harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \| { \cal L } _ { \mathtt m , \bot } ^ { - 1 } f \| _ { s , \rho } \lesssim \| f \| _ { s , 0 } \, , \quad \| { \cal L } _ { \mathtt m , \bot } ^ { \alpha } f \| _ { s , 0 } \lesssim \| f \| _ { s , 1 } , , \quad \| { \cal L } _ { \mathtt m , \bot } ^ { - \alpha } f \| _ { s , \rho } \lesssim \| f \| _ { s , \rho } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { M } _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 + \eta _ { i j } ^ { \pm } } & { 1 - \eta _ { i j } ^ { \pm } } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 - \eta _ { i j } ^ { \pm } } & { 1 + \eta _ { i j } ^ { \pm } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + \eta _ { i j } ^ { \mp } } & { 1 - \eta _ { i j } ^ { \mp } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 - \eta _ { i j } ^ { \mp } } & { 1 + \eta _ { i j } ^ { \mp } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ^ { \prime } ( u ^ { k } ) + C ( u ^ { k } ) ( u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ) } & { { } = \lambda _ { 1 } ( u ^ { k } - d _ { 1 } ) + \lambda _ { 2 } ( u ^ { k } - d _ { 2 } ) + 2 \lambda _ { 3 } K ^ { * } ( K u ^ { k } - d _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { k } ( \varepsilon ) \leq \left( \frac { 8 C _ { \beta } \mathrm { d i a g } ( D \times D ) \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } d _ { \ell } d _ { \ell + 1 } \right) \rho \left\{ ( C _ { w } + C _ { k } ) C _ { \sigma } \right\} ^ { L } C _ { a } | D | C _ { \alpha } } { \varepsilon } \right) ^ { \hat { d } } } \\ & { \times \log \left( \frac { 1 6 \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } d _ { \ell } d _ { \ell + 1 } \right) \rho \left\{ ( C _ { w } + C _ { k } ) C _ { \sigma } \right\} ^ { L } C _ { a } | D | C _ { \alpha } } { \varepsilon } \right) } \\ & { \leq \left( \frac { I _ { k } } { \varepsilon } \right) ^ { \hat { d } + 1 } , \ \ \mathrm { f o r } \ 0 < \varepsilon < 2 \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } d _ { \ell } d _ { \ell + 1 } \right) \rho \left\{ ( C _ { w } + C _ { k } ) C _ { \sigma } \right\} ^ { L } C _ { a } | D | C _ { \alpha } , } \end{array}
\widehat { { \bf { u } } { \bf { u } } } \; \; \rightarrow \; \; 2 \widehat { { \bf { u } } \delta { \bf { u } } } , \; \; \; \; \widehat { { \bf { b } } { \bf { b } } } \; \; \rightarrow \; \; 2 \widehat { { \bf { b } } \delta { \bf { b } } } .
u ( z ) - \mathrm { ~ i ~ } v ( z ) = U + G _ { S } ( z - z _ { 0 } , F ) + G _ { D } ( z - z _ { 0 } , R ^ { 2 } D ) + G _ { Q } ( z - z _ { 0 } , R ^ { 4 } Q ) + G _ { O } ( z - z _ { 0 } , R ^ { 6 } O ) + \dots
\psi _ { f } - \psi \simeq - \frac { I } { \Omega } \frac { ( \mu B + v _ { \parallel } ^ { 2 } ) \left( B _ { f } / B - 1 \right) + Z e ( \phi _ { \theta f } - \phi _ { \theta } ) / m } { v _ { \parallel } + u } \sim \epsilon \rho _ { p } R B _ { p } .
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { ~ e ~ m ~ b ~ } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) = } & { { } \frac { \delta } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } ( E _ { \mathrm { t o t } } [ \rho _ { \mathrm { t o t } } ] - E _ { \mathrm { A } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] ) } \\ { = } & { { } \frac { \delta E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { C } } [ \rho _ { \mathrm { t o t } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } - \frac { \delta E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { C } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } + \frac { \delta E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { Q M } } [ \rho _ { \mathrm { t o t } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } - \frac { \delta E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { Q M } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } . } \end{array}
S _ { f } ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } , \tau - \tau ^ { \prime } ) = \frac { i } { \beta } \sum _ { n } e ^ { - i \omega _ { n } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { e ^ { i \vec { p } ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } ) } } { \gamma _ { 0 } ( i \omega _ { n } + \mu _ { f } ) - \vec { \gamma } \vec { p } - m _ { f } } \quad .
