harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \pi - \frac { 1 } { 4 } b ( t ) , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) - \pi - \frac { 1 } { 4 } b ( t ) } \\ { \quad + \frac { \pi } { 8 } ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) ) t , } & { 0 < \xi \leq \xi _ { 1 , \textrm { l } } ( t ) , } \\ { \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) - \pi - \frac { 1 } { 8 } ( b ( t ) + b ( \tau ( \xi ) ) ) } \\ { \quad + \frac { \pi } { 8 } ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) ) ( t - \alpha ( t - \tau ( \xi ) ) ) } \\ { \quad - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } ( 2 - \alpha ) ( t - \tau ( \xi ) ) , } & { \xi _ { 1 , \textrm { l } } ( t ) < \xi \leq \xi _ { 1 , \textrm { l } } ( \frac { 2 } { \pi } ) , } \\ { \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) - \frac { 1 } { 8 } ( b ( t ) - b ( \tau ( \xi ) ) ) } \\ { \quad + \frac { \pi } { 8 } ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) ) ( t - \alpha ( t - \tau ( \xi ) ) ) } \\ { \quad - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } ( ( 2 - \alpha ) t + ( 2 + \alpha ) \tau ( \xi ) ) , } & { \xi _ { 1 , \textrm { l } } ( \frac { 2 } { \pi } ) < \xi \leq \xi _ { 1 , \textrm { r } } ( t ) , } \\ { \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) - \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } t + \frac { \pi } { 8 } ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) ) t , } & { \xi _ { 1 , \textrm { r } } ( t ) < \xi \leq \xi _ { 2 , \textrm { l } } ( t ) , } \\ { \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) + \frac { 1 } { 8 } ( b ( t ) - b ( \tau ( \xi ) ) ) } \\ { \quad + \frac { \pi } { 8 } ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) ) ( t - \alpha ( t - \tau ( \xi ) ) ) } \\ { \quad - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } ( ( 6 - 5 \alpha ) t + ( - 2 + 5 \alpha ) \tau ( \xi ) ) , } & { \xi _ { 2 , \textrm { l } } ( t ) < \xi \leq \xi _ { 2 , \textrm { l } } ( \frac { 2 } { \pi } ) , } \\ { \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) + \pi + \frac { 1 } { 8 } ( b ( t ) + b ( \tau ( \xi ) ) ) } \\ { \quad + \frac { \pi } { 8 } ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) ) ( t - \alpha ( t - \tau ( \xi ) ) ) } \\ { \quad - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } ( ( 6 - 5 \alpha ) t + ( 2 + 5 \alpha ) \tau ( \xi ) ) , } & { \xi _ { 2 , \textrm { l } } ( \frac { 2 } { \pi } ) < \xi \leq \xi _ { 2 , \textrm { r } } ( t ) , } \\ { \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) + \pi + \frac { 1 } { 4 } b ( t ) } \\ { \quad + \frac { \pi } { 8 } ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) ) t - \pi ^ { 2 } t , } & { \xi _ { 2 , \textrm { r } } ( t ) < \xi \leq 4 + 2 \pi ^ { 2 } , } \\ { 1 + \pi + \frac { 1 } { 4 } b ( t ) , } & { 4 + 2 \pi ^ { 2 } < \xi , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x , y ) } & { { } = \sum _ { j , k \, \in \, \mathbb { Z } { \mathrm { ~ ( i n t e g e r s ) } } } c _ { j , k } e ^ { i j x } e ^ { i k y } , } \\ { c _ { j , k } } & { { } = { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x , y ) e ^ { - i j x } e ^ { - i k y } \, d x \, d y . } \end{array}
W _ { ( \mathcal { C } , \pi ) } \left( x , y ; \mathbb { P } \right) = \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } } x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \mathbb { P } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } ) } y ^ { w _ { ( \mathbb { P } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } ) } = \sum _ { i = 0 } ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } A _ { i , ( \mathbb { P } , \pi ) } ( \mathcal { C } ) x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - i } y ^ { i } ,
\begin{array} { r l r } { \Delta T _ { G W } = } & { { } } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { h _ { 0 } } { f _ { G W } } \Biggl ( \frac { ( f _ { s } ^ { + } + f _ { c } ^ { + } ) } { 2 \pi } . \sin { ( \pi f _ { G W } T + 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) } \times } \end{array}
