harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { 1 } ( z ) } & { = } & { \left( \frac { \kappa } { \cos { \theta _ { 0 } } } \right) V _ { c } D \left( n _ { s } G \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } T _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G } \right) , } \\ { \Gamma _ { 2 } ( z ) } & { = } & { 2 \left( \frac { \kappa } { \cos { \theta _ { 0 } } } \right) V _ { c } n _ { s } G _ { s } ^ { c } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } T _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G } + V _ { c } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } T _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G } D \chi + V _ { c } \, n _ { s } \, \left( \frac { \kappa } { \cos { \theta _ { 0 } } } \right) \, \chi ( z ) \, \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } T _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } } & { { } = } & { 8 \pi \rho \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } \\ { \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial z } } & { { } = } & { - 4 \pi ( p _ { r } + p _ { \varphi } ) \; , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi \partial z } } & { { } = } & { 0 \; , } \\ { - \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } } & { { } = } & { 8 \pi ( p _ { r } - p _ { \varphi } ) \; , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi ^ { 2 } } } & { { } = } & { 0 \; , } \\ { 2 \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \frac { \partial \beta } { \partial z } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial \varphi } } & { { } = } & { 0 \; , } \\ { - \frac { 3 } { 4 r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } } & { { } = } & { 8 \pi p _ { z } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } - \omega _ { \pm } ) ^ { 2 } \partial _ { z } \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } + \big [ \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } ^ { \prime } ( \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \mathbf { U } - \omega _ { \pm } ) + | \mathbf { k } _ { \pm } | ^ { 2 } \big ] \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { \hat { \mathcal { F } } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { \pm } , z ) ~ \mathrm { f o r } ~ z = \eta , } \\ { \hat { w } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { 0 ~ \mathrm { f o r } ~ z \to - \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { E \in \Omega _ { h } } } & { \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \eta } ) \boldsymbol { U } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } = \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \| { \mathrm { c u r l } } ( ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \eta } ) \boldsymbol { U } ) \| _ { E } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \left( | \boldsymbol { \eta } | _ { W _ { \infty } ^ { 2 } ( E ) } ^ { 2 } \, \| \boldsymbol { U } \| _ { E } ^ { 2 } + | \boldsymbol { \eta } | _ { W _ { \infty } ^ { 1 } ( E ) } ^ { 2 } \, \| \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { U } \| _ { E } ^ { 2 } \right) \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \bigl ( | \boldsymbol { \eta } | _ { W _ { \infty } ^ { 2 } ( E ) } ^ { 2 } + h _ { E } ^ { - 2 } | \boldsymbol { \eta } | _ { W _ { \infty } ^ { 1 } ( E ) } ^ { 2 } \bigr ) C \, \| \boldsymbol { U } \| _ { E } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \bigl ( \| \boldsymbol { \eta } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , W _ { \infty } ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } + h _ { E } ^ { - 2 } \| \boldsymbol { \eta } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , W _ { \infty } ^ { 1 } ( E ) ) } ^ { 2 } \bigr ) C \, \| \boldsymbol { U } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } \pi _ { y } ^ { \perp } \left( \textrm { d } ^ { 2 } f _ { \gamma ( u ) } ( \gamma ^ { \prime } ( u ) , \gamma ^ { \prime } ( u ) ) \right) \textrm { d } u \textrm { d } s \right\| } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } \left\| \pi _ { y } ^ { \perp } \left( \textrm { d } ^ { 2 } f _ { \gamma ( u ) } ( \gamma ^ { \prime } ( u ) , \gamma ^ { \prime } ( u ) ) \right) \right\| \textrm { d } u \textrm { d } s } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } \left\| \textrm { d } ^ { 2 } f _ { \gamma ( u ) } ( \gamma ^ { \prime } ( u ) , \gamma ^ { \prime } ( u ) ) \right\| \textrm { d } u \textrm { d } s } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } \left( \bar { H } \| \gamma ^ { \prime } ( u ) \| ^ { 2 } \right) \textrm { d } u \textrm { d } s } \\ & { = \bar { H } \frac { t ^ { 2 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { s _ { 1 } ( t ) = x _ { 1 } ( t ) - X ( t ) \, , } & & { s _ { 2 } ( t ) = x _ { 2 } ( t ) - x _ { 1 } ( t ) \, , } & & { s _ { 3 } ( t ) = X ( t ) - x _ { 2 } ( t ) \, , } \\ & { \psi _ { 1 } ( t ) = \theta _ { 1 } ( t ) - \Theta ( t ) \, , } & & { \psi _ { 2 } ( t ) = \theta _ { 2 } ( t ) - \theta _ { 1 } ( t ) \, , } & & { \psi _ { 3 } ( t ) = \Theta ( t ) - \theta _ { 2 } ( t ) \, . } \end{array}
{ \mathcal { L } } ( t ) = - m c ^ { 2 } { \sqrt { 1 - { \frac { { { \dot { \mathbf { x } } } ( t ) } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } + q { \dot { \mathbf { x } } } ( t ) \cdot \mathbf { A } \left( \mathbf { x } ( t ) , t \right) - q \varphi \left( \mathbf { x } ( t ) , t \right)
\begin{array} { r c l } { | C _ { i } ( \mu ) \hat { x } _ { r _ { j } } ( \mu ) | } & { = } & { | C _ { i } ( \mu ) \hat { x } _ { r _ { j } } ( \mu ) | + | C _ { i } ( \mu ) x _ { r _ { j } } ( \mu ) | - | C _ { i } ( \mu ) x _ { r _ { j } } ( \mu ) | } \\ & { \leq } & { | C _ { i } ( \mu ) x _ { r _ { j } } ( \mu ) | + \delta _ { i j } ( \mu ) . } \end{array}
V ( t ) : = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } v f ( v , w , c , t ) d v d w d c \, , \quad W ( t ) : = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } w f ( v , w , c , t ) d v d w d c
( \vec { U } , \vec { V } ) _ { \Omega } = \vec { U } ^ { T } P _ { \Omega } \vec { V } \approx \int _ { \Omega } U ^ { T } V d \Omega , \quad \mathrm { a n d } \quad ( \vec { U } , \vec { U } ) _ { \Omega } = \| \vec { U } \| _ { \Omega } ^ { 2 } = \vec { U } ^ { T } P _ { \Omega } \vec { U } \approx \int _ { \Omega } U ^ { T } U d \Omega = \| U \| _ { \Omega } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { N + 1 } ^ { \mathrm { ( r ) } } = 1 - \sum _ { f = 0 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { f } \hat { F } _ { k } [ \eta _ { \mathrm { r r } } ( N ) ] \binom { N } { f } p ^ { N - f } ( 1 { - } p ) ^ { f } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta } & { { } = \frac { 1 } { \alpha } \ln { \bigg ( 1 + \frac { \Delta f e ^ { - \alpha t _ { e n d } } } { a } \bigg ) } = \frac { 1 } { \alpha } \ln { \bigg ( 1 + \frac { \Delta f } { f _ { e n d } } \bigg ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 4 \, 2 } ^ { - 2 } ( i ) } & { { } = \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } ( \cos i ) ^ { 2 } - \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } \cos i } \end{array}
{ L _ { 0 - 1 } } = \sqrt { { L _ { 0 - 6 , b } } ^ { 2 } + { L _ { 1 - 6 , b } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 0 - 6 , b } } \cdot { L _ { 1 - 6 , b } } \cdot c o s ( { A _ { b } } ) ) }
\begin{array} { r l } { - \nu \Delta \mathbf { v } _ { ( 0 ) } ^ { * } + \nabla p _ { ( 0 ) } ^ { n } } & { { } = \boldsymbol { 0 } . } \\ { - \nabla p _ { ( 0 ) } ^ { n } + \nabla p _ { ( 0 ) } ^ { n + 1 } } & { { } = \boldsymbol { 0 } . } \end{array}
{ \frac { ( n + 1 ) ! } { S ! ( n - S ) ! } } r ^ { S } ( 1 - r ) ^ { n - S } \, d r \quad { \mathrm { f o r ~ } } 0 \leq r \leq 1 , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } S = X _ { 1 } + \cdots + X _ { n } .