\begin{array} { r l r } { \frac { D E _ { \mathrm { { M } } } ^ { i } } { D t } } & { { } = } & { \left\langle { \frac { 1 } { \overline { { \rho } } } b ^ { \prime } { } ^ { k } \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial b ^ { \prime } { } ^ { j } } { \partial x ^ { \ell } } - u ^ { \prime } { } ^ { k } \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial u ^ { \prime } { } ^ { j } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle B ^ { \ell } - \left\langle { u ^ { \prime } { } ^ { \ell } u ^ { \prime } { } ^ { k } + \frac { b ^ { \prime } { } ^ { \ell } b ^ { \prime } { } ^ { k } } { \mu _ { 0 } \overline { { \rho } } } } \right\rangle \mu _ { 0 } \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial B ^ { j } } { \partial x ^ { \ell } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial x ^ { < a _ { 1 } . . . } \partial x ^ { a _ { \ell } > } } } & { { } \equiv } & { { \vec { \nabla } } ^ { < a _ { 1 } . . . . } { \vec { \nabla } } ^ { a _ { \ell } > } = \sum _ { p = 0 } ^ { \ell } \frac { \ell ! } { p ! ( \ell - p ) ! } k _ { < a _ { 1 } } . . . k _ { a _ { p } } \partial _ { a _ { p + 1 } } . . . \partial _ { a _ { \ell } > } \frac { \partial ^ { p } } { \partial \tau ^ { p } } + { \cal O } ( r _ { g } ) , } \end{array}
a _ { n } \approx { \frac { 2 - \delta _ { 0 n } } { N } } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \cos \left( \, { \frac { n \pi \, \left( \, k + { \frac { 1 } { 2 } } \, \right) } { N } } \, \right) \log ( 1 + x _ { k } ) ~ .
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } S ( x , t ) - \partial _ { x x } S ( x , t ) = - \beta S ( x , t ) I ( x , t ) , } & { \quad - L < x < L , \quad t > 0 , } \\ & { \partial _ { t } I ( x , t ) - \partial _ { x x } I ( x , t ) = \beta S ( x , t ) I ( x , t ) - \gamma I ( x , t ) , } & { \quad - L < x < L , \quad t > 0 , } \\ & { \partial _ { t } R ( x , t ) - \partial _ { x x } R ( x , t ) = \gamma I ( x , t ) , } & { \quad - L < x < L , \quad t > 0 , } \end{array} } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ( t _ { 0 } ) = } & { { } \ \ \big \{ \mathbf { x _ { 0 } } \in U : \mathbf { x _ { 0 } } = \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , \ \mathbf { p } = [ u , v ] ^ { \top } \in V = [ u _ { 1 } , u _ { 2 } ] \times [ v _ { 1 } , v _ { 2 } ] \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \big \} , } \\ { \mathcal { M } ( t ) = } & { { } \ \ \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathcal { M } ( t _ { 0 } ) ) = \big \{ \mathbf { x _ { t } } \in U : \mathbf { x _ { t } } = \hat { \mathbf { r } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) , \ \mathbf { p } \in V \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } = \ } & { \frac { g } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i + m , j } \right) \Bigg [ \frac { 1 } { 4 } \left( h _ { i , j } ^ { 2 } + h _ { i + m , j } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( ( h b ) _ { i , j } + ( h b ) _ { i + m , j } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } + { h } _ { i + m , j } \right) \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i + m , j } \right) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i + m , j } \right) \Bigg ] , } \\ { H _ { 2 } = \ } & { \frac { g } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i - m , j } \right) \Bigg [ \frac { 1 } { 4 } \left( h _ { i , j } ^ { 2 } + h _ { i - m , j } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( ( h b ) _ { i , j } + ( h b ) _ { i - m , j } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } + { h } _ { i - m , j } \right) \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i - m , j } \right) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i - m , j } \right) \Bigg ] , } \\ { H _ { 3 } = \ } & { \frac { g } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j + m } \right) \Bigg [ \frac { 1 } { 4 } \left( h _ { i , j } ^ { 2 } + h _ { i , j + m } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( ( h b ) _ { i , j } + ( h b ) _ { i , j + m } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } + { h } _ { i , j + m } \right) \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i , j + m } \right) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i , j + m } \right) \Bigg ] , } \\ { H _ { 4 } = \ } & { \frac { g } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j - m } \right) \Bigg [ \frac { 1 } { 4 } \left( h _ { i , j } ^ { 2 } + h _ { i , j - m } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( ( h b ) _ { i , j } + ( h b ) _ { i , j - m } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } + { h } _ { i , j - m } \right) \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i , j - m } \right) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i , j - m } \right) \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { e f f } } ( \lambda , w , T ) \approx n _ { \mathrm { e f f } , T _ { 0 } } ( \lambda , w ) + \frac { \partial n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial T } \left( T - T _ { 0 } \right) } \\ { \frac { \partial n _ { \mathrm { e f f } } } { \partial T } = \Gamma _ { \mathrm { c o r e } } \frac { n _ { \mathrm { c o r e } } } { n _ { \mathrm { e f f , ~ T ~ _ 0 ~ } } } \frac { \partial n _ { \mathrm { c o r e } } } { \partial T } + \Gamma _ { \mathrm { c l a d } } \frac { n _ { \mathrm { c l a d } } } { n _ { \mathrm { e f f , ~ T ~ _ 0 ~ } } } \frac { \partial n _ { \mathrm { c l a d } } } { \partial T } , } \end{array}
\left< \frac { E _ { \nu } } { E _ { \nu } + m _ { \nu } } \vec { \beta } _ { \nu } | \vec { \beta } _ { \nu } | \right> _ { R } = - \langle | \vec { \beta } _ { \nu } | \rangle \vec { \beta } _ { e a r t h } = - \vec { \beta } _ { e a r t h } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { T } X } & { = \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { C } _ ( Z ) - ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \cos \Phi \sin \Phi \sin ^ { 2 } \Theta , } \\ { \partial _ { T } Y } & { = - ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \cos \Phi \sin \Theta \cos \Theta , } \\ { \partial _ { T } Z } & { = - [ v _ { { \mathrm { s } } \bot } + ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \cos ^ { 2 } \Phi \sin ^ { 2 } \Theta ] , } \\ { \partial _ { T } \Phi } & { = \lambda \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { S } _ ( Z ) ( \lambda + \cos 2 \Phi ) , } \\ { \partial _ { T } \Theta } & { = \lambda \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { S } _ ( Z ) \sin 2 \Phi \sin \Theta \cos \Theta , } \end{array}
L _ { z } = \frac { 1 - e ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } [ \frac { 1 } { 2 e } \ln { ( \frac { 1 + e } { 1 - e } } ) - 1 ] ; \, L _ { x } = L _ { y } = \frac { 1 - L _ { z } } { 2 } ;
\operatorname { E } \left[ e ^ { - t X } \right] = { \frac { 1 } { \lambda ^ { k } \, t ^ { k } } } \, { \frac { p ^ { k } \, { \sqrt { q / p } } } { ( { \sqrt { 2 \pi } } ) ^ { q + p - 2 } } } \, G _ { p , q } ^ { \, q , p } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { { \frac { 1 - k } { p } } , { \frac { 2 - k } { p } } , \dots , { \frac { p - k } { p } } } \\ { { \frac { 0 } { q } } , { \frac { 1 } { q } } , \dots , { \frac { q - 1 } { q } } } \end{array} } \; \right| \, { \frac { p ^ { p } } { \left( q \, \lambda ^ { k } \, t ^ { k } \right) ^ { q } } } \right)
K _ { a } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = \frac { \omega _ { s } } { c \sqrt { \varepsilon _ { r } ( \omega _ { s } ) } } \chi _ { e f f } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) E _ { \omega _ { 1 } , M } E _ { \omega _ { 2 } , M } .