( x _ { 0 } , x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) \cdot ( y _ { 0 } , y _ { 1 } , \cdots , y _ { n } ) : = ( x _ { 0 } + y _ { 0 } + \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } x _ { j } \omega _ { j k } y _ { k } , x _ { 1 } + y _ { 1 } , \cdots , x _ { n } + y _ { n } ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { b _ { j j } ^ { ( i ) } = ( 1 - \xi ) } \\ { b _ { j k } ^ { ( i ) } = \frac { \xi } { 2 \widehat { K } ^ { ( i ) } } } & { \textrm { i f } j \neq k \textrm { w i t h } \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \neq 0 \, \textrm { o r } \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \neq 0 } \\ { b _ { j k } ^ { ( i ) } = 0 , } & { \textrm { i f } j \neq k \textrm { w i t h } \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle = 0 \, \textrm { o r } \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathcal { O } ( t ) } & { { } = } & { \big ( 0 , \sqrt { 2 \gamma _ { m } ^ { A } } \hat { b } _ { i n } ( t ) , \sqrt { 2 \kappa _ { A } } \hat { X } _ { i n } ^ { A } ( t ) , \sqrt { 2 \kappa _ { A } } \hat { Y } _ { i n } ^ { A } ( t ) , 0 , \sqrt { 2 \gamma _ { B } } \hat { c } _ { i n } ( t ) , \sqrt { 2 \kappa _ { B } } \hat { X } _ { i n } ^ { B } ( t ) , \sqrt { 2 \kappa _ { B } } \hat { Y } _ { i n } ^ { B } ( t ) \big ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \! \varphi \, \mathrm { d } \mu } & { = \frac { 1 } { N } \int \! \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( T ^ { * } ) ^ { i } \varphi \, \mathrm { d } \widehat { \mu } = \int \! \widehat { \varphi } \, \mathrm { d } \widehat { \mu } } \\ & { \geq \int \! \widehat { \varphi } \, \mathrm { d } \nu = \frac { 1 } { N } \int \! S _ { N } ^ { T } \varphi \, \mathrm { d } \nu = \int \! \varphi \, \mathrm { d } \nu } \end{array}
0 < \, s _ { \gamma \gamma } \leq \, ( M _ { \eta } - 2 M _ { \pi } ) ^ { 2 } , \quad 4 M _ { \pi } ^ { 2 } \leq \, s _ { \pi \pi } \leq \, ( M _ { \eta } - \sqrt { s _ { \gamma \gamma } } ) ^ { 2 } , \quad - 1 \leq \, \cos \vartheta _ { \gamma } \leq 1 \, .
\left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } + \frac { k } { a ^ { 2 } } - \frac { \Lambda _ { 5 } } { 6 } - \frac { 1 } { 6 } \kappa _ { 5 } ^ { 2 } A \, a ^ { - 4 \alpha } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { { \bf { I } } _ { N _ { R } } } & { { } = ( { \bf { U } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \left\{ T _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) < T _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \right\} \right) } & { = \mathbb { P } \left( \frac { T _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { \mathbb { E } T _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } \cdot \frac { \mathbb { E } T _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } { T _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } \cdot \frac { \mathbb { E } T _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { \mathbb { E } T _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } < 1 \right) } \\ & { \xrightarrow { N \to \infty } 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 / 4 } \delta _ { 3 / 4 } - \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } \delta _ { 3 / 4 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 4 } [ \delta _ { 1 / 4 } ^ { 4 } - ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) ^ { 4 } ] . } \end{array}
\frac { \mathsf { A C V } G } { \mathsf { A C V } \hat { P } ^ { - 1 } } = \left( 1 + \frac { n - 3 } { 2 n } \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } \right) ^ { 1 / 2 } .
P _ { i i } = W _ { i j } ^ { \dagger } M _ { j k } W _ { k i } + W _ { i j } ^ { \dagger } H _ { j k } \Lambda _ { k i } - \Lambda _ { i i } + \Gamma _ { i j } H _ { j k } ^ { \dagger } W _ { k i } - \Gamma _ { i i } .
