } & & { - 1 } & & & { 1 } & \\ { 1 } & & & & { - 1 } & & & { 1 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c c c } { \boxed { - 3 } } & { - 2 } & { - 1 } & & { 4 } & { 1 } & \\ { 2 } & { 1 } & & { - 1 } & { - 2 } & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c c } & { 1 } & { 2 } & { 3 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 3 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c c } & { - 1 } & { - 2 } & { - 3 } & { 2 } & { 2 } & { 3 } \end{array} . } \end{array}
R = R _ { 0 } + R _ { 0 } \Sigma R _ { 0 } + R _ { 0 } \Sigma R _ { 0 } \Sigma R _ { 0 } + \dots = R _ { 0 } \left( \mathbb { I } - \Sigma R _ { 0 } \right) ^ { - 1 } = ( R _ { 0 } ^ { - 1 } - \Sigma ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { f ( Q ) = p _ { 0 } e ^ { - \frac { ( Q - p _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 p _ { 2 } ^ { 2 } } } + p _ { 3 } e ^ { - \frac { ( Q - p _ { 1 } - p _ { 4 } ) ^ { 2 } } { 2 ( p _ { 2 } ^ { 2 } + p _ { 5 } ^ { 2 } ) } } } \\ { + p _ { 6 } e ^ { - \frac { ( Q - p _ { 1 } - 2 p _ { 4 } ) ^ { 2 } } { 2 ( p _ { 2 } ^ { 2 } + 2 p _ { 5 } ^ { 2 } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \hat { H } \rangle } & { { } = \frac { d } { d t } \langle \phi \left( t \right) | \hat { H } | \phi \left( t \right) \rangle = \langle \dot { \phi } | \hat { H } | \phi \rangle + \langle \phi | \hat { H } | \dot { \phi } \rangle } \end{array}
\mathsf E \hat { P } ^ { - k } = \int _ { \mathbb R \setminus ( - \epsilon , \epsilon ) } \frac { f _ { \hat { P } } ( t ) } { t ^ { k } } \, \mathrm d t + \int _ { - \epsilon } ^ { \epsilon } \frac { f _ { \hat { P } } ( t ) } { t ^ { k } } \, \mathrm d t ,
i \hbar \dot { \psi } _ { 1 } = \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 4 } \right) \psi _ { 1 } + \hat { H } _ { 1 } \psi _ { 1 } + \hat { V } _ { 1 } \psi _ { 1 } ; \quad i \hbar \dot { \psi } _ { 2 } = \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 4 } \right) \psi _ { 2 } + \hat { H } _ { 2 } \psi _ { 2 } + \hat { V } _ { 2 } \psi _ { 2 } ,
< \overline { { { T } } } ( k _ { 1 } ) T ( k _ { 2 } ) \phi _ { a } ( k _ { 3 } ) \phi _ { b } ( k _ { 4 } ) > _ { t r u n c } = - i ( 2 \pi ) ^ { D } \delta \left( \sum k _ { i } \right) \left( 2 \nu _ { a b } + \frac { \nu _ { a } \nu _ { b } } { u - m ^ { 2 } } + \frac { \nu _ { a } \nu _ { b } } { t - m ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l r } { w _ { \mathrm { E } } ^ { \alpha } ( \vec { x } ) } & { { } = } & { G \int \frac { \sigma ^ { \alpha } ( t , \vec { x } ^ { \prime } ) d ^ { 3 } x ^ { \prime } } { | \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } | } + { \cal O } ( c ^ { - 2 } ) = - \frac { G M _ { \mathrm { E } } } { 2 r ^ { 3 } } [ { \vec { x } } \times { \vec { S } } _ { \oplus } ] ^ { \alpha } + { \cal O } ( r ^ { - 3 } , c ^ { - 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho _ { 1 } , \ldots , \rho _ { M } } } \frac { U ( \zeta ) } { \zeta - \zeta _ { k } } \, d \zeta = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho _ { 1 } , \ldots , \rho _ { M } } } \frac { \partial _ { \zeta } w ( \zeta ) / \partial _ { \zeta } f ( \zeta ) - c } { \zeta - \zeta _ { k } } \, d \zeta = c , } \end{array}