\frac { 1 } { \tau _ { N } ^ { L A } ( x ) } = \frac { k _ { B } ^ { 3 } \gamma _ { L A } ^ { 2 } V } { M \hbar ^ { 2 } \nu _ { L A } ^ { 5 } } \left( \frac { k _ { B } } { \hbar } \right) ^ { 2 } x ^ { 2 } T ^ { 5 }
\int _ { x } d ^ { 2 } x \ F \sim \operatorname * { l i m } _ { z \rightarrow 0 } \int _ { x } d ^ { 2 } x \ { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } { \frac { z ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \sqrt { r ^ { 2 } - ( x - a ) ^ { 2 } } + c } & { = \sqrt { p ^ { 2 } - ( x - b ) ^ { 2 } } + d } \\ { \sqrt { r ^ { 2 } - ( x - a ) ^ { 2 } } } & { = \sqrt { p ^ { 2 } - ( x - b ) ^ { 2 } } + ( d - c ) } \\ { r ^ { 2 } - ( x - a ) ^ { 2 } } & { = \left( \sqrt { p ^ { 2 } - ( x - b ) ^ { 2 } } + ( d - c ) \right) ^ { 2 } } \\ { r ^ { 2 } - ( x - a ) ^ { 2 } } & { = p ^ { 2 } - ( x - b ) ^ { 2 } + 2 ( d - c ) \sqrt { p ^ { 2 } - ( x - b ) ^ { 2 } } + ( d - c ) ^ { 2 } } \\ { \frac { ( r ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) + ( x - b ) ^ { 2 } - ( x - a ) ^ { 2 } - ( d - c ) ^ { 2 } } { 2 ( d - c ) } } & { = \sqrt { p ^ { 2 } - ( x - b ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { ( 2 b - 2 a ) x + ( b ^ { 2 } + r ^ { 2 } - p ^ { 2 } - a ^ { 2 } - d ^ { 2 } + 2 d c - c ^ { 2 } ) } { 2 ( d - c ) } } & { = \sqrt { p ^ { 2 } - ( x - b ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { \left( ( 2 b - 2 a ) x + ( b ^ { 2 } + r ^ { 2 } - p ^ { 2 } - a ^ { 2 } - d ^ { 2 } + 2 d c - c ^ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } { 4 ( d - c ) ^ { 2 } } } & { = p ^ { 2 } - ( x - b ) ^ { 2 } } \end{array}
V ^ { \psi } = - { \frac { i } { 8 } } \mu p ^ { + } \Psi ^ { T } \gamma ^ { 1 2 3 } \Psi + { \frac { i } { 4 8 } } \Psi ^ { T } \gamma ^ { A B C D } \{ X ^ { A } , X ^ { B } , X ^ { C } , X ^ { D } , \Psi \}
\begin{array} { r l } { \Vert f \Vert _ { \mathcal { H } _ { \ell , m } ^ { \vartheta } , \tilde { \alpha } } } & { : = \Vert \phi ( D ) f \Vert _ { L ^ { \ell } } + \left\{ \begin{array} { r l r } & { \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } v } { v } v ^ { ( n - \frac { \vartheta } { \tilde { \alpha } } ) m } \Vert \partial _ { v } ^ { n } p _ { \tilde { \alpha } } ( v , \cdot ) \star f \Vert _ { L ^ { \ell } } ^ { m } \right) ^ { \frac { 1 } { m } } , \qquad } & { m < \infty , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { v \in ( 0 , 1 ] } v ^ { n - \frac { \vartheta } { \tilde { \alpha } } } \Vert \partial _ { v } ^ { n } p _ { \tilde { \alpha } } ( v , \cdot ) \star f \Vert _ { L ^ { \ell } } , } & { m = \infty , } \end{array} \right. } \\ & { = : \Vert \phi ( D ) f \Vert _ { L ^ { \ell } } + \mathcal { T } _ { \ell , m } ^ { \vartheta } [ f ] . } \end{array}
\mathcal { I } _ { \infty } ^ { a } ( \mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ p ~ } , j ) = \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( \mathcal { I } _ { \infty } ^ { a } ( 1 , j ) , \; \mathcal { I } _ { \infty } ^ { a } ( 2 , j ) , \; \cdots , \; \mathcal { I } _ { \infty } ^ { a } ( m , j ) \right) ,
\partial _ { \alpha } F ^ { \alpha \beta } = \partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } A ^ { \beta } - \partial _ { \alpha } \partial ^ { \beta } A ^ { \alpha } = \partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } A ^ { \beta } - \partial ^ { \beta } \big ( \partial _ { \alpha } A ^ { \alpha } \big ) = \partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } A ^ { \beta } .
