harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ { \frac { \alpha } { \mathfrak { a } } } \right] _ { 2 } = \left[ { \frac { \alpha } { { \mathfrak { p } } _ { 1 } } } \right] _ { 2 } \cdots \left[ { \frac { \alpha } { { \mathfrak { p } } _ { n } } } \right] _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \dot { x _ { i } } } & { { } = \left( \sum _ { d = 2 } ^ { k } L _ { d } ^ { \top } F ( L _ { d } x ) \right) _ { i } = \sum _ { d = 2 } ^ { k } \left( \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M _ { d } } \left( S _ { \alpha } ^ { \top } \tilde { F } _ { d } ( S _ { \alpha } ^ { d } x ) \right) \right) _ { i } } \end{array}
\mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { l o w - e d g e } } ( 0 , n _ { k } , N _ { k } , \overline { { w } } ) \mid \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { d e n s e } } \big ) = \mathbb E ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big [ \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { l o w - e d g e } } ( 0 , n _ { k } , N _ { k } , \overline { { w } } _ { N _ { k } } ) \mid \Xi , \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { d e n s e } } \big ) \big ] .
[ D _ { \rho } ( k ^ { 2 } ) ] _ { \mu \nu } = \frac { g _ { \mu \nu } - \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { M _ { \rho } ^ { 2 } } } { k ^ { 2 } - M _ { \rho } ^ { 2 } } \, , ~ ~ ~ [ D _ { \omega } ( k ^ { 2 } ) ] _ { \mu \nu } = \frac { g _ { \mu \nu } - \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { M _ { \omega } ^ { 2 } } } { k ^ { 2 } - M _ { \omega } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { u ^ { \prime } = ( e ^ { - i ( \widetilde { \omega } + \varpi ) r _ { * } } \Delta ^ { - i q } v ) ^ { \prime } = } & { - i \left[ \widetilde { \omega } + \varpi + q \frac { d \Delta } { d r } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \right] e ^ { - i ( \widetilde { \omega } + \varpi ) r _ { * } } \Delta ^ { - i q } v } \\ & { + e ^ { - i ( \widetilde { \omega } + \varpi ) r _ { * } } \Delta ^ { - i q } v ^ { \prime } , } \\ { e ^ { i ( \widetilde { \omega } + \varpi ) r _ { * } } \Delta ^ { i q } u ^ { \prime \prime } = } & { \: v ^ { \prime \prime } - 2 i \left[ ( \widetilde { \omega } + \varpi ) + q \frac { d \Delta } { d r } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \right] v ^ { \prime } } \\ & { - \left[ ( \widetilde { \omega } + \varpi ) ^ { 2 } + 2 q ( \widetilde { \omega } + \varpi ) \frac { d \Delta } { d r } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } + q ^ { 2 } \left( \frac { d \Delta } { d r } \right) ^ { 2 } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 2 } \right] v } \\ & { - i q \frac { \Delta } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) } \left[ \frac { d ^ { 2 } \Delta } { d r ^ { 2 } } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } - 2 r \frac { d \Delta } { d r } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 2 } \right] v . } \end{array}
\Delta = \int \Big ( V ^ { \uparrow } ( r ) - V ^ { \downarrow } ( r ) \Big ) \frac { | \psi _ { \uparrow } ( r ) | ^ { 2 } + | \psi _ { \downarrow } ( r ) | ^ { 2 } } { 2 } d ^ { 3 } r = \Big ( \frac { 3 } { \pi } \Big ) ^ { 1 / 3 } 2 ^ { 1 / 3 } \int ( \rho _ { \uparrow } ^ { 1 / 3 } ( r ) - \rho _ { \downarrow } ^ { 1 / 3 } ( r ) ) \frac { | \psi _ { \uparrow } ( r ) | ^ { 2 } + | \psi _ { \downarrow } ( r ) | ^ { 2 } } { 2 } d ^ { 3 } r