\frac { F _ { D } } { \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { 0 } ^ { 2 } S _ { p } } = { } \frac { { p _ { I } } - { p _ { I I } } } { \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { 0 } ^ { 2 } } \sin { ( \beta ) } + \cos ^ { 2 } ( \beta ) \frac { 2 \omega \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } \omega \right) } { \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } \omega } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \sigma \uparrow 1 } ( 1 - \sigma ) \int _ { R _ { \varepsilon } ( z , \aa , \boldsymbol { \omega } ) } r ^ { k - n - \sigma } \xi ^ { n - k - 1 } d \mathcal H ^ { 2 } ( \xi , r ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \sigma \uparrow 1 } ( 1 - \sigma ) \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \int _ { \xi } ^ { \varepsilon } r ^ { k - n - \sigma } \xi ^ { n - k - 1 } d r d \xi } \\ & { = \frac { 1 } { n - k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mu } { T } } & { { } = \Lambda _ { \beta } + \iota _ { \beta } A - \mathrm { d } \varphi , } \\ { \frac { \mu _ { \ell } } { T } } & { { } = \ell \left( \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } + \iota _ { \beta } \Phi - \mathrm { d } \varphi _ { \ell } - \varphi \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { W _ { 0 } ( x e ^ { x } ) } & { { } = x } & { { \mathrm { f o r ~ } } x } & { { } \geq - 1 , } \\ { W _ { - 1 } ( x e ^ { x } ) } & { { } = x } & { { \mathrm { f o r ~ } } x } & { { } \leq - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] } & { { } \equiv } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = \delta _ { i } } ^ { \infty } \langle n _ { i } | \hat { F } ( Q _ { i } ) | n _ { i } - \delta _ { i } \rangle \langle n _ { i } - \delta _ { i } | \hat { G } ( Q _ { i } ) | n _ { i } \rangle \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( p _ { T } , \eta , \phi , m , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) } & { { } \rightarrow p _ { T } ^ { \prime } , } \\ { ( p _ { T } , \eta , \phi , m , 0 , 1 , 0 , 0 , p _ { T } ^ { \prime } , 0 , 0 ) } & { { } \rightarrow \eta ^ { \prime } , } \\ { ( p _ { T } , \eta , \phi , m , 0 , 0 , 1 , 0 , p _ { T } ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } , 0 ) } & { { } \rightarrow \phi ^ { \prime } , } \\ { ( p _ { T } , \eta , \phi , m , 0 , 0 , 0 , 1 , p _ { T } ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) } & { { } \rightarrow m ^ { \prime } , } \end{array}
t \gg 1 \; \; \rightarrow { \frac { < 0 | \, A _ { 4 } ^ { L } \, | P S > \; < P S | \, { \cal P } \, | 0 > } { 2 \; M _ { P S } a ^ { 3 } } } \; e ^ { - M _ { P S } \cdot t }
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { c l u s t e r } } ( \{ \mathbf { p } _ { j } \} , \mathbf { q } ) } & { { } = \sum _ { j } \sum _ { i } p _ { j i } \log \left( \frac { p _ { j i } } { q _ { i } / \sum _ { k } q _ { k } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { i } } & { = \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } } \\ { m _ { i } \mathbf { r } _ { i } } & { = m _ { i } \left( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } \right) } \\ { \sum _ { i } m _ { i } \mathbf { r } _ { i } } & { = \sum _ { i } m _ { i } \left( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } \right) } \\ & { = \sum _ { i } ( m _ { i } \mathbf { R } _ { i } - m _ { i } \mathbf { R } ) } \\ & { = \sum _ { i } m _ { i } \mathbf { R } _ { i } - \sum _ { i } m _ { i } \mathbf { R } } \\ & { = \sum _ { i } m _ { i } \mathbf { R } _ { i } - \left( \sum _ { i } m _ { i } \right) \mathbf { R } } \\ & { = \sum _ { i } m _ { i } \mathbf { R } _ { i } - M \mathbf { R } } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { \gamma ^ { 0 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } , } & { \gamma ^ { 1 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } , } \\ { \gamma ^ { 2 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { i } & { 0 } \\ { 0 } & { i } & { 0 } & { 0 } \\ { - i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } , } & { \gamma ^ { 3 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } } & { { } = \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 4 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \Gamma } _ { i j } { } ^ { k } \ } & { { } = \ \frac 1 2 \tilde { g } ^ { k l } ( \partial _ { i } \tilde { g } _ { j l } + \partial _ { j } \tilde { g } _ { i l } - \partial _ { l } \tilde { g } _ { i j } ) } \end{array}