\begin{array} { r l } & { p _ { \mathrm { e c } } D ( \bar { \rho } _ { B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \omega _ { B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) } \\ & { \leq \varepsilon _ { \mathrm { s } } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 ^ { s _ { n } - H _ { \mathrm { m i n } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { s } } } ( B ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \sigma ^ { n } } } } , } \end{array}
\mathbf { r } _ { p } ^ { n + 1 } = \mathbf { r } _ { p } ^ { n } + \frac { \Delta _ { t } } { 2 4 } ( 9 \mathbf { v } _ { p } ^ { n + 1 } + 1 9 \mathbf { v } _ { p } ^ { n } - 9 \mathbf { v } _ { p } ^ { n - 1 } + \mathbf { v } _ { p } ^ { n - 2 } ) .
Q = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \omega } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { . } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \omega ^ { N - 1 } } } \end{array} \right) \; , \; \; \; \; \; \;
\begin{array} { r l } { L _ { \mathbb { P } } ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ) } & { \otimes L ^ { 2 } ( ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) ; X ) \cong L _ { \mathbb { P } } ^ { 2 } ( \Omega ; L ^ { 2 } ( ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) ; X ) ) \cong L ^ { 2 } ( \Omega \times ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) ; X ) } \\ & { \cong L ^ { 2 } ( ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) ; L _ { \mathbb { P } } ^ { 2 } ( \Omega ; X ) ) \cong L ^ { 2 } ( ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) ; \mathbb { R } ) \otimes L _ { \mathbb { P } } ^ { 2 } ( \Omega ; X ) . } \end{array}
P ^ { r } ( j | i ) = \frac { \exp { \left( \frac { N _ { j } ^ { \mathrm { ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ } } - N _ { j } ^ { \mathrm { ~ i ~ d ~ l ~ e ~ } } } { t _ { i j } } \right) } } { \sum _ { j \in \mathcal { Z } } \exp { \left( \frac { N _ { j } ^ { \mathrm { ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ } } - N _ { j } ^ { \mathrm { ~ i ~ d ~ l ~ e ~ } } } { t _ { i j } } \right) } }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { E } [ u ] ( t ) } & { = \int _ { \Omega } \left[ Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } | \nabla u | ) \frac { \nabla u } { | \nabla u | } \cdot \nabla u _ { t } + F ^ { \prime } ( u ) u _ { t } \right] \, d x } \\ & { = \int _ { \Omega } \left\{ - \mathrm { d i v } \left[ \frac { \varepsilon ^ { 2 } \nabla u } { \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 4 } | \nabla u | ^ { 2 } } } \right] + F ^ { \prime } ( u ) \right\} u _ { t } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { l } } ( R _ { \mathrm { b } } , t ) = \frac { \mathrm d R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d t } - \frac { \rho _ { \mathrm { v } } \left( T _ { \mathrm { v } } \right) } { \rho _ { \mathrm { l } } } \frac { \mathrm d R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d t } = \left[ 1 - \frac { \rho _ { \mathrm { v } } \left( T _ { \mathrm { v } } \right) } { \rho _ { \mathrm { l } } } \right] \frac { \mathrm d R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { i j } } & { { } = b _ { i j } ^ { ( 2 ) } p _ { f } ^ { ( 2 ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( 1 ) } } & { { } = a _ { 2 3 } p _ { f } ^ { ( 2 ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( 2 ) } } & { { } = a _ { 3 3 } p _ { f } ^ { ( 2 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta A _ { 1 } } & { = 2 \epsilon f \int d k \ e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \cos ( k x _ { 1 } ) \frac { \sin ( \omega ( k ) T ) } { \omega ( k ) } , } \\ { \Delta A _ { 2 } } & { = 2 \epsilon \int d k \ e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \sin ( k x _ { 1 } ) \ { \sin ( \omega ( k ) T ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 3 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 - h ( t ) ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } G \biggr ( 2 ( 3 \pi ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \frac { | \dot { h } ( t ) | } { ( 1 - h ( t ) ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } } \biggr ) \mathrm { d } t = c _ { x , 2 } ^ { \textnormal { D i r } } - c _ { \mathrm { L D A } } ^ { \textnormal { D i r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { Y } } ^ { k } } \\ { = } & { \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - { \mathbf { Y } } ^ { k } } \\ { = } & { \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) ( \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } ) - \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } } \\ & { + { \mathbf { C } } _ { \gamma } ( \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \boldsymbol { G } } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\{ - \omega _ { i } ( \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) + \omega _ { i } ( \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) ^ { - 1 } \right\} ^ { 2 } \boldsymbol { B } _ { i } \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } , } \\ & { } & { \hat { \boldsymbol { H } } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\{ \omega _ { i } ( \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) + \omega _ { i } ( \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) ^ { - 1 } \right\} \boldsymbol { B } _ { i } \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } + \lambda / n \boldsymbol { D } _ { q } . } \end{array}
\bar { \gamma } _ { \mathrm { X e } } = \frac { \vert \gamma _ { \mathrm { { X e } } } ^ { ( 1 2 9 ) } \gamma _ { \mathrm { X e } } ^ { ( 1 3 1 ) } \vert } { \vert \gamma _ { \mathrm { X e } } ^ { ( 1 2 9 ) } \vert + \vert \gamma _ { \mathrm { X e } } ^ { ( 1 3 1 ) } \vert } = 2 . 7 1 2 ~ \mathrm { m H z / n T } ,
\rho _ { 1 , \Omega _ { Q Q ^ { \prime } } ^ { ' \diamond } } ( \omega ) = \frac { \sqrt { 2 } ( m _ { Q Q ^ { \prime } } \omega ) ^ { 3 / 2 } } { 1 5 0 1 5 \pi ^ { 3 } ( { \cal { M } } _ { d i q } + \omega ) ^ { 3 } } ( \eta _ { 1 , 0 } ( \omega ) + m _ { s } \eta _ { 1 , 1 } ( \omega ) + m _ { s } ^ { 2 } \eta _ { 1 , 2 } ( \omega ) ) ,
- \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } D \partial _ { t } S { \mathrm { d } } r = \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } D \nabla S \cdot u \, { \mathrm { d } } r = : \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } { M } \cdot u \, { \mathrm { d } } r
{ \bf j } _ { \mathrm { o r b i t a l } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { q } { 2 m } \left[ \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ( i \hbar \nabla - q \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ) \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ( - i \hbar \nabla - q \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ) \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] \; .
P _ { \mathrm { ~ A ~ } } \geq 6 \pi \mu a V _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { 2 } \left( 2 + \frac { a } { \lambda } \right) = 6 \pi a V _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { 2 } \left( 2 \mu + a \zeta _ { \mathrm { s } } \right) \; .
\frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi } - \partial _ { \nu } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \nu } \psi ) } + \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \right) = 0 .