\begin{array} { r c l c l r c l c l } { { \lambda _ { 1 } ^ { ( 1 4 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 8 } ^ { ( 1 6 ) } } } & { { = } } & { { \frac { 8 6 8 } { 3 } } } & { { \quad \lambda _ { 1 } ^ { ( 2 7 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 1 5 } ^ { ( 3 1 ) } } } & { { = } } & { { 1 0 2 6 } } \\ { { \lambda _ { 2 } ^ { ( 1 8 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 9 } ^ { ( 2 0 ) } } } & { { = } } & { { \frac { 1 3 3 6 } { 3 } } } & { { \lambda _ { 6 } ^ { ( 3 0 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 1 5 } ^ { ( 3 2 ) } } } & { { = } } & { { \frac { 3 2 8 0 } { 3 } } } \\ { { \lambda _ { 3 } ^ { ( 2 2 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 1 0 } ^ { ( 2 4 ) } } } & { { = } } & { { 6 3 6 } } & { { \lambda _ { 5 } ^ { ( 3 0 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 1 2 } ^ { ( 3 2 ) } } } & { { = } } & { { \frac { 3 3 6 4 } { 3 } } } \\ { { \lambda _ { 1 } ^ { ( 2 2 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 6 } ^ { ( 2 4 ) } } } & { { = } } & { { \frac { 2 0 6 8 } { 3 } } } & { { \lambda _ { 2 } ^ { ( 3 0 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 7 } ^ { ( 3 2 ) } } } & { { = } } & { { \frac { 3 6 6 4 } { 3 } } } \\ { { \lambda _ { 4 } ^ { ( 2 6 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 1 1 } ^ { ( 2 8 ) } } } & { { = } } & { { \frac { 2 5 8 4 } { 3 } } } & { { \lambda _ { 2 } ^ { ( 3 1 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { 1 6 } ^ { ( 3 5 ) } } } & { { = } } & { { \frac { 3 9 1 0 } { 3 } } } \end{array}
\mathcal { L } \left( \hat { \Psi } _ { 1 } ^ { * } , \hat { \Gamma } _ { 3 } ^ { * } , \hat { L } _ { 3 } ^ { * } \right) = \left\{ \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { \Psi } _ { 1 } , \hat { \Gamma } _ { 3 } , \hat { L } _ { 3 } \right) \in \hat { \Lambda } : \hat { \Psi } _ { 1 } = \hat { \Psi } _ { 1 } ^ { * } , \, \hat { \Gamma } _ { 3 } = \hat { \Gamma } _ { 3 } ^ { * } , \, \hat { L } _ { 3 } = \hat { L } _ { 3 } ^ { * } \right\}
\left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \epsilon _ { x x } } & { 0 } & { \epsilon _ { x y } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - \epsilon _ { x y } } & { 0 } & { - \epsilon _ { y y } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right) = n \left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right)
L ( \mathcal X , \theta _ { p _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { S } \| \hat { M } ( x ^ { ( i ) } ) - \dot { x } ^ { ( i ) } \| _ { 1 } + \lambda \| \theta _ { p _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } } \| _ { 2 }
\begin{array} { r } { \tilde { G } _ { \Delta } \left( \tilde { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda \right) ( h _ { n } ) \equiv \tilde { x } ( t _ { n } + h _ { n } ) - x ( t _ { n } ) = \int _ { 0 } ^ { h _ { n } } f ( \tilde { x } ( t _ { n } + s ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } ; \lambda ) d s , \qquad h _ { n } \in ( 0 , h ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { x _ { T } = 0 } ^ { 1 } \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) = F ( \widetilde { \theta } x _ { T - 1 } + \alpha ) ^ { y _ { T - 1 } } [ 1 - F ( \widetilde { \theta } x _ { T - 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { T - 1 } } \sum _ { x _ { T } = 0 } ^ { 1 } \sum _ { y _ { T - 1 } = 0 } ^ { 1 } \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) . } \end{array}
\mathbb { P } \left( \forall i \in V , \, \, \sigma _ { \lambda ; i } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) = \frac { 2 p ( 1 - p ) ( 1 - { s ( 2 \lambda ) } ) } { 1 - 2 p ( 1 - p ) ( 1 - { s ( 2 \lambda ) } ) } \cdot ( 1 \pm \gamma ) \right) = 1 - n ^ { - \omega ( 1 ) } .