S G _ { \mathrm { t r u e } } = { \frac { \rho _ { \mathrm { s a m p l e } } } { \rho _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } } = { \frac { \frac { m _ { \mathrm { s a m p l e } } } { V } } { \frac { m _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } { V } } } = { \frac { m _ { \mathrm { s a m p l e } } } { m _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } } { \frac { g } { g } } = { \frac { W _ { \mathrm { V } , { \mathrm { s a m p l e } } } } { W _ { \mathrm { V } , \mathrm { H _ { 2 } O } } } } ,
k r _ { m } ^ { 2 } / \left( 1 - r _ { m } ^ { 2 } / r _ { 0 } ^ { 2 } \right) = 2 \epsilon _ { v e x } \alpha _ { v e x } r _ { m } ^ { 2 } \exp \left( - \alpha _ { v e x } r _ { m } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \lefteqn { W ( \kappa _ { \lambda } d x \llcorner B _ { R } - f ^ { \prime } + g ^ { \prime } , ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } ) d x \llcorner B _ { R } + g ^ { \prime } ) } } \\ & { \le \frac { 8 \kappa _ { \lambda } } { \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } } W ( \kappa _ { \lambda } d x \llcorner B _ { R } , ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } ) d x \llcorner B _ { R } + f ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { + } ( p _ { + } ) - f _ { - } ( p _ { - } ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d } { d s } ( f _ { s } ( \gamma ( s ) ) ) d s = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( ( d f _ { s } ) _ { \gamma ( s ) } ( \gamma ^ { \prime } ( s ) ) + \frac { \partial f _ { s } } { \partial s } ( \gamma ( s ) ) \right) d s } \\ & { = - \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( d f _ { s } ) _ { \gamma ( s ) } ( v _ { s } ) d s + \int _ { - \infty } ^ { \infty } \beta ^ { \prime } ( s ) \left( f _ { + } ( \gamma ( s ) ) - f _ { - } ( \gamma ( s ) ) \right) d s } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { X } ( f _ { + } - f _ { - } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta E _ { 1 } } & { { } = \frac { m _ { e } B } { M } \frac { 1 } { a _ { 0 } } + \frac { \alpha B } { M _ { \gamma } } \frac { 2 } { a _ { 0 } ^ { 2 } } , } \\ { \delta E _ { 2 } } & { { } = \frac { m _ { e } B } { M } \frac { 1 } { 4 a _ { 0 } } + \frac { \alpha B } { M _ { \gamma } } \frac { 4 } { a _ { 0 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { I } } & { : = \Vert \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \Vert _ { L ^ { \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell ^ { \prime } } } \\ & { \lesssim \int \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d \ell ^ { \prime } } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | z - y | } { ( t - u ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { ( d + \alpha ) \ell ^ { \prime } } } \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d \ell ^ { \prime } } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | x - z | } { ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { ( d + \alpha ) \ell ^ { \prime } } } \mathrm { d } z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { s _ { n } } \int _ { \Omega } Z _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { ( 3 ) } \cdot \nabla \varphi w _ { n } \, \mathrm { d } x } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \left[ \frac { 1 } { s _ { n } ^ { 2 } } \int _ { \Omega } P _ { n } \cdot \nabla \varphi \, \mathrm { d } x - \frac { 2 } { s _ { n } ^ { 2 } } \int _ { \Omega } \sum _ { i = 0 } ^ { 1 } \zeta _ { i } ( \bar { u } , \bar { y } ; s _ { n } , v _ { n } ) \nabla \bar { y } \cdot \nabla \varphi \, \mathrm { d } x \right] } \\ & { = - 2 \tilde { Q } ( \bar { u } , \bar { y } , \varphi ; \{ s _ { n } \} , v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 0 k } } & { { } = \left( \eta _ { 0 i } \eta _ { k 0 } - \eta _ { 0 0 } \eta _ { k i } \right) F ^ { i 0 } + \eta _ { 0 i } \eta _ { k j } F ^ { i j } } \end{array}