\begin{array} { r l } { U ( \Theta ) = } & { \frac { \left\| u _ { \Theta } - u \right\| _ { \mathcal { D } ^ { u } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { u } ^ { 2 } } + \frac { \left\| \mathcal { B } ( u _ { \Theta } ) - \mathcal { B } ( u ) \right\| _ { \mathcal { D } ^ { \partial } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { b } ^ { 2 } } + \frac { \left\| \mathcal { I } ( u _ { \Theta } ) - \mathcal { I } ( u ) \right\| _ { \mathcal { D } ^ { I } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + \frac { \left\| \mathcal { F } ( u _ { \Theta } ) \right\| _ { \mathcal { D } ^ { \Omega } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { f } ^ { 2 } } + \frac { \left\| \mathcal { H } ( u _ { \Theta } ) \right\| _ { \mathcal { D } ^ { \Omega } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { h } ^ { 2 } } + \frac { \left\| \theta \right\| _ { \mathbb { R } ^ { d } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \theta } ^ { 2 } } + \frac { \left\| \Sigma - \mu _ { \Sigma } \right\| _ { \mathbb { R } ^ { p } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \Sigma } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { D J ( g ; g _ { i } ^ { b } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { J ( g + \delta \cdot g _ { i } ^ { b } ) - J ( g ) } { \delta } , } & { g _ { i } ^ { b } \in \mathrm { ~ T y p e ~ 1 ~ } ; } \\ { \gamma \int _ { 0 } ^ { T } \langle g , g _ { i } ^ { b } \rangle _ { \Gamma } \, d t + \int _ { 0 } ^ { T } \left( \theta ( g ) \nabla \rho ( g ) , L ( g _ { i } ^ { b } ) \right) d t , } & { g _ { i } ^ { b } \in \mathrm { ~ o t h e r ~ t y p e s } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mathcal { S } } \mathcal { P } _ { u } } & { { } = ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) ( \mathcal { I } - \mathcal { S } \mathcal { S } _ { u u } ^ { - 1 } \mathcal { P } _ { u } ) \mathcal { S } \mathcal { P } _ { u } = ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) \mathcal { S } \mathcal { P } _ { u } - ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) \mathcal { S } \mathcal { S } _ { u u } ^ { - 1 } \mathcal { P } _ { u } \mathcal { S } \mathcal { P } _ { u } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } = \frac { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } { \ln ( 2 ) \, N _ { o } } \int _ { 0 } ^ { \infty } } & { x ^ { k _ { A } + m _ { A } + 1 } \, \mathrm { G } _ { 2 , 2 } ^ { 1 , 2 } \left( \frac { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } { N _ { o } } \, x ^ { 2 } \left| \begin{array} { c } { 0 , 0 } \\ { 0 , - 1 } \end{array} \right. \right) } \\ & { \times \mathrm { K } _ { k _ { A } - m _ { A } } \left( 2 \Xi x \right) \, \mathrm { d } x , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } V _ { 1 } } & { = } & { n _ { 2 } V _ { 2 } , } \\ { n _ { 1 } m V _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 1 } k _ { B } T _ { \parallel 1 } } & { = } & { n _ { 2 } m V _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 2 } k _ { B } T _ { \parallel 2 } , } \\ { m \frac { V _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 3 k _ { B } T _ { \parallel 1 } + 2 k _ { B } T _ { \perp 1 } } { 2 } } & { = } & { m \frac { V _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 3 k _ { B } T _ { \parallel 2 } + 2 k _ { B } T _ { \perp 1 } } { 2 } . } \end{array}
{ \Upsilon \left( { { \Omega } _ { l } } , { { \Gamma } _ { l } } \right) = \left[ { { \left( \omega + { { \Omega } _ { l } } \right) } ^ { 2 } } + \Gamma _ { l } ^ { 2 } \right] \left[ { { \left( \omega - { { \Omega } _ { l } } \right) } ^ { 2 } } + \Gamma _ { l } ^ { 2 } \right] }
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } } & { { } = \sum _ { x x ^ { ' } } | x \rangle \langle x ^ { ' } | \sum _ { y } \langle x y | \hat { \rho } _ { \mathrm { X Y } } | x ^ { ' } y \rangle } \end{array}