\begin{array} { r l } { { \bf r } _ { V } } & { { } = \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \partial _ { { t } } { \bf U } + \nabla \cdot { \bf F } - \nabla \cdot { \bf Q } - { \bf S } \big \rangle _ { \Omega } = { \bf 0 } } \\ { { \bf r } _ { E } } & { { } = \big \langle { \bf w } _ { E } \, , { \bf E } - \nabla \cdot { \bf G } \big \rangle _ { \Omega } = { \bf 0 } \, , } \end{array}
u _ { E } = \frac { 1 } { 2 } \, { \bf E } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { \alpha _ { D } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \frac { { \bf E } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } - { \bf E } ^ { 2 } } - \frac { \alpha _ { D } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \, \ln \left( 1 - \frac { { \bf E } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \right) \right] \, , \; \;
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } u _ { j , 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { n } + \frac { n } { r ^ { 2 } } \sum _ { j = 2 } ^ { n } \left( \frac { 1 - r } { n } - A _ { 1 , j } \right) ^ { 2 } } \\ { \frac { n - 1 } { n ^ { 2 } } \cdot r ^ { 2 } } & { = \frac { n - 1 } { n ^ { 2 } } \cdot ( 1 - r ) ^ { 2 } + \sum _ { j = 2 } ^ { n } A _ { 1 , j } ^ { 2 } - 2 \cdot \frac { 1 - r } { n } \cdot \sum _ { j = 2 } ^ { n } A _ { 1 , j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { r } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { H } _ { h } ( \mathbf { k } ) + i \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) ) \rangle - \frac { 2 i } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) \rangle + \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { r } \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) \rangle - \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { r } \rangle \langle \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \alpha _ { \mathrm { L } } \rangle } & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \mathrm { L } } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { L } } \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } } | 0 \rangle } \\ { | \alpha _ { \mathrm { R } } \rangle } & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \mathrm { R } } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { R } } \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } } | 0 \rangle , } \end{array}
\overline { { u v } } = u _ { * } ^ { 2 } \Big \{ - 1 + C _ { u v } ( y ^ { + } ) ^ { - 1 } + B _ { u v } R e _ { \delta } ^ { - 1 } y ^ { + } + A _ { u v } R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y ^ { + } \ln ^ { 2 } y ^ { + } + . . . \Big \} .
\partial _ { t } \mathbf { w } ( \mathbf { x } , t ) = \mathbf { M ( m ) } \mathbf { D w } ( \mathbf { x } , t ) + \mathbf { M ( m ) } \sum _ { r } \mathbf { P } ^ { T } ( \mathbf { P u } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { d } ^ { * } ( t ) )
\begin{array} { l l } { { } } & { { \left( i M \cosh \theta e ^ { \theta / 2 } + i h e ^ { - \theta / 2 } e ^ { - i \beta \phi _ { 0 } } - h e ^ { \theta / 2 } \right) A _ { - } ^ { \dagger } ( \theta ) \, B + \mu ^ { \dagger } M \cosh \theta e ^ { - \theta / 2 } A _ { + } ^ { \dagger } ( \theta ) \, B } } \\ { { } } & { { + \left( i M \cosh \theta e ^ { - \theta / 2 } + i h e ^ { \theta / 2 } e ^ { - i \beta \phi _ { 0 } } - h e ^ { - \theta / 2 } \right) A _ { - } ^ { \dagger } ( - \theta ) \, B } } \\ { { } } & { { + \mu ^ { \dagger } M \cosh \theta e ^ { \theta / 2 } A _ { + } ^ { \dagger } ( - \theta ) \, B = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \omega \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } - \omega ^ { \prime } \widetilde { \chi } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | } & { \lesssim ( | m ^ { \prime \prime } | + | \omega ^ { \prime \prime } | ) \cdot \operatorname* { m a x } ( \operatorname* { s u p } | \widetilde { \chi } | , \operatorname* { s u p } _ { \omega } | \partial _ { \omega } ( \widetilde { \chi } ( \omega , 1 ) ) | ) , } \\ { | m \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } - m ^ { \prime } \widetilde { \chi } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | } & { \lesssim ( | m ^ { \prime \prime } | + | \omega ^ { \prime \prime } | ) \cdot \operatorname* { m a x } ( \operatorname* { s u p } | \widetilde { \chi } | , \operatorname* { s u p } _ { \omega } | \partial _ { \omega } ( \widetilde { \chi } ( \omega , 1 ) ) | ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \hat { h } } _ { \mathrm { N + 1 } } ( { k _ { x } } ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \epsilon ( k _ { x } ) } & { { \Omega } ( \frac { \pi } { L _ { y } } ) } & { { \Omega } ( \frac { 2 \pi } { L _ { y } } ) } & { \hdots } \\ { { \Omega } ( \frac { \pi } { L _ { y } } ) } & { \omega _ { c } ( { k _ { x } , \frac { \pi } { L _ { y } } } ) } & { 0 } & { \hdots } \\ { { \Omega } ( \frac { 2 \pi } { L _ { y } } ) } & { 0 } & { \omega _ { c } ( { k _ { x } , \frac { 2 \pi } { L _ { y } } } ) } & { \hdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal D } _ { 2 } ^ { ( v ) } \left( \theta _ { y } \right) } & { = } & { \exp \left( - i \hat { e } _ { 2 } ^ { ( v ) } \theta _ { y } \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } & { 0 } & { - \sin \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \sin \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } & { 0 } & { \cos \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \sigma } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } , I } = \frac { \rho A _ { s } C _ { D } U ^ { 3 } } { 2 T } = \frac { \pi \rho d ^ { 2 } C _ { D } U ^ { 3 } } { 8 T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle u _ { \mathbf { k } } | v _ { \mathbf { k } } \rangle } & { { } = \left( f _ { 2 1 - 1 } ^ { * } , f _ { 2 1 0 } ^ { * } , f _ { 2 1 1 } ^ { * } , \ldots \right) \left( \begin{array} { l } { f _ { 2 1 - 1 } ^ { \prime } } \\ { f _ { 2 1 0 } ^ { \prime } } \\ { f _ { 2 1 1 } ^ { \prime } } \\ { \vdots } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\{ \lambda ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) , \mathcal { H } _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) \right\} } & { { } = \frac { \mathrm { d } \lambda } { \mathrm { d } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { L } ^ { ( \gamma ) } ) ^ { 2 } ( \tau ) } & { { } = \frac { D } { \gamma } \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { 1 - \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { 1 - 3 \alpha + \beta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D \varphi _ { 0 t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) } & { = D \varphi _ { t _ { 1 } ^ { + } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) D \varphi _ { 0 t _ { 1 } ^ { + } } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) } \\ & { = D \varphi _ { t _ { 1 } ^ { + } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) S D \varphi _ { 0 t _ { 1 } ^ { - } } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) . } \end{array}
S \equiv \frac { 3 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \langle \mathrm { T r } ( \omega _ { \alpha } \omega ^ { \alpha } ) \rangle = \frac { 3 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \langle \mathrm { T r } ( \lambda _ { \alpha } \lambda ^ { \alpha } ) \rangle + \ldots
\begin{array} { r l r } { f ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) } & { = } & { n _ { f } ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) \, f _ { 0 } \, } \\ { \theta ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) } & { = } & { n _ { \theta } ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) \, \theta _ { 0 } \, , } \end{array}
\lambda _ { 0 } \overset { 2 k _ { \mathrm { O N } } } { \underset { k _ { \mathrm { O F F } } } \rightleftharpoons } \lambda _ { 1 } \overset { k _ { \mathrm { O N } } } { \underset { 2 k _ { \mathrm { O F F } } } \rightleftharpoons } \lambda _ { 2 } ,
E _ { \mathrm { e n d } , D ^ { * } } = E _ { \mathrm { e n d } , q } \left[ 1 + { \frac { 4 G } { 3 m _ { b } \delta m } } + { \cal O } \left( { \frac { 1 } { M _ { B } ^ { 2 } } } \right) \right]
E _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L H - c a l } } = \int { \epsilon _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L H } } ( \mathbf { r } ) d \mathbf { r } } + \int { [ 1 - a ( \mathbf { r } ) ] G ( \mathbf { r } ) d \mathbf { r } } ,
\begin{array} { l l } { \hat { H } = } & { \sum _ { i , j } [ { ( A _ { 0 } \ { \delta } _ { i , j } + A _ { 2 } \ { \delta } _ { i , j \pm 2 } ) \hat { \alpha } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \alpha } _ { j } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | n \rangle \langle m | } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \hat { \sigma } _ { n m } ^ { x } + \mathrm { i } \, \hat { \sigma } _ { n m } ^ { y } \right) } \\ { | m \rangle \langle n | } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \hat { \sigma } _ { n m } ^ { x } - \mathrm { i } \, \hat { \sigma } _ { n m } ^ { y } \right) , } \end{array}
\frac { d \sigma _ { P } ^ { H } } { d x } ( x , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { i } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \, C _ { P } ^ { i } ( z , Q ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } ) \, D _ { i } ^ { H } ( x / z , \mu ) ,
U ^ { \dagger } { \hat { \cal { D } } } ^ { \dagger } { \hat { \cal { D } } } \left( \lbrace \sigma _ { j } \rbrace \right) U = { \hat { \bar { P } } } \cdot { \hat { \bar { P } } } + \sum _ { j = 0 } ^ { 3 } \sigma _ { j } ^ { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \ .
Z = \sum _ { i , \bar { \imath } } Z _ { i , \bar { \imath } } ^ { ( 9 , 9 ) } Z _ { i , \bar { \imath } } ^ { ( 6 , 6 ) } B _ { i } ^ { ( - 2 ) } \left( B _ { \bar { \imath } } ^ { ( E _ { 8 } ^ { \prime } \times S O ( 6 ) ) } \right) ^ { * } \, \, .
\begin{array} { r l } & { f ( w _ { t + 1 } ) - f ( w _ { t } ) } \\ & { \le \nabla f ( w _ { t } ) ^ { \top } ( w _ { t + 1 } - w _ { t } ) + \frac { 1 } { 2 } \| w _ { t + 1 } - w _ { t } \| ^ { 2 } \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| \big ) \exp \big ( L _ { 1 } \| w _ { t + 1 } - w _ { t } \| \big ) } \\ & { \overset { ( i ) } { = } - \gamma \| \nabla f ( w _ { t } ) \| + \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 } \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| \big ) \exp ( L _ { 1 } \gamma ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } - \frac { \gamma } { 2 } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| + L _ { 0 } \gamma ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \le } - \frac { \gamma } { 2 } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 - \beta } + \frac { \gamma } { 4 } \epsilon } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \partial _ { t } ^ { 2 } \tilde { \hat { u } } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } ( \Gamma _ { \rho } ^ { + } ) ) } \leq C e ^ { - \rho \hat { \sigma } ( \rho ) \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \right) } \| \partial _ { t } ^ { 2 } \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { - 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) ) } . } \end{array}
\Lambda = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \hbar ^ { k } \Lambda _ { ( k ) } [ \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \hbar ^ { i } J _ { ( i ) } [ \Delta , \Lambda ] , \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \hbar ^ { i } K _ { ( i ) } [ \Delta , \Lambda ] ] .
\mathrm { R i c } \, ( \nabla ) \ = \ \mathrm { R i c } _ { B } \; \otimes \; E ^ { B } \; \in \; \tilde { { \mathcal H } } ^ { 1 } \; \otimes _ { { \mathcal A } } \; \Omega _ { D } ^ { 1 } ( { \mathcal A } ) \ ,
\begin{array} { r l } { - \lambda P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L } ) } & { { } = - \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( f ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) \right) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } D ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) } \\ { Q ( \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } ) } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( x ) \cdot _ { \alpha ^ { n } } R ( y ) = } & { \alpha ^ { n + 1 } ( R ( x ) ) \cdot \alpha ^ { n + 1 } ( R ( y ) ) } \\ { = } & { R ( \alpha ^ { n + 1 } ( x ) ) \cdot R ( \alpha ^ { n + 1 } ( y ) ) } \\ { = } & { R ( R ( \alpha ^ { n + 1 } ( x ) ) \cdot \alpha ^ { n + 1 } ( y ) + \alpha ^ { n + 1 } ( x ) \cdot R ( \alpha ^ { n + 1 } ( y ) ) + \lambda \alpha ^ { n + 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { n + 1 } ( y ) } \\ { = } & { R ( \alpha ^ { n + 1 } ( R ( x ) ) \cdot \alpha ^ { n + 1 } ( y ) + \alpha ^ { n + 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { n + 1 } ( R ( y ) ) + \lambda \alpha ^ { n + 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { n + 1 } ( y ) } \\ { = } & { R ( R ( x ) \cdot _ { \alpha ^ { n } } y + x \cdot _ { \alpha ^ { n } } R ( y ) + \lambda x \cdot _ { \alpha ^ { n } } y ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf X } _ { 2 } ( \tilde { \Lambda } _ { ~ b } ^ { a } ) [ \tilde { \Lambda } ^ { - 1 } ] _ { ~ c } ^ { b } + \tilde { \Lambda } _ { ~ b } ^ { a } f _ { 2 } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { \hat { i } ~ e } ^ { b } [ \tilde { \Lambda } ^ { - 1 } ] _ { ~ c } ^ { e } = - f _ { 2 } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { ~ \hat { i } ~ c } ^ { a } \cos \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( H ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \widetilde { \boldsymbol { m } } ) _ { j } } & { = \Re \sum _ { k } \left\langle \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) \, , \, \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) \frac { \partial u } { \partial m _ { k } } ( \boldsymbol { m } ) \right\rangle \widetilde { m } _ { k } } \\ & { = \Re \left\langle \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) \, , \, \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) v ( \boldsymbol { m } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \right\rangle = \Re \left( \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) \, , \, \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) ^ { * } \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) v ( \boldsymbol { m } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \right) _ { \Omega } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial u } { \partial t } = d _ { 1 } \Delta u + \frac { u } { u + n } ( 1 - u ) ( u - m ) - \sqrt { u } v , \ \ \ \ \ x \in \Omega , t \textgreater 0 , } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } = d _ { 2 } \Delta v + \theta v ( \sqrt { u } - c v ) , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \in \Omega , t \textgreater 0 , } \end{array} \right.