\frac { \boldsymbol { u } ^ { * } - \boldsymbol { u } ^ { n } } { \Delta t } + \boldsymbol { u } ^ { n } \cdot \nabla \boldsymbol { u } ^ { * } = \nabla \cdot \left( \frac { \mu _ { l } } { \rho } \nabla \boldsymbol { u } ^ { * } \right) - \frac { 1 } { \rho } \nabla p ^ { n } - \frac { \mu _ { l } } { \rho } K ^ { - 1 } \boldsymbol { u } ^ { * } + \boldsymbol { f } ,
\begin{array} { r l } { | k ( \mu , \mu ^ { \prime } ) - k ( \mu ^ { \prime } , \mu ) | } & { \leq | k ( \mu , \mu ^ { \prime } ) - k ( \hat { \mu } _ { \ell } , \hat { \mu } _ { \ell } ^ { \prime } ) | } \\ & { \quad + | k ( \hat { \mu } _ { \ell } , \hat { \mu } _ { \ell } ^ { \prime } ) - k ^ { [ M _ { \ell } ] } ( \vec { x } _ { M _ { \ell } } , \vec { x } _ { M _ { \ell } } ^ { \prime } ) | } \\ & { \quad + | k ^ { [ M _ { \ell } ] } ( \vec { x } _ { M _ { \ell } } ^ { \prime } , \vec { x } _ { M _ { \ell } } ) - k ( \hat { \mu } _ { k } ^ { \prime } , \hat { \mu } _ { k } ) | } \\ & { \quad + | k ( \hat { \mu } _ { \ell } ^ { \prime } , \hat { \mu } _ { \ell } ) - k ( \mu ^ { \prime } , \mu ) | } \\ & { \rightarrow 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \mathcal { L } \left( z _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } z _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) - \left( z _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } z _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) \mid _ { t = 0 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \epsilon J \left( 3 \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int _ { 0 } ^ { \infty } \int \! d \gamma d \beta \sigma _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } ^ { \beta \gamma } \frac { d } { d t } \left( z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } z _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) \frac { e ^ { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t } } { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) - s } e ^ { - s t } d t } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int _ { 0 } ^ { \infty } \int \! d \gamma d \beta \sigma _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { \beta \gamma } \frac { d } { d t } \left( z _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } z _ { \beta } z _ { \gamma } \right) \frac { e ^ { - i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } \right) t } } { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) - s } e ^ { - s t } d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \vec { E } ( \omega , \omega _ { a } ) | ^ { 2 } } & { = \left| \vec { E } _ { a } ^ { \mathrm { t o t } } + \vec { E } _ { \mathrm { D M } } ^ { \mathrm { t o t } } \right| ^ { 2 } \, } \\ & { = \left( \vec { A } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { C } ( \omega ) + \vec { B } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { D } ( \omega ) \right) \cos ( \Delta \omega t + \phi ) + \left( \vec { B } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { C } ( \omega ) - \vec { A } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { D } ( \omega ) \right) \sin ( \Delta \omega t + \phi ) } \\ & { + \mathrm { c o n s t