{ _ { [ 0 , ~ 2 R e _ { \tau } ] } } ^ { T } D _ { y ^ { + } } ^ { ( \alpha ( y ^ { + } ) , { \xi } ) } ~ \overline { { U ^ { + } } } ~ = ~ \frac { d \overline { { U ^ { + } } } } { d y ^ { + } } - ( \overline { { u v } } ) ^ { + } ~ = - { \frac { y ^ { + } } { R e _ { \tau } } } + 1 ~ ; ~ \alpha ( y ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
{ \mathbf { v } _ { I I } } ( x , y , z ) = \left( \frac { \mathrm { d } f } { \mathrm { d } \psi _ { I } } + f ( \psi _ { I } ) \right) \left( \frac { \mathrm { d } g } { \mathrm { d } \chi _ { I } } + g ( \chi _ { I } ) \right) { \mathbf { v } _ { I } } ( x , y , z ) .
\begin{array} { r l } { A = \int _ { M } \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } d \mu _ { \bar { g } } = \mathrm { e } ^ { 2 \bar { u } ( t ) } \int _ { M } \mathrm { e } ^ { 2 ( u ( t ) - \bar { u } ( t ) ) } d \mu _ { \bar { g } } } & { \le \mathrm { e } ^ { 2 \bar { u } ( t ) } C _ { \mathrm { M T } } \exp ( \eta _ { 1 } \| \nabla _ { \bar { g } } ( 2 u ( t ) ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } ) } \\ & { \le \mathrm { e } ^ { 2 \bar { u } ( t ) } C _ { \mathrm { M T } } \exp \bigl ( \eta _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } ) \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega _ { f } ^ { \prime } , t \right) , \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) \right] } & { = 0 , } \\ { \left[ \hat { \mathbf { f } } ^ { \dagger } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega _ { f } ^ { \prime } , t \right) , \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) \right] } & { = - \delta \left( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \delta \left( \omega _ { f } - \omega _ { f } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
A \equiv \int _ { 0 } ^ { + \infty } \! { \frac { d u } { u + M _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { \left[ ( u + v + M _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 u v \right] ^ { 1 / 2 } } } + \mathrm { c . c . } \; .
{ \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \nabla _ { a } k _ { ( I ) } ^ { b } \Gamma ^ { a } { } _ { b } = { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } f _ { i a } { } ^ { b } \Gamma _ { \mathrm { A d j } } ( u ^ { - 1 } ) ^ { i } { } _ { I } \gamma ^ { a } { } _ { b } = - \Gamma _ { \mathrm { A d j } } ( u ^ { - 1 } ) ^ { i } { } _ { I } \Gamma _ { s } ( M _ { i } ) \, ,
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( \underline { { \theta } } , \delta _ { 1 , c _ { 0 , 1 } , \alpha } ^ { ( \nu ) } ) } & { = E _ { \underline { { \theta } } } \left[ \left( \frac { \delta _ { 1 , c _ { 0 , 1 } , \alpha } ^ { ( \nu ) } ( \underline { { X } } ) } { \theta _ { 1 } } - 1 \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = E _ { \underline { { \theta } } } [ ( c _ { 0 , 1 } Z _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } I _ { ( \frac { c _ { 0 , 1 } } { \lambda \nu } , \infty ) } ( Z ) ] } \\ & { \qquad \qquad + E _ { \underline { { \theta } } } [ ( \alpha c _ { 0 , 1 } Z _ { 1 } + ( 1 - \alpha ) \nu \lambda Z _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { \lambda \nu } ) } ( Z ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } ( \mu ) } & { = - 1 + \frac { \sqrt { 8 } } { 8 } \mu ^ { \frac 1 2 } + \frac { 1 } { 3 2 } \mu - \frac { 1 1 \sqrt { 8 } } { 2 0 4 8 } \mu ^ { \frac 3 2 } - \frac { 3 } { 5 1 2 } \mu ^ { 2 } - \frac { 1 2 1 \sqrt { 8 } } { 1 0 4 8 5 7 6 } \mu ^ { \frac 5 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 5 } { 3 2 7 6 8 } \mu ^ { 3 } + \frac { 1 9 4 0 5 \sqrt { 8 } } { 2 6 8 4 3 5 4 5 6 } \mu ^ { \frac 7 2 } + \cdots , } \\ { T _ { 2 } ( \mu ) } & { = - 1 - \frac { \sqrt { 8 } } { 8 } \mu ^ { \frac 1 2 } + \frac { 1 } { 3 2 } \mu + \frac { 1 1 \sqrt { 8 } } { 2 0 4 8 } \mu ^ { \frac 3 2 } - \frac { 3 } { 5 1 2 } \mu ^ { 2 } + \frac { 1 2 1 \sqrt { 8 } } { 1 0 4 8 5 7 6 } \mu ^ { \frac 5 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 5 } { 3 2 7 6 8 } \mu ^ { 3 } - \frac { 1 9 4 0 5 \sqrt { 8 } } { 2 6 8 4 3 5 4 5 6 } \mu ^ { \frac 7 2 } + \cdots , } \\ { T _ { 3 } ( \mu ) } & { = 1 + \frac { 3 } { 1 6 } \mu + \frac { 3 } { 2 5 6 } \mu ^ { 2 } - \frac { 1 5 } { 1 6 3 8 4 } \mu ^ { 3 } - \frac { 1 5 } { 2 6 2 1 4 4 } \mu ^ { 4 } + \frac { 3 4 5 } { 1 6 7 7 7 2 1 6 } \mu ^ { 5 } } \\ & { \quad - \frac { 2 1 } { 3 3 5 5 4 4 3 2 } \mu ^ { 6 } - \frac { 1 8 6 9 } { 4 2 9 4 9 6 7 2 9 6 } \mu ^ { 7 } + \cdots \hfill , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { a \, \cos ( \omega _ { + } t ^ { \prime } + \alpha ) \; + \; b \, \cos ( \omega _ { - } t ^ { \prime } + \beta ) , } \\ { y ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { - \, a \, \sin ( \omega _ { + } t ^ { \prime } + \alpha ) \; - \; b \, \sin ( \omega _ { - } t ^ { \prime } + \beta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) \psi \left( x \right) \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) \psi \left( y \right) \right] \left\vert i \right\rangle } & { = } & { \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] e ^ { - i q \cdot x } \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] e ^ { - i p \cdot y } \left\vert 0 \right\rangle } \\ & { } & { - \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] e ^ { - i p \cdot x } \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] e ^ { - i q \cdot y } \left\vert 0 \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } = \frac { L ^ { 2 } } { m k } \left( \cos u - \sqrt { 1 - \frac { G ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } \right) , \quad } & { q _ { 2 } = \frac { L G } { m k } \sin u , } \\ { p _ { 1 } = - \frac { m k } { L } \frac { \sin u } { 1 - \sqrt { 1 - \frac { G ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } \cos u } , \quad } & { p _ { 2 } = \frac { m k } { L ^ { 2 } } \frac { G \cos u } { 1 - \sqrt { 1 - \frac { G ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } \cos u } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { r _ { 2 , a } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { r _ { 1 , a } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in U _ { 2 } , } & & { r _ { 2 , r } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { r _ { 1 , r } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in \partial U _ { 2 } \cap \partial \mathbb { D } , } \\ & { \hat { r } _ { 2 , a } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { \hat { r } _ { 1 , a } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in \hat { U } _ { 2 } , } & & { \hat { r } _ { 2 , r } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { \hat { r } _ { 1 , r } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in \partial \hat { U } _ { 2 } \cap \partial \mathbb { D } . } \end{array}
\check { R } ( u ) = P _ { j = k } + \frac { y ^ { 2 } - q ^ { 2 k } } { 1 - y ^ { 2 } q ^ { 2 k } } P _ { j = k - 1 } + \ldots + \frac { y ^ { 2 } - q ^ { 2 k } } { 1 - y ^ { 2 } q ^ { 2 k } } \frac { y ^ { 2 } - q ^ { 2 ( k - 1 ) } } { 1 - y ^ { 2 } q ^ { 2 ( k - 1 ) } } \ldots \frac { y ^ { 2 } - q ^ { 2 } } { 1 - y ^ { 2 } q ^ { 2 } } P _ { j = 0 } \; ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { D } } _ { \mathcal { I } } \cdot \left( \tilde { \mathbf { G } } _ { \mathcal { I } } \cdot ( \widehat { \mathbf { A } ^ { - 1 } } ) ^ { \top } \right) } & { = \big ( \mathbf { I } _ { T } \otimes ( \mathbf { G } _ { \mathcal { I } } ) ^ { - 1 } \big ) \cdot \big ( \mathbf { I } _ { T } \otimes \mathbf { G } _ { \mathcal { I } } \big ) \cdot ( \widehat { \mathbf { A } ^ { - 1 } } ) ^ { \top } } \\ & { = ( \mathbf { I } _ { T } \cdot \mathbf { I } _ { T } ) \otimes \left( ( \mathbf { G } _ { \mathcal { I } } ) ^ { - 1 } \cdot \mathbf { G } _ { \mathcal { I } } \right) \cdot ( \widehat { \mathbf { A } ^ { - 1 } } ) ^ { \top } } \\ & { = \mathbf { I } _ { T } \otimes \mathbf { I } _ { k } \cdot ( \widehat { \mathbf { A } ^ { - 1 } } ) ^ { \top } } \\ & { = ( \widehat { \mathbf { A } ^ { - 1 } } ) ^ { \top } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { a } } \operatorname* { d e t } ( A ) } & { { } = \mathbf { b } \times \mathbf { c } } \\ { \nabla _ { \mathbf { b } } \operatorname* { d e t } ( A ) } & { { } = \mathbf { c } \times \mathbf { a } } \\ { \nabla _ { \mathbf { c } } \operatorname* { d e t } ( A ) } & { { } = \mathbf { a } \times \mathbf { b } . } \end{array}
\left. + \left( 1 - \frac { r _ { 0 } ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } \right) ^ { a _ { \theta } } d \theta ^ { 2 } \right] + \frac { l ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { r _ { 0 } ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 }
{ \begin{array} { c l l } { \vdash } & { ( ( m X ) X ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ t h e ~ m i n i m a l ~ l o g i c ~ a x i o m ~ } } A \to A } \\ { \vdash } & { ( ( m X ) ( ( m X ) Z ) ) } & { { \mathrm { ~ s i n c e ~ } } X = ( ( m X ) Z ) } \\ { \vdash } & { ( ( m X ) Z ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ t h e ~ t h e o r e m ~ } } ( A \to ( A \to B ) ) \vdash ( A \to B ) { \mathrm { ~ o f ~ m i n i m a l ~ l o g i c ~ } } } \\ { \vdash } & { X } & { { \mathrm { ~ s i n c e ~ } } X = ( ( m X ) Z ) } \\ { \vdash } & { Z } & { { \mathrm { ~ b y ~ m o d u s ~ p o n e n s ~ } } A , ( A \to B ) \vdash B { \mathrm { ~ f r o m ~ } } X { \mathrm { ~ a n d ~ } } ( ( m X ) Z ) } \end{array} }
\mathcal { D } _ { - 1 } = - \frac { 8 \kappa ^ { 2 } } { G _ { 0 } \eta } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \phi } \left\{ \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \phi } \left[ \tilde { \tau } ^ { 2 } + \frac { 1 } { ( l ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \left( \frac { \kappa ^ { \prime } } { \kappa } \right) ^ { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } \right] \right\} ,
\pi \left( \boldsymbol { y } \mid \boldsymbol { x } \right) = \mathcal { N } \left( \boldsymbol { y } \mid \hat { \mathcal { M } } _ { \mathrm { ~ P ~ C ~ E ~ } } \left( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { M } } \right) , \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } \mathbb { I } _ { N } \right)
\begin{array} { r l } & { \left( { { p } _ { x } } \right) _ { 3 } ^ { r 5 } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) = \frac { 1 } { 1 2 \Delta x } \left( { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } - 1 5 { { { \bar { Q } } } _ { i } } + 1 5 { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } - { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } \right) , } \\ & { \left( { { p } _ { x } } \right) _ { 3 } ^ { r 5 } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) = \frac { 1 } { 1 2 \Delta x } \left( { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } - 1 5 { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + 1 5 { { { \bar { Q } } } _ { i } } - { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { u } ^ { \prime } ) _ { \omega } } & { = ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { u } - \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } ) _ { \omega } = ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } , ( \mathbf { I } - \mathbf { R } \mathbf { W } ) \mathbf { u } ) _ { \omega } = \bar { \mathbf { u } } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \boldsymbol { \omega } ( \mathbf { I } - \mathbf { R } \mathbf { W } ) \mathbf { u } } \\ & { = \bar { \mathbf { u } } ^ { T } \boldsymbol { \Omega } \mathbf { W } ( \mathbf { I } - \mathbf { R } \mathbf { W } ) \mathbf { u } = ( \bar { \mathbf { u } } , ( \mathbf { W } - \underbrace { \mathbf { W } \mathbf { R } } _ { = \mathbf { I } } \mathbf { W } ) \mathbf { u } ) _ { \Omega } = ( \bar { \mathbf { u } } , ( \mathbf { W } - \mathbf { W } ) \mathbf { u } ) _ { \Omega } = 0 . } \end{array}
( \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } ) ^ { 4 / 3 } = \left( \frac { 1 + \sigma } { b } - \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } \right) ^ { 4 / 3 } \eta _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 1 / 3 } + \frac { H ^ { * } } { c } \left( b \frac { R a } { R a _ { c r } } \right) ^ { - 1 / 3 } \eta _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 1 / 3 } .
\left( { \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial y \partial x } } \right) = \left( { \frac { \partial T } { \partial y } } \right) _ { x } \left( { \frac { \partial S } { \partial x } } \right) _ { y } + T \left( { \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial y \partial x } } \right) - \left( { \frac { \partial P } { \partial y } } \right) _ { x } \left( { \frac { \partial V } { \partial x } } \right) _ { y } - P \left( { \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial y \partial x } } \right)
a _ { \frac { 1 } { 2 } } = - 2 a _ { \frac { 3 } { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { m _ { \pi } } { f _ { \pi } ^ { 2 } } = 0 . 1 7 5 m _ { \pi } ^ { - 1 } ,
M _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime \, 2 } \equiv M _ { \infty } ^ { 2 } + { \frac { Q ^ { 2 } } { q _ { 0 } ^ { 2 } } } p ( p - q _ { 0 } ) + 4 i { \frac { \Gamma } { q _ { 0 } } } p ( p - q _ { 0 } ) \; .
\tilde { I } _ { p p } ( \bar { v } , \chi _ { \gamma } ) \approx \tilde { W } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ( \chi _ { \gamma } ) \left[ 1 - e ^ { - \left( \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v ^ { 2 } ) } - \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v _ { 0 } ^ { 2 } ) } \right) } \right] + \tilde { I } _ { p p } ( \bar { v } _ { 0 } , \chi _ { \gamma } ) e ^ { - \left( \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v ^ { 2 } ) } - \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v _ { 0 } ^ { 2 } ) } \right) } .
\begin{array} { r l } { \Pi _ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( z , w ) } & { = \left( \frac { 2 r + 1 } { 4 \pi } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { l = 0 } ^ { 2 r } \sum _ { m , n \in \mathbb { Z } } e x p ( 2 \pi i ( \theta _ { l , m } ( z ) - \overline { { \theta _ { l , n } ( w ) } } ) ) \right) } \\ & { \times t ^ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( z ) \Omega _ { \mu } ( z ) \otimes \bar { t } ^ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( w ) \bar { \Omega } _ { \mu } ( w ) . } \end{array}
\mathbf { X } \ \sim { \mathcal { N } } ( { \boldsymbol { \mu } } , { \boldsymbol { \Sigma } } ) \iff \mathbf { X } \ \sim { \boldsymbol { \mu } } + \mathbf { U } { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 1 / 2 } { \mathcal { N } } ( 0 , \mathbf { I } ) \iff \mathbf { X } \ \sim { \boldsymbol { \mu } } + \mathbf { U } { \mathcal { N } } ( 0 , { \boldsymbol { \Lambda } } ) .