\frac { \partial \mathcal { F } } { \partial \boldsymbol { r } _ { n } } = - 2 \mathrm { R e } \left[ \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) \alpha G ( \boldsymbol { r } _ { \star } , \boldsymbol { r } _ { n } ) \nabla \phi ( \boldsymbol { r } _ { n } ) \right] .
\eta _ { 2 } = { \frac { C ^ { 2 ( D - 3 ) } } { ( D - 4 ) ! } } \left( 1 - { \frac { C ^ { \prime ^ { 2 } } } { B ^ { 2 } } } + { \frac { A ^ { \prime } C ^ { \prime } C } { A B ^ { 2 } } } - { \frac { A ^ { \prime \prime } C ^ { 2 } } { A B ^ { 2 } } } + { \frac { A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { 2 } } { A B ^ { 3 } } } + { \frac { C C ^ { \prime \prime } } { B ^ { 2 } } } - { \frac { B ^ { \prime } C ^ { \prime } C } { B ^ { 3 } } } \right)
\begin{array} { r } { \Xi ( t _ { \mathrm { b } } ) = t _ { \mathrm { b } } - \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { r } } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { t _ { \mathrm { b } } - \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { r } } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ y ~ g ~ o ~ n ~ } } d x d y e ^ { i q _ { \perp } \cdot r _ { \perp } } = } & { { } \sum _ { k \in \mathrm { ~ v ~ e ~ r ~ t ~ i ~ c ~ e ~ s ~ } } \pm \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { k } } { W \cdot q _ { \perp } } \; \frac { 1 } { q _ { \perp } \cdot \hat { \mu } _ { k } } \; e ^ { i q _ { \perp } \cdot V _ { k } } } \end{array}
C _ { \mu \nu } ^ { - 1 } = - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { \partial _ { 1 } ^ { x } } } & { { \partial _ { 2 } ^ { x } } } & { { - 1 } } \\ { { \partial _ { 1 } ^ { x } } } & { { 0 } } & { { - m } } & { { 0 } } \\ { { \partial _ { 2 } ^ { x } } } & { { m } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \delta ^ { 2 } ( x - y ) .
V a r [ f ( x ^ { \prime } \Xi ^ { - 1 } x , x ^ { \prime } C ^ { - 1 } x ) ] = V a r \left[ \frac { 1 + \frac { 1 } { \nu } x ^ { \prime } \Xi ^ { - 1 } x } { 1 + \frac { 1 } { \nu } x ^ { \prime } C ^ { - 1 } x } \right]
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { R _ { Y } ^ { \prime } } } & { = \frac { 1 } { L } \boldsymbol { Y } \boldsymbol { D } ^ { \prime } \boldsymbol { Y } ^ { \sf H } , \mathrm { w i t h ~ } \boldsymbol { D } ^ { \prime } = \mathop { \mathrm { d i a g } } ( d _ { 1 } , \ldots , d _ { L } ) / b , } \\ { \mathrm { w i t h ~ } d _ { \ell } } & { = u ^ { \prime } ( \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { y } _ { \ell } ) ( \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } ( \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } \boldsymbol { y } _ { \ell } ) } \\ & { = - u ^ { \prime } ( \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { y } _ { \ell } ) \, ( \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } \boldsymbol { b } _ { m } \boldsymbol { b } _ { m } ^ { \sf H } \boldsymbol { y } _ { \ell } ) } \\ & { = - u ^ { \prime } ( \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { y } _ { \ell } ) \, | \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } \boldsymbol { b } _ { m } | ^ { 2 } } \end{array}