a n t \ a n d \ f a s t \ o s c i l l a t i n g \ t e r m s } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { T _ { n } } ( x , z ) } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } s _ { l } ^ { - 1 } \sum _ { q = 1 } ^ { 2 l + 1 } B _ { q } ^ { l } ( x ) \overline { { B _ { q } ^ { l } ( z ) } } } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } s _ { l } ^ { - 1 } \frac { 2 l + 1 } { 4 \pi } \sum _ { q = 1 } ^ { 2 l + 1 } ( \cos ( ( q - l - 1 ) \varphi _ { x } ) + \sqrt { - 1 } \sin ( ( q - l - 1 ) \varphi _ { x } ) ) } \\ & { \qquad \quad \cdot ( \cos ( ( q - l - 1 ) \varphi _ { z } ) - \sqrt { - 1 } \sin ( ( q - l - 1 ) \varphi _ { z } ) ) d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { x } ) d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \hat { \phi } _ { i } } { d \eta } \Big | _ { \eta \to 0 - } = \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \frac { d \check { \phi } _ { i } } { d \xi } \Big | _ { \xi \to 0 + } , \quad ( i = 1 , 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } x ( t ) \right] } & { \leq \frac { 1 } { \underline { k } } \mathbb E \left[ x ^ { \top } ( t ) X x ( t ) \right] \leq \frac { 1 } { \underline { k } } x _ { 0 } ^ { \top } X x _ { 0 } \exp \left\{ ( 2 ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ) - \beta ) t \right\} } \\ & { \leq \frac { \overline { k } } { \underline { k } } x _ { 0 } ^ { \top } x _ { 0 } \exp \left\{ ( 2 ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ) - \beta ) t \right\} } \end{array}
R ( t ) = \frac { 1 - \sum _ { n } P _ { n } \cos { \left( C _ { n + 1 , n } ( \eta ) \Omega _ { 0 } t \right) } } { 1 - \sum _ { n } P _ { n } \cos { \left( C _ { n - 1 , n } ( \eta ) \Omega _ { 0 } t \right) } } ,
\begin{array} { r l } { b } & { = e ^ { ( W + W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } + e ^ { ( - W + W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } + e ^ { ( - W - W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } } \\ & { = 1 + e ^ { - W } + e ^ { W ^ { \prime \prime } } = 1 + e ^ { - Z + i \pi f } + e ^ { Z ^ { \prime \prime } - i \pi f ^ { \prime \prime } } } \\ & { = 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } \frac { 1 } { z } + ( - 1 ) ^ { \delta ^ { \prime \prime } } z ^ { \prime \prime } = 1 - \frac { 1 } { z } - \bigl ( 1 - \frac { 1 } { z } \bigr ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial k } v _ { k } ^ { \delta } \Bigr | _ { k _ { 0 } } = \frac { 3 \gamma d } { 2 k _ { a } } \left[ ( 1 - 3 \cos ^ { 2 } \delta ) \left( \operatorname { L n } \left( 2 \cos \frac { k _ { a } d } { 2 } \right) + \frac { k _ { a } d } { 2 } \tan ( \frac { k _ { a } d } { 2 } ) \right) - \sin ^ { 2 } \delta \left( \frac { k _ { a } d } { 2 } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } ( \frac { k _ { a } d } { 2 } ) } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu ( \Omega _ { R } ) \geq [ e ^ { - \ell _ { N } ( \rho ) } - \bar { \phi } ( r ) ] / \bar { \phi } ( 0 ) \geq e ^ { - \ell _ { N } ( \rho ) } / [ 2 \bar { \phi } ( 0 ) ] , } \\ & { \operatorname* { i n f } _ { x \in \Omega } ( \mu * \phi ) ( x ) \geq \mu ( \Omega _ { R } ) \underline { { \phi } } ( R + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) \geq e ^ { - \ell _ { N } ( \rho ) } \underline { { \phi } } ( R + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) / [ 2 \bar { \phi } ( 0 ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ^ { \dprime } } & { { } = v _ { y } v _ { \theta } \sqrt { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , } \\ { \eta ^ { \dprime } } & { { } = v _ { y } v _ { r } , } \\ { \zeta ^ { \dprime } } & { { } = v _ { y } ^ { 2 } , } \end{array}