\begin{array} { r l r } { n _ { \pm } } & { = } & { \sqrt { \mu \epsilon + \left( \frac { \mu \Sigma } { 2 \omega } \right) ^ { 2 } } \pm \frac { \mu \Sigma } { 2 \omega } \; , } \\ { \tilde { n } _ { \pm } } & { = } & { - \sqrt { \mu \epsilon + \left( \frac { \mu \Sigma } { 2 \omega } \right) ^ { 2 } } \pm \frac { \mu \Sigma } { 2 \omega } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \varepsilon \partial _ { t t } \vec { A } , \partial _ { t } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + ( \sigma \partial _ { t } \vec { A } , \partial _ { t } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } , \operatorname { c u r l } _ { x } \partial _ { t } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } = ( \vec { j } _ { a } , \partial _ { t } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma \cdot \frac { 1 - \frac { 1 } { 4 m } } { 1 + \frac { 1 } { 4 m } } < \operatorname* { P r } _ { x \sim p } \left[ x _ { 1 } = y _ { 1 } , x _ { 2 } = c _ { j } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } \right] < \gamma \cdot \frac { 1 + \frac { 1 } { 4 m } } { 1 - \frac { 1 } { 4 m } } . } \end{array}
{ \cal L } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left( E _ { i } ^ { 2 } [ V _ { 0 } , \vec { V } ] - B _ { i } ^ { 2 } [ \vec { V } ] + M ^ { 2 } V _ { 0 } ^ { 2 } - M ^ { 2 } V _ { i } ^ { 2 } \right) ~ ,
\eta = \eta _ { 0 } \lambda x , \qquad \eta _ { 0 } = \frac { \Omega \epsilon } { 1 6 \pi l _ { P } ^ { 2 } } ( \tilde { Q } _ { 0 } \tilde { Q } _ { 1 } \tilde { Q } _ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } \sum _ { I } \tilde { Q } _ { I } ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r } { w ( x , t ) = \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { w } _ { n } \, e ^ { i n ( \omega _ { m } t - \kappa _ { m } x ) } \right) e ^ { i ( \omega t - \kappa x ) } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { w } _ { n } \, e ^ { i n ( \omega _ { n } t - \kappa _ { n } x ) } , } \\ { v ( x , t ) = \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { v } _ { n } \, e ^ { i n ( \omega _ { m } t - \kappa _ { m } x ) } \right) e ^ { i ( \omega t - \kappa x ) } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { v } _ { n } \, e ^ { i n ( \omega _ { n } t - \kappa _ { n } x ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 1 } } & { { } = k _ { 0 } \left( - 1 , 1 , 1 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 3 } } & { { } = k _ { 0 } \left( 1 , 1 , - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 3 } } & { = } & { - t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) \exp \left\{ - \frac { 2 \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} } \\ & { } & { \left[ 2 \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) + \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right] . } \end{array}
\bar { U } _ { 0 } + \frac { \pi \mu _ { 0 } ^ { 3 } ( r _ { 1 } \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } n I _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 3 2 l r _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 0 ( r _ { 1 } r _ { 2 } ) ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 4 } ) ^ { - 1 } }
\begin{array} { r l } & { 4 t ^ { 2 } \| \partial _ { x } ( e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + 4 t ^ { 2 } \| \partial _ { x } ( e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } v ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x \leq C t , } \end{array}
Y _ { 4 } ^ { 0 } \rightarrow 3 5 L _ { z } ^ { 4 } - ( 3 0 L ( L + 1 ) - 2 5 ) L _ { z } ^ { 2 } + 2 L ^ { 2 } ( L + 1 ) ^ { 2 } - 6 L ( L + 1 )
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Gamma ^ { \mathrm { l o w } } } & { : = \big \{ ( j , k ) : \ \operatorname* { m i n } _ { i } | D _ { j _ { i } } | \geq \delta , \ k \in \mathcal { L } _ { j } ^ { \mathrm { l o w } } \big \} ; } \\ { \Gamma ^ { \mathrm { m e d } } } & { : = \big \{ ( j , k ) : \ \operatorname* { m i n } _ { i } | D _ { j _ { i } } | \geq \delta , \ k \in \mathcal { L } _ { j } ^ { \mathrm { m e d } } \big \} ; } \\ { \Gamma ^ { \mathrm { h i g h } } } & { : = \big \{ ( j , k ) : \ \operatorname* { m i n } _ { i } | D _ { j _ { i } } | \geq \delta , \ k \in \mathcal { L } _ { j } ^ { \mathrm { h i g h } } \big \} \cup \big \{ ( j , k ) : \ \operatorname* { m i n } _ { i } | D _ { j _ { i } } | < \delta , \ k \in \mathbb { Z } ^ { d } \big \} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { m } ( q ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { N } } \left| \operatorname* { d e t } \frac { \partial ^ { 2 } S ( q , I _ { m } ) } { \partial q _ { a } \partial I _ { b } } \right| e ^ { \frac { i } { \hbar } S ( q , I _ { m } ) } \, , } \end{array}
\overline { { \delta p ( \boldsymbol { 0 } ) } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \iint _ { A } \left( \boldsymbol { \epsilon } \cdot \frac { \boldsymbol { e } _ { r } } { r } \right) d A = \iint _ { A } \left( \boldsymbol { \epsilon } \cdot \boldsymbol { \nabla } G ( r ) \right) d A .