2 \pi ^ { 2 } / g _ { 0 } = \Lambda ^ { 2 } - m ^ { 2 } l n ( \Lambda ^ { 2 } / m ^ { 2 } + 1 ) ; \quad 0 < 2 \pi ^ { 2 } { g _ { 0 } } ^ { - 1 } { \Lambda } ^ { - 2 } < 1
\left( { \frac { a ^ { \prime } } { a ^ { 3 } } } \right) ^ { 2 } + k = { \frac { M } { a ^ { 2 } \phi } } + { \frac { \omega } { 6 } } { \frac { \phi ^ { 2 } } { a ^ { 4 } \phi ^ { 2 } } } - { \frac { a ^ { \prime } \phi ^ { \prime } } { a ^ { 5 } \phi } } + { \frac { 1 } { 6 a ^ { 4 } } } \left( A ^ { 2 } + { \frac { B ^ { 2 } } { \phi } } \right) ,
A ^ { ( 1 ) } = T _ { 3 } \frac { f _ { 1 } ( x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } ) } { x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } } ( 0 , 0 , x _ { 4 } , - x _ { 3 } )
\operatorname { E } \left[ \left( { \frac { X } { 1 - X } } - \operatorname { E } \left[ { \frac { X } { 1 - X } } \right] \right) ^ { 2 } \right] = { \frac { \alpha ( \alpha + \beta - 1 ) } { ( \beta - 2 ) ( \beta - 1 ) ^ { 2 } } } { \mathrm { ~ i f ~ } } \beta > 2
[ \hat { A } _ { 0 } ^ { ' \phantom { \dagger } } , \hat { A } _ { 0 } ^ { ' \dagger } ] = \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } \left( \frac { 1 } { \hat { q } ^ { 2 } } + \frac { m \omega } { \hbar } \right)
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \partial _ { \rho } \left( \partial _ { \rho } \mu ^ { ( 1 ) } - W ^ { ( 1 ) } \partial _ { \rho } U ^ { ( 0 ) } \right) , } \\ { \mu ^ { ( 1 ) } } & { = } & { - \partial _ { \rho \rho } U ^ { ( 1 ) } + \kappa \partial _ { \rho } U ^ { ( 0 ) } + q ^ { \prime \prime } ( U ^ { ( 0 ) } ) U ^ { ( 1 ) } + h ^ { \prime } ( U ^ { ( 0 ) } ) f ^ { ( - 1 ) } ( \rho , U ^ { ( 0 ) } ) U ^ { ( 1 ) } } \\ & { } & { + h ( U ^ { ( 0 ) } ) f _ { c l } ^ { ( 0 ) } ( s ) . } \end{array}
r _ { j } ^ { n } ( x ) = u _ { j } ^ { n } + ( x - x _ { j } ) \delta _ { j } \qquad \delta _ { j } = \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ m ~ o ~ d ~ } \left( \beta \Delta _ { + } u _ { j } , \Delta _ { c } u _ { j } , \beta \Delta _ { - } u _ { j } \right)
\begin{array} { r } { \left( \cup _ { x \in X _ { - } } B _ { \tilde { R } } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 3 } } \right) \cup \left( \cup _ { x \in X _ { + } } B _ { \tilde { R } } ( x ) \cap S _ { t _ { 3 } } ^ { t _ { 2 } } \right) \subset B _ { \tilde { R } + \mathrm { d i a m } ( X ) } ( x _ { 0 } ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } , } \end{array}
T _ { 0 } ^ { \mu \nu } = - \left( \frac { g _ { s t r } \alpha ^ { \prime } } { 2 } \right) \prod _ { u } \frac { \delta ( \sqrt { \alpha ^ { \prime } } k _ { u } ) } { \sqrt { \tau _ { 2 } } } \frac { \eta ^ { \mu \nu } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \left( \prod _ { o } \frac { \delta ( \sqrt { \alpha ^ { \prime } } k _ { o } ) } { \sqrt { \tau _ { 2 } } } X _ { 1 , 1 } + 2 ^ { - ( d + 1 ) } X _ { 1 , 0 } \right)