{ \cal M } = - \frac { i _ { f } g _ { i } ^ { 2 } } { 4 } J ^ { \mu } \frac { 1 } { k ^ { 2 } - M _ { G } ^ { 2 } } J _ { \mu } ^ { \dagger } = \sqrt { 2 } G _ { F } J ^ { \mu } J _ { \mu } ^ { \dagger }
\begin{array} { r l } { n _ { + } ^ { 2 } + n _ { - } ^ { 2 } } & { { } = ( 1 + \zeta ) ^ { 2 } \, , } \\ { n _ { + } ^ { 2 } - n _ { - } ^ { 2 } } & { { } = \frac { 2 i c } { \omega } \frac { d \zeta } { d z } \, , } \end{array}
\phi _ { 2 } ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ( { \bf k } _ { 1 } , { \bf k } _ { 2 } ) = g ^ { 2 } \frac { N } { N ^ { 2 } - 1 } \delta _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } f _ { 2 } ( { \bf k } _ { 1 } , { \bf k } _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { R } _ { 1 } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } } & { { } = \left\| \sum _ { m = 0 } ^ { t - 1 } P ^ { t - m - 1 } \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \right\| _ { \infty } \leq \sum _ { m = 0 } ^ { t - 1 } \| P ^ { t - m - 1 } \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } } \end{array}
\beta \left( D _ { \mathrm { { L } } } \oplus \delta _ { \mathrm { { R } } } \right) = i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - m { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \eta \omega K } \\ { - \eta \omega K } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathbf { G } } ( 0 , x ^ { \prime } ; \omega ) = \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( 0 , x ^ { \prime } ; \omega ) - Z \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( 0 , 0 ; \omega ) \ensuremath { \mathbf { G } } ( 0 , x ^ { \prime } ; \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { l ( \hat { \rho } _ { t } , u _ { t } ) } & { = ( y _ { t } - y _ { t } ^ { \mathrm { r e f } } ) ^ { T } S ( y _ { t } - y _ { t } ^ { \mathrm { r e f } } ) + u _ { t } ^ { T } R u _ { t } } \\ { l _ { H } ( \hat { \rho } _ { H } ) } & { = ( y _ { H } - y _ { H } ^ { \mathrm { r e f } } ) ^ { T } S _ { H } ( y _ { H } - y _ { H } ^ { \mathrm { r e f } } ) } \end{array}
( v _ { 1 } , v _ { 2 } , p ) ( \tilde { x } _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) \approx \sum _ { n = - N _ { 1 } } ^ { N _ { 1 } } \sum _ { m = 0 } ^ { N _ { 2 } } \mathsf { v } _ { n m } ( t ) \Phi _ { n } ( \tilde { x } _ { 1 } ) T _ { m } ( x _ { 2 } ) ,
\begin{array} { l l } { \partial _ { t } W + \partial _ { x } F ( W ) = 0 } \\ { W ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { W _ { L } ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ) , } & { \; \; \; x < x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { W _ { R } ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ) , } & { \; \; \; x > x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\nabla _ { L B } ^ { 2 } \psi \equiv \frac { 1 } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial \xi _ { 1 } } \left( \frac { h _ { 2 } } { h _ { 1 } } \frac { \partial \psi } { \partial \xi _ { 1 } } \right) + \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \left( \frac { h _ { 1 } } { h _ { 2 } } \frac { \partial \psi } { \partial \xi _ { 2 } } \right) \right)
\varphi _ { k } ( - h L ) = \frac { 1 } { h ^ { k } } \int _ { 0 } ^ { h } \frac { \tau ^ { k - 1 } } { ( k - 1 ) ! } e ^ { - ( h - \tau ) L } \, d \tau \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k \in { \mathbb N } .
{ \frac { \pi } { 4 } } = 1 - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - { \frac { 1 } { 7 } } + \cdots = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { 2 n - 1 } }
\left( \begin{array} { c } { { H } } \\ { { R } } \\ { { I } } \end{array} \right) = T \, \left( \begin{array} { c } { { X _ { 1 } } } \\ { { X _ { 2 } } } \\ { { X _ { 3 } } } \end{array} \right) \, .