\Phi _ { D + 1 } = { \cal P } _ { \mu } \xi ^ { \mu } - m \xi _ { D + 1 } + i R G _ { \mu \nu } ^ { a } I ^ { a } \xi ^ { \mu } \xi ^ { \nu } \xi _ { D + 1 } , \quad \Phi _ { D + 2 } = a \xi _ { o } + b \xi _ { D + 1 } .
\delta \lambda = \left\{ \begin{array} { l } { \sqrt { 3 ( \lambda _ { m a x } ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ) } , \mathrm { ~ i ~ n ~ s ~ m ~ o ~ o ~ t ~ h ~ r ~ e ~ g ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } \\ { 0 , \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right\}
\nabla _ { \nu } \left( { } ^ { \star } B _ { ( p + 2 ) } \right) ^ { \nu \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { \tilde { p } + 1 } } = \tilde { J } ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { \tilde { p } + 1 } } \, .
\begin{array} { l } { \displaystyle \| u - u _ { h } \| _ { X } + \| \sigma - \sigma _ { h } \| _ { Y } } \\ { \displaystyle \quad \leq \, C _ { S T } \, C _ { 1 } ( u , u _ { h } ) \, \Big \{ C _ { 2 } ( u ) \, \mathrm { d i s t } \, ( u , X _ { h } ) \, + \, \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathrm { d i s t } \, ( u , X _ { h } ) ^ { p _ { j } - 1 } \, + \, \mathrm { d i s t } \, ( \sigma , Y _ { h } ) \Big \} \, , } \end{array}
\rho _ { \downarrow } ^ { ( 1 ) } ( x _ { \downarrow } ; t ) = \sum _ { X \in \{ I , S , T \} } \sum _ { \alpha } | \langle X _ { \alpha } ^ { x _ { \downarrow } } | \Psi _ { \mathrm { g r } } ( t ) \rangle | ^ { 2 }
U ^ { * } { \cal M } V ^ { \dagger } = d i a g \{ M _ { 1 } , M _ { 2 } \} \; \; \; \; \; , \; \; \; \; \; N ^ { * } { \cal M } ^ { 0 } N ^ { \dagger } = d i a g \{ M _ { 1 } ^ { 0 } , . . . M _ { 4 } ^ { 0 } \} \ .
\begin{array} { r l } { \big ( R H S \big ) _ { \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > } = } & { \frac { 1 } { 2 } \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \Big ( 2 a - \frac { 1 } { 2 } \Big ) E _ { D } ^ { \infty } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + \frac { 1 } { 2 } \big ( \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > - E _ { D } ^ { \infty } \big ) \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { \rho } \textbf { \emph { \^ n } } \cdot \mathbf { \nabla } \rho } \\ & { - 2 \frac { \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > ^ { 2 } \big < z ^ { \infty \mp 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { L _ { \infty } ^ { \pm } } , } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ i ~ l ~ } } ^ { \mu \nu } = \int _ { - \infty } ^ { \tau ^ { - } } \nabla ^ { [ \mu } G _ { \ \ \lambda ^ { \prime } } ^ { \nu ] } \left( z ( \tau ) , z ( \tau ^ { \prime } ) \right) u ^ { \lambda ^ { \prime } } d \tau ^ { \prime } \, ,
\begin{array} { r } { S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 3 3 } ^ { q } = \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } } \\ { + \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 2 R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) . } \end{array}